Curs Algebra liniara 1+2

Click here to load reader

  • date post

    08-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    228
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Curs Algebra liniara 1+2

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    1/86

    Algebra liniara

    Spatii liniare

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 1 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    2/86

    Definitie

    Fie M o multime nevida. O aplicatie

    : M M M

    se numeste lege de compozitie interna sau operatie binara interna pemultimea M.

    Definitie

    Fie si M doua multimi nevide. O aplicatie

    : M M

    se numeste lege de compozitie externa pe M sau operatie externa pe Mcu operatori n .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 2 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    3/86

    Definitia notiunii de spatiu liniar.

    Definitie

    Fie V o multime nevida si K un corp. Spunem ca V este un spatiuliniar(sau spatiu vectorial) peste corpul K, daca V este nzestrat cu ooperatie binara interna, notata aditiv

    + : V V V : (v, w) v + w

    si cu o lege de compozitie externa cu operatori n corpul K, notatamultiplicativ

    : K V V : (, v) v,care satisfac urmatoarele axiome:

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 3 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    4/86

    DefinitieSL1. (u+ v) + w = u+ (v + w), ()u, v, w V.SL2. v + w = w + v, ()v, w V.SL3. ()0 V : 0 + v = v + 0 = v, ()v V.SL4. ()v V()(v) V : (v) + v = v + (v) = 0.SL5. (v + w) = v + w, () K, ()v, w V.SL6. ( + ) v = v + v, (), K, ()v V.SL7. ( ) v = ( v), (), K, ()v V.SL8. 1 v = v, ()v V.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 4 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    5/86

    Observatie

    Axiomele SL1-SL4 afirma ca (V,

    +) este un grup abelian.Axiomele SL5-SL8 exprima proprietatile de compatibilitate aleoperatiei externe cu operatiile interne din V si K.Terminologie:i) Elementele multimii V se numesc vectori.

    ii) Elementele corpului K se numesc scalari.iii) Legea de compozitie interna(+) se numeste adunarea vectorilor.iv) Legea de compozitie externa() se numeste nmultirea vectorilor cuscalari.v) Elementul neutru 0 al grupului (V, +)(vezi SL3) se numeste vectorul

    nul.vi) Daca K = R, atunci V se numeste spatiu liniar real.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 5 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    6/86

    Spatiul liniar real Rn

    Multimea Rn

    = R R . . . R n ori

    = {(x1, x2, . . . , xn)|xi R} a sistemelor

    ordonate de cate n numere reale o identificam cu multimea Mn1(R) amatricelor cu n linii si o singura coloana, scriind cele n numere ale unuisistem (x1, x2, . . . , xn) ntr-o matrice coloana

    X =

    x1x2...

    xn

    .

    Un asemenea sistem l vom numi atunci vector n Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 6 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    7/86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    8/86

    Observatie

    In raport cu aceste operatii, Rn este atunci un spatiu liniar real, care se

    numeste spatiul aritmetic real n-dimensional.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 8 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    9/86

    Definitie

    Fie X1, . . . , Xm Rn m vectori din Rn si 1, 2, . . . , m R scalari reali.

    Expresia1X1 + 2X2 + + mXm

    se numeste combinatia liniara a vectorilor dati cu coeficientii 1, 2, . . . ,

    m.

    Observatie

    Orice combinatie liniara a unor vectori din Rn este de asemenea un

    vector din Rn

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 9 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    10/86

    DefinitieSpunem ca vectorii X1, X2, . . . , Xm R

    n formeaza un sistem degeneratori pentru spatiul liniar Rn, daca orice vector X Rn poate fiscris ca o combinatie liniara a vectorilor X1, X2, . . . , Xm cu anumiti

    coeficienti 1, 2, . . . , m:

    X = 1X1 + 2X2 + + mXm.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 10 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    11/86

    Observatie

    Evident, vectorul nul poate fi scris ca o combinatie a oricaror vectorifolosind coeficienti egali cu 0.

    Definitie

    O combinatie liniara a vectorilor X1, X2, . . . , Xm avand ca rezultatvectorul nul

    1X1 + 2X2 + + mXm = 0,

    n care nu toti coeficientii sunt nuli, se numeste relatie de dependenta

    liniara ntre vectorii X1, X2, . . . , Xm.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 11 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    12/86

    Definitie

    Un sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} Rn se numeste liniar

    dependent daca exista o relatie de dependenta liniara ntre vectorii

    sistemului, i.e. daca exista numere reale 1, 2, . . . , m, nu toate nule,astfel ncat

    1X1 + 2X2 + + mXm = 0.

    Definitie

    Un sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} Rn se numeste liniar

    independentdaca nu exista nicio relatie de dependenta liniara ntrevectorii sistemului, i.e. daca relatia

    1X1 + 2X2 + + mXm = 0

    poate avea loc numai daca 1 = 2 = = m = 0.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 12 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    13/86

    ExempluFie vectorii V1 = [1 1 5]

    T, V2 = [2 2 1]T, V3 = [4 8 7]

    T. Vomstudia cu ajutorul definitiei dependenta liniara a sistemuluiS = {V1, V2, V3}. Putem rescrie o combinatie liniara nula a vectorilor

    V1, V2, V3 cu scalarii 1, 2, 3 n felul urmator:

    1 V1 + 2 V2 + 3 V3 = 0

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 13 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    14/86

    Exemplu

    1

    1

    1

    5

    + 2

    22

    1

    + 3

    48

    7

    =

    00

    0

    1 + 22 + 43 = 01 + 22 + 83 = 051 2 + 73 = 0

    care este un sistem omogen de trei ecuatii cu necunoscutele 1, 2, 3.Acest sistem admite solutii nebanale daca si numai daca rangulmatricei asociate sistemului este mai mic decat 3. Intr-adevar, avem

    AS= 1 2 41 2 8

    5 1 7

    si rang(AS) = 2.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 14 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    15/86

    Exemplu

    Notand 3 = , obtinem 1 = 2 si 2 = 3, deci

    2 V1 3 V2 + V3 = 0,

    relatie care are loc pentru orice R. Pentru valori particulare nenule

    oarecare ale parametrului , se obtin diferite relatii de dependentalinara ntre vectorii sistemului. De exemplu, pentru = 1 avem relatia:

    2V1 3V2 + V3 = 0,

    astfel ca sistemul S este liniar dependent.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 15 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    16/86

    Observatie

    A gasi o relatie de dependenta liniara ntre m vectoriX1, X2, . . . , Xm Rn, unde

    Xj =

    a1ja2j

    ...aij...

    anj

    ,

    este echivalent cu

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 16 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    17/86

    Observatie

    a cauta solutii nenule pentru un sistem liniar omogen cu necuatii(corespunzator celor n componente ale vectorilor din Rn) si mnecunoscute 1, 2, . . . , m:

    1a11 + 2a12 + + ma1m = 01a21 + 2a22 + + ma2m = 0

    . . . . . . . . .

    1an1 + 2an2 + + manm = 0

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 17 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    18/86

    Observatie

    Acest sistem are matricea

    AS= [ X1 X2 . . . Xm ],

    formata prin alaturarea celor m coloane ale vectorilor dati.Prin urmare:

    Conditia ca un astfel de sistem sa aiba solutii nenule este ca rangulmatricei AS a sistemului sa fie mai mic decat numarul m alnecunoscutelor.

    Conditia ca sistemul sa aiba doar solutia nula este ca rangul

    matricei AS a sistemului sa fie egal cu numarul m alnecunoscutelor.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 18 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    19/86

    Teorema

    Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} Rn este liniar dependent daca si

    numai daca rang(A) < m.

    Teorema

    Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} Rn este liniar independent daca

    si numai daca rang(A) = m.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 19 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    20/86

    CorolarSistemul de vectori S = {Xj | j = 1, n} R

    n este liniar dependent daca sinumai daca det(A) = 0.

    Observatie

    Daca m > n, i.e. numarul vectorilor este mai mare decat dimensiuneaspatiului, atunci rangul matricei AS Mnm(R) nu poate depasinumarul n, deci este mai mic decat m, astfel ca un asemenea sistem devectori este liniar dependent.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 20 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    21/86

    Exemplu

    Fie n R3 vectorii X1 = [2 3 1], X2 = [4 1 0], X3 = [5 1 1], X4 = [1 0 0].Matricea asociata sistemului S = {X1, X2, X3, X4} este

    A =

    2 4 5 13 1 1 0

    1 0 1 0

    .

    Evident rang(A) < 4, astfel ca S este un sistem liniar dependent. Seobserva ca rangul matricei

    A =

    2 4 53 1 1

    1 0 1

    este 3, cu det(A) = 11, prin urmare vectorii X1, X2, X3 formeaza unsistem liniar independent.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 21 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    22/86

    DefinitieRangul unui sistem de vectori S este numarul maxim de vectori ai unuisubsistem liniar indenpdent continut n S.

    PropozitieRangul unui sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} R

    n este rangulmatricei asociate:

    rang(S) = rang(AS).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 22 / 86

    Baze de vectori Coordonate

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    23/86

    Baze de vectori. Coordonate

    Definitie

    Se numeste baza n Rn

    un sistem format din n vectori liniarindependenti n Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 23 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    24/86

    Observatie

    Pentru spatii vectoriale oarecare, urmatoarele sunt definitii echivalenteale notiunii de baza:O baza este un sistem liniar independent de generatori.O baza este un sistem liniar independent maximal.O baza este un sistem de generatori minimal.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 24 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    25/86

    Fie B = {V1, . . . , Vn} o baza n Rn, Vk = [a1k . . . ank]

    T, k = 1, n. Vomnota cu B matricea asociata sistemului celor n vectori care formeaza bazaB: B = [aik]nn.

    Propozitie

    Conditia necesara si suficienta pentru ca un sistem format din n vectori dinRn sa fie baza este ca determinantul matricei asociate sa fie nenul.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 25 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    26/86

    Observatie

    Fie B o baza fixata n Rn si X Rn un vector oarecare. Atunci X seexprima liniar n functie de vectorii bazei B astfel:

    (1) X = x1B V1 + + xn

    B Vn,

    numerele reale xkB, k = 1, n numindu-se coordonatele vectorului X nbaza B.Vom nota

    (2) XB = [x1B . . . xnB]T.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 26 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    27/86

    Observatie

    Din relatiile (1) si (2) rezulta ca

    X = B XB.

    Cum B este o baza, avem det(B) = 0, deci exista inversa B1.Inmultind la stanga cu aceasta inversa, obtinem:

    (3) XB = B1 X,

    relatie ce exprima coordonatele vectorului X n raport cu baza B.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 27 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    28/86

    Exemplu

    Vom determina coordonatele vectorului X = [1 0 2]T n raport cu bazaformata din vectorii V1 = [2 3 1]

    T, V2 = [4 1 0]T, V3 = [5 1 1]

    T.

    Inversa matricei B asociate bazei B = {V1, V2, V3} este

    B1 =

    1114

    111

    11

    211

    311

    1311

    111

    411

    1011

    .

    Coordonatele vectorului X n raport cu baza B sunt atunci:

    XB = B1 X =

    1

    11

    2411

    2111

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 28 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    29/86

    Observatie

    Fie acum B1 = {V1, . . . , Vn} si B2 = {W1, . . . , Wn} doua baze diferite

    ale spatiului liniar Rn, si fie V un vector din Rn. Sa notam cu X, XB1 ,respectiv XB2 cordonatele acestui vector n raport cu baza canonica Bc,baza B1, respectiv baza B2. Am dori sa putem da o legatura ntreaceste coordonate n diferite baze.

    Tinand seama de formulele (3), putem scrie() XB1 = B11 X,

    () XB2 = B12 X,

    unde B1 si B2 sunt matricile de trecere de la baza canonica la bazeleB1, respectiv B2.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 29 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    30/86

    Observatie

    Relatia () se poate rescrie sub forma

    () X = B1XB1 ,

    astfel ca putem nlocui exprimarea () a coordonatelor X n relatia(), care devine:

    (4) XB2 = B12 B1XB1 .

    Ultima formula exprima legatura ntre coordonatele vectorului V ncele doua baze.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 30 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    31/86

    Exemplu

    Fie date bazele

    B1 = {V1 = [ 1 1 1 ]T, V2 = [ 2 1 3 ]T, V3 = [ 2 4 5 ]T}siB2 = {W1 = [ 1 1 0 ]

    T, W2 = [ 2 2 1 ]T, W3 =

    [ 3 2 3 ]T}.

    Vom detemina formulele de trecere de la baza B1 la baza B2. NotamXB1 = [x1 x2 x3]T, respectiv XB2 = [y1 y2 y3]T.Matricele atasate celor doua baze sunt:

    B1 =

    1 2 2

    1 1 41 3 5

    , B2 =

    1 2 3

    1 2 20 1 3

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 31 / 86

    E l

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    32/86

    Exemplu

    Tinand cont de formula (4), vom avea XB2 = B12 B1XB1 . Deoarece

    B12 = 4 3 23 3 1

    1 1 0

    ,

    avem

    B12 B1 = 5 17 305 12 23

    2 3 6

    ,

    si vom obtine formulele de transformare a coordonatelor:

    y1 = 5x1 17x2 + 30x3y2 = 5x1 12x2 + 23x3y3 = 2x1 + 3x2 6x3 ,

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 32 / 86

    Aplicatii liniare

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    33/86

    p

    Fie Rn si Rm doua spatii liniare.

    Definitie

    O aplicatie f : Rn Rm se numeste aplicatie liniara daca satisfaceurmatoarele doua conditii:

    (1) f(X + Y) = f(X) + f(Y) , ()X, Y Rn,

    (2) f(X) = f(X) , () R, X Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 33 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    34/86

    Observatie

    Conditia (1) se numeste conditia de aditivitate a aplicatiei f, iarconditia (2) este conditia de omogenitate a aplicatiei f.

    Observatie

    Aceste doua conditii se pot nlocui cu una singura:

    (3) f(X + Y) = f(X) + f(Y) (), R, X, Y Rn.

    Conditia (3) reprezinta conditia de liniaritate a aplicatiei f.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 34 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    35/86

    Observatie

    In cazul cand m = n si f este o aplicatie liniara a spatiului liniar Rn nel nsusi, f se mai numeste si operator liniar pe Rn.

    De asemenea, daca f : Rn

    R este o aplicatie liniara n R, ea senumeste forma liniara pe Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 35 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    36/86

    ObservatieFie f : Rn Rm o aplicatie liniara, si Bn = {V1, V2, . . . , Vn},respectiv Bm = {W1, W2, . . . , Wm} baze de vectori fixate n R

    n,respectiv Rm. Deoarece pentru orice i {1, . . . , n}, f(Vi) este un vectordin Rm, el se poate exprima n raport cu baza Bm:

    (4i) f(Vi) = a1iW1 + a2iW2 + + amiWm,

    unde coeficientii aki, k = 1, m, sunt numere reale.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 36 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    37/86

    Observatie

    (continuare) Fie acum V = x1V1 + x2V2 + + xnVn un vector oarecare

    din R

    n

    si W = y1W1 + y2W2 + + ymWm = f(V) imaginea sa n R

    m

    ,exprimata n raport cu baza Bm. Tinand cont de formulele (4i), pentrucoordonatele yj, j = 1, m, avem relatiile:

    yj = aj1x1 + aj2x2 + + ajnxn =n

    i=1

    ajixi.

    Cu notatiile A = [aji], X = [xi] si Y = [yj] aceste formule pot firestranse sub forma

    (5) Y = AX,

    care reprezinta scrierea matriciala n raport cu bazele Bn si Bm aaplicatiei liniare f.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 37 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    38/86

    Fie data aplicatia f : R2 R3 definita prin

    f(x1, x2) = (2x1 x2, x1 + 3x2, 4x1 + x2).

    Pentru aceasta aplicatie se verifica usor proprietatile de aditivitatesomogenitate, astfel ca f este o aplicatie liniara. Ea poate fi descrisa sipe componente(i.e.coordonate n raport cu bazele canonice din R2 siR3):

    (f)

    y1 = 2x1 x2y2 = x1 + 3x2y3 = 4x1 + x2.

    Matricea asociata aplicatiei liniare f este atunci(elementele sale se pot

    citi din scrierea pe componente de mai sus):

    A =

    2 11 3

    4 2

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 38 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    39/86

    Observatie

    Fie acum Bn si Bm doua baze n Rn, respectiv Rm. De asemnea, fie

    A Mmn(R) matricea aplicatiei liniare f n raport cu aceste douabaze, si P Mn(R), respectiv Q Mm(R), matricile de trecere de labaza Bn la B

    n, respectiv de la baza Bm la B

    m. Daca X

    = [xi] reprezintacoordonatele vectorului V n raport cu baza Bn, iar Y = [yj] suntcoordonatele imaginii sale W = f(V) n raport cu baza Bm, tinand contde egalitatea

    (5) Y = AX,

    precum si de formulele de schimbare a coordonatelor, pentru matriceaA avem formula

    (6) A = Q1AP.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 39 / 86

    Operatii cu aplicatii liniare

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    40/86

    Definitie

    Fie f : Rn Rm o aplicatie liniara, si fie R un numar real.Definim atunci aplicatia f : Rn Rm prin regula foarte naturala

    (f)(X) = f(X), ()X Rn.

    Se verifica usor, pe baza proprietatilor operatiilor ntr-un spatiu liniar,ca aplicatia astfel definita este o aplicatie liniara, numita nmultirea cuscalarul a aplicatiei liniare f.

    Observatie

    Daca matricea asociata aplicatiei liniare f este A, atunci matriceaasociata aplicatiei liniare f va fi A.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 40 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    41/86

    Definitie

    Fie f1, f2 : Rn Rm doua aplicatii liniare. Definim atunci aplicatia

    f1 + f2 : Rn Rm prin legea de asociere

    (f1 + f2)(X) = f1(X) + f2(X), ()X Rn.

    Proprietatile operatiilor dintr-un spatiu liniar ne asigura ca aplicatia

    f1 + f2 este o aplicatie liniara, numita suma celor doua aplicatii liniaref1 si f2.

    Observatie

    Daca aplicatiile liniare f1 si f2 au matricile asociate A1 si A2, atunciaplicatia liniara f1 + f2 are matricea asociata A1 + A2.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 41 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    42/86

    Observatie

    Multimea L(Rn, Rm) = {f : Rn Rm|f -aplicatie liniara} arempreuna cu cele doua operatii definite mai sus o structura de spatiu

    liniar.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 42 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    43/86

    Definitie

    Fie f : Rn Rm si g : Rm Rp doua aplicatii liniare. Definim

    atunci aplicatia g f : Rn Rp prin legea

    (g f)(X) = g(f(X)), ()X Rn.

    Din liniaritatea aplicatiilor f si g rezulta ca si aplicatia g f este o

    aplicatie liniara, numita compusa aplicatiilor liniare f si g.

    Observatie

    Daca aplicatiile liniare f si g au matricile asociate A Mmn(R) si

    B Mpm(R), atunci aplicatia liniara compusa g f a celor douaaplicatii f si g are matricea asociata B A.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 43 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    44/86

    Observatie

    Multimea End(Rn) = L(Rn, Rn) a operatorilor liniari ai spatiului liniarRn, are mpreuna cu operatiile de adunare si compunere a aplicatiilor

    liniare o structura de inel(necomutativ pentru n 2).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 44 / 86

    Definitie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    45/86

    Definitie

    Fie f : Rn Rn un operator liniar al spatiului liniar Rn si sapresupunem ca f este o aplicatie bijectiva(n acest caz f se numeste

    transformare liniara). Atunci f este o aplicatie inversabila, si datoritaliniaritatii sale rezulta ca si aplicatia f1 : Rn Rn este otransformare liniara, numita inversa transformarii liniare f.

    Observatie

    Un operator liniar f End(Rn) este bijectiv daca si numai dacamatricea asociata lui este inversabila, adica daca si numai dacamatricea asociata are determinant nenul.

    ObservatieDaca matricea asociata transformarii liniare bijective f este A, atuncimatricea asociata transformarii liniare f1 este A1.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 45 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    46/86

    Observatie

    Multimea GL(Rn) = {f End(Rn)|f-inversabila} are mpreuna cuoperatia de compunere a transformarilor liniare inversabile o structura

    de grup(necomutativ daca n 2).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 46 / 86

    Vectori si valori proprii ai unui operator liniar

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    47/86

    Fie T : Rn

    Rn

    un operator liniar fixat, si fie de asemenea R unnumar real fixat.

    Definitie

    Spunem ca este o valoare proprie a operatorului liniar T daca exista

    un vector nenul V Rn

    cu proprietatea ca

    () T(V) = V.

    Un asemenea vector se numeste vector propriu al operatorului liniar T,

    asociat valorii proprii .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 47 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    48/86

    Observatie

    Se presupunem ca am fixat o baza n spatiul liniar Rn, si fieA = [aij] Mn(R), respectiv X = [xi] Mn

    1, matricea operatorului

    T, respectiv matricea-coloana a coordonatelor lui V n raport cuaceasta baza. Atunci relatia () devine

    () AX = X.

    Observatie

    Cand o matrice patratica A, un numar si o matrice-coloana X

    satisfac o relatie de tipul relatiei (), atunci spunem ca este ovaloare proprie a matricii A, iar vectorul nenul X este un vectorpropriu al matricii A corespunzator valorii proprii .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 48 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    49/86

    Relatia () se mai poate scrie si n forma

    () (A In)X = 0.

    Tinand cont de aceasta ultima relatie, putem deduce o conditie pentruca un numar sa fie valoare proprie pentru un operator liniar,respectiv o matrice. Daca privim relatia () ca pe o ecuatie matriciala

    cu necunoscuta X, conditia ca sa fie valoare proprie este ca sistemulde ecuatii liniare asociat ecuatiei matriciale ()

    ()

    (a11 )x1 +a12x2+ . . . +a1nxn = 0a21x1 +(a22 )x2+ . . . +a2nxn = 0

    . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 +an2x2+ . . . +(ann )xn = 0

    sa permita si solutii nebanale.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 49 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    50/86

    Observatie

    (continuare) Acest lucru se ntampla exact daca determinantul matriciisistemului este nul. Astfel, conditia ca numarul sa fie valoare propriea matricii A(si deci a operatorului liniar T, reprezentat n baza fixatacu ajutorul matricii A) este

    ( ) det(A In) = 0.

    Polinomul pA() = det(A In) se numeste polinomul caracteristicasociat matricei A, iar relatia ( ) este ecuatia caracteristica asociatamatricei A.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 50 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    51/86

    CorolarUn numar este valoare proprie a matricii A daca si numai daca este osolutie a ecuatiei caracteristice(i.e. o radacina a polinomului caracteristic)asociate matricii.

    ObservatieVectorii proprii asociati unei valori proprii pot fi gasiti rezolvandsistemul (compatibil nedeterminat!) ().

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 51 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    52/86

    Propozitie

    (Hamilton-Cayley) Orice matrice patratica si satisface propria ecuatiecaracteristica; i.e.

    pA(A) = 0n, ()A Mn(R).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 52 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    53/86

    Exemplu

    Vom determina valorile proprii si vectorii proprii ai urmatoruluioperator liniar:

    T : R3 R3, T(X) =

    0 1 01 1 1

    0 1 0

    X.

    Polinomul caracteristic asociat acestui operator liniar este

    pT() = det(A I3) =

    = 1 0

    1 1 10 1

    = 3 + 2 + 2

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 53 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    54/86

    Exemplu(continuare) Rezolvand ecuatia caracteristica

    3 + 2 + 2 = 0

    obtinem valorile proprii ale transformarii liniare T:

    1 = 0, 2 = 1, 3 = 2.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 54 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    55/86

    Exemplu

    (continuare) Pentru a determina vectorii proprii, avem de rezolvat treisisteme de ecuatii liniare, si anume:

    (S0)

    x2 = 0x1 + x2 + x3 = 0

    x2 = 0,

    (S1)

    x1 + x2 = 0x1 + 2x2 + x3 = 0

    x2 + x3 = 0,

    (S2) 2x1 + x2 = 0

    x1 x2 + x3 = 0x2 2x3 = 0,

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 55 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    56/86

    Exemplu

    (continuare) Multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii 1 = 0

    este data de solutiile primului sistem, anume

    V0 = {[ 0 ]T| R}.

    Multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii 2 = 1 este

    V1 = {[ ]T| R}.

    In fine, multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii 1 = 2 este

    V2 = {[ 2 ]T| R}.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 56 / 86

    Alte metode de determinare a polinomuluicaracteristic al unui operator liniar

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    57/86

    caracteristic al unui operator liniar

    1. Formulele lui BocherFie A Mn(R), A = [aij]n.

    Definitie

    Suma elementelor de pe diagonala principala a unei matrice se numesteurma matricei si se noteaza cu tr(A) :

    tr(A) = a11 + a22 + a33 + + ann.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 57 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    58/86

    Observatie

    Daca notam cu 1 = tr(A), 2 = tr(A2), . . . , n = tr(A

    n), coeficientii

    polinomului caracteristic

    pA() = (1)n(n + 1

    n1 + 2n2 + + n1 + n)

    sunt dati de formulele de recurenta ale lui Bocher:

    1 = 12 =

    12 (11 + 2)

    3 = 13 (21 + 12 + 3)

    . . . . . . . . .

    n = 1n (n11 + n22 + 1n1 + n).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 58 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    59/86

    Vom determina, folosind formulele lui Bocher, polinomul caracteristical matricei

    A = 2 2 31 1 1

    1 3 1

    .

    Avem:

    A2 = 5 3 14 2 34 2 7

    si

    A3 = 14 4 17

    13 3 1113 11 3

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 59 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    60/86

    Exemplu

    (continuare) Urmele acestor matrice sunt:

    1 = tr(A) = 2, 2 = tr(A2) = 14, 3 = tr(A

    3) = 20.

    Pentru coeficientii polinomului caracteristic avem:1 = 1 = 2,

    2 = 12 (11 + 2) =

    12 (4 + 14) = 5,

    3 = 13 (21 + 12 + 3) =

    13 (10 28 + 20) = 6.

    Astfel vom obtine urmatorul polinom caracteristic

    pA() = (1)3(3 22 5 + 6).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 60 / 86

    2. Formulele lui Faddeev-Sominskii

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    61/86

    ObservatieAceste formule sunt relativ mai simple decat cele ale lui Bocher si sebazeaza pe urmatoarele calcule:A1 := A, 1 = tr(A1), B1 = A1 1In,A2 := B1A, 2 =

    1

    2

    tr(A2), B2 = A2 2In,...Ak := Bk1A, k = 1ktr(Ak), Bk = Ak kIn,...

    An := Bn1A, n =1

    n tr(An), Bn = An nIn = 0.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 61 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    62/86

    Observatie

    (continuare) Ultima formula se numeste formula de control.Polinomul caracteristic va fi atunci dat de

    pA() = (1)n(n 1

    n1 2n2 n).

    In plus, daca A este o matrice inversabila, inversa sa este data deformula

    A1 =1

    nBn1.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 62 / 86

    Exemplu

    Determinam cu ajutorul formulelor lui Faddeev polinomul caracteristic

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    63/86

    al matricei

    A =

    2 1 2

    5 3 31 0 2

    .

    Vom avea:1 = tr(A) = 2 3 2 = 3,

    B1 = A1 + 3I3 =

    5 1 25 0 3

    1 0 1

    ,

    A2 = B1A1 = 3 2 37 5 4

    3 1 4

    ,

    2 =12 tr(A2) = 3,

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 63 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    64/86

    Exemplu

    (continuare)

    B2 = A2 + 3I3 =

    6 2 37 2 4

    3 1 1

    ,

    A3 = B2A2 = 1 0 00 1 0

    0 0 1

    ,

    3 = 1.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 64 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    65/86

    Exemplu

    DecipA() = (1)

    3(3 + 32 + 3 + 1).

    Inversa matricei A va fi

    A1 = B2 = 6 2 37 2 4

    3 1 1

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 65 / 86

    Spatii vectoriale euclidiene

    Produs scalar Norma

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    66/86

    Produs scalar. Norma.Fie spatiul vectorial Rn si X, Y Rn, X = [x1, . . . , xn]

    T,

    Y = [y1, . . . , yn]T

    .

    Definitie

    Numarul real

    (1) (X, Y)

    def

    = x1 y1 + + xn yn

    se numeste produsul scalar(euclidian) al vectorilor X si Y din Rn.Relatia din definitia de mai sus se poate scrie si sub forma

    (1) (X, Y) =n

    i=1

    xi yi.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 66 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    67/86

    Propozitie

    Pentru oricare X, Y, Z Rn si R au loc proprietatile:(P1) (X, X) 0, (X, X) = 0 X = .(P2) (X + Y, Z) = (X, Z) + (Y, Z).(P3) (X, Y) = (X, Y).(P4) (X, Y) = (Y, X).

    (P5) | (X, Y) | (X, X) (Y, Y).Definitie

    Spatiul Rn nzestrat cu produsul scalar (, ) se numeste spatiu euclidian

    n-dimensional.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 67 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    68/86

    DefinitieFunctia

    : Rn R+

    definta prin

    X = (X, X) = x12

    + + xn2

    se numeste norma euclidiana a spatiului Rn. Numarul X se numestenorma vectorului X.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 68 / 86

    Definitie

    Un vector avand norma egala cu 1 se numeste vector unitar.

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    69/86

    g

    ObservatieOricarui vector nenul dat V i putem asocia un vector unitar:

    Definitie

    Vectorul

    U = 1V

    V

    se numeste versorul vectorului V.

    ObservatiePentru n = 1 avem X = x1 si atunci X =

    (X, X) =

    x12 =| X |,

    deci norma este egala cu functia modul pe R.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 69 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    70/86

    Propozitie

    Pentru orice X, Y Rn si R au loc urmatoarele:(N1) X = 0 X = ;(N1) X = || X; (N3) X + Y X + Y.

    DefinitieSpatiul Rn nzestrat cu norma euclidiana se numeste spatiu euclidiannormat.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 70 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    71/86

    Definitie

    Functia

    d : Rn Rn R+

    definita prin

    d(X, Y) = X Y, X, Y Rn,

    se numeste distanta euclidiana pe Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 71 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    72/86

    Fie X = [x1 x2 . . . xn]T si Y = [y1 y2 . . . yn]

    T vectori oarecare din Rn.

    Atunci tinand cont de definitia normei euclidiene, distanta (euclidiana) dintre vectorii X si Y este

    d(X, Y) =

    (x1 y1)2 + (x2 y2)2 + + (xn + yn)2

    Daca Y = , atunci

    d(X, ) = X ,

    pentru orice X Rn,adica norma euclidiana a unui vector oarecare este distanta de la acelpunct la originea spatiului Rn.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 72 / 86

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    73/86

    Propozitie

    Pentru orice X, Y, Z Rn au loc urmatoarele proprieta ti : (d1)d(X, Y) = 0 X = Y;(d2) d(X, Y) = d(Y, X);

    (d3) d(X, Y) d(X, Z) + d(Z, Y) (inegalitatea triunghiului).

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 73 / 86

    Definitie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    74/86

    Definitie

    Fie X, Y Rn. Vectorii X, Y sunt ortogonali daca produsul lor scalar

    este nul, adica( X, Y ) = 0.

    DefinitieUn sistem S de vectori din Rn se numeste sistem ortogonal daca

    (X, Y) = 0, ()X, Y Rn, X = Y.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 74 / 86

    Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    75/86

    DefinitieFie S = {V1, V2, . . . , Vm} R

    n, m n, un sistem de vectori.Determinantul Gram asociat sistemului de vectori S este numarul

    Gram(V1, V2, . . . , Vm) =

    (V1, V1) (V1, V2) . . . (V1, Vm)

    (V2, V1) (V2, V2) . . . (V2, Vm). . . . . . . . . . . .(Vm, V1) (Vm, V2) . . . (Vm, Vm)

    unde (Vi, Vj), i,j = 1, m, sunt produsele scalare ntre vectorii

    sistemului.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 75 / 86

    Propozitie

    Conditia necesara si suficienta pentru ca un sistem de vectoriS {V V V } sa fie liniar independent este

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    76/86

    S = {V1, V2, . . . , Vm} sa fie liniar independent este

    Gram(V1, . . . , Vm) = 0.

    Corolar

    Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent.

    Corolar

    Un sistem de vectori nenuli si ortogonali doi cate doi este liniarindependent.

    Corolar

    Numarul maxim de vectori ortogonali doi cate doi este egal cudimensiunea spatiului.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 76 / 86

    Exemplu

    Fi sist l d t i

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    77/86

    Fie sistemul de vectoriS = {V1 = [ 1 1 0 0 ]

    T, V2 = [ 5 6 0 1 ]T, V3 = [ 2 4 3 1 ]

    T} R4.Determinantul Gram al acestui sistem este

    Gram(V1, V2, V3) =

    (V1, V1) (V1, V2) (V1, V3)(V2, V1) (V2, V2) (V2, V3)(V3, V1) (V3, V2 (V3, V3)

    Calculand produsele scalare dintre vectori, obtinem

    Gram(V1, V2, V3) =

    2 11 611 62 33

    6 33 30

    = 36 = 0.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 77 / 86

    Definitie

    Fie S = {V1, V2, . . . , Vm} Rn un sistem de vectori. Spunem ca un

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    78/86

    }vector V Rn este ortogonal pe S daca este ortogonal pe fiecare din

    vectorii sistemului,i.e.

    V S (V, Vi) = 0, ()i = 1, m.

    Definitie

    O baza B = {V1, V2, . . . , Vn} Rn se numeste baza ortogonala daca

    oricare doi vectori sunt ortogonali ntre ei, i.e.

    (Vi, Vj) = 0, ()i,j = 1, n, i = j.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 78 / 86

    DefinitieO baza B = {V1, V2, . . . , Vn} R

    n se numeste baza ortonormata dacaea este baza ortogonala formata din vectori unitari, i.e.

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    79/86

    (1) (Vi, Vj) = 0, ()i,j = 1, n, i = j,

    (2) Vi = 1, ()i = 1, n.

    ObservatieRelatiile (1) si (2) sunt echivalente cu

    (3) (Vi, Vj) = ij, ()i,j = 1, n,

    care se poate scrie si sub forma

    (3) [(Vi, Vj)] = In.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 79 / 86

    Definitie

    Fie V, W Rn, W = . Vectorul

    (V W )

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    80/86

    prWV =(V, W)

    (W, W)

    W,

    se numeste proiectia vectorului V pe W, iar

    =(V, W)

    (W, W),

    se numeste marimea algebrica a proiectiei vectorului V pe W.

    Observatie

    Fie V, W Rn doi vectori fixati, si fie

    W = V prWV.

    Atunci W W.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 80 / 86

    Exemplu

    Fie V = [ 2 4 ]T si W = [ 3 0 ]T doi vectori din R2. Proiectia vectoruluiV pe directia lui W este prWV = [ 2 0 ]

    T. Vectorul T

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    81/86

    W = V prWV = [ 0 4 ]T va fi atunci ortogonal pe W, dupa cum se

    vede foarte usor:

    !4

    V

    T

    W

    EW

    EprWV

    2 3

    .

    .

    .

    ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ...

    .

    .

    .

    .

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 81 / 86

    Observatie

    Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt permite construirea unei

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    82/86

    g pbaze ortogonale, pornind de la o baza oarecare B = {V1, V2, . . . , Vn} a

    spatiului Rn. Pentru aceasta construim vectorii:

    W1 = V1,W2 = V2 prW1 V2,W3 = V3 prW1 V3 prW2 V3,

    . . . = . . .Wn = Vn prW1 Vn prWn1 Vn.

    Sistemul de vectori astfel construit este un sistem liniar independent siortogonal, deci am obtinut o baza ortogonala

    B = {W1, W2, . . . , Wn}.

    Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 82 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    83/86

    Observatie

    (continuare) Daca vrem sa obtinem o baza ortonormata, este suficientsa construim vectorii

    Ui =1

    WiWi, i = 1, n,

    astfel ca o baza ortonormata va fi

    B = {U1, U2, . . . , Un}.

    Conf dr C Chis () Curs 1+2 2010-2011 83 / 86

    Exemplu

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    84/86

    Exemplu

    Fie V1 = [ 1 1 ]T

    , V2 = [ 4 2 ]T

    R2

    doi vectori liniar independenti. Eiformeaza o baza care nsa nu este ortogonala, deoarece(V1, V2) = 6 = 0.Construim vectorii

    W1 = V1 = [ 1 1 ]T

    W2 = V2 prW1 V2 = [ 1 1 ]T.

    Conform observatiei de mai sus, acesti doi vectori sunt nenuli siortogonali, deci formeaza o baza ortogonala pentru R2.

    Conf dr C Chis () Curs 1+2 2010-2011 84 / 86

    Exemplu(continuare) Pentru a obtine o baza ortonormata, definim vectorii

    U1 =1 W1 = [

    2

    2 ]T

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    85/86

    U1 = W1W1 = [

    2

    2 ]

    U2 =1

    W2W2 = [

    2

    2

    2

    2 ]T

    B

    d

    dd

    dd

    &%

    '$V2

    ..........

    .......

    ......

    ......

    ......

    .....

    W2

    U2

    U1

    V1 = W1

    prW1V2

    Conf dr C Chis () Curs 1+2 2010-2011 85 / 86

    Observatie

  • 8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

    86/86

    Bazele ortonormate prezinta foarte mari avantaje din punct de vedere

    al calculelor.Fie B = {U1, U2, . . . , Un} o baza ortonormata si fie V Rn un vectoroarecare fixat, avand n raport cu baza B expresia

    V = x1U1 + x2U2 + + xnUn.

    Tinand cont de faptul ca baza B este ortonormata, avem ca:

    xi = (V, Ui), ()i = 1, n.

    Conf dr C Chis () Curs 1+2 2010-2011 86 / 86