Basisconstructies gm v2.2 2013 10-11

Basisconstructies GM 5 juni 2012 1

Basisconstructies GM

1. Gegevensverzameling en –model

2. Recursie: interne samenhang

3. Isomorfiefamilie

4. Limietfamilie

5. Optionaliteit

Basisconstructies GM 25 juni 2012

Gegevensverzameling

en –model

1. Verwijzing

2. Injectie en surjectie

3. GV als categorie

4. GM als afbeelding van GV

5. GM als categorie

6. Functor van GV naar GM


Verwijzing


A B

f

0..*

1

A B

bron(source,

domein)

doel(target,

codomein)

verwijzing van A naar B

veroorzaakt B-vezels in A

f

extern schema intern schema

f = A.B

aantal mogelijke f‟s is |B||A|

f = B.Aop

•f is een verzameling interne pijlen

•f is eenduidig (= geen lijst)

• (voorlopig:)f is volledig (= niet optioneel)

GV, injectie en surjectie


A B

f

0..1

1

injectie (monomorfie)

elk tupel van B heeft hoogstens één origineel

A B

A B

f

1..*

1

A B

surjectie (epimorfie)

elk tupel van B heeft minstens één origineel

in op

huis bewoonde

straatstraat

e mhuis straat

f

epimonische ontbinding Im(e)

GV als categorie


compositie:er bestaat een f waarvoor

x.g.h = x.f voor alle x in „mens‟

identiteit

A

GV is categorie:

1. objecten: relaties (mens, huis, straat)

2. pijlen: verwijzingsverzamelingen (f, g, h)

3. compositie van verwijzingen:

(f(mens) = h g(mens))

4. identiteitsverwijzingen (1A)

1A

straat

mens

huis

f

g

h

GM, afbeelding van GV


m

aGV

A

GM

B

b

fAB

fAB

P

j(A)

j(B)

j(P)

j

j(GM)

„relatieschema‟

j(relatieschema)

tupel

relatie

(relatie-)schema

GM als categorie


mens huis

straat

g

hf

compositie:er bestaat een f waarvoor

mens.g.h = mens.f

A

identiteit

A

GM is categorie:

1. objecten: relatieschema‟s

2. pijlen: verwijzingstypen

3. compositie van verwijzingstypen

4. identiteitsverwijzingstype

het 1-verw.type

niet tekenen

m als functor


m

a

GV

A

GM

B

b

fBA

fBA

P

j(A)

j(B)

j(P)

j

j(GM)

„relatieschema‟

j(relatieschema)

fAP

fAP

m: GV → GM is functor, want:

1. voor elk object X in GV is er

een object m(X) = X in GM

2. voor alle fBA in GV bestaat er

een fBA: m(B) → m(A) in GM

3. m id{A} = idm{A} = idA

4. m (fAP fBA)

= (mfAP mfBA)

= (fAP fBA)

m legt verband tussen

• GV: een intern schema

• GM: extern schema

Interne samenhang van relatieofwel: recursie


1. Automorfismen

2. Ketens

3. Heesters

4. Bomen

5. Overzicht recursies

Basisconstructies GM 11

Automorfismen (1)

A B A

f

f

1

1

1

1

isomorfisme: A ≅ Bautomorfisme(permutatie)

A B A

5 juni 2012


Nieuwe interne structuren?

A B A

f

f

0..1 0..1

A B

1..*

1..*

5 juni 2012

Teken inwendig schema van

de recursie.

Welke nieuwe interne structuren

zijn nu mogelijk?


Automorfismen (2)

A B A

f

f

0..1 0..1

A B

automorfisme!(permutatie)

A

1..*

1..*

5 juni 2012


Ketens

A B A

f

f

0..1

0..1

0..1

0..1

ketens, cycli,

geïsoleerde elementen

A B A

5 juni 2012

mens

0..1

0..1

mens

AWIRpartner

involutie:

AWIRpartner2 = 1


Heesters

A B A

f

f

0..*

1

0..*

1

A B A

5 juni 2012


Bomen

A B A

f

f

0..*

0..1

0..*

0..1

A B A

ketens, cycli, bomen,

geïsoleerde elementen

5 juni 2012


Overzicht recursies

A

f

0..*

0..1

A

f

0..*

1

A

f

0..1

1..*

A

f

1

1..*

A

f

0..1

0..1

A

f

0..1

1A

f

1

1

1 2

3 4

5 6

7

5 juni 2012


Isomorfiefamilie

1. Isomorfie

2. Sectie

3. Retractie

5 juni 2012


Isomorfie

A B

f

1

1

isomorfisme: A ≅ B

A B

5 juni 2012


Sectie

f

5 juni 2012

A B

* 1

A B

s

f

vestiging onderneming

* 1

hoofdvestiging

Vergelijk:

nevenadres

adres object

0..* 1

hoofdadres


Sectie in (n):(m)

5 juni 2012

CWZ

CWZ

*CTR

s

CTR

CWZ

CTR

CWZ

CTR

p2

p1t


Projectief object

e

5 juni 2012

A B* 1

f

Voorbeeld uit B&TM:

P

f• P = beoordeling uit te voeren door

• B = kenniscentrum

• A = medewerker pakt P op


Retractie

r

5 juni 2012

* 1

A B

s

A

bA

0..*

0..1B

bB

0..*

0..1

Structuurbehoud retract

niet vanzelfsprekend:

B,bB

x0x1

A,bA

y0y1y2

ss

A

B

Bijvoorbeeld:

•A = geval

•B = gevalstype

•bA= ontstaan uit

•bB= beperking op bA

rr


Limieten (1)equaliser en co-equaliser

1. Colimiet: „akte‟ en co-equaliser

2. Limiet: equaliser

5 juni 2012


Voorbeeld: „akte‟ en co-equaliser

betrokkene-

relatie

betrokkene

betrokkene/

betr-rel

f g

c

Kenmerken van een co-equaliser c:

• f ≠ g

• c◦f = c◦g

• c is een (co)limiet, d.w.z.:

als er een X en een h bestaan waarvoor h◦f

= h◦g, dan is er één k zodanig dat h = k◦c

Quotient „betrokkene/betr-rel‟ is de kleinste

klasse van betrokkenen die volgens de akte

d.m.v. betrokkene-relaties met elkaar zijn

verbonden.

Elke component (quotient-element) behoort tot

een akte.

Voorbeeld van een component: een echtpaar

dat aan een stichting een schenking doet.

aktek

h

Kenmerken van equaliser e:

• f ≠ g

• f◦e = g◦e

• e is limiet, d.w.z.:

als er een X en een h bestaan waarvoor f◦h

= g◦h, dan is er een k zodanig dat h = e◦k

Een equaliser is een injectief verwijzingstype.


Equaliser

burger

land

f g

e

X

h

autochtoonk

woont

in

geboren

in

C A Qf

g

e

(gelegenheids)definitie:

een burger waarvan f=g

{(x,y)}

x,y in Qg(x,y) = 1

f(x,y) = x2+y2

elementen van A

waarvoor x2+y2 = 1


Limieten (2)pullback en pushout

1. Voorbeeld „huis – woonplaats‟

2. Limiet: pullback

3. Pullback als vezelproduct

4. Colimiet: pushout

5. Constructie van pushout

6. Vb: postcode – straatpullback en pushout in één matrix

5 juni 2012


Voorbeeld „huis – woonplaats‟

5 juni 2012

huis

postcode straat

woonplaats

Elke commutatie

vereist

beperkingsregel!


Limiet: pullback

5 juni 2012

huis

postcode straat

woonplaats

postcode

*WPL straat

Pullback:

1.is de “grootste eenheid” die de

cospan onder „woonplaats‟ aanvult tot

een commuterende maas;

2.is limiet, dus elke andere aanvulling

van de cospan tot commuterende

maas verwijst naar de pullback

„postcode *WPL straat‟.

straten

WPL1

straten

WPL2

straten

WPL(n)

pc‟s

WPL1

pc*str

WPL1

pc‟s

WPL2

pc*str

WPL2

pc‟s

WPL(n)

pc*str

WPL(n)


Pullback als vezelproduct

5 juni 2012

postcode

*WPL straat

postcode straat

woonplaats

Vezelproduct:

•„straat‟ en „pc‟ hebben WPL-vezels

•„postcode *WPL straat‟ heeft WPL-vezels

•vezelproduct ~ diagonaalmatrix

•dus inductieverwijzing

van „postcode *WPL straat‟ naar WPL


Colimiet: pushout

5 juni 2012

huis

postcode straat

woon-

plaats

postcode

+huis straat

Pushout:

1.is de “kleinste eenheid” die de

span boven „huis‟ aanvult tot een

commuterende maas;

2.is colimiet, dus pushout „postcode

+huis straat‟ verwijst naar elke andere

aanvulling van de span boven „huis‟ tot

commuterende maas.


postcode straat

postcode

*WPL straat

postcode

+huis straat

1

2

3

Constructie van pushout

postcode

+straat

component

pushout

som

pullback

Vb: postcode-straat

stukje van diagonaal met

pullback en pushout:

• enkele „meerstratige‟

postcodes

• met bijbehorende straten

rood: postcode *WPL straat

rechthoek: postcode +huis straat


Limieten (3)product en coproduct

1. Voorbeeld „meting‟

2. Relaties als subobjecten

3. Product is associatief

4. Colimiet: coproduct

5. Som is associatief

6. Distributieve eigenschap

7. Specificatie (n):(m)

8. Beperkingsregel pullback (n):(m)

5 juni 2012


Voorbeeld: metinglimiet: product

5 juni 2012

metinggeval

meet-

punt

gevals-

groep

gev.grp

*meetpt

1. „meting‟ verwijst naar „meetpunt‟ en

(via „geval‟) naar „gevalsgroep‟;

2. „gev.grp*meetpt‟ is “grootste object”

dat naar beide verwijst:

projecties p1 en p2 vormen

sleuteltype van product;

3. „gev.grp*meetpt‟ vormt matrixcel;

4. „meting‟ verwijst impliciet naar

„gev.grp*meetpt‟ – “zit in matrixcel”.

p1 p2telbasis


Relaties als subobjecten

5 juni 2012

A*B

rel-1

BA A*B

pA pB

A*B

rel-2

1. „A*B rel-1‟ ≠ „A*B rel-2‟ worden beide

geïdentificeerd door hun

verwijzingen naar A en naar B.

2. Dan is geen van beide het

product, want product is een limiet.

3. Beide zijn dan subobjecten (injecties

in) het product A*B.

4. De bijbehorende gegevens-

verzamelingen vormen delen van de

matrix opgespannen door A en B.


Product is associatief

5 juni 2012

C

A*B B

(A*B)*C

A

pA pB

pA*B

pC

(A*B)*C C

A*B*C BA

pA pB

pC

A*B*C

≅


Colimiet: wat is coproduct?

5 juni 2012

Duaal is er een coproduct:

•Neem weer schema‟s A en B;

•Met uitgaande pijlen (verwijzingstypen) naar C;

Zoek nu een schema X zodanig dat:

1.fA: A → X en fB: B → X;

2.Elk verwijzingstype van A naar elke willekeurige C

kan worden ontbonden in fA;

3.Elk verwijzingstype van B naar deze C

kan worden ontbonden in fB.


Colimiet: coproduct

5 juni 2012

A B

A+B

C

inwendig schema: 1. fA: A → C, fB: B → C

2. |{fA}| = |C||A|, |{fB}| = |C||B|

3. Aantal combinaties is

|{fA}|.|{fB}| = |C||A|.|C||B| = |C||A|+|B|

4. Coproduct A+B verwijst:

fA+B: A+B → C met |{fA+B}| = |C||A+B|

5. Coproduct is disjoint union, ofwel

supertype van A en B,

waarbij |A+B| = |A| + |B|

fA fBfA+B


Som is associatief

5 juni 2012

B1 B2

B1+B2

B3

(B1+B2)+B3

B1 B2 B3

B1+B2+B3

(B1 + B2) + B3 ≅ B1 + B2 + B3


Distributieve eigenschap

5 juni 2012

A A

B2

B1

B1+B2

A*(B1+B2)

A*B2

A*B1

f

A

B1

A*B1

B2

A*B2

A

B1

A*(B1+B2)

B2

B1+B2

A*B1 + A*B2

inwendig schema: uitwendig schema:

distributief =

(supertype van koppelingen

≅ koppeling met supertype)A*B1 + A*B2


Specificatie (n):(m)

5 juni 2012

R(A,B)

A B

A B

C(A,B)

A B(n):(m)

wat bedoelen we?

relatie

corelatie

A

B

elke A kan verbonden

zijn met elke B; elke verbinding

is een voorkomen R(A,B)

A

B

verzamelingen A‟s behoren

bij verzamelingen B‟s; elke

groep is een voorkomen C(A,B)bijv: voor m mensen zijn n tafels

gereserveerd, maar wie aan welke tafel

zit, is niet interessant


Beperkingsregel

voor pullback (n):(m)

A B

W

A *W B

f g

pA pB

f◦pA = g◦pB

A B

W

f g

hA

hB

f = g◦hA

g = f◦hBbeperkingsregel(s)


Optionaliteit

1. Basepoint sets

2. Injectie en surjectie

3. Epimonische ontbinding

4. Exacte rijtjes

5. Product

6. Coproduct

7. Distributief?

5 juni 2012


Base point sets

5 juni 2012

X Yf

X Yf

X Yf

≅

optionaliteit:

partiële functie f

Met basispunt:

volledige functie f

1. * → *

2. Ker(f)

1222

(1):(1)-verwijzing is niet meer injectief


Injectie en surjectie

5 juni 2012

A B

f

0..1

0..1

injectie (monomorfie)

elk tupel van B heeft hoogstens één origineel

A B

A B

f

1..*

0..1

A B

surjectie (epimorfie)

elk tupel van B heeft minstens één origineel

in op

n:(1)-verwijzing is wel surjectief


Epimonische ontbinding

5 juni 2012

gebouw straat

gebouw bebouwde

straatstraat

e mgebouw straat

f

epimonische ontbinding

gebouw straat

gebouw.f =

bijv. als gebouw langs snelweg


Exacte rijtjes

5 juni 2012

bevinding register EW-

gebruik

bevindingEW-gebruik

g f

register

bevinding.g.f =

bevinding intern

registerEW-

gebruik

g fextern

register

register


Product

5 juni 2012

A

B2

A*B2

A*B2

A

B2

1. |A*B2| = |A| * |B2|

2. De rij zwarte punten langs de rand

met het basispunt heet de wigsom;

notatie: A⋀B2.

3. De wigsom in GV* is de

verzameling van matrixcellen die

één of meer projecties “missen”.


Coproduct (concept)

5 juni 2012

B2

B1B1 ∐ B2

1. In het coproduct B1∐B2 zijn de

basispunten van B1 en van B2 op elkaar

gelijmd,

dus |B1∐B2| < |B1| + |B2|.

<let op de notatie van het coproduct>

2. Het coproduct is isomorf met de wigsom:

B1∐B2 ≅ B1⋀B2.

3. Het coproduct is niet een supertype, want

geen disjoint union.

B1∐B2

B1

B2


Coproduct (voorbeeld)

5 juni 2012

B1∐B2

B1

B2

adres

bezoek-

adres

post-

adres

mens

adres

bezoek-

adres

post-

adres

verband2

verband1

verband3

mensWat is het verschil tussen:

•optionele verbanden met twee

verschillende schema‟s en

•optionele verbanden met hun

coproduct?


Distributief?

5 juni 2012

A A

B2

B1B1∐B2 A*(B1∐B2)

A*B2

A*B1A*B1 ∐ A*B2

A*B1 ∐ A*B2 ≅ A*(B1 ∐ B2)/

A

B1

A*B1

B2

A*B2

A

B1

A*(B1∐B2)

B2

B1∐B2

A*B1 ∐ A*B2

Basisconstructies gm v2.2 2013 10-11

Design

Transcript of Basisconstructies gm v2.2 2013 10-11