hst 11 - kinematica - webversie

55
 

Transcript of hst 11 - kinematica - webversie

Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 20051KinematicaOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 20052INHOUDSOPGAVE1. NLEDNG ...................................................................................................................................... 41.1. Rust Beweging .................................................................................................................... 41.2. Rechtlijnige en kromlijnige beweging ..................................................................................... 41.3. Afstand.................................................................................................................................... 51.4. Tijd.......................................................................................................................................... 51.5. Snelheid.................................................................................................................................. 61.6. Omrekenen van snelheden .................................................................................................... 61.7. Eenparige en veranderlijke bewegingen (fig. 1.04) ................................................................ 62. EENPARGE RECHTLJNGE BEWEGNG - ERB......................................................................... 72.1. Bepaling.................................................................................................................................. 72.2. Snelheid van een eenparige beweging .................................................................................. 72.3. Vraagstukken.......................................................................................................................... 72.4. Grafische voorstelling van de eenparige beweging ............................................................... 72.4.1. Weg-tijd diagram; s-t grafiek.......................................................................................... 72.4.2. Snelheid-tijd diagram; v-t grafiek ................................................................................... 82.4.3. Eenparige bewegingen achter elkaar ............................................................................ 92.5. Vraagstukken........................................................................................................................ 113. EENPARG VERANDERLJKE BEWEGNG................................................................................ 123.1. Bepalingen............................................................................................................................ 123.1.1. Veranderlijke beweging ............................................................................................... 123.1.2. Gemiddelde snelheid ................................................................................................... 123.1.3. Ogenblikkelijke snelheid .............................................................................................. 133.2. Bepalen van de afgelegde weg bij een veranderlijke beweging als de v-t grafiek gegeven is.133.3. Willekeurig en eenparig veranderlijke beweging.................................................................. 144. EENPARG VERANDERLJKE BEWEGNG- EVB....................................................................... 154.1. Bepaling................................................................................................................................ 154.2. Versneing - Vertraging........................................................................................................ 154.3. Berekenen van de snelheid en de afgelegde weg bij eenparig veranderlijkebewegingen .. 164.3.1. Eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid (fig.4.03)................................... 164.3.2. Eenparig versnelde beweging met beginsnelheid (Fig. 4.04) ..................................... 164.3.3. Eenparig vertraagde beweging met eindsnelheid (Fig. 4.05) ...................................... 174.3.4. Eenparig vertraagde beweging zonder eindsnelheid (Fig. 4.06)................................. 174.4. Valbeweging en verticale worp............................................................................................. 184.5. Vraagstukken........................................................................................................................ 205. EENPARG VERANDERLJKE RECHTLJNGE BEWEGNGEN - EVRB................................... 215.1. Eenparig versnelde beweging (Fig. 5.01)............................................................................. 215.1.1. afgelegde weg als functie van v0, a en t ...................................................................... 215.1.2. afgelegde weg als functie van vt, v0 en a ..................................................................... 225.2. Eenparig vertraagde beweging (Fig. 5.03) ........................................................................... 225.2.1. afgelegde weg als functie van v0, a en t ...................................................................... 225.2.2.afgelegde weg als functie van vt, v0 en a .................................................................... 235.3. Vraagstukken........................................................................................................................ 276. EENPARGE CRKELVORMGE BEWEGNG............................................................................. 296.1. Bepaling................................................................................................................................ 296.2. Omtreksnelheid .................................................................................................................... 296.3. Formule voor de omtreksnelheid.......................................................................................... 306.4. Hoeksnelheid........................................................................................................................ 316.5. Formule van de hoeksnelheid .............................................................................................. 326.6. Verband tussen de omtreksnelheden de hoeksnelheid ....................................................... 326.7. Verband tussen de omtreksnelheden van 2 punten van een zelfde schijf, op ongelijke afstand van het middelpuntgelegen. ................................................................................................. 326.8. Vraagstukken........................................................................................................................ 346.9. Snijsnelheid - Aanzet nzet ................................................................................................ 346.9.1. Snijbeweging................................................................................................................ 346.9.2. Aanzetbeweging. ......................................................................................................... 346.9.3. nzetbeweging.............................................................................................................. 356.10. Vraagstukken........................................................................................................................ 356.11. Grafische voorstelling - Snelheidsdiagram van een draaibank............................................ 35Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200536.11.1. Nut van het diagram..................................................................................................... 356.11.2. Gebruik van het diagram (fig. 6.07) ............................................................................. 367. EENPARG VERANDERLJKE CRKELBEWEGNG - EVCB...................................................... 387.1. Veranderlijke cirkelbeweging................................................................................................ 387.1.1. Veranderlijke cirkelbeweging. ...................................................................................... 387.1.2. Gemiddelde hoeksnelheid. .......................................................................................... 387.1.3. Ogenblikkelijke hoeksnelheid. ..................................................................................... 387.2. Eenparig veranderlijke cirkelbeweging................................................................................. 387.2.1. Eenparig veranderlijke cirkelbeweging. ....................................................................... 387.2.2. Hoekversnelling- Hoekvertraging................................................................................. 387.2.3. Berekenen van de hoeksnelheid. ................................................................................ 387.3. Eenparig versnelde cirkelbeweging met beginsnelheid ....................................................... 397.4. Eenparig versnelde cirkelbeweging zonder beginsnelheid .................................................. 397.5. Eenparig vertraagde cirkelbeweging met eindsnelheid........................................................ 397.6. Eenparig vertraagde cirkelbeweging zonder eindsnelheid................................................... 407.7. Snelheidsvector bij een kromlijnige beweging...................................................................... 407.8. Berekening van de normale versnelling bij een eenparige cirkelvormige beweging............ 417.9. Tangentiale en normale versnelling bij de eenparig veranderlijke cirkelbeweging .............. 427.10. Vraagstukken........................................................................................................................ 438. DE HARMONSCHE OF SNUSODALE TRLLENDE BEWEGNG............................................ 448.1. Periodieke beweging of trilling.............................................................................................. 448.2. De harmonische of sinusoidale trillende beweging.............................................................. 448.3. Kenmerkende begrippen van een harmonische beweging.................................................. 458.4. Grafische voorstelling van een harmonische beweging....................................................... 458.5. De snelheid van het trillende punt M.................................................................................... 468.6. de versnelling van het trillende punt ..................................................................................... 468.7. Vraagstukken........................................................................................................................ 489. SAMENSTELLEN EN ONTBNDEN VAN BEWEGNGEN........................................................... 499.1. Samenstellen van twee eenparige rechtlijnige bewegingen ................................................ 499.2. Horizontale worp................................................................................................................... 509.3. Schuineworp (kogelbaan)..................................................................................................... 539.4. Vraagstukken........................................................................................................................ 54Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200541. INLEIDING1.1. Rust - BewegingHet stopteken (fig. 1.01) betekent dat de bestuurder de weg die hij nadert niet mag oprijden zonder gestopt te hebben.Stoppen is de overgang van beweging naar stilstand (rust).Fig. 1.01Om te weten of een lichaam al dan niet in beweging is, moeten we het steeds vergelijken met een ander lichaam. Een rijdende trein is in beweging ten opzichte van de aarde.Een lichaam is in beweging ten opzichte van een ander lichaam als het zich verplaatst ten opzichte van dat ander lichaam.Gewoonlijk spreken we over een beweging zonder aan te duiden ten opzichte van welk lichaam de beweging geschiedt.Als we zeggen: deze auto is in beweging, dan weten we dat de auto beweegt ten opzichte van de aarde.1.2. Rechtlijnige en kromlijnige bewegingFig. 1.02Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200551. Rechtlijnige beweging: beweging volgens een rechte baan (baanvak a, (fig.1.02).2. Kromlijnige beweging: beweging volgens een kromme baan (baanvak b, fig. 1.02). Een cirkelvormige beweging (fig. 1.03) is een bijzonder geval van een kromlijnige beweging.Fig. 1.031.3. AfstandEen lichaam dat beweegt legt gedurende die beweging een afstand af. Een auto die van Boom naar Antwerpen rijdt, legt 15 km af. 15 km is de afstand of de afgelegde weg.Afstanden worden uitgedrukt in lengtematen. De hoofdeenheid is de meter (m).De meest gebruikte lengte-eenheden vinden we in tabel 1.01.Tabel 1.01. Lengte-eenheden1.4. TijdOm een afstand af te leggen is er een zekere tijd nodig. Een auto, die van Boom naar Antwerpen rijdt, heeft daarvoor ongeveer een kwartier nodig. De tijdseenheid is de seconde (s). De veelvouden van de seconde vinden we in tabel 1.02.Tabel 1.02. TijdseenhedenOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200561.5. SnelheidEen auto kan snel of langzaam rijden.De snelheid is de afgelegde weg per tijdseenheid.Eenheden van snelheid zijn:1 m/s: een weg van 1 m wordt afgelegd in 1 s,1 m/min: een weg van 1 m wordt afgelegd in 1 min,1 km/h: een weg van 1 km wordt afgelegd in 1 h+.1.6. Omrekenen van snelheden 5 m/s in km/h: 1 km = 1000m 1 h = 3600 s5 m/s = 5 x 3600 m/h = 5 x 3600/1000 km/h = 18 km/h 3,6 km/h in m/s: 1km = 1000m1 h = 3600 s3,6 km/h = 3,6 . 1000m/h = 3,6 x 1000/3600 m/s = 1m/s 1200 m/min in km/h: 1 km = 1000m1h=60min1200m/min = 1200 x 60 m/h = 1200 x 60 / 1000 = 72 km/h1 m/s = 3,6km/hen 1km/h= 1/3.6 m/s1.7. Eenparige en veranderlijke bewegingen (fig. 1.04)Fig. 1.04a. Een eenparige beweging is een beweging met steeds even grote snelheid(constante snelheid).b. Een veranderlijke beweging is een beweging met veranderlijke snelheid.+h: afkorting van het latijnse: "hora", dat uur betekent.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200572. EENPARIGE RECHTLIJNIGE BEWEGING - ERB2.1. BepalingStel een fietser die elke seconde 5 m aflegt (fig. 2.01). Na 1 s is dus 5 m, na 2 s is 10 m en na 3 s is 15 m afgelegd. Deze beweging is eenparig op voorwaarde dat in elke 1/10 s 0,5 m, in elke 1/100 s 0,05 m en in elke 1/1000 s 0,005 m wordt afgelegd.Een beweging is eenparig, als in gelijke tijden, hoe klein ook genomen, de afgelegde wegen gelijk zijn.Fig. 2.012.2. Snelheid van een eenparige bewegingWe nemen opnieuw het voorbeeld van een fietser die elke seconde 5 m aflegt. De constante verhouding van de afgelegde weg en de tijd is hier 5. Dit getal drukt de snelheid van de eenparige beweging uit.s msmsmsmtifdweg afgelegdesnelheid

= = = = =s = beginletter van "spatium" = afstandt = beginletter van "tempus" = tijdv = beginletter van "velocitas" = snelheidDe snelheid van een eenparige beweging is de afgelegde weg per tijdseenheid.2.3. Vraagstukken1. Hoe groot is de afgelegde weg van een vliegtuig als het 4 h vliegt met een snelheid v = 950 km/h?2. Jan loopt 900m in 2 min 30 s. Bereken de snelheid in m/s. Bereken ook de tijd die hij zal nodig hebben om 1200m te lopen als we aannemen dat Jan even vlug blijft lopen.3. Een vliegtuig heeft een eenparige beweging en legt 700 km af in 1 h 20 min. Bereken desnelheid in km/h en in m/s.4. Een wandelaar moet 7 km afleggen. Bereken de duur van de beweging als de snelheid80 m/min bedraagt.5. Een gat wordt geboord in een plaat die 15mm dik is. Bereken de nodige tijd. Men weetdat de langste verplaatsing van de boor 45 mm/min is.2.4. Grafische voorstelling van de eenparige beweging2.4.1.Weg-tijd diagram; s-t grafiekGevraagd wordt, de grafische voorstelling te maken van de afgelegde weg als functie van de tijd voor een eenparige beweging met een snelheid van 5 m/s.Dit komt neer op de grafische voorstelling van de functie:s = vt met v = 5 m/s.Bij elke waarde van de tijd behoort een waarde van de afgelegde weg.tsv =Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 20058Een s-t grafiek geeft het verband tussen de afgelegde weg s en de tijd t.Fig. 2.02 s in m, t in sOm de grafiek te maken, tekenen we een rechthoekig assenkruis; het snijpunt der beide assen noemt men oorsprong (fig. 2.02). Op de horizontale as, ook abscissen-as genoemd, zetten we de tijd uit en op de verticale as, ook ordinatenas genoemd, de afgelegde weg.Vervolgens berekenen we de afgelegde weg voor enkele punten:We brengen deze punten in beeld en verbinden ze door een lijn; deze is de grafischevoorstelling van de functie: s = vt (v = 5 m/s).De s-t grafiek van een eenparige beweging s = vt is een rechte lijn door de oorsprong. Het is immerseen lineaire functie (y = mx) zonder constante term.2.4.2.SneIheid-tijd diagram; v-t grafiekDe v-t grafiek geeft het verband tussen de snelheid v en de tijd t. Bij de constructie van de v-t grafiek zet men weer de tijd horizontaal uit, maar verticaal de snelheid. Daar de snelheid bij een eenparige beweging altijd even groot is, liggen alle punten even hoog en krijgt men een rechte lijn evenwijdigaan de tijd-as. Fig. 2.03 toont ons de v-t grafiek van een eenparige beweging met v = 6 m/s.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 20059Fig. 2.03 v in m/s, t in sDe v-t grafiek is een rechthoek waarvan de breedte overeenstemt met detijd en de hoogte met de snelheid.Het maatgetal van de oppervlakte is het maatgetal van de afgelegde weg.Voorbeeld 2. Bespreek de s-t grafiek van twee voertuigen die een afstand AB = 50 km afleggen in tegengestelde zin (fig. 2.04).Fig. 2.04Oplossinga. Het eerste voertuig vertrekt uit A te 7 h.b. De beweging van dit voertuig is eenparig; v = 40 km/hc. Het tweede voertuig vertrekt uit B te 7 h 30 min.d. De beweging van dit voertuig is eveneens eenparig; v = 50 km/he. Het tweede voertuig komt in A te 8 h 30 min.f. Beide voertuigen kruisen elkaar te 7 h 50 min op ongeveer 33 km van Aen 17km van B.2.4.3. Eenparige bewegingen achter elkaarDikwijls heeft men meerdere eenparige bewegingen achter elkaar. Men geeft dan in de s-t grafiek meestal de plaats van het voorwerp ten opzichte van het vertrekpunt als functie van de tijd.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200510Om de gedachten beter te bepalen beschouwen we een boormachine.Fig. 2.05Een boorcyclus kan b.v. bestaan uit de volgende fasen:1. snelle nadering van de boor (waarom?);2. het werkstuk boren tot op halve diepte;3. snelle beweging terug;4. stilstand (waarom?);5. opnieuw snelle nadering;6. boren tot op volle diepte;7. snelle beweging terug (waarom?).Dit alles wordt voorgesteld in de s-t grafiek (fig. 2.05), ook "bewegingsgrafiek" genoemd.Voorbeeld 3. Een fietser rijdt gedurende een half uur met een snelheid van 20 km/h, dan gedurende een half uur met een snelheid van 30 km/h. Vervolgens rust hij gedurende 15 min. Ten slotte rijdt hij terug met een snelheid van 25 km/h.Gevraagd: 1. de v-t grafiek; 2. de bewegingsgrafiek.Fig. 2.07Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005112.5. Vraagstukken1. Maak de s-t grafiek en de v-t grafiek van een eenparige beweging met een snelheid v = 12 m/s (de gekozen schalen aangeven).2. Een fietser rijdt met v = 30km/h gedurende 2 h. Dan rust hij 1 h en fietst vervolgens verder met v = 20km/h gedurende 2 h.Gevraagd:1. de v-t grafiek;2. de totaal afgelegdeweg;3. de s-t grafiek.3. Te 10h vertrekt uit A een fietser met v1= 24 km/h. 40 min later vertrekt een tweede fietser met V2 = 40km/h. Beide bewegingen zijn eenparig. Waar en wanneer zal de tweede fietser de eerste inhalen?1. oplossing door berekening;2. grafische werkwijze.4. Om 8 h vertrekt uit A een voertuig met V1 = 40 km/h en om 8 h 15min vertrekt uit B een voertuig met V2 = 80km/h. De afstand AB bedraagt 100 km en beide voertuigen bewegen eenparig naar elkaar toe. Waar en wanneer zullen zij elkaar ontmoeten?1. oplossing door berekening;2. grafische werkwijze.5. Een punt neemt deel aan de volgende opeenvolgende rechtlijnige bewegingen langs eenverticale baan:1. beweging naar boven met v = 4 m/min gedurende 30s;2. de snelheid daalt plotseling tot 1 m/min. Deze beweging duurt 1 min;3. stilstand gedurende 30s;4. beweging naar beneden met v = 6 m/min tot het vertrekpunt weer is bereikt.Gevraagd: 1. grafiek van de snelheid als functie van de tijd;2. grafiek van de plaats als functie van de tijd (bewegingsgrafiek).6. emand vertrekt per auto om 8 h uit A en rijdt naar B met v = 60 km/h. Na 20 min rijden stelt hij vast dat hij een koffer vergeten heeft. Hij rijdt terug met v = 120 km/h en rijdt onmiddellijk met dezelfde snelheid naar B. Hij komt aan op de oorspronkelijk geplande tijd.Gevraagd:1. plaats van de auto als functie van de tijd (grafiek);2. afstand AB;3. grafiek van de snelheid als functie van de tijd.7. Water stroomt door een buis met een eenparige snelheid van 4 m/s. Hoeveel levert dezebuis in m/h als de binnenmiddellijn 100mm is?Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005123.EENPARIG VERANDERLIJKE BEWEGING3.1. Bepalingen3.1.1. Veranderlijke bewegingWe beschouwen de volgende beweging (fig. 3.01):gedurende de eerste seconde wordt 4 m afgelegd;gedurende de tweede seconde wordt 3 m afgelegd; enz.Fig. 3.01Deze beweging is een veranderlijke beweging, daar de afgelegde weg per seconde telkens anders is.Een beweging is veranderlijk indien in gelijke tijden ongelijke wegen worden afgelegd.3.1.2. Gemiddelde snelheidn het voorgaande voorbeeld is na 5 seconden 20 m afgelegd. Een eenparige beweging met een snelheid van 4 m/s, legt dezelfde afstand (20 m) in dezelfde tijd (5 s) af.De gemiddelde snelheid van een veranderlijke beweging in een zeker tijdsverloop is de snelheid die men verkrijgt als men de afgelegde weg deelt door de tijd.tsvm =(m/s)Voorbeeld 1. Bereken voor de beweging Fig. 4.01:1. de gemiddelde snelheid gedurende de 1ste seconde;2. de gemiddelde snelheid gedurende de 3de seconde;3. de gemiddelde snelheid na 4 seconden;4. de gemiddelde snelheid tussen t = 1 s en t = 4 s.Oplossingen:1. vm = 4m/1s = 4 m/s2. vm = 12m/3s = 4 m/s3. vm = 14m/4s = 3.5 m/s4. vm = 10m/3s = 0.3333 m/sOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005133.1.3. Ogenblikkelijke snelheidFig. 4.02 is het v-t diagram van een veranderlijke beweging: de snelheid verandert voortdurend als functie van de tijd. Men spreekt daarom over de snelheid op een bepaald ogenblik, ook ogenblikkelijke snelheid genoemd.De ogenblikkelijke snelheid van een veranderlijke beweging is de snelheid van de eenparige beweging, indien op dit ogenblik de veranderlijke beweging eenparig zou worden.Zo is b.v. de ogenblikkelijke snelheid na 3 s 5 m/s (Fig. 4.02). ndien deze beweging nu eenparig werd, dan zou de snelheid van de eenparige beweging 5 m/s zijn en zou elke volgende seconde 5 mafgelegd worden.Fig. 3.023.2.Bepalen van de afgelegde weg bij een veranderlijke beweging als de v-t grafiek gegeven is.Om uit de v-t grafiek de afgelegde weg te bepalen maken we gebruik van de eigenschap dat de oppervlakte van de v-t grafiek de afgelegde weg voorstelt (Fig. 4.02). We verdelen de abscis in kleine tijdsintervallen, b.v. van 1 s, en we bepalen voor elk van deze intervallen de afgelegde weg door de verkregen figuur te beschouwen als een driehoek of een trapezium, zodat we de oppervlaktekunnen bepalen. De methode is meestal voldoende nauwkeurig en wordt nauwkeuriger als we het aantal deelpunten vergroten.Voor fig. 3.02 vinden we:Na 3 s is dus 7,5 m afgelegd.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200514De gemiddelde snelheid is voor elk interval de halve som van de beginwaarde en de eindwaarde. Dit is juist voor zover de snelheidslijn een rechtlijnig verloop heeft. Voor kleine tijdsintervallen is de fout meestal te verwaarlozen.3.3. Willekeurig en eenparig veranderlijke beweging1. Willekeurig veranderlijke beweging: de snelheid verandert willekeurig met de tijd.2. Eenparig veranderlijke beweging: de -snelheid verandert in gelijke tijden, hoe klein ook genomen, met gelijke waarde.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005154. EENPARIG VERANDERLIJKE BEWEGING- EVB4.1. BepalingWe beschouwen een auto die vertrekt. Na 1 s is de snelheid 2 m/s, na 2 s is de snelheid 4 m/s en na 3 s is de snelheid 6 m/s, enz.De snelheid neemt dus elke seconde met een gelijk bedrag toe. Geldt de gelijke vermeerdering van de snelheid ook voor de kleinste gelijke tijden, dan heeft de auto een eenparig versnelde beweging.Vermindert daarna de snelheid in gelijke tijden, hoe klein ook, met gelijke waarde, dan heeft de auto een eenparig vertraagde beweging.Een eenparig veranderlijke beweging is een beweging waarvan de snelheid in gelijke tijden, hoe klein ook, met gelijke waarde verandert.4.2. VersneIIing - VertragingWe beschouwen nogmaals een auto die vertrekt. De wijzer van de snelheidsmeter beweegt zich eenparig langs de schaalverdeling zodat de snelheid na 5 s 36 km/h (10 m/s) bedraagt.De vermeerdering van de snelheid per seconde:

=-=s s mssmm/s (meter per seconde kwadraat)De snelheid vermeerdert dus elke seconde met 2 m/s.Versnelling is de snelheidsvermeerdering per tijdseenheid.Vertraging is de snelheidsvermindering per tijdseenheid.Om de versnelling of de vertraging te vinden, moet men dus de snelheidsverandering delen door de tijd die nodig geweest is om deze snelheidsverandering te verkrijgen. Men moet dus een zeker aantal snelheidseenheden delen door een zeker aantal tijdseenheden.Versnelling (vertraging) is dus een maat voor het tempo waarin de snelheid verandert.Drukt men de snelheid uit in m/s en de tijd in s, dan verkrijgt men de versnelling (vertraging) in m/s; de eenheid van versnelling (vertraging) wordt gevonden als de snelheidm/s per s toeneemt (vermindert).De versnelling van 1 meter per seconde kwadraat is de versnelling van een lichaam met een eenparig versnelde beweging, waarvan de snelheid in 1 seconde met 1 meter per seconde toeneemt.eenheid van versnelling (vertraging) = 1 m/sVoorbeeld 2. Een auto vertrekt eenparig versneld en na 20 s is de snelheid 20 m/s. Bereken de versnelling a (acceleratio).Oplossing:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200516Voorbeeld 3. Een punt dat eenparig beweegt met een snelheid van 180m/min begint eenparig te vertragen. Na 10s is de snelheid nog 60 m/min. Bepaal de vertraging.Oplossing:4.3. Berekenen van de snelheid en de afgelegde weg bij eenparig veranderlijkebewegingen4.3.1. Eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid (fig.4.03)Fig. 4.034.3.2. Eenparig versnelde beweging met beginsnelheid (Fig. 4.04)Fig. 4.04Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005174.3.3. Eenparig vertraagde beweging met eindsnelheid (Fig. 4.05)Fig. 4.054.3.4. Eenparig vertraagde beweging zonder eindsnelheid (Fig. 4.06)Fig. 4.06Voorbeeld 4. Een auto, die eenparig rijdt met een snelheid van 14,4 km/h, begint op een bepaald ogenblik te versnellen zodat na 4 s de snelheid 43,2 km/h bedraagt. Bepaal de versnelling en de afgelegde weg.Maak de v-t grafiek en bereken de afgelegde weg gedurende de eerste en de derde seconde.Oplossing:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200518Fig. 4.074.4. Valbeweging en verticale worpDe val van lichamen is een natuurlijk verschijnsel dat grote invloed heeft gehad op het ontstaan en de ontwikkeling van de werktuigkunde. Om een eenvoudig verschijnsel te hebben dat uitgedrukt kan worden in een overzichtelijke formule, moeten we de storende invloeden wegdenken. Wat het verschijnsel van de val het meest verstoort, is de weerstand van de lucht. Zo schijnt het dat een steen eerder de grond bereikt dan een veertje, een geldstuk eerder dan een blad papier. Knippen we echter een stuk papier zuiver rond op een geldstuk en laten we ze samen vallen dan blijft het papier niet achter. Pompen we een lange glazen buis luchtledig en laten we hierin een veertje en een stuk lood vallen dan bereiken zij ook samen het einde der buis (Fig. 4.08). Deze proeven mogen we veralgemenen tot een natuurkundige wet: de wet van de vrije val. Dit is een val die niet gehinderd wordt door de luchtweerstand.De versnelling van de vrije valbeweging is op dezelfde plaats op aarde voor alle lichamen even groot.Deze versnelling stellen wij voor door g.g = 9.81 m/sFig 5.08n de technische berekeningen neemt men voor de valversnelling dikwijls de benaderende waarde 10 m/s.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200519De valhoogte, dat is de afstand die door het vallende lichaam wordt afgelegd, stelt men voor door de letter h.Het tegenovergestelde van de valbeweging is de verticale worp naar omhoog; het is een eenparig vertraagde beweging met vertraging g.Voorbeeld 5. Een vallend lichaam bereikt na 4 s de grond. Gevraagd:. de v-t grafiek (stel g = 10m/s2);2. de valhoogtena s, na 2 s, enz.Fig. 4.09Oplossing:1. De versnelling g = 10 m/s. De eindsnelheid bedraagt dus 40 m/s (Fig. 4.09).2. Valhoogte:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200520Fig. 4.104.5. Vraagstukken1. Een auto versnelt in 10 s van 36 km/h tot 72 km/h. Bereken de versnelling. Welke weg isafgelegd?2. Een auto met een snelheid van 72 km/h vertraagt eenparig en stopt na 15 s. Bereken deafgelegde weg en de vertraging.3. Een auto rijdt eenparig met 108 km/h en vertraagt tot 36 km/h in 20 s. Bereken de vertragingen de afgelegde weg.4. Een auto die vertrekt komt na 10 s op snelheid en heeft ondertussen 75 m afgelegd. Bepaalde versnelling.5. Een lichaam bezit een eenparig versnelde beweging met een beginsnelheid van 3 m/s en eenversnelling van 2 m/s. Gevraagd: v-t grafiek.6. Een lichaam heeft een eenparig versnelde beweging met beginsnelheid. Na 4 s is de snelheid16 m/s en na 10 s is deze 25 m/s. Bepaal de versnelling.7. Men laat een steen vallen. Bereken de afgelegde weg na 5 seconden.8. Een pijl wordt omhoog geschoten met een beginsnelheid van 30 m/s. Bereken de stijghoogte.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005215. EENPARIG VERANDERLIJKE RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN -EVRBWij hebben reeds gezien dat bij alle eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen de gemiddelde snelheid gevonden wordt door de halve som te nemen van de beginsnelheid en de eindsnelheid. Dus:5.1.Eenparig versnelde beweging (Fig. 5.01)Fig. 5.01Met

atv vm+ =als ordinaat verkrijgt men een rechthoek waarvan de oppervlakte even groot is als die van het trapezium. De aangenomen eenparige bewegingen de eenparig veranderlijke beweging hebben gelijke afgelegde wegen.5.1.1.afgelegde weg als functie van v0, a en tDeze formule vinden we eveneens door te steunen op de eigenschappen van de v-t grafiek.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200522De formule bevat twee termen:- De term v0 t stelt de weg voor, die zou afgelegd zijn indien de beweging eenparig was gebleven. n de v-t grafiek wordt deze afgelegde weg op schaal voorgesteld door een rechthoek.- De term

at stelt de weg voor, die afgelegd is onder invloed van de versnelling.n de v-t grafiek wordt deze afgelegde weg op schaal voorgesteld door een driehoek.5.1.2. afgelegde weg als functie van vt, v0 en aBijzonder geval: de beginsnelheid V0= 0 (Fig. 5.02).De verkregen formules worden dan:Fig.4.025.2.Eenparig vertraagde beweging (Fig. 5.03)5.2.1. afgelegde weg als functie van v0, a en tOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200523Fig. 5.03Deze formule bekomen we eveneens door te steunen op de eigenschappen van de v-t grafiek.5.2.2. afgelegde weg als functie van vt, v0 en aFig. 5.04s de eindsnelheid vt = 0, dan geldt: v0= at (Fig. 5.04).Bijgevolg:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200524Vermenigvuldigen we teller en noemer met de vertraging a:Opmerkingen:De formules gelden eveneens voor de vrije valbeweging en de verticale worp omhoog.Voorbeeld 1. Een auto, die eenparig versneld vertrekt, heeft na 5 s 25 m afgelegd.Gevraagd:1. de versnelling a;2. de v-t grafiek;3. de afgelegde weg na 4 s;4. de afgelegde weg gedurende de derde seconde;5. de afgelegde weg gedurende de derde en de vierde seconde samen;6. de s-t grafiek.Oplossing:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200525De s-t grafiek is een kromme (Fig. 5.06), parabool.Fig. 5.06Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200526Voorbeeld 2. De rit tussen twee halten van een tram verloopt volgens Fig. 5.07. De eenparig versnelde beweging, de eenparige beweging en de vertraging duren respectievelijk 16 s, 104,5 s en 15 s. Bereken:1. de afstand tussen deze twee halten;2. de gemiddelde snelheid.Fig.4.07Oplossing:Voorbeeld 3. Een pijl wordt verticaal omhoog geschoten met een beginsnelheid v0 = 30m/s.Gevraagd:1. de v-t grafiek;2. de hoogte na 1 s, na 2 s, enz.Fig. 5.08Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200527Oplossing:1. De v-t grafiek (Fig. 5.08) is een rechte lijn. Na een tijd verandert de snelheid van teken. De pijl begint dan weer naar het vertrekpunt te bewegen en bereikt na 6 s de grond.Fig. 7.095.3. Vraagstukken1. Hoe groot moet de versnelling zijn van een auto om na 12 s 240 m afgelegd te hebben? Debeginsnelheid is 8 m/s.2. Een lichaam heeft een eenparig versnelde beweging met beginsnelheid. Na 4 s is de snelheid16 m/s en na 10 s is deze 25 m/s. Bepaal de versnelling, de beginsnelheid en de afgelegdeweg na 10 s.3. Een kogel wordt uit A omhoog geschoten met een snelheid van 200 m/s en passeert na 7 shet punt B. Bepaal de afstand AB.4. Een pijl wordt omhoog geschoten met een beginsnelheid van 30 m/s. Bepaal: a) de stijghoogte;b) na hoeveel s de pijl 30m hoog is.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200528Fig. 5.105. Gegeven de v- grafiek (Fig. 5.10) van een beweging. Gevraagd:1. de beweging te bespreken,2. uit de v-t grafiek de afgelegde weg af te leiden,3. de afgelegde weg te berekenen.3Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005296. EENPARIGE CIRKELVORMIGE BEWEGING6.1. BepalingWe beschouwen een punt op de omtrek van een schijf (fig. 6.01). Dit punt beschrijft een cirkelvormige baan. Legt dit punt tevens gelijke booglengten af in gelijke tijden, hoe klein ook, dan heeft het een eenparige cirkelvormige beweging. Een punt heeft een eenparige cirkelvormige beweging als het een cirkelvormige baan volgt en in gelijke tijden, hoe klein ook, gelijke booglengten aflegt.Fig. 6.01Eenparige cirkelvormige bewegingen worden meestal voortgebracht door elektromotoren. Het toerental n, dat uitgedrukt wordt door een zeker aantal per tijdseenheid, staat vermeld op het instructieplaatje van de motor.n = 20/s betekent dat in 1 seconde 20 omwentelingen gemaakt worden,n = 1200/min betekent dat in 1min 1200 omwentelingen gemaakt worden.6.2. OmtreksnelheidEen punt dat een eenparige cirkelvormige beweging heeft, beschrijft in gelijke tijden, hoe klein die tijden ook zijn, gelijke cirkelbogen.De omtreksnelheid is de booglengte die wordt doorlopen per tijdseenheid.Om de omtreksnelheid te vinden moet men dus de afgelegde booglengte delen door de tijd die nodig is om deze booglengte te doorlopen. Evenals de snelheid van een eenparige beweging wordt de omtreksnelheid voorgesteld door de letter v en uitgedrukt in m/s, m/min, enz.Als men spreekt over de omtreksnelheid van een slijpschijf, een cirkelzaag, een boor, een werkstuk op een draaibank, enz., dan bedoelt men steeds de grootste omtreksnelheid, d.w.z. de omtreksnelheid van een punt op de omtrek. Naarmate de straal van een slijpschijf of een draaiwerkstuk kleiner wordt,vermindert de omtreksnelheid.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005306.3. Formule voor de omtreksnelheidEen schijf heeft een middellijn d = 0,4 m. Het aantal omwentelingen n = 20/s.Men vraagt de omtreksnelheid van een punt A op de omtrek van de schijf (fig. 6.02).Fig. 6.02De omtreksnelheid is: - recht evenredig met de omtrek van de cirkel- rechtevenredig met het toerentalOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200531Voorbeeld 1. Een slijpschijf met een middellijn van 30 cm heeft een toerental n = 2100/min. Mag deze schijf in werking gesteld worden, als men weet dat de toegelaten omtreksnelheid 25 m/s is? Zo niet, welk toerental mogen we dan ten hoogste aan de schijf geven?Oplossingn = 2100/min = 35/sv = tdn= 3,14.0,3 m . 35/s = 32,97m/sDe schijf draait te snel; er is breukgevaar.Maximaal toegelaten toerental:6.4. HoeksnelheidEen punt A (fig. 6.02) op de omtrek van een schijf die een eenparige cirkelbeweging heeft, doorloopt per tijdseenheid hetzelfde aantal graden. Anders gezegd: de straal, die met het beschouwde punt mee beweegt (voerstraal), doorloopt per tijdseenheid even grote hoeken.De hoeksnelheid van een punt, dat een eenparige cirkelbeweging heeft, is de middelpuntshoek die de voerstraal doorloopt per tijdseenheid.Fig. 6.03n de techniek pleegt men als eenheid van middelpuntshoek de radiaal te nemen.De radiaal (rad) is de middelpuntshoek waarvan de bijbehorende boog even lang is als de straal van de cirkel waarmede de boog beschreven is (fig. 6.03).De omtrek van een cirkel is 2tr; het aantal malen dat men hierop de straal r kan afpassen bedraagt dan 2tr/r = 2tedere cirkel bevat 2t radialen.1 rad komt dus overeen met 360/2t = 57 17' 45"Daar een middelpuntshoek van 1 rad per definitie een boog ter grootte van de straal r omsluit, staat een hoek op een boog s = r. Dus: booglengte = hoek x straal, indien de hoek wordt uitgedrukt in radialen.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200532Rekenen we de doorlopende hoek en de tijd beide van het beginpunt van de beweging, dan geldt: w of e = de hoeksnelheid in rad.6.5. Formule van de hoeksnelheidMen vraagt de hoeksnelheid w van een punt op de omtrek van een cirkel als n = 20/s.6.6. Verband tussen de omtreksnelheden de hoeksnelheidOmtreksnelheid = hoeksnelheid x straal1 rad/s komt overeen met omtreksnelheid v = r (m/s);w rad/s komt overeen met omtreksnelheid v = wr (m/s).6.7. Verband tussen de omtreksnelheden van 2 punten van een zelfde schijf, op ongelijke afstand van het middelpuntgelegen.We beschouwen de punten A en B van een slijpschijf respectievelijk gelegen op afstand R en r van het middelpunt (fig. 6.04). Fig. 6.04Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200533De omtreksnelheden van de beide punten verhouden zich als de stralen van decirkelomtrekken die zij beschrijven.Voorbeeld 2. Een riemschijf met een middellijn van 30 cm doet n = 318/min. Bereken de omtreksnelheid, de hoeksnelheid en de omlooptijd.Oplossing:Fig.6.05Voorbeeld 3. De kruk van een windas heeft een lengte van 0,5 m en het toerental is 16/min. De middellijn van de trommel is 0,2 m. Bepaal de omtreksnelheid van de kruk en de hijssnelheid van de last (fig. 6.05).Oplossing:De straal van de trommel is 5 maal kleiner dan de lengte van de kruk. De omtreksnelheid van de trommel is dan ook 5 maal kleiner dan de omtreksnelheid van de kruk.Omtreksnelheid trommel = hijssnelheid = 0,84/5 m/s = 0,168 m/sOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005346.8. Vraagstukken1. Een slijpschijf met een middellijn van 0,4 m moet draaien met een omtreksnelheid van 22 m/s. Bereken het aantal omw/min.2. Een tandwiel met een middellijnvan 0,3m heeft een omtreksnelheid van 8 m/s. Gevraagd:het aantal omw/min en de omloopstijd.3. Een fietser heeft een snelheid van 25km/h. Hoeveel omw/min maken de wielen indien dezeeen middellijn hebben van 75 cm?6.9. Snijsnelheid - Aanzet - InzetBij de meeste gereedschapswerktuigen onderscheidt men 3 bewegingen: de snijbeweging, de aanzetbeweging en de inzetbeweging. We verklaren deze bewegingen voor de draaibank (fig. 6.06).Fig.6.066.9.1.Snijbeweging. De snijbeweging is de eenparige cirkelvormige beweging van het werkstuk. De snelheid van deze beweging noemt men snijsnelheid.De snijsnelheid is de omtreksnelheid van het werkstuk en is gelijk aan de spaanlengte per minuut.d = middellijn in mmn = omw/minv = snijsnelheid in m/min6.9.2.Aanzetbeweging. De aanzetbeweging, d.i. de eenparige rechtlijnige beweging van de beitel, is nodig om de spaanafname doorlopend te maken en het werkstuk over de lengte te bewerken.De aanzet (voeding) is de verplaatsing van de beitel in mm per omwenteling van hetwerkstuk.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005356.9.3.Inzetbeweging.De doorsnede van de afgesneden spaan is niet alleen afhankelijk van de voeding doch ook van de diepte-instelling van de beitel. De inzetbeweging heeft telkens plaats na een doorgang.De inzet is het straalverschil van het werkstuk vr en na een doorgang.Voorbeeld 4. Een as van 120 mm middellijn en een lengte van 462 mm wordt afgedraaid met een snijsnelheid van 22 m/min en een aanzet van 0,3 mm/omw.Bereken de duur van een doorgang.Oplossing:6.10. Vraagstukken1. Bereken de snijsnelheid indien een as van 70mm middellijn met een toerental n = 150/minwordt afgedraaid.2. Men moet in een gietijzeren plaat een gat boren van 40 mm middellijn. De snijsnelheid, d.i. de omtreksnelheid van de boor, bedraagt 23 m/min. De rechtlijnige verplaatsing van de boor bedraagt 0,25 mm/omw. en de diepte van het gat is 12 mm. Bepaal de snijtijd.3. Een as die een lengte heeft van 900 mm en een middellijn van 60 mm wordt afgedraaidmet een snijsnelheid van 35 m/min en een aanzet van 0,4 mm/omw. Bepaal de duur vaneen doorgang.4. Een zacht stalen as wordt geslepen met een snijsnelheid van 24 m/s. Bereken het aantalOmw/min van de slijpschijf indien zij een middellijn heeft van 300 mm.6.11. Grafische voorstelling - Snelheidsdiagram van een draaibank6.11.1. Nut van het diagramWanneer een draaier een werkstuk begint te bewerken, kan hij de toelaatbare snijsnelheid in een tabel aflezen, de middellijn opmeten en het gewenste toerental uitrekenen met behulp van de formule:Deze methode is niet alleen tijdrovend, doch geeft ook aanleiding tot fouten en daarom is het snelheidsdiagram een uitkomst.Als van de drie grootheden d, n en v er twee gegeven zijn, dan stelt het diagram in staat de derde rechtstreeks af te lezen.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200536Fig. 6.076.11.2. Gebruik van het diagram (fig. 6.07)Gegeven: te bewerken middellijn en de toelaatbare snijsnelheid v.Gevraagd: het in te schakelen toerental n en de werkelijke snijsnelheid vwSlechts wanneer het snijpunt op een van de lijnen valt, zullen we met het gewenste toerental kunnenwerken. Hoe groter het aantal ter beschikking staande snelheden is, des te geringer zijn de verliezen. De ideale toestand wordt bereikt bij traploze snelheidsregeling waarbij men tussen 2 grenzen alle snelheden kan inschakelen. Bij de studie van de mechanismen zal blijken dat continue of traploze snelheidsregeling meer en meer wordt toegepast.De toerentallen van een gereedschapswerktuig verlopen meestal volgens een meetkundige reeks.Een meetkundige reeks is een reeks die men verkrijgt door de voorgaande term te vermenigvuldigen met een constant getal. Dit constant getal heet de "reden" van de meetkundige reeks.De redens van een gereedschapswerktuig zijn genormaliseerd. De voornaamstezijn:reden 1,6: 10 - 16 - 25 - 40 - 64- 100 - 160 - 250 - 400 - 630 - 1000, enz.reden 1,25: 10 - 12,5 - 16 - 20 - 25 - 31,5 - 40 - 50 - 63 - 80 - 100 - 160 - 200 - 250 - 315 - 400, enz.De toerentallen van een draaibank met reden 1,25 zijn b.v.: 40 - 50 - 63 -80 - 100 - 125 - 160 - 200 -250 - 315 - 400 - 500 - 630 - 800 - 1000 -1250omw/min.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200537Opmerking: Logaritm/sch snelheidsdiagramNaast het snelheidsdiagram (fig. 6.07) wordt ook zeer veel gebruik gemaakt van het logaritm/sch snelheidsdiagram (fig. 6.08).Fig. 6.08Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005387.EENPARIG VERANDERLIJKE CIRKELBEWEGING - EVCB7.1.Veranderlijke cirkelbeweging7.1.1. Veranderlijke cirkelbeweging.Een punt heeft een veranderlijke cirkelbeweging indien het een cirkelvormige baan volgt en in gelijke tijden ongelijke booglengten (middelpuntshoeken) worden afgelegd.7.1.2. Gemiddelde hoeksnelheid.De gemiddelde hoeksnelheid van een veranderlijke cirkelbeweging in een zeker tijdsverloop is de hoeksnelheid van de denkbeeldige eenparige cirkelbeweging waarmee men in hetzelfde tijdsverloop als de veranderlijke cirkelbeweging dezelfde middelpuntshoek aflegt.7.1.3. Ogenblikkelijke hoeksnelheid.De ogenblikkelijke hoeksnelheid van een veranderlijke cirkelbeweging is de hoeksnelheid die het bewegende punt zou hebben, indien de beweging van veranderlijk plotseling eenparig zou worden.7.2.Eenparig veranderlijke cirkelbeweging7.2.1. Eenparig veranderlijke cirkelbeweging.Een punt heeft een eenparig veranderlijke cirkel be weging indien het een cirkelvormige baan volgt, en indien in gelijke tijden, hoe klein die tijden ook zijn, de hoeksnelheid (omtreksnelheid) met een gelijke waarde verandert.7.2.2. Hoekversnelling- Hoekvertraging.Hoekversnelling is de vermeerdering van hoeksnelheid per tijdseenheid.Hoekvertraging is de vermindering van hoeksnelheid per tijdseenheid.Om de hoekversnelling of de hoekvertraging te vinden, moeten we dus de verandering van hoeksnelheid delen door de tijd die nodig geweest is om deze snelheidsverandering te bereiken.Drukken we de hoeksnelheid uit in rad/s en de tijd in s, dan vinden we de hoekversnelling(hoekvertraging) in rad/s.eenheid van hoekversnelling (hoekvertraging) =

s rads s rad=7.2.3. Berekenen van de hoeksnelheid.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200539Vraagstuk. Een vliegwiel met toerental n = 960/min komt tot stilstand na 80 s.Bereken de hoekvertraging.7.3. Eenparig versnelde cirkelbeweging met beginsnelheida.)b.)7.4. Eenparig versnelde cirkelbeweging zonder beginsnelheid7.5. Eenparig vertraagde cirkelbeweging met eindsnelheidOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005407.6. Eenparig vertraagde cirkelbeweging zonder eindsnelheidVoorbeeld 1. Een vliegwiel komt van rust tot 300 omw/min na 200omw. We nemen aan dat de beweging eenparig versneld is. Gevraagd:1. de aanlooptijd;2. de hoekversnelling;3. de doorlopen hoek na min.Oplossing:7.7. Snelheidsvector bij een kromlijnige bewegingBeschouwen we een punt dat een kromlijnige baan doorloopt met veranderlijke snelheid. Op het tijdstip t is het punt in A en na een tijd t + At is het in B gekomen.De booglengte AB is afhankelijk van de tijd At.We vinden:Verminderen we de tijd At, dan nadert punt B tot het punt A en kunnen we de bg AB vervangen door. de koorde AB. De richting van de snelheidsvector is niets anders dan de limiet van de verschillende koorden als men de tijd At onbeperkt tot 0 laat naderen.De snelheidsvector in het punt A heeft dus- als grootte: de limietwaarde van de gemiddelde snelheid als men de tijd At onbeperkt tot 0 laat naderen.- als richting: de limietstand van de koorde als men At onbeperkt tot 0 laat naderen.De snelheidsvector in het punt A bepaalt dus de grootte en de richting van de eenparige rechtlijnige beweging indien de beweging hier plotseling eenparig en rechtlijnig zou worden.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200541Beweegt een punt langs een kromlijnige baan, dan is de snelheid in een bepaald punt van de baan gericht langs de raaklijn in het punt aan de baan en heeft ze tot grootte de grenswaarde van de gemiddelde snelheid als men At tot 0 laat naderen.De eenparige cirkelbeweging heeft een snelheidsvector die steeds even groot is, maar voortdurend van richting verandert. De snelheidsvector is steeds raaklijnig aan de cirkelomtrek. De verandering van richting gebeurt onder invloed van de middelpuntzoekende kracht. Houdt deze echter op, dan verandert de snelheidsvector niet meer van richting en het voorwerp beweegt raaklijnig aan de cirkelomtrek (dit wordt later bestudeerd).De veranderlijke cirkelbeweging heeft een snelheidsvector die steeds raaklijnig is aan de baan en waarvan de grootte voortdurend verandert.7.8. Berekening van de normale versnelling bij een eenparige cirkelvormige bewegingBeschouwen we het punt dat eenparig een cirkelomtrek doorloopt. Op het tijdstip t bevindt het zich in A en op het tijdstip t + At bevindt het zich in B (fig. 7.01). De snelheden v en v1 respectievelijk in A en B, zijn even groot maar de richting is anders. Om de snelheidsverandering Av te bepalen hoeftmen slechts het vectorieel verschil te vinden tussen de snelheidsvectoren v1 en v, deze laatste evenwijdig verplaatst van A naar B.Beschouwen we de driehoeken OAB en BCD; ze zijn gelijkbenig en ze hebben elk een hoek waarvan de benen loodrecht op elkaar staan. Hieruit kunnen we besluiten dat ze gelijkvormig zijn. Bijgevolg:Onder versnelling verstaat men de grenswaarde die de gemiddelde versnelling krijgt als At onbeperkt tot 0 nadert. Bijgevolg:Driehoek BCD is gelijkbenig, dus isNadert nu At onbeperkt tot 0, dan zal a ook tot 0 naderen, dus | tot 90.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200542Bijgevolg komt Av loodrecht op de raaklijn te staan en gaat zij dus door het middelpunt. De versnellingsvector is naar het middelpunt gericht.Voorbeeld 2. Een punt beweegt eenparig langs een cirkelomtrek met een omtreksnelheid v = 8 m/s. De straal van de cirkel bedraagt 0,5 m.Bepaal:1. de hoeksnelheid;2. het aantal omwentelingen per minuut;3. de versnelling;4. de weg die is afgelegd in 40 s.OplossingFig.7.027.9. Tangentiale en normale versnelling bij de eenparig veranderlijke cirkelbewegingBij de eenparig veranderlijke cirkelbeweging verandert de snelheid in grootte en richting. Dit geeft aanleiding tot een tangentiale en een normale versnelling (fig. 7.02).De tangentiale versnelling is steeds raaklijnig aan de cirkelomtrek en is constantin grootte:De normale versnelling is naar het middelpunt van de doorlopen cirkel gericht en is op elk ogenblik evenredig met de hoeksnelheid in het kwadraat:De versnellingsvectoren staan loodrecht op elkaar. De totale versnelling is dan:Voorbeeld 3. Een trein die een eenparig versnelde beweging heeft zonder beginsnelheid, volgt een cirkelvormige baan met r = 200 m en heeft na 2 min een snelheid van 72 km/h bereikt.Bepaal de normale, de tangentiale en de totale versnelling na 1 min rijden. Bepaal ook de afgelegde weg na 40 s.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200543Oplossing:7.10. Vraagstukken1. Een vliegwiel heeft een toerental n = 340/min. Men wenst het toerental op te drijven tot400/min in 40 s. Men vraagt:1. de hoekversnelling:2. het aantal toeren dat het vliegwieldoet gedurende deze periode.2. Men wenst een schijf, die een toerental n = 200/min heeft tot stilstand te brengen in 1 min.Gevraagd:1. de hoekvertraging;2. de grafiek van de hoeksnelheid als functie van de tijd;3. het aantal omwentelingendat de schijf maakt alvorens tot stilstand te komen;4. het aantal omwentelingengedurende de eerste halve min;5. het aantal omwentelingengedurende de laatste halve min.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005448. DE HARMONISCHE OF SINUSOIDALE TRILLENDE BEWEGING8.1.Periodieke beweging of trillingEen periodieke beweging of trilling is een beweging die zich in een bepaald tijdsinterval op dezelfde wijze herhaalt.Een voorbeeld hiervan hebben we wanneer we een elastisch stalen staafje, dat met een uiteinde in een bankschroef is gespannen, uit de evenwichtsstand brengen en het daarna loslaten. Alle punten van het staafje voeren dan een periodieke beweging of trilling uit.Periodieke bewegingen of trillingen komen veelvuldig voor: denken we b.v. aan: de slinger van een hangklok, een aangeslagen stemvork, de trilplaat van een microfoon, enz.8.2. De harmonische of sinusoidale trillende bewegingWe beschouwen een punt P dat met constante hoeksnelheid een cirkelomtrek met straal r doorloopt. Het projectiepunt M (fig. 8.01) op de verticale middellijn A1 A2 heeft dan een harmonische ofsinusodale trillende beweging.Fig. 8.01Gedurende de tijd dat punt P een volledige cirkelomtrek doorloopt, voert projectiepunt M een sinusodale trillende beweging of harmonische beweging uit: punt M beweegt van 0 naar A1 en daarna terug naar 0 en verder naar A2. Tenslotte beweegt M terug naar O. Terwijl punt P de cirkelomtrek doorloopt, schommelt de uitwijking van het projectiepunt tussen +r en -r.De trillende beweging krijgt de naam van sinusodale trilling daar de betrekking tussen de uitwijking OM en de tijd t gegeven wordt door een sinusfunctie :Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005458.3.Kenmerkende begrippen van een harmonische beweging1. Trillingstijd of periode T. De trillingstijd of periode is de tijd die nodig is om een volledige trilling te volbrengen - punt P doorloopt een volledige cirkelomtrek -. 2. Frequentie f: Het aantal trillingen per seconde heet frequentie. De frequentie wordt uitgedrukt in:hertz (Hz);kilohertz (kHz) = 103 Hz;megahertz (MHz) = 106 Hz.3. Amplitude. De amplitude is de maximale waarde van de uitwijking.4. Uitwijking. De uitwijking op een bepaald ogenblik is de afstand die het harmonisch bewegend punt heeft afgelegd sinds de laatste doorgang door de evenwichtsstand O.s M op het tijdstip t = 0 in de evenwichtsstand, dan geldt:5. Cirkelfrequentie e. Hieronder verstaat men de hoeksnelheid van punt P:8.4.Grafische voorstelling van een harmonische bewegingDe grafische voorstelling van de uitwijking als functie van de tijd van een harmonische beweging is een sinusode. mmers: uitwijking = amplitude x sinus van de doorlopen hoek.We verdelen een hulpcirkel (fig. 8.02), met als straal de amplitude in een zeker aantal gelijke delen, b.v. twaalf. Elke verdeling komt dan overeen met een twaalfde van de periode. We vinden de uitwijking van het trillende punt door de deelpunten op de verticale middellijn te projecteren. Brengt men de overeenkomende punten over in het assenstelsel en verbindt men de punten, dan verkrijgtmen de gevraagde sinusode.Fig. 10.02Opmerking: Men kan de sinusode ook tekenen door de amplitude te vermenigvuldigen met de sinus van de doorlopen hoek.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005468.5.De snelheid van het trillende punt MTeneinde de snelheid van het projectiepunt M te bepalen, maken we gebruik van de eigenschap dat de projectie van de snelheid van een punt gelijk is aan de snelheid van het projectiepunt. De projectie van een vector AB op een as is een vector ab met als oorsprong a (fig. 8.03) de projectie van de oorsprong A van de gegeven vector en als eindpunt b de projectie van het eindpunt B van de gegeven vector.Fig. 8.03De snelheid van M op ieder ogenblik is gelijk aan de projectie van de snelheid van P.Bijgevolg:De formule van de snelheid kunnen we nog eenvoudiger vinden door toepassing an de theorie van de afgeleiden.8.6. de versnelling van het trillende puntDe stelling, die we toepasten om de snelheid van het projectiepunt te bepalen, geldt eveneens voor versnellingen. De versnelling van het punt M is gelijk aan de projectie van de versnelling van P.Het punt P heeft een eenparig cirkelvormige beweging en bijgevolg is er een centripetale versnelling:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200547Bijgevolg:Geven we aan de uitwijking een teken en noemen we haar positief indien zij vermeerdert en negatief indien zij vermindert, dan stellen we vast dat de versnelling tegengesteld is aan de uitwijking. Beweegt het punt M naar de evenwichtsstand (de uitwijking vermindert), dan neemt de snelheid toe en treedter dus versnelling op; beweegt punt M echter van de evenwichtsstand weg (de uitwijking neemt toe); dan vermindert de versnelling en treedt vertraging op.BijgevolgFig. 8.04 toont ons het verloop van de uitwijking, de snelheid en de versnelling als functie van de tijd. De snelheid van het trillende punt is nul als de uitwijking maximaal is en de snelheid is maximaalals de uitwijking nul is. De versnelling is evenredig met de uitwijking en is dus nul als het trillende punt de evenwichtsstand passeert en de snelheid maximaal is.Fig. 8.04Voorbeeld. Een punt heeft een harmonische beweging. De amplitude bedraagt 5 cm en f = 50 Hz. Voor t = 0 is = O. Bepaal:1. de periode T;2. de uitwijking voor = 30; 135;270;330;3. de uitwijking voor t = 0,005s; 0,01 s; 0,015s.OplossingOntwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005488.7.Vraagstukken1. Een punt voert een harmonische trilling uit met amplitude 4 cm en periode 1/20s. Op t = 0 beweegt het punt door de evenwichtsstand. Bepaal:a) de frequentie;b) de uitwijking op t = 1/60sen t = 1/10s;c) de grafiek van de uitwijking als functie van de tijd.2. Een punt voert een harmonische trilling uit met periode 1 s. Op t = 0 gaat het punt doorde evenwichtsstand. Op t = 1/8s bedraagt de uitwijking 3,535cm. Bepaal de amplitude ende tijdstippen waarop de uitwijking 2,5 cm bedraagt.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005499.SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN BEWEGINGENHet komt herhaaldelijk voor dat een lichaam aan twee bewegingen gelijktijdig deelneemt. Beschouwen we b.v. de beweging van een schipper op een schip.Fig. 9.01De schipper beweegt op het schip dat zelf beweegt ten opzichte van de oever (Fig. 9.01). Op het tijdstip t1 bevindt de schipper zich in A en op het tijdstip t2 bevindt hij zich in B, zodat hij zich in het tijdsverloop t2-t1 op het schip verplaatst heeft van A naar B. Tegelijkertijd heeft echter het schip zich verplaatst t.o.v.de oever zodat A in A' en B in B' gekomen is.De werkelijke beweging die de schipper heeft uitgevoerd t.o.v. de oever noemen we de resulterende beweging; zij is ontstaan uit twee gelijktijdige bewegingen, die we samenstellende bewegingen noemen.Men noemt:- relatieve beweging: de beweging van de schipper op het schip- sleepbeweging: de beweging van het schip (ook de schipper neemt aan deze beweging deel);- absolute beweging: de beweging van de schipper ten opzichte van de oever.- absolute snelheid va: de snelheid van de schipper t.o.v.de oever of de stilstaandeondergrond.- relatieve snelheid vr: de snelheid van de schipper t.o.v. het schip in rust.- sleepsnelheid vsl: de snelheid van het schip t.o.v.de stilstaande ondergrond (ook de schipper heeft deze snelheid).9.1.Samenstellen van twee eenparige rechtlijnige bewegingenWanneer een punt deelneemt aan een sleepbeweging en een relatieve beweging, die beide eenparig en rechtlijnig zijn, dan is de absolute beweging een eenparige rechtlijnige beweging met absolute snelheid va. waarvoor geldt:De loopkat van een loopkraan heeft een horizontale snelheid v1= 1m/s en tegelijkertijd wordt een last opgehaald met een snelheid V2= 2 m/s. De last neemt hier dus deel aan gelijktijdige bewegingen: een horizontale beweging en een verticale beweging. De afgelegde wegen der afzonderlijke bewegingen kunnen gemakkelijk worden berekend.Om de grafiek van de resulterende beweging te vinden kan men de volgende werkwijze toepassen (Fig. 9.02).Op de abscis neemt men een zeker aantal gelijke delen die op schaal de doorlopen afstanden per seconde (dus de snelheid) van de horizontale verplaatsing voorstellen. Was er alleen een horizontale verplaatsing, dan zou de last na 1 s in A', na 2 s in B', na 3 s in C', enz. gekomen zijn.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200550Fig. 9.02Op de ordinaat worden eveneens een zeker aantal gelijke delen uitgezet. Zij stellen op dezelfde schaal de doorlopen afstanden per seconde (dus de snelheid) van de verticale verplaatsing voor. ndien er alleen een verticale verplaatsing zou zijn, dan zou de last na 1 s in A", na 2 s in B", enz. gekomen zijn.Fig. 9.03n werkelijkheid zal de last na 1 s in A, na 2 s in B, enz. gekomen zijn. De afstanden O-A, A-B, enz. zijn gelijk en liggen in elkaars verlengde. Hieruit kunnen we besluiten dat twee gelijktijdige eenparig rechtlijnige bewegingen kunnen worden vervangen door n eenparige rechtlijnige beweging. De richting, zin en grootte van de resulterende snelheid wordt gevonden door het parallellogramte construeren (Fig. 9.03).Opmerkingen:. Een punt kan ook deelnemen aan twee eenparige rechtlijnige bewegingen met dezelfde richting en zin. De resulterende snelheid heeft dan de richting en de zin van de componenten. De grootte van de resultante is dan gelijk aan de rekenkundige som van de componenten:2. Een punt kan eveneens deelnemen aan twee eenparige rechtlijnige bewegingen met dezelfde richting en tegengestelde zin. De resulterende snelheidsvector heeft dan de richting van de componenten, de zin van de grootste component. De grootte van de resulterende snelheid is dan het rekenkundige verschil van de componenten:9.2.Horizontale worpWanneer een lichaam met een horizontale snelheid vx van een tafel rolt (fig. 9.04), krijgt het door de zwaartekracht een tweede snelheid vy in verticale richting, die elke smet 9,81 m/s toeneemt. De horizontale snelheid vx kan echter alleen door een horizontale kracht in grootte veranderd worden en daar een dergelijke kracht niet optreedt (de luchtweerstand wordt verwaarloosd), blijft vx gedurende de gehele beweging even groot.Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200551Fig. 9.04Om de plaats te bepalen waar het lichaam na t s is, moet men de horizontale en verticale verplaatsing afzonderlijk berekenen. Het is niet nodig de lengte te berekenen van de kromme lijn, door het lichaambeschreven.De horizontale weg x vindt men door uitsluitend te letten op de horizontale snelheid. Daar deze elk ogenblik even groot is, vinden we:x = vx t (eenparige beweging)De daling y van het voorwerp is alleen afhankelijk van de verticale snelheid en daar deze geheel op dezelfde wijze verandert als bij een vrij vallend lichaam, vinden we:(eenparig versnelde beweging)Nemen we aan dat de horizontale snelheid vx= 25m/s. De afgelegde wegen van de afzonderlijke bewegingen zijn:De beweging verloopt in het verticale vlak dat kan worden gebracht door de vector, die de horizontale beginsnelheid voorstelt. We nemen in dit vlak een assenkruis door 0: een horizontale x-as naar rechts en een verticale y-as naar beneden. De plaats van een punt is op elk ogenblik bepaald door twee cordinaten.Op de abscis nemen we een zeker aantal gelijke delen aan; ze geven op schaal de doorlopen afstanden aan van de eenparige beweging. Was er alleen een horizontale verplaatsing, dan zou het voorwerp na s in A', na 2 s in B', enz. gekomen zijn (Fig. 9.05).Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200552Fig. 9.05Op de ordinaat worden de afgelegde wegen van de valbeweging voorgesteld. Was er alleen een valbeweging, dan zou het voorwerp na 1 s in A", na 2 sin B", enz. gekomen zijn.n werkelijkheid wordt de baan OAB, enz. doorlopen. Na 1 s is het voorwerp in A, na 2 s in B, enz. De beschreven baan draagt de naam van pqrabool. De snelheid na t seconden is de resultante van twee snelheden:1. vx: in norizontale richting, constant.2. vy: in verticale richting, vy = gt(de snelheidis steeds raaklijnig aan de baan)Voorbeeld 1. Bij het besproeien van de tuin spuit het water 10m ver. Het einde van de slang wordt horizontaal gehouden en bevindt zich 1,25m boven de grond. Bereken de horizontale snelheid waarmede het water de leiding verlaat.OplossingWe berekenen eerst de tijd die verloopt tussen het tijdstip waarop het water deslang verlaat en het tijdstip dat het water de grond raakt.De horizontale component van de snelheid blijft onveranderd.De eindsnelheid ij bestaat uit twee componenten:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005539.3. Schuineworp (kogelbaan)Beschouwen we een projectiel dat met een snelheid vo onder een hoek o0 met de horizontale lijn wordt weggeschoten. Teneinde de beweging van het voorwerp te volgen, ontbinden we de beginsnelheid in een horizontale en een verticale component (Fig. 9.06):Fig. 9.06De horizontale component vox blijft onveranderd terwijl de verticale component elke seconde 9,81 m/skleiner wordt. Men krijgt dus in horizontale richting een eenparige beweging met snelheid v0x en in verticale richting de beweging van een verticaal opgeworpen lichaam met beginsnelheid v0y, dus eerst stijgen eenparig vertraagd en daarna dalen eenparig versneld. Het hoogste punt wordt bereikt wanneer de verticale snelheid nul geworden is, dus naMet de gemiddelde snelheid v0y : 2 is dan de hoogtebereikt.Daar het voorwerp bij het vallen even veel tijd nodig heeft als bij het stijgen, is de totale duur van de beweging het dubbele van de tijd die men vindt met de voorgaande formule v0y /g. Op dat ogenblik bereikt het voorwerp de grond weer met een snelheid gelijk aan die, waarmede het werd weggeschoten. De worpsverheid of de draagwijdte kan nu ook aan de hand van deze tijd wordenbepaald.En deze draagwijdte is het viervoud van de bereikte hoogte.Fig. 9.07 toont ons de gevolgde baan. De plaats van het punt kan op elkogenblik worden bepaald uit:Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 200554Fig. 9.07De snelheid is steeds raaklijnig aan de baan. De componenten zijn:Bijgevolg: Voorbeeld 2. De loop van een stuk geschut vormt een hoek van 30 met een horizontaal vlak. Men schiet een granaat weg met een snelheid van 500 m/s.Bepaal:1. het hoogste punt;2. de totale duur van de beweging;3. de schootsverheid;4. de plaats en de snelheid van de granaat na 10 s (we nemen g = 10 m/s2).Oplossing:9.4. Vraagstukken1. Een kogel wordt horizontaal weggeschoten met een snelheid van 300 m/s. De kogel botst tegen een muur die 100m verder staat. Bepaal de afstand waarover de kogel is gedaald.2. Een steen wordt van een 78,4m hoge toren horizontaal weggeschoten met een snelheid van15 m/s. Teken de baan. Teken ook de snelheid in de beginstand, na 1 s, na 2 s, enz. tot de steen beneden is. Reken met g = 9,8 m/s. Ontwerpgerichte MechanicaKinematicaHeino Labeeuw2004 - 2005553. Een vliegtuig is op 2000 m hoogte en heeft een horizontale snelheid van 350 km/h. Men laat een last vallen. Bepaal de horizontale afstand die de last zal afleggen. De weerstand van de lucht wordt verwaarloosd (g = 10m/s2).4. Een granaat wordt weggeschoten met een snelheid van 700 m/s die een hoek van 40 maakt met de horizontale. Bepaal: 1. de totale duur van de beweging; 2. het hoogste punt; 3. deschootsverheid ; 4. de plaats en de snelheid na 60 s.5. Bewijs dat bij een schuine worp de draagwijdte het grootst is voor a = 45. Zoek het verbanddat er dan bestaat tussen de draagwijdte en de grootste hoogte.6. emand zwemt over stromend water dat 60m breed is. n stilstaand water is de bewegingloodrecht op de oever en bedraagt de snelheid 0,6 m/s. De snelheid van het water bedraagt0,4 m/s. Bepaal de grootte, de richting en de zin van de resulterende snelheid. Bepaal deduur om van de ene oever naar de andere te zwemmen.