Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Toegepaste Wetenschappen Departement Burgerlijke Bouwkunde

Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

E2006 Promotor: L.Immers

Nathan Van Paesschen

2

Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van het auteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze eindverhandeling

Leuven, juni 2006

3

K.U.Leuven

Fakulteit Toegepaste Wetenschappen

Akademiejaar: 2005-2006 Departement: Burgerlijke Bouwkunde Adres en tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Naam en voornaam student: Van Paesschen Nathan Titel eindwerk: Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten Korte inhoud Eindwerk:

Bestaande analytische verkeersmodellen houden bij het berekenen van capaciteiten van kruispunten geen rekening met de interacties en conflicten tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispuntvlak. In deze thesis wordt nagegaan wat de invloed van deze interacties is op de capaciteit van een kruispunt. Hiertoe wordt er een computermodel ontwikkeld dat er specifiek op gericht is om deze interacties en hun invloed op de verkeersafwikkeling te modelleren. Deze zaken werden in de bestaande literatuur nog maar weinig bestudeerd. Het onderzoek toont aan dat bij geringe drukte, het aantal interacties tussen de verschillende stromen klein is. Hun invloed op de verkeersafwikkeling blijft zeer beperkt. Het onderzoek toont verder aan dat bij toenemende drukte, het aantal interacties echter zo sterk kan toenemen dat er zich zelfs een capaciteitsval van het kruispunt kan voordoen. Bij grote belastingsgraden blijken de huidige verkeersmodellen, die geen rekening houden met deze interacties, de capaciteit van een kruispunt vaak substantieel te overschatten. Promotor: prof. L. Immers Assessoren: prof. E. Peetermans dr. C. Tampère

4

K.U.Leuven

Fakulteit Toegepaste Wetenschappen

year: 2005-2006 Department: Burgerlijke Bouwkunde Address and tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Name and surname student: Van Paesschen Nathan Title of thesis: Analysing chaos on intersections using Monte-Carlo simulation techniques

Summary of thesis:

When calculating the capacity of junctions, current analytical traffic models don’t take the interactions and conflicts between the different traffic flows on these junctions into account. As its main objective, this thesis analysed the influence of these interactions and conflicts on the total capacity of a junction. With the help of a self-created computer model, particularly focussed on the specific needs to model the interactions between traffic flows, the influence of conflicts between these flows on the capacity of junctions was studied. In the existing literature, this topic has almost never been studied. At low degrees of saturation, this influence turns out to be little. With increasing traffic however, the number of conflicts increases as well. The results of the research show that conflicts between the different traffic flows do not only have a limitation effect on the capacity of intersections. In some circumstances, they could even be the source of a capacity drop on the junction. In these situations, existing traffic models often overestimate the capacity of junctions. Estimations that at times can be too big to just ignore… Promotor: prof. L. Immers Assessors: prof. E. Peetermans dr. C. Tampère

5

Dankwoord

Vooreerst wil ik mijn promotor, professor Immers bedanken. Hij gaf me, als een student van

de optierichting gebouwentechnieken, toch de mogelijkheid om mijn eindwerk bij de afdeling

verkeer en infrastructuur te schrijven. Hierdoor kreeg ik de mogelijkheid mijn thesis te

schrijven over een enorm boeiend onderwerp. Ook wil ik Eddy Peetermans bedanken voor het

feit dat hij wilde inspringen als tweede assessor van deze thesis. In het bijzonder wil ik ook

Chris Tampère heel erg bedanken. Als mijn “personal coach” wist hij me met zijn

enthousiamse, inzicht en gedrevenheid enorm te motiveren. Zonder zijn inbreng zou deze

thesis niet dezelfde zijn geweest.

7

0 Inleiding 10

1 Literatuurstudie 12

1.1 Inleiding 12

1.2 Traditionele verkeerstheorie 14 1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters 14 1.2.2 Vertraging 16

1.3 Nieuwe ontwikkelingen en methodes 18 1.3.1 methode van de conflictstromen 18

1.4 Verkeersstromen als wachtrijen 20

1.5 Besluit literatuurstudie 21

2 Modeldefinitie 23

2.1 Afwikkelingsbepalende elementen 23 2.1.1 Verkeerslichten 23 2.1.2 Voorrangsregels 24 2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling 24

2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom 25 2.1.3.2 Interacties tussen verschillende stromen 26 2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken 27

2.2 Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen 28 2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens 28 2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time 29

2.3 Aspecten met kleinere prioriteit 30 2.3.1 Voetgangers 30 2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook 30 2.3.3 Knipperlichten 30 2.3.4 Headway compressie 31 2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling 31

3 Conceptuele uitwerking van het model 32

3.1 Het Black Box Concept 32

3.2 Eigenschappen van de verschillende black boxes 34 3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes 34 3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes 35

3.2.2.1 Verkeerslichten 35 3.2.2.2 Capaciteit 36

3.3 Interacties tussen de verschillende wachtrijen 37 3.3.1 Toelevering 37

3.3.1.1 1-op-1-toelevering 37 3.3.1.2 1-op-m-toelevering 39

3.3.2 Hinder en vermindering 41 3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie 42

3.4 Omzetten van werkelijkheid naar model 44 3.4.1 Definiëren van de wachtrijen 44

3.4.1.1 Level-1-rijen 45 3.4.1.2 Level-2-rijen 45

8

3.4.1.3 Level-3-rijen 46 3.4.1.4 Nummering 47

3.4.2 Aangeven van interacties 47

3.5 Tel- en tijdmatrices 48

3.6 Labelsysteem 50

3.7 Beperkingen in modellering 51

4 Verificatie 52

4.1 Wachtrijen als Markov-rijen 53 4.1.1 M/M/1 55

4.1.1.1 De kans op populatie k 55 4.1.1.2 Gemiddeld aantal wachtenden 58 4.1.1.3 De tijd gespendeerd in het systeem 59 4.1.1.4 Besluit M/M/1 59

4.1.2 Andere Markov-processen 60 4.1.3 Besluit simulatie van Markov-processen 60

4.2 Verkeerskundige processen 61 4.2.1 Interactie tussen twee stromen aan kruispunten zonder verkeerslichten 62

4.2.1.1 Capaciteit 62 4.2.2 Vertraging 65

4.2.2.1 Vertragingen berekend met tijdsonafhanlijke formules 65 4.2.2.2 Formules berekend met tijdsafhankelijke berekeningen 70

4.2.3 Vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten 72

4.3 Besluit verificatie 77

5 Hoofdstuk Toepassing 78

5.1 Situatieschets 79 5.1.1 Verschillende verkeersstromen 80 5.1.2 Verkeerslichtenregeling 81 5.1.3 Invloed van de verschillende stromen op elkaar 82

5.2 Berekeningen en resultaten 83 5.2.1 Verwaarlozen van de interacties 84 5.2.2 Inrekenen van interacties tussen stromen 91

5.2.2.1 Eerste orde hinder 91 5.2.3 Eerste en tweede orde hinder 98 5.2.4 Vertragingen 103

5.3 Invloed van karakteristieke parameters op de capaciteit van het kruispunt 105 5.3.1 De invloed van de bedieningstijd 106 5.3.2 Invloed van de hinderlengte 107

5.4 Conclusie 108

6 Besluit 109

7 Literatuuropgave 111 Afkortingenlijst 115

Lijst met figuren 116

Lijst met tabellen 117

9

Bijlage A: Werking van de simulatie 119

Bijlage B: Andere Markov-rijen 139

Bijlage C: Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing 148

Bijlage D: Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing 151

10

0 Inleiding

De impact van het verkeer op onze maatschappij wordt steeds groter. Dagelijks halen

verkeersopstoppingen het nieuws, en overal hoor je mensen klagen over de tijd die ze

verliezen tijdens de dagelijkse rit naar en van het werk. Een vlottere verkeersdoorstroming

zou voor vele pendelaars de werkdag heel wat aangenamer maken. Ook de mensen die hun

rustige straatje elke dag weer omgetoverd zien tot een drukke sluipweg zijn deze

verkeersoverlast liever kwijt dan rijk. De vaak stroef verlopende verkeerstromen hebben niet

alleen sociale gevolgen, ook de economische gevolgen zijn enorm. Dagelijks worden er

miljoenen euro’s aan arbeidsuren verspild met wachten in de file. Enorme wachtrijen aan

kruispunten zijn een economische ramp voor een stad. De middenstand in ‘moeilijk’

bereikbare stadskernen, zoals Mortsel, ziet al jaren haar omzet achteruit gaan. Ook het milieu

kreunt onder de impact van al de motoren die in de file staan te draaien en ondertussen tonnen

CO2 en andere schadelijke gassen de lucht insturen. De vraag vanuit maatschappij naar

oplossingen klinkt steeds luider.

Wanneer de verkeersafwikkeling over een verkeersnetwerk gesimuleerd wordt, dan wordt er

voor de capaciteit van kruispunten vaak met arbitraire aannames gewerkt. De

detailleringsgraad van macroscopische modellen is vaak niet fijn genoeg om de

verkeersafwikkeling op kruispunten op een verfijnde manier weer te geven. Bovendien blijkt

uit studie van de bestaande literatuur dat er over de impact van de interacties tussen

verschillende stromen op een kruispuntvlak, op de capaciteit van dit kruispunt, bijna geen

publicaties bestaan. Bestaande verkeersmodellen stellen de capaciteit van een kruispunt op op

basis van de intensiteit van de verschillende wegen die aan het kruispunt toekomen. Bij

stijgende verkeersvraag stijgt de intensiteit over het kruispunt, om uiteindelijk begrensd te

worden door de maximale capaciteit van het kruispunt. Wat er op het kruispuntvlak zelf

gebeurt, laten deze modellen buiten beschouwing. Zeker bij hogere saturatiegraden schieten

deze modellen tekort in hun benadering van de werkelijkheid. Deze thesis heeft als doel na te

gaan of interacties en conflicten tussen stromen op een kruispuntvlak weldegelijk een invloed

hebben op de capaciteit van een kruispunt. Ze wil geen afgewerkt geheel zijn, maar eerder een

aanleiding tot verder onderzoek onder de vorm van (post)doctoraatstudie.

11

In deze thesis is een computermodel opgesteld dat er precies op gericht is om de interacties

tussen de verschillende stromen op het kruispuntvlak te modelleren. Na de bespreking van de

literatuurstudie wordt uiteengezet wat de precieze vereisten voor het simulatiemodel zijn.

Deze vereisten zijn er vooral op gericht om met het simulatiemodel een toegevoegde waarde

te kunnen bieden ten opzichte van de bestaande onderzoeken en verkeersmodellen. De

simulatie is op een zodanige wijze geconcipieerd dat ze later nog kan dienen voor verder en

dieper onderzoek in navolging van deze thesis. Vanuit dit oogpunt is er dan ook uitgebreide

zorg besteed aan de verificatie van de resultaten van het computermodel. Uit deze verificatie

blijkt dat de simulaties de bekende formules en modellen, gelet op de aannames en

vereenvoudigingen die deze maken, zeer goed benaderen.

Het laatste hoofdstuk gaat aan de bestaande theorie voorbij. Er wordt met behulp van het

simulatiemodel een verkeerssituatie uitgewerkt. Door deze simulatie uit te voeren met en

zonder inrekenen van de interacties tussen stromen op het kruispuntvlak wordt nagegaan

welke fout de bestaande verkeersmodellen maken door deze interacties te verwaarlozen. Deze

fout blijkt in bepaalde omstandigheden zeer aanzienlijk te zijn. Bij stijgende verkeersbelasting

ontstaan er tussen de verschillende stromen op het kruispunt meer en meer conflictsituaties.

Er wordt aangetoond dat bij stijgende verkeersvraag de intensiteit van het kruispunt niet altijd

naar een bovengrens convergeert. Integendeel! Net door dit toenemende aantal conflicten

tussen de verschillende verkeersstromen kan vanaf een bepaald punt de capaciteit van het

kruispunt afnemen bij stijgende verkeersvraag. Er doet zich een capaciteitsval voor.

Uiteindelijk wordt er nog kort even ingegaan op enkele parameters die de aard van deze

capaciteitsval beïnvloeden. Welke al deze parameters zijn, en waar hun precieze invloed op de

capaciteit van het kruispunt zich precies situeert, paste niet meer in het bestek van deze thesis.

De thesis probeert een lans te breken voor dieper en uitgebreider onderzoek naar de

verkeersprocessen op het kruispuntvlak, en hun invloed op de capaciteit van het kruispunt en

het volledige netwerk. Enkel indien een goed inzicht verworven wordt in deze processen

zullen goede en betrouwbare voorspellingen kunnen gedaan worden in verband met de

prestaties van kruispunten, en van het hele netwerk…

12

1 Literatuurstudie

1.1 Inleiding In deze thesis wordt bestudeerd welke de invloed is van de interacties tussen verkeersstromen

op de verkeersafwikkeling op en rond het kruispuntvlak . Bij verschillende belastingsgraden

zullen vertragingen, gemiddelde wachtrijlengtes en de capaciteit van kruispunten als

belangrijkste parameters voor deze verkeersafwikkeling met elkaar vergeleken worden.

Hiertoe wordt een simulatiemodel geprogrammeerd. Om een inzicht te krijgen in de

verkeersprocessen die geprogrammeerd dienen te worden wordt eerst een studie van de

literatuur in verband met deze processen en interacties gemaakt. Bovendien worden, na het

programmeren, de resultaten uit het simulatiemodel gestaafd worden met de analytische en

deterministische formuleringen die worden teruggevonden in de literatuur.

Voor wetenschappelijke publicaties daterend van voor 1999 hebben we ons gebaseerd op een

samenvatting van de meest relevante werken, gepubliceerd door de Transportation Research

Board (TRB). Naast dit rapport werden ook de nieuwe onderzoeksprojecten en papers

gepubliceerd tot en met 2005, die betrekking hebben op deze thesis, bestudeerd. Hiertoe

hebben we ons laten leiden door de proceedings van het jaarlijkse congres van de TRB.

In 1999 werd er door de TRB een rapport gepubliceerd [TRB]. Het is een door de TRB

verbeterde versie van een monografie, product van een samenwerking tussen The Federal

Highway Administration (FHWA) en het Oak Ridge National Laboratory, waarin alle

belangrijke ontwikkelingen in de verkeerstheorie worden samengevat. In het rapport wordt

dus zowel naar de grondleggers en de basisbeginselen van de verkeersstudie als naar meer

gespecialiseerde werken verwezen.

13

Bij het bestuderen van de processen die zich voordoen bij de verkeersafwikkeling op

kruispunten wordt er in de verkeerstheorie in de eerste plaats een onderscheid gemaakt tussen

kruispunten met of zonder verkeerslichten.

Er zijn verschillende goede redenen om deze scheiding te maken. Zo bijvoorbeeld hebben de

stromen uit de verschillende richtingen op kruispunten met lichten beurtelings voorrang,

waardoor er eerder naar dichotome1 distributies moet gegrepen worden. Ook is de correlatie

tussen de verschillende stromen op dit soort kruispunten minder groot.

[Buckley (1968),Cowan (1975),Dawson (1969), Schuhl(1955)]

Op kruispunten zonder verkeerslichten is er meestal 1 stroom die een continue voorrang

geniet2 ,waardoor vertrekprocessen andere distributies kennen. Het is duidelijk dat naast deze

belangrijke verschillen er ook zeer grote overeenkomsten bestaan tussen intersecties met of

zonder verkeerslichtenregeling.

Binnen deze twee verschillende categorieën zijn formuleringen opgesteld voor de berekening

van zowel de capaciteiten van, als de vertragingen op het kruispunt. Het berekenen van

capaciteiten van een kruispunt met of zonder verkeerslichten gebeurt op verschillende

manieren. Ook voor het berekenen van vertragingen worden verschillende methodes en

formuleringen gebruikt voor deze twee soorten kruispunten.

Naast deze opsplitsing kan de verkeerstheorie ook opgesplitst worden in een traditionele en

een meer progressieve verkeerstheorie. Alle methodes die via rigoureuze wiskundige

benaderingen tot formules proberen te komen worden als traditioneel geclassificeerd. Omdat

het met analytische formules snel moeilijk wordt om nog tot een goede beschrijving te komen

van complexere situaties zijn er de laatste jaren methodes ontstaan die niet meer vanuit pure

wiskundige formuleringen vertrekken. Een belangrijke methode is de methode van de

conflictstromen die ontwikkeld is door Werner Brilon en Ning Wu.

In de rest van dit hoofdstuk worden de resultaten van beide werkwijzen meer in detail

besproken.

1 Een dichotome verdeling is een combinatie van verschillende verdelingen. Ze veronderstelt dat een bepaald deel van de wagens in de stroom vrij en ongehinderd kan rijden in de stroom, en dat het andere deel van de voertuigen in groep rijdt. Een gekende dichotome verdeling is de M3 verdeling Cowan [Cowan, 1975] 2 Voorrangsbaan of voorrang van rechts

14

1.2 Traditionele verkeerstheorie

1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters

Onder capaciteit wordt de redelijk te verwachten maximum en onderhoudbare hoeveelheid

verkeersstroom onder bepaalde en gegeven voorwaarden verstaan. Capaciteit beschrijft dus de

gemiddelde (verwachte) maximale stroom die over een lange periode kan voldaan blijven.

Dit is de definitie gegeven door de Highway Capacity Manual.[HCM 2000].

Bij de berekening van de capaciteiten maakt men gebruik van de ‘gap acceptance theory’. De

gap acceptance theory bestudeert de fenomenen die verband houden met de distributie van

wagens in een verkeersstroom. Twee van deze fenomenen met een bijzonder belang voor de

studie van verkeersprocessen op kruispunten zijn de ‘critical gap’ en ‘follow-up time’3.

Men noemt ze de kritische gap parameters.

De kritische gap (gap= tussenruimte) is de minimale afstand die een bestuurder wil hebben

tussen twee opeenvolgende wagens in een stroom die hij wil kruisen vooraleer hij deze

stroom daadwerkelijk zal kruisen. De follow-up tijd is de tijd tussen twee opeenvolgende

wagens die een verkeersstroom kruisen, wanneer ze gebruik maken van dezelfde gap.

In de gap acceptance theory kunnen twee verschillende benaderingsmethodes onderscheiden

worden. De empirische regressiemethode, waarbij men continue wachtrijen veronderstelt en

de ‘Gap Acceptance Procedures’ (GAP-methodes), waarbij men gebruik maakt van meer

probabilistische methodes.

[veronderstelling continue wachtrijen: Harders (1976), Siegloch (1973), Tanner (1962),

Troutbeck (1986); meer probalistische methodes: Hewitt (1983), Miller (1972), Ramsey en

Routledge (1973), Troutbeck (1975)]

3 Verder in de tekst zullen de respectievelijke termen kritische gap en follow-up tijd gebruikt worden. In formules worden de kritische gap en de follow-up tijd afgekort met de respectievelijke symbolen Tc en Tf

15

Het schatten van de kritische parameters is zeer ingewikkeld omdat men deze schattingen niet

empirisch kan toetsen. Het is immers onbegonnen werk om verschillende wagens gedurende

een periode te volgen om zo ieders kritische parameters op te meten. Bovendien hangen ze

ook af van de typologie van het kruispunt zelf. Het schatten van deze parameters hangt zeer

nauw samen met de studie naar de verdeling van de tussenafstanden tussen de verschillende

wagens4.

Een eenvoudige veronderstelling stelt dat deze afstanden onafhankelijk van elkaar zijn. Een

exponentiële verdeling is dan aangewezen. De afstand tussen verschillende auto’s is echter

groter dan een minimale waarde, waardoor een verschoven exponentiële verdeling zich

opdringt. Om effecten zoals platooning5 of groepsvorming correct in te rekenen worden vaak

dichotome verdelingen gebruikt zoals het M3 model van Cowan of een hyper-Erlang

verdeling.

[Brilon (1996), Catchpole en Planck (1986), Cowan (1975),Hewitt (1985),

Tian(1999),Troutbeck(1988), Wegmann (In Brilon: 1991)]

4 In de Engelstalige literatuur noemt men deze tussenafstanden ‘headways’. 5 Platooning: Men spreekt over platooning wanneer auto’s in een groep of peloton achter elkaar aanrijden. Dit fenomeen komt bvb. voor wanneer een eerste wagen trager rijdt als de volgende wagen, maar wanneer er niet voorbij gestoken kan worden. Ook nadat de verkeerslichten op groen zijn gesprongen en alle wagens in groep wegrijden kan men over platooning spreken.

16

1.2.2 Vertraging

Vertraging of delay op kruispunten is één van de meest belangrijke parameters bij het

evalueren van de prestaties van kruispunten. Een goed inzicht in de parameters die een

invloed uitoefenen op de vertraging op kruispunten is bepalend voor een goede inrichting van

het kruispunt. Wat men verstaat onder een goede inrichting en bijhorende

verkeersafwikkeling is voor discussie vatbaar. Sommigen stellen dat de gemiddelde

vertraging zo klein mogelijk moet zijn, terwijl anderen dan weer menen dat er ook een

maximum wachttijd voor iedere gebruiker van het kruispunt in acht moet genomen worden

om nog van een goede afwikkeling te kunnen spreken.

De kwaliteit van de verkeersafwikkeling op een kruispunt kan gekarakteriseerd worden door

de zogenaamde ‘measures of effectiveness’ (MOE’s, de maatstaven voor de effectiviteit van

de verkeersafwikkeling ).

De gemiddelde vertraging, de gemiddelde wachtrijlengte, de verdeling van de vertragingen,

de verdeling van de wachtrijlengtes, het aantal voertuigen dat tot een stop is moeten komen en

de waarschijnlijkheid op een lege wachtrij zijn de voornaamste MOE’s.

Een ander belangrijk verschil tussen de analytische beschrijvingsmethodes ligt in het feit of

het beschreven proces als stationair dan wel als dynamisch6 beschouwd wordt. Vele

macroscopische formuleringen zijn maar bruikbaar binnen een beperkt domein wanneer men

rekening houdt met de vereenvoudigde veronderstellingen van tijdsonafhankelijkheid.

Zo vereist tijdsonafhankelijkheid op kruispunten met verkeerslichten dat de wachtrij na elke

lichtcyclus weer leeg is. Analytische formuleringen die tijdsonafhankelijkheid veronderstellen

zijn daarom maar praktisch bruikbaar in stationaire condities met constante verkeersvolumes

en bij saturatiegraden tot 1.

6 Hoewel transient misschien een betere uitdrukking zou zijn wordt er in het verkeerskundig vakjargon steeds de term dynamisch gebruikt.

17

Tijdsafhankelijke benaderingen worden echter vlug analytisch zeer moeilijk oplosbaar.

Kimber en Hollis publiceerden in 1979 een werk dat aan basis ligt van de dynamische analyse

van kruispunten met behulp van wachtrijtheorie. Door gebruik te maken van de coördinaten

transformatiemethode stellen ze tijdsafhankelijke formuleringen op voor de vertragingen en

wachtrijlengtes aan kruispunten.

[vertragingen, geen verkeerslichten, tijdsonafhankelijk: Adams (1936), Cowan (1987),

Daganzo (1977), Harders (1968), Kremser (1964), Tanner (1962), Troutbeck (1990);

wel signalisatie:Miller (1963), Newell (1965), Webster(1958)]

[vertraging, geen verkeerslichten, tijdsafhankelijk: Newell (1982),Akçelik (1991)]

[vertraging, wel verkeerslichten,tijdsafhankelijk: Akçelik en Rouphail (1994), Kimber en

Hollis (1979), Olszewski (1990)]

Er werd een kort overzicht geschetst van de traditionele aanpak van de problemen die zich

stellen. Voor een grondiger overzicht verwijzen we naar hoofdstuk 8 [unsignalized

intersection theory, Troutbeck & Brilon] en hoofdstuk 9 [traffic flow at signalized

intersections, Rouphail,Tarko & Li] van het hierboven reeds vermelde rapport van de TRB uit

1999 [TRB].

We kunnen besluiten dat traditionele verkeersmodellen geen rekening houden met bepaalde

interacties tussen verkeersstromen. Bij hoge saturatiegraden nemen de interacties tussen

stromen op het kruispuntvlak sterk toe, waardoor vertragingen hoog kunnen oplopen. Hier

schieten de huidige modellen tekort. Ook wordt de invloed van kruispunten verder in de

verkeersstroom niet beschouwd. De traditionele verkeerstheorie laat dus nog heel wat ruimte

voor verder onderzoek naar vertragingen als gevolg van de interacties tussen stromen rond

maar vooral ook op kruispunten.

18

1.3 Nieuwe ontwikkelingen en methodes

Al snel duiken er problemen op wanneer men een verkeerssituatie met minder eenvoudige, of

tijdsafhankelijke parameters wenst te beschrijven met de GAP-methodes. Een analytische

formulering voor complexe kruispuntvlakken opstellen is een onbegonnen werk en het

berekenen van praktisch bruikbare resultaten is derhalve onmogelijk.

1.3.1 methode van de conflictstromen

Een methode die deze problemen op een relatief eenvoudige wijze aanpakt, is de methode van

de conflictstromen. Aan de basis van deze methode ligt het concept van de additieve

conflictstromen (ACF). Dit concept werd voor het eerst beschreven door Gleue (1972), om

kruispunten met verkeerslichten te analyseren.

Het concept van de conflictstromen werd in 2000 bijgeschaafd door Wu, en toegepast op ‘all-

way-stop-controlled’ (AWSC)7 intersecties. In 2001 werd hetzelfde concept toegepast op

‘two-way-stop-controlled’ intersecties door Brilon en Wu. De paper “Capacity and Delays at

Intersections Without Traffic Signals” door Werner Brilon en Thorsten Miltner, voorgesteld

in de TRB 2005 bouwt het concept van de conflictstromen verder uit, en toont er de sterktes

van deze werkwijze in aan.

De methode van de conflictstromen definieert op het kruispunt een aantal conflictpunten en

conflictzones. Dit zijn zones waar twee of meerdere stromen elkaar kruisen en elkaar kunnen

hinderen. Op basis van de voorrangsregels tussen de verschillende stromen wordt een

voorrangsnetwerk tussen de verschillende stromen opgesteld. Hiertoe krijgen de stromen een

rang toebedeeld die hun onderlinge voorrangsverplichtingen aangeeft (hogere rang heeft

voorrang). Het geheel van deze relaties wordt samengevat in een conflictmatrix. Deze is

makkelijk uitbreidbaar zodat op een relatief eenvoudige wijze ook moeilijke verkeerssituaties

geanalyseerd kunnen worden. Na het opstellen van deze conflictmatrix moeten ook de kansen

dat de voertuigen met verschillende rang zich op het conflictpunt bevinden worden geschat.

7 Kruispunten waar voor alle wegen die aankomen aan dit kruispunt verkeerlichten voorzien zijn.

19

Door deze verschillende kansen te vermenigvuldigen met de maximale capaciteit die de

voertuigen van een bepaalde rang kennen wanneer ze niet gehinderd worden, kunnen

uiteindelijk uit de conflictmatrix de capaciteiten van de verschillende stromen berekend

worden.

De werkwijze is relatief eenvoudig, maar levert toch zeer goede resultaten op. Deze methode

verschilt van de meer conventionele werkwijzes, in het feit dat ze vertrekt vanuit strikt

wiskundige formules en benaderingen.

In de verdere uitwerking van het simulatiemodel wordt ook gebruik gemaakt van een

conflictmatrix. De simulatie verschilt van de conflictmethode in deze dat de

waarschijnlijkheden op een aanwezigheid van de voertuigen niet expliciet geschat worden. Ze

volgen impliciet uit de simulatie.

Met de conflictmethode is het makkelijker om rekening te houden met het aantal rijstroken, de

distributies van de verkeersstromen, de voetgangers die eigenlijk integraal deel uitmaken van

de verkeersafwikkeling, en met de rijstroken waar het licht oranje staat te knipperen.

Ook het inrekenen van gelimiteerde8 en omgekeerde9 voorrang stelt geen grote problemen

voor de conflictmethode.

De conflicttechniek schuift een alternatief naar voor om de capaciteit van de verschillende

bewegingen op het kruispunt te berekenen. Het afleiden en berekenen van andere

prestatieparameters zoals de vertragingen, de wachtrijlengtes en lane sharing10 gebeurt op de

conventionele wijze.

8 Gelimiteerde voorrang: Wanneer een voertuig een verkeersstroom kruist of er in invoegt, kan het voorkomen dat een wagen in deze stroom dient af te remmen om botsingen te vermijden. Hierdoor wordt zijn voorrang gelimiteerd. 9 Omgekeerde voorrang: Dit fenomeen doet zich voor wanneer een chauffeur die voorrang heeft zijn voorrang afstaat aan een automobilist die volgens de verkeersregels voorrang zou moeten geven. De voorrang wordt daarmee omgekeerd. 10 Onder lane sharing verstaat men het delen van 1 rij- of opstelstrook door wagens die een verschillende richting uitmoeten. Een gekend effect hiervan doet zich voor wanneer wagens die linksaf of rechtdoor moeten een opstelstrook delen. De wagens die rechtdoor moeten kunnen gehinderd worden door de wagens die linksaf moeten omdat deze nog gehinderd worden door een stroom uit de tegenovergestelde richting

20

1.4 Verkeersstromen als wachtrijen

In de simulatie wordt het kruispunt beschouwd als een aaneenschakeling van wachtrijen.

Eens het kruispuntvlak op een effectieve wijze ontrafeld is tot een aantal samenhangende

wachtrijen is het belangrijk om ook op een juiste wijze eigenschappen toe te kennen aan deze

rijen. In de simulatie worden de wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen, en meer bepaald op

geboorte- en sterfteprocessen (GS-proces). Een wachtrij wordt gekenmerkt door een

populatie, het aantal auto’s in de wachtrij. Bij deze GS-processen kan er vanuit deze toestand

enkel over gegaan worden in een populatie die 1 wagen groter of kleiner is. In hoofdstuk 4

wordt hierop verder ingegaan.

Correcte resultaten vereisen een realistische benadering van de wachtrijmodellen. Als de

saturatiegraad van een kruispunt dicht bij 1 ligt, of zelfs groter als 1 is , of wanneer de initiele

wachtrij niet leeg is,dan heeft de wachtrij een dynamisch karakter. In 2004 stelden Viti en

Van Zuylen een Markov-model voor dat ontworpen is om juist deze dynamische

eigenschappen van de wachtrijen te berekenen. De nieuwe formuleringen zijn een uitbreiding

van de reeds bestaande wiskundige benaderingen voor rijlengtes door Akçelik (die geen

rekening houdt met initiele wachtrijen die niet leeg zijn) en Catling . In hun werk bespreken

Viti en Van Zuylen het belang van enkele wiskundige parameters zoals de standaarddeviatie

op de verwachtingswaarde en de evolutie van wachtrijen.

Elke studie rondom verkeersafwikkeling heeft wel van dichtbij of veraf te maken met

wachtrijen. Daarom zou het onbegonnen werk zijn om hier een uitputtende lijst van werken

op te sommen. Enkele andere interessante werken zijn van de hand van Abu-Lebdeh en

Benekohal (1997), Akçelik(1993) , Banks en Amin(2003), Kimber en Hollis(1979) en Wu

(2004).

Niet alleen de interacties die verkeersstromen met elkaar aangaan op het kruispuntvlak

bepalen de vertragingen die wagens kunnen oplopen aan een kruispunt. Soms kan de storende

invloed van verderop in het netwerk komen. Ahmed en Abu-Lebdeh (2005) bestudeerden de

vertragingen geïnduceerd door verstoringen verderop in het verkeersnetwerk. Deze

verstoringen worden door de huidige modellen verwaarloosd. Uit de paper blijkt dat, zeker in

situaties met zware belasting, deze vertragingen toch significant kunnen zijn en het is dus

belangrijk om hier bij het opstellen van een simulatiemodel rekening mee te houden.

21

1.5 Besluit literatuurstudie

Uit de literatuurstudie komt duidelijk naar voor dat er al grondig onderzoek verricht is naar

vertragingen voor verkeersstromen aan kruispunten. Aankomst- en vertrekprocessen werden

al uitvoerig onder de loep genomen en ook tal van andere aspecten zoals gelimiteerde

voorrang, lane sharing, headway compressie11, de invloed van afslagmanoeuvres,… vormden

reeds het onderwerp van menig wetenschappelijk onderzoek.

Met de conflictmethode worden de interacties van stromen op een kruispuntvlak bestudeerd.

Toch is de invloed van deze interacties op de vertragingen en op de capaciteit van het

kruispunt nog steeds te weinig onderzocht en beschreven.

Vooral kruispunten die rond het verzadigingspunt belast worden, bieden nog voldoende stof

voor verder en meer diepgaand wetenschappelijk onderzoek. Zo zijn de effecten van een

overgang van een onder- naar oververzadiging van een kruispunt nog nauwelijks bestudeerd.

Analytische formules veronderstellen dat, wanneer de saturatiegraad van een kruispunt naar 1

gaat, dan de gemiddelde vertragingen oneindig groot worden en dat er bij saturatiegraden

groter dan 1 zelfs helemaal geen verkeersstroming is. Dit is niet juist. Empirische metingen

tonen aan dat ook bij saturatiegraden groter dan 1 er verkeersstroming blijft, al zullen de

gemiddelde vertragingen wel toenemen. In macroscopische modellen wordt er meestal een

maximale capaciteit verondersteld die constant blijft bij overcapaciteit. Ook dit is niet waar.

Bij zeer grote belastingen neemt de maximale capaciteit af, en dit door een toegenomen aantal

interacties tussen verkeersstromen.

In deze thesis wordt er een verkeerssimulatie worden waarmee interacties tussen

verkeersstromen op en rond het kruispunt gesimuleerd kunnen worden. Met deze simulatie

kan hun invloed op de vertragingen en de capaciteiten van een kruispunt worden bestudeerd.

Ook zullen de interacties tussen verschillende kruispunten nagegaan worden. Met de simulatie

zal ook nagegaan worden wat de invloed is van parameters zoals de saturatiegraad op de

vertraging, de capaciteit en de wachtrijlengtes. Er wordt immers vermoed dat vanaf bepaalde

saturatiegraden de interacties tussen stromen zo groot worden dat het verkeer op kruispunten

bijna stil komt te staan.

11 Headway compressie: De afstand tussen twee wagens in een verkeersstroom wordt in het engels een headway genoemd. Wanneer nu auto’s achter elkaar een wachtrij uitrijden wordt de afstand die de opeenvolgende wagens tussenlaten kleiner en kleiner. Dit effect wordt in de literatuur headway compressie geheten.

22

In deze situaties zijn het niet langer de offset-tijden tussen verschillende verkeerslichten, de

vertrekpatronen of de cycluslengtes die de vertragingen bepalen, zoals de huidige literatuur

laat uitschijnen. De hinder die de verschillende verkeersstromen op elkaar uitoefenen worden

dan bepalend. Bij welke saturatiegraden er een daling in capaciteit en toegenomen

vertragingen optreden, en of dit eerder een bruusk dan wel een effect met een duidelijke

overgangsfase is wordt ook nagegaan. Uiteindelijk wordt een besluit getrokken waarin de

invloed van interacties tussen stromen op de capaciteit en de vertragingen wordt geëvalueerd.

.

23

2 Modeldefinitie

Vooraleer verder wordt ingegaan op de uitwerking van de computersimulatie worden in dit

hoofdstuk eerst de verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling die men er mee wenst

te simuleren besproken. In dit hoofdstuk worden dus de functionele vereisten van het model

uiteengezet. Alle fenomenen die in dit hoofdstuk worden besproken, moeten gemodelleerd

kunnen worden. Er wordt ook aangegeven welke vereenvoudigingen en aannames er gemaakt

worden.

2.1 Afwikkelingsbepalende elementen

2.1.1 Verkeerslichten

Eén van de meest bepalende elementen voor een goede verkeersafwikkeling is het

verkeerslicht. Door het plaatsen van verkeerslichten nemen de interacties tussen verschillende

stromen op het kruispuntvlak af. Met het verkeerslicht wordt een systeem van wisselende

voorrang ingevoerd. Hierbij hebben de lengtes van de groen- en roodfase, de cycluslengte en

de afstemming van verschillende verkeerslichten op elkaar, een grote invloed op de

vertragingen die automobilisten oplopen op kruispunten. In het model kunnen deze lengtes

worden aangepast, en kunnen verschillende verkeerslichten op elkaar worden afgestemd.

Zo kan bij een simulatie van een kruispunt kunnen worden nagegaan wat de invloed is van

bvb. verschillende cycluslengtes op de gemiddelde wachtrijlengtes.

Ondanks het feit dat interacties tussen stromen afnemen dankzij het plaatsen van

verkeerslichten, is dit geen garantie voor het uitblijven deze interacties. Voorbeelden uit de

praktijk zijn hierbij legio. Zeker bij een grote belasting gebeurt het dat het kruispunt vol

wagens staat die elkaar allen verhinderen het kruispuntvlak op of af te rijden. Het zou zelfs

kunnen zijn dat net door de aanwezigheid van verkeerslichten de vertragingen toenemen12.

Het is dan ook verkeerd, zeker in de drukke en kritische spitsperiodes, om voor de capaciteit

van een kruispunt zomaar te rekenen met de capaciteit die men zou hebben indien vrije

uitstroom gegarandeerd is.

12 Wanneer een bestuurder groen licht heeft rijdt hij het kruispuntvlak op. Het maakt hem daarbij niet uit of hij met deze beweging andere stromen zou kunnen hinderen omdat hij het kruispuntvlak niet afgeraakt. Hierdoor kan het kruispunt klem komen te zitten en kunnen er grote vertragingen optreden.

24

Het model kan gebruikt worden om een beeld te vormen van de overschatting van de

capaciteit indien men dit toch doet.

Er wordt verondersteld dat alle chauffeurs zich aan de verkeerslichten houden. Er wordt geen

rekening gehouden met de invloed van automobilisten die het rood licht negeren en geen

rekening houden met de verkeersregels.

2.1.2 Voorrangsregels

In de simulatie kunnen voorrangsregels worden ingebouwd. Hierbij wordt dan gedacht aan

voorrang van rechts of de voorrang van wagens die op een voorrangsweg rijden.

Het model gaat er vanuit dat iedereen zich aan deze regels houdt en zijn voorrang

daadwerkelijk geeft, maar ook neemt.

Fenomenen zoals omgekeerde voorrang, waarbij een chauffeur zijn voorrang afstaat, of

gelimiteerde voorrang, waarbij een automobilist op een voorrangsweg moet afremmen omdat

een andere wagen zijn baan kruist of er zich invoegt, zijn persoonsgebonden en moeilijk te

modelleren. Met dit soort voorrang houdt het model geen rekening.

2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling

In heel het verkeersproces gaan wagens continu interacties met elkaar aan. Elke beweging die

een wagen maakt, zal andere wagens tot een reactie nopen. Het spectrum van deze interacties

is zeer breed. Daarom worden verder in de tekst alleen deze interacties besproken die een

invloed uitoefenen op de verkeersstromen op kruispunten, en die door het programma

gesimuleerd kunnen worden. Deze interacties kunnen opgedeeld worden in drie categorieën,

nl. interacties binnen 1 stroom, tussen verschillende stromen en interacties tussen

verschillende kruispuntvlakken. Deze drie categorieën worden hieronder besproken.

25

2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom

Een belangrijke soort interactie tussen wagens in één stroom ontstaat door het fenomeen van

lane sharing. Bij lane sharing staan wagens die op het kruispunt verschillende richtingen uit

moeten, opgesteld in dezelfde voorsorteerstrook. Ze delen dus deze opstelstrook met elkaar.

Dit heeft tot gevolg dat, indien de eerste wagen in de wachtrij verhinderd wordt om het

kruispuntvlak af te rijden, alle andere auto’s genoodzaakt zijn ook te wachten, zelfs indien de

richting die zij uit moeten helemaal niet geblokkeerd is. Een zeer gekend voorbeeld zijn

auto’s die linksaf wensen te slaan, maar gehinderd worden door auto’s uit de

tegenovergestelde richting. Hierdoor hinderen ze auto’s die achter hen staan opgesteld en

rechtdoor wensen te rijden. In het model kan gekozen worden of deze hinder al dan niet

ingerekend wordt. Zo kan er vergeleken worden wat de werkelijke invloed is van lane

sharing.

Een andere vorm van interacties binnen één stroom vindt men terug in het fenomeen van

platooning. Auto’s rijden achter elkaar in een groepje of peloton. Dit komt bvb. voor op een

plaats waar niet voorbij gestoken mag worden en wanneer de eerste wagen in een rij auto’s

relatief traag rijdt. Alle andere wagens zijn dan genoodzaakt zich aan het tempo van de eerste

te houden en rijden zo in groep verder.

Zoals in het hoofdstuk verificatie zal aangetoond worden, zijn de gemiddelde vertragingen

ook functie van de distributies van de aankomsten vertrekprocessen. Wanneer de wagens

verondersteld worden onafhankelijk van elkaar aan te komen, kunnen hun aankomsten

gemodelleerd worden met een exponentiële verdeling. Een andere distributie die vaak

verondersteld wordt is de constante distributie. Andere verkeerssituaties worden dan weer

best beschreven door andere verdelingen zoals een verschoven exponentiële verdeling, een

Erlang-distributie van hogere orde of bepaalde dichtome verdelingen. Daarom is het nodig dat

met het model ook deze verschillende distributies gemodelleerd kunnen worden, al zal blijken

dat door het expliciet simuleren van de verkeersstromen de simulatie zelf tot analytisch

moeilijk te beschrijven maar realistische distributies komt.

26

2.1.3.2 Interacties tussen verschillende stromen

In omstandigheden met een beperkte verkeersvraag, waarin een normale verkeersafwikkeling

mogelijk blijft, zorgen verkeerslichten er in principe voor dat verschillende verkeersstromen

aan een kruispunt maar weinig interacties met elkaar hoeven aan te gaan.

Een voorbeeld van een interactie die wel kan voorkomen, is het fenomeen dat hierboven reeds

besproken werd, waar een stroom die linksaf wil slaan gehinderd wordt door een tegemoet

komende verkeersstroom waaraan ze voorrang verschuldigd is. De stroom moet dan wachten

tot ze ongehinderd het kruispuntvlak af kan rijden. Vaak is dit pas het geval wanneer de

verkeerslichten al op rood zijn gesprongen. De wagens rijden het kruispuntvlak dus af tijdens

de rood lichtfase. Dit fenomeen vindt men in de literatuur terug als ‘red clearance’, en de

tijdsspanne waarin dit gebeurt heet men het ‘red clearance interval’.

Bij zeer grote belastingen van het verkeersnetwerk, kan het voorkomen dat het red clearance

interval van een stroom op het kruispuntvlak zo groot wordt – bvb. doordat de wagens het

kruispunt simpelweg niet meer af kunnen rijden- dat de voertuigen nog steeds op het

kruispunt staan wanneer een stroom uit de andere richting weer groen heeft gekregen.

Hierdoor neemt ook de afrijcapaciteit van deze stroom af. In het slechtste geval blijft een deel

van deze nieuwe stroom op zijn beurt weer staan op het kruispuntvlak, waardoor de capaciteit

van het kruispunt in een neerwaartse spiraal kan komen tot het hele kruispunt klem komt te

staan.

Wanneer er geen verkeerslichten voorzien zijn zorgen voorrangsborden en –regels ervoor dat

het verkeer zo vlot mogelijk verloopt. In deze situaties oefent de stroom die voorrang krijgt

wel een invloed uit op de stroom die voorrang moet geven (de zijstroom). De wagens in de

zijstroom dienen te wachten tot de tussenafstand tussen twee wagens in de hoofdstroom groot

genoeg is, om deze zonder storen te kunnen kruisen of erin in te voegen. De capaciteit

(wagens/uur) van de zijstroom zal dus mede bepaald worden door de verdeling van de

tussenafstanden tussen voertuigen in de hoofdstroom, ‘headways’ of ‘gaps’ genaamd.

Ook de aard van de chauffeurs in de zijstroom bepaalt voor een deel de maximale capaciteit

van de zijstroom.

27

Zo moet men zich afvragen wat de minimum afstand, de kritische gap tussen twee auto’s uit

de hoofdstroom moet zijn vooraleer een auto uit de zijstroom deze hoofdstroom durft te

kruisen. Indien een tussenruimte benut wordt door de automobilist spreekt men van

gap-acceptatie.

Ook de tussentijd die twee automobilisten laten wanneer die achter elkaar de hoofdstroom

kruisen (follow-up time) speelt een niet te onderschatten rol.

.

2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken

Wanneer de wachtrij aan een kruispunt zo lang wordt, dat de staart van deze rij de auto’s op

een nabij gelegen kruispunt hindert van dit kruispunt af te rijden, dan spreekt men van

‘spillback’. Spillback is dus een fenomeen veroorzaakt door een stroomafwaarts gelegen

kruispunt.

Meer algemeen kan onder dit fenomeen elke wachtrij beschouwd worden die een andere

verkeersstroom hindert doordat ze zo is uitgegroeid. Om rekening te kunnen houden met dit

fenomeen, moeten in het model dus wegen of opstelstroken met een beperkte opstelcapaciteit

gemodelleerd kunnen worden.

Een kruispunt zorgt ook vaak voor een soort platooning effect. Dit effect komt voor wanneer

auto’s van het ene kruispunt naar het andere kruispunt rijden. Aan het eerste kruispunt worden

de auto’s voor het rode licht verzameld, waarna ze bij groen min of meer in groep tot het

volgende kruispunt rijden. Het eigenlijke uitrijpatroon is zeer moeilijk analytisch te

beschrijven. Een simulatie is de techniek bij uitstek om tot realistische resultaten te komen.

Platooning wordt hier dan veroorzaakt door een stroomopwaarst gelegen signaal.

28

2.2 Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen

2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens

De aanvoer van wagens aan een kruispunt wordt meestal bepaald door stroomopwaarts

gelegen verkeerssituaties. Zoals eerder reeds vermeld, oefent een kruispunt een specifieke

invloed uit op het distributiepatroon waarmee wagens aangeleverd worden aan een volgend

kruispunt.

In de verkeerstheorie worden er vaak exponentiële distributies aangenomen. Indien er wagens

aangevoerd worden van buiten het bestudeerde netwerk, wordt daarom vaak voor een

exponentiële distributie gekozen. Exponentiële distributies hebben als belangrijke eigenschap

dat de verschillende opeenvolgende evenementen onafhankelijk van elkaar zijn.

Bij de afvoer wordt er, indien wagens zonder belemmering de wachtrij kunnen uitrijden, ook

vaak geopteerd voor een exponentiële verdeling, al is het soms gewenst een constant uitrij-

debiet aan te nemen. In het model kan er expliciet gekozen worden voor exponentiële of

constante uitrijprocessen.

Wanneer er echter verkeerslichten staan op het kruispunt is er sprake zijn van dichotome

distributies. Er wordt dan tijdens de roodtijd een uitrijcapaciteit 0 gehanteerd. Tijdens de

groentijd wordt er voornamelijk met constante of exponentiele uitrijdistributies gewerkt. Op

een bepaald moment moet een keuze gemaakt worden voor de graad van detaillering. Indien

dit meer aangewezen is kunnen andere verdelingen zoals een verschoven exponentiele

verdeling of Hyper-Erlang verdeling gebruikt worden. Vaak zijn deze verdelingen ook maar

benaderingen en is het meer opportuun om simpelweg de simulatie te laten lopen, waardoor er

vaak veel realistischere en analytisch veel moeilijker definieerbare verkeerspatronen te

voorschijn komen. Indien men beschikt over praktijkgegevens kunnen die ook gebruikt

worden.

29

2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time

Belangrijke parameters voor het berekenen van capaciteiten en vertragingen zijn de

zogenaamde kritische gap en de follow-up tijd. De kritische gap is de minimale afstand

(meestal uitgedrukt in seconden) die elke bestuurder minstens wil hebben tussen twee wagens

in de stroom die hij wil kruisen vooraleer hij zal vertrekken. De follow-up tijd is de tijd

waarop de volgende bestuurder de voorgaande volgt.

In de modellering kunnen deze twee parameters onafhankelijk van elkaar gekozen worden.

Grossman(1988) toonde aan dat, wanneer er realistischere distributies worden gekozen, dat

dan de capaciteit van het kruispunt daalt. Er wordt echter vaak van een exponentiële verdeling

van de gaps tussen de wagens uitgegaan. Grossman (1991)en Troutbeck (1986) toonden aan

dat indien hier met meer realistische distributies zou gewerkt worden een toename van de

capaciteit zou gevonden worden die van de zelfde grootorde is als deze daling. De invloed

van het constant veronderstellen van deze waarden is dus verwaarloosbaar. Daarom worden

de kritische gap en de follow-up tijd verondersteld een constante distributie te hebben. Dit wil

zeggen dat ze, nadat ze eenmaal vrij gekozen zijn, constant blijven tijdens de simulatie.

Om het aantal voertuigen te schatten dat bij een bepaalde gaplengte door deze gap zal

passeren, baseer ik me op aannames gemaakt door bvb. Harders (1976) en Troutbeck (1986).

Het aantal voertuigen n dat een gap zal passeren wordt gegeven door volgende kansfunctie13:

13 Bij het opstellen van deze kansen gaat men er vanuit dat er zich een onbeperkt aantal wagens in de wachtrij bevinden. Indien het aantal wagens in de wachtrij beperkt is, dan zal maximum deze hoeveel wagens de wachtrij kunnen verlaten. Indien het aantal auto’s dat kan oversteken groter is als het aantal wachtende wagens, dan veronderstelt men dat alle wagens de wachtrij verlaten.

30

2.3 Aspecten met kleinere prioriteit

In dit deeltje worden kort enkele aspecten besproken die, hoewel ze zeer interessant zijn, niet

worden meegenomen in de modellering. Enerzijds omdat ze niet in de lijn van de thesis liggen

of anderzijds omdat bepaalde fenomenen zich maar in zeer specifieke gevallen voordoen of

omdat hun invloed te beperkt is.

2.3.1 Voetgangers

De invloed van voetgangers op de verkeersafwikkeling op kruispunten is vaak niet gering.

Zeker op kleinere kruispunten waar veel voetgangers passeren spelen ze een belangrijke rol.

Het gedrag van voetgangers is echter veel moeilijker te modelleren als dat van auto’s.

Voetgangers moeten veel minder als wagens een vaste baan volgen. Ook zijn ze minder

geneigd zich te houden aan verkeersregels. Omdat ze bovendien weinig invloed uitoefenen op

de interacties tussen verkeersstromen op kruispuntvlakken zelf, houdt de simulatie er geen

rekening mee.

2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook

Wanneer auto’s van rijstrook wisselen, kunnen de betrokken verkeersstromen hierdoor een

vertraging ondervinden. Dit effect wordt in deze thesis niet bestudeerd.

2.3.3 Knipperlichten

Het verspringen van een gewoon verkeerslicht naar een knipperlicht kan een zeer grote

invloed hebben op de verkeersafwikkeling. Dit gebeurt echter maar zelden, en maar op een

beperkt aantal kruispunten. Het fenomeen is te detaillistisch om het mee te nemen in de

modellering.

31

2.3.4 Headway compressie

Wanneer meerdere wagens achter elkaar vanuit stilstand een rijstrook afrijden zullen hun

respectievelijke follow-up tijden afnemen tot een bepaalde minimale waarde. Lin & Thomas

(2005).Het probleem is vaak dat er geen praktijkwaarden gekend zijn, waardoor een betere fit

met betrekking tot de realiteit niet altijd gegarandeerd is.

2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling

Een dynamische verkeerslichtenregeling varieert de groen- en roodtijden met het aantal auto’s

in de wachtrijen en/of met de afstand tussen verschillende wagens in de verschillende

stromen. In de thesis wordt verondersteld dat de verkeerslichten statisch werken, nl. dat de

groen en rood tijden al op voorhand gekend zijn. Indien de modellering verder uitgebouwd

wordt hoeft het niet zo moeilijk te zijn om een dynamische verkeerslichtenregeling te

implementeren.

32

3 Conceptuele uitwerking van het model

In het vorige hoofdstuk werden verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling op

kruispunten besproken. In dit hoofdstuk wordt uiteengezet hoe te werk is gegaan bij het

opstellen van een model dat al deze verkeersaspecten op een realistische manier kan

simuleren. Hierbij worden zowel de concepten die aan de basis van het model liggen als meer

praktische aspecten besproken. De bedoeling is om de lezer een algemeen inzicht te

verschaffen in de werking van de simulatie, zonder al te diep in te gaan op al de finesses van

het programma. In Bijlage A: “Werking van de simulatie” wordt er dieper ingegaan op de

structuur en de werking van het programma en haar verschillende functies. In het volgende

hoofdstuk zullen de resultaten uit de simulatie gestaafd worden door na te gaan hoe goed de

resultaten uit de simulatie de theorie en haar analytische en deterministische formules

benaderen.

3.1 Het Black Box Concept

Omdat met hetzelfde simulatieprogramma kruispunten met zeer verschillende typologieën

moeten geanalyseerd kunnen wordt in de opbouw van een kruispunt dat men wil gaan

simuleren steeds vertrokken van zeer algemene bouwstenen die later verfijnd kunnen worden

volgens de specifieke eigenschappen van het kruispunt.

Deze bouwstenen, de black boxes, hebben een aantal eigenschappen die door de gebruiker

van het simulatieprogramma moeten worden ingevuld. Nadat deze eigenschappen toegekend

zijn aan de black boxes kunnen ze op zulke wijze met elkaar gelinkt worden dat ze een goede

voorstelling van een kruispunt of van een verkeerssituatie vormen.

Een kruispunt kan worden opgedeeld in verschillende fysische oppervlaktes waar voor alle

wagens die zich op deze oppervlakte bevinden, dezelfde externe condities gelden. In grote

lijnen kan gesteld worden dat deze fysische entiteiten overeenstemmen met verschillende

(wacht)rijen14 of verkeersstromen die men aan en op het kruispunt kan onderscheiden.

14 In de tekst worden de benamingen black box, wachtrij en rij gebruikt. Ze doelen in de context van deze thesis allen op hetzelfde, nl. op de basisbouwstenen waaruit het kruispunt in de simulatie wordt opgebouwd. Black box refereert naar de wijze waarop deze bouwstenen worden behandeld in de simulatie, terwijl wachtrij eerder naar de onderliggende wachtrijtheorie refereert. De benaming rij stamt uit de fysische rijen die zich op het kruispunt vormen. Wanneer dus over een wachtrij wordt gesproken wil dit dus niet zeggen dat de wagens die zich in dit fysische kruispuntdeel bevinden ook effectief zullen moeten wachten (cfr. black box 3 in figuur 1)

33

In het simulatiemodel worden deze delen vertegenwoordigd door verschillende black boxes,

die allen gekenmerkt worden door een nummer.

Figuur 1: Voorstelling van black boxes

In figuur 1 is de T-kruising opgedeeld in 3 delen. Deze delen stemmen overeen met 3 fysische

delen van het kruispunt die verschillende randvoorwaarden hebben. De wagens die deel 1 en

deel 2 uitrijden komen allemaal in deel 3 terecht. De auto’s uit deel 1 worden hierbij niet

belemmerd, terwijl de auto’s uit deel tweevoorrang zullen moeten geven aan de wagens uit rij

1. De auto’s komen van buiten het beschouwde gebied het gebied binnen via rijen 1 en 2. Ze

doen dit volgens bepaalde statistische verdelingen. Via rij 3 rijden de wagens het beschouwde

gebied weer buiten.

De benaming black box stamt uit het idee dat perfect geweten is welke auto’s een deel

binnenrijden, en hoe ze er weer uitrijden. Ze doen dit volgens het first-in-first-out-principe

(FIFO). Binnen de black box kan er niets aan de volgorde van deze wagens veranderd

worden. Indien men het gevoel heeft dat er binnenin de black box toch enige aanpassingen

moeten gebeuren, wil dit zeggen dat deze box te groot gekozen is, en dat hij opgesplitst moet

worden in een aantal andere, kleinere boxen. Hier wordt later nog op teruggekomen.

34

3.2 Eigenschappen van de verschillende black boxes

3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes

Initieel zijn de verschillende black boxes of wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen. Een

wachtrij in de simulatie functioneert analoog als een Markov geboorte- sterfteproces. Er

worden namelijk wagens toegeleverd (geboorte) en er vertrekken wagens (sterfte). De

populatie, het aantal wagens dat zich in de wachtrij bevindt, neemt hierdoor met 1 toe of

neemt hierdoor met 1 af.

Een belangrijke eigenschap van Markov-rijen is dat de volgende toestanden waarin deze rijen

zich zullen bevinden enkel afhangen van de huidige toestand, en niet van de vorige

toestanden. Een Markov-proces heeft dus geen geheugen.

Voor elke box moet eerst en vooral een distributie voor aankomst en vertrekprocessen

gekozen worden. In de simulatie heeft men de keuze tussen een constante of een exponentiële

distributie, beide gekenmerkt door hun gemiddelde waarde. Indien dit wenselijk is kunnen er

ook andere distributies gekozen worden. Zeker indien men over metingen beschikt is dit zeer

zinvol.

De karakteriserende gemiddelde waarde wordt voor de aankomstprocessen de aankomst-

intensiteit of ‘arrivalrate’ (wagens/sec) en voor de vertrekprocessen de bedieningsintensiteit

of ‘servicerate’ (wagens/sec) genoemd. Het omgekeerde van deze intensiteiten kent men als

respectievelijk de ‘interarrival time’ en de ‘interdeparture time’. Door het kiezen van een

distributie voor de aankomsten en vertrekken, wordt een eerste onderscheid gemaakt tussen de

verschillende rijen.

35

3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes

3.2.2.1 Verkeerslichten

Nadat een keuze is gemaakt voor een distributie, worden de wachtrijen verder

geïndividualiseerd door aan te geven of op het einde van de rij al dan niet een verkeerslicht

staat. Indien dit het geval is, moeten ook de groen- en roodtijden bepaald worden.

Indien het licht op rood staat valt de bedieningsintensiteit logischerwijze terug tot 0.

In de simulatie kunnen de verkeerslichten van de verschillende wachtrijen op elkaar worden

afgestemd. Hiertoe moet worden aangegeven hoeveel tijdseenheden na de start van de

simulatie de wachtrij voor het eerst rood licht zal krijgen. Dit noemen we de offset.

Figuur 2: Voorstelling van offset en cycluslengtes

In figuur 2 is ook duidelijk te zien dat men door een juiste keuze van de cycluslengtes en

offsets ook rekening kan houden met een klein interval waarin beide stromen rood licht

hebben (all red interval).

36

3.2.2.2 Capaciteit

Een andere belangrijke eigenschap van de black boxes is dat ze een gelimiteerde inhoud

kunnen hebben. Wanneer deze maximale capaciteit bereikt is zullen er geen andere voertuigen

meer bij passen totdat er door een vertrek uit de wachtrij weer plaats gecreëerd is. Indien men

dit wil kan de capaciteit ook ongelimiteerd verondersteld worden. In figuur 3 worden de

verschillende eigenschappen van black box schematisch weergegeven.

Figuur 3: Karakteristieke eigenschappen van de black box

37

3.3 Interacties tussen de verschillende wachtrijen

Naast het ingeven van de karakteristieke eigenschappen van de verschillende rijen, moet er

ook worden aangegeven welke de onderlinge relaties tussen deze verschillende rijen zijn.

3.3.1 Toelevering

In plaats van dat de wagens een rij binnenrijden volgens een vooraf bepaalde

aankomstendistributie kan er ook geopteerd worden om een rij, met haar uitrijdende auto’s, de

leverancier te laten zijn voor een andere rij. Deze tweede rij krijgt haar populatie dan

toegeleverd via andere rijen. Omdat het in de simulatie mogelijk gemaakt is om verschillende

rijen toe te laten leveren aan eenzelfde rij, zullen veel ingewikkeldere, analytisch moeilijk te

beschrijven aanleveringsdistributies kunnen gesimuleerd worden. Hierdoor stijgt het

realiteitsniveau van de simulatie sterk. Uiteindelijk is het de bedoeling om de grote

meerderheid van de rijen toegeleverd te laten worden. Enkel de rijen waarlangs de voertuigen

het beschouwde systeem binnenrijden zullen nog aangeleverd worden volgens vooraf

expliciet bepaalde distributies.

3.3.1.1 1-op-1-toelevering

De black boxes kunnen andere wachtrijen op verschillende manieren aanleveren.

De makkelijkste wijze is om te stellen dat alle wagens die een bepaalde rij uitrijden, allen aan

een zelfde andere rij worden toegeleverd. Het is dan makkelijk om de verschillende

vertragingen van de verschillende voertuigen te berekenen omdat men precies weet welk

traject elke wagen afgelegd heeft. We noemen dit de 1-op-1-toelevering. Deze wordt

schematisch voorgesteld in figuur 4.

Figuur 4: Schematische voorstelling traject 1-2-3 bij 1-op-1-toelevering

38

Wanneer men meerdere verschillende typologieën voor eenzelfde kruispunt wil vergelijken

kan men de simulatie een aantal keer laten lopen voor deze verschillende indelingen. Elke

simulatie is echter anders. Om tot exact vergelijkbare resultaten te komen is er een tool

ingebouwd die een wagen die uit een wachtrij uitrijdt toelevert aan meerdere andere rijen

tegelijk. Er wordt dan gesproken over een 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen (cfr.

figuur 5).

Deze andere rijen kunnen dan inputs zijn voor verschillende deelsystemen, bvb. de

verschillende typologieën die men wil vergelijken. Hierdoor wordt veel sneller duidelijk

welke indeling het meest aan de noden voldoet. Het systeem is weergegeven in onderstaande

figuur. Bovendien zal dit ook een noodzakelijke tool blijken om gap-acceptatie op een

realistische wijze te modelleren. Dit wordt verder in de tekst uiteengezet.

Figuur 5: 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen

39

3.3.1.2 1-op-m-toelevering

Vaak rijden auto’s die in 1 wachtrij staan nadien verschillende richtingen uit. Denk hierbij

bvb. aan gedeelde opstelstroken. Daarom is het in de simulatie voorzien dat wachtrijen

kunnen toeleveren aan verschillende wachtrijen. In de simulatie zijn er twee criteria volgens

dewelke dit kan gebeuren voorzien: toelevering aan de leegste rij of toelevering aan

verschillende rijen met een bepaalde kans.

Bij de toelevering aan de leegste rij worden de uitrijdende auto’s geleverd aan de rij waarin de

minste wachtenden staan. Zo zijn aan verkeerslichten alle rijen meestal ongeveer even lang.

Wanneer men een idee heeft over het percentage automobilisten dat rechtdoor rijdt, links- of

rechtsaf slaat, dan kan volgens deze percentages de beweging van de wagen geloot worden. In

figuur 6 is een voorbeeld van een 1-op-m-toelevering getekend.

Figuur 6: Procentuele 1-op-m-toelevering

40

Wanneer de maximale capaciteit van één van de toegeleverde rijen bereikt is, kunnen er aan

deze rij natuurlijk geen wagens meer worden toegeleverd.

Het aantal verschillende rijen waaraan zo kan worden toegeleverd is in principe onbeperkt.

Er zijn vele verkeerssituaties waarvoor het gebruik van deze wijze van toeleveren

noodzakelijk is om tot een realistische simulatie te komen. De capaciteiten van verschillende

verkeersstromen over het kruispunt bij een 1-op-m-toelevering worden even makkelijk

berekend als bij een 1-op-1-toelevering.

Het is echter veel moeilijker om de gemiddelde vertragingen voor de verschillende wagens te

berekenen. Men kan immers niet meer op voorhand het traject van de verschillende wagens

voorspellen, wat het programmeren van functies om deze vertragingen te berekenen veel

moeilijker maakt. In figuur 7 een vereenvoudigde voorstelling gemaakt van een situatie

waarin het traject dat de verschillende wagens volgen niet meer op voorhand vastligt.

Wachtrij 3 stelt hier dan bvb. een sluipweg die gebruikt wordt wanneer er zich te veel wagens

in rij 2 bevinden. Daarom is er een labelsysteem uitgewerkt dat continu het verloop van het

traject van de verschillende auto’s bijhoudt, samen met hun reistijd. Dit labelsysteem wordt

gedetailleerder besproken in bijlage A.

Figuur 7: Voorbeeld van situatie waar traject niet meer op voorhand vastligt

41

3.3.2 Hinder en vermindering

Wanneer bepaalde rijen te lang worden kunnen ze andere rijen hinderen. Zo worden wagens

verhinderd hun wachtrij uit te rijden wanneer er geen plaats meer is op de opstelstrook waar

ze heen willen. Wanneer men aangeeft dat een rij een andere rij hindert, dan moet ook steeds

de populatiegrootte vanaf dewelke deze hinder optreedt worden aangegeven. Wanneer de

hinderende rij dit aantal auto’s heeft bereikt, dan valt de bedieningsintensiteit van de

gehinderde rij naar 0. Er kunnen dan geen wagens de rij meer uitrijden. Onder vermindering

wordt verstaan dat de bedieningsintensiteit van een rij afneemt vanaf wanneer de

“minderende” rij een bepaalde lengte heeft. De intensiteit daalt dan wel, maar wordt zeker

niet nul. Van zodra de lengte van de hinderende of verminderende rij weer kleiner wordt,

zodat haar hinder weer verdwijnt, krijgt de gehinderde rij weer haar oude vertrekintensiteit.

Afhankelijk van het proces dat men wenst te modelleren zal voor 1 van deze twee of een

combinatie van deze twee tools (hinder of vermindering) moeten worden gekozen. Zo zal er

het best voor een complete hindering gekozen worden wanneer de opstelcapaciteit van een rij

beperkt is. De uitrij-intensiteit van andere rijen die aan deze rij leveren valt terug tot nul

wanneer haar maximale capaciteit bereikt is. In andere gevallen wordt het uitrijden van

bepaalde rijen bemoeilijkt doordat een andere rij een zekere capaciteit bereikt heeft. Toch

zullen er nog steeds wagens kunnen vertrekken, zij het aan een verlaagde intensiteit. Deze

twee gevallen worden weergegeven in figuur 8.

Figuur 8: Voorstelling reële hinder en vermindering

42

3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie

Om een voorrangssituatie te modelleren is een goed inzicht vereist in de werking van het

black box systeem. In dit deel wordt uiteengezet hoe men in de simulatie zulk een

voorrangssituatie modelleert. Er wordt hiertoe een speciaal soort wachtrij geïntroduceerd;

De gap-acceptatie rij. Deze rij heeft geen fysische betekenis, maar wordt enkel gebruikt om de

kritische gap en de follow-up tijd te kunnen modelleren. In figuur 9 wordt schematisch

aangegeven hoe een reële voorrangssituatie ‘vertaald’ wordt naar de simulatie

Figuur 9: Omzetting voorrangssituatie naar model

Er wordt een kruising van twee stromen beschouwd. De ene stroom (hoofdstroom) heeft

voorrang op de andere (zijstroom). Wanneer er zich een wagen uit de hoofdstroom op het

kruispuntvlak bevindt, wordt het uitrijden van de wagens uit de zijstroom verhinderd. Ze

geven voorrang. De afstand tussen twee wagens uit de hoofdstroom moet zelfs groter zijn dan

de kritische gap vooraleer er een wagen vertrekt. Om dit te kunnen modelleren is er een gap-

acceptatie wachtrij gecreëerd. Deze wachtrij wordt toegeleverd door de hoofdstroom en heeft

een capaciteit 1. Wanneer er zich een nieuwe toelevering van een nieuwe wagen voordoet

terwijl er zich al een auto in deze rij bevindt, dan wordt de auto die zich reeds in de wachtrij

bevond uit de rij gestoten door de nieuwe wagen.

43

De bedieningstijd van de gap-acceptatie rij is constant. Een wagen die de rij binnenkomt zal x

aantal seconden later bediend worden. De bedieningstijd moet gelijk genomen worden aan de

kritische gap tijd. Wanneer een wagen bediend werd vooraleer hij uit de gap-acceptatie rij

geduwd is15, wil dit zeggen dat de tussentijd tussen twee wagens in de hoofdstroom groter is

dan de kritische gap tijd. Door nu nog aan te geven dat de gap-acceptatie rij de zijstroom

hindert wanneer er zich een voertuig in bevindt, zal op deze wijze het systeem van gap

acceptatie gemodelleerd kunnen worden. De bedieningsintensiteit van de wachtrij voor de

voertuigen uit de zijstroom is het 0,5/ Tfollow-up16 voor het eerst vertrekkende voertuig, en

1/Tfollow-up voor de daarop volgende voertuigen. Zo wordt ook de follow-up tijd

gemodelleerd zoals in vorig hoofdstuk aangegeven.

Een bedieningstijd betekent tevens ook een vertragingstijd. Indien een wagen immers een rij

met een constante bedieningstijd van 5 seconden binnenrijdt, dan komt hij deze rij ten

vroegste 5 seconden later weer buiten. Het voertuig wordt vertraagd door deze rij. Wanneer

een wagen een kruispuntvlak kruist wanneer hij voorrang heeft doet hij doet hij dit echter

vaak in een zeer beperkte tijdsspanne. De wagens uit de hoofdstroom zouden in de gap-

acceptatie rij te zeer vertraagd om nog in overeenstemming te zijn met de werkelijkheid.

Daarom worden de aanrijdende auto’s zowel aan de gap-acceptance als een aan andere rij

toegeleverd. Dit is te zien op figuur 9.

Het is hier dat de eerder besproken 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen noodzakelijk is.

Er ontstaan als het ware voertuigen. De wagens die de gap-acceptatie rij uitrijden worden

daarom nergens toegeleverd, en verloren verondersteld om een onterechte toename van

wagens in het systeem te vermijden. De gap-acceptatie rij wordt hierdoor een instrument om

een proces te modelleren, eerder dan dat ze een fysische betekenis heeft.

15 Op dit moment is de gap-acceptatie rij dus leeg aangezien de maximale capaciteit beperkt is tot 1. 16 Dat de eerste wagen die de rij uitrijdt bedient wordt met uitrij-intensiteit 0,5/Tfollow-up is speciaal zo geprogrammeerd om de simulatie in overeenstemming te brengen met de veronderstellingen van Harders (1976) en Troutbeck (1986) die eerder al werden aangehaald.

44

In dit deel werd uiteengezet hoe een voorrangssituatie gemodelleerd wordt. Uit dit voorbeeld

komt duidelijk naar voor dat niet alle rijen een fysische tegenpool moeten hebben. De

wachtrijen kunnen geïnstrumentaliseerd worden. Een goed inzicht in de werking van de black

boxes en in de vertaling van de fysische werkelijkheid naar een model maakt het mogelijk

complexere situaties te modelleren.

3.4 Omzetten van werkelijkheid naar model De vertaling van de werkelijkheid naar het model is niet altijd even eenvoudig. In dit deel

wordt een algemene werkwijze besproken die een goede omzetting van de realiteit garandeert.

Het is echter niet altijd de meest gedetailleerde vertaling die het meest aangewezen is.

Wanneer men het effect van een bepaald fenomeen wil onderzoeken is het zinloos om delen

van het kruispuntvlak die op dit fenomeen geen invloed hebben al te gedetailleerd te

modelleren. Dit zou enkel onnodige rekenkracht van de computer vergen. Daarom is er ook

een systeem uitgewerkt om de graad van detaillering van de modellering te bepalen.

3.4.1 Definiëren van de wachtrijen

De verschillende wachtrijen worden uiteindelijk op zulke wijze gecombineerd dat ze een

aaneengesloten netwerk van schakels vormen. Elke schakel stelt dan een deeltje van het

kruispunt voor. Deze kunnen geklasseerd worden volgens hun graad van detaillering. We

kunnen spreken over level-1, -2- of –3-rijen. De grofste graad van detaillering zijn de level-1-

rijen. Wanneer men meer en meer inzoomt op de verschillende processen worden er rijen van

level 2 of level 3 teruggevonden.

45

3.4.1.1 Level-1-rijen

De eerste stap in de omzetting van realiteit naar model is het bepalen van alle mogelijke

banen die op het kruispuntvlak kunnen beschreven worden. Wanneer over eenzelfde stuk weg

in twee verschillende richtingen kan gereden worden, dan worden er ook twee banen

getekend.

Verschillende rijstroken worden ook best als verschillende wachtrijen gemodelleerd. Deze

banen kunnen splitsen in nieuwe banen, of kunnen samenkomen om een gemeenschappelijke

baan te vormen. In de punten waar dit gebeurt plaatsen we knopen. Ook ter hoogte van alle

verkeerslichten worden knopen geplaatst. Al deze knopen noemen we ‘level-1-knopen’. In

figuur 10 zijn deze level-1-knopen aangegeven door zwarte stippen.

De schakels tussen deze knopen zijn de level-1-rijen. Het netwerk dat zo ontstaat, kan

vergeleken worden met bvb. een hydraulisch netwerk waarin ook stromen samenkomen en

weer splitsen. Het grote verschil met zo een hydraulisch netwerk is dat bepaalde stromen

elkaar kunnen kruisen zonder dat er enige vorm van menging is tussen de verschillende

stromen. De knopen waar stromen kruisen zonder te mengen of te splitsen worden

level-2 of –3-knopen genoemd.


Level-2-knopen ontstaan waar level-1-rijen die gelijktijdig groen licht kunnen hebben, kruisen

zonder te mengen. Op een kruispunt zonder verkeerslichten worden alle stromen

verondersteld steeds groen licht te hebben. Door het plaatsen van level-2-knopen worden

verscheidene level-1-rijen in stukken gesplitst. Bij elke kruising van twee level-1-rijen kunnen

er 4 level-2-rijen ontstaan. Volgens het verkeersregelement is er echter altijd 1 van de twee

stromen die voorrang moet geven aan de andere. Wanneer verondersteld wordt dat de stroom

die voorrang krijgt nooit gehinderd zal worden, dan blijft de rij die voorrang heeft een level-1-

rij. Indien men toch een kans op hinder vermoedt dan wordt deze rij toch ook een level-2-rij.

De wachtrij die voorrang moet geven wordt sowieso opgesplitst in 2 nieuwe wachtrijen. In

figuur 10 zijn de level-2-knopen aangegeven met rode stippen.

46

Figuur 10: Schematische voorstelling van interacties op een kruispunt


De knopen die nu nog overblijven zijn de knopen waar normaal gesproken geen interacties

tussen stromen plaatsvinden. De wagens die de banen volgen die elkaar in deze knopen

kruisen hebben immers nooit op hetzelfde tijdstip groen licht. Toch zijn er ook hier nog

knopen te onderscheiden waar de waarschijnlijkheid op interacties groter is als in andere

level-3-knopen. Het verschilt echter van situatie tot situatie in welke knopen deze interacties

zich zullen voordoen, en het is moeilijk om hier nog algemene regels op te plakken.

Algemeen gesproken doet men er best aan ook al deze mogelijke interacties mee te nemen in

de modellering. Enkel indien men delen van het kruispunt niet wenst te beschouwen of

vereenvoudigd voorstelt kan men deze knopen verwaarlozen. In de figuur zijn deze knopen

weergegeven met blauwe stippen.

47

3.4.1.4 Nummering

Nadat het kruispunt in de verschillende delen is opgesplitst, moet aan de verschillende rijen

nog een rijnummer worden toegewezen. De nummering start bij 1 en loopt tot het aantal rijen

waarin het systeem is opgesplitst. Deze nummering is in principe willekeurig, al zal het voor

de gebruiker van de simulatie handig zijn om een voor zichzelf een logische nummering te

maken.

Daarna moet nagegaan worden of er nog extra rijen toegevoegd moeten worden om

voorrangssituaties te kunnen modelleren.

In dit deel werd een methode aangegeven om tot een goede opsplitsing van het kruispunt te

komen. Zoals eerder gesteld is het zaak om een juiste balans te vinden in de graad van

detailleren.

Niet alleen een goede opsplitsing zal leiden tot een realistisch resultaat. Ook het juiste

aangeven van de interacties tussen de verschillende rijen heeft een grote invloed op het

resultaat. Hoe men hierbij te werk gaat wordt in de volgende paragraaf aangegeven.

3.4.2 Aangeven van interacties

Nadat het kruispuntvlak in verschillende delen opgesplitst is moeten vooreerst de black box

eigenschappen van de rijen worden ingekleurd. Hierbij zullen vele eigenschappen niet

willekeurig te kiezen zijn. De capaciteiten van de verschillende rijen hangen af van de

opstelruimte die men op het kruispunt heeft, en de cyclustijden van de verkeerslichten zijn

vaak ook reeds gekend17. Enkel voor de rijen die van buiten het beschouwde systeem

toegeleverd worden, moet een aankomstendistributie gekozen worden. Voor de andere rijen

moet worden aangegeven door welke rij ze worden aangeleverd. De vertrekken worden

meestal exponentieel verdeeld verondersteld. Door het uitvoeren van de simulatie verandert

deze distributie reeds snel in andere, meer reële distributies door de invloed van

verkeerslichten of andere wachtrijen. De percentages voertuigen die elk een andere richting

opgaan bij het splitsen van een stroom moeten ook geschat en aangegeven worden.

17 Door de verkeerslichtenregeling aan te passen kan men de invloed ervan op de verkeersafwikkeling bestuderen.

48

Een andere moeilijkheid stelt zich bij het schatten van de vermindering van vertrekintensiteit

wanneer een rij gehinderd wordt door een andere. Deze intensiteitsdaling is namelijk sterk

afhankelijk van kruispunt tot kruispunt, en van bestuurder tot bestuurder. Indien men een

bestaand kruispunt simuleert, kan men best enkele metingen uitvoeren, of zich baseren op

bestaande metingen van bij gelijkaardige kruispunten. Indien men niet over deze gegevens

kan beschikken maakt men een realistische schatting.

3.5 Tel- en tijdmatrices

Om na de simulatie de vertragingen, de capaciteiten en de wachtrijlengtes te kunnen

berekenen worden alle bewegingen naar of vanuit de black boxes opgeslagen. Hiervoor staan

de telmatrix en de tijdmatrix ter beschikking. In tabel 1 is een deel van de tijdmatrix en de

telmatrix voor een toelevering van rij 1 naar rij 2 weergegeven. In rij 1 komen auto’s toe

volgens een exponentiele verdeling, en uit rij twee vertrekken ze ook volgens een

exponentiele verdeling. De tabel moet op volgende wijze gelezen worden; Men kijkt in de

telmatrix of er een verandering geweest is van het aantal wagens in de wachtrij. In de

tijdmatrices worden zowel de tijdstippen van populatietoename als –afname bijgehouden. Van

de eerste naar de tweede rij in de matrix is er een afname van de teller van de eerste wachtrij

van 3 naar 2. In de tijdmatrix vindt men in de overeenkomstige kolom en rij, het tijdstip terug

waarop deze overgang naar een nieuwe populatiegrootte plaatsvond. De overgang 3 naar 2

wagens voor wachtrij 1 voltrok zich dus op tijdstip 80,3566. Omdat rij 1 toelevert aan rij 2

impliceert een vertrek uit rij 1 een aankomst in rij 2. Er kan dan ook afgelezen worden dat de

populatie van rij 2 gegroeid is van 4 naar 5, en dit op tijdstip 80,3567. 0,001 tijdseenheden

nadat de wagen rij 1 verliet komt hij aan in rij 2. Dit overgangsverlies kan zelf gekozen

worden. Uit de telmatrix kan afgelezen worden dat van tijdstip 76,9635 tot tijdstip 80,3566 de

populatie van wachtrij 1, 3 was. Van 80,3566 tot 81,5149 was deze populatie 2… Zo kunnen

uit de tijden telmatrices de gemiddelde wachtrijlengtes berekend worden. In de bijhorende

figuur 11 is de populatie van beide rijen gedurende het tijdsinterval 0 tot 100 weergegeven in

functie van de tijd. Er is duidelijk op te zien dat wanneer er een afname is van de populatie

van wachtrij 1 (blauw), er zich tegelijkertijd een toename van de populatie van wachtrij 2

(rood) voordoet.

49

tijd rij 1 tijd rij 2 tel rij 1 tel rij 2

76.9635 76.9636 3.0000 4.0000

80.3566 80.3567 2.0000 5.0000

80.3566 81.1596 2.0000 4.0000

81.5149 81.1596 3.0000 4.0000

83.6315 81.1596 4.0000 4.0000

86.3154 86.3155 3.0000 5.0000

86.3154 87.1596 3.0000 4.0000

87.2561 87.1596 4.0000 4.0000

89.4429 87.1596 5.0000 4.0000

Tabel 1: Deel van een tijden telmatrix

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

bedienings- en aankomstintensiteiten; (1auto/6sec) X-as:tijd

popula

tiegro

ott

e

populatiegrootte in functie van de tijd; blauw : rij 1, rood : rij 2

Figuur 11: Populatiegrootte in functie van de tijd

50

3.6 Labelsysteem

Wanneer het individuele traject dat elke wagen aflegt op voorhand niet exact kan worden

bepaald, dan kan men niet zonder meer de verschillende vertragingen die de voertuigen

hebben opgelopen uit de tel- en tijdmatrices aflezen. Het blijft nog wel mogelijk om de

capaciteit van het kruispunt te berekenen, en om daaruit de gemiddelde vertragingen te

berekenen. Meestal volstaan deze gegevens, al zou men ook geïnteresseerd kunnen zijn in de

vertraging die elk individueel voertuig heeft opgelopen.

Om deze berekeningen in verband met de vertragingen ook in deze gevallen mogelijk te

maken is er een labelsysteem ontwikkeld. In dit labelsysteem wordt het traject dat elke wagen

heeft afgelegd, samen met de tijden die de verschillende voertuigen op de verschillende

kruispuntsecties hebben doorgebracht, bijgehouden in 2 matrices, de aankomst en vertrek

labelmatrix.

De labels zijn kommagetallen. Een label geeft aan welk traject een wagen reeds doorlopen

heeft. De getallen voor de komma stellen eenheden voor, terwijl de getallen na de komma

duiden op tientallen. De getallen op de eerste plaats voor en na de komma vormen een koppel.

De getallen op de tweede, derde,… plaats voor en na de komma vormen zo ook allen een

koppel. Het eerste getal voor de komma vormt samen met het eerste getal na de komma het

rijnummer van de laatste rij waarin de wagen zich bevond. Het tweede getal voor de komma

vormt, samen met zijn pendant achter de komma, het rijnummer van de voorlaatste rij, enz….

Hierbij geeft het getal na de komma steeds het tiental aan, terwijl het getal voor de komma op

het aantal eenheden wijst.

Ter verduidelijking wordt er een klein voorbeeldje gegeven.

Voorbeeld:

Label 321,110 duidt op een traject van rij (0x10+3) naar (1*10+2)

naar (1*10+1). Of dus het traject 3-12-11.

Label 47124,30275 duidt zo op traject 54-77-21-2-34.

Voor een gedetailleerdere uitleg over de precieze werking wordt verwezen naar bijlage A:

“werking van de simulatie”.

51

3.7 Beperkingen in modellering

Eigenlijk kent de modellering zeer weinig beperkingen. Door een goede combinatie van

verschillende wachtrijen kunnen met het programma zowat alle verkeerssituaties

gemodelleerd worden. Bovendien is het model zo opgesteld dat er makkelijk extra

toepassingen kunnen worden ingebracht.

In het model wordt er momenteel echter geen rekening gehouden met wagens met een

personenauto equivalent (pae) verschillend van 1, zoals bvb. vrachtwagens. Ook een

wachtrijtype waarin elke wagen een zelfde constante verblijftijd heeft, is nog niet

gemodelleerd.

In dit hoofdstuk werd beschreven hoe er bij het opstellen van het programma te werk werd

gegaan om tot een goed model van de werkelijkheid te komen. Eerst werd het principe van de

black box uiteengezet, waarna er aangetoond werd hoe men tot een goede vertaling van de

werkelijkheid naar een netwerk van wachtrijen komt.

In het volgende hoofdstuk zullen de resultaten die bekomen worden met de simulatie getoetst

worden aan de resultaten die men zou verwachten op basis van analytische en

deterministische formules die voor handen zijn in de literatuur.

52

4 Verificatie In het programma worden verkeersprocessen gesimuleerd door een het combineren van een aantal

wachtrijen die initieel gebaseerd zijn op Markov geboorte- sterfteprocessen. Om het model

theoretisch te onderbouwen worden in dit deel de resultaten uit de simulaties geëvalueerd door

een grondige vergelijking met de analytische formules te maken.

Om tot een goede vergelijking te komen wordt de kans om een bepaald aantal gebruikers aan te

treffen in de wachtrij en de gemiddelde vertraging berekend. Ook het gemiddelde aantal

wachtenden in een wachtrij wordt geverifieerd. Deze waardes leggen de basis voor goede

benaderingen van gemiddelde wachtrijlengtes, capaciteiten en vertragingen in uitgebreidere

systemen. In de bijlage ‘werking van de simulatie’ is aangegeven hoe deze capaciteiten en

vertragingen berekend worden.

Vooreerst worden individuele wachtrijen bestudeerd. Aangezien de wachtrijen gebaseerd zijn op

Markov-rijen, worden de resultaten die bekomen worden met de simulatie getoetst aan de

resultaten die de analytische formuleringen van dit soort rijen geven.

Verder worden ook interacties tussen verschillende rijen bestudeerd. Het is de bedoeling om na te

gaan hoe realistisch de resultaten uit de simulatie zijn. De resultaten die hier verkregen worden

zullen vergeleken worden met analytische oplossingen uit de wachtrijtheorie.

De verificatie van het model is niet alleen het verifiëren van de gesimuleerde verkeersafwikkeling,

maar tevens van de geprogrammeerde analysemethodes. Er worden namelijk nooit goede

resultaten voor bvb. de vertraging gevonden indien de functies die deze vertraging berekenen niet

juist zijn. Op zijn beurt zal een juiste methode om de vertraging te berekenen geen goede

resultaten geven indien de verkeerssimulatie niet juist is. In het model zit dus een dubbele controle

op fouten ingebouwd wat alleen maar meer zekerheid geeft wat de correctheid van de resultaten

betreft.

53

4.1 Wachtrijen als Markov-rijen

Eerst worden de eigenschappen van de rijen uit de simulatie vergeleken met Markov

wachtrijsystemen. Deze systemen worden algemeen aangeduid met volgende notatie: X/Y/U/V,

waarbij;

X: Wijst op de statistische verdelingsfunctie voor het aankomstproces in de wachtrij.

Y: Wijst op de statistische verdelingsfunctie voor het vertrekproces uit de wachtrij.

U: Het aantal wachtrijen of servers in het systeem.

V: De maximale capaciteit van een wachtrij.

Als verdelingsfuncties worden in de wachtrijtheorie vaak exponentieel verdeelde functies

gekozen. Deze verdeling heeft als voordeel dat de aankomsten of vertrekken onafhankelijk van

elkaar verondersteld mogen worden. Een exponentieel proces wordt aangeduid met het symbool

M.

Er kunnen echter ook andere verdelingen gebruikt worden. Daarbij wordt dan in de eerste plaats

gedacht aan constante bedieningstijden, voorgesteld door het symbool D, maar ook andere

verdelingsfuncties zoals een Erlang (Er, met r de orde) verdeelde aankomstprocessen kunnen

soms zeer toepasselijk zijn.

Een algemeen aankomst- of vertrekproces wordt voorgesteld door een G, deze verdeling wordt

gebruikt wanneer het proces niet nader gekend is. Voor het meest algemene geval kan er gedacht

worden aan een dataset die als invoer voor de simulatie gebruikt wordt.

Vaak wordt de maximale capaciteit van de wachtrij achterwege gelaten in de notatie. Er wordt dan

impliciet verondersteld dat de rij een oneindige capaciteit heeft.

Indien de populatie beperkt is, wordt er nog een vijfde symbool toegevoegd. In dit onderzoek

naar verkeersafwikkeling op kruispunten wordt de populatie echter steeds oneindig groot

verondersteld.

54

De Markov-processen die hier verondersteld worden zijn geboorte- en sterfteprocessen (birth

death processes). Een gedetailleerde theoretische beschrijving van al deze processen kan

teruggevonden worden in het boek “Queueing systems” van Kleinrock. De wachtrij bevindt zich

in een bepaalde toestand k, gekenmerkt door het aantal wachtenden in de rij, de populatiegrootte.

Vanuit deze toestand kan de wachtrij maar overgaan in de twee toestanden. Een overgang naar

een lagere toestand k-1 door een sterfte, waardoor de populatie afneemt, of naar een hogere

toestand k+1, door een geboorte, waarbij de populatie toeneemt. In figuur 12 wordt dit proces

schematisch weergegeven. De populatie kan nooit kleiner worden als 0.

Figuur 12: Algemene voorstelling Markov geboorte- sterfte-proces

De overgangen worden gekenmerkt door λk, de geboorte-intensiteit, en µk, sterfte-intensiteit.

Dit zijn het aantal geboortes of sterftes die verwacht worden per tijdseenheid.

De kans op een geboorte of een sterfte in het tijdsinterval dt is gelijk aan respectievelijk λkdt en

µkdt. De intensiteiten worden meestal constant gehouden voor de verschillende

toestandsovergangen. Aangezien de populatie nooit kleiner kan worden als 0, is µ0 steeds gelijk

aan nul.

De verhouding 1/ λk wordt de interarrival-time genoemd. Het is het aantal tijdseenheden die

verstrijken per geboorte, of dus de tijd tussen twee geboortes. 1/ µk wordt de bedieningstijd of de

servicetime genoemd.

De verhouding λ/µ wordt ook aangeduid als ρ, waarbij rho de saturatiegraad is. Als een

voorwaarde voor een convergeren van deze Markov-processen naar een toestand van dynamisch

evenwicht geldt als voorwaarde dat deze saturatiegraad rho kleiner moet zijn als 1.

55

4.1.1 M/M/1

4.1.1.1 De kans op populatie k

De interarrivaltijden zijn hier net zoals de bedieningstijden onafhankelijk exponentieel verdeeld.

Het systeem bestaat uit 1 server of wachtrij.

De kansdichtheid van de exponentiële funcie is als volgt gegeven [Beirlant & Van Dyck,2001];

Hierbij is λ de gemiddelde intensiteit. 1/λ is de interarrivaltime. Soms wordt de exponentiele

functie ook wel gekenmerkt met de interarrivalrate als parameter.(bvb. in Matlab). Men moet dan

ook steeds even checken welke parameter gebruikt wordt om misinterpretaties en foute resultaten

te vermijden.

Indien de verhouding tussen de gemiddelde geboorte-intensiteit en de gemiddelde sterfte-

intensiteit kleiner is dan 1 zal er zich in het systeem een dynamisch evenwicht instellen.

Dit dynamisch evenwicht wordt beschreven door volgende twee vergelijkingen

De input waarschijnlijkheidsstroom in toestand k; Ik = λk-1 pk-1+ µk+1 pk+1.

De output waarschijnlijkheidsstroom uit toestand k; Ok = (λk+ µk) pk.

Waarbij pk de kans is om in het systeem een toestand aan te treffen met een populatie k.

In het dynamische evenwicht moeten deze twee stromen aan elkaar gelijk zijn.Dit resulteert in

volgende gelijkheid;

λk-1 pk-1+ µk+1 pk+1= (λk+ µk)pk .

Deze gelijkheid geldt voor alle k’s.

λk en µk zullen allen dezelfde verondersteld worden. µ0 is echter gelijk aan 0.

56

Uiteindelijk leidt dit tot een stelsel van vergelijkingen, waarbij

µ.p1 = λ. p0

λ.p0+µ.p2 = (λ+ µ). p1

… … …

λ.pk-1+µ.pk+1 = (λ+ µ). pk

Dit stelsel kan herschreven worden naar een matrixvergelijking;

Waaruit de oplossing kan worden gehaald in functie van p0;

pk = p0 .k

µ

λ .

De som van al deze kansen sommeert tot 1 waaruit dan p0 berekend kan worden als

p0= 1-µ

λ .

rho < 1 is de voorwaarde voor convergentie naar een eindige oplossing.

Indien rho > 1, dan zal de wachtrijpopulatie divergeren en worden geen bruikbare resultaten

gevonden.

Uiteindelijk wordt als algemene oplossing gegeven verkregen;

pk = (1 − ρ)ρk met k=0,1,2,…

57

In tabel 2 worden de resultaten uit de theorie vergeleken met deze bekomen door simulatie.

populatie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pk

0,4945 0,2523 0,1279 0,0688 0,0291 0,0120 0,0071 0,0034 0,0019 0,0013

0,4942 0,2429 0,1257 0,0656 0,0353 0,0177 0,0117 0,0035 0,0015 0,0013

0,5015 0,2488 0,1206 0,0629 0,0331 0,0160 0,0083 0,0056 0,0019 0,0010

0,5042 0,2509 0,1216 0,0931 0,0293 0,0157 0,0080 0,0035 0,0026 0,0011

0,5002 0,2536 0,1247 0,0569 0,0336 0,0172 0,0080 0,0032 0,0023 0,0009

gemiddelde

0,4989 0,2497 0,1241 0,0695 0,0321 0,0157 0,0086 0,0039 0,0020 0,0011

St. dev.

0,0044 0,0042 0,0030 0,0139 0,0028 0,0022 0,0018 0,0010 0,0004 0,0002

theorie

0,5000 0,2500 0,1250 0,0625 0,0313 0,0156 0,0078 0,0039 0,0020 0,0010

theorie-gem

0,0011 0,0003 0,0009 -0,0070 -0,0008 -0,0001 -0,0008 0,0000 -0,0001 -0,0002

relatieve

fout (%)

0,22 0,12 0,73 11,16 2,61 0,55 10,42 1,21 4,31 16,12

relatieve

fout bij

20 sim

0,35 0,26 0,80 0,34 0,68 3,37 6,34 9,37 16,04 1,54

relatieve

fout bij

50 sim

0,27 0,07 0,44 0,30 0,88 1,93 4,01 7,94 9,33 10,08

Tabel 2: Resultaten simulatie M/M/1 rij

Simulatietijd: 10000 interarrivaltijd: 2 bedieningstijd: 1 M/M/1-systeem

In de tabel zijn de waardes voor de kans om een bepaalde populatie aan te treffen voor een M/M/1

systeem met een saturatiegraad van 0.5 weergegeven en vergeleken met de waarden die bekomen

worden in de theorie. Er werden vijf simulaties gedaan, waarvoor bij elk de kans op de

verschillende populaties berekend wordt. Dit wordt gedaan voor een populatie van 0 tot 9. De

kans om een populatie aan te treffen van 10 of groter is kleiner dan 1/1000 en wordt

verwaarloosd.

In de derdelaatste rij wordt de relatieve fout op de populatiekans berekend met de simulatie tov.

deze berekend met de theorie weergegeven.

58

In de voorlaatste rij staan de relatieve fouten bij een uitvoering van 20 simulaties en in de laatste

rij de procentuele fout wanneer er 50 simulaties worden uitgevoerd.

Hieruit blijkt dat de simulatieresultaten naar de resultaten uit de theorie convergeren. Dat in de

laatste kolom de relatieve fout soms nog boven de 10% ligt is louter te wijten aan het feit dat de

kans op deze populaties maar enkele duizenden is. De absolute afwijking bedraagt maar maximaal

enkele tienduizendsten, wat zeer precies is.

4.1.1.2 Gemiddeld aantal wachtenden

Het gemiddeld aantal wachtenden in de rij wordt verkregen als de som van de producten van de

verschillende toestandskansen met hun bijhorende populatie;

∑∞

=

=0k

kkPN wat herschreven kan worden tot N = ρ

ρ

−1.

Volgens de theorie is het gemiddeld aantal wachtenden 5,01

5,0

−= 1.

Uit de simulatie volgt een gemiddelde populatie van 1.0184.

De fout die gemaakt wordt is kleiner dan 2%, en dit reeds na vijf simulaties.

Bij het doorlopen van 50 simulaties wordt er een gemiddelde wachtrijlengte van 0.993 wagens

berekend, een fout kleiner dan één procent.

59

4.1.1.3 De tijd gespendeerd in het systeem

Verder kan men ook de gemiddelde tijd die een gebruiker in het systeem spendeert (T) berekenen.

Uitgaande van de vergelijking van Little, N =λ x T [Little,1961]kan makkelijk worden berekend

dat in het geval van een M/M/1-systeem T gegeven wordt door

T= ρ

µ

−1

1

Volgens de theorie spendeert elke gebruiker in het voorbeeld dus 2 tijdseenheden in het systeem.

Uit het middelen van resultaten uit 5 simulaties (looptijd 10000) volgt een gemiddelde wachttijd

van 1,987 wat een relatieve fout van iets meer dan een halve procent betekent. Het middelen van

50 simulaties met looptijd 200 levert een procentuele afwijking van 1 procent, maar gaat wel

sneller.

4.1.1.4 Besluit M/M/1

De simulatie blijkt zeer nauwkeurige resultaten te geven bij een modellering als

M/M/1- systeem. Hoe groter het aantal simulaties en de looptijd van de simulaties, hoe preciezer

de resultaten worden. Dit heeft alles te maken met het stochastische karakter van de aankomsten

vertrekprocessen. Indien dit aantal groot genoeg wordt gekozen geeft de simulatie,

afrondingsfouten niet te na gesproken, exacte resultaten weer.

60

4.1.2 Andere Markov-processen

Analoge bewerkingen als voor de M/M/1 rij zijn ook uitgevoerd voor een M/M/m/∞, een

M/D/1 een M/M/1/k en een M/M/m/m Markov wachtrijproces. Over deze resultaten kan

algemeen gezegd worden dat ze ook allemaal de exacte oplossing benaderen. De

convergentiesnelheid van de verschillende processen is hierbij functie van het aantal servers,

en van de saturatiegraad. Hoe meer servers er aanwezig zijn, hoe trager de convergentie naar

de exacte oplossing is. Bij lagere saturatiegraden stijgt de convergentiesnelheid. De kans om

grotere populaties aan te treffen wordt dan al gauw zeer klein, waardoor er minder lange

simulatietijden vereist zijn om toch al tot zeer goede benaderingen van het exacte resultaat te

komen. Een gedetailleerde uitleg bij de verschillende berekeningen is toegevoegd in bijlage

B: “Andere markov-rijen”.

4.1.3 Besluit simulatie van Markov-processen

In het voorgaande deel werden de resultaten uit de simulatie van verschillende Markov-

processen weergegeven. Uit de voorbeelden komt duidelijk naar voor dat het programma op

een zeer goede wijze de analytische formuleringen benadert. De enige afwijkingen ten

overstaan van de theorie zijn een gevolg van afrondingsfouten, en van een te kort simulatie-

interval.

In het volgende deel zal nagegaan worden of met de simulatie even goed resultaten behaald

worden wanneer reële verkeersprocessen gesimuleerd worden. Er zullen verschillende

processen gesimuleerd worden waarna de resultaten vergeleken worden met de bestaand

analytische en deterministische formuleringen.

61

4.2 Verkeerskundige processen

In het vorige deel werd aangetoond dat het programma erin slaagt om op een exacte wijze een

wijd spectrum aan Markov sterfte- en geboorteprocessen te simuleren. Hierbij werd tevens

aangetoond dat de verschillende functies, om vertragingen en gemiddeld aantal gebruikers uit de

simulatie te berekenen, ook correct functioneren.

In dit deel wordt de overgang gemaakt naar meer realistische verkeerssituaties. Door gebruik

te maken van een aaneenschakeling van verschillende wachtrijsystemen wordt geprobeerd om

tot een goede benadering van de werkelijkheid te komen. Er wordt overgegaan op een meer

expliciete simulatie. Zo worden de toeleveringen aan een bepaalde rij soms gebeuren door

meerdere rijen. Hierdoor ontstaan netwerken van verkeerspatronen die vaak zeer moeilijk of

niet meer analytisch te beschrijven zijn.

In dit deel wordt de accuraatheid van het programma voor wat betreft het simuleren van reële

verkeerssituaties gecontroleerd. Voor zowel kruisingen met als zonder verkeerslichten worden

capaciteiten en vertragingen berekend. Deze resultaten worden vergeleken met gekende

analytische formules. Omdat de werkelijkheid al snel te complex wordt, worden bij het

opstellen van de analytische formuleringen aannames gemaakt. Vele van deze aannames zijn

zeer redelijk en leveren goede resultaten. In verkeerssituaties waarbij de verkeersvraag tegen

of boven het saturatieniveau ligt, schieten analytische formuleringen soms echter te kort. Het

is net bij deze belastingen dat de sterkte van het programma zal blijken. Waar vertragingen

berekend met de formules oneindig groot worden zal aangetoond worden dat de vertragingen

berekend met het programma convergeren naar deterministisch bepaalde waarden.

62

4.2.1 Interactie tussen twee stromen aan kruispunten zonder verkeerslichten

De eerste verkeerssituatie die beschouwd wordt is deze van een hoofdstroom die voorrang heeft

op een tweede stroom. Deze tweede stroom wordt verder de zijstroom genoemd.

Zowel de capaciteiten van de zijstroom in functie van het debiet van de hoofdstroom als de

opgelopen vertragingen worden berekend.

De resultaten die bekomen worden met de simulatie worden vergeleken met bestaande analytische

formuleringen. Onder interacties wordt hier het proces van voorrang geven en voorrang nemen

verstaan. De theorie houdt namelijk geen rekening met andere interacties zoals die zich bvb.

voordoen wanneer een kruispunt klem komt te zitten. Hoewel ook deze interacties kunnen

gesimuleerd worden is hiervoor dus echter geen referentiemateriaal uit de literatuur beschikbaar.

4.2.1.1 Capaciteit

In de verkeersstudie zijn er voor deze situatie verschillende analytische formuleringen bekend die

allen een goede benadering vormen voor de werkelijkheid. Deze formules geven de capaciteit van

de zijstroom in functie van de capaciteit van de hoofdstroom. Hierbij wordt de distributie van de

gaps in de hoofdstroom verondersteld exponentieel te zijn.

De waarden voor de critical gap-tijd (Tc) en de follow-up tijd (Tf) worden constant verondersteld.

De resultaten uit de simulatie worden vergeleken met de formuleringen18 opgesteld door

Drew, Buckley,Harders; mq = fP

cP

tq

tq

pe

eq

.

.

1−

−

−

door Siegloch ; mq = cp tq

f

et

..

1 −

en door Tanner; mq = fp

mcp

tq

ttq

p

mp

e

eqtq

.

).(

1

.)..1(

−

−−

−− .

18 In de formules staan qm ,qp en qn respectievelijk voor de maximale intensiteit van de stroom die voorrang moet geven (de zijstroom), de intensiteit van de voorrangsstroom en de verkeersvraag van de zijstroom.

63

In de formules en de simulatie worden de kritische-gap tijd en de follow-up tijd

respectievelijk gelijk genomen aan 6 en 3 seconden.

De simulatie wordt uitgevoerd voor een range van verschillende intensiteiten van de

hoofdstroom, en dit 10 maal per verschillende intensiteit. Hieruit wordt dan de gemiddelde

intensiteit van de zijstroom horende bij de intensiteit van de hoofdstroom berekend. De

resultaten worden weergegeven in tabel 3 en geplot in figuur 13.

Intensiteit

hoofdstroom

(wagens/uur)

0 11 103 222 348 467 570 805 1200 1467

Qm Harders

1200 1183,6 1052,9 900,4 757,5 638,5 546,8 372,3 166,8 75,4

Qm Siegloch

1200 1178,2 1010,7 828,9 671,9 551,0 464,1 313,7 162,4 104,1

Qm Tanner

1200 1183,6 1054,7 907,9 774,0 665,2 583,0 430,6 256,9 180,3

Qm Simulatie

1200 1178 1010 835 678 554 452 328 170 97

Tabel 3: Vergelijking intensiteit uit simulatie met analytische formules

Tijdsinterval 3600 Exponentieel verdeelde gaps

In de tabel zijn de waarden weergegeven die verkregen worden wanneer de waardes voor de

intensiteiten van de hoofdstroom uit de simulatie invullen in de respectievelijke formules voor

de intensiteiten van de zijstroom.

Uit deze tabel is duidelijk af te leiden dat de simulatie zeer aannemelijke resultaten oplevert.

De simulatie geeft waardes voor de intensiteit van de zijstroom terug, die net iets boven de

resultaten uit de formuleringen van Siegloch liggen, en een stukje onder de resultaten van

Harders en Tanner.

64

Dit is ook goed te zien op onderstaande figuur, waarin mq uit de vergelijkingen van Harders,

Siegloch en Tanner als een continue functie van priorq zijn geplot.

Figuur 13: Vergelijking vertragingen simulatie, Harders, Siegloch en Tanner. Tc=6sec en Tf =3 sec.

65

4.2.2 Vertraging

4.2.2.1 Vertragingen berekend met tijdsonafhanlijke formules

De vertraging D die de wagens in de zijstroom oplopen, kan berekend worden met analytische,

tijdsonafhankelijke formuleringen. Eén van deze formules is deze van Harders ;

In de formule staat nq voor de verkeersvraag van de zijstroom, met name hoeveel wagens zich

werkelijk aandienen in de zijstroom, terwijl mq voor het maximaal verwerkbaar verkeersvolume

staat (zie eerder). Deze formule geeft goede resultaten, maar is maar beperkt bruikbaar.

Ze geeft namelijk negatieve vertragingen wanneer de saturatiegraad hoger is als 1, dwz. wanneer

nq groter is als mq . De formule is daarom enkel bruikbaar wanneer mq kleiner is als nq .

Op haar beurt is mq echter ook weer beperkt, en dit door pq . Zoals weergegeven in figuur 13

wordt naarmate pq groter wordt, mq kleiner. Hierdoor daalt ook de maximaal toegestane nq om

nog bruikbare resultaten te krijgen. Zo mag bvb. voor een intensiteit van de hoofdstroom van

1000 wagens per uur, de vraag van de zijstroom zeker niet groter zijn als 350 wagens per uur.

Dit is weergegeven in figuur 14.

66

Figuur 14: De gemiddelde vertraging in functie van de saturatiegraad volgens Harders

Uit de figuur kan afgelezen worden dat wanneer we Qp een vaste waarde toekennen, bvb. 400

wagens per uur, dat dan vanaf een verkeersvraag van de zijstroom van 650 wagens per uur de

berekende vertragingen exponentieel naar ∞ toegaan vanaf een saturatiegraad 0,8. De

bruikbaarheid, zeker bij hoge saturatiegraden, van de analytische formules bij grote

verkeersvraag van de zijstroom is dus begrensd. Wanneer we bovendien de waarde Qp nu

laten toenemen van 400 tot 800 wagens per uur, dan blijkt deze exponentiële naar ∞ bij een

saturatiegraad 0,8 zich al in te zetten bij een verkeersvraag van de zijstroom van ongeveer 370

wagens per uur. Het berekenen van vertragingen die in overeenstemming zijn met de

werkelijkheid is bij grote intensiteit van zowel de hoofd- als de zijstroom is daarom niet

mogelijk met de analytische formules. Ze zijn immers opgesteld voor een tijdsinterval met

lengte gaande naar oneindig. In situaties met hoge belastingsgraden worden dan inderdaad

uiterst grote gemiddelde vertragingen opgetekend. In de werkelijkheid hebben deze periodes

van hoge belasting steeds een beperkte lengte. Er is dus nood aan formules die ook rekening

houden met de lengte van het beschouwde tijdsinterval.

67

Bij een saturatiegraad 1 gaat de gemiddelde vertraging, berekend met analytische,

tijdsonafhankelijke formuleringen zoals de formule van Harders naar oneindig.

De resultaten die de simulatie weergeeft kunnen met de bestaande analytische formules

vergeleken worden indien de saturatiegraden niet te hoog worden. De lengte van het

beschouwde tijdsinterval heeft dan immers geen invloed op de gemiddelde vertraging.

Voor veel hogere saturatiegraden (vanaf ρ = 2) zijn deterministische formuleringen bekend.

Tussen deze kleine en grote saturatiegraden in gaat de gemiddelde vertraging van de

tijdsonafhankelijke formules asymptotisch naar de deterministische formuleringen toe.

Bij lage saturatiegraden moeten de resultaten uit de simulatie een sterke correlatie vertonen

met de resultaten uit de analytische berekeningen.

Voor saturatiegraden van 0,05 tot 0,9 zijn in onderstaande tabel de verschillende vertragingen

berekend met de simulatie samengevat. Aangezien deze resultaten vergeleken worden met een

vertragingsformule van Harders, wordt om mq te berekenen ook de capaciteitsformules van

Harders gebruikt. In tabel 4 is de intensiteit van de hoofdstroom gelijk genomen aan 600

voertuigen per uur. Dit resulteert in een mq van 561 voertuigen per uur. Indien nq 561/2 is

de saturatiegraad gelijk aan 0,5. Voor elke saturatiegraad werd de simulatie 40 keer

doorlopen, waarna de gemiddeldes werden berekend. Het beschouwde tijdsinterval is 3600

seconden. De resultaten zijn ter verduidelijking ook nog eens geplot in figuur 15.

68

Saturatiegraad

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Uit simulatie

7,3523 8,3738 7,9836 8,8665 10,2637 9,4628 10,4701 11,9459 12,6026

Uit formule

7,3270 7,6260 7,9587 8,3313 8,7520 9,2310 9,7818 10,4223 11,1769

Saturatiegraad

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90

Uit simulatie

15,3146 14,2708 18,9586 17,0152 30,9920 28,4402 30,4458 30,1399 43,5703

Uit formule

13,8266 15,3742 17,3924 20,1365 24,0868 30,2670 41,3163 66,7517 97,8959

Tabel 4: Vergelijking gemiddelde vertragingen uit simulatie met analytische formuleringen.

Figuur 15: Vertraging in de zijstroom (sec) in functie van saturatiegraad/ Qp=600 wagens/uur

69

Er kan opgemerkt worden dat er vanaf een saturatiegraad 0,9 een loskoppeling is van de

resultaten uit de simulatie, en de vertragingen berekend met de formule van Harders. Zoals

eerder reeds opgemerkt is dit te wijten aan het feit dat het tijdsinterval dat in de simulatie

beschouwd wordt eindig is. In tabel 5 zijn de standaarddeviaties horende bij de berekeningen

weergegeven. Bij zeer kleine saturatiegraden is deze relatief groot. Door de kleine bezetting

zijn er grote relatieve verschillen in het aantal aankomsten. Dit zorgt voor een grote

schommeling op de resultaten. Vanaf een saturatiegraad 0,1 halveert deze standaarddeviatie.

De schommelingen zijn op de resultaten zijn dan heel wat minder.

Standaarddeviaties bij de berekeningen van de vertragingen

Saturatiegraad

0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 0.2000 0.2250 0.2500

Standaarddev. 7.311 7.508 6.506 3.107 2.724 3.287 3.937 3.368 3.420 3.884

Saturatiegraad

0.2750 0.3000 0.3250 0.3500 0.3750 0.4000 0.4250 0.4500 0.4750 0.5000

Standaarddev. 2.556 4.103 3.930 4.254 6.095 2.934 5.264 6.008 5.201 8.806

Saturatiegraad

0.5250 0.5500 0.5750 0.6000 0.6250 0.6500 0.6750 0.700 0.7250 0.7500

Standaarddev. 7.803 6.556 12.954 6.847 8.864 9.186 12.930 10.933 12.761 11.533

Saturatiegraad

0.7750 0.8000 0.8250 0.8500 0.8750 0.9000 0.9250 0.9500 0.9750 1.0000

Standaarddev. 15.652 18.779 18.596 18.475 21.029 20.815 22.016 21.454 16.897 18.306

Tabel 5: Standaarddeviaties bij berekening van de vertragingen

70

4.2.2.2 Formules berekend met tijdsafhankelijke berekeningen

Met toenemende saturatiegraden blijken de resultaten uit de simulatie minder en minder aan te

sluiten bij de analytische berekeningen. Dit uit zich overduidelijk rond het punt met

saturatiegraad 1. Op basis van de analytische uitdrukkingen kan in dit punt een oneindig grote

vertraging verwacht worden. Dit blijkt echter niet het geval.

Voor grotere saturatiegraden zijn andere, benaderende deterministische formules opgesteld.

De volgende is er één van [TRB] ;

Waarbij xd: de saturatiegraad

Dmin : de minimale vertraging die men aan het kruispunt kan hebben.

L0 : de wachtrijlengte op tijdstip 0.

T : de lengte van het interval waarin deze oversaturatie zich voordoet.

qm : de maximale capaciteit van de zijstroom.

De gemiddelde vertraging blijkt hier dus ook afhankelijk van de lengte van het interval

waarvoor overcapaciteit zich voordoet. Hoe groter dit interval, hoe groter de gemiddelde

vertragingen worden.

In figuur 16 is deze vergelijking, samen met de resultaten uit de simulatie geplot voor T=360

en T=720 seconden. Per saturatiegraad zijn 10 simulaties uitgevoerd. Zoals op de figuur ook

te zien is, is de overgang van tijdsonafhankelijke naar tijdsafhankelijke situaties niet strikt

afgelijnd. In tabel 6 zijn de standaarddeviaties op de berekeningen gegeven.

71

Figuur 16: vergelijking vertragingen deterministische formulering en simulatie

Standaarddeviaties bij de berekeningen van de vertragingen

Saturatiegraad

0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000

Std 720 sec Std 360 sec

5.7329 3.3375 4.8559 2.3379 3.6785 5.6760 3.7938 4.4408 3.1126 4.9967 3.5239 2.6631 2.7106 2.7864 2.6629 3.5575 2.7952 2.4513 3.5012 4.4945

Saturatiegraad

0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000


4.433 11.364 17.702 21.166 24.576 28.446 31.023 33.524 33.388 33.280 5.342 5.3801 7.710 7.669 12.362 14.394 15.712 13.829 17.354 23.039

Saturatiegraad

1.0500 1.1000 1.1500 1.2000 1.2500 1.3000 1.3500 1.4000 1.4500 1.5000


33.260 34.417 36.583 36.030 38.063 37.398 35.331 35.595 33.734 39.819 26.580 24.693 30.173 31.270 29.371 31.8197 30.186 31.755 34.106 34.582

Saturatiegraad

1.5500 1.6000 1.6500 1.7000 1.7500 1.8000 1.8500 1.9000 1.9500 2.0000


34.598 36.545 42.879 48.989 54.612 58.120 66.862 77.826 83.259 92.202 34.347 38.939 33.266 38.474 40.050 41.067 37.486 41.644 42.701 50.986

Saturatiegraad

2.0500 2.1000 2.1500 2.2000 2.2500 2.3000 2.3500 2.4000 2.4500 2.5000


97.900 101.024 98.709 100.596 99.352 107.953 102.360 112.647 111.113 116.337 43.481 47.646 44.643 53.532 53.7601 55.053 50.413 49.988 47.379 54.002

Saturatiegraad

2.5500 2.6000 2.6500 2.7000 2.7500 2.8000 2.8500 2.9000 2.9500 3.0000


117.703 109.979 112.325 122.886 123.875 116.001 124.978 124.438 126.121 130.507 53.348 53.801 51.708 61.694 59.361 54.349 60.712 57.882 60.3546 61.059

Tabel 6: Standaarddeviaties op de resultaten

72

De resultaten uit de simulatie blijken te oscilleren rond deze twee verschillende rechten. Deze

oscillatie is natuurlijk het gevolg van het stochastische karakter. Ze zullen kleiner worden

naarmate men meer simulaties laat lopen.

Dit is natuurlijk een heel goed resultaat. Waar de analytische formuleringen tekort schieten en

oneindig grote vertragingen voorspellen, beginnen de resultaten van de simulatie hiervan af te

wijken en gaan asymptotisch naar deterministische formuleringen toe. Er kan besloten worden

dat de simulatie, voor wat kruispunten zonder verkeerslichten betreft, de realiteit zeer goed

benadert. In de volgende paragraaf zal nagegaan worden hoe de resultaten van de simulatie

zijn op kruispunten met verkeerslichten.

4.2.3 Vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten

Bij kruispunten met verkeerslichten kan ook nagegaan worden wat de gemiddelde

vertragingen zijn. Ook is het interessant te controleren of de simulatie realistische resultaten

geeft voor het schatten van wachtrijlengtes. Zoals eerder reeds uiteengezet, wordt de interactie

tussen stromen op kruispuntvlakken met verkeerslichten verwaarloosd. De theorie stelt geen

capaciteitsformules op, omdat die toch makkelijk te berekenen is indien de totale groentijd

binnen het beschouwde interval en de afrijcapaciteit bij groen licht gekend zijn. Het is

namelijk hun product. Later tonen we aan dat dit toch niet persé altijd zo hoeft te zijn, maar

eerst worden de prestaties van het programma voor het berekenen van de vertragingen aan

kruispunten met verkeerslichten nagegaan.

Net zoals in het vorige deel, zijn ook hier de vertragingen afhankelijk van de saturatiegraad.

De saturatiegraad is nu te berekenen als x=(q/S)/(g/c) .

Hierbij is c de cyclustijd, g de effectieve groentijd, q het aantal wagens dat per tijdseenheid

aankomt, en S het aantal wagens dat per tijdseenheid kan vertrekken tijdens de groenfase.

Wanneer het rood is wordt de intensiteit van uitrijden gelijk aan nul.

73

Bij lage saturatiegraden kan weer een beroep gedaan worden op analytische formules, zoals

de formules van Webster [Webester, 1958] of Miller [Miller, 1972] ;

Q0 staat hier voor de gemiddelde overloop van de wachtrij. Het is het gemiddelde aantal

auto’s dat nog voor het verkeerslicht staat als het licht weer op rood springt.

Saturatiegraad

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Webster

11.55 12.45 13.47 14.62 15.92 17.46 19.51 22.98 32.72 ∞

Miller

11.33 11.98 12.70 13.51 14.46 15.54 16.86 18.61 22.27 ∞

Simulatie

11.89 12.17 13.17 14.33 14.06 15.84 17.21 18.38 20.27 39.35

Tabel 7: Vergelijking vertragingen uit simulatie met analytische formules (kruispunt met verkeerslichten).

In tabel 7 zijn de gemiddelde vertragingen (looptijd 3600 seconden, simulaties per saturatiegraad:

20) getabellariseerd, berekend met de formule van Webster, Miller, en met de simulatie. Bij

saturatiegraden tot 0,8 is er weer een zeer goede overeenkomst tussen de resultaten. Bij hogere

saturatiegraden stijgen de verwachte vertragingen berekend met analytische formules plots enorm

om bij een saturatiegraad 1 een oneindige verwachte vertraging te geven. De resultaten hebben

dus ongeveer hetzelfde patroon als bij kruipunten zonder verkeerslichten. De simulatie geeft ook

een toegenomen stijgingsgraad weer voor de vertragingen vanaf het saturatiepunt, maar de

verwachte vertragingen blijven toch nog beperkt in vergelijking met deze die verwacht worden

met de analytische formuleringen. De curve van de gemiddelde vertragingen uit de simulatie gaat

namelijk zeker niet naar oneindig.

74

De simulatie geeft bij hogere saturatiegraden weerom een veel realistischer resultaat dan de

analytische formules aangezien vertragingen in de werkelijkheid nooit naar oneindig kunnen gaan.

Voor hogere saturatiegraden zijn er weer deterministische formuleringen bekend.

Akçelik [Akçelik, 1988] heeft een formule opgesteld die de deterministische formuleringen, die

goede resultaten geven bij hoge saturatiegraden, en de analytische formuleringen die

nauwkeuriger zijn bij lage saturatiegraden, verenigt. Om een goede overgang te bekomen tussen

deze twee, maakt hij gebruik van de coördinaten-transformatiemethode.

waarbij d de gemiddelde vertraging is.

Figuur 17: Vertragingen volgens Akçelik, Webster, Miller en de simulatie

75

Uit figuur 17 blijkt weer dat de resultaten van de simulatie zeer dicht bij de werkelijkheid

aanliggen. Er werden 20 simulaties per saturatiegraad19 gemaakt. Het beschouwde tijdsinterval is

720 seconden. Al de resultaten uit de verschillende verificaties voor wat betreft de vertragingen

zijn dus zeer goed gebleken. Ook op kruispunten met verkeerslichten blijkt de simuilatie niet

alleen beter te doen als zuiver wiskundige analytische formules, weerom wordt de werkelijkheid

zeer goed benaderd. De standaarddeviaties zijn gelijkaardig met die uit tabel 6.

Tot slot kunnen ook nog de capaciteiten die men op een kruispunt met verkeerslichten zal hebben

berekenen. Dit wordt gedaan voor een vaste saturatiegraad 0,8. In de figuur worden de

vertragingen van de verschillende auto’s uitgezet. Ook worden de vertrek- en aankomsttijden

getekend. Op figuur 18 is duidelijk te zien dat tijdens rood licht er geen wagens de wachtrij meer

uitrijden. De vertreklijn blijft daar horizontaal20. Tijdens de rood lichtfase zien we de individuele

vertragingen aangroeien, tijdens groen licht worden ze weer kleiner en vallen ze zelfs bijna terug

tot nul.

Figuur 18: Tekening van aankomsten vertrekprocessen met bijhorende vertragingen

19 De saturatiegraad neemt met stappen van 0,05 toe van 0,05 tot 3. 20 De lijn van de vertrekken loopt lichtjes naar boven, maar dit is te wijten aan hoe Matlab verschillende vectoren ten overstaan van elkaar plot, en is geenszins een fout in de berekeningen.

76

Zowel de groen- als de roodfase duren 10 tijdseenheden. Er wordt gemiddeld 1 wagen

aangeleverd per tijdseenheid, terwijl er tijdens de groenfase gemiddeld 2,5 wagens per

tijdseenheid vertrekken. De saturatiegraad is dus 0,8. De vertrekken kennen een constante

verdeling. Bij de aankomsten wordt er een onderscheid gemaakt tussen exponentiele of constante

distributies. Net zoals de verkeerstheorie al verwachtte zijn de vertragingen bij een exponentiele

verdeling gemiddeld groter. (vgl M/M/1 –M/D/1 Markov-systemen) De schuin oplopende

grafieken21 geven de tijd van aankomst en van vertrek weer. Deze tijd kan worden afgelezen

worden op de x-as. Op de y-as kan dan worden afgelezen worden het hoeveelste vertrek of

aankomst het betreft.

De onderste grafiek tekent de vertraging voor elke wagen. Op de X-as kan dan afgelezen worden

over de hoeveelste auto het gaat, de vertraging wordt dan afgelezen op de Y-as.

Op de grafiek zijn duidelijk de groen- en de roodfase te onderscheiden. In de roodfase bouwt de

rijlengte op, de vertragingen nemen toe, terwijl ze in de groenfase weer afbouwen.

Afhankelijk van het beschouwde interval22 ligt de berekende gemiddelde vertraging in het

voorbeeld tussen de 4,9 en de 5,4 tijdseenheden. Met de formule van Webster wordt een

vertraging van 5,12 berekend.

21 Het feit dat de grafieken bij een constante aankomstintensiteit toch ietwat onregelmatig verlopen heeft enkel te maken met hoe Matlab een grafiek tekent uitgaande van de gegevens. 22 De gemiddelde vertraging is immers de totale oppervlakte die zich onder de driehoekige vertragingen-per-wagen-lijn bevindt gedeeld door het aantal wagens. Afhankelijk van waar er wordt gestart en gestopt wordt met meten vindt men een iets grotere of iets kleinere gemiddelde oppervlakte per wagen weer.

77

4.3 Besluit verificatie

In dit deel werd het simulatieprogramma getoetst aan een groot aantal gekende formuleringen

uit de wachtrijen verkeerstheorie. Alle simulaties geven resultaten terug die zeer nauw

aansluiten bij de gekende formuleringen. Daar waar de resultaten afwijken van de analytische

formules, is het omdat deze formules zelf te kort schieten in het benaderen van de

werkelijkheid. Zelfs in deze situaties geeft de simulatie resultaten terug die de werkelijkheid

zeer goed benaderen.

Het voorbije deel kan dan ook beschouwd worden als een sterke theoretische onderbouwing

en staving van het simulatiemodel. In het volgende hoofdstuk wordt dit model gebruikt om

een aantal verkeerssituaties verder uit te werken. Hierbij wordt de invloed van verschillende

fenomenen van de verkeersafwikkeling op gemiddelde vertragingen en op capaciteiten met

elkaar vergeleken.

78

5 Hoofdstuk Toepassing In de vorige hoofdstukken werden eerst de functionele vereisten voor het simulatiemodel

gestipuleerd. Vervolgens werd uiteengezet hoe deze vereisten omgezet zijn in een

computermodel en in het hoofdstuk ‘Verificatie’ werd de werking van dit model geverifieerd

aan de hand van verschillende gekende formules.

In dit hoofdstuk gaan we aan de gekende theorie voorbij. In de bestaande verkeersmodellen

wordt er immers geen rekening gehouden met de interacties23 tussen verschillende

verkeersstromen op het kruispuntvlak zelf. Ze veronderstellen dat, bij stijgende

belastingsgraden, de som van alle intensiteiten van de stromen over het kruispuntvlak

toeneemt om uiteindelijk begrensd te worden door een maximale waarde, de capaciteit.

In dit hoofdstuk wordt er door gebruik te maken van de simulatie aangetoond dat deze

veronderstellingen niet altijd juist zijn. Er wordt aangetoond dat er zich een daling in de

hoeveelheid wagens die het kruispunt kan verwerken kan voordoen. Bij een stijgende totale

verkeersvraag neemt de totale capaciteit van het kruispunt af. In plaats van naar een maximale

capaciteit toe te lopen kent het kruispunt dan, net door de interacties tussen de verschillende

verkeersstromen, een capaciteitsval…

23 Wanneer in dit hoofdstuk over interacties gesproken wordt, wordt de hinder bedoeld die verschillende wachtrijen op elkaar uitoefenen omdat hun lengtes te zeer zijn toegenomen om nog een normale verkeersafwikkeling toe te laten. Een voorbeeld van zulk een interactie is het feit dat wagens, wanneer ze groen hebben, het kruispuntvlak niet op kunnen rijden omdat er nog wagens uit een andere stroom op staan.

79

5.1 Situatieschets De verkeerssituatie die in dit hoofdstuk beschouwd wordt is weergegeven in figuur 19. Ze kan

beschouwd worden als een uitsnede van de verkeerssituatie aan de Kapucijnenvoer, een

dubbel kruispunt in Leuven. Om de situatie overzichtelijk te houden zijn er echter enkele

vereenvoudigingen en aannames gemaakt.

Figuur 19: Omzetting plan Kapucijnenvoer naar schematische voorstelling

In figuur 19 is er aangegeven hoe een grondplan van de Kapucijnenvoer schematiserend

opgesplitst in een aantal fysische entiteiten. In dit hoofdstuk worden enkel de niet gearceerde

gebieden beschouwd. Om de verschillende verkeersstromen over dit deel van het kruispunt te

kunnen betrouwbaar te kunnen simuleren worden verscheidene van deze entiteiten nog eens

opgesplitst. De uiteindelijke opsplitsing in wachtrijen die ingegeven wordt in de simulatie is

geschetst in figuur 20.

80

Figuur 20: Voorstelling van de wachtrijen zoals ze in de simulatie worden ingegeven

5.1.1 Verschillende verkeersstromen

In de situatie zijn er vier verschillende verkeersstromen te onderscheiden. Stroom 3-4-10-5,

stroom 2-1, stroom 6-11-12-7 en stroom 9-8-5.

De wagens die het kruispunt oprijden via rij 2 rijden via rij 1 het kruispunt weer af. De

wagens in stroom 6-11-12-7 verlaten het kruispuntvlak via rij 7. Hierbij wordt verondersteld

dat de wagens in rijen 1 en 7 zich niet mengen, en dus geen interacties aangaan. Hetzelfde

wordt verondersteld voor de wagens in rijen 4 en 8.

Stroom 2-1 kruist het traject van de stromen 9-8-5 en 3-10-4-5. Wagens uit rijen 4 en 8

moeten voorrang geven aan de wagens uit rij 2. Er wordt verondersteld dat de wagens uit rijen

4 en 8 voorrang geven zolang wachtrij 2 groen licht heeft, en er bovendien ook nog wagens

staan te wachten om te vertrekken. Hierdoor wordt de gap-acceptatie tijd van de wagens in rij

4 en 8 impliciet gelijk verondersteld aan de bedieningstijd van wachtrij 2. De follow-up tijd is

de bedieningstijd van de respectievelijke wachtrijen 4 en 8. Indien men een andere gap-

acceptatie tijd zou willen modelleren moet beroep gedaan worden op de eerder besproken

gap-acceptatie rij.

81

Vanaf wanneer de populatie in wachtrij 1 een bepaalde grootte bereikt (‘hinderlengte’) zal de

staart van rij 1 het de wagens uit rijen 4 en 8 bemoeilijken om het kruispunt af te rijden. De

bedieningstijd van deze rijen verhoogt. De verhoogde bedieningstijd van rijen 4 en 8 blijft

behouden zolang de lengte van rij 1 niet weer kleiner wordt dan de hinderlengte. We noemen

deze hinder een eerste orde hinder. De rij die de hinder veroorzaakt (rij 1) is rechtstreeks

betrokken bij het conflict.

Een andere interactie kan optreden tussen de wagens van stroom 6-11-12-7 en stroom 3-10-4-

5. Wanneer op een bepaald moment de maximale capaciteit van wachtrij 4 bereikt wordt,

kunnen de wagens die rij 3 uitrijden niet meer vlot doorrijden tot in rij 4. Ze blijven staan in

rij 10. Daardoor hinderen ze de wagens van stroom 6-11-12-7. Uit rij 6, aan de

verkeerslichten, kunnen nog enkele wagens uitrijden. Ze worden echter gehinderd door de

wagens in rij 10. Hierdoor loopt rij 11 vol waardoor uiteindelijk de wagens in rij 6 het

kruispuntvlak niet meer kunnen oprijden. Deze interactie noemen we een interactie van

tweede orde omdat ze initieel veroorzaakt worden door rij 1. Rij 1 is echter maar

onrechtstreeks (via rijen 4 en 10) bij het conflict betrokken.

Op zijn beurt kan stroom 6-11-12-7 ook de stroom 3-10-4-5 hinderen. Wanneer rij 7 volledig

is volgelopen, wordt via rij 12 het uitrijden van rij 3 bemoeilijkt.

5.1.2 Verkeerslichtenregeling

Rijen 1, 2, 3, 6, 7 en 9 hebben een verkeerslicht. Alle verkeerslichten hebben een cycluslengte

van 90 seconden. Rijen 2,3 en 1/7 krijgen allen samen groen. Rij 2 en 3 gedurende 45

seconden, terwijl rijen 1 en 7 enkel gedurende de eerste 35 seconden groen licht krijgen. Na

45 seconden staan alle lichten op rood. Daarna krijgen rijen 6 en 9 gedurende 45 seconden

groen licht, terwijl de andere rijen rood licht hebben.

Deze verkeerslichtenregeling wijkt op twee plaatsen af van de regeling aan de

Kapucijnenpoort; Ten eerste heeft rij 1 er langer groen. Rij 7 -aan de Kapucijnenpoort de

wagens die af willen slaan- heeft er echter maar een twintigtal seconden groen. Op de

Kapucijnenpoort wordt de hinder primair veroorzaakt door de stroom 6-11-12-7. De rij die de

belangrijkste bron van hinder is heeft er dus maar een beperkte groentijd. Rij 7 slaat terug op

het kruispunt, waardoor rijen 4 en 8 gehinderd worden.

82

Ook het uitrijden van rij 2 wordt hierdoor gehinderd. In de situatie zoals ze hier wordt

uitgewerkt wensen we het aantal interacties tot een overzichtelijk aantal te beperken. Daarom

is er een vereenvoudigde situatie uitgewerkt waarbij de belangrijkste bron van hinder stroom

2-1 is. Daarom krijgt hier deze stroom maar een beperkte groentijd.

Een tweede vereenvoudiging zit hem in het feit dat rijen 1 en 7 groen licht krijgen met

stromen 2 en 3, in plaats van met stromen 6 en 9. De belangrijkste bron van problemen heeft

op de Kapucijnenvoer groen licht samen met rijen 1 en 7. Aangezien deze bron nu stroom 2-1

is, wordt er hier verondersteld dat rij 2 (en daarbij rij 3) samen met rij 1 en 7 groen licht

hebben, in plaats van stroom 6-11-12-7. Er is in de uitwerking van de verkeerssituatie dus

voor gekozen om de principiële werking van het kruispunt na te bootsen in plaats van de

lichtenregeling letterlijk over te nemen. Hierdoor blijven de mechanismen van de interacties

tussen de stromen ongeveer dezelfde, terwijl de situatie tegelijkertijd minder complex en

overzichtelijker wordt.

5.1.3 Invloed van de verschillende stromen op elkaar

Eerder werd al aangegeven dat de verschillende stromen een invloed op elkaar kunnen

uitoefenen. Twee belangrijke parameters van deze invloed zijn ten eerste het aantal wagens in

een wachtrij vooraleer deze een invloed uitoefent op een andere rij, en ten tweede de invloed

zelf. Namelijk de nieuwe bedieningstijd voor de wagens in de rij die gehinderd wordt.

Een gedetailleerd overzicht van alle eigenschappen van de verschillende rijen is toegevoegd

in bijlage C: ”Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing”. Naast de groentijden en de

lichtcycli worden er ook de maximale capaciteit, de bedieningstijden, en de wijze van

toelevering aangegeven. Indien toepasselijk zijn de hinderlengtes, en de verhoogde

bedieningstijden ook vermeldt.

83

In het volgende deel wordt eerst nagegaan of er überhaupt wel een invloed is van deze

interacties tussen de verschillende stromen op de verkeersafwikkeling en de capaciteit van het

kruispunt. Daarna wordt de kwantitatieve invloed van de hinderlengte en de bedieningstijd bij

hinder op deze capaciteit nagegaan. Natuurlijk zijn er nog vele andere parameters die elk hun

invloed uitoefenen op het ontstaan, het evolueren en het oplossen van conflicten tussen

stromen. Hierbij denken we bvb. aan de afstelling van de verkeerslichten, cycluslengtes, de

verhouding tussen de intensiteiten tussen verschillende stromen op het kruispuntvlak, het

aantal armen van het kruispunt,…Een uitgebreide studie van de parameters, en een juiste

kwantificering van hun invloed op de capaciteit van het kruispunt paste niet in het bestek van

deze thesis, en wordt overgelaten voor uitgebreid verder onderzoek.

5.2 Berekeningen en resultaten

In dit deel wordt de invloed van de interacties tussen verschillende stromen op de totale

capaciteit van een kruispunt nagegaan. Hierbij wordt in stappen tewerk gegaan. In een eerste

geval wordt er geen rekening gehouden met de invloed van interacties tussen de verschillende

verkeersstromen. De resultaten die worden bekomen via deze werkwijze stemmen overeen

met de resultaten die de huidige verkeersmodellen weergeven. Deze houden immers ook geen

rekening met deze interacties. In een tweede stap wordt de hinder die wachtrij 1 uitoefent op

de rijen 4 en 8 mee ingerekend. Uiteindelijk wordt er in een derde stap ook de hinder die de

staart van rij 4 (via rij 10) uitoefent de stroom 6-11-12-7 meegerekend.

84

5.2.1 Verwaarlozen van de interacties

In dit deel worden de interacties tussen de verschillende stromen verwaarloosd. Er wordt dus

verondersteld dat de lengte van wachtrij 1 geen invloed heeft op de afrijsnelheid van rijen 4

en 8. Natuurlijk moeten de wagens in deze stromen wel nog steeds voorrang verlenen aan de

wagens die vanuit rij 2 naar rij 1 rijden.

Zowel de intensiteiten van de verschillende stromen als de totale capaciteit van het hele

kruispunt zijn berekend in functie van de verkeersvraag van rij 2 en rij 324. Voor elke

combinatie van een verkeersvraag van rij 2 en rij 3 zijn er 50 simulaties gedaan. In totaal

werden er voor elke situatie dus 7x9x50=3150 simulaties uitgevoerd. Het beschouwde

tijdsinterval is 720 seconden. De simulatie wordt uitgevoerd gedurende 840 seconden, maar

de verkeersafwikkeling gedurende de eerste 120 seconden wordt niet meegerekend in de

resultaten. Zo wordt de invloed van overgangsverschijnselen gematigd.

In de onderstaande tabellen 8 tot 11 zijn de intensiteiten van de verschillende stromen in

functie van de verschillende verkeersvragen weergegeven. In tabel 12 is de totale intensiteit

over het kruispuntvlak getabellariseerd.

Verkeersvraag25 rij 2 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit Stroom 2-1 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

99 200 292 329 343 337 346 96 199 300 328 345 343 348 100 198 284 326 347 339 346 101 198 286 325 337 351 339 95 206 286 330 341 342 340 98 201 290 330 342 342 343 103 192 287 332 345 343 340 102 193 287 324 338 352 341 101 196 280 331 339 346 337

Tabel 8: Intensiteit 2-1, geen hinder

24 De vraag verkeersvraag van rij 2 varieert van 100 tot 700 wagens per uur met stappen van 100. De opeenvolgende verkeersvragen van rij 3 zijn 100, 200, 250, 300, 350, 400, 500, 600 en 700 wagens per uur. 25 De aankomsten worden geloot uit een exponentiele verdeling met als gemiddelde, karakteristieke waarde de respectievelijke verkeersvragen per uur. Daarom kan het zijn dat in de tabel bij een bepaalde gemiddelde verkeersvraag de werkelijke intensiteit over het beschouwde traject toch groter is als deze gemiddelde verkeersvraag. De verkeersvraag moet dus beschouwd worden als een statistisch gemiddelde eerder dan als een werkelijke waarde. De intensiteit zou anders immers nooit hoger kunnen zijn dan de vraag.

85

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit 3-10-4-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

98 98 100 98 96 99 104 189 194 204 207 194 203 209 242 253 247 240 245 252 255 287 293 293 303 303 295 298 346 338 343 353 343 351 349 374 380 364 376 385 375 394 412 396 403 410 419 416 418 419 417 400 426 421 421 427 423 414 413 422 424 422 419

Tabel 9: Intensiteit 3-10-4-5, geen hinder


Geen hinder Intensiteit 9-8-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

433 422 432 416 428 429 424 418 419 421 425 424 432 425 425 426 419 425 415 425 413 424 419 437 426 424 433 426 426 424 426 423 419 419 424 409 421 428 421 435 424 419 418 423 418 422 430 417 426 428 420 416 419 432 429 417 423 426 432 418 416 429 420

Tabel 10: Intensiteit 9-8-5, geen hinder

86


Geen hinder Intensiteit 6-11-12-7 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

447 450 453 446 446 451 451 448 463 439 440 433 454 444 455 447 442 451 452 446 445 448 445 451 447 455 456 451 438 454 455 467 440 456 452 449 457 466 442 443 451 453 451 448 445 448 448 445 448 440 452 449 453 458 459 450 455 447 450 447 445 452 446

Tabel 11: Intensiteit 6-11-12-7, geen hinder

Ook de totale intensiteit over het kruispunt wordt door de simulatie berekend. Deze moet

natuurlijk gelijk26 zijn aan de som van de intensiteiten van deze verschillende

verkeersstromen apart.


Geen hinder Totale Intensiteit 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

1078 1172 1278 1290 1315 1318 1326 1153 1277 1366 1400 1398 1433 1428 1223 1326 1393 1443 1460 1463 1459 1262 1357 1468 1503 1521 1536 1516 1306 1424 1511 1574 1545 1570 1567 1332 1460 1549 1570 1606 1593 1611 1385 1461 1555 1614 1643 1622 1634 1389 1484 1553 1624 1651 1662 1637 1403 1485 1577 1620 1625 1650 1623

Tabel 12: Totale intensiteit, geen hinder

26 De intensiteiten worden maar berekend voor een interval van 720 seconden. Om dus tot intensiteiten per uur te komen worden de resultaten met 5 vermenigvuldigd. Hierdoor kan de intensiteit per uur een kommagetal zijn. In de tabellen zijn de intensiteiten afgerond (naar beneden) tot op een eenheid. Door deze afrondingen kan het zijn dat de totale intensiteit iets groter is als de de som van de intensiteiten van de verschillende stromen uit de tabellen.

87

De standaarddeviaties op de berekening van de totale intensiteiten over het kruispunt worden

weergegeven in tabel 13. Hoewel de simulaties maar een simulatie-interval van 720 seconden

beschouwen worden de resultaten toch uitgezet in wagens per uur. Daarom moeten de

berekende standaarddeviaties vermenigvuldigd worden met een factor27 5. Deze

standaarddeviaties voor de totale intensiteit worden weergegeven in onderstaande tabel. De

standaarddeviaties horende bij de intensiteiten van de verschillende stromen zijn

getabellariseerd (tabelleriseerd 37-40) in bijlage D: “Intensiteiten en standaarddeviaties bij de

toepassing”.


Geen hinder Totale intens. Stand. dev. 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

73.3335 76.3462 68.0078 74.4890 60.3771 81.2518 81.4387 85.2353 72.1334 77.2800 77.4313 68.2116 78.0260 73.4830 68.6256 69.9312 88.5288 61.6796 63.6750 80.9727 80.9352 72.4153 73.0750 74.9643 77.1611 83.5657 78.3952 80.3789 80.4614 70.8594 66.8416 79.1940 83.3544 93.2948 82.6845 77.5716 74.3783 77.3566 95.6255 83.8473 94.3076 83.9357 77.5322 78.9361 78.0460 83.8609 71.8243 78.3063 69.0755 65.1056 65.2440 75.7092 98.8658 81.1650 86.8094 92.7043 77.7243 78.6688 76.3996 84.9550 86.7497 91.9070 77.4550

Tabel 13: Totale intensiteit, standaarddeviatie op berekeningen

27 De verwachtingswaarden van de intensiteiten worden lineair getransformeerd. De standaarddeviatie die berekend wordt in de simulatie moet dus ook aangepast worden. Uit de rekenregels voor de verwachtingsoperator, en uit de lineariteit van de integraaloperator volgt eenvoudig dat wanneer we de verwachtingswaarden vermenigvuldigen met een bepaalde waarde, dan we dan de standaarddeviatie van deze verwachtingswaarden moeten vermenigvuldigen met de absolute waarde van de waarde waarmee we de verwachtingswaarden vermenigvuldigden. Voor standaarddeviaties van steekproeven kunnen dezelfde rekenregels gehanteerd worden. [Beirlant en Van Dyck, 2001]

88

In onderstaande figuren 21 en 22 worden de resultaten van de berekeningen grafisch

weergegeven. In figuur 21 zijn de totale intensiteiten horende bij de verschillende

verkeersvragen van rij 2 en rij 3 weergegeven in een 3d-tekening28. Het is de grafische

weergave van tabel 12. Zoals reeds uit deze tabel kon afgelezen worden neemt de totale

intensiteit van de verschillende stromen over het kruispunt toe met toenemende verkeersvraag

van rij 2 en rij 3. Deze intensiteit gaat bij hogere verkeersvragen uiteindelijk naar een

constante waarde toe. Dit is precies het resultaat dat we op basis van de literatuur zouden

verwachten. Er is geen sprake van een capaciteitsval, en bij toenemende verkeersvraag wordt

er uiteindelijk een maximale capaciteit van het kruispunt bereikt.

Figuur 21: Totale intensiteit over het kruispunt in functie van verkeersvraag rij 2 en 3

Er kan opgemerkt worden dat een verkeersvraag van 1600 wagens per uur helemaal geen

overdreven, onrealistische aanname is. Art Bleukx [Bleukx,2003] telde op de Kapucijnenvoer

gedurende verschillende spitsperiodes in november 2002 een verkeersvraag tot wel 1800 pae

per kwartier. Deze vraag werd natuurlijk wel verwerkt door het hele dubbelkruispunt.

28 Op de figuur zijn de X- en de Y-as weergegeven voor waardes van 0 tot 800. De tekening is echter maar geplot tot waardes 700. Door de ruimtelijke weergave zou hierdoor verwarring onnodige verwarring kunnen ontstaan.

89

Hoe de verschillende stromen bijdragen tot de totale intensiteit over het kruispunt is

weergegeven in figuur 22. Hierbij wordt de verkeersvraag van rij 2 gevarieerd terwijl de

verkeersvraag van rij 3 drie constant wordt gehouden aan 500 wagens/uur. Rond de totale

intensiteit is een 95% betrouwbaarheidsinterval getekend. De boven en ondergrenzen worden

gegeven door volgende formule29

+−

n

SzX

n

SzX

22

, αα

Hierbij is S de berekende standaarddeviatie van de steekproef (nl. de verschillende

simulaties), n het aantal simulaties en X het gemiddelde van deze simulaties. Voor een 95%

tweezijdig betrouwbaarheidsinterval is 2

αz gelijk aan 1,96. De resultaten van de berekeningen

zijn weergegeven in tabel 14.

Vraag rij 2 100 200 300 400 500 600 700 Bovengrens Gemiddelde Ondergrens

1407 1483 1577 1637 1663 1644 1653 1385 1461 1555 1614 1643 1622 1634 1364 1439 1534 1590 1623 1600 1614

Tabel 14: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, geen hinder

29 Hierbij wordt verondersteld dat de verschillende waardes voor de totale intensiteit over het kruispunt normaal verdeeld zijn rond de gemiddelde waarde.

90

Figuur 22: Aandeel stromen in totale intensiteit (geen hinder)

In figuur 22 is goed te zien dat de variatie van de verkeersvraag van stroom 2 geen enkele

invloed uitoefent op de intensiteit van de andere drie stromen.

Hoewel de verkeersvraag van rij 3 500 wagens per uur is, ligt de intensiteit maar net boven de

400 wagens per uur. Dit heeft te maken met het feit dat er nog andere beperkingen zijn op de

intensiteit van stroom 3-10-4-5. De bedieningstijd van het licht aan rij 3 is 4 seconden per

wagen. Per uur passeren er dus maximaal 450 voorbij dit licht (het is immers maar de helft

van de tijd groen licht). Ook de intensiteiten van stromen 6-11-12-7 en 9-8-5 variëren niet met

veranderende verkeersvraag van rij 2. De intensiteit van stroom 2-1 daarentegen neemt eerst

lineair toe volgens een 45 gradenlijn, waarna deze intensiteit bij hogere verkeersvraag afbuigt

naar een constante waarde van ongeveer 35030 wagens per uur. Het feit dat de totale intensiteit

over het kruispunt stijgt bij toenemende verkeersvraag, totdat ze uiteindelijk begrensd wordt

door een maximale capaciteit van het kruispunt is precies wat analytische verkeersmodellen

voorspellen.

30 Rij 1 heeft 35 seconden groen in een cyclus van 90 seconden. Per uur heeft deze rij dus 1400 seconden groen licht. De intensiteit waarmee bij groen licht de wagens de rij verlaten is exponentieel verdeeld rond met een gemiddelde waarde van 0,25 wagens per seconde. Per uur passeren er dus gemiddeld 350 wagens langs rij 1, tenzij dat de verkeersvraag natuurlijk kleiner is als deze waarde.

91

In de volgende paragraaf wordt nagegaan wat de invloed van de interacties tussen

verkeersstromen op het kruispunt is op de intensiteiten van deze verschillende

verkeersstromen en op de totale capaciteit van het kruispunt.

5.2.2 Inrekenen van interacties tussen stromen

In dit deel wordt nagegaan wat de invloed is van de interacties tussen stromen op hun

respectievelijke intensiteiten, en op de totale intensiteit van het hele kruispunt.

De interacties die we beschouwen kunnen opgesplitst worden in een interactie van eerste en

van tweede orde. Op dit kruispunt ligt stroom 2-1 aan de basis van de problemen. Bij hoge

verkeersvragen wordt de staart van rij 1 zo lang, dat deze de wagens in rijen 4 en 8 zal

hinderen bij het afrijden van het kruispunt. Deze interactie tussen de staart van rij 1, en de

rijen 4 en 8 noemen we in deze paragraaf de hinder van eerste orde. Door deze hinder neemt

de bedieningstijd van rij 4 toe. Hierdoor komen er meer wagens toe in rij 4 dan er door rij 4

verwerkt kunnen worden. De staart van rij 4 groeit aan, en wordt op zijn beurt oorzaak van

een hinder. Stroom 3-10-4-5 hindert dan de vlotte doorstroming van stroom 6-11-12-7.

Omdat dit effect ook, maar niet rechtstreeks, gevolg is van een te lange wachtrij 1, noemen we

dit een effect van tweede orde. Dit betekent echter niet dat de invloed van deze hinder minder

groot moet zijn.

In een eerste deel wordt alleen de hinder van eerste orde in ogenschouw genomen. Nadien

worden dan alle interacties meegerekend.

5.2.2.1 Eerste orde hinder

Door het inrekenen van de interacties tussen de verkeersstromen gaan we aan de theoretische

benadering van verkeersafwikkeling op kruispunten voorbij. De literatuur houdt hier namelijk

geen rekening mee.

We nemen aan dat de staart van rij 1 de rijen 4 en 8 hindert vanaf dat er zich 8 wagens in rij 1

bevinden. Door deze hinder neemt de bedieningstijd van beide rijen toe tot 25 seconden per

wagen. Door deze toename relatief groot te veronderstellen wordt de invloed van de

interacties uitvergroot.

92

Verder in de tekst wordt zowel de invloed van de grootte van deze bedieningstijd, als het

aantal wagens dat zich in wachtrij 1 moet bevinden vooraleer er hinder optreedt31 bestudeerd.

Weer wordt er een interval van 720 seconden beschouwd. Voor elke combinatie van de

onafhankelijk van elkaar veranderende verkeersvragen van rij 2 en rij 3 worden er 50

simulaties uitgevoerd.


1e ordehinder Intensiteit 2-1 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

94 207 293 334 340 353 333 98 197 290 315 342 346 354 100 195 285 333 346 350 343 100 191 289 335 359 339 340 101 195 284 327 347 346 347 96 193 280 330 343 326 343 99 199 292 335 336 338 345 99 199 287 338 340 352 340 97 201 297 331 333 338 342

Tabel 15: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder


1e ordehinder Intensiteit 3-10-4-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

100 105 91 91 86 89 78 205 199 198 143 142 126 146 254 249 234 184 164 146 143 292 299 285 219 195 172 170 345 337 303 214 200 177 191 385 373 337 243 206 176 178 405 396 356 252 204 201 177 413 399 368 259 211 203 194 411 405 342 264 205 195 197

Tabel 16: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder

31 Verder in de tekst wordt er naar dit aantal wagens vooraleer er hinder optreedt ook verwezen met de term ‘hinderlengte’.

93


1e ordehinder Intensiteit 9-8-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

425 419 377 288 209 226 183 425 417 371 244 237 203 205 424 423 388 270 215 190 203 429 425 383 284 236 213 209 411 424 382 261 233 208 224 421 417 383 283 239 193 198 432 426 395 266 213 215 184 421 418 380 290 226 224 212 417 422 357 271 224 209 207

Tabel 17: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder


1e ordehinder Intensiteit 6-11-12-7 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

461 448 449 456 450 440 441 455 436 444 453 456 459 456 451 457 443 455 447 453 440 463 447 454 445 447 448 454 446 458 451 451 440 457 443 458 454 451 443 448 450 447 443 439 458 453 447 444 451 446 444 456 450 446 454 455 446 454 453 455 460 439 443

Tabel 18: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder

94


1e ordehinder Totale Intensiteit 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

1082 1179 1211 1171 1086 1109 1036 1184 1250 1304 1156 1179 1136 1163 1229 1326 1351 1243 1173 1141 1130 1285 1364 1413 1284 1239 1174 1175 1304 1415 1422 1254 1221 1189 1206 1362 1438 1452 1300 1238 1146 1168 1380 1461 1502 1307 1203 1199 1158 1380 1461 1492 1338 1225 1234 1203 1372 1483 1450 1322 1224 1183 1190

Tabel 19: Totale intensiteit, 1e orde hinder

In tabel 20 bevinden zich de standaarddeviaties horende bij de totale intensiteiten. Doordat er

nu meer interacties -die elk stochastisch benaderd worden- ingerekend worden, wordt de

onzekerheid op de resultaten groter. Dit vertaalt zich in grotere standaarddeviaties. De

standaarddeviaties op de intensiteiten van de verschillende stromen apart zijn weergegeven in

bijlage D (tabellen 40 tot 44).


1e ordehinder Tot. intens. Stand. dev. 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

72.4005 62.3162 102.0732 122.5770 132.0707 127.7453 116.7941 59.3159 71.0878 100.4696 138.1459 139.4766 158.0292 172.3395 61.6889 67.5447 101.4288 164.9517 183.7884 168.2724 180.1424 80.9613 75.0874 115.0981 182.0087 181.7600 188.8166 170.9517 76.4986 75.9455 107.2771 186.3353 184.0530 214.0008 195.6111 79.1360 92.8420 122.9288 207.0636 193.1050 185.4740 172.8589 73.8703 77.6458 143.1648 210.5175 210.2913 181.7081 167.7220 65.6009 82.1152 125.4511 201.3270 199.3048 198.7915 195.6304 93.1381 87.2148 173.3361 220.0215 201.8654 241.4699 180.8044

Tabel 20: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e orde hinder

95

Uit tabel 19 (totale intensiteiten) is af te lezen dat wanneer de verkeersvraag van rij 2 stijgt

van 300 naar 400 wagens per uur, dat er dan een daling is in de capaciteit van het kruispunt.

Er is sprake van een capaciteitsval, een capacity-drop! Bestaande formules houden hier geen

rekening mee, waardoor ze in bepaalde gevallen grote overschattingen maken van de

capaciteit van het kruispunt.

De totale intensiteit van alle stromen op het kruispunt wordt grafisch weergegeven in figuur

23.

Figuur 23: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (eerste orde hinder ingerekend)

Om een duidelijkere weergave mogelijk te maken is de richting van de as met de

verkeersvraag van rij 2 van veranderd. Op de tekening is duidelijk te zien dat wanneer de

verkeersvraag van rij 3 constant wordt gehouden, dat de totale capaciteit van het kruispunt

dan eerst toeneemt bij toenemende verkeersvraag van rij 2. Wanneer de verkeersvraag van rij

2 echter blijft toenemen, doet er zich een capaciteitsval voor; Bij een toenemende

verkeersvraag worden er minder wagens verwerkt door het kruispunt.

96

In de tabel 21 is de verhouding tussen aantal wagens dat het kruispunt per uur verwerkt bij

een bepaalde verkeersvraag van rij 2, ten opzichte van een verkeersvraag van 300 wagens per

uur van rij 2 gegeven. Uit de tabel kan afgelezen worden dat het kruispunt bij een

verdubbeling van de verkeersvraag van rij 2, van 300 naar 600 wagens per uur, 20% minder

wagens verwerkt.

Verkeersvraag

Rij 2

(wagens/uur)

100 200 300 400 500 600 700

maxtIntensitei

tIntensitei

0.9191 0.9724 1.0000 0.8702 0.8007 0.7986 0.7711

Tabel 21: verhouding intensiteit tot maximale intensiteit, 1e orde hinder

Er dient er belangrijk onderscheid gemaakt te worden tussen het aantal wagens dat het

kruispunt verwerkt bij een verkeersvraag kleiner of groter dan 300. Wanneer de verkeersvraag

van rij 2 kleiner is als 300, dan verwerkt het kruispunt niet meer wagens omdat er zich niet

meer wagens aandienen. De marginale totale intensiteit in functie van de verkeersvraag van rij

2 is positief; 0

2>

∂

∂

aagRijVerkeersvr

tkruispuntIntensitei

Wanneer er zich meer wagens aandienen in wachtrij

2, dan neemt de totale intensiteit van het kruispunt toe.

De capaciteit van het kruispunt kent ergens een maximale waarde in functie van de

verkeersvraag van rij 2. Wanneer de verkeersvraag van rij 2 vanuit deze waarde nog blijft

toenemen, dan neemt het aantal wagens dat het kruispunt kan verwerken af. De intensiteit van

de stromen over het kruispunt is dan tevens gelijk aan de capaciteit van het kruispunt. De

capaciteit van het kruispunt daalt, er is een capaciteitsval. In dit geval geldt;

.02

<∂

∂

aagRijVerkeersvr

tkruispuntIntensitei

De capaciteit van het kruispunt neemt af tot een waarde die kleiner is dan de maximale

capaciteit van het kruispunt. Verder wordt aangetoond dat deze waarde bvb. afhangt van de

bedieningstijd die verondersteld wordt indien er zich hinder voordoet.

97

In figuur 24 zijn de bijdrages van de intensiteiten van de verschillende stromen tot de totale

intensiteit van het kruispunt weergegeven. Hiertoe is er een uitsnede genomen uit de 3D-

figuur, waarbij de verkeersvraag van rij 2 constant gehouden wordt op 500 wagens per uur.

Ook is er een 95% betrouwbaarheidsinterval van de totale intensiteit op het kruispunt

getekend.

Figuur 24: Aandeel stromen in totale intensiteit (1e orde hinder)

In de figuur is goed te zien dat de verkeersvraag van rij 2 nog steeds geen invloed heeft op de

intensiteit van stroom 6-11-12-7. Zowel rij 4 als rij 8 kunnen nu echter wel gehinderd worden

door de staart van rij 1. We zien dat de intensiteit van beide stromen afneemt wanneer de

verkeersvraag van rij 3 groter wordt. Vanaf een verkeersvraag van rij 2 van 500 wagens per

uur blijven de intensiteiten ongeveer constant. Zo gaat de capaciteit van het kruispunt na de

val ook naar een constante waarde toe.

98

De grenzen van het 95% betrouwbaarheidsinterval worden op exact dezelfde wijze als eerder

berekend. Ze worden hieronder nog eens even in een tabelvorm (tabel 22) weergegeven.

Vraag rij 2 100 200 300 400 500 600 700 Bovengrens Gemiddelde Ondergrens

1401 1482 1542 1365 1261 1250 1205 1380 1461 1502 1307 1203 1199 1158 1360 1439 1462 1249 1144 1149 1112

Tabel 22: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, 1e orde hinder

In deze paragraaf werd aangetoond dat er zich ook op kruispunten effectief een capaciteitsval

kan voordoen, de totale intensiteit over het kruispunt neemt af bij een toenemende

verkeersvraag.

In volgende paragraaf wordt bestudeerd hoe de intensiteit van de verschillende stromen

verloopt indien ook de tweede orde interactie tussen stroom 3-10-4-5 en stroom 6-11-12-7

wordt ingerekend.

5.2.3 Eerste en tweede orde hinder

In dit deel wordt nu ook de tweede orde interactie, de invloed die stroom 3-10-4-5 uitoefent

op stroom 6-11-12-7 meegerekend.

De totale intensiteit in functie van de verkeersvraag van rijen 2 en 3 wordt weergegeven in

tabel 23.

99


1e en 2e orde Hinder Totale Intensiteit

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

1072 1174 1226 1104 1030 1069 1036 1173 1281 1299 1134 1063 977 977 1219 1309 1355 1181 1047 991 989 1259 1348 1375 1094 1037 987 1048 1296 1438 1431 1147 1018 1060 1017 1358 1451 1439 1213 1034 1015 994 1407 1482 1436 1239 1043 1056 1035 1410 1505 1489 1239 1102 968 1015 1407 1506 1487 1285 1019 1067 1026

Tabel 23: Totale intensiteit; 1e en 2e orde hinder

Figuur 25: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (1e en 2e orde hinder)

In figuur 25 zijn de resultaten van de berekeningen ruimtelijk weergegeven.

De vorm van de 3D figuur verandert niet zo veel in vergelijking met de vorige situatie.

Wanneer we de verkeersvraag van rij 3 constant houden, krijgen we bij lage verkeersvraag

van rij 2 weer een stijgend verloop voor de totale intensiteit over het kruipunt.

100

Wanneer de verkeersvraag van rij 2 blijft toenemen wordt de maximale capaciteit van het

kruispunt bereikt, waarna er zich weer een capaciteitsval voordoet. Uiteindelijk gaat de

capaciteit weer naar een constante waarde toe. Deze capaciteit ligt nu wel lager dan wanneer

de interacties van tweede orde niet worden ingerekend.

In vergelijking met de vorige situatie kent enkel de intensiteit van stroom 6-11-12-7 een

ander verloop. Daar waar deze intensiteit in de vorige situatie nog onafhankelijk was van de

verkeersvraag van rij 2, kent ze nu ook een daling. De intensiteit van deze stroom is

weergegeven in tabel 24. De intensiteiten van de overige stromen zijn ook in tabelvorm

weergegeven. Deze tabellen bevinden zich samen met de bijhorende standaarddeviaties in

bijlage D (tabellen 45 tot 51).


1e en 2e orde hinder intensiteit 6-11-12-7

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

443 447 445 408 393 407 407 451 452 434 358 331 297 299 444 446 440 365 305 285 282 446 449 422 307 282 261 282 439 459 425 318 265 267 264 443 449 416 328 262 241 254 441 441 400 322 256 258 249 441 439 401 320 261 226 247 438 432 398 334 252 268 247

Tabel 24: Intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder

101

In tabel 25 zijn de standaarddeviaties horende bij de respectievelijke totale intensiteiten van

de stromen over het kruispunt weergegeven.


1e en 2e orde hinder Stand. dev. bij tot. Int.

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

69.9872 80.3099 142.4801 204.8799 185.5356 185.5205 182.5580 67.3499 79.2584 104.3622 257.9195 234.3473 220.0419 245.2346 79.4476 74.0795 116.1983 200.3092 238.3000 226.6144 233.5390 81.3431 62.6379 174.3638 306.2201 311.2091 262.0411 284.7638 74.7543 84.5241 150.8879 288.8420 250.9132 294.0580 302.0901 68.0744 79.0683 206.8230 292.6669 304.1851 279.1412 260.5533 83.4293 82.5178 243.9337 365.8194 284.1501 277.2360 256.0159 83.1736 92.5701 196.7837 317.0773 292.0027 278.4914 288.0170 77.6584 88.4967 208.0845 296.0754 256.0626 279.8765 299.0525

Tabel 25: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e en 2e orde hinder

Opnieuw wordt het aandeel van de verschillende stromen in de totale intensiteit op het

kruispunt grafisch uitgezet (figuur 26). Er wordt hiertoe een uitsnede uit de 3D figuur

gemaakt waarbij de verkeersvraag van rij 3 constant gehouden wordt op 500 wagens per uur.

Hoewel de standaarddeviaties op de intensiteiten zijn toegenomen, is de breedte van het 95%

betrouwbaarheidsinterval nog steeds kleiner dan 10 procent van de gemiddelde waarde.

Ook dit betrouwbaarheidsinterval is weergegeven in figuur 26.

Op deze figuur is ook te zien dat de intensiteit van stroom 2-1 bij verkeersvragen tot 300

wagens per uur volgens de 45-gradenlijn verloopt. Daarna buigt de intensiteit af naar een

constante waarde van ongeveer 350 wagens per uur.

102

Figuur 26: aandeel stromen in intensiteit (1e en 2e orde hinder)

Deze curve van de totale verkeersintensiteit over het kruispunt dient in het volgende deel als

referentie wanneer de invloed van enkele parameters op de intensiteit over het kruispunt

wordt nagegaan.

In tabel 26 wordt de procentuele verhouding weergegeven tussen het aantal wagens dat over

het kruispunt passeert wanneer de interacties van eerste en tweede orde worden meegerekend,

ten opzichte van het aantal wagens dat over het kruispunt passeert wanneer deze interacties

niet worden meegeteld. De verkeersvraag van stroom 3-10-4-5 wordt hier 500 wagens per uur

verondersteld. Bij lage verkeersvragen van rij 2 is er geen verschil tussen de situatie met of

zonder inrekenen van de interacties. De verhouding tussen de intensiteiten is ongeveer gelijk

aan 1. Bij hogere verkeersvragen van stroom 2-1 valt de verhouding echter terug tot ongeveer

65 procent. Dit betekent dat door het bestaan van deze interacties – en dus door de

capaciteitsval- het aantal wagens dat het kruispunt kan verwerken een derde lager ligt dan wat

bestaande verkeersmodellen aannemen. Ze maken in periodes van grote verkeersvraag in deze

situatie dus een overschatting van de capaciteit van het kruispunt van 50 procent.

103


Intensiteit over het kruispunt Vgl. invloed van de interacties

100 200 300 400 500 600 700

Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder (in %)

101,58 101,43 92,31 76,78 63,47 65,12 63,37

Tabel 26: Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder

5.2.4 Vertragingen

De vertragingen bij de 3 gevallen (geen hinder, 1e orde hinder en 1e en 2e orde hinder) zijn

berekend voor de wagens in stroom 3-10-4-5. De verkeersvraag van rij 3 wordt hierbij

constant gehouden aan 500 wagens per uur. De vraag van rij 2 wordt gevarieerd. Het

beschouwde tijdsinterval is weer 720 seconden. Er werden echter maar 20 simulaties

uitgevoerd bij de verschillende verkeersvragen van rij 2. De resultaten zijn samen met hun

respectievelijke standaarddeviaties getabellariseerd in tabel 27.


100 200 300 400 500 600 700

Vertr., geen hinder

77.165 90.833 89.436 88.906 94.746 103.244 93.453

Std. geen hinder 34.855 44.921 31.972 35.881 46.266 40.470 35.666

Vertr., 1e orde hinder

101.168 97.527 109.675 126.297 149.531 151.466 163.211

Std. 1e orde hinder 34.962 43.491 39.424 62.085 58.208 62.851 57.573

Vertr., 1e en 2e orde

85.064 95.579 90.229 132.472 161.734 179.911 158.190

Std. 1e en 2e orde 32.550 43.822 38.957 57.321 47.960 75.334 59.667

Tabel 27: Vertagingen en standaarddeviaties bij geen, 1e orde, en 1e en 2e orde hinder

In figuur 27 zijn de resultaten ook nog eens grafisch uitgezet. Wanneer er geen rekening

wordt gehouden met de interacties tussen verschillende stromen blijft de gemiddelde

vertraging min of meer constant in functie van de verkeersvraag van rij 2. Dit is logisch

aangezien stroom 2-1 in die situatie geen enkele invloed uitoefent op stroom 3-10-4-5.

104

Voor de twee andere gevallen is de invloed van de intensiteit van stroom 2-1 wel duidelijk te

zien. Bij grotere intensiteiten stijgt de gemiddelde vertraging sterk tussen wanneer de

verkeersvraag van rij 2 toeneemt van 300 tot 500 wagens per uur. Daarna blijkt de

gemiddelde vertraging die de wagens in stroom 3-10-4-5 oplopen ongeveer gelijk te blijven.

Ook dit kon verwacht worden. In het gebied van de capaciteitsval doet er zich een stijging in

de vertraging voor. Wanneer de daling in de capaciteit weer stagneert, dan stagneren ook de

gemiddelde vertragingen opgelopen op het kruispunt.

100 200 300 400 500 600 70060

80

100

120

140

160

180

verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

gem

iddeld

e v

ert

ragin

g (

sec)

geen hinder

1e orde hinder

1e en 2e orde hinder

Figuur 27: Gemiddelde vertragingen/ vraag rij 3: 500 wagens/uur

In dit deel werd formeel aangetoond dat er zich ook op kruispunten een capaciteitsval kan

voordoen. Uit het onderzoek blijkt dat het niet enkel een kwestie is van verschuivingen van

intensiteiten van de ene stroom naar de andere, waarbij de totale intensiteit over het kruispunt

in een dynamisch evenwicht is. Wanneer een kruispunt sterk belast wordt kan er zich een

echte capaciteitsval voordoen, waarbij een stijging van de verkeersvraag van het kruispunt

resulteert in een daling van de totale intensiteit van het kruispunt. Deze capaciteitsval blijkt

een rechtstreeks gevolg van de interacties tussen verschillende stromen op het kruispuntvlak.

Interacties waarmee in de bestaande verkeerstheorie geen rekening wordt gehouden. Uit de

simulaties komt naar voren dat het verwaarlozen van deze interacties tot grote overschattingen

van de capaciteit van het kruispunt kan leiden.

105

Toch moeten we kritisch blijven tegenover de resultaten. Zo werd er bvb. gerekend met een

bedieningstijd van 25 seconden van zodra er hinder optreedt. In de praktijk zal deze waarde

zeker niet altijd zo hoog zijn. In de volgende paragraaf wordt de invloed van enkele

parameters op de vorm van de capaciteitsval bestudeerd.

5.3 Invloed van karakteristieke parameters op de capaciteit van het kruispunt

In het vorige deel werd er aangetoond dat er zich ook op een kruispuntvlak een capaciteitsval

kan voordoen. In dit deel wordt de invloed van enkele parameters op de verkeersafwikkeling

op het kruispunt nagegaan.

Het is zeker niet de bedoeling om een exhaustieve lijst van parameters, die de

verkeersafwikkeling op kruispunten beïnvloeden, op te stellen. Integendeel. Het is de

bedoeling om de aan te geven dat er verschillende parameters bestaan die elk een

verschillende invloed uitoefenen op de intensiteiten van de verschillende stromen op het

kruispunt. Ook willen we hiermee aantonen dat er nog veel onderzoek gedaan moet worden

naar de karakteristieke eigenschappen van de interacties tussen verschillende stromen op een

kruispuntvlak omdat blijkt dat een relatief kleine verandering van de parameters toch al een

grote invloed kan hebben op de capaciteit van het kruispunt.

In wat volgt worden de invloed van de bedieningstijd bij hinder, en grootte van de

opstelruimte bekeken. Hoe groter deze opstelruimte, hoe meer wagens zich in wachtrij 1

kunnen opstellen zonder de wagens uit rijen 4 en 8 te hinderen bij het afrijden van het

kruispuntvlak. Als referentie wordt de situatie uit de vorige paragraaf genomen, nl. de situatie

waarbij zowel de eerste als de tweede orde hinder worden ingerekend. De verkeersvraag van

rij 3 wordt constant gehouden aan 500 wagens per uur, terwijl de verkeersvraag van rij 2

varieert van 100 tot 600 wagens per uur. In de referentiesituatie verhoogt de bedieningstijd bij

hinder voor rijen 4, 8 en 11 tot 25 seconden per wagen vanaf dat er zich 8 of meer wagens in

rij 1 bevinden. Ook in dit hoofdstuk worden er steeds 50 simulaties per parametercombinatie

uitgevoerd gedurende een interval van 720.

106

5.3.1 De invloed van de bedieningstijd

Om de invloed van de bedieningstijd bij hinder na te gaan wordt deze nieuwe bedieningstijd

gevarieerd met stappen van 5 seconden, en dit van 5 tot 35 seconden per wagen. De resultaten

zijn samengevat in figuur 28.

Figuur 28: Invloed bedieningstijd op capaciteitsval

Wanneer de bedieningstijd toeneemt van 4 tot 5 seconden is er nauwelijks sprake van hinder.

De capaciteit op het kruispunt kent geen daling bij toenemende verkeersvraag van rij 3. Er is

geen sprake van een capaciteitsval. Wanneer de bedieningstijd toeneemt tot 10 seconden per

wagen is er reeds sprake van een duidelijke verkeersval. De grafieken horende bij een

bedieningstijd 15 tot 35 seconden liggen dicht bij elkaar. Hierbij is de capaciteitsval nog

groter als bij een bedieningstijd van 10 seconden. Vanaf een bedieningstijd van 15 seconden

per wagen blijkt de exacte bedieningstijd nog maar weinig invloed te hebben. De meeste

wagens die dan het traject van de hinderende stroom kruisen doen dit dan wanneer er zich een

beperkt aantal wagens in de hinderende wachtrij bevindt, zodat er geen hinder optreedt. De

tabellen met de intensiteiten horende bij de verschillende stromen zijn toegevoegd in bijlage

D (tabellen 52 tot 56).

107

5.3.2 Invloed van de hinderlengte

In dit deel wordt het aantal wagens dat zich in wachtrij 1 kan opstellen zonder dat ze de

wagens uit rijen 4 en 8 hinderen gevarieerd. Hoe minder er auto’s er in wachtrij 1 aanwezig

moeten zijn vooraleer er hinder optreedt, hoe sneller er zich een hinder zal voordoen, en hoe

langer deze hinder zal duren. In figuur 29 wordt de hinderlengte gevarieerd van 2 tot 10

wagens. De maximale capaciteit van wachtrij 1 is 14 wagens.

Figuur 29: Invloed hinderlengte op capaciteitsval

Uit deze figuur komt naar voor dat de invloed van de hinderlengte zeer groot is. Hoe kleiner

de hinderlengte wordt, hoe kleiner de capaciteit van het kruispunt wordt bij toenemende

verkeersvaag van rij 2. Hoe minder ruimte er dus op een kruispunt is, hoe sneller er

problemen ontstaan, en hoe groter deze problemen kunnen worden. De ‘interactievrije’

opstelruimte, de opstelruimte waarop wagens zich kunnen opstellen zonder dat ze daardoor

andere stromen hinderen blijkt ook een belangrijke parameter met betrekking tot de

verkeersafwikkeling op kruispunten.

108

Er moet opgemerkt worden dat de invloed eigenlijk geen functie is van de hinderlengte, maar

van de verhouding hinderlengte/maximale opstelcapaciteit. Zou de maximale opstelcapaciteit

van rij 1 maar 4 wagens zijn in plaats van 14, dan zou de capaciteitsval van het kruispunt

zeker niet zo groot zijn. Wanneer er zich meer wagens in de rij kunnen opstellen duurt het

immers een poos langer vooraleer de hinder wordt opgeheven bij het leegrijden van wachtrij

1.

5.4 Conclusie

In dit hoofdstuk is werd aangetoond dat er zich weldegelijk een capaciteitsval kan voordoen

op kruispunten. In een eerste simulatie werd de interacties tussen de verschillende

verkeersstromen op het kruispunt niet ingerekend. De intensiteit van de stromen nam daarbij

toe tot een maximale waarde, de capaciteit van het kruispunt. Nadien werden de interacties

tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispunt wel ingerekend. Door deze

interacties doet er zich bij grote verkeersvraag een capaciteitsval voor op het kruispunt. Met

hoe meer interacties er rekening wordt gehouden, hoe groter de capaciteitsval wordt. Hoewel

een stroom nooit zelf rechtstreeks aanleiding zou geven tot hinder van een bepaalde andere

stroom ( doordat de verkeerslichtenregeling bvb. zodanig is opgesteld dat interacties worden

uitgesloten), kan het gebeuren dat deze stroom eerst zelf gehinderd wordt, waardoor als

secundair effect van deze hinder, de gehinderde stroom zelf vaak oorzaak van een andere

hindersituatie wordt. De vooropgestelde verkeersafwikkeling, die door middel van

verkeersborden en verkeerslichten vorm kreeg, raakt hierdoor ontregeld. Wagens raken het

kruispuntvlak niet meer op terwijl ze toch groen licht hebben, andere wagens raken het

kruispunt niet meer af…

In het laatste deel van dit hoofdstuk werd de invloed op de intensiteit over het kruispunt van 2

verschillende parameters nagegaan. Natuurlijk zijn er nog heel wat andere parameters die ook

allemaal huninvloed hebben. Om tot goede modelleringen te komen zullen deze parameters in

een verder onderzoek eerst geïnventariseerd moeten worden, waarna ze allemaal aan een

grondig onderzoek moeten onderworpen worden. Het verzamelen van een grote set

praktijkwaarden lijkt hierbij onontbeerlijk. Niet alleen zal een goed inzicht in deze

verschillende parameters leiden tot een betere modellering van de verkeersprocessen op

kruispunten, ook zal dit inzicht leiden tot kruispuntinrichtingen die een betere

verkeersafwikkeling toelaten.

109

6 Besluit

In het kader van de thesis werd eerst een grondige literatuurstudie uitgevoerd. Daaruit bleek

dat er in de bestaande literatuur nog maar weinig of geen onderzoek gedaan werd om de

invloed van interacties tussen verkeersstromen vast te leggen in formules. Wu en Brilon

schuiven met hun methode van de conflictstromen als eersten een vernieuwende techniek naar

voren om de verkeersafwikkeling op kruispunten te modelleren.

Na deze literatuurstudie werd een simulatiemodel opgesteld dat er precies op gericht is om de

interacties tussen de verschillende verkeersstromen, en hun invloed op de capaciteit van het

kruispunt te modelleren. Het simulatiemodel wil een instrument zijn om net die zaken die in

de literatuur nog maar weinig of niet bestudeerd zijn te helpen bestuderen. Het model is een

analyse-instrument voor de interacties en conflicten tussen stromen op het kruispuntvlak, en

hun invloed op de capaciteit en de vertragingen aan het kruispunt. De thesis wil zeker niet

pretenderen een afgesloten geheel, een afgesloten onderzoek te zijn. Ze wil daarentegen het

eerste pad effenen voor verder en uitgebreider onderzoek. Daarom is er grondig tewerk

gegaan bij het verifiëren van de werking van het computermodel. De resultaten uit de

verschillende simulaties bleken allen de bestaande formules, gelet op de aannames en

veronderstellingen die deze formules maken, zeer goed te benaderen. In het laatste deel werd

er een praktische verkeerssituatie uitgewerkt. De resultaten zijn opmerkelijk.

Door het inrekenen van de interacties tussen de verschillende verkeersstromen kan het zijn dat

er zich een capaciteitsval van het kruispunt voordoet. Bij een stijgende verkeersvraag neemt

de capaciteit van het totale kruispunt af. Hoe meer wagens zich aan het kruispunt aandienen,

hoe minder er worden verwerkt. De bestaande capaciteitsformules houden echter geen

rekening met deze interacties, waardoor ze, wanneer er zich een capaciteitsval voordoet,

belangrijke overschattingen maken van de capaciteit van kruispunten. Ook modelleringen van

grote netwerken zien deze afgenomen capaciteit van hun knopen daarom over het hoofd.

Simulaties zouden zo een goede verkeersafwikkeling kunnen voorspellen, terwijl de praktijk

het tegendeel bewijst.

110

Verder onderzoek moet in de eerste plaats nagaan welke de verschillende parameters zijn die

een invloed uitoefenen op de capaciteitsval. Hierbij denken we niet alleen aan de schatting

van de verhoogde bedieningstijden bij hinder en de grootte van opstelruimtes, maar evengoed

aan de invloed van de afstelling van verkeerslichten, aparte verkeerslichten voor verschillende

stromen, andere typologieën van het kruispunt, de invloed van de verhouding van de

verschillende verkeersvragen van verschillende stromen aan het kruispunt,…

Het uiteindelijke doel moet zijn om deze resultaten in te bouwen in de macroscopische

simulatiemodellen om zo via een betere benadering van de netwerkknopen, tot betere en meer

betrouwbare netwerksimulaties te komen. Ook zal een beter inzicht in de invloed van de

interacties leiden tot beter ontworpen kruispunten die een vlottere verkeersafwikkeling

toelaten. Wetenschappelijk onderzoek met een enorme maatschappelijke impact!

111

7 Literatuuropgave

Abu-Lebdeh, G.; Benekohal, R.F. & Al-Omari, B. (1997). “Models for Right Turns on Red and Their Effects on Delay”. In Transportation Research Record 1572, TRB, National Research Council, Washington, DC, pp. 131-139 Abu-Lebdeh & Ahmed.(2005). Modeling of Delay Induced By Downstream Traffic Disturbances At Signalized Intersections. Presented at the 84th TRB Annual Meeting (TRB 2005). Adams. (1936). Road Traffic Considered as a Random Series. Journal of the Institute of Civil Engineers, London. Vol. 4, pp. 121-130. Akçelik, R. (1980). Time-Dependent Expressions for Delay and Stop Rate and Queue Length at Traffic Signals. Australian Road Research Board, Internal Report, AIR 367-1. Akçelik, R. and N. Rouphail (1993). Estimation of Delays at Traffic Signals for Variable Demand Conditions. Transportation Research-B, Vol. 27B, No. 2, pp. 109-131. Akçelik, R. and N. Rouphail (1994). Overflow Queues and Delays with Random and Platoon Arrivals at Signalized Intersections, Journal of Advanced Transportation, Volume 28(3), pp. 227-251. Banks,H. and Amin, M. Cassidy, M. and Chung, K.(2003). Validation of Daganzo's Behavioral Theory of Multi-Lane Traffic Flow: Final Report. California Partners for Advanced Transit and Highways (PATH). Beirlant,J. and Van Dyck,J. Statistiek en waarschijnlijkheidsleer. Cursusdienst VTK vzw. Bleukx,A. Analyse en reconceptie van de verkeerssituatie op de kruising van de Leuvense ring met de Kapucijnenvoer en de Koning Boudewijnlaan.(thesisverhandeling). Boehm, H. (1968). Die Anwendung der Monte-Carlo-Methode in der Strassenverkehrstechnik. Teil I: Untersuchungen an ungesteuerten Knoten. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 73. Bonn 1968. Brilon, W. (Ed.) (1988). Intersections Without Traffic Signals. Springer Publications, Berlin. Brilon, W. and N. Wu (1990). Delays At Fixed-time Traffic Signals Under Time Dependent Traffic Conditions. Traffic Engineering and Control, 31(12), pp. 623-63. Brilon, W. (Ed.) (1991). Intersections Without Traffic Signals II. Springer Publications, Berlin.

112

Brilon, W, N. Wu, and K. Lemke. (1996). Capacity at Unsignalized Two-Stage Priority Intersections. Paper 961280. Presented at the 75th TRB Annual Meeting. Brilon,W. and Miltner,T. (2005). Capacity and Delays at Intersections Without Traffic Signals. TRB 2005

Buckley, D. J. (1968). A Semi-Poisson Model of Traffic Flow.Transportation Science, Vol. 2(2), pp. 107-132. Catchpole, E. A. and A. W. Plank (1986). The Capacity of a Priority Intersection. Transportation Research Board, 20B (6), pp. 441-456 Catling, I. (1977). A Time Dependent Approach to Junction Delays. Traffic Engineering & Control, Vol. 18(11), pp. 520-523, 536. Cowan, R. J. (1975). Useful Headway Models. Transportation Research, 9(6), pp. 371-375. Cowan, R. J. (1987). An Extension of Tanner's Results on Uncontrolled Intersections. Queuing Systems, Vol 1., pp. 249-26 Daganzo, C. F. (1977). Traffic Delay at Unsignalized Intersections: Clarification of Some Issues. Transportation Science, Vol. 11. Dawson, R. F. (1969). The Hyperlang Probability Distribution - A Generalized Traffic Headway Model Proceedings of the FourthISTTT in Karsruhe, Strassenbau und Strassenverkehehrstechnik, No 89 1969, pp 30-36. Drew, D. R. (1968). Traffic Flow Theory and Control. McGraw-Hill Book Company, New York. Gleue.(1972).Vereinfachtes Verfahren zur Berechnung signalgeregelter Knotenpunkte. BMV (Hrsg.). Reihe Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 139. Grossmann, M. (1991). Methods for Calculation and Judgement of Capacity and Traffic Quality at Intersections Without Traffic Signals. Ruhr-University Bochum, Germany, Chair of Traffic Engineering, Vol. 9. Harders, J. (1968). The Capacity of Unsignalized Urban Intersections. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 76. Harders, J. (1976). Critical Gaps and Move-Up Times as the Basis of Capacity Calculations for Rural Roads. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 216. Hewitt, R. H. (1983). Measuring Critical Gap. Transportation Science, 17(1), pp. 87-109.

113

Kimber, R. M. and E. M. Hollis (1979). Traffic Queues and Delays at Road Junctions. TRRL Laboratory Report. Kleinrock,L. Queuing systems. Volume 1: Theory Kremser, H. (1964). Wartezeiten Und Warteschlangen Bei Einfadelung Eines Poissonprozesses in Einen Anderen Solchen Prozess.Österreichisches Ingenieur-Archiv, 18. Kyte, M. (1989). Estimating Capacity and Delay at an All-Way Stop-Controlled Intersection. Research Report, TRANSNOW, Moscow/Idaho. Li, J., N. Rouphail, and R. Akçelik (1994). Overflow Delay Estimation for Intersections with Fully-Actuated Signal Control. Presented at the 73rd Annual Meeting of TRB, Washington, DC. Lin,F. and Thomas,D.(2005). Headway Compression During Queue Discharge at Signalized Intersections. TRB 2005. Little, J. (1961). A Proof of the Queueing Formula L = W. Operations Research 9, pp. 383-387. Miller, A. J. (1972). Nine Estimators of Gap Acceptance Parameters. In: Traffic Flow and Transportation (Ed. Newell). Proceedings International Symposium on the Theory of Traffic Flow and Transportation, American Elsevier Publishing Co. Newell, G. F. (1965). Approximation Methods for Queues with Application to the Fixed-Cycle Traffic Light. SIAM Review, Vol.7. Newell, G. F. (1971). Applications of Queueing Theory. Chapman and Hall Ltd., London. Olszewski, P. (1990). Traffic Signal Delay Model for Non-Uniform Arrivals. Transportation Research Record, 1287, pp. 42-53. Plank, A. W. and E. A. Catchpole (1984). A General Capacity Formula for an Uncontrolled Intersection. Traffic Engineering Control. 25(6), pp. 327-329. Ramsey, J. B. H. and I. W. Routledge (1973). A New Approach to the Analysis of Gap Acceptance Times. Traffic Engineering Control, 15(7), pp. 353-357. Schuhl, A. (1955). The Probability Theory Applied to the Distribution of Vehicles on Two-Lane Highways. Poisson and Traffic. The Eno Foundation for Highway Traffic Control. Siegloch, W. (1973). Die Leistungsermittlung an Knotenpunkten Ohne Lichtsignalsteuerung. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 154. Siegloch, W. (1974). Ein Richtlinienvorschlag Zur Leistungsermittlung an Knotenpunkten Ohne Lichtsignalsteuerung. Strassenverkehrstechnik,Vol. 1.

114

Tanner, J. C. (1962). A Theoretical Analysis of Delays At An Uncontrolled Intersection. Biometrica 49(1 and 2),pp. 163-70.

Tian, Z., Kyte, M., Troutbeck, R., Brilon, W.(1999). Implementing the Maximum Likelihood Methodology to Measure Driver’s Critical Gap; Transportation Research, Part A, Vol. 33, pp. 187-197.

Troutbeck. R. J. (1986). A verage Delay at an Unsignalized Intersection with Two Major Streams Each Having a Dichotomized Headway Distribution. Transportation Science, 20(4), pp. 272-286. Troutbeck, R. J. (1992). Estimating the Critical Acceptance Gap from Traffic Movements. Research Report, 92-5. Viti, F and van Zuylen, HJ (2004). Modeling queues at signalized intersectionsTransportation Research Record, No: 1883, pp68-77. Transportation Research Board, Washington, DC, USA. Webster, F. V. (1958). Traffic Signal Settings. Road Research Laboratory Technical Paper No. 39, HMSO. Wu,N. (2000). Determination of Capacity at All-Way Stop-Controlled (AWSC) intersections. Transportation Research Record 1710. TRB, National Research Board, Washington, D.C., USA. Wu,N. (with Brilon,W.) (2001) Unsignalized Intersections - A Third Method for Analysis. In Taylor, A.P. (ed.): Transportation and Traffic Theory in the 21st Century, Proceedings of the 15th International Symposium on Transportation and Traffic Theory. Elsevier Science Ltd., New York, Tokyo, Oxford, 2002. Wu,N. (2004) Capacity of Two-Stage Queuing systems - Generalization and Extension. Arbeitsblätter des Lehrstuhls für Verkehrswesen, Nr.28, Teil II. Ruhr-Universität Bochum.

115

Afkortingenlijst TRB: Transportation Research Board

FHWA: Federal Highway Administration

HCM: Highway Capacity Manual

MOE: Measures Of Effectiveness

GAP-methode: Gap-Acceptance-Procedure-methode

ACF: Additive Conflict Flows

AWSC intersections: All Way Stop Controlled intersections

GS-proces: Geboorte-Sterfte-proces

FIFO: First In First Out

Pae: personenauto equivalent

Tc : Kritische gap tijd

Tf : Follow-up tijd

Tm: De minimale tijd tussen twee wagens in de hoofdstroom.

Qp: De intensiteit van de voorrangsstroom.

Qm: De maximale intensiteit van de zijstroom, de stroom die voorrang moet geven.

Qn: De verkeersvraag van de zijstroom.

116

lijst met figuren Figuur 1: Voorstelling van black boxes.................................................................................33 Figuur 2: Voorstelling van offset en cycluslengtes................................................................35 Figuur 3: Karakteristieke eigenschappen van de black box ...................................................36 Figuur 4: Schematische voorstelling traject 1-2-3 bij 1-op-1-toelevering...............................37 Figuur 5: 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen .............................................................38 Figuur 6: Procentuele 1-op-m-toelevering.............................................................................39 Figuur 7: Voorbeeld van situatie waar traject niet meer op voorhand vastligt ........................40 Figuur 8: Voorstelling reële hinder en vermindering.............................................................41 Figuur 9: Omzetting voorrangssituatie naar model................................................................42 Figuur 10: Schematische voorstelling van interacties op een kruispunt .................................46 Figuur 11: Populatiegrootte in functie van de tijd .................................................................49 Figuur 12: Algemene voorstelling Markov geboorte- sterfte-proces......................................54 Figuur 13: Vergelijking vertragingen simulatie, Harders, Siegloch en Tanner. Tc=6sec en Tf

=3 sec. ..........................................................................................................................64 Figuur 14: De gemiddelde vertraging in functie van de saturatiegraad volgens Harders ........66 Figuur 15: Vertraging in de zijstroom (sec) in functie van saturatiegraad/ Qp=600 wagens/uur

.....................................................................................................................................68 Figuur 16: vergelijking vertragingen deterministische formulering en simulatie ........................................71 Figuur 17: Vertragingen volgens Akçelik, Webster, Miller en de simulatie...........................74 Figuur 18: Tekening van aankomsten vertrekprocessen met bijhorende vertragingen..........75 Figuur 19: Omzetting plan Kapucijnenvoer naar schematische voorstelling ..........................79 Figuur 20: Voorstelling van de wachtrijen zoals ze in de simulatie worden ingegeven ..........80 Figuur 21: Totale intensiteit over het kruispunt in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 .........88 Figuur 22: Aandeel stromen in totale intensiteit (geen hinder) ..............................................90 Figuur 23: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (eerste orde hinder

ingerekend)...................................................................................................................95 Figuur 24: Aandeel stromen in totale intensiteit (1e orde hinder)...........................................97 Figuur 25: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (1e en 2e orde hinder)......99 Figuur 26: aandeel stromen in intensiteit (1e en 2e orde hinder)...........................................102 Figuur 27: Gemiddelde vertragingen/ vraag rij 3: 500 wagens/uur ......................................104 Figuur 28: Invloed bedieningstijd op capaciteitsval.............................................................106 Figuur 29: Invloed hinderlengte op capaciteitsval ...............................................................107

117

Lijst met tabellen Tabel 1: Deel van een tijden telmatrix ................................................................................49 Tabel 2: Resultaten simulatie M/M/1 rij................................................................................57 Tabel 3: Vergelijking intensiteit uit simulatie met analytische formules................................63 Tabel 4: Vergelijking gemiddelde vertragingen uit simulatie met analytische formuleringen.

.....................................................................................................................................68 Tabel 5: Standaarddeviaties bij berekening van de vertragingen............................................69 Tabel 6: Standaarddeviaties op de resultaten.........................................................................71 Tabel 7: Vergelijking vertragingen uit simulatie met analytische formules (kruispunt met

verkeerslichten). ...........................................................................................................73 Tabel 8: Intensiteit 2-1, geen hinder......................................................................................84 Tabel 9: Intensiteit 3-10-4-5, geen hinder .............................................................................85 Tabel 10: Intensiteit 9-8-5, geen hinder.................................................................................85 Tabel 11: Intensiteit 6-11-12-7, geen hinder..........................................................................86 Tabel 12: Totale intensiteit, geen hinder ...............................................................................86 Tabel 13: Totale intensiteit, standaarddeviatie op berekeningen............................................87 Tabel 14: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, geen hinder.89 Tabel 15: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder ................................................................................92 Tabel 16: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder ................................................................................92 Tabel 17: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder .............................................................................93 Tabel 18: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder .............................................................................93 Tabel 19: Totale intensiteit, 1e orde hinder............................................................................94 Tabel 20: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e orde hinder ...........................................94 Tabel 21: verhouding intensiteit tot maximale intensiteit, 1e orde hinder...............................96 Tabel 22: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, 1e orde hinder

.....................................................................................................................................98 Tabel 23: Totale intensiteit; 1e en 2e orde hinder ...................................................................99 Tabel 24: Intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder ...........................................................100 Tabel 25: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e en 2e orde hinder.................................101 Tabel 26: Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder ............................103 Tabel 27: Vertagingen en standaarddeviaties bij geen, 1e orde, en 1e en 2e orde hinder .......103 Tabel 28: Deel van een aankomst labelmatrix .....................................................................135 Tabel 29: Deel van een vertrek labelmatrix.........................................................................136 Tabel 30: Berekenen van vertraging uit labelmatrices .........................................................137 Tabel 31: Resultaten berekeningen M/M/m/∞-rij met simulatie ..........................................140 Tabel 32: Invloed van saturatiegraad op convergentiesnelheid simulatieresultaten M/M/m/∞

...................................................................................................................................142 Tabel 33: Berkening populatiekans M/D/1-rij met simulatie: resultaten ..............................143 Tabel 34: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel1.....................145 Tabel 35: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel 2 ....................146 Tabel 36: Resultaten simulatie M/M/m/m-rij ......................................................................147 Tabel 37: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, geen hinder ................................................151 Tabel 38: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, geen hinder ........................................152 Tabel 39:Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, geen hinder .......................................152 Tabel 40: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, geen hinder .............................................153 Tabel 41: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, 1e orde hinder............................................153 Tabel 42: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e orde hinder.....................................154

118

Tabel 43: Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e orde hinder...................................154 Tabel 44: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder..........................................155 Tabel 45: Intensiteit 2-1, 1e en 2e orde hinder......................................................................155 Tabel 46: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1; 1e en 2e orde hinder ....................................156 Tabel 47: Intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder .............................................................156 Tabel 48: Standdaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder ..........................157 Tabel 49: Intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder ..................................................................157 Tabel 50: Standdaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder ...............................158 Tabel 51: Standdaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder ........................158 Tabel 52: Parameterstudie bedieningstijd: Totale intensiteit................................................159 Tabel 53: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 2-1 ....................................................159 Tabel 54: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 3-10-4-5............................................159 Tabel 55: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 9-8-5 .................................................160 Tabel 56: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 6-11-12-7 ..........................................160 Tabel 57: Parameterstudie hinderlengte: Totale intensiteit ..................................................161 Tabel 58: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 2-1.......................................................161 Tabel 59: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 3-10-4-5 ..............................................161 Tabel 60: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 9-8-5....................................................162 Tabel 61: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 6-11-12-7.............................................162

119

Bijlage A: Werking van de simulatie

Nadat het kruispuntvlak in verschillende rijen is opgedeeld, de eigenschappen van alle rijen

zijn uitgedacht en nadat alle interacties tussen de rijen vastliggen moeten deze nog op een

consequente wijze in het computerprogramma worden ingegeven.

Hoe men dit doet zal in deze bijlage worden aangegeven..

In het programma kunnen twee categorieën beschouwd worden;

Ten eerste zijn er de functies die ten dienste staan van de simulatie. Ze helpen de interacties

tussen de verschillende wachtrijen te modelleren. Ze worden allen opgeroepen vanuit een

hoofdfunctie die we de body zullen noemen.

Een tweede groep functies dienen om de resultaten van de simulatie te interpreteren en te

analyseren. Met deze functie kunnen bvb. de verschillende vertragingen of de gemiddelde

wachtrijlengtes berekend worden

120

Bodystructuur en bijhorende functies Vooraleer er iets gedetailleerder zal worden ingegaan op de verschillende functie die vanuit

de body wordt er van deze body eerst een overzicht gegeven;

Initialiseren

While

Voorop

Posmin

Hinder

Parameterfunction

SWITCH

IF: aankomst

Volaan

ELSE: vertrek

Vollerij

Toeleveringen3

END

Tijdsinc

Tijdstoelevering1

Gapteller

Gaphinder

END Initialiseren

121

De zaken die geïnitialiseerd moeten worden zijn:

-Aantal rijen = Het aantal rijen waarin het vlak is opgesplitst

-Intervallengte= Het aantal tijdseenheden dat men de simulatie wenst te laten lopen

-Constant matrix= 2Xaantalrijenmatrix. De eerste rij staat voor de aankomsten, de tweede

rij staat voor de vertrekken. De kolomnummers (knrs) komen overeen met de

wachtrijnummers (wrnrs) . Men geeft met een 0 aan dat men een exponentiele verdeling wil.

Met een 1 geeft men aan dat men een constante wil. Wanneer men geen aankomsten van

buitenaf wil, omdat de rij enkel toegeleverd wordt, dan plaatst men ook een 1 in de

constantmatrix.

-Toeldeelvector (~toelevering in delen vector)= 1Xaantalrijenmatrix.(knrs~wrnrs). Als een rij

toedeelt aan andere rijen volgens een bepaald percentage, dan plaatst men in die kolom een 1.

Anders plaatst men een 0.

-Toeldeelmat= De rijen van deze matrix staan voor de toeleverende wachtrijen, de

kolomnummers staan voor de wachtrijen die toegeleverd worden. Zo plaatst men op de juiste

positie het percentage van de wagens dat aan de overeenkomstige rij toebedeeld wordt. Bvb.

levert rij 2 toe aan rij 1 en rij 3 met een respectievelijke kans van 0,3 en 0,7, dan ziet de

toeldeelmat er als volgt uit indien er niet nog andere rijen toeleveren met percentages;

000

7,003,0

000

122

-Toeldeelmin= (~toelevering, gedeeltelijk en dit aan de rij met de minste wagens). Dit is ook

een matrix. De rijnummers komen weer overeen met de toeleveringsrijen, en de

kolomnummers met de toegeleverde rijen. Levert een wachtrij aan aan verschillende rijen,

met als criterium dat de leegste rij toegeleverd wordt, dan plaatst men op de overeenkomstige

posities (cfr. hierboven) een 1, op de andere plaatsten plaatst men een 0.

-Toeleveringsmatrix= aantalrijenXaantalrijen. Wanneer men een 1-op-1-toelevering wil

aangeven, dan gebruikt men deze matrix. Wanneer er zulk een toelevering is, dan plaatst men

een 1 in de matrix, anders een 0. Het kolomnummer waar men dit plaatst is gelijk aan het

nummer van de toeleverende wachtrij. Het rijnummer is gelijk aan het nummer van de

toegeleverde wachtrij.

Er kan gezegd worden: ‘De kolom levert toe aan de rij.’

Bij een systeem met twee rijen, waar rij 1 toelevert aan rij 2, ziet de toelevermatrix er als

volgt uit:

01

00

-Lichtmatrix= 2Xaantalrijen. (knrs~wrnrs). Wanneer een rij begrensd wordt door een

verkeerslicht, dan kan men in deze matrix de lengtes van het groen en het rood licht interval

aangeven. Op de eerste rij zet men het aantal tijdseenheden groen licht, op de tweede rij het

aantal tijdseenheden rood licht. Zijn er geen verkeerslichten, dan plaatst men op de eerste rij

een willekeurig getal, en op de tweede rij een 0. Dan wordt het immers nooit rood.

-Lambdamumatrix= 2Xaantalrijen. (knrs~wrnrs). Hier worden de eigenschappen van de

aankomst en vertrekdistributies ingegeven. De distributies kunnen gekenmerkt worden door

tussentijd tussen de vertrekken (Sec/wagen). Deze geeft men hier respectievelijk op de eerst

en de tweede rij in. Indien men enkel toelevering heeft van andere wachtrijen, dan had men in

de constantmatrix reeds een 1 geplaatst. Hier plaats men dan op de eerste rij, nl. de rij van de

vertrekken een getal dat minstens 2 maal zo groot is als de intervaltijd.

-Gapacceptance= 1Xaantalrijen. (knrs=wrnrs). In de kolommen plaatst men een 1 als de rij

een gap-acceptatie rij is. Anders plaatst men een 0.

123

-Minderenderijnummers=dit is een vector waarin de nummers van de verschillende rijen die

andere rijen kunnen ‘minderen’ staan.

-Geminderdenmatrix=een matrix met op de rij verschillende rijen de wachtrijen die gehinderd

worden door de respectievelijke minderende rijen. Mindert bvb. rij 4 de rijen 6 en 8, en staat

in de minderenderijnummers wachtrij 4 in kolom 3, dan staat in de geminderdenmatrix op rij

3 de nummers 6 en 8. Je moet de rijen van deze matrix aanvullen, met willekeurige getallen,

zodat alle rijen in de matrix even lang zijn. De wachtrij die het meeste rijen hindert zal dus het

aantal kolommen van deze matrix bepalen.

-Mindermus= een matrix met dezelfde afmetingen als de geminderdenmatrix. Op de

overeenkomstige posities staan nu de nieuwe bedieningstijden (sec/wagens) die men zal

hebben indien de rij gehinderd wordt. Er staan geen beperkingen op de keuze van deze

nieuwe bedieningstijden.

-Mindervwn= een matrix met dezelfde afmetingen als de twee vorige. Hierin staan de lengtes

die de minderende rijen moeten hebben vooraleer ze zullen minderen. Waar in de

geminderdenmatrix de rijen werden aangevuld met willekeurige getallen om de dimensies

overeen te laten komen worden nu zulke grote voorwaardes geplaatst dat deze nooit bereikt

zullen worden (kies bvb.9999).

Voorbeeld: we beschouwen een systeem met 3 wachtrijen. Rij 2 hindert rij 1 wanneer

ze 4 auto’s lang is. De bedieningstijd valt hierbij terug tot 10 sec/wagen. Rij 3 hindert

rijen 1 en 2 respectievelijk wanneer ze 3 en 5 auto’s lang is.De bedieningstijden

worden respectievelijk 12 en 16 sec/wagen.We krijgen dan volgende matrices;

Minderenderijnummers=[2 3]

Geminderdenmatrix=

21

1 X waarbij X een willekeurig getal is.

124

Mindermus=

1612

12310

Mindervwn=

53

99994

-Hindermatrix= aantalrijenXaantalrijen. Als een rij een andere rij kan hinderen vullen we een

1 in, anders een 0. Het nummer van de rij die hindert is de kolom waar we dit getal plaatsen.

Het nummer van de rij is gelijk aan het wachtrijnummer van de rij die gehinderd wordt. ‘De

kolom hindert de rij.’

-Volhindervwnmatrix=aantalrijenXaantalrijen. Op de zonet besproken plaats voor de hinder

wordt nu de lengte geplaatst die de hinderende rij moet hebben vooraleer er hinder kan

optreden. Op de diagonaal staan de lengtes vanaf dewelke er geen externe toelevering meer

zal zijn aan de wachtrij met wachtrijnummer de nummer van de kolom.

Bij een systeem met drie rijen, waar rij drie rij 1 hindert vanaf dat ze een lengte 7 heeft

worden de hindermatrix en de volhindervwnmatrix respectievelijk:

000

000

100

en

999900

099990

709999

Naast de voorgaande zaken die zelf geïnitialiseerd moeten worden zal het programma op basis

van deze gegevens ook al wat zaken initialiseren. Zo worden hier de tijdmat en de tijdm

geïnitialiseerd. In de tijdm worden alle tijdstippen van beweging bijgehouden. In de tijdmat

wordt enkel bijgehouden wanneer de volgende vertrekken en aankomsten zullen plaatsvinden.

Wanneer de body helemaal doorlopen is wordt er weer gekeken welke het laagste getal is in

de tijdmat. Dit getal is het tijdstip waarop aangekomen of vertrokken wordt uit de rij. Staat dit

getal op de 1e rij van de tijdmat, dan gaat het over een aankomst, anders betreft het een

vertrek. De kolom waarin dit tijdstip staat stelt het rijnummer voor.

Ook de telmatrix, de label matrices en een debietteller worden hier geïnitialiseerd.

Het aanroepen van de functies

125

WHILE (zolang het kleinste element van de tijdm nog kleiner is als de vooropgetselde

intervaltijd zal dit deel van de body doorlopen blijven worden.)

Voorop: Dit is een functie die, indien er zich gap-acceptatie rij in het systeem bevinden, voor

deze gap-acceptatie rijen al op voorhand berekend wanneer de volgende twee toeleveringen

zullen zijn. Met deze functie wordt als het ware al in de toekomst van de gap-acceptatie rij

gekeken. Waarvoor de vooropmatrix die wordt teruggegeven door de simulatie zal dienen

wordt verder uiteengezet bij de uitleg over de ‘gapteller’-functie.

Posmin: In deze functie wordt bepaald op welk tijdstip de volgende aankomst of het volgend

vertrek zal plaatsvinden. Ook wordt hier bepaald of het om een aankomst dan wel om een

vertrek gaat, en welke rij er zal bewegen (of niet bewegen als ze door iets of iemand

gehinderd wordt). Hier wordt er dus zoals eerder reeds uitgelegd gezocht naar het kleinste

tijdstip zodat we nu weten welke rij er aan de beurt is.

Hinder: Hier worden de rijnummers bepaald die een mogelijke hinder zouden kunnen

uitoefenen op de aan de beurt zijnde rij.

Parameterfunction: In deze functie wordt er bepaald of een vertrek al dan niet vertrek al dan

niet verhinderd zal worden door de verkeerslichten. Een aankomst in een rij kan door

verkeerslichten op het eind van deze rij natuurlijk niet verhinderd worden.Ook geeft deze

functie reeds de karakteristieke waarde van de distributie van aankomst of vertrek van de aan

de beurt zijnde rij. Deze waarde zal later gebruikt worden om de volgende actie van dit rijdeel

(aankomst of vertrek) te berekenen.

126

SWITCH: Door dit commando te gebruiken, en verder in de programmatuur steeds zeer

algemeen te blijven werken met elv(1) en elv(2), hoeft de rest van de commando’s maar 1

keer geschreven te worden, in plaats van al deze commando’s voor de verschillende

rijnummers zo goed als te copy pasten. Dit maakt de body veel overzichtelijker. Zeker

wanneer er met vele wachtrijen zal gewerkt worden.

If AANKOMST 32 (als elv(1) = 1, dan hebben we te maken met een aankomst.)

Dit is een deel waarvoor een aankomst een voorwaarde is. Als aan deze voorwaarde voldaan

is zal er deze keer bij het doorlopen van de body niet in het else-deel (vertrek) gekomen

worden.

Volaan: Deze functie gaat na of er nog een externe toelevering mogelijk is aan de ‘rij in

actie’.

Indien er nog een toelevering mogelijk is wordt in de telmatrix, de matrix waarin de populatie

van de verschillende wachtrijen wordt bijgehouden, de teller van de betreffende wachtrij met

1 verhoogd. Dit wordt gedaan door aan de telmatrix 1 rij toe te voegen, waarop dan de teller

aangepast wordt. Anders gebeurt er niets met de teller en de telmatrix.

Er wordt hier ook in de aankomst labelmatrix een nieuwe aankomst aangegeven. Dit wordt

gedaan door op de juiste plaats een nieuw label te zetten, met bijhorende aankomsttijd.

Aangezien het in dit deel enkel om externe aankomsten gaat zal het label simpelweg het

rijnummer zijn.

Else: VERTREK (als elv(1) = 2, dan hebben we te maken met een vertrek.)

32 In dit deel van de aankomsten worden enkel aankomsten van buiten het systeem (externe aankomsten) beschouwd. De aankomsten in een rij die afkomstig zijn uit andere rijen (interne aankomsten) hangen immers samen met een vertrek uit een andere rij. Aangezien dit vertrek de oorzaak is van de interne aankomst zal deze aankomst onder de sectie vertrek worden behandeld door gebruik te maken van de toeleveringmatrices.

127

Eerst zal er onderzocht worden of er wel een vertrek mogelijk is. De externe voorwaarden

voor vertrek zijn dat er geen hinder mag zijn, en dat het licht niet op rood mag staan.

De interne voorwaarde voor een vertrek is dat er überhaupt minstens 1 wagen aanwezig moet

zijn in de rij. In paramterfunction werd er reeds onderzocht of het licht op rood staat. Dit zit

vervat in de variabele kanik. Als deze gelijk is aan 1, dan is het groen licht. Is deze echter nul,

dan is het rood.

Vollerij: in deze functie wordt nagegaan of er 1 van de rijen die mogelijk voor een hinder

kunnen zorgen ook zo lang is dat er daadwerkelijk hinder is. Zoals eerder reeds gezegd kan

deze hinder ontstaan doordat een rij dwars voor de uitrijdende rij staat, maar ook doordat de

maximale capaciteit van de rij waaraan wordt toegeleverd bereikt is.

Indien er zowel groen licht als geen hinder zijn, dan kan er een vertrek plaatsvinden als er

zich een wagen in de wachtrij bevindt. Ook dit moet gecheckt worden, door in de telmatrix

van de betreffende rij te kijken of de teller groter is dan 0. Is dit niet het geval, of is aan 1 van

de twee vorige voorwaarden niet voldaan, dan is er geen vertrek en wordt het else-deel van de

if-else lus niet verder doorlopen.

Indien de teller groter is als 0, en er dus een vertrek kan plaatsvinden, dan wordt deze teller

meteen met 1 verlaagd. De populatie van de wachtrij daalt.

Nu we er zeker van zijn dat er een vertrek plaatsvindt, kan er nagegaan worden of de

vertrekkende wagen aan een andere wachtrij wordt toegeleverd.

Toeleveringen3: In deze grote functie wordt nagegaan aan welke rijen, en op welke wijze (1-

op-1 toelevering, 1-op-m-toelevering volgens kans of aan de leegste rij) de vertrekkende

wagen toegeleverd wordt. In de functie worden meteen ook de tellers van de desbetreffende

wachtrijen in de telmatmatrix verhoogd, en dit volgens het juiste criterium. Bij de 1-op-1

toelevering wordt de toegeleverde wachtrij haar teller zonder meer verhoogd. Bij een 1-op-m

toelevering moet er of nog nagegaan worden welke van alle toeleverbare rijen de leegste is

(door de tellers in de telmat te vergelijken), of moet er nog uit een uniforme kansverdeling

geloot worden. Nadat dit gebeurd is zal ook hier de teller in de telmatmatrix verhoogd

worden.

128

De functie geeft naast een aangepaste telmat ook nog de vector toeleveringsrijen terug. Het

eerste element van deze vector is een nul, de volgende elementen zijn de nummers van de

toegeleverde rijen33. Dit is nodig om later op een correcte wijze de tijdmatrix aan te kunnen

passen.

Nu al de telmatrices verhoogd zijn, en er geweten is welke rij aan welke rij toelevert, kunnen

ook de labelmatrices aangepast worden. Er worden nieuwe labels aangemaakt, en op de juiste

plaatsten (hiertoe worden een debiet en een aankomstvector bijgehouden) in de vertrek

labelmatrix aangebracht. Indien er ook een toelevering was, worden er ook in de aankomst

labelmatrix de nodige aanpassingen gemaakt. Ook de tijdstippen worden meteen aangepast in

de labelmatrices.

END Dit is het einde van de If (aankomst) … Else (vertrek)… End-constructie.

Nu moeten nog de tijdmatrices worden aangepast. In de tijdm wordt er bijgehouden op welke

tijdstippen de respectievelijke acties of bewegingen plaatsvonden. Ook de tijdmat dient nog

aangepast worden aan het eind van de while-lus. Uit deze tijdmat kan dan afgeleid worden of

de vooropgestelde intervallengte nog niet overschreden is, en welke rij als volgende zal

bewegen.

Tijdsinc: De functie tijdsinc geeft het tijdsincrement weer waarmee de tijdm zal verhoogd worden. Tijdstoelevering1: In deze functie worden de tijdm en de tijdmat beiden aangepast. In de

tijdmat wordt het tijdstip waarop de beweging die in het vorig deel van het programma

gesimuleerd plaatsvond bijgevoegd. Dit gebeurt op exact dezelfde rij, en in exact dezelfde

kolom als waar de telmat werd verhoogd of verlaagd. Zo kan men door deze matrices naast

elkaar te leggen direct aflezen op welk moment welke verplaatsing plaatsvond. Het tijdstip

waarop de toegeleverde rijen hun wagen ontvangen wordt ook in deze functie bepaald.

Eigenlijk heeft dit verschil meer een symbolische betekenis. Er wordt namelijk voor elke

beweging een nieuwe rij gecreëerd.

33 Meestal is dit maar 1 rijnummer. In de tekst is er echter vermeld dat men bij een 1-op-1 toelevering dezelfde wagen ook aan meerdere rijen kan toeleveren om zo verschillende, onafhankelijke systemen met elkaar te vergelijken.

129

Zelfs wanneer de verplaatsing uiteindelijk verhinderd werd, wordt dit toch aangegeven in de

tijdmatrix. De telmatrix krijgt er dan ook een rij bij, maar deze rij is dezelfde als de

voorgaande. Omdat een toelevering in het programma beschouwd wordt als een onderdeel

van een vertrek uit een andere rij wordt deze toelevering in de tel- en tijdmatrices op dezelfde

lijn weergegeven.

Gapteller: In de vooropmatrix zitten zoals eerder al vermeld de waarden voor de volgende

aankomsten in de gap acceptatie rij. In deze gapteller zullen we controleren of de volgende

aankomst verder afgelegen is als de kritische gap. Indien dit zo is, mag de teller van de gap

acceptatie rij op 0 geplaatst worden, waardoor deze rij geen hinder meer uitoefent. De gap is

immers groot genoeg, zodat het voertuig niet gehinderd wordt.

Dit lijkt misschien nogal raar, maar het heeft alles te maken met het feit dat de gap-acceptatie

rij eigenlijk geen fysische tegenhanger heeft. Bij gap-acceptantie wordt één wagen namelijk

gehinderd door een andere wagen die er nog niet is, eigenlijk door een opening tussen twee

wagens. In de simulatie kunnen wagens pas weer een bepaalde tijd nadat de hinder

weggevallen vertrekken ( cfr. reactiesnelheid,…). De simulatie beschouwt de kritische gap

ook als een hinder. Nadat deze kritische gap verlopen is valt de hinder weg. Volgens de

redenering zal er nu pas gereageerd en vertrokken worden. Dat is natuurlijk niet juist want

wanneer de gap veel groter is, is de chauffeur al veel langer bezig met te reageren, op te

trekken en te vertrekken. Er komt dus heel wat doordacht geknutsel met de wachtrijen aan te

pas om dit goed te modelleren.

Gaphinder: Deze functie is speciaal ingebouwd om de wagens die gehinderd worden door een

gap-acceptatie rij te laten vertrekken zoals eerder in de thesistekst werd uitgelegd.

Minderfunction: Deze functie is speciaal geschreven opdat men bij een mindering precies zou

kunnen kiezen welke nieuwe bedieningstijd de wachtrij zal kennen. Wanneer deze ‘minder’

wegvalt moet ook ogenblikkelijk weer overgeschakeld worden op de oorspronkelijke

bedieningstijd. Lange tijd werd in de simulatie gewerkt met bedieningstijden die een veelvoud

moesten zijn van de oorspronkelijke bedieningstijd, en waarbij men niet plots weer kon

overschakelen naar de oorspronkelijke intensiteiten. Door deze functie te implementeren

worden toch merkelijk verschillende resultaten bekomen.

END

130

Hier kent de while-lus zijn einde. Wanneer nu nog verder gegaan wordt in de body zijn reeds

alle verkeersprocessen gesimuleerd. Alle bewegingen zijn daarbij bijgehouden in de

labelmatrices, de telmatrix en de tijdmatrices.

Nu kunnen verschillende nog verschillende functies aangeroepen worden om kenmerken

zoals de gemiddelde wachtrijlengtes, de kans dat bepaalde wachtrijlengtes zich voordoen,

gemiddelde en maximale vertragingen,… te berekenen. Deze functies zullen in het volgende

deel besproken worden.

END

Herhalingen en parameterstudies

In de vorige twee paragrafen werd er besproken welke zaken er geïnitialiseerd moeten worden

om een verkeerssituatie te kunnen modelleren, en tevens werd er besproken hoe de eigenlijke

simulatie dan in zijn werk ging. We kunnen dit proces zeer kort samenvatten als

Herhaling

Initialisatie While (tijd < intervallengte) Simulatie End. Om tot nauwkeurigere resultaten te komen zal de simulatie meermaals moeten doorlopen worden. Dit kan door de while-lus te nesten in een for-lus die werkt met een teller; -Initialisatie For (Teller= 1:10)

-While -End while -resultaten van 1 simulatie opslaan in een matrix waar uiteindelijk alle resultaten in verzameld worden

End for Zo zal de simulatie 10 keer doorlopen worden.

131

Parameterstudie

Indien men geïnteresseerd is in wat er gebeurd wanneer men een bepaalde parameter laat

variëren terwijl de andere randvoorwaarden gelijk blijven, dan moet men deze parameter

schrijven als een (constant getal X variabele). Door dan de variabele steeds aan te passen kan

men een parameterstudie uitvoeren. Wil men bvb. de invloed van de saturatiegraad nagaan,

dan zou men de aankomstintensiteit kunnen laten variëren.

For ( variabele=0:0.1:1 )34

Initialisatie waarbij aankomstintensiteit = maxintensiteitXvariabele

While-lus

Resultaten horende bij die bepaalde intensiteit opslaan in matrix

End For

Zo zou men de intensiteit kunnen laten variëren van 10 tot 100% van de maximaal

verwerkbare capaciteit.

Door herhaling en parameterstudie te combineren zou men bvb. bij elke waarde van de

aankomstintensiteit de simulatie 10 maal kunnen doorlopen, en verder met de gemiddelde

waardes van de resultaten horende bij elke intensiteit verder rekenen. De resultaten zullen er

nauwkeuriger en betrouwbaarder door worden. Natuurlijk wordt de simulatie dan niet 1 maar

100 maal doorlopen, wat wel meer rekenkracht vraagt.

34 De variabele zal dan lineair varieren van 0 tot 1, en dit met tussenstapjes van 0,1. De variabele wordt dus achtereenvolgens 0 0,1 0,2 0,3 … 0,9 en 1.

132

De functies ter analyse van de resultaten

Naast de functies die geschreven zijn om de simulatie uit te voeren zijn ook een heel aantal

functies geschreven die dienen om de gegevens die gegenereerd werden met de simulatie om

te zetten in bruikbare resultaten.

Gemiddelde: Deze functie geeft voor de verschillende wachtrijen de gemiddelde tijd dat

wagens er in gespendeerd hebben. Wanneer de saturatiegraad hoger is als 1 zal de

wachtrijlengte blijven groeien. De gemiddelde vertraging is dan niet alleen functie van de

aankomsten vertrekkarakteristieken, maar eveneens van het beschouwde tijdsinterval. Dit

werd in het hoofdstuk verificatie ook al aangegeven waar de gemiddelde vertragingen werden

berekend voor een drukte-intervallen met verschillende lengtes. De functie wordt vooral

gebruikt om de wachtrijlengtes aan verkeerslichten grafisch weer te geven.

Kijktruk: Omdat in de tijd en de telmatrices voor elke beweging een nieuwe rij aangemaakt

wordt het onoverzichtelijk om uit deze matrices de bewegingen in een bepaalde rij te

analyseren. De functie kijktruk geeft enkel het aantal auto’s en de bijhorende tijdstippen

waarop er in een bepaalde rij bewogen werd weer. Zo kan er makkelijk afgelezen worden wat

de tendensen in aankomst en vertrekpatronen zijn.

Kijktrukmin: Deze functie doet ongeveer hetzelfde als de functie kijktruk. Er worden echter

enkel de tijdstippen waarop er een vertrek was weergegeven, en de bijhorende verblijvende

populatie. Door de lengte van de matrix die wordt teruggegeven door deze functie te

berekenen heeft men meteen de capaciteit van de bijhorende rij.

Labeldelay: De labeldelayfunctie is waarschijnlijk de belangrijkste analysefunctie. Met deze

functie worden de vertragingen berekend die een wagen oploopt in de verschillende rijen van

een traject dat hij volgt. Bovendien kan met deze functie op een eenvoudige wijze de

capaciteit berekend worden. Aan deze functie moet men als bekenden de labelinmat, de

labeluitmat, het trajectlabel van het volledige traject dat men wil analyseren, en het aantal

rijen meegeven. Er zijn ook andere functies die de vertragingen kunnen berekenen, maar deze

functie is speciaal omdat er hier niet op voorhand geweten hoeft te zijn welke wagens welk

133

traject gaan volgen. Via heel het labelmatsysteem en via de labeldelayfunctie kan achteraf

achterhaald worden waar de wagens welke tijd spendeerden op het kruispuntvlak.

Ook kan met deze functie de totale vertraging van toekomst in het systeem tot bij het verlaten

van het systeem berekend worden voor alle wagens die een bepaald traject volgen. Naast de

vertragingen kunnen met deze functie ook de capaciteit van het kruispunt berekend worden.

Verder in deze bijlage is de werking van het labelsysteem gedetailleerder uitgewerkt. De capaciteit dan niets minder als het aantal rijen in de labelmatuit van de laatste rij op het traject, verminderd met 2*’aantalrijen’.

Pk: Deze functie berekent voor een bepaalde rij de verschillende kansen om tijdens de

beschouwde intervallengte bepaalde wachtrijlengtes aan te treffen.

Intro/Outro: Door eenvoudigweg in een vector (intro) bij te houden hoeveel wagens er via de

verschillende rijen het kruispuntvlak oprijden, en door in een andere vector (outro) bij te

houden hoeveel wagens er weer afrijden kan makkelijk de capaciteit over het kruispunt

berekend worden. Wanneer verschillende stromen allen een verschillende ‘in- en uitgang’ tot

het kruispunt hebben kunnen uit deze vectoren ook de intensiteiten van de verschillende

stromen berekend worden.

Systeemtijd: Deze functie berekent de gemiddelde opgelopen vertraging. Wanneer deze twee

rijen dezelfde genomen worden wordt voor elke wagen de tijd gespendeerd in deze rij

berekend. Voor een systeem van 1-op-1-toeleveringen kan er via deze functie ook de

gemiddelde vertraging berekend worden. Er moet hier duidelijk op gewezen worden dat de

nodige omzichtigheid geboden dient te worden wanneer deze functie gebruikt wordt. Stel dat

het beschouwde tijdsinterval op 100 vastgelegd wordt.

Een eerste auto komt aan na 5 seconden, een tweede na 10 een derde na 15,… Stel dat er een

zeer plotse congestie optreedt waardoor enkel wagen 1 en 2 het systeem kunnen uitrijden, en

dit op tijdstip 15 en tijdstip 20. Er zou dan kunnen afgeleid worden dat de gemiddelde

vertraging 10 seconden is. Dit is echter niet het geval. Er zal in de simulatie dan een teller

geïmplementeerd moeten worden die op het eind van het tijdsinterval het aantal auto’s meet

die zijn binnengekomen. De simulatie zal dan moeten blijven lopen tot wanneer al deze

134

wagens ook het systeem weer zijn buiten gereden. Zo kan men de werkelijke gemiddelde

vertraging berekenen.

Systeemtijdzp: 1 van de inputparameters voor systeemtijd is het aantal wagens dat men wenst

te beschouwen bij het berekenen van de systeemtijd. Wanneer dit aantal gelijk is aan het

aantal wagens dat binnen een bepaald tijdsinterval een wachtrij kan binnenrijden, dan is dit

aantal op voorhand vaak niet gekend35. Men zou dit manueel kunnen ingeven. Wanneer er

echter een parameterstudie wordt gedaan, en men beroep doet op herhalingen zoals eerder

uiteengezet, dan kan men dit niet meer manueel doen. Men gebruikt dan de functie

Systeemtijdzp, een functie die zelf zal berekenen hoeveel wagens er genomen moeten

worden.

Het labelsysteem

Wanneer het individuele traject dat elke wagen aflegt op voorhand niet exact kan worden

bepaald, dan kan men niet zonder meer de verschillende vertragingen die de voertuigen

hebben opgelopen uit de tel- en tijdmatrices aflezen. Het blijft nog wel mogelijk om de

capaciteit van het kruispunt te berekenen, en om daaruit de gemiddelde vertragingen te

berekenen. Meestal volstaan deze gegevens, al zou men ook geïnteresseerd kunnen zijn in de

vertraging die elk individueel voertuig heeft opgelopen.

Om deze berekeningen in verband met de vertragingen ook in deze gevallen mogelijk te

maken is er een labelsysteem ontwikkeld. In dit labelsysteem wordt het traject dat elke wagen

heeft afgelegd, samen met de tijden die de verschillende voertuigen op de verschillende

kruispuntsecties hebben doorgebracht, bijgehouden in 2 matrices, de aankomst en vertrek

labelmatrix.

In de volgende twee tabellen is een deel van deze aankomst en vertrek labelmatrices

weergegeven voor een simulatie van de vereenvoudigde situatie uit figuur 7.

35 Omdat dit aantal inherent afhankelijk is van de verkeersafwikkeling, en dus van de simulatie zelf.

135

In de aankomst labelmatrix is voor elke wachtrij met nummer N aangegeven in kolom

(2*N-1) op welk tijdstip de aankomst gebeurde, en in kolom 2*N is het bijhorende label

weergegeven. Een label bestaat uit een opeenvolging van cijfers. Het eerste cijfer is het

nummer van de eerste wachtrij waarin het voertuig terecht is gekomen. Het volgende cijfer is

het nummer van de tweede wachtrij en zo verder… Vermits alle wagens hier het systeem

binnenkomen via rij 1, hebben alle wagens in rij 1 het label 1. Uit de labelkolom van rij 4 kan

direct worden afgelezen welk traject de wagen die is aangekomen heeft afgelegd. Label 124

en 134 worden daar immers aangetroffen.

De vertrek labelmatrix ziet er analoog uit , al is de opbouw van het label iets anders.

AANKOMST Rij 1 Rij 2 Rij 3 Rij 4

Labelmatrix Tijd Label Tijd Label Tijd Label Tijd Label

0 0 0 0 0 0 0 0

0,2763 1.0000 2,7752 12.0000 0,8567 13.0000 1,8714 134

0,7525 1.0000 4,3988 12.0000 2,3982 13.0000 3,1774 134

2,0873 1.0000 5,2174 12.0000 4,6591 13.0000 3,2746 124

3,8574 1.0000 8,0155 12.0000 4,9816 13.0000 4,7666 134

4,2095 1.0000 9,4945 12.0000 14,6059 13.0000 5,8383 134

4,8844 1.0000 16,0741 12.0000 15,2285 13.0000 6,7161 124

5,0925 1.0000 16,5219 12.0000 21,2824 13.0000 8,1504 124

5,5032 1.0000 17,0193 12.0000 22,6008 13.0000 8,2376 124

8,8387 1.0000 17,6632 12.0000 22,7066 13.0000 9,7160 124

12,4552 1.0000 20,1071 12.0000 30,7992 13.0000 16,8781 124

Tabel 28: Deel van een aankomst labelmatrix

136

VERTREK Rij 1 Rij 2 Rij 3 Rij 4

LABELMAT Tijd Label Tijd Label Tijd Label Tijd Label

0 0 0 0 0 0 0 0

0.856 13,000 3,274 124,000 1,870 134,000 3,567 1340

2,397 13,000 6,715 124,000 3,176 134,000 4,228 1340

2,774 12,000 8,149 124,000 4,766 134,000 5,872 1240

4,398 12,000 8,237 124,000 5,837 134,000 6,635 1340

4,658 13,000 9,715 124,000 17,179 134,000 7,056 1340

4,981 13,000 16,877 124,000 23,066 134,000 8,041 1240

5,216 12,000 29,281 124,000 23,505 134,000 9,800 1240

8,015 12,000 29,399 124,000 28,970 134,000 10,553 1240

9,493 12,000 30,009 124,000 30,476 134,000 10,874 1240

14,605 13,000 31,612 124,000 33,784 134,000 17,113 1240

Tabel 29: Deel van een vertrek labelmatrix

De laatste twee cijfers van het label staan respectievelijk voor de het rijnummer van de rij

waaruit vertrokken wordt, en naar welke rij er wordt vertrokken.

Zo betekent het label 124 in de vertrekmatrix dat een wagen vertrekt vanuit rij 2 naar rij 4.

Deze wagen bevond zich eerder al in de rij met nummer 1. Weer kan tevens het tijdstip

waarop vertrokken wordt afgelezen worden.

Dankzij het gehanteerde FIFO-systeem kunnen beide matrices gecombineerd worden om zo

de vertragingen te berekenen voor de verschillende auto’s die verschillende trajecten hebben

afgelegd.

Als voorbeeld wordt nu de tijd, die de eerste 3 wagens die het traject 1-2-4 genomen hebben

in het systeem gespendeerd hebben, berekend. Hiertoe kijkt men eerst in de vertrekmatrix in

de kolommen horende bij de eerste wachtrij die de voertuigen hebben doorkruist. Dit is het

eerste cijfer in de trajectkeuze 1-2-4, en is hier 1. Aangezien de volgende wachtrij nummer

twee is, wordt gezocht naar de eerste drie labels 12. Deze worden teruggevonden op rij 4,5 en

8. Omwille van het first-in-first-out systeem moeten de aankomsttijden van deze drie wagens

ook op de rijen36 4,5 en 8 gezocht worden, maar dan wel in de aankomstmatrix. In de

vertreklabelmatrix van wachtrij 2 zijn alle labels gelijk aan 124.

36 Aangezien men de aankomsttijd in wachtrij 1 zoekt, moet er vanzelfsprekend enkel gezocht worden in de kolom horende bij wachtrij 1, nl. (2*1-1) . Er moet dus in kolom 1 gezocht worden.

137

Daarom worden hier de eerste drie37 tijden afgelezen. Door uiteindelijk het verschil tussen

vertrek- en aankomsttijden te maken, kan de tijd, gespendeerd in elke rij berekend worden.

Door deze tijden dan te sommeren komt men aan de totaal gespendeerde tijd. Deze is gelijk

aan het verschil tussen het tijdstip waarop de auto het systeem via rij 4 verlaat en het tijdstip

waarop de auto in rij 1 aankomt.

Tijd in rij1 Tijd in rij2 Tijd in rij 4

auto1 auto2 auto3 auto1 auto2 auto3 auto1 auto2 auto3

Aankomst

Vertrek

2,087 3,857 5,094

2,774 4,398 5,216

2,775 4,399 5,217

3,274 6,715 8,149

3,275 6,716 8,150

5,872 8,041 9,800

Tijd in rij 0,687 0,541 0,122 0,499 2,316 2,932 2,597 1,325 1,650

Tabel 30: Berekenen van vertraging uit labelmatrices

De wagens spenderen respectievelijk 3,783 , 4,184 en 4,706 tijdseenheden in het systeem.

Het berekenen van vertragingen wanneer het traject van de voertuigen op voorhand nog niet

vastligt, wordt door dit labelsysteem sterk vereenvoudigd. Ook maakt het systeem het

mogelijk dat individuele vertragingen worden berekend in plaats van steeds met gemiddelde

vertragingen te moeten werken.

Wanneer de simulatie verder uitgebouwd zou worden met een Graphical User Interface maakt

dit labelsysteem het mogelijk om op een eenvoudige wijze de verschillende wagens te

traceren. Deze wagens weergeven op het scherm is dan nog maar een kleine moeite.

Omdat er met dit labelsysteem maar plaats is voorzien voor 10 wachtrijen (0-9) werd een

analoge labeling uitgedacht met plaats die trajecten doorheen wachtrijen met hogere

nummering kunnen bijhouden. De labels worden getallen met ook cijfers na de komma. De

getallen voor de komma stellen dan de eenheden voor, terwijl de getallen na de komma op de

tientallen duiden. De getallen op de eerste plaats voor en na de komma vormen een koppel.

De getallen op de tweede, derde,… plaats voor en na de komma vormen zo ook allen een

koppel. Gebruik makende van deze labeltechniek kunnen er tot 99 rijen gelabeld worden.

37 Mocht hier nu blijken dat 1 van de eerste drie labels verschilt van 124, omdat er bvb. nog naar een vijfde rij zou kunnen gereden worden, dan moet men terug gaan naar de vertrekmatrix van rij 1 om een vierde label 12 zoeken. Bij grote systemen kan hiermee veel tijd verloren worden. Daarom is het vaak sneller op meteen alle labels 12 mee te nemen, en de labels die achteraf blijken te horen bij auto’s van een ander traject pas dan te verwijderen.

138

Tenslotte wordt er nog een verduidelijkend voorbeeldje meegegeven.

Voorbeeld:

Label 321,110 duidt op een traject van rij (0x10+3) naar (1*10+2)

naar (1*10+1). Of dus het traject 3-12-11.

Label 47124,30275 duidt zo op traject 54-77-21-2-34.

139

Bijlage B: Andere Markov-rijen

Net zoals in de thesistekst voor de het M/M/1 wachtrijsysteem de resultaten uit de theorie

vergeleken worden met resultaten uit de simulatie zal dit in deze bijlage ook gebeuren voor de

M/M/m/∞, het M/D/1, het M/M/1/k en het M/M/m/m wachtrijsystemen.

Ook hier zal de simulatie zeer precieze resultaten weergeven.

M/M/m/∞

Na het M/M/1 systeem is het een logische stap om M/M/m systeem te gaan bestuderen. In plaats

van 1 wachtrij of server beschikt het systeem nu over m servers. Het is ook relevant de prestaties

van de simulatie bij deze systemen na te gaan. In de verkeerskunde zou een M/M/1-systeem

immers een weg met 1 rijstrook kunnen voorstellen, terwijl een M/M/3-systeem bvb. een rijbaan

met 3 rijstroken voorstelt indien de verschillende baanvakken als verschillende servers

gemodelleerd worden.

In tegenstelling met het M/M/1 systeem zal de graad van bediening verhogen met een toenemende

populatie. De maximale bedieningsintensiteit zal men kennen wanneer de populatie gelijk is aan

of groter is dan m. Dan zal deze gelijk zijn aan (m. µ 38). De overgangintensiteiten zijn

weergegeven in onderstaande figuur.

λk = λ voor k=0,1,2,…

µk = min [k.µ, m.µ]

38 Wagens per seconde

140

Er kan op analoge wijze als bij het M/M/1-systeem te werk gegaan worden om kP te berekenen.

Na wat rekenwerk is het resultaat:

De kans dat iemand aankomt en niet direct bedient wordt is de som van Pk met k groter dan m.

Deze kans wordt weergegeven door de Erlang C formule.

Er is in de simulatie een functie geprogrammeerd om deze kansen in functie van ρ en het

aantal servers te berekenen.

Hieronder worden de resultaten van enkele simulaties weergegeven. In tabel 31 worden de

resultaten weergegeven voor een systeem met twee servers, een bedieningsintensiteit voor elk van

beide servers gelijk aan 1 en een totale aankomstintensiteit van 1. Derhalve is ρ gelijk aan 0.5 (

µ

λ

.m). De simulatie is vijf maal doorlopen, en er wordt gerekend met de gemiddelde waarden.

populatie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pk

0,3110 0,3195 0,1785 0,0937 0,0479 0,0255 0,0123 0,0066 0,0033 0,0013

0,3177 0,3159 0,1788 0,0927 0,0484 0,0243 0,0121 0,0055 0,0025 0,0012

0,3215 0,3133 0,1873 0,0899 0,0442 0,0237 0,0111 0,0044 0,0022 0,0013

0,3080 0,3146 0,1786 0,0944 0,0499 0,0279 0,0139 0,0059 0,0030 0,0013

0,3180 0,3264 0,1792 0,0889 0,0443 0,0225 0,0094 0,0059 0,0032 0,0013

gemiddelde

0,3152 0,3180 0,1805 0,0919 0,0469 0,0248 0,011 0,0057 0,0028 0,0013

St. dev.

0,0055 0,0053 0,0038 0,0024 0,0026 0,0021 0,0017 0,0008 0,0005 0,0001

theorie

0,3333 0,3333 0,1667 0,0833 0,0417 0,0208 0,0104 0,0052 0,0026 0,0013

Absolute

fout

theorie-gem

0,0181 0,0154 -0,0138 -0,0086 -0,0053 -0,0039 -0,0013 -0,0005 -0,0002 0,0000

relatieve

fout (%)

5,74 4,84 7,65 9,34 11,21 15,93 11,28 8,38 8,05 2,25

Tabel 31: Resultaten berekeningen M/M/m/∞-rij met simulatie

141

De relatieve fout op de kans om een bepaalde toestand aan te treffen ligt voor de toestanden met

grootste waarschijnlijkheid rond de vijf procent. Voor een zelfde aantal simulaties met een zelfde

looptijd, en met een zelfde saturatiegraad zijn de fouten op de kans om een bepaalde populatie aan

te treffen groter als bij het M/M/1-systeem. Dit omdat de convergentiesnelheid naar de exacte

oplossing voor het M/M/m-systeem kleiner is.

Net zoals bij het M/M/1 systeem hangen de resultaten af van de simulatielooptijd. Er moet

gewezen worden op het feit dat er zich bij hoge saturatiegraden toestanden met een zeer grote

populatie kunnen voordoen. Het zal echter zeer lang duren vooraleer deze toestanden bereikt

worden. Zeker in het M/M/m systeem is het daarom noodzakelijk om voldoende grote

simulatielooptijden te gebruiken om de resultaten uit de theorie goed genoeg te benaderen.

De analytische resultaten zijn immers deze die verkregen worden wanneer de procestijd naar

oneindig gaat.

De convergentie naar de exacte oplossing zal sneller gaan bij lagere saturatiegraden, omdat de

waarschijnlijkheid om grote populaties aan te treffen veel kleiner is. Er is dus een kleiner

spectrum mogelijke populaties. Om dit aan te tonen wordt in tabel39 32 de vorige simulatie

herhaald, maar nu met een saturatiegraad van 0,1. De interarrivaltijd wordt daartoe van 1 naar 5

tijdseenheden verhoogd.

populatie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pk

0,8241 0,1562 0,0179 0,0016 0,0001 0,0001 0 0 0 0

0,8279 0,1558 0,0144 0,0016 0,0003 0 0 0 0 0

0,8205 0,1599 0,0179 0,0016 0 0 0 0 0 0

0,8134 0,1654 0,0186 0,0017 0,0007 0,0001 0 0 0 0

0,8151 0,1660 0,0169 0,0017 0,0003 0 0 0 0 0

gemiddelde

0,8202 0,1607 0,0171 0,0016 0,0003 0,0000 0 0 0 0

St. dev.

0,0061 0,0049 0,0016 0,0001 0,0003 0,0001 0 0 0 0

39 Er is een verschil tussen 0 en 0,0000 als resultaat in de tabel. 0 betekent dat het gevonden resultaat echt 0 is. 0,0000 betekent dat het resultaat verschillende is van nul, maar zeer klein. Matlab rond het af naar 0.

142

theorie

0,8182 0,1636 0,0164 0,0016 0,0002 0,0000 0 0 0 0

Absolute

fout

theorie-gem

-0,0020 0,0029 -0,0008 0,0000 -0,0001 0,0000 0 0 0 0

relatieve

fout (%)

0,25 1,80 4,73 0,10 71,19 296,13 0 0 0 0

Tabel 32: Invloed van saturatiegraad op convergentiesnelheid simulatieresultaten M/M/m/∞

Looptijd 10000 rho:0.1 servers:2 mu’s:1

De resultaten komen nu al zeer dicht tegen de analytische resultaten te liggen. Wanneer de

absolute fout echter zeer klein is kan de relatieve fout natuurlijk wel zeer groot worden. Daar

moet dan echter geen aandacht aan besteed worden.

Er kan weer geconcludeerd worden dat wanneer het tijdsinterval maar groot genoeg wordt

gekozen, de benaderingen steeds beter worden.

M/D/1

Dit systeem wordt gekenmerkt door exponentieel verdeelde aankomsten, maar een constante

bedieningstijd. Er doen zich vele verkeerssituaties voor waar auto’s aan een constant tempo

worden doorgelaten. Zo wordt bvb. de opvolgingstijd tussen twee auto’s die een hoofdbaan

oprijden (follow-up tijd) vaak constant verondersteld. Daarom is het ook hier interessant om na te

gaan hoe nauwkeurig het model hier de theorie kan benaderen.

Bovendien zullen goede resultaten een goede indicatie zijn dat het model ook met andere

verdelingen als de exponentiële verdeling betrouwbare resultaten oplevert. De formules voor het

gemiddeld aantal gebruikers en hun gemiddelde vertraging worden namelijk uit de algemene

formuleringen voor een M/G/1-wachtrij afgeleid.

143

De gemiddelde populatie in het systeem wordt gegeven door de Pollaczek-Khinchin gemiddelde

waarde formule:

q = ρ + )1.(2

))1(2(^ 2

ρ

ρ

−

+ BC

waarbij CB de coëfficient van de variatie van de servicetijd wordt genoemd;

2

2

1

µ

σ B

De variantie van een constante bedieningstijd is echter 0 waardoor CB gelijk wordt aan 0. q

wordt daardoor gelijk aan 5.67 .

De resultaten van 5 simulaties gedurende een tijdsinterval 10000 van een M/D/1-systeem met een

constante bedieningstijd 1 en een exponentieel verdeelde aankomsttijd met een gemiddelde tijd

tussen twee aankomsten van 2 tijdseenheden geven voor de tijd gespendeerd in het systeem

respectievelijke resultaten

Tijd in systeem 1,4848 1,4773 1,4820 1,4974 1,4853

Gemiddelde tijd in systeem 1,4854

De theorie verwacht een gemiddelde tijd in het systeem van 1,5. De absolute fout is 0.0146

bedraagt dus 0.97 procent van de verwachte waarde.

populatie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pk

0,5032 0,3204 0,1274 0,0375 0,0083 0,0023 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000

0,5032 0,3261 0,1215 0,0363 0,0093 0,0030 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

0,4973 0,3315 0,1198 0,0365 0,0107 0,0036 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000

0,4861 0,3322 0,1295 0,0372 0,0104 0,0031 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000

0,4907 0,3303 0,1274 0,0382 0,0111 0,0017 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000

gemiddelde

0,4961 0,3281 0,1251 0,0371 0,0100 0,0027 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000

Pk x K

0 0,3281 0,2502 0,1114 0,0399 0,0137 0,0043 0,0009 0,0001 0,0000

Tabel 33: Berkening populatiekans M/D/1-rij met simulatie: resultaten

144

Door de verschillende (Pk x K) te sommeren wordt de gemiddelde populatiegrootte verkregen.

Deze is gelijk aan 0.7486, terwijl de theorie 0.75 verwacht. De absolute afwijking van de theorie

is dus 0.0014, wat een relatieve afwijking van nog geen 2 promille betekent.

We weten dat N = q .Uit Little’s vergelijking kan dan weer de gemiddelde vertraging opgelopen

in het systeem berekend worden.

Een systeem met een constante bedieningstijd zal dus voor een halvering van de vertraging zorgen

in vergelijking met een exponentieel verdeelde bedieningstijd.

Verder dient er nog opgemerkt te worden dat voor eenzelfde gemiddelde bedienings- en

aankomstintesiteit de gemiddelde verwachte populatie bij een constante vertrekken 0,75 is terwijl

bij een exponentieel verdeelde distributie van de vertrekken een gemiddelde populatie van 1

wordt verwacht.

M/M/1/k

Na het bestuderen van systemen met meerdere servers of met een andere distributie is het zeer

interessant om toch nog eens terug te grijpen naar de M/M/1 wachtrij, maar nu met een beperkte

capaciteit. De relevantie van dit soort rijen is duidelijk. In de verkeerskundige praktijk heeft

namelijk geen enkele wachtrij een oneindige capaciteit, en zeer veel verkeersproblemen ontstaan

net door dit tekort aan capaciteit. Dit is ondermeer het geval bij het fenomeen van spillback,

waarbij een rij wachtende auto’s aan één kruispunt andere auto’s het afrijden van een nabijgelegen

kruispunt verhindert.

In dit geval zal de gemiddelde bedieningstijd dus constant blijven, maar de aankomstfrequentie

wordt gelijk aan nul wanneer de populatiegrootte gelijk is aan k. Dan moet er zich namelijk eerst

een vertrek voordoen vooraleer er zich nieuwe wagens in de file kunnen bijvoegen.

145

In de onderstaande tabel zijn de resultaten samengevat voor een M/M/1/3 wachtrijsysteem waarbij

µ = 1 wagen/sec en ρ = 0,5. De lengte van het beschouwde simulatie-interval is 3000 seconden. Er

werden 5 simulaties gedaan

populatie 0 1 2 3 4 … ∞

Pk

0,5440 0,2594 0,1262 0,0704 0 … 0

0,5387 0,2702 0,1296 0,0615 0 … 0

0,5534 0,2633 0,1172 0,0661 0 … 0

0,5499 0,2563 0,1231 0,0707 0 … 0

0,5206 0,2669 0,1396 0,0729 0 … 0

gemiddelde

0,5413 0,2632 0,1271 0,0683 0 … 0

St. dev.

0,0129 0,0056 0,0083 0,0045 0 … 0

theorie

0,5333 0,2667 0,1333 0,0667 0 … 0

Absolute

fout

theorie-gem

-0,0080 0,0035 0,0062 -0,0017 0 … 0

relatieve

fout (%)

1,50 1,30 4,64 2,51 0 … 0

Tabel 34: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel1

Bij K =3 looptijd 3000 mu 1 rho 0.5 simulaties 5

Weer worden reeds zeer goede resultaten bekomen bij een beperkt aantal simulaties.

146

In de onderstaande tabel zijn de resultaten samengevat voor een M/M/1/3 wachtrijsysteem waarbij

µ = 1 wagen/sec en ρ = 0,5. De lengte van het beschouwde simulatie-interval is nu 500 seconden.

Er werden nu 50 simulaties gedaan.

populatie 0 1 2 3 4 … ∞

Pk

gemiddeld

0,5384 0,2660 0,1314 0,0642 0 … 0

St. dev.

0,0392 0,0207 0,0219 0,0172 0 … 0

theorie

0,5333 0,2667 0,1333 0,0667 0 … 0

Absolute

fout

theorie-gem

-0,0051 0,0007 0,0019 0,0025 0 … 0

relatieve

fout (%)

0,96 0,25 1,45 3,76 … 0 … 0

Tabel 35: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel 2

Bij dezelfde eigenschappen voor het systeem maar bij een looptijd van 500 tijdseenheden en 50

simulaties wordt voor een kleinere berekeningstijd toch een snellere convergentie waargenomen.

Dit omdat er maar een beperkt aantal toestanden kunnen voorkomen en een lange simulatietijd

dus enkel resulteert in langere berekeningstijden. Wel is de standaarddeviatie bij langere

simulatietijden beduidend kleiner.

Ook bij dit type wachtsystemen werd de theorie snel en goed benaderd.

147

M/M/m/m

Het laatste type wachtrij waarmee het programma geëvalueerd wordt is het M/M/m/m-systeem.

Het is een combinatie van het M/M/m- en het M/M/1/k-systeem. Hiermee kan de toelevering van

aankomsten aan verschillende servers met een beperkte capaciteit getest worden. Elke server heeft

maar een capaciteit voor 1 wagen. De andere auto’s zullen als verloren beschouwd worden. In de

praktijk vindt men dit terug op parkeerterreinen. Bovendien zou de absorptiecapaciteit voor

wagens van een stadskern hiermee gemodelleerd kunnen worden. Zolang niet alle parkeerplaatsen

in de binnenstad benomen zijn, zullen mensen hun auto op deze plaatsen kwijt kunnen. De auto’s

worden “geabsorbeerd”. Indien al de parkeerplaatsen benomen zijn zullen automobilisten blijven

rondrijden, om uiteindelijk hun wagen buiten de stadskern kwijt te raken. Vanaf wanneer de

absorptiecapaciteit nul wordt (alle plaatsen bezet) zullen de straten in de stad geconfronteerd

worden met een belastingsschok.

In tabel 36 worden de resultaten weergegeven van 5 simulaties van een M/M/2/2-systeem, waarbij

de arrivalrate 0,2 per tijdseenheid is, terwijl de bedieningsrate 1 per tijdseenheid is voor beide

servers.

Tabel 36: Resultaten simulatie M/M/m/m-rij

populatie 0 1 2 3 … ∞

Pk

0,8274 0,1603 0,0123 0 … 0

0,8062 0,1775 0,0163 0 … 0

0,8202 0,1649 0,0149 0 … 0

0,8278 0,1589 0,0133 0 … 0

0,8170 0,1677 0,0153 0 … 0

gemiddelde

0,8197 0,1658 0,0144 0 … 0

St. dev.

0,0089 0,0074 0,0016 0 … 0

theorie

0,8197 0,1639 0,0164 0 … 0

Absolute fout

theorie-gem

-0,0001 -0,0019 0,0020 0 … 0

procentuele

fout (%)

0,01 1,17 12,10 0 … 0

148

Bijlage C: Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing Wachtrij 1

- Capaciteit: 14 wagens / Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Toegeleverd door rij 2. - Hinder: wanneer er zich 12 wagens in de wachtrij bevinden kunnen er geen wagens uit

rij 2 meer toekomen. - Minder: Vanaf dat er zich een bepaald aantal wagens in rij 1 bevinden krijgen de

wagens in rij 4 en rij 8 een verhoogde bedieningstijd. In de referentiesituatie is dit aantal gelijk genomen aan 8 wagens. Later wordt de invloed van dit aantal gevarieerd.

- Licht: 35 seconden groen-55 seconden rood. Wachtrij 2

- Capaciteit: Onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen / Externe variabele

toelevering. - De rij hindert geen andere rijen. Wanneer er 12 wagens in rij 1 staan wordt het

uitrijden voor de wagens uit deze rij onmogelijk. - Licht: 45 seconden groen- 45 seconden rood.

Wachtrij 3

- Capaciteit: Onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe variabele toelevering.

- De rij hindert geen andere rijen. Vanaf dat er zich 4 wagens in rij 10 bevinden kunnen de wagens de rij niet meer uitrijden.

- Wanneer er zich 5 of meer wagens in rij 12 bevinden wordt de bedieningstijd van rij 3 verhoogd tot 25 seconden.

- Licht: 45 seconden groen- 45 seconden rood. Wachtrij 4

- Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden per wagen/ Toegeleverd door wachtrij 10.

- In de maximale capaciteit bereikt is hindert rij 4 de wagens in rij 10. Ze kunnen rij 10 niet meer uitrijden.

- Vanaf dat er zich een bepaald aantal (8 in de referentiesituaite) wagens in wachtrij 1 bevindt wordt de bedieningstijd verhoogd tot 25 seconden (wordt later nog gevarieerd) per wagen.

Wachtrij 5

- Capaciteit: onbeperkt/ Toegeleverd door de rijen 4 en 8 die via deze rij het kruispunt verlaten.

149

Wachtrij 6

- Capaciteit: onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe toelevering: 500 wagens per uur.

- Indien de maximale capaciteit van wachtrij 11 bereikt is (3 wagens) wordt het voor de wagens in rij 6 onmogelijk om de rij uit te rijden.

- Licht: eerst 45 seconden rood, dan 45 seconden groen ( dit licht is dus in tegenfase met bvb. het licht van wachtrij 3.)

Wachtrij 7

- Capaciteit: 8 wagens/ Bedieningstijd: 3 seconden/ toegeleverd door rij 12. - Wanneer de maximale capaciteit bereikt is worden de wagens in rij 12 verhinderd uit

te rijden naar rij 7. - Licht: 35 seconden groen-55 seconden rood.

Wachtrij 8

- Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden per wagen/ Toegeleverd door wachtrij 9.

- Het uitrijden van deze rij gebeurt met een verhoogde bedieningstijd vanaf wanneer de lengte van rij 1 een bepaalde waarde heeft bereikt.

Wachtrij 9

- Capaciteit: onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe toelevering: 500 wagens per uur.

- Indien de maximale capaciteit van wachtrij 8 bereikt is (6 wagens) wordt het voor de wagens in rij 6 onmogelijk om de rij uit te rijden.

- Licht: eerst 45 seconden rood, dan 45 seconden groen. Wachtrij 10

- Capaciteit: 4 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 3 - Indien de maximale capaciteit van wachtrij 4 bereikt wordt, kunnen de wagens in deze

rij de rij niet meer verlaten. - Vanaf dat de maximale capaciteit van rij 10 bereikt wordt kunnen de wagens in rij 3

deze rij niet meer verlaten. - Vanaf dat er zich 3 of meer wagens in rij 10 bevinden wordt het de wagens in rij 11

bemoeilijkt om deze rij uit te rijden. Wachtrij 11

- Capaciteit: 3 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 6. - Indien de maximale capaciteit bereikt is wordt de wagens in rij 6 het uitrijden

verhinderd. - Rij 12 verhindert de wagens het uitrijden vanaf wanneer zijn maximale capaciteit is

bereikt

150

Wachtrij 12

- Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 11. - Wordt gehinderd door wachtrij 7 indien deze zijn maximale capaciteit heeft bereikt.

- Vanaf dat er zich 5 of 6 wagens in rij 12 bevinden bemoeilijkt rij 12 het uitrijden van rij 3.

151

Bijlage D: Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing In deze bijlage zijn de intensiteiten van de stromen die niet getabeleerd zijn in het hoofdstuk

“Toepassing” toegevoegd. Ook de bijhorende standaarddeviaties bij de berekeningen zijn hier

in tabelvorm te vinden. Alle intensiteiten zijn een gemiddelde op basis van 50 simulaties per

combinatie van een verkeersvraag voor rij 2 en rij 3. De intensiteiten zijn wagens/uur.

Geen hinder


Geen hinder Standaard-deviatie op Intensiteiten Stroom 2-1

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

7.1789 8.3879 10.1658 9.9321 9.6864 7.8160 10.2766 6.8256 7.2119 10.3777 10.5349 10.3145 9.2339 11.6941 4.9692 8.0014 8.3937 10.0445 11.2733 9.9049 11.4091 4.4209 8.3137 8.9241 9.0542 10.4660 11.0762 9.4680 5.3555 8.6925 9.8024 8.6702 10.3183 11.3221 11.5265 6.5008 9.2188 9.7859 10.3437 10.9921 9.4756 10.2661 6.8095 7.9800 11.8107 10.0184 11.6158 11.4694 10.0585 6.0313 7.5320 8.8544 10.2171 9.3110 11.0878 12.1083 6.3372 9.0310 9.8414 7.7893 9.1376 9.2434 12.3621

Tabel 37: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, geen hinder

152


Geen hinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 3-10-4-5

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

5.8753 5.5406 6.3927 6.8621 4.3523 7.2436 6.2024 7.4223 8.7452 8.3139 8.7434 7.9336 7.8150 9.9927 9.4918 8.2520 9.9593 9.3848 8.4556 10.2276 10.1148 10.3868 10.8464 10.7381 9.9589 9.9341 8.5771 10.3470 9.2200 9.7932 8.8634 10.6869 9.5398 11.9547 8.2600 9.0789 7.9047 10.5676 10.4032 10.5992 11.2157 8.9873 9.2959 9.0287 9.7932 10.2229 10.1246 10.5566 9.3766 12.5813 10.8519 11.4029 11.2903 9.8501 11.4246 11.5286 9.7474 10.6399 10.3798 9.7241 11.5085 10.7688 10.5176

Tabel 38: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, geen hinder


Geen hinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 6-11-12-7

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

11.3391 12.6425 13.8690 14.4263 10.1970 14.0775 15.2128 15.3530 13.5120 12.4685 11.8510 11.4409 12.9176 15.0575 14.4600 12.1639 11.6266 12.7462 13.1309 17.3527 14.0359 12.0377 14.4221 12.9105 13.8826 13.7036 11.2684 13.6571 13.2047 12.9570 11.4834 12.3998 13.1003 14.8294 15.0503 14.7490 12.2121 11.3840 14.0006 14.7221 15.2640 14.7882 13.1310 12.1888 14.2323 14.2002 12.2458 14.2205 11.5389 14.5714 12.6782 12.6278 15.2332 15.3675 16.1091 12.3508 12.6836 14.3710 10.6387 12.7675 14.8689 14.1642 15.9460

Tabel 39:Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, geen hinder

153


Geen hinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 9-8-5

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

10.8279 10.5704 11.5759 10.8351 10.5765 10.9752 9.9272 10.5978 11.1602 10.2902 11.9319 8.4973 10.7284 10.8894 11.4721 10.5491 12.1167 10.6876 12.0140 13.0733 11.1254 10.4330 9.8782 10.1507 9.9321 11.9038 12.0657 11.6892 10.7801 11.7742 10.3441 9.4659 12.2172 11.4144 11.5402 10.0096 8.9260 10.5491 13.4137 11.2733 11.9545 11.6965 12.2762 9.9086 11.2159 9.1857 10.5698 11.5552 10.5156 9.6736 10.3306 9.8177 10.1729 9.9675 10.2644 11.4905 12.2556 9.3438 11.5280 10.2575 9.5300 15.1735 10.5246

Tabel 40: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, geen hinder

Eerste orde hinder


1e ordehinder Standaard-deviatie op Intensiteiten Stroom 2-1

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

19.6461 28.3952 28.4418 29.4072 33.6676 40.1329 42.2215 24.6146 31.9631 33.3656 35.7573 38.8641 43.2572 35.0570 20.8982 27.1872 31.0917 32.6547 35.5677 35.8889 36.6372 24.0376 26.5463 36.7658 29.1373 41.0654 38.4688 39.3420 22.0993 34.9729 33.1701 35.5598 39.1654 45.5578 37.7559 19.3752 30.1407 32.8261 36.3790 37.1352 45.1817 36.0334 22.3719 27.5105 32.2017 40.1326 36.0256 39.7350 45.7367 21.6097 29.9489 31.9943 34.6198 31.7136 36.7723 30.8492 21.8763 35.4598 36.0709 30.9450 32.5183 38.5259 38.1223

Tabel 41: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, 1e orde hinder

154


1e ordehinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 3-10-4-5

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

24.1595 21.7828 24.3914 19.1197 25.8536 22.1140 21.7502 33.7671 28.1033 36.6417 36.4042 39.3339 39.8779 52.2986 33.6739 34.6257 37.8462 59.0853 60.4406 54.6306 54.8192 34.6003 34.5378 47.2152 66.3199 65.3537 61.8032 58.7020 30.0842 36.1574 52.9853 71.6613 73.2828 81.7990 81.3082 28.0853 37.1016 59.6778 87.4162 79.5221 72.5101 73.7398 34.4403 37.0664 71.6813 84.9319 84.7984 71.7866 64.3663 36.8844 38.0988 59.4533 85.6250 89.4128 86.1968 83.9093 43.1751 45.5313 82.5307 97.4175 89.8823 95.5009 82.5363

Tabel 42: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e orde hinder


1e ordehinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 6-11-12-7

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

52.3337 42.2564 47.5872 41.7139 44.3548 46.2073 54.2459 44.4999 46.9320 43.2935 44.9312 47.0975 54.7202 50.1248 39.2215 51.1317 44.2281 48.2235 48.5845 53.4767 54.0643 47.2860 50.4284 51.0627 48.1389 50.1341 45.7287 43.8108 44.6414 47.9678 47.6729 51.3818 52.1380 47.5224 46.1979 52.3946 55.9855 44.4330 39.1914 45.7428 40.2544 51.8358 41.9601 45.7883 48.9143 50.1794 57.3501 45.9703 39.5645 48.9018 51.9222 43.6564 44.4409 44.9899 48.3398 42.2056 46.0873 45.5461 44.0663 55.2029 55.1019 49.5041 49.4691

Tabel 43: Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e orde hinder

155


1e ordehinder Standaard-deviatie op Intensiteiten 9-8-5

100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

37.6591 36.5850 84.0802 102.8103 89.1814 84.6819 82.5525 38.2788 44.3460 66.0906 95.1510 90.4423 90.0726 106.4138 38.5052 36.5335 62.8511 97.3141 102.2427 91.2065 96.9664 41.3793 35.6000 72.0371 102.0267 90.5798 100.0708 97.8571 40.4350 37.8590 66.0491 101.0771 91.9772 107.7946 105.7734 42.4745 37.8538 66.2575 101.4902 100.0229 91.7630 78.8777 39.7724 41.5515 70.2680 100.1035 105.4561 90.4312 72.3654 32.2547 40.5731 74.7514 103.7214 98.1944 94.3993 91.8919 43.4502 41.2558 90.4529 113.0064 97.9196 109.1128 90.8136

Tabel 44: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder

Hinder van eerste en tweede orde


1e en 2e orde Intensiteit Stroom 2-1 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

99 205 281 325 331 344 346 99 199 284 328 344 330 338 103 187 282 333 339 340 341 101 195 285 337 341 347 355 97 204 288 335 339 350 343 99 197 281 341 339 348 335 100 197 288 339 335 342 343 100 193 293 333 351 341 349 98 199 288 331 343 338 345

Tabel 45: Intensiteit 2-1, 1e en 2e orde hinder

156


1e en 2e orde Stand.dev. Stroom 2-1 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

22.3719 30.1500 28.4999 36.8898 30.7020 30.8262 41.1727 22.5291 28.8175 31.8376 33.9238 35.5992 36.7075 42.8928 22.5933 28.5552 29.1913 37.8613 35.2022 35.2542 34.6058 20.4363 29.2742 36.4357 36.8427 40.3176 35.6744 41.8935 20.8042 26.2299 29.2814 39.5634 30.1020 41.7944 37.1022 21.6804 33.8678 30.4860 37.7018 36.9202 36.8506 42.7786 22.8180 28.7155 34.9754 33.1607 37.0109 32.3604 36.7012 15.1351 30.0898 37.7507 34.9425 40.3120 37.9817 40.3481 21.5710 28.2194 26.7460 33.6642 41.1815 31.8416 40.6197

Tabel 46: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1; 1e en 2

e orde hinder


1e en 2e orde Intensiteit 3-10-4-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

106 94 101 90 82 89 87 197 204 197 166 156 139 141 249 247 234 206 175 166 166 293 289 271 208 191 175 196 342 346 331 235 205 220 200 389 387 363 269 220 217 204 442 427 389 293 233 232 230 443 447 414 309 245 213 220 439 449 419 325 216 245 226

Tabel 47: Intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder

157


1e en 2e orde Stand. dev. 3-10-4-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

20.1983 18.9962 23.1904 25.4047 23.2388 22.8268 21.5286 32.2656 31.3064 27.3160 45.5534 39.6573 41.2785 53.1021 41.4863 34.3155 39.3700 47.5932 56.7351 54.5389 54.8564 42.5350 36.4777 47.3331 75.0472 76.0827 65.9109 78.9335 41.9426 39.5712 49.7828 78.8955 67.9811 84.9840 87.6777 37.5425 34.1688 75.1024 97.5622 90.3036 81.1539 82.1957 40.7206 44.0199 88.7641 115.6218 94.1248 92.5446 81.0596 47.0086 40.0922 78.0936 108.9921 94.5639 87.1696 100.2980 40.0689 53.0244 81.0747 103.5641 79.6478 101.0958 94.7232

Tabel 48: Standdaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder


1e en 2e orde Intensiteit 9-8-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

423 427 398 280 222 228 195 424 424 383 280 231 211 198 421 428 397 275 227 199 198 418 414 395 240 223 202 213 417 428 385 258 209 222 208 425 417 377 274 211 207 200 424 416 356 283 217 222 212 425 424 379 276 244 186 198 431 424 380 293 206 215 208

Tabel 49: Intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder

158


1e en 2e orde Stand. dev. 9-8-5 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

41.8282 36.2108 92.0612 114.5860 101.1929 110.8871 92.9049 39.7179 33.4037 68.7415 117.6940 90.4143 89.4085 96.6466 43.5745 36.2053 55.3667 90.7531 97.5786 81.3406 92.6883 39.6012 39.3505 79.7809 113.4552 115.6880 96.5856 94.4006 32.8609 42.5255 71.6882 107.2061 91.8733 95.9760 110.7463 36.4357 46.0267 87.2087 101.6896 94.4595 89.6490 90.3649 43.5971 34.6227 86.0980 123.8398 98.1785 92.6325 83.2700 41.7431 43.7107 74.3509 111.1785 116.3354 85.1043 92.2273 45.0510 41.3156 73.0504 104.0518 85.1155 87.9724 97.5255

Tabel 50: Standdaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder


1e en 2e orde Stand. dev. 6-11-12-7 100 200 300 400 500 600 700

Ver

keer

svra

ag r

ij 3

(w

agen

s/uu

r)

100 200 250 300 350 400 500 600 700

51.7549 47.7794 65.8356 85.1769 84.6699 77.0054 81.7859 41.3409 46.0821 54.7839 108.2102 115.2251 103.6928 102.8385 49.9123 45.3657 54.1767 85.4840 92.0091 99.5498 99.6537 45.1193 48.5084 82.2716 114.9722 114.2768 101.8374 111.3379 51.5934 47.8343 71.8417 110.1385 99.0549 109.1068 109.2598 39.6742 45.9254 76.1302 98.0475 113.9380 105.0831 91.6235 51.1600 44.9068 90.8615 133.2722 102.1442 98.0775 88.3505 52.3264 51.3924 74.9860 102.9166 87.8055 101.0205 98.9696 46.5223 52.1682 77.3808 101.1749 87.1384 92.3868 108.9428

Tabel 51: Standdaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder

159

Parameterstudie: bedieningstijd


Totale intensiteit

100 200 300 400 500 600

Bed

ieni

ngst

ijd

b

ij h

inde

r (s

econ

den/

wag

en)

5 10 15 20 30 35

1411 1499 1591 1594 1575 1606 1408 1496 1529 1364 1315 1347 1389 1483 1494 1231 1137 1125 1415 1489 1499 1268 1096 1018 1384 1481 1392 1175 1018 949 1393 1500 1507 1189 1005 1016

Tabel 52: Parameterstudie bedieningstijd: Totale intensiteit


Intensiteit 2-1

100 200 300 400 500 600

Bed

ieni

ngst

ijd

b

ij h

inde

r (s

econ

den/

wag

en)

5 10 15 20 30 35

99 196 285 332 347 342 105 197 288 331 333 348 100 195 290 321 330 346 95 197 282 331 332 349 101 195 289 327 341 331 101 200 280 322 335 332

Tabel 53: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 2-1


Intensiteit 3-10-4-5 100 200 300 400 500 600

Bed

ieni

ngst

ijd

b

ij h

inde

r (s

econ

den/

wag

en)

5 10 15 20 30 35

438 430 431 416 416 420 441 429 403 353 334 349 423 434 407 299 270 254 424 436 403 313 251 231 427 428 359 283 215 204 429 437 404 294 218 219

Tabel 54: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 3-10-4-5

160


Intensiteit 9-8-5 100 200 300 400 500 600

Bed

ieni

ngst

ijd

b

ij h

inde

r (s

econ

den/

wag

en)

5 10 15 20 30 35

423 420 418 399 378 385 427 420 392 306 278 275 426 413 387 283 245 246 434 415 395 292 229 200 417 416 355 265 209 185 411 429 395 262 197 204

Tabel 55: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 9-8-5


Intensiteit 6-11-12-7 100 200 300 400 500 600

Bed

ieni

ngst

ijd

b

ij h

inde

r (s

econ

den/

wag

en)

5 10 15 20 25 30 35

443 451 452 447 447 452 439 451 442 383 372 375 443 437 417 317 288 275 455 442 411 336 273 254 441 441 401 322 256 258 439 435 397 304 257 227 453 438 421 300 241 249

Tabel 56: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 6-11-12-7

161

Parameterstudie: hinderlengte


Totale intensiteit

100 200 300 400 500 600

Hin

derl

engt

e

2 4 6 10 12

1406 1352 1092 780 708 699 1405 1468 1272 979 821 737 1406 1501 1460 1055 929 854 1376 1497 1534 1400 1193 1170 1403 1494 1574 1492 1395 1434

Tabel 57: Parameterstudie hinderlengte: Totale intensiteit


Intensiteit 2-1 100 200 300 400 500 600

Hin

derl

engt

e

2 4 6 10 12

99 194 281 326 345 344 102 200 284 328 336 336 105 196 285 323 343 330 103 194 283 334 331 342 101 197 285 320 340 343

Tabel 58: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 2-1


Intensiteit 3-10-4-5

100 200 300 400 500 600

Hin

derl

engt

e

2 4 6 10 12

433 382 267 145 119 115 428 420 324 216 155 132 433 437 392 239 193 174 416 436 417 356 285 284 437 431 430 384 368 382

Tabel 59: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 3-10-4-5

162


Intensiteit 9-8-5

100 200 300 400 500 600 H

inde

rlen

gte

2 4 6 10 12

420 362 241 135 109 98 426 407 312 198 144 119 417 423 376 224 175 153 423 417 404 338 263 245 422 423 421 376 326 328

Tabel 60: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 9-8-5


Intensiteit 6-11-12-7

100 200 300 400 500 600

Hin

derl

engt

e

2 4 6 10 12

453 413 302 173 134 140 447 439 351 236 184 150 449 443 406 268 217 195 432 449 427 371 313 298 442 443 437 411 359 379

Tabel 61: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 6-11-12-7

Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

Documents

Transcript of Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten