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download Geometrische Algebra - fjung/site/media/papers/slides-gk... · Geometrische Algebra Florian Jung Institut für Physik, WA THEP Universität Mainz Klausurtagung des Graduiertenkollegs

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  • Geometrische Algebra

    Florian Jung

    Institut fr Physik, WA THEPUniversitt Mainz

    Klausurtagung des GraduiertenkollegsBullay, 13. September 2006

    Florian Jung: Geometrische Algebra 1 / 24

  • Gliederung

    GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus

    Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen

    AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik

    Florian Jung: Geometrische Algebra 2 / 24

  • Gliederung

    GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus

    Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen

    AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik

    Florian Jung: Geometrische Algebra 3 / 24

  • Was ist Geometrische Algebra (GA)?

    H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren

    Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

  • Was ist Geometrische Algebra (GA)?

    H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren

    W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)

    Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

  • Was ist Geometrische Algebra (GA)?

    H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren

    W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)

    W. K. Clifford: Geometrische AlgebraUniverselle Sprache der Geometrie

    Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

  • Was ist Geometrische Algebra (GA)?

    H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren

    W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)

    W. K. Clifford: Geometrische AlgebraUniverselle Sprache der Geometrie

    M. Riesz, P. Lounesto, D. Hestenes:Weiterentwicklung und Anwendungen

    Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

  • Motivation

    Universelle Sprache der Geometrie!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

  • Motivation

    Universelle Sprache der Geometrie!

    GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf

    Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

  • Motivation

    Universelle Sprache der Geometrie!

    GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf

    Erlaubt geometrische Interpretation

    Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

  • Motivation

    Universelle Sprache der Geometrie!

    GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf

    Erlaubt geometrische Interpretation

    Sehr nah an der klassischen Vektoranalysis,aber in beliebigen Dimensionen gltig.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

  • Definition der Geometrischen Algebra

    Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt undNormquadrat 2.

    Die Clifford-Algebra G(V, 2) ist eine reelle, assoziative Algebra(wie die Tensor-Algebra).

    Fr Vektoren gilt aber zustzlich die Kontraktionsregel:

    a2 = aa = a2 ,

    oder quivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):

    ab + ba = 2a b .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24

  • Definition der Geometrischen Algebra

    Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt undNormquadrat 2.

    Die Clifford-Algebra G(V, 2) ist eine reelle, assoziative Algebra(wie die Tensor-Algebra).

    Fr Vektoren gilt aber zustzlich die Kontraktionsregel:

    a2 = aa = a2 ,

    oder quivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):

    ab + ba = 2a b .

    Notation:Skalare: , , . . . Vektoren: a, b, . . . Allg. Elemente: A,B, . . .

    Was noch fehlt, ist die geometrische Interpretation!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24

  • Geometrische Bedeutung der Pauli-Matrizen

    Die Pauli-Matrizen i erfllen:

    ij + ji = 2ij .

    Kontraktionsregel fr eine ONB (i) des

    3:

    ij + ji = 2i j = 2ij .

    Algebraisch gibt es keinen Unterschied zwischen i und i .

    Die Pauli-Matrizen sind Darstellungender Basisvektoren des

    3 !

    12

    3

    Florian Jung: Geometrische Algebra 7 / 24

  • Universalitt des Geometrischen Produkts

    Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!

    Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

  • Universalitt des Geometrischen Produkts

    Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!

    Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.

    Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

  • Universalitt des Geometrischen Produkts

    Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!

    Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.

    Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.

    In der GA ist der Vektor a invertierbar:

    a1 =a

    a2= aa1 =

    a2

    a2=

    a2

    a2= 1 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

  • Universalitt des Geometrischen Produkts

    Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!

    Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.

    Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.

    In der GA ist der Vektor a invertierbar:

    a1 =a

    a2= aa1 =

    a2

    a2=

    a2

    a2= 1 .

    Damit ergibt sich b mittels:

    a1P = a1(ab) = (a1a)b = b .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

  • Universalitt des Geometrischen Produkts

    Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!

    Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.

    Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.

    In der GA ist der Vektor a invertierbar:

    a1 =a

    a2= aa1 =

    a2

    a2=

    a2

    a2= 1 .

    Damit ergibt sich b mittels:

    a1P = a1(ab) = (a1a)b = b .

    Alle weiteren Produkte lassen sich aus Clifford-Produkt ableiten!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

  • Skalar- und Dachprodukt

    Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:

    a b = 12

    (

    ab + ba)

    = b a .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

  • Skalar- und Dachprodukt

    Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:

    a b = 12

    (

    ab + ba)

    = b a .

    Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:

    a b = 12

    (

    ab ba)

    = b a .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

  • Skalar- und Dachprodukt

    Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:

    a b = 12

    (

    ab + ba)

    = b a .

    Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:

    a b = 12

    (

    ab ba)

    = b a .

    Fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts:

    ab = a b + a b .

    Skalar- oder Dachprodukt allein sind nicht invertierbar!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

  • Dachprodukte als orientierte Flchenelemente

    Das Dachprodukt lsst sich als orientiertes Flchenelement einesk-dim. Untervektorraums (k-Spat) auffassen:

    a a b

    a b c

    0-Spat = Skalar, 1-Spat = Vektor, . . .

    Die Antisymmetrie steckt in der Orientierung:

    a b

    a

    b = b a

    Florian Jung: Geometrische Algebra 10 / 24

  • Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante

    a b

    a b

    ab

    ca b c

    Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement

    Der Betrag ist unter ? erhalten

    Orientierung mit Rechter-Hand-Regel

    Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

  • Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante

    a b

    a b

    ab

    ca b c

    Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement

    Der Betrag ist unter ? erhalten

    Orientierung mit Rechter-Hand-Regel

    In 3 Dimensionen gilt:

    ?(a b) = a b ,

    ?(a b c) = det(a, b, c) .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

  • Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante

    a b

    a b

    ab

    ca b c

    Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement

    Der Betrag ist unter ? erhalten

    Orientierung mit Rechter-Hand-Regel

    In 3 Dimensionen gilt:

    ?(a b) = a b ,

    ?(a b c) = det(a, b, c) .

    In n 6= 3 Dimensionen ist dasKreuzprodukt nicht definiert!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

  • Beispiel zur Hodge-Dualitt

    Gegeben (i) ONB von

    3

    Wegen Orthonormalitt gilt: ij = i j + ij Definiere den Pseudoskalar I = 123 = 1 2 3 Hodge-Dualitt berechnet man mittels:

    ?A = AI1 .

    Damit ergibt sich:

    ?(1 2) = (12)I1 = (12)321

    = 12213 = 113 = 3

    = 1 2 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 12 / 24

  • Gliederung

    GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus

    Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen

    AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik

    Florian Jung: Geometrische Algebra 13 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene

    s

    v

    S(v)

    Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene

    s

    v

    S(v)

    v

    v

    Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.

    Zerlege dazu v = v + vsenkrecht und parallel zu s:

    v = (v s)s

    s2,

    v = v v .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene

    s

    v

    S(v)

    v

    v

    v

    Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.

    Zerlege dazu v = v + vsenkrecht und parallel zu s:

    v = (v s)s

    s2,

    v = v v .

    Damit ergibt sich der gespiegelteVektor S(v) = v v zu:

    S(v) = v 2(v s)s

    s2.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)

    In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:

    v = (v s)s

    s2= (v s)s1 ,

    v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)

    In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:

    v = (v s)s

    s2= (v s)s1 ,

    v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .

    Damit erhlt man den gespiegelten Vektor:

    S(v) = v v = (v s v s)s1

    = (s v + s v)s1

    = svs1 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

  • Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)

    In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:

    v = (v s)s

    s2= (v s)s1 ,

    v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .

    Damit erhlt man den gespiegelten Vektor:

    S(v) = v v = (v s v s)s1

    = (s v + s v)s1

    = svs1 .

    Viel kompakter als die alte Formel ( S(v) = v 2(v s)s

    s2).

    Komposition von Spiegelungen ist sehr einfach!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

  • Von Spiegelungen zu Drehungen

    v

    w

    n

    nvn1

    Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.

    Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

  • Von Spiegelungen zu Drehungen

    v

    w

    n

    nvn1

    Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.

    Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.

    Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:

    v 7 nvn1 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

  • Von Spiegelungen zu Drehungen

    v

    w

    n

    nvn1

    Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.

    Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.

    Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:

    v 7 nvn1 .

    Danach Spiegelung senkrecht zu w:

    R(v) = w(nvn1)w1

    = (wn)v(wn)1

    Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

  • Von Spiegelungen zu Drehungen

    R

    v

    w

    n

    nvn1

    Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.

    Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.

    Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:

    v 7 nvn1 .

    Danach Spiegelung senkrecht zu w:

    R(v) = w(nvn1)w1

    = (wn)v(wn)1 = RvR1 ,

    mit dem Rotor R = wn.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

  • Geometrische Relevanz des Halbwinkels

    Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:

    Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24

  • Geometrische Relevanz des Halbwinkels

    Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:

    Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24

  • Geometrische Relevanz des Halbwinkels

    Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:

    Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24

  • Gliederung

    GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus

    Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen

    AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik

    Florian Jung: Geometrische Algebra 18 / 24

  • Maxwell-Gleichungen

    E = %

    B tE = j

    B = 0

    E + tB = 0

    Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

  • Maxwell-Gleichungen

    E = %

    B tE = j

    B = 0

    E + tB = 0

    SRT mit Tensor-Analysis

    F = j %F% = 0

    Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

  • Maxwell-Gleichungen

    E = %

    B tE = j

    B = 0

    E + tB = 0

    SRT mit Tensor-Analysis

    F = j %F% = 0

    Geometrische Algebra

    F = j F = 0

    Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

  • Maxwell-Gleichungen

    E = %

    B tE = j

    B = 0

    E + tB = 0

    SRT mit Tensor-Analysis

    F = j %F% = 0

    Geometrische Algebra

    F = j F = 0

    F = j

    Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

  • Pauli-Schrdinger-Gleichung

    Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:

    i~t =

    (

    2

    2m+ q

    ~q

    2m( B)

    )

    .

    Kritikpunkte:

    Viele Rume nebeneinander: (

    3, ,) , 2 , Mat(2, )

    Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

  • Pauli-Schrdinger-Gleichung

    Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:

    i~t =

    (

    2

    2m+ q

    ~q

    2m( B)

    )

    .

    Kritikpunkte:

    Viele Rume nebeneinander: (

    3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

  • Pauli-Schrdinger-Gleichung

    Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:

    i~t =

    (

    2

    2m+ q

    ~q

    2m( B)

    )

    .

    Kritikpunkte:

    Viele Rume nebeneinander: (

    3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!

    = (1, 2, 3) ist ein formaler Vektor.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

  • Pauli-Schrdinger-Gleichung

    Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:

    i~t =

    (

    2

    2m+ q

    ~q

    2m( B)

    )

    .

    Kritikpunkte:

    Viele Rume nebeneinander: (

    3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!

    = (1, 2, 3) ist ein formaler Vektor.

    Die Rechenregel:

    ( a)( b) = (a b) + i (a b) ,

    ist eben nur eine Rechenregel.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?

    Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:

    a = iai = aii = aii = a

    3 G3 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?

    Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:

    a = iai = aii = aii = a

    3 G3 .

    Damit wird die obige Rechenregel

    ( a)( b) = (a b) + i (a b) ,

    zu:ab = a b + I(a b) = a b + a b .

    Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!

    Die imaginre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualitt!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?

    Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:

    a = iai = aii = aii = a

    3 G3 .

    Damit wird die obige Rechenregel

    ( a)( b) = (a b) + i (a b) ,

    zu:ab = a b + I(a b) = a b + a b .

    Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!

    Die imaginre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualitt!

    (

    3, ,) ist unntig, weil in G3 enthalten.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!

    Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:

    i~t = HS ~q

    2m( B) ,

    wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:

    t ~I3 = HS +q

    2mc(IB) ~I3 .

    Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!

    Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:

    i~t = HS ~q

    2m( B) ,

    wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:

    t ~I3 = HS +q

    2mc(IB) ~I3 .

    Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!

    Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!

    Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:

    i~t = HS ~q

    2m( B) ,

    wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:

    t ~I3 = HS +q

    2mc(IB) ~I3 .

    Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!

    Die Wellenfunktion ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotorund beschreibt lokal eine Drehstreckung.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

  • Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!

    Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:

    i~t = HS ~q

    2m( B) ,

    wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:

    t ~I3 = HS +q

    2mc(IB) ~I3 .

    Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!

    Die Wellenfunktion ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotorund beschreibt lokal eine Drehstreckung.

    Der Faktor ~I3 ersetzt i~ und hngt eng mit dem Spin zusammen.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

  • Zusammenfassung

    Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

  • Zusammenfassung

    Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.

    Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra alsDarstellungen der Basisvektoren des

    3 auffassen.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

  • Zusammenfassung

    Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.

    Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra alsDarstellungen der Basisvektoren des

    3 auffassen.

    Es gibt viele fruchtbare Anwendungen (nicht nur) in der Physik.

    Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

  • Danke fr die Aufmerksamkeit.

    GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus

    Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen

    AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik

    Zusammenfassung