Modulos Lord Barrera

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7/27/2019 Modulos Lord Barrera http://slidepdf.com/reader/full/modulos-lord-barrera 1/118 LORD LIVIN BARRERA BOCANEGRA UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEM ´ ATICAS ESCUELA ACAD ´ EMICO PROFESIONAL DE MATEM ´ ATICA INTRODUCCI ´ ON AL ´ ALGEBRA CONMUTATIVA LIMA - PERU 2007

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LORD LIVIN BARRERA BOCANEGRA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICA

INTRODUCCION AL ALGEBRA CONMUTATIVA

LIMA - PERU

2007

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Lord Livin Barrera Bocanegra

[email protected]

Facultad de Ciencias Matematicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Av Venezuela cdra. 34

Lima - Peru

´ Algebra Lineal 

c⃝ Lord Livin Barrera Bocanegra

Edicion a cargo: Fondo Editorial UNMSM

Lima, noviembre de 2007

Primera edicion

Tiraje: 500 ejemplares

ISBN: 978-9972-46-370-9

Hecho el deposito legal en la Biblioteca Nacional del Peru: 2007-12186

Impreso en Peru

Printed in Peru 

Tipeado por el autor en LATEX

Este libro esta sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin

el consentimiento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de

publicacion y elogia el buen uso de este material al que ha sido sometido oficialmente.

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Indice

Prefacio vii

Introduccion ix

1 Modulos 1

1.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sumas Directas y Productos Directos . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Modulos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Producto Tensorial de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Localizacion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Sucesiones Exactas de Modulos 33

2.1 Sucesiones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Lemas de la Serpiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Exactitud del Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Exactitud del Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Exactitud de la Localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Condiciones de Cadena 43

3.1 Longitud de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Modulos Noetherianos y Artinianos . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Primos Asociados y Descomposicion Primaria 57

4.1 Primos Asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

v

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4.2 Descompocicion Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Modulos Proyectivos e Inyectivos 77

5.1 Modulos proyectivos e inyectivos . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Modulo de Homomorfismos y Dualidad . . . . . . . . . . . 775.3 Modulos de Presentacion Finita. . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Graduaciones Filtraciones y Topologıas 89

6.1 Modulos Graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Filtracion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Topologıas I -adicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4 Polinomio de Hilbert Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Algebras 97

7.1 Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3 Algebra Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8 Funtores Derivados 99

8.1 Complejos y Resoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2 Funtor Tor y Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.3 Planitud y Funciones de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Bibliografıa 107

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Prefacio

Lord Livin Barrera Bocanegra

Facultad de Ciencias MatematicasUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Lima - PeruOctubre, 2007

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Introduccion

El Algebra Lineal, una de las ramas m´ as antiguas de la Matem´ atica y a la vez una de las m´ as nuevas.

N. Bourbaki

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Capıtulo 1

Modulos

Comenzaremos este capıtulo introduciendo la definicion de modulo,submodulo generado y homomorfismo entre modulos; ası como los teore-mas del isomorfismo, que son de importancia en algebra conmutativa.

1.1 Definiciones y Propiedades

Definicion 1.1.1. Sea A un anillo. Un A-m´ odulo es un grupo abelianoM  junto con una accion (a izquierda) sobre A, es decir, una aplicacionA×M  → M , denotada por (a, m) → am, satisfaciendo para todo a, b ∈ Ay todo m, n ∈ M :

a(m + n) = am + an

(a + b)m = am + bm

a(bm) = (ab)m

1m = m

Ejemplo 1.1.1. Todo anillo A es un A-modulo, la accion de A es pre-cisamente la operacion multiplicativa de A. Mas generalmente, An es unA-modulo con la accion definida por

a(b1, . . . , bn) = (ab1, . . . , a bn).

Ejemplo 1.1.2. Cualquier K -espacio vectorial V  es un K -modulo, laaccion sobre V  es la multiplicacion escalar.

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2 1. Lord Barrera

Ejemplo 1.1.3. Sea G un grupo abeliano. Dado n ∈ Z y g ∈ G, defini-mos

ng =

g + . . . + g (n terminos) si n > 0,0 si n = 0,

(−g) + . . . + (−g) (−n terminos) si n < 0.

Con esta accion, G es un Z-modulo.

Ejemplo 1.1.4. Sea a ideal de un anillo A. Entonces A/a es un A-modulocon la accion definida por (a, b + a) → ab + a.

Definicion 1.1.2. Sea M  un A-modulo. Un subconjunto N  de M  esllamado submodulo de M  si N  es un A-modulo respecto de las operacionesinducidas por el modulo M .

El siguiente teorema nos da un criterio util para verificar cuando unsubconjunto de M  es un submodulo.

Teorema 1.1.5. (Caracterizacion de submodulos). Sea M  un  A-m´ oduloy  N  un subconjunto de  M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. N  es subm´ odulo de  M .

2. N  = ∅; adem´ as, para todo m, n ∈ N  y a ∈ A se tiene que m−n ∈ N y  am ∈ N .

3. 0 ∈ N ; ademas, para todo m, n ∈ N  y a ∈ A se tiene que m+n ∈ N y  am ∈ N .

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Es obvia.2 ⇒ 3. Existe m0 ∈ N , lo que implica 0 = m0 − m0 ∈ N ; tambien,dado n ∈ N , se tiene −n = 0 − n ∈ N . Por lo tanto, para todo m, n ∈ N ,se tiene m + n = m − (−n) ∈ N .

3 ⇒ 1. La hipotesis nos dice que el conjunto N  es cerrado con laadicion, y con la accion de A; ademas, N  contiene el elemento neutro.Luego, el subconjunto tambien contiene todos los elementos −n con n ∈N . Las otras condiciones de modulo son naturalmente satisfechas ya queson verdaderas en M . 2

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1.1 Definiciones y Propiedades 3

Observacion 1.1.1. Notemos del teorema anterior que el elemento neu-tro de N  es exactamente el elemento neutro de M . Cada vez que nosreferimos a un submodulo N  de M  se entendera que, si M  es un A-modulo, entonces N  sera tambien un A-modulo.

Observacion 1.1.2. Si N  es submodulo de M  y P  submodulo de N ,entonces P  es tambien submodulo de M .

Proposicion 1.1.6. Si  {N i}i∈I  es una familia de subm´ odulos de  M ,entonces 

∩i∈I N i es un sum´ odulo de  M .

Demostraci´ on. Sea m, n ∈ ∩ i∈I N i; para cada i, se tiene que m, n ∈N i. Desde que N i es un submodulo, se tiene m + n ∈ N i y am ∈ N i paracualquier elemento a ∈ A. Ası pues, m + n ∈ ∩i∈I N i y am ∈ ∩i∈I N i. 2

Definicion 1.1.3. Sea S un subconjunto de M  y sea {N i}i∈I  la familia detodos los submodulos de M  conteniendo al conjunto S . Entonces

∩i∈I N i

es llamado subm´ odulo de M  generado por S  y este submodulo se denotapor ⟨S ⟩M . El submodulo

∩i∈I N i es el menor submodulo (con respecto a

la relacion de inclusion) de M  que contiene al conjunto S .

Los elementos de S  son llamados generadores  y se dice que S  genera elsubmodulo ⟨S ⟩M , algunas veces se dice tambien que S  es un A-generador de ⟨S ⟩M . Si S  = {m1, . . . , ml}, se denotara ⟨m1, . . . , ml⟩M  en lugar de⟨{m1, . . . , ml}⟩M .

Un submodulo N  de M  es llamado finitamente generado si N  =⟨m1, . . . , ml⟩M  para algunos elementos m1, . . . , ml de N . El submoduloN  es llamado subm´ odulo cıclico si N  = ⟨m⟩M  para algun m ∈ N . SiS  = ∅, se tiene claramente que ⟨S ⟩M  = {θ}.

Observacion 1.1.3. Sea N  un submodulo de M  y S  un subconjunto deN . Tomando en cuenta la observacion 1.1.2, en donde la propiedad “ser

submodulo de” es transitiva, se tiene que ⟨S ⟩M  ⊆ ⟨S ⟩N . Por otra parte,si N ′ es un submodulo de M  conteniendo el conjunto S , entonces N ′ ∩ N es submodulo de N  conteniendo S , de donde, ⟨S ⟩N  ⊆ N ′ ∩ N  ⊆ N ′, loque implica ⟨S ⟩N  ⊆ ⟨S ⟩M . Por lo tanto, ⟨S ⟩M  = ⟨S ⟩N . Esto ultimo nosdice que el submodulo generado por S , no depende del submodulo de M que contiene al conjunto S . En lo que sigue, el submodulo ⟨S ⟩M  seradenotado simplemente por ⟨S ⟩.

Si M  es un A-modulo y N  = ⟨m⟩ es un submodulo cıclico de M , estesubmodulo cıclico sera denotado algunas veces por Am.

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4 1. Lord Barrera

Ejemplo 1.1.7. Si M  es un A-modulo, entonces {θ} y M  son submodulosde M . Estos submodulos son llamados submodulos triviales  de M . Enadelante, el submodulo {θ} sera denotado muchas veces por 0.

Ejemplo 1.1.8. Sea M  un A-modulo y N  un submodulo de M . Elanulador  de N  denotado por Ann(N ) se define por

Ann(N ) = {a ∈ A : an = 0 para todo n ∈ N }.

Es facil ver que Ann(N ) es un ideal de A. Si N  = ⟨m⟩ es el submodulocıclico de M  generado por m, entonces

Ann(N ) = {a ∈ A : an = 0}.

Si N  es cıclico con generador n, usualmente escribiremos Ann(n) en lugarde Ann(⟨n⟩).

Ejemplo 1.1.9. Dado un subconjunto S  de un A-modulo M , el conjunto

N  = {l

i=1

aisi : l ∈ N, ai ∈ A, si ∈ S }es un submodulo de N .

Ejemplo 1.1.10. Sea {N i}i∈I  una familia de submodulos del A-moduloM . El conjunto

i∈I 

N i = {l

i=1

ni : ni ∈ N i, l ∈ N}

es un submodulo de M  llamado subm´ odulo suma  de los submodulos N i.

Proposicion 1.1.11. Sea  M  un  A-m´ odulo y  S  un subconjunto de  M .Entonces 

⟨S ⟩ = {l

i=1

aisi : l ∈ N, ai ∈ A, si ∈ S }

Demostraci´ on. Sea N  como en el ejemplo 1.1.9. Se tiene que N  essubmodulo de M  conteniendo al conjunto S . Ası, ⟨S ⟩ ⊆ N . Por otraparte, si N ′ es un submodulo de M  conteniendo a S , entonces N  ⊆ N ′ loque implica N  ⊆ ⟨S ⟩. 2

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1.1 Definiciones y Propiedades 5

Definicion 1.1.4. Sea A un anillo y sean M, N  dos A-modulos. Unaaplicacion φ : M  → N  es llamado homomorfismo de A-modulos si paratodo a, b ∈ A y m1, m2 ∈ M  se tiene

φ(am1 + bm2) = aφ(m1) + bφ(m2).

El conjunto de homomorfismos de M  en N  es denotado por HomA(M, N ).

Si M  = N , entonces HomA(M, N ) es denotado por EndA(M ) y suselementos son llamados endomorfismos 

Observacion 1.1.4. Por induccion se sigue que, para toda familia finita{mi}ri=1 de elementos de M  y para toda familia finita {ai}ri=1 de elementosde A

φ(r

i=1

aimi) =r

i=1

aiφ(mi)

De esto sigue que, si {mi}i∈I  es una familia de elementos de M  y {ai}i∈I es una familia de elementos de A, entonces

φ(i∈I 

aimi) = i∈I 

aiφ(mi)

Definicion 1.1.5. Un homomorfismo de modulos φ ∈ HomA(M, N ) esllamado monomorfismo (resp. epimorfismo, isomorfismo) si φ es in-yectiva (resp. sobrejectiva, bijectiva). Si existe un isomorfismo φ ∈HomA(M, N ), entonces se dice que los modulos M  y N  son isomorfosy se escribe M  ∼= N  para indicar que M  y N  son isomorfos. Un isomor-fismo φ ∈ EndA(M ) es tambien llamado automorfismo; el subconjuntode automorfismos de M  en M  es denotado por AutA(M ).

Ejemplo 1.1.12. Dado un A-modulo M  y un elemento a ∈ A, la apli-cacion a idM  : M  → M  definida por m → am, es un endomorfismollamado homotecia  de razon a. En particular, si a = 0, el endomorfismom → θ es llamado endomorfismo nulo; de la misma forma, si a = 1 el en-domorfismo m → m es llamado endomorfismo identidad de M  y denotadopor idM .

Ejemplo 1.1.13. Si N  es un subespacio de M , la inclusion n → n esclaramente un monomorfismo de N  en M .

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6 1. Lord Barrera

Ejemplo 1.1.14. Si M  y N  son A-modulos, entonces HomA(M, N ) esun grupo abeliano con la operacion definida por

(f  + g)(m) = f (m) + g(m)

Ademas, HomA(M, N ) se convierte en un A-modulo definiendo para a ∈A y φ

∈HomA(M, N )

(aφ)(m) = a(φ(m)).

Teorema 1.1.15. Sean  M  y  N  dos  A-m´ odulos y  φ ∈ HomA(M, N )

1. Si M ′ es un subm´ odulo de  M , entonces  φ(M ′) es subm´ odulo de  N .En particular, la imagen de  M  por  φ, denotada por  Im(φ), es un subm´ odulo de  N .

2. Si  N ′ es subm´ odulo de  N , entonces  φ−1(N ′) es un subm´ odulo de M . En particular, φ−1{θ} es un subm´ odulo de  M  llamado nucleode  φ y denotado por  N uc(φ).

Demostraci´ on. 1. Sean n, n′ ∈ φ(M ′) y a, b escalares. Existen m, m′ ∈M ′ tal que φ(m) = n y φ(m′) = n′. Desde que M ′ es submodulo de M ,se tiene am + bm′ ∈ M ′. Por lo tanto

an + bn′ = aφ(m) + bφ(m′) = φ(am + bm′) ∈ φ(M ′).

2. Sean m, m′ ∈ φ−1(N ′) y a, b escalares. Los elementos n = φ(m)y n′ = φ(m′) pertenecen a N ′. Por lo tanto φ(am + bm′) = aφ(m) +bφ(m′) = an + bn′ ∈ N ′, esto implica que am + bm′ ∈ φ−1(N ′). 2

Teorema 1.1.16. Sean  M , N  dos  A-m´ odulos y  φ ∈ HomA(M, N ). Se 

cumplen las siguientes afirmaciones:

1. φ es un monomorfismo si y s´ olo si  N uc(φ) = {0}.

2. Si  φ es un isomorfismo, entonces  φ−1 ∈ HomA(N, M ).

Demostraci´ on. 1. Sea m ∈ N uc(φ). Entonces φ(m) = 0 = φ(0).Por ser φ inyectiva, m = 0. Recıprocamente, sean m, m′ ∈ M  tal queφ(m) = φ(m′), entonces m − m′ ∈ N uc(φ) = {0}. Ası, se tiene quem = m′.

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1.1 Definiciones y Propiedades 7

2. Sean n, n′ ∈ N  y a, b ∈ A. Desde que φ es biyectiva, existen unicoselementos m, m′ ∈ M  tal que φ(m) = n y φ(m′) = n′. Por tanto

φ−1(an + bn′) = φ−1(aφ(m) + bφ(m′)) = φ−1(φ(am + bm′))

= am + bm′ = aφ−1(n) + bφ−1(n′).

2

Definicion 1.1.6. Sea M  un A-modulo y N  un submodulo de M . Larelacion en M  definida por

m ∼ n si y solo si m − n ∈ N,

es una relacion de equivalencia en M . Para un elemento m ∈ M , in-dicamos por [m] a la clase de equivalencia representada por m, y llamamosclase de  m m´ odulo N . Es facil verificar que

[m] = m + N  = {m + n : n ∈ N }.

Sea M/N  = { [m] : m ∈ M }. Definiendo en M/N  la adicion, y la accionde A por

[m] + [n] = [m + n] y a[m] = [am]

respectivamente, no hay dificultad en mostrar que el conjunto cocienteM/N  se convierte en un A-modulo llamado m´ odulo cociente  de M  porN . El elemento neutro de M/N  es la clase [0] = N , y se tiene, [m] = [0]si y solo si m ∈ N . Ademas, el inverso del elemento [m] es la clase [−m].Ademas, la aplicacion π : M  → M/N  es claramente un epimorfismo conN uc(π) = N .

Lema 1.1.17. Sean  M  y  N A-m´ odulos y  φ

∈HomA(M, N ). Si  P  es un 

subm´ odulo de  M  tal que  P  ⊆ N uc(φ), entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Existe un ´ unico homomorfismo φ : M/P  −→ N  tal que  φ ◦ π = φ.

M π

     G    G

φ   4    4 E

 E E E E E E E E

M/P 

φ   

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8 1. Lord Barrera

2. N uc(φ) = N uc(φ)/P  y  Im(φ) = Im(φ).

3. φ es inyectiva si y s´ olo si  N uc(φ) = P .

4. φ es sobreyectiva si y s´ olo si  φ es sobreyectiva.

5. φ es un isomorfismo si y s´ olo si φ es un epimorfismo y  P  = N uc(φ).

Demostraci´ on. 1. Es suficiente definir φ([m]) = φ(m).2. [m] ∈ N uc(φ) ⇔ φ([m]) = 0 ⇔ φ(m) = 0 ⇔ m ∈ N uc(φ) ⇔ [m] ∈

N uc(φ)/P . La segunda afirmacion sigue directo de la definicion.3 y 4 son consecuencias directas de la segunda afirmacion.5. Es consecuencia directa de 3 y 4. 2

Teorema 1.1.18. (Primer teorema del isomorfismo). Sean  M  y  N A-m´ odulos y  φ ∈ HomA(M, N ). Entonces 

M/Nuc(φ) ∼= Im(φ)

Demostraci´ on. Consecuencia directa del lema 1.5.13. 2

Teorema 1.1.19. (Segundo teorema del isomorfismo). Sean  P  y  Qsubm´ odulos del  A-m´ odulo M . Entonces 

(P  + Q)/Q ∼= P/P  ∩ Q

Demostraci´ on. Sea φ : P  → (P  + Q)/Q el homomorfismo definidopor p →  p + Q. Entonces φ es un epimorfismo con N uc(φ) = P  ∩ Q y laafirmacion es consecuencia directa del teorema anterior. 2

Proposicion 1.1.20. (Tercer teorema del isomorfismo). Si  P 1 ⊆ P 2 son subm´ odulos de  M , entonces 

(M/P 1)/(P 2/P 1) ∼= M/P 2.Demostraci´ on. El homomorfismo φ : M/P 1 → M/P 2 definido por

m+P 1 → m+P 2, es un epimorfismo con N uc(φ) = P 2/P 1 y la afirmacionsigue del primer teorema del isomorfismo. 2

Proposicion 1.1.21. (Teorema de correspondencia de submodulos). Sea φ ∈ HomA(M, N ) un epimorfismo. Entonces la aplicaci´ on  P  → φ(P )es una biyecci´ on entre  S Nuc(φ)(M ) (sum´ odulos de  M  que contienen a N uc(φ)) y  S (N ) (subm´ odulos de  N ).

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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 9

Demostraci´ on. Dado cualquier elemento P  de S Nuc(φ)(M ), debemosnotar que φ−1(φ(P )) = P ; por tanto, si P  y P ′ pertenecen a S Nuc(φ)(M )son tales que φ(P ) = φ(P ′), se sigue que P  = P ′ y la aplicacion P  → φ(P )es inyectiva. La sobreyectividad de dicha correspondencia es consecuenciade la sobreyectividad de φ. 2

Proposicion 1.1.22. Sea  A un anillo y  M  =⟨m

⟩un  A-m´ odulo cıclico.

Entonces  M  ∼= A/Ann(m).

Demostraci´ on. La aplicacion φ : A → M  definida por a → am es unepimorfismo con N uc(φ) = Ann(m). La afirmacion se sigue del primerteorema del isomorfismo. 2

Corolario 1.1.23. Si  K  es un cuerpo y  M  es un  K -m´ odulo cıclico nonulo, entonces  M  ∼= K .

Demostraci´ on. Un cuerpo posee solo dos ideales {0} y K . Por otraparte, si m = 0 es un generador de M , entonces Ann(m) = K ; por tanto,

Ann(m) = {0}.2

Definicion 1.1.7. Sea A un dominio y M  un A-modulo. Se dice quem ∈ M  es un elemento de torsi´ on  si Ann(m) = {0}, denotamos por M τ al conjunto de elementos de torsion de M . Se dice que M  es libre de torsi´ on  si M τ  = {0} y M  es llamado m´ odulo torsi´ on  si M  = M τ .

Ejemplo 1.1.24. Si G es un grupo abeliano, entonces el Z-submodulo detorsion de G es el conjunto de todos los elementos de G de orden finito.Ası, G = Gτ  quiere decir que todo elemento de G tiene orden finito. Enparticular, cualquier grupo abeliano finito es con torsion. La recıproca noes verdad, tomamos G = Q/Z. Entonces

|G

|=

∞, pero todo elemento

de Q/Z tiene orden finito ya que q ( pq +Z) = p +Z = 0 ∈ Q/Z. Por tanto,Q/Z = (Q/Z)τ .

1.2 Sumas Directas y Productos Directos

Teorema 1.2.1. Sea M  un A-m´ odulo y {N i}i∈I  una familia de subm´ odulos de  M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

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10 1. Lord Barrera

1. Todo elemento m ∈ M  se escribe de manera ´ unica como m =∑i∈I ni con  ni ∈ N i.

2. Todo elemento m ∈ M  se escribe en la forma  m =∑

i∈I ni. Adem´ as,si ∑

i∈I ni = 0, con  ni ∈ N i, entonces  ni = 0.

3. M  =

∑i∈I N i y  N  j

∩∑i∈I \{ j} N i =

{0

}para todo j

∈I .

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Supongamos que ∑i∈I ni = 0 con ni ∈ N i.Como tambien

∑i∈I mi = 0, mi = 0 ∈ N i. Por la unicidad de la escritura

de 0, se tiene ni = mi para todo i ∈ I .2 ⇒ 3. La hipotesis implica que M  =

∑i∈I N i. Dado i ∈ I , sea

m ∈ N  j tal que m =∑

i∈I \{ j} ni. Tomando n j = −m ∈ N  j, resulta que∑i∈I ni = 0, de donde, ni = 0 para todo i ∈ I  y ası m = 0.

3 ⇒ 1. La afirmacion M  =∑

i∈I N i implica que todo m ∈ M  seescribe en la forma m =

∑i∈I ni con ni ∈ N i. Si tuvieramos otra

expresion para m de la forma m =∑

i∈I mi con mi ∈ N i, entonces

∑i∈I (ni−mi) = 0. Fijando j ∈ I , se tiene m j −n j =

∑i∈I \{ j}(ni−mi) ∈

N  j ∩∑i∈I \{ j} N i = {0} lo que implica n j = m j. Desde que esto acontecepara cada j ∈ I , nuestra afirmacion queda demostrada. 2

Definicion 1.2.1. Sea M  un A-modulo y {N i}i∈I  una familia de submodulosde M . Decimos que M  es la suma directa  de los submodulos N i y de-notamos este modulo por M  =

⊕i∈I N i, si se cumple cualquiera de las

afirmaciones anteriores. Si I  = {1, . . . , n}, en este caso escribimos

M  =n

i=1

N i = N 1 ⊕ . . . ⊕ N n.

Definicion 1.2.2.Sea M  un A-modulo y sean N, N 

dos submodulos deM . Decimos que N  y N ′ son complementarios si M  = N ⊕ N ′.

Corolario 1.2.2. Sea  M  un  A-m´ odulo y  N, N ′ dos subm´ odulos de  M .Son equivalentes:

1. N  y  N ′ son conplementarios.

2. Todo elemento m ∈ M  se escribe de manera ´ unica en la forma m = n + n′, con  n ∈ N  y  n′ ∈ N ′.

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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 11

3. Todo elemento m ∈ M  se escribe en la forma  m = n + n′, con n ∈ N n′ ∈ N ′. Adem´ as, si  n + n′ = 0, con  n ∈ N n′ ∈ N ′,entonces  n = n′ = 0.

4. M  = N  + N ′ y  N ∩ N ′ = {0}.

Demostraci´ on. Consecuencia directa del teorema 1.5.24. 2

Definicion 1.2.3. Sea I  un conjunto de ındices y {M i}i∈I  una familiade modulos. Dado j ∈ I , se llama proyecci´ on  j-esima de

∏i∈I M i a la

aplicacion

P  j :∏

i∈I M i → M  jx → x j

Observacion 1.2.1. Sabemos que P  j es una aplicacion sobreyectiva paracada j ∈ I , ademas P  j satisface lo siguiente:

P  j(x + y) = P  j((xi + yi)i∈I ) = x j + y j = P  j(x) + P  j(y)

P  j(ax) = P  j(a(xi)i∈I ) = ax j = aP  j(x)

O sea, P  j es un epimorfismo.

Definicion 1.2.4. Dado j ∈ I , se llama inyecci´ on  j-esima de∏

i∈I M i ala aplicacion

ı j : M  j → ∏i∈I M i

x → f x

donde

f x(i) =

{0, si i = jx, si i = j

Observacion 1.2.2. No hay dificultad en ver que ı j es un monomorfismopara cada j ∈ I , ademas ı j satisface lo siguiente:

P  j ◦ ı j = idM j

P i ◦ ı j = 0, si i = j.

Teorema 1.2.3. Sea {M i}i∈I  una familia de  A-m´ odulos y consideremos las  j-esimas proyecciones  P  j :

∏i∈I M i → M  j para cada  j ∈ I .

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12 1. Lord Barrera

1. Sea un  A-m´ odulo M  y supongamos que se tienen homomorfismos P ′ j : M  → M  j. Entonces existe un ´ unico homomorfismo φ : M  →∏

i∈I M i tal que  P  j ◦ φ = P ′ j.

M φ

     G    G

P ′j 5    5

 G G

 G G G G G G G G

∏i∈I M i

P j

   M  j

2. La aplicaci´ on definida por  (P ′i )i∈I  → φ es un isomorfismo entre los A-m´ odulos 

∏i∈I HomA(M, M i) y  HomA(M,

∏i∈I M i).

Demostraci´ on. 1. Dado m ∈ M , definimos φ : M  → ∏i∈I M i por

φ(m) = (P ′i (m))i∈I . Es claro a partir de la definicion que P  j ◦ φ = P ′ jpara todo j ∈ I . Ademas

φ(m + n) = (P ′i (m + n))i∈I 

= (P ′i (m) + P ′i (n))i∈I 

= (P ′i (m))i∈I  + (P ′i (n))i∈I 

= φ(m) + φ(n).

Tambien se tiene

φ(am) = (P ′i (am))i∈I  = (aP ′i (m))i∈I  = a(P ′i (m))i∈I  = aφ(m).

Veamos finalmente la unicidad. Sean ϕ, φ : M  →∏i∈I M i homomor-

fismos tal que P  j ◦ ϕ = P ′ j y P  j ◦ φ = P ′ j para todo j ∈ I . EntoncesP i(ϕ(m)) = (P i ◦ ϕ)(m) = P ′i (m) = (P i ◦ φ)(m) = P i(φ(m)) para todoi ∈ I , lo que implica ϕ = φ.

2. El axioma de eleccion nos dice que

∏i∈I HomA(M, M i)

=

∅. Ahora

bien, al elemento (P ′i )i∈I  le hacemos corresponder el homomorfismo φdefinido por φ(m) = (P ′i (m))i∈I . Es facil ver que esta correspondencia esun isomorfismo de

∏i∈I HomA(M, M i) sobre HomA(M,

∏i∈I M i). 2

Definicion 1.2.5. Sea {M i}i∈I  una familia de A-modulos y∏

i∈I M i el

modulo producto. Sea∏⊕

i∈I M i el siguiente subconjunto de∏

i∈I M i

(mi)i∈I  ∈⊕i∈I 

M i ⇔ mi = 0 para casi todo i ∈ I.

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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 13

Notese que si I  es finito, entonces∏⊕

i∈I M i =∏

i∈I M i. Tambien se

cumple la recıproca; si∏⊕

i∈I M i =∏

i∈I M i, entonces I  debe ser un con- junto finito o M i = {0} para casi todo i ∈ I .

Es facil verificar que las condiciones de modulo son satisfechas en elconjunto

∏⊕i∈I M i, de manera que este subconjunto es un submodulo de

∏i∈I M i llamado m´ odulo producto directo de la familia {M i}i∈I . Debido a

la condicion mi = 0 para casi todo i ∈ I , un elemento (mi)i∈I  ∈∏⊕

i∈I M ies tambien denotado por ∑i∈I  ıi(mi).

Teorema 1.2.4. Sea  {M i}i∈I  una familia de  A-m´ odulos y para cada i ∈ I , sea  ı j : M  j →∏⊕

i∈I M i la  j-esima inyecci  on can´ onica.

1. Si M  es un A-m´ odulo y ı′ j : M  j → M  son homomorfismos, entonces 

existe un ´ unico homomorfismo φ :∏⊕

i∈I M i → M  tal que  φ ◦ ı j = ı′ j

M  jıj

     G    G

ı′j    6    6 H H H H H H H H H H

∏⊕i∈I M i

φ

   M 

2. La aplicaci´ on (ı′i)i∈I  → φ es un isomorfismo del A-m´ odulo∏

i∈I Hom(M i, M )

sobre el  A-m´ odulo Hom(∏⊕

i∈I M i, M ).

Demostraci´ on. 1. Dado m = (mi)i∈I , definimos

φ(m) =i∈I 

ı′i(mi), (1.2.1)

claramente φ es un homomorfismo de

∏⊕i∈I M i en M  con φ ◦ ı j = ı′ j . Por

otra parte, si ϕ : ∏⊕i∈I M i → M  es otro homomorfismo con ϕ ◦ ı j = ı′ j ,entonces para todo m = (mi)i∈I  ∈

∏⊕i∈I M i se tiene

φ(m) =i∈I 

ı′i(mi) =i∈I 

ϕ ◦ ıi(mi) = ϕ(i∈I 

ıi(mi)) = ϕ(m).

2. La aplicacion η : (ı′i)i∈I  → φ es un homomorfismo con N uc(η) ={θ}, para ver esto apliquemos la formula (2.3.1) a los vectores de la formam = ıi(mi), donde mi ∈ M i, de esta manera, para que φ sea nula es

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14 1. Lord Barrera

suficiente que ıi tambien lo sea. Finalmente veamos la sobreyectividadde η. Para esto consideremos un elemento φ de Hom(

∏⊕i∈I M i, M ) y

hagamos φi = φ ◦ ıi; es claro que φ((φi)i∈I ) = φ. 2

Ejemplo 1.2.5. Sea M  un A-modulo y sea {M i}i∈I  una familia desubmodulos de M . Sea ı′i : M i → M  la inclusion natural. De acuerdo alteorema 2.3.2, existe un unico homomorfismo φ : ∏

⊕i∈I M i

→M  tal que

φ ◦ ıi = ı′i. Si M  = ⊕i∈I M i, se verifica que

⊕i∈I 

M i ∼=i∈I 

M i.

Ejemplo 1.2.6. Sea A un anillo. Si {M i}i∈I  es la familia de A-modulos,donde M i = A para todo i ∈ I , entonces

∏⊕i∈I M i se denota por A(I ).

1.3 Modulos Libres

Definicion 1.3.1. Sea A un anillo. Un m´ odulo libre  sobre S  es un par(M, f ), donde M  es un A-modulo y f  : S  → M  es una aplicacion quesatisface: si g : S  → N  es una aplicacion de S  en un A-modulo N ,entonces existe un unico homomorfismo φ : M  → N  tal que φ ◦ f  = g, esdecir, el siguiente diagrama

S f 

     G    G

g   2    2 A

 A A A A A A A

φ   

es conmutativo.Teorema 1.3.1. Si  (M, f ) es un  A-m´ odulo libre con base  S , entonces  f es inyectiva y  f (S ) genera a  M .

Demostraci´ on. Sean m, n elementos distintos de S  y elegimos un A-modulo N  con una aplicacion g : S  → N  tal que g(m) = g(n). Entoncesexiste un homomorfismo φ : M  → N  tal que

φ(f (m)) = g(m) = g(n) = φ(f (n)).

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2.1 Longitud de Modulos 15

De aquı, f (m) = f (n) y f  es inyectiva.Veamos que f (S ) genera a M . Sea M ′ el submodulo de M  generado

por f (S ). Entonces f  define una aplicacion g : S  → M ′ tal que ı ◦ g = f ,donde ı : M ′ → M  es el homomorfismo inclusion. Por definicion, existeun homomorfismo φ : M  → M ′ tal que φ ◦ f  = g. Ahora consideremos eldiagrama

S f 

     G    G

f     2    2 A A A A A A A M 

ψ   

idM 

   

,

donde ψ = ı ◦ φ. Desde que

idM  ◦ f  = f  y ψ ◦ f  = (ı ◦ φ) ◦ f  = ı ◦ (φ ◦ f ) = ı ◦ g = f,

sigue de la unicidad en la definicion de A-modulo libre que, ı ◦ φ = ψ =idM . Por tanto, ı es un epimorfismo y M ′ = M , lo que implica que f (S )genera a M . 2

Teorema 1.3.2. Si  (M, f ) y  (M ′, f ′) son  A-m´ odulos libres con base  S ,entonces existe un ´ unico isomorfismo φ : M  → M ′ tal que  φ ◦ f  = f ′.

Demostraci´ on. Sea (M, f ) el modulo libre con base S . Por definicion,existe un homomorfismo φ : M  → M ′ tal que φ ◦ f  = f ′. Tambien, existeun homomorfismo ψ : M ′ → M  tal que ψ ◦ f ′ = f . Consideremos eldiagrama

S f 

     G    G

f     2    2 A A A A A A A

γ    

idM 

   

,

donde γ  = ψ ◦ φ, entonces

γ ◦ f  = (ψ ◦ φ) ◦ f  = ψ ◦ (φ ◦ f ) = ψ ◦ f ′ = f  y idM  ◦ f  = f.

Por la unicidad en la definicion, se sigue que ψ ◦ φ = idM . De manerasimilar se tiene que φ ◦ ψ = idM ′ . Por tanto, φ es un isomorfismo. 2

Teorema 1.3.3. Sea  A un anillo. Para cualquier conjunto S  existe un A-m´ odulo libre con base  S .

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16 1. Lord Barrera

Demostraci´ on. Consideremos el A-modulo M  = A(S ). Definimos laaplicacion f  : S  → M  que hace corresponder a cada elemento s ∈ S  laaplicacion f (s) = f s definida por

f s(t) =

{1, si t = s0, si t = s

Veamos que el par (M, f ) es un A-modulo libre con base S . Sea g : S  → N una aplicacion de S  en un A-modulo N . Definimos φ : M  → N  porφ(α) =

∑s∈S αsg(s), donde α ∈ A(S ). Claramente φ es un homomorfismo

satisfaciendo φ ◦ f  = g. Finalmente, para mostrar la unicidad de φ, seaφ′ : M  → N  un homomorfismo satisfaciendo φ′ ◦ f  = g. Sea α ∈ A(S ).Entonces α =

∑s∈S αsf (s); de donde,

φ′(α) =s∈S 

αsφ′(f (s)) =s∈S 

αsg(s) = φ(α).

2

Definicion 1.3.2. (Conjuntos linealmente dependientes). Sea M  un A-modulo. Un subconjunto S  de M  es llamado A-linealmente dependiente si existen s1, . . . , sn ∈ S  y elementos a1, . . . , an ∈ A no todos cero tal quea1s1 + . . . + ansn = 0. Un conjunto que no es linealmente dependiente esllamado A-linealmente independiente . Si no existe ambiguedad, teniendoel anillo A fijo, diremos simplemente que el conjunto S  es linealmentedependiente o linealmente independiente.

Observacion 1.3.1. El conjunto formado solamente por el elemento neu-tro es linealmente dependiente. En general, si S  es linealmente dependi-

ente, entonces cualquier conjunto conteniendo a S  es tambien linealmentedependiente.

Observacion 1.3.2. El conjunto vacıo y el conjunto formado por unelemento no nulo son linealmente independientes. Si S  es linealmenteindependiente, entonces cualquier subconjunto de S  es tambien lineal-mente independiente. Mas precisamente, un conjunto S  es linealmenteindependiende si y solo si todo subconjunto finito de S  es linealmenteindependiente.

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2.1 Longitud de Modulos 17

Observacion 1.3.3. Sea M  un A-modulo. Si B ⊆ A son anillos y S ⊆ M es un conjunto A-linealmente independiente, entonces S  es B-linealmenteindependiente.

Definicion 1.3.3. Sea M  un A-modulo y S  un subconjunto de M . Sedice que S  es una A-base  de M  si este es un conjunto generador de M  elcual es linealmente independiente.

Teorema 1.3.4. (Caracterizacion de modulos libres). Sea  M  un  A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. M  tiene una base no vacıa.

2. Existe un conjunto no vacıo I  tal que  M  ∼= A(I ).

3. Existe un conjunto no vacıo S  y una aplicaci´ on  f  : S  → M  tal que (M, f ) es un  A-m´ odulo libre con base  S .

Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea S  = {mi}i∈I  una base de M . Veamos

que M  = ⊕i∈I Ami. Para esto La igualdad M  = ∑i∈I Ami es claroya que S  es un conjunto generador. Veamos a continuacion que se tieneAm j ∩∑i= j Ami = {0}. Si a jm j =

∑i= j aimi, entonces

∑i∈I aimi = 0

y la independencia lineal de S  implica que a jm j = 0. Por tanto, M  =⊕i∈I Ami. Tambien, para cada i ∈ I , la aplicacion A → Ami definidapor a → ami es un epimorfismo de A-modulos. Si ami = 0, la indepen-dencia lineal de S  nos dice que a = 0; por tanto, dicha aplicacion es unmonomorfismo y A ∼= Ami. De acuerdo al ejemplo 1.5.30 se tiene queM  ∼= A(I ).

2 ⇒ 1. Sea M  ∼= A(I ). Para cada i ∈ I , sea f i ∈ A(I ) definido por

f i( j) = { 1, si i = j0, si i = j

Entonces se cumple que {f i}i∈I  es una base de A(I ) y por el isomorfismoM  ∼= A(I ), obtenemos una base de M .

1 ⇒ 3. Sea S  una base de M  y f  : S  → M  la inclusion. Sea N un A-modulo y Sea g : S  → N  una aplicacion. Dado m ∈ M , entoncesm =

∑i∈I aimi, donde ai ∈ A y mi ∈ S ; por otra parte, si m =

∑i∈I bimi

con bi ∈ A, entonces∑

i∈I (ai − bi)mi = 0 y, por la independencia lineal

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18 1. Lord Barrera

ai = bi para todo i ∈ I . De esta manera, la correspondencia φ : M  → N dada por

φ(m) = φ(i∈I 

aimi) =i∈I 

aig(mi)

es un homomorfismo y verifica φ ◦ f  = g. Finalmente, si ϕ : M  → N  esun homomorfismo que satisface ϕ ◦ f  = g, entonces

ϕ(m) = ϕ(f (m)) = (ϕ ◦ f )(m) = g(m) = (φ ◦ f )(m) = φ(f (m)) = φ(m),

de donde, φ = ϕ.3 ⇒ 2. Sea S  como en la hipotesis. Por el teorema 1.5.33 A(S ) es

un A-modulo libre sobre el conjunto S . De acuerdo al teorema 1.5.32, setiene el isomorfismo M  ∼= A(S ). 2

Ejemplo 1.3.5. Cualquier  K -espacio vectorial es un  K -m´ odulo libre.

Proposicion 1.3.6. Todo A-m´ odulo M  es el cociente de un  A-m´ odulolibre.

Demostraci´ on. Sea S  ={

mi}i∈I 

un conjunto generador de M  y seaN  = A(I ). Definimos ψ : N  → M  por

ψ(ai)i∈I  =i∈I 

aimi.

Desde que S  genera a M , ψ es sobreyectivo y M  = A(I )/Nuc(φ). 2

Teorema 1.3.7. (Base de HomA(V, W )). Sean  M  y  N A-m´ odulos libres con bases  {m1, . . . , mr} y  {n1, . . . , ns}, respectivamente. Entonces los homomorfismos definidos por 

φij(mk) = {θ, si  k = i

n j, si  k = i

 forman una base de  HomA(M, N ).

Demostraci´ on. Veamos que el conjunto {φij}(i,j)∈[1,r]×[1,s] es lineal-mente independiente. Sea

∑i,j aijφij = 0, entonces para cada k ∈ [1, r]

se tiene

0 = (i,j

aijφij)(mk) =i,j

aijφij(mk) =m

 j=1

a jkn j .

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1.3 Producto Tensorial de Modulos 19

Desde que el conjunto {n1, . . . , ns} es linealmente independiente, con-seguimos a jk = 0 para todo j ∈ [1, s] y para cada k ∈ [1, r].

A continuacion sea φ ∈ HomA(M, N ). Si m ∈ M , escribimos m =∑ri=1 aimi. Ahora bien,

φ(v) =n

i=1

aiφ(mi),

como φ(mi) =∑s

 j=1 aijn j, sigue que φ(m) =∑

i,j aijain j . En partic-ular conseguimos que φij(m) = ain j. Finalmente, para todo m ∈ M obtenemos

φ(m) =i,j

aijφij(m).

2

1.4 Producto Tensorial de Modulos

Definicion 1.4.1. Consideremos los A-modulos M , N  y P . Una apli-cacion g : M  × N  → P  es llamada bilineal  si para todo m, m1, m2 ∈ M ;n, n1, n2 ∈ N  y todo a1, a2, b1, b2 ∈ A se tiene

g(a1m1 + a2m2, n) = a1g(m1, n) + a2g(m2, n)

yg(m, b1n1 + b2n2) = b1g(m, n1) + b2g(m, n2).

Definicion 1.4.2. Sean M , N  dos A-modulos. Se llama producto ten-sorial  sobre A de los modulos M  y N  a un par (T, f ), donde T  es unA-modulo y f  : M 

×N 

→T  es una aplicacion bilineal, que satisface:

si (R, g) es otro par con la misma propiedad, entonces existe un unicohomomorfismo φ : T  → R tal que φ ◦ f  = g, es decir, el diagrama

M  × N f 

     G    G

g    5    5 H

 H H H H H H H H

φ

   

R

es conmutativo.

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20 1. Lord Barrera

Teorema 1.4.1. Si (T, f ) es un producto tensorial sobre  A de los m´ odulos M  y  N , entonces  Im(f ) genera a  T .

Demostraci´ on. f  : M  × N  → T  es una aplicacion bilineal. Veamosque ⟨Im(f )⟩ = T ; en efecto, sea el submodulo T ′ = ⟨Im(f )⟩. Entonces f define una aplicacion g : M × N  → T ′ tal que

ı ◦ g = f 

donde ı : T ′ → T  es la inclusion canonica. Por definicion, existe unhomomorfismo φ : T  → T ′ que hace conmutativo el diagrama

M  × N f 

     G    G

g    5    5 H

 H H H H H H H H

φ   

T ′

Ahora consideremos el siguiente diagrama

M × N 

  &    & 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

f      G    G

g

    5    5 H H H H H H H H H

φ   

idT 

 Õ Õ

T ′

ı   

Desde que

idT  ◦ f  = f  y (ı ◦ φ) ◦ f  = ı ◦ (φ ◦ f ) = ı ◦ g = f 

La definicion del producto tensorial nos dice que ı ◦ φ = idT ; ası que ı esun epimorfismno y ⟨Im(f )⟩ = T . 2

Teorema 1.4.2. Si  (T, f ) y  (T ′, f ′) son productos tensoriales sobre  A de los modulos  M  y  N , entonces existe un ´ unico isomorfismo φ : T  → T ′ tal que  φ ◦ f  = f ′.

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1.3 Producto Tensorial de Modulos 21

Demostraci´ on. Desde que T  y T ′ son productos tensoriales de losmodulos M  y N , existen homomorfismos φ : T  → T ′ y φ′ : T ′ → T ,respectivamente, tal que los diagramas son conmutativos

M  × N f 

     G    G

f ′     5    5 H H H

 H H H H H H

φ

   

T ′

M × N f ′

     G    G

f      5    5 H H H H

 H H H H H H

T ′

φ′

   

Consideremos ahora el diagrama

M × N 

  &    & 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

f      G    G

f ′

    5    5 H H H H H H H H H

φ   

idT 

 Õ Õ

T ′

φ′

   

Entonces tenemos que

idT  ◦ f  = f  y (φ′ ◦ φ) ◦ f  = φ′ ◦ (φ ◦ f ) = φ′ ◦ f ′ = f 

Por unicidad tenemos que φ′ ◦ φ = idT . 2

Teorema 1.4.3. Sean los A-m´ odulos M  y N . Entonces existe el productotensorial sobre  A de  M  y  N .

Demostraci´ on. Sea (F, ı) el modulo libre sobre el conjunto M 

×N  y

sea G el submodulo de F  generado por los elementos

ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n)

y

ı(m, b1n1 + b2n2) − b1ı(m, n1) − b2ı(m, n2).

Tomemos el cociente T  = F/G y sea π : F  → T  la proyeccion canonica.Sea f  = π ◦ ı : M  × N  → T  y veamos que el par (T, f ) es un producto

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22 1. Lord Barrera

tensorial de M  y N  sobre A. Para mostra la bilinealidad de f  tomemosm, m1, m2 ∈ M ; n, n1, n2 ∈ N  y a1, a2, b1, b2 ∈ A. Entonces

f (a1m1 + a2m2, n) − a1f (m1, n) − a2f (m2, n)

= π(

ı(a1m1 + a2m2, n))− a1π(ı(m1, n)) − a2π(ı(m2, n))

= π

(ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n)

)= 0

Esto implica que

f (a1m1 + a2m2, n) = a1f (m1, n) + a2f (m2, n)

Similarmente se prueba que

f (m, b1n1 + b2n2) = b1f (m, n1) + b2f (m, n2)

Por tanto, f  es bilineal.

Consideremos ahora un A-modulo R y sea g : M  × N  → R unaaplicacion bilineal. Desde que F  es un A-modulo libre, existe un homo-morfismo α : F  → R tal que el siguiente diagrama es conmutativo

M  × N ı

     G    G

g    5    5 H

 H H H H H H H H

α   

R

Consideremos ahora elementos arbitrarios m, m1, m2 ∈ M ; n, n1, n2 ∈ N y a1, a2, b1, b2 ∈ A. Desde que g es bilineal tenemos que

α(ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n))= α(

ı(a1m1 + a2m2, n))− a1α(ı(m1, n)) − a2α(ı(m2, n))

= g(a1m1 + a2m2, n) − a1g(m1, n) − a2g(m2, n)

= 0

Esto implica que ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n) ∈ N uc(α)y similarmente se tiene que ı(m, b1n1 + b2n2) − b1g(m, n1) + b2g(m, n2) ∈N uc(α). Desde que G es el submodulo de F  generado por estos elementos,

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1.3 Producto Tensorial de Modulos 23

entonces G ⊆ N uc(α). Por tanto, α induce un homomorfismo φ : T  → Rtal que φ ◦ π = α. Luego, en el diagrama

M  × N f 

     G    G

g    5    5 H

 H H H H H H H H

φ

   

R

tenemosφ ◦ f  = φ ◦ (π ◦ ı) = α ◦ ı = g.

Veamos finalmente la unicidad de φ. Para esto consideremos un homo-morfismo ψ : T  → R tal que ψ ◦ f  = g y veamos que ψ = φ. Sea puest ∈ T . Desde que f (M × N ) genera el modulo T , podemos escribir

t = a1f (m1, n1) + . . . + arf (mr, nr)

Entonces tenemos

ψ(t) = a1ψ(

f (m1, n1))

+ . . . + arψ(

f (mr, nr))

= a1g(m1, n1) + . . . + arg(mr, nr)

= φ(t).

Por lo tanto, φ = ψ y se completa la prueba. 2

Ejemplo 1.4.4. Dado un A-modulo M  y a un ideal de A, entonces(A/a

)⊗A M  ∼= M/aM.

La aplicacion A/a × M  → M/aM  definida por ( [a], m) → am + aM  esbilineal; por tanto, existe un homomorfismo φ :

(A/a

) ⊗A M  → M/aM tal que φ( [a] ⊗ m) = am + aM . No hay dificultad en ver que φ esun isomorfismo con inversa ψ : M/aM  → (

A/a) ⊗A M  definida por

m + aM 

→[1]

⊗m.

Ejemplo 1.4.5. Dados los ideales a, b de A, entonces(A/a

)⊗A

(A/b

) ∼= A/(a + b).

Consideremos la aplicacion bilineal(

A/a)× (A/b

)→ A/(a + b) definidapor (a + a, b + b) → ab + a + b. Por la propiedad de producto tensorial,existe un homomorfismo φ :

(A/a

) ⊗A

(A/b

) → A/(a + b) definido por(a + a) ⊗ (b + b) → ab + ab. La inversa de φ es el homomorfismo ψ :A/(a + b) → (

A/a)⊗A

(A/b

)definido por a + a + b → (1 + a) ⊗ (a + b).

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24 1. Lord Barrera

Ejemplo 1.4.6. Si A es un subanillo de B, entonces

M (n, B) ∼= B ⊗A M (n, A).

El isomorfismo es precisamente φ : B ⊗A M (n, A) → M (n, B) definidapor b

(aij

)→(

baij

).

Proposicion 1.4.7. Sea  φ : A → B un homomorfismo de anillos y  M un  A-m´ odulo libre. Entonces  M B = B ⊗A M  es un  B-m´ odulo libre.

Demostraci´ on. Ya sabemos que M B es un B-modulo con la accionB × M B → M B definida por (b, b′⊗ m) → (bb′) ⊗ m. Consideremos ahorauna A-base {mi}i∈I  de M  y veamos que B⊗AM  ∼= B(I ) es un isomorfismode B-modulos. En efecto, a partir del isomorfismo ψ : A → Ami, definidopor a → ami obtenemos el homomorfismo de B-modulos idB ⊗ ψ−1 :B ⊗A Ami → B ⊗A A. Veamos que este ultimo es un monomorfismo, seapues b ⊗ ami ∈ N uc(idB ⊗ ψ−1), entonces

b ⊗ a = (idB ⊗ ψ−1)(b ⊗ ami) = 0

lo que implica

b ⊗ ami = b ⊗ ψ(a) = (idB ⊗ ψ)(b ⊗ a) = 0.

Desde que idB ⊗ ψ−1 es claramente sobreyectiva, conseguimos el isomor-fismo B ⊗A Ami

∼= B ⊗A A ∼= B. Ası pues,

B ⊗A M  = B ⊗A (

i∈I Ami) ∼=

i∈I (B ⊗A Ami) ∼= B(I ).

Por lo tanto, B ⊗A M  es un B-modulo libre. 2

Proposicion 1.4.8. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo. Entonces 

M ⊗A A ∼= M  ∼= A ⊗A M.

Hablar de M [X ]

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1.5. LOCALIZACI ON DE M ODULOS  25

1.5 Localizacion de Modulos

Sea A un anillo, S  un subconjunto multiplicativo de A y M  un A-modulo.El A-homomorfismo µa : M  → M  definido por m → am es llamado“multiplicacion por a”.

Definicion 1.5.1. Se llama m´ odulo de fracciones  con denominador S  a

un par (N, f ) donde f  : M  → N  es un homomorfismo de A-modulos, ypara cada s ∈ S , el homomorfismo µs : N  → N  es biyectiva. Ademas,si (P, g) es otro par con la misma propiedad, entonces existe un unicohomomorfismo φ : N  → P  tal que el siguiente diagrama es conmutativo:

M f 

     G    G

g   2    2 B

 B B B B B B B

φ   

(1.5.2)

A continuacion veremos que el par (N, f ) existe y N  es determinadode manera unica salvo isomorfismo, en este caso se denota N  = M 

S . La

aplicacion f  : M  → M S  es llamada homomorfismo can´ onico.

Existencia. Sea la relacion en M × S  definida por

(m, s) ∼ (m′, s′) si y solo si s′′(s′m − sm′) = 0 para algun s′′ ∈ S.

Es facil verificar que esta relacion es de equivalencia, denotamos a la clasede equivalencia de (m, s) por m

s . Sea N  = (M  × S )/ ∼ y f  : M  → N  laaplicacion definida por f (m) = m

1 . La adicion y multiplicacion en N  sedefinen por las siguientes formulas:

m

s

+m′

s′

=s′m + sm′

ss′

a(ms

) =am

s.

No hay dificultad en mostrar que los resultados son siempre independi-entes de la eleccion del representante (m, s) de la clase m

s . Ademas, secumplen los axiomas de A-modulo, donde 0

1 es el elemento neutro de laadicion y f  : M  → N  es un A-homomorfismo; ademas, para cada s ∈ S , laaplicacion µs : N  → N  es biyectiva. Por otra parte, sea (P, g) otro par talque g : M  → P  es un A-homomorfismo y para cada s ∈ S , la aplicacion

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26 1. Lord Barrera

µs : P  → P  es biyectiva; definimos φ : N  → P  por ms → µ−1s (g(m))

y veamos que φ es el unico A-homomorfismo que hace conmutativo eldiagrama (2.2.10). En efecto

φm1

s1+

m2

s2

= φs2m1 + s1m2

s1s2

= µ−1s1s2(g(s2m1 + s1m2))

= µ−1

s1s2(s2g(m1) + s1g(m2))

= (µ−1s1 ◦ µ−1s2 )(µs2(g(m1)) + µs1(g(m2)))

= µ−1s1 (g(m1)) + µ−1s2 (g(m2)) = φm1

s1

+ φm2

s2

Tambien

φ

am

s

= φam

s

= µ−1s (g(am)) = µ−1s (ag(m))

= aµ−1s (g(m)) = aφm

s

Ademas se cumple que φ

◦f  = g. Ahora supongamos que ψ : N 

→P 

es un homomorfismo tal que ψ ◦ f  = g, entonces

φm

1

= φ(f (m)) = g(m) = (ψ ◦ f )(m) = ψ(f (m)) = ψ

m

1

.

Luego

µs

φm

s

= µs

ψm

s

para todo s ∈ S,

desde que µs es biyectiva se tiene que

φm

s

= ψ

m

s

para todo s ∈ S.

Por lo tanto φ = ψ.

Finalmente, si (N ′, f ′) es otro modulo de fracciones de M  con de-nominador S , entonces existe un unico isomorfismo N  −→ N ′ tal que eldiagrama

M f 

     G    G

f ′    3    3 B B B B B B B B

   

N ′

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1.5 Localizacion de Modulos 27

es conmutativo. Por tanto podemos identificar cualquier modulo de frac-ciones de M  por S  con el modulo M S  construido. De esta manera iden-dificamos m

s con µ−1s (f (m)).Cuando M  = A tenemos el A-modulo AS . La formula

a

sa′

s′ =

aa′

ss′

es una multiplicacion bien definida en AS  el cual dota a AS  con estructurade anillo y f  : A → AS  es un homomorfismo de anillos. El elementounidad de AS  es 1

1 . Ademas, la biyectividad de la aplicacion µs : A → Aes biyectiva para todo s ∈ S  es equivalente a decir que f (S ) ⊆ U (A).

Dado cualquier anillo B y g : A → B un homomorfismo de anilloscon g(S ) ⊆ U (B), entonces B es claramente un A-modulo y µs : B → Bes biyectiva para todo s ∈ S . La aplicacion h : AS  → B con h ◦ f  = ges un homomorfismo de anillos, por tanto podemos definir a AS  por lapropiedad universal.

Definicion 1.5.2. Se llama m´ odulo de fracciones  de A con denominadorel conjunto S  al par (B, f ), donde f  : A → B es un homomorfismo deanillos con f (1) = 1 y f (S ) ⊆ U(B) tal que, si (C, g) es otro objeto conla misma propiedad, entonces existe un unico homomorfismo h : B → C tal que f ◦ h = g.

Como en el caso de modulos de fracciones, todo anillo de fraccionesde A con denominador el conjunto S , es isomorfo a AS .

Cada A-modulo N  para el cual µs es biyectiva para todo s ∈ S  puedeser visto como un AS -modulo definiendo una multiplicacion escalar porla formula a

s

n = µ−1s (an),

a

s∈ AS , n ∈ N.

En particular, el modulo cociente M S  de un A-modulo M  es un AS -modulo con la multiplicacion escalara

s

m

s′

=

am

ss′.

En lo que sigue, M S  sera considerado un AS -modulo. De aquı, patra

cualquier AS -modulo N , la aplicacion µs : N  → N  definida por n →

s1

n

es biyectiva para todo s ∈ S , pues, s1 ∈ U(AS ).

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28 1. Lord Barrera

Proposicion 1.5.1. Sea  A un anillo y  S  un subconjunto multiplicativode  A. Entonces  S ⊆ U(A) si, y s´ olo si, φ : A → AS  es un isomorfismo.

Demostraci´ on. Para un elemento a ∈ N uc(φ) tenemos que a1 = 0

1 ,entonces existe s′ ∈ S  con s′a = 0; pero, s′ ∈ U(A) lo que implica quea = 0. Por tanto φ es inyectiva. Por otro lado, sea a

s ∈ AS  y consideremosa′ = s−1a, luego φ(a′) = a

s , de donde obtenemos que φ es sobreyectiva.

Recıprocamente, si s ∈ S , entonces 1s ∈ AS  y como φ es sobreyectiva

obtenemos que φ(a) = 1s para algun a ∈ A. De aquı, a

1 = 1s , lo que

implica sa1 = 1

1 ; ahora bien, desde que φ es inyectiva debemos tener quesa = 1. Por tanto s ∈ U(A). 2

Definicion 1.5.3. Sea f  : A → B un homomorfismo de anillos. Dadoun ideal I  de A y un ideal J  de B, el ideal f (I )B se denota por I e y alideal f −1(J ) por J c.

Un ideal I  es llamado contraido si I  = J c para algun ideal J  de B yun ideal J  de B es llamado extendido si J  = I e para algun ideal I  de A.

Observacion 1.5.1. A partir de la definicion es facil verificar las inclu-siones

I  ⊆ I ec y J ce ⊆ J,

luego se tiene que I e ⊆ I ece, y haciendo J  = I e en la segunda inclusion,obtenemos que I ece ⊆ I e, por tanto I ece = I e. De manera similar con-seguimos J cec = J c. De esta manera obtenemos una biyeccion entre lacoleccion de ideales contraidos de A y la coleccion de ideales extendidosen B.

Tambien, si J  es un ideal de B, entonces A/J c puede ser visto comosubanillo de B/J ; ası, dado un ideal primo p de B, entonces pc es un idealprimo de A.

Consideremos el homomorfisno canonico f  : A → AS 

Lema 1.5.2. Si  I  es un ideal de  A, entonces 

I e = x

s: x ∈ I, s ∈ S 

}.

Demostraci´ on. Por definicion tenemos que I e = f (I )AS . Dado unelemento y ∈ I e, entonces para algunos elementos xi ∈ I  y ai

si∈ AS 

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1.5 Localizacion de Modulos 29

obtenemos que

y =x1a1

s1+ . . . +

xrar

sr

=x1

1

a1s1

+ . . . +

xr

1

ar

sr

= (x1a1 j=1

s j + . . . + xrar j=r

s j)/ s j

Luego y ∈ { xs : x ∈ I, s ∈ S }. Recıprocamente, si y ∈ { x

s : x ∈ I, s ∈S }, entonces y = x

s =

x1

1s

∈ I e. 2

Lema 1.5.3. Todo ideal primo p de  A tal que  p ∩ S  = ∅, es un ideal contraido; adem´ as, pe es un ideal primo.

Demostraci´ on. Tomemos un ideal primo p de A tal que p ∩ S  = ∅ yveamos que pe es un ideal primo de AS . Sea a1

s1a2s2

∈ pe con s1, s2 ∈ S ,luego sa1a2 ∈ p para algun s ∈ S . Desde que s ∈ p, entonces a1 ∈ p

o a2 ∈ p, por tantoa1s1 ∈ p

e

oa2s2 ∈ p

e

. Veamos ahora que p = pec

. Sib ∈ pec, entonces b

1 ∈ pe y por el lema anterior podemos escribir b1 = pa

s ,donde p ∈ p, a ∈ A y s ∈ S . Ası, existe s′ ∈ S  tal que sb ∈ p y desde quep ∩ S  = ∅ tenemos que b ∈ p, o sea pec ⊆ p. Por lo tanto p = pec. 2

Proposicion 1.5.4. Sea  A un anillo y  S  un subconjunto multiplicativode  A.

1. Para cualquier ideal  J  de  AS  se tiene que  J  = J ce, por tanto la aplicaci´ on  J  → J c es una inyecci´ on entre el conjunto de ideales de AS  y el conjunto de ideales de  A.

2. Un ideal  I  de  A es contraido si, y s´ olo si, I ec = I . De aqui, la cor-respondencia  J  → J c es una biyecci´ on entre el conjunto de ideales primos de AS  y el conjunto de ideales primos de  A cuya intersecci´ on con  S  es vacıa.

Demostraci´ on. 1. Sea J  un ideal de AS . Sabemos que J ce ⊆ J ; ahorabien, si a

s ∈ J  con a ∈ A y s ∈ S , entonces a ∈ J c, lo que implica queas ∈ J ce. Ademas, si J 1 y J 2 son ideales de AS  con J c1 = J c2, entoncesJ 1 = J ce1 = J ce2 = J 2.

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30 1. Lord Barrera

2. Sea I  un ideal contraido de A, luego I  = J c para algun ideal J  deAS . De aquı, I ec = J cec = J c, por tanto, I  = I ec. La parte recıproca esinmediata.

Finalmente, sea E la coleccion de ideales primos de A que no intersecana S  y F  la coleccion de primos de AS . Definimos E → F  por p → pe

y F  → E por q → q c. De acuerdo al lema 2.3.3 obtenemos que esta

correspondencia es biyectiva.2

A continuacion veamos una consecuencia importante de la proposicionanterior

Proposicion 1.5.5. Si A es un anillo noetheriano, entonces AS  es noethe-riano.

Demostraci´ on. Si J  es ideal de AS , de acuerdo a la proposicion 2.3.4tenemos que J  = J ce. Desde que A es noetheriano, el ideal J c tiene unconjunto finito de generadores, luego las imagenes de estos generadoresen AS  generan el ideal J . 2

Proposicion 1.5.6. Sea p un ideal primo de  A.

1. Existe una biyecci´ on entre el conjunto de ideales primos de  A con-tenidos en p, y el conjunto de ideales primos de  Ap.

2. El ideal pe es el ´ unico ideal maximnal de  Ap.

Demostraci´ on. 1. Es consecuencia inmediata de la afirmacion 2 en laproposicion 2.3.4.

2. Si m es ideal maximal de Ap, entonces primo; podemos escribirm = pe1 para algun ideal primo p de A con p1 ⊆ p, luego pe1 ⊆ pe = Ap;asi que m = pe. Por tanto pe es el unico ideal maximal de Ap. 2

Anillos con un unico ideal maximal como Ap son de gran interes.

Enseguida caracterizaremos tales tipos de anillos.

Proposicion 1.5.7. Sea  A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A tiene un ´ unico ideal maximal.

2. Existe ideal maximal m′ A tal que  A \ U(A) ⊆ m′.

3. A \ U(A) es un ideal.

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1.5 Localizacion de Modulos 31

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Si a ∈ A − U(A), entonces ⟨a⟩ A, por tantoexiste ideal maximal m en A con ⟨a⟩ ⊆ m. De aquı, a ∈ m y A\U(A) ⊆ m.

2 ⇒ 3. Desde que m′ A, existe ideal maximal m tal que m′ ⊆ m,pero m ⊆ A \U(A), de donde, obtenemos que m = A \ U(A).

3 ⇒ 1. Sea el ideal m′ = A \ U(A). Si a ∈ m′, entonces A = ⟨a⟩ ⊆⟨a,m′⟩ ⊆ A. Ası, A = ⟨a,m′⟩ lo que implica que m′ es un ideal maximal.

Ahora bien, sea m cualquier ideal maximal de A, luego m ⊆ m

A; dedonde, m′ = m. 2

Definicion 1.5.4. Un anillo verificando cualquiera de las afirmacionesde la proposicion 2.3.7 es llamado anillo local . Un anillo local A con idealmaximal m es denotado por (A,m, k), donde k = A/m.

Sigue de la proposicion 2.3.6 que, si p es ideal primo de A, el anilloAp es un anillo local, este anillo es llamado localizaci´ on  de A en p y desde gran importancia en el estudio de las funciones regulares en un puntode una variedad.

Proposicion 1.5.8. Sea  M  un  A-m´ odulo, S  un subconjunto multiplica-

tivo de  A y  N  un subm´ odulo de  M . Entonces 

(M/N )S  ∼= M s/N s.

Demostraci´ on. Se define

φ : (M/N )S  −→ M s/N s[m]s −→ m

s + N S 

Veamos que φ esta bien definida. Si [m1]s1

= [m1]s1

, entonces existe s ∈ S tal que

N  = s(s2[m1] − s1[m2]) = ss2[m1] − ss1[m2] = [ss2m1 − ss1m2]

lo que implica ss2m1 − ss1m2 ∈ N . Luego

m1

s1− m2

s2=

ss2m1 − ss1m2

ss1s2∈ N S 

lo que implica que m1

s1+ N S  = m2

s2+ N S .

Por otro lado, si tambien [m1] = [m2], entonces m1 − m2 ∈ N  lo queimplica que m1−m2

s ∈ N S , por tanto m1

s1+ N S  = m2

s2+ N S .

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7/27/2019 Modulos Lord Barrera

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32 1. Lord Barrera

Veamos que φ es inyectiva. Sea m1

s1+ N S  = m2

s2+ N S . Entonces

ns = s2m1−s1m2

s1s2= m1

s1− m2

s2∈ N S , luego existe s′ ∈ S  tal que s′(ss2m1 −

ss1m2 − s1s2n) = 0, de aquı s′ss2m1 − s′ss1m2 = s′ss1s2n ∈ N  lo queimplica s′s(s2m1 − s1m2) ∈ N , es decir, s′s(s2[m1] − s1[m2]) = N . Por

tanto [m1]s1

= [m2]s2

.Claramente φ es sobreyectiva.

Veamos finalmente que φ es un homomorfismo de AS -modulos.

φ [m1]

s1+

[m2]

s2

= φs2[m1] − s1[m2]

s1s2

= φ [s2m1 − s1m2]

s1s2

=

s2m1 − s1m2

s1s2+ N S  =

m1

s1+

m2

s2+ N S 

= φ [m1]

s1

+ φ [m2]

s2

Tambien

φa

s

[m]

s′ = φa[m]

ss′ = φ([am]

ss′)

=am

ss′+ N S  =

a

s

m

s′+ N S 

=a

s

a

s+ N S 

=

a

sφ [m]

s′

2

Corolario 1.5.9. Sea A un anillo y p ideal primo de A. Entonces (A/p)py  Ap/pAp son isomorfos como Ap-m´ odulos.

1.6 Ejercicios

Page 43: Modulos Lord Barrera

7/27/2019 Modulos Lord Barrera

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Capıtulo 2

Sucesiones Exactas de

Modulos

2.1 Sucesiones Exactas

Definicion 2.1.1. Sea A un anillo. Una sucesion de A-modulos y homo-morfismos (M n, φn)n∈Z es un sistema de la forma

· · ·−→ M n−1φn−→ M n

φn+1−→ M n+1 −→·· ·

La sucesion es llamada exacta  si Im(φn) = N uc(φn+1) para todo n ∈ Z.Entonces se dice que el diagrama es exacto o simplemente que la sucesiones exacta.

Ejemplo 2.1.1. 0 −→ M φ−→ N  es exacta si y solo si φ es inyectiva.

Ejemplo 2.1.2. M φ

−→N 

−→0 es exacta si y solo si φ es sobreyectiva.

Ejemplo 2.1.3. 0 −→ M φ−→ N  −→ 0 es exacta si y s olo si φ es

biyectiva.

Ejemplo 2.1.4. Sean p y q  primos distintos. Entonces la sucesion

0 −→ Z pφ−→ Z p2 π−→ Z p −→ 0

es exacta, donde φ(m) = pm y π es la proyeccion canonica.

33

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34 1. Lord Barrera

Definicion 2.1.2. Una sucesion exacta de la forma

0 −→ N ı−→ M 

π−→ P  −→ 0

es llamada sucesi´ on exacta corta 

Ejemplo 2.1.5. 0 −→ N ı−→ M 

π−→ P  −→ 0 es exacta si y solo si ı es

inyectiva y π es sobreyectiva y im(ı) = N uc(π). Entonces ı induce un iso-morfismo de N  sobre el submodulo ı(N ) de M  y π induce un isomorfismoM/ı(N ) ∼= P .

Lema 2.1.6. Sea  ı : M  → N  un monomorfismo y  α : N  → M  un homomorfismo tal que  α ◦ ı = idM . Entonces  N  = Im(ı) ⊕ N uc(α).

Demostraci´ on. Si ı(y) = x ∈ N uc(α) ∩ Im(ı), entonces 0 = α(x) =α(ı(y)) = y, de donde x = 0, lo cual implica N uc(α) ∩ Im(ı) = {0}. Porotro lado, dado n ∈ N , podemos escribir n = ı(α(n)) + (n − ı(α(n))).Tambien

α(n − ı(α(n))) = α(n) − (α ◦ ı)(α(n)) = α(n) − α(n) = 0,

luego n − ı(α(n)) ∈ N uc(α), lo que implica N  = Im(ı) + N uc(α). Por lotanto, se deduce que N  = Im(ı) ⊕ N uc(α). 2

Teorema 2.1.7. Sea la siguiente sucesi´ on exacta corta 

0 −→ M ı−→ N 

π−→ P  −→ 0.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Existe un homomorfismo α : N  → M  tal que  α ◦ ı = idM .

2. Existe un homomorfismo β  : P  → N  tal que  π ◦ β  = idP .3. Im(ı) = N uc(π) es un sumando directo de  N .

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea p ∈ P . Entonces p = π(n) para algunn ∈ N . La corresponcencia β  : P  → N  por β ( p) = n − ı(α(n)) esta biendefinida. Veamos esto, si p = π(n′), entonces n − n′ ∈ N uc(π) = Im(ı).Ahora bien, en la igualdad

(n − ı(α(n))) − (n′ − ı(α(n′))) = (n − n′) + (ı(α(n′)) − ı(α(n))),

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7/27/2019 Modulos Lord Barrera

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1.1 Sucesiones Exactas 35

el termino de la izquierda esta en N uc(α) y el termino de la derecha estaen Im(ı). Por el lema anterior sigue que

n − ı(α(n)) = n′ − ı(α(n′))

de donde, β  esta bien definida.

Veamos ahora que β  es un homomorfismo. Si p, p′

∈P , entonces

 p = π(n) y p′ = π(n′) para algunos n, n′ ∈ N  . Entonces

β (ap + bp′) = β (aπ(n) + bπ(n′)) = β (π(an + bn′))

= (an + bn′) − ı(α(an + bn′))

= (an + bn′) − [ı(α(an)) + ı(α(bn′))]

= a(n − ı(α(n))) + b(n′ − ı(α(n′)))

= aβ ( p) + bβ ( p′).

Finalmente, veamos que π ◦ β  = idP . Dado p ∈ P , existe n ∈ N  talque p = π(n). Entonces

(π ◦ β )( p) = π(β ( p)) = π(n − ı(α(n))) = π(n) − π(ı(α(n)))

= π(n) = p = idP ( p).

2 ⇒ 3. De acuerdo al lema anterior, N  = Im(β ) ⊕ N uc(π). Luego,Im(ı) = N uc(π) es un sumando directo de N .

3 ⇒ 1. Sea N  = Im(ı) ⊕ N ′. Dado n ∈ N , podemos escribir n =ı(m) + n′, donde m ∈ M  y n′ ∈ N ′. Hacemos α(n) = m, entonces αesta bien definida, pues, es inyectiva; ademas α es un homomorfismo.Finalmente, por definicion tenemos que (α ◦ ı)(m) = m = idM (m). 2

Definicion 2.1.3. Una sucesion que verifica cualquiera de las afirma-ciones anteriores es llamada sucesi´ on exacta trivial .

Ejemplo 2.1.8. Sean p y q  primos distintos. Entonces la sucesion

0 −→ Z pφ−→ Z pq π−→ Zq −→ 0

es una sucesion exacta trivial, donde φ(m) = qm y π es la proyeccioncanonica.

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36 1. Lord Barrera

Teorema 2.1.9. (El lema de los cuatro). Si en el siguiente diagrama conmutativo de homomorfismos de  A-m´ odulos 

M φ

     G    G

α   

N ϕ

     G    G

β   

P ψ

     G    G

γ 

   

Q

δ   

M ′ φ′

     G    G

N ′ ϕ′

     G    G

P ′ ψ′

     G    G

Q′

las dos filas son exactas, α es un epimorfismo y  δ  es un monomorfismo,entonces se tiene 

Im(β ) = (ϕ′)−1(Im(γ )) y  N uc(γ ) = ϕ(N uc(β )).

Demostraci´ on. Veamos la primera igualdad. Sea n′ ∈ Im(β ). En-tonces existe n ∈ B tal que β (n) = n′. Debido a la conmutatividad deldiagrama tenemos

ϕ′(n′) = ϕ′(β (n)) = γ (ϕ(n)) ∈ Im(γ ).

Esto implica que n′ ∈ (ϕ′)−1(Im(γ )). Por lo tanto, Im(β ) ⊆ (ϕ′)−1(Im(γ )).Recıprocamente, sea n′ ∈ (ϕ′)−1(Im(γ )). Entonces p′ = ϕ′(n′) ∈

Im(γ ); de aquı, existe p ∈ P  con p′ = γ ( p). Por la exactitud de lasegunda fila tenemos ψ′( p′) = ψ′(ϕ′(n′)) = 0. Luego,

δ (ψ( p)) = ψ′(γ ( p)) = ψ′( p′) = 0.

Como δ  es un monomorfismo, entonces ψ( p) = 0. Ası, obtenemos que p ∈ N uc(ψ) = Im(ϕ). Por la exactitud de la primera fila, existe n ∈ N tal que ϕ(n) = p. Ahora bien, desde que

ϕ′(n′

−β (n)) = ϕ′(n′)

−ϕ′(β (n)) = ϕ′(n′)

−γ (ϕ(n)) = p′

− p′ = 0,

el elemento n′ − β (n) pertenece a N uc(ϕ′) = Im(φ′). Sigue entoncesque existe m′ ∈ M ′ con φ′(m′) = n′ − β (n); ademas, como α es unepimorfismo, existe m ∈ M  con α(m) = m′. Ahora consideremos elelemento φ(m) + n ∈ N . Entonces

β (φ(m) + n) = β (φ(m)) + β (n) = φ′(α(m)) + β (n) = φ′(m′) + β (n) = n′.

Esto implica que n′ ∈ Im(β ). Por lo tanto, (ϕ′)−1(Im(γ )) ⊆ Im(β ).

Page 47: Modulos Lord Barrera

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2.1 Longitud de Modulos 37

Veamos la segunda igualdad. Sea p ∈ N uc(γ ). Entonces γ ( p) = 0.Por la conmutatividad del diagrama tenemos

δ (ψ( p)) = ψ′(γ ( p)) = ψ′(0) = 0.

Desde que δ  es un monomorfismo, entonces ψ( p) = 0; ası obtenemos que p

∈N uc(ψ) = Im(ϕ). Luego, existe un elemento n

∈N  con ϕ(n) = p.

Sea n′ = β (n). Por la conmutatividad del diagrama obtenemos

ϕ′(n′) = ϕ′(β (n)) = γ (ϕ(n)) = γ ( p) = 0.

Esto implica que n′ ∈ N uc(ϕ′) = Im(φ′). Asi que existe m′ ∈ M ′ talque φ′(m′) = n′. Desde que α es un epimorfismo, existe m ∈ M  tal queα(m) = m′. Por la conmutatividad del diagrama obtenemos

β (n − φ(m)) = β (n) − β (φ(m)) = β (n) − φ′(α(m)) = n′ − n′ = 0.

Esto implica que n − φ(m) ∈ N uc(β ). Por otra parte,

ϕ(n − φ(m)) = ϕ(n) − ϕ(φ(m)) = p.

Esto implica que p ∈ ϕ(N uc(β )). Por lo tanto, N uc(γ ) ⊆ ϕ(N uc(β )).Recıprocamente, sea p ∈ ϕ(N uc(β )). Entonces existe n ∈ N uc(β ) con

ϕ(n) = p. Por la conmutatividad del diagrama tenemos

γ ( p) = γ (ϕ(n)) = ϕ′(β (n)) = ϕ′(0) = 0.

Esto implica que p ∈ N uc(γ ). Por lo tanto, ϕ(N uc(β )) ⊆ N uc(γ ). 2

Corolario 2.1.10. (El lema de los cinco). Si en el siguiente diagrama conmutativo de homomorfismos de  A-m´ odulos 

M φ

     G    G

α   

N ϕ

     G    G

β   

P ψ

     G    G

γ 

   

     G    G

δ   

R

ε   

M ′φ′

     G    G N ′ϕ′

     G    G P ′ψ′

     G    G Q′ µ′     G    G R′

las dos filas son exactas y los homomorfismos α,β,δ  y ε son isomorfismos,entonces  γ  es un isomorfismo.

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38 1. Lord Barrera

2.2 Lemas de la Serpiente

Definicion 2.2.1. Sea φ : M  → N  es un homomorfismo de A-modulos.El A-modulo Coim(φ) := M/Nuc(φ) se llama coimagen  de φ y el A-modulo Conuc(φ) := N/Im(φ) se llama con´ ucleo de φ.

A continuacion estableceremos algunas propiedades de estos modulos.

Proposicion 2.2.1. Dado el siguiente diagrama conmutativo de homo-morfismos de  A-m´ odulos.

M φ

     G    G

α   

β   

M ′φ′

     G    G N ′

(2.2.1)

Entonces existen homomorfismos:

1. N uc(α) → N uc(β ).

2. Im(α) → Im(β ).

3. Conuc(α) → Conuc(β ).

4. Coim(α) → Coim(β ).

Demostraci´ on. 1. Veamos que φ(N uc(α)) ⊆ N uc(β ). Dado n ∈φ(N uc(α)), existe m ∈ N uc(α) tal que n = φ(m). Entonces

β (n) = β (φ(m)) = φ′(α(m)) = φ′(0) = 0.

Por tanto se tiene el homomorfismo φNuc(α): N uc(α)

→N uc(β ).

2. Veamos que φ′(Im(α)) ⊆ Im(β ). Dado n′ ∈ φ′(Im(α)), existem′ ∈ Im(α) tal que n′ = φ′(m′); sea m′ = α(m). Luego

n′ = φ′(m′) = φ′(α(m)) = β (φ(m)) ∈ Im(β )

De aquı, se sigue el homomorfismo φ′Im(α)

: Im(α) → Im(β ).

3. Consideremos los homomorfismos M ′φ′

−→ N ′πN ′−→ N ′/Im(β ),

donde πN ′ es el epimorfismo canonico. Desde que el diagrama (2.2.1)

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2.1 Longitud de Modulos 39

es conmutativo, Im(α) ⊆ N uc(πN ′ ◦ φ′). Por el lema 1.1.17, existe unhomomorfismo Conuc(α) = M ′/Im(α) → N ′/Im(β ) = Conuc(β ).

4. Consideremos los homomorfismos M φ−→ N 

πN −→ N/Nuc(β ), dondeπN  es el epimorfismo canonico. Veamos que N uc(α) ⊆ N uc(π ◦ φ); seam ∈ N uc(α), entonces β (φ(m)) = φ′(α(m)) = 0, o sea, φ(m) ∈ N uc(β ),que implica (π ◦ φ)(m) = 0. El lema 1.1.17 nos dice que existe un homo-

morfismo Coim(α) = M/Nuc(α) → N/Nuc(β ) = Coim(β ).2

Observacion 2.2.1. De acuerdo a la proposicion anterior tenemos ho-momorfismos N uc(α) → N uc(β ) y Conuc(α) → Conuc(β ) tal que lossiguientes diagramas son conmutativos

N uc(α) G    G

   

N uc(β )

   

M φ

     G    G N 

M ′φ′

     G    G

   

N ′

   

Conuc(α) G    G Conuc(β )

Lema 2.2.2. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de homo-morfismos de  A-m´ odulos 

M φ

     G    G

α   

N ψ

     G    G

β   

γ    

M ′φ′

     G    G N ′ψ′

     G    G P ′

donde las dos filas son exactas. Se cumplen:

1. Si  γ  es inyectiva, entonces 

Im(β ) ∩ Im(φ′

) = Im(φ′

◦ α) = Im(β ◦ φ).

2. Si  α es sobreyectiva, entonces 

N uc(β ) + Im(φ) = N uc(ψ′ ◦ β ) = N uc(γ ◦ ψ).

Demostraci´ on. 1. Es claro que se tiene

Im(φ′ ◦ α) = Im(β ◦ φ) ⊆ Im(β ) ∩ Im(φ′)

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40 1. Lord Barrera

Recıprocamente, si n′ ∈ Im(β ) ∩ Im(φ′), existe n ∈ N  tal que n′ = β (n).Desde que ψ′ ◦ φ′ = 0, entonces

0 = ψ′(n′) = ψ′(β (n)) = (γ ◦ ψ)(n) = γ (ψ(n))

y como γ  es inyectiva, ψ(n) = 0; ası que n ∈ N uc(ψ) = Im(φ) y existem ∈ M  tal que n = φ(m). Por tanto, n′ = β (φ(m)) ∈ Im(β ◦ φ).

2. Desde que ψ′ ◦ φ′ = 0, es claro que

N uc(β ) + Im(φ) ⊆ N uc(ψ′ ◦ β ) = N uc(γ ◦ ψ)

Recıprocamente, sea n ∈ N uc(ψ′ ◦ β ), o sea que, ψ′(β (n)) = 0; de aquı,β (n) ∈ N uc(ψ′) = Im(φ′). Sea m′ ∈ M ′ tal que β (n) = φ′(m′), como αes sobreyectiva existe m ∈ M  tal que α(m) = m′. Entonces se tiene

β (n) = φ′(m′) = φ′(α(m)) = β (φ(m))

o sea, n − φ(m) ∈ N uc(β ) y n ∈ N uc(β ) + Im(φ). 2

Observacion 2.2.2. Sea el siguiente diagrama conmutativo de homo-

morfismos de A-modulos

M φ

     G    G

α   

N ψ

     G    G

β   

γ    

M ′φ′

     G    G N ′ψ′

     G    G P ′

(2.2.2)

donde las dos filas son exactas. Entonces obtenemos el diagrama

N uc(α)u1

     G    G

ı   

N uc(β )v1

     G    G

 ȷ

   

N uc(γ )

k   

M  φ      G    G

α   

N  ψ      G    G

β   

γ    

M ′φ′

     G    G

 p

   

N ′ψ′

     G    G

q

   

P ′

r   

Conuc(α)u2

     G    G Conuc(β )v2

     G    G Conuc(γ )

(2.2.3)

donde v1 ◦ u1 = 0 y v2 ◦ u2 = 0.

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2.1 Longitud de Modulos 41

Teorema 2.2.3. Con las consideraciones en la observaci´ on anterior, se cumplen:

1. Se tiene v1 ◦u1 = 0; adem´ as, si  φ′ es inyectiva, entonces la primera  fila de  (2.2.3) es exacta.

2. Se tiene v2◦u2 = 0; adem´ as, si ψ es sobreyectiva, entonces la cuarta 

 fila de  (2.2.3) es exacta.

3. Si φ′ es inyectiva y  ψ es sobreyectiva, entonces existe un homomor- fismo δ  : N uc(γ ) → Conuc(α). Adem´ as, la sucesi´ on 

N uc(α)u1−→ N uc(β )

v1−→N uc(γ )δ−→

δ−→ Conuc(α)u2−→ Conuc(β )

v2−→ Conuc(γ )

es exacta.

Demostraci´ on. 1. Como u1 y v1 tienen los mismos graficos que las

restricciones de φ y ψ a N uc(α) y N uc(β ), respectivamente, entoncesv1 ◦ u1 = 0. Por otro lado,

N uc(v1) = N uc(β ) ∩ N uc(ψ) = N uc(β ) ∩ Im(φ)

= Im( ȷ) ∩ Im(φ) = Im(u1),

donde la ultima igualdad se sigue del lema 2.2.2.2. Como u2 y v2 provienen de φ y ψ por pasar a los cocientes, es claro

que v2 ◦ u2 = 0. Supongamos ahora que ψ es sobreyectiva; como p y q son sobreyectivas, de acuerdo al lema 2.2.2 se sigue que

N uc(v2) = q (N uc(v2

◦q )) = q (N uc(ψ′) + Im(β ))= q (N uc(ψ′)) = q (Im(φ′)) = Im(q ◦ φ′)

= Im(u2 ◦ p) = Im(u2).

3.

Corolario 2.2.4. Supongamos que el diagrama  (2.2.2) es conmutativo y que sus filas son exactas. Entonces 

1. Si  φ′, α y  γ  son inyectivos, entonces  β  es inyectivo.

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42 1. Lord Barrera

2. Si  ψ, α y  γ  son sobreyectivas, entonces  β  es sobreyectiva.

Demostraci´ on.

Corolario 2.2.5. Supongamos que el diagrama  (2.2.2) es conmutativo y que sus filas son exactas. Se cumplen:

1. Si β  es inyectivo, y si  α y  ψ son sobreyectivos, entonces  γ  es inyec-tivo.

2. Si  β  es sobreyectivo, y si  γ  y  φ′ son inyectivos, entonces  α es so-breyectivo.

Demostraci´ on.

2.3 Exactitud del Hom

2.4 Exactitud del Producto Tensorial

2.5 Exactitud de la Localizacion

Proposicion 2.5.1. Si la sucesi´ on de m´ odulos 

0 −→ M ′ −→ M  −→ M ′′ −→ 0

es exacta, entonces la sucesi´ on 

0 −→ M ′S  −→ M S  −→ M ′′S  −→ 0

es tambien exacta.

2.6 Ejercicios

Page 53: Modulos Lord Barrera

7/27/2019 Modulos Lord Barrera

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Capıtulo 3

Condiciones de Cadena

3.1 Longitud de Modulos

Definicion 3.1.1. Sea M  un A-modulo. Se dice que M  es un m´ odulosimple  si sus unicos submodulos son {0} y M .

Ejemplo 3.1.1. Todo K -espacio vectorial de dimension 1 es un K -modulo simple.

Observacion 3.1.1. Sea A un anillo e I  ideal de A. Identificando losA-modulos anulados por I  y los A/I -modulos, tenemos que un A-moduloanulado por I  es simple si y solo si es simple como A/I -modulo.

Definicion 3.1.2. Sea M  un A-modulo. Una serie normal  para M  esuna cadena

M  = M 0 M 1 . . . M l = 0 (3.1.1)

de submodulos M i de M . El numero l es llamado longitud  de la serie nor-

mal. La serie normal (2.1.1) es llamada serie de composici´ on  si M i/M i+1

es un A-modulo simple para cada i = 0, 1, . . . , l − 1.

Ejemplo 3.1.2. Sea el Z-modulo Z24. Entonces la serie normal

Z24 ⟨2⟩ ⟨12⟩ 0

no es una serie de composicion; sin embargo, las series

Z24 ⟨2⟩ ⟨4⟩ ⟨8⟩ 0

43

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2.1 Longitud de Modulos 45

ya que la serie considerada como en (2.1.1), es una serie de composicion.Consideremos la siguiente serie normal

M  = M 1 + M ′1 M ′1 M 1 ∩ M ′1 . . . 0.

Desde que M 1 posee una serie de composicion de longitud l − 1 y M 1 ∩M ′1 M 1, entonces M 1 ∩ M ′1 tiene una serie normal de longitud ≤ l − 2

y, por tanto, una serie de composicion de longitud ≤ l − 2. Ahora bien,como no existe submodulo contenido propiamente entre M 1 ∩ M ′1 y M ′1,entonces M ′1 posee una serie de composicion de longitud l−1. Luego, porhipotesis inductiva tenemos que m − 1 ≤ l − 1, o tambien m ≤ l. Estocompleta la demostracion del lema. 2

Corolario 3.1.5. Dos series de composici´ on para un A-m´ odulo M  tienen la misma longitud, y cualquier serie normal para  M  se extiende a una serie de composici´ on.

Demostraci´ on. Considereando dos series de composicion de longitudesl y m, entonces se tiene claramente la igualdad l = m, ya que ambas seriesson normales. La segunda afirmacion es tambien inmediata, pues, si unaserie normal no puede ser extendido a una serie de composicion, entoncestendrıamos dos series de composicion de distinta longitud. 2

Definicion 3.1.3. De acuerdo al corolario anterior, todas las series decomposicion para M  tienen la misma longitud, este numero comun esllamado longitud del modulo M  y se denota por longA(M ) o simplementepor l(M ). Por tanto, un modulo simple tiene longitud uno y el modulo{0} tiene longitud cero. Si M  no posee serie de composicion, entoncesdecimos que M  tiene longitud infinita y denotamos por l(M ) = ∞, eneste caso existe una cadena para M  de longitud arbitrariamente grande.

Proposicion 3.1.6. Sea M  un  A-m´ odulo y  N  un subm´ odulo de  M . En-

tonces  M  tiene longitud finita si y s´ olo si N  y M/N  tienen longitud finita,en este caso se tiene 

l(M ) = l(N ) + l(M/N ).

Demostraci´ on. Supongamos que M  tenga longitud finita. Si M  = N o M  = 0, la afirmacion es obvia. Sea M  N  0. De acuerdo al corolario2.1.5, conseguimos una serie de composicion para M , digamos

M  = M 0 M 1 . . . M l = N M l+1 . . . M n = 0.

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46 1. Lord Barrera

De donde, obtenemos una serie de descomposicion para N 

N  = M l+1 M 1 . . . M n = 0.

Por tanto, obtenemos la siguiente serie de descomposicion para M/N 

M/N  = M 0/N M 1/N  . . . M l/N  = 0,

Recıprocamente, si N  y M/N  tienen longitud finita, sea

N  = N 0 N 1 . . . N l = 0.

una serie de descomposicion para N  y sea

M/N  = M 0/N M 1/N  . . . M s/N  = 0

una serie de descomposicion para M/N . Entonces

M  = M 0 M 1 . . . M s = N 0 N 1 . . . N l = 0

es una serie de descomposicion para M . 2

Corolario 3.1.7. Sea M  un A-m´ odulo de longitud finita y N  un subm´ odulode  M . Entonces  M  = N  si y s´ olo si  l(M ) = l(N ).

Proposicion 3.1.8. Sea una sucesi´ on exacta de  A-m´ odulos de longitud  finita 

0 −→ M 0φ0−→ M 1

φ1−→ M 2φ2−→ . . .

φn−2−→ M n−1φn−1−→ M n −→ 0.

Entonces  ni=1

(−1)il(M i) = 0.

Demostraci´ on. La afirmacion es inmediata para n = 1. Razonemosahora por induccion sobre n. Sea M ′n−1 = Im(φn−2) y consideremos lasucesion

0 −→ M 0φ0−→ M 1

φ1−→ M 2φ2−→ . . .

φn−3−→ M n−2φn−2−→ M ′n−1 −→ 0,

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2.1 Longitud de Modulos 47

la cual es exacta. Por tanto,

n−2i=0

(−1)il(M i) + (−1)n−1l(M ′n−1) = 0. (3.1.5)

Por otra parte, de la sucesion exacta

0 −→ M ′

n−1 −→ M n−1 −→ M n −→ 0,tenemos que

l(M ′n−1) + l(M ′n) = l(M n−1). (3.1.6)

Finalmente, la prueba sigue de (2.1.5) y (2.1.6). 2

Proposicion 3.1.9. Sea la siguiente serie normal para  M 

M  = M 0 M 1 . . . M l = 0.

Si para cada  i = 0, 1, . . . , l − 1, M i/M i+1 tiene longitud finita, entonces 

l(M ) =

l−1

i=0 l(M i/M i+1).

Demostraci´ on. Por la proposicion 2.1.6 tenemos las igualdades

l(M ) = l(M/M 1) + l(M 1)

l(M 1) = l(M 1/M 2) + l(M 2)

... =...

l(M l−1) = l(M l−1/M l) + l(M l).

Ahora bien, la afirmacion sigue por reemplazar cada igualdad en la ante-rior.

2

3.2 Modulos Noetherianos y Artinianos

Definicion 3.2.1. Un A-modulo M  es llamado noetheriano si toda ca-dena

M 1 M 2 . . . M n . . .

de submodulos de M  es finita.

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48 1. Lord Barrera

Proposicion 3.2.1. Sea  M  un  A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. M  es noetheriano.

2. Todo subm´ odulo de  M  es finitamente generado.

3. Toda colecci´ on no vacıa de subm´ odulos de  M  tiene elemento maxi-

mal.

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea N  submodulo de M  y supongamos queno es finitamente generado. Es claro que N  = 0, elegimos un elementono nulo m1 ∈ N , entonces ⟨m1⟩ N ; elegimos m2 ∈ N  \ ⟨m1⟩, luego⟨m1, m2⟩ N , procediendo recursivamente, conseguimos una cadena cre-ciente de submodulos de M 

⟨m1⟩ ⟨m1, m2⟩ . . . ⟨m1, . . . , ms⟩ . . .

Pero esto es una contradiccion, ya que, N  es finitamente generado.2

⇒3. Sea S una coleccion no vacıa de submodulos de M  y N 0 un

elemento de S. Si N 0 no es maximal, entonces existe submodulo N 1 ∈ S

tal que N 0 N 1. Si N 1 no es maximal, entonces existe submodulo N 2 ∈ S

tal que N 1 N 2. Si S no tiene elemento maximal, entonces obtenemosuna cadena infinita de submodulos de M 

N 0 N 1 . . . N l . . .

Sea N  = ∪∞i=0N i. Entonces N  es tambien un submodulo de M . Deacuerdo a la hipotesais, N  es finitamente generado, entonces existen el-ementos m1, . . . , ms ∈ N  tal que N  = ⟨m1, . . . , ms⟩. Ahora bien loselementos m1, . . . , ms pertenecen a un numero finito de submodulos N i;de aquı, existe N l tal que m1, . . . , ms

∈N l. Desde que N  j

⊆N 

⊆N l para

cada j ≥ 0, entonces N l = N l+1 = . . . que es una contradiccion. Por lotanto, S tiene elemento maximal.

3 ⇒ 1. Sea una cadena creciente de submodulos de M 

M 1 M 2 . . . M n . . .

De acuerdo a la hipotesis, la coleccion {M i}∞i=1 tiene un elemento maxi-mal, digamos M l. Entonces M l = M l+1 = . . . . De aquı, M  es noetheriano.2

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2.1 Longitud de Modulos 49

A continuacion daremos una condicion necesaria y suficiente para queun modulo M  admita una serie de composicion.

Teorema 3.2.2. Un  A-m´ odulo M  posee una serie de composici´ on si, y s´ olo si, es noetheriano y artiniano.

Demostracion. Sea M  un A-modulo el cual admite la siguiente serie

de composicion

M  = M 0 M 1 . . . M n = ⟨0⟩ (3.2.7)

Veamos la prueba por induccion sobre n. Supongamos que la afir-macion sea verdadera para series de composicion de longitud ≤ n − 1. Apartir de (2.1.9) obtenemos

M/M n−1 = M 0/M n−1 M 1/M n−1 . . . M n−1/M n−1 = ⟨0⟩

el cual es una serie de composicion para M/M n−1 de longitud n − 1. Deacuerdo a la hipotesis inductiva, M/M n−1 es noetheriano y artiniano,

por otra parte, M n−1 = M n−1/M n es simple y tambien noetheriano yartiniano. Luego, M  es noetheriano y artiniano.

Recıprocamente, sea M  = ⟨0⟩ un modulo noetheriano y artiniano.Consideremos la coleccion M de todos los submodulos no nulos de M .Siendo M  artiniano, M tiene un elemento minimal M 0 el cual es unsubmodulo simple. Consideremos ahora la coleccion C de todos los submodulosno nulos de M  los cuales poseen una serie de composicion. ClaramenteC es no vacıa ya que M 0 ∈ C, desde que M  es noetheriano, C posee ele-mento maximal M ′. Sera suficiente mostrar que M  = M ′. Si M ′ M tenemos que M/M ′ = ⟨0⟩. Pero M/M ′ es artiniano, por tanto contienesubmodulos simples, es decir, existe un submodulo M ′′ de M  tal que

M ′ M ′′ ⊆ M  y M ′′/M ′ es un modulo simple. Como M ′ y M ′′/M ′

poseen serie de composicion, entonces M ′′ posee tambien una serie decomposicion, asi que M ′′ es un elemento de C, pero esto contradice lamaximalidad de M ′. Por tanto M  = M ′ admite serie de composicion. 2

Proposicion 3.2.3. Sea  V  un  K -espacio vectorial. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:

1. dim(V ) es finita.

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50 1. Lord Barrera

2. lK (V ) es finita.

3. V  es noetheriano.

4. V  es artiniano.

Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea V  = ⟨v1, . . . , vn⟩, luego

⟨0⟩ ⟨v1⟩ ⟨v1, v2⟩ . . . ⟨v1, . . . , vn⟩ = V 

es una serie de composicion en V  de longitud n, pues

⟨v1, . . . , vi⟩/⟨v1, . . . , vi−1⟩ = (⟨v1, . . . , vi−1⟩ + ⟨vi⟩)/⟨v1, . . . , vi−1⟩= ⟨vi⟩/⟨v1, . . . , vi−1⟩

⟨vi⟩

= ⟨vi⟩es simple.

2 ⇒ 3 y 2 ⇒ 4 son inmediatas a partir de la proposicion anterior.Veamos 3

⇒1. Supongamos que dim(V ) =

∞. Sea

{ui

}i∈I  una base

de V . Desde que I  es infinito, existe un subconjunto infinito enumerableJ  de I  y el conjunto {u j} j∈J  es tambien K -linealmente independiente.Para cada entero positivo n, sea V n = ⟨u1, . . . , un⟩. Por tanto

V 1 V 2 V 3 . . . V n . . .

es una cadena estrictamente creciente en V  que no es estacionaria.4 ⇒ 1. Como en el argumento anterior, supongamos que dim(V ) = ∞

y consideramos V n = ⟨un+1, un+2, . . .⟩, entonces obtenemos una cadenaestrictamente creciente

V 1 V 2 . . . V n . . .

que no es estacionaria. 2

Proposicion 3.2.4. Si  m es un ideal maximal de  A y finitamente gen-erado, entonces  l(A/mn) < ∞.

Demostracion. Tenemos

mn mn−1 . . .m A

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2.1 Longitud de Modulos 51

por tanto la serie

0 = mn/mn mn−1/mn . . . m/mn A/mn

es normal en A/mn. Ahora bien, como m es tambien finitamente generado,entonces mi/mi+1 es tambien finitamente generado como A-modulo. Porotra parte, desde que los A-submodulos de mi/mi+1 coinciden con A/m-submodulos de mi/mi+1, entonces dimA/m(mi/mi+1) < ∞. Por tanto,para cada i obtenemos

lA(mi/mi+1) = lA/m(mi/mi+1) = dimA/m(mi/mi+1) < ∞

y de acuerdo a la proposicion 2.1.6 se tiene la igualdad

l(A/mn) = l(A/m) + l(m/m2) + . . . + l(mn−1/mn).

Lema 3.2.5. Todo ideal de un anillo noetheriano contiene un productode ideales primos.

Demostraci´ on. Sea A un anillo noetheriano y supongamos que existeun ideal I  de A que no contiene un producto de ideales primos. Consider-emos la coleccion F  de ideales de A que no contienen producto de idealesprimos, entonces I  es un elemento de F ; por ser A noetheriano, existeun elemento maximal J  de F  y J  no es un ideal primo, luego existenelementos a, b ∈ A, donde a ∈ J , b ∈ J  y ab ∈ J . Sea I a = J  + ⟨a⟩ yI b = J + ⟨b⟩, entonces J  I a y J  I b, de aquı se sigue que I a e I b no sonelementos de F , luego los ideales I a e I b contienen producto de primos;en consecuencia el ideal I aI b contiene un producto de primos. Por otraparte

I aI b = (J  + ⟨a⟩)(J  + ⟨b⟩) ⊆ J  + ⟨ab⟩ ⊆ J 

lo que es una contradiccion. 2

Lema 3.2.6. Sea  A un anillo tal que el ideal  ⟨0⟩ es igual a un productode ideales maximales, digamos  ⟨0⟩ = m1 . . .mn. Tomando ni = m1 . . .mn

(i=1,2,...,n ), entonces el ideal  ni−1/ni es un  A/mi-espacio vectorial. Si tales espacios vectoriales tienen dimensi´ on finita para  i = 1, 2 . . . , n, en-tonces  A posee una serie de composici´ on.

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52 1. Lord Barrera

Demostracion. Sea la cadena

A = n0 n1 . . . nn = ⟨0⟩

el cual es una serie normal de A. De acuerdo a la hipotesis, cada idealni−1/ni, considerado como A/mi-espacio vectorial, posee una serie decomposicion; luego, en virtud de la multiplicacion escalar, los A/mi-

submodulos de ni−1/ni coinciden con los A-submodulos de ni−1/ni. Ahorabien, para cada i consideremos series de composicion en ni−1/ni de lasiguiente manera

ni−1/ni = mi0/ni mi

1/ni . . . miti−1/ni mi

ti/ni ni.

Luego, por el teorema de correspondencia obtenemos

A = n0 m11 m1

2 . . . m1t1 n1

m21 m2

2 . . . m2t2 n2

m31 m3

2 . . . m3t3 n3

......

...

mn1 mn

2 . . . mntn nn = ⟨0⟩

el cual es una serie de composicion de A. 2

Lema 3.2.7. Sea  A un anillo tal que  ⟨0⟩ = m1 . . .mn donde cada mi es un ideal maximal. Entonces una condici´ on de cadena implica la otra.

Demostraci´ on. Sea ni = m1 . . .mi (i=1,. . . ,n) y consideremos el co-ciente ni−1/ni, que es un A/mi-espacio vectorial para cada i. Ahorabien, ni−1/ni es un A-submodulo de A/ni. Luego si A es noetheriano

(resp. artiniano), entonces A/ni es noetheriano (resp. artiniano) comoA-modulo, por tanto, ni−1/ni es noetheriano (resp. artiniano) como A-modulo. De aquı, ni−1/ni es tambien noetheriano (resp. artiniano) comoA/mi-modulo. Ahora bien, de acuerdo a la proposicion 2.1.8, los A/mi-espacios vectoriales ni−1/ni son de longitud finita y de acuerdo al lema2.2.2, el anillo A admite una serie de composicion. 2

Lema 3.2.8. Todo anillo artiniano admite s´ olo un n´ unero finito de ide-ales primos.

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2.1 Longitud de Modulos 53

Demostraci´ on. Supongamos que existe una sucesion infinita de ide-ales primos {pi}i∈I . De esta familia tomamos una subfamilia infinitaenumerable para formar la cadena descendente de ideales

p1 p1p2 p1p2p3 . . .

desde que A es artiniano, esta cadena es estacionaria; ası que, existe un

entero positivo n tal que

p1p2 . . . pn = p1p2 . . . pn+1.

De esta igualdad se sigue que p1p2 . . . pn pn+1, lo que implica pk ⊆ pn+1

para algun k ≤ n. Pero en un anillo artiniano, todo ideal primo esmaximal, luego pk = pn+1, contradiciendo que el conjunto {pi}i∈I  esinfinito. 2

Lema 3.2.9. Sea I  ideal propio de un anillo A. Entonces existe un ideal primo p de  A tal que  I  (I  : p).

Demostraci´ on. SeaF 

la coleccion de ideales J  de A tal que (I  : J ) A.Claramente F  es no vacıo ya que tiene como elemento al anillo A. Porser A artiniano, existe un ideal J ′ de A que es elemento minimal en F .Veamos que p = (I  : J ′) es un ideal primo. Suponiendo que no es primo,existen elementos a, b ∈ A; a ∈ p, b ∈ p y ab ∈ p. Luego

p (p : ⟨a⟩) A

lo que implica

(I  : J ′) (I  : J ′⟨a⟩) A y J ′⟨a⟩ J ′.

Pero esto contradice la minimalidad de J ′, por tanto p debe ser un idealprimo. Ahora bien, I  ⊆ (I  : p) y J ′ ⊆ (I  : p). Tambien (I  : p) I ;pues, de lo contrario I  = (I  : p). De aquı, J ′ ⊆ I , que a su vez implica laigualdad (I  : J ′) = a, lo que nos da una contradiccion. Por consiguienteI  (I  : p) y nuestra afirmacion queda verificada. 2

Teorema 3.2.10. Sea  A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es artiniano.

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54 1. Lord Barrera

2. A es noetheriano y todo ideal primo de  A es maximal.

3. A tiene longitud finita como A-m´ odulo.

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Desde que A es artiniano, entonces todo idealprimo de A es maximal. Sea F  la coleccion de ideales de A que sonproductos finitos de ideales primos, es claro que F  es no vacıa ya que

existen ideales primos en A. Nuevamente, por ser A artiniano, podemoselegir un elemento minimal J  en esta coleccion. Si J  = ⟨0⟩, entonces(⟨0⟩ : J ) A; de acuerdo al lema 2.2.5 existe un ideal primo p de A talque

(⟨0⟩ : J ) ((⟨0⟩ : J ) : p) ⊆ (⟨0⟩ : J p),

de aquı se tiene que(⟨0⟩ : J ) (⟨0⟩ : J p)

lo que implica J p J ; pero esto contradice la minimalidad de J . Enconsecuencia J  = ⟨0⟩ lo que nos dice que ⟨0⟩ es producto de un numerofinito de ideales primos y por tanto de ideales maximales. Finalmente,por el lema 2.2.3 se tiene que A es noetheriano.

2 ⇒ 3. Supongamos ahora que A es un anillo noetheriano y que todoideal primo de A es maximal. Por el lema 2.2.1 tenemos que el ideal ⟨0⟩es producto de un numero finito de ideales primos, por tanto de idealesmaximales. Por el lema 2.2.3 el anillo A cumple la condicion de cadenasdescendentes. Por tanto l(A) < ∞.

3 ⇒ 1. Es inmediata. 2

Teorema 3.2.11. Teorema fundamental de Hilbert. Si  A es un anillo noetheriano, entonces  A[X ] es tambien noetheriano.

Demostracion. Supongamos que A[X ] no es noetheriano, entoncesexiste un ideal I  de A[X ] que no es finitamente generado. Desde que

I  = {0}, sea f 1(X ) ∈ I  no nulo de menor grado; ahora bien, supongamosque para cada n ya tenemos elegido f n(X ) ∈ I  no nulo y de menor gradocon f n(X ) ∈ ⟨f 1(X ) . . . f  n−1(X )⟩. Sean ln y an el grado y el coeficienteprincipal de f n(X ) (n=1,2,. . . ). Entonces tenemos la cadena creciente deideales de A

⟨a1⟩ ⟨a1, a2⟩ . . . ⟨a1 . . . an⟩ . . .

que es estacionaria ya que A es noetheriano. Sea n un entero positivotal que ⟨a1 . . . an⟩ = ⟨a1 . . . an+1⟩, entonces an+1 =

∑ni=1 biai, donde bi ∈

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2.1 Longitud de Modulos 55

A. Luego, el polinomio g(X ) = f n+1(X ) −∑ni=1 biX ln+1−lif i(X ) es un

elemento de I \ ⟨f 1(X ) . . . f  n(X )⟩ es de menor grado que f n+1(X ), lo quecontradice la eleccion de f n+1(X ). 2

3.3 Ejercicios

Definicion 3.3.1. Un anillo el cual posee un numero finito de ideales esllamado anillo semilocal .

Ejercicio 3.3.1. Sea  A un anillo noetheriano semilocal e  I  un ideal de A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. mn ⊆ I  ⊆ m para alg´ un entero n.

2. I  ⊆ m y  A/I  es artiniano.

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56 1. Lord Barrera

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Capıtulo 4

Primos Asociados y

Descomposicion Primaria

4.1 Primos Asociados

Proposicion 4.1.1. Sea  M  un  A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Para todo subm´ odulo no nulo M ′ de  M , Anu(M ′) = Anu(M ).

2. Para todo submodulo no nulo M ′ de M  y todo ideal a de A, aM ′ = 0implica aM  = 0.

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea a ideal de A y M ′ submodulo no nulode M . Como aM ′ = 0, entonces a ⊆ Anu(M ′) = Anu(M ), de donde,aM  = 0.

2

⇒1. Es claro que Anu(M )

⊆Anu(M ′). Si a

∈Anu(M ′), entonces

⟨a⟩M ′ = 0, lo que implica ⟨a⟩M  = 0. Por lo tanto, a ∈ Anu(M ). 2

Definicion 4.1.1. Un A-modulo no nulo M  que verifica cualquiera delas afirmaciones de la proposicion anterior es llamado m´ odulo primo.

Proposicion 4.1.2. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. A/p es un m´ odulo primo si y s´ olo si p es un ideal primo.

2. Si  M  es un  A-m´ odulo primo, entonces  Anu(M ) es un ideal primo.

57

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58 1. Lord Barrera

Demostraci´ on. 1. Supongamos que A/p es un A-modulo primo. Seana, b ∈ A con ab ∈ p y a ∈ p. Si b ∈ p, entonces b + p = p, lo queimplica 0 = ⟨b + p⟩ ⊆ A/p. Ası que a ∈ p = Anu(b + p), lo cual es unacontradiccion.

Recıprocamente, sea p un ideal primo de A, A′/p submodulo no nulode A/p y a ideal de A. Luego, a(A′/p) = 0 implica a ⊆ aA′ ⊆ p; ası que,

a(A/p) = 0. Por lo tanto, A/p es un modulo primo.2. Sea ab ∈ Anu(M ) con a ∈ Anu(M ). Luego existe m ∈ M  conam = 0; de aquı, 0 = ⟨am⟩ ⊆ M , que a su vez implica b ∈ Anu(am) =Anu(M ). 2

Proposicion 4.1.3. Sea a ideal de  A y  M  un  A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Existe un subm´ odulo primo no nulo N  de  M  tal que a = Anu(N ).

2. a es un ideal primo de  A y  a = Anu(m) para alg´ un elemento nonulo m

∈M .

3. a es un ideal primo de  A y existe un submodulo no nulo M ′ de  M tal que  A/a ∼= M ′

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. De acuerdo a la afirmacion 2 de la proposicionanterior, es claro que a es un ideal primo de A. Por otra parte, siendoN  submodulo no nulo, existe n ∈ N  un elemento no nulo; ası, 0 = ⟨n⟩ ⊆N , y desde que N  es un submodulo primo, conseguimos que Anu(n) =Anu(N ) = a.

2 ⇒ 3. Sea M ′ = ⟨m⟩. Luego la aplicacion φ : A → M ′ definidapor a → am es un epimorfismo de A-modulos con N uc(φ) = a; ası que,

A/a ∼= M ′

.3 ⇒ 1. Sea N  = M ′. De acuerdo a la proposicion 2.3.2, N  es un

modulo primo, y como A/a ∼= N , tenemos entonces que a = Anu(A/a) =Anu(N ). 2

Definicion 4.1.2. Sea M  un A-modulo. Un ideal a de A satisfaciendocualquiera de las afirmaciones anteriores es llamado ideal primo asociadode M . El conjunto de todos los ideales primos asociados de M  es denotadopor AssA(M ) o simplemente por Ass(M ).

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2.1 Longitud de Modulos 59

Dado un ideal a de A, los elementos de Ass(A/a) son llamados divi-sores primos de a. Un elemento a ∈ A es llamado divisor del cero paraM  si existe un elemento no nulo m de M  tal que am = 0, de otro modo,a es llamado elemento regular  de M .

Lema 4.1.4. Sea  M  un  A-m´ odulo no nulo. Todo elemento maximal del conjunto de ideales  Anu(m), donde  0

= m varıa en un subm´ odulo no

nulo N  de  M , es un ideal primo.

Demostraci´ on. Sea p = Anu(n) un tal elemento maximal, donden ∈ N  es no nulo. Como n = 0, entonces p = A. Sean a, b elementos deA tales que ab ∈ p con a ∈ p; de donde se tiene que an = 0, b ∈ Anu(an)y p ⊆ Anu(an) = A. Como p es un elemento maximal, p = Anu(an) yb ∈ p. Por lo tanto, p es un ideal primo. 2

Teorema 4.1.5. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. M  = 0 si y s´ olo si  Ass(M ) =∅

.

2. Dado a ∈ A, la homotecia de  M  de raz´ on  a es inyectiva si y s´ olo si a ∈ p para todo p ∈ Ass(M ).

3. Si  M  = 0, el conjunto de divisores del cero para  M  es la union de todos los primos asociados de  M .

Demostraci´ on. 1. Si M  = 0, es inmediato que Ass(M ) = ∅. Supong-amos ahora que M  = 0 y sea F  la coleccion de ideales Anu(m), donde0 = m ∈ M . Desde que A es noetheriano, existe elemento maximal en F 

el cual es primo debido al lema anterior. Por lo tanto, Ass(M ) = ∅.

2. Supongamos que exista p ∈ Ass(M ) tal que a ∈ p. Tomemosp = Anu(m), donde m ∈ M  es no nulo; luego am = 0, de donde, lahomotecia de M  de razon a no es inyectiva. Recıprocamente, supongamosque exista m ∈ M  no nulo con am = 0, entonces ⟨m⟩ = 0, que de acuerdoa la primera afirmacion Ass(⟨m⟩) = ∅. Sea p ∈ Ass(⟨m⟩); por tanto,p = Anu(bm) para algun b ∈ A. Pero a ∈ p y p ∈ Ass(M ), lo cual es unacontradiccion.

3. Sea a ∈ A un divisor del cero para M , luego existe un elemento nonulo m0 ∈ M  con am0 = 0 y a ∈ Anu(m0). Consideremos la coleccion R

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60 1. Lord Barrera

de ideales Anu(m) que contienen a Anu(m0), donde m ∈ M  es no nulo.R = ∅ ya que Anu(m0) ∈ R y desde que A es noetheriano, existe unelemento maximal en R, digamos Anu(m). De acuerdo al lema anteriortenemos que Anu(m) es ideal primo. Si p = Anu(m), entonces a ∈ p ∈Ass(M ).

Recıprocamente, sea p ∈ Ass(M ) con a ∈ p, como p = Anu(m) con

m ∈ M  no nulo, tenemos que am = 0; ası que a es un divisor del ceropara M . 2

Teorema 4.1.6. Sea  A un anillo y  S  un subconjunto multiplicativo de A. Sea  φ : A → AS  el homomorfismo can´ onico y  N  un  AS -m´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Para cada n ∈ N , AnuA(n) = (AnuAS(n))c.

2. Para cada n ∈ N , (AnuA(n))e = AnuAS(n).

3. Existe una biyecci´ on entre  AssA(N ) y  AssAS(N ).

Demostraci´ on. 1. Sea a ∈ AnuA(n). Se tiene que 0 = an = φ(a)n,luego φ(a) ∈ AnuAS(n), por tanto, a ∈ (AnuAS

(n))c. Recıprocamente, sia ∈ (AnuAS

(n))c, entonces φ(a) ∈ AnuAS(n); luego 0 = φ(a)n = an, que

implica a ∈ AnuA(n).2. AnuAS

(n) = (AnuAS(n))ce = (AnuA(n))e.

3. Dado p ∈ AssA(N ), se tiene que p ∩ S  = ∅, pues, de lo contrarioexiste t ∈ p y t ∈ S ; como p = AnuA(m) con m = 0 en N , 0 = tm =φ(t)m, lo que implica m = 0, que es una contradiccion. Ahora bien,de acuerdo a la segunda afirmacion pe ∈ AssA(N ). Por otra parte, siq ∈ AssAS

(N ), por la primera afirmacion tenemos que qc ∈ AssA(N ).De todo lo anterior, las correspondencias AssA(N ) → AssAS

(N ) p →p

e

y AssAS (N ) → AssA(N ) q → q

c

estan bien definidas. Por lo tanto,existe una biyeccion entre AssA(N ) y AssAS(N ). 2

Proposicion 4.1.7. Sea M  un  A-m´ odulo y  S  un subconjunto multiplica-tivo de  A. Entonces 

AssA(M ) ∩ {p : p ideal primo p ∩ S  = ∅} = AssA(M S ) = AssAS(M S ).

Demostraci´ on. Sea p ∈ AssA(M ) y p ∩ S  = ∅. Existe por definicionm ∈ M  no nulo tal que p = AnuA(m). Veamos que p = AnuA(m

1 ); si

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2.1 Longitud de Modulos 61

a ∈ p es tal que am = 0, entonces am1 = a

1m1 = am

1 = 01 , de donde,

a ∈ AnuA(m1 ).

Recıprocamente, si a ∈ AnuA(m1 ), entonces 0

1 = am1 = φ(a)(m

1 ) = am1 ;

ası, existe t ∈ S  con t(am) = (ta)m = 0, que asu vez implica ta ∈ p; pero,t ∈ p, de aquı, a ∈ p.

Por otra parte, sea p ∈ AssA(M S ), como A es noetheriano, p =

⟨a1, . . . , ar⟩ y p = AnuA(

m

s ), donde

m

s es no nulo en M S . Desde queai(ms ) i = 1, . . . , r, para cada i existe ti ∈ S  tal que tiaim = 0. Sea

t = t1 . . . tr, luego se tiene que p = AnuA(tm) con tm ∈ M  no nulo ycomo m

s = 0s en M S , entonces AnuA(tm) ∩ S  = ∅. 2

Observacion 4.1.1. Considerando S  = A \p en la proposici´ on anterior,entonces  p ∈ AssA(M ) si y s´ olo si pe ∈ AssAp

(M p).

Proposicion 4.1.8. Sea A un anillo y consideremos una sucesi´ on exacta corta de  A-m´ odulos 

0 → M ′φ→ M ′′

ψ→ 0.

Entonces  Ass(M ′)

⊆Ass(M )

⊆Ass(M ′)

∪Ass(M ′′).

Demostraci´ on. Si p ∈ Ass(M ′), entonces p = AnuA(m) con m ∈ M ′

no nulo. Desde que φ es inyectiva, Anu(m) = Anu(φ(m)) y φ(m) = 0;ası que p ∈ Ass(M ).

Veamos la segunda inclusion. Sea p ∈ Ass(M ), luego p = AnuA(m),donde m ∈ M  es no nulo. Tenemos N  = ⟨m⟩ ⊆ M ; si tuvieramosφ(M ′) ∩ N  = 0, entonces t = φ(m′) y t ∈ N , donde m′ ∈ M ′, luegot = am = φ(m′) y t = 0. Veamos que p = Anu(m′). Dado b ∈ p,φ(bm′) = bφ(m′) = a(bm) = 0, ası, bm′ = 0, es decir, b ∈ Anu(m′).

Recıprocamente, si b ∈ Anu(m′), tenemos que (ab)m = b(am) =bφ(m′) = φ(bm′) = φ(0) = 0, luego ab ∈ Anu(m) = p; pero, a ∈ p ya

que t = 0; por lo tanto, b ∈ p. Supongamos ahora que φ(M 

) ∩ M  = 0,entonces N uc(ψN 

) = 0, de aquı, m ∈ N uc(ψ) = φ(M ′) lo que implicam ∈ φ(M ′) ∩ N  ⊆ φ(M ′) ∩ M  = 0. Desde que N  = ⟨m⟩, ψ(N ) = ψ(⟨m⟩)y Anu(m) = Anu(ψ(m)) y en este caso p ∈ Ass(M ′′). 2

Corolario 4.1.9. Si un  A-m´ odulo M  es suma directa de una familia {M i}i∈I  de subm´ odulos de  M , entonces  Ass(M ) =

∪i∈I Ass(M i).

Demostraci´ on. Sea p ∈ Ass(M ) y p = anu(m) con m ∈ M  no nulo.Desde que M  =

⊕i∈I M i, m = m1 + . . . + mr con mi ∈ M i y esta

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62 1. Lord Barrera

expresion es unica. Luego ⟨m⟩ = ⟨m1⟩⊕ . . . ⊕⟨mr⟩ y por induccion sobrer conseguimos de acuerdo a la proposicion anterior que

Ass(⟨m⟩) ⊆ Ass(⟨m1⟩)∪. . .Ass(⟨mr⟩) ⊆ Ass(M 1)∪. . .Ass(M r) ⊆i∈I 

Ass(M i).

Como p

∈Ass(

⟨m

⟩), entonces p

∈ ∪i∈I Ass(M i). Finalmente, desde que

∪i∈I Ass(M i) ⊆ Ass(M ), entonces se tiene la igualdad. 2

Corolario 4.1.10. Sea M  un  A-m´ odulo y  N 1, . . . , N  r subm´ odulos de  M ,consideremos  N  =

∩ri=1 N i. Entonces  Ass(M/N ) ⊆ ∪r

i=1(M/N i).

Demostraci´ on. La aplicacion canonica M/N  →⊕ri=1(M/N i) definida

por m + N  → (m + N 1, . . . , m + N r) es inyectiva, y de acuerdo a las dosultimas proposiciones tenemos

Ass(M/N ) ⊆ Ass(r

i=1

(M/N i)) =r

i=1

Ass(M/N i).

2

Proposicion 4.1.11. Sea A un anillo noetheriano y  M  un  A-m´ odulo de tipo finito. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Existe una cadena de subm´ odulos de  M 

0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ . . . ⊆ M n = M 

y  pi ∈ Spec(A) tal que  A/pi ∼= M i/M i−1.

2. Ass(M ) ⊆ Sop(M ).

3. Ass(M ) es un conjunto finito.

4. El conjunto de elementos minimales de  Ass(M ) y de  Sop(M ) coin-ciden.

Demostraci´ on. Siendo M  = 0, Ass(M ) = ∅. Sea p1 ∈ Ass(M ), luegoexiste un submodulo primo M 1 ⊆ M  con A/p1 ∼= M 1. Si M 1 = M ,la prueba termina. De otro modo M/M 1 = 0, de donde existe p2 ∈Ass(M/M 1) con A/p2 ∼= M 2/M 1 para algun submodulo primo M 2/M 1 ⊆

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2.1 Longitud de Modulos 63

M/M 1, continuando de esta manera obtenemos una cadena creciente desubmodulos de M 

0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ . . . ⊆y pi ∈ Ass(M/M i−1) tal que A/pi ∼= M i/M i−1. Pero M  es noetheriano,ası que esta cadena es estacionaria; por tanto existe un entero positivon con M n = M n+ j para todo j = 1, 2, . . .: por lo tanto, debemos tener

M n = M  y A/pi ∼= M i/M i−1 (i=1,...,n).Verifiquemos la segunda afirmacion por induccion sobre n. Para n = 2

tenemos 0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ M 2 = M ; luego, de la sucesion exacta

0 → M 1 → M  → M/M 1

conseguimos que Ass(M ) ⊆ Ass(M 1) ∪ Ass(M/M 1) = {p1} ∪ {p2} ={p1, p2}. Supongamos ahora que la afirmacion sea valida para n − 1.Consideremos la siguiente sucesion exacta

0 → M n−1 → M  → M/M n−1,

entonces Ass(M ) ⊆ Ass(M n−1)∪Ass(M/M n−1) y por hipotesis inductivaobtenemos Ass(M ) ⊆ Ass(M 1) ∪ Ass(M 2/M 1) ∪ . . . ∪ Ass(M/M n−1) ={p1, p2, . . . , pn}.

2. Es suficiente ver que {p1, p2, . . . , pn} ⊆ Sop(M ). Desde que A/pi ∼=M i/M i−1, entonces Sop(A/pi) = Sop(M i/M i−1) y pi ∈ Sop(A/pi), pues(A/pi)pi

∼= Api/piApi = 0 y Sop(M i/M i−1) ⊆ Sop(M i) ⊆ Sop(M ): por lotanto, pi ∈ Sop(M ) (i=1,...,n).

3. Sigue directo de la primera afirmacion.

4. Sea M  = 0, luego Ass(M ) = ∅ y por la afirmacion 2 tenemos queSop(M ) = ∅. Ordenamos a Sop(M ) de la siguiente manera p1 ≤ p2 si

y solo si p2 ⊆ p1, entonces Sop(M ) es un conjunto inductivo, por tantoexiste un elemento minimal (con respecto a la inclusion) en Sop(M ). Seap dicho elemento minimal en Ass(M ), entonces p ∈ Sop(M ). Si p nofuera minimal en Sop(M ), existe p′ ∈ Sop(M ) con p′ p; ademas, deM p′ = 0, existe m

1 ∈ M p′ lo que implica sm = 0 para todo s ∈ A\p′ lo cualimplica que Anu(m) ⊆ p′ p. Si F  es la coleccion de ideales Anu(y) conAnu(y) p, de acuerdo al lema 2.3.4 existe un elemento maximal en F  elcual es primo. Sea p1 = Anu(m) dicho elemento maximal. Como p1 p,tenemos que p no es minimal en Ass(M ), ası se tiene una contradiccion.

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64 1. Lord Barrera

Supongamos ahora que p es un elemento minimal en Sop(M ), desdeque M p = 0 tenemos que ∅ = Ass(M p) = Ass(M )∩Spec(Ap) ⊆ Sop(M )∩Spec(Ap). Veamos que Sop(M ) ∩ Spec(Ap) = {p}. Es claro que p ∈Sop(M ) ∩ Spec(Ap). Ahora bien, si p′ ∈ Sop(M ) ∩ Spec(Ap), se tiene queM p′ = 0 y p′ ⊆ p, pero p es minimal en Sop(M ); ası que p′ = p; luego setiene ∅ = Ass(M p) = Ass(M ) ∩ Spec(Ap) ⊆ {p}; de aquı, p ∈ Ass(M ) y

p es minimal en Ass(M ), pues, si p′

⊆ p en Ass(M ) y como p

∈ Sop(M ),la minimalidad de p en Sop(M ) implica que p′ = p. Esto concluye laprueba. 2

Proposicion 4.1.12. Sea M  un  A-m´ odulo y  N  ⊆ M  un subm´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Para todo a ∈ A y m ∈ M , si am ∈ N  y m ∈ N , entonces anM  ⊆ N para alg´ un  n.

2. Si  a es un divisor del cero para  M/N , entonces  a ∈√ Anu(M/N ).

3. Para todo a

∈A, la homotecia  µa : M/N 

→M/N  es inyectiva o

nilpotente.

Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea m ∈ M , m ∈ N  y am ∈ N , luego existeun entero positivo n tal que anM  ⊆ N , lo que implica an ∈ Anu(M/N )y por tanto a ∈√ Anu(M/N ).

2 ⇒ 3. Sea a ∈ A, si µa no fuera inyectiva, entonces existe m ∈ M con m ∈ N  tal que am ∈ N , ası que a es divisor del cero para M/N  locual implica a ∈ √ Anu(M/N ), sea n un entero positivo tal que an ∈Anu(M/N ), luego µa es nilpotente de orden n.

3 ⇒ 1. Sea a ∈ A y m ∈ M  tal que am ∈ N  y m ∈ N , entonces µa

no es inyectiva, entonces µa es nilpotente de orden n. Se sigue entonces

que a

n

M  ⊆ N .2

Definicion 4.1.3. Un submodulo N  de M  que satisface cualquiera de lasafirmaciones de la proposicion anterior es llamado subm´ odulo primario deM .

Lema 4.1.13. Sea  M  un  A-m´ odulo noetheriano. Entonces √ Anu(M ) =

p∈Ass(M )

p.

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2.1 Longitud de Modulos 65

Demostraci´ on. Sea p ∈ Ass(M ), entonces existe un submodulo nonulo N  de M  con Anu(M ) ⊆ Anu(N ) = p, entonces

√ Anu(M ) ⊆ p lo

que implica√ 

Anu(M ) ⊆ ∩p∈Ass(M ) p. Tomemos ahora a ∈ ∩p∈Ass(M ) p

y consideremos la homotecia µa : M  → M . Desde que

N uc(µa) ⊆ N uc(µ2a) ⊆ . . . ⊆ N uc(µn

a) ⊆ . . .

por ser M  noetheriano, existe un entero positivo r tal que N uc(µra) =N uc(µr+1

a ). Si N  = arM , entonces µa : N  → N  es inyectiva, pues, sin ∈ N uc(µa), entonces podemos escribir n = arm para algun m ∈ M .Entonces

0 = µa(n) = µa(arm) = ar+1m = ...

Veamos enseguida que N  = 0. Si tuvieramos N  = 0, entonces ∅ =Ass(N ) ⊆ Ass(M ), por tanto, a ∈ ∩p∈Ass(N ) p, ası que, existe submodulo

0 = N ′ ⊆ N  tal que a ∈ Anu(N ′), pero esto ultimo implica que aN 

no es inyectiva, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, debemostener N  = 0, es decir, arM  = 0, de donde se sigue ar ∈ Anu(M ) ya

∈√ Anu(M ). 2

Proposicion 4.1.14. Sea  M  un  A-m´ odulo y  N  ⊆ M  un subm´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si  N  es primario, entonces  Anu()M/N  es primario; por tanto, si p =

√ Anu(M/N ), entonces  Ass(M/N ) = {p}.

2. Suponga que A es noetheriano y  M  de tipo finito. Si  Ass(M/N ) ={p}, entonces p =

√ Anu(M/N ) y  N  es primario.

Demostraci´ on. Veamos que a = Anu(M/N ) es primario. Sean a, b ∈A con ab ∈ a y b ∈ a, entonces ab(M/N ) = 0 y bm ∈ N  para algun

m ∈ M . Como abm ∈ N  se tiene que a es un divisor del cero para M/N y por hipotesis a ∈√ Anu(M/N ) = √ a, sea r un entero positivo tal quear ∈ a. Como a es primario,

√ a = p es un ideal primo.

Para alasegunda afirmacion sea p′ ∈ Ass(M/N ) y veamos que p′ = p.Si a ∈ p′ y p′ = Anu([m]) con [m] = 0 e n M/N , entonces a[m] =0, de donde a es divisor del cero para M/N , y como N  es submoduloprimario, entonces a ∈ √ Anu(M/N ); de aquı, a ∈ p y p′ ⊆ p. Perop′ = Anu([m]) ⊇ √ 

Anu(M/N ) = p teniendo ası la igualdad. Estoconcluye la prueba de la afirmacion.

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66 1. Lord Barrera

2. Supongamos que Ass(M/N ) = {p} con p =√ 

Anu(M/N ). Desdeque M/N  es noetheriano, por el lema anterior tenemos que

√ Anu(M/N ) =∩

p∈Ass(M/N ) p = p. Finalmente, si a es divisor del cero para M/N , en-

tonces a ∈ p y de aquı a ∈√ Anu(M/N ). 2

Definicion 4.1.4. Se dice que N  es un submodulo p-primario de M  siAss(M/N ) =

{p}

.

Proposicion 4.1.15. Si  N  y  N ′ son subm´ odulos p-primarios de  M , en-tonces  N ∩ N ′ es  p-primario.

Demostraci´ on. Ass(M/N ) = {p} = Ass(M/N ′), luego del monomor-fismo M/N  ∩ N ′ → M/N  ⊕ M/N ′ se sigue que Ass(M/N  ∩ N ′) ⊆Ass(M/N ) ∪ Ass(M/N ′) = {p}. Desde que Ass(M/N  ∩ N ′) = ∅, sesigue la igualdad. 2

Observacion 4.1.2. Como consecuencia de la proposicion anterior, pode-mos ver que si {N i}i∈I  es una familia finita de submodulos p-primarios,

entonces ∩i∈I pi es tambien p-primario.

Definicion 4.1.5. Un submodulo N  de M  es llamado irreducible  si nopuede ser expresado como N  = N 1 ∩ N 2, donde N i = N  (i = 1, 2) sonsubmodulos de M . Segun la definicion, todo modulo M  es irreducible.

Observacion 4.1.3. Si M  es un A-modulo noetheriano, entonces existensubmodulos propios irreducibles. En verdad, considerando la coleccion desubmodulos propios de M  y siendo M  noetheriano, existe un elementomaximal en esta coleccion y es un submodulo irreducible de M .

Teorema 4.1.16. Todo subm´ odulo N  de un modulo noetheriano M  puede 

expresarse como intersecci´ on finita de subm´ odulos irreducibles.

Demostraci´ on. Consideremos la coleccion F  de submodulos propiosde M  que no se pueden expresar como interseccion finita de submodulosirreducibles. Si F  = ∅, sea N ′ un elemento maximal en F , entonces N ′

es irreducible, asi, N ′ = N 1 ∩ N 2, donde N ′ N i (i = 1, 2); de aquı,cada N i no es un elemento de F , por tanto, N 1 y N 2 son interseccionesfinitas de submodulos irreducibles y tambien lo sera N , pero esto es unacontradiccion con la eleccion de N ′. Entonces debemos tener F = ∅. 2

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2.1 Longitud de Modulos 67

Teorema 4.1.17. Sea  M  un  A-m´ odulo noetheriano. Todo subm´ odulopropio irreducible de  M  es primario.

Demostraci´ on. Sea N  submodulo propio de M  y supongamos queN  no es primario, entonces existen a ∈ A, m ∈ M  tal que am ∈ N ,m∈ N  y anM  N  para todo entero positivo n. La familia {(N  :an)

}n∈Z+ es una cadena creciente y por tanto estacionaria. Sea r un

entero positivo tal que (N  : ar) = (N  : ar+ j) ( j = 1, 2, . . .). Veamos queN  = (N  + ⟨m⟩) ∩ (N  + asM ). Sea x ∈ (N  + ⟨m⟩) ∩ (N  + asM ), luegox = n1 + a1m = n2 + asm′ con ni ∈ N , a1 ∈ A y m′ ∈ M . Se tiene quearm′ = n1 − n2 + a1m y de aquı, as+1m′ = a(n1 − n2) + a1(am) ∈ N lo que implica m′ ∈ N  : ar+1) = (N  : ar) y arm′ ∈ N , por tantox = n2 + arm′ ∈ N . Desde que N  N  + ⟨m⟩ y N  N  + arM , se sigueque N  es irreducible. 2

Teorema 4.1.18. Cayley-Hamilton. Sea  A un anillo, I  ideal de  A y M  un  A-m´ odulo finitamente generado. Si  φ ∈ EndA(M ) y  φ(M ) ⊆ IM ,entonces existe un polinomio m´ onico f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an,

donde  a j ∈ I  j

para cada  j, tal que  f (φ) = 0 en  EndA(M ).Demostracion. Sea M  = Am1 + . . . + Amn. Desde que φ(M ) ⊆ IM 

podemos escribir φ(m1) =∑

aijm j , donde aij ∈ I . Siendo EndA(M )un anillo y φ ∈ EndA(M ), entonces existe un homomorfismo de anillosA[X ] −→ EndA(M ) definido por X  −→ φ. Consideremos como A[φ] laimagen de A[X ] en EndA(M ), y para los elementos g(φ) ∈ A[φ] y m ∈ M definimos g(φ).m = g(φ)(m), entonces M  es un A[φ]-modulo y por tantoun A[X ]-modulo por la operacion g(X ).m = g(φ)(m).

Por otra parte, sea la matriz C  = [aij], I n la matriz identidad enM (n, A) y P  el vector columna cuyas entradas son los m j, entonces

(XI n − C )P  = 0 (4.1.1)

Ahora bien, multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad (2.4.11) porla matriz de cofactores de XI n − C , conseguimos

[det(XI n − C )]I n.P  = 0

lo que implica det(XI n − C )mi = 0 para todo i. Por tanto

[det(XI n − C )]P  = 0.

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68 1. Lord Barrera

De aquı, el polinomio f (X ) = det(XI n−C ) satisface la igualdad f (φ) = 0en EndA(M ) y a j ∈ I  j para todo j. 2

Veamos ahora algunas consecuencias que resulta del teorema anterior

Proposicion 4.1.19. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo finito.

1. Si  φ : M 

−→M  es un epimorfismo de  A-m´ odulos, entonces  φ es 

un isomorfismo.

2. Si  M  ∼= An, entonces cualquier conjunto formado por  n elementos de  M  es una base, por tanto el rango n de  M  est´ a bien definido.

Demostracion. 1. Consideremos a M  como un A[X ]-modulo. SeaI  = ⟨X ⟩ el ideal de A[X ], siendo φ sobreyectiva tenemos IM  = M  =idM (M ), luego podemos aplicar el teorema de Cayley-Hamilton con φel homomorfismo identidad de M . Asi que existe un polinomio f (X ) =X n + a1X n−1 + . . . + an tal que f (idM ) = 0 como homomorfismo enM . Sea q (X ) = −a1X n−1 − . . . − an−1X  − an. Se tiene entonces que

(1 − q (X ).X )M  = 0, es decir, idM − q (φ)φ = 0, esto nos dice que q (φ) esla inversa de φ y por tanto φ es un isomorfismo.

2. Supongamos que M  es generado por n elementos, luego existe unepimorfismo β  : An −→ M ; como M  ∼= An, entonces M  es libre de rangon. Tomando el isomorfismo γ  : M  −→ An, entonces β ◦ γ  : M  −→ M  essobreyectiva y por tanto un isomorfismo. Se sigue que β  = (β ◦ γ ) ◦ γ −1

es un isomorfismo y los generadores de M  forman una base.

Veamos finalmente que Am ∼= Am implica m = n. Si m < n, entoncespodemos extender una base con m elementos por adjuncion de elementosnulos, para obtener de este modo un conjunto de n generadores.Peroeste nuevo conjunto no forma una base, lo que contradice la primera

afirmacion. Ası, debemos tener que m = n. 2

Proposicion 4.1.20. Sea A un anillo, I  un ideal de A[X ] y B = A[X ]/I .Sea  x la imagen de  X  en  B.

1. Si B es generado por n elementos como A-modulo, entonces I  con-tiene un polinomio monico de grado ≤ n. Recıprocamente, si I contiene un polinomio monico de grado n, entonces B es generadocomo A-modulo a lo mas por n elementos.

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2.1 Longitud de Modulos 69

2. B es un modulo libre finitamente generado si, y solo si, I  es generadopor un polinomio monico.

Demostracion. 1. Supongamos que B es generado como A-modulopor n elementos. Para el elemento x ∈ B, la multiplicacion φx : B −→ Bdefinida por b −→ xb es un endomorfismo como A-modulo. Sea I  = A,luego por el teorema de Cayley-Hamilton existe un polinomio monico

f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an

tal que f (φx) = 0 en EndA(B). Ası pues,

φnx + a1φn−1

x + . . . + an−1φx + an = 0.

Luego para el elemento 1 ∈ B tenemos

φnx(1) + a1φn−1

x (1) + . . . + an−1φx(1) + an = 0

o tambienxn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0.

Ahora supongamos que I  contiene un polinomio monico de grado n, dig-amos f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an, entonces

f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an,

luegof (x) = xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0,

de donde obtenemos que

xn

= −a1xn−1

− a2xn−2

− . . . − an−1x + an

y por induccion tenemos para cada d ≥ n que xd es una A-combinacionlineal de {1, x , . . . , xn−1}.

2. Supongamos que B es un A-modulo libre de rango n, luego porla primera afirmacion, existe un polinomio monico f (X ) ∈ I  de gradon; tambien por la primera afirmacion, B es un A-modulo generado por{1, x , . . . , xn−1}. Siendo B libre de rango n, tenemos de la proposicion2.4.2 que estas potencias forman una A-base de B.

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70 1. Lord Barrera

Veamos que I  = ⟨f (X )⟩. Si g(X ) ∈ I , por el algoritmo de la divisionpodemos escribir g(X ) = h(X )f (X ) + q (X ), donde h(X ), q (X ) ∈ A[X ] y∂ (q (X )) < n, sigue de esto que q (X ) ∈ I , pero q (X ) es combinacion linealde los elementos 1, x , . . . , xn−1, por tanto q (X ) = 0 y ası g(X ) ∈ ⟨f (X )⟩.Supongamos ahora que I  es generado por un polinomio monico f (X )de grado n. Sabemos que el conjunto {1, x , . . . , xn−1} genera a B como

A-modulo, veamos que este conjunto es linealmente independiente. Enefecto, supongamos que ∑n−1i=0 aix

i = 0 para algunos elementos ai ∈ A,luego

∑n−1i=0 aiX i ∈ I  = ⟨f (X )⟩; ahora bien, desde que f (X ) es monico,.

tenemos que cualquier multiplo no nulo de f (X ) tiene grado por lo menosn, por tanto

∑n−1i=0 aiX i = 0, lo que implica ai = 0 para i = 0, 1, . . . , n.

O sea, el conjunto {1, x , . . . , xn−1} es linealmente independiente. 2

Proposicion 4.1.21. Sea  A un anillo, B una  A-algebra y  x ∈ B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El elemento x es raız de un polinomio m´ onico del anillo A[X ].

2. La sub´ algebra  A[x] de  B es un  A-modulo finito.

3. Existe un  A[x]-m´ odulo fiel, que es un  A-m´ odulo finito.

4. A[x] esta contenido en una sub´ algebra  B′ de  B, el cual es un  A-m´ odulo finito.

Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea X n + a1X n−1 + . . . + an−1X  + an unpolinomio monico en A[X ] tal que xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0,luego

xn = −a1xn−1 − a2xn−2 − . . . − an−1x − an

y por induccion tenemos para cada d ≥ n que xd

es una A-combinacionlineal de los elementos 1, x , . . . , xn−1, entonces A[X ] es un A-modulofinito.

2 ⇒ 3. Es suficiente considerar la subalgebra A[x].

3 ⇒ 1. Sea M  el A[X ]-modulo fiel el cual es tambien un A-modulofinito. Consideremos el endomorfismo φx : M  −→ M  en EndA(M ).Luego, por Cayley-Hamilton tenemos

φnx + a1φn−1

x + . . . + an−1φx + an = 0

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2.1 Longitud de Modulos 71

en EndA(M ) y siendo M  un A[x]-modulo sfiel tenemos

xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0.

Por tanto existe f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an ∈ A[X ] tal quef (x) = 0.

2

⇒4. Es suficiente considerar B′ = A[x].

4 ⇒ 3. B′ es un A-modulo finito y B′ es un A[x]-modulo fiel, pues,B′ contiene el elemento 1. 2

Definicion 4.1.6. Sea A un anillo y B una A-algebra. Un elemento x ∈B es llamado integral sobre A si verifica cualquiera de las afirmaciones dela proposicion anterior. Una relacion de la forma f (x) = 0, donde f (X )es un polinomio monico en A[X ] es llamado ecuacion de dependencia

integral.

Proposicion 4.1.22. Sea  A un anillo y  B una  A-´ algebra. El conjuntode elementos de  B que son integrables sobre  A forma una sub´ algebra de B.

Demostracion. Sean x, y elementos de B integrales sobre A. DEbe-mos mostrar que tanto x+y como xy tambien son integrales sobre A. Paraesto consideremos los A-modulos M  = A[X ] y N  = A[y], de acuerdo a laproposicion 3, M  y N  son finitamente generados. Por otro lado, consider-emos el A-modulo M N  generado por todos los pares mn, donde m ∈ M y n ∈ N ; ası, M N  es tambien un modulo finitamente generado. Tenemosentonces

xyMN  = xMyN ⊆ M N 

y

(x + y)M N  ⊆ xM N  + M yN  ⊆ M N  + M N  = M N.Luego, por Cayley-Hamilton, y considerando φxy y φx+y conseguimos quelos elementos xy y x + y son integrales sobre A. Esto muestra que loselementos integrales forman un subanillo. 2

Definicion 4.1.7. Sea B una A-algebra. La subalgebra de B formadapor todos los elementos integros sobre A es llamada clausura integral onormalizacion de A en B. Un anillo A que es igual a su normalizaciones llamado anillo normal o tambien ıntegramente cerrado en B. Si

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72 1. Lord Barrera

B es igual a la normalizacion de A, entonces se dice que B es integrosobre A.

Los ejemplos mas importantes aparecen cuando A es un dominio y Bes su cuerpo de fracciones, en este caso A es llamado dominio normal

si A coincide con su normalizacion.

Lema 4.1.23. Sea A un anillo, B una  A-´ algebra y 

{x1, . . . , xn

}un con-

 junto finito de elementos de B. Entonces la sub´ algebra  A[x1, . . . , xn] de Bes un  A-m´ odulo finito si y s´ olo si los elementos  x1, . . . , xn son integrales sobre  A.

Demostracion. Supongamos que la subalgebra A[x1, . . . , xn] es unA-modulo finito. Para cada i = 1, . . . , n tenemos que A[xi] ⊆ A[x1, . . . , xn],entonces de la afirmacion 4 de la proposicion 2.4.4 se sigue que xi es in-tegral sobre A.

Recıprocamente, veamos por induccion sobre n que la subalgebraA[x1, . . . , xn] de B es un A-modulo finito. Para n = 1, la afirmaciones verdada por la proposicion 2.4.4, ya que, A[x1] es un A-modulo finito.

Ahora bien, asumiendo valida nuestra hipotesis inductiva, sea B′

= A[x1, . . . , xn−1],luego, xn es integral sobre B′; ası, B′[x] = A[x1, . . . , xn] es un B′-modulofinito, y siendo B′ un A-modulo finito, tenemos que A[x1, . . . , xn] es unA-modulo finito. 2

Observacion 4.1.4. Notemos que si B = A[x1, . . . , xn], entonces loselementos xi son integrales sobre A si y solo si B es integral sobre A.

Teorema 4.1.24. Sea  B una  A-´ algebra. Entonces  B es un  A-m´ odulo finito si y s´ olo si B es una  A-algebra finitamente generada y  B es integral sobre  A.

Demostracion. Supongamos que B es un A-modulo finito y con-sideremos B = Ax1 + . . . A xn, donde los elementos xi estan en B. Esclaro que B ⊆ A[x1, . . . , xn] ⊆ B, entonces B = A[x1, . . . , xn]. Pero Bes un A-modulo finito, luego por el lema anterior, los elementos xi sonintegrales sobre A; por tanto, de acuerdo a la observacion tenemos que Bes integral sobre A y B es una A-algebra finitamente generada.

Recıprocamente, sea B = A[x1, . . . , xn] y B integral sobre A. En-tonces los xi son A-integrales. De acuerdo al lema anterior, se sigue queB es un A-modulo finito. 2

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2.1 Longitud de Modulos 73

Definicion 4.1.8. Una A-algebra B satisfaciendo el teorema anterior esllamada A-algebra finita.

Proposicion 4.1.25. Transitividad de dependencia integral. Sea A un anillo, B una  A-´ algebra y  C  una  B-´ algebra. Si  B es integral sobre A y  C  es integral sobre  B, entonces  C  es integral sobre  A.

Demostracion. Sea x un elemento de C . Por hipotesis existe unpolinomio monico f (X ) = X n + b1X n−1 + . . . + bn con coeficientes en Btal que f (x) = 0; luego, x es integral sobre A[b1, . . . , bn] = B′ y B′[x] esun B′-modulo finito. Como B es integral sobre A, por el lema anterior,A[b1, . . . , bn] es un A-modulo finito, entonces A[b1, . . . , bn][x] es tambienun A-modulo finito. Desde que A[b1, . . . , bn, x] = A[b1, . . . , bn][x], ten-emos del lema anterior que x es integral sobre A; pero, x es un elementoarbitrario en C , de aquı, C  es integral sobre A. 2

Proposicion 4.1.26. Sea  A un anillo y  B una  A-´ algebra tal que  B es integral sobre  A. Si  J  es un ideal de  B, entonces  B/J  es integral sobre A/J c.

Demostracion. Sea x + J  ∈ B/J , desde que x es integral sobre A,entonces xn + a1xn−1 + . . . + an = 0, donde ai ∈ A. Desde que A/J c essubanillo de B/J  tenemos

(x + J )n + a1(x + J )n−1 + . . . + an(1 + J ) = J,

es decir,

(x + J )n + (a1 + J c)(x + J )n−1 + . . . + (an + J c)(1 + J ) = J.

A continuacion veremos otras consecuencias de Cayley-Hamilton. Lossiguientes resultados son de gran importancia en la teorıa de anillos lo-

cales.

Corolario 4.1.27. Lema de Nakayama. Sea  M  un  A-m´ odulo finito.Si  I  es un ideal de  A tal que  IM  = M , entonces existe  a ∈ A tal que aM  = 0 y  a − 1 ∈ I .

Demostracion. Tomemos φ = idM  en el teorema 2.4.1, luego, enEndA(M ) temnemos

idnM  + a1idn−1

M  + . . . + an−1idM  + an = 0.

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74 1. Lord Barrera

Haciendo a = 1 + a1 + . . . an, obtenemos a − 1 ∈ I . Por tanto, si m ∈ M conseguimos

am = m + a1m + . . . + anm = a1idnM  + . . . + anm = 0.

Ası, aM  = {θ}. 2

Corolario 4.1.28. Sea  A un anillo e  I  un ideal contedido en  J (A)..

Sea  M  un  A-m´ odulo finitamente generado y  N  ⊆ M  un subm´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si  M  = N  + IM , entonces  M  = N .

2. Si  m1, . . . , mn ∈ M , entonces los elementos  m1, . . . , mn generan a M  como A-m´ odulo si y s´ olo si sus im´ agenes en  M/IM  generan a este como A-m´ odulo.

Demostracion. 1. Sea M  = M/N  y veamos que IM  = M . Dado unelemento m ∈ M  podemos escribir m = n +

∑ri=1 aimi con n ∈ N , ai ∈ I 

y mi ∈ M . Luego, m =

∑ri=1 aimi =

∑ri=1 aimi =

∑ri=1 aimi ∈ IM .

Ahora bien, por Nakayama existe a ∈ A tal que aM  = 0 y a − 1 ∈ I J (A). Ası que, a ∈ U(A) y M  = 0, es decir, M  = N .2. Si m1, . . . , mn generan a M  como A-modulo, entonces claramente

sus imagenes en M/IM  generan a este como A-modulo. Recıprocamente,supongamos que las imagenes de m1, . . . , mn es M/IM  generan a estecomo A-modulo; ası que, M  =

∑ni=1 Ami + IM , pero, M/

∑ni=1 Ami es

un A-modulo finitamente generado. Por tanto, de la afirmacion 1 se sigueque M  =

∑ni=1 Ami. 2

Definicion 4.1.9. Definicion. Sea M  un A-modulo. Un conjunto gen-erador S  de M  es llamado minimal so no existe un subconjunto propiode S  que genera a M .

Proposicion 4.1.29. Sea  (A,m, k) un anillo local y  M  un  A-m´ odulo finitamente generado y sea  M  = M/mM . Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. M  es un  K -espacio vectorial de dimensi´ on finita.

2. Un subconjunto L de  M  es una base minimal de  M  si y s´ olo si el conjunto de clases residuales de elementos de  L en  M , es una base de  M .

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2.1 Longitud de Modulos 75

3. Si  {m1, . . . , mn} y  {m′1, . . . , m′

 p} son dos bases minimales de  M  y M ′i =

∑aijm j con  aij ∈ A, entonces  det(aij) ∈ U(A).

Demostracion. 1. Es inmediato que los A-submodulos de M  coin-ciden con los A/M -submodulos de M .

2. Sea L = {m1, . . . , mn} ⊆ M  tal que L = {m1, . . . , mn} es unabase para M . De acuerdo al corolario 2.4.11 tenemos que L genera a M .

Ahora bien, si L no fuera minimal, entonces existe un subconjunto propioL′ de L el cual genera a M  y por tanto, L′ genera a M , de aquı, L eslinealmente dependiente lo cuyal es una contradiccion. Recıprocamente,sea L = {m1, . . . , mn} una base minimal de M ; afirmamos que L ={m1, . . . , mn} es una base de M . Si no lo fuera, desde que L genera aM , podemos conseguir un subconjunto propio de L1 de L el cual serıauna base de M , de aquı, L1 serıa una base minimal de M , lo cual es unacontradiccion.

3. Sean aij las clases residuales de aij en k, luego m′i =

∑aijm j ,

donde

m′

i,

m j son las clases residuales de m′

i, m j en M . Realmente ten-emos que m′

i = aijm j = aijm j = aijm j.

Siendo (aij) una matriz cambio de base, entonces es inversible, luegoexiste una matriz (bij) en GL(A) tal que (aij)(bij) = I n. Ası que,det((aij)(bij)) = det(aij)det(bij) ∈ U)(A). Es inmediato ver que n = p,

pues, por la segunda afirmacion, {m′i} y {m j} son ambas base de M . 2

4.2 Descompocicion Primaria

4.3 Ejercicios

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76 1. Lord Barrera

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Capıtulo 5

Modulos Proyectivos e

Inyectivos

5.1 Modulos proyectivos e inyectivos

5.2 Modulo de Homomorfismos y Dualidad

Definicion 5.2.1. Sean M, M 1, N  y N 1 A-modulos, y sean ϕ : N  → N 1,ψ : M  −→ M 1 homomorfismos de A-modulos. Entonces las aplicaciones

ϕ∗ : HomA(M, N ) −→ HomA(M, N 1)α −→ ϕ ◦ α

y

ψ∗ : HomA(M 1, N ) −→ HomA(M, N )β 

−→β 

◦ψ

son homomorfismos de A-modulos.

Dada una sucesion exacta de A-modulos y A-homomorfismos

· · ·−→ M n−1φn−→ M n

φn+1−→ M n+1 −→·· ·

y un A-modulo N , entonces tenemos dos sucesiones de A-modulos

· · ·−→ HomA(N, M n−1)(φn)∗−→ HomA(N, M n)

(φn+1)∗−→ HomA(N, M n+1) −→·· ·

77

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78 1. Lord Barrera

y

· · ·←− HomA(M n−1, N )(φn)∗←− HomA(M n, N )

(φn+1)∗←− HomA(M n+1, N ) ←−·· ·

Teorema 5.2.1. Sea  A un anillo. Entonces 

0 −→ M 1

ϕ

−→ M 

ψ

−→ M 2 (5.2.1)es una sucesi´ on exacta de  A-m´ odulos si y s´ olo si la sucesi´ on 

0 −→ HomA(N, M 1)ϕ∗−→ HomA(N, M )

ψ∗−→ HomA(N, M 2) (5.2.2)

es una sucesi´ on exacta de  A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .

Demostracion. Supongamos que (1.5.2) sea exacta y sea N  un A-modulo. Dado α ∈ HomA(N, M 1) tal que ϕ∗(α) = 0, entonces 0 = ϕ ◦ α.Como ϕ es inyectiva, α = 0. Por lo tanto, ϕ∗ es inyectiva.

Veamos que Im(ϕ∗) = N uc(ψ∗). Desde que ψ ◦ ϕ = 0, entoncesψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗ = 0. Esto implica que Im(ϕ∗) ⊆ N uc(ψ∗).

Por otra parte, sea β ∈ N uc(ψ∗), entonces 0 = ψ∗(β ) = ψ ◦ β . Luego,Im(β ) ⊆ N uc(ψ) = Im(ϕ). Desde que ϕ es un monomorfismo, entoncesϕ : M 1 −→ Im(ϕ) es un isomorfismo. Si α es la composicion

N β−→ Im(β ) ⊆ Im(ϕ)

ϕ−1−→ M 1,

entonces α ∈ HomA(N, M 1) y ϕ∗(α) = ϕ ◦ α = β . Por lo tanto,

N uc(ψ∗) ⊆ Im(ϕ∗).

Recıprocamente, supongamos que (1.5.3) sea exacta para todo A-modulo N . Entonces ϕ∗ es inyectiva para todo A-modulo N . Sea N  =N uc(ϕ) y ı : N  −→ M 1 la inclusion, entonces 0 = ϕ ◦ ı = ϕ∗(ı). Desde

que ϕ∗ es inyectiva, entonces ı = 0, es decir, N  = 0. Por lo tanto, ϕ esinyectiva.

Sea ahora N  = M 1. Vemos que 0 = (ψ∗ ◦ ϕ∗)(idM 1) = ψ ◦ ϕ; dedonde, Im(ϕ) ⊆ N uc(ψ). Ahora sea N  = N uc(ψ) y sea ı : N  −→ M  lainclusion. Desde que ψ∗(ı) = ψ ◦ ı = 0, entonces ı ∈ N uc(ψ∗) = Im(ϕ∗);luego, existe α ∈ HomA(N, M 1) tal que ı = ϕ∗(α) = ϕ ◦ α. Por lo tanto,

N uc(ψ) = N  = Im(ı) ⊆ Im(ϕ).

2

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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD  79

Teorema 5.2.2. Sea  A un anillo. Entonces 

M 1ϕ−→ M 

ψ−→ M 2 −→ 0 (5.2.3)

es una sucesi´ on exacta de  A-m´ odulos si y s´ olo si la sucesi´ on 

0 −→ HomA(M 2, N )ψ∗

−→ HomA(M, N )ϕ∗−→ HomA(M 1, N ) (5.2.4)

es una sucesi´ on exacta de  A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .

Demostracion. Supongamos que (1.5.4) es una sucesion exacta.Veamos que N uc(ϕ∗) ⊆ Im(ψ∗). Si β  ∈ N uc(ϕ∗), entonces 0 = ϕ∗(β ) =β ◦ϕ; de aquı, 0 = β (Im(ϕ)) = β (N uc(ψ)). Entonces existe un homomor-fismo β  : M/Nuc(ψ) −→ N  tal que β (m+N uc(ψ)) = β (m). Desde que ψes epimorfismo, tambien existe un isomorfismo ξ  : M/Nuc(ψ) −→ M 2 talque ξ (m + N uc(ψ)) = ψ(m). Entonces la aplicacion β ◦ ξ −1 : M 2 −→ N es un homomorfismo de A-modulos tal que ψ∗(β ◦ ξ −1) = β . De aquı,N uc(ϕ∗) ⊆ Im(ψ∗).

Ahora bien, sea β 

∈Im(ψ∗), entonces existe α

∈HomA(M 2, N ) tal

que β  = ψ∗(α) = α ◦ ψ. Luego,

ϕ∗(β ) = β ◦ ϕ = (α ◦ ψ) ◦ ϕ = α ◦ (ψ ◦ ϕ) = 0.

Por lo tanto, β ∈ N uc(ϕ∗).Recıprocamente, supongamos que (1.5.5) sea exacta para todo A-

modulo N . Sea N  = M 2/Im(ψ) y sea π : M 2 −→ N  la proyeccioncanonica. Entonces ψ∗(π) = π ◦ ψ = 0, y como N uc(ψ∗) = 0, debemostener que π = 0, de aquı, M 2 = Im(ψ) y ψ es sobreyectiva. 2

Proposicion 5.2.3. Sea  A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. 0 −→ M 1ϕ−→ M 

ψ−→ M 2 −→ 0 es una sucesi´ on exacta trivial de A-m´ odulos.

2. 0 −→ HomA(N, M 1)ϕ∗−→ HomA(N, M )

ψ∗−→ HomA(N, M 2) −→ 0es una sucesi´ on exacta trivial de  A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .

3. 0 −→ HomA(M 2, N )ψ∗

−→ HomA(M, N )ϕ∗−→ HomA(M 1, N ) −→ 0

es una sucesi´ on exacta trivial de  A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .

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80 1. Lord Barrera

Demostracion. 1 ⇒ 2. Por hipotesis, existe β  : M 2 −→ M  talque ψ ◦ β  = idM 2 , de esta manera tenemos el homomorfismo inducidoβ ∗ : HomA(N, M 2) −→ HomA(N, M ) tal que

idHomA(N,M 2) = (idM 2)∗ = (ψ ◦ β )∗ = ψ∗ ◦ β ∗.

Por lo tanto, ψ∗ es un epimorfismo.

2 ⇒ 1. Sea N  = M 2. Por la sobreyectividad de ψ∗, para idM 2 , existeγ  : M 2 −→ M  tal que ψ∗(γ ) = ψ ◦ γ  = idM 2 y la sucesion es exacta.

1 ⇒ 3. Por hipotesis, existe α : M  −→ M 1 tal que α ◦ ϕ = idM 1 , deesta manera tenemos el homomorfismo inducido α∗ : HomA(M 1, N ) −→HomA(M, N ) tal que

idHomA(M 1,N ) = (idM 1)∗ = (α ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ α∗.

Por lo tanto, ϕ∗ es un epimorfismo.3 ⇒ 1. Sea N  = M 1. Por la sobreyectividad de ϕ∗, para idM 1 , existe

γ  : M  −→ M 1 tal que ϕ∗(γ ) = γ ◦ ϕ = idM 1 y la sucesion es exacta. 2

Lema 5.2.4. Si  L es un  A-m´ odulo libre, entonces toda sucesi´ on exacta corta 

0 −→ N  −→ M φ−→ L −→ 0

es trivial.

Demostraci´ on. Sea S  = {xi}i∈I  base del A-modulo libre L. Desde queφ es sobreyectiva, para cada i ∈ I , existe un elemento mi ∈ M  tal queφ(mi) = xi. Definimos f  : S −→ M  por f (xi) = mi. Desde que L es libre,existe un homomorfismo ψ : L −→ M  tal que ψ◦ı = f , donde ı : S −→ M es la inclusion de S  en M . Desde que (φ ◦ ψ)(xi) = xi = idL(xi), sigueque φ ◦ ψ = idL y el resultado sigue del teorema 1.5.45. 2

Teorema 5.2.5. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo. Entonces 

HomA(A, M ) ∼= M.

Demostracion. Definimos φ : HomA(A, M ) −→ M  por α −→ α(1).Es facil verificar que φ es un homomorfismo. Por otra parte, la aplicacionψ : M  −→ HomA(A, M ) definida por m −→ αm, donde αm(a) = amtambien verifica que es un homomorfismo tal que φ ◦ ψ = idM  y ψ ◦ φ =idHomA(A,M ). 2

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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD  81

Definicion 5.2.2. Sea M  un A-modulo. El A-modulo HomA(M, A) esllamado modulo dual de A y denotado por M ∗. Los elementos de M ∗

son llamados funcionales lineales.

Teorema 5.2.6. Sea  M  un  A-m´ odulo libre y B = {mi}i∈I  una base de M  y consideremos el conjunto {m∗

i }i∈I , donde  m∗i (m j) = δ ij. Entonces 

1. B∗ = {m∗i }i∈I  es un subconjunto linealmente independiente de  M ∗con  card(B∗) = card(B).

2. Si B es finito, entonces  M ∗ es un  A-m´ odulo libre con base B∗.

Demostracion. 1. Si∑

i∈I aim∗i = 0, con ai ∈ A y m∗

i ∈ B∗,

entonces para cada j ∈ I 

0 = (i∈I 

aim∗i )(m j) = a j.

Ası, el conjunto B∗ es linealmente independiente. Ademas, si mi

= m j ,

entonces m∗i (mi) = 1 = 0 = m

∗ j (mi); de aquı, m

∗i = m

∗ j . Por lo tanto,

card(B∗) = card(B).

2. Sea B es finito con B = {m1, . . . , mn}. Sea f  ∈ M ∗ y hagamosbi = f (mi). Dado m ∈ M , podemos escribir m = a1m1 + . . . + anmn.Entonces

(n

 j=1

b jm∗ j )(m) = (

n j=1

a jm∗ j )(

ni=1

aimi)

=i

 j

aim∗ j (mi)b j =

i

 j

aiδ ijb j =i

aibi

= i

aif (mi) = f (i

aimi) = f (m).

Por lo tanto, f  = b1m∗1 + . . . + nnm∗

n y B∗ genera a M ∗. Concluimos que

B∗ es una base y M ∗ es libre. 2

Definicion 5.2.3. El dual del modulo M ∗ se denota por M ∗∗, es decir,M ∗∗ = (M ∗)∗ y es llamado doble dual de M .

Teorema 5.2.7. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo. Se cumplen:

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82 1. Lord Barrera

1. Existe un homomorfismo η : M  −→ M ∗∗.

2. Si  M  es un  A-m´ odulo libre, entonces  η es un monomorfismo.

3. Si  M  es un  A-m´ odulo libre con base finita, entonces  η es un iso-morfismo.

Demostracion. 1. Para cada m ∈ M , sea ηm : M ∗

−→ A laaplicacion definida por ηm(f ) = f (m). La aplicacion ηm es laramente unfuncional lineal y η es un homomorfismo de A-modulos.

2. Sea B = {mi}i∈I  una base de M . Si m ∈ M , entonces m =a1m1 + . . . + anmn, donde ai ∈ A y mi ∈ B. Si η(m) = 0, entonces paratodo f  ∈ M ∗,

0 = f (m) = f (n

i=1

aimi) =n

i=1

aif (mi).

En particular, para f  = m∗ j , j = 1, . . . , n

0 =n

i=1

aim∗ j (mi) =

ni=1

aiδ ij = a j.

Por lo tanto, m = a1m1 + . . . + anmn = 0 y η es un monomorfismo.

3. Sea B = {m1, . . . , mn} una base finita de M . Sea B∗ = {m∗1, . . . , m∗

n}la base dual de M ∗ y B∗∗ = {m∗∗

1 , . . . , m∗∗n } la base de M ∗∗. Veamos que

η(mi) = m∗∗i para i = 1, . . . , n. En efecto.

η(mi)(m∗ j ) = δ ij = m∗∗

i (m∗ j ).

2

Teorema 5.2.8. Sea A un anillo y  P  un  A-m´ odulo. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:

1. Toda sucesi´ on exacta corta de  A-m´ odulos 

0 −→ M 1 −→ M  −→ P  −→ 0

es trivial.

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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD  83

2. P  es sumando directo de un  A-m´ odulo libre.

3. Para cualquier  A-modulo N  y cualquier epimorfismo ψ : M  −→ P ,el homomorfismo

ψ∗ : HomA(N, M ) −→ HomA(N, P )

es sobreyectivo.

4. Para cualquier epimorfismo ϕ : M  −→ N , el homomorfismo

ϕ∗ : HomA(P, M ) −→ HomA(P, N )

es sobreyectivo.

5. Para toda sucesi´ on exacta corta 

0 −→ M 1φ−→ M 

ϕ−→ M 2 −→ 0

de  A-m´ odulos, la sucesi´ on 

0 −→ HomA(P, M 1)φ∗−→ HomA(P, M )

ϕ∗−→ HomA(P, M 2) −→ 0

es tambien una sucesi´ on exacta corta.

Demostracion. 1 ⇒ 2. Consideremos una presentacion libre

0 −→ L1 −→ L −→ P  −→ 0

de P , es decir, L es libre. Por hipotesis, esta sucesion exacta corta estrivial. Por lo tanto, L = L1

⊕P .

2

⇒3. Sea L = P ′

⊕P  un A-modulo libre. Dado un epimorfismo

ψ : M  −→ P , sea ψ′ : M ⊕P ′ −→ P ⊕P ′ de finida por m + p′ −→ψ(m) + p′, que es tambien un epimorfismo; asi que la sucesion

0 −→ N uc(ψ′) −→ M 

P ′ −→ L −→ 0

es exacta. Desde que L es libre, el lema anterior implica que esta sucesiones trivial y el teorema 1.5.52 implica que

ψ′∗ : HomA(N, M 

P ′) −→ HomA(N, P 

P ′)

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84 1. Lord Barrera

es un epimorfismo. Sea β  ∈ HomA(N, P ) y β ′ = ı ◦ β , donde ı : P  −→P ⊕

P ′ es la inclusion. Entonces exiate α ∈ HomA(N, M ⊕

P ′) tal queψ∗(α) = β . Sean π : M 

⊕P ′ −→ M  y π′ : P 

⊕P ′ −→ P  las proyecc-

ciones. Notemos que π′ ◦ ı = idP  y ψ ◦ π = π′ ◦ ψ′. Entonces

ψ∗(π ◦ α) = ψ ◦ (π ◦ α) = π′ ◦ ψ′ ◦ α = π′ ◦ β ′ = (π′ ◦ ı) ◦ β  = β.

Por lo tanto, ψ∗ es sobreyectiva.3 ⇒ 4. Sea

0 −→ L1 −→ L −→ P  −→ 0

una presentacion libre de P . Por hipotesis, existe β  ∈ HomA(P, L)tal que ψ∗(β ) = ψ ◦ β  = idP . Sea ϕ : M  −→ N  un epimorfismo yα ∈ HomA(P, N ). Sea S  = {xi}i∈I  una base de L. Desde que ϕ essobreyectiva, elegimos mi ∈ M  tal que ϕ(mi) = α ◦ ψ(xi) para todoi ∈ I . De acuerdo al teorema (*), existe un homomorfismo de A-modulosφ : L −→ M  tal que φ(xi) = mi para todo i ∈ I , ademas, ϕ ◦ φ = α ◦ ψ.Definimos γ ∈ HomA(P, M ) por γ  = φ ◦ β  y tenemos que

ϕ∗(γ ) = ϕ ◦ (φ ◦ β ) = α ◦ ψ ◦ β  = α ◦ idP  = α.

4 ⇒ 1. Sea una sucesion exacta corta

0 −→ M 1 −→ M  −→ P  −→ .0

Entonces ψ : M  −→ P  es sobreyectiva. Tomando N  = P  en la hipotesis,se tiene

ψ∗ : HomA(P, M ) −→ HomA(P, P )

es sobreyectiva. Elegimos β  : P  −→ M  con ψ∗(β ) = idP . 2

Definicion 5.2.4. Un A-modulo P  satisfaciendo cualquiera de las afir-maciones de la proposicion anterior es llamado modulo proyectivo.

Proposicion 5.2.9. Todo m´ odulo libre es proyectivo.

Demostracion.

Proposicion 5.2.10. Sea  M  un  A-m´ odulo. Entonces  M  proyectivo de tipo finito si y s´ olo si es sumando directo de un  A-m´ odulo libre con base 

 finita.

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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD  85

Demostraci´ on.

Definicion 5.2.5. Si M  es un A-modulo, entonces una sucesion exactacorta

0 −→ L1 −→ L0 −→ M  −→ 0 (5.2.5)

donde L0 y L1 son libres, es llamada presentaci´ on de M . Una presentacion

es finita  si los modulos L0 y L1 tienen base finita. Un A-modulo M  es depresentaci´ on finita  admite una presentacion finita.

Observacion 5.2.1. De acuerdo a la proposicion 1.5.37, todo A-moduloM  admite una presentacion. En efecto. Existe un epimorfismo φ : L0 −→M , donde L0 es libre; si N  = N uc(π), entonces existe un epimorfismo ψ :L1 −→ N , donde L1 es libre. Si ψ es considerado como un homomorfismode L1 en L0, entonces la sucesion

L1ψ−→ L0

φ−→ M  −→ 0

es exacta.

Proposicion 5.2.11. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Todo m´ odulo que admite una presentaci´ on finita es de tipo finito.

2. Si  A es un anillo noetheriano, todo A-m´ odulo de tipo finito admite una presentaci´ on finita.

3. Todo m´ odulo proyectivo de tipo finito admite una presentaci´ on finita.

Demostraci´ on. 1. Es directa a partir de las definiciones.

2. Sea A un anillo noetheriano y M  un A-modulo de tipo finito. Deacuerdo a la hipotesis, existe un epimorfismo φ : L0 −→ M , donde L0

es un A-modulo libre con base finita. Desde que A es northeriano, M  estambien noetheriano; por tanto, N uc(φ) es de tipo finito. Tambien existeun epimorfismo ψ : L1 −→ N uc(φ), donde L1 es libre de base finita. Portanto, la sucesion

L1 −→ L0 −→ M  −→ 0

es una presentacion finita de M .

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86 1. Lord Barrera

3. Sea M  un modulo proyectivo de tipo finito. Entonces M  essumando directo de un modulo libre L0 de base finita; el nucleo del epi-morfismo L0 −→ M  es tambien isoimorfo a un cociente de L0, que es detipo finito.

2

Teorema 5.2.12. Sea  A un anillo y  M  un  A-m´ odulo de presentaci´ on 

 finita. Para toda sucesi´ on exacta 

0 −→ M 1ı−→ M 

π−→ M 2 −→ 0

con  M  de tipo finito, entonces  M 1 es de tipo finito.

Demostraci´ on.

5.3 Modulos de Presentacion Finita.

Proposicion 5.3.1. Sea  A un anillo y  P  un  A-m´ odulo de presentaci´ on  finita. Para toda sucesi´ on exacta 

0 → M  ı→ N  π→ P  → 0

donde  N  es de tipo finito, entonces  M  es de tipo finito.

Demostraci´ on. Sea L1µ→ L0

ν → P  → 0 una presentacion finita paraP  y sea {yi}ri=1 una base de L0. Desde que π es epimorfismo, para cadai = 1, . . . , r existe ni ∈ N  tal que π(ni) = ν (yi). Elegimos para cada yi

un elemento ni y definimos

β  : L0 → N yi → β (yi) = ni

que es claramente un homomorfismo de A-modulos; ademas, π

◦β  = ν .

Veamos a continuacion que β (µ(L1)) ⊆ N uc(π). En efecto, puestoque ν ◦ µ = 0, entonces

π(β (µ(L1))) = (π ◦ β )(µ(L1)) = (ν ◦ µ)(L1) = 0

Sea {xi}si=1 una base de L1. Desde que β (µ(L1)) ⊆ N uc(π) = Im(ı), paracada i = 1, . . . , s existe mi ∈ M  tal que (β ◦ µ)(xi) = ı(mi). Definimos

α : L1 → M xi → α(xi) = mi

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2.1 Longitud de Modulos 87

Entonces ı ◦ α = β ◦ µ. Construyamos el siguiente diagrama conmutativo

L1

α   

µ     G    G L0

β   

ν      G    G P 

idP    

     G    G 0

0 G    G M  ı     G    G N  π

     G    G P  G    G 0

Aquı, ı es un monomorfismo y ν  es un epimorfismo. Por el lema de laserpiente tenemos una sucesion exacta

N uc(α) → N uc(β ) → N uc(idP ) = 0 → · · ·· · · → Conuc(α) → Conuc(β ) → Conuc(idP ) = 0

De donde se sigue que Conuc(α) ∼= Conuc(β ) = N/Im(β ) y este ultimoes de tipo finito; por tanto, Conuc(α) = M/Im(α) es de tipo finito.Ahora bien, de la sucesion exacta

0

→Im(α) = α(L1)

→M 

π

→M/Im(α)

se sigue que M  es de tipo finito. 2

5.4 Ejercicios

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88 1. Lord Barrera

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Capıtulo 6

Graduaciones Filtraciones y

Topologıas

6.1 Modulos Graduados

6.2 Filtracion de Modulos

6.3 Topologıas I -adicas

6.4 Polinomio de Hilbert Serre

Sea A =⊕

n≥0 An un anillo graduado y M  =⊕

n≥0 M n un A-modulograduado. Sabemos que para cada n ≥ 0, M n es un A0-modulo. Si M nes noetheriano y artiniano como A0-modulo, entonces M n posee una seriede composicion; por lo tanto, lA0

(M n) es finita. Esto motiva la siguientedefinicion

Definicion 6.4.1. Se llama serie de Hilbert del A-modulo M  y sedenota por P (M, t) de Z[| t |] definido por

P (M, t) =n≥0

lA0(M n)tn.

Proposicion 6.4.1. Sea  A =⊕

n≥0 An un anillo graduado noetherianocon  A0 artiniano y sea  M  un  A-m´ odulo graduado finitamente generado.

89

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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE  91

Luego

tksP (N, t) − tksP (M, t) + P (M, t) − P (P, t) = g(t), donde g(t) ∈ Z[t].

Agrupando tenemos que

(1 − tks)P (M, t) = P (P, t) − tksP (N, t) + g(t).

Ahora bien, aplicando la hipotesis inductiva conseguimos

(1 − tks)P (M, t) =h1(t)∏s−1

i=1 (1 − tki)− tksh2(t)∏s−1

i=1 (1 − tki)+ g(t).

Por lo tanto, P (M, t) tiene la forma

f (t)∏si=1(1 − tki)

donde f (t) ∈ Z[t].

2

Supongamos el caso simple k1 = . . . = k1 = 1; ası que A es generado

sobre A0 por elementos de grado 1. Sea P (M, t) = f (t)(1−t)s . Si f (1) = 0,

entonces f (t) tiene un factor de la forma (1 −t). Sea P (M, t) = f (t)(1−t)d

que

resulta luego de haber cancelado los factores comunes en el numeradory denominador. Por tanto, si d > 0, entonces f (1) = 0, en este casoescribimos d = d(M ).

Sabenos que (1 − t)−1 = 1 + t + t2 + . . . y podemos derivar hastaobtener

(1 − t)−d = (−1)d+1∞n=0

d + n − 1

d − 1

(6.4.1)

Ahora bien, si f (t) = a0 + a1t + . . . + asts, entonces

P (M, t) = (a0 + a1t + . . . + asts)

(−1)d+1∞n=0

d + n − 1

d − 1

,

de donde

lA0(M n) = a0

d + n − 1

d − 1

+a1

d + n − 2

d − 1

+. . .+as

d + n − s − 1

d − 1

(6.4.2)

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92 1. Lord Barrera

donde

m

d − 1

= 0 para m < d− 1. Desarrollando 2.12.20 tenemos

lA0(M n) =

a0(n + d − 1)(n + d − 2) . . . (n + 1)

(d − 1)!+ . . . +

a1(n + d − 2) . . . n

(d − 1)!

. . . +as(n + d − (s + 1))(n + ds + 2−) . . . (n + 1 − s)

(d

−1)!

,

reordenando formalmente como un polinomio en n con coeficientes racionalestenemos

φ(n) =f (1)nd−1

(d − 1)!+ terminos de grado menor.

De todo lo anterior tememos el siguiente teorema

Teorema 6.4.2. Dado un  A =⊕

n≥0 An-m´ odulo graduado noetherianoM  finitamente generado con  A0 artiniano, entonces existe un polinomioφM (X ) con coeficientes racionales, de grado d − 1, donde  d = d(M ) tal que para  n suficientemente grande se tiene que  φM (n) = φ(n).

Definicion 6.4.2. El polinomio φM (X ) del teorema anterior es llamadopolinomio de Hilbert  del modulo M . La funcion numerica H M  : N −→ Ndefinida por n −→ lA0

(M n) es llamada funci´ on de Hilbert  del modulo M .El grado de la funcion de Hilbert  es el grado del polinomio de Hilbert deM .

Sea A un anillo noetheriano semilocal, I  un ideal de definicion de Ay M  un A-modulo finitamente generado. De acuerdo a (*) tenemos quegrI (M ) es un grI (A)-modulo graduado. Tambien, si M  = Am1 + . . . +Amr, entonces grI (M ) = grI (A)m1 + . . . + grI (A)mr, donde mi es laimagen de mi en M/IM . Si I  = Ax1 + . . . + Axs, de acuerdo a (*) setiene que grI (A) = (A/I )[x1, . . . , xs], donde xi es la imagen de xi en I/I 2.

Como A/I  es artiniano, entonces podemos aplicar el teorema anterior agrI (M ). Notando que

l(I nM/I n+1M ) = lA(I nM/I n+1M ) = lA/I (I nM/I n+1M ) < ∞tenemos que

lA(M/I n+1M ) =n

i=0

l(I iM/I i+1M ) < ∞.

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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE  93

Definicion 6.4.3. La funcion numerica χI M  : N −→ N definida por

χI M (n) = lA(M/I n+1M ) es llamada funci´ on de Samuel  del A-modulo

M . Si I  = J (A), entonces escribiremos χI M  = χM .

Sea M ′i = I iM/I i+1M . De 2.12.20 tenemos

l(M 

i) = a0 d + i

−1

d − 1 +a1 d + i

−2

d − 1 +. . .+as d + n

−i

−1

d − 1 ,

luego

ni=0

l(M ′i) = a0

ni=0

d + i − 1

d − 1

+ a1

ni=0

d + i − 2

d − 1

+ . . . +

+ . . . as

ni=0

d + n − i − 1

d − 1

.

Desde que

mn

= m − 1

n − 1

+ m − 1

n

,

entoncesn

i=0

d + i − 1

d − 1

=

d + n

d

.

Por lo tanto,

χI M (n) = a0

d + n

d

+ a1

d + n − 1

d

+ . . . + as

d + n − s

d

,

donde ai ∈ Z. Cuando n ≥ s tenemos un polinomio en n de grado d yd es determinad por M . El polinomio χI 

M (X ) es llamado polinomio de Samuel  del A-modulo M .

Proposicion 6.4.3. El grado del polinomio de Samuel es independiente del ideal de definici´ on.

Demostraci´ on. Sean I, J  ideales de definicion de A y sea m = J(A).Luego existen enteros positivos r, s con mr ⊆ I  ⊆ m y ms ⊆ J  ⊆ m; ası,

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94 1. Lord Barrera

mrs ⊆ I s ⊆ ms ⊆ J  y mrs ⊆ J r ⊆ mr ⊆ I ; de donde, I s ⊆ J  y J r ⊆ I .Esto implica que I sn+s ⊆ J n+1 y J rn+r ⊆ I n+1. Luego los epimorfismos

M/I sn+sM  −→ M/J n+1M  y M/J rn+rM  −→ M/I n+1M 

implican

l(M/I sn+s

M ) ≥ l(M/J n+1

M ) y l(M/J rn+r

M ) ≥ l(M/I n+1

M ).

Es decir,

χI M (sn + s − 1) ≥ χJ 

M (n) y χJ M (rn + r − 1) ≥ χI 

M (n).

Estas desigualdades implican que los polinomios de Samuel χI M  y χJ 

tienen el mismo grado d. 2

Escribimos d = d(grI (M )) = d(M ).

Definicion 6.4.4. Sea el anillo de polinomios A[X ] y sea I  ideal de A.Se llama anillo de Rees  y denotamos por R al A-subalgebra de A[X ]

generado por IX .

A partir de la definicion,

R = A + IX + I 2X 2 + . . . + I nX n + . . .

Si A es noetheriano, entonces I  es finitamente generado como A-modulopor elementos a1, . . . , an; de aquı, IX  es generado como A-modulo pora1X , . . . , anX . Por lo tanto, R es generado como A-algebra por a1X , . . . , anX y R es noetheriano.

Sea M  un A-modulo y consideremos el A[X ]-modulo M [X ]. Sea el

R-submodulo de M [X ] generado por M , si este es denotado por RM ,

entonces

RM  = M  + (IM )X + (I 2M )X 2 + . . . + (I nM )X n + . . .

Ademas, cualquier conjunto de generadores del A-modulo M  es tambienun conjunto de generadores del R-modulo RM . Por tanto, si M  es unA-modulo finitamente generado, entonces RM  es tambien un R-modulofinitamente generado. Ademas, si A es noetheriano, entonces R es noethe-riano y, por tanto, RM  es noetheriano.

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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE  95

Proposicion 6.4.4. Lema de Artin-Rees. Sea  A un anillo noethe-riano, I  ideal de  A y  M  un  A-m´ odulo finitamente generado. Dados subm´ odulos  M 1 y  M 2 de  M , entonces existe un ettero positivo l tal que para todo n ≥ l se tiene 

I nM 1 ∩ M 2 = I n−l(I lM 1 ∩ M 2).

Demostraci´ on. Es inmediato que I n−l(I lM 1∩M 2) ⊆ I lM 1∩M 2) paratodo l y n ≥ l. Veamos que existe l tal que I lM 1∩M 2) ⊆ I n−l(I lM 1∩M 2)para todo n ≥ l. Sea R el anillo de Rees definido por I  y RM  el R-submodulo de M [X ]. Desde que I  jM 1

∩M 2 es un A-submodulo de I  jM 

y (IX )(I  jM 1 ∩ M 2)X  j ⊆ (I  j+1M 1 ∩ M 2)X  j+1, entonces se tiene que

N  = M 1 ∩ M 2 + (IM 1 ∩ M 2)X + . . . + (I 2M 1 ∩ M 2)X 2 + . . .

es un R-submodulo de RM ; pero, RM  es un R-modulo noetheriano, luegoN  es finitamente generado por elementos n1, . . . , ns. De aquı, podemosconseguir un entero positivo l tal que ni =

∑li=0 nijX  j , donde nij ∈

I  j(M 1∩

M 2). Sea ahora n≥

l y u∈

I n(M 1∩

M 2), entonces uX n

∈N :

luego podemos escribir uX n = ∑mi=1 f iui, donde f i ∈ R. Sea f i = ∑ f ilX l

con f il ∈ I l; luego obtenemos uX n =∑

f ilnijX  j+l. Como j ≤ l ≤ n,comparando los coeficientes de X n tenemos que u = f m, donde f  ∈ I n− j

y nij ∈ I  j(M 1 ∩ M 2). Ahora bien,

I n− j(I  jM 1 ∩ M 2) = I n−lI l− j(I  jM 1 ∩ M 2) ⊆ I n−l(I lM 1 ∩ M 2)

lo que implica u ∈ I n−l(I lM 1 ∩ M 2). Por lo tanto,

I nM 1 ∩ M 2 ⊆ I n−l(I lM 1 ∩ M 2).

2

Teorema 6.4.5. Sea A un anillo noetheriano semilocal y sea la sucesi´ on exacta 

0 −→ M 1 −→ M  −→ M 2 −→ 0

 formado por A-m´ odulos de tipo finito. Entonces d(M ) = max{d(M 1), d(M 2)}.Adem´ as, si  I  es un ideal de definici´ on de  A, entonces  χI 

M  − χI M 2

y  χI M 1

tienen el mismo coeficiente principal.

Demostraci´ on.

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96 1. Lord Barrera

6.5 Ejercicios

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Capıtulo 7

Algebras

7.1 Algebra Tensorial

7.2 Algebra Exterior

7.3 Algebra Simetrica

7.4 Ejercicios

97

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98 CAP ITULO 7. ALGEBRAS 

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Capıtulo 8

Funtores Derivados

8.1 Complejos y Resoluciones

8.2 Funtor Tor y Ext

8.3 Planitud y Funciones de Hilbert

Sea A =⊕

n≥0 An un anillo graduado con A0 local noetheriano, donde Aes finitamente generado como A0-algebra por elementos de grado 1 y seaM  =

⊕n≥0 M n un A-modulo graduado de tipo finito.

Para cada p ∈ Spec(A0), sea el cuerpo residual k(p) = Q(A0/p) =(A0)p/p(A0)p y consideremos el k(p) ⊗A0

M -modulo graduado de tipofinito k(p) ⊗A0

M . De esta manera se tiene la familia {k(p) ⊗A0M } de

modulos graduados parametrizado por Spec(A0).

Observacion 1. Si A = A0, es inmediato ver que M  es A0-plano siy solo si M  es A0-libre. En efecto, esto sigue del hecho que A0 es local yM  es de presentacion finita como A0-modulo.

Observacion 2. Cada M n es un A0-modulo de tipo finito. Ademas,si A = A0[x1, . . . , xs] y m1, . . . , mr son los elementos homogeneos que gen-eran a M , entonces todo elemento de M n es una A0-combinacion lineal deelementos aimi, donde ai es un monomial en los xi y deg(ai) + deg(mi) =n. Desde que el numero de estos elementos es finito, se sigue que cada

99

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100 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS 

M n es un A0-modulo de tipo finito.

Observacion 3. M  es A0-plano si y solo si M n es A0-libre para todon. En efecto, por la observacion 2, cada M n es de presentacion finita, portanto proyectivo. Desde que A0 es local, cada M n es A0-libre.

Observacion 4. Para cada f 

∈A1, sea el Af -modulo graduado M f ,

donde(M f )i = {m

f l: ∃  j y ∃ m ∈ M  j tal que j − l = i}

Desde que (M f )0 es un (Af )0-modulo y A0 → (Af )0 es un homomorfismode anillos, se tiene que (M f )0 es un A0-modulo.

Proposicion 1. (Lema de Cartier). Sea A un anillo graduado y a un ideal de  A. Sea la explosi´ on de  A respecto de  a

ϵa(A) = A ⊕ a⊕ a2 ⊕ . . .

y una filtraci´ on  {N t}t≥0 asociada al  ϵa(A)-m´ odulo N  =

⊕t≥0 N t satisfa-

ciendo(i) t′ ≥ t implica  N t′ ⊆ N t(ii) N  =

∪t≥0 N t

(iii) atN r ⊆ N t+r

Si  N  es un ϵa(A)-m´ odulo de tipo finito, entonces existe  t >> 0 tal que aN t = N t+1.

Demostraci´ on. Simis [2]. 2

Proposicion 2. (Criterio de planitud local). Sea  (A,m) un anillonoetheriano local y  (B, n) un  A-´ algebra local noetheriano tal que mB ⊆ n.Si  M  es un  B-m´ odulo de tipo finito, entonces  M  es un  A-m´ odulo plano

si y s´ olo si  T orA1 (A/m, M ) = 0.

Demostraci´ on. Eisenbud [2]. 2

Lema 1. (M f )0 es un  A0-m´ odulo plano para todo f  ∈ A1 si y s´ olo si M n es  A0-libre para  n >> 0.

Demostraci´ on. Consideremos el diagrama

. . . → M if → M i+1 → . . .

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8.3. PLANITUD Y FUNCIONES DE HILBERT  101

Para cada i se tiene el homomorfismo canonico

φi M i → (M f )0mi → mi

f i

Desde que el diagramaM i G    G

   4    4 F F F F F F F F

 FM  j

   

(M f )0

es conmutativo siempre que i ≤ j, entonces existe un homomorfismo

Lim→M ih→ (M f )0 que es claramente sobreyectivo desde que

i≥0

φi(M i) = (M f )0

Ahora bien, para cada i, sea m, m′ ∈ M i tal que mf i

= m′

f l, entonces existe

k tal que f k+i

m = f k+i

m′

∈ M k+2i; ası, h es inyectiva. De esta maneraobtenemos

(M f )0 ∼= Lim→M i = Lim[d,+∞⟩M i

La ultima igualdad implica que M n es A0-libre para n >> 0, por tantoplano, Asi que, Lim[d,+∞⟩M i es un A0-modulo plano.

Recıprocamente, sea f  ∈ A1. Entonces

Af  = (Af )0[x, x−1] =(

(Af )0[x])x

=(

A0[x] ⊗A0(Af )0

)x

= A0[x]x ⊗A0[x]

(A0[x] ⊗A0

(Af )0)

= (A0[x]x ⊗A0[x] A0[x]

)⊗A0

(Af )0

= (A0[x]x ⊗A0 (Af )0

lo que implica

M f  =(

A0[x] ⊗A0(Af )0

)⊗A M 

= A0[x]x ⊗A0

((Af )0 ⊗A M 

)= A0[x]x ⊗A0

(M f )0

de donde sigue que M f  es A0-plano.

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102 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS 

A continuacion consideremos el ideal maximal m de A0, entonces m →A0 es inyectiva, por lo que

m⊗A0M f  → A0 ⊗A0

M f  = M f  es inyectiva

Si K  = N uc(m⊗A0M  → M ), entonces K f  = N uc(m⊗A0

M f  → M f ) = 0,lo que implica f lK  = 0 para todo f 

∈A1

y lf  ∈ Z

+.

Sea I  = ⊕n≥1 An = A1 = ⟨f 1, . . . , f  r⟩. Para cada i = 1, . . . , r existe

li tal que f lii K  = 0; si l = max{li} y t = rl, entonces I tK  = 0. Desde quem = m0 ⊕ (

⊕n≥1 An) y como I  es m-primario, se sigue que

√ I  = m; por

tanto, existe ρ tal que mρ ⊆ I  ⊆ m, entonces mρt ⊆ I t ⊆ mt que implicamρtK  ⊆ I tK  = 0 ⊆ mtK . Ası, msK  = 0 para algun s.

Consideremos la explosion de A respecto de m

ϵm(A) = A ⊕ m⊕ m2 ⊕ . . .

y sea la filtracion en K  definida por

N 0 = K  =i≥0

K i, N 1 =i≥1

K i, . . . N   j =i≥ j

K i,

entonces se tiene

(i) t′ ≥ t implica N t′ ⊆ N t(ii) K  =

∪t≥0 N t

(iii) mtN r ⊆ N t+r

Asociamos a la filtracion {N t}t≥0 el ϵm(A)-modulo A(K ) =⊕

t≥0 N t =K . Luego se tiene que A(K ) es un ϵm(A)-modulo de tipo finito. Por ellema de Cartier se sigue que mN t = N t+1 para t >> 0. Ası, obtenemos

0 = ms

K  ⊇ ms

N t = N t+s, lo que implica ⊕i≥t+s K i = 0, o tambienK i = 0 para i >> 0. Consideremos la siguiente sucesion exacta

0 → m0 → A0 → A0/m0 → 0

Luego, para i >> 0 tenemos la siguiente sucesion exacta

. . . G    G T or1(m0, M i) G    G T or1(A0, M i) = 0 G    G T or1(A0/m0, M i) G    G ⋆

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8.3. PLANITUD Y FUNCIONES DE HILBERT  103

⋆ G    G T or0(m0, M i) G    G T or0(A0, M i) G    G T or0(A0/m0, M i) G    G . . .

m0 ⊗A0M i G    G A0 ⊗A0

M i = M i

De donde, T or1(A0/m0, M i) = 0. Por el criterio de planitud local setiene que M i es A0-plano para i >> 0, luego proyectivo, y por ser A0

local, entonces M i es libre para i >> 0. 2

Observacion 5. Para cada p ∈ Spec(A0) se tiene la igualdad

H k(p)⊗M (d) = dimk(p)

((M d)p/p(M d)p

).

Ademas, si M  es A0-plano, entonces la funcion H k(p)⊗M (d) no dependede p.

En efecto, sea d fijo, entonces cada M d es A0-libre de rango n. Por lotanto, (M d)p es (A0)p-libre de rango n para todo p

∈Spec(A0).

Si tuvieramos que A0 es un dominio noetheriano, el resultado estambien verdadero.

Observacion 6. Si (M f )0 es A0-plano para todo f  ∈ A1, entoncesP k(p)⊗M (d) no depende de p.

En efecto, M n es A0-libre para n >> 0. Entonces

H k(p)⊗M (d) = dimk(p)

((M d)p/p(M d)p

)= cte para d >> 0

Desde queP k(p)⊗M (l) = H k(p)⊗M (l) para l >> 0

se tiene queP k(p)⊗M (d) = cte para l >> 0

3. TEOREMAS PRINCIPALES

Teorema 1. Suponga que  A0 es noetheriano y sea  M  un  A0-m´ oduloplano, entonces la funci´ on H k(p)⊗M (d) es localmente constante como funci´ on 

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104 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS 

de p; similarmente se tiene para  P k(p)⊗M (d). En particular, la dimensi´ on de la fibra  k(p) ⊗A0

M  es localmente constante como funci´ on de p (en la topologıa de Zariski de  Spec(A0) ).

Demostraci´ on. Sea A0 noetheriano, desde que M  es A0-plano, en-tonces cada M n es A0-plano y M n es un A0-modulo de tipo finito. Tambien,M n es un A0-modulo de presentacion finita y ası, cada M n es proyectivo.

Por lo tanto, la funcion rangA0((M n)p) es localmente constante comofuncion de p, de donde, H k(p)⊗M (d) = dimk(p)

((M d)p/p(M d)p

)es local-

mente constante como funcion de p. Esto implica que P k(p)⊗M (d) eslocalmente constante como funcion de p. Por tanto, la dimension de lafibra k(p) ⊗ M  tambien es localmente constante como funcion de p. 2

Lema 2. Sea  A es un anillo reducido y sea  M  un  A-m´ odulo de tipo finito. Entonces  M  es proyectivo si y s´ olo si la funci´ on 

µp(M ) = dimAp/pAp

(M p/pM p

)es localmente constante en  Spec(A).

Demostraci´ on. Bourbaki [2]. 2

Teorema 2. Suponga que  H k(p)⊗M (d) es localmente constante, por lo que, del lema anterior se sigue que  M d es proyectivo, por tanto plano.Se cumple tanbien que  M  es  A0-plano.

Demostraci´ on. Como P k(p)⊗M (d) es localmente constante como funcionde p, sigue que M d es proyectivo y entonces plano para d >> 0. Ahorabien, desde que (M f )0 = Limd>>0M d, entonces (M f )0 es plano para todof  ∈ A1. 2

4. APLICACION

Sea f  : A → B un homomorfismo de anillos y p ∈ Spec(A). Se tienenlos homomorfismos de anillos

Af → B → Bp → Bp/pBp

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8.4. EJERCICIOS  105

Por tanto las aplicaciones entre espacios topologicos

Spec(Bp/pBp) → Spec(Bp) → Spec(B)f ∗→ Spec(A)

Ası, se obtienen los homeomorfismos

Spec(Bp/pBp)

≃V (pBp)

≃V ((pBp)c)∩{

q

∈Spec(B) : q

∩f (A

\p) =

∅}= (f ∗)−1(p)

Entonces

(f ∗)−1(p) = Spec(

(Ap/pAp) ⊗A B)

= Spec(Bp/pBp)

Sea el ideal ⟨y, z⟩∩⟨x, z − tw⟩ ⊆ C[t][x,y ,z ,w]. Desde que {y ,z ,x,z −tw} forman una secuencia regular, tenemos que

⟨y, z⟩ ∩ ⟨x, z − tw⟩ = ⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩

Consideremos la aplicacion

Spec(C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩) f ∗

→ Spec(C[t])

Tenemos que

X ⟨t−a⟩ = (f ∗)−1(⟨t − a⟩)

= Spec(C[t]⟨t−a⟩/⟨t − a⟩C[t]⟨t−a⟩

)⊗C[t](C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩)

Se sigue entonces que H X ⟨t−a⟩(d) = 2d2 +2 para todo a. Luego, de los

teoremas anteriores se tiene que C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz −tyw,z2−tzw⟩es C[t]-plano.

8.4 Ejercicios

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106 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS 

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Bibliografıa

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