Arbeid en energie.pdf

MODULE : ARBEID EN ENERGIE

HANS WELLEMAN

Civiele Techniek

TU-Delft

CONSTRUCTIEMECHANICA 4

CT3109

Datum, 31 Januari 2011

CT3109 : Arbeid en Energie

© Ir J.W. Welleman Januari 2011 ii

INHOUDSOPGAVE

1 INLEIDING ...................................................................................................................... 1

1.1 OVERZICHT VAN DE ONDERWERPEN ............................................................................ 1

1.2 VERANTWOORDING ..................................................................................................... 1

2 ARBEID EN ENERGIE .................................................................................................. 2

2.1 ARBEID VERRICHT DOOR EEN KRACHT ........................................................................ 2

2.2 ARBEID VERRICHT DOOR EEN KOPPEL ......................................................................... 2

2.3 ASSENSTELSEL EN EENHEDEN ..................................................................................... 3

2.4 ARBEID EN VERVORMING, DE WET VAN CLAPEYRON................................................... 3

2.5 VIRTUELE ARBEID....................................................................................................... 4

2.6 WEDERKERIGHEID, THEOREMA VAN BETTI EN DE WET VAN MAXWELL ...................... 8

3 VERVORMINGSENERGIE......................................................................................... 11

3.1 EXTENSIE .................................................................................................................. 11

3.2 AFSCHUIVING ............................................................................................................ 12

3.3 BUIGING .................................................................................................................... 13

3.4 WRINGING................................................................................................................. 14

3.5 NORMAALSPANNING EN SCHUIFSPANNING ................................................................ 15

3.6 COMPLEMENTAIRE ENERGIE EN VERVORMINGSENERGIE ........................................... 16

3.7 VERVORMINGSENERGIE EN ARBEID ........................................................................... 17

3.8 ARBEIDSMETHODE MET BEHULP VAN EEN EENHEIDSLAST ......................................... 20

3.9 TOEPASSING, FORMULE VAN RAYLEIGH .................................................................... 24

3.10 VIRTUELE ARBEIDSVERGELIJKING VOOR VERVORMBARE LICHAMEN*....................... 27

4 ARBEIDSTHEOREMA’S VAN CASTIGLIANO...................................................... 28

4.1 2E WET VAN CASTIGLIANO......................................................................................... 28

4.1.1 Toepassingen van de 2e wet van Castigliano ................................................... 29

4.1.2 Dummy belasting.............................................................................................. 32

4.1.3 Statisch onbepaalde constructies ..................................................................... 33

4.1.4 Minimale vormveranderingsenergie ................................................................ 34

4.2 1E WET VAN CASTIGLIANO......................................................................................... 36

4.3 SAMENVATTING VAN HOOFDSTUK 4.......................................................................... 37

5 ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN........................................................... 38

5.1 ENERGIEFUNCTIE ...................................................................................................... 38

5.1.1 Potentiële energie van de belasting ................................................................. 39

5.1.2 Minimale potentiële energie............................................................................. 40

5.1.3 Generalisatie van het begrip minimale potentiële energie .............................. 41

5.1.4 Geldigheid ........................................................................................................ 41

5.1.5 Relatie met de wetten van Castigliano ............................................................. 41

5.1.6 Relatie tussen de virtuele arbeidsvergelijking en het principe van minimum

potentiële energie*............................................................................................................ 44

5.2 BENADERINGSOPLOSSINGEN ..................................................................................... 45

5.2.1 Constructies op extensie................................................................................... 45

5.2.2 Constructies op buiging ................................................................................... 47

6 LITERATUURVERWIJZINGEN ............................................................................... 50

7 BIJLAGEN ..................................................................................................................... 51


© Ir J.W. Welleman Januari 2011 1

1 INLEIDING In de toegepaste mechanica is tot nu toe gebruik gemaakt van directe oplossingsmethoden

voor het bepalen van de krachtsverdeling en de vervormingen in constructies. Zo is inmiddels

kennis gemaakt met :

• Bepalen van de krachtsverdeling op basis van het evenwicht voor statisch bepaalde

constructies

• Bepaling van het vervormingsgedrag met behulp van de gereduceerde momentenlijn en/of

het oplossen van de differentiaalvergelijking voor buiging met daaruit voortvloeiend het

gebruik van vergeet-mij-nietjes.

• Bepaling van de krachtsverdeling in statisch onbepaalde constructies met behulp van de

evenwichtsvergelijkingen en vormveranderingsvoorwaarden.

Naast deze gebruikelijke methoden bestaan er nog alternatieve methoden die gebaseerd zijn

op arbeid en energie. Deze methoden staan bekend onder de verzamelnaam arbeidsmethoden

en energieprincipes. Voor een goed begrip van deze methoden is het noodzakelijk dat de lezer

bekend is met eerder genoemde methoden. Hier-voor wordt verwezen naar de standaard

leerboeken van Hartsuijker en Welleman[3a] [3b]

. Hoewel de arbeidsmethoden in de

beroepspraktijk verdrongen zijn door de introductie van de eindige-elementenmethode is met

de komst van symbolische algebra-computerapplicaties zoals o.a. MAPLE het een stuk

eenvoudiger geworden om arbeidsmethoden toe te passen. Tal van voorbeelden in dit dictaat

zijn dan ook eenvoudig met o.a. MAPLE op te lossen.

1.1 Overzicht van de onderwerpen

Voordat gebruik gemaakt kan worden van deze methoden worden in hoofdstuk 2 kort de

begrippen arbeid en virtuele arbeid geïntroduceerd. Met het begrip virtuele arbeid wordt ook

een oplossingsprincipe geïntroduceerd waarmee de krachtsverdeling in statisch bepaalde

constructies kan worden bepaald. Vervolgens zal in hoofdstuk 3 ingegaan worden op het

begrip vervormingsenergie waarmee in hoofdstuk 4 de arbeidstheorema’s van Castigliano

worden afgeleid. In hoofdstuk 5 zal een meer algemene formulering worden gegeven die

gebaseerd is op een energie-principe. Ook zal in dit hoofdstuk aandacht worden geschonken

aan benaderingsmethoden. De paragrafen aangeduid met een asterix (*) behoren niet tot de

tentamenstof.

1.2 Verantwoording

Bij het tot stand komen van deze notitie is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van andere

auteurs [1, .., 9]. Met deze notitie wordt gepoogd om een samenhangende introductie te geven

over het onderwerp arbeid en energie . De principes die hierbij worden geïntroduceerd

kunnen (gedeeltelijk) worden toegepast bij het onderdeel invloedslijnen. Het dictaat is niet

bedoeld als een uitputtende en theoretische verhandeling over Arbeid en Energie, het betreft

hier een inleiding op BSc niveau waarbij zoveel mogelijk op een praktische wijze aansluiting

wordt gezocht bij reeds bekende onderdelen uit de Basismechanica. Daarnaast hoop ik met

deze opzet de gevestigde literatuur toegankelijk te maken voor de startende MSc student.



2 ARBEID EN ENERGIE Als een vervormbaar lichaam wordt belast door uitwendige krachten dan

wordt door de belasting arbeid verricht. Immers de kracht veroorzaakt een

verplaatsing. Waar blijft deze arbeid? In het lichaam zullen vervormingen

optreden waardoor de door de uitwendige belasting verrichte arbeid in het

materiaal omgezet zal worden vervormingsenergie. In dit hoofdstuk zal naar

de relatie tussen arbeid en energie worden gekeken.

2.1 Arbeid verricht door een kracht

De begrippen arbeid en energie zijn min of meer synoniem. Arbeid is het product van kracht

en geassocieerde verplaatsing. Hiermee wordt bedoeld de verplaatsing in de richting van de

kracht. In figuur 2.1 is dit weergegeven.

Figuur 2.1 : Arbeid verricht door een kracht.

Uiteraard kan de arbeid ook negatief zijn. In dat geval werken kracht en geassocieerde

verplaatsing elkaar tegen. Duidelijk is dat een verplaatsing loodrecht op de kracht geen

aandeel levert in de toename van de arbeid.

2.2 Arbeid verricht door een koppel

Ook koppels kunnen arbeid leveren. In figuur 2.2 is een kracht en een koppel gegeven waarbij

de constructie t.o.v. het aangegeven punt alleen een rotatie ondergaat.

Figuur 2.2 : Arbeid verricht een koppel

Het koppel T en de kracht F op een constructie kunnen vervangen worden gedacht door enkel

de kracht op een zekere afstand a. In de figuur is dit aangegeven. De arbeid die deze kracht

verricht voor een kleine hoekverdraaiing is t.o.v. het beschouwde punt gelijk aan:

ϕ×=×=×=×= Ta

uTu

a

TuFA

Voor een moment of koppel wordt de geleverde arbeid dus gevonden door het product van het

koppel met de hoek waarover de constructie, t.p.v. het koppel, verdraait. Hoewel hier niet

aangetoond, geldt dit ook voor een grote hoekverdraaiing.

Hierboven is er gemakshalve van uit gegaan dat de kracht verticaal verplaatst. Feitelijk juist is dit niet, immers het gaat

hier om een koppel dus de kracht zal na verplaatsen ook roteren en dus steeds loodrecht op de arm t.o.v. het

beschouwde punt blijven staan. Zodoende wordt de verplaatsing een cirkelsegment. Hiermee is dan ook de geldigheid

aangetoond voor grote hoekverdraaiingen. Ga dat zelf met een schetsje na !

F

u

uF Arbeid :

FuFA ×=

F

u

F

T

a

u ϕ

ϕ

F



2.3 Assenstelsel en eenheden

In dit dictaat zal hoofdzakelijk gebruik gemaakt worden van

vlakke constructies in het x-z vlak. Het gehanteerde

assenstelsel is in figuur 2.3 afgebeeld. De hoekverdraaiing om

de y-as wordt aangeduid met ϕ. Daar waar geen assenstelsel is

weergegeven, is of geen assenstelsel vereist, of is het x-z

assenstelsel aangenomen. Als krachteenheid wordt gebruik

gemaakt van [kN], lengte eenheden zijn in [m].

2.4 Arbeid en vervorming, de wet van Clapeyron

Als op een elastisch lichaam arbeid wordt verricht, dan zal dit lichaam willen vervormen. Bij

het vervormen wordt in feite de toename van de arbeid op het lichaam omgezet in

vervormingsenergie. Vervormingsenergie en arbeid zijn qua eenheid dus gelijkwaardige

grootheden en worden uitgedrukt in [J = joule = newton × meter].

Aan de hand van een lineair elastisch (LE) voorbeeld kan dit worden geïllustreerd. Hiervoor

wordt gekozen voor een veer die belast wordt door een kracht Fo. Zie hiervoor figuur 2.4.

Figuur 2.4 : Arbeid en vervormingsenergie

Als de kracht langzaam opgebouwd wordt dan volgt de veer de veerkarakteristiek. Hiermee

wordt een lineair verband aangeduid tussen kracht en verplaatsing.

De op de veer uitgeoefende kracht verricht voor een kleine toename van de indrukking du van

de veer een arbeid :

uFA dd ×=

Deze toename van de arbeid wordt in de elastische veer ‘opgeslagen’ in de vorm van

vervormingsenergie Ev. Deze energie kunnen we als volgt noteren :

k

FF

k

FFuFEv

dddd =

×=×=

De totale vervormingsenergie is de som van alle aandelen over het aangroeien van de kracht.

Dit levert :

k

FF

kFF

kF

k

FEE

F FF F

vv2

1d

1dd

2

0 00 0

2

21 ===== ∫ ∫ ∫

De vervormingsenergie is gelijk aan het oppervlak onder de veerkarakteristiek. Dit is voor een

lineair elastische veer tevens gelijk aan :

22

21

2

1

2uk

k

FuFEv ×==×=

Van deze uitdrukking voor de vervormingsenergie zal veelvuldig gebruik worden gemaakt.

z-as

x-as

ϕ

Figuur 2.3 : Assenstelsel

onbelaste toestand belaste toestand veerkarakteristiek

u

F

F=0

u

kracht ukF ×=

du

F

indrukking



Het directe verband tussen arbeid en vervormingsenergie wordt ook wel het theorema van

B.P.E. Clapeyron (1799-1864) genoemd. De door de uitwendige belasting verrichte arbeid

moet echter wel betrekking hebben op een compatibel verplaatsingsveld, een

verplaatsingsveld dat o.a. voldoet aan de randvoorwaarden van de constructie. Hier wordt

later op teruggekomen.

Een toepassing van de wet van Clapeyron op een

LE-ligger die belast wordt met gelijktijdig en

geleidelijk aangroeiende krachten is weergegeven

in figuur 2.5. De hoeveelheid arbeid die als

vervormingsenergie moet worden opgenomen is :

iiuFuFuFuFA ∑=++=

21

3321

2221

1121

2.5 Virtuele Arbeid

Naast het begrip arbeid bestaat er ook het begrip virtuele arbeid. Indien de kracht constant

wordt gehouden en we in gedachten een kleine verplaatsing kiezen dan kan de toename van

de arbeid worden geschreven als :

uFA δδ ×=

Hierin is het δu de virtuele verplaatsing. Als we dit

betrekken op een puntdeeltje zoals is weergegeven in

figuur 2.6 belast door ruimtelijke krachten, dan

kunnen we ook de som nemen van diverse bijdragen

aan de virtuele arbeid.

ii uFA δδ ∑=

In gedachten kunnen we ons echter ook voorstellen

dat we de krachten en de geassocieerde virtuele

verplaatsingen ontbinden in de drie as-richtingen.

Hierdoor ontstaat voor de virtuele arbeid :

∑∑∑ ++= zzyyxx FuFuFuA δδδδ

In deze vergelijking zitten echter de drie evenwichtsvergelijkingen verstopt die moeten gelden

voor het evenwicht van het puntdeeltje :

∑∑∑ === 000 zyx FFF

Dit betekent dus ook dat de arbeid tengevolge van ieder kinematisch toelaatbaar virtueel

verplaatsingsveld gelijk moet zijn aan nul. Dit wordt het principe van virtuele arbeid

genoemd. In feite is dit een andere schrijfwijze voor het evenwicht.

0x x y y z zA u F u F u Fδ δ δ δ= + + =∑ ∑ ∑

u1 u2 u3

F1 F2 F3

Figuur 2.5 : Ligger belast met gelijktijdig geleidelijk

aangroeiende krachten

x

y

z

Figuur 2.6 : Puntdeeltje



Ook voor starre lichamen geldt het principe van virtuele arbeid. Extra element bij een star

lichaam is dat naast een translatie in x, y en z-richting het lichaam ook kan roteren om de x-,

y-, en z-as. Een star lichaam heeft daarmee zes vrijheidsgraden. Een puntdeeltje heeft er

slechts drie. Een kracht F die op een star lichaam werkt zal nu niet alleen arbeid verrichten

t.g.v. de translaties die het lichaam ondervindt maar ook t.g.v. de verplaatsingen door de

rotaties van het lichaam. Om e.e.a. te verduidelijken wordt een star lichaam bekeken in het

platte vlak. In dit geval kent het lichaam drie graden van vrijheid; een horizontale en verticale

verplaatsing en een rotatie om de as loodrecht op het vlak van tekening.

Als we aannemen dat de verplaatsingen van het lichaam worden beschreven t.p.v. de

oorsprong O dan zijn daar drie (gegeneraliseerde) verplaatsingen gegeven als:

ux, uy verplaatsing in x-richting en in y-richting

ϕ rotatie om de z-as

Punt P(xp,yp) is een punt op het starre lichaam waar een kracht aangrijpt. Deze kracht kan

worden ontbonden in een component in resp. de x- en de y-richting zoals in de figuur is

aangegeven. Door de aangegeven verplaatsing in O zal punt P verplaatsingen in horizontale

en verticale richtingen ondergaan waardoor de aangegeven componenten van de kracht in P

arbeid zullen verrichten. Om de uitdrukking voor deze arbeid te vinden is het noodzakelijk

eerst de verplaatsingen in P nader te bekijken.

Voor kleine rotaties mag de lengte van het boogsegment gelijk gesteld worden aan de

hypotenusa zoals in figuur 2.8b is aangegeven.

O x

y

P

FyP

FxP

ux

uy ϕ

Figuur 2.7 : Star lichaam

α

xp

yp

Figuur 2.8 : Verplaatsing t.g.v. een rotatie

O x

y

P

ux

uy

ϕ

α

xp

yp

α O’

P’

r

r×ϕ

a) verplaatsing van P

ay

ax

r×ϕ

α

b) verplaatsing van P

t.g.v. alleen de rotatie



Punt P verplaatst naar P’ volgens:

P

P

xP x x x x x P

yP y y y y y P

( )sin ( )

( ) cos ( )

yu u a u r u r u y

r

xu u a u r u r u x

r

ϕ α ϕ ϕ

ϕ α ϕ ϕ

= − = − × = − × = −

= + = + × = + × = +

Dit resultaat houdt in dat een punt van een star lichaam t.g.v. kleine rotaties ten opzichte van

het draaipunt O , afgezien van het teken:

• een horizontale verplaatsing ondergaat welke gelijk is aan de rotatie × de verticale

afstand tot het draaipunt

• een verticale verplaatsing ondergaat die gelijk is aan de rotatie × de horizontale

afstand tot het draaipunt

Voor de verplaatsing t.p.v. de aangrijpende krachten geldt in het beschouwde assenstelsel:

xP x P

yP y P

u u y

u u x

ϕ

ϕ

= −

= +

Voor de arbeid die een kracht in P verricht t.g.v. een translatie en een kleine rotatie in O van

het starre lichaam ontstaat de volgende uitdrukking:

xP xP yP yP

xP x P yP y P

xP x yP y yP P xP P

( ) ( )

( )

A F u F u F u

F u y F u x

F u F u F x F y

ϕ ϕ

ϕ

= × = × + ×

= × − + × +

= × + × + − ×

De laatste term in deze vergelijking is juist gelijk aan de momentensom T om O t.g.v. de

kracht in P, zie figuur 2.7:

yP P xP POT F x F y= −∑

In het geval het virtuele verplaatsingen betreft zal deze vergelijking overgaan in de virtuele

vergelijking voor de arbeid. Voor meerdere krachten aangrijpend in punten i van het starre

lichaam kunnen we voor de virtuele arbeidsvergelijking vinden:

x xi y yi yi i xi i( )i i i

A u F u F F x F yδ δ δ δϕ= × + + × −∑ ∑ ∑

= 0, momentenevenwicht in het xy-vlak

=0, verticaal krachtenevenwicht

= 0, horizontaal krachtenevenwicht

In deze uitdrukking herkennen we de drie evenwichtsvergelijkingen voor een star lichaam in

het x-y-vlak. Om aan het evenwicht te voldoen moet de virtuele arbeidsvergelijking gelijk zijn

aan nul.

0Aδ = ( principe van virtuele arbeid )

Als voorbeeld wordt hieronder een statisch bepaalde constructie beschouwd waarvan de

krachtsverdeling wordt bepaald met behulp van het principe van virtuele arbeid1.

1 Een uitgebreide verhandeling over virtuele arbeid kan worden gevonden in hoofdstuk 15 van [3a].



Voorbeeld 1 : Krachtverdeling in een statisch bepaalde ligger met behulp van

het principe van virtuele arbeid

In figuur 2.9 is een ingeklemde ligger met een scharnier weergegeven. Gevraagd wordt om de

krachtsverdeling in de ligger te bepalen m.b.v. het principe van virtuele arbeid.

Figuur 2.9 : Voorbeeld 1

Voor het oplossen van dit probleem wordt eerst van de constructie een mechanisme gemaakt.

Het gekozen mechanisme moet zodanig zijn dat de nog te bepalen oplegreactie arbeid

verricht. In dit voorbeeld kan, door bij de inklemming een scharnier aan te nemen, een

mechanisme worden verkregen waarbij het inklemmingsmoment virtuele arbeid zal verrichten

bij een aangenomen kinematisch mogelijke virtuele verplaatsing. In figuur 2.10 is dit

weergegeven.

Figuur 2.10 : voorbeeld 1, mechanisme

De virtuele verplaatsing δu levert de volgende virtuele arbeidsvergelijking:

uuuTA δδδδθδ21

21

1 5,355,2550 ××+××++−= Merk hierbij op dat de gelijkmatig verdeelde belasting in twee delen is geknipt en dat de virtuele arbeid van elk deel afzonderlijk

is bepaald. De gelijkmatig verdeelde belasting heeft op ieder deel een gemiddelde verplaatsing die gelijk is aan de helft van δu.

De virtuele hoekverdraaiingen liggen vanwege de geometrie uiteraard vast:

5,35,2

21

uen

u δδθ

δδθ ==

Als dit wordt ingevuld in de vergelijking voor de virtuele arbeid ontstaat:

+++

−×=

××+××++−=

75,826,6505,2

5,355,25505,2

21

21

TuA

uuuu

TA

δδ

δδδδ

δ

Deze virtuele arbeid moet nul zijn voor iedere mogelijke virtuele verplaatsing δu. Hieruit

volgt:

2,5 m 3,5 m

50 kN 5 kN/m

δu

T

δθ1 δθ2

x-as

z-as

2,5 m 3,5 m

50 kN 5 kN/m

x-as

z-as

B A



kNmT

TA

5,162

075,826,6505,2

0

=

=

+++

−⇒=δ

Met dit inklemmingsmoment kunnen vervolgens de oplegreacties worden bepaald. Ga zelf na

dat de oplegreactie links 71,25 kN ↑ en rechts 8,75 kN ↑ groot is.

Een andere aanpak is natuurlijk ook mogelijk. In figuur 2.11 is het mechanisme getekend dat

nodig is om de verticale oplegreactie BV t.p.v. het steunpunt B te bepalen.

Figuur 2.11 : Mechanisme voor het bepalen van R

Opdracht :

Stel zelf de virtuele arbeidsvergelijking op en controleer de gevonden oplegreactie met het

eerder gevonden antwoord.

2.6 Wederkerigheid, theorema van Betti en de wet van Maxwell

Bij het belasten van een constructie verrichten de uitwendige krachten arbeid. Stel dat een

ligger belast wordt met twee puntlasten die na elkaar op de constructie worden geplaatst. Eerst

wordt de linker puntlast langzaam aangebracht tot de eindwaarde Fa is bereikt. Vervolgens

wordt de rechter puntlast aangebracht. Ook deze kracht laten we langzaam aangroeien van 0

tot de eindwaarde Fb. In figuur 2.12 is dit in de linker illustratie weergegeven.

Figuur 2.12 : Wederkerigheid

De verplaatsingen zijn aangegeven met als eerste index de plaats van de verplaatsing en als

tweede index de plaats van de belasting. Een verplaatsing uab is dus een verplaatsing in A

t.g.v. een belasting in punt B. De arbeid die de puntlasten in het linker systeem verrichten

bedraagt :

ababbbaaa uFuFuFA ×+×+×=21

21

Merk op dat de belasting in A reeds volledig is aangegroeid voor het aanbrengen van de belasting in B. De kracht Fa blijft tijdens

het aangroeien van Fb constant.

uaa uba

Fa Fb

ubb

uab

uaa uba

Fa Fb

ubb uab

2,5 m 3,5 m

50 kN 5 kN/m

x-as

z-as

BV

δu



Vervolgens draaien we de volgorde van belasten om. Eerst wordt de kracht in B aangebracht

en vervolgens die in A. Dit is weergegeven in de rechter figuur van figuur 2.12. De arbeid die

de puntlasten in het rechter systeem verrichten bedraagt :

babaaabbb uFuFuFA ×+×+×=21

21

In de eindsituatie is uiteraard niet meer waarneembaar in welke volgorde de belasting is

aangebracht. De arbeid die verricht wordt moet dus voor de beide systemen gelijk zijn. Dit

levert :

bababa uFuF =

Deze uitdrukking staat bekend als het theorema van Betti.We voeren nu het begrip

invloedsfactor in waarmee de verplaatsing t.g.v. een last wordt vastgelegd.

bbbbbababa

bababaaaaa

FcuFcu

FcuFcu

==

==

Ook deze invloedsfactoren worden voorzien van een dubbele index, de eerste voor de

plaatsaanduiding en de tweede voor de krachtsaanduiding.

Als we deze invloedsfactoren substitueren in het gevonden resultaat dan ontstaat:

baab

ababbaba

cc

FcFFcF

=

=

Hier staat in feite niets anders dan dat de verplaatsing in A t.g.v. een eenheidskracht in B

gelijk is aan de verplaatsing in B t.g.v. een eenheidskracht in A. Dit staat ook bekend als de

wederkerigheidswet van Maxwell.

De totale verplaatsing in A en B kan hiermee ook geschreven worden als :

bbbababbbab

babaaaabaaa

FcFcuuu

FcFcuuu

+=+=

+=+=

Door Maxwell toe te passen (cab=cba) en over te gaan op matrix-notatie ontstaat:

=

b

a

bbab

abaa

b

a

F

F

cc

cc

u

u

Deze relatie staat bekend als de flexibiliteitsrelatie.



De wederkerigheidswet van Maxwell is hier afgeleid m.b.v. krachten en hierdoor ontstane

verplaatsingen. De wet blijft echter niet beperkt tot alleen krachten. De krachtenvector mag

ook bestaan uit koppels en de verplaatsingsvector mag ook bestaan uit hoekverdraaiingen. In

dat geval ontstaat de symmetrische matrix :

=

b

b

a

a

b

b

a

a

T

F

T

F

cccc

cccc

cccc

cccc

u

u

44342414

34332313

24232212

14131211

ϕ

ϕ

Uit deze relatie blijken nog twee opvallende wederkerigheden :

• De verplaatsing in A t.g.v. een eenheidsmoment in A is gelijk aan de hoekverdraaiing in A

t.g.v. een eenheidskracht in A.

• De verplaatsing in A t.g.v. een eenheidsmoment in B is gelijk aan de hoekverdraaiing in B

t.g.v. een eenheidskracht in A.

Van deze eigenschappen zal verderop gebruik worden gemaakt.

AANVULLENDE OPMERKING

De inverse van de flexibiliteitsrelatie wordt de stijfheidsrelatie genoemd. Deze kunnen we

schrijven als :

−

−=

=

−

b

a

aaab

abbb

b

a

bbab

abaa

b

a

u

u

cc

cc

u

u

cc

cc

F

F

det

11

2det abbbaa ccc −=

Deze stijfheidsrelatie kunnen we ook schrijven als :

=

b

a

bbab

abaa

b

a

u

u

kk

kk

F

F

De stijfheidstermen zijn uit te drukken in de invloedsfactoren :

2

2

2

abbbaa

aabb

abbbaa

abab

abbbaa

bbaa

ccc

ck

ccc

ck

ccc

ck

−=

−−=

−=

Deze stijfheidsmatrix is dus ook een symmetrische matrix. Zonder hier verder in te gaan op de

bewijsvoering wordt hier opgemerkt dat de determinant van de flexibiliteitsmatrix positief is waardoor

de stijfheidstermen op de hoofddiagonaal altijd positief zijn. Aangetoond kan worden dat de

eigenwaarden van deze matrix allen positief en ongelijk zijn aan nul. We spreken daarom ook van een

positief definiete stijfheidsmatrix.



3 VERVORMINGSENERGIE In dit hoofdstuk zal gekeken worden naar de vervormingsenergie voor de volgende

basisgevallen :

• Extensie

• Afschuiving

• Buiging

• Wringing

Bij deze basisgevallen is er sprake van gegeneraliseerde spanningen (snedekrachten) zoals

een normaalkracht N, een dwarskracht V, een buigend moment M en een wringend moment

Mw. Naast deze discrete basisgevallen zijn er ook spanningssituaties die kunnen worden

beschouwd. De twee elementaire spanningssituaties die aan de orde zullen komen zijn :

• Normaalspanningen

• Schuifspanningen

3.1 Extensie

Het basisgeval extensie is in figuur 3.1 weergegeven. We gaan uit van een elastisch materiaal.

Figuur 3.1 : Basisgeval extensie

De constitutieve vergelijking, het verband tussen de inwendige spanningsgrootheid

(normaalkracht) N en de vervormingsgrootheid (rek) ε (epsilon) is weergegeven in het N-ε

diagram.

Het weergegeven mootje, met lengte dx is door toedoen van de aanwezige normaalkracht N

een klein beetje uitgerekt. De rek ε is weergegeven in het kracht-rek diagram. Indien we de

rek nu een klein beetje laten toenemen en deze kleine toename dε noemen dan is de hele

kleine toename van de verlenging van het mootje :

xl ddd ε=

Door deze kleine toename van de verlenging verandert de inwendige normaalkracht

nauwelijks en kunnen we aannemen dat deze constant is. De arbeid die de normaalkracht nu

verricht is :

xNlNA dddd ε==

De arbeid per eenheid van lengte is gelijk aan :

εdd

dN

x

A=

Volgens Clapeyron wordt deze arbeid opgeslagen als vervormingsenergie. De toename van de

vervormingsenergie wordt hiermee:

Opp= εdN

dx

εdx

N

N N

ε

dε

rek

normaal-

kracht



εdd

dd N

x

AEv ==

Bij het bereiken van een zekere normaalkracht en rek is de totaal opgeslagen hoeveelheid

vervormingsenergie per eenheid van lengte :

∫∫ ==εε

εoo

vv NEE dd* ( per eenheid van lengte wordt aangeduid met een *)

Voor lineair elastisch materiaalgedrag kan gebruik worden gemaakt van de wet van Hooke:

εEAN =

Door dit te substitueren in de uitdrukking voor de vervormingsenergie verkrijgen we :

∫∫ ====ε

εε

εεεεεε0

2

21

0

2

21

0

* dd EAEAEAEAEv

Uiteraard kan vanwege de lineair elastische relatie in dit geval de vervormingsenergie ook

worden uitgedrukt in de spanningsgrootheid als :

EA

NEv

2

2* =

Merk op dat deze uitdrukking sterk lijkt op de eerder gevonden uitdrukking voor de

vervormingsenergie in een veer. De staaf, met een constante normaalkracht, met lengte l en

rekstijfheid EA mag worden geschematiseerd tot een veer met veerstijfheid k.

l

EAk

k

N

EA

lNx

EA

NxEE

ll

vv ===== ∫∫ :met22

d2

d22

0

2

0

*

Dit resultaat is inderdaad gelijk aan het eerder gevonden resultaat voor de veer.

3.2 Afschuiving

Bij afschuiving is de gegeneraliseerde spanning de dwarskracht V. De vervormingsparameter

is de afschuifvervorming γ (gamma). In figuur 3.2 is dit weergegeven.

Figuur 3.2 : Basisgeval afschuiving

Met een identieke afleiding als bij het basisgeval extensie kan worden aangetoond dat voor de

vervormingsenergie per eenheid van lengte geschreven kan worden :

∫∫ ==γγ

γoo

vv VEE dd*

In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen de dwarskracht en de

afschuifvervorming :

γsGAV =

dx

γodx

V

V

V

γ

dγ afschuifvervorming

γ

Opp= γdV

dwarskracht



Hierin is G de glijdingsmodulus van het materiaal en As het effectieve oppervlak voor de

dwarskracht.

Opmerking:

Dit oppervlak As is niet gelijk aan het oppervlak A van de dwarsdoorsnede aangezien we ervan uit gaan dat de afschuifvervorming

over de hoogte van de doorsnede constant is, zie figuur 3.2. Dit houdt in dat dan ook de schuifspanningsverdeling over de hoogte

constant moet zijn. Immers we gaan uit van lineair elastisch materiaalgedrag. Voor een rechthoekige doorsnede echter is de

werkelijke schuifspanningsverdeling parabolisch. Om deze tekortkoming te compenseren wordt gerekend met een effectief

oppervlak. Voor een rechthoekige doorsnede wordt voor het effectieve oppervlak aangehouden :

2,1

AAs =

Het bewijs hiervoor wordt gegeven in bijlage A.

De vervormingsenergie kan nu geschreven worden als:

∫∫ ====γ

γγ

γγγγγ0

2

21

0

2

21

0

* dd sssv GAGAGAVE

Uiteraard kan ook nu deze vervormingsenergie worden geschreven in termen van de

spanningsparameter :

s

vGA

VE

2

2* =

3.3 Buiging

In het geval van buiging hebben we te maken met een buigend moment M als

gegeneraliseerde spanning en een kromming κ (kappa) als vervormingsparameter. In figuur

3.3 is dit weergegeven

Figuur 3.3 : Basisgeval buiging

Ook hier kan dezelfde procedure worden doorlopen. De vervormingsenergie kan worden

geschreven als :

∫∫ ==κκ

κoo

vv MEE dd*

In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen het moment en de kromming :

κEIM = Hierin is EI de buigstijfheid van de dwarsdoorsnede. De vervormingsenergie kan nu worden

geschreven als :

2

21

0

* d κκκκ

EIEIEv ∫ ==

Uiteraard kan deze vervormingsenergie ook worden geschreven in termen van de

spanningsgrootheid M :

EI

MEv

2

2* =

dx

xd dκϕ =

M

M M

κ

dκ

kromming

Opp= κdM

moment



3.4 Wringing

Voor het basisgeval wringing hebben we te maken met het wringend moment Mw in een op

wringing belaste doorsnede als gegeneraliseerde spanning. De specifieke verwringing θ

(theta) is de vervormingsparameter. Dit is weergegeven in figuur 3.4.

Figuur 3.4 : Basisgeval wringing

Opmerking

Wringing lijkt verdacht veel op extensie en afschuiving. De specifieke verwringing is in feite de mate waarin opeenvolgende

doorsneden ten opzichte van elkaar verdraaien of verwringen. Net als bij het basisgeval extensie waar een verlenging wordt

gedeeld door de oorspronkelijke lengte om de specifieke verlening (rek) te verkrijgen wordt bij wringing de verwringing gedeeld

door de afstand waarover deze plaats vindt. Deze genormeerde verwringing noemen we de specifieke verwringing.

Door het eerder gevolgde recept te doorlopen kan de vervormingsenergie worden geschreven

als :

∫∫ ==θθ

θo

w

o

vv MEE dd*

In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen het wringend moment en de

specifieke verwringing :

θww GIM =

Hierin is GIw de wringstijfheid van de doorsnede. De vervormingsenergie kan nu worden

geschreven als :

2

21* θwv GIE =

Uiteraard kan de vervormingsenergie ook worden geschreven in termen van de

spanningsparameter :

w

w

vGI

ME

2

2* =

De behandeling van wringing komt uitgebreider aan de orde bij de mechanicaonderdelen in de

MSc-fase.

xdθ

dx

Mw

Mw

Mw

θ

dθ

verwringing

wringend

moment

Opp= θdwM



3.5 Normaalspanning en schuifspanning

In de voorgaande paragrafen is gekeken naar een aantal basissystemen in de mechanica. Allen

hadden betrekking op snedekrachten. Dit is uiteraard zo gekozen omdat arbeid gedefinieerd is

als het product van kracht en afgelegde weg of verplaatsing. Als we kijken naar een

spanningssituatie ligt dit iets anders. Spanningen kunnen geen evenwicht maken, krachten

wel. Zo geldt ook dat spanningen geen arbeid leveren, krachten kunnen dat wel. Uiteraard

kunnen we wel een spanning uitdrukken in een kracht als we het oppervlak waarop de kracht

werkt kennen. Hiervan is in het voorgaande ook al gebruik gemaakt. In figuur 3.5 is deze

situatie getekend voor een op extensie belast volume-elementje.

Figuur 3.5 : Basisgeval normaalspanning

De arbeid verricht door de inwendige kracht per eenheid van volume is gelijk aan de toename

van de vervormingsenergie. Per eenheid van volume kan hiervoor worden geschreven :

∫=

==×

=

ε

εσ

εσεσε

o

v

v

E

A

A

A

NE

d

ddd

d

*

Als we uitgaan van een lineair elastisch materiaal dan geldt de wet van Hooke :

εσ E=

Waarmee de vervormingsenergie kan worden geschreven als :

E

Ev2

2* σ

=

Uiteraard kan in dit geval voor de vervormingsenergie ook worden geschreven :

2

21* εEEv =

De overeenkomst met de eerder gevonden resultaten is duidelijk.

Voor schuifspanningen kan een identieke afleiding worden gevolgd. Toon zelf aan dat de

vervormingsenergie per eenheid van volume t.g.v. schuifspanningen geschreven kan worden

als :

∫=γ

γτo

vE d* met γτ G=

En dat in geval er sprake is van lineair elastisch gedrag geldt :

τγγτ

21*2

21*

2*

2=== vvv EofGEof

GE

dx

εdx

σ

σAN =

ε

dε

rek

σAN =

A

spanning

Opp= εσ d



rek

spanning

∫=ε

εσ0

* dvE ∫=σ

σε0

* dcE

3.6 Complementaire energie en vervormingsenergie

In de hiervoor beschreven gevallen is steeds ter sprake gekomen dat de vervormingsenergie

voor lineair elastische materialen op verschillende manieren kan worden geschreven. In de

onderstaande tabel zijn deze resultaten verzameld.

Tabel 1 : Vervormingsenergie voor lineair elastisch materiaalgedrag

Spanningsgrootheid

(complementair)

vervormingsgrootheid combinatie

Extensie EA

NEv

2

2* = 2

21* εEAEv = εNEv 2

1* =

Afschuiving s

vGA

VE

2

2* =

2

21* γsv GAE = γVEv 2

1* =

Buiging EI

MEv

2

2* = 2

21* κEIEv = κMEv 2

1* =

Wringing w

wv

GI

ME

2

2

* = 2

21* θwv GIE = θwv ME

21* =

Normaalspanning E

Ev2

2* σ

= 2

21* εEEv = σε

21* =vE

Schuifspanning G

Ev2

2* τ

= 2

21* γGEv = τγ

21* =vE

In figuur 3.6 is voor extensie weergegeven wat de uitdrukkingen grafisch voorstellen. Het

blauwe oppervlak onder de curve wordt de vervormingsenergie Ev genoemd, het rode

oppervlak boven de curve, wordt de complementaire energie Ec genoemd.

Figuur 3.6 : Vervormingsenergie voor lineair elastisch gedrag

Op het onderscheid tussen Ev en Ec wordt in hoofdstuk 5 dieper ingegaan, wel is in te zien dat

moet gelden :

εσ ×=+ vc EE

Voor een niet-lineair elastisch gedrag zijn de uitdrukkingen in de tweede en derde kolom van

tabel 1 niet geldig. Immers het rode oppervlak is niet meer gelijk aan het blauwe oppervlak

zoals in figuur 3.7 is weergegeven.

Figuur 3.7 : Vervormingsenergie en complementaire energie

Voorlopig zal echter uitgegaan worden van een lineair elastisch gedrag waarbij de gevonden

formules uit tabel 1 kunnen worden toegepast.

σ

dε ε

dσ εσd=opp

σεd=opp σ

ε

εσ21* =vE

*

21*

vc EE == εσ



3.7 Vervormingsenergie en arbeid

In paragraaf 2.3 is een relatie gelegd tussen de door de uitwendige belasting verrichte arbeid

en de vervormingsenergie. Gevoelsmatig is wel aannemelijk dat alle door uitwendige

krachten verrichte arbeid op een vervormbaar lichaam omgezet wordt in vervormingsenergie.

In deze paragraaf zal iets genuanceerder naar deze gelijkheid worden gekeken.

In figuur 3.8 wordt nogmaals naar de veer uit paragraaf 2.3 gekeken.

Figuur 3.8 : Veer

Daarbij wordt nu ook gekeken naar de inwendige kracht N in de veer. De arbeid die wordt

verricht door de uitwendige belasting F bij een kleine verplaatsing du is:

uFAuitw dd =

Kracht en verplaatsing hebben dezelfde richting, de toename van de arbeid is dus positief. De

inwendige kracht werkt de vervorming tegen, de normaalkracht N en de verplaatsing u zijn

tegengesteld van teken en de arbeid verricht door deze inwendige kracht is daarom negatief :

uNAinw dd −=

De som van de arbeid verricht door de uitwendige en de inwendige krachten is :

( ) uNFuNuFAA inwuitw ddddd −=−=+

In feite staat in de bovenstaande vergelijking de som van alle verrichte arbeid ten gevolge van

een kleine verplaatsing du. De eis dat deze som nul moet zijn voor iedere mogelijke virtuele

verplaatsing du is identiek aan de evenwichtseis :

NFNF

AA inwuitw

=⇒=−

=+

0

0dd

Hieruit blijkt dat ook voor vervormbare lichamen geldt dat de virtuele arbeid gelijk is aan nul.

Definitie:

Een mechanisch systeem is in evenwicht als de som van alle arbeid verricht door zowel de

uitwendige als de inwendige krachten gelijk is aan nul voor alle mogelijke virtuele verplaatsingen.

Van belang is om hier te vermelden dat deze definitie onafhankelijk is van het

materiaalgedrag. Immers in de afleiding is alleen gebruik gemaakt van het begrip arbeid.

In paragraaf 2.3 kwam al naar voren dat de toename van de in de veer opgeslagen

vervormingsenergie kan worden geïnterpreteerd als de toename van door de uitwendige

krachten verrichte arbeid. Als dit principe wordt toegepast dan geldt :

inwuitwv AAE ddd −==

Hiermee is een verband gelegd tussen de vervormingsenergie en de door inwendig en

uitwendig werkende krachten verrichte arbeid.

F=0

u

F

indrukking

N

onbelast belast veerkarakteristiek

du

ukN ×=

F

N

inwendige kracht

inwendige

kracht



Tot slot valt nog op te merken dat indien het bovenstaande geldt voor de toename van de

arbeid we dit ook mogen generaliseren voor de totale arbeid. Er geldt dus ook :

0=+ uitwinw AA

In woorden is dit niets anders dan dat de som van de arbeid verricht door uitwendige en

inwendige krachten gelijk moet zijn aan nul.

Met de hierboven geïntroduceerde relaties kan een voorbeeld worden gemaakt om het een en

ander te verduidelijken.

Voorbeeld 2 : Statisch bepaalde ligger met een puntlast

De in figuur 3.9 weergegeven ligger wordt belast met een puntlast in het midden van de

overspanning. Van dit probleem willen we de krachtsverdeling en de verplaatsing onder de

puntlast bepalen door gebruik te maken van arbeidsprincipes.

Figuur 3.9 : Statisch bepaalde ligger

Krachtsverdeling : Virtuele arbeid

Met behulp van de virtuele arbeid kan de krachtsverdeling in de constructie worden bepaald.

In paragraaf 2.4 is dit gedemonstreerd. We nemen een mechanisme aan waarin een nog

onbekende oplegreactie virtuele arbeid verricht. In figuur 3.10 is een mogelijk mechanisme

getekend.

Figuur 3.10 : Virtuele verplaatsing δ w van een mechanisme

Opstellen van de virtuele arbeidsvergelijking levert :

FB

Aeis

wBwFA

21

V

V21

0:

=

=

×+×−=

δ

δδδ

Doordat er een mechanisme is ontstaan zal de ligger niet krommen, er ontstaan geen virtuele

rekken of vervormingen. In de virtuele arbeidsvergelijking zitten dus alleen aandelen van

uitwendige virtuele arbeidscomponenten. Met de oplegreactie kan nu ook de M-lijn worden

bepaald. In figuur 3.11 is deze weergegeven.

Figuur 3.11 : M-lijn

δ w ½δ w

BV

F

lxFxxM21

21 0)( ≤≤=

FlM41

max = M-lijn

0,5 l 0,5 l

F

wmax

EI

x-as

z-as

B A



Vervorming : Totale arbeid

Bij het bepalen van de vervorming van de ligger wordt gebruik gemaakt van de totale arbeid

die op en in het systeem wordt verricht. De ligger onder de puntlast zal een verplaatsing wmax

ondergaan. De door de aangroeiende kracht verrichte arbeid is :

max21 FwAuitw =

De in de balk opgeslagen vervormingsenergie is eerder in paragraaf 3.3 afgeleid als :

∫∫ ==ll

vv xEI

MxEE

0

2

0

* d2

d

De vervorming door dwarskracht wordt voor “normale” liggers, waarvoor geldt dat de hoogte klein is t.o.v. de overspanning,

verwaarloosd. Alleen voor gedrongen constructies moet deze component van de vervormingsenergie worden meegenomen [12] .

Het verloop van de momentenlijn is in figuur 3.10 bepaald. De M-lijn is symmetrisch t.o.v. de

middendoorsnede van de ligger. De vervormingsenergie kan dan ook geschreven worden als :

∫=

l

v xEI

ME

2

1

0

2

d2

2

De vergelijking voor M-lijn voor de linker liggerhelft, zie ook figuur 3.10, luidt:

xFxM *)(21=

Door dit resultaat in te vullen in de vergelijking voor de vervormingsenergie ontstaat :

EI

lFx

EI

Fxx

EI

Fx

EI

xFE

lll

v964

d4

d2

232

0

3

31

2

0

22

0

22

41

2

12

1

2

1

==== ∫∫

We maken nu gebruik van het eerder afgeleide verband tussen de vervormingsenergie en de

door inwendige krachten verrichte arbeid :

EI

lFAAE inwinwv

96

32

−=⇒−=

Ten slotte moet de som van de totaal verrichte arbeid nul zijn. Zo ontstaat :

096

032

max21 =−⇒=+

EI

lFFwAA inwuitw

Hieruit volgt voor de maximum verplaatsing : EI

Flw

48

3

max =

Dit is een bekend resultaat dat ook verkregen kan worden met behulp van de methode van de

gereduceerde momentenlijn. De hier gebruikte methode is echter een toepassing van een

arbeidsmethode en de opstap naar een verfijndere methode die in het volgende hoofdstuk aan

de orde komt.

Met het vinden van dit bekende resultaat kan ook direct de vervormingsenergie worden

bepaald uitgedrukt in de zakking w :

2

3

2

321

21

0

2448d w

l

EIw

l

EIFwwFE

w

v =××=== ∫

Ook de complementaire energie uitgedrukt in de belasting F kan op een soortgelijke wijze

worden gevonden :

233

21

21

09648

d FEI

lF

EI

FlwFFwE

w

c =×=== ∫

Aangezien er uitgegaan wordt van lineair elastisch gedrag geldt dat Ec gelijk is aan Ev.



3.8 Arbeidsmethode met behulp van een eenheidslast

In het voorgaande voorbeeld werd met

behulp van de vervormingsenergie de

verplaatsing onder de puntlast bepaald.

Dezelfde oplossing kan ook op een iets

ander wijze worden verkregen. Stel dat de

ligger uit figuur 3.9 eerst belast wordt

door een eenheidslast van 1,0 kN. Deze

situatie is weergegeven in figuur 3.12. Figuur 3.12 : Eenheidslast op een ligger

In de ligger ontstaat tengevolge van deze eenheidslast een zakking δw en een

momentenverdeling m(x) zoals ook in figuur 3.12 is aangegeven. Nadat deze belasting is

aangebracht wordt de “echte” belasting F aangebracht. Door deze belasting F ontstaat een

additionele momentenverdeling M(x) en ontstaat de additionele zakking w. In figuur 3.13 is

dit weergegeven.

Figuur 3.13 : Belasting op de ligger

Door het aanbrengen van de belasting F met de bijbehorende momentenlijn M(x) ontstaat dus

ook een additionele kromming in de ligger :

EI

xMx

)()( =κ

De inwendige momenten m(x) in de ligger ten gevolge van de eenheidslast verrichten

vervormingsenergie als de “echte” belasting F wordt aangebracht. De momentenverdeling

m(x) verandert echter niet door het aanbrengen van de belasting F. De additionele

vervormingsenergie kan zodoende bepaald worden met :

∫∫ ×=×=ll

v xEI

xMxmxxxmE

00

d)(

)(d)()( κ

Deze vervormingsenergie is gelijk aan de toename van de arbeid verricht door

de eenheidslast :

wwAuitw =×= 0,1

Gelijkstellen van deze twee levert :

xEI

xMxmw

l

d)()(

0

∫×

=

Conclusie:

Door een eenheidslast aan te brengen op de plaats waar een verplaatsing moet worden

bepaald kan op een elegante wijze de verplaatsing worden bepaald door gebruik te

maken van de momentenverdeling t.g.v. de eenheidslast en die van de daadwerkelijke

belasting. De eenheidslast is daarbij niets anders dan een hulpmiddel.

1,0 kN

m(x)

EI

l

M-lijn M(x)

x-as

1,0 kN

0,5 l 0,5 l

wmax

EI

δw F



De hier gevonden uitdrukking voor de zakking t.p.v. de eenheidslast kan ook gevonden

worden als naar de totale arbeid en vervormingsenergie wordt gekeken :

( )∫∫∫∫ +

×+=

+=

××+×+××=

llll

v

uitw

xEI

xMx

EI

xMxmx

EI

xmx

EI

xmxME

wFwwA

0

2

00

2

0

2

21

21

d2

)(d

2

)()(2d

2

)(d

2

)()(

0,10,1 δ

De totale uitwendig verrichte arbeid moet uiteraard gelijk zijn aan de inwendige

vervormingsenergie :

∫∫∫ +×

+==++lll

v xEI

xMx

EI

xMxmx

EI

xmEFwww

0

2

00

2

21

21 d

2

)(d

2

)()(2d

2

)(δ

Voor de afzonderlijke belastingsgevallen van de puntlasten geldt echter:

∫

∫

=××⇒=

=××⇒==

l

vuitw

l

vuitw

EI

xxMwFEAF

EI

xxmwEAF

0

2

21

0

2

21

2

d)(:

2

d)(0,1:0,1 δ

Door dit resultaat te verwerken in de totale arbeidsvergelijking wordt dezelfde uitdrukking

voor de zakking w verkregen :

xEI

xMxmw

l

d)()(

0

∫×

=

In een voorbeeld wordt de kracht van deze methode toegelicht op een ligger die belast wordt

met een gelijkmatig verdeelde belasting.

Voorbeeld 3 : Ligger met een gelijkmatig verdeelde belasting

Van de in figuur 3.14 weergegeven ligger wordt de zakking in het midden gevraagd.

Figuur 3.14 : Ligger met een gelijkmatig verdeelde belasting

Aangezien de zakking in het midden gevraagd wordt moet er een eenheidslast in het midden

geplaatst worden. De momentenlijn m(x) die hierdoor ontstaat kan worden beschreven met :

lxlxlxm

lxxxm

≤≤−=

≤≤=

21

21

21

21

)()(

0)(

Ten gevolge van de gelijkmatig verdeelde belasting ontstaat een momentenverdeling M(x) :

)()(21 xlqxxM −=

De zakking w in het midden kan worden bepaald met de formule:

xEI

xMxmw

l

d)()(

0

∫×

=

De momentverdeling m(x) is niet met één functievoorschrift te beschrijven maar is wel

symmetrisch. Door gebruik te maken van symmetrie ontstaat:

EI

qlxlx

EI

qxxlqxx

EIx

EI

xMxmw

lll

384

5

432d)(

2d

)()(2

4

0

43

0

21

21

0

21

21

21

=−=−×=×

= ∫∫

0,5 l 0,5 l

q

wmax

EI

1,0 kN



Het bepalen van de oplossing van de integralen in de twee voorgaande voorbeelden levert niet

veel problemen op. Voor constructies belast door meerdere puntlasten en/of gelijkmatig

verdeelde lasten wordt het bepalen van de integraal van het product van de functies m(x) en

M(x) met de hand een vervelende klus. In het verleden zijn daarom voor een aantal standaard

momentenverdelingen oplossingen bepaald. De functie die het product is van m(x) en M(x)

kan als een inhoud worden voorgesteld. Zie hiervoor figuur 3.15.

Figuur 3.15 : Product van twee functies

De momentenlijn m(x) t.g.v. de eenheidslast zal in het algemeen een lineaire functie zijn. De

momentenlijn M(x) t.g.v. de belasting kan bestaan uit lineaire, parabolische delen of

combinaties daarvan. In het overzicht van figuur 3.16 staan een aantal combinaties

weergegeven.

Figuur 3.16 : Integraal van het product van twee functies

De totale integratie kan nu worden vervangen door een handig gekozen aantal deel-integraties

waarbij gebruik wordt gemaakt van de in figuur 3.16 weergegeven expressies.

)(xMy =

)(xmz =

)(xm

)(xM



Voorbeeld 4 : Portaal

Van de in figuur 3.17 weergegeven portaalconstructie wordt de horizontale verplaatsing van

punt C gevraagd. Ter plaatse van punt C bevindt zich een scharnier.

Figuur 3.17 : Portaal

Voor het bepalen van de horizontale verplaatsing in C moet een horizontale eenheidslast in

punt C worden aangebracht. De momentenlijn m(x) t.g.v. van deze eenheidslast en de

momentenlijn M(x) ten gevolge van de belasting op het portaal zijn in figuur 3.18

weergegeven.

Figuur 3.18 : Momentenlijnen M(s) en m(s)

De horizontale verplaatsing kan gevonden worden door langs de staafas s de volgende

integraal uit te werken :

∫=D

A

C ssmsMEI

u d)()(1

De constructie wordt opgedeeld in twee stukken A-B en B-C. Immers over C-D is m(s) gelijk

aan nul ! Door gebruik te maken van de gegevens uit figuur 3.17 wordt gevonden :

{ }EIEI

uC

100832945294

17

9

31

7

9

31 =×××+×××=

De toepassing van deze methode op de hier gepresenteerde wijze is niet meer van deze tijd.

Door de inzet van MAPLE echter is deze methode weer buitengewoon eenvoudig toe te

passen zonder het vervelende handwerk, voortvloeiend uit de evaluaties van de integralen. De

methode met gebruikmaking van tabel 3.16 is dus louter illustratief en bedoeld om bekend te

zijn met deze oplossingsstrategie uit de “oude tijd”. De systematiek is echter uitstekend toe te

passen m.b.v. MAPLE.

A

B C

D

28 kN/m

140 kN

4,0 m 3,0 m

3,0 m

294,0 kNm

31,5 kNm

79

1,0 kN

m(x) M(x)

140 kN

kNm



3.9 Toepassing, formule van Rayleigh

Een toepassing van de gelijkstelling van verrichte arbeid en opgeslagen vervormingsenergie is

de methode van Rayleigh voor het benaderen van de knikbelasting van buigzame op druk

belaste staven.

Bij het onderdeel “Stabiliteit van het evenwicht” is benadrukt dat een stabiliteitsondezoek een

onderzoek is naar de aard van het evenwicht. Indien de “wegdrijvende invloed” kleiner is dan

de “terugdrijvende invloed” dan is het evenwicht stabiel. Dit houdt in dat bij een kleine

kninematisch mogelijke verstoring van de evenwichtssituatie de constructie terugkeert naar

deze evenwichtsconfiguratie. Als we dit concept vertalen naar arbeid en energie is het logisch

de volgende definitie aan te houden:

Een evenwicht is stabiel als bij iedere overgang naar een naburige kinematisch mogelijke

configuratie de door de belasting verrichte arbeid kleiner is dan de benodigde

vervormingsenergie.

Als we dit toepassen op een buigzame op druk belaste staaf zoals in de onderstaande figuur is

weergegeven dan zal de puntlast arbeid verrichten door de verplaatsing in de richting van de

kracht en zal in de uitknikkende staaf de energie worden opgeslagen in de vorm van

vervormingsenergie voor extensie en buiging.

Figuur 3.19 : Buigzame op druk belaste staaf, knikstaaf van Euler

Vlak voor uitknikken is er alleen sprake van vervorming door extensie immers de staaf is nog

niet gebogen. Voor de vervormingsenergie geldt:

∫=l

v dxEAE0

2

21 ε

Na uitknikken is er wel een kromming en geldt voor de vervormingsenergie:

∫∫ +=ll

v dxEIdxEAE0

2

21

0

2

21 κε

F EI, EA

l

u

uF

F

F

Voor uitknikken,

alleen extensie

Na uitknikken,

extensie en buiging



Bij het langzaam verhogen van de axiale belasting zal juist voor en juist na uitknikken de

normaalkracht in de staaf gelijk zijn. De axiale rek is dan voor beide situaties ook gelijk

waarmee het aandeel in de vervormingsenergie t.g.v. extensie juist voor en na uitknikken dus

ook gelijk moet zijn. Dit houdt in dat bij de overgang van de rechte staaf naar de uitgeknikte

staaf er een toename plaats vindt van de vervormingsenergie die juist gelijk is aan alleen de

vervormingsenergie t.g.v. buiging:

∫∫

==∆

ll

v xx

wEIxEIE

0

2

2

2

21

0

2

21 d

d

ddκ

Deze vervormingsenergie is gelijk aan de door de puntlast verrichte arbeid in de overgang van

de rechte naar de gebogen toestand. Deze arbeid is gelijk aan:

FuFA ×=

Deze horizontale verplaatsing kan worden uitgedrukt in de verticale uitbuiging met behulp

van de stelling van Pythagoras:

Figuur 3.20 : Kleine horizontale en verticale verplaatsingen

De lengte van de staaf blijft immers voor en na uitbuigen onveranderd.

De gevonden uitdrukking voor horizontale verplaatsing bevat een

vervelende wortel-functie met een kwadratische afgeleide. Deze

uitdrukking kan met behulp van een Taylor-reeks ontwikkeling worden

benaderd (met verwaarlozing van de hogere orde termen) tot :

xx

wx

x

wu d

d

dd

d

d11d

2

21

2

F

≅

−−=

De totale horizontale verplaatsing is na integreren over de totale

staaflengte gelijk aan:

∫

=

l

xx

wu

0

2

21

F dd

d

Gelijkstellen van de arbeid t.g.v. deze horizontale verplaatsing aan de vervormingsenergie

t.g.v. buiging levert uiteindelijk de vergelijking waarmee de kniklast kan worden gevonden:

∫∫

×=

⇔=∆

ll

v xx

wFx

x

wEIAE

0

2

21

0

2

2

2

21 d

d

dd

d

d

Er is nog juist evenwicht mogelijk als de arbeid gelijk is aan de vormveranderingsenergie.

z, w

x, u

duF dw

dx

dx

w w ( ) ( )

xx

w

wxxu

dd

d11

dddd

2

22

F

−−=

=−−=

( ) ( )22dd wx −



Hieruit volgt voor de kniklast :

2 22 2

12 2 2

0 0k k-Rayleigh2 2

12

0 0

d dd d

d d

d dd d

d d

l l

l l

w wEI x EI x

x xF F

w wx x

x x

= ⇒ =

∫ ∫

∫ ∫

De kniklast in deze formule is de laagste waarde van F waarbij de verrichte arbeid precies

gelijk is aan de vervormingsenergie. Het aardige van deze uitdrukking is dat het

verplaatsingsveld w(x) niet exact bekend hoeft te zijn om al een redelijke waarde voor de

kniklast te vinden. Rayleigh heeft hiermee geëxperimenteerd en aangetoond dat bij een

aangenomen kinematisch mogelijke uitbuigingsvorm (d.w.z. een passende uitbuigingsvorm

die voldoet aan de randvoorwaarden) de kniklast altijd wordt overschat.

Om dit te demonstreren is in de onderstaande linker figuur een knikvorm aangenomen die

gelijk is aan een sinus-uitbuiging.

Figuur 3.21 : Aangenomen uitbuigingsvorm

Met de formule van Rayleigh kan voor de kniklast worden gevonden:

2 22 2

2 2

2 2 2

0 0

2 2 2

2 2

0 0

dd sin d

d

dd cos d

d

l l

l l

w xEI x EI f x

x l l EIF

lw xx f x

x l l

π π

π

π π

× ×

× = = =

×

∫ ∫

∫ ∫

Dit levert de exacte kniklast voor de Eulerse knikstaaf. Dit is niet verwonderlijk want de

aangenomen uitbuigingsvorm is de exacte knikvorm.

Door niet de exacte maar een benaderende uitbuigingsvorm in de vorm van een parabool met

halverwege een uitwijking f aan te nemen zoals in de rechter figuur is weergegeven:

2 2 2

4 ( ) 4( 2 ) 8( ) '( ) ''( )

fx l x fl fx fw x w x w x

l l l

− − −= = =

wordt voor de benaderende kniklast gevonden:

22

2 2

0

2 2 2

0

dd

d 12 1,22

dd

d

l

l

wEI x

x EI EIF

l lwx

x

π

= = =

∫

∫

Met deze benadering wordt de kniklast met 22% overschat. Merk op dat in het laatste geval de

aangenomen uitbuigingsvorm voldoet aan de randvoorwaarden op de uiteinden van de staaf.

2

4 ( )fx l xw

l

−= sin

xw f

l

π =

F

l

F

l

f f



3.10 Virtuele arbeidsvergelijking voor vervormbare lichamen*

Met het gevonden resultaat dat de som van alle door uitwendige en inwendige krachten

verrichte arbeid gelijk aan nul moet zijn, moet ook gelden dat som van de virtuele arbeid

verricht door inwendige en uitwendige krachten gelijk aan nul moet zijn :

0=+= inwuitw AAA δδδ

Eerder is al afgeleid dat voor de arbeid verricht door inwendige krachten geldt :

inwuitwv AAE −==

Deze uitdrukking geldt ook voor virtuele bijdragen. Combineren van de beide uitdrukkingen

leidt tot :

0=−= vuitw EAA δδδ

De virtuele vormveranderingsenergie kan worden gevonden met de eerder afgeleide formules

voor de vormveranderingsenergie. In bijlage B is een alternatieve bewijsvoering gegeven.

Voor op buiging belaste staven geldt voor de virtuele vormveranderingsenergie :

∫=l

o

v xME dδκδ

Zie hiervoor de eerdere afleiding van de vormveranderingsenergie voor de op buiging belaste staaf.

De virtuele arbeidsvergelijking wordt nu :

0d0

=+−= ∫ uitw

l

AxMA δδκδ

Op dit resultaat zal in hoofdstuk 5 worden teruggekomen.



4 ARBEIDSTHEOREMA’S VAN CASTIGLIANO In het voorbeeld van paragraaf 2.7 bleek het mogelijk om met behulp van de

vormveranderingsenergie de verplaatsing onder een puntlast te berekenen. In dit hoofdstuk zal

met behulp van de basisbeginselen uit het vorige hoofdstuk een methode worden afgeleid om

een verplaatsing te bepalen.

4.1 2e wet van Castigliano

In figuur 4.1 is een ligger weergegeven belast door een reeks puntlasten.

Figuur 4.1 : Ligger met een reeks puntlasten

Als de lasten aangroeien van nul tot de eindwaarde Fi levert dat voor de door de uitwendige

krachten verrichte arbeid :

xxccbbaauitw uFuFuFuFA21

21

21

21 ... ++++= (4.1)

In deze vergelijking zijn de verplaatsingen gebruikt direct onder de puntlast. Als we

teruggrijpen op de notatie van paragraaf 2.5 dan kan iedere verplaatsing geschreven worden

als de som van de invloeden van alle puntlasten op die ene verplaatsing.

xxxcxcbxbaxax

xcxcccbcbacac

xbxcbcbbbabab

xaxcacbabaaaa

FcFcFcFcu

FcFcFcFcu

FcFcFcFcu

FcFcFcFcu

++++=

++++=

++++=

++++=

...

...

...

...

(4.2)

De coëfficiënten cij zijn de invloedsfactoren of ook wel de componenten van de

flexibiliteitsmatrix zoals zij bij de afleiding van de wet van Maxwell zijn geïntroduceerd.

Door de arbeid te differentiëren naar een van de krachten, b.v. Fx ontstaat:

x

x

xx

x

c

c

x

b

b

x

a

a

x

uitw

F

uFu

F

uF

F

uF

F

uF

F

A

∂

∂+++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂21

21

21

21

21 ... (4.3)

Let op:

De laatste term moet met behulp van de productregel herhaald worden gedifferentieerd.

Voor het bepalen van partiële afgeleiden van de verplaatsingen ui naar de kracht Fx kan

gebruik worden gemaakt van formule (4.2) :

xx

x

xxxcxcbxbaxa

x

x

cx

x

xcxcccbcbaca

x

c

bx

x

xbxcbcbbbaba

x

b

ax

x

xaxcacbabaaa

x

a

cF

FcFcFcFc

F

u

cF

FcFcFcFc

F

u

cF

FcFcFcFc

F

u

cF

FcFcFcFc

F

u

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

)...(

)...(

)...(

)...(

(4.4)

ua ux

Fa Fx Fb

ub

Fc

uc



Door dit resultaat in (4.3) in te vullen ontstaat :

xxxxcxcbxbaxa

x

uitw ucFcFcFcFF

A21

21

21

21

21 ... +++++=

∂

∂ (4.5)

Volgens Maxwell geldt, zie ook paragraaf 2.5 :

xccx

xbbx

xaax

cc

cc

cc

=

=

=

(4.6)

Door dit toe te passen kan vergelijking (4.5) geschreven worden als :

x

xxxxcxcbxbaxa

x

uitw

u

uFcFcFcFcF

A

21

21

21

21

21

21 ... +++++=

∂

∂

(4.7)

Vergelijking (4.7) is na vereenvoudiging te schrijven als :

x

x

uitw uF

A=

∂

∂ (4.8)

De door de uitwendige belasting verrichte arbeid gedifferentieerd naar één kracht is juist de

verplaatsing in de richting van deze kracht. Dit is de 2e wet van Castigliano. Ook de naam

van Cotterill is verbonden aan deze wet. Hoewel deze wet bekend staat als de 2e wet is deze in

de tijd de eerst afgeleide wet. Op de 1e wet van Castigliano wordt verderop ingegaan.

De hier gevonden uitdrukking kan ook anders worden weergegeven. In het vorige hoofdstuk

is afgeleid dat ook geldt :

inwuitwvuitw AAenEA −== (4.9)

Hiermee kan vergelijking (4.9) ook in andere gedaanten worden weergegeven :

x

x

inw

x

x

uitw

x

x

v uF

Aenu

F

Aenu

F

E=

∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂ (4.10)

Bij het afleiden van deze wet is gebruik gemaakt van het superpositiebeginsel. Dit betekent

dat een verplaatsing de som is van individuele bijdragen en dat de volgorde van sommeren

niet uitmaakt. Vergelijking (4.2) gaat er tevens van uit dat er een lineaire relatie is tussen

kracht en verplaatsing (invloedsfactoren). De wet is dus alleen toepasbaar op lineaire

systemen waarvoor het superpositiebeginsel geldt.

4.1.1 Toepassingen van de 2e wet van Castigliano

In een aantal voorbeelden zal het werken met de 2e wet van Castigliano worden toegelicht.

Voorbeeld 5 : Statisch bepaalde ligger met een puntlast, 2e wet van Castigliano

Van de in figuur 4.2 weergegeven ligger uit voorbeeld 2 wordt nu met behulp van de 2e wet

van Castigliano de zakking onder de puntlast bepaald.

Figuur 4.2 : Statisch bepaalde ligger

0,5 l 0,5 l

F

wmax

EI



De krachtsverdeling in de ligger is bekend uit voorbeeld 2 waar voor de momentenlijn

gevonden is :

∫ ∫∫ ====

≤≤=

l

o

ll

o

vEI

lFx

EI

xFx

EI

xMx

EI

xME

lxFxxM

2

1

2

1

96d

22d

2

)(2d

2

)(

0)(

32

0

22

4122

21

21

Toepassen van de 2e wet van Castigliano levert nu voor de verplaatsing onder de puntlast :

EI

Fl

EI

Fl

F

Ew v

4896

2

d

d 33

===

Dit antwoord is gelijk aan het eerder gevonden antwoord uit voorbeeld 2.

Voorbeeld 6 : Uitkragende ligger, 2e wet van Castigliano

In figuur 4.3 is een uitkragende ligger getekend.

Figuur 4.3 : Uitkragende ligger met een puntlast

De krachtsverdeling in de ligger is te bepalen met behulp van virtuele arbeid of op basis van

de evenwichtsvergelijkingen. De momentenverdeling langs de liggeras is :

FxFlxM +−=)(

De vervormingsenergie kan nu worden bepaald :

∫ ∫ =+−=+−

==l

ll

vEI

lFxlxxl

EI

Fx

EI

xFlxFlFx

EI

xME

0

32

0

3

3122

2

0

222222

62d

2

2d

2

)(

Toepassen van de 2e wet van Castigliano levert nu voor de verplaatsing onder de puntlast :

EI

Fl

EI

Fl

dF

dEw v

36

2 33

===

Dit antwoord is gelijk aan een bekend vergeet-mij-nietje.

Voorbeeld 7 : Uitkragende ligger met puntlast en koppel

In figuur 4.4. is weer de uitkragende ligger getekend maar nu met een puntlast en een koppel

op het uiteinde.

Figuur 4.4. : Uitkragende ligger met puntlast en koppel

De verplaatsing van het uiteinde is weer te bepalen door de 2e wet van Castigliano toe te

passen.

l

F

w

EI

T ϕ x

l

F

wmax

EI

x



De verplaatsingen die nu bepaald kunnen worden zijn de verticale verplaatsing w en de

hoekverdraaiing ϕ aan het uiteinde van de ligger. Volgens Castigliano geldt immers :

T

E

F

Ew vv

∂

∂=

∂

∂= ϕen

Het zal duidelijk zijn dat alleen een verplaatsing in een bepaalde richting kan worden

gevonden als in de vergelijking van de momentenlijn M(x) de bij die verplaatsing horende

kracht aanwezig is. De vergelijking van de momentenlijn is :

)()( xlFTxM −−−=

Door de 2e wet van Castigliano hierop toe te passen kunnen beide verplaatsingen aan het

uiteinde worden bepaald.

BELANGRIJK GEREEDSCHAP

Algemeen geldt dat voor de toepassing van de 2e wet een differentiaal van een integraal moet

worden bepaald. Voor buiging geldt de onderstaande formule waarbij er gemakshalve van uit

wordt gegaan dat de functie M(x) afhankelijk is van slechts één veranderlijke kracht .

∫==l

v xEI

xM

FF

Ew

0

2

d2

)(

d

d

d

d (4.11)

Eigenlijk is dit een onhandige route, eerst een functie integreren en vervolgens het resultaat

weer differentiëren. We mogen het differentiëren ook onder de integraal brengen.

∫

==

l

v xEI

xM

FF

Ew

0

2

d2

)(

d

d

d

d (4.12)

Door nu de kettingregel toe te passen ontstaat :

∫∫ ×=×=ll

xF

xM

EI

xMx

F

xM

EI

xMw

00

dd

)(d)(d

d

)(d

2

)(2 (4.13)

Voor het oplossen van de verplaatsing volgens Castigliano zal veelvuldig van deze route

gebruik gemaakt worden. Merk op dat dit resultaat veel lijkt op dat van de arbeidsmethode met

eenheidslast van blz 20.

Toepassen van dit recept op het voorbeeld van de uitkragende ligger levert :

{ }

{ }EI

Fl

EI

TlxFxFlT

EIxxlFT

EI

EI

Fl

EI

TlxFxFlxFlTxTl

EIxxlxlFT

EIw

ll

ll

2d

1d)1()(

1

32d2

1d))(()(

1

2

00

32

0

22

0

+=−+=−×−−−=

+=+−+−=−−×−−−=

∫∫

∫∫

ϕ

De rotatie die hierboven gevonden wordt is positief. In werkelijkheid zal de hoekverdraaiing

in een x-z assenstelsel negatief zijn. Ga dit zelf na ! Positief wil in dit verband niets ander

zeggen dan dat de verplaatsing dezelfde richting heeft als de aangebrachte kracht op de plaats

waar de verplaatsing wordt bepaald. In het voorbeeld is het koppel T in het gebruikelijke x-z

assenstelsel negatief van teken! De gevonden uitkomsten voor het liggeruiteinde kunnen ook

in matrixvorm worden gepresenteerd:

=

T

F

EI

l

EI

lEI

l

EI

lw

2

232

23

ϕ

In het liggeruiteinde geldt dat de hoekverdraaiing t.g.v. van een eenheidskracht F gelijk is aan

de zakking t.g.v. een eenheidskoppel T. Dit is geheel in overeenstemming met de eerder

afgeleide wederkerigheidswet van Maxwell. Van deze eigenschap kan gebruik gemaakt

worden bij het bepalen van invloedslijnen.



4.1.2 Dummy belasting

Met de 2e wet van Castigliano kan onder een kracht de verplaatsing worden bepaald. Als

echter de verplaatsing moet worden bepaald op een plaats waar geen belasting aangrijpt moet

er een “list” worden verzonnen. Door een dummy-belasting aan te brengen op de plek waar de

verplaatsing moet worden bepaald kan toch gebruik worden gemaakt van deze methode.

In figuur 4.5 is een eenvoudig probleem gegeven.

Figuur 4.5 : Dummy belasting

Gevraagd wordt om de zakking in punt A te bepalen. Door een dummy-belasting Q in A te

plaatsen kan dit probleem worden opgelost. De momentenlijn voor dit probleem is in figuur

4.6 weergegeven :

Figuur 4.6 : M-lijn inclusief dummy-belasting

De momentenlijn kan met behulp van de volgende twee vergelijkingen worden beschreven :

)()(:

)(:0

21

21

21

lxFxMlxl

FxQxQlFlxMlx

−=≤≤

++−−=≤≤

Op deze uitdrukkingen kan nu de 2e wet van Castigliano worden toegepast.

Toepassen van het in het vorige voorbeeld beproefde recept op de M-lijn levert:

( ) ∫∫∫

×

−+

+−×

++−−=×=

l

l

ll

A xEI

lxFxxl

EI

FxQxQlFlx

Q

xM

EI

xMw

21

21

d0)(

ddd

)(d)(

0

212

1

0

Uitwerken levert:

( ){ }EI

Ql

EI

FlQlFl

EIw

QxQlxxQlxFlFlxFxEI

w

A

l

A

2448

5)(

1

1

333

241

81

813

41

163

241

0

3

312

212

412

212

433

31 2

1

+=+−++−=

+−++−=

Door in dit antwoord voor de dummy-belasting Q de waarde nul in te vullen wordt de

verplaatsing wAB in A t.g.v. de belasting F in B gevonden.

EI

FlwAB

48

5 3

=

Fl21−

QlFl21−−

M-lijn A

x-as

F

l

wA

EI

A ½ l

Q

B

x



Aardig is hier om te vermelden dat dit antwoord ook gevonden kan worden door gebruik te

maken van de wet van Maxwell. Immers de zakking in A t.g.v. een puntlast F in B moet

gelijk zijn aan de zakking in B t.g.v. een puntlast F in A. Dit kan eenvoudig met een vergeet-

mij-nietje worden aangetoond.

Figuur 4.7 : Maxwell toepassen

Toepassen van de vergeet-mij-nietjes levert :

( ) ( )

EI

Fll

EI

lF

EI

lFwBA

48

5

23

3

21

2

2

13

2

1

=×+=

Let op:

Bij het bepalen van de zakking in B eerst de zakking in A bepalen en vervolgens het kwispeleffect

meenemen.

Hieruit blijkt inderdaad dat er geldt :

BAAB ww =

4.1.3 Statisch onbepaalde constructies

Met behulp van de 2e wet van Castigliano is het mogelijk om de krachtsverdeling in een

statisch onbepaalde constructie te bepalen. Dit wordt toegelicht met behulp van het volgende

voorbeeld.

Figuur 4.8 : Statisch onbepaalde ligger

De constructie kan statisch bepaald gemaakt worden door het wegnemen van steunpunt B. De

onbekende oplegreactie (statisch onbepaalde) wordt als belasting op de constructie

aangebracht en als vormveranderingsvoorwaarde wordt geëist dat de zakking in B nul moet

zijn. Hierdoor ontstaat een probleem dat met de 2e wet van Castigliano oplosbaar is. In figuur

4.9 is dit weergegeven.

l

wBA

EI

A ½ l

F B

l l

q

EI A B C



Figuur 4.9 : Statisch bepaald hoofdsysteem

De momentenlijn voor het liggerdeel A-B wordt beschreven door :

xBxlqxxM V21

21 )2()( −−=

Toepassen van de 2e wet van Castigliano voor de verplaatsing in B leidt tot :

∫ ∫ ====l l

v

B xB

xM

EI

xMx

EI

xM

BB

Ew

2

0

2

0 V

2

VV

0dd

)(d)(d

2

)(

d

d

d

d

Het probleem is symmetrisch waardoor slechts geïntegreerd wordt over de halve ligger :

0dd

)(d)(2

0 V

=∫ xB

xM

EI

xMl

Uitwerken hiervan levert :

qlB

qxqlxxBEI

l

45

V

0

4

1613

613

V121 0

2

=

=+−

Met deze oplegreactie kan het steunpuntsmoment in B worden bepaald.

2

812

852

21)( qlqlqllM −=−=

Dit is een bekende oplossing die ook met behulp van de hoekveranderingsvergelijkingen kan

worden verkregen.

4.1.4 Minimale vormveranderingsenergie

In het hier beschreven voorbeeld wordt de oplegreactie in B bepaald met de eis dat de

afgeleide van de vormveranderingsenergie naar de oplegreactie BV nul moet zijn. Dit

impliceert dat de vormveranderingsenergie voor de gevonden waarde voor BV een extreem

moet zijn (minimum of maximum). Aangezien de, door de uitwendige krachten verrichte

l l

q

EI A

BV

C

M t.g.v. q

M t.g.v BV

x

)2()(21 xlqxxM −=

xBxM V21)( −=



arbeid, gelijk moet zijn aan de vormveranderingsenergie geldt dus ook deze arbeid een

extreem heeft voor de gevonden waarde van BV. Het lijkt logisch te veronderstellen dat dit

extreem een minimum is. Een klein onderzoek kan dit aantonen.

De oplegreactie BV wordt nog even onbekend verondersteld en we gaan uit van de momentenlijn voor

het liggerdeel A-B zoals in het vorige voorbeeld is afgeleid :

xBxlqxxM V21

21 )2()( −−=

De door de uitwendige kracht verrichte arbeid moet gelijk zijn aan de vormveranderingsenergie :

( )32

V1214

V24552

152

2

0

2

1

:

d2

)(

lBlqBlqEI

A

levertuitwerken

xEI

xMEA

uitw

l

vuitw

+−=

== ∫

De arbeid heeft een extreem als geldt :

EI

lqEqlBlBql

B

Av

uitw

32000

d

d 52

45

V

3

V614

245

V

=⇒=⇒=+⇒= −

Of dit extreem voor Ev een minimum of een maximum is hangt af van de 2e afgeleide :

EI

l

B

Auitw

6d

d 3

2

V

2

=

Deze waarde is positief, de arbeid is dus minimaal. Hoewel dit geen bewijs is, is wel aannemelijk

gemaakt dat de vormveranderingsvoorwaarde die gesteld wordt in feite een eis is dat de

vormveranderingsenergie minimaal moet zijn. In hoofdstuk 5 wordt hierop teruggekomen.

Hoewel er enig rekenwerk zit in het evalueren van de integralen is feitelijk niet meer kennis

noodzakelijk dan het kunnen opstellen van de momentenlijn voor een statisch bepaalde

constructie. De berekening kan een flink stuk efficiënter worden uitgevoerd door de inzet van

MAPLE. Een voorbeeld van een meervoudig statisch onbepaalde ligger wordt daarom

hieronder uitgewerkt met MAPLE.

Voorbeeld 8 : Doorgaande ligger m.b.v. MAPLE en CASTIGLIANO

De onderstaande ligger is statisch onbepaald. Bepaal de oplegreacties in C,D en E.

Figuur 4.10 : Doorgaande ligger

Als statisch bepaald hoofdsysteem van deze constructie kan gekozen worden voor een ligger

op twee steunpunten. De drie oplegreacties in C, D en E zijn nu de statisch-onbepaalden.

Figuur 4.11 : Statisch bepaald hoofdsysteem

l l

EI

l l

CV DV EV

l l =8,0 m

q = 7 kN/m

EI =10000 kNm2

l l

A B C D E



De belasting van dit statisch bepaalde hoofdsysteem t.g.v. de gelijkmatig verdeelde belasting

en de statisch onbepaalden kunnen in MAPLE worden ingevoerd als één functie door de

puntlasten te modelleren m.b.v. een Dirac-functie. De momentenlijn van het statisch bepaalde

hoofdsysteem volgt dan uit de oplossing van de 2e orde differentiaal vergelijking

[3a] [3b] :

2

2

d( )

d

Mq x

x= − ( 2e

orde D.V. voor het evenwicht van een Euler-Bernoulli ligger)

De randvoorwaarden voor het statisch bepaalde hoofdsysteem zijn zeer eenvoudig; voor x = 0

en x = 4l geldt dat het moment nul moet zijn. Met de bekende M-lijn kunnen vervolgens

m.b.v. de 2e wet van Castigliano de vormveranderingsvoorwaarden worden opgesteld.

V V V

d d d0; 0; 0;

dC dD dE

v v vC D E

E E Ew w w= = = = = =

Hieruit volgen de statisch onbepaalden CV = 64 kN, DV = 52 kN en EV = 64 kN.

> restart;

> q:=qo-Cv*Dirac(L-x)-Dv*Dirac(2*L-x)-Ev*Dirac(3*L-x):

> DV:=diff(M(x),x$2)=-q:

> RV:=M(0)=0, M(4*L)=0:

> dsolve({DV,RV},{M(x)}): M:=rhs(%):

> Evv:=int((M^2)/(2*EI),x=0..4*L):

> eq1:=diff(Evv,Cv)=0:

> eq2:=diff(Evv,Dv)=0:

> eq3:=diff(Evv,Ev)=0:

> sol:=solve({eq1,eq2,eq3},{Cv,Dv,Ev}): assign(sol):

> qo:=7: L:=8: EI:=10000:

> evalf(Cv); evalf(Dv); evalf(Ev);

4.2 1e wet van Castigliano

Bij het afleiden van de 2e wet van Castigliano is gebruik gemaakt van de verrichte arbeid door

een serie puntlasten op een ligger. Daarbij is uitgegaan van de flexibiliteitsrelatie tussen de

verplaatsing en de kracht : Fcu ×= . Er kan echter ook gebruik gemaakt worden van de

stijfheidsrelatie tussen kracht en verplaatsing : ukF ×=

Vergelijking 4.1 voor de door de uitwendige belasting verrichte arbeid wordt als uitgangspunt

genomen.

xxccbbaauitw uFuFuFuFA21

21

21

21 ... ++++= (4.1)

De krachten kunnen worden uitgedrukt in de verplaatsingen door de stijfheidsrelatie toe te

passen :

xxxcxcbxbaxax

xcxcccbcbacac

xbxcbcbbbabab

xaxcacbabaaaa

ukukukukF

ukukukukF

ukukukukF

ukukukukF

++++=

++++=

++++=

++++=

...

...

...

...

(4.2b)

De coëfficiënten kij zijn de stijfheidsfactoren of ook wel de componenten van de

stijfheidsmatrix.

Door de arbeid te differentiëren naar één van de verplaatsingen, b.v. ux ontstaat:

x

x

xx

x

c

c

x

b

b

x

a

a

x

uitw

u

FuF

u

Fu

u

Fu

u

Fu

u

A

∂

∂+++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂21

21

21

21

21 ... (4.3b)

Let op: De laatste term van 4.1 moet met behulp van de productregel herhaald worden gedifferentieerd.

64. 52. 64.



Voor het bepalen van partiële afgeleiden van de krachten Fi naar de verplaatsing ux kan

gebruik worden gemaakt van formule (4.2b) :

xx

x

xxxcxcbxbaxa

x

x

cx

x

xcxcccbcbaca

x

c

bx

x

xbxcbcbbbaba

x

b

ax

x

xaxcacbabaaa

x

a

ku

ukukukuk

u

F

ku

ukukukuk

u

F

ku

ukukukuk

u

F

ku

ukukukuk

u

F

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

=∂

++++∂=

∂

∂

)...(

)...(

)...(

)...(

(4.4b)

Door dit resultaat in (4.3b) in te vullen ontstaat :

xxxxcxcbxbaxa

x

uitw Fkukukukuu

A21

21

21

21

21 ... +++++=

∂

∂ (4.5b)

Volgens Maxwell geldt, zie ook paragraaf 2.5 :

xccx

xbbx

xaax

kk

kk

kk

=

=

=

(4.6b)

Door dit toe te passen kan vergelijking (4.5b) geschreven worden als :

x

xxxxcxcbxbaxa

x

uitw

F

Fukukukuku

A

21

21

21

21

21

21 ... +++++=

∂

∂

(4.7b)

Vergelijking (4.7b) is na vereenvoudiging te schrijven als :

x

x

uitw Fu

A=

∂

∂ (4.8b)

Uiteindelijk blijkt dus door arbeid, verricht door de uitwendige krachten, te differentiëren naar

een verplaatsing dit juist de kracht in de richting van deze verplaatsing op te leveren. Dit is de

1e wet van Castigliano. Een toepassing van de 1

e wet van Castigliano zal pas in het volgende

hoofdstuk worden gegeven.

4.3 Samenvatting van hoofdstuk 4

In dit hoofdstuk is afgeleid dat voor lineair elastische systemen geldt :

(1) uF

Ev =d

d 2

e wet van Castigliano

Waarbij de vormveranderingsenergie Ev uitgedrukt is in termen van F en waarbij u de verplaatsing t.p.v

en in de richting van F voorstelt. Aangetoond is dat toepassen van de 2e wet van Castigliano identiek is

aan het minimaliseren van de vormveranderingsenergie.

(2) Fu

Ev =d

d 1

e wet van Castigliano

In het volgende hoofdstuk zal opnieuw ingegaan worden op deze twee wetten. Dan echter zal

niet langer uitgegaan worden van lineaire systemen. De wetten die dan ontstaan vertonen

grote gelijkenis met hetgeen in dit hoofdstuk aannemelijk is gemaakt.



5 ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN De arbeidswetten van Castigliano zijn in het vorige hoofdstuk aannemelijk gemaakt voor

lineair elastische problemen. In dit hoofdstuk zal een meer algemene formulering worden

geïntroduceerd waarmee gekeken kan worden naar de geldigheid van de eerder afgeleide

arbeidstheorema’s. Daarnaast wordt er ingegaan op benaderingsoplossingen gebaseerd op het

principe van de minimale potentiële energie.

5.1 Energiefunctie

In hoofdstuk 2 is het begrip virtuele arbeid toegelicht. Aangetoond is dat in feite een

evenwichtseis wordt beschreven. Deze kan geschreven worden als :

0=Aδ

Dit houdt in dat indien een constructie een virtuele verplaatsing ondergaat, waarbij het

verplaatsingsveld voldoet aan alle randvoorwaarden, de som van de virtuele arbeid die

verricht wordt door alle krachten die op en in de constructie werken nul moet zijn.

Wiskundig kan dit worden opgevat als een situatie waarbij indien een kleine verstoring

(virtuele verplaatsing) wordt aangebracht een functie-waarde niet varieert. Dat een functie-

waarde niet varieert of verandert houdt in dat de helling van de functie voor een bepaalde

toestand horizontaal moet zijn. Dit noemen we het stationair zijn van de functie. In figuur 5.1

worden een aantal voorbeelden van een dergelijke toestand weergegeven

Figuur 5.1 : Stationaire punten van een functie

De functie waar hier over gesproken wordt is een energie-functie waarvan nog niet precies

duidelijk is wat deze voorstelt. We hebben eerder echter gezien dat arbeid en energie

uitwisselbare grootheden zijn en voeren daarom hier een energie-potentiaal V in. In figuur 5.1

is te zien dat de potentiaal op meerdere plaatsen stationair is. Duidelijk is echter ook dat

alleen in de “dalen” een stationaire situatie optreedt die stabiel is. Aan de hand van het

aangegeven kogeltje wordt geprobeerd duidelijk te maken wat dit inhoudt. Het kogeltje zal

alleen in de “dalen” bij een kleine verstoring terugkeren naar de stabiele evenwichtspositie

terwijl op de “toppen” een situatie ontstaat waarbij bij een kleine verstoring geen statisch

evenwicht meer mogelijk is. In constructies treedt ook een situatie op zoals hierboven is

beschreven.

Uit deze analogie kan worden opgemaakt dat alleen een stationaire, stabiele evenwichts-

situatie ontstaat daar waar de energie-functie een minimumwaarde heeft. Dit betekent :

0d

d0

d

d2

2

>=x

Ven

x

V

Welke componenten zitten er in deze functie V ? Uit de natuurkunde is de behoudswet voor

energie bekend. Deze behoudswet geldt ook voor het belasten van constructies. Een kracht die

arbeid verricht op een constructie onttrekt energie aan zijn omgeving. Deze energie kan

worden omgezet in een beweging, een vervorming of warmteontwikkeling. Volgens de

x

V

evenwichtspositie

kleine verstoring



behoudswet blijft de totale hoeveelheid potentiële en kinetische (bewegings) energie in een

afgesloten systeem constant :

Hier gaan we uit van statisch evenwicht hetgeen betekent dat er geen beweging is en ook niet

ontstaat. Alle massatraagheidskrachten worden in onze evenwichtsvergelijkingen immers niet

meegenomen. Door deze inperking van het probleem gaat de algemene behoudswet over in :

De nog onbekende energiefunctie is dus de potentiële energie. Voor een stabiel evenwicht, zie

figuur 5.1, moet gelden dat de variatie van de potentiële energie gelijk is aan nul. Dit kan

gezien worden als het constant blijven van het energieniveau bij een kleine variatie van de

toestandsvariabelen. Wat deze toestandsvariabelen zijn zal verderop duidelijk worden.

De enige energieuitwisseling die kan plaatsvinden in ons geval, waarbij alleen elastische

constructies worden beschouwd, is de energie die nodig is om een kracht arbeid te laten

verrichten en de energie die opgeslagen wordt bij het elastisch vervormen van het materiaal.

Het gaat daarbij dan om de begrippen potentiële energie van de belasting en de potentiële

energie van de vormverandering. Het begrip potentiële energie van de vormverandering is al

bekend, deze staat ook wel bekend als elastische energie of vormveranderingsenergie. In

paragraaf 3.6 is in tabel 1 hiervan een overzicht gegeven. Het begrip potentiële energie van de

belasting is nieuw en zal in de volgende paragraaf worden toegelicht.

5.1.1 Potentiële energie van de belasting

Uit de natuurkunde is bekend dat een lichaam dat onderhevig is aan bijvoorbeeld de

zwaartekracht potentiële energie bezit. Dit betekent dat een lichaam geplaatst in een veld

(gravitatie-veld) en dat gevoelig is voor de veldkracht (zwaartekracht) in potentie arbeid kan

verrichten. Om arbeid te kunnen verrichten moet er dus een “verborgen” energie aanwezig

zijn. Deze energie wordt potentiële energie genoemd en is gedefinieerd als :

hFmghE ×== gp

In figuur 5.2 is een puntmassa geplaatst in het gravitatie-veld. Voor twee posities in het veld

zijn de niveau’s van de potentiële energie in een staafdiagram weergegeven. De kracht op de

massa blijft constant (veldkracht), het niveau van de potentiële energie is dus alleen

afhankelijk van de plaatshoogte. Het begrip potentiële energie is in feite gelijk te stellen aan

dat van de potentiële energie van plaats. Bij het verplaatsen van het lichaam zal de potentiële

energie van plaats afnemen zoals is weergegeven in figuur 5.2.

Figuur 5.2 : Potentiële energie niveau’s

De arbeid die de veldkracht verricht is positief, immers kracht en geassocieerde verplaatsing

hebben dezelfde richting.

constantEE potkin =+

constantE pot=

Ep

h

Fg=mg

Fg=mg

referentie-vlak

mgh2

mgh1

h

∆h

mgh2

mgh1



De verrichte arbeid kan dus ook worden beschouwd als een afname van de potentiële energie

van plaats :

g pA F h E= × ∆ = ∆

Het zal duidelijk zijn dat in deze beschouwing alleen het verschil in energieniveau van belang

is. Het niveau van de potentiële energie zelf doet er niet toe. Deze is afhankelijk van de keuze

van het referentie-vlak zoals is weergegeven in figuur 5.2.

Deze beschouwing geldt niet alleen voor het hier afgebeelde voorbeeld maar algemeen voor

conservatieve krachten. Een conservatieve kracht is een kracht waarbij de verrichte arbeid

onafhankelijk is van de afgelegde weg maar slechts afhankelijk is van begin en eindpunt. In

figuur 5.3 wordt dit verduidelijkt.

Figuur 5.3 : Conservatieve krachten

De (veld)kracht heeft steeds dezelfde richting, de arbeid is dus alleen afhankelijk van de

projectie van A-B op de krachtvector (geassocieerde verplaatsing). Vergelijk dit maar met

figuur 5.2 waar de kracht werd veroorzaakt door het gravitatieveld. Krachten zoals in figuur

5.3 hebben dus ook potentiële energie van plaats.

5.1.2 Minimale potentiële energie

De potentiële energiefunctie die we zoeken bestaat dus uit een component die gevormd wordt

door de vervormingsenergie en een component ten gevolge van de afname van de potentiële

energie van plaats en kan gedefinieerd worden als :

pv EEV ∆−=

De eis dat deze stationair moet zijn voor kleine variaties in de toestandsvariabelen wordt aan

de hand van een voorbeeld toegelicht m.b.v een kracht en een veer in een systeem.

Voorbeeld 9 : De ingedrukte lineair-elastische veer

Figuur 5.4 : Voorbeeld met behulp van potentiële energie

De potentiële energie kan worden opgesteld met de vormveranderingsenergie en de potentiële

energie van plaats . Zowel de vormveranderingsenergie als de potentiële energie van plaats

worden per definitie op nul gesteld voor de onvervormde toestand (situatie 0). Dat de veer iets

met de kracht te maken heeft is hier nog niet relevant. De totale potentiële energie voor

situatie 1 kan worden beschreven in termen van de verplaatsing u met :

uFukEEV ×−××=∆−= 2

21

pv

A

B F

F ∆h

De stippellijnen geven de relatieve potentiële energie

niveau’s weer van de belasting in A en B. De arbeid is

alleen afhankelijk van de geassocieerde afstand tussen A

en B, aangegeven met ∆h.

u

F

Situatie 0 Situatie 1

F kracht

veerkarakteristiek

u

F

indrukking

F

Situatie 2



De eis dat deze functie stationair is voor een kleine variatie in u betekent :

minimum) is 0 (d

d0

d

d2

2

>==−×= ku

VenFuk

u

V

Hieruit volgt de evenwichtsvoorwaarde voor situatie 2 waarbij veer en kracht met elkaar in

relatie worden gebracht:

ukF ×=

De potentiële energie krijgt hiermee een minimale waarde van:

2

21 kuV −=

Het blijkt dat dit minimum een negatieve waarde heeft. De toestandsvariabele was in dit

geval een verplaatsingsparameter.

5.1.3 Generalisatie van het begrip minimale potentiële energie

Met voorbeeld 9 is gedemonstreerd hoe met behulp van een energie-functie de

evenwichtsvoorwaarde kan worden gevonden. Het zal duidelijk zijn dat het verplaatsingsveld

niet hoeft te bestaan uit slechts één parameter. Algemeen geldt, dat de variatie (aangegeven

met δ) van de potentiële energie nul moet zijn voor kleine variaties in de parameters ui die het

verplaatsingsveld beschrijven. De variatie van de potentiële energie kan geschreven worden

als :

n

n

uu

Vu

u

VV δδδ

∂

∂++

∂

∂= …1

1

De eis dat deze variatie nul moet zijn voor iedere toelaatbare variatie δui van de parameters ui

levert :

0,,,01

=∂

∂=

∂

∂

nu

V

u

V……

Dit houdt in dat de partiële afgeleiden van de potentiële energie naar de

verplaatsingsparameters ui (toestandsvariabelen) gelijk moet zijn aan nul.

5.1.4 Geldigheid

Het begrip minimale potentiële energie gaat ervan uit dat energie uitwisselbaar is. Dat kan

alleen als de energie die in een constructie wordt opgeslagen tijdens belasten weer geheel vrij

kan komen tijdens ontlasten. Alleen elastische materialen beschikken over deze eigenschap en

dus geldt het principe van minimale potentiële energie alleen voor elastische constructies.

Let op:

Het is hier van belang op te merken dat er geen eis wordt gesteld dat de materialen zich lineair moeten

gedragen.

5.1.5 Relatie met de wetten van Castigliano

In het vorige hoofdstuk zijn de 1e en 2

e wetten van Castigliano afgeleid waarbij uitgegaan

werd van lineair elastisch materiaalgedrag. Met behulp van het principe van minimale

potentiële energie kunnen deze wetten ook worden gevonden. Aan de hand van de constructie

van figuur 5.5 zal dit worden toegelicht.

Figuur 5.5 : Vervormde constructie met verplaatsingsveld

ua ux

Fa Fx Fb

ub

Fc

uc



In deze figuur is een belaste constructie weergegeven waarvan het verplaatsingsveld wordt

beschreven met een aantal verplaatsingsparameters ui.

De totale potentiële energie is de som van de potentiële energie van de vervorming en die van

de belasting. De vormveranderingsenergie is te schrijven als een functie van de

verplaatsingparameters:

( )xba uuufE ,,,v …=

De potentiële energie van plaats kan worden beschreven met:

xxbbaa uFuFuFE −−−−= …p

Zodat voor de totale potentiële energie wordt gevonden:

( ) xxbbaaxba uFuFuFuuufEEV −−−−=+= ……,,,pv

Stationair zijn van deze energie levert:

0=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂= x

x

b

b

a

a

uu

Vu

u

Vu

u

VV δδδδ …

Invullen van de uitdrukking voor de totale potentiële energie levert :

( ) ( ) ( )

0

0

vvv

vvv

=

−

∂

∂++

−

∂

∂+

−

∂

∂=

=∂

−∂++

∂

−∂+

∂

−∂=

xx

x

bb

b

aa

a

x

x

xx

b

b

bb

a

a

aa

uFu

EuF

u

EuF

u

EV

uu

uFEu

u

uFEu

u

uFEV

δδδδ

δδδδ

…

…

Als steeds één verplaatsingsparameter wordt gevarieerd en alle anderen gelijk aan nul worden

gesteld dan wordt gevonden voor b.v. Fx:

0v =−∂

∂x

x

Fu

E

Hierin wordt de eerder afgeleide 1e wet van Castigliano herkend. Het verschil met de eerdere

afleiding is dat hier geen gebruik is gemaakt van het lineair zijn van de constitutieve

vergelijking. Elastisch materiaalgedrag is dus de enige eis die gesteld wordt aan de

geldigheid.

In paragraaf 3.6 hebben we gezien dan in plaats van vormveranderingsenergie er ook gewerkt

kan worden met complementaire energie. Deze complementaire energie heeft nauwelijks een

fysische betekenis. In figuur 5.6 is de definitie van de complementaire energie voor een veer

met een niet-lineair elastische veerkarakteristiek weergegeven.

Figuur 5.6 : Vervormingsenergie en complementaire energie

Uit de figuur wordt duidelijk dat moet gelden :

uFEE ×=+ vc

Dit geldt uiteraard ook voor constructies met meerdere krachten zoals die van figuur 5.5. We

mogen voor de constructie van figuur 5.5 dus ook een complementaire energie functie

invoeren die we afhankelijk maken van de op de constructie aangebrachte belasting:

∫=u

uNE0

v d ∫=N

NuE0

c d

u

N

u

F



( )xba FFFgE .,,c …=

Volgens de definitie van de complementaire energie is deze in dit geval gelijk aan:

vxxbbaa EuFuFuFE −+++= …c

Deze uitdrukking lijkt wel heel erg veel op die van de totale potentiële energie! Verschil nu is

echter dat niet de verplaatsingen de veranderende parameters zijn maar de krachten. Door de

complementaire energie te differentiëren naar bijvoorbeeld de belasting Fx ontstaat:

xx

x

xx

x

x

x

b

bb

x

b

x

a

aa

x

a

x F

E

F

uFu

F

F

F

uFu

F

F

F

uFu

F

F

F

E

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ vc…

De belastingen zijn onafhankelijk van elkaar waardoor de bovenstaande uitdrukking kan

worden vereenvoudigd tot :

x

x

x

x

x

x

b

b

x

a

a

x F

Eu

F

uF

F

uF

F

uF

F

E

∂

∂−+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ vc…

De laatste term in deze uitdrukking kan herschreven worden als:

x

x

xx

b

bx

a

ax F

u

u

E

F

u

u

E

F

u

u

E

F

E

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ vvvv…

Hiermee ontstaat:

x

x

x

x

x

b

b

b

x

a

a

ax

x

x

x

xx

b

bx

a

a

x

x

x

x

x

b

b

x

a

a

x

F

u

u

EF

F

u

u

EF

F

u

u

EFu

F

E

F

u

u

E

F

u

u

E

F

u

u

Eu

F

uF

F

uF

F

uF

F

E

∂

∂

∂

∂−++

∂

∂

∂

∂−+

∂

∂

∂

∂−+=

∂

∂

∂

∂

∂

∂−−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

vvvc

vvvc

…

……

Volgens de 1e wet van Castigliano geldt echter:

000 vvvvvv =∂

∂−⇒=

∂

∂=

∂

∂−⇒=

∂

∂=

∂

∂−⇒=

∂

∂

x

xx

xb

bb

ba

aa

a u

EFF

u

E

u

EFF

u

E

u

EFF

u

E

Door dit te verwerken ontstaat:

x

x

uF

E=

∂

∂ c

Deze laatste uitdrukking staat bekend als de stelling van Grotti en Engesser.

Conclusie:

1e stelling Cotterill – Castigliano (1873)

Als de vormveranderingsenergie is beschreven in de verplaatsingen behorende bij (uitwendige) krachten

dan is de partiële afgeleide van de vervormingsenergie naar de één van deze verplaatsingen gelijk aan

de bijbehorende (uitwendige) kracht. Aan deze wet zijn de namen van Castigliano en Cotterill

verbonden.

2e stelling Grotti (1878) – Engesser (1889) – Castigliano (1873)

Als de complementaire energie is beschreven in de (uitwendige) krachten behorende bij verplaatsingen

dan is de partiële afgeleide van de complementaire energie naar de één van deze (uitwendige) krachten

gelijk aan de bijbehorende verplaatsing. Aan deze wet zijn de namen van Grotti en Engesser verbonden

terwijl Castigliano deze wet gedeeltelijk vond voor alleen lineair elastische systemen.

Wetten van Castigliano

Voor lineair elastische systemen hebben we reeds in paragraaf 3.6 gezien dat de vervormingsenergie

gelijk moet zijn aan de complementaire energie. De beide wetten die dan ontstaan kunnen dan in de

gedaante worden geschreven zoals ook in hoofdstuk 4 is afgeleid en staan bekend als de wetten van

Castigliano :

i

i

i

i

Fu

Eu

F

E=

∂

∂=

∂

∂ vv



5.1.6 Relatie tussen de virtuele arbeidsvergelijking en het principe van minimum

potentiële energie*

In paragraaf 3.9 is de virtuele arbeidsvergelijking voor vervormbare lichamen geïntroduceerd.

Voor bijvoorbeeld een constructie op buiging en extensie geldt voor de virtuele

arbeidsvergelijking:

0dd00

=+−−= ∫∫ uitw

ll

AxNxMA δδεδκδ

Met de door aanwezige (uitwendige) krachten en koppels geleverde virtuele arbeid ontstaat:

0dd00

=++−−= ∑∑∫∫ iiii

ll

TuFxNxMA δϕδδεδκδ

Deze toestandsvergelijking kan ook worden verkregen met behulp van het principe van

minimum potentiële energie. De totale potentiële energie bestaat uit een bijdrage van de

vervormingsenergie en de potentiële energie van de belasting. Ga zelf na met behulp van de

tot nu gepresenteerde theorie dat voor de totale potentiële energie geschreven kan worden:

∑∑∫ ∫∫ −−

+= iiii

l

TuFxNMV ϕεκεκ

0 00

ddd

Stationair zijn van de potentiële energie houdt in dat voor kleine variaties in de verplaatsingen

(en de vervormingen) de waarde van V niet verandert:

( ) 0d

0

0

=−−+=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∑∑∫

∑∑

iiii

l

i

i

i

i

TuFxNMV

Vu

u

VVVV

κδδεδκδ

δϕϕ

δδεε

δκκ

δ

Dit is op het teken na dezelfde uitdrukking als die voor de virtuele arbeidsvergelijking. Geheel

identiek zijn de beide uitdrukkingen echter niet. De virtuele arbeidsvergelijking is

onafhankelijk van het materiaalgedrag. Het principe van minimum potentiële energie gaat

echter uit van een elastisch materiaalgedrag. Voor een verdergaande vergelijking wordt

verwezen naar [2]

.



5.2 Benaderingsoplossingen

Met het principe van minimum potentiële energie is het mogelijk om oplossingen te vinden

voor de krachtsverdeling in de constructie waarbij bijvoorbeeld uitgegaan wordt van een

aangenomen verplaatsingsveld. Als het aangenomen verplaatsingsveld het correcte

verplaatsingsveld is wordt de exacte oplossing gevonden, als het aangenomen

verplaatsingsveld een benadering is dan wordt uiteraard een benadering van de oplossing

gevonden. Aan de hand van twee eenvoudige voorbeelden worden de beide situaties

behandeld.

5.2.1 Constructies op extensie

In het onderstaande voorbeeld wordt een verplaatsingsveld aangenomen voor een constructie

die op trek wordt belast. Met behulp van dit aangenomen verplaatsingsveld zal op basis van

het principe van minimum potentiële energie de oplossing worden bepaald.

Voorbeeld 10 : Constructie op trek met een aangenomen verplaatsingsveld

De constructie van figuur 5.7 bestaat uit een oneindig stijve balk die is opgehangen aan drie

stalen draden met elk een rekstijfheid k.

Figuur 5.7 : Opgehangen constructie

Om een oplossing te vinden wordt het verplaatsingsveld aangenomen dat is aangegeven in

figuur 5.8.

Figuur 5.8 : Aangenomen verplaatsingsveld

Dit verplaatsingsveld kan worden beschreven met twee parameters u1 en u3. De oplossing kan

gevonden worden door het opstellen van de vergelijking van de potentiële energie en deze te

minimaliseren. De vergelijking voor de potentiële energie luidt:

( ) ( ))()2( 31212

3212

3131

212

121 uuFkuuukkuV +×−+++=

Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd tot :

( )31212

31813

311842

11810 uuFkuukukuV +−++=

Het stationair zijn van V voor iedere mogelijke variatie van de verplaatsingsparameters houdt

in:

03

3

1

1

=∂

∂+

∂

∂= u

u

Vu

u

VV δδδ

k k k

4a 2a

F u1 u2 u3

)2(

46

3131

2

3112

uuu

aa

uuuu

+=

×

−−=

k k k

4a 2a

F

a



Deze variatie is alleen nul als de beide partiële afgeleiden nul zijn:

0

0

3

1

=∂

∂

=∂

∂

u

V

u

V

Het uitwerken van deze eis levert de volgende twee vergelijkingen:

0

0

21

31826

1184

21

3184

11820

=−+

=−+

Fkuku

Fkuku

Hieruit volgt:

1118

3 uu =

Dit resultaat invullen in een van de twee vergelijkingen levert:

k

Fu

k

Fu

k

Fu

288

3289

22811

1 ===

Dit antwoord is het exacte antwoord aangezien het aangenomen verplaatsingsveld het exacte

verplaatsingsveld is. Door de starre ligger kan er in feite geen ander verplaatsingsveld

ontstaan. Het stationair zijn van de potentiële energie levert twee vergelijkingen. Het lineaire

verplaatsingsveld levert de derde vergelijking waarmee de drie onbekende verplaatsingen uit

te drukken zijn in de belasting.

Dit resultaat kan ook verkregen worden met behulp van de evenwichtsvergelijkingen en één

vervormingseis. De constructie is immers enkelvoudig statisch onbepaald. De krachtsverdeling is alleen

te bepalen op basis van evenwichtsvoorwaarden en een vormveranderingsvoorwaarde. In figuur 5.9

wordt dit voor de aardigheid nog eens gedemonstreerd.

Figuur 5.9 : Klassieke oplosmethode

De krachten in de draden zijn aangegeven met F1, F2 en F3. Om de verplaatsingen te vinden kan gebruik

gemaakt worden van twee evenwichtsvergelijkingen; som van de verticale krachten is nul en de som

van de momenten om een punt is nul. Er zijn geen horizontale krachten aanwezig en een

evenwichtsvoorwaarde voor die richting is dus zinloos. Uiteraard kan weer gebruik gemaakt worden

van de vervormingseis voor de tweede veer in verband met de oneindig stijve balk. Het stelsel

vergelijking dat zodoende verkregen kan worden is :

)2(

033

3131

2

321

321

uuu

akuakuaku

Fkukuku

+=

=×−×−×

=++

Dit stelsel kan in matrixvorm worden geschreven en vervolgens worden opgelost.

k k k

4a 2a

F u1 u2 u3

F

F1

F2 F3



=

−

−−

0

0

231

313

111

3

2

1 kF

u

u

u

Hieruit volgt:

k

Fu

k

Fu

k

Fu

288

3289

22811

1 ===

5.2.2 Constructies op buiging

In het onderstaande voorbeeld wordt een verplaatsingsveld aangenomen voor een constructie

die op buiging wordt belast. Met behulp van dit aangenomen verplaatsingsveld zal op basis

van het principe van minimum potentiële energie de oplossing worden benaderd.

Voorbeeld 11 : Buigingsprobleem met een aangenomen verplaatsingsveld

In figuur 5.10 is een ligger op twee steunpunten gegeven, belast door een puntlast waarbij een

verplaatsingsveld is aangenomen. Dit verplaatsingsveld is een kinematisch toelaatbaar

verplaatsingsveld, hetgeen wil zeggen dat de verplaatsingen voldoen aan de (geometrische)

randvoorwaarden (b.v. verplaatsing en hoekverdraaiing) en vervormingsvrijheden van de

constructie. Met dit laatste wordt bijvoorbeeld bedoeld dat er een logisch verplaatsingveld

wordt gekozen waar b.v. geen sprongen of andere discontinuïteiten zitten. In principe hoeft er

niet aan de dynamische randvoorwaarden te worden voldaan. Hierbij kunnen we denken aan

bijvoorbeeld een moment dat bij een oplegging nul is. Het gekozen verplaatsingveld hoeft dan

niet te voldoen aan de eis dat de 2e afgeleide van de verplaatsingsfunctie daar ook nul moet

zijn.

Figuur 5.10 : Buiging met een aangenomen verplaatsingsveld

De potentiële energie voor dit probleem bestaat uit een bijdrage van de vervormingsenergie en

de potentiële energie van plaats. Met het aangenomen verplaatsingveld ondergaat de puntlast

een zakking ter grootte van a. De totale potentiële energie wordt hiermee, zie ook tabel 1 van

paragraaf 3.6 :

FaxEIEEV

l

−=∆−= ∫0

2

21

pv dκ

Met behulp van de basiskennis van de Toegepaste Mechanica is bekend dat de kromming kan

worden bepaald uit het verplaatsingsveld met behulp van de kinematische relatie :

"d

d2

2

wx

w−=−=κ

Met het aangenomen verplaatsingsveld kan nu de vergelijking voor de potentiële energie

worden opgesteld.

F

l

=

l

xaw

πsin



Fal

EIaV

Fall

EIaFax

l

x

l

EIaV

Faxl

x

l

EIaFaxwEIV

l

ll

−=

−×=−

−=

−

=−=

∫

∫∫

3

24

21

4

24

21

0

4

24

21

0

2

4

24

21

0

2

21

4

d2

cos2

1

2

1

dsind"

π

πππ

ππ

Volgens het principe van minimale potentiële energie moet gelden:

( ) EI

FlV

EI

Fl

EI

FlawF

l

EIa

a

Vmidden

409,97705,482/0

2d

d 33

4

3

3

4

−====⇒=−=π

π

Deze oplossing komt heel erg dicht in de buurt van de exacte oplossing. Ga dit zelf na!

Met behulp van de gevonden zakking kan nu ook het momentenverloop worden bepaald:

=

=

=−==

l

xFl

l

xFl

l

x

l

EIaEIwEIxM

ππ

π

ππκ sin202,0sin

2sin")(

22

2

De vorm van deze momentenlijn is uiteraard niet correct. We verwachten immers een lineair

verlopend moment met een maximum van 0,25Fl t.p.v. de puntlast. Merk ook op dat het

moment onder de puntlast minder goed wordt benaderd dan de verplaatsing t.p.v. de puntlast.

Dit is een logisch gevolg van het feit dat het moment een hogere afgeleide is van een geschat

verplaatsingsveld. Het mag duidelijk zijn dat indien een functiebenadering tweemaal wordt

gedifferentieerd grote afwijkingen kunnen ontstaan. Hiermee is een belangrijk aspect van

benaderingsmethoden geïntroduceerd. Vergelijk zelf maar eens de dwarskrachtverdeling !

Een andere mogelijke schatting voor het verplaatsingveld die aan de kinematische

randvoorwaarden voldoet is bijvoorbeeld het volgende polynoom:

)()()()( 432 xldxxlcxxlbxxlaxw −+−+−+−=

De vergelijking die hier gekozen is bevat niet minder dan 4 parameters! De functie

voldoet aan de geometrische eis dat de zakking links en rechts bij de opleggingen nul

moet zijn. De verplaatsing in het midden van de ligger wordt met dit

verplaatsingsveld:

321684

5432dlclblal

wmidden +++=

De vergelijking voor de potentiële energie wordt hiermee:

midden

l

wFxwEIV ×−= ∫ d"0

2

21

Dat de potentiële energie stationair moet zijn voor kleine veranderingen van het

verplaatsingsveld leidt tot de eis dat moet gelden:

;0;0;0;0 =∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

d

V

c

V

b

V

a

V

Uitwerking hiervan wordt aan de lezer overgelaten. Met behulp van MAPLE of DERIVE

zijn de berekeningen snel uit te voeren. De maximale zakking die hiermee wordt

gevonden en het niveau van de potentiële energie zijn (zie bijlage C):

EI

Flwmidden

762,48

3

= EI

lFV

523,97

32

−=

De benadering m.b.v. het polynoom met 4 parameters is niet veel beter dan de

schatting m.b.v. de sinusfunctie welke beschreven wordt met één parameter. Hiermee

wordt gedemonstreerd dat de nauwkeurigheid niet noodzakelijk verbetert door meer

parameters in te voeren. Minstens zo belangrijk is dat de vorm van de uitbuiging zo

dicht mogelijk bij de exacte vorm ligt.



Het ligt daarom meer voor de hand om de benaderingen zo veel mogelijk te zoeken in

functies met maar één parameter, bijvoorbeeld:

−

−=

+−=

)5,0cosh(5,0

cosh

2 433

ll

lxaw

axalxxalw

Voor een vergelijking met de exacte uitkomst wordt hier eerst de potentiële energie

van de exacte oplossing bepaald. Ga zelf na dat hiervoor de vormveranderingsenergie

en de exacte zakking t.p.v. de puntlast noodzakelijke gegevens zijn:

EIlF

wFEIlF

V

EI

FlwEI

lFE

midden

middenv

9696

48963232

332

−=×−=

==

Als we de gevonden uitkomsten vergelijken levert dat het volgende beeld:

uitbuiginsvorm parameter(s) V / Vexact

exact n.v.t. 1,0

=

l

xaw

πsin

( )EI

Fla

2/4

3

π=

0,9855

)()(

)()(

43

2

xldxxlcx

xlbxxlaxw

−+−

+−+−=

0;128

10

;128

10;

16

=×

−=

==

dlEI

Fc

EI

Fb

EI

Fla

0,9844

433 2 axalxxalw +−=

EI

Fla

70454,48

3

= 0,9766

−

−= )5,0cosh(

5,0cosh l

l

lxaw

EI

Fla

52178,8

3

−= 0,7189

De exacte oplossing geeft inderdaad het meest negatieve (laagste) niveau voor de

potentiële energie.

Samenvatting

Met eenvoudige functies kan een verplaatsingveld worden benaderd. Meestal zal een functie

met één parameter goed voldoen. Essentieel is dat de functies voldoen aan de kinematische

randvoorwaarden. Bij een inklemming bijvoorbeeld zal wel moeten zijn voldaan aan de eis

dat de eerste afgeleide nul is. Omgekeerd hoeft bij een vrije oplegging niet noodzakelijkerwijs

te worden voldaan aan de dynamische randvoorwaarde M=0 (dus kromming is nul!).

In de vorm zoals de benadering hier is gepresenteerd spreken we van een benadering van het

verplaatsingsveld. Deze aanpak wordt ook toegepast in de eindige elementenmethode waarbij

voor ieder element een verplaatsingveld wordt aangenomen, veelal gebaseerd op de mogelijke

verplaatsingen in de knopen van het element. Bij de EEM wordt het op te lossen stelsel niet

bepaald met behulp van het principe van minimale potentiële energie maar wordt gewerkt

volgens de (bijna indentieke formulering) voor de virtuele arbeid.

Naast het benaderen van het verplaatsingsveld kan er ook gewerkt worden met benaderingen

van de krachtsverdeling of zelfs gemengde vormen. Er is op dit gebied veel goede literatuur

voorhanden waarna graag wordt verwezen [10, 11].



6 LITERATUURVERWIJZINGEN [1] Bouma A.J., “Arbeid en energie, college b13”, college diktaat TH-Delft, 1978

[2] Blaauwendraad J., “Elasticiteitstheorie deel I”, college diktaat TU-Delft, 1986

[3a] Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Engineering Mechanics, Vol 1”, Springer, ISBN 978-1-402-04120-9

Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Engineering Mechanics, Vol 2”, Springer, ISBN 978-1-4020-4123-5

Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Toegepaste Mechanica, deel 3”, Academic, ISBN 9-789039-505953

[3b] Welleman J.W., “Basisboek Toegepaste Mechanica”, ThiemeMeulenhoff, ISBN 900695001-7, 2003

[4] Hartsuijker C.,”Aantekeningen arbeid en energie”, 1994

[5] Hartog den J.P., “Sterkteleer”, Prisma-Technica, 1949

[6] Asplund S.O., “Structural Mechanics, classical and matrix methods”, Prentice-Hall, 1966

[7] Thompson F. and G.G. Haywood, “Structural Analysis using virtual work”, Chapman and Hall,

ISBN 0412222906, 1986

[8] El Naschie M.S., “Stress, stability and chaos in structural engineering : an energy approach”,

McGraw-Hill, ISBN 007707310-X, 1990.

[9] McCormac J.C., “Structural Analysis”, Harper and Row, ISBN 006044342, 1984

[10] Blaauwendraad J. en A.W.M. Kok, “Elementenmethode voor constructeurs”, Agon Elsevier,

ISBN 9010104397, 1973

[11] Bathe K.J., “Finite Element Procedures in Engineering Analysis”,

Prentice Hall, ISBN 0-13-317305-4, 1982

[12] Nijhuis W, “De verplaatsingsmethode”, blz 175, Agon Elsevier, ISBN9010104311, 1973

[13] Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “ ConstructieMechanica 4, Module Niet-symmetrische en

inhomogene doorsneden”, college-dictaat Civiele Techniek , november 2007.



7 BIJLAGEN

A: Afschuifstijfheid van liggerdoorsneden

Voor het bepalen van de afschuifstijfheid k van willekeurige doorsneden in een staafmodel zal

de afschuifstijfheid GA van de doorsnede moeten worden gecorrigeerd. Immers in het discrete

doorsnede model zal voor iedere vezel dezelfde afschuifvervorming γ1 gelden ten gevolge van

een dwarskracht D. Dit is in figuur 1 afgebeeld.

Figuur 1 : discreet doorsnede model

In werkelijkheid is dat niet zo, op basis van de schuifspanningsverdeling over de hoogte van

de doorsnede zal in iedere vezel een andere afschuifvervorming willen optreden, zie hiervoor

figuur 2.

Figuur 2 : Vezelmodel

Voor een vezel op afstand z van de neutrale lijn geldt:

G

zz

)()(

τγ =

Om toch met het discrete doorsnede model te kunnen werken zal de vormveranderingsenergie

van beide modellen gelijk moeten zijn. Voor een liggermootje met een lengte dx geldt:

Discrete doorsnede model

1121

21 :metdd γγ ×=×=×= kDxDwDEvv

D

x

z

y

γ1 dw

dx D



Vezelmodel

∫=

−==

2

2

dd2

2h

h

z

zvv zxb

GE

τ

Door gelijkstellen kan de afschuifstijfheid k van het discrete systeem worden bepaald.

Het schuifspanningsverloop voor b.v. de rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h is

eenvoudig af te leiden. Dit parabolisch verloop kan worden beschreven met :

3

22

)( 46

)(bh

zh

D

Ib

SDz

zz

a

z

−××

=×

×=τ

Hierin is )(a

zS het statisch moment van het afschuivende deel. Deze is een functie van z. Zie

hiervoor de basismechanica boeken [3a][3b]

.

Gelijkstellen van de vormveranderingsenergie van beide systemen levert:

2,1:met6

5

:met5

6

5

6

d4

6

dd2

d

ddd2

11

1

2

3

22

1212

121

2

2

2

2

2

2

2

===

×===

×=

−××

×=

×=

∫

∫

∫

=

−=

=

−=

=

−=

ηη

γγ

γ

γτ

γτ

GAGAk

kDGA

D

Gbh

D

Dzbh

zh

D

G

b

xDzG

xb

xDzxbG

h

h

h

h

h

h

z

z

z

z

z

z

Ook voor andere doorsneden kan op soortgelijke wijze de afschuifstijfheid worden bepaald.

Voor een willekeurige doorsnede moet even worden opgepast want de formule voor het

bepalen van de schuifspanning is alleen geldig voor doorsneden waarbij de z-as samenvalt

met de hoofdas van het profiel. Voor een bepaling van de schuifspanningen in een assenstelsel

dat niet samenvalt met de hoofdassen wordt verwezen naar het TU-dictaat CT3109 [13]

.



B: Virtuele arbeidsvergelijking voor een vervormbaar lichaam

Bron : ir C. Hartsuijker [4]

ir C. Hartsuijker



ir C. Hartsuijker



C: MAPLE berekening m.b.v. potentiële energie

Voor de hieronder weergegeven ligger is een kinematisch toelaatbaar verplaatsingsveld

aangenomen.

Het functievoorschrift van deze continue functie is:

)()()()( 432 xldxxlcxxlbxxlaxw −+−+−+−=

Op basis van het beginsel van minimum potentiële energie is met MAPLE de benadering van

het verplaatsingsveld bepaald. De in rood aangegeven tekst is invoer, de blauwe tekst is het

MAPLE resultaat. Zwarte tekst is commentaar ter verduidelijking.

> restart;

Potentiële energie van een ligger op twee steunpunten belast met een F-last en een

aangenomen verplaatsing die kinematisch toelaatbaar is.

- bepaal de coëfficiënten van het aangenomen verplaatsingsveld m.b.v. minimum

potentiële energie

- bepaal de verrichte arbeid door de uitwendige belasting en de vervormingsenergie

> w:=a*x*(l-x)+b*x^2*(l-x)+c*x^3*(l-x)+d*x^4*(l-x);

:= w + + + a x ( ) − l x b x2 ( ) − l x c x3 ( ) − l x d x4 ( ) − l x

> x:=0.5*l; wF:=w; := x .5 l

:= wF + + + .25 a l2 .125 b l3 .0625 c l4 .03125 d l5

> x:='x'; := x x

> kappa := -diff(diff(w,x),x); M:=EI*kappa;

:= κ − + − + − + 2 a 2 b ( ) − l x 4 b x 6 c x ( ) − l x 6 c x2 12 d x2 ( ) − l x 8 d x3

:= M EI ( ) − + − + − + 2 a 2 b ( ) − l x 4 b x 6 c x ( ) − l x 6 c x2 12 d x2 ( ) − l x 8 d x3

Bepaal de potentiële energie:

> V:=int((0.5*EI*kappa^2),x=0..l)-F*wF;

0,5 l 0,5 l

F

wF

EI



V 28.57142857 EI d2 l7 3.333333333 EI ( ) − 12. c 12. d l d l6 + :=

.1000000000 EI ( ) + 40. ( ) − 6. b 6. c l d ( ) − 12. c 12. d l 2 l5 +

.1250000000 EI ( ) + 40. ( ) − 2. a 2. b l d 2. ( ) − 6. b 6. c l ( ) − 12. c 12. d l l4 +

.1666666667 EI ( ) + 2. ( ) − 2. a 2. b l ( ) − 12. c 12. d l ( ) − 6. b 6. c l 2 l3 +

.5000000000 EI ( ) − 2. a 2. b l ( ) − 6. b 6. c l l2 .5000000000 EI ( ) − 2. a 2. b l 2 l + +

F ( ) + + + .25 a l2 .125 b l3 .0625 c l4 .03125 d l5 −

> eq1:=diff(V,a)=0;

eq1 10.00000000 EI d l4 .1666666667 EI ( ) − 48. c 48. d l l3 + :=

1.000000000 EI ( ) − 6. b 6. c l l2 2.000000000 EI ( ) − 2. a 2. b l l .25 F l2 + + − 0 =

> eq2:=diff(V,b)=0;

eq2 24.00000000 EI d l5 .1250000000 EI ( )− + 224. d l 144. c l4 + :=

.1666666667 EI ( )− + − 4. l ( ) − 12. c 12. d l 72. b 72. c l l3 +

1.000000000 EI l3 ( ) − 6. b 6. c l 1.000000000 EI ( ) − 2. a 2. b l l2 .125 F l3 − + − =

0

> eq3:=diff(V,c)=0;

eq3 40.00000000 EI d l6 .1000000000 EI ( )− + 528. d l 288. c l5 + :=

.1250000000 EI ( )− + − 12. l ( ) − 12. c 12. d l 144. b 144. c l l4 +

.1666666667 EI ( ) − − 48. a 48. b l 12. ( ) − 6. b 6. c l l l3 +

3.000000000 EI ( ) − 2. a 2. b l l3 .0625 F l4 − − 0 =

> eq4:=diff(V,d)=0;

eq4 17.14285714 EI l7 d 3.333333333 EI ( ) − 12. c 12. d l l6 + :=

.1000000000 EI ( ) − − 240. b 240. c l 24. l ( ) − 12. c 12. d l l5 +

.1250000000 EI ( ) − − 80. a 80. b l 24. ( ) − 6. b 6. c l l l4 +

4.000000001 EI ( ) − 2. a 2. b l l4 .03125 F l5 − − 0 =

> solution:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4},{a,b,c,d});

solution = d −.8356248611 10-8 F

EI l2 = c −.07812498634

F

EI l, ,{ :=

= b .07812499451F

EI = a .06250000012

F l

EI, }

> assign(solution);

> print(w);

.06250000012F l x ( ) − l x

EI

.07812499451 F x2 ( ) − l x

EI

.07812498634 F x3 ( ) − l x

EI l + −

.8356248611 10-8 F x4 ( ) − l x

EI l2 −

Vervormingsenergie, niveau van de potentiële energie en zakking halverwege:

> Ev:=int(0.5*EI*kappa^2,x=0..l);

:= Ev .01025390618l3 F2

EI

> evalf(V);



−.01025390627l3 F2

EI

> x:=0.5*l; print(w); := x .5 l

.02050781244F l3

EI

Bepaal de verhouding w/w-exact en V/V-exact

> fac1 := w/((F*l^3)/(48*EI));

fac2 := V/(-(F^2)*(l^3)/(96*EI)); := fac1 .9843749971

:= fac2 .9843750019

Arbeid en energie.pdf

Documents

Transcript of Arbeid en energie.pdf