Introductie PAS OP: ditis eenlevenddocument.h73/tgo/tgo_2015_2016_tg.pdf · 1 Trillingen, golvenen...

1

Trillingen, golven en optica

IntroductiePAS OP: dit is een levend document. Het is pas af, als het college af is.

2

Trillingen, Golven en Optica (TGO)

TGO in dagelijks leven: geluid, licht en mechanische trillingen. TGO in de natuurkunde: belangrijke basiskennis om verschijnselen uit de

Quantum Mechanica en Electromagnetisme te beschrijven en te begrijpen.

Dr. Marcel [email protected], Nikhef

Januari

Trillingen&

Golven

Feb-Maart

Golven&

Optica

Prof. Dr. Johannes F. de [email protected], Laserlab VU

3

Tutor-staffB: MirteA: Tom H

E: Laura

C: Dirk D: Bram

F: Lotte G: Stephen

4

Structuur van het vak-harmonische slinger, vrije Trilling-gedempte en gedwongen Trillingen-gekoppelde Trillingen-Fourier

Wiskunde:Rekenen met complexe emachten‘Natuurkundig’ oplossen differentiaal vergelijkenEen basis voor je hele carriere!

Trillingen worden golven-Golfvergelijking-Superpositie: variaties-Groeps en fasesnelheid

Wiskunde:Fourier analyseDe basis voor quantum mechanica!

Voortplanting van Licht-reflectie, breking-buiging, diffractie

Wiskunde:Bouwt voort complexe emachten.

5

Waarschuwing

Het nieuwe jaar is begonnen:

• Er wordt meer zelfstudie van jullie verwacht. Zelfecht de stof bestuderen, zelf opgaves maken

• Niet alle stof komt terug in de colleges. Zelf het boek bestuderen

6

Opbouw

Hoorcollege+Werkcollege in Januari (beide2xuur/week).

Hoorcollege+Werkcollege in Feb. - Maart (beide 1x/week) Zie studiewijzer op BB voor zaken als het gewicht van

tussentoetsen.

7

Tentamenstof

• Syllabus Trillingen en Golven met Werkboek (op BB) • Boek Optics van E.Hecht (4de int. ed.)• Tip: Op de slides wordt ieder college voorafgegaan met een overzicht van de

stof. Tevens staat op vele slides een verwijzing naar de literatuur.

Gebruikteboek

AnderBoek

Groot verschil:H4 en H6 zijn omgedraaid

Z.O.Z

8

De Nummering van hoofdstukken inhoudsopgave kloptniet altijd met inhoud!!!

Boek Optics van E.Hecht (4de int. ed.)Problemen:-2 blz nummers, zowel boven als onder aan de blz. -Inhoudsopgave hoofdstuknummering H4,H5,H6 klopt niet met interne nummering

De uitgever heeft dus behoorlijk wat steekjes laten vallen.Ik verwijs in studiewijzer en slides naar de inhoudsopgave. De inhoudsopgave verwijst naar de paginanummers onderaan de blz. Die nummering houden we aan.

Inhoudsopgave in begin boek:Hoofstuknummer, blz

Naam hoofdstuk Hoofdstuk-nummer in boek.(negeer dit nummer)

H4, blz 87 Geometrical Optics H5H5, blz 181 More on Geometrical Optics H6H6, blz 220 Propagation of Light H4Dus als ik verwijs naar Hecht H6.3, kijk je in de inhoudsopgave waar H6 begint. Je vindt dan blz 220 (onderaan pagina). Zoek vanaf daar naar paragraaf 3. De bedoelde paragraaf H6.3 vind je op blz 229 en die heet dan 4.3, wat je verder kunt negeren.

9

Details Week-overzicht voor Januari (planning per college onder voorbehoud. Volgorde ligt wel vast)

College Literatuur Minder belangrijk

1) Simpele Harmonische Oscilator, Vrije-, Gedempte-, (Gedwongen- trilling). Complexe getallen!

Syllabus S1, S2 en S3.

2) Gedwongen Trillingen en LCR kring, Phasoren, Resonatie.

Syllabus S4 Impedantie Z

3) Gekoppelde Trillingen Syllabus S5 S5.3.3-5.3.4

4) Van gekoppelde Trillingen naar Golven. Superpositie en Staande golven.

Syllabus S5, S7, Hecht H2 S7.5-S7.7H2.8-H2.10

5) Zwevingen, Groepsnelheid, Dispersie, Voortplanting: Transmissie en Reflectie (1 dim, mechanisch)

Syllabys S7 en Hecht H7 (t/m 7.2)

6) Fourier synthese en analyse Syllabys S6Hecht H7.3, H7.4Hecht H11.1, H11.2.1

Subluminallight.H7.4

7) Licht en Materie, Voortplanting van Licht (onderwerpen deels onder voorbehoud ivm uitloop voorgaande – o.a. toetsbesprekingen)

Hecht H3, met name 3.5-3.6. (zie *) Hecht H6 (zie **)

Zie *

Zie **

Zie slides: Voor ieder college is ook eendetail-schema gemaakt.

Zie datanose: er zijn twee tussentoetsen en deeltentamengeplanned.Stof is steeds: alles, tot dan aan toe.

*Niet noodzakelijk H3.1-H3.4; Welkwalitatief 3.2.1, 3.3.2, 3.4.3, 3.4.4; Niet 3.7.** H6.6 en H6.7.1 is stof voor Feb-Mrt;Wel H6.8 kwalitatief; NietNoodzakelijk H6.10-H6.11

10

VideoClips voor JanuariCollege Voorbereidende Kennisclips

1) Simpele Harmonische Oscilator, Vrije-, Gedempte-, (Gedwongen- trilling). Complexe getallen!

Trillingenhttp://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/T2SpaZScCSZWssJTsEHFD9RlComplexe getallenhttp://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/u13fUaEeRTfhdSn6pef9n4pbLCRhttp://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/f2OTkSRslONMlF88NU87xaW4

2) Gedwongen Trillingen en LCR kring, Phasoren, Resonatie.

Bekend verondersteld: clips “Complexe getallen” en “LCR”.

Gedwongen Trilling:http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/PBUDQWKXH7hdhfAHb4os2Hq2

3) Gekoppelde Trillingen Transient en Steady state:http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/mOKbZhjhkOjYAcidCiLYnaCV

4) Van gekoppelde Trillingen naar Golven. Superpositie en Staande golven.

Partiele afgeleideshttp://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/q1OVFPTNShNabLhIAif2zmBMEigenvectoren (na matrix diagonalisatie bij Lineaire Algebra):http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/B1NcJniTNjOqqRZELXNblJGk

5) Zwevingen, Groepsnelheid, Dispersie, Voortplanting: Transmissie en Reflectie.

Zwevingen:http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/P2ZYNGhUQnRUTLXDJdT8TJen

6) Fourier synthese en analyse Fourier:http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/U2BVSFLHcYARlNiZn397mWnw

7) Licht en Materie, Voortplanting van Licht Alledaagse Fenomenen (inloggen met @uva.nl account):http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/w1dEiYVMbgYXVPAFO9Yglq9r

College I

Thema Lit. K T/A Opmerking

Intro, plaats van het vak S1 X

Simpele Harmonische Oscilator(SHO) (zowel slinger als veer)

S3.1 X A/T S1 is Syllabus H1.

SHO in atomen Komen we later op terug.

SHO in LC kringen S3.2 X T

Complexe Oplossingen S2 X T Is ook basisstof Wiskunde

Gedempte Trillingen. DV opstellen.

S3.4 X A/T

Syllabus Sectie 3 staat in dit college centraalOefenopgaves: Werkboek 2 en 3Werkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: slingers, veren, gedempte veer

Lit.=LiteratuurK=KennenT/A=Toepassen/Afleiden

12

Trillingen

Natuurkundige Ingredienten:F=ma = ‘Evenwichtskracht’ + Demping + Aandrijving

Wiskundige beschrijving differentiaalvergelijking (DV)

Sommige DVs kunnen we (en gaan we) analytisch oplossen.(maar het blijft natuurkunde: ook slim ‘giswerk’ nodig!)

C

L

RV

https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU

13

Simpele Harmonische Oscillator (Kracht ~Versnelling)

KxFx (Lineair SHO)

Veerconstante k(ideale veer=lineair)

EXPERIMENT:

KxdtxdmFx 2

2Newtown F=ma

Differentiaalvergelijking

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/SHO/mass.htmlAnimations: Dr. Dan Russell, Kettering University

Algemene animaties: http://www.cabrillo.edu/~jmccullough/Applets/oscillations.html

Force = - Konstante . Verplaatsing

14

Simpele Harmonische Oscillator Differentiaal Vergelijking Oplossing

KxdtxdmFx 2

2

SHO DV:

)cos( 0 tAx mK /0 2

0foplossing:

Afl.

15

Simpele Harmonische Oscillator Oplossing nader bekeken

KxdtxdmFx 2

2

SHO DV:

)cos( 0 tAx mK /0 2

0foplossing:

Merk op:

de Amplitude A en de fase hangen van de begincondities af. Die kun je extern nog ‘kiezen’.

en dus ook f ) ligt vast door K veer en massa m.

)sin()cos( 00 tBtAx Je kunt de oplossing ook schrijven als:

dit is volstrekt equivalent (opgave werkcollege).Ook zijn er er ‘Complexe’ oplossingen later.

16

Energie in Simpele Harmonische Oscillator

We hebben afgeleid:

2

21mvFdxTUE

Energie: potentieel + kinetisch

)cos( 0 tAx mK /0

17

Energie in SHO: afleiding

2

21mvFdxTUE

222

21

21

21 KAmvKxE

Universeel:Energie ~ Amplitude2

Energie: potentieel + kinetisch

)cos( 0 tAx mK /0

Afl.

18

“Empirisch”:De zwaartekracht in trekrichting + spankracht + middelpuntzoekende kracht zijn in balans.Alleen de zwaartekracht zorgt voor resulterende kracht in bewegingsrichting

19

Slinger: Simpele Harmonische Oscillator in goede benadering

rF

x

)sin(1)cos(

02

houd de uitwijking klein (Taylor):

l

mgFz

sF

zwaartekracht

002

2

2

2

lxmgmg

dtyd

dtxd

mFF

y

x

yNewton

Een voorproefje vectorcalculus:

mgmg

)cos( xlmg

dtxdmFx 2

2

2

2

2

2

2

2

dtyd

dtxd

mdtrdmFr

mgmgFx )cos(

0)sin( 2 mgmgFy

mgmgFr

)sin(

mg

20

Slinger Differentiaal Vergelijking Oplossing

met 0 g / l hangt niet van de massa af

)cos( 0 tAxxlmg

dtxdmFx 2

2 Oplossing:

Taylor-ontwikkel bijvoorbeeld sin(). De eerste term is lineair = SHO. De hogere orden zijn niet linear, dus geen SHO meer.

Wat als we nu eens geen kleine uitwijking nemen? )sin( 1)cos(

Afl.

21

TrillingenIngrediënten en DV:

Ingredient 1 Ingredient 2 Ingredient 3 Naam DV

‘Evenwichts-kracht’kx

Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )

AandrijvingF cos( t)

Gedwongen(gedempte) trilling

Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

22

Stemvragen: C1.1 en C1.2

23

Soms is systeem eenSHO zonder dat je het je realiseert

MaterieLC kring

24

kern

veer

elektron

Materie – in versimpelde vorm – SHO’s

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

Hecht H3 (komen we later op terug)

25

Vrije trilling: LC circuit Wat we tot nu toe geleerd hebben, kunnen we ook toepassen op een elektrisch circuit. Zonder bewijs: de spanning over een elektrische component is equivalent aan een

kracht (EMK) op een object. voor een condensator: de lading is de ‘uitwijking’.

Condensator (C): V=q(t)/C

Spoel (L): V= LdI/dt

LC circuit:

Elektrisch circuit:

broni

i VV

Syllabus S3

)cos()( 00 tqtq LC1

0

• Vanaf nu kun je van ieder lineair circuit de DV opstellen!

• Stelling: alles wat beschreven wordt door de DV van een SHO is een SHO!

)cos()( 00 ItItI

VSpoel VCondensator 0

L dIdt q(t)C

0

gebruik dat I(t) = dq/dt :

0)(2

2

Ctq

dtqdL

(herken je de structuur?!wat is m en K?)

26

LC circuit: eigenschappen

Neem op t=0 de maximale stroom: I(0)=I0 en q(0)=0

)cos()( 00 tItI

VC (t) q(t)C

I0

0Csin(0t)Spanning:

Stroom:C

L

dq / dt I q I00

sin(0t)

De spanning op C (en L) is dus 900

uit fase met de stroom.

V (Volt)

I (A)

27

TGO

Gedempte trillingen

Syllabus S3.4

28

TrillingenIngrediënten en DV:



Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

29

Gedempte trillingen

kxdtdxb

dtxdm 2

2

dtdxbbvFdemping

Bijvoorbeeld: schokbreker

Buis met zuiger in bv. olie die alle beweging tegenwerkt

Er geldt (in 1 dimensie, de x richting):

m

dempingveer FFF

KxFveer

Dus:Kx

dtdxb

dtxdm 2

2

Veel gebruikte vorm:

Klaar. Nu oplossen

0202

2

xdtdx

mb

dtxd

mK

20

30

gedempte trilling

DV startpunt: 0202

2

xdtdx

mb

dtxd

We kunnen alleen raden naar eenoplossing, een ‘educated guess’: oplossing=demping x oscillatie.

Met en te bepalen constanten door invullen in DV. )cos( tAex t

mK

20

A

220

2 2

mb

0)( 220

2 mbZelf doen!

Tussenresultaat:

31

Gedempte trillingen: oplossingen differentiaal vergelijking

Opl. zwakke demping: )cos( tCex t 220

220

220

220

Opl. sterk gedempt:tt

eCeCx

20

220

2

21

mK /0

Opl. kritisch gedempt: teCtCx )( 21

(afleiding zoals ‘zwak gedempt’ door complex te maken.)

(zoals afgeleid)

Zonder bewijs. Voor kritische demping klopte onze ‘educatedguess’ niet!

A

C

B

Stemvraag C1.3


m

Hoe rijdt de motor zonder dempende kracht?

0202

2

xdtdx

mb

dtxd

33

Gedempte trillingen: Mechanisch vs Electrisch LCR


m

0202

2

xdtdx

mb

dtxd

C

LR

0 dempingveer FFF 0 CRL VVV

Condensator (C): V=q/C


Weerstand (R): V=IR

mK

20 m

b2

0CqIR

dtdIL

012

2

qLCdt

dqLR

dtqd

dtdqI

LC/10

Klaar!LR

2

220

34

Trillingen: waar staan we nu?Ingrediënten en DV:



Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

220

mb

2m

K2

0Onthoud frequentie:• Vrije trilling• Gedempte trilling

35

TGO

Inleiding:Complexe getallen: Euler notatiePhasoren

Syllabus S2, (ook Complexe getallen in S2.2)

36

Harmonische oscillatie is projectie van cirkelsdraaien

Voor ons: zie tafel als complexe vlak. Dan wordt de oplossing complex:

Als een deeltje in een cirkel draait en we kijken naar de projectie op de x-as, dan zien we precies het gedrag van SHO.

)sin()cos(~ tiAtAxof

In (bijna) gewoon Nederlands: een 1-dimensionale trilling kun je beschrijven met een cirkelbeweging in het complexe vlak.

De beweging van de trilling is het reële deel.

37

Complexe getallen Complex maakt rekenwerk Makkelijk (met name bij signalen met faseverschillen) Grafische weergave dmv ‘Phasor-diagram’. Lijkt op vector-rekening, maar is anders. Bijv. Vermenigvuldigen en Delen zijn gedefinieerd

)sin()cos(~ iZZibaZ

Reele as

Imag

inai

re a

s

)cos(R

)sin(iR R

iZeZ ~ (Euler notatie; gewone rekenregels voor e).

iZeZ *~ (complex geconjugeerde)2*2 ~~~ ZZeZeZZZ ii Norm quadraat

ZZ ~Re)cos( ZZ ~Im)sin(

Zt

Zt

~Re~Re

Omdraaien diff/integ. Mag

als variable reeel:

Vaak voorkomende truc: ZZ ~Re)fysisch( Dus eerst complex uitwerken, daarna reële (Re) deel nemen:

Nooit meer gonio onthouden, bijv.:

cos( ) Recos( ) isin( ) Reei( )

)sin()sin()cos()cos( Reei( ) Reeiei Re(cos() isin())(cos() isin())

Phasor

Leidt uit bovenstaande af: 12 i

Zie Wiskunde 1C

222 baZ )/(tan 1 ab

38

Complexe oplossingen

Kxdtxdm 2

2met

We hebben SHO:

Professionals (zoals wij) werken met complexe getallen.

xKdtxdm ~~2

2

titiiti AeeAeeAx 000~~Alg opl:

In het ‘lab’ zien we uiteraard alleen het reëele deel:)cos()Re()~Re( 0

0 tAeAxx ti

Mag dit wiskundig zomaar? Ja – zonder bewijs – voor iedere DV die we tegenkomen in TGO kun je complexe variabelen substitueren.

39

LC circuit: eigenschappen (complexe notatie)

Neem op t=0 de maximale stroom: I(0)=I0 en q(0)=0tieItI 0

0~)(~ Stroom:

C

L

tieiIqIdtdq 0

0

0~

~/

Reële as (meetbare spanning)Imag

inai

reas

CV~

Op t=0 is er geenmeetbare spanning over C

Phasor diagram:

I~

De spanning op C (en L) is dus 900

uit fase met de stroom.

V (Volt)

I (A)

)21(

0

0

0

0 00

~~)(~)(~

titi

C eCIe

CiI

CtqtVSpanning:

211 i

eii

40

TGO• Korte herhaling college 1: vrije en gedempte trillingen

• College 2: gedwongen trillingen

41




Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

220

mb

2m

K2

0Onthoud frequentie:• Vrije trilling• Gedempte trilling

42

Simpele Harmonische Oscillator (Herh. Met complexe oplossingen

KxFx

Veerconstante K(ideale veer=lineair)

EXPERIMENT:

KxdtxdmFx 2

2Newtown F=ma

Diff. Verg.

)cos( 0 tAx

mK /0 2

0f)( 0~ tiAexxK

dtxdmFx ~~2

2

Afl:

43

Vrije trilling: LC circuit (Herh)



LC circuit:

Elektrisch circuit:

broni

i VV

Syllabus S3

VSpoel VCondensator 0

L dIdt q(t)C

0

gebruik dat I(t) = dq/dt :

0)(2

2

Ctq

dtqdL

(herken je de structuur?!wat is m en K?)

)cos()( 00 tqtq

LC1

0

)(0

0)(~ tieqtq

44

LC circuit: eigenschappen (complexe notatie)

Neem op t=0 de maximale stroom: I(0)=I0 en q(0)=0

Lading:C

L

tieqiIdtdqI 000

~/

Reële as (meetbaar!)Imag

inai

reas

CV~

Op t=0 is er geenmeetbare spanning over C

Phasor diagram:

I~

De spanning op C (en L) is dus 900 uit fase met de stroom.

V (Volt)I (A)

tiC e

Cq

CtqtV 00)(~

)(~ Spanning:tieqq 0

0~

Stroom:

Afl.

21iei

)21(

000

ti

eq

45

Gedempte trillingen: Mechanisch vs Electrisch LCR (deels herh)


m

0202

2

xdtdx

mb

dtxd

C

LR

0 dempingveer FFF 0 CRL VVV

Condensator (C): V=q/C


Weerstand (R): V=IR

mK

20 m

b2

0CqIR

dtdIL

012

2

qLCdt

dqLR

dtqd

dtdqI

LC/10

Klaar!LR

2

220

College 2


Gedwongen Trillingen.DV opstellen, Resonantie

S4 X X Belangrijke basis

Gedwongen trillingen, Straling

Hecht H3.5.1

Komen we later op terug.

Gedwongen trillingenLCR kring

S4 X A/T Complexe Impedantie zoals in vgl. 4.38 geen tentamenstof

LCR kring: Phasoren S2 X T Komt ook terug in Hecht

Complexe Oplossingen S2 X T Is ook basisstof Wiskunde

Syllabus H4 staat in dit college centraalOefenopgaves: Werkboek 2 en 4Werkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: Gedwongen Trilling, LCR sweep


47

TGOCollege 2Gedwongen trillingenMechanisch en Elektrisch

Syllabus S4

48

TGO

Gedwongen trillingenMechanisch

Syllabus S4

49

Gedwongen Trilling: de DV Oscillerende externe kracht die de trilling aandrijft. De amplitude van de resulterende trilling is groot bij de natuurlijke frequentie

= resonantie

)cos( tFFextern

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm

met wrijving bvFwrijving

Complete differentiaal vergelijking: som van de krachten is gelijk externe kracht

extern

)cos(2 202

2

tmFx

dtdx

dtxd of

Eerst nadenken externe kracht bepaalt Werk met complexe notatie en ‘educated guess’:

tieAx ~~ tie

mFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2

Hoe op te lossen?

50

Gedwongen Trilling: DV oplossen, de Amplitude

ti

ti

ti

eAxdtd

eAixdtd

eAx

~~

~~

~~

22

2

tiemFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2

Startpunt DV:

Hoe vinden we de Amplitude?Truuk: vermenigvuldig links en rechts complex toegevoegde

titititi emFeAeAieA ~~2~ 2

02

Invullen:

mFiA 2][~ 22

0

51

Gedwongen Trilling: DV oplossen, de Amplitude

Truuk: vermenigvuldig links en rechts complex toegevoegde

mFiA 2][~ 22

0

52

Gedwongen Trilling: DV oplossen, de fase.

tieAx ~~ Startpunt:

Invullen (triviaal):

mFiA 2][~ 22

0

)sin()cos(~ iAAA

mFAAiiAA )sin(2)sin(][)cos(2)cos(][ 22

022

0

mFAA )sin(2)cos(][ 22

0

0)sin(][)cos(2 220 AiiA

Reele deel

Im. deel

Realiseer je: dit zijn TWEE vergelijkingen.Uitwerken!

53

Gedwongen Trilling: DV oplossen, de fase.

mFAA )sin(2)cos(][ 22

0

0)sin(][)cos(2 220 AiiA

Reele deel

Im. deel

Uitwerking, afleiding fase:

54

Gedwongen Trilling: DV oplossing

)(~~ titi AeeAxtiemFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2Startpunt DV:

mFAAiA ~~2~ 2

02

Invullen levert:iAeA ~

Resultaat:2222 )2()(

1

o

mFA

20

21 2tan

door invullen

door invullen iAeA ~

)sin()cos(~ iAAA

55

Gedwongen Trillingen. Resonantie.

)cos( tF )cos(

~ )(

tAxAex ti

2222 )2()(1

omFA

Resonantie

2

0Q

De breedte van de resonantie hangtsamen met 1/Q, de qualiteitsfactor (nietlading dus!):

Hoe smaller de piek, hoe langer de trilling blijft bestaan:

t

1

Pikant detail uit de deeltjesfysica: Een deeltje is een energie-resonantie. De breedte van een resonantie is de levensduur.

Hoe zie A er uit?

56

Gedwongen Trillingen. Faseverschil.

0/

0

2

a

chte

rsta

nd x

t.o.

v. F

)cos( tF )cos(

~ )(

tAxAex ti

20

21 2tan

Hoe zit fase er uit?

57

C2.1: Welke bewering is waar?

58

TGO

Voorbeeld (vooruitlopend op lichtgolven):Gedwongen trillingen in atomen

Hecht H3

59

Licht en materie

kern

Essentie:Licht is EM golf. Het Electrischveld, brengtelektronen in GEDWONGEN trilling.

EqFelektrisch

Nieuw:Trillende lading straalt zelf weerlicht met dezelfdefrequentie uit.

Gevolg: absorptie, reflectie of transmissie.

Trillende lading

licht

‘donker’

‘donker’

60

Gedwongen Trillingen fase verschilBij straling door bewegende lading, ontstaat een faseverschil tussen de primaire en uitgaande straling

0/

0

2

To

tal p

hase

ver

schi

l Fen

x

23

21

Faseverschil van stralingM

echa

nisc

he tr

illing

Glas, water

61




Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

220

mb

2

mK

20Onthoud frequentie: • Vrije trilling

• Gedempte trilling• Gedwongen trilling

62

TGO

Gedwongen trillingenElektrisch: LCR circuit

Syllabus S4

63

Gedwongen trillingenMechanisch vs Electrisch LCR

C

LR

)cos(0 tVCqIR

dtdIL



Weerstand (R): V=IR

dtdqI

)cos( tF

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm

V)cos(0 tVV

)cos(102

2

tVqCdt

dqRdtqdL

VVVV CRL (eerder besproken)

Klaar!)(~~ titi AeeAx qx ~~

tieLVq

dtqd

dtqd 02

02

2~~

2~

mK

20

mb

2

LC12

0 LR

2

tiemFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2

64

Gedwongen trillingen: Electrisch LCR

C

LR

Klaar! Maar wat moeten we hier mee?Eerst stemvraag 2.2

20

21 2tan

Resonantie

V)cos(0 tVV

Zelfde DV als mechanisch,Dus dezelfde oplossing

Analogie!L m (zelfinductie, massa)1/C k (capaciteit, veerconstante)R b (weerstand, wrijving)q x (lading, plaats)I v (stroom, snelheid)½ q2 /C= ½ k x2

½ L I2 = ½ m v2

)cos(

~ )(

tAqAeq ti

CL

RRLQ 1

0

De breedte van de resonantiehangt samen met 1/Q, de qualiteitsfactor (niet lading dus!):

1/Q~Energieverlies/Totale Energie

22220

)2()(1

oLVA

VC

65

Interpretatie Resultaat voor LCR kring als filter

)cos(0 tVV

C

LR



Weerstand (R): V=IR

V)cos(0 tVV

De ‘input’ Vin is:tieVV

0~ dus

Wat is de ‘output’ Vout? Er zijn meerdere ‘outputs’, namelijk combinaties van de spanning over R,C en L. In veel toepassingen (bijv. filter) wordt de spanning over R als output gebruikt. (mechanische equivalent: de snelheid)

LCRVin Vout

66

LCR kring als Filter: de spanning over R

We weten de oplossing voor: )(~ tiAeq

RIVR~~

)cos(0 tVV

C

LR



Weerstand (R): V=IR

V)cos(0 tVV

De ‘input’ is:tieVV

0~ dus

Wat is de spanning over R?Merk op: de spanning en stroom over R zijn altijd precies in fase

Wat is VR? RA

22220

)2()(1

o

R LVRV

Afl..

67

de spanning over R, even uitwerken

22

0

1 RC

L

RVVR

22220

)2()(1

o

R LVRV

LC12

0 LR

2We hebben:

68

LCR kring, de spanning over VR (snelheid)

CL

RRLQ 1

0 de qualiteitsfactor:

We hebben afgeleid voor de spanning over R:

22

0

1 RC

L

RVVR

Als filter laat VR dus spanningen met frequentie rond 0 door.

0VVR

0

0VVC

0VVL

69

LCR circuit: De Fases (= lastig)

C

LRV

Com

plex

e as

Gevolg voor phasoren.Stel op een t is de (reële) spanning op R maximaal

RV~

CV~

LV~

V~ RV~

CV~

LV~ V~

RVCVLVt

t t later

)(2)(222

2

)21()(

)(

~~

~~~

1~~

titiL

titiR

tiC

AeLAeLidtqdLV

RAeRAeiRdtqdRIV

AeCC

qV

Conclusie: de spanningen over L,C,R hebben vaste faseverschillen. De stroom is in fase met R en dus uit fase met L en C direct meetbaar in Lab.

0/

0

2

20

21 2tan

VC

plaats

V (kracht)

(plaats)

(snelheid)

(versnelling)

Wat is fase van de stroom? = VR

70

LCR circuit: Technische aanpak

ZIV ~~~

‘Technici’ werken met complexe impedantie:

De fysische waarde is dan het reële deel, bijv.:

Met de impedantieZ~

tiRLCRCL eVZZZIVVV

0)~~~(~~~~

Gevolg: de complexe impedanties ‘tellen op’, also het weerstanden in serie zijn.

)~Re(VV

RZR ~LiZL ~

Wat is ?Z~

CiZC

1~

(Dat kunnen we in principe afleiden uit simpele schakelingen;)

Essentieel: de stroom in serieschakelingen is in fase over alle componenten

tieII 0

~~ Raad:‘educated guess’

C

L

RV)cos(0 tVV

Nu lossen we dus geen DV’s op, maar een simpele vergelijking

Niet strikt noodzakelijk voor tentamen

71

TGO – College 3

(+korte herhaling college 2)

• Transient en Steady State trillingen• Gekoppelde Trillingen

Syllabus S4

College 3


Inslinger Verschijnselen S4.2.3 X Transient en Steady state

Gekoppelde Trillingen.Twee vrijheidsgraden

S5 X T/A

Gekoppelde Trillingen.N vrijheidsgraden

S5 X Voorbeeld. Komen we later op terug.

Syllabus H5: Gekoppelde trillingen staat in dit college centraal, Golven Hecht H2 vooral nog kwalitatiefOefenopgaves: Werkboek 5Werkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: Gekoppelde Trilling (2 of 3 torsie-veren?)


+herhaling college2

73

Trillingen: Herhaling en waar staan we nu?

Ingrediënten en DV:



Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

220

mb

2

mK

20Onthoud frequentie: • Vrije trilling

• Gedempte trilling• Gedwongen trilling

74

Gedwongen trillingenMechanisch vs Electrisch LCR

C

LR

)cos(0 tVCqIR

dtdIL

Condensator (C): V=q(t)/CSpoel (L): V= LdI/dtWeerstand (R): V=IR

dtdqI

)cos( tF

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm

V)cos(0 tVV

)cos(102

2

tVqCdt

dqRdtqdL

VVVV CRL Som van krachten in balans:

Klaar!)(~~ titi AeeAx qx ~~

tieVLVq

dtqd

dtqd 0

0202

2~~

2~

mK

20

mb

2

LC12

0 LR

2

tiemFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2

Som van Potentialen in balans:

veerwrijvinggaandrijvin FFFma

75

Gedwongen trillingen: Electrisch LCR

C

LR

20

21 2tan

Resonantie

V)cos(0 tVV

Zelfde DV als mechanisch,Dus dezelfde oplossing

Analogie!L m (zelfinductie, massa)1/C k (capaciteit, veerconstante)R b (weerstand, wrijving)q x (lading, plaats)I v (stroom, snelheid)½ q2 /C= ½ k x2

½ L I2 = ½ m v2

)cos(

~ )(

tAqAeq ti

CL

RRLQ 1

0

De breedte van de resonantiehangt samen met 1/Q, de qualiteitsfactor (niet lading dus!):

1/Q~Energieverlies/Totale Energie

22220

)2()(1

oLVA

76

LCR circuit: De Fases (= lastig)

C

LRV

Com

plex

eas

Gevolg voor phasoren.Stel op een t is de (reële) spanning op R maximaal

RV~

CV~

LV~

V~ RV~

CV~

LV~ V~

RVCVLVt

t t later

)(2)(222

2

)21()(

)(

~~

~~~

1~~

titiL

titiR

tiC

AeLAeLidtqdLV

RAeRAeiRdtqdRIV

AeCC

qV

Conclusie: de spanningen over L,C,R hebben vaste faseverschillen. De stroom is in fase met R en dus uit fase met L en C direct meetbaar in Lab.

0/

0

2

20

21 2tan

VC

plaats

V (kracht)

(plaats)

(snelheid)

(versnelling)

Ruimte voor afleidingen

78

TGO

Transient en Steady State trillingen zie de videoclip

Syllabus S4

79

gedempte trilling

DV startpunt: 0202

2

xdtdx

mb

dtxd

We kunnen alleen raden naar eenoplossing, een ‘educated guess’: oplossing=demping x oscillatie.

Met en te bepalen constanten door invullen in DV. )cos( tAex t

mK

20

A

220

2 2

mb

0)( 220

2 mbZelf doen!

Tussenresultaat:

80

Gedwongen Trilling: de DV Oscillerende externe kracht die de trilling aandrijft. De amplitude van de resulterende trilling is groot bij de natuurlijke frequentie

= resonantie

)cos( tFFextern

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm


Complete differentiaal vergelijking: som van de krachten is gelijk externe kracht

extern

)cos(2 202

2

tmFx

dtdx

dtxd of

Eerst nadenken externe kracht bepaalt Werk met complexe notatie en ‘educated guess’:

tieAx ~~ tie

mFx

dtxd

dtxd ~~

2~

202

2

Hoe op te lossen?

81

Transient en Steady-State trillingenVergelijk nu eens gedempte en gedwongen trillingen (zie videoclip)1)

2))cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm o

02

2

Kxdtdxb

dtxdm dempx oplossing

dempgedwongen

gedwongen

xx

x

oplossing volledige

oplossingeen

Gevolg: de eerder gevonden gedwongen oplossing was involledig. We moeten eraltijd de vrije danwel gedempte bij optellen:

)cos()cos( 11122 teAtAx t

Deze dempt uit: transient)Steady-State

Door de combinatie (de som) van twee periodieke functies kunnen erzogenaamde inslingerverschijnselen ontstaan.

extra vrijheid: Iedere begintoestand instelbaar

dempxgedwongenx

82

www.shakespeak.comPrepare to vote

TXT 11

22

Internet 11

22

Voting is anonymous

Twitter 11

22

The text on this slide will instruct your audience on how to vote. This text will only appear once you start a free or a credit session.

Please note that the text and appearance of this slide (font, size, color, etc.) cannot be changed.

3.1 Welke trilling hoort bij welke DV?

A. De volgorde is correct: DV1 hoort bij grafiek 1, enzovoort.B. De volgorde is omgewisseld. DV1 hoort bij grafiek 2, et vice versaC. DV1 hoort niet bij de grafiekenD. DV2 hoort niet bij de grafieken

# votes: 0 ClosedDe vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling start.

Internet This text box will be used to describe the different message sending methods.TXT The applicable explanations will be inserted after you have started a session.Twitter It is possible to move, resize and modify the appearance of this text box.

0202

2

xdtdx

mb

dtxd )cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm

Resonantie

1

1

2

2

3.1 Welke trilling hoort bij welke DV?

A.

B.

C.

D.

De volgorde is correct: DV1 hoort bij grafiek 1, enzovoort.

De volgorde is omgewisseld. DV1 hoort bij grafiek 2, et vice versa

DV1 hoort niet bij de grafieken

DV2 hoort niet bij de grafieken

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

Closed


We will set these example results to zero once you've started your session and your slide show.

In the meantime, feel free to change the looks of your results (e.g. the colors).

3.2 Is de DV correct?A. JaB. Nee, er ontbreekt een dempingstermC. Nee, er ontbreekt een term met aandrijvende krachtD. Nee, er ontbreekt een constante term.

# votes: 0 ClosedThe question will open when you start your session and slideshow.


x

tijd02

2

Kxdtdxb

dtxdm

3.2 Is de DV correct?

A.

B.

C.

D.

Ja

Nee, er ontbreekt een dempingsterm

Nee, er ontbreekt een term met aandrijvende kracht

Nee, er ontbreekt een constante term.

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

Closed




3.3 Zijn dit gedempte trillingen?A. Ja, beide.B. Alleen grafiek 1C. Alleen grafiek 2D. Nee, geen van beide

# votes: 0 ClosedDe vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling start.


x x

tijdtijd

3.3 Zijn dit gedempte trillingen?

A.

B.

C.

D.

Ja, beide.

Alleen grafiek 1

Alleen grafiek 2

Nee, geen van beide

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

Closed




3.4 Een ongedempte, gedwongen trilling. Welke uitwijkingen zijn mogelijk?

A. grafiek AB. grafiek BC. grafiek CD. grafiek A,B en C

# votes: 0 Closed

De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling start.


A B C02

2

Kxdtdxb

dtxdm

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm o

3.4 Een ongedempte, gedwongen trilling. Welke uitwijkingen zijn mogelijk?


A.

B.

C.

D.

grafiek A

grafiek B

grafiek C

grafiek A,B en C

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%

Closed



91

Trillingen, alles to nu toe.Ingrediënten en DV:



Vrije trilling SHO


Dempingbv

Gedemptetrilling


(Dempingbv )



Complexe-ImpedantieLCR

(Demping IR) AandrijvingV0 cos( t)


Kxdtxdm 2

2

Kxbvdtxdm 2

2

KxbvtFdtxdm )cos(2

2

krachten alle2

2

dtxdmmaF

ZIV ~~~

CiZC

1~ LiZL ~ RZR ~

Geen tentamenstof

Ook geleerd: • LCR kring, Resonantie, Fase, phasor-diagrammen.

92

TGOGekoppelde Trillingen

Eerst 2 massa’s• Empirisch en Lin. Algebra• AlgebraischN gekoppelde trillingen

Syllabus S5

3.5 Welke stelling is FOUT?

A. Er zijn twee massa’s dus twee mogelijke eigentrillingen met eigenfrequenties.

B. massa a en massa b trillen met gelijke maximale uitwijking (niet noodzakelijk op hetzelfde moment).

C. Er zijn drie veren en dus drie mogelijke eigentrillingen met eigenfrequenties.

D. Deze stelling is goed.

# votes: 0Internet This text box will be used to describe the different message sending methods.TXT The applicable explanations will be inserted after you have started a session.Twitter It is possible to move, resize and modify the appearance of this text box.

Closed


ax

m mKKK

bx

3.5 Welke stelling is FOUT?


A.

B.

C.

D.

Er zijn twee massa’s dus twee mogelijke eigentrillingen met eigenfrequenties.

massa a en massa b trillen met gelijke maximale uitwijking (niet noodzakelijk op hetzelfde moment).

Er zijn drie veren en dus drie mogelijke...

Deze stelling is goed.

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%

Closed



95

Gekoppelde trillingen We kunnen natuurlijk vele elementen tegelijk (eenmalig) in beweging zetten.

Hoe pak je dat aan?

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm

Plan van aanpak: stel de differentiaal vergelijkingen op ‘per massa’

en

Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren en massa’s ax

m m

KKK

bx

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

)cos( tAxa

1) Empirisch: er bestaan eigentrillingen die in fase of in tegenfase zijn, dus parametriseer:

)cos( tAxb 1

2) Wiskundig-Algebraisch: tel de vergelijking op en trek ze van elkaar af2 onafhankelijke vergelijkingen

3) Wiskundig-Lin. Algebra: eigenwaarden en eigenvektoren

96

1) Empirisch: Wat zijn de waard(en) voor

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm en

)cos( tAxa

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Onze ‘Ansatz’:)cos( tAxb 1

mK /met 1 211 mK /3met 1 2

22 Of Oplossingen voor de ‘normaaltrillingen’ (eigen-hoekfrequenties):

97

1) Gekoppelde trillingen-Empirisch

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm

de differentiaal vergelijkingen op ‘per massa’

en

Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren en massa’s

)cos( tAxa

ax

m m

KKK

bx

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Empirisch: of de blokken trillen in fase of in tegenfase, dus parametriseer:

)cos( tAxb 1Deze vorm invullen in diff. vglen. levert: KKm 22 KKm 22 en

Wat is nu de uiteindelijke oplossing voor ? ba xx ,

mK /met 1 211 mK /3met 1 2

22 Of Oplossingen voor de ‘normaaltrillingen’, ntieshoekfreque-eigen wenoemen 0

98

1) Empirisch: uiteindelijke oplossing

ax

m m

KKK

bx

of Oplossingen voor de ‘normaaltrillingen’, requentieseigenhoekf wenoemen 2,1

In het bijzonder interessant als de hoekfrequentiesbijna gelijk zijn: zwevingen (komen we op terug)

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/coupled/coupled.html

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/absorber/DynamicAbsorber.htmlhttp://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CoupledSHM/CoupledSHM.html

mK /met 1 211 mK /3met 1 2

22

Totaal-oplossing is superpositie van deze ‘normaaltrillingen’

2121 ,,, AAUit beginvoorw.

)cos()cos()cos()cos(

222111

222111

tAtAxtAtAx

b

a

)cos( tAxaOnze ‘Ansatz’, er bestaan eigentrillingen:

)cos( tAxb 1

99

2) Gekoppelde trillingen – Algebraïsch

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm

de differentiaal vergelijkingen ‘per massa’:

en

Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren en massa’s ax

m m

KKK

bx

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Dus definieer: ba xxx 1 ba xxx 2

Tel de 2 DVs op Trek de 2 DVs af

Truuk: definieer nieuwe variabelen en ‘ontkoppel’ de vergelijkingen

10

2) ekoppelde trillingen – Algebraïsch -- afleiding

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm en )(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Dus definieer: ba xxx 1 ba xxx 2Tel de 2 DVs op Trek de 2 DVs af

10

2) Gekoppelde trillingen – Algebraïsch -- Gevolg

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm


en

Om het simpel tehouden: geen wrijving, identieke veren enmassa’s ax

m m

KKK

bx

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Definieer:

121

2

Kxdtxdm

ba xxx 1 ba xxx 2

Tel de 2 DVs op: Trek de 2 DVs af: 222

2

3Kxdtxdm

Twee nieuwe ontkoppelde DVs! (=SHOs)

mK2

1 mK32

2 Oplossingen onafhankelijk voor met en21, xx

)cos()cos(

2222

1111

tAxtAx Uiteindelijke oplossing is weer een

som van Uiteraard identiek aan voorgaande!

21, xx

10

3) Gekoppelde Trillingen met eigenvectoren

)( baaa xxKKxxm We hadden:

Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren.

ax

m mKKK

bx

)( abbb xxKKxxm ofwel

b

a

b

a

xx

mK

xx

2112

b

a

b

a

xx

Mxx 2

0

Zie verder de videoclip, maar pas nadat je matrixdiagonalisatie bij LA hebt gehad!

http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/B1NcJniTNjOqqRZELXNblJGk

10




ax

m mKKK

bx


b

a

b

a

xx

mK

xx

2112

Iedere eigenvektor v van M bepaalt een normaaltrilling.Neem Matrix van Eigenvektoren V

b

a

b

a

b

a

xx

MVVVxx

MVxx

V 1120

120

1

b

a

b

a

xx

Mxx 2

0

We zullen zo zien dat deze oplossingen de normaaltrillingen representeren.

De algemene oplossing voor (xa, xb) is een som van alle normaaltrillingen, zijnde de eigenvectoren van matrix M

2

120

2

1

xx

Dxx

2

1

xx

Vxx

b

a

10


ax

m mKKK

bx

2,12,1202,1 xex ontkoppelde SHO, met

202,1

22,1 e

2

120

2

1

xx

Dxx

)cos( 2,12,12,12,1 tAx

We hadden:

2

1

2

120 x

xe

e

Nu nog de eigenwaarden bepalen en ook de eigenvectoren om (xa, xb) te kunnen bepalen.

10

3) Gekoppelde Trillingen met eigenvectoren - voorbeeld



ax

m mKKK

bx


b

a

b

a

xx

mK

xx

2112

10

3) Gekoppelde Trillingen met eigenvectoren - voorbeeld



ax

m mKKK

bx

)( abbb xxKKxxm

mKee 2,1

202,1

22,1

ofwel

b

a

b

a

xx

mK

xx

2112

)1det(0 Me 01)2( 2 e 3 of 1eHet recept:

(eigenwaarden)

eigenfrequenties

Maar wat zijn de trillingsmodes

b

a

b

a

vv

evv

M 2,1

1

1

3eb

a

vv

11

1eb

a

vv

en

)cos(1

1)cos(

11

23

211

12

1

tAtAxx

Vxx

eeb

aGelijk aan onzeeerdere resultaat!Simpeluitbreidbaar!

dat zijn de eigenvectoren van onze M

108

TGO

Gekoppelde trillingen, heel veel oscillatoren

Syllabus S5

10

N Gekoppelde Trillingen We kunnen ook gekoppelde trillingen maken met N massa’s.

nn Fdtxdm 2

2

)()( 11 nnnnn xxKxxKF

Voor de volledigheid:de algemene oplossing voor N veren op nominale afstand d is:

)sin( nkdtAx nn )sin(421 kd

mK

metDe relatie tussen en kwordt de dispersie relatiegenoemd.

Structuur blijft ‘simpel’Oplosbaar met LA!

‘Vrije’ parameter [k]=1/m periodiciteit in plaats, dit worden Golven

nx

m mKKK

1nx

m

1nx

110

TGO

Terug naar twee gekoppeldeoscillatoren: Zwevingen

Syllabus S5

111

Zwevingen (in gekoppelde trilling) Een zweving of ‘Beat’ is waarneembaar als de superpositie van (minstens) twee

trillingen niet precies (maar wel bijna) dezelfde frequentie hebben. Neem bijvoorbeeld de som van Normaaltrillingen (voor gemak gelijke A)

)sin( 11 tAx )sin( 22 tAx Neem bijv.: ?21 xxxAfl:

Volledige uitwerking, zie Videoclip Zwevingen:http://streamingmedia.ic.uva.nl/asset/player/P2ZYNGhUQnRUTLXDJdT8TJen

112

Ruimte voor afleiding

113


trillingen niet precies (maar wel bijna) dezelfde frequentie hebben. Neem bijvoorbeeld de som van Normaaltrillingen

‘Interferentie in TIJD’Pikant detail: vormvast (periodiek) indien dit normaal-trillingen betreft. Som van twee willekeurige trillngenNIET vormvast

)sin( 11 tAx )sin( 22 tAx Neem bijv.:Som (bewezen met complexe e-machten):

)2

sin()2

cos(2 212121 ttAxxx

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Beats/Beats.html

http://www.school-for-champions.com/science/sound_beat.htm

x

tijd

Neem een ongedempte, maar gedwongen harmonische oscillator.

De steady state en transient trilling kunnen een mooie ‘zweving’ (komt nog) opleveren!

02

2

Kxdtdxb

dtxdm

)cos(2

2

tFKxdtdxb

dtxdm o

mK

0Twee trillingen: en

)2

][cos()

2][cos(2)cos()cos( 00

0 ttttx

Terug naar Steady State and Transient Trillingen

Waar staan we nu?

• Vrije Trilling: Simpele Harmonische Oscillator• Gedempte Trilling• Gedwongen Trilling Transient and Steady State Trillingen• Gekoppelde Trillingen Zwevingen

We kunnen de volgende fenomenen wiskundig beschrijven:

Waar gaan we naar toe?

• Gekoppelde trillingen worden Golven• En daarna: de golftheorie voor licht bestuderen = Optica

Waar staan we nu?

• Vrije Trilling: Simpele Harmonische Oscillator• Gedempte Trilling• Gedwongen Trilling Transient and Steady State Trillingen• Gekoppelde Trillingen Zwevingen

We kunnen de volgende fenomenen wiskundig beschrijven:

Waar gaan we naar toe?

• Gekoppelde trillingen worden Golven• En daarna: de golftheorie voor licht bestuderen = Optica

Maar eerst een korte herhaling…..

Vandaag!

11

2) Gekoppelde trillingen – Algebraïsch --Herhaling

)(2

2

baaa xxKKx

dtxdm


en

Om het simpel tehouden: geen wrijving, identieke veren enmassa’s ax

m m

KKK

bx

)(2

2

abbb xxKKx

dtxdm

Definieer:

121

2

Kxdtxdm

ba xxx 1 ba xxx 2

Tel de 2 DVs op: Trek de 2 DVs af: 222

2

3Kxdtxdm

Twee nieuwe ontkoppelde DVs! (=SHOs)

mK2

1 mK32

2 Oplossingen onafhankelijk voor met en21, xx

)cos()cos(

2222

1111

tAxtAx Uiteindelijke oplossing is een som

van (amplitude en fase uit randvoorwaarden)

21, xx

11

Herhaling: N Gekoppelde Massa’s We kunnen ook gekoppelde trillingen maken met N massa’s.

Voor de volledigheid:de algemene oplossing voor N veren op nominale afstand d is:

)sin( nkdtAx nn )sin(421 kd

mK

metDe relatie tussen en kwordt de dispersie relatiegenoemd.

‘Vrije’ parameter [k]=1/m periodiciteit in plaats, komt nog terug bij Golven

Met N=2 konden we de:• normaaltrillingen raden (empirisch)• nieuwe variabelen definiëren: de som en verschil van x1 en x2.

Voor grote N, kunnen we een matrix vergelijking opstellen (zie vorige college)

nx

m mKKK

1nx

m

1nx

nn Fdtxdm 2

2

)()( 11 nnnnn xxKxxKF

119


trillingen niet precies (maar wel bijna) dezelfde frequentie hebben. Neem bijvoorbeeld de som van Normaaltrillingen

‘Interferentie in TIJD’Pikant detail: vormvast (periodiek) indien dit normaal-trillingen betreft. Som van twee willekeurige trillngenNIET vormvast

)sin( 11 tAx )sin( 22 tAx Neem bijv.:Som (bewezen met complexe e-machten):

)2

sin()2

cos(2 212121 ttAxxx

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Beats/Beats.html

http://www.school-for-champions.com/science/sound_beat.htm

x

tijd

College 4


Golfvergelijking afleiden S7.2 en H2 X

Fasesnelheid H2.3 X T Komt later ook terug bij groepssnelheid=lastig.

Vlakke golven Hecht H2.7 X T

2D, 3D golven H2.8, H2.9 X Geen corebusiness.

Superpositie van Golven H2.4 X T

Superpositie en Phasoren H2.5, H2.6 X T

Superpositie van Golven Hecht H7.1 X T Vervolg van H2.

Staande Golven Hecht H7.1.4 X T Zie ook S7.2.1

Centraal staan: Syllabus S7, Hecht H2 en begin H7.Werkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: Staande golf: touw?


121

TGO

gekoppelde trillingen, continuum van oscillatoren

golfvergelijking optellen van golven

Syllabus S5 en een uitstapje naar Syllabus S7 en Hecht H2

College 4Van gekoppeldeTrillingen naar Golven

122

N massa’s TRANSVERSALE Trilling

nx

Massa’s bewegen nu niet in de verbindingrichting, maar op en neer.(voor kleine uitwijkingen is er op eerste orde ook geen netto kracht in x richting, alleen in yrichting.)

Bewegingsvergelijking:

ny

n Fdtydm 2

2 De ketting is strak gespannen met een constante kracht FS.

dy

Fdy

F

FFF

nnS

nnS

nSnSny

1,1,

11 )tan()tan(

Zelfde structuur als DV longitudinaal gekoppelde Trillingen.Dus zelfde oplossingen! Klaar.

)()( 112

2

nnS

nnSn yy

dFyy

dF

dtydm krachten allemaF

124

Continuum, gebruik weer:

lm /Lengtedichtheid koord:

2

2

dtyddxamdF yry Er geldt:

Uit figuur:

2

22

2

2

dxydv

dtyd Golfvergelijking

gekoppelde trillingen met infinitesimaal rooster

)cos( tkxAy // SFkv /2k

linksrechtsy FFdF

))/()/(( 12 dxdydxdyFdF Sy

)tan()tan( 12 SS FF

Afl.

Een golf is de continue limit van N gekoppelde oscillatoren!

dxmn

dx dx

11

12

nn

nn

yydy

yydy

krachten allemaF

125

Analyse van de oplossingen)cos( tkxAy

2

22

2

2

dxydv

dtyd

Afl. Controle

kvTv

/f/

Een golf legt altijd af in omloopstijd T:x

y

We hebben een stap gemaakt: van Trillingen naar Golven!!!

126

De golfvergelijkingnogmaals afleiden, maar nu wat academischer

Hecht 2

127

Golf een academische analyse, hoe ziet een golffunctie f eruit?

In frame S: puls D(x,0)=f(x) met snelheid v Wat kunnen we zeggen over tijdsafhankelijkheid D en f ? Nadenken op tijd t is de puls is vt veplaatst.

S S’

Reis mee met puls S’: puls D(x’,t’)=f(x’) (geen t’ afhankelijkheid) Terug naar S: x’=x-vt en dus D(x,t)=f(x-vt)

We hadden ook in de –x richting kunnen reizen: f(x+vt)

t=0 t>0x

D

Hecht H2

Conclusie: in een golffunctie zullen x en t altijd voorkomen alseenheid: x-vt of x+vt

128

Hoe komen we op de golfvergelijking?

Gebruik:In een golffunctie zullen x en t altijd voorkomen als eenheid: x-vt of x+vtIn meereizend frame geen tijdsafhankelijkheid x’=x-vt of x’=x+vtVraag: hoe ziet de variatie van D(x,t)=f(x’) er uit?

''

' xf

xx

xf

xf

xD

''

' xfv

tx

xf

tf

tD

xDv

tD

Nu een wiskundig argument: er zijn 2 algemene oplossingenc1 f(x-vt)+c2 f(x+vt), dus schrijfbaar als 2de orde diff. vgl.

2

2

22

2 1tD

vxD

(diff. nogmaals naar x en t

en combineer. niet helemaal triviaal)

Deze afleiding is geen tentamenstof!

129

Oplossingen van de golfvergelijking 2

2

22

2 1tD

vxD

Alle repeterende vormen (monochromatisch). Harmonisch (sinusvormen):

)()(),( tkxitkxi BeAetxD Gewoonte: complexe notatie

Argument wordt de fase genoemd: kvfk

2 2

tkx Vandaar fasesnelheid:

ktxtxvk

xt tx

1

Niet triviaal

kv

De afleiding is geen tentamenstof!

130

Een kijkje in 3 dimensies

Meest eenvoudige 3dim golf)(),( trkiAetrD

),,( zyx kkkk

Beweegt in k-richtingk

//2/2 phpk

//22 EhEf

/)(),( EtrpiAetr

Veel gebruikte versie in Quantum Mechanica

Algemene 3dim golfvergelijking (academic guess)

2

2

22 1

tD

vD

2

2

2mti

Voor liefhebbers, de QM variant

Beschrijft dus ook cirkel, spherische, cilindrische golven

4.1 Welke uitdrukking is correct voor een bolvormige golf?

A. IB. IIC. IIID. IV

# Votes: 0 Closed



)(3

34),( trki

bol erAtrD

)(24

),( trkibol e

rAtrD

)(24

),( trkibol e

rAtrD

)(),( trkibol AetrD

I

II

III

IV

Ter inspiratie:Cirkelvormige golf

4.1 Welke uitdrukking is correct voor een bolvormige golf?


A.

B.

C.

D.

I

II

III

IV

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%

Closed



133

Een kijkje in 3 dimensies

Algemene 3dim golfvergelijking (academic guess)

2

2

22 1

tD

vD

2

2

2mti

Voor liefhebbers, de QM variant

Beschrijft dus ook cirkel, spherische, cilindrische golven)(

24),( trki

bol erAtrD

)(

2),( trki

cirkel er

AtrD

134

Superpositie van golvenInterferentiephasorengelijke frequenties

Hecht 2.4, Hecht H7.1 (vervolg H2)

135

Superpositie

superpositie principe het totale effect is gelijk aan som der elementen.

Gelukkig! Vele ‘elegante’ grootheden uit de natuurkunde voldoen hieraan: Energie, Elektrische veld, kracht, snelheid (klassiek), massa (klassiek).

Uit experimenten blijkt: golven van verschillende amplitude en/of golflengte tellen rekenkundig op tot de totale golf.

))(cos( iiiii tvxkAD

i

iDD

Optellen van golven met phasoren Maak analyse op basis van Phasoren

ofwel complexe getallen met:

Reele as

Imag

inai

reas

)cos(A

)sin(iA A

PhasorAmplitude van golf = lengte vectorHoek = faseverschil t.o.v. Reele asFysisch meetbare uitwijking =projectie op Reele as

=0Phasor:

constructieve interferentievan 2 golven

+ =

= Essentieel voor deze ‘simpele’ optelling: golven hebben gelijkefrequentie!

= 0

= nul

Destructieve interferentievan 4 golven

137

Interferentie In feite een ‘simpel’ superpositie verschijnsel van golven met gelijke golflengte

Twee golven in fase Twee golven uit fase Mix

Constructive interferente Destructive interferenteOok bij licht, geluid, enz.

AAA 221

Phasor:

021 AA AAA 221

138

(Ruimtelijke) Interferentie met geluid

Te koop voor $20: anti-geluid koptelefoon. Lekker slapen in de trein of vliegtuig zonder omgevingsgeluid!

Kan dat echt? Ja, dat kan echt.

‘herrie’ontvanger

luidspreker

snelle elektronica

+ =

4.2 Tel de groene en rode golf op. Wat is het resultaat?

A. grafiek AB. grafiek BC. grafiek C

# Votes: 0 Closed



x

A B C

4.2 Tel de groene en rode golf op. Wat is het resultaat?


A.

B.

C.

grafiek A

grafiek B

grafiek C

33.3%

66.7%

100.0%

Closed



optellen van golven wiskundig bekeken: gelijke frequenties

Gelijke frequenties

Nj

xikj

ti

Nj

txkijj

jjjj eAeeAtxD,1,1

)(),(

Fascinerend: blijft dus gewoon een harmonische golf als functie van tijd. (niet van plaats)Nog Fascinerender: gelijke frequentie en k=kjSom van golven met verschillende fases wordt toch een enkele harmonische

)sin()sin( tkxtkxx

142

Reflectie van golvenen Staande Golven

Hecht H7.1 (vervolg)

4.3 Hoe weerkaatst een golf respectievelijk bij gesloten en open einde.

A. positief en negatiefB. positief en positiefC. negatief en negatiefD. negatief en positief

# Votes: 0 Closed



Gesloten Open

4.3 Hoe weerkaatst een golf respectievelijk bij gesloten en open einde.


Closed

A.

B.

C.

D.

positief en negatief

positief en positief

negatief en negatief

negatief en positief

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%



145

Superpositie & reflectie (concept)

Vast einde, experiment:

x=0

))(cos(),( 11 vtxkAtxD

Nadenken: begin met een golf:

Op x=0 moet de uitwijking altijd nul zijn effectief komt er een omgekeerde golf van rechts:

X=0

Wat kun je zeggen over gereflecteerde golf?

-snelheid draait om:

-som moet aan randvoorwaarden voldoen

),(1 txD),(2 txD

kv

146

Superpositie & reflectie (uitwerking) Vast einde, experiment:

x=0

12 AA ))((

))(( vastreflectie

vtxkf

vtxkf

))(cos(),( 11 vtxkAtxD begin met een inkomende golf D1:

=gegeven

))(cos(),( 2222 tvxkAtxD Wat kun je zeggen over de gereflecteerde golf D2:

We weten v2=-v en beredeneren dat: k2=-kWerk uit:

147

Herhaling - GolfvergelijkingReflectie van golven: Staande Golven

Hecht H7.1 (vervolg)

148

Herhaling: N massa’s TRANSVERSALE Trilling

nx

Massa’s bewegen nu niet in de verbindingrichting, maar op en neer.(voor kleine uitwijkingen is er op eerste orde ook geen netto kracht in x richting, alleen in yrichting.)

Bewegingsvergelijking:

ny

n Fdtydm 2

2 De ketting is strak gespannen met een constante kracht FS.

krachten allemaF

dy

Fdy

F

FFF

nnS

nnS

nSnSny

1,1,

11 )tan()tan(

Gelijk aan longitudinale geval!

149

Herhaling: Golfvergelijking I (gewone afleiding)

lm /

dxmn

Lengtedichtheid koord:

dx dx

2

22

2

2

dxydv

dtyd Golfvergelijking

gekoppelde trillingen met infinitesimaal rooster

)cos( tkxAy

// SFkv /2k

Een golf is de continue limit van N gekoppelde oscillatoren!

2

2

12 ))/()/((dtyddxdxdydxdyFdF Sy

2

212 )/()/(

dtyd

dxdxdydxdyFS

2

2

2

2

dtyd

dxydFS

11

12

nn

nn

yydy

yydy

150

Herhaling: Oplossingen van de golfvergelijking 2

2

22

2 1tD

vxD

)()(),( tkxitkxi BeAetxD Gewoonte: complexe notatie

Argument wordt (ook) de fase genoemd: kvfk

2 2

tkx

De afleiding is geen tentamenstof!

De afleiding met Partiële afgeleides hoef je nog niet te begrijpen!

Vandaar fasesnelheid:

ktxtxvk

xt tx

1

Niet triviaal

kv

Herhaling: Hoe weerkaatst een golf respectievelijk bij gesloten en open einde.

A. positief en negatiefB. positief en positiefC. negatief en negatiefD. negatief en positief

# Votes: 0 Closed



Gesloten Open

Herhaling: Hoe weerkaatst een golf respectievelijk bij gesloten en open einde.

A.

B.

C.

D.

positief en negatief

positief en positief

negatief en negatief

negatief en positief

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%


Closed



153

Superpositie & reflectie (transversaal) HERHALING vorige college


x=0




X=0

),(1 txD),(2 txD

0),0(),0(),0( 21 tDtDtDtotaal

))0(cos())0(cos(),0( 21 vtkAvtkAtDtotaal

12 AA

superpositie:

Wat gebeurt er bij ‘open’ einde?))((

))(( vastreflectie

vtxkf

vtxkf

kv

k-kv -v

154

Reflectie Open einde (NIEUW)

Bij open einde beweegt het uiteinde vrij op en neer (maar niet heen en weer!)

X=0

),0(2),0(),0(),0( 121 tDtDtDtDtotaal


12 AA

superpositie:

),(1 txD),(2 txD

))((

))((open reflectie

vtxkf

vtxkf

x=0

kv

Speciaal geval: optellen van weerkaatste golven

2 golven met gelijke frequenties die tegenovergesteld lopen (v klapt van teken om), bijvoorbeeld:

)sin()sin(),(

tkxtkxtxD

D+

D-Afl

)sin()cos(2),( kxttxD Plaats en tijd ontkoppelt Staande golf

157

Staande golven-normaaltrillingen Staande golven lijken niet ‘vlnr’ te bewegen.

Experiment:

buik

knoop

(boventonen of ‘hogere harmonische)

Analyse: Staande Golven bestaan uit veelvouden (n) van /2:

2nl

nl

n2

Ook volgt:1nffn

Voorbeelden• snaarinstrument: de normaaltrillingen worden aangeslagen• stringtheorie: iedere resonantie is een fundamenteel deeltje/kracht.

http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/StandingWaves/Flash/sta2fix.html

http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/SWR/SWR.html

158

Open-Open is Vast-Vast

Staande golven bestaan ook in media met een open einde. Bijvoorbeeld, een longitudinale GELUIDS golf in een buis.

De geometrie is “open”, maarrelatie lengte-buis en golflengte is als “vast”.

De druk is altijd 90o in fase achter op de displacement.

159

Open-open versus Open-Vasthttp://cnx.org/content/m12589/latest/PressureWaveNew.swf

nl

n2

)12(

4

nl

n

Zelfde Lengte, maar andere Golflente!

http://www.phys.unsw.edu.au/jw/flutes.v.clarinets.html

Waar staan we nu?

• Gekoppelde trillingen zijn Golven geworden.• We hebben de golfvergelijking afgeleid• Open en gesloten uiteinde + staande golven

Vandaag gaan we verder:

2

2

22

2 1tD

vxD

1) Eerst voortplanting van golven bij overgang van medium,Transmissie en Reflectie;2) Optellen van golven (part 2).

161

TGO Reflectie open einde. Reflectie en Transmissie mechanische

golf bij overgang van medium.

Syllabus S7

Deel 5

Deel 5


Zwevingen S5.2.2 en Hecht H7.2.1

X T Zowel bij gekoppelde trillingen als bij golven

Groepsnelheid S7.7 en Hecht H7.2.2

X T Niet Superluminal/Subluminallight.

Transmissie en Reflectie (mechanish, 1D)

S7.4 X T/A Uit Syllabus

Energie van Golf S7.5 X Geen corebusiness

Dispersie S7.6 X

Lit.K=KennenT/A=Toepassen/Afleiden

Syllabus S7 en Hecht H7 staan in dit college centraalWerkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: zweving, twee gekoppelde massa’s? Reflectie,

2 verschillende stukken touw of veren?

163

Hoe beweegt een golf eigenlijk?

Stemmen 5.1 Wordt er water getransporteerd? Wordt er energie getransporteerd?

trommel

luch

tdru

k

transversaal longitudinaal

164

Superpositie & reflectie (transversaal) HERHALING vorige college


x=0




X=0

),(1 txD),(2 txD

0),0(),0(),0( 21 tDtDtDtotaal


12 AA

superpositie:

Wat gebeurt er bij ‘open’ einde?))((

))(( vastreflectie

vtxkf

vtxkf

kv

k-kv -v

165

Reflectie Open einde (NIEUW)

Bij open einde beweegt het uiteinde vrij op en neer (maar niet heen en weer!)

X=0

),0(2),0(),0(),0( 121 tDtDtDtDtotaal


12 AA

superpositie:

),(1 txD),(2 txD

))((

))((open reflectie

vtxkf

vtxkf

x=0

kv

166

Wat kunnen we zeggen over de 2 media, m.b.t:

• Snelheden:

• Frequenties:

• Golflengtes:

Transmissie & reflectie Geen vast einde, geen open

einde, maar ander medium

Medium 1 Medium 2

start

later

),(1 txD

),( txDT

),( txDR

222 / lm111 / lm

))(cos(),( 11111 tvxkAtxD

))(cos(),( 22 TTT tvxkAtxD

))(cos(),( 11 RRR tvxkAtxD

we hebben nu te maken met drie golven:X=0

21 fff 2,1

2,1 Fv

1

2

2

1

f/vTv

1

2

1

2

kk

167

Transmissie & reflectie, Randvoorwaarde 1

Dus, we hebben superpositie:

touwen zitten aan elkaar vast: (Afl.) ),0(),0(),0(1 tDtDtD TR

2,12,1

Fv 1

2

1

2

kk))(cos(),( 11111 tvxkAtxD

))(cos(),( 22 TTT tvxkAtxD

))(cos(),( 11 RRR tvxkAtxD

TR AAA 1TR 1Kunnen we voor het gemak op 0 zetten

168

Transmissie & reflectie, randvoorwaarde 2Dus, we hebben superpositie:

TR AAA 1

Andere (ideale) eis: geen knik in touw:(Afl.) 001 ),()],(),([

xTxR txDdxdtxDtxD

dxd

2,12,1

Fv 1

2

1

2

kk

))(cos(),( 1111 tvxkAtxD

))(cos(),( 22 tvxkAtxD TT

))(cos(),( 11 tvxkAtxD RR

21

21

1 kkkk

AAR

21

1

1

2kkk

AAT

Beroemde R en T coëfficiënten

169

Energie in transversale golf

xy

SFv 2

))(cos( vtxkAy

Kinetische energie:Bekijk een stukje massa dm. Alleen snelheid in de y richting:

2212

21

yy dxvdmvdE

))(sin( vtxkkvAdtdyvy

221

ydmvdE

2/]))(sin([ 222212

021

1

AvkdxvtxkkvAE vfATEP 222

1 / vTfAE 2221 Universeel: Amplitude^2

Potentiele energie (afleiding voor liefhebbers) is kinpot EE Toeval?!

Je moet kunnen volgen wat hier gebeurt, maar je hoeft het niet zelf te bedenken

Opmerking: veel afleidingen in de natuurkunde beginnen met een beschouwing van een infinitesimaal elementje.

170

TGOOptellen van Golven zwevingen groepssnelheid dispersie

Syllabus S5, Hecht H7

zwevingen golven: ongelijke frequenties, ongelijke k. Met GELIJKE fasesnelheid

Ontstaan er bij Golven ook Zwevingen?Dit gaan we eerst even stap voor stap uitwerken.We zullen zien: iedere stap afzonderlijk is relatief eenvoudig.

Startpunt: 2 golven bijna gelijke frequenties

)cos()cos(),( 2211 txktxktxD Met2

22

1

11 k

vk

v

Bij gekoppelde Trillingen met ongelijke frequenties hebben we zwevingen zien ontstaan:

Afleiding, stap voor stap (niets nieuws!) )()(

22112211Re)cos()cos( txkitxki eetxktxkD

21Re ii eeD

2)21(

2)21(

2)21(

2)12(

2)21(

2)21(

ReRe iiiiii eeeeeeD

2)( 212

)21(

cos2Re ieD

txktxk 222111

2)(

2)(

2)( 212121 cos2sincosRe iD

2)(

2)( 2121 coscos2 D

t)ωxk()ΔωtΔkx(D

cos2

cos22/)(

2/)(

21

21

kkk

12

12

kkk

zwevingen golven: ongelijke frequenties, ongelijke k. Met GELIJKE fasesnelheid

We begonnen met 2 golven bijna gelijke frequenties (zweving of beat):

)cos()cos(),( 2211 txktxktxD

t)ωxk()ΔωtΔkx(D

cos2

cos22/)(

2/)(

21

21

kkk

12

12

kkk

Uitwerken geeft dus (Zie VideoClip):

Met2

22

1

11 k

vk

v

x

DefinitieGroepssnelheid. (de snelheid van de omhullende golf)

kv /kvg /

Merk op:Het resultaat is vormvast in tijd en loopt als geheel omdat v1=v2.

vvg

Je kunt dit zien alsof de golf met wordt gemoduleerd met de omhullende golf met

Fasesnelheid en frequentie-afhankelijkheid Dispersie

k

constantk

v

Eigenschap van ideaal medium

Alle golven hebben gelijke snelheid.

vdkdvg

k

constant )( k

vkf

Eigenschap van dispersief medium

Er is een (niet lineare) dispersierelatie.

dkdvg

2

22

1

11 k

vk

v

2

22

1

11 k

vk

v

175

Fasesnelheid wel frequentie afhankelijk.Voorbeeld

Dat is alleen waar in de ideale wereld.

Nu een pianosnaar

// SFkv

We hebben eerder (vorige college) afgeleid dat de golfsnelheid in een koord is gegeven door:

een echte snaar laat zich nietzomaar ombuigen. Gevolg:

k

vslope

420

2 kkv

1 nn

De boventonen klinken hierdoor wat hoger. Experts noemen deze tonen “sharp”. =Dispersie

176

Dispersie, gevolg I

Gevolg dispersie op (de snelheid is afhankelijk van de golflengte): v=functie(k)

Een samengestelde puls is niet meer vormvast.

Op t=0 beginnen we met een (bijna) blokgolf

Na een tijdje is blokgolf ‘uitgesmeerd’(groene curve)

De superpositievan enkelegeschiktgekozengolven, leidt tot een (bijna) blokgolf.

Vraag: heeft lucht voor geluidsgolven een niet lineaire dispersierelatie?

Dispersie, gevolg 2: voor Licht(golven)

Oorzaak licht heeft in materie verschillende snelheid voor verschillende golflengte bespreken we nog.

In de praktijk gebruiken we de brekingsindex:

vcn / lucht n~1

glas n~1.5

Gevolg (Snell’s law):

2 1

1 2

sinsin

nn

Gevolg 3: Groepssnelheid Fasesnelheid in Zwevingen

kv /

t)ωxk()ΔωtΔkx(D

cos2

cos22/)(

2/)(

21

21

kkk

12

12

kkk

kvg /

Uitwerken geeft:

2 golven bijna gelijke frequenties (zweving of beat):

Met2

2

1

11 kkv

dispersie

golf met• Fase snelheid• groepssnelheid

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_group.gif

Merk op:niet vormvast in tijd

vvg


Groepsnelheid – enkele situaties

kv /

dkdkvg /

Fasesnelheid

Groepssnelheid

Kan de fasesnelheid groter zijn dan de lichtsnelheid?Kan de groepssnelheid groter zijn dan de lichtsnelheid?

Stemmen! (5.3)

5.3 Stellingen, I: De fasesnelheid kan groter zijn dan de lichtsnelheid.II De groepssnelheid kan groter zijn dan de lichtsnelheid.

A. I en II zijn klinkklare onzin!B. I waar, II onwaarC. I onwaar, II waarD. I en II zijn raar, maar waar!

# Votes: 0 Closed



5.3 Stellingen, I: De fasesnelheid kan groter zijn dan de lichtsnelheid.II De groepssnelheid kan groter zijn dan de lichtsnelheid.


A.

B.

C.

D.

I en II zijn klinkklare onzin!

I waar, II onwaar

I onwaar, II waar

I en II zijn raar, maar waar!

25.0%

50.0%

75.0%

100.0%

Closed



Wat heb ik dit college geleerd?

Voorplanting bij overgang media: Transmissie, Reflectie

(mechanisch)Optellen van Golven: zwevingen groepssnelheid dispersie

BONUS voor collegebezoekers

Wat kun je verwachten op het tentamen?

184

Herhaling College 5

185

Staande Golven Staande golven lijken niet ‘vlnr’ te bewegen.

Experiment:

buik

knoop

(boventonen of ‘hogere harmonische)

Analyse: Staande Golven bestaan uit veelvouden (n) van /2:

2nl

nl

n2

Ook volgt:1nffn

Voorbeelden• snaarinstrument: de normaaltrillingen worden aangeslagen• stringtheorie: iedere resonantie is een fundamenteel deeltje/kracht.

)sin()sin(),(

tkxtkxtxD

)sin()cos(2),( kxttxD

Afgeleid:

186

Wat kunnen we zeggen over de 2 media, m.b.t:

• Snelheden:

• Frequenties:

• Golflengtes:

Transmissie & reflectie Geen vast einde, geen open

einde, maar ander medium

Medium 1 Medium 2

start

later

),(1 txD

),( txDT

),( txDR

222 / lm111 / lm

X=0

21 fff 2,1

2,1 Fv

1

2

2

1

f/vTv

1

2

1

2

kk

),0(),0(),0(1 tDtDtD TR

001 ),()],(),([

xTxR txD

dxdtxDtxD

dxd 21

21

1 kkkk

AAR

21

1

1

2kkk

AAT

Beroemde r en t coëfficiënten

187

Fasesnelheid wel frequentie afhankelijk.Voorbeeld

Dat is alleen waar in de ideale wereld.

Nu een pianosnaar

// SFkv

We hebben eerder (vorige college) afgeleid dat de golfsnelheid in een koord is gegeven door:

een echte snaar laat zich nietzomaar ombuigen. Gevolg:

k

vslope

420

2 kkv

1 nn

De boventonen klinken hierdoor wat hoger. Experts noemen deze tonen “sharp”.

=Dispersie

Dispersie, gevolg 2: voor Licht(golven)

Oorzaak licht heeft in materie verschillende snelheid voor verschillende golflengte bespreken we nog.

In de praktijk gebruiken we de brekingsindex:

vcn / lucht n~1

glas n~1.5

Gevolg (Snell’s law):

2 1

1 2

sinsin

nn

Gevolg 3: Groepssnelheid Fasesnelheid in Zwevingen

kv /

t)ωxk()ΔωtΔkx(D

cos2

cos22/)(

2/)(

21

21

kkk

12

12

kkk

kvg /

Uitwerken geeft:

2 golven bijna gelijke frequenties (zweving of beat):

Met2

2

1

11 kkv

dispersie

golf met• Fase snelheid• Groepssnelheid(zie math. Filmpje)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_group.gif

Merk op:niet vormvast in tijd

vvg


College 6


Fourier principe S6 X A Orthogonaliteit!

Fourier coefficenten S6, Hecht 7.3

X T Coefficienten kunnen interpreteren en wiskundig bepalen gegeven een functie.

Niet Periodieke Golven Hecht7.4, 11.1, 11.2.1

X

Fourier transformatiesOefenopgaves: Werkboek 6Werkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: Fourier Applet


Het begin van H11 (11.1 - 11.2.1) gaat over continue functies. De rest van H11 kun je in principe aan na dit vak, maar is er geen onderdeel van.

191

College 6

Fourier Transformatie en Analyse

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 March 1768 – 16 May 1830)

Abstracte stof!Tip: “Niet alles kun je begrijpen, maar je moet er langzaam aan wennen.” MV

192

Nog meer anharmonische functies

)sin( 22 tAx Neem:

Zweving: het resultaat is anharmonisch, maar het was de som van twee ‘nette’ harmonische.

Is iedere (periodieke) functie een som van harmonische?

Ofwel, is iedere vorm is een som sinussen en cosinussen?Stemmen 6.1

)sin()sin( 21 tt

193

Fourier: iedere periodieke functie kan geschreven worden als som van sinussen en cosinussen

)sin( 22 tAx Neem:

0

)sin()cos()(n

nn ntBntAtf

Dit heeft diepe implicaties Fourier analysevoor ons: 1. Hoe bepaal je die a en b coefficienten? 2. wat betekenen de a en b coefficienten?

194

Fourier

Periodieke FunctiesHoe bepaal je de coefficienten?

195

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?-- Periodieke Functies --

Let op:x in radians en f(x) moet periodiek zijnover – en +.

)sin()cos()( nxBxnAxf nn

n

dxxfA )(

21

0

dxmxxfAm )cos()(1

dxmxxfBm )sin()(1

Recept:

Bewijs:0)sin()cos(

dxnxmxVul f(x) in en Gebruik:

dxnxmx )cos()cos( voor 0 mn voor mn ZIE VideoClip

Orthogonaal

196

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?--Bewijs --

dxxfA )(

21

0

dxmxxfAm )cos()(1 0)sin()cos(

dxnxmxgebruik:

dxnxmx )cos()cos( voor 0 mn voor mn


n

dxmxxfBm )sin()(1

197

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Even en Oneven functies

)()( xfxf (Even)

f

x

| |

Integreren= Som van Rood X Blauw

0)sin()(1

dxmxxfBm

Even x OnEven

x

| |

0mBsin

Belangrijk

dxxfA )(

21

0

dxmxxfAm )cos()(1

x

| |

0mAcos

(niet zeker 0, zoals Bm=0)

198

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Even en Oneven functies

)()( xfxf (OnEven)

f

x ||

0)sin()(1

dxmxxfBm

)()( xfxf (Even)

f

x

| |

Even x OnEven0)(

21

0

dxxfA

0)cos()(1

dxmxxfAm

Oneven x Even

Belangrijk

Eerst nadenken, dan pas gaan rekenen!

199

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Een Blokfunctie

0)(21

0

dxxfA

0)cos()(1

dxmxxfAm

f

x

| |

Dit is een Oneven blokfunctie

Gegeven:

1-

_-1

Belangrijk

dxmxxfBm )sin()(1

......)5sin(54)3sin(

34)sin(4)( xxxxf

Stemmen! 6.2Mathematica-Blokgolf

Ruimte voor Afleiding

201

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Een Blokfunctie (samenvatting)

0)(21

0

dxxfA

0)cos()(1

dxmxxfAm

0

0

........)sin()(1 dxmxxfBm

f

x

| |


Gegeven:

0

)sin(1

dxmx

0

)sin(1 dxmx

0

)sin(21 dxmx+

00

)cos(2)sin(21 mxm

dxmxBm0, evenmB

mB onevenm

4,

1-

_-1

......)5sin(54)3sin(

34)sin(4)( xxxxf


Belangrijk

de coefficienten grafisch weergegeven

f

x

| |

1-

_-1

mB onevenm

4,

B

m1 2 3 4 5 6 7

)sin(4)( mxm

xf

Merk op: als de functie niet op periodiek was geweest maar tussen x’=–L/2,L/2 dan definieer je gewoon even

,

'2 xL

x

‘Plaatsdomein’ ‘Golflengtedomein’

In feite dezelfde informatie

203

Fourier

Niet periodieke FunctiesContinue Fourier transformatieHoe bepaal je de coefficienten?

Anharmonische functies, periodiciteit

)2sin()sin()( xxxf )0.6sin()025.5sin()( xxxg

Hebben f(x), g(x) en h(x) een periode van 2 ?

Stemmen 6.3!

2

)( xexh

2

Voorbeelden van (ogenschijnlijk) simpele gevallen

)2sin()sin()( xxxf 11

2

1

BB

Andere coeff. zijn nul, want dit zijn nette orthogonale functies. Toeval? Niet als dit eigentrillingen zijn met constante randvoorwaarden.

Niet rekenen, nadenken:

Is g(x) periodiek? )0.6sin()025.5sin()( xxxg

Probleem (kijk goed): NIET periodiek binnen !(Als je toch Fourier coefficienten op bepaald, dan heb je er per definitie een periodieke functie van gemaakt.)

,

206

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Niet periodieke functie continue coefficienten

f

x

| |

Bijvoorbeeld:

1-

_-1

Nu is f NIET periodiek. ‘Oude’ ‘discrete’ Fourier voorschrift

is per definitie wel periodiek.

)sin()cos()( mxBxmAxf mm

m

dxmxxfAm )cos()(1

dxmxxfBm )sin()(1

Hecht H11

dxkxxfkA )cos()()(

dxkxxfkB )sin()()(

00

)sin()(1)cos()(1)( dkkxkBdkkxkAxf

Hoe wel? Fourier som wordt integraal

Zonder bewijs. De essentie is dat de gebruikte functies orthogonaal zijn

207

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Blokpuls

f

x

| |

Bijvoorbeeld:

1-

_-1

dxkxxfkA )cos()()(

0)( kB

Hecht H11

Even functie:

)(kA

208

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Blokpuls (Samenvatting)

f

x

| |

Bijvoorbeeld:

1-

_-1

dxkxxfkA )cos()()(

0)( kB

Hecht H11

Even functie:

kk

kkkdxkxkA )sin(2)sin()sin()cos()(

A(k)

Pikant detail, voor later:A(k) is het zgn diffractiepratroonvan licht door een enkele spleet (=f). Deze relatie tussen f en Ais de basis van Fourier Optica. (gaat verder dan TGO)

functie)(sinc k

Voorbeelden tijd-frequentie domain

tijd

Onthoud:Hoe scherper de frequentie vastligt, hoe breder de omhullende in tijdsdomein (minder scherp).

Komt op veel plaatsen in Natuurkunde terug.

Dit wordt in Quantum mechanica de onzekerheidsrelatie.

Links – Rechts = elkaars Fourier getransformeerde

Fourier Continue Complex

dxexfkF ikx

)()( dkekFxf ikx

)(21)(

Vaak wordt de complexe vorm gebruikt, o.a. in Quantum Mechanica

Laten we hiermee eens de blokpuls opnieuw analyseren.

Hecht 11.2

In het algemeen zullen F,f dan ook complexe functies zijn

Complexe, continue, Fourier transform. Blokpuls

-1 +1

1

x

dxexfkF ikx

)()(

Complexe, continue, Fourier transform (Samenvatting)

Blokpuls

-1 +1

1

x

dxexfkF ikx

)()(

)(kF

k

Identiek aan reeeleresultaat! (uiteraard)

)sin(21 1

1

1

1

kk

eik

dxe ikxikx

Pikant detail, voor later:|F(k)| is het zgndiffractiepratroon van licht door een enkele spleet (=f). Deze relatie tussen f en F is de basis van Fourier Optica. (gaat verder dan TGO)

Voorbeelden bekende functies

Gauss:2

2

2)( k

k

ekF

2

2

2)( x

exf

24

1k

Exponent:

at

exf

)( 14|)(| 222

22

aaF

resonantie

1/levensduur

levensduur

(detector effect is vaak een Gaussiche ‘smering’ of ‘convolutie’. Samen met convolutietheorema kan dit gebruikt worden om originele signaal te vinden.

214

Fourier en diffractiepatronen algemeen We weten nu voor de enkele spleet

dyeyAKE Kyi )()()(

dKeKEyA Kyi )()(21)(

Dit principe is ook waar voor Apertures in 3-dimensies en dus van willekeurige vorm dit is het algemene concept om een diffractie patroon te bepalen!

Rechthoekige -, cirkelrvormige gaten en zelfs lenzen kunnen zo exact doorgerekend worden.

Geen tentamenstof, pas lezen na optica

215

Fourier

wat betekenen de coefficienten?Wat kun je met Fourier?

Wat betekenen de coefficienten? (of: wat kunnen we ermee?)

http://www.kettering.edu/physics/drussell/Demos/Fourier/Fourier.html

=Coeffienten

Bijvoorbeeld analyse van een geluidsfragment Piano: Na opname en digitalizatie, Fourier analyse geeft het golflengte of frequentie-spectrum. (Handig voor pianostemmer? Ja, maar de besten doen het op gehoor. Tom H.)

f

x

| |

1-

_-1

mB onevenm

4,

B

m1 2 3 4 5 6 7

)sin(4)( mxm

xf

Ook vele toepassingen in Optica:Spectroscopie

Wat kun je ermee?Fourier Analyse: opbouw van een signaal

B

m1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ruw signaal:

X

Fourier Coefficient met computer bepaald:

De originele componenten zijn dus:

1 6 9

Voorbeeld, geen tentamenstof

Ik heb deze plaatjes gemaakt met Mathematica demo: Fourier Synthesis for selected Waveforms

Wat kun je ermee?Fourier als Filter


Ruw signaal:

t

Frequentie spectrum

Signaal in de piek

Ik heb deze plaatjes gemaakt met Mathematica demo: Frequency Spectrum of a Noisy Signal

Zou je dit er zelf hebben uitgehaald?

219

Wat kunnen we met Fourier?De toekomst berekenen!

Stel de uitwijking van een ideale snaar is blokvorming op t=0:

Hoe trilt de snaar op op t>0?L

Maak f(x) periodiek:

0 L 2L

Voor nu: L= en volg het recept op vorige slides om coeffientenAm, Bm te bepalen.

hebben we al gedaan:

)sin(4)( mxm

xf

,...3,1)cos()sin(4),(

m mm txkmL

txf mm vkmL

km 22

Bedenk dat dit staande golven zijn:

Wat kunnen we met Fourier?Convolutie Theorema

• Geluid, Beeldcompressie: JPG, MPG• Differentiaalvgl oplossen, variant: Laplace WN2• Eigenschappen Fourier transformaties worden op veel

plekken in de natuurkunde uitgebuit, zoals het Convolutie-Theorema (zie Hecht)

Geen tentamenstof

dxexhkGkF ikx

)()()(

dyxygyfxh

)()()(

Convolutie van functie f en g:

Convolutie Theorema, ‘convolutie wordt een gewoon product’:

Einde College 6 Fourier

222

Herhaling College 6 Fourier

223

Fourier: iedere periodieke functie kan geschreven worden als som van sinussen en cosinussen

)sin( 22 tAx Neem:

0

)sin()cos()(n

nn ntBntAtf

Dit heeft diepe implicaties Fourier analysevoor ons: 1. Hoe bepaal je die a en b coefficienten? 2. wat betekenen de a en b coefficienten?

224

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?-- Periodieke Functies --

Let op:x in radians en f(x) moet periodiek zijnover – en +.


n

dxxfA )(

21

0

dxmxxfAm )cos()(1

dxmxxfBm )sin()(1

Recept:Jean Baptiste Joseph Fourier (21 March 1768 – 16 May 1830)

225

Hoe bepaal je Fourier Coefficienten?Een Blokfunctie (samenvatting)

0)(21

0

dxxfA

0)cos()(1

dxmxxfAm

0

0

........)sin()(1 dxmxxfBm

f

x

| |


Gegeven:

0

)sin(1

dxmx

0

)sin(1 dxmx

0

)sin(21 dxmx+

00

)cos(2)sin(21 mxm

dxmxBm0, evenmB

mB onevenm

4,

1-

_-1

......)5sin(54)3sin(

34)sin(4)( xxxxf


Belangrijk

226

Wat kunnen we met Fourier?De toekomst berekenen!

Stel de uitwijking van een ideale snaar is blokvorming op t=0:

Hoe trilt de snaar op op t>0?L

Maak f(x) periodiek:

0 L 2L

Voor nu: L= en volg het recept op vorige slides om coeffientenAm, Bm te bepalen.

hebben we net gezien:

)sin(4)( mxm

xf

,...3,1)cos()sin(4),(

n nn txknL

txf nn vkLnkn

Bedenk dat dit staande golven zijn:

Wat kun je ermee?Fourier als Filter


Ruw signaal:

t

Frequentie spectrum

Signaal in de piek

Ik heb deze plaatjes gemaakt met Mathematica demo: Frequency Spectrum of a Noisy Signal

Zou je dit er zelf hebben uitgehaald?Stemmen 4.3

FourierCoefficienten

College 7


Licht en Materie HechtH3.3 H3.4.1H3.4.3(H3.5)H3.6

X T Zeer qualitatief de conceptenkennen. Dus niet alle elektromagnetische uitdrukkingen.

Lichtsnelheid, Dispersie H3.5, H6.2.3

X Relatie met gedwongen trillingen kunnen uitleggen.

Propagatie van licht door materie H6.1H6.2

X T

Propagatie van licht: Huygens principe H6.4.2 X T Concept kunnen uitleggen/toepassen.

Reflectie H6.3 X T/A

Refractie (breking) H6.4.1 X T/A

Fermat’s Principle H6.5 X T

Hecht H3+H4 staan in dit college centraalWerkcollegeopgaves: zie blackboardDemo’s: Staande golf in TL, Prisma


229

Licht - Wat golft er eigenlijk?Voorplanting van licht in materie: Atoomtrillingen( relatie met gedwongen trillingen)

Snelheid van lichtHuygens, Fermatt, Wet van Snell

TGO - College Licht - Wat golft er eigenlijk?

Stukjes uit Hecht H3 of deze slides

230

Licht: EM golven

1 MeV

1 eV

Energie/foton

231

x

y

z

x

y

E B

E vB v

|v|=cm

=cmE

B

B & E in fase

Licht als Electromagnetische golf

Dit beeld volgt uit de Maxwellvergelijkingen (Maxwell vglvallen niet onder tentamenstof.)

Centraal staan daarin het E en Bveld als vector.

Licht heeft impuls in de voorwaarste richting: de k-vector. Vaak werken wij voorhet overzicht 1-dim enstilzwijgend bekijken we alleenhet E veld. Onthoud dat!

Hecht H3.6 of deze slides

232

Irradiantie van een EM golfI=Irradiantie = de energie per tijdseenheid per oppervlakte-eenheid

)cos(0 trkEE kzrk

)cos(0 trkBB

00

)cos(0 tkzEE

0)cos(

0

0 tkzEB

Wat is E en wat is B

Zonder afleiding (komt nog) volgt uit de zgnMaxwell vergelijkingen: 2

00

2EcI

(Als we niet in vacuum werken, dan krijgen de ‘constantes’ andere waarden)

Is deze uitdrukking verassend? Nee, niet helemaal. We wisten allang datde Energie van een trilling met de ~Amplitude2 gaat

cEB 0

0 en

z

r 00

k

k 00

00

0

0

EE

233

Voorplanting van licht op microscopischniveau atoomtrillingen.

Hecht H3.4.3 en H3.5 (qualitatief!) of deze slides

Waarom is Snelheid van Licht lager in materie?

234

kern

veer

elektron

Materie – in versimpelde vorm

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

kern

veer

elektron

Snelheid van licht?

We weten dat licht zich langzamer voortplant in (transparante) materie, dan in vacuum. De snelheidsverhouding definieert de brekingsindex.

Waarom gaat licht langzamer in materie?

STEMMEN

236

Licht en materie

kern

Essentie:Licht is EM golf. Het Electrisch veld, brengtelektronen in trilling.Denk aan de gedwongen trilling met drijvende kracht:

EqFelektrisch

Trillende lading

licht

‘donker’

‘donker’

Nieuw:Trillende lading straalt zelf weer lichtmet dezelfdefrequentie uit.

)(sin2 elektrischP

23

Gedwongen Trillingen (opfrisser) oscillerende externe kracht die de trilling aandrijft. de Amplitude van de resulterende trilling is groot bij de natuurlijke frequentie

= Resonantie

)cos( tFFextern

)cos(2

2

tFbvkxdtxdm


Complete differentiaal vergelijking:

extern

ResonantieQ factor geeft deScherpte van de piek

00

1

mb

Q

)sin( tAx

222222 /)( mbmFAo

)/(

tan22

1

mbo

23

Gedwongen Trillingen fase verschilBij straling door bewegende lading, ontstaat een groot faseverschil tussen de primaire en uitgaande straling

0/

0

2

To

tal p

hase

vers

chil

Fen

x 23

21

Faseverschil van stralingM

echa

nisc

he tr

illing

Glas, water

239

We willen begrijpen waarom licht langzamer gaat in materie!M.a.w. hoe komt de brekingsindex tot stand n=c/v

Op de volgende slides tekenen we geen losse electronen, maar een ‘wolk’Gedwongen Trilling

bewegende lading straalt

Waarom keken we ook alweer op atoomniveau?

240

De lichtsnelheid verklaard

scattering in x,y richting. (zijwaarts en ‘beetje’ achterwaarts). Niet/ Nauwelijks in z richting

y x

zHet uitgestraalde licht is niet in fase!(denk aan faseverschil bij gedwongen trilling, maar er treedt door dit atomaire proces nog een extra pi/2 verschuiving op.!)

Inkomend (primair, v=c) Doorgaand (primair, v=c)

gestraald=secundair, v=c

En ja, de fasesnelheid kan ook sneller dan licht in vacuum n<1.(verklaring: faseverschil bij gedwongen trilling!)

Resultante, loopt achter. v<c, ofwel brekingsindex n>1

241

Propagatie van licht in materie en scattering

Effecten en verklaringenonder andere: Waarom is de lucht blauw?Waarom is bierschuim wit?

Hecht H6 (qualitatief!) of deze slides

242

Propagatie van licht op submicron-niveau: in de lucht

Atoom/Molekuul oscillaties bepalend voor propagatie van licht.

• Molekulen in lucht hebben resonantie(s) in verre UV(=absorptie).

• Blauw licht (<<uv ) brengt lading wel in trilling veel verstrooiing van blauw licht.

• Daarom komt er van IJLE lucht een blauwe gloed af.

• Volledige verhaal, zie verder.

scattering in x,y richting. (zijwaarts en ‘beetje’ achterwaarts). Niet/ Nauwelijks in z richting

y x

z

Atoom=zware kern met hele lichte electronwolk

animatie: de fases kloppen niet helemaal, maar het blijft een goede illustratie

Rayleigh scattering (qualitatieve afleiding)

Neem atomen als aangedreven HO, we weten:

)sin( tAx )(

1/)(

122222222oo

mmbmA

Nauwelijks demping b~0

De intensiteit ~ Amplitude24

41

o

I Want: 1

ck

Rayleigh deed zelf een slimmedimensional analysis:

21

CrVCAA inuit

Voor moderne nauwkeurigeanalyse is Quantum Mechanicanodig.

Uitgezonden licht gevolg van trillende lading (versnelling):

)sin()( 22

2

txo

Overigens geen absorptie22o )sin(2

2

txo

Voor liefhebbers, geen tentamenstof

Rayleigh scattering

1 zoals we de berg altijd al zien.2 de berg is blauw gekleurd.3 de berg is rood gekleurd.4 de berg is onzichtbaar.

Stel dat Rayleigh scattering een grote rol speelt in de lage luchtlagen. Hoe zou een berg op 10km er dan uitzien?

STEMMEN

245

Materialen met hoge dichtheid (sub-micron) (I) ‘hoge’ dichtheid: denk ook aan lucht op 1 bar.

Neem een vlakke lichtgolf in de x richting

Laat deze invallen op blok atomen/molekulen. >> atoomafstand

De golven brengen atomen in trilling, enwe krijgen weer straling in alle richtingen. (gedwongen trilling)

In voorwaartse richting (x) zijn alle golven van alle atomen in fase!

In zijwaartse/ achterwaartse richting tellen alle golven op tot min of meer nul.

yphasors

In de Atmosfeer heb je wel zijwaartse verliezen, anders geen blauwe lucht. Hoe zit dat dan?

246

Materialen met hoge dichtheid (sub-micron) (II) Wanneer wel veel ‘zijwaartse’ verliezen?Zodra er ongeordende deeltjes (grootte ~golflengte) zal er wel veel zijwaartse scattering optreden.

Voorbeelden Rayleigh scattering:• Kleine Imperfecties in materialen (blauwe gloed

doorzichtig plastic, glas, kristal). • Micro-variaties luchtdruk in atmosfeer Blauwe

lucht• Beetje melk in water (vetdruppeltjes) je ziet

zijwaarts meteen een wit-blauwe gloed.

Bij nog grotere deeltjes, stralen de molukulen per druppel in fase met nauwelijks voorkeur golflengte:• Bubbels in vloeistof (wit bierschuim).• Relatief grote waterdruppeltjes witte wolken.• Een grauwe dag: veel relatief grote waterdruppels

in de lucht.

247

Rayleigh Scattering, absorptie & kleuren

De meeste ‘biologische’ blauwe kleuren komen door Rayleigh scattering

Geel is overigens gevolg van absorptie van alle andere kleuren.Absorptie is het gevolg van opwarming van materie, ten koste van straling. In feite is het atoom dus een gedwongen oscillator met dempingsterm.

248

Reflectie op submicron-niveau De overgang van naar andere brekingsindex is in feite

een verstoring waardoor zijwaartse(en achterwaartse) verstrooiing NIET meer wordt uitgedoofd.

Hoe kan een spiegel werken? Bij Rayleigh scattering zullen de atomen vooral in blauw licht gaan stralen?

249

Antwoord - qualitatief Hoe kan een spiegel werken? Bij Rayleigh scattering zullen de atomen vooral in

blauw licht gaan stralen? reflectie van glas: omdat we het medium hier niet echt ingaan – het gaat om

reflectie. De reflectie vindt aan een laag atomen (/2). Net zoals bij de waterdruppels in wolken stralen deze atomen gezamenlijk toch wit licht uit (Tyndall, Mie). (het blauwe licht heeft nog geen kans gehad weg te scatteren, zoals bij lage dichtheden)

Eerste electron

Tweede electron

Derde electron

N-de electron

Spiegelend metaal: hierin zitten zgnvrije elektronen die makkelijk oscilleren >>0 (180 graden in x, 270 graden in straling= 90 graden “lead’). Gevolg snelle uitdoving van indringend licht in zeer dunne laag (/100). . Deze laag straalt als het ware het licht terug.

Metaal met vrije electronen

Electronen liggen uiteraard achter elkaar,maar zijn ter illustratie onder

elkaar getekend.

Invallen licht

Gereflecteerd (som).

250

• Voortplanting van licht: het Huygens principe!

Hecht H6, met name 6.4.2

1629-1695

251

Huygens principe Experimenteel: lichtgolven (en andere golven) buigen rond een

scherpe hoek.

Huygens verklaring:Ieder golffront kan beschouwd worden als verzameling van nieuwe lichtbronnen die op hun beurt weer voorwaarts licht uitzenden. De som van alle golffrontjes is het totale golffront.

Vlakke golf

Essentie: alle ‘nieuwe’ bronnen zijn in fase met de originele golf

252

• Voortplanting van licht - Reflectie

Hecht H6, met name H6.3 en principes Fermatt 6.5

Reflectie

De hoek van inval is de hoek van uitval (al bekend bij oude Grieken – Licht als straal)

VB: vlakke spiegel

Waarom is dit eigenlijk zo?Heeft dit soms iets met Huygens te maken?

254

Reflectie, volgens Huygens

Reflectie volgensHuygens principe.

spiegel=atoom

Essentie: 1) Ieder pad van start tot einde is optisch even lang.2) op plek waar golffrontjes in fase zijn, plant licht zich voort

Phasoren:Op de vlakke golf:

255

• Voortplanting van licht:Breking met wet van Snell

Hecht H6, met name H6.4 en H6.5

256

Refractie (=breking, als gevolg dispersie) Fenomeen: lichtgolven worden ‘gebroken’ bij

overgang van medium

de mate van breking blijkt:•kleur (frequentie) afhankelijk (=dispersie)•medium afhankelijk

Snell’s law:

2 1

1 2

sinsin

nn

dispersie

Bewijs volgt

257

Breking en Huygens (Qualitatief)

Phasoren:willekeurig punt in ruimte:

Applet: http://www.surendranath.org/Applets/Optics/Huygens/Huygens.htmlhttp://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/reflection/huygens/

Phasoren:Op de vlakke golf:

golffronten bewegenlangzamer in medium.

Hoe zit het echt? 1. De lichtsnelheid is afhankelijk van medium: 2. Licht is in feite geen straal maar een (vlakke)

golf=Huygens

Lucht

Water

ncv /

2 1

1 2n n

258

Breking en Huygens Snell’s wet

1

1

2

2

Breedte B

1l

2l

2

2

1

1

2

2

1

1 )sin()sin(v

Bv

Bvl

vl

Golffront moet in fase blijven, dus wavelets moeten gelijktijdigaankomen. Neem de twee uiterste:

1

2

2

1

2

1

)sin()sin(

nn

vv

Snell

21 tt

259

De Wet van Snell volgens Fermat

260

Breking met Fermat’s principe (Echte bewijs van Snell)

Fermatt: “Licht zal altijd de kortste weg in tijd volgen.”

A(0,0)

B(xB,yB))

P(xP,yP)

Medium 1

Medium 2

Een lichtstraal gaat van punt A in medium 1 naar punt B in medium 2. Bij welk punt P ligt de overgang?

belangrijk

1601 - 1665

?

?

261


Fermatt: “Licht zal altijd de kortste weg in volgen.”

2 1

1 2

sinsin

nn

A(0,0)

B(xB,yB))

tijd=afstand/snelheid ncv /

1

2

1l

2l

P(xP,yP)

Px

PB xx

Ruimte voor Afleiding

263


“Licht zal altijd de kortste weg volgen.”

2 1

1 2

sinsin

nn

A(0,0)

B(xB,yB))

tijd=afstand/snelheid ncv /

1

2

1l

2l

P(xP,yP)

B

A

B

A

ndsc

dsv

t 11

221121 lnlndsndsntcB

P

P

A

222

221 )()( PBPBPP yyxxnyxntc

2211 /)(/0)( lxxnlxndxtcd

BPPP

(met xP de onbekende grootheid)

Px

PB xx

)sin()sin(0 2211 nn

Minimum tijd: We vinden Snell’s law:

264

Wat heb ik geleerd?

Ik kan de hoek van uitval van reflectie verklaren. Ik kan uitleggen hoe en waarom golven zich

voortplanten bij breking Ik kan met phasoren een qualitatieve analyse

van de voortplanting van licht opzetten. Ik kan Fermat’s principe toepassen.

265

‘alledaagse’ fenomenen

266

Refractie (breking)

Waar komt de vorm vandaan?

267

Regenboog: reflectie in druppels

268

• De tweede boog• De volgorde van kleuren in de

2de boog• Het verschil tussen licht

binnen de 1ste boog en donker onder de 2de

Waarom?

Regenboog: Wat zie je nog meer?

269

i

rrr

r

i

irnrnin

243.1 )sin()sin( 221

Opmerkelijk: heeft een maximum rond de 42 graden.

Zelf afleiden: 31cos

22

max2

n

reflectie in een waterdruppel

34.1

31.1

2

2

violet

rood

n

n

270

Green flash door breking

271

Witte regenboog (in mist)

Volgens mij, maar niet zeker: de mist druppes zijn klein(~25um) en er treed ook diffractie op waardoor de normalekleuren (door refractie) vermengen.

272

Halo rond zon. V

eroo

rzaa

kt d

oor r

efle

ctie

en

brek

ing

in ij

skrit

alle

n.

Typi

sche

hoe

k 22

grad

en

273

Halo en ‘sundogs’R

efle

ctie

aan

ijsk

rista

llen

die

NIE

T ra

ndom

ver

deel

d zi

jn

274

Glory - heiligenlichtC

redi

t: Fr

anz

Kers

chba

um(U

niv.

Vie

nna)

Ron

d sc

hadu

w m

et d

e zo

n in

de

rug.

Inge

wik

keld

e co

mbi

natie

van

: Ref

lect

ie,

refra

ctie

, diff

ract

ie v

an w

ater

drup

pels

.

275

GloryW

ater

drup

pls

door

sto

om

276

Halo rond de maan

M.Vreeswijk, Zuidoostbeemster, 9 jan 2012, 20.35

277

BACKUP

Introductie PAS OP: ditis eenlevenddocument.h73/tgo/tgo_2015_2016_tg.pdf · 1 Trillingen, golvenen...

Documents

Transcript of Introductie PAS OP: ditis eenlevenddocument.h73/tgo/tgo_2015_2016_tg.pdf · 1 Trillingen, golvenen...