Jesus Hern andez Gil - um.es

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FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS UNIVERSIDAD DE MURCIA TRABAJO FIN DE M ´ ASTER M ´ ASTER EN MATEM ´ ATICA AVANZADA Y PROFESIONAL Subgrupos finitos de anillos de divisi´ on Jes´ us Hern´ andez Gil Director: ´ Angel del R´ ıo Mateos Codirector: Osnel Broche Cristo CURSO ACAD ´ EMICO 2014/2015
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    14-Jan-2022
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Jesus Hernandez Gil
Codirector: Osnel Broche Cristo
Mi mas sincero agradecimiento a Angel del Ro Mateos
por haberme guiado y ayudado a lo largo de este trabajo.
No solo agradezco su ayuda, sino tambien el esfuerzo que
ha puesto en m y en mis problemas. Agradezco tambien
a Osnel Broche Cristo por haber asentado una perspecti-
va de estudio adecuada. Por ultimo, agradezco a Adolfo
Ballester-Bolinches y Enric Nart, que me sacaron de serios
apuros.
i
A mi hermano David
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Grupos de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Grupos con subgrupos de Sylow cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Grupos nilpotentes y grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Teora de Algebras de dimension finita 47
3.1. El grupo de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Valoracion, ndice de ramificacion y grado residual . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Indice de ramificacion y grado residual en cuerpos ciclotomicos . . . . . . . . . . 61
3.4. Producto cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5. El cuerpo de los numeros p -adicos Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
4. Subgrupos finitos de anillos de division 81
4.1. Clasificacion de los Z-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. Clasificacion de los subgrupos de anillos de division con 2-subgrupos cuaterniones 93
Notacion 108
iv
Resumen
Este Trabajo de Fin de Master trata sobre la clasificacion de los subgrupos finitos del grupo
multiplicativo formado por los elementos no nulos de un anillo de division. Esta clasificacion,
fue inicialmente planteada por I. N. Herstein, dando una solucion parcial en [Her53] y fue
resuelta completamente por S. A. Amitsur en [Ami55] en el ano 1955. En los primeros captulos
del presente documento, se recopilan y desarrollan, los resultados necesarios para estudiar la
clasificacion de S. A. Amitsur, que esta totalmente desarrollada en el Captulo 4.
Los captulos centrales del documento, tratan aquellos resultados necesarios para la clasifi-
cacion. En primer lugar, se desarrolla Teora de Grupos finitos especfica. Esto es, se estudian los
grupos de Frobenius, y en particular los complementos de Frobenius. Tambien se estudia la es-
tructura de aquellos grupos que tienen todos sus subgrupos de Sylow cclicos. En segundo lugar,
se hace lo propio en Teora de Algebras de dimension finita, introduciendo el grupo de Brauer,
producto cruzado, Teora de Valoraciones y Teorema de Wedderburn. Tambien se estudia el
cuerpo de los numeros p-adicos Qp, pues tiene un papel relevante en algunas demostraciones.
La clasificacion se estructura de la siguiente forma. Primeramente, se clasifican los subgrupos
de anillos de division con caracterstica p > 0, debida a I. N. Herstein. La parte complicada
de la clasificacion es cuando consideramos anillos de division con caracterstica cero. En este
caso, dividimos el estudio en dos casos, dependiendo de las propiedades de un subgrupo G
de un anillo de division D: cuando todos los subgrupos de Sylow de G son cclicos (llamados
Z-grupos) y cuando los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones.
1
Abstract
In this dissertation we study the classification of finite subgroup of the multiplicative group
of the nonzero elements of a division ring. This problem was initially raised by I. N. Herstein
giving a partial solution in [Her53] and was completely solved by S. A. Amitsur in [Ami55]
in 1955. In this document, the necessary background is collected and developed in the first
chapters. The classification of Amitsur is fully developed in Chapter 4.
The central chapters of the document develop several results required for the classification.
First, we develop specific theory of finite groups. More precisely, we study Frobenius groups, and
particularly Frobenius complements. Also, we study the structure of those groups that have all
Sylow subgroup cyclic. Then we review the theory of finite dimensional algebras, introducing
the Brauer group, crossed product and Wedderburn Theorem. The p-adic fields Qp are also
studied, because it have a relevant role in some proofs.
The classification is structured as follows. First, we classify the subgroup of division ring
with characteristic p > 0. This is a result due to I. N. Herstein. The most difficult part is when
we consider division rings with characteristic zero. For this, we divide the study into two cases,
depending on the properties of a subgroup G of a division ring D: whether all Sylow subgroups
of G are cyclic (called Z-groups) or the Sylow 2-subgroups of G are quaternions.
2
Introduccion
El objetivo de este documento es clasificar los subgrupos finitos de los anillos de division. Si
D es un anillo de division, entendemos por subgrupos de D aquellos subgrupos del grupo mul-
tiplicativo D∗. Esta clasificacion esta desarrollada en el Captulo 4, recogida en la demostracion
de los Teoremas 4.6 y 4.11.
El entorno donde se encuentran las demostraciones del documento es muy diverso, ya que se
mezcla Teora de Grupos finitos con Teora de Cuerpos, algebras de dimension finita, valoracio-
nes, etc. Se ha intentado hacer una exposicion lo mas autocontenida posible, pero conseguirlo
al cien por cien hara este documento demasiado extenso, ya que algunos de los resultados utili-
zados son demasiado profundos. Este es el caso del Teorema de la Norma de Hasse o de algunos
resultados de Teora de Cuerpos de Clases que necesitaremos usar. Para aquellos resultados que
utilizamos sin dar demostracion se proporcionan las referencias necesarias.
El problema de determinar todos los subgrupos finitos de anillos de division, fue inicialmente
propuesto por I. N. Herstein, que dio una solucion parcial en el 1953 en [Her53], encontrando
los subgrupos finitos de anillos de division de caracterstica p > 0. Los subgrupos en este caso,
son p′-grupos cclicos. Esto llevo a I. N. Herstein a conjeturar que todos los subgrupos finitos
de anillos de division de orden impar son cclicos. Sin embargo, la clasificacion en el caso de
caracterstica cero, es mucho mas compleja y fue completada por S. A. Amitsur en [Ami55] en
el ano 1955. Independientemente, poco despues, la clasificacion fue tambien obtenida por J. A.
Green, aunque no la publico. La conjetura de I. N. Herstein, fue refutada con la clasificacion
completa de S. A. Amitsur, que demostro que el menor subgrupo no cclico de orden impar de
un anillo de division tiene orden 63. Concretamente, este grupo es
C7 o C9 ∼= a, b| a7 = b9 = 1, ab = a5.
3
Para la realizacion de este documento, se ha seguido estrechamente la estructura determina-
da por M. Shirvani y B. A. F. Wehrfritz en [Shi86] en la primera seccion de su segundo captulo.
Se comienza estudiando el caso de caracterstica p > 0, que es bastante sencillo debido al Teo-
rema de Wedderburn. La parte complicada de la clasificacion es cuando consideramos anillos
de division con caracterstica cero. Se comienza recogiendo algunas propiedades generales que
tienen los subgrupos finitos en caracterstica cero, continuando con el estudio de los subgru-
pos finitos de anillos de division que tienen todos sus subgrupos de Sylow cclicos. Se termina
estudiando los subgrupos de anillos de division que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.
La clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division tiene multiples aplicaciones.
Por ejemplo, si G es un grupo finito y F es un cuerpo cuya caracterstica sea coprima con
el orden de F , entonces por el Teorema de Maschke, FG es un anillo semisimple. Por tanto,
FG es isomorfo a un producto de anillos de matrices de anillos de division por el Teorema
de Wedderburn-Artin. La expresion de FG como producto de anillos de matrices de anillos de
division, se llama descomposicion de Wedderburn de FG. La descomposicion de Wedderburn de
FG codifica informacion importante sobre algunos problemas. Por ejemplo, la descomposicion
de Wedderburn de QG proporciona informacion relevante sobre el grupo de unidades de ZG
[Jes07] y en general, la descomposicion de Wedderburn de FG sirve para calcular el grupo de
automorfismos de FG. Si D es un anillo de division de la descomposicion de Wedderburn de
FG, entonces la imagen de la proyeccion de G en D es un subgrupo finito de D que genera D
sobre F . Por tanto, las componentes de FG, que son algebras de division, se pueden determinar
con los cocientes de G que son subgrupos de algebras de division. Por otro lado, si G es un
subgrupo de un algebra de division, entonces G tiene una representacion irreducible ρ tal que
el unico elemento g de G para el que 1 es un autovalor de ρ(g), es g = 1. Los grupos que
tienen esta propiedad se llaman grupos libres de puntos fijos y tienen importancia en Teora de
Grupos, pues son exactamente los complementos de Frobenius [Pas68]. La clasificacion de los
grupos libres de puntos fijos es un problema abierto de Teora de Grupos [Bro01].
Un resultado bastante facil de demostrar pero de gran utilidad, es que cada subgrupo finito
de un cuerpo es cclico. En [Ham53], Hamilton descubrio el algebra de cuaterniones Hamilto-
nianos H(R) = R⊕Ri⊕Rj⊕Rij, con i2 = j2, ij = −ji. Dentro de este algebra, encontramos el
grupo de cuaterniones Q8 = i, j = {±1, ±i, ±j, ±ij}, que es uno de los grupos no abelianos
4
de orden 8. El otro grupo, es el diedrico D8 = a, b| a4 = b2 = 1, ab = a2, que no es subgrupo
de ningun anillo de division. Pero Q8 no es el unico subgrupo finito del grupo de unidades de
H(R). Por ejemplo, observamos que (i + j + ij)2 = −3 y teniendo en cuenta que ζ3 = −1+ √ −3
2
es una raz cubica primitiva de la unidad, concluimos que si c = −1+i+j+ij 2
entonces c3 = 1.
Pero ademas, c−1ic = j y c−1jc = ij. Esto implica que i, j, c es un subgrupo del grupo de
las unidades de H(R) de orden 24. El grupo i, j, c resulta ser isomorfo a SL(2, 3), el grupo
multiplicativo de las matrices 2× 2 de determinante 1 con entradas en Z/3Z. Estos ejemplos,
muestran que la familia de subgrupos finitos de algebras de division es mucho mas rica que la
de subgrupos finitos de cuerpos.
Que un grupo G sea subgrupo finito de un anillo de division implique que sea un comple-
mento de Frobenius, es un resultado de gran relevancia en el estudio. Usando resultados de
[Pas68] sobre complementos de Frobenius, obtenemos muchas propiedades sobre la estructura
de G. Por ejemplo, que todos los p-subgrupos de Sylow de G son cclicos, excepto si p = 2, en
cuyo caso pueden ser tambien cuaterniones. Cuando todos los subgrupos de Sylow de G son
cclicos, llamamos a G un Z-grupo, y por el Teorema 2.16 es un producto semidirecto de dos
grupos cclicos de orden coprimo.
El Captulo 1, lo dedicamos a introducir la notacion y algunos resultados. Separamos la
notacion relativa a grupos de la relativa a anillos. En la seccion de grupos, se ven resultados
basicos. Cabe destacar la notacion introducida sobre grupos cclicos, producto metacclico y la
introduccion de los grupos relevantes en nuestro estudio. En la seccion de anillos, se introduce
Teora de Extensiones de Cuerpos, el producto tensorial de algebras, el algebra de cuaterniones
y el anillo de enteros de los cuerpos de numeros.
En el Captulo 2 se recogen los resultados no tan elementales y que no son propios de la bi-
bliografa clasica sobre grupos. Se exponen los resultados necesarios sobre grupos de Frobenius,
donde se exponen sin demostrar algunos resultados de gran calibre y que escapan de nuestro
proposito. Con el fin de ver que un grupo con todos los subgrupos de Sylow cclicos es un pro-
ducto semidirecto de dos grupos cclicos, se recogen resultados sobre grupos resolubles y una
generalizacion del Teorema de Frobenius sobre el numero de soluciones de la ecuacion xn = 1
en un grupo finito G. En una ultima seccion, se introduce la definicion de grupo superresoluble,
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se estudian algunas propiedades de grupos nilpotentes finitos y de grupos resolubles que son
utilizadas en la demostracion del Teorema 4.19.
En el Captulo 3, se expone gran variedad de contenidos sobre algebras de dimension finita,
donde no siempre se da la demostracion de los resultados. En primera instancia, se introduce el
grupo de Brauer y se estudian algunas de sus propiedades. Se introduce al lector en la Teora de
Valoraciones sobre cuerpos y se recogen resultados sobre ndice de ramificacion y grado residual
en el caso de extensiones ciclotomicas, que entran en juego en nuestro estudio. Estudiamos el
producto cruzado y las algebras cclicas, ya que para un grupo que es producto semidirecto de
dos grupos cclicos de ordenes coprimos, y en particular un Z-grupo, siempre podemos construir
un algebra cclica que lo contenga. Dedicamos una seccion a estudiar el cuerpo de los numeros
p-adicos Qp, estudiando su estructura multiplicativa. En Qp, estudiamos cuando un elemento
es un cuadrado o suma de cuadrados, que servira para determinar cuando H(Qp) es un anillo
de division. Tambien estudiamos el ndice de ramificacion y grado residual cuando anadimos a
Qp una raz n-esima primitiva de la unidad. Por ultimo, una seccion esta dedicada al Teorema
de Wedderburn: Todo anillo de division finito es un cuerpo.
El Captulo 4 clasifica los subgrupos finitos de anillos de division. La primera parte estudia
los subgrupos en caracterstica p > 0. En caracterstica cero, separamos el estudio en dos casos:
los subgrupos finitos que tienen todos los subgrupos de Sylow cclicos (Z-grupos) y los que
tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.
Si G es un producto semidirecto de dos grupos cclicos de orden coprimo, podemos construir
un algebra cclica A que contenga a G y que esta generada por G como espacio vectorial sobre
Q. De hecho, se demuestra que si G = CmoCn con m.c.d.(m, n) = 1, entonces G es un Z-grupo
si y solo si el algebra cclica A que lo contiene es un anillo de division. Posteriormente, se estudia
cuando un grupo de la forma (CpaoCqb)×Cr es un Z-grupos, para p, q primos distintos y r un
entero positivo coprimo con pq. De esta manera, se puede estudiar cuando un grupo generico
Cm o Cn, con m y n coprimos, es un Z-grupo.
Para los subgrupos de anillos de division con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones, se comienza
con un estudio sistematico de los distintos casos posibles. En primer lugar, se estudia el unico
caso de subgrupo no resoluble de un anillo de division con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.
6
Este grupo no resoluble es el grupo icosaedro binario SL(2, 5). Luego se estudian los grupos
resolubles con 2-subgrupos cuaterniones, obteniendo las propiedades suficientes para determinar
en cada caso la estructura del grupo.
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Notacion y primeros resultados
En este primer captulo, se fijara la notacion que seguiremos a lo largo del documento.
Separaremos la notacion relativa a grupos de la relativa a anillos. Introduciremos tambien
algunos resultados basicos que siguen la lnea de las definiciones. Para la preparacion de este
captulo hemos utilizado distintas referencias. Para grupos, se ha seguido [Rob96] y [Pas68].
Para anillos, se ha seguido [Pie82] y [Rei75]. Para algunos resultados sobre los anillos de enteros,
se ha utilizado [Ste02].
1.1. Grupos
Esta seccion fija la notacion referente a grupos que utilizaremos a lo largo del documento.
Empezamos viendo notacion estandar de grupos y grupos simetricos. Estudiamos algunos resul-
tados sobre grupos resolubles. Damos la definicion de grupo metacclico, producto semidirecto
y extension de grupos. Por ultimo, introducimos algunos tipos de grupos que son tratados a lo
largo del documento y estudiamos algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8.
Si G es un grupo, denotamos por 1G el elemento neutro de G si consideramos G con notacion
multiplicativa, mientras que si la notacion de G es aditiva, denotamos el elemento neutro
de G como 0G. Cuando no haya lugar a confusion, denotaremos el elemento neutro de G
simplemente por 1 o 0. Denotamos por Aut(G) el grupo de automorfismos de G, con elemento
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neutro denotado por IdG.
Si H es un subgrupo de G, escribiremos H ≤ G. Denotamos por |H| el orden de H y por
[G : H] el ndice de H en G.
El siguiente resultado es elemental de Teora de Grupos, y podemos ver su demostracion en
[Rob96, 1.3.11].
Proposicion 1.1. Sean H y K subgrupos de un grupo G. Entonces se tiene:
i) |HK| · |H ∩K| = |H| · |K|, as que [H : H ∩K] = |HK|/|K| si H y K son finitos.
ii) [G : H ∩ K] ≤ [G : H] · [G : K], con igualdad si los ndices [G : H] y [G : K] son
finitos y coprimos.
Cuando N sea un subgrupo normal de G, lo denotaremos por N G y llamaremos a G/N
grupo cociente de N en G o factor de G por N .
Definicion 1.2. Un subgrupo H de G diremos que es un subgrupo de Hall si [G : H] y |H|
son coprimos entre s.
Para un grupo G, denotamos por G# el conjunto formado por todos los elementos de G
salvo el elemento neutro, es decir, G# = G\{1}.
Definicion 1.3. Sea G un grupo. Definimos el centro de G y lo denotamos por Z(G) como,
Z(G) = {g ∈ G| gh = hg para todo h ∈ G}.
Definicion 1.4. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y X un subconjunto no vaco de G.
Definimos el centralizador de X en H como el conjunto
CH(X) = {h ∈ H|xh = hx para todo elemento x ∈ X}.
Definicion 1.5. Sean X un subconjunto no vaco de un grupo G y g un elemento de G. El
conjugado de X por g es el subconjunto
Xg = g−1Xg = {g−1xg|x ∈ X}.
Se define el normalizador del subconjunto X en G como:
NG(X) = {g ∈ G|Xg = X}.
9
Sea G un grupo. Denotemos por ρg : G → G la conjugacion por el elemento g−1, es decir,
para cada elemento h ∈ G, tenemos que ρg(h) = ghg−1. Para cada g ∈ G, el homomorfismo ρg
es de hecho un automorfismo de G que llamamos automorfismo interno de G. Podemos definir
ρ : G → Aut(G), con ρ(g) = ρg, que es un homomorfismo de grupos. Llamamos grupo de
automorfismos internos a la imagen de ρ y lo denotamos por Inn(G).
Proposicion 1.6. Sea G un grupo. Entonces se tiene que G/Z(G) ∼= Inn(G), y tambien que
Inn(G) Aut(G).
Si π es un conjunto no vaco de primos, un π-numero es un entero positivo cuyos divisores
primos pertenecen a π. LLamaremos π-grupo a un grupo finito G, si |G| es un π-numero. Si
para todo primo p ∈ π, se tiene que p - |G|, entonces decimos que G es un π′-grupo. El caso mas
importante es cuando π = {p}. En este caso, si G es un π-grupo diremos que G es un p-grupo
y si G es un π′-grupo, diremos que G es un p′-grupo. Supongamos ahora que |G| = pam, para
p un primo, con m.c.d.(p, m) = 1. Un p-subgrupo de G de orden pa es llamado un p-subgrupo
de Sylow de G.
Se exponen ahora los conocidos Teoremas de Sylow cuya demostracion puede ser vista en
[Rob96, 1.6.16].
Teorema 1.7. (Teoremas de Sylow) Sean G un grupo finito y p un numero primo. Escribimos
|G| = pam, donde el entero m no es divisible por p. Entonces:
i) Todo p-subgrupo de G esta contenido en un p-subgrupo de Sylow de G. En particular,
como 1 es un p-subgrupo de G, los p-subgrupos de Sylow siempre existen.
ii) Si np denota el numero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces np ≡ 1 mod p, y np|m.
iii) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados en G.
Sean π un conjunto de primos y G un grupo finito de manera que si p ∈ π, entonces p
divide al orden de G. El subgrupo de G generado por todos los π-subgrupos de G normales es
un π-subgrupo de G normal maximal unico ([Rob96, pags. 252-253]). Denotamos por Oπ(G)
al π-subgrupo de G normal maximal. De igual manera, Oπ′(G) denotara al π′-subgrupo de G
normal maximal.
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Sea A un conjunto no vaco, denotamos por Sym(A) el grupo formado por las biyecciones de
A en A junto con la composicion. Un grupo de permutaciones de A es un subgrupo de Sym(A).
Un grupo G de permutaciones de A se dira transitivo si para cada par de elementos a, b ∈ A
existe σ ∈ G de manera que σ(a) = b. Para cada a ∈ A, llamamos estabilizador de a en G al
subgrupo Ga de G formado por los elementos de G que dejan fijo al elemento a, es decir,
Ga = {σ ∈ G|σ(a) = a}.
Si para todo a ∈ A se tiene que Ga = 1, entonces se dice que el grupo G es semirregular . Si
G es transitivo y semirregular, entonces diremos que G es regular .
Para a, b ∈ A, con a 6= b, denotamos Ga, b = Ga ∩Gb.
Sean G un grupo y X un conjunto no vaco. Entendemos accion por la derecha de G en X
como una aplicacion ρ : X×G→ X de manera que ρ(x, g1g2) = ρ(ρ(x, g1), g2) y ρ(x, 1G) = x,
para todo x ∈ X, g1, g2 ∈ G. Se define una accion por la izquierda de G en X, como una
aplicacion λ : G × X → X tal que λ(g1g2, x) = λ(g1, λ(g2, x)) y λ(1G, x) = x, para todo
x ∈ X, g1, g2 ∈ G.
Si tenemos una accion por la derecha ρ de un grupo G en un conjunto no vaco X, para cada
x ∈ X, llamamos orbita de x al subconjunto de X, O(x) = {ρ(g, x)| g ∈ G} (de manera analoga,
se define para una accion por la izquierda). Decimos entonces que G actua semirregularmente
en X, si todas las orbitas de X tienen la misma dimension.
Sean ahora G y H dos grupos. Una representacion de G por H es un homomorfismo de
grupos f : H → Aut(G). Si tenemos una representacion f de G por H, entonces tenemos una
accion ρ : H × G → G definida por ρ(h, g) = f(h)(g) para h ∈ H, g ∈ G. Siguiendo con la
notacion anterior, una representacion se dice fiel si el homomorfismo f es inyectivo.
Si X es un conjunto no vaco y G es un grupo, llamamos representacion de permutacion
a un homomorfismo f : G → Sym(X). Si tenemos η : G → Sym(X), una representacion de
permutacion, entonces γ : G×X → X, dada por γ(g, x) = η(g)(x), es una accion de G en X
por la izquierda. En este caso, diremos que G actua por automorfismos en X.
Un grupo G decimos que es un grupo libre de puntos fijos , si tiene una representacion por
matrices ρ, con la propiedad de que 1 es valor propio de ρ(g) si y solo si g = 1.
11
Supongamos que G es un grupo que actua por la izquierda en dos conjuntos no vacos X e
Y con respectivas acciones λ y ρ. Supongamos tambien que tenemos una biyeccion φ : X → Y .
Entonces diremos que las acciones de G sobre X e Y son equivalentes , si para cada g ∈ G, el
diagrama
X φ // Y
es conmutativo, donde λg(x) = λ(g, x) y ρg(y) = ρ(g, y) para todo x ∈ X, y ∈ Y . De
manera analoga, se define cuando dos representaciones son equivalentes.
Pasemos ahora a ver algunos resultados sobre grupos resolubles. SeanG un grupo y x, y ∈ G,
se define el conmutador de x e y como el elemento del grupo x−1y−1xy, que denotaremos por
(x, y). Definimos tambien conmutadores de orden superior por la regla recursiva
(x1, . . . , xn−1, xn) = ((x1, . . . , xn−1), xn),
para x1, . . . , xn ∈ G.
Definicion 1.8. El subgrupo G′ de G generado por todos los conmutadores x−1y−1xy se llama
el subgrupo conmutador o grupo derivado de G. Inductivamente para i ∈ N, se define G(i) como
el subgrupo derivado de G(i−1).
Proposicion 1.9. El factor G/G′ es abeliano. Si K es un subgrupo normal de G tal que G/K
es abeliano, entonces K ⊇ G′.
Definicion 1.10. Llamamos a un grupo G resoluble si G(n) = 1 para algun n ∈ N, n ≥ 1.
Definicion 1.11. Una serie de composicion de G es una sucesion
1 = G0 G1 · · ·Gr = G
de manera que los factores Gi/Gi−1 son simples para cada i = 1, . . . , r. A los factores Gi/Gi−1
se les llama factores de la serie de composicion.
Teorema 1.12. Todo subgrupo y factor de un grupo resoluble es resoluble.
12
Definicion 1.13. Llamamos nilpotente a un grupo G si tiene una serie
1 = G0 G1 · · ·Gr = G
tal que Gi/Gi−1 ⊆ Z(G/Gi−1), para todo i = 1, . . . , r.
El siguiente resultado es conocido como el Argumento de Frattini :
Teorema 1.14. (Argumento de Frattini ) Si H es un subgrupo normal finito de un grupo G y
P es un p-subgrupo de Sylow de H, entonces G = NG(P )H.
Demostracion. Sea g ∈ G. Por ser H un subgrupo normal, sabemos que P g ≤ H, y P g es
un p-subgrupo de Sylow de H. Por lo tanto, P g = P h para algun h ∈ H por los Teoremas de

El siguiente Teorema de P. Hall, nos permitira generalizar el Argumento de Frattini en el
caso de grupos finitos resolubles. Su prueba se encuentra en en [Rob96, Teorema 9.1.7].
Teorema 1.15. (P. Hall ) Sea G un grupo finito resoluble. Entonces todo π-subgrupo de G
esta contenido en un π-subgrupo de Hall de G. Ademas, todos los π-subgrupos de Hall de G son
conjugados entre s.
Podemos dar ya la adaptacion del Argumento de Frattini al caso de grupos finitos resolubles.
Teorema 1.16. Sean G un grupo finito resoluble y H un subgrupo normal de G. Si P es un
π-subgrupo de Hall de H, entonces G = HNG(P ).

Definicion 1.17. Sean N y H dos grupos y α : H → Aut(N) un homomorfismo, denotando
α(h) = αh para todo h ∈ H. Definimos el producto semidirecto de N y H como el grupo
denotado por N oH, formado por los pares (n, h), para n ∈ N , h ∈ H, con la operacion
(n1, h1)(n2, h2) = (n1αh1(n2), h1h2),
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h1, h2 ∈ H, n1, n2 ∈ N . En estas condiciones, denotaremos tambien el producto semidirecto
como N oKer(α) H, cuando queramos tener claro cual es el nucleo de la accion de H en N .
La anterior es la definicion externa del producto semidirecto de dos grupos. La definicion
interna de producto semidirecto es la siguiente: sean G un grupo, N un subgrupo normal de
G y H un subgrupo de G de manera que NH = G y N ∩ H = 1. Entonces, todo elemento
g ∈ G se expresa de manera unica de la forma hn, donde h ∈ H y n ∈ N . Decimos entonces
que G es el producto semidirecto interno de N y H, y lo denotaremos por N oH.
Veamos que las anteriores definiciones de producto semidirecto externo e interno son equi-
valentes. Sea G = N o H el producto semidirecto externo de N y H, con el homomorfismo
asociado α : H → Aut(N). Identificamos N en G va el monomorfismo uN : N → N o H,
dado por uN(n) = (n, 1H), para todo n ∈ N . Analogamente, identificamos H en G va el
monomorfismo uH : H → N oH, dado por uH(h) = (1N , h), para todo h ∈ H. Mediante estas
identificaciones esta claro que uN(N)∩uH(H) = (1N , 1H), y que uN(N)uH(H) = G. Ademas,
uN(N) es un subgrupo normal de G, pues para cada n ∈ N , h ∈ H, tenemos que
uN(n)uH(h) = (1N , h −1)(n, 1H)(1N , h) = (αh−1(n), h−1)(1N , h)
= (αh−1(n)αh−1(1N), h−1h) = (αh−1(n), 1H) ∈ uN(N).
Y cada elemento g ∈ G se expresa de forma unica como g = uN(n)uH(h), para algunos elementos
n ∈ N , h ∈ H.
Por otro lado, supongamos que G es el producto semidirecto interno de los subgrupos N
y H, teniendo G = N oH. Como N es un subgrupo normal, la aplicacion α : H → Aut(N),
dado por α(h) = αh : N → N , con αh(n) = nh, es un homomorfismo bien definido. El grupo G
es isomorfo al producto semidirecto externo de los grupos N y H junto con el homomorfismo
asociado α.
Para un anillo A, A∗ denota el grupo multiplicativo formado por los elementos invertibles
de A.
Proposicion 1.18. Sean n, d ∈ N, con d|n. Si denotamos por π : Z/nZ→ Z/dZ la proyeccion
natural, entonces se tiene que
π|(Z/nZ)∗ : (Z/nZ)∗ → (Z/dZ)∗,
es un epimorfismo.
Demostracion. Si d = 1 o d = n, el resultado se tiene trivialmente. As que, podemos
suponer que d es un divisor propio de n. Sea x = x + dZ ∈ (Z/dZ)∗. Se tiene entonces que
m.c.d.(d, x) = 1. Expresamos n = n1n2, con m.c.d.(n1, n2) = 1, y n1 cumpliendo la siguiente
propiedad: un primo p divide a n1 si y solo si p divide a d. De esta manera m.c.d.(d, n2) = 1.
Si n2 = 1, entonces m.c.d.(x, n) = 1, y π|(Z/nZ)∗(x + nZ) = x + dZ. As que podemos suponer
que n2 6= 1.
Por el Teorema Chino de los Restos, existe y ∈ Z de manera que: y ≡ x mod d
y ≡ 1 mod n2.
Como d, n2 6= 1, y m.c.d.(d, x) = 1, ningun divisor primo de n divide a y. Por tanto, se tiene

Para grupos cclicos de orden n > 0, utilizamos la notacion Cn. Si d|n, Cn tiene un unico
subgrupo de orden d. Por esto, escribiremos Cd ≤ Cn, identificando Cd con el unico subgrupo
de Cn de orden d. Si Cn es un grupo cclico, entonces |Aut(Cn)| = (n), donde es la funcion
de Euler.
Vamos ahora a demostrar un resultado sobre el grupo de automorfismos de un grupo cclico
de orden potencia de un primo.
Proposicion 1.19. Sea α un automorfismo de Cpn, para p un primo. Si el orden de α es
coprimo con p y la restriccion de α a Cp es trivial, entonces α = IdCpn .
Demostracion. Si s ∈ Z, y a = Cm entonces sea σs : Cm → Cm la aplicacion dada por
σs(a x) = axs. La aplicacion λ : Z → Aut(Cm) dada por λ(s) = σs, induce un isomorfismo de
grupos λm : (Z/mZ)∗ → Aut(Cm). Ademas, si d|m, entonces tenemos un diagrama conmutativo
(Z/mZ)∗ λm //
15
donde π es el homomorfismo canonico y R denota la restriccion.
Supongamos que m = pn y d = p. Entonces el automorfismo α del enunciado es un elemento
del nucleo de R, con lo que es de la forma σs para algun s ∈ Z coprimo con p y tal que
s ≡ 1 mod p. Es decir, la clase de s en Z/pnZ esta en el nucleo de π : (Z/pnZ)∗ → (Z/pZ)∗ y
tiene orden coprimo con p en (Z/pnZ)∗.
Por la Proposicion 1.18, π es suprayectiva, luego |Ker(π)| = (pn)/(p) = pn−1. Como
s tiene orden coprimo con p en (Z/pnZ)∗, deducimos que s ≡ 1 mod pn. Por tanto, se tiene
α = σs = IdCpn .

Sean n, m ≥ 1. Denotamos por On(m) el orden multiplicativo de m modulo n, es decir,
On(m) = mn{k ∈ N|mk ≡ 1 mod n}.
El siguiente lema recoge algunas propiedades del orden multiplicativo.
Lema 1.20. a) Si n, r y s son relativamente primos, entonces
Ors(n) = m.c.m.(Or(n), Os(n)).
b) Sea q un numero primo que divide a n− 1 y sea i un entero positivo.
i) Si q = 2 y n ≡ −1 mod 4, sea n2 − 1 = 2dt donde 2 - t. Entonces:
O2i(n) =
2i−d+1, si i > d
ii) En todos los casos no cubiertos por i), sea n− 1 = qdt donde q - t. Entonces:
Oqi(n) =
qi−d, si i > d
c) En general, si q es un numero primo y m, i son enteros positivos con q - m, entonces
Oqi(m) = Oq(m)qa donde a = a(i) ≥ 0 esta en funcion de i.
16
Demostracion. El apartado a) es consecuencia inmediata del Teorema Chino de los Restos.
Probemos el apartado b), dando en primer lugar una demostracion para un primo q como
en el subapartado ii). Asumamos, para algunos k y s, que qs es la maxima potencia de q que
divide a nk− 1, donde q > 2 o s ≥ 2. Ahora tenemos que nk = 1 + qsm donde q - m, y entonces
nkq = (1 + qsm)q = ∑n
i=0
( q i
) (qsm)i ≡ 1 + qs+1m mod qs+2. Ahora, qs+1 |qs+2 |(nkq− 1− qs+1m),
por lo que qs+1|(nkq − 1). Con esto hemos probado que si qs|(nk − 1), entonces qs+1|(nkq − 1).
Supongamos ahora tambien que k = Oqs(n). Como qs|qs+1|(nOqs+1 (n) − 1), tenemos que
k|Oqs+1(n), teniendose ademas que Oqs+1(n)|kq. Ya que qs+1 no divide nk − 1 tenemos que
Oqs(n) 6= Oqs+1(n), por lo que Oqs+1(n) = qOqs(n). Esto prueba el subapartado ii). El argumento
del anterior parrafo aplicado a n2 − 1 = 8(2m2 −m), prueba el subapartado i).
Si q|(m − 1), entonces c) es consecuencia de b), por lo que podemos suponer q - (m − 1).
Como q - m por hipotesis, entonces q 6= 2. Sea k = Oq(m), y sea d ∈ N el mayor natural de
manera que qd|(mk − 1). Evidentemente se tiene Oq(m) = · · · = Oqd(m) = k, y para i > d se
tiene Oqi(m) = qi−dk, como queramos demostrar.

Sean N y G dos grupos. Una extension de N por G es un grupo E que contiene un subgrupo
normal M tal que M ∼= N y E/M ∼= G. En las anteriores condiciones, tendremos una sucesion
exacta corta
ε−−−−−→ G −−−−→ 1.
Si tenemos una sucesion exacta corta como la anterior, cumpliendo Im(µ) = M ∼= N , y
E/M ∼= G, al igual que antes, diremos que E es una extension de N por G.
Definicion 1.21. Un grupo G se dice metacclico si contiene un subgrupo normal cclico C de
manera que G/C sea cclico.
En particular, el producto semidirecto de dos grupos cclicos es un grupo metacclico.
Por ultimo, antes de terminar esta seccion dedicada a grupos, daremos la definicion de
algunos grupos que son de especial interes en nuestro estudio.
17
El grupo diedrico, es el grupo de simetras de un polgono regular, esto es, rotaciones y
reflexiones. Si el polgono tiene n lados, denotamos al grupo diedrico por D2n y tenemos una
presentacion de la siguiente forma:
D2n = r, s | rn = s2 = 1, rs = r−1.
Otro de los grupos que atendemos aqu es el grupo semidiedrico, un grupo no abeliano de
orden una potencia de 2, y que denotamos SD2n con 2n el orden del grupo. Este grupo, tiene
una presentacion:
= s2 = 1, rs = r2n−2−1.
Ahora hacemos mencion a un tipo de grupos que van a ser muy importantes en el estudio
de los subgrupos finitos de anillos de division.
El grupo de cuaterniones es un 2-grupo con 8 elementos, denotado por Q8 con la siguiente
presentacion:
Q8 = x, y |x2 = y2, y4 = 1, xy = x−1.
Sin embargo, necesitamos una generalizacion de este grupo, usualmente conocida como grupo
de cuaterniones generalizado, pero que nosotros llamaremos siempre grupo de cuaterniones
cuando no de lugar a confusion. La generalizacion de los grupos de cuaterniones, es tambien un
2-grupo, que denotamos por Q2t donde 2t es el orden del grupo. La presentacion de este grupo
viene dada por:
= y2, y4 = 1, xy = x−1.
Sea A un anillo cualquiera. Denotamos por Mn(A) al anillo de las matrices de dimension
n × n con entradas en A, junto con su suma y producto usuales. Denotamos por GL(n, A) a
Mn(A)∗.
Sean n, m ≥ 1. Llamamos grupo especial lineal , y lo denotamos por SL(n, m), al subgrupo
de GL(n, Z/mZ) formado por las matrices que tienen determinante 1.
Exponemos ahora el grupo octaedro binario de orden 48, definido como la extension del
grupo octaedro por un grupo cclico de orden 2. Una presentacion para el grupo octaedro
binario es,
x, y, c|x4 = y2, y4 = 1, xy = x−1, (x2)c = x−1y, (x−1y)c = xy−1, cy = c2, c3 = 1.
18
Sin embargo, tenemos otras presentaciones para el grupo octaedro binario, como:
a, b| (ab)2 = a3 = b4 y r, s| r2 = s3 = (rs)4, r4 = 1.
El grupo SL(2, 5) es llamado grupo icosaedro binario, tiene 120 elementos y por [Pas68,
Proposicion 13.7], tiene una presentacion:
x, y, z|x3 = y5 = z2 = 1, z = (xy)2, (x, z) = (y, z) = 1.
Veamos ahora algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8.
Proposicion 1.22. Sea Q el grupo de cuaterniones de orden 8. Entonces:
i) Todo subgrupo propio de Q es cclico.
ii) Aut(Q) ∼= S4.
iii) Si σ ∈ Aut(Q) tiene orden 3, entonces σ permuta transitivamente las tres clases no
centrales de Q.
Demostracion. Sea H < Q tal que |H| ≤ 4. Como Q tiene un unico elemento de orden 2,
tenemos directamente que el subgrupo H es cclico. Con esto, tenemos i).
Ahora Q tiene tres subgrupos distintos de orden 4, digamos u, v y w. Si z es el unico
elemento de Q de orden 2, entonces u2 = v2 = w2 = z, (u, v) = (u, w) = (v, w) = z y
u, v = u, w = v, w = Q. As que Sym({u, v, w}) esta contenido en Aut(Q). Tambien
tenemos que Sym({u, v, w})∩ Inn(Q) = IdQ, ya que u, v y w son subgrupos normales
de Q. Como Inn(Q) es un subgrupo normal de Aut(Q) y |Inn(Q)| = 4, se cumple que
Aut(Q) ⊇ Inn(Q)Sym({u, v, w}),
y este ultimo se ve que es isomorfo a S4. Si σ ∈ Aut(Q), existen a lo mas 6 posibilidades para
σ(u). Una vez conocido σ(u), existen a lo mas 4 posibilidades para σ(v). Como Q = u, v,
entonces Aut(Q) tiene a lo mas 24 elementos. Por tanto, Aut(Q) ∼= S4, y tenemos ii).
Para iii), sea σ ∈ Aut(Q) de orden 3. Entonces σ permuta los tres subgrupos u, v y
w. Si σ fija alguno de estos subgrupos, entonces los fija a todos y por lo tanto σ(u) = u
19
o σ(u) = u−1, σ(v) = v o σ(v) = v−1, σ(w) = w o σ(w) = w−1, as que σ2 = 1, una
contradiccion. Por lo tanto σ permuta los grupos u, v y w transitivamente. Como las

1.2. Anillos
En esta seccion, se fija la notacion referente a anillos. Empezamos estudiando el producto
tensorial y algunas de sus propiedades. Seguimos con las algebras de cuaterniones sobre cuerpos.
Despues introducimos la notacion sobre cuerpos y extensiones de cuerpos. Finalmente, definimos
los anillos de enteros sobre cuerpos de numeros y estudiamos algunas de sus propiedades.
Definicion 1.23. Sea R un anillo conmutativo con 1. Una R-algebra (o algebra sobre R) es un
R-modulo por la derecha A en el que esta definida una aplicacion bilineal A×A→ A (denotada
por (x, y) → xy) que es asociativa (x(yz) = (xy)z para todo x, y, z ∈ A), existe un elemento
unidad 1A en A que satisface 1Ax = x1A para todo x ∈ A y para todo x, y ∈ A, r ∈ R se tiene
(xr)y = x(yr) = (xy)r.
Recordemos que si A es un anillo, denotamos por A∗ al grupo multiplicativo formado por
los elementos invertibles de A.
Cuando el algebra este tomada sobre un cuerpo, utilizaremos como smbolos para el anillo
conmutativo las letras F , K o L.
Si A es una R-algebra, la R-algebra opuesta de A, es la R-algebra Aop que coincide con A
en su estructura de R-modulo y tiene la operacion multiplicacion definida por x y = yx,
para todo x, y ∈ A. El elemento unidad de Aop es 1Aop = 1A.
Sean A y B dos R-modulos por la derecha. Denotamos porHomR(A, B) al conjunto formado
por los R-homomorfismos de A en B. En estas condiciones, HomR(A, B) tiene estructura
de R-modulo por la derecha, con (f + g)(a) = f(a) + g(a) y (fr)(a) = f(ar) para todo
20
f, g ∈ HomR(A, B), a ∈ A y r ∈ R. Si A coincide con B, la composicion de homomorfismos de
R-modulos (f g)(a) = f(g(a)), para f, g ∈ HomR(A, A) y a ∈ A, define un producto bilineal
asociativo que proporciona a HomR(A, A) estructura de R-algebra.
Definicion 1.24. Una K-algebra A es de dimension finita si A es libre de rango finito como
K-modulo.
La definicion anterior es equivalente a que existe una lista finita a1, a2, . . . , an ∈ A, de
manera que para cualquier a ∈ A, existe una unica lista de elementos x1, x2, . . . , xn ∈ K de
manera que
aixi.
Una K-base para A es, en este caso, una lista de elementos a1, a2, . . . , an ∈ A que cumpla la
anterior propiedad.
Para poder introducir el grupo de Brauer y estudiar sus propiedades, vamos a introducir
notacion estandar que va a ser utilizada frecuentemente.
Para el producto tensorial, tomaremos siempre R un anillo conmutativo.
Definicion 1.25. Sean M y N dos R-modulos por la derecha. Un producto tensorial de M y
N es un R-modulo por la derecha M ⊗N , junto con una aplicacion bilineal M ×N →M ⊗N ,
denotada por (u, v) 7→ u⊗ v tal que:
i) M ⊗N esta generado como R-modulo por {u⊗ v|u ∈M, v ∈ N}.
ii) (Propiedad universal ) Si Φ : M × N → P es una aplicacion bilineal de R-modulos (es
decir, Φ(u, ∗) : N → P y Φ(∗, v) : M → P son homomorfismos de R-modulos para
todo u ∈ M , v ∈ N), entonces existe un homomorfismo φ : M ⊗ N → P tal que
φ(u⊗ v) = Φ(u, v) para todo u ∈M y v ∈ N .
La hipotesis de que la aplicacion (u, v) 7→ u⊗ v es bilineal implica cuatro igualdades para
todo u, u1, u2 ∈M , v, v1, v2 ∈ N y a, b ∈ R:
u⊗ (v1a+ v2b) = (u⊗ v1)a+ (u⊗ v2)b,
21
u⊗ 0 = 0⊗ u = 0,
ua⊗ v = (u⊗ v)a = u⊗ (va).
Teorema 1.26. El producto tensorial de dos R-modulos M y N siempre existe y es unico salvo
isomorfismos.

Sean A y B dos R-algebras. A y B son tambien R-modulos por la derecha, y por lo de antes,
podemos formar el producto tensorial de A y B. Ademas, a dicho producto tensorial podemos
proporcionarle una multiplicacion, dotando a A⊗B estructura de R-algebra.
Proposicion 1.27. Si A y B son R-algebras, entonces existe una multiplicacion en A⊗B que
satisface
(x1 ⊗ y1)(x2 ⊗ y2) = x1x2 ⊗ y1y2,
para x1, x2 ∈ A e y1, y2 ∈ B. La multiplicacion es asociativa y 1A⊗B = 1A ⊗ 1B.
Demostracion. Ver [Pie82, Proposicion 9.2a].

Al igual que en Teora de Grupos, definimos el centralizador y el centro para un algebra.
Sea A un algebra y X un subconjunto no vaco de A. El centralizador de X en A es el conjunto
CA(X) = {y ∈ A| yx = xy para todo x ∈ X}.
El centro de A es la R-subalgebra de A:
Z(A) = {y ∈ A| yx = xy para todo x ∈ A}.
Es sencillo comprobar que 1AR ⊆ Z(A).
Decimos que A es simple si los unicos ideales bilateros de A son (0) y A. Una de las
propiedades de algebras simples es que su centro es un cuerpo ([Pie82, Proposicion 12.1]).
22
Definicion 1.28. Un anillo de division es un anillo en el cual todo elemento no nulo tiene
inverso.
Un algebra de division es un algebra que es a su vez un anillo de division.
Un dominio entero es un anillo que no tiene divisores no nulos de 0.
Teorema 1.29. Sea A un algebra de dimension finita sobre un cuerpo K. Entonces A es un
algebra de division si y solo si A es un dominio entero.
Demostracion. Por una parte, las algebras de division son dominios enteros. Supongamos
ahora que A es un dominio entero y sea a cualquier elemento no nulo de A. Consideramos el
homomorfismo ρa dado por ρa(x) = xa. Esta es una transformacion lineal en A/K, y como
ba = 0 en A implica b = 0, el nucleo de ρa es 0. Se sigue que ρa es sobreyectiva, y por tanto,
existe un elemento a′ ∈ A tal que a′a = ρa(a ′) = 1. Tenemos que a′ es el inverso de a por la

Definicion 1.30. Sean a y b elementos no nulos de un cuerpo F . Sea A un F -espacio vectorial
de dimension 4 con base 1, i, j, k y la multiplicacion de los elementos de la base definida por
las relaciones:
i2 = a, j2 = b, ij = −ji = k.
) .
Sean i, j, k cumpliendo las anteriores relaciones. Cuando a = b = −1, denotamos por H al
algebra de cuaterniones sobre los racionales que tiene la siguiente forma:
H = Q⊕Qi⊕Qj ⊕Qk.
Si F es un cuerpo de caracterstica cero, entonces tomamos la siguiente notacion:
H(F ) =
23
Lema 1.31. Para cada dos elementos no nulos a y b de F , ( a, b F
) es un algebra simple cuyo
centro es F .

Podemos escribir ( a, b F
) = A = F ⊕A+, donde A+ = iF ⊕ jF ⊕kF . Los elementos de A+ son
llamados cuaterniones puros. Para un elemento de A, x = c0 + z, con c0 ∈ F , z ∈ A+ definimos
el conjugado de x como x∗ = c0 − z. Podemos ver facilmente que si x, y ∈ A, d ∈ F entonces:
(x+ y)∗ = x∗ + y∗, (xy)∗ = y∗x∗, x∗∗ = x, d∗ = d.
Para x ∈ A definimos la norma como v(x) = xx∗. Si x = c0 + ic1 + jc2 + kc3 , entonces
v(x) = c2 0− ac2
1− bc2 2 + abc2
3. Ademas la norma conserva productos v(xy) = v(x)v(y), para todo
x, y ∈ A.
do A = ( a, b F
) es un algebra de division.
Teorema 1.32. Sea F un cuerpo. Las siguientes condiciones para un algebra de cuaterniones
A = ( a, b F
ii) x ∈ A\{0} implica v(x) 6= 0.
iii) Si (c0, c1, c2) ∈ F 3 satisfacen c2 0 = ac2
1 + bc2 2, entonces c0 = c1 = c2 = 0.
Demostracion. Por un lado, i) implica ii), ya que v(x)v(x−1) = v(xx−1) = v(1) = 1. Por
otro lado, i) es consecuencia de ii), porque si v(x) 6= 0, 1 = xx∗v(x)−1 = v(x)−1x∗x, ya que
xx∗ = x∗x = v(x). Si c2 0 = ac2
1 + bc2 2 con (c0, c1, c2) 6= (0, 0, 0), entonces x = c0 + ic1 + jc2 6= 0
y v(x) = 0. Por lo tanto, ii) implica iii). Finalmente, veamos que iii) implica ii). Supongamos
que v(x) = 0, donde x = d0 + id1 + jd2 + kd3. Entonces d2 0 − bd2
2 = a(d2 1 − bd2
24
proporciona d2 1− bd2
3 = 0 y, por lo tanto, d1 = d3 = 0 por la hipotesis de iii). As, d2 0− bd2
2 = 0,

Pasemos ahora a introducir notacion sobre cuerpos y extensiones de cuerpos.
Denotaremos por Fpn al cuerpo finito con pn elementos.
Dados dos cuerpos L y K con K ⊆ L, diremos que L/K es una extension de cuerpos . Si la
dimension de L como espacio vectorial sobre K es finita, digamos n, diremos que la extension
L/K es finita de grado n y lo denotaremos por [L : K] = dimK(L) = n.
Si L/K es una extension de cuerpos, un elemento α ∈ L se dira algebraico sobre K si existe
f ∈ K[X]\{0} tal que f(α) = 0. Para un elemento algebraico α ∈ L sobre K, al polinomio
monico irreducible f(X) en K[X] tal que f(α) = 0 se le llama polinomio mnimo de α sobre
K.
Definicion 1.33. Llamamos cuerpo de numeros a todo subcuerpo K de C que sea extension
finita de Q.
Si α ∈ C, denotamos por Q(α) al menor subcuerpo que es extension de Q y contiene a α.
Por el Teorema del Elemento Primitivo se tiene que:
Teorema 1.34. Si K es un cuerpo de numeros, entonces K = Q(α) para algun numero com-
plejo α.
Si K = Q(α) es un cuerpo de numeros, existen en general distintos monomorfismos de
cuerpos σ : K → C. El numero de estos monomorfismos es finito y coincide con el numero
de races del polinomio mnimo de α sobre Q. A las distintas races del polinomio mnimo se
les llama conjugados de α. Explcitamente, si [K : Q] = n y α1, . . . , αn ∈ C son las distintas
races del polinomio mnimo de α sobre Q, entonces los distintos homomorfismos de K en C
(tambien llamados inclusiones en los complejos) estan definidos por σi(α) = αi, extendiendo
por linealidad.
25
Sea L/K una extension de Galois. Denotamos al grupo de Galois de L/K por Gal(L/K).
El grupo de Galois esta formado por los K-automorfismos de L, es decir, por aquellos auto-
morfismos σ de L, de manera que σ(x) = x para todo x ∈ K.
Definicion 1.35. Diremos que una extension de Galois L/K es cclica si Gal(L/K) es cclico.
Y diremos que L/K es abeliana si Gal(L/K) es abeliano.
Sean L yK cuerpos de numeros tales que L/K es una extension finita de grado n y pongamos
L = K(α). Sean σi : L → C para i = 1, . . . , n las distintas inclusiones de L en los complejos
que dejan fijo cada elemento de K. Para cada β ∈ L, definimos la norma de β en la extension
L/K como
σi(β).
Como los σi son homomorfismos, tenemos que para cada α, β ∈ L,
NL/K(αβ) = NL/K(α)NL/K(β).
Si X es un subconjunto no vaco de L, utilizaremos la siguiente notacion:
NL/K(X) = {NL/K(x)|x ∈ X}.
Introducimos ahora la notacion referente a cuerpos ciclotomicos. Sea n ∈ N, llamaremos raz
n-esima de la unidad , a una raz del polinomio Xn − 1 en C. El conjunto formado por dichas
races, forman un grupo multiplicativo finito, y como todo subgrupo finito de los elementos no
nulos de un cuerpo es cclico, entonces el grupo formado por las races n-esimas de la unidad
es cclico. A cada generador de dicho grupo se le llama raz n-esima primitiva de la unidad .
Denotaremos por ζn siempre a una raz n-esima primitiva de la unidad. Si ζn es una raz
n-esima primitiva de la unidad, llamamos n-esimo cuerpo ciclotomico al cuerpo Q(ζn). Se tiene
que [Q(ζn) : Q] = (n), ya que el polinomio mnimo de ζn sobre Q es:
Φ(X) = ∏
que llamaremos n-esimo polinomio ciclotomico. A las extensiones del tipo Q(ζn)/Q las llama-
remos extensiones ciclotomicas de Q. En general, para un cuerpo F , diremos que F (ζn)/F es
una extension ciclotomica de F .
26
El siguiente es un resultado clasico que muestra el unico subcuerpo cuadratico del p-esimo
cuerpo ciclotomico para p un primo. Su prueba puede verse en [Jan73, Teorema I.9.3].
Teorema 1.36. Sea p un primo impar. Entonces el p-esimo cuerpo ciclotomico contiene exac-
tamente un subcuerpo cuadratico sobre Q, que es Q( √ ε(p)p), donde ε(p) = (−1)(p−1)/2.
Exponemos ahora un resultado que nos sera de utilidad.
Teorema 1.37. Sean p1, . . . , pn primos distintos entre s y F = Q( √ p1, . . . ,
√ pn). Sean
q1, . . . , qr cualquier otra coleccion de numeros primos distintos entre s y distintos a p1, . . . , pn.
Entonces se tiene que √ q1 · · · qr no pertenece a F .
Demostracion. Haremos la demostracion por induccion en n. Si n = 0, el resultado se cumple
ya que √ q1 · · · qr /∈ F = Q.
Por induccion, supongamos n ≥ 1, y supongamos tambien que √ q1 · · · qr no pertenece a
Q( √ p1, . . . ,
√ pn−1) para cualquier coleccion q1, . . . , qr de primos distintos entre s y distintos
de p1, . . . , pn−1.
Sean L = Q( √ p1, . . . ,
√ pn). Por reduccion al absurdo, supongamos que
√ q1 · · · qr ∈ F .
Como pn es primo y distinto de pi para cada 1 ≤ i ≤ n− 1, por hipotesis de induccion, √ pn
no pertenece a L, por lo que el X2 − pn es irreducible sobre L. As, [F : L] = 2 y una L-base
de F es {1, √pn}. Como hemos supuesto que √ q1 · · · qr ∈ F , entonces existen t0, t1 ∈ L tales
que √ q1 · · · qr = t0 + t1
√ pn. Estudiamos los distintos casos:
Si t1 = 0, entonces t0 = √ q1 · · · qr, que no es cierto por hipotesis de induccion.
Si t0 = 0, tenemos que √ q1 · · · qr = t1
√ pn, y por tanto
posible por hipotesis de induccion.
Si t0, t1 6= 0, entonces q1 · · · qr = t20 + 2t0t1 √ pn + t21pn, y entonces
√ pn =
∈ L

27
Definicion 1.38. Un anillo A se dice que es noetheriano si para cada sucesion de ideales
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · ,
existe un N ∈ N tal que para todo m > N se tiene Im = IN .
Sea ahora R un dominio entero con cuerpo de cocientes K, y sea A una K-algebra de
dimension finita. Diremos que α ∈ A es entero sobre R, si existe algun polinomio monico
f(X) ∈ R[X]\{0} tal que f(α) = 0. La clausura entera de R en A es el conjunto de todos
los elementos de A que son enteros sobre R. En el caso de que A sea conmutativo, entonces la
clausura entera de R en A es un subanillo de A. Un dominio entero R con cuerpo de cocientes
K se dice ntegramente cerrado si la clausura entera de R sobre K coincide con R.
Definicion 1.39. Si A es un anillo conmutativo. Un ideal p de A diremos que es primo, si
para cualesquiera a, b ∈ A se tiene:
ab ∈ p si y solo si a ∈ p o b ∈ p.
Un ideal m de A diremos que es maximal, si m 6= A, y si I es un ideal de A que contiene a m,
entonces se tiene:
I = m o I = A.
Definicion 1.40. Sea R un dominio entero. Se dice que R es un dominio de Dedekind si no es
un cuerpo y todo ideal propio no nulo de R se expresa de forma unica como producto de ideales
primos de R, salvo reordenacion de factores.
La siguiente proposicion caracteriza los dominios de Dedekind, las indicaciones para su
demostracion se encuentran en [Rei75, pag. 45].
Proposicion 1.41. Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio entero R:
i) R es un dominio de Dedekind.
ii) R es un dominio noetheriano ntegramente cerrado, tal que todo ideal primo no nulo de
R es un ideal maximal.
28
Definicion 1.42. Un numero complejo α se dice que es un entero algebraico si es entero sobre
Z.
Denotamos por A el conjunto de los enteros algebraicos de C. Tenemos entonces que A es
un subanillo de C. Dado un cuerpo de numeros K, denotamos por OK el subconjunto de K
formado por los enteros algebraicos de K. Llamamos anillo de enteros de K a OK , que es un
anillo ya que OK = A ∩K.
Lema 1.43. Si K es un cuerpo de numeros y α ∈ K, entonces para algun elemento no nulo
c ∈ Z se tiene cx ∈ OK.
Corolario 1.44. Si K es un cuerpo de numeros, entonces K = Q(α) para algun entero alge-
braico α.
Demostracion. Por el Teorema del Elemento Primitivo (Teorema 1.34), tenemos que para
algun numero algebraico θ ∈ C, se tiene que K = Q(θ). Por el Lema 1.43, α = cθ es un entero

Definicion 1.45. Sea K un cuerpo de numeros. Se denomina base entera de K (o de OK) a
cualquier Z-base de OK.
Un resultado importante en cuerpos de numeros, es que siempre existen bases enteras.
Teorema 1.46. Todo cuerpo de numeros K tiene una base entera, y el grupo aditivo OK es
libre abeliano de rango n = [K : Q].
Demostracion. Ver [Ste02, Teorema 2.16].

El siguiente es un resultado fundamental para el anillo de enteros de los cuerpos de numeros.
Teorema 1.47. El anillo de enteros OK de un cuerpo de numeros K cumple las siguientes
propiedades:
29
ii) Es noetheriano.
iii) Si α ∈ K es raz de un polinomio monico con coeficientes en OK, entonces α ∈ OK.
iv) Todo ideal primo no nulo de OK es maximal.
Demostracion. Ver [Ste02, Teorema 5.3].

Corolario 1.48. El anillo de enteros de un cuerpo de numeros es un dominio de Dedekind.

Teorema 1.49. Sean K un cuerpo de numeros y OK su anillo de enteros. Si I es un ideal no
nulo de OK, entonces |OK/I| es finito.
Demostracion. Por la existencia de bases enteras para los anillos de enteros de cuerpos de
numeros (Teorema 1.46), OK es un grupo abeliano libre de rango finito sobre Z considerando
la operacion aditiva.
Sean α un elemento no nulo de I y m = NK/Q(α). Como α ∈ OK , entonces 0 6= m ∈ Z.
Ademas, m ∈ I. En efecto, de la definicion de NK/Q, se sigue que m = αβ, donde β es producto
de K-conjugados de α. Dichos conjugados no estan necesariamente en K, sin embargo, β s lo
esta, ya que β = m/α ∈ K, y β es un entero algebraico debido a que el producto de enteros
algebraicos es un entero algebraico. Con esto hemos demostrado que I contiene un numero
entero no nulo m.

En el siguiente resultado, se determina el anillo de enteros de las extensiones ciclotomicas
de los racionales. Su prueba se encuentra en [Lan94, Teorema IV.4].
30
Teorema 1.50. Sean m un entero positivo y ζm una raz m-esima primitiva de la unidad.
Entonces OQ(ζm) = Z[ζm].
El siguiente teorema nos proporciona la manera explcita para descomponer un ideal de la
forma (p), para un numero primo p, en producto de ideales primos en un anillo de enteros de
un cuerpo de numeros de la forma O = Z[θ].
Teorema 1.51. Sea K un cuerpo de numeros de grado n con anillo de enteros OK = Z[θ]
generado por θ ∈ OK. Sea p un numero primo. Supongamos que el polinomio mnimo de θ
sobre Q es f , que da lugar la factorizacion en irreducibles sobre Fp[X]:
f = f e11 · · · f err
donde las barras denotan la proyeccion natural π : Z[X] −→ Fp[X]. Entonces, si fi ∈ Z[X] es
cualquier polinomio monico tal que π(fi) = fi, el ideal
pi = (p , fi(θ))
es primo y la factorizacion en primos de (p) en OK es
(p) = pe1i · · · perr .
Demostracion. Sea θi una raz de fi en Fp[θi] ∼= Fp[X]/(fi). Hacemos uso de la aplicacion
natural νi : Z[θ] −→ Fp[θi] dada por
νi(g(θ)) = g(θi),
para todo g ∈ Z[X]. La imagen de νi es Fp[θi], que es un cuerpo, as que ker(νi) es un ideal
primo de Z[θ] = OK . Claramente
(p , fi(θ)) ⊆ ker(νi).
Pero si g(θ) ∈ ker(νi), entonces g(θi) = 0. As que g = fih para algun h ∈ Fp[X]. Lo que
significa que g − fih ∈ Z[X] tiene coeficientes divisibles por p. Por lo tanto
g(θ) = (g(θ)− fi(θ)h(θ)) + fi(θ)h(θ) ∈ (p, fi(θ)),
31
pi = (p , fi(θ)),
entonces para cada fi el ideal pi es primo y satisface (p) ⊆ pi, es decir pi aparece en la
factorizacion en ideales primos de (p) en OK .
Para cualesquiera ideales I, J, S se tiene que
(I + J)(I + S) ⊆ I + JS,
as que por induccion,
⊆ (p , f(θ))
= (p).
Entonces pe11 · · · perr ⊆ (p), y los unicos factores de (p) son p1, . . . , pr, por lo que
(p) = pk11 · · · pkrr , (∗)
donde 0 < ki ≤ ei para i = 1, . . . , r. Usando los isomorfismos para cada i,
OK/pi = Z[θ]/pi ∼= Fp[θi],
deducimos que
|Fp[θi]| = pdi ,
donde di es el grado del polinomio fi, o equivalentemente el grado de fi. Tambien
|OK/(p)| = pn,
k1 1 | · · · |OK/p
kr r | = |OK/p1|k1 · · · |OK/pr|kr ,
por el Teorema Chino de los Restos y debido a que OK/p ∼= pn−1/pn como OK/p-modulos. Por
lo tanto, se tiene la igualdad:
d1k1 + · · ·+ drkr = n = d1e1 + · · ·+ drer,
32

Teora de Grupos finitos
2.1. Grupos de Frobenius
En este captulo vamos a revisar tres temas avanzados de Teora de Grupos finitos que
seran necesarios en el captulo final cuando veamos la demostracion de la clasificacion de los
subgrupos finitos de anillos de division. El primero de ellos es el de los grupos de Frobenius y
sobre todo, de los complementos de Frobenius. El segundo es la caracterizacion de los grupos
cuyos subgrupos de Sylow son todos cclicos. El tercero recoge algunas propiedades de los grupos
finitos nilpotentes y de los grupos resolubles que serviran para la demostracion del Teorema
4.19. Para la elaboracion de este captulo se han seguido [Pas68], [Hal63] y [Rob96].
Definicion 2.1. Sea G un grupo transitivo en el conjunto A con |A| = n. Decimos que G es
un grupo de Frobenius de grado n si Ga 6= 1, pero Ga, b = 1 para todo a, b ∈ A con a 6= b.
Un complemento de Frobenius es un grupo de la forma Ga para G un grupo de Frobenius.
Los grupos de Frobenius contienen siempre un subgrupo normal cuyo orden es coprimo
con su ndice. La demostracion de la existencia es tecnica y puede verse en [Rob96, 8.5.4
(Wieland)], tomando como caso particular de dicho teorema K = 1. El siguiente resultado es
su consecuencia.
34
Teorema 2.2. Si G es un grupo finito con un subgrupo H tal que H ∩ Hx = 1 para todo
x ∈ G\H, entonces N = G\∩x∈G(H\1)x es un subgrupo normal de G de manera que G = HN
y H ∩N = 1.
Si G es un grupo de Frobenius actuando sobre el conjunto A, entonces G cumple las condi-
ciones del Teorema 2.2, para H = Ga para cualquier a ∈ A. Con la notacion del Teorema 2.2,
llamamos a N el nucleo de Frobenius .
El nucleo de Frobenius de un grupo de Frobenius es un subgrupo de Hall por [Pas68,
Proposicion 17.2].
Teorema 2.3. (Thompson) El nucleo de Frobenius de un grupo de Frobenius es nilpotente.
Demostracion. Ver [Pas68, Teorema 17.4].

Proposicion 2.4. Sea G un grupo de permutacion en un conjunto A y sea N un subgrupo
normal regular de G. Si a ∈ A, entonces la representacion de permutacion de Ga en A\{a}
y la representacion de permutacion de Ga en N# inducida por conjugacion (actuando por la
izquierda) son equivalentes mediante la biyeccion proporcionada por φ : N# → A\{a} con
φ(g) = g(a) para g ∈ N#.
Demostracion. Como N es regular, existe una correspondencia entre los elementos de N# y
los elementos de A\{a} dada por φ : N# → A\{a}, φ(g) = g(a) para g ∈ N#. Veamos que φ es
una biyeccion. Por un lado, como N es un subgrupo regular, y por lo tanto transitivo, tenemos
que φ es sobreyectiva. Para la inyectividad supongamos que g, h ∈ N# cumplen φ(g) = φ(h),
es decir, que g(a) = h(a), pero entonces gh−1(a) = a y por lo tanto gh−1 ∈ Na. Tenemos como
consecuencia la inyectividad de φ puesto que N es tambien semirregular y Na = 1.
Si b = φ(g) para g ∈ N# y x ∈ Ga, entonces el resultado se sigue de
φ(xgx−1) = xgx−1(a) = x(b).

35
Definicion 2.5. Sean V un grupo abeliano y G un grupo actuando en V por automorfismos.
Denotamos por LV (G) al conjunto de elementos en V que quedan invariantes por todos los
elementos de G, es decir:
LV (G) = {v ∈ V | gv = v para todo g ∈ G}.
En lo que sigue, hablaremos de grupos que son union disjunta de subgrupos, entendiendo
por esto, que la interseccion de cada dos subgrupos distintos es el subgrupo trivial 1.
Proposicion 2.6. Sea G un grupo que es union disjunta de t+ 1 subgrupos H0, H1, . . . , Ht de
G. Supongamos que G actua en un grupo abeliano aditivo V . Entonces (t · IdV )(V ) = 0, o
para algun i tenemos LV (Hi) 6= 0.
Demostracion. Supongamos que tenemos el homomorfismo α : G → Aut(V ) asociado a la
accion de G en V . Denotamos por σ la aplicacion que asocia a cada subgrupo H de G el
endomorfismo σH de V dado por σH = ∑ g∈H
α(g). Supongamos ahora que σHi 6= 0 para algun
i. Si v ∈ V es un elemento tal que σHi(v) 6= 0, entonces σHi(v) ∈ LV (Hi). As que, podemos
asumir para todo i que σHi = 0. Por la misma razon, podemos asumir que σG = 0. Y debido a
que G# = ∪H# i como union disjunta, tenemos que t · IdV = (
t∑ i=0
(t · IdV )(V ) = 0.
La siguiente proposicion servira para concretar propiedades de los subgrupos finitos de
anillos de division. Su prueba la podemos encontrar en [Pas68, Proposicion 9.5].
Proposicion 2.7. Sea G un p-grupo que no es cclico, diedrico, semidiedrico o cuaternion.
Entonces G tiene un subgrupo normal abeliano isomorfo a Z/pZ× Z/pZ.
Corolario 2.8. Un p-grupo G contiene exactamente un subgrupo de orden p si y solo si es
cclico, o p = 2 y G es cclico o cuaternion.
Demostracion. Si G contiene un unico subgrupo de orden p, G no puede contener subgrupos
isomorfos a Z/pZ×Z/pZ. Por la Proposicion 2.7, G es cclico, diedrico, semidiedrico o cuater-
nion. Por la estructura de cada uno de los grupos anteriores, vamos a ver que G es cclico o
36
cuaternion, pues en los casos diedrico o semidiedrico, G sera un 2-grupo con varios subgrupos
isomorfos a Z/2Z. Supongamos que G es diedrico con la presentacion G = r, s | rn = s2 =
1, rs = r−1. Como |G| = 2n, entonces n = 2t para algun t ≥ 2. El grupo G tiene como sub-
grupos de orden 2 a r2t−1 y s que son distintos entre s, lo que es una contradiccion sobre
las hipotesis del grupo G. Supongamos ahora que G es semidriedrico, y tomemos entonces la
presentacion usual G = r, s | r2n−1 = s2 = 1, rs = r2n−2−1 para n ≥ 3, pues en otro caso el
resultado es obvio. En este caso, r2n−2 y s son dos subgrupos de G distintos de orden 2, lo
que es una contradiccion.
Supongamos ahora que G es un p-grupo cclico o cuaternion. Claramente un p-grupo cclico
tiene un unico subgrupo de orden p. Suponemos entonces que G es cuaternion con p = 2 y
tomamos la presentacion G = a, b| a2t−2 = b2, b4 = 1, ab = a−1. Sea w ∈ G de orden 2. Si
w ∈ a entonces w = a2t−2 . Si w /∈ a, entonces w = aib para algun i = 0, . . . , 2t−1 − 1. Por
lo tanto, 1 = w2 = aibaib = aib2(b−1aib) = aib2a−i = b2 = a2t−2 , una contradiccion. Por lo que
G tiene un unico elemento de orden 2.

Definicion 2.9. Sea p es un numero primo. Un grupo abeliano que es producto directo de
subgrupos de orden p lo llamaremos p-grupo elemental abeliano.
Recordemos que si G es un grupo de Frobenius actuando en un conjunto no vaco A, y
a ∈ A, entonces a los subgrupos Ga de G los llamamos complementos de Frobenius.
Teorema 2.10. Sea G un complemento de Frobenius y sean p y q dos numeros primos distintos.
Se tienen los siguientes resultados:
Todo subgrupo de G de orden pq es cclico.
Si p > 2, los p-subgrupos de Sylow de G son cclicos. Si p = 2, los 2-subgrupos de Sylow
de G son cclicos o cuaterniones.
Demostracion. Sea L un grupo de Frobenius teniendo G como complemento y sea N el nucleo
de Frobenius. El nucleo de Frobenius es un subgrupo de Hall, nilpotente y normal de L. Sea r un
37
divisor primo de |Z(N)| (ya que Z(N) 6= 1 por la demostracion del Teorema de Thompson)
y sea V = {x ∈ Z(N)|xr = 1}. As V 6= 1 es un r-grupo elemental abeliano que es invariante
por conjugacion en G. Por la Proposicion 2.4, G actua semirregularmente en N# y por lo tanto
en V #. Si H ≤ G, tambien H actua semirregularmente en V # y por supuesto r - |H|. Por la
Proposicion 2.6, no podemos escribir H como la union disjunta de t+ 1 subgrupos, salvo si r|t.
Supongamos entonces que H es un subgrupo de orden pq con q > p y supongamos tambien
que H no es cclico. Vamos a ver que H es la union disjunta de un subgrupo de orden q y q
subgrupos de orden p. Por los Teoremas de Sylow (Teorema 1.7), si denotamos por nq el numero
de q-subgrupos de Sylow de H de orden q, tenemos que
nq ≡ 1 mod q, nq|p.
Teniendo en cuenta los divisores de p, tenemos que nq = 1, pues si nq = p, llegamos a la
contradiccion nq ≡ 1 mod q, ya que q > p. Entonces, H contiene un unico subgrupo de orden
q, que sera cclico y normal. Por la misma razon, si denotamos np al numero de subgrupos de
H de orden p y aplicando otra vez los Teoremas de Sylow, tenemos
np ≡ 1 mod p, np|q.
Si np = 1, H contendra tambien un unico subgrupo cclico y normal de orden p y tendramos
que H sera cclico, llegando a una contradiccion. Por lo que np = q, es decir, que H tiene q
subgrupos de orden p, todos conjugados entre s. Dichos q grupos son claramente disjuntos dos
a dos y tambien cada uno de ellos es disjunto con el unico grupo de orden q. Con todo esto
llegamos a una contradiccion, ya que r - q.
Sea ahora P un p-subgrupo de Sylow de G, y sea Z un subgrupo central de P de orden p.
Si P contiene otro subgrupo W de orden p, entonces P contiene ZW , un subgrupo abeliano

El siguiente resultado, tiene una demostracion muy tecnica y elaborada que no pondremos
aqu y simplemente utilizaremos el resultado. El teorema es debido a Zassenhaus, y nos acota
en gran medida la estructura de los complementos de Frobenius no resolubles.
38
Teorema 2.11. (Zassenhaus) Sea G un complemento de Frobenius no resoluble. Entonces G
tiene un subgrupo normal G0 con [G : G0] = 1 o 2, tal que G0 = SL(2, 5)×M con M un grupo
metacclico de orden coprimo a 30.
Demostracion. Ver [Pas68, Teorema 18.6].

2.2. Grupos con subgrupos de Sylow cclicos
En esta seccion estudiaremos en primer lugar una generalizacion del Teorema de Frobenius
sobre el numero de soluciones de ecuaciones de la forma xn = c para c recorriendo una clase
de conjugacion de un grupo finito G. Desarrollaremos las herramientas necesarias para poder
demostrar que un grupo finito G que tiene todos sus subgrupos de Sylow cclicos, es metacclico,
y de hecho, se puede expresar como un producto semidirecto de grupos cclicos.
Teorema 2.12. Sean G un grupo de orden α, C una clase de conjugacion de G de cardinal β
y n ∈ N. El numero de elementos x ∈ G tales que xn ∈ C, es un multiplo de m.c.d.(βn, α).
Demostracion. Sea K un subconjunto de G. Definimos A(K, n) = {g ∈ G|gn ∈ K} y
a(K, n) = |A(K, n)|. Para α = 1 el resultado es trivial, y para n = 1 el numero de soluciones
es β = m.c.d.(β, α).
Para demostrar el teorema haremos induccion en α y n, asumiendo el teorema valido para
cualquier valor menor que n y para cualquier grupo de orden menor que α.
Si c′ = u−1cu y xn = c, entonces (u−1xu)n = c′, proporcionando una correspondencia entre
las soluciones para un elemento c y cualquiera de sus conjugados. Por lo tanto, tenemos que
a(C, n) = βa({c}, n).
Si xn = c, entonces x−1cx = x−1xnx = xn = c. Por tanto A({c}, n) ⊆ CG(c), el cual es de
orden α/β. Por lo que, si β > 1 el teorema sigue siendo cierto en CG(c) y aplicando la hipotesis
39
de induccion, a({c}, n) es un multiplo de m.c.d.(n, α/β), as que, a(C, n) = βa({c}, n), es un
multiplo de β ·m.c.d.(n, α/β) = m.c.d.(βn, α), siendo cierto el teorema tambien en este caso.
Por lo tanto, supongamos que β = 1, es decir, que el elemento c pertenece al centro de
G. Si n = n1n2, con m.c.d.(n1, n2) = 1, n1 > 1 y n2 > 1, y si D = A(C, n2), entonces
A(C, n) = A(D,n1). D es union de clases de conjugacion. Como n1 y n2 son divisores propios
de n, m.c.d.(n1, α) es un divisor propio de a(C, n), y tambien, m.c.d.(n2, α) es un divisor
propio de a(C, n). Pero como m.c.d.(n1, n2) = 1, se tiene que m.c.d.(n1, α) y m.c.d.(n2, α) son
relativamente primos, su producto m.c.d.(n1, α)m.c.d.(n2, α) = m.c.d.(n1n2, α) = m.c.d.(n, α)
divide a a(C, n) probando el teorema en este caso.
Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que n no tiene factores primos distintos, y
que es de la forma n = ps, para p un primo. Si p divide el orden u de c, entonces un elemento
x en A({c}, n) tiene orden nu. Exactamente n elementos del grupo cclico x pertenecen a
A({c}, n), y todos generan el mismo subgrupo. Por lo que a({c}, n) es divisible por n.
Supongamos que n = ps, con p primo, es relativamente primo al orden u de c. Como β = 1,
c esta en el centro de G. Los elementos en el centro de G cuyos ordenes no son divisibles por p
forman un grupo abeliano B cuyo orden b no es divisible por p. Sean c1 y c2 dos elementos de
B. Como p - b la ecuacion c1 = c2y n tiene una unica solucion y en B. Pero entonces si xn = c1,
tenemos (xy)n = c2 y as a({c}, n) tiene el mismo valor para todo c ∈ B. Se tiene entonces que
a(B, n) = ba({c}, n), para c ∈ B.
Finalmente, sean c ∈ Z(G), y C recorriendo las distintas clases de conjugacion en G. Se
tiene que:
C∩B=∅
a(C, n).
La anterior expresion, cuenta todos los elementos de G teniendo en cuenta a que clase de conju-
gacion pertenecen sus respectivas n-esimas potencias. Ahora m.c.d.(n, α) divide todo termino
a(C, n) del sumatorio, ya que todos los casos posibles de C han sido estudiados. Tambien, co-
mo m.c.d.(n, α) divide a α y m.c.d.(n, α) es coprimo con b, se sigue que m.c.d.(n, α) divide

40
Si c es la identidad en el Teorema 2.12, entonces β = 1 y tenemos la forma original del
Teorema de Frobenius:
Corolario 2.13. Si n es un divisor del orden de un grupo G, entonces el numero de soluciones
de xn = 1 en G es un multiplo de n.
Teorema 2.14. Un grupo G de orden finito es resoluble si y solo si los factores de toda serie
de composicion de G son cclicos de orden primo.
Demostracion. Supongamos que G = A0 A1 · · ·Ar = 1 es una serie de composicion de
G, donde Ai−1/Ai es cclico de orden primo para todo i = 1, . . . , r. Como G/A1 es abeliano,
tenemos que A1 ⊇ G′ por la Proposicion 1.9. Inductivamente se tiene que Ar ⊇ G(r) = 1, por
lo que G es resoluble.
Por otro lado, supongamos que G es resoluble y finito. Como G/G′ es abeliano y G′ 6= G,
existe un subgrupo A1 normal maximal de G tal que A1 ⊇ G′. Como G/A1 es simple y abeliano,
entonces es cclico de orden primo. Otra vez, como A1 es resoluble por el Teorema 1.12, A1
contiene un subgrupo normal maximal A2 tal que A2 ⊇ A′1. As A1/A2 es abeliano y simple, y
por tanto de orden primo. Inductivamente, obtenemos G = A0 A1 · · ·Ar = 1 con Ai−1/Ai
cclico de orden primo para todo i = 1, . . . , r + 1. Por el Teorema de Jordan-Holder lo mismo
es cierto para toda serie de composicion.

Teorema 2.15. Sea G un grupo. Si dos factores consecutivos de la serie derivada G, digamos
G(i)/G(i+1) y G(i+1)/G(i+2) son cclicos, entonces G(i+1)/G(i+2) = 1.
Demostracion. Teniendo en cuenta la igualdad (G(i)/G(n))′ = G(i+1)/Gn para i < n, podemos
tomar sin perdida de generalidad G′′′ = 1 tomando G′/G′′ y G′′/G′′′ cclicos. Debemos mostrar
que G′′ = 1.
Sea b un generador de G′′. Ahora G es el normalizador de G′′, y CG(b) es el centralizador de
G′′. Luego G/CG(b) es isomorfo a un subgrupo del grupo de automorfismos de un grupo cclico,
as que es abeliano. Por lo tanto CG(b) ⊇ G′. Pero entonces G′′ esta contenido en el centro de
G′ y G′/G′′ es cclico. Y entonces G′ es abeliano, as que G′′ = 1.
41
El siguiente teorema sera de especial relevancia, pues proporcionara la estructura de uno de
los tipos de subgrupos de anillos de division.
Teorema 2.16. Si los subgrupos de Sylow de un grupo finito G de orden k son todos cclicos,
entonces G es metacclico y esta generado por dos elementos a y b con G = a o b y las
relaciones:
mn = k,
rn ≡ 1 mod m.
Por otro lado, un grupo dado por estas relaciones cumple que todos sus subgrupos de Sylow son
cclicos.
Demostracion. Sea k = pe11 · · · pess , donde p1 < p2 < · · · < ps, es la descomposicion de k en
primos. Vamos a demostrar primero que para m = p fj j p
ej+1
tiene exactamente m soluciones.
Esto es cierto para m = k. Por lo tanto, es suficiente mostrar que si xmp = 1 tiene exacta-
mente m soluciones y p es el menor primo que divide a mp, entonces xm = 1 tiene exactamente
m soluciones.
Supongamos pues que m = pfh con p - h, y que pm|k y la ecuacion xpm = 1 tiene exac-
tamente pm soluciones en G. Como pf+1| |G| y los p-subgrupos de Sylow de G son cclicos, G
tiene un elemento de orden pf+1. Por el Teorema 2.12, la ecuacion xm = 1 tiene lm soluciones
en G, para algun l ∈ N. Como todas ellas son soluciones de xpm = 1, entonces 1 ≤ l ≤ p. Pero si
l = p, entonces G no tendra elementos de orden pf+1. Luego l < p. Un elemento que satisface
xmp = 1 pero no xm = 1 tiene orden t, con pf+1|t, y en el grupo que genera dicho elemento,
habra (t) elementos, todos generando el mismo grupo cclico, y todos con orden divisible por
pf+1.
Como pf+1 divide t, (t) es divisible por p−1. Por lo tanto, sea X el conjunto de elementos
que satisfacen xpm = 1 pero no xm = 1. Se tiene que |X| = pm − lm = (p − l)m. Definimos
42
la relacion de equivalencia en X, para x, y ∈ X, dada por x ∼ y si y solo si x = y.
Claramente la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X de orden t tiene (t) elementos,
que es divisible por p− 1, as que todas las clases tienen orden divisible por p− 1, y entonces
(p − 1)| |X| = (p − l)m. Como p era el menor primo que divide m, p − 1 no tiene factores
comunes con m, as p − 1 divide a p − l, y como 1 ≤ l < p tenemos que l = 1. Esto es, la
ecuacion xm = 1 tiene exactamente m soluciones como queramos ver.
En particular, para m = pess , xm = 1 tiene exactamente m soluciones. Pero existe un
subgrupo de Sylow de ese orden, que debe ser por tanto un subgrupo normal de G. Este es
cclico.
Hemos mostrado que un grupo G para el cual todos sus subgrupos de Sylow son cclicos
debe tener un subgrupo propio normal cclico H, con |H| y [G : H] coprimos. Entonces H y
G/H tienen tambien subgrupos de Sylow cclicos. Podemos asumir inductivamente que H y
G/H son resolubles, y as, G es resoluble.
Un grupo abeliano cuyos subgrupos de Sylow son cclicos es tambien cclico. Por tanto, en
G ⊃ G′ ⊃ G′′ ⊃ · · · , los factores son cclicos y por lo tanto, por el Teorema 2.15, G′′ = 1. Si
G′ = 1, entonces G es cclico y este caso esta cubierto si tomamos b = 1, r = 1, n = 1, m = k.
Por lo tanto, supongamos G′ 6= 1, y sea a un generador de G′ con a de orden m. Sea b un
elemento de una clase G′b que sea un generador del factor cclico G/G′. Aqu a y b generan G y
b−1ab = ar con r ∈ N, ya que G′ es un subgrupo normal de G. Si r = 1, G sera abeliano y por
lo tanto cclico, lo que contradice la hipotesis, y entonces r 6= 1. Si G/G′ es de orden n entonces
b−nabn = ar n
= a y por tanto rn ≡ 1 mod m. Ahora, todo elemento de G es de la forma bjai,
y el conmutador mas general (buav, bjai) puede ser expresado en terminos de conmutadores de
la forma (ak, bt), ya que
(buav, bjai) = a−vb−ua−ib−jbuavbjai = a−v(b−ua−ibu)(b−javbj)ai
= a−v(b−javbj)(b−ua−ibu)ai = (av, bj)(bu, ai).
A su vez, un conmutador de la forma (ak, bt) se expresa de la forma a(r−1)h para algun h ∈ N,
pues (ak, bl) = a−kb−lakbl = ak(rl−1), y (r − 1)|(rl − 1). Por lo tanto ar−1 = (a, b) genera G′ y
m.c.d.(r − 1, m) = 1. Ahora bien, bn ∈ G′ es una potencia aj de a que permuta con b, por lo
que arj = aj (pues arj = (ar)j = (b−1ab)j = aj), pero ya que m.c.d.(r− 1, m) = 1, se tiene m|j,
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y por tanto bn = 1.
Si m y n tienen un factor p en comun, am/p, bn/p es un subgrupo de G no cclico de orden
p2, pues (am/p)b m/p
= (am/p)r m/p ∈ am/p, contrariando el hecho de que los subgrupos de Sylow
son cclicos. Por lo tanto m.c.d.(m,n) = 1. Esto completa la parte directa de la prueba.
Para la otra implicacion del teorema, si G = a o b, y se cumplen las condiciones que
aparecen en el enunciado del teorema, entonces cada subgrupo de Sylow de G es conjugado a

2.3. Grupos nilpotentes y grupos resolubles
Esta seccion recoge algunos resultados que seran de utilidad para el Teorema 4.19.
Definicion 2.17. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Decimos que H es un subgrupo
caracterstico de G, si α(H) ≤ H para todo α ∈ Aut(G).
El siguiente resultado proporciona distintas caracterizaciones para grupos finitos nilpotentes.
Su prueba puede verse en [Rob96, 5.2.4].
Teorema 2.18. Las siguientes propiedades son equivalentes para un grupo finito G:
i) G es nilpotente.
iii) Todo subgrupo maximal de G es normal en G.
iv) Todo subgrupo de Sylow de G es normal en G.
v) G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.
Teorema 2.19. Supongamos que G es un grupo finito, con G = MN para M, N G. Si M y
N son nilpotentes, entonces G es nilpotente.
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Demostracion. Sea p un divisor primo de |G|. Supongamos que p divide a |M ∩N |. Si P es
un p-subgrupo de Sylow de M ∩ N , P se extiende de forma unica a p-subgrupos de Sylow P1
y P2 de M y N respectivamente por el Teorema 2.18, ya que M y N son grupos nilpotentes
finitos. El subgrupo P1P2 de G, es de hecho, un p-subgrupo de Sylow de G. Como P1 y P2
son subgrupos caractersticos de M y N respectivamente, el grupo P1P2 es normal en G, y por
tanto, es el unico p-subgrupo de Sylow de G.
Si p no divide a |M ∩N |, para un p-subgrupo de Sylow Q de G, se tiene que Q∩M y Q∩N
son p-subgrupos de Sylow de M y N respectivamente. Por tanto, Q es normal en G, ya que
Q = (Q ∩M)(Q ∩N). De esta manera, G tiene un unico p-subgrupo de Sylow.

Si G es un grupo. Se llama subgrupo de Fitting al subgrupo de G generado por todos los
subgrupos de G que son normales y nilpotentes. Como consecuencia del Teorema 2.19, para
grupos finitos, podemos dar la siguiente definicion equivalente.
Definicion 2.20. Sea G un grupo finito. Llamamos subgrupo de Fitting de G, y lo denotamos
por Fit(G), al mayor subgrupo normal nilpotente de G.
Claramente, el penultimo subgrupo de la serie derivada de un grupo resoluble es nilpotente.
Luego, si G es resoluble entonces Fit(G) 6= 1.
En vista del Teorema 2.18, el subgrupo de Fitting de un grupo finito es producto directo de
sus subgrupos de Sylow.
Teorema 2.21. Sea G un grupo resoluble y sea N un subgrupo normal minimal de G. Entonces
existe un numero primo p, tal que N es un subgrupo p-elemental abeliano de G.
Demostracion. Como N ′ es un subgrupo caracterstico de N , entonces N ′ G. As que, por
la minimalidad de N y teniendo en cuenta que N ′ 6= N pues N es resoluble, se tiene N ′ = 1,
luego N es abeliano.
Sea p| |N |. Consideremos el conjunto {x ∈ N |xp = 1}. Dicho conjunto es un subgrupo
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caracterstico de N , luego es normal en G y como no es trivial, debe coincidir con N . As que
N es un subgrupo p-elemental abeliano de G.

Teorema 2.22. Sea G un grupo resoluble. Entonces CG(Fit(G)) ≤ Fit(G).
Demostracion. Supongamos que CG(Fit(G)) Fit(A) y sea A = Z(Fit(G)) < CG(Fit(G)).
Sea H minimal en cuanto a ser un subgrupo normal de G contenido en CG(Fit(G)) y conte-
niendo propiamente en A. Entonces H/A es un subgrupo normal minimal de G/A, luego por el
Teorema 2.21, H/A es abeliano. As H ′ ≤ A y (H ′, H) = 1, por lo que H es nilpotente, luego

Definicion 2.23. Un grupo G diremos que es superresoluble, si tiene una serie normal:
1 = G0 G1 · · ·Gr = G,
de manera que Gi es normal en G y Gi/Gi−1 es cclico para todo i = 1, . . . , r.
Es facil ver que todo grupo nilpotente finito es superresoluble.
El siguiente resultado sobre grupos superresolubles, corresponde con [Rob96, 5.4.9].
Teorema 2.24. Los elementos de orden impar de un grupo superresoluble forman un subgrupo
caracterstico de G.
Teora de Algebras de dimension finita
En este captulo vamos a ver diferentes resultados sobre algebras de dimension finita. Em-
pezaremos introduciendo el grupo de Brauer de un cuerpo, fijando la notacion y recogiendo
algunos resultados. Continuamos desarrollando la Teora de Valoraciones necesaria para nues-
tro estudio. Dedicaremos una seccion para calcular el ndice de ramificacion y el grado residual
de extensiones ciclotomicas de Q. Posteriormente, se introduce el producto cruzado para estu-
diar propiedades de las algebras cclicas. Sobre Qp, estudiamos su estructura multiplicativa y los
ndices de ramificacion y grados residuales en sus extensiones ciclotomicas. La ultima seccion
contiene una prueba del Teorema de Wedderburn. Para la realizacion de este captulo, se han
seguido [Rei75], [Pie82], [Jac80], [Wei63], [Ser73], [Ser79], [Lam80], [Lan94], [Cas67] y [Jan73].
3.1. El grupo de Brauer
En esta seccion introducimos una relacion de equivalencia en la clase de las F -algebras
centrales simples de dimension finita. De esta manera, se define el grupo de Brauer de un
cuerpo, estudiando algunas propiedades. Se estudia tambien el ndice de Schur y el exponente.
Supongamos que F es un cuerpo y que A es una F -algebra simple. El centro Z(A) es un
subcuerpo de A, as que podemos considerar Z(A)/F como una extension de cuerpos. Ademas,
si la dimension de A sobre F es finita, tendremos que la extension Z(A)/F es finita. Un caso
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especial es cuando Z(A) = F , en cuyo caso diremos que A es una F -algebra central . Claramente
todo algebra es central sobre su centro. Denotamos por S(F ) a la clase de todas las F -algebras
de dimension finita que son centrales y simples.
Definimos una relacion de equivalencia en S(F ) dada por las siguientes condiciones equiva-
lentes ([Pie82, Lema 12.5]):
i) Existe un anillo de division D ∈ S(F ) y enteros positivos n y m tales que A ∼= Mn(D)
y B ∼=Mm(D).
ii) Existen enteros positivos r y s tales que A⊗F Mr(F ) ∼= B ⊗F Ms(F ).
Diremos que dos algebras A, B ∈ S(F