Curs Algebra liniara 1+2

8/7/2019 Curs Algebra liniara 1+2

http://slidepdf.com/reader/full/curs-algebra-liniara-12 1/86

Algebra liniara

Spatii liniare

Conf.dr. C.Chis () Curs 1+2 2010-2011 1 / 86



Definitie

Fie M o multime nevida. O aplicatie

φ : M × M −→ M

se numeste lege de compozit ie interna sau operat ie binara interna pe mult imea M .

Definitie

Fie Ω si M doua multimi nevide. O aplicatie

Ψ : Ω × M −→ M

se numeste lege de compozit ie externa pe M sau operat ¸ie externa pe M cu operatori ın Ω.




Definitia notiunii de spatiu liniar.

Definitie

Fie V o multime nevida si K un corp. Spunem ca V este un spat iu liniar (sau spat iu vectorial ) peste corpul K, daca V este ınzestrat cu ooperatie binara interna, notata aditiv

+ : V × V −→ V : (v , w ) −→ v + w

si cu o lege de compozitie externa cu operatori ın corpul K, notatamultiplicativ

· : K × V −→ V : (α, v ) −→ α · v ,care satisfac urmatoarele axiome:




DefinitieSL1. (u + v ) + w = u + (v + w ), (∀)u , v , w ∈ V .SL2. v + w = w + v , (∀)v , w ∈ V .SL3. (∃)0 ∈ V : 0 + v = v + 0 = v , (∀)v ∈ V .SL4. (∀)v ∈ V (∃)(−v ) ∈ V : (−v ) + v = v + (−v ) = 0.SL5. α · (v + w ) = α · v + α · w , (∀)α ∈ K, (∀)v , w ∈ V .SL6. (α + β) · v = α · v + β · v , (∀)α, β ∈ K, (∀)v ∈ V .SL7. (α · β) · v = α · (β · v ), (∀)α, β ∈ K, (∀)v ∈ V .SL8. 1 · v = v , (∀)v ∈ V .




Observatie

Axiomele SL1-SL4 afirma ca (V ,

+) este un grup abelian.Axiomele SL5-SL8 exprima proprietatile de compatibilitate aleoperatiei externe cu operatiile interne din V si K.Terminologie:i) Elementele multimii V se numesc vectori .

ii) Elementele corpului K se numesc scalari .iii) Legea de compozitie interna(+) se numeste adunarea vectorilor .iv) Legea de compozitie externa(·) se numeste ınmult irea vectorilor cu scalari .v) Elementul neutru 0 al grupului (V , +)(vezi SL3) se numeste vectorul

nul .vi) Daca K = R, atunci V se numeste spat iu liniar real .




Spatiul liniar real Rn

Multimea Rn

= R × R × . . . × R n ori

= (x 1, x 2, . . . , x n)|x i ∈ R a sistemelor

ordonate de cate n numere reale o identificam cu multimea Mn×1(R) amatricelor cu n linii si o singura coloana, scriind cele n numere ale unuisistem (x 1, x 2, . . . , x n) ıntr-o matrice coloana

X =

x 1x 2...

x n

.

Un asemenea sistem ıl vom numi atunci vector ın Rn.




Observatie

In raport cu aceste operatii, Rn este atunci un spatiu liniar real, care se

numeste spat iul aritmetic real n-dimensional .




Definitie

Fie X 1, . . . , X m ∈ Rn m vectori din Rn si α1, α2, . . . , αm ∈ R scalari reali.Expresia

α1X 1 + α2X 2 + · · · + αmX m

se numeste combinat ia liniara a vectorilor dat i cu coeficient ii α1, α2, . . . ,

αm.

Observatie

Orice combinatie liniara a unor vectori din Rn este de asemenea un

vector din Rn

.




DefinitieSpunem ca vectorii X 1, X 2, . . . , X m ∈ Rn formeaza un sistem de generatori pentru spatiul liniar Rn, daca orice vector X ∈ Rn poate fiscris ca o combinatie liniara a vectorilor X 1, X 2, . . . , X m cu anumiti

coeficienti α1, α2, . . . , αm:

X = α1X 1 + α2X 2 + · · · + αmX m.




Observatie

Evident, vectorul nul poate fi scris ca o combinatie a oricaror vectorifolosind coeficienti egali cu 0.

Definitie

O combinatie liniara a vectorilor X 1, X 2, . . . , X m avand ca rezultatvectorul nul

α1X 1 + α2X 2 + · · · + αmX m = 0,

ın care nu toti coeficientii sunt nuli, se numeste relat ie de dependent a

liniara ıntre vectorii X 1, X 2, . . . , X m.




Definitie

Un sistem de vectori S = X 1, X 2, . . . , X m ⊆ Rn se numeste liniar dependent daca exista o relatie de dependenta liniara ıntre vectorii

sistemului, i.e. daca exista numere reale α1, α2, . . . , αm, nu toate nule,astfel ıncat

α1X 1 + α2X 2 + · · · + αmX m = 0.

Definitie

Un sistem de vectori S = X 1, X 2, . . . , X m ⊆ Rn se numeste liniar independent daca nu exista nicio relatie de dependenta liniara ıntrevectorii sistemului, i.e. daca relatia

α1X 1 + α2X 2 + · · · + αmX m = 0

poate avea loc numai daca α1 = α2 = · · · = αm = 0.




ExempluFie vectorii V 1 = [1 −1 −5]T , V 2 = [2 2 −1]T , V 3 = [4 8 7]T . Vomstudia cu ajutorul definitiei dependenta liniara a sistemuluiS = V 1, V 2, V 3. Putem rescrie o combinatie liniara nula a vectorilor

V 1, V 2, V 3 cu scalarii λ1, λ2, λ3 ın felul urmator:

λ1 · V 1 + λ2 · V 2 + λ3 · V 3 = 0 ⇐⇒




Exemplu

⇐⇒ λ1

1

−1

−5

+ λ2

22

−1

+ λ3

48

7

=

00

0

⇐⇒

⇐⇒

λ1 + 2λ2 + 4λ3 = 0−λ1 + 2λ2 + 8λ3 = 0−5λ1 − λ2 + 7λ3 = 0

care este un sistem omogen de trei ecuatii cu necunoscutele λ1, λ2, λ3.Acest sistem admite solutii nebanale daca si numai daca rangulmatricei asociate sistemului este mai mic decat 3. Intr-adevar, avem

AS = 1 2 4

−1 2 8−5 −1 7

si rang (AS ) = 2.




Exemplu

Notand λ3 = α, obtinem λ1 = 2α si λ2 = −3α, deci

2α · V 1 − 3α · V 2 + α · V 3 = 0,

relatie care are loc pentru orice α ∈ R. Pentru valori particulare nenule

oarecare ale parametrului α, se obtin diferite relatii de dependentalinara ıntre vectorii sistemului. De exemplu, pentru α = 1 avem relatia:

2V 1 − 3V 2 + V 3 = 0,

astfel ca sistemul S este liniar dependent.




Observatie

A gasi o relatie de dependenta liniara ıntre m vectoriX 1, X 2, . . . , X m ∈ Rn, unde

X j =

a1 j

a2 j

...aij ...

anj

,

este echivalent cu




Observatie

a cauta solutii nenule pentru un sistem liniar omogen cu necuatii(corespunzator celor n componente ale vectorilor din Rn) si mnecunoscute α1, α2, . . . , αm:

α1a11 + α2a12 + · · · + αma1m = 0α1a21 + α2a22 + · · · + αma2m = 0

. . . . . . . . .

α1an1 + α2an2 + · · · + αmanm = 0




Observatie

Acest sistem are matricea

AS = [ X 1 X 2 . . . X m ],

formata prin alaturarea celor m coloane ale vectorilor dati.Prin urmare:

Conditia ca un astfel de sistem sa aiba solutii nenule este ca rangulmatricei AS a sistemului sa fie mai mic decat numarul m alnecunoscutelor.

Conditia ca sistemul sa aiba doar solutia nula este ca rangul

matricei AS a sistemului sa fie egal cu numarul m alnecunoscutelor.




Teorema

Sistemul de vectori S = X j | j = 1, m ∈ Rn este liniar dependent daca si numai daca rang (A) < m.

Teorema

Sistemul de vectori S = X j | j = 1, m ∈ Rn este liniar independent dacasi numai daca rang (A) = m.




CorolarSistemul de vectori S = X j | j = 1, n ∈ Rn este liniar dependent daca si numai daca det (A) = 0.

Observatie

Daca m > n, i.e. numarul vectorilor este mai mare decat dimensiuneaspatiului, atunci rangul matricei AS ∈ Mn×m(R) nu poate depasinumarul n, deci este mai mic decat m, astfel ca un asemenea sistem devectori este liniar dependent.




Exemplu

Fie ın R3 vectorii X 1 = [2 3 1], X 2 = [4 1 0], X 3 = [5 1 1], X 4 = [1 0 0].Matricea asociata sistemului S = X 1, X 2, X 3, X 4 este

A =

2 4 5 1

3 1 1 01 0 1 0

.

Evident rang (A) < 4, astfel ca S este un sistem liniar dependent. Seobserva ca rangul matricei

A =

2 4 53 1 1

1 0 1

este 3, cu det (A) = −11, prin urmare vectorii X 1, X 2, X 3 formeaza unsistem liniar independent.




DefinitieRangul unui sistem de vectori S este numarul maxim de vectori ai unuisubsistem liniar indenpdent continut ın S .

PropozitieRangul unui sistem de vectori S = X 1, X 2, . . . , X m ⊆ Rn este rangul matricei asociate:

rang (S ) = rang (AS ).


Baze de vectori Coordonate



Baze de vectori. Coordonate

Definitie

Se numeste baza ın Rn

un sistem format din n vectori liniarindependenti ın Rn.




Observatie

Pentru spatii vectoriale oarecare, urmatoarele sunt definitii echivalenteale notiunii de baza:O baza este un sistem liniar independent de generatori .O baza este un sistem liniar independent maximal .O baza este un sistem de generatori minimal .




Fie B = V 1, . . . , V n o baza ın Rn, V k = [a1k . . . ank ]T , k = 1, n. Vom

nota cu B matricea asociata sistemului celor n vectori care formeaza bazaB: B = [aik ]n×n.

Propozitie

Condit ia necesara si suficienta pentru ca un sistem format din n vectori dinRn sa fie baza este ca determinantul matricei asociate sa fie nenul.




Observatie

Fie B o baza fixata ın Rn si X ∈ Rn un vector oarecare. Atunci X seexprima liniar ın functie de vectorii bazei B astfel:

(1) X = x 1B · V 1 + · · · + x n

B · V n,

numerele reale x k B , k = 1, n numindu-se coordonatele vectorului X ınbaza B.Vom nota

(2) X B = [x 1B . . . x n

B ]T .




Observatie

Din relatiile (1) si (2) rezulta ca

X = B · X B .

Cum B este o baza, avem det (B ) = 0, deci exista inversa B −1.

Inmultind la stanga cu aceasta inversa, obtinem:

(3) X B = B −1 · X ,

relatie ce exprima coordonatele vectorului X ın raport cu baza B.


Exemplu



Exemplu

Vom determina coordonatele vectorului X = [1 0 2]T ın raport cu bazaformata din vectorii V 1 = [2 3 1]T , V 2 = [4 1 0]T , V 3 = [5 1 1]T .

Inversa matricei B asociate bazei B = V 1, V 2, V 3 este

B −1 =

− 111

411

111

211

311 − 13

11

111 − 4

111011

.

Coordonatele vectorului X ın raport cu baza B sunt atunci:

X B = B −1 · X =

1

11

− 2411

2111

.




Observatie

Fie acum B1 = V 1, . . . , V n si B2 = W 1, . . . , W n doua baze diferite

ale spatiului liniar Rn, si fie V un vector din Rn. Sa notam cu X , X B1 ,respectiv X B2 cordonatele acestui vector ın raport cu baza canonica Bc ,baza B1, respectiv baza B2. Am dori sa putem da o legatura ıntreaceste coordonate ın diferite baze.

Tinand seama de formulele (3), putem scrie

(∗) X B1 = B −11 X ,

(∗∗) X B2 = B −12 X ,

unde B 1 si B 2 sunt matricile de trecere de la baza canonica la bazeleB1, respectiv B 2.




Observatie

Relatia (∗) se poate rescrie sub forma

(∗) X = B 1X B1 ,

astfel ca putem ınlocui exprimarea (∗) a coordonatelor X ın relatia(∗∗), care devine:

(4) X B2 = B −12 B 1X B1 .

Ultima formula exprima legatura ıntre coordonatele vectorului V ıncele doua baze.




Exemplu

Fie date bazele

B1 = V 1 = [ 1 1 1 ]T , V 2 = [ 2 1 −3 ]T , V 3 = [ −2 −4 5 ]T siB2 = W 1 = [ −1 1 0 ]T , W 2 = [ 2 −2 1 ]T , W 3 =[ 3 −2 3 ]T .

Vom detemina formulele de trecere de la baza B1 la baza B2. NotamX B1 = [x 1 x 2 x 3]T , respectiv X B2 = [y 1 y 2 y 3]T .Matricele atasate celor doua baze sunt:

B 1 =

1 2 −2

1 1 −41 −3 5

, B 2 =

−1 2 3

1 −2 −20 1 3

.


E l



Exemplu

Tinand cont de formula (4), vom avea X B2 = B −12 B 1X B1 . Deoarece

B −12 =

−4 −3 2−3 −3 1

1 1 0

,

avem

B −12 B 1 =

−5 −17 30−5 −12 23

2 3 −6

,

si vom obtine formulele de transformare a coordonatelor:

y 1 = −5x 1 − 17x 2 + 30x 3y 2 = −5x 1 − 12x 2 + 23x 3y 3 = 2x 1 + 3x 2 − 6x 3 ,


Aplicatii liniare



p ¸

Fie Rn si Rm doua spatii liniare.

Definitie

O aplicatie f : Rn −→ Rm se numeste aplicatie liniara daca satisfaceurmatoarele doua conditii:

(1) f (X + Y ) = f (X ) + f (Y ) , (∀)X , Y ∈ Rn,

(2) f (αX ) = αf (X ) , (∀)α ∈ R, X ∈ Rn.




Observatie

Conditia (1) se numeste conditia de aditivitate a aplicatiei f , iarconditia (2) este conditia de omogenitate a aplicatiei f .

Observatie

Aceste doua conditii se pot ınlocui cu una singura:

(3) f (αX + βY ) = αf (X ) + βf (Y ) (∀)α, β ∈ R, X , Y ∈ Rn.

Conditia (3) reprezinta conditia de liniaritate a aplicatiei f .




Observatie

In cazul cand m = n si f este o aplicatie liniara a spatiului liniar Rn ınel ınsusi, f se mai numeste si operator liniar pe Rn.

De asemenea, daca f : Rn

−→ R este o aplicatie liniara ın R, ea senumeste forma liniara pe Rn.




ObservatieFie f : Rn −→ Rm o aplicatie liniara, si Bn = V 1, V 2, . . . , V n,respectiv Bm = W 1, W 2, . . . , W m baze de vectori fixate ın Rn,respectiv Rm. Deoarece pentru orice i ∈ 1, . . . , n, f (V i ) este un vectordin Rm, el se poate exprima ın raport cu baza Bm:

(4i ) f (V i ) = a1i W 1 + a2i W 2 + · · · + ami W m,

unde coeficientii aki , k = 1, m, sunt numere reale.




Observatie

(continuare) Fie acum V = x 1V 1 + x 2V 2 + · · · + x nV n un vector oarecare

din R

n

si W = y 1W 1 + y 2W 2 + · · · + y mW m = f (V ) imaginea sa ın R

m

,exprimata ın raport cu baza Bm. Tinand cont de formulele (4i ), pentrucoordonatele y j , j = 1, m, avem relatiile:

y j = a j 1x 1 + a j 2x 2 + · · · + a jnx n =n

i =1

a ji x i .

Cu notatiile A = [a ji ], X = [x i ] si Y = [y j ] aceste formule pot firestranse sub forma

(5) Y = AX ,

care reprezinta scrierea matriciala ın raport cu bazele Bn si Bm aaplicatiei liniare f .


Exemplu



Fie data aplicatia f : R2 −→ R3 definita prin

f (x 1, x 2) = (2x 1 − x 2, x 1 + 3x 2, 4x 1 + x 2).

Pentru aceasta aplicatie se verifica usor proprietatile de aditivitatesomogenitate, astfel ca f este o aplicatie liniara. Ea poate fi descrisa sipe componente(i.e.coordonate ın raport cu bazele canonice din R2 siR3):

(f )

y 1 = 2x 1 − x 2y 2 = x 1 + 3x 2y 3 = 4x 1 + x 2.

Matricea asociata aplicatiei liniare f este atunci(elementele sale se pot

citi din scrierea pe componente de mai sus):

A =

2 −1

1 34 2

.




Observatie

Fie acum Bn si B

m doua baze ın Rn, respectiv Rm. De asemnea, fie

A ∈ Mm×n(R) matricea aplicatiei liniare f ın raport cu aceste douabaze, si P ∈ Mn(R), respectiv Q ∈ Mm(R), matricile de trecere de labaza Bn la B

n, respectiv de la baza Bm la Bm. Daca X = [x i ] reprezinta

coordonatele vectorului V ın raport cu baza Bn, iar Y = [y j ] sunt

coordonatele imaginii sale W = f (V ) ın raport cu baza Bm, tinand cont

de egalitatea(5) Y = AX ,

precum si de formulele de schimbare a coordonatelor, pentru matriceaA avem formula

(6) A = Q −1AP .


Operatii cu aplicatii liniare



Definitie

Fie f : Rn −→ Rm o aplicatie liniara, si fie α ∈ R un numar real.Definim atunci aplicatia αf : Rn −→ Rm prin regula foarte naturala

(αf )(X ) = αf (X ), (∀)X ∈ Rn.

Se verifica usor, pe baza proprietatilor operatiilor ıntr-un spatiu liniar,ca aplicatia astfel definita este o aplicatie liniara, numita ınmult irea cu scalarul α a aplicatiei liniare f .

Observatie

Daca matricea asociata aplicatiei liniare f este A, atunci matriceaasociata aplicatiei liniare αf va fi αA.




Definitie

Fie f 1, f 2 : Rn −→ Rm doua aplicatii liniare. Definim atunci aplicatia

f 1 + f 2 : Rn −→ Rm prin legea de asociere

(f 1 + f 2)(X ) = f 1(X ) + f 2(X ), (∀)X ∈ Rn.

Proprietatile operatiilor dintr-un spatiu liniar ne asigura ca aplicatia

f 1 + f 2 este o aplicatie liniara, numita suma celor doua aplicatii liniaref 1 si f 2.

Observatie

Daca aplicatiile liniare f 1 si f 2 au matricile asociate A1 si A2, atunciaplicatia liniara f 1 + f 2 are matricea asociata A1 + A2.




Observatie

Multimea L(Rn, Rm) = f : Rn −→ Rm|f -aplicatie liniara areımpreuna cu cele doua operatii definite mai sus o structura de spatiu

liniar.




Definitie

Fie f : Rn −→ Rm si g : Rm −→ Rp doua aplicatii liniare. Definim

atunci aplicatia g f : Rn −→ Rp prin legea

(g f )(X ) = g (f (X )), (∀)X ∈ Rn.

Din liniaritatea aplicatiilor f si g rezulta ca si aplicatia g f este o

aplicatie liniara, numita compusa aplicatiilor liniare f si g .

Observatie

Daca aplicatiile liniare f si g au matricile asociate A ∈ Mm×n(R) si

B ∈ Mp ×m(R), atunci aplicatia liniara compusa g f a celor douaaplicatii f si g are matricea asociata B · A.




Observatie

Multimea End (Rn) = L(Rn, Rn) a operatorilor liniari ai spatiului liniarRn, are ımpreuna cu operatiile de adunare si compunere a aplicatiilor

liniare o structura de inel(necomutativ pentru n ≥ 2).


Definitie



Definitie

Fie f : Rn −→ Rn un operator liniar al spatiului liniar Rn si sapresupunem ca f este o aplicatie bijectiva(ın acest caz f se numeste

transformare liniara). Atunci f este o aplicatie inversabila, si datoritaliniaritatii sale rezulta ca si aplicatia f −1 : Rn −→ Rn este otransformare liniara, numita inversa transformarii liniare f .

Observatie

Un operator liniar f ∈ End (Rn) este bijectiv daca si numai dacamatricea asociata lui este inversabila, adica daca si numai dacamatricea asociata are determinant nenul.

ObservatieDaca matricea asociata transformarii liniare bijective f este A, atuncimatricea asociata transformarii liniare f −1 este A−1.




Observatie

Multimea GL(Rn) = f ∈ End (Rn)|f -inversabila are ımpreuna cuoperatia de compunere a transformarilor liniare inversabile o structura

de grup(necomutativ daca n ≥ 2).


Vectori si valori proprii ai unui operator liniar



Fie T : Rn

−→ Rn

un operator liniar fixat, si fie de asemenea λ ∈ R unnumar real fixat.

Definitie

Spunem ca λ este o valoare proprie a operatorului liniar T daca exista

un vector nenul V ∈ Rn

cu proprietatea ca

() T (V ) = λV .

Un asemenea vector se numeste vector propriu al operatorului liniar T ,

asociat valorii proprii λ.


Observatie



Observatie

Se presupunem ca am fixat o baza ın spatiul liniar Rn, si fieA = [aij ] ∈ Mn(R), respectiv X = [x i ] ∈ Mn

×1, matricea operatorului

T , respectiv matricea-coloana a coordonatelor lui V ın raport cuaceasta baza. Atunci relatia () devine

() AX = λX .

Observatie

Cand o matrice patratica A, un numar λ si o matrice-coloana X

satisfac o relatie de tipul relatiei (), atunci spunem ca λ este ovaloare proprie a matricii A, iar ”vectorul” nenul X este un vectorpropriu al matricii A corespunzator valorii proprii λ.


Observatie



Relatia () se mai poate scrie si ın forma

(∗) (A − λI n)X = 0.

Tinand cont de aceasta ultima relatie, putem deduce o conditie pentruca un numar λ sa fie valoare proprie pentru un operator liniar,respectiv o matrice. Daca privim relatia (∗) ca pe o ecuatie matriciala

cu necunoscuta X , conditia ca λ sa fie valoare proprie este ca sistemulde ecuatii liniare asociat ecuatiei matriciale (∗)

(∗∗)

(a11 − λ)x 1 +a12x 2+ . . . +a1nx n = 0a21x 1 +(a22 − λ)x 2+ . . . +a2nx n = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x 1 +an2x 2+ . . . +(ann − λ)x n = 0

sa permita si solutii nebanale.




Observatie

(continuare) Acest lucru se ıntampla exact daca determinantul matriciisistemului este nul. Astfel, conditia ca numarul λ sa fie valoare propriea matricii A(si deci a operatorului liniar T , reprezentat ın baza fixatacu ajutorul matricii A) este

(∗ ∗ ∗) det (A − λI n) = 0.

Polinomul p A(λ) = det (A − λI n) se numeste polinomul caracteristicasociat matricei A, iar relatia (∗ ∗ ∗) este ecuatia caracteristica asociatamatricei A.




CorolarUn numar λ este valoare proprie a matricii A daca si numai daca este o solut ie a ecuat iei caracteristice( i.e. o radacina a polinomului caracteristic)asociate matricii.

ObservatieVectorii proprii asociati unei valori proprii λ pot fi gasiti rezolvandsistemul (compatibil nedeterminat!) (∗∗).




Propozitie

(Hamilton-Cayley) Orice matrice patratica ısi satisface propria ecuat ie caracteristica; i.e.

p A(A) = 0n, (∀)A ∈ Mn(R).


Exemplu



Exemplu

Vom determina valorile proprii si vectorii proprii ai urmatoruluioperator liniar:

T : R3 −→ R3, T (X ) =

0 1 0

1 1 10 1 0

· X .

Polinomul caracteristic asociat acestui operator liniar este

p T (λ) = det (A − λI 3) =

= −λ 1 0

1 1 − λ 10 1 −λ

= −λ3 + λ2 + 2λ




Exemplu(continuare) Rezolvand ecuatia caracteristica

−λ3 + λ2 + 2λ = 0

obtinem valorile proprii ale transformarii liniare T :

λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2.


Exemplu



Exemplu

(continuare) Pentru a determina vectorii proprii, avem de rezolvat treisisteme de ecuatii liniare, si anume:

(S 0)

x 2 = 0x 1 + x 2 + x 3 = 0

x 2 = 0,

(S −1)

x 1 + x 2 = 0x 1 + 2x 2 + x 3 = 0

x 2 + x 3 = 0,

(S 2) −2x 1 + x 2 = 0

x 1 − x 2 + x 3 = 0x 2 − 2x 3 = 0,


Exemplu



Exemplu

(continuare) Multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii λ1 = 0

este data de solutiile primului sistem, anume

V 0 = [α 0 − α]T |α ∈ R∗.

Multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii λ2 = −1 este

V −1 = [α − α α]T |α ∈ R∗.

In fine, multimea vectorilor proprii asociati valorii proprii λ1 = 2 este

V 2 = [α 2α α]T |α ∈ R∗.


Alte metode de determinare a polinomuluicaracteristic al unui operator liniar



caracteristic al unui operator liniar

1. Formulele lui BocherFie A ∈ Mn(R), A = [aij ]n×.

Definitie

Suma elementelor de pe diagonala principala a unei matrice se numesteurma matricei si se noteaza cu tr(A) :

tr (A) = a11 + a22 + a33 + · · · + ann.


Observatie



Observatie

Daca notam cu τ 1 = tr (A), τ 2 = tr (A2), . . . , τ n = tr (An), coeficientii

polinomului caracteristic

p A(λ) = (−1)n(λn + α1λn−1 + α2λn−2 + · · · + αn−1λ + αn)

sunt dati de formulele de recurenta ale lui Bocher:

α1 = −τ 1α2 = − 1

2 (α1τ 1 + τ 2)α3 = − 1

3 (α2τ 1 + α1τ 2 + τ 3). . . . . . . . .

αn = −1n (αn−1τ 1 + αn−2τ 2 + α1τ n−1 + τ n).


Exemplu



Vom determina, folosind formulele lui Bocher, polinomul caracteristical matricei

A = 2 −2 3

1 1 11 3 −1

.

Avem:

A2 = 5 3 14 2 34 −2 7

si

A3 = 14 −4 17

13 3 1113 11 3

.


Exemplu



Exemplu

(continuare) Urmele acestor matrice sunt:

τ 1 = tr (A) = 2, τ 2 = tr (A2) = 14, τ 3 = tr (A3) = 20.

Pentru coeficientii polinomului caracteristic avem:α1 = −τ 1 = −2,

α2 = −12 (α1τ 1 + τ 2) = −

12 (−4 + 14) = −5,

α3 = − 13 (α2τ 1 + α1τ 2 + τ 3) = − 1

3 (−10 − 28 + 20) = 6.

Astfel vom obtine urmatorul polinom caracteristic

p A(λ) = (−1)3(λ3 − 2λ2 − 5λ + 6).


2. Formulele lui Faddeev-Sominskii



ObservatieAceste formule sunt relativ mai simple decat cele ale lui Bocher si sebazeaza pe urmatoarele calcule:A1 := A, β1 = tr (A1), B 1 = A1 − β1I n,A2 := B 1A, β2 = 1

2

tr (A2), B 2 = A2 − β2I n,...Ak := B k −1A, βk = 1

k tr (Ak ), B k = Ak − βk I n,

...

An := B n−1A, βn =

1

n tr (An), B n = An − βnI n = 0.




Observatie

(continuare) Ultima formula se numeste formula de control.Polinomul caracteristic va fi atunci dat de

p A(λ) = (−1)n(λn − β1λn−1 − β2λn−2 − · · · − βn).

In plus, daca A este o matrice inversabila, inversa sa este data deformula

A−1 =1

βn

B n−1.


Exemplu

Determinam cu ajutorul formulelor lui Faddeev polinomul caracteristic



al matricei

A =

2 −1 2

5 −3 3−1 0 −2

.

Vom avea:β1 = tr (A) = 2 − 3 − 2 = −3,

B 1 = A1 + 3I 3 =

5 −1 2

5 0 3−1 0 1

,

A2 = B 1A1 = 3 −2 3

7 −5 4−3 1 −4

,

β2 = 12 tr (A2) = −3,




Exemplu

(continuare)

B 2 = A2 + 3I 3 =

6 −2 3

7 −2 4−3 1 −1

,

A3 = B 2A2 = −1 0 0

0 −1 00 0 −1

,

β3 = −1.




Exemplu

Decip A(λ) = (−1)3(λ3 + 3λ2 + 3λ + 1).

Inversa matricei A va fi

A−1 = −B 2 = −6 2 −3

−7 2 −43 −1 1

.


Spatii vectoriale euclidiene

Produs scalar Norma



Produs scalar. Norma.Fie spatiul vectorial Rn si X , Y ∈ Rn, X = [x 1, . . . , x n]T ,

Y = [y 1, . . . , y n]T

.

Definitie

Numarul real

(1) (X , Y )

def

= x 1 · y 1 + · · · + x n · y n

se numeste produsul scalar(euclidian) al vectorilor X si Y din Rn.Relatia din definitia de mai sus se poate scrie si sub forma

(1) (X , Y ) =

ni =1

x i · y i .




Propozitie

Pentru oricare X , Y , Z ∈ Rn si α ∈ R au loc proprietat ile:(P 1) (X , X ) ≥ 0, (X , X ) = 0 ⇐⇒ X = Θ.(P 2) (X + Y , Z ) = (X , Z ) + (Y , Z ).(P 3) (αX , Y ) = α(X , Y ).(P 4) (X , Y ) = (Y , X ).

(P 5) | (X , Y ) |≤ (X , X ) · (Y , Y ).

Definitie

Spatiul Rn ınzestrat cu produsul scalar (·, ·) se numeste spat iu euclidian

n-dimensional .




DefinitieFunctia

· : Rn −→ R+

definta prin

X = (X , X ) = x 12

+ · · · + x n2

se numeste norma euclidiana a spatiului Rn. Numarul X se numestenorma vectorului X .


Definitie

Un vector avand norma egala cu 1 se numeste vector unitar .



g ¸

ObservatieOricarui vector nenul dat V ıi putem asocia un vector unitar:

Definitie

Vectorul

U = 1V

V

se numeste versorul vectorului V .

ObservatiePentru n = 1 avem X = x 1 si atunci X =

(X , X ) =

x 12 =| X |,

deci norma este egala cu functia modul pe R.




Propozitie

Pentru orice X , Y ∈ Rn si α ∈ R au loc urmatoarele:(N 1) X = 0 ⇐⇒ X = Θ;(N 1) α · X = |α| · X ; (N 3) X + Y ≤ X + Y .

DefinitieSpatiul Rn ınzestrat cu norma euclidiana se numeste spatiu euclidiannormat.




Definitie

Functia

d : Rn × Rn −→ R+

definita prin

d (X , Y ) = X − Y , X , Y ∈ Rn,

se numeste distant a euclidiana pe Rn.


Observatie



Fie X = [x 1 x 2 . . . x n]T si Y = [y 1 y 2 . . . y n]T vectori oarecare din Rn.

Atunci tinand cont de definitia normei euclidiene, distanta (euclidiana) dintre vectorii X si Y este

d (X , Y ) =

(x 1 − y 1)2 + (x 2 − y 2)2 + · + (x n + y n)2

Daca Y = Θ, atunci

d (X , Θ) = X ,

pentru orice X ∈ Rn,adica norma euclidiana a unui vector oarecare este distanta de la acelpunct la originea spatiului Rn.




Propozitie

Pentru orice X , Y , Z ∈ Rn au loc urmatoarele proprieta t i : (d 1)d (X , Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y ;(d 2) d (X , Y ) = d (Y , X );

(d 3) d (X , Y ) ≤ d (X , Z ) + d (Z , Y ) (inegalitatea triunghiului).


Definitie



Definitie

Fie X , Y ∈ Rn. Vectorii X , Y sunt ortogonali daca produsul lor scalar

este nul, adica( X , Y ) = 0.

DefinitieUn sistem S de vectori din Rn se numeste sistem ortogonal daca

(X , Y ) = 0, (∀)X , Y ∈ Rn, X = Y .


Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt



DefinitieFie S = V 1, V 2, . . . , V m ∈ Rn, m ≤ n, un sistem de vectori.Determinantul Gram asociat sistemului de vectori S este numarul

Gram(V 1, V 2, . . . , V m) =

(V 1, V 1) (V 1, V 2) . . . (V 1, V m)

(V 2, V 1) (V 2, V 2) . . . (V 2, V m). . . . . . . . . . . .

(V m, V 1) (V m, V 2) . . . (V m, V m)

unde (V i , V j ), i , j = 1, m, sunt produsele scalare ıntre vectorii

sistemului.


Propozitie

Condit ia necesara si suficienta pentru ca un sistem de vectori S V V V sa fie liniar independent este



S = V 1, V 2, . . . , V m sa fie liniar independent este

Gram(V 1, . . . , V m) = 0.

Corolar

Orice sistem de vectori care cont ine vectorul nul este liniar dependent.

Corolar

Un sistem de vectori nenuli si ortogonali doi cate doi este liniar independent.

Corolar

Numarul maxim de vectori ortogonali doi cate doi este egal cu dimensiunea spat iului.


Exemplu

Fi sist l d t i



Fie sistemul de vectoriS = V 1 = [ 1 1 0 0 ]T , V 2 = [ 5 6 0 1 ]T , V 3 = [ 2 4 3 − 1 ]T ∈ R4.

Determinantul Gram al acestui sistem este

Gram(V 1, V 2, V 3) =

(V 1, V 1) (V 1, V 2) (V 1, V 3)(V 2, V 1) (V 2, V 2) (V 2, V 3)(V 3, V 1) (V 3, V 2 (V 3, V 3)

Calculand produsele scalare dintre vectori, obtinem

Gram(V 1, V 2, V 3) =

2 11 611 62 33

6 33 30

= 36 = 0.


Definitie

Fie S = V 1, V 2, . . . , V m ∈ Rn un sistem de vectori. Spunem ca un



vector V ∈ Rn este ortogonal pe S daca este ortogonal pe fiecare din

vectorii sistemului,i.e.

V ⊥ S ⇐⇒ (V , V i ) = 0, (∀)i = 1, m.

Definitie

O baza B = V 1, V 2, . . . , V n ∈ Rn se numeste baza ortogonala dacaoricare doi vectori sunt ortogonali ıntre ei, i.e.

(V i , V j ) = 0, (∀)i , j = 1, n, i = j .


DefinitieO baza B = V 1, V 2, . . . , V n ∈ Rn se numeste baza ortonormata dacaea este baza ortogonala formata din vectori unitari, i.e.



(1) (V i , V j ) = 0, (∀)i , j = 1, n, i = j ,

(2) V i = 1, (∀)i = 1, n.

ObservatieRelatiile (1) si (2) sunt echivalente cu

(3) (V i , V j ) = δij , (∀)i , j = 1, n,

care se poate scrie si sub forma

(3) [(V i , V j )] = I n.


Definitie

Fie V , W ∈ Rn, W = Θ. Vectorul

(V W )



pr W V =(V , W )

(W , W )

W ,

se numeste proiect ¸ia vectorului V pe W , iar

α =(V , W )

(W , W ),

se numeste marimea algebrica a proiectiei vectorului V pe W .

Observatie

Fie V , W ∈ Rn doi vectori fixati, si fie

W = V − pr W V .

Atunci W ⊥ W .


Exemplu

Fie V = [ 2 4 ]T si W = [ 3 0 ]T doi vectori din R2. Proiectia vectoruluiV pe directia lui W este pr W V = [ 2 0 ]T . Vectorul

T



W = V − pr W V = [ 0 4 ]T va fi atunci ortogonal pe W , dupa cum se

vede foarte usor:

¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ !4

V

T

W

EW

Epr W V

2 3

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.


Observatie

Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt permite construirea unei



g pbaze ortogonale, pornind de la o baza oarecare B = V 1, V 2, . . . , V n a

spatiului Rn. Pentru aceasta construim vectorii:

W 1 = V 1,

W 2 = V 2 − pr W 1 V 2,

W 3 = V 3 − pr W 1 V 3 − pr W 2 V 3,

. . . = . . .W n = V n − pr W 1 V n − · · · − pr W n−1

V n.

Sistemul de vectori astfel construit este un sistem liniar independent siortogonal, deci am obtinut o baza ortogonala

B⊥ = W 1, W 2, . . . , W n.


Observatie



Observatie

(continuare) Daca vrem sa obtinem o baza ortonormata, este suficientsa construim vectorii

U i =1

W i W i , i = 1, n,

astfel ca o baza ortonormata va fi

B⊥ = U 1, U 2, . . . , U n.

Conf dr C Chis () Curs 1+2 2010-2011 83 / 86

Exemplu



Exemplu

Fie V 1 = [ 1 1 ]T

, V 2 = [ 4 2 ]T

∈ R2

doi vectori liniar independenti. Eiformeaza o baza care ınsa nu este ortogonala, deoarece(V 1, V 2) = 6 = 0.Construim vectorii

W 1 = V 1 = [ 1 1 ]T

W 2 = V 2 − pr W 1 V 2 = [ 1 − 1 ]T .

Conform observatiei de mai sus, acesti doi vectori sunt nenuli siortogonali, deci formeaza o baza ortogonala pentru R2.


Exemplu(continuare) Pentru a obtine o baza ortonormata, definim vectorii

U1 = 1 W1 = [√

2√

2 ]T



U 1 = W 1W 1 = [√

2

√2 ]

U 2 =1

W 2W 2 = [

√ 2

2 −

√ 2

2 ]T

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ B

d

d d

d d

&%

'$V 2

..........

.......

......

......

......

.....

W 2

U 2

U 1

V 1 = W 1

pr W 1V 2


Observatie



Bazele ortonormate prezinta foarte mari avantaje din punct de vedere

al calculelor.Fie B⊥ = U 1, U 2, . . . , U n o baza ortonormata si fie V ∈ Rn un vectoroarecare fixat, avand ın raport cu baza B⊥ expresia

V = x 1U 1 + x 2U 2 + · · · + x nU n.

Tinand cont de faptul ca baza B⊥ este ortonormata, avem ca:

x i = (V , U i ), (∀)i = 1, n.


Curs Algebra liniara 1+2

Documents

Transcript of Curs Algebra liniara 1+2