De Haagse Hogeschool - 4. Exponentiële vergelijkingen20053119/documenten/Regeltechniek... ·...

Opleiding A.D. Projectleider Techniek

/ Stedelijke Installaties Versie 1.0

Regeltechniek – Opdracht 1C + antwoorden 20 november 2016

Student: René Welter

Studentnummer: 20053119

Bedrijfsonderdeel: Gem. Den Haag

Pagina 1/7

4. Exponentiële vergelijkingen

De gelijkheid 103 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000.

Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen.

We kunnen dus drie gevallen onderscheiden:

1) We weten de 1000 niet, als we op die plaats een x zetten volgt:

103 = x de uitkomst x = 10·10·10 = 1000 heet de derde macht van 10.


x3 = 1000 de uitkomst x = 3 1000 heet de derdemachtswortel van 1000.


10X = 1000 de uitkomst x = 3 noemen we de 10-logaritme van 1000.

We schrijven dat als x = 10log 1000 waarbij 10 hier het grondtal van de logaritme is.

Als we bijvoorbeeld de vergelijking 10X = 23 willen oplossen weten we dat x = 10log 23.

Met de log-toets op onze rekenmachine kunnen we de 10-logaritme van een getal berekenen.

Op de CASIO fx-82 typen we [log][23][=]. Het resultaat is 1,3617.

Ter controle berekenen we 101,3617 = 22,9985. (waarom niet exact 23? )

Voorbeeld 1: 10 3·X = 350 3·x = 10log 350 3·x = 2,5441 x = 2,5441 ÷ 3 = 0,8480.

We typen in: [log][350][=][÷][3][=]

1 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie

met vier cijfers achter de komma:

a) 10X = 35

[log] [35] = 1,5440

b) 10X = 200

[log] [200] = 2,3010

c) 10X = 3000

[log] [3000] = 3,4771

d) 103*X

= 550

[log] [550] = 2,7404

[ANS] [/] [3] = 0,9134

e) 105*X

= 1200

[log] [1200] = 3,0792

[ANS] [/] [5] = 0,6158

f) 102*X

= 4500

[log] [4500] = 3,6532

[ANS] [/] [2] = 1,8266







Pagina 2/7

Voorbeeld 2: 5* 104*X

= 100 → 104*X

= 100 ÷ 5→ 104*X

= 20 →4*x = 10

log 20 →

4*x = 1,3010 → x = 1,3010 ÷ 4 → x = 0,3253

We typen: [100][÷][5][=][log][ANS][=][÷][4][=]



a) 5*10X = 35

10X

= 35 / 5 = 7

[log] [7] = 0,8450

b) 4*10X = 200

10X = 200 / 4 = 50

[log] [50] = 1,6990

c) 30*10X = 3000

10X = 3000 / 30 = 100

[log] [100] = 2,0000

d) 11*103*X

= 55

103*X

= 55 / 11 = 5

[log] [5] = 0,6990

[ANS] [/] [3] = 0,2330

e) 6*105*X

= 120

105*X

= 120 / 6 = 20

[log] [20] = 1,3010

[ANS] [/] [5] = 0,2602

f) 9*102*X

= 450

102*X

= 450 / 9 = 50

[log] [50] = 1,6990

[ANS] [/] [2] = 0,8494

Logaritmen met grondtal 10 gebruiken we het meest. Daarom vermelden we bij logaritmen

met grondtal 10 meestal niet meer het grondtal, dus log 5 betekent 10

log 5.

Met de ln-toets op de rekenmachine kunnen we logaritmen uitrekenen met grondtal e.

Het getal e is net zoals een natuurconstante. ( e = +/- 2,71828 )

Een logaritme met grondtal e noemen we een natuurlijke logaritme en duiden we aan met ln.

ln x is dus eigenlijk een andere schrijfwijze voor elog x.

Als we de vergelijking eX = 23 willen oplossen weten we dat x = elog 23 = ln 23.

Op de CASIO fx-82 typen we [ln][23][=].

Het resultaat is 3,1355. Ter controle berekenen we e3,1355

= 23,0001.







Pagina 3/7

Voorbeeld 3: e3*R

= 24 → 3*R = ln 24 →3*R = 3,1781→ R = 3,1781 ÷ 3→ R = 1,0594.

We typen: [ln][24][=][÷][3][=]



a) eX = 35

[ln] [35] = 3,5553

b) eX = 200

[ln] [200] = 5,2983

c) eX = 3000

[ln] [3000] = 8,0063

d) e3*X

= 550

[ln] [550] = 6,3099

[ANS] [/] [3] = 2,1033

e) e5*X

= 1200

[ln] [1200] = 7,0900

[ANS] [/] [5] = 1,4180

f) e2*X

= 4500

[ln] [4500] = 8,4118

[ANS] [/] [2] = 4,2059

Een macht met grondtal e zoals e5*X

noemen we een e-macht.

Voorbeeld 4: 3*e 2*X

= 12 →e 2*X

= 12 ÷ 3→ e 2*X

= 4 →2* x = ln 4 →2 x = 1,3863→

x = 1,3863 ÷ 2→ x = 0,6931.

We typen: [12][÷][3][=][ln][ANS][=][÷][2][=]

Voorbeeld 5: 6 – 3*e 2*X

= 4 →-3 *e 2*X

= 4 - 6 →-3*e 2*X

= 4 - 6 →-3·e 2*X

= -2

e 2*X

= -2 ÷ -3 →e 2*X

= 0,6667 →2*x = ln 0,6667 →2*x = -0,4055→

x = -0,4055 ÷ 2→ x = -0,2027.



a) 5*e-3*T

= 4

e-3*T

= 4 / 5 = 0,8

[ln] [0,8] = -0,2231

-3*T = -0,2231

T = -0,2231 / -3 = 0,0744

b) 3*e-4*T

= 5

e-4*T

= 5 / 3 = 1,6666

[ln] [1,6666] = 0,5108

-4*T = 0,5108

T = 0,5108 / -4 = -0,1277

c) 6 – 6*e-3*T

= 2

-6*e-3*T

= 2 - 6 = -4

6*e-3*T

= 4

e-3*T

= 4 / 6 = 0,6666

[ln] [0,6666] = -0,4055

-3*T = -0,4055

T = -0,4055 / -3 = 0,1356

d) 4 – 5*e-3*T

= 2

-5*e-3*T

= 2 - 4 = -2

5*e-3*T

= 2

e-3*T

= 2 / 5 = 0,4

[ln] [0,4] = -0,9163

-3*T = -0,9163

T = -0,9163 / -3 = 0,3054

e) 8 – 5*e3*T

= 4

-5*e3*T

= 4 - 8 = -4

5*e3*T

= 4

e3*T

= 4 / 5 = 0,8

[ln] [0,8] = -0,2231

3*T = -0,2231

T = -0,2231 / 3 = -0,0744

f) 7 – 2*e4*T

= 3

-2*e4*T

= 3 - 7 = -4

2*e4*T

= 4

e4*T

= 4 / 2 = 2

[ln] [2] = 0,6931

4*T = 0,6931

T = 0,6931 / 4 = 0,1733







Pagina 4/7

Als we de vergelijking 5X = 30 willen oplossen weten we al dat x =

5log 30.

Het probleem is natuurlijk dat de logaritme met grondtal 5 niet op onze rekenmachine zit.

We hebben wat meer kennis nodig over de eigenschappen van logaritmen.

We gaan gebruik maken van de volgende formule:

c mag een willekeurig getal zijn,

we kiezen natuurlijk een grondtal

dat op onze rekenmachine zit dus

met c = 10 wordt onze formule:

Dat betekent dat we 5log 30 uit kunnen rekenen met log 30 ÷ log 5 = 2,1133.

We controleren weer 52,1133

= 30,0008. ( weten we nog hoe we machten intypen? )



a) 3X = 35

[log] [35] / [log] [3] = 3,2362

b) 4X = 200

[log] [200] / [log] [4] =

3,8219

c) 5X = 3000

[log] [300] / [log] [5] =

3,5440

d) 83*X

= 550

[log] [550] / [log] [8] =

3,0344

3,0344 / 3 = 1,0114

e) 125*X

= 1200

[log] [1200] / [log] [12] =

2,8532

2,8532 / 5 = 0,5707

f) 342*X

= 4500

[log] [4500] / [log] [34] =

2,3854

2,3854 / 2 = 1,1927







Pagina 5/7

Voorbeeld 6: we willen de vergelijking 63*Y-4

= 45 oplossen.

Er volgt met de definitie van logaritme: 3*Y-4 = 6log 45 →

3*Y-4 = log 45 ÷ log 6 → 3*Y-4 = 2,1245 → 3*Y = 2,1245 + 4 →

3*Y = 6,1245 → Y = 6,1245 ÷ 3 → Y = 2,0415.

Controle: 6 3*2,0415-4

= 6 2,1245

= 44,9969.



a) 5 2*W + 4

= 63

[log] [63] / [log] [5] = 2,5742

2*W+4 = 2,5742

2*W = 2,5742 – 4

W = -1,4257 / 2 = -0,7129

b) 6 -2*X-3

= 52

[log] [52] / [log] [6] = 2,2052

-2*X-3 = 2,2052

-2*X = 2,2052 + 3

X = 5,2052 / -2 = -2,6026

c) 14 3*Z + 4

= 148

[log] [148] / [log] [14] =

1,8936

3*Z+4 = 1,8936

3*Z = 1,8936 – 4

Z = -2,1064 / 3 = -0,7021

d) 7 2*W + 4

= 155

[log] [155] / [log] [7] =

2,5918

2*W+4 = 2,5918

2*W = 2,5918 – 4

W = -1,4082 / 2 = -0,7041

e) 16 -2*X-3

= 466

[log] [466] / [log] [16] =

2,2160

-2*X-3 = 2,2160

-2*X = 2,2160 + 3

X = 5,2160 / -2 = -2,6080

f) 214 3*Z + 5

= 96

[log] [96] / [log] [214] =

0,8506

3*Z+5 = 0,8506

3*Z = 0,8506 – 5

Z = -4,1494 / 3 = -1,3831

We hebben nu gezien dat we logaritmen nodig hebben voor het oplossen van vergelijkingen

waar de onbekende in de exponent staat.

We noemen dergelijke vergelijkingen daarom exponentiële vergelijkingen

7 Los de volgende exponentiële vergelijkingen op en geef de antwoorden in

wetenschappelijke notatie met vier cijfers achter de komma:

a) 4 – 7*e -3*T

= 2

–7*e -3*T

= 2 – 4 = -2

7*e -3*T

= 2

e -3*T

= 2 / 7 = 0,2857

[ln] [0,2857] = -1,2527

-3*T = -1,2527

T = -1,2527 / -3 = 0,4176

b) 8 – 5*e 3*T

= 7

–5*e 3*T

= 7 – 8 = -1

5*e 3*T

= 1

e 3*T

= 1 / 5 = 0,2

[ln] [0,2] = -1,6094

3*T = -1,6094

T = -1,6094 / 3 = -0,5368

c) 9 – 2*e 4*T

= 3

–2*e 4*T

= 3 – 9 = -6

2*e 4*T

= 6

e 4*T

= 6 / 2 = 3

[ln] [3] = 1,0986

4*T = 1,0986

T = 1,0986 / 4 = 0,2747

d) 8 3*X

= 660

[log] [660] / [log] [8] =

3,1221

3*X = 3,1221

X = 3,1221 / 3 = 1,0407

e) 12 5*X

= 930

[log] [930] / [log] [12] =

2,5939

5*X = 2,5939

X = 2,5939 / 5 = 0,5188

f) 48 2*X

= 4500

[log] [4500] / [log] [48] =

2,1729

2*X = 2,1729

X = 2,1729 / 2 = 1,0864







Pagina 6/7

g) 5 2*W+8

= 155

[log] [155] / [log] [5] =

3,1337

2*W+8 = 3,1337

2*W = 3,1337 – 8 = -4,8663

W = -4,8663 / 2 = -2,4331

h) 26 -2*X-5

= 430

[log] [430] / [log] [26] =

1,8611

-2*X-5 = 1,8611

-2*X = 1,8611 + 5 = 6,8611

X = 6,8611 / -2 = -3,4306

i) 554 4*Z+5

= 96

[log] [96] / [log] [554] =

0,7225

4*Z+5 = 0,7225

4*Z = 0,7225 – 5 = -4,2775

Z = -4,2775 / 4 = -1,0694

Voorgaande e-machten spelen een grote rol in formules voor het laden en ontladen van

condensatoren via weerstanden.

We bekijken het volgende voorbeeld waarbij we exponentiële vergelijkingen moeten

oplossen. We laden een condensator C via een weerstand R:

Voor de uitgangsspanning Uuit geldt de formule Uuit = Uin ( 1 – e -t/Ʈ

).

t is daarbij de tijd in seconden en Ʈ de tijdconstante van de schakeling in seconden.

De tijdconstante Ʈ (Griekse t, spreek uit als touw ) berekenen we door de waarden van de

weerstand en de condensator met elkaar te vermenigvuldigen dus Ʈ = R*C.

Voorbeeld: als R = 100 kΩ en C = 33 uF geldt Ʈ = 100*103*33*10

-6 = 3,3 s.







Pagina 7/7

De Haagse Hogeschool - 4. Exponentiële vergelijkingen20053119/documenten/Regeltechniek... ·...

Documents

Transcript of De Haagse Hogeschool - 4. Exponentiële vergelijkingen20053119/documenten/Regeltechniek... ·...