Dr. Gabriel Mauricio Vergara Ríos

Dr. Gabriel Mauricio Vergara RíosMsc. Alberto Mario Reyes LineroDr. Richard Neil Sánchez Támara

CálculoIntegralcon ap l i cac iones

CÁLCULO INTEGRAL CON APLICACIONESAutoría: Gabriel Mauricio Vergara Ríos - Alberto Mario Reyes LineroRichard Neil Sánchez Támara

© Universidad del Atlántico, 2018

Edición: Sello Editorial Universidad del AtlánticoKm 7 Vía Puerto Colombia (Atlántico)[email protected]

Producción Editorial:Calidad Gráfica S.A.Av. Circunvalar Calle 110 No. 6QSN-522PBX: 336 [email protected], Colombia

Publicación ElectrónicaBarranquilla (Colombia), 2018

Nota legal: Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, graba-ción u otros medios conocidos o por conocerse) sin autorización previa y por escrito de los titulares de los derechos patrimoniales. La infracción de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual. La responsabilidad del contenido de este texto corresponde a sus autores. Depósito legal según Ley 44 de 1993, Decreto 460 del 16 de marzo de 1995, Decreto 2150 de 1995 y Decreto 358 de 2000.

Catalogación en la publicación. Universidad del Atlántico. Departamento de BibliotecasVergara Ríos, Gabriel Mauricio Cálculo integral con aplicaciones / Gabriel Mauricio Vergara Ríos, Alberto Mario Reyes

Linero, Richard Neil Sánchez Támara – Barranquilla: Sello Editorial Universidad del Atlántico, 2018.

180 páginas. 21x27 centímetros. Ilustraciones. Incluye bibliografía. ISBN 978-958-5525-22-1 (Libro descargable PDF)

1.Cálculo integral 2. Integrales 3. Cálculo integral – problemas – ejercicios – etc I. Gabriel Mauricio Vergara Ríos II. Alberto Mario Reyes Linero III. Richard Neil Sánchez

Támara.

CDD: 515.43 V494

Como citar este libro:Vergara, G., Reyes, A. y Sánchez, R. (2018). Cálculo integral con aplicaciones. Barranquilla: Sello Editorial Universidad del Atlántico.

Dr. Gabriel Mauricio Vergara RíosMsc. Alberto Mario Reyes LineroDr. Richard Neil Sánchez Támara

CálculoIntegralcon ap l i cac iones

DEDICATORIA

A nuestros padres

De manera muy especial dedicamos este trabajo a nuestros padres, por su amor incondicional, por sus enseñanzas, orientación, esfuerzos y sacrificios para que llegáramos a ser los profesionales que hoy somos; también por inculcar-nos los verdaderos valores de la vida, el respeto a la dignidad humana, a la liber-tad de expresión y opinión, enseñán-donos con ello a convivir en sociedad y respetarnos a pesar de las diferencias políticas e ideológicas.

A nuestros hermanos

Agradecemos a nuestros hermanos, quienes ademas de confidentes y amigos, fueron pieza fundamental para este logro, motivándonos constantemente y mostrando su compromiso y disposición para ayudarnos a superar cada dificul-tad y obstáculo que se interpuso en este largo camino. Nuestra gratitud para con ellos.

A nuestras esposas

Por ser el complemento ideal, por su paciencia y comprensión, por esperar y entender que necesitábamos robarle un poco del tiempo que debíamos dedi-carles a ellas para poder culminar este proyecto; por ser las madres de nuestros bellos hijos, en fin por todo amor, apoyo y confianza.

A nuestros hijos

Por ser la principal fuente de inspiración de todo lo que hacemos y el impulso para realizar los proyectos a futuro. Gracias hijos hermosos y que Dios los bendiga siempre y los guíe por la senda correcta, y que algún día logren superarnos.

AGRADECIMIENTOS

A Dios

Primeramente agradecemos la vida e infinita misericordia para con nosotros, por su amor incondicional e irrempla-zable, por las bendiciones recibidas, por darnos salud y fuerzas para concretar este sueño. Gracias Dios Todopoderoso por estar siempre de nuestro lado, acom-pañándonos día a día y protegiéndonos del enemigo.

A nuestras familias

Por el apoyo incondicional que nos brin-daron durante nuestra formación profe-sional y ahora para la consecución de un logro más, el cual es también su logro. Infinitas gracias, los amamos mucho.

A los profesores y directivos de la Universidad del Atlántico

Por su amistad, confianza, cooperación y todas las atenciones que han tenido con nosotros; su ayuda fue de gran utilidad durante el desarrollo de este trabajo.

Nuestro respeto y gratitud para quienes de una u otra forma nos han apoyado y compartido con nosotros sus conoci-mientos y experiencias, por toda la cola-boración prestada para la realización de este proyecto.

A nuestros amigos

Por ser esas personas especiales que siempre han estado y estarán con noso-tros en los buenos y malos momen-tos, por su confianza, amor y fidelidad. Bendiciones para todos.

A la Universidad del Atlántico

Por habernos acogido como sus hijos académicos, por formarnos y luego per-mitirnos trabajar en ella; hacer lo que más nos gusta y llena de satisfacción: enseñar a las futuras generaciones; por apoyarnos en todo para la consecución de este logro. Gracias por ser nuestro segundo hogar.

9

CONTENIDO

DEDICATORIA ................................................................................................... 5

AGRADECIMIENTOS .................................................................................... 7

RESUMEN ............................................................................................................. 21

PRÓLOGO ............................................................................................................. 23

PRESENTACIÓN .............................................................................................. 25

INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 27

FÓRMULAS DE ÁREA .................................................................................. 29

FÓRMULAS DE VOLUMEN ....................................................................... 31

Capítulo I

LA INTEGRACIÓN O ANTIDIFERENCIACIÓN .......................... 33

ANTIDIFERENCIACIÓN ................................................................................................... 33Reglas básicas de integración .............................................................................. 34

TALLER 1 ................................................................................................................................ 36Reglas para la antiderivada de las funciones trigonométricas ....................................................................... 37

TALLER 2 ............................................................................................................................... 37Fórmulas para la antiderivada de las funciones exponenciales de base constante ....................................................................... 38

10

TALLER 3 ................................................................................................................................ 38Integrales por sustitución ...................................................................................... 39

TALLER 4 ................................................................................................................................ 42Reglas para la antiderivada de las funciones trigonométricas inversas ....................................................................................... 42

TALLER 5 ................................................................................................................................ 43La integral definida ................................................................................................... 43

TALLER 6 ................................................................................................................................ 47Aplicaciones de la integral definida................................................................... 47

TALLER 7 ............................................................................................................................... 57Ejercicios sobre volumen ....................................................................................... 57

TALLER 8 ................................................................................................................................ 61Ejercicios sobre longitud de arco ....................................................................... 61

CAPÍTULO II

APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN EN ECONOMÍA, INDUSTRIA Y ADMINISTRACIÓN ...................................................... 63

BREVE RESEÑA ................................................................................................................... 63Aplicaciones prácticas ............................................................................................. 63Exceso de utilidad neta ........................................................................................... 73Ganancias netas de una maquinaria industrial ............................................ 75La curva de demanda y la disposición a gastar de los consumidores . 76Excedente de los consumidores .......................................................................... 78Curvas de aprendizaje ............................................................................................. 81

TALLER 9 ................................................................................................................................ 83Aplicaciones ................................................................................................................. 83

11

CAPÍTULO III

FUNCIONES ESPECIALES ....................................................................... 91

FUNCIONES ........................................................................................................................... 91Clase de funciones .................................................................................................... 92

FUNCIONES MÁS USADAS EN CÁLCULO .................................................................. 93Función constante ..................................................................................................... 93Función lineal .............................................................................................................. 94Función potencial de grado 2 (parábola) ........................................................ 94Función potencial de grado 3 (polinómica) ................................................... 96Función módulo ......................................................................................................... 96Función raíz cuadrada ............................................................................................. 97Función parte entera ................................................................................................ 97Función mantisa......................................................................................................... 98Función signo .............................................................................................................. 98Función exponencial ................................................................................................ 98Función logarítmica .................................................................................................. 99Función homografía ................................................................................................. 99Función seno ............................................................................................................... 100Función coseno ........................................................................................................... 101Función tangente ....................................................................................................... 101Función cotangente .................................................................................................. 102Función secante ......................................................................................................... 103Función cosecante ..................................................................................................... 104Función inversa .......................................................................................................... 104

TEOREMA 1 “PROPIEDAD REFLEXIVA DE LAS INVERSAS” ............................. 105

REGLA DE LA EXISTENCIA DE FUNCIÓN INVERSA ............................................. 106Función logaritmo natural ..................................................................................... 106Propiedad de la función logaritmo natural .................................................... 107Función exponencial natural ................................................................................ 108Otras funciones exponenciales y logarítmicas .............................................. 108

12

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: ...................................................................... 108Funciones trigonométricas inversas ................................................................. 108

FUNCIONES HIPERBÓLICAS .......................................................................................... 111Definición de las funciones hiperbólicas ......................................................... 111

TEOREMA 2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS ........................................ 111

TALLER 10 ............................................................................................................................. 112Ejercicios sobre porciones ..................................................................................... 112

CAPÍTULO IV

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN ............................................................... 113

INTEGRACIÓN POR PARTES .......................................................................................... 113

EL MÉTODO LIATE ............................................................................................................. 114

MÉTODO TABULAR ............................................................................................................ 119

TALLER 11 ............................................................................................................................. 120

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS ......................................... 120Integración de potencias del seno y el coseno .............................................. 120

TALLER 12 ............................................................................................................................. 124

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE .................................................................. 125

INTEGRALES DE LA FORMA Sec x dxn ∫ O BIEN Csc x dxn ∫ DONDE N ES UN ENTERO POSITIVO PAR ..................................................................................... 126

INTEGRALES DE LA FORMA Sec x dxn ∫ O BIEN Csc x dxn ∫ DONDE N ES UN ENTERO POSITIVO IMPAR ................................................................................ 126

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN cot cscm nx x dx ∫ DONDE N ES UN ENTERO POSITIVO PAR ..................................................................................... 127

13

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN tan x x dx5 3 sec∫ DONDE M, N SON ENTEROS POSITIVOS IMPARES .......................................................................... 127

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN cot cscm nx x dx ∫ DONDE M ES UN ENTERO POSITIVO PAR Y N ES UN ENTERO POSITIVO IMPAR ........ 128

TALLER 13 ............................................................................................................................. 128

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................. 129

TALLER 14 ............................................................................................................................. 134

FUNCIONES RACIONALES Y FRACCIONES PARCIALES ..................................... 135

TEOREMA............................................................................................................................... 136

TALLER 15 ............................................................................................................................. 143

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DEL SENO Y DEL COSENO . 144

TALLER 16 ............................................................................................................................. 145

SUSTITUCIONES DIVERSAS O DE RACIONALIZACIÓN ....................................... 146

TALLER 17 ............................................................................................................................. 148

CAPÍTULO V

COORDENADAS POLARES ...................................................................... 149

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ................................................................... 149

RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA CARTESIANO Y POLAR ................................... 150

TALLER 18 ............................................................................................................................. 151

GRÁFICA DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES ............................... 152

TALLER 19 ............................................................................................................................. 158

ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES ....................................... 159

TALLER 20 ............................................................................................................................. 161

14

CAPÍTULO VI

SERIES DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO .... 163

TEOREMA DE TAYLOR ...................................................................................................... 163Primer teorema de medio para integrales ...................................................... 163Segundo teorema de medio para integrales .................................................. 164

CÁLCULO DE SERIES DE TAYLOR ................................................................................ 164

ALGUNAS SERIES MUY USUALES ................................................................................ 166

ERRORES DE TRUNCAMIENTO .................................................................................... 167Solución de integrales por series de Taylor ........................................................................................................................ 167

TALLER 21 ............................................................................................................................. 169

RESPUESTAS DE LOS TALLERES .................................................................................. 170

TALLER 1 ................................................................................................................................ 170

TALLER 2 ................................................................................................................................ 170

TALLER 3 ................................................................................................................................ 170

TALLER 4 ................................................................................................................................ 170

TALLER 5 ................................................................................................................................ 171

TALLER 6 ................................................................................................................................ 171

TALLER 7 ................................................................................................................................ 171

TALLER 8 ................................................................................................................................ 171

TALLER 9 ................................................................................................................................ 171

TALLER 10 ............................................................................................................................. 172

TALLER 11 ............................................................................................................................. 172

TALLER 12 ............................................................................................................................. 172

TALLER 13 ............................................................................................................................. 172

15

TALLER 14 ............................................................................................................................. 173

TALLER 15 ............................................................................................................................. 173

TALLER 16 ............................................................................................................................. 173

TALLER 17 ............................................................................................................................. 174

TALLER 18 ............................................................................................................................. 174

TALLER 19 ............................................................................................................................. 174

TALLER 20 ............................................................................................................................. 175

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 177

ACERCA LOS AUTORES ............................................................................. 179

16

LISTA DE GRÁFICAS

Gráfica 1. Área bajo la curva ....................................................................................... 48

Gráfica 2. Región R del ejemplo 2 ............................................................................ 48

Gráfica 3. Área de la región R del ejemplo 3 ....................................................... 49

Gráfica 4. Elemento y disco representativo del sólido .................................... 50

Gráfica 5. Elemento representativo del disco ......................................................................................................... 50

Gráfica 6. Disco representativo ................................................................................. 50

Gráfica 7. Aproximación al sólido de revolución ............................................... 51

Gráfica 8. Área de la región limitada ...................................................................... 51

Gráfica 9. Sólido de Revolución Generado ........................................................... 52

Gráfica 10. Sólido de revolución generado al girar la región de la figura 8 alrededor del eje y ..................................................................................... 52

Gráfica 11. Región limitada del inciso c) ................................................................. 52

Gráfica 12. Sólido de revolución de la región del inciso c) .............................. 52

Gráfica 13. Región acotada del inciso c) .................................................................. 53

Gráfica 14. Sólido de revolución del inciso c) ........................................................ 53

Gráfica 15. Región Acotada ........................................................................................... 53

Gráfica 16. Sólido de revolución generado ............................................................. 54

17

Gráfica 17. Rectángulo representativo método por capas ............................... 54

Gráfica 18. Región plana y elemento genérico ...................................................... 55

Gráfica 19. Sólido de revolución ................................................................................. 55

Gráfica 20. Región acotada del ejemplo 1 ............................................................... 56

Gráfica 21. Sólido de revolución generado del ejemplo 1. ............................... 56

Gráfica 22. Región acotada del ejemplo 2 ............................................................... 56

Gráfica 23. Gráfica de la definición de la longitud de arco............................... 59

Gráfica 24. Ilustración de un elemento genérico de la longitud de arco ... 60

Gráfica 25. Área bajo la función de ingreso marginal ........................................ 69

Gráfica 26. Tasa de la función de costos .................................................................. 70

Gráfica 27. Función de costo total del ejemplo 12 .............................................. 71

Gráfica 28. Tasa de donación de sangre del ejemplo 13 ............................................................................................. 72

Gráfica 29. Función r del ejemplo 14 ........................................................................ 73

Gráfica 30. Exceso de utilidad neta ............................................................................ 73

Gráfica 31. Exceso de utilidad neta del ejemplo 15 ............................................ 74

Gráfica 32. Función de costo total y de ingresos .................................................. 75

Gráfica 33. Curva de demanda ..................................................................................... 77

Gráfica 34. Función demanda del ejemplo 17 ....................................................... 78

Gráfica 35. Representación geométrica de los excedentes .............................. 79

Gráfica 36. Función Demanda del ejemplo 18 ...................................................... 81

Gráfica 37. Curva de aprendizaje ................................................................................ 82

Gráfica 38. Diagramas de relaciones ......................................................................... 92

Gráfica 39. Representación gráfica de f y su inversa .......................................... 105

18

Gráfica 40. Simetría respecto y=x de lo gráficos de una función y su inversa ................................................................................................... 106

Gráfica 41. Función f del ejemplo 2 ........................................................................... 106

Gráfica 42. Función logaritmo natural y su inversa ............................................ 107

Gráfica 43. Función f(x)=sen x ..................................................................................... 109

Gráfica 44. Funciones arcsen x y arccosx ................................................................ 110

Gráfica 45. Funciones arctanx y arccotx .................................................................. 110

Gráfica 46. Funciones arcsec y arccsc ....................................................................... 110

Gráfica 47. Sustitución u=asenθ .................................................................................. 129

Gráfica 48. Figura del ejemplo 1 ................................................................................. 129

Gráfica 49. Gráfica del ejemplo 2 ................................................................................ 130


Gráfica 51. Sustitución u=atan θ ................................................................................. 131



Gráfica 54. Sustitución u=asecθ .................................................................................. 133

Gráfica 55. Gráfica del ejemplo de arriba ................................................................ 133


Gráfica 57. Coordenadas polares ................................................................................ 149

Gráfica 58. Relación entre los puntos ( ) ( )r r, , y θ θ− .............................................. 150


Gráfica 60. Relación entre el sistema cartesiano y polar .................................. 150

Gráfica 61. Gráfica de θ=C .............................................................................................. 152

Gráfica 62. Gráfica de rsenθ=2 ..................................................................................... 153

19

Gráfica 63. Gráfica de rsenθ=-2 ................................................................................... 153

Gráfica 64. Gráfica de r cosθ = 4 ............................................................................. 153

Gráfica 65. Representación de r = 3 ......................................................................... 153

Gráfica 66. Representación r = 5cosθ ..................................................................... 155

Gráfica 67. Representación de r = +3 2cosθ ............................................................. 155

Gráfica 68. Algunos tipos de limazón........................................................................ 156

Gráfica 69. Tipos de limazón ........................................................................................ 156

Gráfica 70. Representación de la r = 4 2cos θ ........................................................... 157

Gráfica 71. Gráfica de r= nθ con n no negativo, .................................................... 158

Gráfica 72. Representación de r=nθ con n negativo .......................................... 158

Gráfica 73. Área de la región polar limitada por las rectas θ = α y θ = β ... 159

Gráfica 74. Sector Circular ............................................................................................. 159

Gráfica 75. Región polar del ejemplo 1 .................................................................... 160

Gráfica 76. Gráfica asociada al ejemplo 2 ................................................................ 161

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Derivadas de las funciones factores del ejemplo 13 ................................. 119

Tabla 2. Datos para r = +3 2cosθ ............................................................................................ 155

Tabla 3. Valores para r = 4 2cos θ ........................................................................................... 157

Tabla 4. Resumen del ejemplo anterior ........................................................................... 168

Tabla 5. Resumen del ejemplo anterior ........................................................................... 169

Universidad del Atlántico

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RESUMEN

Tanto a nivel de matemáticas como en las demás áreas de las Ciencias Básicas e ingenierías, el cálculo integral juega un papel fundamental, no solo por la varie-dad de tópicos que encierra su estudio, sino también por su aplicabilidad en la solución de diversos problemas, como el cálculo del área bajo una curva, el volumen de un sólido de revolución, el centro de masa y de gravedad de un objeto, el momento de inercia y la longi-tud de arco, entre otros.

Partiendo de esta perspectiva y de la realidad evidenciada a través de la expe-riencia, la cual nos enseña que el uso y aplicación del cálculo integral por parte de los estudiantes de la universidad reviste un alto grado de dificultad, se pretende que estos potencien sus habi-lidades para el planteamiento, análisis, modelación y solución de problemas presentes ya sea en el marco del estudio de las asignaturas de su plan de estudios o en el contexto de aplicaciones como

es el caso de los proyectos de investiga-ción de temas de su saber específico y de su futuro campo de desempeño pro-fesional. Para ello, se ha diseñado este libro producto de investigación, el cual pone a disposición del estudiante –o investigador– una herramienta que ini-cialmente le permita apropiarse de los conceptos básicos y fundamentales del cálculo integral: antiderivada, integral definida, segundo teorema fundamental del cálculo, área, volúmenes, etc.

En este sentido, la obra –además de servir de herramienta para que estu-diantes y/o investigadores se apropien de unos contenidos específicos–, servirá para la dinamización del proceso de enseñanza-aprendizaje del cálculo inte-gral, buscando con ello contribuir a la disminución de los índices de reproba-ción y de deserción estudiantil en los programas de Ciencias Básicas e inge-niería de la Universidad del Atlántico.


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PRÓLOGO

En esta obra en la cual se plasman los principales resultados de investigacio-nes realizadas durante cinco años en la línea de análisis del grupo de inves-tigación de la Universidad de Atlántico “Sistemas Dinámicos y EDOS”. Tiene como finalidad que sea utilizada por los docentes de matemáticas para la prepa-ración de sus clases y por los estudiantes e investigadores como guía para apro-piarse de los conceptos fundamentales del cálculo integral, para a partir de ello, y de manera adecuada poder interpre-tar, solucionar y modelar problemas de su saber específico y de su futuro campo laboral.

Las definiciones, propiedades, ejemplos y problemas de aplicación, son presen-tados de manera didáctica, paso a paso, de forma que se facilite su comprensión y apropiación por parte del lector. De igual manera, al final de cada sección se proponen una serie de ejercicios con el

fin de que el estudiante o investigador ponga en práctica los conocimientos adquiridos y con ello potencie sus habi-lidades para la comprensión del cálculo integral y la solución de diversos proble-mas de su contexto.

La experiencia que hemos acumulado durante varios años dedicados a la docencia e investigación en el campo de las matemáticas y sus aplicaciones, nos permite identificar la dificultad que reviste para los estudiantes la compren-sión y aplicación de esta área del conoci-miento y con base a ello, se han incorpo-rado al final de cada capítulo un grupo de problemas propuestos, con el fin de que el estudiante reconstruya los esquemas cognitivos y cognoscitivos por medio de las situaciones (ejercicios o talleres) de interacción que sean significativas y acordes con su nivel de formación.

LOS AUTORES


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PRESENTACIÓN

Con la publicación del presente texto, el cual puede ser utilizado como mate-rial de consulta o referente bibliográfico por parte de docentes y estudiantes, los autores pretenden aportar al for-talecimiento del proceso de enseñan-za-aprendizaje del cálculo integral en los programas de pregrado de las institucio-nes de educación superior, y es por ello que además de la explicación detallada de cada tópico, de la exhibición de ejem-plos ilustrativos y solución de ejercicios de aplicación, se propone una sección de problemas para que el lector ponga en práctica los conocimientos adquiridos y de este modo pueda abordar adecuada-mente los temas subsiguientes.

En correspondencia con lo anterior, esta obra recoge los principales elemen-tos teórico-conceptuales de un curso de cálculo integral, expresados en un lenguaje fácil de comprender de modo que se logre motivar a los interesados

en el estudio del cálculo integral, área de las matemáticas que puede ser apli-cada para modelar y resolver situacio-nes-problema de diversas áreas del conocimiento, contribuyendo con ello a la generación y gestión del conocimiento en este mundo altamente globalizado.

Con base en las líneas anteriores, este libro resultado de investigación está enfocado hacia el fortalecimiento del proceso de enseñanza y al logro de aprendizajes significativos del cálculo integral, es decir, donde el estudiante haga uso de los conceptos previos, rela-cionándolos con los nuevos a aprehen-der, y para ello, los temas se presentan de modo didáctico, y en la medida de lo posible con ejemplos ilustrativos para superar dificultades.

Por último, es de resaltar el compromiso de los investigadores durante cada etapa del proceso de investigación y de edición

Cálculo integral con aplicaciones


26

del texto, poniendo a disposición del conjunto todos los conocimientos adqui-ridos durante sus años de experiencia docente e investigativa, contribuyendo con ello a una mejor exposición de los temas de modo que puedan ser com-prendidos por cualquier estudiante uni-versitario que tenga unas bases sólidas de matemáticas básicas. También desta-camos los aportes de varios colegas de matemáticas que por muchos años han orientado esta asignatura en programas de pregrado en diferentes facultades de la universidad, revisando los conceptos, la teoría, los ejemplos, los talleres y apli-caciones, aportando a la feliz culmina-ción de este proyecto.


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INTRODUCCIÓN

Es indiscutible la presencia del cálculo integral en diversas situacio-nes del mundo actual. Por ejemplo: en Ingeniería, para el cálculo de estructu-ras y áreas; en Administración para la obtención de la fórmula del costo total a partir de la fórmula del costo marginal; en Electrónica para el cálculo de corrien-tes, capacitancias, tiempo de carga y descarga de corrientes; en Ecología para el análisis de modelos de crecimiento poblacional, ley enfriamiento y calenta-miento global del planeta; en Química para determinar aspectos asociados a reacciones y decaimiento radioactivo; en Estadística para la propagación de incer-tidumbres, algoritmos, probabilidades financieras y actuariales; en Medicina ,para el análisis y seguimiento de los tumores cancerígenos en radioterapia, etc.

Por lo anterior y otras situaciones acá no explicitadas, el cálculo integral ha servido de base para el desarrollo de

la ciencia, en especial para los ingenie-ros, matemáticos, físicos, contadores, economistas e investigadores, quienes a diario lo estudian y aplican no solo en sus contextos específicos sino en los demás campos del conocimiento, exhi-biendo así su incidencia transversal en casi todas las profesiones.

De otra parte, es importante resaltar que el cálculo integral es una de las piedras que forman la base angular para la cons-trucción de la ciencia, siendo esta una de las razones que justifican la necesidad de su inclusión en los planes de estudio de los programas de pregrado en Ciencias Básicas, Ingenierías, Administración, Economía, y Arquitectura, entre otras. Dentro de este contexto, cabe también resaltar que además de los modelos matemáticos, existen otros fenómenos de la naturaleza y de la ciencia misma que pueden representarse usando el lenguaje simbólico de las matemáticas.



28

Finalmente se puede decir que el cálculo integral sirve entre, otras cosas, para el diseño y construcción de modelos mate-máticos que ayudan a la toma de decisio-nes sujetas a ciertas condiciones inicia-les del problema y para ello es necesario resaltar que las reglas o métodos mate-máticos consisten en un conjunto de conocimientos útiles para ser emplea-dos en otros campos del saber, porque a través de ellos podemos modelar, orga-nizar, describir y realizar inferencias dentro de una investigación o estudio.


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FÓRMULAS DE ÁREA

h Área de un rectángulo A = b h b l Área del cuadrado A= l 2 l c h Área de un paralelogramo A = b h b c

h Área del triángulo A bh=12

b

b’

h Área de un trapezoide ( )A h b b= + ′12

b

d Área de un rombo A dd= ′12

d r Área del círculo A = π r 2

r n Área de un sector circular A n r=360

2π

r Área de la esfera A = 4 π r 2


31

FÓRMULAS DE VOLUMEN

a Volumen del paralelepipedo V = a b c b c h Volumen del cilindro V= π r 2 h r

h

Volumen del cono V r h=13

2π

r r

Volumen de la esfera V r=43

3π


33

C a p í t u l o I

LA INTEGRACIÓN O ANTIDIFERENCIACIÓN

ANTIDIFERENCIACIÓN

Ya estamos familiarizados con las ope-raciones inversas. La adición y la sus-tracción son operaciones inversas; la multiplicación y la división también lo son, lo mismo que elevar una potencia y extraer una raíz. En este capítulo desa-rrollaremos la operación inversa de la diferenciación o derivada, que llamare-mos antidiferenciación.

Definición: Una función F se llama anti-derivada de una función f, en un inter-valo I, si F’(x) = f(x) para todo valor de x en I.

Ejemplo: Si F se define como:

Entonces ′ = +F x x x( ) 12 22 . Así, sí f(x) es la función definida por f x x x( ) = +12 22

Decimos que f(x) es la derivada de F(x) y que F(x) es una antiderivada de f(x).

F x x x( ) = + +4 53 2

En general, si una función F(x) es antide-rivada de una función f, en un intervalo I, y si G está definida por

Donde C es una constante arbitraria, entonces

G es una antiderivada de f(x) en el inter-valo I.

Definición: La antidiferenciación es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de anti-diferenciación y se escribe

donde

G x F x C( ) ( )= +

′ = ′ =G x F x f x( ) ( ) ( )

f x dx F x C( ) ( ) ∫ = +

′ = =F xdF x

dxf x( )

( )( )



34

y

( )d F x f x dx ( ) ( )=

Leibniz estableció la convención de expresar la diferenciación de una función después del símbolo de antidife-renciación. La ventaja de utilizar la dife-renciación de esta forma será evidente para el estudiante cuando calcule anti-derivadas, es decir:

( )d F x F x C( ) ( )∫ = + (Ecuación 1)

Esta fórmula se usará para obtener fór-mulas para antidiferenciación en las siguientes secciones o capítulos. La ecua-ción (1) establece que cuando se antidi-ferencia la diferencial de una función, se obtiene esa función y además una cons-tante arbitraria. Así. Puede considerarse que el símbolo ∫ para antidiferencia-ción es la operación inversa de la ope-ración denotada por d para calcular una diferencial.

Como la antidiferenciación es la ope-ración inversa de la diferenciación, los teoremas de la antidiferenciación se pueden obtener de los teoremas de la diferenciación. Así los teoremas siguien-tes se pueden demostrar a partir de los teoremas para la diferenciación corres-pondientes.

Reglas básicas de integración

Si u, f y g son funciones diferenciables de x, entonces

[ ]

[ ]

1.1.1

1.1.2 u es una constante

1.1.3

1.1.4 Con

1.1.5

du u c

k du = k du= k + c k

f x g x dx f x dx g(x) dx

f x g x dx f x dx g(x) dx

u dx un

c n

duu

u c

nn

= +

+ = +

− = −

=+

+ ≠ −

= +

∫

∫∫

∫∫ ∫∫∫ ∫

∫

∫

+

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ln

1

11

En los siguientes ejercicios se pide cal-cular la integral indefinida aplicando las propiedades anteriores.

Ejemplo 1: dm m c= +∫

Ejemplo 2: 3 3 3dx dx x c= = +∫∫

Ejemplo 3: 2 2 2m dx m dx mx c ∫ ∫= = +

Ejemplo 4: 5 5 5xy dm xy dm xym c = = +∫∫

Ejemplo 5: x dxx

cx

c33 1 4

3 1 4=

++ = +

+

∫

La integración o antidiferenciación


Gabriel Mauricio Vergara Ríos Alberto Mario Reyes Linero - Richard Neil Sánchez Támara

35

Ejemplo 6: 4 4

45 1

46

23

5 5

5 1

6

6

x dx x dx

xc

x

x c

∫ ∫=

=+

+

= +

= +

+

c

Ejemplo 7: 1

3 1

2

12

33

3 1

2

2

xdx x dx

xc

xc

xc

∫ ∫=

=− +

+

=−

+

= − +

−

− +

−

Ejemplo 8:

x dx x dxx

cx

cx

c x c∫ ∫= =+

+ = + + = + = ++

+

12

12

11 2

232 3

212

11 2

232

23

Ejemplo 9:

5 5

5

5 23

1

5 53

3

23 23

23

23

1

53

53

x dx x dx

x dx

xc

xc

x c

∫ ∫

∫

=

=

=+

+

= +

= +

+

Ejemplo 10:

( )5 8 5 8

5 8

51 1

8

52

8

1 1

2

x dx x dx dx

x dx dx

xx c

xx c

+ = +

= +

=+

+ +

= + +

∫ ∫∫

∫∫

+

Ejemplo 11:

( )10 5 2 10 5 2

10 5 2

105

53 2

2

25

3 22

4 2 4 2

4 2

5 3 2

53 2

x x x dx x dx x dx x dx dx

x dx x dx x dx dx

x x xx c

xx x

x c

− + + = − + +

= − + +

= − + + +

= − + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫



36

Ejemplo 12:

3 3

3

3

32 4

32 4

2

5

2

5 5

2 5 5

3 5

2 4

2 4

t mt

dttt

mt

dt

t dt mt dt

t dt m t dt

tm

tc

tmt

c

+= +

= +

= +

=−

+−

+

=−

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

− −

− −

− −

Ejemplo 13:

cxx

xdxdxx

dxx

dxx

dxx

x

dxxx

xxdxxx

xx

||ln 2 5

2

2

2

2

2 2

25

23

23

23

21

21

121

++=

+=

+=

+=

+=

+

∫∫

∫∫

∫

∫∫+

Ejemplo 14:

cxx

xx

cxxxx

dxdxxdxxx

dxdxxxx

+−−−=

+−−

+−=

−+−=

−+−

−

−− ∫ ∫∫∫∫

421

25||ln3

422

5|ln|3

4 5 3 453

2

2

22

33

TALLER 1

En los siguientes ejercicios efectúe la operación de antidiferenciación, verifi-que el resultado determinando la deri-vada de su respuesta:

( ) ( )

( )

1) 2)

3) 4)

5) 6)

8)

9) 10)

11) 12)

2 1

7

8

7 3 5 8 5 5

1 2 1 1

3 1 1 5 3

63

2

3 2335

8 3 4 3

3 2 12

4 2

3 2

ax dxx

dx

tdt m

ydy

x x dx xx

dx

u u du x x x dx

x x x xdx ax bx c dx

x xdx x x

x

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− + − +

+ + −

+ +

− +

− −

−

)

dx

t t t at

dt tt

dt

xx

dx x bx

dx

13 27 1

1

5 3

23

3

3

33

) 14)

15) 16)

− + − −

−

+

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

1) 2)

3) 4)

5) 6)

8)

9) 10)

11) 12)

2 1

7

8

7 3 5 8 5 5

1 2 1 1

3 1 1 5 3

63

2

3 2335

8 3 4 3

3 2 12

4 2

3 2

ax dxx

dx

tdt m

ydy

x x dx xx

dx

u u du x x x dx

x x x xdx ax bx c dx

x xdx x x

x

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− + − +

+ + −

+ +

− +

− −

−

)

dx

t t t at

dt tt

dt

xx

dx x bx

dx

13 27 1

1

5 3

23

3

3

33

) 14)

15) 16)

− + − −

−

+

∫ ∫

∫ ∫




37

Reglas para la antiderivada de las funciones trigonométricas

Si u es una función diferenciable de x, entonces:

u + c-ductguu

cuduuu

cctguduu

cuduu

csenuduu

cudusenu

csc csc 1.2.6

sec tan sec 1.2.5

csc 1.2.4

tan sec 1.2.3

cos 1.2.2

cos 1.2.1

2

2

∫∫∫∫∫∫

=

+=

+−=

+=

+=

+−=

Ejemplo 1:

( )x x dx x dx x dx

x tanx c

+ = +

= + +

∫ ∫ ∫sec sec2 2

212

Ejemplo 2:

( )

( )

2 3 2 3

21

3 12

1

21

332

21

63

21

2

12

112

1

132

132

1 32

x x x dx x dx x dx x dx

xa

xx c

xa

xx c

xa

xx c

xa

x x c

a a

a

a

a

a

+ + = + −

=+

++

− − +

=+

+ + +

=+

+ + +

=+

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫+ +

+

+

+

sen sen

cos

cos

cos

cos

Ejemplo 3:

( )( )

6 3 6 3

6 36 3

csc tg csc tg

csccsc

x c x dx x c x dx dx

x x cx x c

− = −

= − − += − − +

∫ ∫ ∫

Ejemplo 4:

12 2

2

sencos

sencos

csc cos

tg sen

xx dx

dxx

x dx

x dx x dx

c x x c

−

= −

= −

= − − +

∫ ∫∫

∫ ∫

Ejemplo 5:

( )

12

12

2

2

22

22

2 2 2

2

2

2

2

−− +

= − − +

= − − +

= − − +

= − − − − + +

= − + − + +

∫ ∫ ∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

sen tgsen sen

sen tgsen

csctg

sencsc csc tg

tg csc

tg csc

x c xx

x dxx

dxx c x

xdx x dx dx

x dxc x

xdx x dx dx

x dx x c x dx x dx dx

c x xx

x c

c x xx

x c

Ejemplo 6:

[ ]

( )

sen coscos

tgsen cos

costg

coscsc

sec csc

tgtg

2 2

22

2 2

22

22

2 2

1 1x x

xc x dx

x xx

dx c x dx

dxx dx

x dx

x dx x dx

tanx c x ctanx c x c

++ +

=

++ +

= +

= +

= + − +

= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



38

TALLER 2

En los siguientes ejercicios, efectúe la operación de antidiferenciación.

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

1) 2)

4)

5) 6)

+ 8) 1cos

-

9) 3tan 10)

2cot

2

2

x x dx x x dx

xx

xdx t dt

xx dx tan x x dx

x x x dxy

y y dy

d x x dx

x

+ −

+

+

−−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

cos sen sec

)sen

sensen

cos

sec cos

) csc cot csc csc cot

coscos

sen

)

2

2

2

2

36 1

13

1

7 4 2

4 5 8

11

θ θθ

θ

( )

( ) [ ]

3 1

13 3 2 3

15 4 4 3

22

22

2 2 2 3

tan x dx tt

t dt

xx

x tanx x dx x xx

dx

tan x x dx x x x dx

12) sen

+

14)

16) tan

2

2

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

− +

−

+ + − + −

sen

) seccos

sec cot sensen

) cot sec

Fórmulas para la antiderivada de las funciones exponenciales de base constante

Si u es una función diferenciable de x,

1.3.1 (Teorema general)

1.3.2 + c (Caso particular)

a dx aa

c

e dx ee

c e

uu

uu

u

∫

∫

= +

= + =

ln

ln

Ejemplo 1:

33

3x

x

dx c= +∫ ln

Ejemplo 2:[ ]2 5 7 2 5 7

2 5 7

25

7

ln5

x x x x

x x

xx

e dx dx e dx

dx e dx

e c

+ = +

= +

= + +

∫ ∫∫∫∫

Ejemplo 3:

[ ]3 5 4 3 4

3 5 4

3 54

4

2 5 sec

sec

2

2

e x dx e dx - x dx dx

e dx - x dx dx

e tanx c

x x x x

x x

xx

− + = +

= +

= − + +

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

sec

ln

Ejemplo 4:[ ]

( )

5 2 8 5 2 8

5 2 8

52

2 8

52

2 8

2

2

t e t m dt t dt e dt t dt m dt

t dt e dt t dt m dt

te t

mm

c

t e tm

mc

t t t t

t t

tt

tt

+ − + = + − +

= + − +

= + − − + +

= + + + +

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

sen sen

sen

cosln

cosln

TALLER 3

Evaluar las siguientes integrales:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1 3 2 1

3 53

5

5 1 1

7 2

9 4 5 10 93

2

2

3

2

)

) cos

)ln sen

) sec

) csc

2)

4)

6)

8)

10)

x t

xx

x

xt

x x

x xx x

x dx et

dt

e dx x e dx

bb

dxt t

e dt

xx

e dx x tanx e dx

x e x dx

+ +

+

+

− +

+

−

+ − ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

[ ]

dx

x x xex

dx x x dx

a bx ce dx ee

dx

ee e

dx xx

dx

x x

xx

x

x

x xx

11 3 78

3 4 1010

11

15 273 3

9 10

3 2

2

3

2

) sen cosln

) cotsen

12)

13) 14)

16)

− − + + −

+ +−+

−+ +

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫




39

Integrales por sustituciónREGLA DE INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN

COMPUESTASean f y g dos funciones que satisfacen la regla de la cadena para la función compuesta ( )( )y f g x= . Si F es una primitiva de f , entonces

( )( ) ( ) ( )( )f g x g x dx F g x c ∫ ′ = +

Si u g x= ( ) , entonces ( )du g x dx= ′ y ( )f u du F u C ∫ = +( )

REGLA GENERAL DE POTENCIASSi g es una función de x diferenciable, entonces

[ ] [ ]g x g x dxg x

nc n

u g x

u du un

c n

nn

nn

( ) ( )( )

( )

′ =+

+ ≠ −

=

=+

+ ≠ −

∫

∫

+

+

Si , entonces

1

1

11

11

MÉTODO CHEBYSHEVPafnuti L. Chebyshev (1821-1894), probó que la antideri-vada ( )x x dxp q1+∫ : es una función elemental para números racionales p y q solo cuando al menos uno de p, q y p+ q es un entero. También se cumple para ( )x x dxp q1−∫ .

Nota: Dentro de las funciones elementales, se encuentran las funciones algebraicas: polinomios en x, funciones racio-nales y funciones y = f(x) definidas implícitamente como raíces de una ecuación de la forma ( ) ( ) ( )a x a x y a x yn

n0 1 0+ + + =... ,

donde los ( )a xi son polinomios en x. Por ejemplo, la función y x=

23 es algebraica porque satisface la ecuación

x y2 3 0− = .

Cualquier función algebraica que pueda obtenerse por medios algebraicos (se incluye la composición) de polinomios, logaritmos, exponenciales, las seis funciones trigonométricas y sus inversas se llama función elemental.

Ilustración # 1 Comprobar si xx

dxn1+

∫ . Es elemental

cuando n=1.

Solución. Como n=1

xx

dxn1+

∫ = . Haciendo

xx

dxn1+

∫

( )( )x

xdx x x dx

111

2

12

+

= +

∫ ∫ −

u x du dx= + ∴ =1

= ( ) ( ) ( )u u du x x c− − = + − + +∫ 1 12

23

1 2 132

12

Ilustración # 2. Resolver xx

dx5

41+

∫

Solución: Reescribiendo el integrando, tenemosx

xdx

5

41+

∫ ( )= +

−

∫ x x dx5 4121

Podemos notar que de acuerdo con Chebyshev esta inte-gral es elemental porque cumple la condición de que uno de sus exponentes de las dos potencias es un entero. En este caso p=5. Por lo tanto,

( )xx

dx x x x x c5

4

24 2 4

1 41 1

41

+

= + − + + +∫

A continuación se presenta una serie de ejercicios en los cuales se aplicarán, los conceptos dados anteriormente.

Ejemplo 1: Calcule la integral indefinida ( )x x dx2 3 4

1−∫ y verifique sus resultados mediante diferenciación.

Solución:( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x dx

Hacemosu xdu x dxdu x dx

Sustituyendo tenemos

x x dx x x dx u du u du u cx

c

2 3 4

3

2

2

2 3 4 3 4 2 4 45 3 5

1

13

3

1 13

13

13 5

115

−

= −

=

=

− = − = = = + =−

+

∫

∫ ∫∫∫

:

:

Verificación( )

( ) ( ) ( ) ( )

Si , entonces

y x c

dydx

x x x x x x

= − +

= − = − = −

115

1

115

5 1 3 1515

1 1

3 5

3 4 2 2 3 4 2 3 4

Ejemplo 2: Calcule la integral indefinida 3 1 23x x dx +∫ y verifique sus resultados

mediante diferenciación.

Solución:

( )

3 1

1 2

3 1 3 1 32

32

98

98

1

23

2

23 23 313

43 2

43

x x dx

u x du x dxdu dx


x x dx x x dx u du u du u c x c

Se hace entonces

2

+

= + =

=

+ = + = = = + = + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

:



40

( )

3 1

1 2

3 1 3 1 32

32

98

98

1

23

2

23 23 313

43 2

43

x x dx

u x du x dxdu dx


x x dx x x dx u du u du u c x c

Se hace entonces

2

+

= + =

=

+ = + = = = + = + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

:

Verificación:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Si , entonces

y x c

dydx

x x x x x x

= + +

= + = + = +

98

1

98

43

1 2 98

83

1 3 1

243

213 2

13 2

13

Ejemplo 3: Calcule la integral indefinida 1 1 13

2+

∫ t tdt y verifique sus resultados

mediante diferenciación.

Solución:

1 1 1

1 1 1

1

3

2

2

2

+

=−

=

∫ t tdt

Hacemos

ut

entonces dut

dt

dut

dt

= +

-

Sustituyendo tenemos:

( )1 1 14

1 1

4

3

23 3

4

4

+

= − = − =−

+ =− +

+∫ ∫ ∫t tdt u du u du u c t c

Verificación:

Si

entonces

y t c

dydt

t tt t

=− +

+

=− +

−

= +

1 1

4

4 1 1 1

41 1 1

4

3

2 3

2

Ejemplo 4: Calcule la integral indefi-nida cos5x dx ∫ y verifique sus resultados mediante diferenciación.

Solución:cos

:

cos cos sen sen

5

5 5

55

15

15

5

x dx

u x du dxdu dx


x dx u du u c x c

Hacemos entonces

5

∫

∫ ∫

= =

=

= = + = +

Verificación:

( )

Si entonces:

y x c

dydx

x x

= +

= =

15

5

15

5 5 5

sen

cos cos

Ejemplo 5: Calcule la integral indefinida 2

2 23 3x e e dxx x + +∫ cos y verifique sus resulta-dos mediante diferenciación.

Solución:2

2

2 2

2 2

3 3

3 3

x e e dx

u e du x e dx

x x

x x

entonces

+ +

+ +

∫= =

cos

Sustituyendo tenemos:2

2 2

2

3 3

3

x e e dx u du u c

e c

x x

x

+ +

+

∫ ∫= = +

= +

cos cos sen

sen

Verificación:

( )( )Si entonces

y e cdydx

e x e x e e

x

x x x x

= +

= =

+

+ + + +

sen

cos cos

2

2 2 2 2

3

3 3 3 32 2

Ejemplo 6: Determine la integral indefi-nida x x dx2 1 + ∫

Solución:x x dx

u x du dxx u

2 1

11

+

Sea

∫= + == −




41


( )

( )( ) ( ) ( )

x x dx u u du

u u u du

x x x c

2 212

212

72

52

32

1 1

2 1

27

1 45

1 23

1

+

∫ ∫

∫

= −

= − +

= + − + + + +

Ejemplo 7: Determine la integral indefi-nida sen cosx x dx 1−∫

Solución:sen cos

cos ( sen ) sen

x x dx

u x du x dx x dx

Sea entonces

1

1

−

= − = − − =∫


( )1 32

23

112

32 3

2− = = + = − +∫ ∫cos sen cosx x dx u du u c x c

Ejemplo 8: Calcular tanx dx ∫

Solución:

tanx dx xx

dx

u xdu x dx

-

∫ ∫===

sencos

cossen


tanx dx duu

x cx c

∫ ∫= −

= − +

= +

ln cosln sec

Ejemplo 9: Calcular cot x dx ∫Solución:

cot cossen

sencos

x dx xx

dx

u xdu x dx

∫ ∫===


cot

ln sen

x dx duu

x c

∫ ∫=

= +

Ejemplo 10: Calcular sec x dx ∫

Solución:

( )( )

( ) ( )

secsec sec

sec

sec

sec sec sec sec

x dxx x tanx

x tanxdx

u x tanx

du x tanx x dx x tanx x dx

Hacemos

∫ ∫=+

+

= +

= + = +2

Remplazando tenemos que:

sec ln

ln sec

x dx duu

u c

x tanx c

∫ ∫= = +

= + +

Ejemplo 11: Calcular csc x dx ∫Solución:

( )( )

( )

csccsc csc tg

csc tg

csc tgcsc csc tg

x dxx x c x

x c xdx

u x c xdu x x c x dx

Hacemos

∫ ∫=−

−

= −

= −

Remplazando tenemos que:( )

( )csc

csc csc tgcsc tg

ln

ln csc tg

x dxx x c x

x c xdx

duu

u c

x c x c

∫ ∫

∫

=−

−

= = +

= − +



42

TALLER 4

Resolver las siguientes integrales:

( ) ( )

( )( )

( )

( )

1) 2)

3) 4)

6)

8)

9) 10)

12)

13) 14)

1 4 3 4

6 2 1

5 9 3 4

7 1 2 1

5 9 41

111 2 3 1

4 4

3

3

2 2

2 2 10 26

2 23

2 3

3

4 5 2

243

− −

− +

− −

− +

−+

− +

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

y dy x dx

x dx e e dx

x x dx x x dx

e e dx x x dx

x x dx xdx

x

y dy

y

sdss

x x dx

x x

x x

)

)

)

( )( )

x x dx

x x dx tdtt

rdrr

x x

x dx d

x dx x x dx

t t dt x dx

y y y dy r dr

x x dx x

4 5

73 2 12

2 3

2

2 2 2 3

2

3 5

23

17 21

2

3 2 4

21 13

6

23 12

4 5

3 3

27 2 1

15) 16)

18)

19) 20)

22)

24) sec

25) 26) r

28)

2

2

−

++

−−

−

+

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

)

cos

) sen sen

) cos

csc cot sec

) sen cos cos

θ θ

sen x dx ∫∫

Reglas para la antiderivada de las funciones trigonométricas inversas

Si u es una función diferenciable de x,

dua u

ua

c a

dua u a

tan ua

c a

duu u a a

ua

c a

2 2

1

2 21

2 2

1

0

1 0

1 0

−= + >

+= + ≠

−= + >

∫

∫

∫

−

−

−

sen

sec

donde

donde

donde

Ejemplo 1:

( )

( )

dxx

dx

x

u xdu dx

dx

x

duu

u c x c

dxx

x c

4 9 2 3

3

2 3

13 2

13 2

13

32

4 913

32

2 2 2

2 2 2 2

1 1

2

1

−=

−

=

=

−=

−= + = +

−= +

∫ ∫

∫ ∫

∫

− −

−

Sea:

3

Sustituyendo tenemos que

Entonces:

:

sen sen

sen

Ejemplo 2:

( )

( )

( )

( )

dxx x

dxx x

dxx

dxx

Hacemosu x

du dxSustituyendo tenemos

dxx

duu

tan u c tan x c

dxx x

tan x c

2 2

2

2 2

2 2 2 21 1

21

2 5 2 1 1 5

1 4

1 2

1

1 2 212 2

12

12

2 512

12

+ +=

+ + − +

=+ +

=+ +

= +=

+ +=

+= + =

++

+ +=

++

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

− −

−

Por lo tanto:

:




43

( )

( )

( )

( )

dxx x

dxx x

dxx

dxx

Hacemosu x

du dxSustituyendo tenemos

dxx

duu

tan u c tan x c

dxx x

tan x c

2 2

2

2 2

2 2 2 21 1

21

2 5 2 1 1 5

1 4

1 2

1

1 2 212 2

12

12

2 512

12

+ +=

+ + − +

=+ +

=+ +

= +=

+ +=

+= + =

++

+ +=

++

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

− −

−

Por lo tanto:

:

Ejemplo 3:3

93

3 32 2 2

1 dxx x

dxx x

x c−

=−

= +∫ ∫ −sec

Ejemplo 4:

( )

( ) ( )

sencos

sen

cos

cossen

:sen

cossen sen cos

sencos

sen cos

x dxx

x dx

x

u xdu x dx

Sustituyendox dx

x

du

u

u c x c

Luegox dx

xx c

Hacemos:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 1

2

1

−=

−

=− =

−= −

−= − + = − +

−= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫

− −

−

TALLER 5

( )

14 9 2 5

3 39

1 9

4 38

4 9

25 1

28 123

5 4

2 2

2

2 4 2

2 2

2

3

2 6

2 2

2

2

)

sen

)

ln

ln

2)

) 4) 2 - cos

5) 6)

7)

9) 10)

11) 12)

2

dxx

dxx x

dxx x

x dxx

ax dxa x

dxx

dxx

dxx x

x dx

x x

x e dx

e

dxx x

xx x

dx

x

x

− + +

−

− +

+ −

− −

− −

+

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

+

+

13) 14) 2 39 12 8

242 2

xx x

dx xx x

dx+− +

+

−∫ ∫

La integral definida

Si f es una función definida en el inter-valo [a, b], entonces la integral defi-nida de f desde a hasta b, denotada por

f x dxa

b( )∫ , está dada por:

( )f x dxlim

f xa

b

i

n

i( ) i=1

∫ ∑=→∆

∆0

ξ

Si el límite existe.

Nótese que la afirmación “la función f es integrable en el intervalo [a, b]”, es sinó-nima de “la integral definida de f desde a hasta b existe”.

En la notación para la integral definida f x dx

a

b( )∫ , f(x) se conoce como el inte-

grando, a se denomina límite inferior y b, límite superior (o bien, extremos infe-rior y superior, respectivamente).

El símbolo: ∫ , se denomina signo de integración. Dicho signo se parece a la S mayúscula, lo cual es apropiado, pues la integral definida es el límite de una suma. Se trata del mismo símbolo que se ha estado usando para indicar la operación de la antidiferenciación. La razón de este símbolo común es que el teorema funda-mental del Cálculo, no permite evaluar una integral definida encontrando una antiderivada (llamada también integral indefinida).



44

Primer teorema fundamental del cálculo

Sea f un función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x cualquier número en [a, b]. Si F es la función definida por

F x f t dta

b( ) ( )= ∫ (1)

Entonces

′ =F x f x( ) ( ) (2)

(Si x = a, la derivada de (2) puede ser una derivada por la derecha, y si x = b, la deri-vada en (2) puede ser una derivada por la izquierda.

Demostración:

Consideremos dos números x1 y ( )x x1 + ∆ en [a, b]. Entonces

F x f t dta

x( ) ( )1

1= ∫

yF x x f t dt

a

x x( ) ( )1

1+ =

+

∫∆∆

De tal modo que

( ) ( )F x x F x f t dt f t dta

x x

a

x

1 1

1 1+ − = −

+

∫ ∫∆∆

( ) ( ) (3)

Como f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números a x x x, , 1 1 + ∆ , entonces:

f t dt f t dt f t dta

x

x

x x

a

x x( ) ( ) ( )

1

1

1 1

∫ ∫ ∫+ =+ +∆ ∆

Lo que equivale a

f t dt f t dt f t dtx

x x

a

x

x

x x( ) ( ) ( )

1

1 1

1

1+ +

∫ ∫ ∫− =∆ ∆ (4)

Al sustituir (4) en (3) obtenemos

( ) ( )F x x F x f t dtx

x x

1 11

1+ − =

+

∫∆∆

( ) (5)

Por el teorema del valor medio para inte-grales, existe algún número x en el inter-valo cerrado acotado por ( )x x x1 1 y + ∆ tal que

f t dt f x xx

x x( ) ( )

1

1+

∫ =∆

∆ (6)

De (5) y (6) obtenemos:

( ) ( )

( ) ( )

F x x F x f x x

F x x F xx

f x

1 1

1 1

+ − =

+ −=

∆ ∆

∆∆

( )

( )

Si tomamos el límite cuando ∆x se apro-xima a cero tenemos

( )limx

F x x F xx

limx

f x∆

∆∆ ∆→

+ −=

→0 01 1

( )( ) (7)

El miembro izquierdo de (7) es ′F x( )1

Para determinar el limx

f x∆ → 0

( ) , recuér-dese que x se encuentra en el intervalo cerrado acotado por ( )x x x1 1 y + ∆ , y como

( )limx

x xlim

xx x x

∆ ∆∆

→=

→+ =

0 01 1 1 1 y




45

Se sigue, por el teorema de estricción

que 1

0lim

xxx

=→∆

. Como f es continua en x1

, tenemos ( ) ( ) )( lim

0

lim1

1

xfxfxx

xfx

=→

=→∆

; por

lo tanto de (7) obtenemos

′ =F x f x( ) ( )1 1 (8)

Si la función f no está definida para valores de x menores que a, pero es continua a la derecha de a, entonces, en la explicación anterior, si x a1 = en (7), ∆x debe aproximarse a cero por la derecha. Por lo tanto, el miembro izquierdo de (8) será F+

' .

Análogamente, si f no está definida para valores de x mayores que b, pero es con-tinua a la izquierda de b, entonces si x b1 = en (7), ∆x se debe aproximarse

a cero por la izquierda. Por lo tanto, tenemos F−

' en el miembro izquierdo de (8).

Ya que x1 es cualquier número en [a, b], la ecuación (8) establece lo que quería-mos demostrar.

El primer teorema fundamental del cálculo establece que la integral definida

f t dta

x( ) ∫ , con un límite superior variable

x, es la antiderivada de f.

Segundo teorema fundamental del cálculo

Sea la función f continua en el intervalo cerrado [a, b], y sea g una función tal que

g’(x) = f (x) (9)

para toda x en [a, b]. Entonces

f t dt g b g aa

b( ) ( ) ( ) ∫ = −

Demostración:

Si f es continua en todos los números de [a, b], sabemos, por el primer teorema fundamental del cálculo, que la integral definida f t dt

a

x( ) ∫ , con límite superior

variable x, define una función F cuya derivada en [a, b] es f. Como por hipótesis ′ =g x f x( ) ( ) , del teorema que nos dice

que “ Si f y g son dos funciones tales que ′ = ′f x g x( ) ( ) para todos los valores de

x en el intervalo I, entonces existe una constante K tal que f x g x K( ) ( )= + para toda x en I.” Aplicando es teorema se sigue que:

g x f t dt Ka

x( ) ( )= +∫ (10)

donde K es alguna constante.

Haciendo x = b y x = a, sucesivamente, en (10) obtenemos



46

g b f t dt Ka

b( ) ( )= +∫ (11)

y

g a f t dt Ka

a( ) ( )= +∫ (12)

De las ecuaciones (11) y (12),

g b g a f t dt f t dta

b

a

a( ) ( ) ( ) ( )− = −∫ ∫

Pero como g a f t dta

a( ) ( )= =∫ 0 , se tiene

entonces que

g b g a f t dta

b( ) ( ) ( )− = ∫

que es lo que deseábamos demostrar.

Si f no está definida para valores de x mayores que b, pero es continua a la izquierda de b, la derivada en (9) es una derivada por la izquierda, y tenemos g b F b− −=' '( ) ( ) , de donde se sigue (11). En forma similar, si f no está definida para valores de x menores que a, pero es continua a la derecha de a, entonces la derivada en (9) es una derivada por la derecha y tenemos g a F a+ +=' '( ) ( ) de donde se sigue (12).

Ya podemos ahora calcular el valor exacto de una integral definida aplicando este teorema. Al hacerlo denotamos:

[ ]g b g a por g x ab( ) ( ) ( )−

Ejemplo 1: Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluar:

x dx 1

4

∫Aquí f x x( ) = . Una antiderivada de x es x 2

2; de esto escogemos

g x x( ) =2

2

Por lo tanto del segundo teorema tenemos:

( ) ( )x dx x 1

4 2

1

4 2 2

242

12

152∫ = = −

=

Ejemplo 2: Evaluar [ ]1 3 2

1

3+∫ x dx

Solución:

[ ][ ]

( )[ ] ( )[ ]

1 3 3 3

3 3 1 1 28

2

1

3

1

32

1

3

1

32

1

3

3

1

3

3 3

+ = + = +

= +

= + − + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫x dx dx x dx dx x dx

x x

Ejemplo 3: Determinar 2 12 3

0

2x x dx +∫

Solución: Para evaluar la integral indefi-nida 2 12 3x x dx +∫ hacemos

u x du x dx= + =3 21 entonces 3

Sustituyendo, tenemos

( )2 1 23

49

12 312 3

32x x dx u du x+ = = +∫ ∫

Por lo tanto, la integral definida

( )

( )( ) ( )( )

2 1 49

1

49

2 1 49

0 1

1049

2 3

0

23

32

0

2

332 3

32

x x dx x+ = +

= +

− +

=

∫




47

( )

( )( ) ( )( )

2 1 49

1

49

2 1 49

0 1

1049

2 3

0

23

32

0

2

332 3

32

x x dx x+ = +

= +

− +

=

∫

Ejemplo 4: Evaluar cos x dx 0

2π

∫Solución:

cos sen sen senx dx x 0

202

20 1 0 1

π π π∫ = = − = − =

TALLER 6

En los siguientes ejercicios evalúe la integral definida

( )

( )

( )

( )

1) 2)

4)

6)

7) 8)

+

10)

3

7

- /2

/2 2

-2

1

5 1

3 3 2

5 11

21

9 3 2

11 4 1

23

2

1

2

0

5

2 20

1

0

2

34

0

15

5

4

4

5

x dx x dx

x dx x dx

t t dt z

zdz

x dx w dw

w

x dx x dx

ex

dxx

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

+

−

++

− −

+

−

−

) sen sen

)

sen

)

)

π

π

π

π

π

( ) ( )

( )

( )

12)

14)

16)

18)

0

4

13 2 1 1 3

15 2

17 1 2

3 4

5

0

3

3

2

1

1

4 4

32

4

2

21

62

3 230

1

x dx

x x dx x x dx

x x dx x xx

dx

xx

dxy y

y ydy

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

+ + + +

+−

+ +

+ +

−)

)

)

Aplicaciones de la integral definida

Área de una región en un plano

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ]a b, y si f x( ) ≥ 0 para toda x en [ ]a b, , entonces la medida del área de la región limitada por la curva y f x= ( ) el eje x y las rectas x a x b= = y es

f x dxa

b( ) ∫

que es la integral definida, (ver los teore-mas fundamentales del cálculo).

ÁREA DE UNA REGIÓN EN DOS CURVAS

Si f y g son continuas en [ ]a b, y g x f x( ) ( )≤ para toda x en [ ]a b, , entonces el área de la región limitada por las gráficas f y g y las líneas verticales x a= y x b= es:

[ ]A f x g xa

b= −∫ ( ) ( )

Ejemplo 1: Bosqueje la región cuya área está dada por ( )2 5

0

2x dx+∫ .

Solución: La región cuya área está dada por ( )2 5

0

2x dx+∫ se muestra en la siguiente

figura. El área de dicha región es:



48

Gráfica 1. Área bajo la curva

( ) [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

A x dx x x= + = +

= + − +

=

∫ 2 5 5

2 5 2 0 5 0

14

0

22

0

2

2 2

unidades cuadradasSe deja al lector comprobar el cálculo del área anterior utilizando geometría.

Ejemplo 2: Encuentre el área A de la región R que está limitada por y x= y la parábola y x= −6 2 .

Solución: La figura siguiente muestra la región R. Los límites a y b serán las abs-cisas de los puntos de intersección de la recta con la parábola. Para encontrar a y b, se igualan por lo tanto f x( ) y g x( ) despejando x en la ecuación resultante:

Gráfica 2. Región R del ejemplo 2

Igualando las dos funciones para encon-trar sus intersecciones:

( )( )

x xx x

x xx x

x x

= −

+ − =

+ − = ⇔+ = ⇒ = −

− = ⇒ =

66 0

3 2 03 0 3

2 0 2

2

2

Por lo tanto a = -3 y b = 2, por lo que el área es:

( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x x dx

x x dx

x x x

= − −

= − −

= − −

= − −

− − −

−−

−

=

−

−

−

∫∫

6

6

63 2

6 223

22

6 333

32

1256

2

3

2

2

3

2

3 2

3

2

3 2 3 2

unidades cuadradas




49

Ejemplo 3: Encuentre el área A de la región R limitada por la recta y x= y la parábola y x2 6= − .

Solución: La región R aparece en la siguiente figura. Los puntos de intersec-ción ( )− −3 3, y ( )2 2, se encuentran por igualación de y x= y y x= ± −6 , despe-jando después a x. El límite inferior de R está dado por y x= − −6 sobre [ ]−3 6, pero el límite superior está dado por

y x= en [ ]−3 2,

y x= −6 en [ ]2 6,

Gráfica 3. Área de la región R del ejemplo 3

Por lo tanto debemos dividir R en dos regiones R1 y R2 como se indica en la figura. Entonces, el área es:

( )[ ] ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

A x x dx x x dx

x x dx x dx

x x x

= − − − + − − − −

= + − + −

= − −

+ − −

= −

− −

+ − −

=

−

−

−

∫ ∫∫ ∫

6 6 6

6 2 6

12

23

6 2 23

6

2 163

92

18 2 0 2 163

1256

3

2

2

6

3

2

2

6

232

3

2 32

2

6

unidades cuadradas

El volumen y la integral definida

Definición: Otra aplicación importante de la integral definida la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tri-dimensional. En esta sección considerare-mos un tipo particular de sólido tridimen-sional: los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplo de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

El método de discos

Si giramos una región del plano alrede-

dor de una línea, el sólido resultante es

conocido como sólido de revolución y

la línea como eje de revolución. El más

simple de ellos es el cilindro circular

recto o disco, que se forma al girar un

rectángulo alrededor de un eje adya-

cente a uno de los lados del rectángulo,

como se muestra en la siguiente figura.



50

Gráfica 4. Elemento y disco representativo del sólido

El volumen de este disco es:

Volumen del disco R w = π 2

Donde R es el radio del disco y w es la anchura.

Para ver como usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la siguiente figura

Gráfica 5. Elemento representativo del disco

Gráfica 6. Disco representativo

Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo represen-tativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representa-tivo cuyo volumen es:

∆ ∆ V R x= π 2

Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales discos de anchura ∆ x y de radio ( )R xi , tenemos




51

Gráfica 7. Aproximación al sólido de revolución

Volumen del sólido

( )[ ] ( )[ ]≈ == =∑ ∑π π R x x R x xii

n

ii

n2

1

2

1

∆ ∆

Tomando el límite

( )∆ → → ∞0 n , tenemos:

Volumen del sólido

( )[ ] ( )[ ]=→ ∞

==∑ ∫

limn

R x x R x dxii

n

a

bπ π

2

1

2∆

Esquemáticamente representamos el método de discos por:

FÓRMULA VISTA EN PRE

CÁLCULOELEMENTO

REPRESENTATIVONUEVA FÓRMULA DE INTEGRACIÓN

V R w= π 2 ( )[ ]∆ ∆

V R x xi= π2 ( )[ ]V R x dx

a

b= ∫π

2

Si se toma el eje de revolución vertical-mente, se puede derivar una fórmula similar.

EL MÉTODO DE LOS DISCOS: Para cal-cular el volumen de un sólido de revo-lución por el método de los discos, úsese una de las fórmulas siguientes:

• Para el eje horizontal de revolución:

( )[ ]Volumen V R x dxa

b= = ∫π

2

Donde [ ]a b, está definido sobre el eje x

• Para el eje vertical de revolución:

( )[ ]Volumen V R y dyc

d= = ∫π

2

Donde [ ]c d, está definido sobre el eje y

Ejemplo 1: Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por las gráficas de y x=, y = 0 y x = 4 alrededor de:

a. El eje x

b. El eje y

c. La recta x = 4

d. La recta x = 6

Solución del inciso a)

Ver las figuras 8 y 9

Gráfica 8. Área de la región limitada

El sólido de revolución generado al rotar la figura anterior alrededor del eje X es:



52

Gráfica 9. Sólido de Revolución Generado

El volumen del sólido de revolución generado es:

( ) ( )

V x=

=

=

π

π

π

-0

unidades cubicas

2

0

4

2 2

2

42 2

8

( )V x dx

x dx

=

=

∫∫

π

π

2

0

4

0

4

Solución del inciso b)

El sólido de revolución generado es:

Gráfica 10. Sólido de revolución generado al girar la región de la figura 8 alrededor del eje y

El volumen del sólido de revolución es:

( ) ( )[ ]( )

V y dy

y dy

y y

= −

= −

= −

= −

=

∫∫

π

π

π

π

π

4

unidades cubicas

2

0

22 2

4

0

2

5

0

2

16

165

32 325

1285

Solución del inciso c)

El área limitada y el eje de giro se ilus-tran en la siguiente figura

Gráfica 11. Región limitada del inciso c)


Gráfica 12. Sólido de revolución de la región del inciso c)




53

El volumen de este sólido de revolución es:

( )( )

V y dy

y y dy

y y y

= −

= +

= − +

= − +

=

∫∫

π

π

π

π π

-

unidades cubicas

0

2

4

16 8

16 83 5

32 643

325

25615

2 2

0

2

2 4

3 5

0

2

Solución del inciso d)

La región acotada y el eje de giro se pueden apreciar en la siguiente figura

Gráfica 13. Región acotada del inciso c)


Gráfica 14. Sólido de revolución del inciso c)

El volumen de este sólido generado es:

( ) ( )[ ]( )

V y dy

y y dy

y y y

= − −

= − +

= − +

= − +

=

∫∫

π

π

π

π

π

unidades cubicas

6 2

32 12

32 45

64 32 325

1925

2 2 2

0

2

2 4

0

2

35

0

2

Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por las gráficas de y e x= − , y = 0 , x = 0 y x = 1 alrede-

dor del eje x.

Solución:

La región acotada se ilustra en el siguiente gráfico:

Gráfica 15. Región Acotada




54

Gráfica 16. Sólido de revolución generado

El Volumen de este sólido de revolución es:

( )

( )

V e dx

e dx

e

e

x

x

x

=

=

= −

= − ≈

−

−

−

−

∫∫

π

π

π

π

u

0

0

1

3

21

2

2

0

1

2

2

21 1358.

Cálculo del volumen de un sólido de revolución por el método de la cubierta o método de capas

Es un método alternativo para el cálculo del volumen de un sólido de revolución, un método que emplea capas cilíndri-cas. Ambos, el método de discos y el método de capas, son importantes, pero

la ventaja del método de capas consiste en que se usa cuando se toman elemen-tos de área que se hacen rotar paralela-mente al eje de revolución.

Para deducir el método de capas, con-sideramos un rectángulo representativo como se muestra en la siguiente figura:

Gráfica 17. Rectángulo representativo método por capas

Donde:

• w = anchura del rectángulo

• h = altura del rectángulo

• p = distancia del centro del rectángulo al eje de giro

Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) de altura w. Para cal-cular el volumen de esta capa conside-ramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa y el radio menor al radio interno de la




55

capa. Puesto que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p w

+2

y el radio interno es p w−

2. Por

consiguiente el volumen de la capa viene dado por la diferencia:

Volumen de la capa = Volumen del cilin-dro - Volumen del agujero.

( ) ( ) ( )

Volumen de la capa p w h p w h

p pw w p pw w h

p h wradio medio altura espesor

= +

− −

= + + − + −

=

=

π π

π

ππ

2 2

4 42

2

2 2

22

22

Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la región plana ilustrada en la siguiente figura gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura ∆ y paralelamente al eje de revolución, entonces al girar la región plana entorno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen

( ) ( )[ ]∆ ∆ V p y h y y= 2π

Gráfica 18. Región plana y elemento genérico

Gráfica 19. Sólido de revolución

Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura ∆ y

, altura ( )h yi y radio medio ( )p yi tenemos:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Volumen Solido p y h y y p y h y yi i i ii

n

i

n

≈ ===∑∑2 2

11

π π∆ ∆

Tomando el límite ( )∆ → → ∞0 n , tenemos

( ) ( )[ ] ( ) ( )Volumen Solidolim

np y h y y p y h y dyi i

i

n

c

d =

→ ∞=

=∑ ∫2 2

1

π π∆

Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, úsese una de las opciones siguientes, según indique su eje de revolución:

• Eje horizontal de revolución

( ) ( )Volumen V p p y h y dyc

d= = ∫2

• Eje vertical de revolución

( ) ( )Volumen V p p x h x dxa

b= = ∫2



56

Ejemplo 1: Utilice el método de la cubierta para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por y x= , y = 0 y x = 2 alrededor del eje x.

Solución: En la siguiente gráfica se muestra la región acotada.

Gráfica 20. Región acotada del ejemplo 1

El sólido generado es

Gráfica 21. Sólido de revolución generado del ejemplo 1.

El volumen es:

( ) ( )V y y dy y y dy y y= − = − = −

= −

=∫ ∫2 2 2 2 2

32 4 8

3830

22

0

22

3

0

2

π π π π π u3

Ejemplo 2: Utilice el método de la cubierta para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por y x= 2 y y x x= −4 2 alrededor del eje y.

Solución:

La gráfica de la región acotada es la siguiente,

Gráfica 22. Región acotada del ejemplo 2

El Volumen del sólido generado está dado por:

( )[ ]( )

( )

V x x x x dx

x x x dx

x x dx

x x

= − −

= −

= −

= −

=

∫∫∫

2 4

2 4 2

4 2

4 23 4

163

2 2

0

2

2 3

0

2

3 4

0

2

π

π

π

π

π

u

2

0

2

3




57

TALLER 7. EJERCICIOS SOBRE VOLUMEN

1. Determinar el área de la región limitada por la curva y = x2 + 2x en el eje x y las rectas x = 1 y x = 3

2. Encontrar el área de la región limi-tada por la curva y = x3 - 2x2 - 5x +6, el eje x y las rectas x = 0 y x = 1

3. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x2 y y = - x2 + 4x

4. Determinar el área de la región limitada por la parábola y2 = 2x -2 y la recta y = x - 5

5. Emplee el cálculo integral para demostrar que el volumen de una esfera de radio r es 4

3π r 3 .

(Sugerencia: Considere la esfera como el sólido formado al rotar la región bajo el semicírculo y r x= −2 2 , desde x= -r hasta x=

r alrededor del eje x).

6. Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región limitada (x - 1)2 = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1 y y = 3, y a la derecha de x=1.

7. La región limitada por la curva y = x2, el eje x y la recta x = 2 es girada alrededor del eje y. Determinar

el volumen del sólido generado. Considerar los elementos de área paralelos al eje de revolución.

8. La región limitada por la curva y = x2 y las rectas y = 1 y x = 2 es girada alrededor de la recta y = - 3. Encontrar el volumen del sólido generado considerando los ele-mentos rectangulares de área paralelos al eje de revolución.

9. Utilice el cálculo integral para demostrar que el volumen de un cono circular recto de altura h y radio r es 1

3 π r h2 . (Sugerencia:

Considere el cono como el sólido formado al rotar un triángulo rec-tángulo alrededor del eje x).

10. Utilice el método de la cubierta para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por x y+ =2 9 y x = 0 alrededor del eje x.

11. Utilice el método de la cubierta o del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por y x= 3 , y = 0 y x = 2 alrede-dor de: a) El eje x ; b) El eje y; c) la recta x = 4 ; d) la recta y = 8



58

12. Halle el volumen del sólido formado al girar la región delimitada pory

xy

xx x= = =

1 1 1 2, , = y alrededor del eje x.

13. Halle el volumen del sólido de revolución formado por la rota-ción de la región delimitada por y x x x= + = =2 10cos , , π π y el eje x alrededor de: (a) el eje y, (b) el

eje x.

14. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región del primer cuadrante limi-tada por la curva y x2 3= , la recta x=4 y el eje de las x.

a. Alrededor de la línea x=4; b. Alrededor de la recta y=8.

15. Bosqueje la región R limitada por y

xx x y= = = =

1 1 3 03 , , y . Formule (pero no evalúe) integrales para cada uno de los siguientes:

a. Área de R.b. Volumen del sólido obtenido

cuando R gira en torno el eje de las y.

c. Volumen del sólido que se obtiene cuando R gira alrede-dor de la recta y= -1.

d. Volumen del sólido que se obtiene mediante la rotación de R en torno a x = 4

16. Determine el volumen del sólido generado por la rotación, alrede-dor de la recta x= -4, de la región limitada por dicha recta y la pará-bola x y y= + −4 6 2 2 .

17. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación, alrede-dor de la recta y= -3, de la región acotada por las dos parábolas y x y x x= = + −2 21 y .

18. Halle el volumen del sólido gene-rado por el giro de la región acotada por la gráfica de y x x= −4 4 , el eje x con respecto a la recta x=2.

19. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación, alrede-dor de la recta y=1, de la región limitada por dicha recta y la pará-bola x y2 4= . Considere elemen-tos rectangulares de área paralelos al eje de revolución.

20. La región R limitada por el eje x, el eje y y la recta x+y=1, gira en torno a la recta y = −1. Hallar el volumen del sólido generado.

21. Hallar el volumen del sólido gene-rado cuando región R, limitada por y=0 y el arco de y= senx entre 0 y π , gira en torno a la recta x= -1.




59

22. Hallar el volumen del sólido gene-rado cuando región R, limitada por la curva x=lny, el eje y y la recta y e= 2 , gira alrededor del eje x.

23. Hallar el volumen del sólido gene-rado cuando región R, limitada por la parábola y= x(x-6) y el eje x, rota:

a. Alrededor del eje yb. Alrededor de la recta x= -2.

Longitud de arco

En el estudio que se realiza de la longi-tud de arco se utiliza la palabra de lon-gitud en vez de la expresión medida de la longitud. Se entiende entonces que la longitud de un arco es un número sin unidades de medidas agregadas a este.

Sea la función f continua en el inter-valo cerrado [ ]a b, . Consideremos la gráfica de la ecuación y f x= ( ) , la cual se muestra a continuación.

Gráfica 23. Gráfica de la definición de la longitud de arco

La porción de la curva desde el punto A (a, f(a)) al punto B (b, f(b) ) se llama arco. Deseamos asignar un número a lo que intuitivamente pensamos como la longitud de dicho arco. Si el arco es un segmento de recta del punto ( )x y1 1, al punto ( )x y2 2, , sabemos, de la fórmula para la distancia entre dos puntos, que su longitud está dada por ( ) ( )x x y y1 2

21 2

2− + − . Usamos esta fórmula para definir la longitud de un arco cualquiera. Recordamos, de la geo-metría, que la longitud de una circunfe-rencia, está definida como el límite del perímetro de los polígonos regulares inscritos en ella. Para otras curvas pro-cedemos en forma análoga.

Sea ∆ una partición del intervalo cerrado [ ]a b, formada al dividir el inter-valo en n subintervalos escogiendo cua-lesquiera (n - 1) números intermedios entre a y b. Sea x a0 = , x bn = y sean x1, x2, x3, ..., xn-1, los números intermedios tales que x0 < x1 < x2 < ... < xn-1, entonces, el i-ésimo subintervalo es [ ]x xi i−1 , ; y su longitud denotada por ∆ i x , es x xi i− −1

, donde i = 1, 2, 3,4,..., n. Luego si ∆ es la norma de la partición ∆ , cada ∆ ∆i x ≤.



60

Asociado con cada punto ( xi , 0 ) sobre el eje x hay un punto ( )P x f xi i i, ( ) sobre la curva. Trazamos un segmento de recta desde cada punto Pi−1 al punto próximo Pi , como se muestra en la siguiente

figura:

Gráfica 24. Ilustración de un elemento genérico de la longitud de arco

La longitud del segmento de recta de Pi−1 a Pi se denota por

( ) ( )P P x x y yi i i i i i− − −= − + −1 12

12 . La suma

de los segmentos rectilíneos es: P P P P P P P P P Pi i n n0 1 1 2 2 3 1 1+ + + + + +− − . La

cual puede escribirse con la siguiente notación P Pi i

i

n

−=∑ 1

1

.

Parece razonable que si n es suficiente-mente grande, la suma estará cercana a lo que intuitivamente pensaríamos como la longitud del arco AB así, defini-mos la longitud del arco como el límite de dicha suma cuando la norma de ∆ tiende a cero; en tal caso, n crece sin

límite. Tenemos entonces, la siguiente definición.

Definición: Supóngase que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Supóngase además que existe un número L que tiene la siguiente propie-dad: Para cualquier ( ) ( )ε δ > ∃ >0 0 tal que para toda partición del intervalo [ ]a b, es cierto que si la ∆ < δ entonces

P P Li ii

n

−=

− <∑ 11

ε .

Entonces se escribe Llim

P Pi ii

n

=→ −

=∑∆ 0 1

1

L se denomina longitud del Arco de la curva y f x= ( ) del punto A ( )a f a, ( ) al punto B ( )b f b, ( ) .

Si el límite existe se dice que el arco es rectificable. Obtendremos una fórmula para evaluar la longitud L de un arco rectificable. La deducción requiere que la derivada de f sea continua en [ ]a b, . Se dice que dicha función es aislada en [ ]a b, , esto significa que una función f es aislada en cualquier intervalo I si ′f es continua en I.

Teorema: Si la función f y su derivada ′f son continuas en el intervalo cerrado

[ ]a b, entonces la longitud de arco de la curva y f x= ( ) del punto ( )a f a, ( ) al punto ( )b f b, ( ) está dada por:




61

[ ]L f x dxa

b= + ′∫ 1 2( )

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la curva y x=

32 , desde el punto A (1, 1)

al punto B (2, 2 ).

Solución: Como f x x( ) =32 enton-

ces ′ =f x x( ) 32

12 de aquí se obtiene

que [ ]′ =

=f x x x( ) 2

12

232

94 , sustituyendo en

[ ]L f x dxa

b= + ′∫ 1 2( ) se tiene que:

L x dx= +∫ 1 941

2 Para realizar esta integral

hacemos u x= +1 94

, du dx=94

obteniendo así:L u du= ∫4

9

12

134

119 . Los límites de integración son

diferentes porque a x = 1 le corresponde u =

134

y a x = 2 le corresponde u =112

en consecuencia L u=

= −

49

23

227

11 22 132

1332

134

112

TALLER 8. EJERCICIOS SOBRE LONGI-TUD DE ARCO

En los problemas siguientes hallar la longitud del arco

1. y x x x= − ≤ ≤14

12

22 ln con 1

2. y xx

x= + ≤ ≤16

12

33 con 1

3. y x x= − ≤ ≤36 42 con 0

4. ( )y e e xx x= + ≤ ≤−12

10 con 0

5. ( )9 42 3y x= del origen al punto 3, 2 3

6. 8 24 2y x x= + − desde el punto donde x =1 al punto donde x = 2

7. ( )y x x= −13

3 1 del punto donde x = 1 al punto donde x = 4

8. x y23

23 1+ = del punto donde x = 1

8 hasta el punto donde x = 1


63

C A P Í T U L O I I

APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN EN ECONOMÍA,

INDUSTRIA Y ADMINISTRACIÓN

BREVE RESEÑA

En la guía de cálculo diferencial, tra-tamos lo relativo a la aplicación de la derivada en conceptos como velocidad instantánea, costo marginal e ingreso marginal, que son las primeras deriva-das de la función posición, función costo total y la función ingreso total respec-tivamente. De esta manera, a través del proceso de antidiferenciación (integra-ción indefinida), el cual es el proceso inverso de la derivación; la función posi-ción, la función costo total y la función ingreso total se pueden obtener a partir de sus primeras derivadas. Cuando se obtiene la función costo total (C) a partir de su primera derivada (C´-costo mar-ginal), la constante arbitraria puede ser evaluada si se conoce el costo general (es decir, el costo cuando no se producen unidades) o bien el costo de producción de un número específico de unidades de la mercancía. Ya que por lo general

es una realidad que el ingreso total es cero cuando el número de unidades producidas es cero, este hecho se puede usar para evaluar la constante arbitraria cuando se determina la función ingreso total ( R ) a partir de la función ingreso marginal ( R´)

Aplicaciones prácticas

Ejemplo 1: La función de costo marginal C´ de una cierta mercancía está dada por

( )′ = −C x x6 17. Si el costo de producir 2 unidades es 25 dólares, determine la función de costo total.

Solución: El costo marginal debe ser no negativo. Es decir, 6 17 0x − ≥ , y por lo tanto, los valores posibles de x son x ≥ 17

6. Como ( )′ = −C x x6 17. ,

( ) ( )C x x dx= −∫ 6 17

= 3 172x x k− +



64

Como C(2) = 25 se obtiene k = 47. Por lo tanto

( )C x x x= − + ≥3 17 472 x 176

.

Ejemplo 2: Si el ingreso marginal está dado por ( )′ = − +R x x x27 12 2 , obtener la función de ingreso total y la ecuación de la demanda.

Solución: Si R es la función de ingreso total, entonces de la ecuación dada

( ) ( )R x x x dx x x x c= − + + +∫ 27 12 27 6 13

2 2 3 = -

Como R(0) = 0, obtenemos que c = 0. Por lo tanto

( )R x x x x= − +27 6 13

2 3

Si f es la función de precio, ( ) ( )R x x f x= ; así

( )f x x x= − +27 6 13

2

Si p dólares es el precio de una unidad de la mercancía cundo se demandan x uni-dades, entonces como ( )p f x= , la ecua-ción de la demanda es

3 81 18 2p x x= − +

Para determinar los posibles valores de x se usan los hechos de que x p≥ ≥0 0, , y f es una función decreciente. Teniendo en cuenta que

( )′ = − +f x x6 23

, f decrece cuando x < 9 (o sea, cuando ( )′ <f x 0 ). Asimismo, cundo x p= =9 0, ; así, los posibles valores de x son los números en el intervalo cerrado [0, 9].

Ejemplo 3: Después de experimentar, un fabricante determinó que si x unida-des de un cierto artículo de mercancía se producen por día, el costo marginal está dado por la ecuación

( )′ = −C x x0 3 11.

donde C(x) dólares es el costo total de producir x unidades. Si el precio de venta del artículo se fija en 19 dólares por unidad y el costo general es 100 dólares por día, calcular la máxima utilidad total diaria que puede obtenerse.

Solución: Sea ( )R x dólares el ingreso total obtenido de la venta de x unidades y ( )P x dólares la utilidad total obte-nida por la venta de x unidades. Como se venden x unidades a 19 dólares cada una,

( ) ( )R x x= ′ =19 19 entonces R x

Además se tiene que

( )′ = −C x x0 3 11.

Aplicaciones de la integración en economía, industria y administración



65

La utilidad total será máxima cuando el ingreso marginal sea igual al costo mar-ginal. Al igualar ( ) ( )′ ′R x y C x se obtiene x = 100. Así, deben producirse 100 uni-dades cada día para lograr una utilidad total máxima.

( ) ( )C x x dx x x k= − = − +∫ 0 3 11 015 112. .

Como el costo general es 100 dólares, C(0) = 100 y por lo tanto, k = 100. En consecuencia

( )C x x x= − +015 11 1002.

Puesto que ( ) ( ) ( )P x R x C x= − , tenemos que ( ) ( )P x x x x= − − +19 015 11 1002.

= − + −015 30 1002. x x

De aquí, P(100)=1400. Por lo tanto, la máxima utilidad total diaria es 1400 dólares. que se obtiene si se producen 100 unidades diarias.

Ejemplo 4: Supóngase que durante los primeros 5 años que una mercancía ha estado a la venta en el mercado, se venden y unidades al año cuando han transcurrido x años desde que el pro-ducto se presentó por vez primera, y

y x x= + ≤ ≤3000 1000 0 5

Calcular las ventas totales durante los primeros 4 años.

Solución: Sea ( )f x x= +3000 1000 . Utilizando el concepto de integral defi-nida, el número de unidades vendidas en los cuatro primeros años, es el área bajo la curva en el intervalo [0, 4], es decir: si S unidades es este número, entonces

S ( )= ∫ f x dx

0

4

= +

+∫ =

3000 1000 3000 3

2

100012

32

04

0

4x dx x x]

( ) ( ) ( )= + +2000 4 1000 4 400032 = 2000 8 = 20000

Por lo tanto se venden 20000 unidades durante los 4 primeros años.

Ejemplo 5: El gerente de una compa-ñía estima que la compra de una pieza determinada de equipo resultará en un ahorro en los costos de operación para la compañía. La tasa de ahorro en el costo de operación es ( )f x dólares al año cuando el equipo ha estado en uso durante x años y

( )f x x x= + ≤ ≤4000 1000 0 10

a. ¿Cuál es el ahorro en los costos de operación en los primeros 5 años?

b. Si el precio de compra es 36000 dólares, ¿cuantos años de uso se requieren para que el equipo se pague por sí solo?



66

Solución:

a. El número de dólares que ahorra la compañía en costos de operación en los primeros 5 años, es la medida del área bajo la curva de f en [0, 5]. Si S dólares es este número, entonces

( )S f x dx= ∫

0

5

( )= +∫ 0

4000 1000

5x dx

( ) ( )= + +2000 1000 1000 5205x x] = 2000 25 = 55000

En consecuencia, el ahorro logrado en cos-tos de operación en los primeros 5 años es 55000 dólares.

b. Debido a que el precio de compra es 36000 dólares, el número de años de uso que se requieren para que el equipo se pague por sí solo es n, donde

( )f x dxn

=∫ 360000

( )4000 1000 360000

x dxn

+ =∫

2000 1000 360002000 1000 36000

20

2

x xn n

n+ =

+ =

]

2 36 02n n+ − =

( )( )n n− + =4 2 9 0

n n= ∨4 92

= -

Por lo tanto, se requieren 4 años de uso para que el equipo se pague por sí solo.

Ejemplo 6: El gerente de concesiones de una cadena de teatros recibe un embar-que de un cierto producto alimenticio todos los lunes. Como la asistencia a la sala es baja al inicio de la semana y con-currida para el fin de semana, la demanda crece conforme pasa la semana, así que después de x días el inventario es y uni-dades, donde

y x x= − ≤ ≤49000 1000 0 72

Si el costo diario de almacenamiento es 0.03 centavos de dólar por unidad,

c. Calcular el costo total de mantener el inventario por 7 días.

d. Calcular el inventario en promedio del producto alimenticio en particu-lar en un período de 7 días, de lunes a domingo

Solución:

a. Si A unidades cuadradas es el área bajo la curva f de [0, 7], y C centa-vos de dólar es el costo total de man-tener el inventario por 7 días, enton-ces

C A= 0 03. Usamos el concepto de inte-gral definida para calcular el área bajo la curva ( )f x x= −49000 1000 2 en el intervalo [0, 7],




67

( )

( )

A f x dx

x dx

=

−

∫∫

=

0

0

7

27

4900 1000

Por lo tanto,

( )C x dx= −∫0 03 49000 1000 2

0

7.

= −0 03 49000 10003

3

07. [ ] x x

( ) ( )

( ) ( )

= − −

= =

0 03 49000 7 1000 73

0 03 7 1000 10003

0 01 343 2000 6860

33. [ ] [ ] = .

.

Por lo tanto, el costo total de mantener el inventario por 7 días es 68.60 dólares.

b. El inventario del producto alimenti-cio en particular después de x días es

( )f x x= −49000 1000 2

unidades y

( )f x x= −49000 1000 2

Por definición de valor promedio, si S unidades es el inventario en prome-dio en un período de 7 días de lunes a domingo, entonces

( )

( )

( ) ( )

Sf x dx

x dx x x

=−

− = −

−

= − =

∫

∫

0

7

23

07

0

7

3 2

7 0

49000 1000 17

49000 10003

49000 7 1000 73

73

3000 1000 32667

= 17

= 17

[ ]

[ ]

Ejemplo 7: Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón de 2 6+ x per-sonas por mes. La población actual es 5000 personas. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

Solución: Sea ( )P x la población dentro de x meses. Entonces la razón de cambio de esta con respecto al tiempo es la deri-vada

( )dP xdx

x= +2 6

Se concluye que la función de población ( )P x es una antiderivada de 2 6+ x ,

es decir,

( ) ( ) ( )P xdP x

dxdx x dx x x C= = + = + +∫∫ 2 6 2 4

32

Para alguna constante C . Para determi-nar C , utilice la información de que en la actualidad (cuando x = 0) la población es 5000 personas. Es decir,

( ) ( )5000 2 0 4 05000

32= + +

=

CC

Por tanto, P x x x( ) = + +2 4 500032

Y dentro de 9 meses la población será

( ) ( )P( )9 2 9 4 27 5000 5126= + + =

Ejemplo 8: Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 3 60 4002q q− + dólares por unidad cuando se han pro-ducido q unidades. El costo total de pro-ducción de las dos primeras unidades es US$900. ¿Cuál es el costo total de pro-ducción de las 5 primeras unidades?



68

Solución: Recuerde que es costo margi-nal es la derivada de la función de costo total ( )C q . Así,

( )′ = − +C q q q3 60 4002

Y por tanto ( )C q debe ser la antideri-vada

( ) ( ) ( )C q C q dq q q dq q q q K= ′ = − + = − + +∫∫ 3 60 400 30 4002 3 2

Para alguna constante K. (Se empleó la letra K para la constante a fin de evitar confusión con la función de costo C). El valor de K se determina por el hecho de que ( )C 2 900= . En particular,

( ) ( ) ( )900 2 30 2 400 2212

3 2= − + +

=

KK

Por tanto,

( )C q q q q= − + +3 230 400 212

Y el costo de producción de las 5 prime-ras unidades es

( ) ( ) ( ) ( )C US5 5 30 5 400 5 2123 2= − + + = $1587

Ejemplo 9: Costo de almacenamiento de inventarios. Un minorista recibe un cargamento de 10000 Kg de arroz que se consumirán en un período de 5 meses a una razón constante de 2000 Kg por mes. Si el costo de almacenamiento es de 1 centavo por Kg al mes, ¿Cuánto

pagará el minorista en costo de almace-namiento en los próximos 5 meses?

Solución: Sea ( )S t el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como es arroz se consume a una razón constante de 2000 Kg al mes, la cantidad de kilogramos de arroz almacenados después de t meses es 10000 2000− t . Por tanto, como el costo de almacenamiento es 1 centavo por Kg al mes, la razón de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es

( ) ( ) ( )dSdt

to por Kg numero de Kg t= = −cos , 0 01 10000 2000

Se concluye que ( )S t es una antideri-vada de

( )0 01 10000 2000 100 20, − = −t t

Es decir,

( ) ( )S t dSdt

dt t dt t t C= = − = − +∫ ∫ 100 20 100 10 2

Para alguna constante C. Para determinar C, utilice el hecho de que en el momento en que llega el cargamento (cuando t = 0) no hay costos, de manera que

( ) ( )0 100 0 10 00

2= − +

=

CC

Por tanto,( )S t t t= −100 10 2




69

Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será

( ) ( ) ( )S US5 100 5 10 5 2= − = $250

Ejemplo 10: Ingresos. Suponga que el precio de un producto es constante a un valor de $10 por unidad, esto es, la función de ingreso marginal es

( )f x = 10

Donde x es el número de unidades ven-didas. El ingreso total conseguido con la venta de x unidades se determina al integrar la función de ingreso marginal entre 0 y x. Así, el ingreso total logrado con la venta de 1500 unidades se calcu-laría como

( )

10 10

10 15000

1500

01500dx x∫ =

=

= $15000

Se trata de un procedimiento bastante complejo para el cálculo del ingreso total, puesto que bastaría haber multiplicado el precio por la cantidad vendida; se habría conseguido así el mismo resultado. No obstante, el procedimiento ejemplifica la manera de interpretar como ingreso total o incremental el área debajo de la función de ingreso marginal, es decir:

Gráfica 25. Área bajo la función de ingreso marginal

Ejemplo 11: Gastos de mantenimiento. Un fabricante de automóviles estima que la tasa anual de gastos ( )r t para dar mantenimiento a uno de sus modelos está representada por la función:

( )r t t= +100 10 2

Donde t es la edad del automóvil expre-sada en años y ( )r t se mide en dólares por año. Está función indica que cuando el automóvil tenga 1 año de uso, los gastos de mantenimiento se harán a una tasa de ( ) ( )r 1 100 10 1 2= + = $110 por año.

Cuando tenga tres años de uso, estarán realizándose a una tasa de

( ) ( )r 3 100 10 3 2= +

=

por ano$190 ~



70

Como cabe suponer, cuanto más viejo sea el automóvil, más mantenimiento requerirá. La siguiente figura contiene la gráfica de la tasa de la función de costos

Gráfica 26. Tasa de la función de costos

El área bajo esta curva entre dos valores cualesquiera de t es una medida del costo esperado de mantenimiento durante ese intervalo. Los gastos esperados de man-tenimiento durante los primeros 5 años de vida del automóvil se calculan como sigue:

( )100 10 100 103

672

0

5 3

0

5

+

t dt t t

∫ = + = $916,

De estos gastos, los que se esperan hacer durante el quinto año se estiman como

( )100 10 100 103

342

4

5 3

4

5

+

t dt t t

∫ = + = $303,

Ejemplo 12: Recaudación de fondos. Una organización cívica está efectuando

su campaña anual de fondos, que se des-tinan a un programa de campamento de verano para minusválidos. Los gastos de la campaña se realizarán a una tasa de $10000 diarios. Por experiencia se sabe que las aportaciones serán altas en las primeras fases de la campaña y tende-rán a disminuir con el paso del tiempo. La función que describe la tasa a que se reciben los donativos es

( )c t t= − +100 200002

Donde t representa el día de la campaña y ( )c t se mide en dólares por día. La organización desea maximizar las utili-dades netas de la campaña.

a. Determine cuánto debería durar la campaña a fin de maximizar las utili-dades netas.

b. ¿Cuáles se espera que sean los gastos totales de la campaña?

c. ¿Cuáles se espera que sean las apor-taciones totales?

d. ¿Cuáles se espera que sean las utili-dades netas (aproximaciones totales menos los gastos totales)?

Solución:

a. La función que describe la tasa a que se realizan los gastos ( )e t es ( )e t = 10000




71

La siguiente figura muestra las dos fun-ciones. Mientras la tasa a que se hacen los donativos sea mayor que la de los gastos de la campaña, las utilidades netas serán positivas. Consulte la figura. Las utilida-des netas serán positivas hasta que las gráficas de las dos funciones se interse-quen. Más allá de este punto, la tasa de gasto excede la tasa de las aportaciones. Es decir, los donativos se recibirán a una tasa de menos de $10000 por día.

Gráfica 27. Función de costo total del ejemplo 12

Las dos funciones se intersecan cuando

( ) ( )c t e t

ttt

t

=

− + =

− = −

==

100 20000 10000100 10000

10010

2

2

2

dias

b. Los gastos totales de la campaña están representados por el área bajo e entre t = 0 y t = 10 . Esto podría obtenerse al integrar e entre estos

límites o, más simplemente, multi-plicando:

( )( )E por dia diasE=

=

$10000$100000

10

c. Las aportaciones totales durante 10 días están representadas por el área bajo c entre t = 0 y t = 10 , o sea

( )C t dt

t t

= +

= − +

=

∫ -100

2

0

10

3

0

10

20000

1003

20000

67$166666,

d. Las utilidades netas serán, según las previsiones,

C E− = −=

$166666, $100000$66666,

6767

Ejemplo 13: Administración de bancos de sangre. El banco de sangre de un hospital realiza una campaña anual de donación de sangre para reponer su inventario. El hospital estima que se donará sangre a una tasa de ( )d t pintas por día donde

( )d t e t= −500 0 4,

t indica la duración de la campaña en días. Si la meta de la campaña es recoger 1000 pintas, ¿Cuándo habrá alcanzado esa meta el hospital?



72

Solución: En este problema el área entre la gráfica de d y el eje t representa los dona-tivos totales de sangre en pintas. A dife-rencia de las aplicaciones anteriores, el área deseada se conoce ya; la incógnita es el límite superior de integración, como se observa en la siguiente figura.

Gráfica 28. Tasa de donación de sangre del ejemplo 13

El hospital alcanzará su meta cuando

500 10004

0e dtt

t-0,

*

∫ =

Al reescribir el integrando,

( )

( )

− − =

− − =

∫

∫

1250 0 4 1000

1250 0 4 1000

4

0

4

0

,

,

*

*

e dt

e dt

tt

tt

-0,

-0,

Al evaluar la integral definida y resolviendo para t * ,

[ ][ ]

− =

− − =

− = −

=

−

−

−

−

1250 1000

1250 1 1000

1250 250

0 2

0 40

0 4

0 4

0 4

e

e

e

e

t t

t

t

t

,

,

,

,

*

*

*

*

,

Si se toma el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación

− = −

=

0 4 1 60944 0235

, ,,

*

*

tt

Así pues el hospital alcanzará su meta en 4 días aproximadamente.

Ejemplo 14. Energía nuclear: Una com-pañía eléctrica ha propuesto construir una planta de energía en las afueras de una gran área metropolitana. Como cabe suponer, la opinión pública está dividida al respecto y se han suscitado acaloradas discusiones. Un grupo que se opone a la construcción de la planta ha ofrecido algunos datos discutibles sobre las consecuencias de un accidente catas-trófico que pudiera ocurrir en la planta. El grupo estima que la tasa a que se pro-ducirían las muertes en la zona metro-politana por precipitación radiactiva se describe con la función

( )r t e t= −200000 0 1.

donde ( )r t representa la tasa de falleci-mientos por hora y t representa el tiempo transcurrido desde el accidente, medido en horas. Nota: aunque la controversia en este ejemplo es muy real, los datos son ficticios.

La población del área metropolitana es de 1.5 millones de personas.

*




73

a. Determine el número esperado de muertes 1 hora después de un gran accidente.

b. ¿Cuánto tardarán todos los habitan-tes de esa zona en sucumbir ante los efectos de la radiactividad?

Solución:

a. En la siguiente figura se ofrece una gráfica de r .

Gráfica 29. Función r del ejemplo 14

El área bajo la curva de esta función entre dos puntos cualesquiera t t1 2 y es una medida del número esperado de fallecimientos durante ese intervalo de tiempo. Así, el número de muertes espe-radas en la primera hora se calcularía como

( )

( )

( )

200 000 2 000 000 01

2 000 000 01

2 000 000

2 000 000

190 400

0 1

0

10 1

0

1

0 1

0

1

0 10

1

0 1 0

- ,

e dt e dt

e dt

e

e e

personas

t t

t

t

− −

−

−

∫ ∫∫

= − −

= − −

= −

= − −

=

. .

.

.

.

.

b) Por terrible que parezca, la población entera sucumbirá al cabo de t * horas, donde

200 000 1 500 000

2 000 000 1 500 000

0 1

0

0 10

e dt

e

tt

t t

−

−

∫ =

− =

.

.

*

*

Despejando a t * se obtiene

ett horas

t− =

− = −

=

0 1 0 250 1 1 3863

13 863

.

*

*

*

,, ,

,

Exceso de utilidad neta

Supóngase que dentro de x años dos planes de inversión generarán utili-dades a las razones de ( )R x2 y ( )R x2 dólares al año, respectivamente, y que para los próximos N años la razón ( )R x2 será mayor que la razón ( )R x1 , como se ilustra en la siguiente figura:

Gráfica 30. Exceso de utilidad neta

Las funciones ( )R x2 y ( )R x1 representan las razones a las que los planes segundo



74

y primero generan la utilidad, respecti-vamente. Por consiguiente su diferencia

( ) ( )R x R x2 1− , representa la razón a la que la utilidad generada por el segundo plan exceda la del primero, y el exceso de uti-lidad neta generado por el segundo plan durante los próximos N años es la inte-gral definida de esta razón de cambio desde x = 0 hasta x N= . Es decir,

( ) ( )[ ]Exceso de utilidad R x R x dxN

= −∫ 2 1

0

Que puede interpretarse geométricamente

como el área entre las curvas ( )y R x= 2 e

( )y R x= 1 desde x = 0 hasta x N= .

Ejemplo 15. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de ( )R x x1

250= + dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de ( )R x x2 200 5= + dólares por año.

a. ¿Durante cuántos años el segundo plan será el más rentable?

b. Calcule el exceso de utilidad neta, si invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el período del literal a).

c. Interprete el exceso de utilidad neta del literal b) como el área entre dos curvas.

Solución: Para una mejor compren-sión de la situación, tracemos las curvas

( ) ( )y R x y R x= =1 2 e , como se muestra en la siguiente gráfica

Gráfica 31. Exceso de utilidad neta del ejemplo 15

a. Como se aprecia en la gráfica, la razón ( )R x2 a la que el segundo plan genera utilidades es, en principio, mayor que la razón ( )R x1 del primer plan. El segundo plan será el más rentable hasta cuando ( ) ( )R x R x1 2=, es decir, hasta

b.

( )( )50 200 5 5 150 0

15 10 0 15

2 2+ = + ∴ − − =

− + = ∴ =

x x x xx x x

anos~

Para 0 15≤ ≤x , la razón a la que las utilidades generadas por el segundo plan exceden las del primero es

( ) ( )R x R x2 1− dólares por años. Por tanto, el exceso de utilidad neta gene-rado durante el período de 15 años por el segundo plan es la integral definida




75

c.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

R x R x dx x x dx

x x dx

x x x

US

2 10

152

0

15

2

0

15

2 3

0

15

200 5 50

150 5

150 52

13

50

− = + − +

= + −

+ −

=

∫ ∫∫

=

$1687.

En términos geométricos, la inte-gral definida que da el exceso de utilidad neta en el literal b) es el área de la región sombreada en la anterior figura entre las curvas

( ) ( )y R x y R x= =1 2 e , desde x=0 hasta x=15.

Ganancias netas de una maquinaria industrial

Las ganancias netas generadas por cierta maquinaria industrial durante determi-nado período es la diferencia entre el ingreso total generado por la maquinaria y el costo total de la operación y mante-nimiento de esta. En el ejemplo siguiente las ganancias netas de una maquinaria se calculan como la integral definida y se interpreta como el área entre dos curvas.

Ejemplo 16. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón de ( )R x x= −5 000 20 2 dólares por año y costos que se acu-mulan a la razón de ( )C x x= +2 000 10 2 dólares por año.

a. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?

b. ¿Cuáles son las ganancias netas gene-radas por la maquinaria durante el período del literal a)?

c. Interprete las ganancias netas del literal b) como el área entre dos curvas.

Solución:

Para ayudar a visualizar la situación, empiece por trazar las curvas ( )y R x= e

( )y C x= , como se muestra en la siguiente figura

Gráfica 32. Función de costo total y de ingresos

a. El uso de la maquinaria será renta-ble en tanto la razón a la que genera ingresos sea superior a la que se acumulan los costos; es decir, hasta cuando ( ) ( )R x C x= o



76

b.

5 000 20 2 000 1030 3 000

10

2 2

2

− = +

==

x xx

x anos~

Las funciones ( )R x y ( )C x repre-sentan las razones de cambio del ingreso total y del costo total, respec-tivamente, y por tanto su diferencia,

( ) ( )R x C x− , representan la razón de cambio de las ganancias netas gene-radas por la maquinaria. Se concluye que las ganancias netas para los próximos 10 años están representa-das por la integral definida

c.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( )

-

-

-

R x C x dx x x dx

x dx

x x US

− = − +

=

= =

∫ ∫∫

0

102 2

0

10

2

0

10

3

0

10

5 000 20 2 000 10

3 000 30

3 000 10 20 000$

En términos geométricos, la integral definida que representa las ganan-cias netas es el área de la región sombreada entre las curvas ( )y R x= e ( )y C x= , desde x = 0 hasta x = 10 de la figura que se ilustra al inicio del ejercicio.

Curva de demanda y la disposición a gastar de los consumidores

Al estudiar el comportamiento de los consumidores, los economistas suponen con frecuencia que el precio que un con-sumidor o grupo de consumidores está

dispuesto a pagar para comprar una unidad adicional de un artículo es una función de la cantidad de unidades del artículo que el consumidor o grupo ya ha comprado.

Por ejemplo, una pareja cuyo presu-puesto es limitado puede estar dispuesta a gastar hasta US$500 por un televisor. Por la conveniencia de tener dos tele-visores (para eliminar, por ejemplo, el conflicto entre ver los dos partidos de fútbol o las noticias), la pareja estaría dispuesta a gastar US$300 adiciona-les para comprar un segundo aparato. Como habría muy poco uso para más de dos televisores, la pareja no estaría dispuesta a gastar más de US$50 por un tercer aparato.

Una función ( )p D q= que da el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar por la q-ésima unidad de un artículo se conoce en economía como función de demanda de los con-sumidores por el artículo. Como se muestra en la siguiente figura, la función de demanda de los consumidores es por lo general una función decreciente de q. Es decir, el precio que los consumidores están dispuestos a pagar para obtener




77

una unidad adicional usualmente decrece a medida que crece la cantidad de unidades ya compradas. En la figura a) se representa una función común de demanda de los consumidores.

la cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades del artículo es la integral definida

Gráfica 33. Curva de demanda

La función de demanda de los consu-midores ( )p D q= , que da el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar cuando el nivel de consumo es q unidades, puede consi-derarse como la razón de cambio, con respecto a q , de la cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar por q unidades. [En terminolo-gía económica, ( )D q es la disposición marginal a gastar]. Si ( )A q es la cantidad total (en dólares) que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q unidades del artículo [y si ( )A q es derivable], entonces ( )D q dA

dq= . Por tanto,

( ) ( ) ( ) ( )A q A q A dAdq

dq D q dqq q

0 00 0

00 0

= − = =∫ ∫

En términos geométricos, esta disposición total a gastar es el área de la región bajo

la curva de demanda q = 0 desde q = 0 hasta q q= 0 (véase la figura b, de las gráfi-cas anteriores).

Ejemplo 17. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es ( ) ( )D q q= −4 25 2 dólares por unidad.

a. Halle la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo.



78

b. Trace la curva de demanda e inter-prete la respuesta del literal a) como una área.

Solución:

a. Como la función de demanda ( ) ( )D q q= −4 25 2 , expresada en dólares

por unidad, es la razón de cambio, con respecto a q, de la disposición a gastar de los consumidores, la cantidad total que los consumido-res están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo es la integral definida

b.

( ) ( )D q dq q dq q q US

0

32

0

33

0

3

4 25 4 25 13∫ ∫= − = −

= $264

La curva de demanda de los con-sumidores se representa en la siguiente figura. En términos geométricos, la cantidad total, US$264, que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo es el área bajo la curva de demanda desde q = 0 hasta q = 3

Gráfica 34. Función demanda del ejemplo 17

Excedente de los consumidores

En una economía competitiva, la canti-dad total que los consumidores gastan realmente en un artículo es por lo general menor que la cantidad total que habrían estado dispuestos a gastar. La diferencia entre las dos cantidades puede consi-derarse como ahorros logrados por los consumidores y se le conoce en econo-mía como excedente de los consumidores. Es decir,

Excedente delos consumidores

cantidad total que los consumidoresestarian dispuestos a gastar

gasto real delos consumidores

=

−

Las condiciones del mercado deter-minan el precio por unidad al cual se vende un artículo. Una vez se le conoce el precio, por ejemplo p0 , la ecuación de demanda ( )p D q= determinada la can-tidad de unidades q0 que los consumi-dores comprarán. El gasto de consumo




79

real para q0 unidades del artículo al precio de p0 dólares por unidad es p q0 0 dólares. El excedente de los consumi-dores se calcula restando esta cantidad de la cantidad total que los consumido-res estarían dispuestos a gastar para obtener q0 unidades del artículo.

Para lograr una mejor comprensión del concepto de excedente de los consumi-dores, considere una vez más el ejemplo de la pareja que estaba dispuesta a gastar US$500 por su primer aparato de tele-visión, US$300 por el segundo y US$50

por un tercero. Suponga que el precio de mercado para los televisores es US$300 por aparato. Entonces la pareja com-praría solo dos televisores y gastaría un total de 2 $300 = $600x US US . Esto es menos que US US US$500 $300 $800+ = que la pareja habría estado dispuesta a gastar para tener dos televisores. El ahorro de US US US$800 $600 $200− = es el excedente de los consumidores, de la pareja.

El excedente de los consumidores tiene una interpretación geométrica simple, que se ilustra en la siguiente figura.

Gráfica 35. Representación geométrica de los excedentes

Los símbolos p0 y q0 representan el precio del mercado y la demanda corres-pondiente, respectivamente. La figura a) muestra la región bajo la curva de demanda desde q = 0 hasta q q= 0

. Su área como se ha visto, representa

la cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades del artículo. El rectángulo de la figura b) tiene un área de p q0 0 y por tanto representa el gasto de consumo real por q0 unidades a p0 dólares por unidad. La diferencia entre estas dos



80

áreas (véase la figura c que representa el excedente de los consumidores). Es decir, el excedente de los consumidores es el área de la región entre la curva de demanda ( )p D q= y la recta horizontal p p= 0 y por consiguiente es casi igual a

la integral definida

( )[ ] ( )

( )

( )

D q p dq D q dq p dq

D q dq p q

D q dq p q

q q q

q q

q

− = −

= −

= −

∫ ∫ ∫∫∫

00 0

00

00 0

00 0

0 0 0

0 0

0

A continuación se presenta un resumen de la situación.

EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES

Si q0 unidades de un artículo se venden a un precio de p0 dólares por unidad y si ( )p D q= es la función de demanda de los consumidores del artículo, entonces

Excedente delos consumidores

cantidad total que los consumidoresestarian dispuestos a gastar

por q unidades

gasto real delos consumidorespor q unidades

=

−

0 0

( )= −∫ D q dq p qq

00 0

0

Ejemplo 18. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es ( ) ( )D q q= −4 25 2 dólares por unidad.

a. Halle el excedente de los consumi-dores si el artículo se vende a US$64 por unidad.

b. Trace la curva de demanda e inter-prete el excedente de los consumi-dores como una área.

Solución:

a. Primero halle el número de unidades que se comprarán, resolviendo la ecuación de demanda ( )p D q= para q cuando p US= $64 , para obtener

( )64 4 25

16 253

2

2

= −

=

= -

q

qq

Es decir, se comprarán 3 unidades cuando el precio sea US$64 por unidad. El exce-dente de los consumidores correspondiente es

( ) ( ) ( ) -

D q dq q dq

q q

US

0

32

0

3

3

0

3

64 3 4 25 192

4 25 13

∫ ∫− = −

= −

= $72

b. En la siguiente figura se representa la curva de demanda de los consu-midores. El excedente de los con-sumidores en el literal a) es igual




81

al área de la región entre la curva de demanda y la recta horizontal p = 64

Gráfica 36. Función Demanda del ejemplo 18

Curvas de aprendizaje

En producción industrial, la adminis-tración a menudo debe estimar de ante-mano el número total de horas hombres que requerirá a fin de producir un número determinado de unidades de su producto. Por ejemplo, esto se requiere con objeto de establecer el precio de venta, la fecha de entrega o la concer-tación de un contrato. Una herramienta que con frecuencia se utiliza para tal predicción se denomina curva de apren-dizaje.

Se sabe que una persona tiende a reque-rir menos tiempo en la ejecución de una tarea particular si ya la ha realizado antes un número de veces. En otras

palabras, entre más repita una persona una tarea, será más eficiente y empleará menos tiempo al realizarla de nuevo. Así, entre más unidades se produzcan en una serie de producción, el tiempo necesario a fin de producir cada unidad irá descen-diendo.

Sea ( )T F x= el tiempo (por ejemplo, en horas-hombre) necesario en la produc-ción de las primera x unidades. Un incre-mento ∆ x en la producción demanda un incremento ∆ T en el tiempo, y a la razón ∆

∆ Tx es el tiempo promedio por

unidad adicional producida cuando el número de unidades producidas cambia de x a x x+ ∆ . En el límite cuando ∆ x → 0 , esta razón se aproxima a la derivada ( )dT

dxF x= ′ , que es el tiempo

requerido por unidad adicional cuando ocurre un pequeño incremento en la producción. Al igual que las otras tasas marginales, esta cantidad es casi igual al tiempo requerido en la producción de la unidad siguiente; esto es, la unidad número ( )x +1 .

Si hacemos ( ) ( )′ =F x f x , la función que por lo regular se utiliza en tal situación es de la forma

( )f x axb=



82

En donde a y b son constantes con a > 0 y − ≤ <1 0b . La elección de axb con − ≤ <1 0b asegura que el tiempo reque-rido por unidad disminuye a medida que se producen más unidades. (Véase la siguiente Gráfica)

Gráfica 37. Curva de aprendizaje

La gráfica de ( )f x se denomina una curva de aprendizaje. En la práctica, las constantes a y b se determinarían con base en series de producción preliminar o por experiencias con productos simi-lares.

A condición de que el mejoramiento en la eficacia o aprendizaje sea lo bastante regular, la curva de aprendizaje (una vez se ha establecido) puede utilizarse en la producción del número total de horas-hombre requeridas en niveles de producción futuros. El número total de horas-hombre ∆ T requeridas a fin de producir unidades numeradas c +1 hasta d está dado por ( ) ( )∆ T F d F c= − , esto es,

( )∆

T f x dx a x dx

c

db

c

d= =∫ ∫

Ejemplo 19. Después de producir 1 000 televisores, una empresa determina que su planta de ensamblado está siguiendo una curva de aprendizaje de la forma

( )f x x= −20 0 152 ,

En donde ( )f x es el número de horas-hom-bre requeridos a fin de ensamblar el televi-

sor número ( )x +1 . Estime el número total de horas-hombre requeridas en el ensam-blado de 4 000 televisores adicionales.

Solución:

El número total de horas-hombre reque-ridas en el ensamblado de 4 000 televi-sores adicionales después de los prime-ros 1 000 está dado por

( )∆

5000

T f x dx x dx

x

= =

=− +

=

∫ ∫ −

− +

1000

50000 152

1000

5000

0 152 1

1000

20

200 152 1

24 060

,

,

,,

TALLER 9. APLICACIONES

1. La función de costo marginal de un artículo de mercancía en particular está dada por ( ) ( )C x x= + −3 5 4

12 . Si el costo

general es 10 dólares, obtenga la función de costo total.




83

2. Obtenga la ecuación de demanda de una mercancía para la cual la función de ingreso marginal está dada por ( ) ( )′ = + + −R x x4 10 5 2 .

3. La función de ingreso marginal está dada por ( )′ = −R x x16 3 2 . Determine (a) la función de ingreso total y (b) la ecuación de demanda.

4. La función de costo marginal está dada por ( )′ = + +C x x x3 8 42 , y el costo general es 6 dólares. Si ( )C x dólares es el costo total de x unida-des, determine la función de costo total.

5. Una compañía ha determinado que la función de costo marginal para la producción de un artí-culo en particular está dada por

( )′ = + +C x x x125 10 19

2 , donde ( )C x dólares es el costo total de pro-ducir x unidades del artículo. Si el costo general es 250 dólares, ¿cuál es el costo de producción de 15 unidades?.

6. Durante los primeros 4 meses, se espera que las ventas de un nuevo producto sean ( )f x uni-dades al mes, x meses después de que el producto se introduzca por vez primera en el mercado,

donde ( )f x x y x= + ≤ ≤100 150 0 42 . Interprete las ventas estimadas del segundo mes como la medida del área de una región y calcule las ventas estimadas del segundo mes determinando dicha área..

7. Se espera que la compra de una nueva maquinaria resulte en un ahorro en costos de operación de modo que cundo la maqui-naria tenga x años de uso, el ahorro en costos de operación sea ( )f x dólares al año, donde ( )f x x= +1000 5000 , a) ¿Cuánto se

ahorra en costos de operación durante los primeros 6 años de uso de la maquinaria? b) sí la maquina-ria se compró a un precio de 67500 dólares, ¿cuánto tiempo tardará la maquinaria en pagarse por sí sola?

8. El gerente de un parque de diversio-nes estima que durante el primer mes de operación, el número de admisiones diarias aumentará de tal modo que ( )f t admisiones al día se logren en t días desde su inau-guración, donde ( )f t t= +9800 40 . ¿Qué día se estima concurra el visi-tante número 100000?



84

9. Un comerciante recibe un embar-que anual de 7200 motivos navi-deños el día 23 de octubre. El patrón de ventas es esencialmente el mismo cada año: en un período de 60 días, el inventario varía ligeramente al principio, pero a medida que se acerca la tem-porada de Navidad, la demanda aumenta de modo que x días después del 23 de octubre el inven-tario consta de y unidades, donde y x y x= − ≤ ≤7200 2 0 602 . Si el

costo diario de almacenamiento es 0.02 centavos de dólar por cada adorno; calcule el costo total de mantener el inventario por 60 días.

10. En relación con el comerciante del ejercicio anterior, determine el número promedio de adornos de que se dispone en el período de 60 días.

11. (Curva de aprendizaje) Después de pintar los primeros 40 auto-móviles, un establecimiento de pintado de automóviles estima que la curva de aprendizaje es de la forma ( )f x x= −10 0 25 , . Encuentre el número total de horas-hombre que se requerirán a fin de pintar 60 automóviles más. R/ta: 210.

12. (Curva de aprendizaje) Electrónica Julio Romero produce calculadoras electrónicas en su línea de ensam-blado. Las primeras 50 calculado-ras demandan 70 horas, y por cada unidad adicional de 70 calculado-ras, se requiere menos tiempo de acuerdo con la curva de apren-dizaje ( )f x x= −70 0 32 , . ¿Cuánto tiempo demandará el ensamblado de 500 calculadoras después de que se han ensamblado las prime-ras 200 calculadoras? R/ta: 356.

13. (Curva de aprendizaje) Sonido X & Y produce radiorreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que los primeros 100 apa-ratos (1 unidad) les lleva un total de 150 horas-hombre y por cada unidad adicional de 100 apara-tos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de apren-dizaje ( )f x x= −150 0 2 , , en donde ( )f x es el número de horas-hom-

bre requeridas a fin de ensamblar la unidad número ( )x +1 . ¿Cuántas horas-hombre se requerirán con objeto de ensamblar 5 unidades (esto es 500 radiorreceptores) después de que se han ensamblado las primeras 5 unidades?




85

14. (Maximización de la utilidad ) Las tasas de ingreso y costo en una operación de perforación petro-lera están dados por

( )′ = −R t t 1412 y ( )′ = +C t t 2 3

12

Respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C se miden en millo-nes de dólares. ¿Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? R/ta: 9 años; $36 millones

15. (Maximización de la utilidad ) El costo y el ingreso de cierta opera-ción minera esta dada por

( )′ = −R t t 10 213 y ( )′ = +C t t 2 2

13

Respectivamente, en donde t se mide en años y R y C se miden en millones de dólares. Determínese por cuánto tiempo deberá continuarse la operación con el objeto de obtener una utilidad máxima. ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima, suponiendo que los costos fijos de ope-ración inicial son de $3 millones?

16. (Superávit del consumidor y del productor) Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen enseguida. (Suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado).

a. D p xS p x

::

= −= +

153 R/ta: S.C = 16; S.P = 8

b. D p xS p x

: ,:

= −

= +

1200 15200

2

2 R/ta: S.C = 8000; S.P = 16,000/3

c. D px

S p x

:

: ,

=+

= +

2802

20 2 5

R/ta: S.C = 178,16; S.P = 45

17. (Ingresos por ventas) Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores compren 5000 bicicletas por mes a un precio de ( )P x x= +80 3 dólares por bicicleta. ¿Cuál es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las bicicletas en los próximos 16 meses?

18. (Crecimiento de población) Se estima que dentro de t meses la población de cierto pueblo cam-biará a una razón de 4 5

23+ t perso-

nas por mes. Si la población actual es 10.000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses? R/ta: 10.128

19. (Acceso a eventos) Los promotores de una feria de distrito estiman que t horas después de abrir las puertas a las 9:00 a.m., los visitan-tes entrarán a la feria a una razón de ( )r t personas por hora. Halle una expresión para determinar el número de personas que entrará a la feria entre las 11:00 a.m. y la 1:00 p.m.



86

20. (ingresos por ventas) Un fabri-cante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumido-res compren ( )f x x= +5000 60 bicicletas por mes a un precio de ( )P x x= +80 3 dólares por bici-

cleta. ¿Cuál es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las bicicletas en los próxi-mos 16 meses? R/ta: US$7’267.840.

21. (Costo de almacenamiento) Un minorista recibe un cargamento de 12.000 lb de semilla de soya que se consumirán a una razón cons-tante de 300 libras por semana. Si el costo de almacenamiento de las semillas de soya es 0,2 centa-vos por libra a la semana, ¿cuánto tendrá que pagar el minorista en costos de almacenamiento en las próximas 40 semanas?

22. (Contaminación del agua) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiará a una razón de 0 6 0 2 0 52, , , t t+ + miles de perso-nas por año. Los especialistas en medioambiente han encontrado que el nivel de contaminación en el lago aumenta a una razón aproxi-mada de 5 unidades por cada 1.000

personas. ¿En cuánto se incremen-tará la contaminación en el lago durante los próximos 2 años? Respuesta: 15 unidades.

23. (Polución del aire) Un estudio ambiental realizado en cierta comunidad revela que dentro de t años el nivel de monóxido de carbono en el aire cambiará a una razón anual de 0 1 0 1, , t + partes por millón. Si el nivel actual del monóxido de carbono en el aire es 3,4 parte por millón, ¿cuál será el nivel dentro de 3 años?

24. (Costo Marginal) Un fabricante ha encontrado que el costo margi-nal es 6 1 q + dólares por unidad cuando se han producido q uni-dades. El costo total (incluidos los costos indirectos) de producción de la primera unidad es US$130. ¿Cuál es el costo total de produc-ción de las 10 primeras unidades? R/ta: US$436.

25. (Utilidad marginal ) Un fabricante estima que el ingreso marginal es

1001

2 q−

dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unida-des. Se ha establecido que el costo marginal correspondiente es 0 4, q dólares por unidad. Suponga que la




87

utilidad del fabricante es US$520 cuando el nivel de producción son 16 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción son 25 unidades?

26. La utilidad marginal (la derivada de la utilidad) de cierta compañía es 100 2− q dólares por unidad cuando se producen q unidades. Si la utilidad de la compañía es US$700 cuando se producen 10 unidades, ¿cuál es la máxima utili-dad posible de la compañía? R/ta: US$2.300.

27. (Consumo de energía) Se estima que la demanda de petróleo crece aproximadamente a una razón del 10% anual. Si en la actualidad la demanda de petróleo es 30.000 millones de barriles por año, ¿Cuánto petróleo se consumirá durante los próximos 10 años?

28. (Ingresos por ventas) Se calcula que la demanda del producto de un fabricante crece exponencialmente a una razón del 2 % anual. Si la demanda actual es 5.000 unidades por año y el precio permanece fijo en US$400 por unidad, ¿qué ingre-sos recibirá el fabricante por la

venta del producto en los próximo 2 años? R/ta: US$4’081.077.

29. (Inversión) Suponga que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de

( )R x e x1

0 1260= . dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a razón de ( )R x e x

20 08160= .

dólares por año.a. ¿Durante cuántos años el

segundo plan será el más ren-table? R/ta: 12 años.

b. ¿Cuánto exceso de utili-dad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el período del literal a)? R/ta: US 1.008.

c. Interprete el exceso de utili-dad del literal b) como el área entre dos curvas.

30. (Inversión) Suponga que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de

( )R x x12100= + dólares al año, mien-

tras que un segundo plan lo hará a la razón de ( )R x x2 220 2= + dólares por año.

a. ¿Durante cuántos años el segundo plan será el más ren-table? Rta. 12 años



88

b. ¿Cuánto exceso de utili-dad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el período del literal a)? Rta. Us$1.008

c. Interprete el exceso de utili-dad del literal b) como el área entre dos curvas

31. (Maquinaria industrial) Suponga que cuando tiene x años, una maqui-naria industrial genera ingresos a la razón de ( )R x x= −6025 10 2 dólares por año y origina costos que se acu-mulan a la razón de ( )C x x= +4000 15 2 dólares por año.

a. ¿Durante cuántos años es ren-table el uso de la maquinaria?

b. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maqui-naria durante el período del literal a)?


32. (Eficiencia) Después de t horas en el trabajo, un obrero de una fábrica produce ( ) ( )Q t t1

260 2 1= − − unidades por hora, mientras que un segundo obrero produce ( )Q t t2 50 5= − unida-des por hora.

a. si ambos llegan al trabajo a las 8:00 a.m., ¿cuántas uni-dades más habrá producido el primer trabajador hacia el medio día, con relación al segundo? Rta 184/3.

b. Interprete la respuesta del literal a) como el área entre dos curvas. Rta: Exceso de producción= diferencia entre área.

33. (Recaudación de fondos) Se estima que dentro de t semanas las con-tribuciones a una obra de bene-ficencia se recibirán a la razón de ( )R t e t= −6 537 0 3, . dólares por semana, y se espera que los gastos se acumulen a la razón constante de US$593 por semana.

a. ¿Durante cuántas semanas será rentable la campaña de recaudación de fondos?

b. ¿Cuáles son las ganan-cias netas generadas por la campaña durante el tiempo del literal a)?


34. (Disposición a gastar de los consu-midores) Suponga que la función




89

de demanda de los consumidores de mango tropical de Palestina Cesar es ( )

( )D q

q=

+

30001 1 2. dólares por

unidad; con q0 5= unidades.a. Halle la cantidad total de

dinero que los consumido-res están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de mango. Rta US$1,000

b. Trace la curva de demanda e interprete como un área la disposición a gastar de los consumidores del literal a).

35. (Excedente de los consumido-res) Dada la función de demanda de los consumidores de pescado variedad Tamalameque es ( )D q q q= − −150 2 3 2 dólares por

unidad; con p US0 = $117 por unidad.

a. Halle el excedente de los consumidores si el precio de mercado del artículo es p0 dólares por unidad.

b. Trace la curva de demanda e interprete como un área el excedente de los consumido-res en el literal a).


91

C A P Í T U L O I I I

FUNCIONES ESPECIALES

En la práctica se presentan muchas situa-

ciones en donde el valor de una cantidad

depende del valor de otra. En particular, el

salario de una persona puede depender del

número de horas que trabaje; la distancia

recorrida por un objeto puede depender del

tiempo transcurrido desde que partió de

un punto específico; el volumen del espacio

ocupado por un gas que tenga presión cons-

tante depende de la temperatura del gas. Con

frecuencia, una relación establecida entre

dichas cantidades se describe por medio de

una función.

FUNCIONES

Una función es un conjunto de parejas orde-

nadas de números ( )x y, , en el cual no hay

dos parejas ordenadas distintas que tengan el

mismo primer número. El conjunto de todos

los valores posibles de x se llama dominio de

la función, y el conjunto de todos los valores

posibles de y se denomina contra dominio,

ámbito, imagen o “rango” de la función.

En otras palabras, podemos decir que: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función F de A en B, denotada por:

F: A —> B o A —> B

Es una relación que permite asignar a TODO elemento × ∈ A uno y solo un elemento y ∈ B.

De esta definición podemos concluir que las condiciones impuestas a una función debe cumplirlas solo el conjunto A (conjunto de partida); es decir:

a. En A no pueden sobrar elementos: el dominio de la función es igual al con-junto de partida A.

b. Cada elemento de A solo puede rela-cionarse con uno y solo uno de B.

Ejemplo: Veamos cuáles de las relaciones de las figuras son funciones de A en B.



92

Gráfica 38. Diagramas de relaciones

Clase de funciones

• Funciones inyectivas: Si f es una función de X en Y, entonces f es inyec-tiva (unívoca o 1 - 1 ). Sí y solo sí cada elemento del RANGO es imagen de un solo elemento del DOMINIO.

• Funciones sobreyectivas: Una función es sobreyectiva si TODOS los elementos del CONJUNTO DE LLEGADA son imágenes de al menos un elemento del DOMINIO.

• Funciones biyectivas: Una función f de X en Y es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Dada dos funciones reales de variable real ƒ y g podemos definir cuatro nuevas funciones a partir de las dadas, así:

Función suma

La función definida mediante la ecua-

ción S ( x ) = ƒ ( x ) + g ( x ) (para todo

)) es la función suma de ƒ y g.

Función producto

ρ ( x ) = ƒ ( x ) g (x ) (para todo ) es la

función producto.

Función cociente

Q ( x ) = ƒ ( x ) / g ( x ), con g ( x ) ≠ 0 es la

función cociente.

En cada caso, el dominio de la función

resultante consiste en aquellos valores

de x comunes a los dominios de f y g,

Funciones especiales



93

con el requisito adicional en el caso de la función cociente de que se excluyen los valores de x para los cuales g(x)=0

Función compuesta

Dadas las dos funciones f y g tales que , la función compuesta, represen-

tada por , está definida por

( )( ) ( ( ))f g x f g x =

Y el dominio de es el conjunto de todos los números x en el dominio g, tales que g(x) se encuentra en el dominio de f.

Ejemplo 1: Dado que f está definida por f x x( ) = y g está definida por g(x)=2x

- 3, hallar H(x) = y determinar el dominio de H(x).

Solución:

H x f g x f g x f x x( ) ( )( ) ( ( )) ( )= = = − = − 2 3 2 3

Puesto que el dominio de g es (-∞, + ∞) y el dominio de f es [0, + ∞) entonces el dominio de H es el conjunto de los números reales para los cuales 2x - 3 = 0, lo que es lo mismo, [3/2, +8).

Ejemplo 2: Dado que f y g están defini-das por:

f x x( ) = y g x x( ) = −2 1

Determinar: (a) ; (b) ; (c) ; (d)

Solución:

( )

( )

( ) ( )

(a)

(b)

c)

(d)

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ( ) ( )

( ) ( )

f g x f x x

g g x g x x x x

f f x f x x x

g f x g x x x

= − = −

= − = − − = −

= = =

= = − = −

2 2

2 2 2 4 2

4

2

1 1

1 1 1 2

1 1

FUNCIONES MÁS USADAS EN CÁLCULO

Función constante

Definición: Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de números reales. Su fórmula es:

y su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que intercepta al eje de ordenadas en el punto (0; k).

Clasificación:

La función constante no es inyectiva ni sobreyectiva pues:

1. Por ejemplo si , , y sin embargo =k



94

2. {k} y por lo tanto no es sobreyectiva pues con

no tiene pre imagen.

Es creciente pues:

Si entonces =k

Es una función par pues para todo se cumple que

Función lineal

Definición: Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

con

y la representación gráfica es una recta. De su fórmula se distinguen dos elementos:

a. Pendiente b. Ordenada al origen

Geométricamente, la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas(x) y la ordenada al origen es el punto por donde intercepta la gráfica de la función al eje de ordenadas (0,b).

Clasificación: La función lineal es biyec-tiva (inyectiva y sobreyectiva) porque se verifican:

1. Si entonces y con ello, , es decir .

2. Si entonces y como entonces y

Por tanto es sobreyectiva

3. Si a > 0, es estrictamente cre-ciente, pues: Si , como a > 0 entonces y por consi-guiente, a , es decir

.

4. Si a < 0, es estrictamente decre-ciente, pues: Si , como a < 0 entonces y por consi-guiente, a , es decir

.

5. no es una función par ni impar porque:

Función potencial de grado 2 (parábola)

Definición: es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

Donde a, b y c son números reales con . Su representación gráfica es una

curva que recibe el nombre de parábola.




95

Los elementos de dicha función son:

a. Coeficiente principalb. Coeficiente linealc. Término independiente

Análisis de la fórmula y = ax² + bx + c: Los elementos de la gráfica de la función (eje, ceros, vértice, ordenada al origen y concavidad) se obtienen a partir de la fórmula, de la siguiente manera:

Eje: es una recta perpendicular al eje de abscisas (x) que responde a la siguiente expresión:

X = -b / 2a

La parábola es simétrica respecto de su eje y el vértice de la misma se encuentra “sobre” él.

Ceros: son los puntos de la gráfica donde la misma intercepta al eje de abscisas. Una parábola puede tener a lo sumo dos ceros distintos. Si el discriminante b² - 4ac es mayor que cero, la parábola tiene dos ceros; si es igual a cero, tiene uno y si es menor que cero, no tiene. La fórmula para determinarlos es

x = [ -b ± ( b² - 4ac)½ ] / 2a

En el caso que tenga dos ceros se dice que la función tiene dos raíces reales dis-tintas, si tiene uno se dice que tiene dos

raíces reales iguales y si no tiene ninguno se dice que no tiene raíces reales.

Vértice: es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Se verifica también que es el único punto unido de la parábola pues el simétrico de sí es él mismo. Sus coorde-nadas son:

y=[-b/2a ; f( -b/2a)]

Ordenada al origen: como en las demás gráficas, es el punto donde la misma intercepta al eje de ordenadas (y). Su coordenada es:

ord = ( 0 ; c)

Concavidad: la determina el coeficiente principal (a). Si a>0 entonces la parábola es cóncava hacia el semieje positivo de las ordenadas (y) ; si a<0 entonces es cóncava hacia el semieje negativo de las ordenadas.

Clasificación:

La función potencial no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos distin-tos pero simétricos respecto del eje , son iguales;

2. El conjunto Imagen de una pará-bola es si y



96

si , mien-tras que el codominio es el con-junto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen pre imagen.

3. Si a > 0, es estrictamente decreciente en el intervalo y es estrictamente creciente de

. Y si por el contra-rio, a < 0, es estrictamente creciente en el intervalo y es estrictamente decreciente en

4. La función potencial no es ni impar excepto cuando b es igual a cero. En este último caso la gráfica es simétrica respecto del eje de orde-nadas. Por lo tanto .

Función potencial de grado 3 (polinómica)

Definición: Es una función definida de reales en reales:

Su gráfica depende del grado del poli-nomio que conforme su fórmula. Tiene tantos ceros (intersecciones con el eje de abscisas) como el grado del polinomio de la fórmula. Para dibujar su gráfica es

necesario recurrir a elementos y con-ceptos de Análisis Matemático.

Función módulo

Definición de función módulo: Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

Definida para todo x real por . Lo que

equivale a:

Su gráfica tiene forma de “v” centrada en el origen del sistema de coordenadas. Por su definición todas las imágenes de los elementos del dominio son positivas o cero.

Clasificación: La función módulo no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos opues-tos, son iguales;

2. El conjunto Imagen de la función es [0; +∞) y su Codominio es el con-junto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen pre imagen.




97

Es estrictamente decreciente en (-∞, 0) y estrictamente creciente en (0, +∞).

La función módulo es par porque los ele-

mentos opuestos tienen sus imágenes

iguales (la gráfica es simétrica respecto

del eje de ordenadas (Y)).

Función raíz cuadrada

Definición de función raíz cuadrada:

Es una función cuyo dominio es el con-

junto de los reales positivos con el cero

y el codominio es el conjunto de los

números reales. Su fórmula es:

Definida para todo x real por

Clasificación: La función raíz cuadrada es

inyectiva pero no sobreyectiva porque:

1. A elementos distintos correspon-

den imágenes distintas;

2. El conjunto Imagen de la función es

[0; +∞) y su Codominio es el con-

junto de los números reales, por lo

tanto existen elementos de él que

no tienen pre imagen.

Es estrictamente creciente.

La función raíz cuadrada no es par ni

impar pues los elementos del dominio

no verifican ninguna de las dos defini-

ciones.

Función parte entera

Definición: Es una función definida de los reales en los reales. Su fórmula repre-senta, para los reales negativos, al mayor entero menor a él y para los reales posi-tivos, al entero sin su parte decimal. Su fórmula es:

Definida para todo x real por . Lo que equivale a:

Como la gráfica de esta función tiene forma de “escalera”, muchas veces se la denomina con ese nombre. Su imagen es el conjunto de los enteros .

Clasificación: Esta función no es inyec-tiva ni sobreyectiva pues

1. Para dos elementos distintos perte-necientes al dominio de la función, por ejemplo 1,23 y 1,67 correspon-den imágenes iguales.

2. Existen elementos del codominio, por ejemplo y = 2,45 que no tiene pre imagen.



98

No es par ni impar y es creciente porque para dos elementos del dominio tal que uno sea menor que el otro se verifica que la imagen del menor es menor o igual que la del mayor.

Función mantisa

Definición: Es una función definida de reales en reales tal que su gráfica repre-senta la parte decimal de cada elemento del dominio. Su fórmula es:

Definida para todo x real por .

El conjunto imagen de es [0, 1).

Clasificación: Esta función no es inyec-tiva ni sobreyectiva porque:

1. Para dos elementos distintos del dominio, por ejemplo 1, 2 y 3, 2 las imágenes son iguales.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio que no tiene pre imagen, por ejemplo y = 3.

Es una función par pues elementos opuestos tienen imágenes iguales.

Es estrictamente creciente en los inter-valos:

...[-4;-3), [-3; -2), [ -2; -1) , [-1; 0) , [ 0, 1) ..., etc.

Función signo

Definición: Es una función definida de los reales menos el cero en los reales. Su fórmula es:

Definida para todo x real por si x < 0.

El conjunto imagen es {-1, 1}

Clasificación: La función no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Para elementos distintos del dominio corresponden imágenes iguales, por ejemplo = 3 y = 4 la imagen de ambos es y = 1.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio que no tiene pre imagen, por ejemplo y = 2.

Es impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Se puede considerar que es creciente o decreciente pues la definición de ambas es cierta por la condición de igualdad de las dos.

Función exponencial

Definición: Es una función definida de reales en reales. Su fórmula es:




99

Definida para todo x real por , con a > 1.

El conjunto imagen es (0, +∞).

La base de la función exponencial debe ser un número positivo porque, por ejemplo en caso de ser x= -1/2 no tendría imagen en (0, +∞) no cumpliendo con la condición de existencia. Y debe ser dis-tinto de 1, de lo contrario sería la función constante.

Clasificación: La función exponencial es inyectiva y no sobreyectiva porque:

1. Para que dos expresiones expo-nenciales, con bases iguales sean iguales, deben serlo los exponen-tes; por lo tanto a elementos dis-tintos corresponden imágenes dis-tintas.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio que no tiene pre imagen, por ejemplo y = -2, puesto que no existe ningún elemento real que bajo las condiciones de la fórmula de la función de un número real negativo.

La función no es par ni impar, pues no cumple con ninguna de las dos definicio-nes.

Si a > 0 es estrictamente creciente pues se verifica que dos elementos del dominio, uno menor que el otro, el menor tiene la imagen menor que la del mayor. Si a < 0, es estrictamente decreciente.

Función logarítmica

Definición: Es una función definida de los reales positivos en los reales. Su fórmula es:

Definida para todo x real por , con a > 0 y

El conjunto imagen es

Clasificación: Es una función biyectiva pues cumple con las condiciones de inyectividad y sobreyectividad.

No es par ni es impar.

Si la base del logaritmo “a” es mayor que 1, la función es estrictamente creciente. Si a<1, entonces es estrictamente decre-ciente.

Función homografía

Definición: Es una función definida de un conjunto A en los reales. Su fórmula es:

Definida para todo x real por =



100

Siendo

El conjunto imagen es

La gráfica de esta función es una hipér-bola equilátera y presenta dos asíntotas, una horizontal de fórmula y = a/c y una vertical de fórmula x = -d/c.

Clasificación:

Es una función inyectiva y no es sobre-yectiva porque:

1. Para dos elementos cualesquiera y diferentes del dominio se verifica que sus imágenes son distintas.

2. Existe un elemento del codominio, y = a/c, que no tiene pre imagen.

3. No es una función par ni impar. Solo en el caso de que a = 0, b = 1, c = 1 y d = 0 es una función impar, pues las imágenes de los elemen-tos opuestos, son opuestas.

4. La gráfica de esta función es estric-tamente creciente si tomamos por separado los intervalos de cada rama.

Función seno

Definición: Es una función definida de los reales en los reales, cuya fórmula es:

Definida para todo x real por

=

El conjunto imagen es el intervalo [-1; 1]. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica (radio = 1), el eje de abs-cisas y el eje de ordenadas, en este caso es = cateto opuesto / hipotenusa. Su período es . Los ceros de la función son los x que responden a

x = k , con

Clasificación: No es una función inyec-tiva ni sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2 tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene pre imagen.

Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no




101

estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por inter-valos.

Función coseno

Definición: Es una función definida de los reales en los reales, cuya fórmula es:

definida para todo x real por =

El conjunto imagen es el intervalo [-1, 1]. Esta función es una de las deno-minadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipote-nusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica (radio = 1), el eje de abs-cisas y el eje de ordenadas, en este caso se define = cateto adyacente / hipo-tenusa. Su período es cosx = 2 . Los ceros de la función son los x que responden a:

x = (2k + 1) , con k


1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2 tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene pre imagen.

Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por inter-valos.

Función tangente

Definición: Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:

Definida por = ; con A = -{ x / x = (2k+1) , }

El conjunto imagen es . Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectágulo determinado por el radio vector de una circunferencia tri-gonométrica (radio = 1), el eje de abs-cisas y el eje de ordenadas, en este caso se define tan x = cateto opuesto / cateto



102

adyacente. Si la definimos en función de

y , da: = .

Su período es .

Los ceros de la función son los x que res-ponden a:

x = k , con

La función tanx presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero. Estos son:

H = {x / x = (2k+1) /2 }

Clasificación: No es una función inyec-tiva pero sí es sobreyectiva porque:

Dos elementos distintos del dominio que difieran en tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

El conjunto imagen coincide con el codo-minio.



Función cotangente

Definición: Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:

Definida por = ; con A = -{x / x = k }

El conjunto imagen es R. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia tri-gonométrica (radio = 1), el eje de abs-cisas y el eje de ordenadas, en este caso se define = cateto adyacente / cateto opuesto. Si la definimos en función de sen x y cos x, da:

Su período es

Los ceros de la función son los x que res-ponden a :

x = (2k+1) , con

La función cot x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero. Estos son:

H = {x / x = (2k+1) }




103

Clasificación: No es una función inyec-tiva pero sí es sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. El conjunto imagen coincide con el codominio.



Función secante

Definición: Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:

Definida por = ; con A = -{x / x = (2k+1) }

El conjunto imagen es (-∞, -1] + [1, +∞). Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipote-nusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia

trigonométrica (radio = 1), el eje de abs-cisas y el eje de ordenadas; en este caso se define = hipotenusa / cateto adya-cente. Si la definimos en función de , da: .

Su período es

La función no tiene ceros ya que para que de existir tendría que poder anularse el numerador de la fracción y eso no ocurre nunca porque es una constante diferente de cero.

La función secx presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero. Estos son:

H = {x / x = (2k+1) }


Dos elementos distintos del dominio que difieran en tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 1/2 tal que no tiene pre imagen.


Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no



104

estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por inter-valos.

Función cosecante

Definición: Es una función definida de

reales en reales cuya fórmula es:

Definida por = ; con

A = -{x / x = k }

El conjunto imagen es ( -∞, -1] ∪ [1, + ∞).

Esta función es una de las denominadas

circulares ya que la imagen para cada

elemento del dominio está definida por

el cociente entre los catetos e hipote-

nusa de un triángulo rectángulo definido

por el radio vector de una circunferencia

trigonométrica (radio = 1), el eje de abs-

cisas y el eje de ordenadas, en este caso

se define = hipotenusa / cateto

opuesto. Si la definimos en función de

, dá:

Su período es .

La función no tiene ceros ya que, de

existir, tendría que anularse el numera-

dor de la fracción y eso no ocurre

nunca porque es una constante.

La función presenta asíntotas para

los valores del dominio donde el seno de

los mismos vale cero. Estos son:

H = {x / x = k }


1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 1/2 tal que no tiene pre imagen.

Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.


Función inversa

Una función g es la inversa de la función f si se cumple que ( )( )f g x x= para todo

x del dominio de g , y ( )( )g f x x= para todo x del dominio de f .




105

A la inversa g de f se denotará por f −1 (se lee “inversa de f”).

Es importante resaltar que el símbolo f −1 no significa 1

f, como podría haberse

esperado.

Es necesario tener presente las siguien-tes observaciones acerca de la definición de función inversa.

Si g es inversa de f , entonces f es inversa de g

El dominio de f −1 es el recorrido de f(y viceversa).

Si una función tiene inversa, esta es única.

Para comprender el concepto de función inversa se debe pensar en f −1 como la función que deshace lo que f hacía. Por ejemplo, la resta deshace la suma y el cociente deshace el producto.

Ejemplo: Comprobar que las funciones ( ) ( )f x x x

= − =+2 1 12

3 3 y g x son inversas la una de la otra.

Solución: Nótese que ambas funcio-nes compuestas existen, ya que los domi-nios y recorridos de ambas, f y g son el

conjunto de números reales. La composi-

ción de f con viene dada por:

( )( )f g x x x x x=+

− =

+

− = + − =2 1

21 2 1

21 1 13

3

La composición de g con , viene dada

por:

( )( ) ( )g f x

x x x x=− +

= = =2 1 1

22

2

3

33

3 33

Como ( )( ) ( )( )f g x g f x x= = , se con-

cluye que f y g son inversas la una de

la otra. Su representación en el plano se

ilustra en la siguiente figura.

Gráfica 39. Representación gráfica de f y su inversa g

TEOREMA 1 “PROPIEDAD REFLEXIVA

DE LAS INVERSAS”

La gráfica de f contiene el punto (a, b)

si y solo si la gráfica de f contiene el

punto (b, a).



106

Demostración: Si (a, b) está en la gráfica de f , entonces ( )f a b= y tenemos que

( ) ( )( )f b f f a a− −= =1 1

Por lo tanto (b, a) está en la gráfica de f −1 , como muestra la figura siguiente:

Gráfica 40. Simetría respecto y=x de lo gráficos de una función y su inversa

La gráfica de f −1 es una reflexión de la gráfica de f respecto a la recta.

Un argumento similar demuestra el teorema en la otra dirección.

No toda función tiene inversa, y el ante-rior teorema sugiere un criterio gráfico para aquellas que la tienen. Se le llama criterio de la línea horizontal para la función inversa, y se sigue directamente del criterio de la línea vertical para fun-ciones junto con la propiedad reflexiva de las gráficas de y . El criterio nos dice que una función tiene inversa si y solo sí cada línea horizontal corta la gráfica de a lo sumo una vez.

La regla siguiente establece formalmente el por qué el criterio de la línea horizon-tal es válido. Es importante recordar, que una función es estrictamente monótona si es creciente en todo su dominio o si es decreciente en todo su dominio

REGLA DE LA EXISTENCIA DE FUNCIÓN INVERSA

1. Una función tiene inversa sí y solo si es inyectiva.

2. Si es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces es inyec-tiva y, en consecuencia, admite una inversa.

Ejemplo: Determinar si la función tiene inversa.

Gráfica 41. Función f del ejemplo 2

Solución: En la Gráfica de f se puede observar que f es creciente en todo su dominio. Para comprobarlo, notemos que la derivada es positiva para todos los




107

valores reales de x. Por tanto, f es estric-tamente monótona y debe tener inversa.

Función logaritmo natural

Al ser continua y creciente en toda la recta real, la función exponencial natural f x e x( ) = tiene inversa. A esta inversa se

le denomina función logaritmo natural. Su dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.

Definición: Sea x un número real posi-tivo. La función logaritmo natural, deno-tada por ln x, se define como sigue:

ln x b= sí y solo si e xb =

Esta definición nos dice, que una ecua-ción logarítmica se puede escribir en una forma exponencial equivalente y viceversa. Por ejemplo:

ln1 0= Sí solo si e0 1=

lne = 1 Sí solo si e e1 =

ln e− = −1 1 Sí solo si ee

− =1 1

Como la función f x x− =1 ( ) ln es la inversa de f x e x( ) = , su gráfica es el reflejo de la función exponencial natural como se muestra en la siguiente figura:

Gráfica 42. Función logaritmo natural y su inversa

Propiedad de la función logaritmo natural

La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:

El dominio de f x x( ) ln= es ( )0, ∞ y su recorrido es ( )−∞ ∞, .

La función f x x( ) ln= es continua, cre-ciente e inyectiva en su dominio

La gráfica de f x x( ) ln= es cóncava hacía abajo en todo su dominio.

El eje y es asíntota vertical de la gráfica de f x x( ) ln= . Además

limx

x→ ∞

= ∞ ln y lim

xx

→ ∞= ∞ ln

Como f x e x( ) = y f x x− =1 ( ) ln son inver-sas una de otra, podemos concluir que:

lne xx = y e xxln =



108

Función exponencial natural

Definición: La función exponencial natural es la inversa de la función loga-ritmo natural, y está definida por

e yx = sí solo si x y= ln

Otras funciones exponenciales y logarítmicas

• Definición de función exponencial de base a

Si a es cualquier número positivo y x cualquier número real, entonces la función definida por f x a x( ) = se llama función exponencial de base a.

• Definición de función logaritmo de base a

Si a es cualquier número positivo excepto 1, la función logaritmo de base a es la inversa de la función exponencial de base a: y escribimos y xa= log sí y solo si a xy =

En particular, si a = e, la función dada por log lne x x= es simplemente la función logaritmo natural. Las funciones loga-rítmicas referidas a bases distintas de e comparten muchas propiedades con la

función logaritmo natural. En particular, son válidas las siguientes:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

Con los logaritmos pueden conseguirse ciertas eficiencias, cuando se necesita calcular números muy grandes o muy pequeños. Tales eficiencias pueden atri-buirse en parte a ciertas propiedades de los logaritmos. A continuación se des-criben algunas de las propiedades más importantes:

1. log log logb b bu v u v = +

2. log log logb b buv

u v= −

3. log logbn

bu n u=

4. logb b = 1

5. logb 1 0=

6. b xb xlog =

7. logbxb x=

Funciones trigonométricas inversas

Ninguna de las seis funciones trigo-nométricas básicas tiene inversa. Esto se debe al hecho de que las seis funciones son periódicas, y por tanto no son inyec-tivas. Es necesario examinarlas para ver si podemos redefinir sus dominios de tal forma que tengan inversas en los domi-nios restringidos.




109

Ejemplo: Probar que la función f x x( ) sen= no es inyectiva en toda la

recta real. Verificar entonces que: −

π π2

, 2

es el mayor intervalo, centrado en el origen, en el que f es estrictamente monótona.

Solución: Es evidente que f no es inyectiva, porque muchos valores dife-rentes de x dan un mismo valor de y. Así,

( ) ( )sen sen0 0= = π .

Además, f es creciente en el intervalo abierto −

π π2

, 2 al ser positiva allí su deri-

vada ′ =f x x( ) cos .

Finalmente, como los puntos termina-les derecho e izquierdo de ese intervalo corresponden a extremos relativos del seno, podemos concluir que f es cre-ciente en el intervalo cerrado −

π π2

, 2

y que en cualquier intervalo mayor la función ya no sería estrictamente monó-tona. Ver la figura siguiente:

Gráfica 43. Función f(x)=sen x

Imponiendo restricciones apropia-das, cada una de las seis funciones tri-gonométricas es inyectiva y por tanto posee una inversa, como se indica en la definición siguiente.

Al ejemplo anterior, basta aplicar la regla de existencia de función inversa para con-cluir que la función seno restringida, con dominio −

π π2

, 2 , tiene inversa. Sobre ese

intervalo definimos la función inversa del seno como y x= arcsen si y solo si seny = x donde − ≤ ≤ ≤ ≤1 1

2x x y -

2π πarcsen .



110

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

FUNCIÓN DOMINIO RECORRIDO

y x y= ≤ ≤ ≤ ≤arcsen si y solo si seny = x -1 x 1 -2π π

2y x y= ≤ ≤ ≤ ≤arccos si y solo si cosy = x -1 x 1 0 π

y arctanx y= < ≤ ≤ si y solo si tany = x - x < -2

α α π π2

y arc x y= <cot si y solo si coty = x - < x < 0 <α α π

y arc x= ≥ ≤ ≤ ≠sec si y solo si secy = x x 1 0 y , y2

π π

y ecx y= ≥ ≤ ≤ ≠arccos , si y solo si cosecy = x x 1 -2

y 0π π2

Observación. El término arcsenx se lee como la “inversa del seno de x” o “el arco cuyo seno es x”. Una notación alterna-tiva para la función inversa del seno es sen .−1 x Las gráficas de estas seis funcio-nes inversas se muestran en la figura siguiente.

Dominio [ ]−1 1,

Recorrido −

π π2 2

,

Dominio [ ]−1 1,

Recorrido [ ]0, π

Gráfica 44. Funciones arcsen x y arccosx

Dominio ( )−∞ ∞,

Recorrido −

π π2 2

,

Dominio ( )−∞ ∞,

Recorrido ( )0, π

Gráfica 45. Funciones arctanx y arccotx

Dominio ( , ] [ ,−∞ − ∪ ∞ )1 1

Recorrido [ , ) ( ,02 2

]π π π∪

Dominio ( , ] [ ,−∞ − ∪ ∞ )1 1

Recorrido [ , ]−∪

π π2

0) (0, 2

Gráfica 46. Funciones arcsec y arccsc




111

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Esta es una clase especial de funciones exponenciales. El nombre, función hiper-bólica, surgió de comparar el área de una región semicircular con el área de una región limitada por una hipérbola.

Definición de las funciones hiperbólicas

senh cosh senhcosh

= = =

x e e x e e tanh x xx

x x x x− +− −

2 2

cosech x= 1 0senh

,

x

x ≠ seccosh

h xx

=

1 coth , =

x

tanh xx1 0≠

Observación: Leemos senhx como “el seno hiperbólico de x” y así sucesiva-mente. Para las demás funciones.

A diferencia de las funciones trigo-nométricas, las funciones hiperbólicas no son periódicas. Solo las funciones hiperbólicas seno, tangente, cosecante y la cotangente, son inyectivas. Por lo tanto, podemos concluir que estas cuatro funciones tienen funciones inver-sas. Las otras dos, el coseno y la secante hiperbólica son inyectivas si se restrin-gen sus dominios a los números reales positivos, y en este dominio restringido estas también tienen funciones inversas. Puesto que las funciones hiperbólicas están definidas en términos de funcio-nes exponenciales, no es sorprendente encontrar que las funciones hiperbólicas

inversas puedan escribirse en térmi-nos de funciones logarítmicas, como se muestra en el siguiente teorema.

TEOREMA. FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

DOMINIO

Demostración: La demostración de este teorema es una aplicación inmediata de las propiedades de las funciones logarít-micas y exponenciales. Por ejemplo, si

( ) ( ) ( )f x x e e x xx x

= =−

= + +−

senh ln2

12 y g x

Entonces:

( )( ) ( ) ( )f g x

x x x x=

+ + − + +2 21 1 1

2

[ / ]

( )( )

=+ +

+ +=

2 1

2 1

2

2

x x x

x xx

Un argumento similar nos muestra que

( )( )g f x x= , y podemos concluir que g es la inversa de f .



112

TALLER 10 EJERCICIOS SOBRE FUN-CIONES INVERSAS

En los siguientes ejercicios, probar que f y g son funciones inversas, verificando que ( )g f x x( ) = y ( )g f x x( ) = , y repre-sentar f y g en un mismo sistema de eje.

1. f x x g x x( ) ( )= =3 3

2. ( )f x x g x x( ) ( )= + = −5 1 15

1

3. f x x g x x x( ) ( )= − = + ≥4 4 02 ,

4. f x x g x x( ) ( )= − = −1 13 3

5. f x x x g x x x( ) ( )= > = >−−

21

20 0 , ,

Escriba la función logarítmica en forma exponencial y viceversa.

6. 2 83 =

7. 3 13

1− =

8. 16 834 =

9. log ,10 0 01 2= −

10. e0 1=

11. ln ,2 0 6931=

12. 49 712 =

13. log3 81 4=

Despejar y encontrar el valor de x o de b en las siguientes ecuaciones:

14. log10 1000 = x

15. log3 1x = −

16. logb 27 3=

17. lne x = 3

18. e xln = 4

19. ln x = 2

20. x x25 25− = log

21. ( )log log3 3 2 1x x+ − =

22. ( )log log10 103 1x x+ − =

Evaluar la expresión dada:

23. arcsen 12

24. arccos0

25. arctan 33

26. ( )arccot −1

27. ( )arc sec ,1 269

28. ( )arcsen ,−0 39

Escribir la expresión dada en forma algebraica.

29. ( )tan arctanx

30. ( )sen secarc x

31. csc arctan x2


113

C A P Í T U L O I V

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN POR PARTES

Una razón para transformar una integral en otra es la de producir una que sea más fácil de evaluar. Hay dos formas genera-les de lograr dicha transformación; la primera es la integración por sustitu-ción y la segunda es la integración por partes.

La fórmula de la integración por partes es una simple consecuencia de la regla del producto para derivadas, sean u(x), v(x) dos funciones diferenciables y u x v x( ) ( ) el producto entre ellas, enton-ces la derivada de dicho producto estará dado por:

( )d u x v xdx

v x du xdx

u x dv xdx

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= +

Dividiendo por dx la expresión anterior se obtiene que:

( )

( )

( )

d u x v xdx

dx v x du xdx

u x dv xdx

dx

d u x v xdx

dx v x du xdx

dx u x dv xdx

dx

d u x v x v x du x u x dv x

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= +

= +

= +

Dejando u(x) dv(x) se tiene que:

( )u x dv x d u x v x v x du x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −

La antidiferenciación de la ecuación anterior produce:

( )u x dv x d u x v x v x du x

u x dv x u x v x v x du x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(1)

∫ ∫ ∫∫ ∫

= −

= −

La ecuación (1) es la fórmula de la inte-gración por partes. Con du = du(x) y dv = dv(x) la ecuación (1) se transforma en:

u dv u v v du ∫ ∫= −

La integración por partes se emplea a menudo cuando el integrando incluye logaritmos, funciones trigonométricas inversas y producto de funciones.



114

Para aplicar la integración por partes a una integral dada, primero descompo-nemos el integrando en dos factores, u y dv, tales que el último incluya la diferencial dx. Se intentará escoger esas partes de modo que:

• La antiderivada v dv= ∫ sea fácil de encontrar, y

• La nueva integral v du ∫ sea más fácil de calcular que la integral original

u dv ∫ .

Ejemplo: Encuentre ln x dx ∫

Solución: Aquí no hay más alternativa que la elección de: u x= ln y dv dx= , de donde se obtiene que:

Si

u x du dxx

dv dx dv dx

v x

= ⇒ =

= ⇒ =

=∫∫

ln

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos que:

( ) ( ) ( )

ln

ln

ln

ln

x dx u v v du

x x x dxx

x x dx

x x x c

∫ ∫

∫

∫

= −

= −

= −

= − +

Para una mejor selección de u dv y , se sugiere la siguiente estrategia:

EL MÉTODO LIATE

Esta es una estrategia de gran utilidad al momento de recurrir a la aplicación de la técnica por partes, en donde se debe hacer una elección adecuada de las sus-tituciones u dv y . Este método reco-mienda que se haga la sustitución de u de acuerdo al orden de la sigla LIATE; la cual representa las siguientes funciones:

Ejemplo 1: Calcular x x dx ln∫

Solución: Usando la sugerencia LIATE, hacemos la elección de: u x= ln y dv x dx= , de donde se obtiene que:

Si

u x du dxx

dv x dx dv x dx

v x

= ⇒ =

= ⇒ =

=

∫∫

ln

2

2


Técnicas de integración



115

( )

x x dx u v v du

x x x dxx

x x x dx

x x x c

x x x c

ln

ln

ln

ln

ln

∫ ∫

∫

∫

= −

=

−

= −

= −

+

= − +

2 2

2

2 2

2 2

2 2

212

212 2

2 4

Una elección inadecuada de u nos lleva a obtener una segunda integral más compleja que la original. Por ejemplo

x x dxsen ∫ . Si hacemos las siguientes sus-tituciones, tenemos

Si

u x du xdx

dv x dx dv x dx

v x

= ⇒ =

= ⇒ =

=

∫∫sen cos

2

2


( ) ( )

x x dx u v v du

x x x xdx

x x x dx

sen

sen cos

sen cosx

∫ ∫

∫

∫

= −

=

−

= −

2 2

22

2 2

212

Como se puede ver, la segunda integral es más complicada que la original, ya que función aritmética aumenta su potencia. Lo cual hace más tediosa su solución y lo que se busca con la integración por partes es obtener una segunda integral más sencilla.

Ejemplo 2: Calcular x x dxn ln∫Solución: Aquí la alternativa es la siguiente elección de: u x= ln y dv x dxn= , de donde se obtiene que:

Si

u x du dxx

dv x dx dv x dx

v xn

n n

n

= ⇒ =

= ⇒ =

=+

∫∫+

ln

1

1


( )

( )

x x dx u v v du

x xn

xn

dxx

xn

xn

x dx

xn

xn

xn

c

xn

x xn

c

n

n n

nn

n n

n n

ln

ln

ln

ln

ln

∫ ∫

∫

∫

= −

=+

−

+

=+

−+

=+

−+ +

+

=+

−+

+

+ +

+

+ +

+ +

1 1

1

1 1

1 1

2

1 1

11

1

11

1 1

1 1



116

Ejemplo 3. Encuentre sen−∫ 1 x dx

Solución: Sean

u x du dxx

dv dx dv dx

v x

= ⇒ =−

= ⇒ =

=

−

∫∫

sen 1

21

La fórmula de integración por parte nos da:

( ) ( ) ( )

sen

sen

sen

−

−

−

∫ ∫

∫

∫

= −

= −−

= −−

1

1

2

1

2

1

1

x dx u v v du

x x x dxx

x x x dxx

Hacemos:

m xdm x dx

= −

− =

1

2

2

Sustituyendo tenemos que:

Ejemplo 4: Obtener tan x dx−∫ 1

Solución: Hacemos

u tan x du dxx

dv dx dv dx

v x

= ⇒ =+

= ⇒ =

=

−

∫∫

121

Así tan x dx x tan x x dxx

x tan x x C− − −∫ ∫= − = − + +1 12

1 2

112

1 +

ln

Ejemplo 5: Hallar x x dx sen∫Solución: Hacemos

u x du dx

dv x dx dv x dx

v x

= ⇒ =

= ⇒ =

= −∫ ∫

sen sen

cos

Aplicando la fórmula de integración por partes se obtiene que

( ) ( )x x dx x x x dx

x x x dx

x x x C

sen cos cos

cos cos

cos sen

∫ ∫∫

= − − −

= − +

= − + +

Ejemplo 6: Hallar x x dx2 cos∫Solución: Hacemos

u x du x dx

dv x dx dv x dx

v x

= ⇒ =

= ⇒ =

=∫ ∫

2 2

cos cos

sen




117

Aplicando la fórmula de integración por partes se obtiene que:

( )x x dx x x x x dx

x x x x dx

2 2

2

2

2

cos sen sen

sen sen

∫ ∫∫

= −

= −

Como la x x dx x x x sen cos sen∫ = − + (ver su solución en el punto anterior). Sustituyendo este valor en la ecuación anterior obtenemos que:

Ejemplo 7: Hallar x dx e x∫Solución: Hacemos

u x du dx

dv e dx dv e dx

v e

x x

x

= ⇒ =

= ⇒ =

=

∫ ∫


x e dx x e e dx

x e e C

x x x

x x

∫ ∫= −

= − +

Ejemplo 8: Hallar x dx2 e x∫ , en este ejercicio se necesita aplicar la integra-ción por partes dos veces

Solución: Hacemos

u x du x dx

dv e dx dv e dx

v e

x x

x

= ⇒ =

= ⇒ =

=

∫ ∫

2 2


( )x e dx x e e x dx

x e x e

x x x

x x

2 2

2

2

2

∫ ∫∫

= −

= −

Aplicando nuevamente el método de integración por partes a xe dxx∫ (ver su solución en el punto anterior), se obtiene que:

[ ]x e dx x e x e

x e x e e C

x e x e e C

x x x

x x x

x x x

2 2

2

2

2

2

2 2

∫ ∫= −

= − − +

= − + +

Una situación que a veces ocurre cuando se emplea la integración por partes es la siguiente:

Ejemplo 9: Hallar e x dxx sen ∫



118

Solución: Hacemos

u x du x dx

dv e dx dv e dx

v e

x x

x

= ⇒ =

= ⇒ =

=

∫ ∫sen cos

Por lo tanto,

e x dx e x e x dxx x xsen sen cos ∫ ∫= −

La integral a la derecha es semejante a la primera integral, excepto que tiene cos x en lugar de sen x. Aplicamos otra vez la integración por partes haciendo

u x du x dx

dv e dx dv e dx

v e

x x

x

1 1

1 1

1

= ⇒ = −

= ⇒ =

=

∫ ∫cos sen

Por lo cual,

( )( )e x dx e x e x e x dx

e x dx e x e x e x dx

x x x x

x x x x

sen sen cos sen

sen sen cos sen

∫ ∫∫ ∫

= − − −

= − −

Ahora, tenemos a la derecha la misma integral que teníamos a la izquierda. Así, despejando e x dxx sen ∫ , se obtiene que:

( )

e x dx e x e x e x dx

e x dx e x dx e x e x

e x dx e x e x

e x dx e x e x C

e x dx e x x C

x x x x

x x x x

x x x

xx x

xx

sen sen cos sen

sen sen sen cos

sen sen cos

sen sen cos

sen sen cos

∫ ∫∫ ∫∫

∫

∫

= − −

+ = −

= −

=−

+

= − +

2

2

2

Obsérvese que el segundo miembro de la ecuación anterior contiene una cons-tante arbitraria, ya que en el primer miembro se tiene una integral indefi-nida.

Ejemplo 10: Calcular sec3 x dx ∫Solución:

sec sec sec3 2x dx x x dx =∫ ∫

Hacemos ahora

u x du x tanx dx

dv x dx dv x dx

v tanx

= ⇒ =

= ⇒ =

=∫∫

sec sec

sec sec

2 2

Aplicando la fórmula de la integración por partes se obtiene que:

( )

( )

sec sec sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec sec ln sec

3 2

3 2

3 2

3 3

3 3

1

x dx x x dx x tanx tanx x tanx dx

x dx x tanx x tan x dx

x dx x tanx x x dx

x dx x tanx x dx x dx

x dx x tanx x dx x tanx

= = −

= −

= − −

= − +

= − + +

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Al despejar sec3 x dx ∫ se obtiene que:

2

212

12

3

3

3

sec sec ln sec

secsec ln sec

sec sec ln sec

x dx x tanx x tanx

x dxx tanx x tanx

C

x dx x tanx x tanx C

= + +

=+ +

+

= + + +

∫

∫

∫




119

Ejemplo 11: Encuentre una fórmula de reducción para

Solución: La idea es que n es un entero positivo (grande) y queremos expre-sar la integral dada en términos de una potencia menor de sec x. La potencia de sec x más fácil de integrar es sec2 x , así que hacemos

sec sec secn nx dx x x dx =∫ ∫ −2 2

Hacemos ahora

( )( )

u x du n x tanx dx

du n tanx dx

dv x dx dv x dx

v tanx

n n

n

= ⇒ = −

= −

= ⇒ =

=

− −

−

∫∫

sec sec sec

sec

sec sec

2 3

2

2 2

2

2

Aplicando la fórmula de la integración por partes se obtiene que:

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

sec sec sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec sec sec

n n n n

n n n

n n n

n n n n

x dx x x dx x tanx tanx n x tanx dx

x dx x tanx n x tan x dx

x dx x tanx n x x dx

x dx x tanx n x dx n x dx

= = − −

= − −

= − − −

= − − + −

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

− − −

− −

− −

− −

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2 1

2 2

Despejando secn x dx ∫ se obtiene que:

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

sec sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec

n n n n

n n n

n n n

nn

n

x dx n x dx x tanx n x dx

n x dx x tanx n x dx

n x dx x tanx n x dx

x dx x tanxn

nn

x dx

+ − = + −

+ − = + −

− = + −

=−

+−−

∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− −

− −

− −

−−

2 2

1 2 2

1 2

121

2 2

2 2

2 2

22

MÉTODO TABULAR

Para las integrales que tienen la forma:

x axdx x axdx x e dxn n n axsen cos ,, y ∫∫∫

Las cuales exigen una aplicación repe-tida de la integración por partes, se usa este método; el cual se describe a conti-nuación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Hallar x xdx2 4sen .∫Solución: Hacemos u x dv v dx xdx= = ′ =2 4 y sen . Luego realizamos una tabla de tres columnas así:

Tabla 1. Derivadas de las funciones factores del ejemplo 13

SIGNOS ALTERNADOS

U Y SU DERIVADA

V’ Y SUS PRIMITIVAS

+

+ 2

- 0



120

Por último, la solución se obtiene al mul-tiplicar los productos con signo de las entradas diagonales, obteniendo:

x xdx x x x x x C2 24 14

4 18

4 132

4sen cos sen cos= − + + +∫

TALLER 11. INTEGRACIÓN POR PARTES

( )

1) 2)

3) 4) cos

5) 6) e d

7) e 8) e

9) d 10) 3

12) sen dw

13) 14)

16)

17)

x

x

- 1

-

x x dx x e dx

x x dx x x dx

tan x dx x x

x dx x dx

x x tanx x x dx

x dx w

x dx x x dx

x tan x dx x x dx

x

x

x

x

ln

sen

sen

cos

sec

) ln

ln sec

) ln

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

2

1

3

2

1 2

11

15

( ) ( )

2 3

3 2

3

19

21 1

2sen

) sen ln cos ln

)

x dx x e dx

x dx x dx

x x dx x e dx

x

x

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫+

18)

20)

22)

23) Demostrar que: ( )e bx dx

e b bx a bxb

caxax

cossen cos

a 2∫ =+

++2

24) Demuestre que: ( )e bx dxe a b x b bx

bcax

ax

sensen cos

a2∫ =−

++2

25) Hallar ( )x e dxx

x +1 2∫

26) Calcular csc3 x dx ∫

27) Encuentre una fórmula de reduc-ción para cscn x dx ∫

28) Demuestre que x e dx x e r x e dxr x r x r x= − −∫∫ 1

• En los siguientes ejercicios evalúe la integral definida

29) x dxx2

0

23∫

30) ( )ln x dx+−∫ 2

1

2

31) x x dx sen−∫ 1

0

1

32) t t dt2 2cos −∫ π

π

33) x x x dxcot csc/

/

π

π

4

3 4

∫

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS

Integración de potencias del seno y el coseno

Caso 1: Integrales de la forma senn x dx ∫ o bien cosn x dx ∫ donde n es un entero posi-tivo impar.

Ejemplo 1: sen3 x dx ∫

( )sen sen sen

cos sen

3 2

21

x dx x x dx

x x dx

∫ ∫∫

=

= −




121

Hacemosu x

du x dx=

− =cossen


( ) ( )sen

cos cos

3 2

2

3

3

1

13

13

x dx u du

du u du

u u c

x x c

∫ ∫∫ ∫

= − −

= − +

= − + +

= − + +

Ejemplo 2: cos3 ax dx ∫

Solución:

( )cos cos cos sen cos

sen

cos

3 2 21ax dx ax ax dx ax ax dx

u axdua

ax dx

∫ ∫ ∫= = −

=

=

Sustituyendo se tiene que :

( )

( )

cos

sen sen

3 2

2

2

3

3

1

1 1

1 1

1 13

1 13

ax dx u dua

au du

adu

au du

au

au c

ax

ax c

∫ ∫

∫

∫ ∫

= −

= −

= −

= − +

= − +

Ejemplo 3: Calcular sen5 x dx ∫

Solución:

( )( )

sen sen sen sen sen

cos sen

5 4 2 2

2 21

x dx x x dx x x dx

x x dx

∫ ∫ ∫∫

= =

= −

Hacemos

u xdu x dx

=− =

cossen

Sustituyendo se obtiene que:

( ) ( )

( )sen

cos cos cos

5 2 2

2 4

2 4

3 5

3 5

1

1 2

2

23 5

23 5

x dx u du

u u du

du u du u du

u u u c

x x x c

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

= − −

= − − +

= − + −

= − + − +

= − + − +

Caso 2: Integrales de la forma senn x dx ∫ o bien cosn x dx ∫ donde n es un entero posi-tivo par.

La identidad sen cos2 2 1x x+ = no fun-ciona en este caso. Se utilizan las siguien-tes identidades trigonométricas:

sen cos cos cos2 21 22

1 22

x x x x=

−=

+



122

Ejemplo 4:

( )

sen cos ( )

cos

cos

sen

sen

2 3 1 2 32

12

1 6

12

12

6

12

12

16

6

21

126

x dx x dx

x dx

dx x dx

x x c

x x c

∫ ∫

∫

∫ ∫

=−

= −

= −

= −

+

= − +

Ejemplo 5:

( )( )

( )( )

( )

cos cos cos

coscos

cos cos

cos cos

cos cos

sen cos

sen sen

4 2 22

2

2

2

2

2

1 22

1 22

14

1 2

14

1 2 2 2

14

24

2 14

2

14

12

2 14

2

14

12

12

2 14

1 42

14

14

2 18

132

4

x dx x dx x dx

xdx x dx

x x dx

dx x dx x dx

dx x dx x dx

x x x dx

x x x x c

2

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

= =+

=+

= +

= + +

= + +

= + +

= +

+

+

= + + + +

=38

14

2 132

4x x x c+ + +sen sen

Caso 3: Integrales de la forma sen cosn mx x dx ∫ , donde cuando menos uno

de los exponentes es impar.

La solución de este caso es similar al método que se usó en el caso 1.

Ejemplo 6:

( )sen cos sen cos cos

sen sen cos

6 3 6 2

6 21

x x dx x x x dx

x x x dx

∫ ∫∫

=

= −

Hacemos:u xdu x dx==sen

cos


( )( )

sen cos

sen sen

6 3 6 2

6 8

6 8

7 9

7 9

1

17

19

17

19

x x dx u u du

u u du

u du u du

u u c

x x c

∫ ∫∫

∫∫

= −

= −

= −

= − +

= − +

EJEMPLO 7:

Hacemos:u x

du x dx=

− =cossen





123

( ) ( )sen cos

cos cos cos

5 2 2 4 2

2 4 6

3 5 7

1 2

2

13

25

17

x x dx u u u du

u du u du u du

x x x c

∫ ∫∫ ∫∫

= − + −

= − + −

= − + − +

Caso 4: Integrales de la forma sen cosn mx x dx ∫ , donde n, m son par.

La solución de este caso es análoga al método que se utilizó en el caso 2.

Ejemplo 8:

( )

( )

sen cos cos cos

cos cos

cos

cos

cos

cos

sen

sen

2 2

22

2

1 22

1 22

1 24

14

1 2

14

14

2

14

14

1 42

14

18

1 4

14

18

18

4

14

18

18

14

4

18

132

4

x x dx x x dx

x dx x dx

dx x dx

dx x dx

dx x dx

dx dx x dx

x x x c

x x c

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

=−

+

=−

= −

= −

= −+

= − +

= − −

= − −

+

= − +

Ejemplo 9: Calcular sen cos4 4x x dx ∫

Solución: Utilizando la identidad sen cos senx x x=

12

2 tenemos:

( )

( )

sen cos sen cos sen

sen sen

cos cos cos

sen cos sen sen

sen sen

4 44

4 2

2

12

2

116

2 116

2

116

1 42

164

132

4 164

4

644

1281

641 8

2 644

128 1288

10243

1284

1288

1024

x x dx x x dx x dx

x dx x dx

x dx dx x dx x dx

x x x dx x x x x c

x x x c

4

2

2

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

= =

= =

=−

= − +

= − ++

= − + + +

= − + +

Caso 5: Integrales de la forma con m, n ∈ R

Se puede apreciar que se trata de un pro-ducto de una función seno y un coseno, pero con coeficiente diferentes en cada uno de los ángulos.

Para solucionar este tipo de integrales emplearemos la siguiente identidad tri-gonométrica:

( ) ( )

( ) ( )

sen cos sen sen

sen sen

mx nx mx nx mx nx

m n x m n x

= − + +

= − + +

12

12

12

12

Ejemplo 10:

( ) ( )sen cos sen sen

sen sen

sen sen

cos cos

cos cos

5 3 12

5 3 12

5 3

12

8 12

2

12

8 12

2

12

18

8 12

12

2

118

8 12

2

x x dx x x dx

x x dx

x dx x dx

x x c

x x c

∫ ∫

∫

∫ ∫

= + + −

= +

= +

= −

+ −

+

= − − +



124

Ejemplo 11:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sen cos sen sen

sen sen

cos cos

cos cos

mx nx dx m n x m n x dx

m n x dx m n x dx

m nm n x

m nm n x c

m nm n x

m nm n x c

∫ ∫

∫ ∫

= − + +

= − + +

= −−

−

+ −

++

+

= −−

− −+

+ +

12

12

12

12

12

1 12

1

12

12

Caso 6: Integrales de la forma cos cosmx nx dx ∫ con m, n ∈ R .

Se puede apreciar que se trata de un producto de una función coseno y un coseno, pero con coeficientes diferentes en cada uno de los ángulos.

Para solucionar este tipo de integrales emplearemos la siguiente identidad tri-gonométrica:

cos cos cos( ) cos( )mx nx mx nx mx nx = + + −12

12

Demostración:

Ejemplo 12: Resolver: cos cosmx nx dx ∫

( ) ( )

( ) ( )

cos cos cos( ) cos( )

cos( ) cos( )

cos( ) cos( )

sen( ) sen( )

sen( ) sen( )

mx nx dx mx nx mx nx dx

mx nx dx mx nx dx

m n x dx m n x dx

m nm n x

m nm n x c

m nm n x

m nm n x c

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

= + + −

= + + −

= + + −

=+

+

+

−−

+

=+

+ +−

− +

12

12

12

12

12

12

12

1 12

1

12

12

TALLER 12. INTEGRACIÓN DE PON-TENCIAS TRIGONOMETRICAS

Calcular las siguientes integrales indefi-nidas:

1

3 4 4

5 3

7 12

11

13 2 2

3 4

5 3

2 4

5 2

3 3 2 3

4 3 2

2 4

) sen sen cos

) sen cos cos

) sen sen

) cos cos

sen cos sen cos

) cos sen cos

) sen cos

2)

4) sen

6)

8)

9) 10)

12)

x dx x x dx

x x dx x x dx

x dx z dz

x dx x dx

x x dx x x dx

x dx x x dx

t t dt

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 14)

16)

18)

20)

sen cos

) cossen

sen cos

) sen cos sen cos

) cos cos cos cos

2 2

3

3

3 3

15 33

3 2

17 5 3 8 7

19 5 3 9 4

t t dt

xx

dx x x dx

x x dx x x dx

x x dx x x dx

∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫




125

• En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida

21

23 12

25 2 4

27 3 5 4 2

2

2

0

2

0

6

0

8

) sen

) cos

) cos sen cos

) sen cos cos cos

/

/

22) cos

sen 24) sen

sen 26)

28)

0

/23

0

/3

4

0

13

/3

2

0

1

0

/6

x dx t dt

x dx t t dt

t t dt x x dx

x x dx x x dx

π π

π

π

π π

π

π π

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫29) Si n es un entero positivo, demuestre que sen2

0

12

nx dx π

π∫ =

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

Recordemos las siguientes fórmulas de integración que implican a las funciones tangente, cotangente.

tanx dx x c

tanx dx x c

c x dx x c

x dx x tanx c

x dx x c x c

∫

∫

∫

∫

∫

= +

= − +

= +

= + +

= − +

ln sec

ln cos

tg ln sen

sec ln sec

csc ln csc tg

Con estas fórmulas y las siguientes iden-tidades trigonométricas:

1

1

2 2

2 2

+ =

+ =

tan x x

c x x

sec

tg csc

Podemos evaluar integrales de la forma:

tan x dxn ∫c x dxntg ∫

Donde n es un entero positivo

Ejemplo 1:

( )tan x dx x dx x dx dx tanx x c2 2 21 ∫ ∫ ∫ ∫= − = − = + +sec sec

Ejemplo 2:

( )

( )

tan x dx tanx tan x dx tanx x dx

tanx x dx tanx dx

u tanxdu x dx

tan x dx u du tanx dx

u x c

tan x x c

3 2 2

2

2

3

2

2

1

2

2

Hacemos = = Sustituyendo tenemos

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

= = −

= −

= −

= − − +

= + +

sec

sec

sec

ln cos

ln cos

Ejemplo 3:

( )

( )

tan x dx tan x tan x dx tan x x dx

tan x x dx tan x dx

u tanxdu x dx

tan x dx u du tan x dx

u du x dx dx

tan x tanx x c

4 2 2 2 2

2 2 2

2

3 2 2

2 2

3

1

3

Hacemos = = Sustituyendo tenemos

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫∫

= = −

= −

= −

= − −

= − + +

sec

sec

sec

sec



126

Ejemplo 4:

( )cot cot cot cot csc

cot csc cot

cot

csc

cot cot

ln sen

cot ln sen

3 2 2

2

2

3

2

2

4 4 4 4 4 1

4 4 4

4

44

4

814

814

x dx x x dx x x dx

x x dx x dx

u xdu xdx

x dx u du x dx

u x c

x x c

Hacemos

-4

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

= = −

= −

=

=

=−

−

= − − +

= − − +

INTEGRALES DE LA FORMA Sec x dxn ∫ O BIEN Csc x dxn ∫ DONDE N ES UN ENTERO POSITIVO PAR

Para solucionar estas integrales, utiliza-remos el siguiente argumento:

( ) ( )

( ) ( )

csc csc csc cot csc cot csc

cot csc

csc cot cot

4 2 2 222 2 2 2

2

4 2 23 3

1 1

13 3

x dx x x dx x x dx x x dx

u x du x dx

x dx u du u du du u u c x x c

Hacemos entonces - sutituyendo se tiene que:

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

= = + = +

= =

= + − = − − =−

− + =−

− +

Ejemplo 1: Determinar la sec6 x dx ∫Solución:

( )( )

sec sec sec

sec

sec

6 4 2

242 2

2 2 2

1

1

x dx x x dx

tan x x dx

tan x x dx

∫ ∫

∫∫

=

= +

= +

Hacemos

u tanxdu x dx=

= sec2


( )( )

sec6 2 2

4 2

4 2

5 3

5 3

1

2 1

2

52

3

52

3

x dx u du

u u du

u du u du du

u u u c

tan x tan x tanx c

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

= +

= + +

= + +

= + + +

= + + +

EJEMPLO 2: Determinar csc4 x dx ∫Solución:

INTEGRALES DE LA FORMA Sec x dxn ∫ O BIEN Csc x dxn ∫ DONDE n ES UN ENTERO POSITIVO IMPAR

Para integrar potencias impares de las funciones secante y cosecante se usa la integración por partes. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Calcular: sec3 x dx ∫Solución: Descomponemos la integral en los siguientes factores:

Sea u x du x tanx dxdv x dx v tanx= =

= =

sec secsec

entonces entonces 2

Por lo tanto,




127

( )

sec

sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec ln sec

secsec ln sec

3

3

3 2

3 2

3 3

3 3

3

3

1

2 2

2

x dx uv v du

x dx x tanx tanx x tanx dx

x dx x tanx tan x x dx

x dx x tanx x x dx

x dx x tanx x dx x dx

x dx x dx x tanx x dx

x dx x tanx x tanx c

x dxx tanx x tanx

c

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫∫∫

∫

= −

= −

= −

= − −

= − +

+ = +

= + + +

=+ +

+

Luego:

sec sec ln sec3 12

12

x dx x tanx x tanx c ∫ = + + +

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN cot cscm nx x dx ∫ DONDE n ES UN ENTERO

POSITIVO PAR

En este caso se ilustran los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Determinar tan x x dx3 4 sec∫

Solución:

( )

( )

tan x x dx tan x x x dx

tan x tan x x dx

u tanxdu x dx

tan x x dx u u du u du u du u u c

tan x x dx tan x tan x c

3 4 3 2 2

3 2 2

2

3 4 3 2 5 36 4

3 46 4

1

16 4

6 4

Sustituyendo se tiene que:

sec sec sec

sec

sec

sec

sec

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

∫

=

= +

=

=

= + = + = + +

= + +

Ejemplo 2. Determinar cot csc5 4x x dx ∫

Solución:

( )

( ) ( )

cot csc cot csc csc

cot cot csc

cotcsc

cot csc

cot csc cot cot

5 4 5 2 2

5 2 2

2

5 4 5 2 7 58 6

5 48 6

1

18 6

8 6

x x dx x x x dx

x x x dx

u xdu x dx

x x dx u u du u du u du u u c

x x dx x x c

- Sustituyendo se tiene que:

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

∫

=

= +

=

=

= + − = − − = − − +

= + +

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN tan x x dx5 3 sec∫ DONDE m, n SON

ENTEROS POSITIVOS IMPARES

En este caso se ilustran los siguientes ejemplos:


Solución:

( )( )

( ) ( )

tan x x dx tan x x tanx x dx

tan x x tanx x dx

x x tanx x dx

u xdu x tanx dx

tan x x dx u u du u u u du

u du

5 3 4 2

2

2

5 3 2 2 2 4 2 2

6

1

1 2 1

estos factores se ponen en funcionde secante

factor principalo derivada de la funcion secante

sec

sec


2 2

2 2

sec sec sec

sec

sec sec

secsec

sec

∫ ∫

∫∫

∫ ∫ ∫∫

=

=

= −

==

= − = − +

=

− +

= − + +

= − + +

∫ ∫2

72

5 3

72

5 3

4 2

7 5 3

7 5 3

u du u du

u u u c

x x x c

sec sec sec



128


Solución:

( )tan x x dx tan x x x tanx dx

x x x tanx dx

x x tanx dx x x tanx dx

x x tanx dx

x x x c

5 7 4 6

2 2 6

10 8

6

11 9 7

1

2

111

29

17

sec sec sec

sec sec sec

sec sec sec sec

sec sec

sec sec sec

∫ ∫∫∫ ∫∫

=

= −

= −

+

= − + +

CASO DE tan x x dxm n sec∫ O BIEN cot cscm nx x dx ∫ DONDE m ES UN

ENTERO POSITIVO PAR Y n ES UN ENTERO POSITIVO IMPAR

El integrando debe expresarse en térmi-nos de potencias impares de la secante o la cosecante. Por ejemplo:

( )tan x x dx x x dx

x dx x dx

2 3 2 3

5 3

1

sec sec sec

sec sec

∫ ∫∫ ∫

= −

= −

Para evaluar cada una de estas integrales se utiliza la integración por partes, como se indicó en el caso de las integrales de la forma Csc x dxn ∫ o bien Csc x dxn ∫ donde n es un entero positivo impar.

TALLER 13. PARA PRACTICAR

( )

( )

1) 2)

4)

5) 6)

7) 8)

10)

11) 12)

14)

15)

tan x dx t dt

e tan e dx x x dx

t dt tan x dx

tan x dx x dx

x dx x dx

e tan e dx xx

dx

tan x x dx tan x x dx

x

x x

x x

2 2

2 2 2

3 4

6 2

4 4

44

6 4 5 3

2

5 4

3 2

3 2

9

13

3

cot

) cot

cot

cot

) sec csc

sec (ln )

) sec sec

cot

∫∫

∫∫

∫ ∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

16)

18) cos

19)

20)

2

csc

) sen

ln sec lnsec

43

5

3 6 4

5

3

17 3 2 1

x dx tan xx

dx

tan x dx ww

dw

tan x xx

dx tan xx

dx

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

• En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida

21 4 3 2

23

124

8

6

3

0

3

64

3

6

46

4

) sec

)sec sen

cot sec

/

/

/

/

/

/

/ /

tan 22)

24) cos

25) 26)

3

/16

4/2

- /4

x dx t dt

tan xx

dx tt

dt

x dx x dx

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫




129

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS

A menudo es efectivo el método de sus-titución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus inte-grandos ciertas expresiones algebraicas tales como: a u2 2− , u a2 2− y a u2 2+ . Hay tres sustituciones trigonométricas básicas:

SI LA INTEGRAL CONTIENE

ENTONCES SUSTITUIR

Y USAR LA IDENTIDAD

a u u aa u u a tan tanu a u a tan

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

11

1

− = − =

+ = + =

− = − =

sen sen cossec

sec sec

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

11

1

− = − =

+ = + =

− = − =

sen sen cossec

sec sec

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

11

1

− = − =

+ = + =

− = − =

sen sen cossec

sec sec

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

• La sustitución u a= senθ significa, en términos más precisos, la sustitución

θ π θ π= ≤ ≤−sen 1

2ua

con -2

a u

θ

a u2 2−Gráfica 47. Sustitución u=asenθ

Ejemplo 1: Evalúe x dxx

3

21−∫ Siendo x < 1

Solución: Aquí a = 1 y u = x, por lo que se sustituye

xdx==sencosθθ

Representando la relación trigonomé-trica o sustitución principal, x = senθ , en el triángulo rectángulo tenemos

1 x

θ

1 2− xGráfica 48. Figura del ejemplo 1

Remplazando en la integral obtenemos que:

( )

( )

x dxx

d

3

2

3

3

3

3

2

2

1

1

−=

=

=

=

=

= −

∫ ∫

∫

∫∫∫∫

sen

sen

sencos

sen

sen

cos sen

θ ϑ θ

θθ ϑ θ

θθ ϑ θ

θ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

cos d

1- sen cos dcos cos d

d

sen d

2

2

Hacemos m

dm d=

− =cossen

θθ θ



130

( )( )x dxx

m dm

dm m dm

m m C

C

3

2

2

2

3

3

11

3

3

−= − −

= − +

= − + +

= − + +

∫ ∫

∫ ∫

cos cosθ θ

Como la variable de la primera integral era x, calculamos las relaciones trigo-nométricas que quedan en la respuesta en función de x, para esto utilizamos el triángulo rectángulo

De aquí que (Usando la figura 48)

cosθ =−

= −1

11

22x x . Sustituyendo este

valor en la solución de la integral nos queda que:

( )

x dxx

C

x dxx

xx

C

3

2

3

3

2

2

23

1 3

11

1

3

−= + +

−= − − +

−+

∫

∫

cos cosθ θ

Ejemplo 2: Calcule 25 2−∫

xx

dx

Solución: Sea

( ) ( )

xdx d

x

==

− = − = − = − =

55

25 25 5 25 25 25 1 252 2 2 2 2

sencos

sen sen sen cos

θθ θ

θ θ θ θ


( )

25 255

5

5 55

5 51

5 5

5 5

5 5

2 2

2 2

2

−=

=

= =−

= −

= −

= − + +

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

xx

dx d

d

d d

d d

d d

C

cossen

cos

cos cossen

cossen

sensen

sensensen

csc sen

ln csc cot cos

θθ

θ θ

θ θ θθ

θ θθ

θ θ

θθθ

θθ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ

De la sustitución principal y el triángulo rectángulo podemos encontrar las rela-ciones trigonométricas que intervienen en la solución en función de x. Es decir, si

x x= =5

5sen senθ θ Entonces

Con base en estos datos nos queda el triángulo rectángulo de la siguiente forma :

5 x

θ

25 2− xGráfica 49. Gráfica del ejemplo 2

De aquí que cscθ =5x

, cotθ =−25 2xx

y cosθ =

−255

2x Sustituyendo estos valores en la solución, se obtiene que:




131

Ejemplo 3: Calcule xx x

dx2

22 −∫

Solución: Primero completamos el tri-nomio cuadrado perfecto dentro del radical

( ) ( )xx x

dx x

x xdx x

xdx

2

2

2

2

2

22 1 1 2 1 1−=

− + − +=

− −∫ ∫ ∫

Sea x − =1 senθ . Entonces ( )1 1 2− − =x cosθ , dx d= cosθ θ y ( )x 2 21= + senθ . Así

( )

( )

( )

( ) ( )

xx x

dx d

d

d

d

C

C

C

x x x x C

2

2

2

2

2

2

1

1 2

1 2 1 22

32

2 12

2

32

2 14

2

32

2 12

32

12

4

32

1 12

2 3

−=

+

= + +

= + +−

= + −

= − − +

= − − +

= − + +

= − − − + +

∫ ∫

∫

∫

∫

sen coscos

sen sen

sen cos

sen cos

cos sen

cos sen cos

cos sen

arcsen

θ θθ

θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

1 x - 1

θ

( )1 1 2− −x

Gráfica 50. Gráfica del ejemplo 3

• La sustitución u a tan= θ en una inte-gral que contenga a u2 2+ significa, en términos más precisos, la sustitución

θ π θ π= < <−tan u

a1

2 con -

2

a u2 2+ u

θ a

Gráfica 51. Sustitución u=atan θ

Ejemplo 4: Hallar dxx x2 24 +∫

Solución: Sea

( ) ( )

x tandx d

x tan tan tan

=

=

+ = + = + = + =

22

4 4 2 4 4 4 1 4

2

2 2 2 2 2

θ

θ θ

θ θ θ θ

sec

sec



132

Representando la relación trigonomé-trica o sustitución principal, x tan= 2 θ , en el triángulo rectángulo tenemos

4 2+ x x

θ 2



dxx x

d

dtan

d

C

xx

C

2 2

2

2

2

2

2

42

41414

14

44

4tan

( USANDO EL TRIANGULO SE

OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO )

2+=

=

=

= − +

= −+

+

∫ ∫

∫

∫ −

secsec

sec

sen cos

sen

θ θ

θ θθ θθ

θ θ θ

θ

EJEMPLO 5: Hallar dx

x x9 4 2+∫

Solución: Sea

2 3 32

32

9 4 9 4 94

9 9 9

2

2 2 2 2

x tan z x tan z

dx z dz

x tan z tan z z

= ⇒ =

=

+ = +

= + =

sec

sec


( )

dxx x

z dz

tan z z

z dz

z z C

9 4

32

3

1313

2

2

+=

=

= − +

∫ ∫

∫

sec

sec

csc

ln csc cot

32

Como tan z x =23 se obtiene un triángulo

rectángulo de la siguiente forma:

9 4 2+ x 2 x

z 3


De aquí que:

dxx x

z z C

dxx x

xx x

C

dxx x

xx

C

9 413

9 413

9 42

32

9 413

9 4 32

2

2

2

2

2

+= − +

+=

+− +

+=

+ −+

∫

∫

∫

ln csc cot

ln

ln

• La sustitución u a= secθ en una integral que contenga u a2 2− signi-fica, en términos más precisos, la sus-titución




133

θ θ π= ≤ ≤−sec 1 ua

con 0

u

u a2 2−

θ a

Gráfica 54. Sustitución u=asecθ

EJEMPLO 6: Encuentre xx

dx x2 25 5−

≥∫

Solución: Sustituya

xdx tan dx tan

==

− = − =

5525 25 25 252 2 2

secsec

sec

θθ θ θ

θ θ

Representando la relación trigonomé-trica o sustitución principal, secθ =

x5 , en el

triángulo rectángulo tenemos

x

x 2 25−

θ 5

Gráfica 55. Gráfica del ejemplo de arriba

En consecuencia de la sustitución ante-rior no queda que:

( )

( )

xx

dx tan tan d

tan d

d

tan C

2 2

2

2

25 255

5

5

5 1

5

−=

=

= −

= +

∫ ∫∫∫

-

θθ

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

secsec

sec

Utilizando el triángulo rectángulo, para que la respuesta quede en función de x, nos queda que:

xx

dx x x C2 2

125 5 255 5

−=

−−

+∫ − sec

Ejemplo 7: Encuentre dxx 2 1−∫ x > 1

Solución: Hacemos:

xdx tan dx tan

==

− = − =

secsec

sec

θθ θ θ

θ θ

2 2 21 1


dxx

tan dtantan d

tand

tan C

2 21−=

=

=

= + +

∫ ∫

∫∫

sec

sec

sec

ln sec

θ θ θ

θθ θ θ

θ

θ θ

θ θ



134

Como secθ = x , el triángulo rectángulo nos queda de la siguiente forma:

x

x 2 1−

θ 1


De aquí que

dxx

tan C

dxx

x x c

2

2

2

1

11

−= + +

−= + − +

∫

∫

ln sec

ln

θ θ

EJEMPLO 8: Calcule ( )a x

xdx

a

a 2 2 3

22

−∫

Solución: Redefinimos la integral; y nos queda

( ) ( )a x

xdx

a xx

dxa

a

a

a2 2 3

22

2 232

22

−=

−∫ ∫

Hacemos

x a a= =sen sen ;θ θ θ θ , dx = acos d ; x Por lo tanto,2 2 2

( )a x a2 232 3 3− = cos .θ Efectuamos cambios en

los límites de integración,

si x = a, =2

si x = a2

=6

θ π θ π1 2; , . Sustituyendo

( )a x

xdx

a

a 2 2 3

22

−∫

( )ad

2 2 2

22

6cos

sen.

θ

θθπ

π

∫=

=

=

=

( )− ∫a d2

2 2

26

2cossen

.θ

θθπ

π

( )= −

−∫a d2

2 2

26

21 sen

senθ

θθπ

π

( )= − − +∫a d2 2 2

6

2 2csc senθ θ θπ

π

Por propiedades de integral definida,

Como cos sen ,2 21θ θ= −

( )a x

xdx

a

a 2 2 3

22

−∫ = − −

a 2 98

32π

TALLER 14. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Use sustituciones trigonométricas para evaluar las integrales de los problemas

( )

1 1 1

3 1 4

5 9 425

1 4

1

99 4

1 4

117

13

2

2

2

2

2

23 2

3 23

2

212

2

2

2

2 2 2 2

2

)

)

)

)

)

)

2)

4)

6)

7) 8)

10)

12)

− +

−−

++

−

+

++

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

xx

dx xx

dx

xx

dx x x dx

x x dx x dxx

xx

dx dxx

dxx

x dx

dww w

dxx a

t dt

( ) ( )

te

edx

e dx

e

dx

x x

x

x

x

x

2

2

232 2

32

616

159 1 5 4

+

−

+ − −

∫ ∫

∫ ∫−

−

14)

16) )




135

( )

( )

( ) ( )

176 9

19

6 18 8 7

232

3 2

22

32

232 2

32

)

) sec

18)

20)

4 - tan

21) 22)

2

dx

x

dxx x

x a dx x dx

x

dx

x x

e dt

e e

t

t t

− −

+

− + + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

• En los siguientes ejercicios obtenga la integral definida

( )23

16 16

9 4

274

25

3

20

2

232

0

4

2 23

3 3 2

20

1

24

62 2

) 24)

25) 26)

28) 0

5

x dxx

dx

x

dxx x

x dxx

dxx x

x x

− +

+ −

−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫)

FUNCIONES RACIONALES Y FRACCIONES PARCIALES

En esta sección se mostrará que toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Recuerde que una función racional R(x) es una que se exprese como cociente de dos polinomios. Esto es,

R x P xQ x

( ) ( )( )

= (1)

donde P(x) y Q(x) son polinomios. El mé-todo de fracciones parciales implica la descomposición de R(x) en una suma de términos:

R x P xQ x

p x F x F x F x F xk( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + + + + + +1 2 3 (2)

donde p(x) es un polinomio y cada expre-sión F xi ( ) es una fracción que puede integrarse por los métodos anteriores.

Por ejemplo, se puede verificar (encon-trando el común denominador en el segundo miembro) que

(3)

Este resultado se obtiene de realizar la división x 3 1− entre x x3 − es decir

-

- - + - +

x x x

x xx

xx

x x

3 3

3

2

2

1

1 1

11

− +

− −

De aquí que:

( )( )

xx x x

x xx x x

x xx x x

xx

3

3

2

3 2 2

1 1 1 1 1 11

1 1 11

−+

= − +− +

+= − +

−

+= − +

−+

De acuerdo con un teorema que se propone en álgebra, se puede escribir toda función racional en la forma



136

R x P xQ x

p x F x F x F x F xk( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + + + + + +1 2 3

en donde cada una de las F xi ( ) es una fracción de la forma:

( )A

ax b n+ (4)

o una de la forma

( )Bx C

ax bx cn

+

+ +2 (5)

donde el polinomio cuadrático es irre-ducible, lo que significa que no es un producto de factores lineales con coefi-cientes reales. Esto equivale a decir que la ecuación ax bx c2 + + no tiene raíces reales, y la fórmula cuadrática indica que esto es cuando b ac2 4 0− <

Las fracciones de la forma (4) y (5) se llaman fracciones parciales y la suma (2) se llama descomposición en frac-ciones parciales de R(x).

El primer paso para encontrar la des-composición en fracciones parciales de R(x) consiste en determinar el polino-mio P(x) en la expresión (2). Resulta que p x( ) ≡ 0 con la condición de que el grado

del numerador P(x) sea menor que el denominador Q(x); en este caso, se dice que la fracción racional R(x)=P(x)/Q(x)

es propia. Si R(x) no es propia, puede encontrarse P(x) mediante una división de P(x) entre Q(x), como el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9: Encuentre x x xx x

dx3 2

2

12 2

+ + −+ +∫

Solución: La división del numerador entre el denominador se realiza en la siguiente forma(numerador) ( ) ( ) (denominador)

- - ( ) (cociente) - - - + ( ) (residuo)

P x x x x x x Q x

x x x x p xx xx x

x r x

→ + + − + + →

− − →

+ +→

3 2 2

3 2

2

2

1 2 2

2 2 11

2 21

Como en aritmética, FRACCION COCIENTE RESIDUODIVISOR

= +

Por consiguiente,

( )x x xx x

x xx x

3 2

2 2

12 2

1 12 2

+ + −+ +

= − ++

+ +

Y por tanto,

( )

( )

x x xx x

dx x xx x

dx

x dx xx x

dx

x x x x C

3 2

2 2

2

2 2

12 2

1 12 2

1 12 2

12

12

2 2

+ + −+ +

= − ++

+ +

= − ++

+ +

= − + + + +

∫ ∫

∫ ∫

ln

TEOREMA

Cualquier polinomio con coeficientes reales se puede expresar como un pro-ducto de factores lineales o cuadráticos, de tal forma que cada uno de los factores tenga coeficientes reales.




137

Después de que Q(x) ha sido factorizado en productos de factores lineales o cua-dráticos, el método para determinar las fracciones parciales depende de la natu-raleza de dichos factores. Consideramos varios casos por separado.

• CASO 1: Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir,

Q x a x b a x b a x b a x bn n( ) ( )( )( ) ( )= + + + +1 1 2 2 3 3

donde no hay factores idénticos. En este caso escribimos

P xQ x

Aa x b

Aa x b

Aa x b

n

n n

( )( )

≡+

++

+ ++

1

1 1

2

2 2

(6)

donde A A An1 2, , , son constantes que se van a determinar, nótese que emplea-mos ≡ (léase “idénticamente igual”) en lugar de = en (6). Esto se debe a que (6) es una identidad para el valor de cada Ai

El siguiente ejemplo muestra como se obtiene los valores de Ai

Ejemplo 10: Para calcular ( )( )dx

x x2 1 2+ −∫

Solución: Los factores lineales del deno-minador son distintos, por lo que busca-remos una descomposición en fraccio-nes parciales de la forma

( )( )1

2 1 2 2 1 2x xA

xB

x+ −=

++

−

Para encontrar las constantes A y B, se multiplican ambos miembros por el denominador (común) del segundo miembro ( ) ( )2 1 2x x+ − Para obtener

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2= − + + = + − +A x B x A B x A B +

En seguida se igualan los coeficientes de x y 1 en ambos miembros; esto produce las ecuaciones simultáneas

A BA B+ =

− + =2 0

2 1

de donde se despeja con facilidad A B=

−=

25

15

, . Entonces

( )( )1

2 1 2 2 1 2

25

2 1

15

2x xA

xB

x x x+ −=

++

−=

−

++

−

Sustituyendo este resultado en la inte-gral nos queda que:

( )( ) ( )( )dx

x x x xdx

x xdx

dxx

dxx

x x C

xx

C

2 1 21

2 1 2

25

2 1

15

2

25 2 1

15 2

15

2 1 15

2

15

22 1

+ −=

+ −

=

−

++

−

=−

++

−

=−

+ + − +

=−+

+

∫ ∫

∫

∫∫

ln ln

ln

Ejemplo 11: Calcule x xx x

dx2

3

12 124

+ +−∫



138

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

x xx x

x xx x

x xx x x

Ax

Bx

Cx

x x x x x Ax

Bx

Cx

2

3

2

2

2

2

12 124

12 124

12 122 2 2 2

12 12 2 22 2

+ +−

=+ +

−

+ +− +

= +−

++

+ + = − + +−

++

De donde se obtiene que:

( ) ( ) ( ) ( )x x A x x B x x C x x2 12 12 2 2 2 2+ + = − + + + − +

Al realizar los productos pendientes

( ) ( ) ( ) ( )x x A x x B x x C x x

x x Ax A Bx Bx Cx Cx

2

2 2 2 2

12 12 2 2 2 2

12 12 4 2 2

+ + = − + + + −

+ + = − + + + −

+

Asociamos términos de acuerdo al grado de la variable x

( ) ( )x x Ax Bx Cx Bx Cx Ax x A B C x B C x A

2 2 2 2

2 2

12 12 2 2 412 12 2 2 4

+ + = + + + − −

+ + = + + + − −

Al igualar los coeficientes obtenemos los siguientes sistemas de ecuaciones, en donde podemos calcular los valores de A, B y C.

A B CB C

A

+ + =− =

− =

12 2 12

4 12

Solucionando el sistema anterior se obtiene que: A = -3, B = 5, C = -1 Así

x xx x x x x

2

3

12 124

3 52

12

+ +−

=−

+−

+−+

Por lo tanto la integral nos queda de la siguiente forma:

x xx x

dx2

3

12 124

+ +−∫

x xx x

dxx x x

dx

x xx x

dx x x x C

2

3

2

3

12 124

3 52

12

12 124

3 5 2 2

+ +−

=−

+−

+−+

+ +−

= − + − − + +

∫ ∫

∫

ln ln ln

CASO 2: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están repetidos, es decir,

Supongamos que ( )a x bi i+ es un factor que se repite p veces. Entonces corres-pondiente a este factor estará la suma de p fracciones parciales.

( ) ( ) ( )P xQ x

Aa x b

Aa x b

A

a x b

Aa x b

i ip

i ip

p

i i

p

i i

( )( )

≡+

++

+ ++

++−

−1 21

12

donde son constantes que se van a determinar.

El siguiente ejemplo ilustra este caso y el método para determinar cada Ai

EJEMPLO 12: Encuentre ( )x xx x

dx3

3

4 11

− −

−∫

Solución: Aquí se tiene un factor lineal de multiplicidad n = 3. La descomposi-ción del integrando en fracciones parcia-les toma la forma de:




139

( ) ( ) ( ) ( )x xx x

Ax

Bx

Cx

Dx

3

3 2 3

4 11 1 1 1

− −

−= +

−+

−+

−

Para encontrar las constantes A, B, C y D procederemos de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x Ax

Bx

Cx

Dx

x x A x Bx x Cx x Dx

3 32 3

3 3 2

4 1 11 1 1

4 1 1 1 1

− − = − +−

+−

+−

− − = − + − + − +

Al multiplicar y reducir los coeficientes del segundo miembro nos queda:

( ) ( ) ( )x x A B x A B C x A B C D x A3 3 24 1 3 2 3− − = + + − − + + + − + −

Después se igualan los coeficientes de las potencias análogas de x en ambos miembros de esta ecuación. Así se obtie-nen las cuatro ecuaciones:

A BA B C

A B C DA

+ =− − + =+ − + = −

− = −

13 2 0

3 41

La última ecuación da A = 1; la primera B = 0; la segunda C = 3 y finalmente la tercera da D = - 4. Por lo tanto,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

x xx x

dx Ax

Bx

Cx

Dx

dx

x x x xdx

x x xdx

xx x

C

3

3 2 3

2 3

2 3

2

4 11 1 1 1

1 01

31

41

1 31

41

31

21

− −

−= +

−+

−+

−

= +−

+−

+−

−

= +−

−−

= −−

+−

+

∫ ∫

∫

∫

ln

Ejemplo 13: Hallar x x xx x

dx4 3

3 2

1− − −−∫

Solución: El integrando es una función racional impropia, dividiendo tenemos que:

-

+ - -

x x x x x

x x xx

4 3 3 2

4 3

1

1

− − −

−

Entonces:

x x xx x

x xx x

x xx x

x x xx x

x xx x

4 3

3 2 3 2 2

4 3

3 2 2

1 1 11

1 11

− − −−

= +− −−

= −+−

− − −−

= −+−

( )

( )

Escribimos entonces la integral como

x x xx x

dx x xx x

dx

x x xx x

dx x dx xx x

dx

x x xx x

dx x xx x

dx

4 3

3 2 2

4 3

3 2 2

4 3

3 2

2

2

1 11

1 11

12

11

− − −−

= −+−

− − −−

= −+−

− − −−

= −+−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

( )



140

Solucionamos por aparte la integral

( )x

x xdx+

−∫1

12 , la cual se resolverá por frac-ciones parciales. Primero expresamos su integrando de la siguiente forma:

( )x

x xAx

Bx

Cx

+−

= + +−

11 12 2

De aquí se obtiene que:

( )

( ) ( )

x x x Ax

Bx

Cx

x A x x B x C xx A x Ax Bx B C xx A C x B A x B

+ = − + +−

+ = − + − +

+ = − + − +

+ = + + − −

1 11

1 1 111

22

2

2 2

2

( ) ( )

Al igualar los coeficientes se tiene que:

A CB A

B

+ =− =− =

011

Al solucionar el sistema se obtiene que: A = - 2, B = - 1 y C = 2. Así pues

( )

( )

( )

xx x

Ax

Bx

Cx

xx x x x x

xx x x x x

+−

= + +−

+−

=−

+−

+−

+−

= − − +−

11 1

11

2 1 21

11

2 1 21

2 2

2 2

2 2

Remplazando esta expresión en la inte-gral

( )x

x xdx

x x xdx

dxx

dxx

dxx

xx

x

+−

= − − +−

= − − +−

= − + + −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

11

2 1 21

2 21

2 1 2 1

2 2

2

ln ln

Por lo tanto:

x x xx x

dx x xx x

dx

x xx

x C

x xx

x C

4 3

3 2

2

2

2

2

12

11

22 1 2 1

22 1 2 1

− − −−

= −+−

= − − + + −

+

= + − − − +

∫ ∫ ( )

ln ln

ln ln

CASO 3: Los factores Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno de los factores cuadráticos se repite.

Correspondiente al factor cuadrático ax bx c2 + + en el denominador, se encuentra la fracción parcial de la forma

Ax Bax bx c

++ +2

Ejemplo 14: Calcule xx x

dx2

3

1−+∫

Solución:

( )xx x

xx x

Ax

Bx Cx

2

3

2

2 2

1 11 1

−+

=−+

= +++

Al multiplicar por ( )x x 2 1+ , se tiene




141

( ) ( )

( )

x A x Bx C x

Ax A Bx CxA B x Cx A

2 2

2 2

2

1 1− = + + +

= + + +

= + + +

Ahora igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, se obtienen tres ecuaciones:

A BCA

+ === −

10

1

Como A = -1, B = 2 y C = 0, el integrando quedará de la siguiente forma

xx x x

xx x

xx

2

3 2 2

1 1 2 01

1 21

−+

=−

+++

= − ++

Sustituyendo esta expresión en la inte-gral se tiene que:

xx x

dxx

xx

dx

dxx

xx

dx

x x C

2

3 2

2

2

1 1 21

21

1

−+

= − ++

= − ++

= − + + +

∫ ∫

∫∫

ln ln

Ejemplo 15: Hallar ( )( )( )

x x dx

x x x

2

2

2 3

1 2 2

− −

+ +∫

-

Solución: La fracción en el integrando se escribe como una suma de fracciones parciales, así

( )( )x x

x x xAx B

x xC

x

2

2 2

2 31 2 2 2 2 1

− −+ +

=+

+ ++

−-


( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x x x x Ax Bx x

Cx

x x Ax B x C x x

x x Ax Ax Bx B Cx Cx Cx x A C x B C A x C B

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 3 1 2 22 2 1

2 3 1 2 2

2 3 2 22 3 2 2

− − = + ++

+ ++

−

− − = + − + + +

− − = − + − + + +

− − = + + + − + −

-

Igualando los coeficientes semejantes se tiene que:

A CB C A

C B

+ =+ − = −

− = −

12 22 3

De donde se obtiene que A B C=95

75

45

, = = -, , lo que implica que

( )( )x x

x x x

x

x x x

2

2 2

2 31 2 2

95

75

2 2

451

− −+ +

=+

+ ++−

−-

Así,

( )( )x x

x x xdx

x

x x xdx

x dxx x

dxx x

dxx

2

2 2

2 2

2 31 2 2

95

75

2 2

451

95 2 2

75 2 2

45 1

− −+ +

=

+

+ ++−

−

=+ +

++ +

−−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

-

Para integrar x dxx x

2 2 2+ +∫ , vemos que la dife-

rencial del denominador es ( )2 1x dx+ ; sumamos y restamos 1 en el numerador, con lo cual queda



142

( )( )( )

( )

( )

x xx x x

dx x dxx x

dxx x

dxx

x dxx x

dxx x

dxx

x dxx x

dxx x

dxx x

dxx

x dxx x

dxx x

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 31 2 2

95 2 2

75 2 2

45 1

95 2 2

75 2 2

45 1

95

12 2

95 2 2

75 2 2

45 1

95

12 2

25 2 2

4

− −+ +

=

+ ++

+ +−

−

=+ +

++ +

−−

=++ +

−+ +

++ +

−−

=++ +

−+ +

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

-

+1-1

( )( )

( )

5 195

12 2

25 1 1

45 1

910

2 2 25

1 45

1

2 2

2 1

dxx

x dxx x

dxx

dxx

x x tan x x C

−

=++ +

−+ +

−−

= + + − + − − +

∫

∫ ∫ ∫−

ln ln

CASO 4: Los factores de Q(x) son linea-les y cuadráticos y alguno de los factores cuadráticos se repite.

Si ax bx c2 + + es un factor cuadrático de Q(x) que se repite p veces, entonces, correspondientemente a este factor ( )ax bx c

p2 + + , tenemos la suma de las siguientes p fracciones parciales:

( ) ( ) ( )A x B

ax bx c

A x B

ax bx c

A x B

ax bx cp pp p1 1

2

2 2

2 1 2

+

+ ++

+

+ ++ +

+

+ +−

Ejemplo 16: Encuentre ( )

x x

x xdx

3

2 2

2

2 2

−

+ +∫

Solución: El factor cuadrático repetido x x2 2 2+ + es irreducible, ya que

( ) ( )( )b ac2 24 2 4 1 2 4 8 4 0− = − = − = − < .

En consecuencia, la descomposición en fracciones parciales del integrando es:

( ) ( )x x

x x

Ax Bx x

Cx D

x x

3

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

−

+ +=

++ +

++

+ +

Para calcular los valores de A, B, C, D se procede de la siguiente forma

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x Ax Bx x

Cx D

x x

x x Ax B x x Cx D

x x Ax A B x A B C x B D

3 2 2

2 2 2

3 2

3 3 2

2 2 22 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

− = + ++

+ ++

+

+ +

− = + + + + +

− = + + + + + + +

Y entonces

AA B

A B CB D

=+ =

+ + = −+ =

12 0

2 2 22 0

Se encuentra que A = 1, B = -2, C = 0 y D = 4. Entonces,

( ) ( ) ( )[ ]

( )

x x

x xdx x

xdx

xdx

uu

duu

du

3

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

21 1

4 1

1 1

31

4 1

1

−

+ +=

−

+ ++

+ +

=−+

++

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(1)

( ) ( )x x

x xdx x

x xdx

x xdx

3

2 2 2 2 2

2

2 2

22 2

4 1

2 2

−

+ +=

−+ +

++ +

∫ ∫ ∫

Donde u x= +1 La primera integral es fácil de evaluar:

( ) ( )

uu

du uu

du duu

u tan u C

x tan x C

−+

=+

−+

= + − +

= + + − + +

∫ ∫ ∫−

−

31

12

21

31

12

1 3

12

1 1 3 1

2 2 2

2 1

2 1

ln

ln (2)

Para la segunda integral de la expresión (1), use la sustitución u tan= θ , con lo que du d= sec2 θ θ . Por lo tanto,




143

( )

( )( )

( ) ( )

41

4

4

2 1 2

2

2 12 1

2 2

2 2

2

4

2

12

du

u

q dqq

q dq

q dq

q q q C

tan xx

x xC

+=

=

= +

= + +

= − +−

+ ++

∫ ∫

∫∫

−

secsec

sec

cos

sen cos

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1)

( )( ) ( ) ( )x x

x xdx x x tan x

xx x

C3

2 22 1

2

2

2 2

12

2 2 12 1

2 2−

+ += + + − + +

++ +

+∫ −ln

TALLER 15. FRACCIONES PARCIALES

( )

( )

( )

( )

14

16

3 51

1

5 23 2

4 4 8 4

2

2 3

1 9

97 6

2 3 2

3 2

4 3

3 2

3 2

4 2

5 4 3 2

2 3

2

2 2 2

2

)

)

)

2)

3)

4)

6)

7) 8)

dxx

x dxx x x

x dxx x x

x x xx x

dx

x x xx x

dx x x x x x

xdx

x

xdx dx

x

dxx x

−++ −

+− − +

− − −−

+ + ++ +

− + − + −

+

+

+ −

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( ) ( )( )

10)

12)

14)

16)

18)

x dxx x

x xx x

dx x xx x x

dx

x xx

dx dxx x

x dxx

x dxx x

x dxx

xx

dx

2

2

2

2

3 2

2

2 2

4

2

2

2

3

3 4

11 3 42 8

3 12

13 21 1 1

154 1

172 1

11

− −

+ −− −

− −+ −

+

+ + +

+ + +

−−+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

)

)

)

)

( )

( )

( )

( )

14

16

3 51

1

5 23 2

4 4 8 4

2

2 3

1 9

97 6

2 3 2

3 2

4 3

3 2

3 2

4 2

5 4 3 2

2 3

2

2 2 2

2

)

)

)

2)

3)

4)

6)

7) 8)

dxx

x dxx x x

x dxx x x

x x xx x

dx

x x xx x

dx x x x x x

xdx

x

xdx dx

x

dxx x

−++ −

+− − +

− − −−

+ + ++ +

− + − + −

+

+

+ −

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( ) ( )( )

10)

12)

14)

16)

18)

x dxx x

x xx x

dx x xx x x

dx

x xx

dx dxx x

x dxx

x dxx x

x dxx

xx

dx

2

2

2

2

3 2

2

2 2

4

2

2

2

3

3 4

11 3 42 8

3 12

13 21 1 1

154 1

172 1

11

− −

+ −− −

− −+ −

+

+ + +

+ + +

−−+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

)

)

)

)

• Encuentre la integral de los siguien-tes problemas:

( )

( )( )

196 1

2113 2

4

2 3

2

3 2 2

) cossen

) sec lnln

sen

20)

22)

2

θ θθ θ

d e dt

e

t dttan t tan t

t dtt t

t

t− − −

++

+

∫ ∫

∫ ∫

• En los siguientes problemas, haga una sustitución preliminar antes de usar el método de fracciones parciales

23) Encuentre las constantes a y b tales que:

( ) ( )x x ax x bx4 2 21 1 1+ = + + + +

24) Demuestre que:

xx

dx2

40

1 11 2 2

++

=∫ π

25) Factorice x x4 2 1+ + como en el problema 23 y encuentre después

x xx x

dx3

4 2

21

++ +∫

26) Calcular:a. dx

x 3 8+∫b.



144

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DEL SENO Y DEL COSENO

Si un integrando es una función racional de sen x y cos x , se puede reducir a una función racional de z por medio de la sustitución

z tan x=12

como lo demostrará un ejemplo. Para obtener las fórmulas correspondien-tes a sen x y cos x en términos de z, se utilizan las siguientes identidades: sen sen cos2 2y y y= y cos cos2 2 12y y= − con y x=

12 . Tenemos entonces,

sen sen cos

sen cos

cos

sec

x x x

x x

x

tan xx

tan x

tan x

z

=

=

=

=+

=

2 12

12

2 12

12

12

2 12

112

2 12

1 12

2

2

2

2

1+ z2

cos cos

sec

x x

x

tan x

z

zz

= −

= −

=+

−

=+

−

=−+

2 12

1

212

1

2

1 12

1

21

1

11

2

2

2

2

2

2

Como

( )

z tan x dz x dx dz tan x dx

dz z dx dz dz

= = ⇒ = +

= + =

12

12

12

12

1 12

12

1 2

2 2

2

, entonces

por lo tanto, 1+ z2

sec

TEOREMA: Si z tan x=12 , entonces

sen cosx zz

x zz

dz dzz

=+

=−+

=+

21

11

212

2

2 2

Ejemplo 1: Calcular dxx x1− +∫ sen cos

Solución: Sea z tan x=12 Aplicando el

teorema tenemos:

( ) ( )

dxx x

dzz

zz

zz

dzz z z

dzz

dzz

z C

tan x C

1

21

1 21

11

21 2 1

22 2

11

1 12

2

2

2

2

2 2

− += +

−+

+−+

=+ − + −

=−

=−

= − − +

= − − +

∫ ∫

∫

∫

∫

sen cos

ln

ln

EJEMPLO 2: Hallar sec x dx ∫ haciendo z tan x=

12




145

Solución:

seccos

ln

ln

x dx dxx

dzzzz

dzz

zz

dzz

zz

C

tan x

tan xC

∫ ∫ ∫ ∫

∫

= = +−+

=+

+−

=−

=+−

+

=+

−+

2111

21

11

21

11

1 12

1 12

2

2

2

2

2

2

2

Ejemplo 3: Suponga que a > b > 0. Encuentre dx

a b x+∫ cos

Solución: Al aplicar el teorema anterior se tiene que

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

dxa b x

dzz

a b zzdzz

a z b zz

dza z b z

dza a z b b z

dza b a b z

a bdz

a ba b

zm a b

a b

a bdz

m z

a b mtan z

mC

a b m

+= +

+−+

= ++ + −

+

=+ + −

=+ + −

=+ + −

=− +

−

+

=+−

=− +

=−

+

=−

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫−

cos

21

11

21

1 112

1 1

2

2

2

2

2 1

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

2 2

1

Hacemos

( )

tan zm

C

a b a ba b

tantan x

a ba b

C

−

−

+

=−

+−

+−

+

1

1212

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

dxa b x

dzz

a b zzdzz

a z b zz

dza z b z

dza a z b b z

dza b a b z

a bdz

a ba b

zm a b

a b

a bdz

m z

a b mtan z

mC

a b m

+= +

+−+

= ++ + −

+

=+ + −

=+ + −

=+ + −

=− +

−

+

=+−

=− +

=−

+

=−

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫−

cos

21

11

21

1 112

1 1

2

2

2

2

2 1

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

2 2

1

Hacemos

( )

tan zm

C

a b a ba b

tantan x

a ba b

C

−

−

+

=−

+−

+−

+

1

1212

TALLER 16. INTEGRACIÓN FUNCIO-NES RACIONALES DEL SENO Y DEL COSENO

Encuentre la integral indefinida de:

( )1

1 1

32

5

38 7 2

93 5 1

83 2 1

2)sen cos

)sen sen cos

) csc sen cossen cos

cos sen cos

)sen

cos sen

2)

cos

4)

6)

7) +

8)

10)

11) +

12)

d d

d d

d x xx x

dx

dxx

dxx x

dxx

dxtan x

dxx

dxx tan x

θθ

θθ

φφ φ

αα α

θ θ

+ −

+ + +

−+

− +

− −

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

13 56 4 1 2

37 8 1

)sec

coscos

cos sen

+

14) +

15) +

16)

dxx

x dxx

dxx

dxx cox

∫ ∫

∫ ∫ + +

En los siguientes ejercicios calcule la integral definida

175 3

18 81

192 10 0

4

3

3)

+ )

+ ) -3

+- /

/dxx

dxtanx

dxx

p p

p

p

sen cos/

∫ ∫ ∫

20) Encontrar ( )a b> > 0 ( )a b> > 0 . Realice esto dividiendo el numera-dor entre el denominador.

21) Demuestre que:

dxa b x b a

b a tan x b a

b a tan x b aC

+=

−

−

+ +

−

− +

+∫ cosln1 2

22 2

si 0 < <a b



146

SUSTITUCIONES DIVERSAS O DE RACIONALIZACIÓN

En el siguiente ejemplo se hace una sus-titución que elimina el radical. Es un ejemplo de sustitución de racionaliza-ción.

Ejemplo 1: Encuentre x x dx2 1+∫

Solución: Sea u x= +1 . Entonces, x u= y dx du= . Esta sustitución produce

( )

( )

( ) ( ) ( )

x x dx u u du

u u u du

u u u du

u u u C

x x x C

2 2

212

52

32

12

72

52

32

72

52

32

1 1

2 1

2

27

45

23

27

1 45

1 23

1

+ = −

= − +

= − +

= − + +

= + − + + + +

∫ ∫

∫

∫

El método del ejemplo 1 tiene éxito con cualquier integral de la forma

(1)

donde p x( ) es un polinomio. De hecho, se puede usar ya sea la sustitución u ax b= + o bien ( )u ax b= +

12 . Con mayor

generalidad puede tener éxito la sustitu-ción u f xn = ( ) cuando la integral contiene

f xn ( ) . Tiene éxito siempre en el caso de integrales de la forma:

p x ax bcx d

dxn( ) ++∫ (2)

En donde p(x) es un polinomio. En parti-cular, la sustitución

u ax bcx d

n =++

convierte la expresión (2) en integral de una función racional de u, por lo que se puede integrar con el método de fraccio-nes parciales.

Ejemplo 2: Encuentre y dyc y

-∫

Solución: Usemos la sustitución antes sugerida para integrar la forma (2). Si

( )u y

c y2 =

−, entonces

( )y cu

udy cu

udu=

+=

+

2

2 2 212

1 y

Por lo tanto,

( )

( )( )

y dyc y

cu

udu

c tan u tan

c tan d

c d

-

1+ tan

2

∫ ∫

∫

∫∫

=+

= =

=

=

2

1

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

2

θ θ

θθ

θθ

θ

θ θ

sec

secsen

Y así,




147

( )y dyc y

c C

c tan u cuu

C

c tany

c ycy y C

−= − +

= −+

+

=−

− − +

∫−

−

θ θ θsen cos

12

1 2

1

Ejemplo 3: Encuentre dx

x x1

21

3+∫

Solución: El mínimo común múltiplo de 2 y 3 (por los exponentes 1

213

y ) es 6, por lo que se ensayará la sustitución x u= 6 , dx u du= 5 5 . Esto produce

dx

x x

u duu u

u duu

u uu

du

u u u u C

x x x x C

12

13

5

3 2

3

2

3 2

12

13

16

16

6 61

6 1 11

2 3 6 6 1

2 3 6 6 1

+=

+=

+

= − + −+

= − + − + +

= − + − + +

∫ ∫ ∫

∫

ln

ln

Ejemplo 4: Encuentre dx

x2 1+ −∫

Solución: Hacemos la sustitución z x2 1= − , por lo tanto; 2zdz = dx y z = x -1

dx

x2 1+ −∫ =

+= + = ∴ = −∫2

22 2zdz

zAhora u z du dz z u. ; ; , sea

( ) ( )=−

= − = −

+

−

∫∫22

2 2 2 23

412

32

12

uu

du u u du u u C

dx

x2 1+ −∫ ( )= + − − − +

43

2 1 1 4x x C

Veamos a continuación un ejemplo en el cual se utilizan varias técnicas de inte-gración.

Ejemplo 5: Encuentre tanx dx ∫Solución: Sea . Entonces

; luego pero 1tan2x = sec²x, entonces,entonces,

Sustituyendo, tanx dx ∫ =+∫

21

2

4

zz

dz Como ( )( )z z z z z4 2 21 2 1 2 1+ = − + + + . Aplicando la técnica

por fracciones parciales, nos queda

( )( )2

12

2 1 2 1 2 1 2 1

2

4

2

2 2 2 2

zz

zz z z z

Az Bz z

Cz Dz z+

=− + + +

=+

− ++

++ +

Luego,

tanx dx ∫ =+∫

21

2

4

zz

=+

− ++

++ +∫∫

Az Bz z

dz Cz Dz z

dz2 22 1 2 1

( )( ) ( )( )∴ = + + + + + − +2 2 1 2 12 2 2z Az B z z Cz D z z .

Resolviendo el sistema de ecuaciones que se forman, obtenemos los siguientes valores así

A B C D= = = − =2

20 2

20, , , . En consecuencia,

tanx dx ∫ =− +

−+ +∫∫

22 2 1

22 2 12 2

zz z

dz zz z

dz . Utilizando procedimientos algebraicos para los



148

polinomios del denominador, obtene-mos

z z z z z z2

2

2

2

2 1 22

12

2 1 22

12

− + = −

+ + + = +

+; . H a c i e n d o

sustitución trigonométrica adecuada , obtenemos

z tan dz d z tan z z− = ∴ = ∴ −

= ∴ − + =

22

22

22

22

12

2 1 121

21 1

2

21

2 21θ θ θ θ θsec . sec

Utilizando similar procedimiento para el otro polinomio tenemos

z tan dz d z tan z z+ = ∴ = ∴ +

= ∴ + + =

22

22

22

22

12

2 1 122

22 2

2

22

2 22θ θ θ θ θsec . sec

Por lo tanto,

tanxdx∫ ( ) ( )= + − +∫∫2

21 2

211 1 2 2tan d tan dθ θ θ θ .

En consecuencia, teniendo presente las sustituciones trigonométricas realiza-das,

tanx dx ∫ ( ) ( )= −

+ + − − +

+ + + +− −2

22 2

21 2

22 1 2

22 2

21 2

22 1

2

1

2

1ln lnz tan z z tan z C

Haciendo las sustituciones iniciales para z y aplicando propiedades de logaritmo, obtenemos

tanx dx ∫ ( ) ( )=− +

+

+ +

+

+ − + + +− −24

2 22

12

1

2 22

12

1

22

2 1 22

2 11 1lntanx tanx

tanx tanxtan tanx tan tanx C

( ) ( )=− ++ +

+ − + + +− −24

2 12 1

22

2 1 22

2 11 1ln tanx tanxtanx tanx

tan tanx tan tanx C

TALLER 17. SUSTITUCIONES DIVERSAS

Encuentre la integral de los problemas siguientes

( )( )

1 3 2 1

1

51

1

7 11 1

91

1

111

11

3 3 23

12

14

3

243

232

4

3

5

3

7 43

23

)

)

)

)

)

2)

3) 4)

6)

8) +

10)

12)

x x dx x x dx

dxx

dx

x x

x dx

xx x dx

xx

dx x dxx

x dxx

x x dx

dx

x

xx

− +

+−

−−

−+

++

+

+−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

14)

dx

dxx

xx

dx

∫

∫ ∫+ ++13

1 413

)


149

C A P Í T U L O V

COORDENADAS POLARES

Un sistema de coordenadas en el plano nos permite asociar un par ordenado de números con cada punto del plano. Hasta ahora hemos considerado exclusiva-mente los sistemas de coordenadas car-tesianas. Hay problemas donde es más ventajoso utilizar otro sistema de coor-denadas. A continuación definiremos el sistema de coordenadas polares.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Se toma un punto del plano, el cual lla-maremos polo u origen, y lo denotare-mos por O. Desde este punto trazamos una semirrecta que comienza en el polo y se extiende indefinidamente en una dirección. Por lo general esta recta se traza horizontalmente y a la derecha del polo, como se muestra en la siguiente figura, a la cual se le denomina recta inicial o eje polar.

Sea P cualquier punto del plano. Su posi-ción quedará determinada por su dis-tancia al polo y por el ángulo que forma la recta OP con la recta inicial. Estos ángulos θ los medimos como en la trigo-nometría, positivos en el sentido contra-rio a las manecillas del reloj, y negativos en el sentido horario. La distancia r del origen al punto P será tomada positiva. Las coordenadas de P en el sistema de coordenadas polares son ( ) r, θ , esto se ilustra en la siguiente figura:

Gráfica 57. Coordenadas polares

Existe una gran diferencia entre las coordenadas cartesianas y las polares. En coordenadas cartesianas un punto P puede ser representado solamente en una forma, pero en coordenadas polares puede serlo en muchas formas. Por ejemplo, el punto Q con coordenadas



150

polares 2, 6π

también tiene como coorde-

nadas 2 2, 6

π π+

, 2 4,

6 π π+

, 2 6,

6 π π+

, 2 2,

6 π π−

,

2 4, 6

π π+

etc. Es decir, existen infinitas

representaciones del mismo punto. Más aún es conveniente permitir que r, la dis-tancia al origen, tome valores negativos. Estableceremos la convención de que un par de coordenadas tales como ( )−3, θ es simplemente otra representación del punto con coordenadas, ( )3, +θ π . En la siguiente figura se muestra la relación entre los puntos ( ) ( )r r, , y θ θ−

Gráfica 58. Relación entre los puntos ( ) ( )r r, , y θ θ−

Ejemplo 1. Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:

P =

−

3 24

, , , , 3

, Q = -2, 23

R = , S = 2, 34

T = 3, -6

π π π π π

Solución:

Los puntos están señalados en la siguiente figura:

900

1200 600

P 3, 3π

1500 S 2, 34π

300

1800 00

T 3, -6π

R −

2, 4π


RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA CARTESIANO Y POLAR

Para encontrar la relación entre los sis-temas de coordenadas cartesianas y polares, consideramos un plano con los dos sistemas superpuestos, de tal manera que el origen del sistema carte-siano sea el polo, y el lado positivo del eje x coincida con el eje polar tal como se describe en la siguiente figura.

Gráfica 60. Relación entre el sistema cartesiano y polar

La relación entre las coordenadas carte-sianas (x, y) y las coordenadas polares (r, θ ) de un punto P, está dada por las ecuaciones:

Coordenadas polares



151

x ry r==

cossen

θθ

Cuando conocemos r y θ, mediante estas ecuaciones podemos hallar x e y. También tenemos las fórmulas.

r x y

tan yx

2 2 2= +

=θ

Que nos dan r y θ cuando conocemos las coordenadas cartesianas.

Ejemplo 2. Las coordenadas cartesianas de un punto son: ( )3 1, − halle un con-junto de coordenadas polares para este punto

Solución: Como ( ) ( )r = + − = + = =3 1 3 1 4 22 2 y

tanθ = −13 como el punto está en el cuarto

cuadrante, escogemos para θ el valor de −π6 (o 11

6π ). Por lo tanto la respuesta es:

26

, −

π

TALLER 18. COORDENADAS POLARES

En los problemas del 1 al 4 se dan las coordenadas polares de los puntos. Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos y ubicarlos en una gráfica.

1. ( ) ( ) ( )a) , , , ,4 2 6

b) 3, 4

, c) , d) 1, 0 e) -2, π π π π

2. a) , , , ,2 3 7

4 b) 1,

3 , c)

2 , d) 4, 3

2 e) -1,

6π π π π π

3. ( )a) , , , ,−−

−

1 43

0 b) 2, 6

, c) , d) -3, 34

e) 0, 2

π π π π

4. ( )a) , , , ,2 3 2 4 2

b) -1, 2

, c) 3

, d) -1, -4

e) 0, -−

−

π π π π π

A continuación se dan las coordena-das cartesianas de los puntos. Hallar un par de coordenadas polares para cada uno de esos puntos, y ubíquelos en una gráfica:

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a) , , , ,1 2 2 3 -1 b) 3, 1 , c) , d) -5, 0 e) 3, − −

6. ( ) ( ) ( ) ( )a) , , , ,4 6 6 32

0 b) 0, 0 , c) , d) 6, 2 e) 32

, −

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b) , , ) , ,− − −1 2 2 3 3 0, - 2 , c) ,d) 2 3, 2 e) 2, 2 3

8. Describir la gráfica de todos los puntos que, en coordenadas polares satisfacen la condición r = 5 . Hacer lo mismo para la con-dición θ π =

3 y para θ π = −5

6. Qué se

puede decir acerca del ángulo de intersección de la curva r constante= , con θ = constante

9. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas polares son :

3, 4

y 2, 3

π π

.

10. Hallar la fórmula para la distancia entre los puntos ( ) ( )r r1 2, , y 1 2θ θ .

11. Hallar las coordenadas polares del punto medio del segmento de recta que une los puntos P y Q cuyas coordenadas polares son: P Q=

=

3 6, , 4

y 6

π π .



152

A continuación encuentre una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica:

12. x y a2 2 2+ =

13. x y y2 26= −

14. ( ) ( )x y x y2 2 2 2 24+ = −

A continuación halle una ecuación carte-siana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada:

15. r 2 2 2= sen θ

16. r 2 = θ

17. r =−

62 3senθ

GRÁFICA DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

La gráfica de una ecuación en coordena-das polares (r, θ ), se define como el con-junto de todos los puntos P que tienen por lo menos un par de coordenadas polares (r, θ ) que satisfacen la ecuación dada.

Ejemplo 1: La ecuación θ = C

Donde C es una constante, es satisfecha por todos los puntos que tienen coorde-nadas polares (r, C) independientemente del valor de r. Por lo tanto, su gráfica es

una línea recta que pasa por el polo, y forma un ángulo que mide C radianes con el eje polar, la misma recta la da la ecuación θ π = ±C n donde n es cual-quier entero.

π2

θ = C r

π C 0 0

32π

Gráfica 61. Gráfica de θ=C

En general, la forma polar de la ecua-ción de una recta no es tan simple como la forma cartesiana. Sin embargo, si la recta es paralela al eje polar o bien al eje π2

la ecuación es muy simple.

Si una recta es paralela al eje polar, y contiene el punto B cuyas coordenadas cartesianas son: ( )0, b y las coordenadas polares son b,

2π

, entonces una ecua-ción cartesiana es y b= . Si sustituye y por r senθ se tiene r b senθ = que es una ecuación polar de cualquier recta paralela al eje polar. Si b es positiva, la recta está encima del eje polar, si es nega-tiva, la recta está debajo del eje polar.

Ejemplo 2: En las figuras siguientes tenemos las gráficas de las ecuaciones r senθ = 2 y r =senθ −2

Coordenadas polares



153

π2

2 r senθ = 2

π 1 0 0

32π

Gráfica 62. Gráfica de rsenθ=2

π2

π 0 0 - 1 - 2 r senθ = −2

32π

Gráfica 63. Gráfica de rsenθ=-2

Si una recta es perpendicular al eje polar y pasa por el punto A, cuyas coordena-das cartesianas son ( )a, 0 y las coorde-nadas polares son ( )a, 0 una ecuación cartesiana es x a= . Al sustituir x por r cosθ tenemos r a cosθ = que es una ecuación de cualquier recta perpendicu-lar al eje polar. Si a es positivo la recta está a la derecha del eje π

2, si a es nega-

tiva la recta está a la izquierda del eje π2

.

Ejemplo 3. La figura siguiente muestra la gráfica de la ecuación r cosθ = 4

π2

r cosθ = 4

π 0 0 1 2 3 4

32π

Gráfica 64. Gráfica de r cosθ = 4

La gráfica de la ecuación r C= donde C es cualquier constante, es una circunfe-rencia cuyo centro está en el polo y su radio es C . La misma circunferencia la da la ecuación r C= − .

Ejemplo 4: En la siguiente figura se muestra la gráfica de la ecuación r = 3 .

π2

r = 3

π 0 0 3

32π

Gráfica 65. Representación de r = 3



154

Es una circunferencia con centro en el polo y radio 3. La misma circunferencia está dada por la ecuación r = −3 , aunque el uso de esta ecuación no es común.

Como en la recta, la ecuación polar general de una circunferencia no es tan simple como la forma cartesiana. Sin embargo, se dan casos especiales en los que la ecuación de una circunferencia amerita considerarse en forma polar.

Si una circunferencia contiene el origen (el polo) y tiene su centro en el punto que tiene coordenadas cartesianas (a, b), entonces una ecuación cartesiana de la circunferencia es

x y ax by2 2 2 2 0+ − − =

Una ecuación polar de la circunferencia es

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

r r a r b r

r ar br

r ar brr r a br

sen cos sen

+ sen

r - 2acos - 2bsen = 0

2

cos

cos cos sen

cos sencos sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ

2 2

2 2

2

2 2 0

2 2 0

2 2 02 2 0

0

+ − − =

− − =

− − =

− − =

=

Como la gráfica de r = 0 es el polo y el polo r a

b= −

0 cuando = tan

-1θ

está en la gráfica

de, r a b− − =2 2 0cos senθ θ , una ecua-ción polar de la circunferencia es

r a b= +2 2cos senθ θ

Cuando b=0, la ecuación se transforma en r a= 2 cosθ que es una ecuación polar de la circunferencia con radio de a unidades, centro en el eje polar o en

su extensión, y tangente al eje π2

. Si a > 0 la circunferencia está a la derecha del polo, y si a < 0 la circunferencia está a la izquierda del polo.

Si en la ecuación polar, a = 0, la ecuación se convierte en r b= 2 senθ que es una ecuación polar de la circunferencia con radio de b unidades, centro en el eje π

2

o en su extensión y tangente al eje polar. Si b > 0, la circunferencia está arriba del polo; y si b < 0, la circunferencia está debajo del polo.

EJEMPLO 5: Trazar la gráfica de la siguiente ecuación r = 5cosθ

Solución: Esta ecuación es de la forma r a= 2 cosθ , con a =

52 . Así, la gráfica es una

circunferencia con centro en el punto que tiene coordenadas polares 5

20,

y tangente al eje π

2. Su gráfica es la

siguiente,

Coordenadas polares



155

π2

r = 5cosθ

π 0 0 5

32π

Gráfica 66. Representación r = 5cosθ

Para trazar la gráfica de una ecuación polar es necesario conocer las propie-dades de simetría de dichas gráficas. A continuación se enuncian tres teoremas que dan prueba de simetría de ecuacio-nes polares.

TEOREMA 1. Si se obtiene una ecua-ción equivalente para una ecuación en coordenadas polares cuando ( )r, θ se sustituye por ( )r n, − +θ π2 o bien ( )− − +r n,π θ π 2 , donde n es cualquier entero, la gráfica de la ecuación es simé-trica respeto al eje polar.

TEOREMA 2. Si para una ecuación en coordenadas polares se obtiene una ecuación equivalente cuando ( )r, θ se sustituye por ( )r n, +π θ π− 2 donde n es cualquier entero, la gráfica de la ecua-ción es simétrica respecto al eje π

2.

TEOREMA 3. Si para una ecuación en coordenadas polares se obtiene una ecuación equivalente cuando ( )r, θ se reemplaza por ( )− +r n, θ π2 o bien ( )r n, π θ π+ + 2 donde n es cualquier entero la gráfica de la ecuación es simé-trica respecto al polo.

Ejemplo 6: Discutir y dibujar la gráfica de r = +3 2cosθ

Solución: La gráfica es simétrica res-pecto al eje polar porque ( )cos cos− =θ θ , esto es por el Teorema 1. Construimos la siguiente tabla.

Tabla 2. Datos para r = +3 2cosθ

θ 0o ±30o ±60o ±90o ±120o ±150o ±180o

r 5 3+ 3 4 3 2 3- 3 1

r (aprox.) 5 4,73 4 3 2 1,27 1

Usamos para θ los valores de −π a π porque ( )cos cosθ π θ + =2 , la gráfica se llama limazón (Caracol) y está represen-tada en la siguiente figura

Gráfica 67. Representación de r = +3 2cosθ



156

En forma general, la gráfica de una ecua-ción de la forma r a b= ± cosθ o bien r a b= ± senθ es un limazón. Hay cuatro tipos de limazón y éstos dependen de la razón de a

b donde a, b son positi-

vos. Se muestran estos cuatros tipos que se obtienen a partir de la ecuación r a b a b= + > >cosθ , y 0 0

PRIMER CASO: 0 1< <ab

limazón con un lazo

SEGUNDO CASO: ab= 1 cardiode (forma

de corazón)

TERCER CASO: 1 2< <ab

Limazón con una hendidura.

CUARTO CASO: 2 ≤ab

Limazón convexo (Sin endidura)

Los limazones que se obtienen a partir de la ecuación r a b= + senθ con a b> >0 0 y tienen al eje π

2 como eje

de simetría. Si un limazón tiene la ecua-ción r a= − cosθ con a b> >0 0 y el limazón apunta en la dirección de π . Y si tiene la ecuación r a b= − senθ con a b> >0 0 y apunta en la dirección de 3

2π .

A continuación se presentan algunas gráficas de los tipos de limazón.

Gráfica 68. Algunos tipos de limazón

Gráfica 69. Tipos de limazón

Coordenadas polares



157

La gráfica de una ecuación de la forma r a n= cos θ o bien r a n= sen θ es una rosa, que tiene n hojas si n es impar y 2n si n es par.

Ejemplo 7. Trazar la gráfica de la rosa de cuatro hojas dada por la ecuación r = 4 2cos θ .

Solución: Primero se prueba si hay sime-tría respecto al eje polar, al eje π2 y al polo. Para analizar si hay simetría respecto al eje polar, se sustituye ( )r, θ por ( )r, −θ y se obtiene que: ( )r = = −4 2 4 2cos cosθ θ , por lo tanto la gráfica es simétrica con res-pecto al eje polar.

Para ver si hay simetría con respecto al eje π

2, se reemplaza ( )r, θ por ( )r, -π θ

obtenemos ( )r = −4 2cos π θ equivalente-mente ( )r = −4 2 2cos π θ , que es equivalente a la ecuación r = 4 2cos θ , en consecuen-cia la gráfica es simétrica con respecto al eje π

2.

Para determinar si hay simetría respecto al polo, se sustituye ( )r, θ por ( )−r, θ y obtenemos la ecuación − =r 4 2cos θ que no es equivalente a la ecuación dada. Pero también debemos determinar si el otro conjunto de coordenadas fun-ciona. Se reemplaza ( )r, θ por ( )r, +π θ y obtenemos ( )r = +4 2cos π θ equivalente

a ( )r = +4 2 2cos π θ que es lo mismo a la ecuación r = 4 2cos θ por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al polo.

Al sustituir r por 0 en la ecuación dada se obtiene cos2 0θ = , de lo cual se deduce, que 0 2< <θ π , con θ π θ π θ π θ π= = = =

434

54

74

, , y , las rectas que tiene estas ecuaciones son tangentes a la gráfica en el polo. A continuación se muestran los valores y la gráfica obte-nida al aplicar los criterios de simetría con los valores de la tabla de datos.

Tabla 3. Valores para r = 4 2cos θ

Θ R

00

150

300

450

600

750

900

42 3

20-2

- 2 3- 4

Gráfica 70. Representación de r = 4 2cos θ



158

Observe que si en las ecuaciones para una rosa si se toma n = 1 se obtiene r a= cosθ o r a= senθ , las cuales son las ecuaciones de una circunferencia. O sea que una circunferencia se puede con-siderar como una rosa de una sola hoja.

Las coordenadas polares son convenien-tes para el estudio de ciertas curvas lla-madas espirales. La llamada espiral de Arquímedes que tiene una ecuación de la forma r n= θ , y su gráfica es como sigue:

Gráfica 71. Gráfica de r=nθ con n no negativo,

Cuando θ es negativo la espiral se refleja en sentido contrario, como se ilustra en la siguiente figura:

Gráfica 72. Representación de r=nθ con n negativo

TALLER 19. GRÁFICA DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES.

A continuación discuta la simetría y dibuje la gráfica de la ecuación que se indica:

1. r = 4 cosθ

2. r = +

34

sen θ π

3. r = +4 2senθ

4. r = 4 2sen θ

5. r = 1θ (espiral recíproca)

6. r = −3 4cosθ

7. r = +2 2 senθ

8. r = −2θ

9. r 2 2= cos θ

Determine a continuación los puntos de intersección, si es que existen y dibuje la gráfica con el mismo polo y eje polar.

10. r = 3cosθ , r = 2senθ

Coordenadas polares



159

11. r = cosθ , r 2 2= cos θ

12. r tan= θ r = 4senθ

13. r = +1 cosθ r = +1 senθ

ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES

Para desarrollar la noción de área en coordenadas cartesianas son necesarios dos conceptos básicos, ellos son: La idea de límite de una suma y la fórmula para el área de un rectángulo.

Para hallar las áreas encerradas por curvas dadas en coordenadas polares se necesitan nuevamente dos conceptos, ellos son: La idea de límite de una suma (como en coordenadas cartesianas) y la fórmula para el área de un sector circu-lar. Recordemos que el área de un sector circular de radio a y ángulo central θ medido en radianes es: A a=

12

2θ .

Supóngase que ( )r f= θ es una función continua y positiva, definida para valores de θ entre θ = α y θ =β, con 0 2≤ < ≤α β π . Tracemos las rectas θ = α y θ = β, y pro-pongámonos el problema de determinar el área de la región limitada por estas rectas y por la curva cuya ecuación es

( )r f= θ . (Ver la figura siguiente)

Gráfica 73. Área de la región polar limitada por las rectas θ = α y θ = β

Subdividimos la escala de θ en n partes entre α y , introduciendo los valores α θ θ θ θ θ β= < < < < < =−0 1 2 1 n n . En esta forma obtenemos n subintervalos en cada uno de los cuales selecciona-mos un valor de θ que llamaremos ξ i . En seguida calculamos el área del sector circular de radio ( )f iξ y ángulo central∆ i i iθ θ θ= − −1 como se muestra en la siguiente figura

Gráfica 74. Sector Circular

De acuerdo con la fórmula del área de un sector circular, el área es: ( )[ ]1

22

f i iξ θ∆ .



160

Sumando estas áreas para i entre 1 y n, obtenemos:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]12

12

12

121

21 2

22 3

23

2f f f f n nξ θ ξ θ ξ θ ξ θ∆ ∆ ∆ ∆+ + + +

o en forma abreviada,

( )[ ]12 1

2f

ii i

n

ξ θ∆=∑

Se puede demostrar (aunque no lo haremos) que a medida que el número de puntos de subdivisión crece indefi-nidamente, y la norma de la subdivisión (Longitud del mayor ∆ iθ ) tiende a cero, el área A limitada por las rectas θ α= , θ β= , y por la curva ( )r f= θ , está dada por:

( )[ ]A f d= ∫12

2

θ θα

β

De esta manera hemos deducido la fórmula para el área en coordenadas polares.

Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la curva r = +2 cosθ y por las rectas θ θ π= =0

2 y

Solución: La figura correspondiente es:

Gráfica 75. Región polar del ejemplo 1

Tenemos que:

[ ] [ ]

[ ]

A d d

d

= + =

= + +

∫ ∫

∫

12

2 12

2 2 12

2

0

2

0

2

02

0

2

4 + 4cos + cos

cos

2

2

cos

sen

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

π π

π π

Para calcular la última integral usamos la siguiente identidad ( )cos cos2 1

21 2θ θ= + y

obtenemos:

( )12 0

14

1 2014

22

22 2

0

2 cos cos senθ θ θ θ θ θπ π π

∫ ∫= + = +

d d

En consecuencia:

[ ]A d

A

= + +

= + + = +

∫2 2 12

28

2 98

02

0

2θ θ θ θ

π π π

π π

sen cos

unidades cuadradas

2

Ejemplo 2: Hallar el área que está dentro de la circunferencia r = 5cosθ y fuera de la curva r = +2 cosθ .

Coordenadas polares



161

Solución: La gráfica correspondiente es:

Gráfica 76. Gráfica asociada al ejemplo 2

Primero encontremos en donde se cortan las dos curvas, para lo cual igua-lamos las ecuaciones:

5 212

12 3 3

1

cos cos

cos

cos , .

θ θ

θ

θ π π

= +

=

=

=

−−

De este modo los límites de integración son −π π

3 y

3 . El área buscada A, está dada por: A = Área de la función r = 5cosθ - Área de la función r = +2 cosθ , que es lo mismo a:

[ ] [ ]A d d= − +− −∫ ∫12

5 12

22

3

3 2

3

3 cos cosθ θ θ θπ

π

π

π

Como observamos que ambas curvas son simétricas respecto al eje x y además las integrales se pueden combinar, ya que los límites de integración son los mismos, por lo tanto se obtiene que:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ]( )[ ]

[ ]

[ ]

( )

A d d

A d d

A d

A d

A d

A

A

=

− +

= − +

= − +

= − + +

= + −

= + −

= +

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

2 12

5 2 12

2

5 2

5 2

25 4 4

8 12 2 4

8 6 2 483

3

2

0

3 2

0

3

2

0

3 2

0

3

2 2

0

3

2 2

0

3

0

3

03

Unidades cuadradas

cos cos

cos cos

cos cos

cos cos cos

cos cos

sen sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

π

π π

π π

π

π

π

π

TALLER 20. ÁREA EN COORDENADAS POLARES

A continuación para cada problema halle el área encerrada por la curva y las dos rectas:

1. r = = =2 0θ θ θ π , y

2. r e= = =θ θ θ π , y 0 32

3. r = = =θ θ θ π , y 2 0

4. r = = =1

4 2θθ π θ π , y

A continuación dibuje la curva y encuen-tre el área encerrada por ella:

5. r = 3cosθ

6. r = 2 3cos θ

7. r 2 2 2= sen θ

8. ( )r = +2 1 cosθ



162

Halle el área indicada a continuación:

9. Dentro de la circunferencia r = 4 cosθ y fuera de r = 2 .

10. Dentro de r 2 8 2= cos θ y fuera de r = 2 .

11. Dentro de las curvas r = 3cosθ y r = −2 cosθ .

12. Dentro del laso pequeño de la curva r = +1 2 cosθ .


163

C A P Í T U L O V I

SERIES DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO

TEOREMA DE TAYLOR

Si la función f y sus primeras 1+n deri-vadas son continuas en un intervalo que contiene a y x , entonces el valor de la función de x está dado por:

Ecuación (1)

Donde el residuo nR se define como:

Ecuación (2)

Donde at = es una variable muda. La ecuación (1) es llamada la serie de Taylor. Si el residuo es omitido, el lado derecho de la Ecuación (1) es la aproximación del polinomio de Taylor para )(xf . En esencia, el teorema establece que cual-quier función puede aproximarse como un polinomio.

La Ecuación (2) es un camino, llamada forma integral, por el cual el residuo

puede extraerse. Una formulación alter-nativa pude derivarse en base al teorema del valor medio.

Primer teorema del valor medio para integrales.

Si la función g es continua e integra-ble en un intervalo que contenga a y x , entonces existe un punto ξ entre a y x tal que:

Ecuación (3)

En otras palabras, el teorema establece que la integral puede ser representada como un valor promedio para la función

)(ξg veces la longitud del intervalo ax − . Como el promedio puede ocurrir

entre valores máximo y mínimo del intervalo, hay un punto ξ=x en el cual la función toma el valor promedio.

El primer teorema es, hecho, un caso especial del segundo teorema del valor medio.



164

Segundo teorema del valor medio para integrales.

Si las funciones g y h son continuas e integrables en un intervalo que con-tiene a , x , y h no cambia de signo en ese intervalo, entonces existe un punto ξ entre a y x tal que

Ecuación (4)

Entonces la ecuación (3) es equivalente a la ecuación (4) con 1)( =th .

El segundo teorema puede aplicarse a la ecuación (2) con

( ) )()( 1 tftg n+= ( )! 1)(

nxth

n−=

Así t varía de a a x , )(th es continua y no existe cambio de signo, por lo tanto, si ( ) )(1 tf n+ es continua, entonces el teorema del valor medio para integrales es

( )

( ) ( ) 11

! 1)( +

+

−+

= nn

n axn

fR ξ

Esta ecuación es conocida como la deri-vada o forma de Lagrange del residuo.

CÁLCULO DE SERIES DE TAYLOR

Ejemplo 1: Calcular la serie de Taylor de la función xxf cos)( = en 0=a .

Solución:

La serie de Taylor es:

( )( )n

n

n

axn

af−∑

∞

=0

)(

!


( )( ) ( )( )n

n

nn

n

n

xn

fxn

f ∑∑∞

=

∞

=

=−0

)(

0

)(

! 00

! 0

Expandiendo la serie tenemos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++= 7

)7(6

)6(5

)5(4

)4(3

)3(1

)1(0

)0(

! 70

! 60

! 50

! 40

! 30

! 10

! 00 xfxfxfxfxfxfxf

Donde:

( ) ( ) ( ) 11

0cos! 00 00

)0(

== xxf

( ) ( ) ( ) 01

0! 10 1

)1(

=−

= xsenxf

( ) ( ) ( ) 222)2(

! 21

! 20cos

! 20 xxxf

−=−

=

( ) ( ) ( ) 0! 30

! 30 33

)3(

== xsenxf

( ) ( ) ( ) 444)4(

! 41

! 40cos

! 40 xxxf

==

( )( ) ( ) 0! 5

0! 50 55

)5(

=−

= xsenxf

( ) ( ) ( ) 666)6(

! 61

! 60cos

! 60 xxxf

−=−

=

( )( ) ( ) 0! 70

! 70 77

)7(

== xsenxf

( ) ( ) ( ) 888)8(

! 81

! 80cos

! 80 xxxf

==

Sustituyendo en la serie tenemos:

−+−+−==! 8! 6! 4! 2

1cos)(8642 xxxxxxf

Series de taylor y errores de truncamiento



165

Ejemplo 2: Calcular la serie de Taylor de la función xexf =)( en 0=a .

Solución:



( )( ) ( )( )n

n

nn

n

n

xn

fxn

f ∑∑∞

=

∞

=

=−0

)(

0

)(

! 00

! 0

Expandiendo la serie tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++= 7)7(

6)6(

5)5(

4)4(

3)3(

1)1(

0)0(

! 70

! 60

! 50

! 40

! 30

! 10

! 00 xfxfxfxfxfxfxf

Donde:

( ) ( ) 11! 0

0 00

0)0(

== xexf

( ) ( ) xxexf==

1! 10 0

1)1(

( ) ( ) 220

2)2(

! 21

! 2! 20 xxexf

==

( ) ( ) 330

3)3(

! 31

! 3! 30 xxexf

==

( )( ) 440

4)4(

! 41

! 4! 40 xxexf

==

( )( ) 550

5)5(

! 51

! 5! 50 xxexf

==

( )( ) 660

6)6(

! 61

! 6! 60 xxexf

==

( )( ) 770

7)7(

! 71

! 7! 70 xxexf

==


++++++++==! 7! 6! 5! 4! 3! 2

1cos)(765432 xxxxxxxxxf

Ejemplo 3: Calcular la serie de Taylor de la función 2

)( xexf = en 0=a .

Solución:


( )( )n

n

n

axn

af−∑

∞

=0

)(

!


( )( ) ( )( )n

n

nn

n

n

xn

fxn

f ∑∑∞

=

∞

=

=−0

)(

0

)(

! 00

! 0

Expandiendo la serie tenemos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++= 7

)7(6

)6(5

)5(4

)4(3

)3(1

)1(0

)0(

! 70

! 60

! 50

! 40

! 30

! 10

! 00 xfxfxfxfxfxfxf

Donde:

( ) ( )( )

11! 0

0 00

0)0( 2

== xexf

( ) ( ) ( ) ( )0

1 02

! 10

201

)1(

== xexf

( ) ( )( ) ( ) ( )

222020

2)2(

! 22

! 204 2

! 20

22

xxxeexf==

+=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

! 30808 04

! 30 3

03003

)3( 222

=++

= xeeexf

( ) ( ) 0! 50 5

)5(

=xf

( ) ( ) 66)6(

61

! 60 xxf

=

( ) ( ) 0! 70 7

)7(

=xf



166


ALGUNAS SERIES MUY USUALES.




167

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.

Los errores de truncamiento son aque-llos que resultan al usar una aproxima-ción en lugar de un procedimiento mate-mático exacto. Es por esta razón que las series deben truncarse con base a un margen de error, para el cual se empleará la metodología utilizada en este texto.

Solución de integrales por series de Taylor.

Ejemplo 1: Calcula la integral con un margen de error del 0% en la serie de Taylor.

Solución:

La función es

2

)( xexf =La serie de Taylor para la función f(x) es

Se evalúa la función en cualquier valor de x , ejemplo tomemos a 2=x

2=x

Se evalúa la serie por número de térmi-nos y se calcula el margen de error que cometen, esto es:

a. La serie con el primer término

1)2(1)(

1

1

==

fxf

Margen de error cometido

b. La serie con dos términos

5)2(1)(

2

22

=+=

fxxf


%336,88

%100 )2(

)2()2(

2

22

=

−=

Ef

ffE

c. La serie con tres términos

9)2(411)(

3

423

=

++=

f

xxxf


d. La serie con cuatro términos



168


e. La serie con cinco términos


f. La serie con seis términos


%0

%100 )2(

)2()2(

6

66

=

−=

Ef

ffE

Tabla 4. Resumen del ejemplo anterior

NÚMERO DE

TÉRMINOS

2

)( xexf =

EN 2=xSERIE MARGEN DE

ERROR

1 42,867 1 97,667 %2 42,867 5 88,336 %3 42,867 9 79,005 %4 42,867 23,667 44,79 %5 42,867 34,333 19,907 %6 42,867 42,867 0 %

Por último la solución de la integral con margen del 0% es:

Ejemplo 2: Calcula la integral con un margen de error del 0,0 % en la serie de Taylor.

Solución:

La función es

( )2cos)( xxf =

La serie de Taylor para la función f(x) es

Se evalúa la función en cualquier valor de x , ejemplo tomemos a 3

π=x

457.03

=

πf

Se evalúa la serie por número de térmi-nos y se calcula el margen de error que cometen, esto es:

a. La serie con el primer término

1)3/(1)(

1

1

==

πfxf




169


%008.119

%100 )3/(

)3/()3/(

1

11

=

−=

Ef

ffEπ

ππ

b. La serie con dos términos

399.0)3/(211)(

2

42

=

−=

πf

xxf


c. La serie con tres términos


d.

%518,0

%100 )3/(

)3/()3/(

3

33

=

−=

Ef

ffE

πππ

La serie con cuatro términos


%011,0

%100 )3/(

)3/()3/(

4

44

=

−=

Ef

ffEπ

ππ

Tabla 5. Resumen del ejemplo anterior

NÚMERO DE TÉRMINOS ( )2cos)( xxf = SERIE MARGEN

DE ERROR 1 0,457 1 119,008 %2 0,457 0,399 12,679 %3 0,457 0,459 0,518 %4 0,457 0,457 0,011 %

Por último la solución de la integral con margen del 0,0 % es:

TALLER 21. SERIE DE TAYLOR

Calcule la serie de Taylor para las siguien-tes funciones, con un margen de error en el truncamiento de la serie de 0,0 %

1. senxxf =)(

2. xxg cos)( =

3. xxh tan)( =

4. xxj cot)( =

5. xxm sec)( =

6. xxn csc)( =

7. xxq ln)( =

8. xexp =)(



170

Calcular las siguientes integrales con un margen de error del 0,0 % en el trunca-miento de la serie de Taylor

1.

2.

3.

4. ∫ 3tan x

5.

RESPUESTAS DE LOS TALLERES

TALLER # 1

2. − +−12

2x c

4. 2 m y c+

6. 1011

10 x x c+

8. 85

54 2

55 42

x x x x c+ − + +

10. a x b x cx c3 2

3 21+ + +

12. 27

2 672

52

12x x x c− − +

14. 8111

32

113

23t t c− +

16. 34

32

3 23x x b x c + +

TALLER # 2

2. − − +sen x tanx c

4. 13

sen t c+

6. − +cos x c

8. tany y c+ +csc

10. 103

8x x x c + +cos

12. t t t t c+ + +cot 23

14. − + +2 csc cosx x c

16. − − − +−x tanx x c3 32

2

TALLER # 3

2. 2 1et

ct − +

4. sen x e cx+ +5

6. − − + +cot lnt t e ct

8. sec x e cx− +2

10. 13

1010

99

x x

cln ln

+

+

12. 110

3 4 1010ln

sen senln

− + −

+x x c

x

14. e x cx − +

16. − − +cscln

x cx

9 1010

TALLER # 4

2. ( )14

3 4 3 4x x C− − +

4. ( )23

1 1e e cx x+ + +

6. ( )− − − +4 42 2x x c

8. ( )128

2 12 7x c+ +

10. ( )−

++

1

4 12 2x

c

12. 13

3 12s c+ +

14. ( )245

3 5 3 55 5x x c− − +

16. ( )23

3 3 6 3t t t c+ + − + +

18. ( ) ( )−

−+

−+

213

228

2 13 2 14x x

c




171

20. 14

4sen θ + c

22. − +2 3cos x c

24. 15

5tan x + c

26. 13

3tanr + c

28. −13

3cos x + c

TALLER # 5

2. 12

12

arctan x c +

+

4. arccos cos x c2

+

6. 13 3

arctan x c+

8. 13

23

arc x csec +

10. 12

2 3arcsen e cx + +

12. − − − ++

+ 5 4 23

2x x x carcsen

14. arcsen x x x c−− − +

22

4 2

TALLER # 6

2. ( )35

2 4 13 +

4. − 2

6. 14

8. 1045

10. 32

12. ( )15 4

2 130

ln−

14. 4615

16. 234

18. 2 23−

TALLER # 7

2. 3712

2 u

4. 18 2 u

6. 24 3π u

8. 665

3 u

10. 812

3π u

TALLER # 8

2. 143

4. ( )12

11020

ee −

6. 3316

8. 98

TALLER # 9

2. ( )p x x+ = +5 4 22

4. ( )C x x x x= + + +3 24 4 6

6. 450 unidades cuadradas

8. 10

10. 4800

12. 356

14. 9 Años, US$36 millones

16. a) S.C. 16 ; S.P. 8; b) S.C. 8000, S.P. 16000/3; c) S.C. 17816, S.P. 45

20. US$7.267.840

22. 15 unidades

24. US$ 436



172

26. US$2300

28. US$4.081.077

30. a) 12 años ; b) US$1.008

32. a) 184/3 ; b) Exceso de producción = diferencia entre área

34. US$1.000

TALLER # 10

6. log2 8 3=

8. log16 8 34

=

10. loge 1 0=

12. log49 7 12

=

14. x = 3

16. b = 3

18. x = 4

20. x = 2; x = -1

22. x = 13

24. π2

26. −π4

28. 22 57 16 2 ′ ′′,

30. sen cosarx1

TALLER # 11

2. x e xe e cx x x2 2 2− + +

4. x x x csen cos+ +

6. ( )12

e x x cx sen cos− +

8. 13

19

3 3xe e cx x− +

10. ( )33

3 12

X

x cln

ln − +

12. x x x carcsen + − +1 2

14. xtanx x c− +ln sec

16. x x x c3

3

319

ln − +

18. ( )12

12 2e x cx − +

20. ( ) ( )[ ]x x x c2

cos ln sen ln+ +

22. 12

34

34

38

3 2 2 2 2 2x e x e xe e cx x x x− + − +

26. − + − +12

12

csc cot ln csc cotx x x x c

30. 4 4 3ln −

32. π

TALLER # 12

2. 15

5sen x c+

4. − +1

164cos x c

6. 38

14

2 132

4z z z c− + +sen sen

8. 12

12

x x c+ +sen

10. 13

15

3 5sen senx x c− +

12. − +

+

15

23

3 2cos senx x c

14. 18

196

12t t c− +sen

16. − − +12

110

5cos cosx x c

18. ( )− + +1

3015 15cos cosx x c

20. ( )1130

13 5 5 13sen cosx x c+ +

22. 3 38

24. 47480




173

26. 124

28. 38

TALLER # 13

2. − − +14

4cot x x c

4. − − +14

2 12

2 2cot x x c

6. 13

3tan x tanx x c− + +

8. − − +12

2cot x x c

10. − − +cot cotx x c13

3

12. ( ) ( )13

3tan x tan x cln ln+ +

14. 17

25

13

7 5 3sec sec secx x x c− + +

16. tan x x c2 2− +ln sec

18. − − +2sec w tanw c

20. 15

5sen x c+

22. 3 3 2−

24. 15

26. 5615

TALLER # 14

2. ln 1 122

+ + −+

+x x xx

c

4. ( ) ( )15

4 43

4252 2

32− − − +x x c

6. ( )x x c2

2253

5+− +

8. ln 1 2+ + +x x c

10. 14

2 1 4 1 4 22 2x x x x c+ + + +

+ln

12. ln x x aa

c+ −+

2 2

14. −−

−

+

164

2ee

e cx

x

x

arcsen

16. xx x

c+

− −+

29 5 4 2

18. 154 3

918

2

2arc x xx

csec +−

+

20. tanxtan x

c4 4 2−

+

22. −+

+ ++

ee e

ct

t t

49 8 72

24. 232

23. ( )16

2 3 3π −

28. 52

4

π

TALLER # 15

2. ln

1

6215

x

x xc

−

++

2

3

310

4. 12

1 21

2xx

xx

c− +−

+ln

6. ( )( )

12

2 22 2

1

22

2 2ln x arctan x

xc+ − −

++

8. 16

33

ln xx

c−+

+

10. ( ) ( )15

1 4 4ln x x c+ − +

12. ( )ln

x xx

c

12

322

1

-+

+

14. ( )14

11

22

2lnxx

arctanx c++

+

+

16. x x x arctan x c−+ +

−+

+ln 2 1

33 2 1

3

2

18. ( )x x c− + +ln 1 2

20. ( ) ( )− − − − +− −1

21 1

412 1 2 2

e e ct t

22. ( )12

3 2 13 2

ln lnln

+ ++

+t

tc

26. a) ( )112

2 2 43

3 13

2

ln lnx x x arctan x c+ −− +

−−

+

b) x x x x arctan x c2 2

21 2 1

33

32 1

3+ − +

+ ++

+

+ln ln

TALLER # 16

2. − +

+

12

112

112

3tan tanc

θ θ

4. 22

12

1 2

12

1 2ln

tan

tanc

α

α

− +

− −+



174

6. ln2 1

21

12

2 12

1

2

2

tan x

tan x tan xc

+

− −+

8. −

++

212

1tan xc

10. ln

tan x tan x

tan xarctan tan x c

2

2

12

2 12

1

2 1 12

12

+ −

+

−

+

12. 14

12

12

2 2 cot lnx tan x c+

+

16. ln tan x c12

1+ +

18. 3 77418,

20. ( )1 2 122 2b

BAb aB

a barctan a b

a btan x c

θ +

−

−

−+

+

TALLER # 17

2. ( ) ( )32

1

7

1

4

2 73 2 4

3

x x

c+

−+

+

4. ( )2 4 14 44

x x x c+ + − +ln

6. ( ) ( ) ( )29

1 47

1 25

19 7 5 x x x c− + − + − +

8. 65

3 13

1 13

23

1 33

2 13

56 26 6 26 66

x x x x x arctan x c− − + + − + +−

+ln ln

10. ( ) ( )328

1 316

14 73 4 4

3 x x c+ − + +

12. ( ) ( )−

−

+

− +

+2 1

21 1

2arcsen x x x

c

TALLER # 18

2. a) ( )2, 2

b) 12

, 32

c) ( )0, 3

d) ( )0, - 4

e) 32

, 12

4. a) ( )0, - 2

b) ( )0, -1

c) ( )1, 3

d) −

12

, 12

e) ( )0 0,

6. a) ( )4 0,

b) 0, 2π

c) 6 2, 4π

d) 2 2, 6π

e) 3 22

, -4π

8. Para r = 5 , una circunferencia de radio 5 con centro en el polo.

Para θ π=

3, corresponde a una recta

que pasa por el polo y tiene pen-diente 3 .

Las curvas r = constante y = constanteθ , se cortan en ángulo recto.

10. ( )r r r r12

22

1 2 1 22+ − −cos θ θ

12. r a=

14. r 2 4 2= cos θ

16. x y arctan yx

2 2+ =

TALLER # 19

2. Ninguna simetría.

4. Simétrica respecto a la recta θ π=

2 no hay simetría respecto al eje polar y al polo.

6. Simétrica respecto al eje polar. No hay simetría respecto a la recta θ π=

2 y al polo.




175

8. Simétrica respecto a la recta θ π=

2

no hay simetría respecto al eje polar y al polo.

10. Polo; ( )1 664, ; 56,31

12) Polo; 15 14

14

; ; ; cos 15 - cos-1 -1

π

TALLER # 20

2. ( )14

13e π −

4. 1π

6. π

8. 6π

10. 4 33

−

π

12. ( )12

2 3 3π −


177

BIBLIOGRAFÍA

AYRES Frank y MENDELSON Elliot. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Tercera edición. Serie Schaum. Editorial McGraw-Hill.

EDWARDS y PENNEY David. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Segunda edición. Editorial Prentice Hall.

FRANK. S. Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Tercera edición. Editorial McGraw-Hill.

HEYD David E. GUÍA DE CÁLCULO. Cuarta edición y primera edición adaptada en español. Serie Schaum. Editorial McGraw-Hill.

JAGDISH C. ARYA/ROBÍN W. LARDNER. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS BIOLÓGICAS Y SOCIALES. Tercera edición. Editorial Prentice Hall.

LARSON Roland E. y otros. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Volumen 1. Quinta edición. Editorial McGraw-Hill.

LAURENCE D. Hofman, HERALD L. BRADLEY. CÁLCULO APLICADO A ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CONTADURÍA y CIENCIAS SOCIALES. Quinta Edición. Editorial McGraw-Hill.

LEITHOLD Louis. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Sexta edición. Editorial Harla. México.

PROTTER Murray H. y MORREY Charles. Cálculo CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Tercera edición. Editorial Fondo Educativo Interamericano S.A.

PURCELL Edwin J. y VARBERG Dale. Cálculo CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Sexta edición. Editorial Prentice Hall.

SPIEGEL Muray R. CÁLCULO SUPERIOR. Serie Schaum. Editorial McGraw-Hill.


179

ACERCA LOS AUTORES

Gabriel Mauricio Vergara Ríos

Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de Córdoba (2001). Especialista en Matemáticas, Universidad de Córdoba (2006). Magíster en Ciencias-Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia (2009). Doctor en Educación, Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín (2017). Docente de Carrera, Programa de Matemáticas, Universidad del Atlántico.

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Richard Neil Sánchez Tamara

Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad del Atlántico. Especialista en Informatica y Telemática. Especialista en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia. Magíster en Ciencias-Estadística, Universidad del Norte. Doctor en Educación, Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín (2017). Docente Estatal, Alcaldía Distrital de Barranquilla. Docente catedrático, Universidad del Atlántico.

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Alberto Mario Reyes Linero

Matemático, Universidad del Atlántico (2010). Magíster en Matemáticas, Universidad del Atlántico (2014). Docente Tiempo Completo Ocasional (TCO), Programa de Matemáticas, Universidad del Atlántico. Integrante del Grupo de Investigación Sistemas Dinámicos y EDO.

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Dr. Gabriel Mauricio Vergara Ríos

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