Generalidades sobre funçõesprofessor.ufabc.edu.br/~ana.boero/BC0003/slides4.pdf · Generalidades...

Generalidades sobre funcoesAula 9Aula 10

Generalidades sobre funcoes

Ana Carolina Boero

E-mail: [email protected]: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero

Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre

Ana Carolina Boero Bases Matematicas

Funcoes

Sejam A e B conjuntos.

Uma funcao f : A→ B (leia “f de A em B”) e uma regra (ou conjuntode instrucoes) que diz como associar a cada elemento de A, um unicoelemento de B.

Exemplos:

(a) A regra que associa a cada numero natural n o seu sucessor n + 1 euma funcao.

(b) O conjunto de instrucoes

n ∈ N 7→{

n/2 se n for par3n + 1 se n for ımpar

e uma funcao.

Funcoes

Mais exemplos de funcoes:

(c) A regra que associa a cada numero real x o numero |x |.(d) A regra que associa cada numero real x ≥ 0 o numero

√x .

(e) A regra x ∈ R− {1} 7→ x3 − 3x + 2

x2 − 2x + 1

(f) A regra x ∈ R− {1} 7→ x4 + x3 − x2 + x − 2

x3 − x2 + x − 1

Pergunta: Qual o significado preciso da expressao “regra que associa”?

Funcoes

√x .

(e) A regra x ∈ R− {1} 7→ x3 − 3x + 2

x2 − 2x + 1

(f) A regra x ∈ R− {1} 7→ x4 + x3 − x2 + x − 2

x3 − x2 + x − 1

Funcoes

√x .

(e) A regra x ∈ R− {1} 7→ x3 − 3x + 2

x2 − 2x + 1

(f) A regra x ∈ R− {1} 7→ x4 + x3 − x2 + x − 2

x3 − x2 + x − 1

Relacoes

Chamamos de relacao um conjunto qualquer de pares ordenados.

Ilustracao de uma relacao: as setas indicam os pares ordenados que a constituem.

Domınio e imagem de uma relacao

Seja R uma relacao.

O domınio de R e o conjunto domR = {x : ∃y tal que (x , y) ∈ R}.

A imagem de R e o conjunto imR = {y : ∃x tal que (x , y) ∈ R}.

Ilustracao do domınio e imagem de uma relacao.

Exemplos

Sejam A = {0, 1, 2} e B = {−2,−1, 0, 1}.(a) R1 = {(x , y) ∈ A× B : y2 = x2} = {(0, 0), (1,−1), (1, 1), (2,−2)}

• domR1 = A

• imR1 = B

Exemplos

(b) R2 = {(x , y) ∈ A× B : y = x − 1} = {(0,−1), (1, 0), (2, 1)}

• domR2 = A

• imR2 = {−1, 0, 1}

Exemplos

(c) R3 = {(x , y) ∈ A× B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}

• domR3 = A

• imR3 = {0}

Exemplos

(d) R4 = {(x , y) ∈ A× B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)}

• domR4 = {0, 1}• imR4 = {0, 1}

Funcoes

Uma relacao f recebe o nome de funcao se para cada x ∈ dom f existeum unico y tal que (x , y) ∈ f .

Ilustracao de uma funcao. Outra ilustracao de funcao.

Para cada x ∈ dom f , o unico y tal que (x , y) ∈ f e denominado o valorde f em x e e denotado por f (x) (leia “f de x”).

Funcoes

Uma relacao f recebe o nome de funcao se para cada x ∈ dom f existeum unico y tal que (x , y) ∈ f .

Ilustracao de uma funcao. Outra ilustracao de funcao.

Para cada x ∈ dom f , o unico y tal que (x , y) ∈ f e denominado o valorde f em x e e denotado por f (x) (leia “f de x”).

Funcoes de A em B

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que uma funcao f e uma funcao deA em B se dom f = A e im f ⊂ B.

Notacao: f : A→ B (leia “f de A em B”)

Observacao: B e denominado o contradomınio de f : A→ B.

Exemplos

Sejam A = {0, 1, 2} e B = {−2,−1, 0, 1}.(a) R1 = {(x , y) ∈ A× B : y2 = x2} = {(0, 0), (1,−1), (1, 1), (2,−2)}

• domR1 = A

• imR1 = B

A relacao R1 nao e funcao de A em B.

Exemplos

(b) R2 = {(x , y) ∈ A× B : y = x − 1} = {(0,−1), (1, 0), (2, 1)}

• domR2 = A

• imR2 = {−1, 0, 1}

A relacao R2 e funcao de A em B.

Exemplos

(c) R3 = {(x , y) ∈ A× B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}

• domR3 = A

• imR3 = {0}

A relacao R3 e funcao de A em B.

Exemplos

(d) R4 = {(x , y) ∈ A× B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)}

• domR4 = {0, 1}• imR4 = {0, 1}

A relacao R4 nao e funcao de A em B, mas e funcao.

Observacoes

Observacoes:

• Uma vez esclarecido o sentido da expressao “regra que associa”,estamos livres para pensar em uma funcao como uma regra queassocia a cada elemento de seu domınio um unico elemento de suaimagem; em outras palavras, estamos livres para pensar em umafuncao como algo que faz e nao como algo que e.

• O conjunto {(x , f (x)) : x ∈ dom f } (isto e, o que a funcao f e) seradenominado o grafico de f .

• Nao se deve confundir f com f (x): f e a funcao, enquanto f (x) e ovalor que a funcao f assume num elemento x de seu domınio.

Domınio, contradomınio e imagem

Seja f : A→ B uma funcao.

Os conjuntos A e B sao denominados o domınio e o contradomınio de f ,respectivamente.

Para cada x ∈ A, o elemento f (x) de B chama-se a imagem de x por fou, ainda, o valor assumido pela funcao f em x .

O subconjunto im f = {f (x) : x ∈ A} de B e denominado a imagem de f .

Exemplo:

• f : N→ N, tal que f (n) = n + 1 para todo n ∈ N.

I dom f = N;I im f = {n ∈ N : n > 1}, enquanto seu contradomınio e N.

Domınio, contradomınio e imagem

Seja f : A→ B uma funcao.

Os conjuntos A e B sao denominados o domınio e o contradomınio de f ,respectivamente.

Para cada x ∈ A, o elemento f (x) de B chama-se a imagem de x por fou, ainda, o valor assumido pela funcao f em x .

O subconjunto im f = {f (x) : x ∈ A} de B e denominado a imagem de f .

Exemplo:

• f : N→ N, tal que f (n) = n + 1 para todo n ∈ N.

I dom f = N;I im f = {n ∈ N : n > 1}, enquanto seu contradomınio e N.

Exercıcio resolvido

Qual o maior subconjunto A de R tal que a regra f (x) =√√

1 + x − x define umafuncao f : A→ R?

Solucao:

A e constituıdo de todos os numeros reais x que satisfazem as seguintes condicoes:

(1) 1 + x ≥ 0;

(2)√

1 + x − x ≥ 0.

A primeira e satisfeita se, e somente se, x ∈ S1 = [−1,+∞).

A segunda, por sua vez, e equivalente a√

1 + x ≥ x . Esta inequacao so faz sentidopara x ≥ −1. Vamos, portanto, determinar quais numeros reais maiores ou iguais a−1 sao solucao desta inequacao.

Para x ≥ 0, ela equivale a 1 + x ≥ x2 (por que?), ou seja, a x ∈ [ 1−√

, 1+√

Portanto, os numeros reais nao negativos que sao solucao de√

1 + x ≥ x sao

exatamente aqueles que pertencem ao intervalo [0, 1+√

]. Note tambem que todo

x ∈ [−1, 0) e solucao de√

1 + x ≥ x (por que?). Portanto, o conjunto-solucao de√

1 + x ≥ x e S2 = [−1, 0] ∪ [0, 1+√

] = [−1, 1+√

Logo, A = S1 ∩ S2 = [−1, 1+√

Qual o maior subconjunto A de R tal que a regra f (x) =√√

1 + x − x define umafuncao f : A→ R?

Solucao:

A e constituıdo de todos os numeros reais x que satisfazem as seguintes condicoes:

(1) 1 + x ≥ 0;

(2)√

1 + x − x ≥ 0.

A primeira e satisfeita se, e somente se, x ∈ S1 = [−1,+∞).

A segunda, por sua vez, e equivalente a√

1 + x ≥ x . Esta inequacao so faz sentidopara x ≥ −1. Vamos, portanto, determinar quais numeros reais maiores ou iguais a−1 sao solucao desta inequacao.

Para x ≥ 0, ela equivale a 1 + x ≥ x2 (por que?), ou seja, a x ∈ [ 1−√

, 1+√

Portanto, os numeros reais nao negativos que sao solucao de√

1 + x ≥ x sao

exatamente aqueles que pertencem ao intervalo [0, 1+√

]. Note tambem que todo

x ∈ [−1, 0) e solucao de√

1 + x ≥ x (por que?). Portanto, o conjunto-solucao de√

1 + x ≥ x e S2 = [−1, 0] ∪ [0, 1+√

] = [−1, 1+√

Logo, A = S1 ∩ S2 = [−1, 1+√

Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine im f .

Solucao:

f (x) = 2(x2 + 3

2x + 2

[(x + 3

)2 − 916

= 2[(x + 3

)2+ 23

(x + 3

)2+ 23

8≥ 23

Logo, im f ⊂[

238,+∞

). Resta mostrar que

[238,+∞

)⊂ im f .

Seja y ∈[

238,+∞

)e considere a equacao f (x) = y , a qual e equivalente a

2x2 + 3x + (4− y) = 0. Seu discriminante e ∆ = −23 + 8y . Para y ≥ 238

, temos que∆ ≥ 0 e, portanto, tal equacao tem solucao real x . Portanto, y = f (x) para algumx ∈ R, o que significa que y ∈ im f .

Logo, im f =[

238,+∞

Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine im f .

Solucao:

f (x) = 2(x2 + 3

2x + 2

[(x + 3

)2 − 916

= 2[(x + 3

)2+ 23

(x + 3

)2+ 23

8≥ 23

Logo, im f ⊂[

238,+∞

). Resta mostrar que

[238,+∞

)⊂ im f .

Seja y ∈[

238,+∞

)e considere a equacao f (x) = y , a qual e equivalente a

2x2 + 3x + (4− y) = 0. Seu discriminante e ∆ = −23 + 8y . Para y ≥ 238

, temos que∆ ≥ 0 e, portanto, tal equacao tem solucao real x . Portanto, y = f (x) para algumx ∈ R, o que significa que y ∈ im f .

Logo, im f =[

238,+∞

Imagem de conjuntos

Sejam f : A→ B uma funcao e X um subconjunto de A.

O conjunto f (X ) = {f (x) : x ∈ X} e denominado a imagem de X por f .

Ilustracao de X e f (X ).

Exemplo:

• f : R→ R, f (x) = |x |I X = {−2,−1, 0, 1, 3}; f (X ) = {2, 1, 0, 3}.

Imagem inversa de conjuntos

Sejam f : A→ B uma funcao e Y um subconjunto de B.

A imagem inversa de Y por f e dada por f −1(Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.

Ilustracao de Y e f −1(Y ).

Exemplo:

• f : R→ R, f (x) = |x |I Y = {−1, 1, 3, 4, 5}; f −1(Y ) = {−1, 1,−3, 3,−4, 4,−5, 5}.

Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine f −1({3}).

Solucao:

f −1({3}) = {x ∈ R : f (x) ∈ {3}}= {x ∈ R : f (x) = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 4 = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 1 = 0}

Resolvendo 2x2 + 3x + 1 = 0, obtemos x = −1 ou x = − 12

Logo, f −1({3}) ={−1,− 1

Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine f −1({3}).

Solucao:

f −1({3}) = {x ∈ R : f (x) ∈ {3}}= {x ∈ R : f (x) = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 4 = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 1 = 0}

Resolvendo 2x2 + 3x + 1 = 0, obtemos x = −1 ou x = − 12

Logo, f −1({3}) ={−1,− 1

Propriedades

Proposicao

Sejam f : A→ B uma funcao, X ⊂ A e Y ⊂ B. Valem:

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )). Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )). Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )). Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )).

Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )).

Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )).

Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

(1) f −1(f (X )) ⊃ X

(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y

X , f (X ) e f −1(f (X )). Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).

Propriedades

Proposicao

Sejam f : A→ B uma funcao e X1,X2 ⊂ A. Valem:

(1) se X1 ⊂ X2 entao f (X1) ⊂ f (X2)

(2) f (X1 ∪ X2) = f (X1) ∪ f (X2)

(3) f (X1 ∩ X2) ⊂ f (X1) ∩ f (X2)

(4) f (X1 − X2) ⊃ f (X1)− f (X2)

Propriedades

Proposicao

Sejam f : A→ B uma funcao e Y1,Y2 ⊂ B. Valem:

(1) se Y1 ⊂ Y2 entao f −1(Y1) ⊂ f −1(Y2)

(2) f −1(Y1 ∪ Y2) = f −1(Y1) ∪ f −1(Y2)

(3) f −1(Y1 ∩ Y2) = f −1(Y1) ∩ f −1(Y2)

(4) f −1(Y1 − Y2) = f −1(Y1)− f −1(Y2)

Funcao injetora

Dizemos que f : A→ B e injetora se, para quaisquer x1, x2 ∈ A,x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Ilustracao de uma funcao injetora.

Observacao: f e injetora sse ∀x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Exemplos:

(a) f : R→ R× R, f (x) = (x , |x |) e injetora.

(b) g : N→ N, g(n) =

{n/2 se n e par

3n + 1 se n e ımparnao e injetora.

Funcao sobrejetora

Dizemos que f : A→ B e sobrejetora se im f = B.

Ilustracao de uma funcao sobrejetora.

Exemplos:

(a) f : R→ R× R, f (x) = (x , |x |) nao e sobrejetora.

(b) g : N→ N, g(n) =

{n/2 se n e par

3n + 1 se n e ımpare sobrejetora.

Funcao bijetora

Dizemos que f : A→ B e bijetora se e injetora e sobrejetora.

Ilustracao de uma funcao bijetora.

Exemplos:

(a) f : R→ R, f (x) = ax + b com a 6= 0 e bijetora.

(b) g : R→ R, g(x) = ax2 + bx + c com a 6= 0 nao e bijetora.

Seja f : R \ {−2} → R dada por f (x) =2x + 3

x + 2. Decida se f e injetora, sobrejetora

ou bijetora e justifique sua resposta.

Solucao:

• f e injetora: Sejam x1, x2 ∈ R \ {−2} tais que f (x1) = f (x2). Temos que:

f (x1) = f (x2) ⇒ 2x1+3x1+2

= 2x2+3x2+2

⇒ (2x1 + 3)(x2 + 2) = (2x2 + 3)(x1 + 2)

⇒ 2x1x2 + 4x1 + 3x2 + 6 = 2x1x2 + 4x2 + 3x1 + 6⇒ x1 = x2

• f nao e sobrejetora: 2 6∈ im f , ja que a equacao 2x+3x+2

= 2 nao possui solucao.

Note que im f = R \ {2}, uma vez que:

y = f (x)⇔ y =2x + 3

x + 2⇔ y(x + 2) = 2x + 3⇔ (y − 2)x = 3− 2y ⇔ x =

3− 2y

y − 2

Logo, f e injetora, mas nao e sobrejetora (e, consequentemente, nao e bijetora).

Seja f : R \ {−2} → R dada por f (x) =2x + 3

x + 2. Decida se f e injetora, sobrejetora

ou bijetora e justifique sua resposta.

Solucao:

• f e injetora: Sejam x1, x2 ∈ R \ {−2} tais que f (x1) = f (x2). Temos que:

f (x1) = f (x2) ⇒ 2x1+3x1+2

= 2x2+3x2+2

⇒ (2x1 + 3)(x2 + 2) = (2x2 + 3)(x1 + 2)

⇒ 2x1x2 + 4x1 + 3x2 + 6 = 2x1x2 + 4x2 + 3x1 + 6⇒ x1 = x2

• f nao e sobrejetora: 2 6∈ im f , ja que a equacao 2x+3x+2

= 2 nao possui solucao.

Note que im f = R \ {2}, uma vez que:

y = f (x)⇔ y =2x + 3

x + 2⇔ y(x + 2) = 2x + 3⇔ (y − 2)x = 3− 2y ⇔ x =

3− 2y

y − 2

Logo, f e injetora, mas nao e sobrejetora (e, consequentemente, nao e bijetora).

Composicao de funcoes

Sejam f e g funcoes tais que im f ⊂ dom g . A composta de g e f e afuncao com domınio dom f que associa cada x ∈ dom f a g(f (x)).

Notacao: g ◦ f (leia “g bola f ”)

Ilustracao da composta de f e g .

Exemplos:

• f : R→ R, f (x) = x

• g : R→ R, g(x) = x2

• h : R+ → R, h(x) =√x

(a) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x) = x2

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2) = x2

(b) (g ◦ h)(x) = g(h(x)) = g(√x) = (

√x)2 = x

(h ◦ g)(x) = h(g(x)) = h(x2) =√x2 = |x |

(c) (f ◦ h)(x) = f (h(x)) = f (√x) =

h ◦ f nao esta definida, pois im f 6⊂ dom h

Propriedades

Proposicao

Sejam f , g e h funcoes tais que im f ⊂ dom g e im g ⊂ dom h. Vale:

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).

Observacao: A proposicao acima nos permite escrever h ◦ g ◦ f .

Proposicao

Sejam f : A→ B e g : B → C . Valem:

(1) Se f e g sao injetoras entao g ◦ f : A→ C e injetora.

(2) Se f e g sao sobrejetoras entao g ◦ f : A→ C e sobrejetora.

(3) Se f e g sao bijetoras entao g ◦ f : A→ C e bijetora.

Propriedades

Proposicao

Sejam f , g e h funcoes tais que im f ⊂ dom g e im g ⊂ dom h. Vale:

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).

Observacao: A proposicao acima nos permite escrever h ◦ g ◦ f .

Proposicao

Sejam f : A→ B e g : B → C . Valem:

(1) Se f e g sao injetoras entao g ◦ f : A→ C e injetora.

(2) Se f e g sao sobrejetoras entao g ◦ f : A→ C e sobrejetora.

(3) Se f e g sao bijetoras entao g ◦ f : A→ C e bijetora.

Funcao inversa

Seja f : A→ B bijetora. A funcao f −1 : B → A dada por

f −1(y) = x onde x ∈ A e tal que f (x) = y

e denominada a inversa de f .

Ilustracao de f . Ilustracao de f −1.

Exemplos

(1) Para todo n ∈ N, a funcao f : [0,+∞)→ [0,+∞) dada porf (x) = xn e uma bijecao, cuja inversa e f : [0,+∞)→ [0,+∞) dadapor f (y) = n

√y .

Exemplos

√y .

Exemplos

√y .

Exemplos

(2) Se n e ımpar, entao a funcao f : R→ R dada por f (x) = xn e umabijecao, cuja inversa e f : R→ R dada por f (y) = n

√y .

Exemplos

√y .

Exemplos

√y .

Propriedades

Proposicao

Seja f : A→ B bijetora. Valem:

(1) (f −1 ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A;

(2) (f ◦ f −1)(y) = y para todo y ∈ B.

Proposicao

Seja f : A→ B. Se existe g : B → A tal que

• (g ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A e

• (f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B

entao f e bijetora e g = f −1.

Propriedades

Proposicao

Seja f : A→ B bijetora. Valem:

(1) (f −1 ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A;

(2) (f ◦ f −1)(y) = y para todo y ∈ B.

Proposicao

Seja f : A→ B. Se existe g : B → A tal que

• (g ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A e

• (f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B

entao f e bijetora e g = f −1.

Propriedades

Proposicao

Se f : A→ B e bijetora entao f −1 : B → A e bijetora e (f −1)−1 = f .

Proposicao

Se f : A→ B e g : B → C sao bijetoras entao (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.

Propriedades

Proposicao

Se f : A→ B e bijetora entao f −1 : B → A e bijetora e (f −1)−1 = f .

Proposicao

Se f : A→ B e g : B → C sao bijetoras entao (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.

Generalidades sobre funçõesprofessor.ufabc.edu.br/~ana.boero/BC0003/slides4.pdf · Generalidades...

Documents

Transcript of Generalidades sobre funçõesprofessor.ufabc.edu.br/~ana.boero/BC0003/slides4.pdf · Generalidades...