ААZZƏƏRRBBААYYCCААNN RRЕЕSSPPUUBBLLIIKKААSSII

TTƏƏHHSSİİLL NNААZZİİRRLLİİYYİİ

BBААKKII BBİİZZNNЕЕSS UUNNİİVVЕЕRRSSİİTTEETTİİ

«Аli riyаziyyаt və tехniki fənlər» kаfеdrаsı

«EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİ VƏ

RİYAZİ STATİSTİKA»

fənni üzrə

PP RR ОО QQ RR АА MM

(Bаkаlаvr pilləsi üçün)

Azərbaycan Respublikası Təhsil

Nazirinin 29.01. 2015 - ci il tarixli

127 saylı əmri ilə təsdiq edilmişdir.

BАKI - 2015

2

Bаkı Biznеs Univеrsitеtinin Fakultə Elmi Şurаsının 19

sеntyаbr 2014-cü il tаriхli 1 sаylı prоtоkоlu ilə təsdiq еdilmişdir.

Tərtib edən: dоs.Q.M.Nаmаzоv

Rеdаktоr: dos. Ü.M.Məmmədova

Rəyçilər: prof. A.X.Xanməmmədov

dos. S.T.Əzizov

3

ÖN SÖZ Аli təhsil sistеminin yеnidən qurulmаsı tələbələrin dərin və

möhkəm riyаzi biliklərə mаlik оlmаlarını, ali riyaziyyatın müxtəlif

bölmələrini müаsir еlmi məsələlərin həllinə tətbiqеtmə bаcаrığına və

müstəqil işləmə vərdişlərinə yiyələnmələrini tələb еdir.

Tələbələrin yаrаdıcı təfəkkürünü, məntiqi və fərdi düşünmə

qаbiliyyətini inkişаf еtdirmək, qаzаndıqlаrı bilikləri iqtisadi məsələ-

lərin nəzəri və prаktiki həllinə tətbiq еtmə və аlınаn nəticələri аnаliz

еtmə bаcаrığını inkişаf еtdirmək üçün «Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi

statistika» kursu tədrisinə xüsusi yanaşma tətbiq edilməlidir.

Mühаzirə аydın və bаşаdüşülən dildə, yüksək еlmi-mеtоdiki

səviyyədə охunulmаlıdır. Mühаzirə prosesində аuditоriyа tələbələri-

nin mənimsəmə və qаvrаmа səviyyəsi nəzərə аlınmаlıdır.

Mühаzirədə kursun mühüm və əsаs məsələləri şərh еdilməli-

dir. Mühаzirələr prоblеm vəziyyətli və diаlоq хаrаktеrli оlmаlı-

dır.Hər bir tələbə аuditоriyаdа аpаrılаn mühаkimə və isbаtın, məsələ

həllinin, аlınаn əsаs nəticələrin müzаkirə və аnаlizinin fəаl iştirаkçısı

оlmаlıdır. Mühаzirədə riyаziyyаt еlminin əhəmiyyəti,оnun müаsir

еlm və iqtisadiyyatın müхtəlif sаhələrində əlаqəsi qеyd оlunmаlıdır.

Gələcək iqtisаdçı kаdrlаrın hаzırlаndığı аli məktəblərdə öyrə-

nilən fənlər аrаsındа “Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika” fənni-

nin хüsusi əhəmiyyəti vаrdır. Belə ki, müаsir еlmi tехniki tərəqqi şə-

rаitində, iqtisаdiyyаtın ən müхtəlif sаhələrinə riyаzi mеtоdlаr gеniş

tətbiq еdilir və o hаzırdа cəmiyyətin istеhsаl qüvvəsinə çеvrilir.

Prоqrаm iqtisаdiyyаt və riyаziyyаt еlminin qаrşılıqlı əlаqəsinin

müаsir idеyаlаrınа və dövlət stаndаrtlаrınа uyğun tərtib оlunmuşdur.

Prоqrаmdа iqtisаdiyyаtlа riyаziyyаt аrаsındа qаrşılıqlı əlаqəni təmin

еdən mаtеriаllаrın tədrisinə böyük yеr vеrilmişdir.

Prоqrаm tərtib еdilən zаmаn Azərbaycan Respublikası Təhsil

Nazirliyinin bakalavr hazırlığının məzmununa və səviyyəsinə qoyu-

lan məcburi tələblər barədə Dövlət Standartları (2014) və Bаkı Bi-

znеs Univеrsitеtinin 2010-cu il tədris plаnı əsаs götürülmüşdür.Yeni

tədris plаnınа əsаsən Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi tatistika fənni bir

tədris sеmеstrində (II sеmеstrdə) nəzərdə tutulmuşdur.

Tədris yükünün həcmi əyаni şöbədə 60 sааtdır (30 sааt mühа-

zirə, 30 sааt prаktik məşğələ).

4

MÖVZU 1

EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİNİN ELEMENTLƏRİ.

TƏSADÜFİ HADİSƏLƏR VƏ ONLARIN TƏSNİFATI

1. Ehtimal nəzəriyyəsinin yaranma tarixi.

Ehtimal nəzəriyyəsinin yaranma tarixi. Nəzəriyyənin

ilkin inkişafında azart oyunların əhəmiyyəti. Ehtimal nəzə-

riyyəsinin XVII əsrin ortalarından elm kimi formalaşmağa

başlaması. Riyaziyyatın bu bölməsinin meydana gəlməsində

Y.Bernulli, A.Muavr, P.Laplas, K.Qauss, S.Puasson, P.L.Çebı-

şev, A.A.Markov, A.M.Lyapunov və b. alimlərin rolu. Nəzə-

riyyənin fizika, astronomiya, iqtisadiyyat, linqvistika və s.

elmlərə tətbiqi. Yeni elmi istiqamətlərin, məsələn, riyazi statis-

tikanın, informasiya nəzəriyyəsinin, kütləvi xidmət nəzəriyyə-

sinin və s. inkişafinda ehtimal nəzəriyyəsinin mənbə kimi iş-

tirakı.

2.Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışları.

Təbiətdə baş verən hadisələrin öyrənilməsi üçün aparı-

lan müşahidələr, təcrübələr və ölçmə işləri. Hadisə - aparılan

müşahidələrin, ölçmələrin, sınaqların nəticəsi kimi. Yəqin ha-

disə - aparılan hər sınaq nəticəsində gözlənilən hadisənin hök-

mən baş verməsi. Mümkün olmayan hadisə - aparılan hər sınaq

nəticəsində gözlənilən hadisə hökmən baş verməməsi. Təsadüfi

hadisə - sınaq nəticəsində müəyyən şərtlər daxilində hadisə baş

verə də bilməsi, baş verməyə də bilməsi. Uyuşan və uyuşma-

yan hadisələr. Eyni imkanlı hadisələr.

3.Elementar hadisələr fəzası.

Cüt-cüt uyuşmayan hadisələr. Hadisələrin tam qrup (tam

sistem) əmələ gətirməsi. Hadisələrin elementar və mürəkkəb

olmaqla fərqləndirilməsi. Müəyyən sınaqla bağlı bütün ele-

mentar hadisələr çoxluğunun elementar hadisələr fəzası əmələ

gətirməsi. Hadisənin elementar hadisələr fəzasının altçoxluğu

kimi təyin edilməsi. n sayda elementdən ibarət sonlu elementar

5

hadisələr fəzasının altçoxluqlarının sayı.

4. Hadisələr cəbri.

Hadisələrin ehtimalını riyazi olaraq tərin etmək üçün

hadisələr sistemi. Elementar hadisələr fəzasının altçoxluqları

sistemi. Altçoxluqlar sistemi üçün ödənilməsi tələb olunan

şərtlər. Hadisələr cəbri. Hadisələr cəbrinin xassələri. Hadisələr

cəbrinin genişlənməsi. Genişlənməsi üçün əlavə şərt. -cəbri

və ya Borel cəbri.Hadisələrin bərabərliyi, cəmi (birləşməsi),

hasili (kəsişməsi), fərqi.

5.Hadisənin ehtimalı və ehtimal nəzəriyyəsinin aks-

iomları.

Elementar hadisələr fəzasında A hadisəsi üçün əlverişli

hadisələr. Mümkün olmayan hadisəsinin heç bir elementar

hadisə üçün əlverişli olmaması. Yəqin hadisənin elementar

hadisələr fəzasının bütün elementar hadisələri üçün əlverişli

olması. Rus alimi A.N.Kolmoqorov tərəfindən ehtimalın aksio-

matik tərifinin daxil edilməsi. Yəqin hadisənin ehtimalının

vahidə bərabər olması. İstənilən elementar hadisənin ehtimalı

üçün 0 olması. Mümkün olmayan hadisənin

ehtimalının sıfıra bərabər olması. Təsadüfi hadisənin ehtimalı.

Uyuşmayan A və B hadisələri üçün P(A+B)=P(A)+P(B) ol-

ması.

MÖVZU 2

EHTİMALIN KLASSİK VƏ STATİSTİK TƏRİFİ.

HADİSƏLƏR EHTİMALI

1. Ehtimalın statistik və klassik tərifi. Hadisənin başvermə (nisbi) tezliyi. XVIII əsrdə fransız alimi Byuffon və ingilis alimi Pirsonun apardığı sınağın nəticələri. Tezliyin statistik dayanıqlıq xassəsi. Hadisənin ehtimalı (və ya statistik ehtimalı). Hadisələr sisteminin klassik modeli. Ehtimalın klassik tərifi. Ehtimalın tərifindən alınan xassələr.

6

2. Həndəsi ehtimal.

Sonsuz sayda nəticələrlə bağlı sınaqlar. Həndəsi eh-

timalın yaranması zərurəti. Həndəsi ehtimal. Həndəsi ehtimal

üçün ehtimalın aksiomlarının ödənilməsi. Birölçülü fəzada

həndəsi ehtimal (parça). Ikiölçülü fəzada həndəsi ehtimal

(sahə). Üçölçülü fəzada həndəsi ehtimal (həcm). Çoxölçülü

fəzada həndəsi ehtimal (hipermüstəvi).

3. Birləşmələr nəzəriyyəsinin elementləri.

Müxtəlif əşyalardan (ünsür, element) düzəldilmiş qrup-

ların birləşmələr əmələ gətirməsi. Birləşmələr nəzəriyyəsinin

əsas iki qaydası. Vurma qaydası. Toplama qaydası. Verilmiş

çoxluqdan elementin qaytarılmaq şərti ilə seçilməsi. Verilmiş

çoxluqdan elementin qaytarılmamaq şərti ilə seçilməsi.

Nizamlı çoxluq anlayışı.

4. Aranjeman. Permutasiya. Faktorial. Faktorialın şərti işarəsi. Sıfır faktorial. Per-mutasiya (tərif). n elementli permutasiyaları sayı. n elementli təkrarlı yerdəyişmələrin sayı. Aranjeman (tərif). n elementdən m elementə görə aranjemanların sayı. Permutasiya aranjemanın xüsusi halı kimi. 5. Kombinezon. Nizamlanmamış altçoxluqlar. Kombinezon (tərif). Kombinezon - n elementli çoxluğun nizamlanmamış m ele-mentli altçoxluqları kimi. Kombinezonun yazılış qaydası. Aranjeman, permutasiya və kombinezon arasında əlaqə. Kom-binezonun xassələri. Binomial əmsalların cəmi.

7

MÖVZU 3

EHTİMALLARIN TOPLANMASI VƏ VURULMASI

TEOREMLƏRİ. ŞƏRTİ EHTİMAL

1.Asılı olan və asılı olmayan hadisələr.

Asılı olmayan hadisələrin tərifi. Asılı hadisələrin tərifi.

Asılı olmayan və asılı hadisələrə misal. Asılı olmayan iki

hadisənin birlikdə baş verməsinin (yəni hasilinin) ehtimalının

onların ehtimalları hasilinə bərabər olması. Külliyatca asılı

olmayan hadisələr. Külliyatca asılı olmamaq şərtinin cüt-cüt

asılı olmamaq şərtindən daha güclü olması. Külliyatca asılı

olmayan nAAA ,...,, 21 hadisələrinin birlikdə baş verməsinin

(hasilinin) ehtimalının onların ehtimalları hasilinə bərabər

olması.

2.Şərti ehtimal. Vurma teoremi.

Şərti ehtimalın tərifi. Şərtsiz ehtimal. Şərti ehtimalın

ehtimal nəzəriyyəsinin aksoimlarını ödəməsi. İki asılı

hadisənin birlikdə baş verməsinin (hasilinin) ehtimalı. Bir neçə

asılı hadisənin birlikdə baş verməsinin (hasilinin) ehtimalı.

Şərti ehtimalın ödənilmədiyi hal. Iki hadisənin asılı

olmamasının şərti ehtimalın vasitəsilə ifadəsi.

3.Uyuşan və uyuşmayan hadisələrin ehtimallarının

toplanması teoremi.

Uyuşmayan hadisələr cəminin ehtimalı. Sonlu sayda

cüt-cüt uyuşmayan nAAA ,...,, 21 hadisələrinin cəminin ehti-

malı. Cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup əmələ gətirən

nAAA ,...,, 21 hadisələrinin ehtimalları cəmi. Qarşılıqlı əks

hadisələrin cəminin ehtimalı. Uyuşan hadisələrin cəminin

ehtimalı. Uyuşan və asılı olan hadisənin cəminin ehtimalı.

Uyuşan və asılı olmayan hadisənin cəminin ehtimalı.

4.Heç olmasa bir hadisənin baş verməsi ehtimalı.

Asılı olmayan n təsadüfi hadisə. Sınaq nəticəsində hadi-

sələrdən birinin və ya bir neçəsinin baş verməsi. Asılı olmayan

8

n təsadüfi hadisədən sınaq nəticəsində heç olmasa birinin baş

verməsi. Bu hadisənin əksi olan hadisə. Asılı olmayan

nAAA ,...,, 21 hadisələrindən heç olmasa birinin baş verməsi

ehtimalının hesablanması. Eyni ehtimallı asılı olmayan

nAAA ,...,, 21 hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsi

ehtimalı. Eyni ehtimallı asılı olmayan nAAA ,...,, 21 hadisələrdən

heç olmasa birinin baş verməsi ehtimalı məlum olduqda bu

hadisələrin ehtimalının tapılması.

5.Tam ehtimal və Bayes düsturları .

A hadisəsinin cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup əmələ

gətirən nHHH ,...,, 21 hadisələrindən yalnız və yalnız biri ilə

eyni zamanda baş verməsi. Hk hadisələrinin P(Hk) şərtsiz

ehtimallarının tapılması. A hadisəsinin P(A/Hk) ( nk ,1 ) şərti

ehtimallarının tapılması. Cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup

əmələ gətirən nHHH ,...,, 21 hadisələrindən yalnız və yalnız

birinin baş verməsi ilə baş verən A hadisəsinin ehtimalı (Tam

ehtimal düsturu). Tam ehtimal düsturunun xüsusi halı:

qarşılıqlı əks olan B və B hadisələrindən yalnız birinin baş

verməsi ilə baş verən A hadisəsinin ehtimalı. Bayes düsturları.

Bayes düsturu vasitəsi ilə )/( AHP i fərziyyələr ehtimalının

tapılması.

MÖVZU 4

TƏKRARLANAN SINAQLAR. BERNULLİ DÜSTURU.

MUAVR VƏ LAPLAS TEOREMLƏRİ.

ƏN BÖYÜK EHTİMALLI ƏDƏD

1.Asılı olmayan sınaqlar ardıcıllığı.

Təkrar sınaqlar. Təkrar sınaqlarda A hadisəsinin baş

verməsi və baş verməməsi ehtimalı. A hadisəsinə nəzərən asılı

olmayan sınaqlar ardıcıllığı. Asılı olmayan hadisələr ardıcıllı-

ğında A hadisəsinin baş verməsi ehtimalının eyni və müxtəlif

9

olması. Eyni ehtimallı hadisələrin araşdırılması. Simmetrik

sınaqlar. Asılı olmayan sınaqların ehtimallarıın hesablanması

qaydası.

2. Bernulli düsturu.

Bernulli düsturu. A hadisəsinin başvermə tezliyi ilə

Bernulli düsturu arasında əlaqə. Binomial paylanma qanunu.

Paylanma parametrləri. Bernulli düsturu ilə Nyuton binomu

arasında əlaqə. n sınaqda hadisənin m dəfədən az baş verməsi

ehtimalı. n sınaqda hadisənin m dəfədən çox baş verməsi ehti-

malı. n sınaqda hadisənin ən azı m dəfə baş verməsi ehtimalı.

n sınaqda hadisənin ən çoxu m dəfə baş verməsi ehtimalı.

3.Bernuli sınaqları üçün asimptotik düsturlar.

Bernulli sınaqlarının ümumiləşməsı. Ən böyük ehti-

mallı ədəd. Ən böyük ehtimallı ədədin tapılması üçün düstur.

qnp tam ədəd olduqda iki ən böyük ehtimallı ədədin olması.

qnp kəsr ədəd olduqda bir ən böyük ehtimallı ədədin ol-ma-

sı. Sınaqları n sayının kifayət qədər böyük olması halında Ber-

nulli düsturlarından istifadənin əlverişli olmaması. Bernulli

sxemi üzrə təqribi düsturların əlverişli olmasının əsaslandırıl-

ması.

4.Puassonun asimptotik düsturu.

Sınaqların n sayı kifayət qədər böyük və hər sınaqda A

hadisəsinin baş verməsinin p ehtimalı )1( p kifayət qədər

kiçik olduğu hal. Puasson parametri. 0p və n ol-

duqda np hasilinin Puasson parametrinə yaxınlaşması. Puas-

sonun asimptotik düsturu. Binomial paylanmanın Puasson

yaxınlaşması. Puassonun asimptotik düsturundan istifadənin

əlverişli olduğu hal ( 10 ). Kifayət qədər kiçik p-lər üçün

Puasson düsturunun nadir hadisələr qanunu adlandırılması.

5.Muavr-Laplasın lokal və inteqral teoremləri.

Sınaqların n sayı kifayət qədər böyük olduqda A hadi-

səsinin k dəfə baş vermə ehtimalı. A hadisəsinin ən azı 1k dəfə

10

və ən çoxu 2k dəfə baş verməsi ehtimalı. Laplas funksiyası.

Laplas funksiyasının xassələri. Laplas inteqralını dəqiq

hesablamaq mümkün olmadığından onun 50 x qiymətləri

üçün tərtib olunmuş cədvəlindən istifadə qaydası. A hadisəsinin

baş vermə tezliyinin ehtimaldan çox az fərqlənməsi. Laplas

funksiyasının pq

nx nöqtəsindəki qiyməti.

MÖVZU 5

TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTLƏR VƏ ONLARIN

TƏSNİFATI. DİSKRET TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTİN

PAYLANMA QANUNU VƏ ƏDƏDİ

XARAKTERİSTİKALARI

1.Təsadüfi kəmiyyətlər.

Təsadüfi kəmiyyət anlayışı. Təsadüfi kəmiyyətlər ehtimal

nəzəriyyəsinin əsas anlayışı kimi. Diskret təsadüfi kəmiyyətin

tərifi. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin tərifi. Təsadüfi kəmiyyətin

mümkün qiymətlər çoxluğu (sonlu, hesabi və qeyri-hesabi).

Təsadüfi kəmiyyətin çoxluqlar nəzəriyyəsinə əsaslanan tərifi.

Təsadüfi kəmiyyət - elementar hadisələr fəzasında təyin olun-

muş ədədi funksiyaya kimi.

2.Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu.

Təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətləri ilə ehtimalları

arasındakı qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq. Təsadüfi kəmiyyətin

paylanma qanunu. Paylanma qanunun cədvəl şəklində

verilməsi. Paylanma qanununu paylanma sırası. Paylanma

qanunun qrafiki şəkildə verilməsi. Paylanma çoxbucaqlısı (və

ya poliqonu). Paylanma qanunun analitik şəkildə verilməsi.

Paylanma sırasının yalnız diskret təsadüfi kəmiyyətlər üçün

qurulması.

3.Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası və

xassələri.

11

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası. Pay-

lanma funksiyasının təyin oblastı. Paylanma funksiyasının

qiymətlər çoxluğu. Paylanma funksiyasının xassələri. Paylan-

ma funksiyası monotonluğu. Paylanma funksiyası soldan

kəsilməzliyi. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiya-

sının hissə-hissə sabit funksiya olması. Diskret təsadüfi kəmiy-

yətinin paylanma funksiyasının qrafikinin pilləvari olması.

Paylanma funksiyasının kəsilmə nöqtələrində sıçrayışı.

4.Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi və xas-

sələri.

Riyazi gözləmənin tərifi. Riyazi gözləmə və orta qiy-

mət.Paylanma sırası ilə verilmiş diskret təsadüfi kəmiyyətin

riyazi gözləməsinin hesablanması riyazi gözləmənin olmadığı

hal. Riyazi gözləmənin mexaniki mənası. Bir sınaqda hadisənin

baş verməsinin riyazi gözləməsi. Riyazi gözləmənin xassələri.

Asılı olmayan n sınaqda A hadisəsinin baş verməsinin riyazi

gözləməsi.

5. Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası və xassələri.

Orta kvadratik meyl.

X təsadüfi kəmiyyəti ilə onun riyazi gözləməsi arasındakı

meyl. Dispersiya və orta kvadratik meyl – təsadüfi kəmiyyətin

mümkün qiymətlərinin riyazi gözləmə ətrafında səpələnmə

xarakteristikası kimi. Təsadüfi kəmiyyətin meylinin riyazi

gözləməsinin sıfıra bərabər olması.Diskret təsadüfi kəmiyyətin

dispersiyasının tərifi. Dispersiyanın xassələri.Asılı olmayan n

sınaqda A hadisəsinin baş verməsinin dispersiyası.Orta kvadra-

tik meyl və xassələri.

12

MÖVZU 6

BƏZİ XÜSUSİ PAYLANMALAR. BİNOMİAL,

PUASSON, HƏNDƏSİ PAYLANMALAR.

ONLARIN ƏDƏDİ XARAKTERİSTİKALARI

1.Binomial paylanma.

Asılı olmayan sınaqlar ardıcıllığında hadisənin baş

verməsi və baş verməməsi. Hadisənin başvermə sayının

təsadüfi kəmiyyət olması. Hadisə i dəfə baş verdikdə təsadüfi

kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün Xi=i (i=0,1,2,...) qiymətlərinə

uyğun ehtimalların Bernulli düsturu vasitəsilə hesablanması.

Binomial qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyət. Binomial

paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi.

Binomial paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası.

Binomial paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin orta kvadratik

meyli.

2.Puasson paylanması.

Təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərini Puasson

qanunu ilə alması. parametrli Puasson qanunu ilə paylanmış

diskret təsadüfi kəmiyyət. Ehtimalın hesablanmasında Puasson

qanununun tətbiqinin əlverişli olmadığı hal. Puasson

paylanmasının λ parametrinin qiymətindən asılı olaraq tətbiqi.

Puasson paylanmasına malik diskret təsadüfi kəmiyyətinin

riyazi gözləməsi. Puasson paylanmasına malik diskret təsadüfi

kəmiyyətinin dispersiyası. Puasson paylanmasına malik

diskret təsadüfi kəmiyyətinin orta kvadratik meyli.

3.Həndəsi paylanma.

Hadisənin baş verənə qədər təkrarlanması. p parametrli

həndəsi qanunla paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyətlər.

Həndəsi paylanmanın qiymətlərinin birinci həddi p, vuruğu q

olan sonsuz azalan həndəsi silsilə əmələ gətirməsi. Həndəsi

paylanmaya malik diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözlə-

məsi. Həndəsi paylanmaya malik diskret təsadüfi kəmiyyətin

13

dispersiyası. Həndəsi paylanmaya malik diskret təsadüfi

kəmiyyətin orta kvadratik meyli.

4.Nəzəri momentlər.

Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin k tərtibli başlanğıc mo-

menti. Sıfır, bir, iki, üç, dörd ,..., k tərtibli momentləri. k

tərtibli mərkəzi moment. Sıfır, bir, iki, üç, dörd ,..., tərtibli

mərkəzi momentlər. Mərkəzi momentlə başlanğıc momentlər

arasındakı münasibətlər. Riyazı gözləmənin mərkəzi moment-

lərlə ifadəsi. Dispersiya ikitərtibli mərkəzi moment kimi.

5.Moda, median və kvantil.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin modası. Diskret təsadüfi

kəmiyyətin medianı. Diskret təsadüfi kəmiyyətin p-tərtibli

kvantili. Kvantilin köməyilə paylanma funksiyasının artma

istiqamətinin təyini. Birmodalı və çoxmodalı təsadüfi kəmiy-

yətlər. Simmetrik təsadüfi kəmiyyətin modası. Paylanmanın

“assimmetrikliyinin” xarakteristikası.

MÖVZU 7

KƏSİLMƏZ TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTLƏR.

PAYLANMA FUNKSİYASI VƏ ƏDƏDİ

XARAKTERİSTİKALARI

1.Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər.

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin tərifi. Kəsilməz təsadüfi

kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu. Bu çoxluğun

müəyyən sonlu və ya sonsuz interval təşkil etməsi.Kəsilməz

təsadüfi kəmiyyət kəsilməz proseslərin xarakteristikası kimi.

Paylanma funksiyası kəsilməz diferensiallanan funksiya olan

təsadüfi kəmiyyət. Kəsilməz olmayan təsadüfi kəmiy-yətlər.

Bir intervalda kəsilməz, digər intervalda isə kəsilməz olmayan

təsadüfi kəmiyyətlər.

2.Paylanma və sıxlıq funksiyaları, onların xassələri.

Sıxlıq (diferensial) funksiyası kəsilməz təsadüfi kəmiy-

14

yətin paylanma funksiyasının törəməsi kimi. Paylanma

funksiyası sıxlıq funksiyasının ibtidai funksiyası kimi. Sıxlıq

funksiyasının diskret təsadüfi kəmiyyətlərə şamil edilməməsi.

Sıxlıq funksiyası mənfi olmaması. Sıxlıq funksiyasının

);( intervalındakı qeyri-məxsusi inteqralının vahidə bə-

rabər olması. Sıxlıq funksiyasının sonsuz kiçilən olması. Sıxlıq

funksiyasının hər bir x nöqtəsində ehtimalların paylanma

sıxlığını xarakterizə etməsi.

3.Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin qiymətlərinin müəyyən

intervala düşməsi ehtimalı.

Təsadüfi kəmiyyətin aldığı qiymətlərin müəyyən inter-

vala düşməsi ehtimalının paylanma funksiyasının bu in-

tervaldakı artımına bərabər olması. Kəsilməz təsadüfi kə-

miyyətinin müəyyən bir ədədə bərabər qiymət alması eh-

timalının sıfıra bərabər olması. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyə-

tinin aldığı qiymətlərin müəyyən intervala düşməsi ehtimalı

onun sıxlıq funksiyasının həmin interval üzrə müəyyən

inteqralına bərabər olması. Aldığı qiymətlər (a,b) intervalına

düşən təsadüfi kəmiyyət üçün ax olduqda 0)( xF

(mümkün olmayan hadisə), bx olduqda 1)( xF (yəqin

hadisə) olması. Aldığı qiymətlər );( intervalına düşən kə-

silməz X təsadüfi kəmiyyəti üçün 0)(lim

xFx

(mümkün

olmayan hadisə), 1)(lim

xFx

(yəqin hadisə) olması. Veril-

miş sıxlıq funksiyasına əsasən kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

paylanma funksiyasının tapılması düsturu.

4. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi

Sıxlıq funksiyası verilmiş kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

riyazi gözləməsi. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözlə-

məsi mütləq yığılan inteqral kimi. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyə-

tin riyazi gözləməsinin olmadığı hal. Təsadüfi kəmiyyəti

müəyyən aralıqdan qiymətlər aldıqda onun riyazi gözləməsi.

15

Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsinin sabit ədəd olması.

Təsadüfi kəmiyyətin kvadratnın riyazi gözləməsi. Riyazi göz-

ləmənin xassələri.

5. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası və orta

kvadratik meyli.

Sıxlıq funksiyası verilmiş kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

dispersiyası. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasının

hesablanma qaydası. Dispersiyanın mənfi olmaması. Parçasın-

da təyin olunan kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası.

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasının xassələri. Kə-sil-

məz təsadüfi kəmiyyətin orta kvadratik meyli. Orta kvadratik

meylin xassələri.

MÖVZU 8

MÜNTƏZƏM, ÜSTLÜ, NORMAL PAYLANMALAR.

TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTİN

BAŞLANĞIC VƏ MƏRKƏZİ MOMENTLƏRİ

1.Müntəzəm, üstlü paylanmalar.

Müntəzəm paylanmış kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

sıxlıq funksiyası. Müntəzəm paylanmış kəsilməz təsadüfi

kəmiyyətin paylanma funksiyası. Müntəzəm paylanmış kəsil-

məz təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları. Müntəzəm

paylanmış təsadüfi kəmiyyətinin aldığı qiymətlərin ),(

aralığına düşməsi ehtimalı: ab

XP

)( . Üstlü qanun-

la paylanmış kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyası.

Üstlü qanunla paylanmış kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin pay-

lanma funksiyası. Üstlü qanunla paylanmış kəsilməz təsadüfi

kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları. Üstlü paylanmaya malik

kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin ),( ba intervalına düşməsi

16

ehtimalı: ba eebXaP )( .

2. Normal paylanma.

Normal qanunla və ya Qauss qanunu ilə paylanmış

təsadüfi kəmiyyət. Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin

sıxlıq funksiyası. Normal əyri və ya Qauss əyrisi. normal

paylanmanın sıxlıq funksiyasının xassələri: simmetrikliyi,

maksimumu, asimptotu, əyilmə nöqtələri. Normal qanunla

paylanmış təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları. Puasson

inteqralı. Standart (normallaşmış) paylanma. Laplas funksiyası.

Laplas funksiyasının xassələri. Normal paylanmaya malik

kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin ),( intervalına düşmə ehtimalı:

aaXP )(

3.Verilmiş meylin ehtimalı «3 » qaydası.

Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin a riyazi göz-

ləməsindən olan ( aX ) meyli. Bu meylin mütləq qiymətcə

verilmiş 0 ədədindən kiçik olması ehtimalı. Bu ehtimalın

Laplas funksiyasının

x nöqtəsindəki qiymətinin iki mislinə

bərabər olması. Üç siqma qaydası. Normal paylanmış təsadüfi

kəmiyyətin riyazi gözləməsindən meylinin mütləq qiymətcə

orta kvadratik meylin üç mislindən kiçik olması hadisəsinin

ehtimalının 0,9973-ə bərabər olması. Üç siqma qaydasının

mahiyyəti. Paylanma qanunu məlum olmayan təsadüfi

kəmiyyət üçün “üç siqma qaydası” ödənildikdə onun normal

paylanması fərziyyəsi.

4.Təsadüfi kəmiyyətin momentləri.

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin k tərtibli başlanğıc

momenti. Sıfır, bir, iki, üç, dörd ,..., k tərtibli momentləri. k

tərtibli mərkəzi moment. Sıfır, bir, iki, üç, dörd ,..., tərtibli

mərkəzi momentlər. Mərkəzi momentlə başlanğıc momentlər

arasındakı münasibətlər. Riyazı gözləmənin, dispersiyanın

mərkəzi və başlanğıc momentlərlə ifadəsi. Kəsilməz təsadüfi

17

kəmiyyətin modası. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin medianı. 5.Asimmetriya və eksessa əmsalları. Asimmetriya əmsallarının hesablanma qaydası. Əyri üzrə asimmetriya əmsalının xarakteristikası. Asimmetriya əmsalının sıfıra bərabər olduğu hal. Asimmetriya əmsalının mənfi və ya müsbət olduğu hallar. Eksessa əmsalının hesablanma qaydası. Əyri üzrə eksessa əmsalının xarakteristikaları. Eksessa əmsalının sıfıra bərabər olduğu hal. Eksessa əmsalının mənfi və ya müsbət olduğu hallar. Asimmetriya və eksessa əmsallarının qiymətlə-rinin dəyişmə sərhədləri.

MÖVZU 9

BÖYÜK ƏDƏDLƏR QANUNU.

LİMİT TEOREMLƏRİ 1.Böyük ədədlər qanunu. Ehtimal nəzəriyyəsində böyük ədədlər qanunu. Ölçmə nəzəriyyəsi. Böyük sayda ölçmələrin nəticələrinin ədədi ortası. Ədədi ortanın X kəmiyyətinin əsl qiymətinə yaxınlaşması. Təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığının ehtimallıq mənada yığıl-ması. Hadisənin baş vermə tezliyi. Baş vermə tezliyinin ehti-mala yığılması. Böyük ədədlər qanunu. 2.Limit teoremləri. Təsadüfi kəmiyyətləri ardıcıllığı. Təsadüfi kəmiyyətləri ar-dıcıllığının təsadüfi kəmiyyətə yığılması. Yığılma şərti. Təsa-düfi kəmiyyətlərinin ədədi ortasının ehtimala görə riyazi göz-ləməyə yığılması. Limit teoremi. Ehtimala görə yığılmadan paylanmaya görə yığılmanın alınması. Tərs teoremin doğru olmaması. 3.Çebışev bərabərsizliyi və teoremi. Sonlu dispersiyası olan təsadüfi kəmiyyət Çebışev bə-rabərsizliyi. Çebışev bərabərsizliyinə ekvivalent bərabərsizlik. Çebışev bərabərsizliyinin həndəsi mənası. Çebışev bərabərsizli-yinin diskret və kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər üçün doğruluğu.

18

Çebışev teoremi. Böyük ədədlər qanununun isbatında Çebışev bərabərsizliyindən istifadə. Çebışev teoreminin ödənilməsi üçün zəruri olan şərtlər. Çebışev teoreminin ümumiləşməsi. 4.Markov və Bernulli teoremləri. Markov bərabərsizliyi. Markov bərabərsizliyinə ekvi-valent bərabərsizlik. Markov bərabərsizliyinin həndəsi mənası. Markov teoremi. Binomial paylanmaya malik təsadüfi kəmiy-yət. Çoxsaylı sınaqlarda nisbi tezliyin sabit ehtimaldan olan meylinin mütləq qiymətcə ε-dan kiçik olması ehtimalı. Sinaqlar sayı sonsuz artıqda bu ehtimalın vahidə yığılması. Bernulli teoremi. 5.Mərkəzi limit teoremi. Mərkəzi limit teoreminin formaları. Muavr-Laplasın inteqral teoreminin ilk dəfə verilmiş mərkəzi limit teoremi kimi. Eyni paylanma qanununa malik təsadüfi kəmiyyətlər. Sonlu riyazi gözləməyə və dispersiyaya malik təsadüfi kəmiyyətlər. Normallaşdırılmış cəm. Təsadüfi kəmiyyətlər cəminin paylanma qanununun normal paylanmaya yaxınlaşması. Diskret təsadüfi kəmiyyətlər üçün mərkəzi limit teoreminin xüsusi halı. Laplas teoremi. Normal paylanma funksiyası.

MÖVZU 10

TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTLƏRDƏN

ASILI FUNKSİYALAR 1.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylama qanunu. İki ölçülü təsadüfi kəmiyyət. İki ölçülü diskret və kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər. İki ölçülü təsadüfi kəmiyyətlər üçün əsas anlayışlar. İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylama qanunu. Paylanma matrisi. Müəyyən nizamla düzəlmiş təsadüfi kə-miyyətlər sistemi. Qiymətlərin sonlu sayı halı üçün iki diskret təsadüfi kəmiyyətin qoşma giriş cədvəli. 2.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma funksiyası. Təsadüfi kəmiyyətlər sisteminin mühüm xarakteristikaları.

19

İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma (inteqral) funksi-yası. Paylanma funksiyası hadisələrin birgə başvermə ehtimalı kimi. İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının həndəsi mənası. Təsadüfi kəmiyyətin düzbucaq (kvadrant) daxilinə düşməsi ehtimalı.Paylanma funksiyasının xassələri: qiymətlər çoxluğu, monotonluğu, soldan kəsilməzliyi və s. 3.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin sıxlıq funksiyası. Təsadüfi kəmiyyətlər sisteminin paylanma sıxlığı. İki kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər sisteminin paylanma funk-siyasının ikinci tərtib qarışıq törəməsi paylanma sıxlığı kimi. İki ölçülü sıxlıq funksiyasının aşağıdakı xassələri. Sıxlıq funksiyasının mənfi olmaması. Sıxlıq funksiyasının sonsuz oblast üzrə ikiqat inteqralının vahidə bərabər olması. Təsadüfi nöqtələrin ixtiyari oblasta düşməsi ehtimalı. Təsadüfi kəmiy-yətlər sisteminin komponentləri üçün paylanma funksiyaları. Sıxlıq funksiyasının kəsilməzliyi və s. 4. Asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər. Təsadüfi hadisələrin asılı olmaması və asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin oxşarlığı. Ehtimal fəzasında təsadüfi kəmiyyətlər çoxluqları. Təsadüfi kəmiyyətlərin asılı olmaması şərti. Şərtin tərsinin doğruluğu. Asılı olmayan təsadüfi kəmiy-yətlərin birgə baş verməsi ehtimalı. Kəmiyyətlər asılı olmadıqda birinin ehtimalının paylanmasının digərinin ehtimalının paylan-masına təsir etməməsi. İkiölçülü kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlə-rin asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərt. 5.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin komponentlərinin şərti paylanması.

Paylanmanın şərti qanunları. Təsadüfi kəmiyyətlər sis-teminə daxil olan komponentlər. Bir təsadüfi kəmiyyətin müəy-yən qiymət alması şərti daxilində digərinin paylanma qanunu. Paylanmanın şərti ehtimalı. Iki diskret təsadüfi kəmiyyət siste-mi üçün şərti paylanma. Iki diskret təsadüfi kəmiyyət sistemi üçün şərti sıxlıq funksiyası. Paylanma sıxlığının vurma teore-mi.

20

MÖVZU 11

ÇOXÖLÇÜLÜ TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTLƏR

VƏ ONLARIN ƏDƏDİ XARAKTERİSTİKALARI.

KORRELYASIYA VƏ REQRESSİYA ANALİZİ

1.Çoxölçülü (ikiölçülü) təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi

gözləməsi.

İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləməsinin

tərifi. Diskret ikiölçülü təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi.

Kəsilməz ikiölçülü təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi.

Şərtsiz riyazi gözləmə. Şərti riyazi gözləmə. Şərti və şərtsiz

riyazi gözləmə arasında əlaqə. İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin

riyazi gözləməsinin xassələri.

2.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyası.

Çoxölçülü (ikiölçülü) təsadüfi kəmiyyətlərin disper-

siyasının tərifi. Diskret ikiölçülü təsadüfi kəmiyyətin dis-

persiyası. Kəsilməz ikiölçülü təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası.

Şərtsiz dispersiyası. Şərti dispersiyası. Şərti və şərtsiz disper-

siyalar arasında əlaqə. İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin disper-

siyasının xassələri.

3.Korrelyasiya asılılığı.

İki təsadüfi kəmiyyətin asılı olmaması anlayışı. Təsa-

düfi kəmiyyətlərinin meylləri hasilinin riyazi gözləməsi.

Kovariasiya və ya rabitə momenti. İki təsadüfi kəmiyyət ara-

sında korrelyasiya asılılığı. Kovariasiyanın xüsusi halda dis-

persiyaya bərabər olması. Kovariasiyanın hesablanması. Təsa-

düfi kəmiyyətlərin asılılığının kovariasiya ilə xarakterizə

olunması.

4.Korrelyasiya momenti və əmsalı.

Kovariyasiyanın təsadüfi kəmiyyətlərin ölçüldüyü va-

hidlərdən asılılığı. İki təsadüfi kəmiyyətin asılılığının kə-

miyyətcə xarakteristikası. Kəmiyyətlərin normallaşmış meyl-

lərinin kovarisiyası. Korrelyasiya əmsalı. Korrelyasıya əmsalının

21

hesablanması. İki təsadüfi kəmiyyətin asılı olmaması üçün kor-

relyasiya əmsalının sıfıra bərabər olması. Korrelyasiyalanmış və

korrelyasiyalanmamış təsadüfi kəmiyyətlər.

5.Reqressiya asılılığı və reqressiya düz xəttinin tənliyi.

Kəmiyyətlər arasında xətti ehtimallıq asılılığı. Orta

kvadratik mənada ən yaxşı yaxınlaşan funksiya. Ən yaxşı ya-

xınlaşan funksiyanın varlığı.Qalıq dispersiyası. Xətti asılılıq

əmsalı. Xətti asılılıq əmsalının hesablanması.Orta kvadratik

reqressiya.Reqressiya əmsalı.Birgə paylanma mərkəzi.

MÖVZU 12.

RİYAZİ STATİSTİKANIN ELEMENTLƏRİ

SEÇMƏNİN YEKUN XARAKTERİSTİKALARI

1.Riyazi statistikanın əsas məsələləri.

Riyazi statiskanın predmeti. Paylanma qanunlarının

alınmasının təqribi üsulları. Paylanma qanunlarının ədədi

xarakteristikalarının təcrübə yolu ilə təyini. Statistik məlumat-

ların seçilməsi və təhlili üsullarının işlənməsi. Sınaqlar sayının

məhdudluğundan alınan xətalar. Riyazi nəticənin müşahidə

nəticəsi ilə müqayisəsi. Statistik fərziyyələrin yoxlanması.

2.Baş və seçmə yığımlar.

Obyektlər yığımının keyfiyyət və ya kəmiyyət əlamətləri

tədqiqi. Təsadüfi olaraq seçilən məhdud sayda obyektlərə

əsasən ümumi yığımın təhlili. Baş yığım. Seçmə yığım. Baş və

seçmə yığım elementlərinin həcmi. Təkrarlı seçmə yığım.

Təkrarsız seçmə yığım. Seçmə yığımın nümayəndəli olması

xassəsi.

3.Seçmənin statistik paylanması.

Statistik diskret paylanması. Statistik interval paylan-

ması. Variasiya sırası. Müşahidə olunan qiymətlər. Variantlar.

Variantların tezlikləri. Nisbi tezlik. Statistik paylanmanın

cədvəl vasitəsilə verilməsi.

22

4.Emprik paylanma funksiyası və onun xassələri.

Nisbi tezliyin təsadüfi kəmiyyətdən asılılığı. Təcrü-

bədən alınan verilənlər əsasında qurulan funksiya. Pay-

lanmanın empirik funksiyası. Paylanmanın nəzəri funksiyası.

Empirik funksiya ilə seçmə, nəzəri funksiyanın baş yığıma gö-

rə təyini. Empirik və nəzəri funksiyaların müqayisəsi. Empirik

funksiyanın xassələri.

5.Poliqon və histoqram. Seçmənin ədədi xarakteri-

stikaları.

Tezliklər poliqonu. Tezliklər histoqramı. Tezliklər po-

liqonu – sınıq xətt, tezliklər histoqramı – sahəsi vahidə bərabər

pilləvari fiqur kimi. Seçmə orta. Seçmə moda və median. Seç-

mə dispersiya və orta kvadratik meyl. Başlanğıc seçmə mo-

mentlər.

MÖVZU 13.

PAYLANMA PARAMETRLƏRİNİN

STATİSTİK QİYMƏTLƏNDİRİLMƏSİ

1.Paylanma parametrləri.

Orta seçim. Dispersiya. Orta kvadratik meyl. Moda.

Mediana. Variasiya əmsalı. Assimmetriya. Eksess.

2. Statistik qiymətləndirmə.

Parametrlərin təqribi qiymətləndirilməsi. Statistika an-

layışı. Naməlum parametrlərin qiymətləndirilməsi. Sürüşdü-

rülmüş qiymətləndirmə. Sürüşdürülməmiş qiymətləndirmə. Sü-

rüşdürülmüş və sürüşdürülməmiş qiymətləndirmələr arasında

əlaqə. Əsasla qiymətləndirmə. Effektiv qiymətləndirmə.

3. Qiymətləndirmənin xassələri.

Seçim sayının artması ilə seçim parametrinin nəzəri pa-

rametrə yaxınlaşma ehtimalı. Qeyri-məhdud artımda bu ehti-

malın vahidə bərabərliyi. Sistematik (təsadüfi olmayan) səhv-

23

lər. Qiymətləndirilən parametrin qiymətinin dəyişdirilməsi.

Seçmə parametrinin riyazi gözləməsinin nəzəri parametrə bəra-

bərliyi. Ən kiçik dispersiya. Effektivlik xassəsi.

4. Baş ortanın qiymətləndirilməsi.

Təkrar seçimlərdə baş ortanın qiymətləndirilməsi. Orta

seçmə. Seçmə ortaların dayanıqlıq xassəsi. Təkrarsız seçimlər-

də baş ortanın qiymətləndirilməsi. Təkrar və təkrarsız seçimlər-

də orta kvadratik meyllərin müqayisəsi. Baş dispersiyanın

təyini. Seçmə dispersiya.

5. Ən böyük həqiqətə oxşarlıq üsulları.

Asılı olmayan hadisələrin ehtimalları hasili. Diskret tə-

sadüfi kəmiyyətin həqiqətə oxşarlıq funksiyası. Həqiqətə ox-

şarlıq funksiyasının maksimum qiyməti. Ən böyük həqiqətə

oxşarlıq qiymətləndirilməsi. Həqiqətə oxşarlıq tənliyi. Loqarif-

mik həqiqətə oxşarlıq funksiyası. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

həqiqətə oxşarlıq funksiyası.

MÖVZU 14

PAYLANMA PARAMETRLƏRİNİN

İNTERVAL QİYMƏTLƏNDİRİLMƏSI

1.Nöqtəvi qiymətləndirmə

Sınaqlar əsasında hesablanmış təsadüfi kəmiyyətin

paylanma funksiyası. Paylanma funksiyasının naməlum para-

metrlərinin təqribi qiymətləri. Parametrin qiymətləndirilməsi.

Məhdud sınaqlar sayında hesablanmış təqribi təsadüfi qiymət.

Bir parametrlə xarakterizə olunan qiymətləndirmə. Nöqtəvi

qiymətləndirmə. Baş yığımdan qıymətləndirmə üçün seçim.

Seçməyə əsasən baş yığımın nəzəri paylanma parametrinin tə-

yini.

2. Paylanma parametrlərinin interval qiymətləndir-

ilməsi.

Qiymətləndirmənin dəqiqliyi. Qiymətləndirmənin eti-

24

barlılığı. İnterval qiymətləndirilməsi. Naməlum parametrin

yerləşdiyi intervalın ucları. Dəqiqlik və etibarlıq məsələləri.

Interval qiymətləndirmə üsulu ilə etibarlıq və dəqiqliyin

tədqiqi. Nöqtəvi və interval qiymətləndirmələrin müqayisəsi.

3.Ehtibarlılıq intervalı.

Etibarlılıq sərhədləri. Etibarlılıq ehtimalı. Etibarlılıq

əmsalı. Etibarlılıq intervalı. Etibarlılıq intervalı vasitəsilə

qiymətləndirmələrin dəqiqliyi. Etibarlılıq ehtimalı qiymət-

ləndirmələrin etibarlılıq xarakteristikası kimi. Etibarlılıq inter-

valının müxtəlif üsullarla təyini.

4. Normal paylanma

Normal qanunla paylanmış baş yığım. Normal qanunla

paylanmış baş yığımın riyazi gözləməsi. Orta kvadratik meyl

məlum olduqda normal qanunla paylanmış baş yığımın riyazi

gözləməsinin interval qiymətləndirilməsi. Orta kvadratik meyl

məlum olmadıqda normal qanunla paylanmış baş yığımın

riyazi gözləməsinin interval qiymətləndirilməsi. Normal qa-

nunla paylanmış baş yığımın dispersiyası. Laplas funksiyası.

Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəli.

5. Styudent paylanmasının normal paylanma para-

metrlərindən asılı olmaması.

Paylanma sıxlığı. Styudent paylanması. Styudent pay-

lanmasının normal paylanma parametrlərindən asılı olma-

ması. Styudent paylanmasının seçmənin həcmindən asılılığı.

Sıxlıq funksiyası cüt olan Styudent paylanması. Styudent pay-

lanmasının qiymətlər cədvəli. Ölçmə nəticələrinin orta qiyməti.

25

MÖVZU 15

STATİSTİK FƏRZİYYƏLƏR

1.Statistik fərziyyələr.

Statistik fərziyyələr. Statistik dayanıq hadisələr. Qeyri-

statistik fərziyyələr. Statistik fərziyyələrin yoxlanılması. Sta-

tistik fərziyyələrin yoxlanılmasının əsas prinsipləri. Paramet-

rik fərziyyələr. Qeyri-parametrik fərziyyələr.

2.Sıfır və alternativ, sadə və mürəkkəb fərziyyələr.

Əsas və ya sıfırıncı fərziyyə. Əsas fərziyyəyə zidd olan

(alternativ) fərziyyə. Sadə fərziyyələr. Mürəkkəb fərziyyələr.

Statistik fərziyyələrin yoxlanmasında mümkün səhvlər. Birinci

növ səhv. Ikinci növ səhv.

3.Statistik meyarlar.

Statistik meyar anlayışı. Fərziyyənin qəbul olunmadığı

oblast (böhran oblastı). Fərziyyənin qəbul olunma oblastı.

Böhran nöqtələri. Böhran oblastının növləri. Sağ tərəfli, sol

tərəfli və iki tərəfli oblastlar. Fərziyyələrin yoxlanma üsulları.

4. Korrelyasiya və reqresiya analizi.

Əsas anlayışlar. Korrelyasiya analizinin əsas elementləri. Kor-

relyasiya meydanı. Korrelyasiya əmsalının analizi. Korrelyasi-

ya əmsalının nöqtəvi qiymətləndirilməsi. Korrelyasiya əmsalı-

nın interval qiymətləndirilməsi. Korrelyasiya cədvəli. Reqres-

siya analizinin əsasları. Şərti seçmə. Reqressiya tənliyi. Xətti

reqressiya.

5. Dispersiya analizi.

İlkin anlayışlar. Dispersiya analizinin növləri. Bir və iki

amilli dispersiya analizi. Qrup və ümumi orta. Qrup, qrup-

daxili. qruplar arası və ümumi dispersiyalar. Dispersiyaların

hesablanma qaydaları. Hesablanmış dispersiyaların müqayisəli

analizi.

26

MÖVZULARIN PLANI

Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika – 60 saat

Mövzunun adı Müh. Məş. Cəmi

Mövzu 1. Ehtimal nəzəriyyəsinin ele-

mentləri. Təsadüfi hadisələr və onların

təsnifatı.

1.Ehtimal nəzəriyyəsinin yaranma tarixi.

2.Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışları.

3.Elementar hadisələr fəzası.

4.Hadisələr cəbri.

5.Hadisənin ehtimalı və ehtimal nəzəriy-

yəsinin aksiomları.

2 2 4

Mövzu 2. Ehtimalın klassik və statistik

tərifi.Hadisələr ehtimalı.

1. Ehtimalın statistik və klassik tərifi.

2. Həndəsi ehtimal.

3. Birləşmələr nəzəriyyəsinin elementləri.

4. Aranjeman. Permutasiya.

5. Kombinezon.

2 2 4

Mövzu 3. Ehtimalların toplanması və

vurulması teoremləri. Şərti ehtimal.

1.Asılı olan və asılı olmayan hadisələr.

2.Şərti ehtimal. Vurma teoremi.

3.Uyuşan və uyuşmayan hadisələrin ehti-

mallarının toplanması teoremi.

4. Heç olmasa bir hadisənin baş verməsi

ehtimalı.

5.Tam ehtimal və Bayes düsturları.

2 2 4

27

Mövzu 4. Təkrarlanan sınaqlar. Bernulli

düsturu. Muavr və Laplas teoremləri. Ən

böyük ehtimallı ədəd. 1.Asılı olmayan sınaqlar ardıcıllığı.

2.Bernulli düsturu.

3.Bernulli sınaqları üçün asimptotik düstur-

lar.

4.Puassonun asimptotik düsturu.

5.Muavr-Laplasın lokal və inteqral teorem-

ləri.

2 2 4

Mövzu 5. Təsadüfi kəmiyyətlər və onların

təsnifatı. Diskret təsadüfi kəmiyyətin

paylanma qanunu və ədədi xarakteristi-

kaları.

1.Təsadüfi kəmiyyətlər.

2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qa-

nunu.

3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma

funksiyası və xassələri.

4. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözlə-

məsi və xassələri.

5.Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası və

xassələri. Orta kvadratik meyl.

2 2 4

Mövzu 6. Bəzi xüsusi paylanmalar. Bino-

mial, Puasson, Həndəsi paylanmalar.

Onların ədədi xarakteristikaları. 1.Binomial paylanma.

2.Puasson paylanması.

3.Həndəsi paylanma.

4. Nəzəri momentlər.

5. Moda, median və kvantil.

2 2 4

28

Mövzu 7. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər.

Paylanma funksiyası və ədədi xarakte-

ristikaları.

1.Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər.

2.Paylanma və sıxlıq funksiyaları, onların

xassələri.

3.Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin

qiymətlərinin müəyyən intervala düşməsi

ehtimalı.

4.Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi göz-

ləməsi.

5. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersi-

yası və orta kvadratik meyli.

2 2 4

Mövzu 8. Müntəzəm, üstlü, normal pay-

lanmalar.Təsadüfi kəmiyyətin başlanğıc

və mərkəzi momentləri. 1.Müntəzəm, üstlü paylanmalar.

2.Normal paylanma.

3.Verilmiş meylin ehtimalı «3 » qaydası.

4.Təsadüfi kəmiyyətin momentləri.

5.Asimmetriya və eksessa əmsalları.

2 2 4

Mövzu 9. Böyük ədədlər qanunu. Limit

teoremləri.

1.Böyük ədədlər qanunu.

2.Limit teoremləri.

3.Çebışev bərabərsizliyi və teoremi.

4.Markov və Bernulli teoremləri.

5.Mərkəzi limit teoremi.

2 2 4

29

Mövzu 10. Təsadüfi kəmiyyətlərdən asılı

funksiyalar.

1.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylanma

qanunu.

2.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma

funksiyası.

3.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin sıxlıq

funksiyası.

4.Asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər.

5.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətin komponent-

lərinin şərti paylanması.

2 2 4

Mövzu 11. Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər

və onların ədədi xarakteristikaları. Kor-

relyasiya və reqressiya analizi.

1.Çoxölçülü (ikiölçülü) təsadüfi kəmiyyət-

lərin riyazi gözləməsi.

2.İkiölçülü təsadüfi kəmiyyətlərin disper-

siyası.

3.Korrelasiya asılılığı.

4.Korrelasiya momenti və əmsalı.

5.Reqressiya asılılığı və reqressiya düz xət-

tinin tənliyi.

2 2 4

Mövzu 12. Riyazi statistikanın elementlə-

ri. Seçmənin yekun xarakteristikaları.

1.Riyazi statistikanın əsas məsələləri.

2.Baş və seçmə yığımlar.

3.Seçmənin statistik paylanması.

4.Emprik paylanma funksiyası və onun xas-

sələri.

5.Poliqon və histoqram. Seçmənin ədədi xa-

rakteristikaları.

2 2 4

30

Mövzu 13. Paylanma parametrlərinin sta-

tistik qiymətləndirilməsi. 1.Paylanma parametrləri.

2.Statistik qiymətləndirmə.

3. Qiymətləndirmənin xassələri.

4.Baş ortanın qiymətləndirilməsi.

5. Ən böyük həqiqətə oxşarlıq üsulları.

2 2 4

Mövzu 14. Paylanma parametrlərinin in-

terval qiymətləndirilməsi.

1.Nöqtəvi qiymətləndirmə.

2.Paylanma parametrlərinin interval qiymət-

ləndirilməsi.

3.Ehtibarlılıq intervalı.

4. Normal paylanma.

5.Styudent paylanmasının normal paylanma

parametrlərindən asılı olmaması.

2 2 4

Mövzu 15. Statistik fərziyyələr.

1.Statistik fərziyyələr.

2.Sıfır və alternativ, sadə və mürəkkəb fər-

ziyyələr.

3.Statistik meyarlar.

4.Korrelyasiya və reqresiya analizi.

5.Dispersiya analizi.

2 2 4

Cəmi 30 30 60

31

SAATLARIN BÖLGÜSÜ

№ Bölmələr. Müh. Məş.

1. Ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri.

Təsadüfi hadisələr və onların təsnifatı.

2 2

2. Ehtimalın klassik və statistik tərifi.

Hadisələr ehtimalı.

2 2

3. Ehtimalların toplanması və vurulması

teoremləri. Şərti ehtimal.

2 2

4. Təkrarlanan sınaqlar. Bernulli düsturu.

Muavr və Laplas teoremləri. Ən böyük

ehtimallı ədəd.

2 2

5. Təsadüfi kəmiyyətlər və onların təsni-

fatı. Diskret təsadüfi kəmiyyətin pay-

lanma qanunu və ədədi xarakteristika-

ları.

2 2

6. Bəzi xüsusi paylanmalar. Binomial,

Puasson, Həndəsi paylanmalar. Onların

ədədi xarakteristikaları.

2 2

7. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər. Pay-

lanma funksiyası və ədədi xarakteris-

tikaları.

2 2

8. Müntəzəm, üstlü, normal paylanma-

lar.Təsadüfi kəmiyyətin başlanğıc və

mərkəzi momentləri.

2 2

9. Böyük ədədlər qanunu. Limit teorem-

ləri.

2 2

10. Təsadüfi kəmiyyətlərdən asılı funk-

siyalar.

2 2

11. Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər və on-

ların ədədi xarakteristikaları. Korrel-

yasiya və reqressiya analizi.

2 2

32

12. Riyazi statistikanın elementləri. Seç-

mənin yekun xarakteristikaları.

2 2

13. Paylanma parametrlərinin statistik qiy-

mətləndirilməsi.

2 2

14. Paylanma parametrlərinin interval qiy-

mətləndirilməsi.

2 2

15. Statistik fərziyyələr. 2 2

Cəmi 30 30

33

İSTİFADƏ OLUNMUŞ ƏDƏBİYYAT

1. Qmurman.V.Y. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statis-

tikanın elementləri. M, 1970.

2. Qmurman.V.Y. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika

məsələlərinin həllinə rəhbərlik. Maarif nəşriyyatı, Bakı- 1980 .

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математи-

ческая статистика. М., 1973 г.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по

высшей математике, теория вероятностей и математичес-

кая статистика. М., 1975 г.

5. Лихолетов И.Н., Мацкевич А.П. Руководство к ре-

шению задач по высшей математике, теория вероятностей и

математическая статистика. М., 1975 г.

6. Коваленко И.Н., Филиппова А.А.Теория вероят-

ностей и математическая статистика. М., 1977 .

7. Карас А.И. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математическая статистика. М., 1975 г.

8. Axundov İ.S.,Vəliyev Ə.A.Ehtimal nəzəriyyəsi və riya-

zi statistika. Bakı 1986.

9. Şahbazov Ə. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika.

Maarif -1973.

10. Hüseynova A. M. Statistikanın ümumi nəzəriyyəsi.

Dərs vəsaiti, Bakı - 2008

11. Mehdəliyev A.İ. Statistik funksiyalar. Bakı, 2010.

12. Məmmədov F.,İbiyev F., Aslanov Ə. Ehtimal nəzəriy-

yəsi və riyazi statistikanın elementləri.Dərs vəsaiti,Bakı - 2013