elektrische... · 2021. 1. 21. · Inleiding Elektrische Energietechniek. HAN-FT-CPM SEECE 1...

INLEIDING ELEKTRISCHE ENERGIETECHNIEK

Bram Steennis

Versie 4 december 2019

Inleiding Elektrische Energietechniek

HAN-FT-CPM SEECE 1

Inleiding Elektrische Energietechniek - Elektrische Netten - Transformatoren - Elektrische Machines

Doelstelling

Dit document is bedoeld voor cursisten die een cursus op hbo niveau gaan volgen in de richting van de elektrotechniek of elektrische energietechniek. De focus ligt op de noodzakelijke kennis ten aanzien van de inleidende sterkstroomtechniek. Zaken die alleen maar belangrijk zijn voor zwakstroomtechniek (zoals elektronicatechniek, telecommunicatie en digitale techniek) worden niet of zeer beperkt behandeld.

Dit dictaat sluit aan op de bestaande dictaten die hier het vervolg op zijn op het vakgebied van de elektrische energietechniek en hoogspanningstechniek, die bij de cursussen en de reguliere hbo bacheloropleidingen bij de HAN gegeven worden.

Verantwoording

Alle foto’s zijn gemaakt in het lab van de HAN. De tekeningen en grafieken zijn gemaakt door de auteur.

Dit dictaat is geschreven in opdracht van SEECE. Deze uitgave is mede mogelijk gemaakt door de provincie Gelderland in het kader van het project ‘samen werken en leren met energie’.

Leeswijzer

Indien de tekst staat in verkleinde letters, dan geeft dat aan dat dit achterliggende of verdiepende informatie is.

In dit dictaat wordt het vermenigvuldigingsteken * regelmatig gebruikt maar soms ook weggelaten. Zo wordt bijvoorbeeld U = I*R geschreven en soms weer geschreven als U = IR. Indien getallen worden ingevuld moeten we wel met * werken. Bijvoorbeeld I = 4A en R = 2Ω, dan krijgen we U = IR = 4*2 = 8V.

Kleine letter wordt gebruikt om variabele aan te geven. Een hoofdletter wordt gebruikt om constante aan te geven. Voorbeeld: U = gelijkspanning en u of u(t) is spanning welke varieert in de tijd.

Bij rendement wordt bedoeld het vermogensrendement, zijnde het uitgangsvermogen tov het ingangsvermogen.

Gevraagde voorkennis

De voorkennis gaat uit van minimaal HAVO-wiskunde en natuurkunde en daarnaast een technische mbo opleiding of een niet technische hbo opleiding.

- Weten dat bij schrijfwijze 1*10n de ‘n’ de verplaatsing van de komma is bij een getal. (bv 3*10–2 = 0,03 en 0,8*104 = 8000).


HAN-FT-CPM SEECE 2

- Symbolen en hun betekenis kennen: pico p = 10–12, nano n = 10–9, micro μ = 10–6, milli m = 10–3, kilo k = 103, Mega M = 106, Giga G = 109, e ≈ 2,718 en π ≈ 3,14.

- Let ook op dat sommige Griekse tekens weer bij naam worden genoemd: dan is µ weer ‘mu’. Zie bv Wikipedia voor meer informatie hierover.

- Weten dat ap*aq = a(p+q) en ap/aq = a(p–q). (bv a3/a5 = a–2 = 1/a2) - Voor het oplossen van een stelsel vergelijkingen geldt dat de vergelijkingen onafhankelijk

moeten zijn EN het aantal vergelijkingen moet gelijk zijn aan het aantal onbekenden. - Grafieken kunnen tekenen en begrijpen en van twee lineaire functies het snijpunt kunnen

uitrekenen. - Stelling van Pythagoras c2 = a2 + b2. - Begrijpen en kunnen tekenen van een functie met e–macht. Bijvoorbeeld y(t)=2+3e–2t - Kunnen rekenen met sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek (lengtes en

hoeken). Idem tav de inverse van de sinus, cosinus en tangens. - Een sinus of cosinus kunnen beschrijven in tijdsignalen. Bijvoorbeeld y(t)=2 + 3sin(5t + 0,2) - Sinus en cosinus vormen in elkaar over kunnen zetten, bv sin(90o + α) = cos(α) = cos(–α). - Begrippen radialen en graden kennen en door elkaar kunnen gebruiken (door delen of

vermenigvuldigen met 57). - Het begrip frequentie in ω [rad/s] en frequentie [Hz] kennen en het verschil van rad/s en Hz

begrijpen en in elkaar uit kunnen rekenen via ω = 2*π*f - Enig begrip hebben van kernen, atomen en moleculen en hoe elektronen in schillen rond de

kernen gaan. - Weten dat twee magnetische velden elkaar beïnvloeden, zoals het feit dat twee magneten

met gelijke polen elkaar afstoten en omgekeerd aantrekken. Tevens weten dat als de magnetische velden haaks op elkaar staan ze onderling geen krachtwerking hebben.

- Weten dat een stroomvoerende geleider een magnetisch veld heeft rond de geleider. De richting van het magnetisch veld bij bepaalde stroomrichting weten (kurkentrekker regel).

- Weten dat elektronen een elektrisch veld rond zich hebben en daarmee elkaar ‘afstoten’. - Weten dat de lichtsnelheid c = 3*108 m/s. - Het begrip koppel T = F*r …. [Nm] kennen (met F is de kracht [N], r is de straal van de arm

[m]). - Weten dat 10N ≈ 1kg

Copyright: Dit dictaat mag voor zelfstudiedoeleinden vrij worden gebruikt. Het is echter zonder uitdrukkelijke toestemming van de HAN niet toegestaan dit materiaal te gebruiken voor lesdoeleinden bij instanties buiten de HAN.

Auteur; A.C. Steennis


HAN-FT-CPM SEECE 3

Inhoud deel Elektrische Netten Inleiding Elektrische Energietechniek .................................................................................................... 1

1. Spanning en stroom ........................................................................................................................ 5

Spanningsbron .................................................................................................................................... 5

Stroombron ......................................................................................................................................... 9

Watt vermogen ................................................................................................................................. 10

Blind vermogen ................................................................................................................................. 11

3. Weerstand ..................................................................................................................................... 12

4. Meetapparatuur ........................................................................................................................... 17

Spanningsmeting .............................................................................................................................. 17

Stroommeting ................................................................................................................................... 18

Vermogensmeting ............................................................................................................................ 19

Weerstandsmeting ........................................................................................................................... 19

5. Vermogensrichting ....................................................................................................................... 21

6. Halfgeleiders ................................................................................................................................. 24

Diode ................................................................................................................................................. 25

Thyristor ............................................................................................................................................ 28

7. Netwerken .................................................................................................................................... 29

Wetten van Kirchhoff ....................................................................................................................... 29

Thevenin en Norton vervangschema’s ............................................................................................ 38

8. Condensator .................................................................................................................................. 45

9. Spoel .............................................................................................................................................. 52

Krachten door magnetische velden ................................................................................................. 54

Inductie ............................................................................................................................................. 56

Zelfinductie ....................................................................................................................................... 59

Spoelen in serie en parallel .............................................................................................................. 61

Spoel aangesloten op een wisselspanning ...................................................................................... 62

Effect van het uitschakelen van een stroom door een spoel .......................................................... 63

Magnetische veldsterkte en magnetisch veld ................................................................................. 65

10. Elektromagnetische velden en golven ..................................................................................... 70

11. Vermogens bij wisselstroom .................................................................................................... 73

12. Wisselstroomnetten ................................................................................................................. 76

Complexe notatie bij de weerstand, spoel en condensator ........................................................... 77


HAN-FT-CPM SEECE 4

De verschillende complexe notaties ................................................................................................ 77

Complex rekenen in wisselstroomnetten ........................................................................................ 78

Resonantie ........................................................................................................................................ 84

Antwoorden Elektrische Netten ........................................................................................................... 89


HAN-FT-CPM SEECE 5

1. Spanning en stroom Een spanning tussen twee punten noemen we een spanningsverschil, ook wel genoemd potentiaal verschil, meestal aangeduid met U. De eenheid is Volt [V]. Bijvoorbeeld U = 60V.

Een spanningsverschil bestaat uit een verschil in hoeveelheid elektronen tussen twee plaatsen. Aangezien elektronen negatief zijn, betekent dit dat op de plek waar meer elektronen zijn deze plek negatief is ten opzichte van een andere plek waar minder elektronen zijn. Hoe groter het verschil in elektronen, hoe groter het spanningsverschil of kortweg hoe hoger de spanning.

Spanningsbron

Het symbool voor een ideale spanningsbron is:

In het symbool zien we een doorgetrokken lijn. Dit betekent dat in de ideale spanningsbron zelf geen weerstand is. Over het begrip ‘weerstand’ wordt verderop in dit dictaat meer uitgebreid stilgestaan. De spanningsbron is verantwoordelijk voor het continue handhaven van een verschil in aantal elektronen.

Drie voorbeelden van voedingen zijn onderstaand gegeven. Links een 1,5V batterij, in het midden een 12V accu. Beide zijn gelijkspanningsvoedingen. Rechts een wisselspanningsvoeding in de vorm van een wandcontactdoos waar een wisselspanning van 230V op staat.

Verder is hieronder een regelbare gelijkspanningsvoeding weergegeven

+

Symbool Ideale spanningsbron

… V

–

U


HAN-FT-CPM SEECE 6

Hoe het kan dat een spanningsbron het spanningsverschil in stand houdt, is een apart verhaal. Kort gezegd komt de werking neer op een chemisch proces (batterij*) of zetten we een kracht op de elektronen binnen de bron, door hen aldaar voort te duwen met behulp van magnetische velden (zoals bij een eenvoudige fietsdynamo of grote draaistroom generatoren).

*) Bij een gewone batterij is het chemisch proces niet omkeerbaar. Na verloop van tijd is het materiaal chemisch zodanig anders geworden dat de batterij ‘leeg’ is. Bij een oplaadbare batterij kunnen we door het voeren van een tegengestelde stroom de batterij weer opladen. Het chemisch proces is dan wel omkeerbaar.

Bepalend voor het ‘aantal elektronen’ in een stof is feitelijk de hoeveelheid elektronen die in de buitenste schil rond een kern cirkelen. Spanningsverschillen bestaan al tussen twee verschillende stoffen, bijvoorbeeld tussen aluminium en hout of tussen papier en steen. Nu is een dergelijk elektronenverschil en dus spanningsverschil tussen twee willekeurige stoffen vrij klein en in de dagelijkse praktijk niet merkbaar, vooral niet omdat de elektronen meestal sterk gebonden zijn aan de kern van een bepaalde stof. Als deze elektronen zo sterk gebonden zijn aan die kern, dan kunnen ze daar niet van loskomen of verplaatsen. Dit noemen we isolatoren. Voorbeelden van isolatoren zijn glas, steen en plastic.

Bij bepaalde stoffen zijn de elektronen vrij om binnen de atoomstructuur in en zelfs buiten de buitenste schil te verplaatsen. Elektronen wisselen als het waren steeds van plaats, mits het aantal elektronen (min of meer) rond elke kern gelijk blijft aan het aantal dat hoort bij de bepaalde stof. Dergelijke stoffen noemen we geleiders. Voorbeelden van goede geleiders zijn koper, ijzer, aluminium, goud en zilver. Daarbij is goud de beste geleider en koper of aluminium zijn goede geleiders, zeker gezien de prijs/geleidbaarheid van het materiaal en het feit dat ze niet kunnen weg roesten.

Halfgeleiders zijn stoffen waarbij de elektronen wel uit de buitenste schil weg kunnen, maar daarbij is meer of minder energie van buitenaf nodig. Dat kan licht of warmte zijn. (Bij geleiders is dus vrijwel geen energie nodig om de elektronen binnen de stof vrij te laten bewegen). Halfgeleiders worden gebruikt voor bijvoorbeeld transistoren. Dit verklaart meteen dat transistoren temperatuurgevoelig zijn, omdat de werking van de halfgeleider zo is gekozen dat dit bij kamertemperatuur optimaal is. Voorbeelden van halfgeleidermateriaal zijn germanium en silicium.

Plaatsen we een geleider tussen de plus en min aan een spanningsbron, dan zullen de elektronen die aan de ene kant te veel aanwezig zijn, zich via de geleider gaan verplaatsen


HAN-FT-CPM SEECE 7

naar de andere kant, waar te weinig elektronen zijn. Dit komt omdat elektronen elkaar waarnemen. Ze stoten elkaar af en dus willen elektronen zich gelijkelijk verdelen over de ruimte. De afstotende werking wordt weergegeven door het zogenaamde ‘Elektrische veld’.

Het verplaatsen van deze elektronen noemen we de elektronenstroom. Nu is de stroomrichting waarmee we rekenen ooit verkeerd om gekozen. Verplaatsen elektronen zich van links naar rechts in een geleider, dan noemen we dat een stroom van rechts naar links. Dit geven we in een schema aan met een stroompijl in of naast een geleider. Meestal staat daar een positief getal bij, bv 2A, maar het kan ook zijn dat de werkelijke stroomrichting andersom is. We draaien dan of de pijl om, of zetten bij de stroom de waarde die in werkelijkheid aanwezig is, bv –2A.

We gaan nu uit van onderstaand schema.

De stroom zal buiten de spanningsbron in een gesloten circuit lopen van de plus naar de min van de spanningsbron (en binnen in de bron derhalve van min naar plus).

Opdracht 1.1. Beredeneer zelf in onderstaand circuit welke kant de elektronen op gaan ten gevolge van de spanningsbron, idem de stroomrichting en hoe de spanning over de elementen zich zal verdelen. Antwoord: zie vervolg.

De eigenschap van de spanningsbron is om het spanningsverschil in stand te houden. Dat de stroomrichting volgens onderstaand schema met pijlen zo is valt eenvoudig te verklaren omdat de negatieve kant van de bron te veel elektronen heeft ten opzichte van de positieve kant van de bron. De elektronenstroom buiten de bron is dus van de min naar de plus. De formele stroomrichting is andersom, dus buiten de bron van plus naar min. Binnen de bron is de stroomrichting dan van min naar plus (zijnde de eigenschap van de spanningsbron om het spanningsverschil in stand te houden!).

Als tussen de plus en min van een bronspanning een circuit is aangesloten (bijvoorbeeld via weerstanden), dan zal er stroom gaan lopen. De grootte van de stroom is afhankelijk van de hoogte van de spanning bij de bron en de grootte van de weerstand R die de bron ziet in haar circuit. In het plaatje hieronder is de spanning 9V en blijkbaar loopt er een stroom van 3A. De grootte van de stroom wordt hier bepaald door de grootte van de weerstand R.

2A -2A


HAN-FT-CPM SEECE 8

De stroom die door een geleider gaat kan zich nagenoeg niet ophopen in de draad. Er kunnen ook op bepaalde plaatsen niet of nauwelijks minder elektronen zijn. Het enige dat bij een gewone geleider kan gebeuren, is dat als we aan de ene kant van de draad elektronen er uit halen we ergens anders bij die draad op hetzelfde moment er elektronen er in moeten stoppen.

De elektronen in de draad verplaatsen zich met een snelheid van ongeveer 200.000 km/s door de draad. Dat is twee derde van de lichtsnelheid c. Deze hoge snelheid danken we aan het feit dat de elektronen zo licht van gewicht zijn (m ≈ 9*10–31 kg). Een bekende formule uit de natuurkunde is dat de energie gelijk is aan E = ½mv2. Daarmee is eenvoudig uit te rekenen hoeveel energie er zit in een verplaatsend elektron. Niet veel dus. Dat we toch heel veel energie kunnen transporteren in een geleider, komt omdat we op hetzelfde moment miljarden en miljarden elektronen door een draad kunnen laten stromen.

De stroom wordt meestal aangeduid met symbool I. De eenheid is Ampère [A]. Bijvoorbeeld de stroom I = 12A.

Een spanningsbron kan een gelijkspanning zijn (ten gevolge van een batterij) of wisselspanning (ten gevolge van een draaistroom generator). Het resultaat is dat ook de stroom dat gedrag krijgt, en bij een gelijkspanning de stroom in één richting zal stromen en bij een wisselspanning de stroom van richting zal wisselen. In dit dictaat, waarbij we ons richten op de sterkstroomtechniek, zullen we alleen kijken naar zuivere gelijkspanningen en zuivere sinusvormige wisselspanningen.

Bij een zuivere gelijkspanning blijft de spanning continue een vaste waarde. Bij een zuivere sinusvormige wisselspanning zal de spanning in de tijd van polariteit wisselen zoals weergegeven in onderstaand figuren.

+

3A 3A

3A 3A 3A

9V

–

R


HAN-FT-CPM SEECE 9

Vraag: zie bovenstaand de rechter grafiek. Stel dat dit een stroom voorstelt. Geef aan in welk deel van de sinus de wisselstroom in de geleider van richting omkeert. Antwoord: het omkeren van de stroomrichting gebeurt als de sinus de 0-lijn (tijdas) passeert.

Stroombron

Een stroombron doet ongeveer hetzelfde als een spanningsbron, met dit verschil dat de spanningsbron het elektronenverschil (tussen twee punten) in stand houdt, terwijl de stroombron de stroom (in een draad) in stand houdt. Een spanningsbron gaat pas dan stroom leveren als deze bron ergens op wordt aangesloten. Dit betekent dat er in het geheel geen energie wordt geleverd zolang de bron niet gebruikt wordt. Vandaar batterijen maanden lang in een winkel kunnen liggen en nauwelijks slechter worden. Een stroombron levert echter altijd stroom. Een niet aangesloten stroombron kan dus technisch niet bestaan en kun je dus niet in een winkel kopen. Toch worden ze veel gebruikt in rekenmodellen, en ook in de wereld van de Elektrische Energietechniek. Vooralsnog geven we alleen het symbool en komen later op de toepassing terug.

Als we bijvoorbeeld een stroombron van 3A toepassen in onderstaand circuit, dan krijgen we het volgende schema:

+

–

Tijd

Zuivere gelijkspanning of stroom (links) en zuivere sinusvormige wisselspanning of –stroom (rechts)

+

–

Tijd

Symbool Ideale stroombron

… A


HAN-FT-CPM SEECE 10

Opdracht 2.1: beredeneer welke kant in bovenstaand schema de elektronen lopen, en waar de plus en min ten gevolge van het spanningsverschil zullen ontstaan over de weerstand en idem over de stroombron.

2. Vermogen en Energie

Energie E = … Joule [J] is de hoeveelheid vermogen in de tijd. Het tarief dat we voor de stroom betalen bij een huishouden of bedrijf, de prijs per KWh (kilo Watt hour met hour = uur), is daar een voorbeeld van. Dat wij voor het betalen van het vermogen ook moeten kijken naar hoe lang we dat vermogen hebben gebruikt, is eigenlijk alleen maar interessant als we financieel moeten weten wat eea betekent. Voor dit dictaat is het vooral belangrijk dat we kijken naar het vermogen zelf, zijnde de energie per seconde.

Voorbeeld 2.1: we gebruiken in 2 uur aan energie 42kJ. Het vermogen is dan P = 42k/2*3600 = 5,8W. Dit laatste staat vermeld op bijvoorbeeld een voeding voor een mobiele telefoon. Vraag: Uw computer gebruikt 56W en staat 4 uur aan. De energiekosten per kWh zijn € 0,38. Wat kost het gebruik van deze computer in die vier uur? Antwoord: 56*4 = 224Wh = 0,224kWh. Dat kost dus € 0,08512 of afgerond € 0,09.

Het vermogen wordt op twee manieren weergegeven.

Watt vermogen

Het Watt vermogen is wat we ‘echt’ of ‘bruikbaar’ vermogen noemen. Eigenlijk is het een vorm van vermogen dat ‘verloren’ gaat, al kan het nuttig zijn zoals warmte of het verplaatsen van een last. We duiden dit aan als P = … Watt [W].

Vraag: geef enkele voorbeelden van warmte en idem van beweging. Antwoord: warmte bij een straalkachel en beweging bij een draaiende as van een motor.

Het vermogen in de wereld van de elektrische energie is het product van spanning en stroom, P = UI [W]. Het Watt vermogen in de wereld van de mechanica is P = ωT [W], waarbij ω = 2πf [rad/s] of omwentelingen in radialen per seconde. De frequentie f wordt in

3A 3A

3A 3A

3A

R


HAN-FT-CPM SEECE 11

de mechanica meestal het toerental n genoemd, zijnde het aantal omwentelingen per seconde. T is het koppel in [Nm].

Een voorbeeld waarbij het verband tussen het elektrisch en mechanisch vermogen wordt gelegd: Stel we hebben een elektrische 12V accuboormachine. Deze trekt een stroom van 6A als een acht millimeter boortje met 600 omwentelingen/minuut rond draait in een muur. Als we er gemakshalve van uit gaan dat de accuboormachine geen verliezen heeft, dan is het koppel eenvoudig te berekenen. Het elektrisch vermogen is P=UI = 12*6 = 72W. Het mechanisch vermogen is dan ook 72W = 2*3,14*10*T, dus het koppel T is 1,15Nm. Nu is het koppel weer gelijk aan Fr (lees ‘kracht*arm’). De arm is de straal van het boortje = 4mm = 0,004m. Dus de kracht van het boortje in de muur is te berekenen via 1,15 = F*0,004, dus F = 288N.

Blind vermogen

Blind vermogen is vermogen dat niet verloren gaat, maar afwisselend van de ene in de andere vorm voorkomt. Blind vermogen is net zo belangrijk in toepassingen als Watt vermogen.

Een voorbeeld in de mechanische wereld waar blind vermogen goed is te zien, is het slingeruurwerk van een klok. De potentiële energie (de uiterste stand van de slinger) wordt omgezet in kinetische energie (de hoogste snelheid van de slinger) en deze laatste zal door het doorslingeren weer zorgen voor maximale potentiële energie. De ene vorm van energie komt dus weer terug in de andere vorm van energie. De energie wordt dus steeds in elkaar omgezet en gaat niet verloren. We noemen dit dus Blind vermogen. Indien eea zonder verlies zou gebeuren, zou de slinger eeuwig doorslingeren en het blindvermogen gaat niet verloren (wordt niet omgezet in Watt vermogen). We hebben dus Blind vermogen nodig om iets voor elkaar te krijgen, namelijk dat er een goede vaste frequentie is en daarmee dat de klok gelijk blijft lopen.

Een voorbeeld van Blind vermogen in de elektriciteitswereld is een elektromagnetische golfbeweging dat we bij het omzetten naar Watt vermogen waarnemen als ‘zichtbaar licht’. In een elektromagnetische golfbeweging wisselen elektrische en magnetische energievelden elkaar uit als het slingeren bovenstaande slinger van een klok (potentiële energie in het elektrisch veld wisselt uit met kinetische energie dat zit opgesloten in het magnetische veld). Pas als deze golf van Blind vermogen een object raakt (en elektronen in beweging zet) wordt het Blind vermogen omgezet in Watt vermogen, zoals in de staafjes en kegeltjes in een oog waar we dit vermogen als licht ervaren. Om die reden kan een elektromagnetische golfbeweging in het heelal oneindig grote afstanden afleggen zonder dat het uitdempt. Pas als deze elektromagnetische golfbeweging iets tegenkomt, wordt een klein deel van het Blindvermogen omgezet in Watt vermogen en wordt ‘gebruikt’. Er blijft daarna minder Blind vermogen over. In tegenstelling tot de slinger van de klok wegen elektrische en magnetische velden niets, zodat licht zich ook nog eens verplaatst met de maximaal mogelijke snelheid, c = 3.108 m/s.

Andere voorbeelden van Blind vermogen worden gegeven als in dit dictaat de condensator en spoel zijn behandeld.


HAN-FT-CPM SEECE 12

3. Weerstand Als een stroom door een weerstand R = … Ohm [Ω] gaat, zal een deel van de energie die in de stroom zit worden omgezet in warmte. De stroomdoorgang van elektronen zetten atomen aan om harder te trillen doordat de elektronen ‘in botsing’ komen met deze atomen. Note: atomen trillen zelf al bij hun gewone omgevingstemperatuur (vaak kamertemperatuur).

Hoe groter de stroom, hoe warmer de weerstand wordt. Het effect is ook dat er daardoor een potentiaal verschil ontstaat over de weerstand. Dit drukken we uit in de wet van Ohm, namelijk: U = IR [V] Daarmee krijgen we ook: I = U/R [A] of R = U/I [Ω].

Note: de snelheid waarmee de stroom door de draad en de weerstand gaat verandert niet, wel de hoeveelheid elektronen die uiteindelijk door het hele circuit gaan, dus de grootte van de stroom.

Weerstanden krijgen veelal kleurcodes om de waarde van de weerstand te kunnen bepalen. In de elektronica wordt daar veel gebruik van gemaakt. Voor dit dictaat is het kennen van de kleurcodes niet nodig.

Voorbeeld 3.1: Een berekening van de spanning over en vermogen in een weerstand bij een gegeven stroom door een weerstand:

In dit voorbeeld loopt een stroom van 4A door een weerstand van 100Ω. De spanning over de weerstand zal nu U = IR = 4*100 = 400V bedragen. De linker kant van deze weerstand zal positief zijn ten opzichte van de rechterkant (verklaar dit).

Het vermogen dat in de weerstand wordt opgenomen (warmte) zal P = UI = 400*4 = 1600W = 1,6kW bedragen.

4A

R

100Ω

R

…. Ω Symbool weerstand

Voorbeelden van weerstanden. Links met kleurcode (2,2kΩ 1W) en rechts zonder kleurcode (15Ω 5W)


HAN-FT-CPM SEECE 13

Voorbeeld 3.2: berekening met spanningsbron met aangesloten weerstand:

Stel bovenstaande schakeling, waarbij de spanningsbron 10V is en de weerstand 5Ω. De stroom I zal dan 2A bedragen en rechtsom lopen (zie stroompijl). Deze stroom van 2A loopt in het gehele circuit en heeft overal dezelfde waarde, zowel in de draden, de weerstand als de bron. Zie het schema hieronder.

Over de weerstand zal nu een spanning vallen van 10V, met plus boven en min onder. Het zal logisch zijn dat de aangeboden spanning van 10V over de weerstand komt te staan, dus de plus en min over de weerstand zijn het gevolg van de aangeboden spanning. Zouden we in het circuit rondwandelen, dan zien we dat ook netjes gebeuren: + 10V – IR = + 10V – 2A*5Ω = + 10 – 10V = 0. De aangeboden spanning wordt dus ook weer afgebouwd in het circuit.

Kijken we nu naar de vermogens dan krijgen we via P = UI steeds 20W. Daarbij levert de bron 20W aan de weerstand die 20W opneemt of dissipeert.

Aangezien U = IR [V] en P = UI [W] krijgen we daarmee ook nog enkele formules voor het vermogen bij een weerstand die vaak handig kunnen worden gebruikt: P = I2R [W] of P = U2/R [W].

Het vermogen dat de bron levert is dus P = UI = 10*2 = 20W. Het vermogen in de weerstand kan dus ook bepaald worden via P = I2R = 22*5 = 20W of U2/R = 102/5 = 20W.

Overigens kunnen we ook zien dat de bron zelf geen vermogensverlies heeft. Deze ideale bron heeft namelijk zelf geen weerstand (vandaar in het symbool een doorgetrokken draad

+

–

10V

5Ω

I

+

–

U

R

I


HAN-FT-CPM SEECE 14

staat getekend), en daarom geldt Pverlies bron = I2R = 22*0 = 0. De bron wordt blijkbaar niet warm terwijl het vermogen afgeeft. In de praktijk gebeurt dat natuurlijk wel een klein beetje, maar zeer beperkt. Hoe beter de bron, hoe minder warm deze wordt. De warmteontwikkeling in een bron wordt bepaald door de inwendige weerstand van de bron. Wij gaan voorlopig uit van een ideale bron zonder inwendige weerstand. Mocht de bron wel een inwendige weerstand hebben, dan zullen we in het schema die weerstand ook meenemen en een waarde geven. Het wordt daarmee gewoon een onderdeel van het circuit. Datzelfde geldt voor de draden. We gaan uit van ideale draden zonder weerstand. Mocht er wel een weerstand zijn, dan tekenen we een weerstand en wordt het circuit ingewikkelder.

Weerstanden voor grotere of zeer grote vermogens worden vaak gekoeld, al dan niet actief met een geforceerde lucht– of waterstroom. Het zal duidelijk zijn dat dezelfde weerstand met een goede koeling meer vermogen aan kan zonder te verbranden.

weerstand met luchtkoeling

Vraag: hoe zou de weerstand van bovenstaande foto moeten worden gemonteerd in het circuit opdat de koeling het meest effectief is? Antwoord: door ten eerste de weerstand te plaatsen op een metalen plaat waardoor de afgifte van de warmte naar de lucht nog sneller verloopt. Verder zou het ook aan te bevelen zijn de ribben verticaal te plaatsen, zodat de opgewarmde lucht gemakkelijker wordt afgevoerd. Zorg er ten slotte voor dat de warme lucht via ventilatiegaten boven in het apparaat kan verlaten en dat koele lucht onder in het apparaat kan worden aangetrokken.

Vraag: wat zou er gebeuren als de ventilatieopeningen in een apparaat zijn afgesloten? Antwoord: de temperatuur in het apparaat loopt nu zo ver op dat de weerstanden hun vermogenswarmte niet meer kwijt kunnen. De temperatuur in de weerstand neemt dan verder toe tot dat deze verbrandt.

Voor wat betreft het koelen van halfgeleiders zoals transistoren, kan hetzelfde worden gezegd als bij weerstanden. Transistoren zijn tenslotte deels ook weerstanden. Een bepaalde transistor kan 2W vermogen hebben. Door diezelfde transistor goed te koelen zou het vermogen bijvoorbeeld 200W kunnen zijn. Zie foto hieronder.


HAN-FT-CPM SEECE 15

halfgeleider op koelplaat

Hoe groot een weerstand is hangt af van de soortelijke weerstand ρ (Griekse teken rho), de lengte l [m] en het oppervlak [mm2] van het materiaal. In formulevorm:

𝑅𝑅 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐴𝐴

[Ω]

Voorbeeld; Voor koper is ρ = 0,0179 en voor aluminium ρ = 0,03 en staal ρ = 0,17. Voor verschillende lengtes van draden en bijbehorende diameters is de ohmse weerstand vrij eenvoudig uit te rekenen. Bijvoorbeeld: Voor een hoogspanningslijn wordt een aluminium draad van 1km met een doorsnede d = 0,5cm gebruikt. De ohmse weerstand wordt dan R = 0,03*1000/19,625 = 1,53Ω (waarbij A = πr2 met r = 0,5d). Hier worden verder geen opgaven van gemaakt.

Bij een sinusvormige wisselspanning over een weerstand zal in de weerstand een sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Voor het bereken van het vermogen in een weerstand kunnen we dan niet uitgaan van de topwaarde van de sinus of de stroom, omdat de sinus ook door de nul gaat. De waarde van de sinus die we mee moeten nemen zodat ook de berekeningen met de vermogens kloppen heet de effectieve waarde.

We bepalen de effectieve waarde als volgt:

Stel dat een gelijkstroom door een weerstand R loopt. Het vermogen in de weerstand is dan P = I2R.


HAN-FT-CPM SEECE 16

Voor het bepalen van het gemiddelde vermogen bij een sinusvormig signaal moeten we ook uitgaan van het kwadraat van de sinus. We krijgen dan voor het gemiddelde vermogen: 𝑃𝑃 =𝑃𝑃 = 1

𝑇𝑇 ∫ 𝑖𝑖2(𝑡𝑡)𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇0 = 1

𝑇𝑇 ∫ (î𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡)2𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇0

Dit is dus gelijk aan de ‘effectieve’ gelijkstroom die hetzelfde vermogen zou geven in dezelfde weerstand of wel; 𝐼𝐼2𝑅𝑅

Derhalve krijgen we 𝐼𝐼2𝑅𝑅 = 1𝑇𝑇 ∫ (î𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡)2𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇

0

Dus 𝐼𝐼 = 1𝑇𝑇 ∫ (î𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡)2𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇

0

Werken we dit uit dan vinden we dat

𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟐𝟐√𝟐𝟐 î of î= √𝟐𝟐𝑰𝑰

Ditzelfde is ook voor de spanning van toepassing.

In de elektrotechniek worden sinusvormige wisselspanningen en stromen altijd weergegeven door de effectieve waarde te noemen en daarmee te rekenen. Dan volgen van daar uit ook de juiste waarden voor de vermogens.

De wisselspanning thuis is U = 230V. Dit is dus de effectieve waarde. De topwaarde is √2*230 = 325V. De voltmeter die de spanning meet geeft dus 230V aan. Zouden we met een oscilloscoop het signaal bekijken, dan zien we de sinusvormige wisselspanning met die û = 325V als topwaarde vanzelfsprekend wel in beeld.

Voorbeeld 3.3: Een sinusvormige wisselspanning is 230V. Deze wordt aangesloten op een straalkachel waarvan de warmtespiraal een weerstand van 100Ω heeft. Berekend het vermogen in de weerstand. Antwoord: P = U2/R = 529W.

Vraag: We zien op een oscilloscoop een zuiver sinusvormig signaal met een topwaarde van 8V. Deze spanning wordt aangesloten op een weerstand van 4Ω. Bereken het vermogen dat

de bron levert en de weerstand opneemt. Antwoord: P = U2/R = 8√22

4= 8𝑊𝑊


HAN-FT-CPM SEECE 17

4. Meetapparatuur Om spanningen, stromen, vermogens en weerstanden te kunnen meten is apparatuur ontwikkeld. Tijdens de labopdrachten zullen we daar kennis mee maken.

Veel meters waren vroeger van zodanige kwaliteit dat ze veelal de meting zelf verstoorden. Tegenwoordig zijn de meters zo goed, dat dit nauwelijks nog speelt, en zeker niet voor de metingen die wij doen in ons lab. Wij gaan er van uit dat de meters ‘ideaal’ zijn.

We zullen in dit dictaat daarom slechts één opgave geven van een niet ideale voltmeter. Deze opgave staat verderop in dit dictaat. Nu volgt een korte uitleg van de meters zelf.

Voor het meten van spanningen, stromen en weerstanden gebruiken we een meter zoals hiernaast aangegeven.

Spanningsmeting

Een voltmeter meet de spanning tussen twee punten. De twee draden die uit de voltmeter komen sluiten we daarom altijd OVER een component aan. De voltmeter moet wel goed ingesteld staan. Zouden we de voltmeter op ‘gelijkspanningsmeting’ zetten terwijl er een zuivere sinusvormige wisselspanning staat, dan meten we 0V. Dit komt omdat de voltmeter de gemiddelde spanning meet.

Bij een zuivere sinusvormige spanning zetten we de meter op wisselspanning. De meter geeft dan de effectieve waarde van de spanning aan.

De meters die we in het lab gebruiken zijn digitaal en gaan na verloop van tijd vanzelf uit. Als we ze weer aanzetten moeten we vaak weer de keuze maken of we een gelijk- of een wisselspanning meten. In onderstaand circuit meten we de spanning over de weerstand en zal de voltmeter 10V aanwijzen. De voltmeter zelf heeft een inwendige weerstand die zo hoog is, dat ze ten opzichte van het circuit geen invloed heeft. Wij rekenen aldaar met een oneindig (∞) hoge weerstand.

Het zal logisch zijn dat als we bij een gelijkspanning de meter andersom aansluiten, de voltmeter –10V zal aangeven. Bij een wisselspanning maakt het niet uit of we de voltmeter andersom aansluiten.

professionele meter voor lab


HAN-FT-CPM SEECE 18

Stroommeting

Een stroom meten we met een zogenaamde Ampèremeter zoals in de foto hierboven weergegeven, door IN een circuit, of beter gezegd IN een draad te meten. Zouden we de stroom willen meten in een bestaand circuit op bijvoorbeeld een printplaat, dan betekent dit dat we de draad aldaar moeten onderbreken om de meter er tussen te zetten. Dat is vaak niet te doen.

Zie onderstaand schema waar de meter vanzelfsprekend zelf nagenoeg geen inwendige weerstand heeft en daardoor de schakeling niet zal beïnvloeden. Wij rekenen met een inwendige weerstand van 0Ω.

Zie in onderstaande schakeling de stippellijn, zijnde de oorspronkelijke schakeling.

Ook hier kan bij een gelijkstroom de meter verkeerd om zijn aangesloten en zal deze in plaats van + 2A dan – 2A aanwijzen.

A

+

–

10V

5Ω

2A +

–

10V

V

V

Ⱶ

+

–

10V

5Ω

2A +

–

10V

A Ⱶ


HAN-FT-CPM SEECE 19

Grote stromen kunnen we ook meten door rond de draad de sterkte van het bijbehorende magnetische veld te meten. Dat wordt met een stroomtang gedaan. We kunnen de draad waar de stroom door meten in tact laten. De bek van de tang kan geopend worden en om de draad worden geplaatst. Hiernaast is een voorbeeld van een stroomtang gegeven.

Vermogensmeting

Het vermogen in een circuit meten we met een meter door tegelijk de spanning en de stroom te meten. Niet elke meter kan dit en vraagt om speciale meters.

We gebruiken bij een watt meter drie aansluitingen op de meter. De Ⱶ kant als basisingang en een kant voor de spanning (V) en een kant voor de stroomaansluiting (A). Zie de foto hiernaast. Het circuit ziet er dan als volgt uit:

Deze meter zal 20W aanwijzen, zijnde het vermogen dat door de bron geleverd wordt of door de weerstand wordt opgenomen.

Weerstandsmeting

Tenslotte kunnen we ook de weerstand in een circuit meten. Normaal gesproken maken we het circuit spanningsloos, omdat de meter zelf een voeding heeft voor de weerstandsmeting. Voor deze meting maken we het betreffende onderdeel aan ten minste één zijde los van het

stroomtang

meter met Watt meter

+

–

10V

5Ω

2A +

–

10V

W

V

A Ⱶ


HAN-FT-CPM SEECE 20

circuit. Dit is vaak in bestaande circuits niet goed te doen. Weerstandsmetingen of ‘ohm–metingen’ worden derhalve niet vaak gedaan of er moet al redelijk duidelijk zijn dat een bepaalde weerstand echt de oorzaak is van een probleem. In dat geval loont het de moeite om een dergelijke stap te maken. Omgekeerd wordt de weerstandsmeting ook vaak gebruikt om te kijken of een bepaalde draad niet is doorgebrand. Door simpel de weerstand in een circuit te meten zouden we de draadweerstand van nagenoeg nul ohm moeten meten. Dat er hogere weerstanden in de buurt zijn doet er dan niet toe. Meten we wel een behoorlijke weerstandswaarde, dan kunnen we eenvoudig stellen dat de betreffende draad dus is doorgebrand of de printplaat aldaar een breuk vertoont.

Voor de meting van de weerstand zelf gebruikt de meter een eigen batterij en laat een stroom lopen in het circuit van de aangesloten weerstand. Op basis van de stroomgrootte kan dan vastgesteld worden wat de weerstandswaarde is.

In het schema hieronder wordt één bepaalde weerstand deels losgehaald (zie stippellijn, zijnde de oorspronkelijke schakeling) en met de weerstandsmeter gemeten.

Vraag: Waarom hoeft in bovenstaande schakeling maar één kant van de weerstand te worden onderbroken voor een weerstandsmeting? Antwoord: R1 vormt met de meter een gesloten circuit waar stroom kan lopen. Die stroom kan alleen vanuit de batterij van de meter komen. De spanning U en alle andere weerstanden hebben daarop geen enkele invloed. U vormt nu met R2, R3 en R4 wel een gesloten circuit, maar staat los van het circuit met R1 en de meter. Het maakt dus niet uit of U wel of geen spanning heeft. Bij een weerstandsmeting wordt de spanning om twee redenen wel uitgeschakeld.

Vraag: welke twee redenen zijn dat? Antwoord: 1) veiligheid en 2) omdat in een circuit gemeten wordt kan per ongeluk kortsluiting met meetpennen ontstaan, waardoor het circuit defect kan gaan.

In dit dictaat laten we verder de meters zo veel mogelijk weg. Tijdens de laboefeningen komen de meters vanzelfsprekend weer terug.

R3

R2

+ – U

R1 R4 Ω


HAN-FT-CPM SEECE 21

5. Vermogensrichting Voor het bepalen of een vermogen wordt geleverd of opgenomen, wordt de stroom die in de richting van een element (bron of weerstand) loopt positief genoemd, en vandaar uit wordt gerekend met P = UI.

Voorbeeld 5.1: In onderstaande situatie loopt de stroom in de bovenste draad getekend in het circuit met de klok mee rechtsom. Over de weerstand staat 10V en de stroom door de weerstand is 2A. Het vermogen in de weerstand is dan P = UI = 10*2 = 20W. Bij de bron van 10V moeten we constateren dat de stroom bij de min zijde van de bron naar binnen gaat (of bij de plus van de bron er uit gaat).

Voor het invullen van de formule voor het vermogen moeten echter de stroom nemen die bij de plus van de bron naar binnen gaat. De stroompijl moeten we dus feitelijk omkeren en de stroom daar –2A maken. Zie daartoe het volgende schema.

Daarmee krijgen we bij de bron P = UI = 10*(–2) = –20W. We hadden overigens ook uit kunnen gaan van het oorspronkelijke schema en kunnen schrijven P = U*– (I), omdat de stroompijl voor de vermogensberekening verkeerd om staat. Invulling levert P = 10*–(2) =

+

–

10V

5Ω

2A +

–

10V

+

–

10V

5Ω

2A +

–

–2A


HAN-FT-CPM SEECE 22

–20W. Let hierbij op de haakjes die nu op een andere plek staan. Deze laatste schrijfwijze is wel zo handig omdat we anders extra stroompijlen moeten tekenen en de tegenwaarden er bij moeten zetten. Dat is verwarrend en niet nodig.

Het resultaat zal met deze rekenwijze een positief of negatief vermogen worden. Een positief vermogen betekent dat het vermogen opgenomen wordt (bv in een weerstand die warm wordt) en een negatief vermogen betekent dat vermogen wordt geleverd (bv een bron die vermogen levert).

Verder geldt:

In een willekeurige schakeling hebben we altijd vermogensevenwicht:

Dus Pgeleverd + Popgenomen = 0

Voorbeeld 5.2: Stel een bron met een spanning van 20V wordt via een weerstand van 4Ω aangesloten op een accubatterij met een spanning van 12V, volgens onderstaand schema.

Aangezien de bronspanning van 20V overheerst, zal de richting van de stroom in het gehele circuit logischerwijs rechtsom zijn. De waarde van de stroom is te vinden door de spanning over de weerstand te bepalen. Die spanning is 20V – 12V = 8V. De stroom door de weerstand is I = UR/R = 8/4 = 2A. Aangezien er geen vertakkingen zijn, is dit dus de stroom in het gehele circuit.

Kijken we nu naar de vermogens dan zien we het volgende: Bij de bron loopt de stroom uit de plus en moeten we de stroom dus negatief nemen: Pbron = 20*–(2) = –40W. Bij de weerstand zal de spanning waar de stroom binnenkomt altijd positief en de andere kant altijd negatief zijn (ga na waarom), dus voor het bepalen van het vermogen krijgen we PR = URIR = 8*2 = 16W. (Dit kan natuurlijk ook via PR = IR

2R = 22*4 = 16W of via PR = UR2/R = 82/4 =

16W. Door het kwadraat van de stroom zal PR dus altijd positief zijn). Ten slotte het vermogen van de accubatterij van 12V. Daar gaat de stroom bij de plus naar binnen, dus Paccu = 12*2 = 24W.

+

–

20V

4Ω I =2A

+ –

+

–

12V

8V


HAN-FT-CPM SEECE 23

Het resultaat van dit voorbeeld is dat de bron met een negatief vermogen van – 40W levert aan de weerstand en de accu. De accu wordt dus opgeladen en neemt vermogen op.

Inderdaad (Pgeleverd) + (Popgenomen) = (– 40W) + (+16W + 24W) = – 40W + 16W + 24W = 0

Kijken we nog even naar de spanningen die al rondwandelend op 0 moeten komen, dan vinden we volgens de + en – tekening: + (Ubron) – (UR) – (Uacc) = 0. Voor de haakjes staat dus wat de + en – van de spanningen volgens de tekening doen. Binnen de haakjes staat de werkelijke waarde. Vullen we nu de gegevens die berekend zijn in, dan krijgen we:

+ (+20V) – (+IR) – (+12V) = 20V – (2A*4Ω)– 12V = + 20V – 8V – 12V = 0. Dat klopt dus.

Voorbeeld 5.3: Zie onderstaand schema. Zouden we hier ditzelfde doen dan krijgen we: + (+20) – (–2*4) – (U) = 0. Hieruit volgt dat U = 28V.

Bekijken we dit schema nog eens met de gevonden getallen, dan zien we dat de stroompijl inderdaad eigenlijk naar links zou moeten worden getekend. Dat kan ook, maar dan moet I = +2A er bij staan EN daardoor veranderen de plus en min over de weerstand ook! We krijgen dan onderstaand schema met bijbehorend de volgende vergelijking: +(+ 20) +(2*4) – U = 0. Ook dan vinden we dat U = + 28V.

+

–

+20V

4Ω I = –2A

+ –

+

–

U

+

–

+20V

4Ω I = +2A

+ –

+

–

U


HAN-FT-CPM SEECE 24

Vraag: Stel in onderstaand circuit de bronspanning 100V, de accu rechts is 25V en de weerstand is 5Ω. Bereken de stroom in het circuit, bepaal de vermogens bij alle elementen en controleer of spanningsop en -afbouw op 0V uit komt. Antw: I = 15A. Pbron = –1500W, Paccu = 375W en PR = 1125W. Dit klopt met Pneg = Ppos. Voor de spanningen krijgen we: + Ubron –UR – Uacc = + 100V – (IR) – 25V = + 100V – 75V – 25V = 0

Vraag: Stel in bovenstaand circuit dezelfde gegevens als bij de vorige vraag, maar de accu wordt andersom aangesloten. Teken en bereken eea opnieuw. Antw: I = 25A, Pbron = – 2500W, Paccu = – 625W en PR = 3125W. Dit klopt met Pneg = Ppos.

In meer ingewikkelde circuits is het vaak niet te zien in welke richting een stroom gaat lopen. We kiezen de stroomrichting met een pijl willekeurig. Het komt achteraf, zoals zojuist aangetoond, vanzelf goed nadat we de berekening verder toepassen.

Het maakt niet uit hoe we de pijlrichting van de stroom tekenen. Maar het is wel belangrijk dat als een stroompijl wordt getekend, de bijbehorende + en – bij de weerstand juist worden gekozen.

6. Halfgeleiders Halfgeleiders zijn bijzondere componenten die vooral in de elektronicatechniek zoals de componenten van een computer een belangrijke rol vervullen. Een paar componenten zien we ook terug in de sterkstroomtechniek. Daar wordt bij het vak vermogenselektronica meer aandacht aan gegeven. Nu zullen we eea meenemen binnen netwerkberekeningen, zodat voor het totaalbeeld een goed begrip ontstaat.

+

–

I0

5Ω I

+ –

+

–

25V


HAN-FT-CPM SEECE 25

De bekendste halfgeleiders zijn diodes en transistoren. De diodes zijn halfgeleiders die de stroom in één bepaalde richting doorlaten. De diodes zijn verder onder te verdelen in gewone diodes en thyristors.

Transistoren zijn in staat om de stroomgrootte te regelen. Ze zijn onder te verdelen in de gewone transitoren (BJT’s, Bipolaire Juntion Transistoren of Transistors) en veldgestuurde transistoren (FET’s, Field Effect Transistors).

We behandelen nu alleen de diodes en thyristors.

Diode

Een diode is een halfgeleider die de stroom in één richting goed doorlaat (doorlaatrichting) en in de omgekeerde richting blokkeert (sperrichting). De maximale stroom in doorlaatrichting is beperkt omdat de diode ook in doorlaatrichting een eigen weerstand heeft. Daardoor zal de diode in doorlaatrichting warm worden en zo nodig gekoeld moeten worden. Tevens zal de diode in doorlaatrichting een spanningsval hebben die voor een deel vrijwel gelijk is bij elke stroom die door de diode loopt, maar voor een deel ook afhangt van de grootte van de inwendige weerstand van de diode. Omgekeerd zal de diode bij een te hoge sperspanning kunnen doorslaan, de zgn doorslagspanning. De maximaal in de praktijk gebruikte sperspanning is globaal 70% van de doorslagspanning.

Het symbool van een diode is als volgt:

symbool diode

diode

De stroom zal alleen van links naar rechts kunnen lopen. De diode zal dan bij de anode iets positief zijn ten opzichte van de kathode. De meeste diodes hebben dan een spanning van ongeveer 0,3 tot 0,6V, afhankelijk van het type diode (0,3V bij Germanium = Ge of 0,6V bij

transistor

anode kathode


HAN-FT-CPM SEECE 26

Silicium = Si) en in zekere mate ook afhankelijk van de grootte van de stroom. Zie onderstaande grafiek voor een bepaalde Si diode. Het zal opvallen dat deze diode in sperrichting tot maximaal 30V is te gebruiken (70% van doorslagspanning). In sperrichting loopt er een uiterst kleine stroom die we over het algemeen kunnen verwaarlozen. De inwendige weerstand van de diode is daarom in sperrichting ‘oneindig’ hoog.

In het vervangschema moeten we kijken in welke toestand de diode zich zal bevinden. Indien deze in geleiding is zal het vervangschema er uitzien als een spanningsbron van ongeveer 0,3V of 0,6V met in serie daarmee de inwendige weerstand Ri. Deze laatste is sterk afhankelijk van de toepassing. Hoe groter de gewenste stroomdoorgang, hoe kleiner deze Ri moet worden gekozen. In sperrichting wordt over het algemeen niets getekend, zijnde een ‘weerstand’ met een oneindig hoge waarde.

We krijgen dan als vervangschema in doorlaatrichting het volgende:

Vraag: Stel dat we te maken hebben met een silicium diode met een inwendige weerstand van 0,1Ω. De stroom in doorlaatrichting is 8A. Bepaal de spanning over en het vermogen in de diode. Antwoord: De spanning over de diode is bij deze stroom totaal 0,6V + 0,8V en het

Spanning U over de diode

Stroom I door de diode

0,6V

-43V

+ –

Ud Ri

Id

+ –


HAN-FT-CPM SEECE 27

vermogen in de diode zal 4,8W + 6,4W zijn. Beide vermogens zijn positief en worden opgenomen.

Vraag: verklaar dat bij hoge spanningen en grote stromen bij een diode niet de 0,3V of 0,6V van de diode een rol speelt, maar vooral de inwendige weerstand. Antwoord: De 0,3V of 0,6V vallen in het niet bij een hoge spanning. Een grote stroom zal in de inwendige weerstand van de diode voor een groot vermogen zorgen en mogelijk ook een behoorlijke spanning geven over de inwendige weerstand.

Zouden we bijvoorbeeld een silicium diode in een wisselspanningschakeling opnemen, dan zal in de positieve helft van de sinus de diode gaan geleiden en daarover dan 0,6V of een iets hogere spanning over komen te staan. De hogere spanning over de diode ontstaat dus als de stroom groot is. Indien over de diode de negatieve sinus komt te staan, dan zal er geen stroom lopen en zal de volledige negatieve spanning over de diode verschijnen. Zie onderstaande schakeling en bijbehorende grafiek.

Vraag: Wat wordt de maximale diodestroom? Antwoord: Als de topwaarde van de bronspanning 5V bedraagt, wordt de topwaarde van de stroom in het circuit, en dus de stroom door de diode U/R = (5V – 0,6V)/(5Ω + 0,2Ω) = 0,85A.

Vraag: idem met een bronspanning van 100V wisselspanning en een R van 20Ω. Antwoord: I ≈ 100/20 = 5A. De diodespanning van 0,6V en de Ri van 0,2Ω vallen dan in het niet ten opzichte van de andere waarden in de schakeling.

+5V

+

–

5Ω I

+ –

+

–

Diodestroom

Diodespanning

Bronspanning

Si diode met Ri = 0,2Ω

+0,6V


HAN-FT-CPM SEECE 28

Thyristor

Voor in dit dictaat is het alleen van belang dat de lezer weet wat een thyristor is. Er worden geen opgaven mee gemaakt.

vermogens thyristor

Een thyristor is een diode die pas dan in geleiding komt als deze door middel van een kleine stuurstroom (puls) aangezet wordt. De thyristor gaat vanzelf weer uit als de spanning over de thyristor omkeert. Zie onderstaande grafiek. Hierin is het aanzetten via de puls op de

anode kathode

aansluiting voor stuurpuls

symbool thyristor

+10V +

–

Si

5Ω I

+ –

+

– -10V

Thyristorstroom

Thyristorspanning

Bronspanning

+0,6V


HAN-FT-CPM SEECE 29

stuuringang van de thyristor het verlate moment (in dit voorbeeld op ongeveer 100 graden vanaf het begin van de periode) dat de stroom de gegeven waarde krijgt.

7. Netwerken

Wetten van Kirchhoff

Om in een elektrisch net met bronnen en weerstanden te kunnen rekenen aan spanningen, stromen en vermogens zijn verschillende rekenmethoden ontwikkeld. Wij gebruiken in dit dictaat slechts één methode, namelijk de wetten van Kirchhoff. Soms werkt een andere methode handiger of sneller, maar een feit is dat de methode via de wetten van Kirchhoff redelijk gemakkelijk in gebruik zijn, en deze methode vrijwel altijd toe te passen is.

In dit dictaat beperken we ons tot eenvoudige netwerken.

Opzet

De 1e Wet van Kirchhoff geeft aan dat de som van de stromen die in een knooppunt bij elkaar komen altijd 0 is. Kortweg ∑I = 0. We doen dit in een net voor alle knooppunten minus één. We noemen de stroom naar een knooppunt toe positief en als de stroom er vanaf gaat negatief.

De 2e Wet van Kirchhoff geeft aan dat als we in een net rondwandelen (en terugkomen waar we begonnen) de som van alle spanningen 0 zijn. Kortweg ∑U = 0. We doen dit voor elke zgn binnenmaas in een net. We wandelen vanaf een willekeurig punt rechtsom (met de klok mee) en noemen spanningsverhogingen positief en spanningsverlagingen negatief.

Voorbeeld 7.1 De 1e Wet van Kirchhoff: Zie onderstaande schema’s en merk op dat in de volgende knooppunten het volgende van toepassing is:

Knooppunt P; + 3 + 7 – 10 = 0 Knooppunt Q; + 3 + 7 + (– 10) = 0

Knooppunt R; + 2 – 4 – (– 2) = 0 Knooppunt S; + 4 + 4 – 8 = 0


HAN-FT-CPM SEECE 30

Vraag: Bereken in bovenstaande schema’s in knooppunt T de waarde van I1, en in knooppunt U de waarde van I2.

Antwoord: knooppunt T; + 2 + 4 – I1 = 0, dus I1 = 6A en knooppunt U; – 4 – 4 + I2 = 0, dus I2 = 8A.

Voor de keuze van het aantal knooppunten zien we in onderstaand schema twee knooppunten, knooppunt A en knooppunt B. Knooppunt A levert + I1 – I2 – I3 = 0 en knooppunt B levert – I1 + I2 + I3 = 0.

Dit zijn goed beschouwd twee dezelfde vergelijkingen (ze zijn afhankelijk). Daarom kiezen we één van de knooppunten A of B om mee te nemen in het rekenwerk. Dit is om afhankelijkheid in het rekenwerk te voorkomen (daarover later meer). Hebben we bijvoorbeeld in een netwerk 8 knooppunten, dan volstaan 7 knooppunten voor het rekenwerk. Welk knooppunt niet mee doet is mogelijk wat lastig om te zien, maar in de circuits die wij in dit dictaat behandelen beperken we ons tot maximaal 3 knooppunten, en is het eenvoudig te zien welk knooppunt wegvalt.

Voorbeeld 7.2: De 2e Wet van Kirchhoff:

8A –2A

4A 4A 2A

10A

3A 7A

–10A

3A 7A

I2 I1

4A 4A 2A

P

Q

R S

T U

+

+ –

– + NA

B

I1 I2 I3


HAN-FT-CPM SEECE 31

In onderstaande schema’s P, Q, R en S krijgen we:

P; + (3) + (12) – (–4) – (U) = 0, dus U = 19V.

Q; + (– 3) – (12) – (4) + (U) = 0, dus U = 19V.

We gaan nu niet meer alle haakjes erbij zetten en kijken naar R en S (Let op, eerst de spanningspotentialen + en – rond de weerstanden zetten)

R; + 3 + 12 – (3*10) – U = 0, dus U = – 15V.

S; + 3 + 12 – (– 3*10) – U = 0, dus U = 45V.

3V

12V

– 4V

U

+

+

+

+

–

–

–

–

– 3V

12V

4V

U

+

+

+

+

–

–

–

–

P Q

– 3A 3A

3V

12V

U

+

+

+

–

–

–

10Ω 3V

12V

U

+

+

+

–

–

–

10Ω R S


HAN-FT-CPM SEECE 32

Voorbeeld 7.3: Bereken de spanning U en stromen I1 en I2 in onderstaand netwerk. Zet eerst bij de weerstanden volgens de gekozen pijlen van de stromen de juiste plus en min rond de weerstanden. Volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we dan in de linker maas rondwandelend: – U + 3 + 12 – (2*10) = 0 en daaruit volgt U = – 5V. In de rechter maas vinden we ook rondwandelend + (2*10) – 11 + ( I2*9) = 0, dus I2 = –1A. Uit de 1e Wet van Kirchhoff kunnen we vervolgens I1 berekenen, als volgt: Stel we nemen het onderste knooppunt. We vinden daar – I1 + 2 – I2 = 0. Door de gevonden stroom I2 in te vullen krijgen we – I1 + 2 – (–1) = 0. Daaruit volgt I1 = 3A.

Passen we de wetten van Kirchhoff toe in een willekeurig net dan maakt het formeel niet uit of we stromen naar een punt positief noemen en dan de stromen die van een punt af gaan negatief, of andersom. Dat zelfde geldt voor de spanningen. Het maakt niet uit of we linksom of rechtsom wandelen en waar we beginnen, en het maakt ook niet uit of we een spanningsophoging positief of negatief noemen, mits we maar consequent dit voor het hele net op gelijke wijze doen. Voor dit vak spreken we af zoals het in de definitie staat genoemd, zodat we in de uitleg dezelfde opzet in het rekenwerk terug zien.

Als we met de wetten van Kirchhoff aan de slag gaan, ontstaan stelsels vergelijkingen. Om een wiskundige oplossing te krijgen moeten we het aantal vergelijkingen gelijk krijgen aan het aantal onbekenden. Daarbij moeten we oppassen dat er geen ‘afhankelijkheid’ ontstaat. Bijvoorbeeld: I1 + I2 – I3 = 0 en I3 – I2 = I1 zijn dezelfde vergelijkingen. Deze zijn afhankelijk. Eén van beide nemen we mee als vergelijking. Nu is dat in dit geval snel te zien. In veel andere gevallen is het lastiger. Stel we hebben 3a + 2b = 6, a – b = 4 en 4a + b = 10. Nu blijkt dat de 3e vergelijking de som is van de eerste twee of de tweede is het verschil tussen de eerste en de derde enz, dus één van deze drie vergelijkingen is hier ‘afhankelijk’. Er zijn hier dus maar twee onafhankelijke vergelijkingen. Met welke twee vergelijkingen we verder rekenen is niet van belang, mits deze twee maar onafhankelijk zijn.

Om in elektrische netten te voorkomen dat we per ongeluk afhankelijke vergelijkingen opzetten voor het verdere rekenwerk, passen we daarom de regels toe zoals aangegeven bij de wetten van Kirchhoff.

We gaan de twee wetten van Kirchhoff nog eens nalopen en beginnen met een eenvoudig circuit met één maas. Zie onderstaand schema. In dit geval zijn er geen knooppunten en de stroom zal zich nergens verdelen. De 1e Wet van Kirchhoff vervalt dus. De stroompijl is willekeurig gekozen en zal bij deze keuze er voor zorgen dat bovenaan de weerstand een + en onderaan de weerstand een – komt. Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we, als we rechtsonder beginnen (startpunt maakt overigens niet uit) en zoals afgesproken met de klok mee wandelen, de volgende spanningen: – (8) + (3) – (UR) = 0

I1

2A

3V

12V

U

+

+

+

–

–

–

10Ω

I2

9Ω

+ –

11V


HAN-FT-CPM SEECE 33

Dit uitwerken levert – 8 + 3 – (I*10) = – 8 + 3 – I*10 = 0. Dus I = – 0,5A.

Rekenen we ook de vermogens uit dan krijgen we:

P3V = 3*– (– 0,5) = 1,5W, P8V = 8*(– 0,5) = – 4W en PR = I2R = 2,5W. De bron van 8V levert dus het vermogen aan de bron van 3V en de weerstand van 10Ω. De bron van 3V wordt dus opgeladen en is blijkbaar een accu.

Vraag: wat zou er gebeuren als in een transistorradio, waar normaal gesproken vier oplaadbare batterijen van 1,2V in zitten, één van de batterijen verkeerd om wordt geplaatst? Antw: de totale spanning in het circuit wordt nu 3,6V – 1,2V = 2,4V. Teken dit schema. De stroom die, als de radio aan staat ten gevolge van die totaalspanning 2,4V gaat lopen, zal de verkeerd om zittende oplaadbare batterij in zijn eigen circuit verder opladen (of als deze al vol is niet verder kunnen opladen), terwijl de drie andere batterijen verder leeg raken. Het eindresultaat is dat de drie batterijen die op de juiste wijze in het apparaat zitten zo ver leeg raken dat ze totaal 1,2V afgeven en de volle verkeerd om zittende batterij zal dan 1,2V zijn. De totale spanning in het circuit is dan 1,2 – 1,2 = 0. Het apparaat is dan stroomloos.

We gaan nu een netje maken met twee mazen:

De stroomrichtingen I1, I2 en I3 zijn ook hier willekeurig gekozen. De startpunten voor de 2e Wet van Kirchhoff zijn eveneens willekeurig gekozen (natuurlijk wel één startpunt per binnenmaas). Eerst kijken we naar de 1e Wet van Kirchhoff. Er zijn twee knooppunten waarbij we volkomen willekeurig (vrije keuze) het onderste knooppunt kiezen. We krijgen dan de eerste vergelijking:

– I1 + I2 – I3 = 0

– +

8V

I

3V

+

–

10Ω

I2 +

–

10Ω

I3

3Ω

+ –

15V I1

30V


HAN-FT-CPM SEECE 34

Aangezien er drie onbekenden zijn, moeten we nog twee andere vergelijkingen creëren. Die volgen uit de 2e Wet van Kirchhoff:

+ 30 – (I2*10) = 0

+ (I2*10) – 15 + (I3*3) = 0

Uit de 2e vergelijking volgt I2 = 3A. Vullen we dit in de derde vergelijking in dat vinden we

I3 = –5A.

Zetten we dit in de 1e vergelijking dan krijgen we: – I1 + (3) – (– 5) = – I1 + 3 + 5 = – I1 + 8 = 0. Dus I1 = 8A.

De vermogens worden nu:

P30V = 30*– (8) = – 240W, P15V = 15*– (– 5) = 75W, P10Ω = I22*10 = 32*10 = 9*10 = 90W en

P3Ω = I32*3 = (–5)2*3 = 75W. De som van de vermogens is 0, dus dit klopt.

Vraag: doe bovenstaand opnieuw met de keuze van het bovenste knooppunt voor de 1e Wet van Kirchhoff. (De antwoorden blijven gelijk).

Vraag: Neem nu de voorgaande schakeling, maar we keren de pijl van I1 om. Zie onderstaande schakeling. Doe de berekening voor de stromen en de vermogens nogmaals. De antwoorden zullen gelijk zijn aan het voorgaande, behalve dat I1 = –8A. Ook het vermogen van de linker bron blijft gelijk. P30V = 30*(–8) = –240W.

Vraag: gegeven onderstaande schakeling. Geef alle vergelijkingen volgens de Wetten van Kirchhoff. Antwoord: + 10 + I1R1 – 15 = 0, + 30 – I3R2 = 0, + I3R2 – 10 + I4R3 = 0, I1 + I2 + I5 = 0, – I2 – I3 + I6 = 0, – I6 – I1 + I4 = 0 en – I5 + I3 – I4 = 0, welke laatste vergelijking afhankelijk is en komt te vervallen (andere keuze had natuurlijk ook goed geweest).

Vraag: Stel dat R1 = R2 = R3 = 1kΩ. Bereken de stromen. Antwoord: Uit de eerste vergelijking volgt I1 = 5mA, uit de 2e vergelijking volgt I3 = 30mA, dan kunnen we daarmee via de 3e vergelijking I4 bepalen, met de 6e vergelijking I6, met de 5e vergelijking I2 en ten slotte met de 4e vergelijking I5.

Vraag: ga met bovenstaande gegevens en verdere berekeningen van alle stromen de vermogens bepalen en controleer of Pgeleverd = Popgenomen.

I2

30V

+

–

10Ω

I3

3Ω

+ –

15V I1


HAN-FT-CPM SEECE 35

Serie en parallel schakelen van weerstanden

In veel gevallen kunnen we in een elektrisch net vormen zien van serie en parallel en daarmee het rekenwerk vereenvoudigen.

Daarbij geldt voor weerstanden die in serie staan: 𝑹𝑹𝒗𝒗 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟑𝟑 + ⋯

Voorbeeld 7.4: In onderstaand schema ziet de bron U de drie weerstanden in serie. De stroom die de bron aan deze weerstanden levert is U/(R1 + R2 + R3).

Bij parallelschakelingen geldt: 𝟏𝟏𝑹𝑹𝒗𝒗

= 𝟏𝟏𝑹𝑹𝟏𝟏

+ 𝟏𝟏𝑹𝑹𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏𝑹𝑹𝟑𝟑

+ …

Voorbeeld 7.5: de spanningsbron U ziet nu de onderstaande weerstanden parallel. De stroom die de bron levert aan de weerstanden is I = U/Rv

I6 I3

30V

+

–

R1

I4

R3

+ – 10V

I1

+ –

15V

I2

I5

R2

R1 R2 R3

R1

R2

R3


HAN-FT-CPM SEECE 36

en als er slechts twee weerstanden parallel staan geldt: 𝑹𝑹𝒗𝒗 = 𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟐𝟐𝑹𝑹𝟏𝟏+𝑹𝑹𝟐𝟐

Voorbeeld 7.6: Zie onderstaande schakeling die we eerder tegenkwamen.

Hier staan de twee weerstanden van 4Ω en 6Ω in serie en de twee weerstanden van 2Ω en 8Ω staan parallel. We zouden dus het schema nu kunnen vereenvoudigen en krijgen dan:

Let op, nu verdwijnen de individuele stromen I2, I3, I5 en I6. Wel kunnen we constateren dat de stroom door de weerstand van 1,6 Ω dezelfde waarde moet hebben als de oorspronkelijke I2 + I3. Doordat het schema vereenvoudigd is kan hier nu gemakkelijker worden gerekend. Het is dan vervolgens de bedoeling om stapsgewijs weer terug te gaan naar het oorspronkelijke schema en de overgebleven stromen ed terug te vinden. In de loop van dit dictaat komen daar nog voorbeelden van.

Bij serie en parallel wordt zuiver serie en zuiver parallel bedoeld. Dit betekent dat als we bijvoorbeeld een seriekring hebben er geen enkele aftakking onderweg is. Eenvoudig gezegd betekent dit dat bij een seriekring in elk onderdeel dezelfde stroom loopt. Bij parallel betekent dit dat over elk onderdeel dezelfde spanning staan.

I6

I2

10V

+

–

4Ω

8Ω

+

–

3,2V

I5

I1

I4

2Ω

I3

6Ω

+

–

U R2 R1 R3

I

10V

+

10Ω

+

–

3,2V

I1

I4

1,6Ω

I2 + I3

–


HAN-FT-CPM SEECE 37

Bij een serieschakeling is de stroom overal gelijk en zal de spanning die over deze serieschakeling staat zich evenredig verdelen over de weerstanden.

Bij een parallelschakeling is de spanning over alle weerstanden gelijk en zullen de stromen zich evenredig door alle weerstanden verdelen, maar dan gaat de grootste stroom door de kleinste weerstand.

Als een stroombron in een circuit is opgenomen, volgen de zelfde beredeneringen als in het voorgaande, dat wil zeggen, we passen gewoon de wetten van Kirchhoff toe.

Voorbeeld 7.7: zie onderstaand schema met een spanningsbron en een stroombron

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we:

In de linker maas: + 15 – 4I1 – 6I2 = 0

In de rechter maas: valt niets te schrijven omdat we daar een stroombron zien.

Volgens de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we:

I1 – I2 + I3 = 0

We weten dat I3 = -3A.

Dus krijgen we totaal:

+ 15 – 4I1 – 6I2 = 0 en I1 – I2 = 3

Dus I1 = 3 + I2, zodat + 15 – 4(3 + I2) – 6I2 = 15 – 12 – 4I2 – 6I2 = 3 – 10I2 =0 dus I2 = 0,3A. Dan volgt verder I1 = 3,3A.

Kijken we naar de vermogens dan vinden we:

Pspanningsbron = -15*3,3 = -49,5W, Pstroombron = …. Hoe zit het daar met de plus en min rond de bron. Die wordt bepaald door pijlrichting van de stroombron. Als de stroombron vermogen levert (dus negatief is), zal de stroombron gezien de pijlrichting onderaan positief moeten zijn. Maar onderaan blijkt hier negatief te zijn (zie spanning over de 6Ω weerstand), dus het vermogen van de stroombron moeten we positief (neemt vermogen op) nemen: Pstroombron =

15V

4Ω

+

–

3A

I1 I3

6Ω

I2


HAN-FT-CPM SEECE 38

3*1,8 = 5,4W. De vermogens in de weerstanden zijn P4Ω = 3,32*4 = 43,56W en P6Ω = 0,32*6 = 0,54W. De vermogensopbouw is daarmee gelijk aan de vermogensafbouw.

Thevenin en Norton vervangschema’s

Ideale spannings- en stroombronnen bestaan niet. Bronnen hebben altijd een eigen inwendige weerstand. De spanningsbron heeft een serieweerstand en de stroombron heeft een parallelweerstand. Nu is de stroombron praktisch niet goed voor te stellen, maar, zoals aangegeven eerder een rekenmodel. Voor de toepassing kunnen we de spanningsbron met serieweerstand (Thevenin vervangschema) eenvoudig omzetten naar een stroombron met parallelweerstand (Norton vervangschema) en omgekeerd. Daarin ligt de kracht van de toepassing van de stroombron. We zien dit terug bij de toepassing van elektrische machines.

Het omzetten van het Thevenin vervangschema naar het Norton vervangschema gaat eenvoudig door vanuit de spanningsbron met serieweerstand de stroombron te berekenen door de spanning en weerstand op elkaar te delen. De serieweerstand wordt vervolgens parallel opgenomen naast de stroombron. Omgekeerd kan de stroombron vermenigvuldigd met de weerstand die daar aan parallel staat weer de spanningsbron met serieweerstand opleveren. Voor de omzettingen gebruiken we dus gewoon de Wet van Ohm met U = IR. Let goed op de plus en min bij de spanningsbron in het Thevenin vervangschema in relatie tot de pijl van de stroomrichting bij de stroombron in het Norton vervangschema.

Zie onderstaande voorbeeld.

Verder kunnen we zuiver parallel staande stroombronnen samen nemen door de stromen van beide stroombronnen op te tellen (let dan wel op de pijl van de stroomrichting).

5A 100V

20Ω

+

–

20Ω =

Links Thevenin en rechts Norton vervangschemq


HAN-FT-CPM SEECE 39

Voorbeeld 7.8: We maken van onderstaand schema een a) volledig Thevenin schema en vervolgens b) een Norton schema.

a. Het Thevenin vervangschema wordt:

Hierin kunnen eenvoudig beide spanningsbronnen en weerstanden samengenomen worden zodat we een circuit krijgen met één spanningsbron van 100 – 50 = 50V en een serieweerstand van 20 + 5 = 25Ω. Opdracht: teken dat circuit met juiste spanningsrichting en maak van dit schema weer het Norton vervangschema. Antwoord: Norton vervangschema is dan een stroombron van 2A met een parallelweerstand van 25Ω.

b. Het Norton vervangschema wordt:

Hierin kunnen we beide stroombronnen en weerstanden eenvoudig samengenomen worden zodat we een circuit krijgen met één stroombron van 5 + 10 = 15A en een weerstand van 20Ω // 5Ω = 4Ω. Opdracht: teken het circuit met de juiste stroomrichting en maak van dit schema weer een Thevenin vervangschema. Antwoord: Thevenin vervangschema is een spanningsbron van 60V met serieweerstand van 4Ω.

Er volgen nu enkele opgaven. De antwoorden staan verderop in dit dictaat.

5Ω 100V

20Ω

+

–

10A

5Ω

100V

20Ω

+

–

50V

+

–

5Ω

20Ω

10A 5A


HAN-FT-CPM SEECE 40

Opgave 7.1a. Geven onderstaande schakeling met een bron van 100V in serie met een weerstand van 1kΩ. Bereken de klemspanning Uk.

Opgave 7.1b. Veronderstel dat een persoon de open aansluitingen in dit circuit met de ene hand de + en de andere hand de – kant aanraakt. De persoon heeft tussen beide handen een eigen weerstand van ongeveer 14kΩ. (Ga dit in het lab eens na). In het circuit, waar het lichaam nu een onderdeel van is, zal een stroom door de hartstreek lopen. Hoeveel stroom loopt door het lichaam? Is deze stroom dodelijk? Verandert er veel aan de situatie als de weerstand van 1kΩ kleiner wordt gekozen?

Opgave 7.2a. U koopt een nieuwe batterij van 1,5V in de winkel. De spanningsmeter over de + en – geeft inderdaad precies 1,5V aan. Met een (ideale) stroommeter sluit je de + en – kort. De stroom die blijkt te lopen is 3A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij?

Opgave7.2b. Vervolgens gaat u de batterij gebruiken. Na een paar maanden meet u de klemspanning opnieuw. Die is nog steeds 1,5V. Vervolgens meet u met de stroommeter de kortsluitstroom en meet dan een waarde van 3mA. Bereken opnieuw de inwendige weerstand van de batterij en verklaar wat er aan de hand is.

Opgave 7.3. Een spanning van 100V staat in serie met twee weerstanden. Eén weerstand is 10Ω en de ander is 40Ω. Bereken de stroom door de weerstanden, de spanningen over de weerstanden en de vermogens in de weerstanden.

Opgave 7.4. Dezelfde spanning en zelfde weerstanden als bij voorgaande opgave staan nu parallel. Bereken de spanningen, stromen en vermogens.

Opgave 7.5. Een spanningsbron van 90V staat in serie met twee weerstanden. Beide weerstanden zijn 100kΩ. De spanning over beide weerstanden zal 45V zijn (ga dit na). We sluiten nu over één weerstand van 100kΩ een niet ideale voltmeter aan om deze 45V te meten. De inwendige weerstand van de voltmeter is 400kΩ. Teken beide schema’s waarbij in het eerste geval de voltmeter niet en het tweede geval de voltmeter wel is aangesloten. Bereken met de wetten van Kirchhoff de stromen en spanningen in beide circuits, waaronder dus ook de spanning die wordt gemeten door de voltmeter.

Opgave 7.6. Zie onderstaande schakeling. Bereken door alleen de 2e Wet van Kirchhoff toe te passen de stromen I1, I2 en I3. Bereken daarna de resterende stromen I4, I5 en I6 door de 1e

+

–

100V

1kΩ

+

–

Uk

I


HAN-FT-CPM SEECE 41

Wet van Kirchhoff toe te passen. Bereken tenslotte alle vermogens en controleer of het totale opgenomen vermogen in evenwicht is met het totale afgegeven vermogen.

Opgave 7.7. Bereken de spanning UAB in onderstaande schakeling op twee manieren. De eerste is door slim te kijken naar de schakeling en de tweede manier is via de 2e Wet van Kirchhoff.

Opgave 7.8. Veronderstel een bron U met een inwendige weerstand Ri daarmee in serie. Deze bron wordt aangesloten op een weerstand variabele Rb. Zie onderstaand schema. Vragen: a. Geef de formule van het vermogen P in Rb als functie van Rb (uitgedrukt in U, Rb en Ri. Hierin zijn U en Ri constant en is Rb dus variabel). b. Schets globaal het verloop van deze P als functie van Rb. c. Bepaal wiskundig bij welke Rb uitgedrukt in Ri het vermogen P in Rb maximaal zal zijn.

I6

I2

10V

+

–

4Ω

8Ω

+

–

3,2V

I5

I1

I4

2Ω

I3

6Ω

10V

+

– 20Ω 15Ω

5Ω 10Ω

A B

+

–

U

Ri

Rb

I


HAN-FT-CPM SEECE 42

Opgave 7.9. Vereenvoudig onderstaande schakeling door de serie weerstanden en parallelweerstanden waar mogelijk bij elkaar te nemen en bepaal de weerstand die de bron ziet.

Opgave 7.10. Stel bij opgave 7.9 de bronspanning 100V. Bereken met behulp van de gegevens van de antwoorden van de vorige opgave de stroom door de bron en de stroom door de 8Ω weerstand. Teken daartoe ook de noodzakelijke voorgaande stappen om de stroom door de 8Ω weerstand te kunnen berekenen.

Opgave 7.11. Stel onderstaande schakeling met een Ge-diode. De Ri van deze diode is 0,4Ω en de maximale sperspanning is 25V en maximaal vermogen van 100W. Bereken de stroom I, de spanningen en de vermogens.

Opgave 7.12. Idem opgave 11, maar dan staat de diode andersom.

Opgave 7.13. Zie onderstaand schema. De bolletjes stellen de aansluitpunten voor RL voor.

a. Geef eerst het vereenvoudigd Norton vervangschema en daarna ook het Thevenin vervangschema voor de belastingsweerstand RL, door van links naar rechts de schakeling via het Thevenin en Norton principe om te bouwen.

U

+

–

3Ω

8Ω

2Ω

10Ω 9Ω

7Ω 4Ω

I

40V

+

–

3Ω


HAN-FT-CPM SEECE 43

b. Stel RL = 33,6Ω. Bereken met behulp van zowel het Thevenin als Norton vervangschema de stroom door RL.

Opgave 7.14. Zie onderstaand schema. Vergeleken met de vorige opgave is parallel aan de spanningsbron een weerstand toegevoegd. Verklaar dat voor de stroom I door RL deze weerstand er niet toe doet.

Aarde

Er wordt veel gebruik gemaakt van ‘aarde’. Dit wordt om verschillende redenen gedaan. Ten eerste voor de veiligheid, om te voorkomen dat er aanraakbare delen onder spanning kunnen komen te staan die gevaar op kunnen leveren. Ten tweede om een referentiepunt te hebben.

Voor de veiligheid, zie onderstaand schema, gaan we als volgt te werk. Daarbij is het schema getekend van een apparaat met een metalen kast als omhulsel, zoals een wasmachine. Komt nu een van de draden van het circuit per ongeluk in aanraking met de buitenkant van de kast, dan ontstaat er een onbekende situatie voor de buitenwereld die we op voorhand niet in kunnen schatten. Het kan zijn dat het gevaar oplevert (gesloten circuit), maar dat is niet zeker. In ieder geval zal de beveiliging (zekering) van de bron, getekend als het rechthoekje met doorlopende lijn van binnen en in dit voorbeeld een waarde van 16A, niets doen zodat het gevaar blijft bestaan.

14,4kV

+

–

60Ω

RL 40Ω

I

14,4kV

+

–

60Ω

RL 40Ω

I

R

IR


HAN-FT-CPM SEECE 44

Om dit uit te sluiten, maken we één kant van de schakeling ‘aarde’ door deze aan te sluiten op de echte aarde (grondwater). We maken vanaf die aarde ook een aansluiting met de buitenkant van de metalen kast.

Zie onderstaand figuur. Mocht nu één van de andere punten van het circuit in aanraking komen met de metalen kast, zie gekronkelde lijn, dan ontstaat via de bron een kortsluiting en zal, als het goed is, de zekering doorslaan en de kast spanningsloos worden.

Bovenstaand heet ‘volle kortsluiting’. Er zijn ook situaties te bedenken dat er een minder harde kortsluiting is, bijvoorbeeld doordat een persoon met een eigen weerstand van ongeveer 10kΩ over de bronspanning komt te staan. De normale beveiliging met hier de zekering van 16A zal dan niet aanspreken en de stroom door de persoon is veel groter dan de paar mA die dodelijk zal zijn. Daartoe is de aardlekschakeling ontworpen. De precieze werking hiervan valt buiten de scope van dit dictaat. Eenvoudig gezegd meet de aardlekschakeling of er een verschilstroom is tussen twee voedingsdraden. Als dit verschil groter is dan een paar mA, dan schakelt de aardlekschakelaar beide voedingsdraden uit.

16A

230V 20Ω –

+

16A

230V 20Ω –

+


HAN-FT-CPM SEECE 45

Opdracht: Bekijk onderstaand schema en verklaar dat beide beveiligingen nodig blijven. De aardlekschakelaar bestaat uit twee spoelen met twee schakelaars.

Ten tweede gebruiken we aarde als referentiepunt. Als dat referentiepunt aarde is noemen we dat ‘nul volt’. Elke spanningswaarde op een andere plek in de schakeling heeft dan de waarde ten opzichte van aarde.

8. Condensator

Een condensator bestaat uit twee platen goed geleidend materiaal die vlak tegenover elkaar zitten. De uiterst dunne tussenstof is isolerend, bijvoorbeeld lucht of papier.

De fysieke maat van de condensator is bepalend voor haar capaciteit, aangeduid met C. Deze wordt uitgedrukt in Farad. C = ….[ F].

+

– … F

C

Symbool van een condensator

Condensator

230V 20Ω

–

+

16A


HAN-FT-CPM SEECE 46

Als een ‘lege’ condensator wordt aangesloten op een gelijkspanningsbron, dan zal het volgende gebeuren. De elektronen die zich in de platen van het geleidende materiaal bevinden worden bij de ene plaat aangevuld en bij de andere plaat weggetrokken door de

gelijkspanningsbron. Er loopt derhalve een stroom in het circuit. Op het moment dat de condensator evenveel verschil in elektronen heeft in haar platen als de bron dit zelf heeft, dan stopt de stroom met lopen.

Dit kan zo gebeuren omdat de platen vlak bij elkaar zitten waardoor de elektronen door hun elektrische velden via de dunne tussenlaag elkaars aan- en afwezigheid ‘merken’. Kort gezegd, ze willen met elkaar vereffenen. Het te veel aan elektronen bij de ene kant van de condensator wil naar het te kort aan elektronen aan de andere kant van de condensator. Dit kan alleen niet, omdat de isolerende tussenlaag voorkomt dat daar een stoom gaat lopen.

Dit betekent dat er bij een ‘geladen’ condensator tussen de platen van de condensator een Elektrisch veld staat, welke niets anders is dan de kracht die aangeeft dat er een verschil in elektronenhoeveelheid is. Hoe groter het spanningsverschil U, hoe groter het Elektrische veld. Dit Elektrische veld geeft aan dat er een afstotende kracht is tussen de elektronen en de elektronen daarmee in staat zijn elkaar ‘te voelen’.

Hoe groter de condensator, hoe meer elektronen er in kunnen. Vergelijk dit met ballon. Hoe groter de ballon, hoe meer lucht er in moet ‘stromen’ (= stroom I) voordat de ballon op eindspanning (= spanning U) komt.

Dit verband wordt voor een eindsituatie (geladen condensator) aangegeven met de tijd dat een stroom een condensator in loopt en daarbij een spanning veroorzaakt. In de volgende formule zien we dit verband: It = CU.

De lading die in een condensator komt te zitten doordat de stroom een tijd loopt is It. De lading wordt Q genoemd en heeft de eenheid Coulomb [C]. Dus Q = It [C].

Vraag: Stel een Condensator met een waarde van 200F is opgeladen tot een spanning van 4V. We sluiten op deze condensator een 4V lampje aan. Op het lampje staat dat het vermogen 1W is (bij een aangesloten spanning van 4V). Beschrijf wat er gebeurt. Antwoord: Een lampje van 1W zal bij 4V een stroom hebben van 0,25A. Daarmee zouden we volgens I*t=C*U dus gedurende t = 3200 sec stroom lopen. Maar aangezien de spanning over de condensator in die tijd zal dalen, zal ook de stroom afnemen en het totale proces langer duren, enkele uren. Het lampje zal natuurlijk steeds zwakker branden. We zien iets dergelijks bij moderne fietsen waarbij het voorlicht nog even blijft doorbranden als de fietser niet meer fietst.

+

–

U

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 47

Het zal duidelijk zijn dat als we een stroom sturen in een lege condensator, dat de spanning begint bij 0 en maximaal is als de stroom stopt met lopen. De spanning verandert dus in de tijd. Dan krijgen we een iets nettere beschrijving:

𝒊𝒊𝒄𝒄(𝒕𝒕) = 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒄𝒄(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

[A] of 𝒅𝒅𝒄𝒄(𝒕𝒕) = 𝟏𝟏𝑪𝑪 ∫ 𝒊𝒊(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕𝒕𝒕

𝟎𝟎 [V]

Voorbeeld: Stel een stroom van 2mA loopt gedurende 30 seconden in een condensator van 5mF. De condensator is in het begin leeg. Bereken de eindspanning over de condensator.

Antwoord: 𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 15𝑚𝑚∫ 2𝑚𝑚𝑑𝑑𝑡𝑡30

0 𝐷𝐷𝑢𝑢𝑠𝑠 𝑢𝑢 = 2𝑚𝑚5𝑚𝑚

30 − 2𝑚𝑚5𝑚𝑚

0 = 12𝑉𝑉

Voorbeeld: Stel een spanning uc(t) = 4sin(30t + 400) V. Bepaal ic(t) en iC(4m). De condensator heeft een waarde van 5mF. Antwoord: iC(t) = 0,6cos(30t + 400) A en iC(4m) = 0,6cos(0,12 + 400) = 0,6cos(6,840 + 400) = 0,41A.

Opbouw van de condensator

Een condensator bestaat uit twee platen die op een zekere afstand van elkaar staan. Het zal logisch zijn dat hoe groter de platen zijn hoe groter de condensator waarde. De condensator wordt ook groter in waarde als de afstand tussen de platen kleiner wordt gemaakt. Ten slotte speelt ook het isolerende materiaal tussen de platen, het diëlectricum, een rol in de waarde van de condensator. Dit materiaal kan ‘meehelpen’ met het condensatorgedrag doordat elk onderdeeltje van dit materiaal gaat meedoen als condensator, zonder dat de elektronen van hun kern losraken (de tussenlaag is tenslotte een isolator). Dus de elektronen van alle kernen worden als het ware ook in hun gedrag beïnvloed. Dit noemen we de permitiviteit ε van de stof, als volgt:

𝑪𝑪 = 𝜺𝜺 𝑨𝑨𝒅𝒅

[F]

De permitiviteit van een stof wordt vergeleken met de permitiviteit van lucht. Lucht zelf heeft de voor wat betreft het meehelpen opbouwen van het Elektrische veld de minst goede eigenschappen van alle denkbare isolerende tussenstoffen. Lucht (of vacuüm) wordt aangeduid met een absolute permitiviteit εo = 8,854.10–12 F/m. Dit getal is feitelijk het getal

dat de formule kloppend maakt met de relatie I*t = C*U waarin 𝐶𝐶 = 𝜀𝜀 𝐴𝐴𝑑𝑑

, dus I*t= 𝜀𝜀 𝐴𝐴𝑑𝑑∗U.

Hierin staan de maten van het oppervlak A in m2 en de afstand tussen de platen d in m vervolgens spanning in V, stroom in A en tijd is s. Allemaal zaken uit het SI eenhedenstelsel. Zonder 𝜀𝜀 zou de formule niet kloppen. (Zie ook de μ bij de spoel verderop in dit dictaat).

Elke andere stof zal het Elektrische veld helpen vergroten en wordt nu aangegeven ten opzichte van lucht: de relatieve permitiviteit εr wordt vervolgens met εo vermenigvuldigd.

Zo krijgen we: 𝑪𝑪 = 𝜺𝜺𝒐𝒐𝜺𝜺𝒓𝒓𝑨𝑨𝒅𝒅

[F]

Enkele waarden van εr zijn: water ≈ 80, olie ≈ 5 en PVC ≈ 4.

De tussenstof is erg bepalend voor het gedrag van een condensator. Als een condensator tot aan haar grens wordt gebruikt en kan doorslaan (hoge spanning is groot Elektrische veld) is het juist handig om lucht als diëlectricum te gebruiken. Als de condensator dan doorslaat


HAN-FT-CPM SEECE 48

wordt geen materiaal als tussenstof beschadigd en zal de condensator zichzelf herstellen. Dit geld ook voor olie, maar niet voor PVC of papier.

Vraag: beschrijf wat er gebeurt met de stroom als we een lege condensator aansluiten op een gelijkspanningsbron. Antwoord; de stroom zal korte tijd zeer groot zijn.

Eigenlijk ziet de gelijkspanningsbron een ‘kortsluiting’ omdat de condensator nog leeg is. Na verloop van tijd (kan zeer kort zijn) is de condensator vol en loopt er geen stroom meer. De spanning over de condensator is dan gelijk aan de aangeboden spanning.

Vraag: Veronderstel een weerstand die aangesloten is op een gelijkspanningsbron. Verklaar dat als we een weerstand van de gelijkspanningsbron los koppelen, de spanning over de weerstand verdwijnt en dat als we dit bij een condensator doen, de spanning over een condensator aanwezig blijft. Antwoord: bij een weerstand zullen de elektronen altijd kunnen blijven lopen in de weerstand. Dus als de bronspanning weg valt, zal het potentiaal verschil over de weerstand verdwijnen omdat de elektronen zich geleidelijk gaan verdelen in de weerstand. Bij een condensator zal dat niet kunnen omdat het diëlectricum een oneindig hoge weerstand is.

Condensatoren worden gemaakt van bijvoorbeeld twee dunne laagjes zilverpapier met gewoon papier er tussen in en dan opgerold. Beide laagjes zilverpapier worden met een aansluiting als draad naar buiten uitgevoerd.

Men is technisch in staat om condensatoren te maken die een zeer dunne tussenlaag hebben. Ter dikte van een paar moleculen. Die moleculen worden ter plaatse gevormd door het diëlectricum als er een spanning wordt aangebracht. Dit zijn condensatoren met grote waarden, die echter uitsluitend kunnen worden gebruikt bij gelijkspanningen omdat dit proces andersom niet werkt. De capaciteitswaarde is weliswaar zeer groot, maar het nadeel is dat het diëlectricum zo dun is dat doorslag snel het geval kan zijn. Daarmee is de te gebruiken spanning weer erg laag. Dit type condensatoren noemt men elektrolytische condensatoren. Deze komen we veel tegen in de elektronica met lage spanningen. Er zijn tegenwoordig elektrolytische condensatoren met waarden tot vele honderden F die tot enkele volts kunnen worden gebruikt. Een nadeel van de elektrolytische condensator is dus dat deze op een vast potentiaal moet zijn aangesloten. Eén kant moet altijd positief ten opzichte van de ander zijde. Daarom kunnen deze condensatoren niet in wisselstroomcircuits worden toegepast. De – kant staat op de condensator duidelijk aangegeven (zie foto).

In de sterkstroomtechniek kunnen we vanwege de veelal hoge spanningen en het feit dat we met wisselspanningen te maken hebben, helaas geen* gebruik maken van condensatoren met dergelijk grote waarden. De waarden die we in de sterkstroom techniek tegenkomen zitten in de μF of hoogstens in de mF.


HAN-FT-CPM SEECE 49

*) Wel zien we het gebruik van elektrolytische condensatoren terug bij de vermogenselektronica. Dit onderwerp valt buiten dit dictaat.

Zouden we een condensator opnemen in een gelijkstroom net, dan zal voor het opladen van de condensator tijdelijk stroom de condensator(platen) in lopen en aan de andere kant uit de condensator(platen) lopen. Het lijkt er dus op dat de condensator zich in het begin als een spanningsbron met een spanning van 0V (dus kortsluiting) gedraagt en na verloop van tijd zich als een isolator gedraagt omdat er dan geen stroom meer loopt. De snelheid waarmee de condensator zich op– of ontlaadt hangt af van de grootte van de weerstand die rond de condensator zit. Men noemt dat de RC–tijd, τ (Tau). Na 5RC wordt geacht dat de condensator in de eindsituatie is gekomen. Het proces zal zich als een e–macht in de tijd gedragen.

Voorbeeld 8.1: In onderstaand schema wordt de schakelaar gesloten. De condensator is in de begin situatie leeg. Op het moment dat de schakelaar wordt gesloten gebeurt het volgende. De schakeling ervaart de condensator op dat moment als een kortsluiting (is nog leeg) en de bron ziet alleen de 5Ω weerstand. De weerstand van 10Ω speelt nu geen rol omdat deze parallel staat aan de ‘kortsluiting’. De stroom door de bron, weerstand van 5Ω en de condensator zal net nadat de schakelaar is gesloten 3A bedragen. (I1 = I2 = 3A en I3 = 0) De eindsituatie is dat de condensator vol is en daar geen stroom (I2 = 0) meer loopt. De bron ziet dan twee weerstanden in serie van totaal 15Ω. Er loopt dan door de bron, de weerstand van 5Ω en de weerstand van 10Ω een stroom van 1A. (I1 = I3 = 1A). De condensator is en blijft dan verder stroomloos. De spanning over de condensator is dan wel volop aanwezig en wordt bepaald door het eindschema, dus de spanning over de weerstand van 10Ω, welke 10V bedraagt. Dus de condensator zal een spanningsverloop krijgen van 0 naar 10V. De RC tijd waarbij dit gebeurt is te bepalen door vanuit de condensator te kijken vanaf het moment dat de schakelaar is gesloten. De condensator ‘ziet’ dan een parallelschakeling van 5Ω en 10Ω, dus 3,33Ω. (De bron van 15V heeft 0Ω weerstand). Dit betekent dat na 5*3,33*10μ = 167μs de eindsituatie is bereikt waarbij de condensator een spanning heeft van 10V.

Op gelijke wijze kan de stroom in de condensator zo worden bekeken. In het begin is de stroom dus 3A en na 167μs is de stroom 0. Ook hier verloopt eea via een e–macht.

Op gelijke wijze kunnen we in elk onderdeel het verloop van de stroom en spanning vaststellen.

Vraag: Zie bovenstaand voorbeeld, waarbij de schakelaar wordt gesloten terwijl de condensator al een spanning heeft van 5V. Gevraagd: de stroom door de bron. Antwoord: de stroom door de bron start met een waarde van 2A en na 167μs zal de stroom de eindwaarde van 1A bereiken.

Vraag: Idem vorige opgave, maar dan heeft de condensator een spanning van –5V. Antwoord: de stroom door de bron start met een waarde van 4A en eindigt na 167μs weer met 1A.

Condensatoren komen we in elektrische netten veel tegen. Ze zijn niet alleen aanwezig als aparte componenten, maar we zien ze ook terug tussen twee aparte draden of tussen een geleidende buitenkant van een kast en een ander onderdeel. De elektrische velden tussen alle zaken waar spanningen tussen staan bepalen dus de aanwezigheid van condensatorgedrag, al dan niet bedoeld.

I2

15V

+

–

5Ω I3

10Ω 10μF

I1


HAN-FT-CPM SEECE 50

Elektrische velden zitten altijd tussen een potentiaal verschil. De E-velden beginnen bij de plus en eindigen loodrecht op het vlak bij de min van het potentiaal verschil. In onderstaand figuur als voorbeeld een positief geladen bol boven een vlakke plaat die ten opzichte van die bol negatief is geladen.

Condensatoren in serie en parallel

Als meerdere condensatoren parallel staan, dan kunnen we de waarden van de condensatoren eenvoudig optellen.

Cv = C1 + C2 + C3 + …

Indien ze in serie staan dan is de vervangende waarde van de condensator:

𝟏𝟏𝑪𝑪𝒗𝒗

= 𝟏𝟏𝑪𝑪𝟏𝟏

+ 𝟏𝟏𝑪𝑪𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏𝑪𝑪𝟑𝟑

+ …

Of voor twee condensatoren in serie:

𝑪𝑪𝒗𝒗 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝑪𝑪𝟐𝟐𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐

Condensator aangesloten op een wisselspanning

Als de aangesloten spanningsbron op een condensator nu geen gelijkspanning is maar een zuiver sinusvormige wisselspanning, dan zal er in de condensator een zuiver sinusvormige wisselstroom gaan lopen.

Als we de formule 𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

nemen en de uc(t)=û*sin(ωt) dan wordt de stroom ic(t)=

ûωC*cos(ωt). Hierin zien we twee dingen gebeuren. Ten eerste is er blijkbaar 90o

faseverschuiving tussen de sinusvormige wisselspanning over de condensator en de cosinusvormige wisselstroom. De wisselstroom ijlt dus 90o voor op de wisselspanning. Dit is ook logisch omdat we eerst stroom de condensator in moeten sturen voordat er spanning over de condensator zich opbouwt.

+

E

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 51

Ten tweede zien we, afgezien van deze fasedraaiing, in het verband van de deling van de spanning over de spoel en de stroom door de spoel een weerstand, dus û/ûωC = 1/ωC. Dit is de wisselstroomweerstand Xc van een condensator voor zuiver sinusvormige signalen.

Dus

𝑿𝑿𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝝎𝝎𝑪𝑪

Voorbeeld 8.2: een condensator van 10μF wordt aangesloten op een sinusvormige wisselspanning van 10V met een frequentie van 50Hz. Gevraagd: de Xc en de grootte van de stroom door de condensator. Antwoord: Xc = 1/2*π*50*10μ = 318Ω. De wisselstroom is dan 10/318 = 31,4mA. Er is natuurlijk ook nog 90o faseverschuiving tussen de spanning en de stroom, maar dat volgt uit later rekenwerk.

De wisselstroomweerstand wordt ook wel ‘reactantie’ genoemd.

Het maakt niet uit of we een sinusvormige wisselspanning over de condensator aanbieden, met als gevolg een cosinusvormige wisselstroom door de condensator, of dat we een cosinusvormige wisselstroom door de condensator sturen met als gevolg een sinusvormige

wisselspanning. De relatie 𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

is bepalend.

Het begrip sinus en cosinus loopt verder in dit dictaat door elkaar. Een cosinus in namelijk ook een sinus, maar dan 90o verschoven.

Kortom: Als we een sinusvormige wisselspanning op een ideale condensator zetten, dan zal er een sinusvormige wisselstroom door de condensator lopen. De wisselstroom ijlt 90o voor op de wisselspanning. De verhouding tussen de grootte van de wisselspanning en de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand of reactantie Xc = 1/ωC [Ω]. Hieronder de linker grafiek van een wisselspanning over een condensator en bijbehorende wisselstroom door de condensator in de tijd weergegeven. De rechter grafiek is ter vergelijking het verband tussen een wisselspanning en wisselstroom bij een gewone weerstand in de tijd weergegeven.

Vraag: ga in de bovenstaande linker grafiek na wat de wisselspanning over de condensator en wat de wisselstroom door de condensator voorstelt. Antwoord: omdat bij een

+

–

+

–

tijd


HAN-FT-CPM SEECE 52

condensator de wisselstroom 90o voorijlt op de wisselspanning, zal de grote sinus de wisselstroom voorstellen en de kleine sinus de wisselspanning. Vraag: stel dat we een condensator van 2,2nF. De Xc = 40kΩ. Bereken de frequentie van de wisselstroom. Antwoord: ω = 11364rad/s of f = 1809Hz.

Opgave 8.1. Hoe groot is de lading in een condensator van 10μF bij een spanning van 100V?

Opgave 8.2. Gegeven een lege condensator met een waarde van 10μF. Over de condensator worden verschillende spanningen gezet. Bepaal in al deze gevallen de bijbehorende stroom en teken de spanningen en stromen voor al deze gevallen apart in een grafiek. a. 10V gelijkspanning b. Een lineair oplopende spanning u(t) = 3t [V] c. Een sinusvormige spanning volgens u(t) = 4cos2t [V]

Opgave 8.3. Gegeven een condensator, waarbij de tussenlaag lucht is. De platen zitten tegen over elkaar op een afstand van 2mm uit elkaar. Beide platen hebben een oppervlak van 40cm2. Hoe groot is de waarde van de condensator?

Opgave 8.4. Een spanningsbron staat in serie met een weerstand van 20Ω en een condensator van 10µF. De spanningsbron heeft een spanning van 80V en de frequentie is 5kHz. Bepaal de wisselstroomweerstand (impedantie) van de condensator. Idem als de frequentie 50Hz bedraagt.

Opgave 8.5. Een condensator met een waarde van 5µF staat parallel aan een condensator van 8µF. Het geheel staat in serie met een condensator van 10µF. Bereken de totale condensatorwaarde.

9. Spoel

Een spoel is wat ingewikkelder dan een condensator. Deze paragraaf is dan ook verdeeld in meerdere sub paragrafen.

De spoel is een geleidende draad die aan de buitenkant geïsoleerd is, en is opgerold rond een kern. De kern kan bestaan uit elke stof, ook uit lucht. Voor de 50Hz wordt de kern vaak gemaakt van ijzer. De kern is bedoeld voor het magnetische veld. Daarover later meer.

De spoel heeft als symbool L en de waarde van de spoel wordt uitgedrukt in Henry [H], bijvoorbeeld L = 8H. De meeste spoelen hebben een kleinere waarden en zitten in de mH of μH.

De draad van de spoel bestaat uit een goed geleidende geleider, meestal koper, waar om heen een isolatielaag zit om te voorkomen dat de draden met elkaar in aanraking komen.


HAN-FT-CPM SEECE 53

spoel

symbool spoel L

De waarde van de spoel hangt af van:

o N; het aantal wikkelingen o A; het oppervlakte in m2 (zie onderstaande figuur) o 𝑙𝑙; de lengte in m (zie onderstaande figuur) o μ ; de permeabiliteit (in welke mate waarin de omgeving meewerkt aan het

spoelgedrag door het magnetische veld sterker te maken).

In formulevorm 𝐿𝐿 = 𝜇𝜇 𝐴𝐴𝑁𝑁2

𝜌𝜌 [H]

We komen op deze formule nog terug.

Om het gedrag van de spoel te verklaren beginnen we met het magnetische veld.

Als een stroom door een draad loopt is er rond de draad een magnetisch veld, flux φ aanwezig.

Het magnetische veld staat rechtsom rond de geleider, als de stroom volgens onderstaande figuur van links naar rechts loopt. We noemen dit de ‘kurkentrekker regel’. Rechts naast het zijaanzicht is ook het achteraanzicht en het vooraanzicht weergegeven.

lengte 𝑙𝑙 [m]

oppervlakte A [m2]


HAN-FT-CPM SEECE 54

Het symbool voor het magnetisch veld is flux Ф of ‘inductie’ B.

In geval van Ф wordt uitgegaan van ‘alle veldlijnen’ in [Vs] die het magnetische veld vertegenwoordigen en in geval inductie B wordt uitgegaan van ‘de veldlijnen per vierkante meter’ in [Vs/m2], ook wel eenheid Tesla. Over het verschil tussen Ф en B volgt later meer. Vooralsnog worden begrippen door elkaar heen gebruikt om het magnetische veld aan te geven.

Magnetische veldlijnen zijn altijd gesloten. Dit in tegenstelling tot Elektrische veldlijnen. (Elektrische veldlijnen beginnen op een hoog potentiaal en eindigen op een laag potentiaal).

Krachten door magnetische velden

Als we twee draden die een gelijkstroom voeren parallel langs elkaar houden, dan zullen deze draden een kracht naar elkaar toe krijgen als de stromen in beide draden in dezelfde richting lopen. Ze zullen eenzelfde kracht van elkaar af krijgen als beide stromen in tegengestelde richting lopen. Dit is te verklaren doordat magnetische veldlijnen op bepaalde plaatsen zich ophopen en op ander plaatsen elkaar opheffen. De kracht op de draden ontstaat dus, doordat magnetische veldlijnen elkaar ‘in de weg’ zitten en daardoor uit elkaar willen bewegen (rechts in onderstaand figuur), of elkaar ‘opheffen’ en daardoor naar elkaar toe willen bewegen (links in onderstaand figuur). De krachten die daarbij op de draden ontstaan zijn onderstaand getekend.

Het zal duidelijk zijn dat als de bovengenoemde stromen erg groot zijn er zeer grote krachten optreden. Zo zal bij een kortsluiting in een net de heen en terugvoerende geleiders in sterke mate van elkaar af willen bewegen. Dit kan schade tot gevolg hebben.

De grootte van de kracht F op een geleider wordt bepaald met een ingewikkelde formule die hier nu verder niet van belang is. De kracht zelf wordt ook wel Lorentz kracht genoemd. Zie verder bv Wikipedia voor achterliggende informatie.

I I I φ

φ φ

Stroom van links naar rechts Stroom papier in Stroom papier uit

F F F F

φ φ


HAN-FT-CPM SEECE 55

Vraag: Bovenstaand is uitgegaan van gelijkstroom. Ga na wat er gebeurt met een wisselstroom in een kabel met een wisselstroom. Antwoord: De stromen in beide draden lopen twee keer per periode altijd in tegengestelde richting. De draden zullen dus twee keer per periode van elkaar afgeduwd worden. Het effect bij de 50Hz wisselspanning is dat er een 100Hz krachtwerking tussen de draden zal ontstaan. Dit is het geluid dat we als bromtoon veelal waarnemen in verschillende elektrische apparaten.

Veronderstel een homogeen magnetisch veld B, bijvoorbeeld afkomstig van een vaste magneet, met binnen dit magnetische veld een haaks daarop staande stroomvoerende geleider, dan zal een kracht op deze geleider komen te staan. Dit is het principe waardoor de rotoren van elektrische motoren draaien. De grootte van deze kracht is

𝑭𝑭 = 𝑩𝑩𝑰𝑰𝑩𝑩 [N]

o de sterkte van het magnetische veld via inductie B [Vs/m2] o de grootte van de stroom I [A] o de lengte van de draad binnen het magnetische veld 𝑙𝑙 [m]

Vraag: Stel een magnetische veld B = 3Vs/m2. De stroom door een geleider, die haaks op dit magnetische veld is geplaatst, is 4A. De lengte van de draad is 20cm. Bereken de kracht op de draad. Antwoord: 2,4N.

Vraag: Teken in voorgaande situatie het magnetisch veld rond de draad als gevolg van de stroom door de draad, en bepaal daaruit de richting van de kracht op de draad. Antwoord: het magnetische veld rond de draad staat volgens de kurkentrekkerregel rechtsom. Dat betekent dat er een verdichting van beide magnetische velden ontstaat aan de voorzijde van de draad en een verdunning aan de achterzijde van de draad. De draad zal nu, parallel aan zichzelf, door kracht F naar achteren (het papier in) willen bewegen.

Vraag: Zie voorgaande vraag, maar nu maakt de draad een hoek van 90o ten opzichte van voorgaande situatie, zodat de draad in de lengterichting parallel loopt met het magnetische veld. Hoe groot is dan de kracht op de draad en in welke richting staat die kracht? Antwoord:

Stroomvoerende geleider

φ

Zijaanzicht met de geleider haaks op magnetische veld

I B

𝑙𝑙


HAN-FT-CPM SEECE 56

de kracht op de draad zal nu nul zijn. Dit is te zien als we het magnetische veld van de geleider volgens de kurkentrekkerregel tekenen. Dit magnetische veld staat overal haaks op het B-veld, en beide velden hebben geen invloed op elkaar. Er is derhalve geen kracht op de draad.

De formule die we voor het berekenen van de kracht gebruiken is

𝑭𝑭 = 𝑩𝑩𝑰𝑰𝑩𝑩𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩(𝜶𝜶) [N]

Hierin is α de hoek is die de geleider maakt ten opzichte van de haakse stand (zie voorgaande figuur).

Inductie

Veronderstel een geleidende draad welke haaks op een magnetisch veld staat (zie figuur hieronder). In deze geleider loopt nu geen stroom. Gaan we deze draad nu parallel aan zichzelf naar achteren bewegen, dan zullen alle elektronen in de draad zich naar achteren verplaatsen.

Elk elektron dat zich in een bepaalde richting verplaatst, is hetzelfde als een stroom in de tegenovergestelde richting. Volgens de kurkentrekkerregel is bij die stroomrichting een magnetisch veld aanwezig dat rechtsom staat. Er zijn nu twee magnetische velden. De eerste is het bestaande stilstaande magnetische veld B en het tweede is het magnetische veld ten gevolge de verplaatsing van de geleider. Voor alle elektronen geldt dan dat aan de ene kant een verdichting van beide magnetische velden ontstaat en aan de andere kant van dat elektron een verdunning. Zie onderstaand figuur.

Niet stroomvoerende geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst

φ

B


HAN-FT-CPM SEECE 57

Daardoor worden alle elektronen de kant op geduwd waar de verdunning is, in dit geval naar boven. Dit betekent dat in de draad een spanning staat, waarbij de negatieve kant van de spanning daar is waar de elektronen naar toe willen. Hier wordt de bovenkant van de draad in spanning negatief ten opzichte van de onderkant van de draad. (Let op: zo lang de draad nergens op is aangesloten zal er geen stroom lopen). Het resultaat is dan dat de draad door de beweging een inwendig opgewekte spanning Ui krijgt, bovenaan een min en onderaan een plus, zie onderstaand figuur.

Nu maakt het niet uit of we de draad bewegen in stilstaand magnetische veld of dat het magnetische veld beweegt en de draad stilstaat, of het een combinatie van daarvan is. We moeten dit relatief bekijken. Het effect is hetzelfde, namelijk dat een verandering van het magnetische veld in de tijd ten opzichte van de draad, een spanning veroorzaakt in de draad. Men noemt dit de inductiespanning.

φ Ui

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst -

+

B

φ

B

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst, waardoor om de elektronen in de geleider magnetische velden ontstaan


HAN-FT-CPM SEECE 58

𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑Ф(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

[𝑉𝑉]

Voorbeeld 9.1: We gaan het magnetisch veld in grootte veranderen. Dat magnetische veld staat haaks op een draad. De verandering van het magnetische veld is in 3s van 8Vs naar 14Vs. De opgewekte spanning in de draad wordt dan (14Vs – 8Vs)/3s = 6Vs/3s = 2V. Let ook op dat dit met de dimensies keurig klopt.

Voorbeeld 9.2. Nu verandert de draad binnen een constant magnetisch veld van haar plek. Stel we hebben een draad welke haaks op een magnetisch veld staat. Het magnetische veld heeft een sterkte van 20Vs. De draad verplaatst parallel aan zichzelf en passeert haaks het magnetisch veld met een vaste snelheid in 2s. De in de draad geïnduceerde spanning is dan 20Vs/2s = 10V.

Zouden we de draad, die we in het magnetisch veld verplaatsen, vervolgens aansluiten op een weerstand, dan zal er een stroom gaan lopen. Een voorbeeld daarvan is een fietsdynamo die aangesloten is op een lampje.

Zouden we in de boven berekende opgewekte spanning Ui =10V aansluiten op een weerstand van 4Ω, dan zal in de draad en door de weerstand een stroom lopen van I = U/R = 10/4 = 2,5A. Dit betekent dat er een vermogen in de weerstand wordt opgestookt van P = U*I = 10*2,5 = 25W.

Maken we gebruik van meerdere draden, zoals bij een spoel, dan krijgen we:

𝒅𝒅𝒊𝒊(𝒕𝒕) = 𝑵𝑵𝒅𝒅Ф(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

[𝑽𝑽] waarin N het aantal wikkelingen voorstelt.

Nu volgt er nog een vrij belangrijke stap. Zojuist hebben we gezien dat als we een draad parallel aan zichzelf haaks op een homogeen magnetisch veld verplaatsen, er daardoor een spanning Ui in de draad ontstaat. Als die draad is aangesloten op een weerstand, zal er stroom gaan lopen. Deze stroom zal in de draad zelf ook weer voor een magnetisch veld zorgen. Dat is dan het derde magnetische veld. Het homogene magnetische veld zal nu door dit derde magnetische veld in de draad een kracht veroorzaken die precies tegengesteld is aan de beweging van de draad. In bovenstaand voorbeeld en onder in het opnieuw weergegeven plaatje zal deze kracht F naar boven gericht zijn en dus het papier uitgaan. Dit is de tegenkracht die we voelen als we een draad door een magnetisch veld duwen. We voelen die tegenkracht dus alleen als er stroom in de draad loopt (bv omdat de draad is aangesloten op een weerstand). Hoe kleiner de aangesloten weerstand, hoe groter de stroom en hoe groter de tegenkracht F. Deze kracht F is weer gelijk aan de eerder gegeven formule 𝐹𝐹 = 𝐵𝐵𝐼𝐼𝑙𝑙𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠(𝛼𝛼) [N], waarbij in deze situatie geldt 𝐹𝐹 = 𝐵𝐵𝐼𝐼𝑙𝑙 [N]


HAN-FT-CPM SEECE 59

Zelfinductie

Het effect van de inductiespanning is nogal belangrijk in een spoel. Als we namelijk een spoel aansluiten op een gelijkspanning, dan zal vanuit de plus van de spanningsbron een gelijkstroom I door de spoel naar de min van de spanningsbron lopen. Zie onderstaand figuur. De stroom I en het bijbehorende magnetische veld rond de draad, zal in razend tempo toenemen (en wil gaan naar I = U/R). De vraag is nu of de stroom direct naar de hoge stroom die in het circuit geacht wordt aanwezig te zijn springt (zoals dit het geval is als we een spanningsbron op een gewone weerstand aansluiten) of daar meer geleidelijk naar toe gaat. Dit laatste is het geval. Hoe kan dit?

Tijdens het toenemen van de stroom gebeurt iets belangrijks.

Beschouw nu bij bovenstaande figuur een stukje spoel, waarbij twee vlak tegen elkaar aan liggende draden zijn getekend. Doordat een externe spanning U wordt aangesloten via schakelaar s, zal er in de spoel een stroom I gaan lopen. Deze neemt in waarde zeer snel toe

R U _ +

ui +

_

I

s

Ui

v

F

+

φ

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren (papier in) wordt verplaatst met snelheid v, krijgt tegenkracht F naar voren (papier uit).

-

R

I


HAN-FT-CPM SEECE 60

en wil gaan naar de waarde U/R. De spoel zelf is namelijk een ideale draad welke geen weerstand heeft en dus een kortsluiting vormt. Het bijbehorende en dus ook groter wordende magnetische veld van de ene draad zal echter in de pal naastgelegen draad in de spoel een inductiespanning Ui veroorzaken welke tegengesteld is aan de polariteit van de aangesloten spanning U. Dit is het gevolg van wat in de voorgaande paragraaf over inductie is geschreven, waarbij het magnetische veld beweegt ten opzichte van de stilstaande draad. Het resultaat is dat in de naastliggende draad een tegenspanning Ui ontstaat. Ga dit na. De grootte van de tegenspanning is afhankelijk van de grootte van de spoel. In ieder geval zal de tegenspanning een fractie kleiner zijn dan de aangeboden spanning en zal de stroom steeds verder in waarde toenemen. Dat moet ook wel, omdat er anders geen groter wordend magnetisch veld is en dus geen tegenspanning (zonder stroom I geen tegenspanning Ui)

Als de stroom na verloop van tijd niet meer groter kan worden en derhalve de eindwaarde van U/R heeft bereikt, dan zal er geen stroomverandering meer zijn en er is in en rond de spoel een stilstaand magnetisch veld opgebouwd. Omdat dit magnetische veld nu stil staat zal er dus ook geen tegenspanning Ui meer zijn. De spoel vormt dan een kortsluiting.

Het effect is dat als we een gelijkspanningsbron via een weerstand aansluiten op een spoel, de stroom niet in direct de eindwaarde zal bereiken, maar door de tegenwerkende inwendige opgebouwde inductiespanning in de spoel geleidelijk deze waarde krijgen. Zie onderstaande grafiek.

Vraag: wat gebeurt er als we een gelijkspanning van 50V aansluiten op een spoel met ohmse draadweerstand van 0,001Ω en verder geen andere weerstand? Antwoord: de stroom zal na verloop van tijd 50kA worden. Hoe lang dit duurt hangt o.a. af van de grootte van de spoel.

Het verband tussen de spanning over de spoel en de stroom door de spoel wordt aangegeven met de tegenspanning Ui, zijnde de spanning over de spoel:

𝒅𝒅𝑳𝑳(𝒕𝒕) = 𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒊𝒊𝑳𝑳(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

[V]

De afleiding van deze formule is met voorgaande en hier na komende formules te realiseren. We slaan dit formele bewijs over, en benaderen dit anders en veel eenvoudiger.

We weten dat 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑Ф(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

. Deze formule is in de praktijk onhandig om te gebruiken. We

kunnen het aantal wikkelingen N namelijk wel tellen, maar de flux Ф meten is erg onpraktisch. Wat we wel eenvoudig kunnen meten is een stroom door een spoel, iL(t). We weten dat de stroom en het magnetische veld rechtevenredig zijn met elkaar. Dus we krijgen dan:

0 t = 0 sluit schakelaar s

t [s]

I [A] Alleen R

L met R


HAN-FT-CPM SEECE 61

Ф(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑖𝑖(𝑡𝑡), met K als willekeurige constante om deze rechtevenredigheid aan te geven.

We weten dat deze K in ieder geval afhankelijk is van het aantal wikkelingen van de spoel, het oppervlak en de lengte van de spoel. Allemaal meetbare zaken. Hoe meer wikkelingen en hoe groter het oppervlak van de spoel, hoe hoger de spanning, hoe langer de spoel, hoe kleiner de spanning. Dit is allemaal vrij logisch en eenvoudig meetbaar met proeven. We kunnen dat in K inbouwen als formule. Nu blijkt dat een bepaalde i(t) nog niet de u(t) oplevert die we meten. We corrigeren de formule met wat we noemen µ.

We krijgen dan dat 𝐾𝐾 = 𝜇𝜇 𝑁𝑁𝐴𝐴𝜌𝜌

,

Dit ingevuld levert:

𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑢𝑢𝐿𝐿(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁𝜇𝜇 𝑁𝑁𝐴𝐴𝜌𝜌𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝜇𝜇 𝑁𝑁2𝐴𝐴𝜌𝜌

𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

Het extra deel 𝜇𝜇 𝑁𝑁2𝐴𝐴𝜌𝜌

noemen we L.

𝒅𝒅𝑳𝑳(𝒕𝒕) = 𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒊𝒊(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕

[V]

waarin

𝑳𝑳 = 𝝁𝝁 𝑨𝑨𝑵𝑵𝟐𝟐

𝑩𝑩 [H]

Wat is dan die μ?

Dit is eenvoudig gezegd ‘het getal om de boel kloppend te krijgen’ in het SI-eenheden stelsel, waarin spanningen en stromen keurig zijn gedefinieerd. Maar toch moet µ een betekenis hebben. Wat nog mist is dat de grootte of sterkte van het magnetische veld rond de spoel afhankelijk is van de omgeving. Hoe beter de omgeving meewerkt om het magnetisch veld sterker te maken, hoe groter het getal van de μ waarin we dit zullen meenemen. Lucht (of vacuüm) werkt niet echt mee en daarmee blijkt μ voor lucht, genaamd de absolute permeabiliteit μo:

μo = 4π10-7 [N/A2]

Elke andere stof dan lucht of vacuüm die in of rond de spoel wordt gebruikt zal dit getal beïnvloeden. We noemen dit de relatieve permeabiliteit μr. Weekijzer heeft bijvoorbeeld een μr van 500 tot 5000. Er zijn materialen waarbij de waarde tot in de miljoenen loopt. Dit getal is overigens verder dimensieloos. Verderop in dit dictaat wordt hierop dieper ingegaan.

Spoelen in serie en parallel

Schakelen we spoelen in serie dan krijgen we eenvoudig Lv = L1 + L2 + L3 + …

Schakelen we spoelen parallel, dan krijgen we

𝟏𝟏𝑳𝑳𝒗𝒗

= 𝟏𝟏𝑳𝑳𝟏𝟏

+ 𝟏𝟏𝑳𝑳𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏𝑳𝑳𝟑𝟑

+ …


HAN-FT-CPM SEECE 62

Of voor twee spoelen parallel::

𝑳𝑳𝒗𝒗 = 𝑳𝑳𝟏𝟏𝑳𝑳𝟐𝟐𝑳𝑳𝟏𝟏+𝑳𝑳𝟐𝟐

Spoel aangesloten op een wisselspanning

Als de aangesloten spanningsbron op een spoel nu geen gelijkspanning is maar een zuiver sinusvormige wisselspanning, dan zal er in de spoel een zuiver sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Dit betekent weer dat er een altijd een wisselend magnetisch veld is en dus continue een tegenspanning Ui wordt opgewekt. Hoe hoger de frequentie van de sinusvormige wisselspanning, hoe hoger de tegenspanning Ui zal zijn. Nu heeft elke spoel een eigen gelijkstroomweerstand, de weerstand van de draad van de spoel. We gaan er nu van uit dat deze gelijkstroomweerstand nul is en bekijken alleen de ideale spoel. Mocht in de praktijk de gelijkstroomweerstand een rol spelen, dan kunnen we die altijd als gewone weerstand in het circuit er voor denken en verder rekenen.

Doordat de spoel op een wisselspanning is aangesloten en daardoor tegenwerking krijgt door de spoel zelf (zie bovenstaand verhaal over de zelfinductie), lijkt er als het ware een ‘wisselstroomweerstand’ in de spoel te zitten. De twee zaken die een rol spelen in de wisselstroomweerstand van de spoel zijn de grootte van spoel L en de frequentie van de wisselspanning. Deze ‘wisselstroomweerstand’ wordt XL genoemd. De waarde van XL = ωL, waarbij ω = 2πf, waarbij f de frequentie in Hertz is en L de waarde van de spoel in Henry.

De XL wordt net als bij gewone weerstanden uitgedrukt in Ω, bijvoorbeeld XL = 23 Ω.

De wisselstroomweerstand wordt ook wel ‘reactantie’ genoemd.

De wisselstroomweerstand bij sinusvormige signalen, kunnen we eenvoudig terugvinden in

𝑢𝑢𝐿𝐿(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

door de stroom door de spoel sinusvormig te beschouwen: iL(t) = îsin(ωt).

Daarmee wordt uL(t) = îωLcos(ωt), waarbij îωL weer de maximale spanning voorstelt. Dus û = îωL ofwel binnen de formule uL(t) = ûcos(ωt).

Aangezien û = îωL geldt, zien we daarin de wet van Ohm terug, zodat we kunnen stellen dat volgens de wet van ohm de ωL de wisselstroomweerstand is.

Overigens zal het vanuit de formule opvallen dat, als de wisselstroom door de spoel sinusvormig verloopt, de bijbehorende wisselspanning over de spoel dan cosinusvormig is. Er is dus een fasedraaiing tussen de spanning over de spoel en de stroom door de spoel van precies 90o ontstaan. De wisselspanning ijlt daarmee 90o voor op de wisselstroom.

Het maakt niet uit of we een sinusvormige wisselstroom aan een spoel aanbieden, met als gevolg een cosinusvormige wisselspanning over de spoel, of dat we een cosinusvormige wisselspanning aan een spoel aanbieden welke een sinusvormige wisselstroom tot gevolg

heeft. De relatie 𝑢𝑢𝐿𝐿(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

is bepalend.

Kortom: Als we een sinusvormige spanning over een ideale spoel zetten, dan zal er een sinusvormige wisselstroom in de spoel ontstaan welke 90o naijlt ten opzichte van de


HAN-FT-CPM SEECE 63

wisselspanning. De verhouding tussen de grootte van de wisselspanning en de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand XL = ωL [Ω]. Hieronder de linker grafiek van een wisselspanning over een spoel en bijbehorende wisselstroom door de spoel. De rechter grafiek is hetzelfde maar dan met een gewone weerstand.

Vraag: ga in de bovenstaande linker grafiek na wat de wisselspanning en wat de wisselstroom voorstelt. Antwoord: omdat bij een spoel de wisselstroom 90o na-ijlt op de wisselspanning, zal de kleine sinus de wisselstroom voorstellen en de grote sinus de wisselspanning. Vraag: Stel dat we een spoel hebben van 400mH. We sluiten deze spoel rechtstreeks aan op ons stopcontact. Hoe groot zal de wisselstroom zijn in de spoel? Antwoord: De wisselstroomweerstand van de spoel is ωL = 2πfL= 314*400m = 125,6Ω. De stroom zal dus zijn 230/125,6 = 1,83A.

Effect van het uitschakelen van een stroom door een spoel

Als er een stroom door een draad loopt, zal rond die draad een magnetisch veld aanwezig zijn. Dat magnetische veld is de representatie van de stroom in de draad. De stroom in de draad vertegenwoordigt een hoeveelheid kinetische energie, net als bij een rijdende trein. Deze energie zit feitelijk in het magnetische veld opgeslagen. Als we in een circuit waar een stroom door een draad loopt, plotseling een schakelaar openzetten, dan zal de kinetische energie plotseling moeten stoppen. Het magnetische veld zal van een zekere waarde in één keer naar 0 gaan. Dat lukt normaal gesproken niet en de stroom zal door willen lopen. Vaak ontstaat bij het uitschakelen van een stroom dan ook vonken. Dat gebeurt ook bij lage spanningen. Bepalend is de stroomgrootte die we willen uitschakelen. Zeker als in het circuit een spoel is opgenomen, wordt dit effect nog veel groter. De spoel is er juist voor gemaakt om een grote spoelwaarde te hebben en dus een groot magnetisch veld te vertegenwoordigen. In de spoel is bij een stroomdoorgang dus veel kinetische energie opgeslagen. Het openzetten van een schakelaar in een circuit met een spoel zal al heel snel vonkvorming veroorzaken in de schakelaar zelf en dus ook bij andere componenten die door kunnen slaan, inclusief de spoel zelf. Dat komt omdat de spanning over de schakelaar en andere componenten, en zeker over de spoel zelf sterk zal oplopen.

+

–

+

–

tijd

spanning en stroom bij een ideale spoel (links) en bij een zuiver ohmse weerstand (rechts)


HAN-FT-CPM SEECE 64

Voorbeeld 9.3: Als we bij een spoel van 35mH een stroom van bv 20A in zeer korte tijd, stel t = 0,0001s stop willen zetten, dan zal de stroom van 20A naar 0 gaan in datzelfde tijdbestek. De stroomverandering diL(t) is dan –20A terwijl de dt = 0,0001s. De spanning over de spoel

wordt dan 𝑢𝑢𝐿𝐿(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 35m*–20/0,0001 = –7kV!!

In ons elektriciteitsnet worden de stromen vanwege het sinusvormige karakter, 100 keer per seconde 0, dus voor het afschakelen van grote stromen in ons net kiest men het liefst dit soort momenten. Zouden we een gelijkstroomnet hebben, dan vraagt het uitschakelen van (een deel van) een net bijzondere maatregelen omdat de grote stroom continue aanwezig is. Voorbeeld 9.4: in onderstaand schema met een gelijkspanningsbron, wordt de schakelaar open gezet. Het openen van de schakelaar kost 0,002s. De weerstand is hier de eigen gelijkstroomweerstand van de draden van de spoel. Vraag: bepaal de spanning die over de spoel, de bron en de schakelaar komen te staan bij het openen van de schakelaar.

Antwoord: Doordat we te maken hebben met een gelijkspanning zal dit betekenen dat voordat de schakelaar wordt geopend in het circuit een gelijkstroom loopt. De spoel van 200mH zal daarom geen wisselstroomweerstand hebben. De wisselstroomweerstand van de spoel heeft dus een waarde van 0Ω ofwel deze vormt een kortsluiting ter plekke. Over blijft de gewone draadweerstand van de spoel. De gelijkstroom zal dus 100/20 = 5A zijn. Zie onderstaand figuur.

Tijdens het openen van de schakelaar zal de stroom van 5A naar 0 gaan in 0,002s. Dus UL = 200m*–5/0,002 = –500V. Er zal dus 500V over de spoel staan en de vraag is of die spoel dit

+

–

100V

200mH

20Ω

+ –

–

+

+

–

100V 20Ω

–

+ 5A


HAN-FT-CPM SEECE 65

kan hebben. Zie onderstaande figuur. Er zal er geen extra spanning staan over de bron. Die blijft 100V omdat de inwendige weerstand van deze (ideale) bron 0 is. Er zal volgens de optelling van de spanningen totaal 100V – (–500V) = 600V komen te staan. De totaalspanning staat vervolgens over de weerstand en de schakelaar samen. Aangezien de schakelaar een oneindig hoge weerstand heeft zal de gehele spanning van 600V over de schakelaar te zien zijn (spanningsdeling tgv de oneindig hoge weerstand en de weerstand van 20Ω). Ook hier is het de vraag of de schakelaar dit aan kan. De linker kant van de schakelaar wordt negatief ten opzichte van de rechterkant van de schakelaar.

Magnetische veldsterkte en magnetisch veld

De ‘magnetische veldsterkte’ H bepaalt hoe groot het magnetisch veld kan worden. H zelf is dus NIET het magnetische veld. Deze H wordt bepaald door de grootte van de stroom in de spoel, het aantal windingen en de lengte van de spoel.

De formule is 𝑯𝑯 = 𝑵𝑵∗𝑰𝑰𝑩𝑩

𝑨𝑨𝒎𝒎, met N het aantal wikkelingen van de spoel, I is de stroom

door de spoel [A] en l is de lengte van de spoel [m].

Om nu te achterhalen hoe groot het magnetische veld B wordt, moet ook bekeken worden welke tussenstof in en rond de spoel aanwezig is. De tussenstof bepaalt de mate van helpen opbouwen van het magnetische veld. Vacuüm of lucht helpen niet mee met het verder versterken van het magnetische veld van de spoel. Bepaalde tussenstoffen zijn wel zeer geschikt om mee te doen met het sterker maken van het magnetische veld. Zo is weekijzer verantwoordelijk voor een toename van het magnetische veld van een paar honderd tot een duizend keer ten opzichte van lucht. Dit komt omdat in het weekijzer rond de kern spinnende elektronen zitten die eigenlijk zelf ook kleine magneetjes zijn. Als de richting van het spinnende elektron rond een kern gemakkelijk te beïnvloeden is, zoals bij weekijzer, dan zullen de miljarden aanwezige magneetjes in het weekijzer zich mee richten met het aangeboden magnetische veld van de spoel. Daardoor wordt het totale magnetisch veld vele malen sterker. Deze ‘versterker’ voor het magnetisch veld wordt aangeduid met de permeabiliteit μ.

De permeabiliteit μ geeft aan hoe goed de tussenstof het oorspronkelijke magnetische veld van een spoel versterkt.

+

–

100V

200mH

20Ω

+ –

–

+

-500V


HAN-FT-CPM SEECE 66

De magnetische flux per m2 wordt aangegeven met inductie B, en wel als volgt: B = μ*H [VS/m2].

De permeabiliteit voor vacuüm of lucht is μo . Voor alle stoffen ten opzichte van lucht nemen we de relatieve permeabiliteit μr.

De waarde μo = 4*π*10–7. Daarna volgt een lange lijst met waarden voor de relatieve permeabiliteit μr, welke voor het gebruik van kernen voor transformatoren tussen de paar honderd tot paar duizend liggen.

De totale formule wordt dan B = μo* μr *H [Vs/m2] is het aantal veldlijnen per m2.

Vermenigvuldigen we B met het aantal m2, dan krijgen we de totale flux Ф = B*A [Vs]. De flux Ф stelt dan het totale aantal veldlijnen voor in een bepaalde oppervlak.

Soms is het handig om B, het aantal veldlijnen per m2 te gebruiken, soms juist weer het totale aantal veldlijnen flux Ф. In beide gevallen spreken we over ‘het magnetische veld’.

Dit betekent overigens niet dat het slechts aanbrengen van een stuk weekijzer in de kern van een spoel zo maar een geweldig groot magnetisch veld oplevert. Dat komt omdat nog steeds een groot deel van het magnetische veld buiten de kern door de lucht moet. Pas bij een gesloten kern zal het magnetisch veld zeer groot zijn. Een kleine sleuf in de kern betekent al dat het magnetisch veld direct overal (zowel in de kern van weekijzer als in de sleuf met lucht) een stuk kleiner zal zijn. Vergelijk daarbij de grootte van het magnetische veld met een

stroom. Hoe groter de (magnetische) weerstand, hoe kleiner de (magnetische) stroom. Willen we dus een groot magnetisch veld, dan zullen spoelen over het algemeen gemaakt worden rond een gesloten kern. Meestal zijn deze kernen rechthoekig of rond. Daarbij hoeft dus niet de hele kern met de spoel te worden omwikkeld. Het gaat er om dat het magnetische veld vanuit de spoel een goede ‘geleider’ voor het veld heeft. Zie onderstaande figuren waar een gelijkstroom van 2A in alle gevallen door dezelfde spoel loopt. De

magnetische veldsterkte H is overal gelijk terwijl de inductie B toeneemt. Dit laatste is vooral het geval in het plaatje rechtsonder, omdat daar geen grote magnetische weerstand van lucht aanwezig is.

2A 2A

2A 2A


HAN-FT-CPM SEECE 67

De magnetische veldlijnen die niet in de kern of bijbehorende luchtspleet zitten noemen we het lekveld.

Verder zijn er paar punten die nog aandacht verdienen bij het maken van een kern.

Het eerste punt is dat als de stroom door de spoel steeds groter wordt gemaakt, meer en meer magneetjes in de kern mee zullen doen. Bij een zekere grootte van de stroom zijn de meeste magneetjes al mee gericht en wordt het steeds lastiger om ‘meeliggers’ mee te krijgen. De kern raakt in verzadiging.

Stel in bovenstaand figuur dat de stroom van 2A nog lang geen verzadigingsstroom is. Dan zal bij 4A het magnetische veld in de kern EN het lekveld twee keer groter worden. Als de 2A wel de verzadigingsstroom is, dan zal bij 4A het magnetische veld in de kern niet groter worden terwijl het lekveld wel groter wordt.

Een spoelen zonder kern kan niet in verzadiging raken, omdat de lucht zelf niet meedoet aan het vergroten van het magnetische veld. Een spoel met een kern kan wel in verzading raken. De meeste spoelen met een kern zijn zo gemaakt dat bij de maximale stroom die de draad van de spoel niet laat verbranden, de kern zelf nog net niet in verzadiging is. Al met al kunnen we vaststellen dat een spoel met kern vrij snel in verzadiging kan raken en daarom moet bij het ontwerp goed gekeken worden of de spoel en de kern wel bij elkaar passen. Overigens zullen we bij de transformatoren en spoelen die in drie fasenetten worden gebruikt het verzadigingsprobleem ontlopen. Daarover later meer.

Het tweede punt van belang is dat als de stroom in de spoel met een kern vanuit een bepaalde grootte weer kleiner wordt gemaakt, het juist weer lastig is om de miljarden magneetjes in de kern in het gareel te krijgen. Ze helpen elkaar de oude positie te handhaven. Het kost dus weer energie om ze uit de bestaande stand te halen. Als de stroom in de spoel naar waarde 0 is gebracht kunnen nog tal van ‘magneetjes’ in de kern in een bepaalde richting staan. Men noemt dit het remanent magnetisme. (Zie ook onderstaand figuur).

De stroom zal negatief moeten worden gemaakt om het totale magnetische veld nul te krijgen. Een andere methode is wat ruiger, er met een hamer op slaan*.

*) Daarom is het onverstandig om met dure luidsprekerboxen te gaan gooien. De permanente magneten die daar in zitten zullen een deel van hun sterke kwijt kunnen raken. Na verloop van tijd verdwijnt ook vanzelf al een deel van het magnetische veld en krijgen de luidsprekerboxen dan een dof geluid. Die tijd wordt een stuk korter als

2A


HAN-FT-CPM SEECE 68

met de boxen niet voorzichtig wordt omgesprongen. Overigens is de kwaliteit van de permanente magneten ook zeer bepalend.

Permanente magneten worden veelal gemaakt door grote stromen te gebruiken rond sterk verhit materiaal en dit materiaal langzaam te laten afkoelen.

Vraag: waarom merken we in een losse kern met weekijzer niets van dit magnetisch veld terwijl er toch miljarden magneetjes in zitten (zijnde de rond de kern spinnende elektronen)? Antwoord: de miljarden magneetjes, die overigens in elke stof aanwezig zijn, zullen normaal gesproken allemaal in hun eigen willekeurige richting staan, zodat het totale magnetisch veld nul zal zijn.

Vraag: ga na wat er gebeurt bij ijzer of plastic met de spinnende elektronen als er een magnetisch veld in de buurt komt. Antwoord: bij ijzer zijn de elektronen die rond een kern spinnen in staat om dit vrij gemakkelijk ook te kunnen doen in een andere richting. De andere kernen van de atomen van het ijzer weerhouden dit niet. Bij plastic en veel andere materialen kunnen de elektronen niet uit hun richting spinnen.

Het derde punt dat aandacht vraagt is dat als een wisselstroom wordt gebruikt door de spoel met kern, vanuit nul bij groter wordende stroom naar verzadiging toe gaat, maar op de terugweg bij steeds kleiner wordende stroom het magnetische veld achterblijft. Bij stroom 0 zal er, zoals in het voorgaande beschreven, remanent magnetisme overblijven. We kunnen ook stellen dat we een negatieve stroom moeten hebben om het magnetische veld 0 te maken. We kunnen de stroom zo weer verder negatief maken en weer in verzadiging komen. Enz. Het oorspronkelijke nulpunt (geen stroom en geen magnetisch veld) wordt niet meer bereikt.

Laten we de stroom in beide richtingen tot in verzadiging van het magnetisch veld komen, dan ontstaat de zogenaamde ‘hysteresislus’. De grootte van het oppervlak van de hysteresislus is een maat voor het vermogen dat nodig is om de miljarden magneetjes in de kern steeds om te draaien. We kunnen dit vermogen bij de kern van een spoel ook merken omdat deze iets warm wordt.

I

B verzadiging

remanent magnetisme


HAN-FT-CPM SEECE 69

Het vierde punt is dat bij een wisselstroom door de spoel rond de kern, de kern zelf ook mee kan doen als stukje spoel. Dit is helemaal het geval indien de kern zelf een gesloten lus vormt. In deze kern ontstaan overal in het materiaal ‘wervelstromen’, die door de grootte van de stroom in staat zijn de kern op te warmen. Het zijn onbedoelde stromen en gebruiken onbedoeld energie. We blokkeren in de praktijk deze wervelstromen zo veel mogelijk door kernen in plaatjes met isolerend materiaal er tussen te maken. Men noemt dit lamellen. In onderstaande foto zijn de buitenranden in het bovenvlak van deze lamellen te zien.

lamellen in een kern

De opwarming van de kern bij wisselstromen komt dus door twee oorzaken. Ten eerste doordat het magnetische veld via de hysteresislus loopt en dat energie kost, en ten tweede vanwege de wervelstromen in de kern. De som van beide noemt met de ijzerverliezen van een kern.

Het vijfde punt is dat het opbouwen van het magnetisch veld in een kern de hoogte van de frequentie van de wisselstroom door de spoel bij bepaalde kernmaterialen beperkt is. Gebruiken we weekijzer als kern dan is de frequentie al beperkt tot enkele tientallen Hz. Dit komt door de traagheid en het vermogen dat het kost van het ompolen van de spinnende elektronen rond de kernen. Gaan we hoger in frequentie (kHz) dan kunnen alleen nog zeer speciale materialen als ijzerpoeder of kernen van koolstof (ferrietkernen) worden gebruikt. Gaan we nog hoger in frequentie (MHz) dan is er geen enkele geschikte kern meer en blijft lucht of vacuüm over. In de wereld van de elektrische energietechniek gebruiken we 50Hz en volstaan weekijzerkernen.

Het zesde punt is het skin effect en het proximity effect. Het skin effect ontstaat binnen in een geleider en het proximity effect is hetzelfde in een naburige geleider. We kijken nu alleen naar het skin effect. Bij het skin effect zullen in een geleider, waar een wisselstroom in loopt, wervelstromen ontstaan die in de geleider naar binnen toe de bestaande stroom opheffen, en naar de buitenkant van de geleider het tegenovergestelde laat gebeuren. De wervelstromen ontstaan door de inductiewerking. Doordat wisselstroom op een bepaald moment groter wordt, zullen de magnetische velden overal in de geleider naar buiten toe zich uitbreiden. Alle elektronen die deelnemen aan de stroom zullen daardoor door hun eigen stroomtoename een magnetische veld door de inductiespanning krijgen en een wervelstroom veroorzaken. Het effect is dan dat de stromen aan de binnenkant van de geleider kleiner zullen zijn en naar buiten toe in de geleider groter. Hoe hoger de frequentie van de wisselstroom hoe sterker dit effect. Bij 50Hz zal dit effect pas ontstaan bij enkele centimeters doorsnede van een geleider. Voor de wereld van de elektrische energietechniek speelt dit dus vrijwel niet. Bij hogere frequenties zoals in de radiotechniek of microgolven zoals bij radartechniek, zal de stroom alleen aan de buitenkant van de geleider willen lopen. Deze geleiders kunnen dan net zo goed (minder kosten) hol gemaakt worden en soms wordt alleen de buitenkant extra goed geleidend gemaakt door deze geleider aan de buitenkant van goud of zilver te maken.


HAN-FT-CPM SEECE 70

Opgave 9.1 Stel de sterkte van een homogeen magnetisch veld is 10Vs/m2. Haaks op dit magnetische veld staat een draad waardoor een stroom loopt van 2A. De lengte van de draad is 10cm. a. Verklaar dat de draad een kracht krijgt en bepaal de richting. b. Bereken de grootte van deze kracht.

Opgave 9.2a Verklaar hoe het kan dat bij een spoel het effect van ‘zelfinductie’ ontstaat en wat het effect daarvan is.

Opgave 9.2b Verklaar dat een afnemend magnetisch veld rond een draad de elektronen in de draad door blijft duwen (in stand houden van de stroom).

Opgave 9.3 Bereken de waarde in [H] van een spoel met 400 wikkelingen als de kern uit lucht bestaat, de doorsnede 1,4cm is en de lengte van de spoel 4cm.

Opgave 9.4 De spoel uit opgave 9.3 heeft een dunne draad, waardoor de inwendige gelijkstroomweerstand 20Ω blijkt te zijn. a. Hoe kunnen we deze gelijkstroomweerstand meten? b. Teken het totale elektrische schema.

Opgave 9.5 Wat zal er gebeuren met de waarde van de spoel uit opgave 9.3 als we de kern van de spoel opvullen met weekijzer met μr = 800?

Opgave 9.6 Idem opgave 9.5, maar dan bestaat het weekijzer uit een gesloten juk.

Opgave 9.7 Stel een spoel met een waarde van 10μH. Bereken de spanning over de spoel in de volgende gevallen. a. de stroom door de spoel is een gelijkstroom van 2A, b. de stroom neemt lineair toe in de tijd als volgt i(t) = 6t, c. de stroom door de spoel is sinusvormig met i(t) = 4sin2t, d. de stroom door de spoel heeft een waarde van 6A en gaat naar 0 in 0,02s. e. idem in 2μs.

Opgave 9.8 Beschrijf wat permeabiliteit betekent.

Opgave 9.9 Waardoor wordt een kern van bijvoorbeeld weekijzer in een spoel warm als op de spoel een wisselspanning staat?

10. Elektromagnetische velden en golven De eigenschap van een spoel is feitelijk het omgekeerde als dat van een condensator. Bij een condensator kunnen we de stilstaande hoeveelheid elektronen middels het elektrische veld gezien worden als ‘potentiële energie’. Bij een spoel zijn het de bewegende elektronen via het magnetisch veld een representatie is van de ‘kinetische energie’.

Stel dat we een geladen ideale condensator koppelen aan een ideale spoel. De condensator zal zich ontladen via de spoel. De veroorzaker is niet de spanning zelf, maar het Elektrisch veld. De spanning is daar het resultaat van. Het Elektrisch veld in de condensator zal afnemen en dus ook de spanning over de condensator. De stroom die dan door de spoel gaat lopen maakt een Magnetisch veld en dat Magnetische veld zal in de tijd dat het Elektrisch veld in de condensator afneemt toch steeds sterker worden. (Potentiële energie wordt kinetische


HAN-FT-CPM SEECE 71

energie). Op een zeker moment is er geen spanning meer en het Elektrisch veld in de condensator is dan verdwenen. Maar er is op dat moment nog wel een Magnetisch veld en bijbehorende stroom in de spoel. Deze stroom duwt door, waardoor de spanning in de condensator nu negatief oploopt en de stroom en daardoor het Magnetisch veld weer kleiner wordt. Om precies te zijn is het niet de stroom die het Magnetisch veld veroorzaakt, maar het Magnetisch veld veroorzaakt de stroom in de spoel. Het afnemende Magnetische veld zorgt dat de stroom door blijft lopen (wordt doorgeduwd). Als het Elektrische veld in, en dus de spanning over de condensator nu omgekeerd en maximaal is, zal het Magnetisch veld en dus de stroom door de spoel, nul zijn. De condensator zal nu weer over de spoel ontladen enz enz. Eea verloopt sinusvormig. De spanning loopt bij de spoel daarbij 90o voor op de stroom en precies andersom bij de condensator.

Daarmee zien we dat het Elektrisch veld het Magnetisch veld maakt en het Magnetisch veld daarna weer een Elektrisch veld maakt enz. Hierbij wisselen de twee vormen van potentiële en kinetische energie (het Blind vermogen) steeds in elkaar uit en wordt er geen werkzaam Watt vermogen verbruikt. Dit proces blijft theoretisch zo eeuwig doorgaan.

Omdat er elektronen zijn nemen we via de aanwezigheid van Elektrische en Magnetische velden de spanningen en stromen waar omdat ze daarop reageren. Het kan ook zonder elektronen. Het uitwisselen van de Elektrische en Magnetische velden zien we bijvoorbeeld terug bij zeer hoge frequenties als zichtbaar licht. Zolang deze Elektrische en Magnetische velden elkaar uitwisselen en niets tegenkomen (bijvoorbeeld door andere elektronen in beweging te krijgen), blijft de energie als Blind vermogen onaangetast heen en weer slingeren tussen beiden. Pas als het licht een object tegen komt en daarbij energie omzet in werkbaar Watt vermogen, gebeurt er iets. Een voorbeeld daarvan is dat licht in onze ogen komt en we kunnen zien. Het Blind vermogen wordt voor dat deel omgezet in Watt vermogen.

Opdracht: We weten uit voorgaande dat 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 ∗ 𝐻𝐻 [𝑉𝑉𝑠𝑠/𝑚𝑚2] , 𝐶𝐶 = 𝜀𝜀 𝐴𝐴𝑑𝑑

[𝐹𝐹] en 𝐼𝐼 ∗ 𝑡𝑡 = 𝐶𝐶 ∗ 𝑈𝑈

Toon nu aan dat de eenheid voor 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑠𝑠 Ω𝑠𝑠𝑚𝑚 en de eenheid voor 𝜀𝜀 𝑖𝑖𝑠𝑠 𝑠𝑠

Ω𝑚𝑚 en daarmee krijgen we dat 1/√𝜇𝜇𝜀𝜀

een snelheid voorstelt. Als een Elektromagnetische golf zich in de lucht verplaatst, dan is snelheid 1/√𝜇𝜇𝑜𝑜𝜀𝜀𝑜𝑜 = 3.108 m/s, zijnde de lichtsnelheid! Dit is heel bijzonder, omdat zowel μ als ε eigenblijk restgetallen zijn (zie voorgaande) om de fysieke maten te laten kloppen met het SI-eenhedenstelsel.

Een radiosignaal en ook licht is een Elektro-Magnetische golfbeweging, ook wel EM-veld genoemd. Net als dat licht in onze ogen bij de staafjes en de kegeltjes energie als Watt vermogen produceert, is dat ook zo bij een radiogolf, maar dan noemen we dat een antenne. De zendantenne maakt, door het heen en weer laten lopen van de elektronen een E-veld binnen en buiten de draad en een Magnetisch veld buiten de draad. Als de radiozender een sinusvormig signaal maakt zal het veld ook sinusvormig zijn. Het E-veld buiten de draad maakt door het veranderen van het E-veld aldaar een veranderend M-veld dat als EM-veld dat de antenne zal verlaten. Het E-veld binnen de draad maakt ook een M-veld buiten de draad, maar dat M-veld zal zijn energie weer terug geven in het verplaatsen van de elektronen in de draad. Het M-veld vertegenwoordigt de bewegende elektronen. De grootte van het E-veld buiten de draad bepaalt hoe groot uiteindelijk het EM-veld wordt dat de draad als antenne zal verlaten. Dat deel van de energie zal dus verdwijnen uit de draad. De grootte van het E-veld buiten de draad wordt weer bepaald door de frequentie waarmee de spanning en stroom in de draad aanwezig is. Datzelfde gebeurt bij een geluidsgolf in bv een staaldraad voor een gitaar. De snelheid waarmee de geluidsgolf door de staaldraad gaat, zal de draad in een harmonische trilling brengen als de lengte van de draad precies de halve golflengte is van die trilling. De helft wordt genoemd omdat het geluid in één totale cyclus van de ene kant van de draad naar de andere kant van de draad gaat en weer terug, zodat precies op het juiste moment aan de volgende


HAN-FT-CPM SEECE 72

cyclus kan worden begonnen. We krijgen dan ‘resonantie’. De totale heen en terug weg is de golflente λ. In formulevorm λ = v/f, waarbij v de snelheid is van het geluid door de draad en f de frequentie. Daar het geluid door de draad met een vaste snelheid zich verplaatst, kunnen we de resonantiefrequentie bepalen door de draad langer of korter te maken of de trekspanning op de draad te wijzigen. Daarmee krijgen we de optimale lente van de draad. Een tik tegen de draad betekent dat de draad in zijn eigen resonantiefrequentie komt. Gaan we de draad fysiek in een frequentie in trilling brengen, dan zal een afwijkende frequentie vrijwel geen effect hebben. Als de aangeboden frequentie in de buurt komt van de resontantiefrequentie van de draad, dan zal de draad hard meetrillen. Als we de aangeboden frequentie precies gelijk maken aan de resonantiefrequentie, dan zal de draad optimaal meetrillen. Hoe korter de draad hoe hoger de resonantiefrequentie en dus het geluid of geluidstoon die we ervaren. Dit gebeurt ook bij de elektronen in een antenne. De snelheid waarmee de stroom door een draad gaat zit tegen de lichtsnelheid aan. Bij een aangeboden zendfrequentie van bijvoorbeeld 10MHz zal de optimale antenne een lengte hebben van 15m. Dat is de halve golflengte. De golflente wordt bepaald door de formule λ = c/f, waarbij c de lichtsnelheid is . De optimale antenne is dus ½ λ. De maximale aantal elektronen zit dan op een bepaald moment aan de ene kant van de antenne terwijl het minimale aantal elektronen aan precies de andere kant van de antenne zit. Dan hebben we het maximale Elektrische veld buiten de draad op een bepaald moment. Binnen en buiten de draad zit er dan een Elektrisch veld dat in een frequentie van 10MHz in en buiten de draad heen en weer slingert en daarmee een magnetisch veld rond de draad in hetzelfde tempo veroorzaakt ten gevolge van het E-veld in de draad EN een Magnetisch veld veroorzaakt door het E-veld buiten de draad. Er gaat geen energie naar buiten. Alles blijft in de draad … behalve het met 10MHz wisselende Elektrische veld buiten de draad. Deze maakt een eigen Magnetische veld waardoor het EM-veld ontstaat. Dat EM-veld verplaatst zich vanaf de antenne en gaat een eigen leven leiden en komt niet meer terug. Dit is dus ‘Blind vermogen’ dat de antenne verlaat. De sterkte van het E-veld buiten de draad wordt bepaald door de afstand tussen de plus en min bij de halve golflengte. Bij 50Hz zitten de plus en min van het Elektrische veld op een afstand van 3000000m = 3000km uit elkaar. Al hebben we het over 380kV, dan nog is het E-veld buiten de draad, gezien de enorme afstand, nagenoeg nul, en zal een hoogspanningslijn zich niet als antenne gedragen. Alle energie blijft dus binnen de draad. Er zal wel energieverlies optreden als het wisselende E-veld of M-veld buiten de draad elektronen in de grond of de hoogspanningsmasten heen en weer zal laten bewegen. Dat verlies hebben we natuurlijk wel.


HAN-FT-CPM SEECE 73

11. Vermogens bij wisselstroom Indien we in een wisselstroomnet met zuiver sinusvormige signalen, het vermogen bekijken, dan kunnen we uitgaan van de basisformule 𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑖𝑖(𝑡𝑡) [𝑊𝑊]. Het resultaat van het vermenigvuldigen van een sinusvormige spanning en stroom is weergegeven in onderstaande figuur. Daarbij is de doorgetrokken dunne sinusvormige lijn de spanning, de dikke sinusvormige lijn de stroom (welke hier in fase is met de spanning) en het product van beide, de gestreepte sinusvormige lijn het vermogen zijn.

Daarin zien we dat het vermogen altijd positief is, de dubbele frequentie heeft gekregen en het gemiddelde vermogen (precies de helft van de topwaarde van het vermogen. Zie onderstaand figuur. We noemen het gemiddelde vermogen Pgem, soms ook Peff of gewoon P, zijnde het ‘effectieve’ vermogen of het Watt vermogen.

Pgem = Peff = P kunnen we bepalen uit

𝑃𝑃 = 1𝑇𝑇 ∫ 𝑝𝑝(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇

0 = 1𝑇𝑇 ∫ 𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇

0 [W]

Invulling levert

𝑃𝑃 = 1𝑇𝑇 ∫ û𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 ∗ î𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑇𝑇

0 = ûî𝑇𝑇 ∫ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠2𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑇𝑇

0ûî𝑇𝑇12

(𝑠𝑠𝑡𝑡 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡)𝑇𝑇0 =ûî𝑇𝑇12

(𝑠𝑠𝑇𝑇 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑇𝑇) − ûî𝑇𝑇12

(𝑠𝑠0 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠0 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠0) = ûî𝑇𝑇12

(2𝜋𝜋 − 0 ∗ 1) −ûî𝑇𝑇12

(0 − 0 ∗ 1) = ûî𝑇𝑇12

2𝜋𝜋 = ûî2𝜋𝜋

12

2𝜋𝜋 = ûî2

= 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒√2∗𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒√22

= 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∗ 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑈𝑈𝐼𝐼

p(t)

i(t)

+

–

tijd

u(t)

0 T

u(t)

i(t)

+

–

p(t)

Pgem

tijd


HAN-FT-CPM SEECE 74

De conclusie is dat het gemiddelde (effectieve) vermogen de vermenigvuldiging is van de effectieve waarde van de spanning en de effectieve waarde van de stroom.

Zouden we ditzelfde doen door de stroom 90o te verschuiven ten opzichte van de spanning, dan krijgen we onderstaande grafiek, waarbij het vermogen, net als in de vorige situatie, met een sinus met de dubbele frequentie aanwezig is. Alleen wordt deze sinus nu wel positief en negatief en is deze sinus evenredig verdeeld rond de tijd-as. De berekening van P levert dan vanzelfsprekend = 0 op omdat het gemiddelde vermogen dan nul is.

Een condensator of spoel, waar de stroom en spanning precies 90o onderling verschoven zijn, zal dus twee keer per periode het Watt vermogen positief en negatief zijn, dus twee keer per periode zal vermogen worden opgenomen en afgeven. Omdat al het vermogen dat wordt opgenomen ook weer wordt afgegeven, wordt er gemiddeld geen Watt vermogen ‘verbruikt’. Dit uitwisselen van vermogen is zoals eerder aangegeven het zogenaamde Blind vermogen.

We gaan het gemiddelde Watt vermogen beschrijven door de fasehoek tussen de spanning en stroom mee te nemen. Als er geen faseverschuiving is zal het gemiddelde Watt vermogen maximaal zijn, en als er 90 graden faseverschuiving is zal er gemiddeld geen Watt vermogen zijn. Daarmee krijgen we, zonder verder bewijs, de volgende formule voor het Watt vermogen bij sinusvormige signalen, waarbij de U en I weer de effectieve waarden zijn:

𝑷𝑷 = 𝑼𝑼𝑰𝑰𝒄𝒄𝒐𝒐𝑩𝑩(𝝋𝝋𝑼𝑼 − 𝝋𝝋𝑰𝑰) [𝑾𝑾] of verkort weergegeven 𝑷𝑷 = 𝑼𝑼𝑰𝑰𝒄𝒄𝒐𝒐𝑩𝑩𝝋𝝋 [𝑾𝑾]

Hoe kleiner het faseverschil tussen de spanning en de stroom, hoe groter het Watt vermogen. Dit noemt met de arbeidsfactor 𝒄𝒄𝒐𝒐𝑩𝑩(𝝋𝝋𝑼𝑼 − 𝝋𝝋𝑰𝑰) of kortweg 𝒄𝒄𝒐𝒐𝑩𝑩𝝋𝝋.

Het omgekeerde voor het Watt vermogen geldt voor het Blind vermogen. Deze is maximaal als er 90 graden faseverschuiving is tussen de spanning en de stroom, en is nul als er geen faseverschuiving is tussen de spanning en de stroom. De algemene formule voor het Blind vermogen is dan:

𝑸𝑸 = 𝑼𝑼𝑰𝑰𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩(𝝋𝝋𝑼𝑼 − 𝝋𝝋𝑰𝑰) [𝑽𝑽𝑨𝑨𝑹𝑹] of verkort weergegeven 𝑸𝑸 = 𝑼𝑼𝑰𝑰𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩𝝋𝝋 [𝑾𝑾]

p(t)

i(t)

u(t) +

–

tijd


HAN-FT-CPM SEECE 75

Voorbeeld 11.1: In onderstaand circuit is de effectieve spanning 100V en gegeven is dat de stroom een effectieve waarde heeft van 4A, waarbij de fase van de stroom 30o naijlt op de spanning.

Dan krijgen we Pbron =100*(– (4))*cos((0o) – (– 30o)) = –346W. (De min voor de 4 is omdat de stroom bij de plus van de bron weg gaat). De bron levert dus Watt vermogen omdat het antwoord negatief is. Voor het Blind vermogen in de bron krijgen we Qbron =100*(– (4))*sin((0o) – (– 30o)) = – 200VAR.

Vervolgens kijken we wat er bij de weerstand gebeurt. De stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand zijn altijd met elkaar in fase. Dus aldaar is de cos(ϕU-ϕI) = cos(00) = 1. De effectieve spanning over de weerstand is UR = IRR = 40V. Het vermogen in de weerstand wordt dan PR = 40*(+ (4))*cos(0o) = 160W. De weerstand neemt dus vermogen op.

Aangezien we bij de weerstand altijd het cosinus deel wegvalt (= 1), kunnen we gemakshalve ook direct gebruik maken van PR = IR

2R of PR = UR2/R. De bedoelde stroom en spanning zijn de

effectieve waarde van de stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand.

In bovenstaand circuit krijgen we dus de volgende situatie: De bron levert –346W en de weerstand neemt 160W op. Elders in het circuit (achter de gestreepte lijnen, zal dus het resterende Watt vermogen worden opgenomen). Dat geldt ook voor het Blind vermogen.

Opgave 11.1: Bereken de Watt en Blind vermogens in alle elementen van onderstaande schakeling. De spanning van 130V heeft een fase van 800. De 400V bron ijlt 1500 voor op de fase van de spanning van 130V. De stroom van 4A heeft een fase van 300.

Schijnbaar vermogen

Als we een stroom meten in een draad, dan zal een deel van deze stroom voor het Watt vermogen en een deel voor het Blind vermogen verantwoordelijk zijn. Uit de vermogensformules volgen deze;

𝑰𝑰𝑾𝑾𝑾𝑾𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒐𝒐𝑩𝑩𝝋𝝋 [𝑨𝑨]

˜

+ –

400V 40Ω 4A

+ –

130V

˜ ˜

˜

+

–

100V

10Ω I

+ –


HAN-FT-CPM SEECE 76

𝑰𝑰𝑩𝑩𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩𝝋𝝋 [𝑨𝑨]

Deze stromen meten we dus niet. De stroom die wij meten is gewoon 𝑰𝑰 [𝑨𝑨] .

Het product van de spanning en de stroom heet het Schijnbaar vermogen; S = UI [VA]. Daarbij is de stroomrichting en de fase niet van belang. We kijken dus niet of de stroom bij de plus van de bron naar binnen gaat of andersom.

Voorbeeld 11.2: Zie onderstaand schema met een bronspanning U van 230V. De stroom heeft een waarde van 8A en ijlt 400 voor op de spanning. Bepaal bij de bron het Watt, Blind en Schijnbaar vermogen. Antwoord: S = 230*8 = 1840VA, P = 230*–8*cos(0 – 400) = –1,4kW en Q = 230*–8*sin(0 – 400) = 1183VAR.

In literatuur wordt ook wel gebruik gemaakt van 𝑺𝑺 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 +𝑸𝑸𝟐𝟐 [VA]

We zien in deze formule dat P en Q negatief kunnen zijn terwijl S toch positief is.

12. Wisselstroomnetten De elektriciteitsnetten bestaan vooral uit wisselspanningsnetten met wisselspannings-bronnen, wisselstromen, weerstanden, spoelen en condensatoren. Daarbij maken we gebruik van complex rekenen om de waarden van de spanningen, stromen, weerstanden en vermogens te kunnen bepalen.

In dit dictaat gaan we er van uit dat de frequentie in de wisselstroomnetten altijd 50Hz is, tenzij expliciet een andere frequentie is gegeven. De wisselspanningen en -stromen zijn altijd als effectieve waarde gegeven, tenzij anders aangegeven.

Om aan te geven dat we complex rekenen zullen we de complexe notatie gebruiken door een streep zetten onder de aanduidingen spanningen U, stromen I en zo nodig de combinaties van meerdere complexe weerstanden en reactanties, aangeven met impedanties Z.

De hoofdletters in de complexe notaties geven, zoals eerder aangegeven, aan dat de spanningen en stromen sinusvormig zijn EN dat effectieve waarden zijn aangegeven.

I

˜

+

–

U


HAN-FT-CPM SEECE 77

Complexe notatie bij de weerstand, spoel en condensator

Bij een gewone weerstand is geen fasedraaiing. De spanning over een weerstand en de stroom door de weerstand zijn altijd met elkaar in fase. Berekeningen bij de weerstand gaan daarom eenvoudig met U = IR. Dus als de stroom door een weerstand een fase van 300 heeft, dan zal de spanning over de weerstand eveneens een fase hebben van 300.

De spoelen en condensatoren worden in het complexe rekenwerk meegenomen als reactanties, waarbij de 90o fasedraaiing tussen de spanning en de stroom met j wordt aangegeven.

De verhouding tussen de grootte van sinusvormige wisselspanning over de spoel en de sinusvormige wisselstroom door de spoel is de grootte van de wisselstroomweerstand; XL = ωL. Omdat daarnaast de sinusvormige wisselspanning over de spoel precies 90o voorijlt op de sinusvormige wisselstroom door de spoel, krijgen we een j voor de reactantie XL. We schrijven bij complex rekenen dan voor de ideale spoel de reactantie jXL. Het resultaat is dan dat UL = ILjXL.

Voor een ideale condensator krijgen we een reactantie van – jXC. De – j omdat de sinusvormige wisselspanning over de condensator 90o naijlt ten opzichte van de sinusvormige wisselstroom door de condensator. De verhouding tussen de grootte van de sinusvormige wisselspanning en de grootte van de sinusvormige wisselstroom is de wisselstroomweerstand, welke wordt vertegenwoordigd met XC = 1/ωC.

Vraag: Toon aan dat – j/ωC = 1/jωC.

De verschillende complexe notaties

De complexe notatie worden twee schrijfwijzen door elkaar gebruikt. Beide manieren kunnen in elkaar omgeschreven worden (zie aparte dictaat ‘complex rekenen’):

z = a + jb = |𝑧𝑧|∠𝜑𝜑 De eerste is de cartesiaanse notatie en de tweede is de polaire notatie.

Daarin is |𝑧𝑧| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 en de fasehoek 𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑏𝑏𝑎𝑎

.

De positieve draairichting van 𝜑𝜑 is linksom, tegen de wijzers van de klok in.

Omgekeerd is 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑏𝑏 = |𝑧𝑧|(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜑𝜑 + 𝑗𝑗𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝜑𝜑)

jb

a

𝜑𝜑

a+jb z


HAN-FT-CPM SEECE 78

Complex rekenen in wisselstroomnetten

Bij het rekenen in wisselstroomnetten zullen we te maken krijgen met Watt en Blind vermogens. Watt vermogen wordt opgenomen door zuivere ohmse weerstanden en Blind vermogen gaat niet verloren, en zal in een elektriciteitsnet heen en weer slingeren tussen condensatoren en spoelen. De wisselspanningsbron speelt hierin een belangrijke rol, omdat deze bron het Watt vermogen moet leveren of opnemen EN zo nodig moet bijspringen om te veel of te weinig Blind vermogen in het net te compenseren. Dit betekent dat een wisselspanningsbron in een net meerdere functies heeft. Ten eerste moet deze zoals aangegeven het Watt vermogen normaal gesproken moet kunnen leveren dat gevraagd wordt door het net, maar tevens moet de bron zich inductief (als spoel) of capacitief (als condensator) gedragen, al naar gelang wat het net vraagt. Zitten er bijvoorbeeld in een net veel spoelen en naar verhouding te weinig condensatoren, dan zal de bron zich ‘capacitief’ moeten gedragen om dit te compenseren. Dit zal duidelijk worden als er een paar eenvoudige wisselstroomnetten zijn berekend.

Voorbeeld 12.1. We gaan een eerste elektriciteitsnet bekijken met wisselspanningen. Zie onderstaande figuur.

We zetten dit schema eerst om naar een schema met alleen nog de complexe notaties. Hierin hebben we een condensator welke zich gedraagt als een – jXc = – j(1/2*π*1500*10μ) = – j10,6Ω. De gewone weerstand heeft alleen een reële waarde en blijft 5Ω en de bron wordt complex weergegeven als U =100∠0o. De frequentie van 1,5kHz van de bron zien we niet terug bij de bron zelf, maar zien we terug in de grootte van de reactantie van de condensator. De keuze van 0o als fasehoek voor de bronspanning is geheel vrij en zal als resultaat hebben dat de stroom een bepaalde fasedraaiing krijgt ten opzichte van die 0o. (Zouden we een andere hoek kiezen, dan blijft het verschil in hoek tussen de spanning en stroom gelijk. We zullen dit zien door dit voorbeeld later nogmaals te berekenen, maar dan met een andere starthoek).

Het complexe schema met U = 100∠0oV is onderstaand weergegeven. Alle spanningen en stromen en reactanties of impedanties zijn complex genoteerd, dus als U en I aangegeven, zo ook bij de weerstand en de condensator, waarbij alleen de waarde van de reactantie staat.

+

–

100V 1,5kHz

5Ω I

+ –

+

–

10μF ˜


HAN-FT-CPM SEECE 79

We kunnen de stroom bepalen door in dit circuit de 2e wet van Kirchhoff toe te passen. We vinden dan + (U) – (UR) – (UC) = 0. Vullen we dit in dan krijgen we:

(100∠0o ) – (I*5) – (I*–j10,6) = 100∠0o – I(5 – j10,6) = 0

De stroom wordt dan I = 100∠0o /(5 – j10,6) = 100∠0o /11,7∠295o = 8,55A∠-295o = 8,55∠+65o A.

Waarin de totale impedantie die de bron ziet dus gelijk is aan Z = 5 – j10,6 = 11,7∠295oΩ. vanuit de theorie van complex rekenen kunnen we de grootte van Z, ofwel Z= 11,7Ω.

Vanuit de theorie van complex rekenen weten we dat |𝑍𝑍| = (𝑅𝑅2 + 𝑋𝑋2). Als we dus eenvoudig willen weten hoe groot de stroom in dit circuit is, dus zonder informatie over de fasehoek, dan kunnen we eenvoudig stellen I= U/Z= 100/11,7 = 8,55A. Maar pas op, dit kan alleen in dit soort eenvoudige gevallen.

De stroom heeft dus een effectieve waarde van 8,55A met een positieve fasedraaiing +65o ten opzichte van de bronspanning (of een negatieve fasedraaiing van -295o. Dit is om het even. Het maakt dus niet uit waar we verder mee rekenen).

De spanning over de weerstand is nu UR = IR = 8,55∠+65o *5 = 42,8∠+65oV en de spanning over de condensator is nu UC = I(–jXC) = 8,55∠+65o * –j10,6 = 90,63∠–25oV.

Vraag: ga wiskundig na klopt dat UR + UC = 100∠0oV

Zetten we dit in een complex diagram dan zien we:

UR = 42,8∠+65oV

I = 8,55∠+65oA

UC = 90,63∠–25oV.

Ubron = 100∠0oV

+

–

U =100∠0o

5Ω I

+ –

+

–

-j10,6Ω


HAN-FT-CPM SEECE 80

In dit diagram zal opvallen dat, en zoals is te verwachten, de stroom in fase is met de spanning over de weerstand en diezelfde stroom 90o voorijlt op de spanning over de condensator. Verder zien we dat de som van de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator de bronspanning oplevert welke hier op 0o fase gesteld is. Dit is een momentopname. Zouden we iets eerder of later in de tijd kijken, dan verdraaien alle vectoren in het complexe vlak mee.

We kunnen de signalen in de tijd ook tekenen. Zie onderstaand. De spanningen zijn de dunne lijnen en de stroom is de dikke lijn. Let op, de topwaarde is onderstaand geschetst, maar met de effectieve waarde wordt gerekend. De effectieve waarde wordt daarom in het vectordiagram bij complex rekenen gebruikt.

Vraag: Geef door onderstaand te vergelijken met het complexe diagram hierboven, zelf aan welke sinus de bronspanning, de spanning over de weerstand en de condensatorspanning is. Laat in dit tijdplaatje ook zien dat grafisch de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator de bronspanning weer oplevert.

Kijken we nu naar de vermogens, dan vinden we:

Pbron = UIcos(𝜑𝜑U – 𝜑𝜑I) [W]. Omdat de stroompijl bij de + van de bron er uit gaat krijgen we dus Pbron = 100*–(8,55)*cos(0o – 65o) = –361W. Dit watt vermogen wordt vanzelfsprekend alleen geleverd aan de weerstand van 5Ω welke het vermogen opneemt. Dat klopt, want daar vinden we PR = I2R = (8,55)2*5 = +366W. (Let niet op de afrondingsfouten).

Verder vinden we:

Qbron = UIsin(𝜑𝜑U – 𝜑𝜑I) [VAR], Qbron = 100*– (8,55)*sin(0o – 65o) = +775VAR. De bron gedraagt zich vanwege het positieve Blind vermogen inductief om de condensator te compenseren. Het Blind vermogen van de bron wisselt dus uit met de condensator. Het Blind vermogen in

+

t [s]


HAN-FT-CPM SEECE 81

de condensator kan worden berekend met QC = UIsin(𝜑𝜑U – 𝜑𝜑I) [VAR]. Dan krijgen we, met UC = 90,63∠–25oV en I = 8,55∠+65oA, het volgende QC = 90,63*8,55*sin(–25o – 65o) = –775VAR. Aangezien we bij een condensator altijd een negatief blind vermogen zullen vinden (sin –900 = –1), kunnen we voortaan ook sneller eea berekenen door gebruik de stroom door de condensator te nemen en te schrijven QC = –1 (I2XC). Dus QC = –IC

2XC ofwel – (8,55)2*10,6 = –775VAR of via de spanning over de condensator QC = –1 (U2/XC), dus QC = –UC

2/XC = – (90,63)2/10,6 = –775VAR. Let op; het negatieve VAR vermogen dat we altijd bij condensatoren zullen vinden, betekent niet dat een condensator Blind vermogen levert, zoals dat wel het geval is bij het Watt vermogen. Het negatieve teken betekent dat de condensator zich capacitief gedraagt.

Vraag: Zie bovenstaand complexe vlak en teken dit nogmaals met allen spanningen en stromen, maar dan 120µs eerder in de tijd. Antwoord: omdat we te maken hebben met 1,5kHz, zal een volledige rondgang (periode) van 3600 precies 666,7µs duren. Dus 120µs ≈ 650. We krijgen dan:

Sinusvormige grafieken met signalen in de tijd worden vaak niet getoond. Het vectordiagram geeft voor het rekenwerk en het begrip voldoende informatie.

Opgave 12.1: Stel nu in bovenstaande situatie de fasehoek van de spanningsbron op –70o en bereken eea opnieuw.

Opgave 12.2: Onderstaande serieschakeling heeft een wisselspanningsbron van 230V met een fasehoek van 400. De spoel is 200mH. De weerstand is 40Ω. De stroompijl is tegen de verwachting in naar links gekozen. Deze keuze is bewust gemaakt om te laten zien dat deze keuze niet uitmaakt en na het berekenen van eea alles vanzelf goed komt. Gevraagd: Teken het complexe schema, bereken de spanningen, stroom en vermogens en teken het complexe vlak met de berekende spanningen en stroom. Geef ook de conclusie ten aanzien van de vermogensverdeling.

UR = 42,8∠0oV

I = 8,55∠0oA

UC = 90,63∠-90oV

Ubron = 100∠-65oV


HAN-FT-CPM SEECE 82

Voorbeeld 12.2: In onderstaand schema is een 10kV spanning welke een weerstand van 50Ω voedt. Deze weerstand staat parallel aan een spoel 127,4mH. Het complexe schema is getekend. De fasehoek van de 10kV is gesteld op 00. Bereken de Watt en Blind vermogens.

De stroom door de weerstand wordt nu IR = 10k∠0o/ 50 = 200∠0oA. De stroom door de spoel is IL = 10k∠0o/j40 = 250∠–90oA. De totaal stroom I = 200∠0o + 250∠–90o = 200 – j250 = 320∠309oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen wordt Pbron = 10k*(–320)*cos(0o – 309o) = –2MW. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. (Kan ook via of PR =U2/R = (10k)2/50 = 2MW). Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–320)*sin(0o – 309o) = –2,5MVAR. Als het goed is zal de spoel datzelfde getal krijgen, maar dan positief: QL = I2XL = (250)2 *40 = 2,5MVAR (of via QL = U2/XL = (10k)2/40 = 2,5MVAR).

Plaatsen we bovenstaand voorbeeld 12.2 in de praktijk, dan is de bron een centrale die 10kV opwekt en via een lange lijn bijvoorbeeld een spoel van een elektromotor voedt, waarbij de weerstand van 50Ω het daadwerkelijke vermogen is om een as te laten draaien. Het Blindvermogen voor de spoel is voor de motor wel nuttig, maar het is jammer dat de bron daarmee moet compenseren via een grote afstand en lange lijn. Daarom worden er in de praktijk condensatoren dicht bij de spoelen geplaatst.

–

I +

–

U =10k∠0oV

j40Ω 50Ω

+ +

–

I +

–

U =230V

200mH

40Ω ˜


HAN-FT-CPM SEECE 83

Veronderstel nu dat er een condensator wordt geplaatst die precies – j40Ω is. (De waarde van die condensator kunnen we vinden via 1/ωC = 40Ω, dus C ≈ 80μF). We krijgen dan het volgende complexe schema:

Vraag: Bereken opnieuw de stromen en vermogens. Antwoord: De stroom door de weerstand blijft IR = 200∠0oA. De stroom door de spoel blijft IL = 250∠–90oA. De stroom door de condensator is IL = 250∠+90oA. De totaal stroom I = 200∠0o + 250∠–90o + 250∠+90o = 200∠0oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen Pbron = 10k*(–200)*cos(0o – 0o) = –2MW. Dat is niet veranderd ten opzichte van de situatie dat de condensator nog niet er bij was gezet. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–200)*sin(0o – 0o) = 0. Blijkbaar is de bron niet meer betrokken bij de Blindstroomcompensatie van het net. Dat klopt, want het Blindvermogen in de spoel blijft QL = I2XL = (250)2*40 = 2,5MVAR en het Blindvermogen in de condensator is het eenvoudigst te bepalen via QC = –U2/XC = (10k)2/40 = –2,5MVAR. Het Blindvermogen speelt blijkbaar alleen tussen de spoel en de condensator onderling. Aldaar loopt dus nog wel de eerder berekende forse wisselstroom van 250A. Deze stroom slingert heen en weer tussen de spoel en de condensator. De bron voedt alleen maar de weerstand. De grootte van de wisselstroom vanuit de bron is door de toevoeging van de juiste condensator gezakt van 320A naar 200A. In de praktijk betekent dit dat de aanvoer van Blind vermogen vanuit de bron voorheen extra dikke draden kost. Dat wordt nu door de toevoeging van de juiste condensator voorkomen. Zie onderstaand schema.

–j40Ω

–

I +

–

U =10k∠0oV

j40Ω 50Ω

+ +

–

+

–

250A

C

–

200A +

–

U =10kV

L R

+ +

–

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 84

We kunnen dit ook bekijken doordat de spoel en de condensator parallel aan elkaar staan. De vervangende impedantie wordt dan ZLC = (j40*–j40)/(j40 + –j40) = –1600 j2/0 = 1600/0 → ∞. Dus de bron ziet de L en C niet. Vandaar we dan een veel eenvoudiger schema hebben, namelijk de spanningsbron van 10kV die alleen een weerstand ziet van 50Ω. Het resultaat is dus een stroom van 200A. Wat nu vergeten zou kunnen worden is de aanzienlijke Blindstroom die elders in het circuit, tussen de L en C, toch loopt. Dat gaat dan helemaal mis als we onderstaande schakeling bekijken, waarbij de condensator links van de spoel is geplaatst. In de tak die vet gemaakt is lopen dus twee stromen, de 200A vanuit de bron om R te voeden en de 250A Blindstroom die tussen de L en C wisselt. Als L met R een machine vormt en C de compensatie daarvoor, moeten de kabels daartussen extra dik worden gemaakt.

Vraag; Stel de condensator in bovenstaande vraag met een andere waarde, namelijk 40μF. Bereken eea opnieuw. Antwoord: de reactantie van de condensator wordt nu – j80Ω. De stroom door de condensator zal nu worden IC = 125∠+90oA. De stromen door de spoel en weerstand blijven gelijk aan de voorgaande situatie. De totale stroom uit de bron wordt nu I = 200∠0o + 250∠–90o + 125∠+90o = 235,8∠328oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen Pbron = 10k*(–235,8)*cos(0o – 328o) = –2MW. Dat is opnieuw niet veranderd ten opzichte van voorgaande situatie. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. (Let op, de stroom door de weerstand is nog steeds 200A). Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–235,8)*sin(0o – 328o) = –1,25MVAR. Dat Blind vermogen moet totaal in de spoel en de condensator gaan zitten. Dat klopt, want het Blindvermogen in de spoel blijft QL = I2XL = (250)2*40 = 2,5MVAR en het Blindvermogen in de condensator is het eenvoudigst te bepalen via QC = –U2/XC = (10k)2/80 = –1,25MVAR. Het totale Blindvermogen van de spoel en de condensator is dus +1,25MVAR. De bron ziet dus een net dat zich inductief gedraagt. De bron zal zich dus zelf capacitief moeten gedragen om het inductieve gedrag van het net te compenseren.

Resonantie

Elektrische netten kunnen in resonantie komen. In de elektronica is die vaak de bedoeling om bijvoorbeeld zo goed mogelijk een signaal via een antenne in een ontvanger te krijgen. In de elektrotechniek ligt dit meestal anders en wordt het in resonantie komen als ongewenst ervaren.

R

+

–

U =10kV

L C

+

–

+

– –

+

˜


HAN-FT-CPM SEECE 85

De resonantiefrequentie van een elektrisch net kan worden berekend door uit te gaan van de situatie dat alle Blindvermogen continue tussen een spoel en een condensator heen en weer slingert. Staan een spoel en condensator met elkaar in serie, zoals in onderstaand schema, dan kunnen we stellen dat QL = QC, zodat I2XL = I2XC. Dus ωL = 1/ωC. Daarmee krijgen we dat

𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 = 1√𝐿𝐿𝐿𝐿

of 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 = 12𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿

Door de eigen weerstand van o.a. de draden zal het heen en weer slingeren van het Blind vermogen snel uitgedempt zijn.

Onvoorspelbaar gedrag door resonantie zal optreden als de voedende bron, in ons geval met een frequentie van 50Hz, dezelfde frequentie krijgt als de resonantiefrequentie van het aangesloten net. We zullen hiervan twee voorbeelden laten zien. De eerste is dat de resonantiefrequentie van het net een behoorlijk stuk anders is dan de frequentie van de bron, en de situatie dat deze beide frequenties hetzelfde zijn.

Voorbeeld: Een bron heeft een wisselspanning van 230V en is aangesloten op een serienetwerk van een weerstand van 10Ω, een spoel met een waarde van 10mH en een condensator van 100μF.

De wisselspanning ziet een Z = 10 + j3,14 – j31,85 = 10 – j28,7. De stroom in het circuit wordt I = 230∠0o/(10 – j28,7) = 7,57∠71oA. De groottes van de spanningen over de verschillende componenten is vervolgens eenvoudig uit te rekenen. Kijken we alleen naar de spanning over de condensator, dan zal deze 241V worden. Deze spanning over de condensator is daarmee hoger dan de bronspanning!

U

L C

˜

R

L C

+

–

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 86

Gaan we nu de spoel groter maken, bijvoorbeeld 100mH, dan wordt de XL van de spoel groter en zou men verwachten dat er een totaal hogere weerstand in het circuit wordt verkregen. Echter zal de reactantie van de spoel de negatieve reactantie van de condensator juist meer opheffen en krijgen we een totale Z = 10 – j0,45. Dan wordt de totale stroom in het circuit niet alleen fors groter, namelijk 23∠3oA, maar zal ook de spanning over de condensator verder oplopen tot in dit voorbeeld 732V.

We zien dus dat als het circuit in resonantie komt met de voedende bron, de spanningen en/of stromen fors op zullen lopen.

Opgave 12.3: Teken van onderstaand schema het complexe schema en bereken alle spanningen, stromen en vermogens.

Opgave 12.4: In onderstaande schakeling staan twee bronnen. De rechter bronspanning ijlt 20 graden voor op de linker bronspanning. Gevraagd: alle spanningen, stromen en vermogens en benoem hoe de bronnen zich gedragen. Bereken ook de schijnbare vermogens.

IR I1 +

–

U1 =400V

40Ω

647μF I2

+

–

U2 =400V ˜

˜

IR Ib +

–

U =400V

318mH 20Ω

64,7μF IL

˜


HAN-FT-CPM SEECE 87

Opgave 12.5: In onderstaande schakeling is een sterk vereenvoudig elektriciteitsnet getekend, waarbij de voedende bron in serie staat met een eigen inwendige spoel met een waarde van j10Ω. De belasting is ook een spoel met waarde j20Ω. Om een netspanning van 230V te hebben zal de voedende bron een spanning moeten hebben van 345V. (Ga dit na).

a. Om de netspanning iets omhoog of omlaag te krijgen kunnen we de voedende bron een iets hogere of lagere waarde geven. We doen dit nu echter niet via de voedende bron, maar door in het net (parallel aan de spoel van j20Ω) een kleine condensator, bijvoorbeeld met een waarde van - j1000Ω, of een grote spoel, bijvoorbeeld met een waarde van + j1000Ω te plaatsen. Bereken nu voor beide gevallen de spanningen.

b. Als één condensator van –j1000Ω de spanning in het net verhoogt, kan men deze weer omlaag brengen op welke drie(!) manieren. Noem deze en geef aan wat de enige juiste manier is.

c. Veronderstel dat door het parallel schakelen van 10 condensatoren met –j1000Ω en 10 spoelen met + j1000Ω uiteindelijk het volgende schema ontstaat. Welke stromen lopen nu in het circuit?

Opgave 12.6: Een spanningsbron U staat parallel aan een serie schakeling met een R = 50Ω en een L = 63,7mH en parallel aan een serieschakeling met een R = 40Ω en een parallel staande L = 95,54mH en C = 318µF. Over de L en C staat een spanning van 300V. Bereken alle spanningen en stromen.

I +

–

U =345V

j10Ω

j20Ω ˜

U =230V

+

–

I2

–j100Ω

I1 +

–

U =345V

j10Ω

j20Ω ˜

U =230V

+

–

j100Ω


HAN-FT-CPM SEECE 88

Opgave 12.7

Zie onderstaande schakeling

a. Geef de formules van de wetten van Kirchhoff. b. Bereken alle stromen en deelspanningen. c. Bereken alle watt, blind en schijnbare vermogens.

I2

–j100Ω

I1

+

–

U1 =10V∠30o

j5Ω

+

–

U2 =10V∠-40o

8Ω

I3


HAN-FT-CPM SEECE 89

Antwoorden Elektrische Netten

7.1a: Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we +100 – (IR) – Uk = 0. Aangezien I = 0 krijgen we Uk = 100V. Note: de grootte van de weerstand in dit circuit is dus blijkbaar niet van belang. De klemspanning van 100V blijft 100V.

7.1b: De stroom die door het lichaam gaat lopen is I = 100V/(14kΩ + 1kΩ) = 6,7mA. Stromen van 10mA en groter zijn dodelijk. Zouden we de weerstand van 1kΩ kleiner maken, dan zal de stroom nauwelijks toenemen, omdat de 14kΩ weerstand van het lichaam daarmee in serie blijft staan. De maximale stroom krijgen we als de 1kΩ teruggebracht wordt tot 0. De stroom door het lichaam wordt dan 7,1mA. Nog steeds niet dodelijk (maar niet iets om uit te proberen!). Zouden we de spanning hoger maken, dan wordt het natuurlijk wel gevaarlijker. Een lichaam kan vochtig zijn en een lagere eigen weerstand hebben. De stroom wordt daardoor groter.

7.2a: 0,5Ω.

7.2b: 500Ω. De weerstand van de batterij is groter geworden wat betekent dat het chemisch proces slechter is gaan werken. Een lege batterij kan dus nog wel 1,5V zijn, maar deze spanningsbron kan niet meer voldoende stroom leveren aan een apparaat omdat zijn eigen weerstand te groot is geworden.

7.3: We kunnen dit eenvoudig uitrekenen zonder de Wetten van Kirchhoff toe te passen. De stroom zal de totale spanning over het circuit zijn gedeeld door de totale weerstand, dus I = 100/(10 + 40) = 2A. De spanning over de eerste weerstand is dan 2*10 = 20V en de spanning over de tweede weerstand is dan 2*40 = 80V. Merk op dat de som van de spanningen over beide weerstanden weer gelijk is aan 100V. Voor wat betreft de vermogens zal de bron –200W zijn en de weerstanden respectievelijk 40W en 160W.

7.4: Ook dit kunnen we zonder de wetten van Kirchhoff goed uitrekenen. Over beide weerstanden staat 100V. Dus door de ene weerstand loopt 10A en de andere 2,5A. De totale stroom is dan 12,5A (evt de 1e Wet van Kirchhoff toepassen om dit te berekenen). Het bronvermogen is dan – 1,25kW en de vermogens van de weerstanden zijn dan 1kW en 250W. Merk op dat de grootste stroom gaat door de kleinste weerstand.

7.5: Bij het eerste circuit is de spanning over elke weerstand 45V. Bij het tweede circuit is de spanning over de weerstand waar de voltmeter over staat gezakt naar 40V en over de andere weerstand staat dan een spanning van 50V.

7.6: Bij het toepassen van de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we in de linker maas: + 10 – 4I1 – 2I2 – 6I1 = 0. De middelste maas levert: 2I2 – 8I3 = 0 en de rechter maas levert: 8I3 + 3,2 = 0. Uitwerken hiervan geeft I3 = – 0,4A, I2 = – 1,6A en I1 = 1,32A. Met de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we I1 – I2 – I5 = 0, I5 – I3 – I4 = 0 en I2 + I6 – I1 = 0. We laten één afhankelijke vergelijking, bijvoorbeeld I3 + I4 – I6 = 0 dan buiten beschouwing. Met invulling van eerder gevonden stromen krijgen we nu I5 = 2,92A, I4 = 3,32A en I6 = 2,92A. De vermogens worden gevonden met P10V = 10*(–1,32) = –13,2W, P3,2V = 3,2*(–3,32) = –10,62W, De vermogens bij


HAN-FT-CPM SEECE 90

de weerstanden worden allemaal berekend met P = I2R. Zo vinden we P4Ω = 6,97W, P6Ω = 10,45W, P2Ω = 5,12W, P8Ω = 1,28W. Daarmee is Pgeleverd = Popgenomen.

7.7: Bij de methode zonder de wet van Kirchhoff toe te passen gaan we als volgt te werk. We zien dat de spanning over beide linker weerstanden 10V is en de totale weerstand aldaar 20Ω. De stroom zal aldaar 0,5A bedragen. Als we datzelfde doen met de rechter twee weerstanden, dan blijkt de stroom 0,3333A te zijn. Stel dat we de onderkant als referentiepunt nemen en daar 0V stellen. Dan is de spanning in punt A gelijk aan 0,5*15 = +7,5V en in punt B wordt dat +6,67V. De spanning in A is meer positief dan in B, dus de spanning UAB = 0,83V.

Doen we dit via de 2e Wet van Kirchhoff, dan krijgen we + 10 – 5I1 – 15I1 = 0, 5I1 – 10I2 + UAB = 0 en 15I1 – UAB – 20I2 = 0. In de laatste twee vergelijkingen gaan we er van uit dat UA een hogere spanning heeft dan UB. Nu blijkt na uitwerking dat UAB = 0,83V, en klopt deze stelling.

Uit het voorgaande blijkt dat slim kijken naar een schakeling niet altijd ingewikkeld hoeft te zijn. Soms kunnen we echter niet anders dan de wetten van Kirchhoff toepassen om achter de waarden van spanningen en stromen te komen.

7.8: a. P = U2*Rb/(Ri+Rb)2

b.

c. Het maximale vermogen is daar waar de grafiek uit b. horizontaal loopt. We kunnen dus de formule uit antwoord a. differentiëren naar variabele Rb en het resultaat = 0 stellen om de bijbehorende Rb, waar de grafiek horizontaal loopt, te vinden. Daartoe moeten we bij het differentiëren de quotiëntregel toepassen, omdat de variabele Rb zowel in de teller als in de noemer in de formule bij a. staat. We krijgen dan

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝑏𝑏

= 𝑈𝑈2(𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑅𝑅𝑏𝑏)2−2𝑈𝑈2𝑅𝑅𝑏𝑏(𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑅𝑅𝑏𝑏)

(𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑅𝑅𝑏𝑏)4= 0.

Werken we dit uit, dan krijgen we Rb = Ri. Dit betekent dat het maximale vermogen uit een systeem (spanningsbron U met inwendige weerstand Ri) wordt overgedragen aan de buitenwereld (Rb) als de buitenwereld dezelfde weerstand heeft als de weerstand van het systeem.

Dat Rb = Ri voor maximaal vermogen is een belangrijke eigenschap die we in en buiten de techniek erg veel tegenkomen. Een voorbeeld daarvan is dat de luidsprekers die op een versterker worden aangesloten bijna altijd een weerstand van ongeveer 8Ω hebben. Deze waarde vinden we namelijk ook als we de versterker inwendig zouden bekijken aan de uitgang. Zo krijgen we maximaal vermogen vanuit de versterker in de luidspreker. Let op … dit maximale vermogen is niet gelijk aan het maximale rendement. Het rendement is zelfs zeer slecht. Het is maar net wat belangrijk is. We zullen hier veel mee te maken krijgen als het onderwerp transformatoren voorbij

P

Ru


HAN-FT-CPM SEECE 91

komt. Een voorbeeld uit de mechanica is dat een sleepboot bij het wegslepen van een object zo veel mogelijk vermogen in haar schroef wil hebben. Daartoe stelt men de (verstelbare) bladen van de schroef zo in dat deze dezelfde weerstand in het water ondervinden als de weerstand die de zuigers van de motor ondervinden. Hier telt ook niet het rendement maar, al is het maar tijdelijk, het maximale vermogen.

7.9: 7Ω + 4Ω = 11Ω. Deze 11Ω staat parallel aan de 2Ω. Dan wordt de vervangweerstand van deze twee weerstanden 11*2/(11 + 2) = 22/13 = 1,692Ω. Verder zien we 10Ω // 9Ω staan. Die vervangweerstand wordt 10*9/(10 + 9) = 4,737Ω. Deze laatste weerstand staat weer in serie met de 1,692Ω. Die twee opgeteld levert weer 6,428Ω. Die staat weer parallel aan de 8Ω. De vervangweerstand wordt dan weer 8*6,428/(8 + 6,428) = 3,564Ω. Deze laatste weerstand staat weer in serie met de 3Ω. De bron ziet dus 6,564Ω.

7.10: Ibron = 15,235A en zo vinden we ook I8Ω = 15,235*6,428/(8 + 6,428) = 6,789A. Deze laatste formule ontstaat omdat de stroom zich omgekeerd evenredig verdeelt door de weerstanden van 8Ω en 6,428Ω.

7.11: Omdat de diode in geleiding staat, tekenen we op de plek van de diode een bron van 0,3V, met links een plus en rechts een min. Tevens tekenen we daar een extra weerstand Ri van 0,4Ω. De totale spanning wordt dan 40V – 0,3V = 39,7V en de totale weerstand wordt dan 3 Ω + 0,4 Ω = 3,4Ω. De stroom I = 39,7/3,4 = 11,676A. Het vermogen bij de bron wordt Pb = – 467,06W, Pd = 58,03W (54,5W voor de Ri en 3,5W voor Ud) en PR = 409W. Het vermogen van de diode is niet te hoog (zie gegevens). De spanningen zijn vervolgens: De totale spanning over de diode is 0,3V + IRi = 0,3V + 4,67V ≈ 5V en de spanning over de weerstand is IR ≈ 35V. Totaal opgeteld is dat weer de bronspanning van 40V.

7.12: De diode staat nu duidelijk in sperrichting. Het circuit zal stroomloos zijn en de volledige spanning van 40V zal nu over de diode staan. Deze spanning is hoger dan de doorslagspanning en de diode zal vervolgens doorslaan. Toelichting: dit doorslaan begint met de doorslagspanning over de diode, nl de gegeven doorslagspanning van 25V die de diode nog even zal volhouden. Er zal over de weerstand van 3 Ω nu 15V overblijven. Daardoor loopt er in het circuit een stroom van 5A. Het vermogen in de diode is dan 125W. Dit vermogen is te hoog (zie gegevens bij de opgave) en de diode zal vervolgens verbranden. Dan volgen twee mogelijkheden: Meestal betekent dit een kortsluiting. Het nieuwe schema is dan een doorgetrokken draad in plaats van de diode. De spanning van 40V komt dan over de weerstand van 3Ω te staan en de stroom zal dan 13,33A worden. Het kan ook zijn dat de diode door het verbranden wegvalt. Dan zal het circuit verder stroomloos zijn en de volle spanning van 40V komt dan over de (kapotte) diode te staan. Voor het meten in een werkende schakeling kunnen we een snelle actie doen door eenvoudig kijken of over de diode een spanning van 0V staat. Dat is in alle gevallen niet de bedoeling.

7.13: Het Norton vervangschema wordt:


HAN-FT-CPM SEECE 92

Waaruit eenvoudig de stroom door RL te berekenen is via I = 240*24/(24 + RL) = 100A, zijnde de formule waarbij de grootste stroom door de kleinste weerstand gaat. Het gaat nog eenvoudiger via het Thevenin vervangschema dat we halen uit bovenstaand schema:

I = 5760/(24 + RL) = 100A.

7.14: In het algemeen geldt dat weerstanden die zuiver parallel staan aan een spanningsbron kunnen, voor de rest van de schakeling, worden verwijderd. De spanning over die weerstand blijft toch gelijk aan de bronspanning en zal door het weghalen van die weerstand niet veranderen. Dus de 2e Wet van Kirchhoff blijft voor de rest van de schakeling met of zonder die parallelweerstand gelijk. Het bewijs in deze schakeling is als volgt: 1e maas: 14,4k – R*IR = 0 en 2e maas: R*IR – U60Ω - U40Ω = 0. De 1e vergelijking levert op R*IR = 14,4k welke in de 2e vergelijking ingevuld wordt, zodat die 2e vergelijking onafhankelijk blijkt van R.

Note: op gelijke wijze is een serieweerstand bij een stroombron voor de rest van de schakeling ook niet interessant. We kunnen die weerstand dan als 0Ω beschouwen.

8.1: 1mC

8.2: a. Na zeer korte stroompiek als oplaadstroom, die we hier buiten beschouwing laten, zal verder gelden: I = 0, b. I = 30μA (gelijkstroom) en c. I(t) = –80μ*sin(2t)

8.3: 17,8pF

8.4: Dat er een weerstand in serie staat met de condensator doet er niet toe. De hoogte van de spanning is ook niet van belang. De wisselstroomweerstand van de condensator wordt alleen bepaald door de waarde van de condensator en de frequentie, dus XC = 1/ωC. Bij 5kHz is XC = 3,18Ω. Bij 50Hz is XC = 318Ω

240A RL 24Ω

I

5760V

+

–

24Ω

RL

I


HAN-FT-CPM SEECE 93

8.5: De twee condensatoren parallel kunnen we optellen tot 13µF. Deze 13µF staat in serie met een condensator van 10µF. Dus Cv = 13µ*10µ/(13µ + 10µ) = 130µ/23 = 5,65µF.

9.1 a. Zie theorie. b. 2N.

9.2a Zie theorie. Het effect is dat er bij een sinusvormige wisselspanning een bepaalde wisselstroom loopt, waarvan de grootte van de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand van de spoel.

9.2b Zie theorie. Als een magnetisch veld ‘terug zakt’ op de draad zal het tegenover gestelde gebeuren in vergelijking met het passerend magnetische veld dat een inductiespanning Ui veroorzaakt. We krijgen dus een negatieve Ui. Deze negatieve spanning zal een zodanige stroom willen leveren die de oorspronkelijke stroom in stand houdt.

9.3 A = πr2 = 3,14*(0,7*10-2)2 = 154μm2. Dit ingevuld in L = 4*π*10-7*4002*154μ/0,04 = 774μH.

9.4 a. Met behulp van een gewone ohm meter. b. een gewone weerstand R in serie met een spoel L.

9.5 De μr voor het stuk weekijzer in de kern zal een veel betere geleiding voor het magnetisch veld willen zorgen, maar een groot deel van het magnetische veld is buiten de spoel en dus buiten de kern. Dus moet het magnetische veld voor zeker de helft van de afstand door lucht, welke nog steeds een zeer grote weerstand heeft. Daarmee wordt het totale magnetische veld in en buiten de kern nauwelijks groter dan dat de kern alleen lucht zou bevatten.

9.6 De ur speelt nu overal mee en de spoelwaarde wordt nu wel 800 keer groter, dus L = 619mH.

9.7 a. 0 b. een gelijkspanning van 60μV c. u(t) = 80μ*cos2t d. –0,003V e. –30V.

9.8 Zie theorie.

9.9 Door ten eerste de wervelstroomverliezen in de kern en ten tweede door de hysteresis verliezen in de kern. Overigens zal de geleider van de spoeldraad in de praktijk een eigen ohmse gelijkstroomweerstand hebben, welke ook warm zal kunnen worden. Het geheel, de draden van de spoel en de kern zelf zullen de totale warmte geven.

11.1: P130V = 334W, Q130V = 398VAR, P400V = 1504W, Q400V = 547VAR en PR = 640W.


HAN-FT-CPM SEECE 94

12.1: We zetten dit schema eerst om naar een complex netwerkschema. Hierin wordt de bronspanning U =100∠–70oV.

Na berekening volgt dat I = 8,55A∠–365oA of 8,55∠–5o A. Rekenen we met de laatste vorm verder dan krijgen we UR = 42,8∠–5oV, UC = 90,63∠–95oV. En dan volgt weer UR + UC = 100∠–70oV. De vermogens blijven verder dezelfde waarden houden namelijk; Pbron = –361W, PR = 366W, Qbron = 775VAR en QC = –775VAR. Het vectordiagram verdraait ten opzichte van de voorgaande situatie met –70o rechtsom en in de grafiek verschuift de y-as naar links met eenzelfde waarde, aangegeven met een pijl.

Het zal misschien opvallen dat de lengte van bijvoorbeeld Ubron in het vectordiagram links, niet gelijk is aan de topwaarde van de bronspanning in de daar naast staande grafiek rechts. Dit komt, zoals eerder aangegeven, omdat in het vectordiagram de effectieve waarden staan en in de grafiek met het sinusvormige verloop van de spanningen, stromen en vermogens het beeld weergeeft met de topwaarden.

UC

I UR

Ubron

-70o

-70o

+

UC

+

–

U =100∠–70o

5Ω I

+ –

+

–

–j10,6Ω

UR


HAN-FT-CPM SEECE 95

12.2: Hieronder is het complexe schema met de spanningen over de spoel en de weerstand volgens de gekozen stroomrichting meegenomen ten behoeve van de tweede wet van Kirchhoff.

We krijgen nu + (U) + (UL) + (UR) = 0. Bovenstaand invullend vinden we: + (230∠40oV) + (I*j62,8Ω) + (I*40Ω) = 0. Dan krijgen we I = (-230∠40o)/(40 + j62,8). Het minteken voor de 230 schrijven we nu binnen de hoek door daar 180o bij op te tellen (aftrekken zou ook kunnen) zodat I = (+230∠(180o + 40o))/( 74,5∠58o) = 230∠220o/74,5∠58o = 3,09∠162oA. De stroom heeft een effectieve waarde van 3,09A en heeft een fase van 162o. De fasedraaiing van de stroom ten opzichte van de bronspanning is 162o – 40o = 122o.

Vraag: De stroom heeft een fasehoek van 162o, dus bijna 180o. Beredeneer wat dit betekent. Antwoord: de stroompijl staat min of meer verkeerd om. Zou de fasehoek precies 180o zijn geweest dan had de stroompijl precies verkeerd om gestaan. Het schema en de getallen laten we echter zoals het is. We gaan naar aanleiding van berekeningen, waar bijvoorbeeld negatieve stromen uit komen, vervolgens geen pijlen omkeren en getallen veranderen. Als we dat zouden doen wordt het een chaos, omdat ook de bijbehorende plussen en minnen en berekeningen moeten worden aangepast.

De spanning over de spoel wordt nu UL = 3,09∠162o *j62,8 = 194,1∠252oV. De spanning over de weerstand wordt UR = 3,09∠162o *40 = 123,6∠162oV.

Het complexe vlak is uit bovenstaande informatie eenvoudig te tekenen.

De vermogens worden nu :

Pbron = 230*3,09*cos(40o – 162o) = – 377W. Qbron = 230*3,09*sin(40o – 162o) = – 603VAR. Het Watt vermogen in de weerstand is P = I2R = (3,09)2*40 = 382W en het Blind vermogen in de spoel is QL = 194,1*3,09*sin(252o – 162o) = 600VAR. Dit Blind vermogen zal bij een spoel altijd zo zijn dat de sinus wegvalt (= +1), zodat we bij ideale spoelen net zo goed kunnen uit gaan van QL = (IL

2XL) = (3,09)2*62,8 = 600VAR of QL = (UL2/XL) = (194,1)2/62,8 = 600VAR.

Conclusie: De bron levert Watt vermogen aan de weerstand die dit ook vanzelfsprekend opneemt. Verder gedraagt de bron zich capacitief om de spoel te compenseren.

– I +

–

U =230∠+40oV

j62,8Ω

40Ω

+

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 96

12.3: Het complexe schema is onderstaand weergegeven, waarbij ook de plus en min ten gevolge van de stromen zijn aangegeven. We krijgen nu 3 vergelijking: volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we 400 – Ib(–j50) – IR20 = 0 en IR20 – ILj100 = 0 en volgens de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we Ib – IR – IL = 0.

De 2e vergelijking is te herschrijven naar IR = IL5j. Dit zetten we in de 1e en 3e vergelijking, zodat we 2 vergelijkingen met 2 onbekenden over houden; 400 + Ibj50 – ILj100 = 0 en Ib = IL(5j+1). Vullen we dit in de voorgaande vergelijking, dan krijgen we 400 + IL(5j+1)j50 – ILj100 = 0. Na uitwerking hiervan volgt IL = 1,569∠–11,3oA, en dan dit weer terug invullend levert Ib = 8∠67,4oA en IR = 7,845∠78,7oA. Nu zijn ook de vermogens te berekenen Pb = –1230W, Qb = 2954VAR, PR = 1231W, QC = –3200VAR en QL = 246VAR. De spanning over de weerstand en de spoel zijn natuurlijk gelijk en is 156,9∠78,7oV. De spanning over de condensator is 400∠-22,6oV. De spanning over de spoel (en weerstand) en de spanning over de condensator zijn samen weer de bronspanning op; U =400∠0oV. Ga dit na. 12.4: We tekenen eerst het complexe schema. Daarin stellen we de linker bron op 0 graden fase en de rechter bron krijgt dan + 20 graden fase. (We hadden hier ook kunnen kiezen voor de linker bron op -20 graden fase en de rechter op 0 graden fase, of de linker bron op bv 140 graden en de rechter op 160 graden … het is om het even).

IR I1 +

–

U1 = 400∠0oV 40Ω

-j5Ω I2

+

–

U2 = 400∠20oV

+

+

–

–

–

Ib +

–

U =400∠0oV

j100Ω 20Ω

+ +

–

-j50Ω IR

IL

+ –


HAN-FT-CPM SEECE 97

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we de eerste twee vergelijkingen; 400∠0o – I1(–j5) – IR40 = 0 en IR40 – 400∠20o = 0. Volgens de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we I1 – IR + I2 = 0. Uit de 2e vergelijking volgt dat IR = 10∠20oA. Dit verder invullend in de 1e vergelijking levert op dat I1 = 27,78∠10oA. Dan volgt uit de 3e vergelijking I2 = 18,02∠184oA. Voor de vermogens krijgen we; P1 = –10.941W, Q1 = 1.929VAR, PR = 4kW, P2 = 6.946W, Q2 = 1.926VAR en QC = –3.859VAR. De linker bron levert dus Watt vermogen aan de weerstand en idem aan de rechter bron. De linker bron gedraagt zich inductief. De rechter bron neemt Watt vermogen op en gedraagt zich eveneens inductief.

Het schijnbaar vermogen voor de twee bronnen is als volgt: S1 = 400*27,78 = 11112VA en S2 = 400*18,02 = 7208VA.

12.5a: De condensator van –j1000Ω parallel aan j20Ω levert een Znet = j20,41Ω (is nu het totale net) en daarmee wordt de Z die de bron ziet Ztot = j30,41Ω. De totale stroom wordt dan I = 11,34∠-90o A en de spanning over het net wordt dan Unet = 231,6V. Als we in plaats van een condensator een spoel van +j1000Ω parallel aan j20Ω plaatsen, dan wordt Znet = j19,61Ω, Ztot = j29,61Ω en zo wordt Unet = 228V. We kunnen dus met condensatoren en spoelen de netspanning regelen.

12.5b. We kunnen de bronspanning omlaag brengen OF de extra condensator die parallel aan de spoel staat weghalen OF parallel aan de condensator een extra spoel inbrengen. Alleen de tweede oplossing is de juiste, omdat anders zaken tegen elkaar in kunnen gaan werken. Bijvoorbeeld dat iemand de spanning iets te laag vindt, en dan een condensator in het net er bij zet, vervolgens vindt iemand anders die spanning juist te hoog en plaatst een spoel bij, waarna men weer een condensator bijplaatst enz. Tussen de bijgeplaatste condensatoren en spoelen gaat dan een steeds grotere blindstroom lopen, zonder dat dit ergens toe dient of erger nog, men kan een te grote blindstroom waarnemen en de beveiliging laten aanspreken, waardoor een heel net wordt afgeschakeld ….

12.5c. Omdat –j100Ω parallel aan j100Ω staat, zal dit een Z → ∞ opleveren. De bron ziet dus alleen j10Ω in serie met j20Ω. De stroom I1 vanuit de bron is derhalve 11,5A. Tegelijk blijft over de –j100Ω en j100Ω wel 230V staan. Daarom loopt tussen de –j100Ω en j100Ω een stroom I2 van 2,3A. Dit is extra de blindstroom tussen –j100 Ω en j100Ω.


HAN-FT-CPM SEECE 98

12.6

We stellen U = 300V met een fasehoek van 0o. Dan wordt I5 = -j10A en I4 = j30A. Met I3 – I4 – I5 = 0 volgt nu dat I3 = j30 – j10 = j20A = 20∠90oA. Daarmee wordt U40Ω = I3*40 = j800 = 800∠90oV. Met Ub – U40Ω – U = 0 vinden we Ub = 300 + j800 = 854∠69oV. Van hier uit krijgen we dan I2 = Ub/(50+j20) = (854∠69o)/(54∠22o)= 15,8∠47oA. Tenslotte vinden we U50Ω = I2*50 = 790∠47oV en Uj20 = I2*j20 = 316∠137oV.

12.7 (alleen de antwoorden)

a. + 10∠30o – j5I1 + j100I2 – 8I2 = 0, 8I2 – j100I2 - 10∠-40o = 0, I1 – I2 – I3 = 0 b. I1 = 2,30∠-5oA, . I2 = 0,1∠45oA, . I3 = 2,24∠-7oA, . UL= 11,5∠85o V, UC= 10∠-45o V en UR= 0,8 ∠45o V c. PU1 = -18,86W, QU1 = -13,16VAR, PU2 = 18,76W, QU2 = -12,23VAR, QL = 26,45VAR, QC = -1VAR, PR = 0,08W, SU1 = 23VA en SU2 = 22,4VA.

I5

–j10Ω

I1

+

–

Ub

j20Ω U =300∠0o V

+

–

j30Ω

I2

50Ω

+

–

I3

40Ω

+

–

I4

+

–

Bijlage 1. Relatie Watt- en Blind vermogen, spanning en cosϕ (voor de liefhebbers)

Het doel is om vanuit vereenvoudigde circuits duidelijk te maken wat er waar gebeurt met de Watt- en Blindvermogens, de stromen en spanningen en de cosϕ ter plaatse en elders in een elektriciteitsnet, als we door het toevoegen of verwijderen van condensatoren en spoelen de cosϕ op een bepaalde plaats veranderen.

Veronderstel een wisselspanningsbron van 230V waarbij geen fasedraaiing tussen de spanningen stroom mogelijk is. Dus uitsluitend cosϕ = 1. De bron kan dus alleen Watt vermogen leveren (P is negatief) en Q = 0.

We sluiten deze bron aan op een zuivere ohmse weerstand van 100 Ω volgens onderstaand schema. In de weerstand gaat een stroom lopen van IR = 230/100 = 2,3A. Dan is Ibron = ook 2,3 A. De bron levert P = 230*2,3*cosϕ = 529 W, dus Pbron = -529 W. Het vermogen in de weerstand is P = I2R = 529 W. Er is geen fasedraaiing omdat er alleen een gewone weerstand is, dus ϕ = 0 en cosϕ = 1.

Nu plaatsen we parallel aan de weerstand een spoel met een wisselstroomweerstand XL van 100 Ω. Zie onderstaand schema. De fasedraaiing tussen de spanning en de stroom bij de spoel is 90 graden, dus aldaar cosϕ = 0.

De fasedraaiing van de stroom naar de weerstand en de spoel is 45 graden omdat de wisselstroomweerstand XL van de spoel en de gewone weerstand R even groot zijn. De

Ibron = 2,3 A +

–

U =230 V 100 Ω

IR

cosϕ = 1

cosϕ = 1

IR= 2,3 A

XL=100 Ω

IL= 2,3 A +

–

U =230 V 100 Ω

Ibron = 3,25 A

cosϕ = 0,7 cosϕ = 0

cosϕ = 1

weerstand geeft namelijk geen fasedraaiing en de spoel geeft 90 graden fasedraaiing. Als beide weerstanden even groot zijn is de fasedraaiing precies daartussen, 45 graden. Dus cosϕ = 0,7. De stroom bij de bron wordt nu 3,25 A. De stroom van 3,25 A kunnen we

berekenen met de formule I = (𝐼𝐼𝐿𝐿2 + 𝐼𝐼𝑅𝑅2).

Deze situatie blijkt onbestaanbaar omdat de bron zelf geen fasedraaiing aan kan (cosϕ = 1) terwijl het net rechts van de bron daar wel om vraagt (cosϕ = 0,7). Het resultaat is dat er geen spanning zal zijn, en dus geen stroom terwijl er toch spanning is ….. Kortom. Dit is wiskundig en technisch onmogelijk.

Wat dan wel …

Het antwoord is dat de spoel altijd exact moet worden gecompenseerd met een condensator. We nemen in deze situatie aan dat deze condensator parallel aan de spoel komt te staan, maar op zich hoeft dat niet. Als de condensator in serie staat is het ook goed. Belangrijk is dat de spoel en de condensator elkaar voeden. Dat betekent dat als de condensator zich ontlaadt tegelijk de spoel deze stroom opneemt (oplaadt) en andersom. We noemen dit de blindstroom. Het ontladen van de condensator tekenen we onderstaand met een pijl van de stroom van de condensator af om dit duidelijk te maken.

Voor de parallelsituatie betekent dit compenseren dat de wisselstroomweerstand van de condensator ook 100 Ω moet zijn, zodat de wisselstroom daar ook 2,3 A is. Zie onderstaand schema.

De stroom van de condensator gaat direct door naar de spoel en andersom. De stroom ILC is daarom nul. De bron ‘ziet’ dus alleen maar een weerstand R zoals in het eerste schema. We hebben de spoel ‘weggecompenseerd’ met de condensator.

Hier is bij de bron de cosϕ = 1, en dus geen fasedraaiing aldaar tussen de spanning en de stroom. De bron kan het gevraagde vermogen van P = -529 W idd leveren. Dat geleverde vermogen gaat zitten in de weerstand R, alwaar P = I2R = 529 W. Bij de spoel is het blindvermogen Q = I2X = 529 VAR en idem bij de condensator (formeel schrijven we dan Q = -529 VAR omdat de stroompijl andersom staat, zodat de som van beide blindvermogens 0 is, wat betekent dat ze elkaar voeden).

cosϕ = 0 cosϕ = 1

IR= 2,3 A IL = 2,3 A

XL=100 Ω

ILC = 0 IC = 2,3 A Ibron = 2,3 A +

–

U =230 V 100 Ω

XC=100 Ω

cosϕ = 1 cosϕ = n.v.t.

cosϕ = 0

Stel dat we de condensator nu links van de weerstand plaatsen. We krijgen dan het volgende:

In de middentak loopt nu een stroom van 3,25 A bij een cosϕ = 0,7 (dus is er aldaar een fasedraaiing van 45 graden tussen de spanning en de stroom) zoals bovenstaand bij 2e schema was berekend.

We kunnen in bovenstaand schema de condensator meer naar rechts verplaatsen, zodat de ‘grote’ stroom van 3,25A bij de ‘veroorzaker’ daarvan, de spoel zelf zit. Dat zijn de condensatorbanken die bij bedrijven staan. Het bedrijf is dan de RL situatie.

We kunnen de condensator ook splitsen, bijvoorbeeld twee condensatoren met beiden een wisselstroomweerstand van 200 Ω. Omdat ze in onderstaand schema parallel staan is hun vervangweerstand de oorspronkelijke wisselstroomweerstand van 100 Ω. Daarmee voldoen we aan het feit dat de spoel en condensator elkaar voeden en dus compenseren.

In dit geval is Pbron = -529 W bij een cosϕ = 1. Dit vermogen komt nog steeds in de weerstand terecht waar P = 529 W. Het blindvermogen bij de spoel is Q = 529 VAR en bij beide condensatoren krijgen we Q = -265 VAR en het totale blindvermogen van de condensatoren is Q = -529 VAR.

Bovenstaand gaat er van uit dat de bron zelf geen fasedraaiing kan of wil geven.

cosϕ = 1

IR= 2,3 A IL = 2,3 A

XL=100 Ω

I = 3,25 A

Ibron = 2,3 A +

–

U =230 V 100 Ω

cosϕ = 1

cosϕ = 0

IC = 2,3 A

XC=100 Ω

cosϕ = 0,7

cosϕ = 0

IC = 1,15 A cosϕ = 0

I = 3,25 A

cosϕ = 0,89

XC=200 Ω

cosϕ = 1 IR= 2,3 A IL = 2,3 A

XL=100 Ω

I = 2,57 A

Ibron = 2,3 A +

–

U =230 V 100 Ω

cosϕ = 1 cosϕ = 0

cosϕ = 0,7

IC = 1,15 A

XC=200 Ω

cosϕ = 0

Als de bron dat wel kan, dan kunnen we bijvoorbeeld de meest linker condensator weghalen. De bron zal dan een fasedraaiing geven om dit weer op te vangen:

Nu is Pbron = -529 W en Qbron = -265 VAR. De fasedraaiing tussen de spanning en de stroom bij de bron is 27 graden. De bron gedraagt zich dan ‘ohms capacitief’. Het net rechts van de bron gedraagt zich ‘ohms inductief’. De bron moet de variatie in fasedraaiing wel kunnen maken. Synchrone machines zijn daartoe in staat (zie betreffende theorie).

Hoe zit het dan met het feit dat de spanning omhoog of omlaag gaat als een condensator of spoel in het net toegevoegd wordt? Dat gebeurt bovenstaand niet. Dat klopt, omdat bovenstaand alles parallel staat aan een ‘sterke’ spanningsbron van 230 V. De spanning KAN daar dus niet veranderen.

We kunnen de ‘netspanning’ wel aanpassen als we na de bron eerst nog een impedantie zoals een spoel zien. Dat is ook de praktijk. Elke kabel of lijn, alle bronnen hebben ook serie impedanties. We houden het vooral nu zo eenvoudig mogelijk om te zien wat er gebeurt.

Hier bovenstaand schema als voorbeeld waarbij de netspanning 230 V is. We stellen de kabelimpedantie op XL = 10Ω en verder dat het net zelf beperkt is tot een spoel met een wisselstroomweerstand van Xnet = 200 Ω. Bij een gewenste netspanning van 230 V moet de stroom door die spoel, en dus in het gehele circuit Ibron = 1,15 A zijn. De bron ziet een totale impedantie van 210 Ω. Dus de bron heeft een spanning van 210 x 1,15 = 241,5 V. De cosϕ = 0 omdat er alleen maar sprake is van spoelen. De bron moet dat dan wel weer aankunnen wat

I = 3,25 A cosϕ = 0,89

IC = 1,15 A

XC=200 Ω

cosϕ = 1 IR= 2,3 A IL = 2,3 A

XL=100 Ω

Ibron = 2,57 A +

–

U =230 V 100 Ω

cosϕ = 0

cosϕ = 0,7

cosϕ = 0,89

cosϕ = 0

cosϕ = 0

IL = 1,15 A

Xnet=200 Ω

Ibron = 1,15 A +

–

Unet =230 V

cosϕ = 0

XL=10 Ω

Ubron =241,5 V

+

–

betekent dat de faseverschuiving tussen de sinusvormige bronspanning en sinusvormige bronstroom 90 graden is.

Stel dat we nu parallel aan de rechter spoel (het net) een condensator plaatsen, met een XC = 200 Ω. Uit de voorgaande theorie weten we dat de spoel van 200 Ω en condensator van 200 Ω precies elkaars tegenovergestelde gedrag hebben en elkaar zullen voeden. De stroom vanuit de bron Ibron wordt dus nul. Daardoor valt er geen spanning over de seriespoel van 10 Ω en zal de volledige bronspanning als netspanning tevoorschijn komen. De netspanning stijgt van 230 V naar 241,5 V.

Ga na in bovenstaand schema hoe groot nu IC en IL zullen zijn. Antwoord 241,5/200 = 1,21 A.

Zetten we nu in plaats van een de condensator een spoel parallel aan het net (voor het rekengemak weer met een wisselstroomweerstand van XL = 200 Ω), dan zien we twee spoelen parallel.

De vervangingsweerstand van twee gelijke (wisselstroom)weerstanden wordt dan de helft van beide waarden, dus 100 Ω. Zien onderstaand schema. We krijgen dan onderstaand vervangingsschema:

cosϕ = 0

IC

XC=200 Ω Xnet=200 Ω

Ibron = 0 +

–

Ubron=241,5 V

cosϕ = 0 cosϕ = 0

XL=10 Ω IL

Unet =241,5 V

cosϕ = 0

Xnet=200 Ω

Ibron +

–

Ubron=241,5 V

cosϕ = 0 cosϕ = 0

XL=10 Ω IL

Unet

XL=200 Ω

IL

De totale impedantie die de bron ziet is dan 110 Ω, waardoor de bronstroom Ibon = 2,2 A. De spanning over de XL van 100 Ω is de netspanning welke gelijk is aan 2,2*100 = 220 V.

De netspanning ten gevolge van het aanbrengen van een spoel blijkt in dit geval dus te zakken van 230 V naar 220 V.

Overigens is dit alleen van toepassing als het net zich inductief gedraagt. Als we een capacitief net hebben, en we zetten daar een condensator in, dan daalt de spanning en zal stijgen bij het aanbrengen van een spoel.

Conclusie: De netspanning zal stijgen als we in een inductief net een condensator plaatsen of een capacitief net een spoel plaatsen. De netspanning zal dalen als we in een inductief net een spoel plaatsen of in een capacitief net een condensator plaatsen.

Meestal wil men de cosϕ (waarbij ϕ het faseverschil is van de spanning over de geleider en de stroom door de geleider) in een geleider in de buurt van ‘1’ hebben, zodat de stroom in de geleider feitelijk zoveel mogelijk de Watt stroom is, en dus de stroom door de geleider minimaal is (dus geen of vrijwel geen Blindstroom). Men realiseert dat door op bepaalde plaatsen in het net condensatoren of spoelen toe te voegen of te verwijderen. Als we in een willekeuring elektriciteitsnet condensatoren of spoelen toevoegen of verwijderen, zal niet alleen de cosϕ veranderen, maar dus ook de netspanning veranderen. Meestal is dit laatste beperkt, maar soms moet ook de spanning weer bijgesteld worden zodat de juiste netspanning weer aanwezig is. Zouden we de spanning willen aanpassen door te gaan spelen met spoelen en condensatoren, dan is de wens van de cosϕ in de buurt van = 1 in het geding. Wat over blijft is de bronspanning zelf verhogen of verlagen. Dat kan gedaan worden door een andere tapstand van een transformator te selecteren of door de synchrone machine anders in te stellen. Beide instellingen gaan zo veel mogelijk geautomatiseerd, waarbij men in de praktijk er weer op moet letten dat die automatisering niet tegen elkaar in gaat werken.

cosϕ = 0

XL=100 Ω

Ibron = 2,2 A +

–

Ubron=241,5 V

cosϕ = 0

XL=10 Ω IL

Unet =220 V

Inhoud deel Transformatoren 13. Transformator ............................................................................................................................. 1

De ideale transformator ..................................................................................................................... 2

De niet ideale transformator ............................................................................................................ 10

Nullastproef en kortsluitproef ......................................................................................................... 14

Meting nullastproef ...................................................................................................................... 14

Meting kortsluitproef ................................................................................................................... 15

Aanvullende informatie .................................................................................................................... 17

De scheidingstransformator ......................................................................................................... 17

De autotransformator .................................................................................................................. 18

De stroomtransformator .............................................................................................................. 18

De aanloopstroom van een transformator .................................................................................. 19

Niet lineair gedrag van een transformator .................................................................................. 20

Antwoorden Transformatoren ............................................................................................................. 22


HAN-FT-CPM SEECE 1

13. Transformator

Een transformator is ontwikkeld om wisselspanningen om te zetten naar hogere en lagere waarden. Men stond vroeger voor het dilemma dat de gelijkspanningscircuits na verloop van afstand steeds lagere spanningen kregen. Zie onderstaand schema. De spanningsbron is een gelijkspanning. Deze voedt verschillende gebruikers van 40Ω. Deze staan op een zekere afstand van de bron, zodat de weerstand van de draden naar de verbruikers, hier 5Ω gesteld, in dit voorbeeld wordt meegenomen. De spanning die voor de gebruikers over blijft is nu zo’n 70V. Nog meer gebruikers betekent een nog lagere spanning bij de gebruikers. De oplossing is dan dat de spanning van de bronspanning zich zal aanpassen aan het aantal gebruikers, om de gevraagde spanning bij de verbruikers te handhaven. Dit is allemaal nog wel te doen.

In onderstaand schema wordt het lastiger. De verbruikers staan onderling ook op zekere afstand. De gelijkspanningsbron kon nu onmogelijk één vaste spanning aanbieden over alle verbruikers.

Om deze reden is men in het verleden overgestapt naar wisselspanning. Transformatoren kunnen dan uitkomst bieden omdat ze wisselspanningen omhoog en omlaag kunnen transformeren. Een andere belangrijke overweging was dat voor het transport van grote vermogens ( = UI) de draden steeds dikker moesten worden. Door de spanning bij een bron (lees centrale) omhoog te transformeren, kon de stroom laag blijven, en dus kon men volstaan met dunne draden voor het transport over lange afstanden.

+

–

U = 100V 40Ω

5Ω

+

+

–

–

40Ω

+

–

40Ω

+

–

=

+

–

U = 100V 40Ω

5Ω

+

+

–

–

40Ω

+

–

40Ω

+

–

=


HAN-FT-CPM SEECE 2

De ideale transformator

Transformatoren werken met spoelen rond een ijzerkern. We maken rond dezelfde ijzerkern twee spoelen. De primaire en de secundaire spoel. Zie onderstaand figuur.

Zetten we op de primaire spoel een sinusvormige wisselspanning, dan zal er door de primaire spoel een sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Deze wisselstroom ijlt natuurlijk 900 na op de wisselspanning. Deze wisselstroom zorgt er weer voor dat er in de kern een sinusvormig wisselend magnetisch veld aanwezig zal zijn. Dit wisselende magnetisch veld is vrijwel helemaal in de kern aanwezig en passeert de secundaire spoel en zal daar een secundaire sinusvormige wisselspanning maken. Dit is het gevolg van de bekende formule

𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

.

Aangezien in de primaire en in de secundaire spoel met dezelfde formule te maken hebben, en hetzelfde magnetische veld aanwezig is, zal de secundaire spanning bepaald worden door het aantal wikkelingen van de secundaire spoel ten opzichte van de primaire spoel. We zien

dit in de volgende afleiding terug: 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡)𝑁𝑁𝑝𝑝

= 𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑁𝑁𝑠𝑠

= 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

Dus 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡)𝑁𝑁𝑝𝑝

= 𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑁𝑁𝑠𝑠

We gaan verder uit van sinusvormige signalen en waarden die effectief worden weergegeven. Tevens pakken we de draad op van het complexe rekenen. In de ideale situatie dat het gehele veld van de primaire zijde de volledige spoel aan de secundaire zijde bereikt, zal de volgende formule ontstaan:

𝑈𝑈𝑝𝑝𝑈𝑈𝑠𝑠

= 𝑁𝑁𝑝𝑝𝑁𝑁𝑠𝑠

Hieruit zou blijken dat er geen fasedraaiing is tussen de primaire en de secundaire spanningen. Dit klopt. De primaire spanning levert namelijk een primaire wisselstroom die 900 naijlt op deze wisselspanning. Deze wisselstroom maakt weer een magnetisch veld in de kern van de transformator. Dat sinusvormige magnetische veld passeert weer de secundaire spoel, zodat de sinusvormige wisselspanning die het gevolg daar van is, weer 900 fase gedraaid is ten opzichten van dat magnetische veld, maar dan in positieve richting. Ga dit na

in 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

.

Ns

ip(t)

up(t) us(t) Np


HAN-FT-CPM SEECE 3

Sluiten we nu een belasting aan op de secundaire spoel, dan zal er een secundaire stroom gaan lopen. Zie onderstaande figuur. De secundaire spanning vormt een nieuwe bronspanning die bij belasting R een stroom IR levert.

Opdracht: Laat zien dat de + en – bij de secundaire spanning in bovenstaand figuur kloppen EN dat bij een secundaire stroom het magnetische veld in de trafo wordt tegengewerkt.

Als de transformator zelf ideaal is (geen ijzerverliezen en geen lekvelden), en de draden zelf zijn ideaal, dan zal het vermogen dat de transformator in gaat gelijk zijn aan het vermogen dat de transformator uit gaat. Daarom is UpIp = UsIs.

We zullen verder voor de ideale transformator onderstaand symbool gebruiken. Het zal opvallen dat als de secundaire spanning als nieuwe spanningsbron wordt gezien welke de secundaire stroom veroorzaakt, deze secundaire stroom normaal gesproken rechtsom zal lopen. Dat klopt ook. Het symbool is internationaal zo vastgelegd. In de voorbeelden die hierna komen zullen we die stroom ook zo weergeven.

De dubbel strepen tussen de wikkelingen geven aan dat er een kern in de transformator zit.

symbool transformator

Hierdoor krijgen we voor de stroomtransformatie de volgende formule.

𝐼𝐼𝑠𝑠𝐼𝐼𝑝𝑝

= −𝑁𝑁𝑝𝑝𝑁𝑁𝑠𝑠

–

+

Ip

Up Us

IR

R

+

– –

+

Ns Np

T = Ns/Np of Np/Ns, afhankelijk van de richting waarin men kijkt!

Ip

Up Us

Is +

–

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 4

Vaak is het niet duidelijk wat precies de primaire en wat de secundaire zijde van een transformator is. In dit dictaat staat de linker wikkeling voor de primaire en de rechter wikkeling voor de secundaire zijde.

Voor de berekening kunnen we de secundaire spanning eenvoudig als volledig nieuwe bron nemen en daar mee verder gaan werken.

Voorbeeld 13.1: In onderstaande schakeling kunnen we alle stromen en vermogens volgens de gewone wetten van Kirchhoff berekenen. We stellen de spanningsbron op 100V en de weerstand is zuiver ohms en heeft een waarde van 20Ω. De wikkelverhouding van primair naar secundair is 1:10.

We stellen de fasehoek van U1 op 00, dus U1 = 100∠0oV. Verder is U1 = Up, I1 = Ip en IR = – Is. Met de gegeven transformatieverhouding krijgen we Us = 10Up en Ip = –10Is.

Dit uitwerkend vinden we: Us = 10*100∠0oV = 1000∠0oV. Dan wordt IR = Us/R = 1000∠0o/20 = 50∠0oA. Daarmee wordt Ip = –10Is = 10IR = 500∠0oA = I1. Voor de vermogens vinden we dan bij de linker spanningsbron: 𝑃𝑃𝑈𝑈1 = 𝑈𝑈1𝐼𝐼1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑𝑈𝑈 − 𝜑𝜑𝐼𝐼). Dit ingevulde PU1 = 100*–500*cos(00 – 00) = –50kW. De stroom wordt hier negatief genomen omdat de stroom bij de plus van de spanningsbron weggaat. Kijken we naar het vermogen dat de primaire zijde van de trafo in gaat, dan vinden we 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝑈𝑈𝑝𝑝𝐼𝐼𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑𝑈𝑈 − 𝜑𝜑𝐼𝐼), waarbij de stroom Ip positief is, omdat deze bij plus van Up naar binnen gaat. Dus Pp = 100*500*cos(00 – 00) = 50kW. Aangezien dit vermogen positief is, lijkt het er op dat de transformator Watt vermogen opneemt en dus warm zal worden. Toch is dat niet het geval. Dat komt omdat de transformator dit vermogen aan de secundaire zijde weer afgeeft: 𝑃𝑃𝑠𝑠 = 𝑈𝑈𝑠𝑠𝐼𝐼𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑𝑈𝑈 − 𝜑𝜑𝐼𝐼),

waarbij de stroom Is = 50∠180oA moet worden ingevuld. Ingevuld Ps = 1000*50*cos(00 – 1800) = –50kW. De secundaire zijde van de transformator levert dus Watt vermogen. Deze gaat ongetwijfeld zitten in de weerstand. Daar vinden we PR = I2R = 502*20 = 50kW. De conclusie hier is dat het vermogen door de transformator heen gaat. De (ideale) transformator geeft het vermogen via de primaire zijde door naar de secundaire zijde, welke het weer afgeeft aan het aangesloten circuit.

–

+

I1

U1

Is

Us Up

Ip

+

–

T

R

IR

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 5

Wat opmerkelijk is, is dat de transformator, ondanks de fysieke aanwezigheid van spoelen, zich vrijwel niet als spoel gedraagt. Dat komt omdat bij het doorgeven van het vermogen de wikkelingen van de primaire en secundaire zijde van de transformator elkaar 100% tegenwerken. Dat is ook precies de bedoeling. Daardoor volgt nu een zeer belangrijke eigenschap van de ideale transformator, nl dat het aan de primaire zijde opgewekte magnetische veld ten gevolge van het aantal primaire windingen waar de primaire stroom door loopt (Np*Ip) exact gelijk is aan het precies tegenover gestelde magnetische veld van de secundaire zijde (Ns*Is). Daarmee heft het magnetische veld van de secundaire wikkeling het magnetische veld van de primaire wikkeling op. Bij een ideale transformator is geen magnetisch veld in de kern aanwezig! Dit is niet helemaal realistisch. We zullen dat zien als de niet ideale transformator wordt bekeken. Feit is wel dat het magnetische veld in een transformator vrij klein is en dat daardoor de transformator, ondanks grote stromen in de primaire en secundaire wikkelingen, niet in verzadiging zal komen. Vraag: hoe kan de transformator wel in verzadiging komen? Antwoord: door de primaire (of secundaire) aangeboden spanning te hoog kiezen. Vraag: omdat de transformator niet in verzadiging kan komen, ondanks de grootte van de primaire en secundaire stroom, zou dat beteken dat we daar oneindig grote stromen kunnen gebruiken. Klopt dit wel? Antwoord: nee, want de spoelen van een niet ideale transformator hebben ook een eigen ohmse weerstand. Daardoor worden bij grotere stromen de spoelen warm en kunnen de draden verbranden. In bovenstaand voorbeeld 13.1 levert de spanningsbron U1 = 100∠0oV een stroom I1 = 500∠0oA. Blijkbaar ‘ziet’ de spanningsbron een weerstand van U1/I1 = 0,2Ω, wat het gevolg is van de weerstand van 20Ω die via de transformator blijkbaar met een andere waarde doorgegeven naar de primaire zijde. Dat klopt omdat de spanning van de secundaire zijde naar de primaire zijde omlaag wordt getransformeerd en tegelijk de stroom omhoog wordt getransformeerd. De weerstand die de bron ziet wordt daardoor T2 lager of hoger, in dit geval met T = 0,1 wordt dit 20*(0,1)2 = 0,2Ω. Note: T had ook 10 kunnen worden genomen. In dat geval krijgen we 20/(10)2 = 0,2 Ω.

Daarmee krijgen we dat de ‘equivalente’ weerstand R’= T2R. Let bij het gebruik goed op dat de weerstand groter of kleiner wordt in de richting van de wikkelverhouding. In bovenstaand voorbeeld 13.1 gaat, beredeneerd vanuit de weerstand van 20Ω, de wikkelverhouding van 10 naar 1, dus moet de R’ kleiner worden.

In het algemeen geldt:

Z’ = T2Z.

Het begrip equivalent wordt ook gebruikt voor de spanningen en stromen die naar links of rechts worden getransformeerd.

Het schema zoals hierboven weergegeven zouden we nu als volgt kunnen tekenen:


HAN-FT-CPM SEECE 6

Voorbeeld 13.2: Een wisselspanning met U = 200V wordt via een transformator met aan de primaire zijde 400 wikkelingen en aan de secundaire zijde 100 wikkelingen, aangesloten op een weerstand van 5Ω in serie met een condensator van 1000μF. Hoe groot is het Watt en Blind vermogen dat de bron levert? Antwoord: De weerstand wordt R’ = 16*5 = 80Ω en de reactantie –jXC = –j(1/ωC) = –j3,18Ω wordt dan via de transformator naar de primaire zijde een reactantie van –jX’C = –j51Ω. De bron ziet dus een Z’ = 80Ω – j51Ω. De primaire stroom uit de bron wordt dan I1 = 200∠0o/(80 – j51) = 200∠0o/94,9∠327o = 2,11∠–327o = 2,11∠33oA. Daarmee krijgen we de vermogens van de spanningsbron: P = –200*2,11*cos(00 – 330) = –354W en Q = –200*2,11*sin(00 – 330) = 230VAR.

Zouden we in dit voorbeeld 13.2 kijken naar bijvoorbeeld het Watt vermogen dat aan de secundaire zijde in de weerstand wordt opgenomen, dan moet dat vanzelfsprekend kloppen, omdat de transformator zelf geen vermogen verbruikt. De secundaire stroom is 4 maal groter dan de primaire stroom en wordt 2,11*4 = 8,44A. Het vermogen in de weerstand wordt dan 8,442*5 = 356W.

Daaruit blijkt dat na transformatie de spanningen, stromen, weerstanden en reactanties wel veranderen, maar niet de vermogens. Dat komt omdat de vermogens het product zijn van spanning en stroom. Als de spanning bijvoorbeeld omlaag wordt getransformeerd, wordt de stroom evenredig omhoog getransformeerd. Het vermogen blijft dus gelijk.

In onderstaand voorbeeld gaan we een berekening rond een transformator maken, waarbij we geen elementen verschuiven. We passen alleen de wetten van Kirchhoff toe. Daarna doen we het nogmaals, door wel de elementen te verschuiven.

Voorbeeld 13.3: Zie onderstaande schakeling. Bereken de spanningen, stromen en vermogens door gebruik te maken van de 2e wet van Kirchhoff.

I1

U1

Is

Us

Ip

+

–

R

IR

+

–

R’


HAN-FT-CPM SEECE 7

Voor de volledigheid staan hier rond de transformator de primaire en secundaire spanningen en stromen, die eigenlijk vanzelfsprekend zijn, er toch bij.

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we (let op de keuze van de stroom en bijbehorende spanningen over de weerstanden en de condensator!):

Uitgaande van Ip krijgen we 100∠00 – 2Ip – Up = 0 Uitgaande van I2 krijgen we Us – 100I2 + j200I2 = 0 Ip = –10Is = 10I2 Us = 10Up

Om twee vergelijkingen met twee onbekenden over te houden zetten we de laatste twee vergelijkingen in de eerste. Dan krijgen we 100 – 20I2 – 0,1Us = 0. De 2e vergelijking heeft dezelfde onbekenden en schrijven we als Us = I2(100 – j200). Dit wordt weer ingevuld in de voorgaande vergelijking en dan vinden we na enig rekenwerk dat I2 = 2,77∠340A. Dan vinden we van daar uit weer Us door dit weer terug in te vullen; Us = 2,77∠340(100 – j200) = 619,4∠3310V. Daaruit vinden we weer met Us = 10Up zodat Up = 61,94∠3310V en met Ip = 10I2 vinden we Ip = 27,7∠340A. Dit is gelijk aan I1. Tenslotte vinden we nog Is = –2,77∠340A of zonder het minteken voor de 2,77 een nettere schrijfwijze Is = 2,77∠2140A. De spanning over de weerstand wordt U2Ω, met links plus en rechts min, U2Ω = I1R2Ω = 55,4∠340V. Vraag: bereken nu zelf alle Watt en Blind vermogens. Antwoord: P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR, P2Ω = 1535W, Pp = 779W, Qp = –1515VAR, Ps = –779W, Qs = 1515VAR, P100Ω = 767W en QC = –1534VAR. (als voorbeeld Qs uitgewerkt = 619,4*–2,77*sin(3310 – 340) = 1515VAR). Voorbeeld 13.4: We gaan uit van voorbeeld 13.3, maar transformeren alles van de secundaire zijde naar de primaire zijde. We krijgen dan onderstaand schema:

–j200Ω

Is

Us Up

+

–

U1 = 100∠00V

T = 1/10

I1 100Ω I2 2Ω Ip

–

+

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 8

De weerstand van 100Ω en de reactantie van –j200Ω worden gedeeld door het kwadraat van de transformatieverhouding = 100, dus krijgen respectievelijk de waarden van 1Ω en –j2Ω. De transformator bevat aan de secundaire zijde nog slechts een kortsluiting. Deze kortsluiting naar de primaire zijde getransformeerd levert het volgende schema:

Daarin zien we nog wel de primaire spanning terug. De equivalente (getransformeerde) secundaire spanning U’s is natuurlijk de primaire spanning Up. Idem voor de equivalente

secundaire stromen die naar de primaire zijde zijn getransformeerd. Let ook op de plek waar Up in het schema staat!

De bron U1 ziet nu een Z = 3 – j2. De stroom I1 = Ip = 100∠00/(3 – j2) = 27,7∠340A. Dan is volgens de 2e Wet van Kirchhoff + U1 – I1*2 – Up = 0. Daaruit volgt Up = … = 61,94∠3310V. Nu wordt Us = 10Up = 619,4∠3310V en I2 = 0,1Ip = 2,77∠340A.

De vermogens worden dan P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR, P2Ω = 1535W, Pp = 779W en Qp = –1515VAR. We weten dat Ps = – Pp = –779W, Qs = – Qp =1515VAR. Het vermogen in de secundaire kring wordt hetzelfde als het vermogen die we nu aan de primaire zijde berekenen; P’100Ω = P1Ω = (Ip)21 = (27,7)21 = 767W of in de denkwereld aan de secundaire zijde via P100Ω = (I2)2*100 = (2,77)2*100 = 767W. Op gelijke wijze krijgen we QC = –1534VAR.

Is

+

– U1 = 100∠00V

T = 1/10

I1 1Ω I2 –j2Ω 2Ω

Up

Ip

–

+

–

+

+

– U1 = 100∠00V

I1 1Ω –j2Ω 2Ω

Up = U’s

Ip = I’2 = – I’s

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 9

Opgave 13.1: verklaar dat de transformator niet met gelijkspanning kan werken.

Opgave 13.2: Transformeer in onderstaand schema alles van de primaire naar de secundaire zijde en bereken de spanningen, stromen en vermogens.

Opgave 13.3: Ga uit van onderstaand schema. Np:Ns = 2:1. Bereken alle spanningen, stromen en vermogens.

Opgave 13.4: Geef van opgave 13.3 het vervangschema voor apart de primaire zijde en apart de secundaire zijde.

Opgave 13.5: Bij een elektriciteitsnet met een spanning van wisselspanning van 230V loopt de stroom door een lange lijn. De totale weerstand van de lijn is 3Ω. De verbruiker heeft een weerstand van 23Ω. Daardoor zakt de spanning bij de verbruiker naar 203V (ga dit na). De stroom door het circuit is nu 8,85A. Met een transformator vlak voor de verbruiker peppen we de spanning weer op naar 230V. Bereken de transformatieverhouding T en de nieuwe stromen in het circuit.

Een voorbeeld waar transformatoren in de zwakstroomtechniek een grote rol spelen, is bij de radio of televisie. Daarbij gaat het vaak niet om spanningen omhoog of omlaag te transformeren, maar om een zo hoog mogelijk vermogen in de secundaire te krijgen. Het is dan nodig dat de weerstand aan de primaire zijde gelijk wordt aan de weerstand van de belasting. Een voorbeeld daarvan is de coaxkabel. Deze heeft bij optimale signaaloverdracht een eigen weerstand van ongeveer 60Ω. De ether heeft

echter een ‘weerstand’ van 𝜇𝜇𝑜𝑜𝜀𝜀𝑜𝑜

= 377Ω. Om zo veel mogelijk vermogen vanuit de ether in de coaxkabel te krijgen, moet een

transformator zorgen dat de 377Ω wordt omgezet naar 60Ω. Daarmee halen we het maximale vermogen (50%) vanuit de ether in de coaxkabel. De transformatieverhouding is dus 2,5. Dit betekent dat we bij het ontwerp van een antenne daar rekening mee moeten houden.

–j200Ω

Is

Us Up

+

–

U1 = 100∠00V

T = 1:10

I1 100Ω I2 2Ω Ip

–

+

–

+

Is

Us Up

+

–

U1 = 10k∠00V

T

I1

20Ω

I2

2Ω

Ip

–

+

–

+ j60Ω


HAN-FT-CPM SEECE 10

Opgave 13.6: Transformatoren worden soms primair, soms secundair of soms aan beide zijden aan één kant aan aarde gelegd. In onderstaand schema gaan we de verschillende punten A t/m D soms aan aarde leggen.

a. Bereken zonder aarde alle spanningen en stromen Up en Us en I1 en I2 b. Verklaar dat deze spanningen en stromen met een willekeurige aardesituatie niet anders

zullen zijn. c. Leg punt A aan aarde en verklaar wat er met de spanningen in A, B, C en D gebeurt. d. Idem punt B e. Idem punt C f. Idem punt D g. Idem punt A en D h. Idem punt A en C i. Idem punt B en C j. Idem punt B en D

Us Up

+

–

U1 = 100∠00V

T = 4:1

I1

5Ω

I2

20Ω

–

+

–

+

A

B

D

C


HAN-FT-CPM SEECE 11

De niet ideale transformator

Vanzelfsprekend zijn transformatoren niet ideaal. Om te beginnen hebben zowel de primaire wikkelingen als de secundaire wikkelingen een eigen ohmse weerstand. Deze weerstanden zijn vrij eenvoudig met een ohm meter te meten.

Ten tweede hebben zowel de primaire spoel als de secundaire spoel last van het feit dat de door hun geproduceerde magnetische velden niet volledig in de kern van de transformator terecht komen en ze elkaars spoelen dus niet bereiken. We noemen dit lekvelden. We beschouwen deze lekvelden alsof ze afkomstig zijn van een deel van de spoelen om de kernen, die niet meedoen aan het transformatoreffect. Het lijken dus ‘losse’ spoelen jX1 en jX2, die we in serie meenemen met de effectieve delen van de spoelen en de eigen draadweerstanden R1 en R2 van de transformator. Dan krijgen we het volgende schema:

Ten derde is er nog een effect, namelijk dat de kern van de transformator warm wordt. Dit komt door de ijzerverliezen (zie voorgaande). We kunnen dit warm worden simuleren door een weerstand mee te nemen die parallel staat aan de spanningbron U1. Dat we deze weerstand parallel zetten, komt omdat de ijzerverliezen niet te maken hebben met het al dan niet belasten van de transformator. Het wisselende magnetische veld in de transformator zal namelijk niet groter of kleiner worden (zie voorgaande) door de

+

–

U1

T

R2 R1 jX1 jX2

transformator


HAN-FT-CPM SEECE 12

transformator te belasten. Het wisselende magnetische veld is alleen maar afhankelijk van de aangeboden spanningbron U1.

Ten vierde en als laatste is er nog een eigenschap. Er is steeds van uit gegaan dat er in de transformator een wisselend magnetisch veld aanwezig is, afkomstig van de primaire spoel. Als bij een ideale transformator de secundaire spoel niet belast wordt, loopt daar geen stroom. Dit zou bij een ideale transformator betekenen dat er in de primaire spoel ook geen stroom loopt. Dit betekent weer dat er dus geen magnetische veld is. Toch is er een wisselend magnetisch veld aanwezig in de transformator. Dit magnetische veld is niet erg groot, maar moet minimaal aanwezig zijn om te zorgen dat de transformator haar werk kan doen. (Het magnetische veld wordt verder bij belasting van de transformator niet groter, omdat de secundaire spoel gelijktijdig een tegen gericht magnetisch veld maakt als het primaire magnetische veld groter wordt). Dit betekent dat het ‘vaste’ wisselende magnetische veld bij de transformator alleen afhankelijk is van de primair aangeboden spanning U1. Deze kunnen we daarom dus net als de weerstand die de ijzerverliezen Rij vertegenwoordigt, als een spoel Xμ parallel zetten aan U1.

Het totale vervangingsschema van de transformator wordt dan:

Wat over blijft is een vervangingsschema met van binnen een ideale transformator. In het stuk waar de ideale transformator aanwezig is zal het magnetische veld van de primaire spoel volledig terug te zien zijn in de secundaire spoel en omgekeerd. De koppeling van beide spoelen is dan 100%. Men noemt dit de koppelfactor k = 1. Het feit dat de koppeling bij een niet ideale transformator niet 100% is, wordt hier meegenomen door uit te gaan van de spoelen X1 en X2 die de lekvelden vertegenwoordigen. In al onze gevallen is met bovenstaand schema daarom k = 1.

We gaan nog één stap maken, en dat is dat het voor de ontwerpers van transformatoren wellicht goed is om apart te weten hoe groot de verschillende waarden van X en R zijn, maar voor ons als gebruikers zijn we alleen geïnteresseerd in de totale effecten in een elektriciteitsnet. Daarom kunnen we voor het totaal beeld veel beter de X2 en R2 met hun equivalente waarden naar de primaire zijde van de transformator verhuizen. Dan komt aan de primaire zijde te staan X1 + X’2. De totale X noemen we dan Xk. Dus Xk = X1 + X’2. Dit doen we ook met R1 en R’2. We krijgen dan Rk = R1 + R’2. Het vervangingsschema wordt dan:

jXμ Rij

+

– U1

T

R2 R1 jX1 jX2


HAN-FT-CPM SEECE 13

We krijgen vervolgens twee situaties waarin we dit schema gesplitst zullen gaan gebruiken. De eerste is dat de transformator aan de secundaire zijde niet belast wordt. Dit noemt men de nullast. Als een transformator in het net staat, maar niet wordt belast, zal er in de secundaire geen stroom lopen. Omdat de transformator in het vervangschema ideaal is, zal er ook in de primaire zijde van de ideale transformator geen stroom lopen. Het vervangschema voor de nullastsituatie is daarom te vereenvoudigen tot:

Vervangschema transformator in nullast

De nullaststroom Io is de stroom die U1 levert.

Het andere uiterste, waar we gemakshalve van uitgaan, is dat de transformator in een normale belaste situatie, de zogenaamde nominale belasting, uit de spanningsbron U1 een stroom I1 trekt die vele malen groter is dan de nullaststroom. Daarmee kunnen we voor de belaste situatie de ‘nullast verliezen’ vooralsnog verwaarlozen. Alleen door gebruik te maken van ingewikkeld rekenwerk, geavanceerde rekenprogramma’s en/of simulatoren kunnen we alles tegelijk meenemen, maar voor het begrip hoe zaken werken, kunnen we uitgaan van het bovenstaande vereenvoudigde nullast schema of van het onderstaande vereenvoudigde vollast schema:

jXμ Rij

+

– U1

I0

jXμ Rij

+

– U1

T

Rk jXk

Algemene transformator vervangschema


HAN-FT-CPM SEECE 14

Vervangschema transformator voor nominale belasting

Opdracht: Teken uit het hoofd de vervangschema’s van de niet ideale transformator (het algemene vervangschema, het nullast vervangschema en het nominale vervangschema). Zet ook alle standaard spanningen, stromen, weerstanden en reactanties daar op de juiste manier in.

Opgave 13.7: Geef het vervangschema van de transformator voor de situatie dat de secundaire zijde is kortgesloten.

Nullastproef en kortsluitproef

Om de eigenschappen van de transformator te bepalen moeten we een paar zaken achterhalen door middel van metingen. Enkele basisgegevens van de transformator staan meestal gewoon op de transformator vermeld. We lezen bijvoorbeeld Up/Us = 400/5k. Dit betekent dat de transformatieverhouding bekend is, maar ook de nominale primaire spanning 400V en de nominale secundaire spanning 5kV zal zijn. Verder wordt het Schijnbaar vermogen gegeven, bijvoorbeeld S = 40kVA. Hieruit halen we de waarden van de maximale primaire stroom 100A en de maximale secundaire stroom 8A. Ga dit na.

Meting nullastproef

We gaan nu een nullast meting doen om de waarden Rij en Xμ te meten. We gaan uit van het vervangschema van de transformator bij nullast. We zetten op de primaire zijde van de transformator de normale, nominale, spanning U1. We sluiten niets aan op de secundaire zijde. We meten vervolgens de grootte van deze spanning U1, de grootte van de stroom I0 en het Watt vermogen P0 dat de bron levert aan de transformator. Uit deze gegevens zijn de Rij en Xμ terug te rekenen.

Voorbeeld 13.5: Bij een transformator in nullast meten we de aangesloten nominale spanning U1 = 400V, I0 = 0,3A en P0 = 80W. Zie onderstaand schema.

+

–

U1

T

Rk jXk

I1


HAN-FT-CPM SEECE 15

Let op dat hier geen ‘complexe’ tekens staan bij de spanning en stroom. We meten namelijk niet de fasehoeken en kunnen dus alleen de grootte van U1, I0 en P0 noteren!

Daar P0 = UIcosϕ is, (waarin ϕ het faseverschil is tussen de spanning en de stroom. We letten verder even niet op het feit dat het eigenlijk een negatief vermogen moet zijn. Het gaat hier alleen om de grootte van het vermogen), kunnen we berekenen cosϕ = 80/(400*0,3) = 0,67. Dus ϕ = 480. Dan is het Blind vermogen Q0 ook uit te rekenen. Dit wordt dan Q0 = UIsinϕ = 89VAR. Het Watt vermogen gaat volledig zitten in Rij en het Blind vermogen gaat volledig zitten in Xμ. De stroom door Rij is natuurlijk niet I0 zelf, dus kunnen we niet uitgaan van PR =I2R. Wel weten we de spanning over Rij. Dat is U1 zelf. Daarom achterhalen we Rij via PR = U1

2/Rij. Derhalve wordt Rij = U12/PR = 4002/80 ≈ 2kΩ. Zo kunnen we ook Xμ bepalen door uit te

gaan van QX = U12/Xμ. Derhalve wordt Xμ = U1

2/QX = 4002/89 ≈ 1,8kΩ.

Voor het berekenen van de nullast zijn er ook andere methoden, zoals apart de stroom door Rij te bepalen en dan complex uitrekenen hoe groot de stroom is door Xμ. Maar dan moeten we in eens complex rekenen. De in het voorbeeld 13.5 gebruikte methode is zonder complex rekenen en daardoor de eenvoudigste methode en wordt veel gebruikt.

Meting kortsluitproef

Voor het bepalen van de waarden van Rk en Xk gaan we uit van het vervangschema van de transformator bij nominale belasting. We sluiten de secundaire zijde kort en sluiten op de primaire zijde een lage spanning aan. We voeren deze lage spanning van nul volt op totdat in de primaire zijde maximaal de nominale stroom loopt. Welke waarde deze maximale primaire stroom heeft wordt over het algemeen gehaald uit de gegevens van de transformator.

Voor de ‘kortsluitproef’ gaan we weer uit van de kentallen van de transformator zoals die door de fabrikant zijn gegeven. In ons voorbeeld Up/Us = 400/5k en S = 40kVA. We gaan de primaire stroom opvoeren tot minimaal 50% en maximaal 90% van de waarde van de maximale primaire stroom. De maximale primaire stroom is S/Up = 100A. Stel we laten de primaire stroom 80A worden. Deze stroom wordt veroorzaakt door een bepaalde primaire spanning die daarvoor verantwoordelijk is. Vanwege de kortsluitsituatie is deze primaire spanning veel lager dan de nominale primaire spanning. We noemen dit de kortsluitspanning Uk en drukken dit in procenten uit ten opzichte van de nominale spanning. Bijvoorbeeld: de kortsluitspanning is 14% van de nominale spanning. In ons voorbeeld is de kortsluitspanning

P0 = 80W

I0 = 0,3A

jXμ Rij

+

– U1 = 400V


HAN-FT-CPM SEECE 16

dan Uk = 0,14*400 = 56V. We meten op dezelfde manier als bij de nullastproef het Watt vermogen dat de bron levert. Stel dat dit Pk = 2kW. We krijgen dan het volgende schema:

Let op dat ook hier geen ‘complexe’ tekens staan bij de spanning en stroom. We kennen namelijk niet de fasehoeken en kunnen dus alleen de grootte van Uk en Ik noteren!

Net als bij de nullastproef gaan we ook nu het Watt en Blind vermogen gebruiken om de waarden van Rk en Xk te achterhalen. Pk = UIcosϕ waaruit volgt cosϕ = 2k/56*80 = 0,45. Dus ϕ = 630, zodat we Qk kunnen bepalen. Dit wordt dan Qk = UIsinϕ = 4kVAR. Het Watt vermogen gaat in Rk zitten en kunnen we berekenen met Pk = Ik

2Rk zodat Rk = 2k/802 ≈ 0,3Ω. Op gelijke wijze is nu ook Xk te berekenen met Qk = Ik

2Xk zodat Xk = 4k/802 ≈ 0,6Ω.

Als we de nullast- en kortsluitproef uitkomsten naast elkaar leggen, zal het duidelijk zijn dat de nullastverliezen bij nominaal gebruik van de transformator verwaarloosd mogen worden.

Het totale vervangschema kunnen we nu tekenen:

Opgave 13.8: Toon aan dat de nullastverliezen wegvallen bij nominaal gebruik.

Opgave 13.9: Stel een transformator met een Np/Ns = 230/10k en een S = 30kVA. Bij de nullastproef is de nullaststroom 0,3A en het vermogen is dan 35W. Bij de kortsluitproef wordt de primaire spanning op 14% van de nominale spanning gezet. Daarbij is de kortsluitstroom op 90% van de maximale waarde gekomen. Het kortsluitvermogen is dan

jXk = j0,6Ω

0,0,60,60,3Ω

jXμ = j1,8kΩ

Rij= 2kΩ +

–

U1 = 400∠00V

T

Rk = 0,3Ω

Pk = 2kW

+

–

Uk = 56V

Rk jXk

Ik = 80A


HAN-FT-CPM SEECE 17

2,3kW. Bereken de eigenschappen van de transformator en zet eea in het totale vervangschema.

Opgave 13.10: We gaan de transformator uit opgave 13.8 belasten met een weerstand van 4kΩ. Toon aan dat de nullastverliezen mogen worden verwaarloosd en bereken het Watt vermogen in de bron en de weerstand van 4kΩ en van daar uit het rendement, de secundaire spanning over de belasting en het Blind vermogen in de bron.

Opgave 13.11: Een 10kV/400V trafo is aan de primaire zijde aangesloten op de 10KV. De Rk = 20Ω en Xk = 40Ω. De secundaire zijde is aangesloten op een belasting. Deze belasting wordt per ongeluk kortgesloten. Bereken de stroom I2 in deze kortsluiting door uit te gaan van het nominale vervangingsschema van de transformator, waarbij de primaire Rk en Xk en de 10kV naar de secundaire zijde van de transformator worden verplaatst.

Aanvullende informatie

Meerdere aftakkingen

Een transformator kan ook meerdere aftakkingen hebben. Zie onderstaand schema. De berekeningen zoals bovenstaand aangegeven blijven voor al die situaties apart gelijk. De totale uitgangsspanning is de som van de verschillende deelspanningen.

De scheidingstransformator

Transformatoren zijn er in verschillende uitvoeringen. De meest bekende is zoals hierboven aangegeven, dat er twee spoelen op een kern worden gewikkeld. Deze wikkelingen kunnen ook op elkaar liggen. Als we gebruik maken van twee aparte wikkelingen, dan spreken we van ‘galvanische scheiding’. Dit betekent dat het circuit aan de primaire kant van de transformator voor wat betreft de spanning en de stroom elektrisch gescheiden is van het circuit aan de secundaire zijde van de transformator. Dit kan van belang zijn in bijvoorbeeld de situatie dat de ene zijde van de transformator een aarde aansluiting heeft en de andere zijde niet. Denk daarbij aan de transformator die in badkamers wordt gebruikt. Dit is een 1:1 trafo. De primaire zijde wordt gevoed met 230V en aan de secundaire zijde ontstaat ook 230V. De primaire zijde is echter geaard, net als alle andere metalen delen in de badkamer. Dit laatste is bewust gedaan om te voorkomen dat een persoon niet via een metaal deel in

Us +

–

U1

Us1

Us2


HAN-FT-CPM SEECE 18

aanraking kan komen met de fase van de 230V. Zou iemand zonder deze ‘badkamertransformator’ via het stopcontact de fase aanraken en tegelijk een metalen deel in de badkamer, dan is dit zonder het toepassen van een scheidingstransformator erg gevaarlijk. Door de scheidingstransformator te gebruiken is er wel een wisselspanning van

230V, maar geen terugweg naar aarde, zodat er geen gesloten circuit meer kan worden gemaakt bij aanraking. Zie onderstaand schema. Ga dit na.

De autotransformator

Transformatoren worden ook wel zonder galvanische scheiding gemaakt. Alle berekeningen blijven zoals hiervoor aangegeven. De secundaire aftakkingen zitten op dezelfde spoel. Er is geen tweede spoel. Zie bovenstaand schema. De primaire spanning heeft hier een aangeboden spanning van bijvoorbeeld 100V. De secundaire spanning kan hoger of lager kan zijn, afhankelijk van de aftakking. Zo heeft de onderste aftakking een spanning van 50V ten opzichte van de onderkant van transformator en de bovenste aansluiting een spanning van 175V ten opzichte van de onderkant van de transformator. Men noemt dit wel een ‘autotransformator’.

De stroomtransformator

Voor het meten van zeer grote stromen zijn normale ampèremeters niet geschikt. Daartoe wordt de stroomtransformator gebruikt. De stroomtransformator heeft de eigenschap dat

+

–

U1 = 100V U = 50V

U = 175V

nul

fase

Us Up

+

–

U1 = 230∠00V

T = 1/1

–

+

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 19

een grote stroom door de primaire zijde van de transformator loopt. Door de wikkelverhouding zo te kiezen dat de stroom aan de secundaire zijde beperkt is, kan de secundaire stroom eenvoudig worden gemeten met een stroommeter. De stroommeter zelf

heeft een zeer kleine weerstand. De secundaire ziet praktisch gezien een kortsluiting. Via de transformator ziet de primaire zijde dan ook een kortsluiting, waarbij de weerstand vanwege de transformatorverhouding nog veel kleiner is dan de weerstand aan de secundaire zijde.

Zouden we de secundaire zijde open maken, dan is dat een zeer hoge weerstand. De primaire zijde ervaart dit via de transformator vanzelfsprekend ook, en dus zal de weerstand aan de primaire zijde oplopen. Juist aan de primaire zijde loopt veel stroom, zodat volgens P = UI of P = I2R de transformator zal verbranden. De stroomtransformator moet daarom altijd aan de secundaire zijde min of meer kortgesloten zijn via bijvoorbeeld een ampèremeter met een lage eigen weerstand.

Opgave 13.12: Een stroomtransformator moet een stroom meten van 3kA. De te gebruiken ampèremeter die we secundair aansluiten kan maximaal 3A meten. Dan valt er 0,06V over de ampèremeter. Bereken de wikkelverhouding en de weerstand die de 3kA door de stroomtransformator ziet. Bereken ook het vermogen aan de primaire en secundaire zijde van de stroomtransformator. Bereken vervolgens wat er gebeurt met spanningen, stromen en vermogens als de ampèremeter per ongeluk op spanningsmeting wordt gezet, waarbij de inwendige weerstand 10kΩ bedraagt.

De aanloopstroom van een transformator (inrush current)

We bekijken nu het aanzetten van een transformator. Tot op heden gingen we er van uit dat alle spanningen en stromen, en dus het magnetische veld in de transformator, zuiver sinusvormig waren. Bij het aanzetten van een transformator gaan we kijken hoe het magnetische veld ten gevolgen van de aangeboden wisselspanning zich ontwikkelt.

We gaan uit van de formule 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

.

We herschrijven dit als 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = 1𝑁𝑁 ∫𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

Met u(t) = ûsinωt wordt dit 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = 1𝑁𝑁 ∫ûsin𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = û

𝜔𝜔𝑁𝑁(−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡) + 𝐶𝐶.

Us I

stroom meter


HAN-FT-CPM SEECE 20

Op 𝜑𝜑(0) = û𝜔𝜔𝑁𝑁

(−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔0) + 𝐶𝐶 = 0. Dit omdat er bij het aanzetten van de transformator nog

geen sprake is van een magnetisch veld. Dus û𝜔𝜔𝑁𝑁

(−1) + 𝐶𝐶 = 0. Hieruit volt 𝐶𝐶 = û𝜔𝜔𝑁𝑁

De totale formule wordt dan:

𝜑𝜑(𝑡𝑡) = û𝜔𝜔𝑁𝑁

(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡)

De flux begint op 0 en zal op het moment van inschakelen van een sinusvormige spanning bij t =0,5T een flux geven die twee keer de waarde is die normaal van toepassing is (ga dit na). Daarmee zou bij het aanzetten van de transformator op ‘het verkeerde moment’ de transformator in verzadiging kunnen raken. De stroom wordt dan zeer groot en de beveiliging kan aanspringen en de transformator afschakelen.

Normaal gesproken zullen de spanning voor een transformator op elk moment ingeschakeld kunnen worden zonder dat de transformator bij het aanzetten in verzadiging kan komen. Willen we een transformator aan de grenzen van zijn kunnen gebruiken, dan moeten we bijvoorbeeld inschakelen als de sinus van de spanning op de primaire zijde om en nabij de maximale waarde zit. Ga dit na door in bovenstaand niet uit te gaan van u(t) = ûsinωt, maar

van u(t) = ûcosωt. Dan krijgen we 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = û𝜔𝜔𝑁𝑁

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡 en zal de flux direct een normaal

sinusvormig gedrag vertonen.

Onderstaand is de ongunstige situatie van het inschakelen van de spanning en het gevolg van de flux getekend waarbij we ver in de verzadiging komen. Het zal opvallen dat daardoor de stroom zeer groot is.

Niet lineair gedrag van een transformator

Bij het aanbieden van een zuiver sinusvormige spanning vanwege de formule 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

een zuiver sinusvormige magnetisch veld veroorzaken. Maar omdat de hysteresislus niet lineair verloopt zal de resulterende wisselstroom niet helemaal sinusvormig zijn. Een wat overdreven getekende spanning en resulterende stroom (vet) is onderstaand weergegeven. Het resultaat is dat er een niet zuiver sinusvormige stroom is welke bestaat uit meerdere frequenties, zijnde de grondgolf van 50Hz, en verder de oneven harmonischen. (zie onderwerp Fourieranalyse). De hogere harmonischen zullen warmte in het net veroorzaken. In dit dictaat gaan we daar nu niet verder op in.

ϕ

I


HAN-FT-CPM SEECE 21

Spanning en stroom2A

t


HAN-FT-CPM SEECE 22

Antwoorden Transformatoren

13.1: uit de formule 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

blijkt dat alleen een veranderend magnetisch veld effect

heeft.

13.2: Zie onderstaand schema.

De stroom I’1 = I’p = –Is = I2 = 1000∠00/(300 – j200) = 2,77∠340A. Daarmee wordt I1 = Ip = 10I’1

= 27,7∠340A. Via de 2e Wet van Kirchhoff is Us weer te bereken, bijvoorbeeld door uit te gaan van + U’1 – 200I’1 – Us = 0 of via + U’1 + 200Is – Us = 0. Daarmee krijgen we Us = 619,4∠3310V, waaruit weer Up te vinden is door te delen door 10 enz enz. De vermogens zijn krijgen dezelfde antwoorden als in de voorbeelden. Op een rij: P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR, P2Ω = 1535W, Pp = 779W, Qp = –1515VAR, Ps = –779W, Qs =1515VAR, P100Ω = 767W en QC = –1534VAR. 13.3: I1 = Ip = 100∠–370A. I2 = –Is = 200∠–370A. Up = 8k∠–370V, Us = UR =4k∠–370V, UL =6k∠530V, P1 = –800kW, Q1 = – 602kVAR, QL = 600kVAR, Pp = 800kW, Qp = 0, Ps = –800kW, Qs = 0, PR = 800kW. (Voorbeeld uitwerking Pp = 8kV*100A*cos(–370 – –370) = 800kW).

13.4: In onderstaand schema kan verder eenvoudig worden gerekend, waarbij uit T volgt dat Us = 0,5Up. In het schema rekenen we verder door eerst Ip en Up uit te rekenen, dan volgt vanzelf Us en kan I2 worden bepaald enz. Dit schema geeft ook goed aan wat de bron U1 door aan de primaire zijde van de transformator zien, nl een weerstand van 80Ω. De secundaire zijde kan weer worden gezien als een nieuwe start met een bron (!) Us.

–j200Ω

Is

Us

+

– U’1 = 1000∠00V

I’1 100Ω I2 200Ω

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 23

13.5: Het nieuwe schema is onderstaand gegeven, waarbij we nu starten met het gegeven dat Us bekend is, zodat we de fasehoek daar 00 stellen. Aangezien nergens fasedraaiing wordt gecreëerd, zal U1 ook fase 00 hebben.

Voor het gemak laten we daarom de fase verder buiten beschouwing. Als de secundaire spanning 230V moet zijn, zal I2 = 10A zijn en de primaire stroom Ip = I1 = 10*T [A]. Zetten we de 23Ω weerstand ook primair, dan wordt dit 23/T2 Ω. De 2e Wet van Kirchhoff levert dan via de primaire zijde: + 230 – 10T*3 – 10T*23/T2 = 0. Dus 230 – 30T – 230/T = 0 of – 30T2 + 230T – 230 = 0, zijnde een vierkantsvergelijking waaruit volgt T = 1,18 en T = 6,48. In dit geval voldoet alleen T = 1,18. (Als we T = 6,48 kiezen krijgen we wel een secundaire spanning van 230V, maar dit ten koste gaat van een enorm verlies in de 3Ω weerstand (ga dit na)). Bij T = 1,18 wordt de primaire stroom 10*T = 11,8A. Deze primaire stroom is daarmee groter dan in de oude situatie zonder transformator. Die stroom was namelijk 230/(3 + 23) = 8,85A. Het vermogen dat de bron moet leveren gaat dan ook van 2kW (oude situatie zonder trafo) naar 2,7kW (nieuwe situatie met trafo T = 1.18). Ga dit na.

13.6: Het schema is ter verduidelijking onderstaand er bij gezet.

a. Up = 80∠00 V, Us = 20∠00 V, I1 = 1∠00 A en I2 = 4∠00 A. b. Berekening via de Wetten van Kirchhoff leveren geen ander resultaat op. c. Eigenlijk kun je nooit spreken over een spanning in een bepaald punt, omdat we altijd

moeten praten over spanningsverschillen. Als dan het aardepunt het ‘referentiepunt’ is dan zouden we kunnen stellen dat UA = 0V, dan is de spanning in B genaamd UB = UA – Up = – 80∠00 V of 80∠1800 V ten opzichte van aarde. De spanning in punt C of in punt D is niet aan te geven omdat er aan de secundaire zijde geen aarde is.

Is

Up

+

–

U1 = 10k∠00V

I1

20Ω

I2

2Ω

–

+ j60Ω 80Ω

+

–

Us = 4k∠-370V

Ip

Is

Us Up

+

–

U1 = 230V

T = ?

I1

23Ω

I2 3Ω Ip

–

+

–

+


HAN-FT-CPM SEECE 24

d. UB = 0V, dan is UA = UB + Up = 80∠00 V ten opzichte van aarde. De spanning in punt C of in punt D is niet aan te geven

e. UC = 0V, dan is UD = UC + Us = 20∠00 V ten opzichte van aarde. De spanning in punt A of in punt B is niet aan te geven, omdat er aan de primaire zijde geen aarde is.

f. UD = 0V, dan is UC = UD - Us = 20∠1800 V ten opzichte van aarde. De spanning in punt A of in punt B is niet aan te geven..

g. UB = 80∠1800 V en UC = 20∠1800 V h. UB = 80∠1800 V en UD = 20∠00 V i. UA = 80∠00 V en UD = 20∠00 V j. UA = 80∠00 V en UC = 20∠1800 V

13.7: Als de secundaire zijde van een transformator is kortgesloten, betekent een extreme vorm van nominale belasting (denk aan kortsluiting van een net). We gaan dus uit van het vervangschema bij nominale belasting. Als de secundaire zijde is kortgesloten, wordt de kortsluiting vanuit de primaire zijde ook gezien. We krijgen dan onderstaand schema:

13.8: Als we in nullast slechts een stroom van 0,3A hebben, terwijl we bij nominaal gebruik een stroom van 50 tot 100A hebben, dan zal het duidelijk zijn dat de nullastverliezen geen rol van betekenis vormen bij nominaal gebruik van de transformator. Waar de grenzen liggen is moeilijk om aan te geven. Het is maar hoe nauwkeurig men wil kijken.

+

–

U1

Rk jXk

I1

Us Up

+

–

U1 = 100∠00V

T = 4:1

I1

5Ω

I2

20Ω

–

+

–

+

A

B

D

C


HAN-FT-CPM SEECE 25

13.9: De waarden staan in onderstaand schema:

13.10: De nullaststroom is 0,3A terwijl de nominale stroom rond de 100A zal zitten. Daarmee kunnen we vaststellen dat de nullastverliezen hier geen rol spelen. We krijgen dan het volgende schema:

Het vervangschema, waarbij de equivalente waarde van R naar de primaire zijde is verplaatst, wordt dan:

De stroom I1 = 230∠00/(2,116 + 0,17 + j0,22) = 230∠00/(2,286 + j0,22) = 230∠00/2,297∠5,50

= 100∠–5,50A. Het vermogen in de bron wordt dan P = –230*100*cos(0 – –5,50) ≈ – 22,9kW. Het vermogen in de weerstand R’ = 1002*2,116 ≈ 21,2kW. Het rendement is dus Ƞ = 100*21,2k/22,9k = 93%. De klemspanning over de secundaire wikkeling wordt berekend

jXk = j0,22Ω

0,0,60,60,3Ω

R’ = 2,116Ω

+

–

U1 = 230∠00V

Rk = 0,17Ω I1

jXk = j0,22Ω

0,0,60,60,3Ω

jXμ = j889Ω

Rij= 1511Ω

+

–

U1 = 230∠00V

T

Rk = 0,17Ω

jXk = j0,22Ω

0,0,60,60,3Ω

R = 4kΩ

+

–

U1 = 230∠00V

T = 230:10k

Rk = 0,17Ω I1


HAN-FT-CPM SEECE 26

door bijvoorbeeld de secundaire stroom te bepalen. Die wordt I1/(10k/230) = 2,3∠–5,50A. Deze stroom loopt door de 4kΩ weerstand. De secundaire spanning wordt dus U = IR = 2,3∠–5,50 *4k = 9,2kV∠–5,50. Dus U = 9,2kV. (Note: zoals bekend is het vermogen aan de secundaire zijde berekend via PR = 2,32*4k ≈ 21,2kW hetzelfde als dat we dit doen via de primaire stroom met R’, dus PR = 1002*2,116 ≈ 21,2kW).

Het Blind vermogen in de bron is Q = –230*100*sin(00 – –5,50) ≈ –2,2kVAR.

13.11: Een eerste opzet is de kortsluiting met de standaardgegevens te tekenen. Zie onderstaand schema. Vervolgens verplaatsen we de spoel en weerstand naar de secundaire zijde.

Vervolgens verplaatsen we de spoel en weerstand naar de secundaire zijde:

jXk = j40Ω

0,0,60,60,3Ω

+

–

U1 = 10k∠00V

T = 10k:400

Rk = 20Ω I1 I2

jX’k = j0,064Ω

0,0,60,60,3Ω

+

–

U1 = 10k∠00V

T = 10k:400

R’k = 0,032Ω I1

I2


HAN-FT-CPM SEECE 27

Nu kunnen we ook de spanningsbron en de primaire stroom verplaatsen naar de secundaire zijde:

Daarin zijn alle waarden die verplaatst zijn als equivalente gegevens meegenomen. I’1 is dan gelijk aan I2. Het gaat nu om de kortsluitstroom aan de secundaire zijde. Dit is I2 = 400∠00/(0,032 + j0,064) = 400∠00/0,071554∠630 = 5,6k∠–630A.

13.12: De secundaire zijde van de stroomtransformator heeft 1000 keer meer wikkelingen dan de primaire zijde. De weerstand van de ampèremeter is R = U/I = 0,06/3 = 20mΩ. De primaire zijde ziet dan een weerstand van 20nΩ. Daar loopt een stroom door van 3kA. De spanning over de primaire zijde wordt dan eveneens 60μV. Het vermogen dat aan de primaire zijde wordt afgegeven is dan P = UI = 0,18W. Aan de secundaire zijde is het vermogen vanzelfsprekend gelijk daaraan en is P = I2R = 0,18W.

Wordt ipv een ampèremeter aan de secundaire zijde een spanningsmeter aangesloten met een weerstand van 10kΩ, dan ziet de primaire zijde dit als een weerstand van 0,01Ω. Dan valt daar over een spanning van U = IR = 3k*0,01 = 30V. Het vermogen is dan 90kW. De stroomtransformator zal hoogstwaarschijnlijk uitbranden.

+

–

U’1 = 400∠00V

R’k = 0,032Ω I’1

I2

jX’k = j0,064Ω

0,0,60,60,3Ω

Inhoud deel Elektrische Machines 14. Drie fase ...................................................................................................................................... 1

15. Drie fase machines .................................................................................................................... 11

16. Asynchrone machine ................................................................................................................ 14

Het elektrisch vervangschema van de asynchrone machine .......................................................... 15

Nullastproef bij de asynchrone machine ......................................................................................... 17

Nominale vervangschema van de asynchrone machine ................................................................. 18

Kortsluitproef bij de asynchrone machine ....................................................................................... 19

Aanloopkoppel .................................................................................................................................. 21

17 Synchrone machine .................................................................................................................. 25

Vervangschema van de synchrone machine.................................................................................... 27

Nullastproef ...................................................................................................................................... 29

Kortsluitproef .................................................................................................................................... 29

Norton vervangschema .................................................................................................................... 37

V-kromme ......................................................................................................................................... 40

Machinediagram ............................................................................................................................... 41

De asynchrone machine versus de synchrone machine .................................................................. 46

Antwoorden Elektrische Machines ...................................................................................................... 48


HAN-FT-CPM SEECE 1

14. Drie fase Bij een drie fase net zijn er drie sinusvormige wisselspanningen op drie eigen netten aangesloten, waarbij de spanningen onderling 1200 verschoven zijn. Zie onderstaand figuur.

Het belangrijkste nadeel van een één fase systeem is dat het Watt vermogen in de tijd bekeken per periode sinusvormig tussen nul en een maximum zit volgens p(t) = P + Psinωt.

Opdracht; bewijs voorgaande formule in geval u en i met elkaar in fase zijn met elkaar. Antwoord: p(t) = u(t)i(t) = ûîsin2ωt. Met sin2x = ½ - ½cosx krijgen we p(t) = ûî(½ - ½cos2ωt) = P + Pcos2ωt, waarbij P = UeffIeff = UI. Let op: de ω in p(t) = P + Psinωt is dus de dubbele frequentie van de sinus van de spanning en de stroom.

Het nadeel dat het vermogen bij een één fase systeem niet continue is, heffen we op door drie spanningsbronnen te nemen die in fase 1200 met elkaar verschoven zijn. Het totaal vermogen zal dan wel continue zijn. Dit is nogal van belang omdat de voedende eenheid, bijvoorbeeld een centrale, zelf continue vermogen levert. Om het hoogste rendement te krijgen moeten we dan elektrisch ook een continue vermogen hebben.

Een bijkomend voordeel van 3-fase systemen is dat we vrij eenvoudig elektrisch draaiende machines kunnen maken.

Het bewijs dat met 3-fasen een continue vermogen ontstaat, is als volgt. We nemen een willekeurige fase ϕ en tellen de drie vermogens op.

+

–

tijd

+

–

p(t)

Pgem = P

Links één fase vermogen en rechts drie maal één fase vermogen

+

t


HAN-FT-CPM SEECE 2

De eerste fase heeft een p1(ϕ) = P + Psinϕ, de tweede fase heeft vermogen p2(ϕ) = P + Psin(ϕ –1200) en zo wordt p3(ϕ) = P + Psin (ϕ – 2400). Deze vermogens opgeteld wordt dan: P3f(ϕ) = P + Psin ϕ + P + Psin (ϕ –1200) + P + Psin (ϕ – 2400) Met sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β krijgen we: P3f(ϕ) = 3P + Psin ϕ – 0,5Psinϕ – 0,866Pcosϕ – 0,5Psinϕ + 0,866Pcosϕ = 3P.

Dus het 3-fase vermogen als functie van de tijd is in tegenstelling tot het één fase vermogen continue en 3 maal het gemiddelde één fase vermogen, ofwel P3f(t) = 3P

Kortom:

P1f(t) = P + Psin𝜔𝜔𝜔𝜔

P3f(t)= 3P

Een 3-fase systeem bestaat uit drie één fase wisselspanningen die als bronnen in ‘ster’ of ‘driehoek’ gekoppeld zijn en zo op een net worden aangesloten. De belasting ofwel verbruikers zijn eveneens in ‘ster’ of ‘driehoek’ geschakeld. De spanningsbronnen hebben onderling een faseverschuiving van 1200. We noemen dit de fasespanningen Uf.

We gaan in veel gevallen uit van symmetrie. Met symmetrie wordt hier bedoeld dat alle drie de spanningsbronnen op gelijke wijze even zwaar worden belast.

De drie bronnen krijgen allemaal dezelfde grootte van spanning, maar verschillende fasen. Dan krijgen we de volgende complexe notaties:

Uf1 = Uf∠0oV

Uf2 = Uf∠–120oV

Uf3 = Uf∠–240oV

Meestal worden deze bronnen in de stand van de betreffende fase getekend, maar dat hoeft natuurlijk niet. Beide vormen staan onderstaand weergegeven. De rechter vorm geeft echter wel een goed beeld dat we met driefase systemen bezig zijn. Het zal dan opvallen dat de fasehoek van 00 nu naar boven is getekend in plaats van naar rechts staat getekend. Het is een keuze en de gewoonte om dit bij 3-fase systemen zo te doen. Het kan in het begin even verwarrend werken, omdat we gewend waren aan een vector met een fasehoek van 00 die dan naar rechts wijst.


HAN-FT-CPM SEECE 3

Een sterschakeling betekent dat alle bronnen met de zelfde polariteit aan elkaar verbonden zijn. Een driehoekschakeling betekent dat alle bronnen met de plus en de min met elkaar verbonden zijn. Zie onderstaande schema’s.

Beide vormen komen even vaak voor. In dit dictaat zullen we ons beperken tot de sterschakeling voor de bronnen. De ster- en driehoekschakeling zien we vooral terug bij de belastingen in de aangesloten netten.

Vraag: bereken de stroom in het circuit van de driehoekschakeling van bovenstaand schema. Antwoord: Volgens de 2e Wet van Kirchhoff zal de rondgaande spanning zijn Uf∠0o + Uf∠–120o + Uf∠–240o = 0. Werken we het linker deel uit dan komt daar inderdaad 0

–

Uf3 =Uf∠–240o

+ –

Uf2 =Uf∠–120o

Uf1 =Uf∠0o

+ –

+ –

N

+

–

Uf2 =Uf∠–120o

+

– Uf3 =Uf∠–240o

N

Uf1 =Uf∠0o

+

sterschakeling

–

+

–

+ Uf1 =Uf∠0o

Uf3 =Uf∠–240o

+ –

Uf2 =Uf∠–120o

Uf1 =Uf∠0o

+ –

+ –

Uf2 =Uf∠–120o

+

–

Uf3 =Uf∠–240o

driehoekschakeling


HAN-FT-CPM SEECE 4

uit, dus er zal geen stroom lopen. We kunnen deze schakeling dus ongestraft zo maken, mits de spanningen en fasen precies kloppen.

Vraag: stel dat één van de fasespanningen in een driehoekaansluiting iets hoger is dan de andere fasespanningen. Wat gebeurt er met de rondgaande stroom binnen de driehoek? Antwoord: die zal oneindig groot worden.

In bovenstaande schema’s zal opvallen dat bij de sterschakeling een derde draad aanwezig is, namelijk de NUL draad ofwel ‘nulleider’. Dit is de gemeenschappelijke draad die we wel bij de sterschakeling maar niet bij de driehoekschakeling kunnen meenemen.

Voor alle drie de ‘fasedraden’ staat ten opzichte van de nulleider de fasespanning.

We gaan eerst wat dieper in op de sterschakeling van de bronnen.

De lijnspanningen UL12, UL23 en UL31 zijn de spanningen tussen de fasedraden onderling. Zie onderstaand schema. Deze spanningen zijn te berekenen via de 2e Wet van Kirchhoff, als volgt: Uf1 – UL12 – Uf2 = 0. Daaruit volgt dat UL12 = Uf1 – Uf2 = Uf∠0o– Uf∠–120o = √3Uf ∠30o. De andere lijnspanningen kunnen zo ook getekend worden.

In de praktijk krijgen we daarom het volgende:

De grootte van de lijnspanning = √3 keer de grootte van de fasespanning.

In de praktijk zijn we vooral geïnteresseerd in het feit dat de lijnspanning in een net √3 hoger is dan de fasespanning. In de meeste woonhuizen worden één of meer fasespanningen aangeboden ten opzichte van de nulleider, de ‘fase’ en de ‘nul’. Soms worden alle drie de fasen in een woonhuis aangeboden. Dit gebeurt vooral als er zwaardere eenheden moeten worden gevoed, zoals een elektrisch fornuis. We zullen verderop zien waarom. In ieder geval is onze bekende ‘huis’-spanning 230V terwijl de lijnspanning 230*√3 = 400V is.

–

+

Uf1 =Uf∠0oUf1

+

–

Uf2 =Uf∠–120o +

– Uf3 =Uf∠–240o

N

UL12 =√3Uf ∠30o

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 5

In de industrie wordt vooral met 3 fase en bijbehorende lijnspanningen gewerkt, omdat daar over het algemeen alleen zwaardere belastingen zijn zoals drie fase machines. We hebben dan alle drie de fasespanningen nodig en gaan dan verder uit van de aanwezige lijnspanningen.

Sluiten we een driefase sterspanning aan op een driefase belasting in ster, dan krijgen we de volgende schakeling:

Bij een symmetrische belasting zijn niet alleen de fasespanningen gelijk, maar ook de fasebelastingen.

De stromen door elke fasedraad zijn op hun faseverschil na allemaal gelijk en eenvoudig per fase uit te rekenen. Het resultaat is dat we bij symmetrische belasting in de nulleider geen stroom hebben lopen. Dit is eenvoudig te bewijzen volgens de 1e Wet van Kirchhoff: I1 + I2 + I3 = 0. Als het goed is zal de invulling van de stromen links van het = teken inderdaad ook hier nul opleveren. We weten nog niet welke impedanties Z zijn, alleen dat ze gelijk zijn. Dus de stromen zullen allemaal een bepaalde en dezelfde faseverschuiving ϕ, krijgen, en nog steeds onderling 1200 in fase verschoven. Dus I1 = I∠(ϕ + 0o), I2 = I∠(ϕ – 120o) en I3 = I∠(ϕ – 240o).

Vraag: Bewijs I1 + I2 + I3 = 0. Antwoord: I∠ϕ + I∠(ϕ – 120o) + I∠(ϕ – 240o) = I(cosϕ + jsinϕ) + I(cos(ϕ – 1200) + jsin(ϕ – 1200) + I(cos(ϕ – 2400) + jsin(ϕ – 2400) = I((cosϕ + cos(ϕ – 1200) + cos(ϕ – 2400) +j(sinϕ + sin(ϕ – 1200) + sin(ϕ – 2400)) = I((cosϕ + cosϕcos1200 + sinϕsin1200 + cosϕcos2400 + sinϕsin2400) + j(sinϕ + sinϕcos1200 – cosϕsin1200 + sinϕcos2400 – cosϕsin2400)) = I(cosϕ – 0,5cosϕ + 0,866sinϕ – 0,5cosϕ – 0,866sinϕ) + j(sinϕ – 0,5sinϕ –

Z3

–

+

+

–

Uf2 =Uf∠–120o +

– Uf3 =Uf∠–240o

N

Uf1 =Uf∠0o

Z1

Z2

I1

I2

I3


HAN-FT-CPM SEECE 6

0,866cosϕ – 0,5sinϕ + 0,866cosϕ) = 0. Dit klopt voor elke hoek ϕ, dus voor elke symmetrische belasting.

Dit kunnen we ook eenvoudig zien door eea complex te tekenen. De hoek ϕ is dan een willekeurige aanname (dus geen bewijs), hier is ϕ = –350 genomen. Onderstaand is dit getekend.

Vraag : Tel deze vectoren grafisch op en controleer of het resultaat nul is.

De conclusie is dat er bij symmetrische belasting in de nulleider geen stroom loopt. Daarom kunnen we deze draad net zo goed weglaten voor hetzelfde resultaat. Bij de bron en soms bij de belasting wordt het sterpunt wel aan aarde gelegd. Zie onderstaand schema:

ϕ

I∠ϕ

I∠(ϕ – 1200)

I∠(ϕ – 2400)

Z Z –

+

+

–

Uf2 =Uf∠–120o

+

– Uf3 =Uf∠–240o

N

Uf1 =Uf∠0o Z

I1

I2

I3


HAN-FT-CPM SEECE 7

Vraag: Wat gebeurt er met de spanning in het sterpunt van de belasting als de belasting asymmetrisch wordt? Antwoord: de spanning is dan niet meer 0. Zonder nulleider kan de spanning alle kanten op gaan. Door wel de nulleider toe te passen zal de retourstroom, die nu niet meer nul is, wel daar door heen lopen en het sterpunt van de belasting op nul houden. We kunnen het sterpunt van de belasting ook aan aarde te leggen. Het sterpunt zal dan niet helemaal nul volt blijven, omdat de echte ‘aarde’ een zekere weerstand heeft die sterk afhangt van de omstandigheden (grondwaterpeil, soort grond, ..).

Voor het berekenen van de spanningen en stromen bij symmetrische belasting, kijken we eigenlijk naar het één fase schema en berekenen daar alles. De twee andere fasen doen toch precies hetzelfde. Voor het 3-fase vermogen hoeven we slechts het één fase vermogen te nemen en dit te vermenigvuldigen met drie. Daar de fasestromen hetzelfde zijn als de lijnstromen, maken we daar geen onderscheid in, dus IL = If = I.

Daaruit volgt dat

P3f = 3UfIcos(ϕU – ϕI)

Q3f = 3UfIsin(ϕU – ϕI)

S3f = 3UfI

Gaan we uit van de lijnspanningen, vooral omdat we die eenvoudig kunnen meten, dan krijgen we:

P3f = 3Pf = 3ULIcos(ϕU – ϕI)/√3 = √3ULIcos(ϕU – ϕI).

De formules uitgaande van de lijnspanningen en stromen worden dan:

P3f = √3ULIcos(ϕU – ϕI)

Q3f = √3ULIsin(ϕU – ϕI)

S3f = √3ULI

Bij deze laatste formules moet er wel op worden gelet dat de fasehoeken ϕU horen bij de fasespanningen!!! Daar worden veel fouten mee gemaakt. In dit dictaat wordt daarom in principe uitgegaan van de (bovenstaand vet weergegeven) vermogensformules, uitgaande van de fasespanningen en stromen, zodat deze fout niet onnodig wordt gemaakt. Mocht de lijnspanning gegeven zijn of gemeten worden, dan deze lijnspanning delen door √3 om verder te rekenen met de fasespanning.

Voorbeeld 14.1: Een 3-fase bronspanning met lijnspanning 10kV staat in ster en wordt aangesloten op een symmetrische belasting welke ook in ster staat. De belasting is per fase een serieweerstand van 20Ω met een spoel van 100mH. Bereken de 3-fase vermogens P en Q. Antwoord: Per fase hebben we een spanningsbron van 10k/√3 = 5774V. De impedantie per fase is Z = 20 + j31,4 ohm. Dus de lijnstroom is de fasestroom I = 5774∠0o/(20 + j31,4) = 155∠–58oA. Dan zijn de 3-fase vermogens P3f = 3*5774*–155*cos(0 + 580) = –1,42MW en Q3f = 3*5774*–155*sin(0 + 580) = –2,28MVAR. In de 3-fase weerstanden gaat totaal zitten PR = 3*(155)2*20 = 1,44MW en in de 3-fase spoelen QL = 3*(155)2*31,4 =2,26MVAR. Dit klopt dus zo (op afrondingsfouten na). Voor de andere fasen dan de bovenstaand berekende fasen


HAN-FT-CPM SEECE 8

moeten we de 1200 en 2400 meenemen. Bijvoorbeeld de twee andere fasestromen worden 155∠(–58o – 1200) = 155∠–178oA en 155∠(–58o – 2400) = 155∠–298oA.

We bekijken nu de belasting die in driehoek is aangesloten. Opnieuw gaan we uit van volledige symmetrie. Zie onderstaand schema.

De lijnspanning UL12 zal door de linker Z een stroom laten lopen van IL12 = UL12/Z. Dit is NIET de fasestroom I1. De fasestroom is weer uit de 1e Wet van Kirchhoff te halen door te stellen dat I1 + IL31 – IL12 = 0. Dus I1 = IL12 – IL31. Werken we dit uit dan blijkt dat de fasestroom I1 √3 groter is dan de IL12 en tevens 300 in negatieve richting draait. Als bijvoorbeeld IL12 =8∠–12oA, dan is I1 = 13,9∠–42oA. Aangezien alles verder symmetrisch is, zijn de andere getallen hetzelfde met 1200 gedraaid.

Dus UL = √3 Uf ∠(ϕ + 30)o waarbij ϕ de oorspronkelijke fasehoek van de fasespanning is.

Als we de belasting omschakelen van een sterschakeling naar een driehoekschakeling, dan zal de spanning over Z vervolgens √3 keer hoger worden en ten gevolge daarvan zal de stroom door Z ook √3 keer groter worden. Dus als dezelfde belasting vanuit ster naar driehoek wordt omgeschakeld zal het vermogen (√3)2 = 3 keer toenemen. Dat geldt dus ook voor de lijnstroom die 3 keer groter wordt. Eenvoudig gezegd: Als we een belasting in plaats van in ster in driehoek aansluiten op dezelfde netspanning, worden de lijnstroom drie keer groter met dezelfde fase als in ster EN het vermogen drie keer groter.

Normaal gesproken is een berekening in een driehoekschakelingen wat lastig, omdat heel nauwkeuring alle fasehoeken steeds bekeken moeten worden. Wat erg handig is bij symmetrische belastingen in driehoek, is eerst de lijnstroom I1 te bepalen is ster. Dan zal diezelfde stroom drie keer groter worden in driehoek. De vermogens zijn vervolgens eenvoudig te bepalen. Stel bv dat in ster I1 = 22A∠600, dan is dat bij dezelfde belasting in driehoek aangesloten I1 = 66A∠600. Stel dat de fasespanning Uf1 = 600V∠100, dan is het vermogen van de bron Pster = -3*600*22*cos(100-600) = -25,5kW en Pdriehoek = -76,4kW.

IL12

IL23

I3

I2

Z Z

–

+

+

–

Uf2 =Uf∠–120o

+

– Uf3 =Uf∠–240o

Uf1 =Uf∠0o

Z

I1

UL12 =√3Uf ∠30o

+

–

IL31


HAN-FT-CPM SEECE 9

Daarom geldt dat als we dezelfde belasting nemen en deze omschakelen van ster naar driehoek; Pdriehoek = 3Pster.

Voorbeeld 14.2: In voorbeeld 14.1 met de belasting in driehoek. Nu wordt I1 = 471∠–58oA en P = -4,41MW. Het kan ook via een wat ingewikkelde berekening: de lijnspanning staat over de Z, dan wordt IL12 = UL12/Z = 10k∠30o/(20 + j31,4) = 270∠–27oA. Dan is I1 = 462∠–57oA (iets afrondingsverschil). Voor de bronvermogens krijgen we dan : P3f = 3UfIcos(ϕU – ϕI) = 3*5850*–462*cos(00 + 570) = –4,4MW. Dit is inderdaad drie keer het in bovenstaand berekende 3-fase vermogen als deze belasting in ster zou staan.

Bereken we het 3-fase vermogen van de bronspanningen via P3f = √3ULIcos(ϕU – ϕI), dan krijgen we natuurlijk hetzelfde antwoord (let op, wel rekening houden dat de ϕU van de fasespanning van toepassing is!).

Het vermogen in de belasting wordt weer berekend met PR = 3I2R enz enz.

Op gelijke wijze is het 3-fase Blind vermogen te bepalen via Q3f = 3UfIsin(ϕU – ϕI)

Opgave 14.1: Gegeven een 3-fase net met een lijnspanning van 400V. Het wordt belast met een 3 fase belasting met impedanties met Z = 20 + j20 ohm. Bereken de lijnstromen en het Watt vermogen in het net in de volgende twee situaties:

a) De belasting is in ster aangesloten. b) De belasting is in driehoek aangesloten.

Opgave 14.2: Het in onderstaand schema gegeven net is niet symmetrisch, maar de sterpunten zijn via de nulleider gekoppeld. De fasespanningen zijn 230V. Bereken de

a) lijnstromen. b) stroom door de nulleider. c) vermogens P en Q van de belastingen. d) totale vermogens van het net.

I0

200mH

–

+

+

–

Uf2 =Uf∠–120o +

– Uf3 =Uf∠–240o

N

Uf1 =Uf∠0o

400Ω

10μF

I1

I2

I3


HAN-FT-CPM SEECE 10

Opgave 14.3: We weten uit hfd. 13 dat de aanloopstroom bij een éénfase transformator zeer groot kan zijn. Dit kan worden voorkomen door de sinusvormige spanning op de trafo aan te zetten op het moment dat deze zijn maximale waarde heeft. Waarom werkt dat niet bij een driefase transformator?

Opgave 14.4: Zie onderstaand een foto van een drie fase transformator en het typeplaatje van deze driefase transformator. Probeer zo veel mogelijk deze gegevens te begrijpen.


HAN-FT-CPM SEECE 11

15. Drie fase machines

Bij 3-fase machines hebben we twee hoofddelen, de stator en de rotor. De stator staat vast terwijl binnen de stator een rotor kan ronddraaien. De stator krijgt voor elke fase een spoel die op een pool is gewikkeld. De polen staan in de fasehoek van de 00, –1200 en –2400.

Een 3-fase wisselspanning welke is aangesloten op een 3-fase stator van een elektrische machine, zal binnen de stator een ronddraaiend magnetisch veld veroorzaken. De stator bestaat uit een lamellenstructuur waarbinnen spoelen zitten die in ster of driehoek zijn aangesloten. Onderstaand het voorbeeld voor de steraansluiting.

Elke spoel (L1, L2 en L3) bestaat uit steeds twee delen. Eén deel zit aan één kant van de stator

en recht daar tegenover zit het tweede deel van dezelfde spoel.

L1 maakt een N1-Z1 magnetisch veld, idem voor L2 en L3. Het magnetische veld draait rond met de snelheid van de frequentie van het net. In Europa is dat 50Hz, zodat het magnetisch veld ronddraait met een snelheid van 50 omwentelingen per seconde of 3000 omwentelingen per minuut. Zie onderstaande tekening en een foto van een stator, waarbij slechts een deel van één spoel is te zien. De spoelen zitten in sleuven om het magnetische veld tijdens het draaien in de overgang naar de volgende spoel zo gelijkmatig mogelijk te krijgen.

In bovenstaand plaatje is de stroom door L1 maximaal en zal een maximaal magnetisch veld tussen de polen geven. Dan loopt natuurlijk ook stroom door L2 en L3. Deze laatste twee

L3

I2

–

+

+

–

Uf2 =Uf∠–120o +

– Uf3 =Uf∠–240o

Uf1 =Uf∠0o

L1

I1

I3

L2


HAN-FT-CPM SEECE 12

magnetische velden zijn kleiner en staan in een zodanige richting dat het totale veld van de drie spoelen als één magnetisch veld kan worden gezien.

Het ronddraaiende magnetische veld ф heeft elk moment dezelfde sterkte.

De draairichting hangt af van de aansluitingen van de spoelen op het net. Als bijvoorbeeld de aansluitingen op L1 met L2 verwisseld worden, zal het magnetisch veld ф in tegenovergestelde richting gaan draaien.

Door meerdere polen te maken per spoel, kunnen we de draaisnelheid van het magnetische veld aanpassen. Onderstaand een voorbeeld van een stator met een ‘dubbel’ poolpaar. Eén periodetijd van de netfrequentie zal het magnetische veld dan 1800 laten verdraaien. Het ‘toerental’ van het totale, overigens dubbele magnetische veld is dan 25 omwentelingen per

seconde.

We gaan vooralsnog steeds uit van een enkel poolpaar, tenzij anders aangegeven.

Binnen in de stator komt de rotor. Deze rotor is draaibaar opgesteld. Kogellagers zorgen er voor dat de rotor in de draaibeweging op haar plaats blijft. Dit luistert erg nauw, omdat de luchtspleet tussen de rotor en de stator zo klein mogelijk moet zijn.

Op hoofdlijnen zijn er twee type rotors. De asynchrone en de synchrone rotor. De stator voor beide type machines blijft gelijk.

N1

N1

N2

Z3

N3

Z1

Z2

Z1

N2

Z3

N3

Z2

Ф

stator met dubbel poolpaar

N1

Z1

Z3

N3 N2

Z2

opbouw stator 3 fase machine

ф


HAN-FT-CPM SEECE 13

Vraag: waarom worden voor de stator lamellen gebruikt? Antwoord: omdat in de stator een wisselend magnetisch veld aanwezig zal zijn is de kans groot dat er wervelstromen in de stator zullen ontstaan.

Vraag: waarom moet de luchtspleet tussen de stator en de rotor zo klein mogelijk zijn? Antwoord: Lucht heeft een zeer grote weerstand voor het magnetische veld. Hoe kleiner de luchtspleet, hoe sterker het magnetische veld.

Een machine kan een motor zijn of een generator. Indien de machine een motor is, zal het aangesloten elektriciteitsnet negatief vermogen leveren en de as van de machine positief vermogen opnemen. Indien de machine als generator draait zal er asvermogen worden aangevoerd (negatief vermogen) zodat we elektrisch vermogen van de stator afnemen (positief vermogen). Zie onderstaande tekening.

Pas Pelektrisch Machine


HAN-FT-CPM SEECE 14

16. Asynchrone machine De rotor van een asynchrone machine bestaat uit staven die in de lengterichting vlak langs het oppervlak van de binnenwand van de stator lopen. Alle staven zijn aan de voor- en achterkant (op de foto boven en onder) met elkaar kortgesloten. Zie onderstaande foto.

rotor van asynchrone machine

We bekijken eerst het motorgedrag. We gaan er van uit dat de machine niet is aangesloten op het net en de rotor nog stilstaat. Als nu de stator wordt aangesloten op het net, zal binnen in de stator direct een magnetisch veld gaan ronddraaien met 50 omwentelingen per seconde. Dit magnetische veld passeert de kortgesloten staven van de stilstaande rotor. Hierdoor zal in elke staaf van de rotor waar het magnetisch statorveld passeert, net als in de secundaire wikkelingen van een gewone transformator, een inductiespanning ontstaan. Aangezien de staaf is kortgesloten, zal daarom in de staaf een kortsluitstroom gaan lopen. Door deze kortsluitstroom zal loodrecht op de staaf in de draairichting van het magnetische statorveld een kracht ontstaan. Bij een gewone transformator gebeurt dat ook, maar is de stator vast opgesteld en wordt deze kracht niet gebruikt. Omdat de rotor kan draaien, zal deze kracht een draaibeweging veroorzaken. De kracht zal er voor zorgen dat alle staven die de passage van het magnetische statorveld ervaren, gaan meedraaien in de draairichting van dit statorveld.

Opdracht: ga na dat de passage van het statorveld een inductiespanning veroorzaakt in de staaf van de rotor, met als gevolg dat er een kortsluitstroom gaat lopen en vervolgens ten gevolge van die stroom een kracht op de staaf in de richting van de draaibeweging van het statorveld ontstaat.

Zo lang deze krachten op de staven van de rotor staan, zal de rotor steeds harder gaan draaien. Uiteindelijk zal de rotor zo hard ronddraaien, dat er net voldoende inductiespanning, en dus stroom en dus kracht op de rotorstaven aanwezig blijft, om de wrijvingsverliezen te overwinnen.

Vanzelfsprekend zal een last, welke de draaibeweging van de as gaat tegenwerken, er voor zorgen dat de rotatiesnelheid van de as vermindert. Hierdoor zal de fluxverandering van het statorveld in de rotor weer toenemen en daardoor de inductiespanning, de kortsluitstroom en de kracht op de rotor weer toenemen, totdat er een nieuw evenwicht is bereikt.


HAN-FT-CPM SEECE 15

Uit bovenstaand zal duidelijk zijn dat als de rotor even snel ronddraait als het statorveld, er geen kracht op de rotor is en de rotor zal weer langzamer gaan draaien en weer het evenwicht zoeken.

Omdat de rotor niet synchroon meedraait met het statorveld, noemen we deze machine de ‘asynchrone’ 3-fase machine. Soms wordt deze machine ook wel ‘inductie machine’ genoemd. Het zal duidelijk zijn waarom.

De normale draaisnelheid van een asynchrone rotor in een belaste motorsituatie is rond de 48 omwentelingen per seconde. De afwijking ten opzichte van de netfrequentie noemen we de slip ‘s’ als volgt:

𝑠𝑠 = 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑟𝑟𝑓𝑓𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

Voorbeeld 16.1: Stel het toerental van de rotor is 48 omwentelingen per seconde. Bepaal de slip. Idem voor de situaties dat de rotor stilstaat, het toerental 50 omwentelingen per seconde is en dat het toerental 52 omwentelingen per seconde is. Antwoord: s = (50 – 48)/50 = 2/50 = 0,04 = 4%; s = (50 – 0)/50 = 1 = 100%; s = (50 – 50)/50 = 0 = 0% en s = (50 – 52)/50 = –0,04 = –4%.

De asynchrone machine als generator is niet zonder meer mogelijk. Veronderstel dat er geen netspanning op de stator is aangesloten. Er is dan geen ronddraaiend statorveld en er is geen fluxverandering in de staven, dus geen inductiespanning enz. Er gebeurt dus niets. Als we van buitenaf aan de rotor gaan draaien gebeurt er, behalve een draaiende rotor, niets omdat er nergens sprake is van magnetische velden. Er wordt dan geen wisselspanning in de stator opgewekt.

Toch kunnen we de asynchrone machine op een zeer goede manier gebruiken als generator. We sluiten de 3-fase netspanning dan wel aan op de stator en de rotor gaat in eerste instantie als motor draaien. We gaan vervolgens de rotor harder laten draaien door van buiten af de as extra vermogen te geven (denk aan een windmolen). Hierdoor gaat het asvermogen er voor zorgen dat het net elektrisch vermogen gaat opnemen. De asynchrone machine is dan generator. Wat er dan precies gebeurt volgt verderop. In ieder geval zijn we dan wel in staat asvermogen om te zetten in elektrisch vermogen.

Het elektrisch vervangschema van de asynchrone machine

Het elektrisch vervangschema maken we voor het één fase schema. Voor de vermogens moeten we alles nog wel met drie vermenigvuldigen voor het totaal plaatje, maar ingewikkelder is het niet.

Zoals hierboven aangegeven is de stator in combinatie met de asynchrone rotor eigenlijk een transformator. De primaire zijde is de stator en de secundaire zijde is de rotor. Bij een asynchrone machine is de ‘secundaire zijde’ als rotor draaibaar opgesteld. De opgewekte ‘secundaire’ spanning in de rotor is de rotorspanning. De grootte van de rotorspanning hangt af van de draaisnelheid van de rotor. Als de rotor precies het toerental heeft van de draaisnelheid van het statorveld (s = 0), is er geen opgewekte rotorspanning (waarom?). Als


HAN-FT-CPM SEECE 16

de rotor stilstaat (s = 1) hebben we de maximale rotorspanning (waarom?). In onderstaand figuur is het algemeen vervangschema van de transformator gegeven. De rotorspanning Us wordt met de slip s vermenigvuldigd en is sUs. Verder zijn de staven van de rotor kortgesloten, dus is de secundaire in het schema ook kortgesloten (dikke lijn). Ook zien we de koperweerstand van de staven via R2 en tenslotte zien we X2, zijnde het lekveld van de rotor. De grootte van het lekveld aan de rotorzijde is ook afhankelijk van de slip. We krijgen dan de schrijfwijze sX2.

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we voor de secundaire zijde: sUs –IrR2 – IrjsX2 = 0.

Delen we links en rechts door s, dan krijgen we U𝑠𝑠 – 𝐼𝐼𝑟𝑟𝑅𝑅2𝑠𝑠

– 𝐼𝐼𝑟𝑟jX2 = 0, waardoor alles weer

vergelijkbaar is met het gewone transformatorschema, behalve dat R2 in dit geval wordt

gedeeld door s. Aangezien R2 als zuivere ohmse weerstand echt bestaat, gaan we 𝑅𝑅2𝑠𝑠

omschrijven als volgt: 𝑅𝑅2𝑠𝑠

= 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅21−𝑠𝑠𝑠𝑠

(ga dit na). Deze schijfwijze betekent dat we het

voormalige transformator-vervangschema kunnen gebruiken door dit iets aan te passen, als volgt:

Zetten we dan weer de secundaire zaken naar de primaire zijde, dan krijgen we met

Rk = R1 + R’2 en Xk = X1 + X’2. Op dezelfde manier is 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟏𝟏−𝒔𝒔𝒔𝒔

meegenomen als equivalente

Ir jXμ Rij

+

– U1

T

R2 R1 jX1 jsX2

sUs

+

–

Ir

𝑹𝑹𝟐𝟐𝟏𝟏− 𝒔𝒔𝒔𝒔

+

–

U1

T

R2 R1 jX1 jX2

Us

+

–

jXμ Rij


HAN-FT-CPM SEECE 17

weerstand 𝑹𝑹′𝟐𝟐𝟏𝟏−𝒔𝒔𝒔𝒔

. Verder zijn voor de volledigheid de ijzerverliezen er weer bij gezet. Zo

ontstaat het algemene vervangschema van de asynchrone machine:

Met dit vervangschema van de asynchrone machine is U1 de fasespanning van het aan te sluiten net en I1 de fasestroom. Rk en Xk zijn de verlieseigenschappen van de asynchrone machine bij nominale belasting. De Rij en Xμ zijn de nullastverliezen. De rotorstroom is als equivalente waarde ook naar de primaire zijde overgebracht.

Als we bovenstaand schema vergelijken met het vervangschema van de transformator, dan

hebben we nu extra de 𝑹𝑹′𝟐𝟐𝟏𝟏−𝒔𝒔𝒔𝒔

. Dit is de elektrische vertaling van de ronddraaiende as. Als

de rotorstroom door deze weerstand gaat zal in de ronddraaiende as vermogen ontstaan.

We beschouwen net als bij de transformator twee vervangschema’s. Het eerste vervangschema is het schema met alleen de nullastverliezen. Het tweede vervangschema is het schema waarbij de machine in nominale belasting staat en de nullastverliezen dermate klein zijn ten opzichte van de nominale situatie, dat deze nullastverliezen mogen worden verwaarloosd.

Nullastproef bij de asynchrone machine

Als de asynchrone machine in nullast draait worden alleen de nullastverliezen gemeten. Vanuit het algemene vervangschema van de asynchrone machine kijken we hoe we het nullastschema kunnen realiseren. Dat lukt als s = 0. In dat geval is frotor = fstator. Dan is

𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= ∞ en dus de I’R = 0. Dit betekent in de praktijk dat de rotoras op een of andere

manier precies mee moet draaien met het statorveld. Dit doen we met een extern aangesloten hulpmotor. De stator kan dan geen invloed meer hebben op de rotor.

Vraag: verklaar dit. Antwoord: de fluxverandering in de rotor is nul. Dan is er geen inductiespanning in de rotor en dus geen stroom in de rotor. Daarmee is I’R = 0.

I1

I’R

U1

Rk jXk

𝑹𝑹′𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝒔 jXμ Rij

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 18

In deze nullastsituatie meten we de netspanning, de statorstroom en het statorvermogen. Uit deze gegevens kunnen we, net als bij de nullastproef bij de transformator, de nullastverliezen bepalen.

Zie onderstaande schema:

Nominale vervangschema van de asynchrone machine

Als de asynchrone machine normaal draait, mogen net als bij de gewone transformator de nullastverliezen worden verwaarloosd. We krijgen dan het nominale vervangschema zoals onderstaand weergegeven. Omdat we vooral geïnteresseerd zijn in het asvermogen in nominale situaties, kunnen we dit sterk vereenvoudigde schema prima gebruiken. Het in de schema gegeven asvermogen is feitelijk de vertaling van het vermogen vanuit de secundaire zijde naar de primaire zijde. Zoals we bij de transformator hebben gezien is dat vermogen gelijk aan elkaar.

Vraag: verklaar dit.

Het asvermogen voor de 3-fase situatie is:

𝑷𝑷𝒂𝒂𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝑰𝑰′𝑹𝑹𝟐𝟐𝑹𝑹′𝟐𝟐𝟏𝟏−𝒔𝒔𝒔𝒔

Opdracht: Ga dit in het bovenstaande nominale vervangschema van de asynchrone machine.

– I’R U1

Rk = R1 + R’2 jXk

𝑹𝑹′𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝒔

I1 = Ik

+

Nominaal vervangschema van de asynchrone machine

–

I1 = I0

U1

jXμ Rij

Nullast vervangschema asynchrone machine

+


HAN-FT-CPM SEECE 19

Kortsluitproef bij de asynchrone machine

Vanuit het nominale vervangschema van de asynchrone machine kijken we hoe we de kortsluitproef kunnen realiseren. Dat is nodig om de Rk, Xk en R’2 te achterhalen. Daartoe moeten we s = 1 te maken. Dit doen we door de as van de rotor te blokkeren. Dan wordt

𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= 0. We krijgen dan het volgende schema:

Net als bij de kortsluitproef van de transformator doen we dit niet op de volle spanning op de stator, maar op een veel lagere spanning Uk = єU1. We richten ons dan op de maximale stroom in de stator en gaan daar meestal iets onder zitten. We noemen die stroom de kortsluitstroom Ik. We meten de spanning Uk bij die kortsluitstroom en meten ook het vermogen Pk. Uit deze gegevens kan, net als bij de kortsluitproef van de transformator de Xk

en Rk worden bepaald. Tenslotte gebruiken we de informatie dat Rk = R1 + R’2. De R1 is de gewone gelijkstroomweerstand van de statorwikkeling die we eenvoudig met een ohmmeter kunnen bepalen. Daaruit volgt R’2. Het nominale vervangschema van de asynchrone machine is daarmee compleet.

Voorbeeld 16.2: Van een asynchrone machine is gegeven S3f = 60kVA en U = 400/230V. Bij de nullastproef is I0 = 0,2A en P0 = 30W per fase. De kortsluitproef wordt gedaan op 80% van de maximale nominale stroom. Daarbij is de kortsluitspanning 20V en is Pk = 1kW per fase. Tenslotte meten we tussen twee fase de ohmse weerstand van de statordraden. Deze is 0,1Ω. Vervolgens belasten we de rotor zodanig dat de slip s = 5%.

Bereken de vermogens van de as en het Watt en Blind vermogen van het net en ook het rendement. Doe dit opnieuw, waarbij de slip = 7% en idem waarbij het toerental van de rotor nog steeds meedraait met het statorveld, maar dan met 3100 omw/min.

Antwoord: Uit de gegevens blijkt dat de fasespanning 230V is. De maximale nominale stroom per fase is Sf/Uf = 20k/230 = 87A. Bij de nullastproef hebben we U0 = 230V, I0 = 0,2A en P0 = 30W. Daaruit volgt met P = UIcosϕ dat 30 = 230*0,2*cosϕ, dus cosϕ = 0,652, dus ϕ = 490 en sinϕ = 0,758 en Q = UIsinϕ = 35VAR. Het Watt vermogen P gaat zitten in Rij en het Blind vermogen Q gaat zitten in Xμ. Met P = U2/R en Q = U2/X krijgen we Rij = 1760Ω en Qμ = 1520Ω. Bij de kortsluitproef vinden we Uk = 20V, Ik = 0,8*87A = 69,6A met Pk = 1kW. Met P =

Uk

Rk = R1 +R’2 jXk

Ik

Pk

+

–

Kortsluit vervangschema van de asynchrone machine


HAN-FT-CPM SEECE 20

UIcosϕ krijgen we 1k = 20*69,6*cosϕ, dus cosϕ = 0,72, dus ϕ = 440 en sinϕ = 0,696 en Q = UIsinϕ = 968VAR. Dan volgen uit P = I2R en Q = I2X weer de Rk en Xk. Rk = 0,206Ω en Xk = 0,2Ω. Met Rk = R1 + R’2 kunnen we R’2 bepalen. De R1 per statorwikkeling is de helft van de gemeten 0,1Ω. Rus R’2 = Rk – R1 = 0,206 – (0,1/2) = 0,156Ω.

Zetten we dit in het algemene vervangschema voor de nominale situatie van de asynchrone machine, dan krijgen we:

Bij een s = 0,05 wordt dit:

We zien dat Rij en Xμ voor het verdere rekenwerk kunnen worden verwaarloosd. Dan krijgen we:

Met U1 =230∠0o wordt I1 = 230∠0o/(0,206 + 2,964 + j0,2) = 230∠0o/(3,17 + j0,2) = 72,4∠–3,6oA. Daarmee wordt P3f = 3*230*–72,4*cos(00 + 3,60) = –49,9kW.

I1 1760Ω

I’R

U1

0,206Ω j0,2Ω

0,1561− s

s j1520Ω

+

–

I’R

U1

0,206Ω j0,2Ω

I1

2,964Ω

+

–

I1 1760Ω

I’R

U1

0,206Ω j0,2Ω

j1520Ω 2,964Ω

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 21

Q3f = 3*230*–72,4*sin(00 + 3,60) = –3.137VAR. Het asvermogen wordt 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑠𝑠 = 3𝐼𝐼′𝑅𝑅2𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

≈

𝑃𝑃𝑎𝑎𝑠𝑠 = 3𝐼𝐼12𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= 3*72,42 ∗ 2,964 = 46,6kW. Het rendement is dan 46,6k/49,9k = 93%.

Berekenen we bovenstaand nogmaals bij een slip van 7%, dan volgt daar uit dat de statorstroom (= fasestroom = lijnstroom) groter wordt dan de maximale nominale stroom van 87A. Ga dit na (antw: I1 = 101A). De beveiliging zal in gaan of de machine zal verbranden. De vermogens zijn verder net als bovenstaand uit te rekenen.

Bij een toerental van 3100 omw/min = 51,667 omw/sec zal s = (50 – 51,667)/50 = – 0,033333 zijn. Dan krijgen we dat R’2*(1 – s)/s = – 4,836Ω. We zien dus een negatieve weerstand ontstaan. Dit is een weerstand die geen vermogen opneemt, maar afgeeft! We krijgen dan het volgende schema:

Berekenen we alles opnieuw dan zal blijken dat de fasestroom I1 min of meer omdraait in richting (let op de fase). We zien vervolgens dat de vermogens dan ook van teken zullen wisselen en er een generator ontstaat. Als volgt: I1 = 230∠0o/(0,206 – 4,836 + j0,2) = 230∠0o/(–4,63 + j0,2) = 49,63∠–177,5oA. Daarmee wordt het netvermogen P3f = – 3*230*49,63*cos(00 + 177,50) = + 34.212W. Q3f = –3*230*49,63*sin(00 + 177,50) =

– 1.494VAR. Verder krijgen we 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑠𝑠 = 3𝐼𝐼′𝑅𝑅2𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

≈ 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑠𝑠 = 3𝐼𝐼12𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= 3*49,632*–4,836 =

– 35.735W. Het capacitieve gedrag van het net (– 1.494VAR) wordt gecompenseerd in de spoel met Q = 3*49,632*0,2 = 1.478VAR. Het verliesvermogen van de machine is Pv = 3*49,632*0,206 = 1.522W. Het net neemt dus vermogen op en de as levert vermogen. Het rendement is dan 34.212/35.735 = 96%.

Aanloopkoppel

Als we de machine als motor gebruiken, dan blijkt dat het aanloopkoppel erg slecht is. De formule om dit te bekijken gaan we als volgt bepalen. Eerst gaan we daartoe het koppel

uitdrukken in de slip. Het asvermogen is Pas = ωasTas ≈ 3𝐼𝐼12𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

. (nullastverlies wordt

verwaarloosd).

Met ωas = ωnet(1 – s) krijgen we Tas = 3I12R’2/sωnet

I’R

U1

0,206Ω j0,2Ω

I1

–4,836Ω

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 22

Hieruit volgt dat een s rond 0 (rotor draait bijna even snel rond als het statorveld) een veel groter koppel levert dan een s rond 1 (als rotor stilstaat). De twee mogelijkheden om het koppel bij aanloop te beïnvloeden is door R’2 of door ωnet te beïnvloeden.

De 1e methode om dat te doen is om bij het aanlopen van de motor de R’2 een grotere waarde te geven. Dit betekent dat de elektrische weerstand van de rotorstaven op een of andere manier instelbaar moet kunnen zijn. Dat kan op twee manieren. De eerste is de rotorstaven niet kort te sluiten, maar de aansluitingen via sleepringen naar buiten toe te brengen. Daar zetten we tijdens het aanlopen extra weerstanden in. Men noemt dit een sleepringankermotor. Als de rotor eenmaal op gang gekomen is kunnen deze extra weerstanden worden weg geschakeld en zo de kortsluitsituatie weer realiseren. Dit laatste is dan niet binnen in de machine, maar buitenom. Sleepringankermachines worden in windmolens veel toegepast omdat men dan als generator aan een net ‘ondersynchroon’ kan draaien. Dit betekent dat het toerental dan toch lager kan zijn dan 50 omw/sec terwijl er toch elektrisch vermogen kan worden geleverd aan het net. Dit kan men voor elkaar krijgen door vanuit het net een frequentieomvormer (AC/AC) tussen het net en de sleepringen te plaatsen. Zie onderstaand figuur.

Via deze methode is het ook mogelijk om in Blind vermogen te variëren.

De werking van bovenstaand is verder eenvoudig te verklaren. Als via de omvormer de 50Hz wisselspanning omgezet wordt naar bv 10Hz en de rotor draait met 12 omw/s, is de asynchrone machine toch een generator. Daardoor kan de asynchrone machine ook bij lage windsnelheden nog steeds vermogen leveren aan het net.

De 2e methode om R’2 te beïnvloeden komt vaak voor als de machine als motor draait. De rotor krijgt, naast de gewone staven, dieper in de rotor extra staven die veel dikker zijn dan de staven die aan de buitenzijde liggen. Daardoor is de ohmse weerstand daar lager. De staven die aan de buitenzijde liggen hebben bijna geen L effect, omdat een groot deel van het magnetische veld dan door de lucht moet. De staven aan de binnenzijde hebben een veel groter L effect, omdat de magnetische velden binnen de rotor blijven en veel sterker zijn. Bij het aanlopen is de verandering van de flux erg groot. Dan zal een beetje spoel een grote weerstand zijn (XL = ωL). De rotorstroom zal bij het aanlopen dan voornamelijk door de staven gaan die aan de buitenkant van de rotor zitten. Die staven hebben een zekere ohmse weerstand die optimaal is om de machine goed aan te laten lopen. Als de rotor op toeren komt wordt de fluxverandering steeds kleiner en zal het magnetisch veld meer en meer de

fRotor

fnet

3 fase net

AC / AC

sleepringen


HAN-FT-CPM SEECE 23

rotor kunnen binnendringen. De lage ohmse weerstand van de dieper gelegen staven zorgt er dan voor dat de kleinere weerstand voor de rotor aanwezig is.

Het totaal beeld is onderstaand weergegeven. Hierin zien we het koppel Tas als functie van de slip staan. Bij s = 1 (aanlopen) hebben we nu een optimaal koppel.

Als we nu een lastkoppel inbrengen, bijvoorbeeld motor in een voertuig, dan zal bij een hoger toerental (s gaat meer in de richting van 0, bijvoorbeeld 0,1) het lastkoppel toenemen doordat de luchtweerstand toeneemt. Zie onderstaand figuur. We zien dat de motor met een maximaal koppel aanloopt (verschil tussen beide grafieken). Het instelpunt is het

evenwichtspunt van het aangeboden koppel (Tas) en het gevraagde koppel (Tlast).

Het bijbehorende vermogen is eenvoudig te berekenen via Pas = ωasTas, waarbij ωas = ωnet(1 – s) = 314(1 – s).

Tlast

-1 1 0

Tas

s

Taanloop

-1 1 0

Tas

s


HAN-FT-CPM SEECE 24

In bovenstaande grafiek zal bij aanlopen van de motor, bij s = 1, het verschil tussen Tas en Tlast er voor zorgen dat de motor steeds sneller gaat lopen.

Hoe kleiner R’2, hoe steiler de lijn Tas(s) rond s = 0 loopt.

Vraag: stel in bovenstaand grafiek dat het voertuig meer tegenwind krijgt. Daardoor zal de Tlast in bovenstaande grafiek naar boven schuiven. Beredeneer wat er dan gebeurt met de snelheid van het voertuig en idem met het vermogen? Antwoord: Als Tlast groter wordt en de lijn in de grafiek naar boven schuift, zal de s zal toenemen, dus de snelheid van het voertuig afnemen. Met P = ωT = 314(1 – s)T zal het vermogen ook toenemen (In de formule zien we dat bij een iets grotere s de P zal afnemen. Tegelijk zal echter T veel groter worden. De grafiek loopt daar vrij steil omhoog. T wint het van s).

Vraag: hoe kunnen wij er voor zorgen dat de snelheid ondanks meer en minder tegenwind zo constant mogelijk blijft? Antwoord: door de steilheid van de lijn groter te maken. Dit betekent dat R’2 zo klein mogelijk moet worden gekozen, ofwel een duurdere machine aanschaffen.

De 3e methode om binnen de formule Tas = 3I12R’2/sωnet het aanloopkoppel te beïnvloeden is

door de netfrequentie te regelen. Bij aanloop zorgen we dan voor een zeer lage netfrequentie. Dit levert een zeer hoog koppel op. Met doet dit met frequentieregelaars.

Opgave 16.1

Een asynchrone machine staat in ster geschakeld en heeft een nominale spanning van 400/230V en een Schijnbaar 3-fase vermogen van 90kVA. De volgende metingen worden gedaan; de faseweerstand tussen twee statorwikkelingen is 0,04Ω, de nullaststroom is 0,4A bij een 3-fase vermogen van 180W. De kortsluitproef wordt gedaan op 5% van de nominale spanning en 60% van de nominale maximale stroom. Het 3-fase kortsluitvermogen is dan 1,5kW. Bereken alle gegevens voor het algemene vervangingsschema van de asynchrone machine en verklaar dat in de nominale situatie de nullastverliezen kunnen worden verwaarloosd.

Opgave 16.2

De asynchrone machine uit opgave 16.1 wordt als motor zodanig belast dat de netstroom 80A is. Bereken het asvermogen, de slip van de rotor en het koppel op de as.

Opgave 16.3

De asynchrone machine uit opgave 16.1 wordt nu generator door het toerental van de as op te voeren tot 52 omw/s. Bereken het vermogen dat bij de as naar binnen gaat en vervolgens naar het net gaat. Bereken ook het rendement en de arbeidsfactor cosϕ. Teken het vectordiagram van U1 en I1.

Opgave 16.4

Op welke drie manieren wordt ervoor gezorgd dat het aanloopkoppel voldoende hoog is?


HAN-FT-CPM SEECE 25

Opgave 16.5

Op welke manier kunnen we het vermogen van de asynchrone machine veel groter maken?

17 Synchrone machine

De rotor van de synchrone machine is totaal anders dan die van de asynchrone machine. De rotor bestaat namelijk uit een vaste magneet of uit een elektromagneet. In beide gevallen zal de rotor een constant magnetisch veld hebben. Dit magnetische veld haakt in op het magnetische veld van de stator. Het ronddraaiende magnetische veld van de stator neemt daarom de rotor mee in haar draaibeweging. De rotor draait daarom met een vast toerental

van 50 omwentelingen per seconde rond. Dit verklaart de naam ‘synchrone machine’.

Het magnetische veld van een vaste magneet is vrij zwak in vergelijking met het magnetische veld van een elektromagneet. Dit betekent dat als we bijvoorbeeld de as te zwaar belasten, de koppeling tussen het ronddraaiende statorveld en de mee draaiende rotor met een vaste magneet ‘gemakkelijk’ los laat, met alle gevolgen van dien. Bij een rotor met een elektromagneet gebeurt dat veel minder snel.

Vraag: welke gevolgen zijn dat? Antwoord: de rotor zal gaan stilstaan en in deze stand gaan staan trillen door de snelle passage van het statorveld.

In dit dictaat behandelen we verder alleen de grotere synchrone machines. Deze hebben over het algemeen een elektromagneet. De spoel om een stuk weekijzer wordt daarbij gevoed door een gelijkstroom.

N1

Z1

Z3

N3 N2

Z2

opbouw stator 3 fase machine met rotor van synchrone machine

Z

N


HAN-FT-CPM SEECE 26

Vraag: In welke richting loopt de stroom in de bovenste draad bij bovenstaand figuur? Antwoord: Omdat N aan de onderkant zit, zal de stroom linksom lopen (stroompijl in de bovenste draad is naar links).

De gelijkstroom moet via sleepringen van buitenaf worden aangevoerd OF binnen in de rotor zelf worden opgewekt. Vooralsnog behandelen we alleen de versie waarbij de gelijkstroom extern wordt aangevoerd. We zien dan altijd twee sleepringen voor deze voeding op de as van de rotor. Zie onderstaande foto’s, links een rotor voor een enkel poolpaar en rechts die voor een dubbel poolpaar.

rotor van een synchrone machine uit de labopstelling, links met één poolpaar en rechts met twee poolparen.

Het voordeel van de rotor met de elektromagneet is tweeledig. Ten eerste is, zoals aangegeven, het magnetische veld van een elektromagneet veel sterker dan die van een vaste magneet. Daardoor is er een veel sterkere koppeling met het stator veld en kunnen we de machine veel zwaarder belasten. Ten tweede, en dat is eigenlijk nog veel belangrijker, kunnen we het magnetische veld van de rotor in grootte regelen door de gelijkstroom te regelen. Zoals we eerder zagen kan de asynchrone machine zich uitsluitend inductief gedragen. De synchrone machine kunnen we, met dank aan het regelen van het rotorveld, zowel inductief als capacitief laten gedragen. De verklaring volgt verderop.

N1

Z1

Z3

N3 N2

Z2

opbouw stator 3 fase machine met rotor met een elektromagneet van een synchrone machine

Z

N


HAN-FT-CPM SEECE 27

Dat de synchrone machine zich zowel inductief als capacitief kan gedragen is voor de toepassing van groot belang, omdat we een achterliggend net moeten gaan voeden. Als het net zich capacitief gedraagt, kunnen we dit capacitieve gedrag misschien nog compenseren met een asynchrone machine, maar als het net zich inductief gedraagt, kan dat niet meer met een asynchrone machine. We moeten dan een synchrone machine gebruiken. Overigens ligt het inductieve gedrag van een asynchrone machine vast en is niet regelbaar. Dit betekent weer dat een aangesloten net alleen kan worden gecompenseerd als het capacitief gedrag daarbij precies klopt. Kortom, een asynchrone machine als generator om een net te voeden is vrijwel niet mogelijk, tenzij in het net elders een synchrone machine staat om voldoende capacitief gedrag te compenseren. Dus windmolens met asynchrone machines kunnen alleen hun werk doen als elders in het net centrales staan met synchrone machines. We kunnen in het net zelf natuurlijk ook met condensatoren en spoelen compenseren. Dat wordt ook gedaan.

Vervangschema van de synchrone machine

Omdat er bij de synchrone machine geen transformator effect is, zoals dat bij de asynchrone machine wel het geval was, hebben we hier vrijwel geen last van de ijzerverliezen. Wat bij de asynchrone machine namelijk gebeurde was, net als bij een gewone transformator, dat het magnetische veld door de stroom in de spoel aan de primaire zijde werd opgeheven door de stroom in de spoel van de secundaire zijde. Door het transformatoreffect van de stator naar de rotor (en vv) worden de gemeten waarden van de spoelen bij een asynchrone machine erg klein. Dat is bij de synchrone machine niet het geval. Het effect van statorspoel van de synchrone machine zal niet tegengewerkt worden en dus zal deze spoel in haar volle glorie aanwezig zijn en blijven. De wisselstroomweerstand X van de statorspoel van een synchrone machine is dan ook veel groter dan bij de asynchrone machine, zoveel groter zelfs dat de ohmse weerstand van de statorspoel volledig in het niet valt. We nemen deze ohmse weerstand wel mee in het vervangschema, maar we gaan daar niet mee rekenen.

We krijgen zonder rotor het onderstaande éénfase vervangschema voor de steraansluiting. Dan zien we de statorspoel X1 en de ohmse weerstand van de statorspoel R1. Links zitten de aansluitpunten van de stator (fase en nul). Daar kunnen we straks de fasespanning U1 van het net aansluiten. De fasestroom I1 is ook al meegenomen in de tekening.

jX1

R1 I1


HAN-FT-CPM SEECE 28

Er is in deze situatie, waarbij geen netspanning is aangesloten, geen statorveld. We gaan nu een rotor met 50 omwentelingen per seconde laten ronddraaien. Dan zal, indien een gelijkstroom door de rotorspoel loopt, het constante magnetische veld van de rotor in de statorspoel X1 een 50Hz wisselspanning veroorzaken. We tekenen deze spanning buiten de spoel in het schema en noemen deze spanning U12. (U één twee; de één slaat op de stator en de twee op de rotor. Het is de spanning die in de statorspoel ontstaat door de rotor). De fase ϕ12 van de spanning U12 hangt af van de stand van de rotor ten opzichte van spanning U1. We krijgen dan het volgende algemene vervangschema van de synchrone machine:

De gelijkstroom voor de elektromagneet van de rotor is natuurlijk bepalend voor de sterkte van het magnetische veld, en dus voor de grootte van U12. Deze gelijkstroom noemen we de bekrachtigingsstroom I2. Voor elke synchrone machine is er een vast verband tussen U12 en I2. We noemen die relatie in dit dictaat λ (lamda), als volgt U12 = λI2. Note: verwar de bekrachtigingsstroom I2 niet met I2. De eerste is de gelijkstroom naar de rotor en de tweede is een wisselstroom, zijnde de 2e fase- of lijnstroom in een 3-fase net.

Vraag: Verklaar waarom de synchrone machine niet zomaar geschikt is als motor. Antwoord: Als de rotor stil staat en we de stator aansluiten op een 3-fase wisselspanning, dan zal het ronddraaiende statorveld te snel voorbij de stilstaande rotorpolen langslopen om de rotor mee te krijgen. Daarvoor is de massatraagheid van de rotor veel te groot. De rotor zal daarom gaan trillen (krijgt 100 keer per seconde een aantrekkende en afstotende krachtwerking). Zonder extra middelen is het aanlopen van de motor onmogelijk.

De synchrone machine wordt vooral gebruikt als generator. Dit, zoals reeds aangegeven, omdat we met deze machine naast regelbaar Watt vermogen ook regelbaar Blind vermogen (inductief of capacitief gedrag) kunnen realiseren. Om de eigenschappen van de machine te kunnen achterhalen doen we weer een nullastproef en een kortsluitproef, maar niet zoals bij de asynchrone machine door het net aan te sluiten en de machine als motor te zien, maar bij de synchrone machine door deze als generator te bekijken. We sluiten dus nog geen netspanning aan, maar wekken die zelf op.

jX1 R1

I1

+

–

U12 = U12∠ϕ12o V

+

–

U1 = U1∠ϕ1

o V


HAN-FT-CPM SEECE 29

Nullastproef

Tijdens de nullastproef gaan we via een externe motor de rotor op een toerental van 50 omwentelingen per seconde zetten. Vervolgens zetten we de bekrachtigingsstroom I2 op nul en draaien deze langzaam op. We meten intussen de spanning op de statorklemmen (in ster tussen nul en één fase). Deze is gelijk aan U12. (De R1 en X1 spelen geen rol omdat I1 nul is). Zie onderstaande grafiek. Het zal opvallen dat de fasespanning langzaam afvlakt bij groter

wordende I2. Dit komt omdat de rotor in verzadiging komt. Dat is logisch, omdat hier geen sprake is van de tegenwerking van het magnetische veld zoals bij een asynchrone machine. Vanzelfsprekend gaan we met het opvoeren van de bekrachtigingsstroom I2 niet verder dan de door de fabrikant opgegeven maximum waarde.

Met deze grafiek kunnen we de relatie U12 = λI2 vastleggen. Zoals we zien is λ niet overal dezelfde waarde. Daarom nemen we de λ daar waar U12 de nominale fasespanning Unom van de machine is. In onderstaand voorbeeld is bij een bekrachtigingsstroom van 2A een nominale spanning van 230V aanwezig.

Kortsluitproef

De kortsluitproef voeren we uit door opnieuw de rotor op 50 omwentelingen per seconde te brengen. De aansluitklemmen van de stator sluiten we kort en meten daar de kortsluitstroom. We voeren nu de bekrachtigingsstroom I2 zover op tot ongeveer de 80% van de maximale nominale waarde van de fasestroom I1 welke we voor de ‘kortsluitproef’ Ik noemen. Daarmee ligt de relatie tussen I2 en Ik vast.

Unom

U12

I2 2A

230V


HAN-FT-CPM SEECE 30

We zetten dit verband in de nullast grafiek er bij, zie hieronder, bijvoorbeeld bij een bekrachtigingsstroom van opnieuw 2A gelijkstroom zal de wisselstroom Ik = 10A zijn.

Omdat bij de nullastproef de relatie tussen I2 en U12 al was gevonden, kunnen we van daar uit de relatie tussen Ik en U12 bepalen. Deze relatie is formeel U12/Ik = R1 + jX1. Omdat we weten dat X1 >> R1 kunnen we eenvoudig stellen dat U12/Ik ≈ jX1 en dus nog eenvoudiger: U12/Ik = X1

De R1 meten we apart door de ohmse weerstand tussen twee fasen te meten en dit te delen door twee, of bij een steraansluiting waar de nul naar buiten toe is uitgevoerd, de ohmse waarde tussen een fasedraad en de nul direct te bepalen.

In alle gevallen gaan we er van uit dat het toerental van de rotor 50 omwentelingen per seconde is.

Voorbeeld 17.1: We hebben een synchrone machine die in ster is aangesloten met S3f = 60kVA met een U = 400/230 V. Tijdens de nullastproef is bij een bekrachtigingsstroom I2 = 4A de nominale fasespanning bereikt. Voor de kortsluitproef gaan we uit van een maximale stroom van 70A. (De S1f = 20kVA bij Uf = 230V, wordt Inom = 87A. Dan is 80% van die waarde 70A). De bijbehorende I2 om die kortsluitstroom te bereiken blijkt nu 12A te zijn. Omdat de lijn van de nullastproef niet lineair verloopt gaan we de lijn van de kortsluitproef volgen, die wel lineair verloopt. Dan zou de kortsluitstroom bij een bekrachtigingsstroom van 4A dus worden 70A*4/12 = 23,3A. De U12 is dan 230V. Dus de X1 = 230/23,3 = 9,86Ω.

We meten vervolgens de ohmse weerstand van de statorspoelen tussen twee fasen, en die blijkt 0,032Ω te zijn. Dus dan is voor één spoel R1 = 0,016Ω. We zien dat R1 inderdaad veel kleiner is dat X1.

Unom

Ik, U12

I2

Nullastproef

Kortsluitproef

2A

10A


HAN-FT-CPM SEECE 31

Voorbeeld 17.2: We gaan deze synchrone machine gebruiken om een net te voorzien van een fasespanning van 230V en deze te belasten met een impedantie Z. Deze impedantie is een serieschakeling van een weerstand met een spoel; Z = 3 + j2 ohm, zie onderstaand schema (waarin R1 niet is meegenomen, omdat deze veel kleiner in waarde is dan X1 en Z).

Dan is IZ = 63,7∠–34oA. Dus I1 = 63,7∠146oA. Uit de 2e Wet v Kirchhoff volgt U1 – I1*j9,86 – U12 = 0. Dus U12 = U1 – I1*j9,86 = 230∠0o – 63,7∠146o*j9,86 = 230∠0o – 628,1∠236o = 230 + 351,2 + j520,7 = 581,2 + j520,7 = 780∠42o = U12∠ϕ12

o.

Bij deze U12 = 780V is de bijbehorende bekrachtigingsstroom te bepalen uit het gegeven dat als U12 een spanning heeft van 230V, de bekrachtigingsstroom 4A is (zie boven). Dus λ = 230/4 = 57,5. Dus bij 780V wordt die stroom I2 = 780V/57,5 = 13,56A.

– + j9,86Ω

I1

+

–

+

–

U1 = 230∠0o V U12 = U12∠ϕ12o V Z = 3 + j2

IZ

23,3A

230V

Ik, U12

I2

Nullastproef

Kortsluitproef

12A 4A

70A


HAN-FT-CPM SEECE 32

We zien dat de door de rotor in X1 opgewekte spanning U12 een andere fasehoek heeft dan de fasespanning U1. Het statorveld (vanuit U1) en het rotorveld (vanuit U12) hebben dus onderling een hoek. De Noord-Zuid aantrekking wil er voor zorgen dat de rotor exact gelijk in het statorveld staat en dus beide fasen precies gelijk zijn, maar door de last van de machine (motor of generator) zal dat in de praktijk niet zo zijn. We noemen dit de lasthoek δ (delta).

De lasthoek hier is dus δ = 420, waarbij in dit geval het rotorveld voorijlt op het statorveld.

Het rotoren statorveld blijven wel aan elkaar trekken met een kracht die afhankelijk en evenredig is met de grootte van de lasthoek. Het is alsof er een elastiek tussen zit. Het gevolg daarvan is dat als er een plotselinge lastverandering optreedt, de rotor heen en weer kan gaan slingeren tussen de oude en de nieuwe lasthoek. Vooral bij grote lastverandering kan de machine gaan staan trillen en beschadigen. Men voorkomt dit in de praktijk door een asynchrone wikkeling mee te nemen op de rotor.

De lasthoek kan in de praktijk niet groter worden dan ±700.

Opdracht : Verklaar waarom deze asynchrone wikkeling het slingeren van de rotor rond de lasthoek voorkomt. Verklaar ook waarom de lasthoek beperkt is tot bovengenoemde waarden.

Het asvermogen bepalen we bij de bron U12 en daar vinden we Pas = 3*780*63,7*cos(420 – 1460) = – 36.060W ≈ – 36kW. Dit Watt vermogen van de as moet gaan zitten in het weerstandsdeel van Z, welke aldaar is P3f = 3I2R = 3*63,72*3 = 36.519W. Dit klopt, gezien de afrondingen heel aardig en we zien dat de as van de synchrone machine inderdaad het

ϕ1

U1 = 230∠00V

I1 = 63,7∠1460A

U12 = 780∠420V

δ


HAN-FT-CPM SEECE 33

gevraagde Watt vermogen levert aan het net. Kijken we naar het Blind vermogen, dan moet eea natuurlijk ook kloppen. De belasting in het net is dan Q3f = 3I2X = 3*63,72*2 = 24.346VAR ≈ 24kVAR. Bij de bron U12 vinden we Q3f = 3*780*63,7*sin(420 – 1460) = –144.639VAR ≈ –145kVAR. Vergeleken met het Blind vermogen in het net missen we nog +121kVAR. Dat klopt, want dat Blind vermogen zit nog in de eigen statorspoelen van de synchrone machine ; Q3f = 3I2X1 = 3*63,72*9,86 = 120kVAR.

Conclusie : de synchrone machine gedraagt zich in totaal capacitief (–145kVAR + 120kVAR = –25kVAR) en het net gedraagt zich voor datzelfde (negeer de afrondingsfouten) getal inductief (+24kVAR). Dit betekent dat de synchrone machine via haar draaiende rotor met het magnetische veld in dit geval toch capacitief gedrag oplevert.

Wat overigens ook opvallend is, is dat U12 een veel hogere spanning heeft dan de nominale fasespanning. Dit komt weer omdat X1 een behoorlijk grote waarde heeft ten opzichte van de Z van het net. Een grote X1 ten opzichte van het net betekent dus dat de spanning U12, die in de spoel X1 wordt opgewekt door de rotor, zelf behoorlijk op kan lopen. Bij de constructie van de machine moet daar rekening mee worden gehouden.

Voorbeeld 17.3: We gaan bovenstaande machine nogmaals gebruiken, maar nu gaan we deze rechtstreeks aan het (sterke) net hangen. We stellen I1 = 50∠20oA. Gezien de fasehoek (de stroom gaat uit de bron U1 naar de machine) krijgen we de indruk dat het net via U1 vermogen zal leveren aan de machine. We gaan dit uitwerken en krijgen dan onderstaand schema:

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we U1 – I1*j9,86 – U12 = 0. Dus U12 = U1 – I1*j9,86 = 230∠0o – 50∠20o*j9,86 = 230 – 493∠110o = 230 + 168,6 –j463 = 398,6 – j463 = 611∠311oV = 611∠–49oV. Zetten we dit in het complexe vlak dan krijgen we:

– + jX1 = j9,86

I1

+

–

+

–

U1 = 230∠0o V U12 = U12∠ϕ12o V

Inet


HAN-FT-CPM SEECE 34

Voor de vermogens krijgen we de volgende berekeningen: Voor het net geldt P3f = –3*230*50*cos(00 – 200) = –32.420W en Q3f = –3*230*50*sin(00 – 200) = 11.800VAR. Voor de machine geldt QX1 = 3*502*9,86 = 73.950VAR en PU12 =Pas = 3*611*50*cos(–490 – 200) = 32.844W en QU12 = 3*611*50*sin(–490 – 200) = –85.563VAR.

De machine gedraagt zich als motor en de as neemt 32844W op uit het net. Verder gedraagt de machine zich met QX1 + QU12 = 73.950VAR – 85.563VAR = – 11.613VAR capacitief. Het net zelf gedraagt zich inductief met dezelfde waarde.

Bekijken we nu achteraf hoe de R1 in dit spel meedoet, dan kunnen we daar nog enig vermogensverlies door krijgen. Het 3-fase vermogensverlies van de machine is dan P = 3I2R = 3*502*0,016 = 120W. Vergeleken met de eerder berekende vermogens speelt dit geen enkele rol.

Bekijken we het bovenstaande complexe vlak, dan zien we dat de stroom I1 net als U1 naar boven wijst. Dit geeft aan dat deze stroom ongeveer dezelfde fase heeft als U1 en de stroom vanuit U1 naar de machine gaat. De machine zal dus als motor draaien. In het antwoord bij opgave 16.3 bij de asynchrone machine zien we dat I1 ten opzichte van U1 naar beneden wijst. Dat betekent dat de stroom I1 bij U1 (het net) naar binnen gaat, dus dat de machine in dat geval als generator werkt.

Dus als I1 in het complexe vlak naar boven wijst is de machine een motor. Wijst I1 naar beneden dan is de machine een generator. (Wiskundig bewijs : Als vector I1 naar boven wijst in het complexe vlak, dan is de hoek tussen U1 en I1 altijd kleiner dan ± 90o. Voor het net vermogen geldt dan P = -U1I1cos(ϕU-ϕI) = altijd negatief, dus levert het net vermogen aan de machine).

In het laatste vectordiagram zien we nog iets, nl dat U12 naijlt op U1. Dit geeft aan dat de netspanning U1 de rotor via U12 meetrekt. Dit is typisch motorgedrag. Zou U12 voorijlen op U1,

ϕ1 δ

U1 = 230∠00V

I1 = 50∠200A

U12 = 611∠–490V


HAN-FT-CPM SEECE 35

dan is het omgekeerde het geval, namelijk dat de rotor via U12 de netspanning meetrekt, dus generatorgedrag.

We kunnen op twee manieren aan de fasen van de spanningen en stromen, en dus in het vectordiagram zien of de machine zich als motor of generator gedraagt, maar ook of de machine zich inductief of capacitief gedraagt. Zie onderstaande figuur, zijnde het vier kwadranten vectordiagram.

Voorbeeld 17.4: We gaan het schema van bovenstaande opzet nog eens herhalen en stellen nu dat de bron U1 links belast is met een ohmse weerstand van 10Ω. We krijgen dan het volgende schema. Hierin stellen we opnieuw dat I1 = 50∠200A.

U1 = U1∠00V

I1 wijst naar boven; dan motor

I1 ijlt voor op U1 Machine heeft ohms-capacitief gedrag (en net ohms-inductief gedrag).

I1 ijlt na op U1 Machine heeft ohms-inductief gedrag (en net ohms-capacitief gedrag).

I1 I1

I1 I1

I1 wijst naar beneden; dan generator


HAN-FT-CPM SEECE 36

Opnieuw gaan we met de 2e Wet van Kirchhoff in de rechter maas aan de slag en vinden dezelfde waarden als bij opgaven 17.3 voor U12. Blijkbaar heeft de extra belasting van de 10Ω weerstand in het net geen invloed op deze U12. De vermogens bij U12 en X1 blijven dan ook allemaal zoals ze eerder waren bepaald. Wat wel verandert is het vermogen in U1. Volgen we de 2e Wet van Kirchhoff in de linker maas, dan vinden we dat IR = 23∠0o A. Met de 1e Wet van Krichhoff kunnen we vervolgens Ib uitrekenen. Deze stroom wordt Ib = – IR – I1 = – 23∠0o – 50∠200 = – 23 – (47 + j17,1) = – 70 – j17,1 = 72,1∠1940A.

De 3-fase vermogens in de weerstand en de bron U1 zijn dan als volgt : PR = 3*232*10 = 15.870W en PU1 = 3*230*72,1*cos(00 – 1940) = –48.271W en QU1 = 3*230*72,1*sin(00 – 1940) = 12.035VAR. Pakken we de voorgaande vermogens in de machine er nog even bij, dan zijn dat : QX1 = 73.950VAR, PU12 =Pas = 32.844W en QU12 = –85.563VAR. Onderstaand is dan bij de betreffende elementen gezet.

Als we beide bovenstaande situaties in voorbeelden 17.3 en 17.4 (zonder en met extra 10Ω weerstand) vergelijken, blijkt dat het net zoveel meer vermogen gaat leveren, dat de betreffende weerstand gevoed wordt. In het net zitten dus centrales en windmolens die samen de gewenste spanning verzorgen bij 50Hz. Dit noemt men een ‘sterk net’. De definitie van een sterk net is dat ongeacht de Watt- en Blindvermogensvraag de netspanning en netfrequentie altijd gelijk blijven.

PU1= –48.271W QU1 = 12.035VAR

PU12 = 32.844W QU12 = –85.563VAR

PR = 15.870W

QX1 = 73.950VAR

+

–

+

–

Net Synchrone machine

10Ω

– + jX1 = j9,86

I1

+

–

+

–

U1 = 230∠0o V U12 = U12∠ϕ12o V

Inet IR

Ib


HAN-FT-CPM SEECE 37

Het Watt vermogen van de verbruikers moet gecompenseerd worden met meer of minder aangeleverd Watt vermogen (olie, gas, wind, …), dan blijft de frequentie op 50Hz. Het veranderend Blind vermogen moet gecompenseerd worden door extra condensatoren en spoelen in het net bij of af te schakelen (wat overigens alleen batch gewijs kan) en/of het regelen van het Blind vermogen van synchrone machines.

Vraag: Controleer van bovenstaand figuur of het vermogensevenwicht klopt en geef het gedrag van de verschillende bronnen aan. Antwoord: De linker bron levert Watt vermogen aan de weerstand links EN aan de machine rechts. De rechter bron neemt Watt vermogen op (motorgedrag) en gedraagt zich aldaar capacitief.

De synchrone machine moet op een of andere manier in samenwerking met het net en de belastingen zorgen dat het totale vermogensevenwicht altijd blijft kloppen. Dat geldt dus voor het Watt en Blind vermogen. Dit doen we bij de synchrone machine door het Blind vermogen via de bekrachtigingsstroom I2 en het Watt vermogen via het askoppel te regelen. (Let op, het toerental van de as blijft precies 50 omwentelingen per seconde).

Het zal logisch zijn dat het veranderen van de gelijkstroom I2 geen echt Watt vermogen kost, vandaar we via de grootte van de bekrachtigingsstroom het Blind vermogen kunnen regelen. Als we het Watt vermogen willen regelen gaan we het koppel op de as veranderen. Bij een motor doen we dat door de last groter of kleiner te maken. Bij een generator is dat bijvoorbeeld door meer of minder brandstof aan de aandrijvende motor te geven. Daardoor zal de positie van de rotor (U12) ten opzichte van het netveld (U1) worden beïnvloed. Geven we minder brandstof dan zal de rotor langzamer gaan lopen en U12 steeds meer gaan achterlopen (naijlen op U1) zodat we na enige tijd de synchrone machine als motor hebben draaien. Geven we weer meer brandstof, dan zal U12 uiteindelijk weer gaan voorijlen op U1 en de synchrone machine gaat zich weer als generator gedragen. In al deze situaties verandert de lasthoek en blijft het toerental 50 omw/sec.

Zouden we een synchrone machine in een windmolen zetten, dan zal het toerental van de rotor van de windmolen altijd 50 omwentelingen per seconde zijn (via tandwielen of een ander poolpaar zal het werkelijke toerental van de schoepen natuurlijk veel minder zijn). Als er geen wind staat is de windmolen een ventilator en als er voldoende wind staat is het een generator. Het eerste geval is natuurlijk niet gewenst en wordt de machine van het net afgeschakeld.

Norton vervangschema

De synchrone machine werd in het voorgaande teruggebracht tot een zeer eenvoudig vervangschema dat bestaat uit een spanningsbron met in serie daar mee een spoel. Uit de voorgaande theorie weten we dat een dergelijk schema ook kan worden gezien als een Thevenin vervangschema, welke we eenvoudig kunnen omzetten naar een Norton vervangschema. In enkele gevallen is juist het Norton vervangschema handig te gebruiken. Soms worden beide schema’s tegelijk gebruikt, zoals we dat ook terug zullen zien in de verschillende vectordiagrammen die verderop zijn weergegeven.


HAN-FT-CPM SEECE 38

Het Norton vervangschema is als volgt:

Waarbij I’2 = U12/jX en Iµ = I1 + I’2

In het Thevenin vervangschema was de grootte van U12 afhankelijk van de bekrachtigings(gelijk)stroom I2. Dat U12 een wisselspanning werd kwam door de draaiende rotor. In het Norton vervangschema is de grootte van I’2 afhankelijk van deze bekrachtingsstroom I2 en I’2 is ook hier een wisselstroom vanwege de ronddraaiende rotor.

Bij het Thevenin vervangschema van de synchrone machine was nog wel voor te stellen dat de door de rotor in de statorspoel X opgewekte spanning U12 moest voorstellen. Bij het Norton vervangschema wordt het lastiger. Het is praktisch niet voor te stellen waar die Iµ in de synchrone machine loopt. Het is daarom, zoals eerder aangegeven, een rekenschema.

Sluiten we de synchrone machine aan op een constante netspanning U1, dan is Iµ ook constant en ijlt 90o na op U1. Verder mag duidelijk zijn dat U12 90o voorijlt op I’2.

De vectordiagrammen in de verschillende kwadranten zijn dan als volgt:

Iµ

jX

I1

I’2

U1

Iµ

jX

I1

I’2


HAN-FT-CPM SEECE 39

Merk op dat in de getoonde vectordiagrammen de verhoudingen tussen de lengtes van U12 en I’2 steeds gelijk blijven. Dat komt omdat die wordt bepaald door jX in I’2 = U12/jX, waarbij X een constante waarde heeft.

In voorgaande vectordiagrammen is steeds uitgegaan van het gedrag van de machine. Zouden we Inet ( = - I1) meenemen, dan kunnen we ook goed zien dat het tegenovergestelde gedrag voor het net ontstaat.

Opdracht: ga in voorgaande vectordiagrammen goed na wat er gebeurt met I1 en U12 als de bekrachtigingsstroom groter en kleiner wordt.

I’2

U1

I1

U12

Iµ

Motor met ohms-inductief gedrag U12

I’2

U1

I1

Iµ

Motor met ohms-capacitief gedrag

I1

I’2

U1

U12

Iµ

Generator met ohms-capacitief gedrag

I1

I’2

U1

U12

Iµ

Generator met ohms-inductief gedrag

U1

Iµ

jX

I1

I’2

Inet


HAN-FT-CPM SEECE 40

Vraag: Door variatie van de bekrachtigingsstroom zal de machine niet veranderen in motor naar generatorgedrag of omgekeerd. Waarmee doen we dat in de praktijk wel? Antwoord: door het asvermogen te veranderen.

V-kromme

De V-kromme ontstaat door in het vectordiagram de bekrachtigingsstroom, en dus I’2 te variëren bij gelijkblijvend asvermogen. We laten dit zien voor de machine als generator:

Door de grootte van I1 als functie van de bekrachtigingsstroom I2 te tekenen, ontstaat voor verschillende vermogens de V-kromme. De waarde van I2 waarbij er precies geen fasedraaiing is tussen I1 en U1 (lees cosϕ = 1) wordt daarin ook aangegeven, evenals de grens waarbij I2 zo klein is dat de lasthoek δ tussen het statorveld en de rotor te groot wordt, zodat de rotor uit de pas dreigt te vallen. We noemen dit de stabiliteitsgrens. In een soortgelijk

-

+

cosϕ = 1

I1

I2

stabiliteitsgrens

I2

Q

P = 400KW P = 200kW P = 0

V-kromme

I1

I’2

U1

Iµ

Lijn voor constant Watt vermogen


HAN-FT-CPM SEECE 41

overzicht kunnen we dan ook het blindvermogen Q meenemen. In bovenstaand plaatje zien we dit terug.

Machinediagram

Elke machine kent zijn grenzen. Het Watt vermogen moet elektrisch passen bij het asvermogen. Het heeft geen zin het asvermogen met bijbehorende kogellagers zo te ontwikkelen dat tientallen MW’s kunnen worden gerealiseerd terwijl we elektrisch niet verder komen dan een paar kW. Zo zijn de maximale netspanning U1 de maximale stroom I1 in de statorspoelen en de maximale bekrachtingsstroom I2 in één diagram gezet. Dit wordt verder gekoppeld aan het maximale lastkoppel δ en het maximale asvermogen (dat bij de synchrone machine vrijwel gelijk is aan het maximale elektrische vermogen omdat R1 vrijwel geen rol speelt). Daaruit volgen dan ook weer de minimale en maximale Blindstroom.

Machinediagrammen zijn er in verschillende vormen en maten. Soms wordt uitgegaan van de officiële notaties van de vectorrichtingen, zoals in dit dictaat behandeld. Daarbij wijst I1 als generator naar beneden. Het machinediagram als generator kan ook worden opgezet vanuit een vector U1 welke bij 0o fase naar rechts getekend staat. (Tot nu toe stond U1 met fase 0o naar boven getekend). Verder wordt in het machinediagram als generator niet I1, maar Inet bekeken. We krijgen dan:

Zodat U1 + UX = U12 met onderstaand vectordiagram als voorbeeld. Dit wordt het machinediagram met Inet op maximale grootte die we halen uit Smax, zodat daarmee een cirkel ontstaat die afhankelijk is van de fasehoek ϕ1 van Inet.

– + Ux

+

–

+

–

U1 = 230∠0o V U12 = U12∠δo V

Inet


HAN-FT-CPM SEECE 42

Nu brengen we nog enkele grenzen aan. Er is een maximale lasthoek δ (in de praktijk zo’n 70o). Op de lijn naar boven komt nu het Pnet te staan, de blindvermogens staan nu links en rechts enz enz. De U12 = λI2 zodat nu I2 de waarde is die we daar noteren, zijnde de maximale bekrachtigingsstroom die daar bij hoort.

In bovenstaand machinediagram van een generator zien we de lasthoek, welke alleen linksom en dus positief kan zijn. Dat klopt, want de bekrachtigingstroom I2 is een relatie van U12 via U12 = λI2. Bij een generator ijlt U12 altijd voor op U1 en is de lasthoek δ positief en tussen de 00 en maximaal (ongeveer) 700.

Overigens zal de lasthoek in bovenstaande voorbeeld grafiek nooit maximaal kunnen worden omdat we altijd op of binnen de Smax cirkel moeten blijven (teken voor uzelf enkele mogelijkheden van I2 en Inet ter vergelijking).

δ Smax = 3UI [VA]

I2

Inet ϕ1

Machinediagram Synchrone generator

δmax

Pnet [W]

Pas max [W]

Qnet cap [VAR] Qnet ind [VAR]

δ Smax = 3UI [VA]

U12 Ux =jXInet ϕ1


U1


HAN-FT-CPM SEECE 43

We zien dat door het variëren van I2 het Blind vermogen verandert en er dus in het net meer en minder capacitief of inductief gedrag ontstaat. Als we I2 variëren zal overigens het Watt vermogen Pnet niet variëren (mits we aan een sterk net hangen en dus U1 gelijk blijft).

We zien verder dat het maximale asvermogen Pas in dit voorbeeld iets kleiner is dan het elektrisch Watt vermogen (dat evengoed iets hoger had kunnen liggen).

Dat het beginpunt van U1 links van de cirkel ligt is een belangrijke keuze. De ontwerper van de machine had er ook voor kunnen kiezen het beginpunt ruim binnen de cirkel te kiezen. Als die keuze wordt gemaakt krijgen we twee nadelen: 1) de maximale lasthoek wordt erg snel bereikt en kan overschreden worden en 2) er is maar beperkt capacitief gedrag te realiseren. Zie als voorbeeld onderstaand figuur.

Note: we tekenen de vectoren I2 en Inet omdat die belangrijk zijn in hun maximale waarden, maar feitelijk bedoelen we respectievelijk de vectoren U12 en Ux.

Voorbeeld 17.5: We laten bovenstaande situatie nog even zien bij het volgende voorbeeld met Inet = 15∠00A en dus I1 = 15∠1800A. U1 = 230∠00V en jX1 = j10Ω. We stellen λ = 9,2. Het beginpunt van U1 leggen we op de cirkel. Dan volgt na enig rekenwerk dat U12 = 275∠340V en daarmee is I2 = 30A. Als we Pnet berekenen dan krijgen we Pnet = 3*230*15*cos(00 – 00) = 10,35kW en neemt dus Watt vermogen op. Zie onderstaand schema en figuur.

Pnet

δmax

δ Smax = 3UI [VA]

I2

Inet ϕ1

Pas max

Qnet ind [VAR] Qnet cap [VAR]



HAN-FT-CPM SEECE 44

In het machinediagram zouden we dan zitten op de plek zoals onder weergegeven:

Een variant op bovenstaand machinediagram is door uit te gaan van de oorspronkelijke vectortekeningen die terug te vinden zijn onder de paragraaf bij het Norton vervangschema van de synchrone machine (zie voorgaande blz 35). De maximale waarde van de bekrachtigingsstroom I2 wordt dan vertegenwoordigd door de maximale waarde van I’2. De hoek tussen Iµ en I’2 is dezelfde lasthoek als die tussen U1 en U12. Het eindpunt van Iµ ligt vast, dus de maximale lengte van bekrachtigingsstroom I2 wordt door de stippellijn bepaald (zie onderstaand vectordiagram).

Qnet ind [VAR] Qnet cap [VAR]

Pnet

10,35kW

δmax

δ = 340 Smax = 3UI [VA]

I2 = 30A

Inet = 15∠00A

Pas max

Inet = 15∠00A I1 = 15∠1800A – +

jX1 = j10Ω

+

–

+

–

U1 = 230∠0o V U12 = U12∠ϕ12o V


HAN-FT-CPM SEECE 45

Verwijderen we nu de overbodige vectoren en brengen cirkels aan voor Max I2 (met een cirkel rond vectorpunt Iµ), Max I1 (met een cirkel rond centrum van vectordiagram) dan vinden we het volgende machinediagram. Daarbij zijn de maximale positieve (motor) en negatieve (generator) Watt vermogens meegenomen als U1 en I1 met elkaar in fase zijn (0o en 180o), maar dan begrensd door de machine via de lagers en warmte productie. Tenslotte is er ook een maximale lasthoek, welke weer door een rechte lijn kan worden aangegeven. We krijgen dan onderstaand vectordiagram:

Wellicht goed om te zien dat bij het machinediagram als generator uitgegaan wordt van de netstroom Inet, waardoor het vectordiagram omklapt en het vectordiagram als ‘generator’

δ

Max I2

δ

δ

U12

I’2

U1

I1

Iµ

Max I1

δ

Max I2

I’2

U1

I1

Iµ

Max P motor

Max P generator

Max δ

Machinediagram Synchrone machine


HAN-FT-CPM SEECE 46

naar boven wijst. Bij de opwekeenheden zien we daarom dat dit diagram vaak wordt gebruikt. Bij het algemene machinediagram (motor of generator) wordt uitgegaan van de machine zelf en dus vanuit I1, vandaar dat het vectordiagram als ‘motor’ dan naar boven wijst en als ‘generator’ juist weer naar beneden wijst.

Opdracht: zoek op internet een paar machinediagrammen die beide vormen laten zien.

De asynchrone machine versus de synchrone machine

Vergelijken we de asynchrone machine nog met de synchrone machine, dan kunnen we stellen dat de asynchrone machine eenvoudig en goedkoop is terwijl de synchrone machine die wij voor ogen hebben, sleepringen heeft en duurder is. Meestal is het dan maatwerk.

De synchrone machine heeft een regelbaar Blindvermogen en kan zich derhalve inductief EN capacitief gedragen. Dat kan de asynchrone machine niet. Deze kan zich alleen op een vaste waarde inductief gedragen.

Opgave 17.1:

Bij een synchrone machine met de nominale spanning 230/400V en een S3f = 56,679kVA wordt de nullastproef gedaan. Dan is de bekrachtigingstroom I2 = 2,3A als aan de klemmen de nominale fasespanning staat. Bij de kortsluitproef, welke wordt gedaan op 80% van de maximale waarde van de statorstroom, is de bekrachtigingstroom I2 = 9,2A. De ohmse weerstand tussen twee fasen is 0,01Ω. Bereken λ en X1 en toon aan dat R1 wegvalt tov X1.

Opgave 17.2:

De machine van opgave 17.1 wordt als generator aangesloten op een net dat een 3-fase Watt vermogen vraagt van 30kW bij een cosϕ = 0,8. Het net gedraagt zich capacitief. Bereken Inet en Znet, I1, U12, I2 en alle vermogens. Wat valt op bij de lasthoek? Teken twee schema’s; de eerste door de netspanning als bron en de tweede als impedantie te bekijken. Bereken ook het askoppel.

Opgave 17.3:

Een synchrone machine met een lijnspanning van 10kV en X1 van 25Ω. De R1 mag verwaarloosd worden. De λ = 400. De machine wordt als motor gebruikt en aangesloten op het net. De lijnstroom is dan 100A met een cosϕ = 0,45. De machine gedraagt zich inductief.

a. Toon aan dat I1 is niet 100∠–117o A maar I1 = 100∠–63o A. b. Bereken U12, I2 en alle vermogens. Wat valt nu op bij de lasthoek? Teken het schema en

teken de spanningen U1 en U12 en stroom I1 in het complexe vlak.

Opgave 17.4:

Verklaar a. hoe het kan dat een goed ontworpen synchrone machine geen last heeft van een slingerende rotor bij variërende belasting, b. waarom de rotor van een synchrone machine niet van lamellen hoeft te worden gemaakt, c. hoe we de Blind- en Wattvermogens bij


HAN-FT-CPM SEECE 47

synchrone machines kunnen beïnvloeden, d. of de lasthoek groter of kleiner wordt als we de rotorstroom groter maken.

Opgave 17.5:

a. Bereken en teken de situatie in het machinediagram bij voorbeeld 17.5 met Inet = 15∠–30o A en verklaar wat er gebeurt.

b. Teken met een dikke lijn in de grafiek de maximale grenzen voor deze machine als generator.

Opgave 17.6

Een synchrone machine met jX = j10Ω staat parallel aan een asynchrone machine die als windmolen (generator) draait, waarbij Rk = 0,1Ω en R’2 = 0,1Ω bij een toerental van de rotor van 3030 omw/min. De Xk van de asynchrone machine is 0,2Ω. De beide machines staan parallel aan een ohms inductief net dat kan worden gezien als 20Ω + j5Ω. De fasespanning van het net is 230V.

a. Teken bovenstaande situatie in een schema en bewijs 𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= –10Ω

b. Bereken de fasestroom van de asynchrone machine. c. Bereken de netstroom door 20Ω + j5Ω. d. Bereken de fasestroom van de synchrone machine. e. Bereken U12 van de synchrone machine en verklaar het gedrag. f. Kunnen we de synchrone machine vervangen door een condensator en zo ja van welke

waarde?

Opgave 17.7

De windmolen met asynchrone machine die als generator draait, kan in eilandbedrijf geen ohms-inductief net voeden. Toon dit aan met een getallenvoorbeeld.


HAN-FT-CPM SEECE 48

Antwoorden Elektrische Machines

14.1: a. De lijnstroom I1 = Uf1/Z = 8,13A∠–45o (en idem I2 = 8,13A∠–165o en I3 = 8,13A∠–285o). Dan is P3f = -3*230*8,13*cos(00 + 450) = -4kW van de bron en vanzelfsprekend + 4kW van de belasting. b. De lijnstromen in driehoek zijn eenvoudig drie keer groter met dezelfde fasehoek in vergelijking met de stersituatie (zie theorie), dus I1 = 24,54A∠–45o enz. Dus P3f = -12kW van de bron. Dit is inderdaad 3*P3f in ster. Voor een toetsvraag is bovenstaand voldoende. Een berekening als toelichting:

Voor de ster en driehoeksituatie geldt Pbron = -3*Uf*I1*cos(00-fase I1). I1 = IL12 - IL31. IL12 = UL12/Z = 400∠300/ (20+j20) = 14,142∠-150A. IL31 = UL31/Z = 400∠-2100/ (20+j20) = 14,142∠1050A. Zodat I1 = IL12 - IL31.= 14,142∠-150 - 14,142∠1050 = 24,54∠-450A (dit is idd 3 x de stroom met dezelfde fase, zoals die in ster was berekend). Dus Pbron = -3*230*24,54*cos(00+450) = -12kW.

14.2 : a. I1 = 0,575∠0oA, I2 = 0,7222∠–300A en I3 = 3,662∠–330oA. b. I0 = 4,61∠19oA, c. PR = 132,3W, QC = –166,1VAR en QL = 842,3VAR. d. P3f = –132,3W en Q3f = –676,2VAR.

14.3 : bij een drie fase trafo is nooit op hetzelfde moment de maximale waarde van de spanning op alle drie de fasen tegelijk te realiseren.

14.4 : We vertalen deze driefase transformator voor het rekenen naar het één fase verhaal en bijbehorende fasestromen en spanningen. Op het typeplaatje is te lezen dat dit een 50Hz transformator is met S3f = 400kVA, dus S1f = 400k/3 = 133,33kVA. De primaire lijnspanning is in stappen te veranderen tussen 11,25kV en 10,25kV. De gemiddelde primaire spanning is dus 10,75kV. Dan is de gemiddelde primaire fasespanning 10,75/√3 = 6207V = Up. Dus de Inom

20Ω + j20Ω

IL31

IL12

IL23

I3

I2

20Ω + j20Ω

–

+

+

–

Uf2 = 230V∠–120o

+

– Uf3 =230V∠–240o

Uf1 =230V∠0o

I1

UL12 =400V∠30o

+

–

20Ω + j20Ω UL31 =400V∠-210

o

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 49

aan de primaire zijde is S1f/Up = 133,33k/6207 = 21,5A. Dit getal staat als Nom.str.A op het typeplaatje ook zo aangegeven. De secundaire lijnspanning is volgens het typeplaatje 420V, dus de secundaire fasespanning 420/√3 = 242V. Dan krijgen we een Inom aan de secundaire zijde van 133,33k/242 = 550A. Ook dat getal zien we terug op het typeplaatje. Ook de aansluitgegevens staan op het typeplaatje onder ‘schakelgroep’, nl Dyn 5. Blijkbaar is bij de door de fabrikant gehouden kortsluitproef een nominale stroom aan de primaire zijde van 21,5A gerealiseerd, bij een primaire lijnspanning van 4,2% van 10,750kV (451V). Dit is de z.g.n. kortsluitspanning. Omgekeerd zal dan bij een kortsluiting op deze 10,75kV een primaire kortsluitstroom gaan lopen die 21,5/4,2% = 512A. De maximale primaire spanning ligt echter afgerond 5% hoger, nl 11,25kV. De maximale primaire kortsluitstroom is daarom 1,05*512 = 538A. Deze kortsluitstroom mag volgens de fabrikant maximaal 2s duren. Verder staat er Um kV = 12.0 / 1.1. Dit is de maximale primaire spanning en er is aangegeven dat dit 10% extra mag zijn. Daar rechts van staat de testspanning tussen de spoelen en de bak van de transformator. Dat is een wisselspanning (AC) van 28kV en Li = 75kV bliksempuls.

16.1: Rij = 882Ω, Xμ = 759Ω, Rk = 0,0816Ω en Xk = 0,1222Ω. R’2 = 0,0616Ω. De ijzerverliezen zijn veel kleiner dan de kortsluitverliezen. Daarom kunnen ze worden verwaarloosd.

16.2: 𝑍𝑍 = 𝑋𝑋𝑘𝑘2 + 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡2 = 23080

= 2,875Ω. Met Xk = 0,1222Ω van de vorige opgave vinden

we Rtotaal = 2,872Ω. Dan is 𝑅𝑅′21−𝑠𝑠𝑠𝑠

= 2,872 – 0,0816 ≈ 2,78Ω, zodat s = 0,0216. Daaruit volgt

dat frotor = fas = 48,92 omw/sec. Het asvermogen = 3*802*2,78 = 53376W. P = ωT wordt het koppel gevonden, T = P/ω = 173 Nm.

16.3: We krijgen nu onderstaand schema:

Daarin I1 = 150,8∠–175o A. Dan is Pnet = 3*230*–150,8*cos(00 + 1750) = 103656W ≈ 104kW en neemt vermogen op. Verder is Qnet = 3*230*–150,8*sin(00 + 1750) = –9069VAR ≈ –9kVAR. Pas = 3𝐼𝐼12(−1,6016) = −109264𝑊𝑊 ≈ −109𝑘𝑘𝑊𝑊. Het rendement is 95%. Het verliesvermogen is overigens Pverlies = 3I1

2Rk = 5567W. Dat klopt dus. Verder krijgen we QL = 3I1

2Xk = 8338VAR. Afgezien van wat afrondingsfouten klopt dit allemaal.

De arbeidsfactor cosϕ = –0,996. (Note: het minteken wordt hier vaak genegeerd).

I’R

U1 = 230∠0o V

0,0816Ω j0,1222Ω

I1

–1,6016Ω

+

–


HAN-FT-CPM SEECE 50

Het zal wellicht al opgevallen zijn dat een asynchrone machine zich altijd inductief gedraagt.

16.4: a. door een dubbel kooianker rotor te nemen of b. een sleepringanker machine of c. een frequentieregelaar toepassen.

16.5: door de machine niet in ster maar in driehoek aan te sluiten. De vraag is natuurlijk wel of de maximale stromen en spanningen dit aankunnen.

17.1: λ = 100, Bij 18893VA/230V = 82,14A = I1max wordt Ik = 0,8*82,14 = 65,71A. Dan volgt X1 = 14Ω en R1 = 0,005Ω << X1.

17.2: We gaan uit van een U1 = 230∠0o V. Pnet = 3*230*Inet*0,8 = 30kW, dus Inet = 54,35A met ϕ = 370. Omdat het net zich capacitief gedraagt zal Inet = 54,35∠+37o A. Znet = U1/Inet = 4,23∠–37o Ω = 3,38 – j2,55 ohm. Duidelijk een ohmse weerstand met in serie een condensator. Daarmee wordt I1 = 54,35∠(+37o+1800) A = 54,35∠217o A. Volgens 2e Wet van Kirchhoff krijgen we dan U1 – I1*j14 – U12 = 0. Dus U12 = 230∠0o – 54,35∠217o*j14 = 230 – 760,9∠307o = 649∠110oV. Daarmee is δ = 1100 en dat is ver buiten de grens van ±700. De rotor ontkoppelt van het statorveld. Met λ = 100 wordt I2 = 649/100 = 6,49A. De vermogens zijn: Qnet = 3*230*54,35*sin(00 – 370) = –22569VAR (inderdaad capacitief), PU12 = 3*649*54,35*cos(1100 – 2170) = –30939W, QU12 = 3*649*54,35*sin(1100 – 2170) = –101196VAR en QX1 = 3*54,352*14 = 124065VAR.

I1 = 150,8∠– 1750A

U1 = 230∠00V Lengtes vectoren zijn willekeurig gekozen

ϕ = – 1750

– + j14Ω

54,35∠217o A

+

–

+

–

230∠0o V 649∠110oV

54,35∠37o A

I1


HAN-FT-CPM SEECE 51

Als we alle vermogens optellen klopt dit met vraag en aanbod. Overigens kan de machine vanwege de te grote lasthoek niet werken. Het gaat hier meer om de berekeningen.

Het askoppel halen we uit Pas = ωasTas. Dus Tas = PU12/(2*π*50) = –30939/314 = –98,5Nm.

17.3: a. Kijken we naar de machine bij cosϕ = 0,45, dan is de hoek ϕ = ±63o. Aangezien de machine zich inductief gedraagt, dan ijlt de stroom na op de spanning, dus I1 = 100∠–63o A. Zouden we naar het net kijken en uitgaan van Inet = 100A en de hoek daar bepalen, dan moet uitgegaan worden van cosϕ = -0,45, waaruit volgt Inet = 100∠±117oA. Aangezien het net zich capacitief gedraagt, krijgen we dat Inet = 100∠+117oA, waarna volgt weer dat I1 = 100∠–63oA. Dat klopt met het idee dat het een motor is (net levert stroom aan de machine, dus de hoek van I1 zit tussen de + en – 90 graden (zie vier kwadranten schema blz 35). Zou uitgegaan worden van het net en dan met cosϕ = 0,45, dan is de hoek ϕ = ±63o bij Inet en dan kan de machine geen motor zijn volgens het vier kwadranten schema. Kortom, bij een gegeven cosϕ is het nogal bepalend of de machine motor of generator is voordat verder wordt gerekend. b. U12 = 5774∠0o – 100∠–63o *j25 = 5774 – 2500∠27o= 3714∠–18o V. Met λ = 400 wordt I2 = 3714/400 = 9,285A. De lasthoek valt binnen de maximale grenzen. Omdat de lasthoek negatief is, ijlt de rotor met 180 na op de fasespanning van het net. Dit is inderdaad motorgedrag (het net trekt de rotor mee). Omdat I1 in het vectordiagram ook omhoog wijst, klopt dit ook met motorgedrag.

De vermogens zijn nu: Pnet = 3*5774*–100*cos(00 + 630) = 786kW, Qnet = 3*5774*–100*sin(00 + 630) = –1543kVAR ≈ –1,54MVAR, PU12 = 3*3714*100*cos(–180 + 630) = 788kW, QU12 = 3*3714*100*sin(–180 + 630) = 788kVAR en QX1 = 3*1002*24 = 750kVAR.

3,38 – j2,55 Ω

– + j14Ω

+ +

–

230∠0o V

–

649∠110oV

54,35∠217o A 54,35∠37o A

I1

– + j25Ω

100∠–63o A

+

–

+

–

5774∠0o V 3714∠–18oV

I1


HAN-FT-CPM SEECE 52

17.4: a. Doordat er op de rotor naast de synchrone wikkelingen ook asynchrone wikkelingen liggen zal de fluxverandering worden tegengewerkt (zie theorie asynchrone machine). Deze wikkeling wordt ook gebruikt om de synchrone machine als asynchrone machine te helpen met aanlopen als motor. Eenmaal op toeren neemt het statorveld de rotor als synchrone machine verder mee en is de fluxverandering in de rotor nul en staat de asynchrone wikkeling buiten spel. b. Omdat er geen fluxverandering is zullen er geen wervelstromen optreden. c. Door de bekrachtiging(gelijk)stroom I2 groter en kleiner te maken veranderen we het Blindvermogen. Door het askoppel groter en kleiner te maken veranderen we het Wattvermogen. d. Als de bekrachtigingstroom van de rotor groter wordt zal het magnetische veld van de rotor sterker worden. De aantrekking met het statorveld is dan krachtiger en de lasthoek zal dan kleiner worden. Bij een kleiner wordende bekrachtigingsstroom zal het tegenovergestelde effect optreden. Dan dreigt het gevaar dat de lasthoek te groot wordt en de rotor los komt van het statorveld, met alle gevolgen van dien.

17.5: a. Na berekening volgt dat U12 = 322∠230V, en dan volgt daaruit dat I2 = 36A. De vermogens worden Pnet = 3*230*15*cos(00 + 300) = 8963kW en Qnet = 3*230*15*sin(00 + 300) = 5175VAR. Uit het machinediagram volgt dat eea keurig binnen de toelaatbare grenzen past (zie figuur hieronder). Het net neemt dus vermogen op en gedraagt zich inductief. De machine vertoont het tegenovergestelde gedrag en levert vermogen en gedraagt zich capacitief.

Vraag : Ga dit laatste na. Antwoord, waarbij met Inet wordt verder gerekend: PU12 = 3*332*–15*cos(230 + 300) = –8991W, QU12 = 3*332*–15*sin(230 + 300) = –11932VAR en QX1 = 3*152*10 = 6750VAR. Qmachine = QU12 + QX1 = –5182VAR.

ϕ1

δ

U1 = 5774∠00V

I1 = 100∠–630A

U12 = 3714∠–180V


HAN-FT-CPM SEECE 53

b.

17.6 a. Met fr = 3030 omw/min levert fr = 50,50505 omw/s. Dat ingevuld in s = (50 – fr)/50 levert s = -1/99. Dat weer ingevuld in 0,1.(1-s)/s levert -10Ω op.

ϕ1


Pnet

5185VAR

8963W

δmax

δ = 230 Smax = UI [VA]

I2 = 36A

Inet = 15∠-300A

Pas max

ϕ1


Pnet

5185VAR

8963W

δmax

δ = 230 Smax = UI [VA]

I2 = 36A

Inet = 15∠-300A

Pas max


HAN-FT-CPM SEECE 54

b. IA wordt berekend met de 2e wet van Kirchhoff via –(–10)IA – 0,1IA – j0,2IA – 230∠0o = 0. Dan volgt daaruit dat IA = 23,23∠1,2o A.

c. IC = 230∠0o /(20 + j5) = 11,1567∠-14o A. d. IA – IB – IC = 0 zodat IB = 12,8∠14,4o A. e. Uit 230∠0o – 12,8∠14,4o *j10 – U12 = 0 volgt verder dat U12 = 289,9∠-25o V. Vanwege de

negatieve lasthoek is de synchrone machine dus blijkbaar een motor. De asynchrone machine is dus de enige generator. In eerste instantie zou men denken dat de synchrone machine als motor evt kan worden uitgezet, maar dat kan niet omdat de synchrone machine als motor verantwoordelijk is voor het juiste blindvermogen in het net. Zonder deze synchrone machine zou de netspanning niet tot stand komt. Zie opgave 17.7. Kortom, we kunnen een ohms-inductief net niet voeden met alleen een asynchrone machine, die zelf ook ohms-inductief is. De synchrone machine in het net zorgt dan voor het capacitieve gedrag, ook als deze zich als motor gedraagt.

f. We kunnen veronderstellen dat we de synchrone machine weg kunnen halen en eenvoudig een condensator (lees condensatorbank) daar neer kunnen zetten. Maar volgens bovenstaande berekening blijft IA = 23,23∠1,2o A en IC = 11,1567∠-14o A, dus moet IB = 12,8∠14,4o A zijn, waarbij we uit gingen van een netspanning van 230∠0 o. De fasehoek voor een condensator is 90o terwijl we 14,4o als hoek van IB hebben. Kortom, we krijgen door enkel een condensator toe te voegen niet de gewenste situatie. Wat we parallel aan het net moeten zetten is te berekenen, namelijk U1/IB = 17,41Ω – j4,47Ω, dus een weerstand van R = 17,41Ω in serie met een condensator. De waarde van de condensator is dan te vinden met XC = 1/ωC, zodat C = 712µF. Het is overigens praktischer om een weerstand parallel aan een condensator te zetten, dus R*1/jωC/(R+1/jωC). We krijgen dan dat 17,41-j4,47 = R/jωC/(R+1/jωC) = R/(jωRC+1) = R/(314jRC+1). Dat gaat een hele ingewikkelde berekening worden. Via de vermogens gaat het veel eenvoudiger. De U1 en IB geeft P = UIcosϕ = -2852W en Q = UIsinϕ = 732VAR. Het net inclusief de asynchrone machine levert Watt vermogen EN gedraagt zich inductief. Dat betekent dat er een condensator parallel aan het net komt om de 732VAR te compenseren. Via Q = U2/XC krijgen we dan een XC = 72,27Ω ofwel een C =

IC

20 + j5

– + j10Ω

+ +

– 230∠0o V

–

U12

IB IA j0,2Ω

-10Ω

0,1Ω

asynchrone machine synchrone machine net


HAN-FT-CPM SEECE 55

44µF. De weerstand staat ook parallel aan het net van 230V en moet een vermogen opnemen van 2852W. Met P = U2/R krijgen we een R = 18,55Ω. De condensator zullen we praktisch toe kunnen voegen aan het net door het in en uit schakelen van één of meer condensatorbanken. De weerstand wordt lastiger omdat we op een of andere manier het Watt vermogen in warmte of beweging om moeten zetten. Een fysieke weerstand neerzetten die warmte produceert is niet nodig. We zouden vermogen kunnen leveren via het NorNed om water omhoog te pompen in Noorwegen. Dan hebben we meteen het voordeel dat we, weliswaar met een laag rendement, vermogen weer terug kunnen krijgen als dat nodig is. We kunnen natuurlijk ook de windmolens af schakelen of andere opwekeenheden in vermogen aanpassen.

17.7. In het algemeen kan worden gesteld dat we bij een asynchrone machine in eilandbedrijf volgens de 2e Wet van Kirchhoff altijd de volgende situatie krijgen volgens onderstaand schema: – I(R’2 *(1-s)/s + R1 + Rn + jX1 + jXn) = 0, dus moet gelden R’2 *(1-s)/s + R1 + Rn = 0 EN jX1 + jXn = 0. Voor de eerste formule geldt dat alleen s de variabele is, dus R’2 *(1-s)/s = – R1 – Rn. Aangezien R1, R’2 en Rn altijd positief zijn moet de slip s zo gekozen worden dat het geheel negatief wordt, zodat totaal een negatieve weerstand R’2 *(1-s)/s het resultaat is. De asynchrone machine moet dus wel generator zijn en is eenvoudig te realiseren. Verder moet gelden jX1 + jXn = 0, dus X1 = -Xn. Aangezien X1 een spoel en dus positief is moet Xn negatief zijn, dus het net moet zich capacitief gedragen, en wel heel precies de tegenwaarde zijn van de spoel en condensator.

Rn + jXn Unet [V]

I jX1 R1

asynchrone machine net

R’2 *(1-s)/s

+

–

elektrische... · 2021. 1. 21. · Inleiding Elektrische Energietechniek. HAN-FT-CPM SEECE 1...

Documents

Transcript of elektrische... · 2021. 1. 21. · Inleiding Elektrische Energietechniek. HAN-FT-CPM SEECE 1...