Kardinaal - A-Eskwadraat€¦ · Sinterklaas als het goed is nog in het land. De goed-heiligman {...

Studievereniging A–Eskwadraat

Jaargang 11/12 Nummer 2Kardinaal

In dit nummer

VAKartikelen idiootartikelen

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Van de voorzitterNeutrino’s sneller dan het licht? . . . . . 4Stefan Vandoren

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beter onderwijsheb je zelf in de hand!

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Navigation on seaand cardinal buoyage

Datatypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Jan de Wit

13 . . . . . . . . . . Pumpkin salad “spiced” up14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gedicht

King Arthur’s Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Koen Ekelschot & Twan van deWaerdtHefbomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Marcel Scholten & Tom HofsteeNul is natuurlijker als je denkt . . . . . . 23Sjoerd BoersmaWaarom met niets beginnen? . . . . . . . . 24Darius KeijdenerMR Thermometry / 4D LiverModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Miekee Lam & Yolanda Noorda29 . . . . . . . . . . . . . .O, kom er eens kijken...

Overerving bij objecten. . . . . . . . . . . . . . 31Bas Lommers & Jan de Wit

33 . . . . . . . . . . . . . Excursie klinische fysicaRamsey-kardinalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Julian Lyczak

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KortHilbert Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Sjoerd Boersma

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zoek de verschillen42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begin en eind

Colofon

datum uitgave: 21 november 2011

oplage: 1810

deadline volgend nummer:

11 december 2011

De Vakidioot is een uitgave van:

Studievereniging A–Eskwadraat

Princetonplein 5

3584 CC Utrecht

tel: (030)2534499

fax: (030)2535787

e-mail: [email protected]

redactie:

Adinda de Wit

Ans de Nijs

Barbera Droste

Chun Fei Lung

Darius Keijdener

Fiona van der Burgt

Jan de Wit

Peter Boot

Sjoerd Boersma

Met dank aan:

Bas Lommers

Eric van Dijk

Gijs Boosten

Jan Jitse Venselaar

Julian Lyczak

Karst Koymans

Koen Ekelschot

Marcel Scholten

Miekee Lam

Stefan Vandoren

Tom Hofstee

Twan van de Waerdt

ViCie

Yolanda Noorda

Redactioneel

De wiskundigen onder jullie zullen bij hetzien van het thema van deze Vakidiootongetwijfeld meteen aan het begrip ‘kar-dinaliteit’ hebben gedacht.De niet-wiskundigen onder jullie dachtenwellicht aan kardinaal Simonis, aan de pausof in ieder geval iets Rooms-Katholieks. Normaal ge-sproken heeft de voorpagina van doen met het thema,en zo ook dit keer. Toch? Wat doet die gekke trein danop de voorkant? In de Verenigde Staten is de Cardinaleen trein die drie keer per week van New York Pennsyl-vania Station naar Chicago Union Station rijdt. Dat iseen rit van 1844 km die zo’n 28 uur duurt. Deze trein isop de voorkant afgebeeld (foto met dank aan Flickru-ser jpmueller99 ).

Als de Vakidioot net op je deurmat geploft is, dan isSinterklaas als het goed is nog in het land. De goed-heiligman – de naam zegt het al – is natuurlijk eenheilige en dus ook een soort kardinaal. Wat toevallig!Daarom vind je in deze Vakidioot enkele Sinterklaasge-relateerde artikelen, met als hoogtepunt een interviewmet de kindervriend. Hoewel de Sint normaal gespro-ken geen interviews geeft aan tijdschriften wilde hijvoor ons een uitzondering maken: je vindt zijn ant-woord op onze vragen op pagina’s 29 en 30.

Natuurlijk is er nog meer: zo hebben we artikelen overRamsey-kardinalen, navigatie op zee, snelle neutrino’s,objectgeorienteerd programmeren, de excursie naar kli-nische fysica en een word-actief-flowchart. . .Genoeg dus om je voorlopig niet te hoeven vervelen!Veel leesplezier,

Adinda de WitHoofdredacteur

[email protected]

VAKidioot A-Eskwadraat idioot

Van de voorzitter“|N| 6= |R|”

Zowel de kardinaliteit van de natuurlijke getallen als die van de reeelegetallen is oneindig en toch zijn ze niet gelijk aan elkaar. Oneindig is dusniet een eenduidig begrip in de wiskunde. Oneindig is iets wat maar wei-nig mensen zich kunnen voorstellen. In het leven zoals wij het kennen zitoveral een limiet aan, zelfs de afstand tot de sterren die oneindig lijkt is inkilometers of lichtjaren uit te drukken. Het verleden waarvan het lijkt datje oneindig ver terug kunt gaan is eindig (mits je in de oerknal gelooft.) Al-leen gevoelens kunnen oneindig lijken, bijvoorbeeld: wij blijven voor altijdvrienden. In het dagelijks leven heeft oneindig eigenlijk alleen betekenis bijgevoelens – in de wiskunde heeft dit duidelijk een hele andere betekenis.

Naast oneindig zijn er nog veel meer woorden die in de wiskundeof natuurkunde een andere betekenis hebben dan in de alledaagsetaal. Zo denk ik nu aan continu, waarbij ik meteen denk aan eencontinue functie. Zou je mensen op straat vragen naar de beteke-nis van continu dan antwoorden zij waarschijnlijk: steeds voort-durend. Het woord discreet is ook een dergelijk voorbeeld watin de wiskunde staat voor zaken die los van elkaar staan, terwijlin het woordenboek het vertaald staat als: in staat geheimen tebewaren. Zo kunnen er nog tal van woorden gevonden wordenwaarvan je er in de loop van je studie achter komt dat de beteke-nis van deze woorden heel anders kan zijn dan die in alledaagsetaal.

Ook binnen A–Eskwadraat betekenen woorden of afkortingen vaak iets anders dan inde Nederlandse taal. Bekende voorbeelden zijn de VOC, wat binnen A–Eskwadraatde Vertaal en OmzetCommissie is, of de BTW die jaarlijks de introkrantjes maakt.Verder bestaan er nog veel meer afkortingen binnen A–Eskwadraat die samengevatzijn in het HAUD (Het Afkortingen Uitleg Document), wat te vinden is op de website.

Het blijkt wel dat woorden lang niet altijd een eenduidige betekenis hebben en danhebben we het nog niet eens gehad over de interpretatie van de woorden. Kortom dediscussie over woorden en betekenissen zal tot in de lengte van dagen gevoerd wordenen een eenduidig antwoord zal er waarschijnlijk nooit komen.

Gijs Boosten

3

VAK Natuurkunde VAKidioot

Neutrino’s sneller dan het licht?Door: Stefan Vandoren

Terwijl ik dit stukje schrijf, word ik gebombardeerd door miljarden neu-trino’s. Ze gaan dwars door me heen, maar ik voel het niet, zie het nieten hoor het niet. Het doet geen pijn. Dat geldt ook voor jou terwijl jedit leest. Onze aarde wordt voortdurend beschoten met neutrino’s vanuitde zon en andere kosmische bronnen. Die neutrino’s gaan dwars door deaarde heen, en we merken er helemaal niets van. Wat vreemd!

Neutrino’s zijn elementaire deeltjes, enbehoren tot de soort van “leptonen”. Erzijn twee soorten van elementaire deel-tjes waaruit alle materie is opgebouwd:quarks (die protonen en neutronen ma-ken) en leptonen. De leptonen bestaanuit drie families van deeltjes: het elek-tron, het muon en het tau-deeltje. Bijelk van die drie hoort een neutrino: hetelektron-neutrino, het muon-neutrino enhet tau-neutrino. Er zijn dus zes leptonen,en samen met hun antideeltjes, twaalf.

De belangrijkste eigenschap van het neu-trino is dat het bijna geen eigenschappenheeft! Neutrino’s hebben geen elektrischelading, en voelen dus geen elektromagne-tische krachten; ze zijn vrijwel massaloos– hun precieze massa’s zijn overigens nogniet bekend – en voelen dus ook geenzwaartekracht. Daarom kunnen ze dwarsdoor de aarde heen. De enige wisselwer-king die ze ondergaan is met een atoom-kern, via de zwakke kernkracht die wekennen van radioactief verval. Vreemdgenoeg kunnen de drie neutrino’s wel on-derling van gedaante verwisselen. Eenelektron-neutrino kan bijvoorbeeld ver-anderen in een muon-neutrino, of in eentau-neutrino, en omgekeerd. Dit feno-meen heet neutrino-oscillatie. Er wordtvolop onderzoek gedaan naar die oscil-laties, zoals bij het Super-Kamiokande-experiment in Japan, of bij het OPERA-experiment tussen CERN en Gran Sasso,waarover later meer.

Wanneer een neutron vervalt in een prot-on via radioactief verval, worden er elek-tronen en anti-neutrino’s geproduceerd.Andersom kunnen protonen, wanneer zebeschoten worden met neutrino’s, omge-zet worden in neutronen en positronen,de antideeltjes van de elektronen. Eenneutrinodetector bestaat daarom uit eengrote en dichte hoeveelheid materie, envan de miljarden neutrino’s die de detec-tor ingaan, botsen er slechts enkele meteen proton in een atoomkern. Hierdoorontstaat een klein stralingsflitsje (Ce-renkovstraling) dat gemeten kan worden,zoals in de afbeelding hieronder.

Figuur 1: Schematische weergave van een neu-

trinodetector. Dit soort detectoren staat vaak

diep ondergronds, soms in een watertank, om

afgeschermd te zijn van andere deeltjes uit kos-

mische straling die het aardoppervlak niet kun-

nen doordringen. De detector bij het OPERA-

experiment zit echter niet in een watertank,

maar in grote hoeveelheden dicht opeengepakt

lood, zo’n 1300 ton. Het “OPERA-neutrino” is

ook van de tau-familie, maar het principe blijft

hetzelfde.

4

VAKidioot Natuurkunde VAK

Het OPERA (Oscillation Projectwith Emulsion-tRacking Apparatus)-experiment doet onderzoek naar de eigen-schappen van neutrino’s, in het bijzondernaar neutrino-oscillaties en het detecte-ren van tau-neutrino’s. In het CERN-laboratorium te Geneve worden muon-neutrino’s geproduceerd en gericht opeen neutrinodetector zo’n 732 kilometerverder in Gran Sasso, in de Apennijnenvan Centraal-Italie.

Figuur 2: Een bundel van neutrinodeeltjes wordt gemaakt in een van de kleinere versnellers in

CERN in Geneve. Die bundel wordt afgeschoten in de richting van een detector in Gran Sasso, 732

kilometer verderop.

In mei 2010 werd in Gran Sasso voor heteerst bevestigd dat een muon-neutrinokan veranderen in een tau-neutrino, eenvan de mogelijke oscillaties. Bijkomendwordt ook gemeten hoe lang het neutrinoerover doet om van CERN naar GranSasso te vliegen. Aangezien neutrino’szich met ongeveer de lichtsnelheid voort-bewegen, rekent men snel uit dat de reis-tijd CERN-Gran Sasso in de buurt ligtvan een paar milliseconden. Andersomkan men uit het meten van de reistijdde snelheid van het neutrino bepalen. De

uiterst precieze tijdmeting die nodig is,is echter ingewikkeld,, omdat klokken inGran Sasso en bij CERN heel nauwkeu-rig op elkaar afgesteld moeten worden.Hierbij worden GPS-satellietsystemen ge-bruikt in combinatie met geavanceerdemeetmethodes met atoomklokken.

Op 23 september 2011, na maandenvan verder onderzoek, twijfel en nervo-siteit, geeft OPERA zijn gegevens vrij(http://arxiv.org/abs/1109.4897):neutrino’s zouden sneller dan het lichtin vacuum bewegen. Het meetresultaatwordt het makkelijkst weergegeven in degrootheid:v−cc

= [2, 48 ± 0, 28(stat.) ± 0, 3(sys.)] · 10−5

dit wil zeggen, de snelheid v van de neu-trino’s is ongeveer 7 km/s groter dan dievan het licht in vacuum (c=299.792,458km/s). De afwijking is dus ongeveer 20delen in een miljoen. Het neutrino doet erover die afstand 60 nanoseconden minderover dan het licht.

De statistische (stat.) en systematische(sys.) onzekerheden zijn klein, de stan-daarddeviatie is 6 sigma; uiterst signifi-cant. De meetgegevens zijn gebaseerd op15.000 neutrino-events die in de detec-

5

http://arxiv.org/abs/1109.4897


tor zijn waargenomen. De onzekerheid inde reistijd bedraagt niet meer dan on-geveer 10 nanoseconden, heel klein dusten opzichte van de reistijd van ongeveerdrie milliseconden. Op de afstand tussenCERN en de detector zit ook niet veelonzekerheid: hooguit 20 centimeter. . .

Het bestaan van deeltjes die sneller danhet licht bewegen is in tegenspraak metEinsteins speciale relativiteitstheorie.Enige nuancering is gepast: volgens Ein-stein kan geen deeltje versneld wordentot snelheden groter dan de lichtsnelheid.De postulaten van de relativiteitstheo-rie verbieden echter niet dat er deeltjesbestaan die altijd sneller dan het lichtbewegen. Zulke deeltjes heten tachyonen.Men kan makkelijk laten zien dat zulkedeeltjes voor sommige waarnemers terugin de tijd reizen. In ietwat vereenvou-digde termen: klokken die meebewegenmet reizende deeltjes lopen langzamerdan wanneer in rust. Bij de lichtsnelheidstaat de klok stil, en bij nog grotere snel-heden lopen klokken achteruit.

In een wereld waarin klokken achteruitlopen, worden oorzaak en gevolg omge-draaid. In zo’n wereld kan je terugreizenin de tijd, en gaat het licht aan voor-dat de schakelaar is omgezet. In techni-sche termen, een theorie met tachyonenis niet causaal. Niemand weet hoe zo’ntheorie betekenisvol kan zijn, consistentkan zijn met wat we over de natuur wetenen kunnen meten. Daarom verwerpen wehet idee van tachyonen, en verbieden weelke theorie die niet causaal is. Als neu-trino’s sneller dan het licht kunnen reizen,is de relativiteitstheorie niet causaal, endus accepteren we haar niet.

Een aantal wetenschappers stelt voor derelativiteitstheorie aan te passen of zelfste vervangen door een nieuwe theorie, diein overeenstemming is met het OPERA-experiment. Er zijn tal van artikelen ophet internet te vinden waar voorstellengedaan worden hoe dit te doen. Het isondertussen bijna niet meer bij te hou-den, en het ene idee vind ik al gekkerdan het andere. Andere wetenschappersschrijven over mogelijke meetfouten inhet experiment. Ook hier worden allerleiverschillende oorzaken aangereikt. Op het“Physics-arXiv” werd het OPERA-artikelal 98 keer geciteerd in een maand tijd!Voorlopig heb ik nog geen positieve reac-ties hierop gelezen van de wetenschappersverbonden aan het experiment.

Hoe moet het nu verder? Elk nauwkeurigexperiment moet vanzelfsprekend seri-eus genomen worden, en het OPERA-experiment dus ook. Er moet gezochtblijven worden naar mogelijke oorzaken,eventuele instrumentele of statistischefouten. Eerdere experimenten over neu-trinosnelheden bij lagere energieen von-den geen significante afwijkingen. Indienfouten zijn gemaakt, zullen we daar waar-schijnlijk iets uit leren. Eventueel moethet experiment worden overgedaan, el-ders, en geheel onafhankelijk. Tot die tijdhoud ik me alleszins nog aan de relativi-teitstheorie, die door talloze experimen-ten met verbluffende precisie is bevestigd.Bij wijze van spreken, de stand is 100 te-gen 1!

6

VAKidioot Medezeggenschap idioot

Beter onderwijs heb je zelf in de hand!Als student heb je het vaak niet door, maar je bent in staat je eigenonderwijs te verbeteren door klachten door te geven en ideeen voor ver-beteringen te noemen. Voor de verschillende departementen zijn er stu-denten die deze klachten verzamelen en doorgeven aan de juiste mensenbinnen het departement en de faculteit. Ook kunnen zij je informeren overwat er op dit moment allemaal gebeurt binnen de universiteit.

SODI

SODI staat voor Studentenoverleg De-partement Informatica, een keer per pe-riode is er een overleg waarin studentenhun mening kunnen geven over de ver-schillende vakken en faciliteiten. 14 ok-tober was de eerste SODI-bijeenkomstvan het huidige collegejaar. Behalve ge-zellig was het natuurlijk ook een nut-tige bijeenkomst. Gelukkig werd er nietalleen geklaagd over volle collegezalenen hoge werkdruk, maar werden ook depositieve kanten van vakken aangestipt.Heb jij nog klachten of opmerkingenover vakken? Bezoek dan www.SODI.nl,neem contact op met Cindy Berghuizenof kom naar een SODI-bijeenkomst!

OGW

De OGW is nu bezig met wat kleine pro-blemen oplossen, zoals het praten meteen aantal docenten over bijvoorbeeld tekorte pauzes of quizzen die niet aanslui-ten op de stof. Ook zijn er dingen mee-genomen naar de OAC, en daar is be-sproken dat het absoluut niet netjes isom vlak voor aanvang van het college-jaar de roostering om te gooien, zoalsdit jaar wel gebeurd is. Dus blijf naarde bijeenkomsten komen of mail [email protected], dan kunnen we aande slag met je problemen.

SONS

Het SONS, StudentenOverleg Natuur-en Sterrenkunde, organiseert iederedinsdag in de middagpauze het Dins-dagMiddagOverleg (DiMiO). Hier wor-den de aanwezigen op de hoogte gesteldvan voor hen belangrijke lopende zakenin het departement en de faculteit, kun-nen studenten al hun klachten kwijt enwordt iedere week een discussie gehou-den over zaken waarmee studenten temaken hebben. Voorbeelden hiervan zijnde vernieuwing van de universiteitsweb-site en het vakkenaanbod. Heb jij eenklacht of opmerking als Natuurkunde-student? Ga naar het DiMiO, mail [email protected], loop langs de SONS-kamer in BBL 775 of neem contact opmet Yassir Awwad, Fons van der Laanof Barbera Droste.

Profilering

Inmiddels is op 13 oktober het profielBeta 2015 vastgesteld. Wat dit betekentis in het kort al in de vorige Vakidiootbeschreven. Het volledige document is telezen op de site van Beta 2015 1, inlog-gen met je Solis-id. Mocht je hier vragenover hebben, spreek dan gerust EvelineVisee, Alexander Melchior of BarberaDroste aan, studentleden van de facul-teitsraad, of Rob Wesselink, studentbe-stuurslid in het faculteitsbestuur.

1https://portal.services.uu.nl/beta/beta2015/Pages/Default.aspx

7

www.SODI.nl

EnglishVAKidioot Manual idioot

Navigation on sea and cardinal buoyageYou find yourself on a boat surrounded by water. Hopefully you’re pre-pared, because there is no land in sight. How do you find your way to thenearest or a preferred harbor?

Fortunately we don’t live in the fifteenth century anymore. Columbus had some nicetools to find his way, but had no idea what the shores he was sailing for would looklike, or where they would be, since there were no maps of these undiscovered lands.Legend tells us that he actually miscalculated the distance to Asia and he and hiscrew would’ve starved to death if they hadn’t encountered the New World. Columbushad access to compasses and several tools to determine his position on earth fromthe position of the stars. But again, if you don’t know where you’re going, knowingwhere you are is not that useful.

These days however, the difference is that the world is mapped; navigation has becomemuch easier. The main question is now what method you prefer (or: how much moneyyou are willing to spend), rather than whether it is possible to navigate your boatto your destination. Considering the large amounts of large (cargo) ships hauling theEarth these days, it’s only safe that navigation has developed to modern standards.Colliding with oil tankers was something Columbus did not have to worry about.

Satellites

Satellite navigation is probably the best tool available. A GPS receiver1 combined witha (digital or physical) map of the area you are sailing on is very useful, given thatthe map shows proper coordinates. You just read the coordinates the GPS receiverindicates, look on the map and find where you are. If you mark your position and thetime on the map twice you can even see the direction you’re going in, although manyGPS receivers will also indicate the direction for you. Most seaworthy ships will havea GPS receiver these days, save for those few nuts who try to sail the sea like in theold times.

Radar

Another modern tool to locate and navigate your ship is radar. Radar is a bit olderand particularly known as a tool for military purposes, as it appears in many Holly-wood movies and has a board game based on it. A disadvantage of radar navigationis that it is only useful when other objects are within the range of the radar. Whenthese other objects are fixed (such as land) you can determine your position. If theyare not fixed or moving (such as ships) you can only find your relative position. Ifyour navigational goal is just to avoid colliding with other ships, a radar is sufficient(although small ships may not be shown on your radar), but it will not show you theway on open sea.

1Similar systems are being developed by Europe (Galileo), China (COMPASS/BeiDou-2),and India (IRNSS), but are not operational yet. The Russian system GLONASS is functional,but is barely used for commercial purposes.

9

English

idioot Manual VAKidioot

Vision

The more interesting navigation techniques are coming up, so if you’re not a fan oftechnical stuff don’t despair. A technique that is not to be underestimated is sight.It may sound trivial2, but it is often even a better technique than all technical toolscombined. Not that you shouldn’t trust the technical tools – they are usually right– but sight has some great advantages. You can see the distance to land (althoughwe assumed in the introduction there would be no land in sight, sorry for that) andother ships, but also whether you’re on collision course with any of these. Again, sightshould be combined with maps because it’s usually not possible to see the depth ofthe water you’re sailing on. For that there is also another tool: an echosounder thatmeasures the depth. Unfortunately it only measures the depth on the place whereyou’re already sailing, so it is not able to always warn you of sudden shallowgrounds.

Cardinals

Just like roads, waterways have signs to tell you the maximum speed, priority rulesand where you are. Floating signs (which are in particular useful when there is noland close to where the sign should be) are called buoyage, and can be subdivided intolateral and cardinal buoyage. Lateral buoys are usually in two colors: green and red,between which you are supposed to sail. Since the theme of this issue is ‘cardinal’, Iwill give some extra attention to cardinal buoyage.

Cardinal marks

If you encounter a cardinal buoy, you are sup-posed to sail around it, but only on one side, asit is warning you about danger. Usually thisdanger is shallow grounds on an unexpectedplace, but it can also be a shipwreck. The cardi-nals are yellow and black (see picture), and twoblack triangles on top of them tell you on whichside to pass them. Two triangles with a pointup means north, both down means south, twotriangles pointing at each other west and twotriangles with a side to one another means east.So you could still use a compass to see wherethe north is. On many occasions four cardinalswill float on four sides of a dangerous site, and itis clear you should sail around it. During nightcardinal buoys (as well as lateral buoys) give alight signal. Each buoy has its own light signal, so you can distinguish between them.

Sjoerd Boersma

2which is the theme of the next issue of Vakidioot

10

VAKidioot Informatica VAK

DatatypesVoor je ouders

Door: Jan de Wit

We zijn allemaal wel bekend met de verschillende soorten bestanden die jeop een computer kunt hebben staan. Zo zijn er bijvoorbeeld tekstbestan-den, videobestanden, programma’s en afbeeldingen. Als we kijken naardatabases - verzamelingen van gegevens - en de interne werking van pro-gramma’s, zien we een soortgelijke onderverdeling in data. Dit is echterop een nog specifieker niveau. Zo wordt er bijvoorbeeld al onderscheidgemaakt tussen getallen en tekst. Om getallen op te slaan worden vaakook nog verschillende datatypes gehanteerd, afhankelijk van de aanwe-zigheid van kommagetallen en de mogelijkheid om negatieve waarden tebevatten. Het is bij programmeertalen vaak mogelijk om als programmeurzelf datatypes aan te maken gebaseerd op (een combinatie van) bestaandetypes. Op datatypes kunnen handelingen verricht worden, van simpele be-rekeningen zoals het optellen van getallen tot complexe algoritmes. Vaakworden deze handelingen verricht op verzamelingen van data, waarbij deomvang van de verzameling - de cardinaliteit - invloed heeft op de snelheidvan een handeling.

Het is bij programmeertalen vaak moge-lijk om als programmeur zelf datatypesaan te maken gebaseerd op (een combi-natie van) bestaande types.

Maar als uiteindelijk toch alles in enenen nullen verandert binnen een compu-ter, waarom dan moeilijk doen met dezedatatypes? Het belangrijkste aspect isdat tijdens het ontwikkelen van het pro-gramma al bekend is wat voor type databewaard wordt. Dit is met name handigbij het uitvoeren van handelingen op dezedata, er kan dan namelijk vooraf al ge-controleerd worden of die handeling welmogelijk is op dat bewuste datatype. Dehandeling kan ook verschillen per data-type, zo zullen we bij het optellen vantwee getallen waarschijnlijk de som ver-wachten, terwijl we bij het optellen vantekst misschien een zin willen opbouwen.

In veel gevallen zal een programmeertaalvan de programmeur verlangen dat aan-gegeven wordt om wat voor datatype het

gaat. Dit gebeurt vaak bij de eerste keerdat de data nodig is, wanneer er ook eenstuk geheugen voor opslag gereserveerdwordt. Het type hoeft niet altijd bekendte zijn: er bestaan ook programmeertalendie geen type aannemen maar dit afleidenuit de toewijzing. Je zou in dat geval duseen getal op kunnen slaan in het geheu-gen en vervolgens besluiten om hier tochmaar wat tekst aan toe te kennen. Ditis natuurlijk gevoeliger voor een fouteof onverwachte werking, zeker wanneerer door meerdere programmeurs aan eenprogramma gewerkt wordt.

Een speciaal datatype is de verzameling.Deze kan namelijk een set van de pri-mitieve datatypes als getallen of tekstvasthouden. In veel gevallen zal het typevan de onderdelen van de verzamelingwel gelijk moeten zijn, zoals een verza-meling van alleen getallen. Deze verzame-lingen bieden vaak manieren om nieuweonderdelen toe te voegen, onderdelen te

11

VAK Informatica VAKidioot

verwijderen of vervangen en onderdelenop te zoeken: via een positienummer ofvia een bepaald kenmerk. Er is een grootaantal verschillende structuren waarineen verzameling opgeslagen kan worden.Het kiezen van de beste structuur is af-hankelijk van het beoogde doel. Er zijnbijvoorbeeld structuren die snel te door-zoeken zijn, maar waarbij het doorlopenvan alle onderdelen lang duurt, of struc-turen waarin het zoeken van een waardelang duurt, maar het ophalen aan de handvan een index wel weer snel is.

Het aantal onderdelen dat in een verza-meling zit, de kardinaliteit, is van grootbelang voor de werking van een pro-gramma. Worden de verzamelingen om-vangrijk, dan kan de rekentijd die nodigis om bepaalde handelingen met de ver-zameling te verrichten aardig oplopen.Om een idee te krijgen van de snelheidvan een bepaalde handeling, is de big-O-notatie bedacht. Dit is een indicatievan de toename van rekentijd wanneer degrootte van een verzameling toeneemt,onafhankelijk van het gebruikte compu-tersysteem. Het vertelt je dus geen preciesaantal seconden, maar geeft de groei vande rekentijd aan. Duurt een handelingbijvoorbeeld O(n), dan verhoudt de be-nodigde tijd zich lineair tot het aantalonderdelen in de verzameling n. Een han-deling die O(n2) is zal dus veel snellervertragingen op gaan leveren dan de han-deling van O(n), omdat deze zich kwadra-tisch verhoudt tot het aantal onderdelenin de verzameling.

Op bewerkingen op een verzameling alszoeken, toevoegen en verwijderen kun-nen we ook een big-O-notatie toekennen.Hierbij wordt rekening gehouden met deworst case. Stel dat ik geen idee heb waareen onderdeel van mijn verzameling staaten deze verzameling is op geen enkelewijze gesorteerd, dan zal ik ieder onder-

deel moeten bekijken om te zien of dezegelijk is aan het onderdeel dat ik zoek. Inhet ergste geval staat het gewenste onder-deel achteraan of is het uberhaupt nietaanwezig, dus hebben we alle onderdelengehad: O(n)!Is de verzameling wel gesorteerd, danzijn er snellere manieren om uit te zoe-ken of een bepaalde waarde wel of nietvoorkomt. Het sorteren zelf kost echterook tijd, zelfs wanneer hier rekening meewordt gehouden door nieuwe onderdelenmeteen op de juiste plaats in te voegen.Bij zowel verzamelingen als primitievedatatypes geldt dus dat het zinnig is omalle opties af te wegen alvorens te kiezenvoor een type.

Naast meer rekentijd bij het uitvoe-ren van handelingen is er bij een toe-nemende kardinaliteit van een verzame-ling ook meer opslagruimte nodig. Be-halve rekening te houden met de “bigO” bij het uitvoeren van handelingen opde verzameling is het daarom ook nut-tig om manieren te zoeken om de kar-dinaliteit zo laag mogelijk te houden.In veel vakgebieden wordt daarom ge-probeerd om, bij voorkeur automatisch,de onderscheidende kenmerken van eengroter geheel te destilleren. Dit kan bij-voorbeeld bij een afbeelding. Afbeeldin-gen hebben een hoge kardinaliteit, omdatvoor iedere pixel een rood-groen-blauw-waarde opgeslagen moet worden. En eengemiddelde foto heeft tegenwoordig nogalwat pixels! Het aantal opgeslagen waar-den kan dan verminderd worden door deafbeelding te verkleinen, door het aantalmogelijke kleuren te verminderen of dooralleen met grijstinten te werken. Dit prin-cipe geldt voor veel soorten bestanden enzo worden er steeds meer algoritmes be-dacht om de omvang van data te verklei-nen. Denk bijvoorbeeld aan het omzettenvan een muziekopname naar het veel klei-nere formaat MP3.

12

EnglishVAKidioot Recipe idioot

Pumpkin salad “spiced” upWith Sinterklaas, our great friend, currently residing in the Netherlands,surely if you have a sweet tooth, you must be over the moon. However,because the Sinterklaas sweets have been for sale since before the previ-ous Vakidioot landed on your door mat, the chocolate letters, marzipan,chocolate coins, pepernoten and speculaas may have started to bore you.Therefore, the Vakidioot is glad to present to you a way of incorporatingkruidnoten in your (hearty!) December 5th evening meal 1

Enjoy!

For 2-3 servings you will need:

• One pumpkin

• A bag of rocket salad

• A baguette, or another type of bread

• A small bag of kruidnoten

• Some olive oil

Preparation:

• Heat the olive oil in a frying pan. In the meantime, remove the seeds and skinfrom the pumpkin (watch your fingers!) and cut the pumpkin into small pieces.

• Add the pumpkin pieces to the pan and pan fry them until they are soft.

• Line 2-3 plates with rocket salad and cover them with the pumpkin pieces.

• As a final step, cover the pumpkin and rocket salad with as many kruidnoten asyou like.

• Serve with the baguette (or other bread) and enjoy! (While ignoring your house-mates’ puzzled faces)

Adinda de Wit

1Also edible on other cold autumn/winter evenings, naturally

13

idioot Gedicht VAKidioot

Gedicht

Te midden van een kathedraalzat een eenzame kardinaaldie bad: ‘Hoe komt het dat ik faalwanneer ik mensen hier onthaal?’

Ik draag mijn vloek, mijn plicht, mijn kwaalIk bid tot U, bij ieder maalEn wanneer men komt, zeg ik: ‘Betaal!contant, natura of giraal.Slechts dan spreekt Hij in onze taalde boodschap van het avondmaal’

De reactie van de Heer was kolossaalen in Zijn hart klonk het driemaal:

‘Bedenk je dat God slechts daar neerdaaltwaar men met liefde wordt onthaald.Ongeacht wat men betaalt,men Hem al vond, of is verdwaald.Oftewel (wat vrij vertaald)zorg dat de Kerk liefde uitstraalt!’

E.D.

14

VAK Informatiekunde VAKidioot

King Arthur’s WebDoor: Koen Ekelschot & Twan van de Waerdt

Voor hun bacheloronderzoeksproject zijn informatiekundestudenten Koenen Twan in de wereld van databases en middeleeuwse literatuur gedoken.Misschien vraag je je af hoe je aan zo’n combinatie komt. Hier doen Koenen Twan hun verhaal over hoe het project ze is vergaan.

In de periode tussen 2004 en 2008 heeftde faculteit Geesteswetenschappen vande Universiteit Utrecht een groot aantalgegevens over middeleeuwse Arthurlite-ratuur vastgelegd in twee databases. Eenvan deze databases bevat gegevens overcirca 250 romans: middeleeuwse verhalenover koning Arthur. De tweede databasebevat gegevens over circa 1150 handge-schreven boeken welke handgeschrevenafschriften van de romans bevatten. Dezebronnen van gegevens bieden een schataan informatie voor onder meer de Arthu-ronderzoekers, verenigd in de Internatio-nal Arthurian Society.

Het probleem was echter dat de gege-vens op dat moment niet toegankelijkwaren gemaakt voor deze onderzoekers.Daarnaast was er geen sprake van eengestructureerde relatie tussen de beidedatabases. Het doel van de bachelorscrip-tie was dan ook het samenvoegen van dedatabases tot een gestructureerd geheel,zodat de gegevens op den duur op eentoegankelijke wijze openbaar gemaaktkunnen worden.

Aangezien beide databases voldoenderaakvlakken hadden, was het mogelijkom de databases tot een geheel om tevormen. Dit kon echter niet zonder slagof stoot gebeuren: gegevens over bijvoor-beeld de schrijvers van een verhaal warenopgenomen bij alle verhalen die ze had-den geschreven, wat leidde tot een grote

hoeveelheid gegevens welke vaak niet een-duidig waren. Zo kon het geboortejaarwel eens verschillen, evenals het land vanherkomst (grenzen veranderden regelma-tig). Een andere uitdaging was dat degegevens afkomstig waren van meerdereonderzoekers welke allemaal hun eigennotaties gebruikten. Een voorbeeld hier-van is het dialect waarin een verhaal wasgeschreven. De ene onderzoeker duiddedit aan met “Bairisch-ost” en de andermet “Bairisch-Osterreichisch”. Dit moestdus gestandaardiseerd worden, wat bete-kende dat er een grondige analyse gedaanmoest worden, en er veel overleg beno-digd was.

Uiteindelijk zijn de beide databases suc-cesvol samengevoegd tot een relationeelgestructureerd geheel, en is een voorstelgedaan voor een website die deze gege-vens zou kunnen ontsluiten naar andereonderzoekers. Dit omvatte zowel de func-tionaliteit voor de gebruikers als de tech-nische eisen voor de website.

Het interessante aan deze scriptie was hetwerken binnen een voor ons nagenoeg on-bekend vakgebied. Om tot een goed be-grip van het daar gebruikte jargon te ko-men was het belangrijk om veel vragente stellen. Anderzijds moesten we ook instaat zijn om het jargon van informatie-kundigen begrijpelijk uit te leggen aananderen.

16


HefbomenDoor: Marcel Scholten & Tom Hofstee

De term kardinaal is afgeleid van het Latijnse cardo dat ‘scharnier’ bete-kent. Een rechtgeaard natuurkundige kan dan maar aan een ding denken:hefbomen. Een werktuig dat al sinds mensenheugenis wordt gebruikt omvan de grootste lasten een kleine moeite te maken. Hefbomen zijn nietweg te denken uit de moderne beschaving. Denk bijvoorbeeld aan hijskra-nen om het huis te bouwen waarin dit artikel is geschreven, een relais inde laptop waarmee dit artikel is geschreven of alle hefbomen in de perswaarmee deze Vakidioot is gedrukt.

Archimedes

Hefbomen worden al eeuwen door demensheid gebruikt, bijvoorbeeld om pyra-mides te bouwen. Archimedes echter wasde eerste die er berekeningen mee uit-voerde; hij is ook degene die de hefboom-wet heeft ontdekt. Van hem is ook de uit-spraak: ‘Geef me een plaats om te staanen een hefboom, en ik verplaats de Aarde.’Mocht je dit in je vrije tijd willen uit-proberen, dan hoop ik dat je niet al tepraktisch ingesteld bent. Je moet name-lijk eerst een steunpunt vinden voor jehefboom. Stel, je weet die te maken op 1meter van het zwaartepunt van de Aardeen je massa is 70 kg, dan moet je eenhefboom hebben die lang genoeg is ommet die parameters 5, 9721986 · 1024 kg(1 aardmassa) te verplaatsen. Je mecha-nische voordeel moet dus5,9721986·1024

70= 8, 5317122 · 1022 zijn. Je

hefboom moet dus ook zo lang zijn (om-dat je een steunpunt voor je hefboomhebt gevonden op 1 meter van het zwaar-tepunt van de Aarde). Dit is 2,76 Mpc, 90keer de diameter van het melkwegstelsel,of voor de minder astronomisch onderleg-den, 9 miljoen lichtjaar. Hierdoor wordteen bijkomend praktisch probleem dat jeiets meer dan 9 · 106 jaar moet wachtenvoordat de informatie die je aan de enekant van de hefboom verzendt de Aardebereikt.

Stevin en de Weegkunde

Figuur 1: Illustratie bij Stevins afleiding van

de hefboomwet

De volgende belangrijke bijdrage aan hetbegrip van hefbomen leverde de Neder-landse ingenieur Simon Stevin (1548-1620). Waar Aristoteles de wet traditi-oneel verkeerd afleidde (door te stellendat gewicht maal snelheid gelijk is aankracht), en Archimedes het wiskundigafleidde, was Stevin de eerste die het uit-legde op een manier die voor iedereenbegrijpelijk was. In zijn standaardwerk“De Beghinselen der Weeghconst” uit1586 zet hij zijn ideeen over de weeg-kunde (wat voor Stevin net zoiets wasals meetkunde of rekenkunde) uiteen.Hij gebruikt hiervoor eenvoudige con-

17


cepten zoals zwaartepunten. Centraal inzijn argumentatie neemt hij een balk diehij boven zijn zwaartepunt ophangt diehij vervolgens opdeelt in twee deelbal-ken met ieder een zwaartepunt en duseen zekere afstand tot het draaipunt. Eenvoorbeeldje, zie ook Figuur 1.

Ghegheven.Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6pond welcke ghedeelt sy in 6 euen(gelijke)deelen, door platten (lijnen) euewydichvan sijn grondt AD, als EF, GH, IK,LM, NO, sniende den as PQ in R, S,T, V, X: Laet ons nu nemen LMDAvoor de swaerste swaerheydt, wiens swae-rheyts middelpunt is S, ende LMCB voorde lichtste swaerheydt, wiens swaerheytsmiddelpunt is X, ende SX is dier dee-len balck (...), ende T is t’swaerheytsmiddelpunt des heelen pilaers, ende TId’hanthaef, waer an LMDA ende LMCBevestaltwichtich hangen, ende TX is denlangsten erm, ende TS den cortsten(...).

’T begheerde.Wy moeten bewysen dat ghelijck deswaerste swaerheydt LMDA, tot de licht-ste LMCB, also den langsten erm TX, totden cortsten TS.

’T Bewiis.De swaerste swaerheydt LMDA weeght4 pond, ende de lichtste LMCB 2 pond,ende den langsten erm TX heeft sulc-ken reden(verhouding) tot de cortste TS,ghelijck 2 tot 1 door t’ghegheven: Maerghelijck 4 tot 2, alsoo 2 tot 1, ghelijckdan de swaerste swaerheydt LMDA, totde lichtste LMCB, also den langsten ermTX, tot den cortsten TS.

Dit is natuurlijk nog geen bewijs, maardat realiseert Stevin zich ook en verderopgeeft hij een bewijs dat wiskundig wel kanbekoren – dit is echter iets lastiger te vol-gen.

Figuur 2: Schematische weergave van de He-

blade

Heblade

Een probleem met hefbomen was echterdat hoe zwaarder de last was, hoe langerde hefboom moest zijn en daarmee hoeminder ver de last werd verplaatst. Na elkstukje verplaatsen moest ook de hefboomweer verplaatst worden. In 1725 kwamJacob Leupold met een oplossing voordat probleem in zijn Theatrum Machina-rum. Zijn oplossing heet de ‘heblade’ en iseen blok hout met twee versprongen rijengaten en twee pinnen. In de hefboom zijntwee uitsparingen gemaakt. Als je eenlast wilt optillen zet je een pin in de ko-lom het verst van de last en daar leg je dehefboom zo op dat ook de uitsparing diehet verst van de last is op de pin ligt. Danduw je de hefboom naar beneden totdatde andere uitsparing achter een gat vande andere kolom komt te liggen. Dan doeje daar de andere pin door en haal je deeerste weer weg. Nu duw je de hefboomweer omhoog. De last gaat hierbij minderver naar beneden omdat het draaipunt nudichter bij de last ligt. Nu doe je de eerstepin weer in de verste kolom maar een gathoger. Dit doe je net zolang totdat je delast op de gewenste hoogste hebt.

18


Theorie

Bij een hefboom is het de bedoeling dat eriets draait. De theorie achter hefbomen isdan ook de rotatiemechanica. Voor niet-natuurkundigen een simpele afleiding vande hefboomwet:We nemen een draaiend voorwerp, in ditgeval even de cilinder in Figuur 3. Eenhefboom is dit niet, maar later blijkt datniet uit te maken. Het geval met deze ci-linder is echter makkelijker te begrijpen.Belangrijk bij rotatiemechanica is dat allepunten in dezelfde tijd om de as draaienen dus dezelfde hoeksnelheid ω hebbenAls de cilinder draait krijgt hij kinetischeenergie. Deze is gelijk aan de energie vanalle deelstukjes samen, dus geldt:

Figuur 3: Roterend voorwerp waarop een

kracht uitgeoefend wordt.

K =∑ 1

2miv

2i =

1

2

∑miω

2R2i

=1

2

∑(miR

2i )ω

2 = Iω2(1)

Hierin is I een eigenschap die alleen vanhet voorwerp afhangt en niet van de be-weging. Deze staat bekend als het traag-heidsmoment en speelt in de rotatieme-

chanica dezelfde rol als massa in de trans-latiemechanica. Verder weten we dat:

~F · ~dx = K (2)

Nu volgt een beetje wiskundig gegoochel:

F · (R× dθ) =1

2Iω2

d

dθ(F · (R× dθ)) =

d

dθ

1

2Iω2

F ×R = Id

dθ

1

2ω2 = I

d

dθωdω

= Id

dθ

dθ

dtdω = I

dω

dt= Iα

(3)

Hierin is α de hoekversnelling. Deze heeftin de rotatiemechanica eenzelfde rol als deversnelling in de translatiemechanica. Degrootheid F ×R staat bekend als kracht-moment met symbool τ .

Figuur 4: Een hefboom waarbij we kracht wil-

len uitoefenen

Laten we nu onze nieuwe wet toepas-sen op de hefboom in Figuur 4. Als dehefboom beweegt is dit hooguit met eenconstante snelheid, dus α is nul en dusmoet

∑τ ook nul zijn.

Dan geldt de hefboomwet:

τlinksom = τrechtsom

Dat betekent:

F1R1 = F2R2

19


Vanwege de derde wet van Newton is F2

gelijk aan F3, en R2 is logischerwijs gelijkaan R3, dus geldt ook:

F1R1 = F3R3

We hebben nu ons doel bereikt. Door eenkleine kracht (F1) uit te oefenen op eenhefboom, kun je een grote kracht (F3) uit-oefenen op een ander voorwerp.

Typen hefbomen

Technisch gezien zijn er drie typen hefbo-men mogelijk. In de eerste en belangrijk-ste soort bevindt het draaipunt zich tus-sen de twee krachten. Voorbeelden hier-van zijn een wip of een koevoet. Een typedat ook vaak voorkomt, maar niet vaak zoherkend wordt is het tweede type. Hierbevindt zich het draaipunt aan de bui-tenkant evenals de uitgeoefende kracht.Hierdoor wordt de kracht dus vergroot.Voorbeelden hiervan zijn kruiwagens eneen notenkraker. Het derde type lijkt ophet tweede, maar hier bevindt de uitge-oefende kracht zich aan de binnenkant,zodat de kracht wordt verkleind. Dit isbijvoorbeeld handig in een pincet.

Meetkunde

Wie denkt dat hefbomen alleen maar ge-schikt zijn om zware voorwerpen zoals deAarde op te tillen heeft het fout. Je kannamelijk door hefbomen op een slimmemanier te gebruiken ook allerlei meetkun-dige problemen oplossen. Een meetkun-dige stelling is:

De zwaartelijnen van een driehoek gaandoor een punt en verdelen elkaar in deverhouding 2:1 gerekend vanuit een hoek-punt.

Je kunt alle lijnstukken van de driehoekABC en de bijbehorende zwaartelijnenallemaal zien als een stelsel van hefbo-men (in evenwicht), zie ook Figuur 5.

Figuur 5: Driehoek ABC

Hierbij is D bijvoorbeeld het steunpuntvan hefboom AB. Als in A een kracht metgrootte 1 werkt moet in B ook een krachtmet grootte 1 werken, omdat de hefboomAB in evenwicht is en AD = DB. Detotale kracht op het steunpunt D is dus2. Op dezelfde manier is ook gemakkelijkin te zien dat in steunpunten E en F eenkracht van grootte 2 werkt. We beschou-wen nu het snijpunt van de zwaartelijnenZ als het steunpunt van de hefboom AE.Door nu weer de hefboomwet toe te pas-sen zien we dat AZ : ZE = FE : FA =2 : 1. Dit kunnen we ook voor de anderezwaartelijnen op dezelfde manier doenen zo hebben we vanuit de natuurkundebovenstaande stelling aangetoond.

20

VAKidioot Wiskunde VAK

Nul is natuurlijker als je denktDoor: Sjoerd Boersma

Is 0 een natuurlijk getal? Sommigen vinden van wel, anderen van niet.Aangezien het afhangt van de definitie van ‘natuurlijk getal’, en zowelhet wel als niet toelaten van nul tot de natuurlijke getallen geen groteproblemen oplevert in de rest van de wiskunde, kan dit onderwerp zijnvan discussie. Dit artikel en dat op de volgende pagina bieden uitkomst.

Definitie: N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} is de verzameling natuurlijke getallen.

De natuurlijke getallen zijn het resultaatvan tellen. Wanneer we tellen, beginnenwe meestal met 1, maar eigenlijk is 0 ooktelbaar. Wanneer we kijken naar het aan-tal elementen van eindige verzamelingen,zien we dat de getallen van N0 allen tel-baar zijn, aangezien de lege verzameling,die ook telbaar is, nul elementen heeft.Negatieve getallen zijn daarentegen niettelbaar, omdat er geen verzamelingen meteen negatief aantal elementen bestaan.De verzameling van gehele getallen, Z, iseen groep onder optelling. De natuurlijkegetallen zijn helaas geen groep, aangeziende meeste getallen geen inverse hebben,ofwel: optellen kan wel, maar aftrekkenleidt soms tot een negatief getal. Wel isN0 een monoıde1, met nul als neutraal ele-ment. Zonder nul zouden de natuurlijkegetallen slechts een halfgroep2 zijn.Een veelgehoord argument tegen nul alsnatuurlijk getal is dat het later is ont-staan en een unieke positie inneemt bin-nen N0. Hoewel deze methode ook allescheikundige elementen zou uitsluiten,omdat deze later zijn ontdekt dan wa-ter, vuur, lucht en aarde, zal ik de be-wering toch serieus nemen. Nul werd algebruikt bij de Babyloniers 2700 jaar ge-leden en onafhankelijk ‘ontdekt’ door deMaya’s. Maar als we toch meegaan in de

redenering, moeten we 1 misschien ookmaar een aparte status geven: de oudeGrieken3 begonnen hun natuurlijke getal-len bij twee, omdat ze een niet natuurlijkvonden, maar het getal een speciale statusverdiende. De geschiedenis herhaalt zichnu dus met het getal nul.De conventie dat nul een natuurlijk ge-tal is wordt onder meer gebruikt in re-latief moderne vakgebieden als de ver-zamelingenleer, de mathematische logicaen de informatica, omdat het hier veelhandiger bleek het getal mee te nemen.Dat in andere vakgebieden nul vaak nietals natuurlijk getal wordt gezien, komtmeestal voort uit traditie en gewoonte,en dan is het niet veranderd omdat hetvoor die vakgebieden niet uitmaakt of jebij nul of een begint. Argumenten omnul niet mee te nemen met de natuur-lijke getallen, omdat het vaak een uitzon-deringspositie inneemt, nemen niet wegdat nul toch heel wat anders is dan −1,√

2 of ∞. Wiskundigen gaan er prat opdat hun wetenschap onveranderlijk is, envaststaand als een huis. Maar stiekemverandert zelfs de meest elementaire wis-kunde door voortschrijdend inzicht. Wiebeweert dat π gelijk is aan drie, wordt ookniet meer serieus genomen. Dus doe nietzo ouderwets, geef nul een kans!

1Een monoıde is een groep zonder de eis dat elk getal een inverse heeft.2Een halfgroep is een verzameling met een associatieve operatie, oftewel een monoıde

zonder neutraal element.3Jawel, dezelfde oude Grieken die ons de grondbeginselen van de wiskunde hebben nage-

laten.

23

VAK Wiskunde VAKidioot

Waarom met niets beginnen?Door: Darius Keijdener

Het is vrij opvallend dat er geen eenduidige definitie is van de natuur-lijke getallen in de wetenschap die streeft naar eenduidige definities enheldere gevolgen. Maar eigenlijk is deze duidelijkheid nooit het geval ge-weest. Door de eeuwen heen zijn veel definities vrij vaak veranderd. Hetleeuwendeel van de wiskunde (of in ieder geval de notatie) die tijdens deopleiding hier onderwezen wordt, stamt ook pas uit de vorige eeuw.

Definitie: N+ = {1, 2, 3, 4, . . .} is de verzameling van de natuurlijke getallen.

De natuurlijke getallen zijn het resultaatvan tellen. Wanneer we tellen, beginnenwe meestal met 1, zoals ieder Sesamstraatkijkend kind zal weten. De reden dat webeginnen bij 1 zit hem in het idee dat tel-len alleen zinnig is, als er iets aanwezigis om te tellen. Als je iemand vraagt wathij ziet, en hij zou antwoorden met 0 leeu-werikken, 0 antwoordapparaten en 0 drie-wielers, dan is dit antwoord mogelijk welwaar, maar tevens nogal onbruikbaar.De verzameling van positieve breukenQ+ = { n

m|n,m ∈ N+} is een groep on-

der vermenigvuldigen. De natuurlijke ge-tallen zijn helaas geen groep, aangeziende meeste elementen geen inverse hebben,oftewel: vermenigvuldigen met een getallevert wel een natuurlijk getal op, maardelen levert mogelijk een breuk op. Wel isN+ een monoıde onder vermenigvuldigingmet 1 als neutraal element. Met nul erinzou N+ niet eens meer een halfgroep zijn,maar nog veel grotere problemen hebben,omdat delen door nul ernstige problemenop zou leveren.

Het toevoegen van een getal 0 aan de na-tuurlijke getallen zou dan misschien inspi-reren tot het toevoegen van een ‘inverse’van 0: ∞, een ‘getal’ dat veelal meer pro-blemen veroorzaakt dan oplost. We zou-den 0 · ∞ als 1 kunnen definieren om zoeen inverse te krijgen, maar zelfs dit le-vert geen groep op: 3 · 0 = 0, en daarom1 =∞·0 =∞·(0·3) = (∞·0)·3 = 1·3 = 3.Verder kunnen we de natuurlijke getallenook zien als een opdeling van de gehele ge-tallen. Z is op te delen in N+, N− ≡ −N+

en 0, op zo’n manier dat ieder elementmaar in een van deze drie verzamelingenzit. Deze verdeling geeft een bewijsprak-tische reden waarom 0 niet onder de N+

of N− valt, aangezien dan bij bewijzeneen getal kan worden ingedeeld in een vande drie categorieen. N0 pleit daarentegenvoor het zien van 0 als zowel positief ge-tal als negatief getal, wat betekent dater weer extra uitzonderingen genoteerdmoeten worden in veel bewijzen.Dus schat nul voor haar ware waarde, enbegin pas met de echte getallen.

Een van de tegenintuıtieve punten voor beginnende wiskundigen is hetopmerken dat N0 en N+ dezelfde kardinaliteit hebben. We kunnen namelijkbij ieder getal n in N0 het getal n+1 in N+ vinden, en vice versa. Hoewel dusde ene verzameling bevat is in de andere, zijn ze wel beide even ‘groot’.Dit is daarmee dus ook een isomorfisme tussen beide verzamelingen: eenafbeelding wiens bestaan binnen veel gebieden van de wiskunde zegt datwe, voor praktische doeleinde binnen bewijzen, geen verschil tussen dezeverzamelingen hoeven te maken. Dus misschien is het uiteindelijk tochallemaal maar een kwestie van voorkeur.

24

English

VAK Biomedical Image Sciences VAKidioot

MR Thermometry / 4D Liver ModelingBy: Miekee Lam & Yolanda Noorda

“Science is fascinating, but how can I utilize my skills in society in a moredirect way?” A question that comes to the minds of many students of ex-act science who don’t want to stay in fundamental research, neither wantto drift too far away from their interest. The answer? Interdisciplinaryscience. Biomedical Image Sciences (BIS) is an interdisciplinary Masterprogram about medical images, such as CT, SPECT and MRI. Radiolo-gists interpret the images, but it requires an exact background to improvemedical imaging. Examples of research questions are: “How is physics usedto plan radiotherapy planning?”, “Can computers detect lung cancer aswell as a radiologist can?” and “What are the mathematics behind calcu-lating an optimal path for surgery?”. The first year of BIS is a theoreticalyear that will provide you the basic knowledge required to tackle thesekinds of challenges. During the research project of 9 months in the secondyear you will work on a subproblem of a research question similar to theones above. In this article you will be given an impression of the researchof two PhD candidates who did a Bachelor in Physics, the BIS Masterand continued with a PhD track at the hosting institute of BIS, the ImageSciences Institute, located in the UMC Utrecht.

MR Thermometry: Miekee Lam

Magnetic Resonance Imaging (MRI) isbased on the excitation and relaxation ofspins in the human body. The MRI scan-ner itself is a huge magnet that puts thespins in an equilibrium state with a reso-nance frequency that is linked to the mag-netic field strength. The spins are excitedby application of a radiofrequency pulsethat is on resonance. While going backto their equilibrium state, the spins in-duce a small magnetic field which can bepicked up as a signal with a coil. Spa-tial encoding of the signals is done byapplying magnetic field gradients, result-ing in spatially dependent frequencies andphases. The signals are acquired in thefrequency domain and the MR imagesare then reconstructed by Fourier trans-formation. In practice, we approach theprocess classically, because the additionalquantum mechanical effects are negligi-ble. It is the understanding of the wholeprocess of signal encoding and reconstruc-

tion that is the challenge and gives youthe ability to think about improvementsof MRI. For example speeding up the ac-quisition by playing around in the fre-quency domain, or manipulating the mag-netization for specific scans by adjust-ing the sequence of RF excitation andgradients. During my PhD track I amworking on improved MR thermometrymethods for non-invasive thermal thera-pies. During such treatments tumors arenon-invasively heated up to temperaturesthat lead to necrosis and image guid-ance is the only way to monitor. Non-invasive thermal mapping is the most log-ical monitoring method and MR ther-mometry is most commonly used. MRthermometry is based on the temperaturedependency of the resonance frequency ofwater protons: hydrogen bonds are ex-tended at temperature increase, givingthe electrons more mobility resulting instronger shielding of the nucleus from theexternal magnetic field (screening effect).

26

EnglishVAKidioot Biomedical Image Sciences VAK

However, this method only gives relativetemperatures and only works in water-rich tissue. By utilizing the temperatureindependency of the resonance frequencyof fatty acids it is possible to get absolutetemperatures in tissue composed of bothwater and fat, for example in bone mar-row around bone metastases. The signalin a voxel (3D pixel) of such a mixed com-position, acquired with a sequence calledmulti-gradient echo, looks like this:

S(t) =

√A2we−2R∗

2,wt +A2fe−2R∗

2,ft

+ 2AwAfe−(R∗

2,w+R∗2,f

)tcos (2π∆fwf t+ ∆ϕwf )

(1)Here ∆fwf is the difference in resonancefrequency between water and fat. With acalibration of ∆fwf,calib for one tempera-ture Tcalib, the temperature can be calcu-lated using the temperature dependencyof the screening constant σ:

T = (∆fwf −∆fwf,calib)2π

γB0

dT

dσ+Tcalib

(2)After acquiring the signal at differenttime points with a multi-gradient echo se-quence, the signal from each voxel can befitted to Equation [1]. From the fit, ∆fwfcan be extracted and used to calculate thetemperature using Equation [2], to makean absolute temperature map as shownbelow.

If scans like these can be acquired dur-ing thermal therapy, the treatment can bemonitored or even controlled. By addinga feedback loop, information from thethermal map can be used to adjust thetreatment real-time, making the treat-ment more advanced and controlled.

Yolanda Noorda, 4D Liver Modeling

For thermal ablation of tumors, real-timeimage guidance is required to monitor thetreatment. My PhD project focuses onthe image processing aspects of this treat-ment on liver tumors. A focused ultra-sound beam will be shot through the ribcage on the liver tumor, to create a fo-cal spot at that location. This is unfor-tunately not that easy: the liver movesand deforms, and the focus has to re-main on the tumor all the time. To beable to do this, it should be possible topredict the tumor location at every timepoint, such that the beam can be ad-justed accordingly. This feedback processwill take about 1.5 s, so it is really neces-sary to have an accurate model to rely on.

Figure 1: Preliminary results of absolute MR thermometry achieved

by the analysis of the multi-gradient echo signal in the time domain, in

ex vivo ovine hind limb in a waterbath.[1]

To be able to pre-dict the tumor posi-tion, I am working ona 4D liver model. Thismodel should be ableto predict the motionand deformation ofthe liver through thebreathing cycle. Theliver is attached tothe diaphragm, suchthat the liver followsthe diaphragm mo-tion. During inhala-

27

English

VAK Biomedical Image Sciences VAKidioot

tion, the liver is pushed down by the di-aphragm, while at exhalation, the musclesrelax and the liver shifts back up again.The main translation of the liver is thusup and down, but it also moves a bit inthe other directions. Due to movements ofthe surrounding organs, the liver deformslocally. To get the geometry of the liver,for a few volunteers one 3D breath-holdliver MRI scan in inspiration and one inexpiration were made. From these scansthe liver needs to be extracted, a processthat is called segmentation. Preferably,segmentation is done automatically, how-ever, the liver is a difficult structure tosegment and therefore this is done semi-automatically for now. Once the liver issegmented, a mesh can be generated todiscretize the volume. This is done by di-viding the surface in a set of triangles,which have to be small enough to be ableto create a realistic model. On this dis-cretized volume, the forces that act onthe liver during breathing can be simu-lated and the corresponding motion fieldcan be calculated by solving the equationof motion for every mass element mi us-ing finite elements:

f ti = miati =

∑j∈N (i)

kij(~ltij −~l0ij

)+f te

(3)where N (i) is the neighborhood of masselement i, kij is the stiffness of the tissue

between element i and j, ~ltij is the dis-tance between element i and j at time t,and f te are the external forces acting onthe liver at time t (friction with surround-ing organs, gravity). To determine the lo-cal stiffness values, the inner structure ofthe liver is important. The liver containsan extensive vascular tree, but apart fromthese vessels the liver is quite homoge-neous. It is thus important to segmentthe vessel tree automatically. This can bedone by analyzing the eigenvalues of theHessian matrix in every voxel, which tellsomething about the second order struc-ture. By selecting the appropriate condi-tions, long, elongated structures (vessels)can be filtered out, and they can be as-signed different stiffness values. To drivethe model parameters, a registration ismade from the inspiration to the expira-tion image. This means that a mapping isfound that describes the transformation.A registration can be obtained by maxi-mizing a similarity measure with an ap-propriate optimization method, such thatthe difference between the images willbe as small as possible. This registrationgives the deformation field between thetwo most extreme stages. The motion atthe time-points in between should then bederived from the model. Once the modelhas been created, it can be used duringtreatment: the breathing signal can bemeasured and one can look up the cor-responding tumor location.

These research topics are just two examples of many, where an exact scientist canmake full use of his/her knowledge and abilities in a medical environment. It requiressome programming to process the raw scan data and the actual images. To under-stand what you’re actually doing, you should understand the origin of the signal,the acquisition process and the underlying mechanisms of contrast. The BIS MasterProgram covers these topics and in that way prepares you to make use of your exactbackground in an interdisciplinary environment.

References

[1] S .M. Sprinkhuizen et al. Absolute MR Thermometry Using Time-Domain Anal-ysis of Multi-Gradient Echo Magnitude Images, Magnetic Resonance in Medicine64:239–248,2010.

28

VAKidioot Interview idioot

O, kom er eens kijken...De Sint, wie kent hem niet? Maar ken je hem echt wel zo goed als jedacht? Al mag je student zijn en de goedheiligman inmiddels vergetenzijn, hij is je niet vergeten. Hier een exclusief ongecensureerd interviewmet de enige echte alombekende Sinterklaas. En wie weet, misschien komthij dit jaar je schoen vullen bij A–Eskwadraat...

Sinterklaas met Zwarte Piet

Wat is uw drijfveer om steeds terug te komennaar Nederland?Het onthaal als een popster, al die kinderen diestaan te zingen, daar doe het toch voor. En mijnManagerpiet weet er ook nog eens een goed tv-contract uit te slepen elk jaar, dat geeft dat ex-tra zetje dat nodig is om toch weer die kou in tetrekken.

Hoe oud bent u nou eigenlijk?Vanaf een zeker moment is het niet beleefd meerom naar iemands leeftijd te vragen, maar laten wehet erop houden dat dat bij mij al zeer lang het geval is.

Waarom gaat u elk jaar terug naar Spanje en blijft u niet gewoon in Neder-land?Hoewel ik alle aandacht in Nederland leuk vind, is het ook wel fijn om gewoon onder demensen te kunnen zijn. In Spanje kan ik gewoon over straat zonder herkend te worden,en zonder dat mensen spontaan in gezang uitbarsten. Van een maandje Nederlandmoet ik altijd een flinke tijd bijkomen, zeker als het koud was.

Hoeveel pieten heeft u?Mijn Accountantpiet vindt dat het er teveel zijn, terwijl mijn Roosterpiet altijd klaagtdat het er te weinig zijn. Ik denk dat het er precies genoeg zijn.

Zij worden vast ook oud, hoe komt u aan jonge nieuwe pieten? Hebt u weleens overwogen om uw pieten te laten vervangen door robots?Als de stoute kinderen die in de zak zijn meegenomen wat ouder (en beter opgevoed)zijn, dan willen ze graag Nederland weer eens zien. Daarom zijn de pieten ook nogvaak wat ondeugend.

“sinterklaasliedjes mogen ook wel wat betergeoefend worden, misschien moeten ze daar

studiepunten voor krijgen”

29

idioot Interview VAKidioot

Hoe lang is uw baard?Na 5 december scheer ik hem altijd helemaal af, anders hangt hij zo in mijn soep, endan word ik in Spanje niet herkend door Nederlanders op vakantie. Ook hangt hij zorond december al veel te vaak in mijn soep, dat eet zo lastig.

Wat is uw favoriete snoepgoed?Ik mag van mijn tandarts eigenlijk geen snoepgoed meer eten, maar stiekem eet iknog wel eens een pepernoot (al dan niet met chocola eromheen).

Wat vindt u van de betastudenten in Utrecht?Het zijn brave kinderen meestal, hoewel ik merk dat ze vaak wel erg wild en drukworden als ik langskom bij de colleges. Hopelijk zijn ze normaal wat rustiger. En desinterklaasliedjes mogen ook wel wat beter geoefend worden, misschien moeten zedaar studiepunten voor krijgen.

Houdt u van racen? Wat is de hoogste snelheid dat u op uw paard binnende bebouwde kom heeft gereden?Racen? Nee, daar houd ik helemaal niet van. Op die gladde daken ben ik vooral blijals ik er weer levend vanaf kom, ik weet helemaal niet hoe snel ik ga.

Maakt u tegenwoordig gebruik van een navigatiesysteem op uw paard?Nee, mijn wegwijspieten weten heel goed de weg te vinden voor mij.

Wat vindt u ervan dat er al sinds september pepernoten worden verkocht?Pepernoten zijn natuurlijk erg lekker, ik hoop alleen dat niemand zijn buik er vol vanheeft als het heerlijk avondje gekomen is.

Bedankt voor het interview, is er nog iets dat u aan de studenten kwijt wilt?Bedankt voor de vragen. Tegen de studenten zou ik willen zeggen: blijf vooral verlang-lijstjes sturen, maar dan wel met de echte post of in de schoen, want mijn elektronischepostbus loopt over van mensen die geen dingen van de Sint willen, maar hem juistdingen willen aanbieden (en dan vooral zaken waar een goedheiligman zich echt nietaan gaat wagen). Behalve dan erfgenamen van dode prinsen uit Nigeria, maar volgensmijn Grote Boek zijn dat meestal geen brave kinderen.

Sinterklaas

30

VAKidioot Informatica VAK

Overerving bij objectenDoor: Bas Lommers & Jan de Wit

Om de niet-informatici kennis te laten maken met een belangrijk conceptbinnen ons vakgebied en om informatici hier eens aan te herinneren volgthier een korte introductie van objectgeorienteerd programmeren.

Objectgeorienteerd programmeren kangezien worden als een manier van hetindelen van code, als tegenhanger vanprocedureel programmeren. Binnen ob-jectgeorienteerd programmeren kennenwe klassen, objecten, methodes en attri-buten. Klassen zijn een soort blauwdruk-ken voor objecten. Objecten zijn stukkenprogramma die met deze blauwdrukkengemaakt worden. Om dus echt iets meteen klasse te kunnen doen zal hiervaneerst een object aangemaakt moeten wor-den. Het doel van deze objecten is om dedata en de handelingen hierop te combi-neren.

Een klasse bestaat uit methodes en at-tributen of kenmerken. Methodes zijnhandelingen of functies die het gedragvan het object bepalen. Attributen be-palen de staat van het object. Zo is eenklasse te vergelijken met een ontwerpvoor een auto, terwijl het object een ge-produceerde auto is. Net zoals met auto’skunnen er meerdere objecten gemaaktworden van een ontwerp. De kleur vaneen auto zou een attribuut zijn en hetstarten van de auto een methode.

De vier eigenschappen van objectge-orienteerd programmeren zijn: afscher-ming (encapsulatie), modulariteit, over-erving en polymorfisme. Afscherming be-tekent dat bepaalde attributen en metho-des die niet belangrijk zijn om het objectte gebruiken niet beschikbaar zijn.

“De auto zelf weet hoedit in werking gezet

moet worden, maar voorde eindgebruiker is

dit niet relevant”

Zo is het om met een auto te rijden nietbelangrijk om te weten wat voor motorer in een auto zit of hoe deze motor ge-start moet worden. De auto zelf weet hoedit in werking gezet moet worden, maarvoor de eindgebruiker is dit niet relevant.De eindgebruiker in het geval van ob-jectgeorienteerde code kan bijvoorbeeldde programmeur zijn die de klasse gaatgebruiken als onderdeel van zijn of haarcode. Dit brengt ons bij de tweede ei-genschap: modulariteit. Dit betekent dateen object een afzonderlijk deel van hetprogramma moet zijn en op zichzelf moetkunnen staan. In het ideale geval zou decode op dezelfde wijze moeten kunnenwerken in je eigen programma als in datvan een programmeur aan de andere kantvan de wereld zonder er iets aangepasthoeft te worden. Of in het geval van deauto: als iemand anders met jouw autozou willen rijden en deze in een anderegarage zou parkeren moet dit geen pro-blemen opleveren. Op deze wijze wordtslim programmeren gestimuleerd, waarbijgelet wordt op de toekomst.

31

VAK Informatica VAKidioot

Overerving zorgt ervoor dat je klassenattributen en methodes kunt overnemenvan andere klassen. Hierin is de klasse dieovererft de subklasse en de klasse waar-van attributen en methodes worden over-genomen de superklasse. Hier komt hetmetafoor met de auto een beetje in hetgedrang, maar technisch gezien zou je eenvrachtauto als een specifieke auto kunnenzien. Op deze vrachtauto kunnen bijvoor-beeld opleggers worden aangesloten.

“Door overerving enpolymorfisme is het ge-makkelijk om gebruik temaken van programma-onderdelen van derden”Overerving is dan heel handig voor hetontwerp van je vrachtauto omdat je danniet meer na hoeft te denken over hoe eenmotor de wielen laat draaien zonder datje bij het ontwerp van de gewone auto re-kening moet houden met de mogelijkheiddat er ook vrachtauto’s kunnen zijn waaropleggers op aangesloten kunnen worden.Voor alle technische basiskenmerken en-functionaliteit wordt dan alles gebruiktwat voor de auto al ontworpen is, terwijlkenmerken die specifiek voor een vracht-wagen zijn (zoals een optie voor opleg-gers) in een subklasse worden vastgelegd.De auto wordt hier niet onnodig complexvan en er wordt tevens geen onnodig werk

verricht om het wiel (letterlijk) opnieuwuit te vinden.

De laatste eigenschap, polymorfisme,heeft veel te maken met overerving. Po-lymorfisme zorgt ervoor dat je in eensubklasse een methode kunt overschrij-ven van de bijbehorende superklasse. Omweer terug te komen op de metafoor: eenoplegger heeft ook remmen net zoals devrachtauto en deze moeten meeremmenals de vrachtauto remt. Je kunt dan metbehulp van polymorfisme bij de vracht-auto de methode ‘rem’ van auto over-schrijven en zo ontwerpen dat hij remtzoals een auto maar dat ook de opleggerremt.

Door overerving en polymorfisme is hetgemakkelijk om gebruik te maken vanprogramma-onderdelen van derden. Hetis mogelijk om onderdelen op conceptba-sis aan te passen. Het is niet belangrijkhoe deze onderdelen van binnen werkenom ze uit te kunnen breiden. Het is daar-naast mogelijk om de originele methodevan de superklasse aan te roepen en hierin je eigen subklasse iets aan toe te voe-gen, zodat de originele functionaliteit in-tact blijft en slechts wordt uitgebreid.

Door de tijd heen zijn veel programmeursovergestapt op het nieuwere objectge-orienteerd programmeren; veel populaireprogrammeertalen ondersteunen hierdoordit concept. De mogelijkheden van proce-dureel programmeren zijn hierdoor uit tevoeren op een objectgeorienteerde manieren vice versa.

32

VAKidioot Activiteit idioot

Excursie klinische fysicaVrijdag 30 september bezochten wij de klinische fysica-afdeling van hetVUmc. Hier had Phil, een alumnus van A–Eskwadraat, voor ons een mooiprogramma in elkaar gedraaid. We kregen onder andere vier presentatieswaarvan ik hier kort de inhoud samenvat.

Klinische fysica is in vier gebieden in te delen: de gebieden radiotherapie, nucleaire fy-sica, audiologie en algemene klinische fysica. Bij algemene klinische fysica ondersteuntde klinisch fysicus de arts bij het gebruik van apparatuur. Hierbij werd ons vertelddat artsen vaak goed weten hoe ze de patienten moeten behandelen, maar meestalniet op de hoogte zijn van alle mogelijkheden van het apparaat of de nieuwste ap-paraten. Een klinisch fysicus informeert de arts hierbij. Bij de behandeling staat eenklinisch fysicus vaak naast de behandelend arts en bedient de klinisch fysicus somsde apparaten. Bij de excursie werd verteld dat het voorkwam dat de klinisch fysicusmeer van de operatie wist dan de behandelend arts, omdat de arts dan in opleidingwas en de klinisch fysicus al jaren mee liep. Zo kon de klinisch fysicus de arts af entoe corrigeren bij een operatie. Daarnaast ligt er ook een taak in het onderhouden entesten van nieuwe apparatuur, zodat deze veilig en goed gebruikt wordt door de arts.

Radiotherapie, beter bekend als bestraling, is een vakgebied waar een klinisch fysicuszich in kan specialiseren. Bij bestraling wil men zo goed als mogelijk het doelweefselbestralen en het gezonde omringende weefsel sparen, hierdoor bestraalt men van-uit alle mogelijke richtingen. Voor iedere patient wordt een specifiek behandelplanopgesteld door de klinisch fysicus. Dat wordt in overleg met de behandelend arts uit-gevoerd.

De klinisch fysicus kan zich echter ook specialiseren in de richting van de nucleairetherapie. Nucleaire therapie wordt gebruikt om de aanwezigheid van bepaalde typenweefsels aan te tonen. Patienten krijgen een stof toegediend die radioactief is, waarnaer met behulp van Positron Emission Tomography (PET) een scan gemaakt wordt.1

De klinisch fysicus zorgt ervoor dat alles veilig verloopt en bij een PET-scan zorgthij ervoor dat de ruwe data omgezet kan worden in beelden waar de arts weer eendiagnose uit op kan maken.

Een klinisch fysicus kan zich tot slot nog specialiseren in de audiologie. Bij deze speci-alisatie komt deze het meest in contact met de patienten. Daarbij kan gedacht wordenaan gehoortesten bij kinderen, maar ook het aanmeten van een gehoorapparaat bijouderen. Een klinisch fysicus is dan zeer nauw betrokken bij de patient, deze kan danzelfs een slechtnieuwsgesprek met patienten of ouders van patienten voeren. Momen-teel is er een tekort aan personeel in deze tak en ze zijn maar al te blij als je daarstage wilt lopen. De dag was top geregeld, inclusief een verzorgde lunch en wij zijnveel wijzer geworden!

Gijs Boosten

1Een PET-scan maakt gebruik van annihilatie van een positron dat uitgestoten wordtdoor de ingebrachte stof met een elektron. Er ontstaan dan twee fotonen, die vervolgensgemeten worden.

33


Ramsey-kardinalenDoor: Julian Lyczak

In het jaar 1961 werd Michael Ramsey benoemd als 100ste aartsbisschopvan Canterbury. De drager van dit ambt is de spiritueel leider van deAnglicaanse kerk, de tak ven het christelijk geloof die in Groot-Brittanievoornamelijk en voornamelijk in Groot-Brittanie wordt gepraktiseerd. DeEngelse kerk splitse zich van de Rooms-Katholieke Kerk onder koningHenry VIII in 1534. Het is bekend dat Michael met de paus heeft ge-sproken over het verenigen van de twee kerken, maar de scheiding vande Christendom aanhangers is ook nog na 487 jaar nog steeds een feit.Mocht het 50 jaar geleden toch gelukt zijn, dan is er geen twijfel overmogelijk dat Ramsey kardinaal was geworden. Een woord dat door deRamsey-kardinalen van Erdos en Hajnal nu eerder gerelateerd wordt aanzijn broer Frank Ramsey. Dit artikel gaat daarover, want we zijn natuurlijkgeen theologische studievereniging.

Frank Ramsey

Frank Ramsey was een wiskundige eneen filosoof die al op 19-jarige leeftijdnaam vestigde door het boek TractatusLogico-Philosophicus van Wittgenstein tevertalen naar het Engels. De talentvolleman is helaas niet ouder geworden dan26 jaar, maar heeft zeker mooie wiskundeachter gelaten, waar menig ander wiskun-dige op heeft kunnen voortbouwen. Wijbespreken in het bijzonder zijn meest be-kende werk: de stelling van Ramsey.

“De talentvolle man ishelaas niet ouder

geworden dan 26 jaar,maar heeft zeker mooie

wiskunde achtergelaten.”

De stelling van Ramsey

Ramseys stelling gaat over combinatorieken in het bijzonder over volledige grafen.Een volledige graaf is een graaf waarbijtussen ieder tweetal verschillende puntenprecies een rand loopt. Met een volledigedeelgraaf zullen we een deelgraaf bedoe-len die als graaf volledig is.Laten we nou eens een volledige graafbekijken met een gegeven aantal puntenP . Als we nu iedere rand met een van2 kleuren kleuren dan is er een volledigedeelgraaf, waarvan alle randen dezelfdekleur hebben. Dit is natuurlijk logisch,we kunnen natuurlijk altijd een volledigedeelgraaf nemen van een punt. Maar alswe P steeds groter kiezen zal er al sneleen eenkleurige volledige deelgraaf metmeer punten zijn. De vraag is natuurlijk:kunnen we P zo groot kiezen dat er, on-geacht de kleuring, altijd een eenkleurigevolledige deelgraaf bestaat die precies uitp punten bestaat? Ramsey wist al dat hetantwoord op deze vraag positief was, enhij formuleerde zijn beroemde stelling diehet bovenstaande zelfs nog iets generali-seert:

34


Stelling 1. Er bestaat een positief geheelgetal P zo dat iedere volledige graaf met Ppunten, waarvan de randen gekleurd zijnmet de kleuren blauw en rood, altijd eenvolledige deelgraaf bevat die b punten heeften geheel blauw is danwel r punten heeften geheel rood is. Het kleinste van dezegetallen P noteren we als R(b, r). De ge-tallen van deze vorm noemen we Ramsey-getallen.

Opgave 1. Bewijs de stelling van Ram-sey met inductie naar b+r, door te bewij-zen dat R(b, r) ≤ R(b, r−1) +R(b−1, r).

Opgave 2. Ga na dat R(b, r) = R(r, b)en vind de Ramsey-getallen als een van ben r gelijk is aan 1.

Opgave 3. Bewijs dat R(3, 3) gelijk isaan 6.

Gebruik maken van de afschatting waarhet bewijs op gebaseerd is, levert een bo-vengrens voor R(b, r), namelijk

R(b, r) ≤

(b+ r − 2

b− 1

).

Deze bovengrens wordt voor wat groteregetallen b en r al heel ruim zoals we kun-nen zien in Tabel 1.

Afgezien van de gegevens in de tabel zijnde precieze Ramsey-getallen alleen be-kend als r of b gelijk is aan 1, en alseen van de twee 2 is en de ander kleinerdan 10. Het berekenen van de Ramsey-getallen is dus ontzettend lastig, zoals op-gemerkt door Paul Erdos in zijn volgendecitaat: “Suppose aliens invade the earthand threaten to obliterate it in a year’stime unless human beings can find theRamsey number for red five and blue five.We could marshal the world’s best mindsand fastest computers, and within a yearwe could probably calculate the value. Ifthe aliens demanded the Ramsey num-ber for red six and blue six, however,we would have no choice but to launcha preemptive attack.”

Een van de mooie eigenschappen van destelling van Ramsey is dat er een vrij di-recte generalisatie is naar een willekeurig(eindig) aantal kleuren.

Stelling 2. Gegeven zijn k kleuren k1,. . ., kk en k gehele positieve getallenp1, . . . , pk. Er bestaat een natuurlijk ge-tal P zo dat voor iedere kleuring van devolledige graaf met P punten er een j be-staat met de eigenschap dat er een volle-dige deelgraaf bestaat met pj punten diewaarvan de randen allemaal gekleurd zijnmet kj. De kleinst mogelijke P noteren wemet R(p1, . . . , pk).

Tabel 1: Kleine Ramsey-getallen

1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1 12 1 2 3 4 5 63 1 3 6 9 14 184 1 4 9 18 25 35-415 1 5 14 25 43-49 58-876 1 6 18 35-41 58-87 102-165

35


Opgave 4. Bewijs de meerkleurige versievan de stelling van Ramsey.

Ramseys stelling voor aftelbare ver-zamelingen

Laten we ons nu eens inlaten met de on-eindige verzamelingen. We hebben al ge-zien dat als we een eindige volledige deel-graaf in een kleur willen, dat we dankunnen beginnen met een eindige volle-dige graaf. We zouden ons nu kunnen af-vragen wat het kleinst mogelijke kardi-naalgetal is waarvoor een gekleurde vol-ledige graaf van die grootte altijd eeneenkleurige, volledige, aftelbaar oneindigedeelgraaf heeft.Dit vraagstuk lijkt opeens een stuk meerop verzamelingenleer dan op combina-toriek. We zullen het probleem dan ookvanaf nu verzamelingtheoretisch bena-deren en daarvoor introduceren we desymbolen [X]κ voor de verzameling vanalle deelverzamelingen van X met kardi-naliteit κ. Later zullen we ook de notatie[X]<κ tegenkomen voor alle deelverzame-lingen van X die kardinaalgetal kleinerdan κ hebben.

“If the aliens demandedthe Ramsey number for

red six and blue six,however, we would

have no choice but tolaunch a preemptive

attack.”

Stelling 3. Laat X een aftelbaar on-eindige verzameling en k en n natuur-lijke getallen zijn. Dan geldt dat voor ie-

dere afbeelding f van [X]n naar ~k :={0, 1, . . . , k− 1} er een oneindige deelver-zameling A van X bestaat zo dat f con-stant is op [A]n.

Bewijs. We bewijzen de stelling voor k =2. Voor k = 1 is de stelling triviaal en destelling voor hogere k volgt uit het gevalk = 2 zoals dat in het eindige geval ge-beurde.We bewijzen de stelling met inductie naarn. Voor n = 1 is de stelling waar, want erstaat dan enkel dat een van de verzam-lingen in een partitie van X in twee dis-juncte deelverzamelingen oneindig moetzijn. Stel nu dat de stelling geldt vooralle n =≤ k. We bewijzen de stelling voorn = k + 1.Laat Z een willekeurig aftelbaar onein-dige verzameling en f een afbeelding[Z]k+1 → ~2 zijn. Kies een willekeurig ele-ment z ∈ Z en definieer de verzamelingW = Z\{z}. Door de inductiehypotheseop de samenstelling van de afbeeldingenW k → Zk+1 → ~2, waarbij de eerste pijlsimpelweg het terugstoppen van z is, vin-den we dat W een oneindige deelverzame-ling W ′ moet hebben zo dat de samenstel-ling constant is op [W ′]n. De verzamelingZ heeft dus een element z en een onein-dige deelverzameling W ′ zo dat alle deel-verzameling van Z in W ′ verenigd met{z} dezelfde kleur hebben.Laat x0 en X0 de objecten zijn voor Xen definieer nu recursief xi+1 en Xi+1 alsdie objecten voor Xi. Dit levert een on-eindig rijtje x0, x1, x2, . . . in X met de ei-genschap dat het beeld van een deelver-zameling van dit rijtje uniek bepaald isdoor het element dat als eerste in het rij-tje voorkomt. Het codomein is een eindigeverzameling en dus zal er een element ink zijn dat oneindig vaak wordt aangeno-men. Het volledig origineel van dit ele-ment voldoet.

36


Een interessant feit is dat deze oneindigevariant van de stelling van Ramsey heteindige geval impliceert. Iets waar we hierniet langer bij stil zullen staan.

Ramsey-kardinalen

Voor het definieren van Ramsey-kardinalen moeten we nog wat dieperde verzamelingenleer in en introducerenwe de volgende notatie:

Definitie 1. Voor vier kardinaalgetallenκ, λ, n en m schrijven we

κ→ (λ)nm

als voor iedere afbeelding f : [κ]n →m er een deelverzameling van κ bestaatmet kardinaalgetal λ zo dat f constantis λ. Om verzamelingsleertechnische rede-nen ziet men zelden dat n oneindig is en nzal dan ook in het algemeen een natuur-lijk getal zijn. Een veel voorkomende va-riant is dat men de n vervangt door < ℵ0.

We kunnen stelling 3 nu direct herformu-leren.

Herfomulering van stelling 3. Vooralle natuurlijke k en n geldt de volgende

uitspraakℵ0 → (ℵ0)nk .

Het, in het begin beloofde, verband tus-sen Ramsey en zijn kardinalen is nu sim-pelweg de volgende definitie:

Definitie 2. Een kardinaalgetal κ is eenRamsey-kardinaal als

κ→ (κ)<ℵ02 .

De belangrijkste stelling over Ramsey-kardinalen is zeker het volgende verras-sende resultaat:

Stelling 4. Zij κ een Ramsey-kardinaal,dan geldt

κ→ (κ)<ℵ0µ .

voor alle kardinalen µ < κ.

Deze stelling zou triviaal zijn in het gevaldat de Ramsey-kardinalen naar de anderebroer waren vernoemd. De verzamelingenvan kardinalen onder Ramsey zou dan im-mers leeg zijn, aangezien de kerk van En-geland geen kardinalen heeft binnen haarhierarchie.

Referenties

[1] E en lijst met bekende Ramsey-getallen en boven- en ondergrenzen voor b ≤ 10en r ≤ 15, pagina 4 http://www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf

[2] E en bewijs voor R(3, 6) = 18 van David Cariolaro http://www.math.sinica.edu.tw/post-doctor/cariolaro/r36.pdf

37

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf

http://www.math.sinica.edu.tw/post-doctor/cariolaro/r36.pdf

http://www.math.sinica.edu.tw/post-doctor/cariolaro/r36.pdf

idioot Nieuws VAKidioot

KortOok deze keer in Kort weer nieuws over het blad en haar redactieleden.

Gemiste kardinalen

We hebben deze Vakidioot nog best watkardinalen gemist. Wist je dat een kar-dinaal ook:

• deze vogel is?

• een vlinder is?

• een sterke drank is?

• een kleur is?

• een druif is?

• een gemeentevrij gebied in Virginiais?

• de naam is van bijzonder veel sport-teams?

• een veel te veel gebruikt woord is?

N0 versus N+

Een kleine disclaimer: de artikelen overde definitie van de natuurlijke getal-len zijn arbitrair verdeeld. Er moetenderhalve ook geen conclusies verbondenworden aan het feit dat het ene artikeldoor een natuurkundige en het andereartikel door een wiskundige geschrevenis.

In het buitenland

Oplettende lezers missen mogelijk hetnieuwe deel van de sinds lange tijd trouwgepubliceerde serie ‘A–Eskwadrater inhet buitenland’. Deze rubriek is echtereenmalig komen te vervallen wegens hetin het buitenland vertoeven van het ver-antwoordelijke redactielid.

In de mode

Mocht je verblind worden door de flit-sende mode van een voorbijganger, danis de kans groot dat je zojuist onderde indruk bent geraakt van de prach-tige nieuwe reporterchapeaus van onzeredactieleden. Hou ze in de gaten, enzorg dat je jezelf er een beetje tegenopkleedt. . .

Rectificatie Raytracing

Door Alexander Melchior werden wijer terecht op gewezen dat raytracingwel degelijk in toegenomen mate wordttoegepast voor real-time toepassingen,dankzij nieuwe ontwikkelingen in hard-ware en het verdelen van taken overmeerdere processors. Voor een leukedemo verwijzen wij (tevens dankzijAlexander) naar: www.wolfrt.de.

Rectificatie Medezeggenschap

In het artikel ‘MedezeggenschapA–Eskwadraat’ op pagina 4 van vo-rige Vakidioot stond een incorrect e-mailadres van het SONS. Het hoort tezijn: [email protected].

38

www.wolfrt.de


Hilbert HotelDoor: Sjoerd Boersma

Oneindigheid is lastig, want twee keer oneindig is ook oneindig, en on-eindig min een is dat ook. Als je oneindig van oneindig aftrekt is hetantwoord ongedefinieerd. Maar echt leuk wordt het pas als je leert dat erverschillende oneindigheden (ook wel kardinaliteiten) zijn.

Stel dat je manager bent van een hotelmet oneindig veel kamers, genaamd Hil-bert Hotel. Voor de wiskundefascisten on-der onze lezers: het zijn aftelbaar oneindigveel kamers. De kamers bevinden zich aanweerszijden van een lange gang: links deoneven nummers 1, 3, 5, 7, . . . en rechtsde even nummers 2, 4, 6, 8, . . . en dezekamers bieden elk ruimte voor een gast.Alle positieve gehele getallen1 worden ge-bruikt als kamernummer, en er is dus geengrootste kamernummer.

Raadsel 1

Vannacht zit het hotel helemaal vol, maarer arriveert nog een gast, die graag in hethotel zou overnachten. Je zou de gastgraag in het hotel onderbrengen, geluk-kig is dit ook mogelijk. Hoe ga je ditdoen? Het is uiteraard niet de bedoelingdat de goede man in de bezemkast moetslapen of bij iemand anders op de kamer.

Antwoord: Laat alle andere gasten eenkamer doorschuiven, naar de kamer methet nummer een hoger dan waar ze zaten.Voor elke gast is er nu een nieuwe kamer,en de kamer met nummer 1 komt leegte staan. Daar kan onze nieuwe gast zijnintrek nemen.

Hoe kan dit nu? Bovenstaand raadsel iser op gebaseerd dat oneindig plus eenook gewoon oneindig is. Het kan nog eenstapje erger.

Raadsel 2

Het Hilbert Hotel zit weer helemaal vol,net als de dependance van het hotel aande overkant van de straat, dat het even-beeld is van het Hilbert Hotel en ookhelemaal vol zit. Helaas is er een bom-melding geweest in de dependance, en vande brandweer moet iedereen deze verla-ten. De directie besluit dat alle gastenuit de dependance in de hoofdlocatie vanhet Hilbert Hotel moeten worden onder-gebracht. Hoe ga je dit oplossen?

Antwoord: De gasten uit het HilbertHotel worden allemaal gevraagd te ver-huizen naar de kamer met het kamernum-mer dat twee keer hun oude kamernum-mer was. De gasten uit de dependance,die ook allemaal een kamernummer had-den, mogen de tussenliggende kamers be-trekken. De gast met kamernummer n inde dependance mag naar de kamer metnummer 2n− 1 op de hoofdlocatie.

Door bovenstaande verhuizing passen degasten uit beide hotels nu precies in hetene hotel. Dit is er op gebaseerd dat tweemaal oneindig ook oneindig is. Het is zelfsook mogelijk om de gasten uit oneindigveel Hilbert Hotels onder te brengen ineen ervan. Is het dan werkelijk mogelijkom alle hoeveelheden mensen in het hotelonder te brengen? Nee.

1Vaak worden de positieve gehele getallen ‘natuurlijke getallen’ genoemd, maar het is danonduidelijk of nul hierbij is meegenomen. Zie ook de artikelen op pagina’s 23 en 24.

39


Te weinig kinderkamers

Stel nu dat het Hilberthotel vol zit, enmen besluit het volgende: omdat in Afrikaveel kinderen zijn waarvan de ouders zijnoverleden, adopteert elke deelverzamelingeen wees uit dit continent. De persoon inde eerste kamer adopteert dus in zijn een-tje een kind, maar ook eentje samen metde gast in kamer 2, eentje met de gast uitkamer nummer 3 en eentje met zowel debewoner van kamer 2 als die van nummer3. Maar ook eentje met alle bewoners vanoneven kamers en eentje met alle gastenuit het hotel. Ze besluiten dat alle gea-dopteerde kinderen in de dependance vanhet hotel moeten komen slapen, dat daar-voor leeg stond2. Helaas past dat niet.

Laten we aannemen dat wel alle kinde-ren in de dependance passen, geef ze danallemaal een kamer. Om de kinderen uitelkaar te houden geven we elk kind eencode, die bestaat uit nullen en enen. Decode van een gegeven kind bestaat op dende plaats uit een 1 als de gast uit ka-mer n een van zijn adoptieouders is, enanders een 0. Bijvoorbeeld: het kind gea-dopteerd door alleen de gast uit kamer 2heeft als code 01000000 . . ., het kind vande gasten uit even kamers 0101010101 . . .en het kind van alle ouders uit kamersmet een kamernummer dat een kwadraatis 100100001000000100 . . .. Definieer nuvoor alle positieve gehele getallen i, xi alshet ide getal uit de code van het kind inkamer i. Laat yi = 1−xi. In welke kamerzit nu het kind met de code y1y2y3y4 . . .?

David Hilbert

Niet in kamer 1, want het eerste cijferuit de code van het kind op kamer 1 ver-schilt van die van het genoemde kind. Enook niet op kamer 2, want x2 6= y2, etce-tera. Het genoemde kind heeft dus geenkamer in het hotel.

Hieruit volgt dat het niet mogelijk is allekinderen in het hotel te krijgen. Want ookals je dit kind op de eerste kamer zet ende rest opschuift, is er nog wel een kind tevinden dat er niet in zit. Dit komt door-dat het aantal deelverzamelingen van degasten uit het Hilbert Hotel daadwerke-lijk groter is dan het aantal gasten zelf.Het is een grotere soort oneindig!

2Want het was ontruimd na de brandmelding, remember ;-)

40

VAKidioot Puzzel idioot

Zoek de verschillenHieronder staan twee erg op elkaar lijkende foto’s van Sinterklaas (en kornuiten) opzijn boot. Zoals de titel al zegt: zoek de verschillen! Inzendingen kunnen in het Vakidi-ootpostvakje achtergelaten worden of gemaild worden naar [email protected] die de meeste verschillen vindt wint.

Voor de puzzel in de vorige Vakidioot zijn er maar liefst twee reacties binnengekomen.Winnaar is Jasper Mulder, hij mag zijn prijsje komen ophalen in de A–Eskwadraatkamer.Zijn oplossing was: 1. bank-ven-noot, 2. bed-oe-ling, 3. een-zaam, 4. mu-ize-nis, 5. ver-stel-ziek, 6. wel-eer, 7. zak-ken-ster.

Jan de Wit

41

idioot Agenda VAKidioot

Begin en eindDecember en januari mogen dan wel dicht bij elkaar zitten, toch zijn het insommige opzichten elkaars tegenpolen. December is de maand van vreten,cadeautjes en gezelligheid, januari de maand van (letterlijk en figuurlijk)de broekriem aanhalen. Hieronder een overzicht van mogelijke activiteitendie je kunt doen in de komende twee maanden:

December Januari

BBCie-borrel 1 Nieuwjaarsdag / Slechte kater-dag2 Hertentamenweek 1 INCA/INKU34 Hertentamenweek 1 Wiskunde

Sinterklaas 5Sinterklaas vermist 6 Iets met drie niet-echt-koningen

7Brownie day (VS) 8 Dit is een zondag

Grote ExcurCie naar Heidelberg 9Grote ExcurCie naar Heidelberg 10Grote ExcurCie naar Heidelberg 11 Melkdag

Spelletjesavond 12 BBCie-borrelOpen Podium / Kroegenmarathon 13 Kroegenmarathon

Aapjesdag 14BBCie-borrel / Owattenaait 15 Dit is ook een zondag

16 Tentamenweek 2 Wiskunde1718 Dit is geen zondag

Hertentamenweek 1 Natuurkunde 1920

Blanken: Maya’s: wereld doet boem 21 KnuffeldagFeest! / Global Orgasm 22

Andere blanken: nee, vandaag pas! 23 Chinezen beginnen aan het jaar 471024

Eerste kerstdag 25 National Voters’ Day (India)Tweede kerstdag 26 BBCie-borrel

2728 Data privacy day

BBCie-borrel 2930 Tentamenweek 2 ¬Wiskunde

Oudejaarsavond 31

Het is mogelijk dat niet alle hierboven genoemde activiteiten en feestdagen ook daad-werkelijk gaan plaatsvinden. De kans dat iets als oudejaarsavond wordt afgeschaftlijkt ons echter klein.

Chun Fei Lung

42

Kardinaal - A-Eskwadraat€¦ · Sinterklaas als het goed is nog in het land. De goed-heiligman {...

Documents

Transcript of Kardinaal - A-Eskwadraat€¦ · Sinterklaas als het goed is nog in het land. De goed-heiligman {...