Mat Caderno Professor

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  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    1/65

    Teste de diagnstico

    Sugesto de resoluo

    de exerccios do manual

    Sugesto de resoluo

    de tarefas do manual

    CADERNODEAPOIO

    AOPROFESSOR

    Y 11.oANO

    Matemtica A

    CARLOS ANDRADE CRISTINA VIEGAS PAULA PINTO PEREIRA PEDRO PIMENTA

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    2/65

    INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    APRESENTAO DO PROJETO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3

    Manual. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

    Testes 5 + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

    Formulrios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

    Caderno de exerccios e problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Caderno de apoio ao professor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    Sitede apoio ao projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    Aula digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 8

    PLANIFICAO GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9

    TESTE DE DIAGNSTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10

    Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    PROPOSTAS DE RESOLUO DE EXERCCIOS E TAREFAS DO MANUAL . . 16

    Volume 1 Geometria no plano e no espao II

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

    Volume 2 Introduo ao clculo diferencial I. Funes racionais

    e funes com radicais. Taxa de variao e derivada

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

    Volume 3 Sucesses Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

    NDICE

    Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortogrfico.

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    Colegas,

    O projeto Y11resulta da nossa interpretao do Programa de Matemtica A do 11.o ano e da sua articulao

    com as atuais necessidades educativas dos alunos, contemplando, sempre que possvel e desejvel, o recurso s

    novas tecnologias.

    Conscientes da responsabilidade que temos como agentes educativos, procurmos construir um projeto no

    apenas consistente e rigoroso mas tambm apelativo, desejando que constitua um incentivo procura de mais

    conhecimento. Preocupmo-nos em fornecer uma grande quantidade de recursos a alunos e professores, possibi-

    litando assim a adequao do projeto a qualquer turma, em qualquer contexto letivo.

    Bom trabalho,

    Os autores

    INTRODUO

    2

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    O projeto Y11apresenta os seguintes materiais para o aluno:

    Manual Testes 5 + 5 (oferta ao aluno) 3 formulrios (oferta ao aluno) Caderno de exerccios e problemas Manual multimdia (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt) www.y11.te.pt (sitede apoio ao projeto)

    Para o professor apresenta ainda:

    Caderno de apoio ao professor Aula digital (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)

    Manual

    Est dividido em trs volumes, que tm como suporte trs grandes temas:

    Tema 1: Geometria no plano e no espao II

    Tema 2: Introduo ao clculo diferencial I. Funces racionais e funes com radicais. Taxa de variaoe derivada

    Tema 3: Sucesses

    Cada volume inclui, alm da exposio dos contedos acompanhada de exerccios laterais, tarefas de introdu-

    o no incio de cada subtema, exerccios resolvidos, notas histricas, tarefas de explorao e desenvolvimento,

    uma tarefa de investigao, Testes AAA (Aplicar, Avaliar, Aprender), + Exerccios e Problemas globais.

    Reala-se no volume 2 a explorao de conexes entre funes e a geometria e, no volume 3, a explorao de

    conexes entre diversos contedos, contribuindo-se assim para uma viso globalizante da Matemtica.

    Visando facilitar a articulao entre os diversos componentes do projeto, no manual encontram-se remisses

    para os recursos disponveis no manual multimdia.

    APRESENTAO DO PROJETO

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    Testes 5 + 5

    O livro de testes 5 + 5, que acompanha o manual, inclui cinco testes 5 + 5 e dois testes modelo dos testes

    intermdios.

    Este um instrumento de trabalho particularmente til em momentos de preparao para testes de avalia-

    o e para os testes intermdios.

    22

    GrupoI

    Oscinco itens deste gruposodeseleo. Emcadaumdeles, so indicadasquatro

    opes, dasquaiss uma estcorreta. Escreveapenas onmerodecadaiteme a letra correspondenteopoqueselecionares

    para respondera esse item. No apresentesclculos, nemjustificaes. Seapresentares maisdoqueumaopo, arespostaserclassificadacomzeropontos,

    o mesmoacontecendose aletra transcritaforilegvel.

    1. Considera,numreferencialo.n.Oxyz,areta r definidapor:(x,y,z)=(0,0,1)+(1,2,3), IRQualdascondiesseguintesdefineumplanoparaleloreta r? (A)z=1

    (B)x+y=0 (C)x+yz=0

    (D)x+2y+3z=0

    2. No referencialo.n.da figura ao ladoestrepresentadoumquadrado [OABC] de

    lado1.Osvrtices A e C pertencemaoseixoscoordenados.Consideraqueoponto P sedeslocasobreolado [AB]. Seja f afunoqueabcissa x doponto P fazcorresponderoprodutoescalarOPOC.

    Emqualdosreferenciaisseguintesestrepresentadaafuno f? (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    PB

    C

    A

    1 x

    y

    O

    TESTEINTERMDIO2

    1 x

    y

    O

    1

    1 x

    y

    O

    2

    1 x

    y

    O

    1

    1 x

    y

    O

    2

    :

    14

    TESTE3

    GrupoI

    Estegrupo constitudo por itens deseleo. Para cadaitem, se

    lecionaa opo correta.

    1. Nafiguraseguinte est representado ocrculotrigonomtrico. O p

    onto A temcoorde-

    nadas (1, 0) .

    O ponto P pertence circunferncia e est no2.

    o quadrante. Oponto Q pertence cir-

    cunferncia e est no3.o quadrante. A reta PQ paralela a

    oeixo Oy.

    Opermetro do tringulo [POQ] 3,6.

    Qual o valor, em radianos, arredondado sdcimas,daamplit

    ude do ngulo AOP

    assinalado na figura?

    (A) 0,6 (B) 0,9(C) 2,2 (D) 2,5

    2. Considera a pirmide quadrangular regular repre-

    sentada nafigura ao lado.

    Em relao a umreferencial Oxyz , sejam E1 e E2

    equaes cartesianas dos planos ADF e BCF eseja

    E3 uma equao cartesiana do plano mediador de

    [AB] .

    Considerao sistema constitudopelas trs equaesE1, E2 e E3 .

    Qualdas afirmaes verdadeira?

    (A) O sistematem exatamenteuma soluo.

    (B) O sistema tem exatamentetrssolues.

    (C) O sistema possvel eindeterminado.

    (D) Osistema impossvel.

    x

    y

    O

    P

    Q

    A

    A B

    F

    CD

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    Caderno de exerccios e problemas

    O Caderno de exerccios e problemas inclui snteses, itens resolvidos, itens de seleo e itens de construo.

    Contm diversos itens de exame e testes intermdios.

    Muitos exerccios tm um carcter globalizante, tornando este caderno particularmente til em momentos

    de preparao para testes de avaliao e para os testes intermdios.

    Itensdeconstruo1. Nafiguraestorepresentadas, emreferencialo.n. xOy, umareta AB

    e umacircunfernciacom centronaorigemeraioiguala 5.Ospontos A e B pertencem circunferncia.O ponto A tambm pertence aoeixo das abcissas.Admitindoque odeclivedaretaAB iguala

    2

    1, resolveastrsalneasseguintes.

    a) Mostraqueuma equaodareta AB x 2y+5 =0.b) Mostraqueoponto B temcoordenadas (3,4).c) Seja C o pontodecoordenadas ( 3,16).

    Verificaqueo tringulo [ABC] retnguloem B.

    inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano,janeirode2008.

    2. Na figura estrepresentada, numreferencial o.n. xOy, acircunferncia deequao(x4)2 +(y1)2 =25.

    O ponto C o centrodacircunferncia.a) Oponto A de coordenadas (0, 2) pertence circunferncia.A reta t tangente circunferncianoponto A .Determinaa equaoreduzida dareta t.b) P e Q so doispontosda circunferncia.

    Area da regio colorida 2

    6

    5.

    Determinao valordo produto escalar

    CP

    CQ.

    inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano, janeirode2010.

    3. Na figura estrepresentadoumretngulo [ABCD] .

    Mostraqueo produtoescalar

    AB

    AC iguala

    AB2 .

    inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano, maiode2006.

    C

    B

    D

    A

    Geometrianoplano enoespao IIGeometriaanaltica

    46

    Ox

    y

    B

    A

    5

    O

    tQ

    C

    A

    P

    x

    y

    Geometrianoplanoenoespa

    oIITrigonometria

    4

    Sntese

    TRIGONOMETRIA

    Razestrigonomtricas de

    umngulo agudo

    Numtringuloretngulo,defin

    em-se as seguintesrazestrigo

    nomtricasdeumnguloagud

    odeamplitude :

    sen==

    cos==

    tg==

    comprimentodocatetooposto

    comprimentodahipotenusa

    bc

    comprimentodocatetoadjace

    nte

    comprimentodahipotenusa

    ac

    comprimentodocatetooposto

    comprimentodocatetoadjace

    nte

    ba

    Relaesentrerazestrigo

    nomtricas de umngulo

    tg=

    sencos

    Razestrigonomtricas de

    nguloscomplementares

    Razestrigonomtricasde

    ngulos notveis

    sen(90o )=cos

    cos(90o )=sen

    tg(90o )=

    1tg

    sen2

    +cos2 =1(Frm

    ulafundamentaldatrigonom

    etria)

    tg2 +1=

    1cos2

    a

    bc

    30o45o

    60o

    Seno

    2

    1

    2

    2

    3

    2

    Cosseno

    2

    1

    3

    2

    2

    2

    Tangente

    1 3

    33

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    Caderno de apoio ao professor

    Nesta publicao inclumos uma proposta de planificao global, um teste de diagnstico com as respetivas

    solues e resolues das tarefas e de alguns exerccios do manual. Estas resolues esto tambm disponveis

    em , para poderem ser projetadas na sala de aula.

    Sitede apoio ao projeto (www.y11.te.pt)

    Permite o acesso aos linksde apoio ao aluno e ao manual multimdia on-line.

    Aula digital

    Todos os recursos do projeto so disponibilizados em .

    A aula digital possibilita a fcil explorao do projeto Y11atravs da utilizao das novas tecnologias em sala

    de aula, permitindo-lhe tirar o melhor partido do seu projeto escolar e simplificando o seu trabalho dirio.

    Atravs da aula digital poder no s projetar e explorar as pginas do manual na sala de aula, como tambm

    aceder a um vasto conjunto de contedos multimdia integrados no manual, tornando assim a aula mais dinmica:

    Apresentaes em PowerPoint com as resolues de todas as tarefas e de alguns exerccios do manual.

    Flipcharts com exemplos e snteses da matria dada.

    Animaes que, integrando imagem e udio, so lies sobre um determinado assunto. Englobam umacomponente interativa que permite avaliar o aluno quanto a esse assunto.

    Aplicaes realizadas em Geogebra com exemplos dinmicos relativos aos trs temas estudados.

    Testes interativos extenso banco de testes interativos, personalizveis e organizados pelos diversostemas do manual.

    Para poder comunicar mais facilmente com os seus alunos, a aula digital permite a troca de mensagens e a

    partilha de recursos.

    8

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    Sendo o Programa de Matemtica A do 11.o ano extenso, uma boa planificao das aulas essencial.

    Apresentamos aqui uma proposta de distribuio dos tempos letivos para cada tema, que poder constituir

    uma base para uma planificao mais detalhada.

    PLANIFICAO GLOBAL

    Temas Tempos letivos (90 minutos)

    Tema 1 Geometria no plano e no espao II 30

    Trigonometria Geometria analtica Programao linear

    15

    12

    3

    Tema 2 Introduo ao clculo diferencial I.Funces racionais e funes com radicais.

    Taxa de variao e derivada

    30

    Funes racionais e funes com radicais Taxa de variao e derivada

    20

    10

    Tema 3 Sucesses 24

    Sucesses Limites de sucesses

    12

    12

    Temas transversais

    Comunicao matemtica Aplicaes e modelao matemtica Histria da Matemtica Lgica e raciocnio matemtico Resoluo de problemas Atividades de investigao

    Tecnologia e matemtica

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    TESTE DE DIAGNSTICO

    NOME: ___________________________________________________________________________________________________TURMA: ______________N.O: ________

    Grupo I

    Este grupo constitudo por itens de seleo. Para cada item, seleciona a opo correta.

    1. Num referencial o.n. xOy , uma equao da reta que passa pelo ponto (1, 5) e perpendicular reta deequao y = 3 , :

    (A) x = 1 (B) x= 5

    (C) y= 1 (D) y= 5

    2. Considera o paraleleppedo [ABCDEFGH] num referencial o.n. Oxyz.Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

    (A) O plano ABC pode ser definido por z= 0 .

    (B) O plano EFB pode ser definido por y= 6 .

    (C) O plano BCG pode ser definido por x= 6 .

    (D) O plano ADH pode ser definido por y= 3 .

    3. Considera a funo f: [3, 3] IR cujo grfico se apresenta.Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

    (A) f injetiva e mpar.

    (B) f no injetiva nem mpar.

    (C) f mpar, mas no injetiva.

    (D) f injetiva, mas no mpar.

    4. Considera duas funes reais de varivel real, f e g, tais que g(x) = f(x 3) + 1 . Sabendo que o ponto decoordenadas (1, 5) pertence ao grfico de f , podemos afirmar que:

    (A) g(4) = 5 (B) g(4) = 8

    (C) g(4) = 2 (D) g(4) = 6

    10

    z

    6

    63

    9

    y

    x

    A

    D

    E

    H

    B

    C

    F

    0 G

    x

    y

    2

    2

    2 3

    23

    0

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    Grupo II

    Este grupo constitudo por itens de construo. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocnio de

    forma clara, indicando todos os clculos que efetuares e todas as justificaes necessrias.

    1. No referencial Oxyz da figura est representado um prisma quadrangular regular

    [ABCOEFGH] . O ponto A tem coordenadas (0, 0, 8) e a rea da base do prisma 16 cm2 .

    a. Caracteriza por uma condio o plano paralelo a xOyque,

    ao intersetar o prisma, o decompe em dois cubos.

    b. Escreve uma equao do plano que contm a face [ABFE] .

    c. Define por uma condio a reta EF.

    d. Calcula CE.

    e. Escreve uma condio que defina a esfera de dimetro [AB] .

    2. No referencial ortonormado da figura esto representados

    dois prismas retos que constituem um slido. A face [GEH]

    do prisma triangular um tringulo issceles, H( 3, 4, 0)

    e C(a, b, c) .

    a. Determina as coordenadas de C, sabendo que a b= c

    2 .

    b. Calcula o volume do slido representado na figura.

    c. Calcula as coordenadas do vetor v

    = 2EA

    AB

    .d. Escreve uma equao vetorial da reta GH.

    3. Para cada a IR , a expresso g(x) =ax

    2

    3 define uma funo afim, g.

    a. Se a = 4 , determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseo do grfico da funo com

    os eixos coordenados.

    b. Determina a de modo que o grfico da funo passe no ponto de coordenadas (1, 3) .

    c. Indica o valor de a de modo que g no tenha zeros.

    d. Determina a de modo a que a funo g seja decrescente.

    y

    x

    C

    B

    G

    F

    H

    E

    A

    O

    z

    z

    y

    x

    F

    G

    E

    D

    H

    C

    A

    B

    O

    I

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    4. Na figura est representada graficamente a funo f.

    Sabe-se que esta funo tem domnio [4, +[ e que crescente no intervalo [2, +[ .

    a. Diz, justificando, se o nmero 2 elemento do contradomnio da funo f .

    b. Constri a tabela de monotonia e extremos da funo f.

    c. Sabendo que os nmeros 3, 0 e 3 so os trs zeros de f, constri a tabela de zeros e de sinal da funo f.

    d. Diz se a funo f , ou no, injetiva. Justifica a resposta.

    e. A funo f par? Justifica a resposta.

    5. De uma funo quadrtica f, sabe-se que:

    a reta de equao x= 3 eixo de simetria do grfico de f ; Df = ], 5] ;

    2 zero de f .

    Identifica, das expresses seguintes, a nica que pode definir a funo f .

    (A) 5

    1 (x+ 3)2 + 5

    (B) 5

    1 (x+ 3)2 5

    (C) 5

    1 (x 3)2 + 5

    (D) 5

    2 (x+ 3)2 + 5

    Numa pequena composio, indica, para cada uma das outras trs expresses, uma razo pela qual a rejeitas.

    12

    x

    y

    5

    1

    22

    4 0

    f

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    Resoluo do teste de diagnstico

    Grupo I

    1. (A)

    2. (D)

    3. (C) f no injetiva, pois h objetos diferentes com imagens iguais. Por exemplo, f(2) = f(3) .

    A observao do grfico permite concluir que a funo mpar, pois o grfico simtrico em relao ori-

    gem do referencial.

    4. (D) Como o ponto de coordenadas (1, 5) pertence ao grfico de f , tem-se que f(1) = 5 e, portanto,

    g(4) = f(4 3) + 1 = f(1) + 1 = 5 + 1 = 6 .

    0

    x= 1

    y= 3

    1

    1

    2

    3

    4

    2

    3

    4

    5

    1 1 2 3 4234 x

    y

    z

    6

    63

    9

    y

    x

    A

    D

    E

    H

    B

    C

    F

    O G

    x

    y

    2

    2

    2 3

    23

    0

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    15/65

    Grupo II

    1. a. Abase = 16 cm2 e, portanto, arestabase = 4 cm .

    A aresta da base 4 e a altura do prisma 8. Se dividirmos o prisma ao meio por um plano paralelo a xOy,

    obtemos dois cubos de aresta 4. Uma condio que caracteriza o plano paralelo a xOy que passa no pontomdio de [OA] z = 4 .

    b. z = 8

    c. A reta EF resulta da interseo dos planos ABE e FEG, com equaes z= 8 e x= 4 , respetivamente.

    Uma condio que define a reta x = 4 z = 8 .

    d. C(0, 4, 0); E(4, 0, 8)

    CE= (0 + 4)2+(4 0)2+ (0 8)2= 4 6

    e. A esfera tem centro no ponto mdio de [AB] , que tem coordenadas (0, 2, 8) e tem raio 2, que metade

    de AB. Uma condio que define a esfera :

    x2 + (y+ 2)2 + (z 8)2 4

    2. a. Sendo H(3, 4, 0) , temos que C(3, 4, c) .

    Como a b= 3 4 = 1 , tem-se c= 2 . O ponto C tem coordenadas (3, 4, 2) .

    b. Volume do prisma [OAHEIBCD] :

    V= 3 4 2 = 24

    Volume do prisma [EHAOGF] :

    EH= 4 e EG= 4

    V=4

    24 3 = 24

    O volume do slido 48.

    c. EA

    = (0, 4, 0) (3, 0, 0) = (3, 4, 0)

    AB

    = (0, 4, 2) (0, 4, 0) = (0, 0, 2)

    v

    = 2EA

    AB

    = (6, 8, 0) (0, 0, 2) = (6, 8, 2)

    d. GH

    = (3, 4, 0) (3, 0, 4) = (0, 4, 4)

    Uma equao vetorial da reta GHpoder ser (x,y, z) = ( 3, 0, 4) + k(0, 4, 4) , k IR

    14

    y

    x

    C

    B

    H

    F

    G

    E

    A

    O

    z

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    16/65

    3. a. g(x) =4x

    2

    3

    As coordenadas do ponto de interseo do grfico de g com o eixo das abcissas so 43, 0 , pois:

    4x

    2

    3 = 0 x=

    4

    3

    As coordenadas do ponto de interseo do grfico de g com o eixo das ordenadas so 0, 23 , pois:

    y=4

    2

    0 3 y=

    2

    3

    b. 3 = g(1) 3 =a

    2

    1 3 a= 9

    c. Se a = 0 , g(x) = 2

    3 , e o grfico de g uma reta paralela ao eixo das abcissas.

    d. Para que a funo g seja decrescente o declive da reta que o seu grfico tem de ser negativo, ou seja,

    g decrescente se a IR .

    4. a. No, porque o contradomnio de f [1, +[ e 2 no pertence a este intervalo.

    b.

    c.

    d. A funo f no injetiva, pois, por exemplo, 2 2 , mas f(2) = f(2) .

    e. A funo f no par, pois o seu domnio no contm os simtricos de alguns dos seus elementos. Por

    exemplo, 5 pertence a Df e 5 no pertence a Df , pelo que no se pode afirmar que f(5) = f(5) .

    5. A funo f da famlia das funes quadrticas definida por y = a(x+ h)2 + k, com a o e h, k IR .

    O vrtice da parbola tem coordenadas (h, k) e o eixo de simetria a reta de equao x= h. Como o eixode simetria tem equao x= 3 , temos h= 3 . Assim, rejeitamos a opo (C).

    Como o contradomnio da funo f ], 5] , temos que k =5 , em que 5 o mximo absoluto da funoatingido em x= 3 . Assim, rejeitamos a opo (B).

    Como f(2) = 0 , temos que 0 = a(2 + 3)2 + 5 a= 51 . Assim, rejeitamos a opo (D). A opo correta a

    opo (A).

    x 4 2 0 2 +

    f(x) 5 1 0 1

    Mximo

    relativo

    Mnimo

    absoluto

    Mximo

    relativo

    Mnimo

    absoluto

    x 4 3 0 3 +

    f(x) 5 + 0 0 0 +

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    17/65

    16

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    VOLUME 1

    GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAO II

    PG. 12

    5. Sendo xo comprimento do tabuleiro esquerda do alicerce prin-cipal e y o comprimento do tabuleiro direita desse alicerce,

    o comprimento da ponte dado por x+y, com 10

    x

    0 = tg 21o

    x 260,509 e 10

    y

    0= tg 16o y 348,741 . Logo, a ponte mede,

    aproximadamente, 609 m.

    6.

    5

    x = cos 40o x 3,830

    5

    h = sen 40o h 3,214

    y

    h = tg 25o h 3,214 y 6,892

    AB

    = x+y 10,72 dm e BC

    h = sen 25o BC

    7,60 dm

    PG. 13

    7.

    a. AC

    15 = cos 30o AC

    17,3 cm

    b. 15

    BC

    = tg 30o BC

    = 15 tg 30o

    BD2 = AB

    2 AD2 BD

    2 = 152 (15 tg 30o )2

    BD

    = 150 (cm)

    Vprisma = (15 tg 30o)2 150 918,6 (cm3)

    PG. 16

    10. 4 cos x + 3 sen x= 5

    cos x =5 3 sen x

    4

    sen2 x+ cos2 x= 1 sen2 x+ x= 1

    cos x =

    5 3 sen x4

    16 sen2 x + 25 30 sen x+ 9 sen2 x= 16

    cos x =

    5 3 sen x

    4

    25 sen2 x 30 sen x+ 9= 0

    cos x =5 3 sen x

    4

    cos x = 5

    4

    (5 sen x 3)2 = 0 sen x= 5

    3

    Logo, cos x sen x = 5

    4

    5

    3 =

    5

    1.

    11.

    a.sen2

    1 + cos =

    1 cos2

    1 + cos = = 1 cos

    b. (cos sen)2 2 = cos2 + sen2 2 sen cos 2 =

    = 1 2 sen cos = (1 + 2 sen cos) = (sen + cos)2

    12. = =

    = = = = cos

    PG. 17

    14. Sendo ha altura do trapzio, temos: 5

    h = sen 45o h=

    5

    2

    2,

    Atrapzio =12 + 3

    2

    5

    2

    2=

    75

    4

    2

    PG. 27

    3.

    Sejam l a largura do rio e h a altura do penhasco. Tem-se:

    h

    l = tg 62o l= htg 62o

    h tg 62

    26 tg 52

    h+26

    l = tg 52o h+ 26

    = tg 52o h=tg 62o tg 52o

    l 104 m

    h 55 m

    7.

    a. (cos x sen x) tg x

    sen x= (cos x sen x)

    sen

    sen x

    x cos x =

    = (cos x sen x) 1

    cos x= 1 tg x

    b. tg xcos x+1 sen2 x

    sen x =sen x

    cos x cos x+cos2 x

    sen x = sen x+ cos x

    8. 2 (cos x sen x)2 2 cos xsenx=

    = 2 (cos2 x+ sen2 x 2 sen xcosx) 2 cos xsen x=

    = 2 1 + 2 sen xcos x 2 cos xsen x= 1

    (1 + cos ) (1 cos )

    1 + cos

    1

    s

    c

    e

    o

    n

    s

    sen + cos

    1

    tg sen + cos

    1

    co

    1

    s

    1

    sen2

    co

    +

    s

    c

    os2

    1

    s

    c

    e

    o

    n

    s

    2

    + cos

    (5 3 sen x)2

    16

    2540

    5 dm

    h

    x yA B

    C

    38

    28

    A D

    C

    B

    l

    26 m

    h

    52

    62

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    18/65

    9.

    a. 3

    h = tg 45o h= 3 1 = 3 ; h= 3 cm

    b. BC2 = 32 + 32 BC

    = 18= 3 2 ; BC

    = 3 2cm

    c. Ptrapzio = 8 + 3 + 11 + 3 2= 22 + 3 2(cm)

    10.

    a. Como o hexgono regular, o triangulo [ODE] equiltero.

    Portanto, a amplitude do ngulo ODE 60o.

    b. Seja h a altura do tringulo [DOE] . Ento, 4

    h = tg 60o

    h= 4 3; h= 4 3cm

    c. Ahexgono = 68 4

    2

    3= 96 3; Ahexgono = 96 3cm2

    PG. 28

    1.

    A distncia a que os dois amigos se encontravam dada por

    x+y, onde x e y so tais que:

    x

    368 = tg 45o x=

    tg 45o368 x= 368

    y

    368 = tg 65o y=

    tg 65o368 y 171,601

    Logo, x+y 540 m.

    2.

    Onde c o comprimento do poste.

    a. = sen = sen1 19,5o

    b. 43c

    2

    = 41c

    2

    + 32 c2 = 18 c = 18= 3 2; 3 2m

    3.

    a. = cos = cos 1 22 = 45o

    b. Como EA^D= EC^A = 45o. Conclui-se queAE^C= 90.o

    c. Sendo = tg 45o h=

    2

    2a, tem-se

    Vpirmide = 3

    1 a2

    2

    2a=

    6

    2a3

    PG. 29

    4.

    34c

    14c

    1

    3

    4

    1 c

    4

    3 c

    2

    2a

    a

    h

    2

    2a

    B A

    D E8

    FC O

    4

    h

    2a

    a

    a

    a

    A B

    D C

    A

    3 87 46

    C

    O

    D

    r

    r

    x y

    45 6560

    368

    A B8

    CDE 3

    45

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    19/65

    18

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    r+ 3

    r = sen (87o 46) r=

    1

    3

    s

    s

    e

    e

    n

    n

    (8

    (8

    7

    7

    o

    o

    4

    4

    6

    6

    )

    )

    r 3946,521 milhas

    r 6350 km

    5.

    [ABCD] um trapzio issceles. A base maior mede 12 cm,

    o lado AD mede 6 cm e o ngulo tem 55o de amplitude.

    5.1 a.6

    DE = sen 55o DE = 6 sen 55o DE 4,9 (cm)

    b.6

    AE

    = cos 55o AE

    = 6 cos 55o AE

    3,4 (cm)

    5.2 DB2 = DE2 + EB2DB2= (6 sen 55o)2 + (12 6 cos 55o)2

    DB

    9,9 (cm)

    5.3 DF

    CD

    = tg 6 sen 55o 2

    12 12 cos 55o = tg

    = tg1 6 sen 55o12 12 cos 55o 60o

    5.4 AF2

    = 2

    2

    + (6 cos 55

    o

    )

    2 AF

    3,98 (cm) ,

    FC = AC AF FD 5,92 (cm)

    P[EFDB] 2 + 5,92 + 6 + 12 3,44 22,5 (cm)

    PG. 30

    6.

    x+y= 9 y= 9 x

    h

    x = tg 40o h= xtg 40o

    h

    y = tg 70o h= (9 x) tg 70o xtg 40o = (9 x) tg 70o

    y 2,106

    h 5,785

    x=

    tg 40o

    + tg 70o

    9 tg 70o

    x 6,894

    a2 = h2 + x2 a 8,9996 (m) , b2 = h2 +y2 b 6,156 (m)

    O comprimento total dos cabos dado por a+ b 15,16 (m) .

    7.

    a. A rea da zona colorida a amarelo pode obter-se da seguinte forma:comeamos por determinar metade da rea do crculo 2 ( ilustrado

    na Fig. 1). De seguida, determinamos a rea do setor circular de cen-

    tro em A , raio AC e amplitude 2 (ilustrado na Fig. 2). Por fim,

    necessrio subtrair a rea do tringulo [ACE] , para que no seja

    contabilizada duas vezes (Fig. 3).

    A

    D

    E

    F

    C

    B55

    6

    12

    Fig. 1

    40 70

    9 m

    a b

    x y

    h

    A

    c2

    c1

    B

    C

    D

    A

    c2

    c1

    B

    C

    E

    D

    A

    c2

    c1

    B

    C

    E

    D

    Fig. 2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    20/65

    2

    Ac2 =

    2

    CD

    2

    Como AC

    CD

    = sen e AC

    = 10, tem-se CD

    = 10 sen . Ento,

    2

    Ac2=

    2

    (10 sen)2

    = 50 sen2 .

    A setor circular =360

    10 2=

    9

    5

    A [ACE] =2

    CE

    AD

    Como CE

    = 2CD

    = 20 sen e AC

    AD

    = cos AD

    = 10 cos ,

    tem-se A[ACE] =2

    20 sen 10 cos= 100 sen cos .

    Logo, a rea pretendida 50 sen2 + 9

    5 100 sen cos .

    b. O valor exato dessa rea para = 60o :

    50 sen2 60o + 9

    5 60 100 sen 60o cos 60o =

    4

    6

    25 25 3 cm2

    PG. 47

    28. Como 1 sen 1 , tem que se ter 1 k2

    2

    3 1 .

    1 k2

    2

    3 1

    k2

    2

    3 1

    k2

    2

    3 1 k2 1k2 5

    (k 1k 1) (k 5 k 5 )

    k [ 5 , 1] [1, 5 ]

    PG. 53

    32. A partir do cosseno de , pode obter-se o seno de :

    sen2 + cos2 = 1 sen = +1 412

    sen = + 415

    Como ]2

    ,[ , sen =

    4

    15 .

    De tg =sen

    cos conclui-se que tg = = 15

    Assim, tg sen = 15

    4

    15 =

    5

    4

    15 .

    33. A partir do valor da tangente possvel determinar o valor do

    cosseno, como se segue:

    tg2 + 1 =cos

    12

    31

    2

    + 1 =cos

    12

    cos2 =1

    9

    0

    cos = +3

    10

    10

    Como 32

    , 2 , cos =3 1010 .

    Agora, a partir do cosseno, pode obter-se o seno de :

    sen2 + cos2 = 1 sen = +1 3 10102 sen = +

    1010

    Como 32

    , 2 , sen = 1010 .

    Assim, sen cos =

    10

    10

    3

    10

    10 =

    1

    3

    0 .

    PG. 56

    35.

    a. cos ( +) cos ( ) = cos (cos) = 0

    b. sen ( ) sen ( +) = sen (sen) = 2 sen

    c. tg ( ) cos ( +) = tg (cos) = s

    c

    e

    o

    n

    s

    (cos) = sen

    PG. 58

    36. Tem-se cos() = 5

    2 cos =

    5

    2

    Simplificando a expresso dada, obtm-se:

    sen () 2tg ( ) cos ( +) = sen 2 (tg ) ( cos) =

    = sen + 2 tg + cos

    A partir do cosseno, pode obter-se o seno de :

    sen2 + cos2 = 1 sen = +1 522

    sen = + 521

    Como ], 0[ , sen =

    5

    21 .

    Agora, a partir do seno e do cosseno, obtm-se a tangente de :

    tg =

    2

    21

    4

    15

    4

    1

    Fig. 3

    A

    c2

    c1

    B

    C

    E

    D

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    21/65

    20

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    Assim, o valor exato da expresso dada :

    5

    21 + 2

    2

    21 + 5

    2 =6 25

    1 2

    PG. 59

    38. Tem-se cos 2 x = 1

    5

    3 sen x=

    1

    5

    3 .

    Simplificando a expresso dada, obtm-se:

    sen (x) tg 2 x sen (x) = sen xtg

    1

    x + sen x = cos x+ sen x

    A partir do seno, pode-se obter o cosseno de x :

    sen2 x+ cos2 x = 1 cos x = +1 1532

    cos x= + 11

    3

    2

    Como x 23,

    3

    2

    , o cos x negativo.

    Logo, cos x= 1

    1

    3

    2 .

    Assim, o valor exato da expresso dada 11

    3

    2 1

    5

    3 =

    1

    7

    3 .

    39. tg 2 x tg x cos 2

    x sen ( x) = tg

    1

    x tg x sen x sen x=

    = 1 sen2 x = cos2 x

    PG. 61

    41.

    a. A = A[ABCD] A[ADP] = 42

    A

    D

    D

    P = tg x DP

    =t

    4

    g x

    A rea da regio colorida , portanto, dada por:

    16 = 16 tg

    8

    x

    b. cos x+ 2 = 1132 sen x= 1132

    sen2 x+ cos2 x= 1 cos x= +1 11322

    cos x= + 15

    3

    Como x , , cos x = 15

    3 .

    tg x = 1

    5

    2

    Logo, A = 16 =3

    3

    8 .

    PG. 78

    2.

    a. A = = (cm2)

    b. B3 cos 56, 3 sen 56 , ou seja, B , 23 .

    c. A [OBB] = = (cm2)

    PG. 79

    3.

    3.1 Determinemos as coordenadas do ponto C:

    x2 +y2 = 1

    x=

    6

    6

    y= 5x y =

    6

    30

    sen=

    6

    30 , cos= e tg= = 5

    3.2

    a. sen ( ) =

    6

    30 ,cos( ) = , tg( ) = 5

    c. sen () =

    6

    30 , cos () = , tg () = 5

    4.

    a. O ponto Q pertence circunferncia trigonomtrica, pois:

    3

    3

    2

    + 3

    6

    2

    = 1

    b. O ponto P est no 4.o quadrante e pertence reta que passa pela

    origem e pelo ponto Q. Logo, P

    3

    3

    ,

    3

    6

    .c. = +

    tg = tg + =

    cos (+) =

    3

    3 cos=

    3

    3 , sen (+) =

    3

    6

    DP AD

    2

    tg

    4

    x 4

    2

    2

    4

    8

    1

    5

    2

    154

    5

    6

    32

    2

    3 3

    2

    6

    2

    3

    2

    3

    2

    30

    6

    6

    6

    2

    9 3

    4

    6

    6

    6

    6

    1

    tg

    2

    b. sen ( +) =

    6

    30

    , cos ( +) = , tg ( +) = 5

    6

    6

    d. sen = , cos = 630 , tg =2

    6

    6

    2

    2

    5

    5

    sen = sen + = cos , cos = cos + = sen ,2

    2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    22/65

    sen =

    3

    3 , cos =

    3

    6 , tg =

    2

    2

    PG. 80

    5. cos ( ) + cos + + tg () = cos sen tg =

    6.

    a. A (cos, sen) , C(cos, sen)

    b. A[ABC] =AC

    2h = = sen (1 + cos )

    c. Se o tringulo [ABC] for equiltero, os seus ngulos internos tm

    3 radde amplitude. Assim, o ngulo OBA tem de amplitude

    6 .

    Como o ngulo ao centro correspondente ao ngulo inscrito

    OBA , a sua amplitude o dobro da amplitude de OBA . Logo, =

    3

    l= AC = 2 sen

    3 = 3

    d. Recorrendo frmula da alnea b, tem-se:

    A3 = sen

    3 1 + cos 3 =

    PG. 87

    47.

    a. = cos AC = 20 cos ,

    f() = 10 + 10 + 20 cos = 20 + 20 cos

    b. Df = 0, , Df= ]20, 40[

    PG. 89

    50. Tem-se g(x) = cos x = sen x= cos + x = g(x) .Logo, a funo g mpar.

    PG. 93

    52.

    a. Seja h a altura do trapzio. Tem-se h

    2 = tgx h= 2 tg x.

    Logo, A(x) =8 +

    24 2 tgx= 12 tg x.

    b. DA = 0, , DA= ]0, +[

    c. A = 12 tg = 12 3

    PG. 116

    1.

    a. A expresso sen(100t) toma todos os valores do intervalo[1, 1] se t toma todos os valores do intervalo [0, +[ . Logo, a fun-o V(t) toma todos os valores do intervalo [330, 330] e, por-tanto, o valor mximo da tenso eltrica 330 V.

    b. V(t) = 0 330 sen (100t) = 0 sen (100t) = 0

    100t= 0 + k , kINo t= 0,01k, k INo

    O valor da tenso eltrica nulo 100 vezes por segundo.

    c.V(t) =Vef

    330 sen (100t) =

    sen (100t) =

    t= 0,0025 + 0,02 k t= 0,0075 + 0,02, k INo

    Para k= 0 , t= 0,0025 segundos.

    2.

    a. T(2) = 8 + 3 cos (2 +127) = 8 5,9 oC

    s 2 horas desse dia a temperatura foi, aproximadamente, 5,9graus Celsius.

    b. Se t toma todos os valores do intervalo [0, 24[ , toma

    e, portanto, a expresso cos toma todos os valores dointervalo [1, 1] . Logo, a funo T(t) toma todos os valores do in-tervalo [5, 11] . A temperatura mnima foi 5 oC e a temperaturamxima foi 11 oC.

    T(t) = 8 + 3 cos = 5 cos = 1

    A temperatura mnima ocorreu s 5 horas.

    2

    2

    2 sen (1 + cos )

    2

    3 3

    4

    AC

    120

    2

    2

    2

    3

    3

    2

    2

    330

    2

    3 2

    2

    (t+ 7)

    12

    (t+ 7)

    12

    (t+ 7)

    12(t+ 7)

    12

    4

    8AD

    C B

    x

    h

    10

    AC

    B

    sen= , tg=sencos = 2

    6

    3

    = 0,6 + 0,8 43 =2315

    c. f = 20 + 20 cos = 20 + 10 24

    4

    100t = + k2 100t = + k2, k INo

    43

    4

    todos os valores do intervalo , que tem amplitude 27

    1231

    12

    = + 2k , k ZZ t= 5 + 24k, k ZZ(t+ 7)

    12

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    23/65

    22

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    T(t) = 11 8 + 3 cos = 11 cos = 1

    = 0 + 2k , k ZZ t= 7 + 24k, k ZZ

    A temperatura mxima ocorreu s 17 horas.

    c. O Antnio pde ir brincar para a rua durante 6 horas e 25 minutos.

    3.

    a. Tem-se = cos AB= 2 cos . Logo, f() = 2 cos .

    b. Tem-se A[ABC] = e = sen .

    Logo, g() = = sen cos .

    c. D= 0, d. A funo g no injetiva, pois, por exemplo,

    g = g e .

    f. No existe nenhum valor de para o qual a rea do tringulo [ABC]seja uma unidade quadrada, pois o mximo das funes seno e cos-

    seno 1, mas no ocorre nas duas funes para o mesmo valor de .

    PG. 117

    4.

    a. A[ABC] =

    = cos AC = 6 cos

    = sen BC = 6 sen

    Logo, A() = = 18 cos sen .

    b. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

    A rea mxima do tringulo [ABC] 9 dm2, para = . Nesse

    caso, o tringulo issceles.

    c. A = 18 cos sen = 18 sen cos =A ()

    d. 1 + tg2 = 1 + 32 = cos =

    sen =1 2 sen =

    A() = 18 A () = 5,4

    A rea do triangulo 5,4 dm2 .

    AB2

    h

    1

    AB h

    2

    2 cos sen

    2

    2

    6

    3

    6

    3

    (t+ 7)

    12

    (t+ 7)

    12

    (t+ 7)

    12

    ACBC

    2

    AC

    6

    BC

    6

    6 cos 6 sen

    2

    4

    2

    2

    2

    10

    10

    1

    cos2

    1

    cos2

    90

    10

    10

    10

    10

    10

    90

    10

    A B

    C

    h

    11

    0

    (0,79; 9)

    4

    2

    6

    8

    2

    x

    y

    4 0,79

    0

    (13,79; 10) (20,21; 10)

    2

    6

    10

    2 6 10 14 18 22 t

    T

    A B

    C

    6

    e. 0, f() = 2 2 cos = 2 0, 2

    2

    cos = cos = 0, = 4 22

    2

    2

    2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    24/65

    2

    5.

    a. Tem-se: = cos AB = 4 cos

    = sen BC = 4 sen

    Logo A() = 22 4 cos 4 sen = 4 16 sen cos .

    b. A = 4 16 sen cos = 4

    4 3

    c. 1 + tg2 = 1 + 2

    = cos =

    sen =1 2

    sen = 55

    A() = 4 16

    5

    5 A() = 4

    3

    5

    2

    d. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

    ]0,2; 1,4[

    PG. 118

    6.

    EC2 = 12 + 22 EC = 5

    Como EC = EH, tem-se EH = 5

    = sen HI = 5 sen

    DI = EI 1 = 5 cos 1

    A() = ( 5 cos 1)

    b. D= ]0, tg1 (2)[

    c. A = 5 cos 4 1 = 4

    3

    d. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

    A rea mxima do trapzio [HIDG] aproximadamente 0,83

    para 0,63 .

    7.

    a. A[ABCD] = h, sendo h a altura do trapzio.

    = cos BC= 6 cos , AD = 3 +3

    2 =

    9

    2

    AB

    4

    BC

    4

    6

    6

    6

    2 5

    5

    1

    cos2

    1

    2

    1

    cos2

    2 5

    5

    2 5

    5

    HI

    5

    5 sen + tg

    2

    5 sen 4 + tg 4

    2

    4

    BC + AD

    2

    BC

    2

    3

    B

    A3

    D

    C

    O

    y

    x

    32

    -

    0

    (0,2; 10) (1,4; 10)

    4

    2

    6

    8

    10

    12

    14

    2

    x

    y

    O

    D C

    A B

    4

    A F

    H

    E D

    C

    I

    B

    G

    2

    1

    0

    (0,63; 0,83)

    0,5

    1

    x

    y

    = tg DG = tgDG

    1

    = cos EI = 5 cosEI

    5

    a. A [HIDG] = DIHI + DG

    2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    25/65

    24

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    A() = 3 sen = 9 sen cos +2

    4

    7 sen

    b. A = 9 sen cos +247 sen = + 28

    7

    c. 1 + tg2 = 1 + 41

    2

    = cos =

    sen =1 2 sen =

    A() = 9 + = +

    d. Quando o trapzio [ABCD] retngulo cos = = 2

    1 e = .

    O valor exato da rea do trapzio :

    A = 9 sen cos +247 sen =

    PG. 119

    8.

    a. A = AE ET, = cos ET=

    A() = 10 =

    b. D= 0,

    d. A() = 125 = 125 = cos1 0,64 rad

    e. A afirmao falsa, pois se o ponto T coincidir com o ponto

    mdio da aresta [FG] , tg =1

    5

    0 =

    2

    1 , mas tg 0,41 .

    PG. 13579. AB

    = B A = (4, 1) , AD

    = D A = (1, 4)

    AB

    AD

    = (4, 1) (1, 4) = 4 1 + 1 4 = 0

    Logo, AB

    e AD

    so perpendiculares.

    BA

    = A B= (4, 1) , BC

    = C B= (1, 4)

    BA

    BC

    = (4, 1) (1, 4) = 4 1 1 4 = 0

    Logo, BA

    e BC

    so perpendiculares.

    CB

    = B C= (1, 4) , CD

    = D C= (4, 1)

    CB

    CD

    = (1, 4) (4, 1) = 1 4 + 4 1 = 0

    Logo, CB

    e DC

    so perpendiculares.

    DC

    = CD = (4, 1) , DA

    = A D= (1, 4)DC

    DA

    = (4, 1) (1, 4) = 4 1 1 4 = 0

    Logo, DC

    e DA

    so perpendiculares.

    Como os vetores definidos por lados consecutivos so perpendi-

    culares e tm todos normas iguais, conclumos que o quadriltero

    [ABCD] um quadrado.

    PG 143

    91. x2 5x+y2 2y+ z2 + 4z+ 7 = 0

    x 522

    + (y 1)2 + (z+ 2)2 + 7 2

    4

    5 1 4 = 0

    x 522

    + (y1)2 + (z+ 2)2 = 147

    C52 , 1 , 2 r =

    PG 154

    18. B(3, 7, 0) e CD

    = 2

    a. AD

    = DA = (0, 7, 2) (3, 0, 0) = (3, 7, 2)

    DB

    = BD= (3, 7, 0) (0, 7, 2) = (3, 0, 2)

    b. cos (AD BD) = =

    = =

    AD BD = cos1 63o

    PG. 155

    24. u v u v = 0 (k, 3 k) (2, k) = 0 k 2 + (3 k)(k) = 0 k2 k= 0 k= 0 k= 1

    17

    2

    |(3, 7, 2) (3, 0, 2)|

    ||(3, 7, 2)|| ||(3, 0, 2)||

    13

    62 13

    | 3 3 + 7 0 2 2|

    (3)2 +72 +22 32+ (2)2

    13

    62 13

    4 17

    17

    1

    cos2

    1

    cos2

    17

    17

    4 17

    17

    27 17

    68

    36

    17

    17

    17

    27

    4

    4 17

    17

    17

    17

    3

    32

    3

    45 3

    8

    3

    3

    3

    3

    10

    cos

    10

    ET

    100

    cos

    10

    cos

    4

    100

    125

    100

    cos

    8

    9 3

    4

    6

    6

    6

    6

    6 cos + 9

    2

    2

    A B

    H

    D

    E

    G

    C

    T

    F

    10

    h

    3 = sen h= 3 sen

    Se = 0 , a seo coincide com o quadrado [ABFE]

    e A = 10 10 = .100

    cos 0

    c. A = =6100

    cos(6)

    200 3

    3

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    26/65

    2

    PG. 156

    32. Seja P(x,y) um ponto da circunferncia:

    PA

    PB

    = 0 (2 x, 1 y) (1 x, 1 y) = 0

    (2 x)(1 x) + (1 y) (1 y) = 0 x2 x+y2 3 = 0

    33.

    a. A (2, 2) , B(1, 2) , M , M 21, 0

    b. Seja P(x,y) um ponto da mediatriz.

    Equao da mediatriz do segmento de reta [AB] :

    MA

    MP

    = 0 32 , 2 . x+ 21 ,y = 0

    3

    2 x+ 2

    1 2y= 0 6x+ 8y= 3

    35. Comecemos por determinar uma equao da reta r. Seja P(x,y)

    um ponto de r.AB

    BP

    = 0 (2, 2) (x 4,y 3) = 0

    2(x 4) + 2(y 3) = 0 x+y 7 = 0

    As coordenadas dos pontos de interseo da reta rcom os eixos

    coordenados so (7, 0) e (0, 7) .

    PG. 157

    39. A equao dada define o plano mediador do segmento [AB] .

    A(0, 3, 2) e B(1, 1, 4) .

    M , , M 21 , 1, 1

    AB

    MP

    = 0 (1, 4, 6) x 12 ,y+ 1, z+ 1 = 0 x

    2

    1 + 4(y+ 1) 6(z+ 1) = 0 2x+ 8y 12z 5 = 0

    PG. 158

    3.

    a. OA

    = A O= (xA , 0) , OB

    = B O= (xB,yB)

    b. OA

    OB

    = (xA , 0) (xB,yB) = xA xB

    c. H(xB, 0)

    d. OA

    OH

    = (xA , 0) (xB, 0) = xA xB = OA

    OB

    PG. 159

    6. r: 2x+y 3 = 0 y= 2x+ 3

    a. 6 = 2x+ 3 x=

    b. P r P(2, k) k= 2 2 + 3 k= 1

    c. 5 = 2 (1) + b b= 3 , s:y= 2x+ 3

    d. t:y=

    1

    2 x y=

    2

    1 x

    e. (x,y) = (0, 3) + k(2, 1) , k IR

    f. 0 = 2

    1 5 + b b=

    5

    2 , y =

    2

    1 x

    5

    2

    g. No plano, existem infinitas retas perpendiculares reta r.

    h. y = 2

    1 x+ b , b IR

    7. Sejam A (3, 1) e B(1, 2) . C(x, y) o ponto tal que o tringulo[ABC] retngulo em A e tem rea 25.

    Tem-se AB

    = (4, 3) e, portanto AB = ||AB

    || = 5 .

    Como a rea do tringulo [ABC] 25 e AB = 5 ,

    tem-se = 25 AC = 10 . Ento, AC

    um vetor per-

    pendicular a AB

    com o dobro da norma do vetor: AC

    = (6, 8) ou

    AC

    = (6, 8).

    Portanto, C= A + (6, 8) = (3, 9) ou C= A + (6, 8) = (9, 7).

    O ponto C tem coordenadas (3, 9) ou (9, 7) .

    PG. 161

    12.

    a. A(1, 2) , B(1, 0) e M(0, 1) .A equao reduzida da reta r, mediatriz de [AB] dada por

    AM

    MP

    = 0 (1, 1) (x,y+ 1) = 0 x+y+ 1 = 0 y= x 1 .

    A equao reduzida da reta s y= x 1 .

    b. Como a circunferncia tem centro em A e passa pela origem doreferencial, o raio 12 + (2)2= 5 e a equao da circuferncia

    (x 1)2 + (y+ 2)2 = 5 .

    c. Uma condio que define a parte colorida da figura :(x 1)2 + (y+ 2)2 < 5y> x 1y< x 1 .

    14.

    a. A(3, 0) , B(0, 4) , D(3, 0) , E(3, 8)

    AB

    = B A = (3, 4) , AB: y= 43x+ 4

    DE

    = E D= (6, 8) , DE: y= 4

    3x+ 4

    b. y 43 x+ 4 y 4

    3x+ 4

    PG. 175

    110. (a, 3, 4) (a, 1, a) = 0 a2 4a+ 3 = 0 a= 1 a= 3

    2 + 2

    0

    2 + 1

    2

    2 4

    2

    3 + 1

    2

    0 + 1

    2

    3

    2

    5AC

    2

    y 43 x+ 4 y 4

    3x+ 4 x2 + (y 4)2 25

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    27/65

    26

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    PG. 176

    111. Tem-se x

    2

    1 = =

    2

    5

    z = = .

    Logo, um vetor diretor da reta 2, 3, 5

    2 .Tem-se 2(x+y) 2z= 2 y 2x+ 3y2z= 2 . Logo, um vetor nor-mal ao plano (2, 3, 2) .

    Como 2, 3, 52 (2, 3, 2) = 22 + 33 +5

    2 (2) = 0 , conclumos

    que a reta paralelaao plano.

    PG. 199

    1.

    a. Sendo (3, 2) o vetor diretor da reta, um vetor normal ter coor-denadas k(2, 3) , k IR \{0} .

    b. Como o declive da reta 2 , um vetor diretor da reta (1, 2)e um vetor normal ser da forma k(2, 1) , k IR \{0} .

    c. Tem-se 3x+y= 7 y= 3x+ 7 . Como o declive da reta 3, umvetor diretor da reta (1, 3) e um vetor normal ser da forma

    k(3, 1) , k IR \{0} .

    2. Tem-se 2(x+y) = 3 y= x 3

    2 . O declive da reta r 1, logo

    o declive da reta s perpendicular a r = 1 e um vetor diretor

    dessa reta (1, 1) .

    Equao vetorial da reta s: (x,y) = (1, 1) + k(1, 1) , k IR .

    Equao reduzida da reta s: y= x, pois 1 = 1 1 + b b= 0 .

    3. Um vetor diretor da reta AB AB

    =BA = (3, 4) e um vetor diretor

    da reta CD CD

    =DC= (4, 3) . Como (3, 4) (4, 3) = 0 , conclu-mos que as retas AB e CD so perpendiculares.

    4. Um vetor diretor da reta AB AB

    = B A = (2, 5) e o declive

    desta reta 5

    2 . Logo, o declive de uma reta perpendicular reta

    AB = 2

    5 e a equao reduzida dessa reta da forma

    y= 2

    5 x+ b, b IR.

    6. O plano que contm o tringulo [ABC] o plano definido pelostrs pontos no colineares A , B e C.

    Tem-se AB

    = B A = (2, 4, 0) e AC

    = C A = (2, 0, 2) . Seja

    n(a, b, c) um vetor normal ao plano definido por A , B e C. Esse

    vetor tem de verificar as condies:

    nAB

    nAC

    n

    AB

    = 0 n

    AC

    = 0 , ou seja,

    (a, b, c) (2, 4, 0) = 0

    2a 4b= 0

    b= 2

    1a

    (a, b, c) (2, 0, 2) = 0 2a+ 2c= 0 c= a

    O vetor n

    da forma a, 21a, a . Se considerarmos a= 2 ,

    vem n

    (2, 1, 2) e a equao pretendida 2x+y 2z+ d= 0 .

    Substituindo as coordenadas do ponto B, obtm-se

    2 0 4 2 0 + d= 0 d= 4 . Assim, a equao do

    plano que contm o tringulo [ABC] 2x+y 2z+ 4 = 0 .

    10. Tem-se : 2(x+y) = 2x z+ 1 2y+ z 1 = 0 e : 0 =x+ z . Logo,o plano paralelo ao eixo Ox, pois a primeira coordenada do

    respetivo vetor normal nula, e o plano paralelo ao eixo Oy,

    pois a segunda coordenada do respetivo vetor normal nula.

    PG. 202

    1.

    a. A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C(1, 1, 1) , D(1, 0, 1) , E(0, 0, 0) , F(0, 1, 0) , G(0, 1, 1) ,H(0, 0, 1) .

    b. EFG: x= 0 ; ABC: x= 1 ; ADH: y= 0 ; BCG: y= 1 ; ABF: z= 0 ;

    CDG: z= 1 .

    c. Vamos determinar vetores diretores das retas que contm as dia-gonais faciais do cubo.

    EG

    = G E= (0, 1, 1) , x = 0 y = z ;

    FH

    = H F= (0, 1, 1) , x = 0 y = z 1 ;

    AC

    = C A = (0, 1, 1) , x = 1 y = z ;

    BD

    = DB= (0, 1, 1) , x = 1 y = z 1 ;

    AH

    = HA = (1, 0, 1) , y = 0 x + 1 = z ;

    DE

    = E D= (1, 0, 1) , y = 0 x= z;

    BG

    = G B= (1, 0, 1) , y = 1 x + 1 = z ;

    CF

    = FC= (1, 0, 1) , y = 1 x= z;

    AF

    = F A = (1, 1, 0) , z = 0 x + 1 =y ;

    BE

    = EB= (1, 1, 0) , z = 0 x =y;

    CH

    = H C= (1, 1, 0) , z = 1 x =y ;

    DG

    = GD= (1, 1, 0) , z = 1 x+ 1 =y;

    2.

    a. A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0)

    C(0, 1, 3) , pois a altura do tringulo [ABC] determinada por

    x2 = 22 12 x = 3 .

    D(5, 0, 0) , pois a altura do prisma 5 cm.

    E(5, 2, 0) , F(5, 1, 3 )

    1

    1

    1

    5

    2

    z

    5

    2

    y+ 3

    3

    x+ 1

    2

    y+ 3

    3

    z

    y

    x

    D

    H

    A

    E

    C

    G

    B

    F

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    28/65

    2

    b. Tem-se AC

    = C A = (0, 1, 3 ) e AB

    = B A = (0, 2, 0) .

    Logo, AC

    AB

    = (0, 1, 3 ) (0, 2, 0) = 2

    c. V= 5 = 5 3 (cm3)

    d. ABE: z= 0

    Tem-se AD

    = D A = (5, 0, 0) e AC

    = C A = (0, 1, 3) . Sejan

    (a, b, c) um vetor normal ao plano que contm a face [ACFD] .

    Esse vetor tem de verificar as condies:

    nAD

    nAC

    n

    AD

    = 0 n

    AC

    = 0 , ou seja:

    (a, b, c) (5, 0, 0) = 0 5a = 0 a= 0

    (a, b, c) (0, 1, 3) = 0

    b+ 3c= 0

    b= 3c

    O vetor n

    da forma (0, 3c, c) . Se considerarmos c= 1 , vemn(0, 3 , 1) e a equao pretendida 3y+ z+ d= 0 . Recor-rendo s coordenadas do ponto A , obtm-se d = 0 . Assim,

    uma equao do plano que contm a face [ACFD] do prisma

    3y+ z = 0 .

    Tem-se BC

    = C B= (0, 1, 3) e BE

    = E B= (5, 0, 0) . Seja

    n

    (a, b, c) um vetor normal ao plano que contm a face [BCEF].

    Esse vetor tem de verificar as condies:

    nBC

    nBE

    n

    BC

    = 0 n

    BE

    = 0 , ou seja:

    (a, b, c) (0, 1, 3) = 0 b+ 3c= 0 b= 3c

    (a, b, c) (5, 0, 0) = 0

    5a = 0

    a= 0

    O vetor n

    da forma (0, 3c, c) . Se considerarmos c= 1 , vemn(0, 3, 1) e a equao pretendida 3y+ z+ d= 0 . Recorren-do s coordenadas do ponto B , obtm-se d= 2 3 . Assim,uma equao do plano que contm a face [BCEF] do prisma

    3y+ z 2 3 = 0 .

    e. Tem-se CF

    = F C= ( 5, 0, 0) , logo as equaes cartesianas da

    reta CF podem ser y= 1 z= 3 .

    f. Um plano paralelo face [BCEF] tem uma equao cartesianada forma 3y+ z+ d= 0 . Como esse plano contm a origem doreferencial, uma equao 3y+ z = 0 .

    PG. 203

    4.

    a. O ponto A tem de coordenadas (x, 0, 0) . Substituindo-as na equa-o que define o plano ABC, obtemos x= 2 . Assim, A(2, 0, 0). Pro-

    cedendo de forma idntica, obtm-se B(0, 1, 0) e C(0, 0, 2) .b. Tomando [AOB] para base da pirmide, tem-se:

    V= 3

    1 2 =

    3

    2

    PG. 204

    7.a. V(3, 3, 0)

    b. Um vetor diretor da reta FV FV

    = V F= (3, 3, 6) . Logo, as

    equaes cartesianas dessa reta podem ser:

    = = = = 6

    z .

    c. Uma equao cartesiana do plano EFG z = 6 .

    9. Vamos comear por escrever uma condio da reta perpendicularao plano que passa em P:

    = = x+ 1 =y

    2 = z 3

    De seguida, vamos determinar as coordenadas do ponto de inter-

    seo dessa reta com o plano:

    x 2y+ z= 3 x= 6

    5

    x+ 1 =

    y

    2 y= 2x 2 y=

    3

    1

    x+ 1 = z 3 z= x+ 4 z= 1

    6

    9

    Agora vamos determinar a distncia deste ponto ao ponto P:

    6

    5

    +

    1

    2

    +

    3

    1

    0

    2

    +

    1

    6

    9

    3

    2

    =

    Logo, a distncia do ponto P ao plano de equao x 2y+ z= 3

    .

    VOLUME 2

    INTRODUO AO CLCULO DIFERENCIAL I

    FUNES RACIONAIS E FUNES COM RADICAIS

    TAXA DE VARIAO E DERIVADA

    PG. 7

    1.

    a. D= {x IR: x+ 2 0} = IR \ {2}

    b. D= {x IR: x2 4 0} = IR \ {2, 2}

    c. D= IR

    d. D= {a IR: (a+ 5)(a 3) 0} = IR \ {5, 3}

    PG. 20

    9. A funo racional cujo grfico a hiprbole de assntotas x= 0

    e y= 2 tem uma expresso analtica da forma f(x) = 2 + a

    x . Como

    passa no ponto (3, 1) , verifica 1 = 2 + a

    3 , ou seja, a= 3 . Logo,

    f(x) = 2 3

    x .

    PG. 22

    13.

    a. = = , a= 4 , b= 0 , c= 2

    2 1

    2

    y 3

    3

    x 3

    3

    z 0

    6

    y 3

    3

    x 3

    3

    z 31

    y 02

    x (1)1

    6

    6

    6

    6

    2 3

    2

    4

    x+ 2

    12

    3(x+ 2)

    12

    3x+ 6

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    29/65

    28

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    b. 1 + = 1 + , a= 2 , b= 1 , c= 5

    2

    PG. 2418.

    a. f(x) = = 5 Assntotas: x= 2 , y= 5

    b. g(x) = = 3 + Assntotas: x= ,y= 3

    c. h(x) = = Assntotas: x= 3

    5 , y=

    3

    2

    PG. 32

    23.

    a. f(x) = x+ 3 x

    1

    2 Assntotas: x= 2 , y= x+ 3

    b. g(x) = = 2

    1 x 2

    2

    1

    x Assntotas: x= 0 , y=

    2

    1 x 2

    c. h(x) = = 2x+ 3 + Assntotas: x= 1 , y= 2x+ 3

    PG. 33

    26.

    a. = D= IR \ {2, 0}

    b. = D= IR \ {1}

    c. = D= IR \ {1, 1}

    27. = = x 2

    PG. 38

    32.a. = =

    D= IR \ {2}

    b. = =

    D= IR \ {3, 0, 3}

    c. : = =

    D= IR \ {2, 0, 1, 2}

    d. : = = 2x

    D= IR \ {2, 0}

    33.

    a. 1 + : = =D= IR \ {1, 0, 1}

    b. = = =

    D= IR \ {0, 2}

    PG. 39

    34.

    a. = 0 x 5 = 0 x+ 1 0 x= 5 x 1

    C.S. = {5}

    b. = 0 x2 4 = 0 x 2 0 (x= 2 x= 2) x 2

    C.S. = {2}

    c. = 3 3 = 0 = 0

    2x 5 = 0 x+ 1 0 x= 5

    2 x 1

    C.S. =

    5

    2

    d. = 2 2 = 0 = 0Impossvel C.S. = { }

    PG. 40

    35.

    a. = 6 + 6 = 0 = 0

    6x+ 9 = 0 x 1 0 x= 3

    2 x 1

    C.S. = 32b.

    4

    x + =

    4

    x + = 0

    = 0 = 0

    10x 8 = 0 x(x+ 2)(x 1)0 x= 4

    5 x 2x 0 x 1

    C.S. = 45

    13

    x+ 2

    5x 3

    x+ 2

    1

    2

    8

    2x+ 1

    5 6x

    2x+ 1

    1

    3

    0

    3x 5

    2

    3

    2x

    3x 5

    x2 4x 1

    2x

    5

    x 1

    2x2 + x+ 2

    x 1

    x 2

    3x

    x2 4

    3x2 + 6x

    x2 + x+ 1

    x 1

    x3 1

    x2 2x+ 1

    1 2x

    x+ 1

    2x2 3x+ 1

    1 x2

    x2 3x+ 2

    x 1

    f(x) f(1)

    x 1

    x

    6

    2x(x+ 2)

    3(x+ 2) 4

    x2 + 2x4

    2

    3x+ 6

    2

    a+ 3

    2a(a 3)a

    a2 (a 3)(a+ 3)

    a

    a2 9

    2a2 6a

    a2

    x+ 2

    x

    (x 2) (x+ 2)

    x2x(x 1)

    (x 1) (x 2)

    x2

    x2 4

    x2 x

    x2 3x+ 2

    x3 + 2x2

    2

    4

    x(x+ 2)

    x2(x+ 2)

    2

    x2 + 2x

    4

    x+ 1

    2

    (x 1) (x+ 1)

    2x

    x

    x 1

    2x

    x2 1

    1

    x 1

    1

    2x

    2 x

    2x(x 2)

    2

    2

    x

    x

    x 2

    x

    1

    2

    1

    x 2

    x 5

    x+ 1

    x2 4

    x 2

    2x 5

    x+ 1

    5x 2

    x+ 1

    5x 2

    x+ 1

    7

    x 3

    2x+ 1

    x 3

    2x+ 1

    x 3

    6x+ 9

    x 1

    1

    x 1

    2

    x 1

    1

    1 x

    2

    x 1

    6

    x 1

    2

    x+ 2

    6

    x 1

    2

    x+ 2

    10x 8

    x(x+ 2)(x 1)

    4(x+ 2)(x 1) + 2x(x1) 6x(x+ 2)

    x(x+2)(x 1)

    2

    x 5

    2

    4

    2x 5

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    30/65

    2

    c. + = + = 0

    x2 4 = 0 x2 2x 0 (x = 2 x= 2) x 0 x 2

    C.S. = {2}

    d. = + = 0

    = 0 = 0

    x2 + 5x 4 = 0 (x 1)(x 3)(x+ 3) 0

    (x= 1 x= 4) x 1 x 3 x 3

    C.S. = {4}

    e. + = = 0

    = 0 = 0

    x2 + 6x 8 = 0 3x 6 0 (x= 2 x= 4) x 2

    C.S. = {4}

    PG. 43

    40.

    a. x

    1 2

    x

    1 2 0 0 x0, 2

    1

    b. < 0 x ]2, 1[ ]2, +[

    c. > 0 x ], 3[]1, 2[

    d. 0 x2 6x< 0 x]0, 6[

    e. x

    12 0 xIR \ {0}

    f. 0 0

    0 x ], 2 [ [0, 2[ ]2, +[

    g. x 1 + 1 0 0

    0 x [0, 2 [ [4, +[

    PG. 51

    42.

    a. Df + g= Df Dg= IR \ {1, 2} ], 2] = ], 2[ \ {1}

    b. D = DfDg {xIR: g(x) 0} =

    = IR \ {1, 2} ], 2] IR\ {3} = ], 2[ \ {3, 1}

    c. D = DgDf {xIR : f(x) 0} =

    = ], 2] IR \ {1, 2} IR\ {2, 3} = ], 2[ \ {2, 1}

    d. D = DgDg {x IR: g(x) 0} =

    = ], 2] IR\ {3} = ], 2] \ {3}

    1

    x 1

    1

    (x 3)(x+ 3)

    4

    (x 1)(x+ 3)

    1

    x 1

    1

    9 x24

    x2 + 2x 3

    x2 + 5x 4

    (x 1)(x 3)(x+ 3)

    4(x 3) + x 1 (x 3)(x+ 3)

    (x 1)(x 3)(x+ 3)

    x 1

    3

    3

    3(x 2)

    x 1

    x 2

    x 1

    3

    3

    6 3x

    x 1

    x 2

    x2 + 6x 8

    3x 6

    3(x 1) 3 (x 1)(x 2)

    3(x 2)

    1 2x

    x

    4 x2

    x 1

    x+ 1

    (2 x)(x+ 3)

    x2 + 1

    x2 6x

    4x x(x+ 2)

    x2 4

    x

    x 2

    4x

    (x 2)(x+ 2)

    x

    x 2

    4x

    x2 4

    x2 + 2x

    x2 4

    4 x(x 2) + 2(x 2)

    2(x 2)

    x

    2

    2

    x 2

    1

    2

    2

    x 2

    x2 + 4x

    2x 4

    8

    x(x2)

    4

    x 2

    x 2

    x

    8

    x2 2x

    4

    x 2

    x 2

    x

    fg

    g

    f

    gg

    x 0 12

    +

    1 2x + + + 0

    x 0 + + +

    n.d. + 0

    x 2 1 2 +

    4 x2 0 + + + 0

    x 1 0 + + +

    + 0 n.d. + 0

    x 3 1 2 +

    x+ 1 0 + + +

    (2 x)(x+ 3) 0 + + + 0

    (2 x)(x+ 3)

    x 1 + n.d. 0 + n.d.

    x 2 0 2 +

    x2 + 2x 0 + 0

    x2 4 + 0 0 +

    n.d. + 0 n.d.

    x 0 2 4 +

    x2 + 4x 0 + + + 0

    2x 4 0 + + +

    + 0 n.d. + 0

    x2 + 2x

    x2 4

    x2 + 4x

    2x 4

    4 x2

    x 1

    1 2x

    x 1

    = 0 = 0

    (x 2)2 + 4x 8

    x2 2x

    x2 4

    x2 2x

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    31/65

    30

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    PG. 52

    43. Sejam f(x) = e g(x) =

    b. Dfg= Df Dg= IR \ {1} IR \ {1, 1} = IR \ {1, 1}

    (f g)(x) = f(x) g(x) = = + =

    = = = =

    D = Dg Df {xIR : f(x) 0} =

    = IR \ {1, 1} IR\ {1} IR \ {2} = IR \ {2, 1, 1}

    gf (x) = = = =

    PG. 56

    47. A imagem, por g, de f(3) g(f(3)) = g(5) = 5

    1 e a imagem, por f,

    de g(3) f(g(3)) = f31 = 3

    7 .

    48. (f g) (2) = f(g(2)) = f(4) = 5 (g f ) (2) = g(f(2)) = g(3) = 9

    PG. 5749.

    a. (g f ) (2) = g(f(2)) = g(1) = 1 (f g) (0) = f(g(0)) = f(2) = 1

    b. Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} =

    = {xIR : x[2, 3] f(x) [2, 2]} = [2, 3] [2, 1 ] = [2, 1]

    Dfg= {xIR : xDg g(x) Df} =

    = {xIR : x[2, 2] g(x) [2, 3]} = [2, 2]

    Dgf = [2, 2] Dfg= [1, 3]

    PG. 58

    50.

    a. g(f(x)) = 4 f(x) = 0 x= 2

    b. f(g(x)) = 2 g(x) = 0 x= 2 x= 2

    c. g(f(x)) 0 2 f(x) 2 4 x 0

    51. Df g= {xIR : xDg g(x) Df} =

    = xIR : xIR \ {0} IR \ {0} = IR \ {1, 0}

    Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} =

    = xIR : xIR \ {0} x

    1 IR \ {0} = IR \ {0}

    (g f )(x) = g(f(x)) = gx1 = = = 1 + x

    2

    (x+ 1)(x 1)

    x+ 2

    x+ 1

    2

    1 x2x+ 2

    x+ 1

    x

    x 1

    (x+ 2)(x 1) + 2

    x2 1

    g

    f

    2

    2 x x2

    1

    2

    x2

    x

    x

    +

    +

    2

    1

    g(x)f(x)

    2

    1 x2x+ 2

    x+ 1

    x2 + x

    x2 1

    x(x+ 1)

    (x+ 1)(x 1)

    2

    (1 x)(1 + x)x+ 1x+ 2

    x+ 1x

    x

    1 + 1

    x

    1

    x

    1

    f

    x

    y

    113 30

    1

    3

    1

    g

    x

    y

    113 30

    1

    2

    g

    x

    y

    124 30

    1

    3

    2

    f

    x

    y

    124 30

    1

    3

    2

    a. (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 2 + 2 = 4

    g

    f

    (2) = = = 0

    f(2)

    g(2)

    0

    32

    (f g)(x) = f(g(x)) = f =x+ 1xx

    x+ 1

    1 + x

    x

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    32/65

    PG. 60

    53. Seja f a funo definida por f(x) = 2x+ 1 e seja g a funo

    definida por g(x) =x 1 se x 0

    =x + 1 se 0 < x 5

    (g f )(x) = g(f(x)) =f(x) 1 se f(x) 0

    =f(x) + 1 se 0< f(x) 5

    =

    2x+ 1 1 se 2x+ 1 0=

    2x se x 2

    1

    2x+ 1 + 1 se 0 < 2x+ 1 5 2x+ 2 se 2

    1 < x 2

    PG. 64

    59. Seja f(x) = definida em [0, +[ .

    Tem-se Dg = 2

    1, +

    f(x) =y =y = x

    f1(x) = f1 : 21, + IR

    PG. 66

    61. g(x) =y =y 2x + 1 = xy+ 3y 1 3y= x(y 2)

    g1(x) = Dg1 = IR \ {2}

    PG. 69

    64.

    a. D= {x IR : 2 x 0} = ], 2]

    b. D= {x IR : x2 1 0} = ], 1] [1, +[

    c. D= IR

    d.D= x

    IR : 1

    3

    x

    0 = x

    IR :

    0 = ]

    , 0[

    [3, +

    [

    PG. 71

    67.

    a. Tem-se A = .

    Sendo BP= x e x= 2 , vem 62 = 22 + AP2 AP= 32= 4 2 .

    Logo, A = = 4 2 .

    b. Tem-se A = . Sendo BP= x, vem AP2 = 62 x2

    AP= 36 x2 Logo, A = , com x ]0, 6[ .

    c. O tringulo de maior rea o tringulo issceles, cujos catetos

    medem 3 2 , pois 62 = x2 + x2 x= 18= 3 2 .

    PG. 72

    68. Sejam f e g as funes definidas respetivamente por,

    f(x) = 1 x e g(x) = x2 .a. (g f)(x) = g(f(x)) = g( 1 x ) = ( 1 x)

    2= 1 x

    Dg f= {xIR : xDf f(x)Dg} =

    = {xIR : x], 1] 1 x IR} = ], 1]

    (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 1 x2

    Df o g= {xIR : xDg g(x)Df} =

    = {xIR : x2], 1]} = [1, 1]

    b. Df f= {xIR : xDf f(x)Df} =

    = {xIR : x], 1] 1 x ], 1]} = [0, 1]

    PG. 73

    69.

    a. x+1 + 1 = 2x x+1 = 2x 1 ( x+1)2 = (2x 1)2

    x+ 1 = 4x2 4x+ 1 4x2 5x= 0 x= 0 x = 4

    5

    Verificao:

    Para x= 0 , obtm-se 0+1 + 1 = 2 0 2 = 0

    Como esta afirmao falsa, conclui-se que 0 no soluo da

    equao.

    Para x=

    4

    5 , obtm-se

    4

    5 + 1 + 1 = 2

    4

    5

    5

    2

    = 5

    2

    Esta afirmao verdadeira e, portanto, 4

    5 soluo da equao.

    O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = 45 .

    b. x + 2x 3 = 3 2x 3 = 3 x ( 2x 3 )2 = (3 x)2

    2x 3 = 9 6x+ x2 x2 8x+ 12 = 0 x= 2 x= 6

    Verificao:

    Para x = 2 , obtm-se 2 + 2 2 3 = 3 3 = 3

    Como esta afirmao verdadeira, conclui-se que 2 soluo da

    equao.

    3x+ 2

    4

    4y 2

    3

    3x+ 2

    4

    4x 2

    3

    2x+ 1

    x+ 3

    1 3x

    x 2

    x 3

    x

    BP AP

    2

    2 4 2

    2

    BP AP

    2

    x 36 x2

    2

    A B

    P

    C

    x y =4x 2

    3

    x=1 3y

    y 2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    33/65

    32

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    Para x= 6 , obtm-se 6 + 2 6 3 = 3 9 = 3

    Esta afirmao falsa e, portanto, 6 no soluo da equao.

    O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = {2} .

    c. x+2 x= 2 x+2 = 2 + x ( x+2 )2 = (2 + x)2

    x+ 2 = 4 + 4x+ x2 x2 + 3x+ 2 = 0 x= 2 x= 1

    Verificao:

    Para x= 2 , obtm-se 2+ 2 (2) = 2 2 = 2

    Como esta afirmao verdadeira, conclui-se que 2 soluo da

    equao.

    Para x= 1 , obtm-se 1+ 2 (1) = 2 2 = 2

    Esta afirmao verdadeira e, portanto, 1 soluo da equao.

    O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = {2, 1}.

    PG. 7470.

    a. Tem-se A = 4 = 4 x= 4 . Logo, P(x, x ) = (4, 2) .

    b. Tem-se OP2 = x2 + ( x)2 OP= x2 +x .

    Logo, P = x + x + x2 +x , com x]0, +[ .

    PG. 82

    73.

    a. Dg= {xIR : x2 4 0} = IR\ {2, 2}

    b. g(x) = = =

    c. limx 2

    g(x) = limx 2

    =

    PG. 83

    74.

    a. = = = = x+ 2

    b. limx 1

    = limx 1

    (x+ 2) = 3

    75.

    a. g(1 + h) = (1 + h)2 + 3(1 + h) = h2 + h 2

    b. = = = h+ 1

    c. limh 0

    = limh 0

    (h+ 1) = 1

    76.

    a. limx 2

    f(x) = 1

    b. limx 1

    f(x) = 0

    c. limx 1+

    f(x) = 2

    d. limx +

    f(x) = 0

    e. limx 2+

    f(x) = +

    PG. 95

    38.

    a. f(0) = 1,6 8

    k = 1,6 k= 5

    b. f(t) = 1,9 = 1,9 t= 10 dias

    PG. 96

    45.

    a. (f+ g)(1) = f(1) + g(1) = 1 + (3) = 4

    b. (f g)(x) = 0 (x2 + 2x= 0 x 1)

    = 0 x > 1 x2 4 = 0 x2, 0, 2c. g

    f(x) 0 x ], 2[ ]2, 0] ]2, +[

    47.

    x x

    2

    2x 1

    x 2

    2(x+ 2)(x 0,5)

    (x+ 2)(x 2)

    2x2 + 3x 2

    x2 4

    5

    4

    2x 1

    x 2

    (x+ 2)(x 1)

    x 1

    x2 + x 2

    x 1

    x2 + x 3 (1)

    x 1

    f(x) f(1)

    x 1

    f(x) f(1)

    x 1

    h2 + h 2 (2)

    h

    g(1 + h) g(1)

    h

    g(1 + h) g(1)

    h

    3t+ 8

    1,5t+ 5

    h (h+ 1)

    h

    x+ 5

    2

    O A

    P

    x

    f

    x

    y

    0

    2

    1

    3

    124 3 5 x

    y

    f

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    112 2 x

    y

    h

    x 2 0 1 2 +

    x2 + 2x + 0 0 + +

    + + +

    x2 4 + 0 0 +

    + n.d. + 0 n.d. +

    x+ 5

    2

    f

    g

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    34/65

    3

    a. (h+ f) (2) = h(2) + f(2) = 3 + 0 = 3 (h g)(3) = h(3) g(3) = 0

    gf(1) = = = 16 g2(1) = g(1) g(1) = 31

    3

    1 =

    9

    1

    b. Df g= Df Dg= IR \ {3, 3} IR \ {2} = IR \ {3, 2, 3}

    (f g) (x) = f(x) g(x) = =

    c. D = DhDf {x IR: f(x) 0} = IR IR \ {3, 3} IR \ {2} =

    = IR \ {3, 2, 3}

    d. h(x) 3 x], 2] {0} [2, +[

    e. g(x) 1 1 0 x , 31 ]2, +[

    PG. 97

    50. f(x) = 2 x

    a. Df+ g= Df Dg= IR IR = IR

    b. f g tem trs zeros, que so as abcissas dos pontos de interseo

    dos grficos de f e g; g

    f no tem zeros.

    c. gf(x) 0 xIR \ {1, 2}

    PG. 98

    59. Tem-sey= yx+y= 2x 3 yx 2x= y 3 x= .

    62. Tem-se y= t = .

    Logo, t = e Da1 = [3; 10,5] . A funo inversa de a

    d o tempo, em horas, que decorreu depois de ser dado o alerta

    de fogo, em funo da rea ardida (em hectares).

    63.

    O grfico da funo f a semicircunferncia constituda pelos

    pontos de ordenada no negativa da circunferncia de centro no

    ponto de coordenadas (3, 0) e raio 2. Assim, a expresso analtica

    da funo f dada por:

    (x 3)2 +y2 = 22 y 0 y= x2 +6x5 ; D= [1, 5]

    66. g(x) = x2

    Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} = {xIR : f(x) [2, +[ } =

    = ], 2] {0} [2, +[

    67. Da equao da elipse vem y= 5

    3 25x2 .

    Como o ponto P tem coordenadas (x,y) , com x> 0 e y> 0 a

    rea do retngulo 2x 2y, ou seja,

    A = 2x 2 5

    3 25x2 = 25x2 .

    x 2

    x2 9

    x+ 3

    4 2x

    1

    6 2x

    h

    f

    x+ 3

    4 2x

    3x 1

    4 2x

    2x 3

    x+ 1

    y+ 3

    2 y

    3 + 12t

    1 + t

    y 3

    12 y

    a 3

    12 a

    2

    8

    1

    g(1)

    f(1)

    12x

    5

    1 2 x

    y

    g

    0

    Logo, g1(x) = e Dg1 = IR \ {2} .x+ 3

    2 x

    0

    1

    1

    2

    1 1 2 3 4 5 x

    y

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    112 2 x

    y

    f

    D = DgDf {x IR : f(x) 0} = IR IR \ {2} = IR \ {2}g

    f

    x 13

    2 +

    3x 1 0 + + +

    4 2x + + + 0

    4 2x

    3x 1 0 + n.d.

    x 1 2 +

    f(x) + + + 0

    g(x) + 0 + 0

    g(x)

    f(x)+ n.d. + n.d. +

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    35/65

    34

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    68.

    a. f(x) = x+ 5 + 42 +(x 3)2 f(x) = x+ 5 + x2 6x+25

    b. f(x) = 16 x + 5 + x2 6x+25 = 16 x2 6x+25 = x+ 11

    ( x2 6x+25)2 = (x+ 11)2 16x= 96 x= 6

    Verificao:

    Para x= 6 , obtm-se 6 + 5 + 62 6 6 + 25 = 16 16 = 16

    Como esta afirmao verdadeira, conclui-se que 6 soluo da

    equao.

    Para que o permetro do tringulo [OPQ] seja 16, a abcissa do

    ponto Q tem de ser 6.

    PG. 99

    1.

    1.1 f(0) = =10k

    0 , k o nmero de indivduos da referida

    espcie em 1 de janeiro de 2009.

    1.2

    a. f(12) = = 1,25

    Ao fim de um ano suposto existirem 125 indivduos da espcie.

    b. f(t) = 2 = 2 = 0

    2t 108 = 0 100 + t 0 t= 54 meses

    O nmero de indivduos da espcie em estudo deve atingir as duas

    centenas em julho de 2013.

    c. f(t+ 1) f(t) = =

    Para t IN , representa, aproximadamente, o aumento do n-

    mero de indivduos (em centenas) da contagem do dia 1 de um ms

    para o dia 1 do ms seguinte.

    d. 0 t 0

    t [23,6; +[

    O nmero de indivduos da espcie que, de acordo com o modelo apre-

    sentado, devem nascer no decorrer de janeiro de 2011, ser inferior a

    2. No entanto, se considerarmos que, qualquer valor no inferior a 1,5

    deve ser arrredondado a 2, a resposta ser o ms de Agosto de 2012.

    1.3 f(12) f(0) = 0,30 = 0,3 k= 120

    1.4 f(t) = = 4 +

    b= 4 ; se o programa se prolongar por muito tempo, o nmero

    de indivduos da espcie em recuperao vai estabilizar em torno

    de 400.

    1.5 Para que t passe a ser expresso em anos, basta substituir, naexpresso dada no enunciado, tpor 12t, obtendo-se a expresso

    pretendida.

    1.6 (C) h(x) = = 4 +

    As coordenadas do centro de simetria da hiprbole so (100, 4) .

    PG. 102

    4.

    a. Uma condio que define a semicircunferncia c :

    (x 2)2 +y2 = 4y 0

    b. (x 2)2 +y2 = 4y 0y= x2 +4x .

    Sabendo que o ponto P tem ordenada 1, vamos determinar a sua

    abcissa.

    x2 +4x = 1 x2 + 4x 1 = 0 x= 2 3 x= 2 + 3

    Logo, a rea de cada um dos tringulos que se obtm

    e , ou seja, e .

    c. A = = , com x]0, 4[ .

    d. Recorrendo calculadora grfica para determinar o mximo dafuno A , obtemos x= 3 .

    5.

    a. O comprimento do trajeto d pode ser dado em funo de x por

    d= AD+ DC.

    Como AD2 = AB2 + BD2AAD2 = 32 + (9 x)2

    4 0 + k

    100 + 0

    4 12 + 92

    100 + 12

    4t+ 92

    100 + t

    2t 108

    100 + t

    4(t+ 1) + 92

    100 + t+ 1

    4t+ 92

    100 + t

    308

    (101 + t)(100 + t)

    308

    (101 + t)(100 + t)

    4 12 + k

    100 + 12

    4 0 + k

    100 + 0

    4t+ k

    100 + t

    k 400

    100 + t

    4x+ k

    100 + x

    k 400

    100 + x

    (2 3) 1

    2(2 + 3) 1

    2

    2 3

    2

    2 + 3

    2

    x y

    2x x2 +4x

    2

    P(3, 4)

    QxO x

    y

    5

    B C

    A

    D x

    9 km

    3 km

    AD = x2 18x+90, vem d= x+ x2 18x+90, com x]0, 9[ .

    x

    y

    P

    B AO

    c

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    36/65

    3

    b. d= 10 x+ x2 18x+90= 10 x2 18x+90= 10 x

    ( x2 18x+90)2 = (10 x)2 x2 18x+ 90 = x2 20x+ 100

    2x= 10 x= 5

    Verificao:Para x= 5 , obtm-se 5 + 52 185 + 90 = 10 10 = 10

    Como esta afirmao verdadeira, conclui-se que 5 soluo da

    equao. Assim, o valor de x 5 km.

    c. Se x= 6 , o tringulo [ABD] issceles e a amplitude do ngulo

    ADC = .

    d. = tg x= 9 3 tg , ou seja, DC= 9 3 tg .

    Logo, DC= 9 3 = 9 .

    PG. 108

    82. A taxa mdia de variao de fno intervalo de extremos a e b

    igual ao declive da reta que passa em A e B, ou seja, tmv [a,b] = 3

    2 .

    PG. 111

    83.

    a. f(2) = limh2

    = limx 2

    = limx 2

    = limx 2

    (x+ 2) = 4

    b. limh 0

    = limh 0

    = limh 0

    =

    PG. 118

    88.

    a. f(x) = limh 0

    = limh 0

    =

    = limh 0

    = limh 0

    = limh 0

    = 2

    x

    b. Tem-se f(2) =

    2

    2= 1 e, portanto, o declive da reta tangente 1;

    f(2) =(

    4

    2)2 = 1 e 1 = 1 (2) + b b= 1 .

    Logo, a equao reduzida da reta tangente ao grfico de f no

    ponto de abcissa 2 y= x 1 .

    c. Para um determinado valor de b, a reta de equao y= 3x+ b

    tangente ao grfico de f . Ento, f (x) = 3 , para algum x IR .

    f (x) = 3 2

    x= 3 x= 6 e y= f(6) = 9 . Logo, 9 = 3 6 +bb= 9 .

    O ponto da tangncia tem coordenadas (6, 9) .

    PG. 121

    93. Tem-se g(x) = .

    a. A reta tangente ao grfico da funo g no ponto de abcissa 1

    tem equao reduzida y=mx+ b, ondem= g(1) = 4

    7 .

    g(1) = 4

    5 . Ento,

    4

    5 =

    4

    7 (1) +b b=

    2

    1 e a equao reduzida

    da reta y= 4

    7 x+

    2

    1 .

    b. x 4y= 0 y=

    4

    1 x

    g(x) = 4

    1 =

    4

    1 x=

    2

    1 ; g2

    1 = 4

    1

    4

    1 =

    4

    1

    2

    1 + b b=

    8

    1

    y= 4

    1 x+

    8

    1

    94. d(t) = 2,5t2 + 4t, d(t) = 5t+ 4

    a. d(2) = 2,5 22 + 4 2 = 18 , d(2) = 5 2 + 4 = 14

    Ao fim de 2 sa bola tinha percorrido 18 m e tinha atingido a velo-

    cidade de 14 ms1 .

    b.d(t) = 210

    2,5t

    2

    + 4t= 210

    t= 8,4 , d(8,4) = 5

    8,4 + 4 = 46 ms1

    PG. 124

    98. f(x) = 3ax2 + b

    O grfico de f interseta o eixo das ordenadas no ponto de orde-

    nada 1: f(0) = 1 c = 1

    A reta de equao y= 2x 2 tangente ao grfico de f no ponto

    de abcissa 1: f(1) = 2 e f(1) = 4 .

    f(1) = 2 3a+ b= 2 b= 2 3a

    f(1) = 4 ab+ c= 4 a 2 + 3a+ 1 = 4 a= 3

    2

    b= 2 3

    3

    2

    =

    1

    2

    3

    99. Tem-se h(x) = 3x2 10x.

    A reta tangente ao grfico da funo h no ponto de abcissa 3

    1

    tem declive h31 = 3 e a reta tangente ao grfico da funo

    h no ponto de abcissa 3 tem declive h(3) = 3 . As duas retas

    tm o mesmo declive, logo so paralelas.

    PG. 133

    108. Seja x o lado dos quadrados a retirar e seja C a funo que a

    cada x faz corresponder a capacidade da caixa.

    4

    3

    4

    9 x

    3

    13

    2

    13

    6

    f(x) f(2)

    x 2

    x2 4

    x 2

    f(2 + h) f(2)

    h

    (2 + h)2 4

    h

    h2 + 4h

    h

    f(x+ h) f(x)

    h

    (x+4h)2

    x4

    2

    h

    h2 + 2hx

    4h

    h+ 2x

    4

    3 4x

    4

    3 4x

    4

    (x+ 2)(x 2)

    x 2

    h(h+ 2x)

    4h

    Tem-se 1 + tg2 = 1 + tg2 = tg = .1

    cos2

    1

    6

    7

    2

    13

    6

    DC= 9 km 132

    = limh 0

    = limh 0

    (h+ 4) = 4h(h+ 4)

    h

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    37/65

    36

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    Tem-se C(x) = (30 2x)(16 2x)x= 4x3 92x2 + 480x e

    C(x) = 12x2 184x+ 480 .

    C(x) = 0 12x2 184x+ 480 = 0 x= 1

    3

    0 x= 12.

    A medida dos lados dos quadrados que maximiza a capacidade

    da caixa aproximadamente 3,3 cm.

    PG. 145

    3. tmv[4, b] = = = 5

    1

    =51 5 b 10 =b 4 5 b =b+ 6 25b= (b+ 6)2

    b2 13b+ 36 = 0 b= 4 b= 9

    Como b> 4 , tem-se b= 9 . O intervalo [4, 9] .

    7.

    a. f(x+ h) f(x) = 3(x+ h) (x+ h)2 3x+ x2 = 3h 2xh h2

    b. f (x) =limh0

    =limh0

    =limh0

    (3 2xh) = 3 2x

    c. Tem-se f(2) = 2 , f(2) = 1 e 2 = 1 2 +b b= 4 . Logo, y= x+ 4 .

    d. Tem-se xy= 2 y= x 2 , f(x) = 1 x= 1 ,

    f(1) = 2 e 2 = 1 1 + b b= 1 . Logo, a equao pedida y= x+ 1 .

    PG. 146

    10. Seja f a funo definida por f(x) = 1 x2 3x.

    Ento, f (x) = 2x 3 e f(0) = 3 .

    Logo, = tg1 ( 3) + 180o = 120o .

    15.

    a. ax+ 2a+ b+ = =

    = = f(x)

    b. f (x) = ax+ 2a+ b+ = ac. O ponto A(0, 5) pertence ao grfico de f:

    f(0) = 5 = 5 c= 10

    A reta tangente ao grfico de fno ponto A paralela ao eixo das

    abcissas:

    f (0) = 0 a = 0 c= 10 b= 5

    A reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 1 tem declive 3:

    f (1) = 3 a = 3 c= 10 b= 5 a= 1

    16. Tem-se f(x) = x+ 3 , f(a) = a+ 3 , f(a) =a

    2

    2

    + 3a

    a

    2

    2

    + 3a= (a+ 3)a+ b b= 2

    1a2

    y= (a+ 3)x 2

    1a2

    A reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa a passa no

    ponto de coordenadas 0, 32 e, portanto, 21a2 =

    3

    2 .

    2

    1a2 =

    3

    2 a= 3 a = 3

    PG. 147

    18.

    a. Por leitura do grfico, conclui-se que g(4) = 1 e, portanto, m= 1 .

    2 = 1 4 + b b= 6 . Logo, y= x 6 .

    b. A afirmao falsa, pois, como g positiva no intervalo [1, 6] ,a funo g crescente nesse intervalo.

    19.

    a. f(x) = x2 4x 5

    f(x) = 0 x2 4x 5 = 0 x= 1 x= 5

    f crescente em ], 1] e em [5, +[ e decrescente em [1, 5] .

    f tem mximo relativo f(1) =1

    3

    4 e f tem mnimo relativo f(5) =

    9

    3

    4

    b. A reta tangente ao grfico de fno ponto da abcissa 1 a reta de

    equao y = 1

    3

    4 .

    f(x) = 1

    3

    4

    x

    3

    3

    2x2 5x+ 2 = 1

    3

    4

    x

    3

    3

    2x2 5x+ 2 1

    3

    4 = 0.

    f(b) f(4)

    b 4

    b 2

    b 4

    b 2

    b 4

    f(x+ h) f(x)

    h

    3h 2xh h2

    h

    4a+ 2b+ c

    x 2

    (ax+ 2a+ b)(x 2) + 4a+ 2b+ c

    x 2

    ax2 + bx+ c

    x 2

    4a+ 2b+ c

    (x 2)2

    0 + 0 + c

    0 2

    4a+ 2b+ c

    (0 2)2

    4a+ 2b+ c

    x 2

    4a+ 2b+ c

    (1 2)2

    x

    y

    0

    1

    1 4 6

    x 1 5 +

    f + 0 0 +

    fMx.relat.

    Min.relat.

    x 0 103 8

    C + 0

    CMx.abs.

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    38/65

    3

    Como f(1) = 1

    3

    4 , podemos decompor

    x

    3

    3

    2x2 5x+ 2 1

    3

    4 em

    fatores, dividindo este polinmio por x+ 1 .

    Tem-se x

    3

    3

    2x2 5x+ 2 1

    3

    4 = 0 (x+ 1)13 x2

    7

    3 x

    8

    3 = 0

    x= 1 x = 8 . As coordenadas pedidas so 8,143 .

    PG. 148

    25.

    a. A expresso representa a medida do comprimento da

    outra aresta da base.

    b. Seja h a medida da altura dos paraleleppedos desta famlia.

    Tem-se V=a h e, portanto, h=a(P

    2V

    2a) .

    Assim, a expresso dada representa a medida da altura do para-leleppedo.

    c. A = 2a + 2ah+ 2h

    Se P= 20 e V = 50 , h=a(

    2

    20

    5

    2

    0

    a) e

    A = 2a20

    2

    2a + 2a

    a(

    2

    20

    5

    2

    0

    a) + 2

    a(

    2

    20

    5

    2

    0

    a)

    20

    2

    2a =

    =

    e A = 2r2 + 2rh A = + 2 12h .

    27. Tem-se 2rh+ 2r2 = 80 h=

    e V = r2h V= 40rr3 .

    28.

    a. D= ]0, 8[

    b. Como o tringulo [ABC] issceles (AB

    =BC

    ) , tambmQP

    =PC

    .

    f(x) = =

    f (x) = = 4 x, f(x) = 0 4 x= 0 x= 4

    f tem como mximo absoluto f(4) = 8 .

    c. O tringulo [PBQ] que tem maior rea issceles.

    PG. 156

    7.

    7.1 I(0) = 2 b c

    1 = 2

    O nmero de infetados estabilizou quando atingiu aproximada-

    mente o dobro de infetados da contagem inicial, logo, b= 4 .

    4 c

    1 = 2 c=

    2

    1

    7.3

    a. I(3,5) = = 0,0625 ; 62,5 infetados por semana.

    9.1 A expresso representa o custo mdio de produo de

    cada unidade quando se produzem x unidades.

    9.2 Suponhamos que, para um determinado produto,

    C(x) = 0,3x2 + 2x+ 400 d o custo de produo de x unidades.

    a. C(41) C(40) = 26,3 C(51) C(50) = 32,3

    b. C(x) = 0,6x+ 2

    C(40) = 0,6 40 + 2 = 26 C(50) = 0,6 50 + 2 = 32

    Os custos marginais so prximos das diferenas determinadas; di-

    ferem apenas de 3 dcimas.

    c. C(x+ 1) C(x) = 0,3(x+ 1)2 + 2(x+ 1) + 400 0,3x2 2x 400 = 0,6x+ 2,3

    d. O custo marginal, C(x) , d um valor aproximado do custo de pro-

    duo de mais uma unidade, quando j se produziram xunidades.

    PG. 158

    12.

    24

    h

    40 r2

    r

    (8 x)x

    2

    8x x2

    2

    P 2a

    2

    P 2a

    2

    P 2a

    2

    2a2(10 a)2 + 1000

    a(10 a)

    P 2a

    2

    8 2x

    2

    1

    (3,5 + 0,5)2

    C(x)

    x

    26. Tem-ser

    2

    h= 12 r2

    = r=

    12

    h

    12h

    h

    C

    Q

    A B

    P

    x

    x 0 4 8

    f + 0

    fMx.

    absoluto

    x

    y

    A B

    CO

    7.2 I(t) = > 0, t 01(t+ c)2

    b. I(t) < 0,03 < 0,03 t> 5,3 ; no decorrer da quinta

    semana.

    1

    (t+ 0,5)2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

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    38

    RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

    12.1 2

    2

    + x (4 x2) =

    12.2

    = , = 0 x=

    2

    3

    Seja A(x) a rea do trapzio em funo de x:

    B32 ,

    3

    9

    2

    12.3 B(1, 3 ) , C(2, 0) , m= 3 = tg1(3) + 180o 108o

    12.4a. Tem-se OC= 2 , OA= 4 x2 , AB= x e BC2 = (2 x)2 + (4 x2)2

    BC= x47x2 4x+20

    Logo, p(x) = 6 + x x2 + x47x2 4x+20.

    b. lim p(x) = limx 0+

    (6 + x x2 + x47x2 4x+20) = 6 + 20

    Quando x tende para 0, o ponto B tende a coincidir com o ponto

    A ; o trapzio tende para o tringulo retngulo [OAC] de catetos

    4 e 2 e hipotenusa 20.

    limx 2

    p(x) = limx 2

    (6 + x x2 + x47x2 4x+20) = 4

    Quando x tende para 2, o ponto A tende a coincidir com o

    ponto O , o ponto B tende a coincidir com o ponto C e o valor de

    limx2

    p(x) corresponde ao dobro do comprimento do segmento [OC] .

    PG. 159

    14.

    a. Tem-se f3(x) = 0 3 = 0 x= . Logo, A = , 0 .

    A = CD A =1 +

    2

    3 A =

    b. Tem-se fa(x) = 0 a = 0 x = .

    Logo, A =

    , 0

    Tem-se fa(0) = a = a 1 . Logo, B(0, a 1) .

    c. A = CD A =1 +

    2

    a

    2a

    a

    2 A =

    a2

    a

    1

    Observaes:

    A abcissa de A a soluo da equao f(x) = 0

    a = 0 x= .

    A altura do trapzio simtrica da abcissa do ponto A , uma vez

    que esta negativa.

    A base menor sempre igual a 1: BC= a f(0)

    BC= a a BC= 1 .

    VOLUME 3

    SUCESSES

    PG. 19

    3. Na sucesso (un) , os termos decrescem do 1.o ao 11.o termo e cres-cem a partir do 11.o termo. Logo, a sucesso (un) no montona.

    PG. 21

    5. Sejam (an) e (bn) as sucesses definidas respetivamente por:

    an= (1)n+ 5 e bn= (1)

    nn.

    Se n par, an = 6 ; se n mpar, an= 4 . Logo, 4 an 6 , ou

    seja, (an) limitada.

    Se determinarmos os primeiros termos da sucesso (bn) , obtemos

    1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Verificamos que os termos de ordem mpar

    so os simtricos dos nmeros mpares e os termos de ordem par

    so os nmeros pares. Os termos de ordem mpar decrescem para

    . Os termos de ordem par crescem para + . Conclumos ento

    que (bn) no limitada.

    PG. 22

    6. Seja (un) o termo geral de uma sucesso e suponhamos que existem IR+ de modo que nIN , |un| m.

    Ento, nIN , m un m, ou seja, (un) limitada.

    PG. 31

    15.

    c. Da igualdade wn+ 1 = 4

    3wn , conclumos que r =

    4

    3 .

    Logo, wn= 6 43

    n 1

    .

    2

    x+ 2

    2 2a

    a

    2 2a

    a

    2

    0 +2

    BC + AD

    2

    2

    x+ 2

    4

    3

    4

    3

    BC + AD

    2

    4

    3

    8

    3

    4 4x 3x2

    2

    4 4x 3x2

    2

    8 + 4x 2x2 x3

    2

    2

    0 + 2

    2

    x+ 2

    2 2a

    a

    8 + 4x 2x2 x3

    2

    x

    y

    D

    A

    C

    B

    0

    fa

    x 0 23 2

    A + 0

    AMx.abs.

    Tem-se f3 (0) = 3 = 2 . Logo, B= (0, 2) .2

    0 + 2

  • 7/27/2019 Mat Caderno Professor

    40/65

    3

    d. Tem-se t

    t

    6

    3

    = r3 , que equivalente a:

    21

    1

    6 = r3 r =3 2116 r = 61 . Logo, tn= 2 61

    n 3

    .

    PG. 34

    18. 1000 (1 + 0,05)6 1340,10

    PG. 35

    19. 20 000 (1 0,1)12 5649 peixes

    PG. 40

    6.

    a. A partir de uma folha de papel A4 possvel obter duas folhas A5 ;

    a partir de uma folha de papel A3 possvel obter duas folhas A4 ;

    a partir de uma folha de papel A2 possvel obter duas folhas A3 ;

    a partir de uma folha de papel A1 possvel obter duas folhas A2 ;

    a partir de uma folha de papel A0 possvel obter duas folhas A1 .

    Logo, a partir de uma folha A10 possvel obter 2 2222 = 32

    folhas de papel A5 .

    b. A razo entre as reas de uma folha de papel A1 e uma folha de

    papel A0 2

    1 .

    A razo entre as reas de uma folha de papel An e uma folha de

    papel An 1 tambm 2

    1 .

    c. Considere-se uma folha de papel de um destes formatos, de dimen-

    ses a e b, que dobrada ao meio segundo o seu comprimento.

    Mostremos que as folhas so retngulos semelhantes se e s se o

    quociente entre o comprimento e a largura da folha 2 :

    a

    b =

    2

    b2 = a2

    a

    b = 2

    PG. 43

    6.

    a. c1 = 3 , c2 = 2 3 = 6 , c3 = 2 6 = 12

    b. c3 = 2 2 3 = 22 3 , c10 = 2

    9 3 = 1536

    c. cn= 2n 1 3

    10.

    a. A sucesso (an) decrescente. Assim, o 1.o termo um majorante.Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 6, nunca

    chegando a tomar esse valor.

    Logo, nIN , 6 < an 7 .

    b. A sucesso (bn) crescente. Assim, o 1.o termo um minorante.

    Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 4, nunca

    chegando a tomar esse valor.

    Logo, nIN , 3 bn < 4 .

    c. A sucesso (cn) decrescente. Assim, o 1.o termo um majorante.

    Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 1, nunca

    chegando a tomar esse valor.

    Logo, nIN , 1 < cn 3 .

    17.

    O comprimento das semicircunferncias da figura obtm-se

    somando os comprimentos das cinco semicircunferncias que

    formam a figura dada. Vamos calcular os comprimentos dessas

    semicircunferncias, comeando no interior da espiral. O

    comprimento da 1.a semicircunferncia dado por = ;

    o comprimento da 2.a semicircunferncia dado por

    = 3

    2 ; o comprimento da 3.a semicircunferncia

    semicircunferncias da figura + 3

    2 + 2 +

    5

    2 + 3 = 10 .

    18. Seja (an) uma progresso geomtrica tal que o 4.o termo e o

    6.o termo so respetivamente 15 e 1,35. Tem-se a

    a

    4

    6 = r2 , que

    equivalente a: 1,

    1

    3

    5

    5 = r2 r2 = 0,09 r = + 0,09

    r = 0,3 r= 0,3 .

    a

    b

    2

    2 1

    2

    2 3

    2

    2

    a

    b

    0 42 3112

    y

    x

    d. 1,4138 21189841

    ferncia dado por = 3 . Assim, o comp