Jesus Hern andez Gil - um.es

FACULTAD DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD DE MURCIA

TRABAJO FIN DE MASTER

MASTER EN MATEMATICA AVANZADA Y PROFESIONAL

Subgrupos finitos de anillos de division

Jesus Hernandez Gil

Director: Angel del Rıo Mateos

Codirector: Osnel Broche Cristo

CURSO ACADEMICO 2014/2015

Mi mas sincero agradecimiento a Angel del Rıo Mateos

por haberme guiado y ayudado a lo largo de este trabajo.

No solo agradezco su ayuda, sino tambien el esfuerzo que

ha puesto en mı y en mis problemas. Agradezco tambien

a Osnel Broche Cristo por haber asentado una perspecti-

va de estudio adecuada. Por ultimo, agradezco a Adolfo

Ballester-Bolinches y Enric Nart, que me sacaron de serios

apuros.

i

A Ana

A mis padres Jesus y Elena

A mi hermano David

ii

Indice general

Resumen 1

Abstract 2

Introduccion 3

1. Notacion y primeros resultados 8

1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Teorıa de Grupos finitos 34

2.1. Grupos de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Grupos con subgrupos de Sylow cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3. Grupos nilpotentes y grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Teorıa de Algebras de dimension finita 47

3.1. El grupo de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Valoracion, ındice de ramificacion y grado residual . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Indice de ramificacion y grado residual en cuerpos ciclotomicos . . . . . . . . . . 61

3.4. Producto cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5. El cuerpo de los numeros p -adicos Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

iii

3.6. Teorema de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4. Subgrupos finitos de anillos de division 81

4.1. Clasificacion de los Z-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2. Clasificacion de los subgrupos de anillos de division con 2-subgrupos cuaterniones 93

Notacion 108

Indice alfabetico 112

Bibliografıa 115

iv

Resumen

Este Trabajo de Fin de Master trata sobre la clasificacion de los subgrupos finitos del grupo

multiplicativo formado por los elementos no nulos de un anillo de division. Esta clasificacion,

fue inicialmente planteada por I. N. Herstein, dando una solucion parcial en [Her53] y fue

resuelta completamente por S. A. Amitsur en [Ami55] en el ano 1955. En los primeros capıtulos

del presente documento, se recopilan y desarrollan, los resultados necesarios para estudiar la

clasificacion de S. A. Amitsur, que esta totalmente desarrollada en el Capıtulo 4.

Los capıtulos centrales del documento, tratan aquellos resultados necesarios para la clasifi-

cacion. En primer lugar, se desarrolla Teorıa de Grupos finitos especıfica. Esto es, se estudian los

grupos de Frobenius, y en particular los complementos de Frobenius. Tambien se estudia la es-

tructura de aquellos grupos que tienen todos sus subgrupos de Sylow cıclicos. En segundo lugar,

se hace lo propio en Teorıa de Algebras de dimension finita, introduciendo el grupo de Brauer,

producto cruzado, Teorıa de Valoraciones y Teorema de Wedderburn. Tambien se estudia el

cuerpo de los numeros p-adicos Qp, pues tiene un papel relevante en algunas demostraciones.

La clasificacion se estructura de la siguiente forma. Primeramente, se clasifican los subgrupos

de anillos de division con caracterıstica p > 0, debida a I. N. Herstein. La parte complicada

de la clasificacion es cuando consideramos anillos de division con caracterıstica cero. En este

caso, dividimos el estudio en dos casos, dependiendo de las propiedades de un subgrupo G

de un anillo de division D: cuando todos los subgrupos de Sylow de G son cıclicos (llamados

Z-grupos) y cuando los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones.

1

Abstract

In this dissertation we study the classification of finite subgroup of the multiplicative group

of the nonzero elements of a division ring. This problem was initially raised by I. N. Herstein

giving a partial solution in [Her53] and was completely solved by S. A. Amitsur in [Ami55]

in 1955. In this document, the necessary background is collected and developed in the first

chapters. The classification of Amitsur is fully developed in Chapter 4.

The central chapters of the document develop several results required for the classification.

First, we develop specific theory of finite groups. More precisely, we study Frobenius groups, and

particularly Frobenius complements. Also, we study the structure of those groups that have all

Sylow subgroup cyclic. Then we review the theory of finite dimensional algebras, introducing

the Brauer group, crossed product and Wedderburn Theorem. The p-adic fields Qp are also

studied, because it have a relevant role in some proofs.

The classification is structured as follows. First, we classify the subgroup of division ring

with characteristic p > 0. This is a result due to I. N. Herstein. The most difficult part is when

we consider division rings with characteristic zero. For this, we divide the study into two cases,

depending on the properties of a subgroup G of a division ring D: whether all Sylow subgroups

of G are cyclic (called Z-groups) or the Sylow 2-subgroups of G are quaternions.

2

Introduccion

El objetivo de este documento es clasificar los subgrupos finitos de los anillos de division. Si

D es un anillo de division, entendemos por subgrupos de D aquellos subgrupos del grupo mul-

tiplicativo D∗. Esta clasificacion esta desarrollada en el Capıtulo 4, recogida en la demostracion

de los Teoremas 4.6 y 4.11.

El entorno donde se encuentran las demostraciones del documento es muy diverso, ya que se

mezcla Teorıa de Grupos finitos con Teorıa de Cuerpos, algebras de dimension finita, valoracio-

nes, etc. Se ha intentado hacer una exposicion lo mas autocontenida posible, pero conseguirlo

al cien por cien harıa este documento demasiado extenso, ya que algunos de los resultados utili-

zados son demasiado profundos. Este es el caso del Teorema de la Norma de Hasse o de algunos

resultados de Teorıa de Cuerpos de Clases que necesitaremos usar. Para aquellos resultados que

utilizamos sin dar demostracion se proporcionan las referencias necesarias.

El problema de determinar todos los subgrupos finitos de anillos de division, fue inicialmente

propuesto por I. N. Herstein, que dio una solucion parcial en el 1953 en [Her53], encontrando

los subgrupos finitos de anillos de division de caracterıstica p > 0. Los subgrupos en este caso,

son p′-grupos cıclicos. Esto llevo a I. N. Herstein a conjeturar que todos los subgrupos finitos

de anillos de division de orden impar son cıclicos. Sin embargo, la clasificacion en el caso de

caracterıstica cero, es mucho mas compleja y fue completada por S. A. Amitsur en [Ami55] en

el ano 1955. Independientemente, poco despues, la clasificacion fue tambien obtenida por J. A.

Green, aunque no la publico. La conjetura de I. N. Herstein, fue refutada con la clasificacion

completa de S. A. Amitsur, que demostro que el menor subgrupo no cıclico de orden impar de

un anillo de division tiene orden 63. Concretamente, este grupo es

C7 o C9∼= 〈a, b| a7 = b9 = 1, ab = a5〉.

3

Para la realizacion de este documento, se ha seguido estrechamente la estructura determina-

da por M. Shirvani y B. A. F. Wehrfritz en [Shi86] en la primera seccion de su segundo capıtulo.

Se comienza estudiando el caso de caracterıstica p > 0, que es bastante sencillo debido al Teo-

rema de Wedderburn. La parte complicada de la clasificacion es cuando consideramos anillos

de division con caracterıstica cero. Se comienza recogiendo algunas propiedades generales que

tienen los subgrupos finitos en caracterıstica cero, continuando con el estudio de los subgru-

pos finitos de anillos de division que tienen todos sus subgrupos de Sylow cıclicos. Se termina

estudiando los subgrupos de anillos de division que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.

La clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division tiene multiples aplicaciones.

Por ejemplo, si G es un grupo finito y F es un cuerpo cuya caracterıstica sea coprima con

el orden de F , entonces por el Teorema de Maschke, FG es un anillo semisimple. Por tanto,

FG es isomorfo a un producto de anillos de matrices de anillos de division por el Teorema

de Wedderburn-Artin. La expresion de FG como producto de anillos de matrices de anillos de

division, se llama descomposicion de Wedderburn de FG. La descomposicion de Wedderburn de

FG codifica informacion importante sobre algunos problemas. Por ejemplo, la descomposicion

de Wedderburn de QG proporciona informacion relevante sobre el grupo de unidades de ZG

[Jes07] y en general, la descomposicion de Wedderburn de FG sirve para calcular el grupo de

automorfismos de FG. Si D es un anillo de division de la descomposicion de Wedderburn de

FG, entonces la imagen de la proyeccion de G en D es un subgrupo finito de D que genera D

sobre F . Por tanto, las componentes de FG, que son algebras de division, se pueden determinar

con los cocientes de G que son subgrupos de algebras de division. Por otro lado, si G es un

subgrupo de un algebra de division, entonces G tiene una representacion irreducible ρ tal que

el unico elemento g de G para el que 1 es un autovalor de ρ(g), es g = 1. Los grupos que

tienen esta propiedad se llaman grupos libres de puntos fijos y tienen importancia en Teorıa de

Grupos, pues son exactamente los complementos de Frobenius [Pas68]. La clasificacion de los

grupos libres de puntos fijos es un problema abierto de Teorıa de Grupos [Bro01].

Un resultado bastante facil de demostrar pero de gran utilidad, es que cada subgrupo finito

de un cuerpo es cıclico. En [Ham53], Hamilton descubrio el algebra de cuaterniones Hamilto-

nianos H(R) = R⊕Ri⊕Rj⊕Rij, con i2 = j2, ij = −ji. Dentro de este algebra, encontramos el

grupo de cuaterniones Q8 = 〈i, j〉 = {±1, ±i, ±j, ±ij}, que es uno de los grupos no abelianos

4

de orden 8. El otro grupo, es el diedrico D8 = 〈a, b| a4 = b2 = 1, ab = a2〉, que no es subgrupo

de ningun anillo de division. Pero Q8 no es el unico subgrupo finito del grupo de unidades de

H(R). Por ejemplo, observamos que (i + j + ij)2 = −3 y teniendo en cuenta que ζ3 = −1+√−3

2

es una raız cubica primitiva de la unidad, concluimos que si c = −1+i+j+ij2

entonces c3 = 1.

Pero ademas, c−1ic = j y c−1jc = ij. Esto implica que 〈i, j, c〉 es un subgrupo del grupo de

las unidades de H(R) de orden 24. El grupo 〈i, j, c〉 resulta ser isomorfo a SL(2, 3), el grupo

multiplicativo de las matrices 2× 2 de determinante 1 con entradas en Z/3Z. Estos ejemplos,

muestran que la familia de subgrupos finitos de algebras de division es mucho mas rica que la

de subgrupos finitos de cuerpos.

Que un grupo G sea subgrupo finito de un anillo de division implique que sea un comple-

mento de Frobenius, es un resultado de gran relevancia en el estudio. Usando resultados de

[Pas68] sobre complementos de Frobenius, obtenemos muchas propiedades sobre la estructura

de G. Por ejemplo, que todos los p-subgrupos de Sylow de G son cıclicos, excepto si p = 2, en

cuyo caso pueden ser tambien cuaterniones. Cuando todos los subgrupos de Sylow de G son

cıclicos, llamamos a G un Z-grupo, y por el Teorema 2.16 es un producto semidirecto de dos

grupos cıclicos de orden coprimo.

El Capıtulo 1, lo dedicamos a introducir la notacion y algunos resultados. Separamos la

notacion relativa a grupos de la relativa a anillos. En la seccion de grupos, se ven resultados

basicos. Cabe destacar la notacion introducida sobre grupos cıclicos, producto metacıclico y la

introduccion de los grupos relevantes en nuestro estudio. En la seccion de anillos, se introduce

Teorıa de Extensiones de Cuerpos, el producto tensorial de algebras, el algebra de cuaterniones

y el anillo de enteros de los cuerpos de numeros.

En el Capıtulo 2 se recogen los resultados no tan elementales y que no son propios de la bi-

bliografıa clasica sobre grupos. Se exponen los resultados necesarios sobre grupos de Frobenius,

donde se exponen sin demostrar algunos resultados de gran calibre y que escapan de nuestro

proposito. Con el fin de ver que un grupo con todos los subgrupos de Sylow cıclicos es un pro-

ducto semidirecto de dos grupos cıclicos, se recogen resultados sobre grupos resolubles y una

generalizacion del Teorema de Frobenius sobre el numero de soluciones de la ecuacion xn = 1

en un grupo finito G. En una ultima seccion, se introduce la definicion de grupo superresoluble,

5

se estudian algunas propiedades de grupos nilpotentes finitos y de grupos resolubles que son

utilizadas en la demostracion del Teorema 4.19.

En el Capıtulo 3, se expone gran variedad de contenidos sobre algebras de dimension finita,

donde no siempre se da la demostracion de los resultados. En primera instancia, se introduce el

grupo de Brauer y se estudian algunas de sus propiedades. Se introduce al lector en la Teorıa de

Valoraciones sobre cuerpos y se recogen resultados sobre ındice de ramificacion y grado residual

en el caso de extensiones ciclotomicas, que entran en juego en nuestro estudio. Estudiamos el

producto cruzado y las algebras cıclicas, ya que para un grupo que es producto semidirecto de

dos grupos cıclicos de ordenes coprimos, y en particular un Z-grupo, siempre podemos construir

un algebra cıclica que lo contenga. Dedicamos una seccion a estudiar el cuerpo de los numeros

p-adicos Qp, estudiando su estructura multiplicativa. En Qp, estudiamos cuando un elemento

es un cuadrado o suma de cuadrados, que servira para determinar cuando H(Qp) es un anillo

de division. Tambien estudiamos el ındice de ramificacion y grado residual cuando anadimos a

Qp una raız n-esima primitiva de la unidad. Por ultimo, una seccion esta dedicada al Teorema

de Wedderburn: Todo anillo de division finito es un cuerpo.

El Capıtulo 4 clasifica los subgrupos finitos de anillos de division. La primera parte estudia

los subgrupos en caracterıstica p > 0. En caracterıstica cero, separamos el estudio en dos casos:

los subgrupos finitos que tienen todos los subgrupos de Sylow cıclicos (Z-grupos) y los que

tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.

Si G es un producto semidirecto de dos grupos cıclicos de orden coprimo, podemos construir

un algebra cıclica A que contenga a G y que esta generada por G como espacio vectorial sobre

Q. De hecho, se demuestra que si G = CmoCn con m.c.d.(m, n) = 1, entonces G es un Z-grupo

si y solo si el algebra cıclica A que lo contiene es un anillo de division. Posteriormente, se estudia

cuando un grupo de la forma (CpaoCqb)×Cr es un Z-grupos, para p, q primos distintos y r un

entero positivo coprimo con pq. De esta manera, se puede estudiar cuando un grupo generico

Cm o Cn, con m y n coprimos, es un Z-grupo.

Para los subgrupos de anillos de division con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones, se comienza

con un estudio sistematico de los distintos casos posibles. En primer lugar, se estudia el unico

caso de subgrupo no resoluble de un anillo de division con 2-subgrupos de Sylow cuaterniones.

6

Este grupo no resoluble es el grupo icosaedro binario SL(2, 5). Luego se estudian los grupos

resolubles con 2-subgrupos cuaterniones, obteniendo las propiedades suficientes para determinar

en cada caso la estructura del grupo.

7

Capıtulo 1

Notacion y primeros resultados

En este primer capıtulo, se fijara la notacion que seguiremos a lo largo del documento.

Separaremos la notacion relativa a grupos de la relativa a anillos. Introduciremos tambien

algunos resultados basicos que siguen la lınea de las definiciones. Para la preparacion de este

capıtulo hemos utilizado distintas referencias. Para grupos, se ha seguido [Rob96] y [Pas68].

Para anillos, se ha seguido [Pie82] y [Rei75]. Para algunos resultados sobre los anillos de enteros,

se ha utilizado [Ste02].

1.1. Grupos

Esta seccion fija la notacion referente a grupos que utilizaremos a lo largo del documento.

Empezamos viendo notacion estandar de grupos y grupos simetricos. Estudiamos algunos resul-

tados sobre grupos resolubles. Damos la definicion de grupo metacıclico, producto semidirecto

y extension de grupos. Por ultimo, introducimos algunos tipos de grupos que son tratados a lo

largo del documento y estudiamos algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8.

Si G es un grupo, denotamos por 1G el elemento neutro de G si consideramos G con notacion

multiplicativa, mientras que si la notacion de G es aditiva, denotamos el elemento neutro

de G como 0G. Cuando no haya lugar a confusion, denotaremos el elemento neutro de G

simplemente por 1 o 0. Denotamos por Aut(G) el grupo de automorfismos de G, con elemento

8

neutro denotado por IdG.

Si H es un subgrupo de G, escribiremos H ≤ G. Denotamos por |H| el orden de H y por

[G : H] el ındice de H en G.

El siguiente resultado es elemental de Teorıa de Grupos, y podemos ver su demostracion en

[Rob96, 1.3.11].

Proposicion 1.1. Sean H y K subgrupos de un grupo G. Entonces se tiene:

i) |HK| · |H ∩K| = |H| · |K|, ası que [H : H ∩K] = |HK|/|K| si H y K son finitos.

ii) [G : H ∩ K] ≤ [G : H] · [G : K], con igualdad si los ındices [G : H] y [G : K] son

finitos y coprimos.

Cuando N sea un subgrupo normal de G, lo denotaremos por N �G y llamaremos a G/N

grupo cociente de N en G o factor de G por N .

Definicion 1.2. Un subgrupo H de G diremos que es un subgrupo de Hall si [G : H] y |H|

son coprimos entre sı.

Para un grupo G, denotamos por G# el conjunto formado por todos los elementos de G

salvo el elemento neutro, es decir, G# = G\{1}.

Definicion 1.3. Sea G un grupo. Definimos el centro de G y lo denotamos por Z(G) como,

Z(G) = {g ∈ G| gh = hg para todo h ∈ G}.

Definicion 1.4. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y X un subconjunto no vacıo de G.

Definimos el centralizador de X en H como el conjunto

CH(X) = {h ∈ H|xh = hx para todo elemento x ∈ X}.

Definicion 1.5. Sean X un subconjunto no vacıo de un grupo G y g un elemento de G. El

conjugado de X por g es el subconjunto

Xg = g−1Xg = {g−1xg|x ∈ X}.

Se define el normalizador del subconjunto X en G como:

NG(X) = {g ∈ G|Xg = X}.

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Sea G un grupo. Denotemos por ρg : G → G la conjugacion por el elemento g−1, es decir,

para cada elemento h ∈ G, tenemos que ρg(h) = ghg−1. Para cada g ∈ G, el homomorfismo ρg

es de hecho un automorfismo de G que llamamos automorfismo interno de G. Podemos definir

ρ : G → Aut(G), con ρ(g) = ρg, que es un homomorfismo de grupos. Llamamos grupo de

automorfismos internos a la imagen de ρ y lo denotamos por Inn(G).

Proposicion 1.6. Sea G un grupo. Entonces se tiene que G/Z(G) ∼= Inn(G), y tambien que

Inn(G) � Aut(G).

Si π es un conjunto no vacıo de primos, un π-numero es un entero positivo cuyos divisores

primos pertenecen a π. LLamaremos π-grupo a un grupo finito G, si |G| es un π-numero. Si

para todo primo p ∈ π, se tiene que p - |G|, entonces decimos que G es un π′-grupo. El caso mas

importante es cuando π = {p}. En este caso, si G es un π-grupo diremos que G es un p-grupo

y si G es un π′-grupo, diremos que G es un p′-grupo. Supongamos ahora que |G| = pam, para

p un primo, con m.c.d.(p, m) = 1. Un p-subgrupo de G de orden pa es llamado un p-subgrupo

de Sylow de G.

Se exponen ahora los conocidos Teoremas de Sylow cuya demostracion puede ser vista en

[Rob96, 1.6.16].

Teorema 1.7. (Teoremas de Sylow) Sean G un grupo finito y p un numero primo. Escribimos

|G| = pam, donde el entero m no es divisible por p. Entonces:

i) Todo p-subgrupo de G esta contenido en un p-subgrupo de Sylow de G. En particular,

como 1 es un p-subgrupo de G, los p-subgrupos de Sylow siempre existen.

ii) Si np denota el numero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces np ≡ 1 mod p, y np|m.

iii) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados en G.

Sean π un conjunto de primos y G un grupo finito de manera que si p ∈ π, entonces p

divide al orden de G. El subgrupo de G generado por todos los π-subgrupos de G normales es

un π-subgrupo de G normal maximal unico ([Rob96, pags. 252-253]). Denotamos por Oπ(G)

al π-subgrupo de G normal maximal. De igual manera, Oπ′(G) denotara al π′-subgrupo de G

normal maximal.

10

Sea A un conjunto no vacıo, denotamos por Sym(A) el grupo formado por las biyecciones de

A en A junto con la composicion. Un grupo de permutaciones de A es un subgrupo de Sym(A).

Un grupo G de permutaciones de A se dira transitivo si para cada par de elementos a, b ∈ A

existe σ ∈ G de manera que σ(a) = b. Para cada a ∈ A, llamamos estabilizador de a en G al

subgrupo Ga de G formado por los elementos de G que dejan fijo al elemento a, es decir,

Ga = {σ ∈ G|σ(a) = a}.

Si para todo a ∈ A se tiene que Ga = 〈1〉, entonces se dice que el grupo G es semirregular . Si

G es transitivo y semirregular, entonces diremos que G es regular .

Para a, b ∈ A, con a 6= b, denotamos Ga, b = Ga ∩Gb.

Sean G un grupo y X un conjunto no vacıo. Entendemos accion por la derecha de G en X

como una aplicacion ρ : X×G→ X de manera que ρ(x, g1g2) = ρ(ρ(x, g1), g2) y ρ(x, 1G) = x,

para todo x ∈ X, g1, g2 ∈ G. Se define una accion por la izquierda de G en X, como una

aplicacion λ : G × X → X tal que λ(g1g2, x) = λ(g1, λ(g2, x)) y λ(1G, x) = x, para todo

x ∈ X, g1, g2 ∈ G.

Si tenemos una accion por la derecha ρ de un grupo G en un conjunto no vacıo X, para cada

x ∈ X, llamamos orbita de x al subconjunto de X, O(x) = {ρ(g, x)| g ∈ G} (de manera analoga,

se define para una accion por la izquierda). Decimos entonces que G actua semirregularmente

en X, si todas las orbitas de X tienen la misma dimension.

Sean ahora G y H dos grupos. Una representacion de G por H es un homomorfismo de

grupos f : H → Aut(G). Si tenemos una representacion f de G por H, entonces tenemos una

accion ρ : H × G → G definida por ρ(h, g) = f(h)(g) para h ∈ H, g ∈ G. Siguiendo con la

notacion anterior, una representacion se dice fiel si el homomorfismo f es inyectivo.

Si X es un conjunto no vacıo y G es un grupo, llamamos representacion de permutacion

a un homomorfismo f : G → Sym(X). Si tenemos η : G → Sym(X), una representacion de

permutacion, entonces γ : G×X → X, dada por γ(g, x) = η(g)(x), es una accion de G en X

por la izquierda. En este caso, diremos que G actua por automorfismos en X.

Un grupo G decimos que es un grupo libre de puntos fijos , si tiene una representacion por

matrices ρ, con la propiedad de que 1 es valor propio de ρ(g) si y solo si g = 1.

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Supongamos que G es un grupo que actua por la izquierda en dos conjuntos no vacıos X e

Y con respectivas acciones λ y ρ. Supongamos tambien que tenemos una biyeccion φ : X → Y .

Entonces diremos que las acciones de G sobre X e Y son equivalentes , si para cada g ∈ G, el

diagrama

Xφ //

λg��

Y

ρg��

Xφ // Y

es conmutativo, donde λg(x) = λ(g, x) y ρg(y) = ρ(g, y) para todo x ∈ X, y ∈ Y . De

manera analoga, se define cuando dos representaciones son equivalentes.

Pasemos ahora a ver algunos resultados sobre grupos resolubles. SeanG un grupo y x, y ∈ G,

se define el conmutador de x e y como el elemento del grupo x−1y−1xy, que denotaremos por

(x, y). Definimos tambien conmutadores de orden superior por la regla recursiva

(x1, . . . , xn−1, xn) = ((x1, . . . , xn−1), xn),

para x1, . . . , xn ∈ G.

Definicion 1.8. El subgrupo G′ de G generado por todos los conmutadores x−1y−1xy se llama

el subgrupo conmutador o grupo derivado de G. Inductivamente para i ∈ N, se define G(i) como

el subgrupo derivado de G(i−1).

Proposicion 1.9. El factor G/G′ es abeliano. Si K es un subgrupo normal de G tal que G/K

es abeliano, entonces K ⊇ G′.

Definicion 1.10. Llamamos a un grupo G resoluble si G(n) = 1 para algun n ∈ N, n ≥ 1.

Definicion 1.11. Una serie de composicion de G es una sucesion

〈1〉 = G0 �G1 � · · ·�Gr = G

de manera que los factores Gi/Gi−1 son simples para cada i = 1, . . . , r. A los factores Gi/Gi−1

se les llama factores de la serie de composicion.

Teorema 1.12. Todo subgrupo y factor de un grupo resoluble es resoluble.

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Definicion 1.13. Llamamos nilpotente a un grupo G si tiene una serie

1 = G0 �G1 � · · ·�Gr = G

tal que Gi/Gi−1 ⊆ Z(G/Gi−1), para todo i = 1, . . . , r.

El siguiente resultado es conocido como el Argumento de Frattini :

Teorema 1.14. (Argumento de Frattini ) Si H es un subgrupo normal finito de un grupo G y

P es un p-subgrupo de Sylow de H, entonces G = NG(P )H.

Demostracion. Sea g ∈ G. Por ser H un subgrupo normal, sabemos que P g ≤ H, y P g es

un p-subgrupo de Sylow de H. Por lo tanto, P g = P h para algun h ∈ H por los Teoremas de

Sylow (Teorema 1.7). Por lo que, gh−1 ∈ NG(P ) y g ∈ NG(P )H.

�

El siguiente Teorema de P. Hall, nos permitira generalizar el Argumento de Frattini en el

caso de grupos finitos resolubles. Su prueba se encuentra en en [Rob96, Teorema 9.1.7].

Teorema 1.15. (P. Hall ) Sea G un grupo finito resoluble. Entonces todo π-subgrupo de G

esta contenido en un π-subgrupo de Hall de G. Ademas, todos los π-subgrupos de Hall de G son

conjugados entre sı.

Podemos dar ya la adaptacion del Argumento de Frattini al caso de grupos finitos resolubles.

Teorema 1.16. Sean G un grupo finito resoluble y H un subgrupo normal de G. Si P es un

π-subgrupo de Hall de H, entonces G = HNG(P ).

Demostracion. Se sigue de la demostracion del Teorema 1.14 y del Teorema 1.15.

�

Definicion 1.17. Sean N y H dos grupos y α : H → Aut(N) un homomorfismo, denotando

α(h) = αh para todo h ∈ H. Definimos el producto semidirecto de N y H como el grupo

denotado por N oH, formado por los pares (n, h), para n ∈ N , h ∈ H, con la operacion

(n1, h1)(n2, h2) = (n1αh1(n2), h1h2),

13

h1, h2 ∈ H, n1, n2 ∈ N . En estas condiciones, denotaremos tambien el producto semidirecto

como N oKer(α) H, cuando queramos tener claro cual es el nucleo de la accion de H en N .

La anterior es la definicion externa del producto semidirecto de dos grupos. La definicion

interna de producto semidirecto es la siguiente: sean G un grupo, N un subgrupo normal de

G y H un subgrupo de G de manera que NH = G y N ∩ H = 〈1〉. Entonces, todo elemento

g ∈ G se expresa de manera unica de la forma hn, donde h ∈ H y n ∈ N . Decimos entonces

que G es el producto semidirecto interno de N y H, y lo denotaremos por N oH.

Veamos que las anteriores definiciones de producto semidirecto externo e interno son equi-

valentes. Sea G = N o H el producto semidirecto externo de N y H, con el homomorfismo

asociado α : H → Aut(N). Identificamos N en G vıa el monomorfismo uN : N → N o H,

dado por uN(n) = (n, 1H), para todo n ∈ N . Analogamente, identificamos H en G vıa el

monomorfismo uH : H → N oH, dado por uH(h) = (1N , h), para todo h ∈ H. Mediante estas

identificaciones esta claro que uN(N)∩uH(H) = 〈(1N , 1H)〉, y que uN(N)uH(H) = G. Ademas,

uN(N) es un subgrupo normal de G, pues para cada n ∈ N , h ∈ H, tenemos que

uN(n)uH(h) = (1N , h−1)(n, 1H)(1N , h) = (αh−1(n), h−1)(1N , h)

= (αh−1(n)αh−1(1N), h−1h) = (αh−1(n), 1H) ∈ uN(N).

Y cada elemento g ∈ G se expresa de forma unica como g = uN(n)uH(h), para algunos elementos

n ∈ N , h ∈ H.

Por otro lado, supongamos que G es el producto semidirecto interno de los subgrupos N

y H, teniendo G = N oH. Como N es un subgrupo normal, la aplicacion α : H → Aut(N),

dado por α(h) = αh : N → N , con αh(n) = nh, es un homomorfismo bien definido. El grupo G

es isomorfo al producto semidirecto externo de los grupos N y H junto con el homomorfismo

asociado α.

Para un anillo A, A∗ denota el grupo multiplicativo formado por los elementos invertibles

de A.

Proposicion 1.18. Sean n, d ∈ N, con d|n. Si denotamos por π : Z/nZ→ Z/dZ la proyeccion

natural, entonces se tiene que

π|(Z/nZ)∗ : (Z/nZ)∗ → (Z/dZ)∗,

14

es un epimorfismo.

Demostracion. Si d = 1 o d = n, el resultado se tiene trivialmente. Ası que, podemos

suponer que d es un divisor propio de n. Sea x = x + dZ ∈ (Z/dZ)∗. Se tiene entonces que

m.c.d.(d, x) = 1. Expresamos n = n1n2, con m.c.d.(n1, n2) = 1, y n1 cumpliendo la siguiente

propiedad: un primo p divide a n1 si y solo si p divide a d. De esta manera m.c.d.(d, n2) = 1.

Si n2 = 1, entonces m.c.d.(x, n) = 1, y π|(Z/nZ)∗(x + nZ) = x + dZ. Ası que podemos suponer

que n2 6= 1.

Por el Teorema Chino de los Restos, existe y ∈ Z de manera que: y ≡ x mod d

y ≡ 1 mod n2.

Como d, n2 6= 1, y m.c.d.(d, x) = 1, ningun divisor primo de n divide a y. Por tanto, se tiene

que y = y + nZ ∈ (Z/nZ)∗, y π|(Z/nZ)∗(y) = x+ dZ = x.

�

Para grupos cıclicos de orden n > 0, utilizamos la notacion Cn. Si d|n, Cn tiene un unico

subgrupo de orden d. Por esto, escribiremos Cd ≤ Cn, identificando Cd con el unico subgrupo

de Cn de orden d. Si Cn es un grupo cıclico, entonces |Aut(Cn)| = ϕ(n), donde ϕ es la funcion

de Euler.

Vamos ahora a demostrar un resultado sobre el grupo de automorfismos de un grupo cıclico

de orden potencia de un primo.

Proposicion 1.19. Sea α un automorfismo de Cpn, para p un primo. Si el orden de α es

coprimo con p y la restriccion de α a Cp es trivial, entonces α = IdCpn .

Demostracion. Si s ∈ Z, y 〈a〉 = Cm entonces sea σs : Cm → Cm la aplicacion dada por

σs(ax) = axs. La aplicacion λ : Z → Aut(Cm) dada por λ(s) = σs, induce un isomorfismo de

grupos λm : (Z/mZ)∗ → Aut(Cm). Ademas, si d|m, entonces tenemos un diagrama conmutativo

(Z/mZ)∗λm //

π

��

Aut(Cm)

R��

(Z/dZ)∗λd // Aut(Cd)

15

donde π es el homomorfismo canonico y R denota la restriccion.

Supongamos que m = pn y d = p. Entonces el automorfismo α del enunciado es un elemento

del nucleo de R, con lo que es de la forma σs para algun s ∈ Z coprimo con p y tal que

s ≡ 1 mod p. Es decir, la clase de s en Z/pnZ esta en el nucleo de π : (Z/pnZ)∗ → (Z/pZ)∗ y

tiene orden coprimo con p en (Z/pnZ)∗.

Por la Proposicion 1.18, π es suprayectiva, luego |Ker(π)| = ϕ(pn)/ϕ(p) = pn−1. Como

s tiene orden coprimo con p en (Z/pnZ)∗, deducimos que s ≡ 1 mod pn. Por tanto, se tiene

α = σs = IdCpn .

�

Sean n, m ≥ 1. Denotamos por On(m) el orden multiplicativo de m modulo n, es decir,

On(m) = mın{k ∈ N|mk ≡ 1 mod n}.

El siguiente lema recoge algunas propiedades del orden multiplicativo.

Lema 1.20. a) Si n, r y s son relativamente primos, entonces

Ors(n) = m.c.m.(Or(n), Os(n)).

b) Sea q un numero primo que divide a n− 1 y sea i un entero positivo.

i) Si q = 2 y n ≡ −1 mod 4, sea n2 − 1 = 2dt donde 2 - t. Entonces:

O2i(n) =

1, si i = 1

2, si 2 ≤ i ≤ d

2i−d+1, si i > d

ii) En todos los casos no cubiertos por i), sea n− 1 = qdt donde q - t. Entonces:

Oqi(n) =

1, si i ≤ d

qi−d, si i > d

c) En general, si q es un numero primo y m, i son enteros positivos con q - m, entonces

Oqi(m) = Oq(m)qa donde a = a(i) ≥ 0 esta en funcion de i.

16

Demostracion. El apartado a) es consecuencia inmediata del Teorema Chino de los Restos.

Probemos el apartado b), dando en primer lugar una demostracion para un primo q como

en el subapartado ii). Asumamos, para algunos k y s, que qs es la maxima potencia de q que

divide a nk− 1, donde q > 2 o s ≥ 2. Ahora tenemos que nk = 1 + qsm donde q - m, y entonces

nkq = (1 + qsm)q =∑n

i=0

(qi

)(qsm)i ≡ 1 + qs+1m mod qs+2. Ahora, qs+1 |qs+2 |(nkq− 1− qs+1m),

por lo que qs+1|(nkq − 1). Con esto hemos probado que si qs|(nk − 1), entonces qs+1|(nkq − 1).

Supongamos ahora tambien que k = Oqs(n). Como qs|qs+1|(nOqs+1 (n) − 1), tenemos que

k|Oqs+1(n), teniendose ademas que Oqs+1(n)|kq. Ya que qs+1 no divide nk − 1 tenemos que

Oqs(n) 6= Oqs+1(n), por lo que Oqs+1(n) = qOqs(n). Esto prueba el subapartado ii). El argumento

del anterior parrafo aplicado a n2 − 1 = 8(2m2 −m), prueba el subapartado i).

Si q|(m − 1), entonces c) es consecuencia de b), por lo que podemos suponer q - (m − 1).

Como q - m por hipotesis, entonces q 6= 2. Sea k = Oq(m), y sea d ∈ N el mayor natural de

manera que qd|(mk − 1). Evidentemente se tiene Oq(m) = · · · = Oqd(m) = k, y para i > d se

tiene Oqi(m) = qi−dk, como querıamos demostrar.

�

Sean N y G dos grupos. Una extension de N por G es un grupo E que contiene un subgrupo

normal M tal que M ∼= N y E/M ∼= G. En las anteriores condiciones, tendremos una sucesion

exacta corta

1 −−−−→ Nµ−−−−−→ E

ε−−−−−→ G −−−−→ 1.

Si tenemos una sucesion exacta corta como la anterior, cumpliendo Im(µ) = M ∼= N , y

E/M ∼= G, al igual que antes, diremos que E es una extension de N por G.

Definicion 1.21. Un grupo G se dice metacıclico si contiene un subgrupo normal cıclico C de

manera que G/C sea cıclico.

En particular, el producto semidirecto de dos grupos cıclicos es un grupo metacıclico.

Por ultimo, antes de terminar esta seccion dedicada a grupos, daremos la definicion de

algunos grupos que son de especial interes en nuestro estudio.

17

El grupo diedrico, es el grupo de simetrıas de un polıgono regular, esto es, rotaciones y

reflexiones. Si el polıgono tiene n lados, denotamos al grupo diedrico por D2n y tenemos una

presentacion de la siguiente forma:

D2n = 〈r, s | rn = s2 = 1, rs = r−1〉.

Otro de los grupos que atendemos aquı es el grupo semidiedrico, un grupo no abeliano de

orden una potencia de 2, y que denotamos SD2n con 2n el orden del grupo. Este grupo, tiene

una presentacion:

SD2n = 〈r, s | r2n−1

= s2 = 1, rs = r2n−2−1〉.

Ahora hacemos mencion a un tipo de grupos que van a ser muy importantes en el estudio

de los subgrupos finitos de anillos de division.

El grupo de cuaterniones es un 2-grupo con 8 elementos, denotado por Q8 con la siguiente

presentacion:

Q8 = 〈x, y |x2 = y2, y4 = 1, xy = x−1〉.

Sin embargo, necesitamos una generalizacion de este grupo, usualmente conocida como grupo

de cuaterniones generalizado, pero que nosotros llamaremos siempre grupo de cuaterniones

cuando no de lugar a confusion. La generalizacion de los grupos de cuaterniones, es tambien un

2-grupo, que denotamos por Q2t donde 2t es el orden del grupo. La presentacion de este grupo

viene dada por:

Q2t = 〈x, y |x2t−2

= y2, y4 = 1, xy = x−1〉.

Sea A un anillo cualquiera. Denotamos por Mn(A) al anillo de las matrices de dimension

n × n con entradas en A, junto con su suma y producto usuales. Denotamos por GL(n, A) a

Mn(A)∗.

Sean n, m ≥ 1. Llamamos grupo especial lineal , y lo denotamos por SL(n, m), al subgrupo

de GL(n, Z/mZ) formado por las matrices que tienen determinante 1.

Exponemos ahora el grupo octaedro binario de orden 48, definido como la extension del

grupo octaedro por un grupo cıclico de orden 2. Una presentacion para el grupo octaedro

binario es,

〈x, y, c|x4 = y2, y4 = 1, xy = x−1, (x2)c = x−1y, (x−1y)c = xy−1, cy = c2, c3 = 1〉.

18

Sin embargo, tenemos otras presentaciones para el grupo octaedro binario, como:

〈a, b| (ab)2 = a3 = b4〉 y 〈r, s| r2 = s3 = (rs)4, r4 = 1〉.

El grupo SL(2, 5) es llamado grupo icosaedro binario, tiene 120 elementos y por [Pas68,

Proposicion 13.7], tiene una presentacion:

〈x, y, z|x3 = y5 = z2 = 1, z = (xy)2, (x, z) = (y, z) = 1〉.

Veamos ahora algunas propiedades del grupo de cuaterniones de orden 8.

Proposicion 1.22. Sea Q el grupo de cuaterniones de orden 8. Entonces:

i) Todo subgrupo propio de Q es cıclico.

ii) Aut(Q) ∼= S4.

iii) Si σ ∈ Aut(Q) tiene orden 3, entonces σ permuta transitivamente las tres clases no

centrales de Q.

Demostracion. Sea H < Q tal que |H| ≤ 4. Como Q tiene un unico elemento de orden 2,

tenemos directamente que el subgrupo H es cıclico. Con esto, tenemos i).

Ahora Q tiene tres subgrupos distintos de orden 4, digamos 〈u〉, 〈v〉 y 〈w〉. Si z es el unico

elemento de Q de orden 2, entonces u2 = v2 = w2 = z, (u, v) = (u, w) = (v, w) = z y

〈u, v〉 = 〈u, w〉 = 〈v, w〉 = Q. Ası que Sym({u, v, w}) esta contenido en Aut(Q). Tambien

tenemos que Sym({u, v, w})∩ Inn(Q) = 〈IdQ〉, ya que 〈u〉, 〈v〉 y 〈w〉 son subgrupos normales

de Q. Como Inn(Q) es un subgrupo normal de Aut(Q) y |Inn(Q)| = 4, se cumple que

Aut(Q) ⊇ Inn(Q)Sym({u, v, w}),

y este ultimo se ve que es isomorfo a S4. Si σ ∈ Aut(Q), existen a lo mas 6 posibilidades para

σ(u). Una vez conocido σ(u), existen a lo mas 4 posibilidades para σ(v). Como Q = 〈u, v〉,

entonces Aut(Q) tiene a lo mas 24 elementos. Por tanto, Aut(Q) ∼= S4, y tenemos ii).

Para iii), sea σ ∈ Aut(Q) de orden 3. Entonces σ permuta los tres subgrupos 〈u〉, 〈v〉 y

〈w〉. Si σ fija alguno de estos subgrupos, entonces los fija a todos y por lo tanto σ(u) = u

19

o σ(u) = u−1, σ(v) = v o σ(v) = v−1, σ(w) = w o σ(w) = w−1, ası que σ2 = 1, una

contradiccion. Por lo tanto σ permuta los grupos 〈u〉, 〈v〉 y 〈w〉 transitivamente. Como las

clases de conjugacion no centrales de Q son {u, u−1}, {v, v−1} y {w, w−1} se tiene el resultado.

�

1.2. Anillos

En esta seccion, se fija la notacion referente a anillos. Empezamos estudiando el producto

tensorial y algunas de sus propiedades. Seguimos con las algebras de cuaterniones sobre cuerpos.

Despues introducimos la notacion sobre cuerpos y extensiones de cuerpos. Finalmente, definimos

los anillos de enteros sobre cuerpos de numeros y estudiamos algunas de sus propiedades.

Definicion 1.23. Sea R un anillo conmutativo con 1. Una R-algebra (o algebra sobre R) es un

R-modulo por la derecha A en el que esta definida una aplicacion bilineal A×A→ A (denotada

por (x, y) → xy) que es asociativa (x(yz) = (xy)z para todo x, y, z ∈ A), existe un elemento

unidad 1A en A que satisface 1Ax = x1A para todo x ∈ A y para todo x, y ∈ A, r ∈ R se tiene

(xr)y = x(yr) = (xy)r.

Recordemos que si A es un anillo, denotamos por A∗ al grupo multiplicativo formado por

los elementos invertibles de A.

Cuando el algebra este tomada sobre un cuerpo, utilizaremos como sımbolos para el anillo

conmutativo las letras F , K o L.

Si A es una R-algebra, la R-algebra opuesta de A, es la R-algebra Aop que coincide con A

en su estructura de R-modulo y tiene la operacion multiplicacion ◦ definida por x ◦ y = yx,

para todo x, y ∈ A. El elemento unidad de Aop es 1Aop = 1A.

Sean A y B dos R-modulos por la derecha. Denotamos porHomR(A, B) al conjunto formado

por los R-homomorfismos de A en B. En estas condiciones, HomR(A, B) tiene estructura

de R-modulo por la derecha, con (f + g)(a) = f(a) + g(a) y (fr)(a) = f(ar) para todo

20

f, g ∈ HomR(A, B), a ∈ A y r ∈ R. Si A coincide con B, la composicion de homomorfismos de

R-modulos (f ◦ g)(a) = f(g(a)), para f, g ∈ HomR(A, A) y a ∈ A, define un producto bilineal

asociativo que proporciona a HomR(A, A) estructura de R-algebra.

Definicion 1.24. Una K-algebra A es de dimension finita si A es libre de rango finito como

K-modulo.

La definicion anterior es equivalente a que existe una lista finita a1, a2, . . . , an ∈ A, de

manera que para cualquier a ∈ A, existe una unica lista de elementos x1, x2, . . . , xn ∈ K de

manera que

a =n∑i=1

aixi.

Una K-base para A es, en este caso, una lista de elementos a1, a2, . . . , an ∈ A que cumpla la

anterior propiedad.

Para poder introducir el grupo de Brauer y estudiar sus propiedades, vamos a introducir

notacion estandar que va a ser utilizada frecuentemente.

Para el producto tensorial, tomaremos siempre R un anillo conmutativo.

Definicion 1.25. Sean M y N dos R-modulos por la derecha. Un producto tensorial de M y

N es un R-modulo por la derecha M ⊗N , junto con una aplicacion bilineal M ×N →M ⊗N ,

denotada por (u, v) 7→ u⊗ v tal que:

i) M ⊗N esta generado como R-modulo por {u⊗ v|u ∈M, v ∈ N}.

ii) (Propiedad universal ) Si Φ : M × N → P es una aplicacion bilineal de R-modulos (es

decir, Φ(u, ∗) : N → P y Φ(∗, v) : M → P son homomorfismos de R-modulos para

todo u ∈ M , v ∈ N), entonces existe un homomorfismo φ : M ⊗ N → P tal que

φ(u⊗ v) = Φ(u, v) para todo u ∈M y v ∈ N .

La hipotesis de que la aplicacion (u, v) 7→ u⊗ v es bilineal implica cuatro igualdades para

todo u, u1, u2 ∈M , v, v1, v2 ∈ N y a, b ∈ R:

u⊗ (v1a+ v2b) = (u⊗ v1)a+ (u⊗ v2)b,

21

(u1a+ u2b)⊗ (v) = (u1 ⊗ v)a+ (u2 ⊗ v)b,

u⊗ 0 = 0⊗ u = 0,

ua⊗ v = (u⊗ v)a = u⊗ (va).

Teorema 1.26. El producto tensorial de dos R-modulos M y N siempre existe y es unico salvo

isomorfismos.

Demostracion. Ver [Pie82, Teorema 9.1].

�

Sean A y B dos R-algebras. A y B son tambien R-modulos por la derecha, y por lo de antes,

podemos formar el producto tensorial de A y B. Ademas, a dicho producto tensorial podemos

proporcionarle una multiplicacion, dotando a A⊗B estructura de R-algebra.

Proposicion 1.27. Si A y B son R-algebras, entonces existe una multiplicacion en A⊗B que

satisface

(x1 ⊗ y1)(x2 ⊗ y2) = x1x2 ⊗ y1y2,

para x1, x2 ∈ A e y1, y2 ∈ B. La multiplicacion es asociativa y 1A⊗B = 1A ⊗ 1B.

Demostracion. Ver [Pie82, Proposicion 9.2a].

�

Al igual que en Teorıa de Grupos, definimos el centralizador y el centro para un algebra.

Sea A un algebra y X un subconjunto no vacıo de A. El centralizador de X en A es el conjunto

CA(X) = {y ∈ A| yx = xy para todo x ∈ X}.

El centro de A es la R-subalgebra de A:

Z(A) = {y ∈ A| yx = xy para todo x ∈ A}.

Es sencillo comprobar que 1AR ⊆ Z(A).

Decimos que A es simple si los unicos ideales bilateros de A son (0) y A. Una de las

propiedades de algebras simples es que su centro es un cuerpo ([Pie82, Proposicion 12.1]).

22

Definicion 1.28. Un anillo de division es un anillo en el cual todo elemento no nulo tiene

inverso.

Un algebra de division es un algebra que es a su vez un anillo de division.

Un dominio entero es un anillo que no tiene divisores no nulos de 0.

Teorema 1.29. Sea A un algebra de dimension finita sobre un cuerpo K. Entonces A es un

algebra de division si y solo si A es un dominio entero.

Demostracion. Por una parte, las algebras de division son dominios enteros. Supongamos

ahora que A es un dominio entero y sea a cualquier elemento no nulo de A. Consideramos el

homomorfismo ρa dado por ρa(x) = xa. Esta es una transformacion lineal en A/K, y como

ba = 0 en A implica b = 0, el nucleo de ρa es 0. Se sigue que ρa es sobreyectiva, y por tanto,

existe un elemento a′ ∈ A tal que a′a = ρa(a′) = 1. Tenemos que a′ es el inverso de a por la

izquierda. Analogamente se observa que a tiene inverso por la derecha. Entonces todo elemento

no nulo es una unidad y A es un algebra de division.

�

Definicion 1.30. Sean a y b elementos no nulos de un cuerpo F . Sea A un F -espacio vectorial

de dimension 4 con base 1, i, j, k y la multiplicacion de los elementos de la base definida por

las relaciones:

i2 = a, j2 = b, ij = −ji = k.

Llamamos algebra de cuaterniones (generalizada ) sobre F a A, y la denotamos por A =(a, bF

).

Sean i, j, k cumpliendo las anteriores relaciones. Cuando a = b = −1, denotamos por H al

algebra de cuaterniones sobre los racionales que tiene la siguiente forma:

H = Q⊕Qi⊕Qj ⊕Qk.

Si F es un cuerpo de caracterıstica cero, entonces tomamos la siguiente notacion:

H(F ) =

(−1, −1

F

)= H⊗Q F = F ⊕ Fi⊕ Fj ⊕ Fk.

23

Lema 1.31. Para cada dos elementos no nulos a y b de F ,(a, bF

)es un algebra simple cuyo

centro es F .

Demostracion. Ver [Pie82, Lema 1.6].

�

Podemos escribir(a, bF

)= A = F ⊕A+, donde A+ = iF ⊕ jF ⊕kF . Los elementos de A+ son

llamados cuaterniones puros. Para un elemento de A, x = c0 + z, con c0 ∈ F , z ∈ A+ definimos

el conjugado de x como x∗ = c0 − z. Podemos ver facilmente que si x, y ∈ A, d ∈ F entonces:

(x+ y)∗ = x∗ + y∗, (xy)∗ = y∗x∗, x∗∗ = x, d∗ = d.

Para x ∈ A definimos la norma como v(x) = xx∗. Si x = c0 + ic1 + jc2 + kc3 , entonces

v(x) = c20− ac2

1− bc22 + abc2

3. Ademas la norma conserva productos v(xy) = v(x)v(y), para todo

x, y ∈ A.

El resultado fundamental sobre algebras de cuaterniones generalizadas es caracterizar cuan-

do A =(a, bF

)es un algebra de division.

Teorema 1.32. Sea F un cuerpo. Las siguientes condiciones para un algebra de cuaterniones

A =(a, bF

)son equivalentes:

i) A es un algebra de division.

ii) x ∈ A\{0} implica v(x) 6= 0.

iii) Si (c0, c1, c2) ∈ F 3 satisfacen c20 = ac2

1 + bc22, entonces c0 = c1 = c2 = 0.

Demostracion. Por un lado, i) implica ii), ya que v(x)v(x−1) = v(xx−1) = v(1) = 1. Por

otro lado, i) es consecuencia de ii), porque si v(x) 6= 0, 1 = xx∗v(x)−1 = v(x)−1x∗x, ya que

xx∗ = x∗x = v(x). Si c20 = ac2

1 + bc22 con (c0, c1, c2) 6= (0, 0, 0), entonces x = c0 + ic1 + jc2 6= 0

y v(x) = 0. Por lo tanto, ii) implica iii). Finalmente, veamos que iii) implica ii). Supongamos

que v(x) = 0, donde x = d0 + id1 + jd2 + kd3. Entonces d20 − bd2

2 = a(d21 − bd2

3). Por tanto,

a(d21 − bd2

3)2 = (d20 − bd2

2)(d21 − bd2

3) = (d0d1 + bd2d3)2 − b(d0d3 + d1d2)2. La hipotesis de iii)

24

proporciona d21− bd2

3 = 0 y, por lo tanto, d1 = d3 = 0 por la hipotesis de iii). Ası, d20− bd2

2 = 0,

por lo que tambien d0 = d2 = 0. Y entonces, x = 0.

�

Pasemos ahora a introducir notacion sobre cuerpos y extensiones de cuerpos.

Denotaremos por Fpn al cuerpo finito con pn elementos.

Dados dos cuerpos L y K con K ⊆ L, diremos que L/K es una extension de cuerpos . Si la

dimension de L como espacio vectorial sobre K es finita, digamos n, diremos que la extension

L/K es finita de grado n y lo denotaremos por [L : K] = dimK(L) = n.

Si L/K es una extension de cuerpos, un elemento α ∈ L se dira algebraico sobre K si existe

f ∈ K[X]\{0} tal que f(α) = 0. Para un elemento algebraico α ∈ L sobre K, al polinomio

monico irreducible f(X) en K[X] tal que f(α) = 0 se le llama polinomio mınimo de α sobre

K.

Definicion 1.33. Llamamos cuerpo de numeros a todo subcuerpo K de C que sea extension

finita de Q.

Si α ∈ C, denotamos por Q(α) al menor subcuerpo que es extension de Q y contiene a α.

Por el Teorema del Elemento Primitivo se tiene que:

Teorema 1.34. Si K es un cuerpo de numeros, entonces K = Q(α) para algun numero com-

plejo α.

Si K = Q(α) es un cuerpo de numeros, existen en general distintos monomorfismos de

cuerpos σ : K → C. El numero de estos monomorfismos es finito y coincide con el numero

de raıces del polinomio mınimo de α sobre Q. A las distintas raıces del polinomio mınimo se

les llama conjugados de α. Explıcitamente, si [K : Q] = n y α1, . . . , αn ∈ C son las distintas

raıces del polinomio mınimo de α sobre Q, entonces los distintos homomorfismos de K en C

(tambien llamados inclusiones en los complejos) estan definidos por σi(α) = αi, extendiendo

por linealidad.

25

Sea L/K una extension de Galois. Denotamos al grupo de Galois de L/K por Gal(L/K).

El grupo de Galois esta formado por los K-automorfismos de L, es decir, por aquellos auto-

morfismos σ de L, de manera que σ(x) = x para todo x ∈ K.

Definicion 1.35. Diremos que una extension de Galois L/K es cıclica si Gal(L/K) es cıclico.

Y diremos que L/K es abeliana si Gal(L/K) es abeliano.

Sean L yK cuerpos de numeros tales que L/K es una extension finita de grado n y pongamos

L = K(α). Sean σi : L → C para i = 1, . . . , n las distintas inclusiones de L en los complejos

que dejan fijo cada elemento de K. Para cada β ∈ L, definimos la norma de β en la extension

L/K como

NL/K(β) =n∏i=1

σi(β).

Como los σi son homomorfismos, tenemos que para cada α, β ∈ L,

NL/K(αβ) = NL/K(α)NL/K(β).

Si X es un subconjunto no vacıo de L, utilizaremos la siguiente notacion:

NL/K(X) = {NL/K(x)|x ∈ X}.

Introducimos ahora la notacion referente a cuerpos ciclotomicos. Sea n ∈ N, llamaremos raız

n-esima de la unidad , a una raız del polinomio Xn − 1 en C. El conjunto formado por dichas

raıces, forman un grupo multiplicativo finito, y como todo subgrupo finito de los elementos no

nulos de un cuerpo es cıclico, entonces el grupo formado por las raıces n-esimas de la unidad

es cıclico. A cada generador de dicho grupo se le llama raız n-esima primitiva de la unidad .

Denotaremos por ζn siempre a una raız n-esima primitiva de la unidad. Si ζn es una raız

n-esima primitiva de la unidad, llamamos n-esimo cuerpo ciclotomico al cuerpo Q(ζn). Se tiene

que [Q(ζn) : Q] = ϕ(n), ya que el polinomio mınimo de ζn sobre Q es:

Φ(X) =∏

m.c.d.(i, n)=1

(X − ζ in),

que llamaremos n-esimo polinomio ciclotomico. A las extensiones del tipo Q(ζn)/Q las llama-

remos extensiones ciclotomicas de Q. En general, para un cuerpo F , diremos que F (ζn)/F es

una extension ciclotomica de F .

26

El siguiente es un resultado clasico que muestra el unico subcuerpo cuadratico del p-esimo

cuerpo ciclotomico para p un primo. Su prueba puede verse en [Jan73, Teorema I.9.3].

Teorema 1.36. Sea p un primo impar. Entonces el p-esimo cuerpo ciclotomico contiene exac-

tamente un subcuerpo cuadratico sobre Q, que es Q(√ε(p)p), donde ε(p) = (−1)(p−1)/2.

Exponemos ahora un resultado que nos sera de utilidad.

Teorema 1.37. Sean p1, . . . , pn primos distintos entre sı y F = Q(√p1, . . . ,

√pn). Sean

q1, . . . , qr cualquier otra coleccion de numeros primos distintos entre sı y distintos a p1, . . . , pn.

Entonces se tiene que√q1 · · · qr no pertenece a F .

Demostracion. Haremos la demostracion por induccion en n. Si n = 0, el resultado se cumple

ya que√q1 · · · qr /∈ F = Q.

Por induccion, supongamos n ≥ 1, y supongamos tambien que√q1 · · · qr no pertenece a

Q(√p1, . . . ,

√pn−1) para cualquier coleccion q1, . . . , qr de primos distintos entre sı y distintos

de p1, . . . , pn−1.

Sean L = Q(√p1, . . . ,

√pn−1) y F = L(

√pn). Por reduccion al absurdo, supongamos que

√q1 · · · qr ∈ F .

Como pn es primo y distinto de pi para cada 1 ≤ i ≤ n− 1, por hipotesis de induccion,√pn

no pertenece a L, por lo que el X2 − pn es irreducible sobre L. Ası, [F : L] = 2 y una L-base

de F es {1, √pn}. Como hemos supuesto que√q1 · · · qr ∈ F , entonces existen t0, t1 ∈ L tales

que√q1 · · · qr = t0 + t1

√pn. Estudiamos los distintos casos:

Si t1 = 0, entonces t0 =√q1 · · · qr, que no es cierto por hipotesis de induccion.

Si t0 = 0, tenemos que√q1 · · · qr = t1

√pn, y por tanto

√q1 · · · qrpn = t1pn ∈ L, que no es

posible por hipotesis de induccion.

Si t0, t1 6= 0, entonces q1 · · · qr = t20 + 2t0t1√pn + t21pn, y entonces

√pn =

q1···qr−t20−t21pn2t0t1

∈ L

lo que otra vez no es cierto por hipotesis de induccion.

Queda por tanto demostrado, que√q1 · · · qr no pertenece a F .

�

27

Definicion 1.38. Un anillo A se dice que es noetheriano si para cada sucesion de ideales

I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · ,

existe un N ∈ N tal que para todo m > N se tiene Im = IN .

Sea ahora R un dominio entero con cuerpo de cocientes K, y sea A una K-algebra de

dimension finita. Diremos que α ∈ A es entero sobre R, si existe algun polinomio monico

f(X) ∈ R[X]\{0} tal que f(α) = 0. La clausura entera de R en A es el conjunto de todos

los elementos de A que son enteros sobre R. En el caso de que A sea conmutativo, entonces la

clausura entera de R en A es un subanillo de A. Un dominio entero R con cuerpo de cocientes

K se dice ıntegramente cerrado si la clausura entera de R sobre K coincide con R.

Definicion 1.39. Si A es un anillo conmutativo. Un ideal p de A diremos que es primo, si

para cualesquiera a, b ∈ A se tiene:

ab ∈ p si y solo si a ∈ p o b ∈ p.

Un ideal m de A diremos que es maximal, si m 6= A, y si I es un ideal de A que contiene a m,

entonces se tiene:

I = m o I = A.

Definicion 1.40. Sea R un dominio entero. Se dice que R es un dominio de Dedekind si no es

un cuerpo y todo ideal propio no nulo de R se expresa de forma unica como producto de ideales

primos de R, salvo reordenacion de factores.

La siguiente proposicion caracteriza los dominios de Dedekind, las indicaciones para su

demostracion se encuentran en [Rei75, pag. 45].

Proposicion 1.41. Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio entero R:

i) R es un dominio de Dedekind.

ii) R es un dominio noetheriano ıntegramente cerrado, tal que todo ideal primo no nulo de

R es un ideal maximal.

28

Definicion 1.42. Un numero complejo α se dice que es un entero algebraico si es entero sobre

Z.

Denotamos por A el conjunto de los enteros algebraicos de C. Tenemos entonces que A es

un subanillo de C. Dado un cuerpo de numeros K, denotamos por OK el subconjunto de K

formado por los enteros algebraicos de K. Llamamos anillo de enteros de K a OK , que es un

anillo ya que OK = A ∩K.

Lema 1.43. Si K es un cuerpo de numeros y α ∈ K, entonces para algun elemento no nulo

c ∈ Z se tiene cx ∈ OK.

Corolario 1.44. Si K es un cuerpo de numeros, entonces K = Q(α) para algun entero alge-

braico α.

Demostracion. Por el Teorema del Elemento Primitivo (Teorema 1.34), tenemos que para

algun numero algebraico θ ∈ C, se tiene que K = Q(θ). Por el Lema 1.43, α = cθ es un entero

algebraico para algun 0 6= c ∈ Z. Claramente Q(θ) = Q(α).

�

Definicion 1.45. Sea K un cuerpo de numeros. Se denomina base entera de K (o de OK) a

cualquier Z-base de OK.

Un resultado importante en cuerpos de numeros, es que siempre existen bases enteras.

Teorema 1.46. Todo cuerpo de numeros K tiene una base entera, y el grupo aditivo OK es

libre abeliano de rango n = [K : Q].

Demostracion. Ver [Ste02, Teorema 2.16].

�

El siguiente es un resultado fundamental para el anillo de enteros de los cuerpos de numeros.

Teorema 1.47. El anillo de enteros OK de un cuerpo de numeros K cumple las siguientes

propiedades:

29

i) Es un dominio, con cuerpo de cocientes K.

ii) Es noetheriano.

iii) Si α ∈ K es raız de un polinomio monico con coeficientes en OK, entonces α ∈ OK.

iv) Todo ideal primo no nulo de OK es maximal.

Demostracion. Ver [Ste02, Teorema 5.3].

�

Corolario 1.48. El anillo de enteros de un cuerpo de numeros es un dominio de Dedekind.

Demostracion. Se sigue de la Proposicion 1.41 y del Teorema 1.47.

�

Teorema 1.49. Sean K un cuerpo de numeros y OK su anillo de enteros. Si I es un ideal no

nulo de OK, entonces |OK/I| es finito.

Demostracion. Por la existencia de bases enteras para los anillos de enteros de cuerpos de

numeros (Teorema 1.46), OK es un grupo abeliano libre de rango finito sobre Z considerando

la operacion aditiva.

Sean α un elemento no nulo de I y m = NK/Q(α). Como α ∈ OK , entonces 0 6= m ∈ Z.

Ademas, m ∈ I. En efecto, de la definicion de NK/Q, se sigue que m = αβ, donde β es producto

de K-conjugados de α. Dichos conjugados no estan necesariamente en K, sin embargo, β sı lo

esta, ya que β = m/α ∈ K, y β es un entero algebraico debido a que el producto de enteros

algebraicos es un entero algebraico. Con esto hemos demostrado que I contiene un numero

entero no nulo m.

Claramente OK/(m) es finito, ası que OK/I es finito.

�

En el siguiente resultado, se determina el anillo de enteros de las extensiones ciclotomicas

de los racionales. Su prueba se encuentra en [Lan94, Teorema IV.4].

30

Teorema 1.50. Sean m un entero positivo y ζm una raız m-esima primitiva de la unidad.

Entonces OQ(ζm) = Z[ζm].

El siguiente teorema nos proporciona la manera explıcita para descomponer un ideal de la

forma (p), para un numero primo p, en producto de ideales primos en un anillo de enteros de

un cuerpo de numeros de la forma O = Z[θ].

Teorema 1.51. Sea K un cuerpo de numeros de grado n con anillo de enteros OK = Z[θ]

generado por θ ∈ OK. Sea p un numero primo. Supongamos que el polinomio mınimo de θ

sobre Q es f , que da lugar la factorizacion en irreducibles sobre Fp[X]:

f = f e11 · · · f err

donde las barras denotan la proyeccion natural π : Z[X] −→ Fp[X]. Entonces, si fi ∈ Z[X] es

cualquier polinomio monico tal que π(fi) = fi, el ideal

pi = (p , fi(θ))

es primo y la factorizacion en primos de (p) en OK es

(p) = pe1i · · · perr .

Demostracion. Sea θi una raız de fi en Fp[θi] ∼= Fp[X]/(fi). Hacemos uso de la aplicacion

natural νi : Z[θ] −→ Fp[θi] dada por

νi(g(θ)) = g(θi),

para todo g ∈ Z[X]. La imagen de νi es Fp[θi], que es un cuerpo, ası que ker(νi) es un ideal

primo de Z[θ] = OK . Claramente

(p , fi(θ)) ⊆ ker(νi).

Pero si g(θ) ∈ ker(νi), entonces g(θi) = 0. Ası que g = fih para algun h ∈ Fp[X]. Lo que

significa que g − fih ∈ Z[X] tiene coeficientes divisibles por p. Por lo tanto

g(θ) = (g(θ)− fi(θ)h(θ)) + fi(θ)h(θ) ∈ (p, fi(θ)),

31

demostrando que

ker(νi) = (p , fi(θ)).

Sean

pi = (p , fi(θ)),

entonces para cada fi el ideal pi es primo y satisface (p) ⊆ pi, es decir pi aparece en la

factorizacion en ideales primos de (p) en OK .

Para cualesquiera ideales I, J, S se tiene que

(I + J)(I + S) ⊆ I + JS,

ası que por induccion,

pe11 · · · perr ⊆ (p) + (f1(θ)e1 · · · fr(θ)er)

⊆ (p , f(θ))

= (p).

Entonces pe11 · · · perr ⊆ (p), y los unicos factores de (p) son p1, . . . , pr, por lo que

(p) = pk11 · · · pkrr , (∗)

donde 0 < ki ≤ ei para i = 1, . . . , r. Usando los isomorfismos para cada i,

OK/pi = Z[θ]/pi ∼= Fp[θi],

deducimos que

|Fp[θi]| = pdi ,

donde di es el grado del polinomio fi, o equivalentemente el grado de fi. Tambien

|OK/(p)| = pn,

ası que usando la factorizacion (∗), tenemos que

pn = |OK/(p)| = |OK/pk11 · · · pkrr | = |OK/p

k11 | · · · |OK/p

krr | = |OK/p1|k1 · · · |OK/pr|kr ,

por el Teorema Chino de los Restos y debido a que OK/p ∼= pn−1/pn como OK/p-modulos. Por

lo tanto, se tiene la igualdad:

d1k1 + · · ·+ drkr = n = d1e1 + · · ·+ drer,

32

que por ser ki ≤ ei para i = 1, . . . , r implica que ki = ei para todo i. Esto completa la prueba.

�

33

Capıtulo 2

Teorıa de Grupos finitos

2.1. Grupos de Frobenius

En este capıtulo vamos a revisar tres temas avanzados de Teorıa de Grupos finitos que

seran necesarios en el capıtulo final cuando veamos la demostracion de la clasificacion de los

subgrupos finitos de anillos de division. El primero de ellos es el de los grupos de Frobenius y

sobre todo, de los complementos de Frobenius. El segundo es la caracterizacion de los grupos

cuyos subgrupos de Sylow son todos cıclicos. El tercero recoge algunas propiedades de los grupos

finitos nilpotentes y de los grupos resolubles que serviran para la demostracion del Teorema

4.19. Para la elaboracion de este capıtulo se han seguido [Pas68], [Hal63] y [Rob96].

Definicion 2.1. Sea G un grupo transitivo en el conjunto A con |A| = n. Decimos que G es

un grupo de Frobenius de grado n si Ga 6= 〈1〉, pero Ga, b = 〈1〉 para todo a, b ∈ A con a 6= b.

Un complemento de Frobenius es un grupo de la forma Ga para G un grupo de Frobenius.

Los grupos de Frobenius contienen siempre un subgrupo normal cuyo orden es coprimo

con su ındice. La demostracion de la existencia es tecnica y puede verse en [Rob96, 8.5.4

(Wieland)], tomando como caso particular de dicho teorema K = 1. El siguiente resultado es

su consecuencia.

34

Teorema 2.2. Si G es un grupo finito con un subgrupo H tal que H ∩ Hx = 〈1〉 para todo

x ∈ G\H, entonces N = G\∩x∈G(H\〈1〉)x es un subgrupo normal de G de manera que G = HN

y H ∩N = 〈1〉.

Si G es un grupo de Frobenius actuando sobre el conjunto A, entonces G cumple las condi-

ciones del Teorema 2.2, para H = Ga para cualquier a ∈ A. Con la notacion del Teorema 2.2,

llamamos a N el nucleo de Frobenius .

El nucleo de Frobenius de un grupo de Frobenius es un subgrupo de Hall por [Pas68,

Proposicion 17.2].

Teorema 2.3. (Thompson) El nucleo de Frobenius de un grupo de Frobenius es nilpotente.

Demostracion. Ver [Pas68, Teorema 17.4].

�

Proposicion 2.4. Sea G un grupo de permutacion en un conjunto A y sea N un subgrupo

normal regular de G. Si a ∈ A, entonces la representacion de permutacion de Ga en A\{a}

y la representacion de permutacion de Ga en N# inducida por conjugacion (actuando por la

izquierda) son equivalentes mediante la biyeccion proporcionada por φ : N# → A\{a} con

φ(g) = g(a) para g ∈ N#.

Demostracion. Como N es regular, existe una correspondencia entre los elementos de N# y

los elementos de A\{a} dada por φ : N# → A\{a}, φ(g) = g(a) para g ∈ N#. Veamos que φ es

una biyeccion. Por un lado, como N es un subgrupo regular, y por lo tanto transitivo, tenemos

que φ es sobreyectiva. Para la inyectividad supongamos que g, h ∈ N# cumplen φ(g) = φ(h),

es decir, que g(a) = h(a), pero entonces gh−1(a) = a y por lo tanto gh−1 ∈ Na. Tenemos como

consecuencia la inyectividad de φ puesto que N es tambien semirregular y Na = 〈1〉.

Si b = φ(g) para g ∈ N# y x ∈ Ga, entonces el resultado se sigue de

φ(xgx−1) = xgx−1(a) = x(b).

�

35

Definicion 2.5. Sean V un grupo abeliano y G un grupo actuando en V por automorfismos.

Denotamos por LV (G) al conjunto de elementos en V que quedan invariantes por todos los

elementos de G, es decir:

LV (G) = {v ∈ V | gv = v para todo g ∈ G}.

En lo que sigue, hablaremos de grupos que son union disjunta de subgrupos, entendiendo

por esto, que la interseccion de cada dos subgrupos distintos es el subgrupo trivial 〈1〉.

Proposicion 2.6. Sea G un grupo que es union disjunta de t+ 1 subgrupos H0, H1, . . . , Ht de

G. Supongamos que G actua en un grupo abeliano aditivo V . Entonces (t · IdV )(V ) = 〈0〉, o

para algun i tenemos LV (Hi) 6= 〈0〉.

Demostracion. Supongamos que tenemos el homomorfismo α : G → Aut(V ) asociado a la

accion de G en V . Denotamos por σ la aplicacion que asocia a cada subgrupo H de G el

endomorfismo σH de V dado por σH =∑g∈H

α(g). Supongamos ahora que σHi 6= 0 para algun

i. Si v ∈ V es un elemento tal que σHi(v) 6= 0, entonces σHi(v) ∈ LV (Hi). Ası que, podemos

asumir para todo i que σHi = 0. Por la misma razon, podemos asumir que σG = 0. Y debido a

que G# = ∪H#i como union disjunta, tenemos que t · IdV = (

t∑i=0

σHi)− σG = 0 y por lo tanto

(t · IdV )(V ) = 〈0〉.

�

La siguiente proposicion servira para concretar propiedades de los subgrupos finitos de

anillos de division. Su prueba la podemos encontrar en [Pas68, Proposicion 9.5].

Proposicion 2.7. Sea G un p-grupo que no es cıclico, diedrico, semidiedrico o cuaternion.

Entonces G tiene un subgrupo normal abeliano isomorfo a Z/pZ× Z/pZ.

Corolario 2.8. Un p-grupo G contiene exactamente un subgrupo de orden p si y solo si es

cıclico, o p = 2 y G es cıclico o cuaternion.

Demostracion. Si G contiene un unico subgrupo de orden p, G no puede contener subgrupos

isomorfos a Z/pZ×Z/pZ. Por la Proposicion 2.7, G es cıclico, diedrico, semidiedrico o cuater-

nion. Por la estructura de cada uno de los grupos anteriores, vamos a ver que G es cıclico o

36

cuaternion, pues en los casos diedrico o semidiedrico, G serıa un 2-grupo con varios subgrupos

isomorfos a Z/2Z. Supongamos que G es diedrico con la presentacion G = 〈r, s | rn = s2 =

1, rs = r−1〉. Como |G| = 2n, entonces n = 2t para algun t ≥ 2. El grupo G tiene como sub-

grupos de orden 2 a 〈r2t−1〉 y 〈s〉 que son distintos entre sı, lo que es una contradiccion sobre

las hipotesis del grupo G. Supongamos ahora que G es semidriedrico, y tomemos entonces la

presentacion usual G = 〈r, s | r2n−1= s2 = 1, rs = r2n−2−1〉 para n ≥ 3, pues en otro caso el

resultado es obvio. En este caso, 〈r2n−2〉 y 〈s〉 son dos subgrupos de G distintos de orden 2, lo

que es una contradiccion.

Supongamos ahora que G es un p-grupo cıclico o cuaternion. Claramente un p-grupo cıclico

tiene un unico subgrupo de orden p. Suponemos entonces que G es cuaternion con p = 2 y

tomamos la presentacion G = 〈a, b| a2t−2= b2, b4 = 1, ab = a−1〉. Sea w ∈ G de orden 2. Si

w ∈ 〈a〉 entonces w = a2t−2. Si w /∈ 〈a〉, entonces w = aib para algun i = 0, . . . , 2t−1 − 1. Por

lo tanto, 1 = w2 = aibaib = aib2(b−1aib) = aib2a−i = b2 = a2t−2, una contradiccion. Por lo que

G tiene un unico elemento de orden 2.

�

Definicion 2.9. Sea p es un numero primo. Un grupo abeliano que es producto directo de

subgrupos de orden p lo llamaremos p-grupo elemental abeliano.

Recordemos que si G es un grupo de Frobenius actuando en un conjunto no vacıo A, y

a ∈ A, entonces a los subgrupos Ga de G los llamamos complementos de Frobenius.

Teorema 2.10. Sea G un complemento de Frobenius y sean p y q dos numeros primos distintos.

Se tienen los siguientes resultados:

Todo subgrupo de G de orden pq es cıclico.

Si p > 2, los p-subgrupos de Sylow de G son cıclicos. Si p = 2, los 2-subgrupos de Sylow

de G son cıclicos o cuaterniones.

Demostracion. Sea L un grupo de Frobenius teniendo G como complemento y sea N el nucleo

de Frobenius. El nucleo de Frobenius es un subgrupo de Hall, nilpotente y normal de L. Sea r un

37

divisor primo de |Z(N)| (ya que Z(N) 6= 〈1〉 por la demostracion del Teorema de Thompson)

y sea V = {x ∈ Z(N)|xr = 1}. Ası V 6= 1 es un r-grupo elemental abeliano que es invariante

por conjugacion en G. Por la Proposicion 2.4, G actua semirregularmente en N# y por lo tanto

en V #. Si H ≤ G, tambien H actua semirregularmente en V # y por supuesto r - |H|. Por la

Proposicion 2.6, no podemos escribir H como la union disjunta de t+ 1 subgrupos, salvo si r|t.

Supongamos entonces que H es un subgrupo de orden pq con q > p y supongamos tambien

que H no es cıclico. Vamos a ver que H es la union disjunta de un subgrupo de orden q y q

subgrupos de orden p. Por los Teoremas de Sylow (Teorema 1.7), si denotamos por nq el numero

de q-subgrupos de Sylow de H de orden q, tenemos que

nq ≡ 1 mod q, nq|p.

Teniendo en cuenta los divisores de p, tenemos que nq = 1, pues si nq = p, llegamos a la

contradiccion nq ≡ 1 mod q, ya que q > p. Entonces, H contiene un unico subgrupo de orden

q, que sera cıclico y normal. Por la misma razon, si denotamos np al numero de subgrupos de

H de orden p y aplicando otra vez los Teoremas de Sylow, tenemos

np ≡ 1 mod p, np|q.

Si np = 1, H contendrıa tambien un unico subgrupo cıclico y normal de orden p y tendrıamos

que H serıa cıclico, llegando a una contradiccion. Por lo que np = q, es decir, que H tiene q

subgrupos de orden p, todos conjugados entre sı. Dichos q grupos son claramente disjuntos dos

a dos y tambien cada uno de ellos es disjunto con el unico grupo de orden q. Con todo esto

llegamos a una contradiccion, ya que r - q.

Sea ahora P un p-subgrupo de Sylow de G, y sea Z un subgrupo central de P de orden p.

Si P contiene otro subgrupo W de orden p, entonces P contiene ZW , un subgrupo abeliano

isomorfo a Z/pZ× Z/pZ, una contradiccion. Por el Corolario 2.8, se completa la prueba.

�

El siguiente resultado, tiene una demostracion muy tecnica y elaborada que no pondremos

aquı y simplemente utilizaremos el resultado. El teorema es debido a Zassenhaus, y nos acota

en gran medida la estructura de los complementos de Frobenius no resolubles.

38

Teorema 2.11. (Zassenhaus) Sea G un complemento de Frobenius no resoluble. Entonces G

tiene un subgrupo normal G0 con [G : G0] = 1 o 2, tal que G0 = SL(2, 5)×M con M un grupo

metacıclico de orden coprimo a 30.

Demostracion. Ver [Pas68, Teorema 18.6].

�

2.2. Grupos con subgrupos de Sylow cıclicos

En esta seccion estudiaremos en primer lugar una generalizacion del Teorema de Frobenius

sobre el numero de soluciones de ecuaciones de la forma xn = c para c recorriendo una clase

de conjugacion de un grupo finito G. Desarrollaremos las herramientas necesarias para poder

demostrar que un grupo finito G que tiene todos sus subgrupos de Sylow cıclicos, es metacıclico,

y de hecho, se puede expresar como un producto semidirecto de grupos cıclicos.

Teorema 2.12. Sean G un grupo de orden α, C una clase de conjugacion de G de cardinal β

y n ∈ N. El numero de elementos x ∈ G tales que xn ∈ C, es un multiplo de m.c.d.(βn, α).

Demostracion. Sea K un subconjunto de G. Definimos A(K, n) = {g ∈ G|gn ∈ K} y

a(K, n) = |A(K, n)|. Para α = 1 el resultado es trivial, y para n = 1 el numero de soluciones

es β = m.c.d.(β, α).

Para demostrar el teorema haremos induccion en α y n, asumiendo el teorema valido para

cualquier valor menor que n y para cualquier grupo de orden menor que α.

Si c′ = u−1cu y xn = c, entonces (u−1xu)n = c′, proporcionando una correspondencia entre

las soluciones para un elemento c y cualquiera de sus conjugados. Por lo tanto, tenemos que

a(C, n) = βa({c}, n).

Si xn = c, entonces x−1cx = x−1xnx = xn = c. Por tanto A({c}, n) ⊆ CG(c), el cual es de

orden α/β. Por lo que, si β > 1 el teorema sigue siendo cierto en CG(c) y aplicando la hipotesis

39

de induccion, a({c}, n) es un multiplo de m.c.d.(n, α/β), ası que, a(C, n) = βa({c}, n), es un

multiplo de β ·m.c.d.(n, α/β) = m.c.d.(βn, α), siendo cierto el teorema tambien en este caso.

Por lo tanto, supongamos que β = 1, es decir, que el elemento c pertenece al centro de

G. Si n = n1n2, con m.c.d.(n1, n2) = 1, n1 > 1 y n2 > 1, y si D = A(C, n2), entonces

A(C, n) = A(D,n1). D es union de clases de conjugacion. Como n1 y n2 son divisores propios

de n, m.c.d.(n1, α) es un divisor propio de a(C, n), y tambien, m.c.d.(n2, α) es un divisor

propio de a(C, n). Pero como m.c.d.(n1, n2) = 1, se tiene que m.c.d.(n1, α) y m.c.d.(n2, α) son

relativamente primos, su producto m.c.d.(n1, α)m.c.d.(n2, α) = m.c.d.(n1n2, α) = m.c.d.(n, α)

divide a a(C, n) probando el teorema en este caso.

Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que n no tiene factores primos distintos, y

que es de la forma n = ps, para p un primo. Si p divide el orden u de c, entonces un elemento

x en A({c}, n) tiene orden nu. Exactamente n elementos del grupo cıclico 〈x〉 pertenecen a

A({c}, n), y todos generan el mismo subgrupo. Por lo que a({c}, n) es divisible por n.

Supongamos que n = ps, con p primo, es relativamente primo al orden u de c. Como β = 1,

c esta en el centro de G. Los elementos en el centro de G cuyos ordenes no son divisibles por p

forman un grupo abeliano B cuyo orden b no es divisible por p. Sean c1 y c2 dos elementos de

B. Como p - b la ecuacion c1 = c2yn tiene una unica solucion y en B. Pero entonces si xn = c1,

tenemos (xy)n = c2 y ası a({c}, n) tiene el mismo valor para todo c ∈ B. Se tiene entonces que

a(B, n) = ba({c}, n), para c ∈ B.

Finalmente, sean c ∈ Z(G), y C recorriendo las distintas clases de conjugacion en G. Se

tiene que:

α = ba({c}, n) +∑

C∩B=∅

a(C, n).

La anterior expresion, cuenta todos los elementos de G teniendo en cuenta a que clase de conju-

gacion pertenecen sus respectivas n-esimas potencias. Ahora m.c.d.(n, α) divide todo termino

a(C, n) del sumatorio, ya que todos los casos posibles de C han sido estudiados. Tambien, co-

mo m.c.d.(n, α) divide a α y m.c.d.(n, α) es coprimo con b, se sigue que m.c.d.(n, α) divide

a({c}, n) completando la prueba en todos los casos.

�

40

Si c es la identidad en el Teorema 2.12, entonces β = 1 y tenemos la forma original del

Teorema de Frobenius:

Corolario 2.13. Si n es un divisor del orden de un grupo G, entonces el numero de soluciones

de xn = 1 en G es un multiplo de n.

Teorema 2.14. Un grupo G de orden finito es resoluble si y solo si los factores de toda serie

de composicion de G son cıclicos de orden primo.

Demostracion. Supongamos que G = A0 �A1 � · · ·�Ar = 1 es una serie de composicion de

G, donde Ai−1/Ai es cıclico de orden primo para todo i = 1, . . . , r. Como G/A1 es abeliano,

tenemos que A1 ⊇ G′ por la Proposicion 1.9. Inductivamente se tiene que Ar ⊇ G(r) = 1, por

lo que G es resoluble.

Por otro lado, supongamos que G es resoluble y finito. Como G/G′ es abeliano y G′ 6= G,

existe un subgrupo A1 normal maximal de G tal que A1 ⊇ G′. Como G/A1 es simple y abeliano,

entonces es cıclico de orden primo. Otra vez, como A1 es resoluble por el Teorema 1.12, A1

contiene un subgrupo normal maximal A2 tal que A2 ⊇ A′1. Ası A1/A2 es abeliano y simple, y

por tanto de orden primo. Inductivamente, obtenemos G = A0 �A1 � · · ·�Ar = 1 con Ai−1/Ai

cıclico de orden primo para todo i = 1, . . . , r + 1. Por el Teorema de Jordan-Holder lo mismo

es cierto para toda serie de composicion.

�

Teorema 2.15. Sea G un grupo. Si dos factores consecutivos de la serie derivada G, digamos

G(i)/G(i+1) y G(i+1)/G(i+2) son cıclicos, entonces G(i+1)/G(i+2) = 〈1〉.

Demostracion. Teniendo en cuenta la igualdad (G(i)/G(n))′ = G(i+1)/Gn para i < n, podemos

tomar sin perdida de generalidad G′′′ = 〈1〉 tomando G′/G′′ y G′′/G′′′ cıclicos. Debemos mostrar

que G′′ = 〈1〉.

Sea b un generador de G′′. Ahora G es el normalizador de G′′, y CG(b) es el centralizador de

G′′. Luego G/CG(b) es isomorfo a un subgrupo del grupo de automorfismos de un grupo cıclico,

ası que es abeliano. Por lo tanto CG(b) ⊇ G′. Pero entonces G′′ esta contenido en el centro de

G′ y G′/G′′ es cıclico. Y entonces G′ es abeliano, ası que G′′ = 〈1〉. �

41

El siguiente teorema sera de especial relevancia, pues proporcionara la estructura de uno de

los tipos de subgrupos de anillos de division.

Teorema 2.16. Si los subgrupos de Sylow de un grupo finito G de orden k son todos cıclicos,

entonces G es metacıclico y esta generado por dos elementos a y b con G = 〈a〉 o 〈b〉 y las

relaciones:

am = 1, bn = 1, b−1ab = ar,

mn = k,

m.c.d.((r − 1)n,m) = 1,

rn ≡ 1 mod m.

Por otro lado, un grupo dado por estas relaciones cumple que todos sus subgrupos de Sylow son

cıclicos.

Demostracion. Sea k = pe11 · · · pess , donde p1 < p2 < · · · < ps, es la descomposicion de k en

primos. Vamos a demostrar primero que para m = pfjj p

ej+1

j+1 · · · pess , fj ≤ ej, la ecuacion xm = 1

tiene exactamente m soluciones.

Esto es cierto para m = k. Por lo tanto, es suficiente mostrar que si xmp = 1 tiene exacta-

mente m soluciones y p es el menor primo que divide a mp, entonces xm = 1 tiene exactamente

m soluciones.

Supongamos pues que m = pfh con p - h, y que pm|k y la ecuacion xpm = 1 tiene exac-

tamente pm soluciones en G. Como pf+1| |G| y los p-subgrupos de Sylow de G son cıclicos, G

tiene un elemento de orden pf+1. Por el Teorema 2.12, la ecuacion xm = 1 tiene lm soluciones

en G, para algun l ∈ N. Como todas ellas son soluciones de xpm = 1, entonces 1 ≤ l ≤ p. Pero si

l = p, entonces G no tendrıa elementos de orden pf+1. Luego l < p. Un elemento que satisface

xmp = 1 pero no xm = 1 tiene orden t, con pf+1|t, y en el grupo que genera dicho elemento,

habra ϕ(t) elementos, todos generando el mismo grupo cıclico, y todos con orden divisible por

pf+1.

Como pf+1 divide t, ϕ(t) es divisible por p−1. Por lo tanto, sea X el conjunto de elementos

que satisfacen xpm = 1 pero no xm = 1. Se tiene que |X| = pm − lm = (p − l)m. Definimos

42

la relacion de equivalencia en X, para x, y ∈ X, dada por x ∼ y si y solo si 〈x〉 = 〈y〉.

Claramente la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X de orden t tiene ϕ(t) elementos,

que es divisible por p− 1, ası que todas las clases tienen orden divisible por p− 1, y entonces

(p − 1)| |X| = (p − l)m. Como p era el menor primo que divide m, p − 1 no tiene factores

comunes con m, ası p − 1 divide a p − l, y como 1 ≤ l < p tenemos que l = 1. Esto es, la

ecuacion xm = 1 tiene exactamente m soluciones como querıamos ver.

En particular, para m = pess , xm = 1 tiene exactamente m soluciones. Pero existe un

subgrupo de Sylow de ese orden, que debe ser por tanto un subgrupo normal de G. Este es

cıclico.

Hemos mostrado que un grupo G para el cual todos sus subgrupos de Sylow son cıclicos

debe tener un subgrupo propio normal cıclico H, con |H| y [G : H] coprimos. Entonces H y

G/H tienen tambien subgrupos de Sylow cıclicos. Podemos asumir inductivamente que H y

G/H son resolubles, y ası, G es resoluble.

Un grupo abeliano cuyos subgrupos de Sylow son cıclicos es tambien cıclico. Por tanto, en

G ⊃ G′ ⊃ G′′ ⊃ · · · , los factores son cıclicos y por lo tanto, por el Teorema 2.15, G′′ = 1. Si

G′ = 1, entonces G es cıclico y este caso esta cubierto si tomamos b = 1, r = 1, n = 1, m = k.

Por lo tanto, supongamos G′ 6= 1, y sea a un generador de G′ con a de orden m. Sea b un

elemento de una clase G′b que sea un generador del factor cıclico G/G′. Aquı a y b generan G y

b−1ab = ar con r ∈ N, ya que G′ es un subgrupo normal de G. Si r = 1, G serıa abeliano y por

lo tanto cıclico, lo que contradice la hipotesis, y entonces r 6= 1. Si G/G′ es de orden n entonces

b−nabn = arn

= a y por tanto rn ≡ 1 mod m. Ahora, todo elemento de G es de la forma bjai,

y el conmutador mas general (buav, bjai) puede ser expresado en terminos de conmutadores de

la forma (ak, bt), ya que

(buav, bjai) = a−vb−ua−ib−jbuavbjai = a−v(b−ua−ibu)(b−javbj)ai

= a−v(b−javbj)(b−ua−ibu)ai = (av, bj)(bu, ai).

A su vez, un conmutador de la forma (ak, bt) se expresa de la forma a(r−1)h para algun h ∈ N,

pues (ak, bl) = a−kb−lakbl = ak(rl−1), y (r − 1)|(rl − 1). Por lo tanto ar−1 = (a, b) genera G′ y

m.c.d.(r − 1, m) = 1. Ahora bien, bn ∈ G′ es una potencia aj de a que permuta con b, por lo

que arj = aj (pues arj = (ar)j = (b−1ab)j = aj), pero ya que m.c.d.(r− 1, m) = 1, se tiene m|j,

43

y por tanto bn = 1.

Si m y n tienen un factor p en comun, 〈am/p, bn/p〉 es un subgrupo de G no cıclico de orden

p2, pues (am/p)bm/p

= (am/p)rm/p ∈ 〈am/p〉, contrariando el hecho de que los subgrupos de Sylow

son cıclicos. Por lo tanto m.c.d.(m,n) = 1. Esto completa la parte directa de la prueba.

Para la otra implicacion del teorema, si G = 〈a〉 o 〈b〉, y se cumplen las condiciones que

aparecen en el enunciado del teorema, entonces cada subgrupo de Sylow de G es conjugado a

un subgrupo de 〈a〉 o de 〈b〉, por lo que todo subgrupo de Sylow de G es cıclico.

�

2.3. Grupos nilpotentes y grupos resolubles

Esta seccion recoge algunos resultados que seran de utilidad para el Teorema 4.19.

Definicion 2.17. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Decimos que H es un subgrupo

caracterıstico de G, si α(H) ≤ H para todo α ∈ Aut(G).

El siguiente resultado proporciona distintas caracterizaciones para grupos finitos nilpotentes.

Su prueba puede verse en [Rob96, 5.2.4].

Teorema 2.18. Las siguientes propiedades son equivalentes para un grupo finito G:

i) G es nilpotente.

ii) Si H < G, entonces H < NG(H).

iii) Todo subgrupo maximal de G es normal en G.

iv) Todo subgrupo de Sylow de G es normal en G.

v) G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.

Teorema 2.19. Supongamos que G es un grupo finito, con G = MN para M, N �G. Si M y

N son nilpotentes, entonces G es nilpotente.

44

Demostracion. Sea p un divisor primo de |G|. Supongamos que p divide a |M ∩N |. Si P es

un p-subgrupo de Sylow de M ∩ N , P se extiende de forma unica a p-subgrupos de Sylow P1

y P2 de M y N respectivamente por el Teorema 2.18, ya que M y N son grupos nilpotentes

finitos. El subgrupo P1P2 de G, es de hecho, un p-subgrupo de Sylow de G. Como P1 y P2

son subgrupos caracterısticos de M y N respectivamente, el grupo P1P2 es normal en G, y por

tanto, es el unico p-subgrupo de Sylow de G.

Si p no divide a |M ∩N |, para un p-subgrupo de Sylow Q de G, se tiene que Q∩M y Q∩N

son p-subgrupos de Sylow de M y N respectivamente. Por tanto, Q es normal en G, ya que

Q = (Q ∩M)(Q ∩N). De esta manera, G tiene un unico p-subgrupo de Sylow.

Por el Teorema 2.18, se tiene que G es un grupo nilpotente.

�

Si G es un grupo. Se llama subgrupo de Fitting al subgrupo de G generado por todos los

subgrupos de G que son normales y nilpotentes. Como consecuencia del Teorema 2.19, para

grupos finitos, podemos dar la siguiente definicion equivalente.

Definicion 2.20. Sea G un grupo finito. Llamamos subgrupo de Fitting de G, y lo denotamos

por Fit(G), al mayor subgrupo normal nilpotente de G.

Claramente, el penultimo subgrupo de la serie derivada de un grupo resoluble es nilpotente.

Luego, si G es resoluble entonces Fit(G) 6= 〈1〉.

En vista del Teorema 2.18, el subgrupo de Fitting de un grupo finito es producto directo de

sus subgrupos de Sylow.

Teorema 2.21. Sea G un grupo resoluble y sea N un subgrupo normal minimal de G. Entonces

existe un numero primo p, tal que N es un subgrupo p-elemental abeliano de G.

Demostracion. Como N ′ es un subgrupo caracterıstico de N , entonces N ′ �G. Ası que, por

la minimalidad de N y teniendo en cuenta que N ′ 6= N pues N es resoluble, se tiene N ′ = 〈1〉,

luego N es abeliano.

Sea p| |N |. Consideremos el conjunto {x ∈ N |xp = 1}. Dicho conjunto es un subgrupo

45

caracterıstico de N , luego es normal en G y como no es trivial, debe coincidir con N . Ası que

N es un subgrupo p-elemental abeliano de G.

�

Teorema 2.22. Sea G un grupo resoluble. Entonces CG(Fit(G)) ≤ Fit(G).

Demostracion. Supongamos que CG(Fit(G)) � Fit(A) y sea A = Z(Fit(G)) < CG(Fit(G)).

Sea H minimal en cuanto a ser un subgrupo normal de G contenido en CG(Fit(G)) y conte-

niendo propiamente en A. Entonces H/A es un subgrupo normal minimal de G/A, luego por el

Teorema 2.21, H/A es abeliano. Ası H ′ ≤ A y (H ′, H) = 〈1〉, por lo que H es nilpotente, luego

H ≤ Fit(G). Por lo tanto, H ≤ A, que es una contradiccion.

�

Definicion 2.23. Un grupo G diremos que es superresoluble, si tiene una serie normal:

1 = G0 �G1 � · · ·�Gr = G,

de manera que Gi es normal en G y Gi/Gi−1 es cıclico para todo i = 1, . . . , r.

Es facil ver que todo grupo nilpotente finito es superresoluble.

El siguiente resultado sobre grupos superresolubles, corresponde con [Rob96, 5.4.9].

Teorema 2.24. Los elementos de orden impar de un grupo superresoluble forman un subgrupo

caracterıstico de G.

46

Capıtulo 3

Teorıa de Algebras de dimension finita

En este capıtulo vamos a ver diferentes resultados sobre algebras de dimension finita. Em-

pezaremos introduciendo el grupo de Brauer de un cuerpo, fijando la notacion y recogiendo

algunos resultados. Continuamos desarrollando la Teorıa de Valoraciones necesaria para nues-

tro estudio. Dedicaremos una seccion para calcular el ındice de ramificacion y el grado residual

de extensiones ciclotomicas de Q. Posteriormente, se introduce el producto cruzado para estu-

diar propiedades de las algebras cıclicas. Sobre Qp, estudiamos su estructura multiplicativa y los

ındices de ramificacion y grados residuales en sus extensiones ciclotomicas. La ultima seccion

contiene una prueba del Teorema de Wedderburn. Para la realizacion de este capıtulo, se han

seguido [Rei75], [Pie82], [Jac80], [Wei63], [Ser73], [Ser79], [Lam80], [Lan94], [Cas67] y [Jan73].

3.1. El grupo de Brauer

En esta seccion introducimos una relacion de equivalencia en la clase de las F -algebras

centrales simples de dimension finita. De esta manera, se define el grupo de Brauer de un

cuerpo, estudiando algunas propiedades. Se estudia tambien el ındice de Schur y el exponente.

Supongamos que F es un cuerpo y que A es una F -algebra simple. El centro Z(A) es un

subcuerpo de A, ası que podemos considerar Z(A)/F como una extension de cuerpos. Ademas,

si la dimension de A sobre F es finita, tendremos que la extension Z(A)/F es finita. Un caso

47

especial es cuando Z(A) = F , en cuyo caso diremos que A es una F -algebra central . Claramente

todo algebra es central sobre su centro. Denotamos por S(F ) a la clase de todas las F -algebras

de dimension finita que son centrales y simples.

Definimos una relacion de equivalencia en S(F ) dada por las siguientes condiciones equiva-

lentes ([Pie82, Lema 12.5]):

i) Existe un anillo de division D ∈ S(F ) y enteros positivos n y m tales que A ∼= Mn(D)

y B ∼=Mm(D).

ii) Existen enteros positivos r y s tales que A⊗F Mr(F ) ∼= B ⊗F Ms(F ).

Diremos que dos algebras A, B ∈ S(F ) son equivalentes ,y escribimos A ∼ B, si se cumple

alguna de las condiciones anteriores. Denotamos la clase de equivalencia de A por [A].

Definicion 3.1. Llamamos grupo de Brauer de F a S(F )/ ∼ y lo denotamos por Br(F ). La

operacion de Br(F ) esta dada por

[A][B] = [A⊗F B],

para cada [A], [B] ∈ Br(F ).

Proposicion 3.2. Para un cuerpo F , el grupo de Brauer de F es un grupo abeliano con

elemento unidad [F ] e inverso [A]−1 = [Aop].

Demostracion. Ver [Pie82, Proposicion 12.5a].

�

Toda clase en Br(F ) esta representada por un algebra de division que es unica salvo iso-

morfismos, pues si [A] ∈ Br(F ), entonces por ser A simple y por el Teorema de estructura de

Wedderburn ([Pie82, Teorema 3.5]) tenemos que A ∼= Mn(D) para D un algebra de division

unica, salvo isomorfismos. Ademas, esta claro que D es una F -algebra de dimension finita que

es central y simple, y que [A] ∼ [D].

Teorema 3.3. Sean A una F -algebra y B una subalgebra de A de dimension finita, central y

simple. Entonces A ∼= B ⊗F CA(B).

48

Demostracion. Ver [Jac80, Teorema 4.7].

�

Un caso particular del Teorema 3.3, es cuando A es una F -algebra central simple de dimen-

sion finita. En este caso, se conoce como el Teorema del Doble Centralizador.

Teorema 3.4. (Teorema del Doble Centralizador) Sea A ∈ S(F ), y supongamos que B es una

subalgebra simple de A. Entonces:

i) CA(B) es simple.

ii) (dimF (C))(dimF (CA(B))) = dimF (A).

iii) CA(CA(B)) = B.

iv) Si B es central simple, entonces CA(B) es central simple y A = B ⊗F CA(B).

Demostracion. Ver [Pie82, Teorema 12.7].

�

Sean A una F -algebra y E un subcuerpo de A que contiene a F . Decimos que E es un

subcuerpo maximal de A, si no existe ningun subcuerpo de A que contenga estrictamente a E.

Lema 3.5. Sea D un algebra de division sobre F . Si x ∈ D, entonces existe un subcuerpo E

de D tal que x ∈ E. Si dimF (D) < ∞, entonces la subalgebra F [x] = {φ(x)|φ ∈ F [X]} es un

subcuerpo de D.

Demostracion. Como F ⊆ Z(D), F [x] es una subalgebra conmutativa de D, y la aplicacion

θ : F [X] → F [x], dada por θ(φ) = φ(x), es un homomorfismo de algebras. Como D no tiene

divisores propios de cero, F [x] es un dominio. Ası que, el nucleo de θ es un ideal primo de

F [X]. Si θ no es inyectiva, lo que pasa si dimF (D) < ∞, entonces Ker(θ) es maximal y, por

tanto, F [x] es un cuerpo. Si θ es inyectiva, entonces E = {φ(x)χ(x)−1|φ, χ ∈ F [X], χ 6= 0} es

un subcuerpo de D que contiene a x.

�

49

Lema 3.6. Si A es una F -algebra con dimF (A) = k < ∞, y si n ∈ N es divisible por k,

entonces A es isomorfa a una subalgebra de Mn(F ).

Demostracion. Supongamos primero que n = k. Como dimF (A) = k < ∞, si fijamos una

F -base u1, . . . , uk de A, podemos ver A ∼= F k. Si x ∈ A, vıa este isomorfismo, la multiplicacion

de x en F k por la derecha induce un endomorfismo de F k, que esta representado por una matriz

χ(x) ∈ Mn(F ). Esto, define un homomorfismo χ : A → Mk(F ) inyectivo de F -algebras. De

esta manera, A es isomorfa a una subalgebra de Mk(F ).

Supongamos ahora que k divide a n. El resultado se tiene entonces, de la aplicacion diagonal

Φ : A→Mn(F ), de manera que segun la notacion anterior:

Φ(x) =

χ(x) 0 · · · 0

0 χ(x). . .

......

. . . . . . 0

0 · · · 0 χ(x)

,

que es un homomorfismo inyectivo de algebras que manda A a una subalgebra de la suma

directa de n/k copias de A.

�

Lema 3.7. Si A es una F -algebra simple de dimension finita, tal que F es un subcuerpo

maximal de A, entonces A ∼= Mn(F ) y F no tiene extensiones propias cuyo grado sobre F

divida a n, donde n = dimF (A)1/2.

Demostracion. Como A es de dimension finita sobre F y simple, por el Teorema de estructura

de Wedderburn, A ∼=Mn(D), donde D es un algebra de division sobre F . De hecho, veamos que

D = F . Si no fuera ası, por el Lema 3.5, existe un subcuerpo E de D que contiene propiamente

a F , pero como F es un subcuerpo maximal de A, esto no es posible. Si existe una extension

E de F tal que [E : F ] divide a n, Mn(F ) ∼= A contiene un subcuerpo isomorfo a E por el

Lema 3.6, lo que contradice otra vez la maximalidad de F .

�

50

Proposicion 3.8. Sea A ∈ S(F ), y supongamos que E es un subcuerpo de A con [E : F ] = k.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) E es un subcuerpo maximal de A.

ii) CA(E) ∼=Mn(E) y E no tiene extensiones propias K tales que [K : E] divide a n.

Si se satisfacen i) y ii), entonces dimF (A) = (kn)2.

Demostracion. Asumamos que E es un subcuerpo maximal de A. Como E es simple, tambien

lo es CA(E) por el Teorema del Doble Centralizador (Teorema 3.4). Ademas, E ⊆ Z(CA(E))

porque E es conmutativo. Ası que, CA(E) es una E-algebra simple, y como E es maximal en

A, tambien es maximal en CA(E). Por el Lema 3.7, existe n ∈ N tal que CA(E) ∼=Mn(E) y no

existen extensiones propias de E cuyo grado divida a n. El Teorema del Doble Centralizador

proporciona que dimF (A) = (dimF (E))(dimF (CA(E))) = [E : F ](dimF (Mn(E))). Por otra

parte, si se cumple ii), sea K un subcuerpo maximal de A con E ⊆ A. Entonces se tiene

K ⊆ CA(E) ∼=Mn(E). Por lo tanto, K es un subcuerpo maximal de B = CA(E) ∈ S(E). La

primera parte de la prueba implica que CB(K) ∼= Mm(K) y n2 = dimE(B) = (m[K : E])2.

En particular [K : E] divide a n, ası que E = K es un subcuerpo maximal de A.

�

Corolario 3.9. Si A ∈ S(F ), entonces dimF (A) = m2 para algun m ∈ N. Para todo subcuerpo

E de A que contenga a F tenemos que [E : F ] divide a m.

Definicion 3.10. Sea A ∈ S(F ), y sea m2 = dimF (A). Llamamos grado de A a m y lo

denotamos por Deg(A). Explıcitamente es

Deg(A) = dimF (A)1/2.

Sea A ∈ S(F ) y E un subcuerpo de A que contiene a F . Por el Corolario 3.9, sabemos que

[E : F ] |Deg(A), ası que [E : F ] ≤ Deg(A). Cuando [E : F ] = Deg(A), decimos que E es

un subcuerpo estrictamente maximal de A. Esta claro que, que un cuerpo sea estrictamente

maximal implica que sea maximal, sin embargo, el recıproco no es cierto en general.

51

Corolario 3.11. Sea A ∈ S(F ). Un subcuerpo E de A es estrictamente maximal si y solo

si CA(E) = E. Si A es un algebra de division, entonces todo subcuerpo maximal de A es

estrictamente maximal.

Demostracion. La primera afirmacion es consecuencia del Teorema del Doble Centralizador

(Teorema 3.4), ya que E ⊆ CA(E), y Deg(A)2 = dimF (A) = [E : F ](dimF (CA(E))). Si E

es un subcuerpo maximal de un algebra de division A, tal que Mn(E) ∼= CA(E) ⊆ A, por la

Proposicion 3.8, se tiene que n = 1, ya que A no tiene elementos nilpotentes no nulos. Ası que

CA(E) = E, y E es esctrictamente maximal.

�

Definicion 3.12. Sea A ∈ S(F ), y E una extension del cuerpo F . Diremos que E es un cuerpo

de escision para A si A⊗F E ∼=Mn(E) como E-algebras, donde n = Deg(A⊗F E) = Deg(A).

Cuando E sea un cuerpo de escision para A, en ocasiones para simplificar, diremos simple-

mente que E escinde A.

Si E es una extension finita del cuerpo F , podemos definir un homomorfismo de grupos

κ : Br(F ) → Br(E) donde κ([A]) = [A ⊗F E] (donde A ⊗F E es una E-algebra central

simple de dimension finita por [Pie82, Proposicion 12.4b]). El nucleo de este homomorfismo lo

denotaremos por Br(E/F ) y lo llamamos grupo de Brauer relativo a la extension E/F . Una

primera observacion es que [A] ∈ Br(E/F ) si y solo si [A ⊗F E] ∼= Mn(E) como E-algebras.

Es decir, que [A] ∈ Br(E/F ) si y solo si E es un cuerpo de escision para A.

Dado un cuerpo F y [A] ∈ Br(F ), sabemos que [A] ∼ [D] para D un algebra de division

unica salvo isomorfismos.

Definicion 3.13. En las condiciones anteriores, llamamos ındice de Schur de A (o simplemente

ındice de A), denotado por Ind(A) a

Ind(A) = Deg(D).

La definicion anterior es compatible con cada clase en el grupo de Brauer, en vista de que,

si A, B ∈ S(F ) y [A] = [B], entonces Ind(A) = Ind(B). Por otra parte, como A ∼= Mn(D)

52

para D una F -algebra de division y para algun n ∈ N, esta claro que Ind(A) divide a Deg(A).

Y por ultimo, Ind(A) = Deg(A) si y solo si A es un algebra de division.

El siguiente resultado tiene como consecuencia, que todo elemento del grupo de Brauer tiene

orden finito. Su prueba la podemos ver en [Pie82, Lema 14.4a].

Teorema 3.14. Si A ∈ S(F ) tiene ındice de Schur n, entonces [A]n = 1 en Br(F ).

Definicion 3.15. Sea A ∈ S(F ). Denotamos por Exp(A) al orden de [A] en Br(F ) y lo

llamamos exponente de A.

Una consecuencia directa de la definicion del exponente es que si A ∈ S(F ), se tiene

⊗Exp(A)i=1 A ∼= Mn(F ) para algun n ∈ N. Si ademas, B ∈ S(F ) es tal que [A] = [B], entonces

Exp(A) = Exp(B).

Corolario 3.16. Para todo A ∈ S(F ), Ind(A)|Exp(A).

Un resultado que veremos mas adelante, es que en el caso de que F sea un cuerpo de

numeros, entonces Ind(A) = Exp(A).

3.2. Valoracion, ındice de ramificacion y grado residual

Empezamos esta seccion introduciendo la teorıa necesaria sobre valoraciones, continuando

con la complecion mediante valoraciones. Se introducen el ındice de ramificacion y el grado

residual y se estudian algunas de sus propiedades.

Pasamos ahora a introducir los conceptos esenciales para la Teorıa de Valoraciones.

Definicion 3.17. Sea R un dominio de Dedekind, sea K su cuerpo de cocientes. Una valoracion

de K es una aplicacion v : K → R+ tal que, para todo a, b ∈ K, se tiene:

i) v(a) = 0 si y solo si a = 0.

ii) v(ab) = v(a)v(b).

iii) v(a+ b) ≤ v(a) + v(b).

53

Si ademas se satisface la siguiente condicion mas fuerte:

iv) v(a+ b) ≤ max(v(a), v(b)),

llamamos a v una valoracion no arquimediana de K. Si no se cumple iv), decimios que v es una

valoracion arquimediana. La valoracion trivial esta definida por las formulas v(0) = 0, v(a) = 1

para todo a ∈ K∗.

En lo que sigue, excluiremos la valoracion trivial en nuestros razonamientos.

Si v es una valoracion de K no arquimediana, se puede ver que se cumple para a, b ∈ K,

cuando v(a) 6= v(b), que v(a+ b) = max(v(a), v(b)).

El grupo de valoracion de una valoracion v de K es el grupo multiplicativo {v(a)| a ∈ K∗}.

Si el grupo de valoracion de v es un grupo cıclico infinito, decimos que v es una valoracion

discreta.

Dos valoraciones v, η de K decimos que son equivalentes si para cada a ∈ K se cumple:

v(a) ≤ 1 si y solo si η(a) ≤ 1.

Cada valoracion de K nos proporciona una topologıa en K. Veamos la topologıa tomando

directamente como base de entornos de un punto a ∈ K la familia de conjuntos:

{x ∈ K| v(x− a) < ε},

donde ε recorre todos los numeros reales positivos.

Si v es una valoracion de K. Decimos que K es un cuerpo local si es completo en la topologıa

definida por v. Si el cuerpo K no es completo, denotamos por Kv la complecion de K en la

topologıa definida por v. Dicha complecion Kv es un cuerpo, cuyos elementos son clases de

equivalencia de sucesiones de Cauchy, mediante la relacion de equivalencia: dos sucesiones de

Cauchy son equivalentes si y solo si la diferencia de las sucesiones tiene lımite cero. La valoracion

v se puede extender a una valoracion v de Kv de manera que v|K = v. En el caso de que v

sea una valoracion no arquimediana, la valoracion v es tambien no arquimediana. Si v es una

valoracion arquimediana, v tambien lo es, y las unicas posibilidades para Kv son R o C, siendo

en cualquiera de los casos v equivalente al valor absoluto usual.

54

Dada una valoracion no arquimediana v de K, sea

RK = {a ∈ K| v(a) ≤ 1},

que es un anillo al que llamamos anillo de valoracion de K por la valoracion v. El conjunto

P = {a ∈ K| v(a) < 1} es el unico ideal maximal de RK . Si v es una valoracion discreta, RK

se llama anillo de valoracion discreta. En este caso, P es un ideal principal, donde P = πRK

con π es cualquier elemento de P tal que v(π) < 1 y v(π) genera el grupo de valoracion de v.

Un elemento π ∈ RK que cumple la anterior propiedad, se llama elemento uniformizador de

RK . Al cuerpo kK = RK/P se le llama cuerpo residual de RK , o simplemente de K cuando no

de lugar a confusion.

Ahora vemos una manera de obtener valoraciones arquimedianas. Por ejemplo, para los

numeros complejos, el valor absoluto | · | es una valoracion arquimediana. Sea K un cuerpo

de numeros, y pongamos K = Q(a) para a ∈ C. Sea f el polinomio mınimo de a sobre Q.

Entonces existen elementos {αi} en C tales que f(X) =∏

(X − αi). Si µi representan las

distintas inclusiones de K en C, podemos definir las siguientes valoraciones arquimedianas:

vi : K → R+ con vi(k) = |µi(k)|, para k ∈ K.

De esta manera, si f tiene r1 raıces reales y 2r2 raıces complejas distintas, obtenemos r1 + r2

valoraciones no equivalentes de K.

Pasemos ahora a construir una valoracion no arquimediana. Asumamos que R es un Dominio

de Dedekind con cuerpo de cocientes K, y sea P un ideal maximal de R. Para cada elemento no

nulo a ∈ R podemos expresar de forma unica el ideal aR como producto de ideales primos de

R. Sea φP (a) el exponente de P en la factorizacion de aR. Si P no aparece en la factorizacion,

definimos φP (a) = 0. Ponemos tambien φP (0) = +∞ para todo ideal primo P de R. Para un

elemento de K, digamos k = ab, con a, b ∈ R, definimos φP (k) = φP (a)− φP (b). Ahora fijamos

κ ∈ R+, con κ > 1 y definimos vP de la siguiente forma:

vP (a) = κ−φP (a), para a ∈ K∗,

y vP (0) = 0. Entonces vP es una valoracion discreta no arquimediana de K, con grupo de

valoracion generado por κ. Llamamos a φP valoracion exponencial asociada con P , y a vP

valoracion P -adica.

55

Sean L y K dos cuerpos de numeros con K ⊆ L y [L : K] finito. Como es usual, denotamos

por OL y OK los anillos de enteros de L y K respectivamente, que son dominios de Dedekind

por el Corolario 1.48. Para evitar trivialidades, suponemos que [L : K] > 1.

Sea p un ideal maximal de OK . Extender el ideal p a OL es tomar el ideal pOL de OL.

Como OL es un dominio de Dedekind, podemos escribir,

pOL =

g∏i=1

peii ,

donde cada pi es un ideal maximal de OL y los ei son enteros positivos. Llamaremos a ei el

ındice de ramificacion de pi relativo a la extension L/K y lo denotamos por

e(pi, L/K), 1 ≤ i ≤ g.

Decimos que pi ramifica en L/K si e(pi, L/K) > 1. Por el contrario, diremos que pi no

ramifica en L/K si e(pi, L/K) = 1. Si para todo 1 ≤ i ≤ g se tiene que pi no ramifica en L/K

decimos que p no ramifica en L/K.

Como los ideales p y pi para 1 ≤ i ≤ g son maximales en sus respectivos anillos de enteros,

tenemos que OK/p y OL/pi son cuerpos. Ademas, veamos que podemos inyectar OK/p en

OL/pi para cada i.

Fijamos i. Como K ⊂ L, OK ⊂ OL y tenemos un monomorfismo µ : OK → OL dado por

µ(x) = x para x ∈ OK . Podemos construir entonces el homomorfismo µi : OK/p → OL/pi

definido por µ(x+ p) = x+ pi para x+ p ∈ OK/p. El homomorfismo µi es inyectivo, por ser un

homomorfismo de cuerpos. De esta manera, para 1 ≤ i ≤ g, OK/p es un subcuerpo de OL/pi.

Nuestro proposito ahora es el estudio de [OL/pi : OK/p], que resulta ser finito por el

Teorema 1.49. Ası que OL/pi

/OK/p es una extension de cuerpos finitos.

Llamamos grado residual de pi relativo a la extension L/K al grado de la extension de

cuerpos finitos OL/pi

/OK/p, y lo denotamos por

f(pi, L/K) = [OL/pi : OK/p].

La demostracion del siguiente resultado se aleja de nuestro proposito, ası que no la ponemos

aquı. Sin embargo, su demostracion puede verse en [Rei75, Teorema 4.30].

56

Teorema 3.18. Manteniendo la notacion anterior, se tiene que

g∑i=1

e(pi, L/K)f(pi, L/K) = [L : K].

Cuando existe un unico ideal q de OL, de forma que pOL = qe, y f(q, L/K) = 1, decimos

que la extension L/K es totalmente ramificada en p. Y si lo es para todo primo p de OK ,

entonces decimos que L/K es totalmente ramificada.

Supongamos que existe F , un cuerpo intermedio de L/K, maximal entre los cuerpos in-

termedios de L/K de manera que la extension L/K es no ramificada. A tal F le llamamos

extension maximal no ramificada de L/K.

Si la extension L/K es de Galois, y p es un ideal primo de OK , entonces Gal(L/K) actua

transitivamente en los ideales primos que aparecen en la factorizacion pOL = pe11 · · · pegg (ver

[Lan94, Corolario I.2]), pero fija el ideal p. Como consecuencia, se tiene que

e(pi, L/K) = e(pj, L/K), f(pi, L/K) = f(pj, L/K), para todo 1 ≤ i, j ≤ g.

Por tanto, en este caso, tiene sentido denotar el ındice de ramificacion y el grado residual de un

primo pi de OL en la extension L/K como e(p, L/K) = e(pi, L/K) y f(p, L/K) = f(pi, L/K),

respectivamente.

Corolario 3.19. Manteniendo la notacion anterior, para una extension de Galois L/K se tiene

que

[L : K] = ge(p, L/K)f(p, L/K).

Sea F un cuerpo de numeros. Entendemos por primo finito de F un ideal no nulo primo del

anillo de enteros de F . Un primo infinito de F , sera una clase de equivalencia de inclusiones en

C salvo conjugacion. Si p es un primo (finito o infinito) de F , denotamos por Fp la complecion

de F con respecto a la valoracion determinada por p.

Teorema 3.20. Sea A una F -algebra central simple de dimension finita, donde F es un cuerpo

de numeros. Sea p un primo (finito o infinito) de F , y denotemos por Ap la Fp-algebra central

simple

Ap = A⊗F Fp.

57

Entonces Ind(Ap) = Exp(Ap). Ademas,

Ind(A) = m.c.m.(Ind(Ap)| p es un primo de F )

Exp(A) = m.c.m.(Exp(Ap)| p es un primo de F ).

En particular Exp(A) = Ind(A).

Demostracion. Ver [Rei75, Teoremas 32.17 y 32.19].

�

Corolario 3.21. Sean D1 y D2 dos F -algebras de division centrales simples, donde F es un

cuerpo de numeros. Entonces, D1⊗FD2 es un algebra de division si y solo si Ind(D1) e Ind(D2)

son numeros coprimos.

Demostracion. Sea A = D1 ⊗F D2, que es central simple sobre F . Como F es un cuerpo de

numeros, por el Teorema 3.20, Exp(A) = Ind(A), Exp(D1) = Ind(D1) y Exp(D2) = Ind(D2).

A es un algebra de division si y solo si Exp(A) = Deg(A). Pero Deg(A) = Deg(D1)Deg(D2)

y Deg(D1) = Exp(D1), Deg(D2) = Exp(D2), ya que D1 y D2 son algebras de division. Esta cla-

ro que si Exp(A) = Exp(D1)Exp(D2), entonces Ind(D1) e Ind(D2) son coprimos, ası que queda

ver que si Ind(D1) e Ind(D2) son coprimos entonces Exp(A) = Exp(D1)Exp(D2). Supongamos

que Ind(D1) e Ind(D2) son coprimos. Claramente, Exp(A) divide am.c.m.(Exp(D1), Exp(D2))

que coincide con Exp(D1)Exp(D2). Por reduccion al absurdo, supongamos que

n = Exp(A) 6= Exp(D1)Exp(D2).

Entonces [D1 ⊗F D2]n = [D1]n · [D2]n = [F ]. Es decir, [D1]n ∈ 〈[D2]〉, luego el orden de

[D1]n en Br(F ) divide a Exp(D2). Pero como Exp(D1) y Exp(D2) son coprimos, tenemos que

[D1]n = [F ]. Analogamente, se tiene que [D2]n = [F ]. Y entonces, m.c.m.(Exp(D1), Exp(D2))|n

que es una contradiccion.

�

Con la notacion sobre compleciones introducida, y en vista de [Jan73, Proposicion II.3.8] se

tiene:

58

Teorema 3.22. Sean L/K una extension finita de Galois y p un primo finito de K. Si q es

un primo finito de L que contiene a p, entonces

[Lq : Kp] = e(p, L/K)f(p, L/K).

Vamos ahora estudiar algunas propiedades sobre la extension de una valoracion.

Proposicion 3.23. Sea K un cuerpo local con una valoracion discreta v, con anillo de valora-

cion RK. Sean L/K una extension finita de K, y B la clausura entera de RK en L. Entonces B

es un anillo de valoracion discreta, que es un RK-modulo libre de rango n = [L : K]. Tambien

se tiene que L es completo en la topologıa definida por B.

Demostracion. Ver [Ser79, Proposicion II.2.3].

�

Cuando K es un cuerpo local con una valoracion discreta v, y L una extension finita de

K, como consecuencia de la Proposicion 3.23, tenemos que v se extiende de forma unica a una

valoracion w en L. Ademas, tenemos que w es una valoracion discreta de L, ası que RL tiene

un unico ideal maximal. Por el Teorema 3.18, se tiene que [L : K] = ef , donde e y f son el

ındice de ramificacion y el grado residual de L/K respectivamente.

En el siguiente resultado se da explıcitamente como es la valoracion extendida de una

valoracion discreta en una extension finita de cuerpos locales.

Corolario 3.24. Sea L/K es una extension finita de cuerpos locales. Supongamos que K tiene

una valoracion discreta v y que f denota el grado residual de la extension L/K. Si denotamos

por w la valoracion de L que extiende v, entonces para todo x ∈ L se tiene que

w(x) = (1/f) · v(NL/K(x)).

Corolario 3.25. Sean L/K es una extension finita de cuerpos locales con valoraciones dis-

cretas. Supongamos que v y w son las valoraciones discretas de K y L respectivamente, de

forma que w|K = v. Entonces dos elementos de L que son conjugados sobre K tienen la misma

valoracion.

59

Demostracion. Ver [Ser79, Corolario II.2.3].

�

Sea L/K una extension finita separable, con ındice de ramificacion e, y grado residual

f . Denotamos por kL, kK los cuerpos residuales de L y K respectivamente. Para a ∈ L,

denotamos por a la proyeccion de a en kL. Analogamente, lo hacemos para K. Entonces, segun

la Observacion de la pagina 20, de [Cas67], tenemos que para a ∈ L,

NL/K(a) = NkL/kK (a)e.

Como consecuencia del comentario anterior y de [Cas67, Proposicion I.7.3] tenemos el si-

guiente corolario:

Corolario 3.26. Supongamos que L/K es una extension no ramificada. Entonces una unidad

en UK es una norma en UL si y solo si su clase residual modulo p es una norma de kL. En

particular, si kK es finito entonces

NL/K(UL) = UK .

Sea L ⊇ E ⊇ K una torre de cuerpos, siendo L/K una extension finita. Se tiene que

NL/K = NE/K ◦ NL/E. Esto, implica que NE/K induce un homomorfismo que volvemos a de-

notar por NE/K . Este homomorfismo es NE/K : E∗/NL/E(L∗) → K∗/NL/K(L∗), dado por

NE/K(xNL/E(L∗)) = NE/K(x)NL/K(L∗), para todo x ∈ E.

Proposicion 3.27. Sea L ⊇ E ⊇ K una torre de cuerpos locales, con L/K finita abeliana.

Entonces tenemos un diagrama conmutativo

Gal(L/E)θL/E //

u

��

E∗/NL/E(L∗)

NE/K��

Gal(L/K)θL/K// K∗/NL/K(L∗)

donde u es la inclusion y θL/E, θL/K son isomorfismos.

Demostracion. Consecuencia de [Ser79, Corolario XIII.4 y Proposicion XIII.4.10].

�

60

Corolario 3.28. Consideremos la torre de cuerpos locales L ⊃ E ⊃ K, con L/K finita abelia-

na. Sea x ∈ E∗. Entonces

x ∈ NL/E(L∗) si y solo si NE/K(x) ∈ NL/K(L∗)

Demostracion. El enunciado del corolario es equivalente a que sea inyectivo el homomorfismo

NE/K : E∗/NL/E(L∗)→ K∗/NL/K(L∗). Esto se sigue de la Proposicion 3.27, porque obviamente

la aplicacion u es inyectiva.

�

3.3. Indice de ramificacion y grado residual en cuerpos

ciclotomicos

A continuacion se recogen algunos resultados que nos sirven para calcular el ındice de ramifi-

cacion y el grado residual de ideales generados por numeros primos en extensiones ciclotomicas

de los racionales.

Teorema 3.29. Si p - m, entonces (p) se factoriza en OQ(ζm) como producto de r ideales primos

distintos con grado residual f = f(2,Q(ζm)/Q), donde rf = ϕ(m) y f = Om(p). En particular,

p no ramifica en Q(ζm).

Demostracion. Ver [Wei63, Teorema 7.2.4].

�

Proposicion 3.30. Sean s ≥ 1 y ζps una raız ps-esima primitiva de la unidad. Entonces existe

un unico ideal primo p en OQ(ζps ) que contiene a p y e(p,Q(ζps)/Q) = ϕ(ps). De hecho, el ideal

primo 〈1− ζps〉 en OQ(ζps ) es primo, y

pOQ(ζps ) = 〈1− ζps〉ϕ(ps).

Es decir, la extension Q(ζps)/Q es totalmente ramificada en p.

61

Demostracion. Toda raız ps-esima primitiva de la unidad es una raız de Xps − 1 pero no de

Xps−1 − 1. Tenemos por tanto que:∏m.c.d.(i, ps)=1

(X − ζ ips) =Xps − 1

Xps−1 − 1= Xps−1(p−1) +Xps−1(p−2) + · · ·+Xps−1

+ 1,

y en particular,

p =∏

m.c.d.(i, ps)=1

(1− ζ ips).

Para cada uno de estos i, (1− ζ ips)/(1− ζps) = 1 + ζps + · · ·+ ζ i−1ps que pertenece a OQ(ζps ). De

la misma forma, si elegimos j de tal manera que ij ≡ 1 mod ps, entonces m.c.d.(j, ps) = 1 y

(1− ζps)/(1− ζ ips) = (1− (ζ ips)j)/(1− ζ ips) ∈ OQ(ζps ). Por lo tanto, 1− ζ ips y 1− ζps son asociados

en OQ(ζps ), y podemos escribir

p = u(1− ζps)ϕ(ps),

donde u es una unidad en OQ(ζps ).

Supongamos que p es otro ideal primo de OQ(ζps ) que contiene a p. Recordemos que φp

denota la valoracion exponencial asociada a p. Entonces

e(p, Q(ζps)/Q) = e(p, Q(ζps)/Q)φp(p) = ϕ(ps)φp(1− ζps).

Ya que 1 ≤ e(p, Q(ζps)/Q) ≤ [Q(ζps) : Q] = ϕ(ps), se sigue que φp(1 − ζps) = 1 y por tanto

e(p, Q(ζps)/Q) = ϕ(ps).

�

La anterior prueba, proporciona el siguiente resultado:

Proposicion 3.31. Supongamos que F es un cuerpo de numeros, que p es un numero primo

y que p es un primo finito de F , con φp(p) = 1. Sean ζps una raız ps-esima primitiva de la

unidad y E = F (ζps). Entonces p tiene una unica extension q en E, y se tiene f(q, E/F ) = 1,

y e(q, E/F ) = ϕ(ps) = [E : F ]. En particular, el polinomio ciclotomico Φps(X) es irreducible

sobre F .

Demostracion. Ver [Wei63, Teorema 7.4.2].

�

62

Teorema 3.32. Si p|m y escribimos m = psm′ con m.c.d.(p,m′) = 1, entonces (p) factoriza

en OQ(ζm) de la forma

pOQ(ζm) = (p1p2 · · · pr)ϕ(ps)

donde p1, . . . , pr son los distintos ideales primos de OQ(ζm) que dividen p. Se tiene tambien que

f = f(p, Q(ζm)/Q) = Om′(p), y se cumple fr = ϕ(m′).

Demostracion. Primero, observemos que, en general, si m = m1 · · ·mt con los mi relativa-

mente primos, entonces ζm puede ser escrito de la forma ζm = ζm1 · · · ζmt , donde ζmi es una

potencia de ζm. En nuestro caso, tenemos Q(ζm) = Q(ζps , ζm′). Si factorizamos p en el anillo

de enteros Q(ζm′) y posteriormente factorizamos en el anillo de enteros de Q(ζm), el teorema

queda probado por el Teorema 3.29 y la Proposicion 3.31.

�

3.4. Producto cruzado

Para la clasificacion de los grupos de la forma CmoCn que pueden ser inyectados en anillos

de division, necesitamos del producto cruzado, que pasamos a definir.

Consideramos una extension de Galois L/K, con grupo de Galois G = Gal(L/K). Sea

A = ⊕σ∈G Luσ teniendo como L-base una lista de sımbolos {uσ|σ ∈ G}. Pasamos a definir la

aritmetica de nuestro algebra. La suma la haremos utilizando A como L-espacio vectorial con

base {uσ}σ∈G. Para el producto, utilizaremos las siguientes formulas:

uσx = σ(x)uσ, uσuτ = fσ, τuστ x ∈ L, σ, τ ∈ G,

donde los fσ, τ ∈ L∗, y extendemos por linealidad. Evidentemente los elementos de K conmutan

con todo el algebra, es decir K ⊆ Z(A), pero L no esta contenido en Z(A) salvo que K = L.

Veamos ahora las condiciones que debemos imponerles a los fσ, τ para que el algebra A sea

asociativa. Sera asociativa si uρ(uσuτ ) = (uρuσ)uτ para todo σ, τ, ρ ∈ G, lo cual se cumple si y

solo si se cumple:

ρ(fσ, τ )fρ, στ = fρ, σfρσ, τ para todo ρ, σ, τ ∈ G.

63

Una aplicacion f : G×G→ L∗ satisfaciendo la anterior propiedad se llama un conjunto factor

o 2-cociclo. Dado tal f , el algebra construida A es un producto cruzado denotado por (L/K, f).

Si f y g son conjuntos factores, entontes tambien lo es fg, donde por definicion:

(fg)σ, τ = fσ, τgσ, τ σ, τ ∈ G.

Sea ahora A = ⊕σ∈G Luσ como antes, y sea {cσ|σ ∈ G} un conjunto de elementos en L∗, y

pongamos vσ = cσuσ, σ ∈ G. Entonces A = ⊕σ∈G Lvσ, y

vσx = σ(x)vσ, vσvτ = gσ, τvστ σ, τ ∈ G,

donde

gσ, τ = cσσ(cτ )c−1στ fσ, τ , σ, τ ∈ G.

La aplicacion δc : G×G→ L∗, dada por

(δc)σ, τ = cσσ(cτ )c−1τ , σ, τ ∈ G,

es tambien un conjunto factor. Claramente se tiene g = (δc)f , y que

(L/K, f) ∼= (L/K, (δc)f),

para cada c : G→ L∗.

Un conjunto factor f se dira trivial, si fσ, τ = 1 para todo σ, τ ∈ G. Y dos conjuntos factores

f y g se diran equivalentes , si g = (δc)f para algun c. A un conjunto factor f que satisface

fσ, 1 = f1, σ = 1 σ ∈ G

le llamaremos conjunto factor normalizado. Podemos ver, que todo conjunto factor es equiva-

lente a un conjunto factor normalizado.

En lo que sigue, consideramos siempre conjuntos factores f normalizados. En este caso,

vemos siempre L contenido en A identificandolo con Lu1. Ası, un elemento l ∈ L, lo veremos

en A como lu1.

Teorema 3.33. Para cada conjunto factor f : G×G→ L∗, el producto cruzado A = (L/K, f)

es una K-algebra central simple que contiene a L como subcuerpo maximal. Si g es otro conjunto

factor, entonces existe un K-isomorfismo

(L/K, f) ∼= (L/K, g),

64

si y solo si los conjuntos factores f y g son equivalentes.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que los conjuntos factores f y

g estan normalizados. Es facil comprobar que K es el centro de A, pues es facil comprobar que

Z(A) ⊆ Lu1, y para x ∈ L\K se tiene que existe al menos un σ ∈ G, con σ(x) 6= x. Tambien

es facil ver que CA(L) = L, ası que L es un subcuerpo maximal de A.

Para probar que A es simple, definamos primero una aplicacion sobre los elementos de A.

Si x ∈ A, sabemos que x se expresa de forma unica como x =∑

σ∈G aσuσ, con aσ ∈ L para

todo σ ∈ G. Definimos entonces ω : A → N, utilizando la anterior expresion de x, dada por

ω(x) = |{σ ∈ G| aσ 6= 0}|.

Tomemos ahora X un ideal bilatero de A no nulo, y sea

x = aσ1uσ1 + · · ·+ aσruσr ∈ X,

con r minimal en ω(X). Si r > 1, elegimos b ∈ L con σ1(b) 6= σ2(b). Entonces x − σ1(b)−1xb

es un elemento no nulo de X con ω(x− σ1(b)−1xb) < ω(x), lo que es una contradiccion con el

hecho de que r > 1, ası que ha de ser r = 1. Pero entonces X contiene un elemento no nulo

aσ1uσ1 , que es invertible en A, y por lo tanto X = A. Por lo que A es una K-algebra central

simple.

Ahora sea B = ⊕σ∈G Lvσ, donde {vσ} se multiplican segun un conjunto factor g. Cualquier

isomorfismo de K-algebras φ : A → B debe preservar el elemento unidad, ası que φ(u1) = v1.

Por lo tanto φ(Lu1) = L′v1, donde L′ es un cuerpo K-isomorfo a L. Sea u′σ = φ(uσ), σ ∈ G.

Entonces σ(Luσ) = L′v1u′σ = L′u′σ. Por lo que,

B = ⊕σ∈G L′u′σ, u′σφ(x) = φ(σ(x))u′σ, u′σu′τ = φ(fσ, τ )u

′στ ,

para x ∈ L, σ, τ ∈ G. Por otra parte, L′v1 y Lv1 son subalgebras simples de B que son

K-isomorfas. Por el Teorema de Skolem-Noether (ver [Rei75, Teorema 7.21]), existe un auto-

morfismo θ de B, tal que θ(φ(x)) = x, para x ∈ L. Aplicando θ a las ecuaciones que determinan

la multiplicacion en B y poniendo wσ = θ(u′σ), para todo σ ∈ G, tenemos que

B = ⊕σ∈G Lwσ, wσx = σ(x)wσ, wσwτ = fσ, τwστ .

65

Luego para cada σ ∈ G, wσv−1σ conmuta con cada elemento x ∈ L. Como L es su propio

centralizador, tenemos wσ = cσvσ para algun cσ ∈ L. Como {wσ} son una L-base para B,

entonces cσ ∈ L∗. Y entonces f y g son equivalentes, lo que demuestra el teorema, puesto que

si f es equivalente a g, entonces A ∼= B.

�

Corolario 3.34. Sea n = [L : K]. Entonces (L/K, f) ∼=Mn(K) si y solo si f es equivalente

al conjunto factor trivial.

Demostracion. Por el Teorema 3.33, solo necesitamos probar que (L/K, 1) ∼=Mn(K), donde

1 es el conjunto factor trivial. En estas condiciones,

(L/K, 1) = ⊕σ∈G Luσ, uσx = σ(x)uσ, uσuτ = uστ ,

para x ∈ L, σ, τ ∈ G. Sea x ∈ L, vamos a denotar por ρx a la multiplicacion de x por la

derecha en L. Tomamos un elemento generico a ∈ (L/K, 1), y lo expresamos de la forma

a =∑

σ∈G xσuσ. Definimos el homomorfismo de algebras

Ψ : (L/K, 1)→ HomK(L, L), dado por Ψ(a) =∑σ∈G

ρxσ ◦ σ.

Puesto que Ψ es un homomorfismo no nulo de anillos y (L/K, 1) es simple, Ψ es inyectiva.

Ademas, se tiene que dimK(L/K, 1) = dimK(HomK(L, L)) = n2. Ası que Ψ es un isomorfismo.

�

Teorema 3.35. Sea G = Gal(L/K), y sean f y g dos conjuntos factores de G a L∗. Entonces

se tiene la siguiente equivalencia en el grupo de Brauer Br(K):

(L/K, f)⊗K (L/K, g) ∼ (L/K, fg).

Demostracion. Ver [Rei75, Teorema 29.9].

�

66

Pasamos ahora al estudio de un caso particular de productos cruzados. Consideramos L/K

una extension de Galois cıclica finita. Sea n el orden de Gal(L/K) y sea a ∈ K∗, formamos la

K-algebra asociativa:

A = (L/K, σ, a) = ⊕n−1j=0 Lu

j, ux = σ(x)u, un = a, x ∈ L,

donde identificamos u0 con el elemento unidad de A. Con la anterior estructura, llamamos a A

un algebra cıclica.

Esta claro que A es un producto cruzado con L-base {uj} y las siguientes relaciones:

ujx = σj(x)uj, uiuj =

ui+j, si i+ j < n

auk, con 0 ≤ k < n y k ≡ i+ j mod n, si i+ j ≥ n

para 0 ≤ i, j ≤ n− 1, x ∈ L. Ası A ∼= (L/K, f) donde f esta dado por

fσi, σj =

1, si i+ j < n

a, si i+ j ≥ n0 ≤ i, j < n.

Por el Teorema 3.33, sabemos que A es una K-algebra central simple, que contiene a L

como subcuerpo maximal, y que por tanto L es un cuerpo de escision de A por el Teorema 3.3

y la Proposicion 3.8.

Teorema 3.36. Sea G = Gal(L/K) = 〈σ〉 un grupo cıclico de orden n, y sea B = (L/K, g)

un producto cruzado, donde g es un conjunto factor normalizado. Entonces

(L/K, g) ∼= (L/K, σ, a), a =n−1∏j=0

gσj , σ ∈ K∗.


�

Teorema 3.37. Sea Gal(L/K) = 〈σ〉 un grupo cıclico de orden n, y sean a, b ∈ K∗. Entonces:

i) (L/K, σ, a) ∼= (L/K, σs, as) para cada s ∈ Z, tal que m.c.d.(s, n) = 1.

ii) (L/K, σ, 1) ∼=Mn(K).

67

iii) (L/K, σ, a) ∼= (L/K, σ, b) si y solo si

ba−1 ∈ NL/K(L∗).

En particular, (L/K, σ, a) ∼ K si y solo si a ∈ NL/K(L∗).

iv) (L/K, σ, a)⊗K (L/K, σ, b) ∼ (L/K, σ, ab).

Demostracion. Sean

A = (L/K, σ, a) = ⊕n−1j=0 Lu

j, B = (L/K, σ, b) = ⊕n−1j=0 Lv

j,

donde, para todo x ∈ L,

ux = σ(x)u, un = a; vx = σ(x)v, vn = b.

Si m.c.d.(s, n) = 1, entonces 〈σ〉 = 〈σs〉 y

A = ⊕n−1j=0 Lw

j, donde w = us.

Ademas, es facil comprobar las relaciones:

wx = σs(x)w, wn = as, x ∈ L,

por lo que se cumple i).

Para el apartado ii), nos fijamos en que si a = 1, entonces A ∼= (L/K, f) donde f = 1, y

por el Corolario 3.34, obtenemos este apartado.

Para iii), tomemos cualquier c ∈ L∗, entonces,

A = ⊕n−1j=0 L(cu)j,

y tenemos que

cux = σ(x)cu, x ∈ L,

(cu)n = cu · cu · · · cu = cσ(c) · · ·σn−1(c)un = (NL/K(c))a.

Entonces A ∼= (L/K, σ, aNL/K(c)). Recıprocamente, si tenemos un K-isomorfismo de A en B,

podemos suponer que A = B por el argumento utilizado en la demostracion del Teorema 3.33.

Pero entonces vu−1 centraliza L, y CA(L) = L, ası que v = cu para algun c ∈ L∗. Por lo tanto,

b = vn = (cu)n = (NL/K(c))a,

68

como querıamos demostrar.

El apartado iv) es consecuencia del Teorema 3.35, observando la estructura de los conjuntos

factores f, g con f, g tales que A ∼= (L/K, f) y B ∼= (L/K, g).

�

Corolario 3.38. Sea A = (L/K, σ, a) un algebra cıclica. Entonces Exp(A) es el menor entero

positivo t tal que at ∈ NL/K(L∗). Si Exp(A) = [L : K], entonces A es un anillo de division.

Demostracion. Tenemos que [A]t = [(L/K, σ, a)⊗K · · · ⊗K (L/K, σ, a)] = [(L/K, σ, at)] en

Br(K) por el Teorema 3.37 apartado iv). Ası [A]t = 1 en Br(K) si y solo si at ∈ NL/K(L∗)

por los apartados ii), iii) del Teorema 3.37, puesto que [Mn(K)] = [K] en Br(K), para todo

n ≥ 1.

Para la segunda parte, sea n = [L : K], ası que [A : K] = [A : L] · [L : K] = n2. Si

A ∼= Mr(D) donde D es un anillo de division, pongamos m = Ind(A) = Ind(D). Entonces

n = mr. Como Exp(A)|Ind(A), tenemos que m = n, y entonces r = 1, teniendose ası que A es

un anillo de division.

�

Teorema 3.39. Supongamos que Gal(L/K) = 〈σ〉 es un grupo cıclico de orden n, y sea a ∈ K∗.

Sea E un cuerpo que contiene a K, y sea EL el menor subcuerpo que contiene a E y L en un

cuerpo F que contiene a E y L. Podemos escribir

〈σk〉 = Gal(L/L ∩ E) ∼= Gal(EL/E),

donde k es el menor entero positivo tal que σk fija L ∩ E. Entonces,

E ⊗K (L/K, σ, a) ∼ (EL/E, σk, a).


�

69

Teorema 3.40. (Teorema de la Norma de Hasse) Sean L una extension cıclica de un cuerpo

de numeros K y a ∈ K. Para cada primo p en K, elegimos un primo P en L que extienda p.

Entonces

a ∈ NL/K(L)⇔ a ∈ NLP /Kp(LP ) para cada p.


�

3.5. El cuerpo de los numeros p -adicos Qp

En esta seccion se trata de abordar las propiedades elementales del anillo de los enteros

p-adicos Zp y el cuerpo de numeros p-adicos Qp.

A lo largo de la seccion, p es un numero primo. Para todo n ≥ 1, An = Z/pnZ, el anillo de los

enteros modulo pn. Para cada n > 1, tenemos un homomorfismo suprayectivo φn : An → An−1

dado por φ(x+ pnZ) = x+ pn−1Z para cada x ∈ Z. El nucleo de φn es pn−1An. La sucesion

· · · φn+1−−−→ Anφn−→ An−1

φn−1−−−→ · · · φ3−→ A2φ2−→ A1,

forma un sistema proyectivo indexado por los enteros mayores o iguales a 1.

En las condiciones anteriores, con tal sucesion (An, φn), llamamos lımite proyectivo de

(An, φn) (o simplemente An) al subgrupo de∏

n≥1An formado por los x = (xn) ∈∏

n≥1An

tales que φn(xn) = xn−1 para todo n ≥ 2.

Definicion 3.41. El anillo de los enteros p-adicos Zp es el lımite proyectivo del sistema (An, φn)

definido anteriormente, que se denota por Zp = lim←−An. Los elementos de Zp son llamados

enteros p-adicos. La suma y la multiplicacion estan definidos coordenada a coordenada.

Esta claro que Zp es un subanillo del producto∏

n≥1An. Para cada n ≥ 1, vamos a denotar

por πn : Zp → An al homomorfismo de anillos que asocia a un entero p-adico su n-esima

componente. Empecemos a estudiar algunas propiedades de Zp.

70

Proposicion 3.42. Denotamos por ρpn el homomorfismo resultante de multiplicar por pn. La

sucesion 0→ Zpρpn−−→ Zp

πn−→ An → 0 es una sucesion exacta corta de grupos abelianos.

Lo anterior muestra que podemos identificar Zp/pnZp con An = Z/pnZ.

Proposicion 3.43. En el anillo de enteros p-adicos se cumplen:

i) Un elemento de Zp (respectivamente de An) es invertible si y solo si no es divisible por p.

ii) Si U denota el grupo Z∗p de los elementos invertibles de Zp, entonces todo elemento de Zppuede ser expresado de forma unica de la forma pnu, con u ∈ U y n ≥ 0.

Demostracion. Para demostrar i), es suficiente hacerlo para un elemento de An. Pero en An

sabemos que i) es cierto, puesto que los elementos invertibles en An son precisamente aquellos

que no pertenecen a pAn.

Para ii), sea x ∈ Zp un elemento no nulo. Sea n el menor entero positivo tal que φn+1(x) 6= 0,

entonces x = pnu, con u no divisible por p. Por tanto, u ∈ U .

�

Fijemos ahora notacion. Dado un elemento x ∈ Zp, lo expresamos de la forma explicada en

la Proposicion 3.43 ii), de la forma x = pnu. Al entero n se le llama la valoracion p-adica de x

y es denotada por vp(x). Ponemos vp(0) = +∞, y para x, y ∈ Zp tenemos:

vp(xy) = vp(x) + vp(y), vp(x+ y) ≥ mın{vp(x), vp(y)}.

Las anteriores formulas muestran facilmente que Zp es un dominio.

Con esta valoracion, podemos definir en Zp una metrica. Sean x, y ∈ Zp, definimos la

distancia como:

d(x, y) = e−vp(x−y).

Con esta metrica, el anillo Zp es un espacio metrico completo en el cual Z es denso (ver

[Ser73, Proposicion II.1.3]).

Definicion 3.44. El cuerpo de los numeros p-adicos, denotado por Qp, es el cuerpo de cocientes

de Zp.

71

Una observacion directa es que Qp = Zp[p−1]. Utilizando la Proposicion 3.43, todo elemento

x de Qp puede ser expresado unicamente de la forma pnu con n ∈ Z y u ∈ U , donde recordemos

que U = Z∗p. Al entero n se le llama tambien valoracion p-adica del numero p-adico x, y se

denota por vp(x). Un elemento x ∈ Qp cumple vp(x) ≥ 0 si y solo si x ∈ Zp.

Pasamos ahora a estudiar el grupo multiplicativo de Qp. Otra vez aquı, tomamos U = Z∗p.

Fijamos notacion para el resto del documento. Para cada n ≥ 1, ponemos Un = 1 + pnZp,

que es el nucleo del homomorfismo πn : U → (Z/pnZ)∗. En particular, para n = 1 tenemos

el isomorfismo U/U1∼= (Z/pZ)∗ ∼= F∗p, donde Fp representa al cuerpo finito con p elementos.

Por lo tanto el cociente U/U1 es cıclico de orden p − 1. Los grupos Un forman una sucesion

decreciente de subgrupos de U que cumplen tambien U/Un ∼= (Z/pnZ)∗, y U = lim←−U/Un. Si

ahora n ≥ 1, el homomorfismo φ : Un/Un+1 → Z/pZ dado por φ(1 + pnx) = x mod p, donde

x ∈ Zp, es un isomorfismo. En lo anterior, se hace una identificacion de Z/pZ contenido en Zpviendo los elementos y ∈ Z/pZ como sucesiones x = (. . . , y, . . . , y) ∈ Zp. El isomorfismo es

consecuencia de la formula:

(1 + pnx)(1 + pny) ≡ 1 + pn(x+ y) mod pn+1.

Por induccion vemos que U1/Un tiene orden pn−1.

Lema 3.45. Sea 0 → Aα−→ E

β−→ B → 0 una sucesion exacta corta de grupos abelianos (con

notacion aditiva), con A y B finitos de ordenes a y b respectivamente, coprimos entre sı. Sea

B′ = {x ∈ E| bx = 0}. En estas condiciones, el grupo E = α(A)⊕B′, con B′ el unico subgrupo

de E isomorfo a B.

Demostracion. Como a y b son coprimos entre sı, existen enteros r, s ∈ Z tales que ar+bs = 1.

Sean x ∈ α(A) ∩ B′, e y el unico elemento de A tal que α(y) = x. Como x ∈ B′, se tiene que

bx = bα(y) = α(by) = 0, pero como α es inyectiva, se tiene que by = 0. Como a = |A| es

coprimo con b, se sigue que y = 0 y tambien x = 0. Por tanto α(A) ∩B′ = 0.

Todo elemento x ∈ E, puede ser expresado de la forma x = arx+ bsx. Si y ∈ E, esta claro

que β(by) = 0, por lo que by ∈ α(A), y entonces bE ⊆ α(A). Como consecuencia tenemos que

bsx ∈ α(A). Por otro lado, abE ⊆ aα(A) = α(aA) = 0 y por lo tanto arx ∈ B′. Con lo anterior,

queda probado que E = α(A) ⊕ B′. La proyeccion π : α(A) ⊕ B′ → B define un isomorfismo

72

de B′ en B. Si B′′ es un subgrupo de E isomorfo a B, entonces bE ′′ = 0, ası que B′′ ⊆ B′, y

por lo tanto B′′ = B′.

�

Proposicion 3.46. Si U = Z∗p, entonces U = V × U1, donde V = {x ∈ U| xp−1 = 1} es el

unico subgrupo de U isomorfo a F∗p.

Demostracion. Podemos aplicar el Lema 3.45 a la sucesion

1→ U1/Un → U/Un → F∗p → 1,

haciendo la identificacion F∗p ∼= U/U1, puesto que el cociente U1/Un tiene orden pn−1, y F∗p tiene

orden p−1. Del Lema 3.45, obtenemos que U/Un contiene un unico subgrupo Vn isomorfo a F∗p,

y la proyeccion π : U/Un → U/Un−1 lleva isomorficamente Vn en Vn−1. Como U = lim←−U/Un,

pasando el lımite al subgrupo V de U isomorfo a F∗p, tenemos que U = V ×U1. La unicidad de

V se sigue de la de los Vn.

�

Corolario 3.47. El cuerpo Qp contiene las raıces (p− 1)-esimas de la unidad.

Para describir las unidades de Zp, estudiamos U1.

Lema 3.48. Sea x ∈ Un\Un+1 con n ≥ 1 si p 6= 2 y n ≥ 2 si p = 2. Entonces xp ∈ Un+1\Un+2.

Demostracion. Por hipotesis, x = 1 + kpn con k 6≡ 0 mod p. La formula binomial muestra

que

xp = 1 + kpn+1 + · · ·+ kppnp,

donde los terminos que no se han escrito son todos multiplos de p2n+1, y por tanto, multiplos

de pn+2. Ademas np ≥ n+ 2, ya que n ≥ 2 si p = 2. Lo que demuestra que

xp ≡ 1 + kpn+1 mod pn+2,

por lo que xp ∈ Un+1/Un+2.

�

73

Proposicion 3.49. Si p 6= 2, el grupo multiplicativo U1 es isomorfo al grupo aditivo de Zp. Si

p = 2, el grupo multiplicativo U1 = {±1} × U2 y U2 es isomorfo al grupo aditivo de Z2.

Demostracion. Supongamos que p 6= 2. Elegimos un elemento α ∈ U1\U2, por ejemplo,

tomemos α = 1 + p. Por el Lema 3.48, tenemos que αpi ∈ Ui+1\Ui+2. Denotemos por αn a la

proyeccion de α en U1/Un, y entonces αpn−2

n 6= 1 y αpn−1

n = 1. Pero U1/Un tiene orden pn−1,

ası que es cıclico, generado por αn. Sea θn, α : Z/pn−1Z → U1/Un el isomorfismo dado por

θn, α(j) = αjn, donde Z/pn−1Z lo consideramos aditivamente, y U1/Un multiplicativamente. El

diagrama

Z/pnZθn+1, α //

��

U1/Un+1

��Z/pn−1Z

θn, α // U1/Unes conmutativo. De esto se observa que los θn, α definen un isomorfismo θ de Zp = lim←−Z/p

n−1Z

en U1 = lim←−U1/Un. Tenemos ya el resultado para p 6= 2.

Supongamos ahora que p = 2. Elegimos α ∈ U2\U3, ası que α ≡ 5 mod 8. Definimos como

anteriormente, los isomorfismos

θn, α : Z/2n−2Z→ U2/Un,

y al igual que antes el isomorfismo θ : Z2 → U2. Tenemos tambien el homomorfismo

U1π−→ U1/U2

∼= Z/2Z,

que induce un isomorfismo de {±1} en Z/2Z. De aquı se sigue que

U1 = {±1} × U2.

�

Teorema 3.50. El grupo multiplicativo Q∗p es isomorfo al grupo aditivo Z× Zp × Z/(p− 1)Z

si p 6= 2 e isomorfo al grupo aditivo Z× Z2 × Z/2Z si p = 2.

Demostracion. El resultado es consecuencia de la Proposicion 3.49, y del hecho que todo

elemento x ∈ Q∗p es expresable de manera unica de la forma x = pnu, para n ∈ Z, u ∈ U y

entonces Qp∼= Z× U . �

74

Como Qp es conmutativo con respecto al producto, podemos considerar Q∗2p como el sub-

grupo multiplicativo de Q∗p dado por por

Q∗2p = {x2|x ∈ Q∗p}.

Los siguientes resultados determinan cuando un elemento de Qp es un cuadrado.

Teorema 3.51. Sean p 6= 2 y x = pnu ∈ Q∗p, con n ∈ Z y u ∈ U . Para que x sea un cuadrado,

es necesario y suficiente que n sea par y la imagen de u en F∗p = U/U1 sea un cuadrado.

Demostracion. Por la Proposicion 3.46, sabemos que U = V ×U1. Entonces descomponemos

u = vu1 con v ∈ V , u1 ∈ U1. La descomposicion Q∗p ∼= Z× V ×U1 del Teorema 3.50, demuestra

que x es un cuadrado si y solo si n es par y v, u1 son cuadrados. Sabemos que U1∼= Zp y como

p 6= 2, entonces 2 es un elemento invertible en Zp. Veamos ahora que, todo elemento de U1 es

un cuadrado. Como el grupo multiplicativo U1 es isomorfo al grupo aditivo de Zp, se tiene que

un elemento de U1 es un cuadrado si y solo si su imagen en Zp es un multiplo de 2. Como 2 es

invertible en Zp, todo elemento de Zp es multiplo de 2 y por lo tanto todo elemento de U1 es

un cuadrado. Por otro lado, V ∼= F∗p ∼= U/U1, y entonces, u es un cuadrado en Q∗p si y solo si v

es un cuadrado en F∗p.

�

Corolario 3.52. Si p 6= 2, el grupo Q∗p/Q∗2

p es isomorfo a Z/2Z × Z/2Z. Un conjunto de

representantes es {1, p, u, up}, donde u(p−1)/2 = −1.

Teorema 3.53. Un elemento x = pnu ∈ Q∗2 es un cuadrado si y solo si n es par, y u ≡ 1 mod 8.

Demostracion. Por un lado, esta claro que n ha de ser par. Por otro lado, U = {±1} × U2,

ası que para que x sea un cuadrado, u ha de pertenecer a U2, y ser un cuadrado en U2. Para

que un elemento de U2 sea un cuadrado, claramente ha de pertener a U3. De hecho, si elevamos

al cuadrado un elemento generico de U2 se comprueba que el subconjunto de U2 formado por

los elementos que son cuadrados, coincide con U3. Entonces, un elemento u ∈ U es un cuadrado

si y solo si u ≡ 1 mod 8.

�

75

Por los apartados 6 y 7 del Ejemplo XI.2 de [Lam80], tenemos:

Teorema 3.54. i) Supongamos que F es un cuerpo local cuyo cuerpo residual tiene p ele-

mentos, con p impar. Si p ≡ 1 mod 4, entonces −1 es un cuadrado en F . Si p ≡ 3 mod 4,

entonces −1 es suma de dos cuadrados en F . En cualquiera de estos casos, H(F ) no es

un anillo de division.

ii) El algebra de cuaterniones H(Q2) es un anillo de division. Supongamos que F es una

extension finita de Q2, digamos [F : Q2] = n. Entonces H(F ) es un anillo de division si

y solo si n es impar.

Pasamos ahora a introducir unos resultados que seran de gran importancia en el estudio de

los Z-grupos, que se presentan sin demostracion ya que se alejan de la lınea de nuestro estudio.

El siguiente resultado determina extensiones no ramificadas del cuerpo de los numeros

p-adicos.

Teorema 3.55. Sean p un entero primo y n un entero coprimo con p. Sean ζn una raız n-esima

primitiva de la unidad en C y αn una raız n-esima primitiva de la unidad en una clausura

algebraica de Fp. Entonces la extension Qp(ζn)/Qp es no ramificada y Qp(ζn) tiene cuerpo

residual Fp(αn). Ademas, Gal(Qp(ζn)/Qp) es cıclico de orden On(p), generado por el unico

elemento σ de Gal(Qp(ζn)/Qp) que cumple σ(ζn) = ζpn. La aplicacion que asocia σ con el

automorfismo de Frobenius ρ : Fp(αn)→ Fp(αn), dado por ρ(x) = xp para todo x ∈ Fp(αn), es

un isomorfismo de Gal(Qp(ζn)/Qp) en Gal(Fp(αn)/Fp).

Demostracion. Ver [Ser79, Proposicion IV.4.16 y Corolario IV.4.1].

�

Pasamos ahora al caso de extensiones ramificadas de Qp.

Teorema 3.56. Sean p un primo y m ≥ 1. Entonces:

i) [Qp(ζpm) : Qp] = ϕ(pm) = (p− 1)pm−1.

ii) La aplicacion φ : (Z/pmZ)∗ → Gal(Qp(ζpm)/Qp) dada por φ(h) = σh, con σh(ζpm) = ζhpm,

es un isomorfismo.

76

iii) Qp(ζpm)/Qp es una extension totalmente ramificada. El elemento π = 1 − ζpm es unifor-

mizador en RQp(ζpm ).

Demostracion. Ver [Ser79, Proposicion IV.4.17].

�

El siguiente resultado nos proporciona explıcitamente cuales son las extensiones maximales

no ramificadas de una extension de Qp, resultado de anadir una raız n-esima primitiva de la

unidad con n ∈ N.

Corolario 3.57. Sea n ∈ N, con n = pms y m.c.d.(p, s) = 1. La extension maximal no

ramificada de Qp en Qp(ζn)/Qp, es Qp(ζs).

El siguiente lema prueba que en extensiones totalmente ramificadas de la forma Qp(ζpa)/Qp,

la unica raız de la unidad que es una norma es el 1.

Lema 3.58. Sea K = Qp el cuerpo de los numeros p-adicos y sea L = Qp(ζpa) donde p es un

primo impar y a ≥ 1. Supongamos que x es una raız de la unidad en K tal que x = NL/K(y)

para algun y ∈ L. Entonces x = 1.

Demostracion. Denotemos por RL y RK los anillos de valoracion de L y K respectivamente,

y por UL y UK las unidades de RL y RK respectivamente. Podemos asumir a = 1, porque

Qp ⊂ Qp(ζp) ⊂ Qp(ζpa), y se tiene que

NQ(ζpa )/Qp(z) = NQp(ζ)/Qp(NQp(ζpa )/Qp(ζp)(z)),

para cualquier z ∈ Qp(ζpa). Como NL/K(1 − ζp) = p, el elemento 1 − ζp es uniformizador en

RL, y por tanto L = 〈1 − ζp〉 × UL. Ası que, como x ∈ UK , se tiene que y ∈ UL. La extension

L/K es totalmente ramificada y [L : K] = ϕ(p) = p−1 por el Teorema 3.56. Si denotamos por

p = (1− ζp) el ideal maximal de L, y σ es un K-automorfismo de L, entonces σ(y) ≡ y mod p,

puesto que RL/p ∼= RK/(p ∩RK) y σ actua trivialmente en K. Ası que

x = NL/K(y) =∏

σ∈Gal(L/K)

σ(y) ≡ yp−1 ≡ 1 mod p,

77

ya que el cuerpo residual de L tiene p elementos. Ası x ≡ 1 mod (K ∩ p), con K ∩ p = (p).

Con esto, hemos visto que x ∈ 1 + pZp = U1. Como p 6= 2, por la Proposicion 3.49, se tiene

que U1∼= Zp (donde Zp se considera aditivamente). Ahora bien, Zp no tiene elementos de orden

finito, salvo el 0. Como x es una raız de la unidad y por tanto de orden finito, se tiene que

x = 1.

�

3.6. Teorema de Wedderburn

Dedicamos una seccion especıfica para el Teorema de Wedderburn, que se aplicara en la

clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division con caracterıstica no nula.

Teorema 3.59. (Wedderburn) Todo anillo de division finito es un cuerpo.

Demostracion. Sea R un anillo de division finito. Si ponemos Z = Z(R), sabemos que Z

es un cuerpo contenido en R. Supongamos que Z tiene q elementos. Podemos ver R como un

Z-espacio vectorial de dimension finita. Se sigue que R ∼= Zn como espacio vectorial sobre Z,

para algun n ∈ N. Probaremos que R = Z, o equivalentemente que n = 1.

Para cada a ∈ R, sea Ca = {x ∈ R |xa = ax}, que es un subanillo de division de R, y

contiene Z. Viendo Ca como Z-espacio vectorial, se sigue que Ca tiene orden qn(a) con n(a) ∈ N.

Veamos que para cada a se tiene que n(a)|n. El grupo R∗ tiene qn − 1 elementos. Como

Ca es un subanillo de division de R, se sigue que C∗a es un subgrupo de R∗ que tiene qn(a) − 1

elementos. Ası que (qn(a) − 1)|(qn − 1), lo que implica que n(a)|n como vamos a ver con el

siguiente razonamiento. Pongamos n = kn(a) + r con 0 ≤ r < n(a), k ∈ N. Puesto que tenemos

la igualdad:

qn − 1 = (qn(a) − 1)(qn−n(a) + qn−2n(a) + · · ·+ qn−kn(a)) + (qn−kn(a) − 1),

y (qn(a) − 1)|(qn − 1), entonces (qn(a) − 1)|(qn−kn(a) − 1) = qr − 1 < qn(a) − 1. Luego qr = 1,

r = 0 y entonces n(a)|n como querıamos.

78

Observemos que Z∗ es el centro de R∗ y que C∗a es el centralizador de a en R∗. Existe una

correspondencia biyectiva entre los conjugados de a y los elementos del grupo R∗/C∗a , por lo

que el numero de conjugados de a es [R∗ : C∗a ] = (qn − 1)/(qn(a) − 1).

Si a ∈ Z∗, entonces a tiene un solo conjugado, ası que n(a) = n. Recıprocamente, si n(a) = n,

entonces a ∈ Z∗. Por otro lado, si n(a) = 1 entonces Z∗ = C∗a , ası que a ∈ Z∗. Por lo que si

a /∈ Z∗, entonces n(a) 6= 1 y n(a) 6= n. Ası que podemos suponer que n no es primo.

Sea {a1, · · · , ak} un conjunto de representantes de las clases de conjugacion de R∗\Z∗,

entonces la ecuacion de clase implica:

qn − 1 = q − 1 +k∑i=1

qn − 1

qn(ai) − 1. (∗)

Nuestro problema se reduce ahora a demostrar que la ecuacion (∗) no es posible salvo

que n = 1. La prueba de este hecho se basa en demostrar que existe un entero que divide a

(qn − 1)/(qd − 1) para todos los divisores propios d de n excepto para n, pero que no divide

a q − 1 con lo que contradice (∗), a menos que n = 1 y habremos demostrado el Teorema de

Wedderburn.

Sea t cualquier entero, entonces Φn(t) (donde Φn es el n-esimo polinomio ciclotomico) es

un entero que divide a (tn − 1)/(td − 1) para cualquier divisor d de n, con d < n. De hecho

(tn − 1)/(td − 1) = Φn(t)f(t) con

f(X) =∏k|nk-dk 6=n

Φk(X),

y f(t) entero. En particular, retomando el contexto de la ecuacion (∗), se tiene que

Φn(q) | qn − 1

qd − 1,

para todo divisor propio d de n. En particular, Φn(q)|(qn−1). Se sigue por (∗) que Φn(q)|(q−1),

lo que implica que |Φn(q)| ≤ q − 1.

Sin embargo, afirmamos que si n > 1, y por tanto n > 3 pues n no es primo, entonces

|Φn(q)| > q − 1, lo cual demostrarıa que (∗) no es posible para n > 1. Sea ζn una raız n-esima

79

primitiva de la unidad. Si denotamos por Re(x) la parte real de un numero complejo x, tenemos

que Re(ζn) = cos(2πk/n) < 1, pues 1 < k < n. Luego q − 1 < q −Re(ζn), ası

(q − 1)2 < (q −Re(ζn))2 + (Im(ζn))2 = |q − ζn|2,

luego q − 1 < |q − ζn|, pues q − 1 > 0. Por tanto,

|Φn(q)| =∏

m.c.d.(i, n)=1

|q − ζ in| > q − 1.

Se sigue que Φn(q) no puede dividir a q − 1, por lo cual la ecuacion (∗) no puede ocurrir a

menos que n = 1.

�

80

Capıtulo 4

Subgrupos finitos de anillos de division

El objetivo de este capıtulo es obtener la clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de

division. En el caso en que el anillo de division tenga caracterıstica p > 0, la clasificacion es muy

sencilla y los subgrupos finitos del anillo de division son cıclicos de orden coprimo con p. La

clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division en caracterıstica cero es bastante mas

complicada, y la separaremos en dos secciones. La primera de ellas se centrara en la clasificacion

de los Z-grupos, donde todos los subgrupos de Sylow son cıclicos. En la segunda seccion se

clasifican los subgrupos de anillos de division que tienen 2-subgupos de Sylow cuaterniones.

Para realizar este capıtulo, se ha seguido [Shi86].

Antes de comenzar, introducimos una notacion que seguiremos a lo largo de este capıtulo.

Sea D es un anillo de division. Un subgrupo finito de D sera un grupo finito G que sea sub-

grupo de D∗. Supongamos que B es un subanillo central de D, es decir, B ⊆ Z(D). Entonces

denotamos por B[G] al B-subalgebra de D generada por G.

Empezamos estudiando el caso en caracterıstica p > 0.

Teorema 4.1. Sea G un subgrupo finito multiplicativo de un anillo de division D con carac-

terıstica p > 0. Entonces G es un p′-grupo cıclico.

Demostracion. Sea G un subgrupo finito de D∗. La subalgebra Fp[G] de D es un dominio

finito, y por lo tanto un anillo de division. Por el Teorema de Wedderburn (Teorema 3.59), Fp[G]

81

es un cuerpo, y entonces G es un subgrupo finito de un cuerpo finito. Teniendose entonces el

resultado.

�

Pasamos ahora al estudio en caracterıstica cero. En lo que sigue, D sera un anillo de division

de caracterıstica cero.

Teorema 4.2. Sean D un anillo de division y G un subgrupo finito de D∗.

a) Si E es un subcuerpo central de D, entonces la subalgebra E[G] de D es un algebra de

division de dimension finita sobre E.

b) G es un complemento de Frobenius. En particular, los subgrupos de Sylow de G son cıclicos

o cuaterniones (generalizados). Para p y q primos distintos, los subgrupos de G de orden

pq son cıclicos. Los subgrupos abelianos de G son cıclicos.

Demostracion. a) E[G] es de dimension finita sobre E, y un dominio. Por lo que es un anillo

de division por el Teorema 1.29.

b) El subanillo R = Z[G] de D, visto como grupo aditivo, es libre abeliano de rango digamos

n. La accion de G en R multiplicando por la derecha es fiel y libre de puntos fijos, ya que rg = r

implica r(g − 1) = 0 en D y, entonces r = 0 o g = 1. Vemos G como subgrupo de GL(n, Z)

por esta accion. Si g es un elemento no trivial de G, 1 no es un valor propio de g, ası que

det(g− 1) 6= 0. Por tanto, G es un grupo libre de puntos fijos. Si p es un primo suficientemente

grande, la reduccion modulo p proporciona una representacion fiel ρ : G → GL(n, Z/pZ), y

si g ∈ G denotamos su imagen por ρ como ρg. Si ademas p no divide a det(g − 1) para todo

g ∈ G#, entonces det(ρg − 1) 6≡ 0 mod p. Elegimos p cumpliendo estas propiedades. Para tal

primo p, se sigue que G actua libre de puntos fijos en el grupo aditivo finito Fnp .

En lo que sigue, identificamos Fnp = N = X. Definimos L = N oG, donde la operacion de

L viene dada por

(n1, g1)(n2, g2) = (n1 + ρg1(n2), g1g2),

para todo n1, n2 ∈ N y g1, g2 ∈ G. Queremos ver que L es un grupo de Frobenius.

82

Si n ∈ N , denotamos por Tn : X → X la traslacion dada por Tn(x) = n + x, para todo

x ∈ X. Definimos entonces α : L → Sym(X), dada por α(n, g) = Tn ◦ ρg. Sean x ∈ X,

n, n1, n2 ∈ N y g, g1, g2 ∈ G. Como (ρg ◦ Tn)(x) = ρg(n) + ρg(x) = (Tρg(n) ◦ ρg)(x), tenemos

que

α((n1, g1)(n2, g2)) = α(n1 + ρg1(n2), g1g2) = Tn1 ◦ Tρg1 (n2) ◦ ρg1 ◦ ρg2= Tn1 ◦ ρg1 ◦ Tn2 ◦ ρg2 = α(n1, g1) ◦ α(n2, g2).

Ası que α es un homomorfismo de grupos.

Veamos que α es inyectivo. Supongamos que (0, 1) 6= (n, g) ∈ L y que α(n, g) = 1. Entonces

α(n, g)(x) = n+ ρg(x) = x para todo x ∈ X. Pero esto es equivalente a que (ρg − 1)(x) = −n,

para todo x ∈ X. Esto no es posible, ya que ρg − 1 es biyectivo en X. Por tanto, α es inyectivo

y L es un grupo de permutaciones en el conjunto X. De hecho, L es transitivo en X, pues si

x1, x2 ∈ X, α(x2 − x1, 1)(x1) = x2.

Supongamos que g 6= 1. Para todo n ∈ N , existe x ∈ X de manera que (ρg − 1)(x) = −n,

equivalentemente, ρg(x) = x − n. Por tanto, α(n, g)(x) = n + ρg(x) = x. Es decir, para todo

(n, g) ∈ L con g 6= 1, α(n, g) fija un elemento de X. Ademas, α(n, g) no fija dos elementos de

X, pues ρg − 1 es biyectiva.

Ası que, si para (n, g) ∈ L se tiene que α(n, g) no fija ningun elemento de X, entonces

g = 1. Con esto, hemos visto ya que L es un grupo de Frobenius que actua en X y, por tanto,

G es un complemento de Frobenius que coincide con L0. Las propiedades de G se siguen del

Teorema 2.10.

�

La estructura de un subgrupo finito G de un anillo de division D dependera de si los

2-subgrupos de Sylow de G son cıclicos o cuaterniones. Si los 2-subgrupos de Sylow de G son

cıclicos, entonces G es de hecho un grupo metacıclico por el Teorema 2.16.

Definicion 4.3. Un Z-grupo es un subgrupo finito de un anillo de division, de manera que

todos sus subgrupos de Sylow son cıclicos.

Recordemos que si n > 0, Cn denota un grupo cıclico de orden n, y si d|n, decimos que Cd

es un subgrupo de Cn, identificando Cd con el unico subgrupo de Cn de orden d. El siguiente

83

teorema proporciona la estructura de los Z-grupos.

Teorema 4.4. Si X es un grupo finito de manera que todos sus subgrupos de Sylow son cıclicos,

entonces X es el producto semidirecto CmoCn donde los enteros m y n son coprimos. Si CmoCnes un Z-grupo, entonces para todos los primos q|n el subgrupo Cq de Cn centraliza Cm.

Demostracion. La primera parte es el Teorema 2.16. Si ahora X es un Z-grupo, entonces X

es un complemento de Frobenius. En particular, los subgrupos de X de orden pq son cıclicos.

Con esto, la segunda parte es consecuencia de la Proposicion 1.19.

�

Para el siguiente resultado, recordemos que H(F ) es el algebra de cuaterniones(−1,−1

F

)sobre

un cuerpo F , que por el Lema 1.31, es una F -algebra central simple con ındice de Schur 2.

Teorema 4.5. Sea F una extension finita de Galois de Q. Entonces H(F ) es un algebra de

division si y solo si F es un cuerpo real, o tanto el ındice de ramificacion como grado residual

del racional primo 2 en la extension F/Q son impares.

Demostracion. En primer lugar, H(Qp) es un algebra de division si y solo si p = 2 por el

Teorema 3.54, que utiliza el criterio de que H(F ) es un algebra de division si y solo si −1 no es

suma de dos cuadrados en F (Teorema 1.32).

Si F es un cuerpo real, entonces H(F ) ⊆ H(R), y por tanto H(F ) es un algebra de division

puesto que −1 no es suma de dos cuadrados en R. Ası que, podemos suponer que F no tiene

inclusiones reales. Claramente H(F ) es un algebra de division si y solo si Ind(H(F )) = 2, lo

cual por el Teorema 3.20, pasa si y solo si H(Fp) es un algebra de division para algun primo

p de F . Tal p claramente define una valoracion no arquimediana por hipotesis, ası que, por

los primeros comentarios de la demostracion, el primo p contiene al racional primo 2. Ademas,

H(Fp) es un algebra de division si y solo si el ındice [Fp : Q2] = e(2, F/Q)f(2, F/Q) (Teorema

3.22) es impar por el Teorema 3.54.

�

84

4.1. Clasificacion de los Z-grupos

En esta seccion, vamos a estudiar como deben ser los grupos de la forma Cm oCn para ser

Z-grupos, esto es, que puedan ser inyectados en un anillo de division.

La clasificacion de los Z-grupos se recoge en el siguiente teorema, que demostraremos al

final de la seccion.

Teorema 4.6. Un grupo G es un Z-grupo si y solo si es isomorfo a uno de los siguientes tipos:

a) Cm o C4 donde m es impar y C4 actua por inversion en Cm.

b) De la forma G0×G1× · · · ×Gs donde s ≥ 0, los ordenes |G0|, . . . , |Gs| son coprimos, G0

es cıclico y cada G1, . . . , Gs no es cıclico y tiene la forma

Cpa o (Cqb11× . . .× Cqbrr ),

donde p, q1, . . . , qr son distintos primos con cada Cpa o Cqb no cıclico satisfaciendo la

siguiente condicion: si Cqα es el nucleo de la accion de Cqb en Cpa entonces, para cada

factor no cıclico Cpa o Cqb de Gi,

q ·Oqα(p) - O|G|/|Gi|(p),

y se cumple una de las siguientes condiciones:

i) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y α = 1.

ii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y 2α+1 - (p2 − 1).

iii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y 2α+1 - (p− 1).

iv) q > 2, y qα+1 - (p− 1).

Recordemos que ζi, denota siempre una raız compleja i-esima primitiva de la unidad. Sea

G = Cm o Cn un grupo no cıclico con m.c.d.(m, n) = 1. Podemos asumir que, para todo

primo p|n, el p-subgrupo de Sylow de Cn actua no trivialmente en Cm. En otro caso, si para

el primo p|n, Cps es un subgrupo de Sylow de Cn que actua trivialmente en Cm, tenemos que

85

Cm o Cn = (Cm × Cps)o Cn/ps ∼= Cmps o Cn/ps . Sea n = st, donde Cs es el nucleo de la accion

de Cn en Cm. Recordemos que la notacion utilizada en este caso para G es G = Cm oCs Cn,

que vamos a simplificar a G = Cm os Cn. Por lo anterior, para un primo p se tiene que p|n si

y solo si p|t. Sea L = Q(ζm, ζs) = Q(ζms). Como Ct ∼= Cn/Cs se inyecta en Aut(Cm), L tiene

un unico automorfismo σ de orden t que deja fijo a ζs y que actua en ζm de igual manera que

actua Ct en Cm. Sea K el cuerpo fijo por el grupo 〈σ〉. Con lo anterior, podemos formar el

algebra cıclica A = (L/K, σ, ζs), con L-base {ui}t−1i=0, que por el Teorema 3.33, sabemos que es

una K-algebra central simple.

Vamos a ver ahora, que un grupo G = Cm o Cn sera un subgrupo de un anillo de division

(un Z-grupo) si y solo si A es un anillo de division.

Supongamos que G = Cm oCn, y pongamos Cm = 〈x〉, y Cn = 〈y〉, con x e y elementos de

ordenes m y n respectivamente. La aplicacion Φ : G → A dada por Φ(x) = ζm, Φ(y) = u es

un homomorfismo inyectivo de grupos que nos permite identificar G contenido en A. De esta

manera, si A es un anillo de division, entonces G es un Z-grupo. Supongamos ahora que G es

un subgrupo de un anillo de division D. La aplicacion Ψ : A → D definida por Ψ(ζm) = x,

Ψ(u) = y y extendiendo por linealidad, es un homomorfismo de anillos cuya imagen es Q[G].

Mediante la identificacion anterior de G en A, tenemos que A = L[G]. Pero L[G] ∼= Q[G], que es

un anillo de division por el Teorema 4.2. Ası que, si G es un subgrupo de un anillo de division,

entonces A es un anillo de division.

Usando la notacion anterior para Φ, tenemos que G = Cm o Cn ∼= 〈ζm〉 o 〈u〉. Entonces,

G/L ∩G es un grupo cıclico de orden t, y por tanto, podemos verlo isomorfo a 〈σ〉.

Supongamos ahora que n = qt11 · · · qtrr , es la factorizacion de n en primos distintos. Escribimos

ti = αi + βi, donde Cqαii es el nucleo de la accion de Cqtii

en Cm.

Lema 4.7. En las condiciones anteriores, e identificando G sumergido en A. El algebra cıclica

A = (L/K, σ, ζs) es un anillo de division si y solo si L[P ] es un anillo de division para todo

subgrupo de Sylow P/(L ∩G) de G/(L ∩G).

Demostracion. Si A es un anillo de division, entonces L[P ] es un anillo de division para todo

subgrupo de Sylow P/(L∩G) de G/(L∩G). Recıprocamente, supongamos que L[P ] es un anillo

de division para todo P y sea M un ideal minimal por la derecha no nulo de A. Considerando

86

M como L-modulo y L[G]-modulo por la derecha, tenemos dimL(M) = dimL[P ](M) · [L[P ] : L]

que divide a [A : L], ya que A es una suma directa de copias de M . Por otro lado, tenemos que

[A : L] = |G/(L∩G)|, y [L[P ] : L] = [P : L∩G] para cada P/(L∩G) subgrupo de Sylow de

G/(L∩G). Pero entonces [A : L] | dimL(M), puesto que |G/(L∩G)| =∏

[P : L∩G]. Ası que

dimL(M) = [A : L], y entonces M = A, es decir, A es un anillo de division.

�

Por el Lema 4.7, el algebra cıclica A sera un anillo de division si y solo si para cada 1 ≤ i ≤ r,

(L/F, τ, ζs) es un anillo de division, con ζs una raız s-esima primitiva de la unidad, τ = σt/qβii

de orden qβii , que actua en ζm de igual manera que Cqβii

en Cm y F es el cuerpo fijo por 〈τ〉. El

anterior, es claramente el algebra cıclica relativa al grupo

Chi oqαiiCqtii, donde hi = m

∏j 6=i

qαjj .

Por lo que Cm o Cn es un Z-grupo si y solo si

Chi oqαiiCqtii, con hi = m

∏j 6=i

qαjj ,

es un Z-grupo para todo 1 ≤ i ≤ r.

Renombramos la notacion anterior para estudiar el caso particular G = (Cpa o Cqb) × Cr,

que nosotros vemos como G = (Cr×Cpa)oCqb , para p, q primos distintos y r un entero positivo

coprimo con pq. Ponemos b = α + β, donde Cqα es el nucleo de la accion de Cqb en Cpa . Como

Cqβ se sumerge en Aut(Cpa), se tiene que qβ|ϕ(pa) = (p − 1)pa−1, ası que qβ|(p − 1). Para el

caso α = 0, el algebra cıclica relativa al grupo serıa de la forma B = (Q(ζrpa)/F, τ, 1), donde

τ ∈ Gal(Q(ζrpa)/Q), con τ de orden qβ, actuando en ζrpa de igual manera que Cqβ en Cr ×Cpa

y F el cuerpo fijo por 〈τ〉. De esta manera, el conjunto factor de la F -algebra B es el trivial,

y por el Corolario 3.34, B ∼=Mn(F ), para n = [Q(ζrpa) : F ] = qβ. Ası que, B es un anillo de

division si y solo si n = 1, forzando a que τ tenga orden 1, es decir, que β = 0. Ası que, para

evitar casos triviales, asumimos α, β ≥ 1. Ası, p es impar. Si q = 2 y p ≡ −1 mod 4, escribimos

p2 − 1 = 2dt con 2 - t. En cualquier otro caso, ponemos p− 1 = qdt con q - t.

El algebra cıclica relativa al grupo G, es de la forma A = (L/K, σ, ζqα), con {ui}qβ−1i=0 una

L-base de A, donde L = Q(ζrpaqα), σ ∈ Gal(L/Q) tiene orden qβ, fija a ζqα y actua en ζrpa de

igual manera que Cqβ en Cr × Cpa , y K es el cuerpo fijo por 〈σ〉.

87

Lema 4.8. Sean L = Q(ζrpaqα), σ ∈ Gal(L/Q) de orden qβ que fija ζqα y actua en ζrpa de igual

manera que Cqβ en Cr × Cpa, y K es el cuerpo fijo por 〈σ〉. Entonces, A = (L/K, σ, ζqα) es

un algebra de division si y solo si se cumple uno de los siguientes apartados, donde denotamos

δ = Orqα(p)/Oqα(p):

i) q = 2, α = β = 1, y r = 1.

ii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, α = 1, y 2 - δ.

iii) α ≥ d y q - δ.

Demostracion. El centro de A es K, que es un cuerpo de numeros. Por el Teorema 3.20,

tenemos que Exp(A) = Ind(A). Por lo tanto, se tiene que A es un algebra de division si y

solo si Exp(A) = Deg(A) = qβ. El algebra A, es de hecho, un algebra cıclica, ası que Exp(A)

es el menor entero positivo e tal que ζeqα ∈ NL/K(L∗) por el Corolario 3.38. Por el Teorema

de la Norma de Hasse (Teorema 3.40), ζeqα ∈ NL/K(L∗) si y solo si ζeqα ∈ NLP /Kp(L∗P ) para

todos los primos p de K, siendo en cada caso P un primo de L que define una valoracion en

L que, restringida a K, es igual a la valoracion dada por p. Ademas, por el Teorema 3.20,

Exp(A) = m.c.m.(Exp(Ap)| p es un primo de K). Debemos considerar varios casos:

a) Si p es un primo infinito de K, de manera que Kp = C, entonces Kp = LP y ζqα es

trivialmente una norma.

b) Si p es un primo finito de K, tal que p ∩ Z = kZ, con k un entero primo distinto de p,

consideramos el siguiente diagrama de cuerpos:

LP

Kp

Qk(ζrqα) Qk(ζpa)

Qk

88

La extension LP/Qk(ζrqα) es no ramificada por los Teoremas 3.55 y 3.56, ası que la

extension LP/Kp tambien es no ramificada. Pero entonces ζqα , que es unidad, es una

norma por el Corolario 3.26.

c) Supongamos que p es un primo infinito de K, de forma que Kp = R. Como q|(p − 1)

tenemos que pa > 2 y por tanto L * R. Ası que LP = C. Pero [LP : Kp] = 2 divide a

[L : K] = qβ por el Corolario 3.19 y el Teorema 3.22, ası que q = 2. Como ζrqα ∈ K ⊂ R y

ζrqα 6= 1, tenemos que ζrqα = −1, y por tanto α = 1 = r. Tenemos ahora que considerar el

menor e para el que (−1)e es una norma de C en R. En este caso, la norma es simplemente

el cuadrado del modulo. Por lo que el menor e que cumple esta propiedad es 2. Es decir,

se verifican las condiciones del apartado i).

Recıprocamente, supongamos q = 2 y α = β = r = 1. Recordemos que G = (Cpa o2 C22).

Entonces A = (L/K, σ, −1), con σ ∈ Gal(L/K) de orden 2. El automorfismo σ, actua en

L por conjugacion compleja. Como K es el cuerpo fijo por 〈σ〉, K es real. Por el Corolario

3.38, Exp(A) = 2 = [L : K], por lo que A es un anillo de division.

d) Si p es un primo finito de K tal que p ∩ Z = pZ, consideremos el siguiente diagrama de

cuerpos:

LP

Kp

Qp(ζrqα) Qp(ζpa)

Qp

La extension Qp(ζpa)/Qp es totalmente ramificada y [Qp(ζpa) : Qp] = (p− 1)pa−1, por el

Teorema 3.56. La extension Qp(ζrqα)/Qp es no ramificada y [Qp(ζrqα) : Qp] = Orqα(p),

por el Teorema 3.55. Para simplificar notacion, vamos a denotar Orqα(p) por λ. Por

89

el Teorema 3.22, sabemos tambien que se tiene [LP : Kp] = e(p, L/K)f(p, L/K), y

e(p, L/K)f(p, L/K) = [L : K] = qβ, ya que la extension L/K es totalmente ramificada

en p. Como LP = Qp(ζrqα , ζpa), se tiene que [LP : Qp] = Orqα(p)ϕ(pa). Ası que, denota-

mos por h a [Kp : Qp(ζrqα)] = (p− 1)pa−1q−β. Utilizando el Corolario 3.28, tenemos:

ζeqα ∈ NLP /Kp(L∗P )⇔ NKp/Qp(ζrqα )(ζ

eqα) ∈ NLP /Qp(ζrqα )(L

∗P )

⇔ ζehqα ∈ NLP /Qp(ζrqα )(L∗P )

⇔ (NQp(ζrqα )/Qp(ζqα))eh = NQp(ζrqα )/Qp(ζehqα) ∈ NLP /Qp(L

∗P ).

Por el Teorema 3.55, el grupo de Galois de Qp(ζrqα)/Qp es cıclico y esta generado por

un Qp-automorfismo que eleva a ζrqα a su p-esima potencia. Por lo tanto, si denotamos

s = 1 + p+ · · ·+ pλ−1, entonces NQp(ζrqα )/Qp(ζqα) = ζsqα y ası, ζeqα ∈ NLP /Kp(L∗P ) si y solo

si ζehsqα ∈ NLP /Qp(L∗P ), lo cual por el Lema 3.58, pasa si y solo si ζehsqα = 1. Por lo tanto,

ζeqα ∈ NLP /Kp(L∗P ) si y solo si qα|ehs. Ahora,

ehs = epa−1(p− 1)q−β(1 + p+ · · ·+ pλ−1) = eq−β(pλ − 1)pa−1.

Si m = Oqα(p), entonces

pλ − 1 = pmδ − 1 = (pm − 1)∑

0≤i<δ

pim ≡ δ(pm − 1) mod q(pm − 1),

ya que pm ≡ 1 mod q. Ası que el menor e para el cual qα|ehs = eq−β(pλ − 1)pa−1, es

e = qβ si y solo si qα es la maxima potencia de q que divide a pλ − 1, que sera cierto en

vista al anterior calculo si y solo si q - δ y qα es la maxima potencia de q dividiendo a

pm − 1. Por el Lema 1.20, la ultima condicion se mantiene si y solo si se cumple

o q = 2, p ≡ −1 mod 4, y α = 1,

o α ≥ d.

Juntando con lo anterior, tenemos que el menor e tal que ζeqα ∈ NL/K es qβ si y solo si

o q = 2, α = β = 1, y r = 1,

o q = 2, p ≡ −1 mod 4, α = 1, y 2 - δ,

o α ≥ d y q - δ.

�

90

Lema 4.9. Sean p, q, r y s numeros primos distintos entre sı, y b ∈ N. Entonces, los siguientes

grupos no son inyectables en anillos de division:

i) G = (Cp × Cr)o Cqb, donde qb 6= 4 y Cqb actua de forma no trivial en Cp y en Cr.

ii) G = (Cp × Cr × Cs)o C4, donde C4 invierte Cp y Cr, y centraliza Cs.

Demostracion. Empecemos con la prueba de i). Supongamos que G es inyectable en un anillo

de division, y entonces podemos verlo como subgrupo del anillo de division D = Q[G] con

centro F . Entonces, Ind(D) = qδ para algun δ ≥ 0. Consideremos el subgrupo H = CpoCqb de

G y la subalgebra A = Q[H] de D. La subalgebra A es un algebra cıclica con centro digamos

Z, e Ind(A) = qβ, donde b = α + β y qα es el orden del nucleo de la accion de Cqb en Cp.

Por el Teorema 3.20, existe un primo P de F de manera que, para el algebra DP = D⊗F FPse tiene que Ind(DP ) = Ind(D) = qδ, y de esta manera, DP es un anillo de division. El

subcuerpo de DP generado por Z y la complecion de Q, es una complecion de Z, digamos Zp,

para p un primo de Z. El algebra DP contiene la subalgebra AZp que es imagen homomorfica

de la Zp-algebra simple Ap = A ⊗Z Zp. Ası que, Ap es tambien un algebra de division, y en

particular, Ind(Ap) = qβ. La prueba del Lema 4.8, muestra que esto es posible solo cuando, o

bien p es un primo infinito de Z, de manera que Zp = R y qb = 4, o bien cuando p es un primo

finito de Z tal que p ∈ p. En nuestro caso, como qb 6= 4 tenemos que p ∈ p ⊆ P . De la misma

manera, se demuestra que r ∈ p. De esta contradiccion, se prueba el apartado i).

Para el apartado ii), repetimos el anterior procedimiento con el subgrupoH = (CpoC4)×Cs.

Como s 6= 1, entonces Zp 6= R por la prueba del Lema 4.8. Ası que p ∈ p ⊆ P , y similarmente

r ∈ P , demostrando el apartado ii).

�

Pasamos ya a demostrar el teorema de clasificacion de los Z-grupos.

Demostracion. (Teorema 4.6) Sea G = Cm o Cn un Z-grupo, y asumamos que G no es

cıclico. Supongamos ademas, que si n = 4, entonces C4 no invierte a Cm. Se puede asumir

tambien, que todo subgrupo de Sylow de Cn no actua trivialmente en Cm. El subgrupo de G,

G0 = {x ∈ Cm|xy = x para todo y ∈ Cn}, es un subgrupo de Hall por la Proposicion 1.19, y

ademas es un sumando directo de G. Claramente G0 es cıclico.

91

Sea n = qb11 · · · qbrr y m/|G0| = pa11 · · · pass donde los pi, qj son primos distintos y los ai, bj ≥ 1.

Del Lema 4.9, y puesto que G no es del tipo a) del Teorema 4.6, se sigue que cada subgrupo de

Sylow de Cn actua no trivialmente en un unico subgrupo de Sylow de Cm. Podemos expresar

entonces G = G0 ×G1 × · · · ×Gs, donde para i = 1, . . . , s,

Gi = Cpaii o (Cqbti, 1ti, 1

× · · · × Cqbti, hiti, hi

),

donde Cqbti, jti, j

no actua trivialmente en Cpaii .

ComoG es un Z-grupo, entoncesGi es un Z-grupo para cada 0 ≤ i ≤ s. Ası que, redefiniendo

pi, qj y bk estudiamos el caso Gi = Cpa o (Cqb11× · · · × C

qbti, hiti, hi

), sin olvidar las propiedades de

G. Entonces, segun la notacion del Lema 4.8, o bien qb = 4 y p ≡ −1 mod 4, o bien α ≥ d. Por

la definicion de d, tenemos que α ≥ d si y solo si qα+1 no divide a (p − 1) o a (p2 − 1), segun

el caso de p y q. Finalmente, por el Lema 4.8 tenemos que q - Oqα|G|/|Gi|(p)/Oqα(p), que por el

Lema 1.20, es equivalente a que q ·Oqα(p) - O|G|/|Gi|(p). Y por tanto, G satisface las propiedades

dadas en el Teorema 4.6.

Recıprocamente, supongamos que G satisface las condiciones del Teorema 4.6. Si G satisface

el apartado a), G = Cm o C4 y G es isomorfo al subgrupo 〈ζm, j〉 del algebra de cuaterniones

H(R), donde ζm ∈ C ∼= R ⊕ Ri. Supongamos ahora que G es del tipo b). Si s = 0, entonces

G es cıclico de orden k = |G|. Entonces podemos ver G como subgrupo de C mediante la

identificacion G ∼= 〈ζk〉, para ζk una raız compleja k-esima primitiva de la unidad. Supongamos

ahora que s ≥ 1. Escribimos n =∏qbii , donde qi son primos distintos, y supongamos que el

nucleo de la accion de Cqbii

en Cm tiene orden qαii < qbii . Sea Hi = (Cm o Cqbii

) ×∏

j 6=iCqαjj.

Por el Lema 4.9, Hi = (Cpa o Cqbii

) × Cr, para una potencia pa de un primo p adecuado y r

coprimo a pqi. Por el Lema 4.8, y las condiciones de G descritas en el apartado b) del Teorema

4.6, tenemos que Hi es un Z-grupo para cada i. Por tanto G es un Z-grupo por el Lema 4.7.

�

Observacion 4.10. La demostracion que acabamos de ver, demuestra que los grupos cıclicos

estan contenidos en C, los grupos del tipo a) del Teorema 4.6, estan contenidos en H(R) y los

del tipo b) estan contenidos en algebras cıclicas que son algebras de division.

92

4.2. Clasificacion de los subgrupos de anillos de division

con 2-subgrupos cuaterniones

En esta seccion se clasifican los subgrupos de anillos de division con caracterıstica cero

que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones. En primer lugar, se estudia el unico caso de

subgrupo finito de anillo de division no resoluble. Posteriormente se estudian los subgrupos que

son resolubles.

El teorema que demostraremos al final de la seccion y que clasifica los subgrupos de anillos

de division con 2-subgrupos cuaterniones, es el siguiente:

Teorema 4.11. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division con caracterıstica cero que

no es un Z-grupo. Entonces G es isomorfo a uno de los siguientes grupos:

a) i) El grupo octaedro binario, de orden 48.

ii) Cm o Q2t, donde t ∈ N, un elemento de Q2t de orden 2t−1 centraliza Cm, y un

elemento de Q2t de orden 4 invierte Cm.

iii) Q8 ×M , donde M es un Z-grupo de orden impar y O|M |(2) es impar.

iv) SL(2, 3)×M , donde M es un Z-grupo de orden coprimo a 6 y O|M |(2) es impar.

b) El grupo icosaedro binario SL(2, 5), de orden 120.

La parte a) del Teorema 4.11, recoge los grupos que son resolubles y tienen 2-subgrupos

de Sylow cuaterniones. La parte b) recoge el unico subgrupo finito de un anillo de division no

resoluble.

Empezamos demostrando la suficiencia del Teorema 4.11.

Teorema 4.12. Los grupos recogidos en el Teorema 4.11 son inyectables en anillos de division

de caracterıstica cero.

Demostracion. Para toda la demostracion, hacemos la identificacion de C ∼= R⊕ Ri.

93

Empezamos viendo los grupos del apartado a). El grupo octaedro binario del apartado a) i),

podemos verlo contenido en H(R), generado por los elementos

j, (1 + i)/√

2, −(1 + i+ j + ij)/2.

Veamos ahora que los grupos de la forma LoQ2t de a) ii), con |L| = m son subgrupos de

H(R). Tomando ζm, ζ2t−1 ∈ C, tenemos que LoQ2t∼= 〈ζm, ζ2t−1 , j〉, donde Q2t

∼= 〈ζ2t−1 , j〉.

El algebraH contiene copias deQ8 (por ejemplo, generado por i y j) y SL(2, 3) (por ejemplo,

generado por i, j y −(1 + i + j + ij)/2). Sea M es un Z-grupo de orden m, del tipo a) iii)

o a) iv). M es inyectable en un anillo de division D con centro F ⊆ Q(ζm). Como m es impar,

segun la estructura del algebra cıclica que contiene a M , tenemos que Ind(D) es impar, ya que

Ind(D)|m. El racional primo 2 no ramifica en la extension Q(ζm)/Q y f(2,Q(ζm)/Q) = Om(2)

por el Teorema 3.29, y Om(2) es impar por hipotesis. Ası que, por el Teorema 4.5, H(F ) es

un algebra de division. Como Ind(H(F )) = 2 y Ind(D) es impar, H(F ) ⊗F D es un anillo de

division por el Corolario 3.21. Este algebra contiene claramente subgrupos isomorfos a Q8×M

y SL(2, 3)×M .

Por ultimo, el grupo icosaedro binario SL(2, 5), del apartado b) es el subgrupo del algebra

de cuaterniones H(R), generado por los elementos

y, x = (y2 − y + (y2 − 1)j)/√

5,

donde y ∈ C es una raız quinta primitiva de la unidad.

�

Observacion 4.13. La demostracion del Teorema 4.12, muestra que los grupos del tipo a) i), ii)

y b) del Teorema 4.11, son subgrupos de H(R). Tambien lo es SL(2, 3), pero si M 6= 1, entonces

los grupos del tipo a) iii), iv) no estan contenidos en H(R).

Proposicion 4.14. Supongamos que Q2t es un subgrupo de un anillo de division D. Entonces

la subalgebra Q[Q2t ] de D es isomorfa a H(F ), donde F = Q(ζ2t−1 + ζ−12t−1) es el cuerpo fijo del

cuerpo ciclotomico Q(ζ2t−1) bajo conjugacion compleja. En particular, tenemos que Q[Q8] ∼= H

y Q[Q16] ∼= H(Q(√

2)). Ademas, si Q es un subgrupo de Q2t isomorfo a Q8, se tiene que

Q[Q2t ] = Q[Q]⊗Q F ∼= H(F ).

94

Demostracion. Sean x e y elementos de D que generan el grupo Q2t con la presentacion

Q2t = 〈x, y|x2t−2= y2, y4 = 1, xy = x−1〉. El subcuerpo E = Q[x] de D1 = Q[Q2t ] es isomorfo

al 2t−1-esimo cuerpo ciclotomico sobre Q, e y actua por conjugacion en E. Como [D1 : E] ≤ 2

y D1 no es conmutativo, tenemos [D1 : E] = 2, ası que el centro de D1 es el cuerpo fijo F de

E bajo conjugacion. Como Q[x+x−1] ⊆ F y [E : Q[x+x−1]] = 2, se tiene necesariamente que

F = Q[x+ x−1].

Sean i = x2t−3y j = y. Veamos que satisfacen i2 = j2 = −1 y ij = −ji. Lo primero

esta claro, puesto que en el 2t−1-esimo cuerpo ciclotomico, los unicos elementos cuyo cuadrado

es uno son −1 y 1, y tenemos que x2t−2 6= 1. Por otro lado, tenemos

iji−1 = x2t−3

y(x2t−3

)−1 = x2t−3

x2t−3

y = x2t−2

y = −y = −j.

Ademas, claramente i /∈ F , ası que D1 = F [i, j]. Por lo que D1 es imagen de H(F ) con

[D1 : F ] = 4, y entonces D1∼= H(F ).

En el caso Q8, tenemos E = Q(√−1), con cuerpo fijo F = Q. Para Q16, sea ζ8 una raız

octava primitiva de la unidad. En este caso F ∼= Q(ζ8 + ζ−18 ). Como ζ4

8 = −1, se sigue que

(ζ8 + ζ−18 )2 = ζ2

8 + ζ−28 + 2 = ζ−2

8 (ζ48 + 1) + 2 = 2, ası F ∼= Q(ζ8 + ζ−1

8 ) = Q(√

2).

Para la ultima parte, consideramos cualquier Q8 subgrupo de Q2t . Entonces Q[Q8] ∼= H y

por el Teorema 3.3, podemos escribir Q[Q2t ] = H ⊗Q Γ donde Γ es el centralizador de H en

Q[Q2t ]. Como Ind(Q[Q2t ]) = 2 = Ind(H) se sigue que Γ es un cuerpo, y por lo tanto, Γ = F .

�

Nos centramos ahora en estudiar el caso en el que el subgrupo finito de nuestro anillo

de division no sea resoluble. Tendremos entonces que sera un complemento de Frobenius no

resoluble. Esto demostrara la parte b) del Teorema 4.11. Para ello, utilizamos un resultado de

Zassenhaus (Teorema 2.11), que acorta bastante nuestro estudio en el caso no resoluble.

Teorema 4.15. El unico subgrupo finito no resoluble de un anillo de division D es SL(2, 5).

Demostracion. Por el Teorema 2.11, tenemos que si X es un complemento de Frobenius

no resoluble, entonces X tiene un subgrupo normal Y de ındice a lo sumo 2, de manera que

95

Y ∼= SL(2, 5)×M , donde a su vez, M sera un complemento de Frobenius metacıclico de orden

coprimo a 30.

Asumamos primero que G ∼= SL(2, 5) y que esta contenido en un anillo de division D. En

este caso, vamos a ver que si D1 = Q[G], se cumple que D1∼= H(Q(

√5)).

Una presentacion de SL(2, 5) viene dada por:

〈x, y, z|x3 = y5 = z2 = 1, z = (xy)2, (x, z) = (y, z) = 1〉.

Sea R = {1, y, y2, y3, x, xy, xy2, xy3}, y sea T el Q-subespacio de D1 generado por R.

Vamos a probar que D1 = T . Como x 6= 1 = x3, ya que 0 = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) y

x−1 6= 0, se tiene que x2 = −x−1 ∈ T . De la misma forma, tenemos y4 = −y3−y2−y−1 ∈ T

y z = −1 ∈ T . De las relaciones anteriores, tenemos que xT ⊆ T y Ty ⊆ T . Como z = −1,

yx = x−1zy−1 = −x2y4 = (x+1)(−y3−y2−y−1) ∈ T , teniendo que yT ⊆∑Tyi = T . Hemos

probado que RR ⊆ T , y por lo tanto D1 = T como querıamos.

Lo anterior, prueba que [D1 : Q] ≤ 8. Sea E = Q[y]. Entonces [E : Q] = ϕ(5) = 4, ya que

y es una raız quinta primitiva de la unidad en D1. Tambien tenemos que D1 no es conmutativo,

ası que [D1 : Q] = 8, y entonces E es un subcuerpo maximal de D1, Ind(D1) = 2 (puesto que

Ind(D1)2| [D1 : Q]), y el centro F de D1 es un cuerpo de grado 2 sobre Q. Pero E tiene un

unico subcuerpo cuadratico, que es isomorfo a Q(√

5) por el Teorema 1.36. Ası que F ∼= Q(√

5)

(explıcitamente, si y1 = 2(y + y4) + 1, entonces y21 = 5 y F = Q[y1]). Como |G| = 120, un

2-subgrupo de Sylow de G tiene orden 8. Con la presentacion dada de SL(2, 5), tenemos que

los elementos a = (x2y2)2x y b = (x2y2)2x2y satisfacen:

a2 = b2, b4 = 1, ab = a−1.

Ası que Q = 〈a, b〉 es un subgrupo de cuaterniones de G de orden 8, y se tiene que Q[Q] ∼= H.

Por el Teorema 3.3, podemos escribir D1∼= H⊗QCD1(Q). Como dimQ(D1) = 4 ·dimQ(CD1(Q)),

se sigue que CD1(Q) tiene dimension 2 sobre Q, y que entonces CD1(Q) es un cuerpo, siendo

por lo tanto el centro de D1. En otras palabras, D1∼= H⊗Q F ∼= H(Q(

√5)).

Vamos ahora a demostrar que SL(2, 5) es el unico subgrupo finito no resoluble de un anillo

de division. Primero vamos a demostrar que no se pueden inyectar en anillos de division grupos

96

de la forma G = SL(2, 5)×C, donde C es cıclico de orden p. Supongamos que G esta contenido

en un anillo de division D. Como |M | es coprimo con 30, podemos asumir que p > 5 y considerar

la siguiente algebra:

B = H(Q(√

5))⊗Q Q(ζp) ∼= H⊗Q Q(√

5)⊗Q Q(ζp) ∼= H⊗Q Q(√

5, ζp)

donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad. Entonces Q(√

5) ⊗Q Q(ζp) es un cuerpo

y Q(√

5) ⊗Q Q(ζp) ∼= Q(√

5, ζp), ya que B es simple, y el unico cuerpo cuadratico de Q(ζp)

es Q(√p) o Q(

√−p) por el Teorema 1.36. Como el algebra B podemos verla contenida en

Q[G] = Q[SL(2, 5)× C], tambien podemos verla contenida en D.

Veamos ahora que f(2, Q(√

5)/Q) = 2. Los anillos de enteros de Q y Q(√

5) son respec-

tivamente Z y Z[1+√

52

]. Para el numero primo 2, se tiene |Z/2Z| = 2, y en vista del Teore-

ma 1.51, el ideal (2) es primo en Z[1+√

52

], ası que |Z[1+√

52

]/(2)| = 4. Entonces tenemos que

[Z[1+√

52

]/(2) : Z/2Z] = 2 = f(2,Q(√

5)/Q).

Pero Q(ζp) no tiene inclusiones reales, y ademas el primo 2 tiene grado residual 2 en la

extension Q(√

5)/Q, lo que contradice el Teorema 4.5.

En vista del resultado de Zassenhaus (Teorema 2.11), queda solo por demostrar que si G

es no resoluble finito y tiene un subgrupo normal isomorfo a SL(2, 5) de ındice 2, entonces G

no puede ser inyectado en un anillo de division. Por reduccion al absurdo, supongamos que G

esta contenido en un anillo de division D. Sea S un subgrupo de G normal isomorfo a SL(2, 5).

Los 2-subgrupos de Sylow de S son grupos de cuaterniones de orden 8 y los 2-subgrupos de Sylow

de G seran por tanto cuaterniones de orden 16 por el Teorema 4.2 apartado b). Elegimos Q, un

2-subgrupo de Sylow fijo de G de manera que S∩Q sea cuaternion de orden 8. Las subalgebras

Q[S] ∼= H(Q(√

5)) y Q[Q] ∼= H(Q(√

2)) de D1 = Q[G] son no isomorfas de dimension 8 sobre

Q. Tambien, [D1 : Q] es a lo sumo [Q[S] : Q][G : S] = 16. Por lo tanto [D1 : Q] = 16. Como

S∩Q es cuaternion de orden 8, por el Teorema 3.3, tenemos D1∼= H⊗QΓ, donde H ∼= Q[S∩Q]

y Γ = CD1(H). Se tiene que [Γ : Q] = 4, porque dimQ(H(Γ)) = 4 · [Γ : Q] = 16. Si Γ no

fuera un cuerpo, y ya que en cualquier caso dimZ(Γ)(Γ) = n2 para algun n ∈ N, Γ serıa central

y simple sobre Q, ası que Ind(Γ) = 2 = Ind(H), lo que contradice el Corolario 3.21. Por lo

que Γ es un cuerpo. Ademas, Γ contiene trivialmente los centros de Q[S] y de Q[Q], que son

respectivamente Q(√

5) y Q(√

2), por el Lema 1.31. Entonces Γ = Q(√

2,√

5).

97

Sea ahora X = 〈x〉 un 3-subgrupo de Sylow de S. Se sigue del Argumento de Frattini

(Teorema 1.14) que G = SP para P un 2-subgrupo de Sylow de NG(X). El normalizador de un

3-ciclo en A5∼= S/〈z〉 tiene orden 6 (NA5(1 2 3) = {1, (1 2 3), (1 2)(4 5), (1 3)(4 5), (2 3)(4 5)}),

y ademas, invierte el 3-ciclo. Ası P ∩ S es cıclico de orden 4 e invierte X, puesto que 〈z〉 es

un subgrupo normal de S de orden 2 y z ∈ Z(S). Por lo tanto, como [G : S] = 2, se tiene

|P | = 8, y como X no tiene automorfismos de orden 4, se tiene que P no es cıclico y es, por

tanto, cuaternion de orden 8. Por el Teorema 3.3 y la Proposicion 4.14,

D1 = Q[P ]⊗Q CD1(P ) ⊇ Q[P ]⊗Q Q(√

2,√

5) ∼= D1,

ası que D1 = Q[P ]⊗QQ(√

2,√

5). Sea P = 〈a, b〉, donde a centraliza x y b invierte x. Entonces

x ∈ CD1(a) ∼= Q(√

2,√

5, i). Pero x3 = 1, ası que x es una raız cubica primitiva de la unidad

en D1, y con su identificacion en Q(√

2,√

5, i), x coincide, por ejemplo, con la raız cubica

e3πi/2 = cos(3π/2) + isen(3π/2) = −1+i√

32

∈ Q(√

2,√

5, i). Por tanto, i√

3 ∈ Q(√

2,√

5, i)

y se tiene√

3 ∈ Q(√

2,√

5), ya que la interseccion Q(√

2,√

5, i) ∩ R = Q(√

2,√

5). Pero√

3 ∈ Q(√

2,√

5), contradice el Teorema 1.37.

�

Queda por tanto probada la parte b) del Teorema 4.11 sobre los subgrupos finitos no resolu-

bles de anillos de division. Ahora pasamos al estudio del apartado a) del Teorema de clasificacion

4.11, que recoge aquellos subgrupos finitos de un anillo de division que son resolubles y tienen

2-subgrupos de Sylow cuaterniones. Al igual que antes, utilizaremos G para el subgrupo finito

de un anillo de division, y D = Q[G] la Q-subalgebra generada por G.

Lema 4.16. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division D. Supongamos que G es un

grupo resoluble, y sea Q2t cualquier subgrupo de cuaterniones de G.

a) Si t = 3, entonces CG(Q8) ∼= C2×M , donde M es un Z-grupo de orden impar m y Om(2)

es impar.

b) Si t > 3, entonces CG(Q2t) ∼= C2.

Demostracion. Empecemos probando el apartado a), donde t = 3 y ponemos Q = Q8.

Veamos que el centralizador de Q, en cualquier grupo de cuaterniones que lo contenga, es

98

el centro de dicho grupo. Si Q2t = 〈a, b|a2t−2= b2, b4 = 1, ab = a−1〉, una de las distintas

formas que tenemos para ver Q como subgrupo de Q2t es tomando Q = 〈a2t−3, b〉. CQ2t

(Q)

estara formado entonces por los elementos de Q2t que conmuten con a2t−3y con b. Supongamos

que aib ∈ CQ2t(Q), entonces aib conmuta con a2t−3

, y como ai conmuta con a2t−3, tambien

tendrıamos que b conmuta con a2t−3que no es cierto. Con esto, vemos que no hay elementos

de la forma aib en el centralizador de Q en Q2t y, por tanto, CQ2t(Q) = Z(Q2t) = 〈b2〉.

Veamos ahora que 〈b2〉 es el 2-subgrupo de Sylow de CG(Q). Evidentemente, CQ2t(Q) ⊆ CG(Q).

Supongamos que existe h ∈ CG(Q)\CQ2t(Q), con h de orden par en G, y pongamos |〈h〉| = 2ls,

con m.c.d.(2, s) = 1. Queremos considerar el subgrupo H = 〈Q, h〉, esto es, un subgrupo de G

generado por Q y un elemento central con Q de orden par. Podemos suponer tambien que, o

bien 〈h〉 ∩CQ2t(Q) = ∅, o bien l > 1 si 〈h〉 ∩CQ2t

(Q) = 〈b2〉, porque en otro caso H = 〈Q, hm〉,

donde hm ∈ CG(Q)\CQ2t(Q) tiene orden impar en G.

Lo que queremos demostrar ahora es que los 2-subgrupos de Sylow de H no son ni cıclicos

ni cuaterniones, lo que contradirıa el Teorema 4.2. Todos los 2-subgrupos de Sylow de H son

conjugados de un 2-subgrupo de Sylow de H que contiene a Q, ası que no pueden ser cıclicos.

Si se cumple 〈h〉 ∩ CQ2t(Q) = ∅, entonces H = Q × 〈h〉, y un 2-subgrupo de Sylow de H que

contiene a Q contiene un subgrupo isomorfo a Z/2Z × Z/2Z, por lo que los 2-subgrupos de

Sylow de H no serıan cuaterniones, ya que en un grupo de cuaterniones solo hay un elemento

de orden 2. Si se cumple la condicion 〈h〉∩CQ2t(Q) = 〈b2〉, entonces un 2-subgrupo de Sylow de

H que contiene a Q es de la forma 〈Q, hj〉, con hj de orden 2i, con i > 1 y que, por tanto, no

puede ser cuaternion, por la misma razon que antes. Con esto hemos demostrado que en CG(Q)

no hay elementos de orden par, cumpliendo las propiedades anteriores, que no pertenezcan ya

a CQ2t(Q). Ası que, 〈b2〉 es el 2-subgrupo de Sylow de CG(Q).

Tenemos entonces que CG(Q) = 〈b2〉 × M donde M es de orden impar. Sabemos que

Q[Q] ∼= H por la Proposicion 4.14. Sea g ∈ M de orden primo p. Por el Teorema 3.3, en

D

Q[Q, g] ∼= H⊗Q Q(ζp),

con ζp una raız p-esima primitiva de la unidad, es un anillo de division. Por ser p impar, el

cuerpo Q(ζp) no tiene inclusiones reales. Como consecuencia del Teorema 3.32, el grado residual

de 2 en Q(ζp)/Q es Op(2). Por el Teorema 4.5, Op(2) es impar y del Lema 1.20 apartado a), se

99

sigue que Om(2) es impar.

Para el apartado b), tenemos t > 3. Es suficiente probar el resultado en el caso donde Q

tiene orden 16, porque siempre podemos ver Q16 contenido en Q2t para t ≥ 5, ası que ponemos

Q = Q16. Sea g ∈ CG(Q) con orden p impar. Entonces, usando la Proposicion 4.14, en D

tenemos que

Q[Q, g] ∼= Q[Q]⊗Q(√

2) Q(√

2, ζp) ∼= H⊗Q Q(√

2, ζp),

donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad. Pero Q(ζp) no tiene inclusiones reales,

2 es un cuadrado en Q(√

2) y, de hecho, la factorizacion de 2OQ(√

2) en ideales primos en

OQ(√

2) = Z[√

2] es 2Z[√

2] = (√

2)2, usando el Teorema 1.51. Entonces, el ındice de ramificacion

del racional primo 2 en la extension Q(√

2, ζp)/Q es par. Esto contradice el resultado del

Teorema 4.5. Se sigue que CG(Q) es un 2-grupo y, por tanto, CG(Q) = C2 un grupo cıclico de

orden 2.

�

Estamos ya en condiciones de dar una gran aproximacion del apartado a) del Teorema

4.11 de clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division que son resolubles y tienen

2-subgrupos de Sylow cuaterniones.

Lema 4.17. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division. Supongamos que Q = O2(G) es

cuaternion de orden 8, y que G es resoluble. Entonces G es isomorfo a alguno de los siguientes

grupos:

a) Q×M , donde M es un Z-grupo de orden impar m con Om(2) impar.

b) SL(2, 3)×M , donde M es un Z-grupo de orden m coprimo con 6, y Om(2) es impar.

c) El grupo octaedro binario, de orden 48.

Demostracion. Consideremos el siguiente subgrupo K = QCG(Q) de G y veamos que es

normal en G. Sea g ∈ G y h ∈ QCG(Q) con h = qc, q ∈ Q y c ∈ CG(Q). Tenemos que

g−1qcg = g−1qgg−1cg = q2g−1cg para algun q2 ∈ Q ya que Q es normal. Para ver que K es

normal, solo nos queda por ver que g−1cg ∈ CG(Q). Si q ∈ Q, entonces g−1cgqg−1 = g−1cq2

100

para algun q2 ∈ Q, pero entonces g−1cq2 = g−1q2c = g−1q2gg−1c = qg−1c, teniendose que

g−1cgq = qg−1cg. Esto prueba que g−1cg ∈ CG(Q). Luego K es normal en G.

Como G/CG(Q) podemos inyectarlo en Aut(Q) ∼= S4 (el isomorfismo puede verse en la

Proposicion 1.22) y, ademas |Q∩CG(Q)| = 2, se sigue que G/K se inyecta en S3, ya que por la

Proposicion 1.1, tenemos |K| = |QCG(Q)| = |Q|·|CG(Q)||Q∩CG(Q)| = 4|CG(Q)|. Por el Lema 4.16, tenemos

que CG(Q) = C2 ×M con m = |M | impar y con Om(2) impar.

Si [G : K] = 1 entonces se tiene el apartado a).

Supongamos ahora que [G : K] = 3. Como O3(2) = 2, tenemos que 3 - m, pues Om(2) es

impar. Por lo tanto, los 3-subgrupos de Sylow de G tienen orden 3 y no centralizan Q. Sea C

un 3-subgrupo de Sylow de G. Entonces L = 〈Q, C〉 = Q o C ∼= SL(2, 3), pues Q es normal,

y Q ∩ C = 〈1〉. Ademas, se tiene G = LM .

En las siguientes lıneas, vamos a probar que Q[L] = Q[Q]. Podemos elegir c un generador de

C, y la presentacion deQ = 〈a, b| a2 = b2, b4 = 1, ab = a−1〉, de manera que c actua cıclicamente

permutando a, b, ab. Conjugando en Q[Q] por el elemento t = −(1 + a + b + ab)/2 ∈ Q[Q] se

obtiene el mismo efecto (el inverso de t es t−1 = (−1 + a + b + ab)/2). Ası que ct−1 centraliza

Q[Q] y, por lo tanto, tambien centraliza t, entonces c y t conmutan. Pero ahora, c y t son

ambas raıces cubicas de la unidad en el cuerpo Q[t, c]. Se sigue entonces que c ∈ 〈t〉. Ası que,

Q[L] = Q[Q] como querıamos ver. Pero M centraliza Q, ası que centraliza Q[L], y por lo tanto

L. Ası que en el caso [G : K] = 3 se tiene G ∼= SL(2, 3)×M , y se tiene el apartado b).

Ahora asumamos que [G : K] es par. Entonces si Q1 es un 2-subgrupo de Sylow de G, se

tiene que Q1 es cuaternion de orden 16. Por el Teorema 3.3, podemos escribir Q[G] ∼= H ⊗ Γ,

donde H ∼= Q[Q] y Γ es el centralizador de Q en Q[G]. En particular, M ⊆ Γ. Sea Z el centro

de Γ. Entonces H ⊗Q Γ ∼= H ⊗Q Z ⊗Z Γ ∼= H(Z) ⊗Z Γ. Como Q[G] es un anillo de division,

se sigue del Corolario 3.21, que Ind(Γ) es impar. Por la Proposicion 4.14, existe un elemento

central g de Q[Q1], con g2 = 2 y Q[Q1] ∼= H ⊗Q Q[g]. Claramente g ∈ Γ. Sea E un subcuerpo

maximal de Γ que contiene g. Del Corolario 3.11, se sigue que [E : Z] = Ind(Γ). Por tanto,

[Z[g] : Z] divide a [E : Z], que es impar. Como g2 = 2 ∈ Z, se tiene que g ∈ Z. Ası que,

M centraliza g y Q, por lo que centraliza Q[Q1]. Esto implica que M = 〈1〉 por el Lema 4.16.

Ası que K = Q. No puede ser [G : K] = 2 porque en este caso G serıa un 2-grupo, cuaternion

101

de orden 16, y O2(G) = G = Q16, en contradiccion con O2(G) = Q. Por tanto, [G : K] = 6,

G/K ∼= S3, y G/〈a2〉 ∼= S4∼= Aut(Q). Tenemos entonces una extension:

1 −→ C2 −→ Gf−−→ S4 −→ 1,

tal que todos los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones. Ası G es un grupo de orden 48

determinado unicamente salvo isomorfismos, que es de hecho el grupo octaedro binario.

La unicidad de G puede ser vista como sigue.

Sea C = 〈c〉 cualquier 3-subgrupo de Sylow de G. El subgrupo CQ de G, tiene ındice

2 en G y, por tanto, es normal en G. Vamos a aplicar el Argumento de Frattini (Teorema

1.14) al subgrupo normal CQ. Tomamos el 3-subgrupo de Sylow C de CQ y, tenemos que

G = NG(C)CQ. Pero si P es un 2-subgrupo de Sylow de NG(C), tenemos NG(C) = PC.

Podemos suponer que P y Q estan contenidos en Q16, un 2-subgrupo de Sylow de G. Con esto,

G = PCCQ = PCQ = CQP y QP = Q16. Ahora bien, |NG(C)| = 6 o |NG(C)| = 12, ya que

el normalizador de un 3-ciclo en S4 tiene orden 6. Por tanto, |P | = 2 o |P | = 4. Pero no puede

ser que |P | = 2, porque el unico elemento de orden 2 de Q16 es el elemento central, que esta en

Q. Ası que P es cıclico de orden 4 y |P ∩Q| = 2.

Sean x ∈ Q16 de orden 8 e y un generador de P . No puede ser que y ∈ 〈x〉, porque

|f(〈x〉)| = 4, ası que f(〈x〉) es un subgrupo de S4, cıclico de orden 4. Si y estuviera en 〈x〉,

serıa y = x2 o y = x6 que, en cualquier caso, tienen la misma imagen por f . Esto es, f(y)

serıa un producto de dos 2-ciclos disjuntos. Pero un elemento de este tipo, nunca pertenece al

normalizador de un 3-ciclo en S4, llegando a una contradiccion con y ∈ 〈x〉. Entonces, se tiene

que Q1 = 〈x, y〉, y como y ∈ Q1\Q = xQ, entonces Q = 〈x2, x−1y〉.

Como c /∈ CG(Q), c o c−1 conjuga 〈x2〉 a 〈x−1y〉, ası que podemos elegir c tal que (x2)c

es x−1y o y−1x. Pero y−1x = x−1y−1. Reemplazando y por y−1 si fuera necesario, podemos

suponer que (x2)c = x−1y. Supongamos que se cumple (x−1y)c = xy. Entonces se tiene que

cx = x−1ycy−1 = x−1c2 = (cx)−1. Por lo que cx ∈ 〈x4〉, y entonces c ∈ 〈x〉. Esto no puede ser

y por lo tanto (x−1y)c = xy−1. Como consecuencia, G tiene la siguiente presentacion:

G = 〈x, y, c|x4 = y2, y4 = 1, xy = x−1, (x2)c = x−1y, (x−1y)c = xy−1, cy = c2, c3 = 1〉.

Otra presentacion de G es la siguiente:

102

〈r, s| r2 = s3 = (rs)4, r4 = 1〉,

donde r = x2y, s = x4c. En efecto, con esta identificacion, x, y, z ∈ 〈r, s〉.

En primer lugar, s4 = c ∈ 〈r, s〉. Veamos ahora x ∈ 〈r, s〉. Como cy = c−1, tenemos que

(c−1)y = c y, por tanto, yc = yc2. Entonces rc = (x2y)c = (x2)cyc = x−1yyc2 = x3c2. Y como

c ∈ 〈r, s〉, rcc = x3 ∈ 〈r, s〉, y x ∈ 〈x3〉. Por ultimo, como x ∈ 〈r, s〉, x−2r = y ∈ 〈r, s〉.

Con esto tendrıamos el apartado c).

�

Lema 4.18. Sea G = LoQ, con L un grupo cıclico de orden impar, y Q el grupo de cuaterniones

de orden 2t. Supongamos que G es un subgrupo finito de un anillo de division D. Entonces, o

bien t = 3 y G = L×Q, o bien un elemento de orden 2t−1 de Q centraliza L y un elemento de

orden 4 de Q invierte L.

Demostracion. Supongamos que X es un subgrupo de cuaterniones de orden 8 de D∗. Se

sigue del Teorema 3.3 y la Proposicion 4.14, que D ∼= H(F )⊗F Γ, donde F es el centro de D,

y Γ = CD(X). Como D es un anillo de division, y Ind(H(F )) = 2, el ındice de Schur Ind(Γ)

es impar, por lo que 4 no divide a Ind(D) = Ind(H(F ))Ind(Γ) = 2Ind(Γ). Por lo tanto, 4 no

puede ser un divisor de [E : E ∩ F ] = [EF : F ] para ningun subcuerpo E de D para el cual

E es una extension de Galois de E ∩ F , luego 4 - |Gal(E/F ∩ E)|.

Usamos la siguiente presentacion para Q:

Q = 〈x, y |x2t−2

= y2, y4 = 1, xy = x−1〉.

Estudiemos primero el caso t > 3. Supongamos que x no centraliza L. Entonces, x actua

como un automorfismo de E = Q[L] ∼= Q(ζs), con s = |L|, y x visto como automorfismo de

E, debe de tener orden una potencia de 2. Como 4 - |Gal(E/F ∩ E)|, x debe actuar como

involucion en E, ası que x2 centraliza E. Pero si x no centraliza L, entonces x e y actuan como

distintos automorfismos de orden 2 en E(x2), en contra de que 4 - |Gal(E(x2)/F ∩ E(x2))|.

Se tiene entonces que x centraliza L. Por el Lema 4.16, los subgrupos de Sylow de L no estan

103

centralizados por y, puesto que ya estan centralizados por x. Ademas, la inversion es el unico

automorfismo de orden 2 de un grupo cıclico de orden una potencia de primo impar. Por lo que

y invierte L.

Consideramos ahora el caso t = 3. Si ni x, ni y centralizan L, entonces deben determinar

el mismo automorfismo de orden 2 de E como consecuencia del primer parrafo. Entonces xy

centraliza L y, por un cambio en la presentacion del grupo Q, podemos suponer que x centraliza

L. Si y lo hiciera tambien, entonces G = L×Q.

Supongamos que y no centraliza L, ası que y invierte al menos un subgrupo de Sylow P de L.

Para ver que y invierte L, tenemos que demostrar que y invierte todos los subgrupos de Sylow

de L. Sea P de orden pa, digamos, y sea D1 = Q[PQ]. Claramente E1 = Q[P, x] ∼= Q(ζpa , ζ4) es

un subcuerpo maximal de D1. Sea Z1 el centro de D1, es decir, Z1∼= Q(ζ4pa + ζ−1

4pa). Afirmamos

que el racional primo 2 en la extension E1/Z1 es no ramificado. Si no lo fuera, se tendrıa que

e(2, E1/Z1) = 2 = [E1 : Z1]. Ası que si 2OZ1 = pe11 · · · perr es la factorizacion en ideales primos

del ideal (2) en OZ1 , entonces para todo i = 1, . . . , r, se tiene una factorizacion piOE1 = q2i

para un ideal primo qi de OE1 = Z[ζ4pa ] (Teorema 1.50). Entonces y normaliza qi, y actua en

OE1/qi. Tambien, y invierte P ∼= 〈ζpa〉 ⊆ OE1 . Ahora bien, veamos que P ∩ (1 + qi) = {1}.

Si P ∩ (1 + qi) 6= {1}, entonces ζjpa ∈ 1 + qi, para ζjpa 6= 1. Elevando adecuadamente ζjpa ,

tenemos que ζp ∈ (1 + qi), donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad. Entonces

tenemos que (1 − ζp) ∈ qi. Como Z[ζp] ⊆ Z[ζpa ], se tiene que NQ(ζp)/Q(1 − ζp) ∈ qi. Pero

NQ(ζp)/Q(1 − ζp) = p ∈ Z, ası que p ∈ qi ∩ Z = (2), una contradiccion ya que p es impar. Por

tanto, P ∩ (1+qi) = {1}. Con esto, tenemos que y actua no trivialmente en OE1/qi, pero sı que

actua trivialmente en OZ1/pi, con lo que f(2, E1/Z1) > 1, una contradiccion.

Con lo anterior, hemos demostrado que el racional primo 2 no ramifica en la extension

E1/Z1. Ahora e(2, E1/Q) = ϕ(4) = 2 por el Teorema 3.32, ası que la propiedad multiplicativa

del ındice de ramificacion, implica que e(2, Z1/Q) = 2. Sea Z el centro de D = Q[G]. Como

Z1 ⊆ CE(x)(y) ⊆ Z se tiene que e(2, Z/Q) es par. El algebra D contiene tambien la subalgebra

Q[Q]⊗Q Z ∼= H(Z). Por lo tanto, el cuerpo Z es real por el Teorema 4.5. Esto significa que los

subgrupos de Sylow de L no estan centralizados por y, pues de otro modo Z contendrıa una

raız de la unidad de orden impar. Ası que y invierte L. �

104

Teorema 4.19. Supongamos que G es un grupo finito resoluble con Op(G) cıclico para todo

primo p que divida al orden de G. Entonces G es un producto semidirecto de un 2′-subgrupo

por un 2-subgrupo.

Demostracion. Por ser G finito, el subgrupo de Fitting de G, Fit(G) es nilpotente por el

Teorema 2.19 y, como Fit(G) es finito, por el Teorema 2.18, es producto directo de sus subgrupos

de Sylow. Por definicion, Fit(G) es el mayor subgrupo normal nilpotente de G, ası que es el

producto de los subgrupos Op(G) de G para todo p primo dividiendo el orden de G. Como

todos estos subgrupos son cıclicos de ordenes coprimos, Fit(G) es cıclico. Debido a que G es

resoluble, tenemos que CG(Fit(G)) ≤ Fit(G) por el Teorema 2.22. Ası que G/Fit(G) podemos

inyectarlo en el grupo de automorfismos de Fit(G), que es abeliano. Por tanto, G/Fit(G) es

abeliano.

La serie 1 � Fit(G) �G, claramente puede ser refinada a una del tipo:

1 � Fit(G) �H1 � · · ·�Hr �G,

donde el factor H1/F it(G) es cıclico, para cada i = 2, . . . , r, los factores Hi/Hi−1 son cıclicos,

y para j = 1, . . . , r el grupo Hj es normal en G. Por tanto, G es un grupo superresoluble y, por

el Teorema 2.24, tenemos que contiene un 2′-subgrupo de Hall normal M . Ası que, G = MoQ,

con Q un 2-subgrupo de G.

�

Con los anteriores resultados, ya estamos en condiciones de demostrar el apartado a) del

Teorema 4.11.

Teorema 4.20. Sea G un subgrupo resoluble de un anillo de division con caracterıstica cero, y

asumamos que los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones. Entonces G es isomorfo a uno

de los grupos recogidos en el Teorema 4.11 apartado a).

Demostracion. Asumamos primero que O2(G) es cuaternion de orden 2t. Si t > 3, entonces

el grupo de automorfismos Aut(O2(G)) tiene orden ϕ(2t−1)2t−1, ası que es un 2-grupo. Por el

Lema 4.16, CG(O2(G)) ∼= C2. No puede haber elementos en G de orden impar, ya que si g ∈ G,

105

con |〈g〉| impar, entonces g actua trivialmente en O2(G), porque Aut(O2(G)) es un 2-grupo,

ası que g pertenecerıa a CG(O2(G)), que no es posible a menos que g = 1. Por tanto, G es un

2-grupo no cıclico, ası que es cuaternion por el Teorema 4.2. Entonces G es isomorfo a un grupo

del tipo a) ii) con m = 1. Si O2(G) es cuaternion de orden 8, entonces el resultado se sigue del

Lema 4.17.

Ahora supongamos que O2(G) es cıclico. Por el Teorema 4.19, tenemos que G = M o Q

para M un 2′-subgrupo de G, y Q un 2-subgrupo de G. Queremos demostrar que M es cıclico,

para poder aplicar el Lema 4.18 y tener que G es, o bien isomorfo a un grupo del tipo a) ii), o

bien a uno del tipo a) iii).

Como M es un 2′-grupo, que es subgrupo de un anillo de division, todos los subgrupos de

Sylow de M son cıclicos por el Teorema 4.2, ası que M es un Z-grupo, y sera de la forma L1oL2,

donde L1 y L2 son cıclicos de orden coprimo por el Teorema 4.4. Tenemos que Q normaliza L1.

Veamos que podemos reemplazar Q, si hiciera falta, por un conjugado suyo que normalice L1

y L2. Apliquemos el Argumento de Frattini generalizado a grupos finitos resolubles (Teorema

1.16), al subgrupo normal M . Como los ordenes de L1 y L2 son coprimos, L2 es un π-subgrupo

de Hall de M y, entonces G = MNG(L2). Como |G| = |M | · |NG(L2)|/|M ∩ NG(L2)|, y |M |

es impar, se tiene que NG(L2) contiene a un 2-subgrupo de Sylow de G que normaliza L2.

Renombremos, llamando Q a un 2-subgrupo de Sylow de NG(L2). Ahora, seguimos teniendo

G = M oQ, con Q normalizando L1 y L2. Sea ci generador de Li, para i = 1, 2 y, supongamos

que podemos encontrar un elemento z ∈ Q que invierta L1 y L2. Entonces [c1, c2] ∈ L1 y

[c1, c2]−1 = [c1, c2]z = [cz1, cz2] = [c−1

1 , c−12 ] = [c1, c2]c

−12 c−1

1 .

Pero c−12 c−1

1 y [c1, c2] tienen ordenes impares, por lo que [c1, c2] = 1. Entonces M es abeliano

y, como los ordenes de L1 y L2 con coprimos, se tiene que M es cıclico.

Tenemos que demostrar la existencia de tal z que invierta L1 y L2. Si |Q| ≥ 16, segun la

notacion del Lema 4.18, el elemento y invierte L1 y L2. Ası que, supongamos que |Q| = 8. Sea

L3 el nucleo de la accion de L2 en L1. Si L3 = 〈1〉, entonces M es cıclico por el Teorema 4.4

y, aplicando el Lema 4.18, tenemos que, o bien G = M × Q del tipo a) iii), o bien tenemos la

existencia del elemento z que invierte M . Ası que supongamos que L3 6= 〈1〉. La accion de Q

en L2, o bien es trivial, o bien es la inversion. Tambien L3 esta normalizado por Q. Aplicando

106

el Lema 4.18, a L o Q, donde L = L1L3, entonces o Q centraliza L o y (digamos) invierte L.

En el primero de los casos se sigue del Teorema 4.4, que Q centraliza L2 y por lo tanto M ,

que contradice que O2(G) es cıclico. En el segundo caso y invierte L3 y, por tanto, L2. Ası que

tenemos el elemento z como querıamos.

�

107

Notacion

1. Notacion general.

∼= isomorfismo (para algebras, grupos, . . .).

∅ conjunto vacıo.

ϕ funcion ϕ de Euler.

Ker(φ) nucleo de φ.

Im(φ) imagen de φ.

|X| cardinal del conjunto X.

X ∩ Y interseccion de conjuntos.

On(m) orden multiplicativo de m modulo n.

NG(X) normalizador en G de un subconjunto no vacıo X.

CG(X) centralizador de X en G (para grupos, algebras, . . .).

Z(G) centro de G (para grupos, algebras, . . .).

A⊕B suma directa.(ab

)coeficiente binomial.

det(M) determinante de una matriz M ∈Mn(A).

2. Sistemas numericos.

N, Z, R, C conjunto de los numeros enteros y anillo de los numeros

enteros, reales y complejos respectivamente.

Z/nZ anillo de los enteros modulo n.(a, bF

)algebra de cuaterniones sobre un cuerpo F .

108

H(F ) algebra de cuaterniones Hamiltonianos sobre F .

Zp anillo de los enteros p-adicos.

Qp cuerpo de los numeros p-adicos.

3. Notacion grupos.

〈x〉 subgrupo generado por x.

H ≤ G H es un subgrupo de G.

N �G N es un subgrupo normal de G.

Aut(G) grupo de automorfismos de G.

[G : H] ındice de H en G.

G# = G\{1}.

(x, y) = x−1y−1xy conmutador de x e y.

G′ = (G, G) subgrupo derivado de G.

Ga estabilizador de a en G, donde G actua en un conjunto

no vacıo X, y a ∈ X.

Ga, b = Ga ∩Gb.

O(x) orbita de x.

Oπ(G) π-subgrupo normal maximal de G.

N oH producto semidirecto de N y H.

4. Grupos relevantes.

lim←−An lımite proyectivo de An.

Sym(X) grupo de las biyecciones de X en X.

Sn grupo simetrico.

Cn grupo cıclico de orden n.

Q2t grupo de cuaterniones de orden 2t.

D2n grupo diedrico de orden 2n.

SD2n grupo semidiedrico de orden 2n.

109

Fit(G) subgrupo de Fitting de G.

GL(n, A) subgrupo multiplicativo de Mn(A) formado por las ma-

trices invertibles.

SL(n, A) grupo especial lineal.

SL(n, m) grupo especial lineal SL(n, Z/mZ).

5. Notacion algebras.

A∗ grupo multiplicativo de los elementos invertibles de un

anillo A.

Aop algebra opuesta de A.

Mn(A) anillo de las matrices n× n con entradas en A.

B[G] B-subalgebra generada por G.

K(α) menor cuerpo que contiene a K y α en un cuerpo que

contiene a K y α.

A⊗F B producto tensorial de F -algebras.

L/K extension de cuerpos.

K[X] anillo de polinomios con coeficientes en K.

dimF (A) dimension sobre F de una F -algebra A.

[L : K] grado de la extension L/K.

Gal(L/K) grupo de Galois de una extension de Galois L/K.

NL/K norma de la extension L/K.

HomF (A, A) F -algebra de homomorfismos de A en A.

S(F ) clase de las F -algebras centrales simples de dimension

finita.

Br(F ) grupo de Brauer de un cuerpo F .

[A] clase del F -algebra A en Br(F ).

Deg(A) grado de una F -algebra A.

Ind(A) ındice de Schur (o ındice) de una F -algebra A.

Exp(A) exponente de una F -algebra A.

110

e(p, L/K) ındice de ramificacion de p en la extension L/K.

f(p, L/K) grado residual de p en la extension L/K.

Ap complecion de A por la valoracion determinada por un

primo p.

111

Indice alfabetico

Accion, 11

Accion

equivalente, 12

por automorfismos, 11

semirregular, 11

Algebra, 20

Algebra

central, 48

cıclica, 67

de cuaterniones, 23

de division, 23

opuesta, 20

simple, 22

Algebraico, 25

Anillo

de division, 23

de enteros, 29

de los enteros p-adicos, 70

de valoracion, 55

de valoracion discreta, 55

noetheriano, 28

Argumento de Frattini, 13

Automorfismo interno, 10

Base entera, 29

Centralizador

de un algebra, 22

de un grupo, 9

Centro

de un algebra, 22

de un grupo, 9

Clausura entera, 28

Conjugados, 25

Conjunto factor, 64

Conjunto factor

equivalente, 64

normalizado, 64

Conmutador, 12

Cuerpo

de escision, 52

de los numeros p-adicos, 71

de numeros, 25

local, 54

Dominio

de Dedekind, 28

entero, 23

Entero

algebraico, 29

sobre un dominio, 28

112

Estabilizador, 11

Extension

abeliana, 26

cıclica, 26

ciclotomica, 26

de cuerpos, 25

de grupos, 17

finita, 25

maximal no ramificada, 57

no ramificada en un primo, 56

ramificada en un primo, 56

totalmente ramificada en un primo, 57

Grado

de un algebra, 51

residual, 56

Grupo

de automorfismos internos, 10

de Brauer, 48

de Brauer relativo a una extension, 52

de cuaterniones, 18

de Frobenius, 34

de Galois, 26

de permutaciones, 11

de valoracion, 54

derivado, 12

diedrico, 18

especial lineal, 18

icosaedro binario, 19

libre de puntos fijos, 11

nilpotente, 13

octaedro binario, 18

regular, 11

resoluble, 12

semidiedrico, 18

semirregular, 11

superresoluble, 46

transitivo, 11

HomR(A, B), 20

Ideal

maximal, 28

primo, 28

Indice

de ramificacion, 56

de Schur, 52

de un subgrupo, 9

Integramente cerrado, 28

K-base, 21

Lımite proyectivo, 70

n-esimo cuerpo ciclotomico, 26

n-esimo polinomio ciclotomico, 26

Norma, 26

Normalizador de un grupo, 9

Nucleo de Frobenius, 35

Orbita, 11

Orden de un grupo, 9

p-grupo, 10

p′-grupo, 10

113

p-grupo elemental abeliano, 37

π-grupo, 10

π′-grupo, 10

π-numero, 10

Polinomio mınimo, 25

Primo

finito, 57

infinito, 57

Producto

cruzado, 64

semidirecto, 13

p-subgrupo de Sylow, 10

Raız n-esima

de la unidad, 26

primitiva de la unidad, 26

Representacion, 11

Representacion

de permutacion, 11

fiel, 11

Serie de composicion, 12

Subcuerpo

estrictamente maximal, 51

maximal, 49

Subgrupo

caracterıstico, 44

de Fitting, 45

de Hall, 9

Teorema

de la Norma de Hasse, 70

de P. Hall, 13

de Thompson, 35

de Zassenhaus, 39

del Doble Centralizador, 49

Uniformizador, 55

Valoracion, 53

Valoracion

arquimediana, 54

discreta, 54

equivalente, 54

exponencial, 55

no arquimediana, 54

P -adica, 55

Z-grupo, 83

114

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Jesus Hern andez Gil - um.es

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