Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Toegepaste Wetenschappen Departement Burgerlijke Bouwkunde

Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

E2006 Promotor: L.Immers

Nathan Van Paesschen

2

Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van het auteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze eindverhandeling

Leuven, juni 2006

3

K.U.Leuven

Fakulteit Toegepaste Wetenschappen

Akademiejaar: 2005-2006 Departement: Burgerlijke Bouwkunde Adres en tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Naam en voornaam student: Van Paesschen Nathan Titel eindwerk: Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten Korte inhoud Eindwerk:

Bestaande analytische verkeersmodellen houden bij het berekenen van capaciteiten van kruispunten geen rekening met de interacties en conflicten tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispuntvlak. In deze thesis wordt nagegaan wat de invloed van deze interacties is op de capaciteit van een kruispunt. Hiertoe wordt er een computermodel ontwikkeld dat er specifiek op gericht is om deze interacties en hun invloed op de verkeersafwikkeling te modelleren. Deze zaken werden in de bestaande literatuur nog maar weinig bestudeerd. Het onderzoek toont aan dat bij geringe drukte, het aantal interacties tussen de verschillende stromen klein is. Hun invloed op de verkeersafwikkeling blijft zeer beperkt. Het onderzoek toont verder aan dat bij toenemende drukte, het aantal interacties echter zo sterk kan toenemen dat er zich zelfs een capaciteitsval van het kruispunt kan voordoen. Bij grote belastingsgraden blijken de huidige verkeersmodellen, die geen rekening houden met deze interacties, de capaciteit van een kruispunt vaak substantieel te overschatten. Promotor: prof. L. Immers Assessoren: prof. E. Peetermans dr. C. Tampre

4

K.U.Leuven

Fakulteit Toegepaste Wetenschappen

year: 2005-2006 Department: Burgerlijke Bouwkunde Address and tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Name and surname student: Van Paesschen Nathan Title of thesis: Analysing chaos on intersections using Monte-Carlo simulation techniques

Summary of thesis:

When calculating the capacity of junctions, current analytical traffic models dont take the interactions and conflicts between the different traffic flows on these junctions into account. As its main objective, this thesis analysed the influence of these interactions and conflicts on the total capacity of a junction. With the help of a self-created computer model, particularly focussed on the specific needs to model the interactions between traffic flows, the influence of conflicts between these flows on the capacity of junctions was studied. In the existing literature, this topic has almost never been studied. At low degrees of saturation, this influence turns out to be little. With increasing traffic however, the number of conflicts increases as well. The results of the research show that conflicts between the different traffic flows do not only have a limitation effect on the capacity of intersections. In some circumstances, they could even be the source of a capacity drop on the junction. In these situations, existing traffic models often overestimate the capacity of junctions. Estimations that at times can be too big to just ignore Promotor: prof. L. Immers Assessors: prof. E. Peetermans dr. C. Tampre

5

Dankwoord

Vooreerst wil ik mijn promotor, professor Immers bedanken. Hij gaf me, als een student van

de optierichting gebouwentechnieken, toch de mogelijkheid om mijn eindwerk bij de afdeling

verkeer en infrastructuur te schrijven. Hierdoor kreeg ik de mogelijkheid mijn thesis te

schrijven over een enorm boeiend onderwerp. Ook wil ik Eddy Peetermans bedanken voor het

feit dat hij wilde inspringen als tweede assessor van deze thesis. In het bijzonder wil ik ook

Chris Tampre heel erg bedanken. Als mijn personal coach wist hij me met zijn

enthousiamse, inzicht en gedrevenheid enorm te motiveren. Zonder zijn inbreng zou deze

thesis niet dezelfde zijn geweest.

6

7

0 Inleiding 10

1 Literatuurstudie 12

1.1 Inleiding 12

1.2 Traditionele verkeerstheorie 14 1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters 14 1.2.2 Vertraging 16

1.3 Nieuwe ontwikkelingen en methodes 18 1.3.1 methode van de conflictstromen 18

1.4 Verkeersstromen als wachtrijen 20

1.5 Besluit literatuurstudie 21

2 Modeldefinitie 23

2.1 Afwikkelingsbepalende elementen 23 2.1.1 Verkeerslichten 23 2.1.2 Voorrangsregels 24 2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling 24

2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom 25 2.1.3.2 Interacties tussen verschillende stromen 26 2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken 27

2.2 Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen 28 2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens 28 2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time 29

2.3 Aspecten met kleinere prioriteit 30 2.3.1 Voetgangers 30 2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook 30 2.3.3 Knipperlichten 30 2.3.4 Headway compressie 31 2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling 31

3 Conceptuele uitwerking van het model 32

3.1 Het Black Box Concept 32

3.2 Eigenschappen van de verschillende black boxes 34 3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes 34 3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes 35

3.2.2.1 Verkeerslichten 35 3.2.2.2 Capaciteit 36

3.3 Interacties tussen de verschillende wachtrijen 37 3.3.1 Toelevering 37

3.3.1.1 1-op-1-toelevering 37 3.3.1.2 1-op-m-toelevering 39

3.3.2 Hinder en vermindering 41 3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie 42

3.4 Omzetten van werkelijkheid naar model 44 3.4.1 Definiren van de wachtrijen 44

3.4.1.1 Level-1-rijen 45 3.4.1.2 Level-2-rijen 45

8

3.4.1.3 Level-3-rijen 46 3.4.1.4 Nummering 47

3.4.2 Aangeven van interacties 47

3.5 Tel- en tijdmatrices 48

3.6 Labelsysteem 50

3.7 Beperkingen in modellering 51

4 Verificatie 52

4.1 Wachtrijen als Markov-rijen 53 4.1.1 M/M/1 55

4.1.1.1 De kans op populatie k 55 4.1.1.2 Gemiddeld aantal wachtenden 58 4.1.1.3 De tijd gespendeerd in het systeem 59 4.1.1.4 Besluit M/M/1 59

4.1.2 Andere Markov-processen 60 4.1.3 Besluit simulatie van Markov-processen 60

4.2 Verkeerskundige processen 61 4.2.1 Interactie tussen twee stromen aan kruispunten zonder verkeerslichten 62

4.2.1.1 Capaciteit 62 4.2.2 Vertraging 65

4.2.2.1 Vertragingen berekend met tijdsonafhanlijke formules 65 4.2.2.2 Formules berekend met tijdsafhankelijke berekeningen 70

4.2.3 Vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten 72

4.3 Besluit verificatie 77

5 Hoofdstuk Toepassing 78

5.1 Situatieschets 79 5.1.1 Verschillende verkeersstromen 80 5.1.2 Verkeerslichtenregeling 81 5.1.3 Invloed van de verschillende stromen op elkaar 82

5.2 Berekeningen en resultaten 83 5.2.1 Verwaarlozen van de interacties 84 5.2.2 Inrekenen van interacties tussen stromen 91

5.2.2.1 Eerste orde hinder 91 5.2.3 Eerste en tweede orde hinder 98 5.2.4 Vertragingen 103

5.3 Invloed van karakteristieke parameters op de capaciteit van het kruispunt 105 5.3.1 De invloed van de bedieningstijd 106 5.3.2 Invloed van de hinderlengte 107

5.4 Conclusie 108

6 Besluit 109

7 Literatuuropgave 111 Afkortingenlijst 115

Lijst met figuren 116

Lijst met tabellen 117

9

Bijlage A: Werking van de simulatie 119

Bijlage B: Andere Markov-rijen 139

Bijlage C: Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing 148

Bijlage D: Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing 151

10

0 Inleiding

De impact van het verkeer op onze maatschappij wordt steeds groter. Dagelijks halen

verkeersopstoppingen het nieuws, en overal hoor je mensen klagen over de tijd die ze

verliezen tijdens de dagelijkse rit naar en van het werk. Een vlottere verkeersdoorstroming

zou voor vele pendelaars de werkdag heel wat aangenamer maken. Ook de mensen die hun

rustige straatje elke dag weer omgetoverd zien tot een drukke sluipweg zijn deze

verkeersoverlast liever kwijt dan rijk. De vaak stroef verlopende verkeerstromen hebben niet

alleen sociale gevolgen, ook de economische gevolgen zijn enorm. Dagelijks worden er

miljoenen euros aan arbeidsuren verspild met wachten in de file. Enorme wachtrijen aan

kruispunten zijn een economische ramp voor een stad. De middenstand in moeilijk

bereikbare stadskernen, zoals Mortsel, ziet al jaren haar omzet achteruit gaan. Ook het milieu

kreunt onder de impact van al de motoren die in de file staan te draaien en ondertussen tonnen

CO2 en andere schadelijke gassen de lucht insturen. De vraag vanuit maatschappij naar

oplossingen klinkt steeds luider.

Wanneer de verkeersafwikkeling over een verkeersnetwerk gesimuleerd wordt, dan wordt er

voor de capaciteit van kruispunten vaak met arbitraire aannames gewerkt. De

detailleringsgraad van macroscopische modellen is vaak niet fijn genoeg om de

verkeersafwikkeling op kruispunten op een verfijnde manier weer te geven. Bovendien blijkt

uit studie van de bestaande literatuur dat er over de impact van de interacties tussen

verschillende stromen op een kruispuntvlak, op de capaciteit van dit kruispunt, bijna geen

publicaties bestaan. Bestaande verkeersmodellen stellen de capaciteit van een kruispunt op op

basis van de intensiteit van de verschillende wegen die aan het kruispunt toekomen. Bij

stijgende verkeersvraag stijgt de intensiteit over het kruispunt, om uiteindelijk begrensd te

worden door de maximale capaciteit van het kruispunt. Wat er op het kruispuntvlak zelf

gebeurt, laten deze modellen buiten beschouwing. Zeker bij hogere saturatiegraden schieten

deze modellen tekort in hun benadering van de werkelijkheid. Deze thesis heeft als doel na te

gaan of interacties en conflicten tussen stromen op een kruispuntvlak weldegelijk een invloed

hebben op de capaciteit van een kruispunt. Ze wil geen afgewerkt geheel zijn, maar eerder een

aanleiding tot verder onderzoek onder de vorm van (post)doctoraatstudie.

11

In deze thesis is een computermodel opgesteld dat er precies op gericht is om de interacties

tussen de verschillende stromen op het kruispuntvlak te modelleren. Na de bespreking van de

literatuurstudie wordt uiteengezet wat de precieze vereisten voor het simulatiemodel zijn.

Deze vereisten zijn er vooral op gericht om met het simulatiemodel een toegevoegde waarde

te kunnen bieden ten opzichte van de bestaande onderzoeken en verkeersmodellen. De

simulatie is op een zodanige wijze geconcipieerd dat ze later nog kan dienen voor verder en

dieper onderzoek in navolging van deze thesis. Vanuit dit oogpunt is er dan ook uitgebreide

zorg besteed aan de verificatie van de resultaten van het computermodel. Uit deze verificatie

blijkt dat de simulaties de bekende formules en modellen, gelet op de aannames en

vereenvoudigingen die deze maken, zeer goed benaderen.

Het laatste hoofdstuk gaat aan de bestaande theorie voorbij. Er wordt met behulp van het

simulatiemodel een verkeerssituatie uitgewerkt. Door deze simulatie uit te voeren met en

zonder inrekenen van de interacties tussen stromen op het kruispuntvlak wordt nagegaan

welke fout de bestaande verkeersmodellen maken door deze interacties te verwaarlozen. Deze

fout blijkt in bepaalde omstandigheden zeer aanzienlijk te zijn. Bij stijgende verkeersbelasting

ontstaan er tussen de verschillende stromen op het kruispunt meer en meer conflictsituaties.

Er wordt aangetoond dat bij stijgende verkeersvraag de intensiteit van het kruispunt niet altijd

naar een bovengrens convergeert. Integendeel! Net door dit toenemende aantal conflicten

tussen de verschillende verkeersstromen kan vanaf een bepaald punt de capaciteit van het

kruispunt afnemen bij stijgende verkeersvraag. Er doet zich een capaciteitsval voor.

Uiteindelijk wordt er nog kort even ingegaan op enkele parameters die de aard van deze

capaciteitsval benvloeden. Welke al deze parameters zijn, en waar hun precieze invloed op de

capaciteit van het kruispunt zich precies situeert, paste niet meer in het bestek van deze thesis.

De thesis probeert een lans te breken voor dieper en uitgebreider onderzoek naar de

verkeersprocessen op het kruispuntvlak, en hun invloed op de capaciteit van het kruispunt en

het volledige netwerk. Enkel indien een goed inzicht verworven wordt in deze processen

zullen goede en betrouwbare voorspellingen kunnen gedaan worden in verband met de

prestaties van kruispunten, en van het hele netwerk

12

1 Literatuurstudie

1.1 Inleiding In deze thesis wordt bestudeerd welke de invloed is van de interacties tussen verkeersstromen

op de verkeersafwikkeling op en rond het kruispuntvlak . Bij verschillende belastingsgraden

zullen vertragingen, gemiddelde wachtrijlengtes en de capaciteit van kruispunten als

belangrijkste parameters voor deze verkeersafwikkeling met elkaar vergeleken worden.

Hiertoe wordt een simulatiemodel geprogrammeerd. Om een inzicht te krijgen in de

verkeersprocessen die geprogrammeerd dienen te worden wordt eerst een studie van de

literatuur in verband met deze processen en interacties gemaakt. Bovendien worden, na het

programmeren, de resultaten uit het simulatiemodel gestaafd worden met de analytische en

deterministische formuleringen die worden teruggevonden in de literatuur.

Voor wetenschappelijke publicaties daterend van voor 1999 hebben we ons gebaseerd op een

samenvatting van de meest relevante werken, gepubliceerd door de Transportation Research

Board (TRB). Naast dit rapport werden ook de nieuwe onderzoeksprojecten en papers

gepubliceerd tot en met 2005, die betrekking hebben op deze thesis, bestudeerd. Hiertoe

hebben we ons laten leiden door de proceedings van het jaarlijkse congres van de TRB.

In 1999 werd er door de TRB een rapport gepubliceerd [TRB]. Het is een door de TRB

verbeterde versie van een monografie, product van een samenwerking tussen The Federal

Highway Administration (FHWA) en het Oak Ridge National Laboratory, waarin alle

belangrijke ontwikkelingen in de verkeerstheorie worden samengevat. In het rapport wordt

dus zowel naar de grondleggers en de basisbeginselen van de verkeersstudie als naar meer

gespecialiseerde werken verwezen.

13

Bij het bestuderen van de processen die zich voordoen bij de verkeersafwikkeling op

kruispunten wordt er in de verkeerstheorie in de eerste plaats een onderscheid gemaakt tussen

kruispunten met of zonder verkeerslichten.

Er zijn verschillende goede redenen om deze scheiding te maken. Zo bijvoorbeeld hebben de

stromen uit de verschillende richtingen op kruispunten met lichten beurtelings voorrang,

waardoor er eerder naar dichotome1 distributies moet gegrepen worden. Ook is de correlatie

tussen de verschillende stromen op dit soort kruispunten minder groot.

[Buckley (1968),Cowan (1975),Dawson (1969), Schuhl(1955)]

Op kruispunten zonder verkeerslichten is er meestal 1 stroom die een continue voorrang

geniet2 ,waardoor vertrekprocessen andere distributies kennen. Het is duidelijk dat naast deze

belangrijke verschillen er ook zeer grote overeenkomsten bestaan tussen intersecties met of

zonder verkeerslichtenregeling.

Binnen deze twee verschillende categorien zijn formuleringen opgesteld voor de berekening

van zowel de capaciteiten van, als de vertragingen op het kruispunt. Het berekenen van

capaciteiten van een kruispunt met of zonder verkeerslichten gebeurt op verschillende

manieren. Ook voor het berekenen van vertragingen worden verschillende methodes en

formuleringen gebruikt voor deze twee soorten kruispunten.

Naast deze opsplitsing kan de verkeerstheorie ook opgesplitst worden in een traditionele en

een meer progressieve verkeerstheorie. Alle methodes die via rigoureuze wiskundige

benaderingen tot formules proberen te komen worden als traditioneel geclassificeerd. Omdat

het met analytische formules snel moeilijk wordt om nog tot een goede beschrijving te komen

van complexere situaties zijn er de laatste jaren methodes ontstaan die niet meer vanuit pure

wiskundige formuleringen vertrekken. Een belangrijke methode is de methode van de

conflictstromen die ontwikkeld is door Werner Brilon en Ning Wu.

In de rest van dit hoofdstuk worden de resultaten van beide werkwijzen meer in detail

besproken.

1 Een dichotome verdeling is een combinatie van verschillende verdelingen. Ze veronderstelt dat een bepaald deel van de wagens in de stroom vrij en ongehinderd kan rijden in de stroom, en dat het andere deel van de voertuigen in groep rijdt. Een gekende dichotome verdeling is de M3 verdeling Cowan [Cowan, 1975] 2 Voorrangsbaan of voorrang van rechts

14

1.2 Traditionele verkeerstheorie

1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters

Onder capaciteit wordt de redelijk te verwachten maximum en onderhoudbare hoeveelheid

verkeersstroom onder bepaalde en gegeven voorwaarden verstaan. Capaciteit beschrijft dus de

gemiddelde (verwachte) maximale stroom die over een lange periode kan voldaan blijven.

Dit is de definitie gegeven door de Highway Capacity Manual.[HCM 2000].

Bij de berekening van de capaciteiten maakt men gebruik van de gap acceptance theory. De

gap acceptance theory bestudeert de fenomenen die verband houden met de distributie van

wagens in een verkeersstroom. Twee van deze fenomenen met een bijzonder belang voor de

studie van verkeersprocessen op kruispunten zijn de critical gap en follow-up time3.

Men noemt ze de kritische gap parameters.

De kritische gap (gap= tussenruimte) is de minimale afstand die een bestuurder wil hebben

tussen twee opeenvolgende wagens in een stroom die hij wil kruisen vooraleer hij deze

stroom daadwerkelijk zal kruisen. De follow-up tijd is de tijd tussen twee opeenvolgende

wagens die een verkeersstroom kruisen, wanneer ze gebruik maken van dezelfde gap.

In de gap acceptance theory kunnen twee verschillende benaderingsmethodes onderscheiden

worden. De empirische regressiemethode, waarbij men continue wachtrijen veronderstelt en

de Gap Acceptance Procedures (GAP-methodes), waarbij men gebruik maakt van meer

probabilistische methodes.

[veronderstelling continue wachtrijen: Harders (1976), Siegloch (1973), Tanner (1962),

Troutbeck (1986); meer probalistische methodes: Hewitt (1983), Miller (1972), Ramsey en

Routledge (1973), Troutbeck (1975)]

3 Verder in de tekst zullen de respectievelijke termen kritische gap en follow-up tijd gebruikt worden. In formules worden de kritische gap en de follow-up tijd afgekort met de respectievelijke symbolen Tc en Tf

15

Het schatten van de kritische parameters is zeer ingewikkeld omdat men deze schattingen niet

empirisch kan toetsen. Het is immers onbegonnen werk om verschillende wagens gedurende

een periode te volgen om zo ieders kritische parameters op te meten. Bovendien hangen ze

ook af van de typologie van het kruispunt zelf. Het schatten van deze parameters hangt zeer

nauw samen met de studie naar de verdeling van de tussenafstanden tussen de verschillende

wagens4.

Een eenvoudige veronderstelling stelt dat deze afstanden onafhankelijk van elkaar zijn. Een

exponentile verdeling is dan aangewezen. De afstand tussen verschillende autos is echter

groter dan een minimale waarde, waardoor een verschoven exponentile verdeling zich

opdringt. Om effecten zoals platooning5 of groepsvorming correct in te rekenen worden vaak

dichotome verdelingen gebruikt zoals het M3 model van Cowan of een hyper-Erlang

verdeling.

[Brilon (1996), Catchpole en Planck (1986), Cowan (1975),Hewitt (1985),

Tian(1999),Troutbeck(1988), Wegmann (In Brilon: 1991)]

4 In de Engelstalige literatuur noemt men deze tussenafstanden headways. 5 Platooning: Men spreekt over platooning wanneer autos in een groep of peloton achter elkaar aanrijden. Dit fenomeen komt bvb. voor wanneer een eerste wagen trager rijdt als de volgende wagen, maar wanneer er niet voorbij gestoken kan worden. Ook nadat de verkeerslichten op groen zijn gesprongen en alle wagens in groep wegrijden kan men over platooning spreken.

16

1.2.2 Vertraging

Vertraging of delay op kruispunten is n van de meest belangrijke parameters bij het

evalueren van de prestaties van kruispunten. Een goed inzicht in de parameters die een

invloed uitoefenen op de vertraging op kruispunten is bepalend voor een goede inrichting van

het kruispunt. Wat men verstaat onder een goede inrichting en bijhorende

verkeersafwikkeling is voor discussie vatbaar. Sommigen stellen dat de gemiddelde

vertraging zo klein mogelijk moet zijn, terwijl anderen dan weer menen dat er ook een

maximum wachttijd voor iedere gebruiker van het kruispunt in acht moet genomen worden

om nog van een goede afwikkeling te kunnen spreken.

De kwaliteit van de verkeersafwikkeling op een kruispunt kan gekarakteriseerd worden door

de zogenaamde measures of effectiveness (MOEs, de maatstaven voor de effectiviteit van

de verkeersafwikkeling ).

De gemiddelde vertraging, de gemiddelde wachtrijlengte, de verdeling van de vertragingen,

de verdeling van de wachtrijlengtes, het aantal voertuigen dat tot een stop is moeten komen en

de waarschijnlijkheid op een lege wachtrij zijn de voornaamste MOEs.

Een ander belangrijk verschil tussen de analytische beschrijvingsmethodes ligt in het feit of

het beschreven proces als stationair dan wel als dynamisch6 beschouwd wordt. Vele

macroscopische formuleringen zijn maar bruikbaar binnen een beperkt domein wanneer men

rekening houdt met de vereenvoudigde veronderstellingen van tijdsonafhankelijkheid.

Zo vereist tijdsonafhankelijkheid op kruispunten met verkeerslichten dat de wachtrij na elke

lichtcyclus weer leeg is. Analytische formuleringen die tijdsonafhankelijkheid veronderstellen

zijn daarom maar praktisch bruikbaar in stationaire condities met constante verkeersvolumes

en bij saturatiegraden tot 1.

6 Hoewel transient misschien een betere uitdrukking zou zijn wordt er in het verkeerskundig vakjargon steeds de term dynamisch gebruikt.

17

Tijdsafhankelijke benaderingen worden echter vlug analytisch zeer moeilijk oplosbaar.

Kimber en Hollis publiceerden in 1979 een werk dat aan basis ligt van de dynamische analyse

van kruispunten met behulp van wachtrijtheorie. Door gebruik te maken van de cordinaten

transformatiemethode stellen ze tijdsafhankelijke formuleringen op voor de vertragingen en

wachtrijlengtes aan kruispunten.

[vertragingen, geen verkeerslichten, tijdsonafhankelijk: Adams (1936), Cowan (1987),

Daganzo (1977), Harders (1968), Kremser (1964), Tanner (1962), Troutbeck (1990);

wel signalisatie:Miller (1963), Newell (1965), Webster(1958)]

[vertraging, geen verkeerslichten, tijdsafhankelijk: Newell (1982),Akelik (1991)]

[vertraging, wel verkeerslichten,tijdsafhankelijk: Akelik en Rouphail (1994), Kimber en

Hollis (1979), Olszewski (1990)]

Er werd een kort overzicht geschetst van de traditionele aanpak van de problemen die zich

stellen. Voor een grondiger overzicht verwijzen we naar hoofdstuk 8 [unsignalized

intersection theory, Troutbeck & Brilon] en hoofdstuk 9 [traffic flow at signalized

intersections, Rouphail,Tarko & Li] van het hierboven reeds vermelde rapport van de TRB uit

1999 [TRB].

We kunnen besluiten dat traditionele verkeersmodellen geen rekening houden met bepaalde

interacties tussen verkeersstromen. Bij hoge saturatiegraden nemen de interacties tussen

stromen op het kruispuntvlak sterk toe, waardoor vertragingen hoog kunnen oplopen. Hier

schieten de huidige modellen tekort. Ook wordt de invloed van kruispunten verder in de

verkeersstroom niet beschouwd. De traditionele verkeerstheorie laat dus nog heel wat ruimte

voor verder onderzoek naar vertragingen als gevolg van de interacties tussen stromen rond

maar vooral ook op kruispunten.

18

1.3 Nieuwe ontwikkelingen en methodes

Al snel duiken er problemen op wanneer men een verkeerssituatie met minder eenvoudige, of

tijdsafhankelijke parameters wenst te beschrijven met de GAP-methodes. Een analytische

formulering voor complexe kruispuntvlakken opstellen is een onbegonnen werk en het

berekenen van praktisch bruikbare resultaten is derhalve onmogelijk.

1.3.1 methode van de conflictstromen

Een methode die deze problemen op een relatief eenvoudige wijze aanpakt, is de methode van

de conflictstromen. Aan de basis van deze methode ligt het concept van de additieve

conflictstromen (ACF). Dit concept werd voor het eerst beschreven door Gleue (1972), om

kruispunten met verkeerslichten te analyseren.

Het concept van de conflictstromen werd in 2000 bijgeschaafd door Wu, en toegepast op all-

way-stop-controlled (AWSC)7 intersecties. In 2001 werd hetzelfde concept toegepast op

two-way-stop-controlled intersecties door Brilon en Wu. De paper Capacity and Delays at

Intersections Without Traffic Signals door Werner Brilon en Thorsten Miltner, voorgesteld

in de TRB 2005 bouwt het concept van de conflictstromen verder uit, en toont er de sterktes

van deze werkwijze in aan.

De methode van de conflictstromen definieert op het kruispunt een aantal conflictpunten en

conflictzones. Dit zijn zones waar twee of meerdere stromen elkaar kruisen en elkaar kunnen

hinderen. Op basis van de voorrangsregels tussen de verschillende stromen wordt een

voorrangsnetwerk tussen de verschillende stromen opgesteld. Hiertoe krijgen de stromen een

rang toebedeeld die hun onderlinge voorrangsverplichtingen aangeeft (hogere rang heeft

voorrang). Het geheel van deze relaties wordt samengevat in een conflictmatrix. Deze is

makkelijk uitbreidbaar zodat op een relatief eenvoudige wijze ook moeilijke verkeerssituaties

geanalyseerd kunnen worden. Na het opstellen van deze conflictmatrix moeten ook de kansen

dat de voertuigen met verschillende rang zich op het conflictpunt bevinden worden geschat.

7 Kruispunten waar voor alle wegen die aankomen aan dit kruispunt verkeerlichten voorzien zijn.

19

Door deze verschillende kansen te vermenigvuldigen met de maximale capaciteit die de

voertuigen van een bepaalde rang kennen wanneer ze niet gehinderd worden, kunnen

uiteindelijk uit de conflictmatrix de capaciteiten van de verschillende stromen berekend

worden.

De werkwijze is relatief eenvoudig, maar levert toch zeer goede resultaten op. Deze methode

verschilt van de meer conventionele werkwijzes, in het feit dat ze vertrekt vanuit strikt

wiskundige formules en benaderingen.

In de verdere uitwerking van het simulatiemodel wordt ook gebruik gemaakt van een

conflictmatrix. De simulatie verschilt van de conflictmethode in deze dat de

waarschijnlijkheden op een aanwezigheid van de voertuigen niet expliciet geschat worden. Ze

volgen impliciet uit de simulatie.

Met de conflictmethode is het makkelijker om rekening te houden met het aantal rijstroken, de

distributies van de verkeersstromen, de voetgangers die eigenlijk integraal deel uitmaken van

de verkeersafwikkeling, en met de rijstroken waar het licht oranje staat te knipperen.

Ook het inrekenen van gelimiteerde8 en omgekeerde9 voorrang stelt geen grote problemen

voor de conflictmethode.

De conflicttechniek schuift een alternatief naar voor om de capaciteit van de verschillende

bewegingen op het kruispunt te berekenen. Het afleiden en berekenen van andere

prestatieparameters zoals de vertragingen, de wachtrijlengtes en lane sharing10 gebeurt op de

conventionele wijze.

8 Gelimiteerde voorrang: Wanneer een voertuig een verkeersstroom kruist of er in invoegt, kan het voorkomen dat een wagen in deze stroom dient af te remmen om botsingen te vermijden. Hierdoor wordt zijn voorrang gelimiteerd. 9 Omgekeerde voorrang: Dit fenomeen doet zich voor wanneer een chauffeur die voorrang heeft zijn voorrang afstaat aan een automobilist die volgens de verkeersregels voorrang zou moeten geven. De voorrang wordt daarmee omgekeerd. 10 Onder lane sharing verstaat men het delen van 1 rij- of opstelstrook door wagens die een verschillende richting uitmoeten. Een gekend effect hiervan doet zich voor wanneer wagens die linksaf of rechtdoor moeten een opstelstrook delen. De wagens die rechtdoor moeten kunnen gehinderd worden door de wagens die linksaf moeten omdat deze nog gehinderd worden door een stroom uit de tegenovergestelde richting

20

1.4 Verkeersstromen als wachtrijen

In de simulatie wordt het kruispunt beschouwd als een aaneenschakeling van wachtrijen.

Eens het kruispuntvlak op een effectieve wijze ontrafeld is tot een aantal samenhangende

wachtrijen is het belangrijk om ook op een juiste wijze eigenschappen toe te kennen aan deze

rijen. In de simulatie worden de wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen, en meer bepaald op

geboorte- en sterfteprocessen (GS-proces). Een wachtrij wordt gekenmerkt door een

populatie, het aantal autos in de wachtrij. Bij deze GS-processen kan er vanuit deze toestand

enkel over gegaan worden in een populatie die 1 wagen groter of kleiner is. In hoofdstuk 4

wordt hierop verder ingegaan.

Correcte resultaten vereisen een realistische benadering van de wachtrijmodellen. Als de

saturatiegraad van een kruispunt dicht bij 1 ligt, of zelfs groter als 1 is , of wanneer de initiele

wachtrij niet leeg is,dan heeft de wachtrij een dynamisch karakter. In 2004 stelden Viti en

Van Zuylen een Markov-model voor dat ontworpen is om juist deze dynamische

eigenschappen van de wachtrijen te berekenen. De nieuwe formuleringen zijn een uitbreiding

van de reeds bestaande wiskundige benaderingen voor rijlengtes door Akelik (die geen

rekening houdt met initiele wachtrijen die niet leeg zijn) en Catling . In hun werk bespreken

Viti en Van Zuylen het belang van enkele wiskundige parameters zoals de standaarddeviatie

op de verwachtingswaarde en de evolutie van wachtrijen.

Elke studie rondom verkeersafwikkeling heeft wel van dichtbij of veraf te maken met

wachtrijen. Daarom zou het onbegonnen werk zijn om hier een uitputtende lijst van werken

op te sommen. Enkele andere interessante werken zijn van de hand van Abu-Lebdeh en

Benekohal (1997), Akelik(1993) , Banks en Amin(2003), Kimber en Hollis(1979) en Wu

(2004).

Niet alleen de interacties die verkeersstromen met elkaar aangaan op het kruispuntvlak

bepalen de vertragingen die wagens kunnen oplopen aan een kruispunt. Soms kan de storende

invloed van verderop in het netwerk komen. Ahmed en Abu-Lebdeh (2005) bestudeerden de

vertragingen genduceerd door verstoringen verderop in het verkeersnetwerk. Deze

verstoringen worden door de huidige modellen verwaarloosd. Uit de paper blijkt dat, zeker in

situaties met zware belasting, deze vertragingen toch significant kunnen zijn en het is dus

belangrijk om hier bij het opstellen van een simulatiemodel rekening mee te houden.

21

1.5 Besluit literatuurstudie

Uit de literatuurstudie komt duidelijk naar voor dat er al grondig onderzoek verricht is naar

vertragingen voor verkeersstromen aan kruispunten. Aankomst- en vertrekprocessen werden

al uitvoerig onder de loep genomen en ook tal van andere aspecten zoals gelimiteerde

voorrang, lane sharing, headway compressie11, de invloed van afslagmanoeuvres, vormden

reeds het onderwerp van menig wetenschappelijk onderzoek.

Met de conflictmethode worden de interacties van stromen op een kruispuntvlak bestudeerd.

Toch is de invloed van deze interacties op de vertragingen en op de capaciteit van het

kruispunt nog steeds te weinig onderzocht en beschreven.

Vooral kruispunten die rond het verzadigingspunt belast worden, bieden nog voldoende stof

voor verder en meer diepgaand wetenschappelijk onderzoek. Zo zijn de effecten van een

overgang van een onder- naar oververzadiging van een kruispunt nog nauwelijks bestudeerd.

Analytische formules veronderstellen dat, wanneer de saturatiegraad van een kruispunt naar 1

gaat, dan de gemiddelde vertragingen oneindig groot worden en dat er bij saturatiegraden

groter dan 1 zelfs helemaal geen verkeersstroming is. Dit is niet juist. Empirische metingen

tonen aan dat ook bij saturatiegraden groter dan 1 er verkeersstroming blijft, al zullen de

gemiddelde vertragingen wel toenemen. In macroscopische modellen wordt er meestal een

maximale capaciteit verondersteld die constant blijft bij overcapaciteit. Ook dit is niet waar.

Bij zeer grote belastingen neemt de maximale capaciteit af, en dit door een toegenomen aantal

interacties tussen verkeersstromen.

In deze thesis wordt er een verkeerssimulatie worden waarmee interacties tussen

verkeersstromen op en rond het kruispunt gesimuleerd kunnen worden. Met deze simulatie

kan hun invloed op de vertragingen en de capaciteiten van een kruispunt worden bestudeerd.

Ook zullen de interacties tussen verschillende kruispunten nagegaan worden. Met de simulatie

zal ook nagegaan worden wat de invloed is van parameters zoals de saturatiegraad op de

vertraging, de capaciteit en de wachtrijlengtes. Er wordt immers vermoed dat vanaf bepaalde

saturatiegraden de interacties tussen stromen zo groot worden dat het verkeer op kruispunten

bijna stil komt te staan.

11 Headway compressie: De afstand tussen twee wagens in een verkeersstroom wordt in het engels een headway genoemd. Wanneer nu autos achter elkaar een wachtrij uitrijden wordt de afstand die de opeenvolgende wagens tussenlaten kleiner en kleiner. Dit effect wordt in de literatuur headway compressie geheten.

22

In deze situaties zijn het niet langer de offset-tijden tussen verschillende verkeerslichten, de

vertrekpatronen of de cycluslengtes die de vertragingen bepalen, zoals de huidige literatuur

laat uitschijnen. De hinder die de verschillende verkeersstromen op elkaar uitoefenen worden

dan bepalend. Bij welke saturatiegraden er een daling in capaciteit en toegenomen

vertragingen optreden, en of dit eerder een bruusk dan wel een effect met een duidelijke

overgangsfase is wordt ook nagegaan. Uiteindelijk wordt een besluit getrokken waarin de

invloed van interacties tussen stromen op de capaciteit en de vertragingen wordt gevalueerd.

.

23

2 Modeldefinitie

Vooraleer verder wordt ingegaan op de uitwerking van de computersimulatie worden in dit

hoofdstuk eerst de verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling die men er mee wenst

te simuleren besproken. In dit hoofdstuk worden dus de functionele vereisten van het model

uiteengezet. Alle fenomenen die in dit hoofdstuk worden besproken, moeten gemodelleerd

kunnen worden. Er wordt ook aangegeven welke vereenvoudigingen en aannames er gemaakt

worden.

2.1 Afwikkelingsbepalende elementen

2.1.1 Verkeerslichten

En van de meest bepalende elementen voor een goede verkeersafwikkeling is het

verkeerslicht. Door het plaatsen van verkeerslichten nemen de interacties tussen verschillende

stromen op het kruispuntvlak af. Met het verkeerslicht wordt een systeem van wisselende

voorrang ingevoerd. Hierbij hebben de lengtes van de groen- en roodfase, de cycluslengte en

de afstemming van verschillende verkeerslichten op elkaar, een grote invloed op de

vertragingen die automobilisten oplopen op kruispunten. In het model kunnen deze lengtes

worden aangepast, en kunnen verschillende verkeerslichten op elkaar worden afgestemd.

Zo kan bij een simulatie van een kruispunt kunnen worden nagegaan wat de invloed is van

bvb. verschillende cycluslengtes op de gemiddelde wachtrijlengtes.

Ondanks het feit dat interacties tussen stromen afnemen dankzij het plaatsen van

verkeerslichten, is dit geen garantie voor het uitblijven deze interacties. Voorbeelden uit de

praktijk zijn hierbij legio. Zeker bij een grote belasting gebeurt het dat het kruispunt vol

wagens staat die elkaar allen verhinderen het kruispuntvlak op of af te rijden. Het zou zelfs

kunnen zijn dat net door de aanwezigheid van verkeerslichten de vertragingen toenemen12.

Het is dan ook verkeerd, zeker in de drukke en kritische spitsperiodes, om voor de capaciteit

van een kruispunt zomaar te rekenen met de capaciteit die men zou hebben indien vrije

uitstroom gegarandeerd is.

12 Wanneer een bestuurder groen licht heeft rijdt hij het kruispuntvlak op. Het maakt hem daarbij niet uit of hij met deze beweging andere stromen zou kunnen hinderen omdat hij het kruispuntvlak niet afgeraakt. Hierdoor kan het kruispunt klem komen te zitten en kunnen er grote vertragingen optreden.

24

Het model kan gebruikt worden om een beeld te vormen van de overschatting van de

capaciteit indien men dit toch doet.

Er wordt verondersteld dat alle chauffeurs zich aan de verkeerslichten houden. Er wordt geen

rekening gehouden met de invloed van automobilisten die het rood licht negeren en geen

rekening houden met de verkeersregels.

2.1.2 Voorrangsregels

In de simulatie kunnen voorrangsregels worden ingebouwd. Hierbij wordt dan gedacht aan

voorrang van rechts of de voorrang van wagens die op een voorrangsweg rijden.

Het model gaat er vanuit dat iedereen zich aan deze regels houdt en zijn voorrang

daadwerkelijk geeft, maar ook neemt.

Fenomenen zoals omgekeerde voorrang, waarbij een chauffeur zijn voorrang afstaat, of

gelimiteerde voorrang, waarbij een automobilist op een voorrangsweg moet afremmen omdat

een andere wagen zijn baan kruist of er zich invoegt, zijn persoonsgebonden en moeilijk te

modelleren. Met dit soort voorrang houdt het model geen rekening.

2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling

In heel het verkeersproces gaan wagens continu interacties met elkaar aan. Elke beweging die

een wagen maakt, zal andere wagens tot een reactie nopen. Het spectrum van deze interacties

is zeer breed. Daarom worden verder in de tekst alleen deze interacties besproken die een

invloed uitoefenen op de verkeersstromen op kruispunten, en die door het programma

gesimuleerd kunnen worden. Deze interacties kunnen opgedeeld worden in drie categorien,

nl. interacties binnen 1 stroom, tussen verschillende stromen en interacties tussen

verschillende kruispuntvlakken. Deze drie categorien worden hieronder besproken.

25

2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom

Een belangrijke soort interactie tussen wagens in n stroom ontstaat door het fenomeen van

lane sharing. Bij lane sharing staan wagens die op het kruispunt verschillende richtingen uit

moeten, opgesteld in dezelfde voorsorteerstrook. Ze delen dus deze opstelstrook met elkaar.

Dit heeft tot gevolg dat, indien de eerste wagen in de wachtrij verhinderd wordt om het

kruispuntvlak af te rijden, alle andere autos genoodzaakt zijn ook te wachten, zelfs indien de

richting die zij uit moeten helemaal niet geblokkeerd is. Een zeer gekend voorbeeld zijn

autos die linksaf wensen te slaan, maar gehinderd worden door autos uit de

tegenovergestelde richting. Hierdoor hinderen ze autos die achter hen staan opgesteld en

rechtdoor wensen te rijden. In het model kan gekozen worden of deze hinder al dan niet

ingerekend wordt. Zo kan er vergeleken worden wat de werkelijke invloed is van lane

sharing.

Een andere vorm van interacties binnen n stroom vindt men terug in het fenomeen van

platooning. Autos rijden achter elkaar in een groepje of peloton. Dit komt bvb. voor op een

plaats waar niet voorbij gestoken mag worden en wanneer de eerste wagen in een rij autos

relatief traag rijdt. Alle andere wagens zijn dan genoodzaakt zich aan het tempo van de eerste

te houden en rijden zo in groep verder.

Zoals in het hoofdstuk verificatie zal aangetoond worden, zijn de gemiddelde vertragingen

ook functie van de distributies van de aankomst- en vertrekprocessen. Wanneer de wagens

verondersteld worden onafhankelijk van elkaar aan te komen, kunnen hun aankomsten

gemodelleerd worden met een exponentile verdeling. Een andere distributie die vaak

verondersteld wordt is de constante distributie. Andere verkeerssituaties worden dan weer

best beschreven door andere verdelingen zoals een verschoven exponentile verdeling, een

Erlang-distributie van hogere orde of bepaalde dichtome verdelingen. Daarom is het nodig dat

met het model ook deze verschillende distributies gemodelleerd kunnen worden, al zal blijken

dat door het expliciet simuleren van de verkeersstromen de simulatie zelf tot analytisch

moeilijk te beschrijven maar realistische distributies komt.

26

2.1.3.2 Interacties tussen verschillende stromen

In omstandigheden met een beperkte verkeersvraag, waarin een normale verkeersafwikkeling

mogelijk blijft, zorgen verkeerslichten er in principe voor dat verschillende verkeersstromen

aan een kruispunt maar weinig interacties met elkaar hoeven aan te gaan.

Een voorbeeld van een interactie die wel kan voorkomen, is het fenomeen dat hierboven reeds

besproken werd, waar een stroom die linksaf wil slaan gehinderd wordt door een tegemoet

komende verkeersstroom waaraan ze voorrang verschuldigd is. De stroom moet dan wachten

tot ze ongehinderd het kruispuntvlak af kan rijden. Vaak is dit pas het geval wanneer de

verkeerslichten al op rood zijn gesprongen. De wagens rijden het kruispuntvlak dus af tijdens

de rood lichtfase. Dit fenomeen vindt men in de literatuur terug als red clearance, en de

tijdsspanne waarin dit gebeurt heet men het red clearance interval.

Bij zeer grote belastingen van het verkeersnetwerk, kan het voorkomen dat het red clearance

interval van een stroom op het kruispuntvlak zo groot wordt bvb. doordat de wagens het

kruispunt simpelweg niet meer af kunnen rijden- dat de voertuigen nog steeds op het

kruispunt staan wanneer een stroom uit de andere richting weer groen heeft gekregen.

Hierdoor neemt ook de afrijcapaciteit van deze stroom af. In het slechtste geval blijft een deel

van deze nieuwe stroom op zijn beurt weer staan op het kruispuntvlak, waardoor de capaciteit

van het kruispunt in een neerwaartse spiraal kan komen tot het hele kruispunt klem komt te

staan.

Wanneer er geen verkeerslichten voorzien zijn zorgen voorrangsborden en regels ervoor dat

het verkeer zo vlot mogelijk verloopt. In deze situaties oefent de stroom die voorrang krijgt

wel een invloed uit op de stroom die voorrang moet geven (de zijstroom). De wagens in de

zijstroom dienen te wachten tot de tussenafstand tussen twee wagens in de hoofdstroom groot

genoeg is, om deze zonder storen te kunnen kruisen of erin in te voegen. De capaciteit

(wagens/uur) van de zijstroom zal dus mede bepaald worden door de verdeling van de

tussenafstanden tussen voertuigen in de hoofdstroom, headways of gaps genaamd.

Ook de aard van de chauffeurs in de zijstroom bepaalt voor een deel de maximale capaciteit

van de zijstroom.

27

Zo moet men zich afvragen wat de minimum afstand, de kritische gap tussen twee autos uit

de hoofdstroom moet zijn vooraleer een auto uit de zijstroom deze hoofdstroom durft te

kruisen. Indien een tussenruimte benut wordt door de automobilist spreekt men van

gap-acceptatie.

Ook de tussentijd die twee automobilisten laten wanneer die achter elkaar de hoofdstroom

kruisen (follow-up time) speelt een niet te onderschatten rol.

.

2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken

Wanneer de wachtrij aan een kruispunt zo lang wordt, dat de staart van deze rij de autos op

een nabij gelegen kruispunt hindert van dit kruispunt af te rijden, dan spreekt men van

spillback. Spillback is dus een fenomeen veroorzaakt door een stroomafwaarts gelegen

kruispunt.

Meer algemeen kan onder dit fenomeen elke wachtrij beschouwd worden die een andere

verkeersstroom hindert doordat ze zo is uitgegroeid. Om rekening te kunnen houden met dit

fenomeen, moeten in het model dus wegen of opstelstroken met een beperkte opstelcapaciteit

gemodelleerd kunnen worden.

Een kruispunt zorgt ook vaak voor een soort platooning effect. Dit effect komt voor wanneer

autos van het ene kruispunt naar het andere kruispunt rijden. Aan het eerste kruispunt worden

de autos voor het rode licht verzameld, waarna ze bij groen min of meer in groep tot het

volgende kruispunt rijden. Het eigenlijke uitrijpatroon is zeer moeilijk analytisch te

beschrijven. Een simulatie is de techniek bij uitstek om tot realistische resultaten te komen.

Platooning wordt hier dan veroorzaakt door een stroomopwaarst gelegen signaal.

28

2.2 Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen

2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens

De aanvoer van wagens aan een kruispunt wordt meestal bepaald door stroomopwaarts

gelegen verkeerssituaties. Zoals eerder reeds vermeld, oefent een kruispunt een specifieke

invloed uit op het distributiepatroon waarmee wagens aangeleverd worden aan een volgend

kruispunt.

In de verkeerstheorie worden er vaak exponentile distributies aangenomen. Indien er wagens

aangevoerd worden van buiten het bestudeerde netwerk, wordt daarom vaak voor een

exponentile distributie gekozen. Exponentile distributies hebben als belangrijke eigenschap

dat de verschillende opeenvolgende evenementen onafhankelijk van elkaar zijn.

Bij de afvoer wordt er, indien wagens zonder belemmering de wachtrij kunnen uitrijden, ook

vaak geopteerd voor een exponentile verdeling, al is het soms gewenst een constant uitrij-

debiet aan te nemen. In het model kan er expliciet gekozen worden voor exponentile of

constante uitrijprocessen.

Wanneer er echter verkeerslichten staan op het kruispunt is er sprake zijn van dichotome

distributies. Er wordt dan tijdens de roodtijd een uitrijcapaciteit 0 gehanteerd. Tijdens de

groentijd wordt er voornamelijk met constante of exponentiele uitrijdistributies gewerkt. Op

een bepaald moment moet een keuze gemaakt worden voor de graad van detaillering. Indien

dit meer aangewezen is kunnen andere verdelingen zoals een verschoven exponentiele

verdeling of Hyper-Erlang verdeling gebruikt worden. Vaak zijn deze verdelingen ook maar

benaderingen en is het meer opportuun om simpelweg de simulatie te laten lopen, waardoor er

vaak veel realistischere en analytisch veel moeilijker definieerbare verkeerspatronen te

voorschijn komen. Indien men beschikt over praktijkgegevens kunnen die ook gebruikt

worden.

29

2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time

Belangrijke parameters voor het berekenen van capaciteiten en vertragingen zijn de

zogenaamde kritische gap en de follow-up tijd. De kritische gap is de minimale afstand

(meestal uitgedrukt in seconden) die elke bestuurder minstens wil hebben tussen twee wagens

in de stroom die hij wil kruisen vooraleer hij zal vertrekken. De follow-up tijd is de tijd

waarop de volgende bestuurder de voorgaande volgt.

In de modellering kunnen deze twee parameters onafhankelijk van elkaar gekozen worden.

Grossman(1988) toonde aan dat, wanneer er realistischere distributies worden gekozen, dat

dan de capaciteit van het kruispunt daalt. Er wordt echter vaak van een exponentile verdeling

van de gaps tussen de wagens uitgegaan. Grossman (1991)en Troutbeck (1986) toonden aan

dat indien hier met meer realistische distributies zou gewerkt worden een toename van de

capaciteit zou gevonden worden die van de zelfde grootorde is als deze daling. De invloed

van het constant veronderstellen van deze waarden is dus verwaarloosbaar. Daarom worden

de kritische gap en de follow-up tijd verondersteld een constante distributie te hebben. Dit wil

zeggen dat ze, nadat ze eenmaal vrij gekozen zijn, constant blijven tijdens de simulatie.

Om het aantal voertuigen te schatten dat bij een bepaalde gaplengte door deze gap zal

passeren, baseer ik me op aannames gemaakt door bvb. Harders (1976) en Troutbeck (1986).

Het aantal voertuigen n dat een gap zal passeren wordt gegeven door volgende kansfunctie13:

13 Bij het opstellen van deze kansen gaat men er vanuit dat er zich een onbeperkt aantal wagens in de wachtrij bevinden. Indien het aantal wagens in de wachtrij beperkt is, dan zal maximum deze hoeveel wagens de wachtrij kunnen verlaten. Indien het aantal autos dat kan oversteken groter is als het aantal wachtende wagens, dan veronderstelt men dat alle wagens de wachtrij verlaten.

30

2.3 Aspecten met kleinere prioriteit

In dit deeltje worden kort enkele aspecten besproken die, hoewel ze zeer interessant zijn, niet

worden meegenomen in de modellering. Enerzijds omdat ze niet in de lijn van de thesis liggen

of anderzijds omdat bepaalde fenomenen zich maar in zeer specifieke gevallen voordoen of

omdat hun invloed te beperkt is.

2.3.1 Voetgangers

De invloed van voetgangers op de verkeersafwikkeling op kruispunten is vaak niet gering.

Zeker op kleinere kruispunten waar veel voetgangers passeren spelen ze een belangrijke rol.

Het gedrag van voetgangers is echter veel moeilijker te modelleren als dat van autos.

Voetgangers moeten veel minder als wagens een vaste baan volgen. Ook zijn ze minder

geneigd zich te houden aan verkeersregels. Omdat ze bovendien weinig invloed uitoefenen op

de interacties tussen verkeersstromen op kruispuntvlakken zelf, houdt de simulatie er geen

rekening mee.

2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook

Wanneer autos van rijstrook wisselen, kunnen de betrokken verkeersstromen hierdoor een

vertraging ondervinden. Dit effect wordt in deze thesis niet bestudeerd.

2.3.3 Knipperlichten

Het verspringen van een gewoon verkeerslicht naar een knipperlicht kan een zeer grote

invloed hebben op de verkeersafwikkeling. Dit gebeurt echter maar zelden, en maar op een

beperkt aantal kruispunten. Het fenomeen is te detaillistisch om het mee te nemen in de

modellering.

31

2.3.4 Headway compressie

Wanneer meerdere wagens achter elkaar vanuit stilstand een rijstrook afrijden zullen hun

respectievelijke follow-up tijden afnemen tot een bepaalde minimale waarde. Lin & Thomas

(2005).Het probleem is vaak dat er geen praktijkwaarden gekend zijn, waardoor een betere fit

met betrekking tot de realiteit niet altijd gegarandeerd is.

2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling

Een dynamische verkeerslichtenregeling varieert de groen- en roodtijden met het aantal autos

in de wachtrijen en/of met de afstand tussen verschillende wagens in de verschillende

stromen. In de thesis wordt verondersteld dat de verkeerslichten statisch werken, nl. dat de

groen en rood tijden al op voorhand gekend zijn. Indien de modellering verder uitgebouwd

wordt hoeft het niet zo moeilijk te zijn om een dynamische verkeerslichtenregeling te

implementeren.

32

3 Conceptuele uitwerking van het model

In het vorige hoofdstuk werden verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling op

kruispunten besproken. In dit hoofdstuk wordt uiteengezet hoe te werk is gegaan bij het

opstellen van een model dat al deze verkeersaspecten op een realistische manier kan

simuleren. Hierbij worden zowel de concepten die aan de basis van het model liggen als meer

praktische aspecten besproken. De bedoeling is om de lezer een algemeen inzicht te

verschaffen in de werking van de simulatie, zonder al te diep in te gaan op al de finesses van

het programma. In Bijlage A: Werking van de simulatie wordt er dieper ingegaan op de

structuur en de werking van het programma en haar verschillende functies. In het volgende

hoofdstuk zullen de resultaten uit de simulatie gestaafd worden door na te gaan hoe goed de

resultaten uit de simulatie de theorie en haar analytische en deterministische formules

benaderen.

3.1 Het Black Box Concept

Omdat met hetzelfde simulatieprogramma kruispunten met zeer verschillende typologien

moeten geanalyseerd kunnen wordt in de opbouw van een kruispunt dat men wil gaan

simuleren steeds vertrokken van zeer algemene bouwstenen die later verfijnd kunnen worden

volgens de specifieke eigenschappen van het kruispunt.

Deze bouwstenen, de black boxes, hebben een aantal eigenschappen die door de gebruiker

van het simulatieprogramma moeten worden ingevuld. Nadat deze eigenschappen toegekend

zijn aan de black boxes kunnen ze op zulke wijze met elkaar gelinkt worden dat ze een goede

voorstelling van een kruispunt of van een verkeerssituatie vormen.

Een kruispunt kan worden opgedeeld in verschillende fysische oppervlaktes waar voor alle

wagens die zich op deze oppervlakte bevinden, dezelfde externe condities gelden. In grote

lijnen kan gesteld worden dat deze fysische entiteiten overeenstemmen met verschillende

(wacht)rijen14 of verkeersstromen die men aan en op het kruispunt kan onderscheiden.

14 In de tekst worden de benamingen black box, wachtrij en rij gebruikt. Ze doelen in de context van deze thesis allen op hetzelfde, nl. op de basisbouwstenen waaruit het kruispunt in de simulatie wordt opgebouwd. Black box refereert naar de wijze waarop deze bouwstenen worden behandeld in de simulatie, terwijl wachtrij eerder naar de onderliggende wachtrijtheorie refereert. De benaming rij stamt uit de fysische rijen die zich op het kruispunt vormen. Wanneer dus over een wachtrij wordt gesproken wil dit dus niet zeggen dat de wagens die zich in dit fysische kruispuntdeel bevinden ook effectief zullen moeten wachten (cfr. black box 3 in figuur 1)

33

In het simulatiemodel worden deze delen vertegenwoordigd door verschillende black boxes,

die allen gekenmerkt worden door een nummer.

Figuur 1: Voorstelling van black boxes

In figuur 1 is de T-kruising opgedeeld in 3 delen. Deze delen stemmen overeen met 3 fysische

delen van het kruispunt die verschillende randvoorwaarden hebben. De wagens die deel 1 en

deel 2 uitrijden komen allemaal in deel 3 terecht. De autos uit deel 1 worden hierbij niet

belemmerd, terwijl de autos uit deel tweevoorrang zullen moeten geven aan de wagens uit rij

1. De autos komen van buiten het beschouwde gebied het gebied binnen via rijen 1 en 2. Ze

doen dit volgens bepaalde statistische verdelingen. Via rij 3 rijden de wagens het beschouwde

gebied weer buiten.

De benaming black box stamt uit het idee dat perfect geweten is welke autos een deel

binnenrijden, en hoe ze er weer uitrijden. Ze doen dit volgens het first-in-first-out-principe

(FIFO). Binnen de black box kan er niets aan de volgorde van deze wagens veranderd

worden. Indien men het gevoel heeft dat er binnenin de black box toch enige aanpassingen

moeten gebeuren, wil dit zeggen dat deze box te groot gekozen is, en dat hij opgesplitst moet

worden in een aantal andere, kleinere boxen. Hier wordt later nog op teruggekomen.

34

3.2 Eigenschappen van de verschillende black boxes

3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes

Initieel zijn de verschillende black boxes of wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen. Een

wachtrij in de simulatie functioneert analoog als een Markov geboorte- sterfteproces. Er

worden namelijk wagens toegeleverd (geboorte) en er vertrekken wagens (sterfte). De

populatie, het aantal wagens dat zich in de wachtrij bevindt, neemt hierdoor met 1 toe of

neemt hierdoor met 1 af.

Een belangrijke eigenschap van Markov-rijen is dat de volgende toestanden waarin deze rijen

zich zullen bevinden enkel afhangen van de huidige toestand, en niet van de vorige

toestanden. Een Markov-proces heeft dus geen geheugen.

Voor elke box moet eerst en vooral een distributie voor aankomst en vertrekprocessen

gekozen worden. In de simulatie heeft men de keuze tussen een constante of een exponentile

distributie, beide gekenmerkt door hun gemiddelde waarde. Indien dit wenselijk is kunnen er

ook andere distributies gekozen worden. Zeker indien men over metingen beschikt is dit zeer

zinvol.

De karakteriserende gemiddelde waarde wordt voor de aankomstprocessen de aankomst-

intensiteit of arrivalrate (wagens/sec) en voor de vertrekprocessen de bedieningsintensiteit

of servicerate (wagens/sec) genoemd. Het omgekeerde van deze intensiteiten kent men als

respectievelijk de interarrival time en de interdeparture time. Door het kiezen van een

distributie voor de aankomsten en vertrekken, wordt een eerste onderscheid gemaakt tussen de

verschillende rijen.

35

3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes

3.2.2.1 Verkeerslichten

Nadat een keuze is gemaakt voor een distributie, worden de wachtrijen verder

gendividualiseerd door aan te geven of op het einde van de rij al dan niet een verkeerslicht

staat. Indien dit het geval is, moeten ook de groen- en roodtijden bepaald worden.

Indien het licht op rood staat valt de bedieningsintensiteit logischerwijze terug tot 0.

In de simulatie kunnen de verkeerslichten van de verschillende wachtrijen op elkaar worden

afgestemd. Hiertoe moet worden aangegeven hoeveel tijdseenheden na de start van de

simulatie de wachtrij voor het eerst rood licht zal krijgen. Dit noemen we de offset.

Figuur 2: Voorstelling van offset en cycluslengtes

In figuur 2 is ook duidelijk te zien dat men door een juiste keuze van de cycluslengtes en

offsets ook rekening kan houden met een klein interval waarin beide stromen rood licht

hebben (all red interval).

36

3.2.2.2 Capaciteit

Een andere belangrijke eigenschap van de black boxes is dat ze een gelimiteerde inhoud

kunnen hebben. Wanneer deze maximale capaciteit bereikt is zullen er geen andere voertuigen

meer bij passen totdat er door een vertrek uit de wachtrij weer plaats gecreerd is. Indien men

dit wil kan de capaciteit ook ongelimiteerd verondersteld worden. In figuur 3 worden de

verschillende eigenschappen van black box schematisch weergegeven.

Figuur 3: Karakteristieke eigenschappen van de black box

37

3.3 Interacties tussen de verschillende wachtrijen

Naast het ingeven van de karakteristieke eigenschappen van de verschillende rijen, moet er

ook worden aangegeven welke de onderlinge relaties tussen deze verschillende rijen zijn.

3.3.1 Toelevering

In plaats van dat de wagens een rij binnenrijden volgens een vooraf bepaalde

aankomstendistributie kan er ook geopteerd worden om een rij, met haar uitrijdende autos, de

leverancier te laten zijn voor een andere rij. Deze tweede rij krijgt haar populatie dan

toegeleverd via andere rijen. Omdat het in de simulatie mogelijk gemaakt is om verschillende

rijen toe te laten leveren aan eenzelfde rij, zullen veel ingewikkeldere, analytisch moeilijk te

beschrijven aanleveringsdistributies kunnen gesimuleerd worden. Hierdoor stijgt het

realiteitsniveau van de simulatie sterk. Uiteindelijk is het de bedoeling om de grote

meerderheid van de rijen toegeleverd te laten worden. Enkel de rijen waarlangs de voertuigen

het beschouwde systeem binnenrijden zullen nog aangeleverd worden volgens vooraf

expliciet bepaalde distributies.

3.3.1.1 1-op-1-toelevering

De black boxes kunnen andere wachtrijen op verschillende manieren aanleveren.

De makkelijkste wijze is om te stellen dat alle wagens die een bepaalde rij uitrijden, allen aan

een zelfde andere rij worden toegeleverd. Het is dan makkelijk om de verschillende

vertragingen van de verschillende voertuigen te berekenen omdat men precies weet welk

traject elke wagen afgelegd heeft. We noemen dit de 1-op-1-toelevering. Deze wordt

schematisch voorgesteld in figuur 4.

Figuur 4: Schematische voorstelling traject 1-2-3 bij 1-op-1-toelevering

38

Wanneer men meerdere verschillende typologien voor eenzelfde kruispunt wil vergelijken

kan men de simulatie een aantal keer laten lopen voor deze verschillende indelingen. Elke

simulatie is echter anders. Om tot exact vergelijkbare resultaten te komen is er een tool

ingebouwd die een wagen die uit een wachtrij uitrijdt toelevert aan meerdere andere rijen

tegelijk. Er wordt dan gesproken over een 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen (cfr.

figuur 5).

Deze andere rijen kunnen dan inputs zijn voor verschillende deelsystemen, bvb. de

verschillende typologien die men wil vergelijken. Hierdoor wordt veel sneller duidelijk

welke indeling het meest aan de noden voldoet. Het systeem is weergegeven in onderstaande

figuur. Bovendien zal dit ook een noodzakelijke tool blijken om gap-acceptatie op een

realistische wijze te modelleren. Dit wordt verder in de tekst uiteengezet.

Figuur 5: 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen

39

3.3.1.2 1-op-m-toelevering

Vaak rijden autos die in 1 wachtrij staan nadien verschillende richtingen uit. Denk hierbij

bvb. aan gedeelde opstelstroken. Daarom is het in de simulatie voorzien dat wachtrijen

kunnen toeleveren aan verschillende wachtrijen. In de simulatie zijn er twee criteria volgens

dewelke dit kan gebeuren voorzien: toelevering aan de leegste rij of toelevering aan

verschillende rijen met een bepaalde kans.

Bij de toelevering aan de leegste rij worden de uitrijdende autos geleverd aan de rij waarin de

minste wachtenden staan. Zo zijn aan verkeerslichten alle rijen meestal ongeveer even lang.

Wanneer men een idee heeft over het percentage automobilisten dat rechtdoor rijdt, links- of

rechtsaf slaat, dan kan volgens deze percentages de beweging van de wagen geloot worden. In

figuur 6 is een voorbeeld van een 1-op-m-toelevering getekend.

Figuur 6: Procentuele 1-op-m-toelevering

40

Wanneer de maximale capaciteit van n van de toegeleverde rijen bereikt is, kunnen er aan

deze rij natuurlijk geen wagens meer worden toegeleverd.

Het aantal verschillende rijen waaraan zo kan worden toegeleverd is in principe onbeperkt.

Er zijn vele verkeerssituaties waarvoor het gebruik van deze wijze van toeleveren

noodzakelijk is om tot een realistische simulatie te komen. De capaciteiten van verschillende

verkeersstromen over het kruispunt bij een 1-op-m-toelevering worden even makkelijk

berekend als bij een 1-op-1-toelevering.

Het is echter veel moeilijker om de gemiddelde vertragingen voor de verschillende wagens te

berekenen. Men kan immers niet meer op voorhand het traject van de verschillende wagens

voorspellen, wat het programmeren van functies om deze vertragingen te berekenen veel

moeilijker maakt. In figuur 7 een vereenvoudigde voorstelling gemaakt van een situatie

waarin het traject dat de verschillende wagens volgen niet meer op voorhand vastligt.

Wachtrij 3 stelt hier dan bvb. een sluipweg die gebruikt wordt wanneer er zich te veel wagens

in rij 2 bevinden. Daarom is er een labelsysteem uitgewerkt dat continu het verloop van het

traject van de verschillende autos bijhoudt, samen met hun reistijd. Dit labelsysteem wordt

gedetailleerder besproken in bijlage A.

Figuur 7: Voorbeeld van situatie waar traject niet meer op voorhand vastligt

41

3.3.2 Hinder en vermindering

Wanneer bepaalde rijen te lang worden kunnen ze andere rijen hinderen. Zo worden wagens

verhinderd hun wachtrij uit te rijden wanneer er geen plaats meer is op de opstelstrook waar

ze heen willen. Wanneer men aangeeft dat een rij een andere rij hindert, dan moet ook steeds

de populatiegrootte vanaf dewelke deze hinder optreedt worden aangegeven. Wanneer de

hinderende rij dit aantal autos heeft bereikt, dan valt de bedieningsintensiteit van de

gehinderde rij naar 0. Er kunnen dan geen wagens de rij meer uitrijden. Onder vermindering

wordt verstaan dat de bedieningsintensiteit van een rij afneemt vanaf wanneer de

minderende rij een bepaalde lengte heeft. De intensiteit daalt dan wel, maar wordt zeker

niet nul. Van zodra de lengte van de hinderende of verminderende rij weer kleiner wordt,

zodat haar hinder weer verdwijnt, krijgt de gehinderde rij weer haar oude vertrekintensiteit.

Afhankelijk van het proces dat men wenst te modelleren zal voor 1 van deze twee of een

combinatie van deze twee tools (hinder of vermindering) moeten worden gekozen. Zo zal er

het best voor een complete hindering gekozen worden wanneer de opstelcapaciteit van een rij

beperkt is. De uitrij-intensiteit van andere rijen die aan deze rij leveren valt terug tot nul

wanneer haar maximale capaciteit bereikt is. In andere gevallen wordt het uitrijden van

bepaalde rijen bemoeilijkt doordat een andere rij een zekere capaciteit bereikt heeft. Toch

zullen er nog steeds wagens kunnen vertrekken, zij het aan een verlaagde intensiteit. Deze

twee gevallen worden weergegeven in figuur 8.

Figuur 8: Voorstelling rele hinder en vermindering

42

3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie

Om een voorrangssituatie te modelleren is een goed inzicht vereist in de werking van het

black box systeem. In dit deel wordt uiteengezet hoe men in de simulatie zulk een

voorrangssituatie modelleert. Er wordt hiertoe een speciaal soort wachtrij gentroduceerd;

De gap-acceptatie rij. Deze rij heeft geen fysische betekenis, maar wordt enkel gebruikt om de

kritische gap en de follow-up tijd te kunnen modelleren. In figuur 9 wordt schematisch

aangegeven hoe een rele voorrangssituatie vertaald wordt naar de simulatie

Figuur 9: Omzetting voorrangssituatie naar model

Er wordt een kruising van twee stromen beschouwd. De ene stroom (hoofdstroom) heeft

voorrang op de andere (zijstroom). Wanneer er zich een wagen uit de hoofdstroom op het

kruispuntvlak bevindt, wordt het uitrijden van de wagens uit de zijstroom verhinderd. Ze

geven voorrang. De afstand tussen twee wagens uit de hoofdstroom moet zelfs groter zijn dan

de kritische gap vooraleer er een wagen vertrekt. Om dit te kunnen modelleren is er een gap-

acceptatie wachtrij gecreerd. Deze wachtrij wordt toegeleverd door de hoofdstroom en heeft

een capaciteit 1. Wanneer er zich een nieuwe toelevering van een nieuwe wagen voordoet

terwijl er zich al een auto in deze rij bevindt, dan wordt de auto die zich reeds in de wachtrij

bevond uit de rij gestoten door de nieuwe wagen.

43

De bedieningstijd van de gap-acceptatie rij is constant. Een wagen die de rij binnenkomt zal x

aantal seconden later bediend worden. De bedieningstijd moet gelijk genomen worden aan de

kritische gap tijd. Wanneer een wagen bediend werd vooraleer hij uit de gap-acceptatie rij

geduwd is15, wil dit zeggen dat de tussentijd tussen twee wagens in de hoofdstroom groter is

dan de kritische gap tijd. Door nu nog aan te geven dat de gap-acceptatie rij de zijstroom

hindert wanneer er zich een voertuig in bevindt, zal op deze wijze het systeem van gap

acceptatie gemodelleerd kunnen worden. De bedieningsintensiteit van de wachtrij voor de

voertuigen uit de zijstroom is het 0,5/ Tfollow-up16 voor het eerst vertrekkende voertuig, en

1/Tfollow-up voor de daarop volgende voertuigen. Zo wordt ook de follow-up tijd

gemodelleerd zoals in vorig hoofdstuk aangegeven.

Een bedieningstijd betekent tevens ook een vertragingstijd. Indien een wagen immers een rij

met een constante bedieningstijd van 5 seconden binnenrijdt, dan komt hij deze rij ten

vroegste 5 seconden later weer buiten. Het voertuig wordt vertraagd door deze rij. Wanneer

een wagen een kruispuntvlak kruist wanneer hij voorrang heeft doet hij doet hij dit echter

vaak in een zeer beperkte tijdsspanne. De wagens uit de hoofdstroom zouden in de gap-

acceptatie rij te zeer vertraagd om nog in overeenstemming te zijn met de werkelijkheid.

Daarom worden de aanrijdende autos zowel aan de gap-acceptance als een aan andere rij

toegeleverd. Dit is te zien op figuur 9.

Het is hier dat de eerder besproken 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen noodzakelijk is.

Er ontstaan als het ware voertuigen. De wagens die de gap-acceptatie rij uitrijden worden

daarom nergens toegeleverd, en verloren verondersteld om een onterechte toename van

wagens in het systeem te vermijden. De gap-acceptatie rij wordt hierdoor een instrument om

een proces te modelleren, eerder dan dat ze een fysische betekenis heeft.

15 Op dit moment is de gap-acceptatie rij dus leeg aangezien de maximale capaciteit beperkt is tot 1. 16 Dat de eerste wagen die de rij uitrijdt bedient wordt met uitrij-intensiteit 0,5/Tfollow-up is speciaal zo geprogrammeerd om de simulatie in overeenstemming te brengen met de veronderstellingen van Harders (1976) en Troutbeck (1986) die eerder al werden aangehaald.

44

In dit deel werd uiteengezet hoe een voorrangssituatie gemodelleerd wordt. Uit dit voorbeeld

komt duidelijk naar voor dat niet alle rijen een fysische tegenpool moeten hebben. De

wachtrijen kunnen genstrumentaliseerd worden. Een goed inzicht in de werking van de black

boxes en in de vertaling van de fysische werkelijkheid naar een model maakt het mogelijk

complexere situaties te modelleren.

3.4 Omzetten van werkelijkheid naar model De vertaling van de werkelijkheid naar het model is niet altijd even eenvoudig. In dit deel

wordt een algemene werkwijze besproken die een goede omzetting van de realiteit garandeert.

Het is echter niet altijd de meest gedetailleerde vertaling die het meest aangewezen is.

Wanneer men het effect van een bepaald fenomeen wil onderzoeken is het zinloos om delen

van het kruispuntvlak die op dit fenomeen geen invloed hebben al te gedetailleerd te

modelleren. Dit zou enkel onnodige rekenkracht van de computer vergen. Daarom is er ook

een systeem uitgewerkt om de graad van detaillering van de modellering te bepalen.

3.4.1 Definiren van de wachtrijen

De verschillende wachtrijen worden uiteindelijk op zulke wijze gecombineerd dat ze een

aaneengesloten netwerk van schakels vormen. Elke schakel stelt dan een deeltje van het

kruispunt voor. Deze kunnen geklasseerd worden volgens hun graad van detaillering. We

kunnen spreken over level-1, -2- of 3-rijen. De grofste graad van detaillering zijn de level-1-

rijen. Wanneer men meer en meer inzoomt op de verschillende processen worden er rijen van

level 2 of level 3 teruggevonden.

45

3.4.1.1 Level-1-rijen

De eerste stap in de omzetting van realiteit naar model is het bepalen van alle mogelijke

banen die op het kruispuntvlak kunnen beschreven worden. Wanneer over eenzelfde stuk weg

in twee verschillende richtingen kan gereden worden, dan worden er ook twee banen

getekend.

Verschillende rijstroken worden ook best als verschillende wachtrijen gemodelleerd. Deze

banen kunnen splitsen in nieuwe banen, of kunnen samenkomen om een gemeenschappelijke

baan te vormen. In de punten waar dit gebeurt plaatsen we knopen. Ook ter hoogte van alle

verkeerslichten worden knopen geplaatst. Al deze knopen noemen we level-1-knopen. In

figuur 10 zijn deze level-1-knopen aangegeven door zwarte stippen.

De schakels tussen deze knopen zijn de level-1-rijen. Het netwerk dat zo ontstaat, kan

vergeleken worden met bvb. een hydraulisch netwerk waarin ook stromen samenkomen en

weer splitsen. Het grote verschil met zo een hydraulisch netwerk is dat bepaalde stromen

elkaar kunnen kruisen zonder dat er enige vorm van menging is tussen de verschillende

stromen. De knopen waar stromen kruisen zonder te mengen of te splitsen worden

level-2 of 3-knopen genoemd.

3.4.1.2 Level-2-rijen

Level-2-knopen ontstaan waar level-1-rijen die gelijktijdig groen licht kunnen hebben, kruisen

zonder te mengen. Op een kruispunt zonder verkeerslichten worden alle stromen

verondersteld steeds groen licht te hebben. Door het plaatsen van level-2-knopen worden

verscheidene level-1-rijen in stukken gesplitst. Bij elke kruising van twee level-1-rijen kunnen

er 4 level-2-rijen ontstaan. Volgens het verkeersregelement is er echter altijd 1 van de twee

stromen die voorrang moet geven aan de andere. Wanneer verondersteld wordt dat de stroom

die voorrang krijgt nooit gehinderd zal worden, dan blijft de rij die voorrang heeft een level-1-

rij. Indien men toch een kans op hinder vermoedt dan wordt deze rij toch ook een level-2-rij.

De wachtrij die voorrang moet geven wordt sowieso opgesplitst in 2 nieuwe wachtrijen. In

figuur 10 zijn de level-2-knopen aangegeven met rode stippen.

46

Figuur 10: Schematische voorstelling van interacties op een kruispunt

3.4.1.3 Level-3-rijen

De knopen die nu nog overblijven zijn de knopen waar normaal gesproken geen interacties

tussen stromen plaatsvinden. De wagens die de banen volgen die elkaar in deze knopen

kruisen hebben immers nooit op hetzelfde tijdstip groen licht. Toch zijn er ook hier nog

knopen te onderscheiden waar de waarschijnlijkheid op interacties groter is als in andere

level-3-knopen. Het verschilt echter van situatie tot situatie in welke knopen deze interacties

zich zullen voordoen, en het is moeilijk om hier nog algemene regels op te plakken.

Algemeen gesproken doet men er best aan ook al deze mogelijke interacties mee te nemen in

de modellering. Enkel indien men delen van het kruispunt niet wenst te beschouwen of

vereenvoudigd voorstelt kan men deze knopen verwaarlozen. In de figuur zijn deze knopen

weergegeven met blauwe stippen.

47

3.4.1.4 Nummering

Nadat het kruispunt in de verschillende delen is opgesplitst, moet aan de verschillende rijen

nog een rijnummer worden toegewezen. De nummering start bij 1 en loopt tot het aantal rijen

waarin het systeem is opgesplitst. Deze nummering is in principe willekeurig, al zal het voor

de gebruiker van de simulatie handig zijn om een voor zichzelf een logische nummering te

maken.

Daarna moet nagegaan worden of er nog extra rijen toegevoegd moeten worden om

voorrangssituaties te kunnen modelleren.

In dit deel werd een methode aangegeven om tot een goede opsplitsing van het kruispunt te

komen. Zoals eerder gesteld is het zaak om een juiste balans te vinden in de graad van

detailleren.

Niet alleen een goede opsplitsing zal leiden tot een realistisch resultaat. Ook het juiste

aangeven van de interacties tussen de verschillende rijen heeft een grote invloed op het

resultaat. Hoe men hierbij te werk gaat wordt in de volgende paragraaf aangegeven.

3.4.2 Aangeven van interacties

Nadat het kruispuntvlak in verschillende delen opgesplitst is moeten vooreerst de black box

eigenschappen van de rijen worden ingekleurd. Hierbij zullen vele eigenschappen niet

willekeurig te kiezen zijn. De capaciteiten van de verschillende rijen hangen af van de

opstelruimte die men op het kruispunt heeft, en de cyclustijden van de verkeerslichten zijn

vaak ook reeds gekend17. Enkel voor de rijen die van buiten het beschouwde systeem

toegeleverd worden, moet een aankomstendistributie gekozen worden. Voor de andere rijen

moet worden aangegeven door welke rij ze worden aangeleverd. De vertrekken worden

meestal exponentieel verdeeld verondersteld. Door het uitvoeren van de simulatie verandert

deze distributie reeds snel in andere, meer rele distributies door de invloed van

verkeerslichten of andere wachtrijen. De percentages voertuigen die elk een andere richting

opgaan bij het splitsen van een stroom moeten ook geschat en aangegeven worden.

17 Door de verkeerslichtenregeling aan te passen kan men de invloed ervan op de verkeersafwikkeling bestuderen.

48

Een andere moeilijkheid stelt zich bij het schatten van de vermindering van vertrekintensiteit

wanneer een rij gehinderd wordt door een andere. Deze intensiteitsdaling is namelijk sterk

afhankelijk van kruispunt tot kruispunt, en van bestuurder tot bestuurder. Indien men een

bestaand kruispunt simuleert, kan men best enkele metingen uitvoeren, of zich baseren op

bestaande metingen van bij gelijkaardige kruispunten. Indien men niet over deze gegevens

kan beschikken maakt men een realistische schatting.

3.5 Tel- en tijdmatrices

Om na de simulatie de vertragingen, de capaciteiten en de wachtrijlengtes te kunnen

berekenen worden alle bewegingen naar of vanuit de black boxes opgeslagen. Hiervoor staan

de telmatrix en de tijdmatrix ter beschikking. In tabel 1 is een deel van de tijdmatrix en de

telmatrix voor een toelevering van rij 1 naar rij 2 weergegeven. In rij 1 komen autos toe

volgens een exponentiele verdeling, en uit rij twee vertrekken ze ook volgens een

exponentiele verdeling. De tabel moet op volgende wijze gelezen worden; Men kijkt in de

telmatrix of er een verandering geweest is van het aantal wagens in de wachtrij. In de

tijdmatrices worden zowel de tijdstippen van populatietoename als afname bijgehouden. Van

de eerste naar de tweede rij in de matrix is er een afname van de teller van de eerste wachtrij

van 3 naar 2. In de tijdmatrix vindt men in de overeenkomstige kolom en rij, het tijdstip terug

waarop deze overgang naar een nieuwe populatiegrootte plaatsvond. De overgang 3 naar 2

wagens voor wachtrij 1 voltrok zich dus op tijdstip 80,3566. Omdat rij 1 toelevert aan rij 2

impliceert een vertrek uit rij 1 een aankomst in rij 2. Er kan dan ook afgelezen worden dat de

populatie van rij 2 gegroeid is van 4 naar 5, en dit op tijdstip 80,3567. 0,001 tijdseenheden

nadat de wagen rij 1 verliet komt hij aan in rij 2. Dit overgangsverlies kan zelf gekozen

worden. Uit de telmatrix kan afgelezen worden dat van tijdstip 76,9635 tot tijdstip 80,3566 de

populatie van wachtrij 1, 3 was. Van 80,3566 tot 81,5149 was deze populatie 2 Zo kunnen

uit de tijd- en telmatrices de gemiddelde wachtrijlengtes berekend worden. In de bijhorende

figuur 11 is de populatie van beide rijen gedurende het tijdsinterval 0 tot 100 weergegeven in

functie van de tijd. Er is duidelijk op te zien dat wanneer er een afname is van de populatie

van wachtrij 1 (blauw), er zich tegelijkertijd een toename van de populatie van wachtrij 2

(rood) voordoet.

49

tijd rij 1 tijd rij 2 tel rij 1 tel rij 2

76.9635 76.9636 3.0000 4.0000

80.3566 80.3567 2.0000 5.0000

80.3566 81.1596 2.0000 4.0000

81.5149 81.1596 3.0000 4.0000

83.6315 81.1596 4.0000 4.0000

86.3154 86.3155 3.0000 5.0000

86.3154 87.1596 3.0000 4.0000

87.2561 87.1596 4.0000 4.0000

89.4429 87.1596 5.0000 4.0000

Tabel 1: Deel van een tijd- en telmatrix

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

bedienings- en aankomstintensiteiten; (1auto/6sec) X-as:tijd

popula

tiegro

ott

e

populatiegrootte in functie van de tijd; blauw : rij 1, rood : rij 2

Figuur 11: Populatiegrootte in functie van de tijd

50

3.6 Labelsysteem

Wanneer het individuele traject dat elke wagen aflegt op voorhand niet exact kan worden

bepaald, dan kan men niet zonder meer de verschillende vertragingen die de voertuigen

hebben opgelopen uit de tel- en tijdmatrices aflezen. Het blijft nog wel mogelijk om de

capaciteit van het kruispunt te berekenen, en om daaruit de gemiddelde vertragingen te

berekenen. Meestal volstaan deze gegevens, al zou men ook genteresseerd kunnen zijn in de

vertraging die elk individueel voertuig heeft opgelopen.

Om deze berekeningen in verband met de vertragingen ook in deze gevallen mogelijk te

maken is er een labelsysteem ontwikkeld. In dit labelsysteem wordt het traject dat elke wagen

heeft afgelegd, samen met de tijden die de verschillende voertuigen op de verschillende

kruispuntsecties hebben doorgebracht, bijgehouden in 2 matrices, de aankomst en vertrek

labelmatrix.

De labels zijn kommagetallen. Een label geeft aan welk traject een wagen reeds doorlopen

heeft. De getallen voor de komma stellen eenheden voor, terwijl de getallen na de komma

duiden op tientallen. De getallen op de eerste plaats voor en na de komma vormen een koppel.

De getallen op de tweede, derde, plaats voor en na de komma vormen zo ook allen een

koppel. Het eerste getal voor de komma vormt samen met het eerste getal na de komma het

rijnummer van de laatste rij waarin de wagen zich bevond. Het tweede getal voor de komma

vormt, samen met zijn pendant achter de komma, het rijnummer van de voorlaatste rij, enz.

Hierbij geeft het getal na de komma steeds het tiental aan, terwijl het getal voor de komma op

het aantal eenheden wijst.

Ter verduidelijking wordt er een klein voorbeeldje gegeven.

Voorbeeld:

Label 321,110 duidt op een traject van rij (0x10+3) naar (1*10+2)

naar (1*10+1). Of dus het traject 3-12-11.

Label 47124,30275 duidt zo op traject 54-77-21-2-34.

Voor een gedetailleerdere uitleg over de precieze werking wordt verwezen naar bijlage A:

werking van de simulatie.

51

3.7 Beperkingen in modellering

Eigenlijk kent de modellering zeer weinig beperkingen. Door een goede combinatie van

verschillende wachtrijen kunnen met het programma zowat alle verkeerssituaties

gemodelleerd worden. Bovendien is het model zo opgesteld dat er makkelijk extra

toepassingen kunnen worden ingebracht.

In het model wordt er momenteel echter geen rekening gehouden met wagens met een

personenauto equivalent (pae) verschillend van 1, zoals bvb. vrachtwagens. Ook een

wachtrijtype waarin elke wagen een zelfde constante verblijftijd heeft, is nog niet

gemodelleerd.

In dit hoofdstuk werd beschreven hoe er bij het opstellen van het programma te werk werd

gegaan om tot een goed model van de werkelijkheid te komen. Eerst werd het principe van de

black box uiteengezet, waarna er aangetoond werd hoe men tot een goede vertaling van de

werkelijkheid naar een netwerk van wachtrijen komt.

In het volgende hoofdstuk zullen de resultaten die bekomen worden met de simulatie getoetst

worden aan de resultaten die men zou verwachten op basis van analytische en

deterministische formules die voor handen zijn in de literatuur.

52

4 Verificatie In het programma worden verkeersprocessen gesimuleerd door een het combineren van een aantal

wachtrijen die initieel gebaseerd zijn op Markov geboorte- sterfteprocessen. Om het model

theoretisch te onderbouwen worden in dit deel de resultaten uit de simulaties gevalueerd door

een grondige vergelijking met de analytische formules te maken.

Om tot een goede vergelijking te komen wordt de kans om een bepaald aantal gebruikers aan te

treffen in de wachtrij en de gemiddelde vertraging berekend. Ook het gemiddelde aantal

wachtenden in een wachtrij wordt geverifieerd. Deze waardes leggen de basis voor goede

benaderingen van gemiddelde wachtrijlengtes, capaciteiten en vertragingen in uitgebreidere

systemen. In de bijlage werking van de simulatie is aangegeven hoe deze capaciteiten en

vertragingen berekend worden.

Vooreerst worden individuele wachtrijen bestudeerd. Aangezien de wachtrije