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    1 . 1 . 1 9 9 7

    O N P R O B L E M S R E L A T E D T O G R O W T H ,

    E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y

    R o s t i s l a v G r i g o r c h u k a n d P i e r r e d e l a H a r p e

    R . G . : S t e k l o v M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e , V a v i l o v a S t r . 4 2 , M o s c o w 1 1 7 9 6 6 , R u s s i a .

    E - m a i l : g r i g o r c h @ a l e s i a . i p s . r a s . r u a n d g r i g o r c h @ m i a n . s u

    E - m a i l i n G e n e v e : g r i g o r c h @ d i v s u n . u n i g e . c h ]

    P . H . : S e c t i o n d e M a t h e m a t i q u e s , U n i v e r s i t e d e G e n e v e ,

    C . P . 2 4 0 , C H - 1 2 1 1 G e n e v e 2 4 , S u i s s e .

    E - m a i l : l a h a r p e @ i b m . u n i g e . c h

    W e r e v i e w s o m e k n o w n r e s u l t s a n d o p e n p r o b l e m s r e l a t e d t o t h e g r o w t h o f g r o u p s . F o r

    a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? ; g i v e n w h e n e v e r n e c e s s a r y t o g e t h e r w i t h a n i t e g e n e r a t i n g

    s e t , w e d i s c u s s t h e n o t i o n s o f

    ( A ) u n i f o r m l y e x p o n e n t i a l g r o w t h ,

    ( B ) g r o w t h t i g h t n e s s ,

    ( C ) r e g u l a r i t y o f g r o w t h s e r i e s ,

    ( D ) c l a s s i c a l g r o w t h s e r i e s ( w i t h r e s p e c t t o w o r d l e n g t h s ) ,

    ( E ) g r o w t h s e r i e s w i t h r e s p e c t t o w e i g h t s ,

    ( F ) c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s ,

    ( G ) s p e c t r a l r a d i u s o f s i m p l e r a n d o m w a l k s o n C a y l e y g r a p h s .

    F r o m t h e m o d e r n p o i n t o f v i e w a d y n a m i c a l s y s t e m i s a p a i r ( G ; X ) w h e r e G i s a g r o u p

    ( o r a s e m i - g r o u p ) a n d X i s a s e t o n w h i c h G a c t s ; i n t r o d u c i n g d i e r e n t s t r u c t u r e s o n G

    a n d X w e g e t d i e r e n t d i r e c t i o n s f o r t h e T h e o r y o f D y n a m i c a l S y s t e m s . M a n y o f t h e

    d y n a m i c a l p r o p e r t i e s o f t h e p a i r ( G ; X ) d e p e n d o n a p p r o p r i a t e p r o p e r t i e s o f t h e g r o u p G :

    I n t h i s p a p e r w e d i s c u s s s u c h n o t i o n s f o r a g r o u p G a s g r o w t h , e n t r o p y , a m e n a b i l i t y

    a n d s p e c t r a l r a d i u s o f r a n d o m w a l k s , w h i c h a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e n o t i o n s o f g r o w t h o f

    m a n i f o l d s a n d f o l i a t i o n s , e n t r o p y o f g e o d e s i c o w s a n d o f s y m b o l i c s y s t e m s , s p e c t r a l t h e o r y

    o f L a p l a c e o p e r a t o r s a n d t h e t h e o r y o f h a r m o n i c f u n c t i o n s o n R i e m a n n i a n m a n i f o l d s .

    I t i s a g r e a t p l e a s u r e f o r t h e r s t a u t h o r t o m e n t i o n t h a t o n e o f t h e r e s u l t s t h a t i s

    d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r , n a m e l y t h e c o g r o w t h c r i t e r i u m f o r a m e n a b i l i t y , w a s r s t l y r e p o r t e d

    a t t h e s e m i n a r o f P r o f . D . N . A n o s o v o n t h e T h e o r y o f D y n a m i c a l S y s t e m s i n t h e S t e k l o v

    M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e i n t h e s p r i n g o f 1 9 7 5 .

    T h e r s t a u t h o r a c k n o w l e d g e s s u p p o r t f r o m t h e \ F o n d s N a t i o n a l S u i s s e d e l a R e c h e r c h e S c i e n t i q u e " ,

    f r o m t h e \ R u s s i a n F u n d f o r F u n d a m e n t a l R e s e a r c h " ( 9 6 - 0 1 - 0 0 9 7 4 ) , a n d f r o m I N T A S ( 9 4 - 3 4 2 0 ) .

    T y p e s e t b y A

    M

    S - T

    E

    X

    1

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    2 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    G r o w t h c o n s i d e r a t i o n s i n g r o u p t h e o r y , w i t h m o t i v a t i o n s f r o m d i e r e n t i a l g e o m e t r y ,

    h a v e b e e n i n t r o d u c e d i n t h e e a r l y 5 0 ' s ( S c h ] , E f r ] , a s w e l l a s F o l ] ) a n d a g a i n ( i n d e p e n -

    d e n t l y ! ) i n t h e l a t e 6 0 ' s M i l n o r ] . N o w a d a y s , i t i s p a r t o f o v e r l a p p i n g s u b j e c t s w i t h

    n a m e s s u c h a s c o m b i n a t o r i a l g r o u p t h e o r y , g e o m e t r i c g r o u p t h e o r y , o r a s y m p t o t i c g r o u p

    t h e o r y ( t h e l a t t e r n a m e b e i n g a p p a r e n t l y r s t u s e d i n G k 6 ] ) . T h e s e t h e o r i e s h a v e a r i c h

    h i s t o r y C h M ] , f o r w h i c h m i l e s t o n e s h a v e b e e n t h e 1 9 6 6 b o o k b y M a g n u s , K a r a s a n d S o l i t a r

    M K S ] , a n d t h e 1 9 8 7 l i s t o f p r o b l e m s o f R . L y n d o n L y n ] ( s e e a l s o L y S ] ) . F o r a r e c e n t s t a t e

    o f t h e a r t c o n c e r n i n g i n n i t e g r o u p s , a q u a s i - i s o m e t r i c p i c t u r e o f t h e s u b j e c t h a s a p p e a r e d

    i n G v 4 ] ; f o r t h e a s y m p t o t i c g r o u p t h e o r y o f n i t e g r o u p s , s e e K a n ] .

    F o r g r o w t h o f o t h e r o b j e c t s , s e e t h e f o l l o w i n g p a p e r s , a s w e l l a s t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n .

    G k 8 ] a n d S h E ] f o r s e m i - g r o u p s ,

    T r o ] f o r g r a p h s ,

    G k 8 ] , G k 1 0 ] , G k N ] a n d R o S a ] f o r a u t o m a t a a n d l a n g u a g e s ,

    B a 1 ] , K r L ] , U f n ] f o r a l g e b r a s ,

    K i V ] f o r C

    - a l g e b r a s ,

    p a p e r s b y J o n e s , P o p a a n d o t h e r s , i n c l u d i n g J o n ] a n d G H J ] , f o r s u b r i n g s o f r i n g s ,

    H e H , C h a p . I X ] f o r h o m o g e n e o u s s p a c e s , p s e u d o g r o u p s a n d f o l i a t i o n s ,

    L u 1 ] a n d L u 2 ] f o r s u b g r o u p g r o w t h .

    F o r a p p l i c a t i o n s o f g r o u p g r o w t h t o o t h e r m a t h e m a t i c a l s u b j e c t s , s e e a m o n g o t h e r s

    M i 2 ] a n d G r K ] f o r g e o m e t r y ,

    G k 1 2 ] , K i r ] a n d M a n ] f o r e r g o d i c t h e o r y ,

    G k 8 ] a n d M a M ] f o r a u t o m a t a a n d c e l l u l a r a u t o m a t a t h e o r y ,

    V S C ] f o r r a n d o m w a l k s ,

    G k 9 ] a n d G r K ] f o r t h e t h e o r y o f i n v a r i a n t m e a n s ,

    A r K ] f o r O D E ' s a n d B a b ] , S h u ] f o r P D E ' s . ( I n t h e p a p e r B a b ] , t h e o n l y g r o u p s w h i c h

    a p p e a r w i t h t h e i r g r o w t h p r o p e r t i e s a r e f r e e g r o u p s ; i n p r i v a t e c o m m e n t s t o t h e r s t

    a u t h o r , A . V . B a b i n h a s a d d e d t h a t a l l k n o t g r o u p s a r e a l s o r e l e v a n t . )

    ( A ) U n i f o r m l y e x p o n e n t i a l g r o w t h

    L e t ? b e a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p a n d l e t S b e a n i t e s e t o f g e n e r a t o r s o f ? : F o r

    2 ? ; t h e w o r d l e n g t h

    S

    ( ) i s t h e m i n i m u m o f t h e i n t e g e r s m 0 f o r w h i c h t h e r e e x i s t

    s

    1

    ; : : : ; s

    m

    2 S S

    ? 1

    w i t h = s

    1

    : : : s

    m

    : T h e g r o w t h f u n c t i o n o f t h e p a i r ( ? ; S ) a s s o c i a t e s

    t o a n i n t e g e r n 0 t h e n u m b e r ( ? ; S ; n ) o f e l e m e n t s 2 ? s u c h t h a t

    S

    ( ) n : T h e

    e x p o n e n t i a l g r o w t h r a t e o f t h e p a i r ( ? ; S ) i s t h e l i m i t

    ! ( ? ; S ) = l i m

    n ! 1

    n

    p

    ( ? ; S ; n ) :

    ( A s i s c l e a r l y s u b m u l t i p l i c a t i v e , i . e . a s ( m + n ) ( m ) ( n ) f o r a l l m ; n 0 ; i t i s a

    c l a s s i c a l f a c t t h a t t h e l i m i t e x i s t s ; s e e P o S z ] , P r o b l e m 9 8 o f P a r t I , p a g e 2 3 . ) S o m e a u t h o r s

    i n t r o d u c e t h e l o g a r i t h m o f ! ( ? ; S ) ; a n d c a l l i t t h e e n t r o p y o f t h e p a i r ( ? ; S ) G L P ] ; t h e

    r e a s o n i s t h a t , i f ? i s t h e f u n d a m e n t a l g r o u p o f a c o m p a c t R i e m a n n i a n m a n i f o l d o f u n i t

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    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 3

    d i a m e t e r , a n d i f S i s a n a p p r o p r i a t e g e n e r a t i n g s e t ( g i v e n b y t h e g e o m e t r y ) , t h e n l o g ! ( ? ; S )

    i s a l o w e r b o u n d f o r t h e t o p o l o g i c a l e n t r o p y o f t h e g e o d e s i c o w o f t h e m a n i f o l d M a n ] .

    F o r e x a m p l e o n e h a s

    Z S = f 1 g = ) ( n ) = 2 n + 1 = ) ! ( Z ; S ) = 1

    F

    k

    S

    k

    = f r e e b a s i s = ) ( n ) =

    k ( 2 k ? 1 )

    n

    ? 1

    k ? 1

    = ) ! ( F

    k

    ; S

    k

    ) = 2 k ? 1

    w h e r e , f o r a n i n t e g e r k 2 ; w e d e n o t e b y F

    k

    t h e f r e e g r o u p o n k g e n e r a t o r s .

    T h e g r o u p ? i s s a i d t o b e o f e x p o n e n t i a l g r o w t h i f ! ( ? ; S ) > 1 ( i t i s e a s y t o c h e c k t h a t

    t h i s c o n d i t i o n h o l d s f o r o n e p a r t i c u l a r S i f a n d o n l y i f i t h o l d s f o r a l l S a s a b o v e ) . I t i s

    s a i d t o b e o f u n i f o r m l y e x p o n e n t i a l g r o w t h i f i n f

    S

    ! ( ? ; S ) > 1 :

    T h e m i n i m a l g r o w t h r a t e o f ? i s

    ! ( ? ) = i n f ! ( ? ; S )

    w h e r e t h e i n m u m i s t a k e n o v e r a l l S a s a b o v e . T h e m a i n o p e n p r o b l e m o n m i n i m a l g r o w t h

    r a t e s i s t o k n o w w h e t h e r o n e m a y h a v e ! ( ? ; S ) > 1 f o r a l l S a n d ! ( ? ) = 1 ( s e e G L P ] ,

    r e m a r q u e 5 . 1 2 ) . I t c o u l d b e e a s i e r t o s e t t l e t h i s p r o b l e m r s t f o r r e s t r i c t e d c l a s s e s o f g r o u p s ,

    s u c h a s s o l v a b l e g r o u p s o f e x p o n e n t i a l g r o w t h , C o x e t e r g r o u p s o f e x p o n e n t i a l g r o w t h ,

    l a t t i c e s i n s e m i - s i m p l e L i e g r o u p s , o r i n n i t e g r o u p s w i t h K a z h d a n ' s P r o p e r t y ( T ) . O n e

    s h o u l d a l s o c o n s i d e r p a r t i c u l a r c o n s t r u c t i o n s , s u c h a s f r e e p r o d u c t s w i t h a m a l g a m a t i o n ,

    H N N - e x t e n s i o n s o r s e m i - d i r e c t p r o d u c t s .

    O n e p o s s i b l e a p p r o a c h f o r c o n s t r u c t i n g g r o u p s o f e x p o n e n t i a l g r o w t h b u t n o t o f u n i -

    f o r m l y e x p o n e n t i a l g r o w t h i s s u g g e s t e d i n G r M ] .

    T h e f o l l o w i n g s u m m a r i z e s s o m e k n o w n f a c t s o n ! ( ) : R e c a l l t h a t a g r o u p i s b y d e n i t i o n

    e q u a l l y a s l a r g e a s F

    2

    i f i t h a s a s u b g r o u p o f n i t e i n d e x w h i c h h a s a q u o t i e n t i s o m o r p h i c

    t o F

    2

    .

    T h e o r e m . L e t ?

    0

    b e a s u b g r o u p o f n i t e i n d e x i n ? a n d l e t ?

    0 0

    b e a q u o t i e n t o f ?

    0

    :

    ( i ) O n e h a s ! ( F

    k

    ) = 2 k ? 1 :

    ( i i ) I f ! ( ?

    0 0

    ) > 1 ; t h e n ! ( ?

    0

    ) > 1 :

    ( i i i ) I f ! ( ?

    0

    ) > 1 ; t h e n ! ( ? ) > 1 :

    ( i v ) I f ? i s e q u a l l y a s l a r g e a s F

    2

    ; t h e n ! ( ? ) > 1 :

    ( v ) I f ? h a s a p r e s e n t a t i o n w i t h k g e n e r a t o r s a n d l k ? 2 r e l a t i o n s , t h e n ! ( ? ) > 1 :

    ( v i ) I f ? h a s a p r e s e n t a t i o n w i t h k g e n e r a t o r s a n d k ? 1 r e l a t i o n s r

    1

    ; : : : ; r

    k ? 1

    w h e r e r

    1

    = ( r

    0

    )

    m

    f o r s o m e n o n e m p t y w o r d r

    0

    a n d s o m e m 2 ; t h e n ! ( ? ) > 1 :

    ( v i i ) I f ? i s a G r o m o v h y p e r b o l i c g r o u p w h i c h i s t o r s i o n f r e e a n d n o n e l e m e n t a r y ,

    t h e n ! ( ? ) > 1 :

    ( v i i i ) I f ? i s a C o x e t e r g r o u p w h i c h i s i s o m o r p h i c t o a l a t t i c e ( p o s s i b l y n o t u n i f o r m ) i n

    t h e g r o u p o f i s o m e t r i e s o f t h e h y p e r b o l i c s p a c e H

    n

    f o r s o m e n 2 ; t h e n ! ( ? ) > 1 :

    O n p r o o f s . ( i ) I f S

    k

    i s a f r e e g e n e r a t i n g s e t o f F

    k

    ; w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d t h a t ! ( F

    k

    ; S

    k

    ) =

    2 k ? 1 : L e t n o w S b e a n y n i t e g e n e r a t i n g s e t o f F

    k

    : T h e c a n o n i c a l i m a g e S o f S i n t h e

    a b e l i a n i z e d g r o u p ( F

    k

    )

    a b

    = Z

    k

    g e n e r a t e s Z

    k

    : T h u s S c o n t a i n s a s u b s e t R o f k e l e m e n t s

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    4 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    g e n e r a t i n g a s u b g r o u p o f n i t e i n d e x i n Z

    k

    : L e t R b e a s u b s e t o f S p r o j e c t i n g o n t o R : T h e

    s u b g r o u p h R i o f F

    k

    g e n e r a t e d b y R i s f r e e ( a s s u b g r o u p o f a f r e e g r o u p ) , o f r a n k a t m o s t

    k ( b e c a u s e j R j = k ) a n d o f r a n k a t l e a s t k ( b e c a u s e ( h R i )

    a b

    Z

    k

    ) . H e n c e R i s a f r e e b a s i s

    o f h R i F

    k

    ; a n d i t f o l l o w s t h a t ! ( ? ; S ) ! ( h R i ; R ) = ! ( F

    k

    ; S

    k

    ) : ( T h i s a r g u m e n t a p p e a r s

    a l r e a d y i n e x e m p l e 5 . 1 3 o f G L P ] . )

    C l a i m ( i i ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . C l a i m ( i i i ) f o l l o w s f r o m t h e e l e m e n t a r y ( a n d s m a r t ! )

    P r o p o s i t i o n 3 . 3 o f S h W ] , s h o w i n g m o r e p r e c i s e l y t h a t ! ( ? )

    2 ? : ?

    0

    ] ? 1

    ! ( ?

    0

    ) : C l a i m ( i v )

    f o l l o w s f r o m C l a i m s ( i ) t o ( i i i ) .

    D i g r e s s i o n f r o m t h e p r o o f : i f t w o n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p s ?

    1

    a n d ?

    2

    a r e q u a s i - i s o m e t r i c ,

    w e d o n o t k n o w h o w t o s h o w t h a t ! ( ?

    1

    ) > 1 i m p l i e s ! ( ?

    2

    ) > 1 :

    C l a i m ( v ) i s d u e t o B . B a u m s l a g a n d P r i d e B P 1 ] ; s e e a l s o G v 2 , p a g e s 8 2 - 8 3 ] a n d B a u ,

    C h . I V , T h . 8 ] . F o r ( v i ) , s e e S t o ] , a s w e l l a s B P 2 ] a n d t h e s a m e r e f e r e n c e o f G r o m o v .

    O b s e r v e t h a t S t a t e m e n t s ( v ) a n d ( v i ) i n c l u d e t h e f o l l o w i n g : i f ? i s a o n e - r e l a t o r g r o u p ,

    t h e n ! ( ? ) > 1 a s s o o n a s ? h a s r a n k 3 ; o r h a s t o r s i o n ; f o r o t h e r s u c i e n t c o n d i t i o n s ,

    s e e C e G ] .

    C l a i m ( v i i ) f o l l o w s f r o m t h e f o l l o w i n g t h e o r e m . ( T h o u g h i t s p r o o f , d u e t o D e l z a n t ,

    i s u n p u b l i s h e d , s e e D e l ] . ) I n c a s e ? i s m o r e o v e r t h e f u n d a m e n t a l g r o u p o f a c o m p a c t

    h y p e r b o l i c 3 - m a n i f o l d , i t i s i n S h W ] .

    C l a i m ( v i i i ) f o l l o w s f r o m L u 3 ] , w h e r e i t i s s h o w n t h a t t h e h y p o t h e s i s o f C l a i m ( i v ) d o e s

    h o l d . D o e s C l a i m ( v i i i ) c a r r y o v e r t o a n y C o x e t e r g r o u p o f e x p o n e n t i a l g r o w t h ? ( I t i s

    k n o w n t h a t a n y i n n i t e C o x e t e r g r o u p h a s a s u b g r o u p o f n i t e i n d e x w h i c h m a p s o n t o Z ;

    s e e G o n ] a n d C L V ] . )

    O b s e r v e t h a t C l a i m ( v i i i ) h o l d s f o r C o x e t e r g r o u p s w h i c h a r e h y p e r b o l i c , a n d t h a t M o u s -

    s o n g ' s t h e s i s M o u ] p r o v i d e s a s i m p l e c r i t e r i u m f o r t h i s .

    T h e r e a r e \ e x o t i c g r o u p s " t o w h i c h s i m i l a r a r g u m e n t s a p p l y . F o r e x a m p l e , V . S . G u b a

    G u b ] h a s s h o w n t h a t t h e r e e x i s t s a n i t e l y g e n e r a t e d s i m p l e g r o u p i n w h i c h a l l t h e t w o -

    g e n e r a t o r s u b g r o u p s a r e f r e e n o n a b e l i a n ; o n e h a s c l e a r l y ! ( G u b a g r o u p ) 3 :

    T h e o r e m ( M . G r o m o v , T . D e l z a n t ) . F o r a t o r s i o n - f r e e n o n e l e m e n t a r y h y p e r b o l i c

    g r o u p ? ; t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r n

    ?

    w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

    ( i ) f o r a l l x ; y 2 ? s u c h t h a t x y 6= y x a n d n n

    ?

    ; t h e e l e m e n t s x

    n

    a n d y x

    n

    y

    ? 1

    g e n e r a t e

    f r e e l y a f r e e s u b g r o u p o f r a n k 2 i n ? :

    ( i i ) ! ( ? )

    n

    ?

    p

    3 :

    O n p r o o f s . O b s e r v e t h a t ( i i ) i s a s t r a i g h t f o r w a r d c o n s e q u e n c e o f ( i ) a n d o f t h e p r e v i o u s

    T h e o r e m . A s f o r ( i ) , i t i s a c o n s e q u e n c e o f a t h e o r e m , r s t s t a t e d b y G r o m o v ( S e c t i o n 5 . 3

    i n G v 3 ] ) , l a t e r m a d e p r e c i s e a n d p r o v e d b y D e l z a n t , w h i c h c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s . F o r

    a n y h y p e r b o l i c g r o u p ? ; t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r n

    ?

    s u c h t h a t , f o r a l l x 2 ? ; t h e n o r m a l

    s u b g r o u p g e n e r a t e d b y x

    n

    ?

    i s f r e e .

    H e r e i s a n o p e n q u e s t i o n o n m i n i m a l g r o w t h r a t e s , w h i c h g e n e r a l i z e s t h e \ m a i n o p e n

    p r o b l e m " r e c a l l e d a b o v e . D o e s t h e r e e x i s t a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? s u c h t h a t ! ( ? )

  • 7/29/2019 algebra ee

    5/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 5

    L e t S b e a n a r b i t r a r y s y s t e m o f g e n e r a t o r s o f ?

    g

    : O b s e r v e t h a t S c o n t a i n s s o m e s u b s e t

    R o f 2 g e l e m e n t s w h i c h g e n e r a t e s a s u b g r o u p o f n i t e i n d e x i n t h e a b e l i a n i z e d g r o u p

    Z

    2 g

    o f ?

    g

    : I f R

    0

    i s t h e c o m p l e m e n t o f o n e ( a r b i t r a r y ) e l e m e n t i n R ; t h e n R

    0

    g e n e r a t e s a

    s u b g r o u p h R

    0

    i o f i n n i t e i n d e x i n ?

    g

    : S u c h a g r o u p i s f r e e ( b e i n g t h e f u n d a m e n t a l g r o u p

    o f a n o n c o m p a c t s u r f a c e ) o f r a n k e x a c t l y 2 g ? 1 ( b e c a u s e i t s a b e l i a n i s a t i o n i s i s o m o r p h i c

    t o Z

    2 g ? 1

    ) . H e n c e ! ( ?

    g

    ; S ) ! ( h R

    0

    i ; R

    0

    ) = 4 g ? 3 :

    O n t h e o t h e r h a n d , o n e h a s f o r e x a m p l e 5 ! ( ?

    2

    ) ! ( ?

    2

    ; c a n o n i c a l ) 6 : 9 7 9 8 ; f o r t h e

    u p p e r n u m e r i c a l v a l u e , s e e t h e b e g i n n i n g o f S e c t i o n ( D ) b e l o w . M o r e g e n e r a l l y , n u m e r i c a l

    c o m p u t a t i o n s s h o w t h a t ! ( ?

    g

    ; c a n o n i c a l ) 4 g ? 1 ?

    g

    w i t h

    g

    q u i t e s m a l l , f o r a l l g 2 :

    I t i s a n o p e n p r o b l e m t o s h o w t h a t ! ( ?

    g

    ) = ! ( ?

    g

    ; c a n o n i c a l ) :

    I t i s c o n j e c t u r e d i n G L P , 5 . 1 4 ] t h a t , f o r a g r o u p ? w h i c h h a s a p r e s e n t a t i o n w i t h k

    g e n e r a t o r s a n d k ? 1 r e l a t i o n s a n d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g s e t S o f k g e n e r a t o r s , o n e h a s

    ! ( ? ; S ) 2 ( k ? ) ? 1 :

    W h a t a r e o t h e r v a l u e s o f ! ( ? ) F o r e x a m p l e f o r C o x e t e r g r o u p s f o r o n e - r e l a t o r

    g r o u p s ( p r o g r e s s o n t h i s i n C e G ] ) .

    L e t ( ?

    n

    = h S j R

    n

    i )

    n 1

    b e a s e q u e n c e o f o n e r e l a t o r g r o u p s , w i t h t h e g e n e r a t i n g s e t s

    b e i n g i d e n t i e d w i t h e a c h o t h e r . L e t k d e n o t e s t h e n u m b e r o f g e n e r a t o r s i n S ; a s s u m e

    t h a t t h e r e l a t i o n s R

    n

    ' s a r e c y c l i c a l l y r e d u c e d a n d t h a t t h e i r l e n g t h s t e n d t o i n n i t y w i t h

    n : U n d e r w h a t c o n d i t i o n s d o e s o n e h a v e l i m

    n ! 1

    ! ( ?

    n

    ; S ) = 2 k ? 1 a n d l i m

    n ! 1

    ! ( ?

    n

    ) =

    2 k ? 1 T h e c o m p u t a t i o n s o f C E G ] s h o w s u c h a f a m i l y w i t h l i m

    n ! 1

    ! ( ?

    n

    ; f x ; y g ) 6= 3 :

    G i v e n a n i r r e d u c i b l e w o r d w i n t h e e l e m e n t s a n d t h e i r i n v e r s e s o f a f r e e b a s i s S

    2

    =

    fa ; b

    g;

    r e p r e s e n t i n g a n e l e m e n t c = w ( a ; b ) i n t h e f r e e g r o u p F

    2

    o v e r S

    2

    ; w h a t i s i n t e r m s o f w t h e

    v a l u e o f t h e g r o w t h r a t e ! ( F

    2

    ; f a ; b ; c g )

    L e t ? b e a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p a n d l e t k

    0

    b e i t s r a n k ( n a m e l y h e r e t h e m i n i m a l

    c a r d i n a l i t y o f i t s g e n e r a t i n g s e t s ) . F o r e a c h k k

    0

    s e t

    !

    ( k )

    ( ? ) = i n f ! ( ? ; S ) a n d !

    ( k )

    ( ? ) = s u p ! ( ? ; S )

    w h e r e t h e e x t r e m a a r e t a k e n o v e r a l l n i t e g e n e r a t i n g s e t s S w i t h e x a c t l y k d i s t i n c t e l -

    e m e n t s , a n d s u c h t h a t s ; t 2 S ; s 6= t ) s 6= t

    ? 1

    . H o w d o t h e s e q u a n t i t i e s d e p e n d o n k

    W h a t a r e t h o s e G a n d S f o r w h i c h t h e i n m a a n d m a x i m a a r e r e a l i z e d F o r a f r e e

    g r o u p F o f r a n k k

    0

    ; o n e h a s !

    ( k

    0

    )

    ( F ) = !

    ( k

    0

    )

    ( F ) = 2 k

    0

    ? 1 ; w h a t a r e t h e e x a c t v a l u e s o f

    !

    ( k )

    ( F ) a n d !

    ( k )

    ( F ) f o r k > k

    0

    ( P a r t i a l r e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d b y K o u b i K o u b ] ,

    f o r e x a m p l e o n !

    ( k

    0

    + 1 )

    ( F ) . )

    C o m p a r e w i t h t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n i n d i e r e n t i a l g e o m e t r y : g i v e n a c o m p a c t m a n i f o l d

    M ; w h a t a r e t h e R i e m a n n i a n s t r u c t u r e s g ( n o r m a l i s e d b y d i a m e t e r ( M ; g ) = 1 ) f o r w h i c h

    t h e e n t r o p y l i m

    R ! 1

    R

    ? 1

    l o g V o l B a l l

    ~

    M ; g

    ( x

    0

    ; R ) i s m i n i m u m s e e e . g . B C G ] . ( T h e v o l u m e

    i s c o m p u t e d i n t h e u n i v e r s a l c o v e r

    ~

    M o f M , f o r t h e m e t r i c l i f t e d f r o m M ; a r o u n d a p o i n t

    x

    0

    2

    ~

    M ; a n d t h e l i m i t d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f t h e p o i n t x

    0

    : ) S e e a l s o R o b ] f o r

    a g e n e r a l i z a t i o n t o m o r e g e n e r a l m e a s u r e d m e t r i c s p a c e s , a n d G u i l ] .

    T h e r e a r e s e v e r a l o t h e r t y p e s o f c o n s t a n t s , d e p e n d i n g o n p a i r s ( ? ; S ) , w i t h r e l a t e d

    e x t r e m a o v e r t h e S ' s , d e p e n d i n g o n l y o n ? ; w h i c h g i v e r i s e t o i n t e r e s t i n g p r o b l e m s . O n e

    o f t h e s e t y p e s i s s p e c t r a l r a d i u s ( s e e ( F ) b e l o w ) , a n o t h e r o n e i s K a z h d a n c o n s t a n t s N e S ] .

  • 7/29/2019 algebra ee

    6/32

    6 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    ( B ) G r o w t h t i g h t n e s s

    D e n e a p a i r ( ? ; S ) t o b e g r o w t h t i g h t i f ! ( ? ; S ) > ! ( ? = N ; S ) f o r a l l n o r m a l s u b g r o u p s

    N o f ? n o t r e d u c e d t o f 1 g ; w i t h S d e n o t i n g t h e c a n o n i c a l i m a g e o f S i n ? = N :

    P r o p o s i t i o n . F o r a f r e e g r o u p F

    k

    o f r a n k k 2 a n d f o r a f r e e b a s i s S

    k

    o f F

    k

    ; t h e p a i r

    ( F

    k

    ; S

    k

    ) i s g r o w t h t i g h t .

    O n t h e p r o o f . F o r a n y p r o p e r q u o t i e n t F

    k

    ! F

    k

    = N ; c h o o s e a n o n e m p t y r e d u c e d w o r d w

    r e p r e s e n t i n g a n e l e m e n t o f N : L e t L d e n o t e t h e l a n g u a g e o f a l l r e d u c e d w o r d s i n S

    k

    S

    ? 1

    k

    a n d l e t L

    w

    d e n o t e t h e s u b l a n g u a g e o f t h o s e w o r d s w h i c h d o n o t c o n t a i n w a s a s u b w o r d .

    F o r e a c h n 0 ; l e t ( L

    w

    ; n ) d e n o t e t h e n u m b e r o f w o r d s o f l e n g t h a t m o s t n i n L

    w

    ; a n d

    l e t ! ( L

    w

    ) = l i m s u p

    n ! 1

    n

    p

    (

    L

    w

    ; n ) b e t h e c o r r e s p o n d i n g g r o w t h r a t e .

    O n o n e h a n d ! ( L

    w

    ) i s s t r i c t l y s m a l l e r t h a n t h e g r o w t h r a t e 2 k ? 1 o f L : O n t h e o t h e r

    h a n d t h e r e i s a n a t u r a l m a p f r o m L

    w

    o n t o F

    k

    = N a n d o n e h a s ! ( L

    w

    ) ! ( F

    k

    = N ; S ) : T h e

    p r o p o s i t i o n f o l l o w s .

    O b s e r v a t i o n . L e t ? b e a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p . I f t h e r e e x i s t s a n i t e g e n e r a t i n g s e t

    S s u c h t h a t ! ( ? ; S ) = ! ( ? ) a n d i f ( ? ; S ) i s g r o w t h t i g h t , t h e n ? i s H o p a n .

    P r o o f . T h i s i s a s t r a i g h t f o r w a r d c o n s e q u e n c e o f t h e d e n i t i o n s .

    I n p a r t i c u l a r , i t f o l l o w s t h a t f r e e g r o u p s a r e H o p a n .

    D o e s t h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n e x t e n d t o t h e f o l l o w i n g : l e t ? b e a G r o m o v h y p e r b o l i c

    g r o u p , l e t N b e a n i n n i t e n o r m a l s u b g r o u p o f ? ; l e t S b e a s y s t e m o f g e n e r a t o r s i n ? a n d

    d e n o t e b y S i t s c a n o n i c a l i m a g e i n ? = N ; t h e n ! ( ? ; S ) > ! ( ? = N ; S ) ? A n a t u r a l p r o g r a m m e

    i s t o e x t e n d a s m u c h a s p o s s i b l e t h e p r o o f a b o v e , e x p r e s s i n g ! ( L ) a s t h e s p e c t r a l r a d i u s o f

    t h e a d j a c e n c y m a t r i x o f a n a p p r o p r i a t e n i t e s t a t e a u t o m a t o n , a n d u s i n g P e r r o n - F r o b e n i u s

    t h e o r y t o s h o w a n i n e q u a l i t y o f t h e f o r m ! ( L

    w

    ) < ! ( L ) : ( S e e e . g . W i e l a n d t ' s L e m m a i n

    S e c t i o n 2 . 3 o f C h a p t e r X I I I o f G a n ] . )

    Z . S e l a h a s a n n o u n c e d a p r o o f t h a t e v e r y G r o m o v h y p e r b o l i c g r o u p i s H o p a n R i S e ,

    S e c t i o n 2 ] , a s m u c h a s w e g u e s s w i t h q u i t e d i e r e n t a r g u m e n t s .

    T h e p r e v i o u s q u e s t i o n i s r e l a t e d t o t h e f o l l o w i n g o n e . L e t u s c a l l a n i t e s t a t e a u t o m a t o n

    e r g o d i c i f a n y s t a t e d i s t i n c t f r o m t h e i n i t i a l s t a t e c a n b e r e a c h e d f r o m a n y o t h e r s t a t e .

    T h e q u e s t i o n i s : d o e s t h e r e e x i s t a n e r g o d i c n i t e s t a t e a u t o m a t o n w h i c h r e c o g n i s e s t h e

    l a n g u a g e o f g e o d e s i c a l n o r m a l f o r m s f o r t h e e l e m e n t s o f a h y p e r b o l i c g r o u p A v a -

    r i a n t o f t h i s w a s a s k e d b y D . B . A . E p s t e i n i n c o n n e c t i o n w i t h t h e r s t t e r m o f a s y m p t o t i c

    d e v e l o p p e m e n t s f o r t h e g r o w t h f u n c t i o n s o f h y p e r b o l i c g r o u p s ( s e e S e c t i o n ( C ) ) .

    L e t u s e n d t h i s s e c t i o n w i t h a n e x a m p l e o f a p a i r w h i c h i s n o t g r o w t h t i g h t . L e t ?

    b e a d i r e c t p r o d u c t F

    k

    F

    k

    ; l e t S = ( S

    k

    f 1 g ) ( f 1 g S

    k

    ) w h e r e S

    k

    i s a f r e e b a s i s

    o f F

    k

    ; a n d l e t ? ! ? = N = F

    k

    b e t h e r s t p r o j e c t i o n . A n e a s y c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t

    ! ( ? ; S ) = 2 k ? 1 = ! ( ? = N ; S ) s o t h a t ( ? ; S ) i s i n d e e d n o t g r o w t h t i g h t . ( O b s e r v e t h a t

    t h i s g r o u p i s n e v e r t h e l e s s H o p a n ! )

    D o e s t h e r e e x i s t a n y S f o r w h i c h t h e p a i r ( F

    k

    F

    k

    ; S ) i s g r o w t h t i g h t I s i t c l e a r t h a t

    ! ( F

    k

    F

    k

    ) = !

    ( 2 k )

    ( F

    k

    F

    k

    ) = 2 k ? 1 w h a t i s !

    ( 2 k )

    ( F

    k

    F

    k

    )

  • 7/29/2019 algebra ee

    7/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 7

    ( C ) R e g u l a r i t y o f g r o w t h f u n c t i o n s

    F o r a p a i r ( ? ; S ) a s i n S e c t i o n ( A ) , i t i s c o n v e n i e n t t o c o n s i d e r b o t h t h e g r o w t h f u n c t i o n

    n 7! ( n ) = ( ? ; S ; n ) a n d t h e s p h e r i c a l g r o w t h f u n c t i o n n 7! ( n ) = ( n ) ? ( n ? 1 ) : I f

    ? i s i n n i t e , o n e h a s

    ( * ) ! ( ? ; S ) = l i m

    n ! 1

    n

    p

    ( n ) = l i m

    n ! 1

    n

    p

    ( n )

    I n d e e d ! ( ? ; S ) i s b y d e n i t i o n t h e i n v e r s e o f t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s B ( z ) =

    P

    1

    n = 0

    ( n ) z

    n

    : A s i s a s u b m u l t i p l i c a t i v e f u n c t i o n , t h e i n v e r s e o f t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e

    o f ( z ) =

    P

    1

    n = 0

    ( n ) z

    n

    i s g i v e n s i m i l a r l y b y t h e l i m i t l i m

    n ! 1

    n

    p

    ( n ) ; a n d t h i s l i m i t i s a t

    l e a s t 1 b e c a u s e ( n ) 1 f o r a l l n 0 : A s o n e h a s ( z ) = ( 1 ? z ) B ( z ) i t f o l l o w s t h a t ( z )

    a n d B ( z ) h a v e t h e s a m e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e , a n d ( ) f o l l o w s .

    A f e w e a s y e x a m p l e s m a y a v o i d r a s h c o n j e c t u r e s a b o u t t h e f u n c t i o n s a n d : T h e r s t

    i s t h e p a i r

    ? =

    s ; t j s

    3

    = t

    3

    = ( s t )

    3

    = 1

    S = f s ; t g ;

    f o r w h i c h ? i s a d i s c r e t e g r o u p o f o r i e n t a t i o n p r e s e r v i n g i s o m e t r i e s o f t h e E u c l i d e a n p l a n e ,

    w i t h f u n d a m e n t a l d o m a i n t h e u n i o n o f t w o i s o m e t r i c e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s g l u e d a l o n g a

    c o m m o n s i d e . A c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t ( 2 k

    ?1 ) = 8 k

    ?2 a n d ( 2 k ) = 1 0 k

    ?2 f o r

    k 2 : I n p a r t i c u l a r ( 1 0 ) = 4 8 > ( 1 1 ) = 4 6 ; s h o w i n g t h a t s p h e r i c a l g r o w t h f u n c t i o n s

    n e e d n o t b e i n c r e a s i n g . A l s o

    ( 2 k ) i s n o t a l w a y s t h a n

    ( 2 k ? 1 ) + ( 2 k + 1 )

    2

    a n d t h i s d i s p r o v e s a c o n j e c t u r e f o r m u l a t e d i n 1 9 7 6 b y V . V . B e l i a y e v a n d N . F . S e s e k i n ( s e e

    P r o b l e m 5 . 2 i n K o u r ] ) .

    T h e m o d u l a r g r o u p p r o v i d e s a s e c o n d e x a m p l e , d u e t o A . M a c h i M a c ] ; i n p a r t i c u l a r , i t

    s h o w s t h a t t h e l i m i t l i m

    n ! 1

    ( n + 1 ) ( n )

    ? 1

    m a y e x i s t f o r o n e s e t o f g e n e r a t o r s a n d n o t

    f o r a n o t h e r o n e . M o r e p r e c i s e l y , l e t ? b e t h e f r e e p r o d u c t o f a g r o u p f 1 ; s g o f o r d e r 2 a n d

    o f a g r o u p

    f1 ; t ; t

    2

    go f o r d e r 3 : F o r S =

    fs ; t

    g; a c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t ( 2 k ) = 7 2

    k

    ?6

    a n d ( 2 k + 1 ) = 1 0 2

    k

    ? 6 f o r k 1 ; i n p a r t i c u l a r o n e h a s

    l i m

    k ! 1

    ( 2 k )

    ( 2 k ? 1 )

    =

    7

    5

  • 7/29/2019 algebra ee

    8/32

    8 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    I n t h i s c a s e t h e s e r i e s

    1

    X

    n = 0

    0

    ( n ) z

    n

    =

    1 + 2 z + 2 z

    2

    + z

    3

    ( 1 ? z ? z

    2

    ) ( 1 ? z )

    h a s a u n i q u e p o l e o n i t s c i r c l e o f c o n v e r g e n c e .

    T o i n v e s t i g a t e ( i r ) r e g u l a r i t i e s o f t h e g r o w t h f u n c t i o n s , m a y b e o n e s h o u l d t h i n k a g a i n

    a b o u t t h e r e l a t i o n b e t w e e n e x p o n e n t i a l g r o w t h a n d p a r a d o x i c a l b e h a v i o u r i n t h e s e n s e o f

    D S S ] .

    I n g e n e r a l , f o r a p a i r ( ? ; S ) ; l i t t l e i s k n o w n a b o u t w h e n t h e q u o t i e n t s ( n + 1 ) = ( ( n )

    c o n v e r g e t o w a r d s t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h r a t e ! ; o r w h e n t h e q u o t i e n t s !

    ? n

    ( n ) c o n v e r g e

    t o w a r d s s o m e c o n s t a n t , f o r n ! 1 :

    I f ? i s h y p e r b o l i c , C o o r n a e r t C o o ] h a s s h o w n t h a t t h e r e e x i s t c o n s t a n t s c

    1

    ; c

    2

    > 0 s u c h

    t h a t c

    1

    !

    n

    ( n ) c

    2

    !

    n

    f o r a l l n 0 : M a c h i ' s e x a m p l e w i t h t h e m o d u l a r g r o u p d e s c r i b e d

    a b o v e s h o w s t h a t o n e c a n n o t e x p e c t c

    1

    = c

    2

    i n g e n e r a l .

    S a y t h a t 2 ? i s a d e a d e n d w i t h r e s p e c t t o S i f o n e h a s

    S

    ( s )

    S

    ( ) f o r a l l s

    2S

    n a m e l y i f a g e o d e s i c s e g m e n t f r o m 1 t o c a n n o t b e e x t e n d e d b e y o n d : T h e i n v e s t i g a t i o n o f

    t h e s e d e a d e n d s w a s s t a r t e d i n d e p e n d e n t l y b y s e v e r a l w o r k e r s ( i n c l u d i n g O . V . B o g o p o l s k i ,

    C . C h a m p e t i e r a n d A . V a l e t t e - s e e a l s o H a r p ] ) .

    A s a r s t e x a m p l e , c o n s i d e r t h e d i r e c t p r o d u c t Z f ; j g o f t h e i n t e g e r s w i t h t h e g r o u p

    o f o r d e r 2 ; a n d t h e g e n e r a t i n g s e t f ( 1 ; ) ; ( 1 ; j ) g ; t h e n ( 0 ; j ) i s a d e a d e n d . C o n s i d e r t h e n

    t h e o n e - r e l a t o r p r e s e n t a t i o n h s ; t j s t s t s i a n d t h e g e n e r a t i n g s e t f s ; t g ( t h e g r o u p i s Z a n d

    o n e m a y t a k e s = 2 ; t = ? 3 ) ; t h e n s t i s a d e a d e n d . ( T h e s e e x a m p l e s h a v e b e e n s h o w n t o

    u s b y A . V a l e t t e a n d C . C h a m p e t i e r . ) I n t h e o t h e r d i r e c t i o n , i t i s f o r e x a m p l e k n o w n t h a t

    a g r o u p w i t h p r e s e n t a t i o n h S j R i s a t i s f y i n g a s m a l l c a n c e l l a t i o n h y p o t h e s i s C

    0

    ( 1 = 6 ) h a s n o

    d e a d e n d ( l e m m e 4 . 1 9 i n C h a ] ) .

    G i v e n a p a i r ( ? ; S ) ; d e n o t e b y D

    S

    ( ? ) t h e c o r r e s p o n d i n g s u b s e t o f d e a d e n d s a n d b y

    ( n ) t h e n u m b e r o f d e a d e n d e l e m e n t s o f S - l e n g t h a t m o s t n : B o g o p o l s k i h a s a s k e d t h e

    f o l l o w i n g q u e s t i o n s B o g ] .

    G i v e n ? ; d o e s t h e r e e x i s t S w i t h D

    S

    ( ? ) = ;

    S a m e q u e s t i o n f o r ? h y p e r b o l i c .

    I s i t a l w a y s t r u e t h a t l i m

    n ! 1

    ( n )

    ( n )

    = 0

    G i v e n ( ? ; S ) ; d o e s t h e r e e x i s t a n i n t e g e r L > 0 s u c h t h a t , f o r a n y

    2? ; t h e r e e x i s t s

    t 2 ? w i t h

    S

    ( t ) L a n d

    S

    ( t ) =

    S

    ( ) + 1 ( T h e a n s w e r i s \ y e s " i n c a s e ? i s h y p e r b o l i c ,

    o r m o r e g e n e r a l l y i n c a s e ( ? ; S ) h a s n i t e l y m a n y c o n e - t y p e s . )

    L e t ( ? ; S ) b e a p a i r w i t h ? o f p o l y n o m i a l g r o w t h , n a m e l y s u c h t h a t t h e g r o w t h f u n c t i o n

    n 7! ( n ) = ( ? ; S ; n ) s a t i s e s

    ( n )

    c n

    d

  • 7/29/2019 algebra ee

    9/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 9

    f o r s o m e c o n s t a n t s c ; d > 0 a n d f o r a l l n 0 ( i t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h i s d e p e n d s o n

    ? o n l y , a n d n o t o n S ) . B y o n e o f G r o m o v ' s f a m o u s t h e o r e m s G v 1 ] , ? i s t h e n v i r t u a l l y

    n i l p o t e n t a n d t h e p o l y n o m i a l g r o w t h r a t e

    d = l i m s u p

    n ! 1

    l o g ( n )

    l o g n

    i s a n i n t e g e r ; t h e l a t t e r i s g i v e n b y a f o r m u l a o f W o l f - B a s s B a s ] a n d G u i v a r c ' h G u i v ] ,

    a l s o f o u n d b y B . H a r t l e y ( i n d e p e n d e n t l y , i n a w o r k w h i c h h a s n o t b e e n p u b l i s h e d ) . T h i s

    t h e o r e m o f G r o m o v h a s b e e n e x t e n d e d t o a p p r o p r i a t e c l a s s e s o f s e m i - g r o u p s G k 8 ] a n d

    g r a p h s T r o ] .

    F o r a p a i r ( ? ; S ) a n d c o n s t a n t s c > 0 ; d

    1 ; t h e p r o p e r t y ( n )

    c n

    d

    f o r a l l n

    0 i s

    e q u i v a l e n t t o t h e i s o p e r i m e t r i c e s t i m a t e

    j

    j

    1 = d

    c

    j@

    j

    1 = ( d ? 1 )

    f o r a l l n i t e s u b s e t o f ? ; w h e r e t h e b o u n d a r y o f i s b y d e n i t i o n

    @ =

    x 2 j t h e r e e x i s t s s 2 S S

    ? 1

    s u c h t h a t x s =2 j

    ( s e e C o S ] ) .

    P a n s u h a s s h o w n t h a t t h e l i m i t

    c

    1

    = l i m

    n ! 1

    ( n )

    n

    d

    e x i s t s f o r e v e r y v i r t u a l l y n i l p o t e n t g r o u p P a n ] . G r u n e w a l d h a s c l a i m e d t h a t

    ( n )

    = c

    1

    n

    d

    + O

    n

    d ?

    1

    2

    b u t p r o o f s a r e n o t k n o w n t o u s . R e c e n t l y , f o r ? a 2 - s t e p n i l p o t e n t g r o u p ( t h i s m e a n s t h a t

    a n y c o m m u t a t o r i n ? i s c e n t r a l ) , S t o l l S t 2 ] h a s s h o w n t h a t ( n ) = c

    1

    n

    d

    + O

    ?

    n

    d ? 1

    : I t i s

    a n o p e n p r o b l e m t o k n o w w h e t h e r o r w h e n t h e l i m i t

    c

    2

    = l i m

    n ! 1

    ( n ) ? c

    1

    n

    d

    n

    d ? 1

    e x i s t s a n d i s n i t e .

    O n e s h o u l d c l e a r l y i n v e s t i g a t e f u r t h e r t h e a s y m p t o t i c s o f t h e g r o w t h f u n c t i o n s ( n ) f o r

    n i l p o t e n t g r o u p s .

    O t h e r r e f e r e n c e s o n g r o u p s o f p o l y n o m i a l g r o w t h i n c l u d e D W 1 ] , D W 2 ] , T i t ] , V S C ] ,

    W o l ] .

    G r o u p s o f s u b e x p o n e n t i a l g r o w t h ( a n d g r o u p s o f p o l y n o m i a l g r o w t h i n p a r t i c u l a r ) a r e

    k n o w n t o h a v e v a r i o u s i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s . F o r e x a m p l e , t h e y a r e a m e n a b l e , a f a c t r s t

  • 7/29/2019 algebra ee

    10/32

    1 0 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    o b s e r v e d i n A d V ] . A l s o , t h e y g i v e r i s e t o c o m b i n a t o r i a l L a p l a c i a n s o n t h e i r C a y l e y g r a p h s ,

    a n d t h u s t o b o u n d e d o p e r a t o r s o n

    p

    s p a c e s , a n d t h e s e h a v e s p e c t r a w h i c h a r e i n d e p e n d e n t

    o n p 2 1 ; 1 ] S h u ] .

    T h e r e a r e a l s o b a s i c p r o b l e m s w h i c h a r e s t i l l o p e n a b o u t g r o u p s o f i n t e r m e d i a t e g r o w t h ,

    n a m e l y a b o u t n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p s w h i c h a r e n e i t h e r o f p o l y n o m i a l n o r o f e x p o n e n t i a l

    g r o w t h . A f t e r M i l n o r M i 1 ] a s k e d i n 1 9 6 8 w h e t h e r t h e s e g r o u p s e x i s t a t a l l , e x a m p l e s h a v e

    b e e n d i s c o v e r e d i n t h e e a r l y 1 9 8 0 ' s ; f o r t h e s e p r o g r e s s , w e r e f e r t o G k 9 ] . L e t u s h o w e v e r

    r e p e a t t h a t t h e f o l l o w i n g m o s t i m p o r t a n t q u e s t i o n i s s t i l l o p e n : d o e s t h e r e e x i s t n i t e l y

    p r e s e n t e d g r o u p s o f i n t e r m e d i a t e g r o w t h ?

    I t i s a p p r o p r i a t e t o q u o t e h e r e P r o b l e m 1 2 o f L y n ] : T h e r e i s c l e a r l y m u c h t o b e d o n e

    i n d e t e r m i n i n g t h e p o s s i b l e g r o w t h f u n c t i o n s o f g r o u p s a n d i n r e l a t i n g t h e m t o p r o p e r t i e s

    o f g r o u p s .

    ( D ) C l a s s i c a l g r o w t h s e r i e s

    T h e u s u a l g r o w t h s e r i e s o f ( ? ; S ) i s t h e f o r m a l p o w e r s e r i e s

    ( ? ; S ; z ) =

    1

    X

    n = 0

    ( n ) z

    n

    =

    X

    2 ?

    z

    S

    ( )

    2 Z z ] ]

    a n d i s d e n o t e d b y ( z ) w h e n t h e p a i r ( ? ; S ) i s c l e a r f r o m t h e c o n t e x t . I t s r a d i u s o f

    c o n v e r g e n c e i s ! ( ? ; S )

    ? 1

    w h e n ? i s i n n i t e . O n e h a s a l s o

    ( ? ; S ; z )

    1 ? z

    =

    1

    X

    n = 0

    ( n ) z

    n

    b e c a u s e ( n ) = ( 0 ) + : : : + ( n ) f o r a l l n 0 ( a s a l r e a d y o b s e r v e d i n S e c t i o n ( C ) a b o v e ) .

    F o r e x a m p l e , o n e h a s

    Z

    S =

    f1

    g=

    ) ( z ) =

    1 + z

    1 ? z

    Z S = f 2 ; 3 g = ) ( z ) = ? 5 ? 2 z + 2 z

    2

    +

    6

    1 ? z

    Z

    k

    S = u s u a l b a s i s = ) ( z ) =

    1 + z

    1 ? z

    k

    F

    k

    S

    k

    = f r e e b a s i s = ) ( z ) =

    1 + z

    1 ? ( 2 k ? 1 ) z

    :

    A s o n e m o r e e x a m p l e , t h e f u n d a m e n t a l g r o u p ?

    g

    o f a c o m p a c t c l o s e d o r i e n t a b l e s u r f a c e o f

    g e n u s g 2 a n d i t s u s u a l s e t S

    g

    o f 2 g g e n e r a t o r s p r o v i d e t h e g r o w t h s e r i e s

    ( ?

    g

    ; S

    g

    ; z ) =

    1 + 2 z + : : : + 2 z

    2 g ? 1

    + z

    2 g

    1 ? ( 4 g ? 2 ) z ? : : : ? ( 4 g ? 2 ) z

    2 g ? 1

    + z

    2 g

  • 7/29/2019 algebra ee

    11/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 1 1

    C a 1 ] . T h i s r a t i o n a l f u n c t i o n h a s e x a c t l y t w o p o l e s o u t s i d e t h e u n i t c i r c l e , w h i c h a r e

    p o s i t i v e r e a l n u m b e r s , s a y ! > 1 a n d !

    ? 1

  • 7/29/2019 algebra ee

    12/32

    1 2 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    e x a m p l e s o f W . P a r r y w h i c h a r e r e s t r i c t e d w r e a t h p r o d u c t s P y 2 ] .

    ( A b o u t t h e r s t o f t h e s e c l a s s e s , i t i s e a s y t o e x t e n d t h e p r o o f t o t h e c a s e o f r e c u r s i v e l y

    p r e s e n t e d g r o u p s . ) O f t h e f o u r c l a s s e s o f g r o w t h s e r i e s a b o v e , t h e r s t t h r e e a r e e v e n

    t r a n s c e n d e n t a l , w h i l e e x a m p l e s o f P a r r y m a y b e n o n - r a t i o n a l a n d a l g e b r a i c .

    F o r a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p o f s u b e x p o n e n t i a l g r o w t h , o b s e r v e t h a t g r o w t h s e r i e s a r e

    e i t h e r r a t i o n a l , o r n o t a l g e b r a i c ( s e e P o S z ] , P a r t V I I I , n

    o

    1 6 7 , o r F a t ] , p a g e 3 6 8 ) .

    C o m p u t a t i o n s o f g r o w t h s e r i e s a r e o f t e n i n t e r e s t i n g c h a l l e n g e s , a n d w e l i s t s o m e o p e n

    c a s e s :

    t h e R i c h a r d T h o m p s o n ' s g r o u p h s ; t j s t

    ? 1

    ; s

    ? 1

    t s ] = s t

    ? 1

    ; s

    ? 2

    t s

    2

    ] = 1 i C F P ] ,

    t h e B a u m s l a g - S o l i t a r g r o u p ? =

    a ; b j a b

    2

    a

    ? 1

    = b

    3

    B a S ] ,

    t h e B u r n s i d e g r o u p s .

    O t h e r r e l a t e d r e f e r e n c e s i n c l u d e S m y ] a n d W a g ] .

    W e w o u l d l i k e t o s i n g l e o u t t h e f o l l o w i n g p a r t i c u l a r c a s e o f r e s u l t s o f M . S t o l l . L e t

    H

    2

    =

    *

    x

    1

    ; x

    2

    ; y

    1

    ; y

    2

    x

    i

    ; x

    j

    ] = y

    i

    ; y

    j

    ] = 1 f o r a l l i ; j

    x

    i

    ; y

    j

    ] = 1 f o r i

    6= j

    x

    1

    ; y

    1

    ] = x

    2

    ; y

    2

    ] i s c e n t r a l

    +

    =

    8

    >

    :

    0

    B

    @

    1 Z Z Z

    0 1 0 Z

    0 0 1 Z

    0 0 0 1

    1

    C

    A

    9

    >

    =

    >

    ;

    b e t h e s e c o n d H e i s e n b e r g g r o u p a n d s e t

    S

    s t a n d a r d

    = f x

    1

    ; x

    ? 1

    1

    ; x

    2

    ; x

    ? 1

    2

    ; y

    1

    ; y

    ? 1

    1

    ; y

    2

    ; y

    ? 1

    2

    g

    S

    S t o l l

    = S

    s t a n d a r d

    a b

    a 2 f x

    1

    ; x

    ? 1

    1

    ; y

    1

    ; y

    ? 1

    1

    g a n d b 2 f x

    2

    ; x

    ? 1

    2

    ; y

    2

    ; y

    ? 1

    2

    g

    :

    O n e h a s t h e f o l l o w i n g r e s u l t ; s e e S t 4 ] , i n p a r t i c u l a r C o r o l l a r y 5 . 1 1 a n d T h e o r e m 6 . 1 .

    T h e o r e m ( S t o l l ) . ( i ) T h e g r o w t h s e r i e s o f H

    2

    w i t h r e s p e c t t o S

    s t a n d a r d

    i s t r a n s c e n d e n t a l .

    ( i i ) T h e g r o w t h s e r i e s o f H

    2

    w i t h r e s p e c t t o S

    S t o l l

    i s r a t i o n a l .

    R e m a r k . T h e g r o w t h s e r i e s f o r

    H

    1

    = h x ; y j x ; y ] i s c e n t r a l i

    w i t h r e s p e c t t o f x ; x

    ? 1

    ; y ; y

    ? 1

    g i s

    ( z ) =

    1 + z + 4 z

    2

    + 1 1 z

    3

    + 8 z

    4

    + 2 1 z

    5

    + 6 z

    6

    + 9 z

    7

    + z

    8

    ( 1

    ?z )

    4

    ( 1 + z + z

    2

    ) ( 1 + z

    2

    )

    ( s e e B e 2 ] ( b e w a r e o f a m i s t a k e i n t h e f o r m u l a f o r ! ) a n d S h 1 ] ) .

  • 7/29/2019 algebra ee

    13/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 1 3

    O p e n p r o b l e m : d o e s t h e r e e x i s t a g e n e r a t i n g s e t o f H

    1

    f o r w h i c h t h e c o r r e s p o n d i n g

    g r o w t h s e r i e s i s N O T r a t i o n a l

    T h e r e a r e s e v e r a l o t h e r k i n d s o f g r o w t h - l i k e n o t i o n s f o r g r o u p s ? o r f o r p a i r s ( ? ; S ) t h a t

    w e h a v e n o t m e n t i o n n e d s o f a r . L e t u s q u o t e a f e w o f t h e s e .

    T h e g r o w t h o f t h e n u m b e r o f s u b g r o u p s o f n i t e i n d e x . A b o u t t h i s , l e t u s m e n t i o n

    t h e r e m a r k a b l e r e s u l t o f L u b o t z k y , M a n n a n d S e g a l L M S ] : f o r a n i t e l y g e n e r a t e d a n d

    r e s i d u a l l y n i t e g r o u p ? ; t h e g r o w t h o f t h e n u m b e r o f s u b g r o u p s o f n i t e i n d e x i s p o l y n o -

    m i a l i f a n d o n l y i f t h e g r o u p i s v i r t u a l l y s o l v a b l e o f n i t e r a n k ( a g r o u p i s o f n i t e r a n k

    i f t h e r e i s a b o u n d o n t h e n u m b e r s o f g e n e r a t o r s o f i t s n i t e l y g e n e r a t e d s u b g r o u p s ) . S e e

    a l s o L u M ] , L u 1 ] a n d L u 2 ] .

    T h e g r o w t h o f t h e n u m b e r o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f e l e m e n t s , w h i c h i s r e l a t e d t o s p e c t r a

    o f c l o s e d g e o d e s i c s i n R i e m a n n i a n m a n i f o l d s ( s e e

    x x5 . 2 a n d 8 . 5 i n G v 3 ] , a n d B a 2 ] ) .

    T h e g r o w t h o f t h e r a n k s o f t h e f a c t o r s o f t h e l o w e r c e n t r a l s e r i e s o f a g r o u p G r K ] .

    T h e g r o w t h o f D e h n f u n c t i o n s , w h i c h m e a s u r e t h e c o m p l e x i t y o f t h e w o r d p r o b l e m ,

    a n d o f r e l a t e d f u n c t i o n s ( s e e e . g . p a g e 8 2 i n G v 4 ] ) . A r e c e n t r e s u l t o f B i r g e t , R i p s a n d

    S a p i r s h o w s t h a t D e h n f u n c t i o n s c a n b e \ a l m o s t a n y t h i n g " ( i n a p r e c i s e m e a n i n g ! ) ; s e e

    B R S ] .

    T h e g r o w t h o f t h e n u m b e r o f o r b i t s i n p r o d u c t a c t i o n s o f a p p r o p r i a t e p e r m u t a t i o n

    g r o u p s ( a c t i o n s o n n i t e s e t s , o r m o r e g e n e r a l l y t h e s o - c a l l e d o l i g o m o r p h i c a c t i o n s s t u d i e d

    b y P . C a m e r o n ) . A m o n g o t h e r r e f e r e n c e s , s e e C a m ] .

    T h e g r o w t h o f t h e m i n i m a l n u m b e r o f g e n e r a t o r s f o r d i r e c t p r o d u c t s o f a g r o u p . T h e r e

    a r e m a n y p a p e r s o n t h i s p r o b l e m , b y J . W i e g o l d a n d o t h e r s , o f w h i c h w e q u o t e E r W ] a n d

    P o l ] .

    G r o w t h o f p a r t i c u l a r n i t e s u b s e t s o f a g r o u p , s u c h a s , f o r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p

    o f a s h i f t o f n i t e t y p e , t h e d o u b l y e x p o n e n t i a l g r o w t h o f t h e n u m b e r o f a u t o m o r p h i s m s o f

    s o - c a l l e d n i t e r a n g e B L R ] .

    O n e c a n a l s o i m a g i n e o t h e r t y p e s o f g e n e r a t i n g s e r i e s , s u c h a s

    e x p o n e n t i a l s e r i e s o f t h e f o r m

    1

    X

    n = 0

    ( ? ; S ; n )

    n !

    z

    n

    ;

    D i r i c h l e t s e r i e s o f t h e f o r m

    1

    X

    n = 0

    ( ? ; S ; n ) n

    ? s

    ;

    a n d N e w t o n i a n s e r i e s o f t h e f o r m

    1

    X

    n = 0

    ( ? ; S ; n )

    z

    n

    ( s e e G K P ] , S t a ] o r W i l ] ) .

  • 7/29/2019 algebra ee

    14/32

    1 4 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    ( E ) G r o w t h s e r i e s w i t h w e i g h t s

    T h e s e t t i n g a b o v e c a r r i e s o v e r t o t h e c a s e o f p r o p e r w e i g h t s , n a m e l y t o f u n c t i o n s :

    ? ! R

    +

    s u c h t h a t

    f 2 ? j ( ) K g i s n i t e f o r a l l K 0

    (

    1

    2

    ) (

    1

    ) + (

    2

    ) f o r a l l

    1

    ;

    2

    2 ?

    ( p r o p e r s u b m u l t i p l i c a t i v e f u n c t i o n s ) . E a c h p r o p e r w e i g h t g i v e s r i s e t o a l e f t - i n v a r i a n t

    p s e u d o - m e t r i c (

    1

    ;

    2

    ) 7! (

    ? 1

    1

    2

    ) o n ? w h i c h i s p r o p e r ( i . e . a n y b a l l o f n i t e r a d i u s i s

    n i t e ) , a n d c o n v e r s e l y .

    O n e d e n o t e s b y ( ? ; ; K ) t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n ? o f w e i g h t ( ) K a n d b y

    ! ( ? ; ) = l i m

    K ! 1

    K

    p

    ( ? ; ; K )

    t h e c o r r e s p o n d i n g g r o w t h r a t e . T h e p r e v i o u s c o n s i d e r a t i o n s c o r r e s p o n d t o t h e p a r t i c u l a r

    c a s e =

    S

    d e n e d b y a n i t e g e n e r a t i n g s e t S o f ? ; a n d i t e m s ( E . 1 ) t o ( E . 6 ) b e l o w t o

    o t h e r i n t e r e s t i n g c a s e s . M o r e o n w e i g h t s o n g r o u p s i n G k 1 1 ] .

    ( E . 1 ) A r s t c l a s s o f e x a m p l e s c o n s i s t s o f r e l a t i v e g r o w t h f o r s u b g r o u p s . M o r e p r e c i s e l y ,

    c o n s i d e r a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? ; a n i t e s y s t e m S o f g e n e r a t o r s o f ? a n d t h e c o r r e -

    s p o n d i n g w o r d l e n g t h f u n c t i o n

    S

    ; a n a r b i t r a r y s u b g r o u p ?

    0

    o f ? ( n o t n e c e s s a r i l y n i t e l y

    g e n e r a t e d ) , a n d t h e r e s t r i c t i o n : ?

    0

    ! N o f

    S

    : W e t h e n w r i t e ( ?

    0

    r e l ? ; S ; n ) i n s t e a d

    o f ( ?

    0

    ; ; n ) ; a n d s i m i l a r l y f o r t h e g r o w t h r a t e ! ( ?

    0

    r e l ? ; S ) :

    H e r e i s a s a m p l e o f q u e s t i o n s w h i c h i t i s n a t u r a l t o a s k i n t h i s c o n t e x t ( f r o m a l i s t i n a

    t a l k o f A . L u b o t z k y - J u l y 1 9 9 6 ) .

    I n c a s e ? i s s o l v a b l e , i s t h e r e l a t i v e g r o w t h o f a s u b g r o u p ?

    0

    e i t h e r p o l y n o m i a l o r e x p o n e n t i a l ( C o m p a r e w i t h W o l ] a n d M i 3 ] . )

    S a m e q u e s t i o n s f o r ? l i n e a r . ( C o m p a r e w i t h T i 1 ] ; s e e a l s o S h a ] . )

    I n c a s e t h e s u b g r o u p ?

    0

    i s i n n i t e c y c l i c , c a n o n e h a v e i n t e r m e d i a t e g r o w t h

    D o e s t h e r e e x i s t p a i r s ?

    0

  • 7/29/2019 algebra ee

    15/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 1 5

    O b s e r v a t i o n . F o r a n i n t e g e r k 2 ; c o n s i d e r t h e w o r d l e n g t h : F

    k

    ! N d e n e d b y a f r e e

    b a s i s S

    k

    o f t h e f r e e g r o u p F

    k

    ; a n d i t s s u b g r o u p o f c o m m u t a t o r s . T h e n t h e c o r r e s p o n d i n g

    s e r i e s ( F

    k

    ; F

    k

    ] r e l F

    k

    ; S

    k

    ; z ) i s n o t r a t i o n a l .

    O n t h e p r o o f . L e t N b e a n o r m a l s u b g r o u p o f F

    k

    ; s e t ? = F

    k

    = N a n d d e n o t e b y : F

    k

    ! ?

    t h e c a n o n i c a l p r o j e c t i o n . C o n s i d e r o n ? t h e s i m p l e r a n d o m w a l k w i t h r e s p e c t t o t h e

    g e n e r a t o r s ( S

    k

    ) ; f o r w h i c h t h e p r o b a b i l i t y o f w a l k i n g i n o n e s t e p f r o m x t o x t 2 ? i s

    z e r o f o r t =2 ( S

    k

    S

    ? 1

    k

    ) a n d i s

    j

    2 k

    f o r t 2 ( S

    k

    S

    ? 1

    k

    ) ; w h e r e j i s t h e c a r d i n a l i t y o f

    ? 1

    ( t ) \ ( S

    k

    S

    ? 1

    k

    ) ; i n p a r t i c u l a r i t m a y b e t h a t j > 1 : L e t r s t

    G

    1

    ( z ) =

    1

    X

    n = 0

    p

    ( n )

    ( 1 ; 1 ) z

    n

    d e n o t e t h e G r e e n f u n c t i o n o f t h i s r a n d o m w a l k ( m o r e o n t h i s n o t i o n i n S e c t i o n ( G ) b e l o w ) .

    S e c o n d , w r i t e N i n s t e a d o f ( N r e l F

    k

    ; S

    k

    ) t h e s e r i e s

    N ( z ) =

    1

    X

    n = 0

    ]

    N

    \ fs p h e r e o f r a d i u s n a r o u n d 1 i n F

    k

    w i t h r e s p e c t t o S

    k

    g

    z

    n

    f o r t h e r e l a t i v e g r o w t h . A n d t h i r d , c o n s i d e r t h e r a t i o n a l f u n c t i o n w i t h r a t i o n a l c o e c i e n t s

    i n t w o v a r i a b l e s d e n e d b y

    R ( x ; y ) =

    1

    y

    "

    2 k

    ?1

    2 k

    ? 2 ( k ? 1 )

    ( 1

    ?y )

    2

    ?

    2 k ? 1

    k

    2

    x

    2

    ?( 1

    ?y )

    2

    #

    2 Q ( x ; y ) :

    T h e f o r m u l a

    G

    1

    ( z ) = R

    z ;

    r

    1 ?

    2 k ? 1

    k

    2

    z

    2

    !

    N

    0

    @

    k

    1 ?

    q

    1 ?

    2 k ? 1

    k

    2

    z

    2

    ( 2 k ? 1 ) z

    1

    A

    h a s b e e n p r o v e d i n t h e r s t a u t h o r ' s t h e s i s G k 1 ] . O b s e r v e i n p a r t i c u l a r t h a t G

    1

    a n d N

    a r e t o g e t h e r a l g e b r a i c o r n o t .

    L e t u s n o w p a r t i c u l a r i z e t o k = 2 a n d N = F

    k

    ; F

    k

    ] : T h e n ? = Z

    2

    a n d G

    1

    ( z ) i s t h e

    G r e e n f u n c t i o n o f t h e s t a n d a r d s i m p l e r a n d o m w a l k o n t h e i n t e g e r p l a n e ( d r u n k a r d ' s w a l k ) .

    I t i s w e l l - k n o w n t h a t

    G

    1

    ( z ) =

    1

    X

    n = 0

    2 n

    n

    2

    z

    4

    2 n

    = F

    1

    2

    ;

    1

    2

    ; 1 ; z

    2

    ( s e e f o r e x a m p l e S e c t i o n 7 . 3 i n D o S ] f o r t h e r s t e q u a l i t y , a n d r e c a l l t h a t F ( ; ; ; x )

    i s t h e u s u a l n o t a t i o n f o r h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s ) . F o r t h e v a l u e s

    1

    2

    ;

    1

    2

    ; 1 o f t h e p a r a m e t e r s

    ; ; ; t h e m o n o d r o m y g r o u p o f t h e c o r r e s p o n d i n g h y p e r g e o m e t r i c e q u a t i o n i s k n o w n t o

    b e g e n e r a t e d b y t h e m a t r i c e s ( w e l l - d e n e d u p t o c o n j u g a c y )

    1 1

    0 1

    a n d

    1 0

    ? 4 1

  • 7/29/2019 algebra ee

    16/32

    1 6 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    i n G L ( 2 ; C ) ; s e e I K S Y ] , F o r m u l a s ( 1 . 1 . 5 ) a n d ( 4 . 3 . 4 ) o f C h a p t e r 2 . A s t h i s g r o u p o f

    m o n o d r o m y h a s n o n i t e o r b i t i n C

    2

    n f 0 g ; t h e f u n c t i o n F

    ?

    1

    2

    ;

    1

    2

    ; 1 ; z

    2

    i s n o t a l g e b r a i c .

    W e c o n f e s s h e r e t h a t w e h a v e n o t l o o k e d f o r a f o r m a l p r o o f o f t h e f a c t t h a t

    ( F

    k

    ; F

    k

    ] r e l F

    k

    ; S

    k

    ; z ) i s n o t a r a t i o n a l f u n c t i o n w h e n k 3 ( a l t h o u g h w e b e l i e v e i n t h i s ) .

    S i m i l a r n o n - r a t i o n a l i t y r e s u l t s h a v e b e e n e s t a b l i s h e d f o r t h e f u n d a m e n t a l g r o u p o f a

    c l o s e d o r i e n t a b l e s u r f a c e o f g e n u s a t l e a s t 2 a n d i t s g r o u p o f c o m m u t a t o r s P o S h ] , a s w e l l

    a s f o r s o m e 2 - s t e p n i l p o t e n t g r o u p a n d i t s c e n t e r W e b ] .

    ( E . 2 ) T h e r e i s a n o t i o n o f g r o w t h f o r c o s e t s p a c e s . A b o u t t h i s , l e t u s o n l y m e n t i o n o n e

    r e s u l t d u e t o K a z h d a n ( q u o t e d o n p a g e 1 8 o f G v 4 ] - s e e a l s o S t u c ] ) a n d o n e d u e t o R o s s e t

    R o s ] .

    T h e o r e m ( K a z h d a n , R o s s e t ) . ( i ) I f ? h a s K a z h d a n ' s P r o p e r t y ( T ) a n d i f ?

    0

    i s a

    s u b g r o u p s u c h t h a t t h e g r o w t h o f ? = ?

    0

    i s s u b e x p o n e n t i a l , t h e n ?

    0

    i s n e c e s s a r i l y o f n i t e

    i n d e x i n ? .

    ( i i ) I f ? i s n i t e l y g e n e r a t e d a n d h a s n o n - e x p o n e n t i a l g r o w t h , a n d i f ?

    0

    i s a n o r m a l

    s u b g r o u p s u c h t h a t ? = ?

    0

    i s s o l v a b l e , t h e n ?

    0

    i s n i t e l y g e n e r a t e d .

    ( E . 3 ) A n i m p o r t a n t p a r t i c u l a r c a s e o f r e l a t i v e g r o w t h i s t h a t o f c o g r o w t h . F o r a p a i r

    ( ? ; S ) a n d a s u b g r o u p ?

    0

    p

    2 k ? 1

    b y G k 1 ] , G k 3 ] . ( C o m p a r e w i t h K e 1 ] , L e m m a 3 . 1 a n d T h e o r e m 3 . )

    D o e s t h i s g e n e r a l i z e t o h y p e r b o l i c g r o u p s T h a t i s , f o r a n o n e l e m e n t a r y h y p e r b o l i c

    g r o u p ? a n d a n i t e s e t S o f g e n e r a t o r s o f ? ; d o e s o n e h a v e

    ! ( ? ; S ) ! ( N r e l ? ; S ) >

    p

    ! ( ? ; S )

    f o r a n y n o r m a l s u b g r o u p N o f ? w h i c h i s n o t n i t e

    O n e m o t i v a t i o n f o r t h e n o t i o n o f c o g r o w t h c o m e s f r o m t h e s t u d y o f r a n d o m w a l k s .

    A n t i c i p a t i n g o n t h e n o t a t i o n o f S e c t i o n ( G ) b e l o w , w e w i l l n o w d e s c r i b e a r e l a t i o n b e t w e e n

    s p e c t r a l r a d i u s a n d c o g r o w t h .

    L e t r s t ( ? ; S ) b e a p a i r a s a b o v e a n d l e t ?

    0

    b e a s u b g r o u p o f ? : R e c a l l t h a t t h e

    C a y l e y g r a p h C a y ( ?

    0

    n ? ; S ) i s t h e g r a p h w i t h v e r t e x s e t ?

    0

    n ? ; a n d w i t h a n e d g e b e -

    t w e e n t w o v e r t i c e s ?

    0

    1

    ; ?

    0

    2

    i f a n d o n l y i f

    ? 1

    1

    2

    2S

    S

    ? 1

    ( t h i s i s a l s o c a l l e d t h e

  • 7/29/2019 algebra ee

    17/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 1 7

    S c h r e i e r g r a p h o f ? m o d u l o ?

    0

    w i t h r e s p e c t t o S ) . W e d e n o t e b y ( ?

    0

    n ? ; S ) t h e s p e c -

    t r a l r a d i u s o f t h e s e l f - a d j o i n t b o u n d e d o p e r a t o r T d e n e d o n

    2

    ( ?

    0

    n ? ) b y ( T f ) ( ?

    0

    ) =

    P

    s 2 S

    ?

    f ( ?

    0

    s ) + f ( ?

    0

    s

    ? 1

    )

    ; i n c a s e ?

    0

    = f 1 g ; t h i s d e n i t i o n o f ( ? ; S ) c o i n c i d e s w i t h

    t h a t o f S e c t i o n ( G ) b e l o w : s e e W o 3 ] .

    L e t n o w F

    k

    b e a f r e e g r o u p o n a f r e e b a s i s S

    k

    o f k e l e m e n t s , a n d l e t ?

    0

    b e a s u b g r o u p

    o f F

    k

    ( n o t n e c e s s a r i l y n o r m a l ) . D e n o t i n g b y t h e r e l a t i v e g r o w t h ! ( ?

    0

    r e l F

    k

    ; S

    k

    ) ; o n e

    h a s t h e f o r m u l a

    ( ?

    0

    n F

    k

    ; S

    k

    ) =

    8

    >

    >

    >

    :

    p

    2 k ? 1

    k

    i f 1

    p

    2 k ? 1

    p

    2 k ? 1

    2 k

    p

    2 k ? 1

    +

    p

    2 k ? 1

    i f

    p

    2 k ? 1 < 2 k ? 1

    w h i c h s h o w s a \ p h a s e t r a n s i t i o n " f o r t h e d e p e n d e n c e o f t h e s p e c t r a l r a d i u s ( ?

    0

    n F

    k

    ; S

    k

    )

    i n t e r m s o f t h e r e l a t i v e g r o w t h G k 3 ] .

    I n t h e s p e c i a l c a s e o f a n o r m a l s u b g r o u p o f F

    k

    ; w e w r i t e N i n t e a d o f ?

    0

    ; w e d e n o t e

    b y ? t h e q u o t i e n t g r o u p o f F

    k

    b y N ; b y S t h e c a n o n i c a l i m a g e o f S

    k

    i n ? ; a n d w e w r i t e

    ( ? ; S ) i n s t e a d o f ( N n F

    k

    ; S

    k

    ) : ( O b s e r v e t h a t S m a y b e a \ s e t w i t h m u l t i p l i c i t y " , b u t

    w e l e a v e h e r e t h i s d i s c u s s i o n t o t h e r e a d e r . ) T h e p r e v i o u s f o r m u l a r e l a t e s n o w t h e s p e c t r a l

    r a d i u s ( ? ; S ) a n d t h e c o g r o w t h : O n e h a s = 1 i f a n d o n l y i f N = f 1 g ; a n d i n t h i s

    c a s e t h e c o m p u t a t i o n o f ( ? ; S ) = ( F

    k

    ; S

    k

    ) i s t h a t o f K e s t e n K e 1 ] . O n e c a n n o t h a v e

    1 <

    p

    2 k ? 1 : O n e h a s = 2 k ? 1 i f a n d o n l y i f ? i s a m e n a b l e . ( S m a l l h i s t o r y : t h i s

    c r i t e r i u m o f a m e n a b i l i t y h a s b e e n e s t a b l i s h e d i n 1 9 7 4 , w r i t t e n u p f o r p u b l i c a t i o n i n 1 9 7 6 ,

    p u b l i s h e d i n 1 9 7 8 , a n d p u b l i s h e d i n i t s E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n 1 9 8 0 G k 3 ] ! )

    T h e p r e v i o u s c r i t e r i u m o f a m e n a b i l i t y h a s b e e n u s e d i n O l s ] a n d A d y ] , w h e r e i t i s

    s h o w n t h a t t h e r e e x i s t n o n a m e n a b l e g r o u p s w i t h o u t s u b g r o u p s i s o m o r p h i c t o F

    2

    ( a n

    a n s w e r t o a q u e s t i o n g o i n g b a c k t o v o n N e u m a n n v N e ] a n d D a y D a y ] ) , a n d i n G k 2 ] ,

    w h e r e i t i s s h o w n t h a t t h e r e e x i s t ? - h o m o g e n e o u s s p a c e s w i t h o u t ? - i n v a r i a n t m e a n s a n d

    w i t h o u t f r e e l y a c t i n g s u b g r o u p s o f ? i s o m o r p h i c t o F

    2

    :

    D o t h e f o r m u l a s r e l a t i n g s p e c t r a l r a d i u s a n d c o g r o w t h c a r r y o v e r i n s o m e f o r m t o s u b -

    g r o u p s o f h y p e r b o l i c g r o u p s

    M o r e o n c o g r o w t h i n G k 3 ] , a s w e l l a s i n C h a ] , C o h ] , C o P ] , G k 5 ] , R o 1 ] , S z w ] a n d

    W o 1 ] .

    ( E . 4 ) C o n s i d e r a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? ; a n i t e s e t S = f s

    1

    ; : : : ; s

    k

    g o f g e n e r a t o r s

    o f ? a n d a s e q u e n c e f

    1

    ;

    1

    ; : : : ;

    k

    ;

    k

    g o f s t r i c t l y p o s i t i v e n u m b e r s ( w i t h

    j

    =

    j

    i n c a s e

    s

    ? 1

    j

    = s

    j

    ) . D e n e t h e c o r r e s p o n d i n g B e r n o u l l i w e i g h t : ? ! R

    +

    b y

    0

    ( s

    j

    ) =

    j

    a n d

    0

    ( s

    ? 1

    j

    ) =

    j

    f o r j 2 f 1 ; : : : ; k g

    ( ) = i n f

    8

  • 7/29/2019 algebra ee

    18/32

    1 8 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    H e r e a r e t w o e x a m p l e s o f c o r r e s p o n d i n g g r o w t h s e r i e s

    P

    2 ?

    z

    ( )

    : o n e h a s

    ( Z

    k

    ; ; z ) =

    k

    Y

    j = 1

    1

    ?z

    j

    +

    j

    ( 1 ? z

    j

    ) ( 1 ? z

    j

    )

    f o r ? = Z

    k

    a n d S a s t a n d a r d b a s i s , a n d

    1

    ( F

    k

    ; ; z )

    ?1 =

    n

    X

    j = 1

    ( 1 ? z

    j

    )

    ?

    1 ? z

    j

    1 ? z

    j

    +

    j

    ?1

    !

    :

    f o r ? = F

    k

    a n d S a f r e e b a s i s . T h e s e f o r m u l a s a p p e a r i n S m y , p a g e 5 2 9 a n d 5 2 8 ] . O n c e t h e

    f o r m u l a i s e s t a b l i s h e d f o r ? = Z S = f 1 g ; t h e o t h e r c a s e s f o l l o w b e c a u s e t h e s e r i e s a r e

    m u l t i p l i c a t i v e f o r d i r e c t p r o d u c t s , a n d t h e \ r e c i p r o c a l o f t h e s e r i e s m i n u s o n e " a r e a d d i t i v e

    o v e r f r e e p r o d u c t s ( a s o b s e r v e d b y J o h ] ) .

    C o n s i d e r a g a i n a p a i r ( ? ; S ) w i t h S = f s

    1

    ; : : : ; s

    k

    g a n d a f u n c t i o n

    0

    : S S

    ? 1

    ! R

    +

    a s

    a b o v e , a n d l e t m o r e o v e r ( ( s ; t ) )

    s ; t 2 S S

    ? 1

    b e a m a t r i x o f s t r i c t l y p o s i t i v e n u m b e r s ( w i t h

    a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s i f s

    2

    = 1 f o r s o m e s 2 S ) . F o r a n i t e s e q u e n c e ( t

    1

    ; : : : ; t

    n

    ) o f l e t t e r

    i n S S

    ? 1

    ; s e t

    0

    ?

    ( t

    1

    ; : : : ; t

    n

    )

    =

    0

    ( t

    1

    ) +

    n ? 1

    X

    j = 1

    ( t

    j

    ; t

    j + 1

    )

    a n d d e n e a M a r k o v i a n s e m i - w e i g h t : ? ! R

    +

    b y

    ( ) = i n f

    0

    ?

    ( t

    1

    ; : : : ; t

    n

    )

    = t

    1

    : : : t

    n

    a n d t

    1

    ; : : : ; t

    n

    2 S S

    ? 1

    :

    I f ( s ; t ) d e p e n d s o n t o n l y , t h i s i s a B e r n o u l l i w e i g h t . I n g e n e r a l , i s a s e m i - w e i g h t ,

    n a m e l y t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C > 0 s u c h t h a t

    (

    1

    2

    ) (

    1

    ) + (

    2

    ) + C

    f o r a l l

    1

    ;

    2

    2 ? ( a n d t h u s 7! ( ) + C i s a w e i g h t ) , b u t n e e d s n o t b e a w e i g h t . S u c h

    M a r k o v i a n s e m i - w e i g h t s h a v e b e e n u s e d i n G k 3 ] t o s h o w t h a t t h e r e l a t i v e g r o w t h s e r i e s

    ( ?

    0

    r e l F

    k

    ; S

    k

    ; z ) i s r a t i o n a l f o r a n i t e l y g e n e r a t e d s u b g r o u p ?

    0

    o f a f r e e g r o u p F

    k

    :

    ( E . 5 ) A n o t h e r c l a s s o f w e i g h t s c o m e s f r o m g e o m e t r y . F o r a g r o u p ? a c t i n g p r o p e r l y a n d

    i s o m e t r i c a l l y o n a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) w i t h b a s e p o i n t x

    0

    ; t h e r e i s a n a t u r a l l y a s s o c i a t e d

    w e i g h t d e n e d b y

    ( ) = d ( x

    0

    ; x

    0

    )

    f o r a l l 2 ? : I f ? i s a n i r r e d u c i b l e l a t t i c e i n a c o n n e c t e d s e m i - s i m p l e r e a l L i e g r o u p G o f

    r a n k a t l e a s t 2 ; i t i s r e m a r k a b l e t h a t s u c h w e i g h t s a r e a l w a y s e q u i v a l e n t t o w o r d - l e n g t h

    w e i g h t s . T h i s i s s t r a i g h t f o r w a r d i n c a s e G = ? i s c o m p a c t ( L e m m a 2 i n M i 2 ] ) , b u t i t i s a

    d e e p r e s u l t o t h e r w i s e L M R ] .

  • 7/29/2019 algebra ee

    19/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 1 9

    ( E . 6 ) H e r e i s o n e m o r e c l a s s o f w e i g h t s , a s s o c i a t e d a g a i n t o a g r o u p ? g e n e r a t e d b y a

    n i t e s e t S : F o r e a c h 2 ? ; d e n o t e b y I ( ) t h e n u m b e r o f g e o d e s i c p a t h s f r o m 1 t o i n

    t h e C a y l e y g r a p h o f ( ? ; S ) a n d s e t

    k

    ( z ) =

    X

    2 ?

    I ( )

    k

    z

    S

    ( )

    2 Z z ] ]

    f o r a l l k 0 : T h e r a t i o n a l i t y o f

    1

    ( z ) f o r h y p e r b o l i c g r o u p s g o e s b a c k t o G v 3 , C o r o l l a r y

    5 . 2 . A ' ] ; s e e a l s o N S h ] .

    I n t h e p a r t i c u l a r c a s e o f s u r f a c e g r o u p s , w i t h

    ?

    g

    = h a

    1

    ; b

    1

    ; : : : ; a

    g

    ; b

    g

    j a

    1

    ; b

    1

    ] : : : a

    g

    ; b

    g

    ] = 1 i S

    g

    = f a

    1

    ; b

    1

    ; : : : ; a

    g

    ; b

    g

    g

    a s a b o v e , L . B a r t h o l d i h a s r e c e n t l y e x t e n d e d a c o m p u t a t i o n d u e t o C a n n o n C a 1 ] f o r k = 0

    a n d h a s s h o w n t h a t t h e

    k

    ( z ) ' s a r e r a t i o n a l f u n c t i o n s w h i c h o n e c a n w r i t e d o w n . F o r

    e x a m p l e , f o r k = 2 ;

    2

    ( z ) = 1 + 4 g

    z + z

    2

    + : : : z

    2 g ? 1

    1 ? ( 4 g ? 2 ) z ? : : : ? ( 4 g ? 2 ) z

    2 g ? 1

    + z

    2 g

    ? z

    2 g ? 1

    ( 1 ? z ) ( 3 ? 2 z

    2 g ? 1

    )

    :

    A s

    2

    ( z ) e n c o d e s t h e n u m b e r s o f u n i m o d a l c l o s e d p a t h s o f a n y g i v e n l e n g t h , t h e s e

    c o m p u t a t i o n s p r o v i d e l o w e r e s t i m a t e s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r a l r a d i u s ( s e e ( G ) b e l o w ) .

    I t i s n a t u r a l t o a s k f o r s u c i e n t c o n d i t i o n s o f p a i r s ( ? ; S ) e n s u r i n g t h a t a l l

    k

    ' s a r e

    r a t i o n a l . F o r e x a m p l e , i t i s s o f o r a l l S i n c a s e ? i s G r o m o v h y p e r b o l i c . B u t i t i s n o t

    s u c i e n t t h a t ( ? ; S ) h a s n i t e l y m a n y c o n e t y p e s ; i n d e e d , f o r ? = Z

    2

    a n d S t h e s t a n d a r d

    b a s i s , a s i m p l e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t

    2

    ( z ) i s a l g e b r a i c a n d n o t r a t i o n a l ( L . B a r t h o l d i ) .

    ( F ) C o m p l e t e g r o w t h s e r i e s

    F o r a ( n o t n e c e s s a r i l y c o m m u t a t i v e ) r i n g A w i t h 1 ; l e t A z ] ] d e n o t e t h e r i n g o f f o r m a l

    p o w e r s e r i e s i n z w i t h c o e c i e n t s i n A : R e c a l l t h a t a n e l e m e n t o f A z ] ] i s r a t i o n a l i f i t i s i n

    t h e s m a l l e s t s u b r i n g A z ] ]

    r a t

    o f A z ] ] w h i c h c o n t a i n s t h e r i n g A z ] o f p o l y n o m i a l s a n d t h e

    i n v e r s e o f a n y o f i t s e l e m e n t s w h i c h i s i n v e r t i b l e i n A z ] ] . T h i s d e n i t i o n c o i n c i d e s w i t h

    t h e u s u a l o n e i n c a s e A i s a c o m m u t a t i v e e l d . F o r a l l t h i s , s e e e . g . S a S ] .

    C o n s i d e r a g r o u p ? g e n e r a t e d a s a m o n o i d b y a n i t e s e t T ; a n d d e n o t e b y

    T

    : ? ! N

    t h e c o r r e s p o n d i n g w o r d - l e n g t h f u n c t i o n . ( O b s e r v e t h a t , i f ? i s g e n e r a t e d a s a g r o u p b y a

    s e t S ; i t i s g e n e r a t e d a s a m o n o i d b y S S

    ? 1

    : ) T h e c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s o f ( ? ; T ) i s t h e

    f o r m a l p o w e r s e r i e s

    c o m

    ( ? ; T ; z ) =

    c o m

    ( z ) =

    1

    X

    n = 0

    0

    B

    @

    X

    2 ?

    T

    ( ) = n

    1

    C

    A

    z

    n

    =

    X

    2 ?

    z

    T

    ( )

    2 Z ? ] z ] ] :

    T h e a u g m e n t a t i o n m a p : Z ? ] ! Z i n d u c e s a m o r p h i s m o f r i n g s Z ? ] z ] ] ! Z z ] ] a g a i n

    d e n o t e d b y ; a n d o n e h a s c l e a r l y (

    c o m

    ( z ) ) = ( z )

    2Z z ] ] :

  • 7/29/2019 algebra ee

    20/32

    2 0 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    C o m p l e t e g r o w t h s e r i e s h a v e b e e n i n t r o d u c e d b y F . L i a r d e t i n h i s t h e s i s L i a ] .

    B e f o r e , t h e y h a v e a p p e a r e d i m p l i c i t e l y i n t h e f o l l o w i n g d i s g u i s e : g i v e n a p a i r ( ? ; S ) ;

    d e n o t e f o r a l l i n t e g e r n 0 b y

    n

    t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e s p h e r e o f r a d i u s n

    c e n t e r e d a t 1 2 ? : G i v e n a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f ? ; t h e s p e c t r a o f t h e s e l f - a d j o i n t

    o p e r a t o r s (

    n

    ) e n t e r v a r i o u s p r o b l e m s o f \ u n i f o r m d i s t r i b u t i o n " ; s e e e . g . A r K ] .

    L e t u s a l s o m e n t i o n t h e g r o w t h s e r i e s i n m o r e t h a n o n e v a r i a b l e w h i c h a p p e a r i n S e r ,

    P r o p . 2 6 ] , a n d i n P a 2 ] .

    T h e e a s i e s t e x a m p l e o f a c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s i s p r o b a b l y t h e f o l l o w i n g :

    Z T = f 1 ; ? 1 g = )

    c o m

    ( z ) = 1 +

    1

    X

    n = 1

    (

    n

    +

    ? n

    ) z

    n

    =

    1 ? z

    2

    1 ? (

    1

    +

    ? 1

    ) z + z

    2

    ( w h e r e , h e r e a s l a t e r , w e w r i t e

    f o r v i e w e d i n Z ? ] ) . C o m p a r e w i t h t h e w e l l - k n o w n

    g e n e r a t i n g f u n c t i o n

    1 +

    1

    X

    n = 1

    2 T

    n

    ( x ) z

    n

    =

    1 ? z

    2

    1 ? 2 x z + z

    2

    f o r C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s . ( R e c a l l t h a t T

    n

    ( c o s ) = c o s n f o r a l l n 0 a n d t h a t

    T

    n + 1

    ( x ) = 2 x T

    n

    ( x ) ? T

    n ? 1

    ( x ) f o r n 1 . ) F o r ? = F

    k

    a n d T = S

    k

    S

    ? 1

    k

    ; w i t h S

    k

    a

    f r e e b a s i s o f F

    k

    ; o n e h a s s i m i l a r l y

    c o m

    ( z ) =

    1 ? z

    2

    1 ?

    ?

    P

    t 2 T

    t

    z + ( 2 k ? 1 ) z

    2

    :

    I t i s a r e s u l t o f F . L i a r d e t L i a ] t h a t , f o r a n y n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? w h i c h i s v i r t u a l l y

    a b e l i a n a n d f o r a n y n i t e s e t T w h i c h g e n e r a t e s ? a s a m o n o i d , t h e c o r r e s p o n d i n g s e r i e s

    c o m

    ( z ) 2 Z ? ] z ] ] i s r a t i o n a l . T h e p r e c i s e r e s u l t i s t o o l o n g t o b e q u o t e d h e r e ; b u t h e r e

    i s a c o r o l l a r y f o r t h e a b e l i a n c a s e , f o r m u l a t e d a s i n L i a ] ( g r o u p s h a r d l y a p p e a r e x p l i c i t e l y

    i n K l a r n e r ' s p a p e r s ) .

    T h e o r e m ( K l a r n e r , L i a r d e t ) . L e t ? b e a n a b e l i a n g r o u p a n d l e t T b e a n i t e s u b s e t

    g e n e r a t i n g ? a s a m o n o i d . T h e n t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s i s o f t h e f o r m

    c o m

    ( z ) =

    P ( z )

    Q

    t 2 T

    ( 1

    ?

    t

    z )

    w h e r e P ( z ) i s a p o l y n o m i a l i n Z ? ] z ] :

    T h e r e d o e s n o t s e e m t o e x i s t a n e q u a l l y s i m p l e s t a t e m e n t i n t h e v i r t u a l l y a b e l i a n c a s e .

    O n e c r u c i a l i n g r e d i e n t o f t h e p r o o f i s t h e f o l l o w i n g c l a s s i c a l r e s u l t a l r e a d y u s e d b y

    K l a r n e r : f o r a n y i n t e g e r k 1 ; a n y i d e a l E C N

    k

    i s n i t e l y g e n e r a t e d . ( R e c a l l t h a t E i s

    a n i d e a l i f u 2 N

    k

    ; v 2 E = ) u + v 2 E ; a n d t h a t E i s n i t e l y g e n e r a t e d i f t h e r e e x i s t s

    v

    1

    ; : : : ; v

    j

    s u c h t h a t E =

    S

    1 i j

    ?

    v

    i

    + N

    k

    : T h i s c l a s s i c a l r e s u l t i s s o m e t i m e s a t t r i b u t e d t o

    H i l b e r t a n d t o G o r d a n S t u r , p a g e 1 0 ] , a n d s o m e t i m e s k n o w n a s D i c k s o n ' s L e m m a B e W ,

    p a g e 1 8 4 ] . )

  • 7/29/2019 algebra ee

    21/32

    G R O W T H , E N T R O P Y A N D S P E C T R U M I N G R O U P T H E O R Y 2 1

    T h e r e s u l t o f B e n s o n B e 1 ] q u o t e d i n ( D ) i s a s t r a i g h t f o r w a r d c o n s e q u e n c e o f t h e p r e v i o u s

    t h e o r e m a n d o f i t s g e n e r a l i z a t i o n t o v i r t u a l l y a b e l i a n g r o u p s , b e c a u s e t h e i m a g e ( z ) =

    (

    c o m

    ( z ) ) b y t h e a u g m e n t a t i o n i s r a t i o n a l i n Z z ] ] a s s o o n a s

    c o m

    ( z ) i s r a t i o n a l i n

    Z ? ] z ] ] :

    A s a l r e a d y o b s e r v e d i n a d i e r e n t c o n t e x t ( S u b s e c t i o n ( E . 4 ) a b o v e ) , c o m p l e t e g r o w t h

    s e r i e s a r e m u l t i p l i c a t i v e f o r d i r e c t p r o d u c t s , a n d t h e \ r e c i p r o c a l o f t h e s e r i e s m i n u s o n e "

    a r e a d d i t i v e o v e r f r e e p r o d u c t s . T h i s p r o v i d e s f u r t h e r r a t i o n a l c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s f r o m

    k n o w n o n e s .

    C o m p l e t e g r o w t h s e r i e s h a v e a l s o b e e n r e c e n t l y c o m p u t e d f o r v a r i o u s o t h e r c a s e s , i n -

    c l u d i n g C o x e t e r s y s t e m s a n d p a i r s ( ?

    g

    ; S

    g

    ) a s s o c i a t e d t o c l o s e d o r i e n t a b l e s u r f a c e s o f g e n u s

    g 2 : ( S e e G r N ] ; t h i s u s e s r e w r i t i n g s y s t e m s a n d a f o r m u l a o b t a i n e d i n G k 1 0 ] . S e e a l s o

    B a r t ] . ) M o r e p r e c i s e l y t h e s e r i e s

    c o m

    ( z ) f o r t h i s c a s e i s r a t i o n a l a n d i s

    ( 1 ? z

    2

    ) ( 1 ? z

    4 g

    )

    1 + ( 4 g ? 1 ) z

    2

    + ( 4 g ? 1 ) z

    4 g

    + z

    4 g + 2

    ? A z ( 1 + z

    4 g

    ) ? C z

    2 g + 1

    + D z

    2 g

    ( 1 + z

    2

    )

    w h e r e A ; C ; D a r e a s f o l l o w s . F i r s t A i s t h e s u m o f t h e 4 g e l e m e n t s i n S

    g

    ( S

    g

    )

    ? 1

    : T h e n , d e -

    n o t i n g b y r

    g

    = a

    1

    b

    1

    a

    ? 1

    1

    b

    ? 1

    1

    : : : a

    g

    b

    g

    a

    ? 1

    g

    b

    ? 1

    g

    t h e r e l a t o r o f t h e p r e s e n t a t i o n ?

    g

    = h S

    g

    j r

    g

    i ; t h e

    t e r m C i s t h e s u m o f t h e 8 g d i s t i n c t s u b w o r d s o f l e n g t h 2 g ? 1 w h i c h a p p e a r i n c y c l i c c o n j u -

    g a t e s o f r

    g

    a n d r

    ? 1

    g

    ; a n d D i s t h e s u m o f t h e 4 g d i s t i n c t s u b w o r d s o f l e n g t h 2 g w h i c h a p p e a r

    i n c y c l i c c o n j u g a t e s o f r

    g

    a n d r

    ? 1

    g

    ; a n d w h i c h b e g i n b y a l e t t e r i n f b

    1

    ; b

    ? 1

    1

    ; : : : ; b

    g

    ; b

    ? 1

    g

    g :

    M o r e g e n e r a l l y , f o r ? a h y p e r b o l i c g r o u p a n d f o r S a n a r b i t r a r y n i t e g e n e r a t i n g s e t , t h e

    r e s u l t i n g c o m p l e t e g r o w t h s e r i e s i s r a t i o n a l . T h i s h a s b e e n c h e c k e d i n G r N , P r o p o s i t i o n

    6 ] a n d i n d e p e n d e n t l y b y L . B a r t h o l d i .

    D o e s t h e r e e x i s t a p a i r ( ? ; S ) s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g s e r i e s

    c o m

    ( z ) i s n o t r a t i o n a l

    i n Z ? ] z ] ] a n d s u c h t h a t i t s i m a g e ( z ) b y t h e a u g m e n t a t i o n m a p i s r a t i o n a l i n Z z ] ]

    T h e a n s w e r s e e m s t o b e \ y e s " , a n d L . B a r t h o l d i h a s g o o d r e a s o n s t o b e l i e v e t h a t t h e

    H e i s e n b e r g g r o u p H

    1

    g e n e r a t e d b y S = f x ; y g q u a l i e s , w h e r e

    H

    1

    =

    8

  • 7/29/2019 algebra ee

    22/32

    2 2 R O S T I S L A V G R I G O R C H U K A N D P I E R R E D E L A H A R P E

    w h e r e A ( ? ) i s a B a n a c h a l g e b r a c o n t a i n i n g C ? ] a s a s u b a l g e b r a . N a t u r a l c a n d i d a t e s

    a r e t h e g r o u p a l g e b r a

    1

    ( ? ) a n d t h e r e d u c e d C

    - a l g e b r a C

    r

    ( ? ) o f ? ( b o t h a r e n a t u r a l

    c o m p l e t i o n s o f C ? ] ) , a s w e l l a s t h e C

    - a l g e b r a o f a l l b o u n d e d o p e r a t o r s o n t h e H i l b e r t

    s p a c e

    2

    ( ? ) =

    : ? ! C j

    X

    2 ?

    j ( ) j

    2

    R ( C

    r

    ) =

    p

    R > R :

    M o r e o v e r i t i s c o n j e c t u r e d t h a t R ( C

    r

    ) > R f o r a l l p a i r s ( ? ; S ) w i t h ? n o t a m e n a b l e .

    ( G ) S p e c t r a l r a d i u s o f s i m p l e r a n d o m w a l k s o n C a y l e y g r a p h s

    T h e s p e c t r a l r a d i u s o f a l o c a l l y n i t e c o n n e c t e d g r a p h X i s t h e n u m b e r

    ( X ) = l i m s u p

    n ! 1

    n

    q

    p

    ( n )

    ( x ; y ) = l i m

    n ! 1

    2 n

    q

    p

    ( 2 n )

    ( x ; x )

    w h e r e , f o r n 0 a n d f o r v e r t i c e s x ; y o f X ; t h e p r o b a b i l i t y p

    ( n )

    ( x ; y ) i s t h e r a t i o o f t h e

    n u m b e r o f p a t h s o f l e n g t h n f r o m x t o y b y t h e n u m b e r o f a l l p a t h s o f l e n g t h n s t a r t i n g

    a t x ; t h i s i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f t h e v e r t i c e s x a n d y : I n o t h e r w o r d s , ( X ) i s t h e

    s p e c t r a l r a d i u s o f t h e s i m p l e r a n d o m w a l k o n t h i s C a y l e y g r a p h . T h e r e a r e m a n y e q u i v a l e n t

    d e n i t i o n s W o 2 ] . F o r v i e w i n g ( X ) a s t h e s p e c t r a l r a d i u s o f a n a p p r o p r i a t e b o u n d e d

    o p e r a t o r o n a H i l b e r t s p a c e , s e e a l s o K e 1 ] , a s w e l l a s m o r e r e c e n t w o r k s i n c l u d i n g H R V 1 ]

    a n d H R V 2 ] . ( T h o u g h w e c o n s i d e r o n l y s i m p l e w a l k s h e r e , t h e r e a r e g o o d m o t i v a t i o n s t o

    s t u d y m o r e g e n e r a l w a l k s : s e e a m o n g o t h e r s E e l ] , K a V ] a n d V S C ] . )

    I n c a s e X i s t h e C a y l e y g r a p h o f a n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p ? w i t h r e s p e c t t o a n i t e

    s e t S o f g e n e r a t o r s , w e w r i t e

    ( ? ; S )

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