Het ontwerp van een fractaal mechanisch model voor de longen

$: Het ontwerp van een fractaal mechanisch model voor de longen$
Nele De Geeter

de longenHet ontwerp van een fractaal mechanisch model voor

Academiejaar 2008-2009Faculteit IngenieurswetenschappenVoorzitter: prof. dr. ir. Jan MelkebeekVakgroep Elektrische energie, systemen en automatisering

Master in de ingenieurswetenschappen: werktuigkunde-elektrotechniekMasterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Begeleiders: Clara-Mihaela Ionescu, ir. Ramona HodreaPromotor: prof. dr. ir. Robain De Keyser

”The important thing is not to stop questioning.Curiosity has its own reason for existing.”

- Albert Einstein. -

℘

”Geen enkel experiment is een volledige mislukking:het kan altijd dienen als voorbeeld van hoe het niet moet.”

- De futiliteitsfactor van de wet van Murphy. -

℘

”C’est le temps que tu as perdu pour ta rose,qui fait ta rose si importante.”

- Antoine Marie Jean-Baptiste Roger de Saint-Exupery in zijn boek ’Le Petit Prince’. -

De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen

van de masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de

beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron

uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.

The author gives the authorization to consult and to copy parts of this work for personal use

only. Any other use is limited by the Laws of Copyright. Permission to reproduce any material

contained in this work should be obtained from the author.

Gent, 1 juni 2009

De auteur

Nele De Geeter

Dankwoord

Persoonlijk vind ik het schrijven van dit dankwoord niet eenvoudig. Thesissen is naast ’het

schrijven van een masterproef’ ook zwoegen, zuchten en klagen en heel veel tijd spenderen aan

zaken waar je pas maanden later, als je geluk hebt tenminste, het nut van inziet. Sommige

mensen hebben me hierbij zodanig gesteund en geholpen met goede en wijze raad dat ze de

correcte woorden verdienen.

Eerst en vooral wil ik een speciaal dankwoordje richten aan mijn begeleidster ir. Clara Ionescu.

Het voorbije jaar hebben we intens samengewerkt aan de opbouw van deze masterproef. Ik

ben haar heel dankbaar voor haar enthousiaste begeleiding, nuttig advies en wijze raad, de vele

documentatie en opbouwende kritiek. Dankzij haar heb ik een nieuwe wereld leren kennen;

een wereld van fractionele calculus en de modellering van longparenchym. Een wereld die mij

integreerde van het begin tot het einde, mede door haar gedrevenheid en interesse. Zonder

haar en haar ideeen was deze masterproef nooit geworden zoals hij nu neergeschreven staat.

Dus bedankt, Clara, voor alle hulp en de fantastische begeleiding, je stond zeven dagen op

zeven voor mij ter beschikking, voor de vele serieuze en minder serieuze gesprekken, voor de

vriendschap en voor het vertrouwen!

Natuurlijk wens ik ook mijn promotor professor dr. ir. Robain De Keyser te bedanken. Hij

overtuigde mij tijdens mijn mondeling examen bij hem te thesissen; een beslissing waarvan

ik zeker geen spijt heb gekregen! De maandelijkse presentaties waren een leerrijke ervaring,

evenals de ontspannende extraatjes. Dankzij het internationale karakter van zijn vakgroep

spreek ik ondertussen een aardig mondje Engels. Bedankt, professor, voor het aanbod. Het was

een leuke uitdaging.

Verder zijn er nog een heleboel anderen die me elk op hun eigen unieke manier hebben geholpen:

Niels, Stijn, Hannes, Razvan, Daniel, Carmen, Ramona, Bogdan en Christophe. Thank you all

for the company in the computer class! Suffering together is always heartening more then when

you have to suffer alone. Niels en Stijn wil ik ook speciaal bedanken voor hun geduld met mijn

vele kleine vraagjes over Matlab en Latex. Hoewel het voor hen soms maar een kleine moeite

was, hebben ze me veel tijd uitgespaard!

iv

Mijn studentenjaren zouden nooit zo fijn en onvergetelijk geweest zijn zonder mijn vrienden

en vriendinnen. Ik denk aan Karolien, Ward, Gregory, Stef, Sven, Els en Delphine en nog vele

anderen. Bedankt voor de voorbije 5 jaar en hopelijk komen er nog mooie herinneringen bij.

In het bijzonder wil ik mijn beste vriend Kevin bedanken voor zijn luisterend oor en zijn geloof

in mij. Na een zware dag thesissen kon ik steeds bij hem terecht om stoom af te laten. Heel

erg bedankt, Kevin! Ik ben er zeker van dat het jou niet altijd evenveel interesseerde wat ik te

vertellen had, maar toch stond je steeds voor me paraat. Je was de schouder van dienst en je

hebt dat uitstekend gedaan! Ik zal mijn uiterste best doen het volgend jaar voor jou even goed

te doen. Ik ben het je alvast verschuldigd!

Last but not least wil ik ook mijn familie bedanken. Hoewel mijn grootouders nog steeds niet

ten volle begrijpen wat mijn opleiding, laat staan mijn masterproef, inhoudt, waren ze trouwe

supporters. Het is fijn om te weten dat ze trots op me zijn.

Mijn grote zus Joke mag ik zeker niet vergeten. Ze was gedurende mijn hele opleiding mijn

grote voorbeeld. Haar harde werken, haar efficientie, haar inzicht en haar succesvolle resultaten

waren iets om naar op te kijken. Ik weet dat ik het niet altijd evenveel laat merken, maar

bedankt, zus. Bedankt voor de nuttige tips, voor de vele wijze raad, de do’s en don’ts. Je hebt

me veel bijgeleerd!

Om mijn ouders te bedanken zijn een paar regeltjes op papier eigenlijk niet genoeg. Dankzij

hen heb ik deze universitaire opleiding kunnen genieten, maar ze hebben reeds zoveel meer voor

mij gedaan. Bedankt voor jullie geloof en vertrouwen in mij; het was soms groter dan dat van

mezelf. Bedankt voor de energie, het optimisme, de grote steun; het was steeds leuk om thuis

te komen na een weekje Gent. Papa, bedankt voor het afdrukken van de dikke cursussen, voor

het vervoer van en naar Gent waarbij je soms langer moest werken wanneer ik tot ’s avonds

laat les had, voor je uitleg als het wat technischer werd, ... Moeke, bedankt voor het urenlange

luisteren naar mijn verhalen, voor onze babbels, maar ook voor de stilte als ik die nodig had.

Bedankt voor het overhoren en het nalezen. Je hebt me zo vaak gemotiveerd tot het verdiepen

en verbeteren van mijn werk. Wat jullie beiden allemaal voor mij gedaan hebben en nog steeds

doen, is zeker niet zo vanzelfsprekend als het soms lijkt. Dank je wel, mama en papa!

Allen heel erg bedankt!

Ondanks het zwoegen, zuchten en klagen was het een aangename ervaring!

Nele

v

Het ontwerp van een fractaal mechanisch modelvoor de longen

NELE DE GEETER

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Master in de ingenieurswetenschappen: werktuigkunde-elektrotechniek

Promotor: prof. dr. ir. Robain De Keyser

Begeleiders: Clara-Mihaela Ionescu, ir. Ramona Hodrea

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Universiteit Gent

Academiejaar 2008-2009

Vakgroep Elektrische energie, systemen en automatisering

Voorzitter: prof. dr. ir. Jan Melkebeek

Samenvatting

Het menselijke ademhalingssysteem kan voorgesteld worden door een elektrisch model gebaseerd

op de fractale longstructuur. Met behulp van de elektromechanische analogie wordt er in

dit werk een equivalent mechanisch model ontworpen. Het samenspel van dempers en veren

weerspiegelt het visco-elastische gedrag van het longparenchym. Het fractionele gedrag van de

longen wordt aangetoond en de spanning-rek-relaties worden onderzocht.

Trefwoorden

Fractionele order systemen, elektromechanische analogie, longparenchym, visco-elasticiteit en

spanning-rek-relaties

A fractal mechanical model for the lungsNele De Geeter

Supervisor(s): Robin De Keyser and Clara Ionescu

Abstract— This article presents a mechanical model for the respiratorysystem. Assuming a dichotomously branching tree, each airway tube ismodeled by a Kelvin-Voigt model (a spring in parallel with a dashpot) usingmorphological values. The model allows investigations on the viscoelasticproperties within the context of inter-connections between levels of the res-piratory tree. The results are in agreement with physiological expectancy.The model presented in this paper can also serve to derive a mechanicalmodel for other branching systems, i.e. the circulatory system.

Keywords— Fractional order systems, electro-mechanical analogy, lungparenchyma, fractal structure, viscoelasticity, stress-strain relations

I. INTRODUCTION

FRACTIONAL order systems are dynamical systems whosemodel can be represented in a natural way by non-integer

order parameters. They acknowledge some specific phenomena;fractal structure, diffusion and/or viscoelasticity.The respiratory system poses all tree enumerated properties;the airway distribution has a fractal structure, in the alveoligas exchange by means of diffusion takes place and the lungparenchyma is viscoelastic. The clinicians prefer a simple, yetaccurate model from whose parameter values they are able todetect whether a patient has a lung pathology or not. It is there-fore interesting to characterize the lung function in terms of itsmechanical properties as stress, strain and viscoelasticity, whichcan be directly related to changes in airway duct geometry.This study is a sequel from modeling the respiratory tree with anelectrical equivalent [3]. By electro-mechanical analogy, a sim-ple mechanical model can be derived. This model provides themeans to investigate the appearance of the FO model and allowspredictions upon the stress-strain relationship.The article is organized as follows. The respiratory tree and itsmodeling by the electrical equivalent is briefly explained in thenext section, along with the mechanical model derivation for ob-taining the stress-strain relations and some simulation results. Aconclusion section summarizes the main outcome of this inves-tigation.

II. MODELS FOR THE RESPIRATORY TREE

IN this article we treat the symmetric case of morphologi-cal values for the airways, which assumes a dichotomously

equivalent bifurcation of the airways in sub-sequent levels. Therespiratory system consists of two zones: the conductive zone,from level 1 to 15, and the respiratory zone, from level 16 to 24,with level 1 denoting the trachea and 24 the alveoli [4].For the purpose of this study, we investigate the airways withinthe respiratory zone, in which the air is involved in the processof gas exchange. The airway tube parameters are presented inTable I [6].

N. De Geeter is with the Faculty of Engineering, Department of Electricalenergy, Systems & Automation, Ghent University, Technologiepark 913, 9052Ghent, Belgium. E-mail: [email protected] .

TABLE ITHE AIRWAY TUBE PARAMETERS.

Level Length Radius Wall thickness Cartilagem (-) ` (cm) r (cm) h (cm) fraction κ (-)

16 0.810 0.125 0.0086 0.032917 0.770 0.120 0.0083 0.030818 0.640 0.109 0.0077 0.026219 0.630 0.100 0.0072 0.022420 0.517 0.090 0.0066 0.000021 0.480 0.080 0.0060 0.000022 0.420 0.070 0.0055 0.000023 0.360 0.055 0.0047 0.000024 0.310 0.048 0.0043 0.0000

A. Electrical equivalent

By analogy to electrical networks, one can consider voltage asequivalent for respiratory pressure P and current as equivalentfor air-flow Q. Electrical resistances R represent respiratory re-sistance that occur as a result of airflow dissipation in the air-ways, electrical capacitors C represent volume compliance ofthe airways which allows them to inflate/deflate.From the geometrical and mechanical characteristics of the air-way tube and from the air properties, one can calculate the pa-rameters for one airway tube [3]. With e the voltage and i thecurrent represented as in Fig.1, the equations for the electricalmodel are given by:

e0 = R1i1 + e1; e1 =R2

2i2 + e2 (1)

i1 = i2 + C1e1; i2 = 2C2e2 (2)

TABLE IITHE ELECTROMECHANICAL ANALOGY.

Electrical MechanicalVoltage e [V ] Force f [N ]Current i [A] Velocity v [m/s]Resistance R [kPa− s/l] Damping constant B [Ns/m]Capacitance C [l/kPa] Spring constant 1/K [m/N ]

Fig. 1. An illustrating example of the first two levels in the electrical and themechanical networks.

B. Mechanical equivalent

Using the electro-mechanical analogy from Table II, we can de-rive an equivalent mechanical model. This can be done startingfrom the electrical model equations (1-2). The electrical element(resistance in series with capacitor) corresponds to the mechan-ical Kelvin-Voigt element (dashpot in parallel with spring):

f0 = B1v1 + f1; f1 =B2

2v2 + f2 (3)

v1 = v2 +1K1

f1; v2 =2K2

f2 (4)

The values of resistors Rm and capacitors Cm are known [3]and the total parameter values for each level m are given byR∗

m = Rm/2m−1 and C∗m = 2m−1Cm. From these values one

can calculate the equivalent B∗m and K∗

m:

B∗m =

fm

vm=Pm

QmAPmAQm = R∗

m4π2r4(1 − ν2P ) (5)

K∗m =

fm

xm=Pm

VmAPmAQm =

1C∗

m

4π2r4(1 − ν2P ) (6)

with P the pressure in Pa, Q the flow in m3/s, V the volumein m3, APm and AQm areas, r the radius, x the axial displace-ment and νP = 0.45 the Poisson coefficient. The evolution ina single tube, in consecutive levels is quasi-linear for both pa-rameters. However, since the total parameter values (indicatedby the superscript ∗) depend on the total number of tubes withineach level, they change as an exponential decaying function.In a similar manner as the electrical impedance is calculated,one may obtain H(s), which defines the relation from velocity(input) to force (output) f(s)/v(s), with s the Laplace opera-tor. For one damper and one spring in parallel, we have thatH(s) = B +K/s.Due to the fact that the network is dichotomous and symmetric,we can obtain the mechanical impedances Htotm(s) using re-current forms as in Fig.1 and starting at level 24 with a gas com-pression compartment. In Fig.2 the Bode diagram of these trans-fer functions for the lung parenchyma are plotted; the fractionalintegrator with order 0.15 can be seen at [10−2, 102] rad/s.

Fig. 2. The Bode diagram of the mechanical impedances.

C. Stress-strain derivation

The elastic modulus is defined as the ratio between stress andstrain properties. The stress σ can be defined as pressure,whereas the latter is given by force distribution over the area.The strain ε is defined as the ratio of the change in length overthe initial length: ∆`/`.Starting with an unstressed tissue, we apply a strain that in-creases in steps of 10% until it reaches 100%. The stress andstrain properties are evaluated in Fig.3 (left).

Fig. 3. The stress-strain curves for an increasing strain with f = 0.25 Hz(left). The stress-strain diagram for ε(t) = ε0sin(0.25t) (right).

One can also apply a dynamical excitation ε(t) = ε0sin(ωt).The Kelvin-Voigt body is the simplest viscoelastic model thatcan store and dissipate energy, consisting of a perfectly elasticelement (i.e. spring) arranged in parallel with a purely viscouselement (i.e. dashpot) [2]. The stress-strain diagram is depictedin Fig.3 (right) in which the hysteresis loop can been seen.The obtained results are qualitatively similar to those reportedin literature [1], [5]. Quantitatively, it is not possible to make anevaluation of our model, since the values reported hitherto in theliterature are based on excised tissue strips.

III. CONCLUSIONS

AMECHANICAL equivalent is derived in this paper, basedon an electrical symmetrical model of the respiratory tree.

The novel contributions are treefold: i) the elements are calcu-lated with morphological values and preserve the geometry ofthe lungs, ii) the model provides the means to investigate theappearance of the fractional behavior and iii) the stress-strainproperties are evaluated at every level, but they are inter-relatedwith the consequent levels within the network.The model can possibly serve to derive a mechanical model forother branching systems, i.e. the circulatory system.

REFERENCES

[1] G. Maksym, J. Bates, ”A distributed nonlinear model of lung tissue elastic-ity”, J Appl Physiol, 82(1): 32-41, (1997)

[2] D. Craiem, R.L. Armentano, ”A fractional derivative model to describe ar-terial viscoelasticity”, Biorheology, 44: 251-263, (2007)

[3] C. Ionescu, P. Segers, R. De Keyser, ”Mechanical properties of the respira-tory system derived from morphologic insight”, IEEE Trans Biomed Eng,54(4): 949-959, (2009)

[4] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, NY: Freeman&Co, (1983)[5] B. Suki, A.L. Barabasi, K. Lutchen, ”Lung tissue viscoelasticity: a mathe-

matical framework and its molecular basis”, J Appl Physiol, 76(6): 2749-2759, (1994)

[6] E.R. Weibel, ”Mandelbrot’s fractals and the geometry of life: a tribute toBenot Mandelbrot on his 80th birthday”, Fractals in Biology and Medicine,4: 3-16, (2005)

Inhoudsopgave

Lijst van afkortingen en symbolen xi

1 Inleiding 1

2 State-of-the-art 3

2.1 Fractionele calculus................................................................................................. 3

2.2 Fractionele order modelling.................................................................................. 6

2.2.1 Geometrie ......................................................................................................... 6

2.2.2 Diffusie ............................................................................................................. 8

2.2.3 Visco-elasticiteit ............................................................................................... 10

2.3 Fractionele order controllers ................................................................................ 11

3 Elektromechanische analogie 14

3.1 Equivalentie tussen elektrische en mechanische systemen ........................ 14

3.2 Enkele voorbeelden ................................................................................................. 17

3.2.1 Veer in parallel met demper............................................................................. 17

3.2.2 Massa in parallel met demper .......................................................................... 18

3.2.3 Massa, veer en demper in parallel ................................................................... 18

3.2.4 Veer in serie met demper ................................................................................. 19

3.2.5 Veer in serie met massa ................................................................................... 20

3.2.6 Veer in serie met massa en demper in parallel ................................................ 21

3.3 Mechanische eigenschappen ................................................................................ 21

3.3.1 Spanning en rek ............................................................................................... 21

3.3.2 Visco-elasticiteit ............................................................................................... 23

3.3.2.1 Maxwell-element .................................................................................... 24

3.3.2.2 Kelvin-Voigt-element.............................................................................. 24

3.3.2.3 Combinatie van beide............................................................................. 25

ix

Inhoudsopgave

4 Menselijke ademhalingssysteem 26

4.1 Ademhalingsproces.................................................................................................. 26

4.2 Structuur van de luchtwegen............................................................................... 27

4.3 Geforceerde oscillatietechniek ............................................................................. 29

5 Elektrisch model voor de longen 32

5.1 Elektrisch model ...................................................................................................... 32

5.2 Schematische voorstelling..................................................................................... 33

5.3 Elektrische parameters........................................................................................... 34

6 Mechanisch model voor de longen 37

6.1 Equivalent mechanisch model ............................................................................. 37

6.1.1 Aansluitend model van Bates .......................................................................... 40

6.2 Schematische voorstelling..................................................................................... 44

6.3 Mechanische parameters....................................................................................... 46

6.4 Origines van fractioneel gedrag .......................................................................... 49

6.5 Spanning-rek-relaties .............................................................................................. 53

6.5.1 Constante rek ................................................................................................... 53

6.5.2 Sinusoıdale rek ................................................................................................. 56

7 Besluit en toekomstperspectieven 60

Bijlage 63

Bibliografie 68

x

Lijst van afkortingen en symbolen

δ = de Womersley parameter = r

√ωρ

µ[−]

ε = de rek =∆``

[−]

ε10 = de fasehoek van de Besselfuncties van de eerste soort en orde 0 en 1 [rad]

η = de viscositeitscoefficient [N/m2 − s]κ = het percentage cartilage in het wandweefsel [−]

£ = de Laplace operator

µ = de dynamische viscositeit van lucht bij BTPS = 1, 86 ∗ 10−5 [kg/m− s]νP = de Poissoncoefficient = 0, 45 [−]

ρ = de luchtdichtheid bij BTPS = 1, 14 [kg/m3]

σ = de spanning =f

Adwars[N/m2]

ω = de hoekfrequentie = 2πf [rad/s]

e = de spanning [V ]

f = de kracht [N ]

f = de frequentie [Hz]

h = de wanddikte van een luchtwegtak [m]

i = de stroom [A]

j = de imaginaire eenheid =√−1 [−]

` = de lengte van een luchtwegtak [m]

m = de luchtweg generatie of level [−]

r = de straal van een luchtwegtak [m]

s = de Laplace variabele = jω =d

dt[1/s]

t = de tijd [s]

v = de snelheid [m/s]

x = de verplaatsing [m]

xi

Hoofdstuk 0. Lijst van afkortingen en symbolen

A = de doorstroomoppervlakte van een luchtwegtak = πr2 [m2]

Adwars = de dwarsdoorsnede van een luchtwegtak = 2πrh [m2]

AW = Airway

B = de dempingsconstante [Ns/m]

BTPS = Body Temperature, ambient Pressure, Saturated with water vapour

C = de capaciteit van de condensator [l/kPa]

CRS = de compliantie =∆V∆P

[l/kPa]

Dαt = de fractionele order operator van de α orde

E = de effectieve elasticiteitsmodulus [Pa]

Ec = de effectieve elasticiteitsmodulus van cartilage = 400 · 103 [Pa]

Es = de effectieve elasticiteitsmodulus van zacht weefsel = 60 · 103 [Pa]

ERS = de elastantie =∆P∆V

[kPa/l]

E = de complexe modulus [Pa]

EI = de verliesmodulus = =E

[Pa]

ER = de opslagmodulus = <E

[Pa]

H = de mechanische impedantie =f

v[Ns/m]

M = de massa [kg]

M10 = de modulus van de Besselfuncties van de eerste soort en orde 0 en 1

G = de conductantie [l/kPa− s]K = de veerstijfheid [N/m]

L = de inductantie van de spoel [kPa− s2/l]

P = de druk [Pa]

Q = het debiet [m3/s]

R = de weerstand [kPa− s/l]RS = Respiratory System

T = de periode =1f

[s]

TI = Tissue

V = het volume [m3]

W = de gedissipeerde energie in een cylus =

∫σdε [N/m2]

Z = de elektrische impedantie =e

i=

P

Q[kPa− s/l]

xii

Hoofdstuk 1

Inleiding

Fractionele calculus ontstond in 1695 in een briefwisseling tussen L’Hopital en Leibniz. Het kan

beschouwd worden als een veralgemening van afgeleiden en integralen, waarbij de orde nu ook

non-integer kan zijn. Hoewel het idee vrij oud is, heeft het pas de laatste twintig jaar sterk

aan populariteit gewonnen. De gebruikte formules zijn namelijk vrij ingewikkeld, maar met de

Golden Age van de computers openden de poorten voor wetenschappelijke toepassingen. Meer

en meer wordt de fractionele calculus toegepast in wetenschappen en engineering, omdat het

ondermeer beter de complexe realiteit kan beschrijven.

Fractionele order systemen zijn dynamische systemen die beter gemodelleerd kunnen worden met

behulp van non-integer order parameters. Ze kunnen in enkele specifieke klassen onderverdeeld

worden; fractale structuur, diffusie en visco-elasticiteit.

Het menselijke ademhalingssysteem behoort tot alle drie de klassen. De luchtwegen zijn verdeeld

volgens een fractale structuur, ter hoogte van de alveoli vindt er gasuitwisseling door diffusie

plaats en het longparenchym is visco-elastisch. Een specifiek model van het ademhalingssysteem

zou ons toelaten de longen via simulaties te bestuderen. De clinicus wil een eenvoudig en

beknopt maar toch een voldoende accuraat model waarmee hij kan bepalen of zijn patient

een longaandoening heeft of niet. Bovendien wil hij kunnen traceren waar het probleem zich

bevindt en wat de oorzaken zijn. Net daarom is het interessant de longfuncties te karakteriseren

in termen van hun mechanische eigenschappen zoals spanning, rek en visco-elasticiteit. Deze

kunnen dan direct gerelateerd worden aan veranderingen in de geometrie van de luchtwegen.

In deze masterproef wordt er verder gewerkt op een reeds bestaand elektrisch model van het

menselijke ademhalingssysteem. Met behulp van de elektromechanische analogie wordt er een

equivalent mechanisch model ontworpen. Een schematische voorstelling van het nieuwe model

geeft inzicht over de werking van het longweefsel bij in- en expiratie. De rol van elastinevezels

en collageenvezels wordt verduidelijkt. Het nieuwe fractaal mechanische model voorziet ook de

middelen om het fractionele gedrag te bestuderen. Bovendien laat het mechanische karakter

toe de spanning-rek relaties te onderzoeken.

1

Hoofdstuk 1. Inleiding

Na deze inleiding presenteren we u in hoofdstuk 2 een state-of-the-art van de fractionele

calculus. De complexe formules worden uit de doeken gedaan, er wordt dieper ingegaan op de

drie klassen der fractionele order systemen en ook de fractionele order controllers worden kort

besproken. In hoofdstuk 3 bekijken we uitgebreid de analogie tussen elektrische en mechanische

systemen. Deze theorie wordt geıllustreerd met enkele voorbeelden. Daarna bespreken we

de mechanische eigenschappen van veren, dempers en meer complexe systemen. Basiskennis

van spanning, rek en visco-elasticiteit wordt verworven, zodat we ze kunnen toepassen in de

volgende hoofdstukken. Deze handelen over het menselijke ademhalingssysteem als specifieke

toepassing. Eerst leren we in hoofdstuk 4 over het ademhalingsproces en de longstructuur.

Daarna wordt in hoofdstuk 5 het reeds bestaande elektrische model besproken, waarna we

in hoofdstuk 6 het equivalente mechanische model afleiden. De betekenis van dit nieuwe

model en zijn schematische voorstelling worden uitgebreid bestudeerd. Eens de mechanische

parameters gekend zijn, worden de mechanische impedanties berekend. Met behulp van een

Bodediagram bekijken we dan het fractionele gedrag van de longen. Als laatste onderzoeken

we de spanning-rek relaties. We bestuderen de spanningsrespons bij een constante rek en bij

een sinusoıdale rek. In het tweede geval verwachten we hysteresis wegens de visco-elasticiteit .

Tot slot vatten we kort in hoofdstuk 7 de voornaamste gedane taken en besluiten samen en

kijken we wat dit onderwerp de toekomst nog te bieden heeft.

2

Hoofdstuk 2

State-of-the-art

2.1 Fractionele calculus

30 september 1695 schreef L’Hopital een brief naar Leibniz. Hij vertelde dat hij een bepaalde

notatie had gebruikt in een publicatie voor de n’de afgeleide van de lineaire functie f(x) = x;DnxDxn

. Hij vroeg aan Leibniz of hij het resultaat wist indien n gelijk werd genomen aan 12. Deze

antwoordde dat dit een schijnbare paradox was, waaruit er op een dag zeer nuttige conclusies

zouden getrokken worden. In deze woorden was de fractionele calculus geboren (Loverro, 2004).

Figuur 2.1: L’Hopital (links) en Leibniz (rechts).

Fractioneel betekent eigenlijk non-integer. In de voorstelling van fractionele calculus gebruikt

men de fundamentele operator Dαt met de variabele t en orde α. Wij beperken ons in deze

masterproef tot reele fractionele orde α ∈ <; de complexe ordes worden niet beschouwd.

Dαt =

dα

dtαα > 0

1 α = 0∫ t

0(dτ)−α α < 0

(2.1)

De twee meest bekende uitdrukkingen voor de fractionele order operator zijn die van Riemann-

Liouville (RL) voor continue systemen enerzijds en die van Grunwald-Letnikov (GL) voor discrete

systemen anderzijds (Podlubny, 1999). Deze laatste is zeer eenvoudig in gebruik bij numerieke

toepassingen.

3

Hoofdstuk 2. State-of-the-art

Riemann-Liouville (RL)

De Riemann-Liouville definitie van de α orde integraal van f(t) gaat als volgt:

Iαt f(t) = D−αt f(t) =1

Γ(α)

∫ t

0

f(τ)

(t− τ)1−αdτ (2.2)

met α > 0, f(t) een integreerbare functie in t ∈ [0,+∞[ en Γ(α) de Euler Gammafunctie in

α:

Γ(α) =

∫ ∞

0

e−xxα−1dx, ∀α ∈ < (2.3)

De α orde afgeleide van f(t) kan gedefinieerd worden in termen van de RL-integraal:

Dαt f(t) = Dm

t

[D−(m−α)t f(t)

]=

1

Γ(m− α)· d

m

dtm

∫ t

0

f(τ)

(t− τ)1−(m−α)dτ, m− 1 < α < m

(2.4)

Hierbij is m het eerstvolgende natuurlijke getal groter dan α.

Grunwald-Letnikov (GL)

In tegenstelling tot Riemann-Liouville, dewelke vertrekt van een integraal, vertrekt de Grunwald-

Letnikov definitie van de α orde afgeleide van f(t):

Dαt f(t) = lim

h→0h−αb thc∑

m=0

(−1)m · Γ(α + 1)

m! · Γ(α−m+ 1)· f(t−m · h) (2.5)

Hierbij is h de tijdstoename. De flooring operator bxc betekent dat je het grootste gehele getal

moet nemen dat kleiner dan of gelijk is aan x. Merk op dat we hier over een oneindig aantal

termen sommeren, wat impliciet betekent dat de fractionele order afgeleide een geheugen heeft.

Laplace transformatie

Een alternatieve definitie is de Laplace transformatie van de fractionele afgeleide/integraal met

orde α. Deze is zeer handig voor de analyse en het ontwerp van dynamische controllers:

£D±αt f(t)

= s±αF (s) (2.6)

met s de Laplace variabele en F (s) = £ f(t).

De Fourier transformatie kan eenvoudig beschouwd worden door s gelijk te stellen aan jω

in de Laplace transformatie, net zoals bij het integer order geval. Hierbij is j =√−1 de

imaginaire eenheid en ω de hoekfrequentie. Een algemene transferfunctie G(s) wordt in het

frequentiedomein:

G(jω) = X(ω) + jY (ω) (2.7)

De amplitude of modulus en de fasehoek van deze transferfunctie berekenen we als volgt:

|G(jω)| =√X2(ω) + Y 2(ω) (2.8)

arg (G(jω)) = arctanY (ω)

X(ω)(2.9)

4


Beiden worden in functie van de frequentie uitgezet in een Bodediagram. De amplitude wordt

hierbij weergegeven in decibel, waarbij 1 dB gelijk is aan 20log10.

Wanneer we dit nu toepassen op de fractionele afgeleide/integraal s±α krijgen we:

(jω)±α = ω±α(cos

π

2+ j · sinπ

2

)±α= ω±α

(cos

απ

2± j · sinαπ

2

)(2.10)

De amplitude en de fasehoek zijn bijgevolg:

20log10

∣∣(jω)±α∣∣ = 20log10

(ω±α

)= ±20αlog10 (ω) (2.11)

arg((jω)±α

)= arctan

±sinαπ2

cosαπ2

= ±απ2

(2.12)

De amplitudekarakteristiek van de fractionele afgeleide/integraal is dus een rechte met helling

±20α die door 0 dB gaat voor ω = 1 Hz. De fasekarakteristiek is een horizontale rechte van

±απ/2 rad.

Figuur 2.2: Het Bodediagram voor een fractionele afgeleide van orde α gedefinieerd in hetfrequentie-interval [ωa, ωb].

Reeds voor de 20ste eeuw was er belangstelling voor deze fractionele calculus in verscheidene

wetenschappen als wiskunde, natuurkunde en scheikunde. Dit bleef echter beperkt tot wiskun-

dige theorie wegens de complexiteit van de gebruikte formules.

Met de Golden Age van de computers gingen de poorten open voor de wetenschappelijke toe-

passingen. In de biologie kunnen we de toepassingen onderverdelen in stochastisch (Eke et al.,

2002) en structureel (Losa et al., 2005). Onder het eerste valt bijvoorbeeld de kustlijn en onder

5


het tweede de nervatuur van een blad, het bloedvatenstelsel en het ademhalingssysteem. Denk

aan poreuze materialen in de bodemmechanica en aan de visco-elasticiteit van polymeren in

de materiaalkunde. Dit zijn slechts enkele voorbeelden van systemen die beter door fractionele

order modellen beschreven worden. We noemen ze fractionele order systemen.

2.2 Fractionele order modelling

Bij het bestuderen van fractionele order systemen merkte men op dat ze in drie grote klassen

onderverdeeld konden worden. Dynamische processen in fractale en/of poreuze media vormen

een eerste klasse ’Geometrie’. Warmtegeleiding, geleiding van elektrische ladingen, geluidsdif-

fusie, verspreiding van gassen en dergelijke behoren tot de tweede klasse ’Diffusie’. De laatste

en derde klasse ’Visco-elasticiteit’ omvat alle materialen die visco-elastisch gedrag vertonen.

We zullen zien dat de drie klassen veel kenmerken gemeenschappelijk hebben en bijgevolg over-

lappend zijn. De meest opvallende overkoepelende eigenschap is het ’memory effect’.

2.2.1 Geometrie

Sommige systemen zijn fractionele order systemen omwille van hun poreuze en/of fractale

geometrie (Mandelbrot, 1982).

De Franse wiskundige Benoıt B. Mandelbrot wordt de vader van de fractale geometrie genoemd.

Mandelbrot bestudeerde zeer uiteenlopende zaken, zoals informatietheorie, economie, kosmolo-

gie, thermodynamica en turbulentie in de vloeistofdynamica. Hij raakte er van overtuigd dat al

deze onderwerpen hetzelfde onderliggende principe hadden, namelijk recursieve structuren. Om

deze structuren te beschrijven introduceerde hij het begrip fractaal, afgeleid uit het Latijnse

fractus dat gebroken betekent.

In 1975 publiceerde hij zijn ideeen in ’Les objets fractals, forme, hasard et dimension’ en 7

jaar later verscheen een uitgebreide en bijgewerkte versie van zijn ideeen in ’The fractal geome-

try of nature’. Dit invloedrijke werk bracht fractalen onder de aandacht van de professionele

wetenschappers en het grote publiek.

Een fractaal is een geometrische structuur die self-similarity of zelfgelijkvormigheid vertoont.

Dit wil zeggen dat de patronen zich steeds herhalen bij het inzoomen met oneindige hoeveelheid

detail. Een fractaal kan worden gekarakteriseerd door zijn fractionele dimensie, dewelke men

de Hausdorff dimensie noemt. Voor de eenvoudige geometrische objecten is het gemakkelijk;

een enkel punt heeft dimensie nul, een rechte en gladde curven zijn 1-dimensionaal, een vlak en

gladde oppervlaktes zijn 2-dimensionaal, vaste lichamen zijn 3-dimensionaal. In tegenstelling

tot deze is de Hausdorff dimensie van fractalen over het algemeen geen geheel getal (Strogatz,

1994).

6


Aan de hand van onderstaande vierkanten leggen we uit hoe de Hausdorff dimensie bepaald

wordt.

Figuur 2.3: De bepaling van de Hausdorff dimensie.

Beschouw een vierkant van 1x1. Wanneer we het verkleinen met een factor 2 in elke richting

hebben we 4 kleine vierkantjes nodig om dezelfde oppervlakte te bekomen van het oorspronke-

lijke. Verkleinen we het originele met een factor 3, dan hebben we 9 kleine vierkantjes nodig.

Algemeen geldt dus dat bij een reductie van de lineaire dimensie met een schaalfactor a er a2

kleine vierkanten vereist zijn.

De exponent 2 is geen toeval, maar reflecteert de 2-dimensionaliteit van het vierkant. Wanneer

een fractaal bestaat uit b aantal kopieen van zichzelf, herschaald met een factor a, dan geldt

algemeen voor de fractionele dimensie d:

b = ad (2.13)

of equivalent

d =ln(b)

ln(a)(2.14)

Enkele voorbeelden van fractalen zijn de Cantor set (dimensie 0,6309), de Sierpinski triangle

(dimensie 1,585) en de Menger sponge (dimensie 2,7268).

Figuur 2.4: Enkele voorbeelden van deterministische fractalen.Van links naar rechts: De Cantor set, de Sierpinski triangle en de Menger sponge.

7


Naast deze deterministische fractalen vond Mandelbrot verscheidene natuurlijke fractalen in de

reele wereld. Denk maar aan broccoli, bliksem, een boom, longen, aders en nerven van een blad

(dimensies tussen 1 en 2), de Brownse beweging (dimensie 2) en bloemkool, een romanesco

broccoli, wolken en een berglandschap (dimensies tussen 2 en 3).

Figuur 2.5: Enkele voorbeelden van natuurlijke fractalen.”Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, andbark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.”− Mandelbrot, in zijn inleiding tot ’The Fractal Geometry of Nature’. −

De fractionele dimensie van fractalen is een van de oorzaken dat bepaalde systemen beter door

fractionele order systemen beschreven worden. We sommen enkele voorbeelden op:

het bloedvatenstelsel (Craiem & Armentano, 2007)

het ademhalingssysteem (Suki et al., 1994)

de bladeren van de bomen

processen in poreuze media (Knabner & Angermann, 2003)

functies die self-similarity vertonen (Jumarie, 2008)

fractale biologische processen zoals glucosetransport (Raicu & Popescu, 2008)

2.2.2 Diffusie

In 1895 paste Boltzmann voor het eerst dynamische methodes toe bij het beschrijven van de

kinetica van een fysisch object in zijn werk ’Kinetic theory of gases’ (Zaslavsky, 2002). Het op-

vallendste kenmerk was het tegelijkertijd toepassen van zowel een probabilistische beschrijving

8


van de deeltjes als dynamische vergelijkingen. Hoewel Boltzmann zijn vergelijking in overeen-

stemming met de verdelingsfunctie niet-lineair was, waren de kinetische vergelijkingen die eruit

afgeleid werden wel lineair. Deze lineaire vergelijkingen zijn beter gekend als de mastervergelij-

kingen. De hoofdgedachte voor het afleiden van kinetische vergelijkingen was het reduceren van

variabelen van complexe systemen door statistische veronderstellingen te maken (bijvoorbeeld

dat de deeltjes een Gaussisch proces beschreven).

Diffusievergelijkingen zijn een voorbeeld van zulke kinetische vergelijkingen. Ze omvatten vele

fysische verschijnselen zoals warmtegeleiding, geleiding van elektrische ladingen, geluidsdiffusie,

etc. De algemene diffusievergelijking wordt ook de tweede wet van Fick genoemd en gaat als

volgt:

∂W

∂t= C1 ·

∂2

∂x2W (x, t) (2.15)

met C1 = lim∆x→0,∆t→0(∆x)2

2∆tde diffusieconstante , W (x, t) de gas- of materiaal concentratie

afhankelijk van plaats en tijd, ∆x de afgelegde afstand en ∆t de discrete tijdsstap.

Complexe systemen zijn ’structuren met grote variaties’ gekarakteriseerd door een grote diver-

siteit aan elementaire eenheden, een sterke interactie tussen deze verschillende eenheden en een

onvoorspelbare evolutie in de loop van de tijd. In het dagdagelijkse leven hebben we continu

te maken met complexe systemen zoals glas, vloeibare kristallen, polymeren, proteınen, biopo-

lymeren, organismen, ecosystemen, etc.

Diffusieprocessen in complexe systemen vereisten een nieuwe aanpak in de kinetica, namelijk

de fractionele kinetica. In een normaal diffusieproces is de mean squared displacement (msd)

lineair met de tijd, terwijl bij fractionele diffusie de msd niet-lineair wordt (Metzler & Klafter,

2000).

msd ∼ Cα · tα (2.16)

met Cα de diffusiecoefficient, t de verlopen tijd en α de diffusie-exponent.

- α < 1 : subdiffusie

- α = 1 : normale (Brownse) diffusie

- α > 1 : superdiffusie

Figuur 2.6: De soorten diffusie.

9


Diffusieprocessen in complexe systemen volgen niet langer de Gaussiaanse statistieken en het

transportgedrag kan niet langer beschreven worden door de tweede wet van Fick. Deze slaagt

er namelijk niet in zowel het geheugen van het systeem als externe snelheden of krachten als

bepaalde randvoorwaarden in te corporeren. De fractionele diffusievergelijking kan dit wel.

DαtW (x, t) = Cα ·

∂2

∂x2W (x, t) (2.17)

Merk op dat - zoals verwacht - de fractionele diffusievergelijking voor α convergerend naar 1

de tweede wet van Fick benadert.

We sommen enkele voorbeelden op van systemen die beter door fractionele kinetica beschreven

worden:

het transport in dielektrica zoals lucht, mica, glas, etc. (Tarasov, 2008)

het inverse warmtegeleidingprobleem (Battaglia et al., 2001)

de diffusie in verstoorde media en fractalen (Bouchard & Georges, 1990)

het transport in turbulent plasma (Del-Castillo-Negrete et al., 2004)

het kruipgedrag in polymeersystemen (Licinio & Teixeira, 1997)

2.2.3 Visco-elasticiteit

Materialen met visco-elastisch gedrag hebben twee mechanische eigenschappen, namelijk vis-

cositeit - ook wel stroperigheid genoemd - en elasticiteit. Wanneer er een externe kracht op

het materiaal uitgeoefend wordt, zal het eerst vervormen wegens het elastisch element, de veer.

Eens de kracht weg is, treedt er relaxatie op en zal het materiaal opnieuw zijn oorspronkelijke

vorm aannemen. Dit gebeurt echter trager dan de vervorming wegens het viskeus element, de

demper. Het spanning-rek-diagram vertoont bijgevolg hysteresis.

Figuur 2.7: Het spanning-rek-diagram.

10


Visco-elastisch materiaal vertoont ook twee typerende fenomenen. Bij een plotseling optredende

constante rek, zal de geınduceerde spanning geleidelijk verminderen. Er treedt spanningsrelaxa-

tie op. Leggen we daarentegen plots een constante spanning aan, dan zal het visco-elastisch

materiaal blijvend vervormen. Dit fenomeen wordt kruip genoemd.

Halverwege de 20ste eeuw werd opgemerkt dat fractionele systemen zowel de spanningsrelaxatie

als de frequentieafhankelijkheid konden modelleren. Het gebruik van fractionele afgeleiden

heeft bovendien als voordelen dat het leidt tot een nulantwoord en dat het veilig de transiente

responsie kan voorspellen.

Naast veren (springs) en dempers (dashpots) zijn er in de fractionele calculus ook spring-pots

van orde α (0 < α < 1) (Craiem & Armentano, 2007), (Bagley & Torvik, 1984). Met σ de

spanning, E de elasticiteitsmodulus, η de viscositeitscoefficient en ε de rek gelden volgende

relaties:

- σ(t) = E · ε(t) voor een veer

- σ(t) = η · ε(t) voor een demper

- σ(t) = η · dαdtαε(t) voor een spring-pot van orde α

We sommen enkele systemen op die visco-elastisch gedrag vertonen en beter door een fractioneel

order systeem beschreven worden:

polymeren (Licinio & Teixeira, 1997)

elastomeren (Bagley & Torvik, 1984)

viscoelastische platen (Rossikhin & Shitikova, 2006)

aders (Craiem & Armentano, 2007), (Craiem et al., 2008a)

het longweefsel (Suki et al., 1994)

2.3 Fractionele order controllers

Hoewel het idee van fractionele order operators even oud is als dat van de integer order operators,

heeft het pas in de laatste twintig jaar sterk aan populariteit gewonnen op vlak van analyse,

systeem identificatie en controle. Meer en meer wordt de operator toegepast in wetenschappen

en engineering, omdat hij ondermeer beter de complexe realiteit kan beschrijven.

Aangezien fractionele order controllers geen deel uitmaken van het verdere verloop van deze

masterproef, beperken we ons tot een beknopte bespreking.

11


We beschouwen een closed-loop systeem zoals in figuur 2.8. Van dit systeem G(s) is Y (s)

de output en Yref (s) het referentiesignaal. We wensen met behulp van de feedbacklus en een

goede regelaar C(s) het systeem zo te controleren dat de output het gewenste signaal volgt.

Figuur 2.8: Een closed-loop systeem.

De meest gebruikte regelaar is de PID-controller, waarbij PID staat voor proportioneel, integre-

rend en differentierend:

C(s) = kp +kis

+ kds (2.18)

FOC staat voor het Engelse fractionele order control. Opnieuw beperken we ons tot de fracti-

onele PID-controller:

C(s) = kp +kisλ

+ kdsµ (2.19)

In het algemeen kunnen we zeggen dat we bij FOC meer vrijheidsgraden hebben, waardoor we

een transferfunctie kunnen vinden die beter aan de gevraagde specificaties voldoet. We bekijken

dit hieronder in meer detail.

We wensen dus een bepaald gedrag van het systeem G(s) te bekomen door de controller C(s)

erop te laten inwerken (Monje et al., 2008), (Tun, 2008).

- een bepaalde gain crossover frequentie ωcg:

|C(jωcg) ·G(jωcg)|dB = 0 dB (2.20)

- een bepaalde fasemarge ϕm:

arg (C(jωcg) ·G(jωcg)) = −π + ϕm (2.21)

- robuustheid tegen variaties in de gain:

d

dωarg (C(jω) ·G(jω))

∣∣∣∣ω=ωcg

= 0 (2.22)

- robuustheid tegen hoge frequentie ruis:

∣∣∣∣T (jω) =C(jω) ·G(jω)

1 + C(jω) ·G(jω)

∣∣∣∣dB

≤ A dB, ∀ω ≥ ωtrad/s⇒ |T (jωt)|dB (2.23)

12


- zo weinig mogelijk uitgangsstoringen:

∣∣∣∣S(jω) =1

1 + C(jω) ·G(jω)

∣∣∣∣dB

≤ B dB, ∀ω ≤ ωsrad/s⇒ |S(jωs)|dB (2.24)

- geen steady-state error:

met behulp van een fractionele integrator sx (met x een reeel getal)

Aangezien fractionele PID-controllers 5 parameters hebben, zijn ze beter te tunen dan de ge-

wone PID-controllers met slechts 3 parameters. Er kan namelijk aan 2 extra designspecificaties

voldaan worden.

Meestal zorgen de parameters kp, ki en kd voor de gewenste gain crossover frequentie, fase-

marge en gainmarge en de eventuele extra parameters λ en µ voor robuustheidspecificaties en

ruisrejectie.

13

Hoofdstuk 3

Elektromechanische analogie

3.1 Equivalentie tussen elektrische en mechanische

systemen

Doorheen de jaren heeft men een grote analogie tussen elektrische en mechanische systemen

opgebouwd. Deze analogie zorgt ervoor dat mechanische systemen voorgesteld kunnen worden

door equivalente elektrische systemen en vice versa (Breedveld & Hogan, 2006), (Polyakov,

2008).

De elektromechanische analogie van de grootheden wordt in onderstaande tabel weergegeven

(Cheever, 2005).

Tabel 3.1: De elektromechanische analogie van de grootheden.

Elektrisch Mechanisch

Spanning e Kracht f

Stroom i Snelheid v

Flux ϕ Druk p

Lading q Verplaatsing x

Weerstand R Dempingsconstante van de demper B

Capaciteit van de condensator C Stijfheid van de veer K(eigenlijk 1/K)

Inductantie van de spoel L Massa M

Wikkelingverhouding Verhouding van de hefboomvan de transformator N1: N2 of tandwielkoppeling L1: L2

Wanneer men de relaties tussen de verschillende grootheden bekijkt, komt de analogie tussen

beide systemen nog beter naar voor.

14

Hoofdstuk 3. Elektromechanische analogie

Tabel 3.2: De elektromechanische analogie van de relaties tussen de grootheden.


Wet van Ohm: Wrijvingskracht:e = i ·R f = v ·B

Veerkracht (Wet van Hooke):e = 1

C

∫i · dt = 1

C · q f = K∫v · dt = K · x

i = C · dedt v = 1K ·

dfdt

Tweede wet van Newton:e = L · didt f = M · dvdt = M · ai = 1

L

∫e · dt = 1

L · ϕ v = 1M

∫f · dt = 1

M · pElektrische veldenergie opgeslagen Potentiele energie opgeslagenin de condensator: in de veer:12 · C · e2 1

2 · 1K · f2 = 1

2 ·K · x2

Magnetische veldenergie opgeslagen Kinetische energie opgeslagenin de spoel: in de massa:12 · L · i2 1

2 ·M · v2

Ogenblikkelijke energie: Ogenblikkelijke energie:e · i f · vTransformator: Hefboom of tandwielkoppeling:N1N2

= e1e2

= i2i1

L2L1

= f1f2

= v2v1

Kirchhoff spanningswet: Eerste wet van Newton:∑lus ei = 0

∑voorwerp fi = 0

Kirchhoff stroomwet:∑knoop ii = 0

∑lus vi = 0

De algemene modelstructuur voor mechanische systemen volgt bijgevolg volledig die voor elek-

trische systemen.

Figuur 3.1: De algemene elektrische (links) en mechanische modelstructuur (rechts).

15


Tabel 3.3 geeft een overzicht van de elektrische en mechanische impedanties Z(s) en H(s).

Hierbij is s = jω de Laplace variabele, j =√−1 de imaginaire eenheid en ω de hoekfrequentie.

£ is de Laplace operator en t de tijdsvariabele.

Tabel 3.3: De elektromechanische analogie van de impedanties.


Elektrische impedantie: Mechanische impedantie:

Z(s) = E(s)I(s) H(s) = F (s)

V (s)

met metE(s) = £ e(t) =

∫∞0 exp(−st)e(t)dt F (s) = £ f(t) =

∫∞0 exp(−st)f(t)dt

I(s) = £ i(t) =∫∞

0 exp(−st)i(t)dt V (s) = £ v(t) =∫∞

0 exp(−st)v(t)dt

Voor een weerstand, condensator en spoel: Voor een demper, veer en massa:

Z(s) = R H(s) = B

Z(s) = 1Cs H(s) = K

s

Z(s) = Ls H(s) = Ms

Serie: Parallel:

etot = e1 + e2 ftot = f1 + f2

itot = i1 = i2 vtot = v1 = v2

Ztot = Z1 + Z2 Htot = H1 +H2

Parallel: Serie:

etot = e1 = e2 ftot = f1 = f2

itot = i1 + i2 vtot = v1 + v2

Ztot = Z1Z2Z1+Z2

Htot = H1H2H1+H2

16


3.2 Enkele voorbeelden

Het omzetten van mechanische systemen in equivalente elektrische systemen kan het best

geıllustreerd worden met enkele voorbeelden. Hierbij zijn F en V de Laplace getransformeerden

van de kracht f en snelheid v en E en I van de spanning e en stroom i.

3.2.1 Veer in parallel met demper

Voor een veer-demper systeem (zie fig. 3.2) gelden volgende vergelijkingen:

f0 = Bv +Kx (3.1)

f0 = B

(f1

K

)+ f1

F1

F0

=1

BKs+ 1

, τ =B

K

Herschrijven we deze vergelijkingen voor een elektrisch systeem met behulp van bovenstaande

tabellen, dan krijgen we:

e0 = Ri+ e1 (3.2)

e0 = R (Ce1) + e1

E1

E0

=1

RCs+ 1, τ = RC

Bij deze elektrische vergelijkingen hoort een RC-keten.

Figuur 3.2: Een veer in parallel met een demper en het elektrisch equivalent.

17


3.2.2 Massa in parallel met demper

Voor een massa-demper systeem (zie fig. 3.3) gelden de vergelijkingen:

f0 = Bv +Mv (3.3)

f0 = f1 +M

(f1

B

)

F1

F0

=1

MBs+ 1

, τ =M

B

Na het herschrijven voor een elektrisch systeem volgt er:

e0 = Ri+ Li (3.4)

e0 = e1 + L

(e1

R

)

E1

E0

=1

LRs+ 1

, τ =L

R

Bij deze elektrische vergelijkingen hoort een RL-keten.

Figuur 3.3: Een massa in parallel met een demper en het elektrisch equivalent.

3.2.3 Massa, veer en demper in parallel

Voor een massa-veer-demper systeem (zie fig. 3.4) geldt:

f0 = Kx+Bv +Mv (3.5)

f0 = f1 +B

(f1

K

)+M

(f1

K

)

F1

F0

=1

MKs2 + B

Ks+ 1

18



e0 = e1 +Ri+ Li (3.6)

e0 = e1 +R (Ce1) + L (Ce1)

E1

E0

=1

LCs2 +RCs+ 1

Bij deze vergelijkingen hoort een RLC-keten:

Figuur 3.4: Een massa, veer en demper in parallel en het elektrisch equivalent.

3.2.4 Veer in serie met demper

Voor een veer-demper systeem (zie fig. 3.5) gelden volgende vergelijkingen:

v0 =f

B+f

K(3.7)

v0 = v1 +1

K(Bv1)

V1

V0

=1

BKs+ 1

, τ =B

K

Herschrijven we deze vergelijkingen voor een elektrisch systeem dan krijgen we:

i0 =e

R+ Ce (3.8)

i0 = i1 + C(Ri1)

I1

I0

=1

RCs+ 1, τ = RC

Bij deze elektrische vergelijkingen hoort een C in parallel met R.

19


Figuur 3.5: Een veer en een demper in serie en het elektrisch equivalent.

3.2.5 Veer in serie met massa

Voor een veer-massa systeem (zie fig. 3.6) gelden de vergelijkingen:

v0 = v1 +f

K(3.9)

v0 = v1 +1

K(Mv1)

V1

V0

=1

MKs2 + 1

, τ =M

K


i0 = i1 + Ce (3.10)

i0 = i1 + C(Li1)

I1

I0

=1

LCs2 + 1, τ = LC

Deze vergelijkingen horen bij een C in parallel met L:

Figuur 3.6: Een veer en een massa in serie en het elektrisch equivalent.

20


3.2.6 Veer in serie met massa en demper in parallel

Voor een massa-veer-demper systeem (zie fig. 3.7) geldt:

v0 = v1 +f0

K(3.11)

f0 = Bv1 +Mv1

v0 = v1 +1

K(Bv1 +Mv1)

V1

V0

=1

MKs2 + B

Ks+ 1


i0 = i1 + Ce0 (3.12)

e0 = Ri1 + Li1

i0 = i1 + C(Ri1 + Li1

)

I1

I0

=1

LCs2 +RCs+ 1

Bij deze vergelijkingen hoort een RL in parallel met C:

Figuur 3.7: Een veer in serie met een massa en demper in parallel en het elektrisch equivalent.

3.3 Mechanische eigenschappen

3.3.1 Spanning en rek

Wanneer er een kracht f uitgeoefend wordt op een object met oorspronkelijke lengte ` en dwars-

doorsnede Adwars, ontstaat er een mechanische spanning σ. Ten gevolge van deze spanning

21


ontstaat er een vervorming ∆` die beschreven wordt door de rek ε.

σ =f

Adwars; ε =

∆`

`(3.13)

Tussen de spanning en de rek gelden volgende relaties voor de verschillende mechanische ele-

menten met E de elasticiteitsmodulus en η de viscositeitscoefficient: (Craiem et al., 2008b)

Voor een veer (spring in het Engels):

σ(t) = E · ε(t) (3.14)

Deze vergelijking wordt de wet van Hooke genoemd en beschrijft het gedrag van een lineair

elastisch materiaal.

Veronderstel dat we het elastisch materiaal belasten met een dynamische rekexcitatie ε(t) =

ε0 · sin(ωt). Het spanningsignaal is dan volledig in fase met het reksignaal en zijn amplitude is

gelijk aan E keer de amplitude van het reksignaal. Wanneer we de spanning tegenover de rek

uitzetten (zie fig. 3.8) zien we dat belasten en ontlasten langs hetzelfde pad gebeurt en dat

dus alle energie die toegevoerd wordt ook opnieuw aan de omgeving wordt teruggegeven.

Elastisch materiaal vertoont dus geen energie-dissipatie.

Voor een demper (dashpot in het Engels):

σ(t) = η · ddtε(t) (3.15)

Deze vergelijking wordt de wet van Newton genoemd en beschrijft het viskeuze gedrag van een

lineaire vloeistof.

Bij een dynamische rekexcitatie van het materiaal is het spanningsignaal π/2 radialen voorijlend

op het reksignaal en is zijn amplitude gelijk aan η · ω keer de amplitude van het reksignaal. De

amplitude is dus afhankelijk van de opgelegde frequentie. Wanneer we beide signalen tegenover

elkaar uitzetten (zie fig. 3.8) zien we dat alle energie die bij het belasten aan het materiaal

wordt toegevoegd volledig verbruikt wordt.

Viskeus materiaal vertoont dus volledige energie-dissipatie.

Voor een spring-pot van orde α (0 < α < 1):

σ(t) = η · dα

dtαε(t) (3.16)

22


Figuur 3.8: De spanning-rek-diagrammen van een veer (links) en een demper (rechts).

3.3.2 Visco-elasticiteit

Visco-elastisch materiaal heeft - zoals het woord reeds zegt - zowel viskeuze als elastische

trekjes; het kan gedeeltelijk energie opslaan zoals een veer en de rest van de energie wordt

gedissipeerd zoals een demper. Deze combinatie geeft aanleiding tot tijdsafhankelijk gedrag.

Wanneer het materiaal een dynamische rekexcitatie ondervindt, zal het spanningsignaal in fase

voorijlen over een hoek δ. Deze verlieshoek is gelegen tussen 0 en π/2 radialen. De amplitude

van het spanningsignaal is Ed keer die van het reksignaal met Ed de dynamische modulus.

Zowel δ als Ed zijn afhankelijk van de frequentie.

σ(t) = Ed(ω) · ε0 · sin (ωt+ δ(ω)) (3.17)

Bij het uitzetten van de spanning tegenover de rek zien we dat een gedeelte van de energie

wordt opgeslagen en een gedeelte wordt gedissipeerd. Dit verschijnsel noemen we hysteresis.

Figuur 3.9: Het spanning-rek-diagram voor visco-elastisch materiaal.

23


Wanneer men visco-elastisch materiaal plotseling uitrekt en de rek constant houdt, zal het

materiaal initieel een elastische respons vertonen waarbij de spanning instantaan toeneemt. In

de loop van de tijd zal de geınduceerde spanning echter geleidelijk verminderen. Dit fenomeen

noemen we spanningsrelaxatie.

Wanneer men plotseling een spanning aanlegt en deze constant houdt, zal het materiaal initieel

een elastische respons vertonen waarbij de rek onmiddellijk toeneemt. In tegenstelling tot een

elastische stof zal het visco-elastisch materiaal onder invloed van de spanning in de tijd blijvend

vervormen. We zeggen dat het kruip vertoont.

Zoals de veer en de demper het mechanische analogon zijn van elastische respectievelijk viskeuze

materialen, zo wensen we nu visco-elastische materialen voor te stellen door een combinatie

van beide (Suki et al., 1994).

3.3.2.1 Maxwell-element

De eenvoudigste combinatie is een veer in serie met een demper. Dit model staat bekend als

het Maxwell-element (zie fig. 3.10).

We beschouwen het optreden van een constante rek:

σ(t) = E · ε · exp(− tτ

)(3.18)

met τ = ηE

, de relaxatietijd.

Op tijdstip 0 zal de veer uitgerekt worden terwijl de demper onveranderd blijft. Enkele seconden

later zal de demper beginnen vloeien waardoor de rek in de veer afneemt en bijgevolg ook de

spanning. Het Maxwell-element slaagt er dus goed in de spanningsrelaxatie weer te geven.

We bekijken nu ook het gedrag bij een constante spanning:

ε(t) = σ

(1

E+t

η

)(3.19)

Er treedt een spontane elastische rek op samen met een geleidelijke vloei. Wanneer de spanning

echter wegvalt, veert de veer terug maar de vloei blijft irreversibel.

3.3.2.2 Kelvin-Voigt-element

Een tweede combinatie is een veer in parallel met een demper. Dit model staat bekend als het

Kelvin-Voigt element (zie fig. 3.10).

Bij dit model kunnen we geen plots optreden van een constante rek beschouwen, aangezien

de kracht op de demper dan oneindig groot zou moeten zijn. Hierdoor is het onmogelijk

spanningsrelaxatie te bekijken.

Het optreden van een constante spanning is wel mogelijk:

ε(t) =σ

E

(1− exp

(− tτ

))(3.20)

24


met τ = ηE

, de relaxatietijd.

Op tijdstip 0 is de demper onveranderd, maar hij begint geleidelijk te vloeien waardoor de rek

asymptotisch zijn eindwaarde zal bereiken. Het Kelvin-Voigt element beschrijft dus goed het

kruipgedrag van visco-elastische materialen.

3.3.2.3 Combinatie van beide

Zowel het Maxwell-element als het Kelvin-Voigt element schieten tekort om het werkelijke visco-

elastische gedrag weer te geven. Hieruit ontstaat een nieuw model dat een combinatie is van

beide.

Het bestaat uit n parallelle Maxwell-elementen in parallel met een extra veer (Funk et al., 2000).

Figuur 3.10: Van links naar rechts: Het Maxwell- en Kelvin-Voigt-element en een combinatievan beide.

25

Hoofdstuk 4

Menselijke ademhalingssysteem

Het ademhalingssysteem is een zeer complex deel van het menselijke lichaam. Het bestaat uit

luchtwegen, longen en ademhalingsspieren die ervoor zorgen dat er lucht in en uit het lichaam

stroomt. Door het ademhalingsproces vindt gasuitwisseling plaats tussen lucht en bloed.

4.1 Ademhalingsproces

Het ademhalingsproces bestaat uit twee fasen; de inspiratie en de expiratie.

De drijvende kracht is de koolstofdioxideconcentratie. Wanneer deze een bepaalde waarde over-

stijgt, geven de receptoren in de bloedbaan een signaal aan de hersenen. Deze geven op hun

beurt een impuls aan de ademhalingsspieren. Het middenrif gaat omlaag en ook de andere

spieren zorgen ervoor dat het volume van de borstholte zo groot mogelijk wordt, zodat de

longen, die zich in deze borstholte bevinden, kunnen uitzetten.

Er ontstaat een onderdruk ten opzichte van de buitenlucht, waardoor verse lucht via de keelholte

in de luchtpijp (trachea) stroomt. Ter hoogte van de longen splitst de luchtpijp in 2 takken;

de linker en rechter luchtpijptak (bronchi). Beide luchtpijptakken splitsen opnieuw enkele keren

en vormen longtakken (bronchioli). Deze vertakkingen blijven in beide longen verder plaatsvin-

den tot ze in de kleinste takjes uitmonden in longblaasjes (alveoli). Deze longblaasjes worden

omgeven door een netwerk van uiterst fijne bloedvaatjes. Ter hoogte van de zeer dunwandige

longblaasjes vindt de gasuitwisseling door diffusie plaats, waarbij zuurstof vanuit de lucht wordt

opgenomen in het bloed en koolstofdioxide wordt afgegeven.

Dit inspiratieproces stopt wanneer de intrapulmonaire druk gelijk wordt aan de atmosferische

druk. De ademhalingsspieren ontspannen en ook de zwaartekracht en de elasticiteit van de

longen, borstholte en buikwand zorgen ervoor dat de longen opnieuw verkleinen. De intra-

pulmonaire druk stijgt en de lucht, arm aan zuurstof en rijk aan koolstofdioxide en andere

afvalstoffen, wordt weer via de mond of de neus naar buiten gestuwd.

Deze ademhalingscyclus maakt het leven mogelijk. Zuurstof is, op lange termijn, noodzakelijk

voor de verbranding van voedsel waarbij energie vrijkomt. Bij gebrek aan zuurstof kan het

26

Hoofdstuk 4. Menselijke ademhalingssysteem

lichaam, slechts voor een beperkte tijd, overschakelen naar anaerobe verbranding. Bovendien

moeten de afvalstoffen zoals koolstofdioxide, die bij het produceren van deze energie gevormd

worden, uit het lichaam verwijderd worden. We kunnen weken zonder voedsel en dagen zonder

water, maar zonder deze gasuitwisseling sterven we binnen enkele minuten.

Figuur 4.1: De ademhalingscyclus.

4.2 Structuur van de luchtwegen

Een gezond menselijk ademhalingssysteem kan voorgesteld worden door een (quasi-) symme-

trische structuur van luchtwegen. Deze luchtwegen splitsen op een dichotome of tweedelige

manier in opeenvolgende levels. In totaal zijn er 24 verschillende levels te onderscheiden en we

zeggen dat de lucht stroomt van level 1, de trachea, tot level 24, de alveoli.

Figuur 4.2: De luchtwegen van generatie 1 tot 24.27


Het ademhalingssysteem bestaat uit twee zones. De conductieve zone spreidt zich over level

1 tot en met 15 en de respiratoire zone, waar de gasuitwisseling door diffusie plaatsvindt, van

level 16 tot en met 24. Deze laatste zone wordt ook met de term longparenchym aangeduid

(Hou et al., 2005).

Per generatie m hebben de luchtwegen specifieke anatomische parameters (zie fig. 4.3) zoals de

straal r, de lengte `, de wanddikte h en het percentage kraakbeen (cartilage) in het wandweefsel

κ. In tabel 4.1 worden de parameterwaarden van een gezonde volwassene weergegeven (Weibel,

1963), (Sauret et al., 2002) en (Weibel et al., 2005).

Tabel 4.1: De anatomische parameters van de luchtwegen voor de verschillende generaties.

Generatie Naam Straal Lengte Wanddikte Cartilagem r (mm) ` (mm) h (mm) κ (%)

1 Trachea 8,00 100,00 3,724 67,00

2 Hoofdbronchi 6,00 50,00 1,735 50,00

3 Kwabsbronchi 5,50 22,00 1,348 50,00

4 Segmentsbronchi 4,00 11,00 0,528 33,00

5 Subsegmentsbronchi 3,65 10,50 0,409 25,00

6 Kleine bronchi 2,95 11,30 0,182 20,007 2,95 11,30 0,182 9,228 2,70 9,70 0,168 8,489 2,15 10,80 0,137 6,6910 1,75 9,50 0,114 5,25

11 Bronchioli 1,75 8,60 0,114 5,2512 1,55 9,90 0,103 4,4913 1,45 8,00 0,097 4,09

14 Bronchioli terminales 1,40 9,20 0,094 3,8915 1,35 8,20 0,091 3,69

16 Bronchioli respiratorii 1,25 8,10 0,086 3,2917 1,20 7,70 0,083 3,0818 1,09 6,40 0,077 2,62

19 Dd. alveolares 1,00 6,30 0,072 2,2420 0,90 5,17 0,066 0,0021 0,80 4,80 0,060 0,0022 0,70 4,20 0,055 0,0023 0,55 3,60 0,047 0,00

24 Alveoli 0,48 3,10 0,043 0,00

28


Figuur 4.3: De schematische voorstelling van een luchtwegtak splitsing.

4.3 Geforceerde oscillatietechniek

We maken gebruik van de geforceerde oscillatietechniek FOT om de luchtwegweerstand van de

proefpersonen te meten.

Figuur 4.4: De proefopstelling van de FOT.

De experimentele set-up bestaat uit een luidspreker (LS), een bias-tude (BT), een pneumota-

chograaf (PN) die het luchtdebiet tijdens het ademen meet, een biologische filter (bf) en een

druksensor (PT). Als ingang wordt een aandrijvingssignaal U(t) aangelegd en als uitgang wor-

den de druk P (t) en het debiet Q(t) opgemeten. Het aandrijvingssignaal is een multisinus met

verschillende frequenties tussen 4 en 48 Hz.

Deze trillingen worden op de spontane ademhaling van de proefpersoon gesuperponeerd om zo

de longen en de thoraxwand in beweging te brengen. Met behulp van de ter hoogte van de mond

geregistreerde druk- en debietoscillaties kan de weerstand van het ademhalingsstelsel berekend

29


worden. Aangezien we werken bij meerdere frequenties, kunnen we de frequentieafhankelijkheid

van de weerstand meten.

De verhouding van druk P over debiet Q geeft de impedantie van het totale ademhalingsstel-

sel ZRS. Deze bestaat uit de impedantie van de luchtwegen ZAW en de weefseldeformatie-

impedanties van longen thoraxwand ZTI . Hierbij staan de subscripten RS, AW en TI

respectievelijk voor het Engelse respiratory system, airway en tissue.

ZRS = ZAW + ZTI =P

Q(4.1)

De druk P die aan de mond gemeten wordt, wordt niet alleen aangewend om veranderingen in

volume en debiet teweeg te brengen, maar ook om de inertie van het gas in de luchtwegen te

overwinnen.

P = RRS ·Q+ ERS ·∫Q+ IRS ·

d

dtQ (4.2)

met RRS de wrijvingsweerstand, ERS de elasticiteit van de longen en de thoraxwand en IRS de

inertie van het gas. De integraal van het debiet is gelijk aan het volume V en de afgeleide van

het debiet aan de volumeacceleratie. Naast de elastantie ERS = ∆P/∆V in kPa/l gebruikt

men ook vaak de compliantie CRS = 1/ERS = ∆V/∆P in l/kPa als maat voor de elasticiteit

respectievelijk de stijfheid van de longen.

Er bestaan nog vele andere technieken om de luchtwegweerstand te meten, zoals het plaatsen

van een slokdarmballonnetje, de subtractietechniek van Mead en Whittenberger, de lichaam-

splethysmograaf, de interruptietechniek, etc (Demedts & Decramer, 1998). Bij al deze tech-

nieken is de rol van de inertie te verwaarlozen, aangezien de ademfrequentie in een interval van

0, 27 tot 0, 33 Hz ligt. Dit zijn zeer lage waarden en bijgevolg zijn ook de volumeacceleraties

klein. Bij de geforceerde oscillatietechniek liggen de frequenties van de oscillaties veel hoger,

zodat men de oscillaties van de spontane ademhaling kan onderscheiden. Het gas wordt bij

FOT dus sterk versneld, waardoor het drukverlies door de traagheid ervan wel in rekening moet

worden gebracht.

De luchtwegweerstand is dus de weerstand die de ademhalingsspieren moeten overwinnen bij

een ademteug. Het is een parameter voor de gezondheidstoestand van onze longen (Demedts

et al., 1999).

Bij het ouder worden neemt de inhoud van de bronchioli respiratorii en dd. alveolares toe en

die van de alveoli af. Het voor diffusie beschikbare oppervlak in de longen verkleint. Wegens

verouderingsprocessen gaat de longfunctie achteruit, de thorax wordt stijver en de long wordt

geleidelijk slapper. Bij een gezond persoon treedt deze achteruitgang op vanaf gemiddeld 25

jaar. Bij rokers treedt dit echter eerder op en is de jaarlijkse achteruitgang groter.

Bij obesitas vermindert de totale compliantie CRS doordat zowel de thoraxwand als de long

stijver worden. De luchtwegweerstand neemt toe, waardoor de ademhalingsspieren zwaarder

belast worden en soms inefficient beginnen te functioneren. Personen met overgewicht hebben

30


hierdoor vaak last van kortademigheid (Zerah et al., 1993).

Bij mensen met een longaandoening is de impedantie meestal toegenomen, waardoor de adem-

halingsspieren een grotere belasting moeten overwinnen. Enkele voorbeelden van obstructieve

longaandoeningen zijn astma en COPD. Astma wordt gekenmerkt door een vernauwing van de

luchtwegen met een verhoging van de luchtwegweerstand tot gevolg. COPD staat voor het

Engelse Chronic Obstructive Pulmonary Disease. Hierbij is er een chronische irritatie van het

longweefsel en de bronchien, waardoor er ontstekingsreacties optreden. Het longweefsel maakt

littekens aan en wordt hierdoor stugger en minder elastisch. Zowel bij astma als bij COPD

krijgt men moeite met uitademen.

31

Hoofdstuk 5

Elektrisch model voor de longen

Elke luchtwegtak op level m kan voorgesteld worden door een elektrisch circuit bestaande uit

een weerstand Rm, een spoel met inductantie Lm, een condensator met capaciteit Cm en een

conductantie Gm.

Figuur 5.1: De elektrische voorstelling van elke tak op level m.

De conductantie zorgt voor de demping en wordt in het verdere verloop niet meer in rekening

gebracht. De totale impedantie wordt dan in het Laplace domein:

ZRS m(s) = Rm + Lm · s+1

Cm · s(5.1)

met s = j · ω = j · 2πf , waarbij s de Laplace variabele is, j =√−1 de imaginaire eenheid, ω

de hoekfrequentie in rad/s en f de frequentie in Hz. Rm is de weerstand in kPa − s/l, Lmde inductantie in kPa− s2/l en Cm de capaciteit in l/kPa.

De inductantie Lm, die zorgt voor inertie, kan ook verwaarloosd worden, aangezien we in

deze masterproef de viscoelasticiteit in de longen wensen te bestuderen en deze enkel bij lage

frequenties voorkomt. Bijgevolg blijven enkel de weerstand Rm en capaciteit Cm over.

5.1 Elektrisch model

We kunnen nu de volledige longen eenvoudig omzetten naar hun elektrisch equivalent (zie

fig. 5.2). Merk op dat deze equivalentie steunt op morfologische eigenschappen zoals de

boomstructuur. We hebben ook impliciet verondersteld dat de longen symmetrisch zijn en alle

takken per generatie identiek zijn. De luchtwegen vertakken zich vanaf de trachea bij benadering

32

Hoofdstuk 5. Elektrisch model voor de longen

dichotoom. Maar de twee organen zijn echter niet helemaal symmetrisch; de rechterlong is

groter en bestaat uit drie kwabben, terwijl de linkerlong slechts twee kwabben heeft, zodat er

meer plaats overblijft voor het hart. Het is en blijft dus een benadering.

Figuur 5.2: De longstructuur en het elektrisch circuit.

Bovenstaand elektrisch circuit kunnen we vereenvoudigen tot een weerstand en een condensator

per level (zie fig. 6.2). We weten dat x weerstanden Rm en x condensatoren Cm in parallel

respectievelijk gelijk zijn aan een weerstand Rm/x en een condensator x·Cm. Bovendien hebben

we verondersteld dat de luchtwegen telkens op een tweedelige manier splitsen, waardoor er

2m−1 takken zijn per level m. De resulterende weerstanden en condensatoren per level worden

aangeduid met een superscript *.

R∗m =Rm

2m−1(5.2)

C∗m = 2m−1Cm (5.3)

5.2 Schematische voorstelling

Om een beter inzicht te krijgen, hebben we een schematische voorstelling gemaakt van het

elektrische model van de longen. Naast de elektrische parameters Rm en Cm, de lengte ` en

doorstroomoppervlakte Am = πr2m met rm de straal, worden ook de druk Pm en het debiet Qm

weergegeven. Deze laatste grootheden kunnen vergeleken worden met de spanning over en de

stroom door een geleider.

Zoals eerder vermeld wordt er bij het inademen een onderdruk gecreeerd ten opzicht van de

buitenlucht. Het drukverschil P over de volledige longen is de som van alle drukverschillen Pm

33


over de afzonderlijke generaties. Ten gevolge van deze onderdruk stroomt de lucht met een

debiet Q van links naar rechts; het komt level 1, de trachea, binnen en gaat via de bronchi en

bronchioli naar level 24, de alveoli. Bij elke splitsing van de luchtwegtakken deelt ook dit debiet

dichotoom in Qm = Q/2m−1.

Analoog als bij het elektrische circuit kunnen we ook deze schematische voorstelling vereenvou-

digen tot een tak per generatie m. We merken op dat de totale druk per generatie gelijk is aan

die van een luchtwegtak, maar dat het totale debiet per generatie gelijk is aan de sommatie

van de debieten door de luchtwegtakken.

P =24∑

m=1

Pm (5.4)

Q = 2m−1Qm, ∀m = 1...24 (5.5)

Figuur 5.3: Schematische voorstellingen van het elektrisch model van de longen.

5.3 Elektrische parameters

De elektrische parameters voor elke luchtwegtak berekenen we op basis van de luchteigen-

schappen en de geometrische en dynamische karakteristieken van de luchtwegen (Ionescu et al.,

2009b).

R = `µδ2

πr4M10

sin(ε10) (5.6)

C = `2πr3(1− ν2

P )

Eh(5.7)

34


L = `ρ

πr2M10

cos(ε10) (5.8)

met ` de lengte, r de straal en h de wanddikte (zie fig. 4.3). νP = 0, 45 is de Poissoncoefficient,

µ = 1, 86 ∗ 10−5 kg/m− s de dynamische viscositeit van lucht bij BTPS (BTPS staat voor het

Engelse Body Temperature, ambient Pressure, Saturated with water vapour), ρ = 1, 14 kg/m3

de luchtdichtheid bij BTPS en δ = r√

ωρµ

de dimensieloze Womersley parameter (Womersley,

1957). M10 en ε10 zijn respectievelijk de modulus en de fasehoek van de Besselfuncties van de

eerste soort en orde 0 en 1 (Relton, 1965), gegeven door:

M10ejε10 = 1− 2J1(δj3/2)

J0(δj3/2)δj3/2(5.9)

De effectieve elasticiteitsmodulus E per level is afhankelijk van de structuur van het luchtweg-

weefsel op dat level. Het weefsel bestaat namelijk uit een deel cartilage (index c) en een deel

zacht weefsel (index s), waarvan de elasticiteitsmoduli sterk verschillen; Ec = 400 kPa en

Es = 60 kPa. De fracties worden weergegeven door respectievelijk κ en 1− κ.

E = κEc + (1− κ)Es (5.10)

Per generatie m kunnen we zo dus de bijhorende Rm, Cm en Lm bepalen met de gegevens

uit tabel 4.1. Zoals reeds eerder gezegd, werken we enkel verder met de weerstanden en de

condensatoren.

In figuur 5.4 worden de verhoudingen van de elektrische parameters Rm en Cm tussen opeen-

volgende takken en van R∗m en C∗m tussen opeenvolgende levels weergegeven. Op basis van

deze gegevens kunnen we de recursieve formules afleiden.

Figuur 5.4: De verhoudingen van de elektrische parameters Rm en Cm tussen opeenvolgendetakken (links) en van R∗m en C∗m tussen opeenvolgende levels (rechts).

35


Rm

Rm−1

∼= 1, 4782± 0, 5177 ;R∗mR∗m−1

∼= 0, 7391± 0, 2588 (5.11)

CmCm−1

∼= 0, 8083± 0, 2546 ;C∗mC∗m−1

∼= 1, 6166± 0, 5092 (5.12)

De weerstand per opeenvolgende luchtwegtak stijgt; het verkleinen van de straal en dus het

nauwer worden van de doorstroomoppervlakte heeft meer effect dan het korter worden van

de takken, wat bijgevolg resulteert in meer wrijving, meer viskeuze en thermische verliezen.

Weerstand is bovendien een maat voor de verhouding van druk P in Pa en debiet Q in m3/s

(zie ook de vergelijkingen 4.1 en 5.1 en figuur 5.3). Een stijgende weerstand betekent dus een

dalend debiet in de luchtwegtakken; de lucht stroomt snel door de trachea en komt nagenoeg

tot stilstand in de alveoli.

De totale weerstand per opeenvolgende level daalt, aangezien het aantal takken per generatie

exponentieel stijgt. Van level tot level blijft het totale debiet quasi constant, wat resulteert in

een dalende druk. Ook dit is te verklaren; ter hoogte van de trachea is er een groot drukverschil

waardoor de lucht binnengezogen wordt. Ter hoogte van de alveoli is dit drukverschil zeer klein

waardoor er bijna geen stroming meer is en de gasuitwisseling tussen lucht en bloed door diffusie

kan plaatsvinden.

R =P

Q; [R] =

Pa · sm3

(5.13)

De capaciteit daalt per opeenvolgende luchtwegtak. In de onderste takken is opslag, compressie

en expansie van lucht dus minder mogelijk dan in de bovenste takken. Capaciteit is een maat

voor de verhouding van volume V in m3 en druk P in Pa en wordt ook wel compliantie

genoemd. Het volume van een longblaasje is inderdaad veel kleiner dan dat van de trachea.

De totale capaciteit stijgt echter per opeenvolgende level, opnieuw wegens het exponentieel

stijgen van het aantal takken. Hoewel het volume van een longblaasje niet zo groot is, zijn er

in totaal 223 alveoli die samen zorgen voor een immens grote opslag aan lucht. De compliantie

stijgt met toenemende generatie wat wil zeggen dat ze elastischer worden.

C =V

P; [C] =

m3

Pa(5.14)

We dienen op te merken dat het eigenlijk gaat over drukverschillen ∆P evenals veranderingen in

debiet ∆Q en volume ∆V . We zullen echter de ∆’s in het verdere verloop van deze masterproef

niet noteren.

Bij het bepalen van de initiele waarden van de trachea nemen we nu ook het effect van de

bovenste luchtwegen in rekening (Peslin et al., 1984). Hieruit volgt: R1 = 0, 2 kPa − s/l en

C1 = 0, 25 l/kPa. De parameters van de andere generaties volgen door toepassing van de

recursieve formules 5.11 en 5.12.

36

Hoofdstuk 6

Mechanisch model voor de longen

6.1 Equivalent mechanisch model

Gebruikmakend van de elektromechanische analogie (zie tabellen 3.1, 3.2 en 3.3), kunnen we

een equivalent mechanisch circuit construeren. Voor de uitwerking van deze overgang beperken

we ons tot de eerste twee levels. Voor het elektrisch systeem (zie fig. 6.1) geldt, met I en E

de Laplace getransformeerden van de stroom i en spanning e:

e0 = R1i1 + e1 (6.1)

e1 =R2

2i2 + e2

i1 = i2 + C1e1

i2 = 2C2e2

I2

I1

=2C2

C1 + 2C2 + C1C2R2s

E0

I1

=1 + C1R1s+ 2C2R1s+ C2R2s+ C1C2R1R2s

2

C1s+ 2C2s+ C1C2R2s2

Na het herschrijven voor het mechanisch systeem volgt er, met V en F de Laplace getransfor-

meerden van de snelheid v en kracht f :

f0 = B1v1 + f1 (6.2)

f1 =B2

2v2 + f2

v1 = v2 +1

K1

f1

v2 =2

K2

f2

V2

V1

=2K1

2K1 +K2 +B2s

F0

V1

=K1K2 + 2K1B1s+K1B2s+K2B1s+B1B2s

2

2K1s+K2s+B2s2

37

Hoofdstuk 6. Mechanisch model voor de longen

Bij deze vergelijkingen hoort het systeem zoals hieronder getekend:

Figuur 6.1: De eerste twee levels van het elektrisch en mechanisch circuit.

In figuur 6.2 wordt het elektrisch en het mechanisch model voor verscheidene levels weergegeven.

Figuur 6.2: Het elektrisch en mechanisch circuit.

38


Hoewel het eerste model goede resultaten geeft, steunt het hoofdzakelijk op morfologische

eigenschappen zoals de boomstructuur en wordt de inwendige geometrie van de longen niet

bewaard. De clinicus wil echter een eenvoudig en beknopt maar toch een voldoende accuraat

model waarmee hij kan bepalen of zijn patient een longafwijking heeft of niet. Bovendien

wil hij kunnen traceren waar het probleem zich bevindt en wat de oorzaken zijn. Op deze

vlakken schiet het elektrisch model tekort en wordt er overgegaan op het mechanische. Het

interessante aan dit model is dat de longfuncties gekarakteriseerd kunnen worden in termen

van hun mechanische eigenschappen zoals spanning, rek en visco-elasticiteit. Deze kunnen

dan direct gerelateerd worden aan veranderingen in de luchtwegen. Bij het mechanische model

hebben de verschillende componenten dus een meer specifieke fysische betekenis.

Voor de verdere studie van deze masterproef beperken we ons tot de respiratoire zone van level

16 tot en met 24, waar de gasuitwisseling door diffusie plaatsvindt.

Op het einde van de longen, bij generatie 24, sluiten we het circuit analoog als bij het elektrische

model met een gascompressie compartiment (Peslin et al., 1984), (Farre et al., 1989). Rekening

houdend met de tekortkomingen van het Kelvin-Voigt-element, voegen we een extra veer toe op

level 15 en equivalent een extra condensator in het elektrische model. We wensen namelijk een

constante rek te kunnen aanleggen en de spanningsrelaxatie te bekijken (zie paragraaf 3.3.2.2).

Figuur 6.3: Het elektrisch en mechanisch circuit van level 16 tot en met 24 met gascompressiecompartiment en extra condensator, respectievelijk extra veer.

39


6.1.1 Aansluitend model van Bates

(Bates, 2007) Longparenchym is visco-elastisch; de energie die toegevoerd wordt tijdens het

belasten wordt initieel elastisch opgeslagen, maar wordt geleidelijk verbruikt terwijl de micro-

structurele longelementjes zich herschikken tot een toestand van lagere globale energie. Dit

fenomeen kennen we als spanningsrelaxatie en wordt gebruikelijk gemodelleerd met meerdere

Maxwell-elementen in parallel (zie ook paragraaf 3.3.2.3). Hierbij zijn Ki de veerconstanten en

Bi de constante demperweerstanden.

Figuur 6.4: Het gebruikelijke model.

Wanneer we een stukje longweefsel onderwerpen aan een plotselinge constante rek en de loga-

ritme van de spanning op de initiele spanning S uitzetten tegenover de logaritme van de tijd t

dan bekomen we een curve die over verschillende decades van de tijd een rechte benadert. Met

k een positieve constante en A een (meestal niet-lineaire) functie van de statische spanning-rek

eigenschappen schrijven we het verband tussen S en t als een machtwet:

S = A · t−k (6.3)

Het is eenvoudig in te zien dat dit een rechte geeft op de logaritmische schaal:

log(S) = log(A)− k · log(t) (6.4)

Bij een constructie van parallelle Maxwell-elementen zal het spanningsverloop bij spannings-

relaxatie echter pas als een machtwet kunnen geschreven worden wanneer de respectievelijke

tijdsconstanten Bi/Ki hyperbolisch verdeeld zijn. Aangezien machtwetten ook de spannings-

relaxatie beschrijven van andere zachte weefsels en zelfs alomtegenwoordig zijn in de natuur,

lijkt deze strenge voorwaarde nogal onrealistisch.

40


De hierboven beschreven machtwet in onafhankelijk van de rek, ook al is de quasi-statische

spanning-rek relatie van het weefsel sterk niet-lineair. Zulk gedrag noemen we quasi-lineaire

visco-elasticiteit.

Het beschouwde model heeft naast het beschrijven van de spanningsrelaxatie als machtwet ook

problemen met het modelleren van deze quasi-lineaire visco-elasticiteit. Dit leidde Bates ertoe

op zoek te gaan naar een nieuw model (Bates, 2007).

Nieuw model

In zijn nieuw model herschikt Bates de Maxwell-elementen. Bovendien bekijkt hij de dempers

als zuigers die glijden in zeer korte cilinders en dus slechts over een eindige lengte kunnen

uitgerekt worden vooraleer de zuigers het contact met de cilinders verliezen. De veren hebben

een zeer kleine lengte in rust.

Figuur 6.5: Het nieuwe model van Bates.

Sequentialiteit

Dit nieuwe model van Bates is gebaseerd op een belangrijk kenmerk van machtwetten, namelijk

de sequentialiteit. Sequentialiteit betekent dat een bepaalde stochastische gebeurtenis pas kan

voorkomen nadat alle noodzakelijke voorafgaande gebeurtenissen gepasseerd zijn. Bovendien

heeft elke gebeurtenis zijn eigen probabiliteit van voorkomen en moet het voltooid zijn vooraleer

de volgende gebeurtenis in lijn van start gaat.

Denk bijvoorbeeld aan systemen die zichzelf organiseren; wanneer hun energie of spanning

41


continu blijft toenemen, zal op een bepaald moment de kritieke toestand bereikt worden. Het

systeem wordt onstabiel wat leidt tot een interne herschikking en op die manier wordt een

nieuwe stabiele situatie gecreeerd. Deze nieuwe situatie zal stand houden tot zijn eigen kritieke

toestand bereikt wordt en hij groen licht geeft aan de volgende situatie.

Een tweede voorbeeld van machtwetten dat duidelijk sequentialiteit vertoont, is het rijk-wordt-

rijker mechanisme. Dit mechanisme zou aan de basis liggen van de evolutie van veelbezochte

websites. Populariteit lokt populariteit uit. Dus om echt rijk te worden moet je al tamelijk rijk

zijn, wat op zichzelf vereist dat je al een beetje rijk bent enzovoort.

Wanneer we het oorspronkelijke model van parallelle Maxwell-elementen bekijken bij een stap in

de rek, zien we dat initieel alle veren evenveel uitgerekt worden en alle dempers nog onveranderd

blijven. Op een later tijdstip zullen de veren echter over verschillende lengtes uitgerekt zijn en

de dempers verschillende stadia bereikt hebben. Elk Maxwell-element draagt dus een stukje

van de totale spanning. Bijgevolg is van sequentialiteit geen sprake.

Bekijken we echter het nieuwe model bij een stap in de rek (zie fig. 6.6), dan zal initieel de

eerste veer uitgerekt worden terwijl in de eerste demper de zuiger geleidelijk verschuift. De rest

van het model blijft onveranderd tot op het ogenblik dat deze zuiger zijn cilinder verlaat. De

tweede veer neemt nu ook deel aan de verlenging, waardoor de spanning over de actieve veren

vermindert. Wanneer de tweede demper zijn kritieke toestand overschrijdt, wordt ook het derde

Maxwell-element actief enzovoort. Op deze manier wordt de spanningsrelaxatie van element

tot element doorgegeven en illustreert dit nieuwe model duidelijk de sequentialiteit.

Controle

We controleren nu of dit nieuwe model wel voldoet aan de twee tekorten van het model met

parallelle Maxwell-elementen.

Eerst kijken we na of spanningsrelaxatie kan geschreven worden als de machtwet S = A · t−k.

Het elastische gedrag van elke veer wordt gegeven door:

S = K ·∆xα (6.5)

met ∆x de verlenging van de veer en α de veerstijfheidsconstante (1 voor een veer die voldoet

aan de wet van Hooke en typisch groter dan 1 voor veren die biologisch weefsel modelleren).

We veronderstellen dat we een stukje longweefsel kunnen voorstellen door N veren in serie en

dat het uitgerekt wordt over een lengte L. De spanning over elke veer wordt dan:

S = K ·(L

N

)α(6.6)

42


Figuur 6.6: De evolutie van het nieuwe model bij een stap in rek.

Wanneer een bijkomende veer actief wordt, reduceert de verlenging van elke veer tot L/ (N + 1).

∆S = K ·(

L

N + 1

)α−K ·

(L

N

)α= K ·

(L

N

)α·[(

1 +1

N

)−α− 1

](6.7)

= K ·(L

N

)α·[− αN

+α · (α + 1)

2! N2− ...

]

≈ −αKN·(L

N

)α=−α

L ·K 1α

·[K ·

(L

N

)α]α+1α

=−α

L ·K 1α

· S α+1α

Vervolgens zoeken we een uitdrukking voor de tijd nodig om de spanning met ∆S te vermin-

deren. De zuigers kunnen slechts over een zeer korte afstand D verschuiven tot ze het contact

met de cilinders verliezen. De snelheid waarmee de zuiger zich verplaatsen is v tot de macht β

en B is de weerstand van de demper.

S = B · vβ met v ≈ D

∆t(6.8)

43


Hieruit volgt het gezochte tijdsinterval:

∆t = D ·B 1β · S− 1

β (6.9)

∆S en ∆t zijn nu gekend, bijgevolg kunnen we ze integreren. Met N0 het initiele aantal actieve

veren bekomen we volgende uitdrukking voor de spanning:

S =

(β · L ·K 1

α ·D ·B 1β

α + β

) αβα+β

·(β · L−αβ ·K− 1

β ·D ·B 1β ·N1+α

β

0

α + β+ t

)− αβα+β

(6.10)

We veronderstellen echter dat de orde van kleinheid van D veel groter is dan de orde van

grootheid van N0, waardoor de uitdrukking sterk vereenvoudigt en we ze als een machtwet

kunnen schrijven:

S ≈ A · t−k met A =

(β · L ·K 1

α ·D ·B 1β

α + β

) αβα+β

en k =αβ

α + β(6.11)

Het nieuwe model voldoet dus aan de eerste vereiste.

De tweede vereiste is dat de waarde k onafhankelijk is van de grootte van de uitgeoefende rek

op het weefsel, ook als het statische spanningsgedrag sterk niet-lineair is. We wensen namelijk

quasi-lineaire visco-elasticiteit te modelleren. In de bovenstaande vergelijking zien we duidelijk

dat k enkel afhangt van de veerstijfheidsconstante α en de demperweerstandconstante β, zodat

ook aan deze tweede voorwaarde voldaan is.

Er rest ons alleen nog op te merken dat dit nieuwe model van Bates (zie fig. 6.5) zeer sterk

gelijkt op ons mechanische model dat we afgeleid hebben uit het elektrische circuit vertrekkende

van de longstructuur (zie fig. 6.3).

6.2 Schematische voorstelling

We maken opnieuw een schematische voorstelling, maar deze keer van ons mechanische model.

Het is een eigen interpretatie die ons -hopelijk- een beter inzicht doet krijgen in het model.

Luchtwegtakken die in het elektrische model in serie of in parallel stonden, zijn in het mecha-

nische model respectievelijk in parallel en in serie verbonden (zie ook tabel 3.3). Naast de

mechanische parameters Bm en Km, de lengte ` en doorstroomoppervlakte Am = πr2m met rm

de straal, worden ook de kracht fm en de snelheid vm weergegeven.

Bij in- en expiratie vindt er een axiale kracht f plaats op de volledige longen. Deze kracht

is de som van alle krachten fm op de afzonderlijke generaties. Tengevolge van deze trek- of

druk-kracht zullen de longen uitrekken of samendrukken tegen een bepaalde snelheid v. Elke

generatie verandert even snel van lengte, maar per generatie m dragen alle 2m−1 luchtwegtakken

44


bij tot de totale snelheid. Elke luchtwegtak wordt dus langer of korter tegen een snelheid vm

= v/2m−1.

We kunnen deze schematische voorstelling opnieuw vereenvoudigen tot een tak per generatie

m. De totale kracht per generatie is hierbij gelijk aan die van een luchtwegtak. Om de totale

snelheid per generatie te kennen, moeten we de snelheden van de luchtwegtakken sommeren.

De totale kracht op en de totale snelheid van de volledige respiratoire zone wordt dan gegeven

door:

f =24∑

m=1

fm (6.12)

v = 2m−1vm, ∀m = 1...24 (6.13)

Figuur 6.7: Schematische voorstellingen van het mechanisch model van de longen.

45


Merk op dat we bij de vereenvoudigde schematische voorstelling onuitrekbare ontspannen dra-

den hebben getekend (Bates, 2007). Het longparenchym bestaat namelijk uit in elkaar geweven

stijve collageenvezels en elastische elastinevezels. Bij een lage rek is het merendeel van de

collageenvezels golvend en bijgevolg onder een lage spanning, terwijl de elastinevezels de span-

ning dragen. Wanneer de spanning stijgt, zullen geleidelijk meer en meer collageenvezels zich

uitstrekken en de spanning-dragende rol op zich nemen. Dit mechanisme is reeds in het me-

chanische model opgenomen.

De parallelle cilinders stellen de luchtwegtakken voor en zijn verbonden met onuitrekbare ont-

spannen draden. Wanneer er een trekkracht op het longweefsel uitgeoefend wordt, zullen deze

draden een voor een hun maximale lengte bereiken. Op het moment dat er een draad volledig

gespannen staat, zal de luchtwegtak die ermee verbonden is, uitgerekt worden. Enkel die lucht-

wegtakken met een gespannen draad helpen mee met het dragen van de spanning.

De rekbaarheid van de long wordt dus bepaald door de elastinevezels, terwijl het collageen, dat

virtueel onuitrekbaar is, de maximale longdimensies limiteert.

Aangezien de maximale lengte van de draden daalt met stijgende generatie (zie fig. 6.7), zullen

de alveoli eerder een rek en spanning ondervinden dan de bronchioli. Bij toenemende rek zal de

spanning dus initieel enkel door generatie 24 gedragen worden, daarna door de generaties 23

en 24, daarna door 22, 23 en 24 en zo wordt er verder naar boven uitgebreid.

6.3 Mechanische parameters

De mechanische parameters kunnen we berekenen op basis van de elektrische.

De dempingsconstante B en de veerstijfheid K zijn respectievelijk een maat voor de verhouding

van kracht f in N en snelheid v in m/s en voor de verhouding van kracht f in N en de

verplaatsing x in m.

B =f

v; [B] =

N · sm

(6.14)

K =f

x; [K] =

N

m(6.15)

De kracht f kunnen we gelijkstellen aan de druk P maal de oppervlakte AP . De snelheid v is

gelijk aan het debiet Q gedeeld door de oppervlakte AQ en de verplaatsing x aan het volume

V gedeeld door dezelfde oppervlakte AQ. Rekening houdend met vergelijkingen 5.13 en 5.14

krijgen we volgende vergelijkingen:

B =f

v=P

Q· APAQ = R · APAQ (6.16)

K =f

x=P

V· APAQ =

1

C· APAQ (6.17)

46


We kunnen deze factor APAQ berekenen. Intuıtief zouden we AP en AQ beiden gelijk nemen

aan het doorstroomoppervlak πr2 met r de straal.

De stijfheid K van een holle cilinder waarop axiale druk en trek worden uitgeoefend, kan als

volgt geschreven worden:

K =AdwarsE

`(6.18)

met ` de lengte en Adwars de dwarsdoorsnede van de holle cilinder

Adwars = πr2 − π (r − h)2 = 2πrh− πh2 ≈ 2πrh (6.19)

De elasticiteitsmodulus E kunnen we met behulp van vergelijking 5.7 schrijven in functie van

de capaciteit C met h de wanddikte en νP de Poissoncoefficient.

E = `2πr3(1− ν2

P )

hC(6.20)

Hieruit volgt:

K ≈ 2πrh`2πr3(1−ν2

P )

hC

`=

1

C· 4π2r4(1− ν2

P ) (6.21)

De gezochte factor APAQ is dus slechts op een constante na gelijk aan wat we intuıtief aan-

voelden. We hebben nu volgende formules voor de mechanische parameters afgeleid:

B = R · 4π2r4(1− ν2P ) (6.22)

K =1

C· 4π2r4(1− ν2

P ) (6.23)

Ter controle kijken we of de dimensies overeen komen (zie ook 5.13, 5.14, 6.14 en 6.15). Hierbij

geldt dat 1 Pa gelijk is aan 1 N/m2 en 1 l aan 10−3 m3.

[B] = [R] ·m4 =Pa · sm3

m4 =Ns

m(6.24)

[K] =1

[C]·m4 =

Pa

m3m4 =

N

m(6.25)

Analoog als voor het elektrisch geval geven we de verhoudingen van de mechanische parameters

Bm en Km tussen opeenvolgende takken en van B∗m en K∗m tussen opeenvolgende levels weer

en leiden we de recursieve formules af. Het superscript * heeft nog steeds dezelfde betekenis:

B∗m =Bm

2m−1(6.26)

K∗m =Km

2m−1(6.27)

47


Figuur 6.8: De verhoudingen van de mechanische parameters Bm en Km tussen opeenvolgen-de takken (links) en van B∗m en K∗m tussen opeenvolgende levels (rechts) voor derespiratoire zone.

Bm

Bm−1

∼= 0, 8886± 0, 0591 ;B∗mB∗m−1

∼= 0, 4443± 0, 0296 (6.28)

Km

Km−1

∼= 0, 9001± 0, 0656 ;K∗mK∗m−1

∼= 0, 4501± 0, 0328 (6.29)

Zoals onderaan paragraaf 5.3 uitgelegd, berekenen we de elektrische parameters van level 16

als volgt:

R16 = 0, 2 · 1, 478216−1 = 70, 3118kPa · s

l(6.30)

C16 = 0, 25 · 0, 808316−1 = 0, 0103l

kPa(6.31)

De mechanische parameters voor de respiratoire zone zijn vervolgens:

B16 = 70, 3118 · 106 · 4π2r416(1− ν2

P ) = 0, 0054Ns

m(6.32)

K16 =106

0, 0103· 4π2r4

16(1− ν2P ) = 0, 0075

N

m(6.33)

Bm = 0, 0054 · 0, 8886m−16 Ns

m,∀m = 17...24 (6.34)

Km = 0, 0075 · 0, 9001m−16 N

m,∀m = 17...24 (6.35)

48


Figuur 6.9: De parameters Bm en Km van een enkele ademhalingstak (links) en B∗m en K∗m vanhet volledige level (rechts) voor de generaties 16-24.

De dempingsconstante en de stijfheid per opeenvolgende luchtwegtak dalen beide quasi-lineair.

De alveoli zijn dus elastischer dan de respiratoire bronchioli. Dit gedrag was te voorspellen;

longparenchym bestaat namelijk uit in elkaar geweven collageenvezels dewelke oneindig stijf

zijn en zeer elastische elastinevezels. Elke generatie in de luchtwegen heeft een specifieke ba-

lans tussen deze twee componenten (zie de fractie κ in tabel 4.1). In ons model werd deze

balans in rekening genomen in vergelijking 5.10. Aangezien het percentage van het stijve car-

tilage vermindert naarmate het level stijgt, krijgen we een steeds elastischer gedrag.

De totale parameterwaarden dalen exponentieel per opeenvolgende level, wegens het exponen-

tieel stijgen van het aantal takken. Wanneer we ze, zoals in bovenstaande figuur, op een

logaritmische schaal plotten, verschijnt er opnieuw een quasi-lineair gedrag.

6.4 Origines van fractioneel gedrag

In paragraaf 2.2 werd fractionele order modelling besproken. We zagen dat deze systemen in

drie grote klassen kunnen onderverdeeld worden; ’Geometrie’, ’Diffusie’ en ’Visco-elasticiteit’.

Wanneer we naar de longen kijken, voldoen die niet aan de voorwaarden van een klasse maar aan

alle drie de criteria. We kunnen dus met grote zekerheid zeggen dat het ademhalingssysteem

beter door fractionele order systemen beschreven kan worden (Suki et al., 1994).

Geometrie:

Het ademhalingssysteem heeft de geometrische structuur van een fractaal gekenmerkt door

self-similarity en recursiviteit. Wanneer we inzoomen op de longstructuur blijft het patroon

van dichotoom splitsen zich steeds herhalen. Bovendien zagen we reeds dat de longen een

fractionele dimensie hebben tussen 1 en 2 (zie fig. 2.5).

49


Diffusie:

In de respiratoire zone, van generatie 16 tot en met 24, vindt de gasuitwisseling door diffusie

plaats, waarbij zuurstof vanuit de lucht wordt opgenomen in het bloed en koolstofdioxide wordt

afgegeven.

Visco-elasticiteit:

Longparenchym is visco-elastisch. Het nieuwe mechanische model is een combinatie van elas-

tische veren en viskeuze dempers. We verwachten dan ook dat het spanning-rek-diagram hys-

teresis zal vertonen.

Op een gelijkaardige manier als de elektrische impedantie Z(s) kunnen we de mechanische

impedantie H(s) berekenen (zie ook tabel 3.3). De mechanische impedantie definieren we als

de verhouding van F (input) op V (output). Hierbij zijn F en V de Laplace getransformeerden

van de kracht f in N en de snelheid v in m/s.

H(s) =F (s)

V (s)(6.36)

met s = jω de Laplace variabele, j =√−1 de imaginaire eenheid, ω = 2πf de hoekfrequentie

in rad/s en f de frequentie in Hz.

Voor een demper met dempingsconstante B in N − s/m, een veer met veerstijfheid K in N/m

en een massa M in N − s2/m gelden de volgende mechanische impedanties:

HB(s) = B (6.37)

HK(s) =K

s(6.38)

HM(s) = Ms (6.39)

Twee mechanische impedanties H1 en H2 in serie respectievelijk in parallel kunnen vereenvou-

digd worden tot de volgende totale impedanties:

Htot serie =H1H2

H1 +H2

(6.40)

Htot parallel = H1 +H2 (6.41)

Zoals eerder vermeld, sluiten we het circuit op het einde van de longen met een gascompressie

compartiment (Peslin et al., 1984), (Farre et al., 1989). Na omzetting van deze elektrische

impedantie naar zijn mechanisch equivalent, krijgen we voor Hgascompressie:

Hgascompressie(s) = 106 · 4π2r424(1− ν2

P )

(0, 05 +

1

6s+ 0, 06s

)(6.42)

50


We kunnen nu de mechanische impedanties van de generaties in de respiratoire zone berekenen.

Htot24(s) = HB24(s) +1

1HK24(s)

+ 1Hgascompressie(s)

(6.43)

Htot23(s) = HB23(s) +1

1HK23(s)

+ 1Htot24(s)

(6.44)

...

Htot17(s) = HB17(s) +1

1HK17(s)

+ 1Htot18(s)

(6.45)

Htot16(s) = HB16(s) +1

1HK16(s)

+ 1Htot17(s)

(6.46)

Figuur 6.10: De mechanische impedanties voor de respiratoire zone.

51


Wanneer we de amplitudes en de fasehoeken van deze transferfuncties in functie van de fre-

quentie uitzetten, krijgen we onderstaand Bodediagram.

Figuur 6.11: Het Bodediagram met de amplitudes en de fasehoeken van de mechanische impe-danties voor de respiratoire zone.

Zoals verwacht merken we fractioneel gedrag op in het Bodediagram, meer bepaald in het

frequentie-interval [10−2, 102] rad/s. Dit is tevens het interval waarin we geınteresseerd zijn,

namelijk dat van de ademhaling. De amplitude heeft een helling van ±20α dB/dec en het

argument gaat naar een constante fasehoek van ±απ/2 rad of ±α90° (zie vergelijkingen 2.11

en 2.12). Hierbij is α > 0 de fractionele orde.

Uit de grafieken lezen we af:

- een helling van −3 dB/dec

- een fasehoek van −13, 5°

We hebben dus te maken met een fractionele integraal s−α met α gelijk aan 0, 15.

52


6.5 Spanning-rek-relaties

6.5.1 Constante rek

Bij in- en expiratie wordt er een axiale kracht f uitgeoefend op de longen. Tengevolge van

deze trek- of druk-kracht ontstaat er een mechanische spanning σ. Deze zorgt ervoor dat

alle luchtwegtakken met oorspronkelijke lengte ` en straal r over een afstand ∆` uitgerekt of

samengedrukt worden.

De spanning σ is een maat voor de druk P , dewelke gedefinieerd wordt als de verhouding van

kracht f op oppervlakte AP . De rek ε definieren we als ∆` op `.

Vertrekkend van een ontspannen stukje longweefsel, oefenen we een constante rek uit die in

stappen van 10% toeneemt tot 100%.

ε =∆`

`=`nieuw − òud

òud(6.47)

De nieuwe lengte kunnen we dan als volgt berekenen:

`nieuw = (1 + ε)òud (6.48)

Hierbij noteren we expliciet het subscript oud dat wijst op de oorspronkelijke ontspannen toe-

stand.

We veronderstellen dat het volume van het longweefsel Vweefsel onveranderd blijft.

Figuur 6.12: Het longweefselvolume van een luchtwegtak op generatie m voor (blauw) en naaxiale rek (groen).

Wanneer de lengte van het weefsel dus vergroot, zal de straal verkleinen en omgekeerd. De

veranderingen van de wanddikte h zijn zodanig klein in vergelijking met die van de lengte en

53


de straal dat we ze zullen verwaarlozen.

Vweefsel = 2πroud`oudh = 2πrnieuw`nieuwh (6.49)

rnieuw =Vweefsel

2π`nieuwh=roud`oud`nieuw

(6.50)

De snelheid v waarmee de longen uitrekken of samendrukken is gelijk aan het debiet Q gedeeld

door het oppervlakte AQ. We beschouwen een constant debiet van 0, 5 l/s of 5 · 10−4 m3/s.

vnieuw =Q

AQ nieuw

=5 · 10−4

AQ nieuw

(6.51)

Aangezien de dempingsconstanten B en de veerstijfheden K tijdsinvariante materiaaleigen-

schappen zijn, zal de transferfunctie H onafhankelijk zijn van de rek. Deze mechanische im-

pedantie hebben we reeds eerder gedefinieerd als de verhouding van kracht f op snelheid v.

Bijgevolg geldt er voor de druk P na uitoefenen van de rek:

Pnieuw =fnieuwAP nieuw

=H · vnieuwAP nieuw

=H ·Q

AP nieuwAQ nieuw

(6.52)

Hierbij is AP nieuwAQ nieuw analoog als in vergelijking 6.21 gelijk aan:

AP nieuwAQ nieuw = 4π2r4nieuw(1− ν2

P ) (6.53)

met νp de Poissoncoefficient.

De relatie tussen de druk P en de spanning σ halen we uit de literatuur (Ionescu et al., 2009a).

P +h

r(1− ν2

p

)σ = 0 (6.54)

De spanning σ is dan gegeven door:

σnieuw = −Pnieuwrnieuw

(1− ν2

p

)

h(6.55)

Voor een gegeven rek kunnen we aan de hand van voorgaande vergelijkingen (6.48-6.55) achter-

eenvolgens de nieuwe lengte, straal, druk en spanning berekenen. We doen dit voor de volledige

respiratoire zone met de mechanische impedanties H gegeven in de vergelijkingen (6.43-6.46).

Hierbij wordt de frequentie respectievelijk gelijk genomen aan 0, 25 Hz en 4 Hz. De resulteren-

de spanningen in functie van de rek worden uitgezet in onderstaande spanning-rek-diagrammen.

De groene volle lijn ’tot24’ geeft de spanning weer voor het volledige level 24; alle alveoli

zitten daarin dus vervat. De blauwe onderbroken lijn ’tot23’ geldt voor de spanning over alle

luchtwegtakken van zowel level 23 als 24. De grijze volle lijn ’tot22’ omvat de totale spanning

voor de generaties 22, 23 en 24. En zo wordt er verder uitgebreid naar het bovenste level van

de respiratoire zone, namelijk level 16. Zie ook figuur 6.10 ter verduidelijking.

54


Figuur 6.13: De spanning-rek curves voor de respiratoire zone bij f = 0, 25 Hz.

Figuur 6.14: De spanning-rek curves voor de respiratoire zone bij f = 4 Hz.

Zoals verwacht stijgt de spanning met toenemende rek. Hoe meer generaties we in rekening

brengen in onze structuur, hoe hoger de waarden van de spanning-rek-curves. Dit fenomeen

55


is te wijten aan het stijgende percentage kraakbeenweefsel (cartilage) κ naarmate we van de

alveoli naar de bronchioli gaan (zie tabel 4.1).

We merken ook op dat de spanningen lager liggen bij grotere frequenties. Wanneer we het

mechanische model sterk reduceren tot een demper Bsimpel en een veer Ksimpel in parallel

bekomen we een Kelvin-Voigt-element (zie fig. 3.10). De zeer vereenvoudigde mechanische

impedantie Hsimpel kunnen we dan schrijven als:

Hsimpel(s) = Bsimpel +Ksimpel

s(6.56)

Hoe groter de frequentie f , hoe groter de Laplace variabele s = jω = j2πf en des te kleiner

de mechanische impedantie. Aangezien de spanning recht evenredig is met deze laatst genoem-

de, hebben we dus een verklaring gevonden voor het dalen van de spanningen bij stijgende

frequentie.

De bekomen resultaten zijn kwalitatief gelijkaardig aan die uit de literatuur (Suki et al., 1994),

(Maksym & Bates, 1997). Het is echter niet mogelijk ze kwantitatief te evalueren, aangezien

de resultaten in de literatuur steeds gebaseerd zijn op geexciteerde longweefselstrips in plaats

van volledige generaties luchtwegtakken.

6.5.2 Sinusoıdale rek

In de vorige paragraaf werd een constante rek uitgeoefend op de longen die in stappen van 10%

toenam tot 100%. We kunnen echter ook, analoog als in de theoretische paragraaf 3.3.1, het

nieuwe fractaal mechanische model belasten met een dynamische rekexcitatie.

Aangezien het nieuwe model bestaat uit zowel veren als dempers verwachten we een spanning-

rek-curve die een combinatie is van beide figuren 3.8. Bovendien bekijken we enkel de respi-

ratoire zone met visco-elastisch longparenchym, wat onze verwachtingen op een spanning-rek-

diagram als figuur 3.9 nog vergroot.

We belasten het longweefsel met een sinusoıdale rek met amplitude ε0 en belastingsfrequentie

ω = 2πf :

ε(t) = ε0 · sin(ωt) (6.57)

Dit resulteert in een sinusoıdale spanningsrespons (zie vergelijking 3.17). Wegens de goniome-

trische relatie sin(α+β) = cos(α)sin(β)+sin(α)cos(β) kunnen we deze respons herschrijven:

σ(t) = Ed · ε0 · sin(ωt+ δ) = ε0 · [Edcos(δ)sin(ωt) + Edsin(δ)cos(ωt)] (6.58)

met Ed de dynamische modulus en δ de verlieshoek.

We introduceren nu twee nieuwe grootheden, de opslagmodulus Edcos(δ) en de verliesmodulus

Edsin(δ). De spanning is bijgevolg opgebouwd uit twee bijdragen; een die, net als bij een

elastische stof, in fase is met de rekexcitatie en een die, net als bij een viskeuze stof, 90° voorijlt.

56


De benaming ’verliesmodulus’ wordt duidelijk wanneer we de hoeveelheid gedissipeerde energie

W berekenen in een cyclus:

W =

∫σdε =

∫ T

0

ε0 · [Edcos(δ)sin(ωt) + Edsin(δ)cos(ωt)] ε0sin(ωt)dt = πε20Edsin(δ)

(6.59)

met T = 1/f de periode van een cyclus.

De verbruikte energie is dus recht evenredig met de verliesmodulus. De opslagmodulus daaren-

tegen is een maat voor het vermogen om elastische energie op te slaan bij belasting en terug

volledig vrij te geven bij ontlasting.

Visco-elastische eigenschappen kunnen geanalyseerd worden met behulp van een frequentie-

afhankelijke complexe modulus E (Craiem & Armentano, 2007). We kunnen dit beschouwen

als de tegenhanger in het Laplace domein van de dynamische modulus in het tijdsdomein. Deze

complexe modulus heeft opnieuw een reeel en imaginair deel en definieren we als volgt:

E(jω) =σ(jω)

ε(jω)= ER(ω) + jEI(ω) (6.60)

Hierbij is ER, ook opslagmodulus genoemd, gerelateerd met de elastische respons van het

materiaal en EI , ook verliesmodulus genoemd, met het viskeuze gedrag.

Het Kelvin-Voigt model is het eenvoudigste visco-elastische model dat zowel energie kan opslaan

als verbruiken. Zoals reeds in paragraaf 3.3.2.2 beschreven, bestaat het uit een veer met

elasticiteitsmodulus E en een demper met viscositeitscoefficient η in parallel. De relatie tussen

spanning en rek is dan:

σ(t) = Eε(t) + ηdε(t)

dt(6.61)

Na Fouriertransformatie vinden we voor de complexe modulus:

E(jω) = E + jηω (6.62)

Hou dit in het achterhoofd en denk opnieuw aan het nieuwe fractaal mechanische model.

Indien we met behulp van de mechanische impedantie H(s) de complexe modulus E(s) kunnen

berekenen, hebben we de gezochte relatie tussen spanning en rek, weliswaar in het Laplace

domein. Na enige transformatie zouden we dus de spanning in functie van de rek kunnen

bepalen. Rest ons nog het verband te zoeken tussen de mechanische impedantie H(s) en de

complexe modulus E(s).

Beschouw een elastisch object dat vervaardigd is uit een materiaal met elasticiteitsmodulus E.

De stijfheid K van dit object is afhankelijk van zijn materiaaleigenschappen, maar ook van zijn

geometrie.

K =AdwarsE

`(6.63)

57


met Adwars de dwarsdoorsnede en ` de lengte van het voorwerp. De mechanische impedantie

H van dit elastische object is:

H(s) =K

s(6.64)

Wanneer we beide formules combineren en veralgemenen, vinden we volgend verband:

E(s) =`

AdwarssH(s) (6.65)

De sinusoıdale rek ε(t) = ε0 · sin(ωt) wordt na Laplace transformatie:

ε(s) = ε0ω

s2 + ω2(6.66)

Bijgevolg is alles gekend om de spanning te berekenen:

σ(s) = E(s)ε(s) (6.67)

σ(t) = £−1 σ(s) (6.68)

Hieronder zijn de resultaten weergegeven voor een dynamische rekexcitatie op het volledige long-

parenchym met achtereenvolgens een belastingsfrequentie ω gelijk aan 2π0, 25 rad/s en 2π4

rad/s. De vreemde strepen zijn het resultaat van de start- en stopeffecten van de simulaties.

Figuur 6.15: Het spanning-rek-diagram bij sinusoıdale rek ε(t) = ε0 · sin(2π0, 25t).

Het is duidelijk te zien dat er energie wordt gedissipeerd bij belasting van het longweefsel; de

ellipsvormige curve wijst op hysteresis. Wanneer er ingezoomd wordt op deze curve zien we

ook dat deze een bepaalde helling heeft. We accentueren dit door met een groene lijn de

lange as en de korte as van de ellips aan te duiden. De ’schuine stand’ van de curve betekent

58


dat er ook energie opgeslagen wordt tijdens de belasting. De resultaten voldoen dus aan onze

verwachtingen.

Figuur 6.16: Het spanning-rek-diagram bij sinusoıdale rek ε(t) = ε0 · sin(2π4t).

We merken ook op dat de ellipsvormige curve minder schuin staat bij grotere belastingsfre-

quenties ω. Wanneer we het mechanische model opnieuw sterk reduceren tot een Kelvin-Voigt-

element met een vereenvoudigde mechanische impedantie Hsimpel (zie vergelijking 6.56) wordt

de complexe modulus:

Esimpel(s) =`

Adwars(Bsimpels+Ksimpel) (6.69)

Hoe groter de hoekfrequentie ω, hoe groter de Laplace variabele s = jω en des te groter de

complexe modulus. De spanningen worden dus groter in verhouding met de rek bij stijgende

belastingsfrequentie.

De helling van de ellipsvormige curve is bovendien een maat voor de longfunctie. De span-

ningsrespons zal namelijk varieren naargelang er een gezond persoon, een astmapatient of

bijvoorbeeld een bejaarde getest wordt. Stel dat we het model kunnen optimaliseren en stan-

daardwaarden kunnen afleiden; door vergelijking met deze referentiewaarden zouden we zo

longziekten kunnen opsporen.

59

Hoofdstuk 7

Besluit en toekomstperspectieven

Fractionele order systemen kunnen onderverdeeld worden in drie grote klassen; ’Geometrie’,

’Diffusie’ en ’Visco-elasticiteit’. Wanneer we het ademhalingssysteem bekijken, valt vooral

de fractale longstructuur op. Onderaan de luchtwegen, ter hoogte van de alveoli, vindt er

gasuitwisseling door diffusie plaats. Bovendien beperken we ons in deze masterproef tot de

respiratoire zone bestaande uit visco-elastisch longparenchym. Alle redenen dus om fractioneel

gedrag te verwachten bij het modelleren.

Het menselijke ademhalingssysteem kan voorgesteld worden door een elektrisch model bestaan-

de uit weerstanden, spoelen en condensatoren. Met behulp van de elektromechanische analogie

wordt er in dit werk een equivalent mechanisch model ontworpen bestaande uit dempers en

veren. Het interessante aan dit model is dat de longfuncties gekarakteriseerd kunnen worden

in termen van hun mechanische eigenschappen zoals spanning, rek en visco-elasticiteit.

Een schematische voorstelling van het nieuwe model geeft ons inzicht over de werking van het

longweefsel bij in- en expiratie. Zo krijgen we meer duidelijkheid over de rol van elastinevezels

en collageenvezels; het eerste bepaalt de rekbaarheid van de long en het tweede limiteert de

maximale longdimensies.

De mechanische parameters worden berekend. Ze tonen aan dat de dempingsconstante en

de stijfheid per opeenvolgende luchtwegtak quasi-lineair dalen en per opeenvolgende generatie

exponentieel dalen.

Eens de parameters van het nieuwe fractale mechanische model gekend zijn, kunnen de mecha-

nische impedanties berekend worden. Wanneer we de amplitude en de fasehoek uitzetten in

functie van de frequentie in een Bodediagram komt het voorspelde fractionele gedrag van de

longen duidelijk naar voor. We kunnen besluiten dat het model een fractionele integraal bevat

van orde 0, 15.

Het mechanische karakter van het nieuwe model laat ons toe de spanning-rek-relaties te on-

derzoeken. Eerst wordt er een constante rek uitgeoefend die geleidelijk toeneemt in stappen

van 10% tot 100%. De spanningsrespons stijgt bij toenemende rek. Hoe meer generaties er

in rekening worden gebracht, hoe hoger de spanningswaarden ten gevolge van het stijgende

60

Hoofdstuk 7. Besluit en toekomstperspectieven

percentage stijve cartillage. De bekomen resultaten zijn kwalitatief gelijkaardig aan die uit de

literatuur. Het is echter niet mogelijk ze kwantitatief te evalueren, aangezien de resultaten

in de literatuur steeds gebaseerd zijn op geexciteerde longweefselstrips in plaats van volledige

generaties luchtwegtakken.

Daarna onderzoeken we hoe het model reageert op een dynamische rekexcitatie. Het samen-

spel van dempers en veren weerspiegelt het visco-elastische gedrag van het longparenchym. De

spanningsrespons is dan ook opgebouwd uit twee bijdragen; een deel dat energie dissipeert tij-

dens belasting en een deel dat zorgt voor opslag van elastische energie bij belasting en volledige

vrijgave ervan bij ontlasting. Wanneer we de spanning tegenover de rek uitzetten, verschijnt

de verwachte ellipsvormige curve wat wijst op hysteresis en dus verlies van energie. Boven-

dien heeft deze ellips een bepaalde helling wat wijst op opslag van energie. De resultaten zijn

opnieuw kwalitatief gelijkaardig aan die uit de literatuur, maar kwantitatief zijn we er niet in

geslaagd ze te evalueren.

Deze korte samenvatting van de voornaamste gedane taken en besluiten van deze masterproef

leidt automatisch tot enkele toekomstperspectieven.

Logischer wijze verwacht men dat fractionele order modellen een fractionele order controller

vereisen. Bovendien veronderstellen we dat er ook integer order modellen bestaan die beter

door fractionele order controllers gecontroleerd worden. Uit onderzoek blijkt echter dat aan

deze verwachtingen niet steeds is voldaan. Door verder onderzoek zouden we kunnen proberen

te begrijpen waarom en in welke gevallen fractionele order controllers beter zijn dan integer

order controllers.

Het nieuwe fractaal mechanische model voorziet de middelen om het fractionele gedrag te

bestuderen. Het model is echter ook in staat informatie te verschaffen over het effect van

veranderingen in de morfologie, door ouderdom of ziekte, op de fractionele order parameters.

Dit effect werd in deze masterproef nog niet onderzocht.

De spanningsrespons bij dynamische rekexcitatie is een maat voor de longfunctie. De vorm en de

helling van de ellipsvormige curve zal namelijk varieren naargelang er een gezond persoon, een

astmapatient of bijvoorbeeld een roker getest wordt. Stel dat we het model kunnen optimaliseren

en standaardwaarden kunnen afleiden. Door vergelijking met deze referentiewaarden zouden

we zo ademhalingsziekten kunnen opsporen. We zouden eventueel de hevigheid van gekende

longziekten kunnen bepalen of de verandering in longfunctie in functie van het toedienen of

veranderen van therapie. Hiervoor zouden we verder onderzoek moeten verrichten met reele

data.

De bekomen resultaten kunnen momenteel kwantitatief niet vergeleken worden met die uit de

literatuur. Dit probleem zou kunnen opgelost worden door slechts enkel luchtwegtakken per

generatie te beschouwen in plaats van de volledige levels. Op die manier worden de in de

literatuur beschreven longweefselstrips beter benaderd.

61

Hoofdstuk 7. Besluit en toekomstperspectieven

In deze masterproef hebben we de conductantie in het elektrische model niet beschouwd. Het

nieuwe mechanische model zou dus kunnen uitgebreid worden met een extra element, equivalent

aan deze conductantie. De eerste stappen van deze uitbreiding werden reeds gezet, maar zonder

betekenisvolle resultaten. Verder onderzoek is aangeraden.

De ideeen van dit nieuwe model zouden ook kunnen dienen voor het ontwerp van mechanische

modellen voor andere fractaal systemen, zoals bijvoorbeeld het bloedvatenstelsel.

Dit boeiende onderwerp heeft de toekomst vast en zeker nog veel te bieden!

62

Bijlage

Tijdens het schrijven van deze masterproef werd er ook een paper geschreven naar aanleiding

van The 31st Annual International IEEE EMBS Conference. Dit wetenschappelijk artikel met

als titel ’A mechanical model of soft biological tissue - An application to lung parenchyma - ’

handelt over het ontwerp van het nieuwe mechanische model en de spanning-rek resultaten.

Na het indienen van de paper werden er enkele foutjes opgemerkt in het programma, waardoor

de resultaten en conclusies kunnen verschillen van deze uit de masterproef.

Op 1 juni 2009 zal ons worden meegedeeld of het artikel al dan niet aanvaard is. Bij acceptatie

wordt de paper natuurlijk grondig onder de loep genomen en zullen alle fouten gecorrigeerd

worden.

Hierbij is de volledige paper toegevoegd.

63

Hoofdstuk 7. Bijlage

A mechanical model of soft biological tissue- An application to lung parenchyma -

Nele De Geeter, Clara Ionescu, Member, IEEE and Robin De Keyser

Abstract— This paper presents a mechanical model forbranching systems, with application to the respiratory system.Assuming a dichotomously branching tree, each airway tube ismodeled by a Voigt model (a spring in parallel with a dashpot)using morphological values. The model allows investigationson the viscoelastic properties within the context of inter-connections between levels of the respiratory tree. The resultsare in agreement with physiological expectancy. The modelpresented in this paper can be extended to more complex repre-sentations, such as including viscous effects and gas compressioncompartments. It can also serve to derive a mechanical modelfor other branching systems, i.e. the circulatory system.

I. INTRODUCTION

Viscoelasticity of lung parenchyma determines the me-chanical properties of the overall lung function. Lungparenchyma consists of tissue fibers interwoven in a networkof collagen and elastin strings [2], [6]. Since the system actsas a whole, it is important to characterize the mechanicalproperties as they propagate within consequent levels. Sev-eral research groups investigate the viscoelasticity of the lungparenchyma in animal and human studies (ex-vivo) [6], [9].Their investigations are based on excised lung tissue strips,neglecting the inter-connection to the rest of the system.

This study is a sequel from modeling the respiratorytree with an electrical equivalent [5]. By electro-mechanicalanalogy, a simple mechanical model can be derived. Themechanical model allows predictions upon the stress-strainrelationship calculated at the entrance of a level in therespiratory tree.

The paper is organized as follows. The respiratory tree andits modeling by the electrical equivalent is briefly explainedin the next section, along with the mechanical model deriva-tion for obtaining the stress-strain relation. Simulation resultsand their interpretation are detailed in the third section, whilea conclusion section summarizes the main outcome of thisinvestigation.

II. MODELS FOR THE RESPIRATORY TREE

There are two representative sets of morphological valuesfor the airways: the symmetric case and the asymmetric case.In this paper we treat the symmetric case, which assumesa dichotomously equivalent bifurcation of the airways insub-sequent levels [7], [8], [10], [11] as in Table I. Gasenters and leaves the lung through a bifurcating system

N. De Geeter, C. Ionescu and R. De Keyser are withthe Faculty of Engineering, Department of Electrical energy,Systems & Automation, Ghent University, Technologiepark913, 9052 Gent, Belgium [email protected];[email protected]; [email protected]

of tubes that get successively smaller in diameter (fractalstructure). The respiratory system consists of two zones: i)the conductive zone, from level 1 to 15, and ii) the respiratoryzone, from level 16 to 24, in which the air is involved in theprocess of gas exchange [4], [11]. For the purpose of thisstudy, we investigate the airways within the respiratory zone,corresponding to levels 16-24. In this zone, the oxygen anddioxide carbon exchange takes place between the air in thelung and the blood in the small-diameter blood vessels thatsurround the alveoli.

TABLE ITHE AIRWAY TUBE PARAMETERS, WITH DEPTH 24 DENOTING THE

ALVEOLI [8], [11].

Level Length Radius Wall thickness Cartilagem ` (cm) r (cm) h (cm) fraction κ16 0.810 0.125 0.0086 0.032917 0.770 0.120 0.0083 0.030818 0.640 0.109 0.0077 0.026219 0.630 0.100 0.0072 0.022420 0.517 0.090 0.0066 0.000021 0.480 0.080 0.0060 0.000022 0.420 0.070 0.0055 0.000023 0.360 0.055 0.0047 0.000024 0.310 0.048 0.0043 0.0000

A. Electrical Equivalent

By analogy to electrical networks, one can consider volt-age as equivalent for respiratory pressure P and current asequivalent for air-flow Q. Electrical resistances R representrespiratory resistance that occur as a result of airflow dis-sipation in the airways, electrical capacitors C representvolume compliance of the airways which allows them toinflate/deflate.

Thus, from the geometrical and mechanical characteristicsof the airway tube, and from the air properties, one canexpress the parameters for one airway tube [5]:

R = `µδ2

πr4M10

sin(ε10) (1)

C = `2πr3(1− ν2

P )Eh

(2)

with ` the length, r the radius, h the thickness, νP = 0.45the Poisson coefficient, µ = 1.8 ∗ 10−5 kg/m-s the viscosity,ρ = 1.075 kg/m3 the density and δ = r

√ωρµ the Womersley

parameter [12], where ω = 2πf and f is the frequency inHz. M10 and ε10 are respectively the modulus and phase

64


angle of Bessel functions of the first kind and order 0 and 1[1], denoted by:

M10eε10 = 1− 2J1(δj3/2)

J0(δj3/2)δj3/2(3)

in which j =√−1 is the complex number. The effective

elastic modulus is considered in function of the airway tissuestructure:

E = κEc + (1− κ)Es (4)

taking into account the fraction amount κ of correspondingcartilage tissue (index c) and soft tissue (index s) for eachlevel (see Table I) and with Ec = 400 kPa, Es = 60 kPa[5].

Using (1-2), the equations for the electrical model aregiven by:

e0 = R1i1 + e1; e1 =R2

2i2 + e2 (5)

i1 = i2 + C1e1; i2 = 2C2e2 (6)

with e the voltage and i the current represented as in Figure2.

Fig. 1. A schematic representation of the electrical model for the lungparenchymal tissue (starting from level 16).

TABLE IITHE ELECTROMECHANICAL ANALOGY.

Electrical MechanicalVoltage e [V ] Force f [N ]Current i [A] Velocity v [m/s]Resistance R [Ω] Damping constant B [Ns/m]Capacitance C [F ] Spring constant 1/K [m/N ]Inductance L [H] Mass M [kg]

B. Mechanical Equivalent

Using the electromechanical analogy from Table II, wecan derive an equivalent mechanical model. This can bedone starting from the electrical model equations (5-6). Theelectrical element (RC series) corresponds to the mechanical

Fig. 2. An illustrating example of the first two levels in the electrical andthe mechanical networks.

Voigt element (spring in parallel with dashpot):

f0 = B1v1 + f1; f1 =B2

2v2 + f2 (7)

v1 = v2 +1

K1f1; v2 =

2K2

f2 (8)

The values of resistors and capacitors are calculated withthe model from figure 2 and relations (1-2): R16 = 1.57kPa − s/l and C16 = 3.06e−6 l/kPa. From these valuesone can calculate the equivalent B∗m and K∗

m values, takinginto account that R∗m = Rm/2m−1 and C∗m = 2m−1Cm

respectively. The superscript ∗ denotes a single branch inthe respiratory level represented by the subscript.

B∗m =fm

vm=

Pm

QmA2

m = R∗mA2m (9)

K∗m =

fm

xm=

Pm

VmA2

m =A2

m

C∗m(10)

with P the pressure in Pa, Q the flow in m3/s, V the volumein m3, Am = πr2

m the area, rm the radius of a tube atlevel m and x the axial displacement. Figure 3 depicts theevolution of the parameters in a single tube at a certain levelm, whereas figure 4 depicts their evolution in the entire level.

Fig. 3. Parameter evolution in singular tubes, for levels 16–24.

65


Fig. 4. Parameter evolution in the entire level, for levels 16–24.

In a similar manner as the electrical impedance is cal-culated, one may obtain H(s), which defines the relationfrom velocity (input) to force (output) f(s)/v(s), with s theLaplace operator. For one damper and one spring, we havethat:

H(s) = B +K

s(11)

Due to the fact that the network is dichotomous andsymmetric, we can obtain the total mechanical impedanceusing recurrent forms as in Figure 2, with B∗m and K∗

m

calculated with (9),(10). As in Figure 2, the Voigt elementscorresponding to one level are in parallel. Thus their transferfunction Hm will be then in series with the spring of thelevel m − 1. The next corresponding transfer function is inparallel with the damper of level m− 1. In this manner, thetotal transfer function H(s) can be determined, starting atlevel 24 with a rigid dashpot (similar to a short circuit in theelectrical model).

Fig. 5. A schematic representation of the mechanical model for the lungparenchymal tissue (levels 16–24).

The lung parenchyma consists of interwoven collagen(infinitely stiff) and elastin (elastic) fibers. Each level in therespiratory tree has a specific balance between these twocomponents. In our model we take this balance into accountin (4), in function of the cartilage percent (Table I). Followingthis reasoning, a similar representation of the mechanicalmodel is given in Figure 5. Here, the cylinders represent thecollagen fibers within one level, which are interconnectedwith elastin fibers, represented by inextensible unstressedstrings. This representation varies from that of Bates in thatit represents the total collagen-elastin distribution in a leveland not in a single tissue strip [2].

C. Stress-strain derivation

The elastic modulus is defined as the ratio between stressand strain properties. The Voigt body is the simplest vis-coelastic model that can store and dissipate energy, consist-ing of a perfectly elastic element (i.e. spring) arranged inparallel with a purely viscous element (i.e. dashpot). Thecorresponding differential equation is given by:

σ(t) =K`

Aε(t) +

B`

A

dε(t)dt

(12)

with σ the stress, ε the strain, ` the length, A the area andK, B the constants of the spring and dashpot, respectively[3]. The stress can be defined as pressure, whereas the latteris given by force distribution over the area. The strain ε isdefined as the ratio of the change in length over the initiallength: ∆`/`. Starting with an unstressed tissue, we apply astrain that increases in steps of 10% until it reaches 100%.The new length can be calculated as:

`new = (1 + ε)`old (13)

with the subscript old denoting the unstressed properties.Assuming a constant tissue volume Vt, the radius willdecrease:

rnew =Vt

2π`newh=

rold`old

`new(14)

We neglect the changes in the thickness h of the tube wallwith changes in the strain. Applying an oscillatory flow Qof constant amplitude 0.5 l/s and a frequency of 5 Hz, thevelocity v can be calculated as:

vnew =5 · 10−4

Anew(15)

Since the B’s and K’s are time-invariant material properties,the transfer function H will be independent of the strain. Theelongation of the tube can be expressed as:

P +h

r(1− ν2

p

)(

K`

Aε +

B`

A

dε

dt

)= 0 (16)

with νp the Poisson coefficient. The pressure P and the stressσ are then given by:

Pnew =fnew

Anew=

vnewH

πr2new

(17)

σnew = −Pnew

rnew

(1− ν2

p

)

h(18)

66


Now the stress and strain properties can be evaluated using(13-18).

III. RESULTS AND DISCUSSION

Using the formulas from section II-C, one obtains thestress-strain curves depicted in Figure 6. The strain is in-creased in steps of 10% from 10 to 100%. Starting from level24, one can then calculate the stress-strain curve at the inputof each level. This then will give rheological information inthe context of all levels interconnected.

Fig. 6. The stress-strain curves. The horizontal arrows indicate the directionof the elongation and the vertical arrow denotes the evolution in each level,from 24 to 16.

As expected, the stress increases with the degree ofelongation applied to the entire structure. The more levels wehave in our structure, the higher the values of the stress-straincurve, due to higher amount of cartilage tissue (collagen).This is also illustrated in Figure 5. The obtained results arequalitatively similar to those reported in literature [6], [9].Quantitatively, it is not possible to make an evaluation of ourmodel, since the values reported hitherto in the literature arebased on excised tissue strips.

Biological tissue is essentially viscoelastic. Following apressure-diameter analysis, a hysteresis loop is evident, re-vealing the viscous behavior [2]. In our simulation this isnot the case. The reason for the absence of the hysteresis isexplained by the absence of viscous losses in our model. Inthe electrical equivalent, the losses could be represented byadding a conductance in parallel with a capacitance in themodel of the airway wall [5]. In the mechanical equivalent,the viscous losses are represented by the imaginary partof the elastic modulus (dissipation modulus) (12). In thissimulation, we neglect the dissipation modulus and weevaluate solely the storage modulus [3]. Another limitationin our study is the absence of diffusion [4]. The last levelis closed with a rigid dashpot (similar to a short-circuitin the electrical model), whereas gas compression shouldbe included to express the diffusion phenomena. Both theinclusion of hysteresis and gas compression compartment inour model are ongoing research topics.

IV. CONCLUSIONS

A mechanical equivalent is derived in this paper, based onan electrical symmetrical model of the respiratory tree. Thenovel contributions are twofold: i) the elements are calculatedwith morphological values and preserve the geometry of thelungs, and ii) the stress-strain properties are evaluated atevery level, but they are inter-related with the consequentlevels within the network.

The model presented in this paper can possibly be ex-tended to more complex representations, such as includingviscous effects and gas compression compartments. It canalso serve to derive a mechanical model for other branchingsystems, i.e. the circulatory system.

REFERENCES

[1] M. Abramowitz, I.A Stegun Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: DoverPublications, ISBN 978-0-486-61272-0, (1972)

[2] J. Bates, ”A recruitment model of quasi-linear power-law stressadaptation in lung tissue”, Annals of Biomedical Engineering, 35:1165-1174, (2007)

[3] D. Craiem, R.L. Armentano, ”A fractional derivative model to describearterial viscoelasticity”, Biorheology, 44: 251-263, (2007)

[4] C. Hou, S. Gheorgiu, M.O. Coppens, V. Huxley, P. Pfeifer, ”Gasdiffusion through the fractal landscape of the lung: how deep doesoxygen enter the alveolar system?”, in Fractals in Biology andMedicine, vol IV, Eds: Losa G., Merlini D., Nonnenmacher T., WeibelE.R., Berlin: Birkhaser, 17-30, (2005)

[5] C. Ionescu, P. Segers, R. De Keyser, ”Mechanical properties of therespiratory system derived from morphologic insight”, IEEE TransBiomed Eng, in print, DOI: 10.1109/TBME.2008.2007807, (apr 2009)

[6] G. Maksym, J. Bates, ”A distributed nonlinear model of lung tissueelasticity”, J Appl Physiol, 82(1), 32-41, (1997)

[7] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, NY: Freeman and Co,(1983)

[8] V. Sauret, P. Halson, I. Brown, J. Fleming, A. Bailey, ”Study of thethree-dimensional geometry of the central conducting airways in manusing computed tomographic (CT) images”, Journal of Anatomy, 200:123-134, (2002)

[9] B. Suki, A.L. Barabasi, K. Lutchen, ”Lung tissue viscoelasticity: amathematical framework and its molecular basis”, J Appl Physiol,76(6): 2749-2759, (1994)

[10] E.R. Weibel, Morphometry of the human lung, Berlin:Springer, (1963)[11] E.R. Weibel, ”Mandelbrot’s fractals and the geometry of life: a tribute

to Benot Mandelbrot on his 80th birthday”, in Fractals in Biology andMedicine, vol IV, Eds: Losa G., Merlini D., Nonnenmacher T., WeibelE.R., Berlin: Birkhaser, 3-16, (2005)

[12] J. R Womersley, ”An elastic tube theory of pulse transmission andoscillatory flow in mammalian arteries”. Wright Air DevelopmentCenter, Technical Report WADC-TR56-614, (1957)

67

Bibliografie

Bagley R.L. & Torvik P. (1984). On the appearance of the fractional derivative in the

behavior of real materials. Journal of Applied Mechanics, 51:294–298.

Bates J.H.T. (2007). A recruitment model of quasi-linear power-law stress adaptation in lung

tissue. Annals of Biomedical Engineering, 35(7):1165–1174.

Battaglia J.L., Cois O., Puigsegur L. & Oustaloup A. (2001). Solving an inverse

heat conduction problem using a non-integer identified model. International Journal of Heat

and Mass Transfer, 44:2671–2680.

Bouchard J.P. & Georges A. (1990). Anomalous diffusion in disorder media. Physics

Reports, 195:127–293.

Breedveld P.C. & Hogan N., Mechatronics: An introduction. Chapter 8: The physical basis

of analogies in physical system models. Taylor and Francis, 2006.

Cheever E. (2005). Analogous electrical and mechanical systems. scriptie, Department of

engineering, Swarthmore College.

Craiem D. & Armentano R.L. (2007). A fractional derivative model to describe arterial

viscoelasticity. Biorheology, 44:251–263.

Craiem D., Rojo F.J., Atienza J.M., Armentano R.L. & Guinea G.V. (2008a).

Fractional-order viscoelasticity applied to describe uniaxial stress relaxation of human arteries.

Physics in medicine and biology, 53:4543–4554.

Craiem D.O., Rojo F.J., Atienza J.M., Guinea G.V. & Armentano R.L. (2008b).

Fractional calculus applied to model arterial viscoelasticity. Latin American applied research,

38:141–145.

Del-Castillo-Negrete D., Carreras B.A. & Lynch V.E. (2004). Fractional diffusion

in plasma turbulence. Physics of Plasmas, 11:3854–3864.

Demedts M. & Decramer M., Longfunctieonderzoek: Technieken, toepassingen, interpreta-

ties. Hoofdstuk 6: Luchtwegweerstand. Garant Uitgevers NV, Leuven/Apeldoorn, 1998.

68

Bibliografie

Demedts M., Dijkman J.H., Hilvering C. & Post D., Longziekten. Hoofdstuk 6.1:

Groei, veroudering, zwangerschap en obesitas. Van Gorcum, Assen/The Netherlands, 1999.

Eke A., Herman P., Kocsis L. & Kozak L.R. (2002). Fractal characterization of com-

plexity in temporal physiological signals. Physiological measurement, 23:R1–R38.

Farre R., Peslin R., Oostveen E., Suki B., Duvivier C. & Navajas D. (1989).

Human respiratory impedance from 8 to 256 hz corrected for upper airway shunt. Journal of

Applied Physiology, 67(5):1973–1981.

Funk J.R., Hall G.W., Crandall J.R. & Pilkey W.D. (2000). Linear and quasi-

linear viscoelastic characterization of ankle ligaments. Journal of Biomechanical Engineering,

122:15–22.

Hou C., Gheorgiu S., Coppens M.O., Huxley V. & Pfeifer P. (2005). Gas diffusion

through the fractal landscape of the lung: how deep does oxygen enter the alveolar system?

Fractals in Biology and Medicine, 4:17–30.

Ionescu C., Kosinski W. & De Keyser R. (2009a). Viscoelasticity and fractal structure

in a model of human lungs. Archives of Mechanics. Submitted.

Ionescu C., Segers P. & De Keyser R. (2009b). Mechanical properties of the respira-

tory system derived from morphologic insight. IEEE Transactions on Biomedical Engineering,

54(4):949–959.

Jumarie G. (2008). From self-similarity to fractional derivative of non-differentiable functions

via mittag-leffler function. Applied Mathematical Sciences, 2(40):1949–1962.

Knabner P. & Angermann L., Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential

equations. Chapter 0: For example: Modelling processes in porous media with differential

equations. Springer Berlin Heidelberg, 2003.

Licinio P. & Teixeira A.V. (1997). Anomalous diffusion of ideal polymer networks. Physical

Review E, 56:631–634.

Losa G.A., Merlini D., Nonnenmacher T.F. & Weibel E.R., Fractals in biology and

medicine, Vol. IV. Birkhauser Press, Berlin, 2005.

Loverro A. (2004). Fractional calculus: History, definitions and applications for the engineer.

scriptie, Department of Aerospace and Mechanical Engineering, University of Notre Dame.

Maksym G.N. & Bates J.H.T. (1997). A distributed nonlinear model of lung tissue elasticity.

Journal of Applied Physiology, 82(1):32–41.

Mandelbrot B., The fractal geometry of nature. Freeman, San Francisco, 1982.

69

Bibliografie

Metzler R. & Klafter J. (2000). The random walk’s guide to anomalous diffusion: A

fractional dynamics approach. Physics Reports, 339:1–77.

Monje C.A., Vinagre B.M., Feliu V. & Chen Y. (2008). Tuning and auto-tuning

of fractional order controllers for industry applications. IFAC Journal of Control Engineering

Practice, 16:798–812.

Peslin R., Duvivier C. & Jardin P. (1984). Upper airway walls impedance measured with

head plethysmograph. Journal of Applied Physiology: Respiratory, Environmental and Exercise

Physiology, 57(2):596–600.

Podlubny I., Fractional differential equations. Academic Press, New York, 1999.

Polyakov K.A. (2008). The electromechanical analogy method for characterization of the

rheological properties of polymer materials. Fibre Chemistry, 40(2):113–117.

Raicu V. & Popescu A., Integrated molecular and cellular biophysics. Chapter 5.3: Fractal

diffusion and the law of mass action. Springer, 2008.

Relton F., Applied Bessel functions. Dover Publications, New York, 1965.

Rossikhin Y.A. & Shitikova M.V. (2006). Analysis of damped vibrations of linear viscoelas-

tic plates with damping modeled with fractional derivatives. Signal Processing, 86:2703–2711.

Sauret V., Halson P., Brown I., Fleming J. & Bailey A. (2002). Study of the three-

dimensional geometry of the central conducting airways in man using computed tomographic

(ct) images. Journal of Anatomy, 200:123–134.

Strogatz S.H., Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry,

and engineering. Chapter 11: Fractals. Perseus Books, Cambridge University Press, 1994.

Suki B., Barabasi A.L. & Lutchen K.R. (1994). Lung tissue viscoelasticity: A mathe-

matical frame-work and its molecular basis. Journal of Applied Physiology, 76(6):2749–2759.

Tarasov V.E. (2008). Universal electromagnetic waves in dielectric. Journal of Physics,

20:175–223.

Tun M.M. (2008). Controlling the human respiratory system: integer or fractional order con-

troller? scriptie, Faculty of Engineering, University of Ghent.

Weibel E.R., Morphometry of the human lung. Springer, Berlin, 1963.

Weibel E.R., Losa G., Merlini D. & Nonnenmacher T. (2005). Mandelbrot’s fractals

and the geometry of life: a tribute to benoıt mandelbrot on his 80th birthday. Fractals in

Biology and Medicine, 4:3–16.

70

Bibliografie

Womersley J.R., An elastic tube theory of pulse transmission and oscillatory flow in mamma-

lian arteries. Wright Air Development Center, Technical Report WADC-TR56-614, 1957.

Zaslavsky G.M. (2002). Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport. Physics Reports,

371:461–580.

Zerah F., Harf A., Perlemuter L., Hubert L., Lorino A.M. & Atlan G. (1993).

Effect of obesity on respiratory resistance. Chest, 103:1470–1476.

71

Het ontwerp van een fractaal mechanisch model voor de longen

Documents

Transcript of Het ontwerp van een fractaal mechanisch model voor de longen