Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

H. 9 Het getal e / Logaritmen

9.1 Het getal e Het getal e is een speciaal getal in de wiskunde, net zoals het getal π. Het is als volgt gedefinieerd:

Als we dit uitrekenen, dan wordt de waarde van het getal e : 2.718281828459e = En afgerond op 2 decimalen: 2.72e ≈ Er is ook nog een andere manier om het getal e te benaderen met behulp van de exponentiële functie. Zie Wisnet in de cursus “Exponentiële functies en logaritmen”.

1 1 1 1 111 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

e = + + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

9.2 De exponentiële functie De exponentiële functie is een functie van de vorm: In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl g een constante is. Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële functie. In een exponentiële functie noemen we g het grondtal en x de exponent. We eisen dat het grondtal g groter dan 0 is, oftewel: 0g > . Voorbeelden van exponentiële functies zijn: ( ) 2 xf x = ( ) 10 xf x = Een speciale exponentiële functie is: Om de grafiek van ( ) e xf x = te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze grafiek:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

1

0

1

2

3

2 : 2 0.14 2 , 0.14

1: 1 0.37 1, 0.37

0 : 0 1 0 ,1

1: 1 2.72 1, 2.72

2 : 2 7,39 2 , 7.39

3: 3 20,09 3 , 20.09

ee

eeee

x y f A

x y f B

x y f C

x y f D

x y f E

x y f F

−

−

= − = − = ≈ ⇒ −

= − = − = ≈ ⇒ −

= = = = ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

( ) xf x g=

( ) e xf x =

( ) e xf x =

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

Voorbeeld 1: Teken de grafiek van functie ( ) e xf x −= . Oplossing: We bepalen weer eerst enkele punten van deze grafiek:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3

2

1

0

1

2

3 : 3 20.09 3 , 20.09

2 : 2 7.39 2 , 7.39

1: 1 2.72 1 , 2.72

0 : 0 1 0 ,1

1: 1 0.37 1 , 0.37

2 : 2 0.14 2 , 0.14

eee

eee

x y f A

x y f B

x y f C

x y f D

x y f E

x y f F

−

−

= − = − = ≈ ⇒ −

= − = − = ≈ ⇒ −

= − = − = ≈ ⇒ −

= = = = ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

( ) e xf x −=

Opmerking:

Dit is ook de grafiek van de functie ( ) 1e xf x =

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

9.3 Logaritmen Definitie logaritme: log ( )g a is een getal c, zodanig dat cg a= . Of anders gezegd: In de logaritmische vorm log ( )g a c= noemen we g het grondtal, a het argument en c de exponent. Het grondtal g moet aan de volgende eisen voldoen: 0 1g en g> ≠ Het argument a moet aan de volgende eis voldoen: 0a > Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen: 1a. 2log (8)

Oplossing: 2log (8) 3= , omdat 32 8= 1b. 2

5log (25) 2 5 25= ⇔ = 2a. 2

4log (16) 2 4 16= ⇔ = 2b. 3

10log (1000) 3 10 1000= ⇔ =

log ( ) cg a c g a= ⇔ =

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

Eigenschappen voor logaritmen:

Voorbeelden: Herleid de volgende uitdrukkingen tot één logaritme: 1. 3 3log ( 1) log (2 5)x x+ + − Oplossing: M.b.v. eigenschap 1:

3 3

3

log ( 1) log (2 5)log (( 1)(2 5))

x xx x+ + − =+ −

2. 3 3log ( 1) log (2 5)x x+ − − Oplossing: M.b.v. eigenschap 2:

3 3

3

log ( 1) log (2 5)

1log2 5

x x

xx

+ − − =

⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎝ ⎠

3a. 5 53 log ( ) log ( 1)x x⋅ + + Oplossing: Eerst eigenschap 3:

5 5

35 5

3 log ( ) log ( 1)

log ( ) log ( 1)

x x

x x

⋅ + + =

+ +

Dan eigenschap 1: 3

5log ( ( 1))x x + 3b.

2 22

2 2

2 2

log ( 2) 2 log ( 2)

log ( 2) log (( 2) )

2log( 2)

x x

x x

xx

− − ⋅ + =

− − + =

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

Eig. 1 log ( ) log ( ) log ( )g g ga b a b⋅ = +

Eig. 2 log log ( ) log ( )g g ga a bb

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Eig. 3 log ( ) log ( )p

g ga p a= ⋅ Eig. 4 log ( ) 1g g = Eig. 5 log (1) 0g =

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

Speciale grondtallen bij logaritmen: Er zijn bij logaritmen 2 grondtallen die allebei veel voorkomen. Dat zijn het grondtal 10 en het grondtal e . Omdat ze zoveel gebruikt worden, heeft de bijbehorende logaritme een speciale notatie gekregen. Bij grondtal 10 schrijven we in plaats van 10 log a meestal: log a . Dit noemen we de Briggse logaritme. Bij grondtal e schrijven we in plaats van elog ( )a altijd: ln( )a . Dit noemen we de natuurlijke logaritme. De 5 eigenschappen voor logaritmen zijn uiteraard ook van toepassing op natuurlijke logaritmen. Voorbeeld:

( ) ( ) ( )ln 2 ln 3 ln 6x y x y+ ⇒ Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen:

1a. ( )log 100

Oplossing: ( ) ( ) ( )2log 100 log 10 2 log 10 2 1 2= = ⋅ = × =

1b. ( )66

1log log 10 6 log(10) 6 1 610

−⎛ ⎞ = = − ⋅ = − × = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2a. ( )4ln e

Oplossing: ( ) ( )4ln 4 ln 4 1 4e e= ⋅ = × =

2b. 33

1ln ln(e ) 3 ln(e) 3 1 3e−⎛ ⎞ = = − ⋅ = − × = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

9.4 De logaritmische functie De logaritmische functie is een functie van de vorm: Als g gelijk is aan e , dan schrijven we: Om de grafiek van ( ) ln( )f x x= te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze grafiek:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0,5 : 0,5 ln 0.5 0.69 0.5 , 0.69

1: 1 ln 1 0 1, 0

2 : 2 ln 2 0.69 2 , 0.69

5 : 5 ln 5 1.61 5 ,1.61

10 : 10 ln 10 2.30 10 , 2.30

100 : 100 ln 100 4.61 100 , 4.61

x y f A

x y f B

x y f C

x y f D

x y f E

x y f E

= = = ≈ − ⇒ −

= = = = ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

= = = ≈ ⇒

Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

( ) ( )loggf x x=

( ) ln( )f x x=

( ) ( )lnf x x=

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

9.5 Rekenregel voor de verandering van het grondtal bij logaritmen Eigenschap 6: Met deze regel kunnen we het grondtal a van een logaritme veranderen in grondtal g. Voorbeelden: 1a. Bereken de logaritme ( )2log 5 door over te gaan op grondtal 10. Oplossing:

( ) ( )( )

102

10

log 5 0.69897log 5 2.322log 2 2.30103

= ≈ ≈

1b. Bereken de logaritme ( )5log 12 door over te gaan op grondtal e . Oplossing:

( ) ( )( )5

ln 12 2.48491log 12 1.54396ln 5 1.60944

= ≈ ≈

( ) ( )( )

loglog

logg

ag

bb

a=

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

9.6 Exponentiële vergelijking Een exponentiële vergelijking is een vergelijking van de vorm:

Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële vergelijking. Dergelijke vergelijkingen gaan we oplossen door aan beide kanten van het ‘= -teken’ de natuurlijke logaritme te nemen. Voorbeelden: Los de volgende vergelijkingen op: 1a. 2 6x = Oplossing: Neem de natuurlijke logaritme van het linker- en het rechterlid:

( )2 6 ln(2 ) ln 6x x= ⇒ =

Dan eigenschap 3 van de logaritmen:

( ) ( )ln 2 ln 6x ⋅ = Vervolgens deze vergelijking oplossen en x vrijmaken:

( )( )

ln 6 1.7918 2.585ln 2 0.6931

x = = =

1b. 3 12x = Oplossing:

ln(3 ) ln(12)ln(3) ln(12)

ln(12) 2.26186ln(3)

x

x

x

= ⇒⋅ = ⇒

= ≈

( )f xa b=

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.9

2. 15 2x− = Oplossing: ( )1ln(5 ) ln 2x− = ⇒

( ) ( )( 1) ln 5 ln 2x − ⋅ = ⇒

( )( )

ln 21

ln 5x − = ⇒

0.693111.6094

x − = ⇒

1 0.431x − = ⇒ 1.431x = 3. 2 56 9x+ = Oplossing: 2 5ln(6 ) ln 9x+ = ⇒ ( ) ( )(2 5) ln 6 ln 9x + ⋅ = ⇒

( )( )

ln 92 5

ln 6x + = ⇒

2.19722 51.7918

x + = ⇒

2 5 1.226x + = ⇒ 2 1.226 5x = − ⇒ 2 3.774x = − ⇒ 1.887x = −