Algebra Elemental Cap 6-10 Ursini

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Uso de la tecnologia

con el. Modelo 3UV

Las tecnologias de Ia informacion yde la comunicaci6n estanpresentes cada vezmas en el sal6n de clases. El empleo de estas

tecnologias implica un esfuerzo de los maestros y un cambiaen la forma de ensenar, que permita sacar provecho efectivo delas nuevas herrarnientas. Se trata de que el usa de la tecnologia

sirva paraestimular la comprensi6n de los conceptos materna-

ticos por parte de los alumnos y tambien para fomentar el razo-

namiento maternatico en la soluci6n de problemas. Lograr esteprop6sito requiere el disefio de estrategias daras para dirigir la

atenci6n de los alumnos hacia los objetos matematicos de inte-res, 10 que conlleva la construcci6n de actividades para el salonde clases que permitan alcanzar los objetivos deseados.

El disefio y el desarrollo de estrategias de ensefianza con usade tecnolagias de Ia inionnaci6n y de la comunicaci6n se yen

enormemente favarecidos si se cuenta con una herramienta teo-rica que proporcione al maestro una ayuda para guiar el proce-

der de los alumnos bacia un fin bien determinada y poder sacarel mayor provecho posible del usa de la tecnologfa ..EI Modele3UV proporciona elementos que son muy utiles para el maestroque usa la tecnologia en la clase de rnatematicas, En este capi-tulo presentamos algunos ejernplos en los que el Modelo 3UVse utiliza como guia en la planificacion de clases en las que seutiliza la tecnologta para apoyar la ensefianza del algebra.

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102

ACTIVIDADES CON HOJA

ELECTRONICA DE CALCULO

En esta secci6n presentamos una forma en que el uso delModelo 3UV ayuda a disefiar estrategias de clase para la ense-

iianza de la variaci6n lineal utilizando una hoja electr6nica de

calculo,Las hojas electr6niea de calculo son particularmente uti-

les como herramienta para eomprender el coneepto de relaei6n

funcional entre variables. Su usa perrnite a los estudiantes fa-

miliarizarse con la lectura y el llenado de tablas para resolver

problemas especificos, asi como reconoeer la correspondenciaentre las variables, L a influeneia del cambio en una de ellas sobrela otra y su mutua variaci6n.

En las paginas siguientes mostraremos una aplicaci6n del

Modelo 3UV en la planificaci6n de una aetividad, de modo que

esta resulte mas efectiva para cornprender el eoneepto de rela-

ci6n entre variables y, en particular, de relacion funcional. Esimportante destaear que 10 que aquf se pretende no es analizarla actividad utilizando el modelo, sino usar el modele para ha-

eer variaciones a la actividad, que permitan su mejor aprove-ehamiento en terrninos de los aspectos destacados en el Mo-

delo 3UV.

La actividad fue desarrollada dentro del proyecto EMAT(Enseiianza de las Matematicas con Tecnologfa) que prornueve

la Secretarta de Educaci6n PUblica en las escuelas secundariasoficiales del pais. El prop6sito de la actividad consiste en el U0

de tablas' de datos para obtener informacion aeerca del com-

portamiento de un fen6meno. En especial, se pretende que losalumnos: identifiquen la relacion funcional entre dos variables(Ft); identifiquen cuando un fen6meno se comporta en formalineal, es decir, reconozcan un tipo especifico y cornun de re-laci6n funcional (Fl , F2, F4); utilicen ciertas representaciones

de la funci6n lineal como representaciones del mismo objetomatematico, e identifiquen la estructura rnatematica comun adistintos fen6menos.

La actividad planteada (Moeh6n et al., 2000) es la siguiente:

103

iQue tienen en comtin el costo de un viaje en taxi y el

cocinado de un pavo?

En rnarematicas los fen6mcnos reales se clasifican de

acuerdo con cl tipo de modele maternatico que los describe.

En esta actividad veras que las dos siruaciones mencionadas

coinciden en su estructura maternatica,

Considera primero el viaje en taxi. Imagine que al subir, enel rnedidor aparece ya la cantidad de $5.00 y que esta aumenta

$1.50 par cada kilometre que eltaxi recorre,

(Culmto ha bra que pager en total si el recorrido es de 4 ki16-

metros?

Las operaciones que hiciste posiblemente fueron:

1 .5 * 4 + 5 = 11

Una Iormula general para hacer estos calculos es:

1.5 * (km recorridos) + 5=Cantidad que hay que pagar

Utiliza una hoja de calculo para obtener una tabla que re-

presente esta situacion. En la columna A coloca los kilometres

recorridos e incrernentalos de uno en uno ernpleando una f6r-

mula, En la columna B calcula la cantidad que bay que pagar

con la f6rmula general.

A B C

1 Kil6metros Cantidad que Cantidad querecorridos hay que pagar hay que pagar (2)

2 0 5

3 1 6.5

4 2 8~-~

lCuanlo hay que pagar por un recorrido de 15 ki16metros?

En otra ciudad se cobra s610 $1.00 POI'el banderazo, pero

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Ia para esta ciudad. Campara los resultados para averiguar que

ciudad brinda el servicio mas barato.

Ocupate ahora de cocinar el pavo.

En un Iibro de cod na aparece la siguiente sugerencla:

Envuelva el pavo en papeJ de aluminio; por cada kilogra-

rna de peso, hornee elpavo 15minutos y SUIDe a esto 90 minu-

tos extra.

lCuanto tiempo de cocinado necesita un pavo de 8 kilo-

grarnos?

Las operaciones que posiblemente hiciste fueron:

15 * 8 + 90 =21 0

Una formula para hacer estos calculos es:

IS * (kg de peso) + 90 -;= minutes de cocinado

Usemos OITa hoja de caleulo para obtener una tabla que

represente esta siLuaci6n. En Ja columna A anota los kilogra-mas de peso. En las columnas Bye calcula los tiempo de

cocinado.

A B C

1 Kilogramos Minutes de Horas de

de peso cocci6n cocci6n

2 0 105 1.75

3 1 120 2

4 2 135 2.25~

lCuanto tiempo se requiere para cocinar un pavo de 6.5

kilogramos?

Si observas las dos formulas, la del taxi y la del pave, nota-

rfu; que sao muy similares, Ambas pueden expresarse aS1:

a*.x+b:=y

o bien

y=a*x+b

donde a y b son rurmero constantes y las variables estan

10 5

Apartir de la pregunta "(Que tienen en comun el costa de un

viaje en taxi y el eoeinado de un pavo?", la aetividad motiva a los

estudiantes a usar rnodelos rnatematicos y a emplear la herra-

mienta computacional, con la intencion de encontrar la estruc-

tura maternatica que haee similares a estos dos problemas.

La actividad pide a los estudiantes que inicien eon el viaje

en taxi para el eual el banderazo cuesta $ 5.00, y el kilometre

recorrido, $ 1.50. Para contestar la primera pregunta y calcular

cuanto habra que pagar si se recorren 4 km, tienen que darse

cuenta, ante todo, de la correspondencia (Ft) que hay entre los

kilometres recorridos yel costo, e incorporar en el calculo el

costo del banderazo.

Luego se les indica cual es Ia regla general que rige la rela-

cion y se les pide que generen una tabla en la hoja electronics

de calculo. Para ello. los alurnnos deben reconoeer, en primer

termino, cuales elementos del problema cambian y cuales per-

maneeen constantes; es decir; deben reeonoeer las variables del

problema como numeros generales. (Gl)Finalmente, requieren identificar las variables enrelaei6n (F'l)

y, dado que e les pide que usen la hoja electr6nica de calculo

para elaborar una tabla, es necesario que diferencien la variable

independiente de la variable dependiente, y que generen, para

cada una, una columna de datos, can el fin de calcular el valor

de la variable dependiente CF2). AI solicitar a los alumnos que

introduzcan la formula general para generar los valores de lacolumna correspondiente ala cantidad que hay que pagar, tie-

nen que reconocer, a partir de la regla que se les dio, una regia

general (Gl) y expresarla (GS) en ellenguaje de la hoja electro-

nica de calculo [en la celda B2 escriben la expresi6n " , lS"A2+S,que en terminos matematicos significa: 1.5 x (el valor que apa-

rece en la celda Al) + 5].

Posteriorrnente, a traves de las preguntas pertinentes en una

discusion grupal, sera posib1e lograr, por ejempla, que los estu-

diantes enfoquen su atenci6n en aquello que pueden generali-

zar para datos que no estan en las tablas (GI, G2). Asf, podran

ir mas alia de la comprensi6n de la correspondencia entre las

variables para reconocer la variacion conjunta de ellas CF4). El

objetivo de esta reflexi6n es que los estucUante interpreten de

una manera mas general la relaci6n entre las variables y las ca-

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106 C ' ! P ' 6. U so ( f t · ((I " 0 1 0 ( ° 9 1 1 1 107

en esta actividad, que se refiere a la variaci6n lineal. el maestro

puede pedirles que resuelvan 10 .iguientes problemas:

a) ,Cminto habrta que pagar si se recorrio una distancia

mayor que las que aparecen en la tabla?

b) cQue datos no varian en tus respuestas?

c) Construye una grafica con los datos de la tabla.

d) cQue forma tiene?

e) iPor que es posible saber cuanto habrfa que pagar para

distintos reeorridos del taxi, si unicamente tenemos unos

cuantos datos?

f) ,De que depende el costo del recorrido?

la tabla. (Se aconseja pedir siempre a los estudiantes que jus-

tifiquen pOI'escrito la forma en que contestan las preguntas, y

discutir con elios de que manera proceden para identificar la re-

laci6n entre variables.) Tambien se puede comparar el costo de

un recorrido en las dos ciudades y ver S 1 se puede estableeer una

relaei6n entre eUos. Es conveniente plantear preguntas como:

"cEn que ciudad es mas caro viajar en taxi?" La idea de esta dis-

cusion es que los estudiantes se den cuenta de que la respuesta

ala pregunta depende de la distancia que se recorre y que no es

posible dar una respuesta general, dada la forma en la que las

variables estan relacionadas en cada uno de los casos.

Para sacar mayor provecho de la actividad se les puede su-gerir a los estudiantes que utilicen las graficas que construyeron

can los datos de Lastablas y que identifiquen en elias la posici6n

de la variable independiente, la posicion de la variable depen-

diente y c6mo podtian aprovechar las graficas para verificar las

conclusiones que encontraron en Ia discusi6n anterior.

Antes de pasar a las otras partes de la actividad se sugiere

pedir a los estudiantes que den alTOSejemplos similares, en los

que las variables esten relacionadas de manera que el valor de

una de elIas dependa del valor de la otra. Es recomendable ano-

tar esos ejemplos en el pizarron para poder aprovecharlos mas

adelante como tarea 0como parte de la misma aetividad.

AI terminar la actividad del viaje en taxi se puede continuar

con Iaparte correspondiente a Iacocd6n del pavo, siguiendo las

mismas estrategias que en el caso anterior.

En euanto se concluyan estas actividades, es posible introdu-

cir la idea de que estos diferentes fen6menos tienen una estruc-

tura comun, e invitar a los alumnos a que intent en generalizar

y escribir una formula que relaciona las variables. Cuando e

halle Ia relaci6n, ya sea dada por los alumnos 0propuesta por

el profesor despues de la discusi6n, es recomendable pedirle a

los alumnos que identifiquen el significado de las variables y las

constantes implicadas en la relacion, y que las relacionen con los

valores encontrados en las activtdades que realizaron con ante-

rioridad.

Despues de este proceso, puede introducirse la ecuaci6ny =

ax + b como una formula general que de cribe una relaci6n li-neal en la que los simbolos que se utilizan para los parametres

Si, al terminar esta parte, se les pide a los alurnnos que ex-

presen con sus propias palabras la forma en que encontraron las

respuestas a las preguntas anteriores, y que justifiquen su forma

de proceder, los estudiantes avanzaran en la direccion de una

futura simbohzaei6n de la relaci6n funcional. (F6)

La hoja eleetr6nica de calculo puede utilizarse tambien para

encontrar la representaci6n grafica de este tipo de relaci6n, e

identificar en ella el efecto de los valores constantes de la rela-

ci6n. La idea es conducir la discusion demanera que los alumnos

identifiquen que existe una relaci6n entre las variables: distancia

recorrida y costo del viaje en taxi. Asimismo, que identifiquen el

valor $ 5.00 como una cantidad fija 0 constante para cualquier

recorrido, y el valor $ 1.50 como la diferencia entre valores con-

secutivos de la tabla, para hallar asi la constante de proporciona-

lidad que interviene en el patron de esta situacion. (GI, Fl)

Una vez terminada esta etapa de identificaci6n, es posiblepasar a realizar una actividad similar en la que el viaje en taxiocurra en otra eiudad, donde el costo del viaje es diferente, con

el fin de favorecer la generalizaci6n del tipo de relacion encon-

trada. En este case, es conveniente pedirle a los estudiantes que

comparen las tablas del viaje en ambas ciudades, y que identifi-

quen que cambia y que permanece igual tanto en la tabla como

en Ia grafica. De esta forma, ]05 estudiantes interpretan la rela-

ci6n entre las variables y nuevamente reflexionan acerca de las

caractert ticas que haeen de esta relaci6n una funci6n lineal.

Para la nueva tabla. es posible repetir Ia lectura de los datos 

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108 Ccp . 6. U s o . rf e fa r«l1ol~lJl(!

les pedira a los alumnos que encuentren las constantes y las va~

riables en cada uno de los casas particulares antes discutidos, y

que analicen elefecto de carnbiarlos en la grafica y en la tabla

asociadas a distintas situaciones relacionadas can los problemas

de la activi.dad. Por ejemplo, se puede preguntar que pasa siel

banderazo del taxi es mas cam a mas barato y que ocurre cuan-

do el precio por kilometre cambia. La mi.smo se hara para di-

ferentes recetas de cocina y para los problemas propuestos par

los alumnos.

De esta manera, se pretende que los alumnos interpreten y

den sentido a los parametres que aparecen en la relaci6n fun-

clonal. y que logren generalizar su significado. La actividad, que

puede tomar varias sesiones de clase, puede terminarse can una

discusi6n cuyo prop6sito sea insistir en que una cualidad de las

matematicas consiste en la posibilidad de representar de ma-

nera general el eomportamiento de fenomenos que parecen ser

muy diferentes entre sf, utilizando un mismo concepto materna-

Lieo(en este caso, la relacion para la variacion lineal).

ACTIVIDADES CON CALCULADORA

DE BOLSll.LO

NUmeros generales y patrones

La calculadora de bolsillo es una herramienta util para pro-

ducir listas 0sucesiones denumeros que presentan algun patron

de cornportarniento. Las sucesiones mas seneillas se producen

mediante la aclici6n de mimeros naturales. Por ejemplo, si sepide a los alumnos de primer grade que program en su calcula-

dora de la siguiente manera:

veran que se obtiene la sucesi6n:

5, 8, 11, 14,...

A partir de aquf se Ies puede pedir que encuentren algunos

Acrlv .laa&r WII c l 1 f m f a a o m Ir vofsi l lo 109

a) ,Que numero aparecera en la pantalla si pulsan una vez

mas la tecla ~ ?

b) GOuenumeros apareceran sucesivamente en Lapantalla si

pulsan varias veces la tecla ~ ?

c) Pulsen varias veces la tecla ~ para ver si se curnple

la predicd6n que han hecho.

Una vez que los alumnos eomprueban sus conjeturas en re-

lacion con este problema, conviene presentar otros similares

para que adquieran confianza en el reconocimiento de patrones

numericos:

·@~m~~~~·· ·• i j ] J m m ~ fJ ] a ; J J a ; n .

· m l E D ~ ~ a ; ) J fD [ [ ; D .

En un segundo memento, losalumnos deberan explicitar

verbalmente la regla a patr6n que permite continuar la suce-

sion, antes de introducirlos a la simbolizaei6n (G3). Se les pue-

de preguntar, por ejemplo:

d) lOUe relacion hay entre dos rerminos consecutivos de la

sucesion?

e) lC6mo se obtiene cualquier termino a partir del ante-

rior?

Esto tiene el fin de que expresen la forma de obtener el si-guiente termino a partir de uno dado. En forma esquernatica,

los alumnos podran escribir:

5 8 II 14...

VVV+3 + 3 +3

En este punto se podria incluso plantear el problema inverso: 

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110

gramar la calculadora de modo que, al pulsar varias veces la tecla

~, aparezcan sucesivamente los terminos de dicha sucesi6n.

Finalmente, seles puede invitar a que simbolicen la regla que

sigue una sucesi6n (GS), para 10 cual deben encontrar terminos

muy avanzados de ella (por ejemplo, el termino que aparece en

ellugar 30 a en ellugar 50), a se Ies presentan situaciones mas

cornplejas, como la siguiente:

f) Si programas la calculadora can la suma ~~~~@J)~ ~ ~ fl) .'" ique numero debe aparecer despues de

pulsar 50 veces la tecla ~?

g) cY si, en vez de partir de 2, se inicia en 3, 4 05?

h) cY si se parte de cualquier numero?

En segundo grade sepodra seguir una secuencia de ensenan-

za similar, pero ahara can otras operaciones, como la resta, Par

ejemplo: si se programa la calculadora de la siguiente manera:

se obtendra la sucesi6n:

3, 1, -1, -3, ...

a) cQue nurneros apareceran si pulsas varias veces la tecla

~? (GI)

b) iQue relaci6n existe entre dos terminos consecutivos cua-

lesquiera de esta sucesi6n? (G3)

c) cC6mo se obtiene cualquier terrnino a partir del anterior?(G3)

d) iQue numero debe aparecer despues de pulsar 25veces la

tecla ~? (G5)

ACTIVIDADES CON

CALCULADORA GRAFICADORA

Las actividades que se proponen enseguida se han disefia-

do con base en la calculadora Tlc92 Plus, de la compaiiia Texas

Acrilrilaat's CO l i ca(w{n,{Qra g l ' l ! ! l md i " . 1 1 1 I t

arrollar la idea de correspondencia entre dos variables interde-

pendientes y la de variaci6n conjunta, as! como trabajar con in-

tervalos de variaci6n.

Aunque la calculadora graficadora es una herramienta que

facilita la resoluci6n y el analisis de problemas concretos, su

potencial didactico crece cuando se utiliza para desarrollar ha-

bilidades para el trabajo personal de los alumnos y su aptitud

para la indagaci6n, a partir de situaciones matematicas abiertas

desprovistas de todo contexto. En cuaJquiera de los dos casas, el

usa adecuado tanto de esta herramienta como del Modelo 3UVayuda a explicitar los aspectos que caracterizan a cada uno de

los usos de la variable.

Relaciones funcionales (situaciones

descritas con palabras Y expresiones

simbollcas)

Ernpezaremos nuestro trabajo planteando un problema maso menos real, para centrarnos luego en problemas sin contexto.

Una agencia de turismo cotiza el costa de un paseo par

Europa en $ 1000 par dia de paseo. Ademas, agrega $ 1500

par el seguro del paseante. cQue relaci6n hay entre el costo y

del paseo y el mimero x de dlas que dura el paseo?

Algunas preguntas que podriamos plantear son las siguientes:

a) iDe que depende el costo total del paseo? (Fl)

b) iCual es el costa por un paseo de lu dias? (F2)c) Si eJ paseo durara el doble de mas, ise duplicarta el cos-

ta? CF4)

d) Si el importe de una factura fue de $ 21500, icuantos dfas

dur6 el viaje? (F3)

e) Si y representa el costo del paseo, Y x, el numero de dfas

que dura el paseo, ,cual es Ia expresi6n que relaciona es-

tas variables? (F6)

Seguramente 1aUltima pregunta debe plantearse despues de

haber elaborado y analizado una tabla de valores de las varia- 

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112

aspectos de las variables en relaci6n funcional que participan en

este problema.

Una vez que se ha encontrado 1a expresi6n imb6lica que

relaciona estas variables, conviene introducir el uso de la calcu-

ladora para abundar en el analisis de 1asituaci6n con base en el

Modelo 3UV. Para ello, tecleamos 1a expresion encontrada (que

en 1acalculadora se traduce como ~ 1 = 1 0 0 0 · x + 1 S O O ) y desplega-

mos una parte de su tabla de valores:

~~- . . . . . . . . . . ~ ..')Fl ~ F2 F2 F3 F4 F5

P O H T i. .~ T S e T U P [~!._ M x B - 1 0 + 1 P O H T X n l

X ! : I I i !9500

~. ... ..._

9. 10500 . ----____..T['" n50B~'-

1 1 . 12500. ..-12 1 3 S O D . . . ._ ..

1 3 . 1450'0',-

1 1 - 1 . 15500,

. . _ . . . ._ : .1 3 1 6 S Q O , .------~.

, 1 F l L " " " ! T F 2 ' ( F 2 ~ ~ ' - - - r~ 1 : FS 1 - - - - - - 1. . S E ! U f ' I(ELIL MX.B. 0+ 1 P a M j X n l P O H

X ! : I 1 ,_ .....- ---1 . 1 5 0 0 . . . . . - ..

1 1 . 18S00.

~ .. 1 9 5 0 0 . ...

~-"- ~!!~_Q_-. .. ..

20 21500. I!

22500r-

2 1 . J.....-_... ..

22 . 2 3 5 0 0 , I

11 3

Entre la diversidad de preguntas que pueden plantearse te-

niendo a la vista esta tabla de valores, se sugieren las siguientes:

f) i.Cual es el costo por un paseo de 8 elias? (F2)

g) (Para cuantos dtas de paseo alcanzan $ 15SOO?(F3)

11) i.El costa de un paseo por 8 d tas es el doble de otro por 4

elias? (F4)i) i.Por que al duplicar el valor de x no se duplica e1 de y?

i.C6mo tendria que ser la expresi6n simbolica de esta si-

tuaci6n para que esto sucediera? CF4)

j) Para el pago del paseo dispongo de m a s de $ 20000, pero

menos de $ 25000. i.Para cuantos eliasde paseo me alcan ..

za? (F5)

Relaciones funcionales

(tablas y expresiones simb6licas)

Hernos visto que el uso de 1a tecnologfa no 5610faciIita el

analisis de 1a situaci6n concreta en cuestion, sino tambien las

relaciones entre dos modos de representaci6n de las funciones:

la expresi6n simbolica y la tabla de valores. Las actividades que

se presentan enseguida tienen como fin que los alumnos explo-

ren estas relaciones y puedan interpretar ambos modos de re-

presen taci6n.

Actividad 1

Tomaremos como punto de partida la expresi6n algebraica

y =x para explorar de que manera se modifica la tabla de valores

al transformar esta expresi6n.

a. ) c:C6mo sera Ia tabla de valores que corresponde a esta

expresi6n? (Ft)

b) i.Oue relacion hay entre los valores dex y y? (F'l)

 

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1 1 4

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. . .. F L I J ' ! " 5-.ly1.)[_

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3. 3.

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1 1 i

Conestas imageries a la vista se pueden plantear las siguien-tes preguntas (en apariencia, muy simples):

c) iPor que la tabla muestra valores iguales para la x y la y?

eFt)d) iC6mo serfa la tabla de valores de la expresion y ::0 x-I?

(Fl)

e) i.Y c6mo seria Lade la expresion y = x + I? (F 1)

Con objeto de que los alumnos validen a corrijan sus afirma-ciones, tecleamos estas expresiones (en la calculadora, ~2 = X -1 y' ; 1 3 = X + 1 ) y tendremos:

11 5

r~-Y"L L I S T ' : I L E P C H .L _

1 . Il O . 2.2 _ ' 1 2 1 1 3 _

.3 . 1 3 . 2. "_ ~ ,-",,,_ _ _ _4. I Y . 3 . S.

5 , I S , ' { 6 .

+ . - - . .+ ~ ~- - - - - -'- . I--,~~~-~+--~-L--~,

Planteamos ahora el problema inverso: partimos de la tabla

y preguntamos sabre L a expresion simb6lica. Para ella, anota-

mas en el pizarr6n la siguiente tabla:

x y

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14 

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116

Enseguida preguntamos, si continuamos la tabla de valores:

a) c:Que valor tendra y cuandox = lO? (Ft)b) ,Que valor tendra x cuando y = lO? (F2)c) ,Que expresi6n simb6lica corresponde a esta tabla de va-

lores? (F6)

Para validar 0 corregir las afirmaciones de los alumnos, te-cleamos las expresiones algebraicas que propongan.

Conviene presentar a los estudiantes diversos ejemplos de

tablas de valores y pedirles que den las expresiones simb6licascorrespondientes, can objeto de que desarrollen sus habilidades

de simbolizaci6n.

Relaciones funcionales

(graficas y expresiones simbolicas)

Actividad 3

Nuevamente tomaremos como punto de partida la expresi6nalgebraica y =x para explorar ahara de que manera se modificala grafica al transformar esta expresion, Tecleamos esta expre-si6n (~1= x) y obtenernos su grafica:

• Puns.1 \lh xY2~.y 3 . . .\ 1 '- 1 ~! : IS"\ 1 6 :':Il~! : l B ~' :190

! : I lO~

117

Preguntamos: segun Ia grafica de y = x:

a) ,Curues son los valores de y cuando 10 de x son 1,2, 3 Y4? (F2)

b) ,Por que los puntos de Ia recta Y =x estan ala misma dis-tancia de los dos ejes? (Ft)

Tecleamos ahora las funciones ':12= 2 x y ':13= Y x para obtenersus graficas:

• P lOTS.,I y l ~ xvy2= 2 x,! \ l3~Y)(

Y"4=

\ : I S ~! : I f , c :

' : 1 1 "

! :I 8 "' : 1 9 ·

' :110:

 

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11 8

Y preguntamos: segun Ia grafica de y = 2x:

c) iCuales son los vaIores de y cuando los de x son I, 2, 3 y

4? (F2)

d) i.Por q u e la recta y = 2 x esta mas cercana aI eje y que la

recta y :=x? (Ef )

e) iPor que la recta y = 4x esta mas cercana al eje y que larecta y = 2x? (Ft)

f) Imagina 1arecta de la expresi6n y = 3x. lEstan'i entre las

dos rectas anteriores 0fuera de ellas? (Fl)

Para que los alumnos validen 0 corrijan sus conjeturas, se

teclea la funci6ny = 3x (en 1acalculadora, ~y = 3x), se obtiene su

grafica y se observa su ubicaci6n con respecto de las de y = 2x y

y = 4x:

. .. P ~O T S

"!lI="1j2~2~"':13 -y)(

! I "! . .h':IS".! - 1 6 k' : 1 1 -

' : 1 8 "' : 1 9 "~iO•

119

g) Imagina la recta de la expre i6n y = O . S x . cCuales seran

los valores de y cuando los de x son 1,2,3 Y4? (F'l )

11 ) ,D6nde estara esta recta con respecto de y =x? (Fl)

Para que los alumnos validen 0 corrijan sus conjeturas, se

teclea la expresi6n y = O.5x (en la calculadora, ~5 = O . 5 x ) y se ob-

tienesu grafica:

A partir del analisis de estas graficas, los alumnos podran

reconocer la relacion entre la inclinacion (0 pendiente) de las

rectas y los valores de m en la expresion y = mx, Un proceso

similar puede seguirse al dar a m valores negatives. Del mismo

modo se puede proceder para lograr que los alumnos recorioz-

can la relaci6n entre los valores (positivos y negativos) de b y la

posicion de las rectas y =mx + b.

 

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120

ACTnnDADES CON LOGO

Logo es un lenguaje de programaci6n muy completo que per-

mite escribir programas may complejos, Sin embargo, la Geo-

metria de laTortuga (que es la parte grafica de Logo y su aspecto

m a s conocido) constituye, par 10 general, Ia puerta de entrada

a este lenguaje de programaci6n. AI trabajar con la Tortuga, 105alumnos no 5610descubren la Geornetria de la Tortuga, sino que

pueden acercarse a ideas algebraicas fundamentales.

Araiz de un trabajo experimental desarrollado can alumnos

utilizando ellenguaje de programacion Logo (Ursini. 1994), pu-

dimas constatar que este entorno de aprendizaje favorece los

procesos de conceptualizacion y uso del algebra. Logo permite

disefiar actividades que llevan al alumno a entrar en contacto

con los diferentes usos de la variable (incognita, variable funclo-nal, numero general) y sus aspectos.

Encontramos que, usando como soporte 1aexperiencia y el

conocimienro nurnericos que los estudiante poseen a 1 iniciode la secundaria, se les puede conducir gradualrnente hacia un

pensamiento mas general y abstracto, propio del algebra. Los

resultados obtenidos mostraron que, al trabajar con Logo, los

estudiantes de 12 a 13 anos de edad sin experiencia algebraica

previa pueden:

• Desarrollar la capacidad para reconocer patrones.

• Desarrollar una concepcion de la variable como numero

general, al tiempo que son capace de escribir expresiones

abiertas y operar sin necesidad de conocer su valor.

• Trabajar tanto can la idea de correspondencia entre dosvariables interdepenclientes, como can la idea de varia-

ci6n; adernas, son capaces de trabajar con intervalos y con

la idea de maximo y minima.

~ Concebir la variable como incognita espec1fica y determi-

nar su valor.

A continuaci6n e presentan algunas actividades que ilus-

tran como se puede usar Logo para trabajar ideas algebraicas

con 10 alumnos. (Para mas actividades, vease Ursini y Rojano,

121

Reconocimiento de patrones

Para dibujar un cuadrado cuyos lados miden 30 en Logo, se

puede escribir un program a como el que presentarnos a conti-

nuaci6n. Observese que en este program a se e cribe cuatro ve-

ces el mismo bloque de instrucciones.

P A R R C U R D R A D O

R!.J30}G O g O

A I) 30 }G O g O

~~~gI ) 3 0

G D g O

F IN

Cuando en un programa hay bloques de instrucciones que se

repiten, Logo permite escribir el program a en forma mas com-

pacta. Paraello se usa 1aprimitiva R E P I T E . As!, eI programa ante-

rior se puede escribir:

P A R R C U R D R A D D

R E P I T E Y [R ! ) 3 0 G O 1 3m

F I N

Cada vez que en una figura encontramos un patron basicoque se repite, podemos usar la primitiva R E P I T E para reproducir-

10 en la pantalla. Por ejernplo, trate de usar la primitiva R E P I T E

para escribir los programas que dibujan en pantalla los siguien-tes patrones:

a)

 

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122

Por 10 general, los alumnos no tienen dificu1tad para darse

cuenta de que hay algo que se repite sisternaticamente en ~n

dibujo (GI). Tampoco tienen problema alguno para reproducir-

10 con lapiz y papel, Las clificultades surgen cuando se trata de

expresarlo en Logo, dado que esto implica identificar cual es el

bloque exacto de instrucciones que hay que repetir (G3) y usar

la sintaxis correct a de este lenguaje.AI trabajar con actividades de este tipo, se ha observado que

los alumnos recurren al uso combinado de varias represents-

clones durante el proceso que siguen para identificar el bloquede instrucciones que se repite. Ast, por ejemplo, una estrategia

invent ada por elias (y que suele darles buenos resultados) es la

siguiente:

1. Primero dibujan la figura dada en modo directo, con 10

que logran reproducir el patr6n (Gl) y toman nota de los

comandos tecleados.2. Limpian la pantalla y vuelven a teclear los comandos que

registraron en papel y, al mismo tiempo, allado de cada

eomando registrado en el pape1, trazan el dibujo que enese momento aparece en la pantalia. Esto les ayuda a dar-

se cuenta del momento en que ernpieza a repetirse el pa-

tron y deducir asi el metodo. (G3)

Observese este procedirniento en el registro que se presenta

a continuacion, que fue realizado por una pareja de nifias de pri-mere de secundaria, cuando trabajaron con 1aversion de Logo

en ingles.

123

Para poder identificar el patron (G3), las alumnas fueron es-

tableciendo una correspondencia entre cada trazo y el comandocorrespondiente. Asf,una vez identificado el patron en eI dibuja,

tenian automaticamente identificado el bloque de comandos que

le correspondia. Notese como en su busqueda de la expresi6n

formal de la regularidad encerraron en un circulo los comandos

que, segun elias, producen el patron que se va repitiendo.Una vez identificado el bloque de instrucciones que hay que

repetir, el paso siguiente es escribir un program a usando 1a pri-

mitiva R E P I T E ; esto es, expresar e l patr6n en lenguaje Logo ( G S ) .

AI ejecutar el programa, se verifica si el bloque de instrucciones

identificado realmente representa el patron que se repite. A par-

tir del registro de las alumnas, vemos que no fue facil para ellasidentificar el patron; tuvieron que combinar la representaci6n

pictorica con ellenguaje Logo para identificarlo y expresarlo de

manera formal.

Lo anterior no pretende ser una sugerencia de ensenanza:

mas bien es una invitaci6n a dejar que los alumnos inventen sus

propias estrategias. El papel del profesor eonsiste en observar

las estrategias, discutirlas de rnanera individual 0grupal y, si esnecesario, ayudar a corregirlas.

Trabajo COD numeros generales

Generalizar y trabajar can generalizaciones es una caracte-ristica de las matematicas, y ellenguaje algebraico es elmedio a

traves del eual se expresa matematicamente una generalizaci6n.Can Logo es facil crear ambientes que propicien en el alumno 1anecesidad de generalizar y expresar una generalizacion, incJuso

antes de introducir ellenguaje algebraico. Experiencias de este

tipo pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar una mejorcomprension del algebra.

El prograrna C U R D R R D O visto arriba dibujaba un cuadrado delado 30. Si queremos clibujar un cuadrado de lado 100, podemosescribir el programa siguiente:

P R R R C U A D R R D O 

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124 C c p , 6. U ,O ,ft (II tc tl lo[og!a

iD6nde esta la diferencia entre este program a y el que dibu-

[aba un cuadrado de lado 3D?S1e llector analiza el metodo que se us6 para resolver estos

dos casas particulares, pero sirnilares, observara que se sigui6larnisma regla a metodo, leual fue 1a regla 0rnetodo que emplea-

mas? Para deducirlo,es necesario reconocer ante todo que los

problemas son similaresy,en consecuencia, identificar cualesson sus aspectos comunes y clistinguirlos de los aspectos que

cambian. En nuestro ejemplo, la unica diferencia entre los dos

programas es el tamafio dellado del cuadrado: una vez es 30,

otra vez es 100; es decir, 10 que varia es el tamafio dellado; todo

1 0 demas perrnaneee igual.En Logo, un metoda general se expresa par media de un

programa general, en el eual 1 0 que varia se exp:es~ medianteun numero general Un programa general para dibujar un cua-

drado de cualquier tamano es el siguiente:

P A R A C U A D R A D O : XR E P I T E Y [ A I ) : X G O 9 0 ]

F IN

Si se les pide a los alumnos, par ejemplo, que escriban pro-

gramas generales para dibujar poligonos regulares de distintos

tamafios, tendran que seguir un analisis similar al que acaba-

mos de ilustrar; esto es, deberan reeonoeer que hay una regla a

metodo para dibujar un pohgono detenninado, que es indepen-

diente de su tamafio (GO. Tendran que deducir la regla 0meto-

do empleado (G3). Deberan simbolizar la regla (GS) escribiendo

un programa general, en el que asignaran un simbolo al numerogeneral.

Por otro lado, si se le pide al alwnno que escriba un pro-

grama general que dibuje, por ejemplo. la letra "E" de distintos

tamafios, usando una sola variable, sera neeesario ademas que

el opere can el numero general. (G4)

9

125

Paso del numero general a

Ia incognita especifica

Si bien el uso de las variables en Logo esta fntimamente Iiga-

do a la escritura de program as generales, escribir un programa

general no suele ser el objetivo final de una actividad. Mas bien,

es un paso intermedio de un proceso cuyo objetivo es obtenerun resultado visible en la pantalla, Una vez escrito el programa

general, se ejecuta asignando un valor especffico a la variable

involucrada. En este proeeso, la variable se desprende de su ca-

racter de numero general y asume un valor especffico, Esto im-

plica pasar de interpretar la variable como un mimero general,

indetenninado, a interpretarla como representante de un valor

particular. En Logo se puede usar este hecho para trabajar con

la idea de inc6gnita.

Dependiendo de los valores que le asignamos a la variable, al

ejecutar un program a general se puede obtener la misma f igu-

ra, pero de distinto tamaiio. Conocer cual es el valor que tengoque asignar a la variable para obtener una figura de eierto ta-

mano puede ser rnuy uti! cuando, por ejemplo, quiero obtener

una cornposicion annoniosa de distintas figuras en la pantalla

de la computadora. Por ejernplo, el siguiente programa dibuja

un "pino", cuyas dimensiones aparecen sefialadas en la Iigura,

lQue valores hay que asignarle a la variable : X para que el pino

mida, en total, 122,2150 186?

P R R A P IN D :X

8 T 8 P C E N T R O O T

R l. ! : X G O 9 0R U Y O G I 1 8 0

R I ) S O G O 1 3 5

R I ) R C 3 2 0 0 G O 9 0

R I ) R C 3 2 0 0 G O 2 2 5

E S C R I S E [ E L P IN D r U D E ]

P D N [U R S O R u y m

E S C R IS E : X + Y O

F I N

40

L____ __ -, ---" __ • _

·X

 

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126

x + 40 = = 122 x + 40;= 215 x + 40 = 186

Los valores que se obtienen para la x al resolver estas ecua-

ciones son 10 que se usaran para ejecutar el program a y as}

obtener los tres "pinos" del tamai'io deseado. Para lograrlo, el

alumna tieoe que:

• Reconocer que en la situaci6n plante ada hay un valor des-

conocido. (H)• Interpretar el simbolo que aparece en el programa como la

representaci6n de un valor especifico que se puede deter-

minar. (12)• Piantear las ecuaciones de hecho 0mentalmente. (15)

• Deterrninar la cantidad desconocida. (14)

• Ejecutar el programa con el valor que cumple con los re-

querimientos del problema. (13)

Las ecuaciones involucradas en este problema son del tipox + a = h. Dependiendo de los alumnos con los que se este tra-

bajando, pueden disefiarse siruaciones que impliquen resolver

ecuaciones de distiota complejidad. Porejemplo, al trabajar con

aluronos prealgebraicas, se puede empezar can ecuaciones sen-

cillas, de los tipos x + a = b yax = b. Mas adeLante se puede tra-bajar con ecuaciones del tipo ax + b = = e. Finalmente se pueden

usar ecuaciones del tipo ax + bx + ex = d, cuya soluci6n implica

la manipulaci6n de la variable.

Algo de relaciones funcionales

Los programas generales de Logo son funciones. A I asignar-

le un valor a Ia variable, obtenemo cierto resultado grafico 0

numerico. Esta caracterfstica de Logo favorece el trabajo con las

ideas de correspondencia y variaci6n, fundamentales para acer-

car a los alumnos a la idea de relaci6n funcional.

Consideremos el siguiente programa, que dibuja un triangu-

10 de cualquier tamaiio:

127

( E S C R IB E [T R nR NO D E L L R D 0 1 J{ + IS ]

F IN

Si queremos que ellado del triangulo este entre 50 y 200,

,que valores puedo dade a :X ? Para contestar esta pregunta, e

necesario dru-secuenta de que existe una relacion de correspon-

denc ia entre el valor que se asigna a :X al ejecutar el programa y

el tarnafio que tiene ellado del triangulo. (Fl)

Se puede pedir al alumno que ejeeute el programa con dis-

tintos valores y que elabore una tabla relacionandolos COll el

tamafio dellado (F2). AI analizar la tabla, puede tratar de identi-

ficar los valores que corresponden a los tamafios 50 y 200. (F3)

Si la tabla se llen6 de manera sistematica, aumentando 0dts-

minuyendo los valores con los que se ejecut6 el programa, el

alumno no tendra mayores di.fi.cultadesen determinar el inter-

valo (FS) de valores para los cuales se obtiene un triangulo cuyo

lade es mayor que 50pero menor que 200. Esto, sin embargo, les

puede resultar diftcil si no tienen una labla de datos ordenada.

En lugar de usar la expresi6n x + 15, u otra que irnplica un

crecimiento lineal, pueden usarse distintas expresiones que den

como resultado una relaci6n funcional mas compleja; por ejem-

plo, una funci6n decreciente (como 150 - x), 0 que tenga un

maximo (como 200 _x2) 0un minimo (x2 + 12), En estos caso ,

dependiendo de la funci6n utilizada, se aconseja sugerir a los

alumnos los rangos de valores con los que conviene que haga

sus busquedas.

El alumna no tiene por que tener acceso necesariamente a la

estructura del programa; en estos ca os mas complejos es sufi-

ciente que pueda ejecutarlo y observar los resultados que obtiene.Su faeo de atenci6n puede centrarse en los resultados obtenidosy a1 analizarlos puede tratar de ubicar, por ejemplo, cuando el

lado del triangulo alcanzara su valor maximo, cuando el minima

y en que interval os ellado estara entre ciertos valores dados.

 

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,IUQTHPH1L-~ -,7.fJ

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i&J,

;4~.l~

: Y

EI Modelo 3UVenel diseno

de instrumentosde diagnostico

IMPORTANCIA DE LA EVALUACION

Y DEL DIAGNOSTICO

Una actividad importante en una clase de maternaticas es Iaevaluaci6n del conocimiento de los estudiantes. Esto suele lle-varse a cabo par media de examenes y de la participaci6n de los

estudiantes en las actividades dentro del aula. Generalmente, en

Iosexamenes se utilizan preguntas muy parecidas a las que se

ctiscuten y se resuelven en la clase. Sin embargo, las actividades

de evaluaci6n pueden constituir oportunidades para conocer

can mayor profundidad los conocimientos de cada uno de los

alumnos del grupo y las caractertsticas de este como un todo.

Tal conocimiento resulta muy util cuando se torna como punto

de partida para disefiar estrategias que permiten ayudar a cada

persona a al grupo a avanzar, y como base de comparad6n en

futuras evaluaciones.El aprendizaje esta en constante evoluci6n y las actividades

dediagn6stico deben seguir ese cambia continuo. Por ella, esne-

cesario tamar una postura dinamica can respecto al diagn6sticoy a Ia evaluacion. En este capitulo nos interesa mostrar como el

Modelo 3UVpuede ser una herramienta muy util en el diseno de

instrumentos de diagn6stico y evaluacion, y en el analisis de los

resultados que se obtienen de su aplicacion.

La elecci6n de las preguntas de evaluaci6n es un asunto cen-

tral; no cualquier pregunta es adecuada para obtener informa-

cion valiosa y pertinente, El disefio de cada una de las cornpo- 

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130 C ' ! P . 7.E{M o d e r . . l JUV

nentes de un instrumento seve beneficiado si se hace un analisis

previo del concepto 0 conceptos que se desea abordar y de la

forma en la que deben abordarse. El Modelo 3UV proporciona

una base teorica, fundamentada en la investigacion educativa,

que sirve de guia tanto en el desarrollo de instrumentos de eva-

luaci6n y diagn6stico, como en el analisis de las respuestas que

dan los estudiantes.

USO DE LOS ELEMENTOS DELMODELO 3UV EN EL DISENODE CUESTIONARIOS yEXAMENES

iC6mo podemos usar elModelo 3UV en el diseno de pregun-

tas que nos permitan conocer alga mas de nuestros alumnos y

evaluarlos mejor? k~p'ect u caracterizan.cada uno de los

'es usos c a variable que se esg osan en el mouelo, pued:en

usarse como punto e partida en el diseno de las preguntas deun examen, para delimitar con precision la forma en 1aque los

estudiantes entienden el c l.cepto de ~arja~.

Lo tre uso taria. e 1e extern

nados entr€ S1. En a mayoria e 0 pro emas aparecen OU-

juntamente, aunque con diferentes grados de importancia. Por

ella, en el disefio de las preguntas de examen debe decidirse que

tipo de informacion se busca. Mostraremos aquf el disefio de

dos cuestionarios de evaluacion, Uno de elios busca conocer

a.manerz la...c}ue_losstudiantes jIlt€) pet e-l 0RGe'Riode

varia - . Con tal motivo se 1.enaron preguntas que permitari

dilerenciar, 10 m a s claramente posible, entre los distintos usosen los que el concepto se presenta de acuerdo con el modelo; es

decir, preguntas en las que el enfasis en uno de los usos se per-

ciba con claridad. El otro cuestionario se diserio para analizar

1aflexibilidad con 1aque los estudiantes manejan el concepto de

variable, a traves de problemas mas complejos, en los que es ne-

cesario pasar entre los distintos usos que se hace de la variable

en el algebra elemental.

131

Diseiio de preguntas para medir

Ia comprensi6n del concepto

de variable

Los resultados obtenidos en varias investigaciones (Lopez,

1996; Ursini y Trigueros, 1997; Ursini, Trigueros y Lozano, 2000;

(Juarez, 2002); Ursini y Trigueros. 2004;) nos permiten afirmar

que el M deJo 3UV ha robado ser uti! como henamienta de

diagnosticif

15 apnmera forma de acercarse al estudio de la comprensi6n

del concepto de variable par parte de los estudiantes requiere un

analisis del grado en que estos han cornprendido los distintos

aspectos que componen cada uno de los usos de la variable. Ilus-

tramos a continuaci6n el diseno de un cuestionario basado en

elModelo 3UV. EI cuestionario consta de 10 preguntas. Deelias,

tres se refieren aluso de 1av~able c rna inca ita, tres al usa

de 1a v~~hL c.om numero g_e~raI y tres al usa de variables

en relacion ClOnal. e agrego, ademas, una pregun a que seJ,"efiere a la inter retacion de una relaci6n funcional presentada

en forma grafica.

El cuestionario se utilize para la evaluacion diagnostica deun

grupo de estudian tes de tercer grado de secundaria. Cada una de

las preguntas que 10 constituyen se analiza con base en la inter-

pretacion, manipulacion y simbolizaci6n de los distintos usos de

lavariable. Es import ante enfatizar que las preguntas se eligieron

de manera que claramente pongan en relieve cada uno de los ele-

mentos del modelo, con el fin de poder diagnosticar los proble-

mas especificos que los alumnos tienen con cada uno de elios.

Cuestionario I

1. iCuantos valores puede tomar 1aletra x en 1a expresion 4 +

x2 = x(x + I)?

2. Dada la expresion y =X2, si queremos que los valores de y es-

ten entre 256 y 10 000, ,entre que valores debe estar x?

3. iCuantos valores puede tomar 1aletra en 1aexpresi6n x + 2 = =

2 +x?

4. Dada la siguiente grafica, ,entre que valores de x crecen los 

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32

y

x

5. En 1a expresion 40 - 15x - 3y = 17 y - 5x, (que valor de y

corresponde a x = 16?6. Escribe los valores que puede tornar la letra en Iaexpresi6n

(x + 3) 2 = 36.7. El area de 1asiguiente figura es 27 ern". (Cual es el area del

cuadrado de lade b, si la base del rectangulo de 1aderecha

mide 3 cm?

b

b 3

8. Escribe una expresi6n que signifique: "Un numero desco-

nocido dividido entre 5 y el resultado sumado a 7."9. Reduce la siguiente expresi6n a una equivalente: (Xl + 1) (x2

- 2);

[0. En el puesto de manzanas de don Panchito, la charola de

la bascula se desplaza 4 centimetres por cada kilograrno

d e manzanas. Encuentra y simboliza la relacion entre el

peso de las manzanas y Ja distancia que se desplaza la cha-

rola.

l33

AJUiIisisde las preguntas delcuestionario I utilizando el Modelo 3UV

Pregunia A 1' 1 d l is i s

1- iCuantos valores puede tomar N6tese que Ia pregunta

1aletra x en la expresi6n no requiere la soluci6n

4 +x'- =x(x + I)? de la ecuacion, pew si suanalisis, Los estudiantes

suelen con iderar que

una ecuacion en 1aque la

variable aparece al cuadrado,

tiene automaticamente dos

soluciones. (U)Un analisis

simple pero euidadoso de la

expresion hace notar que la

ecuacion tiene unicamente

una soluclon, Pero para

ella es necesario manipular

la variable de hecho 0

mentalrnente. (G4)

2. Dada la expresion y = x2, si Se planiea la necesidad de

queremos que los valores de interpretar a la variable eny esten entre 256 y 10000, Llna relacion [unc i ona l , a

(entre que valores debe estar partir de la informacion dada

x? analiticamente. Su resolucion

requiere que los estudiantes

entiendan la variacion

conjunta de las variables

en un intervale, a partir dela relacion dada. Para ello,

deben bu car el Intervale

de variacion de la variable

independiente, cuando el

intervale de variacion de

lavariable dependiente es

conocido. (FI, FS)

3 . iCuantos valores puede tornar Esta pregunta pretende

la letra en la expresi6n x + 2 = acercarse a L a po ibilidad de2 +x? que los alumnos diferencien

 

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13 4

(Continuacion )

Pregunia Andlisis

4. Dada la siguiente grafica,

(entre que valores de x crecen

los valores de y?

y

2~-22-

20-IS-16-I~-

12-10-8-

6-

4-2-

l I - 2 " - = +- I I

-~ -2 2 4

expresion tauiologica, en la

que el papel que desempena la

literal es el de variable comonumero general. (G2)

If.

En esta pregunta, 10 relevante

es la posibilidad de interpretar

la variable en una relacion

[uncional, a partir de la

.informacion dada en una

grafica. Se trata de indagar

si los estudiantes entienden

la variaci6n conjunta de las

variables en un intervale, Para

elJodeben busear el intervale

de variaci6n de Ia variable

independiente, cuando el de

la variable dependiente es

conocido, (Fl, F5)

5. En la expresi6n 40 - 15x - 3)'

= J 7y - 5x, ,que valor de y

corresponde a x = 16?

6. Escribe los valores que puede

tamar laIetra en Ia expresion

(x + 3)2 '"36.

La expresi6n que se presenta

aqui corresponde a una

relacion funcional. Adernas

de interpretar la variable

en una relacion [uncional

representada en forma

analltica, los aJumnos deben

ser capaces de sustituirel vaJor

dado, con 10 que la expresion

se convierte en una ecuaci6n

que es necesario manipular

mediante transposicion y

agrupaci6n de terminos

para cneontrar eI valor de la

incognita. (Il, F2)

En esta pregunta se requiere

saber interpretar Ia variable

como incognita

7. El area de la siguiente figura

es 27 cruz. (Cual es el area del

cuadrado de lado b, si la base

del rectangulo de la derecha

rnide 3 em?

b 3

8. Eseribe una expresi6n que

signifique: "Un rnimero

desconocido dividido entre 5

y el resultado surnado a 7."

9. Reduce la siguiente expresi6n

a una equivalente: (x2 + t) (Xl

- 2) ::

10. En el puesto de manzanas de

don Panchito, la charola de la

ba s cuI a se desplaza

13 5

(It) Ymanipularla (14) en

una expresion euadratica.

La eeuaci6n es simple, de

manera que eJ valor de la

incognita puede encontrarse

sin necesidad de rnanipular:

sin embargo. al evitar la

manipulaci6n, explieita 0

mental. los estudiantes olvidan

la posibilidad de obtener

x :: -3como solucion.

Esta pregunta requiere

interpretar lavariable dada

como un numero general

(G2) y manipularla (G4) para

establecer la ecuaci6n. (15)

Reconoeer cual es la incogni ta

del problema (11) ycaJcular su

valor. (14)

Can esta pregunta se hace

enfasis en Ia simbolizaci6n

de la variable como numerogeneral. Parte de su dificultad

radica en que lavariable debe

aparecer en una fraccion. (IS)

Para responder esta pregunta

se requiere saber manipular

la variable como UI1 numero

general en una expre ion en la

que la variable aparece elevada

al cuadrado. (G4)

Aqui se requiere sirnbolizar

la var iable en Wla relacion

[uncional, a partir de los datos 

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136

tContinuacicn.)

Pregun ta Andlisis

4 cent imetros por cada contenidos en un problema

kilogramo de manzanas, planteado en lenguaje natural

Encuentra y sirnboliza la yen el que el sfmbolo no esta

relaci6n entre e1peso de las dado. Adernas, es necesario

manzanas y la distan cia que rnanipular la expresi6n

se desplaza la charola. propuesta para encontrar

el valor de 1avariable

dependiente, cuando se da el

de 1avariable independiente.

(F3, F6, 11)

Como puede verse, las 10 preguntas anteriores cubren varies

de los elementos de la descomposici6n del concepto de variable

que se incluyen en el Modelo 3UV Las preguntas son simples.

no requieren muchas operaciones ni elplanteamiento deproble-

mas complejos. Estas preguntas son pertinentes para analizarde forma difereneiada emil 0cuales de los aspectos del eoneep-

to de variable son comprendidos por los alumnos y en emil 0

cuales presentan dificultades.

Diseiio de preguntas para medir

la flexibilidad para pasar entre

los distintos usos de la variable

Otra manera de acercarse al estudio de la comprension que

tienen los estudiantes del concepto de variable es su capacidad

para resolver problemas cuya soIuci6n demanda pasar, de rna-

nera flexible, de un aspecto de la variable a otro. Tomando como

base el Modelo 3UY,se disefi6 un cuestionario con este proposi-

to. El.cuestionario consta de seis problemas.

Cuestionario II1. lPara que valores de x el area del siguiente rectangulo varia

entre 168 y 288? Si el valor de x aurnenta 0 decrece, (que

pasa can el area?

137

12

2. Dada la ecuaci6n de 1arectay = 2 .x + 1, i.es"illnlos puntos (3,

7) y (2, 8) en la recta? El valor de y de un punta de esa recta

es _ _ ± _ . i.Cual es el correspondiente de x?3

3. Sabemos que x + y =: lOy, adernas, que xy =7. Halla los valo-

res de x y de y.

4. Un horte1ano vende el kilogramo de tomate a $ 12.00 Yle

cuesta $ 240.00 reeoger la cosecha. Halla una relaci6n entre

10 que gana el hartelano y el numero de kilogramos de to-

mate que vende. (Cumtos kilogramos tiene que vender para

ganar $ 4500.00?

5. Resuelve graficamente la ecuacion Xl - 5x + 7 = O.6. Los datos de L a tabla representan elprecio al que se venden

los jugos en el puesto del mercado.

C antidad de Pr e c io env as os (x ) p e s o s (y)

1 2

1.5 3

2 4

2.55

3 6

3.5 7

4 8

4.5 9~

• Encuentra la grafica que describe la relaci6n entre la can-

tidad de juga que compras y el precio.

• Describe con tus propias paJabras que pasa con el precio

cuando compras mas jugo. 

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13 8 c~, 7. E(Mm{do 311V

• ,Cuanto costarta cornprar 2 ! vasos de jugo?

• Escribe una ecuacion que represente cuanto tienes que pa-

gar depencliendo del numero de vasos dejugo que compres.

• c . Cuanto tendrfas que pagar par nueve vasos de juga?

Aruilisis de las preguntas delcuestionario IIutilizando

el Modelo 3UV

Andlisisregunta

1. (Para que valores de

x el area del siguiente

rectangulo varia

entre 168 y 288? Si el

valor de x aumenta

o decrece,(que

pasacon el area?

La respuesta a este problema requiere

la identificacion de dos intervaJos no

contiguos. Para elio, la variable x debe

ser reconocida en primer lugar como

un numero general (G2), que debe ser

manipulado y utilizado para obtener

una expresion (G4). Posteriormente,

es necesario reconocer a x como

una cantidad desconocida cuyo

valor puede determinarse (11, 14).

Se requiere, ademas, reconocer

la correspondencia (Ft) entre los

valores de x y del area, y la variaci6n

conjunta de esas dos variables (F4),

para determinar los intervalos (F5)

en los que las variables toman los

valores deseados. Es posible utilizar

otras estrategias de soluci6n para esteproblema.

12

2. Dada la ecuaci6n de la

recta y =2x + I,i.cstan

los puntos (3, 7) Y

(2, 8)en la recta? E1

valor de y de un punto

de esa recta

es..i. lCUa! es el

coneJondiente de x?

En esta pregunta es necesario

considerar, en primer termino,

que las variables x y y estan en

correspondencia (Fl). Para encontrar

si los puntos dados pertenecen a la

recta, el alumno requiere sustituir los

valores en la relaci6n funcional (F2,

F3), para determinar si se satisface la

igualdad en la ecuaci6n resultante. La

3. Sabemos que x + y '"

1 0 y, ademas, que

xy =: 7. Halla los

valores de x y de y.

4. Un hortelano vende elkilogramo de tomate

a $ 12.00 y le cuesta

$ 240.00 recoger la

cosecha. Halla una

relacion entre 1 0 que

gana el hortelano y el

mimero de kilogramos

de tomate que vende.

lCmintos kilogram ostiene que vender para

139

segunda parte de la pregunta requiere

reconsiderar Ia ecuaci6n original y

sustituir el valor dado para y (F3),

reconocer la inc6gnita en la ecuacion

resultante (11, [4) Ymanipular L a

expresicn para determinarel valor de

x (14) correspondiente.

Esta pregunta puede resolverse

siguiendo distintas estrategias, La mas

sencilla requiere identificar las dos

expresiones dadas como ecuaciones,

y a las variables x y y como incognitas

(II, 12). Para manipular estas

expresiones esnecesario interpretar

a las variables x y y como numeros

generales (G1, G2) y manipular

una de las ecuaciones para obtener

una expresion equivalente en

terrninos de una sola variable (G4).Posteriormente, se ha de inlerpretar

esta expresi6n como una ecuaci6n

en la que hay una incognita (11),

encontrar su valor (14) y sustitui:rlo

en 1aotra expre i6n (12, G3, G4).

Otra estrategia consiste en identificar

a las expresiones como relaciones

funcionales, graficarlas y, a partir

de la grafica, encontrar los valores

correspondientes.

En este problema se requiereidentificar la relaci6n funcional entre

el nurnero de kilogram os de tomate

que se venden y la ganancia obtenida,

tomando en consideracion el coste

de Ia cosecha (Fl, F4). El analisis de

la situaci6n planteada debe conducir

ala simbolizaci6n de Ia relaci6n

funcional (F6). Una vez establecida

esta, hay que sustituir el data

proporcionado (F2) para obtener

 

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Pregunia

Para resolver este problema, es

necesario interpretar las variables

que representan los datos de 1a tabla

como variables en correspondencia

(Fl). A partir de el los, es necesario

graficar la funci6n (F4) e interpretar

la informacion contenida en ella

en terminos de la variaci6n entre

las variables (F4). Luego hay que

interpretar la relaci6n funcional

(Ft) y simbolizarla (F6). Una vez

que se cuenta can esta relacion,

el estudiante requiere sustituir el

data proporcionado en Ia relacionfuncional (F2), para obtener una

ecuacion en 1aque debe reconocer laincognita (II) y manipularla (G4) para

5. Resuelve graficamente

la ecuaci6n x2 - Sx + 7

= O .

6. Los datos de la tabla

representan el precio

al que se venden los

jugos.en el puesto del

mercado.

Cantidad de Precio en

vasos (x) (y)

1 2

'1.5 3

2 4

2.5 5

3 6

3.5 7

Alldlisis

interpreter a una de las variables

como incognita (11), manipularla

(G4) y encontrar su valor (14).

Este problema tambien puede ser

resuel to uti lizando una estrategia de

graficaci6n de funciones.

Este problema pide hallar el valor

de la inc6gnita de manera grafica,

Para el lo, es necesario establecer una

relaci6n funcional entre la expresion

dada y una nueva variable, y, 1 0

que implica pasar de interpretar

la variable x como incognita, a

interpretarla como una de las

variables en relacion (Fl, F4, F6).

Para graficar la funcion, se requiere

dar valores a una de las variables

para encontrar el valor de la otra

(F2), y construir una tabla y la graficacorrespondiente CF4). Posteriormente,

reconocer que resolver la ecuacion

original corresponde a encontrar los

valores de x para los que y vale 0 e

ident ificar su valor en la grafica, (F3)

• Encuentra Ia graficaque describe la

relaci6n entre la

cantidad de jugo

que compras y el

precio.

• Describe can tus

propias palabrasque pasa can el

precio cuando

compras mas juga.• i,Cuanto costarfa

comprar 2 _ l_ vasos

d. 4

eJugo?

• Escribe unaecuaci6n que

represente cuanto

lienes que pagar

dependiendo delmimero de vases de

jugo que cern pres.

• i,Cuanto tendrias

que pagar par nueve

vases de juga?

14 1

USO DE LOS CUESTIONARIOS

DE DIAGNOSTICO Y ANALISIS DE

LAS RESPliESTAS DE LOS ALUMNOS

UTILIZANDO EL MODELO 3UV

Los instrumentos diseiiados se pro baron para demostrar su

fiabilidad y han sido aplicados en numerosas ocasiones. A conti-

nuaci6n se presentan las respuestas dadas por algunos alumnos

de tercer afio de secundaria. Dichas respuestas se analizan en

terminos del Modelo 3UV En el cuestionario I se analizan una

por una para dos estudiantes, y en el cuestionario II en formaglobal, para todo el grupo.

Antes de revisar el analisis de las respuestas, invitamos al 

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14 2 C a y , 7.E( Maada 3UV

Una vez que 10 haya heche, comparelo can eI que proporciona-

mas aquf.

Respuestas al cuestionario I

Respuestas de M(U1l / . e l A nrii is is

1. Dos El estudiante identifica la expresion

como una ecuaci6n y reconoce el

papel que la variable desernpena

en ella; sin embargo, reacciona

automaticarnente a una serial

externa: la incognita aparece al

cuadrado; luego, se trata de una

ecuaci6n cuadratica y debe tener

dos soluciones, Aun euando este

estudiante reconoce la expresion y la

incognita en ella, su interpretacion

de Ia variable como incognita esta

limitada par su falta de analisis, Este

hecho evidencia que este estudiante

requiere orientaci6n para que, al

realizar actividades como esta, analice

cuidadosamente la situacion.

2..256 <Y < 1000, En esta respuesia se observa que el

256 < xL < 1000; estudiante interprets correctarnente

(16,.100) la nocion de correspondencia entre

cantidades especificas, pero tiene

dificultades can la idea de variacion

conjunta, ya que, para encontrar el

Intervale que se Iepide, deterrnina el

valor de Ia funci6n en los extremes

del intervale dado y generalize los

valores internes al intervale, sin tamar

en consideracion las caracterfsticas

espectficas de la funci6n con Ia que

esta trabajando. Puede coasiderarse

que el estudiante sobregeneraliza

la variacion mon6tona a cualquier

14.3

3. Una El estudiante Identifica la

expresion como una ecuacion,

por 10 que atribuye a la variable

1"'1apel de incognita. Reacciona

au tomaticamente al hecho de que

en 1aexpresion se presenta una

igualdad en la que la literal aparece

sin exponente, y por ello responde que

la literal puede tamar unicamente un

valor. La reaccion automatica a signos

externos no perrnite distinguir el

caracter tautolegico de la expresion,

4. Entre 0 y -5, Yde Qa 5 Manuel interpreta el crecirniento de

Ia funci6n representada en la grafica

situandose en el origen como punta

de partida. Vista desde ese punto, el

valor de y aumenta hacia la izquierda

y hacia la derecha del 0, par 10 que

concluye que es en esos intervalos

donde la funci6n es creciente. Este

alumna muestra dificultades con la

interpretacion de Ia relaci6n Iuncional

y con la noci6n de variacion, asf como

can la idea de orden de los numeros

reales, al leer jndisrintamente de

derecha a izquierda a de izquierda

a derecha los valores de la variable

independiente,

S . 17 y + 3y - 5x + 1 5x - 40; Esta respuesta revela cierta debilidad

20y + JQx- 40 en Ia habilidad del estudiante para

lOx - 40 = -2Oy manipular la relacion funcionallO,! - 40

,

y la necesidad de irhacienda=-20 las operaciones de una en una,

160 - 40 = 120 ==-6 escribiendo Ladas los pasos. Se

-20 observe tarnbien el mal manejo que el

estudiante hace del signa de igualdad.

En este case, el estudiante manipula

las variables en [aexpresion como

numerus generales, pero recupera

posteriormente la relacion funcional y

es capaz de sustituir correctamente los 

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Respuestas de Manusi Andlisis

6. x =: 3 La ecuaci6n que se presenta en e te

problema es simple. El estudiante

es capaz de reeonocer a la expresion

como una ecuaci6n. La sirnplicidad

de la ecuaci6n conduce al estudiante

a evitar la manipulaci6n y a adivinar

la soluci6n par sustituci6n directa,

Adiferencia de la pregunta anterior.

al ser capaz de calcular rapidamente

el valor de la incognita, el estudiante

pasa par alto el grado de la ecuaci6n

y se conforma con encontrar una sola

soluci6n. Nuevarnente, esto revela

superficialidad en el conocimiento

algebraico del estudiante, quien

es capaz de poner atencion s610

al aspecto mas sobresaliente de la

ecuaci6n.

7. L := m El estudiante es incapaz de plantear

el problema propuesto. Una vez

mas, contesta en respuesta a signos

extemos explicitos. Dado que el

problema menciona que se debe

encontrar eJarea de un cuadrado,

el estudiante precede a utilizar Iaf6rmula memorizada para el area

de un cuadrado: U = 27 Yobtiene la

rafz cuadrada. El estudiante tiene

dificultades para interpretar su propia

ecuaci6n, pues un simple analisis deesta pudo haberle indicado que 10 que

obtendria a craves de su planteamiento

seria el lado de un cuadrado de lado

mayor que el que se requiere, y no

el area buscada. En este caso, el

estudiante no es capaz de Identificar

Ia incognita en la situaci.6n, ni de

interpretar correctamente su ecuacion

en terminos del problema planteado;

ademas, esmcapaz de simbolizar Ia

145

8.~ =Y + 7 EI alumna muestra dificultades a]5 interpretar el sfrnbolo como ruimero

general y para simbolizarlo. Aun

cuando el alumna es capaz de

simbolizar un numero general

(cuando escribe':£), muestra5

dificultades al pasar a la simbolizaci.6n

de una expresion un poco mas

compleja, ya que tiene problemas para

considerar a ~ como un objeto sobre5

el que puede operar para producir una

nueva expresi6n. El estudiante

tiene la necesidad de identificar a£5

can una nueva variable, la variable

Y , para operar can ella. AIefectuar la

operacion de surna, no considera

necesario separar las expresiones ~5= y y y + 7, Ylas combina en una sola,

que resulta incorrecta. El usa del

signa de igualdad como una forma

de conectar los pasos del proceso

de saluci6n puede considerarse

una evidencia de la inseguridad

del alumna en la interpretacion del

papeJ de la variable en elproblema,

y muestra dificultades con la

manipulaci6n y la simbolizacion de la

variable como numero general.

9.X4 - 2x2 + x' - 2 ; El alumno muestra una interpretaci6nX4 _Xl - 2 adecuada de la variable como un

numero general y una manipulaci6n

correcta de la expresi6n.

10.1 kg = 4 ern Esta claro que, para este alumno,

los metodos aritmeticos de soluci6n

prevalecen sobre los algebraic as, 1 0cual interfiere con su habilidad para

esiablecer relaciones entre variables y

 

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Respuestas de Manuel Andlis is

informacion dada en el problema de

forma simb6lica y l lega a una relaci6n

incorrect a entre las variables. E1usa

que hace del signa de igualdad nos

proporciona informacion relevarue

acerca de la forma en la que aborda

el problema. Para el, el signo de

igualdad desempena el papel delverba, "desplazar" 0 "corresponder

a". EI alumno usa el igno como

una herramienta que 1 0 apoya en su

analisis del problema. pero al misrno

tiempo 10 limita a un acercarniento

aritmetico y Ie dificulra la posibilidad

de generalizar;

Diagn6stico global de Manuel

Este alumno es capaz de reconocer la variable como inc6gni-ta 0como numero general, y de manipularla en ecuaciones sim-

ples 0en aquellas en las que el enunciado del problema le da una

idea clara de ello. Cuando DO es asi, tiene dificultades para es-tablecer el papel de la variable (s f se trata de Lillaincognita, de

un rnimero general 0 de una relaci6n funcional). Aunque puede

reconocer la correspondencia entre variables en una relaci6n fun-cional, no es capaz de reconocer la variaci6n conjunta de las va-

riables y rnuestra dificultades en la manipulaci6n de la expresi6n

que involucra do variables. El estudiante siempre reacciona ante

los signo externos demanera autornatica: es decir, muestra poca

capacidad de analisis, bene Lillaidea incorrecta del Significadode la igualdad ymanifiesta deficiencias en eluso de procedimien-

tos algebraicos, Debido en gran medida a todas las dificultades

mehcionadas, el alumno no puede sirnbolizar, aun cuando las ex-

presiones algebraicas que deberia escribir son simples. Con base

en estos resultados, habria que recomendar a este alumno que

regrese al estudio de la soluci6n de problemas simples analizan-

do cada una de las actiones que se Ilevan a cabo en el proceso

de soluci6n, para que pueda pasar de lareacci6n automatics y el

pensamiento aritmetico, a un pensamiento algebraico,

Respuestas de Laura Analisis

1. Varies

2. 256 <Y < 1000;.x2 > 0;

x2 < 1000, entonces

-100 -c x < 100

3.x + 2 -x - 2 =0; 0 := 0;ninguno

Esta estudiante tiene problemas

can la interpretacion del papel

de la variable en la expresion. Su

respuesta indica que es posible que

confunda el papel de la variable y la

considere como un numero general.

en lugar de incognita. Esta confusion

quiza se deba a la falta de una senalclara para ella en el enunciado del

problema, que Ie indique que debe

resolver 1aecuaci6n; e.sella quien

debe identificar cual es el papel

de la variable en la ecuaci6n y que

debe hacer, para 10 cual no esta

suficientemente preparada.

La alumna interpreta correctarnente

la nocion de correspondencia entre

cantidades especificas, y muestra

tener una cierta noci6n de Ia variaci6nconjunta; sin embargo, utiliza de

rnanera incorrecta a1gunas de las

caracteristicas que conoce de la

funcion, como el hecho de que los

valores de y siempre seran positivesy la sirnetria de la funcion, La

estudiante sobregeneraliza la noci6n

de sirnetrfa en el eje x, in tamar en

consideracion el intervalo cornpleto de

valores que corresponde a la variable

dependiente. Esto nos muestra Ia

dificultad de la alumna para pensaren la relacion en el senudo inverso (esdecir, de 1<1ariable dependiente hacia

la variable independiente), 10 cual

indica debilidad en su comprensi6nde la correspond en cia entre lasvariables.

La estudiante identifica la expresioricomo una ecuacion, por 10 que

 

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1 4 8

Respuestas de Laura Analisis

atribuye a la variable el papel de

incognita. Manipula correctamente

la literal, pero, al enfrentarse can

la tautologfa a = 0, en lugar de

reconoeer que esto es verdadero,

independienternente del valor

de x seleccionado, reacciona a ladesaparici6n de 1avariable dela

expresion pensando que no hay

posibilidad de encontrar valores que

la satisfagan.

4. -20 a 0 uni6n a a 5 Cuando la relacion entre las variables

se muestra en forma grafica, la

alumna es capaz de reconocer los

interval os en los que crece la variable

dependiente. En este caso, Ia alumna

interpreta correctamente la variaci6n

conjunta de las variables en larelacion.

5. 40 - 1Sx - 3y = 17y - Sx La respuesta de esta alumna revela

40 - 20x = 20y debilidad en L a manipulaci6n de la

40 - 20( 16) = 20 y relaci6n funcional. Escribe paso

40 - 320 = 20y a paso las rnanipulaciones, sin

y=_320 =16 . considerar si son correctas 0no.

20 Se puede observar una dificultad

en Ia transposici6n de terminos

de un lado a otro de la igualdad,

y.aunque sustituye el valor dado

en forma correcta, los errores en

1atransposicion de terminos L a

conducen a una respuesta incorrecta.

6. x =3 Y x =-3 En este problema, la alumna es

capaz de identificar la expresion

como una ecuacion y a la variable

como inc6gnita. Ademas, es capaz de

manipular Ia expresi6n para obtener

los valores correctos de la inc6gni La.

149

7. (L - 3)(L - 3) La estudiante muestra dificultad para

conceptuar la variable como inc6gnita

(11) en relaci6n can las restricciones

del problema dado. SUre puesta

indica que sf ha interpretado el

problema correctamente, ya que

escribe que el area total es (L - 3) (L

- 3), pero, posteriormente, no sabeque mas debe hacer. La estudiante

tiene dificultades para interpretar

y simbolizar la inc6gnita en una

ecuaci6n. Su planteamiento no

contiene explicitamente una ecuacion,

por 10 que se Ie dificulta saber que

hara can aquello que escribio.

xCan su respuesta, la estudiante.y = - + 7

5 evidencia dificultades al interpretar

el simbolo como mimero general;

interpreta el enunciado dado como

la representaci6n de una relacion

funcional entre dos variables, aun

cuando el problema no hace mendon

m a s que de una. Ella puede

simbolizar e1numero general ..£ + 7;5

sin embargo, es incapaz de considerar

que el enunciado se refiera a una

expresi6n abierta. Par ella, decide

nombrar de alguna manera a este

nuevo objeto matematico, al que

iguala a su nombre, y, convirtiendo

la expresi6n que contenia al nurnerogeneral x en una relaci6n fund anal

entre este y Ia nueva variable

introduclda.

9. 2x 4 - 2 Si bien la estudiante interpreta

correctamente a la variable como

numero general, no es capaz de

rnanipular de manera correcta la

expresion dada.

 

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150

Respuestas de Laura AIUi.Usis

10. 1 kg = = 4 em. Par reglade tres, 1 kg = 4 em, 2 kg

=8 em y asf, x kg =: 4x em

Aun cuando la estudiante muestra el

rnismo acercamiento al problema que

Manuel, es capaz de generalizar su

procedimiento usando aun rnetodos

aritmeticos, y, no obstante que llega a

una expresi6n mas general, evidenciaun manejo incorrecto del signa

de igualdad, as! como dificultades

para pensar en la relacion entre las

variables de una manera dinarnica.

Su concepcion de la relacion entre

variables esta limitada a una idea

estatica de correspondencia de un

valor de la variable independiente con

llD valor de la variable dependiente: la

idea de variacion esta ausente.

Diagnostico global de Laura

La alumna muestra problemas para diferenciar entre la va-

riable como inc6gnita y la variable como numero general, excep-

to cuando enfrenta expresiones muy simples. Interpreta correc-

lamente a las varia bles en relaci6n funcional, identifica la corres-

pondencia y,en general, la variacion conjunta de las variables.

Sin embargo, evidencia algunas dificultades en la manipulaci6n

de expresiones y en la interpretaci6n del significado del signo

deigualdad. Can base en estos resultados, la recomendacion per-tinente para esta alumna es hacer que resuelva problemas que

requieran la manipulacion de la variable, efectuando, a1 mis-

mo tiempo, un analisis del tipo de expresiones que intervienen

en los problemas y del significado de Ia igualdad en cada una

de ellas,

15 1

Anilisis global de las respuestas

al cuestionario II

El analisis de las respuestas a la pregunta 1 muestra que

10 de los alumnos son capaces tanto de manipular la variable

para simbolizar 1abase del rectangulo, asi como de expresar el

area de la figura (G2, G4). Seis de los estudiantes establecen dos

ecuaciones [( x2

+ 12) * 6 = 168 Y (x2

+ 12) * 6 = 288], can 1 0 cual,de utilizar la variable como mimero general, pasan a darle un

caracter de inc6gnita (11). Cuatro de elios no establecen direc-

tamente las ecuaciones, sino que escriben primero la relaci6n

[A = (x 2 + 12) * 6] y despues sustituyen los valores proporciona-

do para el area. Este paso intennedio resulta muy interesante,

pues, si bien no indica precisamente que los estudiantes son ca-

paces de establecer una relacion funcional (F6) entre la medida

de la base y el area (ya que podrian estar usando A como etique-

ta), sf evidencia una posibilidad para acercar a los alumnos a la

idea de correspondencia y variacion. (Fl, F4)

Los 10 alumnos son capaces de resolver la ecuaci6n plantea-da, 10 cual implica que pueden reconocer la inc6gnita y encon-

trar su valor (11. 14). AI resolver las dos ecuaciones, cinco de los

estudiantes consideran tenninada la tarea. Los otros cinco rna-

nifiestan que el area aumenta cuando se incrementa el valor de

x; esto muestra una idea intuitiva de variacion conjunta CF4) , al

igual que cierta capacidad de integrar estos aspectos de los usos

de la variable y pasar entre elias de manera flexible.

En la pregunta 2, 11alumnos reconocen Ia correspondencia

entre las variables x y y en la expresion (Fl ). Construyen una

tabla de valores, en la que asignan valores positives y negativos

a la variable independiente, para calcular con exito la variabledependiente (F2). S6lo tres estudiantes son capaces de sustituir

el valor de la variable dependiente en la relacion, interpretar la

variable x como incognita y calcular su valor (F3, 11, 14). En

conjunto, las respuestas nos dicen que la comprensi6n que tie-

nen los alumnos acerca de la variable en relaci6n funcional, es

debil, y que tienen dificultades para integrar los LISO de la varia-

ble como incognita y en relad6n funcional.

La pregunta 3 resulto ser una de las mas dificiles del cues-

tionario. Si bien se trata de un sistema de ecuaciones simples, 

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152 CRy. 7. E( A1DJr(o 3UV

se resuelven en las clases de Matematicas en la escuela secunda-

ria. De los siete alumnos que intentaron responderla, 5610 tresfueron capaces de mani pular una de las variables en la primera

ecuaci6n (Gl. G2). A pesar de ello, ninguno pudo considerar la

expresi6n obtenida como una variable (Gl) y sustituirla en la

otra ecuaci6n. Uno de elios identific6 las variables como incog-nitas de un sistema (II, 12). Las dificultades encontradas en esta

pregunta muestran que los alumnos no tienen una comprensi6ns6lida del concepto de variable, 10 que les impide rnanejarla can

flexibilidad.En Ia cuarta pregunta, 10 alumnos pudieron identificar la

relaci6n funcional entre la cantidad de tornate vendida y la ga-nancia que se obtuvo (Fl, F4), pero solamente cinco tomaron en

consideraci6n el costa de la cosecha, y lograron simbolizar la re-laci6n funcional (F6). Tres de ellos sustituyeron el dato prop or-cionado en la relaci6n funcional (F2) e interpretaron Ia relaci6n

resultante como una ecuaci6n en la que debe determinarse unainc6gnita (11); sin embargo, unicamente dos lograron encontrar

su valor mediante la rnanipulacion de la variable (G4, 14). Otroscuatro estudiantes hallaron el valor de la incognita utilizando

procedimientos aritmeticos, Estos resultados confirman las di-ficultades que tienen con el manejo flexible de las variables en

la relaci6n funcional, y muestran c6mo esta falta de flexibilidadincide negativamente en su posibilidad de integrar los dist intosusos de la variable.

La pregunta 5 tambien evidencia que para los alumnos esdiftcil el manejo de las relaciones funcionales; solo cinco alum-

nos la' respondieron, De estos, cuatro establecieron una relaci6n

funcional (Fl, F4, F6), Ydos construyeron despues una tabla

de valores (desde x = -- 4 hasta x = 4) (F2), pero no trazaron lagrafica ni supieron c6mo interpretarla para resolver la ecuaci6n.Otros dos construyeron una tabla y trazaron una grafica con los

datos CF4), Y, aun cuando uno de elios represent6 1a relaci6ncomo una recta, cometi6 errores en la sustituci6n de valores enla relacion funcional. El otro trazo con exito la grafica de la rela-ci6n; sin embargo, no fue capaz de interpretarla para encontrarla so1uci6n de la ecuaci6n. Los dema alumnos interpretaron laexpresi6n como una ecuaci6n y procedieron a manipularla (G4)

para encontrar la inc6gnita (11); no obstante, todos encontraron

153

ble. Sin importar si los estudiantes interpretaron la expresion

como una relacion funcional 0 como una ecuacion, es evidenteque les rue diftcil integrar los distintos aspectos de la variableque intervienen. Ademas, en los procedirnientos utilizados, losalumnos muestran confusi6n tanto al interpretar las operacio-

nes que se efecnian sobre las variables, como al identificar la

propia inc6gnita.

En la Ultima pregunta, nueve de los 13 alumnos pudieron re-conocer la correspondencia entre las variables (F'l ). Describie-

ron de manera verballa variaci6n conjunta CF4)y calcularon los

valores solicitados (F2); sin embargo, s610 seis de ellos simboli-zaron la relaci6n (F6) (cuatro en forma correcta). Unicamente

cuatro alumnos interpretaron bien los datos de la tabla y cons-truyeron la grafica de 1a relaci6n. De nuevo, en las respuestasse advierte la capacidad de los estudiantes para interpretar la

correspondencia entre variables (F1) y la presencia de ideas in-

tuitivas de la variacion conjunta de las variables (F4). Asirnis-

rna, son capaces de calcular valores para las variables (F2) utili-

zando procedimientos aritmeticos y pueden describir la relaci6nentre ellas en terminos de su variaci6n; sin embargo, muestran

dificultades para simbolizar aun expresiones muy simples.

CONCLUSIONES

En este capitulo hernos visto, una vez mas. c6mo la idea devariable no es un concepto monolltico, sino que tiene multiples

facetas, dentro de las que destacan las concepciones de la va-

riable como inc6gnita, como numero general y como parte de

una relaci6nfuncional. La comprension integral del conceptode variable requiere el entendimiento y el manejo adecuados deesas distintas facetas, ademas de la posibilidad de pasar de una

a otra de manera dinamica y flexible.

El Modelo 3UV proporciona elementos te6ricos que tomanen consideracion estas multiples formas de usa de la variable enel algebra elemental y, por ello, permite un diseno eficaz de pre-guntas destinadas a la evaluaci6n diagnostica de los alumnos,

tanto en el caso en que el in teres se centre en las posibilidadesde los estudiantes de diferenciar entre los diferentes usos de la

 

1 5 4

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en la que los estudiantes resuelven problemas algebraico mas

:omplejos, en los que se haee necesario el manejo flexible del

:oncepto de variable.

Con base en las caracterfsticas de cada una de las preguntas

disefiadas para una evaluaci6n especffica, el Modelo 3UVpuede

ser empleado con exito para analizar con detalle la forma en la

que los estudiantes abordan los problemas algebraicos, E1mo-

delo es una herrarnienta de gran utilidad -como 10 muestran losejemplos de este capitulo- para interpretar las respuestas de los

estudiantes, y poder asl proporcionarles ayuda especffica que

permita que superen sus dificultades y avanzar hacia una com-

prensi6n mas profunda del algebra.

Como pudo verse, los estudiantes cuyas respuestas a los

cuestionarios fueron analizadas en este capitulo, manejan con

flexibilidad los distintos usos de la variable en aquellos proble-

mas que requieren un tratamiento mas cercano aJ pensamiento

aritrnetico. Podemos concluir que esos alumnos aun no han des-

arrollado un pensarniento verdaderamente algebraico, a pesar

de que dan evidencia de poder lograrlo. Una posible recomen-daei6n a sus maestros, basada en el uso del Modelo 3UV,seria

proporcionar a menudo oportunidades a sus alurnnos, que les

permitan profundizar en el concepto de variable. El uso de pro-

blemas un poco mas cornplejos, que representan un reto para

cllos, puede permitir la diseu i6n de la forma en la que las va-

riables se presentan y la reflexion acerca de los distintos aspec-

tos de la variable, asf como entre las distintas facetas de su com-

prensi6n relaeionadas con cada uno de sus usos.

Una gran ventaja que brinda el usa del Modelo 3UV es que,

independientemente de] nivel de complejidad de las preguntas

de una posible evaluaci6n, se ponen enjuego los comportarnien-tos previ tos por los distintos aspectos del modelo. Este pennite

uo acercamiento muy detallado a la forma en Ia que los alum-

nos comprenden y manejan los di tintos usos de la variable en

el algebra, y posibilita el disefio y el analisis de instrumentos

de evaluaci6n que hacen posible evidenciar las habilidades y las

dificultades especfficas de cada alumno,

omentario final

El Modelo 3UVha demostrado ser una herramienta muy iitil

en el disefio de estrategias de ensefianza, en el analisis de los

libros de texto. en el analisis de los requerimienios involucrados

en la soluci6n de diversos problemas algebraicos yen el disefto

y analisis de instrumentos de evaluaci6n diagn6stiea. Asimismo,se constituye como un solido apoyo ala tarea del maestro de al-gebra, pues propicia la reflexion acerca de las posibles dificulta-

des de los alumnos, y las virtudes y defeetos de los materiales de

apoyo, ademas de que permite el desarrollo de estrategias para

lograr un aprendizaje mas significativo.

Los ejemplos que se presentaron en este volumen han sido

utilizado exitosamente en elaula con alurnnos de los tres grados

de secundaria (e incluso con estudiantes de niveles mas avanza-

dos). Los alumnos han demostrado la capacidad de aprender eI

algebra cuando se les ensefia poniendo enfasis en la diferencia-

cion e integraci6n de los usos de la variable.Sinceramente, esperamos que esta obra proporcione almaes-

tro elementos de reflexi6n para revitalizar su practica docente.

 

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Actividades

con calculadorade bolsillo, 108-109

grafi cadora, 110- 1 J 9

can hoja electr6nica de

calculo, 102-107

can Logo, 120-127

de evaluaci6n, 129

de integracion, 59-69, 85-87,

95-99

de variable

como incognita, 83-87,

92-93

como nurnero general,76-83,87-92

en relaci6n funcional, 70-

76,94-97

didacticas, disefio de, con base

en el Modelo 3uv,

69-100

para el primer grado, 78-86

para el segundo grade,87-96

analitico

el papel del profesor en Ia

ensenanza del, 40escolar, Ij -22

de que trata, 1]-15

prop6si los de la ensenanzadel, 35

propuestas de acercamiento al,

20-21

propuestas para mejorar su

aprendizaje, 20-22

uso de la variable en el, 9

usos de las letras 0variables

eo el, 12

y simbolos li terates, 11Aprendizaje, crear un concepto

de, 42

Areas, 81-83

Asociaci6n Nacional de

Profesores de

Maternaticas, 5Autoritarismo de] profesor, 41

Bloque de instrucciones, 121-

 

1601ndlcr 'Hlltlirico

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graficadora, actividades con,

110-119

n·92 Plus, 110

Cob b . M. V., 1 57Coeficiente, dificultades para

Interpreter una letra

cuando aparece

acompafiada de un,

18-19

Constante de proporcionalidad,

63

Conversion, idea de, 62

Correspondencia entre variables.

34,37.55·56,58,62,

66,71,111.126

Cuestionarios

respuestas a los, 142-150

analisis global de las, 151-

153

uso de los, usanda el Modelo

3UV, 141-152

y examenes, disefio de.130·140

Desarrollo

potencial, nivel de, 41

pr6ximo, zona de, 41-42

real, nivel de, 41

y diseiio de estrategias de

ensenanza, 101

Descomposicion y

recomposici6n,

procedimientos de, 83

Diagnostico, importancia del.

129

Disefio

. de actividades didacticas can

base en el Modelo 3UV,

69-100

para el primer grade, 70-86

para el segundo grade,

87-96

para el tercer grade, 97-100

de cuestionarios y examenes,

130-140

de instrumentos de

diagn6stico, el Modelo

3UV en el, 129-154

de preguntas para medir

la cornprension del

concepto de variable,

131-136

la flexibilidad para pasar

entre los distintos usos

de la variable, 136-138

y desarrollo de estrategias de

ensenanza, 101

Ecuacionfes)

can decimales, planteo y

resolucion de una, 93

con parentesis, planteo y

resolucion de una, 92

derivar,67

generales, 31resolucion de, 25-26

sistemas de. 14

tecnicas para resolver, 16

tipos de, 12

uso de. para. resolver

situaciones

problernaticas, 84

Ensefianza

de la variaci6n lineal. 102

de las Matematicas can

Tecnologfa, 102

en espiral, 39

estrategias de. diseiio y

desarrollo de, 101

Modelo 3UV aplicado a la,

39-43

Equivalencia, idea de, 62

Errores mas comunes,

16-22

dificult.ad para reconocer la

variacion conjunla

de dos variables

relacionadas, 20

dificultades para aceptar una

expresi6n abierta

como respuesta valida,

19

dificultades para diferenciar

entre los dislinto usos

de Ia variable, 16-18dificultades para interpretar la

letra cuando aparece

acornpanada de un

coeficiente 0 tiene un

exponente, 18-19

tendencia a ignorar la letra

cuando representa

un paramctro 0a

asignarle un valor,

19-20

Escritura algebraic a, 80

Estrategias de ensenanza, diseno

y desarrollo de, 101

Evaluaci6n

actividades de, 129

continua y de la planificaci6n

de la ensefianza,

procesos de la, 69

irnportancia de la, 129

Exarnenes y cuestionarios. diseiio

de, 130-140

Exponente, dificultades para

interpretar una letra

cuando aparece

acompaiiada de un,18-] 9

Expresiones

abiertas, 31. 76

dificultades para aceptarlas

como una respuesta

valida, 19

algebraieas

equivalentes.89interpretacion de. 92

161

polinomiales: manipulaci6n

de, 87

simb6licas. l l l·119

Factorizar, 31

F6rmulas generales. 3L,76

Funcionfes), 20

decreciente, 127

graficaci6n de. 140lineal, 102

Garcia Pena, S o . 10

Generalizaciones, 20, 88-89, 123

Geometrta de la Tortuga. t20

Graficas, 116-119

de Iunciones, 140

Hoja electronica de calculo.

actividades can.

102-107

Incognita

determinar el valor de la, 68

a traves de procedimientos

maternaticos, 53

especffica, 1 2

variable como, 24-26. 49-52

interpretacion de lao 51

representacion de la, 53

simbolizaci6n de la,S 1

variable como, 1.5.23.40.

49-50,60. 83-87. 92-93

disefio de actividades,

83-87, 92-93Instrucciones, bloque de,

121-122

Instrurnentos de diagnostico,

elModelo 3UV en el

disefio de. 129·154

Integraci6n

actividades de, 69. 85-87,

95-99

momenta de, 69

 

162 fm{)cr IWfi{ftico 163

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Interpretaci6n de variables, 69

Intervalos

de valores, 58

de variacion, 34-35, 55-56, 111

J u dr e s ; L O pe z , J. A. , 131, 157

Kuchemann, D., 1 L, t 57

Lenguaje

algebraico, 123

usa del, 43

matematico.Ae

Letras °variables, usos de las, en

el algebra, 12

Literales. usa de las, 16

Logo, actividades con, 120-127

Lopez : Pineda, A., 131, 157

Lozano, M. D., 10,131,158

M alara , N .• 11, 157

Manipulaci6nde expresiones polinomiales,

87

de variables, 69, 76

simbolicas, 37, 89

reglas de. 12. J 6

Ma tZ o ,M . , 11-12, 157

Menger, K., 11, 157

Metodos generales, 65

deduccion de, 31, 36

identificacion de, 36

simbolizaci6n de, 37

Mochon, S., 102, 157Modelo(s)

geometric os, 89

matematicos, 105

Modelo 3uv, 45

actividades disenadas con base

en el, 45-68

analisis de las preguntas

utilizando el, 133-136,

138-14J

aplicado ala ensenanza, 39-43

como herramienta de

diagn6stico, 131

construyendo el, 23-37

diseno de actividades

didacticas con base en

el, 69-100

para el primer grade, 70-86

para el segundo grade,

87-96

para el tercer grade, 97-100

disefio de cuestionarios y

exarnenes en el,

130-140

en el diseno de instrumentos

de diagnostico,

129-154

uso de la tecnologia con el

actividades can calculadorade bolsillo, 108-J09

graficadora, l10-119

actividades con hojaelectronica de calculo,

102-107

actividades con Logo,

l20-127

Monomios, 14

Montes Heredia, M . D.• 157

Nava r ra , G o, 1 1, 157

Nivel de desarrollo

potencial, 41

real,41

Numerofs)

general

a incognita especffica, paso

del, 125-126trabajo con, 123-124

variable como, 15,23,

27-31,40,45-48,50,

54, 60, 64-65, 76-83,

87-92,95-96,98, 105,

10B-l10, 135, 138-139

representacion de, con un

sfmbolo, 48

secuencia de, 47,50.70

Orleans, J. S., 157

Papel del profesor, 40-43

Parafraseo de las respuestas de

los alumnos, 43, 65

Parametres. 31

Patron numerico, 70, 77,108-110

reconocimiento de, 13-14, 20,

31,36,47, 121-123

Perfrnetros, 80-81, 85-86

Philip p, R . A., 11. 157

Planificacion de la ensefianza

y de la evaluaci6n

continua del

aprendizaje, procesos

de,69

Polinomlos, 14. 87

Practica en el salon de clases, deIa investigacion a la,

46-68

Problemas

planteamiento de, 16

resoluci6n de, 21, 26-28, 30-34

Procedirnientos de

descomposicion y

recomposici6n,83

Procesos de planificaci6n de

la ensefianza y de la

evaluaci6n continua

del aprendizaje, 69

Profesor, papel del. 40-43

Programas generales para

dibujar poltgonos, 124

Proporcionalidad, constante de,

63

Proyecto EMAT, 102

Recomposici6n y

descornposicion,

procedimientos de, 83

Reconocimiento de patrones,

121-123

Reglas generales, 49, 105

de manipulacion, 12,16

deducci6n de, 29, 36hallar, 31

idenlificaci6n de, 36

sirnbolizaci6n de, 29, 37

Relacion funcional, 13, 15,23,

60,66-67.111-119,

126-127,133-135, 139entre variables, 102

la variable en, 70-76, 94-97

representaci6n sirnbolica de

una, 73

representaciones tabulares,

analfticas y verbalcs de

una, 74

simbolizar la, 72

variable en una, 32-34, 53-58

Respuestas a los cuestionarios,142-150

analisis global de las, 151-153

usando el Modelo 3UV,

141-152

Roiano, T., 120, lS7~J58

Salon de clases, de la

investigaci6n a la

practica en el, 46-68

Secuencias

numericas, 47, 50, 70, 76-77, 91

reglas de, 78

figurativas, 77-78, 80

reglas de, 78

Simbolizaci 6n

de la relacion funcional, 72

de variables. 65, 69, 76. 78

Sfmbolos

literales en el algebra. 11. 16

matematicos, introducci6n de

la variable como, 49