n. mumlaZe, r. qiria, n. javaxiSvili

sainJinro grafika

poziciuri amocanebis gadawyveta

brtyel figurebze

`teqnikuri universiteti”@

saqarTvelos teqnikuri universiteti

n. mumlaZe, r. qiria, n. javaxiSvili

sainJinro grafika

poziciuri amocanebis gadawyveta

brtyel figurebze

registrirebulia stu-s

saredaqcio-sagamomcemlo

sabWos mier

Tbilisi

2009

308.118.01.72

:774(075)

:61.64

naSromSi ganxilulia geometriis sakiTxebi, romlebic

gauRrmavebs codnas da daainteresebs rogorc umaRlesi

profesiuli saswavleblis, aseve bakalavriatis studentebs.

naSromi daexmareba maT saswavlo kursis aTvisebaSi da

moiTxovs mxolod planimetriis codnas.

redaqtori g. wuleiskiri

recenzenti r. gogalaZe

© sagamomcemlo saxli ,,teqnikuri universiteti’’, 2009

ISBN 978-9941-14-419-6 http://www.gtu.ge/publishinghouse/

yvela ufleba daculia. am wignis arc erTi nawili (iqneba es teqsti, foto,

ilustracia Tu sxva) aranairi formiT da saSualebiT (iqneba es eleqtronuli Tu

meqanikuri), ar SeiZleba gamoyenebul iqnas gamomcemlis werilobiTi nebarTvis

gareSe.

saavtoro uflebebis darRveva isjeba kanoniT.

3

poziciuri amocanebis gadawyveta

brtyel figurebze

Sesavali

Sekruli wiriT Sedgenil romel brtyel figuras

eqneba udidesi farTobi? mocemuli zedapirebidan

Sedgenil romel sxeuls eqneba udidesi moculoba?

ra forma unda mieniWos brtyel figuras, rom

mocemuli farTobiT misi perimetri iyos rac SeiZleba

mcire?

mocemuli toli perimetrebiT romel samkuTxeds

eqneba udidesi farTobi?

msgavsi kiTxvebi brtyeli figurebis maqsimaluri da

minimaluri Tvisebebis Sesaxeb adamians uxsovari

droidan ebadeboda, rodesac man fiqri daiwyo Sromisa

da materialuri danadgarebis Seqmnis ekonomiurobaze.

teqnika da arqiteqtura ZiriTadad iqiTaa mimarTuli,

rom umciresi danaxarjebiT miviRoT udidesi sargebeli

warmoebaSi.

Cvens welTaRricxvamde meore saukuneSi geometrebis

mier damtkicebuli da dRemde moRweuli Teoremebidan

aRsaniSnavia Semdegi Teoremebi:

4

1. erTi da igive gverdebis raodenobisa da toli

perimetrebis mqone wesier mravalkuTxeds ufro meti

farTobi aqvs vidre arawesiers.

2. toli perimetris mqone ori wesieri mravalkuT-

xedidan is aris didi, romelsac gverdebis meti

raodenoba aqvs.

3. saerTo fuZisa da toli perimetris mqone sam-

kuTxedebidan is aris umciresi, romelsac ekuTvnis

fuZesTan mdebare oTxi kuTxidan udidesi.

5

1. i. Steineris Teoremebi

germaneli geometriis iakob Steineris mier 1841

wels parizis akademiaSi warmodgenil iqna naSromi

Temaze: `brtyeli figurebis maqsimaluri da minimaluri

Tvisebebi~. aRniSnul naSromSi Steineri gvaZlevs

Teoremebis damtkicebis xuT sxvadasxva meTods.

ganvixiloT Steineris pirveli meTodi umciresi

farTobis mqone P perimetris figurisTvis.

upirveles yovlisa ganxiluli figura unda iyos

amozneqili e.i. aRniSnuli figuris yvela qorda unda

mdebareobdes mis SigniT (nax. 1).

dauSviT AαBC figura

Seicavs AB gare qordas.

SevcvaloT α momWimavi rkali

AB qordis simetriuli β

rkaliT. miviRebT axal AβBC

figuras igive perimetriT,

radgan β rkalis sigrZe

tolia α rkalis sigrZis, axali

miRebuli figuris farTobi metia mocemuli figuris

nax. 1

C

B

A

α

6

farTobze daStrixuli AαβB nawiliT. aqedan gamom-

dinare AαBC figura gare qordiT ar SeiZleba iyos

maqsimaluri igive perimetris mqone sxva figurasTan

SedarebiT.

mocemuli P perimetris mqone maqsimaluri figuris

meore SesaniSnavi Tviseba mdgomareobs SemdegSi:

Tu maqsimaluri ABCD figuris nebismieri AC

qorda mis P perimetrs or tol nawilad yofs, maSin

farTobic or tol nawilad gaiyofa (nax. 2).

vTqvaT ABC figuris P

farTobi metia ADC figuris

Q farTobze. SevcvaloT

ADC wiri AEC wiriT,

romelic simetriulia ABC

wirisa AC qordis mimarT.

vTqvaT axali ABCE figura,

romlis perimetria P metia

ABCD figuraze, radgan misi perimetria 2P, ABCD

figuris farTobi tolia P+Q da P>Q, magram es

SeuZlebelia, Tu ABCD figura namdvilad aris

maqsimaluri.

nax. 2

A

B

P

C

Q

D E

7

Steineris pirveli meTodi emyareba mis ZiriTad or

Teoremas:

1. ori gverdiT mocemuli samkuTxedidan, im

samkuTxedis farTobia udidesi, romlis gverdebic

urTierTperpendikularulia (nax. 3).

nax. 3

mocemuli naxazi saSualebas gvaZlevs davrwmundeT

aRniSnuli Teoremis samarTlianobaSi, vinaidan udidesi

simaRle ekuTvnis AC1B marTkuTxa samkuTxeds, (rogorc

viciT samkuTxedis farTobi fuZisa da simaRlis nam-

ravlis naxevris tolia). gamomdinare aqedan ΔAC1B-s

aqvs udidesi farTobi.

2. saerTo fuZis mqone ori samkuTxedidan, romelTac

ferdebis jami toli aqvT, mcire farTobi aqvs im

C4 C1 C2

C3

A B

8

samkuTxeds, romelsac miekuTvneba fuZesTan mdebare

oTxi kuTxidan umciresi da udidesi ori kuTxe

(nax. 4)

nax. 4

ganvalagoT AB saerTo fuZis mqone ADB da ACB

samkuTxedi, romelTac ferdebis jami toli aqvT ise,

rom, aRniSnuli samkuTxedebis didi ferdebi gamodiodes

saerTo fuZis A wverodan. A wverosTan mdebare α da γ

kuTxeebi naklebia B wverisTan mdebare β da δ kuTxeebze.

davuSvaT ∠CAB metia ∠DAB-ze. aseT SemTxvevaSi

ADB samkuTxedis D wvero unda mdebareobdes ABC

samkuTxedis gareT, winaaRmdeg SemTxvevaSi ACB texili

G′ C G

γ A B β

D E

F

δ α

9

meti iqneboda ADB texilze, rac sawinaaRmdego iqneboda

winaswar daSvebuli ferdebis jamis tolobisa, amitom

∠CBA naklebia ∠DBA-ze maSasadame kuTxe γαβδ >>> ;

rogorc naxazidan Cans δ da γ kuTxeebi warmoadgenen

udidess da umciress α, β, γ da δ kuTxeebidan,

romlebic mdebareoben samkuTxedebis AB saerTo

fuZesTan, amasTanave δ da γ kuTxeebi ekuTvnis ΔABC-s.

davamtkicoT rom ADB samkuTxedis farTobi naklebia

ACB samkuTxedis farTobze, radgan βγ < -ze, amitom

BE<AB-ze. Tu movzomavT EA-ze, EF=EB monakveTs, maSin

F wertili moTavsdeba A-sa da E-s Soris. Semdeg EC-ze

movzomoT ED-s toli EG monakveTi ED=EG. wertili

G moTavsdeba E-sa da C-s Soris. Tu G daemTxveoda C-s,

maSin ΔCEF da ΔDEB iqneboda tolebi. ise rom CF

gverdi toli iqneboda DB gverdis.

pirobis Tanaxmad ki:

DBABCBAC +=+

an DBEDFEAFEBCEAC +++=++ .

radgan viciT, rom

EDCE = ; EFEB = .

aqedan vRebulobT, rom

FCAFDBAFAC +=== - rac SeuZlebelia.

10

Tu G′ wertili, romlisTvisac EDEG = , mdebareobs

EC-s gagrZelebaze. analogiurad migviyvanda absurdul

Sedegamde, rom wrfe AC tolia AFG′C texilisa.

radgan EFGEDB Δ=Δ , maSin ΔADB-s farTobi toli

iqneba ΔAEB-s da ΔEFG-s farTobis jamisa, romelic

warmoadgens ACB samkuTxedis Semadgenel nawilebs,

aqedan gamomdinareobs rom ACBADB Δ<Δ . risi

damtkicebac gvindoda.

damtkicebuli Teoremebidan gamomdinareobs, rom

erTi da igive fuZiTa da ferdebis jamis tolobiT,

tolferda samkuTxedis farTobi yovelTvis metia sxva

nebismieri samkuTxedis farTobze.

2. Teorema izoperimetruli

samkuTxedebis Sesaxeb

Steineris mier damtkicebuli brtyeli figurebis

ramodenime aTeuli Teoremebidan ganvixilavT yvelaze

gavrcelebul Teoremebs.L

Teorema. izoperimetruli samkuTxedebidan udidesi

farTobi aqvs tolgverda samkuTxedebs.

Steineris es Teorema Semdegnairad mtkicdeba:

11

Tu p perimetris mqone ABC samkuTxedi aris

udidesi, maSin misi yvela gverdi unda iyos toli, e.i.

tolgverda.

vTqvaT BCAB ≠ , maSin aigeba tolferda samkuTxedi

AB′C igive AC fuZiTa da p perimetriT. aRniSnuli

Teoremis Tanaxmad misi farTobi meti iqneba ABC

samkuTxedis farTobze, rac SeuZlebelia.

ganvixiloT Teoremis damtkicebis sruli varianti.

mocemuli Y samkuTxedi SevcvaloT, izoperimetruli

G tolferda samkuTxediT. aRniSnul samkuTxeds igive

fuZe hqondes, rac Y samkuTxeds, ise rom G >Y.

samkuTxed G-Si fuZisa da gverdis fardoba aRvniSnoT y

absoluturi sididiT |y|. mocemul G samkuTxedis

ferdze, rogorc fuZeze avagoT izoperimetruli

tolferda G1 samkuTxedi. advili SesamCnevia, rom

sxvaoba fuZesa da ferds Soris G1 samkuTxedSi toli

iqneba 2y. garda amisa G1>G. Tu G samkuTxedis fuZed

miviRebT mis erT-erT tol ferds, romelzedac Cven G1

samkuTxeds vagebT, maSin orive izoperimetrul

samkuTxeds eqneba erTi da igive fuZe oRond G1

12

samkuTxedi iqneba tolferda, xolo G samkuTxedi ara.

G1 samkuTxedis ferdze avagoT izoperimetruli

tolferda samkuTxedi G2, ise rom G2>G1-ze da fuZisa

da ferdis sxvaoba G2 samkuTxedSi toli iqneba −4y

is

da a.S.

miviRebT G, G1, G2, G3... Gn izoperimetruli samkuTxe-

debis usasrulo mwkrivs, sadac nGGGGG <<<>< 321

da fuZesa da ferds Soris sxvaoba miiswrafis 0-isaken.

;y y21

; y41

; yy n21

81

aqedan gamomdinare Gn samkuTxedi uaxlovdeba igive

perimetris mqone tolgverda T samkuTxeds. aRniSnuli

mtkicebulebebi aradakmayofilebelia imis gamo, rom es

procesi usasrulod grZeldeba. Steineris mier migne-

bul iqna aRniSnuli Teoremis damtkicebis srulyo-

fili meTodi.

vTqvaT mocemulia sxvadasxva gverda samkuTxedi p

perimetriT. gardavqmnaT igi igive perimetris mqone

tolferda G samkuTxediT.

fuZed aviRoT U samkuTxedis udidesi gverdi, ise

13

rom UG ≥ (tolobisas (=) ganixileba is SemTxveva,

roca samkuTxedi tolferdaa da fuZe > ferdze).

vTqvaT ABC samkuTxedi aris G samkuTxedi (nax. 5),

radgan misi AB fuZe metia TiToeul ferdze. maSin igi

p perimetris mesamedze meti iqneba. Tu fuZeze gadav-

debT perimetris mesamedis ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ p

31

tol BD monakveTs,

maSin D wertili moTavsdeba A da B wertilebs Soris.

BC gverdis gagrZelebaze C wertilisaTvis yovelTvis

moiZebneba iseTi E wertili, rom ACADECDE +=+

aRniSnul SemTxvevaSi ABC da DEB samkuTxedis

perimetrebi urTierT toli iqneba. Tu pBC31

< , maSin

BC<BD, ise rom −∠>∠ CDBBCD ze aqedan gamomdinare

−∠<∠ ADCDCE ze. e.i. ori mocemuli ADC da DCE

izoperimetruli samkuTxedebidan pirvels aqvs udidesi

kuTxe saerTo fuZesTan. meore Teoremis Tanaxmad vRebu-

lobT, rom ΔADC-s farTobi naklebia ΔDEC-s farTobze.

DCB samkuTxedis damatebiT vgebulobT, rom ACB sam-

kuTxedis farTobi naklebia DEB samkuTxedis farTobze.

14

nax. 5

avagoT BD fuZeze tolferda DFB samkuTxedi igive

p perimetriT. misi farTobi metia DEB izoperimetrul

samkuTxedis farTobze, vinaidan gverdebi erTmaneTis

tolia fuZe ki p31

-s tolia, aqedan gamomdinare DFB

tolgverda samkuTxedi aRmoCnda yvelaze didi nebis-

mierad aRebul U samkuTxedze igive perimetriT.

A D

E

C

B

F

15

3. Teorema izoperimetruli

samkuTxedebis Sesaxeb

Teorema: mocemuli p perimetris mqone nebismieri

oTxkuTxedidan udidesi farTobi aqvs kvadrats (nax. 6).

nax. 6

aviRoT nebismieri p perimetris mqone ABCD

oTxkuTxedi. gavyoT igi AC diagonaliT or ABC da

ACD samkuTxedebad, SevcvaloT aRniSnuli samkuTxedebi

AEC da ACF tolferda samkuTxedebiT, igive AC fuZiT,

p perimetriTa da Sesabamisi didi farTobiT. miRebuli

E

BE′

G′ G H H′

C

F′

DF′

A

16

axali AECF oTxkuTxedi metia mocemul ABCD-ze. EF

wrfe perpendikularulia AC-s Sua wertilisa da

AECF figuras yofs or simetriul AEF da CEF

samkuTxedebad, radgan AE=EC da AF=FC. gardavqmnaT

AEF da CEF samkuTxedebi GEF da HEF tolferda

samkuTxedebad, sadac SenarCunebuli iqneba EF fuZe da

perimetrebi. miRebuli axali GEHF figura metia AECF

figuraze warmoadgens rombs, radgan simetriuli

samkuTxedebi gardaiqmna tol-tolferda samkuTxedebad.

isRa dagvrCebia rombis gverdebi gadavaadgiloT

ise, rom G da H wertilebSi kuTxeebi marTi gaxdes,

maSin rombi gardaiqmneba GFHE ′′′′ kvadratad p

perimetriT.

pirveli Teoremis Tanaxmad GEF da HEF

samkuTxedebis farTobebi gaizrdeba ise, rom miRebuli

kvadrati meti iqneba rombze da aqedan gamomdinare meti

iqneba Tavdapirvelad mocemul ABCD oTxkuTxedis

farTobze.

nax. 6

17

4. Sebrunebuli Teorema umciresi

perimetris mqone figurebis Sesaxeb

Cvens mier ganxilul amocanebSi, wrewiris sigrZe,

tolgverda samkuTxedis da kvadratis perimetrebi

iTvleboda mocemulad, xolo saZiebeli iyo yvelaze

meti farTobis mqone figura. yovel aseT amocanas Tan

axlavs Sebrunebuli amocana, rodesac ganxilulia far-

Tobi da saZiebelia yvelaze naklebi perimetris mqone

figura. aRniSnuli amocana ganxilulia naSromis dasaw-

yisSi: `rogori forma unda mivceT mocemuli farTobis

mqone brtyel figuras, rom misi perimetri iyos rac

SeiZleba patara~. am kiTxvis pasuxi aris wrewiri, vinaidan

pirdapiri Teoremis, Tanaxmad, viciT, rom wrewiris

sigrZe metia yovelgvar izoperimetrul figuris peri-

metrze. am kiTxvis pasuxi martivi dasamtkicebelia, Tu

ganvixilavT, Semdeg Teoremas: wre yvelaze didi izope-

rimetruli figuraa yvela danarCen figurebs Soris.

ganvixiloT toli farTobis mqone V wre da W

elifsi.

axali V′ wre, romelsac igive perimetri aqvs

rogorc W elifss – masze didi iqneba ganxiluli

18

Teoremis Tanaxmad. aqedan gamomdinare VV >′ , rogorc

viciT did wres didi perimetri Seesabameba da amitom

V ′ wris perimetri, romelic W elifsis perimetris

tolia meti iqneba V wris perimetrze. risi damtkicebac

gvindoda.

analogiurad – tolgverda samkuTxeds aqvs umci-

resi perimetri mis msgavs yvela sxva toldid samkuT-

xedebTan SedarebiT.

kvadrats umciresi perimetri aqvs yvela sxva

danarCen toldid oTxkuTxedebTan SedarebiT.

es da maTi msgavsi Seqcevadi Teoremebi mtkicdeba

Cvens mier ganxiluli meTodiT. Tu CavTvliT, rom

pirdapiri Teorema sworia, aRniSnuli mtkicebebis

saerTo sqemis SesamuSaveblad Tavidanve saWiroa

SeTanxmeba zogierTi terminebis mimarT.

yvela saxis figuraSi Cven vgulisxmob `forma~-s da

`zoma~-s. erTi da igive formas Seesabameba sxvadasxva

zomis uamravi figura. yvela eseni erTmaneTis msgavsia.

CvenTvis saintereso amocanebSi ganvixilavT gansa-

kuTrebuli `klasis formebis~ kuTvnil formebs. aseTi

`klasis formebs~ warmoadgenen erT SemTxvevaSi yvela

19

brtyeli figurebis formebi. meore SemTxvevaSi yvela

oTxkuTxedebis formebi da a.S. ganxiluli amocanebis

amonaxsns warmoadgens esa Tu is forma – mag. wrewiri,

kvadrati da a.S.

5. Sebrunebuli Teorema erTnairi

farTis mqone figurebis Sesaxeb

davuSvaT, rom damtkicebulia pirdapiri Teorema

`yvela izometrul figurebs Soris, romlebic ekuTv-

nian C klasis formas, yvelaze meti farTi aqvs F

formis figuras. am SemTxvevaSi SeiZleba davamtkicoT

Semdegi Sebrunebuli Teorema: erTnairi farTis mqone

yvela figuraTa Soris romlebic ekuTvnian C klass,

yvelaze naklebi perimetri aqvs F formis figuras~.

amis dasamtkiceblad F formis figura aRvniSnoT

P-Ti da Sesadareblad aviRoT nebismieri Q figura,

romlis forma miekuTvneba C klass da romlis far-

Tobi P figuris farTobis tolia. avagoT P figuris

msgavsi P′ figura, romelsac eqneba F figuris forma

da Q figuris toli perimetri.

pirdapiri Teoremis mixedviT P′ figuris farTobi

20

metia Q figuris farTobze an misi farTobis mqone P

figuris farTobze. magram viciT, rom P′ da P figura

msgavsni arian. aqedan gamomdinare p′ figuris perimetri

an misi toli Q figuris perimetri metia P figuris

perimetrze.

pirdapiri da uku Teoremebis ganxiluli damoki-

debulobis mniSvnelobis da samarTlianobisaTvis movi-

yvanoT kidev erTi mtkicebuleba.

rogorc cnobilia msgavsi figurebis farTobebi

warmoadgenen maTi perimetrebis kvadratebs. amis gamo

nebismier `forma~-s ekuTvnis R koeficientis gansazRv-

ruli mniSvneloba, romelic akavSirebs S figuris

farTobs mis p perimetrTan Semdegi formuliT

2pkS ⋅= .

marTlac, Tu p1, p2, p3… gansazRvraven perimetrebs

da S1; S2, S3… gansazRvraven erTi da imave formis

figurebis farTobs, maSin aRniSnuli Teoremis mixedviT

23

322

221

1

pS

pS

pS

==

Tu k-Ti aRvniSnavT am damokidebulebaTa saerTo

sidides, miviRebT zemoaRniSnul formulas.

21

Tu ganxiluli klasis formebis k koeficientebs

Soris arsebobs Tundac erTi kM yvelaze didi koefi-

cienti, aRniSnuli formula gviCvenebs, rom mocemuli

p0 figura, romlis formasac ekuTvnis es koeficienti

aqvs yvelaze didi farTobi

.20pkS MM ⋅=

aseTi farTobis pirobebSi imave formis S0 figuras

eqneba yvelaze naklebi pm perimetri, romelsac

ganvsazRvravT formulidan 20 mm pkS ⋅= . amrigad, erTi

da igive forma emsaxureba pirdapiri da Seqcevadi

amocanebis pasuxebs. yvela sakiTxi daiyvaneba ganxiluli

k koeficientebidan yvelaze didi koeficientis arse-

bobis mtkicebaze da misi Sesabamisi formis dadgenaze.

SemdgomSi Cven moviyvanT mxolod im Seqcevadi

Teoremebis Sinaarss, romelTa damtkicebac xorciel-

deba naCvenebi sqemis mixedviT.

6. Teorema naxevarwris farTobis

Sesaxeb

Teorema. Tavisufali formis L Semowirulobis

mqone l sigrZis da nebismieri L sigrZis G CamonaWeriT,

22

yvelaze meti farTobi aqvs naxevarwres, romlis rkalic l

sigrZisaa.

piriqiT: `yvela Tanabari sididis figurebidan,

romlebic gansazRvrulia nebismieri G sigrZis Camona-

WeriT da nebismieri sigrZis L wrfiT, yvelaze naklebi

sigrZe aqvs L wrfis naxevarwrfes~.

davuSvaT, ABC da A1B1C1 (nax. 7) warmoadgenen

naxevarwres da romeliRac sxva figuras, romlebic

akmayofileben pirdapiri Teoremis pirobebs.

nax. 7

mocemuli figurebis gadakecviT AC da A1C1 wrfeze

miviRebT or axal figuras: ABCD wrewirs da misgan

gansxvavebul A1B1C1D1 figuras romelTa perimetrebi 2l-

is tolia. wrewiris Teoremis Sesabamisad, ABCD

wrewiri metia A1B1C1D1 figuraze. amitom ABC

AA

B

D

C

B1

D

C1

23

naxevarwre metia A1B1C1D1 figuris naxevar A1B1C1

figuraze.

7. Teorema wris segmentis farTobis

Sesaxeb

Teorema: sworxazobrivi monakveTiT da nebismieri

formis L wrfiT gansazRvruli figurebidan L wrfis

mocemuli sigrZis dros yvelaze meti farTobi aqvs

wris segments, romelic Semoifargleba a qordiT da L

rkaliT.

yvela Sesadarebeli figurebis farTobebis erT-

nairi sididis SemTxvevaSi, wris segments ekuTvnis

yvelaze mokle L wrfe.

damtkiceba. ganvixiloT wris segmenti aα (nax. 8)

da sxva romelime figura

aL, amasTanave L wrfis sigrZe

tolia wris α rkalis

sigrZisa. α rkali SevavsoT

β rkaliT srul wrewiramde.

wrewiris Sesaxeb Teoremis

Sesabamisad gvaqvs, rom wre-

α

a

L

β

nax. 8

24

wiri aβ metia Lβ izoperimetrul figuraze.

amrigad, aα segmenti metia aL figuraze. Teoremis

meore nawilis dasamtkiceblad davuSvaT, rom wrewi-

ris aα segmenti da aL figura (nax. 8). Tanabari

sididisaa. SevavsebT ra, aα segments aβ srul wrewi-

ramde gavigebT, rom es wrewiri Lβ figuris Tanatoli

sididisaa. amitom wrewiris perimetri naklebia Lβ-s

perimetze. aqedan gamomdinare rkali L wrfeze naklebia.

uSualod am Teoremidan gamomdinareobs saintereso

daskvnebi.

Tu romelime figuras raime pirobebSi aqvs udidesi

farTobi, misi sazRvrebis yvela nawils, romelic aer-

Tianebs raime or uZrav wertils da amocanis pirobis

Tanaxmad SeiZleba hqondes nebismieri forma, gansazRvruli

sigrZis dacviT, unda warmoadgendes wrewiris rkals.

SemdgomSi, n qordebs Soris moqceul wris nawils

vuwodebT figuras, romelic SemosazRvrulia, romelime

wrewiris n qordebiT da am qordebis SemaerTebeli

rkalebiT.

25

8. Teorema figurebis udidesi farTobisa

da umciresi perimetris Sesaxeb

Teorema: yvela saxis figurebidan, romlebic gan-

sazRvrulia mocemuli sididis a da b sworxazovani

monakveTebiT da maTi daboloebaTa SemaerTebeli nebis-

mieri formis erTi an ori wrfiT, a da b monakveTebs,

rogorc qordebs Soris, moqceul wris nawils aqvs

udidesi farTobi yvela Sesadarebeli figurebis tolo-

bisas da umciresi perimetri Sesadarebeli figurebis

farTobebis tolobisas.

damtkiceba. SevadaroT erTmaneTs wris K nawili da

nebismieri sxva F figura, romelic akmayofilebs

Teoremis I nawilis pirobebs (nax. 9) SevavsoT K figura

srul K1 wrewiramde, daStrixuli segmentebis mimatebiT.

aseTive segmentebi mivumatoT F figuris perimetris a

da b monakveTebs, rac mogvcems axal F1 figuras. K1

wrisa da F1 figuris perimetrebi tolia, ise rom

11 FK > . Tu gamovaklebT tol segmentebs miviRebT, rom

.FK >

Tu K da F figurebi erTi da imave sididisaa, maSin

K1 da F1-ic iqnebian erTi da imave sididis, ise, rom

26

wrewiris Sesaxeb uku Teoremis Tanaxmad K1 perimetri

naklebia F1 perimetrze. aqedan gamomdinare

11 llll ′+′<+

nax. 9

SeniSvna. bolo Teoremis formulireba TvalnaTliv

gansazRvravs, rom arsebobs saWiro Tvisebebis mqone

wris nawili anu pirvel SemTxvevaSi, roca igi Semo-

sazRvrulia a da b qordiT da mocemuli sigrZis

rkaliT an rkalebiT (rasac moiTxovs perimetrTa

toloba) da meore SemTxvevaSi SemosazRvrulia moce-

muli sididis farTis mqone a da b qordebiT.

radgan arsebobs wris aseTi nawilebi, Teorema

samarTliania da mtkiceba rCeba ZalaSi.

ismeba kiTxva – yovelTvis arsebobs wris aseTi

nawili? Turme arsebobs wris nawili, romelic akmayo-

l

K F

l1

b a

b

a

l′

1l ′

27

filebs Teoremis I naxevris moTxovnilebebs, Tu ki

arsebobs Tundac erTi figura, romelic akmayofilebs

am moTxovnilebebs. amisaTvis ki saWiro da sakmarisia,

rom mocemuli p perimetri da a da b monakveTebi

akmayofilebdnen utolobas

||)( babap −>+− .

aRniSnuli Teoremis pirobebs SeiZleba akmayofileb-

des wris ara erTi, aramed ramdenime nawili. am SemTx-

vevaSi, ra Tqma unda ar vTvliT gansxvavebulad wris iseT

nawilebs, romlebic miiReba a da b qordebis mocurebis

Sedegad. radgan wris nawilebis farTobi da perimetri,

romelic moTavsebulia maT Soris, rCebian ucvlelni.

rogorc Cans wris saZiebeli nawili yovelTvis

erTaderTia. yvela es daskvnebi advilad mtkicdeba, Tu

ganvixilavT didi radiusis wris, CavxazavT masSi a da

b qordebs, Semdeg TandaTanobiT SevamcirebT mis

diametrs a da b qordebis udides monakveTamde.

amave dros mxedvelobaSi unda viqonioT is, rom a

da b qordebiT mocemuli wridan SeiZleba gamovyoT

wris ori sruliad sxvadasxva nawili, mis SigniT da

gareT mdebare c centrebiT.

28

bolo Teorema davamtkicoT im SemTxvevisaTvis,

roca mocemulia ara ori, aramed meti raodenobis

monakveTebi naaa ,,, 21 da p perimetri (an S farTobi).

am SemTxvevaSic yvelaze met farTobs (an yvelaze

nakleb perimetrs) flobs wris is nawili, romelic

moTavsebulia mocemuli monakveTebze – rogorc qordebs

Soris da aqvs mocemuli perimetri (an mocemuli

farTobi).

Cven SegviZlia davamtkicoT Teoremis is nawili,

roca mocemuli perimetri monakveTebis jamis tolia

naaap +++= 21 .

ise, rom monakveTebis daboloebaTa SeerTebis Sedegad

miRebuli wrfis sigrZe daiyvaneba nulamde da mTeli

figura gardaiqmneba naaa ,,, 21 gverdebis mqone

mravalkuTxedebad.

9. Teorema mravalkuTxedebis farTobis

Sesaxeb

Teorema: ,,, cba gverdebiani mravalkuTxedebidan

yvelaze didi farTobi aqvs imas, romelzedac SeiZleba

SemovxazoT wrewiri.

29

damtkiceba: warmovidginoT c wrewirSi Caxazuli

naaa ,,, 21 gverdebiani K mravalkuTxedi, xolo K ′

imave gverdebiani meore mravalkuTxedi. orive mraval-

kuTxedebi igulisxmebian rom arian amozneqilni (nax. 10).

aRvniSnoT σ1-iT a1

qordiT Semofargluli

ori rkalidan is, romelic

ar mdebareobs qordis im

mxares, sadac K mraval-

kuTxedi, naaa ,,, 21

gverdebs mivudgaT orive

K da K ′ mravalkuTxede-

bis σσσ nz aaa ,,, 221 seg-

mentebi. amis Sedegad K gardaiqmneba C wrewirad, xolo

K ′ romeliRac F figurad, romlis perimetri C

wrewiris garSemowerilobis tolia.

amrigad C wrewiri metia F figuraze. movacilebT

ra segmentebs, miviRebT, rom Caxazuli K mravalkuT-

xedi metia K ′ mravalkuTxedze.

SeniSvna: vaCvenoT, rom yovelTvis arsebobs rome-

nax. 10

A1

A0

A′n

A′3

An

A3

A2 A′2 A

30

liRac wrewirSi Caxazuli mravalkuTxedi mocemuli

naaa ,,, 21 gverdebiT, Tu yoveli gverdi naklebia

danarCeni gverdebis jamze.

aviRoT didi R radiusiani didi wrewiri da misi

nebismieri A wertilidan gavataroT yvelaze didi

gverdis toli AA1 rogorc qorda (nax. 10). davuSvaT

es aris a1 gverdi. imave A wertilidan orive mxares

gavataroT yvela danarCeni naaa ,,, 32 rogorc qor-

debi nn AAAAAA 1322 ,,; − da nn AAAAAA ′′′′′ −1322 ,,, .

Tu R sakmaod didia, es ori mwkrivi qordebisa ar

gadakveTen erTmaneTs, amasTanave AAn da nAA ′ simetriu-

lad ganlagdebian wrewiris centris mimarT.

garda amisa sakmaod didi R-is SemTxvevaSi qordebis

erTi rigi mag. I, romelic mimarTulia A-dan A1-saken

gadakveTis AA1 qordas. ase wertili An ganlagdeba A1

wertilis iqeT (radganac pirobis Tanaxad naaaa 321 +< ).

qordebis meore rigi ki ar miaRwevs AA1 qordas.

Tu R-s SevamcirebT wrewiris garSemoweriloba

Semcirdeba. rkalebis sigrZe qordebis daWimvis Sedegad

gaizrdeba. (mcire radiusis mqone rkali gadafaravs

31

didi radiusis mqone rkals erTi da imave qordis

pirobebSi). amrigad, An nA′ wertilebs Soris mdebare

rkali (romelic ar Seicavs A wertils) iwyebs

TandaTanobiT Semcirebas, amave dros AA1 qorda iwyebs

centrTan miaxlovebas, xolo A1 wertili miuax-

lovdeba A0 wertils, A wertilis mimarT diametriulad

sawinaaRmdego mxares A0 wertili yofs nn AA ′ rkals

Suaze, romelic TandaTan xdeba patara, amis Semdeg An

da nA′ wertilebi miiswrafian A0-saken R-is Semdgomi

Semcirebisas (vidre amis gakeTeba SeiZleba, e.i. vidre

)2 1aR > wertilebi An da nA′ agrZeleben gadaadgi-

lebas pirvandeli mimarTulebiT, radgan nAAA2 da

nAAA ′′2 rkalebi iqnebian naxevar wrewirze.

Tu An da nA′ wertilebi gaivlian A0-ze adre,

vidre A1 wertili miaRwevs A0-s, maSin R-is Semdgomi

Semcirebisas A1 da nA′ aucileblad Sexvdebian erTma-

neTs an SeiZleba miiswrafodnen Sesaxvedrad.

Tu A1 miva A0-Tan adre, vidre An, maSib iqneba

iseTi momenti, rom A1 daemTxveva An-s (e.i. iarsebebs

aseTi R sidide).

32

bolos SeiZleba adgili hqondes mesame SemTxvevas,

rodesac nn AAA ′,,,1 erTdroulad miaRweven A0-s.

Cven vxedavT, rom yvela sam SemTxvevaSi erTaderTi

SesaZlebloba arsebobs, gvqondes R sidide, roca A1

emTxveva an nA′ an An-s anda erTdroulad orive

wertils. am damTxvevebs Seesabameba wrewirSi Caxazuli

Sekruli naaa ,,, 21 gverdebis mqone mravalkuTxedebi.

amrigad, saZiebeli Caxazuli naaa ,,, 21 gverdebiani

mravalkuTxedi arsebobs.

aRsaniSnavia, rom aseTi mravalkuTxedebi ar

SeiZleba iyos erTze meti.

davuSvaT K1 da K2 Caxazuli mravalkuTxedebia

naaa ,,, 21 gverdebi. ganvixiloT, an K1 an K2 rogorc

wrewiris nawili. bolo Teoremis mtkicebebis Sesaba-

misad – erTi mxriv 21 KK > , meore mxriv 12 KK > .

Tu K1 da K2 Caxazulia sxvadasxva wrewirSi.

aseTi Sedegis absurduloba gviCvenebs, rom K1 da K2

Caxazulebi unda iyvnen erTi da imave wrewirSi. aseTi

mravalkuTxedebi kongruentulebi an simetriulebi

arian. SevniSnavT. rom Caxazuli mravalkuTxedebis

33

gverdebis SenacvlebiT, Cven ver SevcliT mis verc

perimetrs da verc farTobs.

10. lema ori samkuTxedis Sesaxeb

lema: `Tu ori samkuTxedis fuZe da perimetri

Sesabamisad tolia, maSin im samkuTxedis gverdebis

sxvaobaa meti, romlis fuZesTan mdebare kuTxeebis

sxvaobac metia. Tu am samkuTxedebidan erTi tolferdaa,

xolo meores aqvs sxvadasxva sigrZis gverdebi da

kuTxeebi, maSin sxvaoba nulis tolia.

aRniSnuli lema davamtkicoT saerTo fuZis mqone

or ara tol ferdebian ACB da ADB samkuTxede-

bisaTvis ise, rom maTi wveroebi mdebareobdes fuZis

Sua wertilidan aRmarTuli marTobis erTY mxares (nax.

11). imis gamo, rom DBADCBAC +=+ A D wertili

unda mdebareobdes ACB samkuTxedis gareT. Tu βα > ,

maSin y>δ , ise rom ay −>− βδ meore mxriv gverdebi

=+++=+ ECBEEDAEBCAD

BDACEDBEECAE +>+++= )()(

ise rom

.BCACBDAD −>−

34

amrigad, ADB samkuTxedis fuZesTan mdebare

kuTxeebi da gverdebis sxvaoba metia ACB samkuTxedis

Sesabamis sidideebTan SedarebiT.

rogorc naxazidan Cans, yvelaze didi δ kuTxe da

yvelaze patara β kuTxe saerTo fuZis pirobebSi, oTxi

kuTxidan ekuTvnis ADB samkuTxeds. aRniSnuli Δ-is

farTobi naklebia ΔACB-s farTobze.

amrigad, toli fuZisa da perimetris SemTxvevaSi

im samkuTxedis farTobia naklebi, romlis gverdebis

sxvaobac metia.

11. Teorema toli perimetrebis mqone

wesieri mravalkuTxedebis Sesaxeb

Teorema. yvela izoperimetrul n kuTxedebidan

didi farTobi gaaCnia wesier n kuTxeds (aRniSnuli

A

C

Bβ

α

D

γ

δ

nax. 11

35

Teorema Cvens mier damtkicebulia samkuTxedebis,

oTxkuTxedebisa da wrewirSi Caxazul n kuTxedebisa-

Tvis).

SegviZlia davamtkicoT, rom nebismieri n kuTxedi

naklebia romelime izoperimetrul tolgverdebian n

kuTxedze. CvenTvis cnobili Teoremis Tanaxmad, tol-

gverda wesieri n kuTxedi naklebia, aseTive gverdebian

wrewirSi Caxazul n kuTxedze.

vTqvaT, mocemulia abcde gverdebiani ABCDE n

kuTxa mravalkuTxedi. saWiroa davamtkicoT rom aRniS-

nuli mravalkuTxedi naklebia σ tolgverdebian izope-

rimetrul mravalkuTxedze (nax. 12).

sadac n

edcba ++++=σ SevniSnavT, rom amozne-

qili mravalkuTxedis nebismier mezobel gverdebs

SeiZleba SevucvaloT adgilebi, ise rom ar Seicvalos

mravalkuTxedis perimetri da farTobi. marTlac, Tu

ΔABC-s SemovabrunebT AC gverdis Suawertilis marTobis

irgvliv, a da b gverdebi Seicvlian adgilebs, xolo

samkuTxedis da Sesabamisad mravalkuTxedis farTobi

darCeba ucvleli.

36

vsargeblobT, ra am TvisebiT, SegviZlia mravalkuT-

xedis gverdebi ganvalagoT CvenTvis sasurveli wesiT

da amave dros SevunarCunoTYmas farTobic da perimetric.

im SemTxvevaSi Tu ABCDE mravalkuTxedis yvela

gverdi ar aris erTmaneTis toli, maSin maT Soris

unda iyos erTi gverdi mainc, romelic metia yvela

gverdis saSualo ariTmetikul σ-ze da Tundac erTi

gverdi, romelic σ-ze naklebi iqneba.

es gverdebi SeiZleba ganvalagoT gverdigverd.

davuSvaT es gverdebia a da b (nax. 13).

ba <>σ .

ΔABC romelic Seicavs am gverdebs, SevcvaloT

−′Δ CBA Ti, romlis gverdTa jami igivea. xolo

σ=′BA . imis gamo, rom

b

B′ B

A

a a

C

e

E d

b

D

e

nax. 12

37

BCABCBBA +=′+′

BCBAAB >′>

maSin bBCCB =>′

aABCB =<′

e.i. bCBa >′> .

amrigad BA ′ da CB′ gverdebis sigrZe moTavsebu-

lia a da b gverdebs Soris, amitom

baCBBA −<′−′ .

bolo lemis safuZvelze davadgenT, rom

−Δ>′Δ ABCCBA ze

amrigad, CDEBA ′ mravalkuTxedi erTnairi peri-

metrebis dros aqvs didi farTobi, vidre ABCDE-s.

amasTanave misi erTi AB′ gverdi σ-s tolia.

SeiZleba moxdes ise, rom σ=′CB Tu amas ar aqvs

A

B′ B

σ a b

C

cd

DE

nax. 13

38

adgili, e.i. CB′ gverdi σ<> maSin es gverdi SeiZleba

movaTavsoT im gverdTan erTad, romelic σ<> da naCve-

nebi meTodis mixedviT SevcvaloT erT-erTi romelime

maTgani σ toli gverdiT. amave dros mravalkuTxedis

perimetri darCeba ucvleli, xolo farTobi gaizrdeba.

Tu gavagrZelebT amgvar moqmedebebs Cven miviRebT

mravalkuTxeds, romlis yvela gverdi iqneba σ-s

tolis. aseTi toli gverdebis mqone mravalkuTxeds

toli perimetris SemTxvevaSi eqneba didi farTobi

ABCDE mravalkuTxedTan SedarebiT.

12. Teorema toli perimetrebis mqone

wesieri mravalkuTxedis Sesaxeb

wesieri mravalkuTxedebis Sesadareblad n da

kn + gverdebis mqone mravalkuTxedebisTvis marTebulia

Semdegi Teorema. toli perimetrebis pirobebSi n

gverdebiani wesieri mravalkuTxedi naklebia n+1

gverdebian wesier mravalkuTxedze.

amis dasamtkiceblad ABCDEF wesieri mravalkuT-

xedis BC gverdze aviRoT O wertili da SevaerToT

mopirdapire A wverosTan (nax. 14).

39

imis gamo, rom BCAB = , −> BOAB ze. aqedan

ΔABO mcirea tolferdebian ΔAB′O-ze. romlis fuZe

AO da perimetri erTi da igivea. ise rom, ABCDEF

mravalkuTxedis n-kuTxedi mcirea AB′CDEF mravalkuT-

xedis (n+1) kuTxedze.

amrigad, Tanabari perimetrebis mqone tolgverde-

biani samkuTxedi kvadratze mcirea, es ki mcirea wesier

xuTkuTxedze, wesier eqvskuTxedze da a.S.

ganvixilavT ra wrewirs, rogor usasrulo gver-

debian wesier mravalkuTxeds, davaskvniT, rom wrewiris

sigrZe yovelTvis metia masSi Caxazul nebismier wesier

E

F

A

B′ B

O

C

D

nax. 14

40

mravalkuTxedze, romlis perimetri misi garSemoweri-

lobis tolia.

rogorc wrewiris ganxiluli Teoremidan viciT –

wrewiri metia yovelgvari sxva brtyeli izoperimet-

rul figuraze, kerZod didia yvela wesier izoperimet-

rul mravalkuTxedze. amrigad vRebulobT logikur

wrewirs.

amasTanave bolo Sedegebamde SegviZlia mivideT

wrewiris Sesaxeb Teoriis gareSec, Tu warmovidgenT,

mocemul perimetriani yvelaze n kuTxeTa Soris

arsebobs yvelaze didi. aqedan SegviZlia advilad

davamtkicoT CvenTvis saWiro Teorema imis Sesaxeb, rom

erTnairi perimetrebis dros wesieri n kuTxedi metia

yvela arawesier n kuTxedze.

dasamtkiceblad aviRoT arawesieri n kuTxedi

ABCDE da vaCvenoT, rom is ar SeiZleba iyos yvelaze

didi, analogiuri perimetris mqone sxva n kuTxedTan

SedarebiT. Tu ABCDE mravalkuTxeds aqvs aratoli

gverdebi, ise rogorc zemoT iyo naCvenebi. aseTi n

kuTxedi mcirea, aseTive gverdebis mqone nebismieri

izoperimetrul n kuTxedze. aqedan gamomdinare ABCDE

41

n kuTxedi ar SeiZleba iyos didi.

ganvixiloT tolgverdebiani ABCDE arawesieri n

kuTxedi. aRniSnuli mravalkuTxedis kuTxeebi aratolia,

winaaRmdeg SemTxvevaSi is iqneba wesieri.

davuSvaT, BCDABC ∠>∠ (nax. 15) Tu gavagrZe-

lebT AB-s DC-s O wertilSi gadakveTamde, maSin

−∠<∠ OCBOBC ze. aqedan gamomdinare OBOC < -ze.

OBCΔ SemovabrunoTY da davamTxvioT masze ise, rom O

wertili darCes Tavis adgilas, xolo OB da OC

gverdebma Seicvalon adgilebi. samkuTxedi daikavebs

CBO ′′ mdebareobas, romlis drosac BCCB ′=′

CBBC ′′= amave dros samkuTxedebi BBC ′ da BCB ′′

erTmaneTis tolia. aqedan gamomdinare DEBCA ′′ n

kuTxeds aqvs iseTive perimetri da farTobi, rogoric

ABCDE-s.

exla ki AC′ da BC ′′ gverdebi toli ar aris. ase,

rom BCA ′′ samkuTxedis axali tolferda samkuTxediT

SecvliTYigive AB′ fuZeze da igive perimetriT, Cven

gavzrdiT DEBCA ′′ n kuTxedis farTobs perimetris

Seucvlelad.

42

gamomdinare aqedan arawesieri mravalkuTxedi ar

SeiZleba iyos maqsimaluri im SemTxvevaSic ki, rodesac

misi gverdebi erTmaneTis tolia.

A

BC′

O

CB′

DE

nax. 15

43

literatura

1. Д.А. Крыжановский. О максимальных и минимальных

свойствах плоских фигур. Одесса, 1913.

2. Погорелов. Элементарная геометрия. Москва. 1972.

3. v. klopski, z, skopeci, m. iagodovski. geometria.

`ganaTleba~. Tbilisi, 1979.

4. teqnikuri terminologia. `mecnierebaTa akademiis

gamomcemloba~. Tbilisi, 1957.

44

Sinaarsi

Sesavali ............................................................................................. 3

1. i. Steineris Teoremebi .............................................. 5

2. Teorema izoperimetruli

samkuTxedebis Sesaxeb .............................................. 10

3. Teorema izoperimetruli

samkuTxedebis Sesaxeb ............................................... 15

4. Sebrunebuli Teorema umciresi

perimetris mqone figurebis

Sesaxeb ............................................................................................. 17

5. Sebrunebuli Teorema erTnairi

farTis mqone figurebis Sesaxeb ................ 19

6. Teorema naxevarwris farTobis

Sesaxeb .............................................................................................. 21

7. Teorema wris segmentis farTobis

Sesaxeb .............................................................................................. 23

8. Teorema figurebis udidesi farTobisa

da umciresi perimetris Sesaxeb .................... 25

9. Teorema mravalkuTxedebis farTobis

Sesaxeb .............................................................................................. 28

10. lema ori samkuTxedis Sesaxeb ........................ 33

11. Teorema toli perimetrebis mqone

wesieri mravalkuTxedebis Sesaxeb ........... 34

12. Teorema toli perimetrebis mqone

wesieri mravalkuTxedis Sesaxeb ................. 38

literatura ..................................................................................... 43

kompiuteruli uzrunvelyofa e. zariZis

ibeWdeba avtorTa mier warmodgenili saxiT

gadaeca warmoebas 26.03.2009. xelmowerilia dasabeWdad

14.04.2009. qaRaldis zoma 60X84 1/16. pirobiTi nabeWdi Tabaxi 2,5.

tiraJi 100 egz.

sagamomcemlo saxli `teqnikuri universiteti~, Tbilisi,

kostavas 77

i.m. `goCa dalaqiSvili~,

q. Tbilisi, varkeTili 3, korp. 333, bina 38