1 1

124 NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 Intuïtionistische logica en het scheppend subject Mark van Atten, Göran Sundholm

Mark van AttenSND

CNRS, Universite Paris IV

vanattenmark@gmail.com

Göran SundholmInstituut voor Wijsbegeerte

Universiteit Leiden

goran.sundholm@gmail.com

Evenement Tachtigste verjaardag Dirk van Dalen

Intuıtionistische logica enhet scheppend subject

Op 20 December 2012 bereikte Dirk van Dalen, intuïtionist en biograaf van L.E.J. Brouwer,

de leeftijd van tachtig jaar. Om dat te vieren werd op 11 januari 2013 een feestelijke middag

georganiseerd in Utrecht. Daarbij sprak Mark van Atten, oud-promovendus van Van Dalen, een

rede uit. Dit artikel is de licht aangepaste tekst die hij hiervan samen met Göran Sundholm

schreef.

Het eerste deel van deze voordracht gaat overBrouwers reden het principe van de uitge-sloten derde niet als logische wet te aan-vaarden, en is gebaseerd op ons gezamen-lijk onderzoek.1 Het tweede deel gaat overBrouwers notie van de ideale wiskundige, of-wel, zoals hij dat zelf noemde, ‘het schep-pend subject’, en komt voor de mogelijk ge-peperde rekening van Van Atten alleen. Beideonderwerpen hebben sinds lang Van Dalensbijzondere belangstelling.

Intuïtionistische logica

Hoewel Brouwer zijn algemene ideeën overlogica en het verband tussen logica en wis-kunde al in zijn dissertatie uiteengezet had,trok hij de revisionistische conclusies daar-uit eerst in zijn artikel ‘De onbetrouwbaar-heid der logische principes’ [7]. Hij schreefdat niet lang na zijn promotie en publiceer-de het in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte in1908. Brouwer introduceert de vraag naar debetrouwbaarheid van de logica in de zuive-re wiskunde, en maakt die vraag aannemelijkdoor eerst van twee andere gebieden te la-ten zien dat men daar op de logica niet reke-nen kan, namelijk de natuurwetenschappenen de wijsheid. Zijn opvatting van logica daaris die uit zijn dissertatie: logica bestudeertpatronen in talige weergaven van wiskun-dige bouwhandelingen. Het lijkt of Brouwerdaarmee de logica haar traditionele context-onafhankelijkheid ontneemt, maar in zekere

zin geeft hij die met de andere hand weer te-rug door al het exact denken als toegepastewiskunde te zien.

Voor Brouwer is het criterium voor de cor-rectheid van een conclusie uit bepaalde pre-missen dat ik de constructie die de conclu-sie vereist, kan maken als ik voorondersteldat ik al constructies voor de premissen ge-vonden heb. De hypothese hier is dus eenepistemische: ik neem aan dat de premis-sen gekend zijn, niet alleen dat ze waar zijn.Brouwer zou zelf zo’n onderscheid overigensniet kunnen maken, omdat er volgens hemgeen niet-ervaren waarheden bestaan, en ikbij het vooronderstellen van de waarheid vaneen propositie dus vanzelf ook voorondersteldat ik heb ervaren dat die propositie waar is,dat wil zeggen, dat ik er een bewijs voor heb.Dit geeft natuurlijk een belangrijk verschil aanmet de notie van hypothese die in de natuur-lijke deductie gebruikt wordt. Daar betekenthet stellen van een hypothese immers hetaannemen datAwaar is, of ik er nu een bewijsvan heb of niet. In feite is de Brouweriaanseimplicatie dan ook niet die uit Gentzens Na-tuurlijke Deductie, maar moet zij begrepenworden als een regel waaronder de hele wis-kunde gesloten is. Het betekent ook dat debetekenisverklaring van de intuïtionistischelogica niet gegeven moet worden in termenvan bewijscondities, maar van assertiecondi-ties (wat Heyting in zijn boek uit 1956 ook in-derdaad doet [37, hoofdstuk 7]). Deze sugges-

tie hebben Sundholm en ik eens uitgewerktaan de hand van Brouwers Barrièrestelling,en ik zal er hier niet verder op ingaan [49].

In zijn artikel beschrijft Brouwer het pro-bleem van de logica in de natuurwetenschap-pen als het traditionele probleem van induc-tie. Er is geen zekerheid dat een wiskundigmodel dat een aantal gedane waarnemingenverklaart vervolgens ook correcte voorspellin-gen zal maken. Maar de rol van de logica is omuit uitspraken in het wiskundig model andereuitspraken in dat model af te leiden. Het kandus makkelijk gebeuren dat uit premissen diemet waarnemingen overeenkomen langs lo-gische weg conclusies worden getrokken diedat niet doen. En dus is de logica daar onbe-trouwbaar.

In wijsheid is de logica onbetrouwbaar omeen andere reden. In Brouwers opvatting voor-onderstelt de logica immers de aanwezigheidvan wiskundige constructies, maar in de wijs-heid zijn die er volgens hem niet. Wiskundeaccepteert tijdbewustzijn, en heeft die nodigvoor haar opbouw. Wijsheid verwerpt tijdbe-wustzijn, omdat dat het onderscheid tussensubject en object teweegbrengt, en zo het be-wustzijn uit zijn ‘diepste tehuis’ houdt, waardat onderscheid niet bestaat.2 Om logica opwijsheid toe te kunnen passen, zou je er duseen wiskundige structuur aan moeten opdrin-gen die het van huis uit niet heeft. Dat kande inhoud ervan alleen maar verwringen, ener is geen reden aan te nemen dat logischeconclusies uit verwrongen inhouden zelf welinhoudelijk accuraat zijn.

Wiskunde nu verschilt van de natuurwe-tenschappen alleen al hierdoor, dat ze vanalle waarnemingsinhoud abstraheert; en wis-kunde verschilt van wijsheid omdat, wanneer

2 2

Mark van Atten, Göran Sundholm Intuïtionistische logica en het scheppend subject NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 125

Dirk van Dalen

er aan wiskunde logica te pas komt, die toege-past wordt op iets dat zelf wiskundige struc-tuur heeft. De vraag is dan of logica in de wis-kunde wel betrouwbaar is, en Brouwers con-clusie is van niet. Hij beredeneert dat op con-structieve wijze, dat wil zeggen door een voor-beeld te geven van een logisch principe dat inde wiskunde onbetrouwbaar is, het principevan de uitgesloten derde. De abstracte mo-gelijkheid van onbetrouwbare principes hadBrouwer echter al in zijn dissertatie gezien[6, pp. 132–133 en Stelling XX]. Het argumentdaar was dat de betrouwbaarheid van logisch

redeneren afhankelijk is van de wiskundigecontext waarin het wordt toegepast: het is im-mers de context die bepaalt of een logischeredenering inderdaad een soort tegoedbon isdie kan worden ingewisseld voor een wiskun-dige constructie. Brouwer verwierp daar bij-voorbeeld pogingen met behulp van logicaiets te weten te komen over niet-constructieveobjecten, die voor hem immers geen werkelijkwiskundige structuur hebben. In dat geval ligtde fout zogezegd aan de kant van het object;Brouwer maakte nog geen bezwaar dat ligtaan de kant van de logica. Maar dat komt al-

leen omdat hij toen de uitgesloten derde nogverkeerd begreep, als “niet-A impliceert niet-A” [6, p. 131]. Dirk van Dalen heeft laten zienhoe deze foutieve lezing teruggaat op Brou-wers leraar logica, Bellaar Spruyt.3 Een jaarlater leest Brouwer het principe correct als“A is bewijsbaar, of niet-A is bewijsbaar” [21,pp. 3–4]. Het artikel over de onbetrouwbaar-heid is dus in twee opzichten een stap vooruitvergeleken bij de dissertatie: Brouwer corri-geert zijn lezing van de uitgeloten derde, endaarmee is hij dan in staat te laten zien datook in de wiskunde zelf een traditioneel lo-gisch principe onbetrouwbaar is.

Brouwers redenering is eenvoudig: som-mige traditionele principes behouden con-strueerbaarheid, maar uitgesloten derde doetdat niet. Zolang ik alleen die eerste princi-pes blijf gebruiken, kan ik mijn wiskundigeconstructies verlaten, zuiver logisch verder re-deneren, en toch zeker zijn dat de conclusiewaar ik op uitkom weer door wiskundige con-structies kan worden gewettigd. Maar als ikonderweg de uitgesloten derde gebruik, danverlies ik in het algemeen die zekerheid, om-dat ik nu eenmaal niet zeker weet dat ik eenwillekeurige propositie hetzij bewijzen, hetzijweerleggen kan.

Brouwer was niet de eerste die kritiek oftwijfel uitte over het nut of zelfs de geldig-heid van de uitgesloten derde in de wiskun-de. Reeds Kronecker betwistte het gebruik vandit principe en van de daarmee verwante de-finities op grond van onbesliste gevalsonder-scheidingen [44, p. 11n]. Zijn promovendusJules Molk4 schreef in 1885 in zijn dissertatie:

“Les definitions devront être algebriqueset non pas logiques seulement. Il ne suffitpas de dire: ‘Une chose est ou elle n’est pas’.Il faut montrer ce que veut dire être et ne pasêtre, dans le domaine particulier dans lequelnous nous mouvons. Alors seulement nousfaisons un pas en avant.” [45, p. 8]

Overigens citeert ook Van Dalen dat “Il nesuffit pas de dire: ‘Une chose est ou elle n’estpas’ ”, in zijn boek Filosofische Grondlagen

van de Wiskunde waar het een van de motto’sis bij het hoofdstuk over het intuïtionisme [18,p. 19].5 Dat boek was, toen ik het op de mid-delbare school las, mijn eerste kennismakingmet Van Dalen. Jules Molk kwam jaren na zijnpromotie nog eens uitgebreid op de zaak te-rug. De gelegenheid dat te doen bestond inde uitgave van een Franse versie van de onderredactie van Felix Klein uitgegeven Enzyklopä-

die der Mathematischen Wissenschaften mit

Einschluß ihrer Anwendungen [42]. Molk ver-taalde en bewerkte daarvoor artikelen vanPringsheim over elementaire analyse. In een

3 3

126 NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 Intuïtionistische logica en het scheppend subject Mark van Atten, Göran Sundholm

toegift beschrijft Molk als volgt het ‘Point devue de L. Kronecker’:

“L’Analyse doit, d’autre part, se garderde considerations generales d’ordre logiqueetrangeres à son objet. Les definitions nedoivent introduire en Analyse que des no-tions auxiliaires facilitant l’etude des di-vers groups naturels que l’on forme pouretudier les proprietes des nombres. Ces no-tions auxiliaires doivent avoir un caractèrearithmetique et non logique seulement, ensorte qu’elles ne sauraient porter que sur desgroups dont chaque element puisse être ef-fectivement obtenu au moyen d’un nombrefini d’operations, et non sur des groupes sim-plement determines par une convention lo-gique non-contradictoire.

De même l’evidence logique d’un raison-nement ne suffit pas pour legitimer l’emploide ce raisonnement en Analyse. Pour avoirdonne une demonstration mathematiqued’une proposition, il ne suffit pas, parexemple d’avoir etabli que la propositioncontraire implique contradiction. Il faut don-ner un procede permettant d’obtenir, aumoyen d’un nombre fini d’operations arithme-tiques au sens ancien du mot, effectuees surles elements que l’on envisage, le resultâtqu’enonce la proposition à demontrer. C’estce procede qui constitue l’essence de lademonstration; il ne vient pas s’y ajouter. [. . .]

Le principe de l’economie dans la science,economie de temps, economie d’efforts, nousamène en Analyse les nombres rationnelsabsolus et relatifs: cette introduction estlegitime, puis qu’elle n’a pour effet qued’abreger les deductions sans en changer lecaractère. À toute proposition concernant lesnombres rationnels, exprimee par une egalitepar exemple, correspond une congruenceprise suivant un module ou un système demodules toujours faciles à determiner. [. . .]

Le caractère des demonstrations est, aucontraire, complètement change par l’in-troduction de nombres irrationnels quel-conques. On ne peut d’ailleurs donner deces nombres qu’une definition logique, lesdeterminant, mais ne les definissant pasmathematiquement. C’est cette definition lo-gique (mais non mathematique) qui confèreaux ensembles (infinis) de nombres ration-nels, que l’on dit definir des nombres irration-nels quelconques, le caractère d’une suite or-ganique. Ces nombres ne peuvent donc, sui-vant L. Kronecker, figurer à aucun titre dansla demonstration definitive d’une propositiond’Analyse.” [46, pp. 159–160]

Ik citeer dit zo uitvoerig omdat parallellenmet Brouwers artikel uit 1908 zo duidelijk en

tot in de details aanwezig zijn: het verwerpenvan indirecte existentiebewijzen; het verbodzich te beperken tot blind, louter symbolischredeneren; en de uitdrukkelijke scheiding vanbewezen en niet-contradictoire proposities.Nu verscheen deze Encyclopedie in afleve-ringen en werd het fascicule met Molks toe-gift gepubliceerd in 1904. Navorsingen doorSundholm hebben uitgewezen dat er toenter-tijd een bibliotheek in Nederland was die deopeenvolgende fascicules kocht: de universi-teitsbibliotheek te Amsterdam. Deze passa-ges van Molk staan op de allerlaatste blad-zijden van fascicule 1, en fascicule 2 ver-scheen in mei 1907, een paar maanden naBrouwers promotie in februari. Stel je voor,heeft Sundholm me na zijn speurwerk ge-zegd, dat iemand toen die nieuwe afleveringopzocht, en de blik liet vallen op die laat-ste bladzijden van aflevering 1. . . Maar voor-dat we Brouwer nu gaan verdenken van pla-giaat, moeten we ook vaststellen dat nochin de aantekenschriftjes waarin de studieuzeBrouwer zijn dissertatie voorbereidde,6 nochin die dissertatie zelf, noch in zijn omvang-rijke correspondentie enige verwijzing staatnaar het artikel van Pringsheim en Molk, ofnaar enig ander artikel uit de Duitse danwel Franse versie van deze encyclopedie, ofnaar enig ander geschrift van Molk. Maarik kan natuurlijk niet verhinderen dat de-ze overweging naar twee kanten uitgelegdkan worden.

Parallellen met Brouwers artikel zijn ookte vinden in een latere tekst, van weer ie-mand anders, Edmund Husserl.7 Ik denk aandiens opstel ‘Vom Ursprung der Geometrie uit1936.8 Met de meetkunde als voorbeeld be-spreekt Husserl daar de merkwaardige om-standigheid dat taal, schriftelijke overleve-ring, aan de ene kant een voorwaarde isvoor het bestaan van een wetenschap alseen gedeelde traditie van voortschrijdendeinzichten, maar aan de andere kant die tra-ditie voortdurend van binnenuit bedreigt. Be-dreigt, omdat een verstaander een medede-ling niet alleen op een actieve manier kan be-grijpen, door die zelf te doordenken en zo hetmedegedeelde inzicht zelf te reproduceren,maar ook op een passieve manier, waarbijde mededeling aangenomen wordt zonder teproberen de oorspronkelijke evidentie ervoorzelf te herhalen. (Natuurlijk zijn dit de tweeextremen en is iemands begrip van een ge-geven mededeling in werkelijkheid meestaldeels actief, deels passief.) Het passieve be-grip nu kan besmet worden door allerlei as-sociaties, waardoor betekeniselementen wor-den toegevoegd die niet voortgekomen zijn

uit de oorspronkelijke context van de mede-deling. Zo kan er een talige constructie ont-staan die we tot de wetenschap in kwestierekenen en schriftelijk aan de traditie toevoe-gen, zonder dat we op dat moment zekerheid

hebben dat ook zij een gedachte uitdrukt diein authentiek denken evident gemaakt kanworden. Als we ons daar niet van bewust zijn,en niets doen om die nieuwe uitspraak te con-troleren, dan zijn we slachtoffer geworden vande ‘Verführung der Sprache’ [39, p. 372].

Husserls betoog is omvattender en genu-anceerder dan ik het nu kan weergeven, maarhet is duidelijk dat zijn argument hier ana-loog is aan dat van Brouwer over de logica.Weliswaar richt Husserl zich op de feilbaar-heid van passief begrepen taal, en niet zoalsBrouwer op de feilbaarheid van tijdelijk nietgeïnterpreteerde en in die zin geheel niet be-grepen taal, maar in beide gevallen is het rele-vante contrast dat met taal die een authentie-ke en evidente gedachte uitdrukt. Ik vermoeddat Husserl deze tekst van Brouwer nooit ge-kend heeft — een andere trouwens aantoon-baar wel, een die niet onbelangrijk is in dit ver-band, namelijk de ‘Intuïtionistische Betrach-tungen über den Formalismus’ uit 1928 [10],waarin Brouwer zijn eerdere artikel en de con-clusie daarvan uitdrukkelijk noemt.9

De remedie die Husserl voorstelt is de in-nerlijke ontwikkeling van een wetenschap tereconstrueren en na te gaan waar de taal ont-spoorde door het contact met de authentiekeen evidente gedachte te verliezen. Het is dui-delijk dat Brouwer van begin af aan, toen hijvan Husserl nog niet wist, zijn eigen projectzo gezien heeft.

In de twintigste-eeuwse wijsbegeerte encultuurkritiek heeft die tekst van Husserl overde oorsprong van de meetkunde een belang-rijke rol gespeeld. Voor de geschiedschrijvingis het daarom vermeldenswaard dat een eer-ste aanzet ertoe, daterend rond 1922 en geti-teld ‘Kritik der Geometrie als positiver Wis-senschaft’, geschreven is op de achterkantvan enkele bladzijden van het Habilitations-schrift van Oskar Becker10 uit datzelfde jaar,en daar kennelijk door geïnspireerd was.11

Dat Habilitationsschrift heette ‘Beiträge zurphänomenologischen Begründung der Geo-metrie und ihrer physikalischen Anwendung’,gepubliceerd als [2], en was uitdrukkelijk ge-motiveerd door het in de grond fenomenolo-gische karakter van Brouwers theorie van hetcontinuüm, die toen net nieuw was. Van eenmisschien niet beslissende, maar toch duide-lijke invloed van het intuïtionistische denkenop de ontwikkeling van de fenomenologie kanhier daarom denk ik wel gesproken worden,

4 4

Mark van Atten, Göran Sundholm Intuïtionistische logica en het scheppend subject NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 127

een invloed die trouwens voorafging aan debekendere maar volgens mij ook beperkterein de andere richting, die tot uitdrukking komtin Heytings uitleg van de intuïtionistische lo-gica in zijn voordracht te Königsberg in 1930(gepubliceerd als [36]). Heyting verklaart daardat een wiskundige uitspraak een verwach-ting uitdrukt, namelijk de verwachting dat ereen bepaald bewijs bestaat, en hij zegt ook,onder verwijzing naar Becker [3], dat je datnog beter kunt verwoorden in fenomenolo-gisch vocabulaire: een uitspraak drukt een in-tentie uit, die in het vinden van een bewijs ver-vuld wordt. Maar in later werk geeft Heytinghier geen vervolg aan, en het is uiteindelijkniet meer dan een momentane terminologi-sche precisering geweest.

Ik keer terug naar Brouwers artikel uit1908. Veel directe invloed lijkt het niet ge-had te hebben, behalve natuurlijk op Hey-ting. Een interessante uitzondering is Griss.12

De keuze uit Brouwers correspondentie dieVan Dalen onlangs gepubliceerd heeft, bevateen brief van Griss aan Brouwer uit 1941 [22,pp. 2142–2146]. Het is daar dat Griss, in di-recte aansluiting op uitspraken in Brouwersartikel, zijn negatieloze wiskunde en de filo-sofische motivatie daartoe aan Brouwer be-kend maakt. Griss publiceerde over dit onder-werp vanaf 1944 [32], en Brouwer reageerdedaarop in 1948 met zijn ‘Essentieel negatieveeigenschappen’ [13]. Helaas liet hij het daarinbij een wiskundige constructie waarin de ne-gatie onontbeerlijk is, op zichzelf natuurlijkal spectaculair genoeg,13 maar zonder daar-naast aan te geven hoe zijn filosofisch begripvan de negatie afwijkt van dat van Griss.

L.E.J. Brouwer

Het scheppend subject

Ik kom nu tot mijn tweede thema.14 In diecorrespondentie van Brouwer is ook opgeno-men de brief uit 1928 waarin hij Heyting be-dankt voor het toesturen van diens gedeel-telijke formalisering van de intuïtionistischewiskunde [22, pp. 1521–1522]. Hij moedigtHeyting aan het stuk te publiceren en daartoenog wat uit te breiden. Brouwer suggereert hetbegrip ‘Gesetz’ te formaliseren. Het bedoel-de begrip is dat van de spreidingswet; hetbegrip wet als in wetmatige keuzerij is daareen speciaal geval van. Heyting [35] doet datniet, en formaliseert alleen de voorwaardenwaaraan een species van eindige rijtjes moetvoldoen om door een wet gegeven te kunnenzijn. In 1962 schrijft Heyting dat een van Brou-wers motiveringen om keuzerijen in te voerenjuist was dat het begrip ‘wet’ volledig onhan-delbaar is, en dat als de notie van recursie-ve functie toen al had bestaan, Brouwer weleens besloten zou kunnen hebben zich daardan maar toe te beperken [38, p. 195]; en jekunt vermoeden dat Heyting het hier behalveover Brouwer ook over zijn vroegere ik heeft.Helemaal overtuigend vind ik Heytings sug-gestie niet, want Brouwer had ook de algeme-nere motivatie dat als een reëel getal gegevenmoet worden door een wet of een definitie ofeen formeel bewijs, allemaal dingen die wathun verdere aard ook moge zijn in ieder ge-val talige objecten zijn, dat er nooit meer daneen aftelbare hoeveelheid van oplevert [11,p. 3], en dat bezwaar zou ook gegolden heb-ben voor recursieve functiedefinities. Natuur-lijk is het dan de vraag of het soms beter kan.Brouwer dacht van wel, maar vandaag de dagzijn onder de constructivisten zij die, lieverdan keuzerijen te moeten accepteren, Brou-wers kritiek maar onbeantwoord laten en mettechnische trucs de schijn op proberen te hou-den veruit in de meerderheid, wat overigensniet wil zeggen dat zij ook gelijk hebben. Brou-wer was natuurlijk een beetje de man uit hetgedicht ‘The Road not Taken’ van Robert Frost:

Two roads diverged in a wood, and I —

I took the one less traveled by

And that has made all the difference.

De ontwikkeling van de recursietheorie zounatuurlijk pas jaren na Brouwers invoeringvan de keuzerijen beginnen. Maar in haar re-cente boek Logic and Philosophy of Mathe-

matics in the Early Husserl benadrukt Stefa-nia Centrone terecht het nu en toentertijd wei-nig bekende feit dat Husserl misschien wel deeerste was die de vraag stelde naar een alge-mene theorie van alle mogelijke rekenkundi-ge functies en hun reductie tot een klein aan-tal normaalvormen [16, pp. 54–61,98]. Dit in

zijn Philosophie der Arithmetik uit 1891 [40,hoofdstuk 13].

Husserl introduceert en bespreekt daareen bepaalde klasse van functies en met goe-de wil is er wel wat te zeggen voor de opmer-king van Ettore Casari, door Centrone verderuitgewerkt, dat die klasse extensioneel heeldicht bij de partieel recursieve functies komt.Maar het is ook zo dat Husserl geen enke-le aanzet of bijdrage heeft geleverd tot hetoplossen van het grotere vraagstuk dat erinbestaat aannemelijk te maken dat een be-paalde klasse van functies precies alle bere-kenbare functies bevat. Interessanterwijs kunje Turings argument uit 1936 voor diens be-wering dat berekenbaarheid samenvalt metpartiële recursiviteit [52] met recht een exer-citie van fenomenologische aard noemen. Hetis een reflectie op de handelingen die eengeïdealiseerd rekenend mens kan uitvoeren,en op hoe die handelingen afhankelijk zijnvan eigenschappen van diens geest en waar-neming. Het was dat argument, van een typedat in de discussie over berekenbaarheid inde jaren dertig nog niet eerder was gebruikt,dat Gödel over de streep trok om de bere-kenbare functies te identificeren met de par-tieel recursieve; twee jaar daarvoor had hijChurch, die tot dezelfde conclusie was geko-men, nog niet willen geloven [29, p. 348n.3en pp. 369–71]. Let wel, de berekenbaarheidwaar het hier om ging is mechanische bere-kenbaarheid. Gaandeweg raakte Gödel ervanovertuigd dat er functies zouden kunnen zijndie de menselijke geest wel kan berekenenmaar niet langs mechanische weg; met ande-re woorden, dat er misschien functies bestaandie wel effectief zijn maar niet recursief.

Het is in dit verband instructief te zien hoeGödel de voetnoot over Turing in zijn Dialec-

tica-artikel uit 1958 wijzigt in de versie van1972. Eerst schreef Gödel:

“A.M. Turing hat bekanntlich mit Hilfe desBegriffs einer Rechenmaschine eine Definiti-on des Begriffs einer berechenbaren Funktionerster Stufe gegeben. Aber wenn dieser Be-griff nicht schon vorher verständlich gewesenwäre, hätte die Frage, ob die Turingsche Defi-nition adäquat ist, keinen Sinn.” [25, p. 283]

In 1972 wordt dat:“It is well known that A.M. Turing has

given an elaborate definition of the conceptof a mechanically computable function ofnatural numbers. This definition most cer-tainly was not superfluous. However, if theterm ‘mechanically computable’ had not hada clear, although unanalyzed, meaning be-fore, the question as to whether Turing’sdefinition is adequate would be meaning-

5 5

128 NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 Intuïtionistische logica en het scheppend subject Mark van Atten, Göran Sundholm

less, while it undoubtedly has an affirmativeanswer.” [27, p. 275n.5]

Het verschil is dat Gödel nu de mechani-sche aard van Turings notie benoemt en bena-drukt. Voor zijn eigen notie van ‘computablefunctional’ eist hij alleen dat de berekenbaar-heid ‘constructief evident’ moet zijn. Het hadvoor de hand gelegen om dan in een moeitedoor ook de vraag naar constructief eviden-te maar niet-mechanische berekenbaarheidte stellen. Dat doet Gödel hier weliswaar niet,maar in een ander klad voor de herziening vanDialectica wel:

“It must be admitted that the constructionof a well-defined procedure which could actu-ally be carried out (and would yield a non-recursive number-theoretic function) wouldrequire a substantial advance in our under-standing of the basic concepts of mathemat-ics.” [28, p. 306]

Welnu, zegt de intuïtionist, die ‘substanti-al advance’ hebben wij al gemaakt. Er is in deintuïtionistische literatuur minstens drie keereen voorbeeld van een effectieve maar niet re-cursieve functie gegeven, door Van Dalen [18,p. 40n.3], door Wim Gielen (gepubliceerdin [50, p. 35]), en door Albert Dragalin [24,pp. 134–135]. Ze komen alle drie op hetzelfdeneer, en gaan terug op een constructie ont-sproten aan het brein van de Amerikaanse fi-losoof Saul Kripke, die deze zelf niet gepubli-ceerd heeft.

De presentatie van Van Dalen is de meestelegante, omdat die het eenvoudigst is en hetdichtst op het scheppend subject zit. Hij ge-bruikt Kreisels zogeheten theory of the creat-ing subject, dat wil zeggen de volgende drieschema’s, waar �np staat voor ‘Het schep-pend subject heeft op tijdstip n een bewijsvoor propositie p’:

(CS1) p ↔ ∃n�np,

een propositie p is waar dan en slechts danals het scheppend subject het op een gege-ven moment bewijst.

(CS2) ∀n∀m(�np → �n+mp),

het scheppend subject vergeet nooit wat hetbewezen heeft.

(CS3) ∀n(�np ∨¬�np),

op ieder moment kan het scheppend subjectuitmaken of het p al bewezen heeft of niet.

Merk overigens op dat, naar aanleidingvan wat ik aan het begin al even zei, het hierbeter zou zijn schematische regels in plaats

van axiomaschema’s te geven. Dat maakt ookeen verschil voor hun rechtvaardiging: CS1is als de logische implicatie van links naarrechts die het suggereert nauwelijks te recht-vaardigen, want waarom zou uit een bewijsvan p, of het subject dat nu kent of niet,met louter logica een momentn te extraherenzijn waarop het subject p bewijst? Maar vande corresponderende regel is de correctheidmakkelijk in te zien. Immers, als ik per hypo-these een bewijs van p heb, dan heb ik datnatuurlijk op een bepaald moment verkregen.Ik laat dit punt hier en in de rest van dit artikelterzijde.

Sommige constructivisten willen CS nietaccepteren wegens de expliciete verwijzingennaar de tijd, die zij onwiskundig of op zijnbest heel exotisch vinden, maar zij accepte-ren weer wel Kripkes Schema:

(KS) ∃α(∃nα(n) = 1 ↔ p).

KS is afleidbaar uit CS en alle bekende ar-gumenten die CS gebruiken kunnen ook metKS gegeven worden. In het gebruik is KS van-daag de dag populairder dan CS. Maar vanuitBrouweriaans standpunt, waar de tijdpara-meter in alle wiskunde en haar ontwikkelingingebakken is, worden CS en KS op gelijkegronden gerechtvaardigd. Het argument voorKS verloopt dan als volgt (en je zou je kun-nen afvragen hoe een niet-intuïtionistischeconstructivist het dan anders zou kunnendoen): de wiskundige activiteit van het schep-pend subject vindt plaats in de tijd, begin-nend bij de eerste oerintuïtie, en dan stapvoor stap verder. Voor een gegeven proposi-tie p kan het subject dan besluiten om el-ke zoveel tijdseenheden even te kijken of hijop een van de voorgaande stappen een be-wijs van p verkregen heeft, en de resulta-ten van deze waarnemingen bijhouden in eenkeuzerij.

Hoewel dit argument laat zien dat KS in-tuïtionistisch volslagen natuurlijk is, heeftGeorg Kreisel toch eens het bezwaar aange-voerd dat juist van Brouwers standpunt de-ze rechtvaardiging iets arbitrairs heeft, om-dat erin verondersteld wordt dat wiskundi-ge evidenties zich aan ons voordoen in eenω-reeks, maar Brouwer tegelijk mentale wis-kundige bewijzen van transfiniete lengte toe-laat [43, p. 128]. Daarom ook vermoeddeKreisel bij die gelegenheid dat argumentendat KS inconsistent is met de Church–Turing-these tekortschieten om die these helemaalte weerleggen. Denkelijk had hij hier de moge-lijkheid voor ogen dat de recursiviteit van eenbepaalde rij wel eens alleen in een mentaal

bewijs van transfiniete lengte aangetoondzou kunnen worden. Maar ik zie hier noch hetarbitraire noch het tekortschietende: immers,de transfiniete boomstructuur die ten grond-slag ligt aan een mentaal bewijs van transfi-niete lengte is een potentieel oneindige struc-tuur die we, volgens Brouwers theorie vantransfiniete welordeningen, in een ω-reeksvan stappen construeren, en niet in een lange-re [8, p. 22]. Dat betekent ook dat als we infor-matie uit zo’n transfiniet bewijs willen gebrui-ken, we die daar in eenω-reeks van stappenuithalen, want de enige toegang die we totzo’n bewijs hebben is via zijn constructie. Na-tuurlijk heeft Kreisel gelijk als hij vervolgt datinconsistentie van KS met de Church–Turing-these de vraag openlaat of constructieregelsdie niet naar een ordening van onze wiskun-dige bewijzen verwijzen dan wel allemaal re-cursief zijn. Daar heb ik vandaag niets over tezeggen.

John Myhill heeft gezien dat Kripkes Sche-ma al door Brouwer zelf geformuleerd is, al-thans, een instantiatie ervan [48, p. 295], [15,p. 4]. Sommigen zien in dat verschil voldoen-de grond om te betwijfelen dat Brouwer hetalgemene schema accepteert, maar er is ge-loof ik geen argument te bedenken dat welBrouwers instantiatie rechtvaardigt maar nietde algemene versie. Dit omdat de aard en op-bouw van de propositie in kwestie eigenlijkgeen rol spelen in het schema zelf. Terechtstellen anderen, waaronder Van Dalen, danook voor om voortaan te spreken over ‘hetBrouwer–Kripke-Schema’, niet KS maar BKS.

In combinatie met andere principes heeftBKS gevolgen voor de logica. Uit BKS en hetcontinuïteitsprincipe voor keuzerijtjes15 bij-voorbeeld volgt dat Markovs Principe

(MP) ∀α(¬¬∃xα(x) = 1 → ∃xα(x) = 1)

tot een tegenspraak leidt [24, p. 134]. Een an-der bekend effect is dat BKS en MP samenhet principe van de uitgesloten derde geven,wat voor Brouwerianen natuurlijk als nog eenweerlegging van MP geldt [51, p. 237].

Dat BKS ook concrete wiskundige gevolgenheeft, even afgezien van de niet-recursievefunctie die we zo zullen zien, is aange-toond door Van Dalen in papers uit 1975en 1997. Het eerste, ‘The use of Kripke’sschema as a reduction principle’ [17], laatzien hoe je met BKS een intuïtionistische ver-sie van de machtsverzameling van de natuur-lijke getallen kunt maken. Het tweede arti-kel, ‘How connected is the intuitionistic con-tinuum?’ [19], bouwt voort op Brouwers resul-taat dat het continuüm niet gesplitst kan wor-

6 6

Mark van Atten, Göran Sundholm Intuïtionistische logica en het scheppend subject NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 129

den [9, p. 66n.10], dat wil zeggen dat als R devereniging van twee disjuncte verzamelingenA en B is, dan is een van die twee R zelf en deandere dus leeg. Met een beroep op BKS laatVan Dalen zien dat ook het continuüm waar-aan het punt 0 onttrokken is, onsplitsbaarblijft, en dat je met het continuïteitsprincipevoor keuzerijtjes en barinductie er ook nog bijkunt bewijzen dat het continuüm waaraan alle

rationale getallen zijn onttrokken, nog steedsonsplitsbaar is. Later heeft Van Dalen dat nogversterkt: iedere negatieve, dichte deelverza-meling van R is onsplitsbaar [20].

Nu dan Kripkes functie zoals gegeven doorVan Dalen. Neem voor K een willekeurigerecursief opsombare, maar niet recursieveverzameling.16 Definieer

f (n,m) =

0 als �mn 6∈ K,

1 als niet �mn 6∈ K,(1)

Dan geldt:

n 6∈ K ↔ ∃mf (n,m) = 0. (2)

Het argument hiervoor is als volgt. Van rechtsnaar links: Neem aan dat ∃mf (n,m) = 0

voor een gegeven n. Uit de definitie van fvolgt dan dat er een m geconstrueerd kanworden zo dat �mn 6∈ K. Wat het scheppendsubject bewijst is correct, dus n 6∈ K.

Van links naar rechts: Neem aan dat n 6∈K. Op grond van CS1 betekent dit dat het

subject dit op een bepaald moment m be-wezen heeft. Door terug te blikken op zijnactiviteit kan het subject die m construeren;en dat levert de getuige op voor de kwantorrechts.

Voor het scheppend subject is f een ef-fectieve functie, omdat het voor elk gege-ven moment m (in verleden of toekomst) envoor elke n op grond van CS3 kan bepalenof f�mn 6∈ K. Stel nu dat f (n,m) recursiefis; dan is de projectie {n|∃mf (n,m) = 0}

recursief opsombaar. Maar die verzameling ishet complement van K, en dus is K recursief.Tegenspraak.

In zijn boek Foundations of Constructive

Mathematics geeft Michael Beeson een over-weging die, hoewel hij voorbeelden als dezefunctie niet bespreekt, er wel een kritiek opimpliceert [4, p. 56]. Hij stelt dat de vraag ofhet scheppend subject een specifieke niet-recursieve keuzerij kan genereren louter spe-culatief moet blijven, omdat wij niet in staatzijn een niet-recursieve rij te laten zien diegegenereerd is door een geïdealiseerde wis-kundige die doorwerkt tot in de eeuwigheid.Dit lijkt me een non sequitur. Het achterlig-gende idee van Beesons argument is blijk-baar dat wij gewone stervelingen alleen datkunnen laten zien wat volledig gespecificeerdkan worden middels een eindige hoeveel-heid informatie; voor rijtjes betekent dat datdie ofwel eindig moeten zijn, ofwel oneindigmaar gegeven middels een wet, die in tegen-stelling tot die rij zelf een eindig object is,en dus voor ons te bevatten. Maar wat dan

nog? Het gegeven voorbeeld van een niet-recursieve functie laat zien dat het scheppendsubject die berekenen kan, en dat is alles watgevraagd werd.

Iemand zou hierop weer kunnen antwoor-den dat intuïtionisten beweren de wiskundete zien als een scheppen in de menselijkegeest; maar als die niet-recursieve rij alleendoor een sterk geïdealiseerde wiskundige ge-zien kan worden, wat zegt dat dan nog overons? Toch wel iets belangrijks, denk ik. Wantde idealiseringen waarmee we het scheppendsubject definiëren meten ons weliswaar on-beperkte tijd en onbeperkt geheugen toe,maar geen soorten handelingen die een echtmens niet nu ook al uit kan voeren, zij het inhet klein. (Merk hier op dat ik in het bijzon-der Van Dalens functievoorschrift erbij kan ne-men en functiewaarden kan gaan berekenen;en ook al zal ik tijdens mijn leven slechtseen eindig aantal waarden daarvan bereke-nen, men zal pas als de Heere mij wegge-raapt heeft kunnen zeggen welk eindig rijtjedat is, en niet van tevoren.) Als we daarente-gen op dezelfde manier een echte computeridealiseren, berekent die nog steeds alleenrecursieve functies. Als je Chomsky’s onder-scheid tussen ‘performance’ en ‘competence’gebruikt, kun je concluderen dat de correc-te performance van een rekenend mens nietboven die van een echte computer uitstijgt,maar de competence wel. Hoewel het exten-sioneel voor echte mensen dus geen verschilmaakt, moet onze geest dan toch echt andersin elkaar zitten dan een computer. k

Noten

1 Onderzoek gedaan bij het maken van onzenieuwe Engelse vertaling van Brouwers arti-kel ‘De onbetrouwbaarheid der logische prin-cipes’ [7], te verschijnen, met onze inleiding,in History and Philosophy of Logic. Een Franseversie daarvan wordt gepubliceerd in de Revued’histoire des sciences.

2 Zie voor dit punt ook Brouwers latere artikelen[12] en [14]. Beide — het tweede in de vorm vanhet eerste, Nederlandstalige manuscript — zijnopgenomen in de recente Epsilon-uitgave [23].

3 Cornelius Bellaar Spruyt (1842–1901) promo-veerde in 1867 bij Buys Ballot op Over de elec-tromotorische kracht van het element van Da-niël bij verschillende temperaturen en werd in1877 hoogleraar te Amsterdam met als leerop-dracht ‘Geschiedenis van de wijsbegeerte, delogica, de metaphysica en de zielkunde’. Wathij Brouwer over logica onderwezen heeft kannagelezen worden in [5].

4 Jules Molk (1857–1914), Frans wiskundige.Hoofdwerk: Elements de la theorie des fonc-tions elliptiques [47].

5 De andere twee zijn “Die Zeit macht die Arith-metik möglich” (A. Schopenhauer) en “I studymathematics as a product of the human mindand not as absolute” (E. Post).

6 Deze schriftjes zijn bewaard in het Brouwer-archief te Utrecht.

7 Edmund Husserl (1859–1938), Duits filosoof,grondlegger van de fenomenologie. Overigenswas de latere Gödel hevig geïnteresseerd in defenomenologie en haar toepassing in de grond-slagen van de wiskunde [26].

8 Posthuum gepubliceerd; eerst in iets gewij-zigde vorm in 1939, later ongewijzigd in [39,pp. 365–386].

9 Een kaart in een oude catalogus van Husserlseigen bibliotheek, beide nu in het Husserl-

archief te Leuven, laat zien dat hij van dit artikeleen overdruk bezat. Helaas is die overdruk zelfdaar niet meer aanwezig.

10 Oskar Joachim Becker (1889–1964), Duits wis-kundige, filosoof, en wetenschapshistoricus.Promotie bij Hölder en Rohn in 1910 op hetproefschrift Über die Zerlegung eines Polygonsin exklusive Dreiecke auf Grund der ebenenAxiome der Verknüpfung und Anordnung; Ha-bilitation bij Husserl in 1923, daarna hoogle-raar in de wijsbegeerte in Bonn tot 1955.

11 Husserls tekst is gepubliceerd in [41, pp. 380–383]. Zie ook de aantekening van de tekstbe-zorger daarover op p. 692.

12 George Francois Cornelis Griss (1898–1953),Nederlands wiskundige en filosoof. Promotiebij Weitzenböck in 1925 op Differentialinvari-anten von Systemen von Vektoren.

13 Dat wil zeggen als Brouwers argument de reik-

7 7

130 NAW 5/15 nr. 2 juni 2014 Intuïtionistische logica en het scheppend subject Mark van Atten, Göran Sundholm

wijdte zou hebben die hij eraan toekent. Maarhij laat alleen zien dat je de eigenschap niet opde meest voor de hand liggende manier posi-tief kan maken. Hij geeft geen argument dat hetook niet equivalent kan zijn aan een andere po-sitieve eigenschap. Iets overhaast is Brouwerhier dus wel. Dank aan Wim Veldman, die ditin conversatie na deze voordracht benadrukte.

14 Vanaf hier valt de tekst onder de verantwoor-

delijkheid van Van Atten alleen.

15 Een veelgebruikte vorm van dit principe luidt∀α∃xA(α,x) → ∀α∃m∃x∀β(βm = αm →

A(β,x)), waar α en β variabelen zijn voorkeuzerijen van natuurlijke getallen, m en x

voor natuurlijke getallen, en αm staat voor〈α(0), α(1), . . . , α(m − 1)〉, dat wil zeggen hetinitieel segment van α van lengte m. Brou-wer gebruikte dit principe samen met zijn Bar-

rièrestelling om te bewijzen dat alle totale func-ties [0,1] → R continu zijn [9]. Zie [1] voor eendiscussie van rechtvaardigingen van het conti-nuïteitsprincipe en een voorstel daartoe.

16 Bijvoorbeeld het complement van de Cantor-verzameling. Metamathematisch voorbeeld:De verzameling Gödelgetallen van de propo-sities die in PA formeel bewijsbaar zijn.

Referenties1 M. van Atten en D. van Dalen, Arguments for the

continuity principle, Bulletin of Symbolic Logic8 (2002), 329–347.

2 O. Becker, Beiträge zur phänomenologischenBegründung der Geometrie und ihrer physikali-schen Anwendungen, Jahrbuch für Philosophieund phänomenologische Forschung VI (1923),385–560.

3 O. Becker, Mathematische Existenz. Untersu-chungen zur Logik und Ontologie mathema-tischer Phänomene, Jahrbuch für Philosophieund phänomenologische Forschung VIII (1927),440–809.

4 M. Beeson, Foundations of Constructive Math-ematics: Metamathematical Studies, Springer,Berlin, 1985.

5 C. Bellaar Spruyt, Leerboek der Formeele Lo-gica, Bewerkt naar de Dictaten van WijlenProf.Dr. C.B. Spruyt door M. Honigh, VincentLoosjes, Haarlem, 1903.

6 L.E.J. Brouwer, Over de Grondslagen der Wis-kunde, dissertatie, Maas en Van Suchtelen, Am-sterdam, 1907.

7 L.E.J. Brouwer, De onbetrouwbaarheid der logi-sche principes, Tijdschrift voor Wijsbegeerte 2(1908), 152–158.

8 L.E.J. Brouwer, Begründung der Mengenleh-re unabhängig vom logischen Satz vom aus-geschlossenen Dritten. Erster Teil, AllgemeineMengenlehre, KNAW Verhandelingen 5 (1918),1–43.

9 L.E.J. Brouwer, Über Definitionsbereiche vonFunktionen, Mathematische Annalen 97 (1927),60–75.

10 L.E.J. Brouwer, Intuitionistische Betrachtungenüber den Formalismus, KNAW Proceedings 31(1928), 374–379.

11 L.E.J. Brouwer, Die Struktur des Kontinuums,Komitee zur Veranstaltung von Gastvorträgenausländischer Gelehrter der exakten Wissen-schaften, Wien, 1930.

12 L.E.J. Brouwer, Willen, weten, spreken, in:L.E.J. Brouwer e.a., red., De Uitdrukkingswijzeder Wetenschap: Kennistheoretische OpenbareVoordrachten Gehouden aan de Universiteit vanAmsterdam gedurende de Kursus 1932–1933,Noordhoff, Groningen, 1933, pp. 45–63.

13 L.E.J. Brouwer, Essentieel negatieve eigenschap-pen, Indagationes Mathematicae 10 (1948),322–323.

14 L.E.J. Brouwer, Consciousness, philosophy andmathematics, in: E.W. Beth, H.J. Pos enJ.H.A. Hollak, eds., Proceedings of the 10thInternational Congress of Philosophy, Amster-dam, 1948, 3 (1949), 1235–1249.

15 L.E.J. Brouwer, Points and spaces, CanadianJournal of Mathematics 6 (1954), 1–17.

16 S. Centrone, Logic and Philosophy of Mathe-matics in the Early Husserl, Springer, Dordrecht,2010.

17 D. van Dalen, The use of Kripke’s schema as areduction principle, Journal of Symbolic Logic42 (1975), 238–240.

18 D. van Dalen, Filosofische Grondslagen van deWiskunde, Van Gorcum, Assen, 1978.

19 D. van Dalen, How connected is the intuition-istic continuum?, Journal of Symbolic Logic 62(1997), 1174–1150.

20 D. van Dalen, From Brouwerian counterexam-ple to the Creating Subject, Studia Logica 62(1999), 305–314.

21 D. van Dalen (red.), L.E.J. Brouwer en de Grond-slagen van de Wiskunde, Epsilon Uitgaven deel51, 2001.

22 D. van Dalen (ed.), The Selected Correspon-dence of L.E.J. Brouwer, Springer, London, 2011,supplement, http://extras.springer.com.

23 D. van Dalen (ed.), L.E.J. Brouwer – van Mystiektot Wiskunde, Epsilon Uitgaven deel 74, 2013.

24 A. Dragàlin, Mathematical Intuitionism: Intro-duction to Proof Theory, American Mathemati-cal Society, Providence (RI), 1988 [oorspronke-lijke uitgave Moskou, 1979].

25 K. Gödel, Über eine bisher noch nicht benutzteErweiterung des finiten Standpunktes, Dialecti-ca 12 (1958), 280–287.

26 K. Gödel, The modern development of the foun-dations of mathematics in the light of philos-ophy, manuscript, posthuum gepubliceerd in[31, pp. 374–387].

27 K. Gödel, On an extension of finitary mathemat-ics which has not yet been used, vertaalde enuitgebreide versie uit 1972 van [25], posthuumgepubliceerd in [30, pp. 271–280].

28 K. Gödel, Some remarks on the undecidabilityresults, opmerkingen uit 1972 bedoeld voor pu-blicatie in Dialectica, posthuum gepubliceerd in[30, pp. 305–306].

29 K. Gödel, Publications 1929–1936, Vol. 1 vanS. Feferman et al., eds, Collected Works, OxfordUniversity Press, Oxford, 1986.

30 K. Gödel, Publications 1938–1974, Vol. 2 vanS. Feferman et al., eds, Collected Works, OxfordUniversity Press, Oxford, 1990.

31 K. Gödel, Unpublished Essays and Lectures,Vol. 3 van S. Feferman et al., eds, CollectedWorks, Oxford University Press, Oxford, 1995.

32 G.F.C. Griss, Negatieloze intuïtionistische wis-kunde, Verslagen Akademie Amsterdam 53(1944), 261–268.

33 A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitio-nistischen Logik I, Sitzungsberichte der Preus-sischen Akademie der Wissenschaften (1930),42–56.

34 A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitio-nistischen Logik II, Sitzungsberichte der Preus-sischen Akademie der Wissenschaften (1930),57–71.

35 A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionis-tischen Logik III, Sitzungsberichte der Preus-sischen Akademie der Wissenschaften (1930),158–169.

36 A. Heyting, Die intuitionistische Grundlegungder Mathematik, Erkenntnis 2 (1931), 106–115.

37 A. Heyting, Intuitionism: An Introduction,North-Holland, Amsterdam, 1956.

38 A. Heyting, After thirty years, in: E. Nagel etal., Logic, Methodology, and Philosophy of Sci-ence: Proceedings of the 1960 InternationalCongress, Stanford University Press, Stanford,1962, pp. 194–197.

39 E. Husserl, Die Krisis der europäischen Wissen-schaften und die transzendentale Phänomeno-logie. Eine Einleitung in die phänomenologis-che Philosophie, W. Biemel, ed., Martinus Ni-jhoff, Den Haag, 1954.

40 E. Husserl, Philosophie der Arithmetik, L. Eley,ed., Martinus Nijhoff, Den Haag, 1970.

41 E. Husserl, Einleitung in die Philosophie: Vor-lesungen 1922/23, B. Goossens, ed., Kluwer,Dordrecht, 2002.

42 F. Klein (ed.), Enzyklopädie der MathematischenWissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendun-gen, B.G. Teubner Verlag, Leipzig, 1904–1935.

43 G. Kreisel, Church’s Thesis, a kind of reducibilityaxiom of constructive mathematics, in: A. Kinoet al., eds, Intuitionism and Proof Theory. Pro-ceedings of the Summer Conference at Buffa-lo, NY, 1968, North-Holland, Amsterdam, 1970,pp. 121–150.

44 L. Kronecker, Grundzüge einer arithmetischenTheorie der algebraischen Größen, Journal fürdie reine und angewandte Mathematik 92(1882), 1–122.

45 J. Molk, Sur une notion qui comprend cellede la divisibilite et sur la theorie generale del’elimination, Acta Mathematica 6 (1885), 1–165.

46 J. Molk, Nombres irrationnels et notion de li-mite. Expose, d’après l’article allemand deA. Pringsheim, in: Encyclopedie des sciencesmathematiques, t. 1, vol. 1, fasc. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1904, pp. 133–160.

47 J. Molk en J. Tannery, Elements de la theorie desfonctions elliptiques (4 vols), Gauthier-Villars,Paris, 1893–1902.

48 J. Myhill, Notes towards an axiomatization ofintuitionistic analysis, Logique et Analyse 35(1966), 280–297.

49 G. Sundholm en M. van Atten, The proper inter-pretation of intuitionistic logic: on Brouwer’sdemonstration of the Bar Theorem, in: M. vanAtten et al., eds, One Hundred Years of Intu-itionism (1907–2007): The Cerisy Conference,Birkhäuser, Basel, 2008, pp. 60–77.

50 H. de Swart, Intuitionistic Logic in IntuitionisticMetamathematics, dissertatie, Katholieke Uni-versiteit Nijmegen, 1976.

51 A. Troelstra en D. van Dalen, Constructivism inMathematics: An Introduction, Vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 1988.

52 A. Turing, On Computable Numbers, with anapplication to the Entscheidungsproblem, Pro-ceedings of the London Mathematical Society II,Series 42 (1936), 230–265.