Natuurkunde Voor Delfstofproductie.ppt 08

Natuurkunde voor DelfstofproductieNatuurkunde voor Delfstofproductie

P t ti 08

Trillingen

Presentatie 08:

Trillingen

Docent: Dhr. Ir. D. C. Wip.C W pTelefoonnummer: 465558, Ext.: 372.Email-adres: [email protected]: 16, Kamernummer: 78.

Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.1

Gebouw: 16, Kamernummer: 78.Studierichting: Delfstofproductie.

Optelling van harmonische trillingen

De werking van 2(twee) trillingen op een lichaam kanDe werking van 2(twee) trillingen op een lichaam kan opgevat worden als de optel som van de 2(twee) trillingen. Elk van de trillingen geeft aan het lichaam een uitwijking.Noem de uitwijkingen u en u De uiteindelijke uitwijking isNoem de uitwijkingen u1 en u2. De uiteindelijke uitwijking is dan de som van uitwijking u1 en u2. Deze optelling is echter niet zonder meer uitvoerbaar, daar het van belang is te weten of de trillingen in de zelfde richting op het lichaam werken ofof de trillingen in de zelfde richting op het lichaam werken, of ze loodrecht op elkaars richting werken, of de trillingen de zelfde periode hebben, enzovoort.


I. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. grafische methode

( )t2iA(t) ( )tω2sinA(t)u 1x1 =( )tωsinA(t)u 2x2 =

Figuur 1


II. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. goniometrische methode

Figuur 2( ) (1)t2iA(t) Figuur 2( )( )

(3)uuu(2)tωsinA(t)u(1)tω2sinA(t)u

x2x1resx

2x2

1x1

+===

−

( ) ( ) (4)tωsinAtω2sinAu:(3)in(2)en(1)rSubstituee

21resx

⎤⎡

+=−

( ) ( )

( ) ( )[ ]

tωsinAA

Atω2sinAA

AAAu22

21

2

22

21

122

21resx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=⇔ −

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]tωsinsintωcostωsin2cosAAu

(5)tωsinsintω2sincosAAu22

21resx

22

21resx

φφ

φφ

+⋅+=⇔

++=⇒

−

−

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] (6)i2iAA

sintωcoscos2tωsinAA

22

22

21

φφ

φφ ++=


( ) ( )[ ] (6)sintωcoscos2tωsinAAu 22

21resx φφ ++=⇒ −

II. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. goniometrische methode (vervolg)

(4)(3)ldtdAAAI di( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]tωsintωcostωsin2A

tωsinAtω2sinAuuu:(4)en(3)voorgeldtdanAAAIndien

x2x1resx

21

+=+=+=

==

−

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]1tωcos2tωsinA

tωsintωcostωsin2A+=+

( ) ( )[ ] (7)1tωcos2tωsinAu resx +=⇒ −


III. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. wijzerdiagram methode

De wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door deDe wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door de lengte van de wijzers van de respectieve uitwijkingsfuncties op het zelfde assenstelsel uit te zetten. Het doorlopen van een periode wordt in voor beide trillingen gelijke tijdsintervallenperiode wordt in voor beide trillingen gelijke tijdsintervallen uitgezet, zodat op elk van de tijdstippen de projectie van beide wijzers op de y–as gesommeerd kan worden.

Figuur 3


Optelling van trillingen met loodrechte trillingsrichting op 3(drie) manieren plaats hebben:1. Grafische methode.2 G i i h h d2. Goniometrische methode.3. Wijzerdiagram methode.


1. De grafische methode

Deze methode behelst de optelling van de resptieveDeze methode behelst de optelling van de resptieve uitwijkingen van de uitwijkingen van ux en uy. De functies uxen uy zijn respectievelijk en . De uitwijking wordt verkregen door in het x–y vlak de plaats van het trillend punt vast te leggen als functie van de tijd.

Figuur 4Figuur 4


2. De goniometrische methode

( ) (8)tA(t) ( )

( )Au

tωcos

(8)tωcosA(t)u

x

xx

=⇒

=

( )u

(9)tωsinA(t)uA

yy

x

=

( )

( ) ( ) (10)1tωcostωsin

Au

tωsin

22

y

y

=+

=⇒

( ) ( ):volgt(10)en(9)(8),Uit

(10)1tωcostωsin

22⎞⎛⎞⎛

=+

( ) ( ) (11)1Au

Au

tωcostωsinx

x

y

y22 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⇒


3. De wijzerdiagram methode

De wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door deDe wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door de lengte van de wijzers van de respectieve uitwijkingsfuncties op 2(twee) verschillende assenstelsels uit te zetten. Deze assenstelsels worden zodanig geplaatst dat zij in het verlengde liggen van de as waarop zij loodrecht trillen.

Figuur 5


De gedempte harmonische trilling

In principe zijn alle trillingen gedempte trillingen tenzij er opIn principe zijn alle trillingen gedempte trillingen, tenzij er op gezette tijden energie wordt toegevoerd. Alle vrije trillingen zijn gedempte trillingen. Bij behandeling van de ongedempte trilling wordt de wrijvingskracht of weerstandskracht die voor de demping zorgt, verwaarloosd. In de gedempte trilling wordt deze wrijvingskracht wel in rekening gebracht. In het j g g galgemeen is de wrijvingskracht evenredig met de snelheid van het trillend systeem. Er geldt dan: (12)vrFwr ⋅−=


du

(13)durvrF

:(12)voorvolgtdandtduv

wr −=−=

=

(14)FFamF

( )dt

wrdrsystsystres

wr

+=⋅=

d (t):volgt(14)en(13)u(t),bFUit dr

yy

−=

(15)dt

du(t)ru(t)bam systsyst −−=

du(t)u(t)ddu(t)u(t)d

:(15)voorvolgtdandtu(t)da

22

2

2

syst =


(16)0u(t)bdt

du(t)rdtu(t)dm

dtdu(t)ru(t)b

dtu(t)dm 2syst2syst =++⇔−−=

2

G i h t f it d t k i h i h f ti

(16)0u(t)bdt

du(t)rdtu(t)dm 2

2

syst =++

Gezien het feit dat er sprake is van een harmonische functie kan gesteld worden dat de oplossing een sinus of cosinus functie dient te zijn of een combinatie van de 2(twee). Om de

lijki l ki d i d kki (17)vergelijking op te lossen kiezen we voor de uitdrukking (17):(17).eAu(t) tλ=

d ( )

(t)d

(18)eλAλeAdt

du(t)

2

tλtλ =⋅=⇒

(19)eλAλeλAdtu(t)d tλ2tλ

2

2

=⋅=⇒


Uitwerking van de bewegingsvergelijking (16) m b v (17)Uitwerking van de bewegingsvergelijking (16) m.b.v. (17), (18) en (19) levert het volgende resultaat:

( )0eAbeλAreλAm

λ2

tλtλtλ2syst =⋅+⋅+⋅

( )( )

b4b4

0bλrλm0eA

(20)0eAbλrλm

22

2syst

tλ

tλ2syst

±

=+⋅+⋅⇒≠

=+⋅+⋅⇔

brrbm4rr

m2bm4r

m2r

m2bm4rr

λ

2t

2

syst

syst2

systsyst

syst2

1,2

−−

=−

±−

=⋅

⋅⋅−±−=⇔

mb

m4r

m2r

m4bm4r

m2r

syst2systsyst

2syst

syst

syst

−±−=±=

(21)eAeAeu(t)

:danvolgteAu(t)Voor

syst2syst

2

syst2syst

2

syst mb

m4r

2m

bm4r

1

tm2

r

tλ

⎪⎬⎫

⎪⎨⎧

⋅+⋅=

=

−−−− tt


( )( ) 21⎪⎭⎬

⎪⎩⎨

Voor u(t) zijn er 3(drie) gevallen te onderscheiden namelijk:Voor u(t) zijn er 3(drie) gevallen te onderscheiden, namelijk:a. De kritieke demping.b. De sterke demping.c. De zwakke demping.


a. De kritieke demping

b2

(22)0m

bm4r

syst2syst

2

=−

(23)ωm

bm4r 2

osyst

2syst

2

==⇒

( )

:danvolgt(21)vanu(t)en(23)Uitt

2r

−

( )

(25)AA(t)

(24)AAeu(t)

tωt

m2r

21m2

syst

syst

−−

+=

(25)eAeAu(t) tωm2 osyst ==⇒


b. De sterke demping

2

(26)0m

bm4r

syst2syst

2

>−

(27)ωm

bm4r 2

syst2syst

2

=−⇒

[ ]

:danvolgt(21)vanu(t)en(27)Uittr

− [ ][ ] (29)eAeAeu(t)

(28)eAeAeu(t)tω

2tω

1tω

tω2

tω1

m2

o

syst

−−

−

+=⇒

+=

[ ] ( )( ) 21


c. De zwakke demping

b2

bb

(30)0m

bm4r

22

syst2syst

2

<−

:danvolgt(21)vanu(t)en(31)Uit

(31)ωim4r

mbi

mb

m4r

12syst

2

systsyst2syst

2

=−=−⇒

{ } (32)eAeAeu(t)

:danvolgt(21)vanu(t)en(31)Uittωi

2tωi

1tω 11o += −−

( ) ( ){ }( ) ( ){ } (34)tωsinitωcosAeA

(33)tωsinitωcosAeA

112tωi

2

111tωi

1

1

1

−=

+=− ( ) ( ){ }

:(32)in(34)en(33)rSubstituee

( )1122


( ) ( ) ( ) ( ){ } (35)tωsinAAitωcosAAeu(t) 121121tωo −++= −

c. De zwakke demping (vervolg)

u(t) is reëel dus het imaginair deel van de vergelijking moetu(t) is reëel, dus het imaginair deel van de vergelijking moet 0(nul) zijn, wat betekent dat (A1 – A2) = 0 of A1 = A2.

:(35)uitvolgtdanA A 21 =

( ){ }( ) (37)tωcosAeu(t)

(36)tωcos2Aeu(t)

( )g

tω11

tω21

o

o

−

−

=⇒

=⇒

( ) (37)tωcosAeu(t) 1o=⇒


Figuur 6Figuur 6

O h t tijd ti t 0 i d it ijki 0( l)Op het tijdstip t = 0 is de uitwijking 0(nul), en de snelheid groter dan 0(nul).

Figuur 7

Op het tijdstip t = 0 is de snelheid 0(nul),


Op het tijdstip t 0 is de snelheid 0(nul), en de uitwijking groter dan 0(nul).

De gedwongen trilling

Een gedwongen trilling is een proces waarbij periodiekEen gedwongen trilling is een proces waarbij periodiek energie aan het trillend systeem wordt toegevoerd. Wanneer op een niet stijf systeem een uitwendige periodieke kracht wordt uitgeoefend, zal er een gedwongen trilling ontstaan. Indien de periodieke kracht F die op het systeem werkt van de vorm is, kan de algemene ( )tωcosFF o ⋅= , gbewegingsvergelijking voor een gedwongen trilling opgesteld worden. Er geldt dan:

( )o

du(t)u(t)d2

Indien een oplossing voor de vergelijking is:

( ) )38(tωcosFu(t)bdt

du(t)rdtu(t)dm o2syst =++

Indien een oplossing voor de vergelijking is:( ) (39)tωcosAu(t) φ−=


d (t) ( )

( )u(t)d

(40)tωsinωAdt

du(t)

22

φ−−=⇒

Substitutie van (39), (40) en (41) in de bewegingsvergelijking

( ) )41(tωcosωAdtu(t)d 2

2 φ−−=⇒

(38) levert de onderstaande relatie (42) op:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tiAtAtbA

tωcosFtωcosAbtωsinωArtωcosωAm2

o2

⇔

=−⋅+−−⋅+−−⋅

φφφ

φφφ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) )42(tωcosFtωsinωrtωcosωmbAtωsinωrtωcosωmtωcosbA

tωsinωrAtωcosωmAtωcosbA

2

2

2

=−−−−⇔

−−−−−⇔

−−−−−⇔

φφ

φφφ

φφφ

( ) ( ) ( )[ ] ( ) )42(tωcosFtωsinωrtωcosωmbA o=−−−−⇔ φφ


Er kan een geïntroduceerd worden zodanig dattg φEr kan een geïntroduceerd worden, zodanig dat 1tg φ)43(

ωmbωrtg 21 −

=φ

( ) ( ))44(

ωrωmb

ωrsin222

1

+−=⇒ φ

( )( )

( ) ( ))45(

ωrωmb

ωmbcos222

2

1

+−

−=⇒ φ

Stel D b i lijki (38) k h h d

( ) ( )

( ) ( ) )46(Kωrωmb 222 =+−De bewegingsvergelijking (38) kan nu herschreven worden tot (48):


K

( ) ( ) ( ) ( ) (47)tωcosFtωsinωrKtωcosωmbKA

:KKnamelijk(46),m.b.v.1met(42)gergelijkinbewegingsvdeldigVermenigvu

2

=⎥⎤

⎢⎡

−−−− φφ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) (48)tωcosFtωsinsintωcoscosKA

:nu(47)wordt(45)en(44)M.b.v.

(47)tωcosFtωsinK

KtωcosK

KA o

=

=⎥⎦

⎢⎣

−−−

φφφφ

φφ

( ) ( )[ ] ( ) (48)tωcosFtωsinsintωcoscosKA o11 =−−− φφφφ

Met de relatie ( ) (49)βiiββ

kan de bewegingsvergelijking nog verder vereenvoudigd worden, namelijk tot:

( ) (49)βsinαsinβcosαcosβαcos −=+

( )[ ] ( ) (50)tωcosFtωcosKA o1 =−+ φφ


d t(50)lijkib idl tdI di φφ

( )[ ] ( )( ) ( )

(51)tωcosFtωcosKA

:dat(50)gergelijkinbewegingsvdevoorvolgtdanIndien

o

1

=−+⇒

=

φφ

φφ

( ) ( )

( ) ( )(52)

FK

FA

FKAtωcosFtωcosKA

22

o)46(

o

oo

==⇔

⇔=⇔=⇔

( ) ( )ωrωmbK 222 +−


De amplitudo van de gedwongen trilling wordt na zekere tijdDe amplitudo van de gedwongen trilling wordt na zekere tijd constant. Dit gebeurd indien de uitwendige kracht per periode evenveel arbeid verricht, als nodig is om de vanwege wrijving gedispeerde energie te compenseren. De amplitudo zal dus des te groter zijn, naarmate de wrjvingsarbeid geringer is. Het blijkt dat de amplitudo sterk toeneemt wanneer de frequentie j p qvan de gedwongen trilling ω de frequentie ωo van de ongedempte trilling nadert. Ui d l i blijk d kl i k h h lUit deze relatie blijkt dat een kleine kracht een heel grote uitwijking kan veroorzaken. Er zijn 2(twee) situaties te onder scheiden waarbij het systeem extreme waarden zal aannemen.j ya. Indien r = 0, dan is de amplitudo in formule (52) verworden tot:

(53).F

A o=


( )(53).

ωmbA

22−

Indien de frequentie van het systeem de natuurlijke frequentieIndien de frequentie van het systeem de natuurlijke frequentie van de ongedempte trilling is, dan zal de noemer 0(nul) worden. De amplitudo wordt dan

(54)mbω o =

( ) ponbeperkt groot en het systeem breekt. Men zegt dan dat voor de resonatie frequentie geldt:

)55(ωω =

b Indien r ≠ 0 is de resonantie frequentie te vinden door

)55(ωω oresonantie =

b. Indien r ≠ 0, is de resonantie frequentie te vinden door differentiatie van de functie. De amplutudo is groot maar blijft eindig. De resonatie frequentie is voor r ≠ 0, dan gelijk aan:

)56(m2r

mbω 2

2

resonantie −=


m2m

Men noemt de term de dempingsfactor(57)μr=Men noemt de term de dempingsfactor.

Het verband tussen de amplitudo en de verhouding tussen de gedwongen frequentie ω en de eigenfrequentie ωo van de

ij t illi it t hill d d d

(57)μ2m

=

vrije trilling uitgezet voor verschillende waarden van de dempingsfactor μ geeft inzicht in de uitwijking.


Figuur 8Figuur 8


Einde van “Presentatie 08”


Natuurkunde Voor Delfstofproductie.ppt 08

Documents

Transcript of Natuurkunde Voor Delfstofproductie.ppt 08