Kegelsneden

John Val

21st March 2016

1 Kegelsnede

Een kegelsnede is de doorsnede van een kegel en een vlak. In deze tekst zal worden aangetoond datde doorsnede een punt, een lijn, een lijnenpaar, een cirkel, een parabool, een ellips of een hyperboolkan zijn.

Een kegel is een driedimensionaal object dat we overal in een driedimensionale ruimte kunnenplaatsen. Het object kan als volgt gevormd worden: Kies een lijn (de as) en een punt O op die lijn.Een tweede lijn snijdt de as in het punt O, Deze lijn wordt vervolgens geroteerd om de as. Omeenvoudig wiskundig inzicht in een kegel te krijgen kiezen we een coordinaten systeem zodanig datde oorsprong O het midden van de kegel is en kiezen we de richting van de z-as gelijk aan de as vande kegel. De tweede lijn maakt een hoek α met de as.

Figuur 1: fig:kegelsneden

Een kegelsnede kan vervolgens worden weergegeven als een vergelijking in een twee dimensionaalcoordinaten stelsel van het snijvlak (een twee dimensionale ruimte) van de vorm:

k : ax2 + 2hxy + by2 + 2gx+ 2fy + c = 0 (1)

1

Tabel 1: Criteria vorm kegelsnede

h2 = ab en er geldt niet(gf

)2= a

b∧ fg = hc: De vergelijking is een parabool

h2 < ab: De vergelijking is een ellips

h2 > ab: De vergelijking is een hyperbool

a = b en h = 0 en c− f2+g2

a≤ 0: De vergelijking is een cirkel

a+ b = 0: De vergelijking is een rechthoekige hyperbool

b = f = 0: De kegelsnede is ontaard in twee snijdende rechten

Vergelijking (1) is een kwadratische vergelijking in twee variabelen x en y. De parameters in devergelijking bepalen de vorm van de kegelsnede . In tabel 1 is weergegeven welke combinatie eenbepaalde kegelsnede levert. In het vervolg van deze tekst worden deze criteria afgeleid. Vervolgenskijken we naar doorsneden van kegelsneden met lijnen en bepalen we raaklijnen aan kegelsneden.Als laatste staan we stil bij de bewijzen dat de doorsneden van een kegel met een vlak ook werkelijkellipsen, hyperbolen en parabolen zijn.

1.1 Cirkel

In deze sectie concentreren we ons op de cirkel. Een cirkel C: is gedefinieerd als de verzamelingpunten X = (x, y) die een gelijke afstand (r) hebben tot een middelpunt M = (xM , yM). Dezeafstand r wordt de straal van de cirkel genoemd.

C : d(X,M) = r (2)

Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van M naar X

C : | ~XM | = r (3)

ofwel

C :< ~X − ~M, ~X − ~M >= r2. (4)

Het uitwerken van dit inproduct levert

C : (x− xM)2 + (y − yM)2 = r2 (5)

Herleiden geeft

C : x2 + y2 − 2x · xM − 2y · yM + x2M + y2M − r2 = 0 (6)

2

Deze vergelijking kunnen we zonder de cirkel te veranderen met een constante vermenigvuldigen b.v.u. Dit levert:

c : ux2 + uy2 − 2ux · xM − 2uy · yM + ux2M + uy2M − ur2 = 0 (7)

Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1). Dan is a = b = u,h = 0, g = −uxM , f = −uyM en c = ux2M + uy2M − ur2. Merk op dat altijd geldt: a = b. Dit is dus

het criterium voor de cirkel in de lijst van criteria (1) aangevuld met de conditie c− f2+g2

a≤ 0.

Opdracht: Verklaar deze conditie.

Voorbeeld:

Opdracht:Bepaal algebraısch het middelpunt en de straal van de cirkel

c : 2x2 + 2y2 − 8x+ 4y − 22 = 0

:Oplossing:Deel vergelijking door 2: c : x2 + y2 − 4x+ 2y − 11 = 0Splits kwadraten af: c : (x− 2)2 + (y + 1)2 − 4− 1− 11 = 0Herschrijf: c : (x− 2)2 + (y + 1)2 = 16Dus: r = 4 en M = (2,−1)

Opgaven:

Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren.

1. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 2.

2. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (−2, 4) die door het punt A = (3, 3)gaat.

3. Bepaal algebraısch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaalindien mogelijk algebraısch het middelpunt en de straal.

(a) P : 3x2 + 3y2 − 24x+ 6y + 24 = 0

(b) Q : 2x2 + 4y2 − 3x− 6y − 13 = 0

(c) R : x2 + y2 − 3x− 4y = 0

(d) S : 3x2 + 3y2 − 2x+ y + 1 = 0

4. Voor welke waarde(n) van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal 1?C : x2 + y2 − 4x+ 2fy + 12 = 0

5. Voor welke waarde(n) van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat?C : ax2 + 2y2 − 4x+ 8y + c = 0

6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

3

1.2 Parabool

Een parabool P is gedefinieerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebben

tot een lijn l :< ~X,~nl >= w genaamd de richtlijn en een punt F = (s, t) die we het brandpuntof de focus noemen. ( constructie parabool ) De lijn is hier gegeven in inproduct notatie waarin

~X =

(xy

)en ~nl =

(uv

)de normaalvector van de lijn l zijn. De definitie leidt tot de volgende

vergelijking:

P : d(X,F ) = d(X, l) (8)

Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van F naar X en de afstand van een punttot een lijn.

P : | ~XF | = | < X,nl > −w||nl|

(9)

ofwel

P : (x− s)2 + (y − t)2 =(ux+ vy − w)2

u2 + v2(10)

Opgaven:

7. Herleid deze vergelijking tot

P : v2x2−2uvxy+u2y2 +2(uw−s(u2 +v2))x+2(vw− t(u2 +v2))y+(s2 + t2)(u2 +v2)−w2 = 0

Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1). Dan is

a = v2 (11)

b = u2 (12)

h = −uv (13)

g = uw − s(u2 + v2) (14)

f = vw − t(u2 + v2) (15)

c = (s2 + t2)(u2 + v2)− w2 = (s2 + t2)(a+ b)− w2 (16)

Merk op dat h2 = (uv)2 = ab een van de criteria voor een parabool in de lijst van criteria (1). Dit isechter niet een voldoende voorwaarde zoals we later zullen zien.

Opgaven:

8. Opdracht: Leg uit waarom deze vergelijking geen cirkel kan zijn en waarom een cirkel geenparabool kan zijn?

4

9. Gegeven is het brandpunt M =

(10

)en de richtlijn l : 2x+ y = −2. Stel een vergelijking op

van de bijbehorende parabool.

10. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x+ 2y = 4 en focus F = (3, 3)

11. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x = −12p en focus F = (1

2p, 0). De

vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool.

12. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen.

(a) Laat zien dat w = su+ tv als F op l ligt.

(b) Gebruik w = su+ tv om formule (10) te herschrijven tot

P : (x− s)2 + (y − t)2 =(u(x− s) + v(y − t))2

u2 + v2(17)

(c) Herschrijf vergelijking (17) tot

P : v2(x− s)2 + u2(y − t)2 − 2uv(x− s)(y − t) = 0 (18)

(d) Vergelijking (18) is gelijk aan

P : (v(x− s)− u(y − t))2 = 0 (19)

Laat dit zien.

(e) Los vergelijking (19) op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector vandeze lijn loodrecht op die van l staat.

(f) Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (18) en laat zien dat er dan geldt(gf

)2=

ab∧ fg = hc .

(g) Opdracht: Onderzoek met behulp van de applet Open kegelsnede de kegelsnede v2x2 −2uvxy + u2y2 − 2vkx+ 2uky + c = 0 de waarde van c en laat zien dat

(gf

)2= a

b∧ teken

fg is teken h een voldoende voorwaarde is om geen parabool te zijn.

Het terugvinden van de richtlijn en de focus van een parabool bij een gegeven formule is een stuklastiger dan het terugvinden van de straal en het middelpunt bij de cirkel. Een makkelijke start is

het terugvinden van de normaal vector ~nl =

(uv

)=

( √b√a

)als h < 0 of ~nl =

(uv

)=

(−√b√a

)als h > 0. Dit volgt uit de formules 11,12 en 13.Zijn a en b kleiner dan 0 vermenigvuldig dan eerste de vergelijking met -1.

Opgaven:

13. (a) Leid met behulp van formule 14 af dat:

s =wu− ga+ b

(20)

en met behulp van formule 15 af dat:

t =wv − fa+ b

(21)

5

(b) Gebruik formules 16,20 en 21 om c uit te drukken in w:

c = −2wgu+ fv

a+ b+f 2 + g2

a+ b(22)

(c) Herleid 22 tot

w =1

2

(f 2 + g2)− c(a+ b)

gu+ fv(23)

(d) Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen.

14. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen:

(a) P : x2 − 2xy + y2 − 2x− 2y + 3 = 0

(b) Q : x2 − 4xy + 4y2 − 14x− 2y + 4 = 0

(c) R : y2 − 2x+ 3 = 0

(d) S : x2 + 2xy + y2 − 4x+ 2y − 6 = 0

15. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

1.3 Ellips

Figuur 2: Ellips met assen

F1

F2

A1r

M

A

B

C

D

Open opgavebewijsellips.ggb

Een ellips e: is gedefinieerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebbentot een cirkel c met middelpunt F1 = (u, v) en straal r en een punt F2 = (s, t) binnen de cirkel. (Ziefiguur 2 en constructie ellips )

e : d(X,F2) = d(X, c) (24)

De punten F1 en F2 noemt men de brandpunten van de ellips. De afstand van X tot een punt Aop de cirkel c is de kortste weg tot de cirkel en X ligt daarom op de straal F1A. De afstand d(X, c)is dan gelijk aan:

d(X, c) = d(A,X) = d(A,F1)− d(F1, X) = r − d(F1, X). (25)

6

Substitutie van (25) in (24) geeft:

e : d(X,F2) = r − d(F1, X) (26)

Herleiden geeft:

e : d(X,F1) + d(F2, X) = r (27)

ofwel

e :√

(x− u)2 + (y − v)2 +√

(x− s)2 + (y − t)2 = r (28)

Definieer

A = (x− u)2 + (y − v)2 = x2 − 2ux+ u2 + y2 − 2vy + v2 (29)

en

B = (x− s)2 + (y − t)2 = x2 − 2sx+ s2 + y2 − 2ty + t2 (30)

dan kunnen we schrijven:

e :√A+√B = r (31)

Kwadrateren levert:e : A+ 2

√A ·B +B = r2 ⇒

e : 2√A ·B = r2 − (A+B)

Nogmaals kwadrateren levert:

4A ·B = r4 − 2(A+B)r2 + A2 + 2A ·B +B2 ⇒ (32)

e : 0 = r4 − 2(A+B)r2 + A2 − 2A ·B +B2 ⇒e : 0 = r4 − 2(A+B)r2 + (A−B)2 ⇒

e : 0 = r4 (33)

−2(2x2 + 2y2 − 2(u+ s)x− 2(v + t)y + u2 + s2 + v2 + t2)r2

+(2(s− u)x+ 2(t− v)y + u2 − s2 + v2 − t2)2 ⇒

e : 0 = 4((s− u)2 − r2)x2

+8(s− u)(t− v)xy

+4((t− v)2 − r2)y2

+4((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2))x+4((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2))y+r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2 (34)

7

Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1) dan is:

a = 4((s− u)2 − r2) (35)

b = 4((t− v)2 − r2) (36)

h = 4(s− u)(t− v) (37)

g = 2((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2)) (38)

f = 2((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2)) (39)

c = r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2 (40)

Opgaven:

16. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h2 < ab waar is.

17. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F1 = (0, 0) en het punt F2 = (3, 0) binnende cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F2 wordt vastgelegd.

18. Zie figuur 2 Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F1 en straal r en het punt F2 binnen decirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van deellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F1F2 de korte as. Noemen we de snijpunten van delange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat

(d(F1, C))2 =

(d(A,B)

2

)2

=

(d(F1, F2)

2

)2

+

(d(C,D)

2

)2

(41)

19. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpuntF1 en straal r > 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die doorF1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als:

e :x2

α2+y2

β2= 1 (42)

waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as.Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α2 = β2 + γ2 ofwel γ2 = α2− β2

tussen α, β en γ.

20. Vergelijking 42 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voorde ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (2, 1) gaat.

21. De ellips

e :x2

16+y2

9= 1

wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en 2 plaatsen in negatieverichting langs de y-as. (translatie t(3,-2)). Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaalde brandpunten van deze nieuwe ellips.

8

22. Onderzoek het verschil tussen de ellipsen

e :x2

16+y2

9= 1

en

e :x2

9+y2

16= 1

Kun je een uitspraak doen over de coordinaten van de brandpunten op basis van de waardenα en β in de standaard vorm van de ellips.

23. De ellips e : (x−p)2p2

+ y2

9= 1 gaat door het punt (1, 3

2

√3). Bepaal exact de waarde(n) van p.

24. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

Figuur 3: applets

A(-α,0) B(α,0)

C(0,-β)

D(0,β)

F1(-γ,0) F2(γ,0)

α βγ

α β

A(−α, 0)F1(−γ, 0) F2(γ, 0)

B(α, 0)

a = 0.25

P

M

Open ellipsrondO.ggb Open hyperboolrondO.ggb

1.4 Hyperbool

Een hyperbool h: is gedefinieerd als de verzameling punten X = (x, y) die een gelijke afstand hebbentot een cirkel c met middelpunt F1 = (u, v) en straal r en een punt F2 = (s, t) buiten de cirkel. (constructie hyperbool )

h : d(X,F2) = d(X, c) (43)

De punten F1 en F2 noemt men de brandpunten van de hyperbool. De lijn door F1 en F2 is eensymmetrieas van de hyperbool evenals de middelloodlijn van lijnstuk F1F2. De snijpunten A en Bvan de symmetrie as door F1 en F2 met de hyperbool noemt men de toppen van de hyperbool. Hetsnijpunt van de symmetrieassen ofwel midden van lijnstuk F1F2 noemt men het middelpunt van dehyperbool.

9

Figuur 4: hyperbool met assen

F1

c

F2

A1

M AB

ras1

as2

Open hyperboolmetassen.ggb

We leiden weer een vergelijking af. De afstand van X tot een punt A op de cirkel c is de kortsteweg tot de cirkel en X ligt daarom op de lijn F1A. De afstand d(X, c) is dan gelijk aan:

d(X, c) = d(A,X) = d(F1, X)− d(A,F1) = d(F1, X)− r. (44)

Substitutie van (44) in (43) geeft:

h : d(X,F2) = d(F1, X)− r (45)

Herleiden geeft:

h : d(X,F1)− d(F2, X) = r (46)

ofwel

h :√

(x− u)2 + (y − v)2 −√

(x− s)2 + (y − t)2 = r (47)

Definieer weer

A = (x− u)2 + (y − v)2 = x2 − 2ux+ u2 + y2 − 2vy + v2 (48)

en

B = (x− s)2 + (y − t)2 = x2 − 2sx+ s2 + y2 − 2ty + t2 (49)

dan kunnen we schrijven:

h :√A−√B = r (50)

10

Kwadrateren levert:h : A− 2

√A ·B +B = r2 ⇒

h : 2√A ·B = (A+B)− r2

Nogmaals kwadrateren levert:

h : 4A ·B = r4 − 2(A+B)r2 + A2 + 2A ·B +B2

Deze vergelijking is precies dezelfde als vergelijking (32) gevonden bij de ellips zodat

h : 0 = 4((s− u)2 − r2)x2

+8(s− u)(t− v)xy

+4((t− v)2 − r2)y2

+4((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2))x+4((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2))y+r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2 (51)

Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (1) dan is:

a = 4((s− u)2 − r2) (52)

b = 4((t− v)2 − r2) (53)

h = 4(s− u)(t− v) (54)

g = 2((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2) (55)

f = 2((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2) (56)

c = r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2 (57)

Opgaven:

25. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h2 > ab waar is.

26. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpuntF1 en straal r < 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, diedoor F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als:

h :x2

α2− y2

β2= 1 (58)

waarin α de afstand van M tot A in figuur (4) of wel kortste afstand tussen de twee takkenvan de hyperbool. Verder is γ2 = α2 + β2.

27. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool.Gegeven is de hyperbool in standaard vorm.

h :x2

9− y2

8= 1

Deze hyperbool ondergaat de translatie t(2,−3). Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool.Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de coordinaten van de toppenen de brandpunten.

11

28. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm.

h :x2

4− y2

9= 1

Deze hyperbool ondergaat een rotatie over een hoek θ radialen tegen de richting van de

klok. Een willekeurige vector ~X =

(xy

)wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R =(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)zodat

~X ′ = R ~X =

(x cos(θ)− y sin(θ)x sin(θ) + y cos(θ)

)en

~X = R−1 ~X ′ =

(x cos(θ) + y sin(θ)−x sin(θ) + y cos(θ)

)(a) Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool

en waarom? (Tip:Vergelijk met het proces met het proces van translatie. Onderzoek jeantwoord met geogebra Open rotatiekegelsnede.ggb )

(b) Neem θ = π3

Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voorde assen van de hyperbool en bepaal de coordinaten van de toppen en de brandpunten.

(c) Na een rotatie over een hoek van θ = π4

volgt nog een translatie (-2,1). Geef de nieuwevergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool enbepaal de coordinaten van de toppen en de brandpunten.

29. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen

h :x2

16− y2

9= 1

h :x2

9− y2

16= 1

en

h : −x2

9+y2

16= 1

Kun je een uitspraak doen over de coordinaten van de brandpunten op basis van de waardenα en β in de standaard vorm van de hyperbool.

30. De hyperbool

h :x2

p− y2

p2= 1

gaat door het punt (√

3, 34

√3). Bepaal de waarde(n) van p.

12

31. De conditie voor een hyperbool in vergelijking (1) is h2 > ab, die voor een ellips h2 < ab en vooreen parabool h2 = ab. Als F2 op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool?

(a) Laat zien dat, als geldt als d(F1, F2) = r, de parameters a, b, g en f (52,53,55 en 56) gelijkzijn aan

a = −4(t− v)2

b = −4(s− u)2

g = 2((u+ s)((s− u)2 + (t− v)2) + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2))f = 2((v + t)((s− u)2 + (t− v)2) + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2))

(b) Laat zien dat ab

=(gf

)2.

(c) Wat is de kegelsnede als F2 op de cirkel ligt?

(d) Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34) eruit als F1 = F2. Is de kegelsnede dan eencirkel?

32. De hyperbool

h :1

16x2 − 1

9y2 − x− 2

3y + 2 = 0

is een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal p en q.

33. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

1.5 Inverse probleem hyperbool en ellips

Bij algemene formule voor de cirkel en parabool zijn er methoden gepresenteerd om het middelpunten de straal en de richtlijn en het brandpunt terug te vinden. In deze sectie worden methodengepresenteerd voor de hyperbool en de ellips.

Hoewel de parameterdefinities in (35-40) en (52-57) in principe omgekeerd kunnen worden omde brandpunten en de straal terug te vinden, zijn de startpunten van de zoektocht de standaardvergelijkingen:h : x2

α2 − y2

β2 = 1 met γ2 = β2 + α2 voor de hyperbool en

e : x2

α2 + y2

β2 = 1 met α2 = β2 + γ2 voor de ellips. De brandpunten voor de hyperbool en de ellips zijn

F1 = (−γ, 0) en F2 = (γ, 0). Bovendien is r gelijk aan 2α.

In opgave (28) heb je aangetoond dat, als een punt wordt geroteerd over een hoek θ tegen de richtingvan de klok en daarna de translatie t(p, q) ondergaat, de term x en y in de standaard vorm moetenworden vervangen door respectievelijk

(x− p) cos(θ) + (y − q) sin(θ) (59)

en

− (x− p) sin(θ) + (y − q) cos(θ) (60)

13

Op basis van deze substituties worden de parameters a, h, b, g, f en c uitgedrukt in α, β, p, q en θ.Vervolgens wordt de terugweg afgeleid als de kegelsnede wordt gegeven in de algemene vorm (1) .

Substitutie van (59) en (60) in de standaard vorm voor de hyperbool geeft:

h :((x− p) cos(θ) + (y − q) sin(θ))2

α2− (−(x− p) sin(θ) + (y − q) cos(θ))2

β2= 1 ⇒

h : β2((x− p) cos(θ) + (y − q) sin(θ))2 − α2(−(x− p) sin(θ) + (y − q) cos(θ))2 = α2β2 ⇒

h : β2((x− p)2 cos2(θ) + 2(x− p)(y − q) cos(θ) sin(θ) + (y − q)2 sin2(θ))−α2((x− p)2 sin2(θ)− 2(x− p)(y − q) cos(θ) sin(θ) + (y − q)2 cos2(θ))= α2β2

In bovenstaande vergelijking sorteren we nu de termen met x2, xy, y2, x, y en de constante.

h : (β2 cos2(θ)− α2 sin2(θ))x2

+2(β2 + α2) cos(θ) sin(θ)xy

+(β2 sin2(θ)− α2 cos2(θ))y2

+(−2pβ2 cos2(θ)− 2qβ2 cos(θ) sin(θ) + 2pα2 sin2(θ)− 2qα2 cos(θ) sin(θ))x

+(−2qβ2 sin2(θ)− 2pβ2 cos(θ) sin(θ) + 2qα2 cos2(θ)− 2pα2 cos(θ) sin(θ))y

+(β2 cos2(θ)− α2 sin2(θ))p2

+2(β2 + α2) cos(θ) sin(θ)pq

+(β2 sin2(θ)− α2 cos2(θ))q2

= α2β2 (61)

Waar uit volgt:

a = β2 cos2(θ)− α2 sin2(θ) (62)

2h = 2(β2 + α2) cos(θ) sin(θ) = 2γ2 cos(θ) sin(θ) (63)

b = β2 sin2(θ)− α2 cos2(θ) (64)

2g = (−2pβ2 cos2(θ)− 2qβ2 cos(θ) sin(θ) + 2pα2 sin2(θ)− 2qα2 cos(θ) sin(θ))

= −2ap− 2hq (65)

2f = (−2qβ2 sin2(θ)− 2pβ2 cos(θ) sin(θ) + 2qα2 cos2(θ)− 2pα2 cos(θ) sin(θ))y

= −2hp− 2bq (66)

c = (β2 cos2(θ)− α2 sin2(θ))p2

+2(β2 + α2) cos(θ) sin(θ)pq

+(β2 sin2(θ)− α2 cos2(θ))q2

−α2β2

= ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 (67)

14

Nu de weg terug: Vergelijkingen ( 62,63 en 64 ) zijn bij gegeven a, h en b drie vergelijkingen metdrie onbekenden. Bekijk eerst het stelsel{

a = β2 cos2(θ)− α2 sin2(θ)b = β2 sin2(θ)− α2 cos2(θ)

Ofwel in matrix notatie(ab

)=

(cos2(θ) − sin2(θ)sin2(θ) − cos2(θ)

)(β2

α2

)⇒

(β2

α2

)=

(cos2(θ) − sin2(θ)sin2(θ) − cos2(θ)

)−1(ab

)= 1

− cos4(θ)+sin4(θ)

(− cos2(θ) sin2(θ)− sin2(θ) cos2(θ)

)(ab

)= 1

cos2(θ)−sin2(θ)

(cos2(θ) − sin2(θ)sin2(θ) − cos2(θ)

)(ab

)(β2

α2

)=

(a cos2(θ)−b sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)a sin2(θ)−b cos2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)

)(68)

Merk op dat de inverse alleen bestaat als cos2(θ) − sin2(θ) 6= 0. Is dit wel het geval dan volgt uit(62) en (64) dat a = b. We komen later op deze situatie terug.

Invullen van de waarden voor β2 en α2 in (63) levert:

2h = 2(a cos2(θ)−b sin2(θ)

cos2(θ)−sin2(θ) + a sin2(θ)−b cos2(θ)cos2(θ)−sin2(θ) ) cos(θ) sin(θ)

= 2( (a−b)(cos2(θ)+sin2(θ))

cos2(θ)−sin2(θ) ) cos(θ) sin(θ)

= 2( (a−b)cos2(θ)−sin2(θ)) cos(θ) sin(θ)

= (a− b) sin(2θ)cos(2θ)

= (a− b) tan(2θ)⇒

θ =1

2tan−1

2h

a− b(69)

Nu α, β en θ bekend zijn, blijft over het vinden van p en q uit (65 en 66).

2g = −2ap− 2hq2f = −2hp− 2bq

Ofwel in matrix notatie(2g2f

)=

(−2a −2h−2h −2b

)(pq

)⇒(

gf

)=

(−a −h−h −b

)(pq

)⇒(

pq

)=

(−a −h−h −b

)−1(gf

)= 1

ab−h2

(−b hh −a

)(gf

)15

(pq

)=

( hf−bgab−h2hg−afab−h2

)(70)

Als cos2(θ)− sin2(θ) = 0 dan is θ = π4

+k π2

met k een geheel getal. Uit (63) volgt dan dat γ2 = |2h|.Als h < 0 dan is θ = 3π

4en als h > 0 dan is θ = π

4.

Opdracht: Toon nu zelf met (62) aan dat α2 = |h| − a en β2 = |h|+ a

1.5.1 Effect c

De bovenstaande methode werkt alleen als de waarde van c in de gegeven vergelijking gelijk is aande waarde van c na herberekening van (67) (noem deze waarde van c c1) met de gevonden waardenvoor p, q, α, β en θ. Is er een verschil dan moeten de gevonden waarden voor α2 en β2 wordenvermenigvuldigd met 1− c−c1

α2β2 , zodat:

α22 = α2(1− c− c1

α2β2) (71)

β22 = β2(1− c− c1

α2β2) (72)

Deze correctie treedt op als de oorspronkelijke vergelijking van de hyperbool of ellips, voor rotatieen verplaatsing, van de vorm

x2

α2± y2

β2= d

is geweest.

In de appendix 5 is de afleiding voor deze vermenigvuldigingsfactor gegeven.

Mochten de nieuwe waarden α22 en β2

2 door de berekening negatief worden, dan verandert de terug-gevonden hyperbool van as.

Opgaven:

34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind

2h = −2γ2 cos(θ) sin(θ) (73)

2h = −2γ2 cos(θ) sin(θ)

(β2

α2

)=

(a cos2(θ)−b sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)b cos2(θ)−a sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)

)(74)

θ =1

2tan−1

2h

a− b(75)

(pq

)=

( hf−bgab−h2hg−afab−h2

)(76)

16

35. Gebruik het feit dat γ2 > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welkekwadranten θ moet liggen.

36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x2−2xy+3y2+10x−14y+11 = 0definieren.

37. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y2 + 38x−26y + 31 = 0 definieren.

38. Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen enstraal van de cirkel die de volgende kegelsneden definieren:

(a) k1 : x2 − 6x+ y2 + 2y + 1 = 0

(b) k2 : 3x2 + 6xy − 5y2 − 12x− 20y + 16 = 0

(c) k3 : 4x2 + 12xy + 9y2 − 28x+ 88y + 244 = 0

(d) k4 : 24x2 + 4xy + 21y2 − 120x− 10y + 25 = 0

39. Meer opgaven zijn te vinden op http://www.johnval.nl/school/wiskunde/wiskundeD/kegelsneden/geogebra/opgaveninversekegelsneden.html

40. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

2 Raaklijn

In dit hoofdstuk leer je vergelijkingen op te stellen van raaklijnen aan kegelsneden door een punt opde kegelsnede. We geven eerst een oplossing die voor iedere kegelsnede toepasbaar is. Daarna zal erin deelparagrafen worden gekeken naar snellere methoden of specifieke eigenschappen voor bepaaldekegelsneden.

2.1 De algemene aanpak

Het probleem is het volgende: Gegeven is een punt A(xA, yA) op de kegelsnede. Opdracht: Stel devergelijking op van de raaklijn aan dit punt.

Oplossing: De algemene vergelijking voor een raaklijn l is

l : y = ax+ b.

De richtingscoefficient a is gelijk aan de afgeleide dydx

(xA, yA) van de kegelsnede in het punt A. Deafgeleide krijgen we door de vergelijking van k te differentieren naar x.

dk

dx: 2ax+ 2hy + 2hx

dy

dx+ 2by

dy

dx+ 2g + 2f

dy

dx= 0

Herschrijven levert:

dk

dx:dy

dx(2hx+ 2by + 2f) = −2(ax+ hy + g)⇒

dk

dx:dy

dx= −ax+ hy + g

hx+ by + f(77)

17

Dus

l : y = −axA + hyA + g

hxA + byA + fx+ b (78)

Omdat A ook op deze lijn ligt kunnen we b als volgt bepalen:

yA = −axA + hyA + g

hxA + byA + fxA + b⇒

b = yA +axA + hyA + g

hxA + byA + fxA (79)

De vergelijking voor de raaklijn wordt dan:

l : y = −axA + hyA + g

hxA + byA + fx+ yA +

axA + hyA + g

hxA + byA + fxA (80)

Omdat de noemer in dydx

nul is bij verticale raaklijnen is een vergelijking van de raaklijn waarin noemeris nul niet meer voorkomt aantrekkelijker. Vermenigvuldig daartoe de vergelijking van de raaklijnmet (hxA + byA + f). Je krijgt dan:

l : (hxA + byA + f)y = −(axA + hyA + g)x+ (hxA + byA + f)yA + (axA + hyA + g)xA

(hxA + byA + f)y + (axA + hyA + g)x = ax2A + 2hxAyA + by2A + gxA + fyA (81)

De rechterkant van vergelijking 81 kunnen we versimpelen door gebruik te maken van de definitievan de kegelsnede in 1:

k : ax2 + 2hxy + by2 + 2gx+ 2fy + c = 0⇒k : ax2 + 2hxy + by2 + gx+ fy = −gx− fx− c

De uiteindelijke vergelijking voor de raaklijn wordt dan:

(axA + hyA + g)x+ (hxA + byA + f)y = −gxA − fyA − c (82)

voorbeelden

1. Gegeven is de parabool y2 − 4x = 0. Geef de raaklijn in het punt A(4, 4).

We bieden twee oplossingen. De eerste is het naspelen van de boven geschetste afleiding:

Differentieren levert:

2ydy

dx− 4 = 0⇒

18

dy

dx=

4

2y⇒

dy

dx(xA, yA) =

4

8=

1

2⇒

y =1

2x+ b⇒

b = 4− 1

2· 4 = 2

y =1

2x+ 2

De tweede oplossing is het invullen van de bewezen vergelijking (82)

4y − 2x = 8

2. Gegeven is de ellips

(x− 2)2

4+

(y − 3)2

9= 1

Geef de raaklijn in het punt A(1, 3− 32

√3). Differentieeren levert:

2x− 2

4+ 2

y − 3

9

dy

dx= 0.

Ofweldy

dx= −9(x− 2)

4(y − 3).

Invullen van A(1, 3− 32

√3) geeft

dy

dx(1, 3− 3

2

√3) = − 9

4 · 32

√3

= −1

2

√3

3− 3

2

√3 = −1

2

√3 + b⇒

b = 3−√

3

y = −1

2

√3x+ 3−

√3

Opgaven:

Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren.

1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt A = (√

3, 34

√3) aan de hyperbool h :

4x2 − 169y2 − 9 = 0

2. Gegeven is de hyperbool h : 5x2 − 10xy + y2 − 40x+ 16y + 39 = 0 Stel vergelijkingen op voorde raaklijnen in de punten A en B op de hyperbool waarvoor de x-coordinaat gelijk is aan 1.

19

3. Gegeven is de parabool p : x2 + 2xy + y2 − 8x− 4y + 10 = 0.

(a) Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de parabool door het punt A waarvoor xA=2.

(b) Bepaal exact de minimale waarde voor x en de maximale waarde voor y.

(c) Een raaklijn y = ax+ b heeft richtingscoeefficient a = 1. Bepaal het raakpunt.

4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

2.2 Raaklijn cirkel

Gegeven is de cirkel c, die we weergeven in inproduct notatie:

c :< ~X − ~M, ~X − ~M >= r2 (83)

Daarnaast is er de vector ~A die naar een punt A op de cirkel wijst. Voor de raaklijn l door A aande cirkel geldt dat de richtingsvector loodrecht op de vector ~AM = ~A− ~M staat. Laat ~X een vectorzijn naar een punt op de lijn ongelijk aan ~A, dan staat ook de vector ~A − ~X loodrecht op ~A − ~M .Het inproduct moet dan gelijk zijn aan nul ofwel:

< ~A− ~X, ~A− ~M >= 0 (84)

Omdat A en M bekend zijn is dit al gelijk een vergelijking voor de raaklijn. Het kan echter nogeenvoudiger. Daartoe herleiden we vergelijking 84 als volgt:

< ~A− ~X, ~A− ~M > = 0⇔< ~A− ~M + ~M − ~X, ~A− ~M > = 0⇔

< ~A− ~M, ~A− ~M > + < ~M − ~X, ~A− ~M > = 0⇔ (vergelijking 83)

r2+ < ~M − ~X, ~A− ~M > = 0⇔< ~X − ~M, ~A− ~M > = r2 (85)

Vergelijk je de vergelijking van de cirkel (83) met de vergelijking (85) dan krijg je dus een vergelijkingvoor de raaklijn door simpelweg een van de X-en in de vergelijking te vervangen door A.

Opgaven:

Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren.

5. Bepaal algebraısch de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c met middelpunt M = (1, 9)en straal r =

√2 door het punt A = (2, 10)

6. Bepaal algebraısch de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M =(3, 4) en straal r = 3 door de punten A en B waarvan de y-coordinaten gelijk zijn aan 51

2

20

7. Bepaal algebraısch het snijpunt (de snijpunten) van de raaklijnen aan de cirkel cmet middelpuntM = (−1, 5) en straal r = r door de punten A en B die worden verkregen door de cirkel te

snijden met de lijn l : ~p = ~s+ λ

(11

)die een afstand 1

2r tot het middelpunt heeft.

Hint: Maak eerst een plaatje en gebruik je goniometrische kennis. Kies ~s als het snijpunt vanl en de loodlijn op l door M .

8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

2.3 Raaklijn hyperbool

Behalve de twee symmetrieassen heeft een hyperbool nog een paar bijzondere lijnen de zogenaamdeasymptoten. Het kenmerk van deze asymptoten is dat de hyperbool de lijnen benadert maar nooitkan overschrijden. De standaardvorm van de hyperbool h : x2

α2 − y2

β2 = 1 wordt gebruikt om deasymptoten te vinden.

9. Opdracht: Toon aan dat x2

y2= α2

β2 + α2

y2

10. Opdracht: Beredeneer dat

limy→∞

x

y= lim

y→−∞

x

y= ±α

β

11. Opdracht: Toon aan dat dydx

= β2

α2xy

12. Opdracht: Beredeneer dat

limy→∞

dy

dx= lim

y→−∞

dy

dx= ±β

α

13. Opdracht: Concludeer dat de asymptoten voor de standaard hyperbool gelijk zijn aan:

βx+ αy = 0

βx− αy = 0 (86)

14. Gegeven is de hyperbool h : x2

12− y2

13= 1. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de

brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten.

15. De hyperbool h : 5x2 − 3y2 − 10x − 6y − 28 = 0 is ontstaan door een translatie t(p, q) vaneen standaard hyperbool. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en devergelijkingen voor de asymptoten.

16. Beschouw nogmaals de hyperbool uit opgave 37 van het vorige hoofdstuk. Bepaal ook devergelijkingen voor de asymptoten

17. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

21

3 Poollijn

Gegeven is een punt P (xp, yp) buiten de kegelsnede en de raaklijnen door dit punt die raken in depunten A en B op de kegelsnede. (Zie voorbeelden in figuur 5). De lijn door A en B noemt men depoollijn van het punt ten opzichte van de kegelsnede.

We gaan nu een algemene vergelijking voor de poollijn afleiden. Vergelijking 82 gaf ons een verge-lijking van een raaklijn door een punt op de kegelsnede. Voor de punten A en B levert dit:

(axA + hyA + g)x+ (hxA + byA + f)y = −gxA − fyA − c(axB + hyB + g)x+ (hxB + byB + f)y = −gxB − fyB − c

Omdat P op beide raaklijnen ligt geldt:

(axA + hyA + g)xP + (hxA + byA + f)yP = −gxA − fyA − c(axB + hyB + g)xP + (hxB + byB + f)yP = −gxB − fyB − c

De punten A en B liggen op de poollijn. Ieder ander punt X(x, y) op de poollijn kan nu verkregenwoorden door in plaats van xA en yA respectievelijk x en y in te vullen. Dit geeft dan de volgendevergelijking voor de poollijn:

(ax+ hy + g)xP + (hx+ by + f)yP = −gx− fy − c

We gaan deze vergelijking nog herschrijven op zo’n manier dat er slechts een term x en een term yvoorkomt:

(ax+ hy + g)xP + (hx+ by + f)yP = −gx− fy − caxxP + hyxP + gxP + hxyP + byyP + fyP = −gx− fy − c

(axP + hyP + g)x+ (hxP + byP + f)y = −gxP − fyP − c

De poollijn van een kegelsnede ten opzichte van een punt P buiten de kegelsnede wordt dus gegevendoor de vergelijking:

(axP + hyP + g)x+ (hxP + byP + f)y = −gxP − fyP − c (87)

Opgaven:

1. Gegeven is de parabool p : x2 − 4xy + 4y2 − 15x− 4y + 1 = 0. Bepaal de poollijn ten opzichte

van het punt A =

(14

).

2. Gegeven is de ellips e : x2

4+ y2 − 1 = 0 en het punt P (3, 3).

(a) Bepaal algebraısch de poollijn ten opzichte van het punt P .

22

(b) Bepaal algebraısch de vergelijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips.

3. Gegeven is de hyperbool h : −x2 + y2 = 1 en het punt P (2, 1). Bepaal algebraısch de verglijk-ingen van de raaklijnen door P aan de ellips.

4. Maak in geogebra een parabool en laat de raaklijnen vanuit een punt A aan de parabool tekenen.Laat ook de hoek tussen deze twee raaklijnen door geogebra bepalen. Beweeg het punt over derichtlijn. Wat observeer je? Bewijs dat bij een parabool p de raaklijnen aan p vanuit een puntA op de richtlijn loodrecht op elkaar staan.

5. Gegeven zijn de cirkels c1 : x2 + y2 − 1 = 0 en c2 = x2 + y2 − 6x− 10y + 25 = 0. De poollijnent.o.v. het punt P (xP , yP ) snijden elkaar in het punt S(1, 2).Bepaal algebraısch de coordinaten van P . Open opgcirccircpool.ggb

6. Gegeven zijn de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y2 + 6x+ 6y − 1 = 0 en de ellips e : 3x2 − 2xy +3y2 − 6x− 6y − 9 = 0. Open opgelhyppool.ggb

(a) Toon algebraısch aan dat de beide kegelsneden gelijke brandpunten hebben.

(b) Bereken algebraısch de snijpunten van de kegelsneden.

(c) Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen aan e in de snijpunten met de x-as.

(d) Bepaal de hoek tussen de poollijnen van e en h ten opzichte van het het snijpunt van deraaklijnen uit de vorige deelopgave.

7. Gegeven zijn de hyperbool h : 3x2−y2−6x+6y−9 = 0 en de parabool p : x2−y−6x+6y = 0.Open opgparhyppool.ggb

(a) Bepaal de brandpunten van de kegelsneden.

(b) Bepaal de vergelijkingen voor de asymptoten van h.

(c) De x-as snijdt de parabool in de punten K en L. De raaklijnen aan de parabool door Ken L snijden elkaar in S. Slechts een van de punten K en L bepaalt een poollijn voorh. Noem dit punt K. De poollijn snijdt de hyperbool in de punten P en Q. Bepaal deoppervlakte van de vierhoek KSPQ.

8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

4 Bollen van Dandelin

In het eerste hoofdstuk van deze tekst hebben we een bewering gedaan over de vorm van de doorsnedevan een kegel en een vlak. Er is echter geen bewijs geleverd dat een dergelijke doorsnede werkelijkeen ellips, een parabool of een hyperbool is. Op de website Bollen van Dandelin van Dick Klingensworden bewijzen gegeven.

Opdracht: Bestudeer de bewijzen op de website en bereid een presentatie voor.

23

5 Appendix Kegelsnede C correctie

Het probleem van een niet kloppende c na herberekening van c1(67) komt voort uit schalingen vande kegelsnede.Bijvoorbeeld als de standaard hyperbool:

h :x2

α2− y2

β2= 1met γ2 = β2 + α2

geschaald wordt zien we iets als

h :x2

α2− y2

β2= d

Om deze vergelijking weer terug te brengen tot de standaard vorm moet de hele kegelsnede wordenvermenigvuldigd met 1

d.

Stel we vinden een verschil c− c1 en willen naar een c2 die we krijgen door de hele kegelsnede meteen factor te schalen. Na die schaling moet gelden dat voor die nieuwe kegelsnede het recept om αen β wel precies klopt. Schaling van de hele kegesnede met λ geeft ( 62-67 ):

a2 = λa

2h2 = 2λh

b2 = λb

2f2 = 2λf

2g2 = 2λg

c2 = λc (88)

De index 2 geeft aan dat het om de geschaalde waarden gaat. Ter opfrissing: We verkregen c1 alsvolgt:

c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2

Uit 68 volgt met de nieuwe coefficienten dat(β22

α22

)=

(a2 cos2(θ)−b2 sin2(θ)

cos2(θ)−sin2(θ)a2 sin

2(θ)−b2 cos2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)

)= λ

(a cos2(θ)−b sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)a sin2(θ)−b cos2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)

)=

(λβ2

λα2

)(89)

Volgens 67 is c2 gelijk aan:

c2 = a2p2 + 2h2pq + b2q

2 − α22β

22

Hierin zijn α2 en β2 de nieuw gevonden parameters.

c2 = λ(ap2 + 2hpq + bq2

)− λ2α2β2

= λ(ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 + α2β2

)− λ2α2β2

= λc1 + λα2β2 − λ2α2β2

= λc1 + λα2β2(1− λ) (90)

24

Omdat ook geldt dat c2 = λc krijgen we de volgende vergelijking:

λc = λc1 + λα2β2(1− λ)⇒c = c1 + α2β2(1− λ)⇒

c− c1 = α2β2(1− λ)⇒c− c1α2β2

= 1− λ⇒

λ = 1− c− c1α2β2

De schalingsfactor λ is dus:

λ = 1− c− c1α2β2

(91)

25

6 Literatuur

1. Bollen van Dandelin op pandd

2. Kegelsneden Herman Hofstede

26

7 Antwoorden

7.1 Antwoorden hoofdstuk 1:

1. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (3, 4) en straal r = 2.

(x− 3)2 + (y − 4)2 = 4⇒ x2 + y2 − 6x− 8y + 21 = 0

2. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M = (−2, 4) die door het punt A = (3, 3)gaat.

(x+ 2)2 + (y − 4)2 = r2

Invullen A geeft:

(5)2 + (−1)2 = 6 = r2

Vergelijking is dus

x2 + y2 + 4x− 8y + 14 = 0

3. Bepaal algebraısch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaalindien mogelijk algebraısch het middelpunt en de straal.

(a) P : 3x2 + 3y2 − 24x+ 6y + 24 = 0⇒ x2 + y2 − 8x+ 2y + 8 = 0⇒(x− 4)2 + (y + 1)2 − 16− 1 + 8 = 0⇒ (x− 4)2 + (y + 1)2 = 9⇒M = (4,−1) en r = 3

(b) Q : 2x2 + 4y2 − 3x− 6y − 13 = 02 6= 4 dus geen cirkel

(c) R : x2 + y2 − 3x− 4y = 0⇒ (x− 32)2 + (y − 2)2 − 9

4− 4 = 0⇒

(x− 32)2 + (y − 2)2 = 25

4⇒

M = (32, 2) en r = 21

2

(d) S : 3x2 + 3y2 − 2x+ y + 1 = 0⇒ x2 + y2 − 23x+ 1

3y + 1

3= 0⇒

(x− 13)2 + (y + 1

6)2 − 1

9− 1

36+ 1

3= 0⇒ (x− 1

3)2 + (y + 1

6)2 = − 7

36⇒

Wortel van negatief getal kan hier niet dus geen cirkel.

4. Voor welke waarde(n) van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal 1?C : x2 + y2 − 4x+ 2fy + 12 = 0C : x2 + y2 − 4x+ 2fy + 12 = 0⇒ (x− 2)2 + (y + f)2 − 4− f 2 + 12 = 0⇒(x− 2)2 + (y + f)2 = 4 + f 2 − 12 = 1⇒f 2 = 9⇒ f = −3 ∨ f = 3

5. Voor welke waarde(n) van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat?C : ax2 + 2y2 − 4x+ 8y + c = 0a = 2⇒ x2 + y2 − 2x+ 4y + c

2= 0⇒

(x− 1)2 + (y + 2)2 = 1 + 4− c2

= 0⇒ c = 10

27

6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

7. (x− s)2 + (y − t)2 = (ux+vy−w)2u2+v2

⇒x2 − 2sx+ s2 + y2 − 2ty + t2 = u2x2+v2y2+w2+2uvxy−2uwx−2uvx

u2+v2⇒

(u2 + v2)x2 − 2s(u2 + v2)x+ (u2 + v2)y2 − 2t(u2 + v2)y + (s2 + t2)(u2 + v2) =u2x2 + v2y2 + w2 + 2uvxy − 2uwx− 2uvx⇒

v2x2 − 2uvxy + u2y2 + 2(vw − s(u2 + v2)x+ 2(uw − t(u2 + v2)y + (s2 + t2)− w2 = 0

8.

P : v2x2−2uvxy+u2y2 +2(uw−s(u2 +v2))x+2(vw− t(u2 +v2))y+(s2 + t2)(u2 +v2)−w2 = 0

Als a = b moet gelden is u = v dan is echter h = uv 6= 0 en kan het geen cirkel zijn.Als h = 0 moet gelden is u = 0 ∨ v = 0 dan is echter a 6= b en kan het geen cirkel zijn.

9. Gegeven is het brandpunt M =

(10

)en de richtlijn l : 2x+ y = −2. Stel een vergelijking op

van de bijbehorende parabool.Invullen in vergelijking (10) geeft

(x− 1)2 + y2 = (2x+y+2)2

22+12⇒

5(x− 1)2 + 5y2 = 4x2 + y2 + 4xy + 8x+ 4y + 4⇒x2 − 4xy + 4y2 − 18x− 4y + 1 = 0

10. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x+ 2y = 4 en focus F = (3, 3)Invullen in vergelijking (11-16) geeft4x2 − 4xy + y2 + 2(uw − s(u2 + v2))x+ 2(vw − t(u2 + v2))y + (s2 + t2)(u2 + v2)− w2 = 0

11. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x = −12p en focus F = (1

2p, 0). De

vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool.y2 + 2(−1

2p− 1

2p(12 + 02)) + (1

4p2)(12 + 02)− 1

4p2 ⇒

y2 − 2px = 0

12. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen.

(a) Als F op l moeten de cooordinaten van F voldoen aan de vergelijking van de lijn. Deconditie hiervoor is dus w = su+ tv

(b) Gebruik w = su+ tv om formule (10) te herschrijven tot

P : (x− s)2 + (y − t)2 =(u(x− s) + v(y − t))2

u2 + v2

Substitutie van w geeft P : (x− s)2 + (y − t)2 = (ux+vy−(su+tv))2u2+v2

⇒P : (x− s)2 + (y − t)2 = (u(x−s)+v(y−t))2

u2+v2⇒

(c) Herschrijf vergelijking (17) tot P : ((x− s)2 + (y− t)2)(u2 + v2) = (u(x− s) + v(y− t))2 ⇒P : ((x− s)2 + (y − t)2)(u2 + v2) = u2(x− s)2 + 2uv(x− s)(y − t) + v2(y − t)2 ⇒P : ((x−s)2+(y−t)2)u2+((x−s)2+(y−t)2)v2−u2(x−s)2−2uv(x−s)(y−t)−v2(y−t)2 ⇒P : v2(x− s)2 + u2(y − t)2 − 2uv(x− s)(y − t) = 0

28

(d) Vergelijking (18) is gelijk aan

P : (v(x− s)− u(y − t))2 = 0

Laat dit zien.Het kwadraat (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 is hier van toepassing dus: P : v2(x− s)2 + u2(y−t)2 − 2uv(x− s)(y − t) = (v(x− s)− u(y − t))2 = 0

(e) Los vergelijking (12d) op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector vandeze lijn loodrecht op die van l staat.(v(x− s)− u(y − t))2 = 0⇒ vx− uy = vs− ut = 0Dit is een vergelijking voor een lijn die door het punt F = (s, t) gaat. De normaalvector(

v−u

)van deze lijn staat loodrecht op die van l want <

(v−u

),

(uv

)>= 0.

(f) Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (12c) en laat zien dat er dan geldt(gf

)2=

ab∧ fg = hc . v2x2 − 2v2sx+ v2s2 + u2y2 − 2u2ty + u2t2 − 2uv(xy − xt− ys+ ts) =

v2x2 − 2uvxy + u2y2 − 2(v2s − uvt)x − 2(u2t − uvs)y + v2s2 + u2t2 − 2uvts = 0 ⇒v2x2 − 2uvxy + u2y2 − 2v(vs− ut)x− 2u(ut− vs)y + v2s2 + u2t2 − 2uvts = 0⇒{ab = v2

u2(fg

)2=(−v(vs−ut)−u(ut−vs)

)2=(−vu

)2 ⇒= v2

u2=(fg

)2(g) geen antwoord

13. (a) Leid met behulp van formule 14 af dat:

s =wu− ga+ b

g = uw − s(u2 + v2)⇒ g − uw = −s(u2 + v2)⇒ s = uw−g(a+b)

en met behulp van formule 15af dat:

t =wv − fa+ b

Doe het zelfde als hier boven voor s.

(b) Gebruik formules 16,20 en 21 om c uit te drukken in w:

c = −2wgu+ fw

a+ b+f 2 + g2

a+ b

c =((

wu−ga+b

)2+(wv−fa+b

)2)(a+ b)− w2 ⇒

c = (wu−g)2+(wv−f)2(a+b)

− w2 ⇒c = (wu)2−2uwg+g2+(wv)2−2vwf+f2

(a+b)− w2 ⇒

c = −2uwg+g2−2vwf+f2(a+b)

+ w2 u2+v2

(a+b)− w2 ⇒

c = −2w ug+fv(a+b)

+ f2+g2

(a+b)

(c) Herleid 22 tot

w =1

2

(f 2 + g2)− c(a+ b)

gu+ fv

29

c = −2w ug+fv(a+b)

+ f2+g2

(a+b)⇒

2w ug+fv(a+b)

= f2+g2

(a+b)− c⇒

w = 12(f2+g2)−c(a+b)

ug+fv⇒

(d) Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen. Geen antwoord

14. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen:

(a) P : x2 − 2xy + y2 − 2x− 2y + 3 = 0a = v2 = 1 , uv = 1 , b = u2 = 1 , g = f = −1 , c = 3⇒Richtlijn:u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = −1 ∧ v = −1 We gaan hier verder met u = 1 ∧ v = 1. Overtuig jezelfdat u = −1 ∧ v = −1 tot dezelfde lijn leidt.

w = 12(f2+g2)−c(a+b)

gu+fv= 1

2((−1)2+(−1)2)−3(1+1)

−1·1+−1·1 = 12−4−2 = 1

De richtlijn is dus x+ y = 1.Focus:s = wu−g

a+b= 1·1−−1

1+1= 1

t = wv−fa+b

= 1·1−−11+1

= 1Het brandpunt is dus het punt F = (1, 1)

(b) Q : x2 − 4xy + 4y2 − 14x − 2y + 4 = 0 a = v2 = 1 , uv = 2 , b = u2 = 4 , g = −7 , f =−1 , c = 4⇒Richtlijn:u = 2 ∧ v = 1 ∨ u = −2 ∧ v = −1 We gaan hier verder met u = 2 ∧ v = 1.

w = 12(f2+g2)−c(a+b)

gu+fv= 1

2((−1)2+(−7)2)−4(1+4)

−7·2+−1·1 = 12

30−15 = −1

De richtlijn is dus 2x+ y = −1.Focus:s = wu−g

a+b= −1·2−−7

1+4= 1

t = wv−fa+b

= −1·1−−11+4

= 0Het brandpunt is dus het punt F = (1, 0)

(c) R : y2 − 2x+ 3 = 0 a = v2 = 0 , uv = 0 , b = u2 = 1 , g = −1 , f = 0 , c = 3⇒Richtlijn:u = 1 ∨ u = −1 ∧ v = 0 We gaan hier verder met u = 1.

w = 12(f2+g2)−c(a+b)

gu+fv= 1

21−3(1)−1·1 = 1

2−2−1 = 1

De richtlijn is dus x = 1.Focus:s = wu−g

a+b= 1·1−−1

1= 2

t = wv−fa+b

= 01

= 0Het brandpunt is dus het punt F = (2, 0)

(d) S : x2 + 2xy + y2 − 4x+ 2y − 6 = 0 a = v2 = 1 , uv = −1 , b = v2 = 1 , g = −2 , f = 1 , c =−6⇒Richtlijn:u = 1 ∧ v = −1 ∨ u = 1 ∧ v = 1 We gaan hier verder met u = 1 ∧ v = −1.

w = 12(f2+g2)−c(a+b)

gu+fv= 1

21+4−−6(2)−2·1+1·−1 = 1

217−3 = −17

6

De richtlijn is dus x− y = −176

.Focus:

30

s = wu−ga+b

=− 17

6·1−−22

= − 512

t = wv−fa+b

=− 17

6·−1−12

= 1112

Het brandpunt is dus het punt F = (− 512, 1112

)

15. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. Geenantwoord

16. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h2 < ab waar is.

h2?< ab⇒

(4(s− u)(t− v))2?< (4((s− u)2 − r2))(4((t− v)2 − r2))⇒

16(s− u)2(t− v)2?< 16((s− u)2 − r2))((t− v)2 − r2))⇒

(s− u)2(t− v)2?< (s− u)2(t− v)2 − ((s− u)2 + (t− v)2)r2 + r4

Omdat F2 zich binnen de cirkel bevindt is d(F1F2) < r en dus ((s−u)2+(t−v)2) < r2. Daaromis ((s− u)2 + (t− v)2)r2 < r4 en −((s− u)2 + (t− v)2)r2 + r4 > 0 Het beweerde is dus waar.

17. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F1 = (0, 0) en het punt F2 = (3, 0) binnende cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F2 wordt vastgelegd.a = 4((s− u)2 − r2) = 4((3− 0)2 − 42) = −28b = 4((t− v)2 − r2) = 4((0− 0)2 − 42) = −64h = 4(s− u)(t− v) = 4(3− 0)(0− 0) = 0g = 2((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2)) = 2(3 · 16 + 3(0− 9 + 0− 0)) = 42f = 2((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2)) = 2(0 · 16− 0) = 0c = r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2 =

= 256− 2 · 16 · 9 + (9)2 = 49De ellips is −28x2 − 64y2 + 84x+ 49 = 0

18. Zie figuur 2 Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F1 en straal r en het punt F2 binnen decirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van deellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F1F2 de korte as. Noemen we de snijpunten van delange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat

d(F1, C)2 =

(d(A,B)

2

)2

=

(d(F1, F2)

2

)2

+

(d(C,D)

2

)2

Bewijs: Eerst bewijzen we dat de lengte van de lange as AB gelijk is aan r. Een punt opde ellips wordt verkregen als het snijpunt van de straal naar een punt A1 op de cirkel en demiddelloodlijn van F2A1. Als het punt A1 in het verlengde van F1F2 het dichtst bij F2 ligt danstaat de middelloodlijn van F2A1 loodrecht op die lijn en is B op F1F2 het snijpunt. Nu geldtBF2 = 1

2F2A1. Ligt A1 in het verlengde van F1F2 het dichtst bij F1 dan is F2A1 = 2r− 2BF2.

Ook nu staat de staat de middelloodlijn van F2A1 loodrecht op F1F2 en is AF2 = r−BF2. Delengte van AB is nu gelijk aan AB = AF2 + BF2 = r − BF2 + BF2 = r. Verder is ook nogAF1 = r − AF2 = BF2

Vervolgens bewijzen we dat F1C = r2. Voor de raaklijn aan de ellips in C geldt dat de raaklijn

evenwijdig moet zijn aan de lange as, ofwel de middelloodlijn van F2A1 moet evenwijdig zijnaan de lange as. Het is dan eenvoudig te bewijzen dat ∆F1F2A1 gelijkvormig (hh) is met∆CC1A1, waarin C1 het midden is van F2A1 en is dus F1C = 1

2F1A1 = r

2.

31

Nu moeten we laten zien dat CM loodrecht staat op AB. Omdat de middelloodlijn van F2A1

evenwijdig is met AB staat F2A1 loodrecht op AB. De lijn door C evenwijdig aan F2A1 is demiddenparallel van driehoek ∆F1F2A1 die dus ook AB loodrecht snijdt en wel in het middenvan F1F2 en ook van AB. Zo is ∆F1MC een rechthoekige driehoek en geldt dus de stelling vanPythagoras.

Als laatste moeten we laten zien dat M het midden is van CD. Als we de bovenstaanderedenatie hadden gedaan met de raaklijn in D dan hadden we ook gevonden dat F2A1 loodrechtop AB staat en dat DM evenwijdig is aan F2A1 en dus loodrecht op AB staat en dat F1D

r2.

Nu zijn volgens ZZR de driehoeken F1MD en F1MC congruent is CM = DM . Klaar.

19. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpuntF1 en straal r > 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die doorF1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als:

e :x2

α2+y2

β2= 1

waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as.Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α2 = β2 + γ2 tussen α, β en γ.a = 4((γ − −γ)2 − r2) = 4(4γ2 − r2) = −4(r2 − 4γ2)b = 4((0− 0)2 − r2) = −4r2)h = 4(γ − −γ)(0− 0) = 0g = 2((−γ + γ)r2 + (γ − −γ)((−γ)2 − γ2 + 02 − 02)) = 2(2γ) · 0 = 0f = 2((0 + 0)r2 + (0− 0)((−γ)2 − γ2 + 02 − 02)) = 0c = r4 − 2r2((−γ)2 + γ2 + 02 + 02) + ((−γ)2 − γ2 + 02 − 02)2 =

= r4 − 4r2γ2

De vergelijking voor de ellips is nu:−4(r2 − 4γ2)x2 − 4r2y2 + r4 − 4r2γ2 = 0⇒−16( r

22 − γ2)− r2)x2 − 4r2y2 = −4r2( r

22 − γ2)⇒

−16β2x2 − 4r2y2 = −4r2β2 ⇒4r2x2 + y2

β2 = 1⇒x2r22 + y2

β2 = 1⇒x2

α2 + y2

β2 = 1

20. Vergelijking 42 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voorde ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (2, 1) gaat.x2

α2 + y2

β2 = 1⇒x2

α2 + y2

9= 1

Invullen punt geeft:4α2 + 1

9= 1⇒ 4

α2 = 89⇒ α2

4= 9

8⇒ α2 = 9

2⇒

De vergelijking voor de ellips is nu:e : 2x2

gα2 + y2

β2 = 1

21. De ellips

e :x2

16+y2

9= 1

32

wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en 2 plaatsen in negatieverichting langs de y-as. (translatie t(3,-2)). Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaalde brandpunten van deze nieuwe ellips.

De vergelijking is: e : (x−3)216

+ (y+2)2

9= 1

Ook de brandpunten ondergaan dezelfde translatie. Voor de oorspronkelijke brandpunten F1 =(−γ, 0) en F2 = (γ, 0) vinden we γ uit α2 = β2 + γ2: 16 = 9 + γ2 ⇒ γ =

√7.

De nieuwe brandpunten zijn dus: F1 = (3−√

7,−2) en F2 = (3 +√

7,−2)

22. Onderzoek het verschil tussen de ellipsen

e :x2

16+y2

9= 1

en

e :x2

9+y2

16= 1

Kun je een uitspraak doen over de coordinaten van de brandpunten op basis van de waardenα en β in de standaard vorm van de ellips.De assen wisselen van plaats. Lange as verticaal korte as horizontaal. Uitspraak: Als α > βdan zijn de brandpunten F1 = (−γ, 0) en F2 = (γ, 0). Als α < β dan zijn de brandpuntenF1 = (0,−γ) en F2 = (0, γ)

23. De ellips e : (x−p)2p2

+ y2

9= 1 gaat door het punt (1, 3

2

√3). Bepaal exact de waarde(n) van p.

Invullen punt geeft:(1−p)2p2

+ 34

= 1⇒ (1−p)2p2

= 14⇒ (1− p)2 = p2

4⇒

1− 2p+ p2 = p2

4⇒ 3p2 + 8p− 4 = 0⇒ p1,2 = −8±4

√7

6

24. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

25. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h2 > ab waar is.

ab = 16((s− u)2 − r2)((t− v)2 − r2) = 16((s− u)2(t− v)2 − r2((s− u)2 + (t− v)2) + r4)

h2 = 16(s− u)2(t− v)2

Nu is d(F1, F2)2 = (s− u)2 + (t− v)2 > r2. Dus is:

r2((s− u)2 + (t− v)2) > r4)⇒ −r2((s− u)2 + (t− v)2) + r4) < 0⇒ab < h.

26. Zie figuur 3. Gegeven zijn F1 = (−γ, 0) en het punt F2 = (γ, 0) en de cirkel c1 met middelpuntF1 en straal r < 2γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, diedoor F1 en F2 wordt vastgelegd, is te schrijven als:

h :x2

α2− y2

β2= 1

33

waarin α de afstand van M tot A in figuur (4) of wel kortste afstand tussen de twee takkenvan de hyperbool. Verder is β2 = γ2 − α2.

a = 4((γ −−γ)2 − r2) = 4(4γ2 − r2)b = 4((0− 0)2 − r2) = −4r2

h = 4(γ −−γ)(0− 0) = 0

g = 2((−γ + γ)r2 + (γ −−γ)(γ2 − γ2 + 02 − 02) = 0

f = 2((0 + 0)r2 + (0− 0)(u2 − s2 + v2 − t2) = 0

c = r4 − 2r2(γ2 + γ2 + 02 + 02) + (γ2 − γ2 + 02 − 02)2 = r4 − 4r2γ2

De vergelijking voor de hyperbool wordt dan:4(4γ2 − r2)x2 − 4r2y2 + r4 − 4r2γ2 = 0⇒16(γ2 − r

22)x2 − 4r2y2 = −4r2( r

2r2 − γ2)⇒

x2r2r2−γ2 + y2

r2r2−γ2 = 1⇒

x2

α2 − y2

β2 = 1

27. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool.Gegeven is de hyperbool in standaard vorm.

h :x2

9− y2

8= 1

Deze hyperbool ondergaat de translatie t(2,−3). Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool.Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de coordinaten van de toppenen de brandpunten.De translatie geeft

h :(x− 2)2

9− (y + 3)2

8= 1

De toppen van de originele hyperbool hebben de coordinaten A = (−√

9, 0) en B = (√

9, 0).Na translatie worden dit de punten A′ = (−1,−3) en B′ = (5,−3).Voor de brandpunten bepalen we γ uit de relatie β2 = γ2 − α2: 8 = γ2 − 9 ⇒ γ =

√17.

Dit geeft de brandpunten voor de originele hyperbool F1 = (−√

17, 0) en F2 = (√

17, 0). Natranslatie worden dit de punten F ′1 = (2−

√17,−3) en F ′2 = (2 +

√17,−3).

De assen hebben de vergelijking x = 2 en y = −3.

28. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm.

h :x2

4− y2

9= 1

Deze hyperbool ondergaat een rotatie over een hoek θ radialen tegen de richting van de

klok. Een willekeurige vector ~X =

(xy

)wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R =(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)zodat

~X ′ = R ~X =

(x cos(θ)− y sin(θ)x sin(θ) + y cos(θ)

)34

en

~X = R−1 ~X ′ =

(x cos(θ) + y sin(θ)−x sin(θ) + y cos(θ)

)(a) Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool en

waarom?x en y moeten vervangen worden door respectievelijk x cos(θ) + y sin(θ) en −x sin(θ) +y cos(θ). Net als bij de translatie moet nieuwe waarden van x en y worden teruggezet naarde oorspronkelijke x en y waarden.

(b) Neem θ = π3

Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool.

h1 :(x cos(π

3) + y sin(π

3))2

4−

(−x sin(π3) + y cos(π

3))2

9= 1⇒

h1 :(x2

+ y2

√3)2

4−

(−x2

√3 + y

2)2

9= 1

De toppen van de oorspronkelijke hyperbool zijn (−2, 0) en (2, 0). Na rotatie zijn dit

de coordinaten

(12−1

2

√3

12

√3 1

2

)(20

)=

(1√3

)en

(12−1

2

√3

12

√3 1

2

)(−20

)=(

−1

−√

3

)De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool zijn (−sqrt(9 + 4), 0) en (sqrt(9 +

4), 0). Na rotatie zijn dit de coordinaten

(12−1

2

√3

12

√3 1

2

)( √130

)=

(12

√13

12

√39

)en(

12−1

2

√3

12

√3 1

2

)(−√

130

)=

(−1

2

√13

−12

√39

)De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h − as : y = 0 en v − as : x = 0. Narotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven): h − as1 : −x

2

√3 + y

2= 0 en

v − as1 : x2

+ y2

√3 = 0

(c) Na een rotatie over een hoek van θ = π4

volgt nog een translatie (-2,1).Na rotatie

h2 :(x cos(π

4) + y sin(π

4))2

4−

(−x sin(π4) + y cos(π

4))2

9= 1⇒

h2 :(x2

√2 + y

2

√2)2

4−

(−x2

√2 + y

2

√2)2

9= 1⇒

h2 :(x2

+ y2)2

2− 2

(−x2

+ y2)2

9= 1⇒

Nu translatie (−2, 1). Vervang x door x+ 2 en y door y − 1:

h3 :(x+2

2+ y−1

2)2

2− 2

(−x+22

+ y−12

)2

9= 1⇒

De toppen van de oorspronkelijke hyperbool zijn (−2, 0) en (2, 0). Na rotatie zijn dit decoordinaten:

35

(12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

)(20

)=

( √2√2

)en

(12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

)(−)

20 =

(−√

2

−√

2

)Na de translatie zijn dat de punten (−2 +

√2

1 +√

2) en (−2−√

21−√

2)De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool zijn (−sqrt(13), 0) en (sqrt(13), 0). Na

rotatie zijn dit de coordinaten

(12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

)( √130

)=

(12

√26

12

√26

)en

(12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

)(−√

130

)=(

−12

√26

−12

√26

)Na de translatie zijn dat de punten (−2 + 1

2

√26, 1 + 1

2

√26) en (−2− 1

2

√26, 1− 1

2

√26)

De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h − as : y = 0 en v − as : x = 0. Narotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven): h − as2 : −x

2

√2 + y

2

√2 = 0

en v − as2 : x2

√2 + y

2

√2 = 0

Na de translatie zijn dat de lijnen: h − as3 : −x+22

√2 + y−1

2

√2 = 0 en v − as2 :

x+22

√2 + y−1

2

√2 = 0

29. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen

h :x2

16− y2

9= 1

h :x2

9− y2

16= 1

en

h : −x2

9+y2

16= 1

Kun je een uitspraak doen over de coordinaten van de brandpunten op basis van de waardenα en β in de standaard vorm van de hyperbool.Het maakt niet uit of α > β dan wel α < β wat betreft de ligging van de toppen. Alleen alshet teken voor x2 en y2 wordt gewisseld verhuizen de toppen naar de y-as.

30. De hyperbool

h :x2

p− y2

p2= 1

gaat door het punt (√

3, 34

√3). Bepaal de waarde(n) van p.

Invullen punt: (√3)2

p− ( 3

4

√3)2

p2= 1⇒

3pp2−

2716

p2= 1⇒

3p− 2716

= p2 ⇒ p2 − 3p+ 2716

= 0⇒p1,2 = 3

2± 3

4

31. De conditie voor een hyperbool in vergelijking (1) is h2 > ab, die voor een ellips h2 < ab en vooreen parabool h2 = ab. Als F2 op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool?

36

(a) Laat zien dat de parameters (52,53,55 en 56) als d(F1, F2) = r gelijk zijn aan

a = −4(t− v)2

b = −4(s− u)2

g = 2((u+ s)((s− u)2 + (t− v)2) + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2))f = 2((v + t)((s− u)2 + (t− v)2) + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2))

Omdat d(F1, F2) = r geldt d(

(uv

),

(st

)) = r.

Hieruit volgt (s − u)2 + (t − v)2 = r2. Deze relatie invullen in (52,53,55 en 56) geeft hetgewenste resultaat.

(b) Laat zien dat ab

=(gf

)2.

a

b=

(t− v)2

(s− u)2=

(t− vs− u

)2

g

f=

(u+ s)((s− u)2 + (t− v)2) + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2)(v + t)((s− u)2 + (t− v)2) + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2)

=(u+ s)((s− u)2 + (t− v)2) + (s− u)((u+ s)(u− s) + (v + t)(v − t))(v + t)((s− u)2 + (t− v)2) + (t− v)((u+ s)(u− s) + (v + t)(v − t))

=(u+ s)(s− u)2 + (u+ s)(t− v)2 − (u+ s)(s− u)2 + (s− u)(v + t)(v − t)(v + t)(s− u)2 + (v + t)(t− v)2 + (t− v)(u+ s)(u− s)− (v + t)(v − t)2

=(u+ s)(t− v)2 + (s− u)(v + t)(v − t)(v + t)(s− u)2 + (t− v)(u+ s)(u− s)

=(u+ s)(t− v)2 − (s− u)(v + t)(t− v)

(v + t)(s− u)2 − (t− v)(u+ s)(s− u)

=(t− v)

(s− u)

(u+ s)(t− v)− (s− u)(v + t)

(v + t)(s− u)− (t− v)(u+ s)

= − (t− v)

(s− u)⇒

a

b=

(g

f

)2

(c) Wat is de kegelsnede als F2 op de cirkel ligt? We beantwoorden deze vraag met behulp

van de standaardvorm h : x2

α2 − y2

β2 = 1 met brandpunten (−γ, 0) en (γ, 0) met de relatie

γ2 = α2 + β2. Als F2 op de cirkel ligt is γ = α (waarom ?) en is β = 0.Vermenigvuldigen we de standaardvorm met α2β2 dan krijgen we:β2x2 − α2y2 = α2β2 ⇒ −α2y2 = 0⇒ y2 = 0.De lijn y = 0 door de brandpunten is nu dus de kegelsnede.

(d) Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34) eruit als F1 = F2. Is de kegelsnede dan eencirkel?In de ellips vergelijking zijn de waarden voor a, b, h, g en f gelijk aan:

a = 4((s− u)2 − r2)b = 4((t− v)2 − r2)

37

h = 4(s− u)(t− v)

g = 2((u+ s)r2 + (s− u)(u2 − s2 + v2 − t2))f = 2((v + t)r2 + (t− v)(u2 − s2 + v2 − t2))c = r4 − 2r2(u2 + s2 + v2 + t2) + (u2 − s2 + v2 − t2)2

Als F1 = F2 dan zijn s− u = 0 en t− v = 0 en veranderen deze waarden naar:

a = −4r2

b = −4r2

h = 0

g = 4ur2

f = 4tr2

c = r4 − 4r2(s2 + t2)

Alles delen door −4r2 geeft:

a = 1

b = 1

h = 0

g = −uf = −t

c = −r2

4+ (s2 + t2)

De ellips vergelijking wordt dan:e : x2 + y2 − 2ux− 2ty − r2

4+ (s2 + t2) = 0⇒

e : (x− s)2 + (y − t)2 = r2

4⇒

De ellips is dus een cirkel met straal r2

32. De hyperbool

h :1

16x2 − 1

9y2 − x− 2

3y + 2 = 0

is een translatie t(p, q) van een standaard hyperbool. Bepaal p en q.h : 1

α2 (x− p)2 − 1β2 (y − q)2 = 1⇒

1α2 (x2 − 2px+ p2)− 1

β2 (y2 − 2qy + q2) = 1⇒x2

α2 − 2pxα2 + p2

α2 − y2

β2 + 2qyβ2 − q2

β2 = 1

Dus α2 = 16 en β2 = 9. Invullen geeft:x2

16− 2px

16+ p2

16− y2

9+ 2qy

9− q2

9= 1

Nu moet gelden:

−2p

16= −1

2q

9= −2

3p2

16− q2

9− 1 = 2

38

De eerste twee vergelijkingen leveren:

p = 8

q = −3

Voldoen deze waarden aan de laatste vergelijking?

p2

16− q2

9− 1 = 2⇒

64

16− 9

9− 1 = 2⇒

4− 1− 1 = 2

Dit klopt dus de translatie is t(8,−3).

33. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind

(β2

α2

)=

(a cos2(θ)−b sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)b cos2(θ)−a sin2(θ)cos2(θ)−sin2(θ)

)

θ =1

2tan−1

2h

a− b(pq

)=

( hf−bgab−h2hg−afab−h2

)

35. Gebruik het feit dat γ2 > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welkekwadranten θ moet liggen.

Hyperbool: 2h = 2γ2 cos(θ) sin(θ). Als h > 0 dan moet cos(θ) sin(θ) ook groter dan nul zijn.cos en sin moeten hetzelfde teken hebben dus θ in 1ste en 3de kwadrant.Als h < 0 dan moet cos(θ) sin(θ) ook kleiner dan nul zijn. cos en sin moeten verschillend tekenhebben dus θ in 2de en 4de kwadrant.

Ellips: 2h = −2γ2 cos(θ) sin(θ). Als h > 0 dan moet cos(θ) sin(θ) kleiner dan nul zijn. cos ensin moeten verschillend teken hebben dus θ in 2dee en 4de kwadrant.Als h < 0 dan moet cos(θ) sin(θ) groter dan nul zijn. cos en sin moeten hetzelfde teken hebbendus 1ste en 3de kwadrant.

36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x2−2xy+3y2+10x−14y+11 = 0definieren.Kegelsnede is een ellips want: h2 < abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (−1·−7)−(3·5)(3·3)−1 = −1

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (−1·5)−(3·−7)

(3·3)−1 = 2

Translatie t(p, q) = t(−1, 2)

39

a = b dan is γ2 = (α2 − β2) = −2h = 2γ2 > 0 => θ = π/4 , α2 = a− h = 4 , β2 = α2 − γ2 = 2Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = 3 · 1 + 2(−1)(−1) · 2 + 3 · 4− 4 · 2 = 11c1 = c Geen correctie nodig dus:α2 = 4 , β2 = 2 , γ2 = 2Straal: 2 ∗

√α2 = 4

Brandpunten:F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (−2, 1)F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (0, 3)

37. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y2 + 38x−26y + 31 = 0 definieren.Kegelsnede is een hyperbool want: h2 > abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (−9·−13)−(7·19)(7·7)−81 = 1

2

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (−9·19)−(7·−13)

49−81 = 212

Translatie t(p, q) = t(12, 21

2)

a = b dan is γ2 = (α2 + β2) = 2h = −18Als γ2 < 0 dan is de standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid: Correctie nieuwe θ = π/4radialen.Ook wisselen we dan α en β.γ2 = 18 , β2 = a− h = 16 , α2 = γ2 − β2 = 2Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = 7 · 1

4+ 2(−9)(1

2) · 21

2+ 7 · 25

4− 16 · 2 = −9

c1 6= c bereken factor = 1− (31− (−9))/32 = −14

Bereken α2 = α2 · factor = −12

Bereken β2 = β2 · factor = −4Bereken γ2 = β2 + α2 = −41

2

α2 < 0 en β2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid.nieuwe θ = π/4 radialen Ook wisselen we dan α en βα2 = 4 , β2 = 1

2, γ = 41

2

Straal: 2 ·√α2 = 4

Brandpunten:F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (−1, 1)F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (2, 4)

38. Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen enstraal van de cirkel die de volgende kegelsneden definieren:

(a) k1 : x2 − 6x+ y2 + 2y + 1 = 0

Kegelsnede is een cirkel want: h = 0 en 1 = 1 Bereken p = (h·f)−(b·g)(a·b)−h2 = 3

Bereken Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = −1

Translatie t(p, q) = t(3,−1)Straal

√p2 + q2 − c = 3

(b) k2 : 3x2 + 6xy − 5y2 − 12x− 20y + 16 = 0Kegelsnede is een hyperbool want: h2 > abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (3·−10)−(−5·−6)(−15−9 = 21

2

40

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (3·−6)−(3·−10)

−24 = −12

Translatie t(p, q) = t(212,−1

2)

Bereken θ = 0.5 tan−1(2h/(a− b)) = 0.322 dus een rotatie over 0.322 radialenBereken α2 = (a sin2(θ)− b cos2(θ))/(cos2(θ)− sin2(θ)) = 5Bereken β2 = (a cos2(θ)− b sin2(θ))/(cos2(θ)− sin2(θ)) = 4Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = 3 · 25

4+ 2(3)(21

2) · (−1

2)− 5 · 1

4− 24 = −14

c1 6= c bereken factor = 1− (16− (−14))/24 = −14

Bereken α2 = α2 · factor = −112

Bereken β2 = β2 · factor = −1Bereken γ2 = β2 + α2 = −51

2

α2 < 0 en β2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid.nieuwe θ = 1.893 radialen Ook wisselen we dan α en βα2 = 1 , β2 = 11

2, γ = 21

2

Straal: 2 ·√α2 = 2

Brandpunten:F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (−3, 2)F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (2, 1)

(c) k3 : 4x2 + 12xy + 9y2 − 28x+ 88y + 244 = 0Kegelsnede is een parabool want: h2 = abRichtlijn: Bereken u =

√b =√

9 = 3h > 0⇒ v = −

√a = −2

w = 12(f 2 +g2− c(a+ b))/(gu+fv) = 1

2(442 + 142−244(4 + 9))/(−14/cdot3 + 44 ·−2) = 4

Richtlijn:3x− 2y = 4Brandpunt:s = wu−g

a+b= 2

t = wv−fa+b

= −4Brandpunt: = (2,−4)

(d) k4 : 24x2 + 4xy + 21y2 − 120x− 10y + 25 = 0Kegelsnede is een ellips want: h2 < abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (2·−5)−(21·−60)(24·21)−4 = 21

2

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (2·−60)−(24·−5)

(24·21)−4 = 0

Translatie t(p, q) = t(212, 0)

Bereken θ = 12

tan−1( 2ha−b = 1

2tan−1(4

3) = 0.464. Dus een rotatie over 0.464 radialen

Bereken α2 = (b cos2(θ)− a sin2(θ))/(cos2(θ)− sin2(θ)) = −20Bereken β2 = (a cos2(θ)− b sin2(θ))/(cos2(θ)− sin2(θ)) = −25α2 < 0 en β2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid.nieuwe θ = 2.034 radialen Ook wisselen we dan α en βα2 = 25 , β2 = 20 , γ = 5Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = −350 c1 ongelijk c bereken factor = 1 − (c −c1)/α

2β2 = 1− (25−−350)/500 = 14

Bereken α2 = α2 · factor = 614

Bereken β2 = β2 · factor = 5Straal: 2 ∗ sqrt(α2) = 5γ =

√α2 − β2 = 1

4

√20

Brandpunten:

41

F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (3,−1)F2 = (γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (2, 1)

39. Meer opgaven zijn te vinden op http://www.johnval.nl/school/wiskunde/wiskundeD/kegelsneden/geogebra/opgaveninversekegelsneden.html

40. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

7.2 Antwoorden hoofdstuk 2:

1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt A = (√

3, 32

√3) aan de hyperbool h :

4x2 − 169y2 − 9 = 0

Ik kies hier voor een oplossing door zelf te differentieren.dhdx

: 8x− 32y9

dydx

= 0⇒dydx

= 8x 932y

= 9x4y

Invullen punt geeft:dydx

= 9√3

4· 32

√3

= 32

Dus y = 32x+ b. Invullen punt om b te bepalen:

32

√3 = 3

2

√3 + b⇒ b = 0

De raaklijn heeft de vergelijking y = 32x

2. Gegeven is de hyperbool h : 5x2 − 10xy + y2 − 40x+ 16y + 39 = 0 Stel vergelijkingen op voorde raaklijnen in de punten A en B op de hyperbool waarvoor de x-coordinaat gelijk is aan 1.x-coordinaat gelijk is aan 1 levert:5− 10y + y2 − 40 + 16y + 39 = y2 + 6y + 4 = 0⇒y1,2 = −6±

√36−162

= −3±√

5Gebruiken we nu voor het gemak de vergelijking ( 82 ) dan worden de raaklijnen:

l1,2 : (5 · 1 + (−5)(−3±√

5)− 20)x+ (−5 · 1 + 1 · (−3±√

5) + 8)y = 20 · 1− 8(−3±√

5)− 39⇒

l1 : −5√

5x+√

5y = 5− 8√

5l2 : 5√

5x−√

5y = 5 + 8√

5

3. Gegeven is de parabool p : x2 + 2xy + y2 − 8x− 4y + 10 = 0.

(a) Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de parabool door het punt A waarvoor xA=2.y-waarden A: Substitueer xA=24 + 4y + y2 − 16− 4y + 10 = 0⇒ y2 = 2⇒ y1,2 = ±

√2

Gebruiken we nu voor het gemak de vergelijking ( 82 ) dan worden de raaklijnen:

l1,2 : (−2±√

2)x±√

2y = −2± 2√

2⇒

l1 : (−2 +√

2)x+√

2y = −2 + 2√

2l2 : (−2−√

2)x−√

2y = −2− 2√

2

(b) Bepaal exact de minimale waarde voor x en de maximale waarde voor y.Minimale x waarde: dx

dy= 0:

Eerst dxdy

bepalen door de parabool vergelijking naar y te differentieren:dpdy

: 2xdxdy

+ 2y dxdy

+ 2x+ 2y − 8dxdy− 4 = 0⇒

42

dxdy

= 4−2y−2y2x+2y−8 = 2−x−y

x+y−4Nul stellen: dx

dy= 2−x−y

x+y−4 = 0⇒ y = 2− xInvullen in paraboolvergelijking:x2+2x(2−x)+(2−x)2−8x−4(2−x)+10 = 0⇒ x2−2x2+4x+4−4x+x2−8x−8+4x+10 =0⇒ −4x− 6 = 0⇒ x = 3

2

Maximale y waarde: dxdy

=∞⇒ x+ y − 4 = 0⇒ x = 4− y:Invullen in paraboolvergelijking:(4−y)2+2(4−y)y+y2−8(4−y)−4y+10 = 0⇒ 16−8y+y2+8y−2y2+y2−32+8y−4y+10 =0⇒ 4y − 6 = 0⇒ y = 3

2

(c) Een raaklijn y = ax+ b heeft richtingscoeefficient a = 1. Bepaal het raakpunt.dydx

= x+y−42−x−y = 1⇒ x+ y − 4 = 2− x− y ⇒ y = 3− x

Invullen in paraboolvergelijking:x2+2x(3−x)+(3−x)2−8x−4(3−x)+10 = 0⇒ x2−2x2+6x+9−6x+x2−8x−12+4x+10 =0⇒ −4x+ 7 = 0⇒ x = 7

4∧ y = 3− 7

4= 5

4

4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

5. Bepaal algebraısch de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c met middelpunt M = (1, 9)en straal r =

√2 door het punt A = (2, 10)

< ~X − ~M, ~A− ~M >= r2 ⇒<(x− 1y − 9

),

(2− 110− 9

)>= 2⇒

x− 1 + y − 9 = 2⇒ x+ y = 12

6. Bepaal algebraısch de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M =(3, 4) en straal r = 3 door de punten A en B waarvan de y-coordinaten gelijk zijn aan 51

2

Bepaal coordinaten A en B:

< ~X − ~M, ~X − ~M >= r2 ⇒<(

x− 3512− 4

),

(x− 3512− 4

)>= 9⇒

(x− 3)2 + 94

= 9⇒ (x− 3)2 = 274⇒ x = 3± 3

2

√3

A = (3− 32

√3, 51

2) en B = (3 + 3

2

√3, 51

2).

Raaklijn l1 aan de cirkel door A: l1 :<

(x− 3y − 4

),

(3− 3

2

√3− 3

512− 4

)>= 9⇒

l1 : −32

√3(x− 3) + 3

2(y − 4) = 9⇒ l1 : −3x

2

√3 + 3y

2= 15− 9

2

√3

Evenzo raaklijn l2 aan de cirkel door B: l2 : 3x2

√3 + 3y

2= 15 + 9

2

√3

7. Bepaal algebraısch het snijpunt (de snijpunten) van de raaklijnen aan de cirkel cmet middelpuntM = (−1, 5) en straal r = r door de punten A en B die worden verkregen door de cirkel te

snijden met de lijn l : ~p = ~s+ λ

(11

)die een afstand 1

2r tot het middelpunt heeft.

Hint: Maak eerst een plaatje en gebruik je goniometrische kennis. Kies ~s als het snijpunt vanl en de loodlijn op l door M .

8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

43

9. Opdracht: Toon aan dat x2

y2= α2

β2 + α2

y2

x2

α2 − y2

β2 = 1⇒ x2

α2y2− 1

β2 = 1y2⇒ x2

y2− α2

β2 = α2

y2⇒ x2

y2= α2

β2 + α2

y2

10. Opdracht: Beredeneer dat

limy→∞

x

y= lim

y→−∞

x

y= ±α

β

Als y →∞ dan gaat α2

y2→ 0 en is

√x2

y2= ±

√α2

β2 + α2

y2→ ±

√α2

β2 = ±αβ

11. Opdracht: Toon aan dat dydx

= β2

α2xy

dhdx

: 2xα2 − 2y

β2dydx

= 0⇒ dydx

=2xα22y

β2

= β2

α2xy

12. Opdracht: Beredeneer dat

limy→∞

dy

dx= lim

y→−∞

dy

dx= ±β

α

Omdat

limy→∞

x

y= lim

y→−∞

x

y= ±α

β

is

limy→∞

dy

dx= lim

y→−∞

dy

dx=β2

α2

α

β= ±β

α

13. Opdracht: Concludeer dat de asymptoten voor de standaard hyperbool gelijk zijn aan:

βx+ αy = 0

βx− αy = 0

Omdat de standaard hyperbool symmetrisch is rond (0, 0) gaan de asymptoten ook door (0, 0).

y = −βα⇒ βx+ αy = 0

y =β

α⇒ βx− αy = 0

14. Gegeven is de hyperbool h : x2

12− y2

13= 1. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de

brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten.Toppen: (−2

√3, 0) ∧ (2

√3, 0)

Brandpunten: γ2 = 25⇒ F1 = (−5, 0) ∧ F1 = (5, 0)Asymptoten:

√13x+ 2

√3y = 0 ∧

√13x− 2

√3y = 0

44

15. De hyperbool h : 5x2 − 3y2 − 10x − 6y − 28 = 0 is ontstaan door een translatie t(p, q) vaneen standaard hyperbool. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en devergelijkingen voor de asymptoten.h : 5(x2 − 2x)− 3(y2 + 2y)− 28 = 0⇒h : 5((x− 1)2 − 1)− 3((y + 1)2 − 1)− 28 = 0⇒h : 5(x− 1)2 − 3(y + 1)2 = 30⇒h : (x−1)2

6− (y+1)2

10= 1⇒

Translatie t(1,−1)Toppen: (−

√6 + 1,−1) ∧ (

√6 + 1,−1)

Brandpunten: γ2 = 16⇒ F1 = (−3,−1) ∧ F1 = (5,−1)Asymptoten:

√10(x− 1) +

√6(y + 1) = 0 ∧

√10(x− 1)−

√6(y + 1) = 0

16. Beschouw nogmaals de hyperbool uit opgave 37 van het vorige hoofdstuk. Bepaal ook devergelijkingen voor de asymptoten k2 : 3x2 + 6xy − 5y2 − 12x− 20y + 16 = 0Translatie t(p, q) = t(21

2,−1

2)

α2 = 1 , β2 = 112, γ = 21

2

Straal: 2 ·√α2 = 2

Brandpunten:F1 = (−3, 2)F2 = (2, 1)Asymptoten: 1

2

√6(x− 21

2) + (y + 1

2) = 0 ∧ 1

2

√6(x− 21

2)− (y + 1

2) = 0

17. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

7.3 Antwoorden hoofdstuk 3

1. Gegeven is de parabool p : x2 − 4xy + 4y2 − 15x− 4y + 1 = 0. Bepaal de poollijn ten opzichte

van het punt A =

(14

).

Invullen punt in:

(axP + hyP + g)x+ (hxP + byP + f)y = −gxP − fyP − c(1 · 1 + (−2) · 4− 71

2)x+ ((−2) · 1 + 4 · 4− 2)y = 7

1

2· 1− (−2) · 4− 1− 14

1

2x+ 12y = 14

1

2

2. Gegeven is de ellips e : x2

4+ y2 − 1 = 0 en het punt P (3, 3).

(a) Bepaal algebraısch de poollijn ten opzichte van het punt P .Invullen punt in:

(axP + hyP + g)x+ (hxP + byP + f)y = −gxP − fyP − c34x+ 3y = 1

(b) Bepaal algebraısch de vergelijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips.Eerst snijpunten van poollijn met e bepalen. Daarna raaklijn opstellen:

45

Invullen relatie poollijn in kegelsnede

34x+ 3y = 1⇒ y = −frac14x+ 1

3x2

4+ (−frac14x+ 1

3)2 − 1 = 0⇒

x2

4+ frac116x2− 1

6x+ 1

9− 1 = 0⇒

516x2 − 1

6x− 8

9= 0⇒

x1,2 =16±√

136

+4· 516· 89

58

=16± 1

6

√41

58

= 4±4√41

15⇒

A = (4−4√41

15, 4+

√41

15) ∧B = (4+4

√41

15, 4−

√41

15)

raaklijnen:

lA : (1−√

41

15)x+ (

4 +√

41

15))y = 1

lB : (1 +√

41

15)x+ (

4−√

41

15))y = 1

3. Gegeven is de hyperbool h : −x2 + y2 = 1 en het punt P (2, 1). Bepaal algebraısch de verglijk-ingen van de raaklijnen door P aan de ellips.Poollijn: −2x+ y = 1Snijpunten poollijn hyperbool:

−x2 + (1 + 2x)2 = 1⇒ −x2 + 1 + 4x+ 4x2 = 1⇒ 3x2 + 4x = 0⇒x(3x+ 4) = 0⇒ x = 0 ∨ x = −4

3⇒

A = (0, 1) ∧B = (−43,−5

3)

raaklijnen:

lA : y = 1

lB :4

3x− 5

3y = 1

4. Maak in geogebra een parabool en laat de raaklijnen vanuit een punt A aan de parabool tekenen.Laat ook de hoek tussen deze twee raaklijnen door geogebra bepalen. Beweeg het punt over derichtlijn. Wat observeer je? Bewijs dat bij een parabool p de raaklijnen aan p vanuit een puntA op de richtlijn loodrecht op elkaar staan.

5. Gegeven zijn de cirkels c1 : x2 + y2 − 1 = 0 en c2 = x2 + y2 − 6x− 10y + 25 = 0. De poollijnent.o.v. het punt P (xP , yP ) snijden elkaar in het punt S(1, 2).Bepaal algebraısch de coordinaten van P . Open opgcirccircpool.ggbVergelijkingen voor de poollijnen t.o.v. het punt P (xP , yP ) zijn:{

pc1 : xxP + yyP = 1pc2 : x(xP − 3) + y(yP − 5) = 3xP + 5yP − 25

Het punt S(1, 2) ligt op beide lijnen dus:{xP + 2yP = 1(xP − 3) + 2(yP − 5) = 3xP + 5yP − 25

⇒{xP = 1− 2yP(1− 2yP − 3) + 2(yP − 5) = 3(1− 2yP ) + 5yP − 25

⇒ yP = −10 ∧ xP = 21

46

6. Gegeven zijn de hyperbool h : 7x2 − 18xy + 7y2 + 6x+ 6y − 1 = 0 en de ellips e : 3x2 − 2xy +3y2 − 6x− 6y − 9 = 0. Open opgelhyppool.ggb

(a) Toon algebraısch aan dat de beide kegelsneden gelijke brandpunten hebben.Kegelsnede e : 3x2 − 2xy + 3y2 − 6x− 6y − 9 = 0 is een ellips want: h2 < abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (−1·−3)−(3·−3)(3·3)−1 = 11

2

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (−1·−3)−(3·−3)

(3·3)−1 = 112

Translatie t(p, q) = t(112, 11

2)

a = b dan is γ2 = (α2 − β2) = −2h = 2γ2 > 0 => θ = π/4 , α2 = a− h = 4 , β2 = α2 − γ2 = 2Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = 3 · 9

4+ 2(−1)9

4+ 3 · 9

4− 4 · 2 = 1

c1 6= c bereken factor = 1− c−c1α2β2 = 9

4Bereken α2 = α2factor = 9

Bereken β2 = β2factor = 92

α2 = 9 , β2 = 92, γ2 = 9

2

Straal: 2 ∗√α2 = 6

Brandpunten:F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (0, 0)F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (3, 3)

Kegelsnedeh : 7x2 − 18xy + 7y2 + 6x+ 6y − 1 = 0 is een hyperbool want: h2 > abBereken: p = (h·f)−(b·g)

(a·b)−h2 = (−9·3)−(7·3)(7·7)−81 = 11

2

Bereken q = (h·g)−(a·f)(a·b)−h2 = (−9·3)−(7·3)

(7·7)−81 = 112

Translatie t(p, q) = t(112, 11

2)

a = b dan is γ2 = (α2 + β2) = 2h = −18Als γ2 < 0 dan is de standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid: Correctie nieuwe θ = π/4radialen.Ook wisselen we dan α en β.γ2 = 18 , β2 = a− h = 16 , α2 = γ2 − β2 = 2Bereken c1 = ap2 + 2hpq + bq2 − α2β2 = 7 · 9

4+ 2(−9)9

4+ 7 · 9

4− 16 · 2 = −41

c1 6= c bereken factor = 1− (−1− (−41))/32 = −14

Bereken α2 = α2 · factor = −12

Bereken β2 = β2 · factor = −4Bereken γ2 = β2 + α2 = −41

2

α2 < 0 en β2 < 0 dan is standaard kegelsnede π/2 radialen gedraaid.nieuwe θ = π/4 radialen Ook wisselen we dan α en βα2 = 4 , β2 = 1

2, γ = 41

2

Straal: 2 ·√α2 = 4

Brandpunten:F1 = (−γ cos(θ) + p,−γ sin(θ) + q) = (0, 0)F2 = (γ cos(θ) + p, γ sin(θ) + q) = (3, 3)Brandpunten zijn dus gelijk.

(b) Bereken algebraısch de snijpunten van de kegelsneden.Los op{

7x2 − 18xy + 7y2 + 6x+ 6y − 1 = 03x2 − 2xy + 3y2 − 6x− 6y − 9 = 0

⇒

47

{10x2 − 20xy + 10y2 − 10 = 10(x− y)2 − 10 = 03x2 − 2xy + 3y2 − 6x− 6y − 9 = 0

⇒

{x = 1 + y ∨ y = 1 + x3x2 − 2xy + 3y2 − 6x− 6y − 9 = 0

⇒

{x = 1 + y3(1 + y)2 − 2(1 + y)y + 3y2 − 6(1 + y)− 6y − 9 = 0

∨{y = 1 + x3x2 − 2x(1 + x) + 3(1 + x)2 − 6x− 6(1 + x)− 9 = 0

⇒

{x = 1 + yy2 − 2y − 3 = (y − 3)(y + 1) = 0

∨{y = 1 + xx2 − 2x− 3 = (x− 3)(x+ 1) = 0

⇒

Snijpunten: A(4, 3)B(0,−1)C(3, 4) en D(−1, 0)

(c) Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen aan e in de snijpunten met de x-as.Snijpunten met de x-as ⇒ y = 0 Los op:3x2 − 6x− 9 = 0⇒ (x+ 1)(x− 3) = 0⇒Snijpunten E(−1, 0) ∧ F (3, 0)Raaklijnen:

lE : (3 · −1 + (−1) · 0 + (−3))x+ ((−1) · −1 + 3 · 0 + (−3))y = −(−3) · (−1)− (−3) · 0− (−9)⇒

lE : −3x− y = 3

lF : (3 · 3 + (−1) · 0 + (−3))x+ ((−1) · 3 + 3 · 0 + (−3))y = −(−3) · 3− (−3) · 0− (−9)⇒

lF : x− y = 3⇒

(d) Bepaal de hoek tussen de poollijnen van e en h ten opzichte van het het snijpunt van deraaklijnen uit de vorige deelopgave.Snijpunt: Los op −3x− 3 = x− 3⇒ x = 0 ∧ y = −3Poollijnen:

pe : (3 · 0 + (−1) · (−3) + (−3))x+ ((−1) · 0 + 3 · (−3) + (−3))y = −(−3) · 0− (−3) · (−3)− (−9)⇒

pe : y = 0⇒

ph : (7 · 0 + (−9) · (−3) + 3)x+ ((−9) · 0 + 7 · (−3) + 3)y = −3 · 0− 3 · (−3)− (−1)⇒

ph : 30x− 18y = 10⇒

Snijpunt: S(/frac13, 0)

7. Gegeven zijn standaard de hyperbool h : 3x2 − y2 − 6x + 6y − 9 = 0 en de parabool p :x2 − y − 6x+ 6y = 0. Open opgparhyppool.ggb

48

(a) Bepaal de brandpunten van de kegelsneden.h = 0 dus geen rotatie. Herschrijf h naar h : 3(x2 − 2x)− (y2 − 6y)− 9 = 0Kwadraat afsplitsen geeft:h : 3((x− 1)2 − 1)− ((y − 3)2 − 9)− 9 = 0⇒h : 3(x− 1)2 − (y − 3)2 = 3⇒h : (x− 1)2 − (y−3)2

3= 1⇒

γ2 = α2 + β2 = 3 + 1 = 4Translatie t(1, 3). Brandpunten F1(−1, 3) ∧ F2(3, 3)

(b) Bepaal de vergelijkingen voor de asymptoten van h.h1 : βx−αy = βtx−αty ⇒

√3x− y =

√3− 3 en h2 : βx+αy = βtx +αty ⇒

√3x+ y =√

3 + 3

(c) De x-as snijdt de parabool in de punten K en L. De raaklijnen aan de parabool door Ken L snijden elkaar in S. Slechts een van de punten K en L bepaalt een poollijn voorh. Noem dit punt K. De poollijn snijdt de hyperbool in de punten P en Q. Bepaal deoppervlakte van de vierhoek KSPQ.Snijpunten x-as: x2 − 6x = 0⇒ K(0, 0) ∧ L(6, 0).Raaklijnen: lK : −3x+ 3y = 0⇒ y = xlL : (6− 3)x+ 3y = 18⇒ y = 6− xSnijpunt: Los op x = 6− x⇒ S(3, 3)Poollijn t.o.v K: pK : −3x+ 3y = 9⇒ y = x+ 3.Snijpunten met hyperbool. Los op:3x2 − (x+ 3)2 − 6x+ 6(x+ 3)− 9 = 0⇒3x2 − (x2 + 6x+ 9)− 6x+ 6x+ 18− 9 = 0⇒ 2x2 − 6x = 0⇒ x = 0 ∨ x = 3Snijpunten: Q(0, 3) ∧ P (3, 6).Vierhoek is parallellogram: O = basis · hoogte = 3 · 3 = 9 of meer algemeen O =

|<nKP ,(S−Q)>|2

=

|<

−63

, 3

0

>|2

= 9

8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

49

Figuur 5: applets

−2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

k : x2 + y2 = 4

P = (3, 3)A

B

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0

k : x2 − y2 = −1

P = (2, 1)

A

B

cirkel k : x2 + y2 = 4 Open cirkel.ggb hyperbool k : x2 − y2 = −1 Openhyperbool.ggb

−2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

k : 0.25x2 + y2 = 1

P = (3, 3)

A

B

−2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0

k : y2 − 2x = 0

P = (−1,−1)

A

B

ellips k : 0.25x2 + y2 = 1 Openellips.ggb

parabool k : y2 − 2x = 0 Openparabool.ggb

50