De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578...

22
Als er op een systeem een kracht wordt uitgeoefend, is er altijd een ander systeem dat die kracht levert. Voorbeelden: Lien werpt een bal weg: op de bal wordt een kracht uitgeoefend, want de bal versnelt. Dat is systeem 1. Lien oefent de kracht uit: zij is systeem 2. Ben krijgt een boksstoot: op hem wordt een kracht uitgeoefend. Hij is systeem 1. De bokser die hem de slag toedient, oefent de kracht uit: hij is systeem 2. Bij het uitoefenen van een kracht is er dus een interactie tussen twee systemen. Newton was de eerste die besefte dat niet alleen het ene systeem een kracht uitoefent op het andere, maar dat tegelijk ook dat systeem een kracht uitoefent op het eerste. Als een systeem 1 een kracht F 12 uitoefent op een systeem 2, oefent systeem 2 een even grote tegenge- stelde kracht F 21 uit op systeem 1: F 12 = F 21 Dat is de derde wet van Newton. We bekijken enkele voorbeelden die deze wet illustreren. Vorig jaar leerde je de coulombkracht kennen: een positieve lading Q 1 (systeem 1) oefent een afstotingskracht uit op een positieve lading Q 2 (systeem 2). De lading Q 2 (systeem 2) oefent een even grote tegengestelde kracht uit op lading Q 1 (systeem 1). Sla met een houten hamer een spijker in een eiken plank. Tijdens de fractie van een seconde waarin de hamer contact maakt met de spijker, oefent de hamer (systeem 1) een kracht uit op de spijker (systeem 2), want die komt in beweging en dringt in de plank. De spijker (systeem 2) oefent een kracht uit op de hamer (systeem 1), want die vertraagt. Bovendien wordt de hamer lokaal vervormd: er ontstaat een afdruk van de spijkerkop in de houten hamer. Om uit een roeibootje naar de kant te stappen, oefen jij (systeem 1) een kracht uit op het bootje (systeem 2). Het bootje (systeem 2) oefent een kracht uit op jou (systeem 1), waardoor je naar de kant kunt stappen. Maar … door de kracht die jij uitoefent op het bootje, komt dat ook in beweging en kun je in het water terecht komen! Soms zie je het effect van de ene kracht wel, maar van de andere kracht niet: als Dany tegen een muur leunt, oefent hij (systeem 1) een kracht F 12 uit op de muur (systeem 2), maar van die kracht merk je niets omdat de muur niet vervormt of in beweging komt! De muur (systeem 2) oefent een kracht F 21 uit op Dany (systeem 1) waardoor hij in evenwicht kan blijven. + F 21 Q 1 Q 2 F 12 + + F 12 is de kracht van 1 op 2. F 21 F 12 De derde wet van Newton 7 Interactie_6.2_Lb.indb 73 5/08/15 11:18

Transcript of De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578...

Page 1: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

Als er op een systeem een kracht wordt uitgeoefend, is er altijd een ander systeem dat die kracht levert.

Voorbeelden:• Lien werpt een bal weg: op de bal wordt een kracht

uitgeoefend, want de bal versnelt. Dat is systeem 1. Lien oefent de kracht uit: zij is systeem 2.

• Ben krijgt een boksstoot: op hem wordt een kracht uitgeoefend. Hij is systeem 1. De bokser die hem de slag toedient, oefent de kracht uit: hij is systeem 2.

Bij het uitoefenen van een kracht is er dus een interactie tussen twee systemen. Newton was de eerste die besefte dat niet alleen het ene systeem een kracht uitoefent op het andere, maar dat tegelijk ook dat systeem een kracht uitoefent op het eerste.

Als een systeem 1 een kracht →F12 uitoefent op een systeem 2, oefent systeem 2 een even grote tegenge-

stelde kracht →F21 uit op systeem 1:

→F12 =

→F21

Dat is de derde wet van Newton.

We bekijken enkele voorbeelden die deze wet illustreren.

• Vorig jaar leerde je de coulombkracht kennen: een positieve lading Q1 (systeem 1) oefent een afstotingskracht uit op een positieve lading Q2 (systeem 2). De lading Q2 (systeem 2) oefent een even grote tegengestelde kracht uit op lading Q1 (systeem 1).

• Sla met een houten hamer een spijker in een eiken plank. Tijdens de fractie van een seconde waarin de hamer contact maakt met de spijker, oefent de hamer (systeem 1) een kracht uit op de spijker (systeem 2), want die komt in beweging en dringt in de plank. De spijker (systeem 2) oefent een kracht uit op de hamer (systeem 1), want die vertraagt. Bovendien wordt de hamer lokaal vervormd: er ontstaat een afdruk van de spijkerkop in de houten hamer.

• Om uit een roeibootje naar de kant te stappen, oefen jij (systeem 1) een kracht uit op het bootje (systeem 2). Het bootje (systeem 2) oefent een kracht uit op jou (systeem 1), waardoor je naar de kant kunt stappen. Maar … door de kracht die jij uitoefent op het bootje, komt dat ook in beweging en kun je in het water terecht komen!

• Soms zie je het effect van de ene kracht wel, maar van de andere kracht niet: als Dany tegen een muur leunt, oefent hij (systeem 1) een kracht

→F12 uit op de muur (systeem 2), maar van die kracht merk je

niets omdat de muur niet vervormt of in beweging komt! De muur (systeem 2) oefent een kracht →F21 uit op Dany (systeem 1) waardoor hij in evenwicht kan blijven.

+

F21

Q1 Q2

→F12→

+ –F21

Q1 Q2

→F12→

F21

Q1 Q2

→F12→

+ +

– –

F12 is de kracht van 1 op 2.

F21

F12

De derde wet van Newton7

Interactie_6.2_Lb.indb 73 5/08/15 11:18

Page 2: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

74 ] Kinematica en dynamica

Dat de kracht →F12 van systeem 1 op systeem 2 even groot is als de kracht

→F21 van systeem 2 op systeem

1, blijkt uit volgende experimenten:

• Oefen een kracht uit van bv. 2,0 N op een dynamometer (1): die wijst dan 2,0 N aan. Je kunt daar-voor ook een dynamometer (2) gebruiken. Dynamometer 1 (systeem 1) ondervindt een kracht van dynamometer 2 (systeem 2) en wordt uitgerekt. Dynamometer 2 (systeem 2) ondervindt een kracht van dynamometer 1 (systeem 1) en wordt ook uitgerekt. Beide krachten zijn even groot!

• Plaats een magneet en een massief ijzeren blok elk op een lichtlopend wagentje. De magneet (systeem 1) oefent een kracht uit op het ijzeren blok (systeem 2), want het wagentje met het blok komt in beweging. Het blok (systeem 2) oefent een kracht uit op de magneet (systeem 1), want dat wagentje komt ook in beweging. Als je de krachten meet, zie je dat ze even groot zijn, ook al is de massa van het blok en de magneet verschillend!

Enkele opmerkingen:• Volgens de derde wet van Newton treden krachten nooit alleen op, maar altijd per twee.

• Men noemt deze wet ook wel de wet van actie en reactie: de ene kracht (de ‘actie’) heeft als gevolg dat er ook een andere kracht (‘de reactie’) optreedt. Maar het is niet zo dat de ene kracht eerst optreedt en daarna (als reactie) de andere. Beide krachten treden gelijktijdig op: als de ene kracht er is, is de andere er ook! Die wet zou dus beter ‘de wet van de gelijktijdige interactie’ genoemd worden.

• De twee krachten grijpen aan op twee verschillende systemen: de ene kracht op het ene systeem, de andere op het andere systeem. Daarom kun je geen resultante bepalen van een koppel actie- en reactiekrachten!

• Alhoewel de twee krachten even groot zijn, kan de versnelling van de twee systemen toch verschil-lend zijn: als je uit een boom springt, val je naar beneden omdat de aarde een kracht op je lichaam uitoefent. Jij oefent een even grote (tegengestelde) kracht uit op de aarde, maar omdat de massa van de aarde zo veel groter is, valt de aarde niet merkbaar naar boven!

F21

systeem 1 systeem 2

F12

F21

systeem 1 systeem 2F12

Interactie_6.2_Lb.indb 74 5/08/15 11:19

Page 3: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

75

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

‘Middelpuntvliedende krachten’

Als je in een carrousel zit, heb je de indruk dat je naar buiten geduwd wordt. In het dagelijkse leven noemt men dat wel eens ‘de middelpuntvliedende kracht’. Als je de krachten op Stefanie in de draaiende ton (p. 59) bekijkt, zie je echter dat er geen naar buiten gerichte kracht is, integendeel, de resulterende kracht is naar binnen gericht! De ‘kracht’ die zij dus meent te ervaren is er in werkelijkheid niet!Er zijn nog situaties waarin je zo’n schijnkracht ervaart: in een auto die een bocht neemt, heb je het gevoel dat je naar buiten gedrukt wordt; in een vliegtuig dat vertrekt, word je tegen de stoel gedrukt; bij een auto-ongeval word je tegen je gordel gedrukt.Zo’n schijnkrachten treden op telkens je deel uitmaakt van een systeem dat een versnelling heeft.We bekijken wat er gebeurt aan de hand van een wagen die een bocht neemt. Voor de bocht bewegen wagen en passagiers rechtlijnig met een constante snelheid. Wanneer de wagen de bocht ingaat, zullen passagiers, door de wet van de traagheid, rechtdoor bewegen. Wanneer de wrijvingskracht van de stoel op de passagier voldoende groot is, zal die kracht ervoor zorgen dat de passagier ‘meegenomen’ wordt en de bocht neemt. Indien die kracht te klein is, beweegt de passagier rechtdoor, terwijl de auto de bocht neemt en dus onder de passagier ‘doorschuift’. Zo komt de passagier tot tegen de deur; die zal op hem een kracht uitoefenen, waardoor hij de bocht kan nemen. Die kracht is de reactiekracht van de kracht die hijzelf op de deur uitoefent. Als er geen deur aanwezig is, vliegt hij rechtdoor uit de wagen!Voor een buitenstaander is het ‘naar buiten gedrukt worden’ dus een gevolg van de wet van de traagheid. Daarom noemt men die schijnkrachten ook wel traagheidskrachten.

Nog een voorbeeld: een blokje zit aan een veer op een wrijvingsloze en horizontale schijf die ronddraait. Het blokje voert een ECB uit. De veer is uitgerekt. Voor een buitenstaander (A) is dit begrijpelijk: het blokje oefent op de veer een kracht uit die naar buiten gericht is (wet van de traagheid!); de veer oefent op het blokje een (reactie)kracht uit die naar binnen gericht is. Daardoor voert het blokje de ECB uit.Voor een waarnemer (B) op de schijf is het blokje in rust. Toch is de veer uitgerekt! Voor B kan dit maar als op het blokje een kracht inwerkt die naar buiten gericht is. Die kracht is echter fictief, want er is geen enkel systeem dat die kracht uitoefent. Het is die fictieve ‘kracht’ die je zelf ook ervaart als je op een paardenmolen zit en die de middelpuntvliedende of centrifugale kracht genoemd wordt.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

■ de 3e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven

F

A

B

Een systeem waarin de wetten van

Newton gelden noemt men een

inertiaal systeem.

Voor een waarnemer in een

systeem dat versnelt, gelden de

wetten van Newton niet. Zo’n

systeem noemen we een niet-

inertiaal systeem.

Interactie_6.2_Lb.indb 75 5/08/15 11:19

Page 4: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

Voorbeeld- oefeningen8

Bekijk eventueel eerst het stappenplan op p. 81.

De normaalkracht

Sergeï (massa 58,9 kg) staat op een koord. Bepaal de krachten die op hem inwerken als hij op de koord even in rust staat.

OplossingHet systeem dat we beschouwen is Sergeï.Op zijn lichaam werkt de zwaartekracht

→Fz.

Door de zwaartekracht oefent Sergeï op de koord een kracht →FSk uit:

→FSk is de kracht van Sergeï op de koord.

Volgens de derde wet van Newton oefent de koord op Sergeï een even grote tegengestelde (reactie)kracht uit:

→FkS is de kracht van de koord op Sergeï.

Op Sergeï werken twee krachten: →Fz en

→FkS.

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→Fz +

→FkS = m ∙ →a

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + FkS,x = m ∙ ax (1) op de y-as: -Fz + FkS,y = m ∙ ay (2)

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m ∙ g = 58,9 kg ∙ 9,81 N/kg = 578 NDe versnelling

a is nul, omdat hij even in rust is (en blijft).

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan FkS,x = m ∙ 0 -578 N + FkS,y = m ∙ 0

Daaruit volgt FkS,x = 0 N FkS,y = 578 N (= Fz)

De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N.

Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een kracht uit. Die kracht staat loodrecht op het steunvlak en noemen we de normaalkracht

→FN.

- OEFENING

Om de reactiekracht te bepalen,

moet je de volgorde omdraaien:

… van Sergeï op de koord … wordt

… van de koord op Sergeï …

y

x

Fz

FkS

FkS

Fz

FSk

Voor een kracht zoals

→Fz waarvan je de richting

kent, kun je de componenten

onmiddellijk uitdrukken als

functie van de grootte

(hier: Fz,x = 0 en Fz,y = -Fz).

Voor een kracht zoals

FkS, waarvan

we de richting niet kennen, moet

je werken met de componenten

(hier FkS,x en FkS,y).

y

x

Fz

FkS

+

FNFNWat is het verschil tussen

→FN en

→Fn?

Interactie_6.2_Lb.indb 76 5/08/15 11:20

Page 5: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

77

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Voorbeeld- oefeningen

Krachten bij het vertrek met een caravan

Brecht vertrekt met zijn auto (massa 1620 kg) en caravan (massa 659 kg) uit rust met versnelling 1,50 m/s2.a) Bepaal de krachten op het geheel. b) Bepaal de krachten op de caravan.

Oplossinga) Het systeem dat we beschouwen is de auto met de caravan.

Op dat systeem werken drie krachten: de zwaartekracht

→Fz

de normaalkracht →FN

de kracht van de motor die voor de versnelling zorgt →Fm

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→Fz +

→FN +

→Fm = m ∙ →a

We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de x-as: 0 + 0 + Fm = m ∙ ax (1) op de y-as: -Fz + FN + 0 = m ∙ ay (2)

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m ∙ g = (1620 kg + 659 kg) ∙ 9,81 N/kg = 224 ∙ 102 N

De versnelling

a is horizontaal en naar voor gericht: ax = +1,50 m/s2 en ay = 0.

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Fm = (1620 kg + 659 kg) ∙ 1,50 m/s2

-224 ∙ 102 N + FN = 0

Daaruit volgt Fm = 342 ∙ 101 N FN = 224 ∙ 102 N

- OEFENING

Fz

FN

Fz

FN

� Fm�

Fm�

y

x

aFN

Let op de vectorpijltjes!

De wagen kan slechts versnellen

door de wrijvingskracht met het

wegdek. Als er praktisch geen

wrijving is, zoals bv. op een ver-

ijsd wegdek, kan de wagen niet

versnellen!

Interactie_6.2_Lb.indb 77 5/08/15 11:20

Page 6: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

78 ] Kinematica en dynamica

b) Het systeem dat we beschouwen is de caravan.

Op dat systeem werken drie krachten:

de zwaartekracht →Fz,c

de normaalkracht →FN,c

de kracht van de (trekhaak van de) auto op de caravan →Fac

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→Fz,c +

→FN,c

+ →Fac = m ∙ →ac

Voor de zwaartekracht geldt Fz,c = mc ∙ g = 659 kg ∙ 9,81 N/kg = 646 ∙ 101 N

De versnelling

ac van de caravan is horizontaal, naar voor gericht en is eveneens 1,50 m/s2. Projecteren geeft op de x-as: 0 + 0 + Fac = 659 kg ∙ 1,50 m/s2 (1) op de y-as: -Fz,c + FN,c + 0 = 0 (2) Daaruit volgt Fac = 989 N FN,c = 646 ∙ 101 N

Bindingskrachten

De (trekhaak van de) auto oefent op de caravan een kracht →Fac uit. De caravan oefent op

de auto een even grote tegengestelde (reactie)kracht →Fca uit.

Beschouw je de auto en de caravan als één systeem, dan zijn dat krachten tussen onderdelen van het systeem (van de auto op de caravan en omgekeerd). We noemen dat bindingskrachten. Die bindingskrachten zijn er bv. ook tussen alle atomen en moleculen van de auto. Met de bindingskrachten van een systeem hoeven we geen rekening te houden aangezien dat geen uitwendige krachten zijn!

Als je de caravan als systeem beschouwt, is de kracht →Fca wel een uitwendige kracht.

Bindingskrachten zijn krachten tussen onderdelen van één systeem. Daarmee hoeven we geen reke-ning te houden.

y

x

Fac

FN,c

Fz,c

+

→Fca

→Fac→

Fac

Interactie_6.2_Lb.indb 78 5/08/15 11:20

Page 7: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

79

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Krachten op een wagen bij het takelen

Een takelwagen trekt een wagen (massa 1200 kg) omhoog met een constante snelheid van 0,20 m/s. De hellingshoek is 7,0°. Bepaal de krachten op de wagen. De wrijvingskracht mag je verwaarlozen.

OplossingHet systeem dat we beschouwen is de auto.Op de auto werken drie krachten: de zwaartekracht

→Fz

de normaalkracht →FN

de trekkracht van de kabel →Fk

De trekkracht die een kabel of touw op een voorwerp uitoefent, werkt volgens de richting van de kabel.

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→Fz +

→FN +

→Fk = m ∙ →a

We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de x-as: Fz,x + 0 + Fk = m ∙ ax (1) op de y-as: Fz,y + FN + 0 = m ∙ ay (2)

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m ∙ g = 1200 kg ∙ 9,81 N/kg = 11,8 kN Fz,x = -Fz ∙ sin 7,0° = -1,4 kN Fz,y = -Fz ∙ cos 7,0° = -11,7 kN

De versnelling a is nul, omdat de snelheid van de auto constant is en de baan recht.

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Daaruit volgt -1,4 kN + Fk = m ∙ 0 P Fk = 1,4 kN -11,7 kN + FN = m ∙ 0 FN = 11,7 kN

Opmerkingen:- De normaalkracht is hier kleiner dan de zwaartekracht omdat de wagen op een helling staat. Hoe groter

de helling, hoe kleiner de normaalkracht. Bij een loodrechte helling duwt de wagen niet meer op de helling en is de normaalkracht nul.

- De kracht →Fk is even groot en tegengesteld aan de component van de zwaartekracht volgens de helling:

Fk = 1,4 kN Fz,x = -1,4 kN Als je de wrijvingskrachten verwaarloost, maakt het geen verschil uit of de auto in rust is of met

constante snelheid wordt opgetrokken: de kracht →Fk is in beide gevallen even groot!

- OEFENING

+

30

y

x

Fn

Fz

Ft

y

xFN

Fz

Fk

Waarom kiezen we het

assenstelsel zo?

7,0°

Fz, y

Fz, x

y

x

FzDenk aan de tekens bij het

projecteren: Fz,x en Fz,y zijn

negatief. Waarom?

→Fk

→FN

→Fz

Interactie_6.2_Lb.indb 79 5/08/15 11:20

Page 8: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

80 ] Kinematica en dynamica

Zwiercarrousel

Bobbejaan zit in een zwiercarrousel en beschrijft een ECB. De massa van het geheel (Bobbejaan + zitje) is 85,2 kg. De periode is 5,74 s. De straal van de beschreven cirkel is 9,60 m. Bepaal de krachten op Bobbejaan en zijn zitje.

OplossingHet systeem dat we beschouwen is Bobbejaan en zijn zitje.Op dat systeem werken twee krachten: de zwaartekracht

→Fz

de kracht van de kabel →Fk

Volgens de tweede wet van Newton geldt →Fz +

→Fk = m ∙ →a

We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de x-as: 0 + Fk,x = m ∙ ax (1) op de y-as: -Fz + Fk,y = m ∙ ay (2)

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m ∙ g = 85,2 kg ∙ 9,81 N/kg = 836 N

Vermits het systeem een ECB uitvoert, is

a horizontaal en naar het middelpunt van de baan gericht: ax = aVoor de grootte van de versnelling geldt

a r

Tr= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω π π2

2 22 2

5 74· ·

s· 9,60

,m m/s= 11 5 2,

Dus ax = a = 11,5 m/s2

ay = 0

De vergelijkingen (1) en (2) geven Fk,x = 85,2 kg ∙ 11,5 m/s2

-836 N + Fk,y = 0

Daaruit volgt Fk,x = 980 N Fk,y = 836 N

De grootte van de kracht

Fk is

F F Fk k,x k,y2 2N) N) 101= + = + =( ) ( ( ·2 2 980 836 129 N

Opmerking:De kracht

→Fz (836 N) is even groot als en tegengesteld aan de y-component van

→Fk (836 N). Die twee

compenseren elkaar. De x-component van →Fk geeft de resulterende kracht

→Fc.

Zoals verwacht bij een ECB wijst die resulterende kracht naar het middelpunt van de baan.

- OEFENING

y

x

Fz

Fz

y

x

836 N

836 N

980 N

y

x

Fz

→Fk

→Fk

→Fk

→Fc

Interactie_6.2_Lb.indb 80 5/08/15 11:20

Page 9: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

81

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Middelpuntzoekende kracht op de maan

De maan voert (bij benadering) een ECB uit rond de aarde. Bereken de middelpuntzoekende kracht die op de maan werkt.

OplossingHet systeem dat we beschouwen is de maan.Vermits het systeem een ECB uitvoert, is de kracht

→Fc naar het middelpunt (van de aarde) gericht.

�Fc

Voor de grootte van de kracht geldt

F m r mT

rc · · · ·= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω π2

22

Invullen van de gegevens (zie gegevenskaart) geeft

Fc · kg · 2

2,36 · s·=

⎝⎜

⎠⎟7 35 10

1022

6

2

, π 33 84 10 2 008, ,· m · 10 N20=

Stappenplan voor het oplossen van oefeningen op de wetten van Newton

1. Kies het systeem. 2. Teken de uitwendige kracht(en) op het systeem: dat zijn de krachten die de omgeving op

het systeem uitoefent. 3. Pas de tweede wet van Newton toe op dat systeem. ·F m ai =/ � �

4. Kies een (zo efficiënt mogelijk) assenstelsel en projecteer de vectoren. Let op de tekens!

5. Bepaal de onbekende grootheid(heden) met de vergelijkingen. Gebruik eventueel de formules uit de kinematica.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de wetten van Newton oplossen ■ de begrippen normaalkracht, bindingskracht en trekkracht uitleggen aan de hand van voorbeelden

- OEFENING

Een staalkabel met breeksterkte

170 · 103 N/cm2 moet een diame-

ter hebben van 386 km om deze

kracht te kunnen weerstaan!

Interactie_6.2_Lb.indb 81 5/08/15 11:20

Page 10: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

De gravitatiekracht9

Tot in de 16e eeuw geloofde men dat de aarde het centrum van het heelal was en dat planeten, sterren, de zon … rond de aarde draaiden (geocentrisch wereldbeeld). Het stuitte dan ook op heel wat tegenstand, o.a. van de kerkelijke overheden, toen o.a. Copernicus en Galilei het heliocentrische wereldbeeld voorop stelden, waarbij de zon als centrum wordt beschouwd. De beweging van de planeten rond de zon kan dan beschreven worden door de drie wetten van Kepler:

Eerste wet: de planeten bewegen op ellipsvormige banen rond de zon, met de zon in een brandpunt.

Tweede wet: de voerstraal (de lijn tussen zon en planeet) beschrijft in gelijke tijden gelijke oppervlakken (perkenwet).

Derde wet: de verhouding van de derde macht van a (lengte van de halve lange as) tot het kwadraat van T (periode) is dezelfde voor alle planeten:

a

Tcte

3

2=

Trefwoorden: Aristoteles, Galilei, Copernicus, Tycho Brahe, Kepler, Newton, Cavendish, Einstein

Zoek een antwoord op volgende vragen:• Welke bijdrage leverden de hierboven vermelde wetenschappers aan de gravitatietheorie?• Hoe bepaalde Cavendish de gravitatieconstante?• Maak een tijdsas met de belangrijkste bijdragen op dat vlak.• Wat is het verschil tussen ‘trage massa’ en ‘zware massa’?

Van geocentrisch naar heliocentrisch wereldbeeld

9.1

Galileo Galilei

+WETTEN

∆t

∆t

Controleer de derde wet van

Kepler voor enkele planeten met

behulp van je gegevenskaart.

: Gravitatie

Interactie_6.2_Lb.indb 82 5/08/15 11:20

Page 11: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

83

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

De gravitatiekracht

De ellips

Een ellips is een kromme waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 en F2 constant is: voor elk punt van de ellips is de afstand d1 + d2 dezelfde.

De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips.

Een ellips heeft twee symmetrieassen: een lange en een korte as. De lengte van de halve lange as is a, die van de halve korte as is b.De verhouding b/a is een maat voor de afplatting van de ellips. Die waarde ligt tussen 0 (rechte) en 1 (cirkel).

hemellichaam massa m(kg)

straal hemellichaam(m)

straal baan(m)

periode T(s)

b/a

Zon 1,99 ∙ 1030 6,96 ∙ 108

Mercurius 3,30 ∙ 1023 2,43 ∙ 106 5,79 ∙ 1010 7,60 ∙ 106 0,978

Venus 4,88 ∙ 1024 6,05 ∙ 106 1,08 ∙ 1011 1,94 ∙ 107 1,000

Aarde 5,976 ∙ 1024 6,371 ∙ 106 1,496 ∙ 1011 3,15 ∙ 107 0,999

Maan 7,35 ∙ 1022 1,74 ∙ 106 3,84 ∙ 108 2,36 ∙ 106 0,998

Mars 6,42 ∙ 1023 3,38 ∙ 106 2,28 ∙ 1011 5,93 ∙ 107 0,996

Jupiter 1,90 ∙ 1027 6,98 ∙ 107 7,78 ∙ 1011 3,74 ∙ 108 0,999

Saturnus 5,68 ∙ 1026 5,82 ∙ 107 1,43 ∙ 1012 9,30 ∙ 108 0,998

Uranus 8,68 ∙ 1025 2,35 ∙ 107 2,87 ∙ 1012 2,65 ∙ 109 0,999

Neptunus 1,03 ∙ 1026 2,27 ∙ 107 4,50 ∙ 1012 5,20 ∙ 109 1,000

(Pluto 1,26 ∙ 1022 2,39 ∙ 106 5,90 ∙ 1012 7,83 ∙ 109 0,969)

b

P

F 1d 1

F 2

d 2

a

Je kunt een ellips tekenen door

de eindpunten van een koordje in

twee punten (de brandpunten)

te fixeren en een lijn te tekenen

waarbij het touw gespannen blijft.

Uit de tabel blijkt dat b/a ≈ 1;

de banen zijn dus praktisch

cirkelvormig.

Met volgende zin kun je de

volgorde van de planeten rond de

zon onthouden: MEt VEel AAndacht

MAakt JUlia ‘S Avonds URenlang

NEpalese PLooirokjes.

Sinds 2006 wordt Pluto niet meer

als een planeet beschouwd.

Interactie_6.2_Lb.indb 83 5/08/15 11:20

Page 12: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

84 ] Kinematica en dynamica

Het feit dat de planeten een kromlijnige baan beschrijven, betekent dat er op de planeten voortdurend een kracht inwerkt. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de kracht die zorgt voor de kromlijnige baan van de planeten?

Isaac Newton beschreef die kracht voor het eerst in 1687.

Twee massa’s m1 en m2 oefenen op elkaar door hun massa een aantrekkingskracht uit: de gravitatiekracht →Fg.

Voor de grootte van deze kracht geldt

F

G m m

rg =

⋅ ⋅1 22

r is de afstand tussen de twee massa’s.G is de gravitatieconstante: G = 6,673 ∙ 10-11 N ∙ m2/kg2.Dat is de algemene gravitatiewet.

m 1 m 2

r

�F

g

�F

g

Vermits de constante G erg klein is, is de gravitatiekracht tussen voorwerpen slechts merkbaar als één van beide voorwerpen een grote massa heeft.

Welke afstand r moet je gebruiken in de gravitatiewet?

Voor puntmassa’s is de afstand r de afstand tussen die punten.Bij reële voorwerpen is die afstand niet zomaar te bepalen: elk deeltje (proton, neutron, elektron …) van het ene voorwerp oefent immers gravitatiekracht uit op elk deeltje van het andere voorwerp. Al die krachten samen geven de resulterende gravitatiekracht op het voorwerp. We doen nu volgende gedachteproef: je vervangt de twee voorwerpen door puntmassa’s en zet die op een zodanige afstand r dat de gravitatiekracht dezelfde is als tussen de voorwerpen. Dat is de afstand r tussen de voorwerpen die we zoeken. In oefeningen krijg je de afstand r opgegeven. De zon en de planeten beschouwen we als homogene en regelmatige bollen. Dan mag je de afstand tussen de middelpunten gebruiken.

De gravitatiekracht

9.2

ONDERZ

OEKSVRAAG

+WET

Gravitatie komt van het Latijnse

woordje ‘gravitas’, wat zwaar,

zwanger … betekent.

F21

F21 F12

F12m1

m1

m2

m2

r

Interactie_6.2_Lb.indb 84 5/08/15 11:20

Page 13: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

85

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Grootte van de gravitatiekracht

Hoe groot is de gravitatiekracht tussen Jan (massa 58,3 kg) en Tine (52,8 kg) als ze zich 1,50 m van elkaar bevinden?

OplossingDe grootte van de gravitatiekracht is

FG m m

rg

2 2· N · m /kg ·

=⋅ ⋅

=−

1 22

116 673 10 58, ,339 13 10 8kg · 52,8 kg

(1,50 m)· N

2= −,

Die kracht is zo klein dat je daar in praktijk niets van merkt!

Getijden

Hoe groot is de gravitatiekracht die de maan op het stuwmeer in de figuur uitoefent? Het volume water in het meer is 15,9 ∙ 103 m3.

OplossingDe grootte van de gravitatiekracht is

FG m m

rg =

⋅ ⋅1 22

De afstand r is r = raarde-maan – ra

= 3,84 ∙ 108 m – 6,371 ∙ 106 m = 3,78 ∙ 108 m

De massa water in het meer is m = ρ ∙ V = 1,000 ∙ 103 kg/m3 ∙ 15,9 ∙ 103 m3 = 15,9 ∙ 106 kg

Dus

Fg

- 2 6∙ ∙ N ∙ m /kg 15 ∙ 10 k=

6 673 10 911 2, ∙ , gg ∙ 7,35 ∙ 10 kg

(3,78 ∙ 10 m)N

22

8 2= 546

Omdat de maan rond de aarde draait, verandert de gravitatiekracht van de maan op de zeeën en oceanen voortdurend. De stroming die daardoor ontstaat, veroorzaakt de getijden. In een nagenoeg afgesloten zee zoals de Middellandse Zee, zijn er nauwelijks of geen getijden.

- OEFENING

FJTFTJ

SYST 1 SYST 2

- OEFENING

raarde-maan

ra

meer

Maak een schets zodat je

ziet wat de afstand r is.

→Fg

Interactie_6.2_Lb.indb 85 5/08/15 11:20

Page 14: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

86 ] Kinematica en dynamica

Gravitatiekracht van de aarde op de maan

Hoe groot is de gravitatiekracht die de aarde op de maan uitoefent?

Oplossing

De grootte van de gravitatiekracht is

FG m m

rg

2· · N · m /kg=

⋅ ⋅=

−1 22

11 26 673 10 5, · ,9976 · 10 kg · 7,35 · 10 kg

(3,84 · 10 m)

24 22

8 2== 1 99, · 10 N20

De middelpuntzoekende kracht die nodig is om de maan haar cirkelvormige baan te laten beschrijven, is F = 2,00 ∙ 1020 N (zie oef. p. 81)

Deze kracht is (op een afronding na) even groot als de gravitatiekracht. Daaruit blijkt dat de beweging van de maan rond de aarde verklaard kan worden met de gravitatiekracht.

9.3.1 De zwaartekracht

Met de gravitatiekracht kun je niet alleen de beweging van de planeten verklaren, maar ook de zwaartekracht.

De zwaartekracht is de gravitatiekracht die de aarde op elk voorwerp uitoefent.

Dat blijkt uit de kenmerken van beide krachten op een voorwerp op aarde: - zowel de zwaartekracht als de gravitatiekracht zijn verticaal en naar beneden gericht; - beide krachten veranderen op eenzelfde manier met de hoogte; - de zwaartekracht en de gravitatiekracht die de aarde op een voorwerp uitoefent zijn even groot.

We bekijken dat laatste puntje voor een auto met massa 1250 kg.De grootte van de zwaartekracht is Fz = m ∙ g

= 1250 kg ∙ 9,81 N/kg = 123 ∙ 102 N

- OEFENING

r

Gravitatie- en zwaartekracht

9.3

+Ook op en rond andere planeten en

hemellichamen is er zwaartekracht

omwille van de gravitatiekracht

die die hemellichamen uitoefenen.

→Fg

Interactie_6.2_Lb.indb 86 5/08/15 11:20

Page 15: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

87

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

De grootte van de gravitatiekracht is

FG m m

rg

a

-11 2 2

∙ ∙

∙ N ∙ m /kg ∙

=

=

2

6 673 10, 11250 kg ∙ 5,976 ∙ 10 kg

(6,371 ∙ 10 m)

24

6 2= 1123 ∙ 10 N2

9.3.2 De valversnelling

Een voorwerp met massa m waarop een resulterende kracht →F werkt, krijgt een versnelling →a met als

grootte

a F

m=

De versnelling van een voorwerp als gevolg van de zwaartekracht is de valversnelling g. Vermits Fz = Fg geldt

gFmG m m

r mG m

r

=

=

=

z Fmg

a

a

· ·

··

2

2

=

Op het aardoppervlak is r gelijk aan de aardstaal ra.

Dan is

, ∙

, ∙ ∙ / ∙ , ∙

, ,∙

,

gr

G m

6 371 10

6 673 10 5 976 10

9 820 9 820 9 820

m

N m kg kg

N/kgs kgkg ∙ m

m/s

2

6

11 2 2 24

22

2

a

a=

=

= = =

-

^ h

, ∙

, ∙ ∙ / ∙ , ∙

, ,∙

,

gr

G m

6 371 10

6 673 10 5 976 10

9 820 9 820 9 820

m

N m kg kg

N/kgs kgkg ∙ m

m/s

2

6

11 2 2 24

22

2

a

a=

=

= = =

-

^ h

, ∙

, ∙ ∙ / ∙ , ∙

, ,∙

,

gr

G m

6 371 10

6 673 10 5 976 10

9 820 9 820 9 820

m

N m kg kg

N/kgs kgkg ∙ m

m/s

2

6

11 2 2 24

22

2

a

a=

=

= = =

-

^ hm

2s

De valversnelling g op een hemellichaam met massa m en straal r is g G m

r= ∙

2.

Dat is in overeenstemming met de wetten van de vrije val die je in 6.2.1 zag: • de valversnelling is constant en onafhankelijk van de massa van het voorwerp; • de valversnelling aan het aardoppervlak is 9,82 m/s2.

Met de formule gG m

r=

·2

kun je ook de valversnelling op bv. de maan berekenen:

voor m en r moet je dan respectievelijk de massa en de straal van de maan gebruiken.

De term zwaartekracht gebruiken

we meestal voor de gravitatie-

kracht op een voorwerp op aarde.

De term gravitatiekracht

gebruiken we in het algemeen, bv.

voor de kracht tussen de aarde en

de maan.

+

In onze streken is g gelijk aan

9,81 m/s2. De kleine afwijking die

we hier vinden, is een gevolg van

het feit dat de aarde geen perfecte

en homogene bol is en roteert.

Hoe deze factoren g beïnvloeden,

behandelen we op p. 92.

Interactie_6.2_Lb.indb 87 5/08/15 11:20

Page 16: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

88 ] Kinematica en dynamica

9.3.3 De zwaarteveldsterkte

Een (bron)massa mb creëert in de ruimte een gravitatieveld of zwaarteveld: een andere massa m die zich in de buurt bevindt, ondervindt de gravitatiekracht

→Fg. Om de invloed van de

bronmassa mb te beschrijven, definiëren we de grootheid ‘gravitatie- of zwaarteveldsterkte’.

De gravitatie- of zwaarteveldsterkte →Fg in een punt P in de buurt van een bronmassa is de verhouding van

de gravitatiekracht op een proefmassa m in dat punt tot die massa:

E

F

mgg=→

Voor de grootte van de zwaarteveldsterkte op het aardoppervlak geldt

EF

m

G m m

r m

G m

rg

g a

a2

a

a2

∙ ∙

∙= = =

Je vindt dezelfde formule terug als voor de valversnelling g!

De zwaarteveldsterkte Eg op een hemellichaam met massa m en straal r is E G m

rg

∙=2

.

De zwaarteveldsterkte en de valversnelling zijn één en dezelfde grootheid.Daarom kunnen we voor beide grootheden hetzelfde symbool gebruiken, nl. g.

Relativiteitstheorie

De aanwezigheid van een massa in de ruimte verandert die ruimte, ook letterlijk. Dat volgt uit de relativiteitstheorie van Einstein: in de buurt van een massa is de ruimte gekromd. In zo’n ruimte is de gewone (euclidische) meetkunde niet meer geldig: zo is bv. de som van de hoeken van een driehoek er verschillendvan 180°! Volgens de relativiteitstheorie bewegen lichtstralen niet rechtlijnig in de buurt van een massa, maar buigen ze af. Dat werd voor het eerst vastgesteld tijdens een zonne-eclips in 1919.Een tweede bevestiging van de relativiteitstheorie was de baan van de planeet Mercurius, die niet kon verklaard worden met de wetten van Newton, maar wel met de relativiteitstheorie.

Fg

m

+DEFINITIE

Vergelijk deze definitie met die

van de ‘elektrische veldsterkte’,

die je vorig jaar leerde kennen.

+

Albe

rt E

inst

ein

“Space tells matter how to move.

Matter tells space how to curve.”

(John Archibald Wheeler)

Interactie_6.2_Lb.indb 88 5/08/15 11:20

Page 17: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

89

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

9.3.4 Het gewicht van een voorwerp

De massa en het gewicht van een voorwerp worden dikwijls met elkaar verward. Zo vraagt de dokter je gewicht, maar in feite bedoelt hij je massa (uitgedrukt in kg).

Maar wat is gewicht dan wel?Elk voorwerp op aarde wordt door de aarde aangetrokken. Als het voorwerp ondersteund wordt, oefent het daardoor een kracht uit op zijn steun. Die kracht is het gewicht van het voorwerp, symbool

→Gw.

Als die steun een dynamometer of een weegschaal is, kun je de grootte van het gewicht onmiddellijk aflezen.Volgens de derde wet van Newton oefent de steun een even grote tegengestelde kracht uit op het voorwerp, de normaalkracht

→FN:

→Gw = -

→FN en dus Gw = FN

De massa m van een voorwerp is een maat voor de hoeveelheid materie en wordt uitgedrukt in kg.Het gewicht

→Gw van een voorwerp is de kracht die het voorwerp uitoefent op zijn steun en staat in N.

De normaalkracht →FN is de kracht van de steun op het voorwerp en is even groot als het gewicht

→Gw.

G w = FN

We bekijken het gewicht van een voorwerp in verschillende situaties.

Het gewicht van een voorwerp in rust op een horizontaal oppervlak

Obelix staat op een weegschaal in rust. Zijn massa is 110 kg. Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht

→Fz en de normaalkracht

→FN.

Beschouw je Obelix als systeem, dan geldt volgens de tweede wet van Newton

→Fz +

→FN = m ∙ →a

Vermits hij in rust is en blijft, is →a gelijk aan nul.

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + 0 = m ∙ 0 (1) op de y-as: -Fz + FN = m ∙ 0 (2)

Vergelijking (2) geeft FN = Fz

= m ∙ g = 110 kg ∙ 9,81 N/kg = 108 ∙ 10 N

Bijgevolg Gw = FN = 108 ∙ 10 N

Voor een voorwerp in rust op een horizontaal vlak, is het gewicht even groot als de zwaartekracht: Gw = m ∙ g

GW

FN

FN

+DEFINITIE

7

GW

FZ

FN x

y

+

Interactie_6.2_Lb.indb 89 5/08/15 11:20

Page 18: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

90 ] Kinematica en dynamica

Het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt

Obelix staat op een weegschaal in een lift die opwaarts vertrekt.Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht

→Fz en de normaalkracht

→FN.

Volgens de tweede wet van Newton is

→Fz +

→FN = m ∙ →a

Vermits de lift opwaarts versnelt, is

a verticaal en naar boven gericht: ax = 0 en ay = a.We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + 0 = m ∙ 0 (1) op de y-as: -Fz + FN = m ∙ a (2)

Vergelijking (2) geeft FN = Fz + m ∙ a = m ∙ g + m ∙ a = m ∙ (g + a)

Zijn gewicht is Gw = FN = m ∙ (g + a)

Zijn gewicht is groter dan de zwaartekracht. Bv. als de lift versnelt met 3,0 m/s2, vind je Gw = 110 kg ∙ (9,81 m/s2 + 3,0 m/s2) = 141 ∙ 10 N

Dat klopt met de waarneming: als de lift vertrekt, geeft de weegschaal een grotere waarde aan.

Voor het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt, geldt Gw = m ∙ (g + a)

Je gewicht kun je bepalen met een ‘weeg’schaal, maar toch lees je daarop je massa af. Hoe kan dat? In feite is een weegschaal een soort dynamometer: de uitwijking van de schaal wordt veroorzaakt door de vervorming van veren. Stel dat je massa 63,0 kg bedraagt.De zwaartekracht die op je lichaam werkt, is Fz = m · g = 63,0 kg · 9,81 m/s2 = 618 NDe kracht – je gewicht – die je op de weegschaal uitoefent is even groot: Gw = 618 N

Zet men op de schaal gGw uit, dan kun je onmiddellijk je massa aflezen:

,

,gG

9618 63 081 m/s

N kgw2= =

7

GW

FZ

FN x

y

→a

Op analoge wijze kun je de for-

mules opstellen voor een lift die

vertraagt of die naar beneden ver-

trekt. (zie oef. 77 p. 116)

+

618 N 63,0 kg: 9,81 Nkg

Interactie_6.2_Lb.indb 90 5/08/15 11:20

Page 19: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

91

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Gewichtloosheid

Obelix staat in een lift. Plots breekt de liftkabel.Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht

→Fz en de normaalkracht

→FN.

Volgens de tweede wet van Newton is

→Fz +

→FN = m ∙ →a

De versnelling van Obelix en de lift is neerwaarts gericht en is gelijk aan de valversnelling

g.We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de y-as: -Fz + FN = m ∙ (-g) -m ∙ g + FN = -m ∙ g FN = m ∙ g – m ∙ g = 0

Het gewicht van Obelix is Gw = FN

= 0

Het gewicht is nul: Obelix is gewichtloos! Dat klopt ook met de waarneming: tijdens de valbeweging geeft de weegschaal in de lift de waarde nul aan! Als hij zijn knots loslaat, ziet hij die zweven. Je kunt dat als volgt begrijpen: tijdens de val van de lift werkt enkel de zwaartekracht op de lift, op Obelix, op zijn knots … De versnelling als gevolg van die kracht (de valversnelling) is voor alle voorwerpen dezelfde.

Op een voorwerp dat een vrije val uitvoert, werkt enkel de zwaartekracht. Het gewicht van zo’n voorwerp is nul: het is gewichtloos.

Paraboolvluchten

Om fenomenen in gewichtloze toestand te onderzoeken, organiseert de ESA parabool­vluchten met de Caravelle. Het vliegtuig stijgt daarbij tot ongeveer 7 500 m hoogte (punt A: zie fig.). In dat punt heeft het een snelheid van 460 km/h, worden de kleppen van de vleugels ingeklapt en de motoren stilgelegd. De ‘liftkracht’ en de stuwkracht valt dan weg en enkel de zwaartekracht werkt nog in op het vliegtuig. Tussen punt A en B volgt het vliegtuig een parabolische baan zoals een voorwerp dat een schuine worp uitvoert. Het toestel (en alles in het toestel) is gewichtloos tot in punt B. Dan worden de motoren terug aangezet en eindigt de gewichtloze fase.

7

GW

FZ

FN x

y

Een systeem waarop geen enkele

kracht werkt, is eveneens gewicht-

loos.

+

y(m)

x

7500 BA

© E

SA

Interactie_6.2_Lb.indb 91 5/08/15 11:20

Page 20: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

92 ] Kinematica en dynamica

9.3.5 Factoren die g beïnvloeden

De valversnelling g is niet overal even groot. Ver van de aarde bv. is g gelijk aan nul (waaruit kun je dat besluiten?). Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag:

Van welke factoren hangt de valversnelling g af?

Invloed van de hoogte

h

Vroeger zag je al dat gG m

r=

∙ a2

Op een hoogte h boven het aardoppervlak is r = ra + h en dus gG m

r h=

+

∙ a

a( )2

We kunnen dat ook schrijven als

gG m

r h

r

r

r=

+=

∙∙ m/s ∙a

a

2 a

a

a2

2

29 820

( ),

22

2( )r ha +

hoogte (km) g (m/s2)

0 9,82

5 9,81

10 9,79

50 9,67

100 9,52

300 8,96

1000 7,34

100 000 0,035

De valversnelling (of de zwaarteveldsterkte) g daalt met de hoogte:

g

r

r h=

+9 820

2

2,

( )m/s ∙2 a

a

Invloed van de vorm van de aarde

De aarde is niet bolvormig maar afgeplat: de straal is het grootst aan de evenaar en het kleinst aan de polen.

Als gevolg van de afplatting van de aarde neemt g af van de polen naar de evenaar.

ONDERZ

OEKSVRAAG

7

00

2

4

6

8

10

12

1000 2000 3000 4000 5000 6000

g (m/s2)

h (km)

+

7

plaats aardstraal g (m/s2)

Noordpool 6356,8 km 9,87

Evenaar 6378,1 km 9,80

+

Interactie_6.2_Lb.indb 92 5/08/15 11:20

Page 21: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

93

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Invloed van de aardrotatie

Omdat de aarde roteert om haar as, voert een voorwerp op aarde een ECB uit. Daarvoor is de centripe-tale kracht

→Fc nodig.

Voor de grootte van de krachten geldt Fg = m ∙ g = m ∙ 9,820 m/s2

Fc = m ∙ ω2 ∙ r

ω is de hoeksnelheid van de aarde = ∙242

hra k = 7,27 ∙ 10-7 (rad)/s

r is de straal van de cirkel die een voorwerp beschrijft.

We bekijken 3 plaatsen:

Op de evenaar:De straal van de cirkel die het voorwerp beschrijft is gelijk aan de aardstraal ra = 6378,1 km

ra

Fg

"

Fc

"F"

De grootte van de centripetale kracht is Fc = m ∙ ω2 ∙ ra

Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet):

→F =

→Fg -

→Fc

en dus →Fg =

→F +

→Fc

Die kracht F"

is naar het middelpunt van de aarde gericht. Omdat de gravitatiekracht en de centripetale kracht dezelfde richting en zin hebben, geldt voor de grootte van

→F

F = Fg - Fc = m ∙ g - m ∙ ω2 ∙ ra = m ∙ (g - ω2 ∙ ra)

De grootte van de effectieve valversnelling is ge = F / m

= m ∙ (g - ω2 ∙ ra) / m = g - ω2 ∙ ra = 9,820 m/s2 - [7,27 ∙ 10-7 (rad)/s]2 ∙ 6378,1 ∙ 103 m = 9,820 m/s2 - 0,0337 m/s2 = 9,786 m/s2

7

Wat zou er gebeuren als de

gravitatiekracht plots zou

wegvallen?

Let op de eenheden!

Hoeksnelheid moet je uitdrukken

in rad/s!

Als de aarde zo snel zou rond-

draaien dat Fc = Fg, is F = 0 en zou

een voorwerp niet meer vallen!

(zie oef. 72 p. 116)

Interactie_6.2_Lb.indb 93 5/08/15 11:21

Page 22: De derde wet van Newton - die Keure...De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een

94 ] Kinematica en dynamica

Op de polen:

raFg

"

Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal nul. De grootte van de centripetale kracht is Fc = m ∙ ω2 ∙ r = m ∙ ω2 ∙ 0 = 0

De volledige gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling:

→F =

→Fg -

→Fc =

→Fg - 0 =

→Fg

Die kracht is naar het middelpunt van de aarde gericht.De grootte van de effectieve valversnelling is

, m/sgmF

m

F

mm g

g 9 820∙

eg 2= = = = =

Op breedtegraad m:

Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal r gelijk aan r = ra ∙ cos λwant cos λ = r/ra.

De grootte van de centripetale kracht is Fc = m ∙ ω2 ∙ r = m ∙ ω2 ∙ ra ∙ cos λ

Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet):

→F =

→Fg -

→Fc =

→Fg + (-

→Fc)

Omdat de gravitatiekracht en de centripetale kracht niet dezelfde richting hebben, wijst de kracht

→F niet

naar het middelpunt van de aarde! Een voorwerp valt daardoor niet naar het middelpunt van de aarde, maar (op het noordelijk halfrond) iets meer naar het zuiden. De effectieve valversnelling is kleiner. Op onze breedtegraad vindt men ge = 9,807 m/s2

Door de rotatie van de aarde neemt de effectieve valversnelling af van de polen naar de evenaar.

7

rr

rr

Fg

"Fg

" F"

Fc-"

Fc

"

ra

ra

plaats λ (°) ge (m/s2)

Noordpool 90 9,820België 51 9,807

Evenaar 0 9,786

+

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

■ de gravitatiewet formuleren ■ de zwaartekracht verklaren met de gravitatiekracht ■ aantonen dat de zwaarteveldsterkte en de valversnelling identieke grootheden zijn ■ de definitie geven van het gewicht van een systeem ■ uitleggen van welke factoren g afhankelijk is ■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de gravitatiekracht oplossen

Interactie_6.2_Lb.indb 94 5/08/15 11:21