Uitwerking OefeningenSpeciale Relativiteitstheorie

Lorentztransformaties

versie 1.3, januari 2003

Inhoudsopgave

2 Lorentztransformatie 22.1 Inverse Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Klokken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Knal en Lichtflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Michelson-Morley experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Boeven vangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Lorentztransformatie

2.1 Inverse Lorentztransformatie

a. Uit de de Lorentztransformatie voor x volgt :

x = (x ct) x

= x ct

x = x

+ ct.

En uit de Lorentztransformatie voor ct volgt:

ct = (ct x) ct = ct x ct = ct + x ct = ct

+ x.

De vergelijking

x =x

+ ct

is nog niet helemaal wat we willen, want er staat nog een ct in (en wewillen iets met ct). Daarom vullen we nu bovenstaande formule voorct in:

Dan krijgen we:

x =x

+ (

ct

+ x)

x = x

+ct

+ 2x

(1 2)x = x

+ct

x2

=1

(x + ct)

x = (x + ct)

2

En dat is de inverse Lorentztransformatie voor x. Op dezelfde maniervinden we:

ct = (ct x) ct

= ct x

ct =ct

+ x

ct = ct

+

x + 2ct

(1 2)ct = 1

(ct + x)

ct2

=1

(ct + x)

ct = (ct + x)

b. Uit

x = (x + ct)

x = 0

volgt:

0 = (x + ct)

x = ct

Aangezien

c = v

wordt dit:

x = vt

S beweegt dus met snelheid v door S .c.

x = (x ct) = ctct = (ct x)

3

Hieruit volgt:

x ct = ct x x(1 + ) = ct(1 + )

x = ct

d. Lichtstraal schijnt langs de y-as dus is :

x = 0x = (x + ct) = ct

ct = (ct + x) = ct ct = ct

en dus :

x = ct

vx = dxdt

= c

en is :

y = ct (y = y)y = ct

ct = ct ct = ct

en dus :

y =1

ct

vy = dydt

=c

.

Voor de totale snelheid hebben we:

v2 = v2x + v2y

= (c)2 + (c

)2

= 2c2 + c2(1 2)= c2.

dus |v| = c, zoals te verwachten was.

4

2.2 Klokken

a.

ctA = (ctA xA)ctB = (ctB xB)

Aftrekken levert :

c(tB tA) = (ctB xB ctA + xA)tB tA =

c(xA xB)

= c

(xB xA)En dus :

t = c

x

b. Naar rechts (stijgende positieve x): S -klokken lopen steeds meerachter.Naar links (dalende negatieve x): S -klokken lopen steeds meer voor.

c.

ctB = (ctB + x

B)

ctA = (ctA + x

A)

Aftrekken levert :

c(tB tA) = (ctB + xB ctA + xA)= (xB xA)

tB tA = c

(xB xA)En wordt :

t =

cx

d. De situatie wordt als volgt:

e. Nee: bij B loopt S achter op S (S loopt voor op S ).Bij A loopt S voor op S (S loopt achter op S ).

f. Door tijddilatatie raken bewegende klokken die voor lopen na een tijdjeachter.

5

A BS

x

y

A B

y

x

S

v

2.3 Knal en Lichtflits

a. Tegelijkertijd.

b. Nog steeds tegelijk! De geluidssnelheid is constant ten opzichte van delucht.

c. Weer gelijk.

d. Nu eerder in B dan in A. De lichtsnelheid is ook t.o.v. de waarnemergelijk aan c.

2.4 Michelson-Morley experiment

De lichtsnelheid is steeds c (dus niet c v).De lengte van de lat in S is l

a. Op de heenweg legt de lichtstraal een afstand l

+ vth. De snelheid isc, dus hij doet er

th =( l

+ vth)

c

over. Hieruit vinden we:

th vcth =

l

c

(c v)th = l

th = l(c v) .

6

De terugweg is korter: l vth. De berekening van tt gaat hetzelfde als

die van th, maar nu met een voor de v:

tt =( l

+ vth)

c

tt + vctt =

l

c

tt = l(c+ v)

.

De totale tijd tx is dus:

tx = th + tt =l

( 1c+ v

+1

c v)

=l

( 1c+ v

c vc v +

1

c vc+ v

c+ v

)=

l

( c vc2 v2 +

c+ v

c2 v2)

=l

2c

c2 v2

=l

2

c(1 v2/c2)=

l

22

c

=2l

c.

b. Er is geen Lorentz-contractie in de richting loodrecht op de beweg-ingsrichting.

c. De heen en terugreis zijn nu even lang: De lengte van de totale reis is(Pythagoras):

cty =

(2l)2 + (vty)2

c2(ty)2 = (2l)2 + (vty)2 (ty)2(c2 v2) = 4l2

ty = 2lc2 v2

=2l

c

1 2

=2l

c

7

Dus dezelfde tijden, net als in opgave Michelson en Morley voor geluid.O ligt dan op x = vtx,y = 2l.

d. De Lorentztransformatie maakt uit de gelijke spiegeltijden in S ookgelijke tijden in S en maakt van de lichtsnelheid c in S opnieuw licht-snelheid c in S . De tijden van de S -klok in O krijgen een tijddilatatiemet een factor in S.

2.5 Boeven vangen

a.

x = (x ct) enct = (ct x) met x = V t

Dus :

V

c(ct x) = (x ct)

(1 + Vvc2

)x = (V + v)t

b. Uit x = V t volgt:

V =V + v1 + V

vc2

c. Met V = c wordt ditV =

c+ v

1 + cvc2

= c

dus c blijft c.

d. Invullen in de optel-formule :

V =V + v1 + v

vc2

=13

+ 12

1 + 13 1

2

c =5

7c

e. dus V is kleiner dan 34c!

8

LorentztransformatieInverse LorentztransformatieKlokkenKnal en LichtflitsMichelson-Morley experimentBoeven vangen