INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen...

20
Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 1 INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE Deze begeleidende tekst is een handleiding bij de inleidende cursus wiskunde in de opleiding Handelswetenschappen. Het gebruikte handboek [WBT] is: Verheyen, P. & Janssens, D., Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen, Acco, Leuven/ Den Haag, 2017 (4 de editie, ISBN: 9789463442664). We behandelen in deze inleidende cursus hoofdstuk 1, uitgezonderd 1.10.5 en 1.13, hoofdstuk 2 §2.1 en §2.2, en blikken vooruit naar 2.5.1 tot en met 2.5.3. Oplossingen en verder begeleidend materiaal zijn beschikbaar via Toledo en https://feb.kuleuven.be/paul.verheyen/public :

Transcript of INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen...

Page 1: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 1

INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE Deze begeleidende tekst is een handleiding bij de inleidende cursus wiskunde in de

opleiding Handelswetenschappen.

Het gebruikte handboek [WBT] is:

Verheyen, P. & Janssens, D., Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen,

Acco, Leuven/ Den Haag, 2017 (4de editie, ISBN: 9789463442664).

We behandelen in deze inleidende cursus

hoofdstuk 1, uitgezonderd 1.10.5 en 1.13,

hoofdstuk 2 §2.1 en §2.2, en blikken vooruit naar 2.5.1 tot en met 2.5.3.

Oplossingen en verder begeleidend materiaal zijn beschikbaar via Toledo en

https://feb.kuleuven.be/paul.verheyen/public :

Page 2: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 2

Basiskennis: samenvatting

1 Algebra

Getallen en bewerkingen [WBT 1.1 1.5]

Binnen de getallenverzameling ℝ met deelverzamelingen ℕ, ℤ en ℚ, ben je vertrouwd met n-de machtswortels (� ∈ ℕ) en bewerkingen met exponenten.

Je kent de specifieke volgorde waarin bewerkingen dienen uitgevoerd en gebruikt cor-

rect haken om hiervan af te wijken.

Algebraïsche vergelijkingen [WBT 1.10 uitgezonderd 1.10.5]

Je kan eerste- en tweedegraadsvergelijkingen oplossen in ℝ . In het bijzonder weet je dat ��2 + �� + � = 0 maximaal twee reële oplossingen heeft, afhankelijk van het teken

van de discriminant � ≔ �2 − 4�� , waarbij deze voor � ⩾ 0 gegeven worden door �1,2 = −� ± √�

2� . Voor veeltermvergelijkingen met graad groter dan 2, kan je eventueel gebruik maken

van het ontbinden in factoren, om deze op te lossen.

Theoretisch kan je elke veelterm ontbinden in eerstegraadsfactoren en tweedegraads-

factoren met discriminant kleiner dan 0. Praktisch zijn er daartoe problemen, zoals het

niet bestaan van formules om een veeltermvergelijking met graad groter dan 4 op te

lossen. Soms helpt de regel van Horner om te ontbinden in factoren (bij vergelijkingen

met gehele coëfficiënten en gehele oplossingen) of moet je je beperken tot numerieke

oplossingen van een vergelijking.

Sommige vergelijkingen kan je oplossen door een factor buiten haken te brengen, of

door het feit dat deze te schrijven zijn als een tweedegraadsvergelijking in een uitdruk-

king verschillend van � (zoals bv. bikwadratische vergelijkingen). Ongelijkheden

Algebraïsche ongelijkheden los je op door de overeenkomstige gelijkheden op te lossen

en dan via een tekenschema de oplossingen van de oorspronkelijke ongelijkheid te zoe-

ken.

Afleiden

Je kan veeltermfuncties afleiden via de lineariteitseigenschap en ��� = � ⋅ ��−1 voor � ∈ ℕ0 .

Page 3: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3

2 Meetkunde [WBT 1.11]

Grafische voorstellingen

Je kan de een veeltermvergelijking met graad 1 grafisch voorstellen als een rechte en

deze met graad 2 als een parabool met een verticale symmetrie-as.

Rechten in een vlak

Richtingscoëfficiënt van een rechte (helling)

Voor een niet verticale rechte met gegeven vergelijking, vind je de richtingscoëfficiënt

als de coëfficiënt van � wanneer je deze vergelijking oplost naar �. Grafische voorstelling

Grafisch stel je de corresponderende rechte voor door de snijpunten met de assen te

zoeken en deze punten met elkaar te verbinden. Indien beide snijpunten samenvallen

met (0,0), zoek je een willekeurig ander punt.

Bij evenwijdigheid met de X-as gaat het om een horizontale rechte met vergelijking

� = � �!"��"#, terwijl het bij evenwijdigheid met de Y-as gaat het om een verticale

rechte met vergelijking � = � �!"��"#. Vergelijking van een rechte

De rechte door twee verschillende gegeven punten � en � met respectievelijke coördi-

naatgetallen (�%, �%) en (�(, �() heeft als richtingscoëfficiënt ) = �( − �%�( − �%

indien �( − �% ≠ 0 en als vergelijking � − �% = ) ⋅ (� − �%) .

Indien �( − �% = 0 gaat het om een verticale rechte met vergelijking � = �% . Evenwijdigheid

Twee rechten zijn evenwijdig wanneer zij dezelfde richtingscoëfficiënten hebben (of als

ze beide verticaal zijn).

Loodrechte stand

Twee rechten met respectievelijk richtingscoëfficiënten )1 en )2, staan onderling lood-recht als en slechts als het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan −1 .

Page 4: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 4

Parabolen met verticale symmetrie-as

De top van de parabool met vergelijking � = ,�2 + -� + . (met ,, - en . reële

getallen, , ≠ 0), bepaal je door de rechterhandzijde af te leiden en gelijk te stellen aan 0, waardoor de �-coördinaat �/01 van deze top gevonden wordt als de oplossing van 2,� + - = 0 . De y-coördinaat vind je dan door deze oplossing �/01 in te vullen voor � in de rechterhandzijde ,�2 + -� + ..

Voor , > 0 bekom je een minimum en voor , < 0 een maximum van de corresponde-

rende tweedegraadsfunctie: het gaat respectievelijk om een dal- en bergparabool.

Afstand in een vlak

Ten opzichte van een orthonormale basis in een vlak wordt de afstand d(�, �) tussen punten �(�%, �%) en �(�(, �() gedefinieerd door

�(�, �):= √(�( − �%)2 + (�( − �%)2 .

Cirkels

Een cirkel met middelpunt �(�%, �%) en straal 7 ∈ ℝ0+ heeft als vergelijking (� − �a)2 + (� − �a)2 = 72 .

Omgekeerd bepaalt een tweedegraadsuitdrukking in � en � waarbij de coëfficiënten van �2 en �2 gelijk zijn (en verschillend van 0) en waarbij er geen term in �� optreedt, mogelijk een cirkel: je bepaalt in een dergelijk geval middelpunt en straal door de

uitdrukking te herleiden naar de vorm �2 + �2 + ,� + -� + � = 0 (,, - en . ∈ ℝ) en deze te vervolledigen tot een perfect kwadraat voor � en voor �.

3 Stelsels vergelijkingen [WBT 1.12]

Om stelsels vergelijkingen op te lossen, kan je beroep doen op

• de substitutiemethode,

• de combinatiemethode of

• een mengvorm van beide.

Stelsels eerstegraadsvergelijkingen: methode van Gauss en Gauss-Jordan

Indien het gaat om stelsels eerstegraadsvergelijkingen, vertaalt zich dit naar het gebruik van

uitgebreide matrices en de methode van Gauss of Gauss-Jordan. Omdat bij het oplossen van

een dergelijk stelsel alleen de coëfficiënten der onbekenden en de rechterhandzijden der verge-

lijkingen van belang zijn, wordt een dergelijk stelsel voorgesteld via een zogenaamde (uitge-

breide) matrix (d.w.z. een rechthoekige tabel met getallen).

Page 5: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 5

De gevolgde oplossingsmethode wordt gerepresenteerd door een sequentie van equivalent (uit-

gebreide) matrices, waarbij nullen gevormd wordt “naar beneden” (Gauss) of “naar beneden

en boven” (Gauss-Jordan). Hierbij is het toegestaan om

1) een rij te vervangen door een van nul verschillend veelvoud van deze rij;

2) een rij te vervangen door deze rij vermeerderd met een veelvoud van een andere

rij;

3) rijen van plaats te wisselen.

Men spreekt over elementaire rijtransformaties.

Stelsels veeltermvergelijkingen waaronder niet-eerstegraadsverge-

lijkingen

Alleen de geciteerde mogelijkheden: substitutie-, combinatiemethode of mengvorm zijn

toe te passen.

4 Functies in één reële variabele

Voor een functie

9: ℝ → ℝ: � ↦ 9(�) . kan je het domein bepalen, d.w.z. de verzameling van alle � in ℝ waarvoor 9(�) bestaat (in ℝ).

Elementaire functies [WBT 2.1]

Verder ken je de grafische voorstellingen van elementaire functies:

• eerstegraadsfuncties als rechten;

• tweedegraadsfuncties als parabolen;

• de derdegraadsfunctie ℝ → ℝ: � ↦ �3

Page 6: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 6

• de functie ℝ → ℝ: � ↦ 1= met als grafiek een hyperbool

;

• de rationale functie

ℝ → ℝ: � ↦ �2�

met als grafiek een doorboorde rechte:

;

• de absolute waarde functie ABS = |.|

;

Page 7: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 7

• de goniometrische functies sin

en cos

;

• de functie FLOOR, gedefinieerd door de eis dat FLOOR(�)= ⌊�⌋ het groot-ste gehele getal kleiner dan of gelijk aan � is. Dit bepaalt een trapfunctie met

domein ℝ en beeld ℤ

;

• exponentiële en logaritmische functies (zie bespreking infra).

Page 8: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 8

Exponentiële functies [WBT 1.2] (@ ∈ ℝA+{C}) EFGH: ℝ ↦ ℝA+: F ↦ @I

0 < a < 1 a > 1

Logaritmische functies (@ ∈ ℝA+{C}) ∶ KLMH: = EFGH−N

d.w.z. log%� = ? ⟺ � = �? 0 < a < 1 a > 1

EIGENSCHAPPEN:

log%(�1 ⋅ �2) = log%�1 + log%�2 , log%�1�2

= log%�1 − log%�2

log%(�=) = � ⋅ log%� . De overgang tussen logaritmenstelsels wordt gegeven door log%� = logX=

logX% . Voor het irrationale getal # ≈ 2,71 defineert men

ln � := log\ � .

zodat de overgang tussen logaritmenstelsels kan geschreven worden als

log% � = ln �ln � .

Page 9: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 9

1. Algebraïsche basisbegrippen

1.1 Machten in @ℝ [WBT 1.2]

1) Werk uit:

a) √9 =

b) √83 =

c) √−83 =

d) (−8)1 3⁄ =

e) 22 ⋅ 23 =

f) 220 ⋅ 230 =

g) 22: 23 =

h) 23: 22 =

i) (−2)4: 23 =

j) −24: 23 =

k) (23)2 =

l) 2(32) =

m) (5−3)−2 =

n) √�6 ⋅ √�3 =

2) Vereenvoudig (veronderstel dat deze uitdrukkingen bestaan):

�) 1 − 1� + 1

� − 1�

�) 3�2 (2� + 5)1 3⁄ − �3 23 (2� + 5)− 2 3⁄

(2� + 5)2 3⁄

Page 10: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 10

1.2 Het sommatieteken [WBT 1.6]

Schrijf de volgende uitdrukkingen met een sommatieteken voluit:

1) ∑ 2�3

�=0=

2) ∑ 2i3

j=1=

3) ∑ i + 23

j=1=

4) ∑(i + 2)3

j=1=

5) ∑ 23

k=1=

Wiskunde_PV > Basiskennis

Voor te bereiden opgaven

1 Juist of fout?

Ga na of de volgende uitspraken juist zijn voor alle reële getallen �, �, �, �: 1)

√�3 = �13

2) ∣ =|=|∣ = 1 3) (� + �)2 = �2 + �2 4) �2 − �2 = (� + �)(� − �) 5) �3 − 1 = (� − 1)(�2 + � + 1) 6) �3 − 1 = (� + 1)(�2 + � − 1)

Page 11: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 11

7) � ⩽ � � �� ⩽ �� 8) � ⩽ � � �2 ⩽ �2 9)

√1 − �2 = −√�2 − 1 10) �2 = 1 � � = 1 11) � = 1 � �2 = 1

2 Spoor de fouten op in de volgende uiteenzettingen

1) Een student beweert dat de volgende stelling juist is:

Als één student slaagt voor het examen over het vak “Chaos in de economie”,

dan zijn alle studenten geslaagd voor dit vak.

Deze student baseert zich voor het bewijs van deze stelling op het volgende lemma:

Twee willekeurige studenten behalen steeds hetzelfde aantal punten voor het vak

“Chaos in de economie”.

Deze laatste hulpstelling kan immers eenvoudig bewezen worden. Stel dat het gaat

om de studenten A en B, waarbij A � punten scoort en B � punten. Noem ) het

rekenkundig gemiddelde van beide uitslagen. Dan geldt 2) = � + �, zodat � = 2) − � en � = 2) − � .

Bijgevolg geldt ook (2) – �) � = � (2) – �) , wat impliceert dat

2)� − �2 = 2)� − �2 . Daarom geldt ook dat �2 − 2)� = �2 − 2)� , waaruit volgt dat

�2 − 2)� + )2 = �2 − 2)� + )2. Met andere woorden (� − ))2 = (� − ))2 , wat leidt tot � – ) = � – ) , of

nog � = �.

2) Stel q ∶= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . . .. Dan geldt

q = 1 + (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . . . . ) = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … . . ) = 1 + 2 q

Bijgevolg is q = – 1, wat betekent dat – 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ..... .

Page 12: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 12

2. Vergelijkingen en ongelijkheden in één variabele

2.1 (On)gelijkheden betreffende veeltermen [WBT 1.10]

1) Onderzoek volledig het tekenverloop van de volgende veeltermen:

a) 2� + 3 b) −2� + 5 c) �2 − 3� + 2 d) −3�2 + 5� − 2

e) �2 − � + 1 f) �4 − 9�2 + 4� + 12 g) �4 − 9�3 + 22�2 − 32 h) �4 − �2 − 6

2) Vervolledig tot een perfect kwadraat

a) �2 + 6� + 1 b) �2 − 3� + 1

2.2 (On)gelijkheden betreffende rationale vormen

Los op:

a) 2 > 1� c) �2 + 3� + 6

�2 − 2� − 3 − � + 3� + 1 ⩽ �

� − 3 b) �4 − 4�3 + 5�2 − 4� + 4

� ⩽ 0 d) �2 + 4� + 1�2 − 4� − 5 − � + 3

� + 1 > 2�� − 5

Wiskunde_PV > Basiskennis

Page 13: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 13

3. Meetkundige basisbegrippen [WBT 1.11]

Cirkels in een vlak

1) Bepaal middelpunt en straal van de cirkel met vergelijking

a) �2 + �2 − 2� − 4� + 1 = 0 b) �2 + �2 + 9� − 2� − 6 = 0 c) �2 + �2 − 4� + 2� = 4

d) �2 + �2 − 6� − 2� − 15 = 0 e) �2 + �2 + 8� + 7 = 0 f) �2 + �2 − 2� + 10� − 23 = 0

2) Zoek een vergelijking van de cirkel met middelpunt m, zodat het punt b op de cir-

kel ligt:

a) m(1,0) en b(4,4)

b) m(5,2) en b(-1,-6)

Rechten in een vlak

1) Stel een vergelijking op van de rechte

a) door (0,0) en (2,3),

b) door (3,1) en evenwijdig met de rechte 2� = 3� − 5, c) door (3,2) en evenwijdig met de Y-as,

d) door (1,2) en evenwijdig met de X-as,

e) door (2,1) en (3,1),

f) door (-2,-3) en (-2,-1),

g) door (1,2) en loodrecht op � = 3� − 5, h) door (2,-3) en loodrecht op 4� + 3� − 12 = 0.

2) Zoek de snijpunten van −� + 3� = 1 en � − 2� = 1. Wiskunde_PV > Basiskennis

Page 14: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 14

4. Stelsels eerstegraadsvergelijkingen [WBT 1.12]

Stelsels eerstegraadsvergelijkingen

Los op en stel grafisch voor:

1) {� + � = 5� − 2� = −4

2) {3� − 2� = 86� − 4� = 3

3) {4� − � = 38� − 2� = 6

Stelsels vergelijkingen waarbij een vergelijking met graad

groter dan één optreedt

Los op en stel grafisch voor:

1) {2� + � = 1� = �2 + � + 3

2) {� − � = 0�2 + �2 − 4� = 0

3) {� = �2�2 + �2 − 2 = 0

4) {�2 + �2 − 2� − 6� − 6 = 0� − � − 2 = 0

5) {�2 + � − � = 0� + 2� − 2 = 0

6) {�2 + �2 − 2� = 0�2 + �2 − 6� = 0

Wiskunde_PV > Basiskennis

Page 15: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 15

5. Reële functies v: ℝ → ℝ in één veranderlijke

Bepaal het domein van de functie 9 :ℝ → ℝ: � ↦ 9(�) als 9(�) gelijk is aan 1) 1

�2 − 4 5) √�2 − 1�2 − 4

2) √�2 − 1�2 − 4

6) log2� − 2

3) √�2 − 1√�2 − 4

7) log2� + 2

4) �2 − 1√�2 − 4 8) log2(� − 2) − log2�

Wiskunde_PV > Basiskennis

Page 16: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 16

6. Toepassingen

1) Stel .(�) = 2� + 5 (een kostenfunctie waarbij � bv. arbeid voorstelt [of meer alge-

meen een inputfactor]) en stel dat x = 2(� − 5)23 (een productiefunctie waarbij de

geproduceerde hoeveelheid x in functie staat van bv. de arbeid �). Bepaal dan de (kosten)functie . in functie van x (geproduceerde hoeveelheid).

2) Stel x = 15 − 2y (een vraagfunctie met x als hoeveelheid en y als prijs) en stel .(x) = x2 + 2x (een kostenfunctie), bereken dan z(x) = y ⋅ x − .(x) (de winst-functie).

3) Een balkvormig glazen aquarium (zonder bovenrand) heeft als zijwanden links en

rechts twee vierkanten. De inhoud van dit aquarium bedraagt 160 dm3, terwijl de

manteloppervlakte (gevormd door de twee vierkanten links en rechts, het grondvlak

en de voor- en achterwand) gelijk is aan 152 dm2. Bepaal de afmetingen van dit

aquarium.

4) Beschouw in een vlak de rechten met vergelijking � = � + 1 en 4� + 2� = 9.

a

b

X

Y

Bepaal (positieve) getallen � en � zodat de rechthoek op bovenstaande figuur een oppervlakte gelijk aan 1 heeft. Deze rechthoek is gelegen in het eerste kwadrant en

heeft naast de hoekpunten (0,�), (0,�) twee hoekpunten die tot de rechten � = � + 1 en 4� + 2� = 9 behoren.

Page 17: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 17

5) Beschouw in een vlak de rechten met vergelijking � = 12 − � en � = � − 4. Bepaal de grootte van de verschuiving " van de rechte � = 12 − � zodat de oppervlakte van het getoonde parallellogram maximaal is.

6) Je hebt een beltegoed van € 10. Je kan hiermee bellen voor € 0,25 per minuut of

sms’en voor € 0,10 per bericht.

Geef aan welke combinaties van bellen en sms’en mogelijk zijn voor € 10 (d.w.z.

stel de vergelijking op van de geassocieerde budgetrechte en teken deze).

Bepaal voor de volgende veranderingen telkens de nieuwe budgetrechte en maak een

tekening. Voor iedere vraag vertrek je van de originele gegevens.

(1) Het beltegoed wijzigt naar 20 euro.

(2) De eenheidsprijs voor bellen wijzigt naar € 0,2 per minuut.

(3) De eenheidsprijs van sms’en verandert naar € 0,02 per bericht.

In de volgende opgaven [7) 10)] bespreken we vraag- en aanbodfuncties (zie

[WBT 2.5.1 2.5.3]). Men noteert voor de vraagfunctie standaard x = x{(y), maar

men tekent daarentegen standaard de “inverse” y = y{(x) :

− "

Page 18: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 18

en analoog voor de aanbodfunctie x = x%(y) met grafische voorstelling y = y%(x):

7) Gegeven zijn de volgende vraag- en aanbodfunctie:

x{(y) = 150 − 12 y en x%(y) = 2y − 50.

Bepaal het marktevenwicht en stel grafisch voor.

8) Veronderstel dat de vraag naar een product een eerstegraadsfunctie is in de prijs y ervan. Bepaal deze vraagfunctie als je weet dat bij een prijs € 10 de vraag 200

eenheden bedraagt en dat bij een prijs € 15 de vraag 150 eenheden is.

Opmerking: in de literatuur spreekt men hierbij soms over een “lineaire functie” in plaats van over

een eerstegraadsfunctie.

9) De inverse vraagfunctie naar een product wordt gegeven door de vergelijking

y = #1−0,1} + 1 en de inverse aanbodfunctie door y = 3 − #1−0,1}. Bepaal het marktevenwicht.

Page 19: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 19

10) De vraagfunctie naar een bepaald goed wordt gegeven door

x = 10 + 6#−13 13 , waarbij x de gevraagde hoeveelheid is uitgedrukt in kg en y de eenheidsprijs uitgedrukt in euro. Bereken de gemiddelde vraagverandering (afge-

rond op twee decimalen) indien de prijs toeneemt van 2,1 euro tot 2,4 euro.

11) Veronderstel dat de kostprijs in € om x eenheden van een product te produceren gegeven wordt door de functie

.:ℝ+ → ℝ: x ↦ .(x) ≔ 11 000 x3 − 3x2 + 3 000x + 10 000

a) Wat is de kostprijs om 10 eenheden te produceren?

b) Hoeveel bedraagt de kostprijs om de 10de eenheid te produceren (d.w.z. de wijzi-

ging in de kostprijs om de 10de eenheid te produceren als je er al 9 produceerde)?

c) Wat is de gemiddelde kostenwijziging om van 5 naar 10 eenheden te gaan?

d) Wat is de ogenblikkelijke kostenwijziging bij x = 5? e) Geef een uitdrukking voor de winstfunctie indien elke eenheid verkocht wordt

aan 30 000 €.

12) Firma Electroplus produceert TV’s (T) en stereo’s (S). De productiemogelijkhe-

denkromme wordt gegeven door de vergelijking

~2 + 3~ + 5� = 130 Bepaal:

a) het maximaal aantal TV’s dat Electroplus kan produceren ongeacht het aan-

tal stereo’s.

b) het maximaal aantal stereo’s dat Electroplus kan produceren ongeacht het

aantal TV’s.

c) het maximaal aantal stereo’s dat kan geproduceerd worden als men 18 TV’s

maakt.

13) Harold is eigenaar van een sandwich shop. Observaties leren hem dat de dagelijkse

kosten om x sandwiches te vervaardigen .(x) = x2 − 10x + 40

bedragen.

a) Schets de figuur die de dagelijkse kosten voorstelt.

b) Bepaal het aantal sandwiches dat Harold dagelijks moet verkopen om mini-

male kosten te hebben.

c) Bereken deze minimale kosten.

Page 20: INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE - feb.kuleuven.be · Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de

Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 20

14) Volgens schattingen blijkt dat het aantal inwoners van een bepaald dorp " jaar vanaf 1 januari 2005 gegeven wordt door

� :ℝ+ → ℝ: " ↦ �(") ≔ 100 + "3 a) Hoe groot is het inwonersaantal op 1 januari 2010?

b) Met welk aantal zal de bevolking er aangroeien tussen 1 januari 2010 en 1 januari

2011?

c) Bepaal de gemiddelde jaarlijkse bevolkingsaangroei tussen 1 januari 2010 en 1

januari 2015.

d) Wat is de ogenblikkelijke aangroeisnelheid op 1 januari 2010?

15) De Engelse econoom Thomas Malthus bestudeerde in zijn boek "Principles of po-

pulation"(1789) de groei van de voedselvoorraad en de bevolkingstoename. Hij

hield rekening met een exponentiële groei van de bevolking en met een lineaire

groei van het beschikbare voedsel. Beredeneer wat de conclusie was van Malthus

over de voedselproblematiek in de toekomst, indien het nodige voedsel om te over-

leven per persoon constant verondersteld wordt in de tijd.

16) De consumptie van elektriciteit steeg gedurende de laatste jaren globaal met 6%

per jaar. Indien deze stijging zich zou handhaven aan dezelfde groeisnelheid, bepaal

dan het aantal jaren vooraleer de consumptie verdubbeld is.