Mathematische modellen in de fysiologie (2DX00)mpeletie/Onderwijs/LN_2DX00.pdf · Hoofdstuk 3 wordt...

Mathematische modellen in de fysiologie (2DX00)

C.J. van Duijn en M.A. Peletier

met bijdragen van P.H.M. Bovendeerd en F.N. van de Vosse

versie 20 oktober 2004

Veel processen in de fysiologie worden beschreven met behulp van differentiaalvergelijkingen.In dit dictaat behandelen we methoden en technieken voor differentiaalvergelijkingen en laten wezien hoe het wiskundige analyse van de vergelijkingen inzicht geeft in de oplossingen en daarmeein het gedrag van het fysiologische systeem.

We behandelen twee typen differentiaalvergelijkingen. In Hoofdstuk 1 komen gewone diffe-rentiaalvergelijngen aan bod. Hierin hangt de onbekende functie, de oplossing, slechts af van eenvariabele. Zulke vergelijkingen worden bijvoorbeeld gebruikt om een systeem van chemische reac-ties in een goed gemengd reactievat te beschrijven. Hier bekijken we als voorbeeld de FitzHugh-Nagumovergelijking, die het gedrag van de membraanpotentiaal in zenuwcellen beschrijft. InHoofdstuk 3 wordt de afleiding van dit model beschreven.

In Hoofdstuk 2 komen lineaire transportvergelijkingen aan bod. Dit zijn partiele differentiaal-vergelijkingen, waarin de onbekende zowel van de tijd als van de plaats afhangt. We behandelenvergelijkingen voor convectie, diffusie, en reactie; de concentraties van opgeloste stoffen in hetbloed voldoen bijvoorbeeld aan vergelijkingen van dit type.

We beperken ons in de wiskundige behandeling tot het (ruimtelijk) een-dimensionale geval. Deafleiding van zulke vergelijkingen uit drie-dimensionale modellen wordt in Hoofdstuk 4 uitgelegd.

Hoofdstuk 1

Fasevlakanalyse

1.1 Algemene theorie: existentie, uniciteit, en maximaal interval van exis-

tentie

In dit hoofdstuk houden we ons bezig met oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen.We beperken ons tot differentiaalvergelijkingen van de vorm

d

dtu = f(u). (1.1)

Hier is de onbekende u een vectorwaardige functie van de tijd, t; anders gezegd, voor elke tis u(t) een vector in R

n. We stellen ons daarom de functie u(·) vaak voor als een kromme inR

n, met t als parameter (zie Figuur 1.1).

u(t)Rn

FIGUUR 1.1: De functie u : (a, b) → Rn wordt opgevat als een kromme in Rn.

Vergelijking (1.1) is een differentiaalvergelijking voor de onbekende functie u. Het ishandig om precies af te spreken wat het betekent als we zeggen dat een functie u ‘een oplossing’is van vergelijking (1.1):

Definitie 1.1 Een functie u : (a, b) → Rn is een oplossing van (1.1) als voor alle a < t < b

geldt

d

dtu(t) = f(u(t)). (1.2)

Opmerking 1.2 Merk op dat van het interval (a, b) in deze definitie alleen de lengte b− aertoe doet; met een ander interval (c, d) van dezelfde lengte kunnen we een andere krommev definieren, door

v(t) = u(t− c+ a) voor c < t < d,

die ook een oplossing is volgens Definitie 1.1, maar op het interval (c, d).

2

Hoofdstuk 1. Fasevlakanalyse 3

Opgave 1.1 Ga na dat v inderdaad een oplossing is. •

Voorbeelden

1. f(u) = 0 voor elke u ∈ Rn, i.e.

d

dtu = 0.

Elke constante functie

u(t) = c

is een oplossing van deze vergelijking.

2. n = 1, f(u) = u2:

d

dtu = u2.

Dit is een scalaire vergelijking (n = 1, i.e. u(t) ∈ R op iedere tijd t). Voor elke λ ∈ R isde functie

uλ(t) =1

λ− t

een oplossing [opgave: verifieer dit]. Merk op dat uλ een singulariteit (in dit geval eenpool) heeft bij t = λ; uλ is dus een oplossing op (−∞, λ) en op (λ,∞), maar niet opheel R.

3. n = 2; schrijf u = (u, v), en definieer f(u) = (u,−v). De vergelijking

d

dtu = f(u)

kan dan ook (en misschien inzichtelijker) geschreven worden als

f1(u, v) = u

f2(u, v) = −v.

Voor elke u0 = (u0, v0) ∈ R2 is de functie

u(t) = (u0et, v0e

−t)

een oplossing [opgave: verifieer dit].

De functie f in (1.1) en (1.2) is een afbeelding van Rn naar R

n (i.e., voor alle u(t) ∈ Rn

is f(u(t)) ∈ Rn). Die kunnen we, bijvoorbeeld voor n = 2, tekenen als een vectorveld in

het vlak (Figuur 1.2). Een oplossing van (1.1) heeft een natuurlijke interpretatie binnen zo’nvectorveld. De eis (1.2) stelt dat in een punt u(t) de vector d/dt u(t) gelijk moet zijn aanf(u(t)); dat betekent onder andere dat de raaklijn aan de kromme in het punt u(t) evenwijdigmoet zijn aan de vector f(u(t)).

In Figuur 1.2 zijn twee krommen getekend die op deze manier evenwijdig lopen aan hetvectorveld. Zulke krommen worden oplossingskrommen genoemd.

De oplossingskrommen in Figuur 1.2 suggereren gelijk twee vragen:

Mathematische modellen in de fysiologie (2DX00) versie 20 oktober 2004


FIGUUR 1.2: Een voorbeeld van een vectorveld f .

1. Loopt door elk punt in R2 (en algemener in R

n) een oplossingskromme?

2. Kunnen meerdere, verschillende oplossingskrommen door hetzelfde punt lopen?

Deze vragen worden beantwoord met de volgende stelling:

Stelling 1.3 Laat D ⊂ Rn een open verzameling zijn, u0 ∈ R

n, f : D → Rn, en neem aan

dat f differentieerbaar is op D met begrensde partiele afgeleiden. Dan bestaat er een interval(−a, b), met a, b > 0, en een unieke oplossing u : (−a, b) → R

n van (1.1) met u(0) = u0.

Met andere woorden, voor elke u0 heeft het beginwaardenprobleem

d

dtu = f(u)

u(0) = u0

(1.3)

een oplossing u : (−a, b) → Rn; en als een andere oplossing v van (1.3) gedefinieerd is op, zeg,

(−c, d), dan zijn u en v aan elkaar gelijk op de doorsnede (−a, b)∩ (−c, d) van hun domeinen.

NB Probleem (1.3) heet een beginwaardenprobleem omdat meestal een oplossing u : [0, b) →R

n wordt gezocht met u(0) = u0. Stelling 1.3 geeft echter aan dat een oplossing op [0, b)uit te breiden is tot een oplossing op (−a, b); vanuit u0 kan vergelijking (1.1) blijkbaar nietalleen vooruit in de tijd, maar ook achteruit in de tijd worden opgelost. Daar zullen we vaakgebruik van maken.

Opgave 1.2 Laat zien door de richting van de tijd om te keren (t 7→ −t) dat vooruit enachteruit in de tijd op hetzelfde neer komt. •

Omdat verschillende oplossingen op een gezamenlijk interval met elkaar overeenkomen,kunnen we een maximaal interval van existentie definieren als het grootste tijdsinterval waar-voor een oplossing bestaat. As zo’n interval niet gelijk is aan heel R (i.e., als de oplossingniet voor alle positieve en negatieve tijd bestaat) dan moet aan het eind van het interval ietsbijzonders gebeuren:

Stelling 1.4 Laat (−a, b) het maximale interval van existentie zijn van een oplossing u.

1. Als b <∞ dan is limt↑b |u(t)| = ∞;

2. Als a <∞ dan is limt↓−a |u(t)| = ∞.

Opgave 1.3 De stelling gaat ervan uit dat een maximaal interval van existentie eruit zietals (−a, b), en dus niet als (−a, b], [−a, b) of [−a, b]. Onderbouw deze aanname door te latenzien dat een maximaal interval van existentie altijd open is. (Hint: neem het tegengesteldeaan en gebruik Stelling 1.3) •



Opmerking 1.5 Stelling 1.3 stelt eisen aan het vectorveld f : f moet differentieerbaar zijnrond u0 met begrensde afgeleiden. Als f niet differentieerbaar is in u0, dan is het mogelijkdat probleem (1.3) meerdere oplossingen heeft. Een voorbeeld hiervan is al te geven in hetgeval n = 1; zie de volgende opgave.

Opgave 1.4 Neem n = 1 en laat zien dat de functie u0(t) = t2, voor t ≥ 0, een oplossing isvan het beginwaardeprobleem

d

dtu = 2

√u, u(0) = 0. (1.4)

Laat zien dat ook de functie

uλ(t) =

0 −∞ < t ≤ λ

(t− λ)2 t > λ

voor elke λ > 0 een oplossing is van (1.4).Probleem (1.4) heeft dus meerdere oplossingen, in tegenstelling tot de uitspraak van Stel-

ling 1.3. Laat zien dat probleem (1.4) ook niet aan de voorwaarden van Stelling 1.3 voldoet.•

1.2 Het fasevlak

Vanaf nu beperken we ons tot n = 2, i.e. tot krommen in het fasevlak R2. Oplossingen en

oplossingskrommen noemen we ook wel banen.

Stelling 1.6 Banen in het fasevlak kunnen elkaar niet snijden.

Bewijs Stel dat twee banen u en v elkaar snijden in u0; we parametriseren de functies u(·)en v(·) zo dat u(0) = v(0) = u0. We kunnen, desnoods door u0 anders te kiezen, aannemendat u(t) 6= v(t) voor t ∈ (0, c), voor zekere c > 0. Stelling 1.3 stelt dat de banen u en vmoeten samenvallen voor t in een interval (−a, b) rondom 0. Dat spreekt de aanname tegendat u en v verschillen voor t > 0. •

Een belangrijk type oplossingen (en dus een belangrijk type banen in het fasevlak) zijn deconstante oplossingen, i.e. oplossingen van de vorm u(t) = u0 ∈ R

2 voor alle t ∈ R. Constanteoplossingen komen overeen met stationaire punten:

Definitie 1.7 Een stationair punt van de vergelijking d/dt u = f(u) is een u0 ∈ R2 met

f(u0) = 0.

De constante functie u(t) = u0 is een oplossing dan en slechts dan als u0 een stationair puntis. De baan van een constante oplossing u(t) = u0 is precies het ene punt u0.

Volgens Stelling 1.6 kunnen banen elkaar niet snijden; dat impliceert dat door een statio-nair punt (dat zelf een baan is) niet een andere baan kan gaan. Sterker nog,

Stelling 1.8 Als voor een oplossing u en een stationair punt u0 geldt

u(t) → u0 als t→ a,

u(t) 6= u0 als t 6= a,

dan is a = ∞ of a = −∞.



Met andere woorden, een baan kan convergeren naar een stationair punt, maar alleen in‘oneindige tijd’.

Bewijs Als |a| < ∞, dan geldt u(a) = u0; volgens Stelling 1.3 (uniciteit) is dan u(t) = u0

voor alle t. Dit is een tegenspraak. •

1.3 Linearisatie rond stationaire punten

Als eerste stap naar het analyseren van banen in het fasevlak richten we ons op het gedragvan banen rond stationaire punten.

Laat u0 = (u0, v0) een stationair punt zijn. Voor (u, v) dicht bij (u0, v0) benaderen wef(u, v) en g(u, v) door

f(u, v) ≈ f(u0, v0)︸︷︷︸=0

+ fu(u0, v0)(u− u0) + fv(u0, v0)(v − v0)

g(u, v) ≈ g(u0, v0)︸︷︷︸=0

+ gu(u0, v0)(u− u0) + gv(u0, v0)(v − v0)

De eerste termen aan de rechterkant zijn nul omdat we hebben aangenomen dat (u0, v0) eenstationair punt is.

Als we nu deze benadering toepassen in de vergelijking (1.1), en bovendien de vergelijkingschrijven in termen van (u, v) = (u−u0, v−v0), dan ontstaat de volgende, lineaire vergelijking:

d

dtu = fu(u0, v0)u+ fv(u0, v0)v

d

dtv = gu(u0, v0)u+ gv(u0, v0)v

(1.5)

Dit geeft aanleiding tot het bestuderen van lineaire systemen.

1.4 Lineaire systemen

De differentiaalvergelijking

u′ = f(u) (1.6)

(we schrijven u′ voor d/dt u) heet lineair als f een lineair vectorveld is, i.e.

f(u) = Au (1.7)

voor een zekere matrix A ∈ R2×2. Daarmee wordt (1.3) dus

u′ = Au

u(0) = u0.(1.8)

We schrijven

u =

(uv

)en A =

(a bc d

),



zodat we (1.6–1.7) kunnen schrijven als

u′ = au+ bv

v′ = cu+ dv

Vergelijking (1.5) is een voorbeeld van een lineair systeem in de variabele u = (u, v), waarbijA de matrix van partiele afgeleiden is

A =

(fu(u0, v0) fv(u0, v0)gu(u0, v0) gv(u0, v0)

)(1.9)

Lineaire systemen hebben altijd de oorsprong als stationair punt, aangezien A · 0 = 0. Deoorsprong is daarom een punt met speciale eigenschappen; we zullen extra aandacht gevenaan het gedrag van oplossingsbanen in de buurt van de oorsprong.

Voor lineaire systemen geldt dat lineaire combinaties van oplossingen weer oplossingenzijn: als u1 en u2 oplossingen zijn van (1.6–1.7), i.e.

u′i = Aui, i = 1, 2,

dan is voor elke α, β ∈ R de lineaire combinatie z = αu1 + βu2 weer een oplossing:

z′ = (αu1 + βu2)′ = αu′

1 + βu′2 = αAu1 + βAu2 = A(αu1 + βu2) = Az.

Dankzij dit superpositiebeginsel kunnen we expliciete oplossingen (oplossingen in formule-vorm) vinden voor lineaire systemen. Dat gaat als volgt.

Beschouw de lineaire vergelijking u′ = Au. Als we twee oplossingen u1 en u2 kunnenvinden zodat u1(0) en u2(0) lineair onafhankelijk zijn, dan kan elke beginwaarde z0 geschrevenworden als een lineaire combinatie van u1(0) en u2(0), i.e. z0 = αu1(0) + βu2(0) voor zekereα, β ∈ R. We hebben hierboven gezien dat de lineaire combinatie z(t) = αu1(t) + βu2(t) eenoplossing is van u′ = Au; aangezien z(0) = z0 is de functie z dus de unieke oplossing vanprobleem (1.8).

Opgave 1.5 Laat zien dat als u1(0) en u2(0) lineair onafhankelijk zijn, u1(t) en u2(t) ooklineair onafhankelijk zijn voor elke t. Met andere woorden: twee oplossingen van u ′ = Auzijn of lineair onafhankelijk voor elke t of een veelvoud van elkaar. •

Om probleem (1.8) op te lossen voor willekeurige u0 ∈ R2 is het dus voldoende om twee

lineair onafhankelijke oplossingen te vinden. Dit blijkt te kunnen met een trucje: probeeroplossingen van de vorm

u(t) = keλt, k ∈ C2, λ ∈ C.

Merk op dat dit in het algemeen een complex-waardige functie zal zijn, i.e. u(t) ∈ C2. Later

zullen we combinaties maken van deze complexe oplossingen die reeel-waardig zijn.Invullen in (1.6–1.7) levert

kλeλt = eλtAk,

of, na deling door eλt,

Ak = λk.

De functie u(t) = keλt is dus een oplossing van (1.6–1.7) dan en slechts dan als λ een ei-genwaarde van A is en k de bijbehorende eigenvector. Dit is een belangrijke observatie: wekunnen blijkbaar oplossingen van (1.6–1.7) vinden door de eigenwaarden en eigenvectoren vanA te bepalen.



Een matrix A ∈ R2×2 heeft twee eigenwaarden, mits we ze tellen met multipliciteit. Voor

deze eigenwaarden bestaan de volgende mogelijkheden:

1. λ1 en λ2 zijn beide reeel en verschillend;

2. λ1 en λ2 zijn reeel en gelijk, λ1 = λ2;

3. λ1 en λ2 zijn complex en λ1 = λ2.

Geval 1: λ1, λ2 ∈ R, λ1 6= λ2.Dit is het eenvoudigste geval. Omdat de eigenwaarden λ1 en λ2 verschillen, zijn de ei-

genvectoren k1 en k2 lineair onafhankelijk. We hebben dus twee onafhankelijke oplossingengevonden,

u1(t) = k1eλ1t en u2(t) = k2e

λ2t.

Omdat λ1 en λ2 reeel zijn, zijn ook k1 en k2 reeel; daarmee zijn u1 en u2 reeel-waardigeoplossingen. De algemene oplossing van (1.6–1.7) is dus

u(t) = c1k1eλ1t + c2k2e

λ2t, c1, c2 ∈ R. (1.10)

Met een gegeven beginvoorwaarde u0 wordt de oplossing vastgelegd door c1, c2 ∈ R zo tekiezen dat

u0 = c1k1 + c2k2.

Merk op dat voor λ1 6= 0 de functie u1(t) naar nul convergeert wanneer t→ ∞ (als λ1 < 0)of wanneer t→ −∞ (als λ1 > 0). Hetzelfde geldt voor u2. Afhankelijk van het teken van detwee eigenwaarden onderscheiden we knooppunten (wanneer λ1,2 hetzelfde teken hebben) enzadelpunten (verschillend teken).

k1

k2

(a) Een stabiel knooppunt (λ1,2 < 0)

k1

k2

(b) Een zadelpunt (λ1 < 0 < λ2)

FIGUUR 1.3: Twee knooppunten (reele eigenwaarden)

Geval 2: λ1 = λ2 ∈ R.



We schrijven λ voor de gecombineerde eigenwaarde. Hier zijn er twee mogelijkheden: deeigenruimte van λ kan eendimensionaal zijn (geometrische multipliciteit 1) of tweedimensio-naal (geometrische multipliciteit 2).Geval 2a: Geometrische multipliciteit 2. Als de eigenruimte tweedimensionaal is bestaaner eigenvectoren k1 en k2 die de eigenruimte opspannen. Zoals hierboven levert dit tweeonafhankelijke oplossingen op, die beide reeel zijn,

u1(t) = k1eλt en u2(t) = k2e

λt.

De algemene oplossing is dus

u(t) = (c1k1 + c2k2)eλt,

en de coefficienten c1, c2 ∈ R worden weer bepaald uit de beginvoorwaarde.

(a) Een stabiel symmetrisch knooppunt(λ1 = λ2 < 0, geometrische multiplici-teit 2)

k

b

(b) Een stabiele scheve knoop (λ1 = λ2 < 0,geometrische multipliciteit 1)

FIGUUR 1.4: Gelijke eigenwaarden, met geometrische multipliciteit 2 en 1

Geval 2b: Geometrische multipliciteit 1. Wanneer de eigenruimte vanA slechts eendimensionaalis, bestaat er slechts een onafhankelijke oplossing van de vorm

u1(t) = keλt,

waarbij k een eigenvector is. Voor de andere oplossing kiezen we

u2(t) = (kt+ b)eλt,

waarbij de vector b nog bepaald moet worden.1 Invullen van u2 in (1.6–1.7) levert

(λkt+ λb + k)eλt = eλtA(kt+ b)

= eλt(λkt+Ab).

1Waarom we deze vorm kiezen? Dat weet ik zelf ook niet. Er zal vast een goede reden voor zijn, maarvoorlopig kan ik alleen zeggen: het werkt.



Wil dit waar zijn voor alle t, dan moet gelden

λb + k = Ab,

oftewel

(A− λI)b = k.

Dit is een vergelijking in de onbekende b; deze vergelijking heeft precies een oplossing b(waarom dat zo is laten we hier buiten beschouwing). Met deze keuze van b is u2 dus eentweede, onafhankelijke, oplossing van (1.6–1.7). De algemene oplossing van (1.6–1.7) is dus

u(t) =[c1k + c2(kt+ b)

]eλt, c1, c2 ∈ R.

Geval 3: λ1, λ2 ∈ C, λ1 = λ2.Zet λ1 = α + iβ en λ2 = α − iβ. Uit λ1 = λ2 volgt dat ook k1 = k2, en daarom dat de

oplossingen u1 en u2,

u1(t) = k1eλ1t, u2(t) = k2e

λ2t,

elkaars geconjugeerden zijn: u1(t) = u2(t) voor alle t. Door recombinatie kunnen we nu reeleoplossingen maken:

v1(t) = Reu1(t) =1

2(u1(t) + u1(t))

= (Rek1)eαt cos βt− (Imk1)e

αt sinβt,

v2(t) = Imu1(t) =1

2(u1(t) − u1(t))

= (Imk1)eαt cos βt+ (Rek1)e

αt sinβt.

Omdat v1 en v2 lineaire combinaties zijn van oplossingen van (1.6–1.7), zijn zij zelf ookoplossingen van (1.6–1.7). Daarnaast zijn ze reeel en onafhankelijk; we kunnen ze dus ge-bruiken als oplossingsbasis, net als hierboven. De algemene oplossing neemt dus de vormaan

u(t) = c1v1(t) + c2v2(t)

= (c1 Rek1 + c2 Imk1)eαt cos βt+ (c2 Rek1 − c1 Imk1)e

αt sinβt, c1, c2 ∈ R.

1.5 Stabiliteit van stationaire punten

Informeel gezegd noemen we een stationair punt u0 stabiel wanneer elke baan die dicht biju0 begint, ook dicht bij u0 blijft. De exacte definitie luidt

Definitie 1.9 Een stationair punt u0 heet stabiel als voor elke open bol2 B(u0, r1) rond u0

een open bol B(u0, r2) bestaat zodanig dat elke baan die op t = 0 in B(u0, r2) begint voor allet > 0 in B(u0, r1) bevat is.



(a) Een centrum(Reλ1,2 = 0)

(b) Een stabiel spiraal-punt (Reλ1,2 < 0)

FIGUUR 1.5: Complexe eigenwaarden

B(u0, r1)

B(u0, r2)

FIGUUR 1.6: Voor elke gegeven bol B(u0, r1) kan de binnenste bol B(u0, r2) zo klein worden gekozen datelke baan die in de binnenste begint in de buitenste blijft: u0 is stabiel

Met andere woorden: hoe klein je B(u0, r1) ook kiest, je kunt door B(u0, r2) klein genoegte kiezen ervoor zorgen dat banen uit B(u0, r2) in B(u0, r1) blijven. Een dergelijk stationairpunt u0 heet stabiel.

De ontkenning van stabiel is onstabiel (of instabiel); een stationair punt dat niet aan dedefinitie voldoet is automatisch onstabiel. In de praktijk betekent dat

Stelling 1.10 Als u0 onstabiel is, bestaat er een oplossing u : (−∞, 0) → R2 met limt→−∞ u(t) =

u0.

We noemen een stationair punt u0 asymptotisch stabiel wanneer u0 stabiel is, en bovendienelke baan die dicht bij u0 begint naar u0 convergeert als t→ ∞. De exacte definitie luidt

Definitie 1.11 Een stationair punt u0 heet asymptotisch stabiel als u0 stabiel is en er eenopen bol B(u0, r) bestaat zodanig dat elke baan die op t = 0 in B(u0, r) begint naar u0

convergeert in de limiet t→ ∞.

2De open bol B(u0, r) rond u0 met straal r is

B(u0, r) = u ∈ R2 : |u − u0| < r.



Voorbeeld De oplossingen van de lineaire systemen van de vorige paragraaf laten mooi deverschillende mogelijkheden zien.

• Geval 1: λ1 6= λ2, beide reeel: Als beide eigenwaarden negatief zijn, is de oorsprongasymptotisch stabiel (zoals in Figuur 1.3(a)), en als een of twee eigenwaarden positiefzijn, is de oorsprong onstabiel (bijvoorbeeld Figuur 1.3(b)). Als een van de eigenwaardennul is, en de andere negatief, is de oorsprong stabiel, maar niet asymptotisch stabiel[opgave: overtuig jezelf hiervan door de algemene oplossing (1.10) te beschouwen].

• Geval 2: λ1 = λ2 ∈ R: Als de gemeenschappelijke eigenwaarde λ negatief is, is deoorsprong asymptotisch stabiel; als λ positief is, onstabiel. [opgave: hoe is de situatieals λ = 0?]

• Geval 3: λ1, λ2 ∈ C, λ1 = λ2: Als het reele deel negatief is convergeren de banennaar de oorsprong (Figuur 1.5(b)) en is de oorsprong dus asymptotisch stabiel. Als hetreele deel nul is, zoals in (Figuur 1.5(a)), blijven de banen in de buurt van de oorsprong,maar convergeren er niet naartoe. De oorsprong is in dit geval dus stabiel, maar nietasymptotisch stabiel.

Dit kunnen we als volgt samenvatten:

Stelling 1.12 Beschouw het lineaire systeem

u′ = Au,

en laat λ1 en λ2 de eigenwaarden van A zijn. Dan geldt

Re λ1,2 ≤ 0 ⇐⇒ oorsprong stabiel

Re λ1,2 < 0 ⇐⇒ oorsprong asymptotisch stabiel.

Opmerking 1.13 Stabiliteit hangt af van de richting van de tijd. In de discussie tot nu toehebben we ons geconcentreerd op stabiliteit vooruit in de tijd. Zoals al opgemerkt kun je detijd omkeren, en zo stabiliteit achteruit in de tijd bekijken. In het lineaire geval is het bestezichtbaar hoe de twee zich tot elkaar verhouden; de eigenwaarden van het probleem achteruitin de tijd zijn namelijk hetzelfde als de eigenwaarden van het probleem vooruit in de tijd,maar met tegengesteld teken.

De redenering van Sectie 1.3 suggereert dat de banen rond een stationair punt in eenniet-lineair systeem lijken op die van een lineair systeem rond de oorsprong, als we voor dematrix A de matrix van afgeleiden van f nemen. Dit is bijna altijd waar; om precies te zijn,

Stelling 1.14 (Hartman-Grobman) Laat u0 een stationair punt zijn van f , en neem aandat f en de eerste afgeleiden van f begrensd en continu zijn in een open bol rond u0. Laat Ade matrix van afgeleiden van f zijn, zoals in (1.9), met eigenwaarden λ1,2. Als

Re λ1 6= 0 en Reλ2 6= 0,

dan is het fasevlak van u′ = f(u) rond u0 equivalent met het fasevlak van u′ = Au rond deoorsprong.



Het concept equivalent wordt in deze stelling niet gedefinieerd. De exacte definitie3 istechnisch, maar belangrijk is dat de oplossingsbanen van het ene systeem (u ′ = f(u)) een-op-een overeen komen met die van het andere systeem (u′ = Au) (Figuur 1.7). Bovendien lijkthet niet-lineaire fasevlak meer en meer op het lineaire fasevlak naarmate je verder inzoomt.

FIGUUR 1.7: De Hartman-Grobman stelling legt een relatie tussen de oplossingsbanen in het niet-lineairesysteem u′ = f(u) en de banen in het gelineariseerde systeem u′ = Au: met elke oplossing van hetniet-lineaire systeem (links) komt precies een baan in het lineaire systeem (rechts) overeen, en omgekeerd.

Opmerking 1.15 De stelling van Hartman-Grobman eist dat de eigenwaarden niet een reeeldeel hebben dat nul is. Als aan deze eis niet voldaan is, dan bestaan er tegenvoorbeeldenvoor de stelling. Beschouw bijvoorbeeld het niet-lineaire systeem

u′ =

(0 1−1 0

)u + α |u|2 u

met linearisatie rond de oorsprong

u′ =

(0 1−1 0

)u.

De matrix A =

(0 1−1 0

)heeft eigenwaarden ±i, en de oplossingsbanen voor het gelineariseer-

de systeem zijn gesloten krommen, zoals in Figuur 1.8b. Voor α 6= 0 zijn de oplossingsbanenechter niet gesloten. Dit volgt uit het differentieren van |u|2 langs een baan:

d

dt|u|2 = 2u · u′ = 2u · Au + 2α |u|4 = 2α |u|4 ,

waar de eerste term in het rechterlid wegvalt omdat A antisymmetrisch is. Afhankelijk vanhet teken van α spiraalt een baan dus naar de oorsprong toe (α < 0) of van de oorsprongaf (α > 0) (Figuur 1.8). Dit betekent dat de uitspraak van Stelling 1.14 niet geldig is: erbestaat bijvoorbeeld geen equivalent van de gesloten banen onder α = 0 in het geval α 6= 0.

Met de stelling van Hartman-Grobman in de hand kunnen we Stelling 1.12 (voor een deel)vertalen naar de niet-lineaire situatie:

3Equivalent betekent in deze context dat er een open omgeving U van u0 en een open omgeving V van deoorsprong zijn, en een afbeelding F : U → V die U op V afbeeldt, zodanig dat

• F continu is;

• F inverteerbaar is, en de inverse F−1 continu;

• elke oplossingsbaan van u′ = f(u) wordt afgebeeld op een oplossingsbaan van u

′ = Au.



(a) α < 0 (b) α = 0 (c) α > 0

FIGUUR 1.8: Als eigenwaarden een reeel deel nul hebben, kunnen de banen in het niet-lineaire gevalfundamenteel anders zijn.

Gevolg 1.16 Beschouw het niet-lineaire systeem

u′ = f(u),

met stationair punt u0 ∈ R2. Stel

A =

(fu(u0, v0) fv(u0, v0)gu(u0, v0) gv(u0, v0)

)

en laat λ1 en λ2 de eigenwaarden van A zijn. Dan geldt

Re λ1,2 < 0 =⇒ u0 asymptotisch stabiel

Re λ1,2 > 0 =⇒ u0 onstabiel.

Voor lineaire systemen wordt de stabiliteit, zowel gewoon als asymptotisch, volledig gekarak-teriseerd door de eigenwoorden (Stelling 1.12). Voor niet-lineaire systemen is dat maar tendele het geval; wanneer een eigenwaarde een reeel deel nul heeft, geven de eigenwaarden geenuitsluitsel over de stabiliteit.

Opgave 1.6 Ga na hoe Gevolg 1.16 volgt uit Stellingen 1.12 en 1.14, en ga na waarom geensterkere uitspraken mogelijk zijn. •

1.6 Voorbeeld: FitzHugh-Nagumo

De FitzHugh-Nagumovergelijking (zie bijvoorbeeld [4]) heeft de vorm

εu′ = u(u− α)(1 − u) − v + I

v′ = (u− γv).

Hierin zijn α, γ, en ε coefficienten; I is een externe input. Wij zullen voor dit voorbeeldvoorlopig I = 0 kiezen, α = 1/10, en γ = 1/2; de kleine parameter ε > 0 kan varieren, maareen (biologisch) redelijke waarde is ε = 0.01. Met deze keuzen van de parameters wordt hetsysteem

εu′ = f(u, v) := u(u− 1/10)(1 − u) − v

v′ = g(u, v) := u− v/2.(1.11)

Merk op dat de parameter ε niet in de definitie van f is meegenomen.



1.6.1 Stationaire punten

We beginnen met het bepalen van de stationaire punten. De voorwaarde g(u, v) = 0 geeftu = v/2; invullen in f levert u(u− 1/10)(1 − u) − 2u = 0, en deze vergelijking heeft alleen 0als oplossing; er is dus precies een stationair punt, de oorsprong.

De matrix A van partiele afgeleiden in de oorsprong is

A =

(ε−1fu(0, 0) ε−1fv(0, 0)gu(0, 0) gv(0, 0)

)=

((−3u2 + 11

5 u− 110)/ε −1/ε

1 −12

)∣∣∣∣(u,v)=(0,0)

=

(−1/10ε −1/ε

1 −12

),

met eigenwaarden

λ1,2 = −1

4− 1

20ε± 1

2

√(1

2+

1

10ε

)2

− 21

5ε.

Deze eigenwaarden kunnen zowel reeel als complex zijn; zie Tabel 1.1.

ε λ1,2

1 −0.30 ± 0.98i0.1 −0.75 ± 3.2i0.01 −5.3 ± 8.8i0.001 −89, −12

TABEL 1.1: Eigenwaarden van de linearisatie in de oorsprong, op twee decimalen nauwkeurig

Deze eigenwaarden hebben voor alle ε > 0 een reeel deel dat negatief is; de oorsprong isdus een stabiel stationair punt. Afhankelijk van ε is de oorsprong een spiraalpunt (complexeeigenwaarden) of een knoop (reele eigenwaarden). In het geval van complexe eigenwaardenvolgt de richting van de spiraal uit invullen van een voorbeeld:

u = (1, 0) =⇒ Au = (−1/10ε, 1),

dus draaien de banen tegen de klok in.

1.6.2 Isoclinen

Stationaire punten zijn punten in het vlak waar beide componenten van f nul zijn; isoclinenzijn punten waar een van de componenten nul zijn. Op de isoclinen staat het vectorveldhorizontaal (als g = 0) of verticaal (als f = 0). Een isocline hebben we reeds gezien: alsg(u, v), de tweede component, nul is, dan is u = v/2; de lijn u = v/2 is dus een isocline, enop deze lijn is het vectorveld horizontaal. De andere isocline,

f(u, v) = 0 ⇐⇒ v = u(u− 1/10)(1 − u),

is de grafiek van de functie u 7→ h(u) := u(u− 1/10)(1 − u), een derdegraads polynoom, metnulpunten in u = 0, u = 1/10, en u = 1. In Figuur 1.9 zijn de isoclinen en een spiraalbaan



u

vv′ = 0

u′ = 0

FIGUUR 1.9: De isoclinen van (1.11), en een baan die naar de oorsprong convergeert (bij complexeeigenwaarden van de linearisatie in de oorsprong, bijvoorbeeld ε = 0.1)

rond de oorsprong getekend. De richting van de pijlen op de isoclines volgt weer uit invullenvan een voorbeeld. Merk op dat de richting van de pijlen consistent is met de richting van despiraalbaan.

De isoclines verdelen het vlak in stukken, waarin het vectorveld naar linksboven, rechts-boven, linksonder of rechtsonder wijst; bij de isoclinen verandert het veld van kwadrant.

0.1

0.2

0.3

v

–0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2u

(a) ε = 0.1

0.1

0.2

0.3

v

–0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2u

(b) ε = 0.001

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

u

0.5 1 1.5 2 2.5 3t

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

u

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

FIGUUR 1.10: Banen van oplossingen voor twee verschillende waarden van ε, en het tijdsverloop van deoplossingen.

Het is mogelijk om te bewijzen dat alle banen uiteindelijk in de oorsprong uitkomen, maardat zullen we hier niet doen.



1.6.3 Singuliere storingsrekening

Wiskundige modellen kunnen vaak vereenvoudigd worden door gebruik te maken van para-meters die ‘toevallig’ groot of klein zijn. In het geval van de FitzHugh-Nagumovergelijking isε klein, rond 0.01; in deze paragraaf zullen we bekijken wat hier het gevolg van is. Alles indeze paragraaf is informeel; het kan bewezen worden, maar dat doen we hier niet.

Voor de discussie hiervan maken we gebruik van orde-concepten. We bestuderen eenlimietproces waarin ε klein wordt, de limiet ε → 0. Een grootheid p is ‘orde 1’, O(1), als indie limiet (a) |p| begrensd blijft en (b) p niet naar 0 convergeert. p is O(εk) als ε−kp = O(1).

Door de kleine parameter ε valt het systeem in twee snelheden uiteen. Dat is als volgtin te zien: voor ‘willekeurige’ (u, v), dat wil zeggen u en v die noch te groot zijn, noch in debuurt van de isoclinen zijn, zijn beide rechterleden in (1.11) O(1) in de limiet ε → 0. Dan isv′ ook O(1) (‘v verandert op een tijdschaal van 1’), maar u′ is O(1/ε), en u verandert dus opeen tijdschaal van ε.

In de limiet ε → 0 verschillen die twee tijdschalen steeds meer van elkaar. Om zicht tekrijgen op het effect daarvan volgen we de twee tijdschalen apart. Voor het gemak schrijvenwe het systeem (1.11) als

εu′ = h(u) − v

v′ = u− v/2.(1.12)

1. Tijdschaal 1. Hier volgen we de veranderingen in v; de veranderingen in u spelen zichveel sneller af, en in de limiet ε = 0 zijn ze zelfs instantaan. Door simpelweg ε = 0 inte vullen in (1.12) krijgen we

0 = h(u) − v

v′ = u− v/2.

De eerste van deze twee vergelijkingen stelt dat op de tijdschaal 1 elke baan zich langs degrafiek v = h(u) beweegt, en de snelheid van de baan wordt gegeven door de tweedevergelijking v′ = u − v/2. Dit is te herkennen in Figuur 1.10(b), waar de banen vooreen deel inderdaad dicht bij de grafiek v = h(u) blijven. Andere delen van de banenvoldoen hier niet aan; deze bewegen (blijkbaar) op de kortere tijdschaal ε.

2. Tijdschaal ε. Om de tijdschaal ε te kunnen volgen veranderen we van tijdsvariabele.De nieuwe tijdsvariabele τ loopt een factor 1/ε sneller dan t:

τ =t

ε⇐⇒ t = ετ,

en met betrekking tot deze tijdsvariabele is (1.12) te schrijven als

du

dτ= h(u) − v

dv

dτ= ε(u− v/2).

Invullen van ε = 0 levert hier

du

dτ= h(u) − v

dv

dτ= 0,



zodat in de snelle tijdsvariabele v constant is, en u verandert volgens du/dτ = h(u)− v.

Laten we dit even samenvatten:

1. Op tijdschaal 1 beweegt elke baan langs de verzameling (u, v) : v = h(u);

2. Op tijdschaal ε is v constant.

Beide uitspraken zijn uiteraard niet ‘echt’ waar. Op de isocline v = h(u) loopt de baanvertikaal (want daar is u′ = 0 volgens (1.12)) en kan de baan dus niet samenvallen metv = h(u), zoals volgens 1 hierboven zou moeten (want dan is u′ = v′/h′(u) 6= 0). Aan deandere kant is v alleen constant op de isocline u = v/2, en niet overal, zoals 2 hierbovenstelt.

Laten we de discussie daarom wat aanscherpen.

1. Neem een punt (u, v) dat dicht bij de isocline v = h(u) ligt, zeg op afstand O(ε). Voorzulke (u, v) geldt v − h(u) = O(ε), en daarom zowel u′ = O(1) als v′ = O(1). Dichtbijde isocline v = h(u) is het vectorveld dus van de orde O(1).

Hoewel de grootte van het veld van de orde O(1) is, varieert de richting van het veldwel snel over kleine afstanden rondom de isocline:

• als v = h(u), dan is u′ = 0 en v′ = O(1), dus u′/v′ = 0 en het vectorveld isvertikaal;

• als v = h(u) + ε, dan is u′ = 1 en v = O(1), dus het vectorveld is schuin.

Vanwege de schaling van de eerste vergelijking verandert het veld dus snel van richting.Dat zie je terug in het volgende punt:

2. Neem nu een punt (u, v) dat niet dichtbij de isocline v = h(u) ligt, zeg v−h(u) = O(1).Dan is u′ = O(1/ε) en v′ = O(1), en hiermee hebben we de correcte interpretatie vande uitspraak ‘v is constant’ hierboven te pakken: de hellingshoek van de baan in hetu, v-vlak, gegeven door v′/u′, is in dit geval van de orde O(ε).

Wanneer de baan niet in de buurt van de isocline v = h(u) is, loopt deze dus (bijna)horizontaal en wordt het gedrag op deze horizontale lijn beschreven door

du

dτ= h(u) − v. (1.13)

Hier is v dus (bijna) een constante, zeg v, en het rechterlid is daarmee een functie van u.Aangezien h een derde-graads polynoom is met twee extrema, heeft voor sommige waardenvan v de functie

h(u) := h(u) − v

de vorm zoals geschetst in Figuur 1.11.Er zijn drie nulpunten; dat zijn stationaire punten van de eendimensionale differentiaal-

vergelijking (1.13). Hiervan zijn er twee stabiel (de twee buitenste) en een onstabiel (debinnenste) [opgave: Ga na dat dit zo is; dit volgt uit het teken van h voor waarden vanu vlak boven en vlak onder de nulpunten]. Merk op dat de drie nulpunten precies overeenkomen met de snijpunten van de isocline v = h(u) met de lijn v = v. Wanneer de oplossingvan (1.13) naar een van de stabiele stationaire punten in Figuur 1.11 beweegt, convergeert debaan in het fasevlak langs de lijn v = v naar de isocline v = h(u).



FIGUUR 1.11: De vorm van de functie h(u) = h(u) − v

1.6.4 Synopsis

Met de analyse van de voorgaande paragrafen kunnen we een deel van het gedrag van deFitzHugh-Nagumo-vergelijking begrijpen.

In de oorspronkelijke FHN-vergelijking,

εu′ = u(u− α)(1 − u) − v + I

v′ = (u− γv).

komt de externe input (I) voor als een bronterm. Zonder deze bronterm, en voor de gekozenwaarden van α en γ, weten we dat de oorsprong het enige stationaire punt is van de verge-lijking, en dat deze alle banen aantrekt. Na enige tijd zonder externe input zal het systeemzich dus rond de oorsprong bevinden.

Een input heeft de vorm van een functie I(t). Het is lastig om het effect van een gegeveninput precies te voorspellen zonder het eenvoudigweg numeriek te berekenen. We makenhet ons daarom wat eenvoudiger door de bronterm I te vervangen door een sprong in hetfasevlak, in de u-richting. Dit komt neer op een aanname dat de bronterm slechts kort nietnul is, en dat de bronterm in die tijd de waarde van u verandert zonder v te veranderen;zo’n aanname is niet onredelijk, aangezien I een stroom voorstelt en u het spanningsverschilover het membraan is. Ook wiskundig gezien is het niet onredelijk, aangezien I wel in devergelijking voor u voorkomt, maar niet in die voor v. Meer en minder input komt danovereen met een grotere of kleinere sprong in het fasevlak.

v

0.3

0.2

0.1

0

u

1.20.80.40-0.4

(a)

u

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

t

10.80.60.40.20

(b)

FIGUUR 1.12: Na een sprong van de oorsprong naar (0.3, 0) beweegt het systeem rond door het fasevlak,om uiteindelijk weer naar de oorsprong te convergeren (ε = 0.01).

Het effect van zo’n sprong is te zien in Figuur 1.12. Als het systeem vanuit de oorsprongdoor een externe input een sprong maakt naar (0.3, 0), dan maakt het systeem een volledigeronde door het fasevlak.



Met deze interpretatie is het drempeleffect te begrijpen. In Figuur 1.13 zijn vanuit deoorsprong drie sprongen getekend. De derde (meest rechtse) komt overeen met de baan inFiguur 1.12, maar is slechts voor een deel zichtbaar. Als de sprong groot genoeg is om ruimover de middelste tak van de isocline heen te komen, zoals de meest rechtse van de drie, danwordt het hele fasevlak afgelopen; als de sprong niet groot genoeg is, dan keert de baan directterug naar de oorsprong. Dit verklaart het drempeleffect.

v

0.04

0.03

0.02

0.01

0

-0.01

-0.02

u

0.40.30.20.10-0.1-0.2

(a)

u

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

t

10.80.60.40.20

(b)

FIGUUR 1.13: Afhankelijk van de grootte van de sprong kan de baan snel terugkeren of een volledige rondemaken (ε = 0.01).

Ook een ander effect kunnen we begrijpen: de refractaire periode. Als na een eerstestimulans het systeem nog niet in de rusttoestand is wanneer de tweede stimulans komt, isde respons op die tweede stimulans lager en is de drempel ervoor hoger.

De refractaire periode komt overeen met de langzame terugkeer naar de oorsprong langsde linkerkant van de isocline v = h(u). De variabele u is hier negatief en stijgt langzaamnaar nul. In deze fase van de cyclus is een grotere sprong nodig om over het middelste deelvan de isocline te komen; dat verklaart de grotere drempelwaarde. Bovendien is zelfs bij eensuccesvolle sprong de maximale waarde die u gedurende de ronde bereikt lager dan bij eensprong vanaf de oorsprong.

In Figuur 1.14 zijn drie sprongen getekend, elk van dezelfde grootte maar vanaf verschil-lende momenten in de refractaire periode.



v

0.3

0.2

0.1

0

u

1.20.80.40-0.4

(a)

u

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

t

10.80.60.40.20

(b)

FIGUUR 1.14: Als de volgende sprong komt voordat het systeem in de oorsprong is teruggekeerd, kan deronde korter zijn, of zelfs helemaal niet plaatsvinden (ε = 0.01).



1.7 Opgaven

Deze opgaven zijn met dank aan L. A. Peletier.

Opgave 1.7 Gegeven de vergelijking

u′ = v(eu − 1)

v′ = u+ ev

Laat zien dat elke baan die in het rechter halfvlak (u, v) : u > 0 begint, daar ook in blijft.•


u′ = −1 − v + u2

v′ = u(1 + v)

1. Teken de isoclinen en bepaal de stationaire punten en (zo mogelijk) hun stabiliteit.

2. Laat zien dat het fasevlak symmetrisch is in de v-as.

3. Laat zien dat er een baan bestaat van de vorm (u(t), v(t) = (cos θ(t), sin θ(t)), met θeen zekere functie van t.

4. Laat zien dat elke baan die binnen de schijf (u, v) : u2 + v2 < 1 begint, daar altijd inblijft. Waar gaat deze baan heen als t→ ∞?

•


u′ = sin(u+ v)

v′ = eu − 1

1. Teken de isoclinen en bepaal de stationaire punten en hun linearisatie. Maak gebruikvan de periodiciteit!

2. Teken het vectorveld.

•


u′ = −vv′ = u+ 2u3.

(1.14)

1. Bepaal de linearisatie van dit systeem in de oorsprong. Wat zegt deze linearisatie overde stabiliteit van de oorsprong in het niet-lineaire systeem?

2. Laat zien dat langs een oplossing (u(t), v(t)) de functie

F (u, v) = v2 + u2 + u4

constant is.



3. Teken de grafiek van deze functie op een gebied rond de oorsprong. Wat voor vormhebben niveaulijnen van F ? Wat kun je hieruit concluderen voor de vorm van de banenvan (1.14)?

4. Teken het fasevlak met een aantal banen.

•


Hoofdstuk 2

Partiele Differentiaalvergelijkingen

2.1 Een-dimensionaal transport

Gegeven is de convectie-diffusie-reactie vergelijking:

∂C

∂T= D

∂2C

∂X2 − V (t)∂C

∂X− λC (2.1)

waarin T uitgedrukt wordt in s, D in m2/s, λ in 1/s, X in m, en V in m/s. [opgave: Gana dat de vergelijking dimensioneel correct is.] Als C een concentratie is, is de dimensievan C bijvoorbeeld mol/m3, maar aangezien C in elke term voorkomt kunnen we ook anderegrootheden voor C in de plaats stellen.

We beschouwen twee soorten problemen:

• Beginwaardeproblemen (BWP), waarbij de onbekende C gedefinieerd is op heel R (inde plaats) en (0,∞) (in de tijd), i.e. op de verzameling

Q = (X,T ) : −∞ < X <∞, T > 0.

De beginwaarde (op T = 0) van C is voorgeschreven:

C(X, 0) = C0(X) voor −∞ < X <∞. (2.2)

• Begin-randwaardeproblemen (BRWP), waarin de onbekende C gedefinieerd is op eenhalf-oneindig domein (0,∞) (in de plaats) en naast de beginwaarde ook een randwaardeop (X = 0) is voorgeschreven:

C(0, T ) = Cb(T ) voor T > 0

C(X, 0) = C0(X) voor X > 0.

Het domein van definitie van C is dan

Q = (X,T ) : X > 0, T > 0.

24

Hoofdstuk 2. Partiele Differentiaalvergelijkingen 25

2.2 Schalingsmogelijkheden

Om de termen van de DV onderling te kunnen vergelijken, gaan we ze schalen. Met behulp vaneen karakteristieke concentratie C∗, lengteX∗ en snelheid V ∗ kunnen de volgende dimensielozegrootheden gedefinieerd worden:

u = C/C∗

t = T/T ∗

x = X/X∗

v(t) = V (t)/V ∗ (2.3)

Substitutie in (2.1) levert op:

1

T ∗∂u

∂t=

D

X∗2∂2u

∂x2 − V ∗

X∗ v(t)∂u

∂x− λu (2.4)

Er zijn nu een aantal verschillende mogelijkheden.

1. Als V ∗ > 0, laat dan X∗ gegeven zijn (bijvoorbeeld een meetafstand). Stel dan

T ∗ = X∗/V ∗

Dc =D

V ∗X∗ =:1

Pemet Pe = Pecletgetal.

Er ontstaat dan een vergelijking met twee dimensieloze getallen:

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− λX∗

V ∗ u

Hierin is de term λX∗/V ∗u de dimensieloze reactieterm.

2. Ook is mogelijk

X∗ =D

V ∗ ,

waarmee

∂u

∂t=∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− λD

V ∗2 u.

3. Nog een mogelijkheid (met λ > 0):

X∗ =V ∗

λwaarmee

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u (2.5)

met Dc = Dλ/V ∗2.

4. Tenslotte, als V ∗ = 0, dan is een mogelijkheid T ∗ = 1/λ, waarmee

∂u

∂t=

D

λX∗2∂2u

∂x2 − u.

In de volgende secties zullen we vergelijking (2.5) als uitgangspunt nemen.



2.3 Positiviteit en eenduidigheid

Beschouw voor vergelijking (2.5) het BRWP:

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u in Q

u(0, t) = ub(t) voor t > 0

u(x, 0) = u0(x) voor x > 0,

en neem aan dat

limx→∞

u(∞, t) = u∞(t) ≥ 0 voor iedere t ≥ 0

Stelling 2.17 data ≥ 0 =⇒ oplossing ≥ 0.

Met andere woorden: u0, ub ≥ 0 impliceert dat u ≥ 0 in Q.

Bewijs Laat J : R → R gegeven zijn doorJ(s)

s

J(s) =

12 s

2 s ≤ 0

0 s > 0.

Dan geldt

J ′(s) =

s s ≤ 0

0 s > 0,

en

J ′′ ≥ 0 op R (2.6)

Vermenigvuldig (2.6) met J ′(u) ( = dJ/du). Dan onstaat

J ′(u)∂u

∂t= DcJ

′(u)∂2u

∂x2 − v(t)J ′(u)∂u

∂x− J ′(u)u. (2.7)

Met behulp van de wetenschap dat

dJ

du

∂u

∂t=

∂

∂tJ(u) (idem voor differentiatie naar x)

en na herschrijven van de eerste term aan de rechterkant (waardoor een extra correctietermontstaat), kan dit ook geschreven worden als

∂

∂tJ(u) = Dc

∂

∂x

(J ′(u)

∂u

∂x

)−DcJ

′′(u)

(∂u

∂x

)2

− v(t)∂

∂xJ(u) − J ′(u)u

≤ Dc∂

∂x

(J ′∂u∂x

)− v(t)

∂

∂xJ(u)

Deze laatste ongelijkheid is waar omdat de correctieterm van het diffusiedeel altijd negatief is(J ′′ ≥ 0) en omdat de bronterm ook altijd negatief is (J ′(s)s ≥ 0 voor elke s ∈ R). Integratievan deze ongelijkheid levert op:

∂

∂t

∫ ∞

0J(u(x, t)) dx ≤

[DcJ

′(u)∂u

∂x− v(t)J(u)

]∞

0

= 0. (2.8)



Het rechterdeel van de ongelijkheid is gelijk aan 0, omdat u(x, t) op x = 0 en op x = ∞ nietnegatief is, en J en J ′ zijn nul op [0,∞). Uit de ongelijkheid blijkt dus dat

∫ ∞

0J(u(x, t)) dx

dalend is in t, en in het bijzonder dat

∫ ∞

0J(u(x, t))dx ≤

∫ ∞

0J(u0(x))dx = 0 voor iedere t > 0. (2.9)

alweer omdat J(u0) = 0 als u0 ≥ 0. Om diezelfde reden impliceert dit dat J(u(x, t)) = 0in bovenstaande vergelijking en dus ook dat in dit geval u(x, t) ≥ 0 moet zijn voor iedere(x, t) ∈ Q. Dus het bewijs voor de bewering is geleverd. •

Opgave 2.1 De bewering van de stelling geldt ook als de tekens worden omgedraaid. Gadit zelf na. •

Nu positiviteit is aangetoond, kan ook de eenduidigheid voor BRWP worden aange-toond. Stel er zijn twee oplossingen u1 en u2 van vergelijking (2.5) die voldoen aan

u1(0, t) = u2(0, t) = ub(t) voor t > 0 (2.10)

en

u1(x, 0) = u2(x, 0) = u0(x) voor x > 0 (2.11)

Dan voldoet het verschil

v = u1 − u2

ook aan vergelijking (2.5) en aan

v(0, t) = 0 voor t > 0

v(x, 0) = 0 voor x > 0.

De bewering toepassen op v geeft v ≥ 0 in Q (of bij de omgekeerde variant van de beweringv ≤ 0 in Q). Met andere woorden v ≡ 0 in Q en dus

u1 ≡ u2 in Q. (2.12)

2.4 Reductie van de vergelijking

Soms is het mogelijk de reactie en de convectie uit de vergelijking te transformeren. Webeschouwen hier twee gevallen die ieder hun eigen voor- en nadelen hebben.

We beginnen met de oplossing voor het diffusie-convectie-reactie probleem BWP,

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u met −∞ < x <∞, t > 0 (2.13)

u(x, 0) = u0(x) voor −∞ < x <∞.



Voer een nieuwe onbekende w in, gedefinieerd door

u(x, t) = e−tw(ξ, t) (2.14)

met

ξ = x−∫ t

0v(s)ds.

Door deze transformatie wordt het BWP voor u gereduceerd tot een diffusieprobleem zonderconvectie voor w:

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂ξ2voor −∞ < ξ <∞, t > 0 (2.15)

w(ξ, 0) = u0(ξ) voor −∞ < ξ <∞.

De factor e−t in de definitie (2.14) van w wordt ingegeven door de reactie- of bronterm ende term

∫ t0 v(s)ds in de vergelijking voor ξ komt van de convectieterm. Door te transformeren

van u en x naar de coordinaten w en ξ worden de bronterm en convectieterm uit de vergelijkinggeelimineerd.

Bewijs voor het bovenstaande volgt uit directe differentiatie. In het bijzonder omdat nainvullen van oplossing u(x, t) in het BWP en gebruik maken van de vergelijking van hetdiffusieprobleem volgt

∂u

∂t=

(−w +

∂w

∂t− v(t)

∂w

∂ξ

)e−t (2.16)

en

∂u

∂x=∂w

∂ξe−t ∂2u

∂x2 =∂2w

∂ξ2e−t. (2.17)

Deze transformatie werkt uitstekend als er geen randen zijn. Is dit wel het geval, bijvoor-beeld een rand bij x = 0 zoals in het BRWP, dan transformeert deze naar

x = 0 ⇐⇒ ξ = −∫ t

0v(s)ds.

We krijgen dan een diffusieprobleem met bewegende rand. Dat is lastig oplossen. Als deconvectie tijdsonafhankelijk is (v(t) is constant, en vanwege de nondimensionalisatie (2.3) isv dan gelijk aan 1), dan kunnen we het volgende proberen.

Laat u een oplossing zijn van

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − ∂u

∂x− u. (2.18)

Bepaal dan a en b zodat

u(x, t) = eax+btw(x, t) (2.19)



0

t

ξ

ξ = −∫ t

0v(s)ds

x = 0 ∂w

∂t= Dc

∂2w

∂ξ2

FIGUUR 2.1: In de variabele ξ heeft het domein een bewegende rand.

en

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂x2 . (2.20)

Het voordeel hierbij is dat het coordinaatsysteem hetzelfde blijft. Maar de begin- en rand-waarde veranderen door de transformatie, en dit is meestal een nadeel. De constanten a en bworden bepaald door substitutie van vergelijking (2.16) in vergelijking (2.15) (machten van evallen tegen elkaar weg):

∂w

∂t+ bw = Dc

(∂2w

∂x2 + 2a∂w

∂x+ a2w

)−(∂w

∂x+ aw

)− w

= Dc∂2w

∂x2 + (2aDc − 1)∂w

∂x+ (a2Dc − a− 1)w

Wil deze vergelijking gelijk zijn aan (2.20), dan moet

2aDc − 1 = 0 =⇒ a =1

2Dc

en

b = a2Dc − a− 1 =⇒ b = − 1

4Dc− 1.

Als we nu w = w(x, t) kunnen bepalen als oplossing van (2.20), dan wordt de oplossing vanhet oorspronkelijke probleem gegeven door:

u(x, t) = ex/2Dc−(1/4Dc+1)tw(x, t) (2.21)

2.5 Probleem BWP

We zullen in een aantal stappen de oplossing geven van het algemene beginwaardeprobleemBWP,

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u −∞ < x <∞, t > 0 (2.13)

u(x, 0) = u0(x) voor −∞ < x <∞



Volgens paragraaf 2.4 is het in essentie voldoende het diffusieprobleem

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂ξ2voor −∞ < ξ <∞, t > 0

w(ξ, 0) = u0(ξ) voor −∞ < ξ <∞

op te lossen. De oplossing van het BWP ontstaat dan uit een simpele transformatie.

Voorbeeld. Laat eerst

u0(ξ) =

1 ξ < 0

0 ξ > 0.

Dan ontstaat het speciale diffusieprobleem

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂ξ2−∞ < ξ <∞, t > 0.

w(ξ, 0) =

1 ξ < 0

0 ξ > 0.(2.22)

Laat w = w(ξ, t) de unieke oplossing zijn. Wegens de stuksgewijs constante beginwaarde is

wk(ξ, t) = w

(ξ

k,t

k2

)(2.23)

voor iedere k > 0 ook een oplossing [opgave: Ga na!]. Omdat er maar een oplossing is(eenduidigheid), moet gelden

wk(ξ, t) = w(ξ, t) ∀ k > 0 (2.24)

ofwel

w

(ξ

k,t

k2

)= w(ξ, t) ∀ k > 0. (2.25)

Dit impliceert (kies k =√t)

w(ξ, t) = w

(ξ√t, 1

)= f

(ξ√t

),

voor een zekere functie f . Met andere woorden, w is gelijkvormig in ξ voor iedere t > 0 (eensimilarity solution). Substitueren we

w(ξ, t) = f(η) met η = ξ/√t

in de vergelijking, dan ontstaat (termen omschrijven naar f(η))

1

2η∂f

∂η+Dc

∂2f

∂η2 = 0 voor −∞ < η <∞ (2.26)

De beginwaarde voor w (vergelijking (2.22)) geeft voor f de randwaarden

f(−∞) = 1 en f(+∞) = 0.



Dit randwaarde probleem wordt opgelost door directe integratie. De oplossing wordt gegevendoor [2, p. 172–174]

f(η) =1

2erfc(

η

2√Dc

) voor −∞ < η <∞. (2.27)

In deze vergelijking is erfc(·) de complementaire functie van de errorfunctie (‘complementaireerrorfunctie’). Deze functie is gedefineerd als

erfc(s) =2√π

∫ ∞

se−t2dt −∞ < s <∞. (2.28)

Er geldt:

erfc(−∞) = 2, erfc(0) = 1 en erfc(+∞) = 0. (2.29)

In termen van w = w(ξ, t) krijgen we

w(ξ, t) =1

2erfc

( ξ

2√Dct

). (2.30)

Naarmate t groter wordt, is de daling rond ξ = 0 vlakker (minder steil):

0 ξ

w(ξ, t1)

w(ξ, t2)

0 < t1 < t2

Voor u = u(x, t) vinden we

u(x, t) =1

2e−t erfc

(x−

∫ t0 v(s)ds

2√Dct

)(2.31)

0 x

t

u = 0u = 1

u(t, t) = 1

2e−t

u→ 0u→ e−t

x = t (ξ = 0)

Als we de oplossing u in (2.31) naar x differentieren ontstaat weer een oplossing vanvergelijking (2.13) [opgave: Ga dit na! Je kunt dit zowel in vergelijking (2.13) verifieren alsin de formule (2.31) voor u]. De oplossing is negatief omdat u(x, t) dalend is in x voor iederet > 0. Voorzien we de afgeleide functie van een minteken dan ontstaat de oplossing

b(x, t) := −∂u∂t

(x, t) =1

2√πDct

exp

(−t− (x−

∫ t0 v(s)ds)

2

4Dct

)(2.32)

Dit noemen we de fundamentele of bronoplossing. Karakteristieke eigenschappen zijn:



• b(x, t) > 0 voor alle −∞ < x <∞, t > 0

•∫ +∞

−∞b(x, t) dx = −

∫ +∞

−∞

∂u

∂x(x, t) dx = −u(+∞, t) − u(−∞, t) = e−t voor alle t ≥ 0,

gebruik makende van vergelijking (2.31)

• limx↓0 b(x, t) = 0 voor alle x 6= 0

We zeggen ook wel dat

b(x, 0) = δ(x)

waarin δ de Dirac distributie is.De oplossing van het algemene beginwaardenprobleem met u(x, 0) = u0(x) ontstaat door

superpositie (integratie) van bronoplossingen volgens

u(x, t) =

∫ +∞

−∞u0(y)b(x− y, t) dy

=e−t

2√πDt

∫ +∞

−∞u0(y) exp

(−(x− y −

∫ t0 v(s)ds)

2

4Dt

)dy.

2.6 Probleem BRWP

De aanwezigheid van een rand met voorgeschreven randwaarde leidt vaak tot weerbarstigerekenpartijen en soms tot onoverkomelijke moeilijkheden. We zullen daarom probleem BRWPin verschillende stappen behandelen.

We beginnen met de meest eenvoudige situatie van constante begin- en randwaarden,constante convectie, en nog zonder reactie.

2.6.1 Constante data

Beschouw het probleem

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − ∂u

∂xvoor x > 0, t > 0 (2.33)

u(0, t) = 1 voor alle t > 0 (2.34)

u(x, 0) = 0 voor alle x > 0 (2.35)

waarin Dc = 1/Pe, met Pe het Pecletgetal.De meest rechtstreekse manier om dit probleem op te lossen maakt gebruik van de Lap-

lace transformatie. Laat f : R+ → R gegeven zijn. Met deze functie is de Laplace

getransformeerde

F (p) =

∫ ∞

0f(t)e−ptdt (p > 0)

geassocieerd. Deze uitdrukking kan worden opgevat als een alternatieve karakterisering vande functie f(t).



Voorbeeld: Laat f(t) = 1 voor t > 0. Dan is

F (p) =

∫ ∞

0e−ptdt =

1

p(voor p > 0).

Als F gegeven is kunnen we via tabellen f dikwijls terugvinden (zie bijvoorbeeld [1]).We passen de transformatie toe op de oplossing u(x, t) van de partiele differentiaalverge-

lijking. Laat

U(x, p) =

∫ ∞

0u(x, t)e−ptdt p > 0

Deze uitdrukking voldoet aan het randwaardeprobleem (met p > 0 als parameter)

pU = Dc∂2U

∂x2 − ∂U

∂p0 < x <∞

U(0, p) =1

p, U(∞, p) = 0

De oplossing wordt gegeven door

U(x, p) =1

pexp

(1 −

√1 + 4Dcp

) x2D

x > 0

Terugtransformeren is niet eenvoudig. Na enige manipulaties vinden we met behulp van detabel uit [1]:

u(x, t) =1

2ex/Dc erfc

(x+ t

2√Dct

)+

1

2erfc

(x− t

2√Dct

)(2.36)

0 x

u(x, t2)

u(x, t1)

0 < t1 < t2

FIGUUR 2.2: Schets van oplossing op verschillende tijdstippen

In de limiet Dc ↓ 0 gedraagt de oplossing zich als [opgave: Ga na!]:

limDc↓0

u(x, t) =

1 0 < x < t

0 x > t

Met andere woorden, de oplossing gedraagt zich als een schok, die zich met constante snelheidvoortplant.

Als 0 < Dc 1 kunnen we met behulp van singuliere storingsrekening de oplossinganalyseren. Dit gaat als volgt.



Outer solution. In de vergelijking (2.33) stellen we direct Dc = 0. Dit geeft

∂u

∂t+∂u

∂x= 0 x > 0, t > 0. (2.37)

Voor iedere functie f : R → R is de functie

u(x, t) = f(x− t)

een oplossing van (2.37). De vorm van f wordt bepaald door de begin- en randwaarde:

u(x, 0) = f(x) = 0 ∀ x > 0

u(0, t) = f(−t) = 1 ∀ t > 0.

Dit geeft

f(s) =

0 s > 0

1 s < 0en u(x, t) =

0 x > t

1 x < t.

Inner solution. De inner solution beschrijft de oplossing in de omgeving van de schok. Wemaken eerst een coordinaattransformatie:

τ

x

t = x

τ > 0

τ < 0

η = x

τ = t− x

η

τ

Laat

u(η, t) = u(x, t− x) = u(x, t).

Dan is

∂u

∂t=∂u

∂τ

∂u

∂x=

∂u

∂η− ∂u

∂τ,

∂2u

∂x2 =∂2u

∂η2 − 2∂2u

∂ητ 2 +∂2u

∂τ2

Voor u vinden we nu de vergelijking:

∂u

∂τ= Dc

∂2u

∂η2 − 2∂2u

∂ητ 2 +∂2u

∂τ2

− ∂u

∂η+

∂u

∂τ

Vervolgens gaan we de schok uitvergroten. Stel

ξ = τ/√Dc.

Met u = u(η, ξ) ontstaat

∂u

∂η= Dc

∂2u

∂η2 − 2√Dc

∂2u

∂η∂ξ+∂2u

∂ξ2.



Laten we nu Dc ↓ 0, dan vinden we de diffusievergelijking

∂u

∂η=∂2u

∂ξ2voor η > 0, −∞ < ξ <∞ (2.38)

u(η,−∞) = 0 (2.39)

u(η,+∞) = 1 (2.40)

De oplossing wordt gegeven door

u(η, ξ) =1

2erfc

(ξ

2√η

)=

1

2erfc

(x− t

2√Dcx

)=: u(x, t). (2.41)

2.6.2 Principe van Duhamel

We gaan nu een oplossing construeren van het meer algemene begin-randwaardeprobleem:

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − ∂u

∂xvoor x > 0, t > 0 (2.42)

u(0, t) = f(t) ∀ t > 0 (2.43)

u(x, 0) = 0 ∀ x > 0 (2.44)

waarin f : [0,∞) → R een continue functie is.

Uitgangspunt is de oplossing uit paragraaf 2.6.1. We definieren

g(x, t) =

1

2ex/Dc erfc

(x+ t

2√Dct

)+

1

2ex/Dc erfc

(x− t

2√Dct

)x > 0, t > 0

0 x > 0, t ≤ 0(2.45)

Laat τ = t− x > 0 en bekijk de randwaarde

t

x

u = 0

u = 0 η

t

u = 0

u = 1

τu(0, t)

De corresponderende oplossing wordt gegeven door

u(x, t) = g(x, t − τ) voor x > 0, t > 0.

Door twee oplossingen te combineren kunnen we ook de puls als randwaarde aan.

t

u(0, t)

τ τ + ∆τ

1/∆τ



Immers de vergelijking is lineair, waardoor lineaire combinaties van oplossingen weer op-lossingen zijn. De oplossing corresponderend met de pulsrandwaarde is

u(x, t) =1

∆tg(x, t − τ) − g(x, t − (τ + ∆τ))

Hieruit volgt dat de oplossing met

u(0, t) = δ(t− τ) t ≥ 0

wordt gegeven door

u(x, t) =∂

∂τg(x, t− τ) x > 0, t > 0

Superpositie of integratie geeft voor de oplossing

met u(0, t) = f(t) =

∫ ∞

0f(τ)δ(t− τ)dτ (2.46)

u(x, t) =

∫ t

0f(τ)− ∂

∂τg(x, t− τ)dτ (2.47)

2.6.3 Constante data met reactie

Beschouw het probleem

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − ∂u

∂x− u x > 0, t > 0 (2.48)

u(0, t) = 1 t > 0 (2.49)

u(x.0) = 0 x > 0 (2.50)

We kunnen verschillende oplostechnieken toepassen.

• Laplacetransformatie.Stel weer

U(x, p) =

∫ ∞

0u(x, t)e−pt dt

Dan vinden we voor U de gewone differentiaalvergelijking

pU = Dc∂2U

∂x2 − ∂U

∂x− U 0 < x <∞

en de randwaarden

U(0, p) =1

p, U(∞, p) = 0

Merk op dat p > 0 hier een parameter is. Voor U vinden we

U(x, p) =1

pexp

(1 −

√1 + 4Dc(p+ 1) x

2Dc

).



Terugtransformeren (via tabel en geheel niet triviaal) geeft

u(x, t) =1

2ex

2Dc1−

√1+4Dc

erfc

(x− t

√4Dc + 1

2√Dct

)+

+1

2e

12Dc

1+√

1+4Dcerfc

(x+ t

√4Dc + 1

2√Dct

)

Opgave 2.2 Interpreteer deze oplossing in termen van de dimensievolle variabelen. Onder-zoek wat er gebeurt als λ ↓ 0 (in de dimensievolle vergelijking). •• Reductie tot diffusievergelijking.Zoals is besproken in het tweede deel van paragraaf 2.4 kunnen we de vergelijking reducerentot een diffusievergelijking: stellen we

u(x, t) = ex

2Dc−( 1

4Dc+1)t

w(x, t) (2.51)

dan voldoet w aan

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂x2 x > 0, t > 0 (2.52)

Als randen beginwaarde voor w ontstaat:

w(0, t) = u(0, t) exp

(1

4Dc+ 1

)t = exp

(1

4Dc+ 1

)t voor t > 0 (2.53)

w(x, 0) = u(x, 0) e−x/2Dc = 0 voor x > 0 (2.54)

We gebruiken vervolgens Duhamel (paragraaf 2.6.2) voor de diffusievergelijking. Bekijk eerst:

∂v

∂t= Dc

∂2v

∂x2 x > 0, t > 0

v(0, t) = 1 t > 0

v(x, 0) = 0 x > 0

De oplossing wordt gegeven door:

v(x, t) = f(η), η =x√t,

en

f(η) = erfc

(η

2√Dc

)=

2√π

∫ ∞

η

3√

Dc

e−s2

ds.

Laat nu

g(x, t) =

erfc

(x

2√Dct

)x > 0, t > 0

0 x > 0, t < 0.



Evenals in paragraaf 2.6.2 vinden we

w(x, t) =

∫ t

0exp

(1

4Dc+ 1

)τ

∂

∂τg(x, t− τ)

dτ.

Uitwerken geeft:

w(x, t) =1

2√πDc

∫ t

0

1

(t− τ)3/2exp

(1

4Dc+ 1

)τ − x2

4D(t− τ)

dτ

ofwel

w(x, t) =1

2√πDc

exp

(1

4Dc+ 1

)τ

∫ t

0

1

s3/2exp

(1

4Dc+ 1

)s− x2

4Dcs

ds

Met andere woorden

u(x, t) =ex/2Dc

2√πDc

∫ t

0

1

s3/2exp

(1

4Dc+ 1

)s− x2

4Dcs

ds (2.55)

We laten de uitwerking verder achterwege.

Opmerking 2.18 Zodra we de oplossing met

u(0, t) = 1 ∀ t > 0

u(x, 0) = 0 ∀ x > 0

hebben geconstrueerd, is het in principe mogelijk met Duhamel de oplossing te geven van hetprobleem met

u(0, t) = f(t) ∀ t > 0

u(x, 0) = 0 ∀ x > 0

2.6.4 Periodieke oplossing

We zoeken een oplossing van de diffusievergelijking met periodieke randwaarde

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 x > 0, −∞ < t <∞ (2.56)

u(0, t) = sin(ωt)

Probeer:

u(x, t) = e−ax sin(ωt+ bx).

Dan is

ut = ωe−ax cos(ωt+ bx)

ux = −ae−ax sin(ωt+ bx) + be−ax cos(ωt+ bx)

uxx = a2e−ax sin(ωt+ bx) − 2abe−ax cos(ωt+ bx) − b2e−ax sin(ωt+ bx)



Substitutie van deze vergelijkingen in vergelijking (2.56) levert op:

ω = −2Dcab

voor de cosinustermen en

0 = a2 − b2

voor de sinustermen. Hieruit volgt a = −b⇒ ω = 2Dca2 (we nemen aan dat ω positief is, en

daarom valt de mogelijkheid a = b⇒ ab > 0 af). Dan is de oplossing

u(x, t) = exp

(−√

ω

2Dcx

)sin

(ωt−

√ω

2Dcx

). (2.57)

Hierin is de exponentiele factor verantwoordelijk voor de demping en de sinusfactor voor devoortplanting.

2.7 Vergelijking met bronterm

Beschouw het beginwaardeprobleem (BWP)

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u+ f(x, t) −∞ < x <∞, t > 0 (2.58)

u(x, 0) = u0(x) −∞ < x <∞ (2.59)

Hierin is f = f(x, t) een gegeven functie van x en t, de zogenaamde bronterm. We lossen ditprobleem op door de oplossing te splitsen:

u = u1 + u2,

waarin u1 voldoet aan

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u+ f(x, t) −∞ < x <∞, t > 0

u(x, 0) = 0

en u2 voldoet aan

∂u

∂t= Dc

∂2u

∂x2 − v(t)∂u

∂x− u −∞ < x <∞, t > 0

u(x, 0) = u0(x)

Omdat we deze tweede vergelijking reeds kunnen oplossen (zie paragraaf 2.5) kunnen wezonder verlies van algemeenheid u0 = 0 stellen in (2.58-2.59). Omdat dit probleem geenranden heeft, transformeren we eerst

ξ = x−∫ t

0v(s)ds

en

w(ξ, t)e−t = w

(x−

∫ t

0v(s)ds, t

)e−t = u(x, t)



en

f(ξ, t)e−t = f

(x−

∫ t

0v(s)ds, t

)e−t = f(x, t).

Dan ontstaat voor w de diffusievergelijking met bronterm

∂w

∂t= Dc

∂2w

∂ξ2+ f(ξ, t) −∞ < ξ <∞, t > 0

w(ξ, 0) = 0

De oplossing construeren we door stroken te superponeren (integreren).

ξ

(ξ, t)

τ

t− τ

t

Dit geeft

w(ξ, t) =

∫ t

0v(ξ, t− τ, τ) dτ

waarin v(ξ, s, τ) de oplossing is van het beginwaardeprobleem

∂v

∂s= Dc

∂2v

∂ξ2−∞ < ξ <∞, s > 0

v(ξ, 0, τ) = f(ξ, τ) −∞ < ξ <∞Immers

∂w

∂t=

∫ t

0

∂

∂tv(ξ, t− τ, τ) dτ + v(ξ, 0, τ)

en

∂

∂tv(ξ, t− τ, τ) =

∂v

∂s(ξ, s, τ)

∣∣∣∣s=t−τ

= Dc∂2v

∂ξ2ξ, t− τ, τ)

Dus

∂w

∂t= Dc

∂2

∂ξ2

∫ t

0v(ξ, t− τ, τ) dτ + v(ξ, 0, τ) = Dc

∂2w

∂ξ2+ f(ξ, t)



injectie op t = 0x

meting

x0 x1

2.7.1 Voorbeeld van Frans

• Neem aan: injectie is ‘snel’ (dat wil zeggen, zeer snel, op een moment). Dan gebruikenwe de bronoplossing:

u(x1, t) =m√πDct

exp

(−t−

(x1 − x0 −

∫ t0 v(s)ds

)2

4Dct

)

Verklaring van m: injectie op x = x0, t = 0 is een δ-functie met voorgeschreven massa:

M =

∫C(X, 0)dX = C∗X∗

∫u(x, 0)dx

︸︷︷︸m

Dus:

m =M

C∗X∗ .

Opgave 2.3 Schrijf de bronoplossing terug in dimensievolle grootheden en interpreteer hetresultaat. •• Neem aan: injectie is ‘langzaam’

t

x

∆t

x0 x1

Injectie op plaats x = x0, uitgesmeerd over ∆t. Dimensievol:

F (X,T ) =M

X∗∆TH(T )δ(X −X0)

met

H(T ) =

1 T < ∆T

0 T > ∆T,

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞F (X,T )dXdT = M

Dus in totaal wordt M (in ml) geınjecteerd. Na schaling ontstaat:

f(t) =M

C∗X∗∆T/T ∗ δ(x− x0)h(t)

m =M

C∗V ∗∆T



x met

h(t) =

1 0 < t < ∆t

0 t > ∆t.

Omdat ∆t = ∆T/T ∗ volgt

m =M

C∗X∗∆tWe passen nu dezelfde procedure toe als op pagina 39. Voer in

ξ = x−∫ t

0v(z)dz

en

f(ξ, t) = etf

(ξ +

∫ t

0v(z)dz, t

)= meth(t)δ

(ξ +

∫ t

0v(z)dz − x0

).

De intermediaire functie v(ξ, s, τ) heeft als beginwaarde

v(ξ, 0, τ) = f(ξ, τ) = meτh(τ)δ

(ξ +

∫ τ

0v(z)dz − x0

)

en dus als oplossing

v(ξ, s, τ) = meτh(τ)1√πDcs

exp

(− 1

4Dcs

(ξ +

∫ τ

0v(z)dz − x0

)2).

De functie w heeft dus als vorm

w(ξ, t) =

∫ t

0v(ξ, t− τ, τ) dτ

= m

∫ t

0eτh(τ)

1√πDc(t− τ)

exp

(− 1

4Dc(t− τ)

(ξ +

∫ t

0v(z)dz − x0

)2)dτ

Teruggetransformeerd levert dit voor de oplossing u,

u(x, t) = m

∫ t

0e−(t−τ)h(τ)

1√πDc(t− τ)

exp

(− 1

4Dc(t− τ)

(x− x0 −

∫ t

τv(z)dz

)2)dτ

Met andere woorden, voor L = x1 − x0,

u(x1, t) = m

∫ t

0e−(t−τ)h(τ)

1√πDc(t− τ)

exp

(− 1

4Dc(t− τ)

(L−

∫ t

τv(z)dz

)2)dτ

Als t > ∆t dan geldt

u(x1, t) = m

∫ ∆t

0e−(t−τ)h(τ)

1√πDc(t− τ)

exp

(− 1

4Dc(t− τ)

(L−

∫ t

τv(z)dz

)2)dτ,

aangezien h(t) = 0 voor t > ∆t. Als t >> ∆t dan is t− τ ∼ t omdat 0 < τ < ∆t. Dan krijgenwe

u(x1, t) =m∆t√πDct

exp

(−t− 1

4Dc(t− τ)

(L−

∫ t

0v(z)dz

)2).

Opgave 2.4 Vergelijk dit met de bronoplossing op pagina 41. Wat kun je hieruit opmaken?•



2.8 Opgaven

Opgave 2.5 Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem

∂u

∂t+ q(t)

∂u

∂x= 0 x ∈ R, t > 0 ,

u(x, 0) = u0(x) x ∈ R .

Hierin is q : [0,∞) → R een gegeven snelheidsfunctie en u0 : R → R de voorgeschrevenbeginwaarde. •

Opgave 2.6 Herhaal opgave 2.5 als ook reactie een rol speelt. De vergelijking wordt dan

∂u

∂t+ q(t)

∂u

∂x= ku , x ∈ R, t > 0 ,

waarin k ∈ R de reactieconstante is. •

Opgave 2.7 Bepaal de oplossing van het begin-randwaardeprobleem

∂u

∂t+ q0

∂u

∂x= 0 x > 0, t > 0 ,

u(x, 0) = u0 x > 0 ,

u(x, t) = uB t > 0 .

Hierin zijn q0 , u0 en uB gegeven constanten.Onderscheid de gevallen q0 > 0 en q0 < 0.

• q0 > 0: stroming van links naar rechts

u(x, t) = f(ξ) , ξ = x− q0t .

Bepaal f uit randen beginwaarde.

• q0 < 0: stroming van rechts naar links, dus uit het gebied.Is er nu een oplossing mogelijk?

•

Opgave 2.8 Generaliseer opgave 2.7 met

• u0 = u0(x): plaatsafhankelijke beginwaarde,

• uB = uB(t): tijdsafhankelijke randwaarde.

•



Opgave 2.9 Diffusie in half-oneindige kolom met constante data. Voor de concentratie Cgeeft dit het begin-randwaardeprobleem

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2x > 0, t > 0 ,

C(x, 0) = C0 x > 0 ,

C(0, t) = CB t > 0 .

Hierin zijn D, C0 en CB gegeven positieve constanten.Onderscheid de gevallen C0 < CB en C0 > CB . Wat is de oplossing als C0 = CB?

1. • Schaal het probleem d.m.v. u =C − C0

CB − C0;

• Bepaal de oplossing in termen van u;

• Interpreteer de oplossing in termen van C en bediscusieer de nivokrommen van C;

• Langs welke kromme x = x(t) geldt C(x(t), t) = C0 + 14(CB − C0)?

2. • Schaal het probleem d.m.v. u =C − CB

C0 − CB.

• Bepaal de oplossing in termen van u door gebruik te maken van het resultaatonder 1;

• Interpreteer de oplossing in termen van C;

• Langs welke kromme x = x(t) geldt C(x(t), t) = CB + 14(C0 − CB)?

•

Opgave 2.10 Diffusie en reactie in half-oneindige kolom met constante data.Beschouw nu

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2+ k(C − CB) x > 0, t > 0 ,

C(x, 0) = C0 x > 0,

C(0, t) = CB t > 0.

Hierin zijn C0 en CB constant en geldt C0 > CB .

• Schaal het probleem d.m.v. u =C − CB

C0 − CB.

• Transformeer het probleem d.m.v. u(x, t) = ektw(x, t).Welk probleem ontstaat voor w?

• Los het w-probleem op.

• Interpreteer deze oplossing in termen van C.Onderscheid de gevallen k > 0 en k < 0.

•



Opgave 2.11 Bepaal de oplossing van het probleem met tijdsafhankelijke diffusie:

∂u

∂t= D(t)

∂2u

∂x2x > 0, t > 0 ,

u(x, 0) = 0 x > 0,

u(0, t) = 1 t > 0.

Hierin is D : [0,∞) → (0,∞) een gegeven, positieve functie van de tijd.Aanwijzing: bedenk een transformatie die D(t) uit de vergelijking elimineert. •

Opgave 2.12 Diffusie in oneindige kolom.Beschouw het beginwaardeprobleem

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2x ∈ R, t > 0 ,

C(x, 0) =

C1 x < 0,C0 x > 0,

waarin D, C1 en C0 positieve constanten zijn.Onderscheid de gevallen C1 > C0 en C1 < C0.Bepaal de oplossingen en schets de niveaukrommen van C in het x, t-vlak. •

Opgave 2.13 Gebruik de resultaten uit opgave 2.12 om het pulsprobleem op te lossen:

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2x ∈ R, t > 0 ,

C(x, 0) =

C0 |x| > a,C1 |x| < a.

Hierin is C1 > C0 en a > 0. •

Opgave 2.14 Beschouw opgave 2.13 met C1 = C0 +M

2a. Er geldt dan

+∞∫

−∞

(C(x, 0) −C0)dx = M (massa van puls)

Onderzoek de limiet a 0. •

Opgave 2.15 Bepaal de oplossing van het diffusie-convectie probleem

∂u

∂t= D

∂2u

∂x2− 1

2 t∂u

∂xx ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = Mδ(x) x ∈ R.

Geef een schets van de oplossing als profiel langs de x-as. •



Opgave 2.16 Wiskundig grapje. Verifieer dat

u(x, t) :=

∞∑

n=0

dn

dtn(f(t))

x2n

(2n)!, x ∈ R, t ≥ 0,

met

f(t) =

0 t = 0,

e−1t2 t > 0,

voldoet aan

∂u

∂t=∂2u

∂x2x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = 0 x ∈ R.

Pollens! Wat is hier aan de hand? •

Opgave 2.17 Bepaal de oplossing van de golfvergelijking

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) =

1 − |x| |x| ≤ 1,

0 |x| > 1,

en

∂u

∂t(x, 0) = 0, x ∈ R.

•


Hoofdstuk 3

Membraantransport

3.1 Introductie

Dit hoofdstuk dient ter ondersteuning van het voorbeeld in Hoofdstuk 1 over de FitzHugh-Nagumovergelijking (paragraaf 1.6). Deze vergelijking beschrijft de veranderingen in hetpotentiaalverschil over de celmembraan.

De celmembraan vormt de scheiding tussen de celinhoud en de celomgeving. De ionen-samenstelling van de celinhoud verschilt van die van de celomgeving. Dit verschil wordtin stand gehouden via ionenpompen in de celmembraan, en leidt tot ionenstromen door decelmembraan en electrische potentiaalverschillen over de membraan. In dit document zullenwe ingaan op modellen waarmee membraan-transport en -potentiaalverschillen beschrevenkunnen worden.

We beginnen met een algemene beschouwing van transport ten gevolge van gradienten inconcentratie of electrische potentiaal. Eerst gaan we uit van constante membraaneigenschap-pen. We zullen de relaties van Nernst en Goldman-Hodgkin-Katz afleiden uit voorwaardenvoor stationair evenwicht.

Vervolgens gaan we in op de actiepotentiaal, een verandering van de transmembraanpoten-tiaal ten gevolge van een transiente verandering van membraaneigenschappen. We presenterende zogenaamde Hodgkin-Huxley model, waarmee het verloop van actiepotentiaal als functievan de tijd beschreven kan worden op een plaats in de membraan.

Het Hodgkin-Huxley model bestaat uit een set van vier gekoppelde differentiaalvergelijkin-gen. Hoewel deze vergelijkingen eenvoudig numeriek opgelost kunnen worden, is het moeilijkde karakteristieke eigenschappen ervan te analyseren. Daarom introduceren we een benade-ring van het model, beschreven door slechts twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Voorde analyse van dit model maken we gebruik van het fasevlak. Tenslotte introduceren we hetFitzHugh-Nagumo model, als simplificatie en generalisatie van het gereduceerde Hodgkin-Huxley model.

3.2 De celmembraan

De celmembraan bestaat uit een bimoleculaire lipidenlaag, die zich in een waterige oplossingbevindt (figuur 3.1). De structuur is zodanig dat de hydrofiele glycerol-zijde van de lipidenaar buiten, naar de waterige oplossing toe is gericht, terwijl de hydrofobe vetzuurketens naarbinnen, naar elkaar toe zijn gericht. Aan de glycerolgroepen zijn vaak weer fosfaatgroepengekoppeld. In de membraan bevinden zich eiwitten, die aan een of beide zijden van de

47

Hoofdstuk 3. Membraantransport 48

membraan uitsteken. In het laatste geval spreken we van een integraal eiwit. Deze eiwittenkunnen o.a. fungeren als ionenkanalen, enzymen of receptoren, of ionenpompen.

Een belangrijke ionenpomp is de Na Na-K-pomp. Deze pomp houdt over de membraaneen concentratieverschil van Na+ en K+ ionen in stand. Deze ionen worden dus tegen eenconcentratiegradient in getransporteerd. Voor dit transport is energie nodig, die wordt gele-verd door een omzetting van ATP in ADP. Om die reden wordt dit transport ook wel actieftransport genoemd.

Doordat de ionenpomp geladen deeltjes transporteert, zullen er over de membraan heenverschillen in deeltjesconcentratie en electrische potentiaal ontstaan. Deze verschillen vormende drijvende kracht voor deeltjesstromen, waarvoor geen energie nodig is, het passief transport.

3.3 Deeltjesbehoud

Zowel bij actief als bij passief transport blijft het totaal aantal deeltjes behouden. Voor demathematische formulering van die eis beschouwen we een willekeurig, maar vast deel vande ruimte met volume V en oppervlak A. De materie in dit volume heeft een concentratiec [mol·m−3], waarin 1 mol komt overeen met NA deeltjes, met NA het getal van Avogadro,gelijk aan 6.02×1023 [-]. Het transport van deeltjes zullen we uitdrukken in termen vande deeltjesstroom per oppervlakte-eenheid, ofwel de deeltjesstroomdichtheid of deeltjesflux ~i[mol·s−1·m−2].

Behoud van het totaal aantal deeltjes kan nu geschreven worden als:

d

dt

∫

V

c dV = −∫

A

~i · ~n dA+

∫

V

f dV (3.1)

In deze vergelijking representeert het linkerlid de verandering van het aantal deeltjes in Vper tijdseenheid. Het rechterlid geeft als oorzaak van deze verandering een combinatie vandeeltjestransport door het oppervlak A, met normaalvector ~n, en van productie van deeltjesbinnen V , met f als bronterm [mol·s−1·m−3]. Toepassing van de stelling van Gauss, enverwisselen van de tijdsafgeleide en de integraal levert:

∫

V

(dc

dt+ ~∇ ·~i− f

)dV = 0 (3.2)

Omdat het volume V willekeurig is, moet de integrand voor elk punt in de ruimte nul zijn,zodat geldt:

dc

dt+ ~∇ ·~i− f = 0 (3.3)

Zoals eerder gezegd, geldt deze behoudswet ongeacht de oorzaak van het transport ~i of deproductie f . In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we productie buiten beschouwing laten:

dc

dt+ ~∇ ·~i = 0 (3.4)

Deze behoudswet kan ook geformuleerd worden als een wet van behoud van elektrische lading.We zullen hem in het vervolg vaak toepassen in ’nul-dimensionale’ vorm. We spreken we danvan de stroomwet van Kirchhoff, die zegt dat in een knooppunt in een elektrisch netwerk desom van ingaande en uitgaande stromen gelijk aan nul moet zijn.



j jj jj jj jj jj j

j jj jj j

u

u

u

u

u

extracellulair intracellulairmembraan

glycerol

fosfaat

6 vetzuur

integraal eiwit

FIGUUR 3.1: Schematische opbouw van de celmembraan.

3.4 Constitutieve relaties voor passief transport

Voor het oplossen van differentiaalvergelijking (3.4) zijn, naast begin- en randvoorwaarden,ook nog constitutieve relaties nodig. Hiermee wordt de relatie tussen deeltjesflux en drijvendekracht beschreven.

3.4.1 De wet van Fick

Het transport ten gevolge van een concentratiegradient wordt ook wel diffusie genoemd. Derelatie tussen deeltjesflux en concentratiegradient kan vaak lineair verondersteld worden (wetvan Fick) en wordt dan gelegd via een diffusietensor. Als het medium isotroop is reduceertdeze tensor tot een diffusieconstante D [m2·s−1], zodat de constitutieve relatie luidt:

~id = −D~∇c (3.5)

waarin ~id de diffusiestroomdichtheid voorstelt [mol·s−1·m−2]. Substitutie van (3.5) in be-houdswet (3.4) levert de tweede wet van Fick:

dc

dt−D~∇2c = 0 (3.6)

In feite is de wet van Fick een macroscopische beschrijving van het netto effect van eenproces op microscopisch niveau: de Brownse beweging. Hiermee wordt de random bewegingaangeduid die deeltjes hebben bij een temperatuur boven het absolute nulpunt. Deze randombeweging resulteert in botsingen tussen de deeltjes. Indien er nu een gradient in deeltjes-concentratie heerst, dan zal een deeltje aan de zijde waar een hoge concentratie heerst vakerbotsen dan aan de zijde waar een lage concentratie heerst. Dit resulteert in een netto deeltjes-transport in de richting van de afnemende concentratie, hetgeen macroscopisch beschrevenwordt door de wet van Fick.

De macroscopische constitutieve parameter D wordt in deze microscopische benaderingvaak vervangen door het begrip mobiliteit, aangegeven met het symbool µ. Ter illustratie vandit begrip beschouwen we een deeltje, dat wordt blootgesteld aan een kracht ~f . Ten gevolgevan deze kracht zal het deeltje in eerste instantie versnellen. Vervolgens zal het steeds vaker



botsen met andere deeltjes, totdat het uiteindelijk een constante snelheid ~v krijgt. In feite is erdan een evenwicht ontstaan tussen de drijvende kracht en een wrijvingskracht, samenhangendmet de botsingen met de andere deeltjes. We definieren nu de mobiliteit µ van het deeltje als:

~v = µ~f (3.7)

met als dimensie [kg·s−1]. Voor deeltjes in een ideaal gas kan de mobiliteit µ eenduidiggekoppeld worden aan de diffusiecoefficient D. Einstein heeft hiervoor de volgende relatieafgeleid:

D = µkBT (3.8)

waarin kB de constante van Boltzman voorstelt (kB = 1.38×10−23 [J·K−1]) en T de absolutetemperatuur [K]. Hoewel deze relatie is afgeleid voor een ideaal gas, blijkt zij ook in veelandere gevallen op te gaan.

3.4.2 De wet van Ohm

Transport ten gevolge van een electrische-potentiaalgradient kan, in een isotroop medium,vaak worden beschreven door de wet van Ohm:

~Ie = −σ~∇V (3.9)

waarin ~Ie de electrische stroomdichtheid voorstelt [C·s−1·m−2] ofwel [A·m−2], V de electrischepotentiaal [V], ~∇V de potentiaalgradient [V·m−1] en σ de geleidingscoefficient [A·V−1·m−1].Het ladingstransport, beschreven door deze electrische stroomdichtheid ~Ie, komt overeen meteen flux van deeltjes ~ie, waaraan die lading gebonden is. We beschouwen nu een deeltjemet lading zq, waarbij z de valentie van het deeltje is en q de electrische eenheidslading(1.60×10−19 [C]). In een electrisch veld zal zo’n deeltje een kracht ~fe ondervinden ter grootte:

~fe = −zq~∇V (3.10)

Merk op dat de richting van de kracht bepaald wordt door het teken van de valentie z. Tengevolge van deze electrische kracht zal het deeltje een snelheid ~v krijgen, die volgens (3.7)gelijk is aan:

~v = −µzq~∇V (3.11)

Als nu de concentratie van de deeltjes gelijk is aan c, dan geldt voor de deeltjesflux ~ie:

~ie = −µzqc~∇V (3.12)

De bijbehorende electrische stroomdichtheid ~Ie vinden we door ons te realiseren dat 1 moldeeltjes een lading NAzq bevat:

~Ie = −µz2qcF ~∇V (3.13)

waarin F = NAq de constante van Faraday is. Merk op dat deze relatie dezelfde vorm heeftals (3.9). In analogie met (3.8) kunnen we dus het geleidingsvermogen σ schrijven als:

σ = µz2qc (3.14)



-

ce

ci

0 x d

id-

6

6

FIGUUR 3.2: Diffusie door de celmembraan.

3.5 Diffusie door de celmembraan

We beschouwen de situatie waarin een stof binnen de cel in een concentratie ci aanwezig is enerbuiten in een concentratie ce. Dan zal er door het membraan een diffusie-flux ~id ontstaan.We modelleren de membraan als een homogene laag met een dikte d en definieren loodrechtop die laag een coordinaat x (figuur 3.2).

In deze een-dimensionale situatie kan de tweede wet van Fick (3.6) geschreven worden als:

∂c(x, t)

∂t−D

∂2c(x, t)

∂x2 = 0 (3.15)

Dit is een instationaire diffusie-vergelijking die het concentratieprofiel c(x, t) beschrijft alsfunctie van de plaats en de tijd. De typische tijdschaal τD, waarop het diffusieproces zichafspeelt, kunnen we bepalen door de vergelijking dimensieloos te maken. We kiezen daartoedimensieloze grootheden c∗, t∗ en x∗ volgens:

c∗ = c/c0

t∗ = t/τD (3.16)

x∗ = x/d

waarbij c0 een karakteristieke concentratie is, en d de dikte van de membraan. Substitutie in(3.15) levert dan:

c0τD

∂c∗

∂t∗− Dc0

d2

∂2c∗

∂x∗2 = 0 (3.17)

Hieruit zien we dat de tijdconstante τD gelijk is aan:

τD =d2

D(3.18)

Met typische waarden d = 3 · 10−9 [m] en D = 10−10 [m2·s−1] zien we dat de tijdconstanteτD in de orde van 0.1 [µs] ligt.

Na een verandering van de intra- of extracellulaire concentratie zal zich uiteindelijk, opeen tijdschaal van enkele malen τD, een nieuw evenwicht instellen. In die stationaire toestand



E

R

ie + id = 0

0 x d-

ce

ci

-id6

6

Ve

Viie

6

6

FIGUUR 3.3: De wet van Nernst; evenwicht van concentratie- en potentiaalgedreven ionenstromen doorde celmembraan voor positieve ionen (links) en electrisch analogon (rechts).

zal de concentratie binnen de membraan lineair verlopen als functie van de plaats (ga dit na,uitgaande van (3.15)). Voor de diffusieflux geldt dan:

id = −D (ce − ci)

d(3.19)

In de praktijk is het lastig de parameters D en d afzonderlijk te meten. Daarom maakt menvaak gebruik van de membraanpermeabiliteit P , gedefinieerd als:

P =D

d(3.20)

3.6 De Nernstpotentiaal

We beschouwen nu weer de situatie waarin een stof S aan weerszijden van de membraan inverschillende concentratie aanwezig is. We veronderstellen nu echter dat de deeltjes geladenzijn. Deze situatie komt vaak voor bij de celmembraan, waarbij het concentratieverschil hetresultaat is van de werking van ionenpompen. De intracellulaire en extracellulaire concen-tratie noemen we weer ci en ce. We ervan uit dat er in de initiele situatie geen electrischpotentiaalverschil over de membraan aanwezig is. Dat betekent dat het concentratieverschilvan S gecompenseerd wordt door een concentratieverschil van een ander geladen deeltje S’.Verder veronderstellen we dat alleen deeltjes S de membraan kunnen passeren: de membraanis semipermeabel.

Ook nu ontstaat er een diffusie-flux id van de stof S door de membraan, die beschrevenwordt door de wet van Fick (3.5). Doordat hiermee geladen deeltjes getransporteerd worden,zal er een electrisch potentiaalverschil over de membraan ontstaan. Dit potentiaalverschilgeeft aanleiding tot tegengesteld gerichte ionenflux ie, die beschreven kan worden beschrevenmet de wet van Ohm (3.12). Voor de netto ionenflux geldt:

id + ie = −D∂c

∂x− µzqc

∂V

∂x(3.21)



Deze vergelijking staat bekend als de Nernst-Planck vergelijking. Uiteindelijk zal er even-wichtsituatie ontstaan, waarbij de netto stroom nul is (zie figuur 3.3):

id + ie = 0 (3.22)

ofwel:

∂V

∂x= − D

µzqc

∂c

∂x(3.23)

Als we deze vergelijking integreren over de membraan verkrijgen we de vergelijking van Nernst:

E = Vi − Ve

= − D

µqzlncice

(3.24)

waarin E de Nernstpotentiaal genoemd wordt. Gebruik makend van (3.8) vinden we:

E = −kTzq

lncice

= −RTzF

lncice

(3.25)

Merk op dat er bij dit potentiaalverschil geen netto ionenstroom over de membraan plaats-vindt, en er alleen maar passief transport in het geding is. Deze situatie blijft dus in standzonder dat daarvoor energie benodigd is.

Rechts in figuur 3.3 is het Nernst-evenwicht weergegeven in de vorm van een electrischanalogon. De spanningsbron representeert de Nernstpotentiaal, en de weerstand R bepaalthoeveel het transmembraanpotentiaalverschil verandert als de netto stroom ongelijk aan nulzou zijn.

3.7 De rustpotentiaal: de vergelijking van Goldman-Hodgkin-Katz

In de fysiologische situatie zijn drie ionen relevant, Na+, K+ en Cl−, die aan weerszijdenvan de membraan in verschillende concentraties aanwezig zijn, en die alle drie de membraan

TABEL 3.1: Typische waarden van intra- en extracellulaire ionenconcentraties ci en ce, relatieve per-meabiliteiten P/PK , Nernstpotentialen E en rustpotentialen Vr in de zenuwcel bij 37oC. De negatieverustpotentiaal betekent dat de intracellulaire vloeistof negatief geladen is t.o.v. de ecxtracellulaire vloeistof.

zenuwcel

ci ce P/PK E Vr

[mM/l] [mM/l] [-] [mV] [mV]

Na+ 10 142 0.04 +71K+ 140 5 1 −89 −73Cl− 4 103 0.45 −87



Vm Cm

ICm INa IK ICl

RNa RK RCl

ENa EK ECl

FIGUUR 3.4: Een electrisch analogon van de celmembraan; in de stationaire evenwichtssituatie geldtICm = 0 en dus INa + IK + ICl = 0.

kunnen passeren. In tabel 3.1 staan typische waarden van concentraties voor zenuwcellenvermeld.

Uit de tabel blijkt dat de Nernstpotentialen E van de ionen van elkaar verschillen. Erkan zich echter maar een potentiaalverschil over de membraan instellen. Dit potentiaalver-schil, ook wel de Goldmanpotentiaal of de rustpotentiaal Vr genoemd, zal afwijken van deNernstpotentiaal van de afzonderlijke ionen.

Voor de berekening van de resulterende rustpotentiaal maken we gebruik van een electrischanalogon van de membraan, geschetst in figuur 3.4. Dit analogon laat de drie ionenstromenIK , INA en ICl zien, met bijbehorende Nernstpotentialen en weerstanden. De condensator re-presenteert het vermogen van de membraan electrische lading op te slaan. Dit vermogen komtvoort uit de membraanopbouw, geschetst in figuur 3.1. De membraan kan beschouwd wordenals twee vlakke structuren, gescheiden door een electrische isolator, de vetzuurstaarten. Voorde capaciteit Cm van een parallelle-plaat-condensator geldt algemeen:

Cm =kε0d

(3.26)

waarin k de dielectrische constante is, ε0 de permittiviteit (10−9/36π) en d de plaatafstand.Substitutie van typische waarden voor de celmembraan, k = 3 en d = 3 nm, levert Cm ≈ 1[µF/cm2].

Algemeen geldt nu, op grond van behoud van lading, dat de som van deze vier stromengelijk aan nul is, ofwel:

INa + IK + ICl = −ICm = −CmdVm

dt(3.27)

In de stationaire evenwichtstoestand geldt dus:

INa + IK + ICl = 0 (3.28)

Deze conditie bepaalt de grootte rustmembraanpotentiaal Vr.Aangezien de rustmembraanpotentiaal Vr zal afwijken van de Nernstpotentiaal van elk

van de ionen, zal geen van de drie ionenstromen in (3.28) gelijk aan nul zijn. De grootte van



de netto ionenstroom wordt beschreven door de Nernst-Planck vergelijking (3.21). Om dezevergelijking op te lossen, hanteren we de veronderstelling van Goldman, dat de spanning Vlineair verloopt in de membraan, aangezien de membraan zeer dun is:

∂V

∂x=Vr

d(3.29)

Substitutie van deze relatie in (3.21) levert, na overgang van ionenflux i op electrische flux Idoor vermenigvuldiging met NAzq = Fz:

I = −DFz ∂c∂x

− µz2qcFVr

d

= −µRTqz ∂c∂x

− µz2qcFVr

d(3.30)

Integratie van deze vergelijking levert, gebruik makend van het feit dat in de evenwichtsituatiede stroom I constant is:

c(x) = Ae−FVrx/RTd − Id

µzqFV(3.31)

waarin de integratieconstante A en de stroomdichtheid I bepaald kunnen worden uit devolgende randvoorwaarden:

c(0) = ce

c(d) = ci (3.32)

Merk op dat nu, in tegenstelling tot de situatie bij ongeladen deeltjes, de concentratie niet-lineair verloopt als functie van de positie in de membraan. Omschrijven naar de stroomdicht-heid I levert:

I =PF 2V

RT

cee−FVr/RT − ci

1 − e−FVr/RT(3.33)

waarin gebruik gemaakt is van (3.20). Voor elk van de drie ionen, Na+, K+, en Cl−, geeftdeze vergelijking de electrische stroomdichtheid weer.

Na substitutie van (3.33) voor elk van de drie relevante ionen in deze vergelijking, volgtvoor de rustmembraanpotentiaal Vr:

Vr = −kTq

lnPKcK,e + PNacNa,e + PClcCl,i

PKcK,i + PNacNa,i + PClcCl,e(3.34)

Deze vergelijking staat bekend als de Goldman-Hodgkin-Katz vergelijking, waarin de grootheidP weer de permeabiliteit van de diverse ionen voorstelt. Deze permeabiliteit is gerelateerd aande membraanweerstand R uit figuur 3.4. In (3.34) fungeren de permeabiliteiten als een soortweegfactor: in het geval van de zenuwcel ligt de rustpotentiaal Vr dichtbij de Nernstpotentiaalvan K+ omdat de permeabiliteit van de membraan voor K+ relatief hoog is (zie tabel 3.1).

Al eerder constateerden we dat er in deze evenwichtstoestand netto ionenstromen aanwezigzijn: er stromen permanent Na+- en Cl−-ionen de cel in, en K+-ionen de cel uit. Deze stromenworden gecompenseerd door tegengestelde stromen die actief in stand gehouden worden doorionenpompen, zoals bijvoorbeeld de eerder besproken Na-K-pomp. Voor het handhaven vande rustpotentiaal is dus voortdurend energie nodig.



3.8 De actiepotentiaal: het Hodgkin-Huxley model

In het voorgaande zijn we ervan uitgegaan dat de membraaneigenschappen, en als gevolgdaarvan de transmembraanpotentiaal, onveranderlijk zijn. Bij sommige cellen (zenuwcellen,spiercellen) blijkt de transmembraanpotentiaal echter op een tijdschaal van enkele ms trans-sient te kunnen veranderen. Zo’n actiepotentiaal blijkt het gevolg te zijn van een transienteverandering van het geleidingsvermogen van de membraan voor Na+ en K+-ionen. We zullenin deze paragraaf het geleidingsvermogen en de actiepotentiaal behandelen volgens het modelvan Hodgkin en Huxley (1950).

3.8.1 Het membraan-geleidingsvermogen

Hodgkin en Huxley (1952) definieerden het geleidingsvermogen van de membraan voor eenstof S, genoteerd als gS als:

gS =IS

V −ES(3.35)

waarin IS de electrische stroom door de membraan is ten gevolge van een afwijking van detransmembraanpotentiaal V van de Nernstpotentiaal ES . Het geleidingsvermogen g wordtuitgedrukt in [S·m−2] of [Ω−1·m−2] . In relatie (3.35) beschrijft Is de netto stroom: in devorige paragraaf hebben we gezien dat er in de situatie V = ES weliswaar nog steeds een elec-trische gedreven stroom van deeltjes S door de membraan aanwezig is, maar dat deze stroomgecompenseerd wordt door een tegengesteld gerichte diffusie-gedreven stroom. Geschrevenvoor de relevante ionenstromen INa, IK en ICl levert (3.35):

INa = gNa(V −ENa) (3.36)

IK = gK(V −EK) (3.37)

ICl = gCl(V −ECl) (3.38)

Als we nu alle spanningen V schrijven t.o.v. de rustpotentiaal Vr:

v = V − Vr (3.39)

vNa = ENa − Vr (3.40)

vK = EK − Vr (3.41)

vCl = ECl − Vr (3.42)

kunnen we de stromen schrijven als:

INa = gNa(v − vNa) (3.43)

Het geleidingsvermogen van de membraan voor de diverse ionen werd door Hodgkin en Hux-ley bestudeerd in een voltage-clamp-experiment. Hierbij werd het potentiaalverschil over demembraan van buiten af op een constante waarde gehouden, werden de ionenstromen doorde membraan bepaald, en werd vervolgens via (3.35) het geleidingsvermogen bepaald. Uit deexperimenten bleek dat het geleidingsvermogen gCl voor de Cl−-ionen constant is:

gCl = gCl (3.44)



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60vstim

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25gnagk

0 10t [ms]0

25

g

[mS/cm2]

0

100

v

[mV]

gNa gK

v

FIGUUR 3.5: Het resultaat van een simulatie van een ’voltage-clamp’-experiment; variatie van de gelei-dingsvermogens gNa en gK als functie van de tijd na het aanbrengen van een stapvormige verandering inde membraanpotentiaal v.

Voor Na+- en K+-ionen bleek het geleidingsvermogen echter af te hangen van de membraan-spanning en als functie van de tijd te veranderen. Een typisch resultaat van een voltage-clamp-experiment is gegeven in figuur 3.5.

Hodgkin en Huxley presenteerden fenomenologische vergelijkingen, waarmee het reultaatvan de experimenten beschreven kon worden. Voor de K+-ionen modelleerden zij het gelei-dingsvermogen als:

gK = gKn4 (3.45)

waarin gK een constante is en de dimensieloze parameter n kan varieren tussen 0 en 1. Dewaarde van n wordt beschreven door een eerste-orde proces:

dn

dt= αn(1 − n) − βnn (3.46)

De ’rate’ parameters αn en βn hangen af van de membraanpotentiaal v volgens:

αn =0.01(10 − v)

exp((10 − v)/10) − 1(3.47)

βn = 0.125 exp(−v/80) (3.48)

Hierin moet v uitgedrukt worden in [mV].Deze puur fenomenologische beschrijving kan fysiologisch geınterpreteerd worden via een

poortmechanisme. Hierbij wordt verondersteld dat transport van een K+-ion door de mem-braan geschiedt via een zogenaamde n-poort, die pas geopend is als er zich vier molekulen opde juiste positie in de poort bevinden. Als we de kans dat een molekuul zich op de juiste positiebevindt n noemen, dan geeft (3.45) inderdaad het geleidingsvermogen van de membraan.

Het transport van de Na+-ionen geschiedt via een iets complexer poortmechanisme. DezeNa+-poort is geopend als er zich drie molekulen op de juiste positie in de poort bevinden(met kans m per molekuul), terwijl een vierde molekuul juist afwezig moet zijn (met kans hop afwezigheid). Het Na+-geleidingsvermogen kunnen we dus schrijven als:

gNa = gNam3h (3.49)



Vm Cm

Is

ICm INa IK ICl

gNa gK gCl

ENa EK ECl

FIGUUR 3.6: Een uitgebreid electrisch analogon van de celmembraan.

De waarden van m en h worden weer beschreven door een eerste-orde proces:

dm

dt= αm(1 −m) − βmm (3.50)

dh

dt= αh(1 − h) − βhh (3.51)

De parameters α en β hangen weer af van de membraanpotentiaal v volgens:

αm =0.1(25 − v)

exp((25 − v)/10) − 1(3.52)

βm = 4 exp(−v/18) (3.53)

αh = 0.07 exp(−v/20) (3.54)

βh =1

exp((30 − v)/10) + 1(3.55)

Ook hierin moet v uitgedrukt worden in [mV].

3.8.2 De actiepotentiaal

Voor de beschrijving van de actiepotentiaal breiden we het electrisch analogon uit figuur 3.4uit tot dat in figuur 3.6. In dit analogon is een van buiten opgelegde membraanstroon Is

toegevoegd. Bovendien zijn is overgegaan van weerstanden r naar geleidingsvermogens g.Toepassing van de stroomwet van Kirchhoff op de situatie in figuur 3.6 levert:

Is = Cmdv

dt+ IK + INA + ICl (3.56)

In de rustsituatie is stimulus Is gelijk aan nul, en de membraanspanning v constant en gelijkaan nul. Vergelijking (3.56) reduceert dan tot vergelijking (3.27). De parameters m, n en hhebben dan de volgende constante waarden:

m0 =αm

αm + βm(3.57)



0 5t [ms]

0

40

g

[mS/cm2]

0

120

v

[mV]

gNa

gK

v

FIGUUR 3.7: Verloop van de membraanpotentiaal v en de geleidbaarheden gNA en gK tijdens een actie-potentiaal.

n0 =αn

αn + βn(3.58)

h0 =αh

αh + βh(3.59)

waarbij de waarden van α en β berekend zijn voor v = 0.Als we nu een stimulus Is 6= 0 toedienen, zal de membraanpotentiaal veranderen door

opladen van de condensator. Volgens (3.36) t/m (3.38) zorgt de veranderde membraanpo-tentiaal vervolgens voor een veranderde ionenstroom (, zowel via de term v − vion als via deverandering van de geleidbaarheden.

Het gehele proces wordt beschreven door vier gekoppelde differentiaalvergelijkingen, na-melijk de vergelijkingen voor v, m, n en h ( 3.56, 3.50, 3.46, 3.51). In figuur 3.7 is eentypisch verloop van de membraanspanning en de geleidbaarheden gegeven bij een actiepoten-tiaal, zoals berekend volgens dit model. Fysiologische fenomenen zoals de ’alles-of-niets-wet’en de absolute en relatieve refractaire periode worden door de set differentiaalvergelijkingenbeschreven.

3.9 Reductie van het Hodgkin-Huxley model

Het Hodgkin-Huxley model bestaat uit vier gekoppelde differentiaalvergelijkingen, die hier-onder nog eens zijn samengevat:

Cmdv

dt= −gKn

4(v − vK) − gNam3h(v − vNa) − gCl(v − vCl) + Is

dn

dt= αn(1 − n) − βnn (3.60)

dm

dt= αm(1 −m) − βmm

dh

dt= αh(1 − h) − βhh

De coefficienten α(v) en β(v) zijn hiervoor beschreven, evenals de beginvoorwaarden voor v,m, n en h. De extern toegediende stroom Is vormt de drijvende kracht. In figuur 3.7 is de



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5t [ms]

0

1

v/vNa

m

h

n

FIGUUR 3.8: Verloop van de membraanpotentiaal v en de ’poortparameters’ n, m, en h tijdens eenactiepotentiaal volgens het volledige Hodgkin-Huxley-model.

oplossing van het stelsel getoond in fysiologisch relevante grootheden. De primaire oplossingbestaat natuurlijk uit het verloop van v, m, n en h in de tijd, zoals weergegeven in figuur 3.8.

De oplossing, geschetst in figuur 3.8, kan voorgesteld worden als een baan in de 4-dimensionale faseruimte. Omdat de analyse van het gedrag van de oplossing in deze 4-dimensionale faseruimte lastig is, zullen nu we Hodgkin-Huxley model reduceren tot een stel-sel van 2 gekoppelde differentiaalvergelijkingen, waarvan de oplossing dus een baan beschrijftin het platte vlak.

Ter onderbouwing van deze reductie beschouwen we weer figuur 3.8. Hierin kunnen we’snelle’ variabelen v en m onderscheiden, en ’langzame’ variabelen n en h. Voor de eerstevereenvoudiging beschouwen we de ’snelle’ variabelen v en m. We veronderstellen nu dattijdsconstante van variatie van m veel kleiner is dan die van variatie van v. Dat betekent mdus na elke verandering van v onmiddellijk zijn evenwichtswaarde m∞ aanneemt, beschrevendoor:

m(t) = m∞(v(t)) =αm(v(t))

αm(v(t)) + βm(v(t))(3.61)

Deze algebraısche vergelijking vervangt de differentiaalvergelijking voor m. Voor de tweedevereenvoudiging beschouwen we het verloop van de ’langzame’ variabelen n en h. Deze varia-belen blijken vrijwel in ’tegenfase’ te veranderen: de som n+h is gedurende de actiepotentiaalvrijwel constant. Op basis hiervan kunnen we de variabele h elimineren volgens:

h = 0.88 − n (3.62)

Deze vergelijking kunnen we substitueren in de differentiaalvergelijking voor v uit (3.61). Endaarmee vervalt de differentiaalvergelijking voor h. Samenvattend houden we over:

Cmdv

dt= −gKn

4(v − vK) − gNam3∞(0.88 − n)(v − vNa) − gCl(v − vCl) + Is

dn

dt= αn(1 − n) − βnn (3.63)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5t [ms]

0

1

v/vNa

n

m

h

FIGUUR 3.9: Verloop van de membraanpotentiaal v en de poortparameter n, als functie van de tijd ttijdens de actiepotentiaal in het gereduceerde Hodgkin-Huxley-model; parameters m en h zijn hier afgeleidegrootheden.

In figuur 3.10 is de oplossing van dit gereduceerde stelsel weergegeven voor de zelfde stimulusIs als in figuur 3.8. Hoewel niet hier getoond, blijkt ook dit model nog karakteristieke eigen-schappen van de actiepotentiaal, zoals het ’alles-of-niets’ karakter van de actiepotentiaal en derefractaire periode, te beschrijven. In figuur 3.10 is de oplossing van dit gereduceerde stelselweergegeven in fasevlak: voor elk tijdsmoment is n(t) uitgezet tegen v(t). In deze figuur zijnook de isoclinen weergegeven, de lijnen waarvoor dv/dt = 0 of dn/dt = 0. Met behulp vandeze isoclinen kan het gedrag van het systeem beter begrepen worden. Het snijpunt van deisoclinen representeert de evenwichtstoestand van het systeem: in dit punt (v, n) zal noch v,noch n in de tijd veranderen. De evenwichtstoestand is ook stabiel: als we v iets verhogenbij constante n verplaatst de toestand naar het gebied met vt < 0, zodat het systeem zalterugkeren naar de evenwichtstoestand: we hebben dan een subliminale prikkel toegediend.Pas als de verhoging van v zodanig is dat de isocline vt = 0 gepasseerd wordt, zal v vanzelfin de tijd toenemen: de prikkel heeft de prikkeldrempel overschreden, en er ontstaat eenactiepotentiaal.

3.10 Het FitzHugh-Nagumo model

Het gereduceerde Hodgkin-Huxley model wordt gekenmerkt door een ’snelle’ en een ’langzame’variabele. Het gedrag van deze klasse van systemen kan in het algemeen beschreven wordenmet het zogenaamde FitzHugh-Nagumo model, gegeven door:

εdv

dt= f(v) − w − w0 (3.64)

dw

dt= v − γw − v0 (3.65)

Hierin is v de snelle variabele, ook wel excitatie variabele genoemd, en w de langzame variabele,ook wel recovery variabele genoemd. De parameter ε is klein, van de orde 0.01. De functief(v) wordt vaak gekozen als:

f(v) = Av(v − α)(1 − v) 0 ≤ α ≤ 1 (3.66)



−20 0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−20 +120v [mV]

0

n

1

vt > 0;nt > 0

vt < 0;nt > 0vt < 0;nt < 0

-

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

FIGUUR 3.10: Links: de oplossing uit figuur 3.9 weergegeven in het fasevlak: tussen twee opeenvolgendepunten ligt steeds een tijdsinterval 0.05 ms; de baan wordt doorlopen in de richting van de pijl; ook getoondzijn isoclinen nt = dn/dt = 0 (- - -) en vt = dv/dt = 0 (——). Rechts: het gebied rond het snijpunt vande isoclinen.

Op de analyse van de FitzHugh-Nagumo vergelijkingen zal in het college nader worden inge-gaan.


Hoofdstuk 4

Transportvergelijkingen

4.1 1D transportvergelijkingen

In het menselijk lichaam vinden vele transportprocessen plaats, zoals membraantransport,transport van voedingsstoffen via bloed in de vaten, transport van lucht via de longen, vochtin gewrichten of hersenen, etc. Deze processen kunnen we in het algemeen beschrijven alsdriedimensionale tijdsafhankelijke processen, waarin ook de beweegbaarheid van de wandenwordt meegenomen.

Dit kan numeriek op 2 manieren:

• 3D Navier-Stokes vergelijkingen met een bewegend coordinaatstelsel

• 3D transport (convectie-diffusie)

In beide gevallen leidt dit tot complexe berekeningen waarin de invloed van de verschil-lende parameters van het model niet direct zichtbaar zijn in het resultaat. Als we deze verge-lijkingen kunnen vereenvoudigen van 3D naar 1D, krijgen we een differentiaalvergelijking, diewe in veel gevallen analytisch kunnen oplossen en waarmee we de invloed van verschillendeparameters in het model wel kunnen analyseren. We onderscheiden 2 situaties:

• Situatie A

– De ene lengteschaal is vele malen kleiner dan de twee andere lengteschalen

– Er vindt transport plaats in de richting van de kleine lengteschaal

Bijvoorbeeld: transport door een membraan

PSfrag replacements d

L

FIGUUR 4.1: Lengteschalen L en d bij transport door een membraan; transport in richting kleinste lengte-schaal.

63

Hoofdstuk 4. Transportvergelijkingen 64

• Situatie B

– De ene lengteschaal is vele malen groter dan de twee andere lengteschalen

– Er vindt transport plaats in de richting van de grote lengteschaal

Bijvoorbeeld: transport door bloedvaten

PSfrag replacements

d

L

FIGUUR 4.2: Lengteschalen L en d bij transport door een blooedvat; transport in richting grootste leng-teschaal.

4.2 Situatie A

We gaan eerst kijken naar situatie A. Hierbij wordt de x-richting gekozen in de richting vande kleine lengteschaal. Deze situatie kunnen we beschrijven met de 3D convectie-diffusiereactievergelijking:

∂c

∂t+ ~v · ∇c−D∇2c = λc (4.1)

Hierin is de tweede term de convectieterm, de derde de diffusieterm en λc de bronterm.De parameter c kan een concentratie of temperatuur voorstellen. De verandering van c inde tijd op een bepaalde plaats is gelijk aan het verval van de bron, de verspreiding van c alsgevolg van diffusie en van de convectie, die de beweging van links naar rechts beschrijft.

Om de termen dezelfde ordegrootte (nl. 1) te geven, zodat we ze onderling kunnen verge-lijken, gaan we ze schalen. Hiervoor kiezen we de volgende schalingsparameters:

c∗ = c/c0, v∗x = vx/U, ~v∗a = ~va/V, x∗ = x/d,

y∗ = y/L, z∗ = z/L, t∗ = t/τ.

Hierbij is ~va = (vy, vz) de snelheidsvector loodrecht op de x-richting en zijn de parametersc0, U, V, d, L en τ respectievelijk de karakteristieke concentratie, snelheid in x-richting, snel-heid in y- en z-richting, lengteschaal in x-richting, lengteschaal in y- en z-richting en dekarakteristieke tijdsschaal.

Verder gaan we uit van incompressibiliteit:

~∇ · ~v :=∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z= 0 (4.2)

Als we hierop de schaling toepassen, dan volgt dat U/d van dezelfde ordegrootte is als V/Len dus

O(Ud

)= O

(VL

). (4.3)



Schaling toegepast op de convectie-diffusie reactievergelijking geeft:

c0τ

∂c∗

∂τ∗+Uc0dv∗x∂c∗

∂x∗+V c0L~v∗a · ∇∗

ac∗ − Dc0

d2

∂2c∗

∂x∗2 − Dc0L2 ∇∗2

a c∗ = λc0c

∗. (4.4)

Aangezien d << L is de factor Dc0L2 ∇∗2

a c∗ te verwaarlozen (door de toegepaste schaling

zijn alle termen nl. van dezelfde ordegrootte, afgezien van de schalingsparameters). Dit wasook te verwachten: de diffusie in de x-richting is vele malen groter dan in de y- of z-richtingen.De convectie is juist sterker in de y- en z-richtingen dan in de x-richting.

Als we nu delen door c0 en sterretjes weglaten, krijgen we:

1

τ

∂c

∂t+U

dvx∂c

∂x+V

L~va · ∇ac−

D

d2

∂2c

∂x2 = λc (4.5)

De convectie-diffusie vergelijking wordt 1D als V/L ( ' U/d vanwege de schaling (4.3) vande incompressibiliteitsvergelijking) vele malen kleiner is dan het minimum van de andere 3termen (1/τ,D/d2, λc):

∂c

∂t−D

∂2c

∂x2 = λc. (4.6)

PSfrag replacements

d

L

x

y

z

FIGUUR 4.3: 1D transport door een membraan.

4.3 Situatie B

Situatie B kan voor transportprocessen op twee manieren verkregen worden. Hierbij wordtde z-richting gekozen in de richting van de grote lengteschaal:

• B1: de convectie-diffusie-reactievergelijking

∂c

∂t+ vz

∂c

∂z−D

∂2c

∂z2 + ~va · ∇ac−D∇2ac = λc. (4.7)



PSfrag replacements

d =√A/π

L

A

x

y

z

FIGUUR 4.4: 1D transport door een vat.

• B2: de Navier-Stokes vergelijking

ρ∂~v

∂t+ ρ(~v · ∇)~v + ∇p = η∇2~v (4.8)

Na schalen houden we de volgende vergelijkingen in respectievelijk x, y en z-richtingover:

∂p

∂x= 0

∂p

∂y= 0

ρ∂vz

∂t+ ρvz

∂vz

∂z+ ρ~va∇avz +

∂p

∂z= η∇2

avz + η∂2vz

∂z2

Om van deze vergelijkingen behorende bij situatie B de 3D termen kwijt te raken en zodus tot een 1D vergelijking te komen, moet onder andere van het Reynolds transporttheorema (RTT) gebruik worden gemaakt. Dit theorema wordt in de volgende paragraafbesproken.

4.4 1D versie van het Reynolds Transport Theorema (RTT)

We gaan uit van een stuk bloedvat dat aan de uiteinden (z1 en z2) vastzit, met anderewoorden z1 en z2 zijn vaste punten, maar waarvan de wand vrij kan bewegen met snelheid ~uin de richting van de buitennormaal van de wand. Dat laatste is het gevolg van de drukgolfdie er doorheen gaat.

De totale oppervlakte van het bloedvat is gedefinieerd als:

St(t) = S(t) +A1(t) +A2(t), (4.9)

met A1 en A2 de doorsnede op de vaste uiteinden z1 en z2. Als we een willekeurige functie ξnemen (ξ is bijvoorbeeld de concentratie), dan definieren we het gemiddelde van deze functieover de doorsnede:

ξ =1

A

∫

A

ξ dA (4.10)



C

PSfrag replacements

A1(t)A2(t)

z1,vastz2,vast

A(z, t)

x

y

z

~n~m S(t)

l(t)

FIGUUR 4.5: Definitie van A,S, l,vn,vm.

Het 3D Reynolds Transport Theorema luidt (voor het bewijs zie bijlage 4.6):

d

dt

∫

V (t)

ξ dV =

∫

V (t)

∂ξ

∂tdV +

∫

St(t)

ξ~u · ~n dS, (4.11)

voor een willikeurige scalaire functie ξ. Om van deze 3D-vergelijking naar een 1D vergelijkingte komen gaan we eerst de verschillende termen apart bekijken en eventueel herschrijven.

• De eerste term: deze kan met behulp van definitie (4.10) geschreven worden als:

d

dt

∫

V (t)

ξdV =d

dt

z2∫

z1

[∫

A(t)ξdA

]dz =

d

dt

z2∫

z1

Aξdz (4.12)

Als de grenzen van de integraal niet afhangen van de tijd, mag de operator d/dt onderde integraal geschreven worden als de partiele operator ∂/∂t:

d

dt

z2∫

z1

Aξ dz =

z2∫

z1

∂

∂t(Aξ) dz. (4.13)

• De tweede term:∫

V (t)

∂ξ

∂tdV (4.14)

Deze blijft nog zo staan.

• De derde term: de relatieve snelheid van het bloed ten opzichte van de rand op dezelfdeaxiale positie is gedefinieerd als

~w = ~v − ~u (4.15)



waarin ~u de absolute snelheid van de wand is en ~v de snelheid van het bloed, waardoorwe dus kunnen schrijven

∫

St

ξ~u · ~ndS = −∫

St

ξ ~w · ~ndS +

∫

St

ξ~v · ~ndS. (4.16)

Door gebruik te maken van vergelijking (4.9) en de stelling van Gauss,

∫

A

f · ~ndA =

∫

V

∇fdV, (4.17)

toe te passen op de tweede term van het rechterlid, kunnen we vergelijking (4.16) her-schrijven als:

∫

St

ξ~u · ~ndS = −∫

S

ξ ~w · ~ndS −∫

A1

ξ ~w · ~ndA−∫

A2

ξ ~w · ~ndA+

∫

V

(∇ · ξ~v) dV. (4.18)

Bovendien geldt voor de laatste term van vergelijking (4.16),

∇ · (ξ~v) = ξ∇ · ~v + ~v · ∇ξ. (4.19)

Aangezien er sprake is van incompressibiliteit (∇·~v = 0) en aangezien we veronderstellendat op de doorsneden A1 en A2 geldt dat ~u = 0 (dan is ~w = ~v), kan vergelijking (4.16)geschreven worden als

∫

St

ξ~u · ~ndS = −∫

S

ξ ~w · ~ndS −∫

A1

ξ~v · ~ndA−∫

A2

ξ~v · ~ndA+

∫

V

~v · ∇ξdV (4.20)

Dit kan weer herschreven worden met behulp van definitie (4.10) tot

∫

St

ξ~u · ~ndS = −∫

S

ξ ~w · ~ndS + (Aξvz)z=z1− (Aξvz)z=z2

+

∫

V

~v · ∇ξdV. (4.21)

Let hierbij op de tekens van de buitennormaal ~n op het oppervlak A1 en A2, gelegenop z1 respectievelijk z2. Nu schrijven we alles onder integralen:

∫

St

ξ~u · ~ndS = −∫

S

ξ ~w · ~ndS −z2∫

z1

∂

∂z(Aξvz)dz +

∫

V

~v · ∇ξdV (4.22)

Als de herschreven termen worden ingevuld in het 3D-Reynolds Transport Theorema (verge-lijking (4.11)) en alle termen zoveel mogelijk onder een integraal worden gebracht, wordt devolgende vergelijking verkregen (ga dit zelf na):

z2∫

z1

[ ∂∂t

(Aξ)︸︷︷︸

1

+∂

∂z(Aξvz)

︸︷︷︸3b

]dz =

∫

V (t)

[ ∂ξ∂t︸︷︷︸2

+~v · ∇ξ︸︷︷︸3c

]dV −

∫

S

ξ ~w · ~n︸︷︷︸3a

dS (4.23)



Onder de accolades staat van welke term het ingevulde gedeelte afkomstig is.

Om nu van alle termen een 1D vorm te krijgen wordt alles onder de integraalz2∫z1

geschreven.

Om de term 3a te herschrijven wordt het oppervlak S geparametriseerd door voor elke z1 <z < z2 de doorsnede van S met het vlak van constante z te beschrijven als een geslotenkromme ` = `(z). Bovendien kunnen de termen 2 en 3c samen geschreven worden als ξ. Hetvolgende resultaat wordt verkregen:

z2∫

z1

[ ∂∂t

(Aξ) +∂

∂z(Aξvz)

]dz =

z2∫

z1

[∫

A

ξdA

]dz −

z2∫

z1

[∮

`

ξ ~w · ~nd`]dz (4.24)

Hier is ` de kromme die rand vormt van de doorsnede A. Aangezien z1 en z2 willekeurig zijnkrijgen we het volgende:

∂

∂t(Aξ) +

∂

∂z(Aξvz) =

∫

A

ξdA−∮

`

ξ ~w · ~nd` (4.25)

Dit is de 1D versie van het Reynolds Transport Theorema. In de volgende paragraaf zullen eenaantal toepassingen het nut van deze 1D versie van het RTT duidelijk maken Deze toepassin-gen hebben o.a. betrekking op situatie B uit de vorige paragraaf: Van een 3D convectie-diffusievergelijking en 3D Navier-Stokes vergelijking naar een 1D convectie-diffusie vergelijking en1D Navier-Stokes vergelijking.

4.5 Toepassingen van het RTT

De 1D versie van het RTT wordt gebruikt om van een 3D versie van een vergelijking naar een1D versie van die vergelijking te gaan. In deze paragraaf zal het RTT worden toegepast ineen aantal voorbeelden van vergelijkingen die in de (cardiovasculaire) stromingsleer veelvuldiggebruikt worden.

Voorbeeld 1: Massabalans voor bewegend gebied. Neem ξ = 1 in het 1D RTT:

∂A

∂t+

∂

∂z(Avz) = 0 −

∮~w · ~nd` (4.26)

Hierin is Avz per definitie de flow, q. Bovendien kan de rechterterm∮~w · ~nd` gezien worden

als het volume dat weglekt per lengte-eenheid, ψ. Zo wordt de 1D massabalans verkregen:

∂A

∂t+∂q

∂z= −ψ. (4.27)

De 1D massabalans had ook als volgt kunnen worden afgeleid:

[q(z + ∆z) − q(z)]∆t+ ψ∆t∆z = −[A(t+ ∆t) −A(t)]∆z (4.28)

De volume-afname als gevolg van de flowverandering in z-richting en als gevolg van het weglek-ken door de wand is gelijk aan de volumetoename die plaatsvindt als gevolg van de gemiddelde



PSfrag replacements

z

q(z, t)

z + dz

Ψ

FIGUUR 4.6: 1D transport door een vat.

oppervlaktevergroting in de tijd. Als dit verder wordt uitgewerkt krijgen we ook langs dezeweg de 1D massabalans,

q(z + ∆z) − q(z)

∆z+ ψ = −A(t+ ∆t) −A(t)

∆t. (4.29)

Neem de limieten lim∆t→0, lim∆z→0:

∂q

∂z+ ψ = −∂A

∂t(4.30)

Voorbeeld 2: De convectie-diffusievergelijking. Deze was gedefinieerd als volgt:

∂c

∂t+ vz

∂c

∂z︸︷︷︸c

+ ~va · ∇ac = D∂2c

∂z2 +D∇2ac+ λc. (4.31)

Integratie over A levert het volgende op:∫

A

cdA+

∫

A

~va · ∇acdA =

∫

A

D∂2c

∂z2 dA+

∫

A

D∇a · ∇acdA+

∫

A

λcdA. (4.32)

Als we nu de stelling van Green (voor bewijs zie bijlage 4.6) toepassen op de diffusieintegraalin x- en y-richting om van een oppervlakte-integraal een randintegraal te maken en gebruikmaken van vergelijking (4.10) komen we tot het volgende:

∫

A

cdA+

∫

A

~va · ∇acdA =

∮

`

D∇ac · ~nd`+DA∂2c

∂z2 +Aλc. (4.33)

Op de eerste term kunnen we nu het 1D Reynolds Transport Theorema toepassen met ξ = c(4.25):

∂

∂t(Ac)+

∂

∂z(Acvz)+

∮c~w ·~nd`+

∫

A

~va ·∇acdA =

∮D∇ac ·~nd`+DA

∂2c

∂z2 +Aλc. (4.34)

We willen nu graag naar een vergelijking toe werken waar alleen maar de twee parametersin voorkomen, waarin we geınteresseerd zijn, namelijk c en vz. Om hiertoe te komen, is hetnodig om enkele vereenvoudigingen aan te brengen:



• De stroming is uniaxiaal (alleen in z-richting) → ~va = ~0;

• De functies c en vz hebben een speciale vorm (‘profielfuncties’):

vz(~x, t) = φv(x, y)vz(z, t) en c(~x, t) = φc(x, y)c(z, t), (4.35)

waarbij

∫

A

φc(x, y)dA =

∫

A

φv(x, y)dA = 1. (4.36)

Met behulp van deze twee aannamen kunnen c en vz worden losgekoppeld in de tweede termvan vergelijking (4.34):

cvz =1

A

∫

A

cvzdA = c vz1

A

∫

A

φcφvdA = γ c vz. (4.37)

• Door te differentieren onder het integraalteken volgt

∂2c

∂z2 =∂2c

∂z2 (4.38)

• Verder kunnen we vereenvoudigen door een nieuwe concentratie te definieren,

Ac = C. (4.39)

Merk op dat C een lijnconcentratie is, met dimensie mol ·m−1, in tegenstelling tot c dieeen volumeconcentratie is (mol · m−3).

Deze vier aannames toegepast op vergelijking (4.34) levert op:

∂C

∂t+

∂

∂z(γCvz) +

∮

`c~w · ~nd` =

∮

`D∇ac · ~nd`+D

∂2C

∂z2 + λC (4.40)

De termen onder de randintegralen kunnen samen gezien worden als de warmte- of stofover-dracht aan de wand:

∮

`(c~w · ~n−D∇ac · ~n) d` (4.41)

Als we aannemen dat er geen overdracht is, dan volgt

∂C

∂t+

∂

∂z(γCvz) −D

∂2c

∂z2 = λc (4.42)

Dit is de 1D-versie van de convectie diffusie vergelijking.

Voorbeeld 3: De Navier-Stokes vergelijkingen. In de z-richting zijn deze vergelijkingen

ρ∂vz

∂t+ ρvz

∂vz

∂z+ ρ(~va · ∇a)vz +

∂p

∂z= η∇2

avz + η∂2vz

∂z2 (4.43)



Integreren over A levert

ρ

∫

A

vzdA+ ρ

∫

A

(~va · ∇a)vzdA+A∂p

∂z=

∫

A

η∇2avzdA+

∫

A

η∂2vz

∂z2 dA, (4.44)

waarbij we aannemen dat ∂p/∂z constant is over A. Op de eerste term kunnen we weer het1D RTT toepassen met ξ = vz (zie vergelijking (4.25)) en de vierde term kunnen we weeromschrijven naar een randintegraal met behulp van de stelling van Green:

∂

∂t(Avz) +

∂

∂z(Av2

z) +

∫

A

~va · ∇avzdA+A

ρ

∂p

∂z=

∮

`(η

ρ

∂vz

∂m+ vz ~w · ~n)d`+ η

A

ρ

∂2vz

∂z2 (4.45)

De termen komen van het RTT. Ook nu kunnen we weer een aantal vereenvoudigingen ofaannames maken:

• De stroming is uniaxiaal (alleen in z-richting) =⇒ ~va = ~0;

• Voor vz kunnen we schrijven:

vz(~x, t) = φv(x, y)vz(z, t). (4.46)

Met behulp hiervan kunnen we de term v2z herschrijven tot:

v2z =

1

A

∫

A

v2zdA = vz

2 1

A

∫

A

φ2vdA = χvz

2. (4.47)

• Door weer onder het integraalteken te differentieren hebben we

∂2vz

∂z2 =∂2vz

∂z2 . (4.48)

• Verder kunnen we vereenvoudigen door te definieren

Avz = q. (4.49)

• Ook nemen we aan dat de wand niet permeabel is, zodat ~w = ~0 en daarom

~u = ~v. (4.50)

Als we deze vereenvoudigingen en aannames toepassen krijgen we het volgende:

∂q

∂t+

∂

∂z(χ

Aq2) +

A

ρ

∂p

∂z= vz

∮η∂φv

∂md`+

η

ρA∂2vz

∂z2 , (4.51)

of iets netter opgeschreven,

∂q

∂t+

∂

∂z(αq2) +

A

ρ

∂p

∂z= Rq +

η

ρ

∂2q

∂z2 . (4.52)

Dit is de 1D-impulsvergelijking.



Voorbeeld 4: de Burgersvergelijking. Deze vergelijking is afgeleid van de 1D-impulsverge-lijking:

∂q

∂t+

∂

∂z(αq2) = ν

∂2q

∂z2 . (4.53)

Voorbeeld 5: de Golfvergelijking. Deze vergelijking is afgeleid van de 1D-massabalans ende 1D-impulsbalans. We maken gebruik van de volgende vergelijking en substitueren dezevervolgens in de massabalans:

∂A

∂t=∂A

∂p

∂p

∂t= C

∂p

∂t. (4.54)

Hierin is C de compliantie (van de vaatwand) en als dit wordt ingevuld (met ψ = 0) krijgenwe:

C∂p

∂t+∂q

∂z= 0. (4.55)

De 1D-impulsvergelijking vereenvoudigen we door α = 0 en R = 0 te kiezen tot:

∂q

∂t+A

ρ

∂p

∂z= 0. (4.56)

Als we nu beide vergelijkingen met ∂/∂t vermenigvuldigen en de impulsvergelijking van demassabalans aftrekken, houden we over:

∂2q

∂t2− c20

∂2p

∂z2 = 0. met c0 =

√A

pC. (4.57)

Vergelijking (4.57) staat bekend als de golfvergelijking, die bijvoorbeeld beschrijft hoe eendrukgolf zich door een buis met elastische wand voortplant.

4.6 Bijlage: Het 3D Reynolds Transporttheorema

De Reynolds Transportstelling gaat over de boekhouding van grootheden die getransporteerdworden. Laat V (t) een (virtueel) volume zijn, dat zich in de tijd verplaatst. S(t) is hetoppervlak van dit volume. Het RTT luidt dan

d

dt

∫

V (t)

ξdV =

∫

V (t)

∂ξ

∂t(x, t) dV +

∫

S(t)

ξ(x, t)~uS · ~ndS (4.58)

voor elke functie ξ(~x, t). (Denk aan temperatuur: de hoeveelheid massa binnen een volume Vkan alleen veranderen doordat (a) er binnen het volume warmte wordt gecreeerd of onttrok-ken (de eerste term in het rechterlid) of (b) er warmte over de rand van het volume wordtgetransporteerd (de tweede term)).

Bewijs:

d

dt

∫

V (t)

ξdV = lim∆t→0

1

∆t

[ ∫

V (t+∆t)

ξ(x, t+ ∆t)dV −∫

V (t)

ξ(x, t)dV

]. (4.59)



Omdat de grens S(t) beweegt met snelheid ~uS is er een flux van ξ proportioneel aan ~uS · ~n,waardoor:

∫

V (t+∆t)

ξ(x, t+ ∆t)dV '∫

V (t)

ξ(x, t+ ∆t)dV + ∆t

∫

S(t)

ξ(x, t+ ∆t)~uS · ~ndS (4.60)

De snelheid waarmee ξ verandert kan dan geschreven worden als

d

dt

∫

V (t)

ξdV = lim∆t→0

1

∆t

[ ∫

V (t)

ξ(x, t+ ∆t)dV

+ ∆t

∫

S(t)

ξ(x, t+ ∆t)~uS · ~ndS −∫

V (t)

ξ(x, t)dV

]

=

∫

V (t)

lim∆t→0

1

∆t

[ξ(x, t+ ∆t) − ξ(x, t)dV

]dV +

∫

S(t)

lim∆t→0

ξ(x, t+ ∆t)~uS · ~ndS

=

∫

V (t)

∂ξ(x, t)

∂tdV +

∫

S(t)

ξ(x, t)~uS · ~ndS.


Bibliografie

[1] M. Abramowitz and I. Stegun. Handbook of mathematic functions with formulas, graphs,and mathematical tables. Dover, 1972.

[2] C. J. van Duijn and M. J. de Neef. Analyse van Differentiaalvergelijkingen. Delft UniversityPress, 1994.

[3] A. L. Hodgkin and A. F. Huxley. A quantitative description of membrane current and itsapplication to conduction and excitation in nerves. J. Physiol., 117:500–544, 1952.

[4] J. P. Keener and J. R. Sneyd. Mathematical Physiology. Springer Verlag, 1998.

[5] R. Plonsey. Bioelectric Phenomena. McGaw-Hill, 1969.

[6] R. Plonsey and R.C Barr. Bioelectricity: A Quantitative Approach. Plenum Press, 1988.

75

Mathematische modellen in de fysiologie (2DX00)mpeletie/Onderwijs/LN_2DX00.pdf · Hoofdstuk 3 wordt...

Documents

Transcript of Mathematische modellen in de fysiologie (2DX00)mpeletie/Onderwijs/LN_2DX00.pdf · Hoofdstuk 3 wordt...