ALGEBRA BOOLEANA

NDICE

PALABRAS CLAVE

RESUMEN

CPTULO I: TEOREMAS Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE

CPTULO II: FUNCIONES BOOLEANAS

2.1. Representacin de funciones lgicas.

2.2. Formas cannica ynormalizada

CPTULO III: SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS

3.1. Mtodo del mapa de Karnaugh

CPTULO IV: COMPUERTAS LOGICAS

CPTULO V: PROBLEMAS RESUELTOS

DISCUSIN

CONCLUSIONES

PALABRAS CLAVES

Variable: smbolo que se utiliza para representar una magnitud lgica

Literal: una variable o el complemento de una variable

Complemento: es el inverso de una variable y se representa colocando una barra encima

de la variable, aunque a veces se representa con un apstrofe

Magnitud lgica: indica un valor (slo hay dos posibles: 0 y 1)

RESUMEN

El presente trabajo est basado en el libro lgebra Lineal del autor Fernando Hitt, adems del libro Calculo Digital del autor Morris, ha tratado de realizar un resumen conciso del trabajo desarrollado en los libros mencionados.

Cremos conveniente dar comentarios que ayudarn a entender los temas tratados, asimismo desarrollamos problemas propuestos, de diversos libros de clculo digital.

Esperamos que el trabajo sea de mucha ayuda para nuestros lectores y le saquen provecho.

ABSTRACT

This work is based on the book Linear Algebra Author Fernando Hitt , besides the calculation Digital Morris 's book , has tried to make a concise summary of the work done in these books .

We thought desirable to give feedback that will help them understand the issues , also developed proposed problems , several books of digital computation.

We hope that the work is very helpful to our readers and will take advantage.

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a nuestro profesor Jexy Arturo Reyna Medina por sus ganas de trasmitir sus conocimientos y la motivacin que le pone a sus clases; adems dedicamos el presente, tambin, a nuestra querida Universidad Nacional de Ingeniera, que nos brinda lo necesario para continuar con fuerza el camino del ingeniero.

CPTULO I: PROPIEDADES Y TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA:

A + B = B + A

A B = B A

2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

A(B+C) = AB + AC

A + BC = (A+B)(A+C)

3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES

A + 0 = A

A 1 = A

4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A

A + A = 1

A A = 0

TEOREMA 1: el elemento complemento A es nico.

TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1

A0 = 0

TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0=1

1=0

TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:

A+A=A

AA=A

TEOREMA 5 (INVOLUCIN): para cada elemento de B, se verifica:

(A) = A

TEOREMA 6 (ABSORCIN): para cada par de elementos de B, se verifica:

A+AB=A

A(A+B)=A

TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + AB = A + B

A (A + B) = A B

TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y() cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C) = (A+B)+C

CPTULO II: FUNCIONES BOOLEANAS

2.1. Representacin de funciones lgicas.

2.1.1. Forma algebraica general:

Es la combinacin de variables relacionadas por las operaciones lgicas. Esta forma de representacin tiene el inconveniente de que no es nica, pudiendo haber infinitas representaciones para una misma funcin.

2.1.2. Mediante la tabla de verdad:

Son tablas en las cuales figuran todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y el valor correspondiente de la funcin para cada una de ellas. Este tipo de representacin elimina el inconveniente de la forma anterior ya que toda funcin tiene una nica tabla de verdad.

A

B

C

D

F

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

2.2. Formas cannica ynormalizada

X

Y

Z

Termino

Designacin

Termino

Designacin

0

0

0

m0

M0

0

0

1

m1

M1

0

1

0

m2

M2

0

1

1

m3

M3

1

0

0

m4

M4

1

0

1

m5

M5

1

1

0

m6

M6

1

1

1

m7

M7

X

Y

Z

F1

F2

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

PTULO III: SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS

3.1. Mtodo del mapa de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh (tambin conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificacin de funciones algebraicas Booleanas.

Este mtodo consiste en formar diagramas de 2ncuadros, siendo n el nmero de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando nicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.

Este mtodo se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un nmero superior utilizan otros mtodos como el numrico. A continuacin pueden observarse los diagramas, tambin llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y cuatro variables.

Es una prctica comn numerar cada celda con el nmero decimal correspondiente al trmino cannico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una funcin cannica.

Para simplificar una funcin lgica por el mtodo de Karnaugh se seguirn los siguientes pasos:

1) Se dibuja el diagrama correspondiente al nmero de variables de la funcin a simplificar.

2) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los trminos cannicos que forman parte de la funcin.

3) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas:

a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian nicamente en el estado de una sola variable.

b) Cada lazo debe contener el mayor nmero de unos posible, siempre que dicho nmero sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.)

c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrculas que pertenezcan a dos o ms lazos diferentes.

d) Se debe tratar de conseguir el menor nmero de lazos con el mayor nmero de unos posible.

4) La funcin simplificada tendr tantos trminos como lazos posea el diagrama. Cada trmino se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo.

CPTULO IV: COMPUERTAS LOGICAS

ALGEBRA BOOLEANA

Compuertas Lgicas

AND NAND

NOR

ORNOR

XORINVERSOR

INVERSOR

REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES BOOLEANAS

ESQUEMA LOGICOESQUEMA ELECTRICO

ESQUEMA DIGITAL

DISCUCION

El trabajo realizado se sintetizo en la presentacin de las propiedades y teoremas del algebra de Boole y su aplicacin a la solucin de ejercicios condicionales. Dichas propiedades fueron argumentadas brevemente para la correcta comprensin de los lectores. Por ltimo el texto pretende que la solucin de los ejercicios seleccionados puedan servir de gua para la resolucin de otros.

DISCUSSION

The work was synthesized in the presentation of the properties and theorems of Boolean algebra and its application to the solution of conditional exercises. These properties were argued briefly to the correct understanding of readers. Finally the text intended to solving selected exercises can help guide the decision of others.

CONCLUSIONES

El lgebra de Boole es la base de toda la electrnica digital. Hoy en da significa que desde un reloj, hasta internet, no funcionaran sin este ingenio matemtico.

El lgebra booleana son reglas algebraicas, basadas en la teora de conjuntos, para manejar ecuaciones de lgica matemtica.

Ya que el lgebra Booleana es un tema que podemos aplicar en reas muy complejas como lo puede ser la programacin, se hizo este ensayo como un mtodo fcil y preciso para aquellos que necesiten informacin para guiarse en los conceptos bsicos de este tema en el rea requerida.

CONCLUSIONS

Boolean algebra is the basis of all digital electronics. Today means that from a clock, so internet would not work without this mathematical genius.

Boolean algebra are algebraic rules based on set theory , to handle equations of mathematical logic.

Since Boolean algebra is an issue that can be applied in complex areas as may be programming, this assay was done as an easy and accurate method for those who need information to guide the basics of this subject in the area required