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Aulas para pos-graduacao em

Interacao entre Luz e Materia

Ph.W. CourteilleUniversidade de Sao Paulo

Instituto de Fısica de Sao Carlos18 de novembro de 2016

Sumario

0 Preface 1

0.1 Organizacao do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Bibliografia recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Absorcao e emissao de radiacao 3

1.1 Radiacao numa cavidade condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Relacoes entre grandezas classicas do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Modos do campo numa cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Distribuicao de modos de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Equilıbrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 As taxas de transicoes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Propagacao da luz em meios dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Propagacao da luz em gases diluıdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Perfis espectrais de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Radiacao numa cavidade condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Equilıbrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Excitacao de transicoes atomicas 15

2.1 Tratamento semiclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Equacoes de Schrodinger para o atomo de dois nıveis . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Operador de acoplamento do campo radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3 Calculo dos coeficientes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Relacoes entre momentos de transicao e outras grandezas . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Forca de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Forca de oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Secoes cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Susceptibilidade e polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Transicoes magneticas e multipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Tratamento semiclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Relacoes entre momentos de transicao e outras grandezas . . . . . . . . . 26

2.4.3 Transicoes magneticas e multipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 As equacoes de Bloch e a optica quantica 27

3.1 Matriz de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Definicao da matriz de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Density operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.3 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.4 Pure states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.5 Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.6 Representacao matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.7 Representacoes de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 SUMARIO

3.1.8 Evolucao temporal do operador de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.9 Os elementos de matriz do operador de densidade . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Equacoes de Bloch para atomos de dois nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Equacoes diferenciais acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 Vetor de Bloch atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 Equacoes de Bloch com emissao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Mecanismos de alargamento de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Alargamento de potencia de de saturacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Alargamento por colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.3 Alargamento Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.4 Perfil de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Equacao mestre e operador de Lindbladt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Equacao mestre para sistemas de dois nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.2 Perspectiva em sistemas de tres nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.1 Matriz de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.2 Equacoes de Bloch para atomos de dois nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.3 Mecanismos de alargamento de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.4 Equacao mestre e operador de Lindbladt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Atomos em campos quantizados 55

4.1 Quantizacao do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Campos classicos e potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 Calibre de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.3 Campo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.4 Oscilador quantizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.5 Quantizacao do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Estados atomo-luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1 Segunda quantizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.2 Estados vestidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Modelo de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1 Equacao mestre para cavidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Emissao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.1 O hamiltoniano completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.2 Aproximacao de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.3 Simulacao numerica e comparacao com equacao de Schrodinger . . . . . . 68

4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.1 Quantizacao do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.2 Estados atomo-luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.3 Modelo de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.4 Emissao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Forcas da luz sobre a materia e a optica atomica 71

5.1 A forca de gradiente dipolar e a forca de pressao radiativa . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.1 Molaco optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Aplicacoes de estados vestidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Potencial de gradiente de dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

SUMARIO 5

5.2.2 Colisoes ultrafrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Quantizacao canonica do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Transicoes entre estados vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.2 Interacao da luz com atomos confinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4.1 A forca de gradiente dipolar e a forca de pressao radiativa . . . . . . . . . 81

5.4.2 Aplicacoes de estados vestidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4.3 Quantizacao canonica do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 O feixe laser 83

6.1 Optica de feixes e de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1 Propagacao de feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.2 Formacao de feixe por superposicao de ondas planas . . . . . . . . . . . . 84

6.1.3 Integrais de Fresnel e propagacao de feixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.4 Aplicacao da teoria de difracao de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Optica gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2.1 Componentes opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.2 Feixes nao-gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.3 Ressonadores opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.4 Optica de polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2.5 Shot-noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.1 Optica de feixes e de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.2 Optica gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Material suplementar e topicos especiais 99

7.1 Teorias classicas da interacao de luz com materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.1 Espalhamento de Thomson e Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.2 O modelo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.1.3 Espalhamento Rayleigh e o azul do ceu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1.4 Interacao de luz com metais, o modelo de Drude . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1.5 Forcas dispersivas e absorptivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2 Equacao mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2.1 Aproximacao de Born para acoplamento fraco . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.2 Suposicao de um estado inicial de produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.3 Aproximacao de Markov para memoria curta . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.4 Exemplo: Oscilador quantico harmonico amortecido . . . . . . . . . . . . 109

7.2.5 Termalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3 Espalhamento por amostras de atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.1 Espalhamento coletivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.2 Espalhamento de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.3.3 Espalhamento de Bragg, ressonancias induzidas por recuo fotonico . . . . 112

7.3.4 Superradiancia de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Instabilidades na interacao luz-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4.1 Superradiancia de onda de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4.2 Laser de eletrons livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.4.3 Laser por recuo atomico coletivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.4.4 Resfriamento por cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 SUMARIO

7.5 Interacao da luz com superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.6.1 Teorias classicas da interacao de luz com materia . . . . . . . . . . . . . . 1207.6.2 Equacao mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.6.3 Espalhamento por amostras de atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.6.4 Instabilidades na interacao luz-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.6.5 Interacao da luz com superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

0 SUMARIO

Capıtulo 0

Preface

O nosso universo e feito de materia e de radiacao, e a maneira como eles interagem governaa maior parte dos fenomenos que estudamos em fısica. Esse curso dedica-se a introduzir oaluno de pos-graduacao nos princıpios basicos dessa tematica e tambem mostra o caminho paraalguns aplicativos possıveis. Essa monografia basea-se essencialmente no livro ”Light-MatterInteraction: Fundamentals and Applications”do J. Weiner and P-T. Ho. No entanto, algunscapıtulos foram alterados ou completamente reescritos.

0.1 Organizacao do curso

A apostila foi desenvolvida para o curso Interacao entre Luz e Materia (SFI5877) oferecidopelo Instituto de Fısica de Sao Carlos (IFSC) da Universidade de Sao Paulo (USP). O curso edestinado a estudantes em Fısica de pos-graduacao. A apostila e uma versao preliminar conti-nuamente sujeita a correcoes e modificacoes. Notificacoes de erros e sugestoes de melhoramentosempre sao bem-vindas. A apostila incorpora exercıcios as solucoes das quais podem ser obtidasdo autor.

Informacoes e anuncios a respeito do curso serao publicados na pagina web:http://www.ifsc.usp.br/ strontium/ − > Teaching − > SFI5877

0.2 Bibliografia recomendada

Esta apostilaLight-Matter Interaction: Fundamentals and Applications - J. Weiner and P-T. Ho, Springer-Verlag, Berlin, 2003The quantum theory of light - R. Loudon, Oxford Science Publications, Oxford, 1973Elements of Quantum Optics - P. Meystre and M. Sargent III, Springer-Verlag, Berlin, 1990Atomic Spectra and Radiative Transitions - I.I. Sobelman - Springer Verlag, Berlin, 1977Photon-Atom Interactions - M. Weissbluth - Academic Press, Boston, 1989

1

2 CAPITULO 0. PREFACE

Capıtulo 1

Absorcao e emissao de radiacao

A ideia das pessoas sobre a natureza da luz tem uma historia variavel. Newton (∼1650) proposum modelo corpuscular para explicar a lei de Snellius sobre a refracao de um feixe de luzpenetrando um cristal. Huygens (∼1650) achou uma interpretacao baseada em ondas. Os doismodelos predizem diferentes velocidades da luz dentro do meio denso. Newton achou, que avelocidade da luz e maior dentro do meio do que fora, enquanto Huygens achou o contrario.1 Nofim de 1800 a natureza ondulatoria da luz fui estabelecida atraves de observacoes de efeitos deinterferencia confirmando a hipotese de Huygens. Naquela epoca, o mundo era simples: A luzera uma onda e a materia era composta de partıculas. Mas apareciam logo algumas observacoesque pareciam incompatıvel com essa ideologia simplista, por exemplo aquela da radiacao docorpo negro, do efeito Compton, do calor especifico do solido, da pressao radiativa e do efeitofotoeletrico. Todas essas observacoes sao mais facilmente entendidas supondo uma naturezacorpuscular da luz2

Hoje em dia, conhecendo a teoria da mecanica quantica, sabemos que ambos as ideias temvalidade e que a radiacao e dual: Em geral, efeitos de propagacao e de interferencia sao melhordescritos por ondas. No entanto, na interacao com materia a luz tende a localizar pequenaspartıculas de luz chamados fotons.

1.1 Radiacao numa cavidade condutora

Na epoca do laser pode parecer um atavismo falar do tratamento classico da emissao e absorcaoda luz. No entanto, mesmo com fontes de radiacao monocromaticas e coerentes, a imagem fısicamais utilizada e aquela de um campo optico classico interagindo com um atomo ou uma moleculaquantizado. Alem disso, o tratamento de um conjunto de osciladores classicos expostos emsimples condicoes de contorno prepara o desenvolvimento analogo de um conjunto de osciladoresquanticos e fornece um caminho direto para quantizacao do campo da radiacao.

Mesmo se raramente fazemos experiencias jogando luz num pequeno buraco dentro de umacaixa metalica, as solucoes dos campos das equacoes de Maxwell sao particularmente simples paracondicoes de contorno, onde os campos desaparecem nas superfıcies interiores da caixa. Antesde discutir a fısica da radiacao nessa cavidade perfeitamente conduzinda, introduzimos algumasrelacoes basicas entre as amplitudes eletromagneticas, a energia armazenada e a intensidade.

1 Note, que ate hoje persistem duvidas sobre o valor correto do momento da luz em meios dieletricos [7].2 Hoje chamada de segunda quantizacao da teoria quantica ou quantizacao do campo eletromagnetico.

3

4 CAPITULO 1. ABSORCAO E EMISSAO DE RADIACAO

1.1.1 Relacoes entre grandezas classicas do campo

Utilizamos o sistema de unidades internacional (SI), onde a permitividade do espaco livre, avelocidade da luz e a permeabilidade do espaco livre sao respectivamente,

µ0 ≡ 4π10−7 Vs/Am , c = 299 792 458 m/s , ε0 =1

c2µ0. (1.1)

O campo eletrico de uma onda plana oscilando com a frequencia ω e se propagando atravesvacuo na direcao de propagacao definido pelo vetor de onda,

k =2π

λk , (1.2)

pode ser escrito,E = E0e

i(k·r−ωt) , (1.3)

onde E0 = E0e se compoe de uma amplitude E0 e de uma polarizacao e. Como o campo E0

e transversal a direcao de propagacao, a polarizacao tem dois componentes ortogonais a k. Ocampo de inducao magnetico associado com a onda e,

B0 =1

cE0 . (1.4)

Para uma onda propagante E e B sao em fase, enquanto para uma onda estacionaria sao forada fase.

Imaginando um modo de uma cavidade, podemos descrever a onda estacionaria neste modocomo,

E = E0(r)e−iωt . (1.5)

A energia do campo eletromagnetico de uma onda estacionaria, no medio temporal de umaoscilacao da frequencia ω e,

U =1

2

∫ (ε02|E|2 +

1

2µ0|B|2

)dV . (1.6)

Agora, a densidade de energia do campo eletromagnetico oscilando com a frequencia ω e dadapor,

u =dU

dV=

1

4

(ε0|E|2 +

1

µ0|B|2

). (1.7)

Da equacao (1.4) podemos ver que as contribuicoes dos campos eletricos e magneticos sao iguais.Portanto,

U =1

2

∫ε0|E|2dV e u =

1

2ε0|E|2 . (1.8)

Uma outra quantidade importante e o fluxo da energia eletromagnetica atraves de umasuperfıcie. O vetor de Poynting que descreve esse fluxo e definido por

I =1

µ0E×B . (1.9)

Mais uma vez utilizando a equacao (1.4) achamos o valor medio sobre um perıodo temporal,

I =1

2ε0c|E|2 . (1.10)

1.1. RADIACAO NUMA CAVIDADE CONDUTORA 5

Essa grandeza, chamada intensidade, descreve o fato que o fluxo e uma densidade de energiamultiplicada com a velocidade de propagacao no vacuo

uc =1

2ε0c|E|2 = I . (1.11)

A intensidade tambem pode ser escrita,

I =1

2

√ε0µ0|E|2 . (1.12)

onde o fator√µ0/ε0 e chamado impedancia do espaco livre, porque tem a unidade de uma

resistencia e a ultima equacao tem a mesma forma, do que a potencia dissipada num resistor,

W =1

2

V 2

R. (1.13)

1.1.2 Modos do campo numa cavidade

Queremos, agora, calcular a densidade de energia dentro da cavidade antes de utilizar o resultadopara descrever a interacao entre a luz e uma amostra de atomos de dois nıveis dentro da cavidade.A ideia basica consiste em dizer que os eletrons dentro da superfıcie condutante da cavidadeoscilam por causa do movimento termico. A oscilacao gera uma radiacao dipolar levando aondas estacionarias se desenvolvendo dentro da cavidade. Como as paredes da cavidade saoconduzindos, o campo eletrico E deve desaparecer nas paredes. A tarefa e dupla: primeirocontar o numero de ondas estacionarias, que satisfazem as condicoes de contorno como funcaoda frequencia; segundo, determinar a energia para cada onda e depois calcular a distribuicaoespectral da energia dentro da cavidade.

As equacoes descrevendo a energia radiada no espaco livre sao,

∇2E =1

c2

∂2E

∂t2e ∇ ·E = 0 . (1.14)

As solucoes de ondas estacionarias separam-se em termos oscilatorios temporais e espaciais.

Figura 1.1: (Esquerda) Cavidade em espaco real mostrando o movimento termico dos eletronsdentro das paredes. (Centro e direita) Densidade dos estados numa cavidade no espaco dosmomentos.

Agora, respeitando as condicoes de contorno para uma caixa tres-dimensional de comprimento


L, temos para as componentes de E,

Ex(x, t) = e−iωt cos(kxx) sin(kyy) sin(kzz) (1.15)

Ey(y, t) = e−iωt sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz)

Ez(z, t) = e−iωt sin(kxx) sin(kyy) cos(kzz)

com as componentes

kx =πn

Lpara n = 0, 1, 2, ... (1.16)

e similar para ky e kz. Note que para cada componente Ex,y,z as amplitudes transversais de-saparecem em 0 e L. Para calcular a densidade dos modos, comecamos construir uma redetres-dimensional ortogonal de pontos no espaco k, como mostrado na Fig. 1.1. A separacaoentre pontos ao longo dos eixos kx, ky, kz e π

L , e o volume no espaco k associado com cada pontoe, portanto,

Vk =(πL

)3. (1.17)

Agora, o volume de uma camada esferica do raio |k| e com a largura dk nesse espaco e 4πk2dk.No entanto, as condicoes de contorno periodicas para |k| limitem as componentes kx, ky, kz emvalores positivos (n ≥ 0), isto e, o volume sob consideracao se limite a um octante da esfera. Onumero de pontos k e, portanto,

18(4πk2dk)(

πL

)3 =1

2L3k

2dk

π2. (1.18)

Lembrando-se que tem duas direcoes de polarizacao independentes, o numero de modos radiaisentre k e k + dk se multiplica por 2, e a densidade de modos dentro da camada esferica fica,

dρ(k) =k2dk

π2. (1.19)

Podemos exprimir a densidade espectral de modos por unidade de k como

dρ(k)

dk= ρk =

k2

π2. (1.20)

A densidade de modos pode ser convertida para o espaco de frequencia atraves,

ρkdk = ρωdω = ρνdν . (1.21)

Por consequencia,

ρωdω =ω2dω

π2c3. (1.22)

A densidade de modos oscilantes dentro da cavidade cresce como o quadrado da frequencia.Agora, a energia media por modo numa amostra de osciladores em equilıbrio termico e, seguintea lei de equiparticao, igual a kBT , onde kB e a constante de Boltzmann. Concluimos que adensidade de energia na cavidade e,

uRJω dω = kBTρωdω = kBTω2dω

π2c3. (1.23)

Essa lei e conhecida como lei de Rayleigh-Jeans da radiacao do corpo negro. Como mostra aFig. 1.2, essa lei sugere o fato fisicamente impossıvel que o armazenamento de energia na cavi-dade cresce como o quadrado da frequencia sem limites. Isso resulta na catastrofia ultravioleta.Obtivemos esse resultado multiplicando o numero de modos com a energia media por modo.Como nao tem duvida com o nosso metodo de contar os modos, o problema so pode ser no usodo princıpio de equiparticao para assinar energia para os osciladores.

1.1. RADIACAO NUMA CAVIDADE CONDUTORA 7

0 200 400 6000

500

1000

1500

2000

ν (THz)

u (

eV)

T = 3000 K

Figura 1.2: Leis de Rayleigh-Jeans and Planck.

1.1.3 Distribuicao de modos de Planck

Para circumvir esse problema, consideramos primeiro a distribuicao da probabilidade de ex-citacao dos modos para uma amostra de osciladores em equilıbrio termico na temperatura T .Essa distribuicao de probabilidade P vem da estatıstica mecanica e pode ser escrito em termosdo fator de Boltzmann e−εi/kBT e da funcao de particao q =

∑∞i=0 e

−εi/kBT ,

Pi =e−εi/kBT

q. (1.24)

Agora Planck propoe de, em vez assinar a energia media kBT para cada oscilador, como fize-mos na equacao (1.23), essa energia deveria ser assinada em porcoes discretas, proporcionais afrequencia, tal que

εi =

(ni +

1

2

)~ω , (1.25)

onde ni = 0, 1, 2, .. e a constante de proporcionalidade ~ chamada constante de Planck. Temosagora,

Pi =e−~ω/2kBT e−ni~ω/kBT

e−~ω/2kBT∑∞

ni=0 e−ni~ω/kBT

=

(e−~ω/kBT

)ni∑∞ni=0

(e−ni~ω/kBT

)ni =(e−~ω/2kBT

)ni (1− e−~ω/kBT

),

(1.26)onde utilizamos

∑∞ni=0 s

ni = 11−s . A energia media por modo fica

ε =

∞∑i=0

Piεi =

∞∑ni=0

(e−~ω/kBT

)ni (1− e−~ω/kBT

)ni~ω =

~ωe~ω/kBT − 1

. (1.27)

Finalmente, obtemos a densidade de energia de Planck dentro da cavidade substituindo ε parao fator kBT na lei de Rayleigh-Jean (1.23),

uPlω dω = ερωdω =ω2

π2c3

~ωe~ω/kBT − 1

dω . (1.28)

Esse resultado, desenhado na Fig. 1.2, e muito mais satisfazendo, pois agora a densidade deenergia tem um limite superior, e coincide com os resultados de experimentos.


1.2 Equilıbrio termico

1.2.1 As taxas de transicoes de Einstein

O modelo do atomo de Bohr3 explicou pela primeira vez, como a luz interage com materia:Os atomos tem nıveis de excitacao discretos. Eles absorvem e emitem pacotes de energia ~ω.Infelizmente, o modelo de Bohr nao pode predizer taxas de transicoes. Aqui, o Einstein ajudoudesenvolvendo um modelo util (ver Fig. 1.3.

Figura 1.3: Modelo de Bohr e diagrama das taxas de Einstein.

Consideramos um atomo de dois nıveis ou uma amostra de atomos dentro de uma cavidadeconduzinda. Temos N1 atomos no estado de energia inferior E1 e N2 no estado superior E2. Aluz interage com esses atomos atraves de absorcao estimulada ressonante e emissao. As taxas,B12uω e B21uω sao proporcionais a densidade espectral de energia uω dos modos da cavidade.A ideia central de Einstein consiste em postular que atomos no estado superior podem emitirluz espontaneamente numa taxa A21 que so depende da densidade de modos da cavidade, istoe, o volume da cavidade, mas nao da energia do campo de radiacao. Com os coeficientes deEinstein podemos formular equacoes de taxas validas em situacoes onde a distribuicao espectralda radiacao e mais larga que a largura espectral da transicao atomica e onde a distribuicaoespectral do fluxo da fonte de luz, Iω, e fraco em comparacao com a intensidade de saturacaoda transicao atomica. Mesmo se as fontes de luz modernas, em geral, sao lasers com bandasde emissao espectral muito estreitas e intensas, os coeficientes de Einstein sao frequentementeutilizados na literatura espectroscopica para caracterizar a interacao luz-materia com atomos emoleculas.

As equacoes de taxas de Einstein descrevem o fluxo de energia entre atomos e os modosopticas da cavidade,

dN1

dt= −dN2

dt= −N1B12uω +N2B21uω +N2A21 . (1.29)

Em equilıbrio termico temos a condicao de estacionaridade, dN1dt = −dN2

dt = 0 para um dadovalor de densidade de energia uω = uthω , tal que,

uthω =A21(

N1N2

)B12 −B21

. (1.30)

A distribuicao de Boltzmann controlando a distribuicao do numero de atomos nos estados infe-riores e superiores e,

N1

N2=g1

g2e−(E1−E2)/kBT , (1.31)

3 Hoje chamada de primeira quantizacao ou a quantizacao da energia de excitacao dos eletrons do atomo.

1.2. EQUILIBRIO TERMICO 9

onde g1,2 sao as degenerescencias dos estados inferiores e superiores e E2 −E1 = ~ω0. Achamos

uthω =A21

g1g2e~ω0/kBTB12 −B21

. (1.32)

Mas esse resultado deve ser consistente com a distribuicao de Planck

uPlω =ω2

π2c3

~ωe~ω/kBT − 1

. (1.33)

Portanto, comparando essa equacao com a equacao (1.32), deve ser,

g1

g2

B12

B21= 1 . (1.34)

e tambemA21

B21=

~ω30

π2c3. (1.35)

Essa equacao mostre que, se conhecemos uma das tres taxas de transicoes, sempre podemoscalcular as outras.

E util comparar a taxa A21 com a taxa B21 a partir da equacao (1.32) inserindo a equacao(1.34),

A21

B21uthω= e~ω0/kBT − 1 . (1.36)

Essa expressao mostre que, quando ~(ω2 − ω1) kBT , isto e, para frequencias opticas, UV,raios X, a emissao espontanea domina. Mas em regimes de frequencias baixas, isto e, IR, micro-ondas, ondas radio, a emissao estimulada e mais importante. Nota que mesmo quando emissaoestimulada domina, a emissao espontanea e sempre presente, e joga um papel importante, porexemplo, em processos limitando ultimamente a largura da banda de emissao de um laser.

1.2.2 Propagacao da luz em meios dieletricos

Ate agora, a luz propagou-se seja no vacuo, seja atraves de um gas tao diluıdo que podemosconsiderar a interacao da luz com atomos individuais. Agora consideramos a propagacao daluz atraves de um meio dieletrico continuo (nao-condutante). A interacao da luz com um talmeio nos permite introduzir as grandezas importantes: polarizacao, susceptibilidade, ındice derefracao, coeficiente de extincao e coeficiente de absorcao. Veremos depois que a polarizacao podeser considerada como densidade de dipolos de transicoes induzidos no dieletrico pelo campo deluz oscilante. Mas, por enquanto, simplesmente comecamos definir a polarizacao, P, a respeitode um campo eletrico aplicado, E, como

P = ε0χE , (1.37)

onde χ, a susceptibilidade linear, que e uma propriedade intrınseca do meio respondendo aocampo da luz, e relacionada a constante dieletrica do meio,

ε = ε0(1 + χ) . (1.38)

Perto de ressonancias, a susceptibilidade e uma forte funcao da frequencia e pode ser espa-cialmente anisotropica. Ela e uma grandeza complexa com uma parte real dispersiva, χ′, e umaparte imaginaria absorptiva, χ′′,

χ = χ′ + iχ′′ . (1.39)


Varias expressoes que nos ja conhecemos tornam-se modificadas num meio dieletrico,(kc

ω

)2

= 1 + χ , (1.40)

com χ = 0 em espaco livre. Num meio dieletrico kcω torna-se uma quantidade complexa conven-

cionalmente exprimidakc

ω= η + iκ , (1.41)

onde η e o ındice de refracao e κ o coeficiente de extincao do meio dieletrico. As relacoes entreo ındice de refracao, o coeficiente de extincao e as duas componentes da susceptibilidade sao

η2 − κ2 = 1 + χ′ e 2ηκ = χ′′ . (1.42)

Note, que no meio dieletrico transparente nao tem absorcao,

η2 = 1 + χ′ =ε

ε0. (1.43)

Dentro de um meio dieletrico, obtemos as solucoes de ondas propagantes das equacoes de Maxwellsubstituindo k com a equacao (1.41)

E = E0eiω( ηz

c−t)−ω κ

cz . (1.44)

a relacao entre as amplitudes dos campos eletricos e magneticos e4

B(χ)0 =

√εµE0 =

√ε0µ0

√1 + χ E0 =

1

c(η + iκ)E0 = (η + iκ)B0 . (1.45)

Utilizamos o sobrescrito (χ) para marcar grandezas dentro do meio dieletrico. A densidade deenergia media e

u(χ) =1

2ε0η

2|E|2 = η2u . (1.46)

Agora, a intensidade do feixe de luz num meio dieletrico esta atenuada

I(χ) =1

µ0|E×B| = 1

2ε0cη|E|2 =

1

2ε0cηE2

0e−2ωκz/c = I

(χ)0 e−Kz , (1.47)

onde

I(χ)0 =

1

2ε0cηE2

0 (1.48)

e a intensidade no ponto onde a luz entra no meio, e

K = 2ωκ

c=

ω

ηcχ′′ (1.49)

se chama coeficiente de absorcao. Note, que o fluxo de energia I(χ) no meio dieletrico sempre eo produto da densidade de energia e a velocidade de propagacao c/η. Note tambem, enquantoa frequencia ω da luz propagante atraves do dieletrico fica a mesma, o comprimento de onda secontrata como λ = c/η

ν [6].

4Num meio dieletrico, µ ' µ0.

1.2. EQUILIBRIO TERMICO 11

1.2.3 Propagacao da luz em gases diluıdos

Frequentemente, estamos interessados na atenuacao da intensidade de um feixe de luz atra-vessando um gas diluıdo de atomos ressonantes espalhandos. A equacao (1.47) descreve essaatenuacao pelas propriedades do material dieletrico. Mas, o que procuramos e uma descricaoequivalente microscopica em termos de taxas de absorcao e emissao de luz. A equacao de taxasde Einstein nos da as taxas de transicoes temporais, mas nao diz como eles se relacionam com astaxas de atenuacao espacial do feixe luminoso. Consideramos agora um feixe propagante atravesde uma celula contendo um gas absorptivo e assumimos que, ao longo do eixo optico, absorcaoe emissao alcancam um estado estacionario. Comecamos com as equacoes de Einstein (1.29), eescrevemos

0 = −N1B12uω +N2B21uω +N2A21 . (1.50)

Utilizamos agora o resultado (1.34) para escrever

N2A21 = uωB12(N1 −N2g1

g2) . (1.51)

No estado estacionario, o numero dos atomos excitados e

N2 =uωB12N1

A21 + g1g2uωB12

. (1.52)

Agora, considerando a propagacao atraves do gas diluıdo, devemos cuidadosamente tratar oındice de refracao do meio dieletrico. A expressao para a densidade de energia deve ser modifi-cada seguinte a Eq. (1.46)

uω =u

(χ)ω

η2. (1.53)

Para utilizar os coeficientes de Einstein, que supoem propagacao a velocidade da luz no vacuo5,devemos corrigir a densidade de energia no meio dieletrico antes de utilizar-la na equacao (1.52)

[6]. Portanto, devemos exprimir uω nesse equacao por u(χ)ω /η2,

N2A21 =u

(χ)ω

η2B12(N1 −N2

g1g2

) . (1.54)

Multiplicando os dois lados com ~ω0, vemos, que o lado esquerdo descreve a taxa de energiaespalhada fora do feixe por emissao espontanea, enquanto o lado direito descreve a perda deenergia do feixe, isto e, a diferencia entre a energia removida por absorcao e a energia devolvidapara o feixe por emissao estimulada,

dU (χ)

dt= −N2A21~ω0 = − u

(χ)ω

η2B12(N1 −N2

g1g2

)~ω0 . (1.55)

1.2.4 Perfis espectrais de linhas

Cada fonte de luz tem um certa largura espectral. Fontes de luz convencionais como lampadasincandescentes ou plasmas tem bandas de emissao relativamente largas em comparacao comabsorvadores atomicos ou moleculares, pelo menos em gases diluıdos. Mesmo quando utilizamos

5No modelo de Einstein, o que realmente importa para inducao de transicoes e o fluxo de fotons, isto e, onumero de fotons que atravessam um atomo por unidade de tempo. Esse fluxo nao pode depender do ındice derefracao. Portanto, devemos utilizar a densidade espectral de energia calculada no vacuo uω.


fontes espectrais puras, como um laser sintonizado para o pico de uma ressonancia, a linha detransicao sempre exhibe uma largura intrınseca associada com a interrupcao da evolucao defase no estado excitado. Interrupcoes de fase, tais como emissao espontanea ou estimulada ecolisoes sao exemplos comuns de mecanismos de alargamento de linha. A emissao ou absorcaode radiacao acontece numa distribuicao de frequencias centradas em ω0 ≡ ω2 − ω1, e devemoscontar com essa distribuicao espectral em nosso calculo da transferencia de energia. Em vez deusar a expressao N2A21~ω0 devemos exprimir a taxa de perda de energia por emissao espontaneacomo

N2A21~∫ ω0+∆/2

ω0−∆/2ωL(ω − ω0)dω , (1.56)

onde L(ω−ω0) e a funcao do perfil de absorcao atomica, normalmente normalizada por∫L(ω−

ω0)dω = 1. Uma funcao comum na espectroscopia atomica e o lorentziano

Lγ′(ω − ω0)dω =γ′

2π

dω

(ω − ω0)2 +(γ′

2

)2 , (1.57)

com a largura espectral γ′. O diferencial L(ω−ω0)dω pode ser considerado como probabilidade deencontrar luz emitida no intervalo de frequencia entre ω e ω+dω. De fato, encontraremos o perfillorentziano, quando discutiremos outros contribuicoes para largura espectral como excitacoescom campos fortes (alargamento de potencia) ou o alargamento por colisoes. A largura γ′ podeser composta de varias fontes fısicas.

Note que L(ω − ω0)dω e sem unidade. Agora, generalizando a equacao (1.55), a taxa deperda de energia do feixe de luz fica,

dU (χ)

dt= −u(χ)

ω ?B12

η2

(N1 −N2

g1g2

)~ωL(ω − ω0) (1.58)

= −∫ ∞−∞

u(χ)ω (ω − ωL) · B12

η2

(N1 −N2

g1g2

)~ωL(ω − ω0)dω . (1.59)

A distribuicao de probabilidade de absorcao e convolvida com a distribuicao de energia da fonte

Figura 1.4: Espectro de absorcao (azul) e distribuicao espectral de energia da fonte (vermelho).

de luz, u(χ)ω = du(χ)(ω)/dω. A distribuicao de densidade de energia e,

du(χ)

dt=dU (χ)

V dt, (1.60)

onde V e o volume da cavidade. Assumindo que a luz se propage em direcao z e convertindo adependencia temporal em dependencia espacial,

du(χ)

dt=du(χ)

dz· c =

dI(χ)

dz. (1.61)

1.3. EXERCICIOS 13

Com isso, olhando nas equacoes (1.46) e (1.47), vemos

I(χ)ω = u(χ)

ω

c

η, (1.62)

e substituindo (1.61) e (1.62) em (1.60), obtemos finalmente,

dI(χ)

dz= −

∫ ∞−∞

I(χ)ω (ω − ωL) · B12

cηV

(N1 −N2

g1g2

)~ωL(ω − ω0)dω . (1.63)

Agora, se a luz somente excita o gas fracamente tal que, N2 N1, temos

dI(χ)

dz= −

∫ ∞−∞

I(χ)ω (ω − ωL) · B12

cηn~ωL(ω − ω0)dω , (1.64)

onde n = N/V ' N1/V e a densidade do gas. Para um campo de luz fraco e um gas diluıdo,podemos obter uma expressao simples para o comportamento da intensidade aproximando adistribuicao espectral da absorcao por um lorentziano centrado em ω0 com a largura A21/2π,

I(χ)ω =

I(χ)

A21/2π. (1.65)

Agora, a Eq. (1.64) se torna, com um pouco de algebra,

dI(χ)

I(χ)= −

(B12

A21

2π~ω0

cη

)ndz . (1.66)

A parentese do lado direito da Eq. (1.66) pode ser considerada como secao cruzada paraabsorcao de luz ressonante. Utilizando a Eq. (1.35) podemos exprimir essa secao cruzada como

σ0 =g2

g1

πλ20

2η, (1.67)

tal que a Eq. (1.66) se torna

dI(χ)

I(χ)= −σ0ndz (1.68)

eI(χ)

I(χ)0

= e−σ0nz0 . (1.69)

Aqui z0 e a distancia total, onde absorcao acontece. A ultima equacao e a versao integral dalei de Lambert-Beer para absorcao de luz. E bem util para medir densidades atomicas emcelular de gas ou feixes atomicos. Comparando as Eqs. (1.49) e (1.69), vemos que o coeficientede absorcao pode ser escrito como produto da secao cruzada de absorcao e a densidade do gas,

K =2ωκ

c=

ω

ηcχ′′ = σ0n . (1.70)

Resolva o Exc. 1.3.2.3.

1.3 Exercıcios

1.3.1 Radiacao numa cavidade condutora

1.3.1.1 Ex: Resistencia de vacuo

Mostre que√µ0/ε0 tem a unidade da resistencia e o valor 376.7 Ω.


1.3.1.2 Ex: Formula de Planck

Demonstre a equacao ε = ~ωe~ω/kBT−1

utilisando a forma fechada para a serie geometrica,∑∞

ni=0(e−~ω/kBT )ni

e dsnids = nis

ni−1, onde s = e−~ω/kBT .

1.3.1.3 Ex: Leis de Planck e de Rayleigh-Jeans

Mostre que a lei de Planck reproduz a forma da lei de Rayleigh-Jeans no limite de baixasfrequencias.

1.3.1.4 Ex: Leis de Wien e de Stefan-Boltzmann

O maximo de emissao ocorre seguinte a lei de deslocamento de Wien em λmaxT = 2.898 ×10−3 Km. A lei de Stefan-Boltzmann integra a formula de Planck π

∫∞0 u(ν)dν = σT 4, onde

σ = π2k4B/60c2~3. Determine o espectro da radiacao de fundo de 3 K do universo.

1.3.2 Equilıbrio termico

1.3.2.1 Ex: Fotons dentro de um ressonador

A potencia de um campo de luz (λ = 633 nm) num ressonador optico simetrico (comprimentoL = 10 cm) seja P = 1 nW. Quantos fotons encontram-se no modo do ressonador? Quantosfotons ficam dentro do ressonador no meio temporal em temperatura ambiente, quando nao temluz incidente?Quantos fotons passam por segundo atraves de uma area transversal de um feixe laser tendouma potencia de P = 1 nW?

1.3.2.2 Ex: Lambert-Beer

Mostre a validade da Eq. (1.66).

1.3.2.3 Ex: Saturacao

Supoe que um feixe de luz com intensidade I0 entra numa celula cheia de um gas na posicao z0.Mostre a partir da Eq. (1.55) utilizando a generalizacao Eq. (1.56) que, com alta potencia talque B21uω A21, a intensidade do feixe diminue linearmente com a distancia tal que

I(χ) − I(χ)0 = −g2

g1nA21~

[∫ ω0+∆/2

ω0−∆/2ωL(ω)dω

](z − z0) .

Capıtulo 2

Excitacao de transicoes atomicas

No capitulo anterior introduzimos os coeficientes de Einstein A e B que associamos com adistribuicao espectral de Planck da radiacao do corpo negro. Esse procedimento nos permitiude conectar os coeficientes de transicoes espontanea e estimulada, mas nao forneceu qualquermetodo para calcular-lhes a partir de propriedades intrınsecas dos atomos. O objetivo dessecapıtulo e de achar expressoes para as taxas de absorcao e de emissao atomica de radiacao usandoa mecanica quantica e de relaciona-lhes com os coeficientes de Einstein. Como para todas taxas,vamos achar que esses taxas devem ser exprimidas em termos de probabilidades de absorcao ede emissao. Varias disciplinas como a espectrometria, espectroscopia e a astrofısica tem sidodesenvolvido as suas proprias terminologias para descrever esses propriedades de absorcao eemissao da materia. Vamos explicar como os parametros mais frequentemente utilizados saointerrelacionados. No entanto, vamos restringir para o mais simples de todos os sistemas: oatomo de dois nıveis nao degenerados e sem spin.

2.1 Tratamento semiclassico

Num modelo de um atomo isolado, os nıveis de energia do atomo sao autoestados do hamilto-niano e descrevem o sistema completamente. Assim, eles nao sofrem qualquer evolucao. Paradescrever com precisao um atomo tem de se considerar sua ligacao ao campo eletromagnetico dovacuo. O sistema completa tem autoestados diferentes e a projecao deles sobre os autoestadosnao perturbados muda com o tempo. Vamos mostrar no seguinte, que um estado atomico exci-tado tem uma probabilidade constante, dependendo do acoplamento ao campo eletromagnetico,para decair para outro estado. Assim, a probabilidade de medir um especifico tempo de vidasegue uma distribuicao de Poisson.

2.1.1 Equacoes de Schrodinger para o atomo de dois nıveis

Para comecar definimos o sistema atraves do hamiltoniano, que dividimos numa parte atomicaHa e uma parte descrevendo a interacao do atomo com o campo luminoso, V (r, t),1

H = Ha + V (t) . (2.1)

A equacao de Schrodinger dependente do tempo e,

HΨ(r, t) = i~dΨ(r, t)

dt. (2.2)

1A energia do campo da luz nao entra no hamiltoniano, pois e considerada como classica, isto e, essa energiacomuta com as outras observaveis do sistema.

15

16 CAPITULO 2. EXCITACAO DE TRANSICOES ATOMICAS

Consideramos agora a interacao como perturbacao e resolvemos primeiro a equacao nao-perturbada,

HaΨ(r, t) = i~dΨ(r, t)

dt, (2.3)

utilizando o ansatzΨn(r, t) = e−iEnt/~ψn(r) = e−iωntψn(r) , (2.4)

onde os ψn(r) sao as solucoes estacionarias para o nıvel n. A equacao de Schrodinger indepen-dente do tempo agora fica

Haψn(r) = Enψn(r) . (2.5)

Agora, ligamos a luz, inserindo um termo dependente do tempo, no hamiltoniano que tornara-se proporcional ao campo classico oscilante com frequencia nao longe de ω2 − ω1. Utilizando aTeoria de Perturbacao Independente do Tempo (TPIT) vemos que o estado do sistema torna-seuma combinacao linear dependente do tempo de dois estados estacionarios,

Ψ(r, t) = C1(t)ψ1(r)e−iω1t + C2(t)ψ2(r)e−iω2t , (2.6)

que queremos ser normalizada,∫|Ψ(r, t)2dV = |C1(t)|2 + |C2(t)|2 = 1 . (2.7)

Agora, se substituimos a funcao de onda dependente do tempo (2.6) de volta dentro da equacaode Schrodinger (2.2), multiplicamos o lado esquerda com ψ∗1e

iω1t, e integramos sobre o espacotodo, obtemos

C1

∫ψ∗1V ψ1d

3r + C2e−iω0t

∫ψ∗1V ψ2d

3r = i~dC1

dt, (2.8)

pois, como as funcoes de onda sao ortogonais,∫ψ∗1ψ2d

3r = 0. Daqui para frente, abreviaremos

os elementos da matriz V11 =∫ψ∗1V ψ1d

3r e V12 =∫ψ∗1V ψ2d

3r, tal que

C1V11 + C2e−iω0tV12 = i~

dC1

dt, (2.9)

e similarmente para C2,

C1eiω0tV21 + C2V22 = i~

dC2

dt. (2.10)

Esses duas equacoes acopladas definem o problema, e as suas solucoes C1 e C2 definem a evolucaotemporal da funcao de onda do estado (2.6). Obviamente, cada grandeza mensuravel e relacio-nada a |Ψ(r, t)|2. Por consequencia estamos mais interessados em |C1(t)|2 e |C2(t)|2 do que nasamplitudes em se.2

2Alternativamente, podemos exprimir as equacoes na formulacao bra-ket de Dirac,

|Ψ(t)〉 = C1(t)e−iω1t|ψ1〉+ C2(t)e−iω2t|ψ2〉 .

Inserindo na equacao de Schrodinger e multiplicando com 〈ψ1| e 〈ψ2| respectivamente,

〈ψ1|i~d

dt|Ψ〉 = 〈ψ1|[Ha + V (r, t)]|Ψ〉

i~ ddtC1e

−iω1t = 〈ψ1|Ha|Ψ〉+ 〈ψ1|V (r, t)|Ψ〉

i~e−iω1t dC1

dt+ ~ω1e

−iω1tC1 = E1C1e−iω1t + V11C1e

−iω1t + V12C2e−iω2t

i~dC1

dt= V11C1 + V12C2e

−iω0t .

2.1. TRATAMENTO SEMICLASSICO 17

2.1.2 Operador de acoplamento do campo radiativo

Uma fonte de radiacao monomode, como um laser, alinhado ao longo do eixo z, produz umaonda eletromagnetica com amplitude E0, polarizacao e e frequencia ω,

E = eE0 cos(ωt− kz) . (2.11)

Agora, comprimentos de onda tıpicos na regiao visıvel do espectro, p.ex. λ = 600 nm, saobem mais longos do que o tamanho caracterıstico de um atomo (∼ aB). Portanto, dentro doalcance da interacao entre o atomo e o campo, o termo kz (' kaB) no argumento do coseno edesprezıvel, e podemos considerar o campo como tendo uma amplitude constante na regiao doatomo. Podemos, portanto, fazer a aproximacao dipolar, onde o termo dominante da interacaoentre o atomo e o campo optico e o produto escalar do dipolo atomico instantaneo, definidocomo

d = −er = −e∑j

rj , (2.12)

onde os rj sao os raios dos varios eletrons do atomo, e o campo eletrico E na equacao acimadefine um dipolo classico. O operador quantico correspondente e

d = −er = −e∑j

rj , (2.13)

e

V = −d ·E . (2.14)

Note, que o operador V tem paridade ımpar a respeito da coordenada do eletron r, tal que oselementos da matriz V11 e V22 devem necessariamente desaparecer, pois |ψj(r)|2 e uma funcaopar. Por consequencia, somente estados atomicos de paridades diferentes podem ser acopladospela interacao dipolar. A expressao explicita para V12 e

V12 = eE0r12 cos(ωt) , (2.15)

com

r12 =

∫ψ∗1

∑j

rj · e

ψ2dV . (2.16)

O elemento da matriz do momento dipolar da transicao e definido como

d12 ≡ er12 . (2.17)

A equacao (2.16) descreve o vetor das coordenadas eletronicas resultante sumado sobre todosos eletrons e projetado sobre a direcao do campo eletrico da onda optica. E conveniente coletartodas essas quantidades escalar dentro de um termo

Ω =d12E0

~=eE0r12

~. (2.18)

Portanto, temos finalmente

V12 = ~Ω0 cosωt . (2.19)


2.1.3 Calculo dos coeficientes de Einstein

Podemos agora voltar para as nossas equacoes acopladas (2.9)-(2.10) e escrever elas assim,

Ω cosωte−iω0tC2 = idC1

dte Ω∗ cosωteiω0tC1 = i

dC2

dt. (2.20)

Supomos as condicoes de contorno iniciais C1(t = 0) = 1 e C2(t = 0) = 0 e lembramos que|C2(t)|2 exprime a probabilidade de encontrar no tempo t a populacao no estado excitado.Agora, a taxa de aumento dessa probabilidade e dada por |C2(t)|2/t, mas a taxa de excitacaodescrito pela expressao fenomenologica de Einstein (1.29) e justamente B12uω. Para achar olink entre o coeficiente de Einstein B e V12, igualizamos as quantidades,

B12uω =|C2(t)|2

t, (2.21)

e buscamos a solucao C2(t) a partir da equacao (2.20) e as solucoes iniciais.

No regime do campo fraco, onde so termos lineares em Ω sao importantes, temos

C2(t) =Ω∗

2

[1− ei(ω0+ω)t

ω0 + ω+

1− ei(ω0−ω)t

ω0 − ω

]. (2.22)

Se a frequencia ω da onda incidente se aproxima da frequencia de ressonancia da transicao ω0,a funcao exponencial do primeiro termo oscilara com uma frequencia aproximadamente dupla,2ω0 (∼ 1015 s−1), muito rapido em comparacao com a taxa caracterıstica do acoplamento opticofraco (∼ 108 s−1). Portanto, no tempo da transicao, o primeiro termo na Eq. (2.22) sera pequenoem comparacao com o segundo. Em boa aproximacao podemos escrever,

C2(t) ' Ω∗

2

1− ei(ω0−ω)t

ω0 − ω. (2.23)

Esse expressao e chamada aproximacao da onda rotatoria (rotating wave approximation, RWA).Temos agora,

|C2(t)|2 = |Ω|2 sin2[(ω0 − ω) t2 ]

(ω0 − ω)2, (2.24)

e quando ω → ω0, aplicando a regra de l’Hopital, obtemos

|C2(t)|2 = 14 |Ω|2t2 . (2.25)

Mais uma vez, para chegar ate uma relacao pratica relacionando |C2(t)|2 ao coeficiente deEinstein B, devemos considerar o fato que a fonte de luz sempre tem uma largura finita doespectro da emissao. O fonte pode ser, por exemplo, uma lampada de arco de banda larga ou asaida de um monocromador acoplado num sincrotron ou um laser monocromatico e monomodocom um banda de emissao mais fina do que a largura natural da transicao atomica. Portanto,escrevendo a densidade de energia do campo como um integral sobre a densidade espectral deenergia da fonte de luz perto da frequencia de transicao,

12ε0E2

0 =

∫ ω0+12 ∆ω

ω0−12 ∆ω

uωdω , (2.26)

2.1. TRATAMENTO SEMICLASSICO 19

onde as limites da integracao, ω0± 12∆ω, referem-se a largura espectral da fonte, e reconhecendo

com a Eq. (2.24) que

|C2(t)|2 =

(eE0r12

~

)2 sin2[(ω0 − ω) t2 ]

(ω0 − ω)2, (2.27)

podemos agora substituir o E20 dentro da Eq. (2.26) pela expressao dada pela Eq. (2.27),

|C2(t)|2 =e22r2

12

ε0~2

∫ ω0+12 ∆ω

ω0−12 ∆ω

uωsin2[(ω0 − ω) t2 ]

(ω0 − ω)2dω . (2.28)

Para fontes convencionais com bandas de emissao largas, podemos sem problema supor umadensidade de energia constante perto da transicao atomica, uω ' uω0 . Para uma excitacaocontınua razoavelmente larga, t(ω0 − ω) 1, vale∫ ∞

−∞

sin2[(ω0 − ω) t2 ]

(ω0 − ω)2dω =

πt

2, (2.29)

e a expressao para a probabilidade de achar o atomo no estado excitado fica

|C2(t)|2 =e2πr2

12

ε0~2uω0t . (2.30)

Lembrando que Eq. (2.21) fornece uma ponte entre expressoes quanticas e classicas para ataxa de excitacao, podemos agora escrever o coeficiente de Einstein em termos do momento detransicao quantico,

B12uω0 =|C2(t)|2

t=e2πr2

12

ε0~2uω0 (2.31)

ou

B12 =e2πr2

12

ε0~2. (2.32)

Agora, so faltam dois detalhes para obter o resultado final: primeiro, assumindo que os atomosse movem aleatoriamente dentro de um espaco confinado, precisamos calcular o valor mediodas orientacoes dos momentos dipolares em todas direcoes espaciais a respeito da polarizacao docampo da luz. A Eq. (2.16) definiu r12 como sendo a projecao do momento de transicao na mesmadirecao como a polarizacao do campo eletrico. Segundo, em atomos reais, os nıveis basicos eexcitados frequentemente tem varios estados degenerados. Portanto, precisamos considerar asdegenerescencias g1 e g2 dos nıveis. O valor medio de r2

12 sobre todos angulos de orientacoes esimplesmente,

〈|r12|2〉 = r212〈cos2 θ〉 = r2

12

∫ 2π0

∫ π0 cos2 θ sin θdθdφ∫ 2π

0

∫ π0 sin θdθdφ

= 13r

212 . (2.33)

Portanto, temos finalmente

B12 =e2πr2

12

3ε0~2, (2.34)

ou em termos do elemento da matriz do momento de transicao, com a Eq. (2.17),

B12 =πd2

12

3ε0~2. (2.35)


Alem disso, sabemos que o coeficiente B de Einstein para emissao estimulada e relacionadocom o coeficiente de absorcao, tal que

B21 =g1

g2B12 =

g1

g2

πd212

3ε0~2, (2.36)

e tambem temos a expressao importante seguindo da Eq. (1.35):

A21 =g1

g2

ω30d

212

3πε0~c3. (2.37)

Portanto, as expressoes para as taxas de absorcao e de emissao estimulada e espontanea todassao simplesmente relacionadas, em termos de constantes fısicas universais, com propriedadesatomicas, isto e, a frequencia ω0 e o momento dipolar d12 da transicao.

2.2 Relacoes entre momentos de transicao e outras grandezas

Alem dos coeficientes de Einstein A21, B21 e B12, da amplitude do momento dipolar de transicaod12 e da secao cruzada de absorcao σ0a(ω), tres outras grandezas sao as vezes utilizadas paracaracterizar transicoes atomicas: a forca de oscilador f , a forca da linha S e a secao cruzadaespectral de absorcao σω.

2.2.1 Forca de linha

A forca da linha S e definida como quadrado do momento dipolar da transicao somado sobretodas degenerescencias nos estados fundamental e excitado

S12 = S21 =∑m1,m2

|〈ψ1,m1 |d|ψ2,m2〉|2 . (2.38)

A forca da linha fica significativa quando trabalhamos com atomos reais com estados fundamen-tais e excitados degenerados. Nesses casos devemos estender a nossa ideia de d12 para considerarelementos individuais da matriz de transicao dipolar entre cada um dos subnıveis degenerados.Para um atomo de dois nıveis nao degenerado, os d12 e A21 sao simplesmente relacionados por

A21 =ω3

0

3πε0~c3d2

12 . (2.39)

Caso que o nıvel inferior seria degenerado, o calculo do coeficiente de taxa de emissao espontaneaseria a soma de todas as taxas de todas transicoes radiativas para baixo. Nesse caso, d2

12

e definido como soma dos elementos da matriz de acoplamento entre o estado excitado e osestados inferiores,

d212 =

∑m1

|〈ψ1,m1 |d|ψ2〉|2 . (2.40)

Agora, pode ser demonstrado que a taxa de emissao espontanea a partir de qualquer subnıvel deum estado excitado degenerado para um nıvel inferior (isto e, a soma sobre todos os subnıveisinferiores), e a mesma para todos subnıveis excitados.3 Essa afirmacao reflete a ideia intuitiva-mente plausıvel que a emissao espontanea deve ser isotropica e nao-polarizada se os subnıveis

3Isso vale para subnıveis Zeeman (somar os coeficientes (3j)). Verificar para outras degenerescencias (somartambem sobre os coeficientes 6j).

2.2. RELACOES ENTRE MOMENTOS DE TRANSICAO E OUTRAS GRANDEZAS 21

do estado excitado sao uniformemente populados. Portanto, a insercao de Eq. (2.40) em (2.39)deveria produzir resultados corretos mesmo quando o estado excitado ficar degenerado. Com-parando a soma sobre todas as degenerescencias superiores e inferiores com a forca da linha,

S12 =∑m1,m2

|〈ψ1,m1 |d|ψ2,m2〉|2 = g2d212 . (2.41)

Portanto, a insercao de Eq. (2.41) em (2.39) deve ser acompanhada por um fator 1/g2 paracorrigir o fato de que todos subnıveis excitados radiam com a mesma taxa. Portanto, usando oS12 da Eq. (2.41) a expressao correta relacionando o dıpolo de transicao entre nıveis degeneradosa taxa de emissao espontanea fica

S12 = g23πε0~c3

ω30

A21 , (2.42)

significando que a forca da linha e proporcional a soma das taxas de emissao espontanea A21 decada nıvel excitado (sao g2) para todos os nıveis fundamentais.

2.2.2 Forca de oscilador

Para um atomo de dois nıveis separados por uma energia ~ω0 a forca de oscilador para emissaoe definida como medida para a taxa de decaimento radiativo A21 em comparacao com a taxa dedecaimento radiativo γe de um oscilador eletronico classico em ω0:

f21 = −1

3

A21

γe. (2.43)

No caso de degenerescencias a forca de oscilador para absorcao e logicamente definida por

f12 = −g2

g1f21 =

g2

3g1

A21

γe. (2.44)

As transicoes S ←→ P em atomos reais se comportam aproximadamente como osciladoresclassicos, isto e, A21 ' γe. O fator 1

3 na definicao compensa para a degenerescencia triplados nıveis P . Assim uma transicao S ←→ P que se comporta exatamente como um osciladorclassico seria caracterizada por uma forca de oscilador para emissao de f21 = −1

3 e uma forcade oscilador para absorcao de f12 = 1. A expressao classica do modelo de Lorentz para γe e4

γe =e2ω2

0

6πε0mec3. (2.45)

Portanto, em termos do coeficiente A21 e de constantes fundamentais, a forca de oscilador paraabsorcao e dada por

f12 = A212πε0mec

3

e2ω20

. (2.46)

Forcas de osciladores obedecem certas regras de adicao que sao uteis para analisar as intensidadesrelativas de linhas espectrais atomicas. Por exemplo, atomos de um unico eletron (que sao maisperto da situacao classica) obedecem a seguinte regra de adicao∑

k

fik = 1 , (2.47)

4Ver [4].


onde a adicao vai sobre todos os estados excitados a partir do estado fundamental. Atomos dealkaline sao aproximadamente sistemas de um eletron, e a forca de oscilador da primeira transicaoS −→ P e tipicamente do ordem de f12 = 0.7−0.95. A regra de soma nos diz que a maior parteda probabilidade de transicao total para excitacao do eletron de valencia esta concentrada naprimeira transicao S −→ P e que transicoes para estados superiores serao comparativamentemais fracos. Uma outra regra de adicao existe para excitacao e emissao espontanea a partir deestados intermediarios excitados j: ∑

i<j

fji +∑k>j

fjk = Z , (2.48)

que se chama a regra de adicao de Thomas-Reiche-Kuhn. Na forma de muitos eletrons [Eq. (2.48)]essa regra esta bem util quando Z e o numero de eletrons equivalentes, isto e, eletrons com osmesmos numeros quanticos n, l. Note tambem, que os numeros sao intrinsecamente negativos.Forcas de osciladores sao frequentemente utilizados em astrofısica e espectroscopia de plasmas.5

Elas sao as vezes tabeladas como log gf , onde

g1f12 = −g2f21 ≡ gf . (2.49)

2.2.3 Secoes cruzadas

A secao cruzada de absorcao σω e associada com um feixe de luz se propagando atraves de ummeio que absorve e espalha a luz por emissao espontanea. Se trata simplesmente da razao dapotencia absorvida e do fluxo propagante no intervalo de frequencia entre ω e ω + dω:

σω =P (ω)

Iω. (2.50)

A partir das Eqs. (1.34) e (1.35) podemos escrever,

P (ω) = ~ωB12uω = ~ωg2

g1

π2c3

~ω3A21uω , (2.51)

e a partir das Eqs. (1.10) e (1.13) podemos escrever,

Iω = cuω . (2.52)

Portanto, a secao cruzada ”espectral”, que tem a unidade m2/s, e

σω =g2

g1

π2c2

ω2A21 . (2.53)

Disso achamos a secao cruzada real de absorcao σ0a(ω) multiplicando σω com a funcao de perfilde linha L(ω−ω0). O sufixo a denota absorcao. Assumindo uma funcao lorentziana normalizadacom a largura A21,

L(ω − ω0) ≡ A21

2π

1

(ω − ω0)2 + (A21/2)2, (2.54)

e substituindo ω por ω0 na Eq. (2.53) obtemos

σ0a(ω) =g2

g1

c2

ω20

πA221

2

1

(ω − ω0)2 + (A21/2)2= 3

λ20

2π

A221

4(ω − ω0)2 +A221

. (2.55)

5Para encontrar informacoes sobre as linhas de transicoes atomicas ver”http://www.nist.gov/pml/data/asd.cfm”.

2.2. RELACOES ENTRE MOMENTOS DE TRANSICAO E OUTRAS GRANDEZAS 23

A segunda forma vale para transicao quasi-classica, 3g1 = 3 = g2. A substituicao de ω0 porω e justificada porque a secao cruzada espectral e bem concentrada em torno de ω0. A secaocruzada total de absorcao, que e apropriada para excitacao de larga banda recobrindo o perfilda linha inteiro, e obtida multiplicando σω na Eq. (2.53) com o perfil 2π

A21L(ω−ω0) e integrando

sobre a largura espectral,

σ0a =

∫ ∞−∞

g2

g1

π2c2

ω20

2πL(ω − ω0)dω =

∫ ∞−∞

σω2π

A21L(ω − ω0)dω (2.56)

=g2

g1

π2c2

ω20

A21

∫ ∞−∞

dω

(ω − ω0)2 + (A21/2)2.

O resultado e

σ0a =g2

g1

2π3c2

ω20

=g2

g1

πλ20

2, (2.57)

o que e consistente com a Eq. (1.67). Obtemos a secao cruzada para emissao substituindoB21 = g1

g2B12 para B12 na Eq. (2.51):

σ0e =2π3c2

ω20

=g1

g2σ0a . (2.58)

2.2.4 Susceptibilidade e polarizacao

Tudo o que desenvolvemos ate agora envolve o acoplamento de um campo optico monomodocom um atomo de dois nıveis. Para esse sistema a equacao de Schrodinger seria perfeitamenteadaptada. Si queremos incluir a emissao espontanea precisamos o formalismo da matriz dedensidade. As equacoes (2.20) nao respeitam o fato de que o estado excitado esta acopladonao so ao campo da luz incidente (com a frequencia ω), mas tambem com todos os modosdo vacuo eletromagnetico. Para tomar em conta a emissao espontanea precisamos voltar paraa Sec. 1.5 e recalcular o coeficiente de absorcao K [Eqs. (1.49), (1.70)] a partir da relacaoentre a susceptibilidade e a polarizacao, Eq. (1.37). Afim de obter uma nova expressao para asusceptibilidade vamos escrever a polarizacao em termos de um conjunto de dipolos de transicaoindividuais. Nos vamos usar as solucoes para os coeficientes de atomos de dois nıveis acoplados,Eqs. (2.20). No entanto, iremos modificar a expressao para C2, adicionando um termo quereflete a emissao espontanea do estado superior. A expressao resultante para a susceptibilidade(e, portanto, o coeficiente de absorcao) vai refletir o tempo de vida ’natural’ finito do estadosuperior. Para a presente discussao estamos apenas preocupados com a dependencia temporalda onda optica real que nos escrevemos,

E(t) = E0 cosωt = 12 [eiωt + e−iωt] . (2.59)

e depois consideramos, como escrever a polarizacao em termos da susceptibilidade quando ocampo contem duas frequencias conjugadas, ±ω. Substituindo na Eq. (1.37), temos

P(t) = 12ε0E0[χ(ω)eiωt + χ(−ω)e−iωt] . (2.60)

A polarizacao tambem pode ser exprimida em termos da densidade dos dipolos de transicaonum gas de atomos de dois nıveis,

P(t) =N

Vd12(t) −→ N

V〈d12(t)〉 . (2.61)


onde d e o dipolo de transicao de apenas um atomo, N = V e a densidade atomica e o valoresperado quantico para o momento dipolar de transicao e a versao vetorial da Eq. (2.16)

〈d12〉 = −e∫

Ψ∑j

rjΨd3r . (2.62)

Agora, a partir de Eq. (2.6)

〈d12〉 = −e

C∗1C2〈ψ1|∑j

rj |ψ2〉e−iω0t + C1C∗2 〈ψ2|

∑j

rj |ψ1〉eiω0t

. (2.63)

Para simplificar a notacao definimos 〈rmn〉 ≡ 〈ψm|∑

j rj |ψn〉 e obtemos

〈d12〉 = −e[C∗1C2〈r12〉e−iω0t + C1C∗2 〈r21〉eiω0t] . (2.64)

Agora, so precisamos substituir as solucoes das equacoes acopladas relacionando C1 e C2 dasEqs. (2.20) em (2.64) que, em torno, pode ser inserido dentro da equacao (2.60). Obtemos assimuma expressao para a polarizacao em termos de propriedades atomicas e do campo incidente.No entanto, a solucao para C2, Eq. (2.22), nao considere a emissao espontanea. Agora, vamosintroduzir uma modificacao ad hoc da Eq. (2.20) para incluir uma constante de perdas radiativasγ,

Ω∗ cosωteiω0tC1 − iγC2 = idC2

dt. (2.65)

Esse termo considere NAO EXPLICA a emissao espontanea. Simplesmente toma em conta aexistencia do efeito e caracteriza a sua amplitude atraves de γ: Se o campo incidente e desligado(Ω∗ = 0)

−iγC2 = idC2

dt(2.66)

eC2(t) = C2(0)e−γt . (2.67)

Agora a probabilidade de encontrar o atomo no estado excitado, ou a fracao de atomos excitadose

N2/N = |C2(t)|2 = |C2(0)|2e−2γt . (2.68)

Comparando esse comportamento com o resultado obtido da equacao de taxas de Einstein,vemos imediatamente

A21 = 2γ ≡ Γ . (2.69)

Agora a solucao para o nosso coeficiente C2(t) melhorado e

C2(t) = −12Ω∗

[ei(ω0+ω)t

ω0 + ω − iγ +ei(ω0−ω)t

ω0 − ω − iγ

]. (2.70)

Fazendo a aproximacao do campo fraco, C1(t) ' 1, substituindo os valores obtido para C1,2

no dipolo de transicao (2.64) e substituindo o medio das orientacoes, |〈r12〉|2 −→ 13 |〈r12〉|2, na

polarizacao (2.61), obtemos

P(t) =N

V

e2|〈r12〉2E0

6~

[eiωt

ω0 + ω − iγ +eiωt

ω0 − ω + iγ+

e−iωt

ω0 − ω − iγ+

e−iωt

ω0 + ω + iγ

]. (2.71)

2.3. TRANSICOES MAGNETICAS E MULTIPOLARES 25

Comparamos esse resultado com a Eq. (2.60) e identificamos a susceptibilidade χ(ω) em termosdas propriedades atomicas e da frequencia do campo incidente,

χ(ω) =Ne2|〈r12〉|2

3ε0~V

[1

ω0 − ω − iγ+

1

ω0 + ω − iγ

](2.72)

=Ne2|〈r12〉2

3ε0~V

[ω0 − ω

(ω0 − ω)2 + γ2+

ω0 + ω

(ω0 + ω)2 + γ2+ iγ

(1

(ω0 − ω)2 + γ2+

1

(ω0 + ω)2 + γ2

)].

Em qualquer situacao pratica no laboratorio ω nunca sera dessintonizada mais do que alguns100 GHz de ω0, portanto |ω0 − ω| . 1011 Hz. Com frequencias opticas ω ' 1015 Hz, fica claroque o segundo termo do lado direito da Eq. (2.72) sera negligenciavel em comparacao com oprimeiro. Portanto, podemos descartar o segundo termo e escrever a susceptibilidade como

χ(ω) ' Ne2|〈r12〉|23ε0~V

1

ω0 − ω − iγ=

Nd212

3ε0~V−∆ + iΓ/2

∆2 + (Γ/2)2=n~Ω2

3ε0E20

−∆ + iΓ/2

∆2 + (Γ/2)2. (2.73)

Identificamos as partes reais e imaginarias, χ = χ′ + iχ′′, e exprimimos a partir da Eq. (1.49) ocoeficiente de absorcao como

K =ω

cηχ′′(ω) =

πNd212ω0

3ε0~cVΓ/2π

∆2 + (Γ/2)2=πNd2

12ω0

3ε0~cVL(ω − ω0) . (2.74)

O fator de perfil lorentziano governa a dependencia de frequencia do coeficiente de absorcao.Vemos que K exibe um pico na frequencia de ressonancia ω0 e uma largura de Γ. O fator de πinserido no numerador e denominador do membro direito da Eq. (2.74) permite a normalizacaodo perfil. Temos tambem assumiu na Eq. (2.74) que o gas e suficientemente diluıdo para η ' 1e que a linha e suficientemente estreita para poder substituir ω com ω0, tal que

ω

cη−→ ω0

c. (2.75)

A secao transversal de absorcao tambem exibe a mesma forma da linha, ja que desde asEqs. (1.70) e (2.74) temos

σ0a =πd2

12ω0

3ε0~cVL(ω − ω0) , (2.76)

consistente com a nossa expressao anterior para a dependencia de frequencia da secao transversalde absorcao, Eq. (2.55). Podemos tambem escrever a componente imaginaria da susceptibilidadeem termos da secao transversal usando as Eqs. (1.70) e (2.74)

χ′′ =cN

ω0Vσ0a . (2.77)

2.3 Transicoes magneticas e multipolares

2.4 Exercıcios

2.4.1 Tratamento semiclassico

2.4.1.1 Ex: Equacoes de taxas de Einstein

Mostre que a solucao das equacoes (2.20) e dada pelo resultado (2.22) utilizando a aproximacaopara tempos curtos, C1 ' 1.


2.4.1.2 Ex: Atomos numa cavidade optica

a. Considere uma cavidade optica fechada a temperatura T = 600C. A cavidade tem a formade um tubo com 1 m de comprimento e 3 cm de diametro. Calcule a energia total da radiacaodo corpo negro dentro da cavidade.b. Dentro da cavidade tem um gas com atomos de estroncio (1 nıvel fundamental e 3 nıveisexcitados degenerados, λ = 461 nm). Utilizando a expressao (1.28), calcule o numero de atomosexcitados em equilıbrio termico, para uma pressao parcial do gas de estroncio de 10−3 mbar.c. Calcule a densidade optica para um laser em ressonancia com a transicao atravessando acavidade ao longo do eixo de simetria.

2.4.2 Relacoes entre momentos de transicao e outras grandezas

2.4.2.1 Ex: Solucao para susceptibilidade

Mostre que a solucao da Eq. (2.65) e dada pelo resultado (2.70).

2.4.2.2 Ex: Largura da banda de absorcao

O ressonador de um laser de corante com uma grande largura da banda de emissao contemadicionalmente um gas (denso) absorvente. O espectro de absorcao do gas e lorentziano comuma largura de 3 GHz e o coeficiente de absorcao tem, no meio da linha de absorcao (em 600nm), o valor 0.2. Quais sao as distancias espectrais maximas e mınimas relativas ∆f/∆f0 dosnumeros modos axiais no intervalo espectral da absorcao, em comparacao com as distancias ∆f0

do ressonador vazio?

2.4.2.3 Ex: Frequencia de Rabi

A partir da expressao para o momento dipolar d e da relacao entre a intensidade I e o campoeletrico deriva a frequencia de Rabi Ω produzida por um feixe laser de intensidade I excitandouma transicao atomica dipolar com o comprimento de onda λ e largura de decaimento Γ.

2.4.2.4 Ex: Potencia do modo de um feixe gaussiano

Derive a expressao para a potencia do modo de um feixe gaussiano.

2.4.2.5 Ex: Volume do modo de um feixe gaussiano

Derive a expressao para o volume do modo de um feixe gaussiano.

2.4.3 Transicoes magneticas e multipolares

Capıtulo 3

As equacoes de Bloch e a opticaquantica

Ate agora concentramos em campos luminosos de baixa amplitude, bandas largas de emissao,com fases incoherentes, que interagem fracamente com um atomo ou um gas diluıdo. A for-mula (2.31) permitiu calcular a probabilidade de encontrar um atomo de dois nıveis no estadoexcitado. Mas esses expressoes foram obtidas calculando a media sobre a largura espectral da li-nha, ignorando qualquer relacao de fase entre o campo incidente e o dipolo excitado e assumindobasicamente uma depopulacao do estado fundamental desprezıvel. Para a primeira metade doseculo 20 esses suposicoes corresponderam as fontes de luz disponıveis, geralmente lampadasincandescentes, de arco ou de descarga de plasma. Depois da invencao do laser em 1958, lasersmonomodos e pulsados rapidamente substituıram as lampadas como fonte comum de excitacaooptica. Esses novas fontes de luz iniciaram uma revolucao na ciencia optica, as consequencia daqual continuam reverberar atraves das ciencias modernas e tecnologias aplicadas.

As caracterısticas de fontes de laser sao bem superiores as antigas lampadas em todos osrespeitos. Eles sao intensas, colimadas, espectralmente finas e coerentes em fase. O laser temgerado uma multidao de novas tecnicas espectroscopicas e disciplinas novas, como a eletronicaquantica, o estudo das propriedades estatısticas da luz em optica quantica, o resfriamento opticoe o aprisionamento de partıculas microscopicas, o controle da reatividade quımica e novas tec-nologias para metodos de imagens e de microscopia de alta resolucao.

Devemos, portanto, examinar o que acontece quando o nosso atomo de dois nıveis interagecom essas fontes de luz espectralmente finas em comparacao a largura natural de transicoesopticas, e quando os estados tem uma polarizacao e uma fase bem-definidas e as intensidades saosuficientes para depopular significativamente o estado fundamental. Procuramos uma equacaoque descreve a evolucao temporal de atomos interagindos fortemente com um unico modo docampo de radiacao. Uma primeira tentativa para resolver esse problema poderia ser de utilizara equacao de Schrodinger, que descreve a evolucao temporal do estado de qualquer sistema. Defato, no caso que so estamos interessados em processos estimulados, como a absorcao de umaonda monocromatica, a equacao de Schrodinger seria suficiente. O problema e que queremosdecrever processos de relaxacao no mesmo tempo de que processos de excitacao, pois na maioriadas situacoes realistas, o atomo alcance um estado estacionario, onde a taxa de excitacao erelaxacao sao iguais. Emissao espontanea (e qualquer outro processo dissipativo) deve, portanto,ser incluıdo na descricao fısica da evolucao temporal do nosso sistema luz-atomo. Nesse caso,no entanto, nao temos mais um sistema restrito a um unico modo do campo luminoso e doisestados do atomo. Emissao espontanea popule uma distribuicao estatıstica de estados do campoluminoso e deixe o atomo numa distribuicao de estados de momento. Essa situacao nao podeser descrita por uma unica funcao de onda, mas so por uma distribuicao de funcoes de onda, eso podemos esperar calcular a probabilidade de encontrar o sistema dentro da distribuicao das

27

28 CAPITULO 3. AS EQUACOES DE BLOCH E A OPTICA QUANTICA

funcoes de ondas. A equacao de Schrodinger, portanto, nao se aplica mais, e precisamos buscara evolucao temporal de um sistema definido por um operador de densidade caracterizando umamistura estatıstica de estados quanticos. As equacoes de Bloch opticas descrevem a evolucaotemporal dos elementos da matriz desse operador de densidade, e portanto devemos usar-lhes emvez da equacao de Schrodinger. Para poder apreciar a origem e o conteudo fısico das equacoesde Bloch opticos comecamos repetindo os rudimentos da teoria de matriz de densidade.

3.1 Matriz de densidade


3.1.1 Definicao da matriz de densidade

Definimos o operador de densidade,

ρ ≡∑i

Pi|ψi〉〈ψi| , (3.1)

onde |ψi〉 e um dos conjuntos completos de estados ortonormais de um qualquer sistema. Temosuma distribuicao estatıstica desses estados ortonormais governada pela probabilidade Pi deencontrar |ψi〉 no conjunto. Obviamente,

∑i Pi = 1. Note, que o operador de densidade age

sobre um membro do conjunto |ψi〉 para produzir a probabilidade de encontrar o sistema em|ψi〉,

ρ|ψj〉 =∑i

Pi|ψi〉〈ψi|ψj〉 = Pj |ψj〉 . (3.2)

Se todos os membros do conjunto sao no mesmo estado, por exemplo |ψk〉, o operador dedensidade se reduz a

ρ = |ψk〉〈ψk| , (3.3)

e o sistema fica num estado puro com Pk = 1. Cada vez que um estado quantico pode serexprimido por uma funcao de onda so, se trata de um estado puro. Partindo da equacao (3.2)achamos os elementos na diagonale da matriz de densidade sendo a probabilidade de encontraro sistema em |ψj〉,

〈ψj |ρ|ψj〉 = Pj . (3.4)

Assumindo que todos os |ψi〉 sao ortonormais, os elementos off-diagonais sao necessariamentezero. Alem disso, ∑

i

〈ψi|ρ|ψi〉 = 1 . (3.5)

3.1.2 Density operator

The statistical operator ρ contains all informations about a system. If the state of the system isunknown, ρ describes the probability to find the system in each state. If the state is completelyknow, ρ describes a pure state, i.e. vector in the Hilbert space which is unambigously determinedby a complete set of observables with their respective quantum numbers

ρ ≡∑

kpkPk +

∫pλPλdλ (3.6)

where Pk ≡∑

m|km〉〈km and Pλ ≡

∫|λµ〉〈λµ|dµ .

3.1. MATRIZ DE DENSIDADE 29

The ensemble average is defined by:

〈X〉 ≡ TrρX =∑

k,m〈km|ρX|km〉 (3.7)

m and µ are degenerate quantum numbers, m,n are discrete and λ, µ are continuous quantumnumbers. The sets of quantum numbers are complete:∑

k,m|km〉〈km| = 1 =

∫|λµ〉〈λµ|dλdµ . (3.8)

The properties of the density operator are:

ρ = ρ+ (3.9)

〈ρ〉 ≥ 0

Trρ = 1

Trρ2 ≤ 1

det ρ = 0

TrAB = TrBA .

For a pure state:ρ = ρ2 . (3.10)

The degree of degeneracy of state |k〉 is TrPk =∑

m 1. The probability to find the system in

state |k〉 is 〈Pk〉 = pn∑

m 1.

3.1.3 Entropy

In a very general sense, the entropy determines in which direction a reversible process will go.It is related to the size of the available phase space on both sides of the reaction. For example,the coupling of discrete and continuous modes is ruled by entropy considerations.

The entropy is a measure for the lack of information of a system from which we only know〈H〉,

S ≡ −kB〈ln ρ〉 = −kB Tr (ρ ln ρ) . (3.11)

The information entropy of statistically independent systems ρ ≡ ρ1⊗ρ2 is additive S = S1 +S2.We can also define absolute temperatures by T−1 ≡ ∂S/∂〈H〉. The entropy of a pure stateis 0. Hamiltonian processes conserve the entropy as they describe a unitary non-dissipativetransformation. However, relaxation increases the entropy and the phase space volume. Anotherdefinition is the so-called purity or Renyi entropy

SR ≡ 〈1− ρ〉 = 1− Tr (ρ2) . (3.12)

3.1.4 Pure states

Pure states can exhibit coherences. For example, if we express a state |ψ〉 in a basis of eigenstates|1〉 and |2〉:

ρ = |ψ〉〈ψ| =(|〈ψ|1〉|2 〈1|ψ〉〈ψ|2〉〈2|ψ〉〈ψ|1〉 |〈ψ|2〉|2

). (3.13)

The evolution of such a state is described by the von Neumann equation:

i~∂tρ(t) = [H, ρ(t)] . (3.14)


The measurement process is not described by this equation. A pure state will always remain pure.If the eigenstates do not interact, the density operator remains diagonal. The von Neumannequation conserves the properties of Hermiticity, ρ = ρ+, completeness, Trρ = 1, and puritydet ρ = 0.

3.1.5 Mixtures

The density operator for a statistical mixture in a canonical ensemble (where S is maximal,U is variable, N is fixed) follows from a variational problem with the Lagrange parametersδ(S − kBα〈1〉 − kBβ〈H〉) = 0, because Trρ and 〈H〉 are fixed by boundary conditions. We find:

ρ = 1Z exp(−H/kBT ) (3.15)

Z ≡ Tr exp(−H/kBT ) .

We also have the average values 〈H〉 = −∂ lnZ/∂(1/kBT ) and (∆H)2 = −∂〈H〉/∂(1/kBT ). Allquantities are fixed except the kinetic energy, who equilibrates upon interaction with a heat bath.T is the unique equilibration parameter. The density operator follows a Boltzmann distribution,

U = 〈H〉 =p2

2m= − ∂

∂(1/kBT )ln

∫exp

(− p2

2mkBT

)dp =

kB2T . (3.16)

The various statistical ensembles are treated with more details in the context of BEC.

3.1.6 Representacao matricial

O seguinte passo e de desenvolver representacoes matriciais do operador de densidade expandindoos vetores dos estados |ψi〉 numa base completa ortonormal,

|ψi〉 =∑n

cni|n〉 =∑n

|n〉〈n|ψi〉 , (3.17)

onde a relacao de completeza e ∑n

|n〉〈n| = 1 , (3.18)

e

〈n|ψi〉 = cni (3.19)

e a projecao do vetor de estado |ψi〉 sobre o vetor da base |n〉. Agora, podemos escrever arepresentacao matricial do operador de densidade dentro da base |n〉 a partir da definicao deρ na Eq. (3.1) substituindo as expansoes de |ψi〉 e 〈ψi| na Eq. (3.19):

ρ =∑i

Pi|ψi〉〈ψi| =∑i

Pi∑m,n

|n〉〈n|ψi〉〈ψi|m〉〈m| =∑i

Pi∑m,n

cnic∗mi|n〉〈m| . (3.20)

Os elementos da matrix de ρ nessa representacao sao

〈n|ρ|m〉 =∑i

Picnic∗mi (3.21)

com os elementos diagonais

〈n|ρ|n〉 =∑i

Pi|cni|2 (3.22)


e

〈n|ρ|m〉∗ =∑i

Pic∗nicmi =

∑i

Pi〈m|ψi〉〈ψi|n〉 = 〈m|ρ|n〉 , (3.23)

o que significa que o operador ρ e hermitiano. Para um sistema muito simples como um unicoatomo com varios nıveis que, sem emissao espontanea pode ser descrito por uma unica funcaode onda |ψk〉, as equacoes (3.20), (3.21) e (3.22) reduzem para

ρ =∑m,n

cnkc∗mk|n〉〈m| , 〈n|ρ|m〉 = cnkc

∗mk , 〈n|ρ|n〉 = |cnk|2 . (3.24)

A soma dos elementos diagonais da matriz de representacao e chamada o traco de um opera-dor. Essa grandeza represente uma propriedade fundamental do operador de densidade, pois einvariante a respeito de qualquer transformacao unitaria da representacao:

Tr ρ ≡∑n

〈n|ρ|n〉 . (3.25)

Com a definicao do operador de densidade (3.1) podemos escrever a Eq. (3.25) como

Tr ρ ≡∑n,i

Pi〈n|ψi〉〈ψi|n〉 . (3.26)

Agora, usando a relacao de completeza,

Tr ρ ≡∑n,i

Pi〈ψi|n〉〈n|ψi〉 =∑i

Pi〈ψi|ψi〉 = 1 , (3.27)

o que mostra que o traco da representacao do operador de densidade e 1 independentemente dabase da representacao matricial.

Valores medios de amostras de observaveis sao exprimidos por

〈O〉 =∑i

Pi〈ψi|O|ψi〉 . (3.28)

Do outro lado,

ρO =∑i

Pi|ψi〉〈ψi|O , (3.29)

e na base |n〉,

〈n|ρO|m〉 = 〈n|∑i

Pi|ψi〉〈ψi|O|m〉 =∑i

Pi〈n|ψi〉〈ψi|O|m〉 =∑i

Pi〈ψi|O|m〉〈n|ψi〉 . (3.30)

Agora, ao longo da diagonale, temos

〈n|ρO|n〉 =∑i

Pi〈ψi|n〉〈n|O|ψi〉 . (3.31)

Com a relacao de fechamento sobre a base |n〉, temos agora

Tr ρO =∑i

Pi〈ψi|O|ψi〉 = 〈O〉 . (3.32)


A Eq. (3.32) diz que o medio de conjunto de uma qualquer observavel dinamica O pode sercalculada com os elementos diagonais da matriz do operador ρO: Desde que o traco e indepen-dente da base, cada transformacao unitaria levando a representacao matricial de uma base |n〉para outra |t〉 deixe o traco invariavel. Usando a definicao de uma transformacao unitariapodemos facilmente mostrar que o traco de uma permutacao cıclica de um produto e invariavel.Por exemplo,

Tr [ABC] = Tr [CAB] = Tr [BAC] , (3.33)

e em particular

Tr [ρO] = Tr [Oρ] = 〈O〉 . (3.34)

Resolva o Exc. 3.5.1.2, 3.5.1.3 e 3.5.1.4.

3.1.7 Representacoes de operadores

Veremos que as equacoes de Bloch opticas sao um conjunto de equacoes diferenciais relacionandoa dependencia temporal de varios elementos de matriz de um operador de densidade. Portanto,parece util rever representacoes comunemente utilizados da dependencia temporal dos operado-res, dos estados quanticos e de conjuntos de estados quanticos. As equacoes de Bloch podem terformas diferentes que dependem da representacao na qual elas sao exprimidas. A representacaode Schrodinger da evolucao temporal de um sistema quantico e exprimida pela equacao familiarde Schrodinger,

H|ψ(t)〉 = i~∂

∂t|ψ(t)〉 , (3.35)

na qual toda a dependencia temporal fica nas funcoes dos estados, e os operadores, que represen-tam variaveis dinamicas (energia, momento angular, posicao, etc.), sao independentes do tempo.Na representacao de Heisenberg toda a dependencia temporal explicita fica nos operadores, e asfuncoes dos estados sao independente do tempo. A representacao de interacao, que e um hıbridodas representacoes de Schrodinger e de Heisenberg, e apropriada para hamiltonianos da forma

H = H0 + V (t) , (3.36)

onde H0 e um hamiltoniano independente do tempo do estado nao-perturbado do sistema eV (t) e a interacao de acoplamento dependente do tempo, frequentemente um campo perturbanteoscilatorio.

3.1.7.1 O operador de evolucao temporal

Lembra-se da mecanica quantica elementar que o operador de evolucao temporal, U(t, t0), queage sobre o espaco ”ket”de um estado quantico para transformar-lo de um tempo inicial t0 ateum tempo mais tarde t:

U(t, t0)|ψ(t0)〉 = |ψ(t)〉 . (3.37)

Aqui sao alguns propriedades do operador de evolucao temporal. Para comecar, note que

U(t2, t0) = U(t2, t1)U(t1, t0) , (3.38)

onde t0 < t1 < t2. Note tambem, que a operacao temporal invertida

|ψ(t0)〉 = U(t0, t)|ψ(t)〉 (3.39)


junto com a multiplicacao do lado esquerdo com U−1(t, t0) na equacao (3.37) implica

U(t0, t) = U−1(t, t0) . (3.40)

O operador conjugado de evolucao temporal age sobre o espaco ”bra”:

〈ψ(t)| = 〈ψ(t0)|U †(t, t0) . (3.41)

Se o hamiltoniano e independente do tempo, podemos ver com uma integracao formal daEq. (3.36) que

U(t, t0) = e−iH(t−t0)/~ e U(t, t0)† = eiH(t−t0)/~ , (3.42)

tal que

|ψ(t)〉 = e−iH(t−t0)/~|ψ(t0)〉 e 〈ψ(t)| = 〈ψ(t0)|eiH(t−t0)/~ . (3.43)

A partir das Eqs. (3.42) vemos que U †U e uma constante independente do tempo que podemosnormalizar a 1,

U †(t, t0)U(t, t0) = 1 . (3.44)

Portanto,

U †(t, t0) = U(t, t0)−1 . (3.45)

A propriedade de unidade e importante, pois pode ser utilizada em transformacoes de simila-ridade para mudar a representacao de opradores de uma base ate uma outra. Se |ψ(t)〉 e umautoestado do hamiltoniano, podemos mostrar que

U(t, t0)|ψi(t)〉 = eiH(t−t0)/~|ψi(t)〉 = eiEi(t−t0)/~|ψi(t)〉 = eiω(t−t0)|ψi(t)〉 , (3.46)

e o mesmo para U †(t, t0) operando no espaco ”bra”.

3.1.7.2 Representacao de Heisenberg

Exprimimos a representacao de Heisenberg de operadores e estados quanticos atraves de umatransformacao unitaria da representacao de Schrodinger. Comecando com

|φ〉 = U †(t, t0)|ψ(t)〉 , (3.47)

estudamos a dependencia temporal de |φ〉 diferenciando ambos os lados da Eq. (3.47):

∂|φ〉∂t

=dU †(t, t0)

dt|ψ(t)〉+ U †(t, t0)

∂|ψ(t)〉∂t

. (3.48)

Do outro lado, com as definicoes de H e U nas Eqs. (3.35) e (3.37) sabemos

dU

dt=

1

i~HU e

dU †

dt= − 1

i~U †H , (3.49)

onde assumimos que o hamiltoniano e hermitiano, H = H†. Substituindo dU†

dt da Eq. (3.49) e∂|ψ(t)〉∂t da equacao de Schrodinger (3.35) dentro da Eq. (3.47) vemos que

∂|φ〉∂t

= 0 , (3.50)


ou, em outras palavras, a operacao de U †(t, t0) sobre |ψ(t)〉 remove qualquer dependencia tem-poral da funcao de onda |φ〉. Com a unitaridade e usando a Eq. (3.47) tambem temos

U(t, t0)|φ〉 = |ψ(t)〉 . (3.51)

Agora podemos escrever o elemento de matriz de um qualquer operador O,

〈ψ(t)|OS |ψ(t)〉 = 〈φ|U †(t, t0)OSU(t, t0)|φ〉 . (3.52)

Vemos que o elemento de matriz do operador O na representacao de Schrodinger com a basedependente do tempo |φ〉 e igual ao elemento de matriz do operador U †(t, t0)OSU(t, t0) narepresentacao de Heisenberg com a base independente do tempo. Podemos escrever

OH = U †(t, t0)OSU(t, t0) e U(t, t0)OHU†(t, t0) = OS , (3.53)

onde os subscritos S e H significam representacao de Schrodinger e de representacao de Heisen-berg, respectivamente.

Do mesmo jeito que a equacao de Schrodinger exprime a evolucao temporal de um estadoquantico naquele age um hamiltoniano na representacao de Schrodinger a equacao de Heisenbergexprime a evolucao temporal de um operador agindo sobre estados independentes do tempo narepresentacao de Heisenberg:

i~dOHdt

= i~d

dt

[U †(t, t0)OSU(t, t0)

]= i~

[dU †

dtOSU(t, t0) + U †OS

dU(t, t0)

dt

]. (3.54)

Substituindo das Eqs. (3.49) e (3.53) achamos

i~dOHdt

= −HU(t, t0)OSU†(t, t0) + U(t, t0)OSU

†(t, t0)H (3.55)

dOHdt

=i

~

[H, OH

].

Assim, a taxa temporal de mudanca de um operador na representacao de Heisenberg e dadapelo comutador desse operador com o hamiltoniano total do sistema. Note, que si um opera-dor representante de uma variavel dinamica comuta com o hamiltoniano na representacao deSchrodinger, tambem comutara com o hamiltoniano na representacao de Heisenberg e, portanto,com o conjunto completo das observaveis comutantes. Obtemos,

dOHdt

=i

~

[H, OH

]= 0 . (3.56)

3.1.7.3 Representacao de interacao

A representacao de interacao trata problemas onde o hamiltoniano total e composto de umaparte independente do tempo e uma parte dependente do tempo,

H = H0 + V (t) . (3.57)

Analogicamente a Eq. (3.43), definimos um operador de evolucao temporal em termos da parteindependente do tempo do hamiltoniano total.

|ψ(t)〉 = eiH0(t−t0)/~|ψ(t)〉 e O(t) = eiH0(t−t0)/~OSe−iH0(t−t0)/~ . (3.58)


Agora buscamos a dependencia temporal de estados quanticos e operadores in representacao deinteracao. A partir de (3.58) podemos obter a relacao inversa

|ψ(t)〉 = e−iH0(t−t0)/~|ψ(t)〉 , (3.59)

e a substituicao na equacao de Schrodinger (3.35) da

V (t)|ψ(t)〉 = i~∂

∂t|ψ(t)〉 . (3.60)

Vemos que na representacao de interacao, so o termo perturbativo do hamiltoniano controle aevolucao temporal. Pegando a derivada temporal dos dois lados da equacao definindo o operadorO na representacao de interacao a Eq. (3.58) resulta em

dO

dt=i

~[H0, O] . (3.61)

Portanto, vemos que a derivada temporal pode ser exprimida na forma de um comutador,parecida a equacao de Heisenberg (3.56), exceto que so o termo nao-perturbado do hamiltonianoencontra-se no argumento do operador do comutador.

3.1.8 Evolucao temporal do operador de densidade

Voltando para a definicao do operador de densidade (3.1) podemos exprimir a sua dependenciatemporal em termos de estados quanticos dependentes do tempo e do operador de evolucaotemporal,

ρ(t) =∑i

Pi|ψi(t)〉〈ψi(t)| =∑i

PiU(t, t0)|ψi(t0)〉〈ψi(t0)|U †(t, t0) . (3.62)

Escrevendoρ(t0) =

∑i

Pi|ψi(t0)〉〈ψi(t0)| , (3.63)

vemos imediatamenteρ(t) = U(t, t0)ρ(t0)U †(t, t0) , (3.64)

e para o caso comum de um hamitoniano independente do tempo,

ρ(t) = e−iH(t−t0)/~ρ(t0)eiH(t−t0)/~ . (3.65)

Agora achamos a derivada temporal do operador de densidade diferenciando os dois lados de(3.64) e substituindo as Eqs. (3.49) para as derivadas temporais U e U †. O resultado e

dρ(t)

dt=i

~[ρ(t), H] . (3.66)

O comutador mesmo pode ser considerado como um superoperador agindo nao sobre estadosmais sobre operadores, isto e, podemos escrever

Lρ(t) ≡ i

~[ρ(t), H] , (3.67)

onde L e chamado operador de Liouville. A equacao (3.66) e chamada equacao de Liouville ouequacao de von Neumann. A equacao de Liouville descreve a evolucao temporal do operadorde densidade, quem do seu lado descreve a distribuicao de um conjunto de estados quanticos


sujeitos ao hamiltoniano H. Mesmo se a forma da equacao de Liouville assemelha-se a equacaode Heisenberg, a Eq. (3.62) mostra que ρ(t) e na representacao de Schrodinger.

Podemos agora transformar o operador de densidade na representacao de interacao

ρ(t) = eiH0(t−t0)/~ρS(t0)e−iH0(t−t0)/~ , (3.68)

e buscar a taxa de mudanca de ρ(t) analogicamente a equacao de Liouville. Calculando asderivadas temporais nos dois lados de (3.68) e substituindo Eq. (3.66) para dρ

dt resulta em,

dρ(t)

dt=i

~[ρ(t), V (t)] . (3.69)

Essa equacao mostre que a evolucao temporal do operador de densidade na representacao deinteracao so depende da parte dependente do tempo do hamiltoniano total. Para um sistema dedois nıveis interagindo perturbativamente com um campo luminoso, o hamiltoniano e

H = HA + V (t) = HA − d ·E0 cosωt , (3.70)

onde HA e a parte do hamiltoniano descrevendo a estrutura atomica e V (t) a interacao dipolarda transicao com o campo eletrico classico oscilante. A representacao de interacao e a escolhanatural para esse tipo de problema.

3.1.9 Os elementos de matriz do operador de densidade

Desde que as equacoes de Bloch opticas sao equacoes diferencias acopladas relacionando oselementos da matriz do operador de densidade, devemos examinar a dependencia temporaldesses elementos da matriz, baseado em nosso conhecimento das propriedades do operador.Comecamos com a equacao de Liouville (3.66) e avaliamos os elementos da matriz,

〈m|dρ(t)

dt|n〉 = i

~〈m|[ρ(t), H]|n〉 = i~〈m|[ρ(t), HA + V (t)]|n〉 (3.71)

= i~(En − Em)〈m|ρ(t)|n〉+ i

~〈m|[ρ(t), V (t)]|n〉 ,

onde |m〉 e |n〉 sao membros de um conjunto completo de vetores de uma base |k〉 que tambemsao auto-kets de HA e abrem o espaco de H. Agora, inserimos a expressao de fechamento∑

k |k〉〈k| no comutador do lado direito da Eq. (3.71):

〈m|[ρ(t), V (t)]|n〉 =∑k

〈m|ρ(t)|k〉〈k|V |n〉 − 〈m|V |k〉〈k|ρ(t)|n〉 . (3.72)

Para o nosso atomo de dois nıveis o conjunto completo so inclue dois estados: |1(t)〉 = |1〉 e|2(t)〉 = e−iω0t|2〉. Alem disso, os elementos da matriz do operador de acoplamento dipolar Vsao so off-diagonais, 〈1|V |2〉 e 〈2|V |1〉 com V hermitiano, isto e, (〈1|V |2〉)∗ = 〈2|V ∗|1〉. Assim aEq. (3.71) pega a forma

dρ11

dt= i

~ [ρ12V21 − ρ21V12] (3.73)

dρ22

dt= i

~ [ρ21V12 − ρ12V21] = −dρ11

dtdρ12

dt= iω0ρ12 + i

~ [V12(ρ11 − ρ22)]

dρ21

dt= −iω0ρ21 + i

~ [V21(ρ22 − ρ11)] =dρ∗12

dt.

3.2. EQUACOES DE BLOCH PARA ATOMOS DE DOIS NIVEIS 37

O conjunto de equacoes acima constitue as equacoes opticas de Bloch na representacao deSchrodinger. Ele nao inclue termos de perdas devido a emissao espontanea. Transformamosas equacoes de Bloch para representacao de interacao substituindo a equacao de Liouville (3.66)por (3.69) e calculando os elementos da matriz, obtemos

dρ22

dt= i

~ [ρ21V12 − ρ12V21] edρ12

dt= i

~ [V12(ρ11 − ρ22)] . (3.74)

Tambem, terıamos obtido essa forma com a substituicao, ρ12 = ρ12eiω0t. A representacao de

interacao simplifica as expressoes para a dependencia temporal das coherencias eliminando oprimeiro termo do lado direito. Transformando para a representacao de interacao remove adependencia temporal dos vetores da base abrindo o espaco de atomo de dois nıveis.

Temos estabelecido as equacoes de Bloch opticas a partir da equacao de Liouville, que ea equacao fundamental de movimento do operador de densidade, e temos visto, como umatransformacao unitaria pode ser utilizada para representar esses equacoes nas representacoesde Schrodinger, Heisenberg ou de interacao. Ate aqui, as equacoes de Bloch nao incluem apossibilidade de emissao espontanea. Veremos ulteriormente como incluir esse efeito.

3.2 Equacoes de Bloch para atomos de dois nıveis

Nesse capıtulo comecamos aplicar as ideais e ferramentas desenvolvidas nas secoes anteriores.Vamos primeiro aplicar a matriz de densidade para um atomo de dois nıveis acoplado a umcampo mono-modo sem emissao espontanea. Depois introduziremos o vetor de Bloch atomicocomo um metodo conveniente e facilmente visualizavel para descrever a evolucao temporal deum atomo de dois nıveis acoplado. Introduziremos a emissao espontanea e a ideia importante depolarizacao e de susceptibilidade resultante de uma amostra excitada de dipolos oscilantes. Asequacoes de Bloch opticas (EBO) incluindo emissao espontanea serao dadas e as suas solucoesestacionarias serao discutidas. Processos dissipativos sempre alargam linhas de transicoes, evamos discutir varios mecanismos de alargamento.

3.2.1 Equacoes diferenciais acopladas

Baseado na lıngua da teoria da matriz de densidade, consideramos a matriz de um atomo dedois nıveis num estado puro (sem emissao espontanea). Com a expansao da funcao de onda(2.6) os elementos da matriz (3.24) sao

〈1|ρ|1〉 = c1ic∗1i = |C1|2 , 〈2|ρ|2〉 = c2ic

∗2i = |C2|2 (3.75)

〈1|ρ|2〉 = c1ic∗2i = C1C

∗2 , 〈2|ρ|1〉 = c2ic

∗1i = C∗1C2 .

Como estamos considerando um estado puro, nao precisamos somar sobre o ındice da distribuicaoestatıstica i, e podemos substituir Ck ≡ cki. Na forma matricial temos,

ρ =

(ρ11 ρ12

ρ21 ρ22

). (3.76)

Lembrando que |Cn|2 significa a densidade de probabilidade de encontrar o atomo no nıvel n, otraco deve ser 1:

ρ11 + ρ22 = 1 . (3.77)

Os termos diagonais se chamam populacoes, os termos off-diagonais se chamam coerencias,

ρ12 = ρ∗12 . (3.78)


Aqui so consideramos exponenciais girando com a frequencia ∆ ≡ ω − ω0 e negligenci-amos termos girando com ∆ ≡ ω + ω0. Isso corresponde a aproximacao da onda rotatoria(RWA). A RWA pode ser implementada na dependencia temporal do operador de acoplamento,V (t) = ~Ω cosωt, deixando V12 = 1

2~Ωeiωt. A forma mais comum das equacoes de Bloch e narepresentacao de Schrodinger Eq. (3.73). Para simplificar, mudamos para uma sistema rodantecom a frequencia ω por ρ12 ≡ ρ12e

−iωt,

dρ22

dt=iΩ

2(ρ21 − ρ12) ,

dρ12

dt= −i∆ρ12 +

iΩ

2(ρ11 − ρ22) . (3.79)

Resolva o Exc. 3.5.2.1, 3.5.2.2, 3.5.2.3, 3.5.2.4, 3.5.2.5, 3.5.2.6 e 3.5.2.7.Para condicoes de inicio arbitrarios, as solucoes dessas equacoes nao sao simples. Para

resolver o problema escrevemos as equacoes numa forma matricial,

~ρ ≡

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

, A ≡

0 0 i

2Ω − i2Ω

0 0 − i2Ω i

2Ωi2Ω − i

2Ω −i∆ 0− i

2Ω i2Ω 0 i∆

, ~ρ = A~ρ . (3.80)

Para resolver este sistema de equacoes diferenciais, calculamos os autovalores da matriz,

det (A− λ) = λ2(∆2 + Ω2

)+ λ4 = 0 (3.81)

λ = 0,±iG ,

com a frequencia de Rabi generalizada G ≡√

∆2 + Ω2. Portanto a solucao geral e

ρ22(t) = ρ(1)22 + ρ

(2)22 e

iGt + ρ(3)22 e−iGt (3.82)

ρ12(t) = ρ(1)12 + ρ

(2)12 e

iGt + ρ(3)12 e−iGt .

Os coeficientes seguem das equacoes de Bloch com condicoes de inicio particulares. Com umpouco de algebra obtemos

ρ(1)22 = ρ22(0) + 1

2G2

[|Ω|2 (1− 2ρ22(0))−∆ (Ωρ∗12(0) + Ω∗ρ12(0))

](3.83)

ρ(2)22 = 1

4G2

[−|Ω|2 (1− 2ρ22(0)) + (∆ +G)Ωρ∗12(0) + (∆−G)Ω∗ρ12(0)

]ρ

(3)22 = 1

4G2

[−|Ω|2 (1− 2ρ22(0)) + (∆−G)Ωρ∗12(0) + (∆ +G)Ω∗ρ12(0)

]ρ

(1)12 = 1

2G2 [∆Ω (1− 2ρ22(0)) + Ω (Ωρ∗12(0) + Ω∗ρ12(0))]

ρ(2)12 = ∆−G

4G2

[−Ω (1− 2ρ22(0)) + (∆ +G)

Ω

Ω∗ρ∗12(0) + (∆−G)ρ12(0)

]ρ

(3)12 = ∆+G

4G2

[−Ω (1− 2ρ22(0)) + (∆−G)

Ω

Ω∗ρ∗12(0) + (∆ +G)ρ12(0)

].

Vamos comecar considerar uma amostra de atomos inicialmente no estado fundamentalquando o campo luminoso esta ligado no tempo t = 0,

ρ11(0) = 1 = 1− ρ22(0) , ρ12(0) = 0 = ρ21(0) . (3.84)

Nesse caso as condicoes (3.83) simplificam para

ρ(1)22 = 1

2G2 |Ω|2 , ρ(1)12 = 1

2G2 ∆Ω (3.85)

ρ(2)22 = −1

4G2 |Ω|2 , ρ(2)12 = G−∆

4G2 Ω

ρ(3)22 = −1

4G2 |Ω|2 , ρ(3)12 = −G−∆

4G2 Ω ,


tal que

ρ22 = ρ(1)22 + ρ

(2)22 e

iGt + ρ(3)22 e−iGt =

|Ω|24G2

(2− eiGt − e−iGt

)=|Ω|2G2

sin2 Gt

2(3.86)

ρ12 =(ρ

(1)12 + ρ

(2)12 e

iGt + ρ(3)12 e−iGt

)ei∆t =

(∆Ω

2G2− ∆−G

4G2ΩeiGt − ∆ +G

4G2Ωe−iGt

)ei∆t

=2Ω

4G2(∆−∆ cosGt+ iG sinGt) ei∆t =

Ω

G2sin

Gt

2

(∆ sin

Gt

2+ iG cos

Gt

2

)ei∆t ,

utilizando cosx = 1− 2 sin2 x2 e sinx = 2 sin x

2 cos x2 .

3.2.2 Matrizes de Pauli

A fısica atomica e a teoria que analisa a estrutura interna dos atomos. A suposicao que existemnıveis discretos de energia (o axioma de Bohr) represente a primeira quantizacao. No entanto,o movimento do centro de massa de um atomo e colisoes com outros atomos sao ignorados. Nainteracao do atomo com a luz so interesse o aspecto, que a interacao pode induzir transicoesentre estados internos por absorcao ou emissao de fotons. Os graus de liberdade externos saotratados na optica atomica. O dever da fısica atomica e calcular frequencias e forcas de transicaoe comportamento desses grandezas em campos externos eletricos e magneticos. A visualizacaodesses calculos sao esquemas de nıveis energeticos ou diagrama de Grotian. Aqui nos somosinteressados na utilizacao desses esquemas para o uso na optica quantica, e nao nos calculosmesmos (de Hartee-Fock ou similar). Muitas vezes vamos nos restringir a atomos de dois outres nıveis.

Para ficar mais especifico, apresentamos aqui um formalismo bem adaptado a descreverformalmente os graus de liberdade internos de um sistema de N nıveis atomicos. O hamiltonianoe:

Heletron =∑

j~ωj |j〉〈j| . (3.87)

Os estados eletronicos sao ortonormais 〈i|j〉 = δij e definimos os operadores de transicao por

σij |k〉 = δjk|i〉 , (3.88)

e σ+ij = σji satisfazendo a relacao de comutacao

[σij , σlk] = δjlσik − δikσlj . (3.89)

Para um sistema de dois nıveis obtemos as matrices de spin de Pauli:(10

)= |1〉

(01

)= |2〉(

0 10 0

)= |1〉〈2| = σ−

(0 01 0

)= |2〉〈1| = σ+(

0 11 0

)= σ+ + σ− = σx

(0 −ii 0

)= i−1(σ+ − σ−) = σy(

1 00 0

)= σ−σ+

(0 00 1

)= σ+σ−(

1 00 −1

)= [σ−, σ+] = σz

. (3.90)

O vetor σ = (σx, σy, σz) e chamado vetor de Bloch. Esse formalismo pode ser estendido sim-plesmente para um atomo de muitos nıveis.


Cada matriz 2× 2 pode ser expandida numa base de matrizes de Pauli,(ρ11 ρ12

ρ21 ρ22

)= |1〉ρ11〈1|+ |1〉ρ12〈2|+ |2〉ρ21〈1|+ |2〉ρ22〈2| (3.91)

= ρ11(12 + 1

2 σz) + ρ12σ− + ρ21σ

+ + ρ22(12 − 1

2 σz)

= ρ11σ+σ− + ρ12σ

− + ρ21σ+ + ρ22σ

−σ+

=

(〈σ−σ+〉〈σ−〉〈σ+〉〈σ+σ−〉

).


3.2.3 Vetor de Bloch atomico

Uma notacao alternativa para equacao de movimento utiliza o vetor de Bloch e definido por

~β ≡

2 Re ρ12

2 Im ρ12

ρ22 − ρ11

=

〈σ−〉+ 〈σ+〉i(〈σ−〉 − 〈σ+〉)〈σ+σ−〉 − 〈σ−σ+〉

=

〈σx〉〈σy〉〈σz〉

. (3.92)

Tambem definimos o vetor de torque e

G ≡

Ω0∆

, (3.93)

o comprimento do qual e simplesmente a frequencia de Rabi,

||G2|| = G =√

Ω2 + ∆2 . (3.94)

Com isso, podemos formalizar as equacoes de Bloch

d~β

dt= G× ~β . (3.95)

ρ12 descreve a polarizacao e ρ22− ρ11 a inversao do atomo. A equacao esta analogica a equacaode movimento para um rotor rıgido ou piao (por exemplo, um dipolo num campo homogeneo)e exhibe fenomenos como a precessao e a nutacao. O conteudo fısico e a utilidade do vetor deBloch ficara mais claro quando utilizamos o formalismo para analisar acoplamentos eletricos emagneticos. Resolva o Exc. 3.5.2.9.

Com as condicoes iniciais βx(0) = βy(0) = 0 e βz(0) = −β, podemos resolver a evolucaotemporal para as componentes do vetor de Bloch,

βx = |β|Ω∆G2 (cos Ωt− 1) (3.96)

βy = |β|ΩG sinωt

βz = −|β|[1 + Ω2

G2 (cos Ωt− 1)].

A dependencia temporal dos tres componentes do vetor de Bloch atomo fornece uma ilus-tracao util da interacao atomo-campo. O acoplamento ressonante, ∆ = 0, Ω = G, e mais facilde descrever, com a situacao retratada na Fig. 3.1. A partir das Eqs. (3.96), vemos que o vetorde Bloch inicialmente aponta na direcao −z. Com a Eq. (3.93) vemos, que isso obviamente


significa que toda a populacao esta no estado fundamental. Com o avanco do tempo o vetorde Bloch comeca a girar no sentido anti-horario no plano z-y. No tempo t = π

2Ω o vetor deBloch e alinhado na direcao +y, e no tempo t = π

Ω ele aponta para cima na direcao +z. Agora,toda a populacao foi transferida para o estado excitado. O vetor de Bloch continua a girar(ou nutar) em torno de vetor de torque G (que, como pode ser visto a partir da Eq. (3.95),mostre na direcao +x quando ∆ω = 0) com uma frequencia proporcional a forca Ω da interacaoatomo-campo. Com a Eq. (3.86) vemos, que a populacao oscila entre os estados fundamentale excitado com a frequencia Ω/2. Isso significa que a energia ~ω0 e trocada alternadamenteentre o atomo e o campo. Um pulso de luz ressonante de duracao tal que τ = π/2Ω e chamada’pulso π/2’. Depois de um pulso π/2 a diferenca entre as populacoes dos estados fundamental eexcitado e zero e a funcao de onda adota componentes iguais para cada estado estacionario,

ψ(t) = cos Ω2 tψ1 + sin Ω

2 tψ2 −→ 1√2(ψ1 + ψ2) . (3.97)

A mistura igual de estados fundamentais e excitados resulta em uma funcao de onda com mo-mento de transicao maxima. Lembramos da Eq. (2.37) que a taxa de emissao espontaneaaumenta com o quadrado do momento dipolar da transicao. Agora, se considerarmos um con-junto de atomos suficientemente diluido, tal que podemos desprezar decoerencia colisional (irre-versıvel), mas suficientemente denso que a distancia media entre os atomos e menor do que umcomprimento de onda ressonante, entao os dipolos de transicao dos atomos individuais se aco-plam para produzir um momento dipolar comum. Se um pulso π/2 e aplicado a este conjunto,cujos membros sao inicialmente todos no estado fundamental, o vetor de Bloch coletivo nutarapara +y como no caso de um unico atomo. No entanto, alargamento nao homogeneo devido aomovimento termico dos atomos levara a dispersao subsequente dos vetores de Bloch atomicosindividuais no plano x-y. A evolucao temporal do vetor de Bloch coletivo apos o pulso π/2 sera,

βx = −|β| sin ∆t e βy = |β| cos ∆t e βz = 0 . (3.98)

onde ∆ reflete a dispersao de fase inhomogenea. Se agora, depois de um tempo τ um pulsoπ esta aplicado ao conjunto, os vetores de Bloch distribuıdos sofrerao um avanco de fase deπ − 2∆τ e continuarao evoluir temporalmente como

βx = |β| sin[∆(t− τ)] e βy = −|β| cos[∆(t− τ)] e βz = 0 . (3.99)

Depois de um segundo intervalo τ , os vetores de Bloch individuais todos apontarao na direcao−y e o dipolo coletivo de transicao e novamente maximo. A sincronizacao das fases dos dipolosindividuais produz uma emissao espontanea cooperativa do conjunto chamado de eco de fotons.A assinatura do eco de fotons e dupla: Primeiro, a aparicao de um pulso de fluorescencia aposum atraso de τ a partir do final da pulso π aplicado, e segundo, uma taxa de fluorescenciavariando com o quadrado da populacao do estado excitado. Este comportamento incomumressalta do acoplamento dos dipolos individuais e resulta numa depopulacao rapida do estadoexcitado com um tempo de vida fluorescente muito mais curto do que dos atomos individuais.Esta sincronizacao das fases dos dipolos individuais e chamada superradiancia. E importanteter em mente que o eco de fotons nao significa uma recuperacao da coerencia de um processoirreversıvel. Ele so funciona para alargamento inhomogeneo, devido a uma distribuicao bemdefinida da energia cinetica atomica, em que as evolucoes temporais dos atomos individuais naosofreram interrupcoes fase aleatorias. Resolva o Exc. 3.5.2.10.


-10

1-1

01

-1

0

1

Im ρ12

|ρ| = 1

Re ρ12

2ρ22

-1

0 0.1 0.2-1

0

1

t (μs)

2ρ22

-1

0 0.1 0.2-1

0

1

t (μs)

Im ρ

12

0 0.1 0.2-1

0

1

t (μs)

Re ρ 12

Figura 3.1: Ginastica na esfera de Bloch. Os paineis (a) mostra a evolucao do vetor de Blochna esfera de Bloch para uma sequencia de ’eco de foton’. Os paineis (b),(c),(d) mostram oscomponentes do vetor de Bloch. As cores vermelha e verde mostram diferentes defasagensinhomogeneas.

3.2.4 Equacoes de Bloch com emissao espontanea

Para achar as equacoes de Bloch inclusive emissao espontanea, inserimos o termo fenomenologico−iγC2 dentro das Eqs. (2.20), como ja fizemos para Eq. (2.65),

Ω∗ cosωteiω0tC1 − iγC2 = idC2

dt. (3.100)

Utilizando ρmn = C∗mCn, os elementos da matriz de densidade resultantes ficam

−dρ11

dt=dρ22

dt= −iΩ

∗

2e−i∆tρ12 + i

Ω

2ei∆tρ21 − 2γρ22 (3.101)

dρ∗21

dt=dρ12

dt= i

Ω

2ei∆t(ρ11 − ρ22)− γρ12 .

Os fatores oscilantes sao eliminados desses equacoes pelas substituicoes ρ12ei∆t = ρ12 e ρ21e

−i∆t =ρ21, com os resultados

d

dt

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

=

−2γ 0 i

2Ω12 − i2Ω12

2γ 0 − i2Ω12

i2Ω12

i2Ω12 − i

2Ω12 −i∆− γ 0− i

2Ω12i2Ω12 0 i∆− γ

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

. (3.102)

Agora, deixando as derivada temporais ser 0 obtemos as solucoes estacionarias

ρ22 =14 |Ω2

∆2 + 12Ω|2 + γ2

e ρ12 = ei∆t12Ω(∆− iγ)

∆2 + 12Ω|2 + γ2

. (3.103)

Vemos que as populacoes e as coherencias ambos agora tenham uma dependencia da frequenciasemelhante, mas nao identica aquela ja encontrada pela susceptibilidade χ, o coeficiente deabsorcao K e a secao cruzada para absorcao σ0a, Eqs. (2.73), (2.74) e (2.55). So que agora osdenominadores tem um extra termo 1

2 |Ω|2 fazendo as larguras efetivas de ρ22 e ρ12

Γeff = 2√

12 |Ω|2 + 1

4Γ2 . (3.104)

3.3. MECANISMOS DE ALARGAMENTO DE LINHAS 43

Resolva o Exc. 3.5.2.11.Podemos inserir a nova expressao (3.103) para ρ12 em nossa expressao anterior para 〈d12〉

(2.64) e obter novas expressoes para polarizacao P(t), (2.61) e (2.71), e a susceptibilidade χ(2.73). A expressao modificada para a susceptibilidade e

χ =Nd2

12

3ε0~V−∆ + 1

2Γ

∆2 + 12 |Ω|2 + 1

4Γ2. (3.105)

Na componente imaginaria obtemos o novo coeficiente de absorcao,

K =ω

cηχ′′(ω) =

πNe2|〈r12〉|2ω0

3ε0~cVΓ/2π

∆2 + 12 |Ω|2 + 1

4Γ2, (3.106)

e a secao cruzada para absorcao

σ0a =πe2|〈r12〉|2ω0

3ε0~cΓ/2π

∆2 + 12 |Ω|2 + 1

4Γ2. (3.107)

A propriedade nova importante e a largura efetiva Γeff, que aparece em χ, K e σ0a. ComoΩ = d12 ·E0/~, a largura depende da intensidade do campo de luz aplicado. A largura adicionaldo perfil de linha se chama alargamento por potencia. Resolva o Exc. 3.5.2.12, 3.5.2.13, 3.5.2.14e 3.5.2.15.

3.3 Mecanismos de alargamento de linhas

3.3.1 Alargamento de potencia de de saturacao

A Eq. (3.104) mostre que, quando a potencia da luz incidente aumenta, a populacao do estadoexcitado satura num valor limite de ρ22 = 1

2 . Essa propriedade e analogica a Eq. (1.52), quemostra o mesmo comportamento de saturacao quando um atomo de dois nıveis e sujeito aradiacao de banda larga. O parametro de saturacao definido por

s =12 |Ω|2

∆2 + (Γ/2)2, (3.108)

mede o grau de saturacao. Quando a fonte de luz de banda estreita e sintonizada em ressonancia,o parametro de saturacao e basicamente uma medida para a razao entre a frequencia de trans-ferencia de populacao estimulada ressonante Ω e a taxa espontanea A21. Podemos reescrever apopulacao estacionaria do nıvel excitado como,

ρ22 =s

2(1 + s). (3.109)

Em ressonancia e com o parametro de saturacao s = 1, obtemos

Ω = 1√2Γ . (3.110)

Podemos utilizar a equacao (3.110) para definir a intensidade de saturacao Isat para um atomocom o dipolo de transicao d12. A partir da Eq. (1.48) temos

E0 =

√2I

ε0c. (3.111)


Portanto, usando a definicao da frequencia de Rabi, ~Ω = d12E0, e o fator de conversao entred12 e A21 dada pela Eq. (2.42), temos1

Isat =g1

g2

2π2c~3λ3

0

Γ . (3.112)


3.3.2 Alargamento por colisoes

A teoria de colisoes atomicas cobre um grande area de pesquisa, incluindo processos elasticos einelasticos, reativos e ionizantes. Em gases de baixa pressao a temperatura ambiente ou maisquente so precisamos considerar os processos mais simples: interacoes van der Waals de longoalcance que resultam em colisoes elasticas. O criterio de ’baixa pressao’ exige que o caminholivre medio entre colisoes ser maior do que qualquer dimensao linear do volume do gas. Nestascondicoes, colisoes podem ser modeladas com trajetorias em linha reta ao longo das quais otempo de interacao e curto e o tempo entre colisoes e longo em comparacao com o tempo devida radiativo do estado atomico excitado. Nestas condicoes, a colisao de um atomo radiantepode ser caracterizada por uma perda de coerencia devido a uma interrupcao de fase da funcaode onda do estado atomico excitado. O termo ’elastico’ significa que a colisao nao mexe comas populacoes dos estados internos, de modo que precisamos considerar apenas os elementos damatriz de densidade off-diagonais,

dρ12

dt= i

Ω0

2ei(ω−ω0)t(ρ11 − ρ22)− γ′ρ12 , (3.113)

onde γ′ e a soma da emissao espontanea γ e a taxa de colisoes γcol,

γ′ = γ + γcol . (3.114)

O inverso da taxa de colisoes e simplesmente o tempo entre interrupcoes de fase ou o tempoentre as colisoes. Agora, para colisoes entre esferas rıgidas de atomos de massa m (com massareduzida µ = m/2) e com raio ρ em uma amostra de gas com densidade n, que consiste de umaunica especie, uma analise padrao baseada na teoria cinetica de gases diluıdos mostra que otempo entre colisoes e dado pela taxa de colisao

γcol = τ−1col = σnv , (3.115)

onde v =√

8kBTπµ e a velocidade media de colisoes num gas homogeneo na temperatura T e

σ =√

8πρ2 a secao transversal de colisao. Com isso,

γcol =8ρ2n√µ/πkBT

. (3.116)

Agora podemos relacionar este resultado simples da cinetica de gases com a taxa de in-terrupcao de fase reinterpretando o sentido do raio de colisao. Quando um atomo excitado,propagando atraves do espaco, sofre uma colisao, a interacao de longo alcance ira produzir umaperturbacao dependente do tempo dos nıveis de energia do atomo radiante e uma mudanca defase na radiacao,

η =

∫ ∞−∞

[ω(t)− ω0]dt =

∫ ∞−∞

∆ω(t)dt . (3.117)

1Alguns autores definem a saturacao por s = 2, tal que acontece quando Ω = Γ.

3.3. MECANISMOS DE ALARGAMENTO DE LINHAS 45

A interacao de longo alcance van der Waals e exprimida por

∆E = ~ω =Cn

[b2 + (vt)2]n/2, (3.118)

onde b e o parametro de impacto da trajetoria de colisao e v e a velocidade de colisao. Odeslocamento da fase fica entao

η =1

~

∫ ∞−∞

Cn

[b2 + (vt)2]n/2dt . (3.119)

O integral e facilmente avaliado para os dois casos mais frequentes: interacoes van der Waalsnao-ressonantes n = 6 e interacoes van der Waals ressonantes n = 3. O deslocamento de fasefica

η6(b) =2π

3~C6

b56ve η3(b) =

4π

3√

3~C3

b23v. (3.120)

Agora, se em vez de usar a aproximacao do nucleo duro, definimos uma colisao como um encontroprovocando um deslocamento de fase de pelo menos 1, temos uma nova condicao para o raio decolisoes,

b6 =

(2π

3~C6

v

)1/5

e b3 =

(4π

3√

3~C3

v

)1/2

. (3.121)

Esses raios de colisoes substituımos para o raio ρ da Eq. (3.116), e inserindo a velocidade mediade colisoes, achamos a taxa de colisoes,

γc6 = 4n

(√2π2C6

3~

)2/5(4πkBT

µ

)e γc3 = 4n

(2

3

)3/2(π2C3

~

)3/10

. (3.122)

Substituindo o γ′ generalizado de (3.114) para γ nas equacoes de Bloch (3.101) achamos assolucoes estacionarias

ρ22 =

14γ′

γ |Ω|2

(ω − ω0)2 + γ′2 + 12γ′

γ |Ω|2e ρ12 = ei(ω−ω0)t

12Ω(ω − ω0 − iγ′)

(ω − ω0)2 + γ′2 + 12γ′

γ |Ω|2. (3.123)

A largura efetiva de linha (radiativa e colisoes) fica

Γ′eff = 2√γ′2 + 1

2γ′

γ |Ω|2 . (3.124)

Quando a excitacao e suficientemente fraca que o alargamento de potencia pode ser negligenciadoem comparacao ao alargamento por colisoes, o segundo termo pode ser descartado,

Γ′eff = 2(γ + γcol) . (3.125)

As equacoes (3.104) e (3.125) exprimam as larguras limites para alargamento de potencia epor colisoes. Note que a susceptibilidade, o coeficiente de absorcao, a secao cruzada de absorcaoconservam o perfil lorentziano, mas com uma largura aumentada por colisoes. Como cada atomoe sujeito o mesmo mecanismo de alargamento, se trata de alargamento homogeneo. Resolva osExcs. 3.5.3.2 e 3.5.3.3.


3.3.3 Alargamento Doppler

O alargamento Doppler e simplesmente a distribuicao de frequencias aparente de uma amostrade atomos radiantes na temperatura T . A contribuicao de cada atomo para radiacao parecedessintonizada pelo deslocamento Doppler devido a sua velocidade,

∆ω = ω − ω0 = k · v = kvz , (3.126)

onde k e o vetor de onda da luz e v e a velocidade do atomo. Essa distribuicao de deslocamentosde Doppler de uma amostra gasosa em equilıbrio termico segue a distribuicao de probabilidadesde velocidades,

P (vz)dvz ∝ e−mv2z/2kBTdvz = e−mc

2∆ω2/2ω20kBT c

ω0dω . (3.127)

Essa distribuicao de frequencias e uma gaussiana centrada em ω = ω0 e com a largura

FWHM = 2ω0

(2kBT ln 2

mc2

)2

. (3.128)

Uma medida da largura tambem e a desviacao padrao

2σ =2ω0

c

√kBT

m=

FWHM

1.177. (3.129)

Da Eq. (3.127) podemos ver, que o perfil de linha e

D(ω − ω0) ≡ 1√2π

m

kBTe−(ω−ω0)2/2σ2

dω . (3.130)

O perfil se compare com o perfil lorentziano Eq. (2.54) associado com alargamento natural, porpotencia ou por colisoes. O alargamento Doppler e uma propriedade de um conjunto de atomos,cada atomo tendo um deslocamento unico mas diferente dos outros atomos. Por isso, ele sechama de alargamento inhomogeneo.

3.3.4 Perfil de Voigt

E claro que em muitas circunstancias praticas processos homogeneos e inhomogeneos contribuemsimultaneamente para alargamento de linhas. Nesses casos, podemos considerar que a radiacaode cada atomo, alargada homogenicamente por processos de interrupcao de fase (como a emissaoespontanea ou colisoes), e deslocada pelo efeito Doppler dentro da distribuicao de Maxwell-Boltzmann correspondente a temperatura T . O perfil da linha do conjunto gasoso, portanto, euma convolucao de perfis homogeneos e inhomogeneos. O perfil resultante e chamada perfil deVoigt:

V (ω − ω0) =

∫ ∞−∞L(ω − ω0 − ω′)D(ω − ω0)dω′ =

γ

2σ√

2π

∫ ∞−∞

e−(ω−ω0)2/2σ2

(ω − ω0 − ω′)2 + (γ/2)2dω′ .

(3.131)Nao tem solucao analıtica par esse integral, mas e facil resolver numericamente. Resolva osExcs. 3.5.3.4 e 3.5.3.5.

3.4. EQUACAO MESTRE E OPERADOR DE LINDBLADT 47

3.4 Equacao mestre e operador de Lindbladt

3.4.1 Equacao mestre para sistemas de dois nıveis

O hamiltoniano total inclue a energia de excitacao dos eletrons do atomo, a energia do campode radiacao e a energia de interacao. Tambem podemos colocar a energia do centro das massas,o que e particularmente util quando o atomo e aprisionado. Depois escrevemos a equacao deHeisenberg para o operador de densidade,

dρtotaldt

= − i~

[Htotal, ρtotal] . (3.132)

Um calculo chamado de ansatz de Weisskopf-Wigner faz o traco sobre todos os graus de liberdadeexceto a excitacao atomica (ver Sec. 7.2), levando a

dρatomdt

= − i~

[Hatom, ρatom] + Lρatom = −L0 + Lρatom . (3.133)

O forma geral do operador de Liouville para um sistema de dois nıveis e

Latomρ = Γ(2σρσ+ − σ+σρ− ρσ+σ) + 2β(2σ+σρσ+σ − (σ+σ)2ρ− ρ(σ+σ)2) (3.134)

e se chama operador de Lindbladt. Γ e a taxa de decaimento do estado excitado, as flutuacoesde fase devido a largura finita da banda de emissao do laser e β, a frequencia do laser ω, afrequencia da transicao ω0, a frequencia de Rabi Ω e a frequencia de Rabi para a parte classicado modo do laser e Ωclass. Resolva o Exc. 3.5.4.1.

3.4.2 Perspectiva em sistemas de tres nıveis

O sistema de dois nıveis representa uma idealizacao do atomo real, pois em geral pelo menos umdos nıveis e degenerado. Muitos fenomenos importantes na optica quantica nao se encontramnesse sistema, mais sao inerentes a existencia de um terceiro nıvel. Exemplos sao o bombeamentooptica (essencial o funcionamento de um laser), saltos quanticos ou ressonancias obscuras [quesao na base do fenomeno da transparencia eletromagneticamente induzida (EIT)].

Para derivar as equacoes de Bloch para atomos com varios nıveis excitados por varios laserse acoplados ao espaco livre (sem cavidade externa), podemos utilizar a mesma equacao mestre(3.133), mas com um hamiltoniano e um operador de Lindbladt generalizados,

Hatom =∑

i~ωiσjiσij (3.135)

Hclas = ~2Ωij

(e−iωijtσij + eiωijtσji

)Latomρ =

∑i,j

Γij

([σij , ρσ

+ij ] + [σijρ, σ

+ij ] + 2βij [σijσ

+ij , ρσijσ

+ij ] + [σijσ

+ijρ, σijσ

+ij ]). .

Os nıveis tem a energia ~ωi a respeito ao nıvel fundamental.

Vamos primeiro ter um olhar para a parte coerente da equacao mestre. O hamiltonianoem aproximacao semiclassica, ou seja, o atomo e quantizada e consiste em varios nıveis |i〉 comenergias ~ωi, enquanto os campos de luz sao descritos em eiωijt, com frequencias ωij sintonizadoperto as transicoes |i〉 − |j〉) inclui as seguintes contribuicoes

H = Hatom +Hatom−field =∑

i|i〉~ωi〈i|+

∑i<j with Ei<Ej

|i〉~2Ωij〈j|eiωijt + c.c. . (3.136)


Figura 3.2: Sistema de tres nıveis em configuracao (a) Λ, (b) em configuracao V e (c) em cascata.

A frequencia de Rabi Ωij e uma medida para a forca de acoplamento dos nıveis |i〉 e |j〉 pelocampo ressonantemente irradiado luz. A equacao de Mestre pode ser simplificada aplicando aaproximacao da onda de rotacao e transformacao em um sistema de coordenadas que gira comas frequencias de luz ωij :

ρij → ρijeiωijt , Hatom−field → e−iHt/~Hatom−fielde

iHt/~ . (3.137)

Finalmente, a equacao de Mestre pode ser reformulado pela introducao de um vetor de Blochgeneralizado, ρ, e a representacao matricial do superoperador de Liouville L como um sistemalinear de n2 equacoes diferenciais acopladas

d

dtρ =Lρ , ρ = (ρ11 .. ρnn ρ12 ρ21 .. ρn−1 n ρn n−1) . (3.138)

Resolva os Excs. 3.5.4.2, 3.5.4.3, 3.5.4.4 e 3.5.4.5.

3.5 Exercıcios

3.5.1 Matriz de densidade

3.5.1.1 Ex: Sistema de dois nıveis acoplados

Resolve a equacao de Schrodinger para o hamiltoniano(0 1

2Ω12Ω ω0

),

onde ω0 e a frequencia da transicao e Ω a frequencia de Rabi.

3.5.1.2 Ex: Forma matricial do operador de densidade

Considere um sistema sendo no estado |ψ〉 ≡ α|1〉 + β|2〉. Escreve o operador de densidade naforma matricial. Verifique Tr ρ = 1. Verifique que o estado de superposicao e um estado puro,isto e, ρ = ρ2.

3.5.1.3 Ex: Estados puros e misturas

Considere um sistema de dois nıveis acoplados por um modo luminoso. O hamiltoniano podeser escrito (~ ≡ 1),

H =

(0 ΩΩ ω0

).

3.5. EXERCICIOS 49

Agora considere dois casos: a. O atomo seja num estado de superposicao, |ψ〉 = α|1〉+β|2〉 e b.o atomo seja numa mistura estatıstica de auto-estados, ρ = µ|1〉〈1|+ ν|2〉〈2|. Para os dois casoscalcule ρ, ρ2 e 〈H〉.

3.5.1.4 Ex: Traco de um operador

O traco de um operador A e definido por Tr A =∑n〈n|A|n〉.

a. Mostre que o traco e independente da base escolhida!b. Mostre que Tr AB = Tr BA!

3.5.1.5 Ex: Transformacao unitaria de estados singletos

Considere dois spins a e b que nao interagem. Aplicando a cada spin a mesma transformacaopara outra base, mostre que o estado singlet tem em cada base a forma seguinte: |ψ〉 =

1√2

(| ↑〉a| ↓〉b − | ↓〉a| ↑〉b).

3.5.1.6 Ex: Mistura de estados

Um atomo de dois nıveis e inicialmente numa superposicao entre dois estados |ψ〉 = 1√2|1〉+ 1√

2|2〉.

Um aparelho mede as populacoes dos estados, mas o experimentador esqueceu ler o resultadoindicado. Descreve o estado o atomo pelo operador densidade.b. Agora, o experimentador volta ao aparelho. Calcule com qual probabilidade ele le o estado|1〉.

3.5.1.7 Ex: Populacao termica de um oscilador harmonico

Em equilıbrio termico os estados de energia de um sistema sao populados seguinte a lei deBoltzmann,

Pn =e−nβ~ω∑m e−mβ~ω com β ≡ 1

kBT.

Considere um oscilador harmonico unidimensional caracterizado pela frequencia secular ω e,usando o operador densidade, calcule a numero quantico medio da populacao e a energia media.

3.5.1.8 Ex: Mistura termica

Consideramos um gas atomico termico nao interagindo em uma dimensao. Em vez de descrevero estado do conjunto atomico, podemos considerar um so atomo com probabilidade distribuıdade ter uma dada velocidade v. O operador densidade do grau de liberdade contınuo pode serescrito,

ρ =

∫dv

√m

2πkBTe−mv

2/2kBT |v〉〈v| ,

e o traco de uma qualquer observavel A,

〈A〉 = Tr ρA =

∫du〈u|ρA|u〉 .

Agora imagine um aparelho capaz de medir a velocidade de um unico atomo aleatoriamenteescolhido dentro da nuvem.a. Exprime a probabilidade de medir uma velocidade especıfica v′ para este atomo usando ooperador densidade.b. Exprime o valor esperado da velocidade media pelo operador densidade.


3.5.1.9 Ex: Operador densidade com dissipacao

Discute o fenomeno de dissipacao no exemplo dea. uma amostra termica de sistemas de dois nıveis |i〉 = |1〉, |2〉 caracterizada pelo operadordensidade ρ = |i〉〈i| ⊗ |v〉〈v|, onde |v〉 e o estado de velocidade do atomo eb. um atomo de dois nıveis acoplado a um campo de radiacao, ρ = |i〉〈i| ⊗ |n〉〈n|, onde |n〉 e onumero de fotons dentro do modo.

3.5.2 Equacoes de Bloch para atomos de dois nıveis

3.5.2.1 Ex: Derivacao da equacoes de Bloch

(a) Derive as equacoes de Bloch para um sistema de dois nıveis excitados por um campo oscilantena aproximacao RWA na representacao de Schrodinger.(b) Derive as equacoes de Bloch explicitamente baseado nas evolucoes temporais dos coeficientesC1,2 (2.20) e na representacao matricial do operador de densidade (3.75).

3.5.2.2 Ex: Solucao geral das equacoes de Bloch

Derive a solucao (3.83) das equacoes de Bloch (3.80).

3.5.2.3 Ex: Equacoes de Bloch, metodo de Rabi

Atomos livres sejam iluminadas por pulsos de luz perto de ressonancia, cuja area de pulsot∫

0

Ω dt = π resp. = 2π (Ω: frequencia de Rabi).

Para qual sintonia de frequencia ∆ = ω − ω0 a excitacao e maxima? Desenhe o perfil espectralda forca de excitacao no regime −5 < ∆/Ω < 5.

3.5.2.4 Ex: Relogios atomicos, sequencia de Ramsey

Muitos relogios atomicos funcionam seguinte o metodo da espectroscopia de Ramsey: O atomode dois nıveis esta excitado em ressonancia por um pulso de microondas π/2. Depois, a faseda coherencia atomica precede livremente durante um tempo T ate um angulo φ. Finalmente,um segundo pulso π/2 esta aplicado e a populacao do nıvel superior esta medido. Calcule essapopulacao em funcao do angulo φ. Despreze a emissao espontanea.

3.5.2.5 Ex: Tratamento analıtico do experimento de Ramsey

Tenta derivar a formula analıtica da populacao final ρ22 dos experimentos de Rabi e de Ramsey.Derive e compara as larguras de linha dos ’Ramsey fringes’ nesses dois experimentos.

3.5.2.6 Ex: Eco de fotons

Demonstre o princıpio do eco de fotons, isto e, aplica numa amostra de atomos a seguintesequencia de pulsos: 1. Pulso π/2 ressonante (∆ = 0), 2. evolucao por um tempo T sem laser(Ω = 0) mas com uma dessintonizacao (∆T ), 3. pulso π ressonante, 4. evolucao por um tempoT sem laser com a mesma dessintonizacao (∆T ), 5. pulso π/2 ressonante. Calcule a evolucao damatriz de densidade [ρ22(t) e ρ12(t)] e mostra que o resultado final nao depende do tempo deevolucao livre. Interprete o resultado.

3.5. EXERCICIOS 51

3.5.2.7 Ex: Atomo de dois nıveis com transformacao de Laplace

Resolve o problema de um atomo de dois nıveis interagindo com um laser usando o metodo detransformacao de Laplace.

3.5.2.8 Ex: Expansao em matrizes de Pauli

Mostre 〈σ−σ+〉 = ρ11.

3.5.2.9 Ex: Vetor e equacoes de Bloch

Mostre que a Eq. (3.95) e equivalente as equacoes de Bloch Eq. (3.80).

3.5.2.10 Ex: Normalizacao de vetor de Bloch

Verifique ||~ρ|| = 1.

3.5.2.11 Ex: Solucao estacionaria das equacoes de Bloch

Derive a solucao estacionaria das equacoes de Bloch incluindo emissao espontanea.

3.5.2.12 Ex: Determinante da matriz de Bloch

Mostre que sem emissao espontanea a determinante da matriz de Bloch de um sistema de doisnıveis sempre e det ρ = 0.

3.5.2.13 Ex: Vetor de Bloch

Um atomo de dois nıveis com a taxa de decaimento Γ = 2π×6 MHz seja excitada por um campode luz dessintonizado por ∆ = 2Γ com um quarto da intensidade de saturacao. Escreve o vetorde Bloch para t→∞.

3.5.2.14 Ex: Pureza de um atomos de dois nıveis com emissao espontanea

Calcule para um atomo de dois nıveis excitado para o limite estacionario Tr ρ e Tr ρ2.

3.5.2.15 Ex: Feixe atomico

Um feixe atomico seja iluminado perpendicularmente a direcao de propagacao com pulsos delaser (quasi-)monocromaticos, colimados tendo a intensidade I = 1 W/cm2, o comprimento deonda λ = 780 nm e a duracao 200 ns. O laser seja sintonizado ao meio da linha de ressonanciaatomica (Γ/2π = 6 MHz).Como se desenvolve a populacao do estado superior do atomo?Como de muda a dinamica, quando a luz e dessintonizada por 100 MHz?

3.5.3 Mecanismos de alargamento de linhas

3.5.3.1 Ex: Intensidade de saturacao

Calcule a intensidade de saturacao para a transicao de sodio 3s 2S1/2, F = 2←→ 3p 2P3/2, F′ =

3. A largura natural da transicao e Γ/2π = 9.89 MHz e o comprimento de onda λ = 590 nm.


3.5.3.2 Ex: Alargamento por colisoes

Em qual pressao o alargamento por colisoes entre atomos de sodio no estado fundamental dominaa largura da transicao D2 em temperatura ambiente. A largura natural da linha D2 e Γ/2π =6 MHz.

3.5.3.3 Ex: Alargamento por colisoes

Um modelo simples para alargamento por colisoes de uma linha de ressonancia descreve o im-pacto das colisoes (taxa media de colisoes τ0) sobre a onda de luz emitida atraves de saltos defase acontecendo em intervalo irregulares. Calcule a distribuicao espectral da intensidade da luz.Ajuda: Calcule a transformada de Fourier dos trens de onda e pese a distribuicao espectral daintensidade com a densidade de probabilidade de encontrar o tempo de colisao τ na amostraatomica.

3.5.3.4 Ex: Densidade optica de uma nuvem quente

Calcule e desenhe o perfil de Lorentz efetivo, perfil de Gauss e o perfil de Voigt para a linha deressonancia de 461 nm (Γ = (2π) 32 MHz) de um gas de estroncio aquecida para a temperatura400 C e a pressao P = 10−4 mbar dentro de uma celula de 15 cm de comprimento.

3.5.3.5 Ex: Equacao de taxas como caso limite das equacoes de Bloch

Mostre que para Γ Ω encontramos a partir das equacoes de Bloch de novo as equacoes detaxas de Einstein.

3.5.4 Equacao mestre e operador de Lindbladt

3.5.4.1 Ex: Forma geral da equacao mestre

Mostre que a forma geral da equacao mestre: ρ = − i~ [H, ρ]− Γ

2 (2σρσ+−σ+σρ−ρσ+σ), reproduzas equacoes de Bloch inclusive emissao espontanea.

3.5.4.2 Ex: Equacoes de Bloch para tres nıveis

Um atomo em forma de Λ excitado consiste de dois estados fundamentais |1〉 e |3〉, que saoacoplados por dois lasers com as frequencias de Rabi e as dessintonizacoes Ω12 e ∆12 resp. Ω23

e ∆23 atraves de um nıvel excitado |2〉. Derive as equacoes de Bloch desse sistema utilizando aequacao mestre geral.

3.5.4.3 Ex: Deslocamento dinamico de Stark

Um atomo com sistema de nıveis em forma de Λ (de V ) (de cascata) excitado consiste de doisestados fundamentais |1〉 e |2〉, que sao acoplados por dois lasers com as frequencias de Rabi eas dessintonizacoes Ω1 e ∆1 resp. Ω2 e ∆2 atraves de um nıvel excitado |a〉. O hamiltoniano dosistema de tres nıveis e dado, na imagem de interacao, por H0 = −~∆1|a〉〈a|−~ (∆2 −∆1) |2〉〈2|e HWW = 1

2~Ω1|1〉〈a| + 12~Ω2|a〉〈2| + c.c.. Calcule os autovalores de energia para o caso de

sintonizacoes iguais.

3.5. EXERCICIOS 53

3.5.4.4 Ex: Resonancias obscuras

Para um sistema de tres nıveis |1〉 − |2〉 − |3〉 em forma de Λ as equacoes de Bloch opticas sao(Γ12 e Γ23 sao as taxas de decaimento espontaneo):

ρ11 = Γ12ρ22 + i2Ω12(ρ12 − ρ21)

ρ33 = Γ23ρ22 − i2Ω23(ρ23 − ρ32)

ρ12 =(−1

2Γ12 − 12Γ13 + i∆12

)ρ12 + i

2Ω12(ρ11 − ρ22) + i2Ω23ρ13

ρ23 =(−1

2Γ12 − 12Γ23 + i∆23

)ρ23 + i

2Ω23(ρ22 − ρ33)− i2Ω12ρ13

ρ13 = i(∆12 −∆23)ρ13 + i2Ω23ρ12 − i

2~Ω12ρ23 ,

e ρkl = ρ∗lk e∑

kk ρkk = 1. Mostre que a populacao do estado excitado e 0 na ressonanciaobscura no caso estacionario. A ressonancia obscura acontece quando as dessintonias dos doislasers sao identicas.

3.5.4.5 Ex: STIRAP

Simule o Stimulated Raman adiabatic passage (STIRAP), isto e, a transferencia coherente depopulacao entre dois estados por sequencias de pulsos contra-intuitivos. Considere um sistema detres nıveis em Λ como mostrado na Fig. 3.2 inicialmente no estado |1〉. Escolhe ∆12 = ∆23 6= 0e uma variacao temporal das frequencias de Rabi descrita por Ω12 = 1

2 + 1π arctan(t − τ) e

Ω23 = 12 − 1

π arctan(t − τ). Com isso, resolve as equacoes de Bloch numericamente e iterativocontinuavelmente variando as frequencias de Rabi.

Capıtulo 4

Atomos em campos quantizados

Ate agora so tratamos o campo optico como uma onda classica estacionario ou propagante,enquanto o nosso atomo de dois nıveis fui considerado como uma entidade sujeita as leis damecanica quantica, sujeito a perturbacao induzida pelas ondas oscilatorias. Esse procedimentoconduz naturalmente para oscilacoes das populacoes e coerencias entre os estados do atomo.No entanto, para problemas de campos fortes envolvendo um espectro de energia atomica sig-nificativamente modificado, uma abordagem nao-perturbativa, independente do tempo pode serfrutıfera. Uma solucao independente do tempo para a equacao de Schrodinger com atomos ecampos acoplados e chamada estado vestido. Ela fui usada a primeira vaz para interpretar o’desdobramento’ dos espectros de rotacao molecular na presenca de campos intensos classicos deradiofrequencia. O tratamento semiclassico e adequado para uma ampla variedade de fenomenose tem a virtude de simplicidade matematica e familiaridade. No entanto, as vezes vale a penaconsiderar o campo como uma entidade quantica tambem. A interacao atomo-campo torna-seentao um intercambio de quantas do campo, os fotons, com o atomo. Esta abordagem nos per-mite expressar o estado de numero de fotons, tambem chamado de estado de Fock, e o estadodiscreto do atomo em pes iguais e de escrever as funcoes de estado do sistema atomo-campoem uma base de produto de estados fotonicos e atomicos. Diagonalizacao dos termos de aco-plamento dipolar no hamiltoniano do sistema tambem da origem a solucoes independentes dotempo, de estados vestidos da equacao de Schrodinger completamente quantica.

Comecamos este capıtulo com a quantizacao do campo de luz e depois exprimimos a interacaoatomo-campo numa forma totalmente quantificada. Examinaremos alguns exemplos ilustrandocomo a imagem de estados vestidos pode fornecer informacoes uteis sobre interacoes luz-materia.Finalmente, mostraremos como estados vestidos semiclassicos tambem podem ser obtidos.

4.1 Quantizacao do campo

4.1.1 Campos classicos e potenciais

A ideia essencial por tras da quantizacao do campo e a substituicao dos osciladores harmonicosclassicos discutido na Sec. 1.1 por osciladores quanticos. A fim de realizar esta quantizacao daforma mais simples, introduzimos o potencial escalar φ e potencial vetor A: O ponto de partida

55

56 CAPITULO 4. ATOMOS EM CAMPOS QUANTIZADOS

convencional sao as equacoes de Maxwell que escrevemos como

∇×B =1

c2

∂E

∂t+ µ0j (4.1)

∇×E = −∂B

∂t

∇ ·E =%

ε0∇ ·B = 0 .

onde j e a densidade de corrente e σ e a densidade de carga. O potencial vetorial e relacionadoaos campos magneticos e eletricos por duas equacoes. O potencial vetorial e definido em termosdo campo magnetico por

B = ∇×A , (4.2)

o que com a identidade ∇(∇×A) ≡ 0 automaticamente satisfaz a quarta equacao de Maxwell.Similarmente, o potencial escalar φ definido por

E = −∇φ− ∂A

∂t, (4.3)

o que com a identidade ∇×∇φ ≡ 0 automaticamente satisfaz a segunda equacao de Maxwell.Agora, substituindo os campos na primeira a terceira equacao de Maxwell pelas definicoes (4.2)e (4.3), obtemos,

∇(∇ ·A)−∇2A +∂

c2∂t∇φ+

∂2A

c2∂t2= µ0j (4.4)

−∇2φ−∇ · ∂A

∂t=

%

ε0.

utilizando a identidade ∇× (∇×A) = ∇(∇·A)−∇2A. Essas equacoes nao fixam os potenciaisA e φ completamente, pois uma transformacao decalibre do tipo

A′ ≡ A−∇Θ e φ′ ≡ φ+∂

∂tΘ , (4.5)

onde Θ e um campo escalar arbitrario, deixa inalterados os campos fisicamente observaveis, Ee B.

4.1.2 Calibre de Coulomb

Podemos usar essa liberdade para impor condicoes adicionais aos potenciais chamadas de calibre.Um calibre particularmente util e definido por

∇ ·A = 0 . (4.6)

Esta condicao coloca o campo eletromagnetico no calibre de Coulomb. Dentro desta calibre deCoulomb as equacoes (4.4) podem ser expressas como

−∇2A +1

c2

[∂2A

∂t2+∂

∂t∇φ]

= µ0j (4.7)

−∇2φ =%

ε0.

4.1. QUANTIZACAO DO CAMPO 57

Essas duas equacoes determinam os potenciais vetorial e escalar, se as distribuicoes de densidadede corrente e de carga sao especificadas1. A segunda Eq. (4.7) e particularmente simples, poisenvolve apenas o potencial escalar, e a solucao formal da equacao de Poisson e a lei de Coulomb,

φ(r, t) =1

4πε0

∫%(r′, t)

|r− r′|d3r′ . (4.8)

A fim de obter uma equacao que envolve apenas o campo vetorial e a densidade de corrente usa-mos o teorema de Helmholtz para escrever a densidade de corrente como a soma de componentestransversais e longitudinais,

j = jT + jL , (4.9)

onde os termos ’transversal’ e ’longitudinal’ sao definidos pelas dois condicoes seguintes,

∇ · jT = 0 e ∇× jL = 0 . (4.10)

Entao pode ser mostrado que a componente longitudinal de j e associada inteiramente com opotencial escalar,

jL = ε0∂

∂t∇φ . (4.11)

Portanto, a partir da segunda Eq. (4.7) temos

−∇2A +1

c2

∂2A

∂t2= µ0jT , (4.12)

o que mostra, que a componente transversal de j e associada apenas com o potencial vetorial.Essa equacao pode ser resolvida analogicamente a lei de Coulomb (4.8) dando a lei de Biot-Savart,

A(r, t) =µ0

4π

∫jT (r′, t)

|r− r′| d3r′ com t′ = t− 1

c |r− r′| . (4.13)

4.1.3 Campo livre

No espaco livre, onde nao ha cargas nem correntes, as Eqs. (4.8) e (4.12) tornam-se

−∇2A +1

c2

∂2A

∂t2= 0 e φ = 0 . (4.14)

Procuramos solucoes de ondas planas para esta equacao na forma

A =∑k

[Ak(t)eik·r + A∗k(t)e−ik·r] . (4.15)

Agora, sujeitamos estes componentes de ondas planas a condicoes de contorno periodicas cor-respondentes as condicoes de contorno de uma cavidade (ver Sec. 1.1),

km =2πnmL

com m = x, y, z e n = 0, 1, 2, .. . (4.16)

Como antes, V = L3 e o volume da cavidade. Note que cada Ak e A∗k deve satisfazer a Eq. (4.12)independentemente,

ωk∇2Ak +∂2Ak

∂t2= 0 , (4.17)

1A determinacao ainda tem a liberdade de adicionar campos satisfazendo ∇2Θ = 0.


com ωk = ck. E obvio com a Eq. (4.17) que a dependencia espaco-temporal livre do potencialvetorial e apenas um fator oscilatorio com frequencia ωk

Ak(t) = A0kei(k·r−ωkt) . (4.18)

O fator Ak representa a amplitude e a polarizacao da onda do potencial vetorial. A amplitude ecomplexa e pode ser escrita em termos de uma parte real e uma parte imaginaria. Para enfatizara analogia com o oscilador classico escolhemos uma notacao similar introduzindo coordenadasgeneralizadas para o impulso e a posicao,

A0k =1√

4ε0V ω2k

(ωkqk + ipk)εk . (4.19)

Note-se que pk e qk sao escalares e a propriedade vetorial de Ak vem do vetor de polarizacaoεk. Como vimos quando estavamos contando os modos de uma cavidade na Sec. 1.1, ha duasdirecoes de polarizacao independentes por modo. Agora vamos exprimir a energia do modo kem termos de Ak(t) e A∗k(t). Lembramo-nos da Eq. (1.8) que o medio sobre um perıodo daenergia total do campo eletromagnetico pode ser escrito em termos do campo eletrico como

U = 12

∫ε0|E|2dV . (4.20)

Essa energia total e a soma das energias de todos os modos. Portanto, podemos escrever paracada componente,

Uk = 12

∫ε0|Ek|2dV . (4.21)

Agora, para cada componente k, a partir da definicao do potencial vetorial em termos do campoeletrico e do potencial escalar, Eq. (4.3), e lembrando nao tem cargas eletricas na cavidade(φ = 0), podemos escrever,

Ek(r, t) = iωk

[Ake

i(k·r−ωkt) −A∗ke−i(k·r−ωkt)

]. (4.22)

Portanto, o medio sobre um perıodo da energia do campo e,

Uk = 2ε0V ω2kAk ·A∗k . (4.23)

O passo final e substituir a equacao de transformacao (4.17) para Ak e A∗k dentro da Eq. (4.21).O resultado e

Uk =1

2(p2

k + ω2kq

2k) . (4.24)

o que, naturalmente, e a forma padrao para o oscilador harmonico classico unidimensional. Ostermos pk e qk sao as variaveis ’impulso’ e ’posicao’ canonicamente conjugadas do hamiltonianodo oscilador. Mas, como nao tem massa associada aos modos do campo eletromagnetico, aexpressao para a energia em termos de p e q mais abstrato e mais apropriada. A energia totalpara a cavidade e a soma sobre os modos k, e as duas direcoes independentes da polarizacao εk,

U = 2∑k

Uk =∑k

p2k + ω2

kq2k . (4.25)

Note-se que os componentes magneticos dos modos da cavidade podem ser construıdas a partirdas componentes do potencial vetorial usando a Eq. (4.1) tal que,

Bk = ik×[Ake

i(k·r−ωkt) −A∗kei(k·r−ωkt)

]. (4.26)


4.1.4 Oscilador quantizado

Agora nossa tarefa e transformar a expressao classica Eq. (4.22) para sua contrapartida quantica.Afim de realizar essa transformacao na forma mais conveniente, precisamos investir algum tempono desenvolvimento de uma algebra quantica para os operadores p e q de Eq. (4.22). Usamos oprincipio de correspondencia,

p −→ p e q −→ q . (4.27)

O hamiltoniano e entao dado porH = 1

2(p2 + ωq2) , (4.28)

onde p e q sao os operadores de posicao e de momento conjugados2. Eles obedecem a relacao decomutacao usual,

[q, p] = i~ . (4.29)

Agora definimos dois novos operadores como combinacoes lineares de p e q,

a = 1√2~ω

(ωq + ip) e a† = 1√2~ω

(ωq − ip) . (4.30)

Estes operadores sao chamados de operador de aniquilacao, a, e operador de criacao, a†, porrazoes que em breve se tornarao evidentes. A partir desses definicoes e facil mostrar que

a†a = 12~ω (p2 + ω2q2 + iωqp− iωpq) =

1

~ω

(H − ~ω

2

). (4.31)

Evidentemente, a partir da Eq. (4.31), e claro que

[a, a†] = 1 . (4.32)

O hamiltoniano do oscilador pode ser exprimido em termos de produtos de operadores de criacaoe aniquilacao,

H = ~ω(a†a+

1

2

). (4.33)

onde temos definido o operador de numero n como

n = a†a . (4.34)

Agora vamos definir os auto-estados do oscilador harmonico |n〉 tal que

H|n〉 = ~ω(a†a+

1

2

)|n〉 = En|n〉 , (4.35)

e investigar o efeito dos operadores a e a† em |n〉. Multiplicamos a (4.35) do lado esquerdo pora,

~ω(aa†a+

a

2

)|n〉 = ~ω

(1 + a†a+

1

2

)a|n〉 = Ena|n〉 . (4.36)

2Para partıculas massivas com momento P = mv e posicao Q, o hamiltoniano e,

H =P 2

2m+m

2ω2Q2 ,

com ω =√κ/m onde κ e a constante de forca do oscilador. Para obter a forma canonica (4.28), as variaveis

podem ser renormalizadas pelas massas por Q ≡√

2/mp e P ≡√

2mq


A partir da (4.33) isso pode ser escrito como

Ha|n〉 = (En − ~ω)a|n〉 . (4.37)

Claramente, a|n〉 e uma auto-estado do hamiltoniano do oscilador com o auto-valor En − ~ω.Portanto, o efeito do operador de aniquilacao sobre |n〉 e transforma-lo em um novo auto-estadocom energia mais baixa por uma unidade ~ω. Pode-se dizer que a tem aniquilado uma quantade energia ~ω do oscilador quantizada. O novo auto-estado e denotado

a|n〉 = cn|n− 1〉 (4.38)

com o auto-valor

En − ~ω = En−1 . (4.39)

Raciocınio semelhante, mas comecando com a multiplicacao do lado esquerdo por a† da (4.35)mostra o efeito de a† sobre |n〉,

Ha†|n〉 = (En + ~ω)a†|n〉 . (4.40)

Vemos que a† operando sobre |n〉 cria um novo auto-estado do hamiltoniano do oscilador cujaauto-energia e aumentada por um ~ω quantico: A correspondente notacoes sao

a†|n〉 = dn|n+ 1〉 . (4.41)

com o auto-valor

En + ~ω = En+1 . (4.42)

E claro que os estados quantizados do oscilador sao ortogonais. Se impomos as condicoes usuaisde normalizacao,

1 = 〈n|n〉 = 〈n|[a, a†]|n〉 = 〈n|aa† − a†a|n〉 = cn+1dn − dn−1cn = d∗ndn − c∗ncn , (4.43)

encontramos os seguintes resultados,

a|n〉 =√n|n− 1〉 e a†|n〉 =

√n+ 1|n+ 1〉 . (4.44)

Tendo estabelecido as constantes de normalizacao, podemos entender porque n e chamado deoperador de numero. Observe o efeito do operador de numero sobre |n〉. Da (4.34),

n|n〉 = a†a|n〉 = n|n〉 (4.45)

vemos que os estados do oscilador |n〉 sao auto-estados de n com autovalores iguais ao numerode quantas de energia no estado acima do ponto zero.

Aplicacoes repetidas de a sobre os auto-estados do oscilador diminuem a energia em passosde ~ω, ate que a energia chega ao ponto zero. Assim, tem um estado tal que

Ha|1〉 = (E1 − ~ω)a|1〉 = H|0〉 = (E0 − ~ω)a|0〉 . (4.46)

Mas a partir da Eq. (4.35) sabemos

H|0〉 = ~ω(a†a+

1

2

)|0〉 = E0|0〉 , (4.47)


e tendo em conta a Eq. (4.45) sabemos,

a†a|0〉 = 0 . (4.48)

Vemos queH|0〉 = ~ω

2 |0〉 = E0|0〉 . (4.49)

Portanto, evidentemente a energia do ponto zero e

E0 = ~ω2 . (4.50)

Agora e claro que o conjunto de auto-valores do oscilador harmonico quantizado unidimensionale composto de uma escada de energias igualmente espacados por ~ω. O degrau mais baixo dessaescada e posicionado na energia do ponto zero,

En =(n+ 1

2

)~ω . (4.51)

4.1.5 Quantizacao do campo

A quantizacao do campo de radiacao segue um caminho direto a partir das expressoes classicaspara o potencial vetorial dos modos do campo, Eqs. (4.17). Substituimos os operadores qk, pkpara as variaveis classicas qk, pk,

Ak = 1√4ε0V ω2

k

(ωkqk + ipk)εk −→ Ak = 1√4ε0V ω2

k

(ωkqk + ipk)εk (4.52)

A∗k = 1√4ε0V ω2

k

(ωkqk − ipk)εk −→ A∗k = 1√4ε0V ω2

k

(ωkqk − ipk)εk . (4.53)

Agora podemos substituir as expressoes para os operadores de aniquilacao e de criacao, Eq. (4.30)

Ak = 1√4ε0V ω2

k

akεk e A∗k = 1√4ε0V ω2

k

a†kεk . (4.54)

Vemos da Eq. (4.54) que os operadores para os modos individuais k do potencial vetorial docampo quantizado da cavidade tem uma relacao muito simples com os operadores de aniquilacaoe de criacao desse modo. A partir das Eq. (4.20) e (4.26) podemos construir os operadores decampo eletrico e magnetico para os modos da cavidade,

Ek = i√

~ωk2ε0V

(ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt))εk (4.55)

e Bk = i√

~ωk2ε0V

(ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt))

k× εk .

Podemos calcular o medio sobre um perıodo da energia do modo k-th na cavidade por umaversao quantizada da Eq. (4.19),

Uk = ε02

∫〈nk|Ek · Ek|nk〉dV . (4.56)

Essa equacao da, substituindo a Eq. (4.55) e tendo em conta as duas direcoes ortogonais depolarizacao,

Uk = ~ωk(nk + 12) . (4.57)

A energia total do campo e simplesmente a soma sobre os modos,

U =∑k

~ωk(nk + 12) . (4.58)


Este resultado e exatamente o que Planck havia sugerido (embora estritamente falando, sua su-gestao foi a quantizacao dos osciladores nas paredes condutantes da cavidade, e nao do campo),para explicar a distribuicao da intensidade espectral radiada por um corpo negro. Vemosagora que segue naturalmente da quantizacao dos modos de campo na cavidade. Resolva osExcs. 4.5.1.1, 4.5.1.2, 4.5.1.3 e 4.5.1.4.

4.2 Estados atomo-luz

4.2.1 Segunda quantizacao

Agora que temos uma imagem clara do campo quantizado com energias dos modos dada pelaEq. (4.57) e estados de numero de fotons dada pelos auto-estados do oscilador harmonico quan-tizado, |n〉, estamos em posicao de considerar o nosso atomo de dois nıveis interagindo com estecampo de radiacao quantizado. Se excluirmos emissao espontanea e processos estimulados parao momento, o hamiltoniano do sistema combinado atomo e campo e,

H = Hatom + Hfield + Hint . (4.59)

Aqui Hatom e o hamiltoniano do atomo,

Hatom = −~ω02 |1〉〈1|+ ~ω0

2 |2〉〈2| , (4.60)

Hfield e o hamiltoniano do campo quantizado, expresso pela Eq. (4.33), e Hint o a interacao

atomo-campo. Para o hamiltoniano sem interacao, H = Hatom + Hfield, o os auto-estados saosimplesmente estados de produto dos estados atomicos e dos estados de numero de fotons,

|1, n〉 = |1〉|n〉 e |2, n〉 = |2〉|n〉 . (4.61)

Fig. 4.2 mostra como as auto-energias dos estados produtos consistem de duas escadas des-locadas pela energia de dessintonizacao ~∆. Escrevemos o operador hamiltoniano do atomoEq. (4.60) como soma de projetores sobre os auto-estados nao perturbados utilizando a relacaode completeza e a ortogonalidade dos auto-estados. Com a mesma ideia podemos reescrever ooperador dipolar definido nas Eqs. (2.16) e (2.17),

d =∑i

|i〉〈i|d|∑j

|j〉〈j| =∑i,j

di,j |i〉〈j| . (4.62)

Note-se que µ so tem elementos nao-diagonais.

Agora vamos usar as Eqs. (4.55) juntos para descrever a interacao atomo-campo atraves dohamiltoniano Hint = d · E,

Hint = i∑k

∑i,j

√~ωk

2ε0Vdi,j · εk

[ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt)]|i〉〈j| . (4.63)

Para o nosso atomo de dois nıveis interagindo com um unico modo do campo apenas temos

Hint = i

√~ωk

2ε0Vd12 · εk

[ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt)]

(|1〉〈2|+ |2〉〈1|) . (4.64)

Esse hamiltoniano contem quatro termos descrevendo os seguintes processos,

4.2. ESTADOS ATOMO-LUZ 63

• |2, n〉 −→ |1, n− 1〉 o atomo e deexcitado com a absorcao de um foton;

• |1, n〉 −→ |2, n− 1〉 o atomo e excitado com a absorcao de um foton;

• |2, n〉 −→ |1, n+ 1〉 o atomo e deexcitado com a emissao de um foton;

• |1, n〉 −→ |2, n+ 1〉 o atomo e excitado com a emissao de um foton.

Obviamente, so o segundo e o terceiro termo respeitam conservacao de energia e podem servircomo estados iniciais e finais num processo fısico real. O primeiro e quarto termo podem serusados para alguns estados intermediarios em processos de ordem superior, tais como absorcaomultifotonica ou processos de espalhamento Raman. A Fig. 4.1 mostra esquemas desses quatrotermos. Centrando-se no segundo e terceiro termos, podemos simplificar a notacao, identificandoσ+ = |2〉〈1| e σ− = |1〉〈2| das Eqs. (3.90),

Hint = i

√~ωk2ε0V

dij · εk[akσ

+ei(k·r−ωkt) − a†kσ−e−i(k·r−ωkt)]. (4.65)

Avaliando os elementos da matriz Hint para o estado atomo-luz geral,

|ψ〉 = N1|1, n− 1〉e−iω1t +N2|1, n〉e−iω1t +N3|2, n− 1〉e−iω2t +N4|2, n〉e−iω2t , (4.66)

utilizando as notacoes a† =∑

n

√n+ 1|n + 1〉〈n| e a =

∑n

√n|n − 1〉〈n| e a ortogonalidade

〈j,m|i, n〉 = δijδmn, vemos que

〈ψ|Hint|ψ〉 = i

√~ωk2ε0V

d12 · εk× (4.67)

×[N∗1N4e

i[k·r−(ωk+ω0)t] +N∗3N2ei[k·r−(ωk−ω0)t] −N∗2N3e

−i[k·r−(ωk−ω0)t] −N∗4N1e−i[k·r−(ωk+ω0)t]

],

onde ω0 ≡ ω2−ω1. Vemos que negligenciar o primeiro e quarto termos ’nao-fısicos’ e equivalentea fazer a aproximacao da onda rotatoria (RWA) onde desprezamos os termos girando com afrequencia ωk+ω0, e que realmente so precisamos considerar o acoplamento entre os dois estadosde base |1, n〉 e |2, n− 1〉. O problema se reduz a diagonalizacao do hamiltoniano de um atomode dois nıveis quase-degenerados (∆ ω0), no qual a amplitude dos elementos nao diagonais eo dada por

~Ω

2=

√~ωk2ε0V

d12 · εk . (4.68)

As auto-energias do hamiltoniano completo H sao

E± = ~2(ω1,n + ω2,n−1)± ~

2G . (4.69)

onde ~ω1,n e ~ω2,n−1 sao as energias dos estados produto ~ω1 + n~ωk e ~ω2 + (n− 1)~ωk.

4.2.2 Estados vestidos

Os estados de produto atomo-campo oferecem um conjunto natural de uma base para o hamil-toniano da Eq. (4.59). Os estados resultantes da diagonalizacao do hamiltoniano nessa base saochamados estados vestidos. Como indicado na Fig. 4.2, o dubletos vizinhos da dupla escada se


Figura 4.1: Quatro termos na interacao atomo-campo. Os termos (b) e (c) conservam a energia,enquanto (a) e (d) nao conservam.

’repelem’ sob a influencia da interacao Hint na Eq. (4.59). Os coeficientes misturandos reduzempara o problema familiar de dois nıveis. Da Fig. 4.2 vemos,

|a,N〉 = cos θ|1, 1〉+ sin θ|2, 1− 1〉 (4.70)

|b,N〉 = cos θ|2, n− 1〉 − sin θ|1, n〉 .

com

tan 2θ =Ω

∆, (4.71)

onde a separacao entre membros do coletor mesmo estado vestido e G =√

Ω2 + ∆2. Os numerosn denotam a quantidade de fotons dentro do feixe laser, os numeros N a quantidades de pacotesde energia dentro do sistema, isto e, os fotons mais a excitacao possıvel do atomo.

4.3 Modelo de Jaynes-Cummings

O hamiltoniano de um sistema de dois nıveis acoplado num campo de luz monocromatico sejadado por H = 1

2~ω0σz + ~ω(a†a+ 1

2

)+ ~g

(aσ+ + a†σ−

). O estado do sistema chamado de

modelo de Jaynes-Cummings pode ser exprimido pela vetor

|ψ(t)〉 =∑n

c2,n(t)e−i(E2/~+nω)t|2, n〉+ c1,n+1(t)e−i[E1/~+(n+1)ω]t|1, n+ 1〉 . (4.72)


4.3.1 Equacao mestre para cavidades

O hamiltoniano de um modo de luz numa cavidade optica e

H = ~ωa†a . (4.73)


4.4. EMISSAO ESPONTANEA 65

92 CHAPTER 5. QUANTIZED FIELDS AND DRESSED STATES

⟩

|⟩

⟩

4 O SS SF SS SF 4 O ¡N¢SO£¤oFSS

¥ω ¦

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§)¨Z|⟩

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¥Ω

¥Ω

¥Ω

¥ω

¥ω

Figure 5.1: Left: photon number states and the two stationary states of the two-level atom. Middle: double ladder showing the product-state basis of photonnumber and atom states. Right: Dressed states constructed from diagonalizingthe full Hamiltonian in the product-state basis.

Figura 4.2: Esquerda: Estados de numero de fotons e os dois estados estacionarios do atomo dedois nıveis. Meio: Dobre escada mostrando a base de estados produtos de estados de numeroe estados atomicos. Direito: Estados vestidos construidos por diagonalizacao do hamiltonianocompleto na base de estados produtos.

4.4 Emissao espontanea

A emissao espontanea pode ser entendida como um processo de difusao de energia de um sistemacom um numero de graus de liberdade restrito para um grande banho termico. O sistema de umatomo excitado por um laser pode ser descrito dentro de um espaco de Hilbert dois-dimensional.No entanto, fotons podem ser espalhadas por emissao espontanea em todas as direcoes do espaco.Para tomar em conta esse fato incluir no hamiltoniano nao so a interacao do atomo com o laserincidente (vetor de onda k0, frequencia ωk0 , forca do acoplamento gk0), mas tambem com osmodos do vacuo eletromagnetico (vetor de onda k, frequencia ωk, forca do acoplamento gk).

Figura 4.3: Espalhamento de um laser por um atomo.

Vamos ver, que com esse hamiltoniano podemos derivar a equacao de Schrodinger para asamplitudes dos nıveis atomicos (3.100) inclusive emissao espontanea.


4.4.1 O hamiltoniano completo

Seja a frequencia do laser ω0, a frequencia da ressonancia atomica ωa e a frequencia da luzespalhada ω. O hamiltoniano e,

H = ~gk0

(σe−iωat + σ†eiωat

)(a†k0

eiω0t−ik0·r + ak0e−iω0t+ik0·r

)(4.74)

+∑k

~gk(σe−iωat + σ†eiωat

)(a†ke

iωkt−ik·r + ake−iωkt+ik·r

).

Aqui, Ω0 e a frequencia de Rabi da interacao entre o atomo e o modo da bomba (que e tratadocomo campo classico), σ e o operador de abaixamento da excitacao atomica, ak e o operador deaniquilacao de um foton, e gk = d

√ω/(~ε0V ) descreve o acoplamento entre o atomo e um modo

do vacuo com o volume V . O atomo tem dois estados, o estado fundamental |g〉 e estado excitado|e〉. Como estamos considerando apenas um atomo fixo no espaco3 , podemos colocar-lhe naposicao r = 0. Alem disso, considerando um laser incidente com alta potencia,

ak0 |n0〉k0 =√n|n0 − 1〉k0 ' |n0〉k0 , (4.75)

ak0 e aproximadamente uma observavel proporcional a raiz da intensidade. Como [ak0 , a†k0

] '=0, podemos desconsiderar a natureza quantica e substituir, Ω0 ≡ 2

√n0gk0 . Com a aproximacao

da onda rotatoria (rotating wave approximation, RWA) o hamitoniano fica

H = ~2Ω0

[σa†k0

ei∆0t + h.c.]

+ ~∑k

[gkσa

†kei∆kt + h.c.

], (4.76)

introduzindo as abreviacoes

∆0 ≡ ω0 − ωa e ∆k ≡ ωk − ωa . (4.77)

O estado do sistema e dado por

|Ψ(t)〉 = α(t)|0〉a|0〉k + β(t)|1〉a|0〉k +∑k

γk(t)|0〉a|1〉k . (4.78)

A evolucao temporal das amplitudes e obtida inserindo o hamiltoniano e o ansatz acimadentro da equacao de Schrodinger,

∂

∂t|Ψ(t)〉 = − i

~H|Ψ(t)〉 . (4.79)

Resolva o Exc. 4.5.4.1.Obtemos,

α(t) = −iΩ02 e

i∆0tβ(t) (4.80)

β(t) = −iΩ02 α(t)e−i∆0t −

∑k

igkγk(t)e−i∆kt

γk(t) = −igkei∆ktβ(t) .

Escolhemos as condicoes iniciais,

α(0) = 1 e β(t) = 0 e γk(t) = 0 . (4.81)

3Nao deixamos o atomo ser acelerado pelo recuo fotonico.

4.4. EMISSAO ESPONTANEA 67

Integramos a terceira equacao,

γk(t) = −igk∫ t

0ei∆kt

′β(t′)dt′ (4.82)

e substituimos dentro da segunda equacao,

β(t) = −iΩ0

2α(t)e−i∆0t −

∑k

g2k

∫ t

0ei∆k(t′−t)β(t′)dt′ . (4.83)

4.4.2 Aproximacao de Markov

Para sistemas pequenas (o que e o caso de um atomo so) podemos aplicar a aproximacao deMarkov4 dizendo que a variacao das amplitudes, β(t′) ≈ β(t), e mais lento do que a evolucaodo sistema, ei(ωk−ω0)t, na equacao integro-diferencial. Com essa aproximacao a equacao integro-diferencial, que e equivalente a uma equacao de ordem arbitrariamente alta se reduz a umaequacao diferencial simples de primeira ordem.

Definindo β ≡ βe−i∆0t e t′′ ≡ t− t′

d

dtβ(t) = i∆0β(t)− iΩ0

2α(t)−

∑k

g2k

∫ t

0ei(ωk−ω0)(t′−t)β(t′)dt′ (4.84)

= i∆0β(t)− iΩ0

2α(t)−

∑k

g2k

∫ t

0e−i(ωk−ω0)t′′ β(t− t′′)dt′′ .

Usando a aproximacao de Markov β(t− t′′) ' β(t), com limt→∞

∫ t0 e−i(ωk−ω0)t′dt′ = πδ (ωk − ω0), e

com uma taxa de emissao espontanea

Γ ≡ V

πck2

0g2k0 , (4.85)

o terceiro termo fica com∑

k −→ V(2π)3

∫d3k,

∑k

g2k

∫ t

0e−i(ωk−ω0)t′′ β(t− t′′)dt′′ '

∑k

g2kβ(t)πδ (ωk − ω0) (4.86)

=V

(2π)3β(t)

∫g2kπδ (ωk − ω0) d3k

=V

(2π)3β(t)4πg2

k0πk20

1

c=

Γ

2β(t) .

Finalmente,

d

dtα(t) = −iΩ0

2β(t) e

d

dtβ(t) = i∆0β(t)− iΩ0

2α(t)− Γ

2β(t) . (4.87)

4.4.2.1 Dessintonizacao efetiva

Transformacao para representacao de Heisenberg por α ≡ C1 e β ≡ C2ei∆0t,

C1 = − iΩ2ei∆0tC2 e C2 = − iΩ

2e−i∆0tC1 −

Γ

2C2 . (4.88)

4A aproximacao nao vale necessariamente para nuvens grandes de atomos.


Esses sao exatamente as equacoes das amplitudes de probabilidade (3.100) derivadas da equacaode Schrodinger. A equacao (4.87) sugere, que podemos tratar simplesmente a emissao espontaneacom a substituicao

∆ −→ ∆ + i2Γ . (4.89)

O problema, quando aplicado por exemplo no hamiltoniano,

Heff =

(0 ΩΩ ∆ + i

2Γ

), (4.90)

e, que o hamiltoniano nao fica hermitiano. No entanto, mesmo assim podemos utilizar essehamiltoniano efetivo, como veremos na proxima secao.

4.4.3 Simulacao numerica e comparacao com equacao de Schrodinger

Processos dissipativos podem ser simulados jogando dados com numeros aleatorios ζ. Para verisso, consideramos um sistema representado por um hamiltoniano efetivo, Heff , nao hermitiano,pois incluindo processos de dissipacao de energia. Porque o hamiltoniano e nao-hermiteano,

tambem nao e comutavel, [Heff , H†eff ] 6= 0, e a sua dinamica nao e unitaria, e−iHeff t 6= eiH

†eff t.

Isso significa, que ja a possibilidade de emissao espontanea impede a reversibilidade da dinamica.Observamos um decrescimento temporal da norma 〈ψ(t)|ψ(t)〉 indicando uma perda de energia.

Figura 4.4: Sistema de nıveis para deteccao de saltos quanticos.

Para entender a evolucao do sistema, dividimos o tempo em pequenos intervalos dt e pro-pagamos a funcao de onda de ψ(t) para ψ(t + dt). Depois de cada intervalo perguntamos,qual fui a probabilidade acumulada no tempo do intervalo para ocorrencia de uma transicao,1−〈ψ(t)|ψ(t)〉. A transicao e abrupta e se chama de salto quantico. Agora, geramos um numeroaleatorio ζ, uniformemente distribuıdo entre 0 e 1, que nos comparamos a probabilidade. Nocaso, ζ > 1 − 〈ψ(t)|ψ(t)〉, concluimos que nao houve salto quantico, e deixamos o sistemaprosseguir em paz, so renormalizando a funcao de onda para compensar as perdas. No casocontrario, ζ < 1− 〈ψ(t)|ψ(t)〉, concluimos que houve salto quantico, e o sistema esta projetadono auto-estado ψ0. Agora, a evolucao comeca de zero. A simulacao pode ser feita assim,

|ψ(t)〉y |ψ(t+ dt)〉 ≡(

(1−iHdt)|ψ(t+dt)〉〈ψ(t)|ψ(t)〉 if ζ > 1− 〈ψ(t)|ψ(t)〉|ψ0〉 if ζ < 1− 〈ψ(t)|ψ(t)〉

). (4.91)

Essa trajetoria simula so uma de muitas trajetorias possıveis do sistema.A emissao espontanea e incluıda pela possibilidade do sistema de subir uma reducao do

estado ou projecao sobre um auto-estado com a probabilidade ζ que corresponde a probabili-dade acumulada para emissao espontanea. ζ e simulado por um numero aleatorio distribuıdouniformemente. A modificacao de |ψ(t)〉 por nao-observacao de emissao espontanea reduza apopulacao do estado excitado por 1 − 1

2Γdt, enquanto a populacao do estado fundamental ficainalterada. Isso significa que |ψ(t)〉 deve ser renormalizado. Isso e o metodo de simulacaoquantica de Monte-Carlo da funcao de onda.

4.5. EXERCICIOS 69

0 50 100 150 2000

0.5

1

t (ns)

ρ 11

Figura 4.5: Simulacao de Monte-Carlo quantica da funcao de onda.

4.5 Exercıcios

4.5.1 Quantizacao do campo

4.5.1.1 Ex: Estados de Glauber

Mostre que os estados de Glauber nao tem base ortonormal. Mostre tambem que estados deGlauber tem incerteza minimal.

4.5.1.2 Ex: Estatıstica fotonica

Um ressonador optico contem 10 fotons no modo TEM00q. Qual e a probabilidade de encontrar,num qualquer tempo, 1 foton resp. 10 fotons, quando a luz e (a) termica, (b) coherente? Quale no caso (a) a temperatura da luz?

4.5.1.3 Ex: Estados comprimidos

Estados comprimidos podem ser introduzidos por aplicacao do operador S(ξ) ≡ eξ∗2a2− ξ

2a† 2

sobre um estado de Glauber |α〉, onde ξ e o parametro de compressao.Calcule 〈α, ξ|n|α, ξ〉 e mostre com α→ 0, que o vacuo comprimido nao e vazio.

4.5.1.4 Ex: Estado de gato de Schrodinger

Calcula a probabilidade de encontrar n fotons no estado de gato de Schrodinger |ψ〉 = 2−1/2 (|α〉+ | − α〉).

4.5.2 Estados atomo-luz

4.5.3 Modelo de Jaynes-Cummings

4.5.3.1 Ex: Modelo de Jaynes-Cummings

Considere o hamiltoniano de Jaynes-Cummings.a. Determine com a equacao de Schrodinger o sistema de equacoes diferenciais dando a evolucaotemporal dos coeficientes c2,n(t) e c1,n+1(t) nessa representacao na imagem de interacao dentroda aproximacao da onda rotativa (RWA).b. Calcule a evolucao temporal para a condicao de inıcio c2,n(0) = 1 e c1,n+1(0) = 0 para o casoparticular ω = ω0.c. Generaliza o resultado da tarefa a. para um campo de muitos modos, para o qual inicialmente


(i) todos os modos do campo k sao no estado vazio |0〉 e (ii) o atomo esta no estado excitado|a〉. Utilize o ansatz

|ψ(t)〉 = c2(t)e−iE2t/~|2, 0〉+∑k

c1,k(t)e−i[E1/~+ωk]t|1, 1k〉 ,

e determine as equacoes de movimento para as amplitudes c2 e c1,k.

4.5.3.2 Ex: Equacao mestre para cavidades

Seja κ a taxa de perda de fotons por transmissao atraves dos espelhos da cavidade. Mostre quea equacao mestre da

dρ

dt=κ

2(n+ 1)

(2aρa† − a†aρ− ρa†a

)− κ

2n(

2a†ρa− aa†ρ− ρaa†),

onde o operador de densidade e definido por ρ ≡ ∑m,n Pm,n|m〉〈n|. e n e o numero de fotonstermicos.

4.5.4 Emissao espontanea

4.5.4.1 Ex: Derivacao as equacoes para atomo de dois nıveis

Inserindo o ansatz (4.78) na equacao de Schrodinger derive as equacoes de movimento (4.80)para as amplitudes da funcao de onda.

Capıtulo 5

Forcas da luz sobre a materia e aoptica atomica

Um feixe de luz carrega momento, e o espalhamento de luz por um objeto produz uma forcasobre aquele objeto. Esta propriedade da luz foi demonstrada pela primeira vez atraves daobservacao de um desvio transversal muito pequeno (3 · 10−5 rad) em um raio de sodio atomicoexposto a luz de uma lampada ressonante. Com a invencao do laser, ficou mais facil observarefeitos deste tipo, a luz mais intensa e altamente direcional exerca forcas muito maiores. Emboraestes resultados acenderam o interesse em usar as forcas da luz para controlar o movimento deatomos neutros, as bases fundamentais para a compreensao das forcas da luz sobre atomos naoforam desenvolvidas antes do final da decada 1970. Demonstracoes experimentais inequıvocasde resfriamento e aprisionamento de atomos nao foram realizadas antes de meados dos anos 80.Neste capıtulo, discutimos alguns aspectos fundamentais das forcas da luz e esquemas utilizadospara resfriar e aprisionar atomos neutros.

A forca da luz exercida sobre um atomo pode ser de dois tipos: uma forca dissipativa es-pontanea e uma forca conservativa dipolar. A forca espontanea surge do impulso experimentadopor um atomo quando absorve ou emite uma quanta de impulso fotonico. Como vimos naSec. 2.2.3, quando um atomo espalha luz, a secao transversal ressonante de espalhamento pode

ser escrita pela Eq. (2.57), σ0a = g1g2

πλ202 , onde λ0 e o comprimento de onda ressonante. Na

regiao optica do espectro eletromagnetico os comprimentos de onda da luz sao da ordem devarias centenas de nanometros, e as secoes transversais ressonantes para espalhamento se tor-nam muito grande, (∼ 10−9 cm2. Cada foton absorvido transfere uma quanta de impulso ~kao atomo na direcao de propagacao. A emissao espontanea apos a absorcao ocorre em direcoesaleatorias, e ao longo de muitos ciclos de absorcao-emissao, ela cancela para zero em medio.Por consequencia, a forca espontanea total age sobre o atomo na direcao da propagacao da luz,como mostrado esquematicamente no diagrama da Fig. 5.1. A taxa saturada de espalhamentode fotons por emissao espontanea (o valor recıproco do tempo de vida do estado excitado) fixao limite superior para a magnitude da forca. Esta forca e as vezes chamada de forca de pressaoradiativa.

A forca de gradiente dipolar pode ser facilmente entendida considerando a luz como umaonda classica. E simplesmente a forca no medio temporal decorrente da interacao do dipoloda transicao, induzida pela oscilacao do campo eletrico da luz, com o gradiente da amplitudedo campo eletrico. Focalizacao do feixe luminoso controla a magnitude deste gradiente, e asintonizacao da frequencia optica abaixo ou acima da transicao atomica controla o signo daforca que age sobre o atomo. Ajustando a luz abaixo da ressonancia atrai o atomo para o centrodo feixe de luz, enquanto ajustando a luz acima da ressonancia repele-lo. A forca dipolar eum processo estimulado em que nao ha troca de energia entre o campo e o atomo. Fotonssao absorvidos de um modo e reaparecem por emissao estimulada em outro. Conservacao de

71

72 CAPITULO 5. FORCAS DA LUZ SOBRE A MATERIA E A OPTICA ATOMICA

momento exige que a mudanca de direcao de propagacao de fotons desde um modo inicialpara um modo final deixe o atomo com um recuo. Contrario a forca espontanea, nao ha, emprincıpio, nenhum limite superior para a magnitude da forca dipolar, pois e uma funcao apenasdo gradiente de campo e dessintonizacao.

Podemos tratar estas observacoes quantitativamente, considerando a amplitude, fase e frequenciade um campo classico interagindo com o dipolo de uma transicao atomica em um atomo de doisnıveis. O que se segue agora as vezes e chamado de modelo de resfriamento Doppler. Aconteceque atomos com estrutura hiperfina no estado fundamental podem ser resfriados abaixo do li-mite previsto por este modelo Doppler. Para explicar este resfriamento sub-Doppler inesperado,modelos que envolvem atomos movendo-se lentamente num gradiente de polarizacao de umaonda estacionaria tem sido invocado.

5.1 A forca de gradiente dipolar e a forca de pressao radiativa

Consideramos a parte do hamiltoniano total descrevendo a interacao [3],

Hint = 12~Ω(r)eik·r−iωtσ†eiω0t + c.c. . (5.1)

Utilizando o operador de densidade e a Eq. (5.1), podemos calcular a forca que o campo da luzexerce sobre o atomo,

F(r) = 〈F(r)〉 = −Trat ρ∇rHint (5.2)

= −12~∑

j〈j|ρ|∇r

(Ω(r)eik·r−i∆t|2〉〈1|+ Ω(r)e−ikr+i∆t|1〉〈2|

)|j〉

= −12~∇rΩ(r)

(〈1|ρeik·r−i∆t|2〉+ 〈2|ρe−ik·r+i∆t|1〉

)− i

2~kΩ(r)(〈1|ρeik·r−i∆t|2〉 − 〈2|ρe−ik·r+i∆t|1〉

).

Agora, colocamos o atomo no lugar r = 0,

F(0) = −12~∇rΩ(0)(ρ12e

−i∆t + ρ21ei∆t)− i

2~kΩ(0)(ρ12e−i∆t − ρ21e

i∆t) . (5.3)

Inserindo as solucoes estacionarias das equacoes de Bloch (3.103),

F(0) = −12~

4∆Ω

4∆2 + 2Ω2 + Γ2∇rΩ− ~k

ΓΩ2

4∆2 + 2Ω2 + Γ2. (5.4)

Com a definicao da secao cruzada σa(∆) = σa(0)Γ2

4∆2+2Ω2+Γ2 ,

F(0) = −12~∆∇r ln

(1 +

2Ω2

4∆2 + Γ2

)+ ~k

Ω2

Γ

σa(∆)

σa(0). (5.5)

Aparentemente, a forca contem duas contribuicoes. A forca de gradiente dipolar pode serderivada de um potencial. Ela e proporcional ao gradiente de intensidade e pode ser interpre-tada como resultando de processos de absorcao seguido por emissao auto-estimulada. Perto daressonancia ela e dispersiva. Longe da ressonancia pode ser aproximada por

Fdp = ∇r−~∆Ω2

4∆2 + Γ2. (5.6)

A forca de pressao radiativa e dissipativa. Perto da ressonancia ela e absorptiva. Ela e proporci-onal ao gradiente da fase e a unica forca ativa em ondas planas. Ela pode ser interpretada como

5.1. A FORCA DE GRADIENTE DIPOLAR E A FORCA DE PRESSAO RADIATIVA 73

resultando de processos de absorcao seguido por emissao espontanea. Com Ω2 = σa(0)ΓI/~ωobtemos uma formula,

Frp = ~kI

~ωσa(∆) , (5.7)

que descreve a forca como produto do numero de fotons no feixe incidente, I/~ω, a secaotransversal para absorcao, σa(∆), e o recuo por foton, ~k.

110 CHAPTER 6. FORCES FROM ATOM-LIGHT INTERACTION

æoç(èêé&ëoç æ ç èÌé&ë çFì4í)î+ï ðñ+òóôÌõ&ö òO÷ø)ù+ú

ë çí)î ï

Figure 6.1: Left: atom moves to the right with mass m, velocity vA and absorbsa photon propagating to the left with momentum ~kL. Center: Excited atomexperiences a change in momentum pA = mvA − ~kL. Right: Photon isotropicreemission results in an average momentum change of atom, after multiple ab-sorptions and emission, of 〈pA〉 = mvA − ~kL

tion occurs in random directions; and, over many absorption-emission cycles, itaverages to zero. As a result, the net spontaneous force acts on the atom inthe direction of the light propagation, as shown schematically in the diagramof Fig. 6.1. The saturated rate of photon scattering by spontaneous emission(the reciprocal of the excited-state lifetime) fixes the upper limit to the forcemagnitude. This force is sometimes called radiation pressure.

The dipole force can be readily understood by considering the light as a clas-sical wave. It is simply the time-averaged force arising from the interaction ofthe transition dipole, induced by the oscillating electric field of the light, withgradient of the electric field amplitude. Focusing the light beam controls themagnitude of this gradient, and detuning the optical frequency below or abovethe atomic transition controls the sign of the force acting on the atom. Tuningthe light below resonance attracts the atom to the center of the light beam whiletuning above resonance repels it. The dipole force is a stimulated process inwhich no net exchange of energy between the field and the atom takes place.Photons are absorbed from one mode and reappear by stimulated emission inanother. Momentum conservation requires that the change of photon propaga-tion direction from initial to final mode imparts a net recoil to the atom. Unlikethe spontaneous force, there is in principle no upper limit to the magnitude ofthe dipole force since it is a function only of the field gradient and detuning.

Figura 5.1: Esquerdo: Um atomo com a massa m e a velocidade vA se move para o direito eabsorve um foton propagante para esquerdo com o momento ~kL. Centro: Um atomo excitadosofre uma mudanca de momento pA = mvA − kL. Direito: A reemissao isotropica de um fotonresulta, no medio de muitos ciclos absorcao-emissao, em uma mudanca de momento para oatomo de 〈pA〉 = mvA − kL.

Podemos escrever as expressoes basicas para a forca de gradiente dipolar Fdp e da forca depressao radiativa Frp por atomo como

Fdp = ε0∇E20

(d12

3ε0~−∆

4∆2 + 2Ω2 + Γ2

)(5.8)

e

Frp = ε0E20kk

(d12

3ε0~−∆

4∆2 + 2Ω2 + Γ2

)(5.9)

Usamos a notacao Fdp e Frp para indicar que a forca de gradiente dipolar (e o potencial asso-ciado) e frequentemente usado para aprisionar atomos, e a forca de pressao radiativa e frequen-temente usada para resfriar-lhes. Note que em Eqs. (5.8),(5.9) temos sido usado o quadrado domedio sobre as orientacoes do elemento da matriz do momento de transicao, d12/3.

Com a definicao para a frequencia de Rabi ressonante, Eq. (2.18),

Ω =d12E0

~, (5.10)

podemos reescrever Eqs. (5.8),(5.9) como

Fdp = −1

3~Ω∇Ω

2∆

4∆2 + 2Ω2 + Γ2(5.11)

e

Frp =1

3~kΓ

Ω

4∆2 + 2Ω2 + Γ2. (5.12)

O parametro de saturacao, que foi primeiro introduzido em Eq. (3.108),

s =12Ω

∆2 + 14Γ2

, (5.13)


permite escrever a forca de gradiente dipolar e a forca de pressao radiativa como,

Fdp = −1

6~∆

1

1 + s∇s (5.14)

e

Frp =1

6~kΓ

1

1 + s. (5.15)

Eq. (5.15) mostra que ’satura’ a forca de pressao de radiacao quanto s aumenta, e e, portanto,limitada pela taxa de emissao espontanea. O parametro de saturacao descreve essencialmente aimportancia relativa dos termos que aparecem no denominador da funcao de perfil de linha paraas forcas da luz sobre o atomo. A taxa de emissao espontanea e uma propriedade intrınseca doatomo, proporcional ao quadrado do momento da transicao atomica, enquanto que o quadradoda frequencia de Rabi e uma funcao da intensidade do laser incidente. Se s 1, a emissaoespontanea e rapida comparado a qualquer processo estimulado, e o campo de luz e dito serfraco. Se s 1, a oscilacao de Rabi e rapida comparado a emissao espontanea e o campo econsiderado forte. Deixando s ser igual a unidade define uma condicao de ’saturacao’ para atransicao,

Ωsat =√

2Γ

2. (5.16)

O fator de perfil da linha indica um ’alargamento de potencia’ por saturacao de um fator de√2. A forca de gradiente dipolar FT pode ser integrada para definir um potencial atraente (ou

repulsivo) para o atomo:

UT = −∫

FTdr =~∆

6ln

[1 +

12Ω

∆2 + 14Γ2

]=

~∆

6ln[1 + s] . (5.17)

Note que a forca e o potencial de gradiente dipolar, Eqs. (5.14),(5.18), nao saturam quando aintensidade do campo da luz e aumentado. Geralmente FT e UT sao usados para manipular eaprisionar atomos com um laser sintonizado longe de ressonancia para evitar absorcao. Nestecaso s 1, e o potencial aprisionante pode ser escrito

UT '=1

6

~Ω2

2~∆. (5.18)

Muitas vezes, o momento de transicao pode ser orientado usando luz circularmente polarizada.Nesse caso, todas as expressoes anteriores para FT , FC e UT devem ser multiplicados por 3. Apartir de agora vamos abandonar a mediacao sobre orientacoes e usar so d2

12 para o quadradodo momento de transicao.

5.1.1 Molaco optico

A partir das definicoes anteriores de I, Ω e Ωsat, [Eqs. (1.11),(2.18),(5.16)] podemos escrever

I

Isat=

Ω2

Γ2/2, (5.19)

e

Frp =~kΓ

2

I/Isat(2∆/Γ)2 + I/Isat + 1

. (5.20)

5.1. A FORCA DE GRADIENTE DIPOLAR E A FORCA DE PRESSAO RADIATIVA 75

Agora, se consideramos um atomo propagando na direcao +z com a velocidadevz contrapropa-gante a onda de luz dessintonizada da ressonancia por ∆, a dessintonia total sera

∆ −→ ∆ + kvz . (5.21)

onde o termo kvz e o deslocamento de Doppler. A forca F− agindo sobre o atomo sera na direcaocontraria ao movimento. Em geral,

F± = ±~kΓ

2

I/Isat(2(∆∓ kvz)/Γ)2 + I/Isat + 1

. (5.22)

Suppoe que temos dois campos propagando nas direcoes ±z. Pegamos a forca total F = F++F−.Se kvz e pequeno em comparacao com Γ e ∆, achamos

F ' 4~kI

Isat

kvz(2∆/Γ)

1 + I/Isat + (2∆/Γ)2. (5.23)

Esta expressao mostra que se a dessintonia ∆ e negativa (isto e, para o lado vermelho daressonancia), entao a forca de resfriamento vai se opor ao movimento e ser proporcional avelocidade atomica. A Fig. 6,2 mostra essa forca dissipativa restauradora em funcao de vz numadessintonia ∆ = −Γ e I = Isat = 2. O movimento unidimensional do atomo, sujeito a uma forcade oposicao proporcional a sua velocidade, e descrito por um oscilador harmonico amortecido.O ’amortecimento Doppler’ ou ’coeficiente de atrito’ e o fator de proporcionalidade,

αd = −4~kI

Isat

kvz(2∆/Γ)

1 + I/Isat + (2∆/Γ)2. (5.24)

O tempo caracterıstico para amortecer a energia cinetica de um atomo com massa m para 1/edo valor inicial e,

τ =m

2αd. (5.25)

No entanto, o atomo nao vai resfriar indefinitivamente. Num certo ponto a txa de resfriamentoDoppler sera equilibrada pela taxa de aquecimento vindo das flutuacoes de momento do atomoabsorvendo e reemitindo fotons. Igualizando esses taxas e associando a energia cinetica unidi-mensional com 1

2kBT , achamos

kBT =~Γ

4

1 + (2∆/Γ)2

2|∆|/Γ . (5.26)

Essa expressao mostra que T e uma funcao da dessintonia do laser, e a temperatura mınima eobtida quando ∆ = −Γ/2. Nessa dessintonia,

kBT = ~Γ

2, (5.27)

o que e chamado o limite de resfriamento Doppler. Este limite e geralmente, por atomos alcalinos,na ordem de centenas de microkelvin. Por exemplo, o limite de resfriamento Doppler para Nae de T = 240 µK. Nos primeiros anos do resfriamento e aprisionamento, antes de 1988, olimite de Doppler foi pensado ser uma verdadeira barreira fısica. Mas neste ano, varios gruposmostraram que, de fato atomos de Na pudiam ser resfriados bem abaixo do limite Doppler.O efeito e causado pela estrutura hiperfina do estado fundamental. Vamos descrever modelosunidimensionais simplificados na secao seguinte.

76 CAPITULO 5. FORCAS DA LUZ SOBRE A MATERIA E A OPTICA ATOMICA114 CHAPTER 6. FORCES FROM ATOM-LIGHT INTERACTION

ûüªý û ü|þ û ý ûþ û

û4ÿ ûû

ü û4ÿ ûü û4ÿ ý

û4ÿ ý û4ÿ û

Γ

!"#%$&'" #( !)$+*(," -. /#0

∆ω 132 Γ4 4 5687 139

Figure 6.2: One dimensional Doppler radiation pressure force vs. atom velocityalong z-axis for a red detuning of one natural line width and a light intensity of2Isat. The full line plots the exact expression for the restoring force (Eq.6.13).The dashed line plots the approximate expression (linear in velocity dependence)of Eq. 6.14.

This expression shows that T is a function of the laser detuning, and the mini-mum temperature is obtained when ∆ω = −Γ

2 . At the this detuning,

kBT = ~Γ

2(6.18)

which is called the Doppler-cooling limit. This limit is typically, for alkali atoms,on the order of a few hundred microkelvin. For example the Doppler coolinglimit for Na is T = 240 microkelvin. In the early years of cooling and trapping,prior to 1988, the Doppler limit was thought to be a real physical barrier, butin that year several groups showed that in fact Na atoms could be cooled wellbelow the Doppler limit. Although the physics of this sub-Doppler cooling inthree dimensions is still not fully understood, the essential role played by thehyperfine structure of the ground state has been worked out in one-dimensionalmodels which we describe in the following Section.

6.3 Sub-Doppler Cooling

Two principal mechanisms which cool atoms to temperatures below the Dopplerlimit rely on spatial polarization gradients of the light field through which theatoms move. These two mechanisms, however, invoke very different physics, andare distinguished by the spatial polarization dependence of the light field. A keypoint is that these sub-Doppler mechanisms only operate on multilevel atoms;and, in particular, it is essential to have multiple levels in the ground state.

Figura 5.2: Forca de Doppler de pressao radiativa unidimensional como funcao da velocidadeatomica ao longo do eixo z para uma dessintonia vermelha de ∆ = −Γ e uma intensidade da luzde I = 2Isat. A linha solida mostra a expressao exata para a forca restauradora [Eq (5.22)]. Alinha interrompida mostra a expressao aproximatoria, linear da dependencia da velocidade daEq. (5.23).

Um outro tratamento [4] e o seguinte. Um campo eletromagnetico Eeiωt induz um momentodipolar peiωt. As amplitudes do campo e do momento sao conectadas por polarisabilidadep = αE. Podemos calcular a polarisabilidade com o modelo do oscilador classico de Lorentz,x + Γωx + ω2

0x = − eme|E|e−iωt com a taxa de decaimento Γω = e2ω2/6πε0mec

3 por lossesradiativos. O resultado e

α = 6πε0c3 Γ/ω2

0

ω20 − ω2 − i(ω3/ω2

0)Γ, (5.28)

com Γ = Γω0 . Com isso, podemos escrever o potencial de interacao dipolar

Udip = −1

2〈pE〉 = − 1

2ε0cReα I , (5.29)

com I = 2ε0c|E|2 e a forca F = −∇Udip ∝ ∇I. A potencia absorvida,

Pabs = 〈pE〉 = 2ωImpE = − ω

ε0cImαI , (5.30)

causa a pressao radiativa, Γsct = Pabs/~ω. Para |ω − ω0| ω0 achamos uma forca conservativae uma forca dissipativa,

Udip =3πc2

2ω30

Γ

∆I(r) , (5.31)

Γsct =3πc2

2~ω30

Γ2

∆2I(r) .

5.2 Aplicacoes de estados vestidos

5.2.1 Potencial de gradiente de dipolo

Vimos na Sec. 5.1 como a parte real (dispersiva) da susceptibilidade χ′ interagindo com ogradiente espacial da amplitude do campo eletrica E0 pode dar origem, no medio temporal sobreum perıodo, a uma forca sobre o atomo Eq. (5.6). A dependencia da forca com a frequencia altera

5.2. APLICACOES DE ESTADOS VESTIDOS 77

o signo em ressonancia, isto e, a forca conservadora resultante atrai o atomo para regioes onde ocampo e forte, quando a frequencia e sintonizada abaixo de ω0, e atrai o atomo para regioes decampos fracos quando ajustado acima. A integracao sobre as coordenadas espaciais relevantesresulta em um potencial efetivo ou uma barreira para o atomo. O comportamento qualitativo dopotencial de gradiente dipolar e seu efeito sobre o movimento do atomo e facilmente visualizadona imagem dos estados vestidos. A Fig. 5.3 mostra o que acontece quando um atomo entranuma regiao bem definida de um campo optico, por exemplo, um feixe de laser focalizado.

Figura 5.3: O diagrama esquerda mostre estados produtos e estados vestidos para sintoniozacaazul. Note que a populacao esta no nıvel superior e o atomo esta sujeito a forca (repulsiva)procurando campos fracas quando entra no feixe laser. O diagrama direito e similar, mas parasintonizacao vermelha. A populacao esta no nıvel inferior e o atomo esta sujeito a forca (atrativa)procurando campos fortes.

Fora da zona de acoplamento atomo-dipolo a expressao ~Ω e desprezıvel e os ’estados vestidos’sao apenas estados produtos atomo-campo. Quando o atomo entra no campo, essa expressaotorna-se diferente de zero e os estados atomo-campo se combinam para produzir um conjuntode estados vestidos. Os nıveis energeticos dos estados produtos se ’repelem’ e se aproximam dosnıveis dos estados vestidos. Assumindo que o laser e suficientemente dessintonizado para mantera taxa de absorcao insignificante, a populacao permanece no estado fundamental. Podemos verque a dessintonizacao azul (vermelha) leva a um potencial repulsivo (atraente) para o atomoficando no estado fundamental. Alem disso, como ~Ω e diretamente proporcional a raiz daintensidade do laser, e obvio que um aumento dessa intensidade (potencia optica por unidadede area) amplifica a forca sobre o atomo (F | ' ∇RΩ). Resolva Exc. 5.4.2.1.

5.2.2 Colisoes ultrafrias

Colisoes ultrafria constituem um exemplo interessante de como a luz pode controlar o resultadode colisoes inelasticas ou reativas. Aqui nos discutimos como exemplo especıfico a fotoassociacao,que ilustra a utilidade do ponto de vista de estados vestidos. O painel superior da Fig. 5.4 mostracurvas esquematicas de potenciais (nuas) relevantes para a discussao. Dois atomos no estadofundamental formam um estado molecular fundamental relativamente plano caracterizado peladispersao eletrostatica

V1(r) = −C6

R6. (5.32)


ou potencial de van der Waals de grandes distancias. Dois outros estados moleculares surgem dainteracao de um atomo excitado com o atomo no estado fundamental. O termo predominanteda interacao e o potencial de interacao ressonante dipolo-dipolo,

V2,3(r) = −∓ C3

R3. (5.33)

que da origem a um potencial atrativo e um repulsivo. A dependencia R−3 da interacao dipolarressonante significa que os potenciais associados modificam bastante o nıvel assintotico mesmoem distancias internucleares onde o potencial de van der Waals do estado fundamental ainda erelativamente plano. O processo de fotoassociacao envolve a aproximacao lente de dois atomosidenticos no estado fundamental. Um campo optico mono-modal, dessintonizado para o vermelhoda ressonancia atomica, e aplicado. Quando os dois atomos alcancam uma distancia internuclearRC tal que a energia do campo aplicado ~ωC justamente coincide com a diferenca de potencialV2(Rc)−V1(Rc), a probabilidade de transferir populacao do estado molecular fundamental parao estado molecular excitado e maxima. Essa ressonancia molecular as vezes e chamada de pontode Condon. O jeito convencional de calcular esta probabilidade segue o procedimento elaboradona Sec. 2.1.2 para o atomo de dois nıveis. Primeiro, resolverıamos a equacao de Schrodingermolecular independente do tempo para obter as funcoes de onda moleculares. Depois, escrever asequacoes diferenciais acopladas relatando a dependencia temporal dos coeficientes de expansaodas relevantes funcoes de onda moleculares, resolver para os coeficientes e tirar o quadrado dosseus valores absolutos. Finalmente, precisarıamos integrar a probabilidade de transicao numazona ∆R do lado esquerdo e direito do ponto de Condon, onde a probabilidade de transicaoseria nao negligenciavel. A imagem de estados vestidos permite reduzir este programa bastantetrabalhoso, essencialmente, a um problema de uma curva de cruzamento de dois nıveis. O painelinferior da Fig. 5.4 ilustra a fotoassociacao na imagem dos estados vestidos. Os estados da baseagora sao estados moleculares de produto campo-estado. E aproximamos os estados molecularesmesmos como produtos de estados atomicos. Esta aproximacao e justificada pela influencia delongo alcance, fracamente perturbativa das interacoes de van der Waals e de dipolos ressonantes.Chamando os estados fundamental e excitado |1〉 e |2〉, respectivamente, temos

|1, n〉 = |1‖1〉|n〉 , (5.34)

e para o estado excitado campo-molecula

|2, n− 1〉 = |2‖1〉|n− 1〉 . (5.35)

As duas curvas moleculares se cruzam no ponto Condon e se acoplam opticamente com o campoaplicado. Este acoplamento otico produz um cruzamento evitado perto de RC e mistura os esta-dos da base molecula-campo. A conhecida e celebrada formula de Landau-Zener (LZ) expressaa probabilidade de atravessar de um estado molecular adiabatico para o outro em funcao daforca da interacao, da velocidade relativa dos parceiros da colisao e as encostas relativas dasduas curvas. A probabilidade de L-Z e dada por

exp2π〈1, n|Ω2 |2, n− 1〉v∣∣ ddR∆V12(RC)

∣∣ , (5.36)

onde v e a velocidade radial relativa das partıculas se aproximando e ddR∆V12(RC) e a diferenca

nas encostas dos dois potenciais nao-interagindos no ponto de Condon. O operador de interacaodipolo-campo Ω deve ser tomado com o dipolo da transicao molecular. Uma aproximacao

5.3. QUANTIZACAO CANONICA DO MOVIMENTO 79

razoavel e tomar o momento de transicao molecular como duas vezes o momento atomica emediar sobre todo o espaco. O resultado e

exp

2π√3〈1, n|Ωat|2, n− 1〉v∣∣ ddR∆V12(RC)

∣∣ , (5.37)

onde Ωat denota o operador atomico de interacao dipolo-campo. Para o caso de um cruzamento

de potencial V1 essencialmente plano, V2(R) = −C3R

3, o valor absoluto da derivada da diferenca

de inclinacoes e ∣∣ ddR∆V12(RC)

∣∣ =3C3

R3C

. (5.38)

Resolva Exc. 5.4.2.2.

Figura 5.4: Top panel: Molecular states resonantly coupled by laser field at Condon point RC.Bottom panel: Same molecule state coupling represented as an avoided crossing in the dressedstate basis.

5.3 Quantizacao canonica do movimento

O termo de centro-de-massa (CM) esta quantizado na presencia de um potencial externo

Hcm =p2

2m+ Vtrap(r) =

∑n~ζ|n〉〈n| . (5.39)

Sem potencial o espectro e puramente contınuo.Considere um atomo nua com os seus graus de liberdade internas e externas, so. Se o

tempo de vida de uma transicao atomica e muito mais curto do que um periodo de oscilacao,Γ z, a posicao dos atomos nao muda perante o processo de transicao, e temos uma transicaode Franck-Condon. O potencial de confinamento pode depender ou nao do estado interno


do atomo. Para ioes numa armadilha de Paul nao depende, mas para atomos em armadilhasmagneticas geralmente depende,

Hatom = |g〉Hatom−cm,g〈g|+ |e〉 (Hatom−cm,e + ω0) 〈e| (5.40)

Hatom−cm,j =p2

2m+ Vj(r) .

Se o nosso potencial e harmonico, podemos quantizar canonicamente como no caso de modosopticos, definindo αe ≡

√mζe/~:

b± ≡ 1√2(αer∓

i

αep) . (5.41)

Obtemos:

Ve = m2 ζ

2e (r)r2 = ζe

2 (b+b + bb+) (5.42)

Vg = m2 ζ

2g (r)r2 =

ζg2 (b+

g bg + bgb+g )

=ζg2

(ζg2ζe

+ ζe2ζg

)(b+b + bb+) +

ζg2

(ζg2ζe− ζe

2ζg

)(b+b + bb+) .

Se o potencial e independente do estado interno, ζg = ζe, entao bg = be e Hg = He. Oselementos da matriz de transicao sao:∑

ng ,ne|〈ne|eikr|ng〉|2 =

∑ng ,ne

|〈ne|1− ikr|ng〉|2 =∑

ng

[1− ik2r2

(ng2 +

ng+12

)]. (5.43)

Isso vale no regime Lamb-Dicke regime e porque r˜b + b+. O primeiro termo corresponde ane = ng, o segundo a ne = ng − 1 e o terceiro a ne = ng + 1. O hamiltoniano pode serdiagonalizado usando o operador unitario de squeezing:

U ≡ exp(r2(b2 − b+2)

)onde r ≡ 1

2 ln ζeζg. (5.44)

E possıvel mostrar:

Hg = UHeU−1 e |0〉g = u|0〉e usando

[b2, b†2

]= 2(bb† + b†b) . (5.45)

5.3.1 Transicoes entre estados vibracionais

Se a amplitude do feixe incidente e variado, a frequencia de Rabi e a energia de interacao saodependente do tempo

Hww(t) =Ω(t)

2|g(t)〉〈e(t)|+ c.c. . (5.46)

A expansao da equacao de Schrodinger ate primeira ordem:

id

dt|ψ0(t)〉 = H0|ψ0(t)〉 (5.47)

id

dt|ψ(t)〉 = (H0 +Hww(t)) |ψ(t)〉 .

5.4. EXERCICIOS 81

A solucao com condicoes iniciais |ψ(0)〉 = |g(0)〉|0〉g:

|ψ(t)〉 = exp(−iH0t)|ψww(t)〉 (5.48)

= exp(−iH0t)

[1− i

∫Hww(τ)dτ

]|ψww(t)〉

= exp(−iH0t)

[|g(0)〉|0〉g − i

∫Hww(τ) exp(iHgt)|g(0)〉|0〉gdτ

]= exp(−iH0t)

[|g(0)〉|0〉g − i

∫12Ω(τ) exp(iHgt)|e(0)〉|0〉gdτ

]= |g(t)〉|0〉g − i

∫12Ω(τ)e−iH0teiHgteiH0te−iH0te−iHeteiH0te−iH0t|e(0)〉|0〉gdτ

= |g(t)〉|0〉g − i∫

12Ω(τ)eiHg(τ−t)e−iHe(τ−t)dτ |e(t)〉|0〉g .

Usando o operador unitario de squeezing chegamos a:

|ψ(t)〉 = |g(t)〉|0〉g − i|e(t)〉∫

12Ω(τ)eiHg(τ−t)U(0)e−iHe(τ−t)dτ |0〉g (5.49)

= |g(t)〉|0〉g − i|e(t)〉∫

12Ω(τ)U(τ − t)dτ |0〉g . (5.50)

Erro no ultimo passo!

5.3.2 Interacao da luz com atomos confinados

5.4 Exercıcios

5.4.1 A forca de gradiente dipolar e a forca de pressao radiativa

5.4.2 Aplicacoes de estados vestidos

5.4.2.1 Ex: Potencial de confinamento

Considere um laser mono-modo (TEM00) focalizado em uma nuvem de atomos frios de Na auma temperatura de 450 µK. Para uma dessintonia de 600 MHz e um diametro de ponto focalde 10 µm calcule a intensidade do laser (W/cm2) necessaria para produzir um poco de potencialsuficiente para conter os atomos. O momento de transicao (a.u.) de Na e 2.55.

5.4.2.2 Ex: Photoassociation

Considere um laser focalizado em uma nuvem de atomos de Na confinados, frios, a uma tempe-ratura de 450 µK. Para uma dessintonia de 600 MHz, calcule a intensidade do laser (W/cm2)necessaria para produzir uma probabilidade de 25% de fotoassociacao. O momento de transicao(a.u.) de Na e 2.55.

5.4.3 Quantizacao canonica do movimento

Capıtulo 6

O feixe laser

6.1 Optica de feixes e de ondas

6.1.1 Propagacao de feixes

Consideramos ondas monocromaticas com frequencia ω. Outras forma de ondas temporaispodem ser sintetizadas por superposicao de ondas com muitas frequencias. Tambem restringimosem ondas escalares. Ondas luminosas de campos eletricos e magneticos sao vetores, mas pertodo eixo de um feixe optico os campos sao praticamente polarizados de maneira uniforme e a ondaescalar representando a magnitude do campo e uma aproximacao excelente. O campo ψ(r, t) egovernado pela equacao de onda escalar

∇2ψ =1

c2

∂2ψ

∂t2. (6.1)

Deixamos ψ ter a formaψ(r, t) = A(r)ei(φ(r)−ωt) , (6.2)

onde A e φ sao funcoes reais do espaco. A e a amplitude da onda, e o expoente e chamada defase da onda. As vezes, quando o contexto e claro, tambem podemos chamar φ a fase. Nestaforma, esta implıcito que variacoes espaciais ou temporais bruscas estao contidos na fase. Asuperfıcie obtida fixando a fase igual a uma constante,

φ(r)− ωt = const (6.3)

e chamada frente da onda ou frente de fase. Como ha um numero infinito de constantes possıveis,existem infinitas frentes de onda possıveis. O movimento rapido associado com uma onda podeser seguido atraves do movimento de uma frente de onda particular. A interferencia entre duasondas e largamente formada pelas frentes das duas ondas. A velocidade com que uma frente deonda particular esta movendo e chamada de velocidade de fase. Suponha que nos seguimos umafrente de onda particular no momento t: No tempo t+ ∆t, a frente de fase ira mover para umaoutra superfıcie. Um ponto r na superfıcie original ira mover para um outro ponto r + ∆r (verFig. 6.1):

φ(r + ∆r)− ω(t+ ∆t) = φ(r)− ωt = const (6.4)

Expandindo φ(r + ∆r) ' φ(r) +∇φ(r)∆r, obtemos

∇φ(r)∆r = −ωt . (6.5)

∇φ(r) e ortogonal para a frente de fase e se chama o vetor de onda. ∆r e menor se fica nadirecao ∇φ, e a frente de onda se propaga com a velocidade

|∆r|∆t

=ω

|∇φ(r)| . (6.6)

83

84 CAPITULO 6. O FEIXE LASER

186 CHAPTER 8. ELEMENTS OF OPTICS

0132

∆1

φ 465 2 ∆ 5 7 182 ∆139φ 4:5;7 189

5∆ 55 2 ∆ 5→ →

→

→

→ →

Figure 8.9: Propagation of a wave front. Wave fronts are surfaces of constantphase. Shown are a wave front at time t and at another time t +∆t. A pointon the wave front at t moves to another point on the wave front at t+∆t, thedisplacement between these two points is ∆r.

∇φ(r) is normal to the phase front, and is called the wave vector. ∆r is smallestif it lies in the direction of ∇φ, and the wavefront travels with the speed

|∆r|∆t

=ω

|∇φ(r)|

which is the phase velocity. The phase velocity can vary from point to point inspace. We now look at a few examples.

Example 8.4 Plane wave

ψ(r, t) = Ao exp[ik · r− iωt].

Substituting ψ into the scalar wave equation (Eq. 8.7) yields |k| = ω/c when Ao isconstant. The wave front is defined by

k · r− ωt = constant,

or, at a given t, k ·r = ωt+constant which is a plane perpendicular to the vector k.Since φ = k · r, ∇φ = k, and the phase velocity ω/ |∇φ|=c. Along the directionof k, the wave is periodic in space. The period, called the wavelength λ, is givenby |k| = 2π/λ.

Figura 6.1: Propagacao de uma frente de onda. Frentes de onda sao superfıcies de constantefase. Sao mostrados uma frente de onda no tempo t e em outro tempo t + ∆t. Um ponto nafrente de onda t move para outro ponto na frente de onda em t + ∆t. O deslocamento entreestes dois pontos e ∆r.

que e a velocidade de fase. A velocidade de fase pode variar de ponto a ponto no espaco.

A superposicao de duas ondas planas e descrita por

ψ(r, t) = A0ei(k1·r−ωt) +A0e

i(k2·r−ωt) . (6.7)

Vamos escolher os vetores de onda k1 e k2 para ficar no plano x-z com uma componente zcomum, mas componentes x opostos,

k1 = kz cos θ + kx sin θ (6.8)

k2 = kz cos θ − kx sin θ .

A onda resultante e, portanto,

ψ(r, t) = 2A0 cos[k sin θx]ei(kz cos θ−ωt) . (6.9)

As frentes de fase sao planos normais ao eixo z, e a velocidade de fase e agora ω/k cos θ =c/ cos θ > c. A velocidade de fase e maior do que c porque ao longo de z, a frente de ondapercorre uma distancia c = cos θ em um perıodo.

6.1.2 Formacao de feixe por superposicao de ondas planas

O exemplo acima de superposicao de duas ondas planas agora serve como uma introducao aoassunto desta secao. Ondas planas estendem-se em todo o espaco e sao uniformes na direcaotransversal a direcao de propagacao, enquanto que um feixe optico e confinado na direcao trans-versal. No entanto, como vimos no ultimo exemplo, superpondo duas ondas planas, pode-se obteruma onda resultante que varia senoidalmente na direcao transversal. Extrapolando esse conceitopara superposicoes de muitas ondas planas, e possıvel, por interferencia, construir distribuicoesde amplitude arbitrarias na direcao transversal. A propagacao de uma onda confinada e o nucleoda teoria de difracao. Um caso particular e o feixe de Gauss. Por simplicidade matematica efacilidade de visualizacao vamos nos restringir a ondas em duas dimensoes no plano x-z. Apenasna fase final iremos apresentar os resultados completos para feixes gaussianos tres-dimensionais.

Antes de entrar em calculos detalhados, consideramos de novo o ultimo exemplo. Sobre-pondo duas ondas planas, cada uma se propagando num angulo θ do eixo z, obtemos uma ondaresultante que se propaga na direcao z com uma velocidade de fase superior a c e cuja amplitudevaria sinusoidalmente na direcao transversal x. Uma explicacao fısica simples pode ser dada.Os vetores de onda k1 e k2 sao desenhadas na Fig. 6.2(a), assim como seus componentes nasdirecoes x e z. A sua componente comum na direcao z resulta em uma propagacao ondulatorianessa direcao. As componentes iguais e opostas na direcao z formam uma onda estacionaria que

6.1. OPTICA DE FEIXES E DE ONDAS 85188 CHAPTER 8. ELEMENTS OF OPTICS

<

<

=

θ

θ

>?

>A@

>?CB

> @ BED-FG>?HB

=

θ

>?λ

λ I JAKMLN θ O

PQ RQ

Figure 8.10: Superposition of two plane waves. (a) The wave vectors of twoplane waves. They have equal components in the z−direction, equal and op-posite components in the x−direction. The equal and opposite components inthe x−direction results in a standing wave. (b) The phase velocity along thez−direction is greater than c, the speed of light; because in one period, the wavefront of either component wave propagates a distance λ, but along the z−axis,a distance of λ/ cos(θ).

the z-axis, we obtain a resultant wave which propagates in the z-axis with aphase velocity greater than c, and whose amplitude varies sinusoidally in thetransverse x−direction. A simple physical explanation can be given. The wavevectors k1 and k2 are drawn in Fig. 8.10(a), together with their components inthe x- and z-directions. Their common component in the z-direction results inwave propagation in that direction. The equal and opposite components in thex-direction form a standing wave which varies sinusoidally in that direction witha spatial frequency k sin(θ) ' kθ for small θ. We now come to a very importantproperty of wave diffraction. Suppose, to confine the wave in the transversedirection, we keep adding plane waves each of which propagates at a different,small angle θ to the z-axis, so that the amplitude adds constructively withinthe range |x| < ∆x and destructively outside. By the Uncertainty Principlewhich results from Fourier analysis and applies to this case as well,

∆(kθ) ·∆x & 1

or

∆θ & λ

π2∆x. (8.8)

In words, confining a beam to a width of ∆x requires a spread of plane wavesover an angular range of at least λ/2π∆x. The angular spread means thatthe beam will eventually diverge with an angle ∆θ. There is a simple physicalexplanation to the phase velocity apparently being great than the speed oflight: draw two phase fronts separated by one wavelength for either of the twoplane waves (Fig. 8.10b). In one period, the wave front moves one wavelength;however, the intercept of these two wave fronts with the z−axis is λ/ cos(θ), theapparent distance the composite wave has travelled along the z−axis.

Figura 6.2: Superposicao de duas ondas planas. (a) Os vetores de onda das duas ondas planas.Eles tem componentes iguais na direcao z. As componentes iguais e opostos na direcao x resultemem uma onda estacionaria. (b) A velocidade de fase ao longo da direccao z e maior do que c, avelocidade da luz, porque num perıodo, a frente de onda de cada componente propaga de umadistancia λ, mas ao longo do eixo z de uma distancia de λ/ cos θ.

varia senoidalmente nessa direcao com uma frequencia espacial k sin θ ' kθ para pequenas θ.Chegamos agora a uma propriedade muito importante da difracao de ondas. Suponhamos que,para confinar a onda na direcao transversal, continuamos adicionando ondas planas cada umapropagando com um pequeno angulo diferente θ, de modo que a amplitude adiciona-se constru-tivamente dentro do intervalo |x| < ∆x e destrutivamente fora. Pelo princıpio da incerteza queresulta da analise de Fourier e se aplica a este caso, tambem

∆(kθ)∆x & 1 . (6.10)

ou

∆θ & λ

2π∆x. (6.11)

Ou seja, confinar uma feixe para uma largura de ∆x requer um espalhamento de ondas planasem uma faixa angular de pelo menos λ/2π∆x. O espalhamento angular significa que o feixe iraeventualmente divergir com um angulo ∆θ. Ha uma explicacao fısica simples para a velocidadede fase sendo aparentemente maior do que a velocidade da luz: Desenhe duas frentes de faseseparadas por um comprimento de onda [ver Fig. 6.2(b)]. Em um perıodo, a frente de onda semove por comprimento de onda, no entanto, a intercepcao destas duas frentes de onda com oeixo z e λ/ cos θ, que e a distancia aparente que a onda composta propagou ao longo do eixo z.

6.1.3 Integrais de Fresnel e propagacao de feixe

Vamos agora sobrepor ondas planas para formar um feixe. Por simplicidade matematica, olhar-mos apenas para feixes sobre o plano x-z. Estes ondas sao folhas, infinito em sua extensao nadirecao y. Os resultados para ondas mais realistas em tres dimensoes sao muito semelhantes eserao dados em seguida. Escolhemos a direcao de propagacao do feixe ser z. Cada componenteda onda plana propaga em um angulo θ para as o eixo z e tem uma amplitude A(θ)dθ, de modoque a onda resultante, com omissao da variacao temporal harmonica, e

ψ(x, z) =

∫dθA(θ)eikx sin θ+ikz cos θ . (6.12)

Na chamada a aproximacao paraxial, A(θ) e significativo somente para um pequeno intervaloangular proximo de zero. Isto significa que, a partir da Eq. (6.11), a dimensao transversal dofeixe e grande em comparacao com o comprimento de onda. Os limites de integracao podem


ser estendido para ±∞ para conveniencia matematica, se necessario. Expandimos as funcoestrigonometricas para θ2:

ψ(x, z) '∫dθA(θ)eikxθ+ikz(1−θ

2/2) = eikz∫dθA(θ)eikxθ−ikzθ

2/2 . (6.13)

E necessario manter o termo quadratico, caso contrario, o campo seria independente de z alemdo fator de propagacao eikz: A onda pode ser considerada como uma onda plana, eikz, moduladapelo integral na Eq. (6.13). A Eq. (6.13) descreve completamente a propagacao da onda, previstoque onda e conhecida em algum ponto, digamos, z = 0. De fato, em z = 0, a Eq. (6.13) e umatransformada de Fourier:

ψ(x, 0) = ψ0(x) =

∫dθA(θ)eikxθ , (6.14)

e podemos encontrar a distribuicao angular por transformacao inversa:

A(θ) =k

2π

∫dx′ψ0(x′)e−ikx

′θ . (6.15)

Substituicao de A(θ) de volta na Eq. (6.13) da,

ψ(x, z) =k

2πeikz

∫dθ

∫dx′ψ0(x′)ei(kθx−kθx

′−kzθ2/2) . (6.16)

Podemos primeiro integrar sobre θ e obter o campo em z como integral sobre o campo em z = 0,ψ0(x). O integral e realizado atraves de um preenchimento quadratico no expoente. O resultado,

k

2πeikz

∫dθψ0(x′)ei(kθx−kθx

′−kzθ2/2) =

√k

2πizeik(z+(x−x′)2/2z ≡ h(x− x′, z) , (6.17)

e diversamente chamado de resposta ao impulso, kernel, propagador ou a funcao de Green.Realiza a integral (6.17) no Exc. 6.3.1.3.

O kernel tem uma interpretacao fısica muito simples: E o campo no ponto (x, z) gerado poruma fonte pontual com forca unitaria em (x′, 0). Tambem e uma onda esferica (bidimensional)em uma forma paraxial. O campo de uma onda esferica bidimensional (isto e, uma onda circular)com o seu centro em (x′, 0) e: √

1

reikr , (6.18)

onde r =√

(x− x′)2 + z2. (Em vez de 1/r como em tres dimensoes, a amplitude diminue como√1/r em duas dimensoes.) Perto do eixo z, vale r ' z + (x − x′)2/2z, e a onda esferica e

aproximadamente √1

zeik(z+(x−x′)2/2z) , (6.19)

que e a mesma expressao h(x−x′, z) na Eq. (6.17). Note que na expansao em r, temos mantidoo termo quadratico no expoente porque esse termo, embora pequeno em comparacao com z,pode ser consideravel em comparacao com o comprimento de onda, de tal forma que, quandomultiplicado por k, pode ser um numero nao pequeno. A Eq. (6.13) fica

ψ(x, z) =

∫dx′ψ0(x′)h(x− x′, z) =

√k

2πizeikz

∫dx′ψ0(x′)eik(x−x′)2/2z . (6.20)

6.1. OPTICA DE FEIXES E DE ONDAS 87

Vamos chamar este integral o integral de Fresnel. E a expressao matematica do princıpio deHuygens: O campo em (x, z) e a soma de todas as ondas esferica centradas em cada pontoanterior (x′, 0) cuja forca e proporcional a intensidade do campo em (x′, 0)1

As Eqs. (6.13) e (6.20) representam duas formas equivalentes para calcular a propagacao deondas. A Eq. (6.13) calcula a onda a partir da distribuicao angular das suas componentes deondas planas. Quando a distribuicao angular e de Hermite-Gauss, resulta um feixe gaussiano.Eq. (6.20) calcula o campo da onda em um ponto z a partir do campo no ponto inicial em z = 0.Isso e a teoria tradicional de difracao de Fresnel. Um feixe gaussiano tambem resulta quandoψ0 e Hermite-Gaussiano.

Antes de quaisquer calculos e exemplos detalhados, e possıvel obter uma boa ideia geralsobre a propagacao destas duas formulacoes e, no processo, introduzir o conceito importante docampo proximo e do campo afastado. Vamos olhar primeiro para a onda no campo proximo, ouseja, a uma distancia z suficientemente pequena para que o termo quadratico no expoente daEq. (6.13) ser muito menor que 1. Entao esse termo pode ser ignorado, e

ψ(x, z) ' eikz∫dθA(θ)eikzθ = eikzψ0(x) . (6.21)

onde a segunda equacao segue da Eq. (6.14). O campo proximo, na aproximacao de zero ordem,e justamente o campo em z = 0 multiplicado com fator de fase de propagacao eikz. Vamosagora examinar a correcao de primeira ordem e definir ’perto’ de forma mais precisa. ’Perto’ foideterminado pela condicao

kθ2z 1 . (6.22)

A questao e, entao, qual e o angulo maximo de θ? Nao e π/2, mas sim, e o espalhamentoangular ∆θ sobre o qual A(θ) e significativamente diferente de zero. Ou seja, se a onda variasignificativamente dentro de uma distancia ∆x, entao por Eq. (6.12), a desigualdade acimatorna-se

π∆x2

λ z/2 . (6.23)

A quantidade do lado esquerdo, chamada de intervalo de Rayleigh, e a demarcacao entre oscampos perto e longe. Uma interpretacao fısica simples para essa quantidade sera dada abaixo.

Vamos olhar para o outro limite, de grande z ou de campo afastado, usando a Eq. (6.20).Quando ψ0 e confinado para ∆x e se z e suficientemente grande para que o fator quadraticoseja,

kx′2/2z 1 , (6.24)

ouπ∆xH2

λ z , (6.25)

entao ele pode ser ignorado, e o integral torna-se

ψ(x, z) '√

k

i2πzeik(z+x2/2z)

∫dx′ψ0(x′)e−ikxx

′/z) . (6.26)

O integral e uma transformada de Fourier. A magnitude do campo afastado e a magnitude datransformada de Fourier do campo em z = 0. Nao e uma transformada de Fourier exata por

1A onda esferica e em forma paraxial, e a interpretacao para z perto e bastante sutil. Veja Siegman para ampladiscussao deste ponto.


causa do fator de fase quadratico kx2/(2z) em frente do integrante acima.2 Voltemos para ocampo proximo e calculemos a correcao de primeira ordem. Para pequenos z = ∆z, podemosexpandir o expoente na equacao (6.13):

ψ(x, z) ' eik∆z

∫dθA(θ)

(1− ik θ

2

2∆z

)eikθx = eik∆zψ0(x)− eik∆z ik∆z

2

∫dθA(θ)θ2eikθx .

(6.27)O integral na ultima linha e,∫

dθA(θ)θ2eikθx = − 1

k2

∂2

∂x2

∫dθA(θ)eikθx = − 1

k2

∂2ψ0(x)

∂x2, (6.28)

tal que o termo de correcao ei∆z

2k

∂2ψ(x, 0)

∂x2. (6.29)

Note, que ele e em quadratura com o termo de ordem 0, se ψ0 e real. A segunda derivadapode ser visto como um operador de difusao. Isso e, porque a segunda derivada de uma funcaogaussiana e negativa no centro e positiva nas asas, de modo que, quando adicionado a funcaooriginal, o centro e reduzido enquanto que as asas sao aumentadas. A quadratura significa que acorrecao esta na fase, nao na magnitude. Esta difusao de fase e a causa de fenomeno de difracao.

8.3. WAVE OPTICS 193

SUTWV ∆X T ≈ S)V ∆ X TY S

X

SS

∆ X

Z

Figure 8.11: Rayleigh range. The distance from (0, 0) to (0, z) is z. The distancefrom (0,∆x) to (0, z) is approximately z+∆x2/(2z). The difference is ∆x2/(2z).Hence a wave originating from (0, 0) and another from (0,∆x) will acquire aphase difference of k∆x2/(2z) when they reach (0, z). The phase difference isunity when z equals the Rayleigh range.

discuss the physical meaning of the Rayleigh range. The reference of near orfar field is always to a particular plane, chosen to be z = 0 in this case. Atz = 0, the field extends to ∆x. Consider the two points (0, 0) and (∆x, 0) andthe distances from them to a point (0, z) on axis (Fig. 8.11). The distances arez and

√∆x2 + z2 ' z + ∆x2/(2z) respectively. If a spherical wave emanates

from (0, 0) and another from (∆x, 0), when the waves reach (x = 0, z), theywill have picked up, from propagation, phase factors of kz and kz + k∆x2/(2z)respectively. The difference between these phase factors is k∆x2/(2z). Thisdifference is unity at the Rayleigh range. The phase difference is negligible inthe far field but significant in the near field.

8.3.4 Applications of Fresnel Diffraction Theory

We will apply the Fresnel diffraction integral, Eq. 8.14, to a few cases, to illus-trate its use and the difference between wave and geometrical optics.

Diffraction through a slit

Suppose a uniform plane wave of amplitude A travelling in the z-direction im-pinges on a screen at z = 0 which is opaque save for an opening at |x| < ∆x/2.What is the field at z > 0 ?

The exact field distribution at the opening z = 0 is a difficult boundary valueproblem. However, intuition suggests that it is equal to the incident amplitude

Figura 6.3: Gama de Rayleigh. A distancia a partir de (0, 0) ate (0, z) e z. A distancia a partirde (0,∆x) ate (0, z) e aproximadamente z + ∆x2/(2z). A diferencia e ∆x2/(2z). Assim, umaonda proveniente de (0, 0) e uma outra partindo de (0,∆x) irao adquirir uma diferencia de fasede kδx2/(2z) quando chegam a (0, z). A diferencia de fase e = 1 quando z e igual ao intervalode Rayleigh.

Podemos generalizar um pouco mais. Perto z = 0, a partir de cima,

ψ(x, z) ' eik∆z

[ψ(x, 0) +

i∆z

2k

∂2ψ(x, 0)

∂x2

]. (6.30)

Suponha que escrevemos ψ como uma onda plana eikz modulada por uma funcao com variacaolenta u(x, z),

ψ(x, z) ≡ u(x, z)eikz , (6.31)

entao

u(x,∆z)− u(x, 0) =i∆z

2k

∂2u(x, 0)

∂x2. (6.32)

2De fato, pode-se realizar uma transformacao de Fourier exato por uma lente de distancia focal f para corrigiro fator de fase quadratico.

6.1. OPTICA DE FEIXES E DE ONDAS 89

Esta relacao foi derivada num ponto particular do eixo z, z = 0. No entanto, nao houverequisito particular para este ponto e o relacionamento se aplica a qualquer z. Assim, tendo olimite ∆z → 0, temos

2ik∂u

∂z+∂2u

∂x2= 0 . (6.33)

Esta equacao e chamada equacao de onda paraxial. E uma forma aproximada da equacao deonda escalar e tem a mesma forma do que a equacao de Schrodinger para uma partıcula livre.A equacao pode ser generalizada para tres dimensoes por uma derivacao semelhante:

2ik∂u

∂z+∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 . (6.34)

O integral de Fresnel e a solucao da equacao de onda paraxial com a condicao de contorno paraψ em z = 0. E possıvel mostrar [10] que uma onda tridimensional pode ser construıda a partirde ondas bidimensionais. O integral de Fresnel resultante em tres dimensoes e

Ψ(x, y, z) =k

2ikzeikz

∫dx′dy′ψ0(x′, y′)eik(x−x′)2/2zeik(y−y′)2/2z , (6.35)

onde ψ0(x, y) e a distribuicao do campo em z = 0. Note-se que, como exigido pela conservacaode energia, em tres dimensoes o campo decai como 1/z e nao como

√1/z em duas dimensoes.

Note tambem, que a resposta ao impulso em tres dimensoes e essencialmente o produto de duasrespostas ao impulso bidimensionais. Finalmente, discutimos o significado fısico do comprimentode Rayleigh. A referencia para campos proximos ou afastados e sempre a respeito de um planoparticular, escolhido para ser z = 0, neste caso. Em z = 0, o campo se estende a ∆x. Considereos dois pontos (0, 0) e (∆x, 0) e as distancias a partir deles para um ponto (0, z) no eixo (verFig. 8.11). As distancias sao z e

√∆x2 + z2 ' z + ∆2/(2z), respectivamente. Se uma onda

esferica emana de (0, 0) e uma outra a partir de (∆x, 0), quando as ondas alcancam (x = 0, z),eles vao ter pego, por propagacao, fatores de fase de kz e kz+k∆x2/(2z), respectivamente. Essadiferencia entre estes fatores de fase e k∆x2/(2z). Esta diferencia e = 1 na faixa de Rayleigh.A diferencia de fase e insignificante em no campo afastado, mas significante no campo proximo.

6.1.4 Aplicacao da teoria de difracao de Fresnel

O integral de difracao de Fresnel, Eq. (6.20), pode ser aplicado em varios situacoes ilustrandoo seu uso e a diferencia entre a optica de ondas e a optica geometrica. Exemplos sao a difracaoatraves de uma fenda, a camera ’pin-hole’, a acao de uma lente fina ou de uma estruturaperiodica, etc. [10]. No seguinte, vamos nos restringir para feixes gaussianos.

A difracao de Fresnel e a difracao de Fraunhofer se diferenciam pelo numero de Fresnel,

F ≡ a2

zλ. (6.36)

Na zona de campo proximo, F & 1, domina a difracao de Fresnel, enquanto na zona decampodistante, F 1, domina a difracao de Fraunhofer. O comprimento de Rayleigh e,

zR ≡πw2

0

λ. (6.37)

Por exemplo, para um feixe gaussiano colocamos a = w0 e obtemos difracao de Fresnel dentrodo comprimento de Rayleigh length, z < zR, e difracao de Fraunhofer fora.


6.2 Optica gaussiana

A primeira vista, pode-se pensar que a propagacao da luz laser e bem descrita pelas leis da opticageometrica. Uma inspecao mais proxima, no entanto, mostra que um feixe de laser em muitosaspectos se comporta mais como uma onda plana, embora que sua energia esta concentradaperto de um eixo optico. Os campos satisfazem a equacao de onda,

k2u+∇2u = 0 . (6.38)

Para ondas propagantes em direcao z, u = ψ(x, y, z)e−ikz, obtemos uma equacao semelhante aequacao de Schrodinger [5],

2ik∂ψ

∂z− ∂2ψ

∂x2− ∂2ψ

∂y2= 0 , (6.39)

onde ∂2ψ/∂z2 tem sido negligenciado.Para descrever um feixe gaussiano, escolhemos um ansatz exponencial e introduzimos dois

parametros que podem variar ao longo do eixo de propagacao z: P (z) e um deslocamento defase complexo e q(z) um parametro complexo, cuja parte imaginaria descreve o diametro dofeixe. O ansatz

ψ = e−i[P (z)+k(x2+y2)/2q(z)] (6.40)

leve para

0 = (q′ − 1)ik(x2 + y2)

q2− 2iP ′ +

2

q. (6.41)

Derive a equacao diferencial (6.41) no Exc. 6.3.2.1.Para a Eq. (6.41) ser valida para todos x e y, precisamos q′ = 1 e P ′ = −i

q . Integrando q′,achamos

q = q0 + z . (6.42)

E pratico introduzir parametros de feixe reais

1

q≡ 1

R− i λ

πw2. (6.43)

Inserindo isso na Eq. (6.39),

ψ = e−iP−ik(x2+y2)

2R− (x2+y2)

w2 , (6.44)

fica claro que R(z) e o raio de curvatura e w(z) o diametro do feixe. Evaluindo q0 na posicaodo focus (cintura do feixe), onde R =∞, obtemos de (6.42) e (6.43)

w2(z) = w20

[1 +

(λz

πw20

)2]

e R(z) = z

[1 +

(πw2

0

λz

)2]. (6.45)

Agora, integramos P ′,

P =

∫ z

0

−iqdz =

∫ z

0

−iq0 + z

dz = −i ln

(1− iλz

πw20

)= −i ln

w

w0− arctan

(iλz

πw20

). (6.46)

Portanto,

ψ =w0

wei[arctan(−z/q0)−ik(x2+y2)/q] . (6.47)

O perfil de intensidade de um feixe gaussiano e proporcional a I(x, y) ∝ |ψ|2 e normalizado apotencia total P ,

I(r) =2P

πw(z)2e−2(x2+y2)/w(z)2 . (6.48)

6.2. OPTICA GAUSSIANA 91

Figura 6.4: (Esquerda) Propagacao do feixe ao longo do eixo optico. (Direita) Secao transversaldo feixe Gaussiano.

6.2.1 Componentes opticas

Para o trabalho pratico com feixes de Gauss e util introduzir a matriz de transferencia, quedescreve a transformacao de um feixe atraves de componentes opticos ao longo do eixo optico.A matriz

M =

(a bc d

)(6.49)

transforma o parametro do feixe q da maneira seguinte:

q(z) =aq(0) + b

cq(0) + d. (6.50)

Matrizes de transferencia permitem calcular como os parametros R e w se transformam aolongo do eixo optico atraves de elementos opticos ou em propagacao livre. Os elementos opticosmais comuns sao lentes, cristais, prismas, espelhos e cavidades. Por exemplo, a matriz parapropagacao livre do feixe numa distancia d e,

M =

(1 d0 1

)(6.51)

e a matriz para transformacao atraves de uma lente fina com comprimento focal f ,

M =

(1 0−1/f 1

). (6.52)

E interessante que as matrizes de transfer sao as mesmas como aqueles que, na optica de feixes,transformam o vetor que consiste da distancia do feixe do eixo optico y e da sua divergenciay′(z): (

y(z)y′(z)

)= M

(y(0)y(0)

). (6.53)

6.2.2 Feixes nao-gaussianos

O ansatz (6.40) para resolver a equacao de onda represente so uma possibilidade. Mas conhece-mos hoje uma grande variedade de feixes com diferentes distribuicoes transversais de intensidade,de polarizacao e de momento angular. Exemplos sao os modos de Gauss transversais com si-metria cartesiana ou circular, os modos de Bessel, os modos de Laguerre-Gauss portadores demomento angular e os modos com polarizacao radial.


6.2.3 Ressonadores opticos

6.2.3.1 Formulas de Airy

Um ressonador optico consiste de um arranjo de espelhos que reflectem os feixes de luz detal modo, que eles formam um caminho fechado. A luz que entra na cavidade realiza muitasidas e voltas antes que ser transmitida novamente ou absorvida. Assim, a potencia da luz econsideravelmente aumentada. Ou seja, cavidades podem armazenar luz.

Luz querendo ressonar numa cavidade deve satisfazer a condicao de limite, que as superfıciesdos espelho coincidem com nos da onda estacionaria da luz. Portanto, numa cavidade com ocomprimento L, apenas um espectro de comprimentos de onda discretos λ = NL pode ser res-sonantemente amplificado, onde N e um numero natural. Devido a esta propriedade, cavidadessao frequentemente usados como filtros de frequencia ou analisadores de espectro optico: Apenasfrequencias perto de ν = Nδfsr sao transmitidas, onde δfsr = c/2L e o intervalo espectral livreda cavidade.

Uma cavidade e caracterizada, por um lado, por sua geometria, isto e, a curvatura e adistancia dos seus espelhos, e por outro lado, por sua fineza, que e dada pela refletividade dosseus espelhos. Vamos primeiro estudar a fineza. Tratando a cavidade como um interferometromultipass (ou cavidade Fabry-Perot), podemos derivar uma expressao para a intensidade refletidae transmitida como uma funcao da frequencia.

Figura 6.5: Interferencia multipla numa cavidade optica.

A chamada formula de Airy para reflexao e transmissao e

Irefl = Iin(2F/π)2 sin2(∆/2δfsr)

1 + (2F/π)2 sin2(∆/2δfsr)e Itrns = Iin

1

1 + (2F/π)2 sin2(∆/2δfsr), (6.54)

onde R e a refletividade de um espelho e ∆ a dessintonizacao entre o laser e a cavidade. Acurva de transmissao de uma cavidade tem uma banda de transmissao finita κ, que depende darefletividade dos espelhos. A fineza da cavidade e definida por

F ≡ 2πδfsrκ

=π√R

1−R . (6.55)

6.2.3.2 Modos transversais

A geometria de uma cavidade deve satisfazer certas condicoes, a fim de ser estavel [5]. Alemdos modos principais longitudinais uma cavidade possui modos transversais da ordem TEMmn,cujas frequencias sao dadas por

ν/δfsr = (q + 1) +m+ n+ 1

πarccos

√(1− L

ρ1

)(1− L

ρ2

). (6.56)


-2 0 2 40

50

100

Phase (π)

Tran

smis

sion

(%)

-2 0 2 40

50

100

Phase (π)

Ref

lexi

on (%

)

Figura 6.6: Transmissao e reflexao de um ressonador.

Essa formula pode ser derivada utilizando o requerimento de self-consistencia do feixe de luzcirculando dentro da cavidade. Uma cavidade confocal com modos transversais degenerados,ρ1 = ρ2 = L, e particularmente adaptada como analisador de espectro.

O diametro da cintura do feixe na cavidade e

w0 =4

√(λ

π

)2 L(ρ1 − L)(ρ2 − L)(ρ1 + ρ2 − L)

(ρ1 + ρ2 − 2L)2. (6.57)

Para um acoplamento otimo do feixe de luz e da cavidade a geometria gaussiana deve seradaptada a geometria da cavidade, isto e, o diametro e a divergencia do feixe laser devem serajustados para o modo de cavidade utilizando um arranjo adequado de lentes.

6.2.4 Optica de polarizacao

Um laser geralmente tem uma polarizacao bem-definida, por exemplo, linear ou circular. Aspolarizacoes podem ser transformadas uma para outra atraves de uma lamina λ/4 ou uma laminaλ/2, por um rombo Fresnel ou outros elementos birefringentes. Superposicoes de polarizacoespodem ser separadas com um divisor de feixe polarizador.

O grau de liberdade da polarizacao frequentemente usado para a separacao de campos deluz contrapropagantes, por exemplo, em lasers anelares por meio de elementos chamado diodooptico ou isolador optico que consistem de um rotador de Faraday e uma lamina λ/2. Umoutro exemplo pratico e o uso de laminas λ/4 em duplo passagem. Um feixe entrando pode serseparado de uma feixe voltando utilizando uma lamina λ/4 e um divisor de feixe de polarizacao.

Uma distincao entre polarizacao, que e sempre dada em relacao a um sistema de coordenadasfixo, e helicidade, ou seja, o sentido de rotacao do vetor de polarizacao com respeito a direcao depropagacao do feixe de luz. A polarizacao do feixe de propagacao em direcao z pode facilmenteser expressa por um vetor de amplitude complexa,

E(r, t) =

ab0

eikr−iωt =

1e−iφ|b|/|a|

0

|a|eikr−iωt . (6.58)

O angulo φ = arctan Im ab∗

Re ab∗ determina a polarizacao do feixe de luz. A polarizacao e linear paraφ = 0 e circular para φ = π/2. |b|/|a| entao da o grau de elipticidade. Um rotador de polarizacaoda luz linearmente polarizada (por exemplo, solucao de acucar) e descrito pela matriz de Jones(nos limitarmos ao plano x-y)

Mrotator(φ) =

(cosφ sinφ− sinφ cosφ

), (6.59)


onde φ e o angulo de rotacao. Para o rotador de Faraday o sinal do angulo de rotacao dependeda direcao de propagacao do feixe de laser. Um polarisador projeta a polarizacao para um eixoespecifico. No caso do eixo x a matriz de Jones fica,

Mpolarisador =

(1 00 0

). (6.60)

No caso de um angulo rotado φ,

Mpolarisador(φ) =


)(1 00 0

)(cosφ sinφ− sinφ cosφ

)−1

.

Outros componentes, tais como, por exemplo eletro-opticos ou chapas de moduladores de fasesao cristais birefringentes, que atuam apenas em um dos dois eixos opticos. Se apenas os y eixoe opticamente ativa, e a matriz de Jones

Mθ-waveplate =

(1 00 eiθ

). (6.61)

Para θ = 2π/n obtemos uma lamina λ/n. Quando rotamos a lamina e portanto o eixo optica-mente inativo para um angulo φ, as matrizes de Jones ficam

Mθ-waveplate(φ) =


)(1 00 eiθ

)(cosφ sinφ− sinφ cosφ

)−1

=

(cos2 φ+ eiθ sin2 φ − sinφ cosφ+ eiθ sinφ cosφ

− sinφ cosφ+ eiθ sinφ cosφ sin2 φ+ eiθ cos2 φ

). (6.62)

Utilizamos na maioria dos casos laminas λ/4

Mλ/4(φ) =

(cos2 φ+ i sin2 φ (−1 + i) sinφ cosφ

(−1 + i) sinφ cosφ sin2 φ+ i cos2 φ

)(6.63)

e lamina λ/2

Mλ/2(φ) =

(cos 2φ − sin 2φ− sin 2φ − cos 2φ

). (6.64)

Exemplo 1 (Criando polarizacao circular): Podemos usar laminas λ/4 para criar, apartir de luz linearmente polarizada, luz circularmente polarizada. Escolhendo um anguloθ = 45 obtemos da (6.63),

Mλ/4(±π/4)

(10

)=

(12 + 1

2 i ∓ 12 ± 1

2 i∓ 1

2 ± 12 i

12 + 1

2 i

)(10

)=eiπ/4√

2

(1±i

).

Exemplo 2 (Comportamento da polarizacao na reflexao por um espelho): Na re-

flexao ortogonal por um espelho o vetor de polarizacao nao muda, mas somente o vetor de

onda. Isso pode ser entendido pela conservacao do momento angular da luz. Uma con-

sequencia e, que luz σ± fica σ± depois da reflexao.


Exemplo 3 (Acao da lamina λ/4 em funcao da direcao de propagacao): As matrizesde Jones para laminas λ/n nao dependem da direcao de propagacao. Isto e, a polarizacaoε = ex de um feixe propagando em direcao ±kez e transformada por uma lamina Mλ/4(π/4)em luz σ+ independentemente do sinal da direcao. Uma consequencia disso e, que um feixeatravessando a lamina Mλ/4(π/4) duas vezes, na ida e volta (p.ex., sendo refletido por umespelho) sofrera uma rotacao da amplitude por 90,

Mλ/4(π2 )

(10

)=

(i0

)Mλ/4(π4 )Mλ/4(π4 ) =

(0 −1−1 0

).

Exemplo 4 (Acao da lamina λ/2 em funcao da direcao de propagacao): E facilverificar os seguintes resultados,

Mλ/2(π4 )

(10

)=

(0−1

)Mλ/2(π8 )

(10

)= 1√

2

(1−1

).

Alem disso, para qualquer φ,

Mλ/2(φ)Mλ/2(φ) =

(1 00 1

).

Assim, a dupla passagem por uma lamina λ/2 cancela seu efeito de rotacao.

Exemplo 5 (Rotator de Faraday): Notamos, que diferentemente da lamina λ/2, onde arotacao depende da direcao de propagacao, isto e, Mλ/2(π4 ) = M−1λ/2(π4 ), o rotador de Faraday

gira indiferentemente da direcao de propagacao,

Mrotador(π4 )Mrotador(

π4 ) =

(0 1−1 0

),

isto e, Mrotador(π4 ) = M−1rotador(−π4 ) .

6.2.5 Shot-noise

O limite de Heisenberg nas fases de quadratura de um campo de luz determina o ruıdo de shot-noise na intensidade do feixe de luz. Para medir este ruıdo dividimos o feixe por uma separatrizem dois feixes a e b e recombinamos estes feixes numa segunda separatriz,

c = 1√2(a+ b) , d = 1√

2(a− b) . (6.65)

Detectados por fotodetectores com o coeficiente de ganho g estes dois feixes produzem correntes,

Ic = gc†c , Id = gd†d . (6.66)

Adicionamos e subtraımos estes foro correntes,

I+ ≡ Ic + Id = g(a†a+ b†b) , I− ≡ Ic − Id = g(a†b+ b†a) . (6.67)

e

I2+ = g2[n2

a + n2b + 2nanb] , I2

− = g2[(a†b)2 + (b†a)2 + a†a+ bb† + aa† + b†b] . (6.68)


Os valores esperados sao,

〈I+〉 = g〈na〉a , 〈I+〉 = 0 (6.69)

〈I2+〉 = g〈(a†a)2〉a , 〈I2

−〉 = g2〈na〉a . (6.70)

Agora, com a definicao, 〈(∆I)2〉 ≡ 〈I2〉 − 〈I〉2, obtemos o ruıdo de intensidade do campo,

〈∆I2+〉 = 〈(∆I+)2〉 = g2〈(∆na)2〉 , (6.71)

e o ruıdo de shot noise

〈∆I2−〉 = g2Ia . (6.72)

Vide [tese de PhD do Hans Marın Flores].

6.3 Exercıcios

6.3.1 Optica de feixes e de ondas

6.3.1.1 Ex: Frente de fase de onda plana

Descreve o frente de fase para uma onda plana.

6.3.1.2 Ex: Frente de fase de onda esferica

Descreve o frente de fase para uma onda esferica.

6.3.1.3 Ex: Funcao de Green

Realiza o integral Eq. (6.17).

6.3.2 Optica gaussiana

6.3.2.1 Ex: Feixe gaussiano

Derive a equacao diferencial (6.41).

6.3.2.2 Ex: Feixe gaussiano

Derive as seguintes equacoes diferenciais,

w2(z) = w20

[1 +

(λz

πw20

)2]

e R(z) = z

[1 +

(πw2

0

λz

)2].

6.3.2.3 Ex: Diametro de um feixe Gaussiano

Voce esta cortando um feixe de laser com uma navalha fixado num micrometro permitindo variara posicao horizontal. No mesmo tempo, voce observe a potencia transmitida, P . Voce observe,que para variar a potencia entre 16% e 84%, e preciso variar a translacao de 140 µm. Qual e ovalor da cintura do feixe Gaussiano?

6.3. EXERCICIOS 97

6.3.2.4 Ex: Formula de Airy

Para derivar as formulas de Airy, considere um campo de luz descrito por Ein incidente numacavidade Fabry-Perot de comprimento L. Os espelhos da cavidade sao substratos de vidrotendo uma superfıcie com evaporacao de camadas dieletricas. As superfıcies dos dois espelhos saocaracterizadas pelos ındices de transmissao t1, t2 e reflexao r1, r2. Note, que a onda refletida sofreum deslocamento de π/2, quando a reflexao ocorre num meio mais denso n > 1. Desconsidereperdas de energia por absorcao.

6.3.2.5 Ex: Matrizes de Jones para uma MOT de tres feixes

Uma MOT de tres feixes e caracterizada pelo fato, que cada um dos tres feixes passa por umalamina λ/4 antes de atravessar a MOT uma primeira vez, depois da MOT passa por uma segundalamina e e refletido fazendo o caminho de volta. Mostre, que a polarizacao do laser refletido,passando duas vezes pela MOT e independente do angula da segunda lamina.

Capıtulo 7

Material suplementar e topicosespeciais

Nesse capıtulo tratamos de alguns topicos especiais e apresentamos material suplementar po-dendo servir para aprofundar o conhecimento.

7.1 Teorias classicas da interacao de luz com materia

A estrutura da materia nao so influencia o espalhamento de partıculas α mas tambem da luz.O modelo de pudim de passas de Thomson supoe eletrons livres uniformemente distribuıdosdentro de uma massa positivamente carregada, enquanto o modelo planetario de Rutherfordsupoes eletrons ligados a pequenos nucleos de carga positiva. Ondas eletromagneticas interagemdiferentemente com os eletrons nos dois casos.

7.1.1 Espalhamento de Thomson e Compton

O espalhamento de Thomson denota o espalhamento elastico de luz (fotons) por partıculaseletricamente carregadas livres ou (em comparacao com a energia fotonica fracamente ligadas.Geralmente sao eletrons quase-livres. Aqui o espalhamento de Thomson e o caso limite doespalhamento de Compton para pequenas energias fotonicas.

Partıculas carregadas sao incitadas pelo campo de uma onda eletromagnetica para executaroscilacoes harmonicas dentro do plano do campo eletrico. Como esta oscilacao e um movi-mento acelerado, as partıculas reemitem simultaneamente energia na forma de uma onda eletro-magnetica com a mesma frequencia (radiacao dipolar). O espalhamento de Thomson nao contacom recuo, isto e, nao tem transferencia de momento do foton para o eletron, o que so e validoquando a energia dos fotons incidentes e suficientemente pequena, isto e, o comprimento de ondada radiacao eletromagnetica e muito maior do que um raio de atomo (p.ex. radiacao X suave).Para energias mais altas e preciso tomar o recuo do eletron em consideracao (espalhamento deCompton) 1,2

1O modelo de Thomson vale para eletrons livres num metal, cuja frequencia de ressonancia tende, devido aausencia de forca retroativas, para zero. O espalhamento por eletrons ligados e chamada de espalhamento deRayleigh.

2Na pratica o espalhamento de Thomson e usado para determinar a densidade eletronica a partir da intensidadee da temperatura dos eletrons a partir a distribuicao espectral da radiacao espalhada supondo uma distribuicaode Maxwell.

99

100 CAPITULO 7. MATERIAL SUPLEMENTAR E TOPICOS ESPECIAIS

7.1.2 O modelo de Lorentz

Na fısica classica o espalhamento de luz por cargas e descrito pelo modelo de Lorentz. A partirde um campo eletrico harmonico, E(t) = E0e

−iωt, chegamos a uma forca agindo sobre os atomos

F = −eE(t) (7.1)

com a carga elementar e. A equacao do movimento e aquela de um oscilador harmonico amor-tecido:

mer +meΓr +meω20r ' mer = −eE(t) (7.2)

com a massa me do eletron, o amortecimento Γ (por colisoes, perdas radiativas, etc.) e aautofrequencia ω0.

Depois de um certo tempo, quando os processos transitorios sao amortecidos, os eletronsoscilam com a frequencia angular ω do campo externo. Para esta solucao inhomogenea fazemoso ansatz:

r(t) = ae−iωt (7.3)

com a amplitude complexa constante a. Inserindo isto na equacao do movimento, obtemos parao momento angular atomico:

p(t) ≡ −er(t) =e2/me

ω20 − ω2 − iΓωE(t) ≡ αe(ω)E(t) (7.4)

com a polarizabilidade eletrica αe.No meio temporal temos,

√p2 =

e2/me

ω20 − ω2 − iΓωE0

√1

T

∫ T

0cos2 ωtdt =

e2/me

ω20 − ω2 − iΓωE0

√1

2. (7.5)

A radiacao emitida por um dipolo excitado pode ser derivada a partir das equacoes de Maxwell,

〈S〉 = 1µ0E × B =

µ0p2ω4

16πcsin2 θ

r

2πr2. (7.6)

A potencia media e

dP

dΩ=µ0p2ω4

16πcsin2 θ =

p2ω4

12πε0c3sin2 θ =

ω4

16πε0c3

∣∣∣∣∣ e2/me

ω20 − ω2 − iΓωE0

√1

2

∣∣∣∣∣2

sin2 θ . (7.7)

e o fluxo de Poynting eI = 1

2ε0cE20 . (7.8)

A sessao cruzada diferencial,

dσ

dΩ=dP/dΩ

I=

∣∣∣∣ e2/me

ω20 − ω2 − iΓω

∣∣∣∣2 ω4

16π2ε20c

4sin2 θ (7.9)

=ω4

(ω20 − ω2)2 + Γ2ω2

e4

16π2ε20m

2ec

4sin2 θ =

ω4

(ω20 − ω2)2 + Γ2ω2

r2e sin2 θ .

onde θ e o angulo entre o momento dipolar e o ponto de observacao. O perfil desta curva descreveuma ressonancia.

7.1. TEORIAS CLASSICAS DA INTERACAO DE LUZ COM MATERIA 101

A partir disso obtemos secao de choque total:

σ(ω) =

∫ 2π

0

∫ π

0

dσ

dΩsin θdθdφ =

8π

3r2e

ω4

(ω20 − ω2)2 + Γ2ω2

. (7.10)

Temos os seguintes casos limites:

• ω ω0 espalhamento de Thomson ,

• ω = ω0 fluorescencia ressonante ,

• ω ω0 espalhamento de Rayleigh .

A secao de choque de Thomson segue como caso limite de energias altas em comparacao coma frequencia propria, ω ω0 Γ a partir do modelo de Lorentz:

σThom =8π

3r2e ≈ 6.65 · 10−29 m2 (7.11)

onde

re =1

4πε0

e2

mec2≈ 2.8 · 10−15 m (7.12)

e o raio classico do eletron 3

No modelo de Lorentz a materia esta descrita por uma amostra de eletrons oscilando harmo-nicamente com a frequencia ressonante ω0. Essa oscilacao pode ser excitada por luz incidentecom a frequencia ω [4].

Um campo eletromagnetico Eeiωt induz um momento dipolar peiωt [4]. As amplitudes docampo e do momento sao conectadas por polarisabilidade p = αE. Podemos calcular a polari-zabilidade com o modelo do oscilador classico de Lorentz, x+ Γωx+ ω2

0x = − eme|E|e−iωt com a

taxa de decaimento Γω = e2ω2/6πε0mec3 por losses radiativos. O resultado e

α = 6πε0c3 Γ/ω2

0

ω20 − ω2 − i(ω3/ω2

0)Γ, (7.13)

com Γ = Γω0 . Com isso, podemos escrever o potencial de interacao dipolar

Udip = −1

2〈pE〉 = − 1

2ε0cRe α I , (7.14)

com I = 2ε0c|E|2 e a forca F = −∇Udip ∝ ∇I. A potencia absorvida,

Pabs = 〈pE〉 = 2ωIm pE = − ω

ε0cImαI , (7.15)

causa a pressao radiativa, Γsct = Pabs/~ω. Para |ω − ω0| ω0 achamos uma forca conservativae uma forca dissipativa,

Udip =3πc2

2ω30

Γ

∆I(r) , (7.16)

Γsct =3πc2

2~ω30

Γ2

∆2I(r) .

3Uma melhor aproximacao para pequenas energias obtem-se pela expansao da formula de Klein-Nishina,

σ(ν) = σThom(1− 2α+ 56

5α2 + . . .

)com o fator α = hν

mec2.


7.1.3 Espalhamento Rayleigh e o azul do ceu

E facil mostrar que a sessao de choque e agora

σRayl = σThom =ω4

(ω2 − ω20)2 + Γ2ω2

. (7.17)

Para ω → ω0 obtemos uma amplificacao ressonante da sessao de choque de ω2/γ2. As res-sonancias das partıculas na atmosfera sao na parte azul do espectro eletromagnetico. Por issoos frequencias visıveis sao ω ω0, e a sessao de choque e ∝ ω4. Isto e, a parte azul domine. Oceu so nao parece violeta, porque os olhos nao sao sensıveis nessas cores.

A dependencia do angulo da observacao ∝ sin2 θ, onde θ = ∠(ε,ks) so e valida para luzpolarizada. Para luz nao polarizada, que pode ser entendido como duas ondas de polarizacaoortogonal, a dependencia e ∝ 1 + cos2 ϑ onde ϑ = ∠(k,ks).

terra

Rayleigh

Mie

k

ks

Figura 7.1: Dependencia dos espalhamentos de Rayleigh e de Mie do angulo de observacao.

O espalhamento de Rayleigh domina para moleculas e partıculas pequenas < λ/10. Oespalhamento de Mie e mais importante para > λ/10. Esse tipo de espalhamento e governadopara condicoes de contorno nas superfıcies das partıculas. As distribuicoes angulares sao comoum aquela de antenas. Por isso esse tipo so domine para pequenos angulos (direcao em frenteem trono do sol, branqueamento).

7.1.4 Interacao de luz com metais, o modelo de Drude

Este modelo de Drude basea-se numa teoria classica cinetica de eletrons nao-interagindo nummetal. Como os eletrons de conducao sao considerados livres, o oscilador de Drude e umaextensao do modelo de Lorentz de um unico oscilador para o caso, quando a forca restauradorae a frequencia de ressonancia atomica sao nulas, Γ0 = ω0 = 0. A equacao do movimento e,

md~v

dt+mΓd~v = −e ~E , (7.18)

onde md~vdt e a forca de aceleracao do eletron, mΓd~v e a friccao devida a colisoes com ıons da rede

cristalina e −e ~E = −e ~E0eiωt e a forca de Coulomb exercida pelo campo oscilante. Achamos

~v = ~v0eiωt = − e

m

~E0

iω + Γd. (7.19)

A densidade de conducao de corrente que corresponde ao movimento de n eletrons por unidadede volume e

~jc(ω) = −ne~v =ne2

m(Γd + iω)~E . (7.20)


Alem disso temos a corrente que corresponde ao deslocamento eletrico no vacuo,

~jd(ω) =∂ ~D

∂t= iωε0

~E , (7.21)

onde ~D = ε0~E. A densidade total de corrente e dada por,

~j(ω) = ~Jc(ω) + ~Jd(ω) =

[ne2

m(Γd + iω)+ iωε0

]~E . (7.22)

Assumindo, que podemos conectar a corrente total como sendo criada por um deslocamentoeletrico total, ~D = ε0ε ~E, dando

~j(ω) =∂ ~Dtot

∂t= iωε0ε ~E , (7.23)

e comparando as duas ultimas expressoes,[ne2

m(Γd + iω)+ iωε0

]~E = iωε0ε(ω) ~E . (7.24)

Resolvendo por ε,

ε(ω) = 1−ω2p

iωΓd − ω2, (7.25)

onde

ωp ≡√ne2

mε0(7.26)

e a frequencia de plasma que corresponde a energia, onde εr(ωp) ' 0. Separado en partes real eimaginaria,

εr(ω) = 1−ω2p

Γ2 + ω2, εi(ω) =

ω2pΓ

ω(Γ2 + ω2)(7.27)

Para ω < ωp, a parte real εr e negativa. Qualquer campo eletrico nao pode penetrar o metalque se torna totalmente refletindo.Para ω = ωp, a parte real εr e zero. Isto e, os eletrons oscilam em fase com ao longo da distanciade propagacao no metal.Para ω ωp, a parte imaginaria (absortiva) εi desaparece para altas frequencias.

Para metais, geralmente Γd = 0...4 eV. O modelo nao consegue descrever semicondutores.

7.1.5 Forcas dispersivas e absorptivas

Para intensidades moderadas muito da fısica da interacao entre o atomo e um campo de luz podeser entendida a partir do modelo simples de um eletron harmonicamente ligado e excitado porum de campo classico externo oscilante. Ilustraremos o uso deste modelo do ’oscilador carregadoexcitado’ nesta secao. Vamos ve-lo novamente quando discutiremos o resfriamento e aprisiona-mento optico (ver Cap. 5.4.3). Ele e o modelo subjacente na maior parte da teoria do laser(ver Cap. 6.3.2). Voltemos agora para a expressao da polarizacao em termos da susceptibilidadeEq. (2.60). Substituicao das partes real e imaginaria da susceptibilidade dentro da polarizacaoproduz

P(t) = 12ε0E0

[χ′(ω) + iχ′′(ω)

]eiωt +

[χ′(−ω) + iχ′′(−ω)

]e−iωt

. (7.28)


0 5 10 15 20 25 30 35 40−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ω (eV)

ε r , ε i

Figura 7.2: Partes real e imaginaria da funcao dieletrica em funcao da frequencia de excitacao.

Equacao (2.72) mostra que a parte real da susceptibilidade e simetrica em ω enquanto a parteimaginaria e anti-simetrica,

χ′(−ω) = χ′(ω) e χ′′(−ω) = −χ′′(ω) . (7.29)

de modo que a polarizacao real pode ser escrito

Preal(t) = ε0E0

[χ′(ω) cosωt− χ′′(ω) sinωt

]. (7.30)

A equacao (2.72) mostra que a parte real, dispersiva da susceptibilidade esta em fase com ocampo incidente, enquanto a parte imaginaria, absorptiva segue o campo incidente em quadra-tura. Como o campo optico excita o atomo polarizavel, podemos examinar o fluxo de energiaestacionario entre o campo incidente e a o atomo excitado. A polarizacao P(t) e apenas adensidade de um conjunto de dipolos,

P(t) =N

Vd12 . (7.31)

Esta polarizacao interage em torno com o campo da luz que o produziu. Imagine que temos umfeixe de luz linearmente polarizado com uma seccao circular com o raio r, a frequencia ω, comlimites (gaussianas) bem-definida no plano transversal, mas propagando ao longo da direcao zcomo uma onda plana. Mais tarde (ver Capıtulo 8, Secao 8.4) um tal feixe sera chamado o feixehermite-gaussiano fundamental. Nos escrevemos a onda propagante na sua forma complexacomo

E(r, z, t) = E0(r)ei(kz−ωt) . (7.32)

e a polarizacao complexa como

P = ε0χE = ε0(χ′ + iχ′′)E0ei(kz−ωt) . (7.33)


Agora escrevemos a polarizacao como a soma de uma componente dispersiva e uma componenteabsorptiva,

P = Pdis + Pabs , (7.34)

com

Pdis = ε0χ′E0e

i(kz−ωt) e Pabs = iε0χ′′E0e

i(kz−ωt) , (7.35)

A densidade de energia dentro de um material dieletrico transparente, isotropico, sem momentode dipolo permanente, interagindo com o campo eletrico deste feixe de luz e dada por

Edis(t) = Re P · Re E∗ = ε0E0

[χ′ cos2(kz − ωt)− χ′′ sin(kz − ωt) cos(kz − ωt)

]. (7.36)

O valor medio de um ciclo optico e

〈Edis〉 = −12ε0E

20(r)χ′(ω) . (7.37)

Eq. (7.37) deve ser interpretada como a energia associada com um conjunto de dipolos detransicao atomicos excitado interagindo com o campo eletrico incidente. Desde que a polarizacaoe uma densidade de dipolos, a energia de interacao e realmente uma densidade de energia.

Podemos escrever uma expressao para a forca de luz agindo sobre esta colecao de dipolos detransicao, primeiro tomando o gradiente espacial da energia de interacao,

Fdis = Re [−∇(−Pdis ·E∗)] = Re [Pdis · ∇E∗] = 12ε0χ

′∇E20 , (7.38)

e novamente calculando a media do ciclo optico,

〈Fdis〉 = 12Re Pdis · Re [∇E∗] = 1

4ε0χ′∇E2

0(r) . (7.39)

O gradiente espacial do campo eletrico esta no plano transversal a propagacao da onda luminosa.A direcao da forca depende do signo de χ′ e do signo do gradiente de campo. Se a luz estasintonizada no vermelho da ressonancia, Eq. (2.73) mostra que χ′ e positivo e a forca fica namesma direcao como o gradiente que e negativo no plano transversal. Os atomos serao atraıdostransversalmente para o interior do feixe de luz onde o campo e maior. Na direcao longitudinalo gradiente do campo (e portanto, a forca) e insignificante. Os atomos sao livres a deriva aolongo de z enquanto presos transversalmente. Veremos no Cap. 6, que um pode ser derivadoa partir desta forca de gradiente dipolar. Podemos pensar no feixe de luz como um potencialtubular ao longo do qual os atomos podem ser transportados. Sintonizacao para o azul inverte osigno da forca, e os atomos serao ejetado do feixe de luz. Gradientes de campo tambem podemser criados por lasers focalizados, por ondas de luz estacionarias ou por campos evanescentesperto de superfıcies dieletricas.

Se a luz esta sintonizado muita perto de uma ressonancia, a energia do campo incidente seraabsorvida. Por isso, escrevemos esta energia de interacao absorptiva como

Eabs = −Im P · Re E∗ . (7.40)

com a media do ciclo

〈Eabs〉 = −12ε0χ

′′(ω)E20 . (7.41)

Podemos associar uma forca luminosa com a energia absorvida, tambem,

Fabs = Re [−∇(−Pabs ·E∗)] = Re [Pabs · ∇E∗] . (7.42)


Considerando a media do ciclo optico temos,

〈Fabs〉 = 12Re P · Re [∇E∗] = 1

2ε0χ′′(ω)∇E2

0kk . (7.43)

onde k e o vetor unitario na direcao de propagacao. Aqui, consideramos o feixe de luz comouma onda plana de extensao transversal infinita que se propage ao longo do eixo z. Portanto, soo gradiente espacial esta na fase da onda propagante, e a forca esta na direcao de propagacao dofeixe. Quando calculamos o gradiente da energia de interacao, Eqs. (7.38),(7.42), descartamos otermo E∗∇P . A razao e que as equacoes de Maxwell nos informam que o gradiente da polarizacaode um dieletrico neutro deve ser zero sobre regioes espaciais maior do que as dimensoes atomicas.Como o gradiente das amplitudes do campo estendem-se em dimensoes do tamanho do feixeluminoso ou, no mınimo, do comprimento de onda da luz, o gradiente da polarizacao, cujaescala caracterıstica de comprimento e da ordem do momento atomico dipolar, pode ser ignoradocom seguranca. Retornando para Eq. (7.42), vemos que a magnitude desta forca depende daintensidade da luz ao longo do eixo z [ver Eq. (1.11)] e da magnitude de χ′′, que e proporcionala secao transversal para absorcao de luz [(ver. Eq. (2.77)]. Esta forca e as vezes chamadaforca de pressao radiativa. Discutiremos essa forca de novo em termos da secao transversalpara a radiacao classica de um eletron oscilando na Sec. 5.1. O atomo absorve energia docampo luminoso e emite-la por emissao espontanea. Na verdade, devido a emissao espontanea,a magnitude desta forca nao aumenta indefinidamente com a intensidade da luz, mas ’satura’quando a taxa de absorcao estimulada torna-se igual a taxa de emissao espontanea. E claro quetanto a forca de gradiente dipolar quando a forca de pressao radiativa estao presentes sempre queum feixe de luz de frequencia Ω passa atraves de materia com a susceptibilidade χ(ω). Devidoa dependencia de frequencia das componentes dispersivas e absortivas da susceptibilidade, noentanto, [(ver Eq. (2.72)] a forca de gradiente dipolar domina, quando a luz esta sintonizada longeda ressonancia, e a forca de pressao radiativa e mais importante com a luz sintonizada dentro dalargura natural da transicao. Ambas as forcas sao de grande importancia para o resfriamento e amanipulacao de atomos. Vamos examinar as suas propriedades em mais detalhes no Cap. 5.4.3.

Tambem e interessante considerar como a potencia media da interacao campo-atomo e dis-tribuıda entre as partes dispersivas e absortivas da susceptibilidade. A densidade de potenciaaplicada ao atomo polarizavel a partir campo eletrico incidente e dada por

℘ =dP

dt·E(t) . (7.44)

Precisamos apenas considerar a dependencia temporal do campo de luz. Assim, tomamos E(t) =E0 cosωt e a expressao para ℘ torna-se

℘ = ε0E20ω[χ′ sinωt cosωt− χ′′ cos2 ωt] . (7.45)

A media sobre um ciclo optico da

〈℘〉 = −12ε0E

20ωχ

′′(ω) , (7.46)

e novamente a partir da Eq. (2.72) perto de ressonancia

〈℘〉 = −1

3

Ω2

Γn~ω0 . (7.47)

Vemos que a energia do campo flui para a parte absortiva da resposta atomica as oscilacoesforcadas. Em condicoes de excitacao estacionarias, a densidade de energia fluindo do campo

7.2. EQUACAO MESTRE 107

para um conjunto de atomos deve ser equilibrada pela energia reemitada dos atomos. Umconjunto de N dipolos permanentes classicos no volume V , oscilando ao longo de uma direcaofixa, radia uma densidade de energia com a taxa

〈R〉 =4ω4

0d212

4πε03c3

N

V. (7.48)

No estado estacionario,12ε0E

20ω0χ

′′ = 〈R〉 . (7.49)

ou, o fluxo de energia ressonante entrando absorvido deve ser igual ao fluxo de radiado,

12ε0E

20χ′′ =

4ω30d

212

4πε03c3

N

V. (7.50)

Finalmente, a partir da Eq. (2.77) temos

σ0a =

ω40d

212

4πε03c3

12ε0E

20c

=32π3d2

12

3λ4ε20E20

=~ω0A2112ε0cE

20

. (7.51)

Isso mostra mais uma vez [ver Eq. (2.50)] que a secao transversal de absorcao e simplesmentea relacao entre a energia emitida e o fluxo entrando. Secoes transversais e equacoes de taxassao importantes na teoria do laser, e teremos ocasiao de rever o uso de uma ’secao transversal’como um parametro descrevendo a forca da interacao no Cap. 6.3.2.

7.2 Equacao mestre

Vamos derivar a equacao mestra de um sistema quantico aberto. Como pressuposto comum,assumimos que o meio ambiente (chamado de banho) e o sistema sob consideracao sao sistemasquanticos no sentido de que (1) os graus de liberdade relevantes sao completamente caracteriza-dos por vetores de estado (ou matrizes densidade), e (2) a evolucao temporal do sistema total eunitaria U(t) = e−iHt. O hamiltoniano total, H = HS +HB+V e assumido ser independente dotempo e consiste de tres partes, a saber hamiltoniano do sistema HS , o hamiltoniano do banhoHB e a interacao V entre o sistema e o banho. O objetivo da equacao mestre e encontrar adinamica do sistema tracando sobre todos os graus de liberdade do banho. Isso nem sempree possıvel, e vamos supor que a interacao V e suficientemente fraca de modo que a teoria deperturbacao e aplicavel.

Na representacao de interacao a evolucao da matriz densidade total ρT fica

i~dρTdt

= [V (t), ρT ] . (7.52)

onde ρT (t) ≡ U †0ρTU0, e V (t) ≡ U †0V U0 e U0 = e−i(HS+HB)t/~. Essa evolucao e, por enquanto,muito geral, e a solucao pode ser escrita formalmente

ρT (t) = ρT (0) +1

i~

∫ t

0dt1[V (t1), ρT (t1)] . (7.53)

Iterando mais uma vez:

ρT (t) = ρT (0) +1

i~

∫ t

0dt1[V (t1), ρT (0] +

1

(i~)2

∫ t

0dt1

∫ t1

0dt2

[V (t1), [V (t2), ρT (t2]

]. (7.54)

No seguinte, vamos chamar varias aproximacoes para simplificar os calculos, especialmente aaproximacao de Born, a suposicao de um estado inicial de produto e, mais tarde, a aproximacaode Markov.


7.2.1 Aproximacao de Born para acoplamento fraco

Aqui assumimos a interacao V e fraca. Entao, suponha que nos continuamos a repetir, esperamosque a serie iria convergir e escrever a solucao geral como

ρT (t) = ρT (0) +∑n≥1

1

(i~)n

∫ t

0dt1...

∫ tn−1

0dtn

[V (t1), ..., [V (tn), ρT (0)]

]. (7.55)

Esta maneira de terminar uma equacao iterativa e geralmente conhecida como a aproximacaoBorn. No entanto, devemos considerar apenas a precisao ate a segunda ordem em V . Tomandoo traco sobre a banheira,

ρ(t) = ρ(0) +1

i~

∫ t

0dt1TrB[V (t1), ρT (0)] +

1

(i~)2

∫ t

0dt1

∫ t1

0dt2TrB

[V (t1), [V (t2), ρT (0)]

],

(7.56)onde ρ(t) ≡ TrB ρT (t) e a matriz densidade do sistema apenas.

7.2.2 Suposicao de um estado inicial de produto

Em seguida, precisamos chamar uma suposicao bastante importante, que o estado inicial entre osistema eo meio ambiente e nao correlacionadas, ou matematicamente representado por ρT (0) =ρ(0)⊗ρB(0). Outro pressuposto nao e essencial, mas muitas vezes valido e que TrB(V (t1)ρB) = 0.Isto sugere que o termo de primeira ordem e zero. A precisao de segunda ordem, podemosescrever

ρ(t) = eM(t)ρ(0) (7.57)

onde M(t)χ ≡ 1(i~)2

∫ t0 dt1

∫ t10 dt2TrB

[V (t1), [V (t2), χ⊗ ρB]

]e um superoperator. Pegando a

derivada temporal, temos

dρ

dt=

d

dtM(t)× ρ(t) . (7.58)

Explicitamente, obtivemos a equacao mestre,

dρ

dt=

1

(i~)2

∫ t

0dτTrB

[V (t), [V (τ), ρ(t)⊗ ρB]

]. (7.59)

7.2.3 Aproximacao de Markov para memoria curta

Aqui temos de avaliar os termos envolvendo considerando a media em relacao ao banho ter-mal, que se supoe ter memoria curta, no sentido de que o tempo de correlacao e muito curto.matematicamente,∫ t

0dτTrB

V (t)V (τ)ρB

=

∫ t

0dτTrB

(V (t− τ)V (0)ρB

)'∫ ∞

0dτTrB

(V (t− τ)V (0)ρB

).

(7.60)Em outras palavras, a funcao de correlacao de dois pontos e significativo somente quando t ' τ ,e e valido para estender o limite superior para o infinito. Esta e a aproximacao de Markov.

7.2. EQUACAO MESTRE 109

7.2.4 Exemplo: Oscilador quantico harmonico amortecido

Como consideramos o exemplo a Aplicacao do Movimento Browniano de hum Oscilador harmonicoQuantico. A equacao de mestre pode ser escrito

dρ

dt=

1

(i~)2

∫ t

0dτTrB

V (t)V (τ)ρ(t)⊗ ρB − V (t)ρ(t)⊗ ρBV (τ)

−V (τ)ρ(t)⊗ ρBV (t) + ρ(t)⊗ ρBV (τ)V (t)

. (7.61)

O acoplamento do sistema de banho-maria e assumido como sendo da forma

V = ~(a†Γ(t)eiΩt + aΓ†(t)e−iΩt

), (7.62)

onde Γ(t) =∑

k gkbke−iωkt, os operadores bosonicos a e bk agem respectivamente sobre o sis-

tema (com a frequencia Ω) e o banho (com a frequencia ωk). Aqui gk caracteriza a forca doacoplamento entre os osciladores do sistema e do banho. Portanto,

dρ

dt= −

∫ t

0dτTrB

(a†Γ(t)eiΩt + aΓ†(t)e−iΩt

) (a†Γ(τ)eiΩτ + aΓ†(τ)e−iΩτ

)ρ(t)⊗ ρB

−(a†Γ(t)eiΩt + aΓ†(t)e−iΩt

)ρ(t)⊗ ρB

(a†Γ(τ)eiΩτ + aΓ†(τ)e−iΩτ

)−(a†Γ(τ)eiΩτ + aΓ†(τ)e−iΩτ

)ρ(t)⊗ ρB

(a†Γ(t)eiΩt + aΓ†(t)e−iΩt

)+ρ(t)⊗ ρB

(a†Γ(τ)eiΩτ + aΓ†(τ)e−iΩτ

) (a†Γ(t)eiΩt + aΓ†(t)e−iΩt

) .

(7.63)Vamos ter um olhar mais atento sobre um dos termos,

T ≡ −∫ t

0dτTrB

a†Γ(t)eiΩtaΓ†(τ)e−iΩτ ρ(t)⊗ ρB

= −a†aρ(t)

∫ t

0dτ⟨

Γ(t)Γ†(τ)⟩BeiΩte−iΩτ .

(7.64)Teremos de avaliar quantidades, como

TrB (V (t)V (s)ρB) = ~2a†a〈Γ(t)Γ†(t)〉BeiΩ(t−s) + ~2aa†〈Γ†(t)Γ(t)〉Be−iΩ(t−s) , (7.65)

onde 〈Γ(t)Γ†(t)〉B ≡ TrB[Γ(t)Γ†(t)ρB

], e para o banho termico, 〈b†jbk〉 = δjknk and 〈bjb†k〉 =

δjk(1 + nk) and nk =(eβ~ωk − 1

)−1. Portanto,

T = −a†aρ(t)∑j,k

gjgk

⟨bjb†k

⟩B

∫ t

0dτei(ωjt−ωkτ)eiΩ(t−τ) ' −a†aρ(t)

∑k

g2knk

∫ ∞0

dτei(ωk−Ω)(t−τ) .

(7.66)Em seguida, teremos de usar a relacao∫ ∞

0dτe±iετ = πδ(ε)± iPV , (7.67)

onde PV denota a Cauchy parte do valor principal. Estas correspondem ao ’deslocamento deLamb’ e ’shift Stark’ na frequencia, e e considerado pequeno em comparacao com Ω e deve sernegligenciado aqui.

T = −a†aρ(t)∑k

g2k

(eβ~ωk − 1

)−1∫ ∞

0dτei(ωk−Ω)(t−τ) = −a†aρ(t)

∑k

g2k

(eβ~ωk − 1

)−1πδ(ωk − Ω)

(7.68)

= −a†aρ(t)∑k

g2k

(eβ~Ω − 1

)−1π = −πNa†aρ(t)

∑k

g2kδ(ωk − Ω) = Naa†ρ(t)π

γ

2. (7.69)


onde N ≡(eβ~Ω − 1

)−1. Define γ

2 ≡∑

k g2kδ(ωk − Ω). O procedimento pode ser repetido

por todos os termos da equacao mestre. Temos, entao, a equacao mestra para um osciladorharmonico amortecido,

dρ

dt=γ

2(N + 1)

(2aρa† − a†aρ− ρa†a

)− γ

2N(

2a†ρa− aa†ρ− ρaa†). (7.70)

7.2.5 Termalizacao

Para completar a discussao, vamos considerar o tempo de desenvolvimento do numero de fotonssignifica 〈a†a〉. Note que TrBaa

†ρ = TrBaa†ρ, e pode ser util para usar (com n = a†a) na = an−a

e na = an− a para simplificar o lado direito da equacao mestre. temos

d〈a†a〉dt

= −γ〈a†a〉+ γN , (7.71)

ea solucao para esta equacao e

〈n(t)〉 = 〈n(0)〉e−γt +N(1− e−γt) , (7.72)

o que suggere que 〈n(t→∞)〉 → N =(eβ~Ω − 1

)−1, como esperado para a razao de termalizacao

[9]. Para uma discussao sobre a validade sobre a aproximacao Born-Markov, ver [8]. Relacaoentre a aproximacao de Markov e Regra de Ouro de Fermi, ver [1].

7.3 Espalhamento por amostras de atomos

7.3.1 Espalhamento coletivo

O hamiltoniano completo de uma nuvem de atomos de dois nıveis interagindo com um laserincidente e dado por,

H =N∑j=1

~gk0

(σje−iωat + σ†je

iωat)(

a†k0eiω0t−ik0·rj + ak0e

−iω0t+ik0·rj)

(7.73)

+∑k

N∑j=1

~gk(σje−iωat + σ†je

iωat)(

a†keiωkt−ik·rj + ake

−iωkt+ik·rj).

Esse hamiltoniano e bem semelhante naquele da Eq. (??), so que agora inclue um somatorio sobreN atomos. No entanto, nao consideramos aqui a possibilidade de interacoes entre os atomos.Interacoes podem ter um grande impacto para densidades n λ−3. A equacao de Schrodingercom o hamiltoniano (7.73) pode ser resolvida no limite de validade de algumas aproximacoes:Excitacao fraca (no medio temporal tem menos do que um foton na nuvem atomica), movimentogelado (desconsideramos o movimento dos atomos), aproximacao de Markov.

A seguir vamos nos restringir a apenas um foton em um dos modos ou um atomo de animado.O estado e um estado coletivo com os atomos de N , n0 fotons no modo de bomba k0 e nk nodecaimento k. Cada atomo pode ser tanto no estado fundamental |0〉a = |g1, .., gN 〉, ou dequalquer atomo de j e no estado excitado |j〉a = |g1, .., ej , .., gN 〉, ou varios atomos.

Para descrever o espalhamento de um unico foton, que generalize o estado para explicaras possibilidades que nenhum foton foi absorvido ainda, e que o foton ja foi emitida para oespaco profundo. Todas as informacoes sobre o sistema e codificado nas dependencias tempo das

7.3. ESPALHAMENTO POR AMOSTRAS DE ATOMOS 111

r

k

k

j0 0

0

k k

Figura 7.3: Esquema da interacao de um feixe de luz com uma amostra de atomos.

amplitudes, que obtemos atraves da insercao da funcao de onda para a equacao de Schrodinger.O que se obtem e um conjunto de bastante complicado integro-diferenciais equacoes, que temosque lidar com alguma forma,

|Ψ〉 = α(t)|g1 . . . gN 〉|0〉k + e−i∆0tN∑j=1

βj(t)|g1 . . . ej . . . gN 〉|0〉k (7.74)

+∑k

γk(t)|g1 . . . gN 〉|1〉k +N∑

m,n=1

εm<n,k(t)|g1 . . . em . . . en . . . gN 〉|1〉k .

O terceiro termo corresponde a presenca de dois atomos animado dentro da nuvem e um foton(virtual) com energia ”negativas”. Esses estados precisam ser contabilizados, se nao queremeliminar contra-rotacao direita termo no ansatz.

7.3.2 Espalhamento de Mie

Alem, dos efeitos coletivos, a forma e o tamanho da nuvem tambem influenciam o espalhamento.Isso e analogico ao espalhamento de Mie por esferas dieletricas.

Figura 7.4: (a) Esquema da probabilidade de excitacao dos atomos ao longo da direcao do eixoincidente. (b) Deformacao da frente da onda pelo ındice de refracao finito. (c) Distribuicaoangular da radiacao espalhada.


7.3.3 Espalhamento de Bragg, ressonancias induzidas por recuo fotonico

7.3.4 Superradiancia de Dicke

Derivar Dicke super- e subradiancia para 2 atomos. Introduzir estados de Dicke.

7.4 Instabilidades na interacao luz-materia

Na Sec. 7.3 desprezamos o grau de liberdade do movimento atomico. No entanto, sabemos que,atraves do efeito Doppler, o espalhamento tambem e influenciado pela velocidade atomica. Dooutro lado, o espalhamento tambem influencia o movimento atomico atraves do recuo fotonico.Tambem assumimos, que os fotons espalhados saem da amostra rapidamente sem a possibilidadede retroagir sobre a amostra. Portanto, cada espalhamento fotonico represente um processoisolado, sem memoria dos processos passados.

Existem dois metodos para correlacionar eventos de espalhamento consecutivos, que ambospodem levar, em certas circunstancias em instabilidades exponenciais na distribuicao espacialdos atomos. Esses sao os fenomenos de ”Superradiancia de onda de materia”e o ”Laser porrecuo atomico coletivo”.

7.4.1 Superradiancia de onda de materia

Em 1999 o grupo do W. Ketterle no MIT fiz uma observacao supreendente, quando iluminouum condensado de Bose-Einstein de forma alongada com um curto pulso laser linearmente po-larizado atravessando o condensado pelo lado transversal. Em vez de produzir uma radiacaocom caracterıstica angular dipolar, como poderıamos esperar para uma nuvem atomica pola-rizada fazendo espalhamento de Rayleigh, o grupo observou emissao de explosoes de luz bemorientadas ao longo do eixo de simetria do condensado. Tambem observou que parte dos atomosforam acelerados em angulos de 45. Esses atomos podiam emitir outros geracoes de atomos emangulos de 45.

0 0

Figura 7.5: Medida de tempo de voo.

O fenomeno fui explicado da seguinte maneira. Imaginamos um primeiro foton espalhadopor um atomo na direcao do eixo longo do condensado. Esse atomo sera acelerado pelo recuofotonico numa direcao de 135 a respeito da direcao do foton. O atomo interferira com o restodo condensado assim gerando uma onda de materia estacionaria orientada tal que os seguintesfotons sao espalhados na mesma direcao como o primeiro por espalhamento de Bragg. Issoreforca o contraste da onda de materia, etc.. Obtemos um ganho exponencial de fotons no mododefinido pelo primeiro foton espalhado, assim com do modo de onda de materia espalhada.Como o caminho do ganho e maior ao longo do condensado, esse modo e favorecido. Isto e, ocondensado pode ser considera como uma cavidade abracando o angulo solido Ωsol.

7.4. INSTABILIDADES NA INTERACAO LUZ-MATERIA 113

A taxa de espalhamento de Rayleigh por um unico atomo e

R1 = sin2 θσ(∆a)I

~ω3Ωsol

8π, (7.75)

onde θ e o angulo entre a polarizacao do laser incidente (intensidade I) e a direcao onde a luz

esta espalhada. A secao transversal e σ(∆a) = σ0Γ2

4∆2+2Ω2+Γ2 , onde σ0 = 3λ2

2π . Agora, para oconjunto dos atomos, a taxa de espalhamento superradiante nao so e amplificado pelo numero deatomos condensados, N , mas tambem pelo numero de atomos, Nr, ja ficando no modo recebendoos atomos espalhados,

Rsr = R1NNr + 1

2. (7.76)

Isso e a superradiancia de onda de materia .

7.4.2 Laser de eletrons livres

Lasers normais trabalham por uma inversao nos graus de liberdade internas, isto e, eletronsligados sao excitados para orbitais energeticamente mais elevados de onde eles podem decairemitindo luz monocromatica de frequencia bem definida. Os lasers de eletrons livres (FEL)trabalham com feixes de eletrons livres. Por isso, eles sao sintonizaveis sobre amplas gamas defrequencia. Eles tem eficiencias muito superiores de ate 65%. O princıpio e o seguinte: Eletronsrelativısticos sao guiados atraves de um undulador, onde eles sao submetidos a uma forca deLorentz F = −ev × B forcando os eletrons de fazer uma oscilacao com a periodicidade docampo do undulador. Isso corresponde a um momento dipolar interagindo com o campo de luzincidente. A velocidade transversal dos eletrons dentro do campo magnetico das luz incidenteproduz uma forca de Lorentz em direcao axial chamada de forca ponderomotiva. Esta forcaacelera os eletrons, quando eles sao um pouco mais lento que a onda ponderomotiva. Senao oseletrons sao desacelerados. No segundo caso, a energia dos eletrons e transmitida ao campo deluz, o que leva a um agrupamento (bunching) dos atomos.

e

B

B

wiggler

laser

-

Figura 7.6: Laser de eletrons livres.

7.4.3 Laser por recuo atomico coletivo

O laser por recuo atomico coletivo (CARL) fui predito pela primeira vez em 1994 [2] comoanalogo atomico do FEL. A ideia consiste em um feixe homogeneo monocromatico de atomosde dois nıveis (todos os atomos tem a mesma velocidade), um feixe laser de bombeamentoforte contrapropagante e um feixe de sonda fraco copropagante sintonizado ao lado azul. Oslasers formam uma onda luminosa estacionaria que se move na mesma direcao como os atomos.


Atomos mais rapidos do que a velocidade da onda estacionaria, precisam dobrar os maximosdo potencial dipolar criado pela onda estacionaria e sentem uma forca repulsiva. Atomos maislentos do que a velocidade da onda estacionaria, sao puladas pelos maximos do potencial dipolare sentem uma forca acelerante. Essas forcas podem ser interpretadas como retroespalhamento defotons da onda de bombeamento para a onda de sonda. Essa redistribuicao de energia amplificao contraste da onda estacionaria, o que em torno amplia a eficiencia do retroespalhamento, etc..Portanto, o CARL converte energia cinetica em radiacao coerente (ou mais preciso, em umaumento da diferencia de energia entre sonda e bombeamento) por bunching atomico. Se tratade um mecanismo auto-amplificante. A assinatura do CARL e uma amplificacao exponencialtransitoria para a sonda incidente, que define a frequencia do laser.

7.4.3.1 Derivacao quantica das equacoes do CARL

O CARL pode ser realizado em cavidade em forma de anel. Em contraste com cavidade lineares,as cavidades anulares tem as seguintes particularidades: 1. A fase da onda estacionaria e livrede se mover; 2. os modos contrapropagantes da cavidade tem quantidades de fotons autonomas,cada evento de retroespalhamento conserve o momento; 3. o retroespalhamento age sobre a faseda onda estacionaria. Atomos podem ser aprisionados pela forca dipolar dentro do volume dosmodos da cavidade. A forca dipolar corresponde a um retroespalhamento de fotons entre osmodos.

Os graus de liberdade da dinamica sao os modos de luz contrapropagantes com as amplitudesα± e os graus de liberdade internas (σzj , σj , σ

†j) e externas (xj , pj) dos atomos individuais. O

ındice j etiqueta os atomos, as matrizes de Pauli sao utilizadas para descrever a excitacao dosatomos. Cada grau de liberdade tem o seu mecanismo de perda. κ para a transmissao finita dosespelhos do ressonador, Γ para a emissao espontanea e γfric para uma forca de friccao possıvelpara os atomos. Para um atomo individual o hamiltoniano consiste das seguintes partes

Hatom = −∆aσ†σ +

p2

2m, (7.77)

Hcavity = −∆ca†+a+ −∆ca

†−a−

Hatom−cavity = ga†+σe−ikx + c.c.+ ga†−σe

ikx + c.c.

Hlaser−cavity = −iη+(a+ − a†+)− iη−(a− − a†−) .

∆a e a dessintonizacao entre a luz e a ressonancia atomica e ∆c entra a luz e a ressonanciada cavidade, g e a forca de acoplamento luz-atomo, tambem chamada frequencia de Rabi desomente um foton. Para obter as equacoes de movimento introduzimos o hamiltoniano H =Hatom +Hcavity +Hatom−cavity +Hlaser−cavity dentro das equacoes para os operadores

〈a+〉 = i〈[H, a+]〉 − κ〈a+〉 (7.78)

= i〈[−∆ca†+a+ + ga†+σe

−ikx + c.c.− iη(a+ − a†+), a+]〉 − κ〈a+〉= −i∆c〈[a†+a+, a+]〉+ ige−ikx〈σ[a†+, a+]〉+ igeikx〈σ†[a+, a+]〉+ η+[a+ − a†+, a+]〉 − κ〈a+〉 .

Para os operadores temos as seguintes regras de comutacao [a±, a†±] = 1 e [a±, a

†∓] = 0, tal que

〈a+〉 = (−κ+ i∆c) 〈a+〉 − ig〈σ〉e−ikx + η+ , (7.79)

e o mesmo para os graus de liberdade: 〈a+〉 e 〈σ〉. As equacoes diferenciais descrevendo adinamica dos graus de liberdade internas e externas sao acopladas. Em certas condicoes, noentanto, as dinamicas internas e externas acontecem em escalas temporais muito diferentes, oque permite um desacoplamento das equacoes diferenciais.


7.4.3.2 Aproximacoes, eliminacao adiabatica

Quando os campos da luz sao muito dessintonizados das ressonancias atomicas, a dinamicainterna dos atomos e muito rapido, isto e, o estado interno se adapta muito rapido as condicoesde contorno definidas pelo estado externo e pelo estado do campo luminoso. Portanto, o estadointerno nao tem dinamica separada, e podemos eliminar adiabaticamente os graus de liberdadeinternas. Para a coerencia atomica resolvemos as equacoes de Bloch para t→∞ [ver Eq. (3.103)]

〈σ〉 = ρeg =4g(∆ + iΓ)

4∆2a + 2Ω2 + Γ2

(eikx〈a+〉+ e−ikx〈a−〉

). (7.80)

Ω(x) = g(eikx〈a+〉+ e−ikx〈a−〉

)e a frequencia de Rabi dependente da posicao dentro da onda

estacionaria. Inserindo na equacao de Heisenberg para os campos da, com ∆a Γ

〈a+〉 = (−κ+ i∆c)〈a+〉 −ig2

∆a

(eikx〈a+〉+ e−ikx〈a−〉

)e−ikx + η+ . (7.81)

Agora definimos o dessintonia causada por apenas um foton, U0 = g2/∆a, e substituımos osvalores esperados por campos classicos

α± = (−κ+ i∆c − iU0)α± − iU0e−2ikxα∓ + η± . (7.82)

Lembrando-se que α∗±α± e o numero de fotons no modo respectivo, podemos interpretar essaequacao como equacao de taxas: O numero de fotons num modo α+ muda-se por perdas defotons no ressonador κ, ou por afastamento atraves de retroespalhamento a partir do modocontrapropagante α−, ou por afastamento atraves de um campo de luz externo incidente η+.

O atomo ficando na posicao z sente o potencial classico da onda luminosa estacionaria e,portanto, a forca dipolar

F = −∇φ (7.83)

= −~U0∇Z=z|α+eikZ + α−e

−ikZ |2 .

Por consequencia, a dinamica do espalhador e dada por

mz = −2i~kU0

(α+α

∗−e

2ikz − α∗+α−e−2ikz). (7.84)

As equacoes (7.82) e (7.84) descrever juntos completamente o nosso sistema acoplado atomo-cavidade. Elas sao totalmente classicas e funcionam tanto para atomos como partıculas ma-croscopicas.

7.4.3.3 Simulacoes

E possıvel simular as trajetorias do sistema iterativamente (simulacoes de Monte-Carlo oumetodo de Runge-Kutta). Para isso colocamos os valores instantaneas das amplitudes doscampos e das posicoes atomicas no novo como condicoes de inıcio nas equacoes de movimento.

α±(t+ dt) = α± + α±dt = α± + dt(−κα± − iU0α−

∑je−2ikzj + η+

)(7.85)

x(t+ dt) = x+ xdt = x+ dt (p/m)

p(t+ dt) = p+ pdt = p+ dt F .


7.4.3.4 Interpretacao da dinamica

Solucoes analıticas somente existem em casos particulares. No entanto, elas permitem um en-tendimento melhor da dinamica. Por isso, vamos considerar alguns casos limites. Por exemplo,o que acontece com o modo sonda α−, se colocamos uma amostra de atomos dentro de umacavidade somente bombeada em uma direcao? Nada! O impacto de espalhadores distribuıdos demaneira homogenea se cancela, pois as fases dos fotons espalhados aleatoriamente se cancelampor interferencia destrutiva. A generalizacao das equacoes fundamentais para alguns atomos e

α+ = −κα+ − iU0e−2ikz1α− − iU0e

−2ikz2α− + η+ (7.86)

α− = −κα− − iU0e2ikz1α+ − iU0e

2ikz2α+.

As equacoes desacoplam para e−2ikz1 = e−2ikz2−iπ. Somente, se tem bunching, isto e,

b =∑

je−2ikzj 6= 0 , (7.87)

acontece espalhamento no modo contrapropagante, e uma onda estacionaria se desenvolve. Osatomos se acumulam nas barrigas da onda estacionaria, aumenta o contraste dela o podemespalhar mais eficientemente de maneira coletiva (espalhamento de Bragg), etc.. O processo seamplifica sozinho. Uma das assinaturas do CARL e, portanto, uma Anschwingen exponencialdo modo contrapropagante, acompanhado por um auto-bunching cada vez mais acentuado.

Para achar a fase da onda estacionaria, supomos para mais simplicidade, que o modo α+

seja estavel, α+ = 0. Tambem, consideramos um espalhador fixo numa posicao Z, e olhamos nasolucao estacionaria

0 = −κα− − iU0e2ikzα+ . (7.88)

Das fuhrt zu

|α+eikZ + α−e

−ikZ |2 =

∣∣∣∣α+eikZ − iU0

κe−ikZ+2ikzα+

∣∣∣∣2 ∼ 1 +U2

0

κ2+

2U0

κsin 2k (z − Z) . (7.89)

A pente da onda estacionaria e justamente onde o senus desaparece, isto e, Zpente = z. Portanto,o espalhador se localiza justamente no meio da pente da onda estacionaria, que ele mesmoproduziu. Os atomos sao acelerados para a vale, isto e, na mesma direcao como o vetor de ondada onda de bombeamento. Depois, a onda estacionaria tenta de novo de se regenerar no lugardo espalhador. Isso significa, que a onda deve continuamente ajustar a sua fase com os atomosacelerados. Os atomos ficam continuamente na pente, etc.. Isto e, o CARL comeca correr 4.

7.4.3.5 Derivacao classica das equacoes fundamentais

Consideramos um ressonador anular com um espelho de acoplamento (rin, tin) e um espalhadorlocalizado dentro do volume do modo do ressonador (rβ, tβ) = (iβ, 1 + iβ), tal que r2

β + t2β = 1.O espalhador representa o retroespalhamento de fotons entre os modos contrapropagantes doressonador pelos atomos. O campo Ein incidente produz, na cavidade, amplitudes do campo α±para a onda co- e contrapropagantes. As amplitudes sao normalizadas pelos numeros de fotonsn± ≡ |α±|2,

E(Z, t) = E+(Z, t) + E−(Z, t) (7.90)

= E1α+(t)eikZ + E1α−(t)e−ikZ .

4Representacoes de simulacoes numericas pode ser contempladas aqui:http://www.ifsc.usp.br/∼strontium/ → Research → Quantum Sensing → Children’s corner.


Depois de uma volta τ atraves do volume do modo temos na posicao do espelho de acoplamentoo campo (δ = 1/τ e o regime espectral livre (fsr) em frequencias verdadeiras)

α+(t+ τ) = rin(1 + iβ)eikLα+(t) + iβr2ine

2ikL−2ikzα−(t) + tinαin+ (t) (7.91)

α−(t+ τ) = rin(1 + iβ)eikLα−(t) + iβe2ikzα+(t) + tin(1 + iβ)eikLαin− (t) .

L e o comprimento total da cavidade anular. Obviamente temos kL = ω/δ. Na proximidadede um ressonancia temos, ∆c δ, e a grandeza ω/δ e quase inteira, ω ≈ 2πnδ − ∆c, tal quepodemos expandir o exponencial, eikL = 1− i∆c/δ. Assim, obtemos,

τα+ = −[1− rin(1 + iβ)eikL

]α+ + iβr2

ine−2ikzα− + tinα

in+ (7.92)

τα− = −[1− rin (1 + iβ) eikL

]α− + iβe2ikzα+ + tin(1 + iβ)αin−

Agora, conectamos a transmissao do espelho de acoplamento tin com a constante de decaimentoκ, assumindo que a luz so pode sair da cavidade atraves deste espelho. Definimos,

κ ≡ T

τ(7.93)

como a parte da luz perdida por volta. Assim vale t2in =√T ≈

√π/F =

√κ/δ. Alem disso, tin

e muito pequeno, tal que

t2in = 1− r2in ≈ 2(1− rin) . (7.94)

Assim, o primeiro fator fica,

δ[1− rin(1 + iβ)eikL

]≈ δ− δ(1− t2in/2)(1 + iβ)(1 + i∆c/δ) ≈ κ/2 + iβ− i∆c ≈ −κ/2 . (7.95)

Ele da as perdas da cavidade por volta para os dois modos. Supomos aqui que perdas so podemacontecer no espelho de acoplamento. No entanto, podemos mostrar tambem, que todas asperdas podem ser incluıdas num κ apropriado. Geralmente existem outras perdas devido aespalhamento na superfıcie dos espelhos ou a absorcao pelos atomos. Finalmente, obtemos parareflexao atomica fraca e em ressonancia, isto e, para β κ e ∆c = 0 o sistema de equacoes,

α+ = −κα+ + iδβ(1− t2in)e−2ikzα− +√κδαin+ (7.96)

α− = −κα− + iδβe2ikzα+ + (1 + iβ)√κδαin−

Para calcula e o valor de β precisamos do coeficiente de reflexao de um atomo. Ele depende dapolarizabilidade,

rβ =k

πw2

αpolε0

(=

σ0

πw2

Γ

2∆a

). (7.97)

O potencial optico ao qual o atomo esta exposto e,

φ =I

2c

αpolε0

, (7.98)

onde escrevemos a intensidade da luz como,

I = 2ε0cE21 |α+e

ikZ + α−e−ikZ | . (7.99)


Normalizamos mais uma vez para o campo gerado por um foton,E1 =√~ω/2ε0Vm com o volume

do modo, Vm = π2Lw

2. Do outro lado, o potencial pode ser determinado diretamente atravesda frequencia de Rabi,

φ(R) =~Ω(R)2

4∆a, (7.100)

A frequencia de Rabi Ω(R)2 = 4g2|α+eikZ + α−e

−ikZ |2 e normalizada para a frequencia deRabi gerado por um foton g. Introduzindo o deslocamento de frequencia (light shift) por foton,

U0 = g2

∆a, tambem podemos escrever,

φ(R) = ~U0|α+eikZ + α−e

−ikZ |2 . (7.101)

Um comparacao das equacoes de cima obtemos,

rβ =iU0

δ. (7.102)

Com um atomo no ressonador, temos

β =iU0

δ. (7.103)

Agora definimos convenientemente η± =√κδαin± e supomos, que vale tin 1, rβ 1 e β 1.

Isso finalmente leva ao resultado,

α± = −κα± − iU0e∓2ikzα∓ + η± . (7.104)

7.4.3.6 Solucoes analıticas

Quando so um atomo esta na cavidade ou quando os atomos sao perfeitamente agrupados,e possıvel derivar solucoes analıticas. Bombeamos a cavidade por um lado em ressonancia.As equacoes CARL (7.86) e (7.84) para este caso ficam usando α+ = η/κ com a abreviacaoε = ~k2/m

α− = −κα− − iU0α+e2ikx (7.105)

kv = 2εiU0α+(α−e−2ikx − α∗−e2ikx) .

Com o ansatz α− ≡ βe2ikx onde β = 0 supomos, que os atomos e a onda estacionaria tem amesma velocidade, isto e, andam em fase. Obtemos como solucao,

β = −iNU0α+

κ+2ikv (7.106)

kv = 4εNU20α

2+

2κκ2+4k2v2

.

Se κ 2kv, entao a equacao diferencial e aproximadamente resolvida por

(kv)3 = 3εκNU20α

2+t , (7.107)

Isso significa, que a frequencia CARL, isto e, a diferenca de frequencia da onda prova emitida arespeito da luz incidente, aumenta temporalmente. A frequencia corresponde a duplo desloca-mento Doppler. Como a frequencia da prova se afasta gradualmente da ressonancia da cavidade,ela rapidamente para de ser amplificada, e a amplitude da prova diminui: O CARL e so umfenomeno transitorio.

7.5. INTERACAO DA LUZ COM SUPERFICIES 119

7.4.3.7 Friccao

No entanto, e possıvel forcar um comportamento estacionario atraves de um friccao adicionalpara os atomos. Uma tal friccao pode ser realizada por molacas opticas. Com o coeficiente defriccao γfric adicionamos o termo seguinte na balanca das forcas (7.105),

α− = −κα− − iU0α+e2ikx (7.108)

kv = 2εiU0α+(α−e−2ikx − α∗−e2ikx)− γfricv .

O equilıbrio das forcas acontece para uma velocidade bem definida, o que corresponde no mesmotempo a uma frequencia bem definida do CARL. Os atomos sao transportados com uma velo-cidade constante. Sob a suposicao, kv = 0, isto e, uma velocidade constante da onda CARL edos atomos obtemos para κ 2kv,

α− ≡ βe2ikx = −iNU0α+

κ+2ikv e2ikx (7.109)

(kv)3 =εκNU2

0α2+

γfric.

A frequencia do CARL e, portanto, quanto maior que a friccao e menor e quanto menor e adessintonizacao a respeito da transicao atomica, (∆a = g2/U0).

7.4.3.8 Aquecimento

Molacas opticas obviamente tambem tem um limite de resfriamento vindo do espalhamentoaleatorio de fotons. Em consequencia, os atomos seguem uma trajetoria aleatoria random walkno espaco de momento, o que leva a difusao e aquecimento dos atomos e piora o agrupamentodos atomos. Tambem acontece, que um agrupamento mınimo e necessario para inicializar oCARL. Portanto, existe um comportamento de limiar como funcao da temperatura de equılibrioda molaca,

α− = −κα− − iU0α+e2ikx , (7.110)

kv = 2εiU0α+(α−e−2ikx − α∗−e2ikx)− γfrickv + ξ(t) ,

onde 〈ξ∗(t)ξ(t + τ)〉 = δ(τ). A equacao corresponde a uma equacao de Langevin. O termoestocastico descreve ruıdo branco. Podemos simular esta equacao por um metodo de Runge-Kutta, onde os atomos estao continuamente expostos a mudancas de momento aleatorios.

Para N atomos precisamos resolver 2N + 2 equacoes de Langevin para descrever a dinamicade todos os graus de liberdade. As equacoes de Langevin sao atribuıdas equacoes chamadas deFokker-Planck. Essas descrevem a evolucao temporal da densidade atomica ao longo do eixo x.Com essa equacoes a gente substitui as 2N trajetorias de partıculas individuais por um campoumdimensional P (x, t).

7.4.4 Resfriamento por cavidade

As equacoes dos ressonadores derivadas acima tambem descrevem outros efeitos. Um fenomenointeressante e que em certas condicoes para as sintonias do laser ∆a e ∆c os atomos sao resfriados.Aqui so vamos dar uma imagem qualitativa do processo de resfriamento.

7.5 Interacao da luz com superfıcies

ondas evanescentes, excitacoes plasmonicas


7.6 Exercıcios

7.6.1 Teorias classicas da interacao de luz com materia

7.6.1.1 Ex: Modelo de Lorentz

Baseado no modelo de Lorentz, estabelece a equacao diferencial para a amplitude de oscilacaodos eletrons e calcule a resposta da materia como polarizacao P = Nex, onde N e o numero deeletrons e x as suas desvios.Calcule as partes absortivas Im χ e dispersivas Re χ da susceptibilidade χ ≡ P/ε0E .Calculo com isso o ındice de refracao n e o coeficiente de absorcao α no modelo de Lorentz.

7.6.2 Equacao mestre

7.6.3 Espalhamento por amostras de atomos

7.6.4 Instabilidades na interacao luz-materia

7.6.5 Interacao da luz com superfıcies

Referencias Bibliograficas[1] R. Alicki, The markov master equations and the fermi golden rule, International Journal of

Theoretical Physics (1977).

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[10] J. Weiner and P.-T. Ho, Light-matter interaction, fundamentals and applications, JohnWiley & Sons, Hokoken, New Jersey, 2003.

121

Indice Remissivo.

superradiancia de onda de materia, 113

Airyformula de, 92

alargamento homogeneo, 45alargamento inhomogeneo, 46alargamento por potencia, 43aniquilacao

operador de, 59aproximacao da onda rotatoria, 38

Biot-Savartlei de, 57

Blochequacoes opticas de, 36vetor de, 40

Boltzmannfator de, 7

calibre, 56campo, 89campo afastado, 87campo proximo, 87, 89CARL, 113catastrofia ultravioleta, 6cavidade confocal, 93centro-de-massa, 79coeficiente de absorcao, 10coeficientes de Einstein, 8coerencia, 37colisao

taxa de, 44colisao elastica, 44completeza

relacao de, 30Compton

espalhamento de, 99Condon

ponto de, 78constante dieletrica, 9Coulomb

calibre de, 56lei de, 57

criacaooperador de, 59

cruzamento evitado, 78

densidade de energia, 4densidade de modos, 6densidade espectral de modos, 6desviacao padrao, 46difracao, 88diodo optico, 93dipolar

aproximacao, 17divisor de feixe, 93Doppler

alargamento, 46deslocamento, 46resfriamento, 72

Drudemodelo de, 102

eco de fotons, 41efetivo

hamiltoniano, 68eletron

raio classico do, 101eletrons livres

lasers de, 113entropy, 29

information, 29Renyi, 29

estado puro, 28extincao

coeficiente de, 10

Fabry-Perotcavidade, 92

fasefrente de, 83velocidade de, 83

FEL, 113fluxo da energia eletromagnetica, 4Fock

estado de, 55forca de oscilador para absorcao, 21forca de oscilador para emissao, 21forca de pressao radiativa, 72fotoassociacao, 77Franck-Condon

122

INDICE REMISSIVO 123

transicao de , 79Fraunhofer

difracao de, 89Fresnel

difracao de, 89integral de, 87numero de, 89

gradiente dipolarforca de, 71, 72, 105

Greenfuncao de, 86

Grotiandiagrama de, 39

helicidade, 93hermite-gaussiano

feixe, 104Huygens

princıpio de, 87

impedancia do espaco livre, 5intensidade, 5intervalo espectral livre, 92isolador optico, 93

Jaynes-Cummingsmodelo de, 64

Jonesmatriz de, 93

kernel, 86

lamina λ/2, 93lamina λ/4, 93Lambert-Beer

lei de , 13Landau-Zener

formula de, 78Langevin

equacao de, 119Lindbladt

operador de, 47Liouville

equacao de, 35operador de, 35

Lorentzmodelo de, 21, 100, 102

Markov

aproximacao de, 67Monte-Carlo da funcao de onda

simulacao quantica de, 68

nucleo duroaproximacao do, 45

numerooperador de, 59, 60

numero de fotonsestado de, 55

nao-observacao, 68nutacao, 40

ondafrente da, 83

onda escalarequacao de, 83

onda rotatoriaaproximacao da, 18

optica atomica, 39

paraxialaproximacao, 85equacao de onda, 89

Paulimatrices de spin de, 39

permeabilidade, 4permitividade, 4piao, 40Planck

constante de, 7polarisador, 94polarizacao, 93polarizabilidade eletrica, 100ponderomotiva

forca, 113populacao, 37Poynting

vetor de, 4precessao, 40pressao radiativa

forca de, 71, 106propagador, 86pure state, 29purity, 29

quantizacaoprimeira, 39

Rabi

124 INDICE REMISSIVO

frequencia de, 47

Rabi generalizada

frequencia de, 38

radiacao do corpo negro, 6

raio de colisao, 44

random walk, 119

Rayleigh

comprimento de, 89

espalhamento de, 99

intervalo de, 87

Rayleigh-Jeans

lei de , 6

recuo atomico coletivo

laser por, 113

reducao do estado, 68

refracao

ındice de, 10

representacao de Schrodinger, 38

resposta ao impulso, 86

ressonador optico, 92

rotating wave approximation, 18, 66

rotor rıgido, 40

salto quantico, 68

saturacao

intensidade de, 43

parametro de, 43

shot-noise

ruıdo de, 95

statistical mixture, 30

statistical operator, 28

Stefan-Boltzmann

lei de, 14

superoperador, 35

superradiancia, 41

susceptibilidade, 9

Thomas-Reiche-Kuhn

regra de adicao de, 22

Thomson

espalhamento de, 99

secao de choque de, 101

traco de um operador, 31

transferencia

matriz de, 91

transformacao de, 56

undulador, 113

van der Waalspotencial de, 78

velocidade da luz, 4velocidade de fase, 84vestido

estado, 55, 63vetor de Bloch generalizado, 48vetor de onda, 4, 83Voigt

perfil de, 46von Neumann

equacao de, 35

Weisskopf-Wigneransatz de, 47

Wienlei de deslocamento de, 14

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