7329777-Concreto-Armado-CaculodeVigas (1)

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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 1

3 Clculo das Vigas

3.1 Introduo

Dando seqncia ao projeto do edifcio exemplo, partiremos agora para o clculo edimensionamento das vigas.

3.1.1 Aes

As aes geram solicitaes nas estruturas. Estas solicitaes so determinadas atravsde teorias de clculo estrutural. No caso geral, tem-se:

F = Fk Fd = fFk Sd

ou, em estruturas de comportamento linear,

F = Fk Sk Sd = fSk .

No caso da flexo simples, tem-se: Fd Md.

3.1.2 Resistncias

As resistncias so determinadas atravs de teorias apropriadas, a partir dos dados daseo transversal e das caractersticas mecnicas dos materiais.

No caso da flexo simples tem-se, como dados:

fck (resistncia do concreto);fyk (resistncia da armadura); edimenses relativas da seo transversal (concreto e armadura).

Atravs de teoria apropriada determina-se o momento resistente ltimo, Mu

3.1.3 Verificaes de Segurana

Existe segurana adequada quando verificada a condio: Md Mu. Por razes deeconomia, faz-se Md = Mu.


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3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexo

Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:

se As = 0, ou muito pequena ruptura frgil (brusca) por trao no concreto;

se As for muito grande (pequena deformao s) ruptura frgil (brusca) poresmagamento do concreto comprimido; e se As for adequada ruptura dctil (com aviso), com escoamento da

armadura e acompanhada de intensa fissurao da zona tracionada

3.2 Hipteses de Clculo na Flexo

Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar asseguintes hipteses de clculo:

a) Manuteno da seo plana ;

As sees A e B passam para A e B, quando fletidas, permanecendo planas conforme afigura a seguir:

b) Aderncia perfeita entre concreto e armadura;

Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformaoda armadura s admitida igual deformao da fibra de concreto c , junto a estaarmadura.

c) Tenso no concreto nula na regio da seo transversal sujeita a deformao dealongamento;

d) Diagramas tenso-deformao (de clculo) no ao

ao de dureza natural: este ao apresenta patamar de escoamento conforme afigura d1.


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Figura d.1

Es = 21.000 kN/cm2

fyk = valor caracterstico da resistncia da armadura correspondente ao patamar deescoamento (resistncia caracterstica no escoamento)s = 1,15 (coeficiente de ponderao da resistncia da armadura)fyd = fyk / s = valor de clculo da resistncia da armadura correspondente ao patamar deescoamentoyd = fyd / Es = deformao correspondente ao incio do patamar de escoamento

Os aos desta categoria so os seguintes:

TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm

2) ydCA25 25 21,74 0,00104CA32 32 27,83 0,00132CA40A 40 34,78 0,00166CA50A 50 43,48 0,00207

Os aos so designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistnciacaracterstica no escoamento em kN/cm2.

ao encruado (CA50B e CA60B)

Figura d.2

At o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre A e B, admite-se diagrama em parbola do 2o grau; e, alm do ponto B, um patamar.

Admite-se que o diagrama tenso-deformao na armadura seja o mesmo, na trao e nacompresso.

sdfyk

fyd

yd 0,010 sd

arctg Esdiagrama de

sdfyk

fyd

yd 0,010 sd

arctg Esdiagrama de

0,002

AB


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e) Diagramas tenso-deformao (de clculo) no concreto

diagrama parbola-retngulo

Figura e.1

c = 1,4 (coeficiente de ponderao da resistncia do concreto)fcd = fck / c0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistncia do concreto para cargas delonga durao (efeito Rusch)

diagrama retangular simplificado

Figura e.2

x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,85 , quando a largura da zona comprimida no diminui em direo bordacomprimida (seo retangular); em caso contrrio usar 0,80.

f) Domnios de Deformao,

O estado limite ltimo convencional ocorre quando o diagrama de deformao passa porum dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).

Figura f.1

cd

0,85fcd

0,002 0,003

c

parbola do 2o

atamar

As

Mudx

k f

0,8x

deformaodeestado limite

h

d

As

0,0035

yd0,010

A

B

x34x23

D4D3

D2

43

2Mud


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Sendo:

d = altura til da seo = distncia do CG da armadura borda comprimidax = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)

Diz-se que o diagrama de deformao do tipo 2 est no domnio de deformao 2

quando a altura da zona comprimida obedece condio:

x x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d

Por sua vez, o diagrama de deformao encontra-se no domnio 3 de deformaoquando a altura da zona comprimida obedece condio:

x23 x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd)

Analogamente, o diagrama de deformao est no domnio 4 quando:

x34 x d.

A seo que atinge o ELUlt. nos domnios D2 e D3 dita sub-armada ou normalmentearmada. Quando o ELUlt. atingido no D4, a seo dita superarmada. Trata-se desituao antieconmica, pois a armadura no explorada na sua plenitude. Procura-seevitar o dimensionamento neste domnio.

3.3 Dimensionamento Flexo

3.3.1 Seo Retangular Flexo

A seo retangular com armadura simples caracterizada da seguinte forma:

a zona comprimida da seo sujeita a flexo tem forma retangular; a barras que constituem a armadura est agrupada junto borda tracionada e

pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade

Resultantes das tenses:

no concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcdna armadura: Rsd = Assd

hd

x 0,8x

0,85fcdRc

Rsd

0 4

d - 0,4x

Mud

As u

sd


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Equaes de equilbrio:

Fora: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Assd (1)Momento: Mud = Rcd (d-0,4x) ou Mud = Rsd (d - 0,4x)

Substituindo o valor das resultantes de tenso, vem:

Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) (2)Ou

Mud = Assd(d - 0,4x) (3)

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletorsolicitante em valor de clculo). Normalmente, pode-se adotar d 0,9 h. Dessa forma, aequao (2) nos fornece o valor de x:

x dM

bd f

d

cd

=

1 25 1 1

0 4252

,

,

Com o valor de x, tem-se o domnio de deformao correspondente, podendo ocorrer asseguintes situaes:

I) domnio 2, onde x x23 = 0,259 d; e sd = fyd

II) domnio 3, onde x23 x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd); e sd = fyd

III) domnio 4, se x x34; neste caso, convm alterar a seo para se evitar a peasuperarmada; esta alterao pode ser obtida da seguinte forma:

aumentando-se h (normalmente, b fixo pois depende da espessura da parede onde aviga embutida); adotando-se armadura dupla.

Obs.: o aumento da resistncia do concreto (fck), tambm permitiria fugir dodomnio 4.

Para a situao adequada de pea sub-armada tem-se, sd = fyd . Assim, a equao (3)nos fornece

)x4,0d(f

M

)x4,0d(

MA

yd

d

sd

ds

=

=

3.3.2 Seo T

Para o clculo de uma viga de seo T, deve-se inicialmente determinar uma larguraque contribui para resistir ao esforo solicitante. Esta largura de contribuio da mesa, b f,mostrada na figura a seguir.


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Figura 3.3.2.1

Onde:

/2b

a/10

balanco)emlajepara(6hh8

b

2

ff

1

onde

=

contnuavigadeinternovaoem0,6

contnuavigadeextremovaoem0,75

isostaticavigaem

a

l

l

l

sendo lo vo correspondente da viga.

Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual espessura da laje (hf), tem-se umaseo retangular com armadura simples, j vista. Quando x for maior do que h f, a formada zona comprimida (sujeita tenso 0,85fcd) tem a forma de um T. A anlise da seopode ser feita como se indica a seguir.

Figura 3.3.2.2O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retngulos (1 e 2).As resultantes de tenso sobre as partes 1 e 2 valem:

Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1)Resultante do concreto na alma: Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)

bf

bw

Rsd

d

hfMud

1 12

x 0,8x

0,85fcd Rcfd

Rcwd

uAs

As

bf

b1 bw

hf 0,8

0,85fc0,85fcd

Mud


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A equao de equilbrio de momento fornece:

Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd

ou

Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que uma seo retangular bw por d.Portanto

=

cd

2

w

cwd

fdb425,0

M11d25,1x

Com a posio da linha neutra, obtm-se a resultante do concreto na alma, R cwd, atravsde (2).

A equao de equilbrio de fora permite escrever:

Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd

De onde se obtm a rea de ao, As, necessria para resistir ao esforo solicitante.

3.3.3 Seo Retangular com Armadura Dupla

Quando se tem, alm da armadura de trao As , outra As posicionada junto borda

oposta comprimida, diz-se que se tem seo com armadura dupla. Normalmente, ela empregada para se conseguir uma seo sub-armada sem alterar as dimenses da seotransversal. A armadura comprimida As introduz uma parcela adicional na resultante decompresso permitindo, assim, aumentar a resistncia da seo.

Seja o esquema de clculo mostrado a seguir:

Figura 3.3.3.1

Equilbrio de fora: Rsd = Rcd + RsdAssd = 0,68 b x fcd + Asdsd (a)

h d

d

As

As

b

xs

c

0 4d

Rcd Rsd

Rsd

Md


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Equilbrio de momento: Md = Rcd (d - 0,4 x) + Rsd (d - d)Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + Asdsd (d - d) (b)

Tem-se duas equaes, (a) e (b) e trs incgnitas: x, As e As (pois, as tenses nasarmaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ouigual a x34), por exemplo, x = d/2.

Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e As como se indica a seguir. Asequaes (a) e (b) sugerem a decomposio mostrada na figura seguinte.

Figura 3.3.3.2

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momentoresistente, designada por Mwd:

Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)eRsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).

Como sd = fyd (pea sub-armada), tem-se

As1 = Rsd1 / fyd.

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente

Md = Md - Mwd.

Tambm,

Md = Rsd (d - d) = Asdsd (d - d)e

Md = Rsd2 (d - d) = As2sd (d - d)

que permitem determinar as reas restantes de armadura, As2 e As.

Rsd = Rsd2 = Md / (d - d)eAs2 = Rsd2 / fyd.

O clculo de As, requer a determinao da tenso sd.

x

c

0,4x dRcd Rsd

Rsd1

Mwdd

b

d

d

As

As

Rsd2

xsMd

c

As1d-

d-d


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Com x = x, tem-se, no domnio 3, c = 0,0035 e no domnio 2:

c = 0,010 x / (d x) (por semelhana de tringulos).

Logo:

s = c (x - d) / x

que permite obtersd (no diagrama x da armadura).

Finalmente:

As = Rsd / sdeAs = As1 + As2.

3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento

3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliabsica de Mrsch)

O panorama de fissurao, que se implanta na viga por ocasio da ruptura, sugere ummodelo em forma de trelia para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta trelia constituda de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto,e banzo inferior tracionado correspondente armadura longitudinal de flexo), diagonaiscomprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e penduraiscorrespondentes armadura transversal. Esta armadura , em geral, constituda deestribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seueixo. As cargas atuantes na viga so substitudas por foras concentradas equivalentesaplicadas aos ns da trelia.

viga real modelo

Figura 3.4.1.1

s s

45z

Rcd

Rsd

pd pd . s


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Os esforos na trelia mltipla podem ser estimados atravs de uma trelia mais simples,isosttica, fig. 3.4.1.2, dita trelia clssica ou trelia de Mrsch. Cada pendural nestatrelia representa (z/s) estribos, da trelia original, o mesmo ocorrendo com a diagonalcomprimida.

Figura 3.4.1.2

Do equilbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se:

Rswd = Vd e R Vcwd d= 2

Figura 3.4.1.3

a) Tenso mdia na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Figura 3.4.1.4

z

J

Rsd1 Rsd

Rswd=VdRcw

Rcd

RcwVd

Rsd Rcw Rswd=VdRsd1

Rsd

z

45z=d/1,1

Rcd

Rsd

z

z

bwh1


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Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tenso mdia na bielacomprimida dada atravs de:

cwd

cwd

w

d

w

d

w

o

R

b h

V

bz

V

b z= = = =

1

2

2

22 , sendo

o

d

w

V

b z= .

Como z d/1,15, tem-se, tambm:

cwd

cwd

w

d

w

d

w

d

w

d

w

wd

R

b h

V

bz

V

b z

V

bd

V

b d= = = = =

1

2

2

2 2

115

2 3 2 3

,

, ,

onde

wd

d

w

V

b d= .

b) Tenso mdia no estribo

Figura 3.4.1.5

Sendo Asw a rea total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2ramos:

Asw = 2 As1 (As1 = rea da seo da armadura do estribo).

Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se:

swdswd

sw

d

sw w

w

d

w

sw

w

o

w

R

z

s

A

V

z A

s

b

b

V

b zA

b s

= =

=

=

ou

swd

swd

sw

d

sw

d

sw

d

sw w

w

d

w

sw

w

wd

w

R

z

sA

V

d A

s

V

d A

s

V

d A

s

b

b

V

b dA

b s

=

=

=

=

=

115

115 115

115 115

,

, ,

, ,

z

z

s

tAs1

estrib


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onde:z / s = nmero de estribos no comprimento z de viga e

w

w

w

A

b s= = taxa geomtrica de armadura transversal.

3.4.2 Dimensionamento

a) Verificao do Concreto

Admite-se que a segurana de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendidaquando

wd wu cd

f = 0 3, (no maior do que 4,5 MPa)

Com, db

V

w

d

wd = (Vd = fV)

De resultados de anlises experimentais, permite-se considerar na flexo simples:

c ck

f= 0 15, (em MPa).

b) Clculo dos Estribos

Dessa forma, atribuindo tenso de trao nos estribos o valor fywd, eles podem serquantificados atravs da expresso:

w

wd c

ywdf

= 115,

Onde fywd = 43,48 kN/cm2 para os aos CA50.

3.4.3 Arranjos das armaduras

Tambm para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintescondies:

a) Armadura transversal mnima (estribo mnimo)

w

para o CA CA

para o CAmin

, /

,=

0 14% 50 60

0 25% 25


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A este estribo mnimo corresponde uma fora cortante V*.

V*b d (f )

1,61

w ywd wmin c= +

.

b) Tipo de estribo

Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw 40 cm) e estribos de 4 (ou mais)ramos se bw > 40 cm.

c) Dimetro dos estribos (t)

512

mmb

t

w

d) Espaamento dos estribos (s)

Recomenda-se obedecer s seguintes condies:

s

cm

d

CA

CA

30

2

21 25

12 50 60

/

( )

( / )

As duas ltimas condies so aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexo(As).

e) Cobertura do diagrama de fora cortante

Costuma-se garantir a resistncia ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes portrechos de viga. Desta forma, resulta a cobertura em degraus do diagrama de foracortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3.1ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifcios, pode-se adotar, em cada vo, 3trechos: um central correspondente armadura mnima (wmin e V*), e mais dois trechos,adjacentes aos apoios do vo com estribos calculados para as respectivas forascortantes mximas.


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Fig. 3.4.3.1

Sees prximas aos apoios

Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode sermenor do que aquele indicado pelo clculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga(prxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar aarmadura transversal.

A NBR-6118 prope as regras seguintes para o clculo da armadura transversal, quandoa carga e a reao de apoio forem aplicadas em faces opostas da pea, comprimindo-a:

no trecho entre o apoio e a seo situada distncia h/2 da face deste apoio, afora cortante oriunda de carga distribuda poder ser considerada constante eigual desta seo (fig. 3.4.3.2);

Figura 3.4.3.2

h/2 h/2 h/2

h

dia rama de V

diagrama de

V corrigido

p

V*

V*

trecho com wmin


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a fora cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distncia a (a 2h) do centro do apoio poder, neste trecho de comprimento a, ser reduzida

multiplicando-se pora

h2

, fig. 3.4.3.3.

Figura 3.4.3.3

Convm frisar que estas redues s podem ser feitas para o clculo da armaduratransversal. A verificao do concreto (wd) deve ser feita com os valores originais, semreduo.

3.4.4 Armadura de Costura nas Abas das Sees Transversais

Normalmente, as abas das sees transversais esto submetidas a solicitaestangenciais. Junto ligao (aba-alma) das sees das vigas esta solicitao atinge ovalor mximo. Esta solicitao exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Emvigas usuais de edifcios, podem ocorrer duas situaes onde estas armaduras sonecessrias, fig. 3.4.4.1. A primeira situao corresponde s sees dos vos com abascomprimidas de sees T (flexo nos vos das vigas normais) e, a outra, s sees deapoios internos das vigas contnuas, onde a armadura de flexo distribuda tambm naslajes (abas tracionadas).

Figura 3.4.4.1 - Situaes usuais

bf

armaduras rea comprimida naflexo

Se o 1 - Vo

rea comprimidana flexo

armaduras de flexo

Seo 2 - ApoioSeo 1 - Vo

Seo 2 - Apoio

p

Pa

h

VVred = V [a / (2 h)]


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a) Aba comprimida

A fig. 3.4.4.2 apresenta a situao tpica correspondente seo T submetida flexo.

Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida

Considere-se a aba lateral de dimenso b, fig. 3.4.4.3.

Figura 3.4.4.3

A fora cortante para determinao da armadura transversal da aba necessria dadapor:

V bb

Vfdf

d=

Da expresso de cisalhamento, tem-se que:

fo

f

d

f

fd

f

fd

f

b

bV

h z

V

h z

V

h d=

= =115,

(a)

bf

d

Rcd

Rsd

z

x

0,85 fcd

As

b bf

b

Rcd

Rcd+dRc

Rfd

Rfd+dRfd

fohf


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Comparando-se a expresso do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliaclssica):

o

d

w

V

b d=

115,,

com a expresso (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a fora cortante Vfdatuando na seo fictcia de dimenses hfx d. Logo, a armadura transversal, necessriano modelo da trelia clssica, dada por:

f

fo

ywdf

=

onde f

sf

f

A

h=

sendo Asf

a rea total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidadede comprimento, fig. 3.4.4.4.

Figura 3.4.4.4

Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente paragarantir a segurana da ligao entre a aba e a alma da viga. Por fim, deve-se tambmverificar:

1)V

h dffd

f

cd 0 3, (verificao da compresso na biela diagonal)

2) f 0,14% (taxa mnima de armadura transversal para o CA50/60).

b) Aba tracionada

A fig. 3.4.4.5. apresenta a situao usual, correspondente a sees de apoio interno devigas contnuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionadade flexo distribuda, tambm, nas abas.

1

hf

Asf


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Figura 3.4.4.5 - Aba tracionada

Considere-se a aba indicada na fig. 3.4.4.6.

Figura 3.4.4.6 - Aba lateral

A cortante de clculo resultante na aba considerada dada pela expresso mostrada aseguir:

VA

AV

fd

sf

s

d=

onde:Asf= rea da seo de armadura de flexo contida na aba.

Analogamente ao caso anterior, tem-se que:

fo

sf

s

d

f

fd

f

fd

f

A

A V

h z

V

h z

V

h d= = =

115,(b)

Comparando-se a expresso do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliaclssica) com a expresso (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a fora cortanteVfd atuando na seo fictcia de dimenses hf x d. Logo, a armadura transversal,necessria no modelo da trelia clssica, dada por:

rea comprimida na flexo

armaduras deflexo (As)

parte da armadura de flexo,posicionada numa aba lateral (Asf)

0,8

z

Rsd

Rcd

Md

armaduras de costura

Rsd

Rsd+dRs

Rsf

Rsfd+dRsf

fohf

Rcd

z


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f

fo

ywdf

=

onde f

sf

f

A

h=

sendo Asf

a rea total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidadede comprimento.

Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente paragarantir a segurana da ligao entre a aba e a alma da viga.Deve-se, tambm, verificar

1)V

h dffd

f

cd 0 3, (verificao da compresso na biela diagonal)

e

2) f 0,14% (taxa mnima de armadura transversal para o CA50/60).

3.4.5 Armadura de Suspenso

Normalmente, os apoios das vigas so constitudos pelos pilares. Neste caso, diz-se queos apoios so do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apiam em outras vigas;constituem os apoios do tipo indireto.Quando as reaes so aplicadas junto face superior da viga de apoio, no existe anecessidade de armadura de suspenso. Esta situao ilustrada na 3.4.5.1.

Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiadasobre uma viga de grande altura

A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio(ha), a necessidade de armadura de suspenso para a reao total, isto , Z d = Rd.

ha

h

viga de

viga


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Figura 3.4.5.2 - Vigas altas.

Numa situao intermediria, ilustrada na fig. 3.4.5.3, observa-se necessidade desuspender apenas parte da reao, uma vez que o restante pode ser transferido para atrelia, que simula a viga de apoio, atravs do esquema usual.

Figura 3.4.5.3 - Vigas de altura intermediria

Sendo Rd a reao de apoio, a fora de suspenso pode ser estimada em

Zd = Rd (h / ha) Rd

Onde:h = altura da viga apoiadaha = altura da viga de apoio.

A armadura de suspenso ser dada por

Asusp = Zd / fywd.

A armadura de suspenso Asusp pode ser distribuda na zona de suspenso, junto aocruzamento das vigas, conforme a figura 3.4.5.4.

ha

h

viga de apoio

viga

hah


22/73


Figura 3.4.5.4 - Zona de suspenso

Deve-se observar que a zona de suspenso j contm alguns estribos normais das vigas.Estes estribos podem ser contados na armadura de suspenso.

3.5 Dimensionamento Toro

3.5.1 Toro de Equilbrio e Toro de Compatibilidade

O momento toror em vigas usuais de edifcios pode ser classificado em dois grupos:momento toror de equilbrio (fig. 3.5.1.1) e momento toror de compatibilidade (fig.3.5.1.2).

Figura 3.5.1.1 - Toro de equilbrio

ha / 2ha / 2viga de apoio

h / 2

viga apoiada

a

bl= a+b

A

B

P

c

PP.c

TA=P.c.b / l

TB=P.c.a / l

l

A

B

c

TA=m l/ 2TB=m.l/ 2

p

m=p.c /2


23/73


Figura 3.5.1.2 - Toro de compatibilidade

3.5.2 Toro de Saint Venant

Considere-se um trecho de viga de seo retangular sujeito a momento toror T

(fig.3.5.2.1). As extremidades A e B apresentam rotaes em sentidos opostos e assees transversais deixam de ser planas. Diz-se que h empenamento da seo devido toro. Quando a toro ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torode Saint Venant e aparecem tenses de cisalhamento na seo transversal que,naturalmente, equilibram o momento toror aplicado.

Figura 3.5.2.1

Normalmente, as vigas esto sujeitas a restries parciais ao livre empenamento porcausa das interferncias das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo,aparecem tenses normais (longitudinais) adicionais que se somam s tenses devidas flexo. Nas vigas de concreto armado, essas tenses adicionais costumam ser pequenas

e tendem a diminuir com a fissurao do concreto (estdio II). Essas restries aoempenamento provocam, tambm, pequenas alteraes nas tenses de cisalhamento deSaint Venant. Normalmente, desprezam-se essas alteraes provenientes doimpedimento parcial do empenamento. Assim, o dimensionamento toro pode ser feitoconforme a teoria de toro de Saint Venant.

A

B

P A

B

P

TA

TB

R

TR

a

b

TA=T.b / l

TB=-T.a / l

TT

TT


24/73


3.5.3 Arranjo Usual das Armaduras

Usualmente, adota-se a disposio das armaduras compostas de estribos e barraslongitudinais que, alm da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada pararesistir toro. Os estribos devem apresentar espaamentos pequenos e as barraslongitudinais devem ser distribudas uniformemente ao longo do permetro da seotransversal.

Tambm devem ser observadas as seguintes recomendaes:

a) armadura longitudinal

dimetro da armadura longitudinal maior ou igual ao dimetro do estribo (no menor doque 10 mm); garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto s extremidades dotrecho sujeito toro, pois a trao constante ao longo da barra; distribuio uniforme da armadura longitudinal no permetro da seo.

b) armadura transversal (estribos)

s

b

h

cm

t

/

/

2

3

20

3.5.4 Dimensionamento

A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente aomomento toror de equilbrio. O momento toror de compatibilidade que aparece junto aocruzamento das vigas (apoios indiretos) , normalmente, pequeno e pode ser ignorado.

a) Verificao do concreto

Deve-se tertdtu = 0,22 fcd (no maior do que 4 MPa).

Na presena simultnea de fora cortante deve-se verificar tambm:

wd

wu

td

tu

+ 1.

b) Estribos

A

s f

T

A f

s

t

d

yd

d

e yd

1

2= =

.


25/73


c) Armadura longitudinal

yde

d

yd

ds

fA2

T

fu

A=

=l

3.6 Verificao em Servio

Todos os clculos e verificaes dos estados limites de servio devem ser efetuados noEstdio II. Portanto, faz-se necessrio determinar o produto de rigidez como tambm omomento de inrcia nesse Estdio, conforme apresentado a seguir:

a) Seo Retangular com Armadura Simples

Seja :

c

s

e E

E

= ,

Onde o mdulo de deformao do ao (Es) fixado em 210.000 Mpa e o mdulo de

deformao do concreto tomado atravs da expresso a seguir:

)MPa(5,3f66009,0E ckc += .

A posio da linha neutra resultante calculada atravs de:

xA

b

bd

A

s e

s e

=

+ +

1 1

2

Em sees retangulares com armadura simples, o produto de rigidez EIII calculadoatravs de:

E I A E d x zc II s s

= ( )

Onde z = d -3

x, de acordo com a figura a seguir:

b

h d

Rc

Rs

x

c

s

c

s

As

M

x/3

z=d-x/3

Figura 3.6.1


26/73


Dividindo ambos os termos por Ec, tem-se que:

)3/xd)(xd(AI esII =

b) Seo Retangular com Armadura Dupla

Na condio de armadura dupla, tem-se o seguinte panorama mostrado na figura aseguir:

b

hd

Rc

Rs

x

c

s

c

s

As

M

x/3

z=d-x/3

A's d' 's

R's

Figura 3.6.2

A posio da linha neutra determinada atravs de:

( )x dd

d ondeA

bde d d

e d d

d d

d d

d

s= + + ++

+

+

=

'

'

' '

''

'1 1

2 1

Com ela, obtm-se as seguintes expresses:

Produto de rigidez flexo no Estdio II:

E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s

= + ( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3

Momento de Inrcia no Estdio II:

Ibx

A d x A x dII s e s e

= + + 3

2 2

3 ( ) ( )

c) Seo T com Armadura Simples

A equao de equilbrio nos leva seguinte expresso da posio da linha neutra:

[ ]b x

b b h A x b bh

A dwf w f s e f w

f

s e

2 2

2 20+ + =( ) ( )


27/73


Com ela, podemos tambm determinar o momento de inrcia no Estdio II, atravs de:

Ib x b b x h

A d xII

f f w f

s e=

+

3 3

2

3 3

( )( )( )

3.6.1 Verificao das Flechas

a) Flecha de carga de curta durao (aq)

q* = 0,7 q

Por exemplo, para carga distribuda uniforme, a flecha no meio do vo dada por:

IIc

4

qIE

*q

384

5a

l=

Em demais situaes (carga concentrada, estrutura em balano, etc.) podem ser obtidasatravs das referncias bibliogrficas adotadas neste curso, lembrando que o produto derigidez deve ser aquele calculado no Estdio II. O mesmo deve ser considerado constanteem todo o vo, e igual ao valor correspondente no ponto de momento fletor mximo.

b) Flecha de carga de longa durao (ag)

)21(aa gog += , com ago igual flecha imediata para a carga g calculada conforme escrito

acima, edx= .

As flechas, assim determinadas, devem ser limitadas a:

aq l / 500;

ag + aq l / 300.

Conforme a NBR-6118, para as vigas usuais de edifcios de seo retangular e T,consideram-se atendidas as verificaes de flecha quando

d l

2 3

(altura til)

onde2 = 1,0 nas vigas biapoiadas,

1,2 nas vigas contnuas,1,7 nos vos biengastados,0,5 nos balanos.

3 = 17 para o ao CA50,25 para o ao CA25.


28/73


3.6.2 Verificao da Fissurao

Segundo a NBR-6118, a fissurao considerada nociva quando a abertura das fissurasna superfcie do concreto ultrapassa os seguintes valores (wlim):

a) 0,1 mm para peas no protegidas (peas sem revestimento), em meio agressivo;b) 0,2 mm para peas no protegidas, em meio no agressivo;c) 0,3 mm para peas protegidas (peas revestidas).

Supe-se que, com razovel probabilidade, a condio acima ocorra quando se verificamsimultaneamente as seguintes desigualdades:

wE

b

s

s r

=

+

1

10 2 0 75

445

,> wlim

e

=

s

2s

tkb Ef

3

75,02

1

10

1w >wlim

Com:

cr

sr A

A= ;

)3/xd(A

M

s

s = , com x calculado no Estdio II;

b = coeficiente de conformao da armadura (1 em barras lisas e entre 1,5 a1,8 nas barras de alta aderncia)

Define-se Acr (rea crtica) a rea equivalente de concreto tracionado envolvido nafissurao conforme ilustra a figura a seguir:

Determinao da rea Crtica

7,5

7,5

7,5

7,57,5

7,57,5

7,5

c < 7,5

c < 7,5

a(a < 15 )

Acr


29/73


3.7 Arranjo das Armaduras

3.7.1 Aderncia, Ancoragem e Emendas

3.7.1.1 Introduo

Considere-se a armadura mergulhada na massa de concreto, conforme mostra a fig. 1.1.

Figura 1.1

Se o comprimento mergulhado no concreto lb for pequeno, a barra poder ser extraidado concreto por trao; se este comprimento for superior a um valor particular lb1 , serpossvel elevar a fora de trao at escoar esta armadura. Diz-se que a armadura estancorada no concreto. Este valor lb1 chamado de comprimento mnimo de ancoragemreto sem gancho de extremidade.

O fenmeno envolvido na ancoragem de barras bastante complexo e est ligado aderncia, entre o concreto e a armadura, em uma regio micro-fissurada do concretovizinho barra. O efeito global da aderncia composto por: a) adeso (efeito de cola); b)atrito de escorregamento e c) engrenamento mecnico entre a superfcie (irregular) daarmadura com o concreto. O escorregamento envolvido em b) ocorre junto s fissuras,digamos numa viso microscpica e, portanto, localizada. Numa viso macroscpica,como na teoria usual de flexo, admite-se a aderncia perfeita entre os dois materiais.Esta considerao torna-se razovel pois ao longo da distncia envolvida na anlise deuma seo, da ordem da dimenso da seo transversal da pea, incluem-se vriasfissuras que acabam mascarando os escorregamentos localizados junto s fissurasindividuais.

3.7.1.2 Modelo para determinao do comprimento de ancoragem lb1

Para a avaliao de lb1 , costuma-se utilizar o modelo indicado na figura 2.1. Assim,

Z A f f d s yd yd bu b= = =

2

14

l

resultando

lbyd

bu

f1

4=

Z

Zd = As fyd

b

lb

lb1


30/73


Figura 2.1

A tenso ltima de aderncia bu

funo da posio da armadura ao longo da altura deconcretagem da pea; da inclinao desta armadura; da sua conformao superficial(barras lisas e barras de alta aderncia com mossas e salincias); e da resistncia doconcreto (fck). A considerao das duas primeiras variveis feita atravs do conceito dezonas de aderncia: zona de boa aderncia (zona I) e zona de aderncia prejudicada(zona II).

3.7.1.2.1 Zonas de aderncia

A figura 2.2 apresenta as situaes correspondentes s zonas I e II.

Figura 2.2

> 45o

h 30 cmh

30 cm

h > 30 cmh 6030 cm

h > 60

Zona I

Zona II

lb1Zd = As fyd

bu


31/73


A aderncia depende, principalmente, de um bom envolvimento da armadura peloconcreto. A vibrao do concreto provoca a movimentao da gua, em excesso namistura, para as partes superiores da pea. Esta gua tende a ficar presa, em forma degotculas, junto s faces inferiores das armaduras (partes slidas em geral). Com o tempoaparecem no seu lugar vazios que diminuem a rea de contato da barra com o concreto.Isto justifica o fato das barras horizontais posicionadas nas partes superiores das peas

estarem em condies prejudicadas de aderncia (zona II, ou de aderncia prejudicada);em contraposio, as partes inferiores das peas constituem zonas de boa aderncia(zona I). Quando a espessura da pea pequena (h 30 cm, para finalidade prtica) aquantidade de gua de exudao pequena, e no chega a reduzir em demasia aaderncia.

Figura 2.3

3.7.1.2.2. Valores de bu

a) Zona I (de boa aderncia)

- barras lisas:

bu cdf MPa= 0 28, ( )

- barras de alta aderncia:

bu cd

f MPa= 0 42 23, ( )

Alguns valores de lb1:

fck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a. ader.)

13,5 63 58 15 59 54 18 55 47 20 ### 44

b) Zona II (zona de aderncia prejudicada)

Estimam-se os comprimentos de ancoragem para a zona II como sendo 50% superioresaos correspondentes zona I.

armadur

gotas de

guaacumuladas

vazio

deixadopelas gotas


32/73


Nota 1: normalmente, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) maior do que a calculada(As,calc ou simplesmente, As). Neste caso, o comprimento de ancoragem pode ser reduzidocomo se indica a seguir:

l l

l

b b

s calc

s ef

bA

A cm

=

1

1 3

10

10

,

,

/

Nota 2: nas barras comprimidas, o comprimento mnimo de ancoragem lb c1 pode serestimado atravs da expresso adotada para as barras tracionadas; para este clculo,deve-se utilizar a tenso efetiva de compresso. O valor obtido deve, ainda, obedecer sseguintes condies:

l

l

b c

b

cm

1

10 6

10

15

,

3.7.1.3 Utilizao de ganchos padronizados nas extremidades da barra tracionada

Os ganchos permitem reduzir o comprimento de ancoragem. Pode-se adotar as seguintesredues sobre os valores de lb1 (sem ganchos):

a) barras lisas: 15 l lb c gancho b1 1 15, / =

b) barras de alta aderncia:10 l lb c gancho b1 1 10, / = .

Figura 3.1

Nota 1: as barras lisas tracionadas de dimetro > 6,3 mm devem ser utilizadas semprecom ganchos de extremidade.

Nota 2: as barras comprimidas devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade.

3.7.1.4 Comprimentos de ancoragem de feixes de barras

As armaduras de concreto armado podem ser agrupadas em feixes de 2 ou 3 barras.Pode-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base nasexpresso utilizada para barras isoladas, substituindo-se o dimetro da barra pelodimetro equivalente do feixe (e). O valor obtido deve ser aumentado de 20% no caso defeixe de duas barras e, de 33% para mais de duas barras.

lb1

lb1

- 15 - bar. lisas

lb1 - 10 - bar. de alta


33/73


e n= n =2 n=3

n = nmero de barras no feixe.

3.7.1.5 Armadura transversal nas ancoragens

No comprimento de ancoragem de uma barra (ou feixe), deve ser disposta armaduratransversal de costura ao longo do tero extremo deste trecho, capaz de resistir a esforoigual a 40% do esforo transmitido pela barra ancorada; todas as barras que cruzam oplano de possvel fissurao, no trecho de ancoragem, podero ser consideradas naquelaarmadura.

Em geral, esta armadura transversal constituda pelos ramos horizontais dos prpriosestribos da viga.

Alm disso, logo depois das extremidades das ancoragens de barras comprimidas deverhaver armadura transversal destinada a proteger o concreto contra os efeitos do esforoconcentrado na ponta, a qual ser dimensionada para resistir a um quinto do esforoancorado, podendo nela ser includos os estribos a existentes.

3.7.1.6 Armaduras mergulhadas no concreto

Quando a armadura mergulhada na massa de concreto for solicitada deformao maiorou igual a

yd(atravs da aderncia), pode-se imaginar o diagrama de tenso mostrado

na figura 6.1. Assim, a tenso cresce desde 0, junto extremidade da barra, at fyd naseo distante lb1 daquela extremidade.

Figura 6.1

lb1

s fyd

1barra 1

diagrama de tensoadmitida para barra 1

lb1

lb1 3/

Ast


34/73


3.7.1.7 Emendas por traspasse

A necessidade de emendas pode ocorrer, por exemplo, em peas de grande vo queultrapassa o comprimento mximo (de fabricao) das armaduras de concreto armado.Em geral, estas emendas podem ser feitas por: traspasse, solda ou luva prensada. muito utilizada a emenda por traspasse por ser simples e dispensar a utilizao de

equipamentos especiais. Consiste em superpor as extremidades, a serem emendadas,em uma extenso dita comprimento de emenda ( lv ).

Conforme a NBR-6118, o comprimento de emenda pode ser definido em funo docomprimento de ancoragem lb atravs da seguinte expresso:

l lv b= 5 .

onde 5

depende da distncia transversal (a) entre eixos de emendas mais prximas namesma seo e da proporo de barras emendadas na mesma seo. Os valores de

5

so definidos no tem 6.3.5.2 da citada Norma. Consideram-se como na mesma seotransversal as emendas que se superpem ou cujas extremidades mais prximas estejamafastadas de menos que 0,2 lv .

Ao longo do comprimento de emenda devem ser dispostas as armaduras transversais decostura, previstas junto s ancoragens de barras. Os ramos horizontais dos estribospodem servir para esta finalidade.

lv

< 0,2 lv

l lv b= 5

lv / 3 lv / 3

Ast Ast

lv lv

Figura 7.2 - emendas consideradas namesma seo

Figura 7.2 Emendas por traspasse


35/73


Valores de 5:

5Distncia transversal Proporo de barras emendadas na mesma seo

transversal

entre emendas (a) 1/5 > 1/5 1/4 > 1/4 1/3 > 1/3 1/2 > 1/2

a 10 a > 10

1,21,0

1,41,1

1,61,2

1,81,3

2,01,4

Proporo de barras emendadas na mesma seo

Bitola Sgk > Sqk Sgk Sqk b 1,5 b < 1,5 b 1,5 b < 1,5

12,5 todas 1/2 1/2 1/4> 12,5 todas (*)

1/2 (**)1/4 1/2 1/4

(*) - Se houver s uma camada de armadura(**) - Se houver mais de uma camada de armadura

As barras comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seo.

3.7.2 Alojamento das Armaduras

A rea As da armadura necessria para resistir a um momento fletor M, numa dada seo

de viga, conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponveis.Geralmente, adotam-se barras de mesmo dimetro . Uma das hipteses bsicas dodimensionamento de peas submetidas a solicitaes normais a da aderncia perfeita.Para a garantia desta aderncia fundamental que as barras sejam perfeitamenteenvolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a suacorroso; para isso adota-se um cobrimento mnimo de concreto para estas armaduras. Afigura 3.7.2.1. mostra a disposio usual com armaduras isoladas entre si.Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.

a

2


36/73


Figura 3.7.2.1

A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado.

Tabela 3.7.2.1

= dimetro nominal (mm)A

s1= rea nominal da seo transversal de uma barra em cm2

Os valores de cobrimento mnimo recomendado pela NBR-6118 so os seguintes:

a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura:

c(cm) elemento estrutural0,5 lajes no interior de edifcios

1,0 paredes no interior de edifcios1,5 pilares e vigas no interior de edifcios1,5 lajes e paredes ao ar livre2,0 pilares e vigas ao ar livre

(mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32

As1(cm2) 0,08 0,125 0,2 0,31

50,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0

As 3acamada2a

estribo

armadurasde pele

porta estribos

c t

eh

ev

c

c = cobrimento mnimoda armadura


37/73


b) concreto aparente

c(cm) elemento estrutural2,0 interior de edifcios2,5 ao ar livre

c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm

Nota: em solo no rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com osolo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m3.

d) pea de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm.

e) quando, por qualquer razo, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro

dos limites anteriormente indicados.

Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conformeindicado abaixo:

e cmh

agr

2

1 2,

; e cmv

agr

2

0 5,

onde = dimetro da barraagr= dimetro mximo do agregado

Figura 3.7.2.2

Brita agrbrita 1 9,5 a 19 mmbrita 2 19 a 25 mm

bw

c t bs t c

ev eh

c


38/73


39/73


Detalhes complementares:

a) armadura de flexo alojada junto face superior da seo (figura 3.7.2.5)

Figura 3.7.2.5

Nota: prever espao para passagem do vibrador.

b) armadura junto borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6)

Recomenda-se distribuir parte da armadura de trao nas abas tracionadas devidamenteligadas alma da viga atravs de armaduras de costura.

Figura 3.7.2.6

c) vigas altas (h > 60 cm)

Posicionar as armaduras de pele (Asl) conforme indicado na figura 3.7.2.7.

Figura 3.7.2.7

d / 3 30 cm

entre 6 e 20

Asl = 0,05% bw h(de cada lado)

vib + 1

vib + 1 cm

Asw

Asf2 ,f2 hf /10

As = Asw + Asf1 + Asf2

Asf1 ,f1 hf /10


40/73


3.7.3 Decalagem

Devido fissurao diagonal, existe, ento, uma translao (decalagem) para o ladodesfavorvel. Em particular, na seo sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presenade fora de trao na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica apossibilidade de ocorrncia de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoiosextremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado.

Figura 3.7.3.1

A NBR6118 usa a seguinte expresso: al (1,5 1,2)x d 0,5x d

onde a taxa de cobertura; = 1 -d0

c

= 1 -

wd

c

15,1

Na prtica, em vigas, podemos adotar al = 0,75 d

3.7.4 Ancoragem nos Apoios

Admite-se que a segurana esteja garantida pela verificao das duas condiesseguintes:

a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto face interna doapoio, a resultante de trao igual a:

R + 5,5 6cm

Rs,apo,d

Vd

Md/z diagrama defora resultanteno banzo

pd

al

al

al

Rs,apo,d = Vd (al / d) Vd / 2;


41/73


b) Na ocasio de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da faceinterna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 ) 6 cm, onde o dimetro dabarra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o ao CA50: r = 2,5 quando


42/73


3.8 Esquemas Estruturais

3.8.1 Esforos Finais de Dimensionamento em Vigas de Edifcios

Os esforos finais de dimensionamento devem conter as envoltrias de solicitaes. Adistncia entre as envoltrias, mxima e mnima, depende, basicamente, do valorrelativo da carga acidental.

Em vigas de edifcios, normalmente, a parcela varivel das cargas representa menos de30 % do total. Nestas condies, em geral, no h necessidade de se determinar senvoltrias de solicitaes porque seus valores se aproximam daqueles obtidos para acarga total; suficiente, pois, a determinao dos diagramas de estado correspondente carga total atuante na viga. Por outro lado, como se admite o comportamento elsticolinear, pode-se determinar primeiro as solicitaes correspondentes aos valorescaractersticos das cargas, que multiplicados pelos coeficientes de ponderao das aes(f ) permitem definir as solicitaes em valores de clculo utilizadas nos

dimensionamentos e nas verificaes.

3.8.2 Vos Tericos da Viga

Os vos tericos so utilizados no clculo dos esforos solicitantes.

Quando as larguras dos pilares de apoio forem menores do que PD / 5 (PD = p direito), ovo terico pode ser tomado como a distncia entre os centros dos apoios, no sendonecessrio adotar valores maiores que:

a) em viga isolada: 1,05l

o ;b) em vo extremo de viga contnua: o vo livre acrescido da semi-largura do apoiointerno e de 0,03 l

o,

Sendo lo

o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios).

Quando a largura do pilar de apoio for maior do que PD/5 pode-se engastar o vo, numponto interno ao pilar, distncia h/2 10 cm da face.

Nas vigas em balano, o vo terico o comprimento que vai da extremidade at o centrodo apoio, no sendo necessrio considerar valores superiores a 1,03 vezes ocomprimento livre.

3.8.3 Efeito do Pilar de extremidade Aproximaes permitidas pelaNBR-6118

O efeito do pilar de extremidade pode ser estimado atravs do modelo constitudo de trsbarras convergentes (vo de extremidade da viga e lances adjacentes, superior e inferior,do pilar) considerados todos eles engastados nas extremidades opostas.


43/73


Quando no se fizer o clculo exato da influncia da solidariedade dos pilares com a viga,deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento deengastamento perfeito multiplicado por:

supinfvig

supinf

rrr

rr

++

+(na viga)

supinfvig

sup

rrr

r

++(no tramo superior do pilar)

supinfvig

inf

rrr

r

++(no tramo inferior do pilar)

onde ri a rigidez do elemento i no n considerado.

Os pilares internos so, normalmente, pouco solicitados flexo. Em certas situaes (devos e carregamentos, significativamente, diferentes entre vos adjacentes), o modelo

primrio, de articulao perfeita junto aos pilares internos, pode superavaliar o efeito deum vo carregado sobre os demais, aliviando em demasia os momentos positivos nestesvos. Pilares internos relativamente rgidos atenuam estes efeitos e devem serdevidamente considerados. Para este efeito, no processo usual de clculo, costuma-secomparar os momentos positivos nos vos, determinados sob a hiptese dos pilaresinternos serem rgidos flexo, com aqueles correspondentes ao modelo primrio,adotando-se o que for maior. Dessa forma, admite-se que esteja coberta a situao real.

3.8.4 Consideraes do Projeto de Reviso da NBR-6118/200

O projeto de reviso da norma sugere que o vo efetivo de uma viga seja calculado como:

lef= l0 + a1 + a2

Os parmetros a1 e a2 podem ser calculados conforme o esquema mostrado abaixo:

lo

tt

h

lo


44/73


a) Apoio de vo extremo: ai = o menor de

h2/1

t2/1

b) Apoio de vo intermedirio: ai = 1/2 t

3.8.5 Esquema Estrutural para o Edifcio Exemplo

Para o clculo das vigas do edifcio exemplo, ser usado o esquema estrutural mostradoa seguir. A anlise consiste em considerar trechos de elementos lineares pertencentes regio comum ao cruzamento de dois ou mais elementos como elementos rgidos (ns dedimenses finitas), da maneira como se ilustra na figura seguinte (3.5.8.1).

Figura 3.8.5.1

Detalhe I:

Trecho livre

Trecho rgido

h1h2

h1/2 h2/2

Ver detalhe I

P direito

P direito

L eixo do pilar L eixo do pilar


45/73


3.9 Aplicao ao Edifcio Exemplo

3.9.1 Clculo da V1

3.9.1.1. Esquema Estrutural

0.2750 0.27504.7754.785

2.7500

2.7500

( 2 )

3

2

( 1 )

1

( 7 ) 10

( 4 )

( 9 )( 8 )

( 3 )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

6

5

4 7

8

9

11

Barra A (m2) I (m4)1 0,1235 3,715E-42 0,1235 3,715E-43 0,2090 2,107E-44 0,2090 2,107E-45 0,0800 2,667E-46 0,0800 2,667E-47 0,1404 4,000E-38 10,000 10,0009 10,000 10,000

10 0,1403 4,000E-3

Clculo da mesa colaborante:

- V1a: 3,589m4,785x43l

43a ===

b1 < 0,10 a = 0,359m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m

Portanto, b1 = 0,359m


46/73


- V1b: 3,581m4,775x4

3l

4

3a ===

b1 < 0,10 a = 0,358m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 5,645 = 2,823m


3.9.1.2. Carregamentos Verticais

1.52 kN/m

15.12 kN/m 14.68 kN/m

1.26 kN/m

3.9.1.3. Esforos devido ao Vento

+36.42 kN.m

+47.725 kN.m

+44.859 kN.m

+31.201 kN.m

3.9.1.4. Envoltria de Esforos

Para a envoltria de esforos, consideramos a seguinte combinao:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento


47/73


Viga V1

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0,000 -7,100 -0,700 -36,420 36,420 -51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,877

0,479 5,200 0,500 -28,463 28,463 -23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,677

0,957 14,100 1,400 -20,506 20,506 -1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,477

1,436 19,500 2,000 -12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383 -5,583

1,914 21,500 2,200 -4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323 -16,643

2,393 19,900 2,000 3,366 -3,366 34,430 26,890 -6,800 -0,700 15,610 6,983 -27,983

2,871 15,000 1,500 11,323 -11,323 35,782 10,418 -14,000 -1,400 15,610 -4,077 -39,043

3,350 6,500 0,700 19,280 -19,280 31,674 -11,514 -21,200 -2,100 15,610 -15,137 -50,103

3,828 -5,400 -0,500 27,238 -27,238 22,246 -38,766 -28,500 -2,900 15,610 -26,477 -61,443

4,307 -20,700 -2,100 35,195 -35,195 7,498 -71,338 -35,700 -3,600 15,610 -37,537 -72,503

4,785 -39,500 -3,900 43,152 -43,152 -12,430 -109,090 -42,900 -4,300 15,610 -48,597 -83,563

5,060 -51,900 -5,200 47,725 -47,725 -26,488 -133,392 -47,100 -4,700 15,610 -55,037 -90,003

5,060 -51,300 -4,400 -44,859 44,859 -128,222 -27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,360

5,335 -39,200 -3,400 -40,717 40,717 -105,243 -14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,060

5,813 -20,700 -1,800 -33,525 33,525 -69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,420

6,290 -5,600 -0,500 -26,333 26,333 -38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,780

6,768 6,200 0,500 -19,142 19,142 -12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,140

7,245 14,600 1,200 -11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,500

7,723 19,600 1,700 -4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700 -5,140

8,200 21,300 1,800 2,434 -2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060 -15,780

8,678 19,700 1,700 9,626 -9,626 40,741 19,179 -6,900 -0,600 14,214 5,420 -26,420

9,155 14,700 1,300 16,817 -16,817 41,235 3,565 -13,900 -1,200 14,214 -5,220 -37,060

9,633 6,400 0,500 24,009 -24,009 36,550 -17,230 -20,900 -1,800 14,214 -15,860 -47,700

10,110 -5,300 -0,400 31,201 -31,201 26,965 -42,925 -28,000 -2,400 14,214 -26,640 -58,480

3.9.1.5. Dimensionamento Flexo

a) Md = -51,710 kNmbw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 5,75 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,44 cm

2 (410)lb = 34 = 34 cm

OBS: O clculo de lb ser mostrado adiante.

b) Md = -133,392 kNm

bw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 16,24 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 6,89 cm

2 (416)lb = 38 = 61 cm


48/73


c) Md = -42,925 kNmbw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 4,74 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm

As = 2,01 cm2

(310)lb = 37 = 37 cm

d) Md = 44,666 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,66 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,04 cm

2 (310)lb = 37 = 37 cm

e) Md = 35,782 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,33 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 1,63 cm

2 (310)

lb = 30 = 30 cm

f) Md = 35,504 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,32 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 1,62 cm

2 (310)lb = 30 = 30 cm

g) Md = 41,236 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,54 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm


49/73


As = 1,88 cm2 (310)

lb = 34 = 34 cm

Asmn = 1,57 cm2

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf(cm) hf(cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)

-51,710 19 51 0 0 5,75 2,44 34-133,392 19 51 0 0 16,24 6,89 61-42,925 19 51 0 0 4,74 2,01 3744,666 19 51 54,9 10 1,66 2,04 3735,782 19 51 54,9 10 1,33 1,63 3035,504 19 51 54,9 10 1,32 1,62 3041,236 19 51 54,9 10 1,54 1,88 34

3.9.1.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 62,84 kNbw = 19 cmAst = 1,73 cm

2 / mAstmn = 2,66 cm

2 / m (6,3 c/23)

b) Vd = 90,00 kNbw = 19 cmAst = 3,14 cm

2 / m (6,3 c/20)Astmn = 2,66 cm

2 / m

c) Vd = 86,20 kN

bw = 19 cmAst = 2,95 cm

2 / m (6,3 c/21)Astmn = 2,66 cm

2 / m

d) Vd = 58,48 kNbw = 19 cmAst = 1,51 cm

2 / mAstmn = 2,66 cm

2 / m (6,3 c/23)

Resumo

Vd

(kN) bw

(cm) Ast

(cm2/m) Astmn

(cm2/m)62,84 19 1,73 2,6690,00 19 3,14 2,6686,20 19 2,95 2,6658,48 19 1,51 2,66


50/73


3.9.1.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado

al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm

efs,

cals,

bu

ydb A

Afl

=4

2,47MPaf, cdbu ==3 2420

435MPa,

fyd ==151

500

sef

scalb A

Al = 44

4 16

4 103 10

3 10 3 10


51/73


3.9.1.8. Detalhamento


52/73



53/73


3.9.2 Clculo da V17


Barra A (m2) I (m4)1 0,1335 3,4E-32 0,2090 0,6E-3


m3,3754,5x4

3l

4

3a ===

b1 < 0,10 a = 0,3375 m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80 m0,5 b2 = 0,5 x 2,775 = 2,16 m0,5 b2 = 0,5 x 4,6 = 2,30 m

Portanto, b1 = 0,3375 m

Barra 1

Barra 2

Barra 2


54/73




25 39 KN

5 35 KN

43 7 KN m

41 7 KN m


55/73



Para a envoltria de esforos, consideramos a seguinte combinao:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento

Viga V1

X Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0 -16,00 -3,40 41,70 -41,70 19,54 -73,86 48,20 10,10 -15,10 64,71 98,53

0,45 2,90 0,70 33,16 -33,16 42,18 -32,10 36,77 7,70 -15,10 45,35 79,17

0,9 17,10 3,60 24,62 -24,62 56,55 1,41 25,34 5,30 -15,10 25,98 59,81

1,35 27,60 5,50 16,08 -16,08 64,35 28,33 13,91 2,90 -15,10 6,62 40,45

1,8 29,50 6,20 7,54 -7,54 58,42 41,54 2,48 0,50 -15,10 -12,74 21,08

2,25 28,10 5,90 -1,00 1,00 46,48 48,72 -8,95 -1,90 -15,10 -32,10 1,72

2,7 21,50 4,50 -9,54 9,54 25,72 47,08 -20,38 -4,30 -15,10 -51,46 -17,64

3,15 9,60 2,10 -18,08 18,08 -3,87 36,63 -31,81 -6,70 -15,10 -70,83 -37,00

3,6 -7,30 -1,50 -26,62 26,62 -42,13 17,49 -43,24 -9,10 -15,10 -90,19 -56,36

4,05 -27,40 -4,63 -35,16 35,16 -84,22 -5,46 -54,67 -11,50 -15,10 -109,55 -75,73

4,5 -53,40 -8,11 -43,70 43,70 -135,06 -37,17 -66,10 -13,90 -15,10 -128,91 -95,09


a) Md = -73,86 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 13,95 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 3,74 cm

2 (312,5)

lb = 44 = 55 cmb) Md = 19,54 kNm

bw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 0,49 cm < hfAs = 0,97 cm

2

c) Md = 64,35 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,65 cm < hfAs = 2,94 cm

2 (410)


56/73


lb = 40 = 40 cm

d) Md = 48,72 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5 cm

hf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 1,25 cm < hfAs = 2,22 cm

2 (310)lb = 31 = 31 cm

e) Md = - 135,06 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 29,58 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 7,93 cm

2 (416)lb = 44 = 70 cm

Md(kNm) bw(cm) d(cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As(cm2) lb (cm)

-73,86 12 51 0 0 13,95 3,74 5519,54 12 51 80 10 0,45 0,97 4064,35 12 51 80 10 1,44 2,94 4048,72 12 51 80 10 1,25 2,22 31

-135,06 12 51 0 0 29,58 7,93 70


a) Vd = 128,91 kNbw = 12 cmAst = 5,73 cm

2 / m (6,3 c/11)

Astmn = 1,68 cm2 / m (5 c/20)

b) Fora cortante de clculo correspondente armadura mnima:

V*= KN648

611

x(fdb cminwywdw,

,

)=

+

c) Vd = 98,53 kNbw = 12 cmAst = 4,15 cm

2 / m (6,3 c/15)


57/73


Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Astmn (cm

2/m)128,91 12 5,73 1,6898,53 12 4,15 1,68


al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm


416

410310

312,5


58/73



59/73


3.9.3 Clculo da V16


2.73

1 2( 1 )

Barra A (m2) I (m4)1 0,0933 2,700E-3


- m2,730la ==

b1 < 0,10 a = 0,273m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 2,71 = 1,355 m



0.58 kN/m

7.62 kN/m

3.9.3.3. Reaes

10.4 kN0.8 kN 0.8 kN

10.4 kN


60/73


3.9.4 Clculo da V4


Barra A (m2) I (m4)1 0,1596 4,50E-3

2 0,1762 3,80E-3


- V4a: m5,51la ==

b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m


- V4b: 5,51mla ==

b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 2,16m


Barra 1 Barra 2


61/73


b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 1,365m




14.31 kN.m

+15.17 kN.m

Var: 1 52 KN/m

Per: 15 12 Kn/m

Var: 2 77 KN/m

Per: 15 32 KN/m

Var: 0 8 KN

Per: 10 4 KN


62/73



Viga V4

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0,000 -16,900 -2,100 14,310 -14,310 -10,573 -42,627 46,800 5,400 5,362 79,085 67,021

0,280 -4,400 -0,700 12,812 -12,812 7,209 -21,489 42,500 4,900 5,362 72,365 61,001

0,560 6,900 0,600 11,314 -11,314 23,172 -2,172 38,300 4,500 5,362 65,925 55,121

0,840 17,000 1,900 9,816 -9,816 37,454 15,466 34,100 4,100 5,362 59,485 49,241

1,120 26,000 2,900 8,318 -8,318 49,776 31,144 29,800 3,700 5,362 52,905 43,221

1,400 33,800 3,900 6,820 -6,820 60,418 45,142 25,600 3,200 5,362 46,325 37,341

1,680 40,300 4,700 5,322 -5,322 68,960 57,040 21,400 2,800 5,362 39,885 31,461

1,960 45,700 5,500 3,823 -3,823 75,962 67,398 17,100 2,400 5,362 33,305 25,441

2,240 49,900 6,100 2,325 -2,325 81,004 75,796 12,900 2,000 5,362 26,865 19,561

2,520 52,900 6,600 0,827 -0,827 84,227 82,373 8,700 1,500 5,362 20,285 13,681

2,800 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 4,400 1,100 5,362 13,705 7,661

2,8 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 -6,000 0,300 5,362 -1,975 -6,899

3,071 52,600 6,900 -2,121 2,121 80,925 85,675 -10,100 -0,400 5,362 -8,695 -12,639

3,342 49,300 6,700 -3,571 3,571 74,401 82,399 -14,300 -1,200 5,362 -15,695 -18,519

3,613 44,900 6,300 -5,021 5,021 66,057 77,303 -18,400 -1,900 5,362 -22,415 -24,259

3,884 39,300 5,600 -6,470 6,470 55,613 70,107 -22,600 -2,700 5,362 -29,415 -30,139

4,155 32,600 4,800 -7,920 7,920 43,489 61,231 -26,700 -3,400 5,362 -36,135 -35,879

4,426 24,800 3,800 -9,370 9,370 29,545 50,535 -30,900 -4,200 5,362 -43,135 -41,759

4,697 15,900 2,500 -10,820 10,820 13,641 37,879 -35,000 -4,900 5,362 -49,855 -47,499

4,968 5,800 1,100 -12,270 12,270 -4,083 23,403 -39,200 -5,700 5,362 -56,855 -53,379

5,239 -5,400 -0,600 -13,720 13,720 -23,766 6,966 -43,300 -6,500 5,362 -63,715 -59,119

5,510 -17,700 -2,400 -15,170 15,170 -45,130 -11,150 -47,500 -7,200 5,362 -70,575 -64,999


a) Md = 87,131 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 74,1 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa

x = 2,42 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 4,00 cm

2 (216)lb = 44 = 70 cm

Asmn = 1,57 cm2

b) Md = -45,13 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 8,11 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm


63/73


As = 2,17 cm2 (310) lb = 60 cm

c) Md = -42,67 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa

x = 4,71 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,00 cm

2 (310) lb = 55 cmAsmn = 0,99 cm

2 (28)

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf(cm) hf(cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)

87,13 19 51 74,1 10 2,42 4,00 70-45,13 19 51 0 0 8,11 2,17 60-42,67 12 51 0 0 4,71 2,00 55


a) Vd = 79,09 kNbw = 19 cmAst = 2,58cm

2 / mAstmn = 2,66cm

2 / m (6,3 c/23)

b) Vd = 70,58 kNbw = 12 cmAst = 2,70 cm

2 / m (6,3 c/23)

Astmn = 1,68 cm2 / m (6,3 c/25)

Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Astmn (cm

2/m)79,23 19 2,58 2,6670,16 12 2,70 1,68



64/73



216

310 310


65/73


3.9.4.9. Flecha

Estdio II:

- esforo solicitante = g + 0,7 qM = 54,8 + 0,7 (6,90 + 0,67) = 60,1 kNm

Para o trecho a, temos:

- posio da linha neutraMPa287953,5f*6600*0,9E ckc =+=

29728795

210000,

E

E

c

se ===

001105174,1x

4,00db

A sd ,===

fdef

es hcm925

211-

b

Ax =

++

= ,

- tenso mxima de compresso no concreto


66/73


2

f

c kN/cm560

3

5,92-51x5,92x74,1

6010x2

3

x-dxb

M2,=

=

=

- tenso na armadura

2

s

s 30,65kN/cm

3

5,92-514

6010

3

x-dA

M=

=

=

- produto de rigidez a flexo no estdio IIEc III = AsEs(d x)(d-x/3) = 4x21000x(51-5,92)x(51 5,92/3)=18565,03x10

4 kN cm2= 18,57 x107 kN cm2

- para os dados adotados tem-se:Ic = 4,5 x 10

-3 m4 = 4,5 x 105 cm4Ec Ic = 4,5 x 10

5 x 28,8 x 102 = 129,6 x 107 kN cm2

Ec III = 0,143 Ec Ic

Para o trecho b, temos:

- posio da linha neutra

MPa287953,5f*6600*0,9E ckc =+=

29728795

210000,

E

E

c

se ===

00064051122,2x

4,00

db

A sd ,===

fdef

es

hcm704

211-b

Ax =

++

= ,

- tenso mxima de compresso no concreto2

f

c kN/cm420

3

4,70-51x4,70x122,2

6010x2

3

x-dxb

M2,=

=

=

- tenso na armadura2

s

s kN/cm3903

3

4,7

-514,0

6010

3

x

-dA

M,=

=

=

- produto de rigidez a flexo no estdio IIEc III= AsEs(d x)(d-x/3)= 4,0x21000x(51-4,7)x (51 4,7/3)= 19,23x10

7 kN cm2

- para os dados adotados tem-se:Ic = 3,8 x 10

-3 m4 = 3,8 x 105 cm4Ec Ic = 3,8 x 10

5 x 28,8 x 102 = 109,44 x 107 kN cm2


67/73


Ec III = 0,18 Ec Ic

a) flecha de carga de curta durao (aq)

q* = 0,7 qq* = 0,7 x 1,52 = 1,064 kN/m (trecho a)q* = 0,7 x 2,77 = 1,939 kN/m (trecho b)Q* = 0,7 x 0,8 = 0,56 kN

Ec III = 18,57 x 107 kN cm2 (trecho a)

III = 0,6448 x 105 cm4 = 0,6448 x 10-3 m4

Ec III = 19,23 x 107 kN cm2 (trecho b)

III = 0,6677 x 105 cm4 = 0,6677 x 10-3 m4

Utilizando o ftool, temos:

aq = 0,2 mm = 0,0002 m < )(OK!0,0110m5005,51

500l ==

b) flecha de carga de longa durao (ag)

ago = 1,5 mm = 0,0015 m

( ) 0,001847m51

5,9210,001521aa gog =

+=+=

ag + aq = 0,001847 + 0,0002 = 0,002047 m < )(OK!0,018m300

l=

3.9.4.10. Fissurao

Considerando b = 1,5, c = 2,5 cm, t = 6,3 mm e Wlim = 0,3 mm.

a) determinao da tenso s:

0010605174,1x

4,00

db

A sd ,===

Portanto, no estdio II:

fes

f

f

es hcm5,9A d2b11-bAx =

++

=

2

s

s kN/cm30,6

3

5,9-514,00

6010

3

x-dA

M=

=

=


68/73


b) avaliao da abertura da fissura

02202185

004r ,,

,==

+

= 45

4

E0,75210

1W

s r

s

b

1

=

+

= 45

0,022

4

21000

30,6

0,75x1,52

16

10

1W1 0,24 mm < Wlim = 0,3 mm (OK!)

No ser necessrio verificar pela segunda expresso da norma.

3.10 Recomendaes do Projeto de Reviso da NBR6118 (2001)

Apresenta-se neste item algumas recomendaes do Projeto de Reviso da novaNBR6118 (2000).

Resistncia trao

ctmctk

ctmctk

ckctm

ff

ff

MPaff

.3,1

.7,0

)(.30,0

sup,

inf,

3/2

=

=

=

Mdulo de Elasticidade

ccs

ckc

EEfE

.85,0

.56002/1

==

Imperfeies Geomtricas

2

/11

100

1

1

n

l

a

S

+=

=

Onde n = nmero total de elementos verticais contnuos

200

1max1 =

Entre o vento e o desaprumo pode ser considerado apenas aquele mais desfavorvel.).03,0015,0( hNM dsd +=


69/73


Estados Limites de Servio

Combinaes de Servio:

a) Quase-Permanente

Podem atuar durante grande parte do perodo de vida da estrutura. So normalmenteutilizadas para a verificao do estado limite de deformao Excessiva.

b) Frequentes

Repetem-se muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura. So normalmenteutilizadas para a verificao dos estados limites de formao de fissuras, aberturas defissuras e vibraes excessivas.

c) Raras

Podem atuar no mximo algumas vezes durante o perodo de vida til da estrutura. Soeventualmente utilizadas para a verificao do estado limite de formao de fissuras.

Combinaes ltimas Normais

eqkoeeq

n

a

qikojkqqegkeggkgd FFFFFF +

+++= 1.

Combinaes de Servio

a) Combinao Quase-Permanente:

= =

+=m

i

n

j

qikjgikserviod FFF1 2

2,

b) Combinao Frequente

= =

++=m

i

n

j

qikjkqgikserviod FFFF1 2

211,

c) Combinao Rara

= =

++=m

i

n

j

qikjkqgikserviod FFFF1 2

11,


70/73


Armadura Mnima de Trao

)(.30,0

.3,1

..8,0

3/2

sup,

sup,0min,

MPaff

ff

fWM

ckctm

ctmctk

ctkd

=

=

=

Seo Retangular:

cdc

yds

fA

fAw

.

.0035,0 ==

Seo T:

cdc

yds

fA

fAw

.

.0024,0 ==

faceporAA almacpeles ,, %.10,0=

Espaamento < 20 cmPara < 8,0mm(ao liso) adotar o dobro da armadura

Armadura de Cisalhamento

Modelo de Clculo I:

a) Verificao da compresso diagonal do concreto

)(250

1

....27,02

2

MPaf

dbwfV

VV

ckV

cdVRd

Rdsd

=

=

b) Clculo da armadura

4,1

.30,0.7,0

.7,0

.3,1

30,0

...6,0

3/2

inf,

sup,

3/2

3

ckctd

ctmctk

ctmctk

ckctm

ctdc

swcRdsd

ff

ff

ff

ff

dbwfV

VVVV

=

=

=

==

+=


71/73


o90/..9,0. == apdfs

AV ywd

swsw

c) Decalagem

)(2

cot)cot1().(2

cd

d

cd

d

VV

Vdal

ggVV

Vdal

=

+=

Modelo de Clculo II:

oo4530

a) Verificao da compresso diagonal do concreto

sen.cos.....54,0

sen.cot.....54,0

2

2

2

2

dbwfV

gdbwfV

VV

cdVRd

cdVRd

Rdsd

=

=

b) Clculo da armadura

4,1

.30,0.7,0

.7,0.3,1

30,0

...6,0

3/2

inf,

sup,

3/2

3

ckctd

ctmctk

ctmctk

ckctm

ctdc

swcRdsd

ff

ffff

ff

dbwfV

VVVV

=

==

=

=

+=

gdfs

AV ywd

swsw cot...9,0.=

c) Decalagem

gdal cot..5,0=

Armadura mnima de cisalhamento:

yk

ctmswsw

f

f

sbw

A .2,0

.min, =


72/73


Determinao de Deslocamentos

Combinao Quase-Permanente:

+=i j

qikjgikd FFF 2

= 2,02 Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentraes depessoas

= 4,02 Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentraes depessoas

= 6,02 Bibliotecas, garagens, etc.

Flecha Imediata:

ocII

a

ro

a

rceq IEI

MMI

MMEEI

+

=

33

1)(

=rM Momento de fissurao

3/2.30,0

.

ckctm

ctmr

ff

WfM

=

=

=W Mdulo de resistncia relativo fibra mais tracionada=aM Momento fletor na seo crtica do vo

=oI Momento de inrcia da seo bruta

=III Momento de inrcia do Estdio II puro

Flecha Diferida:

Flecha Diferida = f. Flecha Imediata

'.501

+

=f

db

A s

.

''=

onde sA' = Armadura de compresso no trecho considerado

)()( ott =

t = tempo em meses na data em que se calcula a flechato = tempo em meses na data do carregamento


73/73

>

=

mesestpara

mesestparatt

t

702

70.996,0.68,0)(

32,0

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