(h)eureka - OVSG 2007... · 2016-12-13 · 1. Inleiding De OVSG-toets 2007 maakte de traditie van...

Didactische reader bij de OVSG-toets 2007

probleemoplossende vaardigheden binnen

wiskunde

(h)eureka

© 2007 door OVSG Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van OVSG. Depotnummer: D/2007/7634/062 Bestelnummer: O/1/2007/002 Verantwoordelijke uitgever: Patriek Delbaere Onderwijssecretariaat van de Steden en Gemeenten van de Vlaamse Gemeenschap vzw Ravensteingalerij 3 bus 7 – 1000 Brussel

Deel 1

Evaluatie per leergebied van de toets 2007

1. Inleiding De OVSG-toets 2007 maakte de traditie van gestage groei in kwaliteit en in aantal deelnemende scholen andermaal waar. Vorig schooljaar namen meer dan 95 % van de scholen van ons onderwijsnet deel aan de toets. Toch steeg het aantal deelnemende scholen nog met 78. Dit kwam vooral door de deelname van scholen uit Stad Antwerpen en door een forse stijging van het aantal deelnemende scholen dat niet tot het gemeentelijk net behoort.

In tegenstelling met deze groei blijft het aantal ingezonden evaluatieformulieren gelijk. We ontvingen 44 evaluatieformulieren. Dit betekent dat 8,6 % van de deelnemers reageerden. Het gering aantal reacties spoort wellicht met het beginsel dat de niet-reagerende gebruiker veeleer tevreden is. Als we daar het steeds stijgend aantal deelnemers en de gunstige bedenkingen op de ingezonden evaluatieformulieren bij nemen, mag ongetwijfeld de conclusie worden getrokken dat de OVSG-toets heel hoog gewaardeerd wordt. Deze appreciatie is een hart onder de riem voor de gedreven groep adviseurs en medewerkers die deze toets als een middel aanreiken aan scholen om de kwaliteit bestendig te bewaken. Het legt tevens een grote verantwoordelijkheid bij de begeleidingsdienst om elk jaar weer een toets te ontwikkelen die het kwaliteitsniveau van het jaar ervoor bereikt of overstijgt.

De reacties van scholen hebben we geclusterd in volgende rubrieken:

• de kwaliteit van het drukwerk • de organisatie en bedeling • de programmering • het bronnenboek en de thematische gedeelten • de instructies en correctiesleutels • de gegevensverwerking • de toetsen per leergebied: taal – wiskunde – wo – muzische vorming

Alle reacties werden geïnventariseerd, gerubriceerd, met belangstelling gelezen en door de opstellers van de toets besproken. Het spreekt voor zich dat we niet op elke opmerking een reactie kunnen schrijven, maar dat betekent helemaal niet dat de opmerking geen aandacht zou hebben gekregen. Lovende commentaren enerzijds neutraliseren heel vaak deze van leraren die een andere mening geven. Hierbij wordt telkens de afweging gemaakt welk standpunt de kwaliteit het best ondersteunt.

In de voorliggende reader worden net als vorige jaren:

1 een overzicht gegeven per leergebied van de resultaten van de formeel deelnemende scholen. Telkens wordt ook ingegaan op opmerkingen, vragen of bedenkingen zoals ze ons via de evaluatieformulieren zijn gemeld;

2 de resultaten gepubliceerd van de analyse. Dit jaar zijn ‘probleemoplossende vaardigheden binnen wiskunde’ diepgaand onderzocht. De analyse is gebaseerd op de leerling-resultaten en op de bevraging van groepen leerlingen in de namiddagen aansluitend bij de toetsing. Dergelijk bescheiden onderzoek noch de conclusies hebben wetenschappelijke pretenties, maar zijn wel een barometer voor wat er op de werkvloer gebeurt.

De bevindingen kunnen voor scholen een dankbaar aangrijpingspunt vormen voor intern overleg: • schoolteams kunnen van de gegevens gebruikmaken om de eigen aanpak te vergelijken met

beschreven werkwijzen; • leerling-resultaten kunnen kwalitatief worden bekeken zodat de foutenanalyse van de eigen klas

(school) kan worden vergeleken met de bevindingen voor een grotere groep en een vrij representatieve steekproef;

• deze vergelijking kan ook een aanleiding zijn om met het team op zoek te gaan naar ontbrekende of zwakke schakels in het onderwijsleerproces en gepast bij te sturen.

5

2. Algemene informatie

2.1 Deelname

Zoals de vorige jaren kregen de scholen de mogelijkheid om op een formele of een niet-formele manier deel te nemen. Formeel deelnemen betekent dat leraren van die scholen onderling worden uitgewisseld voor de afname en de correctie van de proeven, dat alle toetsen moeten worden afgenomen én dat de scores voor verdere verwerking aan OVSG worden meegedeeld. De toetsdocumenten werden op donderdag 14 juni door de directies opgehaald. Op deze manier gaven wij de mogelijkheid om vooraf het bronnenboek door te nemen met de leerlingen met ernstige leesproblemen. Dit kon gebeuren onder begeleiding van de klastitularis, de taakleraar of de ambulante leraar.

Er werd een keuzemogelijkheid aangeboden tussen een programmatie over drie dagen of over vier dagen. De toets werd bij de formeel deelnemende scholen afgenomen op 18, 19 en 20 juni, telkens voor de middag. Wie koos voor een organisatie over vier dagen werkte door op 21 juni. De gemiddelde scores (scoreformulier A) werden aan de scholen bezorgd op maandag 25 juni.

In 2007 namen zowat vijftienduizend leerlingen deel. Het aantal scholen is na het dipje van 2004 o.m. als gevolg van structurele verschuivingen, andermaal gestegen, evenals het aantal deelnemende leerlingen. De tabel hiernaast geeft weer hoe het aantal deelnemende scholen is geëvolueerd. Zoals reeds eerder aangegeven, kwam de stijging dit jaar vooral door de deelname van scholen uit Stad Antwerpen en door een forse stijging van het aantal deelnemende scholen die niet tot het gemeentelijke net behoren.

2.2 Algemene reflecties bij de evaluatie

2.2.1 De drukkwaliteit en papierkenmerken

Sinds 2005 zijn we overgestapt naar 100% gerecycleerd papier, waarmee we een bijdrage willen leveren aan een zorgvuldiger gebruik van grondstoffen. De kleine meerkost hebben we gecom-penseerd door lay-outmatige aanpassingen in de toetsenbundels. Er zijn hierover geen klachten.

2.2.2 De organisatie en bedeling

- Zeer vlotte bedeling - Prima verlopen. Bij ons geen foute bundeling van WB 4 - Proeven van 2 scholen ontbraken, maar alles kwam tijdig in orde.

De verpakking in dozen werpt zijn vruchten af. De bedeling verloopt duidelijk vlotter dan in het verleden. De verpakking is een opdracht voor de drukker. Dat er daar al eens een foutje gemaakt wordt, zal wellicht nooit vermeden kunnen worden, vermits dit alleen manueel kan gebeuren. Daarom wordt gevraagd dat wie de toetsen ophaalt, ook verifieert of de aantallen kloppen, zodat de adviseur uit de reserve eventueel kan aanvullen. Vanaf volgend schooljaar zal de leveringsplaats ook afgedrukt worden op het etiket zodat foute leveringen zo goed als uitgesloten zouden moeten zijn. Dank alvast voor het begrip als er een exemplaar wat later nageleverd dient te worden.

Aantal jaar deelnemende scholen1995 303 1996 373 1997 382 1998 400 1999 405 2000 402 2001 411 2002 420 2003 426 2004 413 2005 426 2006 430 2007 508

6

2.2.3 De programmering

- Geen probleem! - Goed, maar wel heel veel. - Goede verdeling over de dagen heen. - OK, de 3 voortaken (fietsexamen, technologie en spreken) mogen eventueel nog vroeger meegegeven

worden. Mei is altijd een drukke maand

We kregen dit jaar verschillende reacties dat de verdeling over de dagen vrij evenwichtig was. We nemen dan ook aan dat dat ook zo is geweest.

We kregen dit jaar ook geen reacties om de toetsperiode vroeger of later te plannen. De proeven technologie en spreken samen met het fietsexamen worden in de maand maart aan de scholen bezorgd. De opdracht muzische vorming werd zelfs reeds in de loop van de maand januari onder de scholen verspreid.

Voor 2008 worden volgende data geprikt:

Distributie donderdag 12 juni 2008

Afname 16 tot 18 of 19 juni 2008

Inzenden resultaten 20 juni 2008 (formele deelnemers)

Thema Olympische Spelen

2.2.4 Het bronnenboek en de thematische gedeelten

- Knap bronnenboekje. - Aangenaam, duidelijk, goede lay-out. - Het spreekt de leerlingen aan. - Mooi boekje, maar vrij moeilijk qua niveau. Er worden veel moeilijke termen en abstracte begrippen

gebruikt. - Het bronnenboek is mijns inziens overdonderend en te druk.

De reacties op het bronnenboek zijn niet altijd even eenduidig. Het overgrote deel van de reacties is positief tot zelfs zeer lovend. Daarnaast zijn er een aantal reacties die het werken met het bronnenboek vrij moeilijk vinden. Vandaar dat we onze reactie van vorig jaar nog even willen herhalen.

Werken met een bronnenboek vraagt een hoge concentratie. Het is om die reden dat het thematische gedeelte telkens bij het begin van een dagdeel wordt gezet. Sinds 2004 hebben we het werken met het bronnenboek verder geoptimaliseerd door de vragen te clusteren per leergebied.

We delen de mening niet dat het bronnenboek, waarvan per dagdeel telkens slechts vier bladzijden moeten worden gebruikt, ‘overdonderend’ of ‘te druk’ zou zijn. De hoeveelheid leeswerk wordt bewust beperkt in het belang van zwakkere lezers. Als bijkomende tegemoetkoming wordt in de toetsen telkens vermeld bij welke bladzijde en tekst de vragen horen. Hiermee is de doelstelling dat leerlingen moeten kunnen omgaan met bronnenmateriaal (dat herhaaldelijk voorkomt in de leerplannen Taal, WO en Wiskunde) in wezen al in grote mate gerealiseerd. Bovendien wordt de opmaak zo realistisch mogelijk gemaakt waarbij we ons laten inspireren door die informatiebronnen waarmee de leerlingen frequent in contact komen.

We hernemen hier dus wat we vorig jaar al schreven in dit verband.

Impliciet wordt hiermee ook verwezen naar de eindtermen 2 en 3 van ‘leren leren’: − ET 2: de leerlingen kunnen op systematische wijze verschillende informatiebronnen op hun

niveau zelfstandig gebruiken; − ET 3: de leerlingen kunnen op systematische wijze samenhangende informatie (ook andere dan

teksten) verwerven en gebruiken.

“Ontwikkelingsdoelen en eindtermen, Informatiemap voor de onderwijspraktijk, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, departement onderwijs, uitgave 2001, p. 115”

7

Gelet op het toenemende gebruik van nieuwe informatie- en communicatietechnologieën zal het gebruik van divers bronnenmateriaal en daarin snel en efficiënt de weg leren vinden alleen maar aan belang winnen. We houden dus een warm pleidooi om herhaald en geïntegreerd te werken aan bovenstaande eindtermen, door leerlingen niet alleen bronnenmateriaal te geven of te laten gebruiken maar hen methodes aan te reiken, strategieën te leren om dat effectief en doelgericht te doen. We verwijzen hierbij ook naar de brochures ‘leren leren’, verspreid naar aanleiding van de workshops in 2000-2001, meer bepaald de brochure ‘Leidraad ‘leren leren’ p. 26 en 27 en de reader over leesstrategieën.

Wij zijn van mening dat er voor de overgrote meerderheid, ook van zwakkere leerlingen, ruim voldoende tegemoetkomingen zijn om succesvol met het bronnenboek om te gaan als daar in hun schoolloopbaan de vereiste vaardigheden voor werden aangeleerd.

Voor kinderen met leesstoornissen is eerder al aangegeven dat het bronnenboek op de vrijdag voor de toets mag worden verkend. OVSG kan echter geen toets maken voor de beperkte groep leerlingen met ‘diverse stoornissen’. We schreven al eerder dat de klassenraad moet beslissen hoe en welke compenserende maatregelen voor die leerlingen zullen getroffen worden. Een school kreeg al een paar keer de elektronische versie omstreeks Pasen om conversie naar Braille te doen voor een blinde leerling. Met dezelfde motieven biedt OVSG de toets volledig elektronisch aan bij de bedeling zodat scholen die ondersteunende software gebruiken voor bv. dyslectische kinderen, deze ook in de toetscontext kunnen aanwenden.

2.2.5 De instructies en correctiesleutels

- Zeer goede en duidelijke instructies - In orde - OK !.

Over de algemene instructies en correctiesleutels hebben we alleen maar positieve reacties gekregen.

2.2.6 De gegevensverwerking

- Heel tof en gemakkelijk - Heel handig en efficiënt. Direct duidelijk overzicht - Knap via de website. Hopelijk moeten we volgend jaar zo alle resultaten ingeven en niet meer via Excel

De gegevensverwerking van de OVSG-toets 2007 gebeurde dit jaar online. Alle deelnemende scholen, zowel de informele als formele deelnemers, konden hun leerlingenresultaten invoeren via internet op de server van OVSG.

Ook al was dit een testfase, de software draaide vlekkeloos. Uit de reacties van de gebruikers bleek dat de meesten opgetogen waren over de meerwaarde van deze manier van werken. Natuurlijk kregen we ook reacties waaruit blijkt dat een en ander nog gebruiksvriendelijker of efficiënter kan. Daar wordt aan gewerkt.

Vanaf het schooljaar 2007-2008 is dit de enige manier van gegevensverwerking van de toets.

Wat is de meerwaarde van deze manier van werken?

• De gegevens kunnen “any time, anywhere” ingevoerd worden. • Na de invoerperiode, kan elke school zijn gegevens onmiddellijk opvragen en vergelijken door de

snelle online verwerking. • Ook informeel deelnemende scholen kunnen zich nu vergelijken met de groep van informele

deelnemers. • Alle scholen kunnen hun gemiddelden met alle deelnemers én met de groep van vergelijkbare

scholen vergelijken (bv. Scholen met zelfde GOKpercentage). • Er kunnen parameters ingebouwd worden (bv. GOK-percentage) om een meer gedetailleerde

analyse te kunnen maken. • Deze gegevens zijn waardevol voor de scholen i.v.m. hun outputdossier en/of sterkte-zwakte

analyse van leergebieden. • OVSG kan aan de hand van de ingevoerde gegevens de toets evalueren en bijsturen. • …

8

Enkele cijfers

In totaal voerden de scholen de resultaten in van 6515 leerlingen. Daarvan waren er 3059 formeel deelnemende leerlingen en 3456 informeel deelnemende leerlingen. Er waren 266 scholen die hun gegevens online invoerden: 114 formeel deelnemende scholen en 152 informeel deelnemende scholen.

Opvallend is dat de gemiddelden van de verschillende groepen (formeel, informeel, per GOK-zone, grootsteden en niet-grootsteden …) dezelfde curve vertonen. Daar kunnen we uit afleiden dat de OVSG-toets een betrouwbare toets is.

Om dit te bevestigen én om de scholen nog meer service te kunnen bieden, hopen we dat dit jaar nog meer scholen hun resultaten online invoeren.

9

3. Het leergebied taal

3.1 De behaalde scores

A B C D E F G H

verdeling over de niveaus in procentenvan 3972 formeel deelnemende leerlingen

VLAANDEREN OVSG-toets

2007

Behaald %

per onderdeel

niveau 1 ≥ 90 %

niveau 2 van 80 t.e.m. 89 %

niveau 3 van 70 t.e.m. 79%



niveau 6 van 40 t.e.m 49%.

niveau 7 < 40%

TAAL 68,5 %

Thematisch gedeelte 66,0 % 2,5 16,8 26,4 25,4 16,4 7,9 4,6

Luisteren 65,9 % 13,4 19,3 22,2 18,4 12,6 7,0 7,0

Spreken 79,5 % 31,8 32,7 21,9 7,8 3,1 0,8 1,8

Lezen 71,7 % 16,5 23,4 25,2 17,5 10,5 4,0 2,8

Schrijven 66,9 % 8,5 17,5 24,8 25,1 14,8 5,6 3,6

Taalbeschouwing 71,4 % 23,7 20,0 18,2 16,0 10,8 5,7 5,6

3.2 Bedenkingen en reflecties

3.2.1 Leerdomein spreken

- Zeer goed onderwerp. Komt uit de actualiteit. Spreken ging vlot, maar met de schematische voorbereiding hadden de kinderen het moeilijk. Ze schrijven nog steeds volledige zinnen.

- Leuk, ook al was het een groepsopdracht toch een goede individuele spreekoefening; opdrachtenblad mag/moet eenvoudiger.

- Duidelijk omschreven. De leerlingen konden kiezen tussen verschillende thema’s. Er was een grote interesse bij de leerlingen, ze waren zeer gemotiveerd en hebben super resultaten behaald.

- De spreektaak voorbereiden nam ook zeer veel tijd in beslag en was toch wel voor de helft van de klas een niveau te hoog. Maar door er extra tijd voor uit te trekken waren ook deze resultaten verbluffend!

- Voor sommige leerlingen was de opdracht te ruim. Ze raakten een beetje verloren in de veelheid aan informatie die ze kregen bij het ingeven van de opgegeven site.

Een spreektaak is het resultaat van het geïntegreerd toepassen van heel wat basis-, deel- en totaalvaardigheden. Hieraan is op schoolniveau negen jaar lang gewerkt.

De spreektaak was dit jaar een combinatie van werken in groepen gekoppeld aan een individuele spreektaak. Ook werd er voor de eerste keer een ondersteuning van het spreken gevraagd. Meteen werden in feite ook een aantal doelen uit andere leergebieden bevraagd, nl. van muzische vorming (media), sociale vaardigheden… . Het zinvolle gebruik van internet als inspiratiebron wordt niet in vraag gesteld en wordt meer en meer een waardevol en veelgebruikt didactisch hulpmiddel in de klas.

Hoewel de organisatievorm en de uitwerking veel tijd en inzet van kinderen en leerkrachten vroegen, waren de commentaren zeer positief. Blijkbaar zien de leerkrachten het belang in van het communicatieve aspect van spreken en zijn zij creatief genoeg om flexibel om te gaan met deze organisatievorm en tijdsbesteding.

10

3.2.2 Leerdomein schrijven (onderdeel spelling)

- Enkele collega’s merken op dat het in de instructiesleutel niet altijd duidelijk is of de juiste spelling belangrijk is om punten toe te kennen.

- Een andere collega geeft aan dat spelling de ene keer wel invloed heeft op het geven van punten en de andere keer niet. Dit creëert verwarring.

- En een andere collega gaat nog verder … Moet je voor een correct gespeld (inhoudelijk) foutief antwoord niet een half punt geven als je voor een foutief gespeld (inhoudelijk) correct antwoord ook een half punt geeft?

Om discussies in de toekomst te vermijden zal de volgende strategie gevolgd worden bij de OVSG-toetsen: voor spelling worden enkel punten afgetrokken als er expliciet naar een spellingsdoel gepeild wordt.

Concreet betekent dit dan dat de inhoudelijke correctheid van het antwoord punten genereert. Alleen als de toetsenmakers een spellingsdoel toetsen – en dat doel staat dan ook vermeld in de doelenkolom van de instructie- en correctiesleutel – zal de correcte schrijfwijze van het antwoord invloed hebben op de punten die de leerling behaalt.

Tenslotte nog dit: Indien men de scores op het leerdomein schrijven wil kennen dan moeten zowel de scores uit het domeinspecifieke gedeelte ‘Schrijven’ (=spelling) als de scores op het domein schrijven uit de thematische gedeelten samengevoegd worden.

- Spelling met of zonder woordenboek

In de algemene instructies van de toets stond aangegeven dat de leerlingen zelfstandig kunnen beslissen wanneer zij gebruikmaken van de diverse materialen waaronder het woordenboek. Bij de specifieke instructies taal werd deze keuze consequent doorgetrokken. Er staat: ‘In alle omstandigheden is het gebruik van een woordenboek toegestaan.’ Sommige leerkrachten hebben het hier nog moeilijk mee. Spelling is echter binnen de OVSG-leerplannen duidelijk gesitueerd als een deelvaardigheid (fase van het uitvoeren – juiste spelling van woorden). Alleen het schrijven van klankzuivere woorden en van frequente niet-klankzuivere woorden worden beschouwd als basisvaardigheden. Beide staan echter in functie van de totaalvaardigheid wat het schrijven van teksten eigenlijk is.

Wanneer kinderen moeilijkheden ondervinden met het correct schrijven van woorden op basis van wat ze kennen, wordt de mogelijkheid gestimuleerd om het woord op te zoeken in een woordenboek. Niet alleen doen we hier beroep op een doelstelling die eveneens in het leerplan schrijven is opgenomen (p. 61), we plaatsen leerlingen in een situatie waarmee wij als volwassenen ook geconfronteerd worden namelijk: ‘Ik ken de precieze schrijfwijze niet uit mezelf dus zoek ik het op.’ Hiermee belanden we bij het aspect van de schrijfattitude ‘verzorgen van handschrift, lay–out en spelling’ (p. 135 ev.) Deze schrijfattitude is tevens rechtstreeks verbonden aan eindterm 4.8. Als we het belangrijk vinden dat kinderen een spellinggeweten ontwikkelen moeten we elke gelegenheid te baat nemen om deze houding te stimuleren, dus ook in de OVSG-toets.

11

3.2.3 Leerdomein taalbeschouwing

Eens te meer moeten we weer verwijzen naar de OVSG-leerplannen die de terminologie en de metatalige begrippen gehanteerd in de eindtermen strikt volgen.

Eens te meer moeten we vaststellen dat zowel de OVSG-leerplannen en de eindtermen voor sommige leraren nog steeds vrijwel onbekende (en onbeminde) materie zijn. Een viertal opmerkingen i.v.m. met het begrip ‘genus’ wijzen in die richting:

- het begrip ‘genus’ wordt niet gebruikt, wel ‘geslacht’!!; - ‘genus’ stond niet in het woordenboek; - te moeilijke formulering; - gebruik mannelijk, vrouwelijk of onzijdig.

Terwijl ‘genus’ zowel in de eindtermen als in de OVSG-leerplannen als metatalig begrip wordt vermeld.

- In de klas wordt er uitgebreid aandacht besteed aan het werkwoordelijk en naamwoordelijk gezegde en dit wordt in de OVSG-toets beperkt getoetst.

In de OVSG-toets wordt dit nooit getoetst omdat deze begrippen net zoals ‘voorwerpen’ en ‘bepalingen’ noch in de eindtermen of in de OVSG-leerplannen voorkomen. Ze kunnen behandeld worden als uitbreidings- of differentiatieleerstof op voorwaarde dat dit duidelijk in het schoolwerkplan wordt opgenomen.

12

4. Het leergebied wiskunde


A B C D E F G H



2007

Behaald %

per onderdeel

niveau 1 ≥ 90 %






niveau 7 < 40%

WISKUNDE 69,3%


Getallenkennis 74,1 % 28,6 22,9 19,1 13,2 7,6 4,2 4,5

Hoofdrekenen 69,8 % 25,7 20,8 17,6 13,4 9,4 5,6 7,4

Cijferen 71,0 % 27,1 19,9 18,9 14,8 8,9 5,4 5,2

Meten 66,2 % 6,7 22,8 16,5 27,4 11,5 10,0 5,4

Meetkunde 69,6 % 13,7 21,8 22,7 17,8 12,4 6,7 4,9


4.2.1 De vragen

De bedenkingen die we dit jaar kregen, hadden voornamelijk te maken met de vragen die we in het tweede deel van deze reader behandelen (probleemoplossende vaardigheden). Het peilen naar probleemoplossend gedrag bij de leerlingen wordt globaal positief beoordeeld.

- Duidelijk omschreven. Ik vind over het algemeen de vragen echt interessant en origineel. Proficiat! - Mooie vragen - Concrete en relevante vragen - Origineel en gevarieerd - Bij verschillende oefeningen was het antwoord niet echt van belang, maar wel de manier waarop de

leerlingen tot dat antwoord kwamen. Dat was m.i. een nieuwe manier van vragen stellen. Ik vond dit wel interessante vragen. De meeste leerlingen deden dit goed. Sommigen schrijven liever weinig op bij zo’n vraag.

- Vaak heel doordachte vragen, een andere vraagwijze dan de leerlingen gewoon zijn. Toch uitdagend genoeg om zich ervoor in te zetten en probleemoplossend te denken.

- In verhouding met vorige jaren, meer vragen naar “denkwijze” mag niet te veel moeilijk om punten te geven

- Te veel vragen naar inzicht, te weinig puur wiskunde

13

4.2.2 De punten

Door een lay-outprobleempje waren inderdaad de vakjes waarin de leraren de totale punten per blad noteren in werkbundel 1 op pagina 6 en 7 verschoven naar de volgende bladzijde. In werkbundel 3 was het totaal voor wiskunde 13 punten en geen 12 punten. Dit had echter geen consequenties voor het invullen van de punten op de papieren en elektronische scorelijsten.

4.2.3 Cijferen

Enkele leraren vragen om ook punten op het schatten te geven. Wij menen echter dat schatten een vaardigheid is die leerlingen bij cijferen en andere wiskunde-oefeningen en –problemen spontaan dienen aan te wenden. Schatten is bijna inherent aan cijferen maar ook aan het aanpakken van wiskundeproblemen. Schatten om te schatten vinden wij inderdaad weinig zinvol, maar we zien het eerder als een strategie om:

• te weten te komen hoe groot (hoe klein) het resultaat van de opgave zal zijn; • te gebruiken als een controlestrategie na het oplossen van de opgave: het resultaat vergelijken

met de schatting en indien het resultaat (te) veel afwijkt van de schatting de fout opsporen. Zo is de schatting bij een vermenigvuldiging enorm interessant om achteraf te verifiëren of de komma wel degelijk is geplaatst en of ze op de juiste plaats in het product is gezet.

Daarnaast is schattend rekenen enorm belangrijk omdat schattend rekenen:

• de maatschappelijke redzaamheid vergroot ; • bijdraagt tot gecijferdheid (kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten, nodig om adequaat

en autonoom om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om je heen); • een ondersteunende rol speelt bij precies rekenen.

Daarom is het ook belangrijk om schatten en schattend rekenen vroegtijdig aan te pakken (in het leerplan aanzet vanaf een tweede leerjaar), te meer omdat in het dagelijks leven mensen eerder schattend rekenen dan exact (hoofd)rekenen. Wanneer we voor onszelf nagaan hoe we in het dagelijks leven onze rekenkennis gebruiken, dan blijkt dat dikwijls een precieze uitkomst ons minder interesseert, maar dat we tevreden zijn met een ‘ongeveer’-uitkomst die al schattend is verkregen. Sinds de invoering van de euro ervaren wij (en de kinderen) nog eerder de neiging om schattend en afrondend te rekenen. Want … wie rekent er graag met kommagetallen?

14

5. Het leergebied wereldoriëntatie


A B C D E F G H



2007

Behaald %

per onderdeel

niveau 1 ≥ 90 %






niveau 7 < 40%

WO 72,8 %


Tijd 75,7 % 33,6 19,7 18,0 12,5 7,8 4,2 4,1

Maatschappij 72,7 % 25,6 24,6 20,9 15,0 7,9 3,0 2,8

Technologie 87,9 % 68,2 19,4 6,2 2,4 0,8 0,2 2,6

Natuur 82,1 % 51,3 22,6 13,2 6,6 2,7 1,1 2,4

Ruimte 70,4 % 26,2 17,7 16,3 13,2 10,3 7,7 8,6


5.2.1 Tekst ‘Eerlijke handel scoort bij Vlamingen’ Door de blikjestelefoon kun je berichtjes fluisteren naar je vriend. Kruis hieronder aan welke telefoon werkt.

15

- Blikjestelefoon: geen zinvolle vraag. Hoe moeten ze dit weten?

Eén van de kenmerken voor goed basisonderwijs is ‘actief leren’.

Een citaat uit het leerplan wereldoriëntatie:

‘Door het actief leren is een kind in die mate betrokken dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en gedragsveranderingen teweegbrengt. Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van dat kind zelf uitgaat en door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren.’(…) ‘Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties binnen de leersituatie te worden gecreëerd.’

‘Actief leren’ geldt zeker voor het domein technologie. Kinderen kunnen maar inzichten verwerven en basiskennis opdoen wanneer ze kansen krijgen om te experimenteren, te exploreren, te construeren en toe te passen.

De proef met de blikjestelefoon is daar een uitstekend voorbeeld van. Slechts wanneer leerlingen mogen ervaren dat geluidstrillingen zich voortzetten via een gespannen draad kunnen zij deze vraag correct oplossen.

We houden een warm pleidooi om van technologische activiteiten doemomenten te maken waaraan een reflectiemoment gekoppeld wordt.

5.2.2 Tekst ‘Stad en platteland’ Vergelijk de luchtfoto met het stratenplan van het dorp Leest.

Bereken de lengte van de Roekstraat. ..................................................................... - Moeilijk werkbare schaal. - Een onduidelijke schaal! 100 m = 1,3 of 1,4 cm? Dit was vorig jaar ook al zo.

De meting van de lijnschaal ligt tussen 1,35 cm en 1,4 cm. Het betreft dus een maximaal verschil van enkele tienden van een millimeter.

De lengte van de straat (5,6 cm) kan wel een verschil van 1 of 2 mm geven, al naargelang men meet aan de straatkant of in het midden. Ook het einde van de straat is niet echt afgebakend. Meet je tot de straathoek of tot het midden van de andere straat?

Het stratenplan en de luchtfoto zijn reëel en hebben dus geen mooi afgeronde maatgetallen. Ook in atlassen zijn de lengtes van lijnschalen niet altijd afgerond.

Belangrijk blijft dat naast het maatgetal (of de benadering ervan) vooral de maateenheid (m) correct is.

16

Allicht is het beter om in de sleutel een realistische marge te voorzien en dat het gezond verstand van de corrector zegeviere…

5.2.3 Tekst ‘Vlaamse jeugd is racistisch en intolerant?’ Vlak voor de laatste gemeenteraadsverkiezingen werden in vier steden concerten voor verdraagzaamheid gehouden. Deze naam verwijst naar een datum. Welke?

A 10 januari 2007 B 11 november 2006 C 1 oktober 2006 D 1 januari 2000

- 0110. Een collega maakte de opmerking dat hij (volgens de BIN-normen) data in zijn klas altijd noteert als 2007-01-10. Vandaar dat ook heel veel leerlingen voor mogelijkheid A kozen, namelijk 10 januari i.p.v. 1 oktober.’

Het kind dat 0110 leest als 10 januari verdient inderdaad een punt. Het bereikt doelstelling 37 – ‘de leerlingen kunnen de datum lezen en schrijven’. Aan de notatiewijze kun je niet opmaken of het om 10 januari dan wel om 1 oktober gaat.

Wel is het belangrijk dat leraren hun kinderen confronteren met verschillende notatiewijzen, zodat ze in toepassingssituaties de datum correct interpreteren. ‘leerplan wiskunde, meten van de tijd 1.1 De lln. kunnen de datum op verschillende wijzen lezen en schrijven.’

De context van de toepassingssituatie was hier: ‘Vlak voor de laatste gemeenteraadsverkiezingen (…). Deze vonden niet in januari maar in oktober plaats.

Werd deze actualiteit – toch fundamenteel in het gemeentelijk onderwijs - voldoende aangegrepen in de klas? Werd ze geregistreerd op een actualiteitenbord of een tijdsband, zodat ze de kans kreeg te beklijven?

Naast de doelstelling die we hier expliciet bevragen willen we er dan ook impliciet voor pleiten de actualiteit nog meer bij het onderwijs van elke dag te betrekken.

5.2.4 De correctiesleutel

- Ok, sommige vragen zijn voor interpretatie vatbaar. - Ook niet altijd evident. - Bij open vragen is de correctiesleutel soms onduidelijk. - Op veel vragen konden zeer ruime, verschillende antwoorden gegeven worden moeilijker om te

beoordelen.

In de correctiesleutel een perfect afgebakend antwoord formuleren bij een open vraag zou volledig indruisen tegen de bedoeling van deze vraagvorm. De geformuleerde antwoorden in de sleutel zijn daarom richtinggevend en niet limitatief. Het blijft de opdracht van de corrector om te bepalen of een gegeven antwoord correct of fout is. Hij laat zich daarbij leiden door zijn aanvoelen en zijn gezond verstand, zonder overdreven mildheid of te grote gestrengheid. Zich kunnen inleven in de bedoeling van de leerling is essentieel.

In tegenstelling tot meerkeuzevragen zijn open vragen minder objectief. Toch nemen we ze sporadisch mee op in onze toetsen om de meerwaarde ervan te signaleren, namelijk hogere denkprocessen aan te spreken. Bovendien biedt deze vraagvorm mogelijkheden om via interactie en reflectie deze denken leerprocessen te evalueren. Evalueren mag in de klaspraktijk niet verengd worden tot uitsluitend objectiveerbare multiple choice - of gesloten vragen, alsof deze de standaard zijn.

Voor meer info verwijzen we naar de reader van 2004 ‘Meten’ waar op bladzijde 6, 7 en 8 dieper wordt ingegaan op verschillende vormen van toetsvragen en de beoordelingen ervan.

17

5.2.5 Techniekopdracht: seinsleutel

- Goed, leerrijk. Zeer goed qua inzichten technologie en gebruik van stappenplan. - Leuke en interessante opdracht. - De kinderen deden de constructieactiviteit heel graag. Ze hebben het morsealfabet ook opgezocht op het

internet. 19 van de 20 kinderen hebben de seinsleutel naar behoren gemaakt. - Tof! Gemakkelijk. - Tof resultaat. De leerlingen vonden het plezant.

Dit jaar kregen de leerlingen de opdracht om een seinsleutel te maken. De taak werd door de leerkrachten en leerlingen als plezierig en leerrijk geëvalueerd. Het stappenplan werd positief onthaald, evenals de ontbrekende stappen die de leerlingen probleemoplossend moesten invullen. Het zoekwerk naar de morsecodes op het internet en het gebruik van de tekens boeiden de leerlingen.

- Vrij eenvoudige opdracht voor het zesde leerjaar. Mag uitdagender! - Aan de eenvoudige kant in vergelijking met vorig jaar. - Het instructieblad bevatte onduidelijke tekeningen. De omschrijving van de proef en de tussenstappen

konden duidelijker geformuleerd worden! - Punten wel subjectief. - Een vrij eenvoudige opdracht, zeker in vergelijking met vorig jaar. (n.v.d.r. de elektro) de eerste drie (of

misschien zelfs ook de vierde) punten vond ik echte weggevers.

Sommige leerkrachten geven aan dat de opdracht voor de leerlingen te eenvoudig was en uitdagender mocht. Anderen vinden dan weer dat het niet kan dat stappen worden overgeslagen en leerlingen zelf wat denkwerk moeten doen.

Dit bevestigt dat de kloof tussen scholen waar techniek en probleemoplossend denken wezenlijk deel uitmaken van het leerprogramma en andere scholen blijft bestaan. Het blijft moeilijk om een techniekproef te quoteren.

Techniek heeft immers niet alleen te maken met het afgewerkte product, maar ook met het technische proces dat de leerling stapsgewijs doormaakt.

Dat de sleutel voor interpretatie vatbaar is, is inherent aan het observeren van een praktische proef. Daarom splitsen we de proef in deelactiviteiten op.

- Te duur: opdracht op zich goed en leuk. - De laatste jaren worden de technologieproeven steeds duurder. - Enkele bedenkingen bij het materiaal: soms duur in aanschaf (de batterij). Niet gemakkelijk in de handel te

verkrijgen (lampje en houders). - Er diende opnieuw materiaal aangekocht of bijgekocht te worden. Lampenhouders en lampjes met

schroefdraad zijn verouderde materialen en niet meer overal te koop. - Kostelijk materiaal voor de school. - We vinden dat het toch vrij kostelijk was. Suggestie: iets met goedkope materialen bedenken. - Materialen: soms een probleem bij bepaalde leerlingen.

Ook dit jaar kregen we opnieuw verschillende reacties in verband met de kostprijs van de proef. Toch willen we benadrukken dat ook ‘techniek’ een leerdomein is in het basisonderwijs dat steeds meer aan belang wint.

Techniek vraagt investeringen in specifiek didactisch materiaal, nodig om de ontwikkelingsdoelen na te streven en de eindtermen te bereiken, en dus kosteloos voor de leerlingen.

Misschien moet de school een lijst maken van de materialen die veelvuldig voorkomen. We denken aan gereedschap (hamers, zagen, snijmessen, …), recupereerbare materialen (batterijen, lampjes, …) en niet-recupereerbare materialen (nagels, lijm, …)

We verwijzen hiervoor naar de richtinggevende lijst die opgenomen is in het leerplan op bladzijde 38 en 39.

18

6. Het leergebied muzische vorming


6.1.1 Inhoud en timing

- “Vreemde wezens en de kijkdoos was een zeer boeiende en gevarieerde opdracht. Kinderen konden hun fantasie de vrije loop laten en materiaal gebruiken naar hun eigen noden. Deze opdracht heeft echt wel alle lessen muzische vorming van het tweede trimester in beslag genomen. De taak was zeker groot genoeg”.

- “De opdracht sprak de leerlingen echt aan. De leerlingen konden er hun creativiteit volop in kwijt. Het tweede trimester was een goede periode hiervoor.”

- “Goed maar wel heel uitgebreid.” - “Dit noem ik nog eens kinderen uitdagen om samen iets moois te creëren”.

Uit de reacties mag blijken dat de opdracht muzische vorming zeer positief werd onthaald zowel door de leraren als door de leerlingen.

Niettegenstaande er in de opdracht ruimte werd gelaten om in de keuzeopdrachten een beperking in te bouwen, zeggen een aantal leraren dat de opdracht te tijdsintensief was.

Deze vele positieve reacties nodigen ons uit om op de ingeslagen weg verder te doen.

6.1.2 De reflectiekaarten

In het leerplan lezen we: “De reflectie op proces en de reflectie op product (beschouwen) door leraar en leerlingen mag nooit vergeten worden. Reflecteren wordt hier beschouwd als een zeer ruim begrip. Dit kan inhouden: het kritisch evalueren van een stukje drama, het genieten van een stukje muziek, het beschouwen van een kunstwerk, .... Deze reflectie is geen louter passieve aangelegenheid: ze kan verwoord worden, ze kan aanleiding geven tot een bespreking van het product/proces, ze kan een aanzet geven tot optimalisatie van het eigen product/proces .... We bouwden in onze opdracht doelbewust reflectiemomenten in. Hiervoor reikten we, als hulpmiddel voor de leerlingen, reflectiekaarten aan om het reflecteren op gang te brengen. Aan de hand van de reflectiekaarten gaat een kind na in welke mate zijn muzisch handelen voldoet aan de vooropgestelde doelen en/of moet bijgestuurd worden. Van daaruit kan het voor zichzelf eventuele werkpunten formuleren.

Reflecteren betekent immers dat je jezelf een spiegel voorhoudt om zo stil te staan bij hoe je werkt, welke keuzes je daarbinnen maakt, welke vaardigheden je inzet en hoe je jezelf daarbij voelt tijdens het werk.

In de evaluatiegegevens van de leraren vinden we weinig reacties op deze reflectiekaarten. We gaan er vanuit dat deze kaarten positief onthaald werden. Ze geven ook de mogelijkheid om ze in de toekomst te blijven gebruiken al of niet met de nodige aanpassingen in functie van de muzische opdracht.

6.1.3 De evaluatie

We veronderstellen dat voor een grote groep leraren de manier van evalueren van muzische vorming, zoals we deze ontwikkelden, nog geen vanzelfsprekendheid is. Dit kunnen we afleiden uit volgende uitspraken:

- zwaar voor de juf - te omvangrijk - te uitgebreid - omslachtig - niet ingevuld wegens te veel werk

Wij stellen dat zinvolle evaluatie gebeurt vanuit een ontwikkelingsperspectief. Evaluatie moet zich richten op de persoonlijke evolutie van het kind in zijn muzisch proces.

Goede evaluatie is gericht op communicatie met en tussen de kinderen.

19

We vinden doelgerichtheid binnen muzische expressie belangrijk om bij kinderen creatieve processen op gang te brengen. De doelen opgenomen in het leerplan zijn doelen over het zich eigen maken van attitudes (openheid, breeddenkendheid en kritische zin), over communicatie, over vormgeven.

Een goede evaluatie doet hierover uitspraken.

Wat we bekijken bij de evaluatie is de manier waarop een kind te werk gaat tijdens zijn muzisch proces, tijdens het vormgeven en het beschouwen:

• zijn persoonlijke betrokkenheid; • zijn concentratie; • zijn vindingrijkheid; • zijn al dan niet groeiend zelfvertrouwen; • de kracht van zijn expressie; • de zoektocht naar originaliteit; • de wijze waarop het informatie verzamelt; • zijn aandacht voor afwerking en presentatie; • zijn technische vaardigheden; • …

Als we dit ernstig nemen dan kunnen we de evaluatie niet terugbrengen tot een cijfer of een gezichtje inkleuren.

6.1.4 De communicatie met Julia en Robbie

Bij een groot aantal scholen liep de communicatie met Julia en Robbie zeer vlot. Andere ondervonden problemen. We durven stellen dat alle scholen die ons materiaal bezorgden ook een antwoord hebben gekregen van Julia en Robbie. We zijn er ons wel van bewust dat er in het begin iets fout is gelopen met het e-mailadres. We trekken hier de gepaste conclusies uit en zoeken naar oplossingen om in de toekomst de communicatie te optimaliseren.

20

Deel 2

(h)eureka

probleemoplossende vaardigheden binnen wiskunde

23

Inleiding

In het tweede deel van deze reader geven we voor probleemoplossende vaardigheden een overzicht van de resultaten. We voerden een kwantitatieve en kwalitatieve analyse uit aan de hand van de oplossingswegen en oplossingen van een ruime groep leerlingen gespreid over Vlaanderen.

In een eerste luik expliciteren we ons onderzoeksopzet waarbij we aangeven wat we beoogden bij ons onderzoek en ook hoe we te werk gingen. We presenteren daarbij de resultaten per vraag die we selecteerden voor ons onderzoek.

In een tweede luik gaan we dieper in op een krachtige onderwijsleeromgeving voor probleemoplossen. We blijven eerst stilstaan bij het leerplan om dan 7 pijlers aan te reiken die samen garant staan voor een krachtige leeromgeving. Elke pijler wordt beschreven en geïllustreerd. We reiken ook suggesties aan die het mogelijk maken om in de eigen klaspraktijk deze omgeving te creëren.

Daarna beschrijven we het onderzoek van Verschaffel L. e.a. naar de implementatie en het effect van een ontwikkelde krachtige leeromgeving, dat tussen september 1996 en maart 1997 plaatsvond.

Achtereenvolgens hebben we aandacht voor wiskundeproblemen in de kleuterschool en voor ICT-gebruik bij probleemoplossen.

We eindigen met concrete tips hoe je met deze reader op schoolniveau aan de slag kunt gaan.

Aan een aantal leerlingen uit het zesde leerjaar vroegen we om te tekenen hoe zij zich de leraar wiskunde in het secundair onderwijs voorstellen. 75 % van die leerlingen tekent een man en 72 % tekent een figuur die een bril draagt. 3 % van de leerlingen tekent een figuur met een professorshoedje en 15 % menen hun figuur van een (wandel)stok te moeten voorzien. In dit tweede deel van de reader vind je dan ook hier en daar zo’n tekening terug.

24

A Kwantitatieve en kwalitatieve analyse 1. Onderzoeksopzet

1.1. Wat wilden we onderzoeken? In de eindtermen lezen we: ‘het wiskundeonderwijs in de basisschool omvat een aantal belangrijke oriëntaties.’ Met het wiskundeonderwijs streeft de school ernaar dat de kinderen:

• een aantal fundamentele wiskundige inzichten, kenniselementen en vaardigheden (symbolen, termen, begrippen, procedures...) verwerven, die nodig zijn om adequaat te functioneren in het maatschappelijk leven en/of die een noodzakelijke basis vormen voor de verdere studieloopbaan;

• de verworven wiskundige kennis, inzichten en vaardigheden in verband brengen met en gebruiken in zinvolle concrete situaties, maar ook in andere leergebieden en buiten de school;

• de taal van de wiskunde begrijpen, zowel in de wiskundelessen als daarbuiten; • een onderzoeksgerichte houding ontwikkelen die hen kan helpen bij het opsporen en het onderzoeken van

allerlei wiskundige verbanden, patronen en structuren; • waardevolle zoekstrategieën hanteren om wiskundige problemen op te lossen; • eigen wiskundige denken leerprocessen leren sturen en erover reflecteren; • een adequate, constructief-kritische houding ontwikkelen tegenover wiskunde in het algemeen; • een positieve houding ontwikkelen tegenover wiskunde als leergebied op school.

Vanuit de OVSG-toets wiskunde 2007 wilden we nagaan hoe leerlingen op het einde van het zesde leerjaar wiskundige problemen aanpakken en oplossen. Om dit te onderzoeken stelden we een aantal onderzoeksvragen.

• Hoe lossen leerlingen eind zesde leerjaar min of meer complexe problemen op? • Is er een verschil tussen oplossingsgedrag bij een ‘klassiek vraagstuk’ en een ‘meer open probleem’? • Werken de leerlingen daarbij planmatig en doorlopen ze een aantal fasen om tot een goede oplossing te

komen? • Welke heuristieken hanteren leerlingen eind zesde leerjaar om problemen op te lossen in de verschillende

fasen van het probleemoplossingsproces? • Kunnen leerlingen zesde leerjaar in een probleem de noodzakelijke gegevens onderscheiden en

identificeren die nodig zijn om het probleem op te lossen? • Schematiseren of tekenen de leerlingen het probleem? • Zoeken de leerlingen een patroon in de gegevens om het probleem op te lossen? • Gebruiken leerlingen hun ervaringskennis om problemen op te lossen? • Kunnen leerlingen zich bij het probleemoplossen verplaatsen in een ander (reflectie)? • Is er een verschil in het hanteren van heuristieken, metacognitieve kennis en metacognitieve vaardigheden

tussen sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers?

1.2. Doel van het onderzoek Het doel van dit onderzoek is een preciezer beeld krijgen van sterktes en tekorten in het oplossen van wiskundige problemen. We proberen hiervoor verklaringen te formuleren. Verder zijn we ook geïnteresseerd in de verschillen tussen sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers met betrekking tot het vaardig oplossen van wiskundige problemen. Geeft dit ons aanwijzingen die we in onze klaspraktijk kunnen gebruiken?

Van hieruit willen we leraren en schoolteams een handreiking bieden om hun praktijk te optimaliseren.

1.3. Hoe hebben we dit gedaan? Voor de kwantitatieve analyse analyseerden we de toetsen van 495 leerlingen. Hierbij was het niet enkel de bedoeling de antwoorden te bekijken en de scores te turven, maar ook de oplossingsweg en de gehanteerde heuristieken die we terugvonden op sommige toetsblaadjes en kladblaadjes te analyseren.

De kwalitatieve analyse gebeurde met 309 leerlingen.

25

In 12 klassen voerden we een enquête uit. Per onderzochte vraag vroegen we de leerlingen uitspraken die voor hen pasten, aan te duiden.

Bijvoorbeeld

Ik loste de vraag correct op.

1) Ik heb de opgave aandachtig gelezen.

2) Ik heb gezocht wat er was gegeven en werd gevraagd.

3) Ik heb het belangrijkste aangeduid (markeren, onderlijnen, omcirkelen…).

4) Ik heb me afgevraagd welke bewerkingen ik moest uitvoeren.

5) Ik heb mijn oplossingsstappen gepland.

6) Ik heb geschat.

7) Ik heb stap voor stap gewerkt.

8) Ik heb de bewerkingen in de juiste volgorde uitgevoerd.

9) Ik ben af en toe gestopt om te kijken of de oplossing van het probleem dichterbij kwam.

10) Ik heb mijn oplossing gecontroleerd.

Ik loste de vraag fout op.

1) Ik heb de opgave aandachtig gelezen.

2) Ik heb gezocht wat er was gegeven en werd gevraagd.

3) Ik heb het belangrijkste aangeduid (markeren, onderlijnen, omcirkelen…).

4) Ik heb me afgevraagd welke bewerkingen ik moest uitvoeren.

5) Ik heb mijn oplossingsstappen gepland.

6) Ik heb geschat.

7) Ik heb stap voor stap gewerkt.

8) Ik heb de bewerkingen in de juiste volgorde uitgevoerd.

9) Ik ben af en toe gestopt om te kijken of de oplossing van het probleem dichterbij kwam.

10) Ik heb mijn oplossing gecontroleerd.

De leerlingen vulden deze enquête in onder leiding van de pedagogisch adviseur. Daarbij mochten ze hun toets terug inkijken. Op elk enquêteformulier vulde de leraar achteraf in of hij de leerling een sterke, een middelmatige of zwakke probleemoplosser vindt. Zo hoopten we om meer inzicht te krijgen waarin vaardige probleemoplossers verschillen van minder vaardige probleemoplossers.

Bij elke toetsvraag vroegen we verder en dieper door naar het oplossingsgedrag van de leerlingen in de verschillende fasen van het probleemoplossingsproces. Dit leverde ons interessant materiaal op over:

• het aanpakgedrag van de leerlingen; • het oplossingsgedrag van de leerlingen; • het stapsgewijs werken van de leerlingen; • de gebruikte heuristieken; • het feit of het hanteren van een bepaalde heuristiek de kans op het vinden van de oplossing verhoogt; • wiskundeattitudes.

26

2. Resultaten van het onderzoek

2.1. Een min of meer complex probleem oplossen

2.1.1. Vraag 29, thematisch gedeelte – werkbundel 1, pag. 6

a) Vraag

De voetbalclub heeft met Kerstmis een actie op touw gezet om geld in te zamelen voor Amnesty International. Alle leden van de voetbalclub maakten zelf kerstkaarten en verkochten die op de kerstmarkt. Hiervoor kochten ze

1. tekenpapier voor € 122,00 2. stiften voor € 76,00 3. glinsters voor € 35,00

Ze maakten hiermee 325 kaarten en verkochten ze allemaal voor € 1,25 per kaart. Na aftrek van de gemaakte kosten hielden ze nog een mooie winst over. Hoeveel euro winst was er?

totaal bedrag van de onkosten

totaal bedrag van verkoopprijs

winst

De voetbalclub maakte .............................................. euro winst.

b) Doelstelling en correctiesleutel

Meten leerlijn 2.8 – doelstelling 2:

De leerlingen ervaren en beseffen dat geld een ruilmiddel is. Ze hanteren daarbij de begrippen:

duur en goedkoop, duurder en goedkoper, kosten en betalen, kopen en verkopen

winst en verlies

intrest en rentevoet

Domeinoverschrijdende doelen – 1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.1:

De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen m.b.t. getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fasen.


De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures m.b.t. getallen, meten en meetkunde efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas.

173,25

Het punt wordt toegekend als het correcte antwoord in de antwoordzin wordt geschreven.

1 punt

27

c) Resultaten

foutenrubricering

d) Hoe scoren sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers op deze vraag?

82 bevraagde leerlingen

38 sterke probleemoplossers 25 middelmatige probleemoplossers 19 zwakke probleemoplossers

correct fout correct fout correct fout

31 7 20 5 12 7

82 % 18 % 80 % 20 % 63 % 37 % e) Bevindingen

Deze vraag scoort heel goed. De herkenbaarheid voor de leerlingen van dit soort vragen, de duidelijke structuur en gerichte aansturing in het antwoordvak verhogen vermoedelijk de slaagkansen bij deze vraag. De meeste fouten worden gemaakt in de tussenuitkomsten.

Voorbeelden

Rekenfouten

406,25 – 233 = 167,25

406,25 – 233 = 183,25

Afronden waar het niet nodig was

325 x € 1,25 = € 406,25 wordt afgerond naar € 406

Notatiefouten

173,205 i.p.v. 173,25

Aandachtsfouten

Alles wordt op de kladblaadjes of met de zakrekenmachine goed uitgerekend maar verkeerd overgeschreven. Zo wordt bijvoorbeeld € 73,25 in de antwoordzin geschreven terwijl op het kladblaadje wel de correcte bewerkingen en het juiste antwoord worden genoteerd.

In de verkeerde antwoordrijen schrijven

onkosten: € 173,25 - verkoopprijs: € 406,25 - winst: € 233

28

Uit de enquête blijkt dat de meeste leerlingen die deze vraag correct beantwoorden het probleem stapsgewijs aanpakken:

• de opgave aandachtig lezen; • zoeken wat er is gegeven en gevraagd; • zich afvragen welke bewerkingen dienen te worden uitgevoerd; • de oplossingsstappen plannen; • stap voor stap werken; • de oplossing controleren:

o opnieuw uitrekenen; o omgekeerd rekenen: vanuit de winst terug rekenen naar de onkosten; o zich afvragen of de oplossing wel realistisch is; o opnieuw uitrekenen met de zakrekenmachine.

De leerlingen die deze vraag fout oplossen, zijn minder geneigd om stap voor stap te werken en een controle uit te voeren.

Het is opvallend dat bijna uitsluitend sterke probleemoplossers tussentijdse reflectie- of controlemomenten inlassen.

29

2.1.2. Vraag 14, meetkunde – werkbundel 7, pag. 11

a) Vraag

Hieronder zie je drie verschillende soorten zakjes met suiker. Elk zakje bevat evenveel suiker. Een fabrikant van suikerzakjes wil te weten komen welke van de drie verpakkingen het minst papier nodig heeft. Vertel jij hem eens hoe jij dat zult aanpakken.


Meetkunde leerlijn 3.3 – doelstelling 4:

De leerlingen kunnen veelhoeken (mentaal) omstructureren naar rechthoeken en driehoeken door verdeling, aanvulling en compensatie.




De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures m.b.t. getallen, meten en meetkunde efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas.

Ze kunnen in realistische probleemsituaties een wiskundig probleem herkennen;

Ze kunnen bij een probleemsituatie soepel de transfer maken naar geleerde begrippen, inzichten een procedures uit de wiskunde.

Oppervlakte berekenen van de zakjes kleinste oppervlakte minste papier nodig

Of

Suiker uit de zakjes verwijderen de kantjes openvouwen tot 1 vlak (rechthoek) minste oppervlakte minste papier nodig

Of

De suiker uit de zakjes gieten de zakjes openvouwen en

op elkaar leggen de papiertjes verknippen en verplaatsen en/of op elkaar leggen kleinste oppervlakte minste papier nodig

Of

De zakjes wegen met en zonder suiker verschil bepalen laagste gewicht

minste papier nodig

Of

De zakjes met suiker wegen suiker uit de zakjes gieten de zakjes opnieuw wegen minste gewicht minste

papier nodig Of elk gelijkwaardig antwoord

1 punt

30

c) Resultaten

foutenrubricering





15 7 13 15 6 13

68 % 32 % 46 % 54 % 32 % 68 % e) Bevindingen

Deze vraag wordt door iets meer dan de helft van de leerlingen correct beantwoord. Misschien komt dergelijke vraag wat vreemd over bij de leerlingen: een wiskundevraag zonder getallen, een wiskundeprobleem dat je kunt/moet oplossen zonder bewerkingen te maken, een wiskundevraag waar niet exact hoeft te worden gerekend… Het gaat hier inderdaad niet om correct rekenen maar wel om een wiskundig probleem te onderzoeken. Dit is niet nieuw. Ook de vorige editie van de OVSG-toets bevat zo’n vraag (OVSG-toets Meten, 2006, vraag 8 + reader 2006, pag. 18). Verscheidene leerlingen verwoorden dat ze niet vertrouwd zijn met dergelijke vragen:

• “Ik heb de vraag tot het laatst gelaten.” • “De vraag vond ik ‘irritant’.” • “Ik vond de vraag onduidelijk en verwarrend.” • “Als ik niks moet berekenen, dan steekt het niet zo nauw.” • “We zijn zo’n vragen niet gewoon, zeker niet bij rekenen.” • … De leerlingen die correct antwoorden, beschrijven meestal een of andere oppervlaktestrategie (96,5 % van de juiste antwoorden). Een minderheid overweegt een weegstrategie (2,9 % van de juiste antwoorden). Ongeveer 6 % van de leerlingen beantwoordt de vraag niet. Wellicht zijn ze niet vertrouwd met dergelijke vragen. Nogal wat leerlingen (16 % van de foute antwoorden) begrijpen niet echt de context, kunnen zich niet in de context inleven of lezen onvoldoende aandachtig en gericht de context: ze berekenen de oppervlakte van de zakjes en antwoorden dan welk zakje het minste papier nodig heeft. Een andere grote groep hanteert een foute aanpak- en oplossingsstrategie: ze raden de fabrikant van de suikerzakjes aan om de omtrek of de lengte of het volume van de zakjes te berekenen of gewoon op het zicht af te gaan. In de enquête geven de meeste leerlingen aan dat zij de opgave aandachtig lezen en achteraf controleren of ze wel degelijk een antwoord geven op de gestelde vraag. Daarbij merken we dat sterke probleemoplossers (54,5 %) eerder geneigd zijn om te controleren dan middelmatige (39 %) en zwakke probleemoplossers (31,5%). Bij de sterke probleemoplossers die goed scoren ligt dit cijfer zelfs nog iets hoger: 60 % tegenover 30,5 % bij de middelmatige en 33,5 % bij de zwakke probleemoplossers. Opmerkelijk is dat verschillende oplossingsmanieren bedenken, deze met elkaar vergelijken én de beste eruit kiezen meer wordt aangevinkt door middelmatige (25 %) en zwakke probleemoplossers (26,5 %) dan sterke probleemoplossers (4,5 %). Vinken minder sterke probleemoplossers sociaal wenselijke antwoorden aan? Weten sterke probleemoplossers onmiddellijk een efficiënte oplossingsstrategie?

31

2.2. Onderscheiden van de noodzakelijke gegeven


a) Vraag

Grafiek ‘Gemiddelde van de luchttemperatuur te Ukkel (België) in °C vanaf 1833’ Weervrouw Sabine zegt:

Gebruik de gegevens uit de grafiek en help Sabine informatie te geven over de maand juli.


Getallen leerlijn 1.18 - doelstelling 19:

De leerlingen kunnen een staafgrafiek interpreteren.

Getallen leerlingen 1.18 - doelstelling 25:

De leerlingen kunnen de evolutie die door een lijngrafiek wordt weergegeven ontdekken, verwoorden en interpreteren.



De leerlingen zijn in staat wiskundige problemen te begrijpen.

Ze kunnen de gegevens en het gevraagde of datgene wat ze willen bereiken onderscheiden;

Ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten en aangeven welke gegevens eventueel ontbreken;

Ze kunnen de samenhang in de gegevens ontdekken, de kerngegevens die relevant zijn om tot een oplossing te komen, vinden in de probleemsituatie, en deze ordenen.


De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures m.b.t. getallen, meten en meetkunde efficiënt hanteren in

2006

23

1 punt

• De normale temperatuur in de maand januari bedraagt 2,5 °Celsius.

• De warmste januarimaand kenden we in 1834 met een gemiddelde temperatuur van 7 °Celsius.

• De normale temperatuur in de maand juli bedraagt 16,5 °Celsius.

• De warmste julimaand kenden we in ........................... met een gemiddelde temperatuur van ........................ °Celsius.

32

betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas.

De leerlingen kunnen beslissingen nemen over het resultaat.

Ze kunnen het gevonden resultaat terug in de situatie

½ punt per correct antwoord

c) Resultaten

foutenrubricering





21 13 12 22 6 13

62 % 38 % 35 % 65 % 32 % 68 %

e) Bevindingen

Hier merken we een groot verschil in correctheid tussen vraag 6a (jaartal) en 6b (temperatuur). 83 % van de leerlingen noteert het juiste jaartal. 46 % noteert de juiste temperatuur.

De term gemiddelde temperatuur is duidelijk voor alle leerlingen.

56 % van de leerlingen uit onze enquête geven aan dat ze de legenda gebruiken. Voor hen is het duidelijk dat ze de rode lijn in de grafiek (gemiddelde temperatuur die je normaal mag verwachten) niet moeten bekijken. Zij elimineren dit overbodige gegeven. Anderzijds geven 44 % van de leerlingen aan de legenda niet te raadplegen.

24 % van de leerlingen gebruikt de tekst van de eerste tekstballon als model om het antwoord te formuleren.

De (ingewikkelde) grafiek vereist nauwkeurig werk van de leerlingen. Ondanks het aangereikte model is deze grafiek voor vele kinderen een brug te ver.

33

2.2.2. Vraag 29, thematisch gedeelte - werkbundel 1, pag.6

a) Vraag

Tekst ‘Hinkelen op z’n Chinees – een spelletje uit Hong Kong’ De werkman wil dit spel schilderen op de speelplaats. Maar hij heeft een schets nodig hoe de vakken moeten worden geschilderd. Help hem.

Maak een schets van het Chinees hinkelspel. Nummer de vakken. Zet een kruis in ‘het dorpshuis’.


Domeinoverschrijdende doelen 1. strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.1



Ze kunnen de gegevens en het gevraagde of datgene wat ze willen bereiken onderscheiden;

Ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten en aangeven welke gegevens eventueel ontbreken;

Ze kunnen de samenhang in de gegevens ontdekken, de kerngegevens die relevant zijn om tot een oplossing te komen, vinden in de probleemsituatie, en deze ordenen.

Verschillende mogelijkheden: zie hieronder.

Het hinkelhok mag ook diagonaal, verticaal, schuin getekend worden.

1 punt voor de tekening: 9 vakken op één rij, waarvan het laatste vak in tweeën is verdeeld.

1/2 punt voor het nummeren: nummers 1-8 in de eerste 8 vakken en in het laatste vak de nummers 9 in één vak en 10 in één vak.

½ punt voor een kruisje in vak 10

2 punten

c) Resultaten

foutenrubricering

34




Correct fout correct fout correct fout

20 3 16 9 11 12

87 % 13 % 64 % 36 % 48 % 52 % e) Bevindingen

Nagenoeg niemand (1 van de 71 bevraagde leerlingen) duidt in de tekst de noodzakelijke gegevens aan.

Is het markeren of onderlijnen van hoofdzaken bij het oplossen van wiskundige problemen nog geen attitude? Of mogen de leerlingen niet schrijven in het bronnenboek?

De meeste fouten worden gemaakt bij het maken van de tekening. Bij de bevraging geven nogal wat leerlingen aan dat ze het een ingewikkelde tekst vinden. Een aantal haakt af. Anderen herlezen stukje per stukje de tekst. Dit duidt op een goede aanpak: opsplitsen in deelproblemen.

Bepaalde kinderen kennen het hinkelspel niet en kunnen zich er ook, na het lezen van de tekst, niets bij voorstellen. Hieruit blijkt dat het kennen van de context essentieel is voor het oplossen van problemen.

Een aantal kinderen geeft aan dat er op hun speelplaats een hinkelspel is geschilderd en dat ze die tekening hebben overgenomen. Daardoor laten ze zich minder inspireren door de tekst. Deze kinderen kunnen blijkbaar geen afstand doen van een voor hen vertrouwde situatie.

Bij de sterke probleemoplossers zien we dat deze ‘leesopdracht’ bijzonder hoog scoort (87% correct). Bij de zwakke probleemoplossers zien we dat meer dan de helft deze opdracht fout heeft.

35

2.3. Ervaringskennis gebruiken


a) Vraag

Op de foto zie je een deel van een zeer drukke weg. Hoe lang is het gedeelte van de weg ongeveer ?

Ongeveer ..................... m

Noteer eens hoe jij dit hebt aangepakt.

................................................................................................................................................................................



De leerlingen hanteren de schatting als een handig controlemiddel bij cijferoefeningen en contextproblemen.


In een bespreking van een opgave, voorgesteld in vorige doelen, kunnen de leerlingen hun schatprocedure verwoorden, vergelijken met andere procedures en de meest effectieve vinden en toepassen.

Meten leerlijn 2.2.3 – doelstelling 18:

De leerlingen komen, na veelvuldig meten, tot afspraken over herkenbare, voorstelbare en/of zichtbare referentiepunten en kunnen die gebruiken bij het schatten.

Domeinoverschrijdende doelen – strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.1:

De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen met betrekking tot getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fasen.


Ze kunnen zich inleven in de situatie door deze aandachtig te bevragen, te lezen, te bekijken, te beluisteren, ...

Elk antwoord waarbij de denkwijze duidelijk wordt verwoord.

Vb. Ik tel het aantal voertuigen in één rij. Een wagen is ongeveer ... m lang. Er is ook nog ... m tussenruimte tussen de wagens

1 punt

36

c) Resultaten

foutenrubricering





10 9 8 20 7 17

53 % 47 % 29 % 71 % 29 % 71 % e) Bevindingen

Deze vraag scoort minder goed.

41 % van de bevraagde leerlingen geeft aan dat ze een referentiepunt uit hun dagelijkse situatie gebruiken (bv. lengte van de auto thuis) en rekenen daarmee.

De lengte van de auto varieert van 1 tot 5 meter. De afstand tussen twee auto’s wordt niet altijd meegerekend.

Opvallend is ook dat kinderen het schaalbegrip hanteren en hierdoor in de fout gaan. Voorbeelden:

• de lengte van de rij auto’s gemeten in cm en dan de maateenheid gewijzigd in meter: o 15 cm gemeten wordt dan 15 meter; o 13 cm gemeten wordt dan 1300 meter; o 11 cm gemeten wordt 11cm x 100 = 1100 cm;

• auto is 2 m dit is 0,5 cm op de foto; • 1 cm = 100 m dan is 15 cm gelijk aan 1500 m of 1,5 km.

Een aantal leerlingen geeft een fout antwoord omdat ze de context niet goed lezen. Voorbeelden:

• het totaal aantal auto’s wordt berekend; • de breedte van de rijstrook wordt berekend.

40 % van de leerlingen vraagt zich af of de gevonden oplossing wel realistisch is.

37

2.3.2. Vraag 8, meten – werkbundel 7, pag. 3

a) Vraag

In Antwerpen herinneren ze zich de zomer van 2006 als ‘de zomer van de olifant’.

Stel je voor: jij organiseert mee dit evenement. Om te weten of de olifant overal onderdoor kan, moet je zijn hoogte schatten. Schat de hoogte van de olifant.

De olifant is ..............................................m hoog.

Ik schatte zo: ........................................................................................................................................................


Meten leerlijn 2.2.3 – doelstelling 18:

De leerlingen komen, na veelvuldig meten, tot afspraken over herkenbare, voorstelbare en/of zichtbare referentiepunten en kunnen die gebruiken bij het schatten.

Domeinoverschrijdende doelen – Strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.1:

De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen m.b.t. getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fases.


Ze kunnen zich inleven in de situatie door deze aandachtig te bevragen, te lezen, te bekijken, te beluisteren, ...


De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures, m.b.t. meten efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas.

Ze kunnen in realistische probleemsituaties een wiskundig probleem herkennen.

Elk antwoord dat wijst op het gebruiken van een referentiepunt in de figuur.

1 punt

38

c) Resultaten

foutenrubricering





18 4 22 6 8 11

82 % 18 % 79 % 21 % 42 % 58 % e) Bevindingen

Deze vraag scoort vooral bij de sterke en de middelmatige probleemoplossers goed.

Ongeveer driekwart van de bevraagde leerlingen geeft aan dat ze een referentiepunt hebben gezocht op de foto van de olifant. Hiermee berekenen ze hoeveel keer dit referentiepunt in de olifant kan. Niet iedereen hanteert hetzelfde referentiepunt.

Voorbeelden:

• de lengte van een persoon; • een lantaarnpaal; • appartementenblok; • het wiel van de wagen (1m).

Heel weinig leerlingen houden rekening met het perspectief van het gekozen referentiepunt ten opzichte van de olifant (vb.: appartementenblok). Hierdoor maken ze een foutieve schatting. Enkele leerlingen maken gebruik van ‘ervaringskennis’.

Voorbeelden:

• Goliath is 3 m; • mijn papa is…; • een olifant is even hoog als een kerk (kerk is 15 m); • een deur is 2 m hoog; • …

Amper 12% van de bevraagde leerlingen stellen zich de vraag of de oplossingsweg die ze bedachten hen naar een aanvaardbaar en realistisch resultaat brengt.

39

2.4. Schematiseren en/of een patroon gebruiken

2.4.1. Vraag 28, thematisch gedeelte - werkbundel 1, pag.6

a) Vraag

Tekst ‘Wat kun jij doen?’

1 oktober valt dit jaar op een maandag. Schrijf de juiste datum waarop de ‘Schrijf-ze-VRIJdag’ wordt georganiseerd dit jaar.

De juiste datum is ...............................................................................................................................................


Meten leerlijn 2.4 - doelstelling 9:

De lln. kunnen verschillende kalenders begrijpen en kunnen deze hanteren: jaarkalender.

Ze kunnen de tijd tussen 2 gebeurtenissen correct bepalen zonder gebruik te maken van een kalender. Ze kunnen daarbij zelf bepalen welke maateenheid het meest geschikt is.

Meten leerlijn 2.4 - doelstelling 11:

De lln. kunnen de datum op verschillende wijzen lezen en schrijven.


De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen met betrekking tot getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fasen.

De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen.

Ze kunnen het probleem schematiseren (bij het probleem een tekening, schets of schema van de gekende en onbekende elementen en de relaties daartussen maken

19 oktober 2007

of

19/10/2007

of elke andere correcte notatiewijze

1 punt

c) Resultaten

foutenrubricering

40





17 21 7 18 1 18

45 % 55 % 28 % 72 % 5 % 95 % e) Bevindingen

Deze vraag scoort erg slecht. Een aantal kinderen schrijft 19 oktober. Ze noteren géén jaartal. In essentie hebben deze kinderen de juiste strategie gehanteerd en is de fout eerder te wijten aan onvolledigheid en/of een te strenge correctiesleutel bij deze vraag.

Een andere veelvoorkomende fout is dat de kinderen 5 oktober 2007 noteren. Zij berekenen dus de eerste vrijdag van de maand. Dit komt omdat ze de informatie uit het bronnenboek niet verwerken bij het oplossen van de vraag. We vermoeden dat deze kinderen ‘vrijdag’ lezen in de opgave, denken dat ze over alle benodigde gegevens beschikken en de context in het bronnenboek niet gebruiken.

Uit de enquête verkrijgen we weinig extra informatie. Opvallend is wel dat de verschillen tussen sterke probleemoplossers en zwakke probleemoplossers erg groot zijn. We veronderstellen dat sterke probleemoplossers beter in staat zijn om een context te koppelen aan een (eenvoudige) rekenkundige vraag.

We merken dat weinig leerlingen een schema maken of een patroon gebruiken om de vraag op te lossen. Wie dit wel doet, tekent meestal een maandkalender. De anderen lossen deze vraag op mentaal niveau op.

41

2.4.2. Vraag 10, getallenkennis, - werkbundel 2, pag.4

a) Vraag

Gert is erg sportief. Hij loopt de 1ste dag van zijn training 5 ronden. Elke dag vergroot hij de afstand met 3 ronden. De laatste dag jogt hij 35 ronden. Hoeveel dagen heeft hij dan gejogd?

..................................................... dagen

Hoe heb jij dat aangepakt?

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................


Getallenkennis leerlijn 1.7 – doelstelling 2:

De lln kunnen in een gegeven reeks een patroon herkennen, de rij verder zetten den dit verwoorden bij een enkelvoudig patroon.

Strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.2:

De leerlingen weten, zien in en kunnen verwoorden en met voorbeelden illustreren dat voor één en hetzelfde wiskundig probleem i.v.m. getallen, meten en meetkunde soms verschillende oplossingswegen en soms zelfs verschillende oplossingen mogelijk zijn, afhankelijk van de instelling (= bekwaamheden, houdingen, verwachtingen waarmee een leerling een probleem tegemoet treedt) t.a.v. het probleem en de aanpak ervan (= wat de leerling doet tijdens het verloop van het oplossingsproces).

11 dagen

Vb.1

Dag 1: 5

Dag 2: 5 + 3 = 8

Dag 3: 8 + 3 = 11

Dag 4:11 + 3 = 14

Dag 5: 14 + 3 = 17

Dag 6: 17 + 3 = 20

Dag 7: 20 + 3 = 23

Dag 8: 23 + 3 = 26

Dag 9: 26 + 3 = 29

Dag 10: 29 + 3 = 32

Dag 11: 32 + 3 = 35

Vb. 2

Dag 1 = 5 ronden Er komen 30 ronden bij. 3 ronden per dag = 10 dagenDag 1 + 10 dagen = 11 dagen

En elk gelijkwaardig antwoord.

½ punt per correct antwoord

1 punt

42

c) Resultaten

foutenrubricering





26 8 21 13 9 10

76 % 24 % 62 % 38 % 47 % 53 % e) Bevindingen

Leerlingen kunnen bij deze vraag een gepaste strategie kiezen om tot een oplossing te komen. Het valt op dat ongeveer 70 % van de bevraagde leerlingen het patroon ‘5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 35’ hanteert.

We vermoeden dat de manier waarop de leerlingen dit probleem aanpakken de manier lijkt te zijn waarop ze dat leerden in de klas. We merken dat de meeste kinderen uit eenzelfde klas dezelfde variant van het patroon gebruiken. In de ene klas schrijven ze het patroon in bewerkingsvorm neer, in een andere klas met pijltjes en in nog een andere klas in tabelvorm. Kinderen gaan dus aan de slag met ‘het model’ van de klas.

Ongeveer 25 % van de leerlingen gaat aan de slag met onderstaand patroon:

’Dag 1 = 5 ronden Er komen 30 ronden bij. 3 ronden per dag = 10 dagen. Dag 1 + 10 dagen = 11 dagen’

Deze strategie is abstracter dan de vorige. Bovendien valt het op dat bij de keuze voor dit patroon meer uitwerkingsfouten worden gemaakt. Regelmatig vergeten de leerlingen er de eerste dag bij te tellen.

De meest gemaakte fout is het antwoord ‘7 dagen’. Deze leerlingen gebruiken de gekende gegevens 35 en 5 en maken daarmee een deling zonder daarbij de context van de vraag te betrekken. Dit doet ons denken aan een onderzoek van enkele decennia geleden in verschillende Europese landen. Aan kinderen van de lagere school werd de volgende opgave aangeboden:

‘Op een boot zijn er 26 schapen en 10 geiten. Hoe oud is de kapitein?’ Veel kinderen antwoordden: ’36 jaar’.

Dit illustreert hoe leerlingen soms blindelings terugvallen op mechanistisch rekenen en de realiteit totaal negeren.

Uit de enquête die we bij de leerlingen uitvoerden, blijkt dat zowel sterke, middelmatige als zwakke probleemoplossers dezelfde strategie hanteren. Ondanks dit feit slagen de zwakke probleemoplossers er veel minder in om tot een juiste oplossing te komen. Ze maken meestal uitwerkingsfouten.

43

2.4.3. Vraag 5, meetkunde, werkbundel 7, pag.8

a) Vraag

Aan deze vierkante tafel kunnen vier kinderen zitten.

Zo heb je zes tafels staan. Voor je verjaardagsfeest wil je met deze tafels één lange tafel maken. Hoeveel kinderen kunnen aan die lange tafel zitten?

Er kunnen ........................... kinderen aan de lange tafel zitten.




De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen.

Ze kunnen het probleem schematiseren (bij het probleem een tekening, schets of schema van de gekende en onbekende elementen en de relaties daartussen maken).

14 1 punt

c) Resultaten

foutenrubricering





20 2 20 8 6 13

91 % 9 % 71 % 29 % 32 % 68 %

44

e) Bevindingen

Uit de enquête blijkt dat er een groot verband is tussen de juiste oplossing vinden en het probleem tekenen. Sterke en middelmatige probleemoplossers geven aan dat ze de situatie tekenen. Dit zorgt voor een grote mate van correctheid. De enige fout die tekenaars maken, is dat ze vergeten dat er ook personen aan het hoofd van de tafel zitten.

Kinderen die de oefening foutief maken, en dat zijn vooral de zwakke probleemoplossers, geven aan dat ze het probleem met een bewerking proberen op te lossen.

45

2.5. Reflectie: zich kunnen verplaatsen in een ander

2.5.1. Vraag 27, thematisch gedeelte, werkbundel 1, pag.6

a) Vraag

Tekst ‘Peter Benenson stichtte Amnesty International’ Hoeveel jaar is Peter Benenson geworden?

Kevin antwoordt: ’84 jaar’. Dat is fout. Welke fout maakte hij? Leg uit.

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................


Getallen – leerlijn 1.12 – doelstelling 1:

De leerlingen kunnen twee of meer getallen van elkaar aftrekken:

• natuurlijke getallen > 1000

Domeinoverschrijdende doelen – 1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.4.4:

De leerlingen kunnen zich verplaatsen in een ander.

• Ze kunnen begrijpen hoe anderen te werk gingen bij het oplossen van problemen;

• Ze kunnen fouten in oplossingen en oplossingswegen (van anderen) ontdekken, verwoorden en verbeteren.

Hij heeft geen rekening gehouden met de maanden.

of

Hij stierf in de maand februari en die maand komt voor juli. Hij was dus nog geen 84 jaar, maar 83 jaar.

of elk gelijkwaardig antwoord

1 punt

c) Resultaten

Foutenrubricering





26 12 11 14 4 15

69 % 31 % 44 % 56 % 21 % 79 %

46

e) Bevindingen

De meerderheid van de leerlingen die het probleem correct oplossen, zoekt eerst hoeveel jaar Peter Benenson was. Dan vragen ze zich af welke fout er zou kunnen gemaakt zijn. Ze komen tot de conclusie dat hij nog geen 84 jaar kon zijn.

Deze vraag scoort laag bij de middelmatige en zwakke probleemoplossers.

Een opvallend groot gedeelte van de leerlingen geeft geen antwoord (45%) of geen antwoord op de vraag (30%). Blijkbaar vinden veel leerlingen het niet eenvoudig zich in te leven in de denkwijze van anderen… Of moet een leerling zelf eerst het probleem kunnen oplossen om de gedachtegang van anderen te achterhalen?

Uit de individuele bevraging blijkt dat kinderen die foutief antwoorden dikwijls gewoon berekenen hoe je aan 84 jaar kunt komen. Blijkbaar zitten ze dan vast want dan doen ze er verder niets mee.

Sommige leerlingen tellen bij 84 jaar ook nog eens de dagen tussen 31 juli en 25 februari bij. Je moet alleen maar inzien dat Peter Benenson stierf voor hij ten volle 84 jaar was.

47

2.5.2. Vraag 10, cijferen, werkbundel 2, pag.6

a) Vraag

Esther heeft een oefening gemaakt bij haar rekenwerk. Ze had haar oefening fout. Juf vraagt of jij Esther kunt helpen. Zoek de fout in de oefening van Esther. Welke tips geef je aan Esther om de fout niet meer te maken, zonder dat je haar vertelt wat haar fout is?


Domeinspecifieke doelen – Strategieën en probleemoplossende vaardigheden – doelstelling 1.4.4:

De leerlingen kunnen zich verplaatsen in een ander. Aspect: ze kunnen fouten in oplossingen en oplossingswegen (van anderen) ontdekken, verwoorden en verbeteren.

Ze kunnen begrijpen hoe anderen te werk gingen bij het oplossen van problemen;

Ze kunnen fouten in oplossingen en oplossingswegen (van anderen) ontdekken, verwoorden en verbeteren;

Ze kunnen als begeleider functioneren van andere, zwakkere, probleemoplossers;

Getallen leerlijn 1.19 – doelstelling 4:

De leerlingen hanteren de schatting als een handig controlemiddel bij cijferoefening en contextproblemen.


De leerlingen kunnen het resultaat van een cijferoefening controleren door het resultaat te vergelijken met de schatting.


De leerlingen kunnen reflecteren over de cijferalgoritmes.

relevante tips worden beloond met 1 punt. relevant schatting vergelijken met uitkomst; controleren of de komma geplaatst is; de oefening opnieuw maken en vergelijken met de gevonden oplossing; de omgekeerde bewerking maken; de zakrekenmachine hanteren en controleren niet relevant: alles heel goed nakijken; niet te vlug willen zijn; het probleem nog eens goed nalezen;

1 punt voor 1 of meer relevante tips

1 punt

Naam: Esther De Groof Datum: 16 juni 2007 De familie De Koning koopt bijna elke dag een brood bij bakker Torfs. Ze kopen telkens een grof brood. Dat kost € 1,70. Tijdens het laatste jaar kochten ze 325 broden.

Hoeveel kosten die broden samen aan de familie De Koning?

IK SCHAT:

300 X 1,5 = 450

IK REKEN UIT:

3 2 5

X 1,7

_______

2 2 7 5

+3 2 5 0

_________

5 5 2 5

ANTWOORD

De familie De Koning koopt voor € 5 525 brood per jaar.

48

c) Resultaten

Foutenrubricering



34 sterke probleemoplossers 34 middelmatige probleemoplossers

19 zwakke probleemoplossers


29 5 27 7 10 9

85 % 15 % 79 % 21 % 53 % 47 % e) Bevindingen

Een groot deel van de leerlingen (67%) slaagt erin om goede tips te geven en kunnen zich bij dergelijke oefeningen verplaatsen in de denkwijze van anderen. Het is opvallend dat de meeste sterke probleemoplossers onmiddellijk weten welke fout Esther maakte. Zij geven haar direct relevante tips. De meerderheid van de middelmatige probleemoplossers controleert zelf eerst de cijferoefening vooraleer ze tips geven.

Controleren of de komma is geplaatst, is de meest gegeven tip. Velen adviseren ook om de schatting te vergelijken met de uitkomst.

Bijna de helft van de leerlingen die deze opdracht foutief beantwoordt, adviseert om de oplossing nog eens goed na te kijken. Ze geven geen concrete tips. Het is zeer de vraag of die kinderen wel weten welke fout Esther had gemaakt. ‘De vraag nog eens goed herlezen’ is ook een veelgehoord maar niet relevant advies.

16% van de leerlingen die deze vraag fout hadden, adviseert om de negenproef te maken:

• ofwel beseffen deze leerlingen niet wat Esther fout deed; • ofwel passen ze de negenproef te pas en te onpas toe; • ofwel weten ze niet dat de negenproef de plaats van de komma niet controleert.

Tot slot enkele staaltjes van ‘gezond verstand’:

• één pragmaticus adviseert om minder brood te eten; • één snoodaard suggereert zelfs: “ Maak zelf je brood, dan moet je niet al die berekeningen maken!”

49

2.6. Kritische houding


a) Vraag

Tekst ‘De bevolkingsaangroei in België?’ Een journalist schrijft een artikel met als titel ‘Enorme groei van de bevolking in België.’ Hierbij plaatst hij een grafiek. Hij gebruikt steeds dezelfde gegevens. Welke grafiek kiest de journalist om de titel van zijn artikel passend te illustreren?

bevolkingsgroei in België

0

5

10

15

1950 1975 2000 2025 2050

jaar

bevo

lkin

g (in

m

iljoe

nen)


0

2

4

6

8

10

12

1950 1975 2000 2025 2050

jaar

bevo

lkin

g (in

milj

oene

n)


05

1015

1950 1975 2000 2025 2050

jaar

bevo

lkin

g (in

m

iljoe

nen)


0

2

4

6

8

10

12

1950 1975 2000 2025 2050

j a a r

bevo

lkin

g (in

milj

oene

n)

50


Domeinoverschrijdende doelen 2. wiskundeattitudes – doelstelling 2 kritische houding:

De leerlingen ontwikkelen een kritische houding ten aanzien van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan in hun omgeving bewust of onbewust gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden …

Getallenkennis leerlijn 18 - doelstelling 30:

De leerlingen kunnen verschillende grafische voorstellingen van dezelfde gegevens met elkaar vergelijken en kritisch beoordelen.

C 1 punt

c) Resultaten

foutenrubricering



20 sterke probleemoplossers 28 middelmatige probleemoplossers

23 zwakke probleemoplossers


12 8 9 19 6 17

60 % 40 % 32 % 68 % 26 % 74 % e) Bevindingen Deze vraag scoort eerder laag. Het percentage correcte antwoorden ligt het hoogst bij de sterke probleemoplossers en het laagst bij de zwakke probleemoplossers.

Het is opvallend dat leerlingen hun antwoord motiveren vanuit niet-relevante gegevens. Vb.: • de dikte van de grafieklijn • de lengte van de grafieklijn • de grootte van de grafiekafbeelding • …

Van de 71 bevraagde leerlingen zijn er amper negen die aangeven dat ze inzien dat je een grafiek kritisch moet bekijken, terwijl de helft meent dat de vier grafieken hetzelfde voorstellen. Niettegenstaande een aantal leerlingen vermeldt dat in het rekenboek ook grafieken zijn opgenomen waarmee ze werken, is hun kritische houding ten overstaan van grafieken beperkt. Hieruit kunnen we misschien afleiden dat er wel met het cijfermateriaal uit grafieken wordt gewerkt maar dat ze nog onvoldoende vanuit een kritische houding worden benaderd.

51

3. Hebben we iets geleerd uit ons onderzoek? Tot slot bekijken we of we een antwoord kunnen geven op de onderzoeksvragen die we vooraf stelden.

Hoe lossen leerlingen einde zesde leerjaar min of meer complexe problemen op?

We stellen vast dat kinderen een ‘klassiek vraagstuk’ kunnen oplossen. Hierop scoort de referentiegroep 80 %. De referentiegroep scoort beduidend lager bij de andere vragen die meer open zijn of aanleiding geven tot het gebruik van een heuristiek (bv. tekening maken, patroon gebruiken …). De scores variëren hier tussen 36 % en 67 %. Dit doet vermoeden dat kinderen op het einde van het zesde leerjaar problemen die herleid kunnen worden tot ‘kale rekenoefeningen’ goed kunnen uitwerken en oplossen. Vragen die uitnodigen tot het gebruik van heuristieken, gebruik maken van referentiematen, inleven in een ander… worden nog onvoldoende door alle leerlingen vlot uitgewerkt en opgelost. Opvallend is dat zwakke probleemoplossers vaak contextloos getallen zoeken in een opgave en met die getallen een voor de handliggende bewerking maken. Het ’26-schapen en 10-geitenprobleem’ lijkt anno 2007 nog steeds bevestigd.

Is er een verschil tussen oplossingsgedrag bij een ‘klassiek vraagstuk’ en een ‘meer open probleem’?

Er is een belangrijk verschil tussen het oplossingsgedrag bij een ‘klassiek vraagstuk’ en een meer open probleem. We merken dat de kinderen tot betere resultaten komen bij de ‘klassieke vraagstukken’. De meer open vragen – en zeker als daar geen getallen aan te pas komen – zorgen vaak voor verwarring. We merken dat de leerlingen een probleem willen herleiden tot een gekende rekenkundige activiteit. Zo wordt het principe van ‘schaalrekenen’ toegepast waar de vraag best wordt opgelost door ervaringskennis aan te spreken én door referentiepunten te gebruiken (bv. snelwegvraag, olifantenvraag). Bij andere vragen gaan kinderen – zonder de context te gebruiken – het probleem herleiden tot een eenvoudige deling of vermenigvuldiging (bv. de vraag over het rondjes lopen en de vraag over de stoelen rond de tafel).

Werken de leerlingen daarbij planmatig en doorlopen ze een aantal fasen om tot een goede oplossing te komen?

Kunnen leerlingen zesde leerjaar in een probleem de noodzakelijke gegevens onderscheiden en identificeren die nodig zijn om het probleem op te lossen?

Welke heuristieken hanteren leerlingen eind zesde leerjaar om problemen op te lossen in de verschillende fasen van het probleemoplossingsproces?

Kunnen leerlingen zich bij het probleemoplossen verplaatsen in een ander (reflectie)?

Op deze vragen kunnen we geen eenduidig antwoord geven. Afhankelijk van de vraag en de bevraagde klasgroep gaan de kinderen meer of minder planmatig aan de slag. Opvallend is dat we bij de kwalitatieve analyse weinig voorbeelden zien van schematiseren, tekenen, een patroon zoeken, gegevens markeren, hypotheses opbouwen… We vermoeden dat kinderen een probleem vaak op een mentaal niveau proberen op te lossen. Dit is spijtig want uit enkele vragen blijkt dat het verband tussen het aanwenden van een heuristiek nauw verbonden is met het vinden van de correcte oplossing (bv. vraag stoelen, vraag kalender).

Is er een verschil in het hanteren van heuristieken, metacognitieve kennis en metacognitieve vaardigheden tussen sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers?

Het is duidelijk dat er een verschil is tussen de sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers. De tabellen bij de verschillende vragen bevestigen dit.

We kunnen eveneens stellen dat de leraren hun sterke, middelmatige en zwakke probleemoplossers kunnen aanduiden.

Uit de kwalitatieve analyse kunnen we afleiden dat zwakke probleemoplossers vaak een verkeerde strategie of heuristiek hanteren. Ze gaan opvallend veel vragen herleiden tot een wiskundige bewerking. We weten niet of ze de ‘gewenste heuristieken’ niet gebruiken omdat ze deze niet ‘kennen’ of omdat ze niet weten wanneer ze een bepaalde heuristiek best ‘toepassen’.

52

Tot slot nog even enkele resultaten naast elkaar zetten:

• de sterke probleemoplossers (ruim een derde van de leerlingen uit de onderzoeksgroep) behalen gemiddeld goede resultaten;

• de middelmatige probleemoplossers (ruim een derde van de leerlingen uit de onderzoeksgroep) behalen gemiddeld voor de helft van de vragen goede resultaten en voor de andere helft van de vragen minder goede resultaten. De betere resultaten behalen ze voor de vragen met als context kaarten verkopen, hinkelen, de olifant, rondjes lopen, tafels en stoelen en cijferen. De minder goede resultaten behalen ze voor de vragen met als context suikerzakjes, weertabellen, de autosnelweg, kalendertellen, leeftijd berekenen en grafieken. Het lijkt er sterk op dat voor deze kinderen de herkenbaarheid of nabijheid van het onderwerp van invloed is op het vinden van de oplossing van het probleem;

• de zwakke probleemoplossers (ongeveer een vierde van de leerlingen uit de onderzoeksgroep) behalen gemiddeld onvoldoende resultaten. Ze scoren onvoldoende voor nagenoeg alle vragen.

Ondanks de vele inspanningen van schoolteams blijft problemen oplossen voor vele kinderen een moeilijke klus.

In het vervolg van deze brochure volgt een pleidooi voor het organiseren en aanreiken van een krachtige onderwijsleeromgeving voor probleemoplossen binnen wiskunde.

53

B Naar een krachtige leeromgeving voor probleemoplossen 1. Het leerplan en het oplossen van problemen Het oplossen van wiskundige problemen situeert zich in het leerplan wiskunde deel 2 ‘Domeinoverschrijdende doelen en katernen’. 1 Het bevat drie grote componenten die belangrijk zijn voor deze reader: strategieën en probleemoplossende vaardigheden, wiskundeattitudes en contexten. We brengen de inhoud ervan (terug) onder de aandacht.

1.1. Strategieën en probleemoplossende vaardigheden Deze doelen zijn domeinoverschrijdend en worden gerealiseerd via wiskundige activiteiten in de drie domeinen (getallen, meten en meetkunde). Hiervoor zijn geen echte leerlijnen ontwikkeld. Wel worden aspecten van de doelen opgesomd en worden didactische suggesties gegeven per leeftijdsgroep. Zoals de leerplanmakers indertijd deze doelen hebben geformuleerd, kun je ze moeilijk als een eindpunt beschouwen. Ook na de basisschool zal er aan de verdere ontwikkeling van deze strategische vaardigheden dienen gewerkt te worden.

In het leerplan worden volgende doelen opgelijst:

1.1 De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen m.b.t. getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken hierbij planmatig en doorlopen een aantal fasen (ET wiskunde 1.29 en 5.4, ET leren leren 4 en 5).

Fase 1: De leerlingen zijn in staat wiskundige problemen te begrijpen. Fase 2: De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen. Fase 3: De leerlingen kunnen het oplossingsplan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren. Fase 4: De leerlingen kunnen beslissingen nemen over het resultaat.

1.2 De leerlingen weten, zien in en kunnen verwoorden en met voorbeelden illustreren dat voor één en hetzelfde wiskundig probleem i.v.m. getallen, meten en meetkunde soms verschillende oplossingswegen en soms zelfs verschillende oplossingen mogelijk zijn (ET wiskunde 4.1).

1.3 De leerlingen kunnen bij een gegeven situatie, een context of een realiteit één of meer (wiskundige) vragen formuleren (ET leren leren 3).

1.4 De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen oplossingsproces en oplossingsgedrag (ET wiskunde 5.4, ET leren leren 5 en 6).

1.4.1 De leerlingen kunnen reflecteren op een oplossingsproces en oplossingen die fout zijn gelopen en zo het oplossingsproces bijsturen en de oplossing aanpassen.

1.4.2 De leerlingen kunnen reflecteren op de eigen oplossingsweg. 1.4.3 De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen ontwikkeling op wiskundig gebied en hun

heuristisch denken. 1.4.4 De leerlingen kunnen zich verplaatsen in een ander.

1.5 De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures m.b.t. getallen, meten en meetkunde efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas (ET wiskunde 4.2, ET leren leren 3).

1.6 De leerlingen kunnen met concrete voorbeelden uit hun leefwereld verwoorden welke de rol en het praktisch nut van wiskunde is in de maatschappij (ET wiskunde 4.3).

1 OVSG, Leerplan wiskunde voor de basisschool, Brussel, OVSG, 1998, p. 27 - 63

54

1.2. Wiskundeattitudes Naast het ontwikkelen van de nodige kennis en vaardigheden in het wiskundeonderwijs werken we ook aan attitudes die een positieve invloed hebben op wiskundeleren.

In het leerplan lezen we volgende wiskundeattitudes:

2.1 De leerlingen brengen waardering op voor wiskunde als dimensie van menselijke inventiviteit (ET wiskunde 5.1).

2.2 De leerlingen ontwikkelen een kritische houding ten aanzien van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan in hun omgeving bewust of onbewust, gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden… (ET wiskunde 5.2).

2.3 De leerlingen ervaren dat bezig zijn met wiskunde een actief en constructief proces is dat kan groeien en uitbreiden als gevolg van eigen denken leeractiviteiten; ze ontwikkelen bijgevolg de opvatting dat alle leerlingen wiskundige bekwaamheid kunnen verwerven die kan leiden naar studies en beroepen waarin wiskunde aan bod komt (ET wiskunde 5.3).

2.4 De leerlingen ontwikkelen zelfvertrouwen doorheen hun wiskundig bezig zijn zowel op school als daarbuiten. Daardoor is de kans groter dat ze plezier beleven in wiskundige activiteiten (ET leren leren 6).

Voor de verduidelijking van deze attitudes verwijzen we naar het leerplan op pagina 40 – 44.

1.3. Contexten Als we spreken over probleemoplossende vaardigheden noemen we bijna in één adem ook ‘contexten’. Het leerplan besteedt hier heel wat aandacht aan. In wat volgt geven we de accenten uit het leerplan met betrekking tot contexten weer.

1.3.1. Wat zijn contexten? Een context is een voor kinderen aansprekelijke en in principe herkenbare situatie, die werkelijk maar ook fictief kan zijn en die bij de kinderen ervaringskennis, bijvoorbeeld op wiskundig gebied, oproept, welke de betekenisverlening aan het eigen handelen in de situatie ondersteunt (Nelissen en Van Oers, 1990).

Kenmerkend voor een context is de ruimte voor eigen inbreng van de kinderen, d.w.z. voor een eigen interpretatie van de situatie en voor eigen oplossingswijzen en soms ook voor eigen oplossingen en antwoorden.

In een context is ruimte voor reële overwegingen. Bv. We gaan met de twee zesde leerjaren van onze school op leeruitstap. Nu overleggen we samen hoe we dit het best organiseren. Zo moeten we bijvoorbeeld beslissen of we met de trein of de bus zullen gaan. Deze context biedt veel mogelijkheden tot wiskundig onderzoek en nodigt uit tot interactie.

Soms is het nodig het leerproces te sturen. Een ingeperkte context is dan aangewezen. Bv. Op een ouderavond van de school komen 81 ouders. Aan één tafel kunnen zes ouders zitten. Hoeveel tafels moeten er geplaatst worden? (ontleend aan Treffers, De Moor en Feijs, 1989)

Contexten kunnen meestal bestaande, regelrecht uit het leven gegrepen stukjes tekst zijn (een verhaal, een interview, een krantenknipsel, een reclamefolder, een prentenboek …) waarover één of meer interessante kwantitatieve vragen kunnen worden gesteld. Bovendien worden gegevens vaak niet louter in tekstvorm gepresenteerd: er wordt daarnaast ook gebruik gemaakt van foto’s, prenten, tabellen, figuren…

1.3.2. Functies van contexten 1) De zingevende en begripsvormende functie van een context

De zingevende functie zit hierin, dat de kinderen het contextprobleem herkennen als een probleem uit hun eigen leefwereld of kunnen vertalen naar een voor hen zinvolle (bekende) situatie.

Contexten hebben een begripsvormende functie wanneer we kinderen confronteren met situaties die een beroep doen op hun intuïtieve, informele kennis en vaardigheden, maar die tegelijk de kinderen uitnodigen tot het vormen van de beoogde meer formele begrippen of procedures.

Bv. Het los getal 12 zegt weinig. Maar 12 mensen in de wachtzaal voor jou, 12 eieren in een doosje of 12 punten op je toets maken het getal concreet en geven het zin.

55

2) Een context als toepassingsgebied Contextproblemen leggen de realiteit als toepassingsgebied bloot. Ook kunnen specifieke vaardigheden in toepassingssituaties geoefend worden.

Bv. Op de bus zitten 23 mensen. Bij de volgende halte stappen 12 mensen op en stappen 3 mensen af. Binnen deze context kunnen de wiskundige vaardigheden optellen en aftrekken worden toegepast.

3) De oefenfunctie van een context Het gaat hier om situaties waarin kinderen de door hen geleerde rekenhandelingen op een zinvolle manier kunnen oefenen. Het oefenen wordt uitdagender en aantrekkelijker als het gekoppeld is aan een concrete vraag.

Bv. De gemeenteraad gaat stemmen over een heel belangrijke zaak. Om geldig te kunnen stemmen moeten minstens vijf zesde deel van alle raadsleden aanwezig zijn. 19 van de 24 blijken aanwezig. Kan er gestemd worden over deze belangrijke kwestie? Waarom wel/niet?

4) De modelvormende functie van contexten Er zijn contexten die zich gemakkelijk laten vertalen in een model (schema, tekening, ...) dat opnieuw kan gebruikt worden om andere wiskundige probleemsituaties op te lossen.

Bv. Welk uniform kiest de voetbalploeg? Je hebt 4 verschillende ontwerpen van voetbaltruitjes en 3 verschillende broeken. Uit hoeveel verschillende combinaties kun je kiezen?

Het kruispuntmodel kan hier het probleem verduidelijken en ondersteunt het denkproces.

Het belang van modellen is dat ze iets laten zien van de grondstructuur van problemen waarin bijvoorbeeld een vermenigvuldiging vervat ligt en ze maken tevens bepaalde eigenschappen van de betreffende bewerking zichtbaar. Bv. 3 x 4 = 4 x 3 Het kruispuntmodel leent zich er tevens toe om denkhandelingen die via combinatierekenen aan bod komen, te ondersteunen.

5) Aanzet tot het ontwikkelen van een ‘wiskundige houding’ Tenslotte is het de bedoeling dat het werken met contexten een aanzet is tot het ontwikkelen van een 'wiskundige houding'.

Zo'n attitude kan niet eenduidig beschreven worden. Er zijn wel verschillende voorbeelden van te geven.

a. Snel en vanzelfsprekend een link met de alledaagse realiteit leggen

Hoeveel sneetjes brood kun je smeren uit een groot lang brood van 800 gram? Riet weet direct te zeggen dat 1 sneetje wit brood ongeveer 30 gram weegt. Dat weet ze immers van haar moeder die telkens als ze een poging doet om enkele kilo's te vermageren per dag 90 gram brood mag eten. En haar moeder eet dan 3 sneetjes per dag. Als we dan zoeken hoeveel keer 30 gram in 800 gram past, dan is de klus vlug geklaard zegt ze. Zij noteerde: 10 + 10 + 6 = 26

Iemand anders noteerde als gevolg van de tussenkomst van Riet: 10 x 90 = 900 900 - 90 = 810 dus 30 - 3 = 27

Het verschil in uitkomst kan een boeiend gesprek opleveren.

56

b. Het herkennen van een wiskundig probleem in de realiteit

Joost, acht jaar oud, gaat met zijn moeder mee inkopen doen. Moeder heeft eieren nodig om cakes te bakken. Ze beloofde aan de trainer van de voetbalploeg om 6 cakes te bakken. “In een doosje zitten 6 eieren. Voor 6 cakes hebben we 4 doosjes nodig”, zegt moeder. Enthousiast zegt Joost: "Ik weet hoeveel er dat zijn! 24. Dat hebben we geleerd op school: 2 x 6 = 12 en 4 x 6 dat is 2 x 12 = 24."

1.3.3. Mogelijkheden van contexten

1. De kinderen kunnen beter gemotiveerd worden om het antwoord op het gestelde probleem te achterhalen omdat het leren verbonden wordt met zinvolle situaties.

2. Contexten kunnen een bron van inzicht vormen waarop de kinderen, als dat nodig is, altijd kunnen terugvallen. Het kan als het ware een houvast bieden bij het vinden van een oplossingswijze.

3. Contexten bieden aan kinderen de ruimte en de mogelijkheid hun eigen constructies te maken. Zij kunnen hun eigen ervaringskennis en beschikbare rekenkennis inzetten om de aangeboden contextproblemen op te lossen. In eerste instantie zullen zij omslachtige en vrij primitieve oplossingsprocedures gebruiken. Maar door een geschikte keuze van een reeks van opgaven kunnen de kinderen gestimuleerd worden tot het verkorten en het vereenvoudigen van hun oplossingsmethoden. De eigen strategieën en de eigen vondsten van de kinderen kunnen zo als aangrijpingspunt voor het leerproces dienen.

4. Rijke contexten stimuleren en ondersteunen de begripsvorming.

5. Rijke contexten stimuleren tot reflecteren.

Onder reflecteren verstaan we het nadenken over het eigen denken en handelen. Kinderen moeten voortdurend de gelegenheid krijgen en gestimuleerd worden om na te denken over: • wat ze moeten doen; • hoe ze iets moeten doen; • hoe ze iets gedaan hebben; • hoe ze nu in een nieuwe situatie iets gaan doen.

6. Werken met contextopgaven laat interactie toe.

Een interactieve les houdt in dat er uitwisseling van ideeën plaatsvindt. Oplossingsstrategieën worden nabesproken en gewogen: wat is de handigste werkvorm, waarom is dit verkeerd...? Contexten vormen hierbij de omgeving die voor de kinderen het gesprek, de discussie moet ondersteunen. Het leerproces berust dan op een 'onderhandeling' over betekenissen tussen kinderen onder elkaar en tussen kinderen en leraar.

7. Contexten laten ruimte voor eigen inbreng en voor reële overwegingen van de kinderen. Dit komt zeker tot uiting in het toetsen van een uitkomst op haar waarde, afhankelijk van de context.

8. Reële problemen aanbieden impliceert nog dat er in hoge mate een beroep kan gedaan worden op schattend rekenen.

Een kenmerk van probleemsituaties uit het dagelijkse leven is dat snel en uit het hoofd een benaderende uitkomst bepalen, vaak meer is aangewezen dan via pen en papier een oplossing tot twee cijfers na de komma nauwkeurig berekenen.

Vermits we met ons reken-wiskundeonderwijs meer praktisch bruikbare rekenkennis en -vaardigheden op het oog hebben, ligt het voor de hand om in contextrijk onderwijs vaak opgaven te geven waarbij het antwoord bepaald kan of moet worden via schattend of handig rekenen. De gegevens waarmee gerekend wordt, zijn veelal zelf geschat of onnauwkeurig. In deze gevallen kan zeker geopteerd worden voor een geschat antwoord.

57

1.3.4. Beperkingen Tot nu toe hebben we gesproken over de vele voordelen van het werken met contexten. We zullen nu even blijven stilstaan bij enkele beperkingen die contexten met zich meebrengen. De vierde en vijfde beperking staan niet in het leerplan, maar vanuit onze literatuurstudie2 menen we ze hier toch te moeten opnemen.

1. Een context kan de kinderen zo aanspreken dat hun aandacht wordt afgeleid van datgene wat hij beoogt. Bv.: kinderen in het eerste leerjaar zijn druk bezig met het optellen en aftrekken tot 10. Als context wordt het busverhaal gebruikt. Kinderen stappen enthousiast in en uit de bus. Sommigen verlaten de bus tijdens het rijden. Anderen vallen uit de bus. Hun aandacht gaat meer naar het spel op zich in plaats van naar het rekenen. Kortom, ze beleven veel plezier. In dit voorbeeld wordt de vorming van de begrippen optellen en aftrekken eerder geblokkeerd in plaats van gestimuleerd.

2. Kinderen kunnen geen afstand doen van een voor hen vertrouwde situatie, ze blijven eraan vastzitten. Denk maar aan de kinderen die steeds met de blokjes spelen. Voor hen dient dit materiaal om te bouwen en niet om te rekenen.

3. Daarnaast dreigt ook nog het gevaar dat kinderen te lang vasthouden aan concrete contexten. Hierdoor wordt dan de begripsvorming op hoger niveau in gevaar gebracht. Bij een staartdeling bijvoorbeeld moet op een bepaald ogenblik de context verlaten worden om meer aandacht te besteden aan het plannen, het schatten en het werken met grote getallen.

4. Sommige contexten zijn voor kinderen volstrekt nietszeggend. Ze hebben geen affiniteit met de context. De situatie is hen vreemd zowel in realiteit als uit verhalen. Het voorbeeld van de kledingkeuze van de voetbalploeg is voor sommige kinderen geen realiteit. Het voorbeeld van de sneetjes brood zijn niet evident voor kinderen uit bevolkingsgroepen die geen ‘gesneden Vlaams brood’ eten.

5. Sommige contexten kunnen emoties of reacties oproepen bij de kinderen waardoor ze niet tot rekenen komen. De context rond het voetballen kan voor sommige leerlingen een hele ervaringswereld oproepen die ervoor zorgt dat ze niet tot rekenen komen. We moeten oppassen dat het enthousiasme dat we bij de kinderen oproepen het rekenen niet in de weg staat.

Daarom is het belangrijk dat leraren contexten kiezen in functie van de leerlingenpopulatie en de omgevingsfactoren. Indien de contexten niet aansluiten bij de ervaringswereld van de kinderen dan vormen ze een bijkomende barrière en belemmeren ze de ontwikkeling van het wiskundig denken. Het kan ertoe leiden dat kinderen denken: ‘wiskunde is niets voor mij’. Te moeilijke of niet-werkelijkheidsnabije contexten kunnen een negatieve attitudevorming tegenover wiskunde veroorzaken.

2 Zie ook: Vermeulen W., Context, een verhaal apart: omgaan met contexten vereist vakmanschap in Volgens Bartjens, jaargang 24, 2004/2005, nr.3, p. 4 – 6.

58

2. Krachtige onderwijsleeromgevingen We pleiten voor het organiseren van krachtige onderwijsleeromgevingen voor probleemoplossen, waarbij het de bedoeling is de leerlingen te stimuleren om meer actieve, planmatige en bewuste oplossers van wiskundige problemen te worden. De leerlingen dienen op een intentionele en systematische wijze gestimuleerd te worden tot en begeleid te worden bij het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden. Uit onderzoek3 blijkt dat het mogelijk is om de wiskundige redeneer- en probleemoplossingsvaardigheden van leerlingen te stimuleren via onderwijs. Diezelfde onderzoeken tonen aan dat rijping een mythe is en dat er integendeel zeer hoge kwaliteitseisen gesteld worden aan dat onderwijs. De leraar maakt het verschil! Krachtige onderwijsleeromgevingen worden gekenmerkt door een goed evenwicht tussen enerzijds het creëren van kansen tot zelfstandig exploreren door de leerlingen en anderzijds het bieden van voldoende systematische ondersteuning en begeleiding door de leraar. Onderzoeksgegevens van L. Verschaffel en E. De Corte 4 worden mee verwerkt in onze uitwerking van een krachtige onderwijsleeromgeving voor probleemoplossen. Binnen krachtige onderwijsleeromgevingen onderscheiden we een aantal pijlers die verregaande consequenties hebben voor een effectieve didactiek van probleemoplossen. In deze reader bieden we 7 pijlers aan die samen een krachtige onderwijsleeromgeving voor probleemoplossend wiskundeonderwijs vormen: 1. leerinhoud; 2. het aanleren van een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundeproblemen; 3. het ontwikkelen van adequate denkbeelden en houdingen bij het leren oplossen van wiskundeproblemen; 4. het aanbieden van een functioneel, uitdagend en realistisch opgavenaanbod; 5. het gebruiken van een gevarieerd aanbod van werkvormen, instructie- en inoefentechnieken; 6. de weg naar zelfgestuurd leren: een evolutie van leraarsturing naar zelfsturing; 7. het bieden van hulp.

3 In construerend onderzoek worden leeromgevingen, met als doel bij de leerlingen wiskundige probleemoplossings-vaardigheden te ontwikkelen, ontworpen en geëvalueerd. De voorbij decennia is op dit vlak al heel wat onderzoek gedaan. We vermelden o.a. - Nelissen J.M.C., Kinderen leren wiskunde, een studie over constructie en reflectie in het basisonderwijs, Gorinchem,

De Ruiter, 1987, 317 p. - Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van

wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de bassisschool, Leuven, Universitaire Pers, 1998, 186 p De resultaten van deze onderzoeken zijn mede bepalend geweest voor de inhoud van deze reader. 4 Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool, Leuven, universitaire pers, 1998, 186 p.

59

2.1. Leerinhoud Onderwijs moet steeds ‘op twee paarden wedden’. Enerzijds werken we aan het verwerven van de specifieke kenniselementen die deel uitmaken van een leergebied, anderzijds streven we algemene doelen na die verband houden met de cognitieve, metacognitieve en affectieve componenten van vaardig gedrag. Dit is een eerste pijler.

2.1.1. Domeinspecifieke kennis Hiermee bedoelen we enerzijds de kennis van feiten, symbolen, conventies, definities, formules, algoritmen, begrippen, wetten en regels die de inhoud uitmaken van een vakgebied en anderzijds ervaringskennis waarover de probleemoplosser dient te beschikken betreffende de context uit het probleem.

2.1.2. Heuristieken Het woord ‘heuristiek’ komt van ‘eureka’ (“ Ik heb het gevonden”). Heuristieken zijn verstandige zoekstrategieën die weliswaar geen garantie bieden op het vinden van de oplossing, maar die de kans daartoe wel aanzienlijk verhogen omdat ze een planmatige en systematische aanpak mogelijk maken voor een probleem waarvoor de probleemoplosser geen pasklare oplossing heeft. Enkele voorbeelden: een werktekening maken, een probleem opsplitsen in deelproblemen…

2.1.3. Metacognitie5 Metacognitie bestaat uit twee luiken.

a) Metacognitieve kennis De kennis die men heeft over het eigen cognitief systeem en intellectueel functioneren.

types van metacognitieve kennis uitleg - verklaring voorbeeld

kennis over persoonskenmerken

kennis over de eigen sterke en zwakke kanten

“Cijferen kan ik beter dan hoofdrekenen.”

kennis over taakkenmerken kennis over de verschillende karakteristieken van een taak

“Een moeilijk probleem splits ik beter op in deelproblemen.”

kennis over strategiekenmerken

kennis over verschillen in de effectiviteit van strategieën ter bevordering van begrijpen, onthouden, reproduceren

“Als je de situatie tekent, zie je dikwijls meer. Je kunt je dan het probleem beter voorstellen en oplossen.”

kennis over het samenspel tussen persoons-, taak- en strategiekenmerken

“Bij een cijfertoets neem ik mij voor om netjes en ordelijk te werken en mijn cijfers in de ruitjes van het blad te schrijven. Dat is belangrijk omdat ik van mezelf weet dat ik nogal wat fouten maak omwille van mijn slordigheid.”

b) Metacognitieve vaardigheden Metacognitieve vaardigheden zijn vaardigheden waarmee het eigen denken leerproces wordt gestuurd en gereguleerd. Enkele voorbeelden hiervan zijn het plannen van een oplossingsproces, het evalueren en indien nodig verbeteren van een gegeven antwoord, hulpbronnen raadplegen…

2.1.4. Affectieve componenten Tot slot zijn er ook nog affectieve componenten die het wiskundeleren op betekenisvolle wijze beïnvloeden. Hierbij rekenen we allerlei overtuigingen, attitudes en emoties die invloed hebben op het wiskunde leren. Belangrijk is om aan een positieve instelling tegenover het oplossen van wiskundige problemen te werken.

5 Zie ook: Ruijssenaars A.J.J.M. en Ghesquière P., Dyslexie en dyscalculie, ernstige problemen in het leren lezen en rekenen, recente ontwikkelingen en aanpak, Leuven, Acco, 2002, p. 105 - 107

60

2.2. Het aanleren van een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundeproblemen.

Een tweede pijler betreft het aanleren van een algemene strategie voor het vaardig en handig oplossen van wiskundeproblemen, die een ruime en brede transferwaarde heeft binnen wiskundeonderwijs, maar ook naar andere leergebieden en zelfs andere realistische situaties toe.

2.2.1. Modellen en componenten van probleemoplossen In de loop van de basisschool bieden we aan de kinderen een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundeproblemen aan. Er bestaan tegenwoordig nogal wat modellen voor het vaardig oplossen van wiskundeproblemen, sommige met een grote transferwaarde, andere met een eerder beperkte transferwaarde. Het wezenlijke van het oplossen van wiskundeproblemen bestaat uit het gepast en flexibel kunnen overschakelen van een concrete probleemsituatie uit de dagelijkse wereld naar de wereld van de wiskunde als hulpmiddel om dit probleem efficiënter te kunnen oplossen en omgekeerd.

Wallas publiceerde in 1921 een eerste model voor het oplossen van problemen. Hij onderscheidde vier stappen:

• voorbereiding (preparation): het probleem leren kennen en informatie verzamelen die relevant zou kunnen zijn voor de oplossing van het probleem;

• incubatie (incubation): nadenken over het probleem. Dit kan zelfs inhouden dat we het probleem even aan de kant schuiven;

• inzicht (illumination): een moment dat de oplossing in ons opkomt; • controleren (verification): de tijd die we besteden aan het controleren van de bedachte oplossing om na te

kijken of ze wel juist is.

Een later model – veruit het meest bekende – werd ontworpen door Polya, die kan beschouwd worden als de grondlegger van de ‘problem solving’-beweging. De doorbraak kwam er met de publicatie in 1945 van zijn boek ‘How to solve it.’ Nog steeds is dit een bestseller en zijn basismodel voor het oplossen van problemen is nog steeds herkenbaar in vrijwel alle hedendaagse probleemoplossingsmodellen (zie tabel hieronder).

Polya Leerplan OVSG M. Elshout-Mohr Lieven Verschaffel Meichenbaum

Het probleem onderkennen – het probleem begrijpen

Wiskundige problemen begrijpen

Probleemrepresentatie “Ik stel me het probleem voor.”

Analyse van het probleem “Wat moet ik doen?”

Een plan ontwerpen

Oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen

Begrijpen van het probleem

Een passend wiskundig model voor het probleem construeren “Ik beslis hoe ik het probleem zal aanpakken.”

Zoeken naar een oplossingsstrategie “Hoe ga ik dat doen?”

Het plan uitvoeren Het oplossings-plan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren

Werken aan de oplossing

Het oplossingsplan uitvoeren “Ik reken uit.”

Het vooropgestelde werkplan uitvoeren “Ik doe mijn werk.”

Uitkomst interpreteren en terug in de probleemrepresentatie plaatsen “Ik interpreteer mijn uitkomst en formuleer mijn antwoord.”

Het resultaat evalueren

Beslissingen nemen over het resultaat

Beslissen over het resultaat

Antwoord evalueren of controleren “ Ik controleer”

Evalueren “Ik kijk na.”

61

Sommige auteurs onderscheiden drie fasen in het probleemoplossen, anderen vier, weer anderen vijf.6

We bekijken van naderbij wat een (goed) probleemoplosser in de verschillende fasen kan ondernemen en welke bijhorende heuristieken er kunnen worden gehanteerd. We volgen hiervoor de vier stappen uit het leerplan.

Fase 1 De leerlingen zijn in staat wiskundige problemen te begrijpen. In deze fase oriënteert de probleemoplosser zich op het probleem en analyseert de opgave om de probleemsituatie goed te begrijpen. Er wordt met andere woorden een probleemrepresentatie opgebouwd. Cruciaal hierbij is dat de probleemoplosser tot een goede mentale voorstelling komt van wat er gegeven is, wat er gezocht moet worden en welke relaties tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gezochte bestaan.

Bijhorende heuristieken zijn o.a.: • identificeren van de beschikbare informatie; • onderscheiden van noodzakelijke en overbodige gegevens; • ervaringskennis gebruiken; • kernwoorden identificeren; • probleem en vraag in eigen woorden formuleren; • …

Fase 2 De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen. Tijdens deze fase construeert de probleemoplosser een passend wiskundig model voor het probleem. Dit gebeurt door de initiële probleemrepresentatie om te zetten naar een nieuwe probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relaties. De probleemoplosser bouwt dus met wat hij reeds aan formeel-wiskundige kennis en vaardigheden heeft verworven een wiskundig model op dat past bij de initiële voorstelling die hij of zij van de probleemsituatie heeft opgebouwd.

Bijhorende heuristieken in deze fase zijn o.a.: • het probleem materialiseren; • het probleem schematiseren, bv. tekening maken; • het probleem herformuleren; • een tabel maken; • een boomdiagram maken; • schatten; • terugkoppelen naar vroegere gelijkaardige problemen; • verstandig uitproberen; • een patroon zoeken in de gegevens; • werken met eenvoudige getallen; • het probleem opsplitsen in deelproblemen; • …

Fase 3 De leerlingen kunnen het oplossingsplan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren. Nu wordt het oplossingsplan uitgevoerd: de rekenkundige operaties worden effectief uitgevoerd.

In deze fase kunnen o.a. volgende heuristieken worden aangewend: • systematisch werken; • meest geschikte rekenwijze kiezen; • erop letten of de tussenresultaten de oplossing dichterbij brengen; • het oplossingsplan bijstellen indien op basis van de tussenresultaten de oplossing niet naderbij komt; • …

Fase 4 De leerlingen kunnen beslissingen nemen over het resultaat. In deze fase wordt de uitkomst van de uitgevoerde rekenoperaties geïnterpreteerd door ze terug te plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie. De getalsmatige uitkomsten uit de derde fase worden hier gebruikt om een antwoord te formuleren op de vraag.

6 Zie ook: Valcke M. Onderwijskunde als ontwerpwetenschap, Gent, Academic Press, 2005, p. 240 - 276

62

Het antwoord wordt op zijn juistheid getoetst door het o.a. op zinvolheid te beoordelen. Verder wordt gecontroleerd of de correcte berekeningen zijn uitgevoerd en of die berekeningen ook foutloos werden gemaakt.

Ondersteunende heuristieken in deze fase zijn o.a.: • het resultaat op een of ander manier controleren; • het gevonden resultaat terug in de context plaatsen; • het resultaat volledig en correct noteren; • op de oplossingsweg en oplossing reflecteren en indien de oplossing niet geslaagd is, de oplossingsweg

bijsturen; • de best passende oplossing identificeren, indien voor een probleem verschillende oplossingsmogelijkheden

voorhanden zijn; • de zinvolheid van het antwoord verifiëren; • … In een concreet oplossingsproces zijn de verschillende fasen niet altijd even gemakkelijk van elkaar te onderscheiden. Dit proces verloopt eerder cyclisch dan strak lineair. Een goede probleemoplosser zal soepel van de ene naar de andere fase overgaan, soms eens een stap terugzetten, soms volledig opnieuw beginnen, dan zal hij weer stappen overslaan…

Deze en andere modellen van vaardig probleemoplossen worden doorgaans voor de leerlingen vertaald en geconcretiseerd in stappenplannen, meestal met visuele ondersteuning.

Deze stappenplannen en hun bijhorende heuristieken worden in de loop van de basisschool expliciet aangeleerd en geoefend. De school maakt hieromtrent best leergebiedoverschrijdende afspraken.

2.2.2. Enkele voorbeelden van mogelijke stappenplannen voor het oplossen van wiskundeproblemen

Voorbeeld 1

1. 'Ik lees' en 'Ik stel voor'

2. 'Ik zoek' en 'Ik los op'

3. 'Ik controleer' en 'Ik antwoord'

(Sin

t-Can

isiu

sbla

d, m

aart

1992

)

63

Voorbeeld 2

1.WAT-BEER

1.Wat wordt er precies gevraagd?

2.Wat is nu juist het probleem?

3.Wat moet ik kennen en kunnen? Wat niet?

4.Hoeveel tijd heb ik voor deze taak?

5.Hoe nauwkeurig moet deze taak?

2.HOE-BEER

1.Wat kan ik doen om mijn doel te bereiken?

2.Welke manier kies ik?

3.Wat ga ik eerst doen?

4.Wat doe ik daarna?

5.Wat heb ik nodig?

3.DOE-BEER

1.Verloopt alles volgens plan?

2.Geraak ik nergens vast?

3.Moet ik het anders aanpakken?

4.Kan ik het zelf of moet ik hulp inroepen ?

4.CONTROLE-BEER

1.Is mijn probleem opgelost?

2.Heb ik mijn doel bereikt?

3.Moet ik nog verder werken?

4.Zo ja,waar moet ik bijsturen?

(Beertjes van Meichenbaum)7

7 Zie ook: Timmerman K., Kinderen met aandachts-en werkhoudingsproblemen, Leuven, Acco 2001, 8ste druk, 100 p.

Wat moet ik doen?

Hoe ga ik het doen ?

Ik doe mijn werk.

Ik kijk mijn werk na.

64

Voorbeeld 3

1. IK BEGRIJP HET PROBLEEM.

1.1. Ik lees de opgave ZEER AANDACHTIG.

• Begrijp ik alle woorden? • Kan ik het probleem navertellen met eigen woorden?

1.2. Ik zoek de KERNWOORDEN (=sleutelwoorden).

Die schrijf ik op, markeer die of prent ze in mijn hoofd. Als ik de kernwoorden ontdekt heb dan weet ik:

• hoe het probleem in elkaar zit; • wat er gevraagd is; • wat er gegeven is.

1.3. Ik SCHAT de uitkomst.

1.4. Ik BEDENK een ZELFDE PROBLEEM.

• Ik kan bv. het probleem uitwerken met kleine getallen. • Ik kan bv. terug denken aan iets dat ik vroeger geleerd heb.

2. IK WERK AAN DE OPLOSSING.

2.1. Ik maak een TEKENING, SCHETS, SCHEMA…

2.2. Ik WERK UIT.

• Ik kies de juiste bewerkingen. • Ik gebruik daarvoor soms tussenstappen.

Komt de oplossing dichterbij?

• Ja Ik werk verder. • Neen Ik ga terug en stel bij.

3. IK CONTROLEER.

3.1. Ik hanteer verschillende CONTROLEMIDDELEN.

Bijvoorbeeld:

• Ik vergelijk mijn resultaat met de schatting. • Ik maak een negenproef. • Ik voer de omgekeerde bewerking uit. • Ik controleer met mijn zakrekenmachine. • Ik plaats het resultaat terug in de situatie. • Ik vraag me af of mijn resultaat wel in de werkelijkheid kan voorkomen.

3.2. Ik SCHRIJF het RESULTAAT op. Dit moet JUIST en VOLLEDIG zijn. (bv. niet 25 maar 25 m, niet 30 cm maar 30 cm²)

(Stappenplan gebaseerd op Elshout-Mohr)8

8 Zie ook: Span P, Nelissen J.M.C., Pijning H.F. en Dietvorst C., Onderwijzen en leren, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1987, p. 147 - 169

65

Voorbeeld 4

STAP 1: IK STEL ME HET PROBLEEM VOOR.

Maak een tekening.

Maak een tabel.

Onderscheid noodzakelijke van overbodige gegevens.

Gebruik je ervaringskennis.

STAP 2: IK BESLIS HOE IK HET PROBLEEM ZAL AANPAKKEN.

Maak een boomdiagram.

Probeer verstandig uit.

Zoek een patroon in de gegevens.

Werk met eenvoudigere getallen

STAP 3: IK REKEN UIT.

STAP 4: IK INTERPRETEER MIJN UITKOMST EN FORMULEER MIJN ANTWOORD.

STAP 5: IK CONTROLEER.

(Verschaffel Lieven, Eerste hulp bij het oplossen van vraagstukken)9

9 Verschaffel L., De Corte E., Lasure S. en Van Vaerenbergh G., Leren oplossen van vraagstukken, een lessenreeks voor leerlingen uit de hoogste klassen van de basisschool, Diegem, Kluwer Editiorial, 1999, p. 278

66

2.2.3. Enkele suggesties10 In de literatuur vindt men voldoende suggesties om een stappenplan aan te brengen en hoe je de leerlingen in de verschillende fasen van het probleemoplossingsproces kunt begeleiden. Toch willen we enkele suggesties meegeven.

1. ‘Opvullen’ van het stappenplan

Vul de verschillende stappen van het stappenplan op met specifieke heuristieken. Laat leerlingen die herhaaldelijk en veelvuldig inoefenen en toepassen, zowel binnen als buiten de wiskundeles (transfer).

2. Gebruik een hulpmiddel als middel en niet als doel op zich

Een stappenplan is een hulpmiddel. Het doel is om kinderen op een meer efficiënte manier taken te leren aanpakken, die taken te leren oplossen en planmatig te leren werken en denken. Kinderen moeten los komen van de geijkte vraagjes en hun eigen woorden leren gebruiken.

3. Verbaliseren

Om het denkproces te stimuleren wordt taal gebruikt ter ondersteuning van de verschillende stappen. De leerling moet leren zijn gehele denken in al zijn stappen te verwoorden. Hardop spreken (van de leerling) geeft de leraar de gelegenheid het denkproces van de leerling mee te volgen, eventuele fouten vroegtijdig op te sporen en te remediëren.

4. Visualiseren

Elke stap wordt ondersteund door tekeningen.

5. Sta model voor de leerlingen (modelleren)

De leraar vervult een belangrijke rol: hij/zij zal zelf eerst moeten verwoorden en voordoen wat hij/zij nadien van de leerlingen verwacht. Schematisch kan dit als volgt verlopen:

a. de leraar verwoordt zelf de stappen hardop en voert zelf de opdracht uit. De leerling volgt mee; b. de leraar verwoordt de denkstappen hardop en de leerling voert de opdracht uit; c. de leerling verwoordt hardop en voert zelf uit; d. de leerling begeleidt zichzelf fluisterend en voert uit; e. de leerling begeleidt en stuurt zichzelf innerlijk (inner speech) en voert uit.

6. Laat verwoorden

Laat leerlingen veel verwoorden hoe ze te werk gegaan zijn, welke moeilijkheden ze ondervonden, wat ze volgende keer anders/beter zullen doen…

7. Leergesprekken

Organiseer regelmatig korte leergesprekken rond een specifieke opdracht: klassikaal - met een groepje leerlingen – individueel met een leerling die een fout aanpakgedrag vertoont…

8. Vestig de aandacht op…

Vestig de aandacht op één of meer specifieke stappen en/of heuristieken.

9. Deelopdrachten

Bij complexe opdrachten gaan we de kinderen leren deze opdrachten op te splitsen in deelopdrachten. Weet ook dat kinderen vaak vluchtig omgaan met het leermateriaal. Soms ben je de opdracht nog aan het uitleggen en zijn ze hier en daar al iets aan het invullen of een prentje aan het bekijken.

Bij geschreven opdrachten kun je verschillende mogelijkheden aanbieden en laten toepassen: • laat focussen op de opdracht; • leer kinderen de structuur van een opdracht ontdekken: vraag naar gelijkenissen en verschillen met

vorige opdrachten;

10 Zie ook: Timmerman K., Kinderen met aandachts-en werkhoudingsproblemen, Leuven, Acco 2001, 8ste druk, 100 p.

67

• leg de klemtoon op de belangrijke woorden als de leerling de opdracht (voor)leest; • laat de kernwoorden onderlijnen, markeren, omkringen…; • laat de kernwoorden meetellen op de vingers (“Ik moet op 3 dingen letten.”); • laat de leerling de opdracht net zo vaak herlezen tot hij zeker weet wat hij moet doen.

10. Pre-planning

Laat de leerling een werkplan opstellen als hij gewoon is geraakt aan het verwoorden van de verschillende opeenvolgende stappen in het oplossingsproces.

• De leerling herkent een gelijkaardige situatie uit zijn ervaring en probeert dezelfde oplossingsstrategie ook hier toe te passen. o Leer de leerling zich afvragen “hoe heb ik dat toen opgelost/gedaan?” o Begeleid de leerlingen:”Ken je dit nog?” – “Wat moest je daarmee doen?” – “Hoe heb je dat toen

opgelost?” – “Neem het blad nog eens terug met de oplossingsweg” – … • Ofwel is het probleem vreemd voor de leerling en moet hij zelf een nieuwe strategie bedenken.

o Laat de leerling een werkplan opstellen of stel samen met de leerling zo’n werkplan op. o Let daarbij op systematiek en ordening. o De bedoeling is dat de leerling niet met trial and error te werk gaat en dat hij verschillende

stappen leert herkennen en uitvoeren bij het uitvoeren van een opdracht.

11. Uitvoeren volgens plan

Blijft de leerling zijn plan volgen? We moeten de kinderen leren om hun werkplan te wijzigen als dat nodig zou zijn, bijvoorbeeld bij tijdnood, fouten in het oplossingsproces… Hierbij is het belangrijk de leerling te leren stoppen met zijn werk, de fout te leren opsporen, het oplossingsproces bij te stellen en dan pas verder te doen… Vermijd hierbij chaos en wanorde, bijvoorbeeld bij een staartdeling getallen over de oorspronkelijke getallen schrijven.

68

2.3. Het ontwikkelen van adequate denkbeelden en houdingen bij het leren oplossen van wiskundeproblemen11

Naast het aanleren van een algemene aanpakstrategie voor wiskundeproblemen is het ook belangrijk om een aantal typische foutieve denkbeelden en negatieve attitudes van leerlingen omtrent (leren) wiskundig probleemoplossen om te buigen. Dit is de derde pijler van onze krachtige onderwijsleeromgeving voor probleemoplossen.

Hieronder lees je enkele typische voorbeelden van dergelijke ongepaste overtuigingen en houdingen die voor verandering in aanmerking komen:

• voor een wiskundig probleem bestaat er altijd maar één correct antwoord; • er is altijd maar één manier om een wiskundig probleem juist op te lossen; • als je voor een bepaald soort problemen nog geen passende oplossingsmethode hebt geleerd, kun je

dergelijke problemen onmogelijk zelfstandig oplossen; • het oplossen van een wiskundig probleem neemt nooit meer dan enkele minuten in beslag; • een wiskundig probleem kunnen oplossen, is een kwestie van geluk; • wiskunde is een solitaire, schriftelijke bezigheid; • …

Hoe je deze denkbeelden kunt ombuigen, lees je in de verschillende delen van deze reader. Het ombuigen van deze foutieve denkbeelden heeft ook veel te maken met de school- en klascultuur: hoe wordt er bv. aangekeken tegen wiskundeonderwijs in het algemeen en het leren probleemoplossen in het bijzonder. We geven enkele ideeën mee om een open school- en klascultuur met betrekking tot wiskundeonderwijs en leren probleemoplossen te ontwikkelen:

• het creëren van ruimte voor het expliciteren van en luisteren naar denkbeelden, misconcepties, oplossingsmanieren, gevoelens… van leerlingen in verband met het leergebied wiskunde in het algemeen en met probleemoplossen in het bijzonder;

• het maken van (nieuwe) afspraken over wat men verstaat onder o een goed wiskundig probleem

bv. sommige wiskundige problemen kunnen op verschillende manieren worden opgelost; o een goede oplossing bv. soms is het niet zo zinvol om een heel precies antwoord te geven; o een goede oplossingsmethode bv. ook ervaren rekenaars tellen in geval van twijfel nog wel eens op de vingers;

• het herdefiniëren van de rol van leraar en van de leerlingen in de wiskundeles bv. jullie moeten niet verwachten dat ik alleen zal bepalen welke oplossing de beste is; dat is iets waarover we samen zullen overleggen. Zie ook 2.5.

11 Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool, Leuven, universitaire pers, 1998, p. 25-26, p. 48

69

2.4. Het aanbieden van een functioneel, uitdagend en realistisch opgavenaanbod12

Een vierde pijler betreft het selecteren en presenteren van een gevarieerd aanbod van uitdagende en realistische contextopgaven die uitnodigen tot het aanwenden van domeinspecifieke kennis, heuristieken, metacognitieve kennis en vaardigheden en affectieve componenten. We geven enkele mogelijkheden om hieraan tegemoet te komen: • voorzie opgaven die gekenmerkt worden door een hoog probleemgehalte; • maak de opgaven realistisch en uitdagend. Dit wil zeggen dat ze ingebed zijn in een context die afkomstig is

uit het dagelijkse leven of uit de kinderlijke fantasiewereld. Dit betekent niet dat ’kale’ rekenopgaven nooit het vertrekpunt kunnen vormen voor waardevolle wiskundige leer- en denkactiviteiten. Onderwijs vereist ook een zeker mate van isolering van de leerstof. Onderwijs moet starten vanuit ervaringen van de leerlingen, maar het moet er zich soms ook van verwijderen om op abstract niveau verder te werken en om zo terug aan te komen bij de leerlingen, maar nu toepasbaar in een zo breed mogelijk ervarings- en realiteitsveld (transfer);

• creëer problemen met een open karakter: problemen dus die op verschillende manieren zijn op te vatten, aan te pakken en op te lossen. Dit geeft uiteraard aanleiding tot overleg en discussie tussen de leraar en de leerlingen én tussen de leerlingen onderling over de interpretatie, aanpakwijze, oplossingswijze, de oplossing van het probleem;

• varieer in presentatiewijze: bied problemen aan via een tekst, een tabel, een tekening, een strip, een krantenknipsel, een artikel van internet…;

• schrap contextgebonden opgaven niet uit je methode.

Dit betekent geenszins dat de meer traditionele standaardopgaven (bv. tijd-afstand-snelheid, percentrekenen, problemen i.v.m. oppervlakte en volume…) geen plaats meer mogen hebben in ons wiskundeonderwijs. In wat volgt presenteren we een niet-limitatieve reeks van voorbeelden van diverse soorten problemen, die in en naast het ‘gewone’ aanbod kunnen gehanteerd worden.

1. Uit het leven gegrepen problemen

Bv. Binnenkort ben je jarig. Je wilt je klasgenoten trakteren op appels. Fruit is immers gezond. Je voorziet 3 appels per kind. Hoeveel kg appels heb je nodig? Wat kost je die traktatie?

2. Problemen zonder getallen

Bv. Anja woont tussen Tamara en Pieter. Tamara woont tussen Anja en Marc. Tamara woont links van Marc. Waar wonen ze?

3. Problemen met een zelf in te voeren gegeven

Bv. Joke koopt 2 potloden. Ze betaalt met een stuk van 2 euro. Hoeveel krijgt ze terug? Hilde krijgt € … mee naar de school. Ze verliest €… Hoeveel geld houdt ze over?

4. Problemen met overbodige gegevens

Bv. Thomas heeft 25 knikkers: 7 blauwe, 8 groene en 2 gele en evenveel rode als groene. Hij begon echter met 22 knikkers maar won er 3 bij. Hij heeft er 7 meer dan zijn vriend Jens, die alleen blauwe knikkers heeft. Tara heeft 15 knikkers: 7 groene, 2 blauwe en de rest gele. Zij won vandaag 3 knikkers: 1 van Joris en 2 gele van Hanne. Hoeveel knikkers heeft Jens?

12 Zie ook: Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool, Leuven, universitaire pers, 1998, p. 46-47 en De Bruycker G., Realistisch modelleren en interpreteren van vraagstukken in de bovenbouw van de basisschool, in School-en klaspraktijk, nr. 183, 2004/2005, p. 21 – 38.

70

5. Problemen die tot actief onderzoek leiden

Bv. Hoe dik is een blad papier? Hoeveel gram weegt één rijstkorrel?

6. Problemen waarin niet wordt gevraagd naar een precies antwoord maar naar een benaderend antwoord

Bv. Hoeveel woorden bevat een leesboek van 260 pagina’s? Verklaar je antwoord.

7. Problemen met meer dan één correcte oplossing

Bv. Je mag van vier kubussen een huisje bouwen. De bouwvoorschriften zijn eenvoudig: de kubushuisjes worden naast of op elkaar gestapeld, zodat de (zij)vlakken geheel tegen elkaar komen. Hoeveel verschillende vierkubers kun je bouwen?

8. Onoplosbare problemen

Bv. Een herder bezit 150 schapen en 8 rammen. Hij trekt met zijn kudde elke dag 3 km verder. Hoe oud is de herder?

9. Zelf contextproblemen bedenken bij bewerkingen

Bv. Bedenk minstens 4 mogelijke probleempjes bij de bewerking 26:4. De oplossing moet eens 6,5; 6; 7 en 6 rest 2 zijn.

Mogelijke oplossingen • We gaan op schoolreis met bootjes varen. We zijn met 26 kinderen. Hoeveel bootjes moeten we

huren zodat iedereen kan varen? (26 : 4 = 7) • We verdelen € 26 over 4 personen zodat iedereen even veel heeft. (26 : 4 = 6,5) • We hebben 26 bolletjes. Hoeveel zakjes van 4 bolletjes kunnen we maken? (26 : 4 = 6) • We hebben 26 eitjes die we verdelen in eidoosjes. In een eidoosje kunnen 4 eitjes. Hoeveel volle

doosjes krijg je? Hoeveel losse eitjes heb je nog over? (26 : 4 = 6 rest 2)

10. Contextopgaven die voor discussie vatbaat zijn

Bv. Een uittreksel uit een krantenknipsel: ‘Uit recente studies is gebleken dat 12 procent van de volwassen Nederlanders onvoldoende kan lezen en 15 procent onvoldoende kan schrijven. De auteur van het artikel besluit: gecombineerd is dat iets meer dan een kwart dat niet kan lezen of schrijven.’ Ga je akkoord met deze conclusie?

11. Problemen waarbij uit alternatieve rekenoperaties de juiste bewerking moet worden gekozen

Bv. Om een motorritje te maken kan de motorrijder kiezen uit 4 verschillende helmen en 2 paar laarzen. Hoeveel combinaties kan hij daarmee maken? Welke bewerking kies je?

Kies uit: 4 + 2 4 – 2 4 x 2 4 : 2

12. Problemen waarbij de leerlingen de juistheid van antwoorden moeten beoordelen en argumenten aanvoeren waarom een antwoord goed, minder goed of zelfs fout is

Bv. Toen Els vanmorgen van huis voor een fietstocht vertrok, stond de kilometerteller van haar fiets op 083,7. Toen zijn vanavond thuiskwam, stond de teller op 103,7. Els zegt tegen haar broer: “Vandaag heb ik precies 20 km gefietst.” Ga jij akkoord met wat Els zegt? Waarom wel / waarom niet?

13. Open problemen

Bv. Stel je voor, je mag van je spaargeld een fiets kopen. Nu heb je er een zien staan in het Rijwielpaleis en een in het Fietsencenter. Ze zijn allebei hetzelfde, maar in het Rijwielpaleis is de prijs € 375. Daar mag je bij directe betaling nog 2% in mindering brengen. In het Fietsencenter krijg je die korting niet maar daar staat op het prijskaartje: 370 euro. Wat zou je doen en waarom?

14. Complexe problemen die er op het eerste zicht enkelvoudig uitzien

Bv. Maarten en Alex knikkeren. Maarten heeft 6 knikkers, Alex heeft er 12. Hoeveel knikkers moet Maarten van Alex winnen zodat ze er beiden evenveel hebben?

15. Problemen in de vorm van puzzels

Bv. tangram, magische vierkanten, sudoku…

71

2.5. Het gebruiken van een gevarieerd aanbod van werkvormen, instructie- en inoefentechnieken13

Een vijfde pijler betreft instrueren en inoefenen van probleemoplossen via krachtige instructietechnieken en werkvormen. Uiteraard begeven we ons hier op het terrein van het organiseren van een onderwijsleeromgeving vanuit de veranderende en verschuivende rol van de leraar. In het vroegere wiskunde- en vraagstukkenonderwijs werd nog te veel de nadruk gelegd op het individueel en schriftelijk oplossen van vraagstukken aan de hand van opgelegde, vaste standaardoplossingschema’s en –procedures. Sinds de tachtiger jaren van de vorige eeuw is hierin een kentering gekomen op internationaal vlak. In onze contreien mede door het werk van het Freudenthalinstituut en Wiskobas (Nederland) en het onderzoek en het werk van o.a. Lieven Verschaffel en Eric De Corte (Vlaanderen). Ook de nieuwe generatie wiskunde- en rekenmethodes spelen op deze trend in.

De bekwaamheid in het oplossen van wiskundeproblemen kan enkel verworven worden door middel van een gevarieerd aanbod van krachtige instructietechnieken, inoefenvormen, werkvormen en groeperingsvormen waarbij gewerkt wordt aan de ontwikkeling van o.a. heuristieken, metacognitieve kennis en vaardigheden…

2.5.1. Typische voorbeelden van krachtige instructie- en inoefentechnieken

1. Aanwenden van relevante didactiek

• Bied uitdagende, echte problemen aan (zie ook 2.4). • Organiseer een krachtige klassikale instructie. • Sluit aan bij wat de leerlingen al beheersen. • Spreek de leerlingen aan in de zone van de naaste ontwikkeling (= cognitieve verrichtingen die de

leerling samen met de volwassene of medeleerling al kan volbrengen, maar nog niet geheel zelfstandig en in alle soorten situaties).

• …

2. Leiden van onderwijsleergesprekken

• Beperk je niet tot reproductievragen of vragen naar de bekende weg. Laat de leerlingen verbanden leggen, laat de leerlingen motiveren waarom en hoe ze deze of gene oplossingsweg bewandelen.

• Stel vragen die het denken stimuleren (strategische vragen): “Waarom denk je er zo over?”, “Hoe ben je tot die oplossing gekomen?”. Alle andere leerlingen kunnen mee profiteren als de gevolgde werkwijze hardop wordt verwoord.

• Kaats ook eens de vraag terug: “Wat denk je er zelf van?” • Laat leerlingen in groepen werken en nadien hun werkwijze en oplossing aan de andere leerlingen

presenteren. • …

3. Begeleiden van het individuele leerproces

• Ga na waar de leerlingen staan in het leerproces. • Heb daarbij oog voor individuele verschillen. • Ga na hoe (foute) antwoorden tot stand komen. • Bekijk fouten niet negatief, maar als een kans om ervan te leren door hulp en bijsturing. • Laat leerlingen zichzelf ook eens evalueren: dit kan reflectie op het eigen leerproces bevorderen. • … (zie ook 2.7 Het bieden van hulp)

13 Zie ook: Verschaffel L.en De Corte E., Psychologie en reken/wiskunde-onderwijs, leereenheid 2 in ‘Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, achtergronden, Leuven, Acco, 1995, p.51-92 en Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool, Leuven, universitaire pers, 1998, p. 27 – 28 en p. 47-48.

72

4. Modelleren • Demonstreer vaardig oplossingsgedrag via de techniek van hardop denken. • De leerling ziet hoe het hoort of hoe het kan. De leerling observeert een expert die een bepaalde taak

uitvoert. • Dit is tevens een schitterende manier om iets aan te leren: zonder dat je het vraagt, nemen kinderen

vaak je gedrag over. • Veruitwendig daarbij zo veel mogelijk de processen en activiteiten die gewoonlijk inwendig verlopen,

zodat de leerlingen zich een mentale voorstelling kunnen maken van de activiteiten die nodig zijn voor vaardig taakgedrag.

• Voor beginnende probleemoplossers of voor het aanleren van nieuwe heuristieken is deze werkvorm bijzonder efficiënt.

• … 5. Coachen

• Observeer je leerlingen tijdens het uitvoeren van een taak en geef op grond daarvan suggesties, aanwijzingen en terugkoppeling: o wijs op een foutieve denkstap in de oplossingsprocedure; o wijs op een efficiëntere en kortere werkwijze voor het oplossen van een probleem.

• Op die manier help je de leerlingen om hun activiteit en prestatie te verbeteren, zodat het expertgedrag geleidelijk meer wordt benaderd.

• … 6. Rechtstreeks helpen (scaffolding)

• Scaffolding betekent letterlijk ‘van steigers voorzien, schragen, ondersteunen’. • Geef directe ondersteuning bij de uitvoering van die aspecten van een taak die een leerling nog niet

(helemaal) zelfstandig aankan. • Reduceer de complexiteit van de context, geef structuur, verhelder het probleem, wijs de leerling op

de volgende stap die dient gezet te worden, bewaak het doel van de activiteit, betrek de leerling bij het volbrengen van een gezamenlijke taak, schep een kader en geef regels die de leerling geleidelijk overneemt.

• Zodra de leerling de taak zelfstandig kan volbrengen, beëindig je de ondersteuning, zoals een steiger die wordt weggehaald als die niet meer nodig is.

• Voorbeelden van steigers: o voordoen of modelleren (zie 4); o hardop denken als expert waardoor mentale processen ‘zichtbaar’ en toegankelijk worden; o het aanbieden van stappenplannen; o aanwijzingen geven; o het laten zien van goed uitgewerkte of half afgewerkte voorbeelden waarmee de leerlingen hun

werk kunnen vergelijken; o het geven van een lijstje met aandachtspunten voor een bepaalde les; o …

• … 7. Expliciteren

• Zet je leerlingen ertoe aan om hun eigen opvattingen en denkprocessen uitdrukkelijk te verwoorden en daardoor maak je als het ware die processen zichtbaar voor henzelf en de andere leerlingen. Je hebt dan al een hele stap gezet als je je leerlingen zover krijgt dat zij gaan nadenken over de manier waarop taken, problemen… kunnen worden aangepakt en opgelost. Als kinderen dan gelijkaardige problemen voorgeschoteld krijgen op latere momenten, moeten ze kunnen profiteren van de vorige (besproken en toegepaste) aanpak -en oplossingsstrategieën.

• Laat verschillende oplossingsmethoden aan bord uitwerken. Bespreek in het daaropvolgend leergesprek welke ervan het meest effectief zijn, welke transfereerbaar zijn naar andere situaties …

• Laat leerlingen regelmatig op het einde van een les verwoorden (en eventueel opschrijven) wat zij volgende keer anders en beter zullen doen. Neem dat terug op bij een volgende les.

• … 8. Reflecteren

• Stimuleer de leerlingen tot en help hen bij het kritisch beoordelen van de eigen denken oplossingswijzen o.a. via vergelijken met die van anderen of experts…

• Laat hiertoe regelmatig de leerlingen verwoorden hoe ze te werk zijn gegaan, waar ze fout zijn gelopen, wat ze hebben geleerd, wat ze volgende keer anders en beter zullen doen…

• …

73

9. Exploreren

• Verhoog de zelfstandigheid van de leerlingen in het vaardig oplossen van problemen. • Ga na hoe je van leraarsturing via gedeelde sturing tot zelfsturing van de leerling kunt komen (zie ook

2.6). • …

10. Generaliseren (veralgemenen)

• Het is de bedoeling dat leerlingen kennis, vaardigheden en houdingen die ze leren m.b.t. probleemoplossen, toepassen in andere gelijksoortige lessen, maar ook in andere domeinen van het wiskundeonderwijs, andere leergebieden en zelfs in buitenschoolse situaties. Men spreekt in dit verband van transfer van het leerresultaat. Nu treedt transfer niet vanzelf op. Hier moet je dus – als leraar – aan werken. o Beperk je niet tot het aanbieden van type-problemen met de daarbijhorende type-oplossingen,

maar bied problemen aan in bredere contexten die tot veralgemeenbare strategieën aanleiding kunnen geven.

o Toon de leerlingen uitdrukkelijk hoe bepaalde begrippen of strategieën, verworven in een bepaalde situatie ook adequaat kunnen worden toegepast in andere, min of meer afwijkende contexten.

o Vraag ook geregeld aan de leerlingen om zelf een toepassingsprobleem te bedenken, om zelf situaties en contexten aan te geven waarbij zij het geleerde kunnen toepassen.

o Laat de leerlingen de verwantschap tussen een bepaald probleem en een eerder opgelost probleem verwoorden, bv. “Aan welk probleem doet deze opgave je denken? In welke zin lijken ze op elkaar?”

o Stimuleer leerlingen om op zoek te gaan naar andere soorten wiskundige problemen waarin een geleerde heuristiek of metacognitieve strategie ook zinvol kan worden gebruikt: zo kan men zeer nadrukkelijk met de leerlingen ingaan op het nut en de bruikbaarheid van een externe representatie (bv. een tekening) bij breuken als hulpmiddel bij het begrijpen van de taak. Vervolgens kan men deze strategie in een meer algemene vorm omschrijven (‘Maak een tekening’ of ‘Als je tekent, zie je meer.’ …). Ga vervolgens samen met de leerlingen op zoek naar andere opgaven en/of situaties waarbij het maken van een tekening kan helpen bij de oplossing ervan.

o Door leerlingen te leren werken met een stappenplan leren we hen een goede werkhouding aan in bv. de wiskundeles: de leerling staat stil bij de opgave, denkt na over een werkplan, voert systematisch uit en controleert zichzelf.

o Nodig leerlingen uit om zelf voorbeelden te geven van niet-wiskundige probleemsituaties waarin een bepaalde heuristiek of metacognitieve strategie eveneens bruikbaar is, bv. het opstellen van een plan alvorens met het effectieve schrijven van een schrijftaak te beginnen (plannen (nadenken over de schrijftaak – verzamelen – selecteren – ordenen) – uitvoeren – controleren; zie reader 2006).

74

2.5.2. Directe instructie als sterke uitgangsbasis voor leren probleemoplossen

MODEL 1 DIRECTE INSTRUCTIE: UITVOEREND HANDELEN MODEL 2 DIRECTE INSTRUCTIE: STRATEGISCH HANDELEN

1 DAGELIJKSE TERUGBLIK

Geef een samenvatting van de voorafgaande leerstof. Bespreek het werk. Haal de benodigde voorkennis op. Onderwijs, als dit nodig is, deze voorkennis.

2 PRESENTATIE

Geef lesdoelen en/of een schematisch overzicht.

Onderwijs in kleine stappen.

Geef concrete voorbeelden, illustraties, schema’s… Gebruik heldere taal.

Vermijd uitweidingen. Geef (zo nodig) een samenvatting van de hoofdzaken. Ga na of de leerlingen de leerstof begrijpen.

Maak gebruik van een handelingswijzer.

Doe de vaardigheid voor. Denk hardop.

Anticipeer op moeilijkheden. Vergroot stapsgewijs de moeilijkheidsgraad. Oefen met de leerlingen na ieder deel van de presentatie.

3 (IN) OEFENING

Laat de leerlingen onder begeleiding oefenen. Geef korte en duidelijke opdrachten. Stel veel vragen. Zorg dat alle leerlingen betrokken blijven. Zorg voor hoge successcores.

Ga door met oefenen tot de leerlingen de stof onder de knie hebben.

Gebruik handelingswijzers (stappenplan). Gebruik half-afgewerkte voorbeelden. Laat de moeilijkheidsgraad geleidelijk toenemen. Varieer de instructie-en inoefentechnieken. Laat de leerlingen in kleine groepjes of in paren werken.

Verminder de ondersteuning.

4 INDIVIDUELE VERWERKING

Zorg ervoor dat de leerlingen onmiddellijk beginnen. Zorg ervoor dat de inhoud gelijk is aan die van de voorafgaande lesfase. Zorg voor een ononderbroken lesfase. Laat de leerlingen elkaar helpen. Laat de leerlingen weten dat hun werk gecontroleerd wordt. Kijk het werk van de leerlingen zo snel mogelijk na.

Verminder de ondersteuning. Vergroot de toepassingsmogelijkheden.

5 PERIODIEKE TERUGBLIK

Begin iedere week met een herhaling van de leerstof van de voorafgaande week. Begin iedere maand met een herhaling van de leerstof van de voorafgaande maand.

6 TERUGKOPPELING

Geef regelmatige terugkoppeling. Corrigeer fouten onmiddellijk. Geef proces-terugkoppeling. Geef veel aanmoediging. Maak gebruik van zelfcorrigerend materiaal.

Schema ontleend aan Cautreels P., Effectieve instructie

75

2.5.3. Belang van coöperatief leren

Er is sprake van coöperatief leren als leerlingen met elkaar, in kleine heterogene groepen werken aan de uitvoering van een gezamenlijke taak. Dit doen ze door met elkaar informatie uit te wisselen, te discussiëren, zaken te selecteren, te ordenen, aanvullingen te bedenken… Via actief leren zijn de leerlingen dus bezig kennis en vaardigheden te (re)construeren. Daarbij zijn ze met elkaar in gesprek om een gezamenlijk doel (bv. oplossing van een wiskundeprobleem) te bereiken. Er is hierbij dus ook sprake van veel actief taalgebruik. Ze ontwikkelen hierdoor hun denkvermogens, het vermogen om problemen op te lossen, om kennis te integreren in reeds bestaande concepten en kennis toe te passen.

Coöperatief leren is niet hetzelfde als het werken in groepen of groepswerk. Coöperatief leren onderscheidt zich door een heel duidelijke strakke structuur die het werken in een coöperatieve leergroep zinvol maakt en er voor zorgt dat iedereen optimaal betrokken blijft. Bij groepswerk of het werken in groepen bestaat het gevaar dat leerlingen ofwel niet actief meewerken en meedenken ofwel dat sommige leerlingen de anderen al te strak leiden en geen inbreng laten of dulden van andere groepsleden. Omwille van de eigenheid en het eigen specifieke karakter van coöperatief leren worden deze negatieve aspecten vermeden. Ter illustratie één voorbeeld.

Placemat14 1. Uitdelen van het materiaal

Iedere groep van vier leerlingen krijgt een vel papier. In het midden van het vel papier tekent een leerling een rechthoek: dit is de gemeenschappelijke rechthoek. Vervolgens trekt elk groepslid vanuit één van de hoeken van de rechthoek één lijn naar één van de hoeken van het vel papier. Zo ontstaat de placemat. De leraar kan er ook voor kiezen om vooraf zelf deze indeling te maken.

2. Ieder schrijft zijn bevindingen op.

De leraar geeft een wiskundeprobleem. De groepsleden schrijven gedurende enkele minuten individueel hun oplossingswijze en oplossing uit. Ze schrijven dit uit in het deel van het vel waarbij zij het dichtste zitten.

3. Overleg

Na de individuele bedenken werktijd, proberen de groepsleden tot een gezamenlijk antwoord te komen. De leerlingen argumenteren hun aanpak, hun oplossingsweg én hun oplossing van het probleem, maar staan open voor de inbreng van de andere groepsleden. Het overleg moet resulteren in een gemeenschappelijk antwoord. Afhankelijk van de aard van het probleem dient er ook ruimte te zijn om verschillende goede oplossingswegen en eventueel verschillende goede oplossingen te genereren.

4. Invullen van de gemeenschappelijke rechthoek

Wanneer de groepsleden overeenstemming hebben bereikt, schrijven ze het antwoord op in de gemeenschappelijke rechthoek.

5. Klassikale uitwisseling

Telkens komt een woordvoerder van elke groep aan het woord die de aanpak, de oplossingsweg en de oplossing verwoordt.

14 Förrer M, Kenter B. en Veenman S., Coöperatief leren in het basisonderwijs, Amersfoort, CPS, 2004, p. 80 – 82. In dit boek vindt men verschillende voorbeelden van werkvormen ‘coöperatief leren’.

76

2.6. De weg naar zelfgestuurd leren: een evolutie van leraarsturing naar zelfsturing15

Een zesde pijler in onze organisatie van krachtige onderwijsleeromgevingen voor probleemoplossend denken is sturing van het leerproces. We pleiten ervoor om dit geleidelijk aan te pakken, nl. van leraarsturing tot zelfsturing. Leerlingen zijn vaak nog onvoldoende voorbereid op zelfstandig leren zonder al te veel sturing van de leraar of het leermiddel.

Het actief en constructief verwerven van kennis en vaardigheden door de leerlingen moet begeleid worden door aangepaste vormen van instructie, uitleg, hulp en ondersteuning van de leraar. Vooral wanneer de leerling nog over weinig voorkennis van een bepaalde vakinhoud beschikt of wanneer het gaat om complexe problemen zal de leraar in de beginfase van het onderwijs de leeractiviteiten van de leerlingen op een meer sturende of directe wijze ondersteunen, om vervolgens via de fase van de gedeelde sturing en afnemende ondersteuning de verantwoordelijkheid voor het leren steeds meer in handen te leggen van de leerlingen. Naarmate leerlingen meer weten van het betreffende kennisdomein, meer leerstrategieën tot hun beschikking hebben en beschikken over de nodige metacognitieve kennis en vaardigheden, zijn zij beter in staat deze verantwoordelijkheid zelf te dragen.

Om niet in de vicieuze cirkel terecht te komen van ‘ze kunnen het niet, dus doen we het niet, dus kunnen ze het steeds minder’, geven we hieronder een aantal suggesties hoe je als leraar met name door demonstreren, activeren en coachen, leeractiviteiten bij leerlingen kunt bevorderen.

1. Leraargestuurd leren: de leraar demonstreert de leeractiviteiten Instructietechnieken: aanwenden van relevante didactiek – begeleiden van individuele leerlingen – modelleren – rechtstreeks helpen – generaliseren

Met demonstreren laat je zien hoe de leerling het beste een leeractiviteit kan uitvoeren. Je laat de leerling zien (en horen) welke vragen hij zichzelf stelt als hij een berekening maakt of je geeft de overwegingen aan waarom voor een bepaalde oplossing is gekozen. Zodoende kan de leerling zich een beeld vormen hoe hij het beste een bepaalde taak kan aanpakken of hoe hij een oplossing kan beredeneren.

Voorbeelden van het lerarengedrag ‘demonstreren’:

• “Ik zie dat je een foute berekening hebt gemaakt. Ik zal je in een schema laten zien welke stappen je moet zetten om tot de juiste oplossing te komen.”

• “Laten we nu eens kijken of je de oplossingsweg correct hebt uitgevoerd. In het boek staat de opdracht. Ik zal punt voor punt met jou overlopen welke vragen je jezelf moet stellen als je begint en als je aan het werk bent.”

Mogelijke werkvormen om leeractiviteiten te demonstreren zijn:

• als leraar hardop denkend een bepaalde oplossingsmethode laten zien; • als leraar zelf de (stuur)vragen stellen en de leerling erop wijzen wat je doet en waarom; • achteraf uitleggen waarom bepaalde werkvormen zijn gekozen; • evalueren hoe de les verlopen is en aangeven wat goede en minder goede leermomenten waren; • het laten invullen van een logboek waarbij leerlingen met behulp van richtvragen hun eigen gedrag

observeren en bijhouden wat ze leren en hoe; • expliciteren waarom een leerling een bepaalde beoordeling krijgt.

In de stap van demonstreren houd je zelf de sturing in handen. De nadruk ligt op het aanleren van vaardigheden bij leerlingen hoe ze leerstof kunnen leren door explicitering van wat er gebeurt. Van activiteiten waarbij de leerlingen zelfstandig aan het werk gezet worden – zònder nadere instructie over het leren en de aanpak – is nog geen sprake. Het is immers niet aan te bevelen om leerlingen taken te laten uitvoeren zonder feedback over de aanpak, als ze nog niet geleerd hebben hoe ze moeten leren. Misschien dat ze de opgegeven taak wel kunnen uitvoeren, maar dat wil nog niet zeggen dat ze ervan geleerd hebben. Weten hoe je kunt leren en vaardigheden leren om te sturen, zijn voorwaarden voor succes op lange termijn.

In het begin gaan de leerlingen makkelijk door de stof heen, maar als ze meer gegevens moeten combineren, als het abstracter wordt of als ze moeten beredeneren wat de beste aanpak is, dan haken

15 Zie ook: Cautreels, P., Wat heb je vandaag op school geleerd…over leren? Op zoek naar de kern van het leren leren, onuitgegeven tekst, plenum COV-dag te Vlaams-Brabant, april 2005, p. 44 – 51.

77

velen af. Dan wordt duidelijk dat ze de basis missen om anders dan reproductief te leren. Daarom is het expliciteren van hoe en wat er geleerd wordt nodig en nuttig. Zodra de leerlingen begrijpen wat de bedoeling is en hoe ze aan de slag kunnen, zijn ze er aan toe om met minder leraarsturing te gaan leren.

2. Gedeelde sturing: de leraar activeert

Instructietechnieken: aanwenden relevante didactiek – leiden onderwijsleergesprekken – begeleiden van het individuele leerproces– rechtstreeks helpen – expliciteren – reflecteren – generaliseren.

Een minder leraargeoriënteerde vorm van sturen is het activeren. Centraal staat het oefenen van metacognitieve vaardigheden: het afstemmen op de leertaak, het plannen, controleren en bijsturen van het leerproces. Je bedenkt vragen en opdrachten om expliciet bepaalde leervaardigheden te oefenen. Door middel van reflectie op het eigen handelen maakt de leerling zich die vaardigheden eigen. Op deze manier is er sprake van gedeelde sturing. De leerling ervaart wat effectief is en wat niet, hij leert zien wat hij wel kan en wat hij nog moet leren. Dat is een stevige basis om minder afhankelijk te worden van de leraar of van het leermiddel. Een reële inschatting van het eigen kunnen, hulp kunnen vragen wanneer het nodig is, een aanpak kunnen bedenken, leren van fouten en kunnen verwoorden wat je geleerd hebt, zijn voor leerlingen essentiële vaardigheden om meer actief en zelfgestuurd te gaan leren.

Mogelijke werkvormen die bij een activerende (gedeelde) sturing passen zijn:

• het stellen van waarom-, wat- en hoevragen die de leerling uitnodigen tot reflectie op eigen aanpak: waarom kies je dat gereedschap? Wat is het verband met de vorige les? Hoe ga je de opgave aanpakken? Wat betekent het als…? Hoe komt het dat…? Wat doe je eerst…?;

• het geven van feedback op de aanpak/de wijze van leren; • de leerlingen hardop laten denken; • de leerlingen in eigen woorden laten vertellen wat ze doen; • leerlingen de taak zelf laten beoordelen; • leerlingen elkaar laten beoordelen; • het samen nagaan hoe een oplossing tot stand is gekomen en waar eventuele fouten zitten.

Het activeren is een belangrijke stap om uiteindelijk zonder sturing van de leraar te kunnen leren. Leerlingen worden vertrouwd gemaakt met een vaak nieuwe manier van leren, ze oefenen hoe ze meer verantwoordelijkheid kunnen nemen voor hun eigen voortgang en ze leren hun sterke kanten te ontwikkelen. Voorwaarde voor een succesvolle activering is het vertrouwen van de leraar in het vermogen en de bereidheid van de leerling tot leren. Als er niet optimaal geleerd wordt, komt dat meestal doordat de leerling onvoldoende is toegerust om de leertaak met succes uit te voeren. Succesvol leren motiveert tot leren, ook in moeilijke situaties.

3. Leerlinggestuurd leren: de leraar vervult de rol van coach

Instructietechnieken: coachen – exploreren - generaliseren

In een nog minder leraargestuurde manier van leren neemt de leerling de sturing van het leerproces bijna geheel in eigen handen. Een systematische toepassing van leeractiviteiten door de lerenden zelf staat in deze aanpak centraal. De leerling weet hoe hij de leerstof moet verwerken en is vaardig om de benodigde sturing zelf in te zetten. De leraar bewaakt hoe het leren verloopt en intervenieert, meestal na afloop, of als het echt mis dreigt te gaan. Jouw rol is nu die van coach: je kijkt toe of het leren volgens plan verloopt en bespreekt de effecten van de gekozen aanpak op het leren. Hierdoor leert de leerling vooral zijn eigen inbreng ten aanzien van het resultaat en de voortgang zelf beoordelen. Coachen is een vergaande vorm van gedeelde sturing die naar volledige zelfsturing toewerkt. Bij minder complexe leerstof en bij meer routineuze handelingen is de coachrol van de leraar uitstekend te realiseren. Bij nieuwe leerstof, die een grote mate van transfer vraagt naar nieuwe situaties, zal een meer gedeelde sturing zeker in de eerste fase van een leergang werkbaarder zijn.

Mogelijke werkvormen die te gebruiken zijn bij het coachen:

• leerlingen bepalen zelf de aanpak of werkvolgorde en de leraar vraagt deze te motiveren; • leerlingen laten uitleggen welke redenering er gevolgd is bij het oplossen van een probleem; • leerlingen zelf toetsvragen laten opstellen en de meest geschikte vragen eruit laten halen; • nabespreken welke antwoorden op een toets kloppen en de leerlingen laten uitleggen waarom dat het

geval is; • leerlingen zichzelf vragen laten stellen (hardop) of ze nog op de goede weg zijn en waarom; • leerlingen geven zichzelf een cijfer (na een opdracht) en beargumenteren waarop dit cijfer berust; • leerlingen beoordelen zelf of de oplossing en oplossingsweg voldoet aan de gestelde eisen en ze

motiveren dit.

78

2.7. Het bieden van hulp Een zevende pijler voor het organiseren van een krachtige onderwijsleeromgeving met betrekking tot probleemoplossen betreft het geven van hulp tijdens het leren probleemoplossen.

2.7.1. Verlengde instructie

Je kunt tijdens de oefenfase in je lessen die leerlingen die vanuit vorige lessen of toetsen (waarvan je een foutenanalyse maakte) of die vanuit de lesopener bepaalde problemen hebben, samen groeperen in een apart (zorg)groepje. Tijdens deze oefenfase ga je met hen heel concreet en intens aan de slag door verlengde instructie te geven. Deze verlengde instructie kan allerlei vormen aannemen:

1. uitleggen in meer stappen; 2. samen met de leerlingen het probleem verkennen, aanpakken en oplossen; 3. materiaal of schematiseringen hanteren; 4. bijkomende uitleg geven; 5. aanvullende vragen stellen; 6. aangepaste opdrachten geven; 7. de opdrachten vereenvoudigen; 8. gerichte feedback geven; 9. stapsgewijs/fasegewijs (laten) werken en (laten) reflecteren op elke stap van het stappenplan; 10. diagnostisch gesprek (om na te gaan hoe een leerling een bepaalde opgave oplost, zie 2.7.2); 11. verschillende niveaus van hulp bieden hanteren (zie 2.7.3); 12. …

2.7.2. Diagnostisch gesprek

Het doel van een diagnostisch gesprek is achterhalen hoe een leerling een opgave oplost en op welk denkniveau hij dit doet. Je organiseert een diagnostisch gesprek tijdens een verlengde instructie, een remediëringsles, wanneer een leerling(engroepje) een probleem heeft…

Elk geconstateerd wiskunde-/rekenprobleem kan aanleiding zijn om met een kind een gesprek aan te knopen. Wanneer uit de resultaten van een toets blijkt dat een kind moeite heeft met een bepaald probleem, is dit een reden om wat dieper op de problematiek in te gaan. Evenzo kan de leraar tijdens de instructie ervaren, dat een leerling hardnekkig een wiskundig probleem verkeerd oplost. Uiteraard zijn mindere resultaten van toetsen uit het leerlingvolgsysteem aanleiding om verder te kijken (luisteren). In wezen is elk gesignaleerd probleem aanknopingspunt voor verder onderzoek.

We onderscheiden in een diagnostisch gesprek volgende stappen:

1. Startsituatie

Bij een diagnostisch gesprek is het vertrekpunt een probleemsituatie die aan het kind wordt voorgelegd. De instapopgave wordt gekozen n.a.v. bovengenoemde signaleringswijzen. De bedoeling is nu dat je weet te achterhalen hoe het kind de opgave oplost en op welk denkniveau.

2. Het gesprek

Voorwaarde is dat je tijdens het gesprek niet wordt gestoord. Misschien kan het tijdens het zelfstandig werken als de groep goed weet, dat er geen vragen aan de leraar gesteld mogen worden.

De beste manier om te weten te komen hoe het kind mentaal handelt, is wanneer het ons vertelt wat het denkt. Dit kan op twee manieren nl. vertellen tijdens het oplossen van het probleem of achteraf. Naast het verwoorden door de leerling en het vragenstellen is het van groot belang dat je de leerling goed observeert. Op allerlei subtiele wijzen kan een leerling gebruik maken van het eigen lichaam of voorwerpen uit de omgeving als hulpmiddel bij het oplossen. Kijk naar de handen, vingers en ogen. Ook dingen die het kind bijna onhoorbaar zegt, kunnen van belang zijn. Bepaalde bewegingen van hoofd of armen kunnen duiden op bijvoorbeeld tellen. Laat het kind achteraf vertellen waarom het die beweging maakte of waar het naar keek en waarom. Veel tijd nodig hebben, kan duiden op het gebruik van een omslachtige strategie. Een goede observatie geeft vaak al duidelijk aan hoe het kind denkt.

In de verschillende fasen van het probleemoplossingsproces kun je telkens heel gerichte vragen stellen om te achterhalen waar de probleemoplosser juist is misgelopen.

I. Oriënteren: fase 1 wiskundige problemen begrijpen

• Wat was de eerste stap? • Heb je de opdracht/opgave nauwkeurig gelezen? Hoeveel keer?

79

• Begreep je alle woorden? • Wat deed je toen je niet alles begreep? • Heb je hulpmiddelen gebruikt om te weten te komen wat een bepaald woord, begrip betekende

(woordenboek…)? • Heb je de kernwoorden/kerngegevens… gezocht? Hoe deed je dat? • Heb je de kernwoorden gemarkeerd? • Keek je zorgvuldig naar de gegevens? • Wat zag je? • Wat moest je doen? • Hoe ging je dat doen? • Welke gegevens had je nodig? • Wat ging moeilijk worden, dacht je? • Wat ging gemakkelijk gaan, dacht je? • Opgelet: dit ging moeilijk worden. Kon je al direct beginnen of moest je eerst nog iets anders doen? • Wat had je allemaal nodig? Heb je je dat op voorhand afgevraagd? • Welke informatie had je nodig om de taak aan te pakken, het probleem op te lossen…? • Hoe heb je de massa informatie die je kreeg geordend? Wat hoorde bij elkaar? Wat niet? • Welke informatie heb je? En wat weet je dan? • Heb je je afgevraagd wat er eigenlijk gevraagd was? • Waar wou je heen? • Heb je geschat? Hoe? • Heb je een zelfde – maar eenvoudiger- probleem bedacht, misschien met kleinere getallen? • Had je vroeger al iets gelijkaardigs gedaan? Kon je iets herkennen van wat we vroeger leerden?

II. Verwerken: fase 2 Oplossingsplan maken en oplossingsweg kiezen + fase 3 oplossingsplan en

de gekozen oplossingsweg uitvoeren

• Hoe ben je te werk gegaan? • Welke hulpmiddelen heb je gebruikt? • Heb je een tekening, schets of schema gemaakt? Waren die nauwkeurig of was hier geen strikte

nauwkeurigheid vereist? • Heb je stap voor stap gewerkt? • Maakte je een stappenplan? • Waar kon je nog meer informatie vinden? • Hoe wist je of je juist bezig was? • Je hebt deze strategie gebruikt. Kun je een andere vinden, een vluggere manier misschien? • Welke bewerkingen koos je? Waarom juist deze? • Ben je volledig geweest? Zag je niets over het hoofd? • Zag je een oplossing of juist niet? Wat deed je dan? • Wat verandert er en wat blijft hetzelfde? Welke kenmerken veranderen? (een vierkant dat gedraaid

wordt, blijft dat een vierkant? Als je op je hoofd staat ben je dan iemand anders?)

III. Terugkoppelen/Controleren: fase 4 beslissingen nemen over het resultaat

• Heb je gecontroleerd? • Hoe heb je gecontroleerd? • Welke controlestrategieën heb je gehanteerd? • Wat zou nog een goede oplossing kunnen zijn? • Wat is het slechtst mogelijke antwoord? Waarom?

80

3. Helpen

Als blijkt dat de leerling moeite heeft met het oplossen van de opgave uit het hoofd, moet je een stapje terug zetten wat het niveau van denken betreft. Laat de leerling potlood en papier gebruiken waar het bijvoorbeeld een getallenlijn op kan zetten, steungetallen op kan schrijven of dingen kan tekenen. Mocht dit nog niet voldoende zijn, gebruik dan concreet materiaal, waarmee het op materieel handelingsniveau kan werken.

Het geven van kleine aanwijzingen kan een leerling al op weg helpen bij het vinden van een strategie. Je kunt een leerling ook helpen door een opgave voor te doen. Dit kan op alle niveaus van handelen. Daarna bied je een gelijkende opgave aan, zodat je kunt zien of de leerling de uitleg heeft begrepen en kan toepassen bij de nieuwe opgave.

2.7.3. Verschillende niveaus van hulp bieden16

De ene manier van hulp bieden is effectiever en efficiënter dan de andere. We onderscheiden verschillende niveaus van hulp bieden waaruit je kunt kiezen om je leerlingen met betrekking tot probleemoplossen te helpen.

1. Voorzeggen

Bv. “Je moet bij dit probleem de 8 knikkers van Lien bij de 7 knikkers van Maaike tellen.”

2. Zeggen wat de leerlingen moeten doen

Bv. “Je moet bij dit probleem vermenigvuldigen en niet delen.”

3. Vereenvoudigen

Bv. Moeilijke problemen eerst uitwerken met kleinere getallen

4. Omstructureren

Bv. Oppervlakte van onregelmatige veelhoeken omstructureren naar veelhoeken waarvan men wel de oppervlakte kan berekenen

5. Verwoorden

Bv. “Zeg en teken eens hoe je de eerste onregelmatige veelhoek (zie 4) gaat omvormen tot een veelhoek waarvan je wel de oppervlakte kunt berekenen.”

6. Concretiseren en materialiseren

Bv. Gebruik van allerlei modellen binnen de wiskunde om een wiskundig probleem bevattelijker voor de kinderen te maken, bv. getallenas, lege getallenlijn, verhoudingstabel, dubbele pijlenvoorstelling, tabellen meten, tekening van een probleem…

7. Zeggen wat de denkfout is

Bv. “Je hebt opgeteld in plaats van afgetrokken bij ‘ Mieke heeft 8 knikkers en Piet heeft er 3. Hoeveel knikkers heeft Mieke meer dan Piet?’ “

8. Denkfout zelf laten ontmaskeren

Bv. (bij het probleem uit 7) “ Kom, laten we er blokjes bijnemen.” Bv. “Kijk nog eens naar je oplossing. Kan een auto in de werkelijkheid tegen 400 km per uur rijdt?”

16 Zie ook: Goffree F., Wiskunde en didactiek, eerste deel, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1989, p. 177 – 183.

81

9. Bewustmaken door middel van een conflict

Bv. (bij probleem uit 7) “ Kan dat, dat Mieke 11 knikkers meer heeft dan Piet, als ze er zelf maar 8 bezit?”

10. Denkfout in een ander licht plaatsen

Bv. opgave: bereken de oppervlakte.

• mogelijke fouten:

2 cm x 2 cm = 4 cm²

6 m x 6 m = 36 m²

• “Kun je hier de oppervlakte berekenen vanuit de formule b x h (z x z) ?”

• “Kun je iets doen met het vierkant waardoor je wel de oppervlakte ervan kunt berekenen? Denk aan knippen, verleggen…”

11. Werken met half-afgewerkte voorbeelden

Bv. De schaakclub ‘ De Toren’ organiseert een schaakcompetitie waarbij elke speler uit een reeks het tegen elke andere speler moet opnemen. Hoeveel verschillende wedstrijden worden er gespeeld in de reeks 11-jarigen bestaande uit 7 spelers? Half afgewerkt voorbeeld:

12. Helpen de structuur te zien

Bv. Samen met de leerling een wiskundeprobleem opsplitsen in deelproblemen

6 m

speler 2

speler 3

speler 1 speler 4

speler 5

speler 6

speler 3

speler 4

speler 2 speler 5

speler 6

speler 7

82

3. Krachtige onderwijsleeromgevingen … goed en wel … maar … brengt het allemaal iets op?

Krachtige onderwijsleeromgevingen … brengt het nu allemaal wel iets op? Kunnen we positieve leereffecten bij de leerlingen waarnemen. Zo ja? Welke? En profiteert elke leerling daarvan, of enkel en alleen de sterke leerlingen?

Hier is de laatste jaren nogal wat onderzoek naar gedaan. We volstaan met een beschrijving van het onderzoek van Verschaffel L. e.a. naar de implementatie en het effect van een ontwikkelde krachtige leeromgeving, dat tussen september 1996 en maart 1997 plaatsvond.17

3.1. Methode

3.1.1. Opzet

De effectiviteit van de leeromgeving op het wiskundig probleemoplossend denken van leerlingen uit de bovenbouw van de basisschool werd nagegaan via een onderzoek waaraan werd deelgenomen door vier experimentele klassen en zeven controleklassen van het vijfde leerjaar afkomstig uit verschillende scholen in de provincie Vlaams-Brabant.

Het globale opzet van het onderzoek lees je in onderstaande tabel.

Experimentele groep Controlegroep

Testmoment 1 (oktober 1996)

Schriftelijke (voor)toets wiskundeproblemen Vragenlijst ‘houdingen en opvattingen tegenover wiskunde’ Schoolvorderingentest Mondelinge (voor)toets wiskundeproblemen

Schriftelijke (voor)toets wiskundeproblemen Vragenlijst ‘houdingen en opvattingen tegenover wiskunde’ Schoolvorderingentest

Interventie (oktober 1996 tot januari 1997)

Krachtige leeromgevingen (20 lessen) Video-opnames van lessen

Gewoon onderwijs wiskundeproblemen

Testmoment 2 (februari 1997)

Schriftelijke (na)toets wiskundeproblemen Vragenlijst ‘houdingen en opvattingen’ tegenover wiskunde’ Schoolvorderingentest Mondelinge (na)toets wiskundeproblemen Interview met leraren

Schriftelijke (na)toets wiskundeproblemen Vragenlijst ‘houdingen en opvattingen tegenover wiskunde’ Schoolvorderingentest

Testmoment 3

(maart 1997)

Schriftelijke (retentie)toets wiskundeproblemen

Schriftelijke (retentie)toets wiskundeproblemen

17 Een beschrijving van het volledige onderzoek kun je raadplegen in Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de bassisschool, Leuven, Universitaire Pers, 1998, 186 p.

83

3.1.2. Schriftelijke toetsen

Elke versie van de schriftelijke toets bestond uit tien items die voor vijfdeklassers als heuse wiskundeproblemen te bestempelen zijn en die een beroep doen op cognitieve en metacognitieve vaardigheden.

We geven hieronder uit elke toets telkens één parallel probleem.

Voortoets

Martha leest een boek. Plots merkt zij dat er bladzijden ontbreken, want onmiddellijk na bladzijde 135 komt bladzijde 173. Hoeveel bladzijden ontbreken er?

Natoets

In een leesboek begint een verhaal bovenaan bladzijde 76. Het eindigt onderaan bladzijde 104. Hoeveel bladzijden telt dit verhaal?

Retentietoets

In een boek zit een verhaal van 26 bladzijden dat bovenaan op bladzijde 93 begint. Op welke bladzijde eindigt dit verhaal?

De antwoorden die de leerlingen gaven werden geclassificeerd in vier categorieën:

1. correct antwoord 2. fout antwoord 3. correcte denkweg gevolgd maar rekentechnische fout 4. geen antwoord

Voor elk antwoord dat door een leerling uit de experimentele groep of de controlegroep tijdens de drie afnamemomenten werd gegeven, werd nagegaan of er in het werk duidelijke sporen te vinden waren van het gebruik van één of meer heuristieken.

3.1.3. Vragenlijst over houdingen en opvattingen tegenover wiskunde

Door middel van een vragenlijst bestaande uit 40 uitspraken werd gepeild naar de opvattingen en houdingen van de leerlingen tegenover wiskunde in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder. De leerlingen dienden bij elke uitspraak te reageren door het bolletje zwart te maken voor één van de vijf alternatieven (Likertschaal).

Enkele voorbeelden

Item 13 Er bestaat slechts één manier om tot het juiste antwoord op een vraagstuk te komen.

helemaal niet akkoord niet akkoord ik weet het niet akkoord helemaal akkoord

Item 25 Het is erg leerrijk om te luisteren naar andere leerlingen die vertellen over hun werkwijzen bij vraagstukken.

helemaal niet akkoord niet akkoord ik weet het niet akkoord helemaal akkoord

84

3.1.4. Schoolvorderingentest

Om een duidelijk beeld te hebben van het wiskundepeil van de leerlingen – zowel in het algemeen als voor specifieke onderdelen van het wiskundecurriculum – werd er voor en na de interventie de Leuvense schoolvorderingentest (1985) afgenomen. Met deze test werd nagegaan in welke mate een leerling de doelstellingen uit het officieel leerplan wiskunde voor de basisschool 1979 heeft bereikt. De nieuwe leerplannen van de verschillende koepels waren op het moment van dit onderzoek nog in ontwikkeling. Het leerplan Wiskunde van OVSG werd goedgekeurd op 20 april 1998.

De test bestond uit 60 meerkeuzevragen met een toenemende moeilijkheidsgraad.

3.1.5. Mondelinge toets

Uit elke experimentele klas werden drie leerlingenparen (een paar met twee sterke leerlingen, een paar met twee middelmatige leerlingen en een paar met twee zwakke leerlingen) geselecteerd die voor en na de interventie telkens vijf moeilijke toepassingsproblemen samen dienden op te lossen. Aan de hand van deze problemen werd met behulp van video-opnames nagegaan in hoeverre de leerlingenparen de diverse opgaven op een systematische, planmatige wijze hadden aangepakt en of ze daarbij spontaan en efficiënt gebruik hadden gemaakt van de aangeleerde heuristische procedures en (meta)cognitieve vaardigheden.

Voorbeeld van een probleem uit de mondelinge toets

Een meisje heeft uitgerekend dat ze al 500 000 000 seconden oud is. Hoe oud is dit meisje ongeveer? Maak het bolletje zwart vóór het juiste antwoord.

5 jaar 10 jaar 15 jaar 20 jaar

3.1.6. Video-opnames van de lessen

Bij alle leraren van de experimentele klassen werd een steekproef van vier lessen op video opgenomen. Hierbij werd vooral gefocust op het lerarengedrag tijdens alle lesfragmenten waarin er klassikaal werd gewerkt en van alle leraarinterventies in één van de groepjes gedurende het groepswerk.

De aandachtspunten en principes uit de algemene handleiding van het project werden herleid tot tien sleutelcomponenten waarop werd gefocust bij de analyse van de video-opnames.

Voor het groepswerk 1. Zorg voor herhaling. 2. Zorg voor een goede oriëntering op de taak.

Tijdens het groepswerk 3. Observeer en bied gepast hulp. 4. Stimuleer reflectie. 5. Zorg voor betrokkenheid van alle leerlingen binnen het groepswerk.

Klassikale bespreking 6. Wijs erop dat er verschillende oplossingen en oplossingsmanieren bestaan. 7. Bied ruimte voor inbreng van de leerlingen bij de bespreking en de beoordeling van de verschillende

oplossing(swijz)en. 8. Besteed aandacht aan heuristieken en metacognitieve vaardigheden. 9. Besteed aandacht aan de communicatie en interactie tijdens het klasgesprek. 10. Besteed aandacht aan groepsdynamische processen.

85

3.1.7. Interview met leraren

Van de vier leraren van de experimentele klassen werd kort na het beëindigen van de lessenreeks (en alvorens zij informatie hadden gekregen over de resultaten van hun leerlingen op de natoetsen) een interview afgenomen. De bedoeling hiervan was om van deze leraren te vernemen welke indrukken zij hadden van de leeromgeving, welke moeilijkheden zij hadden ondervonden bij de implementatie ervan in hun klaspraktijk, welke hun voorstellen waren voor aanpassing van de leeromgeving, welke verwachtingen er bij hen leefden over het effect van de lessenreeks op de leerlingen …

3.2. Beschrijving van de krachtige onderwijsleeromgeving18

3.2.1. Doelstellingen van de leeromgeving

De doelstellingen van de ontwikkelde leeromgeving waren tweeërlei:

1. leerlingen stimuleren tot meer actieve, planmatige en bewuste oplossers van wiskundige problemen door hen een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen aan te leren, met bijzondere aandacht voor een aantal waardevolle (meta)cognitieve strategieën (zie o.a. 2.2.2 stappenplan van Lieven Verschaffel);

2. ontwikkelen van adequate, positieve overtuigingen m.b.t. het leergebied wiskunde in het algemeen en het oplossen van wiskundeproblemen in het bijzonder.

3.2.2. Pijlers van de leeromgeving

De didactische uitwerking van de leeromgeving steunde op drie pijlers:

1. een functioneel, uitdagend en realistisch opgavenaanbod (zie o.a. 2.4); 2. een gevarieerd stel krachtige instructietechnieken en werkvormen (zie o.a. 2.5); 3. een geschikte klascultuur (zie o.a. 2.5)

3.2.3. Samenstelling van het programma

Het ontwikkelde programma bestond uit 20 lestijden van 50 à 60 minuten. Deze lessenreeks omvatte drie grote delen:

1. introductie op de vaardige oplossingsstrategie (één les); 2. verwerven van de vaardige oplossingsstrategie (15 lessen); 3. de vaardige oplossingsstrategie flexibel leren gebruiken in het kader van zogenaamde ‘projecten’ ( 4

lessen).

Hieronder geven we een overzicht van alle lessen

Les 1 Introductie

Les 2 tot 6 Stap 1 Ik stel me het probleem voor.

• Les 2 Maak een tekening.

• Les 3 Maak een tabel.

• Les 4 Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens.

• Les 5 Gebruik je ervaringskennis.

• Les 6 Integratieles

18 Een volledige uitwerking van alle lessen en de achtergrond bij deze lessenreeks vind je in Verschaffel L., De Corte E., Lasure S. en Van Vaerenbergh G., Leren oplossen van vraagstukken, een lessenreeks voor leerlingen uit de hoogste klassen van de basisschool, Diegem, Kluwer Editiorial, 1999, 313 p.

86

Les 7 tot 11 Stap 2 Ik beslis hoe ik het probleem zal aanpakken.

• Les 7 Maak een boomdiagram.

• Les 8 Probeer verstandig uit.

• Les 9 Zoek een patroon in de gegevens.

• Les 10 Werk met eenvoudigere getallen.

• Les 11 Integratieles

Les 12 Stap 3 Ik reken uit.

Les 13 en 14 Stap 4 Ik interpreteer mijn uitkomst en formuleer mijn antwoord.

• Les 13 Afronden van de uitkomst naargelang de context

• Les 14 De uitkomst van het rekenwerk gebruiken om een beslissing te nemen

Les 15 en 16 Stap 5 Ik controleer.

• Les 15 Fouten ontdekken en verbeteren

• Les 16 Controleren van antwoorden op zinvolheid

Les 17 tot 20 Projectlessen

3.2.4. Het E.H.B.O.-boekje

In de lessen speelt het zogenaamde E.H.B.O.-boekje (Eerste Hulp bij het Oplossen van vraagstukken) een belangrijke rol.

Dit boekje bestaat uit:

• een blad met een globaal overzicht van de verschillende stappen van deze strategie (zie ook 2.2.2);

• voor stappen 1 en 2 informatie over elke heuristiek (zie ook 2.2.2);

• voor stappen 3, 4 en 5 informatie over de stap zelf.

Dit boekje heeft de vorm van een map met losse bladen.

Telkens wanneer een bepaalde heuristiek of stap is behandeld, krijgen de leerlingen het bijhorend blad.

Op die manier wordt de map stapsgewijs aangevuld tot ze op het einde van les 16 compleet is.

3.2.5. Didactische werkvormen

Het basismodel voor elke les bestond uit drie delen, waarbij de leraren uitgebreide instructie kregen om elke lesfase zo krachtig mogelijk uit te bouwen.

1. Inleiding voor de hele klas o Richtlijnen voor de leraar

a. Bereid de leerlingen vooraf goed voor op het in groep (leren) oplossen van wiskundige problemen.

b. Zorg voor een goede oriëntering op de leertaak. c. Breng de afspraken omtrent de taakverdeling in herinnering (zie hieronder). d. Raad de leerlingen aan om gebruik te maken van het E.H.B.O.-boekje. e. Motiveer de leerlingen door de levensnabijheid van het probleem te beklemtonen.

87

2. Groepswerk o Bij de aanvang van het groepswerk maken de leerlingen eerst afspraken omtrent de taakverdeling,

met name (1) wie de opgave binnen het groepje hardop zal lezen, (2) wie het antwoord en de uitleg op het gezamenlijk antwoordblad zal noteren, (3) wie er speciaal op zal letten dat de instructies van het E.H.B.O.-boekje niet over het hoofd worden gezien en (4) wie als verslaggever zal fungeren. Het is belangrijk dat bij deze taakverdeling een goed beurtsysteem wordt gehanteerd.

o Richtlijnen voor de leraar a. Observeer het oplossings-en communicatieproces in de verschillende groepen. b. Bied hulp indien nodig. c. Stimuleer reflectie. d. Bewaak of de spelregels in verband met het groepswerk goed worden gevolgd. e. Bied kansen tot uitbreiding en verdieping van het geleerde.

3. Na het groepswerk o De klassikale bespreking na het groepswerk bestaat telkens uit vier delen: (1) inventariseren van de

antwoorden, (2) inventariseren van de correcte oplossingswijzen, (3) inventariseren van de onjuiste oplossingswijzen en (4) bespreken van en reflecteren op de correcte en incorrecte oplossing(swijze)en gebruikmakend van het E.H.B.O.-boekje.

o Richtlijnen voor de leraar a. Focus op denkprocessen, niet op het eindresultaat. b. Wijs erop dat er voor een wiskundig probleem verschillende oplossingswijzen bestaan. c. Bied ruimte voor inbreng van de leerlingen bij de bespreking en de beoordeling van de

verschillende oplossing(swijz)en. d. Geef informatieve, positieve feedback. e. Besteed aandacht aan de volgorde waarin je de verschillende oplossing(swijze)n aan bod laat

komen. f. Besteed voldoende aandacht aan de beoogde heuristieken en metacognitieve kennis en

vaardigheden. g. Stimuleer onderlinge communicatie. h. Zorg voor een klimaat van openheid en respect. i. Transfer treedt niet vanzelf op. j. Besteed bij de evaluatie aandacht aan groepsdynamische aspecten van het groepswerk. k. Zorg ervoor dat alle leerlingen aan de nabespreking participeren.

3.2.6. Begeleiding door het onderzoeksteam

De leeromgeving is uitgewerkt door het onderzoeksteam, maar de lessen werden gegeven door de leraren van de experimentscholen. De begeleiding en ondersteuning van de leraren omvatte volgende elementen:

1. Algemene handleiding

De algemene handleiding bestond vooral uit algemene richtlijnen en aandachtspunten waarop de leraren dienden te letten (1) bij het aanbieden en introduceren van de groepstaak, (2) gedurende het groepsgewijs of individueel werken aan deze taak en (3) bij de klassikale nabespreking daarvan.

2. Specifieke handleidingen per les

3. Concreet lesmateriaal zoals het E.H.B.O.-boekje, zakrekenmachines …

4. Bijeenkomsten met leraren

In de loop van het project werden vijf bijeenkomsten gepland waarop de onderzoekers, de leraren en hun directies aanwezig waren. Ze hadden voornamelijk tot doel het lesmateriaal bij te sturen, ervaringen uit te wisselen en gezamenlijk te zoeken naar oplossingen voor ervaren moeilijkheden.

88

3.3. Onderzoeksvragen en –hypothesen en resultaten

3.3.1. Effect van de leeromgeving op de vaardigheid van de leerlingen in het oplossen van wiskundige problemen

3.3.1.1. Onderzoeksvraag en – hypothese

De algemene hypothese die aan de basis lag van de studie was dat de krachtige leeromgeving een significante, positieve invloed zou hebben op de vaardigheid van de leerlingen in het oplossen van wiskundige problemen.

3.3.1.2. Resultaten

Op de voortoets was er geen significant verschil tussen de experimentele en controlegroepen. Op de na- en retentietoets was er wel een significant verschil, hetgeen wijst op een betekenisvol positief effect van de leeromgeving.

Gemiddelde scores van de experimentele groep en de controlegroep tijdens de drie afnames van de schriftelijke toets (voortoets, natoets, retentietoets)

3.3.2. Effect van de leeromgeving op de houdingen en opvattingen van de leerlingen tegenover wiskundige problemen

3.3.2.1. Onderzoeksvraag en –hypothese

Een tweede hypothese hield in dat de krachtige leeromgeving ook een gunstig effect zou hebben op de houdingen en overtuigingen van de leerlingen tegenover wiskundige problemen. Hiervoor werd de vragenlijst gebruikt (zie 3.1.3.).

3.3.2.2. Resultaten

De leeromgeving had een gunstig effect op zowel het plezier en de volharding van de leerlingen bij het oplossen van wiskundige problemen als op hun probleem-, proces- en realiteitsgerichte visie op het (leren) oplossen van dit soort opgaven.

89

3.3.3. Effect van de leeromgeving op de leervorderingen van de leerlingen voor het leergebied wiskunde


Zoals vermeld in 3.1.4 werd voor het begin van de interventie van alle leerlingen een schoolvorderingentest afgenomen. Een eerste bedoeling daarvan was na te gaan of de experimentele groep en de controlegroep bij de start van de interventie min of meer gelijkwaardig waren wat betreft het globale peil voor het leergebied wiskunde.

Door dezelfde schoolvorderingentest op het einde van de interventie opnieuw af te nemen, konden de onderzoekers ook het effect nagaan van de krachtige leeromgeving zowel op de globale vorderingen voor het leergebied wiskunde in het algemeen als op de vorderingen voor de diverse onderdelen die in deze toets worden onderscheiden.

3.3.3.2. Resultaten

De betekenisvolle positieve effecten van de leeromgeving gingen zeker niet ten koste van geringere leervorderingen voor het leergebied wiskunde in het algemeen of voor bepaalde domeinen in het bijzonder. Integendeel, de resultaten suggereren dat er in de experimentele klassen een beperkte maar betekenisvolle positieve transfer van de verworven wiskundige kennis, vaardigheden, opvattingen en houdingen plaatsvond naar bepaalde onderdelen van het wiskundecurriculum, met name ‘getallenkennis’ en ‘bewerkingen’.

Gemiddelde scores van de experimentele groep en de controlegroep op de schoolvorderingentest voor en na de interventie

Gemiddelde scores van de experimentele groep en de controlegroep op de ‘visie’-schaal voor en na de interventie

Gemiddelde scores van de experimentele groep en de controlegroep op de ‘plezier’-schaal voor en na de interventie

90

3.3.4. Effect van de leeromgeving op de kwaliteit van de oplossingsprocessen van de leerlingen

3.3.4.1. Onderzoeksvraag –en hypothese

Hier luidde de hypothese dat leerlingen ten gevolge van de krachtige leeromgeving meer (efficiënt) gebruik zouden maken van waardevolle heuristieken en metacognitieve vaardigheden tijdens het oplossen van wiskundige problemen.

3.3.4.2. Resultaten

Tijdens de voortoets was er nauwelijks sprake van heuristiekgebruik, zowel in de experimentele als in de controlegroep. De analyse van de antwoordbladen op de na-en retentietoets naar sporen van heuristiekgebruik suggereren dat de leeromgeving een zeer betekenisvolle positieve invloed uitoefende op het heuristiekgebruik van de leerlingen. In elk van de vier experimentele klassen werden in de na- en retentietoets meer heuristieken gebruikt dan tijdens de voortoets, terwijl dit in geen enkele van de zeven controleklassen het geval was.

De grootste stijgingen van het heuristiekgebruik in de experimentele groep werden aangetroffen bij de heuristieken ‘maak een tekening’, ‘zoek een patroon’, ‘ onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens’ en ‘probeer verstandig uit’. Voor ‘maak een tabel’, ‘gebruik je ervaringskennis’ , ‘maak een boomdiagram’ en ‘werk met eenvoudigere getallen’ was de toename heel wat kleiner of zelfs onbestaande. Dit zou enerzijds te wijten kunnen zijn aan het feit dat bepaalde heuristieken een breder toepassingsgebied hebben dan andere en anderzijds aan het feit dat de acht aangeleerde heuristieken niet allemaal in dezelfde mate worden uitgelokt door de items uit de schriftelijke toetsen. Bovendien zijn sommige heuristieken via de analyse van schriftelijke antwoordkopijen moeilijker op te sporen dan andere.

Vanuit de mondelinge toetsen (zie 3.1.5) werd het heuristiekgebruik én metacognitieve vaardigheden (oriënteren – plannen – proces bewaken – reflectie achteraf) aan een kwalitatieve analyse onderworpen.

Door de leerlingenparen werd tijdens de nameting bijna dubbel zo vaak gebruik gemaakt van heuristieken als tijdens de voormeting. De grootste toename was te vinden bij de heuristieken ‘maak een tabel’ en ‘gebruik je ervaringskennis’, terwijl de heuristiek ‘werk met eenvoudigere getallen’ niet werd aangetroffen. Ook hier dient de bedenking gemaakt te worden dat de aangeleerde heuristieken niet steeds in dezelfde mate worden uitgelokt door de items van de mondelinge toetsen.

De frequentie van de metacognitieve vaardigheden ‘oriënteren op de opgave’ (o.a. verwijzen naar een verwante opgave en de uitkomst vooraf schatten), ‘plannen’ (o.a. heuristiekgebruik overwegen, globaal plan opstellen) en ‘proces bewaken’ (o.a. veranderen van heuristiek of plan, halt houden en/of oplossingsproces overlopen, handiger(e) rekenaanpak voorstellen, controleren van het rekenwerk) nam tijdens de mondelinge natoets toe in vergelijking met de mondelinge voortoets.

De metacognitieve vaardigheid ‘reflectie achteraf’ kent een minimale toename in vergelijking met de mondelinge voortoets. Dit betekent dat de leerlingenparen, eenmaal ze hun uiteindelijk antwoord hadden gevonden, nog maar zelden achteraf commentaar gaven op hun antwoord en/of op de wijze waarop dit tot stand was gekomen.

Gemiddelde frequentie van het heuristiekgebruik in de experimentele groep en de controlegroep tijdens de drie afnames van de schriftelijke toets wiskundige problemen (voortoets, natoets en retentietoets)

91

3.3.5. Effect van initieel vaardigheidsniveau op de leerwinst van de leerlingen


Hoewel de onderzoekers op basis van de beschikbare literatuur (o.a. Lester e.a. 1989, Verschaffel L. en De Corte, 1996) niet konden uitsluiten dat de sterke leerlingen het meest zouden opsteken van de leeromgeving, voorspelden ze dat de leeromgeving niet enkel bij hen maar ook bij de middelmatige en zwakke leerlingen een significant positief effect zou hebben. Daartoe werden de leerlingen van de experimentele en controlegroep op basis van de resultaten op de eerste afname van de schoolvorderingentest in drie niveaugroepen ingedeeld. Voor deze onderzoeksvraag werden de schriftelijke toetsen (zie 3.1.2), de vragenlijsten betreffende opvattingen en houdingen van de leerlingen tegenover wiskunde (zie 3.1.3) en de schoolvorderingentesten (zie 3.1.4) geanalyseerd.

3.3.5.2. Resultaten

De leeromgeving heeft niet enkel geleid tot een betekenisvolle toename van de oplossingsvaardigheid van de sterke leerlingen, maar ook van die van de middelmatige en zwakke leerlingen. Hierbij dient zeker aangestipt te worden dat de groep van sterke leerlingen toch nog meer van de leeromgeving profiteerden dan de zwakkere leerlingen.

Gemiddelde scores van de sterke, de middelmatige en de zwakke leerlingen uit de experimentele groep en de controlegroep tijdens de drie afnames van de schriftelijke toets wiskundige problemen (voortoets, natoets en retentietoets)

3.3.6. Mate van implementatie van de leeromgeving door de leraren, en samenhang met de leerwinst van de leerlingen

3.3.6.1. Onderzoeksvraag en -hypothese

Een zesde hypothese luidde dat de leraren van de experimentklassen in staat zouden zijn om de ontwikkelde leeromgeving minstens op een bevredigende manier te implementeren. Hiervoor baseerde het onderzoeksteam zich op de video-opnames van vier lessen in elke experimentele klas (zie 3.1.6).

3.3.6.2. Resultaten

De leraren van de experimentklassen slaagden erin om de krachtige leeromgeving (minstens) op een bevredigende manier te implementeren. Uiteraard verschilden de leraren van elkaar in de mate waarin zij de tien sleutelcomponenten (zie 3.1.6) wisten te verwezenlijken. De scores op component 4 (stimuleer reflectie binnen het groepswerk), 5 (zorg voor betrokkenheid van alle leerlingen binnen het groepswerk) en 10 (besteed

92

aandacht aan groepsdynamische aspecten) vielen significant lager uit dan die op de overige sleutelcomponenten.

Een opmerkelijk gegeven is wel dat de klas waarvan de leraar die de tweede laagste score haalde voor de implementatie van de leeromgeving, de grootste leerwinst behaalde. Hiervoor konden de onderzoekers geen passende verklaring formuleren. Weliswaar kon men zich hier enkel baseren op de vier experimentele klassen en hun vier leraren waarbij dan nog slechts vier lessen werden geanalyseerd. Het lijkt, voor de onderzoekers, bovendien aannemelijk dat de leerwinst van de leerlingen van de experimentele klassen niet uitsluitend werd bepaald door de implementatie van de leeromgeving, maar ook door allerlei andere kenmerken van het onderwijs in het algemeen en het wiskundeonderwijs in het bijzonder, dat deze leerlingen gedurende deze periode hadden gekregen.

Gemiddelde scores van de sterke, de middelmatige en de zwakke leerlingen uit de experimentele groep en de controlegroep op de ‘plezier’-schaal voor en na de interventie

3.3.7. Beleving en appreciatie van de leeromgeving door de leraren

3.3.7.1. Onderzoeksvraag –en hypothese

Ten slotte peilden de onderzoekers naar de ervaringen met en de verwachtingen omtrent de ontwikkelde leeromgeving van de leraren uit de experimentele klassen. Daartoe werden hun antwoorden op het interview geanalyseerd (zie 3.1.7).

3.3.7.2. Resultaten

De leraren vonden het model van vaardig probleemoplossen dat aan de basis lag van de leeromgeving, goed bruikbaar voor het onderwijs in het oplossen van wiskundige problemen. Ook waren zij van oordeel dat het verwerven van dit model een haalbare zaak is voor leerlingen van het vijfde leerjaar. De feitelijke haalbaarheid zou wel wat groter zijn wanneer er met de opbouw van dit model al werd begonnen in de voorafgaande leerjaren.

De leraren waren van oordeel dat de volgende drie heuristieken toch wel erg moeilijk waren voor de modale vijfdeklasser en eerder thuishoorden in het zesde leerjaar: ‘maak een boomdiagram’, ‘zoek een patroon’ en ‘werk met eenvoudigere getallen’.

De leraren wezen op het (zeer) grote belang van het stimuleren van een positieve houding tegenover wiskunde en het (leren) oplossen van wiskundige problemen.

De leraren veronderstelden dat de effectiviteit van de leeromgeving wellicht nog groter zou zijn geweest indien bepaalde (zeer) moeilijke opgaven vervangen waren door iets eenvoudigere.

93

De leraren vonden het realiteitsgehalte van de meeste opgaven in orde. Men betreurde wel dat sommige contexten die 10-11-jarigen over het algemeen sterk aanspreken (bv. sport) te weinig aan bod kwamen.

Alle leraren vonden de afwisseling tussen de verschillende didactische werkvormen zoals die in de leeromgeving is uitgewerkt, heel goed. Maar zij wezen er tevens op dat zij bij de realisatie ervan geregeld in tijdnood raakten.

Alle leraren beweerden dat ze het komende schooljaar allerlei onderdelen of aspecten van de leeromgeving in hun wiskundelessen in het algemeen en in hun lessen i.v.m. het oplossen van wiskundige problemen in het bijzonder gingen opnemen. Wel was het voor elkeen duidelijk dat deze onderdelen of aspecten het best zoveel mogelijk geïntegreerd werden in de ‘gewone’ wiskundelessen.

Alle leraren verwachtten een betekenisvolle vooruitgang op het vlak van oplossingsvaardigheden en denkprocessen bij hun leerlingen, al twijfelden zij eraan of die bij de zwakkere leerlingen even groot zou zijn als bij de andere.

Ze waren ervan overtuigd dat op het vlak van de opvattingen en houdingen tegenover wiskundige problemen oplossen, betekenisvolle vooruitgang was geboekt.

Volgens de leraren waren de leerlingen over het algemeen enthousiast over de lessen. Vooral het uitdagend karakter van de opgaven, het in groep mogen werken aan de oplossing en de ontdekking dat deze opgaven vaak op verschillende manieren konden worden opgelost, bleek de leerlingen over het algemeen erg aan te spreken.

94

4. Kleuterschool

4.1. Het jonge kind en zijn wiskundige wereld Jonge kinderen proberen de wereld te verkennen en te begrijpen. Dit doen ze door te spelen, te bewegen, te onderzoeken, vragen te stellen, te experimenteren, te fantaseren… Kinderen gebruiken lees-, schrijf- en rekenelementen in hun spel. Dit zijn voor hen spelactiviteiten waardoor zij zich verder ontwikkelen, waardoor zij de wereld rondom zich proberen te begrijpen.

Hierbij is de rol van de leraar van doorslaggevend belang. Hij/zij zorgt ervoor dat kinderen verder ontwikkelen door: • een uitnodigende en uitdagende leeromgeving; • het creëren van situaties die variëren in de mate van sturing; • een intensieve interactie; • een gerichte planning en begeleiding; • een gerichte observatie; • het inspelen op de behoeften van elk kind; • het zoeken naar aanknopingspunten bij de interesses van de kinderen. Bij jonge kinderen gaat het om wiskundige oriëntatie binnen betekenisvolle situaties. Kinderen leren hun eigen ervaringen structureren en interpreteren met wiskundige begrippen en hulpmiddelen. Ze leren de wiskundige kanten te onderscheiden en nieuwsgierig te worden naar wiskundige hulpmiddelen bij het aanpakken van echte problemen en vragen.

Bij het stimuleren van het begrijpen van de wereld rondom zich, kunnen we inspelen op hun ‘verwondering’. Deze verwondering leidt tot een behoefte om te willen onderzoeken, te willen achterhalen hoe iets werkt. Ook ‘de wondere wereld van de getallen’ is voor kinderen fascinerend en vormt voor hen dus een uitdaging.

De ontwikkeling van de wiskundige oriëntatie vindt plaats binnen activiteiten die voor kinderen relevant zijn. We onderscheiden: spelontwikkeling en wiskundige oriëntatie, de ontwikkeling van het tellen en de ontwikkeling van het getalbegrip en wiskundetaal. Deze ontwikkeling wordt doorheen de verschillende spelactiviteiten gestimuleerd. Bij het activiteitenaanbod houden we rekening met de volgende uitgangspunten: • een breed aanbod • aansluiten bij de kinderen • zinvolheid • gerichte activiteiten en begeleiding

4.2. Kleuters en wiskundige problemen Op welke manier kunnen jonge kinderen omgaan met het oplossen van wiskundige problemen?

4.2.1. Spel

Tijdens het spel komen talrijke belangrijke gebeurtenissen voor waarbij zich een probleem voordoet o.a. eerlijk verdelen, het past niet, ik ben iets kwijt… Als kinderen iets eerlijk moeten verdelen, zoeken ze antwoorden op vragen als: • hoeveel moet er verdeeld worden; • over hoeveel kinderen moet ik verdelen; • moet iedereen evenveel hebben; • hoe pak ik het verdelen aan.

Verdeelsituaties bieden veel kansen in het omgaan met hoeveelheden, tellen en aftellen. De leraar is hierbij erg attent en observeert of de kinderen met elkaar tot een aanpak en oplossing komen. Indien nodig kan hier ondersteuning geboden worden gericht op de probleemoplossingsstrategie: • inzien wat het probleem is; • nagaan hoe je het kunt oplossen; • het probleem oplossen door de gekozen aanpak uit te voeren; • controleren op het probleem echt opgelost is.

95

1. Het wiskundig probleem begrijpen

”Voor het grootouderfeest gaan we onze oma’s en opa’s verrassen met een tekening van onszelf. Het zou leuk zijn als die tekening even groot zou zijn als jijzelf bent.” In de klas ligt tekenpapier van verschillende grootte. De leraar brengt hier samen met de kleuters het probleem in kaart: o wat betekent dat: ‘even groot als ...’; dat is niet voor iedereen hetzelfde; o vertel eens wat je moet doen; o weet iedereen wat we gaan doen?

2. Een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen

De verschillende oplossingswegen van het probleem laten verwoorden: o per twee werken; o verschillende materialen opsommen (papier, karton, lapjes stof, ...); o afspraken maken en daaruit een keuze maken.

3. Het oplossingsplan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren

De kleuters maken een levensgrote tekening aan de hand van de door hen gekozen oplossingsweg. Ze zorgen zelfstandig voor de geschikte materialen en houden zich aan de gemaakte afspraken.

Beslissingen nemen over het resultaat

De kleuters zullen het resultaat controleren: o sta ik er helemaal op? o ben ik dat? (haarkleur, kleding vergelijken) o bijsturen waar het nodig is; o bespreken van de gevolgde weg en verantwoorden van hun keuze.

4.2.2. Wiskundige contexten

Naast probleemsituaties tijdens het spel kan de leraar ook zelf situaties bedenken met de bedoeling wiskundige handelingen zinvol aan bod te laten komen: wiskundige contexten. Het zijn situaties die voor kinderen betekenis hebben of kunnen krijgen en die de aandacht gemakkelijk op het wiskundige aspect kunnen richten. Dit kan o.a. met wiskunderaadsels, prentenboeken, dramatiseren...

Bv. Wanorde van rijwielen op de speelplaats. De kleuters kunnen zelf een oplossing zoeken om voor elk rijwiel een geschikte parking te tekenen. Er zullen verschillende oplossingen gevonden worden (een lijn om de fiets trekken, de oppervlakte van de fiets schatten en controleren, een parking tekenen met een meetlat, ...). Ze verwoorden hun oplossing, vergelijken de verschillende oplossingen en kiezen de beste oplossing.

4.2.3. Interactie

Vooral door interactie tijdens het handelen (kind-kind, kind-leraar) geven we het wiskundig denken de meeste ontwikkelingskansen. Door te praten leren de kleuters hun gedachten te ordenen en te verwoorden, leren ze andere oplossingsmogelijkheden, leren ze een ruimere wiskundetaal, leren ze vragen stellen, doordenken, redeneren…

Door materiaal toe te voegen, handelingen te structureren en het stellen van helpende vragen, zorgt de leraar ervoor dat de kinderen tot een goede oplossing komen. Door de gerichte tussenkomst van de leraar via denkstimulerende vragen leren kinderen situaties benoemen, oorzaken te achterhalen, voorspellingen te doen, verklaringen te bedenken, resultaten te vergelijken, oplossingen te vergelijken, te reflecteren over de aanpak, zoekstrategieën te ontwikkelen, systematisch te werken…

Bv. Raadspel: één kind is buiten de klas; de anderen schikken voorwerpen verschillend naar kleur, vorm, grootte, hoogte, gewicht... Er wordt een voorwerp afgesproken dat de ‘buitenstaander’ moet raden. Door vragen te stellen en te elimineren ontdekt de kleuter het geselecteerd voorwerp.

4.2.4. Reflecteren

Samen met de kinderen reflecteer je over de aanpak, het plan, de uitvoering, de oplossing, het resultaat.

Bv. Bij het bouwen van torens met dozen ervaren ze problemen als ze de kleine dozen onderaan plaatsen. Bij het puzzelen (bv. strookpuzzel) ervaren ze dat de tekening niet klopt als ze een strook verkeerd plaatsen.

96

5. ICT en wiskundige problemen oplossen

5.1. ICT-leeromgevingen ICT biedt organisatorische faciliteiten die het mogelijk maken om leerlingen op eigen niveau en op eigen tempo aan het werk te zetten. ICT kan bijdragen tot het creëren van een leeromgeving die flexibel kan inspelen op leerlingenbehoeften en didactische wensen van leraren. ICT biedt tevens inhoudelijke mogelijkheden om bepaalde leerprocessen op een specifieke manier te benaderen. Bij het organiseren van de onderwijsleersituatie staan leraren voor de opdracht om ICT-toepassingen functioneel te integreren zodat via ICT een krachtiger leeromgeving ontstaat voor de leerlingen.

Binnen wiskundeonderwijs kunnen de drie componenten van ICT aan bod komen:

• ICT als informatiebron • ICT als communicatiemiddel • ICT als middel om taken uit te voeren. Tegelijkertijd oefent men ook de technische vaardigheden.

5.2. Enkele relevante ICT-publicaties De hieronder kort voorgestelde brochures bieden voldoende aanwijzingen en ideeën om ICT te integreren binnen wiskunde (en andere leergebieden) en op die manier een ICT-leeromgeving te creëren.

5.2.1. ICT een toegevoegde waarde, ICT-competenties in relatie tot leerplandoelen (OVSG)

In deze brochure vindt men per component uit bovenstaand schema 14 ICT-competenties. Per ICT-competentie zijn linken gelegd naar leerplandoelen en daaraan gekoppelde didactische suggesties. Alle leergebieden komen hierbij aan bod.

5.2.2. ICT-competenties in het basisonderwijs (DVO, nu Entiteit Curriculum)

• Voorbeelden van goede praktijk gerangschikt per leeftijd • Situering in de ICT-competenties van DVO • Uitgewerkte lesschetsen (situering, aanleiding tot ICT-integratie, voorbereiding, oriëntatie, uitvoering,

evaluatie) • Ervaringen en suggesties van gebruikers • Verwijzingen naar websites en cd-roms

5.2.3. ICT op het menu (Departement onderwijs)

• 65 steekkaarten gerangschikt per leergebied en leergebiedoverschrijdende eindtermen • Per steekkaart: blikvanger – doelgroep – benodigde hardware, materiaal, infrastructuur – situering in

ontwikkelingsdoelen en eindtermen – verantwoording – startsituatie – verloop/uitvoering – aandachtspunten bij de voorbereiding – downloadplek voor freeware – bijkomende info.

• Alle freeware is gratis te downloaden via de website www.klascement.net.

97

5.2.4. ICT, springplank voor de kleuterklas (Departement onderwijs)

• 5 hoofdstukken ( een digitaal tekenprogramma didactisch-creatief benutten – digitaal gereedschap voor creëren en voorstellen – oefenen en hoekenwerk – zorgverbreding en ICT – audiovisuele vorming en multimedia in de kleuterklas) met didactische steekkaarten

• Beschrijving van de freeware • Alle freeware is gratis te downloaden via de website www.klascement.net.

5.2.5. Digitale leermiddelen voor het secundair onderwijs (Departement onderwijs)

• Alhoewel niet direct bestemd voor de basisschool kunnen leraren derde graad van het lager onderwijs hier zeker interessante en relevante ideeën vinden.

• 36 steekkaarten gerangschikt in vier rubrieken: zoeken en raadplegen van informatie – informatie verwerken tot kennis – informatie structureren en voorstellen – zinvol oefenen, memoriseren en herhalen

• Per steekkaart: doelgroep – vakgebied – verantwoording – materiaalfiche – aandachtspunten – gebruikerservaringen – downloadplek – extra informatiebronnen

• Alle freeware is gratis te downloaden via de website www.klascement.net.

5.3. Enkele relevante websites Er zijn op internet heel boeiende sites te vinden die wiskundeonderwijs in het algemeen en probleemoplossende vaardigheden in het bijzonder ondersteunen.

We geven enkele voorbeelden.

5.3.1. Freudenthalinstituut

Eén van de bekendste wiskundesites is die van het Freudenthalinstituut. Het Freudenthalinstituut werd in 1971 opgericht door de Duits/Nederlandse wiskundige en schrijver, pedagoog professor Hans Freudenthal (1905 – 1990).

Het Freudenthalinstituut stelt zich ten doel de kwaliteit van het onderwijs in rekenen, wiskunde en natuurwetenschappen te verbeteren. Het realiseert deze doelstelling door middel van onderzoek, opleiding, curriculumontwikkeling en dienstverlening. Het instituut is georganiseerd in twee afdelingen: de afdeling Wiskunde en de afdeling Natuurwetenschappen. Het adres van de website is: www.fi.uu.nl/.

Via deze site zijn er heel wat linken naar andere interessante wiskundesites, o.a. rekenweb.

5.3.2. Rekenweb

98

Op deze website (www.fi.uu.nl/rekenweb/) vind je enkele boeiende hyperlinks. We illustreren met enkele voorbeelden.

• RekenMaar o Probleem van de maand

o Allerlei spelletjes

• Leraren o Rekenmatrix:

lesideeën voor alle leerjaren van de kleuter-en lagere school, gerangschikt in vier rubrieken: rekenen,schatten – getalbegrip – meten,maten – meetkunde;

per rubriek worden heel wat problemen aangeboden, maar ook didactische suggesties om in de klas rond die problemen onderwijsleersituaties op te zetten;

een voorbeeld: schateiland. Schateiland is een spel met een aantal meetkundeproblemen. Er is een eiland met drie torens waar je als het ware om heen kunt varen, waarbij de computer dan toont wat je vanaf dat punt zou zien.

99

o Rekenfaq o Spelhoek

5 spellen o Techplek

opdrachten waar technologie en rekenen/wiskunde aan elkaar worden gekoppeld hieronder vind je een voorbeeld

Zon en schaduw

Als je buiten bent en de zon schijnt heeft alles - jij zelf ook - een schaduw. Dat is zo vanzelfsprekend dat we er haast nooit over nadenken.

Voor leerlingen Webquest Zon en Schaduw Dit is een webquest met onderzoekjes die leerlingen zelfstandig kunnen doen, bij voorkeur in tweetallen.

100

Maar hoe zit het eigenlijk?

• Schaduwen worden korter en langer in de loop van de dag. Hoe veranderen ze en waarom gebeurt dat?

• Schaduwen draaien in de loop van de dag. Wat gebeurt er precies met de stand van de zon?

• Maakt het verschil of het zomer of winter is?

• Maakt de plek op aarde wat uit?

Klassenproject Beschrijving activiteiten Werkblad Handleiding computerprogramma Achtergrond voor de leraar

Computerprogramma

Er zijn twee versies van het programma.

Simulatie Je kunt onderzoeken hoe de schaduw van de stok er op een willekeurige dag, of op een andere plek op aarde uit zal zien.

Eigen metingen Als je het experiment met een echte stok gedaan hebt kun je je eigen gegevens invoeren.

• Grote rekendag o Elk schooljaar organiseert het Freudenthalinstituut een Grote rekendag waaraan scholen in Nederland

en België kunnen deelnemen. Vorig schooljaar vond de Grote rekendag plaats op woensdag 18 april. Dit schooljaar zal de Grote rekendag doorgaan op 16 april 2008. Het thema is ‘tijd’.

o Alle klassen van de kleuter- en lagere school kunnen deelnemen. o Bij inschrijving ontvangt de school leraren- en leerlingenmateriaal. o Op de website kunnen de scholen hun ervaringen kwijt aan de hand van een foto- of filmreportage. o De onderwerpen die de afgelopen schooljaren aan bod kwamen zijn: o 2004: Kijkmeetkunde en meten Standpunten, richtingen, routes, kaarten, afstanden o 2005: Tellen, turven, tekenen Verzamelen, ordenen en in beeld brengen van verzamelde gegevens o 2006: Spelen met Getallen Wat is je lievelingsgetal? Wat zijn bijzondere getallen, en waarom? o 2007: Meetkunde, patronen en kunst

5.3.3. Challenge (http://www.figurethis.org/)

• Engelstalige website maar gemakkelijk te vertalen naar het Nederlands. • 80 uitdagingen die eigenlijk 80 uitdagende problemen zijn. • Om de problemen op te lossen kan men via een eenvoudige muisklik hulp inroepen van de computer. • Ook het antwoord komt via een eenvoudige muisklik te voorschijn. • Eén voorbeeld: uitdaging 12

101

5.3.4. Webkwesties

Een webkwestie (webquest) is een concept waarbij kinderen een opdracht krijgen rond een gegeven onderwerp. Er wordt gewerkt volgens een vast stappenplan:

1. inleiding: waarin de leerlingen warm worden gemaakt voor de opdracht; 2. opdracht: een concrete omschrijving van de opdracht die moet worden uitgevoerd; 3. verwerking: een omschrijving van de stappen die moeten worden gezet om tot een goed resultaat te

komen; 4. bronnen: vermelding van verschillende bronnen die kunnen worden gebruikt; 5. beoordeling: met elke stap kunnen punten worden verdiend; 6. afsluiting: hier wordt beschreven wat er met de webkwestie werd geleerd; 7. leraar: een luik met informatie voor de leraar waarin tips en andere wetenswaardigheden staan.

www.webkwestie.nl/

Op deze webkwestiesite vind je voor het basisonderwijs per leergebied uitgewerkte webkwesties. Voor wiskunde komen o.a. volgende webkwesties aan bod: crisis in het circus – olympisch schaatsen - optische illusie – wereldkampioenschap voetbal - …

OPDRACHT

In deze webquest ga je een onderzoek doen naar de schaatstijden van zowel mannen als vrouwen.

Je onderzoekt de tijden van de afstanden die zowel de mannen als de vrouwen schaatsen.

Je zoekt uit hoe de vooruitgang is geweest door de jaren heen. Zijn deze topsporters elk jaar steeds harder gaan schaatsen?

Weten ze elk jaar evenveel (tienden van) seconden van het vorige record af te halen?

Jouw onderzoek gaat vooral over:

• hoe hard hebben mannen en vrouwen tot nu toe gereden;

• of er een tijd komt dat de schaatsers niet meer harder kunnen en;

• of in de toekomst ooit de vrouwen even hard zullen schaatsen als de mannen.

102

C Aan de slag met de reader Hoe kun je nu concreet met deze reader aan de slag?

• In de eerste plaats is de brochure zeker een waardevol naslagdocument dat in de bibliotheek van de leraarskamer zijn plaats zal hebben. Een basisvoorwaarde hierbij is dat alle teamleden weet hebben van de brochure en op de hoogte worden gebracht van de grote lijnen qua inhoud en mogelijke toepassingsgebieden.

Na de workshop wordt aan de directeur of de leraar van het zesde leerjaar een kwartiertje de tijd gevraagd om op een van de volgende personeelsvergaderingen de brochure aan de collega’s voor te stellen.

• De school kan een bewuste keuze maken om volgend schooljaar of de volgende schooljaren doelgericht en systematisch de kwaliteit van het ‘problemen oplossen binnen wiskunde’ aan te pakken. Hiertoe kunnen verschillende aanpakstrategieën worden gehanteerd.

Er wordt een werkgroep opgericht die de vernieuwde aanpak van probleemoplossen op de school op gang brengt, coördineert, ondersteunt en vastlegt.

In grote lijnen kunnen volgende stappen binnen het veranderings- en verbeteringsproces aan bod komen:

• We maken een analyse van de beginsituatie voor onze school. o We verzamelen gegevens over ‘wiskundige problemen oplossen’ op klasniveau. Dit

kan op verschillende manieren. We denken hierbij aan een bevraging (zie bijlage) of het verzamelen van toetsgegevens (Tip: Verschillende intercommunale verenigingen maken toetsen aan die aansluiten bij de inhoud van deze reader).

o We bevragen de leerkrachten naar hun wenselijke situatie i.v.m. ‘wiskundige problemen oplossen’..

• Vanuit de analyse van de beginsituatie bepalen we één of een aantal doelen die we bij het ‘oplossen van wiskundige problemen’ met onze school willen nastreven en bereiken. De 7 pijlers voor een krachtige leeromgeving voor het oplossen van wiskundige problemen kan hierbij inspirerend zijn. Afhankelijk van de beginsituatie kiest een team 1 of 2 pijlers om bij stil te staan en verder uit te werken.

• Daarna worden er een aantal acties in een planning uitgeschreven om met het ganse schoolteam aan de slag te gaan. Dit gebeurt zo concreet mogelijk, en bij voorkeur in een gestructureerd actieplan. Hieronder vind je exemplarisch een mogelijke vulling.

103

Werkpunt Voor wie? Wanneer? Hoe? Evalueren

Bespreken deelleerplan ‘probleemoplossende vaardigheden’

werkgroep 1ste en 2de trimester

lees- en reflectiegroep

Opfrissen deelleerplan ‘probleemoplossende vaardigheden’

schoolteam 1ste trimester leerlijnen voorstellen en afspraken maken over verticale doorstroming

Visie rond stappenplannen

Schoolteam Begin 2de trimester

afspraken maken rond gebruik van stappenplannen.

Zoeken naar realistische opgaven

Schoolteam 2de trimester Opdracht tijdens pv’s

Werkgroep bundelt.

Uitproberen realistische opgaven

Schoolteam 2de en 3de trimester

Tijdens activiteiten wiskunde

- Bevragen kinderen

- Op pv.

Afspraken rond probleemoplossende vaardigheden

Schoolteam 3de trimester Inhoudelijke afspraken

In SWP

Afspraken rond evalueren

Schoolteam Schooljaar 2008-2009

Werkgroep bereidt voor

(wordt nog aangevuld)

• Deze acties worden kenbaar gemaakt aan het schoolteam. Ze worden gefaseerd uitgevoerd en telkens besproken met de respectievelijke doelgroepen : werkgroep, schoolteam en/of kinderen.

• Uiteraard zal het zo zijn dat de acties kunnen leiden tot een bijsturing van de oorspronkelijke planning. De werkgroep die de vernieuwing coördineert doet deze bijsturingen na overleg met de betrokkenen.

• Het is een opdracht voor het ganse schoolteam om het verloop van dit vernieuwingsproces te bewaken. De werkgroep zorgt ervoor dat ervaringen bevraagd worden, resultaten geboekt worden en afspraken vastgelegd worden. Het is de directeur die als eindresultaat van het ganse vernieuwingsproces de nieuwe visie, werkwijzen en afspraken rond het oplossen van wiskundige problemen vastlegt in het schoolwerkplan.

104

bevraging probleemoplossende vaardigheden

analyse prioriteit

item

zwak

ster

k

Gee

n

Lang

e te

rmijn

Prio

ritai

r

1. In mijn klas komt het oplossen het oplossen van wiskundige problemen regelmatig aan de orde.

2. Ik investeer tijdens mijn lessen op regelmatige tijdstippen aandacht aan verstandige zoekstrategieën.

3. In mijn klas discussiëren we over verschillende aanpakmogelijkheden voor een probleem en kiezen we samen een handige oplossingsweg.

4. Ik reik regelmatig een model aan dat de kinderen op weg helpt om problemen op tel lossen.

5. Problemen oplossen is in mijn klas veel eerder ‘samen-wroeten’ dan ‘individueel oefeningen oplossen”.

6. Ik grijp regelmatig de kans om iets uit de dagelijkse realiteit aan te wenden om de kinderen te confronteren met een wiskundig probleem.

7. In mijn klas maken we gebruik van een stappenplan als ondersteuning bij het oplossen van problemen.

8. Ik draag een positieve attitude over wiskunde uit.

9. Ik laat mijn leerlingen ervaren dat wiskunde een bijdrage levert aan het dagelijks leven.

10. In mijn klas krijgen de kinderen realistische opgaven i.v.m. problemen oplossen.

11. In mijn klas krijgen de kinderen regelmatig wiskundige problemen zonder getallen aangereikt.

12. Tijdens het oplossen van problemen geef ik leerlingen in groepjes een opdracht zodat de kinderen al discussiërend tot een oplossing kunnen komen.

13. In mijn klas krijgen kinderen de kans om individueel problemen op te lossen.

14. Ik weet hoe de collega uit het vorige leerjaar werkt aan wiskundige problemen in de klas.

15. Ik weet hoe de collega uit het volgende leerjaar werkt aan wiskundige problemen in de klas.

16. Ik hanteer in mijn klas hetzelfde stappenplan als in de hele school.

105

Bibliografie Alliet P., Implementatie van leren leren. Een praktijkvoorbeeld, in Basis, 30 april 2005, p. 15-30

Cautreels, P., Effectieve instructie, Seminarie pedagogische begeleiding OVSG, 01/03/2004 te Retie + daarbij horende uitgedeelde teksten

Cautreels, P., Wat heb je vandaag op school geleerd…over leren? Op zoek naar de kern van het leren leren, onuitgegeven tekst, plenum COV-dag te Vlaams-Brabant, april 2005

De Block A. en Saveyn J.,Didactische werkvormen en leerstrategieën, een handleiding voor de onderwijspraktijk, Deurne-Antwerpen, Plantyn, 1983, 211 p.

De Bruycker G., Realistisch modelleren en interpreteren van vraagstukken in de bovenbouw van de basisschool, in School-en klaspraktijk, nr. 183, 2004/2005, p. 21 – 38

De Corte E., Metacognitie: een centrale component van adaptieve bekwaamheid, Infosessie voor OVSG, Oostende, 2 maart 2007

Departement Onderwijs, Digitale leermiddelen voor het secundair onderwijs, Brussel, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, 2005, 147 p.

Departement Onderwijs, ICT op het menu, 65 recepten voor computergebruik in de basisschool, Brussel, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, 2004, 145 p.

Departement Onderwijs, ICT, springplank voor de kleuterklas, Brussel, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, 2006, 88 p.

DVO, Ontwikkelingsdoelen en eindtermen, informatiemap voor de onderwijspraktijk gewoon basisonderwijs, Brussel, Ministerie van De Vlaamse Gemeenschap – Afdeling Informatie en Documentatie Onderwijs, 1998, 121 p.

DVO, ICT-competenties in het basisonderwijs, via ICT-integratie naar ICT-competentie, Brussel, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap – Departement Onderwijs – Dienst voor Onderwijsontwikkeling, 2004, 99 p.

Förrer M., Kenter B. en Veenman S., Coöperatief leren in het basisonderwijs, Amersfoort, CPS, 2004, 4de herdruk, 224 p.

Goffree F., Wiskunde en didactiek, eerste deel, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1989, 282 p.

Janssen-vos F., Pompert B. en Vink H., Naar lezen, schrijven en rekenen, Assen, Koninklijke Van Gorcum, 2005, … p.

Knapen J., Coöperatief leren, in Praktijkgids voor de basisschool, december 2004, 15 p.

Lebeer J., Bouwen aan leren leren, cognitieve leerbevordering bij kinderen met risico op ontwikkelings-of leerstoornissen, Leuven, Acco, 2003, 284 p.

OVSG, Leerplan wiskunde voor de basisschool, Brussel, OVSG, 1998, 339 p.

OVSG, Leren leren, leidraad voor de workshops,1999-2000, 32 p.

OVSG, ICT een toegevoegde waarde, ICT-competenties in relatie tot leerplandoelen, Brussel, OVSG, 2004, 64 p.

Ruijssenaars A.J.J.M. en Ghesquière P., Dyslexie en dyscalculie, ernstige problemen in het leren lezen en rekenen, recente ontwikkelingen en aanpak, Leuven, Acco, 2002, 181 p.

Timmerman K., Kinderen met aandachts-en werkhoudingsproblemen, Leuven, Acco 2001, 8ste druk, 100 p.

106

Timmerman K., Een persoonlijke denk-en leerstijl, handleiding voor leraren, begeleiders en ouders, Leuven, Acco, 2001, 152 p.

Span P, Nelissen J.M.C., Pijning H.F. en Dietvorst C., Onderwijzen en leren, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1987, 253 p.

Valcke M., Onderwijskunde als ontwerpwetenschap, Gent, Academic Press, 2005, 495 p.

Van de Walle J.A., Elementary and Middle School Mathematics, USA, Pearson Education, 2007, 509 p.

Van Parreren C.F., Ontwikkelend onderwijs, Leuven, Acco, 1988,170 p.

Vermeulen W., Context, een verhaal apart: omgaan met contexten vereist vakmanschap in Volgens Bartjens, jaargang 24, 2004/2005, nr.3, p. 4 – 6

Verschaffel L., Malaise in het vraagstukkenonderwijs: analyse en perspectieven, in Pedagogische Periodiek, 6 februari 1988, p. 70 - 81

Verschaffel L.en De Corte E.,Psychologie en reken/wiskunde-onderwijs, leereenheid 2 in ‘Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, achtergronden, Leuven, Acco, 1995, p.51-92

Verschaffel L., De Corte E., Van Vaerenbergh G., Lasure S., Bogaerts H. en Ratinckx E., Leren oplossen van wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool, Leuven, universitaire pers, 1998, 186 p.

Verschaffel L., De Corte E., Lasure S. en Van Vaerenbergh G., Leren oplossen van vraagstukken, een lessenreeks voor leerlingen uit de hoogste klassen van de basisschool, Diegem, Kluwer Editiorial, 1999, 313 p.

http://elearning.surf.nl/e-learning/onderzoek/3443

www.fi.uu.nl/

www.figurethis.org/

www.fontys.nl/

www.rekenweb.nl

www.socsci.kun.nl/ped/owk/onderwijs/cursussen

www.socsci.kun.nl/ped/owk/onderwijs/cursussen/io325/teksten/Instructie.htm

www.webkwestie.nl/

107

Deel 1: Evaluatie per leergebied van de toets 2007 1. Inleiding .................................................................................................................................................. 5

2. Algemene informatie ............................................................................................................................. 6

3. Het leergebied taal ............................................................................................................................... 10

4. Het leergebied wiskunde..................................................................................................................... 13

5. Het leergebied wereldoriëntatie ......................................................................................................... 15

6. Het leergebied muzische vorming ..................................................................................................... 19

Deel 2: Kwalitatieve en kwantitatieve analyse van probleemoplossende vaardigheden binnen het wiskundeonderwijs Inleiding............................................................................................................................23A Kwantitatieve en kwalitatieve analyse...................................................................241. Onderzoeksopzet ................................................................................................................................. 241.1. Wat wilden we onderzoeken?................................................................................................................ 241.2. Doel van het onderzoek ......................................................................................................................... 241.3. Hoe hebben we dit gedaan?.................................................................................................................. 24

2. Resultaten van het onderzoek............................................................................................................ 262.1. Een min of meer complex probleem oplossen....................................................................................... 262.2. Onderscheiden van de noodzakelijke gegeven.....................................................................................312.3. Ervaringskennis gebruiken..................................................................................................................... 352.4. Schematiseren en/of een patroon gebruiken......................................................................................... 392.5. Reflectie: zich kunnen verplaatsen in een ander ................................................................................... 452.6. Kritische houding ................................................................................................................................... 49

3. Hebben we iets geleerd uit ons onderzoek?..................................................................................... 51

B Naar een krachtige leeromgeving voor probleemoplossen ................................531. Het leerplan en het oplossen van problemen ................................................................................... 531.1. Strategieën en probleemoplossende vaardigheden .............................................................................. 531.2. Wiskundeattitudes.................................................................................................................................. 541.3. Contexten............................................................................................................................................... 54

2. Krachtige onderwijsleeromgevingen................................................................................................. 582.1. Leerinhoud ............................................................................................................................................. 592.2. Het aanleren van een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundeproblemen. ......... 602.3. Het ontwikkelen van adequate denkbeelden en houdingen bij het leren oplossen van wiskundeproblemen ............................................................................................................................... 682.4. Het aanbieden van een functioneel, uitdagend en realistisch opgavenaanbod .................................... 692.5. Het gebruiken van een gevarieerd aanbod van werkvormen, instructie- en inoefentechnieken........... 712.6. De weg naar zelfgestuurd leren: een evolutie van leraarsturing naar zelfsturing.................................. 762.7. Het bieden van hulp ............................................................................................................................... 78

3. Krachtige onderwijsleeromgevingen … goed en wel … maar … brengt het allemaal iets op?... 823.1. Methode ................................................................................................................................................. 823.2. Beschrijving van de krachtige onderwijsleeromgeving .......................................................................... 853.3. Onderzoeksvragen en –hypothesen en resultaten................................................................................ 88

4. Kleuterschool ....................................................................................................................................... 944.1. Het jonge kind en zijn wiskundige wereld .............................................................................................. 944.2. Kleuters en wiskundige problemen........................................................................................................ 94

5. ICT en wiskundige problemen oplossen ...........................................................................................965.1. ICT-leeromgevingen .............................................................................................................................. 965.2. Enkele relevante ICT-publicaties ........................................................................................................... 965.3. Enkele relevante websites ..................................................................................................................... 97

C Aan de slag met de reader....................................................................................102Bibliografie.....................................................................................................................105

OVSG VZW

Ravensteingalerij 3 bus 7 1000 Brussel

Tel: 02 506 41 50 Fax: 02 52 12 64

[email protected]

http://www.ovsg.be/

mailto:[email protected]

(h)eureka - OVSG 2007... · 2016-12-13 · 1. Inleiding De OVSG-toets 2007 maakte de traditie van...

Documents

Transcript of (h)eureka - OVSG 2007... · 2016-12-13 · 1. Inleiding De OVSG-toets 2007 maakte de traditie van...