Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme Þ Lichth73/kn1c/edynica/old/Em2005ed.pdf · Wet...

26
1 1 Elektrostatica Magnetostatica Magnetostatica Elektromagnetisme Elektromagnetisme Licht Licht 2 Elektromagnetisme-huishoudelijk 4 college-dagdelen + 4 practicum-dagdelen Beoordeling: GEEN SCHRIFTELIJK TENTAMEN, WEL verplicht: Question-marks 2 huiswerkopgaves practicum PRAKTIKUM: 1. Hysterese lus (kort labjournaal) 2. Polarisatie (kort labjournaal of poster) 3. Michelson (kort labjournaal of poster) 4. Poster presentatie met borrel VRIJDAGMIDDAG 1 JULI

Transcript of Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme Þ Lichth73/kn1c/edynica/old/Em2005ed.pdf · Wet...

1

1

Elektrostatica

MagnetostaticaMagnetostatica

Elektromagnetisme Elektromagnetisme ⇒⇒ LichtLicht

2

Elektromagnetisme-huishoudelijk4 college-dagdelen + 4 practicum-dagdelenBeoordeling:GEEN SCHRIFTELIJK TENTAMEN,WEL verplicht:

•Question-marks•2 huiswerkopgaves•practicum

PRAKTIKUM:1. Hysterese lus (kort labjournaal)2. Polarisatie (kort labjournaal of poster)3. Michelson (kort labjournaal of poster)4. Poster presentatie met borrel VRIJDAGMIDDAG 1 JULI

2

3

InhoudInhoudElektrostatica

Magnetostatica

Elektromagnetisme ⇒ LichtI. Elektromagnetische inductie & wet van FaradayII. Zelfinductie & energieIII. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven

ερ 0/0 =⋅∇=⋅∫ EldErrrr

&

00 =⋅∇=⋅∫ BIldBrrrr

Griffiths Chapter 7:

Ø Electromotive Force: §7.1Ø Electromagnetic Induction: §7.2 t/m §7.2.2

4

Wet van OhmWet van Ohm

Wet van OhmVoorbeelden

3

5

Waarom stroomt lading?Waarom stroomt lading?

Materiaal [σ]=(Ωm)-1

___________________________geleider koper 6∗10+7

goud 4∗10+7

half-geleider silicium 30germanium 2

isolator rubber 10-14

glas 10-12

water 4∗10-6

kracht / lading f* batterij* van de Graaff* dynamo* etc.

|v| ∝ tijd|v| ≈ constant

J

⇒ J≡ σf σ heet de “geleiding”d.w.z. geleiders: σ→∞

isolatoren: σ→0

J∝ f met f kracht/lading

tijd (t)

waarom J slechts ∝ f ? (empirischverband)

6

V.b. V.b. draadstukdraadstuk

≡≡=

⇔===⇒

=

==

Al

RIRAl

IV

lV

EAI

J

AI

J

lV

EEJ

σσ

σσσ

dus

rr

r

rrr

l lR

A Aρ

σ= =

V.b. koperdraad:1 meter lang∅ 1 mm ⇒ Opp=0.75 mm2

σ=6∗10+7 (Ωm)-1

⇒ R=1/(6∗10+7∗0.75∗10-6)≈0.02 Ω

V=IRWet van Ohm

R0 ← l → A

Let op: σ=∞ ⇒ E=0, R=0, V=constant(ideale geleider; nu echte geleider!)

A

l

V=0V=V

J=σf→σEI

2R0 R∝l← 2l →

R0 /4 R∝1/AA

AA

A

σ=

is weerstand, [R]=Ω

is soortelijke weerstand

4

7

VraagVraag

Waarom is de stroom “direct” aan?lokale ophoping

⇒ vertraagt inkomende e-

⇒ versnelt uitgaande e-

dus: automatisch “compensatie”mechanisme & instantaan

ophopingvan e-

I

e−

Stroom is een collectief effect. Alle electronen bewegen direct.Toch is de individuele snelheid (drift) van de electronen in de stroomrichting maar een slakkengangetje (opgave)

8

ElektromotorischeElektromotorische krachtkracht(EMK)(EMK)

Definitie EMKInductie

Voorbeelden

5

9

DefinitieDefinitie EMKEMK

E

EfffJ b

rrrrr+== metσ

( )

∫ ⋅=∫ ⋅+∫ ⋅=

∫ ⋅+=∫ ⋅≡

kringb

kringkringb

kringb

kring

ldfldEldf

ldEfldf

rrrrrr

rrrrrEMK

v.b.: voor een kring met:- batterij met V0- constante stroomdichtheid |J|=I/A

Al

Adl

R

IRA

dlIld

J

VldEldE

ldfldf

kring

kringkring

batterijbuitenbatterijbinnen

kringb

kring

σσ

σσ

→∫≡⇒

≡∫=∫ ⋅=

≡∫ ⋅=∫ ⋅−=

∫ ⋅=∫ ⋅≡

rr

rrrr

rrrr

EMK

EMK

0!!

E

statisch⇒0

ziehiervoor

Voor alle duidelijkheid (hoop ik):- dit is dus een statische opstelling

⇒ kringintegraal van E is nul- klein E-veld in de draad- groot (tegengesteld) E-veld in de “batterij”

- chemie in batterij pompt elektronentegen het veld in van de + pool naar de – pool ⇒ fb

fb

10

InductieInductie

s

h

B≠0

|v|=ds/dt R(lampje)

B=0

Empirisch d.w.z. gevolg experiment!

beweeg stroomlus heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R

EMK berekening:

kring kring

f v B vBEMK f dl v B dl vBh

= × →⇒ ≡ ⋅ → × ⋅ =∫ ∫

r rrr r rrr

Ñ Ñ kracht/lading:

Indd

EMK VdtΦ=− =B

Wat blijkt?

( ).oppkring

ind

B do Bhs

d Bhsd dsBh Bhv Vdt dt dt

≡ ⋅ =Φ ∫

Φ⇒ = = ≡ − = −

r rB

B

: magnetische flux

n

FL

In geel: Lorentz kracht op e−

6

11

Wet van FaradayWet van Faraday

Wet van FaradayDe “+” en de “–” tekens!

Voorbeelden

12

Beweeg magneet i.p.v. stroomlus!Beweeg magneet i.p.v. stroomlus!

Stroom identiek aan vorige voorbeeld:(a) gebruik relativiteit principe(b) doe gewoon de proef!

Wat is de EMK voor deze stroom?- niet magnetisch want vlading=0- dus elektrisch (niet statisch!)

s

h

B≠0

beweeg magneet heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door

weerstand R R

(lampje)

B=0

|v|=ds/dt

n

uitervolgtWat

Stokes

ˆindV f dl E dl E do= ⋅ → ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫ ∫r r rr r rÑ Ñ Ñ

inddVdtϕ= −

ˆ ˆd d BB do dodt dt tϕ ∂≡ ⋅ = ⋅

∂∫ ∫rrÑ Ñ

ˆBE dot

∂∇× + ⋅ ∂ ∫

rr rÑB

Et

∂∇× = −

rr r

Wet van Faraday

7

13

s

h

B≠0

R(lampje)

B=0n

II.p.v. .p.v. bewegendbewegend BB--veldveld neemtneemt B B lineairlineair afaf!!

Laat B lineair afvallen in de tijd⇒ gaat stroom lopen door

weerstand R

s

h

B≠0

In dit alles kan de stroomkringook gewoon open staan!

In dat geval komt er gewoon eeninduktie (Hall) spanning op de

uiteinden!

B=0n

Vind

Indd

VdtΦ− =B

14

Je klapt een paraplu uit in een magnetisch veld van 0,2 Je klapt een paraplu uit in een magnetisch veld van 0,2 T. De uiteinden van de baleinen zijn met een T. De uiteinden van de baleinen zijn met een metaaldraad met R=0,1 Ohm (totale weerstand) metaaldraad met R=0,1 Ohm (totale weerstand) verbonden. Tijdens het uitklappen groeit de verbonden. Tijdens het uitklappen groeit de radiradiëëlelestraal van de plu lineair in 0,3 seconde. De straal van straal van de plu lineair in 0,3 seconde. De straal van de paraplu is 1 m.de paraplu is 1 m.Hoe Hoe grootgroot is is stroomsterktestroomsterkte in in draaddraad direct direct nana uitklappenuitklappen??

BA ≈ 20 AB ≈ 7 AC ≈ 0.2 AD ≈ 0 A

Na uitklappenvan onderaf bekeken

(stroomdraad rondom in rood)

Voor uitklappen

I=?

8

15

h

B≠0

|v|=ds/dt

trek deze kant opR

(lampje)

B=0n

s

De De ““++”” en en de de ““--”” tekens!tekens!

Bovenstaande situatie:trek stroomlus naar rechts ⇒ ΦB wordt kleiner

⇒ inductiestroom Iind (zie figuur)

B-veld t.g.v. Iind parallel externe B-veld

FLIind

Handig trucje (“wet van Lenz”):

richting v/d inductie stroom zodanig dat de flux verandering gecompenseerd wordt

16

ProefProef: : opspringendeopspringende ringringB-veld

0≠Φ B0=Φ B

I=0

metalenring

I≠0

GeinduceerdB-veld

Iind ⇒afstoting

⇓springt omhoog

9

17

ZwevendeZwevende ringring

18

OpspringendeOpspringende ringring

10

19

L≈1

met

er

blok

je

mag

neet

ProefProef: : vallendevallende magneetjesmagneetjes

Blokje materiaal valtnaar beneden

st0 45.0/2 ≈= g stt 0 45.0≈>>

Magneetje valtlangzamer naar beneden

ΦB neemt toe⇒Iind

duwt magneet terug

Iind

ΦB neemt af⇒Iind

trekt magneet aan

Iind

20

VallendeVallende ““magneetjesmagneetjes””

11

21

““LenzLenz”” in de huiskamer?in de huiskamer?

Begint met ΦB=0; dus stroom loopt langzaam opom ∂ΦB/∂t klein te houden!

Begint met ΦB≠0; dus stroom wil blijven lopen om ∂ΦB/∂t klein te houdenStroom kan alleen lopen via een vonk tussen de stekker en de contactdoos!

Als je een stekker (snel) uit een stopcontact trekt zie je vaak een vonk. Waarom?

Als je een stekker in eenStopcontact steekt is er zelden een vonk. Waarom?

22

I Wat heb ik geleerd?I Wat heb ik geleerd?

Wet van Ohm J=σf→σE IRVfJ =⇒=rr

σ

EMK: batterij V0spoel –LdI/dt stroomkring

EMK fdl V≡ =∫r r

Ñ

Wet van Faraday Bind

d BV Edt tΦ ∂= − ⇒ ∇× = −

rr r

12

23

I=1A∅ 1 mm ⇒ Opp≈0.75mm2

NA=6∗10+23/Mol63.5g/MolZCu=29; 2e-/CuρCu≈9g/cm3 ⇒ #e-/m3≈ 1.7∗10+29

VragenVragen

uurcmsmsm

neOppIv

meeCOppsCv

meeCOppvsC

AI

e

/15/51/101.5

107.1106.11075.01

///1

//11

1

5

29196

3

3

≈=∗≈

∗∗∗∗∗≈

∗∗

=∗∗

=⇒

∗∗∗≡==

+−−

−−

−−

µ

vv

vHoe snel “driften” de elektronen in een stroomdraad?

Iv=?

e−

24

ten koste van wat loopt de stroom?ten koste van wat loopt de stroom?1. Niet ten koste van het externe B-veld!

Arbeid verricht door dit B-veld per ladingsdrager:( ) ldBvldvldBvldfW

rrrrrrrrrr⊥×=∫ ⋅×=∫ ⋅=∆ duswant

ngverplaatsingverplaatsi//0

Hiermee loopt er dus geen stroom door de weerstand!2. Wel ten koste van persoon die aan stroomlus trekt!

Arbeid verricht door dit individu per ladingsdrager:

( )

vBhvu

huB

ldBuldFW trek

==

∫ ⋅×=∫ ⋅=∆

/

ngverplaatsingverplaatsi

rrrrr

Voorliefhebbers

h

u: snelheid waarmee elektronen in draadlus bewegenv: snelheid waarmee draadlus beweegt

v

u

B -Ftrek

sh

B≠0|v|=ds/dt R B=0

beweeg stroomlus heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R

13

25

InhoudInhoudElektrostatica

Magnetostatica

Elektromagnetisme ⇒ LichtI. Elektromagnetische inductie & wet van FaradayII. Zelfinductie & energieIII. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven

ερ 0/0 =⋅∇=⋅∫ EldErrrr

&

00 =⋅∇=⋅∫ BIldBrrrr

Griffiths Chapter 7:

ØElectromagnetic Induction: §7.2.3 t/m §7.2.4

26

ZelfinductieZelfinductie

DefinitieVoorbeelden

ToroïdeSolenoïde

Coaxiale kabel

14

27

Zelfinductie Zelfinductie ““LL””

ie"zelfinductheet

:stroomlus

"

.

L

IL

IodBIB

B

stroomlusoppB

≡Φ⇒

∝∫ ⋅≡Φ⇒∝ rrr

Analoog aan de capaciteit C van een condensatorhangt ook de inductie L slechts af van de geometrie

ICdt

dQCdt

dV

QC

VVQ

C

11

1

≡=⇒

=⇔≡ :Capaciteit

EMK

:Inductie

stroomlus−==Φ

=Φ⇔Φ

dtdI

Ldt

d

ILI

L

B

BB

Eenheid van inductie:

Henry: [H] = [Vs]/[A]

I

B

28

GedragGedrag C en L in C en L in schakelingenschakelingen

( )/00

( 0) 0( ) ( )

( ) 1

L

L

R

tR LLL

tIt I tI

V IR

d VIL IR tV I e

dt R−

= ==

=

− = ⇒ = −

Begi

nsitu

atie

Gev

raag

din

krin

gU

itwer

king

( O

hm

):

( )/0 0

(0) (0) 0( )

:

( ) 1

C C

C

R

t RCCC C

Q VtV

V IRdV

IR RC tV V V V edt

= =

=

− = = ⇒ = −

Begi

nsitu

atie

Gev

raag

dU

itwer

king

( O

hm)

:

I→V0/RI(t)

L/R 2L/R tijd

V→V0

ab

eAtfAeabtAb

dtdA

e

etAtf

eAtfafdtdf

bafdtdf

atat

at

at

at

−=⇒+−=⇒=⇒

=

=⇒=

+=

00 )()(

)()(

)(

:ansatz"" als dan neem

:op eerst los

f(t)? ik vind hoe ;:voor oplossing

R

VCV0

C

V(t)

1/RC 2/RC tijd

R

L

ILV0

15

29

N windingen/meterstroom I

Rr

Zelfinductie solenoZelfinductie solenoïïdede

Flux per winding: ∫ =∫=∫ ⋅=Φπ

πµϕµ2

0

20

00

1 RNINIrdrdodBR

schijfB

rr

Flux ΦB (lengte l): lRINlN BB ∗=∗Φ=Φ 220

1 πµ

Zelfinductie L (lengte l): lRNI

L B ∗=Φ

≡ πµ 220

B-veld: NIBNlIlBRr µµ 00: =⇒=<:Ampere`

30

r

IIa

b

Zelfinductie coaxiale kabelZelfinductie coaxiale kabel

Flux ΦB (lengte l): ( )abI

ldrrI

lb

aB /ln

2200

πµ

πµ

∗∫ =∗=Φ

Zelfinductie L (lengte l): ( )ablI

L B /ln2

0

πµ

∗=Φ

B-veld:rI

BIrBbraπ

µµπ

22: 0

0 =⇒=<<:Ampere`

16

31

EnergieEnergie

Dissipatie in een weerstand REnergie in een capaciteit C

Energie in een zelfinductor LEnergie van een elektrische veld configuratie

Energie van een magnetische veld configuratie

32

DissipatieDissipatie in weerstand Rin weerstand R

R

V0

I

De EMK (V0) pompt iedere seconde I Coulombs rond.Dat kost werk=energie (batterij raakt leeg!)Die energie wordt gedissipeerd in de weerstand R

Wat is numeriek de energie dissipatie?[P]=[VI]

=Volt . Ampère≡Watt

Opmerking:de gedissipeerde energie is “weg” d.w.z. verdwijnt als warmte

22

0 0

P

VI RV V IR

≡ =

= ⋅ = ⋅ = =i

energievermogenseconde

# rondgepompte Coulombsseconde

Joule’sdissipatie wet

17

33

Energie in een:Energie in een: capaciteit Ccapaciteit Czelfinductor Lzelfinductor L

De capaciteit wordt opgeladen:- warmte ontwikkeling in R “weg”- opgeladen capaciteit is opgeslagen “energie”

Hoeveel energie is dat?

22

0 0 0

( ) ( )

1 12 2

C CC

QC C C

C C

dQ QdWP t I tVdt C dt

dQ Q QdW Qdt dt d CU Q Vdt C dt C C

∞ ∞

≡ = ⋅ = ⋅

⇒ = = = = =∫ ∫ ∫

De stroom gaat door de spoel lopen:- warmte ontwikkeling in R “weg”- stroom in inductor is opgeslagen “energie”

Hoeveel energie is dat?

2

0 0 0

( ) ( )

12

LL Ind L

IL

L L L L

d IdWP t t LI V Idt dt

d IdWdt L dt Ld LU I I I I

dt dt

∞ ∞

≡ = ⋅ = ⋅

⇒ = = = =∫ ∫ ∫

R

C

VCV0

R

L

ILV0

34

EnergieEnergie in:in: EE--veldveld∫=

volumeElektrisch dvEU 20

VCAddV

vE

dA

C

dVE

vEU

VCU

volume

volumeC

C

22

2020

0

20

2

21

22

2

21

==∫⇒

=

=

∫=

=

εεε

ε

d

dzelfde?

:Anderzijds

:EnerzijdsA: oppervlak

d: plaatafstand

C

E≠0 in hetvolume=dA

18

35

L

EnergieEnergie in:in: BB--veldveld

zelfde? :Probeer

:Enerzijds

∫=

=

volumeL

L

dvBU

ILU

2

0

2

2121

µ

( ) ( )

( )

=∫ ∫

=∫

=⇒=

=⇒=

abIhn

rdrdrnIh

dvrnI

UrnI

B

abIhn

Uabhn

L

b

atoroideL

L

/ln42222

12

/ln4

/ln2

220

2

0

02

0

02

0

0

220

20

πµ

ϕπ

µµπ

µµπ

µ

πµ

πµ

π:Toroide

∫=volume

Magnetisch dvBU 2

021µ

( ) ( )

==∫=⇒=

=⇒=

221

21

2222

020

2

00

2

00

222022

0

IRNRNIdvNIUNIB

IRNURNL

solenoideL

L

πµπµ

µµ

µµ

πµπµ

:meterSolenoide/

=∫ ∫

=∫

=⇒=

=⇒=

πµ

ϕπ

µµπ

µµπ

µπ

µπ

µ

π

4)/ln(

221

221

2

4)/ln(

)/ln(2

20

2

0

02

0

02

0

0

200

Iabrdrd

rI

dvrI

UrI

B

IabUabL

b

acoaxkabelL

L

:meterCoaxkabel/

Dus:• hetzelfde!• handige manier

om L te bepalen:L≡2UL/I2

36

Opgaven voor jullieOpgaven voor jullie

VCdteRV

dtdt

dWWe RCtR

VVIP

dtdW

e RCtR

VtIe RCtVtV

RCt 20

0

/220

0

20

00

21/2

/)(/)(

∫ =∫ ==⇒−→≡≡⇒

−=⇒−=

∞−

:R door stroom:Antwoord

ILR

VLdteR

Vdt

dtdWWe LtR

RV

VIPdt

dW

e LtRVtVe LtRRV

tI

LtR 20

02

0

/220

0

20

00

21

21/2

/)(/)(

∫ =∫ ==⇒−→≡≡⇒

−=⇒−=

∞−

:R over spanning:Antwoord

Na opladen condensator haal je batterij weg.De lading op condensator neemt exponentieel af. Bereken gedissipeerde energie in weerstand R. Moet 0.5 CV2 geven! Op t=0 geldt: VC=V0.R

C

V

Zodra stroom constant is haal je batterij weg.De stroom in spoel neemt exponentieel af. Bereken gedissipeerde energie in weerstand R. Moet 0.5 LI2 geven! Op t=0 geldt: IL=I0=V0/R.R

L

I

19

37

II Wat heb ik geleerd?II Wat heb ik geleerd?Zelfinductie

220

0ln( / )

22

h b anL A aNµ πµ

π= →toroide:

2 20L lN Rπµ=solenoide:

0 ln( / )2

L b a lµπ

=coaxkabel:

LIB ≡Φ

∫=≡∫=≡volume

Cvolume

L dvEVCUdvBILU 2022

0

2

221

&2

121 ε

µEnergie C & L

Energie E & B velden

38

InhoudInhoudElektromagnetisme ⇒ Licht

I. Elektromagnetische inductie & wet van FaradayII. Zelfinductie & energieIII. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven

Griffiths Chapter 7:

ØMaxwell Equations: §7.3.1 t/m §7.3.3ØMaxwell Equations: §7.3.4 t/m §7.3.6 Doorlezen en ‘passief’ begrijpen

Griffiths Chapter 9:ØElectromagnetic Waves in Vacuum: §9.2.1 t/m §9.2.2

20

39

Maxwell Maxwell vergelijkingenvergelijkingen

Maxwell’s term via “experimenten”Maxwell’s term via behoud van lading

Maxwell vergelijkingen

40

WaarWaar staanstaan wijwij nunu??

IldBJB

dtd

ldEtB

E

odBB

QodEE

omslotenkring

B

kring

oppervlak

omsloten

oppervlak

µµ

εερ

00

00

00

=∫ ⋅=×∇

Φ−=∫ ⋅∂∂−=×∇

=∫ ⋅=⋅∇

=⋅=⋅∇ ∫

rrrrr

rrrrr

rrrr

rrrr

: Ampere""

: Faraday""

: monopolen" geen"

: Gauss""

`

Het lijkt mij evident dat er een term ∂E/∂t ontbreekt!Hoe vind je die? Door:

(1) (gedachten) experimenten te doen (2 voorbeelden)

(2) ladingsbehoud te eisen

21

41

V0

C:Oppervlak: ASeparatie: d

MaxwellMaxwell’’s term:s term:opladendeopladende condensatorcondensator

Terwijl condensator oplaadt: IldB omslotenkring

µ0=⋅∫rr

(A)

Rechterlid? → Iµ0:(A)

Dus er mist iets! Gebruik feit dat:

∫∫ ⋅∂∂+→=⋅

oppervlakomslotenomsloten

kringod

tEIIldB rrrr

εµµµ 0000

εεεεσ

0000

1AI

dtdQ

AtE

AQ

E ≡=∂∂

⇒==rr

Rechterlid?

=⋅∂∂

=∫ IµAIA

µodtE

µ

oppervlak0

00000

0

εεε rr

:(B)

:(A)

Magie? Ja, een beetje maar ok zolang resultaat klopt met experiment!

0→:(B)

(B) ballon oppervlak

42

J(t)

ρ(t)

MaxwellMaxwell’’ss term: term: ““spuitende puntladingspuitende puntlading””

Lading wordt radieel naar buiten gespoten(b.v. een radioactieve bron in oorsprong) r

reQJ

t

2

/

πτ

τ−

=r

Symmetrie:geen component B

tangentieel boloppervlak

rrQ

eE t2

0

/

επτ−=

r :met Samen

⋅∂∂+→

=⋅

oppervlakomsloten

omslotenkring

odtEI

IldB

rr

r

εµµ

µ

000

0

04

ˆ4

ˆ2

0

/

02

/

00

0

000

=∫ ⋅

−=⋅

∂∂

+

⋅∂∂+=⋅

=∫∫

−−

oppervlak oppervlak

tt

oppervlakomsloten

kring

odr

reQ

r

reQod

tE

J

odtEIldB

rrrr

rrrr

επτε

πτµ

εµ

εµµ

ττ

0

0

0 ≠

=⋅⇒ ∫

I

ldB

omsloten

oppervlakbolopkring

µ :maar

rr

Klopt weer!

t

QQoorsprong

Qweggestroomd

22

43

Behoud van ladingBehoud van lading(Continu(Continuïïteit vergelijking)teit vergelijking)

Vvolume

∂Vomsluitendoppervlak

Jt

dvJdvt

dvJdvdtd

odJdvdtd

VV

VV

VV

rrrr

rr

rr

⋅∇+∂∂

=⋅∇∂∂=

⋅∇=

⋅≡

⇒∫+∫⇔

∫+∫⇔

∫+∫∂

ρρ

ρ

ρ

00

0

0 :Dus

tE

JB∂∂

+=×∇rrrr

εµµ 000

JBrrr

µ0=×∇ geen behoud van lading!

∂∂

+⋅∇=∂∂

⋅∇+⋅∇==×∇⋅∇t

JtE

JBρµεµµ

rrrrrrrrr00000

ladingsstroom door oppervlak

ladingsverandering binnen volumei

Lading is een absoluut behouden grootheid d.w.z.

ΣQi=constant∫

∂⋅

VodJ rr

∫V

dvdtd

ρ

=

n

J(t)

ρ(t)

44

Maxwell Maxwell vergelijkingenvergelijkingen

Dit is het dus!Dit=elektrostatica

magnetostaticaelektrodynamicalicht (elektromagnetische golven)…………

Ook nog eens:relativistisch invariant!

∫∫

∫∫

⋅+=⋅∂∂+=×∇

⋅−=⋅∂∂−=×∇

=⋅=⋅∇

=⋅=⋅∇

oppervlakomsloten

kring

oppervlakkring

oppervlak

omsloten

oppervlak

odEdtdIldB

tEJB

odBdtdldE

tBE

odBB

QodEE

rrrrrrrr

rrrrrrr

rrrr

rrrr

εµµεµµ

εερ

000000

00

00

: Ampere""

: Faraday""

: monopolen" geen"

: Gauss""

`

dtd EΦ

≡ εµ 00

dtd BΦ

−≡

23

45

ElektromagnetischeElektromagnetische golvengolven

Golfvergelijkingen voor E & BEigenschappen

46

Golfvergelijkingen voor E & BGolfvergelijkingen voor E & B

( ) ( ) EEkjEz

Ey

E

xE

i

kjx

Ez

EyE

x

Ei

EEE

kjiE

zyx xzyx

x

zxz

xyy

zyx

zyx

rrrr

rrrr

∇−⋅∇∇=++

∂+∂+∂−

∂+

∂+

∂∂

∂=

++

∂∂

−∂

∂∂−

∂−

∂∂=∂∂∂×∇=×∇×∇

2222 ...ˆ...ˆˆ

...ˆ...ˆˆ

ˆˆˆ

Gebruik Maxwell vergelijkingen in vacuüm d.w.z. 00rr

== Jenρ

( )

( ) tE

E

tE

tE

tJ

tB

tB

EEEEEtB

2

2

002

2

2

002

2

000

22

0

2

∂∂

=∇⇒

∂∂−→

∂∂−

∂∂−=

∂×∇∂−=

∂∂×∇−

∇−→∇−

∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇=

∂∂×∇− rr

rrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

εµ

εµεµµ

ερ

tB

B 2

2

002

∂∂

=∇−rr

εµ:veldB voor Idem

EtB rrr

×∇=∂∂

tE

JB∂∂

+=×∇rrrr

εµµ 000

ερ

0=⋅∇ E

rr

“vlakke golven”→ 0

0→

→ 0

tE

∂∂

→r

εµ 00

24

47

Wat impliceren deze vergelijkingen?Wat impliceren deze vergelijkingen?

vktkzAtz

vvz

vt

222

2

22

2

2

)cos(),( ≡−=

=∂∂

=∂∂

ωωψ

ψψ

:geldt waarbij:oplossing Typische

snelheid met nggolfbewegi ertrepresente

:golven & Trillingen

ceµ

vEcE

tE

BcBtB

≡=

∇=∇=∂∂

∇=∇=∂∂

00222

002

2

222

002

2

11

1

snelheid ng,golfbewegi ertrepresente:Dus rrr

rrr

εµ

εµ

Hoe zien de oplossingen eruit?Om het “simpel” te houden neem ik aan:

(1) E & B hangen slechts af van t en z(2) medium is vacuüm(3) ruimte is oneindig

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

zEc

tE

zB

ctB

2

22

2

2

2

22

2

2

rr

rr

48

EigenschappenEigenschappen

−=

−=

=⇔≡

)cos(),(

)cos(),(0

0

222

tkzEtzE

tkzBtzB

kc?ck?

ω

ωrrrr

: Probeer

0)sin()cos(),(00 000 =⇒−−=−⋅∇=⋅∇=⇒=⋅∇ EtkzkEtkzEtzEE zz ωωrrrrrr

0)sin()cos(),(00 000 =⇒−−=−⋅∇=⋅∇=⇒=⋅∇ BtkzkBtkzBtzBB zz ωωrrrrrr

Ekc

BEBc

EBctkzE

E

ctkzBk

Bk

ttkzE

ctkzB

tE

cB

yx

xy

y

x

x

y rr

rrrrrr

00

00

00

0

0

20

0

0

20

2

ˆ1)sin(

0

1)sin(

0

)cos(1)cos(

1

×=⇒

=−

=+⇔−

=−

+

∂−∂

=−×∇⇒∂∂

=×∇

ωωω

ω

ωω

Ekc

BBcE

BcEtkzB

BtkzEk

Ek

ttkzBtkzE

tB

E

yx

xy

y

x

x

y rr

rrrrrr

00

00

00

0

0

0

0

00

ˆ1)sin(

0)sin(

0

)cos()cos(

×=⇒

=+

=−⇔−

−−

=−

+

∂−∂

−=−×∇⇒∂∂

−=×∇

ωωω

ω

ωω

BBB

E

E

cEE

kji

cEk

c y

x

x

y

yx

rr 00

0

0

0

00

0

00

1

0

100

ˆˆˆ1ˆ1 =

=

+

==×

Zelfde!(niet verwonderlijk)

25

49

x

y

z

x

y

Eigenschappen als plaatjesEigenschappen als plaatjes

E ⊥ B

E ⊥ v

B ⊥ v

|v|=c

=cE

B EM golf in de tijd

http://webphysics.davidson.edu/Applets/EMWave/EMWave.html

Breking van lichthttp://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html

In het vacuüm bestaan oplossingen van de Maxwell vergelijkingen (“elektromagnetische, EM, golven”) die zich met de lichtsnelheid voortplanten!

Toepassingen:- “gewoon” licht- radio & TV golven- mobiele telefonie- Röntgen- etc.

oscillerend E-veld ⇒ elektrische stroom

B & E in fase

1

212

002

0 2

0

0 20

2

2

≡== µε

µ

ε

cB

E

uu

B

E r

r

dichtheidEnergie

50

IIIIII Wat heb ik geleerd?Wat heb ik geleerd?

×=

⊥=

−=

−=

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

Ekc

B

kE

kBkc

tkzEtzE

tkzBtzB

zE

ctE

zB

ctB

rr

rrrr

rrrr

rr

rr

00

0

0

0

0

2

22

2

2

2

22

2

2

ˆ1

,

)cos(),(

)cos(),( ω

ω

ω:met :oplossing :vgl. golf EM

( ) kkkk ˆ00 =≡r

∫∫

∫∫

⋅+=⋅∂

∂+=×∇

⋅−=⋅∂∂

−=×∇

=⋅=⋅∇

=⋅=⋅∇

oppervlakomsloten

kring

oppervlakkring

oppervlak

omsloten

oppervlak

odEdtd

IldBtE

JB

odBdtd

ldEtB

E

odBB

QodEE

rrrrrrrr

rrrrrrr

rrrr

rrrr

εµµεµµ

εερ

000000

00

00

: Ampere""

: Faraday""

: monopolen" geen"

: Gauss""

`

dtd EΦ

≡ εµ 00

dtd BΦ

−≡

26

51

a

b

n windingenstroom I

ab

zij aanzicht

h

r

ZelfinductieZelfinductie toroidetoroide

Flux per winding: ( )abnIh

drrnI

hodBb

arechthoekB /ln

22001

πµ

πµ

∫ ==∫ ⋅=Φ rr

Totale flux ΦB: ( )abIhn

n BB /ln2

201

πµ

=Φ=Φ

Zelfinductie L: ( )abhn

IL B /ln

2

20

πµ

B-veld:rnI

BnIrBbraπ

µµπ

22: 0

0 =⇒=<<:Ampere`

( )

aANL

anN

ha

ahn

ahn

L

abab

A πµ

π

δπ

πδµ

δπ

µ

δ

2

:2

::2

2/1ln

2

20

20

20

∗=⇒

≈+=

+=≈

mwindingen/

oppervlak

omtrek

d.w.z. Indien

OPGAVE