Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen...

27
Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht

Transcript of Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen...

Page 1: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Euler of Excel?Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden

door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht

Page 2: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Rekenen door de eeuwen…

• hoofdrekenen… (algoritmen)

• met rekenhulpmiddelen… (abacus, rekenliniaal)

• met tabellen; met logaritmen…

• met mechanische rekenmachines… (Pascal; Leibniz; Babbage)

• met electronische rekenmachines…

• met supercomputers…

• met pc’s… (symbolisch, bewijsverificatie)

Page 3: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Op school kan het ondertussen met gratis

software op pc’s.

Page 4: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Computers en getaltheorie

beroemde voorbeelden

Page 5: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Computers en getaltheorie

1859 3 Riemann

1936 1041 Titchmarsh

1953 1104 Turing

1956 15000 D.H. Lehmer

1986 109 van de Lune, te Riele & Winter

1987 1000 rond 1012 Odlyzko

2004 1013 Gourdon

2010 6 miljoen rond 1028 Hiary

Testen van vermoeden,bijv. Riemann hypothese

Prijzengeld 1M$

Hoe ver moet je gaan om het te geloven?

Page 6: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Riemannhypothese in de klas?

• Jan van de Craats en Roland van der Veen, De Riemannhypothese - een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgeverij

• GC + Sjoerd Andringa, “Werken met wiskunde”, Junior College Utrecht, vwo5

• Bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn met de productformule van Euler

• Priemtelfunctie berekenen en schatten

• Elementaire herformuleringen van de Riemannhypothese, bijv. criterium van Lagarias dat de som van de delers van n kleiner of gelijk is aan

met

voor alle natuurlijke getallen n.

Page 7: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Opstellen van vermoeden,bijv. Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden

• 1960 berekende Peter Swinnerton-Dyer het aantal oplossingen Np van y2=x3+ax+b modulo priemgetallen p≤x en plotte ∏ Np/p.

• (zwak) Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden:

• r is de rang van de vergelijking; “r=0” betekent dat er maar eindig veel oplossingen zijn in rationale getallen.

• Prijzengeld 1M$

Computers en getaltheorie

Plot: ln(∏ p≤x Np/p) vs ln(ln(x)) voor y2=x3-5x

EDSAC

Page 8: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

• 1993 stelde bankier Andy Beal volgende vermoeden op: Als A,B,C natuurlijke getallen zijn, en x,y,z natuurlijke getallen, allemaal >2, dan geldt voor iedere oplossing van Ax+By=Cz dat A, B en C een gemeenschappelijke deler hebben.

• Hij checkte het eerst voor alle variabelen <100 op 15 computers.

• Prijzengeld is nu 1M$.

Computers en getaltheorieTesten van vermoeden,bijv.

vermoeden van Beal

Page 9: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Rekenen en getaltheorieEen voorbeeld in detail: de priemgetalstelling

Page 10: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Een beroemd resultaat, “ontdekt” door berekening:

De PriemgetalstellingStelling Als het aantal priemgetallen is kleiner dan dan is

Hoe werd zoiets ontdekt? Zouden leerlingen het zelf kunnen

ontdekken?

Hadamard en de la Vallée-

Poussin (1896)

Page 11: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Bronnen• Anton Felkel (1771): Tafel

aller Einfachen Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 10 000 000; 1. Theil Enthaltend die Factoren von 1 bis 144 000.

• Jurij Vega (1794): Thesaurus Logarithmorum Completus

Page 12: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Formulering• Adrien-Marie Legendre Essai sur la Théorie des

Nombres (1797-8 p. 19; 2nd ed. 1808)

• Carl-Friedrich Gauß Tafel der Frequenz der Primzahlen (1792?), Nachlass, Werke II, Brief aan Encke (1849)

Page 13: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Conclusie

Heel veel getaltheoretische ontdekkingen baseren op (grootschalig) rekenen…

Yerkes Observatory, 1921

Page 14: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Oppassen geblazen…Wat er mis kan gaan door “enkel” rekenen

Page 15: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

De Stelling van Littlewood

• Berekeningen suggereren dat

Kotnik (2008) bewees dit voor

• Littlewood bewees in 1914 dat oneindig vaak

• Skewes bewees in 1955 dat dit gebeurt voor

• Zegowitz (2010) bewees dat het gebeurt voor

Aantal atomen in het universum ca. 1080

Page 16: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Het correcte, foute computerprogramma

• Hiernaast een C-programma dat een binair natuurlijk getal omzet in een decimaal getal.Het is fout.

• Het algoritme is correct.

• Op iedere hardware is het fout, want die rekent modulo 264 (bijv.).

• Correctheid is niet te verifiëren door “typische” inputs te testen (>100 jaar?).

Robert P. Kurshan, Program Verification, Notices AMS 47 (5), 2000

Page 17: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Ariane 5 vlucht 501, 4 juni 1996

Het omzetten van een 64-bit vlottende kommagetal naar een 16-bit geheel getal […] veroorzaakte een computer crash omdat de waarde te

groot was.

Page 18: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Euler of Excel?• De kleinste positieve

oplossing van de Pell-vergelijkingis gegeven in de tabel van Leonard Euler uit 1738 De solutione problematum diophanteorum per numeros integros.

• Verifieer dat

Hoe doen leerlingen het?

Page 19: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Controleer het

laatste cijfer…

Philip van Egmond

(JCU)

Page 20: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Computeralgebrafouten• Derive (1996) berekende

• Mathematica 7 gaf twee oplossingen voor

• Sage 5.10 beweesAanleren dat dit kan

gebeuren?

Page 21: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Principiele onmogelijkheid

Er bestaat een diophantische vergelijking afhankelijk van een parameter t, zodat er geen computerprogramma bestaat dat voor iedere waarde van t in eindige tijd kan beslissen of de vergelijking een oplossing in gehele getallen heeft of niet.

Onbeslisbaarheidsresultaten (Stelling van Gödel, Hilbert’s 10e probleem) stellen grenzen aan wat bewijsbaar is.

GC, Diophantische vergelijkingen mogelijkheden en onmogelijkheden wiskunde-D module

Page 22: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

• Foute vermoedens opstellen op basis van te weinig informatie

• Foute programma’s/algoritmen gebruiken, met (soms) catastrofale gevolgen

• Rekenprogramma’s gebruiken die fouten maken

• Grenzen aan het mogelijk berekenbare

Page 23: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

1986 2014

Page 24: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Filosofisch-onderwijskundig Coda

Page 25: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

toolbox wiskundige methoden

• afbeeldingen - meetkundig

• structuren - algebraïsch

• formules - rekentechnisch

• algoritmisch - combinatorisch

• taalkundig - modellerend?

stijlen? denkwijzen?algemene

vaardigheden?

wiskundige vaardigheden

leren door “cijferen”

Page 26: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

• In de klas kunnen dankzij de computer berekeningen worden uitgevoerd die vroeger “hogere wiskunde” waren. Dit geeft kansen:

• historische motivatie

• leren “rekenen” als attitude

• Is het mogelijk tegelijkertijd “rekenen” als attitude/(onderzoeks-)methode en een kritische/sceptische houding aan te leren?

Page 27: Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht.

Samenvatting

• Rekenen in de getaltheorie: testen en opstellen van vermoedens; bijv. priemtelfunctie

• “Riemannhypothese” in de klas: het kan

• Ook scepsis bij rekenen “aanleren”