Eindhoven University of Technology

MASTER

Elektronisch worteltrekken volgens de inverse-functie-methode

Verkoeijen, G.H.

Award date:1969

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

STUD !E8tBUOTHFEK

Elektronisch worteltrekken

volgens de inverse-functie-methode

door

G.H. Verkoeijen

Verslag van het afstudeerwerk verricht in opdracht van

Prof. Dr. J.J. Zaalberg van Zelst, onder leiding van

Ir. K. Breukers en Ir. G.G. Persoon.

ee&juni 1969

t

Inhoud

I.

11.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

111.

111.1.

111.2.

IV.

Samenvatting

Inleiding

Practische uitvoering van het systeem

Het genereren van de kwadratisohe spanning

De driehoekgenerator

De sommator

De integrator

De comparator

Het laagdoorlaatfilter

Meetresultaten

Een gelijkspanning aan de ingang

Een wisselspanning aan de ingang

Conclusies

Opmerkingen bij de schema's

Schema's

Appendix 1

Appendix 2

Appendix 3

Literatuurlijst

1

2

6

v1 6

11

15

15

17

18

20

20

20

26

28

29 t/m 33

34

36

38

41

- 1 -

Samenvatting

In dit verslag wordt beschreven, hoe met behulp van de inverse-functie­

methode, de mathematische bewerk~ng worteltrekken uit een ingangs­

signaal kan worden verwezenlijkt. Het teken van het uitgangssignaal

wordt bepaald door d~t van het ingangssignaal.

Dit signaal kan in frequentie variëren van 0 tot 1 kHz.

De maximale amplitude bedraagt 5 V top top, symmetrisch rond het nul-

niveau.

De nauwkeurigheid is beter dan 1 %, als de metingen verricht worden

bij constante omgevingstemperatuur.

o

- 2 -

I. Inleiding

met vu

v.~

Vu = c. m = uitgangssignaal

= ingangssignaal1

c = I V"'l:dan dient men gebruik te maken van de inverse-functie-methode.

De methode schept de mogelijkheid, een functie te genereren, die de

inverse is van een gegeven tijdsafhankelijke functie.

In de practijk blijkt bij analoge rekenmachines behoefte te bestaan

aan een apparaat, dat in staat is de mathematische bewerking wortel­

trekken uit een ingangssignaal uit te voeren. De bestaande elektronische

schakelingen, die gebruik maken van vermenigvuldigers of Hall-plaatjes,houden geen rekening met het teken van het ingangssignaal. Wil men dit

wel en wenst men een overdrachtsfunctie van de volgende gedaantevi

Het hart van een zogenaamde inverse-functie-generator is een comparator,

die twee spanningen met elkaar kan vergelijken (zie figuur 1).

t

vc I I I1----

f--- - -

comp.v + V

C 0

vI 1- V

0

figuur 1

De beide ingangsspanningen worden aangeduid met v1

en V2

• De uitgangs­

spanning krijgt als symbool v • De eigenschap van de comparator, incfiguur 1 in diagramvorm weergegeven, kan wiskundig omschreven worden.

Er geldt voor een ideale comparator:

en

v = + Vc 0

v = - Vc 0

als v1

<. V2

als v1 > V2

Nemen we nu voor v1 een periodiek signaal, dat volgens een bepaalde

functie van de tijd afhangt, dan zal blijken dat de gemiddelde waarde

- 3 -

van de uitgangsspanning V c volgens de inverse functie van V2 afhangt.

Daar de wortel uit V2 bepaald moet worden, zal men voor v1 een

kwadratische spanning als functie van de tijd moeten nemen. De

periodieke signaalvorm, waarvan figuur 2 een periode geeft, voldoet

aan bovenstaande eis. Bovendien wordt dan rekening gehouden met het

teken van V2 , hetgeen in het hierna volgende wordt aangetoond.

v --------

t-""------+-----";:O"'-e;::----~.........----_:::oo._.f_----tT1+

- V

figuur 2

In wiskundige formule:

v1 = t at2 voor 0 ~ t ,tT 2 T ,1:v1 = t a(2' - t) voor 1+ < t 2

T 2 Tl(~v1 = -t a(t - 2') voor 2' < t

2~ <tv1 = -t a(T - t) voor ~T ,

Er bestaat uiteraard verband' tussen a. T en... daar:een v

... Tv1 = v voor t == 'Ij:

Dus ... t a(t)2v ==

32 V­en hieruit volgt a == 2T

De comparator vergelijkt v1 met het ingangssignaal V2 en als V2 een

positieve gelijkspanning is, krijgen we een spanningsvorm voor vc '

zoals in fig. 3a is aangegeven. Voor een negatieve waarde van het

ingangssignaal ziet V c eruit als in figuur 3b.

- 4 -

v

t-...._+- -!-_....iiiIl....~--------.,..---IIIIiiiiooo-_+_---t

t

IIII,I I I----r------ï----ï---- ï ---, I II I ,I I II I I

I , ', I I

V I I I IIC I

I I I : 1I I I

II I

I I II, I I

ZOo ZOo I I I, I II

I,

, I,

I I,I I

I I II I I ..........----- I I ,t I II I

"

vo

a

-v

-vo

vo

b

v , IC , I,

I I I_________________ i ____ ~

I I 1

I,

III

I II II II t

-vo

figuur 3

Als V2

< V geldt:

.. 5 ..

v c

v c

= Vo

= -Vo

voor

voor

o < t ,,-r enoT

'Co < t '2 - 'Co

T2 - 'to < t '" T

waarbij voor ~o geldt: ..-r 2

o= 16v " 2

T2 0

Dus: ~o =! Vv3'. (zie figuur 3a)V

Voor de gemiddelde waarde van Vc in het vervolg Vc genoemd. kan dan

geschreven worden:

1v =c T

T

f v dtc

= 1T

Vo1

dt + ­T.

- -T1

V {(! - 'C ) - 't: }020 0

vc

=

=

.1 {V 't'T 0 0

4V 'Co 0

T

TT}+ V - + V 1:' - V - + 2V 'Co 2 0 0 0 2 0 0

T IIv;' 4V0 T \fV;' V0

Met '(0:: '4 V't wordt v o :: T · '4 vr = F \j"v;'Als V0 = c ~wordt gekozen, met c = 1 Vi. dan is vc = c \(V;.Men kan met behulp van ~iguur 3b op analoge wijze aantonen, dat

Vc = - c ~als het ingangssignaal V2 negatief is.

- 6 -

11. Practische uitvoering van het systeem

In hoofdstuk I werd reeds vermeld, dat de comparator het belangrijkste

deel van een inverse-functie-generator vormt. Daarom vindt ij deze dan

ook midden in het volgende blokschema (figuur 4).

r'/l

1. freq. 4. Q. -v vreg. e cgen. comp.

-n-r AW V vl

2. MAf' 3.

[ ,J

figuur 4

De ingangssignalen van de oomparator (4.) zijn vi en v1

" vi is het

te verwerken signaal. De generator (1.) levert een blok- en drie­

hoekvormige spanning met een vaste faserelatie. In de sommator (2.)

worden beide spanningen na enkele bewerkingen gesommeerd en door de

integrator (3.) gerntegreerd tot de uiteindelijke spanning v1

•

De uitgangsspanning v van de oomparator (4.) wordt door het laag­odoorlaatfilter (5.) gemiddeld en v is dan evenredig met Vi •

. 0 ~

11.1. ~~~-~~~~~~~~~-!~~-~~-~!~~~~~!~~~~-~E~~~!~~-!1.

De wiskundige bewerking integreren is elektronisch te verwezenlijken,

hetgeen ertoe leidt v1 door integratie van een &panning u1 af te

leiden. De spanning u1 (zie figuur 5b) is dus de afgeleide van v1

- 7 -

(figuur 5a) naar de tijd.

a t

b

c

d

~---+---~---+--"""-t

I---....;.-------;-----t

....--""'-------~~---tfiguur 5

In formule:

u1 = at voor 0 < t ,~

T t) T < t ,1:u1 = -a('2 - voor 'Ij:' 2

-aCt - !) T<. t'~u1 • voor2 2

u1 = aCT - t) voor "f < t , T

u1 kan men verkrijgen door de spanningsvormen uit ,figuren 5c en 5d,

die gelijke amplitudes hebben, op te tellen. De driehoekvormige

spanning uit figuur 5d kan men door integratie afleiden van een blok­

vormige spanning, die ten opziohte van figuur 5c in de tijd over een

kwart periode verschoven is.

- 8 -

De te volgen methode om v1 af te leiden van één blokvormige spanning,

wordt in figuur 6 schematisch aangegeven.

DJa.

ruFF2

~ r u, S ~FFl

~

- FF3 f1:, -

figuur 6

De frequentie van d~ blokvormige spanning, geleverd door een externe

generator, wordt met behulp van de bistabiele multivibrator FF1 ge­

halveerd. Deze FF1, heeft twee uitgangen, die blokvormige spanningen

afgeven, welke in tegenfase zijn. Als we aannemen dat de frequentie

van de generator constant is, zijn de tijden ~1 en ~2 (figuur 6),Qehorende bij die blokvormige spanning, gelijk. De bistabiele multi­

vibratoren FF2 en FF3, die beide op een negatieve flank getriggerd

worden, leveren aan hun uitgangen spanningen, die een kwart periode

ten opzichte van elkaar verschoven zijn. De uitgangsspanning van

FF3 wordt gerntegreerd en geeft dan de driehoekvormige spanning, als

in figuur 5d. Na sommatie wordt u1 verkregen. Deze wordt nogmaals ge­

integreerd, zodat tenslotte de kwadratische spanning v1 ontstaan is.

Een sc~akeling volgens dit systeem met besohikbare componenten ge­

bouwd, leverde inderdaad de spanning v1 aan de uitgang. De vervorming

bleek echter vrij groot. In eerste instantie door faseverschuivingen

tussen de blokvormige spanningen onderling. Bovendien worden door de

integratoren en de sommator fouten veroorzaakt.

Het nu volgende systeem, dat prinoipieel van het vorige verschilt,

werd door mij gerntroduceerd. Voor het bijbehorende blokschema wordt

verwezen naar figuur 4. Er wordt uitgegaan van een generator (1.),

die een driehoekvormige en blokvormige spanning met een vaste fase­

relatie afgeeft. Beide spanningen worden toegevoerd aan de sommator

(2.), waarin verscheidene;~ewerkingenplaatsvinden. De bij deze be­

werkingen optredende spanningen en stromen zijn met bijbehorende

faserelatie in figuur 7 aangegeven.

a

v

- 9 -

t

b I---~I--------"""-------""'--------- t

I

Cllo.o .- _

v

t

d ....--~~--------------...--------- t

i

.... ... ... ....... ...

~:--+------e

............,:. - - - - - - --g... ...

.............. ,"... ..... ..

et g -----1--------- '--------- -------------- t

... ... ... .... ...

i

t

figuur 7

a

b

i

i

- 10 -

figuur 8

t

t

- 11 -

Een gelijkstroom I wordt met de driehoekvormige spanning (7a.) ge­

moduleerd. 7c geeft het resultaat weer. Deze stroom wordt met de

blokvormige spanning uit 7d-verkregen door de frequentie van 7b te

halveren - op zodanige wijze gesohakeld, dat de stroomvorm van

figuur 7e ontstaat. Gewenst wordt de stroomvorm g uit figuur 7. Dit

zou direct verkregen kunnen worden, door de gelijkstroom I uit 7c

100 %te moduleren. Dit is zonder vervorming niet mogelijk. De ge­

wenste stroomvorm kan men toch verkrijgen door bij de stroom van 7e,

7f o~ te tellen. Stuurt men deze stroom door een oondensator, dan

heeft de condensatorspanning de gedaante van de kwadratische spanning

v1 (zie figuur 5a).

Men kan hetzelfde resultaat echter ook verkrijgen door niet uit te

gaan van de s~roomvorm van ?e, maar die van figuur Ba. Deze laatste

ontstaat, als men voor 7b een signaal kiest, dat hiermede in tegen­

fase is. Om weer 7g te krijgen moeten nu de stroomvormen-van Ba en

Bb worden gesommeerd.

Het signaal van Ba verdient de voorkeur boven dat van 7e, daar in het

signaal van Ba de harmonischen met kleinere amplitude voorkomen. In

de appendix 1 wordt dit aangetoond.

In deze eenheid wordt er van uit gegaan dat er over een oondensator

een lineair met de tijd toenemende spanning ontstaat, als deze opge­

laden wordt met behulp van een oonstante stroom. Keert men de stroom

van richting om als een bepaald spanningsniveau is bereikt, dan zal de

condensatorspanning lineair met de tijd afnemen. Bij een ander, lager

niveau wordt de stroom weer de oorspronkelijke richting gegeven. Op

deze wijze ontstaat een driehoekvormige spanning. Figuur 9 geeft het

principe van deze schakeling aan.

De werking van de stroomsohakelaar bestaande uit de transistoren T1tot en met T4 zal hier uitvoerig besproken worden, daar deze schakelaar

in het gehele apparaat meerdere malen voorkomt.

De combinatie T1, T2 , T3, T4 zal ervoor zorgen dat er, al naar gelang

de polariteit van de spanningen op de gates van de veldeffect transistoren

T1 en T2 , een positieve of een negatieve stroom ter grootte I door de

condensator C vloeit, hetgeen aan de hand van de figuur zal worden ver­

klaard.

- 12 -

+

Re1V I

Re4

V I e4I e3 i + be3 be4 +T

3 J - - T4"I rI b3

I b4 JI c3 II 4I c 1L Schmitt [>,,--

I rI triggerI I I Io. 0

==0.

0

ti - JL

~,..-.-.. ... ,..I . , I, I

T1L. ••.!• .A 1. •

2

lIo

-figuur 9

We gaan er van uit dat T2 geleidt en T1 gesperd is. Over Re staat

dan geen spanning en T4 geleidt niet. De stroom I door de 3

condensator 0 is 10

vermeerderd met de belastingsstroom 11

• De

condensatorspanning neemt af tot het onderste niveau van de Schmitt­

trigger bereikt wordt. Op, dit moment gaat T1

geleiden en wordt T2gesperd.

De condensator wordt nu opgeladen via T4 •

Om een symmetrische driehoekspanning te verkrijgen, dient men ervoor

te zorgen dat de oplaadstroom gelijk is aan de ontlaadstroom. De

volgende vergelijkingen kunnen worden opgesteld.

-l' -I = I + I b + I b0 c, , 4

= I + I be, 4

en R I + Vb = R I + Vbe, e, e, e4 e4 e4Ofwel:

R 1 = R 1 + Vb - Ve4 e4 e, e, e, be4

= R I - R I b + Vb - Ve, 0 e, 4 ~, be4

Voor I geldt: I = tll. I ec c

Dus: I = ""4 I = cx.4 (R I - R I b + V - Vb )c4 e4 R e, 0 e, be, e4e4 4

014R I R V - Ve, 0 e, be, be4

I = -- (1 - Cl( 4 )I + l:lt.4 Rc4 R R c4e4 e4 e4

Voor de term Vbe,

V geldt:be4

s. 4Vbe = Ale

In dit geval is AI e

Voor 10

,

= 2 I b4de weerstanden Re, en R en Cl(4 werd genomen:

e4

I = 2 mAoR ,. R = 100 ne, e4

CX4~ 1 0(4 = 150

V - V = 2 I b 12 5 2 1" 10-6 "0 Vbe, be4 -S:l ,.. ,. :I ".. •

Vergelijken we dit met R I :I 200 mV, dan wordt dit procentueele, 0

- 14 -

330.10-6 .100 ~ 1.5 0/00

200.10-3

Nemen we voor I L een maximale waarde 1 ~A aan, dan blijkt dat we de

invloed daarvan op look kunnen verwaarlozen, namelijk:o

2 I L-1- .100

o

-6= 2.10_3

.100 = 1 0/00

2.10

Uitdrukking (2.1) wordt dan:

R RClC.4

R 10e

3e

3e

3I (1 + - 0(.4 R) =0 R Re4 e4 e4

Dit moet gelden voor iedere waarde van 10

, dus:,R R R

~e3

e1 + - 0(.4 = Q(.4 i2R R

e4 e4 e4

= 1(2 ClC. 4 - 1)

Re3

Re4

Aan (2.2) wordt nu voldaan als:

Re4

R = 2 0(.4 - 1.e

3Om een geringe waarde voor I L te verkrijgen, is aohter de condensator C

een veldeffect-transistor als .source-volger geplaatst.

Nemen we nu aan dat de oplaad- en ontlaadstroom van de oondensator

gelijk zijn, dan verloopt de berekening van de frequentie van de drie­

hoekspanning als volgt:

De hysterese-spanning van de Schmitt-trigger is VH·, Neem aan dat de

condensator op het tijdstip t = 0 ontladen is en opgeladen wordt met

een stroom I.1 fl:'= C I dt en Vc = VH voor t = ~ volgt de

oC V

HDus ~ = --1-- • Het ontladen

frequentie geldt: f = i~ =

Uit de vergelijking Vctijd ~ voor het opladen.

1VB = C· I .1:

tijd, zodat voor de

vergt een even langeI

2CV •HDe amplitude van de kwadratische spanning VI is frequentie-afhankelijk.

Willen we deze amplitude constant houden, dan kunnen we dit doen door

de stroom van de stroombron I te regelen.oVoor het totale schema van deze eenheid wordt verwezen naar blad A.

- 15 -

11.3. De sommator

In de sommator worden twee stroomschakelaars I en 11 toegepast, als

beschreven in hoofdstuk 11.2. 1 schakelt een driehoekvormige stroom,

terwijl de ander een gelijkstroom -schakelt. In figuur 10 wordt het

principe verduidelijkt.

~ n [iJ IJJ MA! 'xl

" r oru 3 oJl l"1

~

I ort) °Lr 11FF1

- I

III --

figuur 10

De bistabiele multivibrator FFl halveert de frequentie van de blok­

spanning-aan ingang 1. De uitgangen van FF1, beide in tegenfase,

schakelen de stroomschakelaars. Schakelaar I verwerkt een stroom,

die door de driehoekspanning aan ingang 2 gemoduleerd wordt.

Schakelaar 11 levert een blokvormige stroom. De gewenste stroomvorm

ontstaat aan de uitgang 3.Het volledige schema staat weergegeven op blad B.

Stuurt men door een condensator een stroom, die vglgens een functie

van de tijd afhangt, dan zal de condensatorspanning evenredig zijn

met de integraal van die functie.

- 16 -

Het principeschema van deze bewerking wordt door figuur 11 weergegeven.

De condensator e wordt opgeladen met de stroombron i.

+--... +

Er geldt: d '.vli = i = e dtc1 f i c

dten vl =cin ons geval ia i = at.

figuur 11

Voor vl geldt nu:1 1, at2

v1 = c J i c d t = cJa,t ,d t = 2C + V0

Uit de voorwaarde vl =at2

v l = 2e

o voor t = 0 volgt dan meteen V = O. Duso

( 1)

Wanneer we de condensatorspanning willen meten, dan zal de condensator

belast worden met een weerstand R'(figuur 12).

Nu geldt:

i = i c + i R =at

vI = ~ f i c dt

v = i R R1

i--_-....+

, figuur 12

Hieruit volgt de differentiaalvergelijking:

d VlRe~ + Vl = R at

(2)

+ ••••• "e

t

D I R2 e a (e ... Re ... 1)e op ossing vl = + R at

lijkt geenszins op uitdrukking (1).

Reeksontwikkeling van de e...macht geeft:t

Re

- 17 ...

Als RC ~ 1 dan zal bij afbreken de fout hoerdoor kleiner zijn dan de

absolute waarde van de laatste term.

Breken we de reeks af na de derdemachtsterm en substitu8l1en we deze

polynoom in (2) dan vinden we voor vI'

- R at at 2 at3+ R atvI = + ---

6RC 22C , .

at2 at3vI = 2C -

6RC 2

Dit is gelijk aan de uitdrukking (1) verminderd met de

Uitgedrukt in procenten van de gewenste term wordt dan

at3stroomterm --2.

6RCde afwijking:

6.=at3 2C

----2 • ~ • 100 =6RC at

100 t3RC

Hieruit blijkt dat de grootste afwijking optreedt bij t = t max •

Met de in dit geval gekozen waarden: t = 5 M sec, R = 470 k.n.,max ,C = 1500 pF wordt 4 ~ 2,5 0/00.max

Aan deze eenheid moeten de volgende eisen worden gesteld;

1) een hoge ingangsimpedantie. Dit is de weerstand R, die de integrator

belast.

2) een geringe offset-spanning aan de ingang. Een eventueel aanwezige

offset-spanning zal bij de te verwerken spanningen vI en vi worden

opgeteld en dus een fout in het eindresultaat opleveren.

3) de blokspann\ng aan de uitgang dient symmetrisch te zijn rond het

nulniveau. Bovendien moet de amplitude constant zijn.

Om aan het bovenstaande te kunnen voldoen, werd een schakeling ont­

wikkeld, waarvan figuur 13 het principe weergeeft.

Als eigenlijke comparator dient de geintegreerde schakeling ICl, een

~A 710. De werking van dit element wordt uitvoerig besproken in het

afstudeerverslag van Ir. L.J. Kuipers (Lit. 1). Verdere gegevens hier­

over vindt U ook nog in het handboek van de fabrikant (Lit. 2).

Deze jUA 710 voldoet niet aan bovenstaande eisen. Aan beide ingangen

is een gelijkstroom van 13)WA nodig. Om hiervan geen hinder te onder­

vinden bij het afnemen van de spanning vi op de condensator C en om

tevens een hoogohmige ingang te verkrijgen voor de spanning vi zijn

twee impedantie-transformatoren gebruikt, die elk een ingangsweerstand

van 470 kr.L hebben. Een impedantie-transformator bestaat uit een source-

- 18

volger met een stroombron in de source-leiding, tegengekoppeld van

drain naar source met een transistor. De berekening van de uitgangs­

impedantie vindt U in appendix 2.

1 1

[>i 2

imped.antie 1C1transformator

figuur 13

, Compensatie van een offset-spanning aan de ingang van de ~A 710 wordt

verkregen door de instellingen van beide veldeffect-transistoren in de

transformatoren verschillend te kiezen.

Eis 3) levert geen moeilijkheden op, als men zich de werking van de

stroomschakelaar herinnert. Deze schakelaar wordt hier dan ook toege­

past, omdat de uitgangsspanning van de JA'A 710 +3,1 V of - 0,5 V is.

De juiste niv~aus voor het sturen van de veld effect-transistoren ll8.n

deze schakelaar worden verkregen met behulp van een versterker

(figuur 13). Het complete schema van de comparator is getekend op

blad C achter' in het verslag. Hierin is ook de schakeling voor de

regeling van de frequentie van de driehoekspanning opgenomen, nodig

om de amplitude van vl constant te houden.

We wensen de gemiddelde waarde van de uitgangsspanning v van deccomparator te bepalen. Met behulp van een Fourier-ontwikkeling kan

- 19 -

elk~ periodieke spanningsvorm geschreven worden als som van een

gelijkspanningscomponent en wisselspanningscomponenten. Nemen we van

dit periodieke signaal de gemiddelde waarde, dan is de bijdrage van

de wisselspanningscomponenten nul en blijft de gelijkspanningsbijdrage

als gemiddelde waarde over. Practisch kunnen we deze gelijkspanning

bepalen door de wisselspanningcomponenten door filteren uit het signaal

te verwijderen. Dit kan gedaan worden door middel van een laagdoorlaat­

filter, waarvan de afsnijfrequentie onder de herhalingsfrequentie ligt.

De ligging van~ze afsnijfrequentie wordt bepaald door de geéiste

verzwakking van de wisselspanningcomponenten ten opzichte van de gelijk­

spanningsterm. Uit de bovengenoemde Fourier-ontwikkeling blijkt, dat de'.

component met de herhalingsfrequentie hierbij maatgevend is.

Figuur 14 geeft een voorbeeld van een actief doorlaatfilter, een

zogenaamd tweede orde filter, met gelijke weerstanden en condensatoren.

c

cA

.....---~+ vu

figuur 14

Voor de amplitude-karakteristiek IHI = 1::1 geldt onderstaande uit­

drukking, die in appendix 3 wordt afgeleid.

IHI = V A , A = 3 - vz:1 + <-:>'+

o

Hierin isw de frequentie waarbij IHI 3 dB gedaald ie. Voor W)c.)o 0

valt /HI met 40 dB per decade af.

Indien de bijdrage van de wisselspanningscomponenten 1 %van het

uitgangssignaal mag zijn, dan is een verzwakking nodig van tenminste

40 dB. De afsnijfrequentie dient dan meer dan een factor 10 lager te

~ijn dan de herhalingsfrequentie.

Het schema van deze eenheid vindt U op blad D.

vu

- 20 -

111. Meetresultaten

Reeds in hoofdstuk I werd vermeld dat van het apparaat de volgende

overdrachtsfunctie werd geëist:

c vi ~= met c = 1 VY

WirIn hoeverre deze overdrachtsfunctie werd gerealiseerd moge blijken

uit de volgende meetresultaten.

De grootte van deze spanning werd gemeten met een digitale voltmeter,

fabrikaat Fairchild, type 7100A.

De uitgangsspanning werd eveneens gemeten met een digitale voltmeter

en wel van Hewlett Packard, type 3440A.'.

In de volgende tabellen worden voor twee temperaturen als functie van

de ingangsspanning gegeven:

a) de ui tgangsspanning , Vuitb) de gewenste waarde van de uitgangsspanning, Vthc) de afwijking van de gewenste waarde, A

d) deze afwijking in promille, gerelateerd op 1,500 Vaan de uitgang,

A rel.Dit uiteraard voor positieve en negatieve ingangsspanningen afzonderlijk.

De bijbehorende gegevens a), c) en d) werden voorzien van een index

+ of -, al naar gelang de polariteit van het ingangssignaal.

De procentuele afwijkingen vindt U in de grafiek uitgezet als functie

van de ingangsspanning.

111.2. ~~~_!!~~~!~~~~!~~_~~~_~~_!~§~~

Nemen we een sinuso1dale spanning als ingangssignaal, dan bestaat er

een verband tussen de effectieve waarden van het in- en uitgangs­

signaal. En wel het volgende:

Als vi = a sin wt met a :> 0 en wT = 2." dan is

c vi v-; sinwtVu;;P/C Vsin wt

= ij J 2dt = c. V! · v:.v vueff u

0

- 21 -

Uit deze laatste uitdrukking volgt v; = 'V[2" \r;-;-V "'eff

als:

1 T 2 aT 1 Vi dt =~

wordt dan v geschrevenueff

: c VI \rz VVi • rr : c.

Hiermee

Tabel 111.2 geeft van links naar rechts:

het ingangssignaal vi in Veff •

het uitgangssignaal v in Veff •u

de gewenste waarde vth in Veff •

de afwijking van de gewenste waarde, Ain Veff "'.

de relatieve afwijking 6 1 gerelateerd op een effectieve waarde vanre1V aan de uitgang in procenten.

De metingen werden verricht met een effectieve-waarde meter, HP 3400A

en wel bij een frequentie f =~ = 100 Hz en een temperatuur van

37,500.

Tabel 111.2f geeft het uitgangssignaal in Veff als functie van de

frequentie, bij een constant ingangssignaal ter grootte 1 Veff , bijo37,5 o.

De foto's geven een duidelijk beeld van de vormen van in- en uitgangs­

signaal, achtereenvolgens voor een sinusordale, een driehoekvormige

en blokvormige ingangsspanning. De amplitudes bedragen 2V tpp top

en de frequentie is 100 Hz.

°Tabel 111.1. T = 37,5 c

- 22 ...

Vin +Vuit -Vuit Vth 4 (mV) 4 (mV) 6rel

.:t; (%0) A, 1 (%0)+ ... re -(mV) (mV) (mV) (mV)

10 85 101 100 -15 +1 -10 + 0,640 187 202 200 -13 +2 ... 8,7 + 1,3

90 288 303 300 -12 +3 - 8,0 + 2,0160 388 402 400 -12 +2 - 8,0 + 1,3

250 490 502 500 -10 +2 ... 6,7 + 1,3360 591 602 600 - 9 +2 - 6,0 + 1,3

490 693 701 700 - 7 +1'; - 4,7 + 0,6640 793 801 800 ... 7 +1 - 4,7 + 0,6810 896 900 900 - 4 0 - 2,7 0,0

1000 997 1000 1000 - 3 0 '- 2,0 0,01210 1100 1099 1100 0 -1 0,0 - 0,61440 1200 1198 1200 0 -2 0,0 - 1,31690 1302 1297 1300 + 2 -3 + 1,3 - 2,01960 1403 1396 1400 + 3 -4 + 2,0 - 2,72000 1419 1409 1414 + 5 -6 + 3,3 - 4,0

2250 1507 I 1495 1500 + 7 -5 + 4,? - 3,3

Vin +Vuit -Vuit Vth A (mV) 4_ (mV) Are~o/O). ~el~%)+(mV) (mV) (mV:) (mV)

10 82 82 100 -'j8 -'(:t8 - 1,2 - 1,240 300 313 200 +100 +113 + 6,6 + 7,5

90 384 401 300 + 84 +101 + 5,6 + 6,7160 472 488 400 + 72' + 88 + 4,8 + 5,9

250 561 574 500 + 61 + 74 + 4,0 + 4,9

360 651 663 600 + 51 + 63 + 3,4 + 4,2

490 741 751 700 + 41 + 51 + 2,7 + 3,4640 831 839 800 + 31 + 39 + 2,1 + 2,6

810 922 927 900 + 22, + 27 + 1,5 ++1t~

1000 1014 1017 1000 + 14 + 17 + 0,9 +1,1

1210 1104 1106 1100 + 4 + 6 + 0,27 + 0,4

1440 1198 1195 1200 2 5 - 0,13.- 0,33... ...

1690 1288 1284 1300 - 12 ... 16 ... 0,8 - 1,1

1960 1381 1373 1400 ... 19 ... 27n - 1"3 - 1,8

2000 1394 1386 1414 - 20 ... 28 - 1,3 - 1,92250 1474 1463 1500 ... 26 ... 37 - 1,7 - 2,4

I­ItIt

5 6 74

I:1

2

+

910'73 4

I

2910'6 7i2 iI

,_. ~--.!

I

4321

JI-

I

...j.i .. -tt t=i=t--

J1 ! I 3 4 6 7 8 ~ 10'

I

2 3 4I

4 5 6 7 8 ) 10'I

) ~ 4 5 7 8 910·

N.V. Drukkerij .,Mercurius" Wormerveer No. 12 X'1I1 1011. verdeeld 1·10' Eenheid 62.5 mmo Y.IIS verdeeld in mmo

Tabel III.2

- 24 -

Vi(Veff ) vu(Veff ) Vth(Veff) (Veff ) A re1(%)

1.000 0.938 0,950 0.012 1.2

0.250 0,460 0.475 0.015 1.5

0,111 0.306 0.316 0.010 1.0

0,0625 0,227 0,237 0.010 1,0

0,040 0,176 0,190 0,014 1,4

Tabel III.2f

f(Hz) vu(Veff ) f(Hz) vu(V eff )

20 0.933 500 0,938

40 0,938 600 0,936

100 0.938 700 0.932

200 0,938 800 0.930

300 0,938 900 0,928

400 0,938 1000 0.924

'.

- 25 -

- 26 -

IV. Conclusies

1. De minimale en maximale spanningen aan de ingang zijn respectievelijk

10 mV en 2,5 V, bij een onnauwkeurigheid van 1 %. De maximale waarde

wordt bepaald door de eigenschappen van de comparator, ~A 710. Door

gebruik te maken van een comparator met een groter dynamisch bereik

aan de ingang kan men deze maximale waarde vergroten.

De grootste fout treedt bij de aangegeven minimale waarde op. Dit

tengevolge van de onzekerheid, die optreedt als de comparator twee

signalen moet vergelijken, die slechts een gering verschil in hun

afgeleiden vertonen, in het punt waarin deze signalen gelijk zijn.

2. De bij wisselspanning gemeten onnauwkeurigheid rond 1 %kan het

gevolg zijn van de onnauwkeurigheid van de effectieve-waarde meter.

Deze ~s namelijk 1 % van de volle schaal.

(0) cos c.,) t --ol)­

2VsinCa)tt-.ot~o

3. In tabel III.2f is bij f = 1000 Hz de uitgangsspanning nog geen 3 dB

gedaald. Toch wordt daar niet meer aan de overdrachtsfunctie voldaan

omdat het laagdoorlaatfilter de derde harmonische, zijnde 3 kHz

nog net onverzwakt weergeeft. De wortel ui t sin (,J t heeft ech ter in

de nuldoorgangen verticale raaklijnen, zodat in deze functie de

harmonischen een grote rol spelen.

Dit blijkt als men mathematisch de raaklijn aan Vsin(,.)t bepaalt,

in een nuldoorgang. Dan geldt:

lim d~(sint..)t)t = lim ~(sinC&)t)-t cosCo)t = lim

4. Bij een blokvormige spanning aan de ingang verloopt de uitgangs­

spanning ook blokvormig. De stljgtijd van dit uitgangssignaal wordt

bepaald door de afsnijfrequentie van het laagdoorlaatfilter.

5. Een aanzienlijke vergroting van het frequentiebereik kan men ver­

krijgen door toepassing van een dubbel-T-filter achter een tweede­

orde filter. Dit wordt uitvoerig beschreven in het stageverslag

van K.P. van Rooy, (Lit. 3).

6. De temperatuurafhankelijkheid komt tot uitdrukking in het versç'hil

in relatieve afwijkingen, bij. metingen verricht bij de temperaturen04 0T = 37,5 Ct en T = 7,5 C. Deze afhankelijkheid ontstaat door een

niet gelijktijdige verandering met de temperatuur van beide stroom-

- 27 -

bronnen in figuur 10. Hierdoor treedt een vormverandering op van

de spanning vl. Dit temperatuurgedrag kan men verbeteren door

tegenkoppeling op de gelijkstroombron in figuur 10.

'.

- 28 -

Opmerkingen bij de schema'~

1. De voedingsspanningen dienen gestabiliseerd te zijn en ont­

koppeld met behulp van elektrolytische en mica-condensatoren

parallel.

2. Die delen van de schakeling waarin blokken worden geproduceerd

met steile flanken {schakelspanningen voor de veldeffect­

transistoren) , worden gevoed via een .serieweerstand van 12.n.

3.· De gebruikte operationele versterkers 'p-A ?09'.zijn als volgt

gecompenseerd:

tussen de punten 1 en 8 1000 pF en 1,5 kn.

tussen de punten 5 en 6 39 pF en 1,8 ka.

De voedingen van & versterkers worden zo dicht mogelijk bij de

versterkers ontkoppeld met 10 nFo

I

IV\J:)

I

(,)2k7~4t'F lJlOO,_'- __ 64.uF,_,- _..- I

0

0100

-ol'

~lk2 BJ- IJ3

l-f(BFY64

BSX29

-] 220

J220 [) 8k2

]560

~2N4126

(l

220 1

T

BSX29

tl2

j\,- A710

+/ ----.......

ik2

tI.""-.. 2N4124

,8k 1­

21

TIS88

L----I- TIS88

- '-----+-------t

BFX36

50f) 100 [l100

I--TIS88

---..-..---...........--4--......-...J.....--..---- -+-_--._-...__....... - 24

Blad A

+ 24

- 24

I

o \).Io

I

Y -l -l220

[J8k2

..-

[ 10050

10q) t~50

10d}I 560

::>N4'~h BFX36 LJ BFX36 r/

1 1 T ,- r~

2k71 =~ 64,J

",

BSX29 SX29

=~ lk5

~ ---TIS88 TIS88 f---- TIS88 TIS88

28-

, -lMC358A -J

1k8 J -11 IJ1]220 ~ IJ 82k220 ~ 242pF + 25 pF

lk~-12 C;h()2c4l5

11" BFY64I .1 tr

~ 2N4124

f 605 1,z[ 1k5 [] lk5 I k

B

A

BSX

-5,2

Blad B

100

220

+12~F'''...- ....-

o

, 5k

+'/2

E J,p2k7

Ik64,. 6?

D 820I

Vol~

0 I

-'1J 20 TIS88

-1822 18

-5 ...

2N 196

27k

-,...;.T.....,F~~------------"""T"...,---r------Ilr------....------+ 24

.....----"-......- .......-~---..;.....-----...L----=L---~...:..--- _24

Blad C

I

\J,II\)

I

.'

- 24

+ 24

104

o

470

~---- + 122N4l26

2N4 __60BAY'll

F o---t---4::J---+-- G

BAY7l

Blad C

10k

lOOk

BAY7l

D

TIs8:8:--1---1-----r - r------+--------- 0

Blad D

5k1

27k 10k

- 12

UIT

470

+ 12

12k

10k

27k

o

- 34 -

Aj>pendix I

Berekeningen van de Fourier-reeksen van de signalen uit figuren 7g

en Ba. '.

We gaan uit van de Fourier-reeksen van een blokvormige en driehoek­

vormige spanning als aangegeve~ in onderstaande figuur.g .. (t)

A1......,.,-T--'----'----...,

....-----+-------I------+----t

~----,.-----~~---...,.""----t

A

4 -= Al it. Ln=l

sin n c.) to

nn = oneven CA) T = 21Co

t-----+-----f-----i----t

t

.. 35 ..

4 oe sin nCo) t _ ( ..l)n+ 1g4(t) = Al ft~ 0 .. A ..§.. L 2 sin n c.-> t n = oneven

n =1 n 2 1t2 n =1 n20

In g3(t) en g4(t) komen termen voor met sin n ~ot. In onderstaande

tabel staan voor enkele waarden van n de amplitudes a van dezen

sinussen. In de laatste twee kolommen staan voor g3(t) en g4(t) deze

a n relatief ten opzichte van al. Dit voor Al = 1 en A2 =..0,5.

Tabel:

gl g2 g3 g4 g3(rel) g4(rel)

al 1,274 - 0,405 0,869 1,679 1,000 1,000

a3

0,425 0,045 0,470 0,380 0,535 0,226

a5

0,25'5 .. 0,016 0,239 0,271 0,272 0,162

a7

0,182 0,008 0,190 0,174 0,216 0,104

a9

0,142 - 0,005 0,1'37 0,147 0,156 0,088

all 0,116 0,003 0,119 0,113 0,136 0,067

Conclusie: voor g4(t) zijn de amplitudes van de harmonischen

relatief ongeveer de helft van die bij g3(t)

- 36 -

Appendix 2

Berekening van de uitgapgsimpedantie van een souree-volger met

tegenkoppeling en een stroombron in de souree-Ieiding.

De schakeling is als onderstaande figuur.

- i )c

i d ) + vds + Rs(i d - ie)

-vbe

v. =l.

V '+ R (id

- i )gs s c

= R(ib + id

)

vi d = Sl(Vgs + ~:)

ie :: S v be

i b = iC/oc. l

Vu = Rs(id

o = R(ib

+

+v.

il.

+

R vs u

Uit deze vergelijkingen volgt voor Vu als functie van vi:

v =u

De uitgac~sstroom i u is i d - ie

= 0: i (Ru s = 0)

(oc,l + RS) +

De uitgangsimpedantie:

{1 RB . RS [ BI (, R{R~ - R

S 1 (oc.' + RS)+""R S S:J Ra SlÜ + ölo)+ Ra S R Sl + (1 + Ol') L+ /11til + Ra - 1It.+ r..

Voor R -? GD (stroombron) wordt dit:s

- 37 -

1 +RS RB

loc.' +

tul1Z = 1 • RBuBl (1 + ,tel) 1 + + RS

Ol'

Voor de source.volger met stroombron zonder tegenkoppeling geldt:

z =u1

We constateren

1 +RS RS

lOl' +

f'l

1 .... RS+ RBOL'

een verlaging van de uitgangsimpedantie met een factor

Nemen we in de emitterleiding van de transistor een 6v zenerdiode op,

dan kunne~ we R vergroten tot 10 R.

Dan wordt deze factor:

1 + 10RSC)l.' +

1 + 10RS + 10 RB0(.'

D i · 1 d d fac tor is 1e m n~ma e waar e van eze voorC(.,10RS

<x,.' » 1.

- 38 -

Appendix 3

Berekening van de amplitude-karakteristiek van een tweede orde

Butterworth filter.

Uitgaande van onderstaand schema, komen we tot de volgende ver­

gelijkingen.

C> t------.+

VJ I_2_V_2_1_+_A Luvuv2 = A

vi 2

. C u= JW 2 T

v vu j c..>R2u

vI = T + C2 T

i l = jCo)Cl(vl - v )u

v. = Rl i l + Rl i 2 + vI~

Hierbij wordt de versterker i~eaal verondersteld. En wel wordt aange­

nomen dat hij een oneindig grote ingangsimpedantie heeft, een uitgangs­

impedantie nul en een vlakke amplitude-karakteristiek in het benutte

frequentiegebied.

H =v

u- =V.

J.

A

Voer in: p = jCo;)'t' = j ~ of j~ = P ~oCA)0

Dan: H A 1= 2· (1 A)RlC l + (Rl R2 )C2RlClR2C2c.>0 2 + 1p + p

<4,)0 Rl Cl R2C2+

W2 Rl Cl R2

C20

Dit kunnen we schrijven als:

H =

met H' =

.. 39 ..

1 12 = (p ) ( ) en b =

P + bp + c + PI P + P2

(1 - A)RICI + (Rl + R2)C 2Wo RI CI R2C2

Eisen we dat IH \, en dus 'H '\ t extreem vlak is, !po et 'H' I de volgende1 '

gedaante hebben: \H'I = V 4'1 + p

Dit geldt als PI = + t 'n (1 - j) en P2 '=+1- Y2<1 + j)

Hieruit is gemakkelijk af te leiden, dat dan

DUE voor de beschouwde overdrachtsfunctie:

(1 - A)RIC I + (Rl + R2 )C 2'->0 R::.ClR2C2

Voor het kiezen van de componenten is het eenvoudig als

Rl = R2 = R en Cl = C2 = C.

Bovendie~ is nu wonafhankelijk van A.o

Dan Wo = ic en A = 3 - V2.

En uiteindelijk: 'H I

In bijgaande grafiek zijn een gemeten en een berekende amplitude­

karakteristiek uitgezet.

i I

3 4 5I i 3 Î T i I 8 910'

I.

2 4 5 6 71 rr

-: -+-'

t•.• - -f- -- '~ ..~-,

-~ :-~-

t ;- :t- .t-

+-

I.. +t

,~:-:.! -~

~Î

I

I, ..;... -~ i -1

I

I

oI

Imi

Jj ) I 1 6 7 10'

I)

I11.

l ! 6 7 8 10' 3

N.V. Drukkerij "Mercurius" Wormerveer No. 12 X-as log. verdeeld 1·10' Eenheid 62.5 mmo Y·as verdeeld in mmo

---------------------------------

- 41 -

Literatuurlijst

Lit. 1. Een sample-schrijver voor lage frequenties

(gedeelte van de schakeling)

Afstudeerverslag in de groep EEB door L.J. Kuipers.

Lit. 2. The application of linear microcircuits.

SGS Fairchild.

Ltt. 3. Het ontwerpen van een laagdoorlaatfilter

stageverslag in de groep ETB door K.P. van Rooy.