Analoge Regeltechniek

1

Analoge Regeltechniek

Ing. Jan W. Bollen

2

Inhoudsopgave

DoelstellingenVoorkennisActiviteitenplanStudiestofToetsing

3

Doelstellingen

Kennismaking met alle elementen die nodig zijn voor een begrip van de analoge regeltechniek

Het gebruik van ontwerp regels van een analoog geregeld systeem in het

s-domein

4

Voorkennis

Een gezond boeren verstand

(Basis)kennis van de wiskunde

Netwerktheorie 1 en 2

5

Activiteitenplan

Theorie afgewisseld met oefeningenAfsluiten met een schriftelijk tentamen (8 punten) en een individueel simulatie rapport (2 punten)Gebruik van 20-sim demo als hulpmiddel

6

StudiestofBasisbegrippen page 1

Modelvorming en blokschema’s page 15

Beschrijving en afbeelding van proceseigenschappen page 49

Basissystemen page 67

Terugkoppeling en stabiliteitpage 89

Poolbanen page 105

Ontwerpcriteria page 139

Ontwerpen van geregelde systemen page 151

7

Hulpmiddelen

Dictaat: RegeltechniekHand-out: PowerPoint presentatieSite: lesmateriaal.saxion.nl/bll (zonder www !)

Dan naar analog control systemsSoftware: 20-sim demo

8

Toetsing

Schriftelijk individueel tentamen (8 punten)

Schriftelijk individueel simulatie rapport (2 punten)

9

1 Basisbegrippen

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 1

10

InleidingModerne regeltechnici zijn voornamelijk bezig met het leren begrijpen en het leren beheersen van delen van hun omgeving (systemen).

De systemen hebben een uitstraling- en inwerkingeffect op de gehele omgeving.

11

InleidingDe huidige uitdaging voor regeltechnici is: Het zo natuurgetrouw modelleren en het zo goed mogelijk beheersen van moderne, complexe, samengestelde systemen in allerlei vakgebieden.

B.v. automatisering, verkeer, industrie, maar ook economisch systemen

12

InleidingWat betekent regelen voor technische systemen?

Het ontwerpen van een systeemconfiguratie welke zorgt voor een zo klein mogelijke afwijking (fout) {error (E)} tussen de:

- Ingestelde waarde(n) {request value (R)} en de - Werkelijke waarde(n) {controlled value ( C)}.

13

Inleiding

Regelaar

Regelaar

Proces

ProcesIngestelde waarde

Ingestelde waarde Werkelijke waarde

Geregelde waarde

Gemeten waarde

Vergelijkingsorgaan

Open regelsysteem = sturen

Gesloten regelsysteem = regelen

CER

VB. Vullen van meelzakken

Pagina 4

14

Voor automatische Voor automatische bebeïnvloedingnvloeding

van processen en systemen met als doel:

1.1.KwaliteitsverbeteringKwaliteitsverbetering 2.2.ProcesbeheersingProcesbeheersing

dus geen mensWat is regeltechniek en

Waarom wordt regeltechniek toegepast?

Wat en waarom

15

yproces/systeem

eisen

xx

beperking (= vereenvoudiging): 1 in- en 1 uitgang

Sturen

Kern regeltechniek

Page xxx

Pagina 4

16

T = Temperatuurhardingsoven

eis:

T verlooptvia een gewenst patroon

warmte

T

tijdt1 t2 t3 t4

SturenKern regeltechniek

17

T = Temperatuuroven

eis:

T heeft hooguit een ‘speling’ van 1 graad

warmtetoevoer

T

tijd

omgevingstemperatuur

Sturen

Kern regeltechniek(Externe variabel)

18

T = Temperatuurcollegezaal

eis: T heeft hooguit een ‘speling’ van 1 graad

Airco

T

tijd

aantal mensen lampen

Sturen

Kern regeltechniek

19

Samenvattend:Het doel van de meet- en regeltechniek:

Het laten verlopen van processen volgens een bepaald schema :

1. Zonder terugkoppeling is dit sturen

2. Met terugkoppeling is dit regelen

Procesbeheersing: wat en waarom ?

20

Technische redenen:

• Sommige processen zijn niet zelf regelend (bv versnellen steeds)

• In een bepaald proces kunnen vaak storingen optreden

• Er moet een ingestelde waarde gevolgd worden

Waarom automatiseren ?

21

Economische redenen: • Vaak is het goedkoper• Er wordt betere (constantere) kwaliteit behaald

Sociale redenen:

• Veiligheid, bij gevaarlijke processen• Vermindering van geestdodend en eentonig werk • Comfortabeler bediening

Waarom automatiseren ?

22

Noodzakelijk:1. Informatie uit het proces2. Mogelijkheid om het

proceste kunnen veranderen

METEN

‘REGELEN'

Kern regeltechniek

23

de te sturen grootheidproces/

systeem

eisenJe moet het signaal dus meten

signaal-versterker

meetsysteem

Meten

24

de te sturen grootheidproces/

systeem

eisenJe moet dus ook kunnen ingrijpen:

actuator

signaal-versterker

meetsysteem

vermogens-versterker

actuator

Ingrijpen

25

geregelde grootheid

proces/systeem

eisen

signaal-versterker

meetsysteem


actuator

regelaar

terugkoppelin

terugkoppelingg

automatische

automatische regelkring

regelkring

Regelen met terugkoppeling

26

geregelde grootheid

proces/systeem

eisen

signaal-versterker

meetsysteem


actuator

zoek een passende regelaarregelaa

r

Zoek een passende regelaar

27

geregelde grootheid

proces/systeem

eisen

signaal-versterker

meetsysteem


actuator

regelaar

Automatische regelkring met passende regelaar

Automatische regelkring

met passende regelaar

28

te

Voorbeeld warmte procesOliebadT = temperatuurT0= buitentemperatuurR = warmteweerstandC = warmtecapacitiet

Pagina 10

29

te

P(t) Q(t)

Warmte proces “Statisch”

P = toegevoerd vermogenQ = afgevoerd vermogen

0

0

T TP Q ofwel : P

RT T RP

Statisch gedrag

Pagina 11

30

0

0

T(t) TdT(t) dT(t)P(t) Q(t) C P(t) Cdt R dt

dT(t)RC T(t) RP(t) Tdt

T

T0

T(t)

P(t)

tijd0

Warmte proces “Dynamisch”

P QProcesRoeren

Pagina 13

31

Extra: Lineairisatie en Wiskunde toolbox

Ing. Jan W. Bollen

32

Lineairisatie verantwoordingDe regeltechniek houdt zich bezig met het dynamische gedrag van systemen.

In de praktijk zijn deze systemen niet-lineair.

Indien mogelijk wordt gebruik gemaakt van gelineairiseerde systemen

33

Voordelen :1. Proces benadering2. Eenvoudig rekenen (hand)3. Superpositiebeginsel toepassen

Nadelen :Niet te grote afwijkingen toestaan bij

benadering van de werkelijkheid

1.3.3. LineairiserenPagina 7

34

LINEARIZED MODELS

y

x

y0

x0

0 f(x)

small variations: x x xy y y

0

0

xdxxdfy

x

0

y K x

Lineairiseren benaderingEchte charackterestiek

35

P

U

P0

U0

0

RUP

20

0

Lineairisatie

RU

UP 02

Relatieve fout < 1% oo

UU 100

oo

UU 330

Relatieve fout < 10%

Lineairiseren benadering

Vermogenop werkpunt

36

Om de Laplace transformatie technieken goed te kunnen toepassen moeten wij de berekeningen met integralen “onder de knie” hebben.

Daarnaast kunnen wij deze techniek alleen toepassen op gelineairiseerde systemen

In de eerste sheets volgt een korte samenvatting van de integraal en differentiaal-rekening

Later het hoe en wat van de laplace transformatie

Toolbox Verantwoording

37

k k 1

at at

tt

1t (k 1) t

k+11

ln tt1

2 tt

1e e

ab

b l

f (t) f (t)dt (op constante term na)

n b

Primitieven en integraal

3 4

6t 6 t

tt

1t t

41

ln 441

2 55

1e e

67

7 ln 7

38

2

2

2

sin t -cos t

cos t sin t

1 tan t

cos t1

arcsin t1 t

1 arctan t

1 t

f (t) f (t)dt (op constante term na)

Primitieven en integraal

2

2

2

sin 3 - cos 3

cos 4 sin 4

1 tan 5

cos1

arcsin 61 6

1 arctan 6

1 6

5

39

'h(x) dx f (g(x)g (x))dxf (g(x))dg(x)

substitueren t voor g(x)f (t)dt F(t) C F(g(x)) C

Substitutie methodeBij de substitutiemethode wordt een nieuwe variabele gedefinieerd om zo op een eenvoudige manier tot een oplossing te komen

40

3

2 3

2 3 2

4

2

3

4 2

x( ) dx1 (5 x ) 2x dx21 (5 x ) d(5 x )21 (t) d(t)21 1t C (5 x ) C8 8

5 x

Substitutie methode voorbeeld 1

5+x2 wordt als nieuwe variabele gebruiktDe afgeleide van 5+x^2 daarvan is 2xDie wordt expliciet geschreven zodat de totale formule weer klopt

De nieuwe variable wordt ingevoerd als tDe integraal wordt nu eenvoudig opgelost

t wordt weer vervangen door 5+x2

41

2

22

2

2

x 1 1dx 2x dx1 x 2

1 1 1 1d(1 x ) d(t)2 1 x 2 t

1 1ln(t

1 x

) C ln(1 x ) C2 2


42

2 2

sin(x) cos(x) dxsin(x) d(sin(x))t dt1 1t C sin (x) C2 2


43

2 2

1dx ln(x) dxx x

ln(x) d(ln(x))t dt1 1t C (ln(x)) C2

ln(x)

2


44

BreuksplitsenBij breuksplitsen gaat het erom om een samengestelde functie zodanig op te splitsen in bekende factoren. Eigenlijk is breuksplitsen de omgekeerde bewerking van gelijknamig maken.

Breuksplitsen wordt toegepast om van het S-domein naar het tijd domein te gaan.

Gelijknamig maken

Breuksplitsen

45

Breuksplitsen, rekenregels

46

22

2

2

4t 1 dt waarbij geldt: t t 2 t 1 t+2 t t 24t 1 A B A (t 2) B (t 1)

t t 2 t-1 t 2 t 1 t+2

tellers gelijk: A (t 2) B (t 1) 4t 1 geeft A 1 en B 3

4t 1 1 3toepassen dt dtt t 2 t 1 t 2

ln t 1 3ln t 2 C

Breuksplitsen voorbeeld 1

47

Breuksplitsen oefening 12 verschillende factoren in de noemer

Bereken nu zelf A en B

48

Breuksplitsen oefening 22 samenvallende factoren in de noemer

Bereken nu zelf A en B

49

Breuksplitsen oefening 3Samengestelde factoren in de noemer

Bereken nu zelf A B en C

50

Kwadraat afsplitsenKwadraten hebben de volgende algemene vorm ax2+bx+c=0Soms zijn deze te splitsen in een twee term m.b.v. de ABC formule, maar lang niet altijdMet kwadraat afsplitsen maken we een bekende twee term en een restwaarde en is zo toch op te lossen

2

2

2

2 2

2

2

8 12 0

( 4)

8 16

8 ( 4) 16

12 0

( 4) 28 0

4 28 4 28

( 4)

4 28 4

16

28

x x

te herkennen x

maar dat is x x

zodat x x x

substitueren

geeft x

x of x

x o

x

f x

51

Kwadraat afsplitsen voorbeeld 1

52


53


Complexe rekenwijze toepassen:

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

x of x

x j of x j

x j of x j

TI-89:Csolve(x^2+6*x+12=0,x)

54

2

'f f 'g g 'fg g

Differentiëren: Quotiënt-regelDe quotiëntregel bij differentiëren wordt later gebruikt voor functieonderzoek in het zogenaamde S-vlak t.b.v. stabiliteit van een regelsysteem

55

Diff. Met Quotiënt-regel voorbeelden

d ((a^2-x^2)/(a^2+x^2),x)

Bollen/Witteveen 56

'f .g f 'g g 'f

Differentiëren: Product-regelDe productregel bij differentiëren wordt later gebruikt voor functieonderzoek in het zogenaamde S-vlak t.b.v. stabiliteit van een regelsysteem

57

DifferentiaalvergelijkingEerste orde RC

Ing. Jan W. Bollen

58

Differentiaalvergelijking

differentiaalvergelijkindifferentiaalvergelijkingg

xKyya '

Een differentiaalvergelijking (afk.: DV) is een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen.

59

Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenStap 1;Geen signaal op de ingang X=0karakteristieke oplossing of homogene oplossing (deze oplossing beschrijft het overgangsverschijnsel of het dynamisch gedrag)

Lineaire DV oplossen in 2 stappen

0' yyakarakterisiteke karakterisiteke oplossingoplossing

60

Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenStap 2; Wel signaal op de ingang aanbieden, dit geeft de specifieke of particuliere oplossing (deze oplossing beschrijft het stationaire gedrag)


xyya 'particuliere particuliere oplossingoplossing

61

Bekende ingangssignalen

Spanning of stroom X(t)

Periode T 1fT 21 2Tf

Frequentieen Periode

A

De sinus X(t) A cos( t )A = Amplitude

= hoekfrequentie = fase hoek

t

62

Bekende ingangssignalen

Sprong- of stapfunctieX(t)

t

0 voor t 0X(t)

A voor t 0

Voor A = 1 spreken we van een stapfunctie

A

63

Bekende ingangssignalenImpuls- of Dirac functie

Dirac functie t

X(t)

0

Impuls functie0

t

X(t)

tT

(t) 0 voor t ongelijk aan 0(t) = 1 voor t gelijk aan 0

F(t) x(t) x(t T)met x(t) is stapfunctie

64

Bekende ingangssignalenTalud of rampfunctie

AX(t)=At

X(t)

t0

x(t) At voor t 0

65

Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenDe totale oplossing is de :

som van beide deeloplossingen (superpositiebeginsel)


0' yyaxyya '

karakterisiteke karakterisiteke ooplossingplossingparticuliere particuliere oplossingoplossing

66

DV voorbeeld RC filter tijdsdomein

)()()( tutudttduRC inout

out Let op de vorm notatie

67

Karakteristieke opl.

0)()( tu

dttduRC out

out

dtRCtu

tdu

out

out 1)()(

RCt

out ebtu

)(

Oplossing :Dit is het Overgangsverschijnselof inschakelverschijnsel


out

Karakteristieke opl.

68

Particuliere opl.)(1 siestapresponuin

1outdan ustationaire gedrag

Dit is het stationaire gedrag, dus het uitgangssignaal na een lange tijd is gelijk aan het ingangssignaal, in dit geval een DC level van 1 volt


out

Particuliere opl.

1outu 0dtduen out

69

Superpositie )()()( tutudttduRC inout

out

Op t=0 geldt Uout=0, daaruit volgt b = -1

1)( RCt

out ebtu

RCt

out etu

1)(

70

Simulatie )()()( tutudttduRC inout

out

RC=1.2 sec na 1 RC-tijd Uout = 63%

Ingang signaal

Uitgang signaal

71

Opgave om zelf te doen

Bepaal van deze schakeling zelf de differentiaalvergelijking en los die op

72

simulatie

Ingang signaal

Uitgang signaal

73

Analogie

Ing. Jan W. Bollen

74

Analogie

Iin

Iout

Oppervlakte A

R

Hoogte H

dtdHAII outin

inoutout IIdtdIRA Eerste orde DV

outHIR

75

Analogie

dtdUCII out

outin inoutout IIdtdICR

Eerste orde DV

outout

out out

UIR

U I R

76

Analogie

inoutout IIdtdICR

Beide processen volgens een eerste orde DV

inoutout IIdtdIRA

77

Analogie

78

Component

Condensator

Weerstand

Inductor

dttdv

Cti

tdtiC

tvt

)()(

)()(1)(0

Vergelijkingen Complexeimpedantie

Cs1

)(1

)(

)()(

tvR

ti

tRitv

R

t

dttvL

ti

dttdi

Ltv

0

)(1

)(

)()( Ls

Analogie

79

Spanning

Stroom

Vermogen

Weerstand

Zelfinductie

Capaciteit

Snelheid

Kracht

Vermogen

Demper

Veer

Massa

U V mvs

I A

P I U VRA

Vs dIL ;V LA dt

As dVC ; I CV dt

F N

P F v 1 mb Ns

1 21 m ;F k (v v )dtk N

2Ns dvm ;F m

m dt

Analogie

80

2 Modelvorming en blokschema’s Laplace rekenregels

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 16

81

Het model

Probleemin tijdsdomein

Oplossingin tijdsdomein

Probleem in complexe vlak

Oplossing in complexe vlak

Directe berekeningvia differentiaal vergelijking

Moeilijk!!!

Complexe berekeningMakkelijk!!!

Transformatie(codering)

Terugtransformatie(decodering)

Mathematisch model

82

Laplace - Inverse Laplace

83

Mathematisch Laplace modelDe differentiaal vergelijking

n n 1 1 m m 1 1

n n 1 1 0 m n 1 0n n 1 1 m m 1 1

d y(t) d y(t) d y(t) d x(t) d x(t) d x(t)a a .......a a y(t) b b .......b b x(t)dt dt dt dt dt dt

De coëfficiënten zijn tijdsonafhankelijk en reëelVoor de oplossingen in het tijdsdomein moeten we eerst de homogene oplossing bepalen en vervolgens de particuliere oplossing.Om de oplossing eenvoudiger te vinden passen we de Laplace transformatie toe.n n 1 1 m m 1 1

n n 1 1 0 m m 1 1 0(a s a s .........a s a )Y(s) (b s b s ...........b s b )X(s)

84

Mathematisch Laplace model

In het s-domein ziet de differentiaal vergelijking er vriendelijk uit.De eigenschappen zijn behouden Bij terug transformatie ontstaan weer de homogene en particuliere oplossingWij zijn geïnteresseerd in de stationaire toestand (particuliere oplossing) Voor analyse van de systemen kijken wij in het frequentie domein

85

Laplace / watWaar dient dit voor? In alle elektrische systemen komen differentiaal-vergelijkingen voor. Dit komt door de spanning/stroom relatie bij spoelen u = L di/dt en bij condensatoren i = C du/dt.Als je vooraf niets weet over het ingangs-signaal u en i moet je differentiaal-vergelijkingen oplossen!Om het oplossen van differentiaalvergelijkingen te vergemakkelijken is door Laplace aangetoond dat je de afgeleiden gewoon als operatoren kan en mag schrijven. Bollen/

Witteveen

86

Laplace / hoeHoe gebruik je het?

Voor d/dt schrijf je dan S, d2/dt2 wordt s2 enzovoorts.Differentiaalvergelijkingen worden dan vergelijkingen met s, s2, s3 enz. waaruit je s moet oplossen.

Bij elektrische netwerken kan je schrijven u = sLi en

i = sCu en gewoon netwerkvergelijkingen (Ohm, Kirchhoff enz) gebruiken.

87

Van frequentie naar Laplace domein

functie t-domein s-domein

stapfunctie A.1(t) A/sdiracstoot (t) 1demping eat.1(t) 1/(s-a)

sinus sin(at) a/(s2+a2)cosinus cos(at) s/(s2+a2)

Laplace-getransformeerden

88

1sx x y

xsdtdxy

s y

xysdtdy

Dus S geeft de bewerking differentieren weer

1/S geeft dan de bewerking integreren weer

Differentiëren en Integreren met s-notatie

89

Inverse LaplaceDe inverse laplacetransformatie is een functie die, in combinatie met de laplacetranformatie, wordt gebruikt om technische tijdsafhankelijke problemen op te lossenDifferentiaalvergelijkingen worden eerst via de laplacetransformatie omgezet in wiskundig eenvoudiger functies. Deze beeldfuncties van de oorspronkelijke tijdsfuncties kunnen in veel gevallen opgelost worden via gekende algebraïsche methoden.

90

Als f(t) een gegeven tijdsfunctie is, dan wordt per definitie de beeldfunctie, F(s), via de Laplacetransformatie bepaald door :

De oorspronkelijke tijdsfunctie kan bepaald worden door de Inverse Laplacetransformatie toe te passen op deze beeldfunctie :

Laplace en Inverse Laplace

91

Van Laplace naar frequentie-domein

Het frequente domein is eenvoudig uit de Laplace getransformeerde af te leiden:

Wij stellen het reële deel nul en wij belanden in het frequentie domein voor sinusvormige signalen

s jreële deel aanwezige dempingcomplexe deel harmonische trillingen

92

differentiaalvergelijking in de s-differentiaalvergelijking in de s-notatienotatie

x proces/systeem y

Soms heb je als wiskundig model Soms heb je als wiskundig model een differentiaalvergelijkingeen differentiaalvergelijking

3 2 5 6

3 2 5 63

3

2

2

y y y y x

d ydt

d ydt

dydt

y x

93

differentiaalvergelijking in de s-differentiaalvergelijking in de s-notatienotatie

xy6dtdy5

dtyd2

dtyd3

xy6y5y2y3

2

2

3

3

d sdt

Met de S-notatie

3 23 2 5 6y ys ys sy x

Dus S geeft de bewerking differentieren weer1/S geeft de bewerking integreren weer

94

ddifferentiaalvergelijkingifferentiaalvergelijking in de s-in de s-notatienotatie

6s5s2s31

xy

xy6s5s2s3

23

23

6s5s2s3123

xy6y5y2y3

overdrachts-functie

95

Werken met laplace operatorenWerken met laplace operatoren

y

15 8 22

2d ydt

dydt

y x

x1s8s15

22

X1s5

2

x u y1s3

1

x2udtdu5 uy

dtdy3

gewoon het product

2 DV’s

1 DV

96

Van Laplace naar tijd-domein

Voor de overgang naar het tijddomein gebruiken we de inverse laplace tabel.

Middels breuksplitsen proberen we de complexe overdracht te schrijven in bekende vormen, die ook in de tabel voorkomen.

Dan kunnen de inverse laplace getransformeerden worden toegepast.

Zodoende kan makkelijk worden overgegaan naar het tijddomein.

97

Van Laplace naar tijd-domein

functie s-domein t-domein

stapfunctie A/s A.1(t) diracstoot 1 (t) demping b/(s-a) eat.b(t)

sinus a/(s2+a2) sin(at) cosinus s/(s2+a2) cos(at)

Inverse Laplace tabel

98

Van Laplace naar tijd-domein voorbeeld

Stap 1Breuksplitsen

Stap 2K1 en K2Berekenen

Stap 3Inverse LaplaceTranformatietoepassen

Er wordt uitgegaan van de overdrachtsformule inclusief de laplace getransformeerde van het ingangssignaal

99


Stap 1Breuksplitsen

Stap 2InverseLaplaceTranformatietoepassen

Er wordt uitgegaan van de overdrachtsformule inclusief de laplace getransformeerde van het ingangssignaal

tetC

sssB

sA

ssssC

5

53

52)(

55/35/2

5)5(2)(

100


Na enig rekenwerk…..

Inverse Laplace transormatie

101

Zelf thuis doen

Bepaal de tijdresponsie van de volgende laplace getransformeerden:

2

2

2

2

1( 1)

33 2

4 12 93

8 16

ss

ss

s ss

s s

102

2.5 Blokschema’s

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 38

103

Blokschema’s

+-+

104

VerbindingslijnSignaalwaarde blijft onveranderd.Signaal richting volgens pijl.

x y

X Y

BlokH in het blok geeft het verband aan tusseningangssignaal X en uitgangssignaal Y

YHX

Hx y

Blokschema afspraken en rekenregels

105

Cascade schakelingBlokken in serie beïnvloeden elkaar niet.Voor de overdrachtsfunctie geldt:

1 2Y H HX

H2H1xx y

OptelpuntSommatie van 2 signalen

1 2Y X X

x1

x2

y+

+


106

AftrekpuntVerschil van 2 signalen

1 2Z X X x2

zx1 +

-

AftakpuntOp alle vertakkingen is dezelfde signaalwaarde aanwezig

x x

x


107

ParallelschakelingBij parallelle blokken kunnen de overbrengingsverhoudingen worden opgeteld of afgetrokken

H1

H2

x +

+/-y

VereenvoudigingsmethodeBij optellen, aftrekken of vermenigvuldigenvan de afzonderlijke blokeigenschappentot één overdrachtsfunctie, kan het overeenkomstigeblokschema ook vereenvoudigd worden tot een blok.

H1H2x y

1 2Y H HX

Bewerkte overdrachtsfunctie H1H2


108

Tegengekoppeld systeem

Meegekoppeld systeem

H1

H2

x y+-

H1

H2

x y++

Gesloten systeem metnegatieve terugkoppeling

Gesloten systeem metpositieve terugkoppeling

1

1 2

HYX 1 H H

1

1 2

HYX 1 H H


109

-G1-G2

G2

G1

+

G1 G2 G1*G2


110Sheet 09

-G1 + + -

G1

G-11

+ -G1

G1

G1

-+

Vereenvoudiging

111

+G

H1

H2

+

-G

H1-H2

+

-

Vereenvoudiging

112

G2

+

-

outin

Transfer function closed-loop system:

H

G1

in out21

21

1 GHGGG

inout

G GHG G

1 2

1 21

Closed Loop

113Sheet 11

+

-G2

H2

+ -G1

R

H1

C

+

-G2

H2

+ -G1

R

H1

C

G2-1

Manipulatie

114

+ -G2

H2

+ -G1

RG3

H1

CM

Gevraagd: Geef een uitdrukking in letters voor de overdracht c/r

Opdracht

115

+ -G2

H2

+ -G1

RG3

H1

CM

232

32

1 HGGGG

MC

Opdracht

116

+ -G1

H1

PCMR

11

1

1 PHGPG

RC

232

32

1 HGGGG

MCP

Opdracht

117

+ -G1

H1

PCMR

1321232

321

1 HGGGHGGGGG

RC

Antwoord

118

Manipulatie

Y(s)+ G2

H1

-

R(s)+

-

H2

G1

Y(s)G2

1/G1

-

R(s)+

-

H2

G1

H1

Y(s)+ G2

H1

-

R(s)+

-

H2

G1

1/G2

119

Manipulatie

Y(s)G2

1/G1

-

R(s)+

-

H2

G1

H1

Y(s)+ G2

H1

-

R(s)+

-

H2

G1

1/G2

Y(s) G2 .1+ H1G2

R(s)+

-

H2

G1

1/G2

Y(s)G2

1/G1

-

R(s)+

G1 .1+G1H2

H1

120

Manipulatie

Y(s)

G2

1/G1

-

+ G1 .1+G1H2

H1

Y(s) G2 .1+ H1G2

R(s)+

-

H2

G1

1/G2

Y(s) G1G2 .

1+ H1G2

R(s)+

-

H2/G2

Y(s)

H1/G1

-

R(s)+

G2G1 .1+G1H2

121

Manipulatie

Y(s)

H1/G1

-

+ G2G1 .

1+G1H2

Y(s) G1G2 .

1+ H1G2

R(s)+

-

H2/G2

Y(s)R(s)

G2G1 . 1+G1H2 .

H1 G2G1 .G1 1+G1H2

1+ [ ]Y(s)

G1G2 . 1+ H1G2 .

H2 G1G2 .G2 1+H1G2

R(s)

[ ]1+

122

Manipulatie

Y(s)R(s)

G2G1 . 1+G1H2 .

H1 G2G1 .G1 1+G1H2

1+ [ ] Y(s)

G1G2 . 1+ H1G2 .

H2 G1G2 .G2 1+H1G2

R(s)

[ ]1+

Y(s)R(s)

G2G1 .1+ H1G2 + G1H2 Y(s)R(s)

G2G1 .1+ H1G2 + G1H2

Y(s)+ G2

H1-

R(s)+

-H2

G1

123

Complex systeem oefening voor thuis

124


125


126


127


128


Probeer thuis de overdracht Htotaal in BREUKVORM te schrijven

129

3 Beschrijving en afbeelding van proceseigenschappen

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 49

130

uout-

+

C

R i

-

+iuin R

uui outin

Schema – blokschema – uitgang = U

1R

- sC1i uout

uin

uout

+ 1outu i

sC

131

kringrechtdoor

uu

in

out

1

sRC

sRCuu

in

out

11

1

11

sRCu

u

in

out

uout

Schema - blokschema

1R

- sC1i

uin

uout

+

132

11

1 11

out

in

out

uu s

us s

t

out euu 1ˆ

Uitgangssignaal - U

133

uout-

+

C

R i

-

+iuin R

uui outin

1outu i

sC

Schema – blokschema – uitgang = I

1R-

sC1

iuin

uout

+

134

kringrechtdoor

ui

in

1

sRC

Rui

in11

1

1sRCsC

ui

in

Schema - blokschema

1R

-

sC1

iuin

uout

+

135

11

1

in

i sCu s

sCis s

11

1

t

t

i C eRC

i eR

een een ss in de teller: in de teller: ingang differentiëreningang differentiëren

Uitgangssignaal I

136

1 11s s

11

ss s

In- en Uit-gangssignalen – U en I1s

137

sLUUI outin

1

I1

Van schema naar model

sL1

-Uin

Uout

+

138

312 III -

I1

I3

I2


+

139

31

outU IsC

sC1I3 Uout


140

RUI out2 R

1Uout I2


141


sL1

-

R1

Uin

Uout

sC1I1 I3

I2

Uout

++-

142

Bepaal zelf de formule voor de overdracht Uout/Uin

Opdracht

sL1

-

R1

Uin

Uout

sC1I1 I3

I2

Uout

+ +

-

143

Sprong- of stapfunctieX(t)

t

0 voor t 0X(t)

A voor t 0

Voor A = 1 spreken we van een stapfunctie

A

Ingangssignalen stap1s

144

Impuls- of Dirac functie

Dirac functie t

X(t)

0

Impuls functie0

t

X(t)

tT

(t) 0 voor t ongelijk aan 0(t) = 1 voor t gelijk aan 0

F(t) x(t) x(t T)met x(t) is stapfunctie

Ingangssignalen dirac en impuls

1

nTse

145

Talud of rampfunctie

X(t)

AX(t)=At

t0

x(t) At voor t 0

Ingangssignalen ramp

2

1s

146

Spanning of stroom X(t)

Periode T

1fT 21 2Tf

Frequentieen PeriodeA

De sinusX(t) Asin( t )A = Amplitude

= hoekfrequentie = fase hoek

t

Ingangssignalen sinus

2 2s

147

Beeldpresentaties en basissystemen

Ing. Jan W. Bollen

148

Beeldverbanden t – jw - S domeinen

tijddomeint

Laplacedomeins

frequentiedomeinj

d/dt = j d/dt = s

0+j = s

tijdgrafiek

Bodediagram - Nyquist polen/nulpunten beeld

149

S-plane

0s j

Labda = geeft de mate van inschakeldemping weerOhmega = geeft de eigen trilling weer

Vanuit de differentiaalvergelijking wordt de laplace transformatie toegepast waarbij geld:

s=λ+jw

150

Polen en Nulpunten beeld (s-plane)

De nulpunten zijn die oplossingen van de vergelijking in de teller waarvoor de uitkomst 0 wordt (aangegeven met o)

De polen zijn die oplossingen van de vergelijkingen in de noemer waarvoor de uitkomst oneindig wordt (aangegeven met x)

1 2

3 4 5 6

Nulpunten : s 1; s 6Polen : s 8; s 8; s 3 2 j; s 3 2j

xx

x

xoo

Im-as

Re-as

jω

λ

2 2

s 1 s 6H(s)

s 8 s 6s 13

151

Pole’s Zero’s opdracht

Bepaal zelf uit de figuur de overdrachtH(s)

-2-3-5 +2

+3

-3

+4

-4

152

Pole’s Zero’s frequentie responseImaginary(s): j

LeftHandPlot

RightHandPlot

Real(s):

stable

X - polesO - zeros

unstable

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

LHP RHP

153

Pole’s Zero’s frequentie response

+3+3

LeftHandPlot

RightHandPlot

Voor stabiele systemen is het nodig dat alle polen in de LHP liggen !

154

Nyquist - frequentie - amplitude - fase

Het Nyquist diagram (of polair figuur) beschrijft voor

zuiver sinusvormige signalen het verloop van de EINDPUNTEN van de signaalvector. Al deze eindpunten te samen vormen het Nyquist diagram

Er zijn 3 informaties in 1 figuur1. Frequentie2. Amplitude van de vector3. Fase van de vector

Nyquist wordt vaak gebruikt voor stabiliteits-analyses

155

Van S-plane naar Nyquist of Polair Nyquist of Polair diagram

jω

λ

Im{H(jω)}

Re{H(jω)}s-vlak

H-vlak

Wij zijn geïnteresseerd in het zuiver sinusvormige gedrag van het systeem. In de praktijk betekent dit in het S-vlak: λ=0

H(jω) beschrijft het verband tussen in- en uitgang en moet sinusvormig zijn.

00H(s) H j H( j )

amplitude

fase

S-plane

156

Voorbeeld Nyquist

out

in

0

2 2

2

U (s) 1H(s)U (s) 1 sRC

stel volgens de theorie : s j

1Dan : H( j )1 j RC

H(j ) Im H( j ) Re H( j )

1

RC 1

Im H( j )arctan arctan RCRe H( j )

1/Rx y+-

1/sC

157

Voorbeeld Nyquist

out

in

2

U (s) 1H(s)U (s) 1 sRC

1Dan : H( j )1 j RC1H( j )

RC 1

arctan RC

H(j )

0 1 01 1 2 -45

RC 2 0 -90

Linear System : Nyquist Diagram

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Linear System Re

Y

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

ω=0ω=∞

158

Nyquist amplitude en fasedraai

H(j )

0 1 0

0 -270

159

Relatie Nyquist en step-response

Stepresponse:De hoge frequenties zijn in het tijddomein vertegenwoordigd direct na het begin van de stepDe lage frequenties zijn in het tijddomein vertegenwoordigd “lang” na het begin van de step

160

Bode diagrammen / Amplitude / Fase

Bode diagrammen beschrijven hetzelfde gedrag als de Nyquist diagrammen; het zuiver sinusvormige gedrag van een systeem. Bode presenteert dit gedrag in 2 diagrammen: 1. Bode Amplitude diagram (BAD) [20logH(jw)] en 2. Bode Fase diagram (BFD) [phi]

Vanuit het s-domein betekent dit λ=0.

2 2 Im H( j )20log Re H( j ) Im H( j ) en = arctan

Re H( j )

H(jω) beschrijft het verband tussen in- en uitgang. Voor de tekening van de bode fase en bode amplitude diagrammen hebben wij nodig : - De hoek en de 20 log van de lengte van de vector H(jω)

0 0H(s) H j H( j )

161

Bode diagrammen / Amplitude / Fase

Linear System : Bode Plot

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B)

-100-70-40

0


Pha

se (d

eg)

-90

-60

-30

0

162

Bode amplitude cascade

163

Bode fase cascade

164

Bode diagrammen in cascade

165

Voorbeeld BodeR

0.6ohmIO1IO2IO3IO4 C1FiV (s) oV (s)

00

i

2 2

2

V (s) 1H(s) stel s jV (s) 1 sRC

1Dan : H( j )1 j RC

20log H( j )

120logRe H( j ) Im H( j )

120log1 RC

Im H( j )0 arctanRe H( j )

0 arctan RC

H(j ) 20log H(j )

0 1 0 01 1 2 -3 -45

RC 2 0 - -90



Mag

nitu

de (d

B)

-100-70-40

0


Pha

se (d

eg)

-90

-60

-30

0

166

4 Basis systemen

Constante factorZuivere integratorZuivere differentiatorOnzuivere integratorOnzuivere differentiatorTweede orde systeemLooptijd

Pagina 67

167

H( j ) 20 log H( j )

0 k 20log k 0 k 20log k 0

TabelMathematisch mod ely(t) kx(t)S domeinY(s) kX(s)j domeinY( j ) kX( j ) H( j ) kH( j ) k en 0

20log H( j ) 20log K

De constante factor

168

De constante factor

Pn-beeld

jω

λ

Im{H(jω}

Re{H(jω}

KPolair figuur

Ω (log)

20log|H(jω)|

20logK

Ω (log)

φ

Bodediagrammen

169

Zuivere integrator formule

o

Mathematisch mod ely(t) x(t)dtS domein

X(s)Y(s)s

j domein1Y( j ) X( j ) j1H( j )j1H( j ) en 90

20log H( j ) 20log

o

o

o

H( j ) 20log H( j )

0 90

1 1 0 90

0 90

170

Zuivere integrator tijd en PN

Pn-beeld

jω

λx

171

Zuivere integrator Bode en Nyquist

172

Zuivere differentiator formule

o

Mathematisch mod eldx(t)y(t)

dtS domeinY(s) sX(s)j domeinY( j ) j X( j ) H( j ) j

H( j ) en 90

20log H( j ) 20log

o

o

o

H( j ) 20 log H( j )

0 0 - 90

1 1 0 90

+ 90

173

Zuivere differentiator tijd en PN

Pn-beeld

jω

λo

174

Zuivere differentiator bode en nyquist

175

Onzuivere integrator formule

i

i

i

i

Mathematisch mod ely(t) x(t)dt x(t)S domein

X(s)Y(s)s 1

j domein1Y( j ) X( j )

1 j1H( j )

1 j

H(j ) 20log H(j )

0 1 0 01 1 2 -3 -45

RC 2 0 - -90

2 2 2

1 120log 20logRe H( j ) Im H( j ) 1 RC

Im H( j )0 arctan 0 arctan RCRe H( j )

176

Onzuivere integrator tijd en PN

Pn-beeld

jω

λx

177

Onzuivere integrator Bode en Nyquist


0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B)

-80-50-2010


Pha

se (d

eg)

-100

-70

-40

-10

178

Onzuivere differentiator

d

d

d

d

2d

d

Mathematisch mod eldx(t)y(t) x(t)

dtS domeinY(s) (s 1)X(s)j domeinY( j ) ( j 1)X( j ) H( j ) ( j 1)

20log H( j ) 20log 1

arctan

o

o

d

o

H( j ) 20 log H( j )

0 1 0 01 2 3 45

+ 90

179

Onzuivere differentiator tijd en pn

Pn-beeld

jω

λo-1/td

180

Onzuivere diff. bode en NyquistLinear System : Bode Plot

0.01 0.1 1 10Frequency (rad/sec)

Mag

nitude

10

100

0.01 0.1 1 10Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

0

30

60

90

181

Tweede orde systeem( )( ) ( ) ( )

1( ) ( )

( )( )

di tUin t Ri t L Uout tdt

met Uout t i t dtC

dUout ti t C zodatdt

2

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )1( )

1

d Uout t dUout tLC RC Uout t Uin td t dt

LCs R

H s

Cs Uout s Uin

LCs RC

s

s

182

2e orde normaalvorm

2

20

2 20 0

1( )1

( )2

H sLCs RCs

normaalvorm

H ss s

W0=eigenfrequentie (resonantie frequentie)B= relatieve dempingsfactor3 situaties: B>1; Overkritische demping

B=1; Kritische dempingB<1; Onder kritische

demping

183

2e orde en demping

2 20 02 0

0 2 1 ;

0 2 1 ;

0 2 ;

karakteristieke vergelijking s sD separate e orde systemen

D samoverkritische demping

kritische demenvalende e orde systemen

D complexe nulpunten opslingerinping

onderkritische dempig

ng

184

2e orde en demping

B>1; overkritische demping2 reele ongelijke polen

B=1; kritische demping2 reele gelijke polen

B<1; onder kritische demping2 toegevoegd complexe polen

20

2 20 0

( )2

H ss s

B=0; 2 zuiver complexe polen; ongedempte hoekfrequentie ofwel oscillatie

185

2e orde PN beeld en Bode BAD en BFD

186

2e orde tijdresponsie

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

nt

c

=0.1

0.20.3

0.50.71.0

2.0

187

Doorschot en piektijd

Doorschot D

20

2 20 0

( )2

H ss s

21D e e

Piektijd tp

pt

188

StijgtijdStijgtijd / Risetime trDefinitie; de tijd die verstrijkt tussen 10% en 90% van de eindwaarde

20

2 20 0

( )2

H ss s

90%

10%

Bollen/Witteveen 189

Settling time response / indication time

De settling time is de tijd die verstrijkt totdat een overgangsverschijnsel binnen vastgestelde grenzen rondom de eindwaarde (statische toestand) verblijft. Speciale vaste waarden zijn:Response time tr < 5% van de eindwaardeIndication time ti < 2% van de eindwaarde

E-5%

E+2%

E-2%

E+5%tr

ti

190

Responsie definities

Settling time

Overshoot

Time

%

Steady StateTransient State

Steady state error


SimulatieLinear System : Step Response

0 5 10 15Linear System time {s}

Y

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Steady State = 0.833333

overshoot = 55%

rise time = 0.50431

settling time = 7.52068

5 en 6 Terugkoppeling en stabiliteit

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 89

193

Terugkoppeling

kG(s)

H(s)

C(s)R(s) +-

C(s) kG(s)R(s) 1 kG(s)H(s)

Bovenstaand system is teruggekoppeld G(s) is het proces, H(s) is de regelaar en k is de variabele versterking

De totaal overdracht is vermeld in de formule

Voor stabiliteitsonderzoek is het van belang om te weten bij welke frequentie de NOEMER = 0 wordt;daarom wordt voor nader onderzoek verder gewerkt met de noemer, (de karakteristieke poolbaanvergelijking) hierin is alle informatie voor stabiliteit vertegenwoordigd

194

Stabiliteit / poolbaanversterking

kG(s)

H(s)

C(s)R(s) +-

C(s) kG(s)R(s) 1 kH(s)G(s)

Wortels van de karakteristieke vergelijking zijn te vinden uit de noemer (alle informatie is hierinvertegenwoordigd).

Karakteristieke vergelijking1 kG(s)H(s) 0

met 180 360 ( 1,2,3, 4...)

Met k is de poolbaanversterkingStel nu k altijd positief dan:

1/k afbeelden in het s-vlak.

-1/k

195

Root-locus

kG(s)

H(s)

C(s)R(s) +-

De root-locus methode poolbaanversterking of ook wel wortellijndiagrammen methode doet onderzoek naar stabiliteit, middels de karakteristieke poolbaan vergelijking van een systeem.

De variabele K laat je variëren van o tot oneindig, zodoende kun je de root loci bepalen en ook zien voor welke K het systeem stabiel is of instabiel wordt

1 kG(s)H(s) 0

196

Root-locus, variatie van kG(s)

kH(s)

C(s)R(s) +-

Voor stabiliteitsonderzoek is de noemer bepalend, hierin zit ook alle informatie van het gehele systeem opgenomen. Met behulp van functieonderzoek kunnen we hieruit de stabiliteit van een systeem bepalen. Er zijn diverse functie-onderzoek regels opgesteld waaruit de gehele functie op een eenvoudige manier grafisch kan worden opgelost

1 kG(s)H(s) 0kG(s)H(s) 1

1G(s)H(s)k

197

A: Root-locus beginpuntenDe beginpunten van de root-loci zijn de polen van de open lus versterkig bij k=0.

( 5)( ) ; ( ) 1( 3)

11 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( 5) 1 0 3( 3)

sG s H ss s

kG s H s G s H sk

s polen bij s en ss s k

( 5) 1( 3)ss s k

198

B: Root-locus eindpuntenDe eindpunten van de root-loci zijn de nulpunten van de openlus versterking bij k=oneindig. Indien er geen nulpunten zijn dan lopen de root-loci asymptotisch naar het oneindige. De nulpunten veranderen niet van plaats of er nu sprake is van een open systeem of een gesloten systeem; dus de terugkoppeling heeft geen invloed op de nulpunten

( 5) 1 5( 3)s nulpunten bij ss s k

( 5) 1( 3)ss s k

199

C: Aantal asymptotenIedere root-loci loopt van een pool naar een nulpunt, indien er minder nulpunten zijn dan is er sprake van een asymptoot. Dus n(polen)-m(nulpunten) = aantal asymptoten. Voor een fysiek systeem zijn er altijd evenveel polen als nulpunten, of meer polen dan nulpunten.

( 5) 1 2 1( 3)

2 1 1

s polen nulpunts s k

asymptoten

( 5) 1

( 3)ss s k

200

D: Richting asymptoten De asymptotische richtingen van de root-loci wordt bepaald door onderstaande formule

2 1 .180waarbij 0,1... n m 1

n m0 1 .180

= 1801

( 5) 1( 3)ss s k

201

n-m=1 φ=180

202

n-m=2 φ=90, φ=-90

203

n-m=3 φ=60, φ=-60, φ=-180

204

n-m=4 φ=45, φ=-45, φ=-135, φ=-135

Conclusie:* De hoeken zijn onderling altijd gelijk* De hoeken verdelen 360 graden in gelijke delen

205

E: Snijpunten asymptoten met reële as

Snijpunten van de asymptoten met reele as (= zwaartepunt) wordt bepaald door de

ligging van de polen en nulpunten volgens:

n m

i 1 j 1A

aantal polen aantal nulpunten

A

polen nulpuntenS

n -m

(0) ( 3) ( 5)S 2

1

( 5) 1

( 3)ss s k


Linear System : Pole Zero Plot

-8 -6 -4 -2 0 2Re

Im

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

80.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

F: Takken op de reële asAl de punten op de reële as waarvoor geldt dat - wanneer we van rechts naar links over de as gaan – het aantal gepasseerde polen en nulpunten op deze reële as oneven is, behoren tot de poolbaan.

( 5) 1( 3)ss s k

207

G: Vertrek- aankomstpunen reële as

In de poolbaanvergelijking 1+kG(s)H(s)=0 isoleren we de factor k. Voor bepaling van de vertrek of aankomstpunten differentieren we k naar s en stellen de eerste afgeleide =0

'

2

11 kG(s)H(s) 0 kG(s)H(s)

dk d 1 d s(s 3) 0ds ds G(s)H(s) ds s 5

f f 'g g 'fg g

( 5) 1( 3)ss s k

208

G: Vertrek- aankomstpunten reële as

( 5) 1( 3)ss s k

'

2

22

2

2 2

2

f f 'g g 'f d s(s 3) 0g g ds s 5

2s 3 s 5 s 3s 1d s 3s 0 0ds s 5 s 5

2s 3 s 5 s 3s 1 0 s 10s

s 1,8 of

5 0

(s 5) 25 15 0

s 5 10 ofs 8,s

25 10

209


-8 -6 -4 -2 0 2Re

Im

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

80.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

G: Vertrek- aankomstpunten reële as

( 5) 1( 3)ss s k

-8,2 -1,8

210

H: Snijpunt met Imaginaire asOp zoek naar de resonantie frequentie zetten we de poolbaanverglijking van S om in jw (λ=0). Bij resoneren is de totale overdracht oneindig en daarmee de karakteristieke poolbaanvergelijking =0

01 kG(s)H(s) 0 1 kG( j )H( j ) 0 0j

Door nu van de laatst verkregen vergelijking 2 voorwaarden toe te passen, namelijk:Re=0 en Im=0 is zowel de versterkingsfactor k te vinden als de resonatiefrequentie ω zelf.

211

Spelregels root locus, voorbeeld 1De overdrachtfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem:

C(s) kR(s) s s 4 s 6 k

normaal vergelijking:1 1

s s 4 s 6 k

R(s) C(s)ks(s 4)(s 6)

+

-

212

Functieonderzoek vb 1

(polen bij k=0) 1 2 3

(nulpunten bij k= )

(aantal polen - aantal nulpunten)

a: beginpunten : s 0;s 4;s 6b: eindpunten : geenc: aantal asymptoten : 3

2 1 .180d: asymptotische richting: waarbij 0,1..

n m

. (n m 1)

60 ; 60 ;180

1 1

s s 4 s 6 k

jω

λx x x0-4-6

213


n m

i 0 j 0A

e: snijpunten asymptoten:

polen nulpuntenS

n m0 4 6

3,33

f: takken op de reële as:van rechts naar links gaan: oneven p of n=poolbaaneven p of n poolbaan

jω

λx x x0-4-6

λ

jω

x x x0-4-6

214


3 2

3 2 2

2

b

a

g: Vertrekpunt op de reële as:

(k isoleren) k= s 10s 24s

dk d s 10s 24s 0 3s 20s 24 0ds ds

10

s 1,5

100s 8 03 9

s 3,3 3,1 of s 3,3 3,1

s 5,1; l; ligt

igt niet op de rootlocuop de root locus

s

1 1s s 4 s 6 k



3 2

3 2

0

2 3

h: snijpunt met de Imagiaire as s 10s 24s k 0 0j

j 10 j 24 j k 0 0j

(k 10 ) j(24 ) 0 0j


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

3

2

4,

Im; 24 0

Re; k 10 0

9 en k 2400 en k 0



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

Root-loci simulatie voorbeeld 1

-6 -4 0-1,5

K=240W=+4,9

K=240W=-4,9



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

I: Vertrekhoek bij complexe polen

beschouwde pool overige polen nulpunten

o

i: Vertrekhoek bij complexe polen (willekeurig voorbeeld)

180

180 (arctan arctan ) ( 180 arctan arctan ) 1622

2 3903 6


J: Aankomst bij complexe nulpunten

beschouwd nulpunt polen overige nulpunten

o

j: Aankomsthoek bij complexe nulpunten (willekeurig voorbeeld)

180

180+ (arctan arctan arctan ) (arctan )2 24 63 5 3

26


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

219

Spelregels root locus, voorbeeld 2

R(s) C(s) 2

k s 2s (s 4)

+

-

2

k s 2C(s)R(s) s s 4 k s 2

2

2

normaal vergelijking:

s s 4 k s 2 0

dus :s 2 1

s s 4 k

220


(polen bij k=0) 1 2 3

(nulpunten bij k= ) 4


a: beginpunten : s 0;s 0;s 4b: eindpunten : s = 2c: aantal asymptoten : 2


n m

o o o o

. (n m 1)

0 90 en 90 ; 1 270 en 270

2

s 2 1s s 4 k

jω

λx 0 x0-2-4

x

221


n m

i 0 j 0A

polen nulpuntene: snijpunten asymptoten: S

30 0 4 2

12


jω

λx xx0-2-4

o 2

s 2 1s s 4 k

222


3 2 3 2

2 3 2

2

2

a

b

c

g: Vertrekpunt op de reële as

s 4s dk d s 4sk= 0s 2 ds ds s 2

3s 8s s 2 1. s 4s0

s 2

2s s 5s 8 0

s 0s = 2,5 +1,3j niet op de reëele ass 2,5 1,3j niet op de reëele as

2

s 2 1s s 4 k

223


3 2

3 2

0

3

2

2

h: snijpunt met de Imagiaire as

s 4s ks 2k 0

j 4 j k j 2k 0 0j

Im; k 0

Re; 4 2k 0

0 en k0 en k 0

k en k 0 alleen voor k=0 treed snijpunt op

2

s 2 1s s 4 k

224


o

beschouwde pool overige polen nulpunten

i: Vertrekhoek bij "complexe" polen

er zijn hier 2 samenvalende polen met een onderlinge hoek van 180in de t ekening zijn ze iets uit elkaar g etrokken

180

18 (00

o

o

o o0 ) ( ) 90

vanwege symmetrie geldt voor de andere pool

9 0

0

0

9

2

s 2 1s s 4 k

-4

jω

λx xx

0-2o

225

Root-loci simulatie voorbeeld 2

2

s 2 1s s 4 k


-8 -6 -4 -2 0Re

Im

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

80.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

226

Spelregels root locus, voorbeeld 3

R(s) C(s)2

ks 2s 2

+-

s 2

2

2

2

C(s) kR(s) s 2s 2 k s 2

normaal vergelijking: s 2s 2 k s 2 0

s 2 1dus :s 2s 2 k

2

s 2 1s 2s 2 k

227


(polen bij k=0) 1 2

(nulpunten bij k= ) 3


a: beginpunten : s 1 j;s 1 jb: eindpunten : s = 2c: aantal asymptoten : 1


n m

o o

. (n m 1)

0 180 en 180

2

s 2 1s 2s 2 k

jω

λ

x

x

0-2o

1

-1

228


n m

i 0 j 0A

polen nulpuntene: snijpunten asymptoten: S

31 j 1 j 2

01


2

s 2 1s 2s 2 k

jω

λ

x

x

0-2o

1

-1

229


2

2

2

b

a

g: Vertrekpunt op de reële as

s 2s 2k=

s 2dk d s 2s 2 0ds ds s 2

s 4s 2 0

s 3,s = 0,6 reëel maar niet binnen de root loc

4us

2

s 2 1s 2s 2 k

230


2

2

0

2

h: snijpunt met de Imagiaire as

s 2s 2 k(s 2) 0

j 2 j 2 k j 2 0

Im; 2 k 0

Re; 2 2k 00 en k 2; k 0, dus deze oplossing vervalt0 en k 1; k 0, dus deze oplossing vervalt

2

s 2 1s 2s 2 k

231


2

s 2 1s 2s 2 k

jω

λ

x

x

0-2o

1

-1

beschouwde pool overige polen nulpunte

0

n

o

o

o

i: Vertrekhoek bij complexe polen

180

180 ( ) ( ) 135

vanwege symmetrie geldt voor de andere p

4

oo

90

l 135

5

232

Root-loci simulatie voorbeeld 3Linear System : Pole Zero Plot

-4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 0.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

2

s 2 1s 2s 2 k

-3,4

+135o

-135o

233

Zelf thuis doen

2

2

s 3functie1: H(s)G(s)

s(s 2)(s 4)s 6

functie 2 : H(s)G(s)s(s 4)

1functie 3 : H(s)G(s)s(s 2)(s 26)(s 2)functie 4 : H(s)G(s)

s(s 3)

Doe zelf functieonderzoek aan de volgende functies;(eerst met de hand, daarna met behulp van 20-sim)

234

De stabiliteit van regelsystemen

Ing. Jan W. Bollen

235

De criteria

Het stabiliteitscriterium van NyquistHet stabiliteitscriterium van BodeHet stabiliteitscriterium van de root locusFase- en versterkingsmargeRelatieve foutAfwijkingsverhoudingLijnen van absolute en relatieve demping

236

Stabiliteitscriterium van NyquistAls in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel

C( j ) kH( j )R( j ) 1 kH( j )G( j )Dan noemer nul: 1 kH( j )G( j ) 0dus instabiliteit treedt op voor:

kH( j )G( j ) 1 en 180

C(w)R(w)

kH(jw)

G(jw)

+

-

237

Nyquist in woordenIn woorden:Wordt de kromme van het polair figuur van een open lussysteem, bestaande uit op zichzelf al stabiele systemen, doorlopen van ω=0 naar ω=∞ en ligt hierbij het punt -1 aan de linkerzijde, dan is het gesloten systeem stabiel.

238

3 2

2

1H(s) ; G(s) 1s 1 s 2 s 3

stabiliteitscriteria: noemer van het teruggekoppelde systeem1 kH(s)G(s) 0

k k1 0 1s 1 s 2 s 3 s 1 s 2 s 3

1 1 s 1 s 2 s 3 ks 1 s 2 s 3 k

uitgewerkt geeft dat s 6s 11s 6 k 0j

in domein : 6

26 j 11 k 0j

Nyquist voorbeeld kH(jw)

G(jw)

R(w) C(w)+

-

239

Nyquist voorbeeld

2 2

2

2

in domein : 6 6 j 11 k 0j

Im 0 geeft 0 nvt of 11 0

dus 11dit substitueren in het reele deelRe 6 11 6 k geeft :versterkingsfactor: k 60Systeem stabiel voor: 0 k 60

kH(jw)

G(jw)

R(w) C(w)+-



-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Linear System Re

Y

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Nyquist simulatie K=1 stabiel

Linear System : Step Response

-1 0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}

Y

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


overshoot = 0.001194%

rise time = 2.202




-1 -0.5 0 0.5 1 1.5Linear System Re

Y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Nyquist simulatie K=10 stabiel

Vector met lengte 1

Punt -1Linear System : Step Response

0 1 2 3 4 5 6 7Linear System time {s}

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8


overshoot = 19%

rise time = 0.889412



Nyquist simulatie K=54 net-stabielLinear System : Nyquist Diagram

-10 -5 0 5Linear System Re

Y

-30

-20

-10

0

10



Y

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Steady State = 0.9

overshoot = 82%



Oscilleren

Punt -1


Nyquist simulatie K=74 INstabielLinear System : Nyquist Diagram

-10 -5 0 5 10 15Linear System Re

Y

-10

-5

0

5

10

15


-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Linear System time {s}

Y

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Steady State = 0.925

Instabiel

Punt -1

Snijpunt met reële-as

244

Stabiliteitscriterium van Bode

Als in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel

C( j ) kH( j )R( j ) 1 kH( j )G( j )Dan noemer nul: 1 kH( j )G( j ) 0dus instabiliteit treedt op voor:

20log kH( j )G( j ) 0 en 180

kH(jw)

G(jw)

R(w) C(w)+

-

245

Bode in woordenIn woorden:

Als voor alle frequenties (ω=0 tot ω=∞) de fase GROTER is dan -180°, dan is het gesloten systeem stabiel.

Indien voor DIE frequenties, waarbij de fase,

-180° bedraagt, en de bijbehorende modulus KLEINER is dan 0 dB, dan is het

gesloten systeem stabiel.

246

Bode voorbeeld

1H( j ) ; G( j ) 1

j 1 j 2 j 3

stabiliteitscriteria: noemer van het teruggekoppelde systeem1 kH( j )G( j ) 0 kH( j )G( j ) 1

zodat de criteria voorwaarden zijn: 20log kH( j )G( j ) 0 en 180

de totale formule ui

2 3

3 3

2 2

ktgewerkt: kH( j )G( j )6 6 j 11

11 11eerst de fase 180 arctan tan180 06 6 6 6

hieruit volgt: 0 of 11

kH(jw)

G(jw)

R(w) C(w)+

-

247

Bode voorbeeld

2 3

2 22 3

nu de amplitude voorwaarde;kkH( j )G( j ) 1

6 6 j 11

20log kH( j )G( j ) 0

20log k 10log 6 6 11 0

met 11 ; 20log k 10log3600 0 geeft k 60versterkingsfactor: k 60Systeem stabiel voor: 0 k 60

kH(jw)

G(jw)

R(w) C(w)+

-



0 1 2 3 4 5Linear System time {s}

Y

0

0.05

0.1

0.15Steady State = 0.142857

overshoot = 0.001194%

rise time = 2.202


Bode simulatie K=1 stabielLinear System : Bode Plot


Mag

nitu

de (d

B)

-200

-100

0


Pha

se (d

eg)

-400

-200

0


Bode simulatie K=10 stabiel


0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}

Y

-0.5

0

0.5


overshoot = 7.151%

rise time = 1.26074




Mag

nitu

de (d

B)

-200

-100

0


Pha

se (d

eg)

-500

-300

-100

100


Bode simulatie K=54 net-stabiel



Y

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Steady State = 0.9

overshoot = 82%





Mag

nitu

de (d

B)

-200

-100

0


Pha

se (d

eg)

-500

-300

-100

100

Oscilleren


Bode simulatie K=74 INstabiel


-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Linear System time {s}

Y

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8



0.0001 0.01 1 100 10000 1e+006Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B)

-250

-100

50

0.0001 0.01 1 100 10000 1e+006Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

-150-5050

150250

Instabiel

252

Stabiliteitscriterium van de wortelbanen

Als in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel

C(s) kH(s)R(s) 1 kH(s)G(s)Noemer nul:1 kH(s)G(s) 0 0jdus instabiliteit treedt op voor:Re 1 kH(s)G(s) 0 Im 1 kH(s)G(s) 0

kH(s)

G(s)

R(s) C(s)+

-

253


In woorden:Blijven de wortelbanen voor variaties van k in het linker halfvlak, dan is het systeem voor alle waarden van k stabiel.Komen de wortelbanen voor variaties van k in het rechter halfvlak dan is het systeem alleen stabiel voor die waarden van k waarvoor de wortelbanen in het linker halfvlak liggen.

254


1H(s)s 1 s 2 s 3

G(s) 1kkH(s)G(s) 1

s 1 s 2 s 3

1 1s 1 s 2 s 3 k

255

Functie-onderzoek

1 2 3

A

a : Beginpunten: s 1;s 2;s 3b : Eindpunten : geenc: Aantal asymptoten: n m 3 0 3

(2 1)180d: Richting asymptoten: 60 , 60 ,1803

1 2 3 0e: snijpunt asymptoten met de reële as: S 2

3f: Takken

3 2 3 2

v1 v2

op de reële as:dk dg: Vertrekpunten: k=s 6s 11s 6 s 6s 11s 6 0ds ds

s 2,58 en s 1,42

1 1

s 1 s 2 s 3 k


Oplossing :

3 2 3 2

3

23,3 en k

h :Snijpunten met Imaginaire as:

s 6s 11s 6 k 0 met 0; j 6 11j 6 0

Im; 11 0

Re; 6 660

k 0

Snijpunt W=3,3K=60

Systeem stabiel voor:0<k<60

1 1

s 1 s 2 s 3 k


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

257



-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re

Im

-3

-2

-1

0

1

2

30.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9


-4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-4-3

-2-1

012

34

0.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-6

-4

-2

0

2

4

60.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

K=1 K=10 K=54 K=74

258

Theorie en PraktijkIn de nu behandelde stabiliteitscriteria hebben we de absolute stabiliteitsgrens bepaald.

Omdat de componenten in de praktijk niet kunnen voldoen aan de theoretisch berekende waarden en met de invloed op elkaar de stabiliteit beïnvloeden, moeten wij een aantal methoden ontwikkelen die er voor zorgen dat deze variaties geen invloed krijgen op de stabiliteit van het systeem.

Dus we gaan een MARGE inbouwen

259

MargeDe volgende, vaak grafische methoden, zorgen ervoor dat we niet te dicht in de buurt van het punt -1 komen en toch de praktische bruikbaarheid van het systeem behouden.

Met deze criteria zijn we in staat praktische ontwerp regels te formuleren die ons in staat stellen stabiele systemen te ontwerpen.

260

Fase- en versterkingsmargeDe fasemarge is een gegeven hoek tussen de negatief reële as en een rechte door de oorsprong met lengte 1.De versterkingsmarge geeft aan hoeveel de versterking van het openlussysteem mag worden opgevoerd, totdat het systeem bij een φ van -180° de maximaal toelaatbare versterkingsmarge heeft bereikt.De beide eisen worden samen gebruikt om een goede stabiliteit van een systeem te garanderen.

261

Fase- en versterkingsmargeLinear System : Nyquist Diagram

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2Linear System Re

Y

-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.51

ω=0ω=∞δ

Lengte vector = 1

δ is normaal 30° of 60°Lengte van de vector is 1

262

Fase- en versterkingsmargeHet snijpunt van de eenheidscirkel (=vector met lengte 1) met het polaire figuur, ligt zodanig dat voldaan wordt aan de gestelde fasemarge hoek. Dit levert een voorwaarde op voor slechts één waarde van de frequentie met een bijbehorende versterkingsfactor k.

Met dit geven zitten wij ver genoeg af van het punt -1, maar voor meer zekerheid combineren wij dit criterium met de versterkingsmarge.

263

Fase- en versterkingsmargeLinear System : Bode Plot

0.001 0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B)

-150

-50

0.001 0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

-400

-200

0

Versterkingsmarge 1/a

fasemarge-180°

264

Fase- en versterkingsmargeDe fase- en versterkingsmarge zijn niet alleen bepalend voor de veiligheidsmarge bij praktische toepassingen van systemen, maar deze geven ook informatie over de demping van het systeem.

Bij vergroting van de versterkingsfactor zal bij een stapvormige verstoring op de ingang zowel de marge bij de fase als bij de versterking afnemen.

De demping van het systeem zal ook afnemen en de doorschot zal groter worden evenals de uitslingerfrequentie.

265

Fase- en versterkingsmarge

Conclusie:

Een systeem met voldoende fase- en versterkingsmarge behoeft nog niet een garantie te zijn voor het voldoende gedempt zijn van het systeem bij een stapvormige verstoring op de ingang.

266

Fase- en versterkingsmargeLinear System : Step Response

-1 0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}

Y

-2

-1

0

1

2

3

4

Steady State = 2.5

rise time = 2.74382



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Linear System time {s}

Y

0

0.5

1

1.5

Steady State = 0.85

overshoot = 60%



267

Fout in statische toestand

s 0 s 0

Stel :H(s) K en G(s) 1fout in statische toestand:E(s) 1 1R(s) 1 H(s)G(s) 1 K

268

2e orde en uitslingerverschijnselenBij systemen van de tweede orde krijgen wij bij een stapvormige verstoring doorschot en uitslinger verschijnselen.

De twee dominante polen zijn verantwoordelijk voor dit systeemgedrag.

2e

2 2e e

kH(s)s 2 s

269

Ligging van dominante polen

2e 1

2e

2 2e e

21,2 e e

e

2e e

1,2

kH(s)s 2 s

polen : s j 1

met : eigen frequentie= relatieve demping met <1

Stel nu: en 1dan : s j

De reponsie op een stap zal de volgende gedaante hebben:

c(t) Ae

t cos t

x

x

jω

λ

s-vlak

e

2e 1

Dominante polen

270

absolute en relatieve dempingλ is het symbool voor de dempingω is het symbool voor de oscillatiefrequentie

λ wordt de absolute demping van het systeem genoemd. De absolute dempingslijnen lopen evenwijdig aan de Imaginaire-as

λ/ω wordt relatieve demping genoemdDe relatieve dempingslijnen lopen door de oorsprong met als richtingscoëfficiënt λ/ω.

Absolute dempingslijnλλ/ω jω

λ

Relatieve dempingslijn

Systeemstabiel

De relatieve dempingslijnen stellen eisen aan de oscillatiefrequentieDe beide eisen leggen de dominante polen van het tweede orde systeem aan banden !!! En daarmee de doorschot en uitslingerfrequentie.


Doorschot en piektijd

Doorschot D

20

2 20 0

( )2

H ss s

21D e e

Piektijd tp

tc(t) Ae cos t

λ

λ/ω jω

Relatieve dempingslijn

pt

De doorschot blijkt een functie te zijn van de relatieve demping

C(max) C( )D .100%C( )

272

Settling time 2% en 5%

tc(t) Ae cos t

Absolute dempingslijnλ jω

λ

s

s

t

ts

ts

c(t) Ae cos t

voor de uitdemping geldt :4e 0,02 t (2%)

3e 0,0 t (5%)

Settling time eisen gelden voor de absolute demping


SimulatieLinear System : Step Response


Y

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


overshoot = 55%

rise time = 0.50431


274

De doorschot stelt als eis aan het systeem dat de twee dominante polen van het systeem niet rechts van de relatieve dempingslijn mogen liggen.

De settling time stelt als eis aan het systeem dat de meest dominante polen van het systeem niet rechts van de absolute dempingslijn mogen liggen.

Conclusie doorschot en settling time

275

7 Ontwerpcriteria

Ing. Jan W. Bollen

Pagina 139

276

Ontwerp methodenBenaderingsmethoden Cascade- of serie compensatie Compensatie m.b.v. fase voor-ijlend

netwerk in het bode diagram Compensatie m.b.v. een fase voor-ijlend

netwerk in het s-vlakIn het kader van dit college zullen wij alleen compensatie in het s-vlak behandelen.

Deze methode is het meest inzichtelijk en eenvoudig toe te passen.

277

Stap 1. Zet de systeem specificaties op een rij en bepaal hieruit de plaats van de wortels van de dominante polen (dempingsfactor, overshoot, settling time)Stap 2. Teken de ongecompenseerde root-locus en bekijk of de geëiste plaats van de wortels gerealiseerd kan worden door het ongecompenseerde systeem

Ontwerp-procedure

278

Stap 3.Plaats het nulpunt van het fase voorijlend netwerk direct onder de plaats van de verlangde wortel, indien een compensatie netwerk moet worden gebruiktStap 4.Bepaal nu de plaats van de compensatie pool zodanig, dat de som van de hoeken van de polen en de nulpunten t.o.v. de positief reële-as 180° bedraagt, gezien vanuit de gewenste pool

Ontwerp-procedure

279

Stap 5. Bereken nu de versterkingsfactor van het totale systeem voor de verlangde wortelplaatsen en bereken de statische afwijking of zijn afgeleide grootheden als positiefout coëfficiënt of snelheids- fout coëfficiëntStap 6. Herhaal de procedure als de statische afwijking niet voldoet

Ontwerp-procedure

Systeemspecificaties:verlangde plaats van de root-loci

x x x

Stap 2.Root-locus ongecompenseerde systeem

Verlangde relatieve dempingslijn

Stap 1.

Verlangde plaats van root loci

•

•

xxx o

Verlangde plaats van root loci

-z

Stap 3.Plaatsing nulpunt onder de root loci

•

•

Ontwerp-procedure grafisch

Stap 4.

xxx o-z

Plaatsing pool

•

•

XΘp

-p

281

Let op bij de plaatsing van het nulpunt. Plaats zodanig dat de verlangde pool niet verplaatst

Dus plaats nulpunt nooit dichter bij de oorsprong dan tweede pool van het systeem, goede plaats is rechts van tweede pool, dicht in de buurt zodat zijn invloed op het systeem gering is

Voor-ijlend fase netwerk

282

Voordelen: Vrijheid in plaatsing dominante polen (beïnvloeding in- en uitschakelverschijnselen

systeemresponse)

Nadelen: - Naderhand pas kunnen bepalen van de versterking. - Voldoet hij niet dan is de hele procedure over.

Voor-ijlend fase netwerk

283

Voorbeeld 1.Gc(s)

G(s)

H(s)+

-

R(s) C(s)

c 2

s z kG (s) ; H(s) ; G(s) 1s p s

sSettling time t (2%) 4secDoorschot op een stapvormig ingangssignaal 35%

Gegeven:

Bepaal de variabele grootheden van het compensatie netwerkaan de hand van de gegeven voorwaarden

Gevraagd:

Voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 1

284

Stap 1.Bepaal de plaats van de dominante polen uit de voorwaarden:

s

1,2

4t (2%) 4 4 1

D 35% 0,35 e met 1rad3,0sec

s 1 3j

Voorbeeld 1 plaats nieuwe poolbanen

Stap 2.

1,2

a

a. polen s 0

b. nulpunten: geenc. asymptoten: 2d. root-loci: 2

e. 90 , 90f. s 0g. geen delen van de reële as behoren tot de root-locush. break-away point: s 0

Voorbeeld 1 ongecompenseerd systeem


-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2Re

Im

-1

-0.5

0

0.5

10.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

Functieonderzoek van de originele functie2

1 1s k

286

Stap 3.

1,2

c

Verlangde wortel :s 1 3j

s z s 1G (s) =s p s p

Voorbeeld 1 ligging nulpunt

Plaats het nulpunt van het fase voor-ijlend netwerk direct onder de plaats van de verlangde wortel


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re

Im

-3

-2

-1

0

1

2

30.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

x

x

287


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re

Im

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

30.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

Stap 4.

cs 1G (s)=s p

Voorbeeld 1 ligging pool

Bepaal P door de som van de hoeken t.o.v. de positieve reele as. Het totaal van de hoeken moet zijn +/- 180

90180 arctan 90 arctan (

354 arctan 2,2 3,2

)123

oo o

o x poolx

x

288

Resultaat :

Voorbeeld 1: Compensatie netwerk

c

c 2

s 1G (s)s 3,2

overdrachtfunctie :k s 1G(s)H(s)G (s)s s 3, 2

289

Stap 5.Bepaal de statische versterkingsfactor voor verlangde pool -1+3j

c 2

c 2

2 2 2 2 2 22

k s 1GHG met s invullen in de karakteristieke vergelijking:

s s 3,2

k 1GHG 1 1 0

3,2

1 3 1 3 2, 2 31 3j 1 3j 3, 2k

1 3j 1 3

1k 10 10 13,84 12, 43

Totale overdrac

1 3j

1 3j

h

1

tsfunctie: G(s

3j 1 3j

)

c 2

12,4 s 1H(s)G (s)

s s 3, 2

Voorbeeld 1: Statische

versterkingsfactor

GH12.4

s2

model

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}

Sig

nalM

onito

r1ou

tput

-1

0

1

2

3

2

12, 4G(s)H(s)s

Ongecompenseerd systeem

GHGc

model

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}

Sig

nalM

onito

r1ou

tput

0

0.5

1

1.5

c 2

(s 1) 12, 4G(s)H(s)G (s)(s 3,2) s

s + 1

s + 3.2

12.4

s2

GHGcs + 1

s + 3.2

12.4

s2

c 2

(s 1) 12,4G(s)H(s)G (s)(s 3,2) s

+2+4+6

Getekend is de root-loci van het GESLOTEN systeem

Met polen op

–1+3j

En

-1-3j

293

Voorbeeld 2. Gc(s)

G(s)

H(s)+

-

R(s) C(s)

Gegeven: Overdrachtsfunctie van een ongecompenseerd openloop systeem :

Gevraagd: Bepaal de variabele grootheden van het compensatie netwerk aan de hand van de volgende voorwaarden.

cs z kG (s) en G(s)H(s)s p s(s 2)

s

Dempingsfactor van de dominante wortels: 0, 45Settlingtime t (2%) 1sec

voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 2

294

Stap 1.

Bepaal de plaats van de dominante polen uit de voorwaarden:

s

2

1,2

4t (2%) 1 1 4

0,45 met 11

rad rad7,9 8sec sec

s 4 8j

Voorbeeld 2 plaats nieuwe poolbanen

Stap 2.

Voorbeeld 2 ongecompenseerd systeem

Functieonderzoek van de originele functie :1 1

s(s 2) k


-4 -3 -2 -1 0 1Re

Im

-4

-2

0

2

40.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

A

2

a. polen s=0 en s=2b. nulpunten: geenc. asymptoten: 2d. root-loci: 2

e. =90 , 90f . s 1g. zie tekeningh. Break-away piontd dk s 2s 0ds ds2s 2 0 s 1

296

Stap 3.

1,2

c

Verlangde wortel :s 4 8j

s z s 4G (s) =s p s p

Voorbeeld 2 gecompenseerd systeem

Plaats het nulpunt van hetfase voor-ijlend netwerkdirect onder de plaats van de verlangde wortel


-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2Re

Im

-10

-5

0

5

100.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

•

•

297


-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2Re

Im

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

100.10.20.30.40.50.60.7

0.8

0.9

Stap 4.

cs 1G (s)=s p

Voorbeeld 2: Stap 4 ligging pool

Bepaal P door de som van de hoeken t.o.v. de positieve reele as. Het totaal van de hoeken moet zijn +/- 180

x

91 080 arctan 90 arctan 90 arctan (

850 arctan 6,

)2 48 8

7 10,7

oo o o

o x poolx

298

Resultaat :

Voorbeeld 2 compensatie netwerk

c

c

s 4G (s)s 10,7

overdrachtfunctie :k s 4G(s)H(s)G (s)

s(s 2) s 10,7

299

Stap 5.Bepaal de statische versterkingsfactor voor verlangde pool -4+8j

c

c

2 2 2 2 2 2

4 8j

4 8j4 8j 4

k s 4GHG met s invullen in de karakteristieke vergelijking:

s s 2 (s 10,7)

k 4GHG 1 1 0

( 8j 4 8j

4 8j 4

) 2 ( 10,7)

4 8 2 8 6,7 8( ) 2 ( 10,7)k

4 8

1k 80 68 109

8j 4 8j4 8j

96,38

Total

c

96,3 s 4e overdrachtsfunctie: G(s)H(s)G (s)

s s 2 (s 10,7)

Voorbeeld 1 statische versterkingsfactor

GHmodel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}

Sig

nalM

onito

r1ou

tput

0

0.5

1

1.5

96,3G(s)H(s)

s s 2

96.3

s2 + 2 s

GHGcs + 4

s + 10.7

96.3

s2 + 2s

model

0 1 2 3 4 5time {s}

Sig

nalM

onito

r1ou

tput

0

0.5

1

1.5

c(s 4) 96,3G(s)H(s)G (s)

(s 10,7) s s 2

GHGc

c(s 4) 96,3G(s)H(s)G (s)

(s 10,7) s s 2

+5+10+15

s + 4

s + 10.7

96.3

s2 + 2s

Getekend is de root-loci van het GESLOTEN systeem

Met polen op

–4+8j

En

-4-8j

303

c

1 2 1 2

1 2 2

c

2 1c

1 21 2

1 2

1 2 1 2 1

1 2 2

1 2

1 2

1ss 4,5 G (s)1s 13 s+

R R R RC en R R R

na wat eenvoudig rekenwerk krijgen wij voor G (s)R R Cs 1G (s) .

R R CsR R 1R R

Hieruit volgt:1 1=4,5=

R R C R R R C.R R R

R113 R R CR R

1 2

1 2

RR R C

1 1

1 2

2

2 2

Kies : C=1 FDan:R 222,22k kies: R 220k

R R134,5 R

Dan :R 116,5k kies: R 120k

R

220kohmR2120kohm

IO1

IO2

IO3

IO4

C

1uF

E1(s) E2(s)

De praktijk levert de volgende schakeling op:

Voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 2

Analoge Regeltechniek

Documents

Transcript of Analoge Regeltechniek