De Sitter ruimte

Coen Boellaard0369020

Verslag van Bachelorproject Natuur- en Sterrenkundeomvang 12 EC

Uitgevoerd in de periode 25-03-2009 tot 31-08-2009Begeleider: Dr. J.P. van der Schaar

Universiteit van AmsterdamInstituut voor Theoretische Fysica

31 augustus 2009

Samenvatting

Een de Sitter ruimte geeft een beschrijving van het heelal waarin de kosmolo-gische constante voor de enige aanwezige vorm van energie zorgt. Dit modelgeeft vermoedelijk een goede benadering van het versneld uitdijend heelalvan zowel de toekomst als van de periode van kosmische inflatie. In dezescriptie wordt de de Sitter ruimte ingeleid vanuit de algemene relativiteiten bekijken we de eigenschappen ervan. Het zal blijken dat zo’n de Sitterruimte een horizon kent die sterke overeenkomsten heeft met de horizon vaneen zwart gat. Zo blijkt Hawking straling niet iets te zijn wat men alleen inzwarte gaten terugvindt.

Inhoudsopgave

1 Introductie 2

2 Algemene Relativiteits Theorie 32.1 Metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Geodeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Einsteinvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Kosmologie 83.1 FRW metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Oplossingen Einsteinvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Vloeistofvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Energiebehoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Oplossingen van de vloeistofvergelijking . . . . . . . . 11

3.4 De uitdijıng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.1 Kosmische roodverschuiving . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.2 De toestandsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.3 Versnellingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Oplossing van de Friedmannvergelijking . . . . . . . . . . . . 13

4 De eigenschappen van een de sitter ruimte 154.1 Coordinaten in de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Statische coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Gibbons-Hawking temperatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Entropie van de waarneem horizon . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Conclusie 21

A FRW-metriek 23A.1 Christoffel symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2 Ricci tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

B Statische de Sitter metriek 26B.1 Coordinatentransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26B.2 Christoffel symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

Hoofdstuk 1

Introductie

In deze scriptie gaan we kijken naar de eigenschappen van de de Sitterruimte. Dit is een model van een versneld uitdijende ruimte waarin dedichtheid van materie tot het nulpunt is gedaald. De energie van het vacuumblijkt hier de reden te zijn voor de versnelling van de uitdijıng. We zulleneen zekere basiskennis nodig hebben van de kosmologie. Hiervoor beginnenwe deze scriptie met een inleiding in de algemene relaitviteit. Met dezebasis kunnen we ons een aantal belangrijke zaken uit de kosmologie eigenmaken. We zullen zien hoe dichtheid van de verschillende vormen energieveranderd met de uitdijıng. We zien hoe de uitdijıng voor roodverschuivingvan straling zorgt en hoe het uitdijen in de tijd veranderd. Met deze kenniskunnen we vervolgens kijken naar wat een de Sitter ruimte precies is en watde eigenschappen er van zijn. Het zal blijken dat bepaalde eigenschappensterk overeen komen met de eigenschappen van zwarte gaten.

2

Hoofdstuk 2

Algemene RelativiteitsTheorie

Veel zaken uit de kosmologie kunnen begrepen worden met een basiskennisvan de algemene relativiteit. In dit hoofdstuk zullen we twee essentieelebegrippen behandelen die nodig zijn om ons deze basiskennis eigen te maken.Dit zijn de metriek en de geodeten. We zullen beginnen met een beschrijvingvan wat een metriek inhoud. Daarna komen we op het onderwerp geodetenom vervolgens de centrale vergelijking binnen de algemene relativiteit teintroduceren, de Einstein vergelijking.

2.1 Metriek

Om binnen een gekromde ruimte quantitative uitspraken te kunnen doenover een begrip als afstand maken we gebruik van een metriek. In hetalgemeen wordt een metriek geschreven in de vorm van een tensor1 gµν metorde 2 en kan dus ook wel gezien worden als een matrix. Afstanden tussentwee ’events’ worden uitgedrukt met behulp van het lijnelement ds. Het isgebruikelijk om het lijnelement ook de naam metriek te geven. Een metriekdie we kennen uit de speciale relativiteits theorie is de Minkowski metriek2

ηµν :

ηµν =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1We werken in een vier dimensionale ruimte-tijd. De griekse indices die we hier gebrui-

ken lopen van 0 tot en met 3. Hier staat 0 voor de tijd en 1,2 en 3 voor de ruimtelijkecoordinaten.

2We gebruiken in deze scriptie natuurlijke eenheden op de gravitatie constante G na:c = ~ = 1. Verder zullen we de Einstein sommatie conventie gebruiken ter vereenvoudigingvan vergelijkingen.

3

Een lijnelement in de speciale relativiteit drukken we uit als:

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 ofwel ds2 = ηµνdxµdxν (2.1)

De metriek zet coordinaat afstanden om in fysieke afstanden. Het bevatalle geometrische structuren van de ruimte-tijd, die begrippen als afstanden kromming vastleggen.

2.2 Geodeten

Een ander belangrijk begrip in de algemene relativiteit is de geodeet. Eengeodeet is het pad dat een deeltje volgt als er geen krachten op werken. Inde Minkowski ruimte is dit uiteraard een rechte lijn. Voor een gekromderuimte gaat dit niet meer op. Een geodeet is dus de generalisatie van eenrechte lijn. Een deeltje waar geen krachten op werken wil zeggen:

~F = m~a = 0 ⇒ d2~x

dt2= 0

Om nu een vergelijking te vinden waar een geodeet aan moet voldoen, gene-raliseren we deze tweede wet van Newton naar een vier dimensionele ruimte-tijd. Omdat x0 = t moeten we een andere parameter kiezen dan de tijd. Wenemen hiervoor τ . In een vlakke Minkowski ruimte-tijd moet een geodeet(wat in dit geval dus een rechte lijn is) voldoen aan:

d2xµ

dτ2= 0 (2.2)

Als we nu overgaan op de andere coordinaten, dan geldt dit in het algemeenniet meer. Als we de oude oude coordinaten xµ uitdrukken in een willekeurigander stel x′µ dan vinden we een vergelijking waar een geodeet zich in hetalgemeen aan moet voldoen. We kunnen altijd transformeren van de enebasis naar de ander met behulp van een transformatiematrix:

Λµν =

∂xµ

∂x′ν(2.3)

De oude coordinaten uitgedrukt in de nieuwe geeft dan:

xµ = Λµνx′ν en dus

dxµ

dτ= Λµ

ν

dx′ν

dτ(2.4)

Hiermee kunnen we (2.2) in de nieuwe coordinaten uitdrukken:

d

dτ

[dxµ

dτ

]=

d

dτ

[Λµ

ν

dx′ν

dτ

]=

d

dτ(Λµ

ν)︸ ︷︷ ︸ dx′ν

dτ+ Λµ

ν

d2x′ν

dτ2= 0 (2.5)

We kunnen nu (2.4) gebruiken om het deel boven de accolade verder uit teschrijven.

4

d

dτ

(∂xµ

∂x′ν

)=

∂

∂x′ν

(dxµ

dτ

)=

∂

∂x′ν

(∂xµ

∂x′σdx′σ

dτ

)=

∂2xµ

∂x′ν∂x′σdx′σ

dτ(2.6)

Als we dit dan weer invullen in (2.5) dan krijgen we voor de nieuwe coordinatennu de volgende geodetenvergelijking:

Λµν

d2x′ν

dτ2+

∂2xµ

∂x′ν∂x′σdx′σ

dτ

dx′ν

dτ= 0 (2.7)

Het is gebruikelijk om dit nog wat te herschrijven. In de eerste term, staatvoor de tweede afgeleide naar τ , de transformatie matrix. We vermenig-vuldigen nu met de inverse transformatie matrix om de tweede afgeleide teisoleren. We hebben al een sommatie over ν in deze term. We vervangendeze dus in de inverse transformatiematrix door een andere index, α.

d2x′α

dτ2+[(

∂x′α

∂xµ

)∂2xµ

∂x′ν∂x′σ

]dx′σ

dτ

dx′ν

dτ= 0 (2.8)

Het deel wat hier tussen de rechte haken staat is gedefinieerd als het Chris-toffel symbool, Γα

νσ. Dit Christoffel symbool speelt binnen de algemenerelativiteit een belangrijke rol. Het geeft een beschrijving van de krommingin de ruimte. We krijgen hiermee de uiteindelijke vorm van de geodetenver-gelijking:

d2x′α

dτ2+ Γα

νσ

dx′σ

dτ

dx′ν

dτ= 0 (2.9)

Om de Christoffel symbolen uit te rekenen is het meestal handiger om devolgende uitdrukking te handteren.

Γµαβ =

gµν

2

[∂gαν

∂xβ+

∂gβν

∂xα−

∂gαβ

∂xν

](2.10)

Het Christoffel symbool is dus volledig aan de metriek gerelateerd. In ditverslag zullen we het verder gebruiken voor het berekenen van covarianteafgeleiden en voor het oplossen van de Einsteinvergelijkingen.

2.3 Einsteinvergelijkingen

Uit de speciale relativiteit bleek de equivalentie tussen massa en energie.De algemene relativiteitstheorie breidt de speciale relativiteit uit door deaanname dat massa en energie de ruimte krommen. Einstein kwam meteen nieuwe opvatting over zwaartekracht. Hij stelde dat wij naar de aardetoe vallen, vanwege de kromming van de ruimte die de massa van de aar-de veroorzaakt. De veldvergelijkingen die Einstein hiervoor introduceerderelateerd de geometrie van het heelal aan de energie en wordt gegeven door:

5

Gµν ≡ Rµν −12gµνR+ gµνΛ = 8πGTµν (2.11)

Aan de rechter kant hebben we de constante van Newton G en de energie-momentum tensor Tµν . Deze tensor stelt de bron voor het gravitatieveldvoor en beschrijft de dichtheid en flux van energie en momentum in ruimtetijd. Aan de linker kant zien we de Ricci tensor Rµν en de Ricci scalar R,die de kromming van de ruimte weergeven. De Ricci tensor wordt gegevendoor:

Rµν = Γαµν,α − Γα

µα,ν + ΓαβαΓβ

µν − ΓαβνΓ

βµα (2.12)

en de Ricci scalar is de contractie hiervan met de inverse metriek gµν :

R = gµνRµν (2.13)

Verder hebben we aan de linkerkant de kosmologische constante (Λ) staan.Toen Einstein met de algemene relativiteits theorie kwam stond deze nogniet in de vergelijkingen, maar al snel bleek dat oplossingen een niet statischheelal beschreven. Omdat waarnemingen in die tijd leken aan te geven dathet heelal wel statisch moest zijn, voegde Einstein een nieuwe term aan zijnvergelijkingen toe, de kosmologische constante. Toen Hubble later aantoon-de dat het heelal aan het uitdijen is werd de kosmologische constante tochweer weggehaald. Later bleek dat het heelal zelfs versneld aan het uitdijenis. De kosmologische constante bleek toch in de vergelijkingen te moeten omhier een verklaring voor te geven. Als fysische betekenis van deze constantewordt tegenwoordig voornamelijk de energie van het vacuum toegeschreven.Vanuit de klassieke theorie is dit een beetje gek, maar in de quantum (vel-den) theorie kijken we naar het vacuum als de laagste energie toestand inplaats van een ruimte waar zich helemaal niks in bevindt. De theoretischevoorspelling vanuit de quantum velden theorie voor deze vacuum energieis ongeveer 124 orden van grootte groter dan wat we waarnemen in onsheelal. Dit probleem staat ook wel bekend als het kosmologische constanteprobleem. Dit bizar grote verschil roept een paar lastige vragen op waartot op heden nog geen goede verklaring voor gevonden is. Het antropischeprincipe is mogelijk een interessante verklaring, maar neigt naar filosofie.In de stringtheorie wordt echter wel het een en ander bevestigd wat hetantropische principe zeker het nadenken waard maakt. Het Heisenberg on-zekerheids principe geeft aan dat een deeltje en antideeltje kunnen ontstaanen weer annihileren in een vacuum, zolang maar voldaan is aan de relatie:

∆E∆t ≤ h (2.14)

We hebben nu net als dat we een energie dichtheid hebben voor echte materieρM , ook een energie dichtheid voor virtuele deeltje-antideeltje paren, devacuum energie dichtheid ρvac. Hoe deze vacuum energie voor een versnelde

6

uitdijıng van het heelal zorgt zullen we later zien. Wat nu belangrijk is, is datdeze vacuum energie direct verbonden is met de kosmologische constante.Door aan te nemen dat in de laagste energie toestand geen voorkeursrichtingbestaat, kunnen we Lorentz invariantie van de energie momentum tensorgebruiken om te laten zien dat de aan de vacuum energie geassocieerdeenergie momentum tensor T

(vac)µν proportioneel is aan de Minkowski metriek.

Dat we deze aaname mogen doen kan gecontroleerd worden door de vacuumenergie expliciet uit te rekenen. Een fysische interpretatie en gegeneraliseerdnaar een uitdijende gekromde ruimte geeft ons:

T (vac)µν = −ρvacgµν (2.15)

We kunnen de term met de kosmologische constante nu absorberen in dezeenergie momentum tensor. Hiermee schrijven we de Einstein vergelijkingenals volgt:

Rµν −12gµνR = 8πGTµν (2.16)

waarbij Tµν = T(M)µν + T

(vac)µν dus is opgedeeld in een materie deel en een

vacuum deel. Het verband tussen de kosmologische constante en de vacuumenergie moet dus zijn:

ρvac =Λ

8πG(2.17)

7

Hoofdstuk 3

Kosmologie

In dit hoofdstuk zullen we onze kennis van de algemene relativiteit uit hetvorige hoofdstuk gebruiken om belangrijke zaken uit de kosmologie te be-grijpen. We vinden een van de oplossingen van de Einsteinvergelijkingen.Energiebehoud leert ons vervolgens hoe voor de verschillende vormen vanenergie de energiedichtheid afhangt van de uitdijıng. Tot slot zullen we ditdan voor verschillende vormen van ruimten bekijken, waaronder een ruimtemet slechts een kosmologische constante, een de Sitter ruimte. Maar webeginnen met het formuleren van een geschikte metriek.

3.1 FRW metriek

Om de uitdijıng van het heelal in de metriek te verwerken maken we gebruikvan een schaalfactor a(t). Deze schaalfactor geeft aan hoe afstanden in hetheelal toenemen met de tijd.

Figuur 3.1: Dit figuur laat zien hoe de afstanden tussen coordinaten in deFRW-metriek met de tijd toenemen. Belangrijk hierbij is dat de verhoudin-gen gelijk blijven. [4]

8

We kiezen dus een coordinaatstelsel waarin de coordinaten met de uitdijıngmee bewegen. Als X de coordinaatafstand is en R de fysische afstand, dangeldt: R = a(t)X. Het is gebruikelijk om a = 1 voor het huidige momentte stellen. Verder gaan we er vanuit dat het heelal perfect homogeen enisotroop is, op grote schaal is dit ook zo. De metriek die we dan krijgen isbijna gelijk aan de Minkowski metriek (2.1), alleen worden de ruimtelijkeindices vermenigvuldigd met de schaalfactor:

gµν =

−1 0 0 00 a2(t) 0 00 0 a2(t) 00 0 0 a2(t)

(3.1)

Deze metriek noemen we de FRW-metriek, genaamd naar de wetenschappersFriedmann, Robertson en Walker.

3.2 Oplossingen Einsteinvergelijkingen

We hebben nu dus een metriek die een homogeen en isotroop uitdijendtheelal beschrijft. De energie-momentum tensor voor zo’n heelal is die vande perfecte vloeistof. Deze wordt gegeven door:

Tµν = (ρ + P )UµUν + Pgµν (3.2)

Waarbij ρ de energie dichtheid is, P de druk en Uµ de snelheids vier-vector.We werken in het rustframe van onze ’perfect vloeistof’ dus de genorma-liseerde vier-snelheid is Uµ = (1, 0, 0, 0). In matrix notatie ziet de energiemomentum tensor er dus zo uit:

Tµν = gµσTσν = (ρ + P )UµUν + δµ

ν P =

−ρ 0 0 00 P 0 00 0 P 00 0 0 P

(3.3)

Voor de rest zijn alle componenten van de Einsteinvergelijkingen volledigafhankelijk van de metriek. We kunnen nu dus gaan kijken naar oplossingen.We beginnen met het uitrekenen van de Christoffel symbolen. In bijlage A.1wordt dit voor de FRW metriek gedaan. We vinden hier dat deze nul zijn,op drie na1:

Γ0ij = δij aa Γi

0j = Γij0 = δi

j

a

a(3.4)

Met behulp van1De griekse indices lopen van 0 tot en met 3. We gebruiken nu romaanse indices

(i,j,k,...) voor de ruimtelijke coordinaten.

9

Rµν = Γαµν,α − Γα

µα,ν + ΓαβαΓβ

µν − ΓαβνΓ

βµα (3.5)

worden in bijlage A.2 ook de Ricci tensoren uitgerekend. We vinden hier:

R00 = −3a

aen Rij = δij [2a2 + aa]

Ook de Ricci scalar kunnen we nu uitrekenen:

R ≡ gµνRµν = −R00 +1a2

Rijδij = 6

[a

a+ =

(a

a

)2]

(3.6)

Voor de tijd-tijd component van de Einsteinvergelijkingen vinden we nu(a

a

)2

=8πG

3ρ (3.7)

Dit is een van de zogeheten Friedmannvergelijkingen.

3.3 Vloeistofvergelijking

3.3.1 Energiebehoud

Als we de covariante afgeleide2 nemen van de energie-momentum tensor danmoet hier vanwege energiebehoud nul uit komen.

∇µTµν ≡

∂Tµν

∂xµ+ Γµ

αµTαν − Γα

νµTµα = 0 (3.8)

Dit geeft ons vier vergelijkingen. De component met ν = 0 geeft ons eennuttige vergelijking.

∂Tµ0

∂xµ+ Γµ

αµTα0 − Γα

0µTµα = 0 (3.9)

• Voor de eerste term van deze vergelijking weten we dat µ = 0 moetzijn. De energie-momentum tensor (3.3) is immers diagonaal en deafgeleide naar een ruimtelijke index is sowieso al nul voor een homogeenen isotroop heelal. Deze term levert ons dus −∂ρ

∂t .

• In de tweede term is duidelijk dat α nul moet zijn, anders is Tµν = 0.

Volgens (3.4) moet µ dan ruimtelijk zijn. We krijgen voor deze termdan:

ΓµαµTα

0 = −δij

a

aρ = −3

a

aρ

2In een vlakke ruimte is het nemen van de afgeleide onafhankelijk van de gekozencoordinaten. Voor een gekromde ruimte geldt dit niet. De covariante afgeleide (∇) is eengeneralisatie van de normale afgeleide voor een algemene metriek.

10

• In de laatste term hebben we en Christoffel symbool staan met eenvan de onderste indices gelijk aan nul. In (3.4) zien we dan weer datde andere twee ruimtelijk moeten zijn:

Γα0µTµ

α = δij

a

aT i

j = 3a

aP

De verhouding aa staat bekend als de Hubble parameter H. Vergelijking

(3.9) wordt hiermee dan wat we de vloeistofvergelijking noemen:

ρ + 3a

a(ρ + P ) = 0 (3.10)

3.3.2 Oplossingen van de vloeistofvergelijking

De vormen van energie in ons heelal kunnen we opdelen in drie vormen. Ditzijn stof (niet relativistische materie), straling (relativistische materie) ende kosmologische constante. We introduceren nu een toestands vergelijking:P = wρ, waarbij

w =

0 voor stof

1/3 voor straling−1 voor Λ

De vloeistofvergelijking krijgt nu de volgende vorm:

ρ + 3a

aρ(1 + w) = 0 ⇒ ρa + 3(1 + w)ρa = 0 (3.11)

We herkennen hier een uitgeschreven productregel in, dus:

d

dt

(ρa3(1+w)

)= 0 (3.12)

Dit betekend dat ρa3(1+w) constant is. Hieruit volgt dan:

ρ ∝ a−3(1+w) (3.13)

3.4 De uitdijıng

3.4.1 Kosmische roodverschuiving

We hebben nu een oplossing voor de vloeistofvergelijking gevonden. Hier-voor hebben we in onze notatie gebruik gemaakt van de toestandsvergelij-king. Om de waarden van w in deze vergelijking te begrijpen zullen weeerst het begrip kosmische roodverschuiving behandelen. Hiertoe kijken wenaar de geodetenvergelijking van een massaloos deeltje. We gebruiken deenergie momentum viervector Pµ = (E, ~P ) om de parameter τ uit (2.9) tedefinieeren:

11

Pµ =dxµ

dτ(3.14)

De afgeleiden naar τ vinden we nu door:

d

dτ=

dx0

dτ

d

dx0= E

d

dt(3.15)

Voor de tijd component van de geodetenvergelijking vinden we nu:

d

dτ

(dx0

dτ

)= E

dE

dt= −Γ0

ijPiP j = 0 (3.16)

In de FRW-metriek vonden we voor het Christoffel symbool (3.4) Γ0ij =

δij aa. Verder gebruiken we dat de energie momentum vector grootte nulmoet hebben:

|P | = PµP ν = gµνPµP ν = −E2 + a2P iP jδij = 0 (3.17)

Vergelijking (3.16) wordt hiermee:

EdE

dt= δija

2

(a

a

)P iP j =

a

aE2 = 0 (3.18)

Dus

aE + aE = 0 (3.19)

Hier herkennen we weer een uitgeschreven productregel in. De tijdsafgeleidevan aE is dus nul. We zien hiermee dus hoe de energie van een massaloosdeeltje schaald met de schaalfactor:

E ∝ 1a

(3.20)

Dit is natuurlijk geen resultaat wat ons verbaasd. Een foton dat zich voort-beweegd in een uitdijende ruimte heeft een golflengte dat met de uitdijıngmee wordt ’uitgerekt’. De golflengte is dus evenredig met de schaalfactor.Ook is het omgekeerd evenredig met de energie van het foton. De energievan een foton is dus omgekeerd evenredig met de schaalfactor. Dit is precieswat we hebben laten zien. Dit verschijnsel noemen we kosmische roodver-schuiving, niet te verwarren met de roodverschuiving die we kennen uit hetdoppler effect.

12

3.4.2 De toestandsvergelijking

Waarom w de bovenstaande waarden heeft kan onder andere worden be-grepen met behulp van (3.13). Voor stof is het duidelijk dat w = 0, dedichtheid neemt immers af in de drie ruimtelijke richtingen en dus met a−3.Voor straling geld bijna hetzelfe. Het neemt alleen met een extra factor1/a af doordat straling ook wordt roodverschoven. Straling neemt dus afmet a−4, wat overeen komt met w = 1/3. Voor de toestandsvergelijkingvan de kosmologische constante kijken we terug naar de energie momentumtensor. Voor het vacuum hadden we T

µ(vac)ν = ρvacδ

µν (2.15). Als we dit

dan vergelijken met de energie momentum tensor voor de perfecte vloeistof(3.3), dan zien we dat moet gelden Pvac = −ρvac. Hieruit blijkt dat voor dekosmologische constante geldt: w = −1.

3.4.3 Versnellingsvergelijking

In paragraaf 2.3 introduceerde we de Einsteinvergelijkingen en zeiden dat devacuum energie verantwoordelijk zou zijn voor de versnelde uitdijıng van hetheelal. Om dit te laten zien zullen we kijken naar welke waarde w hiervoormoet hebben. We doen dit door de Friedmannvergelijking (3.7) naar de tijdaf te leiden:

d

dt

(a

a

)2

= 2a

a

[a

a−(

a

a

)2]

=8πG

3ρ (3.21)

Dus:

a

a−(

a

a

)2

=4πG

3a

aρ (3.22)

We gebruiken nu de vloeistofvergelijking om ρ om te schrijven en de Fried-mannvergelijking voor

(aa

)2. Wat we dan krijgen is de versnellingsvergelij-king:

a

a= −4πG

3[ρ(1 + 3w)] (3.23)

Hier zien we uit dat het heelal versneld uitdijdt a > 0 als w < −13 . Aangezien

de voor de kosmologische constante w = −1 geldt, blijkt dit inderdaad debron te zijn voor het versnellen van de uitdijıng.

3.5 Oplossing van de Friedmannvergelijking

We hebben een verband gevonden tussen ρ en de schaalfactor (3.13). Alswe dit nu combineren met de Friedmannvergelijking (3.7) dan zien we hoede schaalfactor van de tijd afhangd.

13

(a

a

)2

=8πG

3ρ ⇒

(a

a

)2

∝ a−3(1+w) ⇒ a

a∝ a−

3(1+w)2

Halen we alles naar een kant, dan zien we dat aa3(1+w)

2−1 constant is. We

kunnen dit nu integreren over de tijd.∫a

3(1+w)2

−1adt =∫

a3(1+w)

2−1da ∝ a

3(1+w)2 ∝ t (3.24)

Dus:

a(t) ∝ t2

3(1+w) (3.25)

Voor stof (w = 0) vinden we nu a(t) ∝ t2/3, voor straling (w = 1/3) krijgenwe a(t) ∝ t1/2 en voor de kosmologische constante hebben we w = −1.Hiervoor blaast de schaalfactor op. We zullen nu weer een stapje terugmoeten doen om te zien hoe de schaalfactor van de tijd afhangt in een doorde kosmologische constante gedomineerd universum. Als we w = −1 in devloeistofvergelijking (3.10) invullen krijgen we:

ρ = 0 ⇒ ρ is constant

Dit komt uiteraard overeen met ons idee van de kosmologische constante, dedichtheid ervan blijft constant. Met dit gegeven kijken we nog eens naar deFriedmanvergelijking (3.7). De rechterkant van de vergelijking is nu helemaalconstant, dus a

a is ook constant. We integreren deze constante nu over detijd: ∫

a

adt =

∫1ada = ln a =

a

at + Constante = Ht + Constante

⇒ a(t) ∝ eHt (3.26)

Een FRW metriek heeft de volgende vorm:

ds2 = −dt2 + a2(t)d~x2 (3.27)

Wij zijn in dit verslag geınteresseerd in een de Sitter metriek. We hebbengevonden hoe de schaalfactor van de tijd afhangd in zo’n de Sitter ruimte.De metriek die ons dit dus geeft is dan:

ds2 = −dt2 + e2Htd~x2 (3.28)

14

Hoofdstuk 4

De eigenschappen van een desitter ruimte

4.1 Coordinaten in de Sitter

We hebben de de Sitter ruimte geıntroduceerd als zijnde een ruimte zonderstof en straling, maar met kosmologische constante. We willen nu de ei-genschappen van deze ruimte gaan bestuderen en hebben een meer formeledefinitie nodig van wat een de Sitter ruimte voorsteld. De onderstaandefiguur geeft hier een illustratie van.

Figuur 4.1: 5-dimensionale hyperboloıde dat de Sitter ruimte illustreerd. [3]

15

De vergelijking die hierbij hoort is een inbedding van een 4-dimensionale deSitter ruimte in een 5-dimensionale (vlakke) Minkowski ruimte:

−X20 + X2

1 + X22 + X2

3 + X24 = R2 (4.1)

Ter verduidelijking van hoe we hier naar kunnen kijken, kunnen we een ver-gelijking maken met het oppervlak van een bol. In cartesische coordinatenvoldoet zo’n oppervlak aan:

X2 + Y 2 + Z2 = R2 (4.2)

We hebben hier drie coordinaten nodig om het oppervlak te beschrijven. Alswe overgaan op bolcoordinaten (r, ϕ, θ), dan kunnen we door een constraintop te leggen (r = R) het hele boloppervlak beschrijven met slechts tweecoordinaten: (0 ≤ ϕ ≤ 2π) en (0 ≤ θ ≤ π). Dit kunnen we dus eigenlijk zienals een 2-dimensionaal gekromd oppervlak ingebed in een 3-dimensionaleruimte. Op dezelfde manier kunnen we figuur (4.1) zien als een gekromde 4-dimensionale ruimte-tijd wat is ingebed in een 5-dimensionale vlakke ruimte.We kunnen verschillende metrieken gebruiken om een de Sitter ruimte tebeschrijven. Aan het eind van het vorige hoofdstuk gaven we een metriekvan een de Sitter ruimte. Deze werd als volgt uitgedrukt:

ds2 = −dt2 + e2Htd~x2

Dit noemen we de vlakke metriek. In deze metriek bedekken de coordinatenniet de volledige de Sitter ruimte. Een waarnemer die deze coordinatenhandeert ziet slechts het deel van de ruimte dat in causaal contact staat metde waarnemer.

4.2 Statische coordinaten

We kunnen nu een coordinaten transformatie doen om van deze vlakkecoordinaten naar statische coordinaten te gaan. In de statische coordinatenbewegen de coordinaten niet meer met de uitdijıng mee, maar blijven opvaste fysische afstand van de waarnemer staan. Hoe we van de vlakke op destatische coordinaten uitkomen staat uitgewerkt in bijlage B.1. De uitkomstis:

ds2 = −(1−H2r2s)dt2s +

dr2s

(1−H2r2s)

+ r2sdΩ2

2 (4.3)

Het interessante aan deze statische metriek is dat het singulier is in het puntrs = H−1. Afstanden blazen hier op wat er voor zorgt dat we een horizon opdit punt zien. Licht van achter deze horizon kan de waarnemer nooit meerbereiken. Dit doet waarschijnlijk al denken aan de horizon van een zwartgat. Het blijkt dat hier inderdaad een sterke overeenkomst mee is. Als we

16

de Schwartzschild metriek van een zwart gat er bij pakken dan wordt dat alsnel duidelijk.

ds2 = −(1− 2GM

r)dt2 +

dr2

(1− 2GMr )

+ r2dΩ22 (4.4)

Deze metriek is duidelijk singulier in het punt 2GM , de Schwartzschildstraal.Van zwarte gaten kennen we de Hawking straling en Hawking temperatuurdie uit de horizon van een zwart gat weten te ontsnappen. Vanwege de grotegelijkenis in de metriek en het waarnemen van een horizon kunnen we ons nuafvragen of aan de kosmologische horizon ook een temperatuur is verbonden.

4.3 Gibbons-Hawking temperatuur

Voor het uitrekenen van een eventuele de Sitter temperatuur van de waar-neem horizon maken we gebruik van het Unruh-effect. Het Unruh-effectzegt dat versnelde waarnemers een temperatuur ervaren. De achtergrondvan een versnelde waarnemer wordt als ’warm’ ervaren, daar waar een iner-tieele waarnemer dat niet ervaart. Deze temperatuur is gegeven door:

TU =a

2π(4.5)

We doen nu een gedachte experiment. Stel je hebt iemand (X) op groteafstand aan een touw vast. Vanwege de uitdijıng versneld alles van elkaarvandaan. Om X dus op die grote afstand vast te houden moet je een zekerekracht uitoefenen. X die aan dat touw vast zit ervaart dus een versnelling.Uit het Unruh effect maken we op dat X dan een temperatuur ervaart.Wat we nu doen, is het denkbeeldige touw zo ver laten vieren dat X dewaarneemhorizon heel dicht nadert. We willen nu weten welke temperatuurje van X waarneemt. Hiervoor berekenen we eerst de versnelling die Xheeft op een bepaalde afstand. Herinner dat de geodetenvergelijking (2.9)voortkwam uit de conditie dat de versnelling nul moest zijn. Dit is danook precies wat er staat voor een algemene metriek. De vier-versnelling(aµ = (at, ars , aφ, aθ)) wordt dus gegeven door:

aµ =d2xµ

dτ2+ Γµ

ρσ

dxρ

dτ

dxσ

dτ(4.6)

We mogen er vanuit gaan dat X zich niet in de hoekrichtingen beweegd(dΩ2

2 = 0). Iets dat op vaste afstand blijft heeft dr2s = 0 en we gebruiken

de eigentijd τ als parameter. Dit is de eigentijd die we in de metriek als hetlijnelement zagen. Van de metriek (4.3) houden we dus over:

dτ = (1−H2r2s)dt2s (4.7)

We zien hieruit dat

17

dt

dτ= (1−H2r2

s)−1/2 (4.8)

De eerste term van vergelijking (4.6) geeft dus:

d2xα

dτ2=

d

dτ

xµ

dτ=

d

dτ

dt

dτ=

d

dτ(1−H2r2

s)−1/2 = 0 (4.9)

Dit was natuurlijk ook te verwachten, aangezien we de normale tweede af-geleide aan het berekenen waren. De tweede (correctie) term geeft wel eenbijdrage. We zien dat ρ en σ in (4.6) nul moeten zijn omdat alleen de afge-leide van x0 = t naar τ een waarde heeft ongelijk aan nul. Nu rest ons voorde versnelling alleen nog de Christoffel symbolen Γµ

00 uit te rekenen. Ditwordt in bijlage B.2 gedaan. Alleen voor µ = 1 heeft het en waarde:

Γ100 = −H2rs(1−H2r2

s) (4.10)

Voor de versnelling in radiele richting vinden we dan:

a1 = −H2rs(1−H2r2s)

1√1−H2r2

s

1√1−H2r2

s

= −H2rs (4.11)

De grootte van de versnelling is dus:

|a|2 = gµνaµaν = (1−H2r2

s)−1(−H2rs)2 = H2 H2r2

s

1−H2r2s

(4.12)

Dus:

|a| = HHrs√

1−H2r2s

(4.13)

Wat we nu zien is dat deze versnelling inderdaad opblaast als we de horizon(op H−1) naderen. We vinden de de Sitter temperatuur nu door de limietnaar de horizon te nemen en tegelijkertijd rood te verschuiven. De rood-verschuivingsterm is de verhouding tussen de frequentie die waargenomenwordt νobs en de frequentie die de straling had toen het werd uitgezondenνem. Dit is hetzelfde als de verhouding tussen de eigentijd en de tijd van dewaarnemer. De waarde hiervan vonden we al uit de metriek:

dτ

dts=√

1−H2r2s (4.14)

De de Sitter temperatuur is nu:

TGH = limrs→H−1

TUdτ

dts= lim

rs→H−1

H

2πHrs =

H

2π(4.15)

Deze temperatuur staat bekend als de Gibbons-Hawking temperatuur. DeUnruh temperatuur geldt eigenlijk alleen voor versnellingen in een vlakke

18

ruimte, maar het blijkt dicht bij de horizon toch een goede benadering tegeven. Doordat de versnelling hier zo ontzettend hoog wordt hebben wete maken met relatief een heel hoge temperatuur. De frequentie van dezestraling is daardoor ook erg groot. Omdat de golflengte (λ = c

ν ) dus kleinis zal deze straling niet veel merken van de kromming van de ruimte. Deruimte is op deze schaal locaal gezien nagenoeg vlak. Hierdoor kunnen wetoch gebruik maken van de Unruh temperatuur.

4.4 Entropie van de waarneem horizon

We hebben dus een aan de kosmologische horizon gerelateerde temperatuurgevonden. Met behulp van de eerste wet van de thermodynamica

dE = TGHdS (4.16)

kunnen we nu iets zeggen over de entropie van zo’n horizon. We begin-nen door de Gibbons-Hawking temperatuur op de volgende manier uit tedrukken:

T−1GH =

dS

dE=

∂S

∂H

∂H

∂E(4.17)

De Friedmanvergelijking (3.7) geeft ons het verband tussen de Hubble con-stante H en de energie:

H2 =8πG

3ρΛ ⇒ ρΛ =

38πG

H2 (4.18)

De energie van deze ruimte is natuurlijk de dichtheid ρΛ maal het volume∼ H−3. Dus:

E ∝ H−3 H2

G=

1GH

⇒ H ∝ 1GE

(4.19)

Dus:

∂H

∂E∝ − 1

GE2∝ −GH2 (4.20)

En:

∂S

∂H∝ − 1

TGHGH2∝ − 1

GH3(4.21)

We vinden de entropie nu door te integreren over H:

S ∝ −∫

1GH3

dH =1

GH2(4.22)

19

De oppervlakte van een bol met straal H−1 is A = 4πH−2. We zien dusdat de entropie van de kosmologische horizon evenredig is met A

G . Dit is deBekenstein-Hawking oppervlakte entropie wet:

S =A

4G(4.23)

Deze wet schijnt toepasbaar te zijn op zowel de waarneem horizon in een deSitter ruimte als de waarneem horizon van een zwart gat. Deze oppervlakteentropie wet is een opmerkelijk en waarschijnlijk ook heel belangrijk resul-taat. Opmerkelijk omdat de entropie van een waarneem horizon blijkbaarschaald met de oppervlakte. Belangrijk zou deze wet kunnen zijn omdathet volledig begrijpen ervan ons verder zou kunnen helpen op het gebiedvan quantum gravitatie, het gebied van de natuurkunde dat quantum me-chanica probeerd te vereenigen met algemene relativiteit. Helaas is volledigbegrip van deze wet (4.23) nog ver weg. We kunnen naar entropie kijkenals het optellen van het aantal microtoestanden van een systeem. De waar-neem horizon van de Sitter is waarnemer afhankelijk. Het is moeilijk te zienwaar die microtoestanden zich bevinden. Ook van de waarneem horizonvan zwarte gaten hebben we nog geen volledig beeld. We begrijpen immersalleen speciale gevallen van zwarte gaten.

20

Hoofdstuk 5

Conclusie

We hebben gezien dat ons heelal verschillende stadia heeft gekend waarinverschillende vormen van energie dominant zijn geweest. Na kosmische in-flatie was er een korte periode waarin straling domineerde. Het heelal bleefuitdijen met een schaalfactor die evenredig was met t1/2. Roodverschuivingmaakte dat de dichtheid van straling sterker afnam met de uitdijınig dande dichtheid van stof. Hierdoor nam stof de rol van dominante energievormsnel over. In dit stof tijdperk is het heelal ook sneller gaan uitdijen, namelijkmet een schaalfactor evenredig met t2/3. Vrij recentelijk is gebleken dat hetheelal op het moment zelfs versneld aan het uitdijen is. Algemene relativiteithoud hier een zekere kosmologische constante voor verantwoordelijk. Dezekosmologische constante blijkt te identificeren te zijn met de energie van hetvacuum. We leven nu dus in een heelal dat zijn versnelde uitdijıng zelf instand houd en af gaat op wat in de verre toekomst een de Sitter ruimte zouworden.We zijn op een de Sitter ruimte gekomen vanuit de FRW-metriek. Via eencoordinatentransformatie zijn we de statische metriek gaan bekijken. Dezemetriek legt interessante eigenschappen bloot van de de Sitter ruimte. Hetis de metriek die voor ons, als waarnemers van het heelal, het meest overeenkomt met wat we zullen zien. Het bleek dat elke vrijvallende waarnemereen horizon om zich heen heeft, de kosmologische horizon. We zagen sterkeovereenkomsten van deze horizon met de horizons van zwarte gaten. Zobleek dat er voor een kosmologische horizon in de Sitter er een temperatuurbestaat TGH zoals de horizon van een zwart gat een Hawking temperatuurkent. Ook hebben we gekeken naar de entropie van de kosmologische horizon.Deze bleek te schalen met de oppervlakte ervan.Wij hebben gekeken naar de statische coordinaten van de Sitter, maar erzijn nog veel meer mogelijke coordinatenstelsels die weer andere punten vande Sitter kunnen doen oplichten.

21

Dankwoord

Ik wil Jan Pieter van der Schaar hartelijk bedanken voor alle tijd en moeitedie hij in mijn begeleiding heeft gestoken. Zijn heldere uitleg en grote geduldwaren mij erg hulpzaam.

22

Bijlage A

FRW-metriek

A.1 Christoffel symbolen

Voor het uitrekenen van de Christoffel symbolen gebruiken we:

Γµαβ =

gµν

2

[∂gαν

∂xβ+

∂gβν

∂xα−

∂gαβ

∂xν

](A.1)

De FRW-metriek en inverse FRW-metriek zien er als volgt uit:

gµν =

−1 0 0 00 a2(t) 0 00 0 a2(t) 00 0 0 a2(t)

gµν =

−1 0 0 00 1

a2(t)0 0

0 0 1a2(t)

00 0 0 1

a2(t)

We beginnen de Cristoffel symbolen uit te rekenen waarvoor de bovenindicesgelijk aan nu zijn.

Γ0αβ =

g0ν

2[∂gαν

∂xβ+

∂gβν

∂xα−

∂gαβ

∂xν] (A.2)

Uit diagonaliteit van de metriek en zijn inverse zien we meteen dat g0ν

alleen ongelijk aan nul is als ν = 0. Voor de termen binnen de rechte hakenvan (A.1) zien we dat de eerste twee nu g00 = −1 en dus constant is. Deafgeleiden ervan vallen dus weg en houden we alleen de laatste term over.

Γ0αβ =

12

∂gαβ

∂tδ0ν (A.3)

Voor α = β = 0 is deze afgeleide ook weer nul. Dus alleen voor de ruimtelijkeindices krijgen we:

Γ0ij =

12

∂

∂ta2(t)δ0νδij = aaδij (A.4)

23

Nu als in het Christoffel symbool de bovenindices ruimtelijk zijn.

Γiαβ =

giν

2[∂gαν

∂xβ+

∂gβν

∂xα−

∂gαβ

∂xν] (A.5)

Net als in het vorige, zien we nu meteen dat ν in giν

2 ruimtelijk moet zijn:gik = 1

a2(t)δik. Voor de termen binnen de rechte haken weten we dat de

afgeleide naar een ruimtelijke coordinaat niks geeft. De laatste term valtdus sowieso weg. De andere twee zijn dan tijdsafgeleiden. Voor de eersteterm wordt dit:

∂gjk

∂t=

∂

∂ta2(t)δjk = 2aaδjk met α = j, β = 0 (A.6)

En voor de tweede term:

∂gjk

∂t=

∂

∂ta2(t)δjk = 2aaδjk met α = 0, β = j (A.7)

Als we dit invullen in (A.5) dan krijgen we:

Γij0 =

12a2(t)

2aaδikδjk =a

aδij en Γi

0j =1

2a2(t)2aaδikδjk =

a

aδij

(A.8)

A.2 Ricci tensoren

De Ricci tensor wordt gegeven door:

Rµν = ∂αΓαµν − ∂νΓα

µα,ν + ΓαβαΓβ

µν − ΓαβνΓ

βµα (A.9)

We kunnen nu alle componenten van de Ricci tensor uitrekenen, te beginnenmet de tijd-tijd component:

R00 = ∂αΓα00 − ∂tΓα

0α + ΓαβαΓβ

00 − Γαβ0Γ

β0α (A.10)

We weten wat de Christoffel symbolen zijn. De eerste term in (A.10) heefttwee onderindices die nul zijn, dus deze term valt weg. In de derde termhebben we ook zo’n Christoffel symbool staan. De tweede term is de tijds-afgeleide van een Christoffel symbool van de vorm in (A.8). Hier is α dusruimtelijk en wordt dit:

∂tΓi0i =

d

dt

(a

a

)δii = 3

(a

a− a2

a2

)(A.11)

De factor 3 komt van δii. Elk van de drie ruimtelijke indices levert een

bijdrage. Voor de laatste term zien we dat α en β beiden ruimtelijk moetenzijn. We krijgen hiervoor:

24

Γij0Γ

j0i =

(a

a

)2

δijδ

ji = 3

a2

a2(A.12)

Dus voor de Ricci tensor R00 levert dit:

R00 = −3(

a

a− a2

a2

)− 3

a2

a2= −3

a

a(A.13)

Voor de Ricci tensoren met een van de indices ruimtelijk en de ander de nulis makkelijk na te gaan dat geen van de termen Christoffel symbolen heeftvan de vorm die we zagen in (A.4) en (A.8). Deze Ricci tensoren geven dusgeen bijdrage.Dan nu als beide indices ruimtelijk zijn:

Rij = ∂αΓαij − ∂jΓα

iα + ΓαβαΓβ

ij − ΓαβjΓ

βiα (A.14)

In de eerste term moet α = 0 zijn:

∂tΓ0ij = 3

d

dt(aa) = 3(aa + a2) (A.15)

De tweede term wordt naar de ruimtelijke richtingen afgeleid en geeft dusnul. In de derde term zien we dat voor het tweede Christoffel symbool β = 0moet zijn. We krijgen voor deze term dan:

Γk0kΓ

0ij =

(a

a

)aaδk

kδij = 9a2 (A.16)

Voor de laatste term merken we op dat er twee mogelijkheden zijn. Of αis ruimtelijk en β is nul of andersom. Vanwege de symmetrie krijgen beidemogelijkhede dezelfde uitkomst. We rekenen het uit voor α ruimtelijk en βis nul:

Γj0jΓ

0ij =

(a

a

)aaδj

jδij = a2δij = 3a2 (A.17)

Uiteindelijk krijgen we dan voor de Ricci tensor:

Rij = 3(aa + a2 + 3a2 − a2 − a2) = 3(aa + 2a2) (A.18)

25

Bijlage B

Statische de Sitter metriek

B.1 Coordinatentransformatie

We willen van de vlakke metriek

ds2 = −dt2p + e2Htp(dr2

p + r2pdΩ2

2

)(B.1)

transformeren naar de statische metriek, waarin de coordinaten op vasteafstand van de waarnemer blijven. Dit betekent dat rs = eHtprp, waarin rs

de straal is voor de statische coordinaten. Hiermee kunnen we schrijven:

drs =∂rs

∂tpdtp +

∂rs

∂rpdrp = Hrsdtp + eHtpdrp

Dus:

drp = e−Htp (drs −Hrsdtp)

En:

dr2p = e−2Htp

(dr2

s + H2r2sdt2p − 2Hrsdtpdrs

)(B.2)

We hebben rp uitgedrukt in rs en tp. Als we tp nu nog uit kunnen drukkenin ts en rs dan kunnen we dat in de metriek (B.1) invullen.

dtp =∂tp∂ts

dts +∂tp∂rs

drs = dts +∂tp∂rs

drs (B.3)

Dus:

dt2p = dt2s +(

∂tp∂rs

)2

dr2s + 2

∂tp∂rs

dtsdrs (B.4)

We vullen (B.3) en (B.4) nu in, tussen de ronde haken van vergelijking (B.2):

26

dr2p = e−2Htp

[dr2

s + H2r2s

(dt2s +

(∂tp∂rs

)2

dr2s + 2

∂tp∂rs

dtsdrs

)

−2Hrs

(dts +

∂tp∂rs

drs

)drs

](B.5)

Deze uitdrukking voor dr2p en (B.4) kunnen in de metriek (B.1) worden

geplaatst:

ds2 = −dt2s −(

∂tp∂rs

)2

dr2s − 2

∂tp∂rs

dtsdrs + dr2s + H2r2

s

[dt2s

+(

∂tp∂rs

)2

dr2s + 2

∂tp∂rs

dtsdrs

]− 2Hrs

(dts +

∂tp∂rs

drs

)drs

+r2sdΩ2

2

= −(1−H2r2s)dt2s +

(1− 2Hrs

∂tp∂rs

−(

∂tp∂rs

)2

+H2r2s

(∂tp∂rs

)2)

dr2s +

(2H2r2

s

∂tp∂rs

− 2∂tp∂rs

− 2Hr2s

)dtsdrs

r2sdΩ2

2 (B.6)

We mogen de afgeleide ∂tp∂rs

zo stellen dat de kruisterm in (B.6) nul wordt.We krijgen voor deze afgeleide dan:

∂tp∂rs

= − Hrs

1−H2r2s

(B.7)

Dit invullen in de metriek (B.6) geeft ons de statische metriek:

ds2 = −(1−H2r2s)dt2s +

dr2s

1−H2r2s

+ r2sdΩ2

2 (B.8)

B.2 Christoffel symbolen

De Christoffel symbolen worden volgens (A.1) gegeven door:

Γµ00 =

gµν

2

[∂g0ν

∂x0+

∂g0ν

∂x0− ∂g00

∂xν

](B.9)

Voor de eerste twee termen binnen de rechte haken zien we dat hiervoorµ = ν = 0 moet zijn. Maar de tijdsafgeleide van g00 is nul, dus voorµ = 0 is er geen versnelling. In de hoekrichtingen verwachten we al helemaal

27

geen versnelling aangezien we hebben aangenomen dat in die richting nietbewogen wordt. We houden µ = 1 over:

Γ100 =

g11

2

[∂g01

∂x0+

∂g01

∂x0− ∂g00

∂x1

]= −g11

2∂g00

∂rs(B.10)

Uit de metriek (B.8) zien we dat:

g00 = −(1−H2r2s) en g11 = (1−H2r2

s)−1

⇒ g11 = 1−H2r2s (B.11)

Dus:

Γ100 = −g11

2∂g00

∂rs= −(1−H2r2

s)H2rs (B.12)

28

Bibliografie

[1] Spacetime and Geometry: an introduction to general relativity, Sean M.Carroll, Pearson (2004)

[2] Modern Cosmology, Scott Dodelson, Elsevier (2003)

[3] Les Houches Lectures on de Sitter Space, Marcus Spradlin, AndrewStrominger and Anastasia Volovich; arXiv:hep-th/0110007v2

[4] Introductory Overvieuw of Modern Cosmology, Burin Gumjudpai;arXiv:astor-ph/0305063v2

[5] Einstein’s general theory of relativity: with modern applications in cos-mology, Øyvind Grøn en Sigbjørn Hervik, Springer (2007)

29