BALDOR Soluciones Ok Ok Ok

7/27/2019 BALDOR Soluciones Ok Ok Ok

1/87

Recopilador:DmasoRojas. www.galeon.com/damasorojas/

[email protected], [email protected],[email protected]

EjerciciosResueltosdelAlgebradeBaldor.Consultadoenlasiguientedireccinelectrnicahttp://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm

.

Definicin:Dosomstrminossonsemejantescuandotienenlasmismasletrasyafectadasporelmismoexponente.

Reduccindedostrminossemejantesdelmismosigno

Procedimiento

Para reducir trminos semejantes con el mismo signo se suman los

coeficientes de todos los trminos y se antepone al coeficiente total el

mismosignoquecomparten,yacontinuacinseescribelaparteliteral.

Reducir:

1. x+2x.Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson1y2.

Laparteliteraligualentodoslostrminosesx.

1+2=3; x+2x=3x.

2. 8a+9a

Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson8y9.

Laparteliteraligualentodoslostrminosesa.

8+9=17; 8a+9a=17a.

3. 11b+9b

Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson11y9.Laparte

literaligualentodoslostrminosesb.

11+9=20; 11b+9a=20b.

4. b 5b.

Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel .Loscoeficientesdelostrminosson 1y5.

Laparteliteraligualentodoslostrminoses b.

1+5=6; b 5b=6b.

5. 8m m

Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel .Loscoeficientesdelostrminosson 8y1.

Laparteliteraligualentodoslostrminoses m.


2/87



8+1=9; 8m m=9m.

6. 9m 7m

Solucin:

Elsignocomnatodoslostrminosesel .

Loscoeficientesdelostrminosson 9y7.

Laparteliteraligualentodoslostrminoses m.

9+7=16; 9m 7m=16m.


3/87




4/87




5/87




6/87




7/87




8/87




9/87




10/87



Reduccindedostrminossemejantesdedistintosigno

Procedi miento

Para reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla la

diferencia entre los coeficientes de los trminos, colocando antes de esta

diferenciaelsignodelcoeficientemayor(envalorabsoluto)yacontinuacin

seescribelaparteliteral.

Nota:dostrminossemejantesconigualcoeficienteydistintosignoseanulan.


11/87




12/87




13/87




14/87




15/87




16/87




17/87




18/87




19/87



Reduccindemsdedostrminossemejantesdesignosdistintos

Procedimiento

Para reducir un polinomio con ms de dos trminos semejantes y con signos

distintos,seprocedeas:

1)Sereducenaunsolotrminotodoslospositivos.

2) Sereducenaunsolotrminotodoslosnegativos.

3) Secalcula ladiferenciaentre loscoeficientesdelostrminoshalladosen losdos

pasosanteriores.

4)Elsignoqueprecederladiferenciahalladaenel pasoanteriorserelquetenga

elcoeficientemayorenvalorabsolutodelostrminoshalladosenlospasos(1)y(2).5)Porltimo,seescribelaparteliteral.

Reducir:


20/87




21/87




22/87




23/87



Reduccindetrminossemejantes

Reduccindeunpolinomioquecontengatrminossemejantesdediversasclases

Procedimiento

1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismo

parntesis

2. Sereducenlostrminossemejantes

3. Sedalarespuesta,ordenandoelpolinomioresultante

Nota: recordemosque los trminossemejantessonaquellosque tienen lasmismasletrasyafectadasporlosmismosexponentes

Reducirlospolinomiossiguientes:


24/87



Productosnotables

a)Cuadradodelasumadedoscantidades

Proced

im

iento

1. Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio

2. "El cuadradode lasuma de doscantidadeses igual a, el cuadrado de la

primera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por la

segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"

3. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado

ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2


25/87




26/87



b)Cuadradodeladiferenciadedoscantidades

Procedimiento

1. Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio

2. "Elcuadradodeladiferenciadedoscantidadesesiguala,elcuadradode

laprimeracantidad,menoseldobleproductodelaprimeracantidadpor la

segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"


ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2


27/87



c)Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades

Procedimiento

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al

cuadradodelminuendomenoselcuadradodelsustraendo"2. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado

ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.


28/87




29/87



d)Cubodeunbinomio

Procedimiento

1. Sedesarrollaelparntesis,observandosisetratadelcubo,delasumao

ladiferenciadedoscantidades;enelprimercasoseprocedecomoindicael

paso2,enelsegundocasoseaplicaelenunciadodelpaso3:

2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera

cantidad ms el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el

triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la

segunda"

3. "Elcubodeladiferenciadedoscantidadesesigualalcubodelaprimera

cantidadmenoseltriplodelcuadradode laprimeraporlasegunda,msel

triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la

segunda"


ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.


30/87




31/87



e)Productodedosbinomiosdelaforma(x+a)(x+b)

Procedimiento

1. Eldesarrollodelosparntesisdauntrinomio

2. Elprimertrmino ser elcuadradodelprimertrminode losparntesis

(igualenambos)

3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminos

independientesporelprimertrminocomndelosparntesis

4. Eltercertrminoserelproductodelostrminosindependientes


32/87



Ejerciciosvarios.


33/87




34/87



e)Factorcomn

Procedimiento

1. Seidentificaelfactorcomn

2. Sedividecadatrminodelpolinomioporelfactorcomn

3. Seescribeelfactorcomnyacontinuacin,dentrodeunparntesis,los

cocienteshalladosenelpasoanterior(cadaunoprecedidodesurespectivo

signo)


35/87




36/87




37/87



f)Factorcomnporagrupacindetrminos

Procedimiento

1. Seagrupanlostrminosconvenientemente,utilizandoparntesis

2. Sesacafactorcomndecadaunodelosparntesis

3. Serealizaunasegundafactorizacin(elfactorcomnser,enestecaso,elparntesis

Factorizarodescomponerendosfactores:


38/87



g)Trinomiocuadradoperfecto

Definicin : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos

factoresiguales.

Procedimiento

1. Seordenaeltrinomio

2. Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3. Sehallaeldobleproductodelasracesobtenidasenelpasoanterior

4. Sielproductohalladoenelpasoanterioresigualalsegundotrminodel

trinomioysielprimeroytercertrminos tienen igualsigno,se tratadeun

trinomiocuadradoperfectoyseFactorizarcomotal.

5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer y

tercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesis

elevadoalcuadrado.


39/87




40/87



h)Diferenciadecuadradosperfectos

Procedimiento

1. Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo

2. Seabrendosparntesis

3. Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,

delasraceshalladasenelpaso1.


41/87




42/87


43/87




44/87



j) Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinacin de estos dos

casos)

Procedimiento

1. Seidentificaeltrinomiocuadradoperfecto(olos...)

2. Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfecto

3. Sefactorizaladiferenciadecuadradosresultante

4. Sereduce,sieselcaso


45/87



k)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin

Procedimiento


2. Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos

3. Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior

4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo

trminodeltrinomio

5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad necesaria para crear el

segundotrminodeltrinomiocuadradoperfecto

6.

Se

resta

o

se

suma

la

misma

cantidad

que

se

sumo

o

restoen

el

paso

anterior,paraqueelvalordelaexpresinnosealtere


46/87




47/87




48/87



l)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin

Factorizarunasumadedoscuadrados

Procedimiento

1. Seextraelarazcuadradadeambostrminos

2. Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior

3. Sesumayserestaelproductohalladoenelpasoanterior

4. Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectoasformado

5. Sefactorizaladiferenciadecuadrados


49/87




50/87



Procedimiento


2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un

binomio

3. Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserel

primertrminodecadaunodelosparntesis

4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo

signodeltrinomio

5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo ytercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del

segundoparntesis

6. Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al

coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al

tercertrminodeltrinomio

7. Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea

igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea

igualaltercertrminodeltrinomio

8. Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserel

segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el

segundotrmino

del

segundo

parntesis

9. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus

factoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlos

pasos7y8


51/87




52/87




53/87



Casosespeciales


54/87




55/87




56/87




57/87



Procedimiento

ParaFactorizarestaclasedetrinomiossellevaalaforma ysefactoriza

1. Semultiplicaydivideeltrinomioporelcoeficientedelprimertrmino,estoespora

2. Seescribeeltrinomiodeunaformaadecuada(delaformax2+bx+c)3. Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirunbinomio

4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primertrminodecadaunodelosparntesis

5. Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundosignodeltrinomio

6. Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoytercertrminos

deltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodelsegundoparntesis

7 Si lossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedel

segundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrminodeltrinomio

8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al

coeficientedelsegundotrmino deltrinomio ycuyo productosea igualaltercertrmino

deltrinomio

9. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo

trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino delsegundoparntesis

10. Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensusfactoresprimos

parafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y8

11.Sefactorizanlosparntesisquetenganfactorcomn

12.Sesimplifica


58/87




59/87




60/87




61/87




62/87




63/87



Factorizarunaexpresinqueeselcubodeunbinomio

Procedimiento

Eldesarrollodelcubodeunbinomioes:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresin como el miembro derecho de las

identidadesanteriores,esdeciruncuadrinomio;ydebemosconstatarsisetratadeun

cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones

anteriores);paralocualdebemosproceder:

1. Seordenaelcuadrinomioenformadescendenteoascendenterespectoaunaletra

2. Seextraelarazcbicadelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomio

3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivonegativo

positivonegativo

4. Se triplica el cuadrado de la raz cbica del primer trmino por la raz cbica del

cuartotrminoysecomparaconelsegundotrminodelcuadrinomiodado

5. Se triplica la raz cbica del primer trmino por el cuadrado de la raz cbica delcuartotrminoysecomparaconeltercertrminodelcuadrinomiodado

6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del

desarrollodelcubodeunbinomioysefactorizacomotal:dentrodeunparntesisse

escribenlasracescbicasdelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomioyseparadas

porelsignomsoporelsignomenos,segnelcaso;yseelevaalcuboelparntesis

7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del

desarrollodelcubodeunbinomioynosepuedefactorizarcomotal


64/87




65/87




66/87



Sumaodiferenciadecubosperfectos

Procedimiento


2. Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,

delasracescbicasdelosdostrminos

3. Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos

(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproducto

delaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz

Descomponerendosfactores:


67/87




68/87



Casosespeciales

Procedimiento


2. En elprimer parntesis se escribe la suma o ladiferencia,segnel caso, de lasracescbicasdelosdostrminos

3. Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(sies

unasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimera

razporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz


69/87



Combinacindecasosdefactores

Descomposicindeunaexpresinalgebraicaentresfactores

Procedimiento

1. Sesacaelfactorcomn

2. Sefactorizalaexpresinresultante,aplicandoelmtododefactorizacin

requerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos de

factorizacin:Ejercicios89a110)


70/87



Descomponerentresfactores:


71/87



Descomposicindeunaexpresinalgebraicaencuatrofactores


72/87



Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin

P r o c e d i m i e n t o Recordemos que "un polinomio entero y racional enx, que se anula parax = a, es

divisible porx - a" (Corolario del Teorema del residuo)

1. Sacamos los divisores del trmino independiente2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el

paso anterior

3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero):hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es,x - a

4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "Divisin sinttica"


73/87




74/87



Ejerciciosvarios sobrela descomposicinenfactores


75/87




76/87




77/87




78/87




79/87




80/87


81/87




82/87



ParacualquierpolinomioquetengaracesenterassepuedeaplicarlaregladeRuffini:Decirque

un polinomio tienes races enteras es encontrarvalores de x nmerosenteros que al sustituirlos

enelpolinomionosdacero.

Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro races

enteras,,, , , sefactoriza

Perocmoseobtienenlasraces?,porlaregladeRuffini

Ejemplo:Factorizar 4 16 12

SeaplicalaregladeRuffini,probandolosdivisoresdeltrminoindependiente,enestecasode12.

Oseaquesepruebacon1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,6, 6,12y12

ProbemosconunoSecopianloscoeficientesdelpolinomio:

1 4 1 16 12

Yseescribeenunasegundalneaelnmerouno

1 4 1 16 12

1

Elprimercoeficientesecopiaabajoenunaterceralnea

1 4 1 16 12

1

1

Semultiplicaesecoeficiente,uno(1),porelnmeroqueestamosprobando,enestecasotambin

uno(1),oseaunoporuno=uno(1).Esteunoseescribedebajodelsiguientecoeficiente,oseadel

4

1 4 1 16 12

1 1

1

Sesuma4+1=3

1 4 1 16 12

1 1

1 3


83/87



Semultiplica3por1=3yseescribedebajodelsiguientecoeficiente, 1

1 4 1 16 12

1 1 3

1 3

Sesuma31=4yassucesivamente

1 4 1 16 12

1 1 3 4 12

1 3 4 12 0

Como vemos la ltima suma ha dado cero. Eso quieredecir que uno es una raz del polinomio y

quenossirveparaFactorizar.

Sihubieradadodistintodecerohabraqueseguirprobandolosdemsdivisoresde12.

Loscoeficientesquehanquedadoenlaltimafila,enrealidadsonloscoeficientesdelcocientede

dividirelpolinomioentrex1,ylaltimasumaeselrestodedichadivisin.

Siescribimoslarelacinfundamentaldeunadivisinentera,oseaque

Dividendo=DivisorxCociente+Resto

4 16 12 1 3 4 12

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que

intentarseguirfactorizando,denuevoporlaregladeRuffini.

Aplicandosucesivasvecesestareglaqueda:

1 4 1 16 12

1 1 3 4 12

1 3 4 12 0

2 2 2 12

1 1 6 0

2 2 6

1 3 0

Comolasracesson,1,2y2yelltimococienteesx3

Lafactorizacinfinales: 4 16 12 1 2 2 3

Sienlassucesivaspruebasnoencontramosningnrestocero,quieredecirqueelpolinomionose

puedefactorizardentrodelosnmerosreales.


84/87



Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumaoladiferenciadelas

cantidades

Procedimiento

1. Factorizamosladiferenciadecuadradosenelnumerador

2. Simplificamos.


85/87



Cocientedelasumaodiferenciadeloscubosdedoscantidadesentrelasumaodiferenciade

lascantidades

Procedimiento

1. Factorizamos la diferencia o la suma, segn el caso, de cubos en el

numerador

2. Simplificamos.


86/87




87/87

BALDOR Soluciones Ok Ok Ok

Documents

Transcript of BALDOR Soluciones Ok Ok Ok