MỘT S Ố PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT TH ƯỜNG DÙNG · 2016. 8. 22. · do vi ệc tr ả l...
Transcript of MỘT S Ố PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT TH ƯỜNG DÙNG · 2016. 8. 22. · do vi ệc tr ả l...
81
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG
3.1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
3.1.1. Định nghĩa phân phối nhị thức
Định nghĩa 3. 1. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với
tham số , , 0 1n p p< < nếu nó có miền giá trị { }Im 1, 2,...,X n= và có phân phối xác
suất:
( ) ( ). 1 , 0,1,2,...,n kk k
nP X k C p p k n−
= = − = (3.1)
Kí hiệu ( );X B n p∼ .
Một biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức là biến ngẫu nhiên chỉ số lần
thành công trong quá trình Bernoulli ( );B n p .
Khi 1n = , ta kí hiệu gọi là phân phối Bernoulli và kí hiệu là ( )B p . Chúng ta
có kết quả sau:
Định lí 3. 1. Cho ,X Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị
thức: ( )~ ,X N n p và ( )~ ,Y B m p . Khi đó, ( )~ ,X Y B n m p+ + .
Hệ quả. Cho các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối Bernoulli ( )B p
1 2, ,..., nX X X , khi đó biến ngẫu nhiên ( )1 2 ... ~ ,nX X X X B n p= + + + .
3.1.2. Kỳ vọng, phương sai và mode
Xét biến ngẫu nhiên ( )1 2 ... ~ ,nX X X X B n p= + + + , trong đó . Từ phân
phối xác suất của iX ta suy ra ( )iE X p= và ( ) ( )1iD X p p= − với mọi
1,2,...,i n= . Từ tính chất của kỳ vọng và phương sai ta có:
1
n
i
i
EX EX np=
= =∑ và ( )
1
1n
i
i
DX DX np p=
= = −∑ (3.2)
Như vậy, nếu X là một biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức ( ),B n p thì:
EX np= và DX npq= với 1q p= − .
Từ Mục 1.4.3., ta suy ra
( )mod 1X n p= + (3.3)
3.1.3. Các định lí
Định lí 3. 2. ( De Moivre −−−− Laplace địa phương ).
Giả sử X ~ B (n, p). Đặt q = 1 − p, khi đó:
82
( )2
1 1lim ( ) . . 0
22P exp
n
k npX k
npqnpqπ→∞
− = − − =
Định lí 3. 3. ( De Moivre −−−− Laplace tích phân )
Giả sử X ~ B(n, p). Đặt q = 1 − p, khi đó với mọi số thực a và b (a < b):
( )2
1 1lim ( ) . . 0
22P exp
b
na
x npa X b dx
npqnpqπ→∞
− ≤ ≤ − − =
∫
3.1.4. Các công thức tính xác suất và ví dụ
Cho ( )~ ,X B n p ,
- Để tính xác suất có k lần thành công, ta áp dụng (3.1):
( ) ( ). 1 , 0,1,2,...,n kk k
nP X k C p p k n−
= = − =
- Tính xác suất có từ 1k đến 2k lần thành công:
( ) ( )2 2
1 1
1 2 , 1k k
k k n k
n
k k k k
P k X k P X k C p q q p−
= =
≤ ≤ = = = = −∑ ∑ (3.4)
Tính xác suất có ít nhất một lần thành công:
( ) ( )1 1 0 1 , 1nP X P X q q p≥ = − = = − = − (3.5)
Số lần thành công nhiều khả năng nhấ, áp dụng công thức (3.3):
( )mod 1X n p= +
Trường hơp n khá lớn, ta có công thức tính gần đúng phân phối nhị thức như
sau:
- Nếu n khá lớn ( 100n ≥ ) và p không quá gần 0 và 1, tức là 5np > và
5nq > thì
( ) 2 11 2
k np k npP k X k
npq npq
− −≤ ≤ ≈ Φ − Φ
(3.6)
Với ( )2 / 21
2
x
tx e dtπ
−
−∞
Φ = ∫ (Xem Bảng 1, Phụ lục)
- Nếu n khá lớn ( 100n ≥ ) và p gần 0 hoặc 1, tức là 5np < hoặc 5nq < thì
( )( )
.!
k
npnpP X k e
k
−= ≈ (3.7)
( )( )2
1
1 2 .!
kknp
k k
npP k X k e
k
−
=
≤ ≤ ≈∑ (3.8)
(Xem Hệ quả Định lí Poisson)
83
Ví dụ 3. 1. Một khách hàng mua xe tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì
được quyền trả xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mau
xe. Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho đại lý 250 ngàn VNĐ. Có 50 xe
được bán ra. Xác suất để một xe bị trả lại là 0,1.
a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả. Tính xác suất để có nhiều nhất 2 xe bị trả lại.
b) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà tổng đại lý phải chịu
do việc trả lại xe.
Giải
Gọi X là số xe bị trả lại trong số các xe được bán ra. Ta có ( )~ 50;0,1X B .
a) Kỳ vọng số xe bị trả lại 50.0,1 5EX np= = = (chiếc)
Phương sai số xe bị trả lại:
50.0,1.0,9 4,5DX npq= = =
Xác suất có nhiều nhất hai xe bị trả lại:
( ) ( )2 2
50
50
0 0
2 .0,1 .0,9 0,1117k k k
k k
P X P X k C −
= =
≤ = = = =∑ ∑
b) Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thiệt hại của đại lý do việc bị trả lại xe. Ta
có 250Y X= .
Kỳ vọng của tổng thiệt hại là: 250 250.5 1250EY EX= = = (ngàn VNĐ).
Độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại:
| 250 | 530,3Y Xσ σ= = (ngàn VNĐ)
Ví dụ 3. 2. Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi. Nhà
máy thử thách người dự tuyển 7 lần. Mỗi lần nhà máy đem ra 4 sợi giống nhau, trong
đó chỉ có một sợi thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật. Nếu chọn đúng ít nhất 6
lần thì được tuyển dụng. Một người đến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn qua là có
thể phân biệt sợi thật hay giả với xác suất 80% ".
a) Nếu người này nói đúng khả năng của mình thì xác suất được tuyển dụng
là bao nhiêu?
b) Tính xác suất để được tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người này
không biết gì về sợi cả.
Giải
a) Gọi B : “Người dự tuyển nhận đúng sợi thật”. Nếu người này nói đúng
khả năng của mình thì: ( ) 0,8P B = .
Gọi X là BNN chỉ số lần chọn đúng trong 7 lần thử. ( )~ 7;0,8X B .
Đặt A : “Người này được chọn”
( ) ( ) ( ) 6 6 7 7
7 76 7 .0,8 .0,2 .0,8 0,5767P A P X P X C C= = + = = + =
b) Nếu người dự tuyển không biết gì về sợi thì ( ) 0,25p P B= = .
84
Khi đó ( )~ 7;0, 25X B
Xác suất người đó được tuyển:
( ) ( ) ( ) 6 6 7 7
7 76 7 .0,25 .0,75 .0,25 0,0014.P A P X P X C C= = + = = + =
Ví dụ 3. 3. Giả sử ngày sinh của người dân trong một thành phố lớn có thể rơi
ngẫu nhiên vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày). Chọn ngẫu nhiên 1095 người
trong thành phố đó. Tính xác suất để :
a) Có hai người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
b) Có không quá 7 người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
Giải
Gọi X là BNN chỉ số người có cùng ngày sinh trong 1095 người . Ta có:
1~ 1095;
365 X B
Vì 1095 30n = > và 1
1095. 3 5365
np = = < nên có thể áp dụng công thức
tính gần đúng.
Xác suất để có 2 người có cùng ngày sinh đã cho:
( )2
232 . 0,2240
2!P X e−= ≈ =
Xác suất để có không quá 7 người có cùng ngày sinh đã cho:
( )7
3
0
37 . 0,9881
!
k
k
P X ek
−
=
≤ = =∑
Ví dụ 3. 4. Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt động độc lập
nhau, và xác suất để mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân
(viết tắt là CCN) là 0,3.
a) Tính xác suất để, trong ca làm việc, có
1) 4 máy CCN
2) từ 3 đến 7 máy CCN
b) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN? Trong ca làm việc,
tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng.
Giải
a) Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc, ( )~ 12;0,3X B
{ }12
12( ) (0,3) (0,7) , 0,1,2, ,12P Ck k k kX k − ∈ …= = , k ∈ {0,1,2,…,12}
1) Xác suất có 4 máy CCN:
4 4 8
12( 4) (0,3) (0,7) 0, 2311P CX = = =
2) Xác suất có từ 3 đến 7 máy CCN:
85
(3 7) ( )7
=3
P Pk
X X k≤ ≤ = =∑
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291= 0,7376.
b) Số máy CCN trung bình:
( ) 12 0,3 3,6E X = × =
Số máy CCN nhiều khả năng nhất:
( ) 13 0 .[ ],3 3Mod X = × =
Xác suất tương ứng: ( )3 0, 2397P X = = .
Ví dụ 3. 5. Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là 0,2
để kiểm tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
a) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa để xác suất có ít nhất một hạt lép không
bé hơn 95% ?
b) Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất để trong đó có 25 hạt lép; có từ
10 đến 40 hạt lép.
Giải
a) Gọi n là số hạt lúa cần lấy. Vì số hạt lúa trong kho rất lớn, nên các lần
lấy xem như độc lập. Xác suất để trong n hạt lúa lấy ra, không có hạt lép nào là
( )0,8n
.
Theo giả thiết:
( ) ( )1 0,8 0,95 0,8 0,05ln (0,05)
13,4251ln (0,8)
n n
n− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥ =
Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa.
b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số hạt lép trong mẫu thì ( )~ ,X B n p , với
100n = và 0,2p = . Vì 30; . 20 5n n p> = > và ( ). 1 80 5n p− = > nên chúng ta có
thể áp dụng các công thức gần đúng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác suất để có 25 hạt lép:
25 25 75
100( 25) (0, 2) (0,8) 0,04388P CX = = =
(ii) Xác suất để có từ 10 đến 40 hạt lép:
40 100 0,2 10 100 0,2
( )100 0,2 0,8 100 0,2
10 0,
4 0 8
P X − × − ×
Φ − Φ≤ ≤ ≈ × × × ×
(5) ( 2,5) 1 (1 (2,5)) (2,5)= Φ − Φ − = − − Φ = Φ
10 40 ( 0,9938)P X⇒ ≤ ≤ =
86
Ghi chú: Ta có thể tính xác suất phân phối nhị thức từ phần mềm Excel. Cho
( )~ ,X B n p khi đó để tính ta dùng hàm ( ) ( , , ,0)=BINOMDISTP X k k n p= và
( ) ( , , ,1)=BINOMDISTP X k k n p≤ .
Ví dụ 3. 6. Cho ( )~ 50;0,3X B . Tính ( )16P X = và ( )12 20P X≤ ≤ .
Ta có ( )16 (16,50,0.3,0) 0,1147=BINOMDISTP X = = .
( ) ( ) ( )12 20 20 11
(20,50,0.3,1) (11,50,0.3,1) 0,8132.=BINOMDIST BINOMDISTP X P X P X≤ ≤ = ≤ − ≤
− =
3.2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
3.2.1. Định nghĩa phân phối siêu bội
Định nghĩa 3. 2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội (hay siêu
hình học) tham số , ,N T n , kí hiệu là ( )~ , ,X H N T n nếu
( ){ }Im / max(0, ) min ,X k n N T k T n= ∈ − + ≤ ≤� và
( ) , Imk n k
T N T
n
N
C CP X k k X
C
−
−= = ∈ (3.9)
3.2.2. Kỳ vọng và phương sai
Cho ( )~ , ,X H N T n , đặt ; 1T
p q pN
= = − khi đó
Kỳ vọng của X : EX np= (3.10)
Phương sai: 1
N nDX npq
N
−=
−. (3.11)
Ví dụ 3. 7. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại A. Lấy
ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong
các sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X . Tính ( ) ( ),E X D X .
Giải
Ta có ( )~ 10,7,3X H , ( )3
7 3
3
10
, 0,1, 2,3k kC C
P X k kC
−
= = =
Khi đó ta có bảng phân phối xác suất:
k 0 1 2 3
( )P X k= 1
120
7
40
21
40
7
24
Kỳ vọng: 7
3. 2,110
EX = =
87
Phương sai: 7 3 7
3. . . 0, 491 10 10 9
N nDX npq
N
−= = =
−.
Ngoài ra, để tính xác suất phân phối siêu bội bằng Excel ta dùng công thức
( ) ( , , , )HYPGEOMDISTP X k k n T N= =
Ví dụ 3. 8. Như ở Ví dụ 7, Ta có
( )7
1 (1,3,7,10)40
HYPGEOMDISTP X = = = .
3.3. PHÂN PHỐI POISSON
3.3.1. Định nghĩa phân phối poisson
Định nghĩa 3. 3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham
số 0λ > , kí hiệu à ( )~X Poisson λ , nếu X có miền giá trị ImX = � có phân phối
xác suất
( ) , 0, 0,1, 2,...!
k
P X k e kk
λλλ−= = > = (3.12)
3.3.2. Kỳ vọng và phương sai
Cho ( )~X Poisson λ . Khi đó
a) Kỳ vọng: EX λ= (3.13)
Thật vậy, 0 1
( )! ( 1)!
e eEk k
k k
X kk k
λ λλ λ− −+∞ +∞
= =
= =−
∑ ∑
1
1 ( 1)!e
k
k k
λ λλ λ
−+∞−
=
= =−
∑
b) Phương sai : DX λ= (3.14)
Thật vậy, ta có:
( )22DX EX EX= −
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
0 1 1
1 1
1
2 1
2 1
2
! ! 1 !
11 ! 1 !
2 ! 1 !
k k k
k k k
k k
k
k k
k k
e e eEX k k k
k k k
e kk k
ek k
e e e
λ λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λλ
λ λλ λ
λ λ λ λ
− − −+∞ +∞ +∞
= = =
− −+∞−
=
− −+∞ +∞−
= =
−
= = =−
= − +
− −
= +
− −
= + = +
∑ ∑ ∑
∑
∑ ∑
Suy ra, DX λ= .
3.3.3. Mô hình
Giả sử chúng ta quan tâm đến số lần xảy ra của một sự kiện A trong một
khoảng thời gian hoặc không gian liên tục có chiều dài w; với điều kiện là số lần xảy
88
ra trong những khoảng không giao nhau là độc lập nhau, và xác suất xuất hiện A
nhiều hơn một lần trong khoảng đó là rất bé. Hơn nữa, “cường độ” xuất hiện A là
không thay đổi, nghĩa là số lần xuất hiện trung bình của A trong một khoảng chỉ phụ
thuộc vào độ dài của khoảng đó.
Với các điều kiện trên, nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A
trong một khoảng chiều dài w thì người ta chứng minh được rằng X tuân theo luật
phân phối Poisson với tham số λ = mw, trong đó m là một hằng số dương chỉ “cường
độ” xuất hiện của A.
Thí dụ, số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút tại một trạm nào đó; số lỗi
trên một trang giấy trong một quyển sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới một cơ sở
trong một tháng; . . . .
Biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện nêu trên đã được nhà toán học Simeon
D. Poisson nghiên cứu và hình thành phân phối Poisson.
3.3.4. Các định lí
Định lí 3. 4. (Định lý Poisson) Giả sử trong một dãy n phép thử độc lập, một biến cố A xuất hiện với xác suất np trong mỗi phép thử. Nếu khi n → ∞ mà pn → 0
sao cho n.pn = λ (λ là một hằng số dương) thì với mọi k ∈ {0,1,2,…,n}, chúng ta
có:
lim (1 ) .!
Ck
k k n k
n n nn
p p ek
λλ− −
→∞− = (3.15)
Chứng minh.
Ta có ( 1)( 2)...( 1)
(1 ) 1!
Ck n k
k k n k
n n n
n n n n kp p
k n n
λ λ−
− − − − + − = −
1 2 1
1 1 ... 1 . 1!
n kk k
k n n n n
λ λ−
− = − − − −
Do đó,
lim (1 )!
Ck
k k n k
n n nn
p p ek
λλ− −
→∞− =
Hệ quả. Nếu X ~ B(n, p), với n >100 và (np < 5 hay n(1 − p) < 5)), thì chúng ta
có thể xem như X ~ Poisson (np).
Định lí 3. 5. Cho hai BNN X và Y độc lập. Nếu X ~ Poisson(µ) và Y ~ Poisson (λ)
thì BNN X + Y ~ Poisson (µ + λ).
Chứng minh.
Với mọi k ∈� ,
0 0
( ) ( , ) ( ). ( )k k
i i
P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i= =
+ = = = = − = = = −∑ ∑
89
( )
( )
! ( )!
0
0
.
!
( )!
i k ik
i k ii
ki i k i
k
i
k
e e
eC
k
e
k
µµ λ λ
µ λ
µ λ
µ λ
µ λ
−− −
−=
− +−
=
− +
=
=
= +
∑
∑
Vậy, X + Y ~ Poisson (µ + λ).
3.3.5. Các công thức tính xác suất và ví dụ
Nếu ( )~X Poisson λ
( ) , 0, 0,1, 2,...!
k
P X k e kk
λλλ−= = > =
( )2
1
1 2 .!
k k
k k
P k X k ek
λλ −
=
≤ ≤ =∑
Ngoài ra, ta có thể dùng phần mền Excel để tính xác suất theo phân phối
Poisson.
( ) ( ), ,POISSONP X k k FALSEλ= =
( ) ( ), ,POISSONP X k k TRUEλ≤ =
Suy ra:
( ) ( ) ( )1 2 2 1, , 1, ,POISSON POISSONP k X k k TRUE k TRUEλ λ≤ ≤ = − − .
Ngoài ra, từ Hệ quả của Định lý Poisson, nếu ( )~ , ,X B n p 100, 5n np> <
hoặc ( )1 5n p− < thì
( ) ( )( )
1 .!
k
n kk k np
n
npP X k C p p e
k
− −= = − ≈ .
Ví dụ 3. 9. Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận được 4 đơn đặt
hàng. Biết rằng số đơn đặt hàng X mà cơ sở nhận được trong một tuần là một BNN
có phân phối Poisson. Tính xác suất để cơ sở đó
(a) nhận được hơn 5 đơn đặt hàng trong một tuần
(b) nhận được 6 đơn đặt hàng trong hai tuần liên tiếp
Giải
(a) X ~ Poisson (4). Xác suất phải tính:
P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5)
= 5
4
0
41 .
!
k
k
ek
−
=
− ∑
= 1 − 0,7851 = 0,2149.
90
(b) Gọi Y là BNN chỉ số đơn đặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên
tiếp thì Y ~ Poisson(8). Xác suất phải tính:
( )6
886 . 0,1221.
6!P Y e−= = =
Ví dụ 3. 10. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để mỗi chai
bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0035. Tính xác suất để sau khi vận chuyển, có 6 chai
rượu bị vỡ; có từ 2 đến 8 chai rượu bị vỡ. (giả sử rằng sự kiện các chai rượu bị vỡ là
độc lập nhau, do chất lượng riêng của mỗi chai)
Giải
Gọi X là BNN chỉ số chai rượu bị vỡ sau khi vận chuyển, thì X ~ B(1000;
0,0035).
Xác suất để có 6 chai rượu bị vỡ:
6 6 994
1000( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709P X C= = =
Tính gần đúng:
Vì n = 1000 và n.p = 3,5 < 5, nên có thể xem: X ~ Poisson(3,5). Do đó:
( )6
3,53,5
( 6) . 0,07716!
P X e−= ≈ =
Xác suất để có từ 2 đến 8 chai rượu bị vỡ
( )83,5
2
3,5(2 8) .
!P
k
k
X ek
−
=
≤ ≤ ≈ =∑ 0,8543
3.4. PHÂN PHỐI CHUẨN
3.4.1. Định nghĩa phân phối chuẩn
Định nghĩa 3. 4. Biến ngẫu nhiên X liên tục được gọi là có phân phối chuẩn với
tham số µ và ( )2 0σ σ > , kí hiệu ( )2~ ,X N µ σ nếu nó có hàm mật độ
( )( )2
22
1. ,
2
x
f x e x
µ
σ
σ π
−−
= ∈� .
Khi 0µ = và 1σ = , ta viết ( )~ 0,1X N và ta nói X có phân phối chuẩn tắc.
Nếu ( )~ 0,1X N , thì hàm mật độ của X là:
( )2
21
.2
x
x eϕπ
−
= (Hàm Gauss)
91
Hình 3. 1 – Đồ thị hàm mật độ phân phối chuẩn tắc ( )0,1N
Và hàm phân phối xác suất của X là:
( )2
21
2
x t
x e dtπ
−
−∞
Φ = ∫ (Xem Bảng 1)
3.4.2. Kỳ vọng và phương sai
Nếu ( )2~ ,X N µ σ , thì kỳ vọng của X là µ và phương sai của X là 2σ .
Thật vậy,
2( )
221
( ) . .2
Ex
X x e dxµ
σ
σ π
−+∞−
−∞
= ∫
2
21
( )2
t
t e dtσ µπ
+∞−
−∞
= +∫
2 2
2 2
2 2
t t
te dt e dtσ µ
µπ π
+∞ +∞− −
−∞ −∞
= + =∫ ∫
2( )
22
2
2
2
22 2
1( )
2
.2
e
x
t
DX x e dx
t dt
µ
σµσ π
σσ
π
−+∞−
−∞
+∞−
−∞
= −
= =
∫
∫
Lưu ý: Do 2 2
2 221 11, 1
2 2
t t
e dt t e dtπ π
+∞ +∞− −
−∞ −∞
= =∫ ∫ và 2
2 0t
te dt
+∞−
−∞
=∫ .
Định lí 3. 6. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn
( )2~ ,X XX N µ σ và ( )2~ ,Y YY N µ σ , ,a b là các hằng số thực. Khi đó, biến ngẫu
nhiên Z aX bY= + có phân phối chuẩn ( )2,Z ZN µ σ với Z X Ya bµ µ µ= + và
2 2 2 2 2
Z X Ya bσ σ σ= + .
Định lí 3. 7. Cho ( )2~ ,X N µ σ khi đó ( )* ~ 0,1X
X Nµ
σ
−= .
92
3.4.3. Tính xác suất phân phối chuẩn
Để tính xác suất phân phối chuẩn ta nhớ công thức sau:
Nếu X có hàm phân phối ( )F x thì ( ) ( ) ( )P a X b F b F a< ≤ = − . Do đó ta
có các công thức tính như sau:
� Đối với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc ( )~ 0,1Z N có hàm phân
phối của nó là hàm ( )2 / 21
2
x
tx e dtπ
−
−∞
Φ = ∫ thì
( ) ( ) ( )P a Z b b a< ≤ = Φ − Φ (3.16)
( ) ( )1P Z a a≥ = − Φ (3.17)
( ) ( )P Z b b≤ = Φ (3.18)
Lưu ý rằng với ( )~ 0,1Z N , Z là biến ngẫu nhiên liên tục nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a Z b P a Z b P a Z b P a Z b b a< ≤ = ≤ ≤ = ≤ < = < < = Φ − Φ
Như vậy, ta tra bảng tìm giá trị ( )aΦ và ( )bΦ . Do hàm ( )xΦ có tính chất
( ) ( )1x xΦ − = − Φ nên trên bảng giá trị của hàm Φ chỉ tính các giá trị với 0x > .
Mặt khác vì với 4x ≥ thì ( ) 1xΦ ≈ nên trên bảng chỉ tính với 4x ≤ . Với x nhận
giá trị lớn hơn 4 xem như ( ) 1xΦ = .
Ngoài ra, từ công thức
� Đối với biến ngẫu nhiên ( )2~ ,X N µ σ , dùng công thức biến đổi ta có
( )* ~ 0,1X
X Nµ
σ
−=
Do đó,
( ) *a b b aP a X b P X
µ µ µ µ
σ σ σ σ
− − − − < ≤ = < ≤ = Φ − Φ
(3.19)
Ngoài tra bảng tìm giá trị ( )xΦ , ta có thể dùng máy tính bỏ túi loại CASIO
fx-570ES như sau:
- Chuyển sang chế độ thống kê 1 biến: Mode, 3, 1, AC.
- Bấm chọn hàm Φ : Shift, 1, 7 (nếu máy Plus chọn 5),1.
93
- Nhập giá trị x vào, bấm dấu “=”.
Ví dụ, tính ( )2Φ , ta nhập P(2 , nhấn dấu “=”, ta được ( )2 0,97725Φ = .
Đối với phần mềm Excel ta dùng hàm ( ) NORMSDIST(z)zΦ = .
Ví dụ 3. 11. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối
chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai ( )2
0,1 2mm . Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi
tiết
a) Có đường kính trong khoảng 19,99mm đến 20,02mm.
b) Có đường kính sai khác với đường kính trung bình không quá
0,05mm.
Giải
Gọi X là BNN chỉ đường kính của một chi tiết, ta có
( )( )2~ 20; 0,1X N
a) Có đường kính trong khoảng 19,99mm đến 20,02mm
( )
( ) ( )
20,02 20 19,99 2019,9 20,3
0,1 0,1
0,2 0,01 0,11909
P X− −
< < = Φ − Φ
= Φ − Φ − =
b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,05mm
( )0,05
20 0,05 2 1 0,382920,1
P X
− < = Φ − =
3.4.4. Quy tắc 3 xích ma
Cho biến ngẫu nhiên ( )2~ ,X N µ σ , khi đó
( )| |
| | 2 1X
P X Pµ α α
µ ασ σ σ
− − < = < = Φ −
(3.20)
Từ đó suy ra:
( ) ( )| | 2 1 1 0,68268P X µ σ− < = Φ − =
( ) ( )| | 2 2 2 1 0,9545P X µ σ− < = Φ − =
94
( ) ( )| | 3 2 3 1 0,9973 1P X µ σ− < = Φ − = ≈
Như vậy, xác suất để biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng ( )3 ; 3µ σ µ σ− + gần bằng 1. Nên có thể nói hầu như chắc chắn, X
nhận giá trị trong khoảng ( )3 ; 3µ σ µ σ− + . Quy tắc này được gọi là quy tắc 3σ (3
xích ma).
Ví dụ 3. 12. Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút)
a) Tính xác suất để một sản phẩm loại A nào đó được sản xuất trong khoảng
thời gian từ 9 phút đến 12 phút.
b) Tính khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ.
Giải
Gọi X là BNN chỉ thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A,
( )~ 10;1X N .
Xác suất phải tính:
12 10 9 10( )
19
112 P X
− − Φ − Φ
≤ ≤
=
( ) ( ) ( ) ( ) 2 – 1 2 1 –1
= 0,9772 + 0,8413 - 1
= 0,88185. =Φ Φ − =Φ + Φ
Theo qui tắc 3σ, hầu như chắc chắn X lấy giá trị trong khoảng:
[ ] [ ]10 3 1; 10 3 1 7; 13− × + × =
Vậy, thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ là từ 7 phút
đến 13 phút (hầu như chắc chắn).
3.4.5. Bách phân vị phân phối chuẩn
Định nghĩa 3. 5. Cho biến ngẫu nhiên ( )~ 0,1Z N khi đó với ( )0,1γ ∈ cho trước
tồn tại một số c sao cho ( )P Z c γ< = . Khi đó c được gọi là bách phân vị mức γ
của phân phối chuẩn ( )0,1N , ta kí hiệu là uγ .
95
Hình 3. 2 - Bách phân vị phân phối chuẩn
Để tra bách phân vị mức γ của phân phối chuẩn ta tra Bảng 1.
Lưu ý: Giá trị bách phân vị của phân phối chuẩn còn kí hiệu là 1z γ− , còn gọi là giá trị
tới hạn mức 1 γ− , giá trị tới hạn zα là giá trị sao cho ( )aP Z z α> = (tức là
1u zα α− = )
Có thể tra bách phân vị bằng công thức NORMSIN( )uγ γ=
Như vậy để tra giá trị tơi hạn mức α ta dùng Bảng 4 hoặc 1NORMSIN( )zα α= −
trong Excel.
3.5. MỘT SỐ PHÂN PHỐI KHÁC
Có rất nhiều các luật phân phối khác như: phân phối mũ, phân phối hình học,
phân phối đều, phân phối Gamma, phân phối Bêta, phân phối khi – bình phương,
phân phối Student, phân phối Fisher – Snedecor,…Ở đây để phục vụ cho phần thống
kê (ước lượng và kiểm định giả thiết) tôi giới thiệu ba phân phối sau: phân phối
Student, phân phối Fisher – Snedecor. Đối với ba luật phân phối này sinh viên cần
nắm các định nghĩa về bách phân vị và cách tra các giá trị đó cũng như cách tính các
giá trị đó bằng Excel.
3.5.1. Phân phối khi – bình phương ( )2χ
Định nghĩa 3. 6. Ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối khi – bình
phương với n bậc tự do *n∈� nếu X có hàm mật độ f được xác định trên �
bởi:
( )2 2
1
/ 2
1, 0
2 / 2( )
0, 0
vôùi
vôùi
n x
nx e x
nf x
x
− −>
Γ= ≤
, (3.21)
trong đó, kí hiệu Γ chỉ hàm Gamma xác định bởi biểu thức ( ) 1
0
x tx t e dt+∞
− −Γ = ∫ .
96
Kí hiệu: ( )2~X nχ .
Định nghĩa 3. 7. Giả sử X ~ χ2(n), nếu ( )P X c α> = thì c được gọi là giá
trị tới hạn mức α của phân phối χ2(n), kí hiệu: 2 ( )nαχ . (tra bảng 3)
Vậy, ( )2 ( )P X nαχ α> = (3.22)
Hình 3. 3 – Giá trị tới hạn phân phối ( )2 nχ
Ví dụ 3. 13. Cho 0,95α = tìm ( ) ( ) ( )2 2 2
115 , 20 , 15α α αχ χ χ − và ( )2
1 20 .αχ −
αααα
n
… 0,950 0,050
… … ..
15 .. 7,261 24,996
20 .. 10,851 31,410
Tra bằng Excel: Dùng hàm: ( )2
0,95 15 =CHIINV(0.95,15) = 7.2609χ
Nếu X ~ χ2(n) thì EX n= và 2DX n= . (3.23)
Định lí 3. 8. Giả sử các biến ngẫu nhiên 1 2, ,..., nX X X độc lập và cùng có phân
phối chuẩn N(0,1). Khi đó,
i) Các biến ngẫu nhiên 2
iX (i = 1,…, n) tuân theo luật ( )21χ ;
ii) Biến ngẫu nhiên 2 2 2 2
1 2 . . . nQ X X X= + + + tuân theo luật ( )2 nχ .
3.5.2. Phân phối STUDENT
Định nghĩa 3. 8. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối
Student (hay phân phối t ) với n bậc tự do nếu X có hàm mật độ f được xác định
bởi:
97
12 2
1
2( ) 1
2
nn
xf x
n nnπ
+−
+ Γ = +
Γ
với mọi x ∈� (3.24)
Kí hiệu: ( )~X t n .
Định nghĩa 3. 9. Giả sử ( )~T t n ; nếu ( )P T c α> = thì c được gọi là giá trị
tới hạn mức α của phân phối t(n), kí hiệu là ( )ntα (Xem bảng 2)
Như vậy, ( )( )n
P T tα α> = (3.25)
Hình 3. 4 – Giá trị tới hạn mức α phân phối Student n bậc tự do
Chú ý rằng khi n khá lớn ( 100n ≥ ), ( )ntα có giá trị xấp xỉ bằng uα. Do đó,
chúng ta có thể dùng uα. thay cho ( )ntα khi n > 100.
Định lí 3. 9. Cho các biến ngẫu nhiên X và Y độc lập. Nếu ( )~ 0,1X N và
( )2~Y nχ thì biến ngẫu nhiên
/T X
Y n=
tuân theo luật phân phối Student với n bậc tự do.
3.5.3. Phân phối Fisher −−−− Snedecor
Định nghĩa 3. 10. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối
Fisher với n và m bậc tự do khi X có hàm mật độ f được xác định bởi:
98
22 122
1 , 0( )
2 2
0 0
vôùi
vôùi
n mnn
n m
n nx x x
n mf x m m
x
+−
−
+ Γ + >
= Γ Γ
≤
(3.26)
Kí hiệu: ( )~ ,X F n m
Định lí 3. 10. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Nếu ( )2~X nχ và
( )2~Y mχ thì biến ngẫu nhiên
/
/
X nF
Y m=
tuân theo luật phân phối Fisher với n và m bậc tự do.
99
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1. Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản phẩm giả.
b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi
nào gặp sản phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số
sản phẩm thật đã kiểm tra.
3.2. Một thí sinh tham dự một kỳ thi hết môn phải làm một đề thi trắc nghiệm
khách quan gồm 50 câu; mỗi câu có 4 lời đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một lời
đáp án đúng. Thí sinh đó được qua môn nếu trả lời đúng ít nhất 20 câu.
a) Giả sử thí sinh đó không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời đáp án trong
cả 50 câu. Tính xác suất để thí sinh thi qua môn..
b) Giả sử thí sinh đó chắc chắn trả lời đúng được 10 câu; còn các câu khác thì
chọn ngẫu nhiên một trong 4 lời đáp án của mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh không
qua môn.
3.3. Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là 1 0,1p = ở lô B là
2 0,08p = và ở lô C là 3 0,15p = .
Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.
a) Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3
chai. Tính xác suất để có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C
rồi để lẫn lộn. Một người đến mua 1 chai về dùng, tính xác suất để được
chai tốt.
3.4. Một trạm bưu điện chuyển điện trong khoảng thời gian 10-5
giây. Trong quá
trình chuyển điện có các tiếng ồn ngẫu nhiên. Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên trong 1 giây
là 104. Nếu trong thời gian truyền tín hiệu có dù chỉ một tín hiệu ồn ngẫu nhiên thì
trạm sẽ ngừng làm việc. Tính xác suất để cho việc truyền tính hiệu bị gián đoạn. Biết
rằng số tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào trong khoảng thời gian truyền tín hiệu là biến
ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson.
3.5. Số lỗi trên 1 mét vuông vải là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
Poisson. Kiểm tra lô vải, người ta thấy 98% có lỗi. Vậy trung bình mỗi mét vuông
vải có bao nhiêu lỗi?
3.6. Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt động độc lập nhau, và
xác suất để mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân (viết tắt là
CCN) là 0,3.
c) Tính xác suất để, trong ca làm việc, có
1) 4 máy CCN
2) từ 3 đến 7 máy CCN
d) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN? Trong ca làm việc,
tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng.
100
3.7. Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là 0,2 để
kiểm tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
c) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa để xác suất có ít nhất một hạt lép không
bé hơn 95% ?
d) Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất để trong đó có 25 hạt lép; có từ
10 đến 40 hạt lép.
3.8. Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận được 4 đơn đặt hàng. Biết
rằng số đơn đặt hàng X mà cơ sở nhận được trong một tuần là một BNN có phân
phối Poisson. Tính xác suất để cơ sở đó
a) Nhận được hơn 5 đơn đặt hàng trong một tuần.
b) Nhận được 6 đơn đặt hàng trong hai tuần liên tiếp.
3.9. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để mỗi chai bị vỡ
trong khi vận chuyển là 0,0035. Tính xác suất để sau khi vận chuyển, có 6 chai rượu
bị vỡ; có từ 2 đến 8 chai rượu bị vỡ. (giả sử rằng sự kiện các chai rượu bị vỡ là độc
lập nhau, do chất lượng riêng của mỗi chai).
3.10. Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo luật phân
phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút)
a) Tính xác suất để một sản phẩm loại A nào đó được sản xuất trong khoảng
thời gian từ 9 phút đến 12 phút.
b) Tính khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ.
3.11. Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối 2( ),N µ σ . Biết rằng X lấy
giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516,
hãy tính µ và σ.
3.12. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối
chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai ( )2
0, 2 2mm . Tính xác suất lấy ngẫu nhiên
một chi tiết
a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.
b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm.
3.13. Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình một phút có hai xe ô tô đi qua.
Biết rằng số xe qua trạm trong một phút là biến ngẫu nhiên có luật phân phối
Poisson.
a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi
qua. Xác định t để xác suất này là 0,99.
3.14. Tại một nhà máy trung bình một tháng có hai tai nạn lao động.
a) Tính xác suất để trong khoảng thời gian ba tháng liên tiếp xảy ra nhiều
nhất 3 tai nạn.
b) Tính xác suất để trong 3 tháng liên tiếp, mỗi tháng xảy ra nhiều nhất một
tai nạn.
101
3.15. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hằng ngày trạm phải nộp thuế 8USD
cho 1 chiếc xe (dù xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc xe cho thuê với giá
20USD.
Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong một ngày là biến ngẫu nhiên X có phân
phối Poisson với tham số λ = 2,8.
a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm. Lập bảng phân phối xác
suất của Y . Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c) Để thu được nhiều tiền nhất trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
3.16. Ở thành phố A có 54% dân số nữ.
a) Chọn ngẫu nhiên 450 người. Tính xác suất để trong số đó số nữ ít hơn số
nam.
b) Giả sử chọn ngẫu nhiên n người. Xác định n để với xác suất 0,99 có thể
khẳng định rằng số nữ là nhiều hơn số nam.
3.17. Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 300.
a) Giả sử có 325 người dự thi và xác suất thi đậu của mỗi người là 90%. Tính
xác suất để số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu.
b) Cần cho phép tối đa bao nhiêu người dự thi (xác suất thi đậu vẫn là 90%)
để biến cố: “Số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu” có xác suất
nhỏ hơn 99%.
3.18. Một cửa hàng có 4 chiếc xe ô tô cho thuê; số khách có nhu cầu thuê trong một
ngày là một biến ngẫu nhiên X có phân bố Poisson. Biết rằng ( ) 2E X = .
a) Hãy tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày.
b) Cửa hàng cần ít nhất bao nhiêu ô tô để xác suất không nhỏ hơn 0,98 cửa
hàng đáp ứng nhu cầu khách trong ngày?
3.19. Số hoa mọc trong một chậu cây cảnh là một biến ngẫu nhiên có phân bố
Poisson với tham số 3µ = . Người ta chỉ đem bán các chậu cây với số hoa là 2, 3, 4
và 5 hoa?
a) Tính xác suất để một chậu trong các chậu đem bán có 2 hoa? 3 hoa? 4 hoa
và 5 hoa?
b) Tính số hoa trung bình và độ lệch tiêu chuẩn số hoa của các chậu hoa đem
bán.
3.20. Tại một trạm cấp cứu, số bệnh nhân đến trong một ngày là biến ngẫu nhiên
tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng bằng 2. Trạm có 4 giường. Tính xác
suất để
a) Trạm bị quá tải trong một ngày.
b) Khoảng thời gian giữa hai bệnh nhân đến nhỏ hơn 2/3 ngày.
3.21. Thời gian bảo hành sản phẩm được qui định là 3 năm. Nếu bán được một sản
phẩm thì cửa hàng lãi 500 ngàn đồng, nhưng nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian
bảo hành thì cửa hàng phải chi 1 tiệu đồng cho việc bảo hành. Biết rằng tuổi thọ của
sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm
và độ lệch chuẩn là 1,8 năm.
a) Tìm số tiền lãi mà cửa hàng hy vọng thu được khi bán mỗi sản phẩm.
102
b) Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm là 50 ngàn đồng thì
phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
3.22. Một xí nghiệp sản xuất máy tính có xác suất làm ra phế phẩm là 0,02. Chọn
ngẫu nhiên 250 máy tính để kiểm tra. Tính xác suất để:
a) Có đúng hai máy phế phẩm.
b) Có không quá hai máy phế phẩm.
3.23. Một khu nhà có 160 hộ gia đình. Xác suất để mỗi hộ có sự cố điện vào mỗi
buổi tối là 0,02. Tính xác suất để trong một buổi tối:
a) Có đúng 4 gia đình gặp sự cố về điện.
b) Có từ 2 đến 5 gia đình gặp sự cố về điện.
3.24. Chiều cao của một nhóm người có cùng độ tuổi là biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng là 165 cm và độ lệch chuẩn 5 cm.
a) Tính xác suất để một người trong nhóm trên có chiều cao trên 170 cm.
b) Tính tỉ lệ những người có chiều cao dưới 150 cm.
3.25. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập ( )2~ 10; 1,2 X N và ( )2~ 9; 0,5 . Y N
a) Tính ( )10,5 12P X≤ ≤ và ( ) 10 .P Y >
b) Tính ( ) P X Y> và ( ) 18P X Y+ < .