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Geometrische Algebra
Florian Jung
Institut fr Physik, WA THEPUniversitt Mainz
Klausurtagung des GraduiertenkollegsBullay, 13. September 2006
Florian Jung: Geometrische Algebra 1 / 24
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Gliederung
GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen
AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik
Florian Jung: Geometrische Algebra 2 / 24
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Gliederung
GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen
AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik
Florian Jung: Geometrische Algebra 3 / 24
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren
Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren
W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)
Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren
W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)
W. K. Clifford: Geometrische AlgebraUniverselle Sprache der Geometrie
Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: uere AlgebraVerallgemeinerung von Vektoren
W. R. Hamilton: QuaternionenInvertierbarkeit ( Division)
W. K. Clifford: Geometrische AlgebraUniverselle Sprache der Geometrie
M. Riesz, P. Lounesto, D. Hestenes:Weiterentwicklung und Anwendungen
Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
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Motivation
Universelle Sprache der Geometrie!
Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
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Motivation
Universelle Sprache der Geometrie!
GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf
Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
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Motivation
Universelle Sprache der Geometrie!
GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf
Erlaubt geometrische Interpretation
Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
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Motivation
Universelle Sprache der Geometrie!
GA taucht (versteckt) berall in der Physik auf
Erlaubt geometrische Interpretation
Sehr nah an der klassischen Vektoranalysis,aber in beliebigen Dimensionen gltig.
Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
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Definition der Geometrischen Algebra
Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt undNormquadrat 2.
Die Clifford-Algebra G(V, 2) ist eine reelle, assoziative Algebra(wie die Tensor-Algebra).
Fr Vektoren gilt aber zustzlich die Kontraktionsregel:
a2 = aa = a2 ,
oder quivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):
ab + ba = 2a b .
Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24
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Definition der Geometrischen Algebra
Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt undNormquadrat 2.
Die Clifford-Algebra G(V, 2) ist eine reelle, assoziative Algebra(wie die Tensor-Algebra).
Fr Vektoren gilt aber zustzlich die Kontraktionsregel:
a2 = aa = a2 ,
oder quivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):
ab + ba = 2a b .
Notation:Skalare: , , . . . Vektoren: a, b, . . . Allg. Elemente: A,B, . . .
Was noch fehlt, ist die geometrische Interpretation!
Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24
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Geometrische Bedeutung der Pauli-Matrizen
Die Pauli-Matrizen i erfllen:
ij + ji = 2ij .
Kontraktionsregel fr eine ONB (i) des
3:
ij + ji = 2i j = 2ij .
Algebraisch gibt es keinen Unterschied zwischen i und i .
Die Pauli-Matrizen sind Darstellungender Basisvektoren des
3 !
12
3
Florian Jung: Geometrische Algebra 7 / 24
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Universalitt des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!
Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
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Universalitt des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!
Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.
Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
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Universalitt des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!
Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.
In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a1 =a
a2= aa1 =
a2
a2=
a2
a2= 1 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
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Universalitt des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!
Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.
In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a1 =a
a2= aa1 =
a2
a2=
a2
a2= 1 .
Damit ergibt sich b mittels:
a1P = a1(ab) = (a1a)b = b .
Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
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Universalitt des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollstndige geometrische Beziehung zweierVektoren relativ zueinander enthalten!
Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren liee, dann folgt dieBehauptung.
In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a1 =a
a2= aa1 =
a2
a2=
a2
a2= 1 .
Damit ergibt sich b mittels:
a1P = a1(ab) = (a1a)b = b .
Alle weiteren Produkte lassen sich aus Clifford-Produkt ableiten!
Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
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Skalar- und Dachprodukt
Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a b = 12
(
ab + ba)
= b a .
Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
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Skalar- und Dachprodukt
Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a b = 12
(
ab + ba)
= b a .
Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:
a b = 12
(
ab ba)
= b a .
Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
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Skalar- und Dachprodukt
Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a b = 12
(
ab + ba)
= b a .
Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:
a b = 12
(
ab ba)
= b a .
Fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts:
ab = a b + a b .
Skalar- oder Dachprodukt allein sind nicht invertierbar!
Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
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Dachprodukte als orientierte Flchenelemente
Das Dachprodukt lsst sich als orientiertes Flchenelement einesk-dim. Untervektorraums (k-Spat) auffassen:
a a b
a b c
0-Spat = Skalar, 1-Spat = Vektor, . . .
Die Antisymmetrie steckt in der Orientierung:
a b
a
b = b a
Florian Jung: Geometrische Algebra 10 / 24
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Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante
a b
a b
ab
ca b c
Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement
Der Betrag ist unter ? erhalten
Orientierung mit Rechter-Hand-Regel
Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
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Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante
a b
a b
ab
ca b c
Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement
Der Betrag ist unter ? erhalten
Orientierung mit Rechter-Hand-Regel
In 3 Dimensionen gilt:
?(a b) = a b ,
?(a b c) = det(a, b, c) .
Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
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Mit Hodge-Dualitt zu Kreuzprodukt und Determinante
a b
a b
ab
ca b c
Hodge-Dualitt ? bersetzt zwischenk-Spaten und (n k)-Spaten mittelsorhogonalem Komplement
Der Betrag ist unter ? erhalten
Orientierung mit Rechter-Hand-Regel
In 3 Dimensionen gilt:
?(a b) = a b ,
?(a b c) = det(a, b, c) .
In n 6= 3 Dimensionen ist dasKreuzprodukt nicht definiert!
Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
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Beispiel zur Hodge-Dualitt
Gegeben (i) ONB von
3
Wegen Orthonormalitt gilt: ij = i j + ij Definiere den Pseudoskalar I = 123 = 1 2 3 Hodge-Dualitt berechnet man mittels:
?A = AI1 .
Damit ergibt sich:
?(1 2) = (12)I1 = (12)321
= 12213 = 113 = 3
= 1 2 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 12 / 24
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Gliederung
GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen
AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik
Florian Jung: Geometrische Algebra 13 / 24
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Spiegelung an einer Ebene
s
v
S(v)
Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.
Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
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Spiegelung an einer Ebene
s
v
S(v)
v
v
Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.
Zerlege dazu v = v + vsenkrecht und parallel zu s:
v = (v s)s
s2,
v = v v .
Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
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Spiegelung an einer Ebene
s
v
S(v)
v
v
v
Wir mchten v an der Ebenesenkrecht zum Vektor s spiegeln.
Zerlege dazu v = v + vsenkrecht und parallel zu s:
v = (v s)s
s2,
v = v v .
Damit ergibt sich der gespiegelteVektor S(v) = v v zu:
S(v) = v 2(v s)s
s2.
Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
v = (v s)s
s2= (v s)s1 ,
v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
v = (v s)s
s2= (v s)s1 ,
v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .
Damit erhlt man den gespiegelten Vektor:
S(v) = v v = (v s v s)s1
= (s v + s v)s1
= svs1 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
v = (v s)s
s2= (v s)s1 ,
v = v v = (vs v s)s1 = (v s)s1 .
Damit erhlt man den gespiegelten Vektor:
S(v) = v v = (v s v s)s1
= (s v + s v)s1
= svs1 .
Viel kompakter als die alte Formel ( S(v) = v 2(v s)s
s2).
Komposition von Spiegelungen ist sehr einfach!
Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
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Von Spiegelungen zu Drehungen
v
w
n
nvn1
Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.
Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.
Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
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Von Spiegelungen zu Drehungen
v
w
n
nvn1
Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.
Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.
Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
v 7 nvn1 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
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Von Spiegelungen zu Drehungen
v
w
n
nvn1
Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.
Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.
Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
v 7 nvn1 .
Danach Spiegelung senkrecht zu w:
R(v) = w(nvn1)w1
= (wn)v(wn)1
Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
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Von Spiegelungen zu Drehungen
R
v
w
n
nvn1
Satz von CartanDieudonn:Jede Drehung lsst sichin Spiegelungen zerlegen.
Betrachte Drehung, die denVektor v in w berfhrt.
Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
v 7 nvn1 .
Danach Spiegelung senkrecht zu w:
R(v) = w(nvn1)w1
= (wn)v(wn)1 = RvR1 ,
mit dem Rotor R = wn.
Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
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Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
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Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
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Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefstgeometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
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Gliederung
GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen
AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik
Florian Jung: Geometrische Algebra 18 / 24
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Maxwell-Gleichungen
E = %
B tE = j
B = 0
E + tB = 0
Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
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Maxwell-Gleichungen
E = %
B tE = j
B = 0
E + tB = 0
SRT mit Tensor-Analysis
F = j %F% = 0
Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
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Maxwell-Gleichungen
E = %
B tE = j
B = 0
E + tB = 0
SRT mit Tensor-Analysis
F = j %F% = 0
Geometrische Algebra
F = j F = 0
Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
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Maxwell-Gleichungen
E = %
B tE = j
B = 0
E + tB = 0
SRT mit Tensor-Analysis
F = j %F% = 0
Geometrische Algebra
F = j F = 0
F = j
Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
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Pauli-Schrdinger-Gleichung
Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:
i~t =
(
2
2m+ q
~q
2m( B)
)
.
Kritikpunkte:
Viele Rume nebeneinander: (
3, ,) , 2 , Mat(2, )
Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
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Pauli-Schrdinger-Gleichung
Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:
i~t =
(
2
2m+ q
~q
2m( B)
)
.
Kritikpunkte:
Viele Rume nebeneinander: (
3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
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Pauli-Schrdinger-Gleichung
Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:
i~t =
(
2
2m+ q
~q
2m( B)
)
.
Kritikpunkte:
Viele Rume nebeneinander: (
3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
= (1, 2, 3) ist ein formaler Vektor.
Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
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Pauli-Schrdinger-Gleichung
Die bliche Pauli-Schrdinger-Gleichung lautet:
i~t =
(
2
2m+ q
~q
2m( B)
)
.
Kritikpunkte:
Viele Rume nebeneinander: (
3, ,) , 2 , Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
= (1, 2, 3) ist ein formaler Vektor.
Die Rechenregel:
( a)( b) = (a b) + i (a b) ,
ist eben nur eine Rechenregel.
Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:
a = iai = aii = aii = a
3 G3 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:
a = iai = aii = aii = a
3 G3 .
Damit wird die obige Rechenregel
( a)( b) = (a b) + i (a b) ,
zu:ab = a b + I(a b) = a b + a b .
Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!
Die imaginre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualitt!
Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
Interpretiere die Pauli-Matrizen i als Basisvektoren, dann ist:
a = iai = aii = aii = a
3 G3 .
Damit wird die obige Rechenregel
( a)( b) = (a b) + i (a b) ,
zu:ab = a b + I(a b) = a b + a b .
Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!
Die imaginre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualitt!
(
3, ,) ist unntig, weil in G3 enthalten.
Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:
i~t = HS ~q
2m( B) ,
wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:
t ~I3 = HS +q
2mc(IB) ~I3 .
Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:
i~t = HS ~q
2m( B) ,
wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:
t ~I3 = HS +q
2mc(IB) ~I3 .
Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!
Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:
i~t = HS ~q
2m( B) ,
wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:
t ~I3 = HS +q
2mc(IB) ~I3 .
Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!
Die Wellenfunktion ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotorund beschreibt lokal eine Drehstreckung.
Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrdinger-Gleichung:
i~t = HS ~q
2m( B) ,
wird ersetzt durch die Pauli-Schrdinger-Hestenes-Gleichung:
t ~I3 = HS +q
2mc(IB) ~I3 .
Nur noch reelle Gren mit geometrischer Interpretation!
Die Wellenfunktion ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotorund beschreibt lokal eine Drehstreckung.
Der Faktor ~I3 ersetzt i~ und hngt eng mit dem Spin zusammen.
Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
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Zusammenfassung
Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
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Zusammenfassung
Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra alsDarstellungen der Basisvektoren des
3 auffassen.
Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
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Zusammenfassung
Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra alsDarstellungen der Basisvektoren des
3 auffassen.
Es gibt viele fruchtbare Anwendungen (nicht nur) in der Physik.
Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
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Danke fr die Aufmerksamkeit.
GrundlagenWas ist Geometrische Algebra?Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und DrehungenSpiegelung an einer EbeneVon Spiegelungen zu Drehungen
AnwendungenKlassische PhysikQuantenmechanik
Zusammenfassung