7/22/2019 Les3 Het Logistische Iteratieproces

1/3

Les3

Opgave

Gegeven het iteratieproces tn+1 = 1 tn en t0=

Is dit proces het lineaire iteratieproces ?

Bepaal het evenwicht en onderzoek de stabiliteit

Bereken de eerste ! ter"en van deze ri# $at valt #e op

Gee% een gra%ische voorstelling van dit iteratieproces

&eriodieke ri#en

'et logistische iteratieproces

&op(laties k(nnen in de begin%ase e)ponenti*le groei vertonen "aar op den d((r nee"t de

groei a% bi#voorbeeld doordat er beperkt voedsel beschikbaar is

at "odelleren we "et het logistische iteratieproces,

$e onderzoeken het logistische iteratieproces nader voor a = 1 en 0 - t 0- 1

Toegepaste Analyse 14 april 2008

1

tn+1= k.a tn/tn a k 0

2en ri# t1 t3 t455is periodiek "et periode k als

tn = tn+k voor n = 1 3 4 6555

7/22/2019 Les3 Het Logistische Iteratieproces

2/3

Les3

tn+1= k.1 tn/tn

7ies k = 8 en t0= 8

t1= 0139 evenwicht 8 .1 t/ t = t

t3= 0096: t = 0 stabiel

t4= 0039;

t6= 0013!

t9= 000!3

li" tn = 0n .%ig((r 1< blz 1; /

tn+1= k.1 tn/tn

7ies k = 3 en t0= 0:9

t1= 04:9 evenwicht 3.1 t/ t = t

t3= 06!;:9 t = 0 instabiel .>agaan /

t4= 06

7/22/2019 Les3 Het Logistische Iteratieproces

3/3

Les3

7ies k = 49

Bereken de evewichten en onderzoek de stabiliteit

tn+1= 49.1 tn/tn

49.1 t/ t = t t = 0 en t =:

9

%.t/ = 49.1 t/ t% @.t/ = 49 :t

% @.0/ = 49 instabiel

% @.7

5/ = 19 instabiel

e ri# t0 t1 t3 t45 hee%t geen li"iet . zie verder blz 31/

eze ri# nadert op den d((r tot een periodieke ri# "et periode 6

Aoncl(sie

'et gedrag van het logistische iteratieproces hangt sterk a% van k

lleen voor 0 - k 6 is de ri# tnbegrensd

Coor 0 - t0- 1 geldt , li" tn = 0 voor 0 - k - 1

n 1 k

1voor 1 - k - 4

Coor 0 - k - 1 nadert elke ri# "et startwaarde 0 - t 0- 1 het evenwicht t = 0

Coor 1 - k - 4 nadert elke ri# "et startwaarde 0 - t 0- 1 het evenwicht t = 1 k

1

Coor 4 - k 6 hee%t de ri# t0 t1 t35 geen li"iet

Beide evenwichten zi#n instabiele ri# wordt periodiek o% zel%s onregel"atig

Opgave 13; 13< 140 141 143 160

Toegepaste Analyse 14 april 2008

4