1

2 Netwerkanalyse met CPM

2.1 Introductie

Vele organisaties worden geconfronteerd met de uitvoering van ingewikkelde projecten die

bestaan uit een groot aantal activiteiten. De activiteiten waaruit een project is opgebouwd,

staan meestal niet los van elkaar. Zij moeten in de regel op een logische manier in de tijd op

elkaar aansluiten. Vaak kan met een bepaalde activiteit niet worden begonnen voordat een

andere activiteit geheel afgerond is.

Met de term netwerkproject of kortweg project duiden we in het vervolg de verzameling van

alle uit te voeren activiteiten aan. Onder een netwerk verstaan we hier een schematische

weergave van alle afzonderlijke activiteiten van een project.

Een goed voorbeeld van een ingewikkeld project, waarbij vele verschillende activiteiten te

onderscheiden zijn, vinden we in de bouw. Het bouwen van een huis of van een kantoor

vergt een zorgvuldige planning van de verschillende werkzaamheden. Wordt de planning

verkeerd uitgevoerd, dan kan dit leiden tot een aanzienlijke (en onnodige) vertraging in het

werk, hetgeen weer hogere kosten met zich meebrengt. Er zijn echter veel meer

voorbeelden te geven van een gecompliceerd project waarbij zorgvuldige planning vereist is.

Te denken valt bijvoorbeeld aan een ondernemer die een nieuw product wil introduceren.

Voordat het zover is, zijn er vele activiteiten die ondernomen moeten worden, zoals het

testen van het product op de productieafdeling, het verrichten van marktonderzoek, het

ontwerpen van een marketingstrategie, enzovoorts. Om overbodig verlies aan tijd en geld te

voorkomen, is bij ingewikkelde projecten een zorgvuldige planning dus noodzakelijk. In dit

onderdeel zullen we een basismethode bespreken dat een belangrijk hulpmiddel kan zijn bij

het maken van een dergelijke planning. Dit is de kritieke padmethode (meestal genoemd

CPM: Critical Path Method. Deze methode is aan het eind van de jaren vijftig in de Verenigde

Staten ontwikkeld.

Binnen het Total gebied van projectmanagement zoals in het vorige onderdeel besproken

valt netwerkanalyse met CPM onder het gebied project implementatie en hoort bij de

onderwerpen Scheduling en Resource allocation.

2.2 Leerdoelen

Na bestudering van dit onderdeel wordt van u verwacht dat u

- op de hoogte bent van het belang van planning en de verschillende fasen van de

planningsprocedure bij het uitvoeren van een project

- in staat bent om relatiediagrammen en Ganttkaarten van een netwerkproject te

construeren

- in staat bent om het CPM-algoritme toe te passen

- in staat bent om van een netwerk een tabel op te stellen, met daarin vermeld de

(verwachte) vroegst en laatst mogelijke start- en eindtijden van de afzonderlijke

activiteiten, plus hun speling

- in staat bent, van een netwerk het kritieke pad te bepalen

- in staat bent om een bekortingprobleem voor een netwerk op te lossen (bij kleine

netwerken)

- op de hoogte bent van de betekenis van de in dit onderdeel behandelde kernbegrippen

en in staat bent om deze kernbegrippen te omschrijven.

2

2.3 De planningsprocedure: enige kanttekeningen

De belangrijkste doelstelling van een planningsprocedure bij het uitvoeren van een project is

het beantwoorden van de volgende vragen:

a. Wat is de (verwachte) tijdsduur van het gehele project?

b. Op welke tijdstippen dienen de verschillende activiteiten aan te vangen en wanneer

moeten ze beindigd zijn?

c. Welke zijn de gevolgen voor het totale project indien er bij een bepaalde activiteit

vertraging optreedt?

Bij de planningsprocedure onderscheiden we de volgende fasen:

a Het verzamelen van de gegevens

Voor het totale project moet een overzicht gemaakt worden van alle activiteiten waaruit het

project is opgebouwd. Voor elke activiteit moet een schatting worden gemaakt van de

benodigde tijdsduur. Voorts dient ten aanzien van iedere activiteit vastgesteld te worden

welke activiteiten moeten zijn afgerond voordat men kan beginnen.

b De analyse van de gegevens

Op grond van de verzamelde gegevens wordt een grafische voorstelling getekend waarin tot

uiting komt hoe de verschillende activiteiten met elkaar samenhangen en hoe de

opeenvolging van de activiteiten in de tijd is. Op basis van zo'n getekend netwerk kan men

vaststellen welke activiteiten een rechtstreekse invloed hebben op de totale voltooiingtijd

van het project en welke activiteiten qua tijd een zekere speling hebben zodat het project bij

een eventueel ongunstig verloop van die activiteiten geen vertraging oploopt.

Met behulp van een analyse van het netwerk kan een planning gemaakt worden voor alle

activiteiten.

c De begeleiding van het project

Hoewel met deze analyse de planningsprocedure in principe voltooid is -het berekende

tijdschema geeft precies aan wanneer de verschillende activiteiten moeten worden gestart

en beindigd - zal men in de praktijk nauwlettend de feitelijke gang van zaken in het oog

houden. Het zal immers regelmatig voorkomen dat de tijdsduur van een activiteit verkeerd

is geschat, waardoor tijdens de uitvoering van het project de gemaakte planning soms

aanzienlijk moet worden bijgesteld. Wij zullen in dit onderdeel het accent leggen op de

analyse van de gegevens. Voor de praktijk zijn echter de hierboven onder a (verzamelen van

gegevens) en c (projectbegeleiding) genoemde punten van zeer groot belang om de hier te

behandelen methoden goed te laten functioneren.

3

2.4 Eenvoudige netwerken: de CPM-methode

In dit hoofdstuk zal nader ingegaan worden op de planmatige aanpak van projecten via de

CPM-methode (Critical Path Method). Deze methode veronderstelt dat de tijdsduur van de

afzonderlijke projectactiviteiten deterministisch is. Dit betekent dat de CPM-methode ervan

uitgaat dat de tijdsduur van tevoren met zekerheid bekend is of dat er, indien de tijdsduur

onzeker is, per activiteit met een geschatte tijdsduur wordt gewerkt.

2.4.1 Het tekenen van een netwerk en het begrip kritieke pad

Om een project te kunnen analyseren, moeten we beginnen met het maken van een lijst van

alle activiteiten waaruit het project bestaat. Uit deze lijst moet blijken hoe de opeenvolging

van activiteiten is. We doen dit door bij elke activiteit aan te geven welke activiteiten er

onmiddellijk aan voorafgaan. Dus als activiteit E pas begonnen kan worden als activiteit D

voltooid is, dan is D een onmiddellijk voorafgaande activiteit. Wellicht moeten dan ook

andere activiteiten al voltooid zijn, omdat deze een voorwaarde vormen voor het verrichten

van activiteit D. Dergelijke activiteiten zijn dan echter geen onmiddellijk voorafgaande

activiteiten.

In een schematische tekening (het netwerk) van een project, ook wel een relatiediagram

genoemd, wordt elke activiteit weergegeven door een rechthoek die voorzien is van een

hoofdletter. De linkerkant van de rechthoek symboliseert het begin van de activiteit en de

rechterkant het einde van de activiteit. De relaties tussen de activiteiten worden

weergegeven door pijlen. In deze cursus maken wij alleen gebruik van relaties tussen het

einde van een activiteit en het begin van een volgende activiteit.

Bij het tekenen van een netwerk wordt verder de volgende afspraak gemaakt dat een

netwerk altijd een begin- en een eindactiviteit heeft. In deze cursus geven wij een activiteit

weer met het volgende symbool.

De inhoud en het doel van de verschillende (nu nog lege) hokjes in het symbool komen

verderop ter sprake.

Voorbeeld 1

Indien een project uit twee activiteiten A en B bestaat, waarbij activiteit B pas kan beginnen

als activiteit A voltooid is, krijgen we de volgende schematische weergave:

4

Voorbeeld 2

Bij een project dat uit drie activiteiten A, B en C bestaat, waarbij A en B onmiddellijk kunnen

starten terwijl C pas kan beginnen als activiteit A klaar is, krijgen we de volgende figuur:

Opgave 2.1

Construeer het netwerk voor een project dat bestaat uit de volgende activiteiten:

activiteit onmiddellijk voorafgaande activiteiten

A -

B -

C A

D A

E C, B

F C, B

G D, E

Het project is voltooid als beide activiteiten F en G af zijn.

Voorbeeld 3

Indien we pas bij voorbeeld 2 zouden kunnen beginnen met activiteit C indien A en B beide

gereed zijn, dan krijgen we een iets ingewikkelder situatie:

Start

A

C Einde

B

5

Opgave 2.2

Management Beslissing Systemen (MBS) is een adviesbureau dat gespecialiseerd is in de

ontwikkeling van beslissingsondersteunende automatiseringssystemen. MBS heeft juist een

contract afgesloten om een computersysteem te ontwikkelen voor de directie van een groot

bedrijf ten behoeve van de liquiditeitsplanning.

De projectleider van MBS heeft de volgende lijst met uit te voeren activiteiten opgesteld:

activiteit onmiddellijk voorafgaande activiteiten

A -

B -

C -

D B

E A

F B

G C, D

H B, E

I F, G

J H

Construeer het netwerk voor het liquiditeitsplanningsproject van MBS.

Voorbeeld 3 (vervolg)

We bezien nogmaals het project dat bestaat uit de activiteiten A, B en C, waarbij C volgt op

A en waarbij A en B tegelijkertijd kunnen beginnen. Stel, A duurt 4 weken, B duurt 7 weken

en C duurt 5 weken, dan geven we dit als volgt weer:

Hierbij wordt de tijdsduur=t per activiteit in de rechthoek op de volgende plaats genoteerd:

Het project kan in 9 weken voltooid zijn, omdat de opeenvolgende activiteiten A en C deze

tijdsduur vereisen.

Een en ander brengt met zich mee dat de activiteit B ruimschoots binnen de tijd kan worden

voltooid. Voor activiteit B zijn namelijk slechts 7 weken nodig. Men spreekt in dit verband

van een speling van 2 weken voor activiteit B. Zonder dat het gehele project wordt

vertraagd, kan activiteit B 2 weken na aanvang van activiteit A gestart worden. De

activiteiten A en C worden gezamenlijk het kritieke pad genoemd. Elke vertraging die er zou

optreden bij deze activiteiten, heeft onmiddellijke gevolgen voor de voltooiingtijd van het

gehele project. Het kritieke pad is in het voorbeeld vetgedrukt weergegeven.

Het volgende voorbeeld heeft betrekking op een netwerkprobleem van wat grotere omvang

dan de eerder besproken voorbeelden.

6

Studeeropdracht

P. Lanning heeft als opdracht om voor de volgende zomer een cursus Verkooptechnieken te

organiseren voor het bedrijf waar hij werkzaam is. De cursus duurt een week en dient op 1

juli te beginnen. Er kunnen maximaal 100 personeelsleden deelnemen aan de training. De

ervaring leert dat het aantal aanmeldingen de 100 ruimschoots overtreft. Peter heeft de

volgende (deterministische) informatie betreffende de activiteiten van dit project verzameld:

activiteit omschrijving onmiddellijke

voorgangers

tijdsduur

(weken)

A lijst maken van mogelijke conferentiezalen

en hotels

- 4

B selectie van onderwerpen - 5

C selectie en reservering conferentiezaal en

hotel(s)

A 3

D sprekers uitnodigen en afspraken maken B 6

E cursusboek voorbereiden B 8

F voorlichtingsbrochure maken en verzenden C, D 2

G reisplannen sprekers opstellen C, D 4

H finale check sprekers en cursusboek afmaken E, G 7

I ontvangst aanmeldingen cursisten en

selectie van de 100 cursisten

F 5

a. Probeer om zelf het netwerk te tekenen dat hoort bij het cursusprobleem.

b. Bepaal het kritieke pad en de minimale voltooiingtijd van het cursusproject.

Getekend ziet het netwerk voor Peters cursusproject er als volgt uit:

In het netwerk is te zien dat de minimale voltooiingtijd voor het gehele project bepaald

wordt door de activiteiten B, D, G en H. Het kritieke pad is dus B-D-G-H. De (minimale)

voltooiingtijd van het project bedraagt daarom 5+6+4+7= 22 weken. (Let op: alle andere

paden dan het kritieke pad hebben een kortere totaaltijd bij optelling van de afzonderlijke

activiteiten. Het pad A-C-F-I bijvoorbeeld heeft een totaaltijd van 4+3+2+5= 14 weken,

hetgeen korter is dan 22 weken. Het kritieke pad is dus dat pad met de grootste totaaltijd

en het bepaalt de minimale voltooiingtijd van het gehele project.)

Peter dient dus uiterlijk 22 weken voor 1 juli te beginnen met de uitvoering van het project.

Indien een van de activiteiten van het kritieke pad in de praktijk langer duurt dan was

verwacht, dan heeft dit rechtstreeks gevolgen voor de voltooiingtijd van het gehele project.

Dit ligt anders voor de activiteiten die geen deel uitmaken van het kritieke pad. Bij deze

activiteiten is er sprake van een bepaalde speling. Dit brengt met zich mee dat dergelijke

activiteiten vaak niet precies volgens het snelst mogelijke tijdschema behoeven te worden

aangevangen, zonder dat daarmee de voltooiingtijd van het project in gevaar komt.

7

2.4.2 Bepaling van het kritieke pad via het CPM-algoritme

Zoals we zagen bij de bespreking in de vorige paragraaf, is de minimale tijdsduur van een

project vastgelegd door de totale tijdsduur van de activiteiten die samen het kritieke pad

vormen. Voor kleine netwerken kan het kritieke pad eenvoudig vastgesteld worden door de

totale tijdsduur van alle mogelijke paden te berekenen. Het pad dat de hoogste totale

tijdsduur blijkt te bezitten, is dan het kritieke pad. Voor grote netwerken is deze procedure

ter bepaling van het kritieke pad erg inefficint. Bij grote projecten met veel activiteiten kan

het kritieke pad beter vastgesteld worden via het zogenaamde CPM-algoritme. Dit is een

bepaalde systematische rekenmethode om het kritieke pad te identificeren. Een bijkomend

voordeel van dit algoritme is dat men automatisch de beschikking krijgt over de maximaal

toelaatbare tijdspelingen voor elke activiteit die geen deel uitmaakt van het kritieke pad.

Het CPM-algoritme is gebaseerd op het feit dat bij de activiteiten die deel uitmaken van het

kritieke pad, de aanvangstijd van een activiteit en de beindigingtijd van zijn onmiddellijke

voorganger op het kritieke pad gelijk aan elkaar zijn.

In de volgende twee voorbeelden is dit zichtbaar.

Voorbeeld 5

Een project bestaat uit twee activiteiten, A en B, waarvoor geldt dat B pas kan aanvangen

als A voltooid is. A duurt 6 weken en B duurt 5 weken.

Als we ervan uitgaan dat het project in 11 weken voltooid moet zijn, dan moet activiteit B na

precies 6 weken beginnen. Vroeger kan niet, want dan is activiteit A nog niet gereed, later

mag niet, want dan zou het project onnodige vertraging oplopen.

Voorbeeld 6

We voegen nog een extra activiteit toe aan het project: activiteit C, die

veertien weken duurt, waarmee bij het begin van het project kan worden begonnen en die

niet door andere activiteiten gevolgd hoeft te worden. Het netwerk wordt dan:

Het gehele project kan in 14 weken gereed zijn, want activiteit C vormt het kritieke pad. Bij

de uitvoering van de activiteiten A en B is er een speling van drie weken. Om geen

vertraging in het gehele project te krijgen, dient activiteit B in elk geval op het tijdstip t = 9

aan te vangen. Activiteit A dient dus uiterlijk na negen weken te zijn voltooid. Het maakt bij

de activiteiten A en B niet uit waar de mogelijke vertraging van drie weken terechtkomt, als

er maar op wordt gelet dat de gezamenlijke vertraging van de activiteiten A en B niet meer

dan drie weken bedraagt.

8

Om de ruimte die er is bij de planning van de activiteiten, in het diagram te kunnen

aangeven, worden er vier grootheden gedefinieerd waaruit de mogelijke speling blijkt. De

vier grootheden zijn achtereenvolgens:

VS: vroegst mogelijke start van een activiteit.

LS: laatst mogelijke start van een activiteit.

VE: vroegst mogelijke einde van een activiteit.

LE: laatst mogelijke einde van een activiteit.

Deze grootheden zijn voor voorbeeld 6 aangegeven in de volgende tabel:

activiteit tijdsduur VS LS VE LE speling

Start 0 0 0 0 0 0

A 6 0 3 6 9 3

B 5 6 9 11 14 3

C 14 0 0 14 14 0

Einde 14 14 14 14 14 0

In de tabel is ook voor elke activiteit de speling (of slack) vermeld die maximaal toegestaan

kan worden zonder dat de minimale voltooiingtijd van het project in gevaar komt. Voor elke

activiteit geldt altijd:

Speling = LS - VS = LE VE

Een activiteit die deel uitmaakt van het kritieke pad, valt te herkennen aan het feit dat zijn

speling 0 is. Het kritieke pad is daarom de verzameling van alle activiteiten waarvoor geldt:

speling = 0.

Verder geldt altijd voor een activiteit met tijdsduur t dat

VE = VS + t en LS = LE t

De grootheden VS, LS, VE en LE kunnen bepaald worden aan de hand van de tekening van

het netwerk van een project. In de tekening zelf zullen we ze voor elke willekeurige activiteit

X op de volgende wijze weergeven:

waarbij VS, LS, VE en LE slaan op de willekeurige activiteit Naam, Hieronder zal aan de hand

van het reeds eerder besproken cursusprobleem uitgelegd worden hoe de tekening van een

netwerk gebruikt moet worden om de grootheden VS, VE, LS en LE te bepalen.

9

(Vervolg van voorbeeld 4)

In de vorige paragraaf hebben we kennis gemaakt met het netwerk van het cursusprobleem.

De tekening wordt hier nog een keer herhaald:

Op grond van deze tekening bepalen we voor elke activiteit de grootheden VS, LS, VE en LE.

Er wordt altijd gestart met de bepaling van de vroegste tijden (VS en VE voor de

activiteiten). Om deze reden wordt er in de tekening aan de linkerkant begonnen en wordt

er naar rechts toegewerkt. De uitkomsten zijn als volgt:

Voor elke activiteit is VS gelijk aan het maximum van de diverse VEs die horen bij de

activiteiten die onmiddellijke voorgangers zijn van de activiteit. Voor activiteit Start geldt dat

t=0, VS=0 en VE=0.

Voor de activiteit Einde geldt dat t, VS en VE gelijk zijn aan de minimale voltooiingtijd van

het hele project.

Bovenstaande procedure leidt tot de conclusie dat het project in minimaal 22 weken kan zijn

voltooid.

10

Het kritieke pad kan gevonden worden door een soortgelijke procedure uit te voeren,

waarbij de laatst mogelijke tijdstippen (LS en LE voor de activiteiten) bepaald worden. Bij de

vaststelling van deze tijdstippen is het vertrekpunt de minimale voltooiingtijd van 22 weken

en wordt er juist van rechts naar links door het netwerk gegaan. De uitkomsten zijn als

volgt:

Legenda:

Voor elke activiteit is LE gelijk aan het minimum van de LSen van de onmiddellijke

opvolgers. LS van de activiteit zelf is dan LE-t.

Voor activiteit Start geldt dat LS=0, LE=0 en speling=0

Voor de activiteit Einde geldt dat LS en LE gelijk zijn aan de minimale voltooiingtijd van het

hele project. De speling van activiteit Einde is uiteraard 0.

Als laatste stap dient er een overzichtstabel gemaakt te worden van de berekende

informatie.

activiteit Tijdsduur

(weken)

VS LS VE LE speling

Start 0 0 0 0 0 0

A 4 0 4 4 8 4

B 5 0 0 5 5 0

C 3 4 8 7 11 4

D 6 5 5 11 11 0

E 8 5 7 13 15 2

F 2 11 15 13 17 4

G 4 11 11 15 15 0

H 7 15 15 22 22 0

I 5 13 17 18 22 4

Einde 22 22 22 22 22 0

Uit de tabel valt wederom te concluderen dat de minimale voltooiingtijd 22 weken is en dat

het kritieke pad bestaat uit de activiteiten B - D - G -H, omdat deze activiteiten een speling

van 0 hebben.

11

Opgave 2.3

Gegeven is de volgende informatie over een project:

activiteit onmiddellijke

voorgangers

tijdsduur

(weken)

A - 4

B - 8

C A 4

D A 6

E B, C 3

F D 4

G E, F 6

H B 10

I H, G 2

a. Teken het netwerk.

b. Bepaal voor de activiteiten VS, LS, VE en LE via het CPM-algoritme.

c. Maak een overzichtstabel voor de activiteiten met daarin weergegeven VS, LS, VE en LE

en de speling.

d. Bepaal het kritieke pad en de minimale projectduur.

12

2.5 Enige uitbreidingen

Het netwerkmodel dat in de vorige paragrafen besproken is, wordt vooral bij de wat grotere

bedrijven en organisaties veel toegepast. In de praktijk zal er bij de analyse van de

gegevens (de eerste fase van de planningsprocedure, zie paragraaf 1) veelal de behoefte

bestaan om meer aan de weet te komen dan wat in het voorgaande besproken is. Ook zijn

we ten aanzien van de begeleiding van een project (de derde fase van de

planningsprocedure, zie paragraaf 1) tot op heden zeer summier geweest. Er zijn talrijke

methoden die voortborduren op de modelmatige aanpak van CPM. Deze zijn ontwikkeld om

het management te helpen bij het nader analyseren en/of begeleiden van een project. Te

denken valt aan:

a Het opstellen en bewaken van kostenbudgetten

Op basis van een tabel met (verwachte) vroegst en laatst mogelijke start- en eindtijden van

alle activiteiten is het mogelijk om kostenbudgetten op te stellen. Door tijdens de uitvoering

van een project regelmatig de gebudgetteerde kosten te vergelijken met de werkelijk

gemaakte kosten, beschikt het management over een controlesysteem ten aanzien van de

kosten van het gehele project.

b Capaciteitstoewijzing, met name het egaliseren van de Capaciteitsbezetting

Als alle activiteiten bijvoorbeeld via het vroegst mogelijke startschema aanvangen, kan het

voorkomen dat er in de tijd gezien een ongelijkmatig beroep gedaan wordt op de

productiefactoren (bijvoorbeeld mankracht of machines). Een ongelijkmatig beroep gaat

veelal gepaard met extra kosten en moet dan zoveel mogelijk vermeden worden. Door nu te

gaan schuiven met de aanvangstijden van de niet-kritieke activiteiten, is het vaak mogelijk

om pieken en dalen in de Capaciteitsbezetting weg te werken zonder dat de minimale

voltooiingtijd van het project in gevaar komt.

c Het begeleiden van een project middels de constructie van een Ganttkaart (of een

strokenbord)

Deze methode vereist dat de netwerkdiagrammen zoals we die zijn tegengekomen in de

vorige paragrafen, op een iets andere wijze worden weergegeven. In de volgende paragraaf

zal hierop wat dieper ingegaan worden.

d Het reduceren van de projectduur

Soms is het noodzakelijk om een (verwachte) minimale voltooiingtijd van het project na te

streven die korter is dan in eerste instantie beoogd was. Dit is meestal wel mogelijk door het

bekorten van afzonderlijke activiteiten, tegen extra kosten. In een volgende paragraaf zal

nader ingegaan worden op deze problematiek. Er zal een methode besproken worden om op

een rationele manier de extra bekortingkosten af te wegen tegen de te bereiken

verkortingstijd van het gehele project.

2.5.1 De Ganttkaart

De netwerken zoals we die zijn tegengekomen in de vorige paragrafen, worden, zoals al

eerder is opgemerkt, ook wel relatiediagrammen genoemd. De onderlinge relaties tussen de

diverse activiteiten komen in dit soort diagrammen goed tot uiting.

In een relatiediagram wordt visueel de lengte van activiteiten niet weergegeven. Lange

activiteiten zien er hetzelfde uit als korte activiteiten.

De wijze van weergeven van activiteiten is bij een Ganttkaart (of een strokenbord) eigenlijk

net tegengesteld aan die van een relatiediagram. Bij een Ganttkaart treedt juist het

tijdaspect van de activiteiten op de voorgrond. Een nadeel is echter wel dat de onderlinge

relaties tussen de activiteiten niet goed tot hun recht komen. Een Ganttkaart moet dan ook

als een aanvulling gezien worden op een relatiediagram en kan vooral bij de

begeleidingsfase van een project van groot nut zijn. (NB: De Ganttkaart ontleent zijn naam

aan Henry L. Gantt, die in een tijdschriftartikel van 1918 voor het eerst een dergelijke kaart

beschreef.)

13

Een moeilijkheid bij de behandeling en bestudering van Ganttkaarten is dat er geen

uniforme richtlijnen zijn te geven voor het construeren ervan. Vele variaties zijn denkbaar en

in de praktijk is het eigenlijk altijd zo dat een bedrijf of organisatie een geheel eigen

techniek toepast. We zullen ons in deze paragraaf dan ook beperken tot een korte

bespreking van het basisidee achter een Ganttkaart. Hierbij zal uitgegaan worden van het

volgende eenvoudige relatiediagram:

Bij een Ganttkaart worden de activiteiten door middel van stroken of balken langs een tijdas

weergegeven. De lengte van een balk is gelijk aan de (verwachte) tijdsduur van een

activiteit. Laten we eens veronderstellen dat het management van bovenstaand project

gepland heeft dat de activiteiten volgens het zogenaamde vroegst-mogelijke-tijdenschema

van start zullen gaan. Vertaald in een Ganttkaart ziet het tijdschema er dan aldus uit.

Gantt-kaart 1

Een ander type Ganttkaart wordt bijvoorbeeld verkregen als ook de uitlooptijd (de speling)

van de activiteiten weergegeven wordt. Een voordeel hiervan is dat kritieke activiteiten dan

gemakkelijk zijn te herkennen. (In dit verband is het ook handig om de kritieke activiteiten

met een aparte kleur aan te geven.)

Een groot voordeel van de Ganttkaart is dat de voortgang van de activiteiten erop

bijgehouden kan worden. Dit kan bijvoorbeeld geschieden door de balken van de

activiteiten, voor zover ze af zijn, zwart te maken. Zie als voorbeeld Ganttkaart 2, waarbij

de stand van zaken na vier perioden getoond wordt. Op deze Ganttkaart zijn ook de

uitlooptijden, zoals vastgesteld voor de aanvang van het project, weergegeven door middel

van arceringen.

14

Gantt-kaart 2

Op de Ganttkaart valt te zien dat de uitvoering van het project niet goed verloopt. Volgens

planning zijn A en B na vier perioden gereed. Activiteit D had echter al voor 50% af moeten

zijn, maar is voor slechts 331/3% af. Als er geen maatregelen genomen worden om activiteit

D (of eventueel E) versneld uit te voeren, dan zal het project niet binnen de geplande tien

perioden af zijn, omdat D onderdeel is van het kritieke pad.

Zoals al eerder is opgemerkt, bestaan er veel variaties op het hierboven gellustreerde

basisidee achter de Ganttkaart. Zo kunnen bijvoorbeeld stippellijntjes gebruikt worden om

balken met elkaar te verbinden. Een aantal belangrijke relaties tussen afzonderlijke

activiteiten kan op deze manier benadrukt worden. Omwille van de overzichtelijkheid van de

kaart kan echter slechts een beperkt gebruik gemaakt worden van de stippellijntjes.

2.5.2 Het reduceren van de projectduur

Vaak is het noodzakelijk of wenselijk om een project sneller uit te voeren dan aanvankelijk

de bedoeling was. Een opdrachtgever is bijvoorbeeld ontevreden met de geraamde bouwtijd

van een huis en wil het contract slechts ondertekenen als de aannemer ervoor zorgt dat het

huis drie maanden eerder af is. Of de voortgang van een project valt tegen en de

contractueel vastgelegde voltooiingdatum kan alleen maar gerealiseerd worden als bepaalde

nog uit te voeren activiteiten aanzienlijk bekort worden. In dit laatste geval kunnen de nog

uit te voeren activiteiten eigenlijk beschouwd worden als een nieuw netwerk, waarvan de

voltooiingtijd bekort moet worden.

Het op geforceerde wijze bekorten van de tijdsduur van een activiteit gaat over het

algemeen gepaard met extra kosten. Hierbij valt als voorbeeld te denken aan een

bouwproject waarbij activiteiten in minder tijd kunnen worden uitgevoerd als er gedurende

een aantal avonden wordt overgewerkt of indien er extra arbeidskrachten worden ingezet.

Hier staat tegenover dat er meestal wel een minimumtijd bestaat, zodat het ongelimiteerd

bekorten vaak niet mogelijk is. Zo zal er bij het maken van een betonnen vloer een

minimumtijd gelden omdat de vloer eerst moet drogen en uitharden voordat er een

volgende activiteit kan worden gestart. Tegenover de noodzaak of wens om een bepaald

netwerk sneller uit te voeren dan in eerste instantie beoogd werd, staan dus vaak

kostenverhogingen en gelimiteerde bekortingmogelijkheden voor de afzonderlijke

activiteiten. Het management staat dan voor de taak om te beslissen welke activiteiten met

hoeveel tijd bekort moeten worden zodanig dat en de (bijgestelde) voltooiingtijd van het

project gerealiseerd wordt en de extra kosten minimaal zijn.

15

Laten we voorbeeld 9 eens bestuderen. Hierbij dient aangetekend te worden dat de

'normale tijdsduur en de normale kosten betrekking hebben op de uitgangssituatie zoals

die in eerste instantie van toepassing is.

Met de term 'crashtijd' wordt de absolute minimumtijd voor een activiteit bedoeld en met de

term crashkosten worden de totale kosten (normale kosten plus extra bekortingkosten) bij

de crashtijd van een bepaalde activiteit aangeduid.

Verder gaan we er voor de eenvoud van uit dat de activiteiten bekort kunnen worden tot

elke tijdsduur liggend tussen de crashtijd en de normale tijdsduur en dat er een lineair

verband bestaat tussen de bekortingen en de extra bekortingkosten.

Voorbeeld 7

Gegeven is de volgende informatie voor een bepaald netwerk:

0 0

0 0 0

0

Start

4 4

0 0 4

0

A

6 6

1 1 7

0

B

2 6

5 1 7

4

C

6 10

4 0 10

4

D

3 9

7 1 10

6

E

3 9

12 6 15

6

F

5 15

10 0 15

10

G

15 15

15 0 15

15

Einde

activiteit normale tijd

(in maanden)

crash-tijd

(in maanden)

totale normale

kosten

(x 1.000,-)

totale

crashkosten

(x 1.000,-)

A 4 2 50 70

B 6 3 40 55

C 2 1 20 24

D 6 4 100 130

E 3 2 50 60

F 3 3 25 25

G 5 3 60 75

Uitgaande van de normale tijdsduur valt eenvoudig te bepalen dat het kritieke pad gevormd

wordt door de activiteiten A-D-G. De minimale voltooiingtijd bedraagt dan 15 maanden.

Stel nu eens dat de duur van het project bekort moet worden tot 10 maanden. Welke

activiteiten moeten dan bekort worden opdat de totale extra bekortingkosten minimaal zijn?

16

De rest van deze paragraaf zal gewijd zijn aan de beantwoording van de bij dit voorbeeld

gestelde vraag. Allereerst gaan we de maximale bekortingtijd en de extra bekortingkosten

per activiteit per maand berekenen. Uitgaande van de gegevens leidt dit tot de volgende

resultaten:

activiteit maximale

bekortingtijd

(in maanden)

bekortingkosten per maand

(x 1.000,-)

A 4-2=2 (70-50):2 = 10

B 6-3=3 (55-40):3 = 5

C 2-1=1 (24-20):1 = 4

D 6-4=2 (130-100):2 = 15

E 3-2=1 (60-50):1= 10

F 3-3=0 -

G 5-3=2 (75-60):2= 7

In de uitgangssituatie is het pad A-D-G (15 maanden) het kritieke pad. In het netwerk zijn

nog vier andere niet-kritieke paden te vinden. Welke zijn dit en wat is de minimale tijdsduur

van elk pad?

Voor de uitgangssituatie bedraagt de minimale tijd van het project 15 maanden. Dit moet

bekort worden tot 10 maanden. Het ligt voor de hand om de bekortinginspanningen te

richten op het kritieke pad A-D-G. Als dit pad bekort wordt, wordt immers meteen de

minimale projecttijd kleiner. Het traject A-D-G, dat 15 maanden in beslag neemt, moet in

elk geval bekort worden tot 10 maanden. Van de activiteiten A, D en G heeft G de laagste

bekortingkosten per maand. G kan echter slechts met 2 maanden bekort worden, hetgeen

onvoldoende is om de gestelde minimale projectduur van 10 maanden te bereiken. Dus ook

A en/of D moeten bekort worden.

Het bekorten van A is voordeliger dan het bekorten van D. Met het bekorten van A kan

maximaal 2 maanden tijd gewonnen worden en daarom is het ook nog noodzakelijk om D te

bekorten met 1 maand. Het pad A-D-G is op deze wijze 5 maanden korter geworden

(namelijk G 2 maanden korter, A ook 2 maanden korter en D 1 maand korter). Zijn we er nu

in geslaagd om de totale minimale projectduur met 5 maanden te bekorten? Het antwoord

op deze vraag moet nee zijn. Algemeen kan namelijk gezegd worden dat, als een kritiek pad

korter wordt gemaakt, het dan niet uitgesloten is dat een of meerdere andere paden kritiek

worden.

Bij het voorbeeld treedt dit verschijnsel ook op. Het pad A-D-G is weliswaar bekort tot 10

maanden, maar er is een ander pad dat nu kritiek is geworden. Dit is het pad B-E-G met een

minimale tijdsduur van 6 (voor B) + 3 (voor E) + 3 (voor G na de bekorting van 2 maanden)

=12 maanden.

Zie hieronder het nieuwe relatiediagram:

0 0

0 0 0

0

Start

2 2

2 2 4

0

A

6 6

0 0 6

0

B

2 4

4 2 6

2

C

5 7

4 2 9

2

D

3 9

6 0 9

6

E

3 9

9 3 12

6

F

3 12

9 0 12

9

G

12 12

12 0 12

12

Einde

17

Het zal duidelijk zijn dat ook dit pad bekort zal moeten worden tot 10 maanden, wil het hele

project binnen 10 maanden afgerond zijn.

Ga na dat het dan het voordeligst is om B met 2 maanden te bekorten. Ga ook na dat het

project inderdaad binnen 10 maanden afgerond kan zijn als A, B, D en G respectievelijk met

2, 2, 1 en 2 maanden bekort worden. Merk op dat er in de nieuwe situatie sprake is van 3

kritieke paden, alle met een minimale tijdsduur van 10 maanden.

Hierboven hebben we dus beredeneerd dat A, B, D en G respectievelijk met 2, 2, 1 en 2

maanden bekort moeten worden om het hele project binnen 10 maanden af te kunnen

krijgen. De totale (en dus minimale) bekortingkosten die hiermee gepaard gaan, bedragen

60.000,-:

activiteit bekorting

(in maanden)

bekortingkosten

(x 1.000,-)

A 2 2 x 10 = 20

B 2 2 x 5 = 10

D 1 1 x 15 = 15

G 2 2 x 7 = 15

totaal 60

De methode die hierboven besproken is om het bekortingprobleem op te lossen, is vrij

omslachtig. Het zal duidelijk zijn dat deze methode moeilijk toe te passen is bij grote

netwerken met veel paden. Een methode die dan toegepast kan worden berust op de

techniek die gebruikt wordt bij Lineair Programmeren (LP). Deze tweede methode is

uiteraard ook geschikt voor kleinere netwerken. In deze cursus wordt deze methode echter

niet verder uitgewerkt.

18

2.6 Samenvatting

1. In dit onderdeel hebben we projecten bestudeerd die bestaan uit een verzameling

van uit te voeren en aan elkaar gerelateerde activiteiten. Een netwerk of

relatiediagram is een schematische weergave van een dergelijk project. We kunnen

ook een Ganttkaart gebruiken om een netwerk schematisch weer te geven. Een

Ganttkaart kan vooral van groot nut zijn tijdens de begeleidingsfase van een project.

2. Bij een CPM-netwerk is de tijdsduur van de activiteiten van een project

deterministisch of wordt verondersteld dat deze deterministisch is. Het CPM-algoritme

is een methode om de vroegst en laatst mogelijke start- en eindtijden van

afzonderlijke activiteiten (en knooppunten) te bepalen. Het kritieke pad kan dan

eenvoudig vastgesteld worden door die activiteiten te identificeren die geen speling

hebben tussen de vroegst en laatst mogelijke start- of eindtijden. De tijdsduur van

het kritieke pad is gelijk aan de minimale tijdsduur van het hele project. Het kritieke

pad heeft van alle mogelijke paden door een netwerk de langste tijdsduur. Een

netwerk kan meer dan een kritiek pad hebben.

3. Verder is in dit onderdeel aandacht besteed aan het bekorten van de tijdsduur van

een project. Bij kleine netwerken kunnen de te bekorten activiteiten beredeneerd

worden door te beginnen met het bekorten van die activiteiten die op het kritieke pad

liggen en waarvan het bekorten het minste kost. Men moet dan goed de tijdsduur

van andere paden in de gaten houden en zonodig moeten deze paden ook bekort

worden. Een andere manier om een bekortingprobleem aan te pakken die zich ook

leent voor grote netwerken, is het formuleren van het bekortingprobleem als een LP-

probleem.

19

2.7 Zelftoets

Opgave 1

Een bedrijf gaat een nieuw product ontwikkelen en misschien op de markt brengen. De uit te

voeren activiteiten zijn in de tabel hieronder weergegeven:

activiteit omschrijving onmiddellijke

voorgangers

verwachte tijdsduur

(weken)

A productontwerp - 5

B marktonderzoek - 2

C productieanalyse A 4

D prototype A 4

E verkoopbrochure A 3

F kostenanalyse C 1

G producttest D 4

H prijs-/afzetprognoses B, E 5

I omzetprognoses H 2

J projectrapport F, G, I 3

a. Teken het netwerk voor dit project.

b. Construeer een tabel met daarin vermeld VS, LS, VE, LE en speling voor elke

afzonderlijke activiteit.

c. Construeer een Ganttkaart voor de situatie dat de activiteiten volgens het vroegst-

mogelijke-tijdenschema uitgevoerd zullen worden. Geef ook voor elke activiteit de

uitlooptijd weer.

d. Uit welke activiteiten bestaat het kritieke pad en hoe lang bedraagt de verwachte

voltooiingtijd van het project?

Opgave 2

De volgende gegevens hebben betrekking op het project van vraag 1 van de zelftoets:

activiteit normaal crash

verwachte tijd verwachte

kosten

(x 1.000,-)

verwachte tijd verwachte

kosten

(x 1.000,-)

A 5 60 3 70 B 2 70 1 75

C 4 40 3 50

D 4 50 2 60

E 3 30 2 35

F 1 20 1 20

G 4 70 3 80

H 5 80 3 100

I 2 15 1 20

J 3 30 3 30

Veronderstel dat de verwachte duur van het project teruggebracht moet

worden tot 15 weken.

Beredeneer de optimale bekortingen van de activiteiten. Hoe hoog zijn

dan de bekortingkosten?

20

2.8 Terugkoppeling

2.8.1 Uitwerking van de opgaven

2.1

2.2

2.3

a.

21

b.

c.

activiteit Tijdsduur

(weken)

VS LS VE LE speling

Start 0 0 0 0 0 0

A 6 0 0 6 6 0

B 8 0 4 8 12 4

C 4 6 9 10 13 3

D 6 6 6 12 12 0

E 3 10 13 13 16 3

F 4 12 12 16 16 0

G 6 16 16 22 22 0

H 10 8 12 18 22 4

I 2 22 22 24 24 0

Einde 24 24 24 24 24 0

d.

Het kritieke pad is: A-D-F-G-I, met als tijdsduur 24 weken.

22

2.8.2 Antwoorden op de zelftoets

1 a.

b.

activiteit VS LS VE LE speling

Start 0 0 0 0 0

A 0 0 5 5 0

B 0 6 2 8 6

C 5 10 9 14 5

D 5 7 9 11 2

E 5 5 8 8 0

F 9 14 10 15 5

G 9 11 13 15 2

H 8 8 13 13 0

I 13 13 15 15 0

J 15 15 18 18 0

Einde 18 18 18 18 0

23

c.

J

H

G

F

I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

periode

Activiteiten

E

D

C

B

A

16 17 18 19 20

d.

A-E-H-I-J (18 weken)

2

activiteit maximale bekortingtijd

(in weken)

bekortingkosten

per week

(x 1.000,-)

A 2 5

B 1 5

C 1 10

D 2 5

E 1 5

F 0 -

G 1 10

H 2 10

I 1 5

J 0 -

Er zijn 3 alternatieven die alle 3 15.000,- kosten:

1. Bekort A, E en I elk met 1 week.

2. Bekort A met 2 weken en E met 1 week.

3. Bekort A met 2 weken en I met 1 week.