20

Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde mei 2004

Colloïden zijn minuscule deeltjes die meestal in een oplos-

sing gedispergeerd zijn. Net als atomaire en moleculaire

systemen kunnen colloïden vanuit een gas- of vloeistoffase

geordende kristallen vormen als bijvoorbeeld de dichtheid

aan colloïdale deeltjes wordt vergroot. Met een confocale

microscoop kan de driedimensionale structuur van colloïden

in een oplossing bestudeerd worden. Door op de wand van

een colloïdale oplossing een goedgekozen patroon aan te

brengen, kan kristallisatie van colloïden zodanig beïnvloed

worden dat zich kristallen vormen die zonder dat patroon

niet voor zouden komen. Bovendien kunnen op een gecon-

troleerde manier fouten in het kristal worden aangebracht en

kan er ín het systeem gekeken worden hoe deze fouten in

het kristalrooster worden opgenomen. Jacob Hoogenboom

Driedimensionale analyseHet gebruik van systemen van colloï-den als modelsysteem voor atomaireen moleculaire thermodynamischeprocessen dateert al uit het begin vande twintigste eeuw. Zo leidde Perrin uitexperimenten aan de Brownse diffusievan colloïden en het hoogteprofiel vande colloïdconcentratie de grootte vanhet getal van Avogadro af. Deze experi-menten vormden het eerste bewijsvoor het bestaan van atomen en mole-culen, een ontdekking waarvoor Perrinin 1926 de Nobelprijs kreeg [1].Zo’n acht jaar geleden kreeg het onder-zoek aan colloïdale modelsystemeneen nieuwe impuls toen werd aange-toond dat met behulp van een zoge-naamde confocale microscoop (zie fi-guur 1) een driedimensionale analysekan worden gemaakt van een colloï-daal systeem tot op een diepte van zo’n

Colloïdale epitaxie:Kijken naar de vorming van

Jacob Hoogen-

boom studeerde

technische na-

tuurkunde aan de

Universiteit

Twente. Zijn af-

studeeronderzoek

bestond uit com-

putersimulaties

aan het diffusie-

gedrag van kleine

moleculen in een-

dimensionale mo-

leculaire zeven. In

november 1997

begon hij zijn

promotieonder-

zoek naar colloï-

dale epitaxie op

het fom-insti-

tuut voor Atoom-

en Molecuulfysica

en de Universiteit

Utrecht onder be-

geleiding van Al-

fons van Blaade-

ren. Momenteel

werkt Jacob als

postdoc aan

onderzoek naar

systemen van ge-

koppelde fluores-

cente moleculen in

de groep van Niek

van Hulst aan de

Universiteit

Twente.

j.p.hoogenboom@utwente.nl

Ar-Kr-laser

Punt-detector

Objectief

Dichroïsche spiegel

Sample

Focaal vlak

Excitatielicht

Geëmitteerde lichtFiguur 1

Schematische weergave van dewerking van een confocale micro-

scoop. Het licht waarmee eenfluorescent sample wordt

belicht (oranje lichtpad) wordtdoor het objectief gefocusseerd

in een sample. Het fluorescentelicht dat vanuit het focus uitge-

zonden wordt (rode lichtpad),wordt door het objectief afge-

beeld op de kleine opening vaneen puntdetector. Fluorescent

licht dat van buiten het focusuitgezonden wordt (gestippel-

de rode lichtpad), wordt voor(of achter) deze opening gefo-

cusseerd en bereikt zo dedetector niet. Door nu het

focus punt voor punt door eenvlak in het sample te bewegen

en vervolgens vlak voor vlakdoor het sample heen, kan een

driedimensionale afbeeldingvan dit sample worden gemaakt.

21

mei 2004 Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde

honderd micrometer [2]. Hierbijwordt gebruik gemaakt van deeltjes dievoorzien zijn van een fluorescent label.De brekingsindex van het oplosmiddelwaarin de deeltjes zich bevinden wordtgelijk gemaakt aan de brekingsindexvan de deeltjes zelf, zodat verstrooiingvan zowel het licht waarmee de fluo-rescente verf in de deeltjes wordt geëx-citeerd, als van het fluorescentielichtdat vervolgens wordt uitgezonden, ver-waarloosbaar is. In een systeem waarinde afstanden tussen de deeltjes kleinerzijn dan de optische resolutie, wordendeeltjes met een kernschilvorm ge-bruikt (zie figuur 2). De niet-fluores-cente schil scheidt de afgebeelde in-tensiteitprofielen van naburige deel-tjes zodanig dat deze elk apart waarge-nomen worden. Op deze manier heb-ben we een systeem waarvan de drie-dimensionale structuur direct gere-

metastabiele kristallentweede prijs

PrijsvraaG

Wat zijn colloïdale deeltjes?Er is geen strikte definitie van wat colloïdale deeltjes – of kort-weg colloïden – precies zijn. In het algemeen verstaat menonder colloïden macroscopische deeltjes van een bepaalde af-meting, namelijk groter dan enkele nanometers, maar kleinerdan een paar micrometer. Volgens deze definitie bestrijken ze deruimte tussen moleculen aan de ene kant en vaste stoffen of gra-nulaire materialen aan de andere kant (zie de figuur). Voorbeel-den van systemen van colloïden zijn melk, bloed en verf (latex).Een belangrijke eigenschap van colloïden is dat ze in een oplos-sing een zogenaamde Brownse beweging uitvoeren. Een deeltjewordt continu geraakt door talloze, veel kleinere vloeistofmole-culen. Echter, omdat op elk moment het aantal moleculen dataan de ene kant botst niet precies gelijk hoeft te zijn aan het aan-tal moleculen aan de andere kant, ondervindt het colloïd eensteeds wisselende nettokracht. Als gevolg daarvan beweegt hetin steeds willekeurig veranderende richting door de oplossing.Deeltjes die te groot of te traag zijn om zo in beweging te komenworden niet meer tot de colloïden gerekend. Door deze Brown-se beweging verandert de microscopische structuur van eensysteem van colloïden continu. De manier waarop dit gebeurt, isgrotendeels gelijk aan hoe atomaire en moleculaire systemenzich gedragen. Dit betekent dat ook colloïden overgangen verto-nen tussen wanordelijke toestanden (een vloeistof- of gasfase)en geordende toestanden (kristalfasen). Het grote voordeel van

colloïden is dat ze, door hun grotere afmetingen en de tijdscha-len waarop ze bewegen (zie de figuur), gemakkelijker experi-menteel te onderzoeken zijn. Bovendien zijn de interacties tus-sen de colloïden onderling te manipuleren door de samenstel-ling van het oplosmiddel te veranderen, of door het oppervlakvan de deeltjes met chemische methoden te wijzigen. Zo is heteffect van deeltjesinteracties op faseovergangen systematisch tebestuderen.

Radius1 n m 10 n m 100 nm 1 µm

10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 Mass

10 ps Ti s1 ms1 µs1 n s 1 s

Atoms

Molecule s

Proteins

Polymers

Virusses, V i cl s

Colloid s

Gr l r t r,Solid Matter

S traal1 n m 10 n m 100 nm 1 µm1 n m 10 n m 100 nm 1 µm1 n m 10 n m 100 nm 1 µm

10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 Massa10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 1210 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12

10 ps Tijdschaal1 ms1 µs1 n s 1 s10 ps 1 ms1 µs1 n s 1 s

AtomsAtomen

Molecule sMoleculen

Prot ins

PolymersPolymeren

Virusses, V lVirussen, esicles

Colloïden

Granulaire enVaste Stoffen

Proteïnen

V

0,4 µm

1,4 µm

SiO2FluorescentgelabeldSiO2

Een overzicht van verschillende lengte- en tijdschalen en het gebied dat hierinbestreken wordt door colloïdale deeltjes. Colloïden onderscheiden zich van ato-men en moleculen enerzijds en granulaire materialen en vaste stoffen anderzijdsdoor hun zogenaamde Brownse beweging.

Figuur 2

Vorm van een kernschildeeltje. De niet-fluores-cente schil zorgt ervoor dat de afbeeldingen vantwee tegen elkaar liggende deeltjes afzonderlijkzichtbaar zijn.

construeerd kan worden, hoe hoog dedichtheid aan deeltjes ook is! In figuur3 is een voorbeeld te zien, waarin een(confocale) blik wordt gegeven op deinterne structuur van twee verschillen-de colloïdale kristallen.

Colloïdale epitaxieOnder epitaxie, of epitaxiale groei, ver-staan we de kristalgroei van een mate-riaal op het oppervlak van een andermateriaal. Dit externe oppervlak beïn-vloedt de groei van het kristal en hetkristalrooster doordat het een anderegeometrie en periodiciteit kan hebbendan die welke het te groeien kristal zelfzou hebben. Ook zijn in het algemeende interactiekrachten in het materiaalzelf heel anders dan die tussen het ma-teriaal en het oppervlak. In de praktijkis bijna alle kristalgroei epitaxialekristalgroei.

22

Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde mei 2004

In het geval van colloïden is het relatiefeenvoudig om oppervlakken op dezelf-de schaal te bewerken als de typischegrootte van de deeltjes zelf. Zo kan eenreliëfpatroon worden gemaakt als tezien is in figuur 4. Het patroon kanechter ook uit een selectieve chemi-sche oppervlaktebehandeling bestaan,zodat een rooster op de wand ontstaat,waarin de roosterpunten de colloïdenaantrekken of juist afstoten (zie figuur4c). Als we een colloïdaal kristal latengroeien op zo’n extern wandpatroonspreken we van colloïdale epitaxie. Ui-teraard kan dit wandpatroon ook ge-woon de rand van een ander colloïdaalkristal zijn. Echter, de patronen die wezelf in reliëf of in chemische structuur,aanbrengen geven ons de mogelijk-heid de invloed van zo’n wandpatroonsystematisch te bestuderen.

Harde bollenZoals al eerder gezegd, is een van devoordelen van colloïdale deeltjes datwe de interacties tussen de deeltjesonderling kunnen manipuleren. Deconceptueel eenvoudigste interactieszijn die tussen harde bollen: de deel-tjes beïnvloeden elkaar alleen als ze el-kaar raken. Het gedrag van harde bol-len kan met computersimulaties be-studeerd worden. De uitkomsten vanexperimenten aan systemen van colloï-dale harde bollen lenen zich dan ookvoor een vergelijking met wat theoreti-sche modellen voorspellen.

I

I II

II

III

III

(a)

(b)

(a)(a) (c)(c)(b)(b)

Figuur 3

Voorbeelden van een doorsnede van verschillende colloïdale kristallen, gemaakt met een confocale microscoop. Dedeeltjes zijn 1,2 micrometer groot. a: Een body centered cubic-structuur (bcc) (i) met een confocale opname (ii) van hetkristalvlak met de grootste dichtheid aan deeltjes. Dit vlak wordt in (i) weergegeven door de rode deeltjes. Als de posi-tie waarop de doorsnede genomen wordt iets wordt veranderd, dan komen ook de deeltjes in de volgende laag in beelden zien we dus een projectie van twee opeenvolgende kristalvlakken (iii). b: In een andere kristalvorm, een face centeredcubic-kristal (fcc) (i), is de afbeelding van het dichtste vlak (ii) bijna gelijk aan die van het bcc-kristal, maar ziet de pro-jectie van twee opeenvolgende vlakken er heel anders uit (iii). Uit een hele serie van opeenvolgende opnames kan depositie van alle deeltjes in het kristal worden afgeleid.

Figuur 4

Opnames van wandpatronen zoals die gebruikt kunnen worden voor colloïdale epitaxie. Het patroon kan gevormd worden door een reliëf van afzonderlijke(in afbeelding a) of deels overlappende (in b) gaatjes in een polymeerlaag. Het is echter ook mogelijk om een wandpatroon te maken dat alleen bestaat uiteen selectief aangebrachte chemische laag, zoals de lichte, van fluorescente verf voorziene plekken in afbeelding c. De kleine figuur in afbeelding c laat eenconfocale opname zien van deeltjes op zo’n patroon. De lengte van de schaalbalken is respectievelijk 2 micometer, 1 micrometer en 3 micrometer.

23

mei 2004 Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde

Een van deze, met behulp van colloïda-le deeltjes experimenteel bevestigde,voorspellingen is dat harde bollen bijtoenemende dichtheid gaan kristalli-seren. Als dit gebeurt ordenen de deel-tjes zich in een zogenaamde dichtstepakking, de meest effectieve manierom een volume met bollen te vullen.Een dichtste pakking wordt gevormddoor elk deeltje in een laag te omgevendoor zes buren zodat een hexagonaleordening ontstaat. Op zo’n laag kan,zoals weergegeven in figuur 5, de vol-gende hexagonale laag op twee manie-ren gestapeld worden. De stapelings-volgorde duiden we aan met de lettersa, b en c.Van alle mogelijke opeenstapelingenvan hexagonale vlakken is de regelma-tige abcabc-structuur (dit is het fcc-kristal uit figuur 3, face centered cubic) demeest stabiele kristalvorm. De regel-matige abab-structuur, oftewel eenhcp-kristal (hexagonal close packed), is demeest onvoordelige of metastabielestapeling. Stapelingen met andere, re-gelmatige of onregelmatige, volgor-den liggen qua stabiliteit tussen dezetwee kristalvormen in. Het verschil invrije-energie tussen een fcc- en eenhcp-stapeling is echter dermate klein,dat het experimenteel heel moeilijk isom een kristal te groeien zonder stape-lingsfouten[3]. Een metastabiel hcp-kristal van deeltjes met een harde-bol-leninteractie was tot voor kort experi-menteel nog nooit waargenomen

Een harde-bollen-hcp-kristalDoor een slimme doorsnede van eendichtstgepakt harde-bollenkristal temaken, kan een vlak verkregen wordendat precies de stapelingsvolgorde vande hexagonale vlakken in dit kristal laatzien (zie figuur 5). Als we nu, zoals infiguur 5, een wandpatroon kiezen dateen symmetrie heeft die overeenkomtmet die in zo’n doorsnede, zou de sta-pelingsvolgorde vastgelegd kunnenworden in het patroon dat we maken.Een abab-patroon zou dan dus moetenleiden tot een ABAB-ordening van dedeeltjes boven dit patroon en dus toteen harde-bollen-hcp-kristal.Dat zo’n wandpatroon ook inderdaadleidt tot de groei van een metastabiel

AAB

BC

Glas

Fluorescentpolymeer

(a) (b)

CAA B BA AB B

Figuur 5

Twee opeenvolgende lagen in een hexagonaal dichtste pakking (links). Voor de posities van opeenvolgende lagen zijndrie sets van mogelijkheden, in de figuur aangeduid met a, b en c. Als we een doorsnede loodrecht op de hexagonalevlakken kiezen in de richting van de stippellijn, dan bevat deze doorsnede precies de volgorde van de stapeling (hierab). Rechts is een microscoopopname te zien van een template van gaten met een symmetrie volgens zo’n doorsnede,namelijk ababa… Deze volgorde is karakteristiek voor een hcp-kristal.

Figuur 6

Confocale microscopieopnames van colloïdale harde bollen boven een (a) hcp-patroon en boven een (b) ‘dubbel-hcp’-patroon (abcba-patroon). Naast de duidelijk zichtbare deeltjes in focus, zijn ook de deeltjes in de volgende laag vaagzichtbaar (lichtgrijs). In de rechterbovenhoek is een reconstructie op basis van de posities van de deeltjes getekend.Hier is duidelijk te zien dat de abab- respectievelijk de abcba-volgorde in beide lagen terug te vinden is. De lengte vande schaalbalk is 5 micrometer. Let er op dat we kijken naar de kernschildeeltjes getekend in figuur 2 en dat we dusalleen de fluorescente kern van de deeltjes zien. Als we de afstanden tussen de deeltjes uit onze series opnamen terug-rekenen, blijken deze goed overeen te komen met wat we voor harde bollen zouden verwachten.

Figuur 7

Een simpel patroon van repulsieve lijnen (lichte banen) blijkt een verrassend rijk effect op de ordening van over langeafstand repulsieve colloïden te hebben. Afhankelijk van de afstand a tussen de lijnen en de dichtheid (uitgedrukt in hetvolumepercentage aan deeltjes Φ) blijkt zowel de kristalstructuur als de oriëntatie van de kristallen (aangegeven metindices (110) en (100)) te veranderen. Voor al deze volumefracties bleken deze deeltjes boven een vlakke wand eenbcc(110)-georiënteerd kristal te vormen.

24

Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde mei 2004

hcp-kristal is te zien in figuur 6. Doorhet focusvlak van de confocale micro-scoop laag voor laag door het samplete bewegen, kunnen we zien hoe ver destapeling zich in de oplossing doorzet.In ons systeem was het kristal zo’ntwintig lagen dik en al deze twintiglagen hadden de abab-stapeling opge-legd door het wandpatroon[4].Dat de stapeling van harde-bollencol-loïden inderdaad volledig gedirigeerdkan worden door ons wandpatroonkunnen we laten zien door de volgordeop het patroon te veranderen. Als weeen patroon met een abcba-patroonnemen, dan groeit er een colloïdaal

kristal met abcba-stapeling, een zo-genaamd ‘dubbel’-hcp-kristal. Doornu één of enkele posities in het pa-troon te veranderen kunnen we op eengecontroleerde manier een ‘fout’ in hetkristal inbouwen. Aangezien we eenvolledige driedimensionale analysevan het systeem kunnen doen, hebbenwe zo de mogelijkheid te kijken hoe dedeeltjes in het kristal reageren op zo’nfout. Bovendien kunnen dergelijkefouten juist aanleiding geven tot inte-ressante, optische eigenschappen. Eenvan de zaken die wij voor ons hcp-kristal bestudeerd hebben, is wat ergebeurt als de afstanden op het pa-

troon net niet overeenkomen met deafstanden die in het kristal zoudenontstaan. Zo blijkt bij een bepaalde af-wijking het niet-passende hcp-patroonjuist aanleiding te geven tot de groeivan een perfect fcc-kristal met een an-dere oriëntatie dan dit fcc-kristalboven een vlakke wand zou hebben.Dit komt overeen met observaties ge-daan in atomaire systemen en be-vestigt nog eens de analogie tussenatomaire en colloïdale systemen

Lange-drachtsinteractiesZoals reeds eerder vermeld kunnen deinteracties tussen de colloïden onder-ling, of tussen de colloïden en de wandworden veranderd. Zo kunnen we dedeeltjes elkaar laten afstoten over af-standen groter dan de diameter van dedeeltjes zelf door te spelen met de op-pervlaktelading en het oplosmiddel.Bovendien kunnen we een zelfde op-pervlaktelading selectief aanbrengenop de wand. Een voorbeeld hiervan iste zien in figuur 7 waar het wandpa-troon bestaat uit positief geladen lij-nen van hetzelfde polymeer als de col-loïden die we hier gebruikt hebben.Zo’n simpel patroon van lijnen blijkt aleen grote verscheidenheid aan effectenop de driedimensionale structuur tehebben [5]. Als de afstand tussen delijnen vergelijkbaar is met de afstan-den tussen de deeltjes, kunnen door deafstand tussen de lijnen te variëren ver-schillende kristalstructuren gevormdworden. Ook hier blijken we kristallente kunnen laten groeien die zonderwandpatroon niet stabiel zouden zijn.Een interessant effect treedt op als wede afstand tussen de lijnen grotermaken dan de mogelijke afstandentussen de colloïden. In dit geval vor-men de deeltjes direct boven het op-pervlak ketens tussen de lijnen op hetoppervlak, zoals te zien is in figuur 8.Deze ketens blijken door de lijnen vol-ledig van elkaar te worden afge-schermd: er zijn geen correlaties tus-sen de posities van deeltjes in naburigeketens.Als we verder van de wand af gaan kij-ken, zien we dat dezelfde ketenstruc-tuur zich door lijkt te zetten dieper inde oplossing. Uit een analyse van de

(a)

0 4 8-4-8 0 4 8-4-80 4 8-4-8

0

4

8

-4

-8

0

4

8

-4

-8

y (µm)

y (µ

m)

x (µm) x (µm) x (µm) (c)laag 1 laag 4+5 laag 30+31

(b)

Figuur 8

a: Eendimensionale ordening in de oppervlaktelaag vaneen colloïdaal systeem met lange-drachtsrepulsies.Tussen de deeltjes zijn de lijnen van het wandpatroon nogvaag zichtbaar. De colloïden zijn geheel fluorescent (integenstelling tot de harde-bollen-kernschildeeltjes). Deafstand die tussen de deeltjes te zien is komt dus geheelvoor rekening van de repulsieve interacties.b: 15 micrometer dieper in het kristal is eenzelfde keten-structuur nog steeds zichtbaar. De schaalbalken zijn 5micrometer groot.c: Correlaties tussen de posities van de colloïden onder-ling, zichtbaar gemaakt op verschillende afstanden tothet wandpatroon. De figuren geven een beeld van de

waarschijnlijkheid dat zich op een bepaalde positie eencolloïdaal deeltje bevindt als er zich in het midden ookeen deeltje bevindt. De kleurentabel rechts geeft ditweer: wit en rood geven een grote en zwart en blauw eenheel kleine waarschijnlijkheid aan. In de eerste laag bovenhet patroon is de invloed van de lijnen duidelijk zichtbaaren wordt een deeltje boven een lijn niet beïnvloed door deposities van de deeltjes eronder. Verder van het wandpa-troon af zien we echter dat de posities van deeltjes oversteeds grotere afstanden vastgelegd worden: er ontstaateen kristalstructuur. De twee kristalassen (gestippelde lij-nen) staan echter niet helemaal loodrecht op elkaar, ditgeeft een indicatie dat de structuur nog steeds stressbevat.

25

mei 2004 Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde

correlaties tussen positie van een deel-tje en de omringende deeltjes is te ziendat zich verder van de wand toch eendriedimensionale regelmatige kristal-structuur ontwikkelt, ondanks het feitdat er boven het wandpatroon slechtseendimensionale ordening was. Opdeze manier is te bestuderen hoe (epi-taxiaal) geïnduceerde stress zich in hetsysteem voortzet.

ConclusieVoor twee systemen met heel verschil-lende interacties tussen de colloïdenhebben we laten zien dat een goedge-kozen wandpatroon kan leiden tot dekristallisatie van kristalstructuren diezonder dat patroon niet zouden ont-staan. Bovendien hebben we het effectop de driedimensionale kristalstruc-tuur van een epitaxiale afwijking tus-

sen de afstanden in het ‘perfecte’kristal enerzijds en de afstanden ophet patroon anderzijds op een kwanti-tatieve manier kunnen bestuderen. Ditmaakt het mogelijk om theorieën overepitaxiale kristalgroei te testen op eeneenvoudig experimenteel systeemwaarbij we controle hebben over hetsoort van interacties en hun sterkte ende mate van epitaxiale afwijking. Ookkunnen er fouten in het wandpatroonworden ingebracht om zo de vormingvan defecten in kristallen en het effectdat zo’n defect heeft op de omringendekristalstructuur te kunnen bestuderen.Door de colloïdale structuur in de tijdte volgen, kan ook de dynamica vanepitaxiale kristalgroei gevolgd wor-den. Naast het theoretisch belang van col-loïdale systemen, zijn colloïdale kris-

tallen ook interessant voor meer toe-passingsgericht onderzoek, onder an-dere om hun optische of fotonische ei-genschappen. Met colloïdale epitaxiekunnen we deze eigenschappen mid-dels de kristalsymmetrie of de defectenin de kristalstructuur beïnvloeden.

RReeffeerreennttiieess11 Voor meer informatie over Perrin en de No-

belprijs van 1926 zie bijvoorbeeld:http://www.nobel.se/physics/laureates/1926/index.html.

22 A. van Blaaderen en P. Wiltzius, Science 270(1995), 1177.

33 S. Pronk en D. Frenkel, Journal of ChemicalPhysics 110 (1999), 4589.

44 J.P. Hoogenboom, A.K. van Langen-Suurling,J. Romijn en A. van Blaaderen, Physical ReviewLetters 90 (2003), 138301.

55 J.P. Hoogenboom, A Yethiraj, A.K. van Lan-gen-Suurling, J. Romijn en A. van Blaaderen,Phyisical Review Letters 89 (2002), 256104.

In een ‘Leukje’ van februari geeftHugo de Blank een beschouwingover de thermische snelheidsverde-

ling van luchtmoleculen in een gravita-tieveld. Hij wijst op een kenmerkend as-pect van de Maxwell-Boltzmann-verde-ling: als we in een gedachte-experimentplotsklaps alle botsingen tussen de mo-leculen zouden uitschakelen, dan blijftdeze verdeling onveranderd. Alle andereverdelingsfuncties zouden dan on-middellijk veranderen. Dit is “de magievan Boltzmann”.De Blank dicht Boltzmann echter meertoverkracht toe dan hij bezit. Je hoeftniet lang na te denken om in te zien datvoor alle verdelingsfuncties die alleen af-hangen van de som van de kinetische enpotentiële energie geldt dat ze onveran-derd zullen blijven als de moleculaireinteracties worden uitgeschakeld.Met andere woorden, het is voldoendedat de verdeling als functie van de snel-

heid en hoogte van de vormf(v, h) = g(1

2v2 + gh) geschrevenkan worden, waarbij g een of andere wil-lekeurige verdeling is. De exponentiëlevorm van de verdeling is hiervoor nietnoodzakelijk. De Maxwell-Boltzmann-verdeling iswel speciaal in de zin dat het de enigeonder deze functies is die bovendien alseen product van een functie van desnelheid en een van de hoogte te schrij-ven is; dat wil zeggen, het is de enigewaarin snelheid en hoogte niet gecorre-leerd zijn.

Jos Uffink

Naschrift bij de reactie van Jos Uffink:Jos Uffink stelt terecht dat iedere ver-delingsfunctie die alleen van de totaledeeltjesenergie afhangt onveranderdblijft als de botsingen worden uitge-schakeld. Dit doet echter niets af aande “magie van Boltzmann” zoals dat in

het ‘Leukje’ van februari met een ge-dachte-experiment werd geïllustreerd.Het gedachte-experiment laat namelijkgeen andere verdelingsfunctie van devorm f(v2/2 + gh) toe dan de Boltz-mann-verdeling. De afhankelijkheidvan de hoogte ligt vast omdat de lucht-drukverdeling p(h) aan het begin vanhet gedachte-experiment bekendwordt verondersteld. Immers, uit dehydrostatische krachtbalans en deevenredigheid van de druk met dedichtheid (wet van Boyle) weten we aldat de druk exponentieel met de hoog-te afneemt. Daarvoor hebben we geenkennis van de kinetische gastheorie envan de snelheidsverdeling van de mo-leculen nodig. Bij de aldus gegevenluchtdrukverdeling is de snelheidsverde-ling van Maxwell-Boltzmann de enigedie onveranderd blijft als de interactiesworden uitgeschakeld.

Hugo de Blank

Teveel toverkrachtReactie