Algebra 3er Año

8/18/2019 Algebra 3er Año

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COLEGIO PRE

UNIVERSITARIO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año

Álgebra 1

INDICE Ecuaciones II ………………………… 03 Inecuaciones .……………………….. 09 Valor Absoluto ……………………….. 21

Logaritmos I …………………………. 25 Logaritmos II …………………………. 31 Relaciones ……………………………. 36 Funciones ……………………………. 9 L!mites ……...…………………………. 65 "iscel#nea ……………………………. $0




Álgebra 2

I"%RE&I'(E& ) F'*'+'%IA,'

V.L.E.-.*ELF. 50/0$1 9$503121

DPTO. DE PUBLICACIONES




TEMA: ECUACIONES II

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

+onocia tambin como ecuacin cuar#tica 4 ue tiene la orma general

0a70cb8a82 ≠=++

Eem:los 282 ; 8 ; 1 < 07 82 ; 2 < 0

PROPIEDADES

I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

&ea a82 ; b8 ; c < 0 7 a ≠ 0

&e eine el iscriminante =∆>

acb2 −=∆ 7 a? b? c ∈ R

1er CASO

>@(I+A&'L@+I'(=mlti:lera!ceso

igualeserealesra!ces20 ⇔=∆

Eem:lo 82 / 8 ; 1 < 0

∆ < =B>2

/ =>=1> < 0 →

= 2

1

.&.+2do CASO

ierenteserealesra!ces20 ⇔>∆

Eem:lo 82 / 8 / 12 < 0 → +.&. < C6 7 B2D∆ < 16 / =1>=B12> 0

3er CASOconugaas4simaginaria?com:leasra!ces20 ⇔<∆

II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES

&ea a82 ; b8 ;c < 0 7 a ≠ 0

SUMA DE RAÍCES:

a

b88 21 −=+

Álgebra 3




PRODUCTO DE RAÍCES:

a

c88 21 −=⋅

DIFERENCIA DE RAÍCES:

212

212

21 88>88=>88= =−−+

Reco!"r#cc$% de &' ec#'c$% de 2do (r'do ' )'r"$r de !#! r'*ce!:

0888>88=8

raiceseoucto%r

21

Raicese&uma

212 =++−

TEOREMA:

&ean las ecuacionesa82 ; b8 ; c < 0 ……… =1> 7 a ≠ 0m82 ; n8 ; : < 0 ……. =2> 7 m ≠ 0

Estas ecuaciones ser#n euialentes? tiene el mismo +.&. si se cum:le

:

c

n

b

m

a==

Álgebra 4




PROBLEMAS PARA LA CLASE

1> Resoler el sistema

8 ; 24 < G28 / 4 <

R:ta.


394

38

93

4

5

8

=−

=+

R:ta.


3G

>46=9

5

>182=G

1G

46

5

182

=+

−+

=+

++

R:ta.

> Resoler

524583

1243582

=−−+

=−−+

R:ta.

5> Resoler

G42

9

83

10

G43

10

82

9

−=−

=−

R:ta.

6> Resoler

334

12

8

1

634

9

8

6

=+

−−

=+

+−

R:ta.G> Resoler

28 / 30 < /54 / 8 ; 1558 / G4 < 29

R:ta.

$> Resoler

28 ; 34 < 2

68 / 124 < B1

R:ta.

9> Resoler

G8 / 54 < 2$8 / 34 < 5

R:ta.

10> La suma e os nmeros es 557 4

uno e ellos es 9 uniaes menor ue el otro? eterminar los nmeros.

R:ta.

11> La suma e los os !gitos e unnmero es 11. &i el oren e los!gitos se inierte el nmeroresultante e8cee al nmero originales 5. Hallar el nmero original.

Álgebra 5




R:ta.12> Resoler el sistema

28 / 34 ; < 1158 / 4 / 2 < B1024 ; 3 < 6

R:ta.


8 ; 4 ; < 198 ; 4 < 16

4 ; < 12

R:ta.

1> La suma e tres nmeros es 32? lasuma e los os :rimeros es igual altercero7 4 la semisuma el nmerocon el tercero es igual al segunoaumentao en 1? J+u#les son losnmerosK

R:ta.15> Resoler

58 / 4 ; 6 < 3$28 ; 54 / G < 338 / 24 ; 5 < 30

R:ta.

16> Resoler

3

$

4

6

8

2

$

4

$

8

6

6

2

4

8

3

=+−

=−+

=++

R:ta.

Álgebra 6




1G> Resoler

64

8

$G

4

102

8

=−

=−

−=−

R:ta.

1$> Resoler

8 ; 4 ; < 608 / 4 < 18 ; 4 / 3 < 0

R:ta.


28;4/1 < 8;34/3 < 38/4;1 < 20

R:ta.

20> Resoler

5

11

1

8

1

348

=+

=+

=+

R:ta.

Álgebra 7



PROBLEMAS PARA LA CASA

1> Resoler el sistema e inicar lama4or solucin

28 ; 34 < /228 / 64 < 1

a> 12 b> 1 c> 13> 15 e> 2

2> G8 ; 54 <

2

33

38 / 6 < 4

&on os ecuaciones simultaneas?allar el alor e 8 / 4

a> 12 b>2

1− c>

3

1

>3

1− e>

3> Resoler

8 ; 34 < 1

48

3− < 2

) ar como res:uesta el alor e 8.

a>12

2$b>13

2$c>1

2$

> 15

2$

e> 6

> Resoler

312

G485

$

48

$5

482

3

4382

=−+

++

=+

++

a> 3?5 b> 3?3

c> 3? > 3?6e> (.A.

5> Resoler

43

1$

82

$

048

=+

=−

a>1357

132$ − b>

12

57

12

2$

c>12

57

12

25>

R712

16

e> (.A.

6> Resoler

b8a4

2b

4

a

8

=

=+

a> Ca 7 bD b>

2

b7

2

a

c>

2

b7a b>

C2a 7 3bD

e>

−

b7a

G> La suma e os nmeros es G? suierencia iiia entre el menor e2 :or cociente 4 10 :or resiuo?J+u#les son los nmerosK

Álgebra 8



a> 56 4 1$ b> 5$ 4 16c> 0 4 1 > 66 4 1$e> 36 4 2$

$> Resoler el sistema8 ; 4 ; 2 < 158 ; 24 ; < 1628 ; 4 ; < 1G

a>

3

4

58

===

b>

5

4

38

===

c>

1

24

68

===

>324

$8

==

=

e>10$4

38

==

=

9> Resoler

8 / 4 ; 3 < 028 ; 4 / < 038 ; 4 / 2 < B2

a>

19

6

1934

198

=

=

=

b>

9

194

38

===

c>

20

194

118

===

>

0

14

8

===

e>

G

64

58

===

10> Resoler

G3

I

2

4

2

8

32

I

4

3

8

1

36

=−+

−=−+

=−+

E inicar la solucin ma4or

a> 1$ b> 16c> 2 > 20e> 26

11> Resoler

28 ; 34 / < 28 / 24 ; 2 < 1038 ; 4 / 2 < B5

E inicar la menor solucin

a> 5 b> c> 3> 2 e> 1

12> Resoler

38 ; 24 / 1 < 4 ; ; < 2 ; 58 / 15 < 25

E inicar 8

a> 6 b> c> 5> 1 e> $

13> Resoler

38 ; 4 ; < $8 ; 34 ; < 108 ; 4 ; 3 < 12

,ar el alor e .

a> 1 b> 2 c> 3> e> 5

Álgebra 9



1> *res niMos uegan canica 4 entretoos renen 557 el tri:le e las

cuales el :rimero iguala al oble elas el seguno7 4 sumano 10 aloble e las el 3ro resultan igualesa cinco eces las el :rimero?J+u#ntas canicas tiene caa unoK

a> 12? 1? 15 b> 12? 1$? 25c> 12? 15? 1$ > 12? 15? 1G

e> 13? 12? 10

15> Resoler

38 / 24 ; 5 < 8 ; 3 / G < 4 / ; $ < 1$

Hallar

a> 1 b> 2 c> > 5 e> 6

Álgebra 10



TEMA: INECUACIONES

%ara entener a:ro:iaamente la teor!a e inecuaciones? es necesario estuiar :reiamente el tema e esigualaes. A continuacin tocaremos algunos conce:tos entorno a las esigualaes.

DESIGUALDADESEs auella com:aracin ue se establece entre os nmeros reales meiante los s!mbolose esiguala N ? ? ≤ ? ≥. Luego? si a 4 b son nmeros reales? entonces a N b? a b ? a ≤b 4 a ≥ b se llaman esigualaes? 4 se leen

a N b Oa menor ue bP a ≤ b Oa menor o igual ue bPa b Oa ma4or ue bP a ≥ b Oa ma4or o igual ue bP

El siguiente ac#:ite es e muca im:ortancia :ara las esigualaes e inecuaciones

Rec"' N#+,r$c' Re'&:

Es la orma geomtrica ue :ermite orenar los nmeros reales. E8iste unacorres:onencia biun!oca entre R 4 la recta.

- .

∈∀<<∈∃<<

Rb?abcaRc.,ensi1a1 b0a.'r1eno:ie1a1es%r

21

1

$10 1

DEFINICIONES:&ea a ∈ R.

1> OaP es :ositio ↔ a 0

2> OaP es negatio ↔ a N 03> a b ↔ a / b 0> a N b ↔ a / b N 0

Em B$ B10 ↔ B$ / =B10> < 2 02 N 12 ↔ 2 / 12 < B10 N 0

5> a ≥ b ↔ a b ∨ a < b6> a ≤ 8 ≤ b ↔ 8 ≥ a ∧ 8 ≤ b

∴ ∧ Interseccin =∩>∨ @nin =∪>

Álgebra 11



INTER/ALO: Es un subconunto e los nmeros reales ue generalmente :oseen

e8tremos.

I n t e r a l o E 8 t r e m o

+ o t a s& u : e r i o r e s

+ o t a sI n e r i o r e s

E 8 t r e m oI

IR

CLASIFICACIÓN:I ( * E R V A L '

A + ' * A , ' ( ' A + ' * A , '

A - I E R * '

+ E R R A , '

I I10 ACOTADOS O FINITOS

'. I"er'&o A$er"o

] [ { }b8aR8b7ab7a A <<∈==⟩⟨=

a b

INFIMO: Es la ma4or cota inerior. &i el !nimo :ertenece al interalo? sellama "Q(I"'.

SUPREMO: Es la menor cota su:erior. &i el su:remo :ertenece al interalo?se le llama "SI"'.

. I"er'&o Cerr'do{ }b8aR8b7a+ ≤≤∈==

a b

c

cb

ca

∈

Álgebra 12



c. I"er'&o Se+$'$er"o: b7a A = ]b7a- =

a b

" S I " '

a b

& @ % R E " '

20 NO ACOTADOS O INFINITOS

{ }a8R87aA ≥∈=⟩∞+=

A

{ }b8R8b7- <∈=⟩∞⟨−=

B

R7+ =∞⟩+∞⟨−=C

INECUACIONES:

Es una esiguala en la ue a4 una o mas cantiaes esconocias =incgnitas> 4 ueslo se eriica :ara eterminaos alores e las incgnitas? o tal e nunca se eriica.

Inecuacin4sen44828

1,esigual1ae

3

≤+

−>

→>π

Co#"o So&#c$% 4C.S.0Eem:los

1> 28 ; 1 G 8 3 ⇒ +.&. < ⟨3 7 ;∞⟩

Álgebra 13



2> &en =8 ; 1> ; 2 ⇒ +.&. < ∅3> 82 ; =8 ; 1>2 ; =8 ; 2>2 ; … ; =8 ; 100>2 ; 3 0 ⇒ +.&. < R

P#"o Cr*"$co

En la inecuacin

0%0%0%0% >8=>8=>8=>8= ≤≥<>

%=8> %olinomioLos :untos cr!ticos son las ra!ces e %=8>? es ecir

0%cr!tico:untoesTT >8= =↔α

Eem:lo

%=8> < =8 ; 3>=8 ; >=8 / 2> N 0⇒ %untos +r!ticos B3 7 B 7 2

M5TODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En la inecuacin :olinomial

a=8 / 81>=8 / 82> …… =8 / 8n> 0

1> Uarantiar ue =coeiciente :rinci:al < a 0>7 en caso contrario? multi:licar :or B1.

2> Hallamos los :untos cr!ticos 4 los ubicamos orenaos en la recta.

; ;. . . . . .

>=%'&I*IVA

'(A.&.+

0%

0%&i

>8=

>8=

+

=⇒

≥

>

Álgebra 14



>=(EUA*IVA'(A.&.+

0%

0%&i

>8=

>8=

−=⇒

≤

<

Eem:losResoler las &gtes. inecuaciones

1> 82 / 58 ; 6 ≤ 0

=8 / 2>=8 / 3> ≤ 0

%untos cr!ticos 2 7 3

; ;

∴ +.&. < [27 3]

2> =2 / 8>=8 ; 5> N 0

"ulti:licamos :or =B1> =8 / 2>=8 ; 5> 0

; ;

B∴ +.&. < ⟨B∞ 7 B5⟩ ∪ ⟨2 7 ;∞⟩

INECUACIONES POLINOMIALES

10 INECUACION LINEAL

0a70ba8 ≠>+

RESOLUCIÓN

ba8

>b=0>b=ba80ba8

b0−>

−+>−++>+

−

Álgebra 15



; ;

9

a

b80a&iW

a

b80a&iW

−<→<

−>→>

Eem:loa28 ; b N b28 ;a

&i 0N a N b → a / b N 0

&

ba18

18>ba=>ba=8>ba>=ba=

+>

>+

−<−+

−−

20 INECUACION CUADRÁTICA

0a70cb8a8% 2>8= ≠>++=

Resolucin

1> %ERFE+*'+@A,RA,'*RI('"I'0 →=∆

,one ∆ iscriminante∆ < b2 / ac

Eem:los

1. 82 / 8 ; 1 N 0→∆ < 0∴ =28 / 1>2 N 0→ +.&. < ∅

2. =28 / 3>2 0 → +.&. < R

−2

3

3. =B28 ; >2 ≥ 0 → +.&. < R

. =B58 ; 20>2 ≤ 0 → +.&. < CD

2> +RQ*I+'&%@(*'&L'&,E"X*','0 →>∆

Eem:los

1> 82 / 138 ; 36 N 0 ⇒ =8 / >=8 / 9> N 0 ⇒ +.&. < ⟨ 7 9⟩ 8 ↑ B9 8 B

Álgebra 16



2> 82 / 28 / 2 ≥ 0 → ∆ < 12 0. Hallamos los :untos cr!ticos 82 / 28 / 2 < 0

31

2

1228

±=

±=

+.&. < ⟨B∞ 7 1 3− ] ∪ [1 ; 3 7 ;∞⟩

3> *E'RE"A&L'& A%LI+AR0 →<∆

'0 Teore+' de& Tr$o+$o Po!$"$o&ea %=8> < a82 ; b8 ; c 7 a ≠ 0

∆ N 0 ∧ a 0 ↔ %=8> 0 ∀ 8 ∈ R

0 Teore+' de& Tr$o+$o Ne('"$o

∆ N 0 ∧ a N 0 ↔ %=8> N 0

∀ 8 ∈ R

c> ∆ ≤ 0 ∧ a 0 ↔ %=8> ≥ 0 ∀ 8 ∈ R

> ∆ ≤ 0 ∧ a N 0 ↔ %=8> ≤ 0

∀ 8 ∈ R

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Teore+'!:

Álgebra 17

; ;

31 +31 −



+

++

(n70808

(n70808

1n2

1n2

∈<↔<

∈>↔>+

+

Eem:los

1> =8 ; 1>661G3 0 =8 ; 1> 0 8 B1

+.&. < ⟨B1 7 ;∞⟩

2> =8 ; 2>GGG. =8 ; 1>111 N 0=S ; 2>=S ; 1> N 0

+.&. < ⟨B2 7 B1⟩ 3> =82 ; 8 ; 2>30. =8 ; 1>23. =8 / 3>5 0

∆ N 0+oe. %rinci:al → +.%. < 1 ⇒ =8 ; 1>=8 / 3> 0

+.&. < ⟨B∞ 7 B1⟩ ∪ ⟨3 7 ;∞⟩

> =8 ; 82 ; 8$ ; 3>66. =82 ; 8 ; 1> . =8 ; 1> . =8 / 2> N 0 ∆ N 0 +.%. < 1 ⇒ =8 ; 1>=8 / 2> N 0

∴ +.&. < ⟨B1 7 2⟩5> =8 ; 1>30. =8 / 2>G. =8 / 3> ≤ 0

;8 ; 1 < ∨ 8 ∈ [2 7 3]8 < B1

+.&. < [2 7 3] ∪ CB1D

INECUACION FRACCIONARIA

0Y

%

>8=

>8= ><

Re!o&#c$%:

1>

Amisiblesalorese+onunto

A.V.+

Y=8> ≠ 0

Álgebra 18



2>2>8=

>8=

>8=Y

Y

%⋅ 0 . Q

2( X )

0Y% >8=>8=><⋅

Eem:los Resoler las siguientes inecuaciones

1> 038

28≤

+−

. +.V.A. 8 ≠ B3

.22>38=0>38=38

28

+⋅≤+⋅+−

=8 / 2>=8 ; 3> ≤ 0+.&.W < [B3 7 2]

. +.&. < +.V.A ∩ +.&.W +.&. < ⟨B3 7 2]

2> 0>38=

>28>=18=≥

+−+

. 8 ≠ B3

; ;

B 3 B 1 2 .

+.&. < ⟨B3 7 B1] ∪ [2 ? ;∞⟩

3> 0>82>=8=

>58>=8=>388=

5

G202

≥−−

+−++

. 8 ≠ 7 8 ≠ 2

.[ 275.&.+

028

580

82

58 >1=8r multi:lica

−=∴

≤−

+ → ≥

−

+ −

INECUACIÓN IRRACIONAL

Álgebra 19



Forma Ueneral 0I >8=><

E8:resin algebraica irracional

Eem:lo18538271818 +≤−+>+

RESOLUCIÓN:

1> Hallamos su +.V.A.

Em

28R8

(n722818 n21n2

>∧∈

∈>−+−+

∴ +.V.A. < [2 7 ;∞

2> *ransormar la inecuacin en una :olinomial.

TEOREMAS:

4848

0808

1n21n2

1n2

<>

+<>

+

><

><

+

↔

↔

Em Resoler 0>8=>38=>18= G35 <−⋅+⋅−

0>8>=38>=18=0>8>=38>=18=

>−+−→<−+−→

; ;

B

+.&. < ⟨B3 7 1⟩ ∪ ⟨ 7 ;∞⟩

>a80a08=>0a08=a8

>a80a08=>0a08=a8

a80a08a8

a80a08a8

2

2

2

2

≥∧≥∧≥∨≤∧≥→≥

>∧>∧≥∨<∧≥→>

≤∧≥∧≥→≤

<∧>∧≥→<

Eem:lo Resoler 185882 −<+

&olucin

Álgebra 20



518

0185

0>8=8

0882

>

>−∧

≥+

≥+

8 ∈ ⟨B∞ 7 ] ∪ [0 7 +∞

+.V.A < ∞+75

1

':eramos 22

2 >185=88 −<+

282 / 18 ; 1 0=128 / 1> =28 / 1> 0

∞+∪∞−∈∴ 721

12178 ……….. =α>

+.&. < +.V.A. ∩ =α> < ∞+72

1

Álgebra 21




1> &ean A < C8 ∈ R 8 ≤ B2 8 ≥ 3D- < C8 ∈ R B2 ≤ 8 ≤ 3DHallar A @ -R:ta.

2> ,el :roblema anterior? allar A ∩ -R:ta.

3> &i a ; 3 ≥ 0. calcular el m!nimo alor e =a ; 5>R:ta.

> &i 8 ∈ ⟨3 7 9⟩. +alcular el m#8imoalor entero e O8P.R:ta.

5> +alcular la suma e los nmerosentero =8> tal ue 2 N 8 N GR:ta.

6> Resoler la inecuacin8 ;$ N 38 ; R:ta.

G> Hallar el ma4or alor e O8P ueeriica 8 / 56 ≤ 16 / 28R:ta.

$> &i 8 ∈ ⟨2 7 3⟩? entonces =8 ; 5>:ertenece al interaloR:ta.

9> &i 8 ∈ [2 7 5]. +alcular el m!nimoalor e O8 B 3P.R:ta.

10> &i =8 ; 3> ∈ [3 7 G]. +alcular elm#8imo alor e O8P.R:ta.

11> Resoler la inecuacin

6

G

82

2

3

$

82+<+

−

R:ta.

12> &i O8P es un entero 4 aem#s5 N 8 N G. +alcular =8 ; 3>.R:ta.

13> &i 8 ; 2 ≤ G. +alcular el m#8imo alor e O8P.R:ta.

1> &i 8 ;3 5? calcular el m!nimo alor entero e 8.R:ta.

15> La suma e los enteros ue eriicansimult#neamente las inecuaciones

38G

58+<

−

582

$83−<

+

R:ta.

16> Resoler 82 / 8 / 20 N 0R:ta.

1G> 82

; 8 / G2 ≥ 0R:ta.

1$> Resoler =82 / 8 / 6>=8 ; G> ≤ 0R:ta.

19> Resoler 83 ; 282 / 58 / 6 0R:ta.

20> Resoler 228

28

82−

+>

+R:ta.

Álgebra 22




1> &i 8 ; G? calcular el m!nimo alor entero e O8Pa> b> 3 c> 2> 1 e> 0

2> &i 8 ; 3 ≤ 6? calcular el m#8imo alor e O8P.a> 2 b> 3 c> $> 1 e> 6

3> +alcular la suma e los alores e losnmeros enteros O8P? tal ue 3 ≤ 2 8 ≤10a> 12 b> 13 c> 1

> 15 e> 16> &i 8 ; 2 ≥ 0? calcular el m!nimo alor

e =8 ; 6>a> G b> $ c> 13> e> 5

5> &i 8 ∈ ⟨1 7 G⟩? entonces a uinteralo :ertenece 8 ; 3a> ⟨3 7 ⟩ b> ⟨ 7 10⟩ c> ⟨3 7 G⟩> ⟨G 7 10⟩ e> (.A.

6> Resoler 038

8

≥−+a> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B] ∪ [3 7 $⟩ b> 8 ∈ ⟨B∞ 7 2] ∪ [3 7 6⟩c> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B] ∪ ⟨3 7 ;∞⟩> 8 ∈ ⟨B3 7 2] ∪ [ 7 ;∞⟩e> (.A.

G> Resoler 228

38≥

−+

a> 8 ∈ ⟨2 7 G] b> 8 ∈ [2 7 G⟩

c> 8 ∈ ⟨B3 7 6] > 8 ∈ [3 7 6⟩e> (.A.

$> Resoler 18

G≥

a> 8 ≤ G b> 8 ≥ G c> 8 N 3> 8 < 0 e> (.A.

9> Resoler 1892 ≥

a> 8 ∈ ⟨B3 7 2⟩ b> 8 ∈ [B3 7 3]c> 8 ∈ [B2 7 2] / C10D> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B3] ∪ [3 7 ;∞⟩e> (.A.

10> Resoler =82 / 8 / 6>=8 ; G> ≤ 0a> 8 ∈ ⟨B∞ 7 BG] ∪ [B2 7 3]b> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B3] ∪ [3 7 ⟩

c> 8 ∈ ⟨B∞ 7 1] ∪ [2 7 3⟩> 8 ∈ ⟨B∞ 7 G⟩e> (.A.

W Resoler las siguientes inecuaciones

11> 83 8a> 8 1 b> 8 N 1c> 8 2 > 8 ∈ ⟨B17 0⟩ @ ⟨17 ; ∞ ⟩e> (.A.

12> 83 ; 282 / 58 / 6 0

a> 8 ∈ [B3 7 B1]b> 8 ∈ ⟨B3 7 2⟩c> 8 ∈ ⟨B3 7 B1⟩ ∪ ⟨2 ;∞⟩> 8 ∈ ⟨B3 7 2⟩e> (.A.

13> &i 8 ∈ [5 7 $]? iniue el ma4or alor

ue toma la e8:resin18

38

+

−

a> 5 9 b> 6 G c> $ 9> G $ e> 1 3

1> &i la inecuacin =8 / 1>=8 / 3> ≥ Z7 seeriica ∀ 8 ∈ R.Encuentre el m#8imo alor e OZP.

a> 2 b> B1 c> B2> B3 e>

15> Resoler la inecuacin=8 ; 1> N =8 ; 1> =8 / 82 / 3>

Álgebra 23



a> 8 ∈ ⟨B1 7 ;∞⟩b> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B1⟩

c> 8 ∈ ⟨B∞ 7 0⟩> 8 ∈ ⟨B3 7 ⟩e> (.A.

Álgebra 24



• [9[ < [B9[ < 9• [8 =8 / 1>[ < [8[ [8 / 1[• [3=82 / >[ < [3[ [82 / [ < 3[82 / [• [8[2 < 9 ⇒ 82 < 9 ⇒ 8 < 3 8 < B3

• 2[$[$ 33=−=−

ECUACIONES CON /ALOR ABSOLUTO

a8a8[a[[8[

>a8a8=0aa[8[

−=∨=⇒=

−=∨=∧≥⇒=

Eem:los Resoler

• [8[ < G[8[ −=•⇒ 8 < 8 < B +.&. < ∅+.&. < CB 7 D

•

>828828=08[28[

188

02>=>=

−=∅∈

=++−=+∨=+∧≥=+

∴ +.&. < ∅

INECUACIONES CON /ALOR ABSOLUTO

22 a8[a[[8[

a8a8a[8[

a8a0aa[8[

<>

<>

>≥

<≤

>≥

<≤<≤>≥<≤

⇒

∨−⇒−∧⇒

Eem:los Resoler

• [8[ N ⇒ B N 8 N +.&. < ⟨B 7 ⟩

• [8[ 3⇒ 8 N B3 8 3+.&. < ⟨B∞ 7 B3⟩ ∪ ⟨3 7 ;∞⟩

• [82 ; 8 / 20[ B2 Al oo ∴ +.&. < R

• [58 ; 3[ N $⇒ B$ N 58 ; 3 N $

B11 N 58 N 5

Álgebra 26

B 0

B 3 30



185

11<<− ⇒ 17

5

11.&.+ =

• [68 / 5[ 1⇒ 68 / 5 N 8 / 1 68 / 5 1

68 N 68 6 8 N 23 8 1

∴8 ∈ ⟨B∞ 7 23⟩ ∪ ⟨1 7 ;∞⟩PROBLEMAS PARA LA CLASE

1> Resoler [28 / 3[ < 57 allar la sumae soluciones.

R:ta.

W Resoler los siguientes casos =allar el conunto solucin>

2> [8 / $[ < 3

R:ta.

3> [28 / 3[ < G

R:ta.

> [8 / $[ < 28

R:ta.

5> [38 / 1[ N [8 ; 2[

R:ta.

6> [28 / 3[ ≤ 5

R:ta.

G> [28 / 1[ ≥ 5

R:ta.

$> 18

182≤

−

R:ta.

9> [38 / 1[ ≥ [38 / 2[

R:ta.

10> [8 / 3[2 / 3[8 / 3[ / 1$ < 0

R:ta.

11> 18

≤

R:ta.

12> 18

9≥

R:ta.

13> Resoler [8 / 1[ < [8 / 2[ ? inicar el:roucto e soluciones

R:ta.

1> [38 / 1[ < 8

R:ta.

15> [28 / 1[ < G

R:ta.

16> 823

18=

−

Álgebra 27



R:ta.

1G> [82 / 58[ < [ 6 [

R:ta.

1$> [82 ; 58 ; 10[ < [82 ; 28 ; 1[

R:ta.

19> [8 / 5[ [28 ; 3[

R:ta.

20> [8 / 2[ ; [38 / 6[ ; [8 / $[ < [28 / 5[

R:ta.

Álgebra 28




W Resoler los siguientes casos1> [8 / 2[ < 5

a> +.&. < CB3 7 GD b> +.&. < CB3 7 2Dc> +.&. < C3 7 GD > +.&. < CB3 7 B2De> (.A.

2> [38 / 5[ < B2a> +.&. < C3 7 1D b> +.&. < CB3 7 2Dc> +.&. < ∅ > +.&. < Re> (.A.

3) [58 / 1[ < 8 ; 3

a> +.&. < CB1 7 3D b> +.&. < ∅c> +.&.< CB13 7 1D > +.&. < C1 7 2De> (.A.

4) [8[ ≤ 11a> 8 ∈ [B3 7 3] b> 8 ∈ ⟨B11 7 11⟩c> 8 ∈ [B1 7 2] > 8 ∈ [B11 7 11]e> (.A.

5> 1[382[

1<

−a> 8 ∈ ⟨B∞ 7 1⟩

b> 8 ∈ ⟨B∞ 7 1⟩ ∪ ⟨2 7 ;∞⟩c> 8 ∈ ⟨BB∞ 7 2⟩ ∪ ⟨3 7 ;∞⟩> 8 ∈ ⟨1 7 2⟩ ∪ ⟨3 7 ⟩ e> (.A.

6> [28 / 1[ < 8

a>

−−

3

171 b>

−

3

171 c>

3

1

>

3

171

e> C1D

7) [38 / 1[ ≤ 5

a> 8 ∈

− 273

b> ⟨B∞ 7 2⟩

c>

−∞−37 >

273

e> (.A.

$> [8 / 1[ Ga> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B32⟩ ∪ ⟨2 7 ;∞⟩b> 8 ∈ ⟨B∞ 7 2⟩

c> 8 ∈ ∞+− 72

3

> 8 ∈ ∞+723

e> 8 ∈ [2 7 ;∞⟩

9) [8 / 1[ < 82 / 8 / 1

a> 272 b>

{ }272−

c> CB2 7 2D > { }272 −

e> 2727272 −−

10) [8[ 8 ≤ 1a> 8 ∈ R b> 8 ∈ [B1 7 1]c> 8 ∈ [0 7 1] > 8 ∈ ⟨B∞ 7 1]e> 8 ∈ ⟨B∞ 7 B1]

11) &i el conunto solucin e lainecuacin [28 / 1[ N [8 / 2[ es ⟨a 7 b⟩?etermine =a ; b>

a> 2 b> 0 c> 3 > e> B1

12> [[8[ / 3[ < [38 ; 2[

a>

−−

57

2

5b>

2

17

1c>

−

2

17

2

5

Álgebra 29



>

−

17

2

5e>

−

57

1

13> ,ao el conunto A < C8 ∈ [82 / 38 / 1[ N 3D? obtener el nmero e elementos e A.

a> 0 b> 1 c> 2 > e>

1> Inicar una solucin e [28 ; 3[ < 58 /

a> 13 b> 0 c> 3 > G3 e> (.A.

15) 82 / [8[ / 12 < 0

a> +.&. < C1 7 2Db> +.&. < C±$ 7 ±Dc> +.&. < C±3 7 ±D> +.&. < C B3 7 B2De> +.&. < C±5 7 ±$D

Álgebra 30



TEMA: LOGARITMOS I

Los logaritmos surgen :or la necesia e es:ear incgnitas ue se encuentran comoe8:onentes? tales como108 < 0?30103.

NOTACIÓN:Logb(? se lee Ologaritmo el nmero ( en base bP

DEFINICIÓN:&ea ( 0? b 0 ∧ b ≠ 1? e8iste un 8 ∈ R? tal ue b8 < (? ico nmero O8P es el logaritmoe ( en la base b.

Es ecir

(\"ER'

(b8(Log 8b =⇔=

-A&E L'UARI*"'

,one ( ∈ R;

b ∈ R; / C1D8 ∈ R

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

,e la einicin e logaritmos se tiene

>2=

8

>1=

b b(8(log =⇔=

Reem:laano =1> en =2>

(b (blog = %rimera ientia unamental

Reem:laano =2> en =1>

8blog 8b = &eguna ientia unamental

Eem:los

9 blog =• 283log 28

3 −=• − $>28=log $>28= =+• +

,one 8 ; 2 0PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1) (o e8iste el logaritmo e los nmeros negatios en el cam:o e los nmeros reales?:ero s! en los com:leos.Eem:lo Log3 /2G < ∃/ en R 7 :ero s! en + =cam:o e los nmeros com:leos>

2> El logaritmo e la unia en cualuier base es cero.

Álgebra 31



01logb =

3> El logaritmo e la base es igual a la unia.1blogb =

> Logaritmo e un :roucto.-log Alog>- A=log bbb +=⋅

Eem:loLog33 ; log35 ; log3G ; log3=82 ; 2> < log3105=82 ; 2>

5> Logaritmo e un cociente

-log Alog-

A

log bbb −=

Eem:los

• Log$G / log$5 < log$

5

G

• logb

%Y

"( < logb" ; logb( / logb% B logbY

6> Logaritmo e una :otencia

(logn(log bnb =

Eem:loslog56 < 6log53log9G < log9G3

('*A logb(n ≠ logbn(

=logbn( < =logb(>n>

G> Logaritmo e una ra!.

(log

n

1(log b

nb =

$> +ambio e base&ea OaP la base esconocia o no coneniente&ea ObP la base conocia o coneniente

alog

(log(log

b

ba =

Eem:lo E8:resar log6$ en base 3

Álgebra 32



⇒ log6$ <6log

$log

3

3

9> Regla e la caena

1blogalog ab =⋅

⇒ blog

1alog

ab =

+onsecuencias e la regla e la caena

• logba . logcb . logc . loge < logea

• logba . logac . logc .loge < logbe

10>

nnb

b

nnbb

(log(log

(log(log

=

=

Eem:lolog6 < log363 < log663 < 3

log6 < 6log < log2$ < 3

11) &i se inierte la base e un logaritmo? ste cambia e signo.(log(log b

b

1 −=

Eem:lo

=+−=+

5

loglog5loglog5log 3333

3

1

12> %ro:iea e la :ermuta

&ea Ca? b? cD ⊂ R; ∧ b 1

ablogcblogca =

Eem:lo• 2log

35 < 5log

32

• 6logG

< logG6

Álgebra 33




+alcular 8 en caa caso

1> log158 < 1R:ta.

2> 8log22 =

R:ta.

3> log2=8 / 1> < 3R:ta.

>23125log8 =

R:ta.

5> log39 < 8R:ta.

6> 0>58=log22

=−R:ta.

G> log15=82 / 1> < 1R:ta.

$> log$=82 / 28 ; 1> < 0R:ta.

9>5>B2=86log

6 < 31R:ta.

10>>228=8log

8−

< GR:ta.

11> log612 ; log63 < 8R:ta.

12> log82 ; log28 < 2R:ta.

13> 8log3 ;log=log5> < log=log125>R:ta.

1> &i log24 < 3 ∧ 62

48log

52

$ =

.

Hallar4

[8[

R:ta.

15> Halle 8

[ ] 13823>1582=$log +=+

R:ta.16> Eectuar

1G2log

1

20log

2

35log

3

5

32

++

++

+

R:ta.

1G> &i log122G < a. +alcular log616R:ta.

1$> +alcular log=A->? sieno uelogA < 8;3

log- < B8;3 R:ta.

19> &i 8 < 2log3a? calcular

] <213alog8alog

>8G3= +

R:ta.20> &i log4 < 2? alle el alor ue ebe

tener O8P :ara ue se cum:la

516

48log

32

=

R:ta.

Álgebra 34




+alcular 8 en caa caso

1> log16=8 ; 3> < 1

a> 12 b> 13c> 1 > 15e> 16

2> logG=28 / 1> < 1

a> b> 5c> 6 > G

e> $3> log3=82 ; 2> < 3

a> ±6 b> ±3c> ±5 > ±e> ±1

> $

5

5log < 8

a> 0 b> 1c> B1 > 2e> 3

5> log1G=82 / 1> < 0

a> ± b> ±3c> ±2 > ±1e> ±0

6> >28=log 2>28=+

+ < 0

a> 2 b> 0

c> B1 > e> 5

G> 5

288log < (. Hallar (

a> 2 b> 3c> > 5e> 6

$> +alcule

log25 . log536 . log69 . logG6

a> 2 b> 3c> $ > 6e> 16

9> &i log122 < a? entonces el alor elog312 en uncin e a es

a>a2

1

−b>

1a

1

−

c>a1

1

−>

a2

1

+

e>a2

1

−

10> &i log2 < 0?30103. +alcule log25 . 53

a> 3?6 b> 3?$

c> ?$ > 3?2e> 2?6

11> &i log5 < Z. +alcule el alor e

−

+

125

1log

25

16log22log

a> 9Z / 10 b> 9 / 10Zc> 9Z ; 10 > 10Z ; 9e> 10Z / 9

12> +alcule el alor e

log52 . log2 ;log25 . log5 / log510 / log210

a> B2 b> B3c> B5 > 1e> G

13> &i 8 / 4 < log8108 / 104 < 8 / 1

Álgebra 35



+alcule 108 ; 104

a> 8 / 1 b> 8c> 8 ; 1 > 4

e> 8 ; 4

1> &i log35 < a7 log65 < b. +alcule log1$5en uncin e a 4 b.

a>ba

ab

−b>

ba

ab

+

c>ba

b

+>

ba

b

−

e>22 ba

ab

+

15> Halle

16log

1

110log

1

115log

1

532 +++++

a>2

1b> log3

c> 10 > log2

e> 1

Álgebra 36



TEMA: LOGARITMOS II

COLOGARITMO&e eine el cologaritmo e un nmero ( :ositio en una base aa ObP :ositia 4 ierentee la unia como el logaritmo e la inersa e ico nmero en esa misma base.

(log(

1log(logco bbb −==

ANTILOGARITMO

El antilogaritmo e un nmero real en una base aa es igual al nmero ue resulta eelear la base al nmero.

8b b8loganti =

PROPIEDADES

1> antilogb=logb(> < ( 7 ( 0 ∧ b 0 ∧ b ≠ 12> logb=antilogb8> < 8 7 8 ∈ R ∧ b 0 ∧ b ≠ 1

DESIGUALDADES LOGARITMICAS

212b1b

212b1b

8801b08log8log.&i

0881b8log8log.&i

<<⇒<<∧>

>>⇔>∧>

Eem:los

• Log38 log35 ⇒ 8 5

• 2log8log

3

1

3

1 >⇒ 0 N 8 N 2

Aem#s

A> &i b 1? entonces se cum:le

• α>⇒α> b88log.&i b

• β<<⇒β< b808log&i b

Eem:los

Álgebra 37



• log28 2 ⇒ 8 22 → 8 • log38 N ⇒ 8 N 3 → 0 N 8 N 3

-> &i 0 N b N 1? entonces se cum:le

• α<<⇒α> b808log.&i b

• β>⇒β> b88log&i b

Eem:los

•180

21828log

2

3

1 <<⇔

<⇔>

• 2G83

1838log

3

3

1 >↔

>⇔−<

−

• 2>38=log

1 −>−

1983

19838

163838

138038

<<∴<∧><−∧>

<−∧>−

−

Álgebra 38




1> +alcular el alor e

log52.log2 ; log25.log5 / log510.log210

2> +alcular el alor e

23

1logco 3

3> +alcular

102

1logco 2

> antilog3

5> antilog6=3>

6> antilog6=log6log2$>

G> antilog5=log5log32G>

$> log=antilog=8 ; 2>>

9> log8=antilog85>

10> Resoler

Log16=log=2 / 82>> N 0

11> Resoler

=− =−14log8log

1148

22

12> &i log12$ < 8 calcular log916 entrminos e O8P

13> Resoler

B2[8 / 1[ ; [8 / 1[ ≤ 561> Resoler

+=−+

25

8121log2>282log=2

15> Resoler

10log

1

10log

1

10log

1

281838 −++=+

16> Resoler

28 ; 1 ; 28 ; 2 ; 28 ; 3 < 10

1G> &i log24 < 3 62

48log

52

$ =

∧

Hallar48

1$> Resoler

2logG8

1083log0 66 <

++

<

19> Resoler

log8 ; 1=58 ; 19> < 2

20> Resoler

18log8

3log 2

383 =+

Álgebra 39




+alcular el alor e

1>

256

1logco 2

a> 6 b> Gc> $ > 9> 10

2> colog8=8 /G>

a> G b> 6c> 5 > > 3

3> antilog3=8 ; 2>

a> 38 ; $ b> 38

c> 38 ; 2 > 38 / 2 > (.A.

> antilog2=log2log3$1>

a> 2G b> $1c> 36 > > 0

5> antilog=8 ; 1>=log=8;1>log$6>

a> 0 b> 1c> 2 > 3> 5

6> log8=antilog88>

a> 82 b> 83

c> 8 > 8> 8 /1

G> >>3=loganti=log 2828

a> 0 b> 3c> 2 > 1> $

$> Resoler log28 / Glog8 < B12 einicar el :roucto e soluciones

a> 105 b> 106

c> 10G > 10$

> 109

9> Resoler 98583log 2

31000 +−=e iniue el :roucto e lassoluciones

a> 6 b> 5c> > 3e> 2

10> Resoler log16=log=2 / 82>> N 0

a> ⟨0 7 1⟩ b> ⟨B2 7 1⟩

c> ⟨B1 7 1⟩ > ⟨1 7 2 ⟩e> (.A.

11> &i 108 < 1$ 7 104 < 12? calculelog106 en trminos e 8 e 4.

a> 8 ; 4 b>2

48 +

c>3

48 + >

2

48 −

e> 28 ; 24

12> Reucir

96?1=loglogantilogloglog+o ?1222

1−

a> 1 b> c> 2 > B1e> 12

Álgebra 40



13> Resoler

>88$=log>189=log 2

31

2

31 ++≥−

a> 571− b>

]573

1

c> ]573

1>

573

1

e> [ 3

171 −−

1> &i log848 < calcule el alor e

5

3

844

8log

a>1

23b>15

29

c>15

2$>5

9

e>5

16

15> Resoler log8 ; 1=58 ; 19> < 2

a> 6 > Gc> $ > 9e> 10

Álgebra 41



TEMA: RELACIONES

I"rod#cc$%:

)a ,escartes nos aba? en sus trabaos? una iea e lo ue era una uncin7 :ero ueLeibnit uien introuo este trmino en matem#ticas? :ara esignar cierto ti:o e rmulas74 :osteriormente Euler nos brinar!a la notacin 4 < =8>. Actualmente e8iste unconce:to muco m#s general en el ue se inclu4e a la uncin la corres:onencia.

%reiamente eamos algunos conce:tos

PAR ORDENADO@n :ar orenao est# ormao :or os elementos a 4 b 4 se re:resentara as! =a 7 b>,one a se llama :rimera com:onente 4 b seguna com:onente.&egn la einicin estricta? un :ar orenao se eine as!

=a 7 b> < CCaD 7 Ca 7 bDD

Pro)$ed'de!

1> =a 7 b> ≠ =b 7 a>2> =a 7 b> < =c 7 > ⇔ a < c ∧ b <

Eem:los

• El :ar orenao =1 7 2> no es igual al :ar =2 7 1>• =3 7 b> < =a 7 $> ⇔ 3 < a ∧ b < $

PRODUCTO CARTESIANO&ean A 4 - os conuntos cualesuiera. El :roucto cartesiano e A 4 -? enotao :or A 8-? se eine como el conunto e :ares orenaos =a 7 b>? one a ∈ A 4 b ∈ -7 as!

A 8 - < C=a 7 b> a ∈ A ∧ b ∈ -D

Eem:lo

,aos los conuntos A < C0 7 1 7 2D 4 - < Cm 7 nD? entonces

W A 8 - < C=8 7 4> 8 ∈ A∧ 4 ∈ -D

⇒ A 8 - < C=0 7 m> ? =0 7 n> ? =1 7 m> ? =1 7 n> ? =2 7 m> ? =2 7 n>D- 8 A < C=m 7 0> ? =n 7 0> ? =m 7 1> ? =n 7 1> ? =m 7 2> ? =n 7 2>D

%oemos obserar ue el conunto A 8 - es ierente al conunto - 8 A? es ecir

A 8 - ≠ - 8 A? el :roucto cartesiano no es +'("@*A*IV'

Álgebra 42



ENUNCIADO FORMAL

&ean os conuntos ac!os A 4 -7 un enunciao ormal? entro el :roucto A 8 - se einecomo auella e8:resin ue enlaa un elemento 8 ∈ A con un elemento 4 ∈ -? enotao :or

%=8 7 4>

*al ue reem:laar las ariables 8 e 4 :or los alores asignaos a 4 b res:ectiamente?%=a 7 b> resulta un enunciao 4a sea eraero o also? :ara too :or =a 7 b> ∈ A 8 -.

Eem:lo

&ean los conuntos A < C 7 5 7 6 7 GD- < Ccuarao? :ent#gono? e8#gonoD

&e eine el enunciao ormal entro e A 8 -

%=8 7 4> O8 es el nmero e rtices e 4P

Entonces

W %= 7 cuarao> O es el nmero e rtices el cuaraoP? es eraeroW %=67 :ent#gono> O6 es el nmero e rtices el :ent#gonoP? es also.

CORRESPONDENCIA

De6$$c$%.- ,aos os conuntos no ac!os A 4 -? se eine una+'RRE&%'(,E(+IA ς e A acia - as!

ς < C=8 7 4> ∈ A 8 - %=8 7 4>D

,one %=8 7 4> es el enunciao ormal? llamao tambin REULA ,E +'RRE&%'(,E(+IA?ue enlaa a los com:onentes 8 e 4.

Eem:lo

+onsieremos los conuntos A < C88 es una ciuaD 4 - < C44 es un :a!sD. &obre A 8 - seeine la corres:onencia

ς < C=8 7 4> ∈ A 8 - O8 se encuentra en 4PD,e la cual :oemos airmar ue

B Lima ς %er =Lima 7 %er> ∈ ς

B Asuncin ς -oliia =Asuncin 7 -oliia> ∉ ς

Álgebra 43



B (uea ,eli ς Inia =(uea ,eli 7 Inia> ∈ ςDOMINIO 7 RANGO DE CORRESPONDENCIA

&ea una corres:onencia ς einia sobre A 8 -7 el ,'"I(I' e ς? ue se enota :or ,om=ς>? es el conunto ormao :or las :rimeras com:onentes e sus :ares orenaos? as!

,om=ς> < C8 ∈ A =8 7 4> ∈ ςD

) el RA(U' e ς? enotao :or Ran=ς>? ormao :or las segunas com:onentes e sus:ares orenaos? es ecir

Ran=ς> < C4 ∈ - =8 7 4> ∈ ςD

Entonces? :oemos eucir lo siguiente

,om=ς> ⊂ A ∧ Ran=ς> ⊂ -

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CORRESPONDENCIA

D$'(r'+' S'($"'& o de /e 8 E#&er

En este iagrama se utilian lecas ue salen el conunto e :artia acia el conunto ellegaa.

Eem:lo

&ean A < C8 7 4 7 7 ^D 4 - < C5 7 6 7 G 7 $ 7 9D,einimos ς A→ - as!

ς < C=8 7 5> ? =8 7 9> ? =4 7 6> ? =4 7 G> ? =^ 7 G> ? =^ 7 9>D

Entonces? su re:resentacin meiante el iagrama sagital ser#

,one ,om=ς> < C8 7 4 7 ^D 4Ran=ς> < C5 7 6 7 G 7 9D

Álgebra 44



En el gr#ico :oemos com:robar ue

,om=ς> ⊂ A 4 Ran=ς> ⊂ -

D$'(r'+' C'r"e!$'o

Veamos este ti:o e iagrama meiante un eem:lo

Eem:lo

,aos los conuntos A < CLi 7 _os 7 Hans 7 _onD 7- < C300 7 350 7 00 7 50 7 500D

&e eine la corres:onencia ς A→ -? as!

ς < C=Li 7 350> ? =_os 7 50> ? =Hans 7 00>D

+u4a gr#ica cartesiana ser#

-

A

5 0 0

5 0

0 0

3 5 03 0 0

,e one,om=ς> < CLi 7 _os 7 HansD 4Ran=ς> < C350 7 50 7 500D

RELACIONESHasta el momento emos isto corres:onencias e la orma ς A → -7 :ero tambin:or!amos establecer una corres:onencia e la orma R A → A? one el conunto e :artia4 e llegaa es el mismo. En este caso? la corres:onencia recibe el nombre e RELA+I`(.

,einicin.B ,ao conunto A no ac!o? una RELA+I`( R es auella corres:onenciaeinia como

R A → A? tal ue R < C=8 7 4> ∈ A 8 A %=8 7 4>D

,one %=8 7 4> es la REULA ,E +'RRE&%'(,E(+IA e la relacin.Eem:lo

Álgebra 45



&ea el conunto A < C2 7 3 7 7 5D? con el cual

A2 < A 8 A < C=2 7 2> ? =2 7 3> ? =2 7 > ? =2 7 5> ? =3 7 2> ? =3 7 3> ? =3 7 > ? =3 7 5>? = 7 2> ? = 7 3> ?

= 7 > ? = 7 5> ? =5 7 2> ? =5 7 3> ? =5 7 > ? =5 7 5>D

&on las relaciones einias en A las siguientes

R1 < C=2 7 2> ? =2 7 3> ? =3 7 2> ? =3 7 3> ? = 7 2> ? = 7 3> ? =5 7 2> ? =5 7 3>DR2 < C=2 7 3> ? =2 7 > ? =2 7 5> ? =3 7 > 7 =3 7 5> ? = 7 5>DR3 < C=8 7 4> ∈ A2 4 < 8 ; 1D

%ara R3? e su regla e corres:onencia %=8 7 4> 4 < 8 ; 1. Luego el conunto A2? emos los:ares orenaos ue cum:len con esta regla e corres:onencia. ,icos :ares son

=2 7 3> ? =3 7 > ? = 7 5>

%or lo tanto? tambin :oemos e8:resar la relacin R3 e la siguiente orma

R3 < C=2 7 3> ? =3 7 > ? = 7 5>D

DOMINIO 7 RANGO DE UNA RELACIÓN

,aa la relacin R A → A? el ominio e R =,om =R>> se eine como el conunto e las:rimeras com:onente e los :ares orenaos ue conorman la relacin 7 4 el rango e R=Ran=R>> como el conunto e las segunas com:onentes7 es ecir

,om=R> < C8 ∈ A =8 7 4> ∈ RDRan=R> < C4 ∈ A =8 7 4> ∈ RD

*ambin

,om=R> ⊂ A ∧ Ran=R> ⊂ A

Eem:lo

Hallar el ominio 4 rango e las siguientes relaciones

R1 < C=2 7 2> ? =2 7 3> ? =2 7 > ? =2 7 5> ? =3 7 2> ? =3 7 3>D

>1R=,om < C2 7 3D ? >2R=Ran < C2 7 3 7 7 5D

R2 < C=07 1 ? =07 2 ? =07 3 ? =17 2> ? =2 7 3>D

>2R=,om < C0 7 1 7 2D ? >2R=Ran < C1 7 2 7 3D

RELACIONES DE R EN R

Álgebra 46



En el lgebra? las relaciones e ma4or im:ortancia son las ue se einen en el conunto e losnmeros reales =R>? es ecir7 auellas relaciones e la orma

R R → R R ⊂ R 8 R

Eem:los

Encontrar el ominio 4 rango e la relacin

& < C=8 7 4> ∈ R2 82 ;42 ≤ 16D

⇒ ,e la regla e corres:onencia7 82 ; 42 ≤ 16

*enemos

miembro.o2

2

miembro.er 1

28164 −≤

Vemos ue el 1er trmino e la esiguala no es negatia entonces el 2o miembrotam:oco ebe serlo? :or lo tanto

16 / 82 ≥ 0 ↔ 82 ≤ 16 ↔ B ≤ 8 ≤

Luego ,om=&> < [B 7 ]

*ambin tenemos 82 ≤ 16 / 427 an#logamente a la :arte anterior obtenemos

16 / 42 ≥ 0 ↔ 42 ≤ 16 ↔ B ≤ 4 ≤

Entonces Ran=&> < [B 7 ]

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

A :artir e su gr#ica? :oemos allar algunas :ro:ieaes? 4 :ara ciertas relacionesincluso allar su ominio 4 rango. @samos las re:resentaciones gr#icas =istasanteriormente> e una corres:onencia.

Eem:lo

&ea el conunto - < C3 ? 7 5 7 6 7 GD? se eine la relacin

R < C=8 7 4> ∈ -2 84 ≤ 20D

@tiliano el iagrama sagital :ara relacionar un elemento el conunto e :artia con otroel conunto e llegaa? tal ue su :roucto sea menor o igual a 20.

Álgebra 47



3

5

6

G

3

5

6

G

>=R a n ς

>=, o m ς

,e one R < C=3 7 3> ? =3 7 > ? =3 7 5> ? =3 7 6> ? = 7 3> = 7 > ? = 7 5> ? =5 7 3> ?=5 7 > ? =6 7 3>D

Aem#s ,om=R> < C3 7 7 5 7 6D < Ran =R>

TIPOS DE RELACIONES

+onsieremos una relacin R en A? es ecir? R A → A7 one A es un conunto no ac!o.Entonces se tiene

1. Re&'c$% Re6&e9$'

@na relacin R es rele8ia? si cum:le la siguiente conicin

R es REFLESIVA ↔ C∀ a ∈ A =a 7 a> ∈ RD

Eem:lo

&ea el conunto A < C2 7 3 7 7 5D en el cual einimos la siguiente relacin.

R < C=2 7 2> ? =2 7 3> ? =3 7 > ? =3 7 3> ? = 7 2> ? = 7 > 7 =5 7 3> ? =5 7 > ? =5 7 5>D,e la cual obseramos ue%ara 2 ∈ A =2 7 2> ∈ R %ara 3 ∈ A =3 7 3> ∈ R%ara ∈ A = 7 > ∈ R %ara 5 ∈ A =5 7 5> ∈ R%or lo tanto? R es rele8ia.

2. Re&'c$% S$+,"r$c'

@na relacin R es simtrica cuano :ara toos los :ares =a 7 b> ∈ R7 e8iste el :ar =b7 a>ue tambin :ertenece a R? es ecir

R es &I"X*RI+A ↔ C∀ =a 7 b> ∈ R =b 7 a> ∈ RD

Eem:lo

&ea A < C2 7 3 7 7 5D? einimos la relacinR < C=2 7 3> ? =2 7 >? =3 7 5> ? =3 7 2> ? = 7 2> ? =5 7 3> ? =2 7 2> ? = 7 >D(otacin lo siguiente

Álgebra 48



%ara =2 7 3> ∈ R =3 7 2> ∈ R%ara =2 7 > ∈ R = 7 2> ∈ R%ara =3 7 5> ∈ R =5 7 3> ∈ R%ara =3 7 2> ∈ R =2 7 3> ∈ R%ara =7 2> ∈ R =2 7 > ∈ R%ara =5 7 3> ∈ R =3 7 5> ∈ R%ara =2 7 2> ∈ R =2 7 2> ∈ R%ara = 7 > ∈ R = 7 > ∈ R

Luego la relacin R es &I"X*RI+A

3. Re&'c$% Tr'!$"$'

La relacin R se enomina *RA(&I*IVA cuano los :ares =a 7 b> ∧ =b 7 c> ∈ R? el :ar =a 7 c> tambin :ertenece a R? as!

R es *RA(&I*IVA ↔ C∀ =a 7 b> ∧ =b 7 c> ∈ R =a 7 c> ∈ RDEem:lo

&ea A < C2 7 3 7 7 5D? se eine la relacin R < C=2 7 3> ? =3 7 > ? = 7 5> ? =2 7 > ? =3 7 5> ? =2 7 5>D

*omano toos los :ares :osibles e la orma =a 7 b> 4 =b 7 c>? obseramos

%ara =2 7 3> ∧ =3 7 > ∈ R =2 7 > ∈ R

%ara =2 7 3> ∧ =3 7 5> ∈ R =2 7 5> ∈ R%ara =3 7 > ∧ = 7 5> ∈ R =3 7 5> ∈ R

Luego? R es una relacin *RA(&I*IVA

. Re&'c$% de E;#$'&ec$'

La relacin R se ice ue es e EY@IVALE(+IA si 4 solo si R es rele8ia? simtrica 4transitia a la e.

Eem:lo

&ea el conunto A < C1 7 2 7 3 7 D? en el cual se eine la relacinR < C=1 7 1> ? =1 7 2> ? =2 7 1> ? =2 7 2> ? =3 7 3> ? = 7 >D

,e esta relacin obseramos

R es rele8ia? :ues sieno I < C=1 7 1> ? =2 7 2> ? =3 7 3> ? = 7 >D 7 I ⊂ RR es simtrica? :orue ∀ =a 7 b> ∈ R =b 7 a> ∈ RR es transitia? 4a ue

%ara =1 7 1> ∧ =1 7 2> ∈ R =1 7 2> ∈ R

Álgebra 49



%ara =1 7 2> ∧ =2 7 1> ∈ R =1 7 1> ∈ R%ara =1 7 2> ∧ =2 7 2> ∈ R =1 7 2> ∈ R

%ara =2 7 1> ∧ =1 7 1> ∈ R =2 7 1> ∈ R%ara =2 7 1> ∧ =1 7 2> ∈ R =2 7 2> ∈ R%ara =2 7 2> ∧ =2 7 1> ∈ R =2 7 1> ∈ R

%or lo tanto? R es EY@IVALE(+IA

RELACION IN/ERSA

&ea un conunto no ac!o A 4 la relacin R A → A? tal ue

R < C=8 7 4> ∈ A2 %=8 7 4>D

&e eine la relacin inersa e A como

RW < C=4 7 8> ∈ A2 %=8 7 4>D

,one ,om=RW> < Ran=R> ∧ Ran=RW> < ,om=R>

Eem:lo

&ea A < C2 7 3 7 7 5D 7 se eine la relacinR < C=2 7 3> ? = 7 3> ? =3 7 5> ? =2 7 5> ? =2 7 > ? = 7 5>D

Entonces RW < C=372>? =37>? =573>? =572>? =72>? =57>D

,one,om=RW> < C3 7 7 5D < Ran=R>

Ran=RW> < C2 7 3 7 D < ,om=R>

Álgebra 50




1> ,aos los conuntos

A < C1 7 2 7 3 7 7 5D 7- < C3 7 7 5 7 6 7 G 7 $D 4R < C=87 4>∈ A 8 -4 / 8 / 2 < 0D

Entonces n=R> es

R:ta.

2> &ean

" < C2 7 3 7 7 5 7 6D 7( < C1 7 7 6 7 9 7 25 7 1GD 4R < C=8 7 4> ∈ " 8 ( 4 < 82D

Entonces? n=R> es

R:ta.

3> &ean

A < C2 7 3 7 7 5D 7- < C3 7 7 5 7 6 7 GD&e eine la corres:onencia% < C=8 7 4> ∈ A 8 -8 ; 4 es :arD

+alcular n=%>

R:ta.

> &ean

A < C16 7 1$ 7 20 7 22D- < C20 7 22 7 23 7 26D

&e eine la corres:onenciaY < C=8 7 4> ∈ A 8 - 4 < 8 ; D

+alcular n=Y>

R:ta.

5> &ean

A < C2 7 7 6 7 $D- < C5 7 G 7 10 ? 12D

&e eine la corres:onencia

" < C=8 7 4> ∈ A 8 - 4 / 8 es im:arD

Hallar n=">

R:ta.

6> &ean

A < C1 7 2 7 3 7 D 7- < C1 7 3 7 6 7 $D

) ς=a 7 b> einia :or OaP es menor ueObP? one =a 7 b> ∈ A 8 - J+u#ntos:ares orenaos tiene lacorres:onencia ςK

R:ta.

G> En A < C1 7 2 7 3 7 D se consiera larelacin

R < C=8 7 4> ∈ A2 8 < 4 8 ; 4 < 3D:oemos airmar ue R es

R:ta.

$> J&e :uee airmar ue

R < C=8 7 4> ∈ R2 82 / 42 < 16Des rele8iaK

R:ta.

Álgebra 51



9> ,aa la relacin

R < C=8 7 4> ∈ (2 4 < 6 / 8D J&e:uee airmar ue ,om=R> < Ran=R>K

R:ta.

10> ,el :roblema anterior? allar la sumae los elementos el ,om=R>

R:ta.

11> &ea la relacin

R < C=8 7 4> ∈ R2 4 ≥ 82 / 9 ∧ 4 ≤ B8 ; 3D

+u4o ,om=R> < Ca 7 bD 4 Ran =R> <Cc7D ? el alor e a;b;c; es

R:ta.

12> &ea & < C2 7 3 7 D un conunto cu4onmero e elementos se e8:resaas! n=&> < 3

&i R1 < C=8 7 4> ∈ &2 4 < 82D

Hallar n=R1>

R:ta.

13> %ara el :roblema anterior? sea

R2 < C=8 7 4> ∈ &2 4 / 8 < 1D

Hallar n=R2>

R:ta.

1> &ea la siguiente relacinR1 < C=273>? =76>? =G79>? =$711>? =37G>?

=7$>DHallar el ominio e R1W

R:ta.

15> ,el :roblema anterior? allar Ran=R1W>

R:ta.

16> ,aa la siguiente relacin

& < C=1 7 2> ? =3 7 G> ? = 7 3> ? =2 7 1> ?=3 7 > ? =G 7 3> ? =1 7 1> ? =7 G> ? =27 2> ?= 7 > ? =G ? G> ? =37 3>D7 J& es eeuialenciaK

R:ta.

1G> ,aa la siguiente relacin

% < C=1 7 3>?= 7 2>?=G7 9>?=6 7 3>DHallar %W

R:ta.

1$> ,el :roblema anterior? cu#ntos :aresorenaos cum:len con la siguienteregla e corres:onencia

ς < C=8 7 4> ∈ % 4 < 8 / 2D

R:ta.

19> &ea R < C=172> ? =37> ? =57G>D 4 RW <C=m71> ? =7n> ? =:75>D allar m ;n ; :

R:ta.

20> ,e la siguiente relacin& < C=37> ? =G72> ? =73> ? =27G>D J& esrele8ia? simtrica? o transitiaK

R:ta.

Álgebra 52





A < C5 7 G 7 $ 7 11 ? 15D- < C9 7 11 7 12 7 19DR < C=874> ∈ A 8 -4 / 8 / < 0D

Entonces n=R> es

a> 2 b> 3c> > 5e> 6


% < C1 7 2 7 3 7 7 5DY < C2 7 9 7 65 7 120 ? $D 4R < C=874> ∈ % 8 Y4/83 / 1 < 0D

Entonces n=R> es

a> 3 b> c> 5 > 6

e> G3> &ean

" < C5$ 7 63 7 G2 7 $5D( < C35 7 26 ? 9 7 5$DR < C=8 7 4> ∈ " 8 ( 8 ; 4 es im:arD

Hallar n=R>

a> 5 b> 6c> G > $e> 9

> &ean

A < 1 7 2 7 3 7 7- < C3 7 7 5 7 6D 4R < C=8 7 4> ∈ A 8 - 8 < 4DHallar n=R>

a> 0 b> 1c> 2 > 3e>

5> &i A < CB1 7 0 7 1D

R < C=8 7 4> ∈ A2 42 < 82DHallar n=R>

a> 5 b> 6c> G > $

e> 9

6> &i R1 < C=8 7 4> ∈ R2 4 / 8 < 6D 7 R2 <C=8 7 4> ∈ R2 8 ;4 < $D calcular el:roucto e las com:onentes e loselementos e R1 ∩ R2

a> 2 b> 3c> 5 > 6e> G

G> En

A < CB 7 B3 7 B2 7 B1 7 0 7 1 7 2D

se eine la relacin

R < C=874> ∈ A2 82 ; 8 < 42 ; 4D JR esrele8ia o simtricaK

a> Rele8iab> &imtricac> Ambas> (inguna e las os

$> &eanR1 < C=8 7 4> 8 ≤ 4DR2 < C=8 7 4> 8 ;1 < 4DR3 < C=8 7 4> 8 ≠ 4D

,einias en el conunto

A < C2 7 7 5 7 6DJ&e :uee airmar ue

Álgebra 53



R1 ∩ R2 ⊂ R3K

a> &i b> (oc> (.A.

9> En el :roblema anterior? JR1 ∪ R3 esuna relacin e euialenciaK

a> (o b> &ic> (o se sabe

10> En el :roblema $ JR3 no essimtricaK

a> &i b> (oc> (.A.

11> &ea el conunto

A < C=273> ? =67$> ? =9711> ? =37G>D.

Hallar la suma e los elementos el

,om=AW>

a> 2 b> 26c> 29 > 33e> 1

12> &ea la relacin

R < C=579> ? =37G> ? =76> ? =1172>DRW < C=G7a> ? =27b> ? =c75> ? =67>D

Hallar a ; b ;c ;

a> 2G b> 29c> 31 > 33e> 35

13> &ea R una relacin einia en A < C2 7 3 7 9D meiante

R < C=8 7 4> 4 ; 1 ≤ 82

D

Entonces? el nmero e elementose R es

a> b> 5c> 6 > Ge> $

1> La relacin

R < C=8 7 4> ∈ 8 8 / 4 < 2Z 7Z ∈ D es

a> &imtricab> Rele8iac> *ransitia> ,e euialencia

e) A ∧ +

15> En la igura se muestra la gr#ica e

una relacin R en el :lanocartesiano.

+alcular ,om=R> g Ran=R>

8

4

= B 2 7 2 >

= 1 7 1 >

= 3 7 5 >

= 7 2 >

a> ∅ b> [3 7 5]

c> [1 7 ] > [B2 7 5]

e> [1 7 5]

Álgebra 54



TEMA: FUNCIONES

Coce)"o! Pre$o!:

PAR ORDENADO:

&e eine as! DDb7aC7DaCC>b7a= =

=3 7 5> < C C3D 7 C3 7 5D D=5 7 3> < C C5D 7 C5 7 3D D

⇒ =3 7 5> ≠ =5 7 3>

Aem#sbca>7c=>b7a= =∧=↔=

Em =3 7 a> < =b 7 > ⇒ b < 3 ∧ a <

'bseracin =a 7 a> < C CaD D

PRODUCTO CARTESIANO

D-b Aa>b7a=C- A ∈∧∈=×

Eem:lo A < C1 7 2D- < Ca 7 b 7 cD

A 8 - < C =1 7 a> 7 =1 7 b> 7 =1 7 c> 7 =2 7 a> 7 =2 7 b> 7 =2 7 c> D

- 8 A < C =a 7 1> 7 =a 7 2> 7 =b 7 1> 7 =b 7 2> 7 =c 7 1> 7 =c 7 2> D

⇒ A 8 - ≠ - 8 A

DIAGRAMA DE /ENN:

1

2

a

b

c

A -A 8 -

PROPIEDADES:

Álgebra 55



1> A 8 - < - 8 A ↔ A < -2> A 8 - < ∅ ↔ A ≠ ∅ ∨ - ≠ ∅

3> n=A 8 -> < n=A> 8 n=->

,one n=A> < carinal e A = e elementos>Em n=A> < 2

n=-> < 3 n =A 8 -> < 6

RELACIONES

@na relacin e A en - es cualuier subconunto e A 8 -.

&i A 8 - < C =1 7 2> ? =1 7 3> ? =2 7 2> ? =2 7 3> DEntonces

R1 < C =1 7 2> DR2 < C =8 7 4> 8 ≥ 4 7 8 ∈ A ? 4 ∈ - D < C =2 7 2> DR3 < ∅

FUNCIÓN

&ean A 4 - os conuntos no ac!os.@na uncin F e A en - = < A → -> es un conunto e :ares orenaos tal ue toos loselementos e A ebe tener un nico elemento en -.

Eem:lo

A -

& ! e s u n c i n

A -

& ! e s u n c i n

Álgebra 56



A -

( o e s u n c i n

,einicin Formal

&ea A → - una uncin? entonces se cum:le >478=-4d? A8 ∈∈∃∈∀

+onicin e e8istencia V4 >V78= >478=&i =→∈∧∈

Eem:lo

&ea < C =2 7 8 / 4> 7 =3 7 8 ; 4> 7 =2 7 3> 7 =3 7 > D una uncin. Halle 28 / 4

&olucin 8 / 4 < 3 ∧ 8 ; 4 <

⇒ 28 < G

213482

214

2G8 =−∴=→=

Entonces se cum:le - AR ×⊂⊂

NOTA:. *oa uncin es una relacin. (o toa relacin es una uncin

NOTACIÓN:

- A.6 ,'I"I(I'

→

Álgebra 57



A -

% R E I " A U E ( I " A U E (

R A ( U '

, ' " I ( I ' '+ ' ( _ @ ( * ' , E

+ ' ( _ @ ( * ', E L L E U A , A

'bseracin Algunos matem#ticos consieran

E s 6 u n c i n

E s a : l i c a c i n

E l o m i n i o e s t # o r m a o : o r t o o s

FUNCIÓN REAL DE /ARIABLE REAL

&on auellas unciones cu4o ominio 4 rango es un subconunto e R.Eem:lo

< [0 7 1⟩ → R R → R

DOMINIO:,om=> < C 8 =8 7 4> ∈ D

RANGORan=> < C 4 =8 7 4> ∈ D

REGLA DE CORRESPONDENCIAEs auella ecuacin ue nos :ermite relacionar los elementos el ominio con loselementos el rango.

Eem:lo

Álgebra 58



12

3

A -

29

2 $

6 5

>8= 4 =

V a r i a b l e i n e e n i e n t e

⇒ 4 < 8

3

; 1 < C =8 7 4> 8 ∈ A ∧ 4 ∈ - D

Eem:lo &ea < C =1 7 2> ? =3 7 5> ? =G 7 6> ? = 7 9> D,om < C1 7 3 7 G 7 DRan < C2 7 5 7 6 7 9D

Eem:lo

=5> < 52

=> < 2

=2> < 22

Entonces =8> < 82 7 8 ∈ C2 7 7 5D

Gr<6$c' de #' 6#c$% re'& e 'r$'&e re'&

La gr#ica e una uncin OP es la re:resentacin geomtrica e los :ares orenaos ue:ertenecen a la uncin.

Ura=> < C =8 7 4> ∈ R2 4 < =8> 7 8 ∈ ,om D

Eem:lo

F=8> < 83

,om < R

Álgebra 59

2

5

A -

1 6

2 5

8

4

384 =



TEOREMA:

&ea R → R&i toa recta :aralela al ee O4P corta a la gr#ica a lo m#s en un :unto? ica gr#ica ser# lare:resentacin e una uncin.

Eem:lo

8

4

R e c t a

E s u n c i n ( o e s u n c i n ?

8

4

R e c t a

NOTA: Ueneralmente una uncin estar# bien einia cuano se es:eciiue su ominio

4 regla e corres:onencia.

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

Regla e +orres:onencia + >8= =

,om < RRan < CcD

Eem:lo

1. Uraicar =8> < 3 ? 8 ∈ R ⇓4 < 3

Álgebra 60

8

4 6

c 0

c



*abulano 3333333...4

3210123...8 −−−

8

4

B B B B

3

2. Uraicar =8> < B2 7 8 ∈ ⟨B5 7 2]

8

4

B 2

2B 5

FUNCIÓN IDENTIDAD

Regla e +orres:onencia 8 >8= =

,om < R

Ran < R

Eem:lo1. Uraicar =8> < 8 7 8 ∈ ⟨2 7 5]

8

4

2

5

FUNCIÓN /ALOR ABSOLUTO

Regla e +orres:onencia [8[ >8= =

,om < R 7 Ran < [0 7 ;∞⟩

&ea 4 < [8[? tabulano 32101234

32101238 −−−

Álgebra 61

8

4

5 e

) < 8

a

a



8

4

B B B

4 < [ 8 [

FUNCIÓN LINEAL

Regla e +orres:onencia 0m7bm8 >8= ≠+=

%eniente e la recta,om < R 7 Ran < R

8

4

θ

b = 8 >

m 0b 0

m 0b N 0

b N 0m N 0

b 0m N 0

8

4

θ

b

b

Eem:los4 < 28 / 6 4 < B38 ; 1

8

4

0

B 6

8

41

&i 8 < 0 7 4 < B6 7 =0 7 B6> :unto e corte con el ee 4.&i 4 < 0 7 8 < 3 7 =3 7 0> :unto e corte con el ee 8.'bseracin W &i la :eniente =m> es negatia? la recta se inclina acia la iuiera.

W &i la :eniente =m> es :ositia? la recta se inclina acia la ereca.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: cb8a8 2>8= ++= 7 a ≠ 0

+om:letano cuaraos :oemos arle la siguiente orma

Z>8=a 2>8= +−= 7 a ≠ 0

,one V < = 7 Z> es el rtice e la :ar#bola.&i a 0 la :ar#bola se abre acia arriba.

Álgebra 62



&i a N 0 la :ar#bola se abre acia abao.

A continuacin analicemos la gr#ica e esta uncin? tenieno como reerencia a suiscriminante.

A0 Pr$+er C'!o&i A 0? la gr#ica e la :ar#bola :or!a tener cualuiera e las siguientes ormas

1>

8

4

8 28 1

0

0a

>∆

>

81 ? 82 son las ra!ces reales 4 ierentes e =8>.Ran < [Z 7 ;∞⟩7 obserar ue el m!nimo alor e la uncin es Z,om < R

2>

8

4

8 28 1

Z

0

0a

>∆

<

81 ? 82 son las ra!ces reales 4 ierentes.Ran < ⟨B∞ 7 Z]? obserar ue el m#8imo alor e la uncin es Z.

B0 Se(#do C'!o

&i + < 0? la gr#ica :or!a tener cualuiera e las siguientes ormas

1>

8

4

8 1 < 8 2

6 0a >

2>

Álgebra 63

Ran < [0 7 ;∞⟩,om < R



8

48 1 < 8 2

0a <

C0 Tercer C'!o

&i + N 0? la gr#ica e la :ar#bola :or!a tener cualuiera e las siguientes ormas

1>

8

4

Z

0

0a

<∆

>

2>

8

4

Z

00a <∆ <

NOTA: %ara com:letar cuaraos al :olinomio 82 ; a8? se ace22

2

2

a

2

a8a88

−

+=+

Eem:los

−

+=

+=+•

−

+=+•

−+=−+=+•

2222

222

5

5828

2

5828582

2

3

2

38838

>28=2>28=88

Eem:lo =8> < 82 / 68 ; $

Álgebra 64

,one 81 7 82 son las ra!ces

reales e iguales.Ran < ⟨B∞ 7 0],om < R

'bserar ue la :ar#bola nointerce:ta al ee real O8P :or lotanto no e8isten ra!ces realesRan < [Z 7 ;∞⟩

Ran < ⟨B∞ 7 Z]



=8> < =8 / 3>2 / =3>2 ; $ < =8 / 3>2 / 1⇒ < =3 7 B1>

&i 8 < 0? 4 < $ ⇒ =0 ? $> es el :unto e corte en el ee O4P.&i 4 < 0? 8 < 2 8 < . Entonces =2 7 0>? = 7 0> son los :untos e corte con el eeO8P 4 como el coeiciente :rinci:al es :ositio? la :ar#bola se abre acia arriba.

'bsere ue :ara allar el m!nimo alor e la uncin cuano el coeiciente

:rinci:al sea :ositio? basta calcular el rtice? 4a ue la seguna com:onenteinicar# el m!nimo alor e la uncin.

FUNCIÓN IN/ERSO MULTIPLICATI/O

8

1 >8= =

8

4

FUNCIÓN POTENCIAL

Regla e +orres:onencia n>8= 8 = 7 n ∈ ; 7 n 1 7 8 ∈ R

1er CASO: e! PAR

4

8

2

6

84

84

84

=

=

=

2do CASO: e! IMPAR

Álgebra 65

8

4

$

2 3B 1

Ran < [B1 7 ;∞⟩=El m!nimo alor e launcin es B1>

,om < R / C0DRan < R / C0D

Ran < [0 7 ;∞⟩,om < R



5

3

84

84

=

=

4

8

'bseracin &ea 4 < a82n 7 n ∈ (

4

8

1a0 <<

284 =1a >

FUNCIÓN RAÍ= CUADRADA

Regla e corres:onencia 8 >8= = 7 8 ≥ 0

&u gr#ica es la siguiente 4 se obtiene tabulano

8

4 84 =

Eem:lo

1. 'btener la gr#ica e 28 >8= −=

&olucin La gr#ica e esta uncin la obtenremos :or es:laamientooriontal? a :artir e la gr#ica original 84 = .

Álgebra 66

Ran < R,om < R

Ran < [0 7 ;∞⟩,om < [0 7 ;∞⟩



8

4 84 =

8

4284 −=

2. Uraicar 268 >8= +−=

8

4

584 −=84 =

8

4

8

4

2

2684 +−=

Ran < [2 7 ;∞⟩,om < [6 7 ;∞⟩

Álgebra 67




01. &i el siguiente conunto e :aresorenaos re:resenta una uncin?seMalar su ominio.

< C=27aBb>? =37b>?=273>?=576>?=371>D

02. ,el :roblema anterior? seMalar su rango.

03. Hallar el ominio e la uncin

58

85>8=F

+=

0. Iniue el m!nimo alor e la uncing=8> < 82 B $8 ; 15

05. +alcule ab? si el conunto e :aresorenaos re:resenta una uncin

< C=275>?=B173>?=272aBb>?=B17bBa>?=a;b27a>D

06. &i A < C1727377576D7- < C172737D 4 F A - es una uncin?einia :or

F < C=871>?=27>?=7>?=47>?=73>D

Entonces =8 ; 4 ; > es

0G. +alcular el nmero e elementos e A

A < CS ∈ 10 N 8 ; 2 N 20D

0$. +alcular el nmero e elementos e -

- < CS ∈ [8B5[ N 3D

09. &i el siguiente conunto e :aresorenaos re:resenta una uncin

< C=27aB5>?=97>?=371>?=276>?=97bB1>D

+alcular =a ; b>

10. Uraicar =8> < 37 8 ∈ R

11. Uraicar g=8> < 37 8 ∈ 673

12. Uraicar g=8> < 8

13. Uraicar =8> < 87 8 ∈ 73

61. &e eine la uncin U como sigue

<≤−<<=$875828078>8=U

3

&i 1 N 8 N 2? allar U =38 ; 2>

15. &i F es una uncin cu4o rango es unconunto unitario? eterminar elominio e F.

F < C=a;b7b>?=ab7aBb>?=a1>?=3b7aB1>D

16. Encontrar el rango e la uncin

728

38>8=g

++

= 8 ∈ 572−

1G. Iniue el m#8imo alor e la uncinH=8> < B82 / 68 ; 12

1$. ,e los gr#icos

3

5

$

32

g)

+alcule>2=g>=

>3=g>3=

++

19. &ea la uncin

∈−

∈+=

12798718

728718>8=6

2

2

Álgebra 68



+alcule ==3>>

20. +alcule ominio? rango 4 gr#ica e la

siguiente uncin

218>8=H +−=

Álgebra 69




01. &i el siguiente conunto e :aresorenaos re:resenta una uncin?ar su ominio

< =375>?=2a76>?=bB275>?=7G>?=$76>D

a> C3? 6? D b> C37 $7 Dc> C7 37 6D > C37 2De> C7 $7 6D

02. %ara el :roblema anterior? ar su rango

a> C37 67 D b> C7276D

c> C5767GD > C767GDe> C57$79D

03. ,aa la uncin

=8> < 6882 −− .

,eteminar ,om=>

a> ] [ ∞+−∞− 7327

b> ]27∞−

c> ] [ ∞+∞− 7$7

> 372

0. Hallar el rango e la uncing < C=82 7 82B1> 8 ∈ ]572− D

a> ]273 b>[ ]273

c> 273 >670

e> B17 2

05. &ean 4 g os unciones? tales ue=8> < a8 ; 1? g=8> < 38 ; b7 aem#s=1> < g=B1>=B1> < g=1>

+alcule =2> ; g=3>

a> 2 b> 3 c> 5> G e> 9

06. ,el gr#ico calcule =a;b>? si OPre:resenta una uncin alor absoluto.

b

)

1 26

a> 12 b> 13 c> 1> 15 e> 16

0G. +alcule el rango e la uncin=8> < 82 B 58 ; 1

a> B217 ∞+ b>∞+− 73

c> [ ∞+− 75 >∞+− 71

e> ∞+70

0$. &i [ 573− 15712−

8 38 / 1

+alcule la suma e alores enteros elrango e la uncin.

a> 10 b> 1G c> 20> 15 e> 36

09. ,e la siguiente gr#ica e la uncin

)

3

4 < a 8 ; b

1

3

+alcule =a ; b>

Álgebra 70



a> 1 b> 2 c> 3

> e> 5

10. ,e la igura)

S

B 2 G

1

+alcule =,om > g =Ran >

a> 173 b> 17c> 17G > 1710e> 579

11. Hallar el rango e la uncin

18

8>8=

2 +=

a> B173 b> 17Gc> B17 > B272

12. +alcular el ominio e la uncin

=8> < 835 −+

a> 079 b> 5710

c> 372a > [ ]G7

e> [ ]17$

13. &i 4 g re:resentan unciones

3

12

02G9 6

g

5

3

12

+alcule

=1>.=2>.=3> ; g=6> ; g=> ; g=5>

a> 3 b> c> 5

> 6 e> G

1. Uraiue la uncin

=8> < [8B2[7 8 ∈ [ ]373−

)

S3

5

B 3 2

1

)

S3B 3

)

S3

5

B 3

B 2

1

)

S3B 3 B 2

5

A > - >

+ > , >

15. &i 8 ∈ ]75− ? calcule el

rango e la uncin

=8> < 82 ; 8 ; G

a> 1073 b>

107$

Álgebra 71



c> 17$ >

107

e> (.A.

Álgebra 72



TEMA: LIMITES

El conce:to e l!mite es un eco unamental en la matem#tica moerna 4 es la basesobre la ue se sustentan otras ieas como la eriaa. ,urante el siglo SVII? losmatem#ticos eicaos al estuio e las eriaas e integrales se ieron obligaos atrabaar con :rocesos ininitos ue no enten!an bien. Estos :roblemas tarar!an os siglosen ser resueltas.

INTRODUCCION A LOS LÍMITES

Recoremos ue aa una uncin 4 < =8>? :ara caa alor e O8P e8iste su res:ectiaimagen =8> llamaa tambin Oalor e la uncin en 8P. Veamos

W &ieno 4 < =8>%ara 8 < 81 su imagen es =81>

8 < 82 su imagen es =82>

8 < 83 su imagen es =83>

Ur#icamente

>8=

>8=

>8=

1

2

3

>8= 4 =

8

4

W &ieno =8> < 8 ; 2 ? 8 ∈ [0 7 ;∞⟩

%ara 8 < 1 su imagen es =1> < 38 < 2 su imagen es =2> < 8 < 3 su imagen es =3> < 5

Ur#icamente

4

>1=

>2=

>3=

3

5

==

=

28 >8= +=

A continuacin consieremos un alor :articular el ominio? :or eem:lo 8 < a =8 < 2>.+ogieno otros alores istintos e OaP =istintos e 2>? :ero cercamos al el? intentaremosuna a:ro8imacin a OaP =a:ro8imacin a 2>

Álgebra 73



>8= 4 =

4

>8= f1

>8= f2

>8= 1

>8= 2

a

L

x 1 x 2 x 2 x 1 x 3

,ebemos obserar ue cuano 8 se a a:ro8imano a OaP =tanto :or la iuiera como :or la ereca>? las res:ectias im#genes se an a:ro8imano a OLP =tanto :or abao como :or arriba>.

8

4

28 >8= +=

0 1 1 ? 5 2 2 ? 5 3

5 ? 5

3 ? 5

3

En este caso obseramos ue cuano 8 se a a:ro8imano a 2 =tanto :or la iuieracomo :or la ereca>? las res:ectias im#genes se an a:ro8imano a =tanto :or abaocomo :or arriba>.

%ara una ma4or com:robacin? en el caso e =8> < 8 ; 2? intentemos la a:ro8imacin a 8 <2? con alores muco mas cercanos a el.

Álgebra 74



001?0001?00001?99999?39999?3999?328

001?20001?200001?2299999?19999?1999?18

>8= +=

Esto lo :oemos resumir icieno

+uano 8 → 2 =se lee O8 tiene a 2P>&e tiene ue =8> → =se lee O =8> tiene a P>

Asimismo? se sintetia con la siguiente notacin

>8=28

lim =

→

Aora? eamos otro eem:lo :ara com:rener meor el conce:to e l!mite.+onsieremos una uncin real e ariable real

18718

18

2

>8= ≠−−

=

>?#, !#cede !$ 9 "o+' '&ore! +#@ cerc'o! ' 1%ara ello? si multi:licamos la e8:resin inicial? obteninose en orma euialente

=8> < 8 ; 1 7 8 ≠ 1

,#nole un enoue geomtrico

8

4

2

81

>8=

= V a l o r e s : o r l a i u i e r a > = V a l o r e s : o r l a e r e c a >

&e obsera ue a meia ue 8 se acerca a 1? 4 asea :or la iuiera o :or la ereca?entonces =8> se acerca a 27 es ecir? si 8 tiene a 1? entonces =8> tiene a 2.&imboliano

Álgebra 75

&e lee OL!mite e =8> cuano 8 tiene a 2es igual a P



18

2 lim >8=

→

=

' en orma euialente

18

2>18=lim

→=+

%ara obtener el alor limite 2? se a reem:laao en la e8:resin =8> < 8 ; 1? el alor e 1:ara 8? as!.

1818

21>1= >18=lim lim >1=>8=

→→

=+==+=

IDEA DE LÍMITE

&ieno 4 < =8> una uncin? iremos ue si 8 → a im:lica =8> → L. Entonces

8

4

>8= 4 =

L

NOTA: ,ebemos tener en cuanta ue OaP no necesariamente :ertenece al ,ominio e .

Eem:lo =8> < 82

38

lim >8=

→

=

38

9>8=lim 2

→=

*oa a:ro8imacin e 8 a 3 conuce a ue=8> se a:ro8ime a 9

Eem:lo 238

838g

23

>8= −−

=

38

glim >8=

→

=38

lim

→ 938

838 23

=

−−

Álgebra 76

a8

L lim >8=

→

=

8

4

0

2>8= 8 =9

3

8

4

0

9

3

223

>8= 838

88g =

−−

=



*oa a:ro8imacin e 8 a 3 conucea ue g=8> se a:ro8ime a 9.

DEFINICION DE LÍMITE

El nmero L se llama l!mite e la uncin real e una ariable real ? en el :unto S 0 =80 no:ertenece necesariamente al ominio e >? si :ara caa ε 0? es :osible allar un alor :ositio δ =elta> ue e:ene e ε =é:silon>? tal ue

ε<−⇒δ<−<∧∈∀ [L [[88[0,om 8 >8=0

&e ice ue L es el l!mite e =8> ? cuano 8 tiene a 80 4 se escribe como

L lim >8=88 0

=→

Inter:retacin Ueomtrica

8

4

L ; eL

L B e

>8=

− TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE

&ea una uncin real e una ariable real 4 80 no :ertenece a ,om.

212>8=88

1>8=88 LLL limL lim

00=⇒=∧= →→

LIMITES LATERALES

+onsieremos la siguiente uncin

Álgebra 77



4

L 2

L 1

>8= 4 =

%oemos notar ue W +uano nos a:ro8imamos a OaP :or la iuiera? el l!mite es L1.W +uano nos a:ro8imamos a OaP :or la ereca? el l!mite es L2.

L$+$"e )or &' derec'

&e ice ue L es el l!mite lateral e =8> cuano 8 tiene acia OaP :or la ereca 4 se enota:or

>a8=

212>8=a8

>8=a8

LLL lim lim

>

→→=⇒==

+

Ueomtricamente

8

4

>8=

L

Álgebra 78



Eem:lo

+alcular8

[8[

08

lim

+→&olucin&i 8 → 0; ⇒ 8 0

+omo 8 0 ⇒ [8[ < 8

Reem:laano

108

1lim

8

8

08

lim

8

[8[

08

lim+++ →

=→

=→

L$+$"e )or &' $;#$erd'

&e ice ue " es el l!mite lateral e =8> cuano 8 tiene acia OaP :or la iuiera 4 seenota :or

>a8=

>8=a8

>8=a8

" lim lim

<

→→==

−

Ueomtricamente

8

4

>8=

"

TEOREMA:

El limite e e8iste 4 es nico? cuano 8 tiene al alor e aO? si 4 solo si e8isten los limiteslaterales 4 aem#s son iguales

>8=a8

>8=a8

>8=a8

limL limL lim+− →→→

==⇔=

Álgebra 79



Eem:lo

+alcular8

[8[

08

lim

→&olucin

)a imos ue 18

[8[

08

lim=

→ +

Aem#s 18

[8[

08

lim−=

→ −

Es ecir ≠→ + 8

[8[

08

lim

8

[8[

08

lim

−→

⇒ ∃→ + 8

[8[

08

lim

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

&ean 4 g unciones tales ue

L lim >8=a8

=→ 4 "glim >8=

a8=

→

Entonces

1>++lim

a8

=→

? constante

2> [ ] cL lim+c lim >8=a8

>8=a8

=

=

→→

3> a8lima8

=→

>"Lglim limg lim >8=

a8>8=

a8>8=>8=

a8±=±=±

→→→

Álgebra 80

8

4

1

B 1

8

[8[6 >8= =



5>"Lglim limg lim >8=

a8>8=

a8>8=>8=

a8⋅=⋅=⋅

→→→

6>

a8

0"&i?"

1

glim

1

g

1lim

>8=>8=a8

→

≠==→

G> 0"&i?"

L

glim

lim

g

lim

>8=a8

>8=a8

>8=

>8=

a8≠==

→

→→

$> [ ] nn

>8=a8

n

>8=a8 L6 lim6 lim == →→

9>n

n >8=a8

n>8=

a8L lim lim ==

→→ 7 one

L ≥ 0 ↔ n ∈ ;

L N 0 ↔ n es I"%AR

Eem:lo 1

Encuentre el alor e 38

82lim→

&olucin

3882lim

→ <

3882lim2

→ …. ……. =%or el *eorema 2>

<

38>8lim=2

→ …. ……. =%or el *eorema G>

< 2=3> ……………… =%or el *eorema 3>

∴

3882lim

→ < 162

Eem:lo

Encuentre el alor e8

98lim

2

8

+→

Álgebra 81



&olucin

898lim

2

8+

→ <

98lim

8lim

98lim 2

8

8

2

8

+

=

+→

→

→

< 9lim8lim

1

8

2

8 →→+

<

59

198lim

1 22

8=+=+

→

FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS

For+'! De"er+$'d'!+uano su calculo :uee ser :osible irecta =reem:lace irecto> o inirectamente=meiante transormaciones>7 entre ellos tenemos? =consieremos a < constante nonula>

∞==

∞=∞

∞=

=∞

=

==

∃=∞=

→

∞→

∞→

→

∞→

∞→

→

→

4

8lim0

4

8lim

aa

8lim

0a

08

alim

0a

0

0a

8

lim

08lim

048

4

08

8

8

08

08

For+'! Ide"er+$'d'!

&e ice e auellas e8:resiones ue :ara un alor e su=s> ariable=s> ao:tancualuier alor? o en too caso no es :osible acer su c#lculo.

Entre las cuales tenemos007177077

0

0 ∞∞−∞∞⋅∞∞

Álgebra 82

=no esta einia o no e8iste>

*ambin



Estuio e las ormas ineterminaas e la orma

0

0

&i la raccin>8=

>8=

g

:ara 8 < a? toma la orma

0

0? es :reciso transormarla :ara

Oleantar la ineterminacinP7 es ecir? sim:liicar al actor ue ace ineterminaa a lae8:resin. En este caso abr!a ue encontrar el actor =8 / a>.

B %ara ello se utilian criterios e actoriacin o racionaliacin? segn se reuiereel ocaso? :ara encontrar al actor =8 / a> ue es el ue ace ineterminaa lae8:resin.

B &eguiamente se sim:liica el actor =8 / a>.

B &e eala la e8:resin resultante :ara 8 < a.

B &i :ersiste la orma 0

0? se re:ten los :roceimientos anteriores asta lograr una

orma eterminaa.

Ee+)&o 1:

+alcular L <

+−

→ 2

23

08 8$83

828lim

So&#c$%:

&ustitu4eno 8 :or 0 se obtiene0

0

00

00=

+−

7 4 se tiene una ineterminacin. Analiano

la e8:resin :oemos actoriar 82 en el numeraor 4 enominaor.

$8328lim

>$83=8>28=8limL

20822

2

08 +−=

+−−=

→→7 ealuano :ara 8 < 0

1

$0

20L −=

+−

=

Ee+)&o 2:

Álgebra 83



Hallar18

18limL

08

−

−=

→

So&#c$%:

&ustitu4eno 8 :or 1 obtenemos 70

0

11

11=

−−

4 se tiene una ineterminacin.

*ransormano el enominaor

718

1lim

>18>=18=

18limL

1818 +=

+−

−=

→→ ealuano :ara 8 < 1

2

1

18

1L =

+

Álgebra 84




W Hallar el alor e los siguientes l!mites

1> 3

3883lim

→

2>8

98lim

2

8

+→

3>

+

−→ 2

23

08 8$83

828lim

>8

8lim

8 −−

→

5>683

83lim

2

2

38 +−

−

→

6>

5

1

5

1

lim0

−−

→

G>38

15828lim

2

38 −−+

→

$> G8

G86868

lim

23

G8 −−−−

→

9>18

18lim

18 −−

→

10>23882

18lim

218 −+−

−→

11>18

1888lim

2

23

18 −

−−+→

12>

18

18lim

2

3

18

−

−

→

13>181

8lim

308 −+→

1>1282081182

838lim

23

23

28 +++

−+−→

15>208118$8

1285868lim 23

23

18 −++

−++→

16>38838

28828lim

23

23

18 −−+

−−+−→

1G>8

$8lim

2

3

28 −

−−→

1$>25

5lim25 −

−→

19>18

18lim

G

5

18 +

+−→

Álgebra 85



20>

18

$>81=lim

2

3

18 −

−+

→

Álgebra 86




W Hallar el alor e los siguientes l!mites

1>2

23

08 88

838lim

+

−→

a> B1 b> B2 c> B3> B e> B5

2>28

$8lim

3

28 ++

−→

a> 9 b> 10 c> 11> 12 e> 13

3>2

16lim

2

−

−→

a> 16 b> 32 c> 6> 12$ e> (.A.

> 38

8158

lim

3

8 −

−−→

a> 0 b> 1 c> 2> 3 e>

5>8

688lim

2

2

28 −

−+→

a> 5 b> 25 c> 125> 625 e> (.A.

6>$8

8lim

3 2

$8 −−

→

a> 23 b> 13 c> 3> 53 e> $3

G>

8>8=lim

22

0

−+→

a> 8 b> 28 c> 38> 3 e>

$>3182

2183lim

18 −+−+

→

a>

3b>

2

3c>

2

33

>

33e> (.A.

9>8

2816lim

08

−+→

a>16

1b>32

1c>

1

>$

1e>2

1

10>

98988

898lim

23

3

38

−−+

−→

a>2

3b>6

3c>5

3

>

3e>G

3

Álgebra 87



11>23

2

08

8G8

828lim

−

+→

a>G

2−b>

G1−

c>G

1

>G

2e> (.A.

12>

88

88lim

3

2

08 +

+

→a> 0 b> 1 c> 2

>

1e>

3

13>88

1888lim

3

23

18 −

−−+→

a> 0 b> 1 c> 2> 3 e>

1>

81

88812lim

32

18 −

+++−

→

a>2

1b> 1 c>

3

2

>2

3e>

3

15>

2>82=

28lim

31

18 −

−

→

a>2

3b>3

2c>3

>

3e> (.A.

Álgebra 88



MISCELÁNEA

1> Eectuar11312

2562G16"−−−

++=

R:ta.

2> Eectuar1236

−−

R:ta.

3> Eectuar12

25

16−−

R:ta.

> Reucir

1n2n

1n3n

22

22R

++

++

+

+=

R:ta.

5> Hallar O8P enaa8 a>a8= =

R:ta.

6> Hallar O P en

R:ta.

$> &i 6b

1b =+

Hallar3

3

b

1a +

R:ta.

9> &im:liicar22

2

ba

2

baE

−−

+=

R:ta.

10> &i a ; b ; c < 28Hallar

2222 8>c8=>b8=>a8=" +−+−+−=R:ta.

11> &i a3 ; b3 < 10a ; b < 5

Hallar a b

R:ta.

Algebra 3er Año

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