Elektro-magnetisme deel I - Scarlet :...

Elektro-magnetismedeel I

Auteur : Jouri Van LandeghemVersie 0.91

1

Copyright (c) 2008 Jouri Van Landeghem.Toestemming wordt verleend tot het kopiëren, verspreiden en/of wijzigen van dit document onder de bepalingen van de GNU Vrije Documentatie Licentie, versie 1.2 of iedere latere versie uitgegeven door de Free Software Foundation. Een kopie van de licentie is terug te vinden op http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt.

2

http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt

Inhoudsopgave1 Elektrische verschijnselen.................................................................................................................6

1.1 Waarnemingen...........................................................................................................................61.2 Geleiders en isolatoren...............................................................................................................61.3 Microscopische verklaring.........................................................................................................7

1.3.1 Verklaring geleiding..........................................................................................................71.3.2 Hoe worden voorwerpen “geladen” ? ...............................................................................8

1.4 Elektrische inductie....................................................................................................................91.4.1 Inductie bij een isolator......................................................................................................91.4.2 Inductie bij geleiders..........................................................................................................9

1.5 Aarding....................................................................................................................................101.6 Oefeningen...............................................................................................................................11

2 De Coulombkracht...........................................................................................................................122.1 Elektrische stroom...................................................................................................................12

2.1.1 Spanning...........................................................................................................................122.1.2 Spanningsbron..................................................................................................................122.1.3 Belasting...........................................................................................................................13

2.2 Eenheid van stroomsterkte.......................................................................................................142.3 De Coulombkracht...................................................................................................................15

2.3.1 Eenheid van lading...........................................................................................................152.3.2 De Coulombkracht...........................................................................................................15

2.4 Oefeningen...............................................................................................................................173 Het elektrisch veld en veldsterkte....................................................................................................18

3.1 Het elektrisch veld...................................................................................................................183.2 De elektrische veldsterkte........................................................................................................18

3.2.1 Definitie...........................................................................................................................183.2.2 Veldsterkte rondom een puntlading.................................................................................183.2.3 Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen...................................................20

3.3 Elektrische veldlijnen..............................................................................................................203.4 Onderzoek van een aantal veldconfiguraties...........................................................................21

3.4.1 Elektrisch veld van een puntlading..................................................................................213.4.2 Homogene velden............................................................................................................223.4.3 Veldsterkte binnen in een neutrale geleider.....................................................................223.4.4 Radiaal veld van een bolvormige geleider.......................................................................223.4.5 Elektrisch veld in en rond een geladen geleider in evenwicht.........................................233.4.6 Dipoolveld........................................................................................................................23

3.5 Oefeningen...............................................................................................................................244 Elektrische potentiaal .....................................................................................................................25

4.1 Potentiaal in het veld van een puntlading................................................................................254.1.1 Arbeid verricht door Coulombkracht...............................................................................254.1.2 Potentiële energie in het veld van een puntlading............................................................264.1.3 Elektrische potentiaal.......................................................................................................274.1.4 Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld....................................................28

4.2 Equipotentiaaloppervlakken....................................................................................................284.3 Potentiaal in en rond een bolvormige geleider........................................................................294.4 Potentiaal in een homogeen veld.............................................................................................30

4.4.1 Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte............................................................30

3

4.4.2 Potentiaal in een homogeen veld.....................................................................................304.5 Oefeningen...............................................................................................................................32

5 Gelijkstroomkringen........................................................................................................................335.1 Weerstand................................................................................................................................33

5.1.1 Spanning...........................................................................................................................335.1.2 Stroom..............................................................................................................................335.1.3 Definitie weerstand..........................................................................................................345.1.4 Weerstand van meettoestellen..........................................................................................34

5.2 Wet van Ohm...........................................................................................................................355.3 Schakelen van weerstanden.....................................................................................................36

5.3.1 Serieschakeling................................................................................................................36a Stroom en spanning over een serieschakeling...................................................................36b Substitutieweerstand..........................................................................................................36c Spanningsdeler...................................................................................................................37

5.3.2 Parallelschakeling............................................................................................................38a Stroom en spanning in een parallelschakeling..................................................................38b Substitutieweerstand..........................................................................................................38c Stroomdeler.......................................................................................................................39

5.3.3 Gemengde schakelingen..................................................................................................39a Uitgewerkt voorbeeld........................................................................................................40

5.4 Factoren die de weerstand beïnvloeden...................................................................................425.4.1 Invloed van de lengte.......................................................................................................425.4.2 Invloed van de doorsnede................................................................................................425.4.3 Invloed van het materiaal.................................................................................................435.4.4 Wet van Pouillet...............................................................................................................435.4.5 Invloed van de temperatuur..............................................................................................44

a Geleiders............................................................................................................................44b Isolatoren...........................................................................................................................44c Temperatuurscoëfficiënt....................................................................................................44

5.4.6 Supergeleiding.................................................................................................................455.5 Inwendige weerstand van een spanningsbron..........................................................................465.6 De wetten van Kirchhoff..........................................................................................................47

5.6.1 Stroomwet........................................................................................................................475.6.2 Spanningswet...................................................................................................................475.6.3 Toepassingen....................................................................................................................48

a Circuits met één bron.........................................................................................................48b Circuits met meerdere bronnen.........................................................................................50

5.7 Elektrische energie en vermogen.............................................................................................505.8 Oefeningen...............................................................................................................................52

6 Condensatoren.................................................................................................................................546.1 Constructie en werking van een condensator..........................................................................54

6.1.1 Constructie.......................................................................................................................546.1.2 Opladen en ontladen van een condensator.......................................................................54

a Principe..............................................................................................................................54b Oplaad- en ontlaadcurves..................................................................................................55

6.1.3 Capaciteit van een condensator........................................................................................566.1.4 De invloed van de weerstand op het ontladen..................................................................57

6.2 Schakelen van condensatoren..................................................................................................57

4

6.2.1 Serieschakeling................................................................................................................576.2.2 Parallelschakeling............................................................................................................576.2.3 Experimentele bevestiging...............................................................................................57

6.3 Oefeningen...............................................................................................................................587 Magnetische verschijnselen.............................................................................................................59

7.1 Eigenschappen van permanente magneten..............................................................................597.2 Het magnetisch veld.................................................................................................................60

7.2.1 Definitie...........................................................................................................................607.2.2 Magnetische veldlijnen....................................................................................................607.2.3 Het aardmagnetisch veld..................................................................................................61

7.3 Oefeningen...............................................................................................................................638 Elektro-magnetisme.........................................................................................................................64

8.1 Magnetisch veld van stroomvoerende geleiders......................................................................648.1.1 Algemeen.........................................................................................................................648.1.2 Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider.............................................648.1.3 Magnetisch veld van een stroomvoerende winding.........................................................658.1.4 Magnetisch veld van een solenoïde of een spoel.............................................................65

8.2 Oorzaak van permanent magnetisme.......................................................................................678.2.1 Diamagnetisme.................................................................................................................678.2.2 Paramagnetisme...............................................................................................................678.2.3 Ferromagnetisme..............................................................................................................68

8.3 Magnetische krachtwerking.....................................................................................................688.3.1 Lorentzkracht...................................................................................................................688.3.2 Magnetische veldsterkte...................................................................................................69

a Definitie.............................................................................................................................69b Magnetische veldsterkte in een punt op afstand r van een rechte, stroomvoerende geleider..............................................................................................................................................71c Magnetische veldsterkte in een punt binnenin een stroomvoerende solenoïde.................71

8.4 Toepassingen...........................................................................................................................728.4.1 Kracht op twee evenwijdige geleiders.............................................................................728.4.2 De elektromotor...............................................................................................................73

8.5 Oefeningen...............................................................................................................................77

5

Elektrische verschijnselen

1 Elektrische verschijnselen

1.1 Waarnemingen Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen ? Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de ebonietstaaf gewreven hebben met een wollen doek ? Wat gebeurt er als we met een glasstaaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de glasstaaf gewreven hebben met een wollen doek ? Wat gebeurt er als we met een koperen staaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de koperen staaf gewreven hebben met een wollen doek ? Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere (niet opgewreven) ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ? Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere opgewreven ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ? Wat gebeurt er als we met een opgewreven glasstaaf een opgewreven ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ? Welke conclusies kan je trekken ? Bovenstaande verschijnselen zijn gevallen van elektrische verschijnselen. We kunnen alle bovenstaande verschijnselen verklaren door volgend model aan te nemen :

Er zijn twee soorten ladingen, positieve en negatieve. Bij conventie zeggen we dat glas een positieve lading krijgt, en eboniet een negatieve lading.

Ladingen kunnen niet verschijnen of verdwijnen. Ladingen oefenen een kracht uit op elkaar: gelijksoortige ladingen

stoten elkaar af, verschillende ladingen trekken elkaar aan. De oorzaak van elektrische verschijnselen is scheiding van lading.

De elektroscoop

De elektroscoop is een toestel waarmee we de aanwezigheid van lading kunnen detecteren. Het bestaat uit twee metalen stroken, waarvan één beweeglijk en de ander vast, die geïsoleerd van de grond zijn opgesteld. Als we de elektroscoop naderen met een geladen voorwerp, dan zien we dat de beweeglijke strook uitwijkt. Hoe meer de strook uitwijkt, hoe groter de lading. Eens het geladen voorwerp uit de buurt gehaald is, verdwijnt de uitwijking. Je kan ook een elektroscoop laden door een geladen voorwerp in contact te brengen met de elektroscoop. Een deel van de lading wordt dan overgebracht op de elektroscoop, en de uitwijking blijft tot de elektroscoop “ontladen” wordt (bvb. door je vinger er op te leggen...).

1.2 Geleiders en isolatoren Wat gebeurt er als we een geladen elektroscoop aanraken met een ongeladen

6

Afbeelding 1: De elektroscoop


glas- of ebonietstaaf ? En als we de elektroscoop aanraken met een koperstaaf of met onze vinger ? We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een koperen draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste elektroscoop laden ? We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een wollen draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste elektroscoop laden ? Uit bovenstaande proeven kunnen we concluderen dat ladingen mobiel zijn. De mobiliteit hangt echter duidelijk af van de middenstof. We kunnen materialen grofweg indelen in drie categorieën :

Geleiders : in geleiders hebben ladingen een grote mobiliteit en kunnen ze gemakkelijk doorheen het hele materiaal bewegen. Via een geleider kan lading gemakkelijk van een plaats naar een andere vloeien. Voorbeelden van geleidende materialen zijn : koper, aluminium, ijzer, ...

Isolatoren : materialen waarin ladingen weinig tot geen mobiliteit hebben. De ladingen zitten vast op hun plaats. Voorbeelden van isolatoren zijn : PCV, glas, porselein, ...

Halfgeleiders : materialen die zich onder bepaalde omstandigheden gedragen als geleiders, onder andere omstandigheden als isolatoren. Voorbeelden : germanium, silicium, ...

1.3 Microscopische verklaring Een atoom is elektrisch neutraal. Het bestaat uit een positieve kern, die op zijn beurt bestaat positieve protonen en neutrale neutronen, waarrond negatief geladen elektronen bewegen in “schillen”. De elektronen in de buitenste schil (de valentie-elektronen) zorgen zowel voor de chemische als elektrische eigenschappen van een stof. De elektronen blijven bij de kern omdat hun negatieve lading aangetrokken wordt door de positieve lading van de protonen. Maar hoe komt het dat de protonen, die allemaal een positieve lading hebben (en elkaar bijgevolg afstoten), toch in de kern blijven ?

1.3.1 Verklaring geleiding Goede geleiders hebben weinig valentie-elektronen. De materialen zijn opgebouwd uit een rooster bestaande uit positieve ionen die samengehouden worden door een “vrije elektronenwolk”. De elektronen zijn niet gebonden aan één ion en bewegen vrij door het rooster, waardoor lading zich gemakkelijk kan verplaatsen doorheen het materiaal.

Isolatoren hebben atomen met een bijna gevulde schil, die onderling zeer sterke covalente bindingen vormen. In een isolator zijn er geen vrije

7

Afbeelding 2: De atoomstructuur met de protonen, neutronen en elektronen (bron : education.jlab.org)


ladingsdragers, en bijgevolg is er geen transport van lading mogelijk.

Als er lading verplaatst wordt doorheen een medium door de beweging van geladen deeltjes, dan spreken we van een elektrische stroom in dat materiaal.

1.3.2 Hoe worden voorwerpen “geladen” ? Een isolator kan je laden door wrijving. Dit kan elektronen van het ene voorwerp wegnemen en op een ander voorwerp plaatsen. Als we een glasstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan elektronen verdwijnen en waar komen er bij ? Als we een ebonietstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan elektronen verdwijnen en waar komen er bij ? Een metaal kan je laden door ofwel elektronen toe te voegen (dan krijgt het een negatieve lading) ofwel door elektronen af te nemen (positieve lading). De lading van een isolator zal lokaal blijven, terwijl in een metaal de lading verdeeld zal zijn over het hele voorwerp. Bij een geladen metaal zal de lading zich altijd aan de oppervlakte bevinden. Kan jij verklaren waarom ?

8

Afbeelding 3: De structuur van een geleider : een rooster van positieve ionen met vrij bewegende elektronen.

Afbeelding 4: De structuur van twee isolatoren (kwarts en diamant) toont de covalente bindingen tussen de individuele atomen.


1.4 Elektrische inductie Twee ladingen oefenen op elkaar een aantrekkende of afstotende kracht uit. Maar hoe komt het dat een geladen voorwerp ook een kracht uitoefent op een ongeladen voorwerp, en dat die kracht altijd aantrekkend werkt ? De oorzaak hiervan is de elektrische inductie (ook wel influentie of polarisatie genoemd). We bekijken wat er gebeurt als we een isolator en een geleider naderen met een negatief geladen ebonietstaaf...

1.4.1 Inductie bij een isolator Naderen we een neutrale isolator (bv. papiersnipper) met een negatief geladen staaf. Als we op moleculair niveau kijken, zien we dat door de nabijheid van de negatieve lading de moleculen enigszins vervormd worden. De negatieve elektronen die nog het meest mobiel zijn, zullen zich proberen verwijderen van de staaf maar raken niet weg van hun kern, terwijl de positieve kernen ter plaatse blijven. Hierdoor krijg je aan de kant van de staaf een netto positieve lading, en aan de kant weg van de staaf een netto negatieve lading. Tussen de netto positieve lading en de negatieve staaf ontstaat aantrekking, die sterker is dan de afstoting tussen de staaf en de negatieve kant, die ietsje verder is van de staaf. De papiersnipper in zijn geheel blijft wel degelijk neutraal !!!

1.4.2 Inductie bij geleiders Als je een niet geladen metalen voorwerp (bv. bolletje zilverpapier) nadert met een negatief geladen staaf, verschuift een gedeelte van de vrije elektronen van het metalen voorwerp naar de tegenoverliggende rand. Daardoor heeft de kant die het dichtst bij de staaf ligt een tekort aan elektronen (en bijgevolg een netto positieve lading). Wat wordt de netto lading van het gepolariseerd metaal ?

9

Afbeelding 5: Elektrische inductie op een neutrale papiersnipper.

Afbeelding 6: Elektrische inductie op een neutrale geleider.


1.5 Aarding We spreken van een “geaard” toestel als het toestel verbonden is met de aarde door middel van een geleider. Een aarding voorkomt dat er zich lading gaat opbouwen op het voorwerp, waardoor je een elektrische schok zou kunnen krijgen als je het aanraakt. Een aarding wordt symbolisch voorgesteld door drie horizontale streepjes. De kabel naar de aarde in elektrische leidingen is dikwijls groen-geel gestreept.

De aarde zelf kan beschouwd worden als een reusachtige geleider (=”vat van vrije elektronen”). Een negatief geladen voorwerp zal door de verbinding elektronen aan de aarde afstaan en wordt neutraal. Bij aarding van een positief geladen voorwerp verplaatsen elektronen zich van de aarde naar het voorwerp, waardoor de positieve lading verdwijnt.

10

Afbeelding 7: De groen-geel gestreepte kabels in een schakelkast zijn de verbindingen naar de aarde.

Afbeelding 8: Symbool aarding


1.6 Oefeningen 1. Welke van onderstaande uitspraken is/zijn waar ?

Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als rooster-ionen. Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als rooster-

ionen. Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als protonen. Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als protonen. Geen van bovenstaande uitspraken is waar.

2. Een elektrisch neutraal voorwerp wordt dikwijls een “ongeladen” voorwerp genoemd. Het woord “ongeladen” is hier nogal ongelukkig gekozen. Verklaar.

3. P is een positief geladen isolator. Q is een horizontaal geplaatste, neutrale geleider. R is een heel licht aluminium bolletje, opgehangen aan een katoenen draadje, dat rechts contact maakt met de metalen staaf. Teken de opstelling. Verklaar waarom R zich naar rechts verplaatst als als P links tegen de metalen staaf gebracht wordt.

4. Doe-het-zelf : Neem een neutrale elektroscoop, en nader die met een opgewreven ebonietstaaf. Wat neem je waar ? Raak nu de elektroscoop aan met je vinger, terwijl je de ebonietstaaf nog altijd bij de elektroscoop houdt (zonder echter deze aan te raken !!!). Wat neem je waar ? Verwijder nu tegelijkertijd je vinger en de ebonietstaaf. Wat neem je waar ? Is de elektroscoop positief of negatief geladen ? Hoe kan je dit nagaan ? Geef een verklaring voor de waargenomen fenomenen.

11

De Coulombkracht

2 De CoulombkrachtWe weten nu dat er zoiets bestaat als lading, dat lading de oorzaak is van de elektrische krachtwerking, maar we hebben er nog geen idee van hoe we lading kunnen meten, noch wat we als eenheid kunnen gebruiken. In dit hoofdstuk bekijken we hoe we tot een definitie kunnen komen van de eenheid van lading via een omweg langs de elektrische stroom, en bekijken we de elektro-statische krachtwerking in detail.

2.1 Elektrische stroom

2.1.1 Spanning Beschouw twee elektroscopen. We laden één elektroscoop positief, de andere laten we neutraal. Vervolgens verbinden we beide elektroscopen met een geleider. Wat neem je waar ? De uitwijking van de geladen elektroscoop zal afnemen, terwijl de uitwijking van de ongeladen zal toenemen, totdat beide uitwijkingen gelijk zijn. Dan blijft de situatie ongewijzigd. Indien in A een grotere lading aanwezig dan in B, en we verbinden A en B met een geleider, dan zal door de geleider een elektrische stroom vloeien totdat de lading in A en B gelijk is. Eens de lading gelijk in A en B, stopt de stroom. Indien er een ladingsverschil is tussen A en B, zeggen we dat er een spanning is tussen A en B. Een spanning tussen twee punten A en B is noodzakelijk wil er een stroom vloeien tussen die twee punten A en B. Er is een spanning tussen twee punten A en B als beide punten een verschillende potentiaal hebben. Het punt met de grootste positieve lading heeft de hoogste potentiaal. We komen later nog uitgebreid terug op het begrip potentiaal. De elektrische stroom stroomt bij conventie altijd van het punt met de hoogste potentiaal (+) naar het punt met de laagste potentiaal (-). Welke ladingsdragers zijn verantwoordelijk voor de elektrische stroom ? In welke richting bewegen zij ? Wat is de het verschil tussen de conventionele stroomzin en de effectieve stroomzin ? Een geaard punt heeft altijd potentiaal nul (0).

2.1.2 Spanningsbron Een stroom tussen twee punten zal altijd proberen het potentiaalverschil tussen die twee punten weg te werken. Als je een stroom wil onderhouden, moet je er dus voor zorgen dat je op de één of andere manier ook de spanning constant

12

Afbeelding 9: Bij verbinden van een geladen en een ongeladen elektroscoop zal er een stroom vloeien totdat de lading op beide elektroscopen even groot is.

De Coulombkracht

houdt. Dit kan met een spanningsbron. Een spanningsbron heeft twee polen, waartussen een potentiaalverschil heerst. De pool op hoogste potentiaal is de positieve pool (+), de andere de negatieve pool (-). Door de polen te verbinden vloeit er stroom van (+) naar (-).

Een spanningsbron kan vergeleken worden met een “elektronenpomp”. In een gesloten kring vloeien de elektronen van de negatieve pool naar de positieve pool, en ze worden dan door het interne mechanisme (chemisch, mechanisch, elektronisch, ...) van de bron terug naar de negatieve pool “gepompt”. Hier is arbeid voor nodig, die geleverd wordt door bvb. chemische of mechanische processen in de bron. Als de kring gesloten is, wordt de potentiële energie opgeslagen in de bron omgezet in kinetische energie van de elektronen.

2.1.3 Belasting De kinetische energie van de elektronen in een gesloten stroomkring kan gebruikt worden door een elektrisch toestel om arbeid te verrichten, en de

13

Afbeelding 11: symbool van een spanningsbron. Het lange streepje duidt altijd de positieve pool aan.

Afbeelding 10: Een conventionele batterij is een spanningsbron in dagdagelijks gebruik.

Afbeelding 12: Conventionele stroomzin versus beweging van elektronen.

De Coulombkracht

kinetische energie van de elektronen om te zetten in licht, warmte, mechanische arbeid, ... Een aangesloten toestel dat de kinetische energie van de elektronen omzet naar een andere vorm noemen we een “belasting”. Hierdoor zal de kinetische energie van de elektronen afnemen. Het toestel vormt een “weerstand” voor de elektrische stroom. Een gesloten kring zonder belasting noemen we een kortgesloten kring. De stromen in een kortgesloten kring kunnen zéér groot worden, zodanig dat het interne mechanisme van de stroombron niet kan volgen en we spanningsverlies krijgen.

2.2 Eenheid van stroomsterkte We definiëren de stroomsterkte I door een kring als de hoeveelheid lading Q die per tijdsinterval ∆t door de kring wordt verplaatst.

I= Q t

Het probleem is dat we lading nog niet kunnen meten, en bijgevolg I ook (nog) niet. Om I te meten hebben we een goed gedefiniëerde eenheid nodig. En die eenheid bekomen we door gebruik te maken van een merkwaardig fenomeen dat zich afspeelt tussen twee stroomvoerende geleiders. Beschouw twee evenwijdige geleiders, waarover we eenzelfde spanning aanleggen. Als we de stroomkring sluiten, zie je dat beide geleiders op elkaar een kracht uitoefenen.

En een kracht, dat kennen we en kunnen we meten ! Dus vertrekkende van dit fenomeen, kunnen we als volgt de eenheid van elektrische stroom definiëren, de ampère :

Eén ampère (symbool A) is de constante elektrische stroom, die, wanneer deze loopt door twee parallelle geleiders van oneindige lengte en met een verwaarloosbare diameter, op 1 meter van elkaar geplaatst in vacuüm, een kracht tussen deze geleiders produceert van 2 × 10-7

newton per meter lengte.

14

Afbeelding 13: Links een stroomkring met belasting, rechts een kortgesloten kring.

Afbeelding 14: Twee stroomvoerende geleiders oefenen een kracht uit op elkaar.

De Coulombkracht

Deze eenheid, is naast de m, s en kg, één van de standaardeenheden van het SI-stelsel. Zij kan met andere woorden niet afgeleid worden uit andere eenheden.

2.3 De Coulombkracht

2.3.1 Eenheid van lading Uit de definitie van de elektrische stroom en van de ampère kunnen we nu de eenheid van lading definiëren, de coulomb.

Eén coulomb is de hoeveelheid lading die door een stroom van 1A in 1s wordt verplaatst.

1C=1 A⋅1 s

2.3.2 De Coulombkracht Een puntlading is een bol met verwaarloosbaar kleine afmetingen waarop een lading wordt aangebracht. Beschouw twee puntladingen Q1 en Q2 op een afstand r van elkaar. Elke lading oefent een elektrische kracht uit op de andere.

Beschouw nu F 1,2 , de kracht uitgeoefend door Q1

op Q2.

Voor F 1,2 geldt :

het aangrijpingspunt is de lading Q2

de richting is de verbindingslijn tussen de ladingen

als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is de zin weg van Q1

als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is de zin gericht naar Q1. Voor de grootte van de kracht toonde Coulomb experimenteel aan dat

∣ F 1,2∣~∣Q 1∣ ∣ F 1,2∣~∣Q 2∣

∣ F 1,2∣~1r 2

Daaruit volgt dat

∣ F 1,2∣=k⋅∣Q1∣⋅∣Q2∣

r2

In vacuüm is die constante k=8,99⋅109 Nm2

C2

Hoe groot is dan de kracht die Q2 op Q1 uitoefent ? Hoe is die gericht ?

15

Afbeelding 15: André-Marie Ampère, 1775 - 1836

Afbeelding 16: Charles-Augustin de Coulomb (1736 - 1806)

De Coulombkracht

16

Afbeelding 18: een schets van de torsiebalans zoals gebruikt door Coulomb

Afbeelding 17: een replica van de torsiebalans

De Coulombkracht

2.4 Oefeningen 1. Bereken de grootte van de kracht tussen twee tegengesteld geladen

bolletjes als de grootte van beide ladingen 0,50 µC bedraagt, en hun middelpunten zich op een onderlinge afstand van 3,0 cm bevinden.

2. Bereken de grootte van twee identieke puntladingen opdat ze elkaar op een onderlinge afstand van 0,50 m met een kracht van 100 N zouden afstoten.

3. Welke is de grootte van de kracht waarmee twee heliumkernen elkaar afstoten als ze zich op een afstand van 100.10-15 m van elkaar bevinden ?

4. We veronderstellen dat in het waterstofatoom het elektron op een cirkelvormige baan rond de kern draait. Als de straal van deze cirkelbaan gelijk is aan 5,3.10-11m, bereken dan de grootte van de elektrostatische kracht, waarmee het proton het elektron aantrekt.

5. Een lading van 3,0 µC bevindt zich op een afstand van 0,25 m van een lading van 5,0 µC en op een afstand van 0,30 m van een lading van 6,0 µC. Welke kracht ondervindt de lading van 3,0 µC indien de drie ladingen op een rechte lijn staan ?

6. Twee identieke kleine geladen metalen sferen staan met hun middelpunten op 0,050 m van elkaar en trekken elkaar aan met een kracht van 2700 N. We brengen ze met elkaar in contact en brengen ze vervolgens naar hun oorspronkelijke situatie terug. Nu stoten ze elkaar met een kracht van 1102.5 N af. Bereken hieruit de oorspronkelijke ladingen.

7. Twee identieke vliermergbolletjes dragen dezelfde lading en hebben een massa van 0,100 g. Ze zijn met twee draadjes in een punt a opgehangen. De lengte van de draadjes is 13,0 cm en de bolletjes zijn in rust wanneer ze op een afstand van 10,0 cm van elkaar komen. Zoek de lading van elk bolletje.

8. Twee bolletjes, elk met een massa van 89,9g, worden door middel van lichte en niet geleidende draden in eenzelfde punt opgehangen. Elk bolletje draagt een lading van 1,00 µC. De bolletjes blijken in evenwicht te zijn als ze op een afstand van 0,100 m van elkaar verwijderd zijn. Bereken de hoek tussen de twee draden.

17

Het elektrisch veld en veldsterkte

3 Het elektrisch veld en veldsterkte

3.1 Het elektrisch veld De aanwezigheid van een lading geeft de ruimte rondom specifieke eigenschappen :

als we een geladen voorwerp in die ruimte plaatsen, dan ondervindt het een kracht,

plaatsen we een ongeladen voorwerp in die ruimte, dan wordt het gepolariseerd.

Rond een elektrisch geladen voorwerp is er een ruimte waarin andere voorwerpen een duidelijke (elektrische) invloed ondervinden. Deze ruimte noemen we het elektrisch veld van het geladen voorwerp. Het elektrisch veld is de ruimte rond een geladen voorwerp waarin de elektrische kracht zich laat voelen.

3.2 De elektrische veldsterkte

3.2.1 Definitie Plaatsen we een lading Q in een punt P van een elektrisch veld, dan zal deze lading een elektrische kracht F ondervinden. We definiëren nu de elektrische veldsterkte in het punt P als volgt :De elektrische veldsterkte in een punt P is de vector die de verhouding geeft van de elektrische kracht op een lading Q in P tot die lading:

E=FQ

Die verhouding is onafhankelijk van de lading QDe eenheid van elektrische veldsterkte is N.C-1. We onthouden : – Het aangrijpingspunt van E is het punt P.

– De grootte van E is ∣F∣Q

.

– De richting van E is die op van de Coulombkracht op de lading Q.

– De zin van E is dezelfde als die van de de Coulombkracht op een positieve lading in P.

Uit de definitie volgt dat als in een bepaald punt P van de ruimte de elektrische veldsterkte E gegeven is, dat dan de kracht die een puntlading Q zal ondervinden in dat punt P berekend kan worden door :

F=Q⋅E

3.2.2 Veldsterkte rondom een puntlading Beschouw een puntlading Qb (de bronlading). Deze lading wekt in de omliggende ruimte een elektrisch veld op. We gaan nu proberen de elektrische veldsterkte te

18


bepalen in een punt P van het elektrisch veld opgewekt door een bronlading Qb.Plaatsen we in het punt P een tweede, positieve, puntlading Qt (de testlading), dan zal deze een in het punt P een kracht ondervinden

met aangrijpingspunt in P

waarvan de grootte gegeven wordt door : ∣ F C∣=k∣Qt∣∣Qb∣

r2 , waarbij r de

afstand is tussen Qb en P, met als richting de verbindingslijn tussen Qb en Qt

met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is.

Uit de definitie van de elektrische veldsterkte volgt dan dat de elektrische veldsterkte opgewekt door Qb in het punt P gegeven wordt door de vector E , met aangrijpingspunt in P

waarvan de grootte gegeven wordt door : ∣E∣=k∣Qb∣

r2 , waarbij r de

afstand is tussen Qb en P, met als richting de verbindingslijn tussen Qb en P met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is.

Wat wordt dit voor een negatieve testlading ?

Samengevat kunnen we schrijven :De elektrische veldsterkte opgewekt door een puntlading Q in een punt P op een afstand r van Q, is gegeven door

19

Afbeelding 19: Elektrische veldsterkte en Coulombkracht bij verschillende configuraties.


E=k⋅Qr2⋅er

waarbij er een eenheidsvector is volgens de verbindingslijn Q en P, met zin van Q naar P.

3.2.3 Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen In dit geval is de veldsterkte in een bepaald punt P de vectorsom van de veldsterkten opgewekt door de verschillende puntladingen in dit punt.

Zijn E1 , E2 , E3 ,... , En de veldsterkten opgewekt door Q1, Q2, Q3,...Qn in het punt P, dan geldt dat de veldsterkte in P gegeven wordt door :

E= E1 E2 E3... En=∑ Ei

3.3 Elektrische veldlijnen We verbinden een geïsoleerde geleider waaraan verschillende papiersnippers bevestigd zijn, met de elektriseermachine. Wat merk je ? We strooien in een oliebad een aantal griesmeelkorrels. We plaatsen in het bad verschillende elektroden en laden de elektroden met de elektriseermachine. Wat merk je ?

In een elektrisch veld richten de materiedeeltjes zich volgens bepaalde richtingen, elektrische veldlijnen genoemd. Een elektrische veldlijn is een lijn waarvan in elk van haar punten de richting van de raaklijn overeenstemt met de richting van de elektrische veldsterkte.

20

Afbeelding 23: De elektrische veldsterkte is rakend in elk punt van de veldlijn.

Afbeelding 22: Elektrische veldlijnen zichtbaar gemaakt bij een puntlading.

Afbeelding 20: Elektrische veldlijnen van een dipool

Afbeelding 21: Elektrische veldlijnen tussen twee evenwijdige platen


De zin van een elektrische veldlijn is steeds van positieve lading weg naar negatieve toe (verklaar !). Door elk punt van het veld gaat slechts één veldlijn. Waren er twee, dan zou de veldsterkte in dit punt twee verschillende richtingen tegelijk kunnen aannemen, wat natuurlijk onmogelijk is. Veldlijnen kunnen elkaar alleen kruisen, daar waar zich een lading bevindt. Veldlijnen hebben bovendien de eigenschap dat ze steeds loodrecht op geleidende oppervlakken staan. De verzameling van alle veldlijnen noemen we het elektrisch spectrum. Hoe groter de dichtheid van de veldlijnen, hoe sterker het elektrisch veld.

3.4 Onderzoek van een aantal veldconfiguraties

3.4.1 Elektrisch veld van een puntlading We hebben hierboven de elektrische veldsterkte van een veld opgewekt door een puntlading al afgeleid, maar het is interessant om het elektrisch spectrum te bekijken. We zien dat de veldlijnen recht zijn en samenkomen in de puntlading. Een dergelijk veld noemen we een radiaal veld. De zin van de veldlijnen is afhankelijk of de lading positief is (naar buiten toe) of negatief (naar de lading toe).

21

Afbeelding 24: Bij contact met een elektriseermachine richt het haar zich volgens de elektrische veldlijnen.

Afbeelding 25: eldlijnen in geval van een positieve puntlading (links) en een negatieve puntlading (rechts)


3.4.2 Homogene velden Beschouw twee evenwijdige geladen geleiders die een even grote maar tegengestelde lading dragen (+Q en -Q). Als we de randen buiten beschouwing laten, lopen de veldlijnen tussen de geleiders evenwijdig en op regelmatige afstand van elkaar. Het veld is overal even sterk. We spreken van een homogeen veld.

3.4.3 Veldsterkte binnen in een neutrale geleider

Beschouw een neutrale geleider. We plaatsen deze geleider in een homogeen elektrisch veld. Hierdoor wordt een kracht uitgeoefend op de vrije elektronen, die zich zullen verplaatsen tegen het veld in, en zich zullen verzamelen aan één kant van de geleider. Aan één kant van de geleider is nu een overschot aan negatieve lading (-), terwijl aan de andere kant een tekort is aan negatieve lading (+). Hierdoor zal er binnen de geleider een nieuw elektrisch veld vormen, die het oorspronkelijke zal tegenwerken, waardoor de netto elektrische

veldsterkte binnen de geleider steeds nul zal zijn.

Dit effect kan gebruikt worden om een ruimte af te schermen van een elektrisch veld door gebruik te maken van een holle geleider. Plaatsen we zo'n holle geleider in een extern elektrisch veld, dan zal er een kracht inwerken op de vrije ladingsdragers van de geleider, en zal er een stroom ontstaan. Hierdoor verschuiven de ladingsdragers van plaats, tot ze een positie hebben waardoor hun eigen veld het externe veld opheft, en de stroom stopt. Op dezelfde manier wordt het

elektrisch veld van een eventuele lading binnen de holle geleider geblokkeerd naar buiten toe. Dit principe staat bekend als de kooi van Faraday. Dit principe wordt gebruikt bij bliksemafleiders en is de oorzaak dat je de GSM niet kan gebruiken in een (volledige) metalen lift.

3.4.4 Radiaal veld van een bolvormige geleider Breng je een lading Q aan op een bolvormige (holle of massieve) geleider met straal R, dan verspreidt de lading zich over het oppervlak.

22

Afbeelding 27: Principe van de kooi van Faraday. Het veld veroorzaakt een scheiding van lading, wat op zijn beurt een veld veroorzaakt dat het oorspronkelijke veld zal opheffen. Binnen in de geleider zal geen netto veld aanwezig zijn.

Afbeelding 26: Homogeen veld tussen twee evenwijdige, tegengesteld geladen geleiders.


De veldlijnen vertrekken loodrecht op het boloppervlak en vormen een radiaal veld buiten de bol. Binnen in de geleider zijn er geen veldlijnen; de veldsterkte is er nul.

3.4.5 Elektrisch veld in en rond een geladen geleider in evenwicht

We kunnen het bovenstaande veralgemenen tot geladen geleiders van eender welke vorm... Indien er binnen in een geleider geen netto ladingsverplaatsing is (met andere woorden geen stroom vloeit door de geleider), dan is de geleider in elektrostatisch evenwicht. Een geleider in elektrostatisch evenwicht heeft volgende eigenschappen :

het elektrisch veld is nul overal binnen in de geleider;

niet gecompenseerde lading op een geïsoleerde geleider bevindt zich steeds aan het oppervlak;

het elektrisch veld aan het oppervlak van een geleider staat steeds loodrecht op het oppervlak;

het veld is het sterktst daar waar de kromming van het oppervlak het sterkts is (spitseffect).

3.4.6 Dipoolveld Brengen we twee even grote, maar tegengestelde ladingen op een kleine afstand van elkaar. Het lijnenbeeld vormt een dipoolveld. Tussen de twee tegengestelde ladingen is het veld sterk: de lijnen liggen dicht bij elkaar. Brengen we twee even grote puntladingen met hetzelfde teken dicht bij elkaar, dan verschilt het lijnenbeeld grondig: in het midden tussen de twee gelijke ladingen is het veld vrijwel nul.

23

Afbeelding 29: De veldlijnen in de omgeving van twee even grote bronladingen. In de figuur links hebben beide ladingen hetzelfde teken, in de figuur rechts een tegengesteld teken.

Afbeelding 28: Veldlijnen in geval van een positief geladen sfeer. In het binnenste van de sfeer is de veldsterkte nul (geen veldlijnen).


3.5 Oefeningen 1. Bepaal de grootte van de veldsterkte in een punt op 30,0 cm van een

puntvormige lading van 5,0.10-9 C. Bepaald de kracht, die een lading van 4,0.10-4 C in dat punt vanwege het veld ondervindt.

2. Gegeven een puntlading van 2,0.10-7 C en een van -5,0.10-8 C op een afstand van 10,0 cm van elkaar verwijderd. Zoek de veldsterkte in het midden van de verbindingslijn van beide ladingen. Bepaal ook de kracht die een lading van 4,0.10-8 C in dat punt ondervindt.

3. Twee ladingen, respectievelijk 10,0.10-10 C en 160.10-10 C groot, staan op 68 cm van elkaar. Bepaal het punt op de verbindingslijn van beide puntladingen waarvan de grootte van de veldsterkte 0 N/C is.

4. Een bolvormige geleider met een straal van 7,0 cm draagt een lading van 16 µC. Bereken:a) De grootte van de veldsterkte in een punt op de bol;b) De grootte van de veldsterkte in een punt p op 12,0 cm van het

middelpunt van de bol;c) De grootte van de kracht die een lading van 5,0 µC in het punt p

ondervindt;d) De grootte van de veldsterkte in een punt op 6,5 cm van het

middelpunt van de bol.

24

Elektrische potentiaal

4 Elektrische potentiaal

4.1 Potentiaal in het veld van een puntlading

4.1.1 Arbeid verricht door Coulombkracht Als een lading Q zich verplaatst in het elektrisch veld opgewekt door een bronlading Qb, wordt op Q door de Coulombkracht arbeid verricht. We kunnen nu aantonen dat de arbeid verricht door de Coulombkracht op de lading Q enkel afhankelijk is van het beginpunt en het eindpunt van de verplaatsing, en onafhankelijk van de gevolgde weg. De Coulombkracht is met andere woorden een conservatieve kracht. We tonen dit aan als volgt :De Coulombkracht is geen constante kracht. Om de arbeid te berekenen verricht door de Coulombkracht bij een verplaatsing van punt a naar punt b gaan we als volgt te werk :Veronderstel dat punt A bepaald wordt door de plaatsvector r 1 , en punt B door de plaatsvector r 2 . Verder veronderstellen we dat Qb, a en b op één lijn liggen. Verplaatsen we nu een lading Q van A naar B. We delen de verplaatsing r 2−r1

op in n zeer kleine, even grote plaatsveranderingen r zodat binnen elk stukje de Coulombkracht als constant mag beschouwd worden.

Dit betekent dat het voor het punt C, ergens tussen A en B, gelegen op een afstand r van Qb, praktisch geen verschil uitmaakt of wij de grootte van de Coulombkracht inwerkende op Q in C aangeven door

k⋅Q⋅Qb

r 2 ,

of doork⋅Q⋅Qb

rr 2,

of door de tussenliggende waarde k⋅Q⋅Qb

r⋅rr .

De arbeid W , verricht bij een verplaatsing r , is bijgevolg:W=Fc⋅r

W=k⋅Q⋅Q b⋅ rr⋅rr

25

Afbeelding 30: Verplaatsing van lading Q in het veld van Q'.


aangezienr

r⋅rr =1

r− 1

rris

W=k⋅Q⋅Qb⋅1r− 1

rr

We hebben r 2−r1 opgedeeld in n kleine verplaatsingen r .

Dit betekent dat r 2=r1n⋅r of r 2=r1n⋅r waarbij n een zeer groot getal is. De afstand van de lading Qb tot het begin van het eerste stukje is dan r 1 .De afstand van de lading Qb tot het begin van het tweede stukje is dan

r 1r .De afstand van de lading Qb tot het begin van het derde stukje is dan

r 12 r .De afstand van de lading Qb tot het begin van het i-e stukje is dan

r 1i−1r .De afstand van de lading Qb tot het begin van het n-e stukje is dan

r 1n−1 r .De arbeid verricht door de Coulombkracht als de lading Q wordt verplaatst langs het i-e stukje is dan :

W=k⋅Q⋅Qb1

r 1i−1r− 1

r1ir

De totale arbeid bij verplaatsing van a naar b wordt gegeven door

W=∑WW=k⋅Q⋅Qb

1r1− 1

r 1r 1

r 1r− 1

r 12r 1

r12 r− 1

r13 r... 1

r 1n−1 r− 1

r1nr

Alle termen tussen de haken vallen weg, alleen de eerste en de laatste blijven over, zodat :

W=k⋅Q⋅Qb⋅1r1− 1

r 2

Men kan aantonen dat dit resultaat eveneens geldig is als Qb, A en B niet op één lijn liggen. (hoe ? Doe dit als oefening...)De geleverde arbeid wordt dus enkel bepaald door de afstand van het beginpunt tot de bronlading, en de afstand van het eindpunt tot de bronlading, en de gevolgde weg speelt geen rol. De Coulombkracht is bijgevolg een conservatieve kracht.

4.1.2 Potentiële energie in het veld van een puntlading Zoals gezien in de cursus mechanica, verkrijgt een voorwerp waarop een conservatieve kracht inwerkt, potentiële energie. De potentiële energie van een voorwerp in positie P ten opzichte van een referentiepunt O, is bij definitie de arbeid verricht door de conservatieve kracht

26


bij verplaatsing van het voorwerp van P naar het referentiepunt. We gaan nu de potentiële energie bepalen van een lading Q, in een punt P op een afstand r van een bronlading Qb.

Als referentiepunt nemen we een punt O op een oneindige afstand van de bronlading Qb. De arbeid geleverd door de Coulombkracht bij verplaatsing van P naar O wordt dan :

W=k⋅Qb⋅Q⋅1r− 1∞

W=kQb⋅Q

r

De potentiële energie van een lading Q, in het veld van een bronlading Qb op een afstand r van Qb, is bijgevolg gegeven door :

E p=kQb⋅Q

rZijn er meerdere bronladingen in de ruimte, dan levert elke bronlading zijn bijdrage in de potentiële energie :

E p=E p ,1E p ,2E p ,3...

E p=kQ 1⋅Q

r1k

Q 2⋅Qr2

kQ3⋅Q

r3...

4.1.3 Elektrische potentiaal Beschouw een punt P in het veld van een bronlading Qb, op een afstand r van Qb. Plaatsen we een lading Q in het punt P, dan verkrijgt de lading Q een potentiële energie gegeven door :

E p=kQ b

r⋅Q

De grootheid k⋅Qb

rhangt niet af van de lading Q, maar enkel van de plaats in

het elektrisch veld en van Q'. Deze grootheid noemen we de potentiaal V in het beschouwde punt. De elektrische potentiaal V in een punt P is de scalair die de verhouding geeft van de potentiële energie van een lading Q in dat punt P tot die lading Q.

V =E p

QDie verhouding is onafhankelijk van de lading Q.De eenheid van elektrische potentiaal is de Volt (1 V = 1 JC-1).In een radiaal veld opgewekt door een puntlading Q is de potentiaal op een afstand r van Q gegeven door :

V = k⋅Qr

Zijn er meerdere ladingen in de ruimte, dan kan de potentiaal in een punt P geschreven worden als de som van de potentialen opgewekt door de individuele ladingen :

27


V =V 1V 2...V n

V =k⋅Q 1

r1

k⋅Q 2

r2...

k⋅Q n

rn

4.1.4 Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld Verplaatsen we lading Q in een elektrisch veld van een punt A naar een punt B, dan wordt de arbeid geleverd door de Coulombkracht gegeven door :

W=E p , A−E p , B

W=Q⋅V A−Q⋅V B

W=Q⋅V A−V B

Het potentiaalverschil tussen twee punten wordt ook de spanning genoemd.

4.2 Equipotentiaaloppervlakken Elk punt in een elektrisch veld heeft een potentiaal. Een equipotentiaaloppervlak is een verzameling punten met dezelfde potentiaal. In een ruimte met één puntlading, zijn de equipotentiaaloppervlakken concentrische sferen rond de puntlading.

28

Afbeelding 31: Vergelijking tussen grootte van elektrische veldsterkte en elektrische potentiaal rond een positieve puntlading (links) en een negatieve puntlading (rechts)


Het oppervlak van een geleider is altijd een equipotentiaaloppervlak. (verklaar !)

4.3 Potentiaal in en rond een bolvormige geleider Bekijken we de potentiaal in het veld opgewekt door een bolvormige geleider, dan moeten we onderscheid maken tussen twee gebieden : Buiten de bol is de situatie dezelfde

als mocht de gehele lading Q geconcentreerd zijn in één punt. De potentiaal op een afstand r van het middelpunt van de bol met lading Q wordt gegeven door :

V =k Qr

Binnen in de bol is er geen elektrisch veld. Om een lading in de bol te verplaatsen moet je geen arbeid leveren. Het potentiaalverschil tussen punten gelegen binnen de bol is bijgevolg nul. Alle punten in de bol hebben dezelfde potentiaal als de punten aan het oppervlak van de bol, gegeven door :

V =k QR

Bovenstaande figuur geeft zowel de grootte van de elektrische veldsterkte als de elektrische potentiaal weer in- en rond een geladen bolvormige geleider.

(hoe lopen de equipotentiaaloppervlakken in en rond een bolvormige geleider ?)

29

Afbeelding 32: Equipotentiaaloppervlakken (stippellijnen) en veldlijnen rond een positieve en een negatieve puntlading.

Afbeelding 33: Veldsterkte en potentiaal in en rond een bolvormige geleider.


4.4 Potentiaal in een homogeen veld

4.4.1 Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte Beschouw twee vlakke platen met oppervlakte A waartussen de afstand d is. We brengen op de platen twee gelijke, tegengestelde ladingen +Q en -Q. Hierdoor ontstaat tussen de platen een homogeen veld E en een potentiaalverschil V a – V b . De arbeid verricht door de Coulombkracht als een positieve lading Q' van plaat a naar plaat b wordt overgebracht, wordt gegeven door :

W=F⋅dW=Q '⋅∥E∥⋅d

Deze arbeid is ook gelijk aan W=Q '⋅V a−V b

Uit bovenstaande volgt

Q '⋅∥E∥⋅d =Q '⋅V a−V b

E=V a−V b

duit bovenstaande formule blijkt dat de grootte van de elektrische veldsterkte ook kan uitgedrukt worden in Vm-1 in plaats van NC-1.

4.4.2 Potentiaal in een homogeen veld Beschouwen we nu een punt P tussen de twee platen, op een afstand x van de negatieve plaat. De arbeid om een lading Q' te verplaatsen van P naar de negatieve plaat wordt dan :

W=Q '⋅∥E∥⋅xDeze arbeid kan ook berekend worden door :

W=Q '⋅V−V bmet V de potentiaal in het punt P.Hieruit volgt dat het potentiaalverschil tussen de negatieve plaat en een punt op afstand x van de negatieve plaat gegeven wordt door :

V −V b=∥E∥⋅xHieronder staat zowel de grootte van het elektrisch veld als van de elektrische potentiaal in een homogeen veld in functie van de positie tussen de platen. De equipotentiaaloppervlakken zijn vlakken evenwijdig met de platen. In een homogeen veld staan de equipotentiaaloppervlakken loodrecht op de veldlijnen.

30

Afbeelding 34: veldlijnen en equipotentiaaloppervlakken van een homogeen veld.


31

Afbeelding 35: Veldsterkte van een homogeen veld.

Afbeelding 36: Potentiaalverloop in homogeen veld.


4.5 Oefeningen 1. Hoe groot is de arbeid die geleverd moet worden om een lading Q te

verplaatsen tussen twee punten op éénzelfde equipotentiaaloppervlak ? Is de gevolgde weg hier van belang ?

2. Een elektron bevindt zich in rust in een elektrisch veld. Als men dat elektron niet vasthoudt op die plaats, zal het zich dan spontaan verplaatsen in de richting van toenemende of afnemende potentiaal ? Wat gebeurt er met een positieve testlading in dezelfde situatie ? Hoe verandert in beide gevallen de potentiële energie van beide ladingen ? Wat is er met die potentiële energie gebeurt ?

3. Hoeveel arbeid moet er geleverd worden op een lading van 5,0.10-8 C te verplaatsen van een punt met potentiaal van 150 V naar een punt met potentiaal 40V ?

4. Men moet een arbeid van 0,60 J verrichten om een lading van 10,0 mC in het elektrisch veld tussen twee punten te verplaatsen. Bereken het potentiaalverschil tussen beide punten.

5. Vier puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een vierkant met een zijde van 0,10 m. Hierbij is (in wijzerzin) Q1 = 2,0 µC, Q2 = 2,0 µC en Q3 = - 4,0 µC. Opdat de potentiaal in het middelpunt van het vierkant nul volt zou bedragen, moet Q4 gelijk zijn aan:a) – 4,0 µC;b) + 4,0 µC;c) – 2,0 µC;d) 0,0 µC;

6. Twee puntladingen, respectievelijk met een waarde van +10,0 nC en +28.8 nC staan 130 mm van elkaar. Men beschouwt een punt P respectievelijk op 50 mm van het eerste, en op 120 mm van de tweede lading. Maak een schets van de opstelling. Teken de resulterende veldsterkte in het beschouwde punt P en

bereken haar grootte. Bereken de potentiaal in het punt P.

32

Gelijkstroomkringen

5 Gelijkstroomkringen

5.1 Weerstand

5.1.1 Spanning Als in een punt a de elektrische potentiaal gegeven wordt door Va, en in een punt b door Vb, dan wordt bij definitie de elektrische spanning over a en b gegeven door het potentiaalverschil tussen a en b. De spanning U over 2 punten op verschillende potentiaal, is het verschil in potentiaal.

U ab=V a−V b

De eenheid van spanning is dezelfde als deze van potentiaal: de Volt (V). Een spanning in een stroomkring wordt onderhouden door een spanningsbron. Het punt op de hoogste potentiaal wordt de positieve pool genoemd (+), het punt op de laagste potentiaal de negatieve pool (-).

Een spanningsbron kan gelijkspanning (DC) leveren of wisselspanning (AC). Gelijkspanning blijft constant in de tijd, terwijl wisselspanning periodiek zal variëren. In dit gedeelte beperken we ons tot gelijkspanning, wisselspan-ningskringen komen volgend jaar nog uitgebreid aan bod. Spanning meten we met een voltmeter. Als we de

spanning willen meten over een bepaald elektrisch element, schakelen we de voltmeter parallel (naast elkaar) aan het elektrisch element.

5.1.2 Stroom Plaatsen we een spanning over een geleider, dan veroorzaakt die spanning een elektrische stroom door de geleider. De elektrische stroomsterkte werd gedefinieerd als de hoeveelheid lading die per tijdseenheid doorheen de geleider wordt getransporteerd.

I= Q t

De eenheid van elektrische stroomsterkte was de ampère (A)Stroom meten we met een ampère-meter. Als we de stroom willen meten door

33

Afbeelding 38: Een voltmeter schakel je parallel over het element waarover je de spanning wilt meten.

Afbeelding 37: Voltmeter

Gelijkstroomkringen

een geleider, schakelen we de ampère-meter in serie (achter elkaar) met de geleider.

5.1.3 Definitie weerstand We definiëren de weerstand R van een element als de verhouding tussen de spanning over het element en de stroom door het element.

R=UI

De weerstand is positiefDe eenheid van weerstand is de Ohm (Ω)

1=1 VA

De weerstand van een component is een grootheid die aangeeft in welke mate de vrije elektronen energie verliezen bij doorgang door die component. In een component met lage weerstand kunnen de vrije elektronen zich gemakkelijk verplaatsen en gaat er in eenzelfde tijd meer lading door de component dan in een component met hoge weerstand, waarin de elektronen zich minder makkelijk kunnen verplaatsen omdat ze meer botsen (en kinetische energie verliezen) met de roosterionen. De weerstand van een element kan afhankelijk zijn van zeer vele factoren :

de spanning over het element; de stroom door het element; de temperatuur; invallend licht; ...

5.1.4 Weerstand van meettoestellen Om de stroom in een elektrische kring te meten, moet een ampèremeter deel uitmaken van de kring (in serie geschakeld zijn) waardoor je de stroom wil meten. Als de ampèremeter zelf een weerstand heeft, beïnvloedt die de stroom in de kring en is de meting niet betrouwbaar. De ideale ampéremeter mag bijgevolg geen weerstand hebben. In de praktijk heeft de weerstand een grootte-orde van ongeveer 0,01 Ω. Om de spanning te meten over een element van de elektrische schakeling plaats

34

Afbeelding 40: Een ampèremeter schakel je in serie met het element waardoor je de stroom wil meten.

Afbeelding 39: Ampèremeter

Gelijkstroomkringen

je een voltmeter parallel over dat element. Zo maak je een zijtak, waar stroom door kan lopen als de weerstand van de voltmeter niet groot genoeg is. Door stroom af te takken, beïnvloed je de spanning over het element, en is de meting niet betrouwbaar. De ideale voltmeter heeft bijgevolg een oneindig grote weerstand. In de praktijk heeft de weerstand een grootte-orde van ongeveer 10 MΩ. Het is van cruciaal belang dat je het meettoestel correct schakelt. Immers,

er loopt geen stroom door de schakeling als je een voltmeter in serie zou plaatsen;

als je een ampéremeter parallel plaatst over een component, maak je een kortsluiting.

5.2 Wet van Ohm In 1827 publiceerde de Duitse fysicus Georg Ohm de resultaten van verschillende metingen waar hij de stroom door een groot aantal typen geleidende materialen bepaalde in functie van de spanning over de uiteinden van de geleider. Hij vond dat, bij constante temperatuur, de stroom door de geleider recht evenredig was met de spanning over de geleider :

U=R⋅IMet andere woorden, de weerstand van dergelijk materiaal (ook wel Ohmse weerstanden of kortweg weerstanden genoemd) is constant bij gegeven temperatuur. Voorbeelden van Ohmse weerstanden zijn :

koper; aluminium; ijzer; ...

Het symbool voor een Ohmse weerstand in een elektronisch schema is hieronder weergegeven.

35

Afbeelding 43: Gebruikte symbolen voor Ohmse weerstanden. In deze cursus zullen wij consequent gebruik maken van het bovenste symbool.

Afbeelding 42: Een aantal verschillende types Ohmse weerstanden.

Afbeelding 41: Verschillende weerstanden.

Gelijkstroomkringen

5.3 Schakelen van weerstanden

5.3.1 Serieschakeling Schakel je twee weerstanden achter elkaar, dan ontstaat er een serieschakeling.

a Stroom en spanning over een serieschakeling Beschouw twee weerstanden R1 en R2 in serie geschakeld. Over beide weerstanden plaatsen we een bron met spanning Ub. Als je met een ampèremeter de stroom I meet voor R1, tussen R1 en R2, en na R2, zie je dat de stroom overal gelijk is. Meten we met een voltmeter de spanning UR1 over R1 en de spanning UR2 over R2, dan zien we dat de som van beiden gelijk is aan de bronspanning.

U R1U R2=U b

Dat geldt ook als meer dan twee weerstanden in serie geschakeld zijn. SamengevatIn een serieschakeling is de de stroomsterkte I in elk punt hetzelfde.

I 1=I 2=I 3=...=IIn een serieschakeling wordt de spanning verdeeld over de weerstanden :

U b=U R1U R2U R3...b Substitutieweerstand

Twee weerstanden R1 en R2 zijn in serie aangesloten over een bron met spanning Ub. Beide weerstanden kan je vervangen door één weerstand, die aangesloten op dezelfde bron, dezelfde stroom I levert. We noemen die weerstand de substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs.We zoeken de waarde voor een serieschakeling van weerstanden. In de schakeling geldt :

36

Afbeelding 44: Twee weerstanden in serie geschakeld.

Afbeelding 45: Meten van stromen en spanningen in serieschakeling.

Gelijkstroomkringen

U b=U R1U R2

U b=R1⋅IR2⋅IU b=R1R2⋅I

U b=R s⋅I

Dit geldt ook als meer dan 2 weerstanden in serie zijn geschakeld. De substitutieweerstand Rs van weerstanden R1, R2, R3, ... in serie is gelijk aan de som van de weerstanden :

R s=R1R2R3...c Spanningsdeler

Als je over een bron beschikt van bvb. 12 V, waarmee je een lampje wil doen branden waarover maximaal 9 V mag geschakeld worden, dan kan je dit oplossen met een spanningsdeler. Een spanningsdeler is niks anders dan 2 in serie geschakelde weerstanden. De spanning van de bron zal zich verdelen over beide weerstanden, en van die lagere spanningen kan je gebruik maken. Dit is een techniek die courant wordt toegepast in elektronische schakelingen. Beschouw twee weerstanden R1 en R2 in serie geschakeld over een spanningsbron Ub.Uit de wet van Ohm volgt:

U R1=R1⋅IU R2=R2⋅I

waaruit :U R1

U R2=

R1

R2

Over de grootste weerstand ontstaat de grootste spanning. Volgens de wetten van serieschakeling geldt :

U b=U R1U R2

U b=R1 IR2 I

I= 1R1R2

⋅U b

Waaruit

U R1=R1⋅I=R1

R1R2⋅Ub

U R2=R2⋅I=R2

R1R2⋅U b

De spanning over elke weerstand ligt tussen 0 V en de waarde van Ub. Ze is afhankelijk van de waarde van R1 en R2. Deze techniek wordt ook toegepast in de zgn. potentiometer-schakeling. In deze schakeling wordt een regelbare weerstand over een vaste spanningsbron geschakeld om zo een regelbare spanningsbron te verkrijgen. Probeer zelf te

37

Afbeelding 46: Een regelbare weerstand als regelbare spanningsbron (potentiometerschakeling)

Gelijkstroomkringen

verklaren hoe deze schakeling werkt...Welke twee weerstanden zou je kunnen gebruiken om het in het begin van deze paragraaf aangehaalde probleem op te lossen ?

5.3.2 Parallelschakeling a Stroom en spanning in een parallelschakeling

Schakel je twee weerstanden naast elkaar, dan ontstaat er een parallelschakeling. Een knooppunt is een punt waar meerdere stromen samenkomen. Op bovenstaande figuur zijn er twee knooppunten, aangeduid met 1 en 2. Een tak is een deel van de schakeling tussen twee opeenvolgende knooppunten. De takken die de bron verbinden met de schakeling worden hoofdtak genoemd. Als we in bovenstaande schakeling de stroom I meten die vloeit door de hoofdtak (waar plaats je de ampèremeter ?), en vervolgens de stroom I1 die vloeit door R1 en de stroom I2 die vloeit door R2 (waar plaats je de ampèremeters ? ), dan stel je vast dat :

I=I 1 I 2

Als je de spanning UR1 en UR2 meet over resp. R1

en R2 (waar plaats je de voltmeters ?) , en vervolgens de spanning U tussen knooppunt 1 en 2, dan stel je vast dat

U=U R1=U R2

In bovenstaande schakeling is U = Ub. Samengevat :In een parallelschakeling is de spanning U over elke tak gelijk.

U R1=U R2=...=U=U b

In een parallelschakeling is de stroom verdeeld over de weerstanden. I=I 1 I 2...

b Substitutieweerstand Twee weerstanden R1 en R2 zijn parallel aangesloten over een bron met spanning Ub, zoals hieronder getekend. Beide weerstanden kan je ook nu weer vervangen door één weerstand, die aangesloten op dezelfde bron, dezelfde stroom I levert, de substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs genoemd. Uit de wet van Ohm volgt :

I 1=U b

R1

I 2=U b

R2

38

Afbeelding 47: Twee weerstanden parallel geschakeld.

Gelijkstroomkringen

Hieruit :I=I 1I 2

I=U b

R1

U b

R2

I=1R1

1R2

⋅U b

I= 1Rs⋅U b

Dit geldt ook als er meerdere weerstanden in serie zijn geschakeld. De substitutieweerstand Rs van een reeks parallel

geschakelde weerstanden R1, R2, ... , Rn bereken je met de formule :1Rs= 1

R1 1

R2... 1

Rn

De substitutieweerstand is altijd kleiner dan de kleinste weerstand. c Stroomdeler

5.3.3 Gemengde schakelingen In de praktijk worden we meestal geconfronteerd met een combinatie van serie- en parallelschakelingen. Het komt er dan op aan om :

de substitutieweerstand Rs te bepalen van de hele schakeling; de spanning over elke weerstand te berekenen; de stroom door elke tak te berekenen.

Dit kan je doen met onderstaande methode :

Zoek de substitutieweerstand van de gemengde schakeling. Duid alle knooppunten aan op de figuur van de schakeling. Vervang in elke tak weerstanden die in serie staan door hun

substitutie-weerstand. Herteken de vereenvoudigde schakeling. Vervang parallelle weerstanden door hun substitutie-weerstand.

Herteken de vereenvoudigde schakeling. Herhaal deze stappen tot je de hele schakeling hebt herleid tot een

schakeling met één enkele substitutie-weerstand. Bereken de stroom door de hoofdtak door de wet van Ohm toe te passen.Bereken de stroom in elke tak en de spanning over elke weerstand door de wet van Ohm toe te passen voor de verschillende takken in de gepaste schakeling.

Werk van de vereenvoudigde schakeling in stappen terug naar de oorspronkelijke schakeling.

Bepaal met de wet van Ohm de spanningen over weerstanden in serie in de vereenvoudigde schakelingen.

Bepaal dan de stroom door de verschillende takken.

39

Afbeelding 48: Weerstanden in parallel met stromen door alle takken.

Gelijkstroomkringen

Herhaal dit tot je de stroom hebt door alle takken en de spanning over alle weerstanden.

a Uitgewerkt voorbeeld Beschouw 4 weerstanden geschakeld zoals in nevenstaand schema.

Bereken de substitutie-weerstand van de hele schakeling.

Bereken de stroom door elke weerstand.

Bereken de spanning over elke weerstand.

Er zijn twee knooppunten, aangeduid met A en B. In de bovenste tak tussen A en B staan twee weerstanden in serie geschakeld. We berekenen de

substitutieweerstand.RS1=R1R2=400600=1000

We passen de schakeling een eerste maal aan, en vervangen de serieschakeling van R1 en R2 door de substitutie-weerstand :

Tussen A en B staat nu een parallelschakeling van twee weerstanden. We berekenen de substitutie-weerstand :

1Rs2

= 1Rs1

1R3

= 11000

1250

= 1200

We passen weer de figuur aan, en vervangen de parallelschakeling van RS1 en R3

door de substitutie-weerstand.

Rs2 en R4 zijn in serie geschakeld:

40

Afbeelding 49: Opgegeven schakeling

Afbeelding 50: Serieschakeling tussen A en B is vervangen.

Gelijkstroomkringen

R s=R s2R4=200600=800We passen de figuur weer aan :

Met behulp van de wet van Ohm berekenen we de stroom door de hoofdtak :

I=U b

R s= 25V

800=31,25 mA

Nu werken we in stappen terug tot de oorspronkelijke schakeling: U R4=R4⋅I=600⋅31,25 mA=18,75V

R4 en RS2 staan in serie over de bron, dus er geldt :U R4U Rs2=U b

U Rs2=U b−U R4=6,25 VDit hadden we analoog kunnen vinden door :

U Rs2=R s2⋅I=200⋅31,25 mA=6,25VR3 en Rs1 staan parallel, dus geldt er:

U Rs2=U Rs1=U R3=6,25 VHiermee kunnen we de stroom door beide takken tussen A en B berekenen. Zij I1 de stroom door de bovenste en I2 de stroom door de onderste tak :

41

Afbeelding 51: Vervanging van parallelschakeling door substitutieweerstand

Afbeelding 52: Vervanging van serieschakeling door substitutie-weerstand

Gelijkstroomkringen

I 1=U Rs1

Rs1= 6,25 V

1000=6,25 mA

I 2=U R3

R3=6,25V

250=25 mA

Reken na dat I=I 1 I 2 !Tenslotte berekenen we de spanning over R1 en R2 :

U R1=R1⋅I 1=400⋅6,25mA=2,5VU R2=R2⋅I 1=600⋅6,25 mA=3,75V

Antwoord :De totale substitutieweerstand bedraagt 800 Ω.De spanning over R1 bedraagt 2,5 V, de stroom door R1 bedraagt 6,25 mADe spanning over R2 bedraagt 3,75 V, de stroom door R2 bedraagt 6,25 mADe spanning over R3 bedraagt 6,25 V, de stroom door R3 bedraagt 25 mADe spanning over R4 bedraagt 18,75 V, de stroom door R4 bedraagt 31,25 mA

5.4 Factoren die de weerstand beïnvloeden We bekijken nu hoe volgende factoren de grootte van de weerstand beïnvloeden voor een geleider :

Lengte l van de draad De doorsnede (dikte) van de draad Het materiaal waaruit de draad vervaardigd is. De temperatuur.

5.4.1 Invloed van de lengte De weerstand van een geleider is recht evenredig met de lengte. We kunnen dit aantonen als volgt :Beschouw een weerstand R met lengte l. Plaatsen we daarachter een identieke weerstand R, eveneens met lengte l. Volgens de wetten van serie-schakeling krijgen we dan een weerstand 2R, met lengte 2l. Plaatsen we n identieke weerstanden achter elkaar, dan krijgen we via analoge redenering een weerstand nR, met lengte nl. Hieruit volgt :

R~l

5.4.2 Invloed van de doorsnede De weerstand van de geleider is omgekeerd evenredig met de doorsnede. We kunnen dit aantonen als volgt :Beschouw een weerstand R met doorsnede A. Plaatsen we daarnaast een identieke weerstand R, eveneens met doorsnede A. Volgens de wetten van

parallelschakeling krijgen we dan een weerstand 1

2R , met doorsnede 2A.

42

Gelijkstroomkringen

Plaatsen we n identieke weerstanden na elkaar, dan verkrijgen we via analoge

redenering een weerstand 1

nR , met doorsnede nA.

Hieruit volgt :

R~ 1A

5.4.3 Invloed van het materiaal Twee verschillende geleiders met dezelfde lengte en gelijke doorsnede, maar gemaakt van verschillende materialen, kunnen toch een verschillende weerstand hebben. De weerstand is eveneens afhankelijk van het materiaal.

5.4.4 Wet van Pouillet

De drie bovenvermelde eigenschappen worden samengevat in de wet van Pouillet. De weerstand R van een geleidende draad met lengte l en doorsnede A is gelijk aan

R=⋅ lA

Daarin is ρ de specifieke weerstand of resistiviteit van het materiaal. In welke eenheid wordt ρ uitgedrukt ? De resistiviteit is kenmerkend voor een stof.

In onderstaande tabel zie je dat metalen een lage resistiviteit hebben en dus goede geleiders zijn, voor isolatoren is de resistiviteit dan weer heel groot. Elektrische conductiviteit σ is het reciproke van resistiviteit.

= 1

Specifieke weerstand van enkele materialen bij kamertemperatuur in Ω m.

aluminium 2,65 . 10-8 bakeliet 105

constantaan 47 . 10-8 diamant 1013

goud 2,2 . 10-8 eboniet 108

ijzer 9,7 . 10-8 glasvezel 1015

koper 1,67 . 10-8 kwik 108

Nichroom (Ni, Fe, Cr)

100 . 10-8 kwarts 1020

platina 10,6 . 10-8 PVC 1014

wolfraam 5,6 . 10-8 porselein 1012

zilver 1,59 . 10-8 teflon 1020

43

Gelijkstroomkringen

5.4.5 Invloed van de temperatuur a Geleiders

Als de temperatuur van een geleider stijgt, neemt zijn weerstand toe. De verklaring hiervoor ligt in het structuurmodel van een metaal. Wanneer de temperatuur van de geleider toeneemt, zullen de roosterionen heftiger gaan trillen, en een groter obstakel gaan vormen voor de vrije elektronen. De vrije elektronen zullen dus meer botsen met de roosterionen, en minder vlot door de geleider kunnen passeren. De mate waarin de resistiviteit toeneemt met de temperatuur, is materiaalsafhankelijk (zie verder bij temperatuurscoëfficiënt).

b Isolatoren Neemt de temperatuur van een isolator toe, dan zal in eerste instantie de weerstand ongeveer constant blijven. Overschrijden we echter een zekere kritische temperatuur, dan zal de weerstand van de isolator sterk beginnen afnemen. De verklaring ligt ook hier in het structuurmodel van een isolator. In een isolator zitten alle atomen sterk covalent gebonden aan elkaar. Voeren we energie toe in de vorm van warmte, dan zullen de atomen meer en meer beginnen trillen, tot in die mate dat er covalente bindingen gebroken worden. De elektronen komen vrij uit de covalente binding, en worden vrije ladingsdragers. Hoe meer covalente bindingen er gebroken worden, hoe meer vrije ladingsdragers er vrij komen, en hoe beter het materiaal zal geleiden.

c Temperatuurscoëfficiënt Veronderstel dat een component bij temperatuur T0 een weerstand heeft van R0. Als we de temperatuur verhogen met ∆T, dan zal de weerstand wijzigen met een waarde ∆R. We definiëren de temperatuurscoëfficient α als de verhouding tussen de relatieve toename in weerstand en de wijziging in temperatuur, of

RR0

=⋅T

Als de weerstand toeneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een geleider), is α positief en spreken we van materiaal met een PTC (Positieve Temperatuurs-Coëfficiënt). Als de weerstand afneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een isolator),

44

Afbeelding 53: Resistiviteit in functie van temperatuur voor een geleider.

Afbeelding 54: Resistiviteit in functie van temperatuur voor een isolator.

Gelijkstroomkringen

is α negatief en spreken we van materiaal met een NTC (Negatieve Temperatuurs-Coëfficiënt).

5.4.6 Supergeleiding De meeste metalen hebben bij het absolute nulpunt nog een kleine weerstand. In 1911 ontdekte Kamerlingh Onnes dat sommige metalen bij een zekere kritische temperatuur (Tk) hun weerstand volledig verliezen. In een dergelijk materiaal, gekoeld onder de kritische temperatuur, kan een elektrische stroom in theorie oneindig lang blijven lopen zonder verliezen.

In het geval van supergeleiding voldoet de voorstelling niet meer van een geleidelijk afnemende weerstand naarmate de trilling van het ionenrooster vermindert. Er is een meer verfijnd model nodig. In dit model, ontwikkeld door Cooper, Bardeen en Schrieffer, vormen de elektronen bij temperaturen onder Tk

elektronenparen in het rooster.

De elektronen van deze zgn. “cooperparen” zijn zwak aan elkaar gebonden, en vormen een kluwen vrije elektronen. Dit kluwen zal zich vormen bij Tk, en zeer vlug verdwijnen eens de temperatuur boven Tk komt. Dit kluwen gaat zich op een andere, vlottere manier door het kristalrooster verplaatsen, zonder beïnvloed te worden door de roosterpunten, dus zonder energieverlies. Als door een elektrische potentiaal de verzameling cooperparen eenmaal in beweging is gebracht, dan loopt de stroom onbeperkt door. Het praktisch gebruik van supergeleiding werd tot hiertoe sterk afgeremd door de noodzaak van het instandhouden van extreem lage temperaturen. De laatste decennia werden materialen ontwikkeld die reeds supergeleidend worden in vloeibaar stikstof, bij – 178 °C. Vermits vloeibaar stikstof aanmerkelijk goedkoper is dan het dure helium, opende dit perspectieven tot praktische toepassingen. In onder andere NMR-scanners, waar zeer sterke magnetische velden nodig zijn, worden supergeleidende spoelen gebruikt om deze op te wekken.

45

Afbeelding 56: Heike Kamerlingh Onnes, de ontdekker van supergeleidingAfbeelding 55: Weerstand in functie van temperatuur van

supergeleidend materiaal.

Gelijkstroomkringen

Voor op grote schaal commercieel bruikbare toepassingen zou men materiaal moeten ontwikkelen dat supergeleidend wordt op kamertemperatuur, maar dat is (voorlopig nog ?) toekomstmuziek. Hieronder vind je een tabel met een aantal supergeleidende materialen met bijhorende Tk.

Materiaal Tk (K)

Gallium 1.1

Aluminium 1.2

Indium 3.4

Tin 3.7

Kwik 4.2

Lood 7.2

Nobium 9.3

Nobium-tin 17.9

La-Ba-Cu-oxide 30

Y-Ba-Cu-oxide 92

Tl-Ba-Cu-oxide 125

5.5 Inwendige weerstand van een spanningsbron Een ideale spanningsbron heeft zelf geen weerstand. In de praktijk heeft elke spanningsbron een inwendige weerstand. De invloed van deze inwendige weerstand is in de praktijk dikwijls niet verwaarloosbaar, en moet in rekening gebracht worden. Nemen we een batterij met bronspanning Ub en inwendige weerstand Ri, waarover we een weerstand R aansluiten. We definiëren de klemspanning als de spanning die we meten over de klemmen van de batterij.

In bovenstaande schakeling geldt :U b=U RiU R

U b=Ri⋅IU R

Hieruit volgt dat de spanning over de weerstand gelijk is aan :

46

Afbeelding 58: Spanningsbron met inwendige weerstand.

Afbeelding 57: Een permanente magneet zweeft boven een supergeleidende, stroomvoerende geleider.

Gelijkstroomkringen

U R=U b−Ri⋅IDe spanning over R is dus niet gelijk aan de bronspanning, maar kleiner. Ze is gelijk aan de klemspanning Uk die gemeten wordt over de klemmen van de batterij, dus :

U k=U b−Ri⋅IHoe groter I, hoe kleiner de klemspanning. Als de kring open is, is I = 0 A. De bron is dan onbelast, en de klemspanning is gelijk aan de bronspanning. De spanning van een onbelaste bron noemen we de elektro-motorische spanning (ems). Samengevat :

De elektromotorische spanning (ems) van een batterij is de spanning Ub van de batterij in een onbelaste kring. De klemspanning Uk van een batterij met inwendige weerstand Ri en ems Ub is gelijk aan :

U k=U b−Ri⋅I

5.6 De wetten van Kirchhoff We hebben de wetten van Kirchhoff al experimenteel vastgesteld bij het schakelen van weerstanden, zonder ze echter expliciet te vermelden. We vermelden ze hieronder voor de volledigheid.

5.6.1 Stroomwet Komen meerdere geleiders in een punt a samen, dan wordt in dat punt geen lading opgehoopt. Alle lading die per tijdseenheid worden aangevoerd, moet meteen ook afgevoerd worden. Deze wet is een gevolg van behoud van lading : je kan geen lading vernietigen of bij creëeren. In elk knooppunt is de som van de aankomende stromen gelijk aan de som van de wegvloeiende stromen. Bvb., voor het geval gegeven in de nevenstaande figuur :

I 1I 2I 3= I 4 I 5

5.6.2 Spanningswet Doorloop je een gesloten stroomlus éénmaal volledig, dan kom je, vertrekkende van een punt a met potentiaal Va, na het doorlopen van een aantal potentiaalverschillen terug in a, zodat het uiteindelijke potentiaalverschil Va – Va

= 0 V.Bij een volledige omloop in één gesloten stroomlus is de som van alle potentiaalverschillen nul. Deze wet is een gevolg van behoud van energie.

47

Afbeelding 59: De som van inkomende stromen is de som van uitgaande stromen.

Gelijkstroomkringen

Praktische werkwijze : Kies een omloopzin in de stroomlus. Duid bij elk schakelelement (weerstand, spanningsbron, ...) het punt met

de hoogste potentiaal (+) en het punt met de laagste potentiaal (-) aan. Wordt een schakelelement doorlopen

van + naar -, dan daalt de potentiaal (∆V = -U).

Wordt een schakelelement doorlopen van – naar +, dan stijgt de potentiaal (∆V = +U).

Bijvoorbeeld in bovenstaande stroomlus is, vertrekkend bij a in aangeduide omloopzin :V bcV deV fgV ha=0

−U R1−U R2−U R3U b=0−IR1−IR2−IR3U b=0

Het potentiaalverloop stellen we voor in onderstaande grafiek :

5.6.3 Toepassingen a Circuits met één bron

We kunnen de regels van Kirchhoff perfect toepassen op gelijkaardige circuits als deze die we hierboven behandeld hebben. Hernemen we het bovenvermelde voorbeeld, en proberen met de wetten van Kirchhoff de stromen door de

48

Afbeelding 60: Stroomkring met gekozen doorloopzin en aanduiding van punten op hoge en lage potentiaal.

Afbeelding 61: Potentiaalverloop in functie van doorlopen punten in stroomkring

Gelijkstroomkringen

verschillende takken te bepalen :

Uit de stroomwet volgt :I=I 1 I 2 (1)

Passen we spanningswet toe op lus abef :U R3U R4−U b=0 VR3 I 1R4 I−U b=0V (2)

Op lus acdf :U R1U R2U R4−U b=0 V

R1 I 2R2 I 2R4 I−U b=0 V (3)

We hebben nu drie vergelijkingen, en drie onbekenden. Uit (2) en (3) volgt :

R3 I 1=R1R2 I 2

I 1=R1R2

R3I 2

(4)

Dit invullen in (1) geeft :

I=R1R2R3

R3I 2 (5)

(4) en (5) in (2) geeft :

R1R2 I 2R4

R3R1R2R3 I 2=U b

I 2=U b R3

R3R1R2R4R1R2R3

I 2=25V⋅250

250⋅1000600⋅1250

I 2=25 V⋅25010000002 ¿

I 2=6,25 mAHieruit volgt :

49

Gelijkstroomkringen

I 1=400600

2506,25 mA

I 1=25mAEn bijgevolg :

I=I 1 I 2=31,25 mAb Circuits met meerdere bronnen

De wetten van Kirchhof kunnen het rekenwerk vereenvoudigen bij analyse van complexe netwerken met één bron, maar hun grote kracht ligt in de analyse van netwerken waar méér dan één bron is in opgenomen. Beschouw bv. Het volgende netwerk, bestaande uit twee bronnen en twee weerstanden.

We gaan nu proberen de stroom te bepalen in het circuit. We doorlopen het circuit in wijzerzin. Gaan we van a naar b, dan stijgt de potentiaal met 6 V. Van b naar c is er een spanningsval van −IR1 . Van c naar d is daalt de potentiaal met 12 V, en van d naar a is er een spanningsval van −IR2 .de spanningswet geeft ons :

U b1−IR1−U b2− IR2=0Vwaaruit :

I=U b1−U b2

R1R2= 6 V−12 V

810=−1

3A

Het negatieve teken voor I geeft aan dat de stroomzin tegengesteld aan hetgeen we verwacht hadden, dus tegenwijzerzin...

5.7 Elektrische energie en vermogen Een elektrisch toestel zet elektrische energie om in een andere vorm van energie, zoals licht (lampen, ...), warmte (verwarming, gloeilamp, ...), mechanische energie (wasmachine, boormachine, ...). We schakelen een verbruikerstoestel over een spanningsbron die een spanning U levert. De elektrische energie ∆E die in het toestel wordt omgezet naar een andere vorm is gelijk aan het verlies aan potentiële energie van de lading Q die erdoor stroomt.

50

Gelijkstroomkringen

E=E pA−E pB

E=Q⋅V A−V BE=Q⋅U

Het is eenvoudiger stroomsterkte te meten dan lading. Daarom herschrijven we :

E=U⋅I⋅ tHieruit volgt dat het elektrisch vermogen van het toestel, zijnde de elektrische energie die per seconde wordt omgezet, gegeven wordt door:

P=E t

=U⋅I

De teller in huis meet hoeveel elektrische energie er verbruikt is door alle toestellen in huis gedurende een zekere periode. De teller is dus een energiemeter. De verbruikte energie wordt gemeten in kWh (kilowattuur). Eén kilowattuur is de energie die omgezet is door een toestel met een vermogen van 1 kW als het één uur gewerkt heeft. 1 kWh = 103 W x 3600 s = 3,6.106 J. De kWh is een praktische eenheid wanneer het gaat over grote hoeveelheden elektrische energie. De kWh is geen SI -eenheid.

In een ohmse weerstand wordt de elektrische energie volledig omgezet in warmte. Die warmte-ontwikkeling noemt met het joule-effect. Het joule-effect wordt veroorzaakt door de energie-overdracht van de elektronen op de roosterionen waartegen ze botsen. Voor een ohmse weerstand R geldt er :

P=U⋅I=R⋅I 2

51

Afbeelding 62: kWh-meter in huis.

Gelijkstroomkringen

5.8 Oefeningen 1. Men schakelt twee weerstanden, respectievelijk 60,0 Ω en 90,0 Ω parallel

en plaatst daarmee in serie een weerstand van 24,0 Ω. Het geheel staat op een spanning van 24,0 V geschakeld. Teken het schakelschema, bereken de stroomsterkte in elke tak en bereken de spanning over elke weerstand.

2. Twee weerstanden, respectievelijk 20,0 Ω en 80,0 Ω staan parallel. Een derde weerstand wordt hiermee in serie geschakeld en aangesloten op een spanning van 220 V. Bereken deze weerstand opdat de stroomsterkte in de hoofdketen 5,5 A zou bedragen. Bereken tevens de spanning over elke weerstand.

3. Een bepaalde stroom splitst zich in punt a in twee takken: de weerstand van de eerste tak is 5,0 Ω, deze in de tweede tak is 10,0 Ω. Bereken de stroomsterkte in de eerste tak en in de hoofdtak (voor de splitsing) als je weet dat de stroomsterkte in de tweede tak 3,0 A is.

4. Hoe kan je met drie identieke weerstanden van 30 Ω een schakeling maken waarvan de totale weerstand slechts 20 Ω bedraagt ?

5. Een bron met e.m.s. van 110 V en een inwendige weerstand van 5,2 Ω levert door een uitwendige weerstand een stroom van 0,43 A. Bepaal de klemspanning en de uitwendige weerstand.

6. Je beschikt over een weerstand van 2 Ω en twee weerstanden van 4 Ω. Hoe moet je ze alledrie schakelen opdat :• De resulterende weerstand minder dan 2 Ω zou bedragen ? • De resulterende weerstand meer dan 4 Ω maar minder dan 8 Ω zou

bedragen ? • Teken beide schakelingen.

7. Bereken de substitutieweerstand voor elk van onderstaande schakelingen :

8. Bereken de stroomsterkte in elke vertakking, en de spanning over elke weerstand bij volgende schakelingen:

52

Gelijkstroomkringen

9. Zelfde opgave als hierboven, maar nu met onderstaande schakelingen :

10.Op een broodrooster staat aangeduid : 220 V/1400 W.a) Bepaal de stroom door het toestel.b) Hoe groot is de weerstand ervan ?

53

Condensatoren

6 Condensatoren

6.1 Constructie en werking van een condensator

6.1.1 Constructie Een condensator bestaat uit twee geleidende platen, die gescheiden worden door een diëlectricum (isolerend materiaal). Als isolerend materiaal worden vooral keramische materialen of lucht gebruikt. Voor condensatoren met hoge capaciteit worden ook wel elektrolytische materialen gebruikt, zoals dunne laagjes aluminiumoxide. Condensatoren worden veelvuldig gebruikt in elektrische toestellen om kortstondig energie op te slaan, om plotse spanningsvallen te compenseren, storingen af te vlakken, ...

6.1.2 Opladen en ontladen van een condensator a Principe

Als we een spanning U plaatsen over de condensator , zullen elektronen onder invloed van het potentiaalverschil migreren van de éne plaat naar de andere. Er zal een kortstondige stroom vloeien door de kring (a). Door de ladingsmigratie komt er op de ene plaat een lading +Q, op de andere een lading -Q. Hierdoor ontstaat over de platen van de condensator een spanning UC. De ladingsmigratie gaat door totdat de spanning over de condensator gelijk is aan de bronspanning. Als Uc = U, dan stopt de stroom, en de condensator is opgeladen.

Koppelen we condensator los van de bron, dan blijft de lading op de platen, en blijft de spanning over de platen bestaan (b).

54

Afbeelding 64: Symbool van een condensator in een elektrische schakeling. In de cursus zullen we consequent het onderste symbool gebruiken.

Afbeelding 63: Elektrolytische condensatoren.

Condensatoren

De condensator kan nu gebruikt worden als spanningsbron. Verbinden we beide platen nu door middel van een geleider, dan zal de condensator ontladen (b). Er zal een kortstondige stroom vloeien, de lading op beide platen zal verdwijnen, evenals de spanning over beide platen. Als alle lading gerecombineerd is, en het spanningsverschil verdwenen, dan is de

condensator ontladen. b Oplaad- en ontlaadcurves

We kunnen het opladen en ontladen van de condensator bestuderen met behulp van onderstaande schakeling. Met de schakelaar in de bovenste stand zal de condensator opladen. Eens de condensator opgeladen, switchen we de schakelaar naar onderen, waardoor we condensator loskoppelen van de bron, en de condensator zich zal ontladen. Over de condensator plaatsen we een spanningsensor, en in serie met de condensator plaatsen we een stroomsensor. Bekijken we de spanning en stroom in functie van de tijd tijdens het opladen en het ontladen, dan krijgen we een verloop zoals afgebeeld in afb. 67. In de grafiek is ook de geaccumuleerde lading te zien in functie van de tijd. Wat is de relatie tussen de stroom door de kring en de lading op de condensator ? Hoe wordt uit de grafiek van de stroom de grafiek van de lading afgeleid ? Vergelijk de curves van geaccumuleerde lading en spanning. Wat stel je vast ?

55

Afbeelding 65: Opladen en ontladen van een condensator.

Afbeelding 66: Experimentele opstelling om het open ontladen van een condensator te bestuderen.

Condensatoren

6.1.3 Capaciteit van een condensator We bekijken nu de geaccumuleerde lading in functie van de aangelegde spanning. We verhogen stelselmatig de spanning over de condensator, en noteren in onderstaande tabel de lading :

U (V) Q (C)

Verwerk bovenstaande metingen met foutentheorie in EXCEL, en maak een grafiek van Q in functie van U. Voeg deze grafiek toe aan je cursus. Wat stel je vast ?

Bereken nu voor elke meting de verhouding QU . Wat is je conclusie ?

We definiëren de capaciteit van een condensator als volgt :De capaciteit van een condensator is de constante verhouding van de opgenomen lading Q tot het potentiaalverschil U tussen de platen.

C= QU

De eenheid van capaciteit is de farad (F).Uit de definitie volgt : F = CV-1

56

Afbeelding 67: Grafieken van de stroom, geaccumuleerde lading en spanning bij op-en ontladen van condensator.

Condensatoren

6.1.4 De invloed van de weerstand op het ontladen We vergelijken het open ontladen van éénzelfde condensator bij verschillende waarden van R. Wat stel je vast ? Heeft de weerstand invloed op de totaal geaccumuleerde lading ? Wat is het enige verschil tussen beide gevallen ? We definiëren de tijdsconstante van een RC-keten als het product van de weerstand en de capaciteit. =RC

Verifiëer dat de eenheid van de tijdsconstante de seconde is !Men kan aantonen dat de tijd nodig om op te laden tot 67% van de maximale lading gelijk is aan de tijdsconstante.

6.2 Schakelen van condensatoren

6.2.1 Serieschakeling We kunnen theoretisch afleiden dat de totale capaciteit van twee in serie geschakelde condensatoren berekend kan worden door

1C= 1

C1 1

C 2

6.2.2 Parallelschakeling We kunnen theoretisch afleiden dat de totale capaciteit van twee parallel

geschakelde condensatoren berekend kan worden door

C=C1C 2

6.2.3 Experimentele bevestiging We nemen twee condensatoren, en bepalen op analoge wijze als hierboven de capaciteit. Eerst bepalen we de capaciteit van de individuele condensatoren, dan van beide condensatoren in serie, en tenslotte parallel. We bepalen de capaciteit van de eerste condensator :

U Q C

En van de tweede:

57

Afbeelding 68: Twee in serie geschakelde condensatoren.

Afbeelding 69: Twee parallel geschakelde condensatoren.

Condensatoren

U Q C

Nu schakelen we beide condensatoren in serie. We bepalen nu de capaciteit van de schakeling :

U Q C

Komt dit overeen met de verwachte waarde ? ________________________________________________________Vervolgens schakelen we beide condensator parallel. We bepalen nu de capaciteit van de schakeling :

U Q C

Komt dit overeen met de verwachte waarde ? ________________________________________________________

6.3 Oefeningen 1. Bepaal de totale capaciteit van onderstaande schakelingen :

2. Bepaal de spanning over en de lading op alle capaciteiten in onderstaande schakeling :

58

Magnetische verschijnselen

7 Magnetische verschijnselen

7.1 Eigenschappen van permanente magneten We brengen een magneet in de buurt van een ijzeren nagel. Wat merk je ? Wat gebeurt er als we een magneet in de buurt van een stukje aluminium of koper brengen ? Wat nemen we waar als we een magneet in de buurt van een andere magneet brengen ? Wat gebeurt er als we de magneet omdraaien ? Wat gebeurt er als we een ijzeren nagel, in contact met een magneet, in de buurt van een andere nagel brengen ?

Uit een aantal waarnemingen kunnen we volgende conclusies trekken :Magneten oefenen een kracht uit op bepaalde metalen. Magneten trekken duidelijk ijzer en nikkel aan, maar oefenen geen kracht uit op aluminium of koper. We kunnen materie ruwweg onderverdelen in magnetische stoffen (gevoelig voor de magnetische krachtwerking) en niet-magnetische stoffen (ongevoelig voor de magnetische krachtwerking). Deze onderverdeling verfijnen we verderop... Magneten oefenen een kracht uit op elkaar. Soms is deze kracht aantrekkend,

soms afstotend. Als we één magneet omdraaien wijzigt ook de krachtwerking. Dit doet ons besluiten dat er twee soorten “magnetische lading” zijn, en dat beide uiteinden van een magneet een verschillende “lading” hebben. We noemen deze de polen van de magneet. Als we een magneet vrij ophangen, zal na een tijd één uiteinde steeds naar het geografische noorden wijzen (kompaswerking). Bij conventie noemen we dit uiteinde de noordpool (N) van de magneet, en het andere uiteinde noemen we de zuidpool (Z) van de magneet. We merken dat :

Gelijke polen elkaar afstoten. Verschillende polen elkaar

aantrekken. De kracht van de magneet altijd het

sterkst is aan de polen. Polen komen altijd in paren. Breek

een magneet in twee, en je hebt twee stukken met elk een noorden een zuidpool.

Magnetisch materiaal in contact met een magneet krijgt zelf magnetische

59

Afbeelding 70: Permanente hoefijzermagneet

Afbeelding 71: Krachtwerking tussen staafmagneten.


eigenschappen. We noemen dit verschijnsel magnetische influentie.

7.2 Het magnetisch veld

7.2.1 Definitie

Het magnetisch veld is de ruimte rond een magneet waar de magnetische krachtwerking zich laat voelen.

Hoe groter de magnetische krachtwerking, hoe sterker het veld zal zijn. Het veld is dus duidelijk het sterkst in de nabijheid van de polen.

7.2.2 Magnetische veldlijnen Plaatsen we rondom een magneet allemaal kompasnaaldjes of strooien we rond een magneet stukjes ijzervijlsel, dan zien we dat deze zich richten volgens denkbeeldige lijnen, de veldlijnen.

Een magnetische veldlijn is een lijn waarvan de raaklijn in elk punt de richting geeft waarin een kompasnaaldje wijst dat in dat punt gezet wordt. De zin van de magnetische veldlijn is de zin waarnaar de noordpool van de kompasnaald wijst. Magnetische veldlijnen lopen buiten de magneet bijgevolg altijd van noord naar zuid. Hieronder staan afbeeldingen van de veldlijnen tussen gelijknamige en verschillende polen. Hoe groter de dichtheid van de magnetische veldlijnen, hoe sterker het magnetisch veld. De verzameling van de magnetische veldlijnen noemen we het magnetisch spectrum. Het magnetisch veld binnen in een staafmagneet is homogeen. De veldlijnen zijn evenwijdig en de dichtheid is overal hetzelfde. Het veld is bijgevolg overal

60

Afbeelding 72: Breek je een magneet in twee, krijg je twee noordpolen en twee zuidpolen.

Afbeelding 73: Ijzervijlsel en magneetnaaldjes in een magnetisch veld richten zich volgens de magnetische veldlijnen.


even sterk.

7.2.3 Het aardmagnetisch veld Naar welke geografische richting wijst het noorden van een kompasnaald ? Naar welke magnetische pool wijst het noorden van een kompasnaald ? Het magnetisch veld aan het aardoppervlak kan ruwweg vergeleken worden met het veld van een staafmagneet, die een hoek maakt van 11° met de rotatie-as van de aarde. Dit maakt dat de geomagnetische noorden zuidpool niet samenvallen met de geografische noorden zuidpool. Verder moet opgemerkt worden dat de geomagnetische noordpool eigenlijk een magnetische zuidpool is, en vice versa.

Op de eenvoudige vraag “hoe komt het dat de Aarde een magnetisch veld heeft ?” is helaas geen eenvoudig antwoord te geven. Het is een feit dat de kern

61

Afbeelding 74: De magnetische veldlijnen tussen twee verschillende polen.

Afbeelding 75: De magnetische veldlijnen tussen twee gelijknamige polen.

Afbeelding 76: Veldlijnen van een staafmagneet.

Afbeelding 77: Veldlijnen van het magnetisch veld in het binnenste van een hoefijzermagneet.


van de aarde bestaat uit magnetische materialen (ijzer en nikkel), maar de temperatuur in het binnenste van de aarde is te hoog om die metalen een permanent magnetisme te laten houden.

Het is alleszins wel duidelijk dat de oorzaak moet gezocht worden in de relatief snelle omlooptijd van de aarde rond haar as. Zo heeft de planeet Venus een gelijkaardige samenstelling van de kern, maar geen magnetisch veld. Venus draait echter véél trager om haar as dan de Aarde. Door de snelle rotatie treedt er effect op dat gekend staat als het “dynamo-effect”: wanneer een geleidende vloeistof door een bestaand magnetisch veld stroomt, worden er elektrische stromen in die vloeistof opgewekt, die op hun beurt weer een magnetisch veld opwekken dat het bestaande veld gaat versterken. Op deze manier kunnen magnetische velden op schaal van kosmische objecten (sterren, planeten, ...) opgewekt en in stand gehouden worden. Over de exacte werking bestaat nog discussie. Het belang van het aardmagnetisch veld is groot, omdat het ons in grote mate beschermt tegen kosmische straling. Hoog-energetische deeltjes afkomstig van de zon en andere bronnen in het heelal worden gevangen in magnetisch veld en bereiken op die manier de aarde niet. Het wegvallen van deze bescherming zou nefaste gevolgen hebben voor het leven op Aarde.Het aardmagnetisch veld is niet constant. De positie van de polen wijzigt met de jaren, en er zijn zelfs al complete omkeringen gebeurd. Een dergelijke omkering doet het veld niet verdwijnen, de bescherming tegen kosmische straling blijft intact.

62

Afbeelding 78: Voorstelling van het aardmagnetisch veld. De rotatie-as maakt een hoek van ongeveer 11° met de magnetische as.


7.3 Oefeningen 1. Je hebt twee identieke ijzeren staven. De ene is magnetisch, de andere

niet. Hoe kan je met behulp van een kompas vinden welke staaf magnetisch is ? Hoe kun je dat vinden zonder enig ander hulpmiddel ? 3

2. Twee staafmagneten liggen met de zuidpolen naar elkaar gericht. Maak een schets van de veldlijnen.

63

Elektro-magnetisme

8 Elektro-magnetisme

8.1 Magnetisch veld van stroomvoerende geleiders

8.1.1 Algemeen We plaatsen een kompasnaald in de buurt van een rechte, stroomvoerende geleider. Wat merk je ? Conclusie:

Ladingen in beweging veroorzaken een magnetisch veld.

We bekijken nu het magnetisch veld veroorzaakt door een aantal verschillende stroomvoerende geleiders.

8.1.2 Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider Beschouw een rechte geleider. Rond de geleider plaatsen we een aantal magneetnaaldjes. Zolang we geen stroom door de geleider sturen, wijzen alle magneetnaaldjes naar het geografische noorden. Wat gebeurt er als we de stroom inschakelen ? We kunnen ook de veldlijnen zichtbaar maken door ijzervijlsel rondom de geleider te strooien. Welke vorm neem je waar ?

Kenmerken van het veld : Vorm van de veldlijnen : concentrische cirkels Ligging van de veldlijnen : in een vlak loodrecht op de stroomgeleider Zin van de veldlijnen : aangegeven door de noordpool van de

kompasnaaldjesOm de zin van de veldlijnen te bepalen kan je gebruik maken van volgende regel: als de duim van je rechterhand de stroomzin aangeeft, dan geven de gekromde vingers de zin aan van de veldlijnen. Dit is de eerste rechterhandregel.

64

Afbeelding 80: De magnetische veldlijnen rond een rechte, stroomvoerende geleider.

Afbeelding 79: Illustratie van de eerste rechterhandregel.

Elektro-magnetisme

8.1.3 Magnetisch veld van een stroomvoerende winding Beschouw een cirkelvormig gewonden geleider. We stellen enkele magneetnaaldjes op in een vlak loodrecht op het vlak van de winding. Wat neem je waar als je we stroom door de geleider sturen ? Wat gebeurt er als we de stroomzin omdraaien ? We maken de veldlijnen zichtbaar door ijzervijlsel rond de geleider te strooien. Welke vorm hebben de veldlijnen ?

Kenmerken van het veld : De sterkste ordening treedt op in

het vlak van de winding. Ook nu staan de veldlijnen

loodrecht op het vlak van de geleider.

De zin wordt bepaald door de noordpool van de kompasnaald.

Om de zin van de veldlijnen bij een gekromde geleider te bepalen kan je gebruik maken van de tweede rechterhandregel : de gekromde vingers geven de stroomzin aan, de gestrekte duim geeft de zin van de veldlijnen aan.

8.1.4 Magnetisch veld van een solenoïde of een spoel

Wordt een geleider in een cilindervormige spiraal gewonden, dan spreekt van een spoel. Is de lengte van de spoel groot ten opzichte van de doorsnede ervan, dan spreekt men van een solenoïde.

Beschouw een spoel. We plaatsen enkele magneetnaaldjes binnen en buiten de spoel. Wat merk je als we de stroom inschakelen ? Wat gebeurt er als we de

65

Afbeelding 81: De magnetische veldlijnen rond een stroomvoerende winding zichtbaar gemaakt door ijzervijlsel.

Afbeelding 83: Het magnetisch veld opgewekt door een stroomvoerende winding.

Afbeelding 82: 3D afbeelding van de veldlijnen.

Elektro-magnetisme

stroomzin omkeren ? We maken de veldlijnen zichtbaar door ijzervijlsel in er rond de spoel te strooien. Hoe lopen de veldlijnen binnen in de spoel ? Hoe noem je een dergelijk veld ? Hoe lopen ze buiten de spoel ? Komt de vorm van de veldlijnen buiten de spoel je bekend voor ? Wat gebeurt er als we een (week)ijzeren kern in de spoel brengen ? Wordt het veld sterker of zwakker ?

Kenmerken van het veld : De sterkste ordening van het

ijzervijlsel treedt op binnen de solenoïde.

Binnen de solenoïde lopen de veldlijnen loodrecht op het vlak van de windingen, evenwijdig aan de as van de solenoïde.

Binnen in de solenoïde is het veld over even sterk, het is een homogeen veld.

De middenstof binnen in de spoel beïnvloedt de sterkte van het magnetisch veld.

De zin van de veldlijnen wordt bepaald door de noordpool van

de kompasnaald en is afhankelijk van de stroomzin. Om de zin van de veldlijnen te bepalen kan je ook hier gebruik maken van de tweede rechterhandregel : de gekromde vingers geven de stroomzin aan, de duim geeft de zin aan van de veldlijnen binnen de spoel.

Vergelijk nu het magnetisch veld van de solenoïde met het magnetisch veld van een staafmagneet. Er is een merkwaardige gelijkenis tussen de spectra van beide magnetische velden. Net als bij een staafmagneet kunnen wij ook aan een stroomvoerende solenoïde een noorden een zuidpool toekennen. Hoe lopen de veldlijnen buiten de spoel ? En hoe binnen de spoel ?

66

Afbeelding 84: Veldlijnen binnen en rond een spoel zichtbaar gemaakt met ijzervijlsel.

Afbeelding 86: Veldlijnen in en rond een stroomvoerende solenoïde. Afbeelding 85: Illustratie

2e rechterhandregel.

Elektro-magnetisme

De gemeenschappelijke kenmerken van deze magnetische velden doen ons vermoeden dat de oorzaak ervan eveneens gemeenschappelijk moet zijn. Wat veroorzaakt het magnetisch veld van de solenoïde ? Zijn er in een staafmagneet ook bewegende ladingen ? Waar moet je die situeren ?

8.2 Oorzaak van permanent magnetisme In de vorige paragraaf hebben we gezien dat een elektrische stroom, en in uitbreiding elke lading in beweging, een magnetisch veld opwekt. Als we de atomen van een vaste stof voorstellen als kernen waarrond elektronen bewegen, dan kunnen de elektronen beschouwd worden als elementaire solenoïden, die elk een magnetisch veld opwekken. Daarnaast draaien elk van deze elektronen rond hun eigen as (spin), wat ook een magnetisch moment opwekt. Of een materiaal magnetisch is of niet, hangt af van de structuur van de eigenschappen van zijn elektronen. We onderscheiden volgende gevallen :

8.2.1 Diamagnetisme Diamagnetische materialen worden gekenmerkt door het feit dat alle orbitalen twee elektronen bevatten met tegengestelde spins (gepaarde elektronen). De magnetische velden van de elektronen heffen elkaar op en er is geen netto magnetische werking.

8.2.2 Paramagnetisme Paramagnetisch materiaal bevat ongepaarde elektronen, zodat er een netto magnetische werking kan ontstaan. Door de thermische beweging zijn de magnetische velden van de elektronen echter allemaal random gericht, zodat er buiten een extern magnetisch veld geen specifiek effect waar te nemen is. Brengen we een paramagnetisch materiaal echter in een extern magnetisch veld, dan zal de neiging van de elektronen om hun magnetisch veld te richten volgens het extern magnetisch veld groter zijn dan de het effect van de thermische beweging, en zullen zij het extern magnetisch veld versterken (wat gebeurt als we een weekijzeren kern in een spoel schuiven). Wordt het extern veld weg genomen, dan verdwijnt ook de ordening, en zal het materiaal niet meer magnetisch zijn.

67

Afbeelding 87: Vergelijking tussen veld van een staafmagneet en het veld van een solenoïde.

Elektro-magnetisme

8.2.3 Ferromagnetisme Ferromagetisch materiaal is eveneens materiaal met ongepaarde elektronen, maar er is een koppeling tussen de magnetische velden van de elektronen, zodat er gebieden optreden waarin alle magnetische velden van de elektronen gelijk gericht zijn (Weiss-domeinen). De scheidingsgebieden tussen twee Weiss-domeinen, waar de oriëntatie gradueel wijzigt, zijn de Bloch-wanden.

Brengen we dergelijk materiaal in een extern magnetisch veld, dan zal een gelijkaardig effect optreden als bij paramagnetisch materiaal, en zal het extern veld versterkt worden. Nemen we nu echter het extern veld, dan zal door de koppeling de oriëntatie niet verdwijnen, en het

materiaal zal magnetisch blijven (permanent magnetisme). Warmen we gemagnetiseerd ferromagnetisch materiaal op, dan zal de thermische beweging steeds dominanter worden, en de gemeenschappelijke oriëntatie langzaam maar zeker teniet doen. De temperatuur waarop de netto magnetisatie nul wordt, wordt de Curie-temperatuur genoemd.

8.3 Magnetische krachtwerking

8.3.1 Lorentzkracht We plaatsen een geleider in magnetisch veld. Wat gebeurt er als we de geleider koppelen aan een spanningsbron en er stroom door laten lopen ? Wat gebeurt er als we de stroomzin omkeren ? Wat gebeurt er als we de zin van het magnetisch veld omkeren ?

68

Afbeelding 88: Oriëntatie van magnetische velden van elektronen in paramagnetisch materiaal zonder extern veld (A) en met extern veld (B).

Elektro-magnetisme

Een stroomvoerende geleider, en bij uitbreiding elke lading in beweging, ondervindt een kracht in een magnetisch veld. Deze kracht wordt de Lorentz-kracht F L genoemd.

De zin (en bijgevolg de richting) van de kracht kan je bepalen met de 3e rechterhandregel :

Je duim geeft de stroomzin aan. Je uitgestoken wijsvinger geeft de zin

aan van het magnetisch veld. Steek je middenvinger uit in een hoek

van 90° met je wijsvinger. Deze vinger geeft je de zin en richting van de Lorentzkracht.

Wat de grootte van de kracht betreft kunnen we volgende vaststellingen doen : Hoe sterker de stroom, des te groter de Lorentzkracht; Hoe langer de geleider, des te groter de Lorentzkracht; Hoe sterker het magnetisch veld, des te groter de Lorentzkracht.

8.3.2 Magnetische veldsterkte a Definitie

Om de sterkte van het magnetisch veld te kwantificeren, definiëren we nu de magnetische veldsterkte B in een punt P van het magnetisch veld.

Het aangrijpingspunt van B is het punt P.

De richting van B is de raaklijn aan de magnetische veldlijn door P.

De zin van B is de zin van de magnetische veldlijn door P.

De grootte van B wordt zo gedefinieerd, dat als we een geleider van lengte l waardoor een stroom I vloeit in een homogeen veld plaatsen met dezelfde magnetische veldsterkte als de magnetische veldsterkte in het punt P, de grootte van de Lorentz-kracht op die geleider gegeven wordt door F=∣B∣⋅I⋅l

De eenheid van magnetische veldsterkte is de Tesla (T). Een magnetisch veld met veldsterkte van 1T, zal op een geleider van 1m waardoor een stroom van 1A vloeit, een kracht van 1N uitoefenen. Hieruit volgt dat

T= NAm

Nemen we nu een geleider met lengte l. We plaatsen deze geleider in een homogeen magnetisch veld met veldsterkte B . Door die geleider sturen we een stroom, zodanig dat na een tijd ∆t een positieve lading Q van het ene uiteinde naar het andere verplaatst is. De Lorentzkracht op de geleider wordt bijgevolg gegeven door

F=∣B∣⋅I⋅l .

69

Afbeelding 89: Experimentele opstelling om Lorentz-kracht waar te nemen.

Elektro-magnetisme

Dit kan ook geschreven worden als :

F L=∣B∣⋅Q t

⋅l

De gemiddelde snelheid van de lading in de geleider is v= l t , wat geeft :

F L=∣B∣⋅l t

⋅Q

F L=∣B∣⋅v⋅QDe grootte van de magnetische veldsterkte in een punt P kan dan gedefinieerd worden als de verhouding van de kracht die een lading Q, die beweegt met een snelheid v, ondervindt in het magnetisch veld tot de lading Q en de snelheid v.

∣B∣=∣ F L∣Q⋅v

1 T is dan de grootte van de magnetische veldsterkte waarin een lading van 1 C die beweegt met een snelheid van 1 m/s een kracht ondervindt van 1 N.

In wat hierboven staat, zijn we ervan uitgegaan dat Q positief is. Maar wat als Q negatief is ?

De grootte van de kracht bereken je analoog, maar je moet wel de absolute waarde van Q nemen.

De zin van de kracht op een negatieve lading is tegengesteld aan de zin van de kracht op een positieve lading.

Een nauwkeuriger analyse toont dat het bovenstaande alleen geldig is als v⊥ B . Indien dit niet het geval, moeten we de component beschouwen van B die loodrecht staat op v (de normaalcomponent). Als de hoek tussen B en v gegeven wordt door α, dan is

F L=∣B∣sin⋅Q⋅v

70

Afbeelding 90: Zin en richting van Lorentzkracht op een bewegende lading in een homogeen veld (gericht in het blad).

Elektro-magnetisme

b Magnetische veldsterkte in een punt op afstand r van een rechte, stroomvoerende geleider

Zoals reeds gezien in punt 2.1.3 van dit hoofdstuk, wekt een rechte, stroomvoerende geleider een magnetisch veld op in de ruimte rondom. Uit experimenten blijkt dat de grootte van de magnetische veldsterkte afhankelijk is van volgende factoren :

De sterkte van het veld neemt af naarmate men zich verder van de geleider verwijdert. Nauwkeurige metingen tonen aan dat ∣B∣ is omgekeerd evenredig is met de afstand r tot de geleider.

De sterkte van het veld op een gegeven afstand r neemt toe als de stroom door de geleider opgevoerd wordt. Nauwkeurige metingen tonen aan ∣B∣ recht evenredig is met de stroomsterkte I.

De sterkte van het veld hangt ook af van de middenstof. Als de geleider in een ijzeren omhulsel zit, zal het veld in het omhulsel veel sterker zijn dan mocht de geleider enkel in lucht hangen.

Samengevat wordt dit :

∣B∣= 2

⋅Ir

µ wordt de magnetische permeabiliteit van de stof genoemd, en geeft weer hoe gemakkelijk een magnetisch veld in een middenstof kan doordringen. Hoe groter µ, hoe gemakkelijker het magnetisch veld de middenstof kan binnendringen.In tabellen vinden we dikwijls de relatieve permeabiliteit µr terug. De relatie tussen magnetische permeabiliteit en relatieve permeabiliteit wordt gegeven door :

=r⋅0

waar µ0 de magnetische permeabiliteit van vacuüm is. De grootte van µ0

bedraagt 1,26.10-6 N/A²Voor diamagnetische stoffen is µr < 1, bij paramagnetische stoffen is µr > 1 en bij ferromagnetische stoffen is µr véél groter dan 1. De factor 2π wordt ingevoerd om symmetrie-redenen, waarop we hier nu verder niet op ingaan.

c Magnetische veldsterkte in een punt binnenin een stroomvoerende solenoïde

71

Afbeelding 91: Normaalcomponent van de magnetische veldsterkte

Elektro-magnetisme

Zoals reeds gezien in punt 2.1.4, is het veld binnen in een stroomvoerende solenoïde homogeen. We bekijken hoe sterk het veld is door een solenoïde met n windingen en lengte l waardoor een stroom I vloeit. Uit experimenten blijkt dat :

Het magnetisch veld sterker wordt naarmate de stroomsterkte toeneemt. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat ∣B∣ recht evenredig is met de stroomsterkte I.

Het magnetisch veld sterker is in solenoïdes met een groter aantal windingen. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat ∣B∣ recht evenredig is met het aantal windingen n.

Het magnetisch veld sterker wordt naarmate de dichtheid van de windingen groter wordt. Met andere woorden, voor een spoel met een gegeven aantal windingen, wordt het magnetisch veld sterker als we de lengte van de spoel kleiner maken. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat ∣B∣ omgekeerd evenredig is met l.

De sterkte van het magnetisch veld hangt eveneens af van de middenstof. Als we in de spoel een ijzeren kern schuiven, zal de magnetische veldsterkte aanzienlijk toenemen.

Samengevat wordt dit :

∣B∣=⋅n Il

8.4 Toepassingen

8.4.1 Kracht op twee evenwijdige geleiders Beschouw twee evenwijdige geleiders, op kleine afstand van elkaar. De geleiders zijn zodanig verbonden met een spanningsbron dat de stroom door beide geleiders in dezelfde zin loopt. Wat neem je waar ? Wat gebeurt er als we de geleiders zodanig verbinden met een spanningsbron dat de stroom in beide geleiders in tegengestelde zin loopt ?

We geven nu een verklaring voor het fenomeen als de zin van de stroom in beide geleiders dezelfde is. Het geval van tegengestelde zin laten we als oefening aan de lezer. Noemen we I1 de stroom door geleider 1, en I2 de stroom door geleider 2. Veronderstellen we dat de afstand tussen beide geleiders gelijk is aan r. We bekijken nu de opstelling in bovenaanzicht. Op onderstaande figuur is de stroom weergegeven (loopt in het blad, aangegeven door een bolletje met kruisje erin). Noemen we B1 de veldsterkte van het magnetisch veld opgewekt door I1

72

Afbeelding 92: Krachtwerking tussen twee evenwijdige geleiders als de stroom in dezelfde zin vloeit (A) en in tegengestelde zin (B)

Elektro-magnetisme

op een afstand r (dus op de positie van de tweede geleider). Op de figuur staan zowel B1

als de veldlijnen aangeduid. De zin van

de veldlijnen bepaal je met de eerste rechterhandregel. Als je de de zin van B1

hebt bepaald, kan je met de derde rechterhandregel de zin van F 1,2 bepalen, de kracht uitgeoefend door geleider 1 op geleider 2. Je kan hieruit afleiden dat twee geleiders met stroom in dezelfde zin elkaar zullen aantrekken. Bereken we nu de kracht per lengte-eenheid uitgeoefend door geleider 1 op geleider 2. I1 veroorzaakt op de positie van geleider 2 een magnetisch veld B1 , waarvan de grootte gegeven wordt door :

∣ B1∣=⋅I 1

2⋅rOp een lengte l van de tweede geleider (die zich in het magnetisch veld B1

bevindt) werkt een kracht F 1,2 gegeven door

∣ F1,2∣=∣ B1∣⋅I 2⋅l

∣ F 1,2∣=⋅I 1⋅I 2

2⋅r⋅l

De kracht per lengte-eenheid op geleider 2 wordt bijgevolg gegeven door :F2,1

l=⋅I 1⋅I 2

2⋅r

Wat weet je over de kracht per lengte-eenheid uitgeoefend door geleider 2 op geleider 1 ?

8.4.2 De elektromotor Een eenvoudige gelijkstroommotor bestaat uit een rechthoekige geleider (spoel), die draaibaar is opgesteld in een homogeen magnetisch veld. Als de geleider over een spanningsbron wordt geschakeld, zal er stroom vloeien door de geleider. Doordat de geleider zich in een magnetisch veld bevindt, zal er een kracht werken op de geleider. We bekijken nu hoe deze krachten gericht zijn. We vertrekken vanuit de situatie dat het raam evenwijdig gericht is aan de magnetische veldlijnen (afbeelding 25). Op de delen van de spoel die evenwijdig staan met de richting van het magnetisch veld (bvb het deel tussen B en C), zal geen kracht inwerken (waarom niet ?).

Op het gedeelte tussen A en B zal een kracht F 1 inwerken met zin loodrecht naar boven op het vlak van de spoel. Op het gedeelte tussen C en D zal een

73

Afbeelding 93: Veldsterkte opgewekt door geleider 1 op positie van geleider 2 en kracht uitgeoefend door geleider 1 op geleider 2.

Elektro-magnetisme

kracht F 2 inwerken met zin loodrecht naar beneden op het vlak van de spoel. Onder invloed van deze krachten zal de spoel beginnen draaien in wijzerzin en zich proberen richten loodrecht op de veldlijnen.

De zin van de krachten F 1 en F 2

zal niet wijzigen als het raam

begint te draaien (verklaar waarom), zelfs niet als het raam helemaal in verticale positie komt te staan. Doordat de zin van F 1

en F 2 niet wijzigt als de geleider voorbij de verticale stand draait, wordt zijn beweging eerst afgeremd en draait hij dan in tegenwijzerzin terug naar de verticale stand.

Tenzij de stroomzin in de geleider zou omkeren op het moment dat het raam loodrecht op de veldlijnen staat: dan keert ook de zin van de lorentzkrachten om. Daardoor blijft de geleider in dezelfde zin draaien: je hebt een elektrische motor. Elektro-magnetische energie wordt omgezet in bewegingsenergie. De stroomzin omkeren gebeurt met een commutator: elk uiteinde van de spoel is verbonden met een halve koperen ring. Die zijn van elkaar gescheiden door een isolator. Ze maken permanent contact met de bron doordat ze glijden tegen sleepcontacten die verbonden zijn met de bron. In afbeelding 94 is een commutator voorgesteld. De positieve pool van de bron is verbonden met het punt P van de geleider (a). Als de geleider 90° gedraaid is, maakt hij even geen contact met de

bron (b) zodat de stroom nul is. Als hij nog verder draait (c) maakt het punt P van de geleider contact met de negatieve pool van de bron. De stroomzin van de geleider is nu omgekeerd.

74

Afbeelding 94: Constructie van een eenvoudige elektro-motor.

Afbeelding 95: Krachtwerking op spoel van een elektromotor.

Elektro-magnetisme

In afbeelding 95 wordt de spoel voorgesteld in vier opeenvolgende standen tijdens één omwenteling. De stroom loopt altijd volgens de wijzerzin. In stand a staat het vlak van de geleider verticaal, evenwijdig met de veldlijnen. De geleider draait – in tegenwijzerzin – via stand b tot in stand c. De stroom loopt telkens van A naar B. In stand c is de geleider bijna horizontaal. Even later gaat hij door het horizontale vlak en wisselt het contact van de halve ringen met de sleepcontacten. In stand d loopt de stroom van B naar A. De stroomzin in de geleider is nu tegengesteld aan de stroomzin in de vorige drie posities. De geleider blijft draaien in tegenwijzerzin.

75

Afbeelding 96: Principe van een commutator.

Afbeelding 97: Opeenvolgende standen de spoel in een draaiende motor.

Elektro-magnetisme

In werkelijkheid telt een motor niet slechts één rechthoekige geleider, maar verschillende windingen, waardoor de krachten groter zullen zijn. Als de windingen in hetzelfde vlak liggen, start de motor niet als hij stilvalt met het vlak van de windingen loodrecht op de veldlijnen. Daarom liggen de windingen bij een motor niet in één enkel vlak. Het magnetisch veld is meestal niet afkomstig van een permanente magneet, maar van een elektromagneet.

76

Afbeelding 98: Een elektromoto met meerdere windingen onder verschillende hoeken.

Elektro-magnetisme

8.5 Oefeningen 1. Bepaal de grootte van de kracht inwerkend op een verticale koperdraad

van 20,0 cm lengte, waardoor een stroom van 6A vloeit, in een homogeen horizontaal magnetisch veld van 0,1 T.

2. Door een verticale geleider met lengte van 10,0 cm loopt een stroom van 2,00 A. De geleider hangt in een horizontaal homogeen magnetisch veld met een veldsterkte van 0,40 T. Maak een schets en duid de richting en zin van de kracht op de geleider aan. Bereken ook de grootte.

3. Door een geleider met een lengte van 20,0 cm loopt een stroom van 5,00 A. De geleider bevindt zich in een magnetisch veld; de hoek tussen de geleider en de magnetische veldsterkte is 60°. De kracht op de geleider is 2.10-5 N. Hoe groot is de magnetische veldsterkte ?

4. Een rechte stroomgeleider van 50 mm lengte wordt doorlopen door een stroom van 1,5 A en ondervindt een kracht van 4,5 mN als hij in een homogeen magnetisch veld van 0,090 T wordt geplaatst. Welke hoek sluiten de magnetische veldsterkte en de geleider met elkaar in ?

5. De afstand tussen twee evenwijdige geleiders bedraagt 5,00 cm. De geleiders oefenen op elkaar een per lengte-eenheid een kracht uit van 6.10-5 N/m uit. Door de eerste geleider loopt een stroom van 2,00 A. Hoe groot is de stroom door de tweede geleider ?

6. Een lange solenoïde heeft 1200 windingen en een totale lengte van 20,0 cm. Ze wordt door een stroom van 7,0 A doorlopen. Bereken de grootte van de magnetische veldsterkte in het midden, indien de middenstof het luchtledige is.

7. Door ieder van twee lange rechte evenwijdige draden die op 10 cm van elkaar staan, gaat een stroom van 9,0 A. Maak en schets van de opstelling en duid de richting en zin van de magnetische veldsterkte aan. Bereken in alle gevallen eveneens de grootte van de magnetische veldsterkte in het aangegeven punt :• In het midden tussen de draden, als de stroomzin in beide draden

dezelfde is. • In het midden tussen de draden, als de stroomzin in beide draden

tegengesteld is. • In een punt op 3,00 cm van de ene en 7,00 cm van de andere, indien

de stroomzin in beide tegengesteld is.

77

Elektro-magnetisme deel I - Scarlet :...

Documents

Transcript of Elektro-magnetisme deel I - Scarlet :...