Mathe 3 Handouts

8/8/2019 Mathe 3 Handouts

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ET/IT & TI Mathe 3 / Analysis 3

Blankenbach / mathe_3_v6.doc / 19.11.2006 1

Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Hochschule Pforzheim

Tiefenbronner Str. 65

75175 Pforzheim

berblick / Anwendungen:

- Fourier: Analyse von Schwingungen bzw. Signalen

- Laplace: Lsen von DGL, bertragungsfunktion, Regelungstechnik

Empfohlene Literatur:

- Latussek et al. : Lehr- und bungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Kln

- Papula : Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg

- Westermann : Mathematik fr Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer

- Burg et al. : Hhere Mathematik fr Ingenieure, Band III, Teubner


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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)


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Nherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)

liefern (nur) in der Nhe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse


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1.2 Fourier - Reihen

Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:

- basiert auf periodischen Vorgngen, welche technische

Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !

- Analyse des Frequenzspektrums ( Fouriertrafo)

Fourier-Analyse von Musikinstrumenten

rel. Lautstrke

Frequenz

fo 2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete

rel. Lautstrke

Frequenz

fo 2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstrke

Frequenz

fo 2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe

rel. Lautstrke

Frequenz

fo 2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette

Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks)


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1.2.1 Definition der Fourier - Reihe

Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus

Def.: ( )

=

++=1k

kko tksinbtkcosaa)t(f

( )

=

++=1k

kko xksinbxkcosaa)t(f

mit den Fourier - Koeffizienten:

relativeAmplitude Periode T (T = 2/) Frequenz ====t (T 2) x

a0(DC-Anteil)

1

0T

f t dt

T

( ) 12

0

2

f d( ) mit f(t)

2

0

dx)x(f21

ak2

0T

ft k t dt

T

( )cos( ) 1

0

2

f k d( )cos

2

0

dxkxcos)x(f1

bk 20

Tft k t dt

T

( )sin( ) 10

2

f k d( )sin

2

0

dxkxsin)x(f1

Bemerkungen

Die Integrationsgrenzen knnen verschoben werden. Salopp: Man mu nur darauf

achten, dass ber eine ganze Periode integriert wird. Z. B. Latussek S. 212

Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach x.

ET: meist zeitabhngige Messwerte etc. deshalb hier t, z. B. Bhme S. 191

Vereinfachung fr folgende Flle:

Funktion Definition alle Bsp.

Gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos

ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0 sin

d.h. Approximation nur durch sin bzw. cos !


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Fourier-Darstellung Sgezahn

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t

y

Sgezahn (nicht mastblich)

bis k=1

bis k=2

bis k=3

Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite

Fourier - Koeffizienten Sgezahn (Spektrum)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

|bk|

Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k


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Beispiele fr Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)


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Rechteck-Signal


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2.1.2 Fourier - Integral

Technik: - Mezeit begrenzt, nicht

- oft nicht periodische Funktionen (z.B. Sprache)

-> periodische Fortsetzung und kontinuierliches Spektrum

Reihe Integral

Signal

t

f(t)

Messung

+

. . . . . .

t

f(t)

Messungperiodische Fortsetzung

- T/2 + T/2

0 TMesszeit

Spektrum

f

a diskret

f

a kontinuierlich


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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier Transformation


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Fourier - Integral

Bezeichnung: f(t) F()

komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)

Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte

diskret kontinuierlich

Reihe ft c ekk

j k t( ) =

=

- fr c.c.

c ft e dtkjk t=

1

20

2

( )

Integral ft F e dj t( ) ( )=

1

2 F f t e dt

j t( ) ( ) =

F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung

im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase

Aufsplittung von F() in Real- und Imaginrteil e-jt = cost - jsint :

F ft e dt ft t dt j ft t dt

F R j I

F R I Betrag

I

RPhase

j t( ) ( ) ( ) cos ( ) sin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) :

( )( )

( ):

= =

= +

= +

=

A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !


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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik


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Tabelle Fourier-Transformierte

Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)


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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen


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Fenster-Funktion: Rechteck Spaltfunktion (Zoom, s.u.)

Verbreiterung des 10 Hz-Peaks

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Medauer 1s : 10 gemessene Schwingungen

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

1

2

3

45

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Medauer 10s : 100 gemessene Schwingungen

Nebenzipfeldmpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung


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Beispiel: Schwingkreis mit schwacher Dmpfung

Gedmpfte Schwingungen

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6

Zeit

Amplitude

schw ach gedmpft

Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einhllende

FT gedmpfte Schwingung

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5

rel. Frequenz (w/ws)

rel. Amplitude

A (d= 0,1)

A (d = 0,25)

A (d = 1)


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bungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation

1. Entwickle die Funktion f x

a

a fr

x

x

x

( )

,

=

+

< +0


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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation

Zweck: leichteres Lsen komplizierter Gleichungen

- E-Technik / Maschinenbau / Regelungstechnik:

bertragungsfunktion eines Systems (siehe entsprechende Vorlesung)

- DGL:

Vorgehensweise:

1. Die DGL yn (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit Laplace-Transformation in eine

algebraische Gleichung bergefhrt

2. Als Lsung dieser Gleichung erhlt man dieBildfunktion Y(p) der gesuchten

Originalfunktion y(t)

3. Die gesuchte Lsung y(t) der DGL erhlt man durchRcktransformation der Bildfunktion

Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)

Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausfhrbar!


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2.2.6 bungsaufgaben Laplace - Transformation

1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t fr t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =1/p

2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint fr t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =/(p+)

3. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y =e-t mit y(0) = 0.

Lsg.: y = sinh(t) bzw. y = - e-t +1

4. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = x mit y(/2) = 0.

Lsg.: y = x - (/2)sinx

5. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + 2y + y = 0 mit

y(0) = 0 ; y(0) = 1.

Lsg.: y = x e-x

Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = cos2x erst allgemeinund dann mit y(0) = 1 und y(0) = 0

Hinweis: Verwenden Sie erweiterete Korrespondenztabellen !

Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y(0)sinx - 1/3 cos2x

= 4/3 cosx - 1/3 cos2x

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