■ 1

Inproduct, determinant en uitproduct

In het vlak betekent loodrecht Vectoren zijn vet gedrukt.

Er is een orthonormale basis gekozen: (e1, e2)

a=(a1,a2) betekent: a=a1e1+a2e2

Soms worden vectoren van pijltjes voorzien: a

in plaats

van a. Dit gebeurt met name bij handgeschreven tekst.

Oude koeien

Meer dan Pythagoras

a2+b

2=c

2 als =90

a2+b

2<c

2 als >90

a2+b

2>c

2 als <90

Uit de tweede klas weten we:

De lengte van een vector

De lengte van(a1,a2) is: 22

21 aa

De lengte van a noteren we met a.

1 a en b zijn vectoren. a=(a1,a2) en b=(b1,b2). De hoek

tussen a en b noemen we . Toon aan:

a1b1+a2b2=0 als =90

a1b1+a2b2>0 als >90

a1b1+a2b2<0 als <90

Uit opgave 1 is duidelijk dat a1b1+a2b2 iets over de

hoek tussen de vectoren a en b zegt. In het volgende gaan we daar nader op in.

We schrijven in het vervolg kort: ab voor a1b1+a2b2

en noemen dit het inproduct van a en b.

ab wordt uitgesproken als “a in b” of “a inproduct b”.

B A

C

a b

c

Definitie

Het inproduct van a en b is: a1b1+a2b2.

We noteren het inproduct van a en b met ab.

Dus: ab= a1b1+a2b2.

a

b

■ 2

In opgave 1 heb je het volgende gezien.

2 p=(4,-5). De vector q heeft zijn eindpunt op de lijn y=10.

Er geldt: p q.

Bereken de kentallen van q.

3 Laat bovenstaande zien.

Natuurlijk geldt ook:

5. (a+b)c=ac+bc

6. k(ab)=a(kb)

Vanwege de eigenschappen 2, 3, 5, en 6 zeggen we dat

het inproduct bilineair is.

4 De vector n staat loodrecht op lijn k en a en b zijn vectoren met eindpunt op k.

a. Toon aan: an= bn

b. Toon aan:

xn=an x heeft zijn eindpunt op k.

5 Zie het plaatje hiernaast:

n=(2,4), A en B zijn roosterpunten.

a. Geef de kentallen van de vectoren a en b.

b. Teken de lijnen k door A en m door B loodrecht op n.

c. Toon aan: (x,y) op k 2x+4y=6 Schrijf ook zoiets op voor (x,y) op m.

Als a 0 en b 0, dan ab=0 a b

Eigenschappen van het inproduct

Voor alle getallen k en vectoren a, b en c geldt:

1. ab=ba

2. a(b+c)=ab+ac

3. k(ab)=(ka)b

4. aa=a2

-4 -2 0 2

4

2

n

b

a

B

A

x-as

y-as

a

b

k O

H n

■ 3

6

In deze opgave bekijken we het verband tussen het inproduct van twee vectoren en de hoek die ze met elkaar maken preciezer.

De vectoren a en b maken een hoek met elkaar. We

onderscheiden twee gevallen: 0< 90 (het linker

plaatje) en >90 (rechter plaatje).

k is de lijn door het eindpunt van A loodrecht op b.

Hierbij maken we de vector n: hij heeft zijn eindpunt op k en staat loodrecht op lijn k . De vector b is een veelvoud van n, zeg b=kn. In het

linker plaatje is k>0, in het rechter plaatje is k<0.

a. Toon aan: bn= bn als k>0 en bn=-bn als

k<0. Er geldt: nb=ab

b. Waarom?

c. Laat zien dat zowel voor het geval dat scherp als

voor het geval stomp is geldt:

ab= abcos. Het inproduct is dus een uitstekend instrument om hoeken tussen vectoren te berekenen.

7 Zie opgave 5.

Bereken met het inproduct AOB in graden nauwkeurig.

k

O

n a

b

k

O

a n

b

Stelling 1

Als a 0 en b 0, dan ab=abcos, waarbij

de hoek tussen de vectoren a en b is.

a

b

■ 4

8 Er geldt: a–b2=( a–b) ( a–b)

a. Laat met behulp van de bilineariteit van het inproduct zien dat hieruit volgt:

a–b2= a

2+b

2–2abcos

b. Ga na dat je in a de cosinusregel bewezen hebt.

9 In het rooster zijn de punten A(0,3), B(3,2) en C((-2,-3) getekend. De vector (3,-1) heeft dezelfde richting als lijn AB.

a. Laat met het inproduct zien dat de vector (1,3) loodrecht op (3,-1) staat.

b. Geef een vector die dezelfde richting als lijn BC heeft en ook een vector die daar loodrecht op staat.

c. Geef een vector die dezelfde richting als lijn AC heeft en ook een vector die daar loodrecht op staat.

een vergelijking van een lijn opstellen

Neem de lijn door A en B in opgave 9.

In die opgave heb je gezien dat de vector n=(1,3)

loodrecht op lijn AB staat. Laat a de vector (0,3) zijn. Dan geldt:

x=(x,y) heet zijn eindpunt op lijn AB nx=na, zie

opgave 4b.

Dus (x,y) ligt op lijn AB 1x+3y=10+33

x+3y=9.

10 Geef een vergelijking van lijn BC en ook van lijn AC op de manier van hierboven.

Je kunt dus ook zo te werk gaan om een vergelijking van een lijn op te stellen. (We geven een voorbeeld).

A is (3,4) en B(7,-1), dan is de vector v die A naar B

verschuift: v=(4,-5),dus n=(5,4) is een normaalvector

van lijn AB, dus een vergelijking is: 5x+4y=c,voor een of ander getal c. Omdat (3,4) aan de vergelijking moet voldoen geldt:

c=53+44=31, dus een vergelijking van lijn AB is:

5x+4y=31

a

b

a–b

-4 -2 0 2 4

3

1

-1

-3

y-as

x-as

A B

C

Een vector (ongelijk aan de nulvector) die loodrecht

op een lijn staat noemen we een normaalvector van die lijn.

■ 5

11 Gegeven is de lijn k met vergelijking 2x+3y=7 en het punt A(2,5).

a. Geef een normaalvector van de lijn en een vector in de richting van de lijn.

b. Geef een vergelijking van de lijn door A loodrecht op k.

c. Geef een vergelijking van de lijn door A evenwijdig aan k.

12 De afstand van een punt tot een lijn

In het plaatje hieronder ligt A op lijn k en n is een normaalvector van k. We willen de afstand van P tot lijn k bepalen.

De projectie van p–a op de loodlijn van k door O

noemen we d. De hoek tussen d en p–a noemen we .

a. Ga na dat d de afstand van P tot lijn k is.

In het getekende geval is d= p–acos, maar als

90<<180, geldt natuurlijk: d= p–acos,

Volgens stelling 1 is dan: d= p–acos=

p–a(p–a)n/(p–an)=(p–a)n/n

Een lijn met vergelijking ax+by=c heeft normaal-vector (a,b).

p

a

n

P

A k

O

p-a

d

■ 6

Voorbeeld

k heeft vergelijking 3x+4y–17=0 en P is het punt (7,9). Een normaalvector van k is (3,4). Welk punt we ook kiezen op k, het inproduct met (3,4) is 17. Ga dat na.

(3,4)| = 543 22 .

De afstand van P tot k is:

85

40

43

179473

22

We kunnen nu stelling 2 ook als volgt opschrijven.

Stelling 2

Een punt A met positievector a ligt op lijn k en n is een normaalvector van k. De afstand van een punt P tot k is:

n

nanp

n

nap

)(

k is een lijn met vergelijking ax+by=c.

De afstand van P(p,q) tot k is: 22 ba

cbqap

■ 7

Determinanten

Een vectorpaar (a, b) heet positief georiënteerd als de

kleinste hoek waarover a naar b gedraaid kan worden tegen de wijzers van de klok ingaat; Anders is het

negatief georiënteerd.

Met het parallellogram bepaald door de vectoren a en b bedoelen we de vierhoek met hoekpunten O, en de

eindpunten van a, b en a+b.

We noteren de determinant van het vectorpaar (a,b) met

det(a,b).

13 Wat kun je zeggen over het verband tussen det(a,b) en:

a. det(b,a)

b. det(2a,b).

c. det(-3a,2b).

a

b

positief georiënteerd

a

b

negatief georiënteerd

Definitie

De determinant van het vectorpaar (a, b) is:

de oppervlakte van het parallellogram bepaald door

de vectoren a en b als (a,b) positief georiënteerd is.

het tegengestelde van de oppervlakte van het

parallellogram bepaald door de vectoren a en b als

(a,b) negatief georiënteerd is.

0 als a en b afhankelijk zijn of als a=0 of b=0.

parallellogram

bepaald door a en b

a

b

■ 8

14 Zie plaatje.

Bereken det(a,b), det(c,d) en det(e,f).

15 Laat met het plaatje zien:

det(a,b+c)= det(a,b)+ det(a,c).

Omdat det(x,y)=-det(y,x) geldt natuurlijk ook:

det(a+c,b)= det(a,b)+ det(c,b).

16 Bekijk het plaatje hiernaast. De vectoren a, b en a+b zijn loodrecht geprojecteerd op een lijn m. Hun projecties

zijn a', b' en (a+b)'.

a. Laat zien dat: (a+b)'=a'+b'.

b. Teken soortgelijke plaatjes om te laten zien dat

(-2a)'=-2a' en (1½a)'=1½a'.

a b c

d

e

f

det is bilineair, dat wil zeggen:

Voor alle vectoren a, b en c en alle getallen k geldt: det(ka,b)= det(a,kb)=k det(a,b) det(a,b+c)= det(a,b)+ det(a,c) det(a+c,b)= det(a,b)+ det(c,b).

a

a+b

b

m a'

(a+b)' b'

O

De projectie van vectoren op een lijn door O is

lineair, dat wil zeggen:

voor alle vectoren a en b en alle getallen k geldt

(a+b)'=a'+b'

(ka)'=ka'.

Hierbij wordt de projectie van een vector x

aangegeven met x'.

a

b

b+c

c

■ 9

17 Het feit dat det bilineair is, volgt ook uit het lineair zijn projecteren.

Als x' de projectie voorstelt van x op de lijn loodrecht

door a, dan

det(a,b+c)= a(b+c)'

det(a,b)=ab'

det(a,c)= ac'

als (a, b), (a,c) en (a, b+c) positief georiënteerd zijn zoals in het plaatje hiernaast.

18 (e1, e2) is een orthonormale basis, positief georiënteerd

a. Wat is det(e1, e2), det(e1, e1), det(e2, e1),

en det(e2, e2)?

b. Laat met behulp van de bilineariteit van det zien dat

det(a,b)=a1b2–a2b1.

19 Als a en b beide niet 0 zijn, dan zijn ze een veelvoud van

elkaar dan en alleen dan als a1b2–a2b1=0.

a. Toon dat aan.

k heeft vergelijking ax+by=c en m heeft vergelijking

px+qy=r.

b. Welk verband is er tussen p,q,a en b als k en kl evenwijdig zijn?

20 Gegeven zijn de punten A(1,1), B(7,11) en C(50,60).

a. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC met behulp van een determinant. Gegeven: P(p1,p2), Q(q1,q2) en R(r1,r2).

b. Druk de oppervlakte van driehoek PQR in p1,p2, q1,q2, r1 en r2 uit.

21 De vectoren e en a liggen op dezelfde lijn door O.

De lengte van e is 1 en de lengte van a is 3.

Er zijn twee mogelijke uitkomsten voor ea Wat zijn die mogelijkheden en wanneer?

a

b

b+c

c

m

■ 10

De ruimte in We ontwikkelen een soortgelijk instrumentarium in de ruimte.

Er is een orthonormale basis gekozen: (e1, e2, e3)

a=(a1,a2,a3) betekent: a=a1e1+a2e2+a3e3 Veel gaat net zo als in het platte vlak.

Meer dan Pythagoras geldt ook in de ruimte:

a2+b

2=c

2 als =90

a2+b

2<c

2 als >90

a2+b

2>c

2 als <90

Uit de tweede klas weten we:

De lengte van een vector

De lengte van(a1,a2,a3) is: 23

22

21 aaa

De lengte van a noteren we met a.

1 a en b zijn vectoren. De hoek tussen a en b noemen we

. (Het gaat net zo als in het platte vlak) Toon aan:

a1b1+a2b2+a3b3=0 als =90

a1b1+a2b2+a3b3<0 als >90

a1b1+a2b2+a3b3>0 als <90

Uit opgave 1 is duidelijk dat a1b1+a2b2+a3b3iets

over de hoek tussen de vectoren a en b zegt. In het volgende gaan we daar nader op in.

We schrijven in het vervolg kort: ab voor

a1b1+a2b2+a3b3 en noemen dit het inproduct van a

en b.

Definitie

Het inproduct van a en b is: a1b1+a2b2+a3b3.

We noteren het inproduct van a en b met ab.

Dus: ab= a1b1+a2b2+a3b3.

a

b

B A

C

a b

c

g

■ 11

A B

C O

H G

E F

M

2 ABCD.EFGH is een kubus. M is het midden van BF.

a. Teken drie vectoren door O die loodrecht op lijn OH staan.

b. Teken drie vectoren door O die loodrecht op de

vector a, zie plaatje staan. Je kunt met het inproduct controleren of je het goed gedaan hebt.

c. Doe dat. Neem (bijvoorbeeld) 4 als ribbe. Er moet wat gedaan worden aan loodrechte stand op een vector

3 OABC.EFGH is een kubus met ribbe 4.

a. Toon met behulp van het inproduct aan dat lijn OF loodrecht op de lijnen EB en BG staat.

Dus staat lijn OF loodrecht op vlak EBG.

M is het midden van ribbe BF. De vector (x, y,1) staat loodrecht op vlak AMC.

b. Bereken x en y.

4 Laat bovenstaande zien. Het werkt net zo als in het vlak. Met het inproduct kun je vaststellen of twee vectoren loodrecht op elkaar staan of niet.

5 Wij laten zien dat deze uitspraak klopt.

a. Overtuig je ervan dat de stelling van Pythagoras voor

de door vectoren a en b opgespannen driehoek alleen

maar geldt als de twee vectoren a en b loodrecht op elkaar staan.

Eigenschappen van het inproduct

Voor alle getallen k en vectoren a, b en c geldt:

ab=ba

a(b+c)=ab+ac

k(ab)=(ka)b

aa=a2

A B

C O

H G

E F

M a

Loodrecht of niet?

Voor alle vectoren a, b geldt:

ab=0 a en b staan loodrecht op elkaar.

■ 12

v

u

u-v

b. Gebruik de stelling van Pythagoras voor de driehoek

uit a., d.w.z. |a|2 +|b|

2=|a-b|

2 om te laten zien dat het

inproduct van twee vectoren precies verdwijnt als de vectoren loodrecht op elkaar staan.

Projectie op een vector

Het inproduct is zeer geschikt om de projectie van een

vector u op een vector v te berekenen.

Uit de tekening hiernaast blijkt dat er een op v loodrechte

vector van de vorm u-v is. Het getal bepaal je nu door

te eisen dat deze vector loodrecht staat op v, d.w.z.

(u-v) v = 0. Dit houdt in dat uv = vv = |v|2.

Dus = uv / |v|2.

De projectie van een vector u op een vector v wordt dus

gegeven door vuv : met als boven. De vector

vuuv

: staat dan loodrecht op de vector v. De

projectie geeft een decompositie vv uuu van de

vector u in een vector in de richting van v en een vector

loodrecht op v.

6 Zo een projectie kun je concreet berekenen. Soms is het wel handig als je je de meetkunde erbij voorstelt.

a Vul de tabel hieronder zo ver mogelijk verder in en geef aan hoeveel oplossingen er tevens mogelijk zijn.

u v vu v

u

(1, 1, 1) (1, 0, 0) … …

(0, 1, 0) (1, 0, 0) … …

… (2, 4, 6) (1, 2, 3) (8, -1, -2)

(1, 0, 0) (1, 1, 1) … …

(1, 2, 3) (1, 2, 3) … …

(1, 2, 3) … (1, 2, 3) …

b Bewijs dat geldt uv = uvu = uvv.

c De vectoren u en v spannen een parallellogram op. Laat zien dat de oppervlakte daarvan gelijk is aan

222vuvuuvvu

uv

. Deze oppervlakte is

gelijk aan twee keer de oppervlakte van de driehoek die

wordt opgespannen door u en v.

7 a. Bereken met behulp van het inproduct de hoeken

AHF en EMC in de kubus van opgave 3.

■ 13

a b

c

d

c+d

8 Een model van het CH4-molecuul ziet er als volgt uit. Het koolstofatoom zit in het zwaartepunt van een regelmatige tetraëder waarbij de waterstofatomen H1, …, H4 in de hoekpunten zitten. De vier hoeken

HiCHj zijn gelijk en de vier afstanden |CHi| zijn gelijk. De som van de vier vectoren CHi is de nulvector.

a. Hoe groot zijn de hoeken HiCHj ?

7 Veronderstel det(a,b,c)=7.

a. Wat is dan det(b,a,c), det(c,a,b,), det(c,b,a) ?

b. Wat is det(a,3b,c) ? Van de determinant kun je bewijzen:

det(a,b,c+d)=det(a,b,c)+det(a,b,d). Dat kan met plaatjes of ook met de lineariteit van de projectie (net zoals in het vlak). Wellicht heb je nu al zin om het te proberen. Anders gaan we het straks bewijzen met behulp van het zo genaamde uitproduct.

8 Het stelsel (e1, e2, e3) is een positief geörienteerde, orthonormale basis, bijvoorbeeld zoals gebruikelijk.

a. Bereken det(e1, e2, e3) en det(e3, e2, e1) enzovoort.

b. Bereken det(7e1, 6e2, 10e3).

Definitie

Een rijtje van drie vectoren 0 niet in één vlak (a,b,c) is positief georiënteerd als zij een rechtshandig assenstelsel vormen (zie links). Anders noemen wij

(a,b,c) negatief georiënteerd.

Als (a,b,c) positief georiënteerd is, bedoelen we met

det(a,b,c) de inhoud van het parallellepipedum op

(a,b,c) Voor negatief georiënteerd (a,b,c) is det(a,b,c) het tegengestelde van het parallellepipedum op

(a,b,c).

Als de vectoren a,b,c in één vlak liggen, dan definiëren

we det(a,b,c)=0

a

, b

en ba

vormen een

zogenaamd rechtshandig assenstelsel.

a

b

c

a b

c

e1 e2

e3

y-as

z-as

x-as

■ 14

Als a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) en c=(c1,c2,c3), dan

noteren we det(a,b,c)als:

321

321

321

ccc

bbb

aaa

.

Nu volgen opgaven over inhouden.

9 De algemene determinant kunnen we ontleden in determinanten die we al kennen.

a. Laat zien dat een gegeven vector a geschreven kan

worden als a=a1 e1 + a2 e2 + a3 e3.

b. Gegeven

a=a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

b=b1 e1 + b2 e2 + b3 e3

c=c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 Toon aan:

321

321

321

ccc

bbb

aaa

=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2–a3b2c1–a1b3c2–a2b1c3.

c. Is het waar dat geldt:

321

321

321

ccc

bbb

aaa

=

333

222

111

cba

cba

cba

?

Uitproduct In de natuurkunde en techniek kom je vaak situaties tegen waarin grootheden loodrecht op elkaar staan. Bijvoorbeeld in de elektrodynamica wordt hiermee het verband beschreven tussen stroom, magneetveld en kracht dat ten grondslag ligt aan elke motor of dynamo.

Als de richting van de stroom I

loodrecht staat op de

richting van het magneetveld B

dan is de grootte van de

kracht F

gegeven door de eenvoudige formule

FBI

. Als deze grootheden loodrecht op elkaar

staan is dit dus een doodgewoon rechtevenredig verband

tussen I

en F

of tussen B

en F

.

De richting van de kracht F

kan dan bepaald worden door de rechterhand regel: als de duim in de richting van

de stroom I

wijst, de wijsvinger in de richting van het

magneetveld B

dan wijst de middelvinger in de richting

■ 15

van de kracht F

. (goed te onthouden door met de vingers tot drie te tellen en daarbij te zeggen: Ik Ben Fysicus.)

Als echter bijvoorbeeld de stroom I

niet loodrecht door

het magneetveld loopt, dan staat de kracht F

nog wel

loodrecht op I

en B

en de sterkte F

wordt bepaald

door het deel BI

van e vector I

dat wel loodrecht staat

op B

. Voor de sterkte van de kracht geldt dan:

BIFB

. Hetzelfde geldt ook omgekeerd voor het

deel IB

van het magneetveld B

dat loodrecht staat op

I

. Hiervoor geldt eveneens dat de sterkte van de kracht gelijk is aan het product van de sterkte van de stroom keer de sterkte van het deel van het magneetveld dat

loodrecht staat op de stroom. In formule IBFI

.

Wat wij nu graag zouden willen hebben is een formule van waaruit de krachtvector rechtstreeks uit de stroomvector en de magneetveldvector kan worden berekend zodat er met de bovenstaande eigenschappen rekening wordt gehouden. Zo‟n formule is er. Dat is het uitproduct en daarmee kan het bovenstaande worden

geschreven als BIF

. Het uitproduct wordt dus een manier om aan twee

vectoren u

en v

in R3 een derde vector vu

uit R

3 toe

te kennen zodat geldt voor vectoren 0u

en 0v

:

a) vu

staat loodrecht op u

en v

,

b) u

, v

en vu

vormen een rechtshandig

assenstelsel,

c) als u

en v

loodrecht op elkaar staan geldt:

vuvu ,

d) vuvuvuvu

.

10 Bekijk de volgende drie uitspraken. Leg van elke uitspraak uit hoe deze uit de vier hierboven genoemde eigenschappen (a t/m d) voor uitproducten volgt.

a. Als één van de vectoren de nulvector is dan is ook het uitproduct gelijk aan nul.

b. Voor vectoren a

en b

geldt: a

× a

= 0 .

c. Voor vectoren a

en b

geldt: a

× b

= - b

× a

.

■ 16

Hint: Deze eigenschap volgt uit toepassing van de vorige

eigenschap op ( a

+ b

) × ( a

+ b

).

11 Deze regels a) t/m d) hebben gevolgen voor de eigenschappen van het uitproduct. Gegeven twee

vectoren u en v. Wij tonen nu gezamenlijk aan dat voor

de lengte van de vector uv geldt: |uv| = det (u, v).

a. Laat zien dat de oppervlakte van het parallellogram

dat wordt opgespannen door u en v gelijk is aan

u

vu

vuv

vu

.

b. Toon aan dat |det (u, v, uv)| = |uv|2.

De eigenschappen a) tot en met d) maken duidelijk dat

vu

de eenduidig bepaalde vector is waarvoor geldt dat

hij loodrecht staat op het door u

en v

opgespannen

parallellogram, zijn lengte gelijk is aan het oppervlak (zie de opgave hierboven) van dat parallellogram en waarbij

u

, v

en w

georiënteerd zijn volgens de

rechterhandregel.

Definitie: Wij noemen vu

het uit(wendig)product van

de vectoren en spreken dit uit als “u

uit v

”.

Het zo gedefinieerde product voldoet aan een drietal eigenschappen waarvan men zich gemakkelijk van kan

vergewissen. u

en v

zijn hier vectoren en staat voor

een reëel getal.

(i) uvvu

(ii) vuvu

(iii) 2121 uvuvuuv

.

De eigenschappen (i) en (ii) volgen onmiddellijk uit de definitie. Uit deze twee eigenschappen volgt ook dat

0 uu

voor reële getallen λ en μ.

Voor eigenschap (iii) kunnen wij als volgt redeneren (zie figuur 2). Noem E het vlak dat loodrecht staat op vector

v

(die in de figuur 2 naar achteren wijst). De projecties

van u

1 en u

2 op vlak E noemen we w

1 en w

2. De

projectie w

12 van de vector u

1+u

2 op E is gelijk aan

w

1 + w

2. Nu is v

×u

1 de vector in E die loodrecht op

en rechts van 1w

staat (als je kijkt in de richting van v

op

E) Net zo is v

×u

2 de vector die loodrecht op en rechts

van 2w

staat. Tenslotte is v

×(u

1+u

2) de vector die

loodrecht op en rechts van 12w

staat. De lengtes van

u

2

u

1

v

E

v×u2

v×u1

v

u2 u1

2121 uvuvuuv

■ 17

v

×u

1, v

×u

2 en v

×(u

1+u

2) zijn gelijk aan | v

| keer

de lengtes van respectievelijk w

1, w

2 en w

12. Dit alles

leidt tot het inzicht dat: 2121 uvuvuuv

.

Hier de uitspraak en het bovenste bewijs nogmaals in detail.

Stelling: Voor het uitproduct geldt:

v(u

1+ u

2) = v

u

1 + v

u

2.

Bewijs: Kies λ1 en λ2 zo dat (u

1+λ1 v

) v

en

(u

2+λ2 v

) v

. Dan is ook (u

1+ u

2 + (λ1+λ2) v

) v

.

Uit eigenschap d) volgt dat je mag veronderstellen dat in

v (u

1+u

2) = v

u

1 + vu

2 de vectoren u

1, u

2 en

u

1+u

2 loodrecht op v

staan. Bekijk de situatie in de

richting van v

(in de tekening wijst v

het papier in). Het

parallellogram opgespannen door vu

1 en vu

2

ontstaat uit het parallellogram opgespannen door u

1 en

u

2 door het een kwartslag met de klok mee te draaien

en te vermenigvuldigen met factor | v

|. De diagonaal

u

1+u

2 gaat daarbij over in de diagonaal v(u

1+u

2).

Hieruit volgt dat | v u

1+ v

u

2| = | v

| |u

1+u

2|. De

richting en zin van vu

1+ vu

2 en v(u

1+u

2) zijn

ook gelijk. Dus geldt: vu

1+ vu

2 = v(u

1+u

2).

Q.e.d.

12 Bekijk het bovenstaande bewijs regel voor regel en probeer de redenering te volgen. Neem hiervoor de tijd. Als je vastloopt, formuleer dan een vraag voor je buurman/vrouw of je docent.

13 x=(x1,x2,x3).

Je kunt det(a,b,x)schrijven als: x1+ x2+ x3.

a. Wat moet er op de invulstrepen staan? Als je het goed gedaan hebt, vind je

op de eerste plaats: a2b3–a3b2

op de tweede plaats: a3b1– a1b3

op de derde plaats: a1b2– a2b1.

De vector v= (a2b3–a3b2, a3b1– a1b3, a1b2– a2b1)

onstaat dus uit de vectoren a en b. Er geldt dus

det(a,b,x)=vx.

b. Laat zien dat hieruit volgt dat v loodrecht staat op a

en op b.

u

2

u

1

vu

2

vu

1

X v

v

■ 18

c. Beredeneer dat a, b en v een rechtshandig stelsel

vormen door het inproduct van v met x=ab te berekenen.

d. Toon aan dat als a en op b loodrecht op elkaar staan

geldt: |v|=|a||b|.

e. Laat zien dat det(a,b,x)= det(a,ba ,x)=vx. Met de opgave hierboven hebben we laten zien dat deze

vector v niets anders is dan het uitproduct ab.

Voor vectoren a en b geldt dus:

ab = (a2b3–a3b2, a3b1– a1b3, a1b2– a2b1)

det(a,b,x)= (ab) x voor alle vectoren x.

Voor de eenheidsvectoren

0

0

1

1e

,

0

1

0

2e

,

1

0

0

3e

zijn de uitproducten gemakkelijk te bepalen: 1e

× 2e

= 3e

en

1e

× 3e

=- 2e

als ook 2e

× 3e

= 1e

.

Daarmee kan elk uitproduct mechanisch worden bepaald. Bijvoorbeeld:

6

5

4

3

2

1

= ( 1e

+2 2e

+3 3e

) (4 1e

+5 2e

+6 3e

)

= 1e4 1e

+ 1e5 2e

+ 1e

6 3e

+ 2 2e

4 1e

+ 2 2e

5 2e

+ 2 2e6 3e

+ 3 3e

4 1e

+ 3 3e

5 2e

+ 3 3e

6 3e

= 0 +5 3e

+ 6 2e

- 8 3e

+ 0 +12 1e

– 12 2e

- 15 1e

= -3 1e

– 6 2e

- 3 1e

=

3

6

3

.

Met deze eenheidsvectoren kunnen algemeen de vectoren

3

2

1

a

a

a

v

en

3

2

1

b

b

b

w

worden geschreven als v

=a1 1e

+a2 2e

+a3 3e

en

w

=b1 1e

+b2 2e

+b3 3e

.

■ 19

14 Gebruik de definitie van het uitproduct en de eigenschappen (i), (ii) en (iii) om de volgende algemene

formule af te leiden voor v

× w

:

3

2

1

3

2

1

b

b

b

a

a

a

=

2121

3131

3232

abba

abba

abba

.

Vuistregel: Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de nevenstaande

determinant, waarin 1e

, 2e

en 3e

de

eenheidsvectoren langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen. Hierbij is een opmerking op zijn plaats: in de determinant komen zowel vectoren als scalairen voor; eigenlijk onzin. We gebruiken deze determinant alleen maar als geheugensteun.

15 Neem nu voor x een vector die lengte 1 heeft en

dezelfde richting heeft als v.

c. Toon aan dat vx=de oppervlakte van het

parallellogram opgespannen door a en b, dus gelijk aan

absin(a,b).

16 Laat zien dat geldt: | ab

| = | a

| |b

| sin θ, waarin

θ de hoek tussen a

en b

is.

De regels a) en b) houden in dat de richting (met zin) van

het uitproduct bepaald wordt door de vector a

naar de

vector b

te draaien alsof men een kurkentrekker

hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het uitproduct bepaalt. Men noemt dit de kurkentrekkerregel. De regels c) en d) leggen de grootte van het uitproduct vast, zijnde gelijk aan de oppervlakte van het

parallellogram met de vectoren a

en b als zijden.

Samenvatting:

Het uitproduct ab van a en b wordt gegeven door

de vector: (a2b3–a3b2, a3b1– a1b3, a1b2– a2b1) Er geldt:

ab=absin(a,b)

ab staat loodrecht op a en loodrecht op b.

det(a,b,x)=(ab)x

321

321

321

bbb

aaa

eee

■ 20

16 Bewijs met eigenschap d.) dat voor vectoren u

en v

geldt: u

vuuvuvuuvu 22

.

Toepassingen:

Met het uitproduct kan een vergelijking

( 0 xvu

) worden gevonden voor het vlak

dat wordt opgespannen door vectoren u

en v

.

Het uitproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren, een vector te bepalen die loodrecht op deze twee vectoren staat, een zogenaamde normaalvector:

vu

vuvu

n

222

1.

In de klassieke mechanica worden hiermee verschillende verschijnselen beschreven. Voorbeelden hiervan zijn de Corilis-kracht als ook koppel en draai-impuls. De laatste zullen wij in het vervolg leren kennen. Ook een afleiding van de beroemde wetten van Kepler is hiermee betrekkelijk eenvoudig te verkrijgen.

Koppel en Draai-impuls

Een andere toepassing voor het uitproduct is de definitie van het koppel. Stel je voor dat je een schroef wil schroeven. Dan gaat dat het beste met een arm die loodrecht staat op de schroef: een schroevensleutel. Hoe groter de afstand is tussen de schroef en het punt op de schroevensleutel waarop een kracht wordt uitgeoefend hoe beter de schroef te draaien zal zijn. Als de arm niet loodrecht staat dan is het enige wat voor het schroeven telt het loodrechte deel van de arm (stel je bijvoorbeeld voor dat iemand probeert te schroeven door de schroevensleutel in verlenging op de schroef erop te zetten). Op een punt van de arm wordt er bij het schroeven een kracht uitgeoefend en het enige wat er voor de „schroefkracht‟ toe doet is het gedeelte van de kracht dat loodrecht staat op de schroef en de schroevendraaier. De effectiviteit van het schroeven in een gegeven richting heeft dus te maken met enerzijds de lengte van de schroevensleutel en de mate waarin hij loodrecht staat

■ 21

op de schroef en anderzijds met de kracht die op een punt van de schroevensleutel wordt uitgeoefend en de mate waarin deze kracht loodrecht staat op de schroef en de schroevensleutel. Ook andersom kunnen we redeneren. Gegeven een arm

of hefboom, wiskundig voorgesteld door een vector r

,

en een krachtsvector F

dan wordt hierdoor een richting

aangegeven waarin het beste met r

en F

geschroefd kan worden. Hoe sterker de kracht is en hoe langer de arm hoe effectiever er geschroefd kan worden. Uit de bovenste beschouwingen blijkt dat de mate en de richting waarin er effectief geschroefd kan worden, wordt gegeven door het zogenaamde koppel ten opzichte van

de oorsprong O dat wordt uitgedrukt door: FrN

.

Als er een kracht werkt op een massadeeltje dan kunnen we het koppel van dat deeltje ten opzichte van elk willekeurig punt berekenen wat weergeeft in welke richting en hoe goed deze kracht toegepast op een hefboom naar dat willekeurig punt in staat zou zijn om een draaiing in gang te zetten („schroeven‟).