HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS -...

41
HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS SEPTEMBER 2011 FACULTEIT EWI TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

Transcript of HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS -...

Page 1: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS

SEPTEMBER 2011 FACULTEIT EWI

TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

Page 2: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Inhoud Inleiding Aansluiting Voorbeeldtoets Oefenmateriaal

Instaptoets Opfristraject Belangrijke data en roosters Voorbeeldtoets Verwijzingen Calculus Stewart Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths Digitaal oefenmateriaal Review of Algebra Uitwerkingen voorbeeldtoets Antwoorden voorbeeldtoets

Page 3: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Inleiding Aansluiting In het eerstejaars wiskunde-onderwijs (met name het analyse-onderwijs) wordt er vaak een beroep gedaan op voorkennis die je op school opgedaan hebt. Er zal wel eens wat weggezakt zijn en ook formules die je vroeger met je grafische rekenmachine uitvond heb je misschien niet paraat. Als je met een aantal veel voorkomende zaken niet handig en snel kunt omgaan (of zelfs geen idee hebt dat daar wel eens een formule voor zou kunnen zijn), dan heb je daar bij het analyse-onderwijs veel last van. Vergelijk het maar met een taal: als je Engels gaat studeren schiet het niet erg op als je de vervoegingen van to be iedere keer moet opzoeken. Je maakt het jezelf moeilijker dan nodig wanneer je een bepaalde hoeveelheid kennis en vaardigheden niet paraat hebt. Voorbeeldtoets Na de inleiding vind je een voorbeeldtoets met 22 opgaven. Ze hebben betrekking op kennis en vaardigheden die in het eerstejaar analyse-onderwijs geregeld aan de orde komen. We hebben geprobeerd juist die dingen te vragen die veel voorkomen. We vragen je de opgaven te maken zonder een grafische rekenmachine te gebruiken. Niet omdat die bij het analyse-onderwijs verboden zou zijn, want die mag je bij het onderwijs en bij het maken van tentamens met open vragen gewoon gebruiken. Maar ook hiervoor geldt: het schiet niet op als je een grafische rekenmachine voor de simpelste berekeningen nodig hebt. Oefenmateriaal De toets is in de eerste plaats letterlijk een test voor jezelf: wat kan en weet ik vlot, wat weet ik nog wel zo’n beetje maar kost me moeite, en wat ben ik toch wel kwijt. Ons advies: als je merkt dat je bepaalde zaken niet meer weet of beheerst, doe daar dan wat aan. De antwoorden van de voorbeeldtoets staan achterin, inclusief uitwerkingen van de opgaven. Je kunt nu zelf zien wat je vlot beheerst en waar misschien nog (of weer?) wat gebreken zitten. Na de toets vind je ook suggesties voor oefenmateriaal (ook online) inclusief verwijzingen per opgave van de voorbeeldtoets. Je kunt die gebruiken door bij die onderdelen waar je moeite mee had de achterliggende theorie nog eens te bekijken en oefenopgaven te maken. Van een paar regels vermelden we dat het handig is die uit je hoofd te kennen. Het voor de hand liggende advies is natuurlijk om indien nodig daar snel wat aan te doen. Op blackboard is het oefenmateriaal te vinden onder het vak met code wi1000. Instaptoets Afhankelijk van de studie die je volgt, krijg je tijdens een van de eerste collegeweken een instaptoets voorgelegd. De voorbeeldtoets uit deze hand out lijkt op zo’n instaptoets. De opgaven zijn om praktische redenen in meerkeuzevorm gegoten. Bij die instaptoets krijg je een antwoordformulier, waarop je het (volgens jou) juiste alternatief moet aangeven, wederom zonder gebruik te maken van grafische rekenmachine. Op het antwoordformulier wordt ook gevraagd je studierichting en studienummer op te geven. Noteer op een kladblaadje welke alternatieven je hebt aangekruist, dan kun je later nog zien welke opgaven je goed en welke je fout had. Opfristraject Voor de opleidingen van de faculteiten TNW en 3ME is er voor studenten die de instaptoets niet voldoende maken, de mogelijkheid om deel te nemen aan een opfristraject in week 3 tot en met 6. In een viertal bijeenkomsten, het zogeheten opfristraject, wordt er onder begeleiding van studentassistenten geoefend met het maken van opgaven. Vervolgens is er een tweede mogelijkheid om een instaptoets voldoende af te leggen. De genoemde faculteiten stellen het op enig moment met voldoende resultaat afleggen van een instaptoets als voorwaarde voor het toekennen van een cijfer voor het vak Analyse. Ook al heb je de instaptoets nog niet voldoende gemaakt, dan mag je natuurlijk gewoon meedoen met de tentamens van het vak Analyse. Het behaalde cijfer krijg je echter pas als je een instaptoets voldoende hebt gemaakt. Meer informatie over het opfristraject vind je op Blackboard onder vakcode wi1000. (Voor 3ME is de vakcode wi1250wbmt deel 1). Belangrijke data en roosters

Page 4: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

De data en roosters van het opfristraject kun je het beste Blackboard (blackboard.tudelft.nl onder eerder genoemde vakcodes wi1000 en wi1250wbmt deel 1) of je rooster in de gaten houden. Voor de eerste toets in september hoef je je niet aan te melden. Voor de herkansingen in oktober en januari wel.

Page 5: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Technische Universiteit Delft

Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

Mekelweg 4, Delft

Voorbeeldtoets

Lees zorgvuldig onderstaande punten door

• Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van uw parate kennis en uw beheersing vanenkele basisvaardigheden van de wiskunde op het huidige moment.

• Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.

• De toets bestaat uit 22 meerkeuzevragen. Bij iedere vraag is een van de vier mogelijkhedengoed.

• De tijdsduur van de toets is een uur.

1. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke?

a.5

2−3= 40 b. 64

23 = 16 c.

112 + 1

3

= 5 d.√

111 = 1

11

√11

2. De uitdrukking 3√a 5√a is gelijk aan

a. 15√a b. 8

√a c. 8

√a2 d. 15

√a8

3. Welk van de volgende getallen is het grootst?

a.√

2 b. 3√

4 c. 4√

8 d. 5√

16

4. De uitdrukkinga

2− a+

a

2 + ais gelijk aan

a.4 a

4− a2b.

2 a2

a2 − 4c.

2 a2

4− a2d.

4 aa2 − 4

zie volgende pagina

Page 6: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

5. De uitdrukking(√

11−√

7)2 − (√11 +

√7)2 is gelijk aan

a. 0 b. 36− 4√

77 c. −14 d. −4√

77

6. Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f(x) = x3 − 8x2 + 16x?

a. 3 b. 2 c. 1 d. 0

7. De uitdrukkingln(√

e√

e )ln(√

e)is gelijk aan

a.√

e b.12

c.32

d.14

8. Als 3 ln(y) = x3 + ln(8), dan is y gelijk aan

a. 2 ex b. 8 e13x3

c.83

e13x3

d. 2 e13x3

9. Als f(x) = x2 en g(x) = 1 + x, dan is f(g(x)) gelijk aan

a. 1 + x2 b. (1 + x)2 c. x2 (1 + x) d. x2 + (1 + x)

10. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen:(1) ln(x2) = 4,

(2) (ln(x))2 = 4Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op:

(1) ln(x2) = 4→ 2 ln(x) = 4→ ln(x) = 2→ x = e2

(2) (ln(x))2 = 4→ ln(x) = 2→ x = e2

Welke uitspraak is waar?

a. Alleen oplossing (1) is volledig c. Beide oplossingen zijn volledigb. Alleen oplossing (2) is volledig d. Geen van beide oplossingen is

volledig.

11. De uitdrukking ln(e5 − e3) is gelijk aan

a. 2 b.53

c. 3 + ln(e2 − 1) d. 3− ln(e2 − 1)

zie volgende pagina

Page 7: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

12. Gegeven is de functie f(x) =√

1− x2

10log(x).

Het domein van de functie f bestaat uit die x waarvoor geldt

a. 0 < x c. −1 ≤ x ≤ 1b. 0 < x < 1 d. −1 ≤ x ≤ 1 en x 6= 0

13. De uitdrukking 749log(3) is gelijk aan

a. 7log(9) b.√

3 c. 7log(√

3) d. 9

14. Los de vergelijking 2x+ 1 =√x2 + 5 op.

De vergelijking heeft

a. een oplossing x1. Er geldt datx1 > 1.

c. een oplossing x1. Er geldt dat0 < x1 < 1.

b. geen oplossingen d. twee oplossingen

15. Als h(x) = f(g(x)), dan is h′(x) gelijk aan

a. f ′(g(x)) · x c. f ′(g(x)) + f(g′(x))b. f ′(g(x)) · g′(x) d. f ′(g(x)) · g(x) + f(g′(x)) · g′(x)

16. Als y = 3√x3 + 8, dan kun je

dydx

schrijven als

a.3x2

2 3√x3 + 8

b.x2

3√

(x3 + 8)2c. 1 d.

13 3√

(x3 + 8)2

17. Voor k > 0 is∫ 3k

k

1x

dx te herleiden tot

a. ln(3) b. ln(2 k) c. k log(3 k) d.8

9 k2

18. De integraal∫ 2

1

(1x

)3

dx is gelijk aan

a.14

ln4(2) b. ln(8) c.1516

d.38

zie volgende pagina

Page 8: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

19. Gegeven is de functie f(x) = sin(a x) + cos(a x) met a 6= 0.

De maximale waarde van deze functie is

a. 1 c.√

2b. 2 d. een waarde afhankelijk van a.

20. De functie f(x) = cos2(12 x)− sin2(1

2 x) heeft

a. periode 2π c. periode π

b. periode12π d. een horizontale lijn als grafiek

21. De afgeleide van f(x) = (cos(x) + sin(x))2 is

a. 0 c. 2 sin2(x)− 2 cos2(x)b. 2 cos2(x)− 2 sin2(x) d. −2 sin(x) cos(x)

22. Een primitieve van f(x) = cos(x) sin(x) is gelijk aan

a.12

cos2(x) c. − sin2(x) + cos2(x)

b.12

sin2(x) d. −14

cos2(x) sin2(x)

einde toets

Page 9: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Verwijzingen Calculus Early Trancendentals James Stewart, 6E, Thomson Brooks/Cole, ISBN 9780495382737 De theorie en oefenopgaven bij de onderwerpen van de voorbeeldtoets zijn terug te vinden in het boek van Stewart. Het hoofdstuk met de titel Review of Algebra vind je verderop in deze tekst. Hieronder een aantal verwijzingen naar dat hoofdstuk en ook andere hoofdstukken uit het boek. Exponenten (opgaven 1, 2, 3 en 7 uit de voorbeeldtoets) In het hoofdstuk Review of Algebra staan onder het kopje “Exponents” de definities en de regels voor het rekenen met exponenten samengevat. Als je met deze opgaven moeilijkheden hebt, lees dat stukje dan nog eens door en oefen met een aantal opgaven uit de nummers 83 -100 uit de Review of Algebra (antwoorden op de laatste bladzijdes van dat hoofdstuk). Breuken en haakjes (opgaven 1, 4, 5 en 9) In deze opgaven gaat het om optellen, aftrekken en vereenvoudigen van breuken. Daarbij komen ook zaken als het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren aan de orde. Onder de kopjes “Fractions” en “Factoring” worden deze zaken in de Review samengevat. Lees dat zonodig door en oefen met opgaven uit de series 17-28 en 49-54. Vergelijkingen en ongelijkheden (opgaven 6, 12 en 14) In deze opgaven gaat het onder andere om tweedegraads en ook hogeregraads vergelijkingen. Tweedegraads vergelijkingen kom je heel veel tegen; die moet je echt vlot kunnen oplossen (zie ook de opgave 61-68 uit de Review. In de Review vind je ook de abc-formule uitgelegd.) Ongelijkheden loste je misschien meestal met je grafische rekenmachine op. Het is wel handig als je heel eenvoudige ongelijkheden ook zonder dat hulpmiddel kunt oplossen, bijvoorbeeld met een tekenoverzicht of een simpel schetsje. In Appendix A van het boek van Stewart vind je onder Inequalities het een en ander over ongelijkheden, met bij opgaven 13-38 heel wat oefenmateriaal. In de toets vragen we nauwelijks iets over absolute waarde. Als je niet meer weet wat dat is, lees dan nog eens het stukje uit dezelfde appendix onder Absolute Value door. Voor derdegraads vergelijkingen bestaat ook een algemene oplosmethode, maar die hoef je niet te kennen. Wel word je geacht zoiets simpels als “de x buiten haakjes halen” zelf te zien. Wortels (opgaven 2, 3, 5, 7, 12 en 14) Wat in het Nederlands “wortels” genoemd wordt, heet in het Engels “Radicals” (radix is Latijn voor wortel). In de Review staat ook een kopje “Radicals” en daaronder vind je de theorie over het werken met wortels. Opgaven staan aan het eind, bijvoorbeeld 95-100. Logaritmen en e-machten (opgaven 7, 8, 10, 11 en 13) Deze opgaven draaien om eigenschappen van exponenten, e-machten en logaritmen. Elementaire eigenschappen van exponenten zijn in de Review samengevat onder “Exponents”. Definities en eigenschappen van exponentiële en logaritmische functies vind je in Stewart in de paragrafen 1.5 en 1.6 onder de kopjes “Logarithmic Functions” en “Natural Logarithms”. Heb je hier moeite mee, lees dan vooral de theorie nog eens goed door. Geschikte opgaven zijn uit paragraaf 1.6 de nummers 37-42 en 47-52. Voorbeelden en opgaven hierover kun je ook vinden in de Review onder “Exponents”. Oefen eventueel met de opgaven 89-100. Differentiëren (opgaven 15, 16 en 21) Bij deze differentieeropgaven gaat het om een paar dingen. We gaan er toch wel van uit dat je een paar standaardafgeleiden uit je hoofd kent: van xn, ook met n negatief of gebroken, exp(x), ln(x), sin(x), cos(x) en tan(x). Verder verwachten we dat je de rekenregels voor som, verschil, product en quotiënt kent. En tot slot duikt nu eenmaal vaak de kettingregel op, ook die moet je kennen, anders blijf je voortdurend hinderlijke fouten maken. De theorie van de afgeleides wordt behandeld in de paragrafen 2.7 en 2.8 van Stewart. De rekenregels staan in 3.1, 3.2 en 3.4. Een collectie oefenopgaven waarin alle regeltjes gecombineerd worden vind je in 3.4 bij de nummers 7-34. Over het opstellen van een vergelijking van de raaklijn aan een

Page 10: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

grafiek in een punt vind je meer in Stewart paragraaf 2.7, voorbeeld 2 (raaklijn is tangeant in het Engels) en in opgaven 5-10 van 2.7. Integreren (opgaven 17, 18 en 22) In de analysecursus komen wat verdergaande technieken van integreren uitgebreid aan bod. Hier gaat het om eenvoudige functies die direct met de basisregels geprimitiveerd kunnen worden. Ook hier geldt dat we er wel van uit kunnen gaan dat je een aantaal standaardfuncties (xn, exp(x), sin(x), cos(x)) en de meest eenvoudige samenstellingen daarvan “uit het hoofd” kunt primitivren. Oefenmateriaal met heel elementaire integralen is te vinden in Stewart paragraaf 5.4, bijvoorbeeld de opgaven 5-9, 21-26 en 29-32. Goniometrie (opgaven 19, 20, 21 en 22) Bij goniometrie wordt nogal veel gebruik gemaakt van formules, goniometrische identiteiten genaamd, waarmee de ene uitdrukking wordt overgevoerd in een andere. Het formuleblad van school geeft er een groot aantal van en wij verlangen niet dat je die allemaal uit je hoofd kent. Een aantal komt echter zo vaak voor, dat het bijna geen doen is als je die iedere keer moet opzoeken. Het gaat dan met name om de regels voor sin(-x), cos(-x) en tan(-x) en sin(π /2-x) en cos(π /2-x). Deze regels en ook wat er gebeurt als je bij het argument van de sinus en de cosinus π optelt of ervan aftrekt, zijn bovendien makkelijk te bedenken als je even de grafiek van de betreffende functie schetst of aan de manier denkt waarop ze in de eenheidscirkel zijn gedefinieerd. De dubbele- hoekformules sin(2x) en cos(2x) zijn minder simpel te bedenken, maar worden ook erg vaak toegepast. We adviseren ze gewoon maar uit het hoofd te leren – voor zover je dat nog niet gedaan had. De definities en de vele eigenschappen van goniometrische functies en hun grafieken vind je in Appendix D van Stewart. Het heeft hierbij niet zoveel zin nog weer sommetjes te gaan maken. Wel is het heel nuttig om met behulp van de eenheidscirkel en/of de grafiek eenvoudige identiteiten na te gaan. En we raden je dringend aan de standaardwaarden van de sinus en de cosiuns voor 0, π /6, π /4, π /3 en π /2 gewoon paraat te hebben. Die kom je eindeloos veel tegen.

Page 11: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Verwijzingen Basisboek wiskunde Jan van de Craats en Rob Bosch, tweede editie, Pearson Education, ISBN 90-430-1673-5 Een belangrijke bron van uitleg en oefenmateriaal is ook het Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch. Stukken uit dat boek zijn ook te vinden op de site van de auteur http://staff.science.uva.nl/~craats/ .Per opgave staat hieronder aangegeven waar relevante theorie te vinden is in het Basisboek. De bijbehorende opgaven zijn in het boek telkens op de bladzijde naast de theorie te vinden. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven. Opgave uit voorbeeldtoets Bladzijde uit Basisboek Wiskunde (2e editie) 1 17, 23, 27 2 25, 27 3 27 4 47 5 49 6 41 7 37 8 27, 33, 159 9 159 10 39,41 11 159, 161 12 159 13 133, 159 14 133 15 179 16 27, 33, 179 17 159, 205 18 205 19 141, 147 20 141, 145 21 145, 179 22 179

Page 12: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Verwijzingen Foundation Maths Anthony Croft and Robert Davison, fourth ed., Pearson Prentice Hall, ISBN 0-131-97921-3 Een Engelstalig boek dat geschikt is om bijbehorende stof uit te bestuderen is Foundation Maths. Per opgave staat hieronder aangegeven in welk hoofdstuk relevante theorie te vinden is in het boek. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven. Opgave uit voorbeeldtoets Hoofdstuk uit Foundation Maths (fourth ed.) 1 2, 7 2 7 3 7 4 12 5 11 6 11 7 7, 20 8 20 9 16 10 19, 20 11 19, 20 12 17, 20 13 20 14 14 15 niet in dit boek, zie Stewart 16 niet in dit boek, zie Stewart 17 20,30 18 30 19 23 20 24 21 28 22 28, 29

Page 13: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Digitaal oefenmateriaal Online oefenen met Maple TA Via een knop in het Course Menu van het opfristraject wi1000 of wi1250wbmtd1 op blackboard zijn online oefenvragen beschikbaar. Niet alle onderwerpen zijn relevant voor de instaptoets. De vragen zijn gerangschikt op basis van de hoofdstuk indeling van het Basisboek Wiskunde. Het maken van de vragen gebeurt met behulp van Maple TA. Het systeem levert ook hints en oplossingen. De vorderingen worden bijgehouden en zijn te raadplegen door de docent. Toetsbank analyse Een andere opgavenverzameling is te vinden in de toetsbank analyse die te vinden is op de blackboardsite van de TU onder “Courses”, nummer 0000. Databank met oefenmateriaal wizmo Onder www.wizmo.nl is een verzameling oefenmateriaal te vinden, speciaal gericht op de wiskunde-aansluiting voortgezet onderwijs en hoger onderwijs. Je kunt zoeken op onderwerp, maar ook via de inhoudsopgave van het Basisboek Wiskunde van Van de Craats en Bosch.

Page 14: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Review of Algebra

Page 15: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Review of Algebra ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Here we review the basic rules and procedures of algebra that you need to know inorder to be successful in calculus.

Arithmetic Operations

The real numbers have the following properties:

(Commutative Law)

(Associative Law)

(Distributive law)

In particular, putting in the Distributive Law, we get

and so

EXAMPLE 1

(a)

(b)

(c)

If we use the Distributive Law three times, we get

This says that we multiply two factors by multiplying each term in one factor by eachterm in the other factor and adding the products. Schematically, we have

In the case where and , we have

or

Similarly, we obtain

�a � b�2 � a2 � 2ab � b22

�a � b�2 � a2 � 2ab � b21

�a � b�2 � a2 � ba � ab � b2

d � bc � a

�a � b��c � d�

�a � b��c � d� � �a � b�c � �a � b�d � ac � bc � ad � bd

4 � 3�x � 2� � 4 � 3x � 6 � 10 � 3x

2t�7x � 2tx � 11� � 14tx � 4t 2x � 22t

�3xy���4x� � 3��4�x 2y � �12x 2y

��b � c� � �b � c

��b � c� � ��1��b � c� � ��1�b � ��1�c

a � �1

a�b � c� � ab � ac

�ab�c � a�bc��a � b� � c � a � �b � c�ab � baa � b � b � a

2 ■ REVIEW OF ALGEBRA

Page 16: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

EXAMPLE 2

(a)

(b)

(c)

Fractions

To add two fractions with the same denominator, we use the Distributive Law:

Thus, it is true that

But remember to avoid the following common error:

|

(For instance, take to see the error.)To add two fractions with different denominators, we use a common denominator:

We multiply such fractions as follows:

In particular, it is true that

To divide two fractions, we invert and multiply:

a

b

c

d

�a

b�

d

c�

ad

bc

�a

b� �

a

b�

a

�b

a

b�

c

d�

ac

bd

a

b�

c

d�

ad � bc

bd

a � b � c � 1

a

b � c�

a

b�

a

c

a � c

b�

a

b�

c

b

a

b�

c

b�

1

b� a �

1

b� c �

1

b �a � c� �

a � c

b

� 12x 2 � 5x � 21

� 12x2 � 3x � 9 � 2x � 12

3�x � 1��4x � 3� � 2�x � 6� � 3�4x 2 � x � 3� � 2x � 12

�x � 6�2 � x 2 � 12x � 36

�2x � 1��3x � 5� � 6x 2 � 3x � 10x � 5 � 6x 2 � 7x � 5

REVIEW OF ALGEBRA ◆ 3

Page 17: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

EXAMPLE 3

(a)

(b)

(c)

(d)

Factoring

We have used the Distributive Law to expand certain algebraic expressions. We some-times need to reverse this process (again using the Distributive Law) by factoring anexpression as a product of simpler ones. The easiest situation occurs when the expres-sion has a common factor as follows:

To factor a quadratic of the form we note that

so we need to choose numbers so that and .

EXAMPLE 4 Factor .

SOLUTION The two integers that add to give and multiply to give are and .Therefore

EXAMPLE 5 Factor .

SOLUTION Even though the coefficient of is not , we can still look for factors of theform and , where . Experimentation reveals that

Some special quadratics can be factored by using Equations 1 or 2 (from right toleft) or by using the formula for a difference of squares:

a2 � b2 � �a � b��a � b�3

2x 2 � 7x � 4 � �2x � 1��x � 4�

rs � �4x � s2x � r1x2

2x 2 � 7x � 4

x 2 � 5x � 24 � �x � 3��x � 8�

8�3�245

x 2 � 5x � 24

rs � cr � s � br and s

�x � r��x � s� � x 2 � �r � s�x � rs

x2 � bx � c

3x(x-2)=3x@-6x

Expanding

Factoring

x

y� 1

1 �y

x

x � y

y

x � y

x

�x � y

y�

x

x � y�

x�x � y�y�x � y�

�x 2 � xy

xy � y 2

s2t

u�

ut

�2�

s2t 2u

�2u� �

s2t 2

2

�x 2 � 2x � 6

x 2 � x � 2

3

x � 1�

x

x � 2�

3�x � 2� � x�x � 1��x � 1��x � 2�

�3x � 6 � x 2 � x

x 2 � x � 2

x � 3

x�

x

x�

3

x� 1 �

3

x

4 ■ REVIEW OF ALGEBRA

Page 18: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

The analogous formula for a difference of cubes is

which you can verify by expanding the right side. For a sum of cubes we have

EXAMPLE 6(a) (Equation 2; )

(b) (Equation 3; )

(c) (Equation 5; )

EXAMPLE 7 Simplify .

SOLUTION Factoring numerator and denominator, we have

To factor polynomials of degree 3 or more, we sometimes use the following fact.

The Factor Theorem If is a polynomial and , then is a factorof .

EXAMPLE 8 Factor .

SOLUTION Let . If , where is an integer, thenis a factor of 24. Thus, the possibilities for are

and . We find that , , . By the Factor Theorem,is a factor. Instead of substituting further, we use long division as follows:

Therefore

Completing the Square

Completing the square is a useful technique for graphing parabolas or integratingrational functions. Completing the square means rewriting a quadratic ax 2 � bx � c

� �x � 2��x � 3��x � 4�

x 3 � 3x 2 � 10x � 24 � �x � 2��x 2 � x � 12�

12x � 24�12x � 24�

�x 2 � 2x�x2 � 10x

x 3 � 2x2 x � 2 �x 3 � 3x 2 � 10x � 24

� 12xx 2 �

x � 2P�2� � 0P��1� � 30P�1� � 12�24

�1, �2, �3, �4, �6, �8, �12,bbbP�b� � 0P�x� � x 3 � 3x 2 � 10x � 24

x 3 � 3x 2 � 10x � 24

P�x�x � bP�b� � 0P6

x 2 � 16

x 2 � 2x � 8�

�x � 4��x � 4��x � 4��x � 2�

�x � 4

x � 2

x 2 � 16

x 2 � 2x � 8

a � x, b � 2x3 � 8 � �x � 2��x2 � 2x � 4�a � 2x, b � 54x2 � 25 � �2x � 5��2x � 5�a � x, b � 3x2 � 6x � 9 � �x � 3�2

a3 � b3 � �a � b��a2 � ab � b2�5

a3 � b3 � �a � b��a2 � ab � b2�4

REVIEW OF ALGEBRA ◆ 5

Page 19: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

in the form and can be accomplished by:

1. Factoring the number from the terms involving .2. Adding and subtracting the square of half the coefficient of .

In general, we have

EXAMPLE 9 Rewrite by completing the square.

SOLUTION The square of half the coefficient of is . Thus

EXAMPLE 10

Quadratic Formula

By completing the square as above we can obtain the following formula for the rootsof a quadratic equation.

The Quadratic Formula The roots of the quadratic equation are

EXAMPLE 11 Solve the equation .

SOLUTION With , , , the quadratic formula gives the solutions

The quantity that appears in the quadratic formula is called the discriminant. There are three possibilities:

1. If , the equation has two real roots.2. If , the roots are equal.3. If , the equation has no real root. (The roots are complex.)b2 � 4ac � 0

b2 � 4ac � 0b2 � 4ac � 0

b2 � 4ac

x ��3 � s32 � 4�5���3�

2�5��

�3 � s69

10

c � �3b � 3a � 5

5x 2 � 3x � 3 � 0

x ��b � sb2 � 4ac

2a

ax 2 � bx � c � 07

� 2��x � 3�2 � 9� � 11 � 2�x � 3�2 � 7

2x2 � 12x � 11 � 2�x2 � 6x� � 11 � 2�x2 � 6x � 9 � 9� � 11

x 2 � x � 1 � x 2 � x �14 �

14 � 1 � (x �

12)2

�34

14x

x 2 � x � 1

� a�x �b

2a�2

� �c �b2

4a� � a�x 2 �

b

a x � � b

2a�2

� � b

2a�2 � c

ax 2 � bx � c � a�x2 �b

a x � c

xxa

a�x � p�2 � q

6 ■ REVIEW OF ALGEBRA

Page 20: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

These three cases correspond to the fact that the number of times the parabolacrosses the -axis is 2, 1, or 0 (see Figure 1). In case (3) the quad-

ratic can’t be factored and is called irreducible.

EXAMPLE 12 The quadratic is irreducible because its discriminant isnegative:

Therefore, it is impossible to factor .

The Binomial Theorem

Recall the binomial expression from Equation 1:

If we multiply both sides by and simplify, we get the binomial expansion

Repeating this procedure, we get

In general, we have the following formula.

The Binomial Theorem If is a positive integer, then

� ��� � kabk�1 � bk

� ��� �k�k � 1�����k � n � 1�

1 � 2 � 3 � ��� � n ak�nbn

�k�k � 1��k � 2�

1 � 2 � 3 ak�3b3

�a � b�k � ak � kak�1b �k�k � 1�

1 � 2 ak�2b2

k9

�a � b�4 � a4 � 4a3b � 6a2b2 � 4ab3 � b4

�a � b�3 � a3 � 3a2b � 3ab2 � b38

�a � b�

�a � b�2 � a2 � 2ab � b2

x 2 � x � 2

b2 � 4ac � 12 � 4�1��2� � �7 � 0

x 2 � x � 2

x

y

0 x

y

0 x

y

0

(a) b@-4ac>0 (b) b@-4ac=0 (c) b@-4ac<0

FIGURE 1Possible graphs of y=ax@+bx+c

ax 2 � bx � cxy � ax 2 � bx � c

REVIEW OF ALGEBRA ◆ 7

Page 21: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

EXAMPLE 13 Expand .

SOLUTION Using the Binomial Theorem with , , , we have

Radicals

The most commonly occurring radicals are square roots. The symbol means “thepositive square root of.” Thus

means and

Since , the symbol makes sense only when . Here are two rulesfor working with square roots:

However, there is no similar rule for the square root of a sum. In fact, you shouldremember to avoid the following common error:

|

(For instance, take and to see the error.)

EXAMPLE 14

(a)

(b)

Notice that because indicates the positive square root. (See Appendix A.)

In general, if is a positive integer,

means

If is even, then and .

Thus because , but and are not defined. The fol-lowing rules are valid:

EXAMPLE 15 s3 x 4 � s

3 x 3x � s3 x 3 s3 x � xs

3 x

a

b�

sn a

sn b

sn ab � s

n a sn b

s6 �8s

4 �8��2�3 � �8s3 �8 � �2

x 0a 0n

xn � ax � sn a

n

s1sx 2 � � x �sx 2y � sx 2 sy � � x �sy

s18

s2� 18

2� s9 � 3

b � 16a � 9

sa � b � sa � sb

a

b�

sa

sbsab � sa sb10

a 0saa � x 2 0

x 0x2 � ax � sa

s1

� x5 � 10x4 � 40x3 � 80x2 � 80x � 32

�x � 2�5 � x 5 � 5x 4��2� �5 � 4

1 � 2 x 3��2�2 �

5 � 4 � 3

1 � 2 � 3 x 2��2�3 � 5x��2�4 � ��2�5

k � 5b � �2a � x

�x � 2�5

8 ■ REVIEW OF ALGEBRA

n

Page 22: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

To rationalize a numerator or denominator that contains an expression such as, we multiply both the numerator and the denominator by the conjugate rad-

ical . Then we can take advantage of the formula for a difference of squares:

EXAMPLE 16 Rationalize the numerator in the expression .

SOLUTION We multiply the numerator and the denominator by the conjugate radical:

Exponents

Let be any positive number and let be a positive integer. Then, by definition,

1.

n factors

2.

3.

4.

Laws of Exponents Let and be positive numbers and let and be anyrational numbers (that is, ratios of integers). Then

1. 2. 3.

4. 5.

In words, these five laws can be stated as follows:

1. To multiply two powers of the same number, we add the exponents.2. To divide two powers of the same number, we subtract the exponents.3. To raise a power to a new power, we multiply the exponents.4. To raise a product to a power, we raise each factor to the power.5. To raise a quotient to a power, we raise both numerator and denominator to

the power.

�a

b�r

�ar

br b � 0�ab�r � arbr

�ar�s � arsa r

a s � a r�sa r � as � ar�s

srba11

am�n � sn am � (sn a )m

m is any integer

a1�n � sn a

a�n �1

an

a 0 � 1

an � a � a � � � � � a

na

�x

x(sx � 4 � 2) �1

sx � 4 � 2

sx � 4 � 2

x� �sx � 4 � 2

x ��sx � 4 � 2

sx � 4 � 2� ��x � 4� � 4

x(sx � 4 � 2)

sx � 4 � 2

sx � 4 � 2

x

(sa � sb )(sa � sb ) � (sa )2� (sb )2

� a � b

sa � sbsa � sb

REVIEW OF ALGEBRA ◆ 9

Page 23: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Click here for answers.A

10 ■ REVIEW OF ALGEBRA

EXAMPLE 17

(a)

(b)

(c) Alternative solution:

(d)

(e) � x

y�3� y2x

z �4

�x 3

y 3 �y 8x 4

z 4 � x 7y 5z�4

1

s3 x 4

�1

x 4�3 � x�4�3

43�2 � (s4)3� 23 � 843�2 � s43 � s64 � 8

��y � x��y � x�

xy�y � x��

y � x

xy

x�2 � y�2

x�1 � y�1 �

1

x 2 �1

y 2

1

x�

1

y

y 2 � x 2

x 2y 2

y � x

xy

�y 2 � x 2

x 2y 2 �xy

y � x

28 � 82 � 28 � �23�2 � 28 � 26 � 214

27. 28.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

29–48 ■ Factor the expression.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

49–54 ■ Simplify the expression.

49. 50.

51. 52.

53.1

x � 3�

1

x 2 � 9

x 3 � 5x 2 � 6x

x 2 � x � 12

x 2 � 1

x 2 � 9x � 8

2x 2 � 3x � 2

x 2 � 4

x 2 � x � 2

x 2 � 3x � 2

x 3 � 3x2 � 4x � 12x 3 � 5x2 � 2x � 24

x 3 � 2x2 � 23x � 60x 3 � 3x2 � x � 3

x 3 � 4x2 � 5x � 2x 3 � 2x2 � x

x 3 � 274t 2 � 12t � 9

4t 2 � 9s2t 3 � 1

x 2 � 10x � 256x 2 � 5x � 6

8x 2 � 10x � 39x 2 � 36

2x 2 � 7x � 4x 2 � 2x � 8

x 2 � x � 6x 2 � 7x � 6

5ab � 8abc2x � 12x 3

1 �1

1 �1

1 � x

1 �1

c � 1

1 �1

c � 1

1–16 ■ Expand and simplify.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

8.

9. 10.

11. 12.

13.

14.

15. 16.■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

17–28 ■ Perform the indicated operations and simplify.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.a

bc

b

ac��2r

s �� s2

�6t�x

y�z

x�y

z

2

a2 �3

ab�

4

b2u � 1 �u

u � 1

1

x � 1�

1

x � 1

1

x � 5�

2

x � 3

9b � 6

3b

2 � 8x

2

�1 � x � x2�2�1 � 2x��x 2 � 3x � 1�

�t � 5�2 � 2�t � 3��8t � 1�

y4�6 � y��5 � y�

�2 � 3x�2�2x � 1�2

x�x � 1��x � 2��4x � 1��3x � 7�

5�3t � 4� � �t 2 � 2� � 2t�t � 3�

4�x 2 � x � 2� � 5�x 2 � 2x � 1�

8 � �4 � x��2�4 � 3a�

�4 � 3x�x2x�x � 5�

��2x2y���xy4���6ab��0.5ac�

Exercises ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Page 24: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

REVIEW OF ALGEBRA ◆ 11

85. 86.

87. 88.

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

101–108 ■ Rationalize the expression.

101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

109–116 ■ State whether or not the equation is true for all values of the variable.

109. 110.

111. 112.

113. 114.

115.

116.■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

6 � 4�x � a� � 6 � 4x � 4a

�x 3�4 � x7

2

4 � x�

1

2�

2

x

x

x � y�

1

1 � y

1

x�1 � y�1 � x � y16 � a

16� 1 �

a

16

sx 2 � 4 � � x � � 2sx 2 � x

sx 2 � x � sx 2 � xsx 2 � 3x � 4 � x

1

sx � sy

2

3 � s5

s2 � h � s2 � h

h

xsx � 8

x � 4

(1�sx ) � 1

x � 1sx � 3

x � 9

s4 r 2n�1 � s

4 r�14 t 1�2sst

s2�3

sx 5

s4 x 3

81

(st )5

(s4 a )3s5 y 6

�x�5y 3z10��3�5�2x 2y 4�3�2

64�4�31252�3

961�53�1�2

x�1 � y�1

�x � y��1

a�3b 4

a�5b 5

a n � a 2n�1

a n�2

x 9�2x�4

x 354.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

55–60 ■ Complete the square.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

61–68 ■ Solve the equation.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

69–72 ■ Which of the quadratics are irreducible?

69. 70.

71. 72.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

73–76 ■ Use the Binomial Theorem to expand the expression.

73. 74.

75. 76.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

77–82 ■ Simplify the radicals.

77. 78. 79.

80. 81. 82.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

83–100 ■ Use the Laws of Exponents to rewrite and simplifythe expression.

83. 84. 216 � 410 � 166310 � 98

s5 96a6

s5 3a

s16a4b3sxy sx 3y

s4 32x 4

s4 2

s3 �2

s3 54

s32 s2

�3 � x 2�5�x 2 � 1�4

�a � b�7�a � b�6

x 2 � 3x � 63x 2 � x � 6

2x 2 � 9x � 42x 2 � 3x � 4

x 3 � 3x 2 � x � 1 � 0x 3 � 2x � 1 � 0

2x 2 � 7x � 2 � 03x 2 � 5x � 1 � 0

x 2 � 2x � 7 � 0x 2 � 9x � 1 � 0

x 2 � 2x � 8 � 0x 2 � 9x � 10 � 0

3x 2 � 24x � 504x 2 � 4x � 2

x 2 � 3x � 1x 2 � 5x � 10

x 2 � 16x � 80x 2 � 2x � 5

x

x 2 � x � 2�

2

x 2 � 5x � 4

Page 25: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

12 ■ ANSWERS

63. 64. 65.

66. 67. 68.

69. Irreducible 70. Not irreducible

71. Not irreducible (two real roots) 72. Irreducible

73.

74.

75.

76.

77. 78. 79. 80.

81. 82. 83. 84. 85.

86. 87. 88. 89.

90. 91. 92. 93.

94. 95. 96. 97. 98.

99. 100. 101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.

109. False 110. False 111. True 112. False

113. False 114. False 115. False 116. True

2x

sx 2 � x � sx 2 � x

3x � 4

sx 2 � 3x � 4 � x

sx � sy

x � y

3 � s5

2

2

s2 � h � s2 � h

x 2 � 4x � 16

xsx � 8

�1

sx � x

1

sx � 3r n�2t 1�4

s 1�24

1

x 1�8t �5�2a 3�4y 6�5x 3

y 9�5z6

2s2 � x �3y 612562525

s3

1

s3

�x � y�2

xy

a 2

ba 2n�3

16x 102603262a4a 2bsb

x 2� y �2� x ��138

243 � 405x 2 � 270x 4 � 90x 6 � 15x 8 � x 10

x 8 � 4x 6 � 6x 4 � 4x 2 � 1

� 21a 2b 5 � 7ab 6 � b 7

a7 � 7a 6b � 21a 5b 2 � 35a 4b 3 � 35a 3b 4

a 6 � 6a 5b � 15a 4b 2 � 20a 3b 3 � 15a 2b 4 � 6ab 5 � b 6

�1, �1 � s21, �1 � s5

2

�7 � s33

4

�5 � s13

61 � 2s2

�9 � s85

2

1. 2. 3. 4.5. 6. 7.8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50. 51. 52.

53. 54.

55. 56. 57.

58. 59.

60. 61. 62. �2, 41, �103�x � 4�2 � 2

�2x � 1�2 � 3(x �32)2

�54

(x �52)2

�154�x � 8�2 � 16�x � 1�2 � 4

x 2 � 6x � 4

�x � 1��x � 2��x � 4�x � 2

x 2 � 9

x�x � 2�x � 4

x � 1

x � 8

2x � 1

x � 2

x � 2

x � 2

�x � 2��x � 3��x � 2��x � 2��x � 3��x � 4�

�x � 3��x � 5��x � 4��x � 1��x � 1��x � 3�

�x � 1�2�x � 2�x�x � 1�2

�x � 3��x 2 � 3x � 9��2t � 3�2

�2t � 3s��2t � 3s��t � 1��t 2 � t � 1�

�x � 5�2�3x � 2��2x � 3�

�4x � 3��2x � 1�9�x � 2��x � 2�

�2x � 1��x � 4��x � 4��x � 2�

�x � 3��x � 2��x � 6��x � 1�ab�5 � 8c�

2x�1 � 6x 2�3 � 2x

2 � x

c

c � 2

a 2

b 2

rs

3t

zx

y

x

yz

2b 2 � 3ab � 4a 2

a 2b 2

u 2 � 3u � 1

u � 1

2x

x 2 � 1

3x � 7

x 2 � 2x � 15

3 � 2�b1 � 4xx 4 � 2x 3 � x 2 � 2x � 1

2x 3 � 5x 2 � x � 1�15 t 2 � 56 t � 31

30y 4 � y 5 � y 69x 2 � 12x � 4

4x 2 � 4x � 1x 3 � x 2 � 2x

12x 2 � 25x � 7�3t 2 � 21t � 22�x 2 � 6x � 34 � x�8 � 6a

4x � 3x 22x 2 � 10x2x 3y 5�3a 2bc

Answers ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Page 26: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Uitwerkingen voorbeeldtoets

3

3

2 26 43 3

3 51 1 22 3 6 6 6

1 111 11

5A. 5 2 40(2)

B. (64) (2 ) 2 161 1 1 6C.

5

1 11 11D. 111111 11 11

− = ⋅ =

= = =

= = =+ +

= = = =⋅

1. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke ?

3

23

1 12 3

1 111 11

5A. 40(2)

B. (64) 161C. 5

D. 11

− =

=

=+

=

Antwoord: C

1 1 1 1 815 83 5 3 5 3 5 15a a a a a a a

+⋅ = ⋅ = = =

2. De uitdrukking: 3 5a a⋅ is gelijk aan

15

8

8 2

15 8

C.

D.

A.

B.

a

a

a

a

Antwoord: D

. 122 =2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21 1

23 33 34 4 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

( )31 1

3 44 4 48 8 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

( )41 1

45 55 516 16 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

3. Welk van de volgende getallen is het grootst? A. 2 B. 3 4 C. 4 8 D. 5 16

Antwoord:D

Page 27: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

2 2

2 2

2 2

(2 ) (2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )

2 2 44 4

a aa a

a a a aa a a a

a a a a aa a

+ =− +

+ −+ =

− + + −

+ + −=

− −

4. De uitdrukking 2 2

a aa a+

− + is gelijk aan:

A. 24

4aa−

B. 2

22

4a

a −

C. 2

22

4aa−

D. 24

4a

a −

Antwoord:A

2 2( 11 7) ( 11 7)

11 2 11 7 7 (11 2 11 7 7) 4 11

− − + =

− ⋅ + − + ⋅ + = −

5. De uitdrukking 2 2( 11 7) ( 11 7)− − + is gelijk aan A. 0 B. 36 4 77− C. 14−D. 4 77− Antwoord:D

3 2 2

2

8 16 0 ( 8 16) 0

( 4) 0 0 4

x x x x x x

x x x x

− + = → − + =

− = → = ∨ =

6. Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie 3 2( ) 8 16f x x x= − + x ?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Antwoord:B

( )( )

12

12

13 322 4

1 12 2

3 34 41 12 2

ln lnln ln

ln ln

ln ln

ln 3ln 2

e e e ee e

e e

e e

ee

⋅= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

7. De uitdrukking

( )( )

ln

ln

e e

eis gelijk aan

A. e B. 1

2

C. 32

D. 14

Antwoord:C

Page 28: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

( )

3

3 3

33 13

3 3 3

3 33 ( )

33 ( ) ( )

1( ) 3

3ln( ) ln(8) ln( ) ln8

ln8 8

8 2

2 2

x

x x

xx

y x y x

y yx e

y e y e

y e e

= + → − =

⎛ ⎞= → = →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= → = →

= =

8. Als , dan is y 33ln( ) ln(8)y x= + gelijk aan

313

318 33

313

A. 2

B. 8e

C.

D. 2

x

x

x

x

y e

y

y e

y e

=

=

=

=

Antwoord: D

2

2

Als ( ) en ( ) 1

dan is ( ( )) (1 )

f x x g x x

f g x x

= = +

= +

9. 2Als ( ) en ( ) 1 dan is ( ( ))

f x x g x xf g x

= = +

2

2

2

2

A. 1

B. (1 )

C. (1 )

D. (1 )

x

x

x x

x x

+

+

+

+ +

Antwoord:B

(1) 2

2

2 2

ln( ) 4 2 ln( ) 4

ln( ) 2

x x

x x e

x e x e

= ⇔ =

= → = →

= ∨ = −

(2)

2

2 2

(ln( )) 4 ln( ) 2 ln( ) 2x x x

x e x e−= ⇔ = ∨ =

→ = ∨ =

10. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen (1) 2ln( ) 4x =

(2) 2(ln( )) 4x = . Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op: (1) 2 2ln( ) 4 2ln( ) 4 ln( ) 2x x x x= → = → = → = e

(2) 2 2(ln( )) 4 ln( ) 2x x x= → = → = e A. Alleen oplossing (1) is volledig B. Alleen oplossing (2) is volledig C. Beide oplossingen zijn volledig D. Geen van beide oplossingen is volledig

Antwoord:D

5 3 3 2

3 2 2

ln( ) ln( ( 1))

ln( ) ln( 1) 3 ln( 1)

e e e e

e e e

− = − =

+ − = + −

11. De uitdrukking is gelijk aan 5 3ln( )e e−A. 2

B. 53

C. 23 ln( 1)e+ −

D. 23 ln( 1)e− −

Antwoord:C

Page 29: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

21 x− bestaat als

2(1 ) 0 1 1x x− ≥ →− ≤ ≤ 10 log( )x bestaat als 0x > De breuk bestaat als 10 log( ) 0 1x x≠ → ≠ Dus de uitdrukking bestaat als 0 1x< <

12.Gegeven is de functie

2

101( )log( )

xf xx

−=

Het domein van de functie f bestaat uit die x waarvoor geldt A. 0B. 0 1C. 1 1D. -1 1 en 0

xx

xx x

<< <− ≤ ≤≤ ≤ ≠

Antwoord: B

( )( )

( )

4949

49 491122

149 2 1

2

log(3)log(3)

log(3) log(3)

log(3)

7 49

49 49

49 3 3

= =

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

13. De uitdrukking is gelijk aan 49 log(3)7

A. 7 log(9) B. 3 C. ( )7 log 3

D. 9

Antwoord: B

2

2 2

2 2

2

1 2

1 2

2 1 5

(2 1) 5 2 1 0

4 4 1 5

3 4 4 0

4 16 48 4 16 48 en 6 6

4 12 en (voldoet niet)6 6

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

+ = + →

+ = + ∧ + ≥ →

+ + = + →

+ − = →

− + + − − += = →

−= =

14. Los de vergelijking 22 1 5x x+ = + op. De vergelijking heeft A. één oplossing 1x . Er geldt dat 1 1x >B. geen oplossingen C. één oplossing 1x . Er geldt dat 10 1x< < D. twee oplossingen

Antwoord: C Dit moet volgens de kettingregel Noem g(x)=u

( ) ( ) ( ) ( ( )) (df duh x f u u x f g x g xdu dx

′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅

15. Als dan is gelijk aan ( ) ( ( ))h x f g x= ( )h x′ A. ( ( ))B. ( ( )) ( )C. ( ( )) ( ( ))D. ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

f g x xf g x g xf g x f g xf g x g x f g x g x

′ ⋅′ ′⋅′ ′+′ ′⋅ + ⋅ ′

Antwoord:B

Page 30: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

. 133 3 38 ( 8)y x x= + = +

Differentieren met de kettingregel;

( )

( ) ( )

23

23

3 213

2 2

23 33

8 3

8 8

dy x xdx

x x

x x

−= + ⋅

=+ +

=

16. Als 3 3 8y x= + dan kun je dydx

schrijven als

A.2

3 3

3 2 8

x

x +

B.2

3 23 ( 8)

x

x +

C.1

D.3 23

1

3 ( 8)x +

Antwoord: B

[ ]3

31 d ln

3ln(3 ) ln ln ln 3

kk

kk

x xx

kk kk

= =

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟⎝ ⎠

17.Voor k>0 is

3 1 dk

k

xx∫ te herleiden tot

( )

2

A. ln 3B. ln(2 )

C. log(3 )8D.

9

k

k

k

k

Antwoord: A

( )32 2

3

1 12221

2 21 1

1 d

12

1 1 38 2 8

x x dxx

xx

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤⎡ ⎤− = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

18.De integraal

32

1

1 dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ is gelijk aan

414

151638

A. ln (2)

B. ln(8)

C.

D.

Antwoord:D

19. Gegeven is de functie . De

maximale waarde van deze functie is: ( ) sin( ) cos( ) met 0f x ax ax a= + ≠

A. 1 B. 2 C. 2 D. afhankelijk van a

Eerste manier redeneren vanuit standaardgrafieken.De variabele a verandert alleen de periode, niet het maximum. Schets de grafieken van sin(x) en cos(x) en van de som. Je ziet dan dat het maximum groter is dan 1 en op een kwart van de periode ligt. Dus maximum is 2 Tweede manier met de afgeleide:

14

( ) cos( ) sin( ) ( ) 0 als cos( ) sin( ) = 0

cos( ) sin( )

het max is 2

f x a ax a axf x a ax a axa ax a ax

ax π

′ = −′ = − →

= →

= →

Page 31: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Derde manier met een formule 12

1 1 1 12 2 2 21 1 14 4 4

( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin(

2sin ( )cos ( ( ))

2sin cos( ) 2 cos( )

f x ax ax ax

ax ax ax ax

ax ax

π

π π

π π π

= + = +

+ − − − =

− = −

dus het maximum is 2 Antwoord: C Volgens een goniometrische formule geldt:

2 21 12 2cos ( ) sin ( ) cosx x x− =

Dus de periode is 2π

20. De functie 2 212( ) cos ( ) sin ( )1

2f x x= − x heeft A. periode 2π B. periode π. C. periode 1

2 π D. een horizontale lijn als grafiek Antwoord:A

Eerste manier

2 2

2 2

( )2(cos( ) sin( )) ( sin( ) cos( ))

2(cos ( ) sin ( ))

2cos ( ) 2sin ( )

f xx x x x

x x

x x

′ =+ ⋅ − + =

− =

Tweede manier

2

2 2

2 2

( ) (cos( ) sin( ))

cos ( ) 2sin cos sin ( )1 sin(2 ) ( ) 2cos(2 )

2(cos sin )

f x x x

x x x xx f x x

x x

= + =

+ + =′+ → =

=

Derde manier 2

2 2

2 2

( ) (cos( ) sin( ))

cos ( ) 2sin cos sin ( )1 2sin cos ) produktregel

( ) 2cos cos 2sin ( cos )

2(cos sin )

f x x x

x x x xx x

f x x x x

x x

= + =

+ + =+ →′ x= ⋅ + ⋅ −

=

21. De afgeleide van 2( ) (cos( ) sin( ))f x x= + x is A. 0 B. 2 22cos ( ) 2sin ( )x x−

C. 2 22sin ( ) 2cos ( )x x− D. 2sin( ) cos( )x x−

Antwoord:B

22. Een primitieve van de functie ( ) cos( ) sin( )f x x= x is gelijk aan

A. 21

2 cos ( )x

B. 212 sin ( )x

C. 2 2sin ( ) cosx x− +

Eerste manier 12( ) cos( )sin( ) sin(2 )f x x x= = x

Dus een primitieve is:

Page 32: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

14

214

212

cos(2 )

(1 2sin ( ))

sin ( )

x c

x c

x k

− + =

− − +

+

=

Neem k=0 Tweede manier Differentieer de alternatieven

21212

( ) sin ( )

( ) 2sin( ) cos sin cos

f x x

f x x x x

= →

′ = ⋅ ⋅ = x

D. 2 214 cos ( )sin ( )x x−

Antwoord: B

Page 33: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Antwoorden voorbeeldtoets Opgave uit voorbeeldtoets Antwoord 1 C 2 D 3 D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 B 10 D 11 C 12 B 13 B 14 C 15 B 16 B 17 A 18 D 19 C 20 A 21 B 22 B

Page 34: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Uitwerkingen voorbeeldtoets

3

3

2 26 43 3

3 51 1 22 3 6 6 6

1 111 11

5A. 5 2 40(2)

B. (64) (2 ) 2 161 1 1 6C.

5

1 11 11D. 111111 11 11

− = ⋅ =

= = =

= = =+ +

= = = =⋅

1. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke ?

3

23

1 12 3

1 111 11

5A. 40(2)

B. (64) 161C. 5

D. 11

− =

=

=+

=

Antwoord: C

1 1 1 1 815 83 5 3 5 3 5 15a a a a a a a

+⋅ = ⋅ = = =

2. De uitdrukking: 3 5a a⋅ is gelijk aan

15

8

8 2

15 8

C.

D.

A.

B.

a

a

a

a

Antwoord: D

. 122 =2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21 1

23 33 34 4 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

( )31 1

3 44 4 48 8 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

( )41 1

45 55 516 16 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

3. Welk van de volgende getallen is het grootst? A. 2 B. 3 4 C. 4 8 D. 5 16

Antwoord:D

Page 35: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

2 2

2 2

2 2

(2 ) (2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )

2 2 44 4

a aa a

a a a aa a a a

a a a a aa a

+ =− +

+ −+ =

− + + −

+ + −=

− −

4. De uitdrukking 2 2

a aa a+

− + is gelijk aan:

A. 24

4aa−

B. 2

22

4a

a −

C. 2

22

4aa−

D. 24

4a

a −

Antwoord:A

2 2( 11 7) ( 11 7)

11 2 11 7 7 (11 2 11 7 7) 4 11

− − + =

− ⋅ + − + ⋅ + = −

5. De uitdrukking 2 2( 11 7) ( 11 7)− − + is gelijk aan A. 0 B. 36 4 77− C. 14−D. 4 77− Antwoord:D

3 2 2

2

8 16 0 ( 8 16) 0

( 4) 0 0 4

x x x x x x

x x x x

− + = → − + =

− = → = ∨ =

6. Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie 3 2( ) 8 16f x x x= − + x ?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Antwoord:B

( )( )

12

12

13 322 4

1 12 2

3 34 41 12 2

ln lnln ln

ln ln

ln ln

ln 3ln 2

e e e ee e

e e

e e

ee

⋅= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

7. De uitdrukking

( )( )

ln

ln

e e

eis gelijk aan

A. e B. 1

2

C. 32

D. 14

Antwoord:C

Page 36: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

( )

3

3 3

33 13

3 3 3

3 33 ( )

33 ( ) ( )

1( ) 3

3ln( ) ln(8) ln( ) ln8

ln8 8

8 2

2 2

x

x x

xx

y x y x

y yx e

y e y e

y e e

= + → − =

⎛ ⎞= → = →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= → = →

= =

8. Als , dan is y 33ln( ) ln(8)y x= + gelijk aan

313

318 33

313

A. 2

B. 8e

C.

D. 2

x

x

x

x

y e

y

y e

y e

=

=

=

=

Antwoord: D

2

2

Als ( ) en ( ) 1

dan is ( ( )) (1 )

f x x g x x

f g x x

= = +

= +

9. 2Als ( ) en ( ) 1 dan is ( ( ))

f x x g x xf g x

= = +

2

2

2

2

A. 1

B. (1 )

C. (1 )

D. (1 )

x

x

x x

x x

+

+

+

+ +

Antwoord:B

(1) 2

2

2 2

ln( ) 4 2 ln( ) 4

ln( ) 2

x x

x x e

x e x e

= ⇔ =

= → = →

= ∨ = −

(2)

2

2 2

(ln( )) 4 ln( ) 2 ln( ) 2x x x

x e x e−= ⇔ = ∨ =

→ = ∨ =

10. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen (1) 2ln( ) 4x =

(2) 2(ln( )) 4x = . Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op: (1) 2 2ln( ) 4 2ln( ) 4 ln( ) 2x x x x= → = → = → = e

(2) 2 2(ln( )) 4 ln( ) 2x x x= → = → = e A. Alleen oplossing (1) is volledig B. Alleen oplossing (2) is volledig C. Beide oplossingen zijn volledig D. Geen van beide oplossingen is volledig

Antwoord:D

5 3 3 2

3 2 2

ln( ) ln( ( 1))

ln( ) ln( 1) 3 ln( 1)

e e e e

e e e

− = − =

+ − = + −

11. De uitdrukking is gelijk aan 5 3ln( )e e−A. 2

B. 53

C. 23 ln( 1)e+ −

D. 23 ln( 1)e− −

Antwoord:C

Page 37: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

21 x− bestaat als

2(1 ) 0 1 1x x− ≥ →− ≤ ≤ 10 log( )x bestaat als 0x > De breuk bestaat als 10 log( ) 0 1x x≠ → ≠ Dus de uitdrukking bestaat als 0 1x< <

12.Gegeven is de functie

2

101( )log( )

xf xx

−=

Het domein van de functie f bestaat uit die x waarvoor geldt A. 0B. 0 1C. 1 1D. -1 1 en 0

xx

xx x

<< <− ≤ ≤≤ ≤ ≠

Antwoord: B

( )( )

( )

4949

49 491122

149 2 1

2

log(3)log(3)

log(3) log(3)

log(3)

7 49

49 49

49 3 3

= =

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

13. De uitdrukking is gelijk aan 49 log(3)7

A. 7 log(9) B. 3 C. ( )7 log 3

D. 9

Antwoord: B

2

2 2

2 2

2

1 2

1 2

2 1 5

(2 1) 5 2 1 0

4 4 1 5

3 4 4 0

4 16 48 4 16 48 en 6 6

4 12 en (voldoet niet)6 6

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

+ = + →

+ = + ∧ + ≥ →

+ + = + →

+ − = →

− + + − − += = →

−= =

14. Los de vergelijking 22 1 5x x+ = + op. De vergelijking heeft A. één oplossing 1x . Er geldt dat 1 1x >B. geen oplossingen C. één oplossing 1x . Er geldt dat 10 1x< < D. twee oplossingen

Antwoord: C Dit moet volgens de kettingregel Noem g(x)=u

( ) ( ) ( ) ( ( )) (df duh x f u u x f g x g xdu dx

′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅

15. Als dan is gelijk aan ( ) ( ( ))h x f g x= ( )h x′ A. ( ( ))B. ( ( )) ( )C. ( ( )) ( ( ))D. ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

f g x xf g x g xf g x f g xf g x g x f g x g x

′ ⋅′ ′⋅′ ′+′ ′⋅ + ⋅ ′

Antwoord:B

Page 38: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

. 133 3 38 ( 8)y x x= + = +

Differentieren met de kettingregel;

( )

( ) ( )

23

23

3 213

2 2

23 33

8 3

8 8

dy x xdx

x x

x x

−= + ⋅

=+ +

=

16. Als 3 3 8y x= + dan kun je dydx

schrijven als

A.2

3 3

3 2 8

x

x +

B.2

3 23 ( 8)

x

x +

C.1

D.3 23

1

3 ( 8)x +

Antwoord: B

[ ]3

31 d ln

3ln(3 ) ln ln ln 3

kk

kk

x xx

kk kk

= =

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟⎝ ⎠

17.Voor k>0 is

3 1 dk

k

xx∫ te herleiden tot

( )

2

A. ln 3B. ln(2 )

C. log(3 )8D.

9

k

k

k

k

Antwoord: A

( )32 2

3

1 12221

2 21 1

1 d

12

1 1 38 2 8

x x dxx

xx

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤⎡ ⎤− = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

18.De integraal

32

1

1 dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ is gelijk aan

414

151638

A. ln (2)

B. ln(8)

C.

D.

Antwoord:D

19. Gegeven is de functie . De

maximale waarde van deze functie is: ( ) sin( ) cos( ) met 0f x ax ax a= + ≠

A. 1 B. 2 C. 2 D. afhankelijk van a

Eerste manier redeneren vanuit standaardgrafieken.De variabele a verandert alleen de periode, niet het maximum. Schets de grafieken van sin(x) en cos(x) en van de som. Je ziet dan dat het maximum groter is dan 1 en op een kwart van de periode ligt. Dus maximum is 2 Tweede manier met de afgeleide:

14

( ) cos( ) sin( ) ( ) 0 als cos( ) sin( ) = 0

cos( ) sin( )

het max is 2

f x a ax a axf x a ax a axa ax a ax

ax π

′ = −′ = − →

= →

= →

Page 39: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Derde manier met een formule 12

1 1 1 12 2 2 21 1 14 4 4

( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin(

2sin ( )cos ( ( ))

2sin cos( ) 2 cos( )

f x ax ax ax

ax ax ax ax

ax ax

π

π π

π π π

= + = +

+ − − − =

− = −

dus het maximum is 2 Antwoord: C Volgens een goniometrische formule geldt:

2 21 12 2cos ( ) sin ( ) cosx x x− =

Dus de periode is 2π

20. De functie 2 212( ) cos ( ) sin ( )1

2f x x= − x heeft A. periode 2π B. periode π. C. periode 1

2 π D. een horizontale lijn als grafiek Antwoord:A

Eerste manier

2 2

2 2

( )2(cos( ) sin( )) ( sin( ) cos( ))

2(cos ( ) sin ( ))

2cos ( ) 2sin ( )

f xx x x x

x x

x x

′ =+ ⋅ − + =

− =

Tweede manier

2

2 2

2 2

( ) (cos( ) sin( ))

cos ( ) 2sin cos sin ( )1 sin(2 ) ( ) 2cos(2 )

2(cos sin )

f x x x

x x x xx f x x

x x

= + =

+ + =′+ → =

=

Derde manier 2

2 2

2 2

( ) (cos( ) sin( ))

cos ( ) 2sin cos sin ( )1 2sin cos ) produktregel

( ) 2cos cos 2sin ( cos )

2(cos sin )

f x x x

x x x xx x

f x x x x

x x

= + =

+ + =+ →′ x= ⋅ + ⋅ −

=

21. De afgeleide van 2( ) (cos( ) sin( ))f x x= + x is A. 0 B. 2 22cos ( ) 2sin ( )x x−

C. 2 22sin ( ) 2cos ( )x x− D. 2sin( ) cos( )x x−

Antwoord:B

22. Een primitieve van de functie ( ) cos( ) sin( )f x x= x is gelijk aan

A. 21

2 cos ( )x

B. 212 sin ( )x

C. 2 2sin ( ) cosx x− +

Eerste manier 12( ) cos( )sin( ) sin(2 )f x x x= = x

Dus een primitieve is:

Page 40: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

14

214

212

cos(2 )

(1 2sin ( ))

sin ( )

x c

x c

x k

− + =

− − +

+

=

Neem k=0 Tweede manier Differentieer de alternatieven

21212

( ) sin ( )

( ) 2sin( ) cos sin cos

f x x

f x x x x

= →

′ = ⋅ ⋅ = x

D. 2 214 cos ( )sin ( )x x−

Antwoord: B

Page 41: HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS - fa.its.tudelft.nlfa.its.tudelft.nl/~koekoek/documents/wi1401lr/nederlands/handout... · Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths

Antwoorden voorbeeldtoets Opgave uit voorbeeldtoets Antwoord 1 C 2 D 3 D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 B 10 D 11 C 12 B 13 B 14 C 15 B 16 B 17 A 18 D 19 C 20 A 21 B 22 B