Inleiding tot de Groepentheorie - Personal...

Inleiding tot de Groepentheorie

Eric Jespers

Bachelor Wiskunde2016–2017titularis: Jan De Beule

Vrije Universiteit BrusselVakgroep Wiskunde

Voorwoord

Abel (1802-1829)

Het concept “groep” is een van de meest fun-damentele in “recente” wiskunde. De oor-sprong van dit concept kan men reeds im-pliciet terug vinden in de studie van con-gruente meetkundige figuren en afstandbewa-rende functies (bewegingen) in de ruimte.

Het is pas sedert de eerste helft van de negen-tiende eeuw dat het idee duidelijk werd gedefinieerden erkend als een belangrijke wiskundige gedachte.In die tijd was het begrip groep reeds prominentaanwezig in het werk van Abel en Galois, en dit inhet kader van hun studie naar de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen over eenveld in termen van radicalen.

Galois (1811-1832)

Later werd het begrip “beweging” veralgemeend en ditverduidelijkte een belangrijk verband tussen de verschillendemeetkunden en de transformatiegroepen van hun meetkun-dige objecten. Het werk van Lie (1842-1899)omtrent continue groepen versterkte het belang van het “groep”concept. Rond het einde van de 19-de eeuw werd het fundamen-tele belang van groepen bijzonder duidelijk. Rond deze tijd werdentransformatiegroepen en permutatiegroepen veralgemeend en kwamde abstracte theorie van groepen tot stand. Ook de meetkundigebenadering kende een opleving door het Erlangen program van FelixKlein, die meetkundes ging classificeren in functie van hun symme-triegroepen.

Lie (1842-1899)

Een eerste belangrijk boek met een overzicht van de stand vanzaken in het begin van de 20-ste eeuw is dat van Burnside “Theoryof Groups of Finite Order”, gepubliceerd in 1911. Tot in 1955 evolu-eerde groepentheorie gestadig, maar vanaf 1955 kwam er een explosiein het onderzoek. Dit vanwege de publicatie van enkele fundamenteleontdekkingen.

iii

In deze cursus geven wij een inleiding in de groepentheorie. Eenander belangrijk aspect is om de studenten de “kunst” van “ab-stracte” bewijzen maken te leren apprecieren en aan te leren.

De studiebenadering in deze cursus verschilt misschien van wat jetot nu toe gewoon bent in andere wiskunde cursussen. Tot op hedenheb je waarschijnlijk veel oefeningen/problemen kunnen oplossen door naar “gelijkaar-dige problemen” te zoeken in de tekst en dan wat de oplossingsmethode aan te passen.In deze cursus zal deze methode slechts eventueel doenbaar zijn voor een zeer beperktaantal opgaven/problemen, maar het zal voor de meeste problemen niet werken. Het isvan belang dat je de materie zeer goed begrijpt, en dat je dus problemen pas aanpakt naeen eerste grondige studie van de relevante theorie. Anderzijds zal het voorkomen dat jeabstracte begrippen zal moeten hanteren in oefeningen, en dat je precies daardoor eendieper inzicht ontwikkelt in deze begrippen.

Klein (1849-1925)

De cursus staat vol van definities, stellingen, eigenschappen envoorbeelden. De definities zijn van uiterst belang omdat wij moe-ten overeenkomen wat er precies (en dus eenduidig) bedoeld wordtme de gebruikte terminologie. Dikwijls wordt een definitie gevolgddoor voorbeelden die een concept illustreren. Voorbeelden zijn hetbelangrijkste hulpmiddel in de tekst: geef er dus veel aandacht aan.Een nuttige hint voor de studie van deze cursus is om stellingen eerstgrondig te lezen. Sla in eerste instantie het bewijs over, maar trachtte verstaan wat de stelling precies zegt. Dit kan je o.a. doen door nate gaan wat de inhoud van een stelling betekent voor een concreetvoorbeeld. Na een goed begrip van de stelling lees je grondig een be-wijs en probeer elke stap te verstaan. Bewijzen in algebra zijn dikwijls “moeilijker” danb.v. in analyse en meetkunde omdat je meestal geen suggestieve tekening kan maken.Een bewijs is meestal echter “gemakkelijk” als je het “juiste vertrekpunt of de juistebenadering” vindt.

iv

Inhoudsopgave

Voorwoord iii

Inhoudsopgave v

1 Groepen 1

1.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Voorbeelden en enkele elementaire eigenschappen . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Vermenigvuldigingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Elementaire Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 De orde van een element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Algebraısche structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Restklassenringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Vergelijkingen in Groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Directe producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Deelgroepen 25

2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Voortbrengers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Speciale Deelgroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Cyclische groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

v

3 Nevenklassen 35

3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Stelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Normaaldelers 39

4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Elementaire eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Quotientgroepen 43

5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Deelgroepen van quotientgroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Homomorfismen 47

6.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Isomorfismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 Homomorfismestellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Permutatiegroepen 57

7.1 Stelling van Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Eindige Permutatiegroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Eindige Abelse Groepen 65

8.1 Directe Producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2 Fundamentele Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9 Acties 71

9.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Baan-Stabilisator Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

vi

9.3 Sylowstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.4 Semidirecte producten van groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Oefeningen 85

Index 99

Bibliografie 102

Hoofdstuk

1 Groepen

1.1 Definities

Een groep is een niet-ledige verzameling waarop er een interne bewerking gedefinieerdis die aan bepaalde eisen voldoet. In een concrete context kan deze bewerking eenoptelling, vermenigvuldiging, samenstelling van functies, etc. zijn. In een abstractecontext zoals deze noemen we de bewerking het “product”, of de “groepsbewerking”.Het begrip intern zit ingebakken in de volgende definitie.

Definitie 1.1.1. Een binaire bewerking op een niet ledige verzameling S is een afbeel-ding ∗ : S × S → S.

In deze context zijn de meeste bewerkingen binair, en zullen we meestal spreken overeen bewerking op S. Als ∗ een bewerking is op S, dan noteren we beeld ∗(s, t) bijnaaltijd door s ∗ t.

Soms zullen we ook de functionele notatie handhaven, dan is de bewerking doorgaansvoorgesteld foor een letter, bijvoorbeeld f , en noteren we het beeld van twee elementenonder de bewerking gewoon als f(x, y).

Definitie 1.1.2. Beschouw een bewerking ∗ op een niet ledige verzameling S.

(i) De bewerking ∗ is associatief als voor alle s1, s2, s3 ∈ S geldt dat s1 ∗ (s2 ∗ s3) =(s1 ∗ s2) ∗ s3

(ii) Een neutaal element voor ∗ is een element e ∈ S waarvoor geldt dat s∗e = e∗s = svoor alle s ∈ S.

(iii) Als er een neutraal element e ∈ S bestaat voor ∗, dan noemen we een elementt ∈ S waarvoor geldt t ∗ s = s ∗ t = e een invers element van s voor ∗ of eeninverse van s voor ∗.

(iv) We noemen ∗ abels of commutatief als s ∗ t = t ∗ s voor alle elementen s, t ∈ S.

1

Definitie 1.1.3. Beschouw een niet ledige verzameling S met een bewerking ∗.

(i) We noemen S, ∗ een semigroep als ∗ associatief is.

(ii) We noemen een semigroep S, ∗ een monoıde is er een neutraal element e ∈ Sbestaat voor ∗.

(iii) We noemen een monoıde S, ∗ een groep als er voor elk element s een inversebestaat voor ∗.

(iv) Een abelse semigroep (respectievelijk, monoıde of groep) is een semigroep (S, ∗)(respectievelijk, monoıde of groep) waarbij ∗ abels is.

Voorbeelden 1.1.4. (1) Beschouw de verzameling der natuurlijke getallen N. Beschouwde bewerking +. Deze bewerking is associatief. Het element 0 ∈ N heeft de eigenschapdat 0 + n = n + 0 = n voor alle n ∈ N. De structuur N,+ is dus een monoıde. Het isduidelijk dat niet elk element een inverse heeft voor +, dus N,+ is geen groep. Het iswel duidelijk dat + een abelse bewerking is op N.

De bewerking · heeft dezelfde eigenschappen, maar nu is 1 ∈ N een neutraal elementvoor ·. Ook N, · is een abelse monoıde maar geen groep.

(2) Beschouw de verzameling der gehele getallen Z. Beschouw de bewerking +. Dezebewerking is associatief, abels, en 0 ∈ Z is een neutraal element. Daarenboven heeft elkelement x ∈ Z een inverse voor +. De structuur Z,+ is dus een abelse groep.

De bewerking · is eveneens associatief en abels, en nu is 1 ∈ Z een neutraal elementvoor ·. Echter hebben enkel de elementen 1 en −1 een inverse voor ·. Dus Z, · isgeen groep. Merk op dat · ook een bewerking is op de verzameling Z \ 0. Immers,het product van twee niet nul elementen is steeds verschillend van nul. In dit geval isZ \ 0, · evenmin een groep.

(3) Beschouw de verzameling der rationale getallen Q. Het eenvoudig na te gaan datQ,+ een abelse groep is, en dat Q \ 0, · eveneens een abelse groep is.

(4) Beschouw C = a + bi | a, b ∈ R de verzameling van de complexe getallen. Debewerking + is als volgt gedefinieerd op C

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i,

Men gaat eenvoudig na dat (C),+ een abelse groep is.

(5) De verzameling C \ 0 van alle niet-nul complexe getallen, voorzien van de gewonevermenigvuldiging als bewerking is een abelse groep. Herinner dat, voor a, b, c, d ∈ R,

(a + bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i,

2

en als 0 6= a+ bi ∈ C dan is

(a+ bi)

(

a

a2 + b2− b

a2 + b2i

)

= 1 ,

dus in de groep (C \ 0, ·),

(a + bi)−1 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i .

De complex toegevoegde van z = a + bi (met a, b ∈ R) is

z = a− bi

en de modulus van z isz| = |a+ bi| =

√a2 + b2 .

Dus als z 6= 0 (of equivalent |z| 6= 0) dan

z−1 = |z|−2z .

(6) De verzameling 1,−1 ⊂ Z voorzien van de vermenigvuldiging is een abelse groep.De verzameling 1, i,−1,−i ⊂ C voorzien van de vermenigvuldiging is een abelse groep.

Net zoals voor de vermenigvuldiging van getallen zullen wij dikwijls de bewerking∗ niet schrijven (vooral als de bewerking duidelijk is uit de context). Dus a ∗ b schrijftmen dan eenvoudig als ab. In bovenstaande voorbeelden zullen we typisch de bewerking· weglaten uit de notatie, dus ab i.p.v. a · b. We zullen de bewerking + wel zo goed alsaltijd noteren.

Bovenstaande voorbeelden en hun eigenschappen zijn welbekend. We weten bijvoor-beeld dat het neutraal element voor de optelling in Z uniek is, en dat elk geheel getaleen unieke inverse heeft voor de optelling. Dit kunnen we nu bewijzen voor elke groep.

Eigenschap 1.1.5. Zij G een groep. Dan gelden de volgende eigenschappen:

(1) G bevat slechts een neutraal element. Wij noteren dit element meestal e of eG.

(2) Voor een element g ∈ G bestaat slechts een element h ∈ G zodat gh = hg = e.Men noemt h het inverse element van g en noteert dit element g−1.

Bewijs. (1) Veronderstel dat e en f twee neutrale elementen zijn. Dus voor alle g ∈ Ggeldt

eg = g = ge en fg = g = gf .

3

Bijgevolg, als we in de eerste gelijkheid g = f stellen, dan volgt ef = f , en met g = ein de tweede gelijkheid volgt ef = e. Dus e = f .(2) Zij g ∈ G en zij h1, h2 ∈ G zodat

gh1 = gh2 = e en h1g = h2g = e.

Danh2(gh1) = h2e = h2

enh2(gh1) = (h2g)h1 = eh1 = h1.

Dus h1 = h2.

Merk op dat Eigenschap 1.1.5 ook geldt in een monoıde. We noteren een monoıdeS, ∗ ook soms als S, ∗, e, om aan te geven welk element het neutraal element is.

Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Hendrik Abel (1802-1829). Hij was o.a. geinteresseerd in de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen. In1928 bewijs hij het volgende. Als de wortels van zo’n vergelijking kunnen uitgedruktworden als rationale functies f, g, . . . , h in een van de wortels, zeg x, en als voor elketwee wortels, f(x) and g(x), geldt dat f(g(x)) = g(f(x)), dan is de vergelijking oplosbaardoor radikalen. Abel toonde aan dat deze functies een permutatie geven van de wortelsvan de vergelijking; dus deze functies zijn elementen van de groep van permutaties vande wortels. Het was die commutativiteitseigenschap in deze permutatiegroep die geleidheeft tot de terminologie “abelse groep”. Later kan je dit alles in detail bestuderen in decursus Galoistheorie.

1.2 Voorbeelden en enkele elementaire eigenschap-

pen

Voorbeelden 1.2.1. (7) De verzameling R2 is abelse groep voor de optelling van kop-pels, d.w.z. (a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′). Meer algemeen is een vectorruimte V eenabelse groep voor de optelling van vectoren.

(8) Zij Afb(X) de verzameling van alle functies met domein en codomein de verzamelingX . Dus

Afb(X) = f | f : X → X.Dan is (de samenstelling van functies) een binaire bewerking op Afb(X):

Afb(X)× Afb(X) → Afb(X) : (f, g) 7→ f g.

4

a b

c

σaσb

σc

ρ

ρ

ρ

Figuur 1.1: Enkele symmetrieen van een gelijkzijdige driehoek

Bovendien is (Afb(X), ) een monoıde met als neutraal element 1X , de identieke functieop X (dus 1X(x) = x voor alle x ∈ X). Als X meer dan een element bevat dan is(Afb(X), ) geen groep. In dit geval zij x, y ∈ X met x 6= y. Zij dan

cx : X → X : a 7→ x,

de constante functie op X . Dan is cx geen bijectie en er bestaat dus geen functieg ∈ Afb(X) zodat cx g = 1X = g cx.

(9) Zij X een verzameling. De Boolse groep (P(X),+) bestaat uit de verzameling P(X)waarvan de elementen alle deelverzamelingen van X zijn dus P(X) = Y | Y ⊂ X,en de bewerking “het symmetrisch verschil”, genoteerd +. Voor A,B ∈ P(X) is perdefinitie:

A+ B = (A \B) ∪ (B \ A).

Het neutraal element is de lege verzameling ∅. Merk op dat A+ A = ∅. Dus A−1 = A.

(10) Beschouw een gelijkzijdige driehoek in het Euclidisch vlak, zie Figuur 1.2. Er zijnprecies 6 isometrieen1 van het Euclidisch vlak, dit zijn drie spiegelingen, twee rotatiesen de identieke afbeelding. De identieke afbeelding noteren we als e, de spiegelingen alsσa, σb, σc. De rotatie van 1200 in tegenwijzerzin noteren we als ρ. De samenstelling vanisometrieen in een Euclidisch vlak is opnieuw een isometrie. Merk op dat ρρ de rotatiein tegenwijzerzin over 2400 is, en dat (ρ ρ) ρ = e. We zullen verderop formeel de

1Een isometrie is een afstandsbewarende bijectie van het Euclidisch vlak die bijgevolg de meetkundigeeigenschappen bewaart: o.a. incidentie, afstand en hoek

5

notatie ρ2 := ρ ρ definieren. De verzameling G van isometrieen wordt dan

G = σa, σb, σc, ρ, ρ2, e .

Men kan nu eenvoudig controleren dat G, een groep is.

Eigenschap 1.2.2 (Veralgemeende associativiteit). Zij S een groep. Als s1, . . . , sn ∈S dan is het element s1s2 · · · sn uniek bepaald in S (d.w.z. dit element is onafhankelijkvan de plaatsing van de haakjes).

Bewijs. Wij bewijzen dit door inductie. De basisstap is n = 3, en deze geldt wegens deassociativiteit. Veronderstel nu dat het resultaat geldt voor producten van minder dann factoren. Beschouw nu het product s1s2 · · · sn op twee verschillende manieren

(s1 · · · si)(si+1 · · · sn) en (s1 · · · sj)(sj+1 · · · sn) ,

we mogen veronderstellen dat i ≤ j. Elk van de vermelde producten tussen haakjeskan zelf veel haakjes bevatten, maar wegens de inductiehypothese zijn deze haakjes nietnodig. Als i = j dan zijn beide producten dezelfde. Veronderstel dus dat i < j. Weerwegens de inductiehypothese mogen wij de eerste uitdrukking herschrijven als

(s1 · · · si)([si+1 · · · sj][sj+1 · · · sn])

en de tweede uitdrukking als

([s1 · · · si][si+1 · · · sj])(sj+1 · · · sn).

Elk van de uitdrukkingen x = s1 · · · si, y = si+1 · · · sj en z = sj+1 · · · sn is onafhankelijkvan haakjes. De eerste uitdrukking is nu van de vorm x(yz) en de tweede (xy)z. Wegensde associativiteit zijn deze dezelfde.

De veralgemeende associativiteit laat toe om machten van elementen te definieren.

Definitie 1.2.3. Zij S een goep met eenheidselement e. Als s ∈ S en 0 6= n ∈ N, dandefinieert men de n-de macht van s inductief als volgt:

s0 = e en sn+1 = sns .

Weer wegens de veralgemeende associativiteit is de volgende eigenschap duidelijk.

6

a b

cd

σ1

σ2

δ1δ2

ρ

ρ

ρ

ρ

Figuur 1.2: Enkele symmetrieen van een vierkant

Eigenschap 1.2.4. Zij S een groep. Als s ∈ S en m,n ∈ N dan

sn+m = snsm en (sn)m = snm .

Merk op dat voor semigroepen Eigenschap 1.2.2 ook geldt, net als Eigenschap 1.2.4voor n,m ∈ N \ 0. Voor semigroepen geldt ook Definitie 1.2.3 voor n ≥ 1, en voorn ≥ 0 als de semigroep een monoıde is. We beschouwen nog enkele voorbeelden.

Voorbeelden 1.2.5. (11) Zij X een niet ledige verzameling. We definieren Sym(X) alsde verzameling van alle bijecties van X naar zichzelf. Merk op dat Sym(X) ⊂ Afb(X).Omdat bijecties echter inverteerbaar zijn, is Sym(X), een groep. Men noemt dit desymmetrische groep op de verzameling X (of de permutatiegroep op X).

(12) We beschouwen opnieuw het Euclidisch vlak R2. Definieer I(R2) als de isometrieen(dus de aftandsbewarende bijecties) van het Euclidisch vlak. Dus een bijectie f van depunten van R2 behoort tot I(R2) als

‖f(a, b)− f(c, d)‖ = ‖(a, b)− (c, d)‖ .

Het is duidelijk dat I(R2), een groep is.

Zij nu een Ω een figuur in het reele vlak (bijvoorbeeld een driehoek of een vierkant).Dan noteert men met Σ(Ω) de symmetriegroep in het reele vlak van de figuur Ω, d.w.zΣ(Ω) is de verzameling van alle f ∈ I(R2) zodat

f(Ω) = Ω .

7

De verzameling Σ(Ω) een deelverzameling van I(R2). In Voorbeelden 1.2.1 (10) hebbenwe de groep van isometrieen van een gelijkzijdige driehoek bestudeerd. In dit voorbeeldkiezen we voor Ω een vierkant, zie Figuur 1.2.5.

Herinner dat ‖(a, b)‖ =√a2 + b2. Zulke functies behoren uiteraard tot Sym(R2).

Dus: (I(R2), ) is een groep bevat in Sym(R2). Voorbeelden van functies die tot dezegroep behoren zijn de rotaties, reflecties en translaties.

Nemen wij nu voor Ω een vierkant (met zijden van lengte 1, en met de oorsprongals doorsnede van de diagonalen), dan permuteert elk element van Σ(Ω) de hoekpuntena, b, c, d van Ω en bovendien is een element van Σ(Ω) bepaald door de beelden vande hoekpunten. Dus zijn er ten hoogste 24 mogelijkheden voor elementen van Σ(Ω).Doch niet elke permutatie van de hoekpunten is afkomstig van een element in Σ(Ω).Inderdaad als ‖vi− vj‖ = 1 dan moeten ook de beeldpunten van vi en vj op een afstand1 van elkaar liggen. Dit levert dan nog 8 mogelijkheden en

Σ(Ω) = e, σ1, σ2, δ1, δ2, ρ, ρ2, ρ3

met ρ een rotatie over 90 graden in tegenwijzerzin en σ1, σ2 en δ1, δ2 reflecties. Enkelegelijkheden kan men eenvoudig nagaan: σ2

1 = σ22 = δ21 = δ22 = e, ρ4 = e, en σ1 σ2 =

σ2 σ1 = ρ2.

We noteren de reflectie ten opzichte van de diagonaal ac als δ1. Het is eenvoudig nate gaan dat ρ δ1 = σ2, en ρ3 δ1 = σ1, we kunnen dus ook alle elementen van Σ(Ω)schrijven als een samenstelling van ρ’s en δ1’s:

Σ(Ω) = 1, ρ, ρ2, ρ3, δ1, ρ δ1, ρ2 δ1, ρ3 δ1 ,en deze elementen voldoen aan de volgende relaties:

ρ4 = e, δ21 = 1, δ1 ρ = ρ3 δ1. (1.1)

In plaats van een gelijkzijdige driehoek, of een vierkant, kunnen we algemeen eenregelmatige n-hoek beschouwen in het Euclidisch vlak. De groep isometrieen die een re-gelmatige n-hoek op zichzelf afbeeldt noemt men de diedergroep van orde 2n, genoteerdals D2n. Deze groep bevat altijd precies 2n elementen. De groep van isometrieen diede gelijkzijdige driekhoek op zichzelf afbeelden, is dus D6, de groep uit dit voorbeeld isdus D8.

We hebben gezien in dit voorbeeld dat elk element te schrijven is als een productdat bestaat uit twee welgekozen elementen, en dat er bepaalde gelijkheden, in dit gevalnoemen we ze relaties bestaan tussen de elementen van de groep. We zullen dit ver-derop formaliseren, maar men kan nagaan dat de relaties (1.1) de groep D8 bepalen, dit

8

betekent, precies omdat deze relaties gelden, kunnen er door het nemen van willekeurigeproducten van ρ en δ1 geen andere elementen meer bekomen worden dan diegenen diewe al hebben.

(13) Zij a, b ∈ R met a 6= 0 en zij fa,b : R → R de functie gedefinieerd als volgt:

f(x) = ax+ b .

De affiene groep GA(1,R) is de verzameling van alle functies fa,b, dus

GA(1,R) = fa,b | a, b ∈ R, a 6= 0 .

De bewerking is de samenstelling van functies. Merk op dat

fa,b fc,d = fac,ad+b .

(14) Beschouw de verzameling

A =

[

a b0 1

]

| a, b ∈ R, a 6= 0

een groep voor de matrixvermenigvuldiging. Bovendien is de functie

ψ : GA(1,R) → A : fa,b 7→[

a b0 1

]

een bijectie zodat

ψ(fa,b fc,d) = ψ(fa,b)ψ(fc,d) .

In dit voorbeeld is het in zekere zin duidelijk dat de groepen GA(1,R) en A, in abstractezin, gelijk zijn. Dit zullen we ook illustreren in het voorbeeld (16).

(15) Herinner dat elk complex getal z = a+ bi (met a, b ∈ R) kan geschreven worden als

z = r (cos θ + i sin θ),

met θ ∈ R en θ ∈ [0, 2π) en r = |z|. Men noemt θ het argument van z. De getallen r enθ noemt men de poolcoordinaten van z. Merk op dat

cos θ =a√

a2 + b2

en

sin θ =b√

a2 + b2.

9

Wij gebruiken ook dikwijls de volgende notatie:

eiθ = cos θ + i sin θ .

Indien r > 0 dan bestaat er een getal y ∈ R zodat r = ey. Dus schrijft men ook

ey+iθ = ey(cos θ + i sin θ) .

Met deze notatie la, men de volgende welbekende formules eenvoudig herschrijven (α, β ∈R):

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

als

ei(α+β) = eiαeiβ .

Een bewijs door inductie geeft dan, voor n ∈ N en α ∈ R:

einα =(

eiα)n,

of dus

cosnα + i sinnα = (cosα + i sinα)n

de formule van De Moivre (1667-1754).

Zij n nu een niet-nul natuurlijk getal en zij

ξn = e2πi/n = cos (2π/n) + i sin (2π/n) .

Merk op dat

e2kπi/ne2lπi/n = e2(k+l)πi/n ,

voor alle k, l ∈ Z, en

(ξn)n = 1 ,

men zegt dat ξn een n-de (complexe) eenheidswortel is. Het is ook duidelijk dat (ξkn)n =

(ξnn)k = 1. Dus de verzameling En is gesloten onder de vermenigvuldiging. Er geldt ook

dat ξknξ(n−k)n = 1, dus elk element in En heeft een inverse. We weten nu genoeg om te

besluiten dat En, · een abelse groep is.

(16) We gebruiken de complexe n-de eenheidswortel ξn uit het vorige voorbeeld. Defi-nieer

a =

[

ξn 00 ξ−1

n

]

en b =

[

0 −1−1 0

]

.

10

Door de eigenschappen van matrixvermenigvuldiging kunnen de volgende eigenschappeneenvoudig gecontroleerd worden:

an =

[

1 00 1

]

en

b2 =

[

1 00 1

]

.

en ba = an−1b. We definieren nu G = ak|1 ≤ k ≤ n ∪ akb|1 ≤ k ≤ n. Doorde eigenschappen van a en b kan men nu eenvoudig nagaan dat G een groep is voorde gewone matrixvermenigvuldiging. Kiezen we nu bijvoorbeeld n = 4, dan zien weonmiddellijk, precies door de relaties voor a en b, dat G in zekere zin de zelfde groep isals D8. Dit blijkt waar te zijn voor alle n. Op deze wijze vindt men dus een algebraıschebeschrijving van de diedergroepen D2n. Een afbeelding ψ : G → D8 zoals in voorbeeld(14) wordt volledig bepaald door het beeld van a en b. Gelet op de relaties voor a en b,is het bijna onmiddellijk duidelijk dat

ψ(a) = ρ, ψ(b) = δ1

een afbeelding ψ zal bepalen zodanig dat ψ(gh) = ψ(g) ψ(h). In het hoofdstuk overgroephomomorfismen zullen we het nodige materiaal ontwikkelen om wiskundig te be-schrijven wat het betekent dat twee groepen in zekere zin dezelfde zijn.

1.3 Vermenigvuldigingstabel

Definitie 1.3.1. Men noemt een groep G eindig als de verzameling G eindig veelelementen bevat. Het aantal elementen in de verzameling G noteert men als |G| (mennoemt dit ook de orde van de groep).

Voor eindige groepen kan men de bewerking voorstellen in een tabel, die men deCayleytabel (of vermenigvuldigingstabel) noemt.

Zij (G, ∗) een eindige groep en zij g1, . . . , gn een lijst (zonder herhalingen) van al deelementen van G. Een vermenigvuldigingstabel van G is een tabel als volgt

11

∗ g1 g2 · · · gj · · · gng1 g1 ∗ g1 g1 ∗ g2 · · · g1 ∗ gj · · · g1 ∗ gng2 g2 ∗ g1 g2 ∗ g2 · · · g2 ∗ gj · · · g2 ∗ gn...

......

... · · · ...gi gi ∗ g1 gi ∗ g2 · · · gi ∗ gj · · · gi ∗ gn...

......

... · · · ...gn gn ∗ g1 gn ∗ g2 · · · gn ∗ gj · · · gn ∗ gnWe herbekijken enkele voorbeelden. De groep En, met n = 4 uit voorbeeld (15) heeft

de volgende Cayleytabel.

· 1 ξ4 ξ24 ξ341 1 ξ4 ξ24 ξ34ξ4 ξ4 ξ24 ξ34 1ξ24 ξ24 ξ34 1 ξ4ξ34 ξ34 1 ξ4 ξ24

Vervolgens geven wij de Cayleytabel van de diedergroep D6 van orde 6, met D6

beschreven zoals in Voorbeeld (16). Man kan deze tabel volledig narekenen, en dit kanhet efficientst gebeuren door de relaties a3 = b2 = e en ba = a2b te gebruiken. Merk opdat e hier staat voor de 2× 2 eenheidsmatrix over C.

· e a a2 b ab a2be e a a2 b ab a2ba a a2 e ab a2b ba2 a2 e a a2b b abb b a2b ab e a2 aab ab b a2b a e a2

a2b a2b ab b a2 a e

Groepen kunnen ook gedefinieerd worden door middel van een Cayleytabel. Daarbijvertrekken we van een verzameling elementen, en leggen we de binaire bewerking op dezeelementen volledig vast door de Cayleytabel. Aldus definieert men vaak de zogenaamdeviergroep van Klein. Dit is de groep G = e, a, b, c met de bewerking gedefinieerd viade volgende Cayleytabel. In dit geval moet men aan de hand van de gegeven tabelnagaan dat G een groep is.

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

12

1.4 Elementaire Eigenschappen

In deze sectie bewijzen we enkele belangrijke eigenschappen van groepen.

Eigenschap 1.4.1. Zij G een groep. Dan gelden de volgende eigenschappen:

1. G bevat slechts een neutraal element. Wij noteren dit element meestal e of eG.

2. Voor een element g ∈ G bestaat slechts een element h ∈ G zodat gh = hg = e.Men noemt h het inverse element van g en noteert dit element g−1.

3. als g, h ∈ G dan (gh)−1 = h−1g−1.

4. als g ∈ G dan (g−1)−1 = g.

5. Voor g1, g2, h ∈ G: als g1h = g2h of hg1 = hg2 dan g1 = g2, de vereenvoudi-gingswetten.

Bewijs. (1). Veronderstel dat e en f twee neutrale elementen zijn. Dus voor alle g ∈ G,

eg = g = ge en fg = g = gf .

Bijgevolg, als wij de eerste vergelijking toepassen met g = f dan ef = f en uit de tweedevergelijking (met g = e) volgt ef = e. Dus e = f .

(2). Zij g ∈ G en zij h1, h2 ∈ G zodat

gh1 = gh2 = e en h1g = h2g = e .

Danh2(gh1) = h2e = h2

enh2(gh1) = (h2g)h1 = eh1 = h1 .

Dus h1 = h2.

(3).

(gh)(h−1g−1) = g(

h(h−1g−1))

= g(

(hh−1)g−1)

= g(eg−1)

= gg−1

= e

13

Analoog bewijst men (h−1g−1)(gh) = e. Dus (gh)−1 = h−1g−1.

(4). Omdat (g−1) ((g−1))−1

= e = ((g−1))−1

(g−1) en g−1g = e = gg−1 volgt er wegens(2) dat (g−1)−1 = g.

(5). Veronderstel g1h = g2h, dan

(g1h)h−1 = (g2h)h

−1 .

Wegens de associativiteit volgt er dan

g1 = g1eG = g1(hh−1) = (g1h)h

−1 = (g2h)h−1 = g2(hh

−1) = g2eG = g2 .

In een groep kunnen wij ook negatieve machten definieren.

Definitie 1.4.2. Zij G een groep. Als g ∈ G en n ∈ N, dan

g−n = (g−1)n .

Eigenschap 1.4.3. Zij G een groep en g ∈ G. Als n,m ∈ Z dan

gn+m = gngm, (gn)m = gnm en (g−1)n = (gn)−1 .

Als g en h twee commuterende elementen zijn van G (d.w.z. gh = hg) dan (gh)n =gnhn.

Bewijs. Veronderstel eerst dat g en h commuteren. Voor n ∈ N, bewijs door inductiedat hgn = gnh en ook (gh)n = gnhn. Merk op dat ook g−1 en h−1 commuteren. Als nnegatief is, dan is −n ≥ 0 en dus

(gh)n =(

(gh)−1)−n

=(

h−1g−1)−n

=(

g−1h−1)−n

=(

g−1)−n (

h−1)−n

= gnhn

Dus is het laatste gedeelte van de eigenschap bewezen.

Het eerste gedeelte van de eigenschap is reeds gekend voor n,m ≥ 0. De anderegevallen laten wij als oefening.

14

De notatie sn, met n positief, ontstaat door de bewerking s ∗ t multiplicatief st teschrijven, inderdaad sn = ss · · · s (er zijn n factoren). Wanneer de bewerking de optelling+ is dan betekent dit s + s + · · · + s, en dan zou dit beter geschreven worden als sn.Deze notatie gaan we slechts gebruiken wanneer wij met abelse (semi)groepen werken.Eigenschap 1.4.3 wordt dan (n+m)g = ng+mg, m(ng) = (mn)g en n(g+h) = ng+nh.

1.5 De orde van een element

Definitie 1.5.1. Zij G een groep en g ∈ G. De orde van het element g is het kleinsteniet-nul natuurlijk getal n zodat gn = e. Als er zo geen natuurlijk getal bestaat danzegt men dat g oneindige orde heeft. De orde van g noteert men als o(g).

Merk op dat als g ∈ G eindige orde n heeft dan g−1 = gn−1.

Eigenschap 1.5.2. In een eindige groep heeft elk element eindige orde.

Bewijs. Zij g ∈ G en beschouw de deelverzameling

e, g, g2, . . . , gn, · · · = gn | n ∈ N .

Omdat G een eindige verzameling is moet er herhaling in de lijst voorkomen. Dusbestaan m > n zodat gm = gn. Bijgevolg gm−n = gmg−n = e. Er bestaat dus een nietnul natuurlijk getal k zodat gk = e, bijgevolg heeft g eindige orde.

Duidelijk heeft het neutraal element van een groep steeds orde 1. In een onein-dige groep kunnen er elementen bestaan van eindige orde. Bijvoorbeeld het element(

0 11 0

)

∈ GL2(R) heeft orde 2 en duidelijk is GL2(R) een oneindige groep.

Eigenschap 1.5.3. Zij G een groep en g ∈ G. Zij n,m ∈ Z. Veronderstel dat geindige orde k heeft. Dan

1. gn = gm als en slechts als k|(n−m).

2. gn = e als en slechts als k|n.

Bewijs. Veronderstel o(g) = k < ∞. Zij n ∈ Z en schrijf n = qk + r met q, r ∈ Z en0 ≤ r < k. Dan gn = e als en slechts als gn = gqkgr = (gk)qgr = e, of equivalent, gr = e.

15

Omdat r < k, verkrijgen wij aldus gn = e als en slechts als r = 0, d.w.z. k|n. Ditbewijst (2).

(1) volgt nu eenvoudig omdat gn = gm als en slechts als gn−m = gn(gm)−1 = e.

Definitie 1.5.4. Een groep G is cyclisch als er een g ∈ G bestaat zodat G = gn |n ∈ Z. Men noemt g een voortbrenger van G.

Merk op dat een cyclische groep abels is. De groep (Z,+) is cyclisch met voortbrenger1. Merk op dat ook −1 een voortbrenger is. De groep En bestaande uit de complexe n-deeenheidswortels is cyclisch met voortbrenger e2πi/n. Er zijn echter nog andere mogelijkevoortbrengers, namelijk alle elementen van de vorm e2πki/n, met 1 < k < n en (k, n) = 1.

Eigenschap 1.5.5. Zij G een groep. Dan:

1. Zij G een eindige groep van orde n. Dan, G is cyclisch als en slechts als G eenelement g van orde n bevat. (In dit geval G = 1, g, . . . , gn−1.)

2. G is cyclisch van oneindige orde als en slechts G een element g van oneindigeorde bevat zodat G = gn | n ∈ Z. In dit geval is gn 6= gm als n 6= m.

Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat G een eindige cyclische groep is van orde n.Dan, bestaat er een g ∈ G zodat G = gk | k ∈ Z. Omdat G eindig is weten wijdat g eindige orde heeft, zeg o(g) = m. Dus volgt er gk | k ∈ Z = 1, g, . . . , gm−1,met gi 6= gj voor 0 ≤ i, j ≤ m − 1 en i 6= j. Bijgevolg G = 1, g, . . . , gm−1 en duso(g) = m = |G| = n.

Omgekeerd, als |G| = n en g ∈ G met o(g) = n dan is

e, g, g2, . . . , gn−1 ⊆ G .

Al de machten e, g, g2, · · · , gn−1 zijn verschillend. Omdat |G| = n volgt er dus date, g, g2, . . . , gn−1 = G.

Bewijs van (2). Dit laten wij als oefening.

Voorbeelden 1.5.6. We hernemen enkele voorbeelden.

1.6 Algebraısche structuren

Groepen zijn als het ware de bouwstenen van vele algebraısche structuren.

16

Definitie 1.6.1. Zij R een verzameling met twee bewerkingen + en · die voldoen aande volgende eigenschappen:

1. (R,+) is een abelse groep (het neutraal element noteert men meestal 0 en mennoemt dit het nulelement van R),

2. (R, ·) is een monoıde,

3. voor alle a, b, c ∈ R:a · (b+ c) = (a · b) + (a · c)

en(b+ c) · a = (b · a) + (c · a)

(de distributiviteitswetten).

Dan noemt men (R,+, ·) een ring. Indien bovendien (R \ 0, ·) een abelse groep is,dan noemt men R een lichaam (of een veld). Het neutraal element van (R, ·) noemtmen het eenheidselement van de ring en noteert men meestal als 1.

Voorbeelden 1.6.2. (1) Duidelijk zijn (Q,+, ·), (R,+, ·) en (C,+, ·) lichamen, en is(Z,+, ·) een commutatieve ring (d.w.z. een ring met (Z, ·) een abelse monoıde) die geenlichaam is.

(2) Als R een ring is dan noteren wij met Mn(R) de verzameling van alle n × n-matrices over R. Een n × n-matrix met op de (i, j)-de plaats het element rij noterenwij meestal als volgt

(rij)

De som en product van matrices werd in lineaire algebra als volgt gedefinieerd:

(aij) + (bij) = (aij + bij)

en

(aij) (bij) = (cij)

met

cij =

n∑

k=1

aikbkj .

Er volgt dat (Mn(R),+, ·) een ring is met als eenheidselement In, de identiteitsmatrix.

Zij F een lichaam. De determinant van een matrix A ∈ Mn(F ) noteren wij metdet(A). De verzameling van alle matrices A ∈ Mn(F ) met det(A) 6= 0 noteert men als

17

GLn(F ). Met SLn(F ) noteert men de verzameling van alle A ∈Mn(F ) met det(A) = 1.Er volgt dat (Mn(F ), ·) een monoıde is en dat beide

(GLn(F ), ·)

en(SLn(F ), ·)

groepen zijn (men noemt deze, respectievelijk, de lineaire groep van graad n over F ende speciaal lineaire groep van graad n over F ). Beiden hebben als neutraal element In.

(3) Als R een ring is dan noteren wij

U(R) = a ∈ R | er bestaat b ∈ R zodat ab = ba = 1

Er volgt dat (U(R), ·) een groep is. Men noemt dit de groep van de inverteerbareelementen van R. Zo is bijvoorbeeld

U(Mn(F )) = GLn(F ),

voor een lichaam F .

(4) Men noemt een inverteerbare matrix A ∈ Mn(R) stochastisch als elk van zijnkolomsommen gelijk is aan 1. D.w.z., als A = (aij), dan

n∑

i=1

aij = 1, voor elke j met 1 ≤ j ≤ n.

De verzameling van alle zulke stochastische matrices noteren wij als∑

(n,R).

Deze verzameling voorzien van de vermenigvuldiging van matrices is een groep. Mennoemt dit de stochastische groep van graad n.

(7) Zij Q =

[

1 01 1

]

. Definieer dan

ϕ :∑

(2,R) → A : A 7→ QAQ−1.

Dit is een bijectie die voldoet aan

ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B).

18

1.6.1 Restklassenringen

In deze paragraaf definieren we een belangrijke klasse van eindige ringen. Daartoeherhalen we het begrip equivalentierelatie.

Definitie 1.6.3. Zij R een relatie op een verzameling X (dus R is een deelverzamelingvan X × X). Voor x, y ∈ X , noteren wij (x, y) ∈ R ook als xRy. Men noemt R eenequivalentierelatie als de volgende voorwaarden voldaan zijn, voor alle x, y, z ∈ X :

1. xRx (reflexiviteit),

2. als xRy dan yRx (symmetrie),

3. als xRy en yRz dan xRz (transitiviteit).

Voor x ∈ X noteren wij[x]R = y ∈ X | xRy,

de equivalentieklasse van x. (In de cursus lineaire algebra noteert men [x]R als Ex.)

De verzameling van alle equivalentieklassen noteren wij X/R. Dus

X/R = [x]R | x ∈ X.

Merk op dat de equivalentieklassen van R (op een niet-lege verzameling X) eenpartitie vormen van X , d.w.z.,

1. elke [x]R 6= ∅,

2. ∪x∈X [x]R = X ,

3. als [x]R ∩ [y]R 6= ∅ dan [x]R = [y]R.

Definitie 1.6.4. Stel n ∈ N\0, 1. Op de verzameling Z definieren we de relatie ≡n,de congruentierelatie modulo n, als volgt:

x ≡n y als en slechts als n|(x− y).

De notatie n|(x− y) wil zeggen dat n een deler is (in Z) van x− y. D.w.z., er bestaateen m ∈ Z zodat nm = x−y. De equivalentieklasse van x noteren wij als [x]n, of ook als[x]. De verzameling van de equivalentieklassen Z/ ≡n noteren wij als Z/nZ. Wij willennu op deze verzameling twee bewerkingen + en · definieren. Maar om na te gaan dat

19

deze bewerkingen inderdaad functies zijn (men zegt dikwijls “goed gedefinieerd” zijn)moet men eerst het volgende lemma bewijzen.

Lemma 1.6.5. Zij a1, a2, b1, b2 ∈ Z. Als

[a1]n = [a2]n en [b1]n = [b2]n

dan[a1 + b1]n = [a2 + b2]n

en[a1b1]n = [a2b2]n.

Bewijs. Omdat [a1]n = [a2]n en [b1]n = [b2]n bestaan er r, s ∈ Z zodat

a1 − a2 = rn en b1 − b2 = sn.

Dus(a1 + b1)− (a2 + b2) = (a1 − a2) + (b1 − b2) = (r + s)n.

Bijgevolgn| ((a1 + b1)− (a2 + b2))

en daarom [a1 + b1]n = [a2 + b2]n.

Analoog bewijst men het tweede gedeelte.

Men definieert nu als volgt twee bewerkingen op Z/nZ:

+ : Z/nZ× Z/nZ → Z/nZ : ([a]n, [b]n) 7→ [a]n + [b]n = [a+ b]n

en· : Z/nZ× Z/nZ → Z/nZ : ([a]n, [b]n) 7→ [a]n · [b]n = [ab]n.

Eigenschap 1.6.6. Zij n een geheel getal groter dan 1. Dan is (Z/nZ,+, ·) eencommutatieve ring met nulement [0]n en eenheidselement [1]n.

1.7 Vergelijkingen in Groepen

Omdat in een groep elk element een invers element heeft, kunnen wij vergelijkingen ineen veranderlijke oplossen. Dit gaat als volgt.

20

Eigenschap 1.7.1. Zij G een groep. Als g, h ∈ G dan bestaat er een unieke x ∈ Gzodat gx = h, en er bestaat een unieke y ∈ G zodat yg = h.

Bewijs. Zij x = g−1h dan is gx = h en dus bestaat er minstens een oplossing voor devergelijking. Dat er precies een oplossing bestaat volgt uit het volgende: als gx1 = gx2dan x1 = x2.

Analoog bewijst men de uniciteit van de oplossingen voor de vergelijking yg = h.

Als dus G een eindige groep is dan is elke rij en elke kolom van de Cayleytabel eenpermutatie van de elementen van G. Een tabel die aan deze laatste voorwaarde voldoetnoemt men een Latijns vierkant. Dus de Cayleytabel van een eindige groep is een Latijnsvierkant. Doch het omgekeerde is niet waar.

Door gebruik te maken van deze eigenschap kan men groepen van orde twee, drie envier eenvoudig bepalen. Bijvoorbeeld zij G een groep van orde drie. Wij noteren hetneutraal element e en de twee andere elementen a en b. Dan zien wij dat er slechts eenmogelijkheid voor de Cayley tabel is, namelijk

e a be e a ba a b eb b e a

Er bestaat dus ten hoogste een groep met drie elementen (op benaming van deelementen na). Doch (Z3,+) is een groep met drie elementen. Bijgevolg is er precieseen groep met drie elementen.

Zij nu G = e, a, b, c een groep met vier elementen. Dan bevat G een element vanorde twee. Inderdaad, veronderstel dat dit niet zo is. Dan heeft a ofwel orde drie ofwelorde vier (ga dit na). Dit laatste geval is echter onmogelijk want dan is a2 van ordetwee. In het andere geval is het element van G dat niet behoort tot e, a, a2 een elementdat gelijk is aan zijn inverse (ga dit na) en dus een element van orde twee. Dus steedsverkrijgen wij een contradictie.

Veronderstel dan dat b een element van orde twee is. Dan zijn er fundamenteel tweeoverblijvende mogelijkheden: ofwel is elk element verschillend van e van orde twee, ofwelis er een element van orde niet twee. Op benaming na zijn er dan slechts twee mogelijkeCayleytabellen:

21

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

en

e a b ce e a b ca a b c eb b c e ac c e a b

De laatste groep is cyclisch e, a, a2, a3 en de eerste is de Viergroep van Klein.

1.8 Directe producten

Wij geven nu een methode om uit twee (of meerdere groepen) een nieuwe groep teconstrueren.

Zij (G, ∗) en (H, ⋄) groepen. Dan is

G×H = (g, h) | g ∈ G, h ∈ H

een groep voor de volgende bewerking

(g1, h1)(g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1 ⋄ h2).

Men noemt dit het direct product van G en H . De groepen G en H noemt men defactoren van het direct product. Het neutraal element van deze groep is (eG, eH), meteG het neutraal element van G en eH het neutraal element van H .

Algemener, zij I een indexverzameling en, voor elke i ∈ I, zij Gi een groep. Dan ishet direct product van deze groepen de verzameling

∏

i∈I

Gi = (gi)i∈I | gi ∈ Gi voor i ∈ I

voorzien van de bewerking(gi)(g

′i) = (gig

′i).

Merk op dat dit direct product commutatief is als en slechts elke groep Gi commutatiefis.

Als (G, ∗) en (H, ⋄) telkens de abelse groep (R,+) is, dan is G×H de groep (R2,+).

Beschouw de abelse groepen (Z2,+) en (Z3,+). Dan is Z2×Z3 ook een abelse groepen het element ([1]2, [1]3) heeft orde 6. Dus is dit direct product een cyclische groep vanorde 6.

22

De groep Z2 × Z2 heeft geen element van orde 4. Elk element verschillend van hetneutraal element heeft orde 2. Deze groep is de Viergroep van Klein.

Eigenschap 1.8.1. Zij G = G1 ×G2 × · · · ×Gn een direct product van groepen. Alsgi ∈ Gi eindige orde mi heeft dan is

o(g1, g2, . . . , gn) = kgv(m1, m2, . . . , mn).

Bewijs. Wij merken op dat

(g1, . . . , gn)k = e als en slechts als gki = eGi

(voor elke) 1 ≤ i ≤ n.

Dit laatste is equivalent met mi|k. Dus het kleinste niet nul natuurlijk getal k dat dezevoorwaarden vervult is kgv(m1, m2, . . . , mn).

23

Hoofdstuk

2 Deelgroepen

2.1 Definitie

Definitie 2.1.1. Zij (G, ∗) een groep. Een deelverzameling H van G die een groep isvoor de bewerking ∗ (beperkt tot H) noemt men een deelgroep van G.

Indien H een deelgroep is van G, dan noteren we dikwijls H 6 G.

Eigenschap 2.1.2. Zij (G, ∗) een groep. De volgende voorwaarden zijn equivalentvoor een deelverzameling H van G:

1. H is een deelgroep van G;

2. de volgende voorwaarden zijn voldaan:

(a) H 6= ∅,(b) als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h2 ∈ H,

(c) als h ∈ H dan h−1 ∈ H;

3. de volgende voorwaarden zijn voldaan:

(a) H 6= ∅,(b) als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h−1

2 ∈ H.

Bewijs. (1) ⇒ (2). Omdat eH ∈ H is H 6= ∅. Ook als h1, h2 ∈ H dan is h1 ∗ h2 ∈ H .

Omdat eHeG = eH en eHeH = eH volgt er dat eHeG = eHeH . Dus eH = eG.

Zij nu h ∈ H . Zij h−1 de inverse van h in G en zij h′ de inverse van h in H . Dan

hh−1 = eG = eH = hh′

en dus (door vereenvoudiging) h−1 = h′ ∈ H .

25

(2) ⇒ (1). Wegens voorwaarde (2.b) definieert ∗ een bewerking op de niet-lege ver-zameling H . Omdat (G, ∗) associatief is is ook (H, ∗) associatief. Wegens voorwaarden(2.a) en (2.c) bestaat er een h ∈ H en en dus ook h−1 ∈ H . Bijgevolg is hh−1 = eG ∈ H .Dus is eG ook het neutraal element van (H, ∗). Wegens voorwaarde (2.c) heeft elkelement van H een inverse in H . Dus is (H, ∗) een groep.

De equivalentie van (2) en (3) laten wij als oefening.

Gevolg 2.1.3. Zij G een eindige groep. De volgende voorwaarden zijn equivalent vooreen niet lege deelverzameling H van G:

1. H 6 G

2. als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h2 ∈ H.

Bewijs. Wegens de vorige eigenschap is het voldoende dat uit (2) volgt dat h−1 ∈ H alsh ∈ H . Welnu, omdat G eindig is heeft elk element h ∈ H eindige orde. Zij k de ordevan h ∈ H . Dan h−1 = hk−1 ∈ H .

De volgende eigenschap zal ons in staat stellen om het concept voortbrengers van eengroep te definieren.

Eigenschap 2.1.4. Zij G een groep en Hi | i ∈ I een verzameling deelgroepen vanG. Dan is

⋂

i∈I

Hi = g ∈ G | g ∈ Hi, voor alle i ∈ I

een deelgroep van G.

Bewijs. Zij D =⋂

i∈I Hi. Omdat e ∈ Hi voor elke i volgt er dat e ∈ D. Dus D 6= ∅.Verder, als g1, g2 ∈ D dan g1g

−12 ∈ D. Dus is D een deelgroep.

2.2 Voorbeelden

(1) Beschouw de groep Z,+. Kies n ∈ Z \ 0 en definieer nZ := nx | x ∈ Z. Kiestwee elementen a, b ∈ nZ. Het is duidelijk dat a− b ∈ nZ, dus nZ is een deelgroep vanZ,+.

26

(2) Beschouw de groep C, ·. Definieer N := z ∈ C | |z| = 1. Omdat |z−1| = 1|z|, volgt

dus dat voor twee elementen a, b ∈ N , |a · b−1| = 1, dus a · b−1 ∈ N en dus N is eendeelgroep van C, ·.(3) Beschouw de groep GLn(F ), ·, F een lichaam, · de gewone matrixvermenigvuldiging.De verzameling van matrices uit GLn(F ) met determinant 1, genoteerd als SLn(F ) vormtsamen met · een deelgroep van GLn(F ), ·.(4) Beschouw de groep Zn,+. Stel n = 4. Het is duidelijk dat A = [0]4, [2]4 eendeelgroep is van Z4. Ga na als oefening dat Z7 als deelgroepen enkel [0]7 en zichzelfheeft.

(5) Beschouw deD2n, de diedergroep van orde 2n, we hebben gezien datD2n = ak, akb|k =1 . . . n. Noteer het eenheidselement als e. Veronderstel dat n = 4. Het is vrij-wel onmiddellijk duidelijk dat de volgende deelverzamelingen deelgroepen zijn van D8:e, a, a2, a3, e, a2, ab, a3b, e, a2, b, a2b, e, a2, e, b, e, ab, e, a2b en e, a3b.Samen met de triviale deelgroep, i.e. e en de volledige groep D8 zelf, is dit de volle-dige lijst van deelgroepen van D8 (al vergt het een beetje werk om dit aan te tonen).

(6) Beschouw twee groepen G en H en hun direct product G×H . Opnieuw is onmiddel-lijk duidelijk dat (g, h) | g = eG, h ∈ H en (g, h) | g ∈ G, h = eH twee deelgroepenzijn van G×H .

Beschouw een niet-ledige verzameling V en een partiele orderelatie R of V , dit is eenrelatie die reflexief, anti-symmetrisch en transitief is. Dat de relatie R anti-symmetrischis betekent per definitie dat xRy en yRx impliceert dat x = y. Een partiele orderelatieis een orderelatie als per definitie voor elke koppel (x, y) geldt dat xRy of yRx. Eenverzameling V samen met een partiele orderelatie noemt men een partieel geordendeverzameling (of ook poset). Beschouw een poset V,4 en een niet-ledige deelverzamelingR ⊂ V . Een infimum van R is een element z ∈ V zodat ∀x ∈ V, z 4 x en ∀x ∈R, y 4 x ⇒ y 4 z. Een infimum is dus de grootste ondergrens, waarbij “grootste” hierrefereert naar de partiele ordening 4. Analoog wordt een supremum van R als kleinstebovengrens gedefinieerd. Een poset V,4 is een tralie als elke twee elementen een uniekinfimum en een uniek supremum hebben.

Beschouw nu de verzameling van alle deelgroepen van een groepG. Deze verzamelingis niet ledig. Immers, de triviale deelgroep eG en de groep G zelf zijn deelgroepenvan G. Noteer deze verzameling als S. De relatie ⊂ is duidelijk een partiele orderelatie.Aangezien de doorsnede van twee deelgroepen opnieuw een deelgroep is, is het eenvoudigom een infimum van twee elementen te construeren: dit is de doorsnede van de tweegroepen. De constructie van een supremum is vergelijkbaar. Beschouw twee deelgroepenA,B van G. Noem H de verzamelingen van alle deelgroepen van G die A en B alsgroep omvatten. Deze verzameling is niet-ledig, ze bevat de groep G zelf. Volgens

27

1

2 3

45 6

78

9

D8

Figuur 2.1: Hassediagram van de tralie van deelgroepen van D8

Eigenschap 2.1.4 is de doorsnede van alle deelgroepen in deze verzameling opnieuw eendeelgroep. Dit is het supremum van A en B.

We geven alle deelgroepen van D8 een label: (1) e; e, b, e, a2b, e, a2, e, ab,en e, a3b respectievelijk (2) tot en met (6); e, a2, b, a2b, e, a, a2, a3, e, a2, ab, a3brespectievelijk (7), (8) en (9). Figuur 2.1 is het zogenaamde Hassediagram van dedeelgroepentralie van D8.

2.3 Voortbrengers

Definitie 2.3.1. Zij X een deelverzameling van een groep G dan is de doorsnedevan alle deelgroepen die X omvatten een deelgroep van G, namelijk de kleinste (voorde inclusierelatie) die X omvat. Men noteert deze groep als 〈X〉 en noemt dit dedeelgroep voortgebracht door X . Indien X = x1, x2, · · · , xn dan noteert men 〈X〉ook als 〈x1, x2, · · · , xn〉.

Als X = x dan noemt men 〈x〉 de cyclische deelgroep van G voortgebracht doorx.

Merk op dat een groep G cyclisch is als en slechts als er een g ∈ G bestaat zodatG = 〈g〉.

Ook 〈∅〉 = e.

28

Eigenschap 2.3.2. Zij (G, ∗) een groep en X een niet lege deelverzameling van G.Dan

〈X〉 = x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn | n ∈ N0, xi ∈ X of x−1i ∈ X, 1 ≤ i ≤ n.

Indien G een eindige groep is dan

〈X〉 = x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn | n ∈ N0, xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ n.

Bewijs. Omdat, per definitie, 〈X〉 de kleinste deelgroep van G is die alle elementen vanX bevat, behoren alle elementen x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn tot 〈X〉 (met n ∈ N0 en xi of x

−1i ∈ X).

Stel

D = x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn | n ∈ N0, xi ∈ X of x−1i ∈ X, 1 ≤ i ≤ n

dan is D omvat in alle deelgroepen die X omvatten. Verder, als d1, d2 ∈ D dan verifieertmen eenvoudig dat d1d

−12 ∈ D. Omdat D niet leeg is volgt er dus dat D reeds een

deelgroep is die X omvat. Het eerste gedeelte van het resultaat volgt dan.

Het tweede gedeelte bewijst men analoog en men maakt gebruik van het feit datin eindige groep G een niet lege deelverzameling D een deelgroep is als d1d2 ∈ D voord1, d2 ∈ D.

Voorbeelden

(1) De groep van de complexe n-de eenheidswortels is cyclisch:

En = 〈e2πi/n〉.

(2) Een andere cyclische groep is

Zn = 〈[1]n〉.

(3) Stellen we zoals gebruikelijk, met ξn = e2πin ,

a =

[

ξn 00 ξ−1

n

]

en b =

[

0 −1−1 0

]

Dan is de diedergroep D2n = 〈a, b〉.De volgende relaties gelden voor de voortbrengers van D2n:

an = 1, b2 = 1 en ba = a−1b.

29

Met behulp van deze relaties (en de associativiteit) kan men alle mogelijke productenin D2n berekenen. Met andere woorden, de volledige groep D2n is in feite bepaald doordeze drie relaties, of nog, een groep voortgebracht door de “abstracte” elementen a enb die aan deze drie relaties voldoen, is noodzakelijk de groep D2n. Men schrijft dit als

D2n = 〈a, b | an = 1, b2 = 1, ba = a−1b〉.

Dit is een voorbeeld van een groep G die gegeven is via voortbrengers (a en b in dit geval)en relaties (ba = a−1b, an = 1 en b2 = 1 in dit geval); men noemt dit een presentatievan G. Dus de elementen van de groep G bestaan uit producten van machten van degeneratoren en men maakt identificaties via de gegeven lijst relaties. Bijvoorbeeld inD2n zijn de elementen aib en ba−i gelijk.

Men moet echter wel voorzichtig zijn dat men alle mogelijke identificaties maakt dievolgen uit de gegeven relaties. Bijvoorbeeld

〈a | a2 = 1, a3 = 1〉 = 1.

Inderdaad 1 = a3 = a2a = 1a = a.

De studie van groepen aan de hand van presentaties is een bloeiend onderzoeksdo-mein uit de computationele groepentheorie. Zo is het probleem of een groep met eengegeven presentatie een eindig aantal element heeft, een niet-triviaal probleem uit ditgebied.

(4) Beschouw de groep

V = 〈a, b | ab = ba, a2 = 1, b2 = 1〉.

Uit de relatie ab = ba volgt dat elk element van V kan geschreven worden als aibj meti, j ∈ Z. Omdat a2 = 1 en b2 = 1 is het voldoende dat i, j ∈ 0, 1. Dus

V = 1, a, b, ab.

Nu moet men nog aantonen dat deze vier elementen verschillend zijn. Men kan ditbijvoorbeeld aantonen door een “model” van deze groep te geven. De Viergroep vanKlein is zo een model (het is voortgebracht door twee elementen die voldoen aan devermelde relaties).

(5) Wij definieren nu een groep van orde acht, de quaternionengroep van orde 8. InGL2(C) nemen wij de matrices

J =

(

i 00 −i

)

, K =

(

0 1−1 0

)

en L = JK =

(

0 ii 0

)

.

30

Zij

Q8 = I,−I, J,−J,K,−K,L,−L.

Dit is een deelgroep van GL2(C). Om dit aan te tonen, en aangezien Q8 eindig is, ishet voldoende te bewijzen dat Q8 multiplicatief gesloten is. Dit volgt uit de volgenderelaties:

J2 = K2 = L2 = −I

en

JK = L, KJ = −L, KL = J, LK = −J, LJ = K en JL = −K.

Dus

Q8 = 〈J,K〉.

In een latere cursus geven wij de theoretische fundering voor presentaties. Wij ver-melden nog dat de groep voortgebracht door een verzameling X die aan geen verdererelaties voldoet de vrije groep op X genoemd wordt. Dus deze groep bestaat uit alleproducten van machten van elementen in X . Als X 6= ∅ dan bevat deze groep oneindigveel elementen en als |X| ≥ 2 dan is deze groep ook niet commutatief.

2.4 Speciale Deelgroepen

Er zijn heel wat belangrijke deelgroepen in een groep. Wij behandelen hier slechtsenkele.

Definitie 2.4.1. Zij G een groep en zij g ∈ G. De centralisator van g ∈ G is deverzameling

CG(g) = x ∈ G | xg = gx.Het centrum van G is de verzameling

Z(G) = x ∈ G | xg = gx voor alle g ∈ G =⋂

g∈G

CG(g).

Eigenschap 2.4.2. Zij G een groep en g ∈ G. Dan zijn CG(g) en Z(G) deelgroepenvan G.

Bewijs. Omdat, eg = g = ge verkrijgen wij e ∈ CG(g); i.h.b., CG(g) 6= ∅. Als h1, h2 ∈

31

CG(g) dan

(h1h2)g = h1(h2g)

= h1(gh2)

= (h1g)h2

= (gh1)h2

= g(h1h2)

Dus h1h2 ∈ CG(g).

Ook volgt uit h1g = gh1 dat h−11 h1gh

−11 = h−1

1 gh1h−11 . Dus gh−1

1 = h−11 g, m.a.w.,

h−11 ∈ CG(g).

Er volgt dat CG(g) een deelgroep is van G. Analoog bewijst men dat het centrumeen deelgroep is.

Een groep G is commutatief als en slechts als G = Z(G).

Het centrum van GLn(F ) (F een lichaam) is de groep fIn | 0 6= f ∈ F.Het centrum van D8 is de deelgroep 〈a2〉 = 1, a2. In het algemeen, voor n ≥ 3,

Z(D2n) =

1 als n oneven〈an/2〉 als n even

2.5 Cyclische groepen

Eigenschap 2.5.1. Een deelgroep van een cyclische groep is cyclisch.

Bewijs. Zij G = 〈g〉 een cyclsiche groep. Dus G = gk | k ∈ Z. Zij H een deelgroep.Als H = 1 dan is H = 〈1〉, en dus is H cyclisch. Veronderstel dat H 6= 1 en zijgk ∈ H met k minimaal in N0. Wij tonen nu aan dat H = 〈gk〉. Inderdaad, zij gn ∈ H .Schrijf n = qk + r met q, r ∈ Z en 0 ≤ r < k. Dan

gr = gng−qk = gn(g−k)q ∈ H.

Wegens de keuze van k volgt er dat r = 0. Bijgevolg gn ∈ 〈gk〉 en dus H = 〈gk〉.

32

Eigenschap 2.5.2. Zij G = 〈g〉 een cyclische groep van eindige orde n en zij k eengeheel getal. Dan is de orde van de cyclische deelgroep 〈gk〉 gelijk aan n

ggd(n,k). I.h.b.

is de orde van elke deelgroep van een eindige cyclische groep G een deler van de ordevan G.

Bewijs. Omdat G = 〈g〉 eindige orde n heeft weten wij reeds dat o(g) = n. Zij nu k ∈ Z.Dan is gk van orde l als en slechts als l is het kleinste niet nul natuurlijk getal zodat(gk)l = 1, of equivalent, l is het kleinste niet nul natuurlijk getal zodat n|(kl). Duidelijkl = n

ggd(n,k). Bijgevolg is de orde van 〈gk〉 gelijk aan o(gk) = n

ggd(n,k).

Eigenschap 2.5.3. Zij G = 〈g〉 een eindige cyclische groep van orde n en d ∈ N eendeler van n. Dan heeft G precies een deelgroep van orde d, namelijk 〈gn/d〉.

Bovendien zijn er precies d oplossingen voor xd = 1 in G, en dit zijn precies deelementen van 〈gn/d〉.

Bewijs. Duidelijk is 〈gn/d〉 = 1, gn/d, g2(n/d), · · · , g(d−1)(n/d). Dus er bestaat minstenseen deelgroep van orde d. Wij bewijzen nu dat er ten hoogste een is. Zij daarom Hook een deelgroep van orde d. Wegens een vorige eigenschap is H ook cyclisch, en dusH = 〈gk〉 voor een 0 ≤ k < n. Dus gkd = 1. Omdat g orde n heeft volgt er n|(kd). Erbestaat dus een v ∈ Z zodat vn = kd, m.a.w., k = v(n/d). Er volgt H = 〈gk〉 ⊆ 〈gn/d〉.Omdat beide groepen van orde d zijn volgt er H = 〈gn/d〉.

De vorige redenering toont aan dat (gk)d = 1 als en slechts als gk ∈ 〈gn/d〉. Omdat|〈gn/d〉| = d zijn er precies d oplossingen van de vergelijking xd = 1 in G.

Voor een geheel getal a noteren wij met aZ de verzameling az | z ∈ Z. Dit isde cyclische deelgroep van (Z,+) voortgebracht door het element a. Voor een ring Rschrijf R∗ := R \ 0.

Eigenschap 2.5.4. Zij a en b niet nul gehele getallen. Dan

〈a, b〉 = aZ+ bZ = ggd(a, b)Z.

Bewijs. In de cyclische groep (Z,+) is 〈a, b〉 = aZ + bZ een deelgroep. Bijgevolg is〈a, b〉 = aZ+ bZ een cyclische groep en dus bestaat er een d ∈ Z zodat

〈a, b〉 = aZ+ bZ = dZ.

33

Omdat a ∈ dZ volgt er d|a. Analoog d|b en dus d|ggd(a, b). Als nu c ∈ Z en c|a en c|b,dan bestaan v, w ∈ Z zodat cv = a en cw = b. Schrijf d = xa+ yb. Dan d = xcv + ycwen dus c|d. Dit toont aan dat d = ggd(a, b).

Eigenschap 2.5.5. Indien p een priemgetal is dan is Zp een lichaam, i.h.b. is deverzameling van niet nul elementen Z∗

p een abelse groep voor de vermenigvuldiging.

Bewijs. Zij nu p een priemgetal en [0]p 6= [a]p ∈ Zp. Dan ggd(a, p) = 1. Dus, bestaan er(wegens het eerste gedeelte van de eigenschap) v, w ∈ Z zodat

va+ wp = 1.

Bijgevolg[v]p[a]p = [v]p[a]p + [w]p[p]p = [1]p,

en is [v]p de inverse van [a]p. Er volgt dat Z∗p een abelse groep voor de vermenigvuldiging

is en dus is Zp een lichaam.

34

Hoofdstuk

3 Nevenklassen

Zij G een eindige groep, d.w.z., G is een groep met eindig veel elementen. Zij H eendeelgroep. In dit hoofdstuk bewijzen wij dat de orde van H een deler is van de orde vanG (Stelling van Lagrange). Om dit te bewijzen voeren wij het begrip nevenklasse in.

3.1 Definitie

Definitie 3.1.1. Zij G een groep en H een deelgroep. Als g ∈ G dan is de linkerne-venklasse van g de verzameling

gH = gh | h ∈ H.

De rechternevenklasse van g is de verzameling

Hg = hg | h ∈ H.

Duidelijk is eH = H = He en g ∈ gH . Dus is gH 6= H als g 6∈ H . Ook gH ∩H = ∅als g 6∈ H .

Eigenschap 3.1.2. Zij H een deelgroep van een groep G. Zij R de relatie op Ggedefinieerd door

aRb als en slechts als a−1b ∈ H.

Dan is R een equivalentierelatie op G en de equivalentieklasse die g ∈ G bevat is delinkernevenklasse gH.

Bewijs. Wij moeten drie eigenschappen bewijzen om aan te tonen dat R een equivalen-tierelatie is.

Omdat H een deelgroep is geldt voor g ∈ G dat g−1g = 1 ∈ H . Dus gRg. Dit toontaan dat R reflexief is.

Veronderstel dat aRb, d.w.z. a−1b ∈ H . Omdat H een deelgroep is volgt er b−1a =(a−1b)−1 ∈ H . Bijgevolg bRa. Dus is R symmetrisch.

35

Veronderstel aRb en bRc, dan a−1b, b−1c ∈ H en dus

a−1c = (a−1b)(b−1c) ∈ H.

Bijgevolg aRc en dus is R transitief.

Wij bepalen nu de equivalentieklasse van g ∈ G. Zij daarom x ∈ G. Dan, x ∈ G isin de equivalentieklasse van g als en slechts als g−1x ∈ H , of equivalent x ∈ gH . Dus isde equivalentieklasse van g de linkernevenklasse gH .

Uit de vorige eigenschap volgt onmiddellijk het volgende resultaat.

Eigenschap 3.1.3. Zij H een deelgroep van een groep G, en zij a, b ∈ G. Dan

1. aH = bH als en slechts als a−1b ∈ H (dus aH = H als en slechts als a ∈ H).

2. als aH 6= bH dan aH ∩ bH = ∅.

3.⋃

g∈G gH = G.

Bovendien, |aH| = |H|.

3.2 Stelling van Lagrange

Stelling 3.2.1. (Stelling van Lagrange)Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Dan is |H| een deler van |G| en het

aantal linker (respectievelijk rechter) nevenklassen van H in G is gelijk aan |G||H|

.

Bewijs. Wij weten reeds dat de linkernevenklassen gH (g ∈ G) de equivalentieklassenzijn voor de relatie R en |gH| = |H|. Omdat de equivalentieklassen een partitie vormenvan de eindige verzameling G volgt het resultaat.

Uit de vorige eigenschap weten wij dat het aantal linker nevenklassen gelijk is aanhet aantal rechter nevenklassen. Wij noemen dit aantal de index.

Definitie 3.2.2. Het aantal linker (of rechter) nevenklassen van een deelgroep H vaneen groep G noemt men de index van H in G. Dit wordt gewoonlijk genoteerd als[G : H ].

36

Eigenschap 3.2.3. Zij G een eindige groep.

1. Als g ∈ G dan is o(g) een deler van |G|.

2. Als H en K deelgroepen zijn van G met H ⊆ K, dan [G : H ] = [G : K] [K : H ].

Bewijs. Wij weten dat |〈g〉| = o(g). Dus wegens de Stelling van Lagrange, o(g) deelt|G|.

Wegens de Stelling van Lagrange,

[G : H ] =|G||H| =

|G||K|

|H||K|

= [G : K] [K : H ].

3.3 Toepassingen

Eigenschap 3.3.1. Elke groep van priem orde is een cyclische groep.

Bewijs. Zij G een groep van orde p, een priemgetal. Zij e 6= g ∈ G, dan is H = 〈g〉 eendeelgroep van G. Wegens de Stelling van Lagrange is |H| een deler van p. Dus |H| = 1of |H| = p. Omdat H 6= 1 volgt er |H| = p en dus H = G. Bijgevolg is G cyclisch.

Eigenschap 3.3.2. (Fermat)Zij p een priem getal. Als a ∈ Z dan

ap ≡p a.

Bewijs. Als [a]p = [0]p dan [a]pp = [a]p = [0]p, dus ap ≡p a. Veronderstel nu dat[a]p 6= [0]p. Dan is [a]p ∈ Z∗

p. Omdat Z∗p een groep is met p− 1 elementen verkrijgen wij

uit de Stelling van Lagrange dat o([a]p)|(p− 1). Dus [a]p−1p = [1]p. Vermenigvuldig dan

met [a]p en wij verkrijgen [a]pp = [a]p.

Een andere welbekende stelling van Fermat (Fermat’s Last Theorem) : voor allegehele getallen n ≥ 3, bestaan er geen strikt positieve gehele getallen a, b, c zodat an +bn = cn. Fermat beweerde dat hij een “mooi” bewijs had van dit resultaat maar dat de

37

marge te klein was om het bewijs op te schrijven. Hij bewees het elders voor n = 4 en,later, bewezen anderen het voor kleine waarden van n. Het is een bijzondere uitdaginggeworden om het algemene resultaat te bewijzen. Vele wiskundigen hebben zich hierovergebogen en heel wat nieuwe technieken zijn ontwikkeld. Pas in 1995 bewees AndrewWiles Fermat’s Last Theorem.

Eigenschap 3.3.3. (Wilson)Zij p een priem getal. Dan

(p− 1)! ≡p −1.

Bewijs. Als p = 2 dan is dit resultaat duidelijk. Veronderstel dus dat p 6= 2. Alsa1, a2, · · · , an alle elementen zijn in een eindige abelse groep G, dan is a1a2 · · · an gelijkaan het product van alle elementen van orde 2 (elk ander element wordt “geschrapt”met zijn inverse). Nu heeft Z∗

p slechts [−1]p als element van orde 2. Er volgt dus dathet product van alle elementen van Z∗

p, namelijk [(p − 1)!]p, gelijk is aan [−1]p. Dus(p− 1)! ≡p −1.

De Euler ϕ-functie wordt als volgt gedefinieerd:

ϕ(1) = 1

en voor m ∈ N, m > 1,

ϕ(m) = |r ∈ N | (r,m) = 1 en 1 ≤ r < m|.

Eigenschap 3.3.4. (Euler)Zij m ∈ N0. Dan

|U(Zm)| = ϕ(m).

Zij r ∈ N0. Als (r,m) = 1 dan

rϕ(m) ≡m 1.

Bewijs. Beschouw de multiplicatieve groep U(Zm) van de inverteerbare elementen in dering Zm. Als a een niet nul geheel getal is dan aZ +mZ = ggd(a,m)Z. Er volgt dat[a]m ∈ U(Zm) als en slechts als (a,m) = 1. Dus |U(Zm)| = ϕ(m).

Als nu [r]m ∈ U(Zm) volgt er [r]ϕ(m)m = [1]m. Dus volgt ook het laatste gedeelte van

de eigenschap.

38

Hoofdstuk

4 Normaaldelers

In dit hoofdstuk bestuderen wij speciale deelgroepen, namelijk deze waarvoor een lin-kerenevenklasse steeds een rechternevenklasse is. In het volgende hoofdstuk kunnen wijuit zulke groepen nieuwe groepen construeren.

4.1 Definitie

Voor twee deelverzamelingen X en Y van een groep G noteert men

XY = xy | x ∈ X, y ∈ Y .

Als X = x dan noteren wij XY ook als xY .

In het algemeen is XY verschillend van Y X . Maar merk op dat gelijkheid wel kanoptreden, ook als de elementen van X en Y niet noodzakelijk commuteren. Inderdaad,in D2n geldt a 1, b = a, ab maar 1, b a = a, an−1b. Ook 〈a〉b = b〈a〉.

Definitie 4.1.1. Zij N een deelgroep van een groep G. Men noemt N een normaledeelgroep van G als en slechts als gN = Ng voor alle g ∈ G. Met N G noteert mendat N een normale deelgroep is van G.

Als N een normale deelgroep is van een groep G, dan noteert men de verzamelingvan de nevenklassen van N in G (dus equivalentieklassen) als G/N .

Eigenschap 4.1.2. Zij N 6 G. Dan zijn de volgende voorwaarden equivalent:

1. N G,

2. gNg−1 = N voor alle g ∈ G,

3. gNg−1 ⊆ N voor alle g ∈ G,

4. elke rechter nevenklasse van N is een linker nevenklasse.

39

Bewijs. Als gN = Ng dan gNg−1 = Ngg−1 en dus gNg−1 = N . Dus volgt (2) uit (1).Dat (3) uit (2) volgt is evident.

Veronderstel nu (3). Dan gNg−1 ⊆ N voor elke g ∈ G. Nu is ook g−1 ∈ G endus g−1N(g−1)−1 ⊆ N , voor elke g ∈ G. Dit laatste is equivalent met N ⊆ gNg−1.Bijgevolg N = gNg−1 en dus Ng = gN , dit bewijst (1).

Uiteraard volgt (4) uit (1). Er blijft dus te bewijzen dat (1) volgt uit (4). Gegevenis dus dat voor elke g ∈ G een h ∈ G bestaat zodat Ng = hN . Dus g ∈ hN . OmdathN een equivalentieklasse is volgt er hN = gN . Dus Ng = gN (voor elke g ∈ G). Dittoont aan dat N G.

Gevolg 4.1.3. Voor een willekeurige groep G geldt steeds Z(G) G. In een abelsegroep zijn alle deelgroepen normale deelgroepen.

Bewijs. Onmiddellijk uit Eigenschap 4.1.2.

Normale deelgroepen werden in 1831 geintroduceerd door Evariste Galois, dit in hetkader van het probleem wanneer een polynoomvergelijking oplosbaar is door radikalen.Galois merkte op dat een deelgroepH van een groep G van permutaties twee ontbindingenvan G gaf (wij noemen dit linkse en rechtse nevenklassen). Als de twee ontbindingensamenvallen, dus als de linkse nevenklassen dezelfde zijn als de rechtse, dan noemdeGalois de ontbinding “echt”. Dus een deelgroep met een echte ontbinding noemen wijeen normale deelgroep. Camille Jordan ging verder met deze ideeen, in 1865 en 1869.Hij definieerde ook normale deelgroepen (zonder de term te gebruiken) en was de eerstedie een definitie gaf van een simpele groep.

4.2 Elementaire eigenschappen

Eigenschap 4.2.1. Zij N 6 G. Als [G : N ] = 2 dan is N G.

Bewijs. Gegeven is [G : N ] = 2, d.w.z. er bestaan slechts twee linkernevenklassen.Omdat deze een partitie vormen van G en omdat N = eN een van de linkernevenklassenis, volgt er dat G \N de andere linkernevenklasse is. Dus, als g 6∈ N , dan gN 6= N enbijgevolg gN = (G \N).

Er zijn ook slechts twee rechternevenklassen. Men bewijst dan analoog dat Ng =(G \ N) voor g 6∈ N . Dus voor zo een element g, gN = (G \ N) = Ng. Indien g ∈ Ndan gN = N = Ng. Bijgevolg N G.

40

Omdat 〈a〉 een deelgroep is van index twee in D2n volgt er dat 〈a〉 D2n. Doch1, b is niet normaal in D2n.

Eigenschap 4.2.2. Zij N G. Als H 6 G, dan is

〈H ∪N〉 = HN = NH.

Bewijs. Omdat 〈H∪N〉 de kleinste deelgroep is van G die H en N omvat is het duidelijkdat HN ⊆ 〈H ∪ N〉. Wij bewijzen nu dat HN een deelgroep is. Omdat deze H en Nomvat volgt er dan 〈H ∪N〉 = HN .

Inderdaad, e = ee ∈ HN . Als h1, h2 ∈ H en n1, n2 ∈ N , dan

(h1n1)(h2n2) = h1h2(h−12 n1h2)n2.

Omdat N een normale deelgroep is, n3 = h−12 n1h2 ∈ N . Bijgevolg

(h1n1)(h2n2) = h1h2(n3n2) ∈ HN.

Ook(h1n1)

−1 = n−11 h−1

1 = h−11 (h1n

−11 h−1

1 ) ∈ HN.

Dus is inderdaad HN een deelgroep.

Analoog bewijst men dat 〈H ∪ N〉 = NH . (Of men bewijst rechtstreeks, met me-thoden zoals in de voorgaande redenering, dat NH = HN .)

In het algemeen is een willekeurige deelgroep H van een groep G geen normaledeelgroep. Daarom definieert men de normalisator van H in G als de verzameling

NG(H) = g ∈ G | gHg−1 = H.

Eigenschap 4.2.3. Zij H 6 G. Dan is NG(H) 6 G en het is de grootste deelgroep(voor de inclusie relatie) waarin H een normale deelgroep is.

Bewijs. Duidelijk is e ∈ NG(H). Als g1, g2 ∈ NG(H) dan

(g1g2)H(g1g2)−1 = (g1g2)H(g−1

2 g−11 )

= g1(g2Hg−12 )g−1

1

= g1Hg−11

= H

41

Ook, omdat g1Hg−11 = H volgt er

H = g−11 g1Hg

−11 g1 = g−1

1 Hg1

Dus g1g2, g−11 ∈ NG(H). Bijgevolg is NG(H) een deelgroep die H bevat, en uiteraard is

H NG(H).

Als D een deelgroep is van G die H omvat en H D dan is, voor elke d ∈ D,dHd−1 = H . Dus D ⊆ NG(H). Er volgt dat NG(H) de grootste deelgroep is die Homvat en waarin H normaal is.

42

Hoofdstuk

5 Quotientgroepen

In dit hoofdstuk gebruiken wij normale deelgroepen om nieuwe (kleinere) groepen tevormen.

5.1 Definitie

Definitie 5.1.1. Zij G een groep en N G. Dan is

G/N = gN | g ∈ G

de verzameling van alle nevenklassen van N in G. Op deze verzameling definieren wede bewerking ∗:

(gN) ∗ (hN) = (gh)N ,

voor alle g, h ∈ G.

Stelling 5.1.2. Zij G een groep en N G. Dan is G/N, ∗ een groep. Men noemtdit de quotientgroep van G door N . Het neutraal element van deze groep is eN en(gN)−1 = g−1N .

Bewijs. Wij moeten eerst en vooral aantonen dat de bewerking goed gedefinieerd is.D.w.z., als g1N = g2N en h1N = h2N dan moeten wij aantonen dat g1h1N = g2h2N .Dat dit inderdaad zo is volgt uit de volgende redenering, waarbij Eigenschap 4.1.2 nodigis.

g1h1N = g1h1NN = g1(h1N)N = (g1N)(h1N) = (g2N)(h2N) =

g2(Nh2)N = g2(Nh2)N = g2(h2N)N = g2h2NN = g2h2N

Men toont nu eenvoudig aan dat al de groepvoorwaarden voldaan zijn. Bovendien,eG/N = eGN , (gN)−1 = (g−1)N .

43

In het vervolg zullen we de bewerking ∗ niet meer noteren.

Het is onmiddellijk duidelijk datG/N abels is alsG abels is. Maar er zijn voorbeeldenvan niet abelse groepen zodat G/N abels is voor sommige normale deelgroepen N of G.

Voorbeelden 5.1.3. 1. Zij Z de additieve groep van de gehele getallen en zij n > 1een natuurlijk getal. Dan is nZ Z. De elementen van de quotientgroep Z/nZ zijn denevenklassen

a+ nZ,

met a ∈ Z. Dit zijn precies de equivalentieklassen [a]n van de equivalentierelatie ≡n

gedefinieerd in Paragraaf 1.6.1, dus dit rechtvaardigt ook de notatie die we daar gebruikthebben.

Uiteraard geldt voor a, b ∈ Z:

[a]n + [b]n = (a+ nZ) + (b+ nZ) = (a + b) + nZ = [a + b]n.

De additieve structuur Z/nZ,+ uit Paragraaf 1.6.1 kan men dus ook bekomen als eenquotientgroep van de additieve groep Z,+.

2. Zij F een lichaam. Het is eenvoudig na te gaan dat SLn(F )GLn(F ). De elementenvan de quotientgroep zijn de nevenklassen

A · SLn(F ),

met A ∈ GLn(F ). Zij det(A) = a, dan bestaat een B ∈ GLn(F ) zodat

A = D(a) B,

met

D(a) =

a 0 · · · 00 1 · · · 0...

...0 0 · · · 1

Er volgt dat det(B) = 1 en dus B ∈ SLn(F ). Bijgevolg

A · SLn(F ) = D(a)B · SLn(F ) = D(a) · SLn(F ).

Duidelijk is D(a) · SLn(F ) 6= D(b) · SLn(F ) als a 6= b, a, b ∈ F ∗. Er volgt dat

GLn(F )/ SLn(F ) = D(a) · SLn(F ) | 0 6= a ∈ F .

3. Beschouw de diedergroep D6 = 〈a, b〉 van orde 6. Herinner dat a3 = 1, b2 = 1 enba = a2b.

44


a2b a2b ab b a2 a e

Zij N = 〈a〉 = 1, a, a2. Dan is [D6 : N ] = 2 en dus is N D6. De quotientgroepD6/N heeft twee elementen: N en bN . De Cayleytabel van deze quotientgroep is:

N bNN N bNbN bN N

Dus D6/N = 〈bN〉, een cyclische groep van orde 2.

Merk op dat we de Cayleytabel vanD6 kunnen opdelen in blokken zodat de elementenin een blok precies deze zijn van een nevenklasse van N . Dit is mogelijk omdat N D6.


a2b a2b ab b a2 a e

In D8 = 〈a, b〉 met a4 = b2 = 1 en ba = a3b is N = 〈a2〉 = 1, a2 een normaledeelgroep en de elementen van D8/N zijn de nevenklassen N = 1, a2, Na = a, a3,Nb = b, ba2 en Nab = ab, a3b. De Caleytabel van deze groep is

N Na Nb NabN N Na Nb NabNa Na N Nab NbNb Nb Nab N NaNab Nab Nb Na N

In blokvorm komt dit overeen met

45

· e a2 a a3 b a2b ab a3be e a2 a a3 b a2b ab a3ba2 a2 e a3 a a2b b a3b aba a a3 a2 e ab a3b a2b ba3 a3 a e a2 a3b ab b a2bb b a2b a3b ab e a2 a3 a

a2b a2b b ab a3b a2 e a a3

ab ab a3b b a2b a a3 e a2

a3b a3b ab a2b b a3 a a2 e

5.2 Deelgroepen van quotientgroepen

Stelling 5.2.1. Stel G een groep en N G. Dan gelden de volgende eigenschappen.

1. Als D 6 G een deelgroep is die N omvat dan is D/N = dN | d ∈ D eendeelgroep van G/N .

2. Elke deelgroep D van G/N is van de vorm D/N met D een deelgroep van G dieN omvat. Een voorbeeld van zo een deelgroep D is g ∈ G | gN ∈ D.

Dus definieert de correspondentie

D 7→ D/N

een bijectie tussen de verzameling van de deelgroepen van G/N en de verzameling vandeelgroepen van G die N omvatten.

Onder deze bijectie worden normale deelgroepen van G die N omvatten afgebeeldop normale deelgroepen van G/N .

Bewijs. (1) is eenvoudig te bewijzen.

(2) Zij D een deelgroep van G/N . Zij D = g ∈ G | gN ∈ D. Men bewijst dan datD een deelgroep is van G. Omdat, voor n ∈ N , nN = N ∈ D hebben wij dat N ⊆ D.Ook is D/N = D.

(2) toont aan dat de afbeelding D 7→ D/N surjectief is. Deze afbeelding is ookinjectief. Inderdaad, zij D1, D2 deelgroepen van G die N bevatten. Als D1/N = D2/N ,dan bestaat voor elke d2 ∈ D2 een d1 ∈ D1 zodat d2N = d1N . Dus, d2 ∈ d1N ⊆ D1.Bijgevolg D2 ⊆ D1. Analoog volgt de omgekeerde inclusie. Dus D1 = D2.

46

Hoofdstuk

6 Homomorfismen

In dit hoofdstuk bestuderen wij afbeeldingen tussen groepen die de algebraısche struc-tuur bewaren.

6.1 Definitie

Definitie 6.1.1. Zij (G, ∗) en (H, ⋄) groepen. Een afbeelding

f : G→ H

is een (groep-)homomorfisme als, voor alle a, b ∈ G,

f(a ∗ b) = f(a) ⋄ f(b) .Voorbeelden 6.1.2. (1) Zij F een lichaam. Dan is F ∗ = F \ 0 een abelse groep voorde vermenigvuldiging in F . De afbeelding

det : GLn(F ) → F ∗ : A 7→ det(A).

is een homomorfisme.

(2) De afbeeldingEn → Z/nZ : e2kπi/n 7→ [k]n

is een homomorfisme.

(3) Zij GA(1,R) de verzameling van alle functies

f : R → R

van de vormf(x) = ax+ b,

met a, b ∈ R en a 6= 0. Wij noteren deze functie als fa,b. Dan is GA(1,R) een groepvoor de samenstelling van functies. Zij A de verzameling van alle reele matrices van devorm

[

a b0 1

]

.

47

Dit is een deelgroep van GL2(R). Bovendien is

ϕ : GA(1,R) → A : fa,b 7→[

a b0 1

]

een bijectief homomorfisme.

(4) De afbeelding(R,+) → (R+

0 , ·) : x 7→ ex

is een bijectief homomorfisme. De inverse afbeelding

(R+0 , ·) → (R,+) : x 7→ ln x

is ook een bijectief homomorfisme.

(5) Zij N G. De afbeelding

nat : G→ G/N : g 7→ gN = g

is een surjectief groephomomorfisme. Men noemt dit het natuurlijke groephomomorfismevan G naar G/N .

Eigenschap 6.1.3. Zij f : G→ H een groephomomorfisme. Dan gelden de volgendeeigenschappen, voor alle g ∈ G:

1. f(eG) = eH ,

2. f(g−1) = f(g)−1,

3. f(gn) = (f(g))n, voor alle n ∈ Z.

Bewijs. (1) Omdat eGeG = eG volgt er f(eG)f(eG) = f(eG) = eHf(eG). Dus f(eG) =eH .

(2) Uit gg−1 = eG = g−1g volgt f(g)f(g−1) = f(eG) = eH = f(g−1)f(g). Dus f(g)heeft als inverse f(g−1) in H .

(3) Ga dit zelf na.

6.2 Isomorfismen

48

Definitie 6.2.1. Een groephomomorfisme f : G → H dat injectief (respectievelijksurjectief) is noemt men een monomorfisme (respectievelijk epimorfisme).

Een groephomomorfisme f : G → H dat een epimorfisme en monomorfisme isnoemt men een isomorfisme. Men zegt dan dat de groepen G en H isomorf zijn; mennoteert dit als G ∼= H .

Een isomorfisme f : G→ G noemt men een automorfisme.

Twee cyclische groepen van dezelfde orde zijn isomorfe groepen.

Zij G een groep en g ∈ G, dan noemt men de afbeelding

ϕg : G→ G : x 7→ gxg−1

de conjugatie door g (of het inwendige automorfisme bepaald door g). Deze afbeeldingis een automorfisme. De verzameling

C(x) = gxg−1 | g ∈ G

noemt men de conjugatieklasse van x in G. Deze verzameling is ook een equivalentie-klasse voor de equivalentierelatie ∼ op G gedefinieerd als volgt:

x ∼ y als en slechts als y = gxg−1 voor een g ∈ G .

Definitie 6.2.2. Zij G een groep. Dan noteert men met Aut(G) de verzameling vanalle automorfismen van G. Voorzien van de bewerking “de samenstelling van functies”is dit een groep en men noemt dit de automorfismegroep van G. Met Inn(G) noterenwij de verzameling van alle inwendige automorfismen van G.

Eigenschap 6.2.3. Zij G een groep, dan is Inn(G)Aut(G).

Bewijs. Duidelijk is ϕe ∈ Inn(G). Ook

ϕg ϕ−1h = ϕgh−1 .

Dus is Inn(G) een deelgroep van Aut(G).

Zij nu f ∈ Aut(G) danf ϕg f−1 = ϕf(g) .

Dus is Inn(G) een normale deelgroep van Aut(G).

49

Eigenschap 6.2.4. Zij f : G→ H een groephomomorfisme. Voor elk element g ∈ Ggeldt o(f(g)) | o(g).

Bewijs. Omdat f een groephomomorfisme is, geldt, met n = o(g), f(g)n = f(gn) =f(eG) = eH . Dus o(f(g)) | n.

Eigenschap 6.2.5. Zij f : G → H een groepisomorfisme. Als g ∈ G, dan hebben gen f(g) dezelfde orde.

Bewijs. Bewijs dit zelf.

Deze laatste eigenschap is dikwijls nuttig om aan te tonen dat twee groepen nietisomorf zijn. Beschouw bijvoorbeeld de groepen D8 en Q8. Beiden zijn van orde 8. Degroep D8 heeft twee elementen van orde vier (al de anderen zijn van orde twee of een).De groep Q8 heeft zes elementen van orde vier. Dus wegens de vorige eigenschap zijnbeide groepen niet isomorf. Man kan aantonen dat dit de enige (op isomorfisme na) nietabelse groepen van orde acht zijn.

6.3 Homomorfismestellingen

Definitie 6.3.1. Zij f : G → H een groephomomorfisme. De kern van f is deverzameling

ker(f) = g ∈ G | f(g) = eH .

Eigenschap 6.3.2. Zij f : G→ H een groephomomorfisme.

1. ker(f)G,

2. f is een monomorfisme als en slechts als ker(f) = eG.

3. Im(f) = f(G) 6 H.

Bewijs. (1) Omdat f(eG) = eH hebben wij dat eG ∈ ker(f). Als g1, g2 ∈ ker(f) dan

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g

−12 ) = f(g1)f(g2)

−1 = eHeH = eH

50

en dus g1g−12 ∈ ker(f). Dit toont aan dat ker(f) een deelgroep is van G. Ook, voor

g1 ∈ ker(f) en g ∈ G,

f(gg1g−1) = f(g)f(g1)f(g)

−1 = f(g)eHf(g)−1 = eH ,

d.w.z. gg1g−1 ∈ ker(f). Bijgevolg is ker(f)G.

Bewijs zelf dat Im(f) = f(g) | g ∈ G een deelgroep is van H .

Wij bewijzen nu (2). Veronderstel dat f een monomorfisme is en g ∈ ker(f). Danf(g) = eH = f(eG). Wegens de injectiviteit van f verkrijgen wij aldus dat g = eG. Dusker(f) = eG.

Omgekeerd, veronderstel dat ker(f) = eG. Zij g1, g2 ∈ G zodat f(g1) = f(g2).Dan

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g2)

−1 = f(g1)f(g1)−1 = eH .

Dus g1g−12 ∈ ker(f) = eG. Bijgevolg g1g−1

2 = eG en dus g1 = g2.

Wij zien dus dat elke kern van een groephomomorfisme een normale deelgroep is.Omgekeerd is een normale deelgroep N van een groep G de kern van het natuurlijkeepimorfisme nat : G → G/N . Dus is er een een-een correspondentie tussen normaledeelgroepen en kernen van groephomomorfismen.

Stelling 6.3.3 (Eerste Isomorfismestelling). Zij f : G→ H een groephomomorfisme.Dan

G/ ker f ∼= f(G).

Bewijs. Definieerψ : G/ ker(f) → f(G)

als volgtψ(g ker(f)) = f(g).

Eerst en vooral moeten wij aantonen dat ψ goed gedefinieerd is. Zij daarom g1, g2 ∈ Gzodat g1 ker(f) = g2 ker(f), d.w.z., g

−12 g1 ∈ ker(f). Dus

f(g1) = f(g2g−12 g1) = f(g2)f(g

−12 g1) = f(g2)eH = f(g2).

Bijgevolg is ψ inderdaad goed gedefinieerd.

Dat ψ een homomorfisme is volgt uit het volgende:

ψ ((g1 ker(f)) (g2 ker(f))) = ψ(g1g2 ker(f))

= f(g1g2)

= f(g1)f(g2)

= ψ(g1 ker(f)) ψ(g2 ker(f))

51

Als g ∈ G, dan f(g) = ψ(g ker(f)). Dus is ψ surjectief. Om aan te tonen datψ injectief is is het voldoende om aan te tonen dat ker(ψ) = eG/ ker(f). Zij daaromg ker(f) ∈ ker(ψ). Dus f(g) = eH en bijgevolg g ∈ ker(f). Er volgt g ker(f) = ker(f) =eG/ ker(f).

Wij geven enkele toepassingen van de homomorfismestelling.

(1) Beschouw het epimorfisme

det : GLn(F ) → F ∗ .

Dan is ker(det) = SLn(F ) en

GLn(F )/ SLn(F ) ∼= F ∗.

(2) Beschouw het epimorfisme (van additieve groepen)

f : Z → Z/nZ : z 7→ [z]n = z + nZ.

Dan is ker(f) = nZ. en dus

(3) Zij E = c ∈ C | |c| = 1. Dan is E een abelse groep voor de vermenigvuldiging vancomplexe getallen en

E = ex2πi | x ∈ R.Beschouw

ϕ : R → E

gedefinieerd als volgtϕ(x) = e2πix.

Dan is ϕ een groepepimorfisme van de groep (R,+) naar de groep (E, ·). Omdatker(ϕ) = Z verkrijgen wij

E ∼= R/Z.

(4) Beschouw G1 ×G2, het direct product van de groepen G1 end G2. Definieer

p1 : G1 ×G2 → G1 : (g1, g2) 7→ g1.

Dan is p1 een groepepimorfisme met ker(p1) = eG1 ×G2. Dus

(G1 ×G2)/(eG1 ×G2) ∼= G1.

Analoog isp2 : G1 ×G2 → G2 : (g1, g2) 7→ g2

een groepepimorfisme en ker(p2) = G1 × eG2. Dus

(G1 ×G2)/(G1 × eG2) ∼= G2.

52

Eigenschap 6.3.4. Zij G een groep. Dan is (Aut(G), ) een groep met als normaledeelgroep Inn(G). Bovendien,

G/Z(G) ∼= Inn(G).

Bewijs. Beschouw de afbeelding

ϕ : G→ Inn(G) : g 7→ ϕg.

Verifieer dat ϕ een groepepimorfisme is. Zij nu g ∈ G, dan is g ∈ ker(ϕ) als en slechtsals ϕg = 1G, d.w.z., voor alle x ∈ G,

gxg−1 = x.

Dit laatste is equivalent met gx = xg voor alle x ∈ G. M.a.w. g ∈ Z(G). Dusker(ϕ) = Z(G) en het resultaat volgt uit de eerste homomorfismestelling.

Enkele toepassingen van de homomorfismestellingen zijn gegeven in de volgende stel-ling.

Gevolg 6.3.5. Zij H en N deelgroepen van een groep G.

1. (Tweede Isomorfismestelling)Als N G, dan is

(a) N HN ,

(b) H ∩N H, en

(c) H/(N ∩H) ∼= HN/N .

(d) Als G ook eindig is dan |HN | = |H| |N ||H∩N |

.

2. (Derde Isomorfismestelling)Als N G en H G met N ⊆ H, dan

(a) H/N G/N , en

(b) (G/N)/(H/N) ∼= G/H.

Bewijs. (1) Uit Eigenschap 4.2.2 weten wij reeds dat 〈H ∪N〉 = HN = NH . Omdat Neen normale deelgroep is van G is uiteraard N een normale deelgroep van HN . Definieer

f : H → HN/N : h 7→ hN.

53

Dan, voor h1, h2 ∈ H ,

f(h1h2) = h1h2N = (h1N)(h2N) = f(h1)f(h2).

Dus is f een groephomomorfisme. Omdat voor h ∈ H en n ∈ N ,

hnN = hN

volgt er dat f surjectief is. Verder is h ∈ ker(f) als en slechts als hN = N , d.w.z.h ∈ N . Dus is ker(f) = H ∩N en i.h.b. is H ∩N een normale deelgroep van H . Wegensde eerste isomorfismestelling verkrijgen wij ook H/(N ∩H) ∼= HN/N .

Als G bovendien eindig is, dan volgt uit H/(N ∩H) ∼= HN/N dat

[H : (N ∩H)] = [HN : N ]

en dus|H|

|N ∩H| =|HN ||N | .

Bijgevolg

|HN | = |H| |N ||H ∩N | .

(2) Omdat H en N normale deelgroepen zijn met N ⊆ H bestaan de quotientgroepenG/N en G/H . Definieer de afbeelding

ψ : G/N → G/H : gN 7→ gH.

Ga na dat dit goed gedefinieerd is en dat ψ een epimorfisme is. Nu is gN ∈ ker(ψ) alsen slechts als ψ(gN) = gH = H , d.w.z. g ∈ H . Bijgevolg ker(ψ) = gN | g ∈ H =H/N . I.h.b. is H/N G/N . Wegens de eerste isomorfismestelling verkrijgen wij aldus(G/N)/(H/N) ∼= G/H .

Beschouw de additieve groep Z,+. Zij n,m ∈ Z dan

nZ/(nZ ∩mZ) ∼= (nZ+mZ)/mZ.

DusnZ/kgv(n,m)Z ∼= ggd(n,m)Z/mZ.

Merk op dat beide groepen cyclisch zijn van orde kgv(n,m)/n.

Wij vermelden nog een nuttige eigenschap (wij hebben deze al verschillende kerenimpliciet gebruikt).

54

Eigenschap 6.3.6. Zij f : G → H een groephomomorfisme. Zij D een normaledeelgroep van G. Als D ⊆ ker(f) dan bestaat er een uniek groephomomorfisme

f : G/D → H

zodatf nat = f

metnat : G→ G/D : g 7→ g = gD.

55

Hoofdstuk

7 Permutatiegroepen

In dit hoofdstuk bestuderen wij permutatiegroepen en tonen aan dat elke groep als eendeelgroep kan beschouwd worden van een permutatiegroep.

Het idee van het tellen van het aantal herschikkingen van de letters van een alfabetgaat ver terug in de geschiedenis. In de 13de eeuw werden “herschikkingen” reeds alseen “abstract object” aanvaard. De wiskundige Abu-l-Abbas ibn al-Banna (1256-1321,uit Marrakech) gaf al een volledig bewijs dat het aantal herschikkingen van een ver-zameling met n elementen gelijk is aan n!. Het was pas in de 18de eeuw, o.a. doorLagrange, dat er aan herschikkingen werd gedacht als functies van een verzameling naarzichzelf. Het was Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) die de fundering van de theorievan permutatiegroepen legde en notatie invoerde.

7.1 Stelling van Cayley

Stelling 7.1.1 (Stelling van Cayley). Een groep G is isomorf met een deelgroep vande symmetrische groep Sym(G).

Bewijs. Beschouw de afbeelding

ψ : G→ Sym(G) : g 7→ ψg

met

ψg : G→ G : x 7→ gx .

Wegens de vereenvoudigingseigenschappen in een groep is ψg injectief. Voor y ∈ Ggeldt dat ψ(g−1y) = y. Dus is elke ψg ook surjectief, en bijgevolg ψg ∈ Sym(G).Bijgevolg is ψ inderdaad een functie van G naar Sym(G). Omdat ψg ψh = ψgh is ψeen groephomomorfisme. Als g ∈ ker(ψ) dan ψg = 1G. Dus gx = x voor alle x ∈ G.Bijgevolg g = eG en dus is ψ een monomorfisme. Wegens de eerste isomorfismestellingvolgt er dat G ∼= ψ(G) en deze laatste is een deelgroep van de symmetrische groepSym(G).

57

In een artikel van 1854 gaf Arthur Cayley (1821-1895) een abstract klinkende definitievan het begrip groep: “een verzameling symbolen, 1, α, β, . . . ,” allen verschillend enzodanig dat het product van elke twee van hen (in gelijk welke volgorde) of het productvan elk een van hen met zichzelf, tot de verzameling behoort, noemt men een groep.”De symbolen die Cayley gebruikte waren, echter, steeds operatoren op een verzameling.Waarschijnlijk was hij zich niet bewust van een ander soort groep. Cayley schreef datartikel, en vele andere, toen hij aan een advocaat was. In 1863 werd hij professor aande Universiteit van Cambridge en hij schreef toen verschillende belangrijke artikels diegeleid hebben tot een axiomatische definitie (1882) van een abstracte groep, door WalterVan Dyck. Zijn vroegere opemerking/definite is dus voor een kwart eeuw niet opgemerkt.

7.2 Eindige Permutatiegroepen

Zij X een verzameling met n elementen. Meestal beschouwen wij X als de verzameling1, 2, . . . , n en wij noteren dan Sym(X) als Sn. Dikwijls schrijft men dan een permutatief : X → X in de vorm

f =

(

1 2 3 · · · nf(1) f(2) f(3) · · · f(n)

)

Het is dan ook eenvoudig na te gaan dat

|Sn| = n!

Inderdaad, elk element van de verzameling 1, 2, . . . , n komt precies eenmaal voor inde tweede rij. Er zijn n keuzes voor het eerste element in de rij. Bijgevolg zijn er n− 1keuzes voor het tweede element in de rij, enz. Dus zijn er in totaal n(n − 1) · · ·2 1mogelijkheden.

Definitie 7.2.1. Een permutatie f is een k-cyclus als er er k verschillende elementeni1, i2, . . . , ik in 1, 2, . . . , n bestaan zodat f(i) = i voor i 6∈ i1, · · · , ik en

f(i1) = i2, f(i2) = i3, · · · , f(ik−1) = ik, f(ik) = i1.

Men schrijft deze k-cyclus als(i1 i2 · · · ik).

Men noemt k de lengte van de cyclus.

Een 2-cyclus noemt men een transpositie.

58

Definitie 7.2.2. Twee permutaties π en ϕ noemt men disjunct als ϕ(i) = i voor elkei ∈ X met π(i) 6= i.

Wij merken op dat disjunctie permutaties commuteren, d.w.z., π ϕ = ϕ π.

Lemma 7.2.3. Zij f ∈ Sn en i ∈ 1, . . . , n. Als k het kleinste getal is in N0 zodatfk(i) ∈ i, f(i), . . . , fk−1(i) dan fk(i) = i.

Bewijs. Veronderstel dat fk(i) = f l(i) voor een 0 < l < k dan fk−l(i) = f−l(fk(i)) = i.Dit is echter in contradictie met de keuze van k.

Er volgt dus dat f ∈ Sn een k cyclus is als k ∈ N0 en een i ∈ 1, . . . , n bestaanzodat

1. k is het kleinste getal in N0 zodat fk(i) = i, en

2. f(j) = j voor alle j 6∈ i, f(i), . . . , fk−1(i).

Eigenschap 7.2.4. Elke permutatie is een product van disjuncte cyclussen. Dit pro-duct is uniek op de volgorde van de cyclussen na. We noemen dit de (disjuncte) cyclusontbinding van de permutatie (meestal schrijft men niet de cyclussen van lengte een).

Bewijs. Zij X = 1, . . . , n en F = i ∈ X | f(i) = i. Voor elke i ∈ F vormen wij de1-cyclus (i). Zij nu i het kleinste getal in X \ F en zij k het kleinste getal in N0 zodatfk(i) ∈ i, f(i), . . . , fk−1(i). Wegens de vorige eigenschap, fk(i) = i en wij vormen dek-cyclus

(i f(i) · · · fk−1(i)).

Als er nog een getal j bestaat in X dat niet behoort tot

F ∪ i, f(i), · · · , fk−1(i),

zij dan l het kleinste getal in N0 zodat fl(j) ∈ j, f(j), . . . , f l−1(j) en vorm de l-cyclus

(j f(j) · · · f l−1(j)). Er volgt dat f het product is van alle aldus gevormde cyclussen.

Ga zelf na dat deze ontbinding uniek is.

De ontbinding van

f =

(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 3 5 6 2 4 8 9 1 10

)

59

in S10 is(1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10).

Aangezien wij een cyclus van lengte een meestal niet schrijven, noteren wij deze permu-tatie dus meestal eenvoudiger als (1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)

Wij weten dat S3 zes elementen heeft en het is gemakkelijk na te gaan dat

S3 = 1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)

Merk op dat de inverse van een k-cyclus terug een k-cyclus is

(i1 i2 · · · ik)−1 = (ik ik−1 · · · i2 i1)

De orde van een k-cyclus in de groep Sn is precies de lengte van de cyclus.

Eigenschap 7.2.5. Zij f ∈ Sn en f = c1c2 · · · cl, een product van disjuncte cyclussenci van respectievelijke lengte ki. Dan is

o(f) = kgv(k1, k2, . . . , kl)

Bewijs. Wij moeten dus het kleinste getal k ∈ N0 bepalen zodat

fk = 1

Welnu, omdat disjuncte cyclussen commuteren verkrijgen wij

fk = (c1c2 · · · cl)k= ck1c

k2 · · · ckl

Dus, weer omdat de betrokken cyclussen disjunct zijn, volgt er dat fk = 1 als en slechtsals elke cki = 1 (voor 1 ≤ i ≤ l). Maar omdat o(ci) = ki verkrijgen wij dus dat elke ki|k.Bijgevolg kgv(k1, k2, . . . , kl)|k. Omdat

fkgv(k1,k2,...,kl) = 1

volgt het resultaat.

Duso((1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10)) = kgv(4, 3, 2) = 12.

Beschouw nu π = (1 7 8 9)(2 3 5)(4 8). Dan

o(π) = o((1 7 8 4 9)(2 3 5)) = 15.

60

Eigenschap 7.2.6. Elke k-cyclus (met k ≥ 2) in Sn is een product van k − 1 trans-posities. Bijgevolg is de groep Sn voortgebracht door alle transposities (i j), met i 6= jen i, j ∈ 1, 2, · · · , n.

Bewijs. Ga na dat(i1 i2 · · · ik) = (i1 ik) · · · (i1 i3)(i1 i2).

De ontbinding van een permutatie in transposities is niet uniek. Bijvoorbeeld, (1 2) =(3 4)(1 2)(3 4). Doch wij zullen aantonen dat de pariteit van het aantal transposities inde ontbinding eenduidig bepaald is.

Om dit aan te tonen benodigen wij het volgende. Zij f(X1, X2, . . . , Xn) een polynoomin n veranderlijken X1, X2, . . . , Xn over R. Als ϕ ∈ Sn dan is ϕf per definitie depolynoom

f(Xϕ(1), Xϕ(2), . . . , Xϕ(n)).

Bijvoorbeeld, als

f(X1, X2, X3, X4) = X1X2 + 3X4 − 7X2X3X4

enϕ = (1 3)(2 4)

danϕf = X3X4 + 3X2 − 7X4X1X2.

Eigenschap 7.2.7. Zij f een polynoom in de veranderlijken X1, X2, . . . , Xn en ϕ, π ∈Sn. Zij e de identiteit van Sn. Dan

1. ef = f ,

2. (ϕπ)f = ϕ(πf)

3. voor elke r ∈ R, ϕ(rf) = r(ϕf).

Bewijs. Ga dit zelf na.

Wij beschouwen nu de volgende polynoom in de veranderlijkenX1, X2, · · · , Xn:

∆n =∏

1≤i<j≤n

(Xi −Xj).

61

Definitie 7.2.8. Voor elke ϕ ∈ Sn is ofwel ϕ∆n = ∆n, ofwel is ϕ∆n = −∆n. In heteerste geval noemt men ϕ een even permutatie en in het tweede geval noemt men ϕeen oneven permutatie.

Beschouw nu de afbeelding

sgn : Sn → 1,−1

gedefinieerd als volgt

sgn(ϕ) =

1 als ϕ even is,−1 als ϕ oneven is.

Eigenschap 7.2.9. 1. De afbeelding sgn is een groephomomorfisme. De kern vandit homomorfisme noemt men de alternerende groep van graad n, en deze wordtgenoteerd An.

2. Elke transpositie is oneven.

3. Een k-cyclus is even als en slechts als k oneven is.

4. An is een normale deelgroep van Sn, en van index 2 indien n ≥ 2.

5. Sn/An∼= Z/2Z als n ≥ 2.

Bewijs. (1) Wij moeten bewijzen dat sgn(fg) = sgn(f) sgn(g) voor f, g ∈ Sn. Dit volgtuit de volgende redenering

sgn(fg)∆n = fg∆n

= f(g∆n)

= f(sgn(g)∆n)

= sgn(g)(f∆n)

= sgn(g) sgn(f)∆n

(2) Uit de definitie merken we eerst op dat sgn(1 2) = −1. Dus (1 2) is oneven. Neemnu k ∈ 3, . . . , n. Dan

(1 k) = (2 k)(1 2)(2 k)−1.

Omdat (1 2) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat (1 k) ook onevenis. Neem nu een willekeurige transpositie (l k) dan

(l k) = (1 l)(1 k)(1 l)−1.

62

Omdat (1 k) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat (l k) oneven is.

(3) Wij weten dat een k-cyclus het product is van k − 1 transposities. Weer omdat sgneen homomorfisme is volgt er dus dat een k-cyclus even is als en slechts als k oneven is.

(4) en (5) An is de kern van sgn en sgn is surjectief (als n ≥ 2). Dus volgt het resultaatuit de eerste isomorfismestelling.

Wij weten reeds dat Sn voortgebracht is door transposities. Wij hebben aangetoonddat elke transpositie een product is van transposities van de vorm (1 k). Dus verkrijgenwij onmiddellijk het eerste gedeelte van de volgende eigenschap. Het tweede gedeeltebewijst men analoog.

Eigenschap 7.2.10. 1. Sn = 〈(1 2), (1 3), · · · , (1 n)〉,

2. Sn = 〈a1 = (1 2), a2 = (2 3), · · · , an−1 = (n− 1 n)〉 en de volgende relaties zijnvoldaan

a2k = 1, (1 ≤ k ≤ n− 1);(ak ak+1)

3 = 1, (1 ≤ k ≤ n− 1);(ai aj)

2 = 1, (1 ≤ i, j ≤ n− 1 en |i− j| > 1).

Eigenschap 7.2.11. Zij f, g ∈ Sn. Zij g = c1 · · · ck, de ontbinding in disjunctecyclussen. Dan wordt de ontbinding in disjuncte cyclussen van

fgf−1

bekomen door in elke cyclus cj een getal i te vervangen door f(i).

Twee permutaties zijn geconjugeerd als en slechts als het type van hun cyclus ont-binding hetzelfde is.

63

Hoofdstuk

8 Eindige Abelse Groepen

In dit hoofdstuk classificeren wij de eindige abelse groepen.

8.1 Directe Producten

Eigenschap 8.1.1. Zij G een groep. Als G1 en G2 deelgroepen zijn zodat:

1. G1 en G2 zijn normale deelgroepen van G,

2. G1G2 = G,

3. G1 ∩G2 = e,

dan is G isomorf met het direct product G1 ×G2.

Bewijs. Voorwaarde (2) zegt dat elk element g van G kan geschreven worden in de vormg = g1g2 met g1 ∈ G1 en g2 ∈ G2. Wij tonen nu aan dat deze uitdrukking uniek is.Veronderstel dus dat

g1g2 = g′1g′2

met g′i ∈ Gi. Dan (g′1)−1g1 = g′2g

−12 ∈ G1 ∩ G2. Wegens voorwaarde (3) verkrijgen wij

(g′1)−1g1 = g′2g

−12 = e en dus g1 = g′1 en g2 = g′2.

Wij tonen nu aan dat de elementen van G1 commuteren met de elementen van G2.Zij dus gi ∈ Gi. Dan, omdat Gi G,

g1g2g−11 ∈ G2

en

g2g−11 g−1

2 ∈ G1.

Dus

g1g2g−11 g−1

2 ∈ G2 ∩G1

65

en bijgevolgg1g2g

−11 g−1

2 = e.

Dus g1g2 = g2g1.

Er volgt dat de afbeelding

f : G = G1G2 → G1 ×G2 : g1g2 7→ (g1, g2)

goed gedefinieerd is. Ook is dit een isomorfisme van groepen.

Het omgekeerde van de vorige stelling is uiteraard ook waar. Inderdaad als G =G1 ×G2 dan G = H1H2 met H1 = G1 ×eG2

en H2 = eG1×G2. De groepen Hi zijn

normaal in G en H1 ∩H2 = e.De Viergroep van Klein e, a, b, c is isomorf met e, a× e, b, en dus isomorf met

Z/2Z× Z/2Z.

De cyclische groep Z/6Z is isomorf met [0]6, [2]6, [4]6 × [0]6, [3]6; en dus metZ/3Z× Z/2Z.

8.2 Fundamentele Stelling

Lemma 8.2.1. Zij G een abelse groep.

1. Als m ∈ N dan is G(m) = g ∈ G | gm = e een deelgroep van G.

2. Als |G| = mn en (m,n) = 1, dan G ∼= G(m)×G(n).

Bewijs. (1) Duidelijk is e ∈ G(m). Als g1, g2 ∈ G(m), dan (omdat G abels is),

(g1g−12 )m = gm1 (g

m2 )

−1 = ee = e.

Dus g1g−12 ∈ G(m).

(2) Omdat (m,n) = 1 bestaan er v, w ∈ Z zodat vm+ wn = 1. Als g ∈ G, dan

g = g1 = gvm+wn = gvmgwn.

Verder is g|G| = gmn = e. Dus gvm ∈ G(n) en gwn ∈ G(m). Bijgevolg G = G(m)G(n).Omdat G abels is zijn beide groepen G(n) en G(m) normale deelgroepen van G. Ookis G(n) ∩G(m) = e. Inderdaad, zij g in de doorsnede. Dan gn = gm = e. Dus ook

g1 = gvmgwn = (gm)v(gn)w = ee = e.

66

Er volgt datG = G(m)G(n) ∼= G(m)×G(n).

Definitie 8.2.2. Zij G een groep en p een priemgetal. Als de orde van elk elementvan G een macht van p is dan noemt men G een p-groep.

Een voorbeeld van een p-groep is de cyclische groep Z/pnZ,+. Ook eindige directeproducten van p-groepen zijn p-groepen. De groep Z/pnZ,+ is geen p-groep.

Eigenschap 8.2.3. Zij G een eindige p-groep. Dan:

1. het homomorf beeld van G is ook een p-groep,

2. voor elke normale deelgroep N G is G/N een p-groep,

3. Als G abels is, dan is de orde van G is een macht van p.

Bewijs. (1) Veronderstel dat ϕ : G → H een groephomomorfisme is. Uit Eigen-schap 6.2.4 weten we dat de o(ϕ(g)) | o(g) voor alle g ∈ G. Omdat o(g) een machtvan een priemgetal p is, geldt dit dus ook voor o(ϕ(g)). Dus Imϕ is een p-groep.

(2) Voor een gegeven normale deelgroep N G, geldt dus, door (1) toe te passen op hetnatuurlijk epimorfisme nat : G → G/N (zie pagina 51), dat G/N een p-groep is, duso(gN) is een macht van het priemgetal p voor elk element gN ∈ G/N .

(3) Als G = e dan is dit resultaat triviaal. Veronderstel dus dat e 6= g ∈ G. Danis N = 〈g〉 een normale deelgroep van G en |N | = o(g) = pn voor een n ∈ N0. Nu

|G/N | = |G||N |

< |G| en door (2) is G/N een p-groep. Dus door inductie mag men

veronderstellen dat |G/N | = pm voor een m ∈ N. Dus |G| = pm|N | = pn+m.

Lemma 8.2.4. Veronderstel dat G een eindige abelse groep is. Dan is G het directproduct van eindige abelse p-groepen

Bewijs. Veronderstel dat |G| = pn1

1 pn2

2 · · · pnk

k , met p1, · · · , pk verschillende priemgetal-

len. Stel m = pn1

1 , en n = |G|m. Dan voldoen G, samen met de getallen m en n, aan de

voorwaarden van Eigenschap 8.2.1. Dus G ∼= G(m) × G(n), en G(m) is een p1-groep.Dit argument kan nu recursief toegepast worden op de groep G(n), met n = pn2

2 · · · pnk

k ,waaruit het lemma volgt.

67

Lemma 8.2.5. Veronderstel dat G een eindige, abelse p-groep is. Dan is G isomorfmet het direct product van cyclische p-groepen. Bovendien is deze ontbinding uniek.

Bewijs. We bewijzen de stelling door middel van inductie op de orde van G. Voor detriviale group is de stelling triviaal. Dus veronderstel dat |G| > 1. Kies een elementx ∈ G van maximale orde, dus met de eigenschap dat o(x) ≥ o(y) voor alle elementeny ∈ G. Stel A = 〈x〉. Wegens de inductiehypothese geldt

G/A ∼= 〈giA〉 × · · · × 〈gmA〉 ,en o(giA) = pti , omdat elk van de componenten van het direct product cyclische p-groepen zijn.

Nu tonen we aan dat er voor elke gi een element yi ∈ G bestaat, met giA = yiAen o(yi) = pti . Dus beschouw een element gA ∈ G/A met o(gA) = pt. Aangezieno(gA) ≤ o(g) (door b.v. Eigenschap 8.2.3 (2)), geldt pt | o(g). Omdat o(gA) = pt, geldtgp

t ∈ A, dus gpt

= xn, met n < o(x). Noteer o(x) = pi en o(g) = pj.

Omdat pt | o(g), geldt j ≥ t. Noem w het grootste natuurlijk gelal met pw | n.Aangezien o(x) > n, volgt w < i. We tonen nu aan dat w ≥ t. Er geldt:

o(gpt

) =pj

gcd(pj, pt)=pj

pt= pj−t

en

o(xn) =pi

gcd(pi, n)=

pi

(pi, pw)= pi−w .

Dus pj−t = pi−w, of nog, w = t + i− j. Omdat, o(x) = pi ≥ o(y) = pj volgt er i ≥ j endus w ≥ t, zoals gewenst.

Dus n = cpt voor een c ∈ N en dus gpt

= (xc)pt

zodat (gx−c)pt

= e en gA = (gx−c)A(en gx−c heeft orde pt).

Er bestaan dus yi ∈ G zodat o(yi) = pti en giA = yiA. Stel B = 〈y1, · · · , ym〉 =yr11 · · · yrmm | 0 ≤ ri < pti. Nu is AB = G. Wij tonen nu aan dat A ∩ B = e. Zijdaarom a ∈ A ∩B. Dan a = yr11 · · · yrmm met 0 ≤ ri < pti . Dan, in G/A,

eG/A = aA = (y1A)r1 · · · (ymA)rm.

Omdat G/A het direct product is van de 〈yiA〉 en o(yiA) = pti volgt er dat elke ri = 0.Dus is a = e.

Er volgt dat G ∼= A×B (uit Eigenschap 8.1.1). Passen we nu de inductiehypothesetoe op B, dan volgt het lemma. Tenslotte volgt eveneens dat

G ∼= Cpt1 × Cpt2 × . . .× Cptr ,

68

met t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tr ≥ 1, en Cpti een cyclische groep van orde pti .

Er blijft te bewijzen dat de ontbinding uniek is. Zij daarom

〈x1〉 × · · · × 〈xr〉 ∼= 〈y1〉 × · · · × 〈ys〉

met o(xi) = pti , t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tr ≥ 1, en o(yj) = puj , u1 ≥ u2 ≥ · · · ≥ us ≥ 1. Er volgtdat de p-machten isomorf zijn en dus

〈xp1〉 × · · · × 〈xpr〉 ∼= 〈yp1〉 × · · · × 〈yps〉.

Omdat deze groepen van kleinere orde zijn mag men per inductie veronderstellen datde ontbinding uniek is. Gebruik deze informatie en toon vervolgens aan dat het aantali met ti = 1 hetzelfde is als het aantal j met uj = 1. Dit alles bewijst het gewensteresultaat.

Stelling 8.2.6 (Fundamentele Stelling van Eindige Abelse Groepen). Zij G een niettriviale eindige abelse groep. Dan is G isomorf met een direct product van cyclischegroepen, elk van orde een macht van een priemgetal. De priemen die voorkomen zijndelers van de orde van G, en elke priemdeler van |G| komt voor in de ontbinding.Bovendien als p zo een priemgetal is, en als pt1 ≥ pt2 ≥ · · · ≥ ptr de orden van decyclische p-groepen zijn die voorkomen in deze ontbinding, dan zijn deze getallen uniekbepaald (men noemt deze de invarianten van G).

Bewijs. De combinatie van Lemma 8.2.4 end Lemma 8.2.5 bewijzen de stelling.

69

Hoofdstuk

9 Acties

Door het abstraheren van de fundamentele eigenschappen van permutaties is men tothet begrip groep gekomen. Een belangrijk kenmerk dat deze groepeigenschappen nietvermelden is dat groepen ingebed zijn in permutatiegroepen. Wij zullen deze eigenschapnu terug herstellen.

9.1 Definitie

Definitie 9.1.1. Zij X een verzameling en (G, ∗) een groep. Dan voert G een (linker)actie uit op X als er een groephomomorfisme

π : G→ Sym(X) : g 7→ πg

bestaat.

Uiteraard is π een groephomomorfisme als

πg∗h = πg πh,

voor alle g, h ∈ G. Dus in het bijzonder, πe = 1X , de identiteit op X . Voor x ∈ X ,noteren wij πg(x) als g · x. Wij verkrijgen aldus een afbeelding

G×X → X : (g, x) 7→ g · x

die voldoet aan de volgende eigenschappen:

1. voor g, h ∈ G, x ∈ X , (g ∗ h) · x = g · (h · x),

2. voor x ∈ X , e · x = x.

Net zoals in het bewijs van de stelling van Cayley bewijst men dat het bestaan vanzulke afbeelding een actie definieert van G op X .

71

Voorbeelden 9.1.2. (1) De identieke afbeelding Sym(X) → Sym(X) definieert eenactie van Sym(X) op X .

(2) De stelling van Cayley zegt dat een groep (G, ∗) een actie voert op G. In dit geval,voor elke g, x ∈ G:

πg(x) = g ∗ xen dus

g · x = g ∗ x.Dit is de linkse translatie actie.

(3) Een ander voorbeeld is de conjugatie op een groep G:

G×G→ G : (g, x) 7→ g ∗ x ∗ g−1.

(4) Zij G een groep en P(G) de verzameling van alle deelverzamelingen van G. Dan is

G× P(G) → P(G) : (g,D) 7→ gD

een actie van G op P(G) (de linkse translatie op deelverzamelingen). Ook voert Geen actie uit op de verzameling van alle deelgroepen van G, dit door middel van deconjugatie.

(5) Zij V een vectorruimte over een lichaam F , dan voert F× een actie uit op V .

Definitie 9.1.3. Veronderstel dat de groep G een actie voert op de verzameling X .De baan van x ∈ X onder de actie van G is de verzameling

O(x) = g · x | g ∈ G ,

de stabilisator van x is de verzameling

Gx = g ∈ G | g · x = x .

De stabilisatoren zijn deelgroepen van G.

Zij XG = x ∈ X | g · x = x voor alle g ∈ G.

Beschouw de actie van Sn op X = 1, 2, · · · , n. Dus,

Sn ×X → X : (f, i) 7→ f(i).

Dan, voor elke i ∈ X , O(i) = X en de stabilisator van i zijn al de permutaties f ∈ Sn

met f(i) = i. Dus de stabilisator is een deelgroep isomorf met Sn−1.

72

Voor de conjugatie actie in een groep G zijn de banen de conjugatieklassen en destabilistor van g ∈ G is de centralisator CG(g).

Voor de conjugatie actie op de deelgroepen van een groep G is de stabilisator vaneen deelgroep D de normalisator NG(D) = g ∈ G | gDg−1 = D.

Voor de linkse translatie op de deelverzamelingen van een groep G is de baan vaneen deelgroep H de verzameling van alle linkse nevenklassen van H . De stabilisator vanH is H zelf.

In het geval van de linkse translatie actie op een groep G is er slechts een baan, degroep G zelf.

Definitie 9.1.4. Veronderstel dat de groep G een actie voert op de verzameling X .Als X de enige baan is dan noemt men de actie transitief.

Wij beschouwen nog een voorbeeld. De groep GLn(R) voert een actie uit op Rn (wijschrijven de elementen van Rn in kolomvorm).

GLn(R)× Rn → Rn : (A,X) 7→ AX.

De stabilisator van X 6= 0 is de verzameling van alle matrices A ∈ GLn(R) die X alseigenvector hebben met eigenwaarde 1 en de stabilisator van X = 0 is GLn(R).

Schrijven wij de elementen van Rn in rijvorm dan verkrijgen wij een afbeelding

GLn(R)× Rn → Rn : (A,X) 7→ A ·X = XA.

Deze voldoet aan, voor alle A,B ∈ GLn R en X ∈ Rn,

1. (AB) ·X = B · (A ·X),

2. 1 ·X = X

Definieert men echter X ·A als X ∗A dan worden de vorige twee eigenschappen als volgtherschreven,

1. X ∗ (AB) = (X ∗ A) ∗B,

2. X ∗ 1 = X

73

Men noemt een afbeelding

X ×G→ X : (x, g) 7→ x ∗ g

die voldoet aan (voor alle x ∈ X , g, h ∈ G)

1. x ∗ (gh) = (x ∗ g) ∗ h,

2. x ∗ e = x

een rechteractie. Dit is equivalent met

ψ : G→ Sym(X) : g 7→ ψg,

waarbij

ψg : X → X : x 7→ x ∗ g,

is een antihomomorfisme, d.w.z. voor alle g, h ∈ G,

ψ(gh) = ψ(h) ψ(g).

9.2 Baan-Stabilisator Stelling

Eigenschap 9.2.1. Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert op de verza-meling X. Zij ∼ de relatie op X gedefinieerd als volgt:

x1 ∼ x2 als er een g ∈ G bestaat zodat g · x1 = x2.

Dan is ∼ een equivalentierelatie met de banen als equivalentieklassen. Dus de banenvormen een partitie van de verzameling X.

Bewijs. Ga dit zelf na.

74

Stelling 9.2.2 (Baan-Stabilisator Stelling). Veronderstel dat de groep G een (linker)actie voert op de verzameling X. Voor x ∈ X,

|O(x)| = [G : Gx].

Bewijs. Het is voldoende om aan te tonen dat de volgende afbeelding

f : O(x) → gGx | g ∈ G : g · x 7→ gGx

een bijectie is.

Eerst tonen wij aan dat de afbeelding goed gedefinieerd is. Veronderstel daarom datg · x = h · x, met g, h ∈ G. Dan (h−1g) · x = x en dus h−1g ∈ Gx. Bijgevolg hGx = gGx

en dus is de afbeelding inderdaad goed gedefinieerd.

De afbeelding is duidelijk surjectief. Om aan te tonen dat f injectief is veronder-stellen wij dat f(g · x) = f(h · x). Dan gGx = hGx en dus h−1g ∈ Gx. Bijgevolg(h−1g) · x = x en dus h · x = g · x, zoals gewenst.

Gevolg 9.2.3. Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert op de verzamelingX. Als G eindig is dan is het aantal elementen in een baan een deler van de orde vande groep G.

Gevolg 9.2.4. Voor een groep G en a ∈ G,

|C(a)| = [G : CG(a)].

Bewijs. Beschouw de conjugatieactie op G. Voor a ∈ G is de stabilisator precies decentralisator CG(a) en de baan van a is de conjugatiekklasse C(a). Dus volgt het resul-taat.

Wij analyseren nu de conjugatieklassen van S5 en A5. Herinner dat in S5 tweepermutaties geconjugeerd zijn als en slechts als zij van hetzelfde cyclus type zijn.

75

S5 Cyclus type Aantal Orde Teken

1 1 1 even

(1 2) 10 2 oneven

(1 2 3) 20 3 even

(1 2 3 4) 30 4 oneven

(1 2 3 4 5) 24 5 even

(1 2)(3 4 5) 20 6 oneven

(1 2)(3 4) 15 2 even

A5 Conjugatieklasse Aantal Orde Teken

C(1) 1 1 even

C(1 2 3) 20 3 even

C(1 2 3 4 5) 12 5 even

C(1 2 3 5 4) 12 5 even

(1 2)(3 4) 15 2 even

Wij merken dus op dat in S5 de conjugatieklasse van (1 2 3 4 5) precies 24 elemen-ten bevat, maar dat deze verzameling splitst in twee verzamelingen (twee verschillendeconjugatieklassen) in A5.

De volgende stelling geeft een middel om het aantal banen van een actie van eeneindige groep G op een eindige verzameling te bepalen. Voor g ∈ G noteren wij Xg =x ∈ X | g · x = x en XG = ∩g∈GXg = x ∈ X | g · x = x voor alle g ∈ G.

76

Stelling 9.2.5. Zij G een eindige groep die een linker actie voert op de eindige ver-zameling X. Zij r het aantal banen in X. Dan

r |G| =∑

g∈G

|Xg|.

Bewijs. Zij n = |(g, x) | g ∈ G, x ∈ X, g · x = x|. Voor elke g ∈ G zijn er |Xg| parenmet g als eerste component. Dus

n =∑

g∈G

|Xg|.

Voor elke x ∈ X zijn er |Gx| paren met x als tweede component. Dus

n =∑

x∈X

|Gx|.

Wegens de baan-stabilisator stelling weten wij |O(x)| = [G : Gx]. Dus

n =∑

x∈X

|G||O(x)| = |G|

∑

x∈X

1

|O(x)| .

Nu,∑

y∈O(x)1

O(y)=

∑

y∈O(x)1

|O(x)|= 1 en dus

∑

g∈G

|Xg| = n = |G|(aantal banen in X) = |G| r.

Veronderstel dat de eindige groep G een linker actie voert op de eindige verzamelingX . Merk op dat als Y een deelverzameling is van X die precies 1 element bevat uit elkebaan die meer dan 1 element bevat, dan

|X| = |XG|+∑

y∈Y

|O(y)|.

Stelling 9.2.6. Zij G een groep van orde pn (p een priemgetal) en veronderstel datG een linker actie voert op X. Dan

|X| ≡ |XG| (mod p).

77

Bewijs. Met notaties zoals in de opmerking voor de stelling. We weten dat |O(y)| eendeler is van |G| = pn. Dus is p een deler van elke |O(y)|. Uit de vergelijking voor destelling volgt dan |X| − |XG| deelbaar is door p.

Wij zullen nu bewijzen dat elke eindige p-groep als orde een macht van p heeft (duseen resultaat zoals in het commutatieve geval). De volgende stelling bevat hiervoor deessentie.

Stelling 9.2.7. (Stelling van Cauchy) Zij p een priemgetal en G een eindige groep.Als p een deler is van |G| dan heeft G een element van orde p.

Bewijs. Zij X = (g1, g2, . . . , gp) | g1g2 · · · gp = e, gi ∈ G, 1 ≤ i ≤ p. Merk op datX = (g1, g2, . . . , gp) | gp = (g1g2 · · · gp−1)

−1, gi ∈ G, 1 ≤ i ≤ p− 1. Dus |X| = |G|p−1.Omdat |G| deelbaar is door p, volgt dat |X| deelbaar is door p.

Zij σ = (1, 2, 3, · · · , p) ∈ Sp. Wij hebben duidelijk een actie

〈σ〉 ×X → X

gedefinieerd door

σ(g1, · · · , gp) = (g2, g3, · · · , gp, g1)

en definieer dan σi(g1, · · · , gp) iteratief.Wegens Stelling 9.2.6, |X| ≡ |X〈σ〉| mod p. Omdat p | |X| volgt er dus dat p | |X〈σ〉|.

Omdat (e, e, · · · , e) ∈ X volgt er dat |X〈σ〉| ≥ p. Zij dan (e, e, · · · , e) 6= (g1, · · · , gp) ∈X〈σ〉. Dus, σ(g1, g2, · · · , gp) = (g1, g2, · · · , gp) en bijgevolg g1 = g2 = · · · = gp. Er volgtdat gp1 = g1g2 · · · gp = e.

Gevolg 9.2.8. Zij G een eindige groep. Dan is G een p-groep als en slechts als |G|een macht van p is.

Bewijs. Bewijs dit als een oefening.

9.3 Sylowstellingen

78

Lemma 9.3.1. Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Als H een p-groep is (ppriem) dan

[NG(H) : H ] ≡ [G : H ] mod p.

I.h.b., als p een deler is van [G : H ] dan NG(H) 6= H.

Bewijs. Zij L = gH | g ∈ G en beschouw de volgende actie

H × L→ L : (h, gH) 7→ hgH.

Merk op dat LH = gH | hgH = gH voor alle h ∈ H = gH | g−1hg ∈ H |voor alle h ∈ H = gH | g ∈ NG(H) = gH | gH ⊆ NG(H). Dus |LH | =[NG(H) : H ].

Omdat H een p-groep is, weten wij wegens Gevolg 9.2.8 dat |H| een macht is vanp. Ook weten wij uit Stelling 9.2.6 dat |L| ≡ |LH | mod p. Dus, [G : H ] ≡ [NG(H) :H ] mod p.

Stelling 9.3.2. (Eerste Sylow stelling) Zij G een eindige groep en |G| = pnm metn ≥ 1 en (p,m) = 1 (p een priemgetal). De volgende eigenschappen gelden.

1. G heeft een deelgroep van orde pi met i zodat 1 ≤ i ≤ n.

2. elke deelgroep H van orde pi is een normale deelgroep van een deelgroep van ordepi+1 voor 1 ≤ i < n.

Bewijs. Wegens Stelling 9.2.7 weten wij dat G een deelgroep heeft van orde p. Wijbewijzen nu door inductie dat alsG een deegroepH heeft van orde pi, met 1 ≤ i < n, danheeft G een deelgroep van orde pi+1 (met H als normale deelgroep). Inderdaad, omdati < n weten wij dat p | [G : H ]. Wegens Lemma 9.3.1 weten wij ook dat p | [NG(H) : H ].Omdat H een normale deelgroep is in NG(H) kunnen wij de quotientgroep NG(H)/Hvormen. Weer wegens Stelling 9.2.7 verkrijgen wij een deelgroep K van NG(H)/H vanorde p. Uit de Isomorfismestellingen weten wij dat K = K/H met K een deelgroep vanNG(H) (en dus van G) die H omvat. Duidelijk is |K| = pi+1, zoals gewenst. OmdatH een normale deelgroep is van NG(H) en H ⊆ K ⊆ NG(H) is duidelijk ook H eennormale deelgroep van K. Dus volgt het resultaat.

Definitie 9.3.3. Een Sylow p-deelgroep P van een groep G is een maximale p-deelgroep van G, d.w.z. dit is een p-deelgroep die niet omvat is in een echt groterep-deelgroep.

79

Stelling 9.3.4. (Tweede Sylow stelling) Zij P1 en P2 Sylow p-deelgroepen van eeneindige groep G. Dan zijn P1 en P2 geconjugeerd, d.w.z., er bestaat een g ∈ G zodatP1 = gP2g

−1.

Bewijs. Zij L = gP1 | g ∈ G en beschouw de volgende actie

P2 × L→ L : (y, gP1) 7→ (yg)P1.

Wegens Stelling 9.2.6, |LP2| ≡ |L| mod p. Omdat p 6 ||L| = [G : P1] volgt er dat

|LP2| 6= 0. Zij gP1 ∈ LP2

. Dan ygP1 = gP1 voor alle y ∈ P2. Dus g−1P2g ⊆ P1. Omdat|P1| = |P2| en |g−1P2g| = |P2| moet P1 = g−1P2g. Dus zijn P1 en P2 geconjugeerd.

Stelling 9.3.5. (Derde Sylow Stelling) Als G een eindige groep is en p deelt |G| (metp een priemgetal) dan is het aantal Sylow p-deelgroepen congruent met 1 modulo p endeelt |G|.

Bewijs. Zij P een Sylow p-deelgroep van G. Zij L de verzameling van alle Sylow p-deelgroepen van G. Beschouw de volgende actie

P × L→ L : (g,H) 7→ gHg−1.

Wegens Stelling 9.2.6, |L| ≡ |LP | mod p.

Nu als H ∈ LP dan gHg−1 = H voor alle g ∈ P . Dus P ⊆ NG(H). Duidelijk,H ⊆ NG(H). Omdat P en H Sylow p-deelgroepen zijn van G, zijn dit dus ook Sylowp-deelgroepen van NG(H). Maar, wegens Stelling 9.3.4, bestaat g ∈ NG(H) zodatP = gHg−1. Omdat H normaal is NG(H) volgt er P = H . Dus, LP = P en dus|L| ≡ 1 mod p, zoals gewenst.

Beschouw vervolgens de actie

G× L→ L : (g,H) 7→ gHg−1.

Omdat alle Sylow p-deelgroepen geconjugeerd zijn is er slechts een baan (de actieis transitief). Als P ∈ L dan |L| = |baan van P | = [G : GP ], wegens de baan-stabilisatorstelling (merk op dat GP = NG(P )). Omdat [G : GP ] een deler is vanG, volgt er dat |L| een deler is van |G|.

De Sylow stellingen zijn te danken aan de Noorse wiskundige Peter Ludvig MejdellSylow (1832-1918). Hij publiceerde die stellingen in 1872. Sylow formuleerde zijn stel-lingen voor permutatiegroepen (omdat de abstracte definitie van groep nog niet bekend

80

was). In 1887 herbewees Georg Frobenius de stellingen voor abstracte groepen; alhoe-wel hij opmerkte dat elke groep kan beschouwd worden als een permutatiegroep (Stellingvan Cayley). Sylow gaf toepassingen van zijn stellingen voor oplossingen van algebrai-sche vergelijkingen. Hij bewees o.a. dat elke vergelijking wiens Galois-groep een p-groepis oplosbaar is door radikalen. Pas in 1898 werd Sylow Professor aan de ChristianaUniversiteit. Voordien was hij een leraar.

9.4 Semidirecte producten van groepen

Eigenschap 9.4.1. Zij N en G groepen en

π : G→ Aut(N) : g 7→ πg

een groephomomorfisme. Dan is

S = N ×G

een groep voor de volgende bewerking

(n1, g1)(n2, g2) = (n1πg1(n2), g1g2).

Bovendien zijn N0 = N×eG en G0 = eN×G deelgroepen van S. Verder, N0∼= N

en G0∼= G en

1. S = N0G0,

2. N0 S,

3. N0 ∩G0 = eS.

Men noteert deze groep meestal als N ⋊π G.

Bewijs. Wij verifieren eerst dat S een groep is. Het product definieert duidelijk een

81

bewerking. De associativiteit volgt uit het volgende:

((n1, g1)(n2, g2)) (n3, g3) = (n1πg1(n2), g1g2)(n3, g3)

= (n1πg1(n2)πg1g2(n3), (g1g2)g3)

= (n1πg1(n2πg2(n3)), g1(g2g3))

= (n1, g1)(n2πg2(n3), g2g3)

= (n1, g1) ((n2, g2)(n3, g3))

Verifieer zelf dat (eN , eG) het neutraal element is.

Verder,(n, g)(π−1

g (n−1), g−1) = (eN , eG) = (π−1g (n−1), g−1)(n, g).

Dus heeft elk element een invers en is S een groep. De andere voorwaarden zijn eenvoudigte verifieren.

Definitie 9.4.2. Een groep S is een semidirect product van een deelgroep N bij eendeelgroep G als aan de volgende voorwaarden voldaan is:

1. S = NG,

2. N S,

3. N ∩G = eS.

Eigenschap 9.4.3. Zij S het semidirect product van N bij G. Dan is de afbeelding

π : G→ Aut(N) : g 7→ πg

metπg : N → N : n 7→ gng−1

een groephomomorfisme.

Bewijs. Omdat N S is elke πg een automorfisme van N (het is de beperking van eenconjugatie tot N). Duidelijk is π een groephomomorfisme.

Een voorbeeld van een semidirect product is D6 = 〈a, b | a3 = 1, b2 = 1, ba = a2b〉.Inderdaad

D6∼= C3 ⋊ C2,

82

met C3 = 〈a〉 en C2 = 〈b〉. Dus men “ontbindt” de groep D6 in “eenvoudigere groepen”,bovendien hebben deze eenvoudigere groepen geen echte normale deelgroepen.

Definitie 9.4.4. Een groep G noemt men enkelvoudig (simpel) als G en e de enigenormale deelgroepen zijn van G.

Voorbeelden van enkelvoudige groepen zijn de cyclische groepen van orde een priem-getal en ook de alternerende groepen An met n ≥ 5. Al de eindige eenvoudige groepenzijn geklassificeerd. Dit was enorm project en het uiteindelijke bewijs omvat meer dan10000 blz in vele internationaal gepubliceerde artikels (meestal verschenen in de periode1955-1985). Momenteel schrijft men een reeks boeken die een een volledig overzichte-lijk bewijs en strategie zouden moeten geven. Belangrijke medewerkers aan dit projectzijn o.a. Chevalley, Tits, Steinberg, Suzuki, Ree, Mathieu, Burnside, Conway, Janko,Fischer, Brauer, Gorenstein Feit, Aschbacher, Thompson.

83

Oefeningen

1. Zij p(x) =“x is deelbaar door 10” en q(x) =“x is even”.

• schrijf p(x) en q(x) met symbolen

• Geef de negatie van p(x)

• Geef de conjunctie van p(x) en q(x)

• Schrijf “q(x) impliceert p(x)”, en de contrapositie ervan

• Schrijf de equivalentie van p(x) en q(x) op

Zeg van deze uitspraken of ze waar zijn of niet.

2. Stel de waarheidstafel op van de exclusieve of (Xor). Ken je een uitdrukking dieequivalent is?

3. Geef de waarheidstafels van

• (p→ q) ⇒ (q ⇒ p)

• q ⇔ (¬p ∨ ¬q)• [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

4. Toon aan dat ¬(p ∨ q) en ¬p ∧¬q logisch equivalent zijn. Wat kan je zeggen over¬(p ∧ q) en ¬p ∨ ¬q?

5. Toon aan dat p⇔ q en (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) logisch equivalent zijn.

6. Het aantal rijen van een waarheidstabel hangt af van het aantal samenstellendeuitspraken. Wat is het verband?

7. Schrijf de waarheidstafels op voor volgende logische uitspraken en leid er een equi-valente vorm voor de uitspraak uit af:

(a) ¬(¬p)(b) ¬(p ∧ q)(c) ¬(p ∨ q)

85

(d) ¬(p⇐ q)

(e) ¬(p⇔ q)

8. Een tautologie (of logische wet) is een uitspraak die steeds waar is. Toon aan datvolgende beweringen tautologieen zijn en interpreteer:

(a) ¬(p ∧ (¬p))(b) p ∨ (¬p)(c) (p ∧ p) ⇔ p

(d) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)(e) (p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r)(f) ¬(¬p) ⇔ p

(g) p⇒ (q ⇒ p)

(h) ¬p⇒ (p⇒ q)

(i) (p⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

9. Is p⇒ (q ⇒ p) logisch equivalent met (p⇒ q) ⇒ p?

10. Noteer volgende oefeningen met behulp van kwantoren. Bepaal eventueel of debewering waar of vals is. Schrijf de negatie van de bewering op met kwantoren enmet woorden.

(a) “Alle mensen zijn slim.”

(b) “Er zijn mensen die groot zijn.”

(c) “Er zijn mensen die groot zijn en lang haar hebben.”

(d) “Niet alle mensen hebben kort haar.”

(e) “Alle wegen leiden naar Rome.”

(f) “Voor elke mens geldt: als hij groot is, dan is hij niet klein.”

(g) “Een geheel getal is positief.”

(h) “Elk natuurlijk getal is even.”

(i) “Sommige reele getallen zijn positief.”

11. Schrijf alle deelverzamelingen van 1, 2, 3.

12. Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling met 2 elementen? Met 3 elemen-ten? Met n elementen?

13. Wanneer behoort een element niet tot A ∩ B? Vul aan: x 6∈ A ∩B ⇔ . . .

86

14. analoog: x 6∈ A ∪B ⇔ . . .

15. analoog: x 6∈ A\B ⇔ . . .

16. Toon aan dat

• B ⊇ A⇔ A ∪B = B ⇔ A ∩ B = A

• A ∪ (A ∩B) = A

• A ∩ (A ∪B) = A

17. Wanneer is x 6∈ ⋃

i∈I Ai?

18. Geef de betekenis in woorden van de volgende uitspraken. Zeg of ze waar of onwaarzijn. Geef de negatie in symbolen en woorden.

• ∀ x ∈ Z, ∃ y ∈ Z : x < y

• ∃ x ∈ Z, ∃ y ∈ N : x > y

• ∃ x ∈ Z, ∀ y ∈ Z : x < y

• ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ R |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

19. Zij A = 2, 3, B = 4, 5, 6 en C = a, b, c, d. Geef A×B, B×A, A×C, C×B,A2, C× a.

20. Zij A = 1, 2, 3, 4 en beschouw de relatie ≤: “is kleiner dan of gelijk aan” op A.Geef de elementen van ≤. Geef de inverse relatie van ≤.

21. Zij f : A −→ B een functie en S1, S2 ⊆ A. Bewijs dat

(a) f(S1 ∪ S2) = f(S1) ∪ f(S2)

(b) f(S1 ∩ S2) ⊂ f(S1) ∩ f(S2)

Zoek voorbeelden die dit illustreren.

22. Zij f : A −→ B een functie die niet noodzakelijk inverseerbaar is, en S ⊂ A enT, T1, T2 ⊂ B. Bewijs dat

(a) f−1(T1 ∪ T2) = f−1(T1) ∪ f−1(T2)

(b) f−1(T1 ∩ T2) = f−1(T1) ∩ f−1(T2)

(c) f(f−1(T )) ⊆ T

(d) f−1(f(S)) ⊇ S

Zoek voorbeelden die dit illustreren.

87

23. Toon aan: f : A −→ B is injectief ⇐⇒ ∀b ∈ B : f−1(b) bevat hoogstens eenelement.

24. (a) Zij f : A −→ B. Toon aan dat f 1A = f = 1B f .(b) Toon aan dat de samenstelling van 2 injecties opnieuw een injectie is.

(c) Toon aan dat de samenstelling van 2 surjecties opnieuw een surjectie is.

25. Zij f(x) =√x, g(x) = x/4 en h(x) = 4x− 8. Zoek het functievoorschrift voor:

(a) h g f(b) h f g(c) g h f(d) g f h(e) f g h(f) f h g

26. Zij f(x) = x− 3, g(x) =√x, h(x) = x3 en j(x) = 2x. Schrijf de volgende functies

als een samenstelling van de bovenstaande:

(a)√x− 3

(b) 2√x

(c) x1/4

(d) 4x

(e)√

(x− 3)3

(f) (2x− 6)3

(g) 2x− 3

(h) x3/2

(i) x9

(j) x− 6

(k) 2√x− 3

(l)√x3 − 3

27. Toon aan voor inverteerbare functies f en g:

(a) (f−1)−1 = f

(b) (g f)−1 = f−1 g−1

88

28. Onderzoek of volgende functies inverteerbaar zijn. Zo ja, bepaal de inverse func-ties. Zo nee, definieer een bijectie f met hetzelfde voorschrift als f en bepaal(f)−1.

(a) f : R → R : x 7→ |x|(b) f : R → R : x 7→ x+ 1

(c) f : R → R : x 7→ 2x+ 3

(d) f : R+ → R+ : x 7→ √x

(e) f : R → R : x 7→ 3√2x+ 2

(f) f : R → R : x 7→ 1

(g) f : R0 → R : x 7→ 2x−3x

(h) f : R → R : x 7→ sin x

29. Zij h : Z × Z → Z : h(x, y) = 2x + 3y. Bepaal het beeld van h. Is h injectief?Surjectief?

30. Bewijs: f(S1∩S2) = f(S1)∩f(S2) als f injectief is (zie oef. 21). Geef een voorbeeldvan een functie waarbij f(S1 ∩ S2) 6= f(S1) ∩ f(S2).

31. Bepaal of volgende functies injectief zijn. Geef hun beeld.

(a) f : Z → Z : x 7→ 2x+ 1

(b) f : Q → Q : x 7→ 2x+ 1

(c) f : Z → Z : x 7→ x3 − x

(d) f : R → R : x 7→ ex

(e) f : [−π/2, π/2] → R : x 7→ sin x

(f) f : [0, π] → R : x 7→ sin x

32. Stel f : A → B, met A = X ∪ Y en X ∩ Y = ∅. Als f|X en f|Y injectief zijn, watkan je dan zeggen van f?

33. Bepaal voor elk van de volgende functies f : Z → Z of ze injectief of surjectiefzijn. Indien niet surjectief, bepaal f(Z):

(a) f(x) = x+ 7

(b) f(x) = 2x− 3

(c) f(x) = −x+ 5

(d) f(x) = x2

89

(e) f(x) = −x2 + x

(f) f(x) = x3

34. Zelfde vraag als oefening 33, waarbij f als een functie van R naar R beschouwdwordt.

35. Toon aan: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt: (A × B) ∩ (B × A) =(A ∩ B)× (A ∩ B). [examen augustus 2005]

36. Vul aan (gebruik ⊆, ⊇ of =) en bewijs: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt:

(A×B) ∪ (B × A) . . . (A ∪ B)× (A ∪B).

37. Voor welke bewerkingen wordt Z een semigroep? Een monoıde? Een groep? Welkebewerkingen zijn commutatief?

(a) a ∗ b = ab

(b) a ∗ b = a+ b

(c) a ∗ b = a− b

(d) a ∗ b = |a− b|(e) a ∗ b = max(a, b)

(f) a ∗ b = a

38. Zij X een verzameling en stel c(X) de verzameling van alle constante functiesX → X . Is c(X) uitgerust met de samenstelling van functies een semigroep? Eenmonoıde? Een groep? Commutatief?

39. Beschouw de verzameling van alle functies N → N uitgerust met de samenstellingvan functies. Is dit een semigroep? Een monoıde? Een groep? Commutatief?Beschouw f : N → N : x 7−→ 2x en g : N → N : x 7−→ [x

2]. Bepaal f g en g f .

40. Zij (S, ∗) een monoıde met neutraal element e.

(a) Veronderstel dat a ∗ b = b ∗ c = e. Toon aan dat a = c.

(b) Veronderstel dat f voldoet aan a ∗ f = a voor alle a. Kun je iets besluitenover f? Geldt hetzelfde besluit als (S, ∗) slechts een semigroep is?

(c) Veronderstel dat f voldoet aan f ∗ f = f (we noemen f een idempotent).Kun je iets besluiten over f? Geldt hetzelfde besluit als (S, ∗) een groep is?

41. Vind een struktuur van monoıde op N die zo is dat voor elke n ∈ N getallen a en bin N bestaan waarvoor de vergelijking a ∗ x = b precies n oplossingen x ∈ N heeft.

90

42. Zij G een groep en c een element van G. Toon dat de bewerking x ∗ y = xcy eengroepsstruktuur op G definieert.

43. Zij G een groep.

(a) Als x2 = e voor elke x ∈ G, dan is G abels.

(b) Als (xy)2 = x2y2 voor alle x, y ∈ G, dan is G abels.

(c) Geef een voorbeeld van een niet abelse G met (xy)6 = x6y6 voor alle x, y ∈ G.

44. Zijn de volgende structuren ringen, commutatieve ringen, scheef lichamen, licha-men:(N,+, ·), (Z,+, ·), (Q,+, ·), (C,+, ·), (Z5,+, ·), (Z6,+, ·), (P(E),,∩), (H,+, ·)?Wat kan je over (M2(Z),+, ·) zeggen?

45. Bereken de groep van de inverteerbare elementen van de volgende ringen:(Z,+, ·), (Z5,+, ·), (Z6,+, ·), (Z8,+, ·), (M2(Z),+, ·), (M2(R),+, ·)?

46. De diedergroep D2n is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek in het vlak.

(a) Bepaal de symmetriegroep van een niet vierkantige rechthoek.

(b) Bepaal de symmetriegroep van de verzameling Z in de 1-dimensionale ruimte.Deze groep wordt de oneindige diedergroep D∞ genoemd.

47. Bespreek het verband tussen volgende eigenschappen van een groep G.

(a) G is een eindige groep;

(b) Elk element van G heeft eindige orde.

48. Toon dat in een groep G geldt dat o(h) = o(g−1hg).

49. In de groep GL2(R), bepaal de orde van a =

(

0 −11 0

)

, van b =

(

0 1−1 −1

)

en

van ab.

50. De groepen Z2 ×Z6 en Z3×Z4 bestaan allebei uit 12 elementen. Zijn ze cyclisch?Vind een criterium voor de situatie dat Zn × Zm cyclisch is.

51. (a) Zij G cyclisch van orde n met een voortbrenger a. Wanneer is ak ook eenvoortbrenger van G?

(b) Vind een groeptheoretisch bewijs dat ggd(n− 1, n) = 1.

52. Is de unie van twee deelgroepen opnieuw een deelgroep?

91

53. Als G een groep is, stel

T = g ∈ G | o(g) <∞ = g ∈ G | gn = e voor een n ∈ N0

(a) Als G abels is, ga na dat dit een deelgroep van G is (men noemt dit detorsiedeelgroep van G). Wat als G niet abels is?

(b) Indien G = (C∗, ·), welke g = ρeiθ behoren tot T ?

54. Bepaal het centrum van de Diedergroep D2n (n ≥ 1).

55. Bepaal:

(a) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R×0 in de groep (R2,+).

(b) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R+0 ×R+

0 in de groep (R20, ·).

(c) de partitie van de groep (Z,+) in nevenklassen van de deelgroep 6Z en departitie van de groep (Z12,+) in nevenklassen van de deelgroep voorgebrachtdoor het element 3 ∈ Z12.

56. Kan je een groep van 21 elementen construeren zodat er een element in deze groepvan orde 6 bestaat?Kan je een niet cyclische groep van orde 59 vinden?

57. Toon dat een deelgroep bevat in het centrum van een groep steeds normaal is.

58. Vind in S3 een deelgroep van orde 2 en een van orde 3. Bepaal hun linker enrechter nevenklassen. Zijn de deelgroepen normaal?

59. De quaternionengroep Q8 bestaat uit de acht elementen

1,−1, i,−i, j,−j, k,−k.

(a) Vul de volgende tabel aan:

1 −1 i −i j −j k −k

1 1 · · · · · · ·−1 · 1 −i i −j j −k ki · −i −1 1 k −k −j ·−i · i · −1 −k k · ·j · −j −k k −1 1 i −i−j · j k −k 1 · −i ·k · −k j −j −i i −1 ·−k · k −j j i −i 1 −1

(b) Geldt (−i · j)i = −i(j · i)? jk = kj?

92

(c) Vind alle deelgroepen van Q8. Welke zijn normaal?

60. Beschouw de deelgroep

G = 1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd), (abcd), (adcb), (bd), (ac)

van S4. Zij H = 1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd), K1 = 1, (ab)(cd) en K2 =1, (ac)(bd). Is H normaal in G? Ki normaal in H? Ki normaal in G?

61. Beschrijf het quotient (R0, ·)/(R+0 , ·).

62. Bepaal de torsiedeelgroep van de abelse groep (R,+), van de deelgroep (Z,+) envan het quotient (R/Z,+).

63. Bestaat er een groep G met centrum Z

(a) zodat het quotient G/Z cyclisch van orde 13 is?

(b) zodat G/Z abels is maar G niet?

64. Bewijs eigenschap 8.3.6.

65. Zijn de volgende functies groep homomorfismen? Als zo, bepaal hun kern en beeld.

(a) (R,+) → (R,+) : x 7→ x2

(b) (R,+) → (R+0 , ·) : x 7→ ex

(c) (R2,+) → (R0, ·) : (x, y) 7→ ex+y

(d) (R,+) → (C0, ·) : x 7→ e2πx

(e) (Z,+) → (Z,+) : z 7→ z + 1

(f) (R0, ·) → (R0, ·) : x 7→ x3

(g) (C0, ·) → (C0, ·) : x 7→ x2

(h) (Z2,+) → (R,+) : (a, b) 7→ a+ bπ

66. (a) Vind een isomorfisme tussen (R0, ·) en (Z2,+)× (R+0 , ·).

(b) Construeer een isomorfisme tussen (C0, ·) en (S, ·)× (R+0 , ·), waar S = z ∈

C | |z| = 1.

67. Beschouw het endomorfisme f van S3 dat 1,(123) en (132) afbeeldt op 1 en deoverige elementen op (12).

(a) Is f injectief? Surjectief?

(b) Zijn ker f en Beeldf (normale?) deelgroepen van S3?

93

(c) Ga de eerste isomorfismestelling na op dit voorbeeld.

68. Beschouw een homomorfisme f : G → H . Toon dat als g ∈ G eindige orde heeft,dan deelt de orde van f(g) de orde van g. Kunnen we meer zeggen als f eenmonomorfisme is?

69. Zij f : (R,+) → (R0, ·) een homomorfisme dat afleidbaar is als functie R → R.Toon aan:

(a) f(x) > 0 ∀x ∈ R;

(b) ∃a ∈ R : f(x) = eax ∀x ∈ R.

70. Stel p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5,. . . ,pn = het n-de priemgetal. Dan kan elk striktpositief rationaal getal q geschreven worden als een produkt q =

∏∞n=1 p

mnn waar

mn ∈ Z nul wordt voor n voldoende groot. Is

f : (Q+0 , ·) →

∏

n∈N0

(Z,+) : q 7−→ (mn)n

een homomorfisme? Een monomorfisme? Een epimorfisme?

71. Volgens de stelling van Cayley (8.1.1) bestaat er een monomorfisme Z6 → S6.Bestaat er ook een monomorfisme Z6 → S5?

72. (a) Zoek een isomorfisme tussen A4 en de groep van de rotaties van de ruimtedie een tetraeder invariant laten.

(b) Toon aan dat A4 geen deelgroep van index 2 heeft.

(c) Ga na dat K = 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) een deelgroep is van A4.

(d) Is A4 enkelvoudig?

73. Zij GL(2,R) de groep van matrices van determinant veschillend van 0 en SL(2,R)de groep van matrices van determinant 1. Gebruik de feit dat de determinant eengroepshomomorfisme is en de eerste isomorfisme stelling om de quotient (GL(2,R)/SL(2,R), ·)te bepalen.

74. Zij S = z ∈ C | |z| = 1 en µCn = z ∈ S | zn = 1.

(a) Bewijs dat ϕ : (R,+) → (S, ·) : x 7→ e2πix een groepshomomorfisme is.

(b) Bepaal (R/Z,+).

(c) Bewijs dat (S, ·) → (S, ·) : z 7→ zn een homomorfisme is. Wat is de kern?Wat is het beeld?

(d) Bepaal (S/µCn , ·)!

94

75. Bepaal volgende quotienten:

(a) (Z/5Z,+),

(b) (Z/nZ,+) voor een n ∈ N0,

(c) (Z2/(2Z× 5Z),+),

(d) (Z2/(mZ× nZ),+) voor n,m ∈ N0.

76. Bepaal de quotient (R20/(x, y) ∈ R2

0 | y = x2, ·).

77. Bepaal in (S100, )

(a) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (456)|(b) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (123)|(c) |q ∈ S100 | q (123)(45) q−1 = (345)(67)|(d) |q ∈ S100 | q (12)(34) q−1 = (12)(34)|(e) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (12)|

78. Geef een voorbeeld (als mogelijk) van

(a) een even permutatie van even orde,

(b) een even permutatie van oneven orde,

(c) een oneven permutatie van even orde,

(d) een oneven permutatie van oneven orde.

79. Bewijs dat een permutatie even is als en slechts als de aantal van cyclussen vaneven lengte even is. Bewijs dan dat een oneven permutatie altijd van even orde is.

80. Toon aan dat de 3-cyclussen in (A4, ) twee conjugatieklassen vormen, maar datde 3-cyclussen in (A5, ) alle in een conjugatieklass zijn.

81. (a) Welke groepen zijn isomorf onder Z18, Z2 × Z9, Z3 × Z6, Z2 × Z3 × Z3?

(b) Ga na dat elk van deze groepen een (juist een?) deelgroep van orde 1, 2, 3,6, 9 en 18 omvat.

82. (a) Hoeveel rotaties van de ruimte laten een kubus invariant?

(b) Ken je de groep van deze rotaties?

83. Zij G een groep en p een priemgetal.

(a) Toon, door gebruik te maken van de Orbiet-stabilisator stelling, dat als |G| =pn, dan heeft G een niet-triviaal centrum.

95

(b) Als |G| = p, dan is G abels;

(c) Als |G| = p2, dan is G abels;

(d) Is dit ook het geval als |G| = p3?

84. Veronderstel dat een groep G een actie uitvoert op een verzameling X . Toon datvoor x ∈ X en g ∈ G de stabilisatoren van x en g · x geconjugeerde deelgroepenvan G zijn.

85. Zij G een eindige groep met precies twee conjugatieklassen. Toon dat G preciestwee elementen telt.

86. Zij G een eindige groep met |G| = pnm met n ≥ 1 en (p,m) = 1. Zij N Gmet |N | = pk met k ≤ n. Bewijs dat N een normale deelgroep is van elke Sylowp-deelgroep van G.

87. Zij G een niet cyclische groep van orde 21.

(a) Hoeveel Sylow 3-deelgroepen heeft G?

(b) Bewijs dat G exakt 14 elementen van orde 3 heeft.

88. Zij G een groep van order 56. We willen bewijzen dat G niet enkelvoudig is.

(a) Bewijs dat G ofwel 1, ofwel 8 Sylow 7-deelgroepen heeft.

(b) Bewijs dat G niet enkelvoudig is, als er exakt een Sylow 7-deelgroep is.

Veronderstel nu dat het aantal Sylow 7-deelgroepen gelijk aan 8 is.

(a) Bewijs dat elke Sylow 7-deelgroep cyclisch is.

(b) Bewijs dat de doorsnede van twee Sylow 7-deelgroepen triviaal is.

(c) Bewijs dat er dus 48 elementen van orde 7 in G zijn.

(d) Bewijs dat in deze geval enkel een Sylow 2-groep kan bestaan.

(e) Bewijs dat dus G niet enkelvoudig is.

89. Beschouw C2 =< b | b2 = 1 > en C3 =< a | a3 = 1 >.

(a) Vind al de automorfismen van C3;

(b) Vind al de homomorfismen van C2 naar Aut(C3);

(c) Als π : C2 → Aut(C3) triviaal is, dan geldt C3 ⋊π C2∼= C3 × C2;

(d) Als π : C2 → Aut(C3) niet triviaal is, dan geldt C3 ⋊π C2∼= D6.

96

90. Als G een groep is, H een normale deelgroep, H ∼= Z6, en G/H ∼= Z2, uit hoeveelelementen bestaat G dan? Is G noodzakelijk commutatief? Is G noodzakelijkcyclisch?

91. Schrijf de oneindige diedergroep als een semidirect produkt.

97

Index

eenheidselement, 17

Abel, iiiabelse bewerking, 1actie, 71

linker, 71linkse translatie, 72rechter, 74transitief, 73

affiene groep, 9alternerende groep, 62argument, 9associatief

veralgemeend, 6automorfisme, 49

inwendig, 49automorfismegroep, 49

baan, 72bewerking, 1

abels, 1commutatief, 1

binaire bewerking, 1Boole, 5Boolse groep, 5Burnside, iv

Cauchy, 78Cayley, 11, 57Cayleytabel, 11centralisator, 31, 73centrum, 31commutatieve bewerking, 1complex toegevoegde, 3congruentierelatie, 19

modulo n, 19

conjugatie, 49, 72conjugatieklas, 73conjugatieklasse, 49cyclisch, 16cyclus, 58

lengte, 58

deelgroep, 25normaal, 39normalisator, 41

direct product, 22distributiviteitswetten, 17

elementinvers, 3, 13

epimorfisme, 49equivalentieklasse, 19equivalentierelatie, 19Euler, 38Euler ϕ-functie, 38even permutatie, 62

Fermat, 37Fundamentele Stelling, 69

Galois, iiigroep

affien, 9alternerend, 62automorfisme, 49Boolse, 5cyclisch, 16eindig, 11enkelvoudig, 83Fundamentele Stelling, 69homomorfisme, 47

99

inwendige automorfismen, 49lineair, 18p-groep, 67presentatie, 30relaties, 30semidirect product, 82simpel, 83speciaal lineaire, 18stochastisch, 18symmetrisch, 7van de inverteerbare elementen, 18voortgebracht door, 28vrij, 31

homomorfisme, 47automorfisme, 49epimorfisme, 49isomorfisme, 49kern, 50monomorfisme, 49natuurlijk, 48

identiteitsmatrix, 17index, 36invarianten, 69invers element, 1, 3, 13inverse, 1inwendig automorfisme, 49isomorfisme, 49isomorfismestelling

derde, 53eerste, 51tweede, 53

kern, 50Klein, 12

Lagrange, 36Latijns vierkant, 21lengte van een cyclus, 58lichaam, 17Lie, iii

lineaire groep, 18

macht, 6matrix

stochastisch, 18modulus, 3monoıde, 2monomorfisme, 49

neutraal element, 1nevenklasse, 35

linker, 35rechter, 35

normale deelgroep, 39normalisator, 41, 73nulelement, 17

oneven permutatie, 62orde, 15

van een element, 15van een groep, 11

p-groep, 67partitie, 19permutatie

even, 62oneven, 62

permutatiegroep, 7poolcoordinaten, 9presentatie, 30product

direct, 22, 65

quaternionengroep, 30quotientgroep, 43

reflexief, 19relatie, 19relaties, 30ring, 17

semidirect product, 82semigroep, 2

100

speciaal lineaire groep, 18stabilisator, 72stochastische groep, 18stochastische matrix, 18Sylow, 79Sylow deelgroep, 79symmetrie, 19symmetriegroep, 7symmetrisch verschil, 5symmetrische groep, 7

transitief, 19transpositie, 58

veld, 17veralgemeende associativiteit, 6vereenvoudigingswetten, 13vermenigvuldigingstabel, 11Viergroep, 12, 23, 30voortbrenger, 16vrije groep, 31

Wilson, 38

101

Bibliografie

[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991.

[2] J. B. Fraleigh, A first course in abstract algebra, Addison-Wesley Publishing Co.,Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1967.

[3] M. Hall, Jr., The theory of groups, The Macmillan Co., New York, N.Y., 1959.

[4] I. N. Herstein, Abstract algebra, Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ,third ed., 1996. With a preface by Barbara Cortzen and David J. Winter.

[5] J. F. Humphreys, A course in group theory, Oxford Science Publications, TheClarendon Press, Oxford University Press, New York, 1996.

103

Inleiding tot de Groepentheorie - Personal...

Documents

Transcript of Inleiding tot de Groepentheorie - Personal...