INTERVIEWS COMPUTERS IN DE KLAS LEERLINGEN ......genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...

mei2003/nr.7

jaargang 78

INTERVIEWSCOMPUTERS IN DE KLAS

LEERLINGEN VOOR DE KLAS

7

mei 2

00

3 JA

AR

GA

NG

78

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/formules op juiste plaats of goed in de tekstaangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:genummerd, zwart/wit, scherp contrast.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterMarian KollenveldLeeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected] KuipersWaalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected] van Bemmel-HendriksDe Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Peter Tahl, Groningenproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie verenigingsjaar 2002-2003

Leden: €40,00Gepensioneerden: €25,00Studentleden: €20,00Leden van de VVWL: €25,00Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf heteerstvolgend nummer.Voor personen: €45,00 per jaarVoor instituten en scholen: €120,00 per jaarBetaling geschiedt per acceptgiro.Opzeggingen vóór 1 juli.Losse nummers op aanvraag leverbaar voor €15,00.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Leen Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891 e-mail: [email protected] Freek Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

BasisvormingIn oktober 2002 werd de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming ingesteldom het ministerie te adviseren over nieuwe inhouden voor de eersteleerjaren van het voortgezet onderwijs. Tot nu toe zijn vooral schoolleidersbetrokken geweest bij het overleg, maar ook docenten zouden kritischmoeten meedenken en hun stem laten horen. Zie voor nadere informatie: www.vernieuwingbasisvorming.nl

KunstOok voor volgend cursusjaar staat er weer een themanummer op stapel.Dit keer is het de bedoeling in januari 2004 een special uit te brengen over‘wiskunde/wiskundeonderwijs en kunst’. De redactie heeft inmiddels al diverse personen benaderd om een bijdragete leveren, maar suggesties en eigen bijdragen van lezers blijven uiteraardwelkom. Als u een aardig idee heeft, neemt u dan in verband met deplanning en de spreiding van onderwerpen op korte termijn contact metons op ([email protected]). Conceptbijdragen voor het thema-nummer kunnen overigens tot 1 september a.s. ingediend worden.

Dit nummerDe inzet van computers in het wiskundeonderwijs is inmiddels nietsbijzonders meer – gelukkig raken de meeste scholen steeds betergeoutilleerd, en loopt de organisatie eromheen steeds gesmeerder. Door alleaanvankelijke technische en ‘facilitaire’ problemen was en is er niet altijdzoveel aandacht voor de didactische aspecten rond de inzet van ICT tenbehoeve van het leren door de leerling. Die didactiek komt in dit nummervan Euclides in twee artikelen aan de orde: één over de mogelijkheden inde onderbouw die laptops kunnen bieden (zie blz. 317), en één over hetbelang van klassikale interactie binnen wiskundeonderwijs dat sterk leuntop het gebruik van ICT (zie blz. 314). Het lerarentekort heeft veel schaduwkanten, maar soms worden uit noodcreatieve oplossingen geboren met een meerwaarde voor de betrokkenleerlingen. Paul Ket rapporteert. Irene Dalm laat zien hoe ook leerlingen in het vmbo uitstekend in staatzijn tot het uitvoeren van een Praktische Opdracht – als je er maar nietmee wacht tot klas 3 of 4, en ze er dan in één toetsmoment op afrekent…Er is een aanloop nodig, op z’n minst vanaf de brugklas. Vaardighedenworden immers geleidelijk verworven!Dit nummer van Euclides telt twee interviews. Het interview met Barbaravan Amerom laat zien hoe een baan als leraar gecombineerd kan wordenmet onderzoekswerkzaamheden. In het andere interview vertelt Lia vanAsselt hoe zij een rol speelt in de verbetering van de aansluiting tussen hetvwo en de Universiteit Twente.

Vanwege verdrietige omstandigheden vindt u dit keer geen aflevering vande rubriek ‘t Denken Bevorderen van Anne van Streun. Enkele wekengeleden is zijn vrouw Klaasje namelijk zeer plotseling overleden. Deredactie wenst Anne veel sterkte bij de verwerking van dit grote verlies.

305Van de redactietafel [Marja Bos]

306Lesgeven samen met leerlingen[Paul Ket]

310Leraar in onderzoek, Barbara vanAmerom[Klaske Blom]

314Ratio: computer èn leraar[Mascha Honsbeek, Leon van den Broek]

317De laptopklas[Bart ter Veer, David van de Beld,Martin Traas]

322Postpakket[Irene Dalm]

325Veertig jaar geleden[Martinus van Hoorn]

326Vakantiecursus 2002[Gert de Kleuver]

328Verschenen

329 Boekbespreking

330Samenwerking…, interview met Lia van Asselt[Hans Daale]

335Wiskunde in vazen[Rob Bosch]

336Financiële rekenkunde voorwiskundigen[Wim Pijls]

340Van de bestuurstafel[Marian Kollenveld]

342Recreatie[Frits Göbel]

344Servicepagina

Aan dit nummer werkten verder mee:Peter Boelens, Chris vander heijden,Klaas-Jan Wieringa en Sam de Zoete.

LESGEVEN SAMEN METLEERLINGENLeerlingen die voor de klas staan, niet één keer, maar geroosterd, alsvaste docenten op een vaste klas. Onderdeel van hun PTA voorwiskunde en als middel om een tekort aan docenten op te vangen.Een terugblik op een experiment. Hoe is het gegaan en wat heeft hetopgeleverd - een verhaal over docenten, gastdocenten, leerlingen envwo-ers.[ Paul Ket ]

Woensdagochtend 1e uurOp afdeling C1 komen de tweede klassen binnen. Op deafdelingsruimte zijn de vijf lokalen beschikbaar,iedereen die er is komt voor wiskunde. De wiskunde-docent van drie van de vier klassen, Eric, loopt tegelijkmet vier vwo-5 leerlingen binnen[1]. De lokalen wordenopengemaakt en iedereen gaat naar de eigen plek. Nade start van de les loopt Eric de lokalen langs. Ericheeft dit lesuur, net zoals alle weken, de regie. Eén A4-tje geeft de inhoud van het lesuur weer. Op hetprogramma staat een sommendictee, wat uitleg op hetbord en zelfstandig werken. Naar eigen inzicht opvolgorde te zetten. Bert en Rienk uit vwo-5 hebben klas 2N. Na watgerommel beginnen ze met het sommendictee: Bertleest de opgaven op, de leerlingen maken de sommenover machten en de volgorde van bewerkingen. Naafloop kijken de leerlingen het werk samen na. Bert enRienk leggen de opgaven uit waar de leerlingen samenniet uitkomen. Uiteindelijk staan de antwoordenallemaal op het bord. Na het klassikale gedeelte gaatRienk de nakijkboeken halen, Bert loopt rond en legtuit zodra hem wat gevraagd wordt. Ook in de drie andere lokalen gaat het lesuur zo. Bijklas 2Q is Philip, gastdocent van een andere afdeling,bezig om kwadraten en machten te bespreken. Liesbethen Petra, eveneens leerlingen uit vwo-5, hebbenbesloten het sommendictee aan het einde van de les tedoen. Zij zitten ieder bij een tafelgroepje leerlingenuitleg te geven terwijl de rest zelf doorwerkt.Halverwege het lesuur loopt Eric nogmaals de lokalenlangs om te zien of er problemen zijn. Zijn klas, 2W,kan best zonder hem doorwerken. Na 70 minuten gaat de bel en begint de kleine pauze.De docenten en de vwo-5 leerlingen zoeken elkaar opin de afdelingsruimte. Hoe is het gegaan? Waren erproblemen met leerlingen? Wat was er moeilijk aan dewiskunde? Na een paar minuten gaat iedereen pauzehouden.

Donderdag, daltonuurTijdens het daltonuur komt een groep van 20 leerlingennaar lokaal A108. Het zijn de leerlingen uit vwo-4 envwo-5 die wiskunde geven aan de 1e en 2e klassen. Ditbegeleidingsuur wordt geleid door wiskundedocentRené die al deze leerlingen les geeft en door collegaEric, die de Afdelingsuren vanuit de onderbouw regelt.Het uur begint met de constatering dat de havo-leerlingen afgehaakt zijn en geen les meer geven inhun Afdelingsuur. Daarna een rondje vragen enopmerkingen. De leerlingen komen met lesgeefvragen:wat met leerlingen die te laat zijn? Hoe ga je om meteen leerling die boos weggelopen is? René en Ericbespreken de vragen door vergelijkingen te trekkenmet wat de vwo-5 leerlingen kennen uit hun eigenlessen. Het gaat over omgaan met leerlingen, hoe zezelf aangesproken willen worden, hoe zij deonderbouwleerlingen willen aanspreken. Kortom, hoeze als leerling docent zijn. Hierna volgt een overzichtvan de lesstof van de 1e en 2e klassen. Waar deklassen ongeveer moeten zijn, waar bij de uitleg op

gelet moet worden en waar de veelgemaakte foutenzitten. Na een half uurtje wordt de bijeenkomst beëindigd.Degenen die de eerste klas begeleiden blijven plakken.Ze zijn voor het eerst geconfronteerd met het verhaalvan de heks over de negatieve getallen. Véél vak-didactiek gaat goed bij deze leerlingen die niet andersgewend zijn dan Moderne wiskunde, maar dit verhaalwas toch iets te ver weggezakt. Eric en René leggen hetverhaal in grote stappen nog een keer uit. Voorsommige vwo-leerlingen een feest van herkenning.Tussen neus en lippen door wordt nog even duidelijkgemaakt dat ezelsbruggetjes als ‘min en min is plus’niet gebruikt mogen worden, de eersteklassers moetendie zelf ontdekken. Anders wordt wiskunde het lerenvan trucjes. De bovenbouwers die al langer mee-draaien, knikken begrijpend; het hoofdstuk overgrafieken die alleen maar stijgen/dalen/ gelijkblijvenhad dezelfde vakdidactische achtergrond.

Goed voor de schoolOktober 2001. De schoolleiding zit om de tafel met deonderbouwsectie wiskunde, nu uitgedund tot8 mensen. Het probleem is het aantal vacatures in deonderbouw. Acht weken na de start van het schooljaarzijn er nog steeds klassen die geen wiskunde hebben.Maar de helft van de 26 eerste en 26 tweede klassenheeft gewoon wiskunde. De flexibiliteit bij collega’svan andere vakken om deze uren op te vangen raaktop, daarnaast slaan zij vakdidactisch nog wel eens deplank mis. Urenuitbreiding bij de wiskundedocenten isniet mogelijk: op de mensen die er zijn, moet je zuinigzijn. Er wordt gepraat, maar er is geen oplossing. Debijeenkomst wordt beëindigd met de opdracht hetondenkbare te verzinnen, zolang het maar bijdraagtaan de oplossing van het probleem. Half november worden de ‘Afdelingsuren’ ingesteld, opdat moment meer naam dan inhoud. Eerste doel:zorgen dat alle klassen weer les krijgen. Middel:inzetten van bovenbouwleerlingen in de onderbouw.Ter voorbereiding wordt één docent een week geheelvrijgeroosterd om het plan uit te werken. Het roosterwordt aangepast en op 6 december beginnen deAfdelingsuren.Door alle klassen één in plaats van twee lesuren tegeven, kunnen er uren over naar klassen die nog geendocent hadden. Maar slechts één uur wiskunde in deweek is te weinig. De Afdelingsuren zijn er om dit opte vangen. Tijdens het tweede trimester is het eenexperiment. Gaat dat goed, dan zal het in het derdetrimester voortgezet worden.

Goed voor de klassenKlas 2P heeft normaal gesproken les van collega Karel.Karel is veel afwezig. Vervelend, maar nu er te weinigcollega’s zijn, vallen de uren uit. In de tweede klassenleidt dit al tot onrust: de resultaten zijn slecht, hetgebrek aan lessen eist zijn tol. De Afdelingsurenbetekenen dat ze nog maar één lesuur van Karelhebben, ze krijgen er een lesuur met twee vwo-5leerlingen voor terug. En dat Afdelingsuur gaat altijd

3 0 7euclides nr.7 / 2003

Komt ze er niet meer uit, dan grijpt ze terug naar deoplosmethodes uit het boek voor klas 2.

Goed voor docentenCollega Philip weet nog niet wat hij moet denken vande Afdelingsuren. Normaal alleen verantwoordelijkvoor wat er in het eigen lokaal met de eigen klasgebeurt, tijdens de afdelingsuren is hij of ‘gastdocent’of manager van vier of vijf klassen tegelijkertijd. Als gastdocent geeft hij de klas van een collega alleenin het afdelingsuur les. Dan moet hij een les gevenzoals hem gevraagd wordt en dat is niet altijdmakkelijk. De collega pakt zaken toch anders aan dan

Philip zou doen. Het scheelt wel voorbereiden ennakijken, maar het heeft ook iets vluchtigs. Vooralomdat hij na vier lessen de namen nog niet in zijnhoofd heeft.Als regisseur moet zijn voorbereiding op papier komenen wel zo duidelijk dat ook de vwo-leerlingen wetenwat er moet gebeuren.De Afdelingsuren betekenen ook dat Philip voor meerklassen verantwoordelijk is: niet voor vijf, maar voornegen. Meer docentenvergaderingen en nakijkwerk.Gelukkig middelt het uit. Hij is ook gastdocent op eenandere afdeling; voor dat uur heeft hij geenvoorbereiding of nakijkwerk. Eric, die de Afdelingsuren schoolbreed regelt, maaktzich zorgen: collega Onno kan zijn draai op hetAfdelingsuur niet vinden. Die heeft de wiskundecentraal staan en wat minder het leren van de leerling.Onno vindt het allemaal te ver af staan van gewoonlekker lesgeven. Dat geregel, het napraten met de vwo-leerlingen, het in goede banen leiden van lessen waarje zelf niet bij bent, allemaal zaken die niets metwiskunde te maken hebben, maar er wel bij blijken tehoren.

Wat heeft het gekost?Maart 2002. Coördinator Eric maakt de balans op. Vantwee lesuren naar één, van alleen voor je eigen klasstaan naar het managen van vier klassen. Van het

door! Omdat er tegelijkertijd nog drie andere 2eklassen wiskunde hebben, zijn er meerdere docenten engaat het uur altijd door. Ook lopen er zoveel mensenrond die kunnen uitleggen dat ze nu lekker op kunnenschieten. Vooral de meiden uit 2P vinden hetfantastisch: les te krijgen van die mooie jongen uitvwo-5. Wiskunde wordt weer spannend…Docent Philip heeft dat uur de regie en vangt deafwezigheid van Karel op. Zo blijft klas 2P toch bij.Het vraagt wel veel van de klas: ze moeten zelf zorgenbij te blijven, en omdat de vwo-leerlingen niet veelvoor het bord doen, moeten de leerlingen echt omuitleg vragen, anders denken ze dat ze het snappen,terwijl dat toch niet zo blijkt te zijn. Soms gaat hetniet goed: leerlingen zonder zelfdiscipline doen in hetAfdelingsuur te weinig en krijgen op het proefwerk derekening gepresenteerd.Leerlingen vinden het wel grappig dat ze les hebbenvan zoveel verschillende mensen. Ook de rector die eenkeer komt kijken, wordt voor wiskundedocentaangezien en krijgt de vraag om een som uit te leggen.Hij moet in de vwo-ers zijn meerderen erkennen.

Goed voor de vwo-leerlingenNovember 2001. Liesbeth en Alfina zitten in vwo-5 enhebben wiskunde van René. Ze volgen het N&T-profielen staan er goed voor. Aan het einde van het eerstetrimester komt René vragen of ze de educatieveopdracht uit hun PTA voor wiskunde al gedaanhebben, en of ze er voor voelen om samen les te gaangeven aan een tweede klas. Telt mee voor het PTA enals project. Dan hebben ze in de projectweek, die ookherkansingsweek is, meer tijd voor andere dingen. Enof hij morgen antwoord kan krijgen. Natuurlijk vinden de meiden de eerste keer lesgevenerg spannend. Met een fotogalerij en een namenlijstvan wat ‘hun klas’ gaat worden, zijn ze de eerste lesruim voor tijd aanwezig. Van wiskundedocent Erickrijgen ze een ‘spoorboekje’ voor het uur. Eric stelt zevoor aan de klas, spreekt nog wat mooie woorden envertrekt. Van het spoorboekje komt niets terecht. Zebesteden de les aan kennismaken, rondlopen en vragenbeantwoorden. Gelukkig zijn er dingen als absentencontroleren en opschrijven waar leerlingen zijn methun werk; die klusjes breken het ijs.Vier weken later zijn Liesbeth en Alfina maar net optijd. Geroutineerd pakken ze het spoorboekje aan enzorgen er voor dat de leerlingen hun spullen voor zichnemen. De les naar hun hand zetten gaat prima.Vandaag is het wel spannend, want hun eigenwiskundedocent René komt kijken hoe het gaat, zekrijgen er immers een cijfer voor het PTA voor.Gelukkig gaat de uitleg over de bordjesmethode prima.Ook René is onder de indruk. Het enige dat misgingwas, dat Liesbeth haar boeken niet bij zich had en voorde uitleg dus moest spieken in het boek van deleerling. Een beter teken van zelfvertrouwen is nietdenkbaar. Bij het napraten vertelt Alfina dat het haar,nu ze opnieuw het boek voor klas 2 doorneemt, nueindelijk duidelijk is waar het toen allemaal goed voorwas. Een inzicht waar ze erg veel plezier aan heeft.


uitleggen van pijlenkettingen tot het bespreken vanwat er in een klas gebeurde met een vwo-leerling: hetzijn nogal veranderingen. Het kost vooral tijd. Alscoördinator van de Afdelingsuren praat hij veel: metcollega’s, met de schoolleiding, met het midden-management, met de medewerkers van deadministratie. Alles om duidelijk te maken dat het geengewone les is. Hij had er 24 taakuren voor, die warenna 4 weken al op. Net zoals de uren van de roosteraar:elke keer het rooster aanpassen kost tijd. De werving,begeleiding en beoordeling van de vwo-leerlingenhebben ook tijd gekost. Dit waren uren die normaal inprojecten zitten, voor collega René niet extra, maarwel een project minder. En de begeleiding van de vwo-leerlingen ging altijd door: ook ‘s avonds laat op eenschoolfeest of tijdens een open dag van de school. Jemoet heel zuinig op ze zijn.

Wat ging er fout?Donderdag, het daltonuur. Weer zitten de vwo-leerlingen die lesgeven bij elkaar. Docent René opentde bijeenkomst met de constatering dat de volgendeweek het nieuwe trimester begint en dat er opnieuween indeling gemaakt gaat worden. Wie gaat er door? Marian en Suzan steken hun hand op: zij gaan nietdoor. Ze vinden dat ze teveel politieagent moetenspelen, dat hadden ze toch anders verwacht. Cees enRichard hebben er ook genoeg van: ze hebben te vaakhet eerste uur voor een gesloten deur gestaan: danging het uur niet door, en waren wel de eerste klassengewaarschuwd maar werden zij vergeten. René slaakteen diepe zucht: deze schoonheidsfoutjes zijn haastniet te voorkomen. Gelukkig gaan de meeste vwo-leerlingen door. Ze vinden het uitleggen leuk, krijgeneen goede band met ‘hun’ klas, zien het resultaat vande extra uitleg van Pythagoras direct terug in devoldoende van de zwakke leerling. Kortom: inspiratiegenoeg!

Wat ging er goed?Tijdens de sectieborrel aan het einde van het jaarwordt teruggekeken. Hoe zijn die Afdelingsuren nugegaan? De meningen verschillen. Kern is natuurlijk:hebben de leerlingen er wat aan gehad. De agenda’sworden er bijgehaald en cijfers vergeleken. Er blijkengeen grote verschillen te zijn. Niet onderling tussencollega’s en ook niet met vorige jaren. Ouders die in het begin terughoudend reageerden,hebben uiteindelijk weinig meer van zich laten horen.De strakke regie en eenduidige regeling van deverantwoordelijkheden heeft het verwachte effectgehad. De collega’s discussiëren over het voeren van de regietijdens zo’n uur. Lekker lesgeven aan één klas, zelf hetverhaal van de wiskunde vertellen, is er dan niet bij.Wel is het inspirerend zo bij elkaar in de les te kunnenkijken. De sectie is meer één team geworden. Vooral deAfdelingsuren die ruim in de vwo-leerlingen zaten zijngoed gegaan: de docenten konden dan hun aandachtrichten op de zwakke leerlingen, terwijl de vwo-ers degewone les deden.

Sectieleider René roemt het enthousiasme van de vwo-leerlingen. Zij hebben het aangedurfd om zomaar vooreen klas te gaan staan en verantwoordelijk te zijn voorhet leren van een klas. Vooral de groep die gevraagd isom mee te werken heeft een prima prestatie neergezet.Zij hebben het gedaan uit enthousiasme. De tweedelichting had ook wat leerlingen voor wie het cijfervoorop stond. En dat is toch te weinig motivatie voorzo’n zware taak. De vwo-leerlingen hebben hunprojectopdracht met een ruime voldoende afgesloten.Ze kunnen terugkijken op een lessenserie waarin zevooral veel over zichzelf geleerd hebben, en ze tussende bedrijven door ook nog hun wiskunde hebbenopgehaald.Na de borrel treft René de conrector belast met deonderwijskundige ontwikkelingen in de school. DeAfdelingsuren zijn een succes gebleken. Bewezen is datbovenbouwleerlingen als tutor een belangrijkonderdeel van onderwijs kunnen vormen, ook bijandere vakken.

Een jaar later…Het is weer de week waarin de praktische opdrachtendoor docenten aangeboden worden. WiskundedocentRené biedt zijn 3e klassen havo/vwo en 3 tl demogelijkheid om als klassenassistent mee te draaientijdens de lessen die hij geeft aan een tweede klas. Eenactiviteit die de lessen van René effectiever maakt voorde tweedeklassers en waarvoor de leerlingen die alsassistent aanwezig zijn gewoon een cijfer krijgen. Collega’s Hans en Patricia hebben een aantal lessenvan een eerste en vierde klas samengevoegd. Tweeleerlingen uit de eerste zitten in de aula samen aan eentafel met twee leerlingen uit de vierde. Beide activiteiten laten de oudere leerlingen uitleggenaan de onderbouwleerling. Vooral als herhaling van debasis erg nuttig. En omdat het om wiskunde gaat, meteen duidelijke opbouw waarin het ook voor eenuitleggende bovenbouwleerling snel duidelijk is of degegeven uitleg klopt of niet, is het lesgeven redelijk teoverzien. Een som is goed of fout, zodat je je kuntconcentreren op de didactiek, de duidelijke uitleg vande tussenstappen en of de uitleg aankomt. Vooral dezwakke vwo-4 leerlingen - degenen die riepen dat zeer geen tijd voor hadden omdat ze wiskunde almoeilijk genoeg vonden - hebben veel uitleg gegeven:ze hebben ontdekt dat ze er zelf veel van opsteken.

Noot

[1] De namen van de personen zijn verzonnen.

Over de auteur

Paul Ket (e-mailadres: [email protected]) is docent wiskunde,

verbonden aan de school voor daltononderwijs Helen Parkhurst in

Almere. Vóór zijn overstap naar het voortgezet onderwijs is hij als

onderwijskundige werkzaam geweest binnen verschillende faculteiten

van de Universiteit Utrecht en bij IVLOS. Hij studeerde Toegepaste

Onderwijskunde aan de Universiteit Twente en 2e graads wiskunde

aan de Hogeschool van Utrecht.


onderzoeksprogramma voor wis- en natuurkunde-docenten: ‘Leraar in Onderzoek’. Op de NWO-website[2] valt te lezen:‘Het programma ‘Leraar in Onderzoek’ beoogt omeerstegraads leraren wis- en natuurkunde in degelegenheid te stellen een aantal maandenwetenschappelijk onderzoek aan een universiteit tedoen. Op deze manier komen de desbetreffende lerarenvoor een korte periode in nauw contact met eenuniversiteit, nemen nader kennis van de manier vanwerken op de universiteit, ontwikkelen hun eigenonderzoeksvaardigheden en zullen hierdoorwaarschijnlijk bewust of onbewust enthousiasme vooreen universitaire studie aan de scholieren overbrengen.Het onderzoek kan puur wiskundig of natuurkundigvan aard zijn, maar ook de didactiek betreffen of zichop meer toegepaste vraagstukken richten.’Het gaat daarbij om 60 tot 120 dagen onderzoek: - óf tussen de drie en zes maanden aaneengesloten, - óf een dag per week gedurende twee jaar, - óf twee dagen per week gedurende een jaar.‘NWO-EW vergoedt de kosten die de school voor devervanging van de leraar moet maken, verhoogd meteen bedrag van 2270 euro als tegemoetkoming voor deverstoring die dit met zich meebrengt.’

PromotieonderzoekHet onderzoeksidee van de NWO betreft dus maximaal120 dagen. Uiteraard is dit qua tijdsinvesteringonvergelijkbaar met het promotieonderzoek dat Barbara

ProefschriftBarbara van Amerom verdedigde op 16 mei 2002 haarproefschrift[1] met als titel Reinvention of early algebra(Heruitvinden van aanvankelijke algebra,Ontwikkelingsonderzoek rond de overgang van rekenennaar algebra) en behaalde daarmee haar doctorsgraad.Ze voegt zich hiermee bij de kleine groep vangepromoveerde docenten in het wiskundeonderwijsveldin Nederland. Haar proefschrift is zeker eeninhoudelijke bespreking waard, maar in dit artikelworden de accenten vooral gelegd op het doen vanonderzoek naast het hebben van een onderwijsbaan.Een inhoudelijke bespreking van haar proefschriftvindt u in de Nieuwe Wiskrant (nr. 21-4, pp. 19-20).Haar ervaring met en ideeën over deze combinatiekunnen als inspiratiebron dienen voor docenten diezelf ook een dergelijke combinatie ambiëren. Het doen van onderzoek als leraar is op het ogenblikbijzonder actueel door de stimulans die NWO hiervoorbiedt in de vorm van financiële ondersteuning. HoewelBarbara geen leraar-in-onderzoek was maar aio aan deUniversiteit Utrecht, is zij een zogeheten ervarings-deskundige op dit terrein. Haar inzichten stemmen totnadenken, en ze dagen de wiskundegemeenschap uittot reflectie op het wiskundeonderwijs. De moeitewaard om kennis van te nemen, zo lijkt mij.

NWO-onderzoeksprogramma voor docentenDe Nederlandse Organisatie voor WetenschappelijkOnderzoek (NWO) heeft sinds mei 2000 een nieuw

LERAAR IN ONDERZOEKHoe aantrekkelijk is het om je baan als wiskundedocent tecombineren met onderzoek aan een universiteit? Een interview met Barbara van Amerom.[ Klaske Blom ]


gedaan heeft. Wel heeft zij altijd haar onderzoekgecombineerd met een baan in het onderwijs; op datpunt beschikt zij dus over veel ervaring. Nadat ze haar postdoctorale lerarenopleiding hadafgerond, is Barbara direct begonnen aan haarpromotieonderzoek. In haar afstudeerprojectcombineerde ze de didactiek en de geschiedenis van dewiskunde. Het onderzoek Reinvention of algebrabestond uit een soortgelijke combinatie waardoor zezich onmiddellijk tot dit onderzoek aangetrokkenvoelde. In haar onderzoek heeft de geschiedenisuiteindelijk een kleinere plaats ingenomen, omdat zezich vooral gericht heeft op de didactische aspectenvan de informele strategieën die door leerlingengebruikt worden bij het leren van algebra. Barbara is in totaal ruim zes jaar bezig geweest methaar promotieonderzoek. Gedurende de eerste vier jaarbesteedde ze vier dagen per week aan haar onderzoeken was ze één dag werkzaam als wiskundedocente aanHet Nieuwe Eemland in Amersfoort. De laatste tweejaren verschoof deze verhouding naar het doen vantwee dagen onderzoek en drie dagen lesgeven.

Interview met Barbara van AmeromHoe aantrekkelijk is het om je baan als wiskunde-docent te combineren met het doen van onderzoek aaneen universiteit? Welke meerwaarde heeft het? Welkevoor- en nadelen kleven eraan? Deze en andere vragen legde ik voor aan Barbara vanAmerom.

Wat is je mening over dit nieuwe onderzoeksproject‘Leraar in Onderzoek’ van de NWO?Ik vind het een positief plan, maar ik zie niet goed inwaarom alleen eerstegraads docenten in aanmerkingkunnen komen voor een dergelijk onderzoek. Ik kenvan zeer nabij enkele enthousiaste tweedegraders dieals zij-instromers in het onderwijs terecht gekomenzijn en heel actief zijn op didactisch gebied. Ook dezemensen zouden verder didactisch onderzoek moetenkunnen doen om hun eigen interesse levend te houdenen verder te komen met hun didactische inzichten.Bovendien kunnen hun collega’s daar ook weer pleziervan hebben.

Kun je je vinden in het doel van dit onderzoeksproject,het enthousiast maken van leerlingen voor een studiewiskunde?Het zal ongetwijfeld zo zijn dat je door een dergelijkonderzoek te doen leerlingen enthousiast maakt vooreen academische opleiding. Maar ook zonder dat ikonderzoek deed probeerde ik ze warm te maken vooreen universitaire opleiding door over mijn eigenstudie- ervaringen te vertellen. Mijns inziens zou heteen beter doel van een dergelijk onderzoek kunnen zijnom los te komen van de dagelijkse en routinematigeonderwijspraktijk en opnieuw gemotiveerd te rakendoor de nieuwe ervaring die je opdoet. In mijn gevalmaakte het dat ik meer plezier in mijn werk kreeg. Ikvind het leuk om in mijn eigen lessen ervaringen teverwerken die ik met mijn onderzoek heb opgedaan.


moment waarop in het algebra-onderwijs de stap gezetmoet worden van informele naar formele oplossings-methoden. Ook een meer theoretisch wiskundigonderzoek zou denk ik best geschikt zijn, als hetdaarna maar zijn neerslag krijgt in bijvoorbeeld eenZebra-boekje; daarmee krijgt het een concretetoepassing in het onderwijs. Zolang de opgedaneervaringen concreet vertaald worden naar de klas, ishet de investering waard geweest. Per slot vanrekening is er toch veel geld mee gemoeid…

Welke voordelen zie je in de combinatie van onderzoekdoen en lesgeven?Allereerst maakte de combinatie van onderzoek enlesgeven het werk heel gevarieerd. Het bezig zijn met onderwijsvernieuwing kan zeervoedend en stimulerend zijn voor jezelf. Ikzelf raaktegeïnspireerd doordat ik een nieuwe kijk kreeg op mijneigen lessen. Bovendien kun je op school in je sectiebijdragen aan inhoudelijke vernieuwing door je kennisen ervaringen over te dragen.Omdat ik op het Freudenthal Instituut werkte, had ikeen werkkring van mensen die allemaal bezig zijn metdidactische vernieuwing. Het voordeel daarvan is datmensen met veel verstand van zaken heel bereikbaarwaren en voor mij was dat bijzonder motiverend.

Zo probeer ik bijvoorbeeld om leerlingen eerst te laten‘spelen’ met informele, pre-algebraïsche strategieënvoordat ik ze met de formele oplossingsstrategieën laatwerken. Uit meerdere onderzoeken is gebleken dat hetbelangrijk is om leerlingen in het leerproces de tijd tegeven voor hun eigen informele oplossingsmethodenomdat ze dan een methode hebben om op terug tevallen als de formele oplossingsmethode nog temoeilijk voor ze is.

In mijn havo-4-groep gebruik ik deze aanpakbijvoorbeeld bij het aanleren van het oplossen vanstelsels vergelijkingen: ik maak iconische stelsels, datwil zeggen met alleen getekende plaatjes, bijvoorbeeldover het uitwisselen van repen en suikerballen (ziefiguur 1).Leerlingen blijken in eerste instantie te gokken naareen oplossing van een dergelijk stelsel. Het vinden vande goede oplossing kan op die manier lang duren.Hierdoor komt als vanzelf de wens bij een leerling ophet oplossingsproces te bekorten. Als je dan als docentexpliciet vraagt naar hun redenering en ze deze laatverwoorden, komen ze zelf tot de conclusie dat hetbeter is hun gok bij te stellen door er ‘1 bij of 1 af’ tedoen. Op den duur is er altijd wel een leerling dieopmerkt dat er één onbekende geëlimineerd moetworden. Het mooie van deze manier van werken is datleerlingen kunnen terugvallen op hun eigen informeleintuïtieve werk als het formele niveau te moeilijk is. Ikmerk dat het motiverend en zinvol is om de tijd tenemen voor een dergelijke aanpak.

Een ander concreet effect van mijn onderzoek is dat ikprobeer heel bewust om te gaan met de reflectievragenin de methode. Ik sla ze niet zonder meer over ombijvoorbeeld tijd uit te sparen, want ik heb het belangervan bij het zelfontdekkend leren ervaren. Reflectiedwingt leerlingen vaak tot perspectief-wisselingen, totpraten over het geleerde, tot communiceren overwiskunde; allemaal facetten die het leren van wiskundepositief beïnvloeden.

Het thema van je onderzoek was het zelfontdekkendleren van algebra, een zuiver didactisch onderwerp dus.Hoe denk je over het soort onderzoek dat gedaan kanworden in dit project ‘Leraar in Onderzoek’?Persoonlijk vind ik dat elke wiskundedocent die eendergelijk onderzoek gaat doen een didactischonderwerp zou moeten kiezen. Als je namelijkonderzoek gaat doen vanuit een persoonlijke interessebinnen een niet-didactisch wiskundig gebied, heeft datgeen impact op het dagelijks werk in de klas. Jedidactiek zal er niet door veranderen, al voel je je zelfmisschien persoonlijk wel meer geïnspireerd. Enleerlingen hebben er juist profijt van als de didactiekvan het wiskundeonderwijs nog verder ontwikkeld enverbeterd wordt. Alleen al op het gebied van dealgebra zijn allerlei didactische onderwerpen de moeitewaard om onderzocht te worden. Ik heb nog wel eenpaar ideeën: onderzoek naar de specifieke algebraïscheleerproblemen van leerlingen, of onderzoek naar het


FIGUUR 1

Daarnaast had ik het benodigde materiaal tot mijnbeschikking en bleef zo op de hoogte van de nieuwsteontwikkelingen in het wiskundeonderwijs. Ik zouleraren dus altijd aanraden om deel te nemen in eendidactisch onderzoeksteam. Tenslotte is er nog een voordeel voor de academischewereld: het is goed voor de fulltime wetenschappelijkmedewerkers die aan onderwijsvernieuwing werken, alsze contact houden met het onderwijsveld. Het komtnog geregeld voor dat in het denken en praten overonderwijs de plank wordt misgeslagen door mensen dieniet meer in de lespraktijk staan. Het is belangrijk datleraren hun dagelijkse ervaringen delen.

Welke obstakels ben je tegengekomen terwijl jeonderzoek deed en lesgaf?Het was moeilijk om mijn aandacht te verdelen overtwee banen, met name ook omdat het karakter van hetwerk zo verschillend was. Een school heeft kortedeadlines, proefwerken moeten worden nagekeken,toetsen worden gemaakt, lessen moeten wordenvoorbereid; en onderzoek doen is vaak een kwestie vanlange-termijnplanningen, zeker in het begin als je nogniet aan het schrijven bent. Ik moest erg oppassen omniet altijd voorrang te geven aan de korte deadlineswaardoor de tijd voor mijn onderzoek me door devingers glipte. Prioriteiten stellen is iets wat ik in deloop van de jaren steeds beter geleerd heb, maar hetbleef lastig. Een ander nadeel van het hebben van tweebanen is dat er ook twee werkgevers zijn die aan jetrekken. En verder had ik nog de extra reistijd, omdatik op één dag op twee plekken werkte.

In hoeverre komen jouw eigen onderzoek en deervaringen die je daarmee opdeed ten goede aanleerlingen en collega’s?Uiteraard hoop ik, en zie ik ook wel, dat het mijnleerlingen ten goede komt dat ik me verder didactischbekwaam. Met collega’s heb ik nog weinig gesprokenover de resultaten van mijn onderzoek, o.a. door eenvrijwel constant gebrek aan tijd. De schoolorganisatievraagt veel investering van ons in ons gewonedagelijks werk. Daarnaast worden we erg in beslaggenomen door het ontwikkelen van praktischeopdrachten, studiewijzers, verschillende werkvormenen vakoverstijgende thema’s etcetera, zodat er weinigtijd overblijft voor inhoudelijke verdieping. Dit zijnzaken waar niemand iets aan kan doen, maar het iswel jammer dat er daardoor zo weinig tijd overblijftom ons inhoudelijk te verdiepen.

Zou je tot slot aanbevelingen willen doen voor eeninvulling van een dergelijk project als ‘Leraar inOnderzoek’?Het zou mooi zijn als er in Nederland een langlopenddidactisch onderzoek gedaan zou worden, bijvoorbeeldnaar de overgang van rekenen in groep 8 naarwiskunde in de brugklas en daarna naar algebra in deTweede fase. Onderwijsmensen zouden dan een tijd inzo’n onderzoek mee kunnen draaien om te zorgen voormeer uitwisseling tussen onderwijsveld en academische

vernieuwers. Daarnaast heeft het als voordeel dat je alsonderzoeker vrij snel bent ingevoerd in de materie. Eeneigen zelfstandig onderzoek heeft vaak een langeaanlooptijd nodig en die tijd is er in dit project niet.Het is wel noodzakelijk dat het Nederlandse onderwijstot rust komt zodat er weer plek is voor inhoudelijkdidactische overdenkingen die nu in het gedrangkomen door de veeleisende uitvoering van de Tweedefase en het vernieuwde leerwegenstelsel in het vmbo.Ook zou het goed zijn als een volle baan van 26 uurwerd teruggebracht tot 20 uur (zoals in onze buur-landen), zodat je wekelijks bezig kunt zijn met deverdieping van je eigen kennis. Mijns inziens zou je ditnamelijk structureler moeten aanpakken dan in hetproject ‘Leraar in Onderzoek’ wordt gerealiseerd; eenhandjevol mensen dat zich academisch wetenschappelijkschoolt, zal marginaal effect op het totale onderwijs-veld hebben.

En nuBarbara van Amerom geeft op dit moment drie dagenles en heeft haar onderzoekswerk beëindigd. Het is nieteenvoudig om een stapje terug te doen: ze wordt vanmeerdere kanten gevraagd om meer ruchtbaarheid tegeven aan haar bevindingen. Ze ervaart dit als eenparadox: enerzijds is het zeer bevrijdend dat hetonderzoek afgerond is en ze meer tijd heeft voor huisen haard, anderzijds zijn er door haar onderzoekswerkdeuren open gegaan die ze graag zou willen betreden,maar niet nu. Hiermee omgaan, dat is de kunst. In de hoop dat ze anderen zullen stimuleren totactiviteit op het gebied van de ontwikkeling van onswiskundeonderwijs, dank ik Barbara van Ameromhartelijk voor haar praktische en persoonlijkeoverwegingen!

Noten

[1] Het proefschrift is als boek verkrijgbaar:

B.A. van Amerom, Reinvention of early algebra. Developmental

research on the transition from arithmetic to algebra, Utrecht: CD-

Bèta-Press, Centre for Science and Mathematics Education (CD-Bèta

wetenschappelijke bibliotheek; nr. 41), ISBN 90-73346-48-7, voorzien

van een Nederlandse samenvatting.

[2] Nadere informatie over het onderzoeksprogramma ‘Leraar in

Onderzoek’ van de NWO is te vinden op de website:

www.nwo.nl/subsidiewijzer.nsf/pages/NWOA_4XHBL7?Opendocument.

Over de auteur

Klaske Blom (e-mailadres: [email protected]) werkt als

wiskundedocente op het Hooghe Landt in Amersfoort. Zij is tevens

redacteur van Euclides.


RATIO: COMPUTER ÈN LERAARWiskundelessen op de computer zijn te arm; ‘ouderwetse’ lessen zijnonmisbaar [1]. Hoe de ICT-methode Ratio dit probleem concreetoplost.[ Mascha Honsbeek, Leon van den Broek ]

Het Ratio-team

Ratio is een instituut binnen de subfa-culteit wiskunde van de KUN, opge-richt om de interesse in wiskunde – enin bètastudies in het algemeen – tebevorderen. Een team van wiskundele-raren en medewerkers en studenten

van de KUN ontwikkelt een ICT-wiskundemethode voorhet vwo, te beginnen met de klassen 1, 2 en 3. De Ratio-methode wordt aangeboden via het internet en is vrijtoegankelijk; als tegenprestatie ontvangt Ratio van detestscholen graag hun ervaringen.

InteractiefRatio ontwikkelt een interactieve wiskundemethode;logisch dat de computer een grote rol speelt in deRatio-lessen. De voordelen zijn duidelijk: appletsintroduceren en verhelderen de onderwerpen, oefen-opgaven zijn eenvoudig te genereren, via links zijn erveel mogelijkheden tot verdieping, leerlingen kunnenin hun eigen tempo werken en correctie van het werkgaat eenvoudig en snel. Maar daarmee heb je nog geengoed onderwijs. De computer kan de medeleerlingen ende docent niet vervangen. Al eerder schreven we inEuclides[2] dat we zochten naar een goede verhoudingtussen werken achter de computer en traditioneel metpen en papier. Inmiddels zijn de eerste ervaringen methet Ratio-hoofdstuk Hoeken opgedaan. Die bevestigendat de klassikale momenten – los van de computer –wezenlijk zijn in de cursus.

De problemenHet leren van nieuwe zaken gaat niet vanzelf. Ook inhet gunstige geval dat een leerling de opgaven kanmaken en de theorie snapt, is hij er nog niet.Leerlingen kunnen maar moeilijk hoofd- en bijzaken ineen wiskundehoofdstuk scheiden: wat is inleiding, watis illustratie, wat is voorbeeld? Ook ‘goede’ leerlingenhalen vaak niet zelfstandig uit de leermaterialen waterin zit: de grote lijn is onduidelijk. Dat maaktonzeker: ze hebben behoefte aan een bevestiging van -of correctie op - wat ze geleerd hebben. Als voor-bereiding op het proefwerk beginnen leerlingen vaakhet hoofdstuk van voren af aan opnieuw door tenemen, en komen dan bijvoorbeeld maar halverwege.Of, en dat is het andere uiterste, ze weten niet waar tebeginnen en doen dus maar helemaal niets ter voor-bereiding op het proefwerk. Als de leerling het hoofdstuk in bijvoorbeeld tweezinnen kan samenvatten, heeft hij/zij het goedbegrepen. Dat wil overigens niet zeggen dat hij alleenzo’n samenvatting hoeft te kennen. Wiskunde-lerenkost tijd. Door wekenlang aan een onderwerp tewerken, problemen en probleempjes aan te pakken,raakt de leerling thuis in het onderwerp, wordt vaardigen kan zichzelf bij min of meer nieuwe opgavenredden.

Maar ook de docent heeft problemen bij eenzijdig ICT-onderwijs. Het is ondoenlijk voor hem het leerproces temanagen. Hij heeft geen zicht en geen grip op devorderingen van de verschillende groepjes in de klas.

De Ratio-oplossingVoor effectief en gecontroleerd onderwijs met tevredenleerlingen is klassikale interactie essentieel. Daarvoorbiedt Ratio drie soorten papieren materialen om hetleerproces af te ronden.1. ‘Overzichten’ per paragraaf. De leerlingen vatten destof samen en passen die vervolgens toe in enkelekarakteristieke opgaven.2. ‘Toets jezelf.’ Na afloop van het hoofdstuk is er eentoets die gelijkwaardig is aan het proefwerk.3. ‘Materialen voor een klassengesprek.’ Dit zijn extravragen die de docent kan gebruiken om een klassen-gesprek te organiseren. Het accent ligt niet op concreteopgaven, maar op de hoofdideeën in het hoofdstuk ende samenhang tussen de verschillende begrippen.De bedoeling van de materialen voor een klassen-gesprek is de docent ideeën aan te reiken. Omdat deindividuele stijl van de docent een grote rol speelt bijde invulling van de les en omdat de beschikbare tijdsterk uiteen loopt, zijn de ideeën niet afgerond totpasklaar materiaal. In plaats daarvan is gekozen vooreen open verzameling van ideeën: handreikingenwaarmee de docent zelf een klassengesprek kanorganiseren.Het is ook goed mogelijk dat de docent een onderdeelvan de materialen aan het begin van een les aan deorde stelt. Dit bijvoorbeeld om te controleren of deleerlingen een basisvaardigheid onder de knie hebben.De bij elk hoofdstuk terugkerende onderwerpen zijn:- Gereedschappen. Dat zijn de technieken die de leer-lingen kunnen inzetten om vraagstukken op te lossen- Vragen. Daarbij gaat het om de aanpak van hetvraagstuk en niet om het vinden van de concreteuitkomst; welke gereedschappen worden achter-eenvolgens ingezet?- Hoofdzaken. Een zeer bondige samenvatting van hethoofdstuk.- Samenhang. De samenhang van de stellingen enbegrippen wordt gepresenteerd: wat is een bijzondergeval, wat een generalisatie?- Leerling-opgaven. De leerlingen ontwerpen zelfopgaven; de beste komt in het proefwerk.

In de testfase zal ook het docentenmateriaal gratis teverkrijgen zijn. Waarschijnlijk zal Ratio op termijnvoor dit extra materiaal een kleine bijdrage vragen, omde continuïteit te kunnen garanderen.

De voordelen van het klassengesprek op eenrijtje- sociaal: leerlingen wisselen ervaringen en inzichten uit;- inspirerend: het enthousiasme van de docent werkt

aanstekelijk;- afwisselend: variatie in werkvorm voorkomt sleur;- tijdbesparend: de leerling bereidt zich voor op het

proefwerk;


Doelen van WisKids zijn: enthousiasme voor wiskundebevorderen bij jongeren, het imago van wiskundeverbeteren, jongeren uitdagen via wiskunde, en belang-stelling bevorderen voor de exacte vakken.WisKids is een gezamenlijk initiatief van het WiskundigGenootschap (WG), de Nederlandse Vereniging vanWiskundeleraren (NVvW) en de Nederlandse Verenigingtot Ontwikkeling van het Reken-WiskundeOnderwijs(NVORWO).Partners in WisKids zijn Ratio (KUN), Perspectief(STW/NWO en NVvW), Vierkant voor Wiskunde,Pythagoras, Wiskunde Olympiade en het FreudenthalInstituut. WisKids werkt samen met APS en SLO.Financieel is WisKids mogelijk gemaakt door hetMinisterie van OC&W, de Stichting Axis en de StichtingArbeidsmarkt en Opleiding Metalektro.Het prijzengeld van de Wiskunde Scholen Prijs wordtmede gesponsord door NOCW en doorde NVvW.Meer informatie: www.fi.uu.nl/wiskidsof per email: [email protected]

- controlerend: de leraar verzekert zichervan dat iedereen kennis neemt vande stof;

- samenvattend: de leerling krijgt eenoverzicht over de stof;

- onderscheidend: de leraar legtaccenten op die dingen waar heteigenlijk om gaat;

- onderwijzend: de leraar legt centraledingen uit de stof nog eens uit.

De stand van zakenDe hoofdstukken Hoeken, Machten enOntbinden zijn af. Op dit ogenblik (april2003) wordt het hoofdstuk Kwadratenen Wortels ontwikkeld. De hoofdstukkenworden getest op verschillende scholen.Daarna zal de Ratio-formule vaste vormhebben gekregen en kan de methodesystematisch worden geschreven tebeginnen met het eerste hoofdstuk.Zodra een hoofdstuk gereed is om getestte worden op scholen, is het te vindenop de website www.ratio.kun.nl onderhet kopje ‘Cursussen’. Op dit momentstaat daar alleen het hoofdstuk Hoeken.Binnenkort zullen ook de anderehoofdstukken daar verschijnen.

Nadere informatieVoor meer informatie kunt u contactopnemen met Mascha Honsbeek, e-mail:[email protected], tel. 024-3652997.Zie verder www.ratio.kun.nl

Noten

[1] Harrie Broekman: De essentie van het leren van wiskunde …

zonder inspirerende docent, Euclides 77, nr. 2, pp.042-044.

[2] Mascha Honsbeek: Ratio, Euclides 77, nr. 5, pp.244-245.

Over de auteurs

Mascha Honsbeek is promovendus aan de subfaculteit wiskunde van

de KUN. Ze werkt daar ook als voorlichter wiskunde en als coördinator

van het project Ratio.

Leon van den Broek is leraar wiskunde aan RSG Pantarijn te

Wageningen. Hij is gedetacheerd bij de subfaculteit wiskunde van de

KUN, waar hij o.a. auteur is van Ratio en de Kangoeroewedstrijd

organiseert.


Uit ‘Materialen voor een klassengesprek’ bij Hoeken

InleidingIn het schooljaar 2000-2001 is op het Zernike CollegeGroningen in de Montessori-stroom een laptopklasgestart. Alle leerlingen in deze klas beschikten overeen laptop en gebruikten deze intensief tijdens enbuiten de lessen. In hetzelfde jaar werd een onderzoekgestart naar de inzetbaarheid en effectiviteit vanlaptops in het onderwijs. Dit onderzoek werd gedaanonder supervisie van Anne van Streun, hoogleraar inde didactiek van de Wiskunde en Natuurwetenschappen.Dit artikel is een vervolg op ‘Elke leerling een computer’in Euclides 78-2 (oktober 2002); het beschrijft deervaringen van de laptopklas in 2001-2002.Het project werd in het schooljaar 2001-2002uitgebreid naar één tweede klas en twee brugklassen.Twee nieuwe afstudeerders (Bart ter Veer en David vande Beld) gingen verder met het laptopproject enontwikkelden lesmateriaal voor de tweede klas.Vervolgens onderzochten zij of het gebruik vancomputers de leeropbrengsten heeft verhoogd.

Opzet onderzoekEr is een behoorlijke hoeveelheid educatief materiaal tevinden bij uitgevers en op internet (o.a. applets). Hetgaat hier echter om additioneel lesmateriaal, waarbijde leerlingen ook nog een boek nodig hebben. Eengroot nadeel van deze combinatie is dat leerlingen deleerstof uit verschillende bronnen moeten halen,waardoor ze het overzicht kwijt kunnen raken. Eenleerling moet de laptop opstarten voor één of tweekleine leermomenten, waarbij het opstarten veel tijd inbeslag neemt. Daarom was een van de aanbevelingenuit 2000-2001 een hoofdstuk uit het boek compleet tevervangen door digitaal lesmateriaal. De onderzoekers besloten zelf digitaal lesmateriaal tegaan ontwikkelen waarin oefeningen en theoriegeïntegreerd zijn. Ze hebben de hoofdstukken over de

stelling van Pythagoras, statistiek en kansrekeningvervangen door digitale versies, omdat dit dehoofdstukken zijn waar de computer een uitstekenderol kan spelen bij het geven van de feedback.Vooraf werd een aantal doelstellingen geformuleerd.Zo moet het lesmateriaal een bijdrage leveren aan hetontwikkelen van algemene computervaardigheden vande leerlingen. Informatie opzoeken via internet en hetwerken met standaardfuncties in Microsoft Officepakketten krijgen de meeste aandacht. Daarnaast washet de bedoeling, de mogelijkheden die de computerbiedt optimaal te benutten. Het idee ging daarbij uitnaar interactieve mogelijkheden waarbij elke leerlingnet zoveel oefening krijgt totdat hij de stof beheerst,waarbij dus het niveau van het materiaal wordtaangepast aan de leerling. Tijdens het gebruik van het lesmateriaal is de klasgeobserveerd. Bovendien hebben de onderzoekersgetoetst in hoeverre het lesmateriaal aan deverwachtingen voldeed.

Het lesmateriaalDe digitale variant van het hoofdstuk over de stellingvan Pythagoras begint met een inleidende pagina,gevolgd door werkbladen in Excel, waarin een grotehoeveelheid opgaven afgewisseld wordt met kleinestukken theorie. In het programma Excel kunnengebruikers gegevens invoeren in cellen. Met dezegegevens kunnen vervolgens diverse berekeningenworden gemaakt. Het geven van feedback is met ditprogramma vrij eenvoudig te realiseren. Bovendien isExcel gebruiksvriendelijk en is het programma bij deleerlingen al redelijk bekend. Bijkomend voordeel isdat leerlingen in het programma ook heel gemakkelijkzelf tabellen kunnen maken.Bij de hoofdstukken statistiek en kansrekening is detheorie gescheiden van de oefeningen in de werk-

DE LAPTOPKLAS[ Bart ter Veer, David van de Beld, Martin Traas ]


Hypothesen en conclusiesAan de hand van het ontworpen lesmateriaal hebbende onderzoekers een aantal hypothesen geformuleerd.Het toetsen ervan was niet mogelijk vanwege de kleinesteekproefgrootte. De (on)waarheid van de hypothesenkan slechts aannemelijk worden gemaakt.- Leerlingen kunnen zonder hulp van de docent deopgaven maken.Deze verwachting kwam niet uit. Uit observaties bleekdat leerlingen juist veel hulp vroegen aan docenten enmedeleerlingen. - Na het doorwerken van het lesmateriaal hebben deleerlingen de leerdoelen gehaald.Gemiddeld zijn de proefwerken over de stelling vanPythagoras en statistiek goed gemaakt ten opzichtevan andere proefwerken; kansrekening was matig.Hiermee lijkt de hypothese grotendeelsgerechtvaardigd. Interessant is om na te gaan of hetlesmateriaal hierop een grote invloed heeft gehad. Invergelijking met de parallelklassen (waar geen laptopgebruikt werd) heeft de laptopklas beter gescoord bijde identieke proefwerken (op papier) over de stellingvan Pythagoras en statistiek. Bij het proefwerkkansrekening zit de score van de laptopklas tussen dievan beide parallelklassen in. Een vergelijking meteerdere proefwerken van dezelfde klassen gaf zekergeen aanleiding om te veronderstellen dat de laptop-klas in het algemeen beter was. De voorzichtigeconclusie is dat het digitale lesmateriaal een goedmiddel is om de leerdoelen te bereiken.- Leerlingen vinden het leuk om met het lesmateriaal tewerken.De leerlingen van de laptopklas hebben een cijfer

bladen. De theorie van die hoofdstukken wordtaangeboden in dynamische presentaties (PowerPoint;zie figuur 1), de opgaven wederom in Excel. Verder iseen samenvatting van de theorie beschikbaar op eenhtml-pagina. Deze pagina is vanuit de werkbladenoproepbaar door middel van hyperlinks.Bij het maken van de opgaven krijgen de leerlingenfeedback op hun invoer. Dit gaat vaak verder dan decontrole van het antwoord; bij verschillende foutenworden passende hints gegeven. Dit is met de huidigelesmethodes onmogelijk. Op dit vlak biedt de computerdus een didactische meerwaarde ten opzichte van diemethodes. Het risico van het geven van dergelijkeaanwijzingen is dat leerlingen gedachteloos deopgaven maken. Hiermee wordt rekening gehouden(zie figuur 2 en 3).Met een computerprogramma moet het mogelijk zijnom na een fout antwoord een gelijkwaardige opgaveaan te bieden, net zolang tot de leerling in staat is deopgaven te maken; pas dan gaat hij naar nieuwetheorie. Iedereen krijgt net zoveel oefening totdat hijde stof beheerst; het niveau wordt aangepast perleerling. Het is echter niet gelukt om lesmateriaal teontwerpen dat zich aanpast aan het niveau van deleerling. De onderzoekers hebben daartoe pogingengedaan, maar hadden niet de programmeerkennis omdit zelf te realiseren. Wanneer dit gerealiseerd wordt,kan het de tweede didactische meerwaarde van decomputer zijn.

Voor docenten is bij het lesmateriaal een handleidingbeschikbaar met daarin verschillende gebruiks-mogelijkheden in de les.


FIGUUR 1 Een afgespeelde presentatie over cirkeldiagrammen

gegeven voor het ontwikkelde lesmateriaal. Hetgemiddelde cijfer is een ruime zeven. Tevens gaf dedocent aan dat de leerlingen met enthousiasme eninzet aan het materiaal hebben gewerkt. Hoewel dezehypothese subjectief is geformuleerd, geven dezeargumenten aanleiding om te denken dat de hypotheseop waarheid berust.

Hoe gaat het met de twee brugklassen? Deresultaten in leerjaar 1Vorig schooljaar is bij enkele onderwerpen in de eersteklas een aantal paragrafen vervangen door eenwerkblad, waarbij de laptop als ondersteuning werdgebruikt. Dit jaar zijn de werkbladen waar nodigaangepast en verbeterd. Er is geen nieuw materiaalontwikkeld. De onderzoekers hebben de resultaten vande twee laptopklassen vergeleken met de resultatenvan de twee parallelklassen. Daarbij werd rekeninggehouden met de instroomgegevens van de leerlingen(cito-scores en niveau-advies van de basisscholen).

In tabel 1 staat aangegeven welke hoofdstukken wordengetoetst en welke programma’s de leerlingen uit delaptopklas gebruikten. In tabel 2 staan de resultaten vande leerlingen. In de tabel staat met percentagesaangegeven hoeveel leerlingen een voldoende/goed ophun toets haalden in deze klas. Bij bestudering van decijfers blijkt dat de leerlingen die gebruik maken vaneen laptop beter scoren op de toetsen 3, 4, 8 en 9 enminder goed scoren op de toetsen 6 en 7 in vergelijkingmet de resultaten van de parallelklassen. In de eerste hoofdstukken van ‘Moderne wiskunde’kunnen de leerlingen een goede start maken met het

vak wiskunde. Leerlingen leren werken met rooster-papier, met een geodriehoek en met een passer.Verschillende eenvoudige begrippen komen aan bod,zoals kijklijnen en evenwijdige lijnen. Daarom is erwellicht nog geen niveauverschil tussen de laptopklasen de parallelklas. De laptopleerlingen leren echter welgoed omgaan met de programma’s Cabri en Excel. Bij toets 3 en 4 is veel gebruik gemaakt van demogelijkheden van de laptop. De leerlingen zijn dan alenkele maanden met de laptop aan het werk en kunnener goed mee omgaan. De leerlingen mèt een laptopmaken deze toetsen beter dan de leerlingen zonderlaptop.Bij toets 8 hebben ook de laptopleerlingen geengebruik gemaakt van de laptop. In het hoofdstuk‘Vergelijken’, worden echter veelvuldig grafieken entabellen gebruikt. Het is een vervolg op hoofdstuk 5(toets 3). Misschien hebben de laptopleerlingen hiermeer voordeel van. Toets 7 is een werkstukopdracht. Ook de parallel-klassen hebben dit werkstuk gemaakt en hebben in eencomputerlokaal gewerkt. Voor deze leerlingen is hetwerken met een computer ‘nieuw’ en zij waren ookenthousiaster aan het werk dan de laptopleerlingen. Aan het eind van het jaar werd een afsluitende toetsafgenomen waarin alle belangrijke onderwerpen diehet jaar waren behandeld aan bod kwamen. Deze toetswas voor alle leerlingen gelijk. De scores van delaptopleerlingen waren goed.

De resultaten van dit jaar stemmen overeen met deresultaten van vorig jaar. In het eerste jaar lagen deinstroomadviezen en CITO-scores van de klassen


FIGUUR 2 In deze driehoek is de stelling van Pythagoras niet toe te passenFIGUUR 3 Het gedachteloos invullen wordt afgestraft

het ontwerpteam een toegevoegde waarde zou hebben.Daarnaast zijn zij van mening dat de regering eenactievere rol zou moeten spelen om kwalitatiefhoogwaardig educatief digitaal lesmateriaal op demarkt te krijgen. Het huidige aanbod is voor hetgrootste deel additioneel en is bovendien weinig ofniet samenhangend.- Bied verschillende opgaven aan, afhankelijk van hetniveau van de leerling.De onderzoekers zien grote voordelen van en zekermogelijkheden voor dergelijke programma’s, maar zelfzijn zij er niet in geslaagd om materiaal te ontwerpendat zich aanpast aan het niveau van de leerling.- Zorg voor overzichtelijke leermiddelen zodatleerlingen hun informatie niet uit meerdere bronnenhoeven te putten.In het jaar 2000-2001 deden Neeltje Doggen enAnnelies Wijnbergen de aanbeveling om een hoofdstukgeheel te vervangen in plaats van additioneel les-materiaal te ontwikkelen. Nu is gebleken dat ditmogelijk is, maar de onderzoekers willen er niet voorpleiten om boek en schrift af te schaffen. Om het voorde leerlingen overzichtelijk te houden, zijn zij er eenvoorstander van om sommige hoofdstukken geheeldigitaal aan te bieden en andere geheel met boek enschrift.

dichter bij elkaar en dit gold ook voor de toets-resultaten. Vorig jaar werden toets 2 en toets 3 betergemaakt door de laptopleerlingen. Bij de overigetoetsen waren er geen verschillen tussen de laptopklasen de parallelklassen.

De onderzoekers concluderen dat de laptopklassengeen slechtere resultaten halen dan de andere klassenen op enkele onderdelen zelfs beter presteren. Omdathet om kleine groepen gaat, is het lastig om aan tetonen dat dit verschil geheel te danken is aan hetgebruik van de laptop. Het lesmateriaal zal door meergroepen gebruikt moeten worden en het heleonderzoek moet dan over meerdere scholen verspreidworden. De laptop heeft een meerwaarde; de leerlingenpresteren zeker niet minder en zijn veel beter in staatom met allerlei bekende programma’s om te gaan. Deleerlingen in de parallelklassen kunnen niet zo goedomgaan met Cabri en Excel en hebben nog nooitgewerkt met VU-Grafiek, VU-Stat en Doorzien.

AanbevelingenDe resultaten zijn over het algemeen positief.Leerlingen hebben goede cijfers gehaald en bovendienveel computervaardigheden opgedaan. De onderzoekerszien zeker voordelen van het intensieve computer-gebruik in de les, maar hebben tijdens het onderzoekondervonden dat er nog veel moet gebeuren voordatde integratie van computers in het onderwijs voltooidis. Om dit proces te versnellen komen zij met devolgende aanbevelingen:- Zorg voor structurele professionele ontwikkeling vaneducatief digitaal lesmateriaal.Na het project statistiek en kansrekening kwamen deonderzoekers tot de conclusie dat een programmeur in


TABEL 1 Het computergebruik bij de hoofdstukken in klas 1 (2001-2002)

Bronnen

- Afstudeerscriptie, De Laptopklas 2000-2001, ICT-gebruik in de klas:

een verrijking van het wiskundeonderwijs?, Onderzoek

Wiskundedidactiek door C.J. Doggen en A.E. Wijnbergen.

- Afstudeerscriptie, De Laptopklas 2001-2002, ICT-gebruik in de klas:

een verrijking van het wiskundeonderwijs?, Onderzoek

Wiskundedidactiek door D.J. van de Beld en B.G. ter Veer.

- J. Tolboom (2002): Een digitale leeromgeving voor het vak wiskunde,

nummer 1 (Tinfon, 2002).

- Werken aan de kwaliteit van onderwijs in de bètavakken, reeks

proefschriften en bundels, nummer 6 (Rijksuniversiteit Groningen,

2002).

- www.math.rug.nl/didactiek/public/

digitaal lesmateriaal over de stelling van Pythagoras, statistiek en

kansrekening.

Materiaal dat is ontwikkeld door studenten of medewerkers van de

faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen is te verkrijgen bij

Marijke de Wijs, secretaresse van de Master of Science in Education

and Communication, e-mail: [email protected]

Betrokkenen

Betrokken bij de wiskunde-invulling van het laptopproject zijn:

David van de Beld, afstudeerder educatief ontwerpen wiskunde

2001/2002;

Henri Boer, wiskundeleraar van twee laptopklassen aan het Zernike

College;

Regien Bosman, wiskundelerares van een laptopklas aan het Zernike

College;

Neeltje Doggen, afstudeerder educatief ontwerpen wiskunde

2000/2001;

Donald Staal, uitgever van Moderne Wiskunde, uitgeverij Wolters-

Noordhoff;

Anne van Streun, hoogleraar bètadidactiek Rijksuniversiteit

Groningen;

Jos Tolboom, software-adviseur;

Martin Traas, leraar/onderzoeker;

Bart ter Veer, afstudeerder educatief ontwerpen wiskunde 2001/2002;

Henk de Vries, coördinator van de laptopklas;

Annelies Wijnbergen, afstudeerder educatief ontwerpen wiskunde

2000/2001.

Over de auteurs

- Bart ter Veer (e-mailadres: [email protected]) rondt op dit

moment zijn studie wiskunde af aan de RuG. Zijn afstudeeronderzoek

in de richting ‘Educatief Ontwerpen’ is inmiddels voltooid.

- David van de Beld (e-mailadres: [email protected]) is

bijna afgestudeerd bij de vakgroep wiskunde aan de RuG. Daarnaast

werkt hij als docent wiskunde op het Rölingcollege in Groningen.

- Martin Traas (e-mailadres: [email protected]) is docent op het

Zernike College en heeft in het kader van Leraar in Onderzoek van het

NWO twee jaar lang één dag in de week tijd besteed aan het ontwerpen

van lesmateriaal en het evalueren van de resultaten. Het onderzoek

heeft een vervolg gekregen dat door de school wordt bekostigd.


TABEL 2 De resultaten van de eerste klassen (2001-2002)

haar gekocht en je wilt dit naar haar opsturen. Hieronder staan een paar dingen waar je rekening meemoet houden als je het boek wilt versturen:1. Het boek dat je wilt opsturen moet ongeveer evendik zijn als twee wiskundeboeken op elkaar.2. De verpakking moet gemaakt worden van zo weinigmogelijk papier (karton).3. Maak een bouwplaat (dit is een uitslag met plak-randje) van de verpakking en probeer een bouwplaatte maken die ‘apart’ is. Denk aan de voorbeelden die jein de les gezien hebt. (ID: Ik heb in de les deverpakkingen laten waarin boeken van een uitgevervaak opgestuurd worden. Eis nr. 3 heb ik gesteld omde leerlingen aan het denken te zetten over het feit dater meerdere mogelijkheden om een bouwplaat van eenbalk te maken.)4. Op de verpakking moet staan naar wie je het boekwilt opsturen.5. Op de verpakking moet ook de afzender staan. (Datben je natuurlijk zelf).6. Op de verpakking moet een klein beetje duidelijkworden wat voor soort boek erin zit.7. Ga ook na hoeveel het kost om het pakketje op testuren.Lever de bouwplaat van de verpakking in zonder dezein elkaar te zetten. Je mag ook een losse bouwplaat èneen bouwplaat die in elkaar geplakt is inleveren. Jemag de opdracht met z’n tweeën maken, maar danmoet je op een blaadje schrijven wie wat gedaanheeft.Succes.

InleidingIn de docentenkamer werd veelvuldig geklaagd over dewerkhouding van derde en vierde klassers die eenpraktische opdracht c.q. een sectorwerkstuk moetenmaken:- Ze doen niets;- Ze kunnen niet zelfstandig werken;- Ze doen alles op het laatste moment;- Ze kunnen niet samenwerken;- Onze leerlingen kunnen dat niet;- Dat is niets voor vmbo-leerlingen.Het waren veelgehoorde opmerkingen. Ik denk dat jeook niet moet wachten met zulke opdrachten tot dederde en/of vierde klas. Ik probeer met leerlingen in debrugklas kleine opdrachten te doen. In dit artikel wil iker een verder uitwerken.

De opdrachtIn klas 1C heb ik in november het onderwerpruimtelijke figuren behandeld. Hieraan wilde ik eenopdracht koppelen. Tijdens de lessen hadden deleerlingen al een uitslag en een bouwplaat moetenmaken van een kubus met ribbe 4 centimeter. Ik heb deleerlingen de opdracht gegeven om een postpakketje temaken waarin een boek moet passen dat ze naar eenvriend willen opsturen.

PostpakketJe vriendin is verhuisd naar Zwolle. Je schrijftgelukkig nog wel veel met haar; meestal gaat dat viae-mail. Nu heb je voor Kerstmis een leuk boek voor

POSTPAKKETEen wiskundeopdracht in de eerste klas van het vmbo[ Irene Dalm ]


Het werkEn dan komt de dag van inleveren. Ik werd al om 8uur in de ochtend overstelpt met dozen, in elkaargeplakt, in elkaar gevouwen en losse bouwplaten enuitslagen in allerlei formaten (zie figuur 1). Op vier leerlingen na hadden de leerlingen de dozenmet z’n tweeën gemaakt. Er zat veel variatie in. Er wasook heel veel belangstelling voor elkaars dozen; luiden driftig werden de slechte en goede kanten vanelkaars dozen bekeken.Mooi was het werk van Jeffrey en Roy; zij hadden alsenigen zowel een in elkaar geplakte doos als eenuitslag gemaakt. De beschrijving van hunwerkzaamheden laat zien dat zij eerst begonnen zijnmet een plan van aanpak hoe zij aan de afmetingenkomen van hun gemaakte doos (zie figuur 2 enfiguur 3).Ook Tom had een hele mooie bouwplaat, die op eenaparte manier in elkaar gevouwen moest worden (ziefiguur 4). Hij had hier dus heel goed over nagedacht;hij vertelde er wel 10 gemaakt te hebben om uit teproberen, en dat was natuurlijk de bedoeling. Maar erkwamen ook dozen op tafel te liggen waarvan jedenkt: Wat moet ik daarmee?Ruben had de avond van tevoren gewoon eenschoenendoos uit zijn kast gehaald, hier met pen zijnnaam opgeschreven, en dat was het dan. Hij liep erheel stoer mee te doen, zo van: Kijk mij nou, wel eendoos en weinig werk aan gehad. De klas vond hemhelemaal niet stoer en vonden het eigenlijk heel stomvan hem. Daar had hij niet op gerekend. Ik heb hem

zijn doos maar gewoon tussen alle andere dozen latenzetten en er in eerste instantie niet op gereageerd. Dereactie van de medeleerlingen had hem eerst al welgenoeg aan het denken gezet. Mijn reactie zou welkomen bij de bespreking van de dozen.

BesprekingBelangrijk aan een opdracht is de terugkoppeling metde leerling over zijn opdracht. Ik heb de leerlingen eencijfer voor de dozen gegeven. Hoe de cijfers tot standzijn gekomen heb ik klassikaal besproken. Niet omiemand voor schut te zetten, dit weten ze wel van mij,maar om te laten zien hoe de uitwerking van eenopdracht moet. Zo waren er twee leerlingen die samen twee hele grotedozen hadden gemaakt; ze konden niet kiezen welke zezouden inleveren. Ik heb hierbij, bij het laten zien inde klas, verteld dat de dozen dan misschien wel goedin elkaar zaten, maar qua grootte niet aan de opdrachtvoldeden. Ik heb ook uitslagen laten zien die niet klopten. En - niet eens wiskunde maar het hoort er wel bij - hetadres van de geadresseerde. ‘Komt het pakketje met“Voor Robbin” wel aan?’ Ook de reactie van de leerlingen op elkaars doos vindik een goede bespreking en ik geef hier dan ook deruimte voor. Wat dacht u van de bespreking over waarje kunt informeren wat de portokosten zouden zijn. ‘Bijde supermarkt?’, ‘Mijn moeder weet wel hoeveel hetkost’, ‘O, kan je dat op het postkantoor vragen?’ De cijfers die tot stand zijn gekomen heb ik met de


FIGUUR 2 FIGUUR 3

Over de auteur

Irene Dalm (e-mailadres: [email protected]) is lerares wiskunde

aan het Wellantcollege vmbo/mavo Stek te Dordrecht. Andere

lesvoorbeelden van haar zijn opgenomen in ‘Wiskunde en werk, werk

maken van wiskunde’ van het SLO.

leerlingen besproken. Ook de criteria die daarbij horen.De doos, uitslag of bouwplaat moest wel aan allepunten voldoen die ik ze opgegeven had. Ik heb allepunten ongeveer even zwaar mee laten tellen en verderook een beetje ‘met de natte vinger’. Wel moest deuitslag, bouwplaat goed in elkaar te zetten zijn, maarook de adressering moest ongeveer op de juiste plaatsstaan en zo compleet mogelijk. Het moest namelijk welecht postpakket zijn, anders had ik net zo goed alleeneen uitslag van een doos kunnen laten maken. Ik heb eigenlijk niemand een lager cijfer gegeven daneen 5, alleen Ruben kreeg een 5 voor zijnschoenendoos. De meeste leerlingen vonden dit nogeen hoog cijfer voor zo’n doos. Zijn reactie hierop was:‘Als ik volgende keer bij een opdracht er meer werkvan maak, krijg ik dan voor die opdracht een hogercijfer?’ Op mijn bevestigend antwoord hierop zei hij:‘Dan ga ik aan de volgende opdracht goed werken.’ Endat is natuurlijk wat ik wil bereiken met zulkeopdrachten. Als de leerlingen zo’n opdracht voor heteerst maken, wil ik dat zij daar van leren en er ineerste instantie plezier in houden om vaker eenopdracht te willen doen.

ConclusieAls je leerlingen bezig ziet met zulke opdrachten heb

ik het idee dat ze er veel plezier in hebben. Van oudershoorde ik dat de leerlingen enthousiast aan het werkengeweest zijn. Ook leer je de leerlingen in de brugklashoe je een opdracht moet aanpakken, hoe je samenmoet werken en waar je op moet letten. De leerlingenzijn bij het maken van deze opdracht niet zoveelproblemen tegengekomen. Het grootste probleem wasuiteindelijk toch de planning. Veel is er nog op devoorlaatste dag van de inleverdatum gedaan, hoewel ikregelmatig het verloop van de opdracht in de klasbehandeld heb. En als docenten zeggen dat leerlingen in de brugklasniet kunnen samenwerken, dan is het briefje vanWhitney en Melinda (zie figuur 5) toch een eersteaanzet om het samenwerken te omschrijven.


FIGUUR 5FIGUUR 4


Gedeelten van een artikel in Euclides, jaargang 38 (1962-1963)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mailadres: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

40 j

aar

gele

den

(…)

verschenen. Die horen bij een bepaald ziektebeeld.Tegenwoordig is één en ander veranderd door gebruikte maken van de computer. De laatste ontwikkeling ishet gebruik van bronlocatie. Op grond van het op hethoofd gemeten EEG (uitgedrukt in potentiaal-verschillen) probeert men te achterhalen waar in dehersenen de bijbehorende elektrische activiteit zichprecies bevindt. Zo kun je dan bijvoorbeeld op basisvan het in het EEG gemeten epileptische golfjeproberen te achterhalen waar het begin van deepilepsie precies in de hersenen plaatsvindt. Als ditgoed aan te wijzen is kun je dit gedeelte van dehersenen verwijderen. Bij bronlocatie moet eenzogenaamd inversieprobleem worden opgelost:

Zo rond april komt bij mij thuis de eersteaankondiging van de Vakantiecursus via e-mailbinnen[1]. In 2002 verscheen een gekleurd boekje metbovengenoemde titel. In eerste instantie dacht ik: ‘Watmoet dat nu worden?’ Achteraf kan ik zeggen dat heteen heel goede vakantiecursus was. De sprekers lietenop prima wijze zien dat wiskunde onder andere in degeneeskunde onmisbaar is.

Het programma zag er als volgt uit:

N. Maurits — Een wiskundige kijk in de hersenen

M. Keijzer — Monte Carlo en wijnvlekken

I. Stamhuis — Florence Nightingale

O. Diekmann — Aanstekelijkheid gevangen in een getal

S. Borovkova — Analysis of survival data

A. Heck — Gewichtige wiskunde in de klas

R. Tijdeman — Discrete tomografie

A. Heck — Oefeningen

Dit keer zal ik er maar één lezing uitlichten. Het isvoor mij wel een moelijke keuze, want de kwaliteit waserg goed. Gelukkig publiceert ook het Nieuw Archiefvoor Wiskunde enkele van de lezingen[2]. Ik neem deopeningslezing, ‘Een wiskundige kijk in de hersenen’van dr. ir. Natasha Maurits (Academisch ZiekenhuisGroningen, afd. Neurologie). Zij behandeldewiskundige methoden en modellen die gebruikt wordenbij hersenonderzoek.

Zo worden wiskundige modellen gebruikt om het EEGbeter te kunnen interpreteren. Het EEG is een weergavevan de elektrische hersenactiviteit die gemeten wordtdoor op het hoofd geplaatste elektroden. Tegenwoordiggebruikt men soms wel meer dan 100 elektroden.Vroeger werden EEG’s beoordeeld door herkenning vanpatronen van de signalen die na versterking op papier

VAKANTIECURSUS 2002:WISKUNDE EN GEZONDHEID[ Gert de Kleuver ]


FIGUUR 1 Concentrisch bolmodel van het hoofdFIGUUR 2 Realistisch hoofdmodel (driehoekbelegging)

gegeven een elektrische potentiaalverdeling op hethoofd, waar liggen dan de veroorzakende bronnen inde hersenen? In de samenvatting van haar lezingworden bijbehorende berekeningen van onder anderehet oplossen van een Poisson-vergelijking verderuitgewerkt (zie figuur 3).

Mevrouw Maurits liet ook via een prachtig voorbeeldzien hoe men een model verder ontwikkelt. Het wasnodig om een zo goed mogelijk passend model van eenhoofd te maken. Het bleek dat de vorm van een hoofdheel goed te volgen is met driehoekjes. De computersvan tegenwoordig beschikken over zoveel reken-capaciteit dat zo’n driehoeksbelegging een realistischmodel voor een hoofd oplevert. Dit model is nuttigomdat nu de potentiaal op het hoofd uitgedrukt kanworden in een zogenaamde integraalvergelijking op degrensvlakken.Na de uitwerking van bovengenoemd model werd eenvoorbeeld aangehaald uit de praktijk hoe men de juistepositie van een tumor in een hoofd van een patiëntkon bepalen. Bij het verwijderen van de tumor werd deomgeving zoveel mogelijk ontzien. De patiënt heeft nade operatie slechts een lichte tinteling in de vingersvan de rechterhand overgehouden. Vroeger kon hetgebeuren dat er verlammingsverschijnselen optraden.

Hopelijk zal het programma van 2003 dat van 2002evenaren, en zullen velen zich voor de Vakantiecursus2003 aanmelden[3].

Noten

[1] De ‘Vakantiecursus Wiskunde voor leraren exacte vakken in vwo,

havo en hbo en andere belangstellenden’ is een initiatief van de

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. De cursus wordt sinds

1946 jaarlijks gegeven op het Centrum voor Wiskunde en Informatica

in Amsterdam en aan de Technische Universiteit Eindhoven.

[2] In het Nieuw Archief voor Wiskunde zijn inmiddels verschenen:

- Svetlana Borovkova: Analysis of survival data, in NAW 5/3, nr. 4

(december 2002);

- Odo Diekmann: Aanstekelijkheid gevangen in een getal, in NAW 5/4,

nr. 1 (maart 2003).

[3] De Vakantiecursus 2003 heeft als werktitel: ‘Wiskunde in het

moderne/dagelijks leven’.

De data zijn (onder voorbehoud):

22 en 23 augustus 2003 (CWI Amsterdam),

29 en 30 augustus 2003 (TU Eindhoven).

Zie voor nadere informatie, programma en aanmelding:

www.cwi.nl/events/2003/VC2003/programma.html

Over de auteur

Gert de Kleuver (e-mailadres: [email protected]) is docent aan

het Ichthus College te Veenendaal.


FIGUUR 3 Poisson-vergelijking

- informatica; elke maand worden er drieprogrammeerproblemen (I) voorgelegd.

Uit elke wiskundecompetitie laten we hieronder eenvoorbeeld volgen uit Volume 1, number 1.

C. 692. For the real numbers x, y, z,(1) x�2y�4z�3 and(2) y – 3x�2z�5. Prove that y – x�2z�3.

B. 3583. The incentre of a triangle ABC is connectedto the vertices. One of the resulting triangles is similarto the original triangle ABC. Find the angles of thetriangle ABC.

A. 304. Find all functions R+ → R+, such thatf (x�y)� f (x) � f (y)� f (xy)� f (x)� f (y)

En voorts nog twee eerder verschenen opgaven uit debeide andere competities.

P. 3432. Identical metal spheres are placed into thevertices of a regular tetrahedron. The spheres do nottouch. When a single sphere (A) is given a charge of20 nC it reaches the same potential as when A andanother sphere are given 15 nC each. What equalcharge should be given to A and the two other spheres,and what equal charge to all four spheres so that thepotential of sphere A is always the same?

I. 34. Binomial coefficients can be used to representnatural numbers in the so-called binomial base. For afixed m (2�m�50) every natural number n(0�n�10000) can uniquely be represented as

n� � �� …�� where 0�a1� a2�…� am .Your program (I34.pas, …) should read the numbers nand m, then display the corresponding sequence a1, a2,…, am.Example. Let n�41, then a1 �1, a2 �2, a3 �4, a4 �7,because

41�� 1�1�4�35.

In het eerste nummer zijn ook enkele artikelenopgenomen. We noemen:

74

43

22

11

am

ma2

2a1

1

Meer dan 100 jaar geleden besloot Dániel Arany, leraaraan een middelbare school in Gyo′′r (Hongarije), tot deuitgave van een wiskundig tijdschrift voor middelbarescholieren. Zijn doel was ‘aan leerlingen en leraren eenmacht aan voorbeelden te geven’. De eerste afleveringverscheen op 1 januari 1894.

In december 2002 verscheen de eerste volledigEngelstalige uitgave van het tijdschrijft KöMaL(Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok). Tot danwaren in het tijdschrift ook wel Engelse vertalingenvan wiskundige en natuurkundige artikelen en vraag-stukken opgenomen. Maar nu is het echt mogelijk eenruimer publiek te laten kennismaken met wat inHongarije aan leerlingen en leraren wordt voorgelegd.In tegenstelling tot de Hongaarse uitgave, die negenkeer per jaar (met 64 pagina’s per nummer) het lichtziet, verschijnt de Engelse editie slechts twee keer perjaar.

Het tijdschrift is vooral gewijd aan de verschillende‘Problem Solving Competitions’, onderscheiden in:- wiskunde C wedstrijd; speciaal voor leerlingen dieeen opleiding zonder specifieke wiskunde volgen;- wiskunde B wedstrijd; voor hen die voortgezettewiskunde in hun pakket hebben;- wiskunde A wedstrijd; telkens drie problemen diemeer wiskunde vragen dan de B-vraagstukken;- natuurkunde; onderverdeeld in experimentele (M) entheoretische (P) problemen;

Verschenen / KöMaL – Mathematical and PhysicalJournal for Secondary Schools (Vol. 1, Nr. 1)Uitgever: Roland Eötvös Physical Society, Budapest (Hongarije) ISSN 1215-9247 Prijs: $ 8,00

[ Dick Klingens ]


- On János Bolyai’s Bicentennial (door Elemér Kiss);een korte beschrijving van het leven van János Bolyai(1802-1860) en van enkele van diens wetenschap-pelijke manuscripten;- Cardan and cryptography - the mathematics ofencryption grids (door Tamás Dénes); over de bijdragevan Girolamo Cardano (1501-1576) aan decryptografie (geschreven ter gelegenheid van de 500stegeboortedag van Cardano);- Poncelet’s theorem (door András Hraskó); eenduidelijke en niet al te moeilijke uiteenzetting over debekende Sluitingsstelling van Poncelet (1788-1867).

InformatieVerdere informatie kan gevonden worden op dewebsite van het tijdschrift (www.komal.hu).Een groot deel van het eerste nummer van KöMaL isdaarop electronisch te vinden; en natuurlijk eenbestelformulier voor de papieren versie(https://www.komal.hu/megrendelolap/megrendelolap.e.cgi).


Operations research (OR), Besliskunde, of, zoals hethier genoemd wordt, Operationele analyse, is eenverzamelnaam voor allerlei takken van wiskunde enstatistiek die vooral in de economie en de bedrijfs-kunde worden toegepast. Na de Tweede Wereldoorlogheeft het vak een grote vlucht genomen, mede dankzijde opkomst van de computer. De lijst van titels van dehoofdstukken in dit boek geeft een goede indruk:Lineaire programmering, Geheeltallige programmering,Netwerkanalyse, Beslissingsbomen, Dynamischeprogrammering, Voorraadbeheer, Discrete-tijds Markovketens, Continue-tijds Markov ketens, Wachttijdtheorie,Simulatie. In zijn Voorwoord geeft Tijms zijn boek het motto:‘eerst inzicht, dan de wiskunde’. Hij legt het accent ophet opstellen van modellen en het interpreteren van de

oplossingen in de context van concrete toepassingen.Het boek is gericht op universitair onderwijs en hbo. Deze lijvige tekst van bijna 500 bladzijden maakt zijnbelofte meer dan waar: het is een goedeNederlandstalige inleiding in de OR. Eigenlijk gaat hetboek veel verder dan wat meestal onder een ‘inleiding’wordt verstaan: de behandeling van de verschillendeonderwerpen is uitgebreid, en veel details die in andereinleidende teksten worden overgeslagen, komen hierwel aan de orde. De verhalende schrijfstijl van Tijms,waarin ook veel over praktische toepassingen wordtverteld, maakt het mogelijk van elk deelonderwerp eenglobale indruk te krijgen door het desbetreffendehoofdstuk eerst vluchtig door te lezen. De wiskundigedetails worden bekwaam en met een gepaste mate vanvolledigheid behandeld, en een zeer uitgebreidevraagstukkenverzameling maakt het boek alsonderwijstekst aantrekkelijk. Voor docenten zijnuitwerkingen van de opgaven bij de auteur op tevragen, en daarnaast kan geschikte software opgehaaldworden op de website van de auteur(http://staff.feweb.vu.nl/tijms/).Dit is een prima boek dat hopelijk op grote schaalgebruikt zal gaan worden!

Over de recensent

Prof.dr. Jan van de Craats ([email protected]) is hoogleraar

wiskunde aan de Koninklijke Militaire Academie, de Universiteit van

Amsterdam en de Open Universiteit.

Boekbespreking / Operationele Analyse, een inleiding inmodellen en methoden Auteur: Henk Tijms Uitgever: Epsilon Uitgaven

(dl 54), Utrecht (2002) 496 pagina´s ISBN 90-5041-075-8 Prijs: €34,-

[ Jan van de Craats ]

SAMENWERKING VWO-SCHOLEN EN TECHNISCHEUNIVERSITEITEN MOETSTRUCTUREELInterview met Lia van Asselt[ Hans Daale ]

V.l.n.r.Henri Huizenaar,

Lia van Asselt, Frank Twil

(faculteitsdirecteurToegepaste Wiskunde)

Aansluiting en toelatingDe recente plannen om de tweede fase van het havo envwo te gaan aanpassen hebben veel losgemaakt.Logisch, want de beoogde veranderingen lossen aan deene kant een aantal problemen op, maar zullen naar demening van deskundigen op het bètagebied aan deandere kant weer voor danig veel beroering gaanzorgen. Wat betreft dat laatste worden er vanuit hetvoortgezet onderwijs beschuldigende vingersuitgestoken naar die ‘andere kant’, namelijk het hbo enwo. Kennelijk is het toelatingsbeleid van hogescholenen universiteiten (met het steeds verder oprekken vande toelatingseisen om de drempel zo laag mogelijk tekunnen houden) een van de redenen van het ministerieom minder dan voorheen de exacte invalshoekdwingend in de profielen op te nemen. Deomstandigheid dat zonder een goed geprepareerdeaanloop de meetlat achter die drempel vervolgens voorveel studenten erg hoog komt te liggen, lijkt nu uit temonden in iets dat het vervolgonderwijs zelf maarmoet oplossen.

Klankbord‘De verwijten over en weer zijn onterecht, in iedergeval wat betreft de Universiteit Twente (UT)’, geeft Liavan Asselt aan. Als wiskundedocente in de bovenbouwvan het vwo bij het Bonhoeffer College te Enschedewas en is ze nadrukkelijk betrokken bij de aansluitingrichting het hoger onderwijs. Al jaren is de afdelingToegepaste Wiskunde van de UT in gesprek met vwo-docenten wiskunde uit de regio. ‘Een klankbordgroepmet de naam “Echogroep”, bestaande uit vijf vwo- endrie universitaire docenten, komt een aantal keren perjaar bij elkaar. Wij praten dan de universitairedocenten bij over de nieuwe ontwikkelingen in hetwiskundeonderwijs. Je moet dan denken aanmogelijkheden die er zijn binnen de samenwerking metde UT, zoals bij de praktische opdrachten en hetprofielwerkstuk.’ Maar er gebeurt natuurlijk meer. ‘Uiteraard; zo is eenander aandachtspunt het samen voorbereiden van eenjaarlijkse studiemiddag voor alle wiskundedocenten uitonze Twentse regio. Zo’n bijeenkomst is absoluutzinvol, met als vast programmapunt een lezing vaneen universitaire docent, overigens niet noodzakelijkuit de wiskundehoek zelf, over een interessant stukwiskunde in het curriculum van de UT.’

DetacheringVanuit die contacten heeft de UT in 2000-2001 hetinitiatief genomen om twee docenten vanuit het vwo– naast Lia van Asselt gaat het om Henri Ruizenaarvan het Stedelijk Lyceum in Enschede – opdetacheringsbasis te betrekken bij de opvang van deeerste lichting tweede fase-studenten in een aantaltechnische richtingen. ‘Die actie van de UT viel erg goed bij ons in de regio,want het lijkt toch al gauw of men bij universiteitenvanuit een ivoren toren bezig is’, geeft Lia aan. ‘Hetwas van groot belang dat de universiteit op tijdonderkende dat er een ander soort student binnenkomt.

Niet dommer, maar gewoon anders. Je moet je tochniet voorstellen dat die groep verloren gaat voor detechnische wetenschappen, omdat tentamens enprojecten in de propedeuse niet aansluiten op wat zebij ons in het vo gewend zijn. De UT heeft dieverantwoordelijkheid gezien en genomen, vandaar dusonze entree als docent en begeleider van die nieuwestudenten.’

Het is duidelijk te zien dat Lia haar taak uitermateserieus neemt. Haar werkkamer ligt vol met materiaalvoor de UT-studenten, maar ook met stukken voor UT-docenten die zij informeert over de veranderingen inhet vwo. ‘Natuurlijk, ze hebben wel kennis genomenvan hetgeen er zoal is veranderd en de exameneisendoorgelezen, maar daarmee ben je er nog niet. Vóórdatje als docent bij een universiteit doorhebt welke zakenjuist niet meer mogen worden gevraagd van vwo-leerlingen, ben je vaak een tijdje bezig met je af tevragen of het nu aan die studenten ligt of aan hunvooropleiding. Of juist aan de eigen aanpak, die dusaanpassingen behoeft.’Om dat laatste te bereiken, zijn Lia en haar collegaHenri nadrukkelijk betrokken bij het opzetten van dewerkcolleges en het ontwerpen van de tentamens. Datze daarmee de juiste insteek hadden gekozen, bleek weltoen ze eerst maar eens in de dictaten doken. ‘Je konwel zien dat de veranderingen nog niet warendoorgedrongen, gelet ook op het feit dat bepaaldeonderwerpen alsnog in het vwo zijn geschrapt. En alshet dan om zaken gaat waarvan men vanuit hunpositie mogelijk gewoon verwacht dat ze zijnbehandeld, dan leidt dat wellicht tot een bepaaldonbegrip bij de universiteit: wat is er nou allemaal aande hand?’

Taak en activiteitenDe werkzaamheden zijn in goed overleg op basis vaneen taakomschrijving (zie kader op volgende pagina)ingebed in de opzet bij de UT. ‘Onze taken vormen eenjuweeltje van wat je van goede aansluiting verwacht.Vooral het geven van werkcolleges aan technische enwiskundestudenten in de eerste twee trimesters is het eivan Columbus. Door zelf te ervaren wat er van debinnenkomende student wordt verwacht, kun je exactde vinger op de zere plek leggen wat betreft deaansluiting van het hoger onderwijs op het voortgezetonderwijs.’Maar naast de werkcolleges aan de ‘zelf opgeleide’vwo’ers in een andere context, stonden er nog veelmeer activiteiten op het drukke programma. ‘De eersteactie na de zomervakantie in 2001 was eenbijeenkomst met de universitaire docenten waarbij wede vwo-B-examens van de eerste lichting tweede fase-studenten, overigens nog maar twintig procent van deinstroom, hebben doorgespit. Vooral zo’n punt als hetgebruik van de GR kwam uiteraard uitvoerig aan deorde’. Gelukkig werd ook de eerste serie wiskundetentamensvóór de afname aan Lia en Henri voorgelegd, om zegoed te screenen. ‘Ze moesten immers ook maakbaar


die vakken waarin we het werkcollege hadden gegeven.Samen met de verantwoordelijke coördinator voor hetvak hebben we vervolgens de definitieve tentamensvastgesteld. Nu ook de resultaten van de hertentamensbinnen zijn, ligt er nog een interessante klus op ons tewachten: een analyse maken op onderdelen zodat ervolgend jaar weer minder knelpunten in de aansluitingzitten.’Natuurlijk komt niet iedere student met de juistevakken binnen. Op zichzelf hoeft dat niet erg te zijn,maar het kost wel extra werk in de propedeuse. Hoe zitdat bij de UT? ‘Er is dit jaar veel tijd gaan zitten in hetverzorgen van een cursus met onderwerpen uitwiskunde-B2, want maar liefst één op de vijf studentenheeft dat vak niet gevolgd. Dat tekort aan wiskunde-kennis, want zo ziet de UT het toch wel, wordt op diewijze bijgewerkt. Dat blijkt terecht, want ook in eenenquête bij de afsluiting van de cursus gaven demeeste studenten aan de eis van wiskunde-B2 voorhun studie zeker relevant te vinden.’

Waarschuwingen richting het WOLia geeft een paar voorbeelden van waarschuwingenzoals ze die heeft afgegeven in haar contacten binnende universiteit. ‘Zo heb ik verteld dat de studentnauwelijks meer ruimtemeetkunde heeft gehad. En veelzaken zoals de vergelijking van een vlak, de normaal-vector, de hoek tussen twee lijnen, …, allemaalverdwenen. Functies met twee variabelen worden ookniet meer behandeld. Dus als een wo-docent tervoorbereiding van het bepalen van extreme waardenmet de methode van Lagrange wil teruggrijpen naardriedimensionale plaatjes met bijbehorende functie-voorschriften, roept hij meer nieuwe problemen op danhij verduidelijkt. Het is dan goed voor de docenten vande UT om te weten dat er meer tijd voor de introductie

zijn voor de tweede fase-student. Door simpelweg hieren daar de vraag op een andere manier te stellen, dusmeer zoals ze gewend waren op het vwo, hebben weeen zinvolle bijdrage kunnen leveren.’

AnalyseDe resultaten van die eerste TU-tentamens werdenvervolgens in overleg met beide vwo-docentengeanalyseerd. ‘We hebben zorgvuldig gekeken welkeitems slecht scoorden. In algebraïsche vaardighedenbleken de nieuwe studenten toch wel slechter te scorendan degenen die nog volgens het oude programmawaren opgeleid. En daar baalden zijzelf nog het meestevan. Ter geruststelling: met het practicum modellerendat in groepsverband werd gedaan, hadden onzestudiehuisstudenten juist veel minder moeite.’En wat betreft het nieuwe materiaal, want in de tweedefase zijn de boeken en andere zaken toch ook andersvormgegeven? ‘Dat hebben we zeker niet over hethoofd gezien. Zo zijn we bijvoorbeeld uitvoeriggeraadpleegd bij het uitzoeken van nieuwstudiemateriaal voor het vak Calculus. Want je moet dezaak wel compleet aanpakken.’

Tweede jaarGelukkig konden Lia en haar collega dit studiejaaropnieuw bij de UT aan de slag om de opgedaneervaringen in te zetten voor een volgende ronde metactiviteiten voor de nieuwe instroom.Samenwerkingsprojecten lopen nog wel eens stuk opde beperkte looptijd en het wisselen van mensen. ‘DeUT heeft dit juist goed aangepakt. Maar we zijngewoon weer begonnen met een bijeenkomst waarinwe gedetailleerd de vwo-examens hebben doorgelichtmet de UT-docenten. Belangrijk was echter dat we nuzelf voorstellen konden indienen voor de tentamens in


van dit onderwerp moet worden uitgetrokken.’Lia en haar collega hebben dus steeds aangegeven bijiedereen die maar wilde luisteren binnen de UT, datbepaalde onderwerpen op het vwo wel aan de ordekomen, maar dan soms erg summier. Ze kan tallozevoorbeelden noemen hoe daarmee eerder op de UTwerd omgegaan en hoe men daar nu op inspeelt.‘Misschien is het een goed idee dat Henri en ik voor decollega’s in het land een workshop verzorgen op delandelijke studiedagen van de Vereniging. Ikzelf hebhet tenminste razend interessant gevonden om teervaren op welke wijze de zaken die wij onzeleerlingen aanleren, terugkomen op zo’n technischeuniversiteit. Het is niet niks wat zij daar voor hunkiezen krijgen!’

ZinvolDe vraag is of het allemaal heeft geholpen. Is het alde moeite waard geweest, ook nog als het gaat om detoekomstige aanpak? Wat Lia betreft wel degelijk,‘omdat alleen in een goede structurele samenwerkingboven water kan worden gehaald wat echt nodig is inhet vwo om leerlingen goed op een technische studievoor te bereiden en wat vervolgens moet wordengedaan in het hoger onderwijs om daarop in tespelen.’Op de vraag of ze nu ook anders met haar vak omgaat,op basis van de ervaringen die ze bij de UT opdoet,geeft Lia aan dat ze nu nog meer dan vroegerdoordrongen is van het belang om een duidelijkeleersituatie te scheppen die een afspiegeling is vanhetgeen ze later kunnen verwachten. ‘Je moet dusvooral lesstof gebruiken waarin de benodigde basis-kennis voor technische studies aan de orde komt. Ookis het handig om vwo’ers te laten werken met eenstudieplanner, om ze nu al te laten ondervinden datdiscipline binnen een wo-studie van groot belang is. Ikhoop leerlingen te overtuigen van het feit dat ze nietachterop kunnen raken door steeds te werken op basisvan een goede planning. Op de UT is er niemand die jenog helpt met stof die een paar weken eerder aan bodis geweest. Zo gaven eerstejaarsstudenten in een vanonze enquêtes aan dat hun falen bij het eerstewiskundetentamen domweg lag aan het feit dat zegelijk door de eerste twee weken kalm aan te doen, eenachterstand hadden opgelopen die ze niet meer kondenoverbruggen.’Is het dan nu echt allemaal koek en ei? In het gevalvan Twente duidelijk wel, want daar gaat het via deinbreng van beide vwo-docenten de goede kant op.‘Maar we moeten toch voortdurend blijven zoeken naarvormen van samenwerking tussen vwo-scholen enuniversiteiten, om de eigen leerlingen duidelijk temaken wat een studiehuis nu eenmaal naast allevaardigheden ook is: een plek om kennis te verwervenom de slaagkans te vergroten. Want het is natuurlijkhelemaal niet leuk om als eerstejaars student bij eeneerste tentamen te merken dat je bepaalde, direct in temoeten zetten wiskundekennis gewoon niet beheerst.In dat gewaarwordingsproces speelt ook de vwo-docent een rol, zonder meer.’

BedrijfskundeOm niet alleen in de puur technische opleidingshoek tekijken naar de wijze waarop bij de UT met de nieuweinstroom wordt omgegaan, geeft Lia dit jaar ook lesaan studenten die de opleiding Bedrijfskunde volgen.‘Je krijgt daar te maken met het toepassen vanwiskunde in een bedrijfsmatige situatie. Het zijn danook duidelijk andere studenten, met een anderestudiehouding. Ze verlaten zich in het vwobijvoorbeeld teveel op het gebruik van de formulekaarten de grafische rekenmachine, waardoor ze toch nietaltijd meegekregen hebben wat er achter een bepaaldeaanpak steekt. Dat bijvoorbeeld de formule voor demarginale exploitatiekosten is ontstaan uit de afgeleidevan de totale exploitatiekosten, realiseren ze zich nietmeer. Je vraagt naar de optimale bestelgrootte, brengtvervolgens een kleine wijziging in de rand-voorwaarden aan, hetgeen niet ondenkbaar is in heteconomisch verkeer, dacht ik zo, en ze blijken niet instaat de oorspronkelijke functie, die de totaleexploitatiekosten voorstelt, op te stellen. De essentie isdus niet begrepen.’Is dat dan weer iets dat je meeneemt naar je eigenschool en daar ‘van de schooldaken roept’? Lia is watdat betreft voorzichtig ingesteld, want je moetnatuurlijk niet meteen bepaalde ervaringen tot dealgemene gang van zaken transformeren. ‘Het helptmij natuurlijk heel direct als ik bezig ben met zoiets alshet ontwerpen van praktische opdrachten.’ Hetmateriaal op Lia’s bureau vormt het zichtbare bewijs.‘Wat dat betreft zul je voortdurend moeten kijken naarsuccesfactoren in het vervolgonderwijs, en diemeenemen in je eigen lessen. Misschien dat ik daar-door wel eens erg veel eis van mijn leerlingen, maar ikheb tevens het idee dat ze zo’n aanpak waarderen.Kijken naar de eisen die worden gesteld bij huntoekomstige studie, samen met de docent, vinden zebest wel van belang.’

BevindingenUiteraard is er ook bij de UT onderzoek gedaan onderde tweede fase-studenten naar hun ervaringen. Eenpaar opvallende bevindingen:- de helft vond dat de stof slecht aansloot op hunvoorkennis;- ze geven zelf aan algebraïsche vaardigheden temissen;- ze merken dat ze nu ook vragen over de theoriekrijgen;- ze vinden de wiskunde ineens veel abstracter, metallerlei regeltjes die niet of nauwelijks aan de ordewaren geweest.Als het gaat om aanbevelingen in de richting van de– technische – universiteiten, denkt Lia dat ‘je hetstudiemateriaal zodanig moet vormgeven dat je vanuiteen concrete aanpak richting de abstractie gaat. Als jealleen al kijkt naar het taalgebruik en de wijze waaropmen met notaties omgaat, dan zie je een duidelijkekloof tussen het vwo en wo. Ook moet je aangeven wathet nut van bepaalde lesstof is, want ze vragen tochom een bepaalde context, om een beeld te krijgen van


waarin op een goede wijze de omslag van vwo naar wokan plaatsvinden. En als daarbij nog iemand uit devertrouwde vwo-omgeving aanwezig is, waarom danniet…?’

Noot

[1] Als u vragen heeft over de verdere opzet van de samenwerking

vwo-wo in de regio Twente, dan kunt u mailen naar Lia van Asselt (e-

mailadres: [email protected]).

Over de auteur

Interviewer Hans Daale (e-mailadres: [email protected]) is redacteur van

Euclides en werkzaam in het hoger economisch onderwijs (heo).

de toepasbaarheid. En domweg trainen in algebraïschevaardigheden, vanaf het begin, ondanks alles. Degrafische rekenmachine is daarbij echter wel eengegeven, dus moet je als docent in het weten-schappelijk onderwijs opnieuw aan de slag met hetherontwerpen en herformuleren van jouw tentamen-opgaven…’

InstroomToch ook nog even kijken naar de ontwikkeling als hetgaat om het aantal studenten dat wiskunde gaatstuderen. Het is duidelijk dat technische universiteitensowieso te kampen hebben met te weinig belang-stelling voor hun technische opleidingen, maar ook dathet aantal studenten wiskunde dramatisch terugloopt.‘Dat klopt en dat is erg jammer en vervelend.Natuurlijk kun je zoals de UT er alles aan doen om destudie wiskunde goed neer te zetten – en dat bleek ookwel bij de visitatie, waar de opleiding ToegepasteWiskunde van de UT landelijk gezien het hoogstescoorde – maar financieel gezien houd je het niet langvol met kleine groepen. Men is dan ook bezig ombepaalde richtingen te gaan samenvoegen, om een enander betaalbaar te houden. Je kunt je dan vervolgensafvragen of dat het begin van het eind van de purewiskundestudie is. Het is zeker iets dat we met z’nallen in de gaten dienen te houden, tot behoud van hetwiskunde-vakgebied.’

WensenTerugkijkend op de afgelopen periode, als combinatie-docent bij haar eigen vwo-school en de UT, wat zijndan Lia’s wensen als het gaat om de samenwerkingtussen het voortgezet en het universitaire onderwijs?‘In ieder geval in elkaars keuken blijven kijken.Eigenlijk is dat een must voor elke docent die in detweede fase zit en voor degenen die de propedeuseverzorgen bij de universiteit. Kijk, ik realiseer me datHenri en ik in een bijzondere situatie verkeren omdater een subsidiepotje is om ons in te zetten, maareigenlijk moet bij elke propedeuse-studie iemandbetrokken zijn die permanent kan aangeven wat menmag verwachten van hun vwo-instroom. En omgekeerdnatuurlijk.’Maar als men nu de voorgenomen plannen doorvoert,is alles dan niet voor niets geweest? Moet je dan weeropnieuw beginnen? ‘Nee, juist daarom moet je naar diestructurele samenwerking toe, want als er tochveranderingen zullen worden doorgevoerd, dan ken jeelkaar goed genoeg om over en weer te accepteren watnoodzakelijk is om een goede doorlopende studie vanvwo naar wo te krijgen en te behouden.’Blijvend werk aan de winkel dus? ‘Ja, volgens mij wel,al was het maar om mee te werken aan het vormgevenvan een vernieuwde propedeuse voor de technischestudies[1], op basis van hetgeen in het vwo al dan nietaan de orde komt en toch ook vanwege de vraagvanuit de UT naar bepaalde basiskennis enbijbehorende wiskundige vaardigheden. Het gaat dusnadrukkelijk niet alleen om een soort ‘deficiëntie-traject’, maar om het scheppen van een leeromgeving


‘ In ieder geval in elkaars keuken bli jven kijken’

Op hoeveel manieren kunnen we vier ballen over vijfvazen verdelen? Wel, voor iedere bal hebben we vijfmogelijkheden en derhalve is het totaal aantalmogelijkheden is gelijk aan 54 �625. Bij genummerde vazen en gekleurde ballen is hetbovenstaande antwoord inderdaad het juiste. Maar alswe vier pingpongballetjes over de vazen verdelenwordt het wat lastiger. De balletjes zijn nu namelijkniet meer te onderscheiden. Hoeveel mogelijkhedenzijn er nu?

Iedere verdeling van de vier ballen over de vijf vazenA t/m E kunnen we voorstellen door een rijtje van 4ballen en 4 scheidingstekens. Zo stellen de rijtjes

O | O | O | | O

| O | | O O O |

| | O O | | O O

respectievelijk de volgende verdelingen voor:- 1 bal in vaas A, B, C en E en 0 ballen in vaas D;- 1 bal in vaas B, 3 ballen in vaas D en 0 ballen in

vaas A, C en E;- 2 ballen in vaas C en E, en 0 ballen in vaas A, B en D.

Het aantal mogelijke verdelingen is nu gelijk aan hetplaatsen van 4 scheidingstekens in een rijtje van 8symbolen.

Dit kan uiteraard op � � manieren.

Het aantal verdelingen is hier dus gelijk aan 70,aanzienlijk minder dan de 625 mogelijkheden van deeerste verdeling.

Als we als extra eis stellen dat geen enkele vaas meerdan één bal mag bevatten, wordt het aantalmogelijkheden uiteraard nog verder beperkt. In ditgeval hoeven we slechts vier vazen aan te wijzenwaarin we een balletje stoppen.

84

Dit kan op � � manieren.

Er blijven nu nog maar 5 mogelijkheden over.De kans op een bepaalde verdeling van de balletjeshangt af van het gekozen kansmodel. Als we aan-nemen dat bij de bovenstaande verdelingen van deballetjes alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn,dan vinden we voor de verdeling O | | O O Oeen kans van respectievelijk �

62245

�, �710� en �

15

�.

In de statistische mechanica verdeelt men de fase-ruimte in een groot aantal kleine cellen om vervolgensieder deeltje aan een van die cellen toe te kennen. Detoestand van het systeem wordt dan volledig bepaalddoor de kansverdeling van de deeltjes over de cellen.Dit komt overeen met onze verdeling van ballen(deeltjes) over vazen (cellen). Ons eerste model staatbekend als de Maxwell-Boltzmann verdeling. Hetmodel met de niet te onderscheiden balletjes heet deBose-Einstein verdeling. De extra eis van maximaaléén bal per vaas levert de Fermi-Dirac verdeling op. De Bose-Einstein verdeling geldt voor bijvoorbeeldfotonen. Elektronen en protonen voldoen aan deFermi-Dirac verdeling. Er zijn geen deeltjes bekend diede Maxwell-Boltzman verdeling volgen.

Literatuur

Norman L. Johson, Samuel Kotz: Urn Models and their Application,

John Wiley & Sons Ltd., New York (1977).

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is na zijn doctoraal

wiskunde 13 jaar werkzaam geweest als wiskundeleraar in het

middelbaar onderwijs. Sinds 1987 is hij als docent verbonden aan de

Koninklijke Militaire Academie te Breda. Zijn belangstelling gaat o.a.

uit naar de sociale keuzetheorie, op welk gebied hij aan de Katholieke

Universiteit Brabant onderzoek verricht.

54


Verdelingvan Fermi-Dirac[ Rob Bosch ]

L. Boltzmann 1844-1906

J. Maxwell 1831-1879

P. Dirac 1902-1984

A. Einstein1879-1955

E. Fermi 1901-1954

S. Bose 1894-1974

Kn�1 �Kn � r �Kn�An (2)Deze recurrente betrekking of differentievergelijkingkan diverse situaties beschrijven:- Sparen: Kn > 0 en r �Kn�An > 0- Lenen: Kn < 0; de waarde r �Kn�An is (mits > 0) deaflossing in jaar n.- Rentenieren: Kn > 0 en An < 0; er wordt ingeteerd tergrootte van een bedrag r �Kn�An.

Analoog aan een differentiaalvergelijking lossen weeen differentievergelijking op door eerst de geredu-ceerde vergelijking, in dit geval Kn�1 �Kn � r �Kn, op telossen. Dit levert Kn �C � (1� r)n met C een nader tebepalen constante.De algemene oplossing van (2) vinden we door bij deoplossing van de gereduceerde vergelijking eenparticuliere oplossing op te tellen. Een particuliereoplossing is

Kn �K0 � (1� r)n � � A1 � (1� r)n�1�i.

We kunnen nu de algemene oplossing opschrijven. Bijsubstitutie van n = 0 in Kn �C � (1� r)n blijkt datC� K0. De algemene oplossing wordt derhalve gegevendoor:

Kn �K0 � (1� r)n � �i�n�1

i�0Ai � (1� r)n�1�i (3)

De waarde Kn is dus gelijk aan de eindwaarde van het

n�1

i�0

InleidingBinnen de Bedrijfseconomische wetenschappen is hetvak Financiële Rekenkunde naast Boekhouden hetmeest klassieke onderdeel. Ofschoon dit vak eigenlijkeen puur wiskundig karakter heeft, besteedt dewiskundige literatuur er weinig aandacht aan. Debehandeling in de economische literatuur is echtervaak omslachtig of zelfs onvolledig. De belangrijksteonderwerpen uit de financiële rekenkunde worden hiervoor een wiskundig publiek uiteengezet. Aan het eindewordt daar nog een didactische noot aan toegevoegd.

Een algemene formuleStel een kapitaal K0 staat een jaar uit tegen een rente r,waarbij r een fractie (‘perunage’) is, bijvoorbeeldr� 0,04. Behalve het jaarlijkse bijschrijven van derente vinden geen andere mutaties plaats. Het kapitaalaan het einde van het n-de jaar, aangeduid met Kn,voldoet aan de volgende recurrente betrekking: Kn�1 � (1� r) �Kn

Het beginkapitaal K0 is na n jaar opgelopen tot:Kn �K0 � (1� r)n (1)Dit is de bekende formule voor samengestelde interest.De waarde K heet de contante waarde en de waarde Kn

heet de eindwaarde van de lening. Als iemand een banksaldo heeft en in jaar n vindt eenpositieve of negatieve betaling richting bank plaats tergrootte An, dan hebben we de volgende recurrentebetrekking:

FINANCIËLE REKENKUNDEVOOR WISKUNDIGENIn de wiskunde voor het profiel E&M krijgen wiskundedocentenrechtstreeks te maken met economische contexten. Daarmee voelenzij zich niet automatisch vertrouwd. Enige achtergrondinformatie kaninteressant zijn.[ Wim Pijls ]


beginkapitaal K0 plus de som van de eindwaarden vande betalingen An. We kunnen de betalingen An

derhalve ook als nieuwe spaarsaldi of leningen zien.De lezer wordt uitgenodigd na te gaan in (3) dat,indien An ��r �K0, het saldo Kn constant op K0 staat. Bij een zogeheten spaarhypotheek wordt ombelastingtechnische redenen de schuld kunstmatighoog gehouden. Een deel van de periodieke betalingenwordt dan tegen dezelfde rente op een afzonderlijkespaarrekening gezet. De debiteur heeft netto een saldodat voldoet aan (2) en dus ook aan (3). De financiëleconsequenties zijn voor de klant dus dezelfde als bijeen ‘gewone’ aflossing.De oplossing (3) verkrijgt men ook wanneer men,uitgaande van K0, de vormen voor K1, K2, K3,… bepaalten vervolgens tot formule (3) besluit. Voor het geval An een constante waarde A heeft, is nogeen andere oplossing mogelijk. Een particuliereoplossing van (2) wordt dan verkregen door voor Kn

een geschikte constante te kiezen. Eenvoudig is in tezien dat deze constante oplossing gegeven wordt door

Kn � �Ar�.

De algemene oplossing van (2) is weer de som vandeze particuliere oplossing en Kn �C � (1� r)n , deoplossing van de gereduceerde vergelijking. Substitutievan n�0 levert

C�K0 � �Ar�. Hieruit volgt:

Kn � (K0 � �Ar� ) � (1� r)n � �

Ar� �K0 � (1� r)n �A�

(1�rr)n�1�

(4)

Met gebruikmaking van de formules voor eenmeetkundige rij is na te gaan dat deze vormgelijkwaardig is aan (3).

Een andere oplossingsmethodeVoor het zojuist beschouwde geval dat An eenconstante waarde A heeft, gebruikt de economischeliteratuur andere methoden, die we in deze paragraafzullen behandelen. We definiëren n �Kn �Kn�1; dan geldt:

Kn �K0 � �i�n

i�1i (5)

De grootheid n is gelijk aan r �Kn�1 �A en is, in gevalvan een lening, gelijk aan de aflossing in het jaar n�1.Vanwege het feit dat A constant is, kunnen weafleiden:n �n�1 � r � n�1 (6)We nemen nu de grootheid 1 � r �K0 �A1 alsuitgangspunt. Als gevolg van (6) hebben we n �1 � (1� r )n�1, en (5) gaat nu over in:

Kn �K0 � �i�n

i�1i � (1� r )i�1 �

r �K0 � �i�n�1

i�0(1� r )i �A � �

i�n�1

i�0(1� r )i (7)

Met gebruikmaking van de somformule van demeetkundige rij krijgen we:

Kn �K0 �K0 � ((1� r)n �1)�A � �i�n�1

i�0(1� r )i (8)

Dit resultaat is in overeenstemming met (3).De zojuist behandelde methode wordt in de literatuurvaak gebruikt om de formules voor annuïteiten af teleiden. (Een annuïteit is een vaste jaarlijkse som,bestaande uit rente plus aflossing, die betaald wordtom een schuld af te doen, waarbij de rente jaarlijksminder wordt en de aflossing groter. Red.) Men steltdan in (8) Kn 0 �0 met n0 de looptijd. Voor de afleidingvan een annuïteit bestaat echter nog een anderemethode die eenvoudiger en eleganter is, maar mindervaak wordt aangetroffen in de literatuur. In plaats van1 nemen we n 0 als uitgangspunt. Zoals gezegd geldtKn 0 �0 en dit levert n 0 ��Kn 0�1 . In combinatie metn 0 � r �Kn 0�1 �A leiden we af:

n 0 � (9)

Hieruit volgt met gebruikmaking van (6):

n � (10)

waarna (5) ons zegt:

Kn 0 �K0 � �K0 � �i�n0

i�1� �

i�n0

i�1(11)

Deze vorm is gelijkwaardig aan (4) en (8) met Kn �0voor n�n0.

Relatie met Levensverzekeringswiskunde Een vak dat sterk verwant is aan de financiëlerekenkunde is de Levensverzekeringswiskunde. Eenessentieel hulpmiddel bij dit vak zijn de zogehetenoverlevingstafels (vroeger aangeduid met de termsterftetafels), die elk jaar door het CBS (CentraalBureau voor de Statistiek) worden gepubliceerd. Dezebestaan uit een lijst van waarden lj die zodanig zijn

gekozen, dat precies gelijk is aan de kans dat een

Nederlander overlijdt in zijn j-de levensjaar. In het

algemeen is , p > q, de kans dat iemand van q jaar

de leeftijd p haalt. Voor de waarde van l0 is steeds10.000.000 gekozen. De recurrente betrekking (2) is hier in gewijzigde vormvan toepassing:

Kn�1 � (Kn � r �Kn �An) (12)

waarbij An de premie/koopsom of de uitkering in hetn-de levensjaar is. Het principe achter elke polis is: debedragen An worden zodanig gekozen dat K0 � 0 enK108 �0 met K0 en K108 het tegoed bij een verzekerings-maatschappij op leeftijd 0 resp. 108 (de sterftetabellengaan tot de leeftijd van 108 jaar). We veronderstellenhier wel dat, indien iemand voortijdig overlijdt, de totdan toe betaalde inleg bij de maatschappij blijft. Menkan bijvoorbeeld een polis hebben met A50 0 (eenkoopsom op 50-jarige leeftijd, een relatief groot

ln�ln�1

lp�lq

lj�lj�1

A�(1� r )i

A��(1� r )n 0�1�i

A��(1� r )n 0�1�n

A�1� r


‘rente per jaar’ stellen op � (dit symbool wordt in deeconomische literatuur veel gebruikt in deze context;zie [4] en [5]). Als het jaar in n gelijke perioden wordtverdeeld en als na elk van deze periodes rente wordtbijgeschreven, dan groeit het beginbedrag K0 in dperioden ofwel in t� jaar tot:

Kt �K0 � (1� �n�

� )d �K0 � (1� �n�

� )n �t (14)

Voor n→� gaat deze waarde naar K0 �e� �t. Deze vorm isook te schrijven als K0 �ct. Het komt er dus op neer, dateen kapitaal dat t jaar uitstaat (met t een willekeurigreëel getal), vermenigvuldigd wordt met een factor ct.Het maakt nu niet meer uit wanneer de groei precieswordt bijgeschreven. Of men na elk half jaar met c1/2

dan wel na elk jaar met c1 vermenigvuldigt, hetresultaat is hetzelfde.

De algemene behandeling van continue rente berust opde volgende differentiaalvergelijking:

��K (t )�A (t ) (15)

De oplossing ingeval A constant is, is:

K (t ) �K (0) �e� �t � e� �t � (16)

Ingeval van een annuïteit hebben we K(t0)�0, enderhalve is

K (t ) � e� �(t �t0) � (17)

Een van de weinige boeken waarin het begrip continueannuïteit behandeld wordt is [3].

Een didactische nootTot voor kort werden in het vak Economischewetenschappen-2 de formules uit de hier behandeldestof ook aan de leerlingen voorgelegd, meestal zonderveel aandacht voor de afleiding. Bovendien waren totvoor kort (of nog steeds?) tabellen in gebruik. In hetmoderne IT-tijdperk is dit wel een erg verouderde vormvan informatieverwerking. In de Tweede fase isManagement en Organisatie de nieuwe naam van watvoorheen Handelswetenschappen (havo) dan welEconomische wetenschappen-2 (vwo) heette. Deanalytische kant is nog verder naar de achtergrondgeschoven. Sommige schoolboeken presenterenbijvoorbeeld bij de behandeling van annuïteiten alleenschematische overzichten waarin voor elk jaargedurende de looptijd de schuld, de afgeloste som ende rente en aflossing voor dat jaar aangegeven wordt.Hoe men, met of zonder computer, aan zo’n schemagekomen is, wordt in het midden gelaten: ‘Decomputer geeft dit overzicht.’ Formules wordennauwelijks nog bekeken, laat staan afgeleid. Er is echter een alternatief, dat de leerlingen toch opeen analytische manier bezig laat zijn zonder dat zemet ingewikkelde wiskunde worden lastig gevallen. Ditalternatief wordt geboden door het spreadsheetpakketExcel, dat geheel nieuwe mogelijkheden voor de

A��

A��

A��

A��

dK (t )�

dt

d�n

bedrag), en An� 0 (de uitkering, een relatief kleinbedrag) voor n�65 en An �0 voor andere n-waarden.Het omgekeerde kan ook: vóór de leeftijd van 65betaalt men premies om op 65-jarige leeftijd een grotekapitaaluitkering te ontvangen. Een combinatie komtin de praktijk het meeste voor.Meer informatie over dit onderwerp kan men vinden in[2].

Effectieve renteIn offertes voor geldleningen ziet men wel vermeld:rentepercentage 5,2% maandelijks te voldoen, effectiefrentepercentage 5,4%. Dit houdt in, dat de klantmaandelijks K � 0,052/12 moet betalen, met K de op datogenblik geldende schuld. Het effectieve rente-percentage is gedefinieerd als de rente die zou geldenals de debiteur eenmaal per jaar de rente zou voldoen.Hoe de effectieve rente berekend moet worden, isgeregeld in het Besluit Kredietvergoedingspercentagevan het Ministerie van Financiën. We zagen al bij de spaarhypotheek dat het nietuitmaakt of de (al dan niet verplichte) maandelijksebetalingen voor aflossing gebruikt worden of tegendezelfde rentecondities op een spaarrekening gezetworden. De klant heeft na de n-de maand een saldo Kn

bestaande uit het kapitaal K0 aan het begin van hetjaar met daarop aangevuld het spaargedeelte Sn

verkregen door de maandelijkse betalingen An. Derecurrente betrekking Kn�1 �Kn� r �Kn �An geldt hierook weer.Na 12 maanden hebben we volgens (3):

K12 �K0 � (1� )12 � �i�11

i�oAi � (1� )11�i (13)

Het rechterlid kunnen we schrijven als K0 � r’ �K0 �A’

met r’� (1� )12 �1 en met A’ gelijk aan de

genoemde somformule. De effectieve rente is daaromgelijk aan r’. We zien tevens dat een maandelijkseannuïteit met rentevoet r en annuïteit A gelijkwaardigis aan een jaarlijkse annuïteit met de bovengenoemdewaarden r’ en A’, aannemende dat de klant een bank-rekening met een maandrente van �

1r2� kan openen.

Continue renteWe hebben bij de bespreking van de effectieve rente algezien, dat er verschil is tussen een maandelijkse rente

van �1r2� �K of een jaarlijkse rente van r �K.

In de praktijk wordt bij spaardeposito’s gewerkt metrente per dag. Heeft men gedurende d dagen een

tegoed van K, dan wordt daarover �36d5

�� r �K aan rente

gegeven. Om rente-op-rente te voorkomen wordt derente pas aan het einde van het jaar uitgekeerd danwel bijgeschreven. In plaats van rente per jaar, permaand, per dag, per seconde, enz. kan men ookcontinue rente beschouwen. De wiskundige afleidingvan continue rente is dezelfde als die voor degroeiprocessen zoals men die in schoolboeken aantreftter introductie van exponentiële functies. Laten we de

r�12

r�12

r�12


Bedrijfseconomische vakken in zich draagt. Excel biedtnamelijk de mogelijkheid om zonder al te veelspecifieke computerkennis – en in het bijzonder zonderprogrammeerkennis – modellen te implementeren. Ditzullen we hieronder met een voorbeeld toelichten. Hetuitgebreide repertoire van financiële functies moet mendan juist negeren. Men kan de leerlingen vragen vooreen bepaalde transactie op het gebied van lenen,sparen of levensverzekeringen de volledige rij Kn, An,r·Kn te laten verschijnen in de spreadsheet. Hier zijneen aantal variaties op mogelijk. De functie goalseekmaakt het mogelijk, invoerparameters in te stellen opbasis van gewenste eindresultaten. De leerling diedergelijke opdrachten tot een goed einde brengt, toontdaarmee zijn inzicht in de stof. Men kan Excel in eenbredere context inzetten om de leerlingen teconfronteren met modelmatige en abstracte stof. Zie[1] op Internet voor een serie opgaven waarin destudenten gevraagd wordt een model te bouwen bij eenpraktisch probleem van economisch-administratieveaard.

BesluitDe kernpunten uit de financiële rekenkunde zijn hierbehandeld. Alleen het onderwerp ‘afschrijvingen’ isniet aan bod gekomen. In de economische literatuurworden de hier gepresenteerde onderwerpen behandeldop een wijze die men vanuit wiskundig oogpuntnauwelijks ‘sound’ kan noemen. De terminologie en denotatie schrikken niet-ingewijden ook vaak af.Hopelijk is met dit artikel een overzicht geschreven datmeer is afgestemd op een wiskundig publiek.

De auteur dankt H.G.J. Pijls voor de discussies enbijdragen bij de totstandkoming van dit artikel.

Literatuur

[1] Webpagina: www.few.eur.nl/few/people/pijls/models/exercises.htm

[2] D.P.G. van As, J. Klouwen, L.J. van de Leur:

Levensverzekeringswiskunde en Pensioencalculaties (Academic Service,

1998).

[3] M. van Haaften: Leerboek der Interestrekening (P. Noordhoff,

Groningen, 1929)

[4] J.C. Hull: Options, Futures and Other Derivatives (Prentice Hall,

2000).

[5] Jan Wesseling, Alex van den Bergh: Realistische

Interestberekeningen, met toepassingen van Excel (Academic Service,

2000).

Over de auteur

Wim Pijls (e-mailadres: [email protected]) werkte van 1973 tot 1984

als docent wiskunde en informatica aan de Lerarenopleiding Zuidwest-

Nederland te Delft, thans Hogeschool Rotterdam. Hij was daar

verbonden aan de secties wiskunde en economie. Sinds 1984 is hij

docent informatica aan de Faculteit Economische Wetenschappen van

de Erasmus Universiteit Rotterdam.


‘vanuit wiskundigoogpunt nauwelijks“sound”’

punten waaruit naar believen gekozenkan worden. In het algemeen kunnenlatere punten dus slechts worden toe-gekend als de kandidaat het daaraanvoorafgaande traject juist heeft afge-legd.

Van de regionale examenbijeenkom-sten wordt een verslag gemaakt, voorhet examennummer van Euclides,maar het dient ook als informatievoor de bepaling van de normerings-term.Het is dus om meerdere redenen vanbelang dat de regionale examenbe-sprekingen goed bezocht worden. Op de dag na een examen is er eencentrale bespreking in Utrecht, waaralle regionale gespreksleiders aanwe-zig zijn. Op deze vergadering wordenzo mogelijk centrale afsprakengemaakt over zaken als de beoorde-ling van veel gemaakte fouten, verfij-ningen van de normering en alterna-tieve oplossingsmethoden; dit tervoorbereiding op de regionale bespre-king de dag daarna.

Als service voor de leden die de regio-besprekingen niet bij konden wonenwordt na enige tijd een (summier) ver-slag van de centrale bijeenkomsten opde NVvW-website gezet.

Tweede fase plannen - vervolgEerst hebben we vooral veel lawaaigemaakt en steun gezocht bij bevrien-de instanties. Die steun is royaalgegeven. Maar daarbij is het gelukkigniet gebleven: op een heel breed frontis inmiddels negatief gereageerd op de

plannen van de minister om stevig tesnijden in de bètavakken. De Onder-wijsraad kwam zelfs met een onge-vraagd advies waarin men de reduc-ties afwijst. De AOB, aanvankelijkvoor, is van mening veranderd enwijst de plannen nu ook af - zie deNVON-website(www.nvon.nl/tf_2003.htm) voor eentotaaloverzicht.Maar we zijn er nog niet. Daaromhebben we met de NVON en de initia-tiefnemer van de Boze Bètas-site eenlobbygroepje gevormd. We bezoekenhet departement, de politieke partijenen de schoolleiders. De reacties zijninteressant, er wordt in elk geval naarons geluisterd, en verder: de VVD enD’66 zijn positief, de PvdA bezint zichop de vraag of ingrijpen nu wel zoverstandig is, het CDA neemt noggeen standpunt in, wat begrijpelijk isgezien hun positie. De enige echtevoorstanders van de plannen lijkennog slechts te vinden in de kringenvan schoolleiders die blijkens de VVO-reactie wel een heel negatief beeldhebben van het bèta-onderwijs (ziekader). Dat zijn overigens niet alleschoolleiders; er is ook een tegenbe-weging die ervoor pleit om deze plan-nen van tafel te halen.Het kan overigens geen kwaad omeens bij uw eigen directieleden teinformeren hoe zij er over denken, zedan zo nodig te overtuigen en aan tedringen op actie!Vooralsnog zijn we verder gekomendan begin januari mogelijk leek, maarde huid moet nog maar niet verkochtworden. De beer loopt nog rond…

ExamenbesprekingenTraditiegetrouw organiseert uw NVvWook dit jaar weer centrale en regionaleexamenbesprekingen. Deze besprekin-gen hebben als doel een eenduidigenormering van de examens te bevor-deren, en daarmee het overleg tusseneerste en tweede corrector te vereen-voudigen.

Op de regionale bijeenkomsten ont-moeten collega’s elkaar om het exa-men te bespreken en van gedachten tewisselen over de wijze van beoorde-ling van het werk van de kandidaten.Door die gesprekken ontstaat er ookeen zekere ‘mores’, een consensusover wat goed normeren is, die metname voor collega’s met minder exa-menervaring heel instructief kan zijn.

Wees lief voor uw tweedecorrectorRegelmatig zijn er klachten over col-lega’s die, ongetwijfeld te goedertrouw, het examenwerk niet wildenschenden door er zelf iets op te schrij-ven, noch in een bijlage enige toelich-ting te geven op de manier waarophun score tot stand was gekomen,waardoor de tweede corrector hetwerk van de eerste corrector niet koncontroleren, maar eenvoudigweg allesover moest doen. Doet u dat alstu-blieft niet, de honorering van detweede correctie is daar echt niet opberekend! U helpt uw collega enormdoor transparant en controleerbaar tezijn in uw normering. En daarbijhoort het duidelijk aangeven van degemaakte fouten.

Stapel- of sprokkelnorm?Ook zijn er elk jaar conflicten metcollega’s over de interpretatie van dedeelscores. Daarom nogmaals vooralle duidelijkheid: de deelscores gevenaan hoeveel punten er kunnen wordentoegekend als een kandidaat hetvraagstuk niet tot een goed einde kanbrengen, maar ergens blijft steken.Het is een stapelnorm, niet een rijtje

Verenigingsnieuws


Uit de brief van de VVO aan de minister (17 maart 2003)

Van de bestuurstafel[ Marian Kollenveld ]

Zo ju i s t ve rschenen …

De juiste toonMuziek en wiskunde hebben meer met elkaar te maken dan je misschien zou

denken. In dit Zebra-boekje worden de geheimen blootgelegd van tonen en

boventonen, van kruisen en mollen, van majeur en mineur, van toonladders en

akkoorden, van zuivere intervallen en van vals klinkende zwevingen. Door er op

een wiskundige manier naar te kijken ontdek je onverwachte aspecten en

samenhangen. Voorbeelden uit composities van Bach, Mozart en Schubert laten

het verband tussen muzikale praktijk en theorie zien.

Dit boekje is bedoeld voor iedere muziekliefhebber die wiskundig getinte

redeneringen niet uit de weg gaat.

De tekst bevat een groot aantal opdrachten en ook suggesties voor eigen

onderzoek.

ISBN 90 5041 079 0

Prijs voor leden van de NVvW: € 8,00 (incl. verzendkosten); bestellingen via girorekening

5660167 t.n.v. Epsilon Uitgaven, Utrecht.

Prijs voor leden van de NVvW op bijeenkomsten: € 6,00.

Prijs voor niet-leden: € 8,00 (in de betere boekhandel).

Zebra 15[ Jan van de Craats ]

Chaos en OrdeAlles wat beweegt of trilt is in de een of andere vorm te beschrijven als dynamisch

systeem. Een van de grote, recente ontdekkingen is dat eenvoudig lijkende

dynamische systemen in hevige mate onvoorspelbaar gedrag kunnen vertonen.

Dat gedrag noemen we chaos. Het blijkt voor te komen in zeer uiteenlopende

processen zoals bevolkingsgroei van bepaalde diersoorten, veranderingen in de

economie of de beweging van kleine planeten in ons zonnestelsel.

Dit boekje is bedoeld als een kennismaking met chaostheorie. Er worden een

aantal belangrijke voorbeelden behandeld met aan het einde een discussie van

toepassingen.

De tekst bevat een groot aantal sommen, aanwijzingen voor het gebruik van

applets en grotere opdrachten.

ISBN 90 5041 080 4

Zebra 16[ Ferdinand Verhulst ]

Epsilon Uitgavenin samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

advertentie

Puzzel 7 - Gezocht: een optimalestopregelIn een Russisch leerboek over elementairekansrekening wordt een definitie van eendobbelsteen gegeven! Dat gaat ongeveer zo:‘Een dobbelsteen is een kubus van been ofhout; in de zijvlakken zijn door middel vanputjes de getallen 1 t/m 6 aangegeven.’Blijkbaar is het een boek van vóór het plastictijdperk. Er moet eigenlijk ook bij dat dedobbelsteen zuiver moet zijn, d.w.z. dat de kansop ieder van de zes uitkomsten even groot is.

De opgave van deze keer gaat over het werpenmet een dobbelsteen, en we proberen deverwachte score te maximaliseren. Despelregels zijn eenvoudig:- Je mag zo vaak gooien als je wilt, maar zodraje minder gooit dan de vorige keer, is je score 0.- Als je stopt aan het eind van een niet-dalenderij worpen, is de score gelijk aan het aantalogen in de laatste worp.

Opgave 1Bepaal een optimale strategie, waarbij dus deverwachte score maximaal is, en bepaal ookdat maximum.

Zoals u waarschijnlijk weet, wordt deverwachting gewoonlijk aangeduid met deletter E. Weet u ook waarvan E de eerste letteris? Inderdaad, van het Engelse expectation.Maar historisch gezien is het de eerste lettervan het Franse espérance. (Vergeet niet dat dekansrekening ‘op poten is gezet’ door Fransewiskundigen als Pascal en later Laplace.) DeNederlander Fred Schuh werd waarschijnlijkbeïnvloed door die Franse term. In zijn eerdergenoemde boek ‘Wonderlijke Problemen’ (uitg.Thieme, 1943) hanteert hij voor de verwachtingde term ‘wiskundige hoop’. Het lerarenkorpskan zich gelukkig prijzen dat deze term geeningang heeft gevonden!

Voor de tweede opgave is het van belang omalleen consistente strategieën te bekijken, d.w.z.strategieën waarbij de beslissing om te stoppenin een bepaalde situatie alleen afhangt van hetaantal ogen in de laatste worp. Voor opgave 1zijn er twee consistente optimale strategieën(die natuurlijk dezelfde verwachting hebben).

Opgave 2Bepaal voor één van de consistente strategieënvan opgave 1 de kansverdeling van de score.

Ik wil hier graag bij vermelden dat dit veelmoeilijker lijkt dan het is.

Wie er aardigheid in heeft, mag ook de n-zijdige dobbelsteen aanpakken en tevens delimiet voor bepalen. Het resultaat speciaalvoor opgave 1 is heel verrassend. Veel plezier!

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede. Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenvoor goede oplossingen. De deadline is deze keer 1 juli a.s.


Recreatie[ Frits Göbel ]

Puzzel 787

Zo ver was ik gekomen. Maar Dick Buijs en A. Verheul hebben beideneen oplossing voor n�12 (en dus voor n�16);zie figuur 4. Hier zien we twee vliegers entwee ruiten. Een ruit kan in vier vliegersworden verdeeld (zie boven) en ook in zesvliegers (als in figuur 3), zodat een oplossingin 2�4�6�12 vliegers ontstaat!

Als klap op de vuurpijl ontving ik zowel vanWobien Doyer als van Lieke de Rooyoplossingen voor alle bovengenoemde waardenvan n èn een oplossing voor n = 8; zie figuur5. (De heer Verheul die schreef: ‘De gevallen n{2,3,4,6,7,8} zijn niet te realiseren’, zal zich nuwel even achter zijn oor krabben. Maar eenbewijs voor n�6 of n�7 zie ik graagtegemoet).

De ladderstand: L. de Rooy 97H. Verdonk 71T. Afman en W. Doyer 60D. Buijs 39L. v.d. Brom 32P. Meijer 22S. van Dijk en H. Linders 20A. Verheul 19T. Kool 16

Oplossing van de Vliegerpuzzel

Vrijwel per kerende post ontving ik tweeoplossingen: van Dick Buijs en A. Verheul.Beide oplossingen zijn vollediger dan de mijneen – u kunt het geloven of niet – dat heeft mijmet vreugde vervuld.

In figuur 1 ziet u een oplossing voor n�5.Door in die figuur weer vliegers in vijven teverdelen, vinden we verdelingen voor alle nvan de vorm 4a�1.

Als je in figuur 1 het onderste vliegertjewegdenkt, blijven er twee gelijke helften overin de vorm van een rechthoekig trapezium. Vandeze twee helften kun je een rechthoek leggenen ook een ruit! In figuur 2 maken we mettwee van die rechthoeken en twee vliegers een

verdeling in 10 stukken (2�2 4), en dushebben we nu een verdeling in n stukken vooralle n van de vorm 1�4a�9b waarbij a of bgelijk aan 0 mag zijn.

In figuur 3 ziet u een verdeling in 11 stukken,en daarmee komen we tot oplossingen voor allen van de vorm 1�4a�9b�10c.

Het is eenvoudig na te gaan dat er geenverdeling mogelijk is voor n�2, 3 of 4, zodatwe in dit stadium alleen voor n�6, 7, 8, 12 en16 geen antwoord hebben.

RecreatieOplossing 785


FIGUUR 1 FIGUUR 2

FIGUUR 4 FIGUUR 5

FIGUUR 3


KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

8 26 juni 2003 13 mei 2003

woensdag 1 juniStudiedag Applets, UtrechtOrganisatie APS

vr. 22 en za. 23 augustus, Amsterdamvr. 29 en za. 30 augustus, EindhovenVakantiecursus 2003Organisatie CWI

Examensdi. 20 mei – havo B1/B12wo. 21 mei – vmbo BBdo. 22 mei – vmbo TGK, vwo B1/B12vr. 23 mei – havo A12di. 27 mei – vwo A1/A12

Regionale examenbesprekingendo. 22 mei – havo B1/B12ma. 26 mei – vmbo BB (alleen te Utrecht,alleen voor NVvW-leden)ma. 26 mei – vmbo TGK, vwo B1/B12di. 27 mei – havo A12ma. 2 juni – vwo A1/A12Zie verder pp.300-301 in Euclides 78-6

Voor internet-adressen zie de website van deNVvW: www.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk15. De juiste toon16. Chaos en orde

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

ServicepaginaServicepagina

OP WEGNAAR

LERENMET

Pascal geeft zelfstandig leren structuur en houvast

Werkschrift maakt eigen schrift leerling overbodig

Werkschrift is leermiddel en naslagwerk tegelijk

Meerdere leerroutes mogelijk

Differentiatie duidelijk zichtbaar in informatieboeken en verschillende werkschriften

Doorlopende leerlijn tweede fase en leerwegen

Meer informatie

T (0575) 59 49 94

I www.pascal-online.nl

E [email protected]

PASCALW I S K U N D E

ZELFSTANDIG

Kijk nu ook op

www.modernewiskunde.wolters.nl

INTERVIEWS COMPUTERS IN DE KLAS LEERLINGEN ......genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...

Documents

Transcript of INTERVIEWS COMPUTERS IN DE KLAS LEERLINGEN ......genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...