EES-90/2010

EES-90/2010

EES-90/2010

EES-90/2010

Security engineering is a specialized field of engineering that deals with the development of detailed engineering plans and designs for security features, controls and systems...but with the added dimension of preventing misuse and malicious behavior.

Safety engineering is an applied science strongly related to systems engineering ... assuring that a life-critical system behaves as needed even when pieces fail.

EES-90/2010

Tomada de Decisão e Otimização

EES-90/2010

Problem Solving

Estado Atual Estado Desejado

ElevadoAnalfabetismo

BaixoAnalfabetismo

Telecursos Escolas Noturnas Mutirão de Ensino etc...

“ Conceber e realizar ações para eliminar a diferença entre o estado desejado e o estado atual. ”

EES-90/2010

$ $ Poupança Ações Dólar Corrida de Cavalos etc...


Problem Solving


EES-90/2010

% Mercado < 10

Propaganda Promoções Portal Eletrônico Diversificação etc...

% Mercado > 30


Problem Solving


EES-90/2010

Passos do Problem Solving

Identificar e definir o problema

Determinar o conjunto de ações possíveis

Propor critérios para avaliar as ações

Escolher uma ação

Implementar a ação escolhida

Avaliar os resultadosSatisfatório

FIMNão Satisfatório

EES-90/2010


Escolher uma ação




Avaliar os resultadosSatisfatórioNão Satisfatório

FIM

Incertezas

Subjetividade


EES-90/2010


Escolher uma ação




Avaliar os resultadosSatisfatórioNão Satisfatório

FIM

Tomada de Decisão


EES-90/2010

Tomada de Decisão


Escolher uma ação



EES-90/2010

Modelo Matemático

Variáveis de Decisão

Função Objetivo

Programação Matemática


Escolher uma ação



Tomada de Decisão

EES-90/2010

Exemplo

Problema:

Situação Atual: R$ 90.000,00 no Caixa

Situação Desejada: R$ 90.000,00 bem aplicados

Ações da TeleMundo custam R$ 50,00 e o retornoesperado é de R$ 6,00/ano.

Ações da CosmoFone custam R$ 30,00 e o retornoesperado é de R$ 4,00/ano.

A Diretoria não quer que se aplique mais de R$ 60.000,00 em ações de uma só companhia.

Número de Ações da TeleMundo = TM

Número de Ações da CosmoFone = CF

Modelo Matemático


Função Objetivo


EES-90/2010

Custo de TM Ações da TeleMundo = R$ 50,00 x TM

Custo de CF Ações da CosmoFone = R$ 30,00 x CF

Modelo Matemático


Função Objetivo


Problema:






Exemplo

EES-90/2010

R$ 30,00 x CF R$ 60.000,00R$ 50,00 x TM R$ 60.000,00

Modelo Matemático


Função Objetivo


Problema:






Exemplo

EES-90/2010

R$ 30,00 x CF + R$ 50,00 x TM R$ 90.000,00

Modelo Matemático


Função Objetivo


R$ 30,00 x CF R$ 60.000,00R$ 50,00 x TM R$ 60.000,00

Problema:






Exemplo

EES-90/2010

Max R$ 4,00 x CF + R$ 6,00 x TM

Modelo Matemático


Função Objetivo


R$ 30,00 x CF R$ 60.000,00R$ 50,00 x TM R$ 60.000,00

Problema:






R$ 30,00 x CF + R$ 50,00 x TM R$ 90.000,00

Exemplo

EES-90/2010

Modelo Matemático


Função Objetivo


Max R$ 4,00 x CF + R$ 6,00 x TM

R$ 30,00 x CF R$ 60.000,00R$ 50,00 x TM R$ 60.000,00

Problema:






R$ 30,00 x CF + R$ 50,00 x TM R$ 90.000,00

Exemplo

EES-90/2010

Max R$ 4,00 x CF + R$ 6,00 x TM

s.t.

R$ 30,00 x CF + R$ 50,00 x TM R$ 90.000,00R$ 30,00 x CF R$ 60.000,00R$ 50,00 x TM R$ 60.000,00

Modelo Matemático


Função Objetivo


Exemplo

EES-90/2010

Modelo Matemático


Função Objetivo


Max R$ 4,00 x CF + R$ 6,00 x TM

s.t.


Exemplo

EES-90/2010

Vínculos ou Restrições

Modelo Matemático


Função Objetivo


Max R$ 4,00 x CF + R$ 6,00 x TM

s.t.


Exemplo

EES-90/2010

Max c1 x1 + ... + cn xn

s.t.

a11 x1 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + ... + a2n xn = b2

...am1 x1 + ... + amn xn = bm

Problema de Programação Matemática(Programação Linear)

EES-90/2010

Problema de Programação Matemática(Programação Linear)

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

Max c1 x1 + ... + cn xn

s.t.

a11 x1 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + ... + a2n xn = b2

...am1 x1 + ... + amn xn = bm

EES-90/2010

Solução Gráfica

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

CF 2.000

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

EES-90/2010

TM 1.200

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

Supor, inicialmente,30,00 CF + 50,00 TM = 90.000,00

Nestas condições, se CF = 0 então TM = 90.000,00/50,00ou seja, TM = 1.800

CF = 0, TM = 1.800

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

Supor, inicialmente,30,00 CF + 50,00 TM = 90.000,00

Nestas condições, se TM = 0 então TM = 90.000,00/30,00ou seja, CF = 3.000

CF = 0, TM = 1.800

CF = 3.000, TM = 0

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

A região de valores de CF e TM, tais que,30,00 CF + 50,00 TM 90.000,00 é a que contém a origem (0,0)

(0,0)

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM

Região Viável

Solução Gráfica

EES-90/2010

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

CF

2.000

1.000

TM

Qual o retorno se CF = 1.500 e TM = 0?

4,00 CF + 6,00 TM =4,00 x 1.500 + 6,00 x 0 = 6.000,00

Que combinações (CF,TM) resultam no mesmo retorno de R$ 6.000,00?

2.0001.000 3.000

Solução Gráfica

EES-90/2010

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TMQue combinações (CF,TM) resultam no mesmo retorno de R$ 6.000,00?

Ou seja,

4,00 CF + 6,00 TM = 6.000,00 ?

Novamente,

se CF = 0, então TM = 6.000,00/6,00ou TM = 1.000

e

se TM = 0, então CF = 6.000,00/4,00ou CF = 1.500

Qualquer combinação CF e TM ao longo desta reta produz um retorno de R$ 6.000,00

Solução Gráfica

EES-90/2010

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TMQue combinações (CF,TM) resultam no mesmo retorno de R$ 12.000,00?

Ou seja,

4,00 CF + 6,00 TM = 12.000,00 ?

Novamente,

se CF = 0, então TM = 12.000,00/6,00ou TM = 2.000

e

se TM = 0, então CF = 12.000,00/4,00ou CF = 3.000

Qualquer combinação CF e TM ao longo desta reta produz um retorno de R$ 12.000,00

Solução Gráfica

EES-90/2010

R$ 9.000,00

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TM R$ 12.000,00

R$ 6.000,00

R$ 3.000,00

Max

Solução Gráfica

EES-90/2010

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TMMax 4,00 CF + 6,00 TMMax

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

Solução Gráfica

EES-90/2010

2.000

CF

1.000 3.000

2.000

1.000

TMMax

ÓtimoSolução:

CF = 2.000TM = 600

Max 4,00 CF + 6,00 TM

s.t.

30,00 CF + 50,00 TM 90.000,0030,00 CF 60.000,0050,00 TM 60.000,00

Solução Gráfica

EES-90/2010

Programação Inteira

Max 3.000 H + 2.000 Ws.t. 600.000 H + 200.000 W 1.800.00020 H + 60 W 14020 H + 8 W 25

H

W

H

W

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Modelo HG30(H)

Modelo WH10(W) RHS

Lucro 3.000 2.000Custo 600.000 200.000 1.800.000Manutenção 20 60 140Capacidade 20 8 25

(1,1) $ 5.000

(1,2) $ 7.000

(2,0) $ 6.000

(2,1) $ 8.000

(3,0) $ 9.000

EES-90/2010

Problema do Transporte

3537

40

30

4015

4032

4225

2028

Cleveland1200

Detroit1000

Greensboro800

Boston1100

Richmond400

Atlanta750

St. Louis750

Problema:

Produção:Cleveland 1200Detroit 1000Greensboro 800

Depósitos:Boston 1100Richmond 400Atlanta 750St. Louis 750

Custo de Transporte:Boston Richmond Atlanta St. Louis

Cleveland 35 30 40 32Detroit 37 40 42 25Greensboro 40 15 20 28

EES-90/2010

Problema:

36

63

4

1

3

2

4

5

2

6

Kansas

Louisville

Detroit200

Miami150

Dallas350

New Orleans300

Denver600

Atlanta400

Problema do Transbordo

EES-90/2010

621

Problema: SeatleButte

Portland Boise

Reno

Cheyenne

Salt Lake

Sacramento

BakersfieldLas Vegas

BarstowKingman

Albuquerque

Los Angles

San Diego Tucson El Paso

Denver

Phoenix

599

691

102

452

268

440

180 497432

138526

432

469290

280

602

291

114

118

425116

386207

155 108

403

138

314

Problema do Caminho Mínimo

EES-90/2010

Problema: ITAirlines 2

3

1

3

Atibaia Bauru

São José

Roseira

Taubaté2

Problema do Fluxo Máximo

EES-90/2010

Problema: Interconectar todas as 5 filias da ESPMicro: Aclimação, Brás, Cambuci, Diadema e Estoril, de modo que se gaste o mínimo de fibra óptica.

2

1

3

AclimaçãoBrás

Diadema

Cambuci

Estoril

22

64

4

Problema da Cobertura Mínima

EES-90/2010

Problema: Federal Emergency Management Agency, pg. 233 do Lawrence e Pasternack

40

30E1

E2

E4

Central

E335

25

65

5045

80

50

40

Problema do Caixeiro Viajante

EES-90/2010

Problemas Principais:

•Transporte (Transportation)

•Transbordo (Transshipment)

•Atribuição ou Designação (Assignment)

•Caminho Mínimo (Shortest-Path)

•Fluxo Máximo (Maximum Flow)

•Árvore de Cobertura Mínima (Spanning Tree)

•Caixeiro Viajante (Traveling Salesman)

Problemas de Fluxo em Redes

EES-90/2010

Programação por Metas(Goal Programming)

ABCicletas D S DisponívelLucro ($) 0.04 0.01Mão-de-Obra (h) 2 3Selim 2 1 2.000Pneus 2 2 2.400Marchas 1 1000

Metas:

• Entregar 400 unidades do modelo D já encomendadas• Produzir pelo menos 1.200 bicicletas • Atingir um lucro de 100 no período considerado• Não ocupar mais de 3200 h de mão-de-obra• Manter uma folga de pelo menos 200 pneus e 100 marchas

EES-90/2010

D S DispLucro ($) 0.04 0.01Mão-de-Obra (h) 2 3Selim 2 1 2.000Pneus 2 2 2.400Marchas 1 1.000

Metas:

• Entregar 400 do modelo D• Pelo menos 1.200 bicicletas • Lucro maior que 100• Menos de 3200 h de mão-de-obra• Folga de pelo menos 200 pneus• Folga de pelo menos 100 marchas

2D + S 2.0002D + 2S 2.400S 1.000

D + U1 - E1 = 400D + S + U2 - E2 = 1.2000.04D + 0.01S + U3 - E3 = 100 2D + 3S + U4 - E4 = 3.2002D + 2S + U5 - E5 = 2.200S + U6 - E6 = 900

VariáveisDetrimentais


EES-90/2010

Informações Adicionais:

• Cada $ abaixo de 100 é 3 x mais importante que mão de obra• Cada marcha é mais importante que 2 pneus

Metas:

• Entregar 400 do modelo D• Pelo menos 1.200 bicicletas • Lucro maior que 100• Menos de 3200 h de mão-de-obra• Folga de pelo menos 200 pneus• Folga de pelo menos 100 marchas

2D + S 2.0002D + 2S 2.400S 1.000D + U1 - E1 = 400D + S + U2 - E2 = 1.2000.04D + 0.01S + U3 - E3 = 100 2D + 3S + U4 - E4 = 3.2002D + 2S + U5 - E5 = 2.200S + U6 - E6 = 900

Min U1Min U2Min 3 U3 + E4Min E5 + 2 E6


EES-90/2010

2D + S 2.000S 1.0002D + 2S 2.400

D + U1 = 400D + S + U2 = 1.2000.04D + 0.01S + U3 = 100 2D + 3S - E4 = 3.2002D + 2S - E5 = 2.200S - E6 = 900

Min U1Min U2Min 3 U3 + E4Min E5 + 2 E6


EES-90/2010

Programação Dinâmica

12

8

10

2

5

2

2

2

2

6

2

2

4

3

1

13

1

11

3

12

17

14

14

13

12

15

14

15

16

EES-90/2010

12

8

10

2

5

2

2

2

2

6

2

2

4

3

1

13

1

11

3

12

17

14

12

13

1415

14

15

16


EES-90/2010

Programação Não-Linear

Forma Geral

Min f(x)s.t.g(x) 0h(x) = 0

Exemplo:

Deseja-se lançar, no mercado, um certo produto cujacurva de demanda é do tipo:

p(q)

q

p(q) = 450 – 0.001 q

O lucro ao se vender uma quantidade q é dado por:

Lucro(q) = p(q) x q – 50 q = ( 450 – 0.001 q ) x q – 50q = 400 q – 0.001 q2

EES-90/2010

Forma Geral


O fornecedor de peças requer que:q 100.000

O problema é, portanto,

Max 400 q – 0.001 q2

s.t.q – 100.000 0

Não Linear(Quadrático)


EES-90/2010

Forma Geral


O fornecedor de peças requer que:

O problema é, portanto,

q 100.000

Max 400 q – 0.001 q2

s.t.q – 100.000 0


EES-90/2010

Teoria de Jogos

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

x1

x2

x1

x2

f1(x1,x2)

EES-90/2010

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2 f2(x1,x2)

Teoria de Jogos

EES-90/2010

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2 f2(x1,x2)Jogador 1 -> escolhe A

A

Jogador 2 -> escolhe B

Teoria de Jogos

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2f2(x1,x2)

A

Jogador 1 -> escolhe As

L2 -> respostas de 2L2

Teoria de Jogos

EES-90/2010

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2f2(x1,x2)

B

Jogador 2 -> escolhe Bs

L1 -> respostas de 1L2

L1

Teoria de Jogos

EES-90/2010

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2f2(x1,x2)

Equilíbrio Nash

Teoria de Jogos

EES-90/2010

Jogador 1

Min f1(x1,x2)

Jogador 2

Min f2 (x1,x2)

f1(x1,x2)

x1

x2

x1

x2f2(x1,x2)

Soluções de Pareto

Teoria de Jogos

EES-90/2010

Controle Ótimo

dt)}t(u)t(u)t(x{(.)]u(.),u[J E

t

FDf 2

20

21

2321

d xd t

t x t x t u tR M1

4 1 11 [ ( s i n ( ) ) ( ) ] ( ) ( )

)t(u)t(x)]t(x)t(x[

)t(x)]t(x))tsin(1([dt

dx

1321

24MR2

d xd t

x t x t P x t33 2 3 ( ) ( ) [ ( ) ]

d xd t

x t x u t44 3 2 ( ) ( )

x1(t) densidade de mosquitosx2(t) densidade de mosquitos carregando vírusx3(t) número de pessoas com denguex4(t) grau de motivação popular para combater mosquitos

Minimizar

s.a.

EES-90/2010

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5A ccum ulated Cost

Tim e (w eeks)

J

No C ontrol

B reteau Threshold

Sub-O ptim al

O ptim al

Controle Ótimo

EES-90/2010

Árvore de Decisão

http://www.lumenaut.com/images/decisiontree/decision_tree.htm

EES-90/2010

EES-90/2010

Artemisinin-based combination therapies (ACTs)Sulfadoxine-pyrimethamine (SP)

EES-90/2010

Muito Obrigado!

EES-90/2010

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